Abel teoremi

Matematiğin bir ana dalı olan analizde, özellikle gerçel ve karmaşık analizde, Abel teoremi, Abel limit teoremi ya da Abel yakınsaklık teoremi, bir kuvvet serisinin limitini katsayılarının toplamıyla ilişkilendiren önemli bir sonuçtur. Teorem, bu sonucu 1826'da kanıtlayan Norveçli matematikçi Niels Henrik Abel'in adını taşımaktadır.

Teoremin ifadesi
Gerçel değişkenli kuvvet serileri için ifâdesi
Yakınsaklık yarıçapı olan ve katsayıları gerçel sayı olan bir Taylor serisini ele alalım:

Eğer serisi yakınsaksa, o zaman, fonksiyonu noktasında soldan süreklidir. Diğer deyişle,

olur.

Karmaşık değişkenli kuvvet serileri için ifâdesi
Gerçel değişkenli kuvvet serileri için verilen sonucun karmaşık değişkenli kuvvet serileri için geliştirilmiş hâli de vardır:
Yakınsaklık bölgesi birim disk olan ve katsayıları karmaşık sayı olan bir Taylor serisini ele alalım:

Eğer serisi yakınsaksa, o zaman fonksiyonunun sabit bir tarafından

biçiminde tanımlı bir Stolz dilimi içinden noktasında limiti vardır.

Geometrik bir bakış açısıyla, limitin noktasına çembere teğet olmadan yaklaşması lazımdır. Birim disk içinde yer alan bu biçimdeki yaklaşma bölgesinde tepe noktası dir, bölge eksenini ortalar ve elbette tepe açısı den azdır. Çember üzerindeki bir noktaya bu tür bölgelerden yaklaşılan limitlere teğet olmayan limit denir. Teoremin varsayımındaki teğet olmayan limit bahsi teorem için gereklidir. Gerçekten de bu bölge dışından yaklaşıldığında teoremde bahsedilen sonuca karşıt örnekler bulunabilir. Örneğin,

serisini

olacak şekilde tanımlayalım. serisi sıfıra yakınsaktır; çünkü, serinin kısmî toplamları için

olduğu görülebilir. dizisinin limiti elbette sıfırdır. Diğer taraftan, , birim disk 'nin tıkız altkümeleri üzerinde mutlak ve düzgün yakınsaktır; bu yüzden, açık disk üzerinde holomorftur. Gerçekten, iken

Diğer taraftan, benzer sebeplerle, fonksiyonunu
olarak yazmanın sakıncası yoktur; çünkü, seri, iki yakınsak serinin farkı olarak yazılmıştır Ancak, teğet olmayan limit alınmadığında, meselâ, birim çember üzerinde noktaları üzerinden limit alındığında seri harmonik serinin bir katı olarak ıraksak olacaktır. Bu yüzden, limitin teğet olmayan limit olması lazımdır.

Kanıt taslağı
Serideki ilk terimden gerekirse serinin değerini çıkararak varsayabiliriz. Kısmi toplamlar ile gösterilsin. ifâdesini kullanarak ve seride birkaç basit işlemden sonra

elde ederiz.
Herhangi bir değeri içi sayısını yeteri kadar büyük seçelim öyle ki bütün için olsun. O zaman, Stolz diliminin içindeyken

olur. Bu nedenle, , 'e yeteri kadar yakın olduğunda

olacaktır. Böylece, , 'e yeteri kadar yakın olduğunda ve Stolz diliminin içindeyken olur.
Sonuçlar
Bu teoremin doğrudan bir sonucu olarak, eğer sıfırdan farklı bir karmaşık sayıysa ve bu için serisi yakınsaksa, o zaman
olur.

Stolz dilimi
şeklinde tanımlanan Stolz diliminin sınırları için

şeklinde açık bir denklem vardır. noktası bu dilimin en soldaki noktası olurken,
en sağdaki nokta da olmaktadır. noktasındaki tepe açısı olmaktadır ki bu açı ile arasında ilişkisi vardır.

Örnekler
Abel teoreminin uygulaması olarak ele alalım.
Geometrik serinin, iken yakınsak olduğu ve biliniyor. Diyelim ki, olsun. O zaman,

olurken diğer taraftan düzgün yakınsaklıktan

olur. Böylece, için bir taraftan varken, aynı zamanda

olmaktadır. O zaman, Abel teoremi sayesinde, serisi değerine yakınsar.

Başka bir benzer örnek serisi için verilebilir. Ters tanjant fonksiyonu için
bilindiği için,

serisi
değerine yakınsar.

Notlar

Kaynakça
Dış bağlantılar
(İngilizce) --(Bu tipteki Abel teoremlerine daha genel bir bakış veriliyor)
(İngilizce)
(İngilizce)

Ayrıca bakınız
Abel testi