Doğuran çekirdekli Hilbert uzayı

Matematiğin bir alt dalı olan fonksiyonel analizde, doğuran çekirdekli Hilbert uzayı noktasal değerlemenin bir sürekli doğrusal fonksiyonel olduğu bir fonksiyonlar Hilbert uzayıdır. Burada, fonksiyonlar Hilbert uzayından kasıt, bahsi geçen uzayın öğelerinin fonksiyonlar olduğudur. Yani söz konusu uzay bir fonksiyon uzayıdır; bununla birlikte aynı zamanda Hilbert uzayı özelliği de taşımaktadır. Benzer bir şekilde, bu tür uzaylar doğuran çekirdekler tarafından da tanımlanabilirler. Bu terimi ilk defa ve aynı zamanda Nachman Aronszajn (1907–1980) ve Stefan Bergman (1895–1977) adlı matematikçiler 1950'de ortaya atıp geliştirmişlerdir.

Her ne kadar bazı gerçel Hilbert uzaylarının doğuran çekirdekli olma özelliği olsa da, bu tür uzaylara verilebilecek örneklerin birçoğu analitik fonksiyon uzaylarından gelmektedir. Bu sebeple, analitik fonksiyonların karmaşık değerli fonksiyonlar olduğunu da göz önüne alarak, Hilbert uzaylarının değişkenlerinin karmaşık sayı olduğunu kabul edelim.

Doğuran çekirdekli Hilbert uzaylarının önemli bir altkümesi yine bu tür uzayların sürekli bir çekirdekle ilintili olanlarıdır. Bu uzayların karmaşık analiz, kuantum mekaniği ve harmonik analizi de içerecek şekilde geniş bir uygulaması mevcuttur.

Tanım
X herhangi bir küme, H de X üzerinde tanımlı ve karmaşık değerleri olan fonksiyonların bir Hilbert uzayı olsun. X 'teki herhangi bir x için bir

fonksiyonunu olacak şekilde tanımlayalım. Her x için bu fonksiyon doğrusal ve sürekli ise o zaman Hye doğuran çekirdekli Hilbert uzayı denilir.

Verilen bu özellikler Riesz temsil teoremi'nin önkoşullarına uymaktadır. Bu yüzden, X 'teki her x için H 'de biricik Kx fonksiyonu vardır ve Kx

özelliğini sağlamaktadır. Kx fonksiyonuna x noktasındaki nokta-değerleme fonksiyoneli adı verilmektedir.

H öğeleri fonksiyon olan bir Hilbert uzayı ve Kx de H 'nin bir öğesi olduğu için, Kx fonksiyonu X 'in her noktasında tanımlıdır. Bu yüzden yeni bir fonksiyonunu

olacak şekilde tanımlayabiliriz. Bu K fonksiyonuna Hilbert uzayı olan H 'nin doğuran çekirdeği adı verilir. Riesz temsil teoremi'nin, X 'teki her x için yukarıda (*) ile gösterilen eşitliği sağlayan bir Kx öğesinin biricik olduğunu göstermesi, bize K fonksiyonunun tamamen H tarafından belirlendiğini vermektedir.

Örnekler
X sonlu bir küme ise ve H de bu küme üzerinde tanımlı ve karmaşık-değerli tüm fonksiyonların uzayı ise, o zaman H 'nin herhangi bir elemanı karmaşık sayıların sonlu bir dizisi şeklinde temsil edilebilir. Eğer karmaşık sayılar üzerindeki iç çarpım kullanılırsa, o zaman Kx fonksiyonu x noktasındaki değeri 1 ve X 'in geri kalan noktalarındaki 0 olan bir fonksiyondur. Bu sebeple, K(x,y) fonksiyonu birim matris olarak düşünülebilir. Çünkü, x=y olduğunda K(x,y)=1, diğer durumda, yani x 'in y 'ye eşit olmadığı durumda ise K(x,y)=0 olacaktır. Eğer X 'in eleman sayısı n ise, bu durumda H ve eşyapılıdır (izomorftur).

Daha karışık bir örnek olarak ise birim daire D üzerinde tanımlı, karesi toplanabilir holomorf fonksiyonların uzayı olan Hardy uzayı verilebilir. (Hardy uzayı H2(D) ile gösterilir.) Yani bu örnekte, X=D olmaktadır.
H2(D) 'nin doğuran çekirdeğinin tanımlardan yola çıkılarak

olduğu gösterilebilir. Bu çekirdek, Stefan Bergman'ın adıyla anılan Bergman çekirdeği'nin de bir örneğidir.

