Fourier optiği

Fourier optiği dalgaların yayılma ortamını kendisinin doğal modu olduğunu kabul etmek yerine, belirli bir kaynağa sahip olmayan düzlemsel dalgaların üstdüşümlerin olarak addeden Fourier dönüşümlerini kullanan klasik optiğin bir çalışma alanıdır. Fourier optiği, dalgayı patlayan bir küresel ve fiziksel olarak Green's fonksiyon denklemleriyle tanımlanabilen (bkz: Çift yarık Deneyi) tanımlanabilen ve bu kaynağından dışarıya ışıma yapan dalganın üstdüşümü olarak adddeden Huygens-Fresnel prensibinin ikizi olarak da görülebilir.

Eğimli fazcephesi, sonsuz sayıdaki doğal modlardan da elde edilebilme olasılığı vardır. Örneğin; Farklı yönlerde konumlandırılmış düzlemsel dalgaların fazcephelerinden. Dalganın kaynağından uzaklarda, patlayan bir küresel dalga bölgesel olarak radyal yayılma yönünün enine olan düzlemsel faz cephesine (sonsuz spektrum dışında bir tek düzlemsel dalga) teğettir. Bu durumda, tek bir küresel dalga faz merkezinden kaynaklanan Fraunhofer kırınım bezemesi ortaya çıkmıştır. Yakın bir diğer alana ise, tam anlamıyla tanımlanmış yalnız küresel dalgalar bulunamamış, bu yüzden dalga cepheleri küresel toplara teğet olacak şekilde konumlandırılamamıştır. Bunun üzerine, uzayda küresel dalga kaynaklarının dağılımını da(fiziksel olarak tanımlanabilen) içeren büyütülmüş bir kaynağı baz alan Fresnel kırınım bezemesi ortaya çıkarılmıştır. Bir başka bakış açısı ise, Fresnel'in zaten konumlandırılmış olan yakın alan dalgalarını gösterebilmek için düzlemsel bir dalganın komple bir spektrumu gerekliydi. İleri yönde hareket eden (kıyıya doğru yaklaşan patlamış bir okyanus dalgası gibi) 'geniş' bir dalga sonsuz sayıdaki, her biri (yolda herhangi bir şey ile çarpıştıklarında) birbirinden bağımsız olarak sapmalar gösteren düzlemsel dalga modu olarak düşünülebilir. Bu bahsedilen matematiksel tanım ve hesaplamalar Fourier analizi ve sentezinin bir çalışma alanıdır. Bununla birlikte, ışığın çeşitli yarıklardan geçtiğinde, lenslerin ve aynaların tümseklikleri ve çukurlarının yönleri değiştiğinde veya kısmi veya tamamen yansıma olduğunda neler olduğunu açıklayabilirler. Fourier optiği ve formları, kuantum optiği gibi optiksel bir kaynaktan çıkarılmak istenen, ihtiyaç duyulan bilgiyi çıkarmak için bir uygulama bulmak gibi görüntü oluşum süreç tekniğinin arkasındaki teorilerdir. Daha karmaşık bir şekilde söylemek gerekirse, gelenek haline gelmiş Fourier dönüşümleri teorisinde kullanılan frekans ve zaman konseptine benzer olarak Fourier optiği de (x, y) kümesinin eşleniği olarak, uzaysal frekans kümesi (kx, ky) kullanır. Dönüşüm teorisi, spektrum, band genişliği, pencere fonksiyonlar ve bir boyutta sinyal analizi gibi terimler ve konseptler yaygın olarak kullanılır.

Işığın homojen, kaynaksız bir medyada yayılması
Işık, uzay boşluğunda (vakum) veya bir materyalde (hava veya cam gibi) yayılabilen bir dalga formu olarak tanımlanabilir. Matematiksel olarak, bir dalga bileşeninin büyüklüğü (gerçek değeri), zamana ve uzaya bağlı olan sayısal dalga fonksiyonu 'u' olarak tanımlanabilir.

burada r dediğimiz

üçboyutu uzayı tanımlar ve t ile ifade edilen zamandır.

Dalga Denklemi
Fourier optiği homojen ve sayısal bir denklem (kaynaksız alanlar içinde geçerli olan) ile başlar

Burada u(r, t) uzay boşluğunda yayılan bir elektromanyetik dalganın karteyzen bileşeninin gerçek değeridir.

