Bağlantılılık (matematik)

Matematikte, bağlantılılık ( ) "tek bir parça" anlamına gelen çeşitli özellikleri ifade etmek için kullanılır.

Matematiksel bir nesne böyle bir özelliğe sahip olduğunda, ona bağlantılı deriz; aksi takdirde bağlantısızdır.

Bağlantısız bir nesne doğal olarak bağlantılı parçalara bölünebildiğinde, her bir parça genellikle bir bileşen (veya bağlantılı bileşen) olarak adlandırılır.

Topolojide bağlantılılık
Bir topolojik uzay, iki ayrık boş olmayan açık kümenin birleşimi değilse, bağlantılı olarak adlandırılır. Bir küme, sınırında yatan hiçbir noktayı içermiyorsa açıktır; bu nedenle, gayriresmî ve sezgisel bir anlamda, bir uzayın ayrık açık kümelere bölünebilmesi gerçeği, iki küme arasındaki sınırın uzayın bir parçası olmadığını ve dolayısıyla uzayı iki ayrı parçaya böldüğünü gösterir.

Diğer bağlantılılık kavramları
Matematik alanları genellikle özel nesne türleri ile ilgilenir. Çoğunlukla böyle bir nesne, bir topolojik uzay olarak ele alındığında bağlantılı bir uzay ise bağlantılı olarak adlandırılır. Bu nedenle, manifoldlar, Lie grupları ve grafların hepsi, topolojik uzaylar olarak bağlantılılarsa bağlantılı olarak adlandırılır ve bileşenleri topolojik bileşenlerdir.

Bazen bu alanlarda bağlantılılık tanımını yeniden ifade etmek uygundur. Örneğin, bir grafta her düğüm çifti bir yol ile birleştirilmişse, o grafa bağlantılı denir. Bu tanım, graflara uygulandığı şekliyle topolojik tanıma denktir, ancak graf teorisi bağlamında ele alınması daha kolaydır. Graf teorisi ayrıca kümelenme katsayısı adı verilen ve bağlamdan bağımsız bir bağlantılılık ölçüsü sunar.

Matematiğin diğer alanları, nadiren topolojik uzaylar olarak kabul edilen nesnelerle ilgilenir. Bununla birlikte, bağlantılılık tanımları genellikle topolojik anlamı bir şekilde yansıtır. Örneğin, kategori teorisinde, bir kategori içindeki her nesne çifti bir morfizma dizisi ile birleştirilmişse, o kategoriye bağlantılı denir. Böylece, bir kategori sezgisel olarak tek bir parça ise bağlantılıdır.

Sezgisel olarak benzer olan ancak resmî olarak tanımlanmış kavramlar bakımından farklılık gösteren değişik bağlantılılık kavramları olabilir. Bir topolojik uzayı, içindeki her nokta çifti bir yol ile birleştirilmişse bağlantılı olarak adlandırmak isteyebiliriz. Ancak bu koşulun, standart topolojik bağlantılılıktan daha güçlü olduğu ortaya çıkmıştır; özellikle, bu özelliğin geçerli olmadığı bağlantılı topolojik uzaylar vardır. Bu nedenle farklı terminoloji kullanılır; bu özelliğe sahip uzaylara yol bağlantılı denir. Tüm bağlantılı uzaylar yol bağlantılı olmasa da, tüm yol bağlantılı uzaylar bağlantılıdır.

Bağlantılı içeren terimler, bağlantılılıkla ilişkili ancak ondan açıkça farklı olan özellikler için de kullanılır. Örneğin, bir yol bağlantılı topolojik uzay, içindeki her döngü (bir noktadan kendisine giden yol) büzülebilir ise basit bağlantılıdır; yani sezgisel olarak, herhangi bir noktadan diğerine gitmenin esasen tek bir yolu varsa. Böylece, bir küre ve bir disk her biri basit bağlantılıyken, bir torus değildir.

Başka bir örnek olarak, bir yönlü çizge, her sıralı ikili köşe bir yönlü yol (yani "okları takip eden" bir yol) ile birleştirilmişse güçlü bağlantılıdır.

Diğer kavramlar, bir nesnenin nasıl bağlantılı olmadığını ifade eder. Örneğin, bir topolojik uzayın bileşenlerinin her biri tek bir nokta ise, o uzay tamamen bağlantısızdır.

Bağlanırlık
Bağlantılılık fikrine dayanan özellikler ve parametreler genellikle bağlanırlık ( ) kelimesini içerir. Örneğin, graf teorisinde, bağlantısız bir graf oluşturmak için en az bir köşeyi kaldırmamız gereken graf bağlantılı graftır. Bunun tanınmasıyla, bu tür graflara 1-bağlantılı da denir. Benzer şekilde, bağlantısız bir graf oluşturmak için en az iki köşe kaldırmamız gerekiyorsa, o graf 2-bağlantılıdır. 3-bağlantılı bir graf, en az üç köşenin kaldırılmasını gerektirir ve bu böyle devam eder.

Bir grafın bağlanırlığı, onu bağlantısız hale getirmek için kaldırılması gereken minimum köşe sayısıdır. Eşdeğer olarak, bir grafın bağlanırlığı, grafın k-bağlantılı olduğu en büyük k tam sayısıdır.

Terminoloji değişmekle birlikte, bağlantılılık ile ilgili özelliklerin ad formları genellikle bağlanırlık terimini içerir. Bu nedenle, basit bağlantılı topolojik uzayları tartışırken, basit bağlantılılıktan ziyade basit bağlanırlıktan (simple connectivity) bahsetmek çok daha yaygındır.

Öte yandan, resmî olarak tanımlanmış bir bağlanırlık kavramı olmayan alanlarda, bu kelime bağlantılılık için bir eş anlamlı olarak kullanılabilir.

Bağlanırlığın bir başka örneği düzgün döşemelerde bulunabilir. Burada bağlanırlık, tek bir karodan erişilebilen komşu sayısını tanımlar:



Ayrıca bakınız
Çapraz bağ
Basit bağlantılı

Kaynakça