kaan39/turkish-wikipedia-dataset-clean huggingface dataset:
Euler formülü

Adını matematikçi Leonhard Euler'den alan Euler formülü, karmaşık analizde kullanılan bir matematik formülüdür ve trigonometrik fonksiyonlarla karmaşık üstel fonksiyon arasındaki bağlantıyı gösterir.

Herhangi bir gerçek sayısı için Euler formülü,



şeklindeki eşitliktir. Burada i karmaşık sayı olan dir, e Euler sayısıdır ve cos ile sin trigonometrik fonksiyonlar olan kosinüs ve sinüstür.

Bu formül matematik, fizik ve mühendislikte çok önemli bir yere sahiptir. Fizikçi Richard Feynman bu formül için "Matematikteki en dikkate değer formül" demiştir.

eşitliği sağlandığında Euler formülü: eiπ + 1 = 0 halini alır ve buna Euler özdeşliği denir.



Kullanım alanları
Formülün yorumlanması
Bu formül ei fonksiyonunun bir birim karmaşık sayı olarak düşünülmesiyle yorumlanabilir, yani bu fonksiyon farklı gerçek sayı değerleri aldıkça karmaşık sayılar düzleminde bir birim çember çizer. Burada orijin ile çember üzerindeki bir noktayı birleştiren bir çizginin yaptığı açıyı temsil eder ve birimi radyandır.

Orijinal kanıt üstel fonksiyonunun Taylor serisiyle yapılan açılımından ve ile fonksiyonlarından gelir, burada bir karmaşık sayı ve bir gerçek sayıdır. Aslında bu kanıt aynı zamanda Euler formülünün 'in alabileceği bütün karmaşık sayı değerleri için de geçerli olduğunu gösterir.

Karmaşık sayılar düzlemindeki bir nokta kartezyen koordinatlarda yazılmış bir karmaşık sayı ile gösterilebilir. Euler formülü kartezyen koordinatlarla kutupsal koordinatlar arasında geçiş yapılmasını sağlar.

Bir örnekle ispatı
Bu basit türev denklemlerini kullanarak,

Euler formülünün iki tarafının türevini alalım:

Görüyoruz ki denklemin iki tarafının da türevini aldığımızda aynı sonucu bulduk ki bu bizim teoremimizi ispatlar.

Formülün varyantları
Euler formülü'nde
x yerine
,
,
,
gibi değişkenler konularak yeni bağıntılar türetilebilir.
Bu bağıntılardan yaralanılarak yeni trigonometrik bağıntılara varılabilir ve yine bir kümenin alt küme sayılarını veren Bell sayıları'nı veren üreteç fonksiyonu'nde kompleks değişken verilerek trigonometrik analog'u bulunabilir.
Aşağıda belirtilen gösterim şekilleri benzeştiği temel fonksiyon'a göredir:

Cebirsel gösterim
ifadesinde x yerine konursa
ve bu bu ifade yukardakinin daha genel şeklidir.
,
elde edilir
(n sabit bir sayı veya herhangi bir fonksiyon olabilir.)

ayrıca yukardaki bağıntılar yardımıyla
toplamıda bulunabilir.
x yerine x^{i} konursa
İki katlı üstel
temel eşitliği üs alınarak elde edilebilen özdeşliklerdir.
x yerine
konursa;
İmajiner trigonometrik
x-->ln(x) alınırsa
Karma bağıntılar
Üslerin toplamına göre
ve
yardımıyla karma bağıntılar elde edilebilir.
sonuç olarak
elde edilir.

ifadesinde üs ifadesindeki x yerine y koyarak formülü daha da genelleştirebiliriz.Çünkü köşeli parantezin dışında üsse cos(x) ve x bağımsız olarak konup birleştirilmiştir,cos(x) değiştirilmezken x yerine y konabilir.