Sinüzodial kararlı durumu
.

Eğer ışığın frekans/dalgaboyu/renk (lazer formunda) sabit kabul edilirse, optiksel alanın zaman-harmonik formu şu şekilde ifade edilir

Burada j hayali birim w da ışık dalgasının açısal frekansını (birim zamandaki radyan cinsinden) belirtir. Ve

Bu da a ve Q büyüklükleriyle ayrılmış karmaşık bir birim.

Helmholtz denklemi
Zamandan bağımsız dalga denkleminin içerisinde bu ifadenin dahil edilmesiyle elde edilen denklem Helmholtz denklemi olarak bilinir.
burada,

k dalga sayısıdır. ψ(r) ise yayılan dalganın zamandan bağımsız ve karmaşık bileşenidir. Not edilmelidir ki, yayılma sabiti k ve frekans w lineer olarak birbirlerine ithaf edilirler. Bu durumda elektromanyetik dalgaların homojen bir medyadaki karakteristik bir özelliğidir.
Helmholtz denkleminin çözümü
Helmholtz denkleminin çözümü parçalı türev denklemlerinin değişken ayırma prensibi yoluyla dikdörtgensel koordinatında bulunabilir. Bu ilke ayrılabilir dik koordinatlarda, aşağıdaki biçimde bir temel çözüm yapılabileceğini söylüyor:

örneğin x in bir fonksiyonu ile y nin bir fonksiyonun ve z nin bir fonksiyonun çarpımı. Eğer bu çarpım fonksiyonu skalar laplacian dikdörtgensel koordinat sistemi yoluyla yukarıda dalga fonksiyonuna dahil edilirse;

Bir sonraki elde edilecek fonksiyon 3 adet kendine özgü fonksiyon olacaktır.

Aynı zamanda bu formda da kolayca yazılabilir;

Şimdi, yukarıdaki denklemde her bir oranın sabit olması zorunluluğu iddia edilebilir. Bunun için ilk olarak, ilk oran sabit değil ve x e bağlı bir fonksiyon olarak düşünülür. Görüldüğü gibi diğer hiçbir terimin x e herhangi bir bağlılığı yoktur. İlk terimde x'e bağlı olmayabilir ve sabit olabilir. Sabit terim -kx² olarak gösterilir. Benzer bir yol ile y ve z denklemleri için de değişken ayırma yöntemi ile fx, fy, fz olmak üzere 3 differansiyel denklem elde edilir.

Bu üç diferansiyel denklem de sinüs kosinüs veya karmaşık üstel olmak üzere üç tane aynı çözümü vardır. Biz karmaşık üste basitlik kesine dayanarak, yaygın kullanım olan FT gösterimi ile uyumlu olarak ve sinüs ve kosinüs fonksiyonları için ayrılmaz çift katlı integral üstel karmalıkarı ile yolumuza devam edeceğiz. Sonuç olarak, Eu için temel çarpım sonucu için:

üstel olarak bozunan veya yayılan düzgün düzlemsel dalga sonucunu homojen dalga denklemi için elde etmiş oluruz. - işareti +z yönünde yayılan veya bozunan dalga için kullanılır ve + işareti ise -z yönünde yayılan veya bozunan dalga için kullanılır. (bu durum ejωt zaman bağımlılığına dayalı mühendislik süresi kuralına dayalıdır.) Bu durum gösterir ki, düzlemsel dalga yayılımı radikal değerin altında kaldığı zaman pozitiftir ve üstel azalma söz konusu olduğunda ise negatiftir (pasif medyada, düzgün yayılmaz ve bozunmayı göstermek için bir kök ile sıfır olmayan bir sanal kısım mutlaka seçilmelidir ancak büyüklük için söz konusu değildir.)
Helmholtz denklemi için çarpım sonucu aynı zamanda silindirik ve küresel koordinatlar ile ve verimli silindirik ve küresel harmonikler (bu tür koordinat sistemleri günümüzde çok nadir kullanılmaktadır) ile de elde edilebilir.

