Elde (aritmetik)

Temel aritmetikte elde, bir basamak sütunundan bir üst basamağa (daha yüksek değerli basamağa) aktarılan rakamdır. Bu kavram, sayıları en sağdaki basamaktan başlayıp sola doğru ilerleyerek toplama şeklindeki standart algoritmanın bir parçasıdır. Örneğin, 6 ve 7 toplanıp 13 bulunduğunda, "3" aynı basamağa yazılır ve "1" sola elde olarak aktarılır. Çıkarma işleminde kullanıldığında ise bu işleme onluk bozma (veya ödünç alma) denir.

Geleneksel matematikte elde kavramı üzerinde durulurken, reform matematiğine dayalı müfredatlar doğru cevabı bulmak için belirli herhangi bir yöntemi vurgulamaz.

Elde işlemi, ileri matematikte de bazı durumlarda karşımıza çıkar. Bilgisayar bilimlerinde, elde işlemi toplayıcı devrelerin önemli bir işlevidir.

Elle aritmetik
Elde işleminin tipik bir örneği aşağıdaki kalem-kâğıt ile toplamadır:
1
27
+ 59
----
86
7 + 9 = 16 ve 1 basamağı elde olur.

Bunun tersi ise aşağıdaki gibi bir ödünç alma işlemidir:
−1
47
− 19
----
28

Burada, 'dir, bu yüzden işlemi denenir; buradaki 10 sayısı, soldaki bir sonraki basamaktan 1 alınarak ("onluk bozularak" veya "ödünç alınarak") elde edilir. Bu işlemin öğretilmesinde yaygın olarak kullanılan iki yol vardır:

Onluk, soldaki bir sonraki basamaktan oraya taşınır ve bu örnekte onlar basamağında geriye kalır. Bu yönteme göre, "ödünç alma" terimi hatalı bir isimlendirmedir, çünkü alınan onluk asla geri ödenmez.
Onluk, soldaki bir sonraki basamaktan kopyalanır ve daha sonra "ödünç alındığı" sütundaki çıkan sayıya (subtrahend) eklenerek "geri ödenir". Bu durum, örnekteki onlar basamağında işlemin olmasını sağlar.

İleri matematik
Kummer teoremi, tabanında iki sayı toplanırken ortaya çıkan eldelerin sayısının, belirli bir binom katsayısını tam bölen 'nin en yüksek kuvvetinin üssüne eşit olduğunu ifade eder.

Çok basamaklı ve rastgele seçilmiş birkaç sayı toplandığında, elde rakamlarının istatistikleri ile Eulerian sayıları ve riffle karıştırma (desteyi ikiye bölüp birbirine geçirme) permütasyonlarının istatistikleri arasında beklenmedik bir bağlantı görülür.

Soyut cebirde, iki basamaklı sayılar için elde işlemi, grup kohomolojisi dili kullanılarak formüle edilebilir. Bu bakış açısı, reel sayıların alternatif karakterizasyonlarına uygulanabilir.

Mekanik hesap makineleri
Elde kavramı, mekanik hesap makinesi tasarımcıları ve üreticilerinin karşılaştığı temel zorluklardan birini temsil eder. Bu kişiler iki temel güçlükle karşılaşırlar: Birincisi, bir eldenin birden fazla basamağın değişmesini gerektirebilmesi gerçeğinden kaynaklanır: 999'a 1 eklemek için makinenin 4 farklı basamağı artırması gerekir. Diğer bir zorluk ise, bir sonraki basamak toplama işlemini tamamlamadan önce eldenin "oluşabilmesi" (gelişebilmesi) gerçeğidir.

Çoğu mekanik hesap makinesi, elde işlemini toplamanın hemen ardından ayrı bir elde döngüsü çalıştırarak gerçekleştirir. Toplama sırasında her elde gerçekleştirilmek yerine "işaretlenir" (sinyallenir) ve elde döngüsü sırasında makine, "tetiklenen" basamakların bir üstündeki basamakları artırır. Bu işlem, birler basamağından başlayıp onlar, yüzler şeklinde sırasıyla yapılmalıdır; çünkü eldeyi eklemek bir sonraki basamakta yeni bir elde oluşturabilir.

ilinen ikinci ve günümüze ulaşan en eski hesap makinesi olan Pascal'ın hesap makinesi (Pascaline) başta olmak üzere bazı makineler farklı bir yöntem kullanır: Rakamı 0'dan 9'a artırmak enerji depolamak için mekanik bir düzeneği kurar ve rakamı 9'dan 0'a taşıyan bir sonraki artırma işlemi, bir sonraki basamağı 1 artırmak için bu enerjiyi serbest bırakır. Pascal makinesinde ağırlıklar ve yerçekimini kullandı. Benzer bir yöntemi kullanan bir diğer önemli makine, ağırlıkların yerine yayları kullanan ve oldukça başarılı olan 19. yüzyıl yapımı Comptometerdır.

Bazı yenilikçi makineler sürekli iletim (continuous transmission) yöntemini kullanır: Herhangi bir basamağa 1 eklemek, bir sonrakini 1/10 oranında ilerletir (bu da sırasıyla bir sonrakini 1/100 oranında ilerletir ve bu böyle devam eder). Özellikle 1870 yapımı Çebişev (Chebyshev) hesap makinesi ve 1886 yapımı Selling tasarımı gibi bazı yenilikçi erken dönem hesap makineleri bu yöntemi kullandı ancak hiçbiri başarılı olamadı. 1930'ların başında Marchant hesap makinesi, ismine uygun "Silent Speed" (Sessiz Hız) hesap makinesiyle başlayarak sürekli iletimi büyük bir başarıyla uyguladı. Marchant (daha sonra SCM Corporation oldu), bunu kullanmaya ve geliştirmeye devam etti ve 1960'ların sonlarına, yani mekanik hesap makinesi döneminin sonuna kadar benzersiz hıza sahip sürekli iletimli hesap makineleri üretti.

Hesaplama
Toplayıcı gibi bir sayısal devreden söz ederken, elde sözcüğü benzer bir anlamda kullanılır.

Çoğu bilgisayarda, bir aritmetik işlemin en yüksek anlamlı bitinden (MSB - Most Significant Bit) gelen elde (veya bir kaydırma işleminden dışarı kayan bit), özel bir elde bitine (carry bit) yerleştirilir. Bu bit, çoklu duyarlıklı aritmetikte (multiple precision arithmetic) bir elde girişi (carry-in) olarak kullanılabilir veya bilgisayar programının yürütülmesini kontrol etmek (örneğin döngüleri yönetmek) amacıyla test edilebilir.

Aynı elde biti, genellikle çıkarma işlemindeki borçları (onluk bozmaları) belirtmek için de kullanılır, ancak ikinin tümleyeni aritmetiğinin etkileri nedeniyle bitin anlamı tersine döner. Normalde, "1" değerindeki bir elde biti, toplama işleminin ALU'da (Aritmetik Mantık Birimi) taştığını gösterir ve CPU'nun kendi kapasitesinden daha uzun veri sözcükleri (data words) toplanırken bu durum hesaba katılmalıdır.

Çıkarma işlemleri için iki (zıt) kural uygulanır: Çoğu makine borç/ödünç durumunda elde bayrağını (carry flag) kurarken (set ederken/1 yaparken), bazı makineler (6502 ve PIC işlemcileri gibi) borç durumunda elde bayrağını sıfırlar (reset/0 yapar) (veya tam tersi).

Bir elde, tamsayı taşmasına (integer overflow) yol açabilir.

Kaynakça
Dış bağlantılar
Elden taşıma - nLab