Üslerin çarpımına göre
Buradaki ifadeler
veya

eşitliğidir.
x yerine -x konursa;
Bell sayıları ile ilgisi
Eric Temple Bell'e atfedilmiştir.
Ayrıca bakınız
Doğal logaritma
Üstel fonksiyon
Euler özdeşliği
Bell Sayıları
Bell serisi
Leonhard Euler
Bessel fonksiyonları


Kaynakça
Euler toplaması

Euler toplamı, yakınsak ve ıraksak diziler için kullanılan bir toplam yöntemidir. Bir Σan dizisinin Euler dönüşümü bir değere yakınsıyorsa bu değer Euler toplamı olarak adlandırılır.

q ≥ 0 olmak koşuluyla Euler toplamı, (E, q) olarak gösterilen genel bir yöntemler kümesi içinde sayılabilir. (E, 0) olağan (yakınsak) toplamı belirtirken (E, 1) olağan Euler toplamını ifade etmektedir. Bu yöntemlerin tümü Borel toplamından güçsüzken q > 0 için Abel toplamıyla karşılaştırılamazlar.

Tanım
Euler toplamı, almaşık dizilerin yakınsaklığını hızlandırmak amacıyla kullanılmaktadır. Yöntem, ıraksak toplamların hesaplanmasını da olanaklı kılmaktadır.
Bu yöntem yineleme yoluyla uygulanamamaktadır. Bunun nedeni

eşitliğinin sağlanıyor oluşudur.

Örnekler
k dereceli bir polinom ise eşitliği sağlanır. Euler toplamının burada yaptığı, bir sonsuz diziyi sonlu diziye dönüştürmektir.
gibi bir seçim, ifadeyi doğrudan Bernoulli sayılarına götürmektedir.

Burada bir tam sayıyı, ζ ise Riemann zeta işlevini göstermektedir.

Uygun değerleri için dizi 'ye yakınsamaktadır.

Ayrıca bakınız
Euler dönüşümü
Borel toplamı
Cesàro toplamı
Lambert toplamı
Abel ve Tauber kuramları
Van Wijngaarden dönüşümü

Kaynakça
Euler (anlam ayrımı)

Euler şu anlamlara gelebilir:
Leonhard Euler - İsviçreli matematikçi ve fizikçi.
Euler formülü - Euler'in bulduğu, karmaşık üstel fonksiyonlarının sin ve cos fonksiyonları türünden yazılışı.
Euler karakteristiği - Euler'in bulduğu, konveks çokyüzlülerin yüz, ayrıt ve köşe sayıları arasındaki bağıntı.
Euler-Mascheroni sabiti - Euler'in Mascheroni ile beraber bulduğu, Harmonik seri ile Doğal logaritma arasındaki limit bağıntısı.
Euler sayısı - Euler'in bulduğu, doğal logaritmanın tabanı olan sabit(kısaca sayısı).
Euler toplamı - Euler'in bulduğu, yakınsak ve ıraksak diziler için kullanılan bir toplam yöntemi.
Euler özdeşliği - Euler'in bulduğu, eşitliği.
Euler integrali - Euler'in bulduğu, Beta ve Gama fonksiyonunun hesaplamasında kullanılan integral.
Euless, Teksas

Euless, Amerika Birleşik Devletleri'nin Teksas eyaletinde yer alan ve Tarant ilçesinde yer alan bir şehirdir. Şehrin nüfusu 26 Kasım 2009 tarihinde toplam nüfusu 51.277 olup metropol nüfusu 6.810.913'tür.

Demografi
2010 Sayımı
15 Mart 2010 tarihinde yapılan bir nüfus sayımına göre şehrin nüfusunun 46.005 kişi, 19.218 ev ve 11.626 aileden oluştuğu tespit edilmiştir. Şehirdeki nüfus dağılımının ise de %64,0 Beyaz, %33,0 Afrikan Amerikan, %0,1 Yerli Amerikan, %1,2 Asyalı, %0,6'sının ise de diğer halklardan oluştuğu tespit edilmiştir.