Eksiksiz bir çözüm: Süperpozisyonların integrali
Kartezyen koordinatlarda homojen elektromanyetik dalga denkleminin genel çözümü olarak mümkün olan tüm temel düzlem dalga çözümleri ağırlıklı süperpozisyonlar oluşturularak elde edilebilir

Daha sonra

.

sonra

bu düzgün dalga spektrumu, Fourier optiğinin temeli olan elektromanyetik alanın gösterimidir. (Bu değinilen nokta ile yeterince güçlü vurgulanmış olmaz), çünkü, z=0 olduğu zaman denklem basit bir şekilde alan ve onun düzlem dalga içeriği arasındaki Fourier dönüşümü haline gelmektedir. (İsmi bu yüzden 'Fourier Optiği'dir.)
Bundan ötürü

ve

Bireysel düzlem dalga bileşenlerinin tüm uzaysal bağımlılığı üstel fonksiyonlar yoluyla açıkça tarif edilmiştir. Üstellerin katsayıları Fourier analizi ve Fourier dönüşümlerinde, sadece parçalı dalga sayıları olan kx ve ky birer fonksiyonudur.

Kırınım sınırı
düzlemsel dalgalar bozulmaya başladığından dolayı, daha küçük bir dalgaboyuna sahip nesnesel bir düzlem şeffaflığı içinde herhangi bir parçalı frekans görüntü düzlemine taşınamayacaktır. Çünkü bu konsepte tekabül eden düzlem dalgaları yayılamayacaktır. Litografinin elektriksel dalıyla bağlantı kurulduğunda, bu fenomen kırınım sınırı olarak bilinmekte ve tedricen entegre devrelerde neden ışığın giderek artan dalga boylarında daha ince gravür özellikleri içermesi gerektiğinin sonucudur.

Paraxial yaklaşım
Paraxial düzlem dalga ( optik eksen z yönünde kabul edilir.)
Aşağıda gösterildiği gibi Helmholtz denklemini temel çarpım sonucu için bu form kullanılır.

burada

k dalga vektörü ve

k dalga sayısıdır. Daha sonra, paraxial yaklaşım kullanılarak, şu şekilde kabul edilir

veya yaklaşık olarak

Burada görülen açı dalga vektörü ve z ekseni arasındaki açıdır.
Sonuç olarak,

ve

Paraxial dalga denklemleri
Helmholtz denklemi içerisine bu ifade eklendiğinde paraxial dalga denklemi elde edilir.

burada,

kartezyen koorinatlarda gösterilen, laplace operatörüdür.

Uzak alan yaklaşımı
ana makale: Fraunhofer kırınımı

Yukarıdaki denklem, uzak bir alandaki noktada (x, y, z) doğrusunu söylemek gerekirse sadece vektör (x, y, z) ye paralel yayılan ve düzlemi faz cephesine teğet olan düzlemsel dalga bileşenini (kx, ky, kz) göstermek için, asimptotik olarak değerlendirilebilir. Bu işlemin matematiksel detayları Scoot [1998] veya Scoot [1990] kaynaklarında bulunabilir. Yukarıdaki denklem üzerinde sabit bir faz entegrasyonu gerçekleştirmek suretiyle

açık bir şekilde bu saha (x, y, z)bileşenlerinin, (x, y, z)nin spektral bileşenleri ile doğrudan orantılı olduğunu gösterir. Burada

ve

Başka bir şekilde ifade etmek gerekirse,, herhangi bir düzlemsel alan dağılımının radyasyon paterni olan FT kaynak dağılımının (burada aynı denklem Green fonksiyonu yaklaşımı kullanılarak geliştirilmiştir, Huygens-Fresnel prensibi bakınız). Unutulmamalıdır ki bu bir düzlem dalga DEĞİLDİR, birçok farklı şekilde düşünülebilir. Radyal bağımlığı (hem büyüklük hem faz açısından) ve yerel büyüklüğü FT olan küresel dalgası düzlemsel dağılımlı bir açıyla konumlanır. Düzlemsel dalga spektrumu hakkında uzak mesafelerde bir dalga gibi davrandığını söylemek yersizdir.

Uzaysala karşı açısal bant genişliği
Uzak mesafeler için, uzaysal ve açısal bant genişliği arasında bir bağlantı kurmak için yukarıdaki denklem çok kritiktir. Unutulmamalıdır ki, uzak mesafelerden kasıt, ıraksak veya yakınsak ve faz merkezi güzel tanımlanmış bir küresel dalgadır. Uzaysal ve açısal bant genişliği arasındaki ilişkiyi bilmek ince lenslerin alçak geçirgen filtrelerini anlamak açısından oldukça gereklidir. Ayrıca bölüm 5,1,3 e uzak alan tanımları için bakmak faydalı olacaktır.

