Ceva teoremi

Ceva Teoremi, herhangi bir ABC üçgeni verildiğinde, A, B ve C'den üçgenin zıt kenarlarına doğru olan doğru parçalarının üçgenin her iki kenarında oluşan doğru parçası çiftlerinin oranlarının çarpımı 1'e eşit olduğunda tek noktada kesiştiğini belirtir. Teorem adını İtalyan matematikçi Giovanni Ceva'dan alır.

Teoremin açıklaması
Ceva teoremi, düzlem geometrisindeki üçgenlerle ilgili bir teoremdir. Bir ABC üçgeni verildiğinde, köşelerden (ABC üçgeninin herhangi bir kenarı üzerinde olmayan) ortak bir O noktasına AO, BO ve CO doğrularının çizilmesine ve sırasıyla D, E ve F'de karşı kenarları kesmesine izin verin. (AD, BE ve CF doğru parçaları cevians olarak bilinir.). Daha sonra işaretli doğru parçalarının uzunluklarını kullanarak,

Başka bir deyişle, XY uzunluğu, X'in Y'nin sağında veya solunda olmasına göre doğrunun bazı sabit yönlerinde pozitif veya negatif olarak alınır. Örneğin, AF/FB, F A ve B arasında olduğunda pozitif değerde, aksi takdirde ise negatif olarak tanımlanır.

Ceva teoremi, açılar, alanlar ve uzunluklar kavramları kullanılmadan ifade edilebilmesi ve kanıtlanabilmesi anlamında afin geometri'nin bir teoremidir (eşdoğrusal olan iki doğru parçasının uzunluklarının oranı hariç). Bu nedenle, herhangi bir cisim üzerinde herhangi bir afin düzlemdeki üçgenler için doğrudur.

Teoremin biraz uyarlanmış bir tersi de doğrudur: D, E ve F noktaları sırasıyla BC, AC ve AB üzerinde seçilirse,

AD, BE ve CF kesişen veya üçü de paralel doğrulardır. Tersi genellikle teoremin bir parçası olarak dahil edilir.

Teorem genellikle onu 1678 tarihli De lineis rectis adlı eserinde yayınlayan Giovanni Ceva'ya atfedilir. Ancak, on birinci yüzyılda Zaragoza kralı Yusuf Al-Mu'taman ibn Hűd tarafından çok daha önce kanıtlanmıştı.

Şekillerle ilişkili olarak Ceva'nın isminden türetilen birkaç terim vardır: cevian (AD, BE, CF doğruları O'nun cevianlarıdır), cevian üçgeni (DEF üçgeni O'nun cevian üçgenidir); cevian yuvası, anti-cevian üçgen, Ceva eşleniği. (Ceva, Chay'va olarak telaffuz edilir; cevian, chev'ian olarak telaffuz edilir.)

Teorem, Menelaus teoremine çok benzer, çünkü denklemleri sadece işaret bakımından farklılık gösterir.

İspatlar
Teoremin birkaç kanıtı verilmiştir. Aşağıda iki kanıt verilmiştir.

İlki, üçgen alanların yalnızca temel özelliklerini kullanan çok temel bir ispattır. ACF üçgeninin BOE transversalinden,

ve BCF üçgeninin AOD transversalinden,

Teoremi elde etmek için bu iki denklem birbirine bölünür.

Teoremin tersi, bir sonuç olarak ortaya çıkar.

Routh'un teoremi, tek noktada kesişmedikleri takdirde üç cevianın oluşturduğu üçgenin alanını verir. Ceva teoremi, alanı sıfıra eşitleyip çözerek de buradan elde edilebilir.

Düzlemdeki genel çokgenler için teoremin analojisi, on dokuzuncu yüzyılın başlarından beri bilinmektedir. Teorem ayrıca sabit eğriliğin diğer yüzeylerindeki üçgenlere de genelleştirilmiştir.

Teorem ayrıca küresel ve hiperbolik geometri için iyi bilinen bir genellemeye sahiptir, oranlardaki uzunlukları sırasıyla sinüsleri ve hiperbolik sinüsleri ile değiştirir.

Ayrıca bakınız
İzdüşümsel geometri
Medyan (geometri) - bir uygulama

Konuyla ilgili yayınlar
Dış bağlantılar
Menelaus and Ceva at MathPages
Derivations and applications of Ceva's Theorem at Cut-the-Knot
Trigonometric Form of Ceva's Theorem at Cut-the-Knot
Glossary of Encyclopedia of Triangle Centers includes definitions of cevian triangle, cevian nest, anticevian triangle, Ceva conjugate, and cevapoint
Conics Associated with a Cevian Nest, by Clark Kimberling
Ceva's Theorem by Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.
Experimentally finding the centroid of a triangle with different weights at the vertices: a practical application of Ceva's theorem at Dynamic Geometry Sketches , an interactive dynamic geometry sketch using the gravity simulator of Cinderella.
Ceva's theorem @geogebra
Ceva's theorem @polymath
Proof of Ceva's Theorem (Video, 3:38 dk)

Kaynaklar