Kaynakça
Dış bağlantılar
Şehrin resmî web sitesi
Euler Granda

Euler Granda (7 Haziran 1935, Riobamba - 22 Şubat 2018), Ekvadorlu şair, yazar ve psikiyatrdır.

Ödülleri
Eugenio Espejo Edebiyat Ödülü (2009)
"Jorge Luis Borges" Latin Amerika En İyi Şair Ödülü (1987)
"İsmael Pérez Pazmiño" Kainat Şiir Yarışması Birincilik Ödülü (1961)

Eserleri
El rostro de los días (1961) "Ismael Pérez Pazmiño" En İyi Şair Ödülü'nü aldı.
Voz desbordada (1963)
Etcétera, etcétera (1965)
El lado flaco (1968)
El cuerpo y los sucesos (1971)
La inutilmanía y otros nudos, Poesía y Un perro tocando la lira

Kaynakça
Euler dörtgen teoremi

Leonhard Euler (1707–1783) adını taşıyan Euler dörtgen teoremi veya Euler'in dörtgenler yasası, dışbükey bir dörtgenin kenarları ile köşegenleri arasındaki ilişkiyi açıklar. Pisagor teoreminin genellemesi olarak görülebilecek Paralelkenar yasasının bir genellemesidir. Bu nedenle Pisagor teoreminin dörtgenler açısından yeniden ifade edilmesi bazen Euler-Pisagor teoremi olarak adlandırılır.

Teorem ve özel durumlar
Kenarları , köşegenleri ve ve iki köşegenin orta noktalarını birleştiren doğru parçası olan olan bir dışbükey dörtgen için aşağıdaki denklem geçerlidir:

Dörtgen bir paralelkenar ise, o zaman köşegenlerin orta noktaları çakışır, böylece bağlantı doğru parçası 'nin uzunluğu 0 olur. Ayrıca paralel kenarlar eşit uzunluktadır, bu nedenle Euler teoremi;

haline indirgenir ki bu da paralelkenar yasasıdır.

Dörtgen bir dikdörtgen ise denklem daha da basitleşir, çünkü artık iki köşegen de eşit uzunluktadır:

Denklemin her iki tarafını 2 ile bölüp sadeleştirmek Euler-Pisagor teoremini verir:

Başka bir deyişle, dörtgenin bir dikdörtgen olması durumunda, dörtgenin kenarları ile köşegenleri arasındaki ilişkisi Pisagor teoremi ile tanımlanır.

Diğer formülasyon ve genişlemeler
Euler başlangıçta yukarıdaki teoremi, ek bir noktanın eklenmesini gerektiren ancak daha yapısal kavrayış sağlayan biraz farklı bir teoremden doğal olarak türetmiştir.

Verilen bir dışbükey dörtgeni için Euler, bir paralelkenar oluşturacak şekilde ilave bir noktası getirdi ve böylece aşağıdaki eşitlik geçerlidir:

Paralelkenarın parçası olmayan dörtgenin noktası ile ilave noktası arasındaki uzunluğu, dörtgenin paralelkenardan ne kadar saptığını ölçmek olarak düşünülebilir ve , paralelkenar yasasının orijinal denklemine eklenmesi gereken düzeltme terimidir.

, 'nin orta noktası olmak üzere 'dir. , 'nin orta noktası olduğunda aynı zamanda 'nin de orta noktası olur, ve , her ikisi de paralelkenarının köşegenidir. Bu eşitliğini verir ve dolayısıyla 'dir. Bu nedenle, Kesişme teoremi|nden (ve onun tersinden) şu sonuca varır: ve paraleldir ve , bu da Euler teoremini verir.

Notlar
Kaynakça
Dış bağlantılar
Konuyla ilgili yayınlar
Euler teoremi (geometri)

Geometride, Euler teoremi, bir üçgenin çevrel çemberinin ve iç teğet çemberinin merkezleri arasındaki uzaklıkla bu çemberlerin yarıçapları arasında bir ilişki kuran temel bir sonuçtur. Teorem, adını, bu sonucu 1765'te yayınlayan Leonhard Euler'den almıştır. Ancak aynı sonuç daha önce William Chapple tarafından 1746'da yayınlanmıştır.