Açısal bant genişliğinin anlaşıldığını kabul edersek, bir optik bilim adamı parçalı alanların ve ışık optiğinin tek başına anlaşılamayacağı konusundan bir anlayışa sahip olmak için hızlıca mekânsal ve spektral aralıklarında ileri geri zıplamalar yapabilir. Örneğin, ilk lensin kenar açısını (bu açı sistemin bant genişliğinin temelini oluşturmaktadır.) geçmiş bir kaynak işlenmek üzere bir sistem tarafından algılanamayacak.

Bir kenar notu olarak, elektromanyetizma ile ilgilenen bilim adamları sabit faz integrasyonunu içermeyen uzak alanlardaki elektrik alanı hesaplamak için alternatif yeni yollar geliştirmişlerdir. Geliştirdikleri konsept 'hayali manyetik akımlar' bilinmekte ve genellikle M sembolü ile temsil edilmekte ve aynı zamanda;

.

olarak tanımlanmaktadırlar.

Bu denklemde, birim vektör z yönünde ve hesaplamanın yapıldığı alandan uzaklık yarım birim kabul edilmiştir. Hayali manyetik akımlar elektrik alanlardan iki kat daha uzakta elde edilirken, uzak görüntülü olmak için herhangi bir bir elektrik akıma izin verilen sonsuz düzlemsel arayüzleri kabul eden eşdeğerlik prensibi ile de manyetik akımlar elde edilir. Daha sonra ise yayılan elektrik alan, elektrik akımı tarafından yayılan manyetik alan hesabına benzer bir şekilde manyetik akım üzerinden hesaplanır. Bu yol ile, durağan faz fikirlerini düşünmeksizin, parçalı elektrik alanlar için bir vektör denklemi elde edilir.

Düzlem dalga spektrumu: Fourier optik temelleri
Fourier optiği, görüntü sistemleri dizaynı ve analizi için kullanılan kamera, teleskoplar ve mikroskoplarda kullanılan temel ışık optiğinden farklıdır. Ray optiği günlük hayatta sürekli karşılaştığımız optiğin ilk türlerinden biridir; kavramsallaştırmak ve anlamak için gayet basit ve optiksel cihazların çalışma prensibi hakkında bir anlayış kazandırma amaçlıdır. Ne yazık ki, ışın optiği genel sistemler üzerinde odaklanmamış Fourier optik sistemleri üzerindeki operasyonları açıklamaz. Işın optiği dalga optiğinin bir alt çalışma alanı olduğundan dolayı sınırlı uygulanabilirliğe sahiptir. Işın optiğinin ne zamanlarda geçerli ve ne zamanlarda geçerli olmadığını bilmeliyiz ve burası geçerli olmadığı zamanlardan bir tanesi. Mevcut görevimiz için, Maxwell denklem çözümlerini kapsayan optiksel sistemleri anlayabileceğimiz bir şekilde, optiksel fenomen anlayışımızı genişletmemiz gerekir. Bu daha genel olan dalga optiği Fourier optik araçlarının çalışmasını açıklar.
Bu bölümde, Maxwell denklemlerine tamamen bir geri dönüş yapmayacağız, ancak homojen Maxwell denklemlerinin entegrasyonu ile geliştirilmiş Halmhotz denklemleri çalışacağız. Bu denklem ile, Uzay boşluğunda sonsuz düzgün düzlemsel dalgaların nasıl bir alan sonucunu içerdiğini göstereceğiz. Bu düzgün düzlemsel dalga formları Fourier optiğini anlamanın temelini oluşturmaktadır.
Düzlemsel dalga spektrumu konsepti Fourier optiğinin temel buluşudur. Düzgün düzlemsel dalganın ve bulunan bir dalga bileşenin spektrumdaki faz yüzündeki her bir teğeti düzlemsel dalga spektrumudur. Teğet noktasındaki optiksel alanın büyüklüğü, düzlemsel dalga bileşeninin büyüklüğüdür. Tekrar, bu durum sadece uzaklığın = 2 D2 / λ şeklinde tanımlandığı ve D nin maksimum lineer değişken optik kaynağı değişkeni olduğu ve λ nın dalgaboyunu temsil ettiğinde geçerlidir. (Scoot 1989). Düzlemsel dalga spektrumu periyodik ızgaraların ayrışmaları olarak addedilir, ancak gerçekte durum şudur ki, hiçbir fiziksel alet yoktur ki sonsuz doğru çizgi spektrumları üretebilsin çünkü spektrumlarlar süreklidir.
Elektrik sinyalleri konusunda olduğu gibi, bant genişliği de bir görüntünün ne kadar ince ayrıntılı olduğunun ölçüsüdür; daha fazla, daha ince detay geniş bir bant genişliğini temsil eder. Dc elektrik sinyalleri sabittir ve titreşim hareketi yapmazlar; bir düzlemsel dalga x-y düzleminde sabit değere sahip optiksel eksene paralel şekilde yayılım gösteri ve bu yüzden elektrik sinyalinin DC bileşenine benzerlik gösterir. Elektrik sinyallerindeki bant genişliği sinyalin spektrumundaki en yüksek ve en düşük frekansı farkına tekabül eder. Optiksel sistemler söz konusu olduğunda ise bant genişliği aynı zamanda uzaysal frekans içeriği anlamına gelmektedir (uzaysal bant genişliği), ancak ikinci bir anlamı daha vardır. Aynı zamanda düzlemsel dalgadan ne kadar uzakta eğildiğini de belirtir ve böylece bu tür bant genişlikleri genellikle açısal bant genişliği olarak da tanımlanır. Açısal bant genişliği daha kısa atım sayıları üretmek için daha fazla frekans bant genişliği kullanır ve optiksel bir sistemde daha keskin noktalar için de daha fazla açısal bant genişliği kullanır. (bkz: noktasal yayılma fonksiyonu).
Düzlemsel dalga spektrumu, dikdörtgen koordinatlarda, homojen elektromanyetik dalga fonksiyonlarının özfonksiyon veya ' doğal mod' çözümü olarak doğar. (bkz: Elektromanyetik radyasyon, dalga fonksiyonlarını Maxwell'in denklemlerinden elde edilişi veya bkz: Scoott [1988]). Frekans etki alanında, mühendisliğin kabul ettiği zaman bağlılığı, elektromanyetik dalga denklemi, Helmholtz denklemi olarak bilinir ve aşağıdaki şekle bürünür:

