Düzgün limit teoremi

Matematikte düzgün limit teoremi, sürekli fonksiyonlardan oluşan herhangi bir fonksiyon dizisinin düzgün limitinin yine sürekli fonksiyon olduğunu belirten önemli bir sonuçtur.

Teoremin ifadesi
topolojik uzay, metrik uzay ve ise fonksiyonuna düzgün yakınsayan bir fonksiyon dizisi olsun. Düzgün limit teoremine göre, eğer dizideki fonksiyonlarından her biri sürekli ise, o zaman, fonksiyonu da süreklidir.

Teoremde düzgün yakınsaklık koşulu noktasal yakınsaklık ile değiştirildiğinde sonuç artık geçerli olmayacaktır. Örneğin, , ve ise olarak verilsin. O zaman, her için fonksiyonu süreklidir. Ancak, aralığından olan değerleri için limit fonksiyonu değeri alırken, değeri için limit fonksiyonu değeri alacaktır. Bu yüzden, limit fonksiyonu noktasında sürekli değildir.


Bir başka örnek ise yandaki şekilde verilmiştir: , ve ise olarak verilsin. O zaman, her için olur. Ancak, diğer noktalar için (yâni, için), olacaktır. Böylece, için, değerleri 'a yakınsayacaktır. O zaman, limit fonksiyonu, noktaları için olan, noktasında ise değeri alan ve bu yüzden noktasında sürekli olmayan bir fonksiyon olur.

Fonksiyon uzayları açısından bakılacak olursa, düzgün limit teoremi, topolojik uzay ten metrik uzay ye tanımlanan tüm sürekli fonksiyonların uzayı olan 'nin düzgün metrik altında uzayının kapalı bir altkümesi olduğunu söyler. Eğer, tam bir metrik uzaysa, o zaman de tam bir metrik uzay olur. Dahası, Banach uzayı ise, o zaman, uzayı düzgün norm altında Banach uzayı olur.

Teoremde, süreklilik ifadesi düzgün süreklilik ile değiştirildiğinde, düzgün limit teoremi yine geçerlidir. Diğer deyişle, ve metrik uzaysa ve dizisi düzgün sürekli fonksiyonlardan oluşan ve bir fonksiyonuna düzgün yakınsayan bir fonksiyonlar dizisi ise, o zaman, de düzgün süreklidir.

Kanıt
nin sürekliliğini kanıtlamak için, her sayısı ve her için, 'in bir komşuluğunu bulmalıyız; öyle ki
olsun. o zaman, keyfi bir sayısı verilsin. Fonksiyon dizisinin düzgün yakınsak olduğu varsayıldığı için,
eşitsizliğini sağlayacak bir sayısı vardır. Ayrıca, fonksiyon dizisindeki fonksiyonların her biri sürekli olduğu için, her için
eşitsizliğinin sağlandığı bir komşuluğu vardır. Son adım olarak, üçgen eşitsizliği kullanılarak
elde edilir. Böylelikle, kanıtın en başında gösterilmek istenen eşitsizlik elde edilmiş olur. Bu yüzden, limit fonksiyonu süreklidir.

Karmaşık analizde düzgün limit teoremi
Karmaşık analizde, düzgün limit teoreminin varsayımlarının değiştirilmiş halleriyle görülen değişik çeşitlemeleri vardır.

Teorem. karmaşık düzlemde bir bölge (açık ve bağlantılı) olsun. fonksiyon dizisindeki her bir fonksiyon holomorf ise ve bu dizi nın her tıkız altkümesinde bir fonksiyonuna düzgün yakınsıyorsa, o zaman de üzerinde holomorf olur. Üstelik, bu fonksiyon dizisindeki fonksiyonların türevlerinden oluşan dizisi de nın her tıkız altkümesinde fonksiyonuna düzgün yakınsar.

Teorem. karmaşık düzlemde bir bölge (açık ve bağlantılı) olsun. fonksiyon dizisindeki her bir fonksiyon yalınkat ise ve bu dizi nın her tıkız altkümesinde bir fonksiyonuna düzgün yakınsıyorsa, o zaman de üzerinde holomorf olur. Üstelik, fonksiyonu ya yalınkattır ya da sabittir.

Notlar

Kaynakça
E. M. Stein, R. Shakarchi (2003). Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis, No. 2), Princeton University Press.
E. C. Titchmarsh (1939). The Theory of Functions, 2002 Reprint, Oxford Science Publications.