Teoremin ifadesi
Bir üçgenin çevrel çemberinin yarıçapı , içteğet çemberin yarıçapı ve bu iki çemberin merkezleri arasındaki uzaklık ise, o zaman
eşitliği vardır. Eşitlik ifadesi, eşdeğer olarak aşağıdaki şekilde de yazılabilir:
.

Euler eşitsizliği
Uzaklık kavramı negatif-olmayan bir gerçel sayıyı işaret ettiği için, teoremde yazılıp
Euler eşitsizliği elde edilir:
Burada, eşitlik hali, yani, olması, ancak ve ancak bahsi geçen üçgenin eşkenar üçgen olması durumunda geçerlidir.

Eşitsizliğin daha güçlü bir hâli de vardır. üçgenin kenar uzunlukları olmak üzere
,
eşitsizliği yazılabilir
Bir çember içinde çizilen tüm üçgenler arasında,
sadece eşkenar üçgenlerin alanın en büyüktür,
iç teğet çemberlerinin yarıçapı en büyük olanlar eşkenar üçgenlerdir; yani, sonuç olarak

Ayrıca bakınız
İki merkezli dörtgenlerde aynı üç değişken arasındaki ilişki için Fuss teoremi
Poncelet kapanış teoremi, aynı iki çembere (ve dolayısıyla aynı , ve ) sahip sonsuz sayıda üçgen olduğunu gösterir.
Üçgen eşitsizlikleri listesi

Kaynakça
Dış bağlantılar
Konuyla ilgili yayınlar
Euler sayıları

Matematikte Euler sayıları, Taylor serisi açılımıyla tanımlanan bir En tam sayı dizisidir. .

Burada , hiperbolik kosinüs fonksiyonudur. Euler sayıları, Euler polinomlarının özel bir değeriyle ilgilidir, yani:
Euler sayıları, sekant ve hiperbolik sekant fonksiyonlarının Taylor serisi açılımlarında görünmektedir. İkincisi, tanımdaki fonksiyondur. Ayrıca kombinatoriklerde, özellikle çift sayıda elemanlı bir kümenin alternatif permütasyonlarının sayısını sayarken ortaya çıkmaktadırlar.

Örnekler
Tek indeksli Euler sayılarının tümü sıfırdır. Çift indeksli olanlar, değişken işaretlere sahiptir. Bazı değerler şunlardır:
Bazı yazarlar, sıfır değerine sahip tek sayılı Euler sayılarını çıkarmak veya tüm işaretleri pozitif olarak değiştirmek için diziyi yeniden indekslemektedir . Bu madde, yukarıda kabul edilen sözleşmeye bağlıdır.

Açık formüller
İkinci tür Stirling sayıları
Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını ikinci tür Stirling sayıları cinsinden ifade etmektedir.

Burada ikinci türden Stirling sayılarını göstermektedir ve yükselen faktöriyelini ifade etmektedir.

Çift toplam
Aşağıdaki iki formül, Euler sayılarını çift toplamlar olarak ifade etmektedir.
Yinelemeli toplam
Euler sayıları için açık bir formül:

Burada , ile hayali birimi göstermektedir.

Bölümlerin toplamı
Euler sayısı , 'nin çift bölümlerinin toplamı olarak ifade edilebilmektedir.

'in tek bölümlerinin toplamının yanı sıra,

Her iki durumda da ve
çok terimli bir katsayıdır. Yukarıdaki formüllerdeki Kronecker deltaları, s üzerindeki toplamları sırasıyla ve .

Örnek olarak,
Determinant
determinant tarafından verilmektedir.

İntegral
ayrıca aşağıdaki integrallerle verilmektedir:
Kongrüanslar
W. Zhang, herhangi bir asal için Euler sayılarıyla ilgili aşağıdaki birleşik özdeşlikleri elde etmiştir.
W. Zhang ve Z. Xu herhangi bir asal ve tam sayı için,
burada , Euler'in totient işlevidir.