Burada,u = x, y, z ve k = 2π/λ dalga sayısıdır.

Özfonksiyon (doğal mod) çözümleri
Arka plan ve genel bakış
Diferansiyel denklemlerde, matris denklemlerinde olduğu gibi, denklemin sağ tarafı sıfır olduğunda, denklem uygulamalı matematikte özfonksiyon çözümü olarak bilinen apaçık olmayan bir çözümü var kabul edilir, Fizikte ise 'doğal mod' çözümü şeklindedir ve elektrik devrelerinde ise 'sıfır-giriş çözümü' şeklini alır. Bu fiziksel disiplinler geniş bir yelpazeyi kapsayan bir kavramdır. Doğal modu içeren rezonansın en yaygın fiziksel örnekleri, yaylı çalgılar rezonans titreşim modları (1D), vurmalı çalgılar (2D) ya da eski Tacoma Narrows Bridge (3D) yı içerir. Yayılma doğal modları ise, fiber optik modları, solitons and Bloch dalgalarıdır. Sonsuz homojen medyalar koordinat sistemine bağlı olarak, Helmholtz denklemine dikdörtgen, yuvarlak ve küresel harmonik çözümleri kabul eder. Bu yazıda çalışılacak olan yayılma gösterecek düzlemsel dalgalar, herhangi bir medyada bulunan yayılma gösteren basit bir dalga türü olacaktır.
Bu durum ile, Helmholtz denklemi arasında çarpıcı bir benzerlik vardır ve şu şekilde ifade edilebilir
Bir kare matris A'nın özdeğeri/özvektörü için genel denklem

