Tropical floor plans and enumeration of complex and real multi-nodal surfaces
2021-11-02

The family of complex projective surfaces in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper P cubed"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\\mathbb {P}^3</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d"> <mml:semantics> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> having precisely <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="delta"> <mml:semantics> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\\delta</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> nodes as their only singularities has codimension <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="delta"> <mml:semantics> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\\delta</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in the linear system <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="StartAbsoluteValue script upper O Subscript double-struck upper P cubed Baseline left-parenthesis d right-parenthesis EndAbsoluteValue"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> <mml:msub> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi class="MJX-tex-caligraphic" mathvariant="script">O</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msub> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo stretchy="false">|</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">|{\\mathcal O}_{\\mathbb {P}^3}(d)|</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for sufficiently large <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d"> <mml:semantics> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> and is of degree <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N Subscript delta comma double-struck upper C Superscript double-struck upper P cubed Baseline left-parenthesis d right-parenthesis equals left-parenthesis 4 left-parenthesis d minus 1 right-parenthesis cubed right-parenthesis Superscript delta Baseline slash delta factorial plus upper O left-parenthesis d Superscript 3 delta minus 3 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> <mml:mo>!</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N_{\\delta ,\\mathbb {C}}^{\\mathbb {P}^3}(d)=(4(d-1)^3)^\\delta /\\delta !+O(d^{3\\delta -3})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. In particular, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N Subscript delta comma double-struck upper C Superscript double-struck upper P cubed Baseline left-parenthesis d right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:msubsup> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">C</mml:mi> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> </mml:mrow> </mml:msubsup> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N_{\\delta ,\\mathbb {C}}^{\\mathbb {P}^3}(d)</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is polynomial in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="d"> <mml:semantics> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">d</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. By means of tropical geometry, we explicitly describe <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="left-parenthesis 4 d cubed right-parenthesis Superscript delta Baseline slash delta factorial plus upper O left-parenthesis d Superscript 3 delta minus 1 Baseline right-parenthesis"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:mn>4</mml:mn> <mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> </mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mo>/</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> <mml:mo>!</mml:mo> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mi>O</mml:mi> <mml:mo stretchy="false">(</mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mn>3</mml:mn> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> </mml:msup> <mml:mo stretchy="false">)</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">(4d^3)^\\delta /\\delta !+O(d^{3\\delta -1})</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> surfaces passing through a suitable generic configuration of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="n equals StartBinomialOrMatrix d plus 3 Choose 3 EndBinomialOrMatrix minus delta minus 1"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>n</mml:mi> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-OPEN"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">(</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> <mml:mfrac linethickness="0"> <mml:mrow> <mml:mi>d</mml:mi> <mml:mo>+</mml:mo> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:mfrac> <mml:mstyle scriptlevel="0"> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-CLOSE"> <mml:mo maxsize="1.2em" minsize="1.2em">)</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mstyle> </mml:mrow> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mi>δ<!-- δ --></mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>1</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">n=\\binom {d+3}{3}-\\delta -1</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> points in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="double-struck upper P cubed"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi mathvariant="double-struck">P</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mn>3</mml:mn> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\\mathbb {P}^3</mml:annotation> </mm