Asimptotik yaklaşım
Euler sayıları, aşağıdaki alt sınıra sahip oldukları için büyük endeksler için oldukça hızlı bir şekilde büyümektedir.

Euler zikzak sayıları
Taylor serisi

ile başlayan Euler zikzak sayıları
1, 1, 1, 2, 5, 16, 61, 272, 1385, 7936, 50521, 353792, 2702765, 22368256, 199360981, 1903757312, 19391512145, 209865342976, 2404879675441, 29088885112832, ...

Hepsi için ,
burada Euler sayısıdır; ve tüm tek için,
Bernoulli sayısıdır.

Her n için,
Kaynakça
Dış bağlantılar
Eulimidae

Eulimidae, Neotaenioglossa takımına bağlı bir familyadır.

Taksonomi
Eulimidae familyasına bağlı cinsler (2023):

Asterophila - Randall and Heath, 1912
Balcis - Leach, 1847
Clathrus
Cythnia - Carpenter, 1864
Enteroxenos - Bonnevie, 1902
Entocolax - Voigt, 1888
Entoconcha - J. Muller, 1852
Ersilia - di Monterosato, 1872
Eulima - Risso, 1826
Eulimostraca - Bartsch, 1917
Haliella
Hypermastus - Pilsbry, 1899
Melanella - Bowdich, 1822
Microeulima - Waren, 1992
Mucronalia - A. Adams, 1860
Nanobalcis - Waren and Mifsud, 1990
Niso - Risso, 1826
Oceanida - de Folin, 1870
Pelseneeria - Koehler and Vaney, 1908
Polygireulima - Sacco, 1892
Pseudosabinella - McLean, 1995
Sabinella - di Monterosato, 1890
Scalenostoma
Stilifer - Broderip, 1832
Strombiformis - Da Costa, 1778
Thaleia - Waren, 1979
Thyonicola - Mandahl-Barth, 1941
Umbilibalcis - Bouchet and Waren, 1986
Vitreolina - di Monterosato, 1884


Kaynakça
Dış bağlantılar
Euler karakteristiği

Matematikte ve daha spesifik olarak cebirsel topoloji ve çokyüzlü kombinatorikte Euler karakteristiği (veya Euler sayısı veya Euler – Poincaré karakteristiği), nasıl olursa olsun topolojik uzayın şeklini veya yapısını tanımlayan bir sayı olan topolojik değişmezdir. Genellikle (Yunanca küçük harf chi) ile gösterilir.

Euler karakteristiği başlangıçta çokyüzlüler için tanımlanmış ve Platonik katıların sınıflandırılması da dahil olmak üzere çeşitli teoremleri kanıtlamak için kullanılmıştır. Platonik katılar için 1537'de Francesco Maurolico tarafından yayınlanmamış bir el yazmasında belirtilmiştir. Konsepte adını veren Leonhard Euler, bunu daha genel olarak dışbükey çokyüzlüler için tanıttı ancak bunun bir değişmez olduğunu kesin şekilde kanıtlayamadı. Modern matematikte, Euler karakteristiği homolojiden ve daha soyut olarak homolojik cebirden kaynaklanır.

Çokyüzlüler
Euler özelliği formülüne göre klasik olarak çokyüzlülerin yüzeyleri için tanımlanmıştır.

burada V, E ve F sırasıyla verilen çokyüzlüdeki köşelerin, kenarların ve yüzlerin sayısıdır. Herhangi bir dışbükey çokyüzlünün yüzeyi Euler karakteristiğine sahiptir.

Leonhard Euler tarafından 1758 yılında ifade edilen bu denklem Euler'in polihedron formülü olarak da bilinir. Kürenin Euler karakteristiğine karşılık gelir (yani χ = 2) ve aynı şekilde küresel çokyüzlüler için de geçerlidir. Tüm Platonik çokyüzlülerdeki formülün örnekleri aşağıda verilmiştir.