,

özellikle skalar laplace operatörü ve matris A, şahsi fonksiyon/vektörlerinin lineer operatörleridir. (İkinci denklemdeki eksi işareti, tüm amaçlar için önemsizdir, ancak birinci denklemdeki artı işareti önemlidir.) Sırasıyla bu iki denklem için özfonksiyon ve özvektör çözümleri, fonksiyon vektörü içeren bir dikey set oluşturmak göz önünde bulundurulduğunda verimli olabilir. İlgilenen okuyucular diğer farklı türdeki dikey özfonksiyonları içeren Legendre polinomları, Chebyshev polinomları ve Hermite polinomları gibi başlıkları araştırabilirler.
Matris konusunda, özdeğer lambda, matrisin determinantı sıfıra eşitlenerek bulunabilir. Örneğin, matrisin tersinin olmadığı yeri bulma gibi. Sınırlı matrisler sınırlı sayıda özdeğere/ özvektöre (sınırlı bölgelerde) sahiptirler, ancak lineer operatörler, sayılabilir sayıda sınırsız özdeğere/özvektöre veya bağımsız bölgelerde sayılamayacak sayıda sınırsız (sürekli) çözüm spektrumuna sahip olabilirler.
Periyodik hacim bantlarındaki sayım gibi bazı fizik uygulamalarında, frekans ve dalga sayısı fonksiyonları gibi matris elemanlarının çok karmaşık olduğu ve matris çoğu frekans ve dalga sayısı kombinasyonu için tekil değil ancak belirli özel kombinasyonlarda tekil olduğu gibi durumlarla karşılaşılır. Matrisin determinantının hangi kombinasyonda sıfır olduğu tespit edilerek, ortamın yayılma özellikleri belirlenebilir.frekans ve dalga sayısı arasındaki bu tip ilişkiler, dağılım ilişkileri olarak bilinir ve bazı fiziksel sistemlerin dağılım ilişkileri birçok farklı türde kabul edebilir. Elektromanyetizmadan bir örnek vermek gerekirse, sıradan çok sayıda dağılım ilişkilerini kabul eden bir dalga kılavuzu, her biri, dalga kılavuzunun özel bir moduyla ilişkilendirilir. Her bir dalga kılavuzunun yayılım modu Maxwell denklemlerinden özfonksiyon çözümü olarak bilinir (veya özmod çözümü). Uzay boşluğu da bu özmod çözümlerini kabul eder (daha yaygın olarak düzlem dalgalar diye bilinir), ancak verilen bir frekanstaki ayrım için, uzay boşluğu sürekli bir, dalga kılavuzu ayrı bir mod spektrumu olan modal spektrumu kabul eder. Bu durumda, dağılma denklemi ünite 1.2'deki gibi lineer hale gelir.

K-boşluğu
Üç boyutlu konfigürasyon uzayında öklid metrik denklemi ile benzerlik gösteren ayırma durumu, (yayılan düzlemsel dalgalar için) dikdörtgensel koordinatlarda k uzayında üç boyutlu k vektör kavramını önerir:

küresel koordinat sistemi için

Bu küresel koordinat sistem ilişkileri bir sonraki bölümde kullanılacaktır.
k-uzay kavramı özellikle kristalografisi ve yarı iletken malzemelerin band teorisi gibi periyodik hacimleriyle çalışmada, mühendislik ve fizik gibi birçok disiplinlerin merkezidir.

İki boyutlu Fourier dönüşümü
Denklemin analizi (fonksiyonun spektrumunu hesaplamak)

denklemin sentezi (fonksiyonun kendi spektrumunu yeniden oluşturmak)

not: normalize faktörü açısal frekans ne olursa olsun (radyan cinsinde): olarak ifade edilir. Fakat basit frekans kullanıldığında (döngü) bu ifadeye eşit değildir.

Optiksel sistemler: Genel bakış ve elektrik sinyali işleme sistemleri ile benzerlik
Bir optik sistemi, bir giriş düzlemi, bir çıkış düzlemi ve bu ikisi arasında f olarak giriş düzleminden alınan görüntüyü çıkış düzleminde g görüntüsüne çeviren bir bileşenden oluşur. Çıkış görüntüsü giriş görüntüsünün optiksel müdahale ile evrimleştirilme sonucu oluşan hali h (odaklı optik sistemlerinde nokta-yayılma fonksiyonu olarak bilinir) dır. Dürtü yanıtı benzersiz optik sistemin giriş-çıkış davranışı tanımlar. Geleneksel olarak, sistemin optik ekseni Z-ekseni olarak alınır. Bunun bir sonucu olarak, iki görüntü ve dürtü yanıtı enine koordinatlar x ve y'nin bileşenleridir.

