Bilineer form

Matematikte ve lineer cebirde bilineer form, bir vektör uzayından iki vektör alıp bir skaler veren bilineer fonksiyonlara denir. Başka bir değişle, bir cismi üzerinde tanımlı olan (mesela ) bir vektör uzayından iki eleman alıp 'dan bir eleman veren bir fonksiyonunun bilineer bir form olabilmesi için, iki elemanında da doğrusallık özelliklerini göstermesi gerekir:

Her vektörleri ve her skaleri için 'yı 'nin dışına çekebilmek gerekir, yani olması gerekir.
Her vektör üçlüsü için 'nin bir nevi dağılma özelliği göstermesi gerekir: ve

üzerinde tanımlı olan nokta çarpımı, bilineer formlara bir örnektir. Bunun dışında rölativitede kullanılan Minkowski çarpımı da bilineer formlara örnek verilebilir.

'nın karmaşık sayılar cismi olması hâlinde çoğu durumda bilineer formlardansa seskilineer formlar, yani argümanların birinde lineer, birinde yarı lineer (eşlenikli lineer) olan fonksiyonlar ilgimizi çekmektedir.

Tanımlar
bir vektör uzayı olsun. Bir fonksiyonuna, her için hem eşlemesi, hem de eşlemesi bir lineer fonksiyon teşkil ediyorsa, 'ye bir bilineer form denir.

eğer ayrıca başka birkaç özelliği de sağlıyorsa başına birtakım sıfatlar gelir:

Eğer her ikilisi için ilişkisi geçerli oluyorsa, 'ye simetrik bir bilineer form denir.
Eğer her vektörü için ise, 'ye alternatif bir bilineer form denir.
Eğer her ikilisi için ilişkisi geçerli oluyorsa, 'ye antisimetrik bir bilineer form denir. Eğer ise, yani cisminde denemiyorsa (mesela veya üzerinde), o zaman alternatif olmakla antisimetrik olmak eşdeğerdir.
Eğer sıfır hariç bir vektörü için her vektörüyle veya oluyorsa 'ye dejenere denir.
Ayrıca sözkonusu cismi veya gibi sıralı bir cisim ise,

Her vektörü için ise 'ye pozitif yarı belirli denir.
Eğer iken ise 'ye pozitif belirli denir.
Her vektörü için ise 'ye negatif yarı belirli denir.
Eğer iken ise 'ye negatif belirli denir.
Bazı vektörleri için oluyorken bazı vektörleri için de oluyorsa 'ye belirsiz denir.

Örnekler
üzerinde, şeklinde tanımlanan nokta çarpımı, bir bilineer form teşkil eder.
Özellikle kuantum fiziğinde çok kullanılan hilbert uzayında tanımlanan şeklinde tanımlanan çarpım da bir bilineer form örneğidir. Burada söz konusu vektör uzayı sonsuz boyutludur.

Kordinat temsili
Martis temsili
Sonlu boyutlu vektör uzaylarında nasıl bir taban seçimiyle her lineer dönüşümün bir matris gösterimini elde etmek mümkünse aynı şey bilineer formlar için de mümkündür. , 'nin bir tabanı olsun. O zaman her vektörünü şeklinde yazmak mümkündür. Yani 'u hesaplamak istiyorsak, bunu şeklinde hesaplamamız mümkündür. Eğer matrisini şeklinde tanımlarsak, bu ifadeyi formuna getirebiliriz. Sağda kalan ifade, matris çarpımı ile ifadesine eşit olduğundan, her bilineer formu bi taban seçimiyle birlikte şeklinde yazmak mümkündür.

Taban değişkliği
Lineer dönüşümlerde taban değişkliği formülü, formülüyle veriliyordu. Ancak bilineer formlarda taban değişikliği formülü biraz farklılık gösterir.

Taban değişikliği altında yeni gösterimler, şeklinde bulunduğundan, olmasını istiyorsak olmalıdır. Yani bilineer formlarda taban değişikliği için formülü kullanılmaktadır. Aynı lineer dönüşümü temsil eden matrislere benzer dendiği gibi aynı bilineer formu temsil eden matrislere de eş denir.

Özellikler
Refleksif (dönüşlü) bilineer formlar ve ortogonalite
Daha güçlü bir şart gözetmeden her ikilisi için eğer ilişkisi, ancak ve ancak olduğunda geçerli oluyorsa 'ye refleksif denir. olan cisimlerde her refleksif bilineer form, ya simetrik ya da antisimetrik olmak zorundadır.

Refleksif bilineer formlar için bir ortogonalite (diklik) kavramı tanımlamak mümkündür. Öyle ki, veren her çiftine ortogonal veya dik denir ve bu durum şeklinde gösterilir. Eğer nokta çarpımı ise bu kavram, öklid geometrisindeki diklik kavramıyla örtüşmektedir.

Benzer şekilde, herhangi bir altuzay ve hatta herhangi bir altküme için ortogonal tamlayanını olarak, 'daki tüm vektörlere dik olan vektörler kümesi şeklinde tanımlamak mümkündür. Herhangi bir altkümenin ortogonal tamlayanı bir altuzay teşkil eder. Vektör uzayındaki her vektöre dik olan vektörlerin uzayına da 'nin radikali denir ve bu altuzay da ile gösterilir. Eğer dejenere değilse de trivial uzayına eşit olur. bir altuzaysa ve dejenere değilse, için boyut formülü geçerli olur: Refleksif olmayan bilineer formlar için soldan ve sağdan diklik arasında ayrım yapılması gerekmektedir.

Simetrik ve antisimetrik bilineer formlar
özelliğini sağlayan bilineer formlara simetrik, özelliğini sağlayanlara da antisimetrik denir. Simetrik veya antisimetrik olmayan bilineer formlar için, eğer ise ve şeklinde bir simetrik ve bir de antisimetrik bilineer form tanımlamak mümkündür. Bu durumda olduğundan 'yi biri simetrik biri antisimetrik iki parçaya ayırmış oluruz.

Seçilen her taban için simetrik bilineer formları temsil eden matrisler simetrik ve antisimetrik bilineer formları temsil eden matrisler de antisimetrik olur.

Karesel form
Bir bilineer formu için şeklinde tanımlanabilen fonksiyonlara karesel form denir. ise ve simetrikse 'yi 'dan polarizasyon özelliği ile çıkarabiliriz: Simetrik olmayan bilineer formlar için bu formül, sadece simetrik kısmı verir. Antisimetrik bilineer formlar için olur. Bu formülün başka bir sonucu ise, simetrik bir bilineer formu tanımlamak için sadece altında yatan karesel formu tanımlamanın yetmesidir.

Ayrıca bakınız
Bilineer fonksiyon
İç çarpım uzayı
Seskilineer form
Nokta çarpımı
Karesel form