Dışbükey olmayan çokyüzlülerin yüzeyleri çeşitli Euler özelliklerine sahip olabilir:

Düzenli çokyüzlüler için Arthur Cayley, yoğunluk D, tepe şekli yoğunluğu d v ve yüz yoğunluğunu kullanarak Euler formülünün değiştirilmiş bir biçimini türetmiştir. :

Bu sürüm hem dışbükey çokyüzlüler hem de dışbükey olmayan Kepler-Poinsot çokyüzlüler için geçerlidir.

Projektif çokyüzlülerin tümü, gerçek yansıtmalı düzlem gibi Euler karakteristiği 1'e sahipken, simit gibi toroidal çokyüzlülerin tüm yüzeyleri Euler karakteristiği 0'a sahiptir.

Kaynakça
Dış bağlantılar


An animated version of a proof of Euler's formula using spherical geometry .
Euler yöntemi

Euler yöntemi, diferansiyel denklemlerin sayısal çözümü için kullanılan temel bir ileri (forward) integrasyon yöntemidir. Matematikçi Leonhard Euler'in adını taşıyan bu yöntem, diferansiyel denklemlerin analitik çözümlerinin bulunamadığı durumlarda, sayısal yaklaşımlarla çözüme ulaşmak amacıyla geliştirilmiştir. Bu yöntem, basit ve anlaşılır olması nedeniyle özellikle başlangıç seviyesinde sayısal analiz konularında öğretimde sıkça kullanılmaktadır.

Temel prensip
Genel bir diferansiyel denklemi ele alalım: dy/dx = f(x, y). Euler yöntemi, bu denklemin çözümünü adım adım ilerleyerek yaklaşık bir sayısal çözüm elde etmeyi amaçlar. Başlangıç noktası olarak x₀ ve y₀ verildiğinde, belirli bir adım büyüklüğü (h) kullanılarak şu adımlar takip edilir:

Başlangıç Noktası: x₀, y₀

Adım Büyüklüğü: h

Adım Hesapla: y₁ = y₀ + h * f(x₀, y₀)

Konumu Güncelle: x₁ = x₀ + h, y₁

Yeni Konumdan Devam Et: x₁ ve y₁ noktalarından başlayarak aynı adımları tekrarla.

Bu adımlar, belirli bir adım büyüklüğü ile diferansiyel denklemin sayısal çözümünü sağlar. Ancak, Euler yöntemi genellikle büyük h değerleri kullanıldığında doğruluk ve kararlılık sorunlarına yol açabilir.

Sınırlamalar ve gelişmiş yöntemler
Euler yöntemi, karmaşık diferansiyel denklemlerin çözümünde ve kararlılık açısından bazı sınırlamalara sahiptir. Bu nedenle, daha gelişmiş sayısal integrasyon yöntemleri, özellikle de Runge-Kutta yöntemleri gibi, genellikle daha hassas sonuçlar sağlar ve daha karmaşık sistemlerde tercih edilir.

Euler yöntemi, temel bir başlangıç noktası olarak kullanılabilecek basit bir algoritma olmasına rağmen, uygulama alanına ve gereksinimlere bağlı olarak daha sofistike yöntemlerin tercih edilmesi genellikle tavsiye edilir.

Kaynakça
Euler sayısı (fizik)

Euler sayısı (Eu), akışkan akışı hesaplamalarında kullanılan bir boyutsuz sayıdır. Bu sayı, yerel bir basınç düşüşü ile akışın birim hacim başına kinetik enerjisi arasındaki ilişkiyi ifade eder ve akıştaki enerji kayıplarını karakterize etmek için kullanılır. Mükemmel sürtünmesiz bir akış, Euler sayısının 0 olduğu duruma karşılık gelir. Euler sayısının tersi, sembolü Ru olan Ruark Sayısı olarak adlandırılır.