Bir optik görüntüleme sisteminde dürtü yanıtı, giriş düzlemine yerleştirilen ideal bir matematiksel nokta ışık kaynağı tarafından oluşturulan çıkış düzlemidir (genellikle eksen üzerinde). Uygulamada, tam bir dürtü yanıtı belirlemek için bir doğru nokta kaynağı için gerekli değildir. Bu nedenledir ki, sistemin bant genişliği dışında kalan herhangi bir kaynağın bant genişliği önemli değildir. (hatta optik sistem tarafından yakalanmayanların bile), bu nedenle dürtü yanıtı belirlemek için gerekli değildir. Kaynağın sadece optiksel sistemin bant genişliği (açısal) kadar bant genişliğine sahip olması yeterlidir.
Optik sistemler genellikle iki farklı kategoriden birine girer. Birincisi olağan odaklı giriş düzlemi nesne düzlemi olarak adlandırılan ve çıkış düzlemi görüntü düzlemi olarak adlandırılan optik görüntüleme sistemidir. Görüntü düzlemindeki alanın yüksek kalitede bir üretim yapan bir alan olması arzu edilir. Bu durumda, optik sisteminin dürtü yanıtı 2B delta fonksiyonu tahmin etmek istenirse, aynı lokasyonda(lineer olarak ölçeklendirilmiş lokasyonda) çıkış düzleminde, giriş düzlemindeki dürtünün lokasyonuna tekabül edecektir. Havadar bir fonksiyona benzeyen gerçek itki, yarıçapı kullanılan ışığın dalga boyunun mertebesinde olan fonksiyona benzer. Bu durumda, dürtü yanıtı tipik olarak bir nokta dağılım fonksiyonu olarak adlandırılır, bu yüzden nesne düzlemde ışığın matematiksel noktası görüntü düzleminde bir Airy fonksiyonu içine yayılır.
İkinci tip, önemli bir özelliği giriş yüzey alanı ve merkezi izole edilmiş optik görüntü işleme sistemidir. Bu sistemde, sistemin dürtü yanıtı bu özelliği yakın bir kopyası (resim) olarak istenen ve giriş yüzey düzleminde aranan ve bundan dolayı giriş düzlem alanına karşı darbe cevabının konvolüsyon çıkışı düzleminde parlak bir nokta üretecek şekilde konumlandırılmış sistemlerdir. Bu bölümün konusu optik görüntü işleme sisteminin bu ikinci türüdür. Bölüm 5.2 de, bu bölümde tarif edilen optik görüntü işleme operasyonlarının bir donanım uygulaması sunulur.

Girdi düzlemi
girdi düzlemi bütün noktalarının geometrik yeri z=0 olarak tanımlanan düzlemdir. Böylece giriş görüntüsü f için

Çıktı Düzlemi
çıktı düzlemi bütün noktalarının geometrik yerinin z=d olarak tanımlanan düzlemdir. Böylece çıktı görüntüsü g;

2D Girdi fonksiyonunun sarımına karşı itki yanıt işlevi
örneğin:

dikkatli bir okuyucu şunu not edecektir ki; yukarıdaki integral zımnen kabul eder ki itki yanıtı giriş düzlemindeki ışığın impuls (x',y') pozisyonunun bir fonksiyonu değildir. (bu durum olmasaydı, bu tür bir konvolüsyon mümkün olmazdı.) Bu özellik vardiya değişmezliği olarak bilinir (Scott [1998]). Hiçbir optik sistemi ideal olarak, ışığın matematiksel nokta optik ekseninden uzağa taranan ve sapmaları sonunda itki yanıtı düşen (odaklanmış görüntüleme sistemlerinde koma olarak bilinen) mükemmel değişmeyen vardiyaya sahip değildir. Yüksek kaliteli optik sistemlerinde, çoğu zaman giriş ve çıkış düzlem koordinatları arasındaki tek farkın fonksiyonu olarak dürtü yanıtı kabul edilir böylece bir mahsuru olmadan yukarıdaki denklem kullanılabilir.

Ayrıca, bu denklem ünite büyütmesini de varsayar. Büyütme mevcut olduğunda, denklem (4.1) ;

temelde dürtü yanıt işlevi fonksiyonu x' dan x=Mx' formundan hm() büyütülmüş formuna çevirir.

Evrişim denkleminin türetilmesi
iki boyutta uzantı, nedensellik zaman alanında bulunması farkı dışında önemsizdir, ancak uzaysal alanda böyle değildir. Nedensellik şu anlama gelir ki, bir elektrik sisteminin t' anında uygulanan impulsundan dolayı oluşan h(t-t')etkisi, t-t'