Cauchy-Riemann denklemleri

Karmaşık analizde, adlarını Augustin Louis Cauchy ve Bernhard Riemann'dan alan Cauchy-Riemann denklemleri, türevlenebilir bir fonksiyonun açık bir kümede holomorf fonksiyon olabilmesi için sağlaması gereken gerekli ve yeterli şartları ifade eden kısmi diferansiyel denklem sistemidir. Tarihsel gelişimine bakıldığında, bu denklemler sistemi ilk defa Jean le Rond d'Alembert'in 1752 yılındaki çalışmasında ortaya çıkmıştır. Ardından Leonhard Euler, 1777 yılında bu sistemi analitik fonksiyonlarla ilişkilendirmiştir. Cauchy, 1814 yılındaki fonksiyonlar teorisi araştırmalarında bu denklemleri temel bir araç olarak kullanmış; Riemann ise 1851 tarihli bir doktora tezinde sistemi modern karmaşık analizin merkezine yerleştirmiştir.

fonksiyonu için Cauchy-Riemann denklemleri şu şekildedir:

Değişkenler:

: Karmaşık değişken
: Fonksiyonun gerçel kısmı
: Fonksiyonun sanal kısmı

Yorumu ve Formülasyonu
Açıkorur gönderimler
Cauchy-Riemann denklemleri genellikle farklı biçimlerde yeniden ifade edilir. Bunlardan ilki, denklemlerin aşağıdaki karmaşık formda yazılmasıdır:

Bu durum yapısal olarak, ve olmak üzere, Jakoben matrisinin şu formda olmasına karşılık gelir:



Bu yapıdaki bir matris, bir karmaşık sayının matris temsilidir. Geometrik olarak böyle bir matris, her zaman dönme (rotasyon) ve ölçekleme (homoteti) işleminin bileşkesidir. Dolayısıyla açıları korur. Sonuç olarak, türevi sıfırdan farklı olan ve Cauchy-Riemann denklemlerini sağlayan bir fonksiyon, düzlemdeki eğrileri arasındaki açıyı korur. Başka bir deyişle, Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun açıkorur gönderim olabilmesi için gerekli koşulları ifade eder.

Karmaşık Eşleniğin Bağımsız Olması
Denklemler bazen tek bir denklem olarak yazılır:

Burada, türev operatörü olan şu şekilde tanımlanmıştır:

Bu formda Cauchy-Riemann denklemleri, " fonksiyonu değişkeninden bağımsızdır" şeklinde yorumlanır.

Karmaşık Türevlilik
Cauchy-Riemann denklemleri bir fonksiyonun karmaşık türevli (veya holomorf) olması için gerekli ve yeterli bir koşuldur (Ahlofors 1953, §1.2 ). Daha ayrıntılı bir şekilde,

z ∈ C karmaşık sayısının fonksiyonu olsun. O zaman, f 'nin z0 noktasında karmaşık türevi eğer limit varsa

olarak tanımlanır.

Eğer bu limit varsa, limit reel eksen veya sanal eksen boyunca h → 0 alınarak hesaplanabilir ve her iki durumda da aynı sonucu vermelidir. Reel eksen boyunca yaklaşılırsa

elde edilir. Diğer taraftan sanal eksen boyunca yaklaşılırsa

elde edilir. İki eksen boyunca alınan türevlerin eşitliği

ifadesini verecektir. Fark edilirse bu, z0 noktasındaki (2) nolu Cauchy-Riemann denklemidir.

Tersine, f:C → C, R2 'de türevli olarak algılanırsa, o zaman f ancak ve ancak Cauchy-Riemann denklemleri sağlanırsa karmaşık türevlidir.

Diğer temsiller
Cauchy-Riemann denklemlerinin diğer temsilleri diğer koordinat sistemlerinde de ortaya çıkmaktadır. Sürekli şekilde türevlenebilir bir u ve v fonksiyon çifti için (1a) ve (1b) sağlanıyorsa, o zaman 'nin birim dik ve pozitif yönlü olduğu herhangi (n(x,y), s(x,y)) koordinatı için de

eşitlikleri sağlanır. Sonuç olarak, özellikle, z=reiθ olarak verilen kutupsal koordinatlar sisteminde, denklemler

halini alır.

f için bu iki denklem birleştirildiğinde

elde edilir.

Homojen olmayan denklemler
Homojen olmayan Cauchy-Riemann denklemleri, R2 'nin açık bir altkümesinde verilmiş α(x,y) ve β(x,y) için, bilinmeyen iki gerçel değişkenli bir u(x,y) ve v(x,y) fonksiyon çiftinin iki denkleminden oluşur:

Bu denklemler genellikle bir denklemde toplanırlar (f=u+iv ve φ=(α+iβ)/2)

Eğer φ, Ck ise, o zaman herhangi sınırlı bir D bölgesinin kapanışında φ sürekli olduğu sürece, homojen olmayan denklem D 'de açık olarak çözülebilir. Aslında Cauchy integral formülü kullanılarak her ζ ∈ D için

ifadesi elde edilir.