Özellikler
Doğurma özelliği
Yukarıda özelliklerden yola çıkılarak

eşitliği gösterilebilir. Eğer bulunan bu eşitlikte x ve y eşit alınırsa, iç çarpımın tanımından dolayı

elde edilir. Buradan ivedilikle çıkarılacak bir diğer sonuç ise şudur:

Birimdik diziler
gerdiği kümenin kapanışı H 'ye eşit olan birimdik bir dizi ise, o zaman

eşitliği elde edilir.

Moore-Aronszajn teoremi
Daha önce doğuran çekirdekli bir Hilbert uzayı vasıtasıyla bir çekirdek fonksiyonunu tanımlamıştık. Bu vesileyle, iç çarpımın özelliğinden yola çıkılarak tanımlanan bu çekirdeğin simetrik ve pozitif tanımlı çekirdek olduğu da elde edilebilir. Bunun tersini ise Moore Aronszajn teoremi vermektedir. Yani, her simetrik, pozitif tanımlı çekirdek doğuran çekirdekli tek bir (biricik) Hilbert uzayını tanımlamaktadır.

Bu teorem, Aronszajn her ne kadar E. H. Moore'a atfetse de ilk defa kendisinin Theory of Reproducing Kernels(Doğuran Çekirdekler Kuramı) adlı eserinde belirtilmiştir.

Teorem
K, bir E kümesi üzerinde tanımlı, simetrik ve aynı zamanda da pozitif tanımlı bir çekirdek olsun. O zaman, E üzerinde bir fonksiyon uzayı olan ve K 'nin doğuran çekirdek olduğu tek bir Hilbert uzayı vardır.

Kanıt.
E 'deki her x için bir tanımlayalım. kümesinin doğrusal geren kümesini ise H0 ile gösterelim. H0 üzerinde bir iç çarpımı ise şu şekilde tanımlayalım:
K 'nin simetrik olmasından, bu iç çarpımın da simetrik olduğunu gösterebiliriz. K 'nin pozitif tanımlı bir çekirdek olmasını ise iç çarpımın negatif olmadığını ve 0 değerini ancak "0" fonksiyonu için aldığını gösterebiliriz.

H0 'ın bu iç çarpım altındaki kapanışını ise H ile gösterelim. O zaman, H
şeklinde yazılabilen ve aynı zamanda koşulunu sağlayan fonksiyonlardan oluşur. Üstteki toplamın her x için yakınsadığı Cauchy-Schwarz eşitsizliğinden gelmektedir.

(*) eşitliğini gösterebilirsek H gerçekten doğuran çekirdekli bir Hilbert uzayı olacaktır. Yukarıdaki gibi bir alalım. O zaman,

olur ve ıstediğimizi elde ederiz. Geriye kalan ise bu uzayın teoremde verilen özellikte olan tek bir uzay olduğunu göstermek. Eğer G, K 'yi doğuran çekirdek olarak kabul eden ve fonksiyonlardan oluşan diğer bir Hilbert uzayı ise, E 'deki her x ve y için (*)'ı kullanarak

elde ederiz. Doğrusallıktan dolayı, kümesinin geren kümesinde eşitliği elde edilir. Kapanış tek olduğu içinse G = H olur.

Bergman çekirdeği
Bergman çekirdeği, Cn 'deki açık kümeler üzerinde tanımlanır. Mesela, D üzerinde holomorf olan ve aynı zamanda Lebesgue ölçüsüne göre karesi toplanabilir fonksiyonların uzayını H ile gösterelim. Her yerde 0 'a özdeş olmayan birçok fonksiyon bulunacağı için, aslında bu örnekteki uzayın kuramı bayağı değildir. Bu yüzden, bu H uzayı bir doğuran çekirdekli Hilber uzayıdır ve bu uzayın üzerindeki tanımlı doğuran çekirdeğe de Bergman çekirdeği adı verilir. n = 1 alındığında elde edilen örnek Stefan Bergman tarafından 1922'de verilmiştir.

Ayrıca bakınız
Pozitif tanımlı çekirdek
Mercer teoremi

Kaynakça
Alain Berlinet and Christine Thomas, Reproducing kernel Hilbert spaces in Probability and Statistics, Kluwer Academic Publishers, 2004.
Grace Wahba, Spline Models for Observational Data, SIAM , 1990.