Time Evolution of Typical Pure States from a Macroscopic Hilbert Subspace
2023-02-22

Abstract We consider a macroscopic quantum system with unitarily evolving pure state <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:mrow> </mml:math> and take it for granted that different macro states correspond to mutually orthogonal, high-dimensional subspaces <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> (macro spaces) of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mi>H</mml:mi> </mml:math> . Let <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> denote the projection to <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> . We prove two facts about the evolution of the superposition weights <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> : First, given any <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>T</mml:mi> <mml:mo>&gt;</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:mrow> </mml:math> , for most initial states <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> from any particular macro space <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> (possibly far from thermal equilibrium), the curve <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>↦</mml:mo> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> is approximately the same (i.e., nearly independent of <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> ) on the time interval [0, T ]. And second, for most <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> from <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>H</mml:mi> <mml:mi>μ</mml:mi> </mml:msub> </mml:math> and most <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mi>t</mml:mi> <mml:mo>∈</mml:mo> <mml:mo>[</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>∞</mml:mi> <mml:mo>)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:math> , <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mi>P</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:msub> <mml:msub> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mi>t</mml:mi> </mml:msub> <mml:msup> <mml:mrow> <mml:mo>‖</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:math> is close to a value <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mrow> <mml:mi>μ</mml:mi> <mml:mi>ν</mml:mi> </mml:mrow> </mml:msub> </mml:math> that is independent of both t and <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"> <mml:msub> <mml:mi>ψ</mml:mi> <mml:mn>0</mml:mn> </mml:msub> </mml:math> . The first is an instance of the phenomenon of dynamical typicality observed by Bartsch, Gemmer, and Reimann, and the second modifies, extends, and in a way simplifies the concept, introduced by von Neumann, now known as normal typicality.