1 − 2 + 3 − 4 + · · ·

Matematikte 1 - 2 + 3 - 4 + ..., terimlerinin işaretleri sırasıyla değişen ardışık pozitif tam sayıların oluşturduğu sonsuz bir seridir. Serinin ilk m teriminin toplamı, sigma toplama gösterimi kullanılarak şöyle ifade edilebilir:

Bu sonsuz seri ıraksaktır çünkü kısmi toplamlarının dizisi (1, -1, 2, -2, ...) herhangi bir limit değere yakınsamaz. Ancak, 18. yüzyılın ortalarında Leonhard Euler, bir paradoks olduğunu kabul ettiği şu eşitliği yazmıştır:

Buna yönelik titiz bir açıklama çok sonraları yapılabilmiştir. 1890'dan itibaren Ernesto Cesàro, Émile Borel ve diğerleri, Euler'in girişimlerine yeni yorumlar da getirecek şekilde, ıraksak serilere genellenmiş toplamlar atamak için iyi tanımlanmış yöntemler araştırdılar. Bu toplanabilirlik yöntemlerinin birçoğu, 1 - 2 + 3 - 4 + ... serisinin 'e eşit olduğunu kolayca göstermektedir. Cesàro toplaması ise bu seriye bir değer atamayan az sayıdaki yöntemden biridir. Dolayısıyla bu seri, Abel toplaması gibi daha kuvvetli bir yöntemin kullanılması gereken serilere örnektir.

1 - 2 + 3 - 4 + ... serisi ile Grandi serisi (1 - 1 + 1 - 1 + ...) yakından ilintilidir ve Euler tarafından, herhangi bir n için 1 - 2n + 3n - 4n + ... serisinin özel durumları olarak değerlendirilmişlerdir. Bu yaklaşım, Euler'in Basel problemi üzerindeki çalışmasını genişleten ve oradan da bugün Dirichlet eta fonksiyonu ile Riemann zeta fonksiyonu olarak bilinen fonksiyonel eşitliklere yönlendiren bir araştırma alanıdır.

Iraksaklık
Serinin terimleri (1, −2, 3, −4, ...) hem + hem de − yönde 0'dan uzaklaştığı için, 1 − 2 + 3 − 4 + ... serisi terim testi bağlamında ıraksaktır. İleriki bahisler açısından, ıraksamayı temel bir yaklaşımla değerlendirmek de faydalı olur.
Tanım olarak, sonsuz bir serinin yakınsama veya ıraksama niteliğini, o serinin kısmi toplamlar dizisinin yakınsaması veya ıraksaması belirler.
'in kısmi toplamları ise şöyledir:
1 = 1,
1 − 2 = −1,
1 − 2 + 3 = 2,
1 − 2 + 3 − 4 = −2,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 = 3,
1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = −3,
...

Bu kısmi toplam dizisi serinin herhangi bir sayıya yakınsamadığını açıkça göstermektedir çünkü önerilecek herhangi bir x limiti için, belli bir noktadan sonra kısmi toplamların hepsinin [x-1, x+1] aralığının dışında olduğunu bulabiliriz.
Dolayısıyla, ıraksaktır.

Bu kısmi toplam dizisinin her bir tam sayıyı bir kez içermesi de dikkate değerdir çünkü tam sayılar kümesinin sayılabilirliğini gösterir.

Toplama için buluşsal yöntemler
Kararlılık ve doğrusallık
1, −2, 3, −4, 5, −6, ... terimleri basit bir düzen izlediği için, kaydırma ve terim terim toplama yöntemini kullanarak, serisi sayısal bir değer verecek şekilde düzenlenebilir. Herhangi bir s sayısı için eşitliği yazılabiliyorsa, aşağıdaki düzenlemeler eşitliğini göstermektedir:

4s = (1-2+3-4+5-6+...)+(1-2+3-4+5-6+...)+(1-2+3-4+5-6+...)+(1-2+3-4+5-6+...)

= (1-2+3-4+5-6+...)+1+(-2+3-4+5-6+...)+1+(-2+3-4+5-6+...)+1-2+(3-4+5-6+...)

= (1-2+3-4+5-6+...)+1+(-2+3-4+5-6+...)+1+(-2+3-4+5-6+...)-1+(3-4+5-6+...)

= (1+1-1)+(1-2-2+3)+(-2+3+3-4)+(3-4-4+5)+(-4+5+5-6)+...

= (1)+(0)+(0)+(0)+(0)+...

= 1

ve

s =



Bu çıkarım, sağdaki şekilde grafik olarak anlatılmaktadır.

'in alışılmış anlamda bir toplamı olmasa da eğer bir toplam tanımlanacaksa, eşitliği bunun en doğal yanıtı olarak desteklenebilir. Iraksak bir serinin "toplamı"nı gösteren genellenmiş bir tanım, toplama yöntemi ya da toplanabilirlik yöntemi olarak adlandırılır. Bu yöntem, tüm olası ıraksak serilerin bazı alt kümelerini toplar. Kimileri aşağıda anlatılmış olmak üzere, sıradan toplama ile paylaştıkları özelliklerine göre betimlenen pek çok değişik yöntem vardır. Yukarıda gösterilmiş düzenlemelerin bilfiil kanıtladığı ise şudur: doğrusal ve kararlı olan herhangi bir toplama yöntemi ile serisi toplandığında, elde ettiği sonuç olur.

