Delta metodu

Delta metodu istatistikte, bir asimtotik normal istatistiki tahmin edicinin fonksiyonu için bu tahmin edicinin sınırlayıcı varyans bilgisi kullanılarak yaklaşık bir olasılık dağılımı türetme metodudur. Delta metodu merkezi limit teoreminin genelleştirilmiş hali olarak ele alınabilir.

Tek Değişkenli Delta metodu
Xn dağılımda

koşulunu sağlayan rassal değişkenler dizisi olsun. (Burada ve sonlu değere sahip sabitleri ve dağılımda yakınsamayı temsil etmektedir.)

Veri bir g fonksiyonu ve belli bir değeri için 'nın var olduğunu ve sıfıra eşit olmadığını varsayalım. O halde dağılımda,
olur.

Tek Değişkenli Durumda Kanıt
süreklidir varsayımı altında kanıtı gerçekleştirmek oldukça kolaydır. Öncelikle ortalama değer kuramı kullanılarak başlanır;
Burada , ve arasında bir değer almaktadır.
, 'yı ima ettiğinden ve sürekli olduğundan Slutsky Teoremi'nin uygulanması sonucunda
elde edilir ki burada olasılıkta yakınsamayı ifade etmektedir.

İfadeleri düzenler ve ile çarparsak
ifadesini elde ederiz.

Varsayım gereği,
olduğundan Slutsky Teoreminden
elde edilir ve kanıt tamamlanır.

Çok Değişkenli Delta metodu
Tanım gereği, istatistikte tutarlı tahmin edici gerçek değeri olan 'ya yakınsar ve genelde asimtotik normalite elde etmek için merkezi limit teoremi uygulanabilir.

burada n gözlem sayısını ve (simetrik pozitif yarı belirli) kovaryans matrisini ifade etmektedir. B tahmin edicisinin h fonksiyonuna ait varyansını tahmin etmek istediğimizi varsayalım. Taylor serisinin ilk iki terimini ele alır ve gradyan için vektör notasyonu kullanırsak, h(B)yi

olarak tahmin edebiliriz ki bu h(B)nin varyansının yaklaşık olarak,

olduğunu ima eder.

(Çok değişkenli reel değerli fonksiyonlar için) Ortalama limit teoremi kullanılarak bunun birinci derece yakınlaştırmaya dayanmadığı görülebilir.

Dolayısıyla Delta metodu,

veya tek değişken ifadesiyle,

olduğunu ima eder.

Örnek
'in ve parametreleri ile binom dağılıma sahip olduğunu varsayalım.
olduğundan, ile delta metodunu uygulayabilir ve
olduğunu görebiliriz.
Dolayısıyla, 'in varyansı yaklaşık olarak

şeklindedir. Dahası, eğer ve sırasıyla ve büyüklüklerinde bağımsız örneklemlerden elde edilen farklı grup oranı tahminleriyse, tahmini göreli risk 'nın logaritması yaklaşık olarak ile tahmin edilebilecek varyansa sahip normal dağılıma sahiptir. Bu göreli risk için hipotez testi kurmak veya güven aralığı oluşturmak için faydalıdır.

Not
Delta metodu genellikle Xn veya Bnin asimtotik olarak normal olarak dağıldığı varsayımı hariç yukarıdaki ile benzer biçimde kullanılmaktadır. Genelde tek şart varyansın küçük olduğudur. Bu durumda sonuçlar sadece dönüştürülmüş büyüklükler için ortalama ve kovaryanslar için yaklaştırımlar verir. Örneğin, Klein (1953, p. 258)'da sunulan formüller şu şekildedir;

burada hr, h(B)'nin rinci elemanı ve Bi, 'nin iinci elemanıdır. Tek fark Klein'ın bunları aslında yaklaştırımlar olmasına rağmen özdeşlikler olarak ifade etmesidir.

Ayrıca bakınız
Taylor açılımı
Slutsky teoremi

Kaynakça
Casella, G. and Berger, R. L. (2002), Statistical Inference, 2nd ed.
Davison, A. C. (2003), Statistical Models, pp. 33–35.
Greene, W. H. (2003), Econometric Analysis, 5th ed., pp. 913f.
Klein, L. R. (1953), A Textbook of Econometrics, p. 258.
Oehlert, G. W. (1992), A Note on the Delta Metot, The American Statistician, Vol. 46, No. 1, p. 27-29.
Ders Notları (İngilizce)
Ders Notları (İngilizce)
Stata Programı Websitesinden Tanım (İngilizce)