Determinant

Determinant kare bir matris ile ilişkili özel bir sayıdır. Sadece bir sayısal değer değil; o matrisin temsil ettiği lineer dönüşümün uzay üzerindeki etkisini özetleyen çok kritik bir "ölçektir.

1.Geometrik Ölçekleme

Determinantın somut anlamı, bir dönüşümün birim bölgeyi ne kadar genişlettiği veya daralttığıdır.

2x2 Matrislerde: Birim karenin (alanı 1 olan) dönüşüm sonrası kapladığı paralelkenarın alanını verir.
3x3 Matrislerde: Birim küpün dönüşüm sonrası kapladığı paralelkenar yüzlü (parallelepipied) hacmini ifade eder.
n-boyutlu Uzayda: Söz konusu lineer dönüşümün -boyutlu hacmi hangi oranda değiştirdiğini gösterir.

2. Terslenebilirlik (Invertibility)

Cebirsel açıdan determinant, bir matrisin tersinin olup olmadığını belirleyen yegane kriterdir.

: Matris terslenebilirdir. Bu, dönüşümün uzayı "ezmediği", yani boyut kaybı yaşatmadığı anlamına gelir. Bilgi kaybı yoktur; dönüşüm geri alınabilir.

: Matris singülerdir (tekildir). Geometrik olarak bu, uzayın daha düşük bir boyuta çöktüğü anlamına gelir.

3. Yönelim

Pozitif Determinant: Dönüşüm uzayının yönelimini korur.

Negatif Determinant: Dönüşüm uzayını "tersyüz" eder. Bir nevi aynalama etkisi yaratır.

Bir A matrisin determinant'ı det(A) ya da det A şeklinde gösterilir. Diğer bir gösterim şekli ise matris elementlerini arasına alan dikey çizgi ikilisidir.

Örneğin:

matrisinin determinantı şu şekilde gösterilir: .

Basit bir örnek olarak,

.

Bu durumda matrisinin determinantı şudur:

Determinantın açık tanımı
Determinantın açık tanımı bir A matrisinin kofaktörü C ya da minörü M cinsinden gösterilebilir:

.

Determinant ve geometri
Yukarıda belirtilen 2x2 A matrisinin determinantın mutlak değeri, köşeleri (0,0), (a,b), (a + c, b + d) ve (c,d) noktalarında olan bir paralelkenarın alanına eşittir.

Benzer bir şekilde, 3x3 bir matrisin determinantının mutlak değeri, üç boyutlu paralelyüz cisminin hacmine eşittir.

Determinantın temel özellikleri
Birim matrisin determinantı birdir:

Iki matrisin çarpımının determinantı, bu iki matrisin determinantlarının çarpımına eşittir:

.

det(A) sıfırdan farklı ise, A matrisinin tersi A−1 tanımlıdır. Bu durumda:

.

A ve B benzer matrisler olsun: ve dönüşüm matrisi X in tersi tanımlı olsun. Bu durumda:

.

Bir matrisin transpozunun determinantı kendi determinantına eşittir:

.

Bir matrisin bir sayı ile çarpımının determinantı:

.
Kalıp Matrisler (Blok matrisler)
Boyutları n×n, n×m, m×n ve m×m olan A, B, C ve D matrislerinin olduğunu varsayalım. Bu matrisleri kullanarak n+m × n+m boyutunda büyük bir kare matris M oluşturalım. M'yi oluşturan A, B, C ya da D kalıplarından herhangi birisi sıfır matris ise, nin determinantı kolayca hesaplanabilir:

Bu sonuç M matrisini iki matrisin çarpımı şekilde yazarak kolayca gösterilebilir. Anın tersi tanımlı olsun. Bu durumda

denkliği yazılabilir ve buradan determinant

şeklinde hesaplanır. B ya da Cnin sıfır matris olması durumda yukarıdaki sonucu elde etmiş oluruz.

Ayrıca,

C ve Dnin değişme özelliği var ise, yani CD = DC ise, .

A ve Cnin değişme özelliği var ise, yani AC = CA ise, .

B ve Dnin değişme özelliği var ise, yani BD = DB ise, .

A ve Bnin değişme özelliği var ise, yani AB = BA ise, .

Kaynakça