Euler sayısı şu şekilde tanımlanır:
burada,
, akışkanın yoğunluğudur.
, üst akım basıncıdır.
, alt akım basıncıdır.
, akışın karakteristik hızıdır.

Euler sayısının alternatif bir tanımı Shah ve Sekulic tarafından verilmiştir:
burada,
basınç düşüşü olup 'dir.

Ayrıca bakınız
Darcy-Weisbach eşitliği, Euler sayısını farklı bir şekilde yorumlayan bir denklemdir.
Reynolds sayısı, akış analizinde ve akışların benzerliğinde kullanılır
Kavitasyon sayısı, farklı bir anlam taşıyan benzer şekilde formüle edilmiş bir sayıdır.

Kaynakça
Diğer okumalar
Euler doğrusu

Euler doğrusu, eşkenar olmayan üçgenlerde çevrel çember merkezinin, diklik merkezinin ve ağırlık merkezinin üstünde bulunduğu özel bir doğrudur. Bu üç noktanın doğrudaş olduğu bilgisi 1753 yılında yayımlanmıştır. Feuerbach çemberinin merkezi gibi bazı diğer özel noktalar da bu doğru üzerinde bulunur.

Özellikler
Temel teoremler
Eşkenar olmayan bir üçgende ağırlık merkezi G, diklik merkezi H ve çevrel çemberin merkezi O Euler doğrusu adında bir doğru üzerindedir. Dokuz nokta çemberinin merkezi olan N noktası halihazırda HO'nun orta noktası olduğu için bu nokta da bu doğru üzerindedir. Öte yandan bu dört nokta için şu denklemler de doğrudur:

|HO|=3|GO|=6|NG|, |HG|=4|NG|, |HN|=3|NG|, |NO|=3|NG| ve |GO|=2|NG|.

O halde şu vektörel denklemler de geçerlidir:

ve

İspat yolları
İspat için iki bilinen ispat fikri vardır:

G noktası merkez olmak üzere -1/2 orantısıyla homoteti yapılabilir.

Barycentric koordinatlar ve trigonometrik lemmalar yardımıyla cebirsel bir çözüm yapılabilir.

Özel durumlar
Eğer üçgen ikizkenar ise Euler doğrusu tepe noktasından geçen orta dikme, iç açıortay, dikme olur (bu durumda tüm bu doğrular çakışıktır). Eşkenar üçgenlerde ise tüm bu noktalar çakışacağı için böyle bir doğru yoktur.

Kaynakça
Euler çarpımı

Euler çarpımı, matematikte özellikle sayılar teorisinde ve analiz dalında kullanılan bir kavramdır.Bu çarpım,asal sayılar kümesi üzerinde indekslenmiş sonsuz bir çarpım kullanılarak bir Dirichlet serisinin gösterimi hakkında olmakla beraber Riemann zeta fonksiyonunun Dirichlet serisine göre sonsuz çarpımı araştıran Leonhard Euler'den adını almıştır.

Tanım
,pozitif tam sayılarda tanımlı olan ve aralarında asal ve için denkliğini sağlayan bir fonksiyon ve bir Dirichlet serisi olsun. Bu seri,karmaşık bir sayı için mutlak yakınsak ise, o zaman olur.Eğer her pozitif tam sayı ikilisi için çarpım koşulunu sağlarsa o zaman eşitlik formuna indirgenebilir.Tüm asal sayılar üzerindeki bu sonsuz çarpımlara Euler çarpımı denir. Bu çarpımların değeri, halinde limit olarak tanımlanır,ki burada , yalnızca N sınırının altındaki asal sayılara çarpım genişletilerek elde edilir.

İspat
Euler çarpımının geçerliliğini destekleyen çeşitli kanıtlar vardır.

