Düğüm analizi

Elektrik mühendisliğinde, düğüm analizi, düğüm-voltaj analizi veya kol akımlar metodu bir elektrik devresinde kolların birbirine bağlandığı düğümler arasındaki gerilimleri belirleyen bir yöntemdir. Bir devrede her biri birbirine bağlı olan herhangi bir noktadaki akım veya gerilimleri çözmek için Kirchhoff kanunları (KCL ve KVL) kullanılır.

Düğüm analizi, her bir elektrik düğümünde, o düğüme giren ve çıkan akımların cebirsel toplamının sıfıra eşit olduğu ilkesine dayanır; dal akımları ise devre düğüm gerilimleri cinsinden yazılır. Kompakt bir denklem sistemi üretmesi sayesinde yöntem, küçük devrelerde elle, büyük devrelerde ise doğrusal cebir yardımıyla bilgisayar ortamında kolayca çözülmektedir. SPICE gibi pek çok devre simülasyon programı bu nedenle düğüm analizini temel yöntem olarak kullanmaktadır. Birbirine iletkenle bağlı tüm noktalar tek bir düğüm sayılır. Düğüm analizi için devre üzerindeki tüm bu noktalar tespit edilir ve numaralandırılır.

Referans Düğümü
Düğümlerden biri referans düğümü (toprak, 0 V) olarak seçilir. Bu seçim devre elemanlarının uçları arasındaki gerilimleri etkilemez; yalnızca düğüm gerilimlerinin hangi noktaya göre ölçüleceğini belirler. Genel uygulamada en fazla bağlantıya sahip düğüm referans olarak seçilmesi analizi basitleştirir.

Düğüm Gerilimi
Bir düğümün gerilimine, o düğüm ile referans düğümü arasındaki potansiyel fark denir. N düğümlü bir devre için yazılacak düğüm denklemi sayısı N − 1'dir.

Devredeki bütün düğümler numaralandırılır (örn; 1, 2, 3...gibi). Bir "referans düğümü" seçilir. En uygun düğüm en çok bağlantının olduğu nokta seçilebilir.
Numaralandırılmış her bir düğümdeki voltajı belirlemek için bir değişken tayin edilir. Örneğin V1, V2 veya V3 gibi. Hesaplanan bu değişkenlerin değerleri, referans düğümü 0V olacak şekilde düğüm noktasıyla ilişkilendirilecektir.
Eğer herhangi bir düğüm ve referans noktası arasında bir gerilim kaynağı varsa Kirşof gerilim kanununa göre düğümdeki gerilim voltaj kaynağınkine eşittir. Örneğin, eğer düğüm 1 ve referans noktası arasında 40V bir gerilim kaynağı varsa V1 = 40 V'dur .
İki düğüm arasındaki her gerilim kaynağı kaydedilir. Bu süper düğüm olarak adlandılır. Kirşof gerilim kanununa göre bu iki düğümdeki gerilim farkı voltaj kaynağınınkine eşittir. Örneğin, düğüm 1 ve düğüm 2 arasında eğer 60 V'luk bir kaynak varsa V1 − V2 = 60 V'dur.
Kalan bütün düğümler için Kirşof akım kanunu uygulanır ve kalan her düğüm için akım denklemleri yazılır. terminal eşitlikleri kullanılarak devre elemanları akımlarla ilişkilendirilir. Örneğin, düğüm 2 ve düğüm 3 arasında 10 Ω'luk bir direnç varsa, düğüm 2 ve 4 arasında bir 1 A'lik akım kaynağı (kalan düğüm 2), düğüm 2 ve 5 arasında 20 Ω'luk bir direnç, KCL eşitliğinden (V2 − V3)/10 + 1 + (V2 − V5)/20 = 0 A'dir.
İki bilinmeyen düğüm arasında bir gerilim kaynağı bulunuyorsa bu iki düğüm süper düğüm olarak ele alınır (bkz. Süper Düğüm).
Elde edilen N − 1 adet denklem sistemi çözülerek düğüm gerilimleri bulunur.
İstenilen dal akımları ve güçler, bulunan gerilimlerden Ohm yasası kullanılarak hesaplanır.

Kirchhoff'un Akım Yasası ile İlişkisi
Kirchhoff'un Akım Yasası (KAY), bir düğüme giren ve çıkan akımların cebirsel toplamının sıfır olduğunu ifade eder:

Düğüm analizinde iki düğüm arasından geçen dal akımı, Ohm Yasası yardımıyla düğüm gerilimleri cinsinden ifade edilir. Örneğin V_i gerilimli düğüm ile V_j gerilimli düğüm arasında R değerinde bir direnç bulunuyorsa bu dirençten geçen akım:

şeklinde yazılır ve bu ifade KAY denklemine yerleştirilerek sistematik bir lineer denklem sistemi elde edilir.

Matris Formülasyonu
Yalnızca dirençler ve bağımsız akım kaynaklarından oluşan devreler için düğüm denklemleri matris biçiminde kompakt olarak yazılabilir:

Burada:
G: İletkenlik matrisi (admittans matrisi). Köşegen elemanları ilgili düğüme bağlı tüm iletkenlik değerlerinin toplamıdır; köşegen dışı elemanlar iki düğüm arasındaki iletkenliğin negatifidir.
V: Bilinmeyen düğüm gerilimlerinden oluşan sütun vektörü.
I: Her düğüme bağlı akım kaynaklarından oluşan sütun vektörü.

İletkenlik matrisi simetrik ve pozitif yarı-tanımlıdır; bu özellik bilgisayar destekli devre analizinde (SPICE vb.) verimli çözüm algoritmalarının kullanılmasına olanak tanır.

Süper Düğüm
İki bilinmeyen düğüm arasında bir gerilim kaynağı bulunduğunda, bu kaynaktan geçen akım doğrudan ifade edilemez. Bu durumda söz konusu iki düğüm süper düğüm adı verilen birleşik bir düğüm olarak ele alınır.

Süper düğüm için iki denklem yazılır:
İki düğümü birleştiren gerilim kaynağı kısa devre kabul edilerek oluşan büyük düğüme KAY uygulanır.
Gerilim kaynağının iki ucu arasındaki gerilim farkı, kaynak değerine eşitlenir.

Bu iki denklemin birlikte çözülmesiyle bilinmeyen düğüm gerilimleri elde edilir.

Değiştirilmiş Düğüm Analizi (MDA)
Temel düğüm analizi, tüm devre elemanlarının admittans (iletkenlik) gösterimiyle ifade edilebildiği durumlarda uygulanabilir. Gerilim kaynakları veya endüktanslar gibi admittans gösterimi doğrudan tanımlanamayan elemanlar içeren devrelerde değiştirilmiş düğüm analizi (İng. Modified Nodal Analysis, MNA) kullanılır. MNA, gerilim ve akım değişkenlerini tek bir matris çerçevesinde birleştirerek daha genel bir çözüm sistemi oluşturur. Modern devre simülatörlerinin büyük çoğunluğu MNA'yı temel almaktadır.

Düğüm Analizi ve Ağ Akımı Analizi Karşılaştırması
Ayrıca Bakınız
Kirchhoff yasaları
Ağ akımı analizi
Düğüm Gerilimleri Analizi
Ohm yasası
SPICE
Thevenin teoremi
Norton teoremi

Kaynakça