Büzülebilir uzay

Matematikte, bir topolojik uzay X, eğer X üzerindeki birim dönüşüm sıfır-homotopik (null-homotopik) ise, yani bir sabit dönüşüme homotopik ise büzülebilirdir. Sezgisel olarak, büzülebilir bir uzay, kendi içindeki bir noktaya sürekli olarak küçültülebilen bir uzaydır.

Özellikler
Büzülebilir bir uzay, tam olarak bir noktanın homotopi tipine sahip olan uzaydır. Buradan, büzülebilir bir uzayın tüm homotopi gruplarının aşikar (trivial) olduğu sonucu çıkar. Dolayısıyla, aşikar olmayan bir homotopi grubuna sahip herhangi bir uzay büzülebilir olamaz. Benzer şekilde, tekil homoloji bir homotopi değişmezi olduğundan, büzülebilir bir uzayın indirgenmiş homoloji gruplarının tamamı aşikardır.

Boş olmayan bir topolojik uzay X için aşağıdakilerin tümü eşdeğerdir:
X büzülebilirdir (yani birim dönüşüm sıfır-homotopiktir).
X, tek-noktalı bir uzaya homotopi denktir.
X, bir nokta üzerine deformasyon retraktı olur (büzülür). (Bununla birlikte, bir noktaya güçlü deformasyon retraktı olmayan büzülebilir uzaylar da mevcuttur.)
Herhangi bir yol bağlantılı Y uzayı için, f,g: X → Y şeklindeki herhangi iki dönüşüm homotopiktir.
Boş olmayan herhangi bir Y uzayı için, herhangi bir f: Y → X dönüşümü sıfır-homotopiktir.

Bir X uzayı üzerindeki koni her zaman büzülebilirdir. Dolayısıyla herhangi bir uzay büzülebilir bir uzayın içine gömülebilir (bu durum aynı zamanda büzülebilir uzayların alt uzaylarının büzülebilir olması gerekmediğini gösterir). Ayrıca, X uzayının büzülebilir olması için gerek ve yeter şart, X üzerindeki koniden Xe bir retraksiyonun (geri çekilmenin) mevcut olmasıdır.

Her büzülebilir uzay yolak bağlantılı (path connected) ve basit bağlantılıdır. Ayrıca, tüm yüksek dereceli homotopi grupları yok olduğundan, her büzülebilir uzay tüm n ≥ 0 değerleri için n-bağlantılıdır.

Yerel büzülebilir uzaylar
Bir X topolojik uzayı, eğer x noktasının her U komşuluğu için, U içinde kapsanan ve Vnin kapsanma dönüşümünün U içinde sıfır-homotopik olduğu bir V komşuluğu varsa, x noktasında yerel büzülebilirdir.

Eğer bir uzay her noktasında yerel büzülebilir ise, o uzaya yerel büzülebilir denir. Bu tanım bazen "geometrik topoloğun yerel büzülebilirlik tanımı" olarak anılsa da, terimin en yaygın kullanımı budur. Hatcher'ın standart Cebirsel Topoloji metninde bu tanım "zayıf yerel büzülebilir" olarak geçmektedir, ancak bu terimin başka kullanımları da vardır.

Eğer her noktanın büzülebilir komşuluklardan oluşan bir yerel tabanı varsa, o zaman Xe güçlü yerel büzülebilir denir. Büzülebilir uzayların yerel büzülebilir olması gerekmez, tersi de geçerli değildir. Örneğin, tarak uzayı büzülebilirdir ancak yerel büzülebilir değildir (olsaydı yerel bağlantılı olması gerekirdi, ancak değildir). Yerel büzülebilir uzaylar, tüm n ≥ 0 için yerel n-bağlantılıdır. Özellikle, bu uzaylar yerel basit bağlantılı, yerel yol bağlantılı ve yerel bağlantılıdır. Çember, (güçlü) yerel büzülebilirdir ancak büzülebilir değildir.

Güçlü yerel büzülebilirlik, yerel büzülebilirlikten kesinlikle daha güçlü bir özelliktir; buna dair karşı örnekler karmaşıktır ve ilki Borsuk ve Mazurkiewicz tarafından Sur les rétractes absolus indécomposables (C.R. Acad. Sci. Paris 199 (1934), 110-112) başlıklı makalelerinde verilmiştir.

Yerel büzülebilirliğin "standart" tanımının hangisi olduğu konusunda bazı anlaşmazlıklar vardır ; birinci tanım geometrik topolojide, özellikle tarihsel olarak daha yaygın kullanılırken, ikinci tanım "yerel" teriminin topolojik özelliklerle ilgili tipik kullanımına daha uygundur. Bu özelliklerle ilgili sonuçlar yorumlanırken tanımlara her zaman dikkat edilmelidir.

Örnekler ve karşıtörnekler
Herhangi bir Öklid uzayı büzülebilirdir, tıpkı bir Öklid uzayı üzerindeki herhangi bir yıldız bölge gibi.
Whitehead manifoldu büzülebilirdir.
Herhangi bir sonlu boyuttaki küreler büzülebilir değildir, ancak boyut en az 2 olduğunda basit bağlantılıdırlar.
Sonsuz boyutlu bir Hilbert uzayındaki birim küre büzülebilirdir.
İki odalı ev, büzülebilir olan ancak sezgisel olarak öyle görünmeyen standart bir uzay örneğidir.
Külah (Dunce hat) büzülebilirdir, ancak çökülebilir değildir.
Bir Hawaii küpesi üzerindeki koni büzülebilirdir (bir koni olduğu için), ancak yerel büzülebilir veya hatta yerel basit bağlantılı değildir.
Tüm manifoltlar ve CW kompleksleri yerel büzülebilirdir, ancak genel olarak büzülebilir değildirler.
Varşova çemberi, topolog sinüs eğrisinin (0,−1) ve (1,sin(1)) noktalarını bir yay ile birleştirerek "kapatılmasıyla" elde edilir. Bu, tüm homotopi grupları aşikar olan bir boyutlu bir süreklidir (kontinyum), ancak büzülebilir değildir.

Kaynakça