Cousin problemleri

Matematiğin bir alt dalı olan çok değişkenli karmaşık analizde Cousin problemleri (Tr. okunuşu Kuzen problemleri), meromorf fonksiyonların yerel bilgilerinden (yani sıfırlarından ve kutuplarından) faydalanarak bu kutuplardan oluşan kümeler hariç her yerde meromorf olan fonksiyon oluşturma problemlerine verilen addır. Problemin toplamsal ve çarpımsal olarak iki türü mevcuttur. Bu problemler, Birinci Cousin Problemi ya da Cousin I problemi ve İkinci Cousin Problemi ya da Cousin II problemi olarak adlandırılırlar. Bu adlarla ilk defa Henri Cartan'ın 1934'teki makalesinde anılmışlardır ve problemleri özel hâllerde 1895 yılında tanımlayan Fransız matematikçi Pierre Cousin'in adını taşımaktadırlar.

Çok değişkenli karmaşık analizdeki bu problemler karmaşık analizdeki Weierstrass çarpım teoremi ve Mittag-Leffler teoreminin çözdüğü problemlerin yüksek boyutlara uyarlaması olarak görülebilirler. Her iki problemde bir karmaşık manifold , bu manifoldun açık örtüsü ve ler üzerinde meromorf olan fonksiyonları verilir.

Birinci Cousin Problemi
Birinci problemde, fonksiyonlarının tanımlı oldukları bölgelerde, yâni kümesinde, holomorf olduğu bilgisi verilir. Problem, o zaman, üzerinde meromorf olan ve fonksiyonlarının holomorf olduğu bir fonksiyonunun var olup olmadığını sorar.
Problemde üzerinde şartlar aslında gereklidir ve problem bu tür bir şartın yeterli olup olmadığını sormaktadır.

Çözümü üzerine
Probleme tek boyut özelinde bakıldığında, yani, karmaşık düzlemde açık bir küme olduğunda, problemin çözümü Mittag-Leffler teoremi tarafından verilmektedir. Problemin ilk tam çözümü Kiyoshi Oka tarafından verilmiştir.

Riemann yüzeyi özelinde bakıldığında ise üzerinde ilâve varsayımlar getirmek gerekebilir. Problemin çözümü en genel haliyle Stein manifoldları için verilmiştir. Bu çözümü veren Cartan B teoremidir.

Düzgün fonksiyonlar için hâli
Problemin holomorf değil de düzgün fonksiyonlar için değiştirilmiş halinin her zaman çözülebilir olduğu kolaylıkla gösterilebilir. Gerçekten, üzerindeki örtüsüyle uyumlu birimin ayrışımı tarafından verilsin. Her için, üzerinde tanımlanırsa, o zaman kümesinde

olur.
Holomorfluk bölgelerinde çözüm
Holomorfluk bölgelerinin üzerinde birinci Cousin probleminin çözümü her zaman vardır.
Probleme logaritma alarak problemi toplamsal bir probleme dönüştürme yaklaşımında, birinci Chern sınıfı şekinde bir engelle karşılaşılır.

Demet kohomolojisi
Demet kuramı açısından yaklaşılacak olursa, hiçbir yerde sıfır değeri almayan holomomrf fonksiyonların demeti olsun. Benzer bir şekilde, sıfıra eşit olmayan meromorf fonksiyonlar demeti olsun. O zaman, bu her iki demet Abelyen grup olurlar ve böylece bölüm demeti iyi tanımlı olur. Eğer gönderimi örten ise, ikinci Cousin problemi çözülebilir:
Bu bölüme ilişkin uzun tam demet kohomolojisi ise şöyle olur:
O zaman, olduğu sürece, ikinci Cousin problemi çözülebilir. bölüm demeti üzerindeki Cartier bölenlerinin ruşeymlerinden oluşan demettir. Bu nedenle, her global kesitin bir meromorf fonksiyon tarafından üretilip üretilmediği problemi üzerindeki her doğru demetinin âşikar olup olmadığına karar vermeye eşdeğerdir.

üzerindeki çarpımsal yapı için kohomoloji grubu, üzerindeki toplamsal yapıyla logaritma alarak karşılaştırılabilinir. Yani,
en sol taraftaki demetin yerel olarak sabit olduğu ve lifinin olduğu ve aşağıdaki gibi gösterilen bir tam demet dizisi vardır.
H1 seviyesinde logaritmayı tanımlaya engel 'in içinde çıkar. Uzun tam demet kohomolojisinden
elde edilir. Stein manifoldu ise, ortadaki ok izomorfizma olur çünkü için vardır. Böylece, ikinci Cousin probleminin çözülebilir olması için olması gerekli ve yeterlidir.

Örnekler
Her iki problemin de çözülebilir olduğu bir duruma, her bir nin ( ) karmaşık düzlemde birer bölge olduğu ve bu bölgelerin en fazla bir tanesinin haricinde hepsinin basit bağlantılı olduğu kümesi örnek olarak verilebilir.
Birinci Cousin probleminin çözülemeyeceği duruma örnek olarak , ( ), ve verilebilir.
Birinci problemin çözülebilir olduğu ama ikinci problemin çözülemediği duruma örnek olarak, verilebililir. Tanımlanan karmaşık düzlemdeki kümelerin çarpımından oluştuğu için holomorfluk bölgesidir ve birinci problemin bu küme üzerinde çözümü vardır. Ancak, ikinci Cousin probleminin bu küme üzerinde çözümü yoktur.
Kaynakça
Ayrıca bakınız
Cartan A ve B teoremleri