Rovinný graf

Rovinný graf alebo planárny graf je taký graf G = (V, H), ktorého diagram v rovine možno zostrojiť tak, že dve rôzne hrany majú spoločné nanajvýš krajné vrcholy. Inými slovami: graf je rovinný, ak sa dá nakresliť v rovine tak, že vrcholy sú body roviny, hrany sú oblúky (krivky) a žiadne dve hrany sa nepretínajú.

Medzi rovinné grafy patria všetky stromy a grafy , teda všetky grafy s počtom vrcholov minimálne jedna a maximálne štyri. Ďalšou charakteristikou je fakt, že Eulerova veta je platná pre akýkoľvek planárny graf.

Eulerova veta 
Eulerova veta: v + s = h + 2; kde v – počet vrcholov, s – počet oblastí (štátov), h – počet hrán (hraníc).

Dôkaz 
Dôkaz Eulerovej vety urobíme indukciou vzhľadom na počet hrán . Veta zrejme platí v grafoch bez hrán. Predpokladajme teraz, že platí pre všetky rovinné grafy, ktoré majú menej ako  hrán (indukčný predpoklad). Nech  je rovinný graf s  hranami. Budeme rozlišovať dva prípady:

a) Nech  obsahuje most. Potom po vynechaní mostu sa rozpadne na dva rovinné grafy , . Nech počet vrcholov, hrán a oblastí grafu  je , ,  a grafu  je , , . Pre  a  už (podľa indukčného predpokladu) veta platí. Teda máme 
, .
Ďalej  – počet vrcholov grafu , ,  (vynechaním mostu sa počet oblastí nemení, ale v súčte  sa vonkajšia oblasť započíta dvakrát). Z posledných rovností a z uvedených vzťahov vyššie dostaneme: .

b) Nech  neobsahuje most. Potom zoberme ľubovolnú hranu . Hrana  je obsiahnutá v nejakej kružnici. Zoberme najkratšiu kružnicu , v ktorej je hrana  obsiahnutá. Vnútri kružnice  sa pri vhodnom kreslení diagramu grafu nachádza nejaká oblasť, ktorá vynechaním hrany  zanikne. Teda, ak  má práve o jednu oblasť menej ako . Pritom má ten istý počet vrcholov. Pre  však veta platí, preto platí aj pre . Tým je dôkaz ukončený.

Dôsledky Eulerovej vety

Dôsledok 1 
Ak  je rovinný graf, v ktorom všetky oblasti sú ohraničené kružnicami , tak .

Dôsledok 2 
Keď  je rovinný graf s  vrcholmi a s maximálnym počtom hrán, tak každá oblasť je  a platí .

Dôsledok 3 
Ak v rovinnom grafe sú všetky oblasti ohraničené kružnicami , tak .

Predpokladajme, že máme diagram planárneho grafu, ktorý je nakreslený v zmysle definície, ktorá hovorí o zostrojení diagramu tak, že rôzne hrany majú spoločné nanajvýš krajné vrcholy. Takýto diagram rozdeľuje hranami rovinu na disjunktné oblasti (ak obsahuje aspoň jednu kružnicu) a tie budeme nazývať oblasťami planárneho grafu. Vonkajšia oblasť je tá z oblastí, ktorá je neohraničená.

Nech G = (V,H) je súvislý planárny graf a nech r je počet oblastí grafu G. Potom platí: 

|H| − |V| + 2 = r. (Eulerova formula)

Použitím cyklomatického čísla grafu môžeme Eulerov vzorec zapísať v tvare:

r = μ(G) + 1,

v ktorom má ľahko zrozumiteľnú interpretáciu – počet oblastí planárneho grafu je rovný počtu nezávislých kružníc grafu zväčšenému o 1 (za vonkajšiu oblasť). Cyklomatické číslo grafu G, ktoré nám vlastne udáva minimálny možný počet hrán, odobraním ktorých je možné z grafu odstrániť všetky kružnice, vieme matematicky vyjadriť nasledovne:

μ(G) = |H| − |V| + p,

kde p je počet komponentov. Komponentom grafu G patriacim k vrcholu v grafu G nazývame súhrn všetkých prvkov grafu G, ktoré patria do niektorej cesty začínajúcej sa vo vrchole v. Každý graf sa skladá z komponentov. Graf s jedným komponentom sa nazýva súvislý. Ak sa v slede neopakuje ani jedna hrana a ani jeden vrchol, nazýva sa cesta. Sledom z vrcholu u do vrcholu v nazývame konečnú postupnosť , kde  sú vrcholy grafu  sú hrany grafu. Pritom predpokladáme, že každá hrana  spája vrcholy . Počet hrán v slede sa nazýva dĺžka sledu. Ak , sled nazývame uzavretý, v opačnom prípade otvorený.

Eulerova veta formuluje iba nutnú podmienku pre planaritu grafu, nie postačujúcu. Vyplýva z nej však viacero dôsledkov použiteľných na charakterizáciu planarity.