Ayrıca bu yöntem, Grandi serisi toplamını da olarak hesaplamalıdır:

2s = (1-2+3-4+5-6+...)+(1-2+3-4+5-6+...)

= 1+(-2+3-4+5-6+...)+1-2+(3-4+5-6+...)

= (1+1-2)+(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+(5-6)+...

= (0)+(1)+(-1)+(1)+(-1)+...

= 1-1+1-1+...

ve

2s = 2 x = 'den

1-1+1-1+... =

Cauchy çarpımı
1891'de Ernesto Cesàro, ıraksak serilerin titiz yöntemlerle kalkülüs bünyesine alınabileceklerine ilişkin görüşünü dile getirmiş ve bunu, " eşitliğinin sağlandığı ve eşitliğin her iki tarafının 'e eşit olduğu zaten biliniyor" diye ifade etmiştir.
Cesàro'ya göre bu eşitlik, bir önceki yıl yayınladığı ve muhtemelen de toplanabilir ıraksak seriler tarihinin ilk teoremi olarak tanımlanabilecek bir teoremin uygulamasıydı.
Onun toplama yönteminin ayrıntıları aşağıda sunulmuştur; ana fikir ise serisinin, ile 'in Cauchy çarpımına eşit olduğudur.

İki sonsuz serinin Cauchy çarpımı, iki seri de ıraksak olsa bile tanımlıdır.
Σan = Σbn = Σ(−1)n koşulu sağlandığında, Cauchy çarpımının terimleri sonlu çapraz toplamlar ile ifade edilir.

Böylece, çarpım serisi
olarak yazılabilir.

Dolayısıyla, iki serinin Cauchy çarpımını temel alan ve toplamını hesaplayabilen toplama yöntemi, 'ü de bulacaktır. Önceki bölümün sonuçlarıyla birlikte bu, ve 'in doğrusal, kararlı ve Cauchy çarpımını temel alan yöntemlerle toplanabilirlikleri arasında bir eşdeğerlik olduğunu gösterir.

serisi, Cesàro yönteminin en temel haliyle toplanabilirdir ve olarak adlandırılır. içinse bu teoremin daha güçlü bir biçiminin uygulanması gerektiğinden, olarak tanımlanır. Cesàro teoreminin tüm biçimleri doğrusal ve kararlı olduğundan, elde edilen toplamlar yukarıda hesaplandığı gibidir.

Özel yöntemler
Cesàro ve Hölder
Eğer varsa, 1 − 2 + 3 − 4 + ... ifadesinin (C, 1) Cesàro toplamını bulmak için dizinin kısmi toplamlarının aritmetik ortalamalarını hesaplanmak gerekir. Kısmi toplamlar

1, −1, 2, −2, 3, −3, …

iken, bu kısmi toplamların aritmetik ortalamaları da şöyledir:

1, 0, , 0, , 0, , …

Bu dizi yakınsak olmadığı için, 1 − 2 + 3 − 4 + ... Cesàro yöntemiyle toplanamaz.

Cesàro toplamasının iyi bilinen iki genellemesi vardır.
Bunların kavramsal bakımdan daha basit olanı, n doğal sayıları için kullanılan (H, n) yöntemler dizisidir. (H, 1), Cesàro toplamasını ifade etmektedir; daha üst düzey yöntemlerde de ortalama hesapları yinelenir. Yukarıda elde edilen ortalamalar dizisinde çift sıra numaralı olanlar 'ye yakınsarken, tek sıra numaralı olanların tümü sıfırdır.
Böylece, ortalamaların ortalaması, 0 ve 'nin ortalaması olan 'e yakınsar.
Sonuç olarak , (H, 2) yöntemiyle olarak toplanabilir.

"H", Otto Hölder'e karşılık gelmektedir.
Hölder, matematikçilerin bugün Abel toplamı ve (H, n) toplamı arasındaki bağlantı olarak düşündükleri ilişkiyi 1882'de ilk kez kanıtlayan kişidir ve 'yi de ilk örnek olarak sunmuştur.
'in (H, 2) toplamının 'e eşit oluşu, bunun bir Abel toplamı olduğunu da garantilemektedir; bu ilişki aşağıda ıspatlanacaktır.

Cesàro toplamasının diğer genellemesi ise (C, n) yöntemler dizisidir.
(C, n) ve (H, n) toplamalarının aynı sonucu verdiği kanıtlanmıştır ancak bu iki yöntem farklı tarihi köklere sahiptir.
Cesàro, 1887'de (C, n) toplamasını tanımlamaya çok yaklaşmış ama sınırlı sayıda örnekler vermiştir.
Yaptığı şey, bugün (C, n) olarak adlandırılabilecek ancak zamanında o şekilde doğrulanmamış bi yöntemle toplamını olarak hesaplamak olmuştur.
(C, n) yöntemlerini 1890'da usule uygun şekilde tanımlayan Cesàro, (C, n)-toplanabilir bir seri ile (C, m)-toplanabilir bir serinin Cauchy çarpımının (C, m + n + 1)-toplanabilir olduğunu ortaya koyan teoremini bu tanıma dayandırmıştır.

Abel toplamı
Leonhard Euler, 1749 tarihli bir yazısında serinin ıraksadığını kabul etmekte ancak yine de toplamını hesaplamayı amaçlamaktadır:



Euler, "toplam" sözcüğünün bir genellenmesini birçok kez önermiştir. Onun serisine ilişkin görüşleri, bugün Abel toplaması olarak bilinen kavrama çok benzerdir:



En azından |x|