Genelleştirmeler
Goursat teoremi ve genelleştirmeleri
f = u+iv, f : R2 → R2 fonksiyonu olarak karmaşık değerli, türevlenebilir bir fonksiyon olsun. O zaman Goursat teoremi, f 'nin açık karmaşık bir Ω bölgesinde ancak ve ancak fonksiyon Cauchy-Riemann denklemlerini sağlarsa analitik olacağını ifade eder (Rudin 1966, Teorem 11.2). Özelde, f 'nin sürekli türevliliği varsayılmak zorunda değildir (Dieudonné 1969, §9.10, Al. 1).

Goursat teoremi 'nin varsayımları önemli bir ölçüde zayıflatılabilir. f=u+iv açık bir Ω kümesinde sürekliyse ve f 'nin Ω'da x ve y 'ye göre kısmi türevleri varsa, o halde f holomorftur (ve bu yüzden analitiktir). Bu sonuç Looman-Menşov teoremi olarak bilinir.

f 'nin Ω üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini sağlaması varsayımı çok önemlidir. Bir noktada Cauchy-Riemann denklemlerini sağlayan ancak analitik olmayan bir fonksiyon inşa etmek mümkündür (mesela f(z) = z5/|z|4). Benzer bir şekilde, aşağıdaki örneğin de gösterdiği gibi, Cauchy-Riemann denklemlerinin yanında (süreklilik gibi) bazı ek varsayımlara da ihtiyaç vardır (örnek Looman 1923, sf. 107'dedir.):

Cauchy-Riemann denklemlerini sağlar ancak z=0 noktasında sürekli değildir.

Yine de, bir fonksiyon açık bir küme üzerinde Cauchy-Riemann denklemlerini zayıf bir anlamda sağlıyorsa, o zaman fonksiyon analitiktir. Daha kesin bir anlamda (Gray Morris 1978, Teorem 9),

f(z), Ω ⊂ C açık bölgesinde yerel olarak integrallenebiliyorsa ve zayıf bir şekilde Cauchy-Riemann denklemlerini sağlıyorsa, o zaman f, Ω içindeki analitik bir fonksiyonla hemen hemen her yerde aynıdır.

Çok değişkenli fonksiyonlara yönelik tanım
Cauchy-Riemann denklemlerinin Çok değişkenli karmaşık analize uygun genelleştirmeleri de vardır. Düzlemdeki tanım her kompleks koordinatta tekrarlanır. Yani, her için
alınır ve kısa bir şekilde
olarak ya da daha kısa bir şekilde D-bar operatörü vasıtasıyla
olarak yazılır.

Kaynakça
Lars Ahlfors, Complex analysis, McGraw Hill, 1953, 3. baskı, 0-07-000657-1.
J. d'Alembert, Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides, Paris, 1752
A.L. Cauchy, Mémoire sur les intégrales définies, Oeuvres complètes Ser. 1, C.1, Paris, 1814, sf. 319–506.
H. Chanson, Le Potentiel de Vitesse pour les Ecoulements de Fluides Réels: la Contribution de Joseph-Louis Lagrange , Journal La Houille Blanche, C. 5, sf. 127-131, 0018-6368.
Jean Alexander Dieudonné, Foundations of modern analysis, Academic Press, 1969.
L. Euler, Nova Acta Acad. Sci. Petrop., C.10, 1797, sf.3–19
J. D. Gray & S. A. Morris, When is a Function that Satisfies the Cauchy-Riemann Equations Analytic?, The American Mathematical Monthly, C. 85, sayı 4, 1978, sf. 246-256
H. Looman, Über die Cauchy-Riemannschen Differeitalgleichungen, Göttinger Nach., 1923, sf. 97-108.
George Pólya & Gabor Szegö, Problems and theorems in analysis I, Springer, 1978,3-540-63640-4.
Bernhard Riemann, Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Funktionen einer veränderlichen komplexen Grösse, (editör: H. Weber, Riemann's gesammelte math, Werke, Dover, 1953, sf.3–48),1851.
Walter Rudin, Real and complex analysis, McGraw Hill, 1987, 3. baskı, 0-07-054234-1.
E.D. Solomentsev, Cauchy–Riemann conditions, Springer, 2001.

Dış bağlantılar
Cauchy-Riemann Denklemleri Modülü, John H. Mathews tarafından