Öncelikle, serisinin mutlak yakınsak olmasından mütevellit ayrıca her faktörü de kesinlikle yakınsar. Bundan dolayı, her için kısmi çarpım olur.Bu ,Cauchy çarpım formülü ve asal sayıların artan dizisiyle hemen şunu gösterir: Eğer ise ikinci adımda fonksiyonunun çarpımsallığı kullanılmak üzere elde edilir.Bu durum formülünü doğru kılar (ikinci toplamdaki çizgi,sadece tüm asal çarpanları olan sayılarının sayılacağını belirtir).Bu yüzden her için olan bir vardır.Böylece kısmi çarpımların dizisi , her bir mutlak yakınsama alanındaki için yakınsar ve teorem gösterilir.

Riemann zeta fonksiyonunun Euler çarpımı
Formülasyon
Her için durumunda bariz bir şekilde tamamen çarpımsaldır. Bu nedenle her için elde edilir.Bu fonksiyonu Riemann zeta fonksiyonu olarak da bilinir.

Euler'in tekniği
Bu türetme yönteminin ardındaki temel fikir, Leonhard Euler zamanında onun tarafından tarafından zaten kullanılmıştı. Ve olacak şekilde bir alt küme ve bir asal sayı ele alınsın. Bu durumda olması sonucunu doğurur. O halde, genel olarak ise denklem zinciri geçerlidir.Şimdi

asal sayıların artan sıradaki dizisi (örnek olarak ) ve , asallarına bölünemeyen doğal sayıların kümesi olsun (örneğin ). Ayrıca, olacak şekilde tanımlansın. O halde sabitlenmiş bir için her bir sonraki asal sayı ile yukarıdaki özelliği sağlar ve geçerlidir. Bu yüzden ve böylece tümevarım yoluyla elde edilir.Her iki yönden de limit alındığında,1 herhangi bir asal sayı tarafından bölünemeyen yegane doğal sayı olduğu için, sonuç olarak

eşitliği bulunur.

Dış bağlantılar
Kaynakça
Eulipotyphla

Eulipotyphla, filogenetik yapılandırmanın moleküler yöntemlerine daynark önerilmiş ve içinde artık geçerli olmayan polifiletik Lipothphla takımının Laurasiatheria kladında bulunan üyeleri içeren ama Afrotheria kladında bulunan üyelerini içermeyen memelilerden oluşan bir takımdır. Lipotyphla takımı da yine artık geçerli olmayan Insectivora takımından bir grup memelinin çıkarılmasıyla oluşturulmuş bir takımdı. Eulipotyphla, Latince "gerçek şişman ve kör" anlamına gelir.

Scrotifera kladının kardeş grubudur ve birlikte Laurasiatheria kladını oluştururlar.

Sınıflandırma
Takım Eulipotyphla (= 'Lipotyphla' - Afrosoricida = 'Erinaceomorpha' + 'Soricomorpha')
Familya Erinaceidae
Alt familya Erinaceinae: kirpiler
Alt familya Galericinae
Familya Soricidae: sivri fareler
Alt familya Crocidurinae
Alt familya Soricinae
Alt familya Myosoricinae
Familya Talpidae: köstebekler
Alt familya Talpinae
Alt familya Scalopinae
Alt familya Uropsilinae
Familya Solenodontidae: yılandişler
Familya Nesophontidae
Familya Amphilemuridae
Familya Nyctitheriidae
Familya Plesiosoricidae

Roca et al. ve Brace et al. çalışmalarına dayanan günümüz taksonları arasında familya düzeyindeki ilişkileri gösteren kladogram:



Notlar
Kaynakça
Eulji Mundeok

Eulji Mundeok (Hangıl: 을지문덕, Hanja: 乙支文德) 7. yüzyılda Üç Kore Krallığı dönemi Goguryeo'nun tanınmış bir askeri lideridir. Kore askeri tarihi onu en büyük kahramanlarının arasında yer vermiştir. Eulji Mundeok Goguryeo-Sui savaşlarında muhteşem savunması ile ünlüdür ve Sui'nin Goguryeo'dan çekilmesinin en büyük nedenidir.

Ayrıca bakınız
Salsu Muharebesi