Topologický priestor

Topologický priestor je matematická štruktúra, ktorá umožňuje formalizovať a zovšeobecniť koncepty ako konvergencia, spojitosť, či kompaktnosť. Tieto sú definované na základe vzťahov medzi množinami, na rozdiel od metrických priestorov, kde sa definujú pomocou vzdialenosti. Topologické priestory sa ako formalizácia vyskytujú takmer vo všetkých oblastiach matematiky. Sú predmetom štúdia topológie.

Definícia

Klasická definícia 

Topologický priestor je usporiadaná dvojica , kde X je množina a , ktorej prvky sa nazývajú aj otvorené množiny, je množina podmnožín X, pre ktorú sú splnené nasledujúce tri podmienky:
 Prázdna množina a množina X sú otvorené, teda 
 
 Zjednotenie ľubovoľného počtu otvorených množín je otvorená množina, teda pre každé :

 Prienik každých dvoch otvorených množín je otvorená množina, teda 

Tretia podmienka je ekvivalentná s podmienkou, ktorá hovorí, že prienik ľubovoľného konečného počtu otvorených množín je otvorená množina.

Množina  sa nazýva aj topológia na množine X, toto pomenovanie má však odlišný význam ako názov topológia v zmysle vedy o topologických priestoroch. Prvky množiny X sa zvyčajne nazývajú body, podmnožiny X patriace do  sa nazývajú otvorené množiny, každý komplement otvorenej množiny sa nazýva uzavretá množina.

Je dôležité si uvedomiť, že množina uzavretých množín v X nie je to isté ako . Množina totiž môže byť otvorená aj uzavretá súčasne. Takýmito množinami sú napríklad  alebo X, keďže sú komplementárne (pracuje sa s univerzom X) a zároveň otvorené (z definície topologického priestoru).

Definícia pomocou uzavretých množín 

Použitím de Morganových zákonov je možné jednoduchým spôsobom odvodiť ekvivalentnú definíciu topologického priestoru, ktorá namiesto podmienok na otvorené množiny kladie podmienky na uzavreté množiny. Teda je možné povedať, že topologický priestor je usporiadaná dvojica , kde X, , otvorené a uzavreté množiny sú definované rovnako ako vyššie, a kde platí:

 Prázdna množina aj množina X sú uzavreté.
 Zjednotenie ľubovoľných dvoch uzavretých množín je uzavretá množina.
 Prienik ľubovoľného počtu uzavretých množín je uzavretá množina.

Definícia pomocou Kuratowského axióm uzavretosti 

Inou možnosťou definície topologického priestoru (ktorá je však ekvivalentná s klasickou definíciou) je definícia topologickej štruktúry pomocou sady axióm, s ktorou prišiel poľský matematik Kazimierz Kuratowski. Podľa tejto definície je topologický priestor usporiadaná dvojica , kde X je množina a

je operátor uzáveru, pre ktorý sú splnené nasledujúce podmienky (Kuratowského axiómy):

 Uzáver danej množiny A musí obsahovať celú množinu A, teda: 
 
 Uzáver je idempotentný, teda platí
 
 Uzáver zjednotenia je zjednotenie uzáverov, čiže:
 
 Prázdna množina je sama o sebe uzavretá, čiže:

Definícia pomocou axióm susednosti 

Ďalšou ekvivalentnou definíciou topologického priestoru, s ktorou prišiel Felix Hausdorff, je jeho definícia pomocou tzv. axióm susednosti. Podľa tejto definície je topologický priestor usporiadaná dvojica , kde X je množina a  je trieda množín , kde každé  je množina podmnožín X nazývaných okolie bodu , pričom platia nasledujúce podmienky (axiómy susednosti):
 Každé okolie bodu x obsahuje bod x a X je okolím každého bodu x, teda:
 
 Ak nejaká množina  obsahuje okolie bodu x, potom je sama okolím bodu x. Teda,
 
 Prienik ľubovoľných dvoch okolí bodu x je okolie bodu x:
 
 Každé okolie bodu x obsahuje iné okolie bodu x, ktoré je okolím všetkých svojich bodov. Teda,

Príklady topologických priestorov

Jednoduché príklady 

 Množina X = {1, 2, 3, 4} a na nej definovaná topológia  = {{}, {1, 2, 3, 4}}, ktorá obsahuje jediné dve podmnožiny X, ktoré sú požadované definíciou, tvoria topologický priestor. Takáto topológia  sa nazýva aj triviálna topológia alebo tiež antidiskrétna topológia. 
 Množina X = {1, 2, 3, 4} a  = {{}, {2}, {1,2}, {2,3}, {1,2,3}, {1,2,3,4}} tvoria topologický priestor.
 Množina X = {1, 2, 3, 4} spoločne s topológiou  (potenčná množina množiny X) tiež tvoria topologický priestor. Takto definovaná topológia  sa nazýva diskrétna topológia.
 Množina  všetkých celých čísel a množina  rovná zjednoteniu všetkých konečných podmnožín  a množiny  samotnej, netvoria topologický priestor, keďže napríklad zjednotenie všetkých konečných podmnožín celých čísel neobsahujúcich číslo 0 nie je konečná množina, ale nie je to ani množina

Sierpińského priestor 

Najjednoduchším príkladom topologického priestoru, ktorý nie je ani triviálny, ani diskrétny je tzv. Sierpińského priestor, pomenovaný podľa Wacława Sierpińského. Ide o topologický priestor na množine {0,1}, ktorého otvorené množiny sú

a ktorého uzavreté množiny sú 

Jednoprvková množina {0} je uzavretá a nie otvorená, jednoprvková množina {1} je otvorená a nie uzavretá.

Hausdorffove priestory 

Hausdorffov priestor, pomenovaný podľa Felixa Hausdorffa, nazývaný aj separabilný priestor alebo T2 priestor, je taký topologický priestor, v ktorom pre ľubovoľné dva body existuje dvojica disjunktných okolí. Každý metrický priestor je Hausdorffov priestor.

Základné pojmy teórie topologických priestorov

Okolie bodu 

Množina  sa nazýva okolím bodu  v topologickom priestore , ak existuje množina  taká, že .
Podľa toho, či je okolie V bodu x otvorená alebo uzavretá množina, nazýva sa V otvoreným alebo uzavretým okolím bodu x.

Vnútro množiny 

Neformálne možno povedať, že vnútro množiny A tvoria práve všetky body z A, ktoré neležia "na jej kraji," ale "vnútri." Je však dôležité, že aj keď je takéto vysvetlenie intuitívne (napr. z klasickej topológie na množine ), vo všeobecnosti je bez formálnej definície pomerne problematické rozhodnúť o tom, čo je kraj a čo vnútro množiny.

Formálne, vnútro množiny  (označované int(A) alebo alebo A°) v topologickom priestore  je množina všetkých bodov x z A, pre ktoré existuje okolie, ktoré je celé v A. Teda,

Uzáver množiny 

Uzáver množiny A, označovaný  alebo , je najmenšia uzavretá množina B, pre ktorú platí  To je ekvivalentné s nasledujúcou formálnou definíciou: uzáver množiny A v topologickom priestore  je množina všetkých bodov , ktoré nepatria do vnútra množiny  Čiže,

 

Ak rozpíšeme definíciu vnútra množiny a výsledný logický výraz vhodne upravíme, dostaneme:

 

Táto definícia uzáveru predpokladá klasickú definíciu topologického priestoru. Zjavne, pokiaľ sa použije definícia pomocou Kuratowského axióm uzavretosti, je uzáver definovaný len ako zobrazenie spĺňajúce stanovené axiómy.

Hranica množiny 

Hranica množiny A v topologickom priestore , označovaná bd(A) alebo , je množina všetkých bodov, ktoré patria do uzáveru množiny A, ale nepatria do jej vnútra. Teda,

Husté a riedke množiny 

Množina  sa nazýva hustá v topologickom priestore , ak jej uzáver je celá množina X (komplementárna množina neobsahuje žiadne vnútorné body), čiže ak platí množinový vzťah

 

Množina  sa nazýva riedka v topologickom priestore , ak vnútro jej uzáveru je prázdna množina, čiže ak platí

Hromadné a izolované body 

Pre definíciu pojmov ako spojité zobrazenie, či limita, je kľúčový pojem hromadného bodu. Bod  sa nazýva hromadný bod množiny  v topologickom priestore , ak každé rýdze okolie bodu x (t. j. okolie bodu x bez bodu x) má neprázdny prienik s množinou A.

Bod  sa nazýva izolovaný bod množiny  v topologickom priestore , ak existuje okolie  také, že pre zodpovedajúce rýdze okolie platí

Báza topologického priestoru 

Báza topologického priestoru  je taká množina  otvorených množín z , že všetky otvorené množiny (prvky ) sa dajú zapísať ako zjednotenie množín z bázy . Čiže množina  je báza topologického priestoru  práve vtedy, keď platí

Báza topologického priestoru  sa niekedy nazýva aj báza topológie .

Spojité zobrazenia v topologických priestoroch 

Topologické priestory umožňujú definovať pojem spojitého zobrazenia, pričom definícia je zovšeobecnením klasických definícií, napríklad pre funkcie jednej alebo viacerých reálnych premenných.

Zobrazenie  medzi topologickými priestormi 
a  je spojité, ak pre každú otvorenú množinu z Y (teda ľubovoľnú množinu z ) je jej inverzný obraz zobrazením f otvorená množina v X (teda prvok ). Teda, formálne,  je spojité, ak platí

kde f-1(V) je definované ako

Priame použitie takejto definície môže byť problematické, preto sa definuje príbuzný pojem - spojitosť zobrazenia v bode. Zobrazenie  medzi topologickými priestormi  a  je spojité v bode , ak pre každé okolie V bodu  v priestore  existuje okolie U bodu x v priestore  také, že .

Homeomorfizmus  

Homeomorfizmus sa definuje ako spojité bijektívne zobrazenie medzi topologickými priestormi  a , ktoré má spojité inverzné zobrazenie. Homeomorfizmus je izomorfizmus v kategórii topologických priestorov, teda je to zobrazenie zachovávajúce všetky topologické vlastnosti daného priestoru. Ide teda o druh topologickej ekvivalencie.

Referencie

Literatúra 

 Jänich, K.: Topology. Springer-Verlag, 1984.
 Kelley, J.: General Topology. Springer, 1975.
 Sutherland, W.: Introduction to Metric and Topological Spaces. Oxford University Press, 2009.
 Willard, S.: General Topology. Addison-Wesley, 2004.
 Lawson, T.: Topology: A Geometric Approach. Oxford University Press, 2006.

Externé odkazy 

 Topologický priestor - MathWorld .
 Článok o topologických priestoroch na PlanetMath .
 Skriptá o topológii a funkcionálnej analýze zaoberajúce sa okrem iného aj topologickými priestormi.
 Konečné topologické priestory - učebný text z University of Chicago .

Topológia