Veta 
Graf G je planárny práve vtedy, ak neobsahuje podgraf homeomorfný s niektorým z grafov  a .

Táto veta rieši problematiku planárnosti grafov s využitím výhradne kombinatorických prostriedkov (bez kreslenia diagramu grafu). V roku 1930 ju dokázal poľský matematik Kuratowski.

Grafy  a  sú homeoformné, ak sú izomorfné, alebo konečným počtom rozpoľovania hrán v týchto grafoch dostaneme také grafy, ktoré budú izomorfné.

Tvrdenie (Maximálny počet hrán rovinného grafu) 
 Nech G = (V, E) je rovinný graf s aspoň 3 vrcholmi. Potom |E|≤ 3|V|-6. Navyše rovnosť nastáva pre každý maximálne rovinný graf; t. j. rovinný graf, ku ktorému nejde pridať žiadnu hranu (pri zachovaní množiny vrcholov) tak, aby zostal rovinným.
 Ak neobsahuje najviac uvažovaný rovinný graf trojuholník (t. j. K3 ako podgraf) a má aspoň 3 vrcholy, potom |E|≤2|V|−4.

V tomto tvrdení nepripúšťame grafy s násobnými hranami.

Neplanárne grafy 
Graf, ktorý nie je planárny, sa nazýva neplanárny. Všeobecne pre neplanárne grafy je možné nakresliť diagram grafu len tak, že niektoré hrany sa krížia v nekoncových bodoch. Pre daný graf G môžeme určiť:

 priesečníkové číslo grafu G je minimálny počet dvojíc hrán, ktoré sa krížia (pretínajú) pri ľubovoľnom nakreslení diagramu grafu G
 hrúbka grafu G je minimálny počet jeho planárnych podgrafov zjednotením ktorých dostávame graf G
 jemnosť grafu G je maximálny počet hranovo disjunktných neplanárnych podgrafov grafu G

Tieto miery možno nazvať kombinatorickými mierami neplanárnosti grafov. Existuje ešte jedna miera, ktorá má čisto geometrickú interpretáciu: rod grafu – je to minimálny počet premostení, ktoré treba pridať ku guli, aby sa na jej povrchu dal nakresliť diagram príslušného grafu bez pretínania sa hrán. Planárne grafy majú teda rod 0, rod 1 majú grafy, ktorých diagramy môžeme nakresliť na anuloid (“pneumatiku”).

Príklady pre neplanarne grafy 
Príkladom sú už uvedené grafy K5, K3, 3. Uvedené grafy predstavujú zároveň minimálne neplanárne grafy: K5 má najmenší počet vrcholov (5) a K 3,3 má najmenší počet hrán (9). Ukazuje sa, že tieto dva grafy hrajú veľmi významnú úlohu v súvislosti s planaritou grafov.

Kuratowského veta 
Graf G je rovinný práve vtedy, ak nie je žiadny jeho podgraf izomorfným delením grafu K5 ani K3,3. K5 označuje úplný graf na piatich vrcholoch; K3,3 je úplný bipartitný graf.

Mnohosteny (Platónske telesá) 
Antická škola mysliteľov spájaná s Platónovým menom sa zaoberala pravidelnými geometrickými útvarmi, takzvané pravidelné mnohosteny, a hľadala ich v základoch stavby vesmíru. Pravidelný mnohosten je trojrozmerné teleso, ohraničené konečným počtom stien – rovnakých pravidelný mnohouholníkov, kde sa v každom vrchole spája rovnaký počet stien (strán) a hrán.

Konvexný mnohosten je planárnymi grafom ak: 
 Všetky jeho strany sú zhodné konvexné mnohouholníky,
 Žiadne jeho steny sa nepretínajú inde ako na hrane,
 Rovnaký počet strán sa dotýka v každom vrchole.

Každý planárny graf môže byť preto označený znakom {p,q} , kde:
 p = počet hrán každej strany (alebo počet vrcholov každej strany),
 q = počet strán stretávajúcich sa v každom vrchole (alebo počet hrán stretávajúcich sa vo vrchole)

Znak {p,q} sa nazýva Schälfiho znak, dáva kombinatoricky popis mnohostena.

História planárnych (rovinných) grafov 
Planárne grafy sú známe už od antiky. Ich ornamentové modely môžu byť nájdené medzi ozdobnými kamennými guľami vyrobenými v neskorom neolite v Škótsku najmenej 1000 rokov pred Platónom. Antickí Gréci rozsiahlo študovali planárne grafy. Niektoré zdroje pripisujú objavenie Pytagorovi. Iné hovoria o tom, že bol iba oboznámený so štvorstenom, kockou a 12-stenom a že objavenie osemstena a 20-stena patri Theaetetovi, jednému z Platónových žiakov. Theaetetus dal matematický popis všetkým piatim útvarom a je zodpovedný za prvý známy dôkaz, že nie sú žiadne iné vypuklé pravidelné mnohosteny. Euklides dal kompletný matematický popis planárnych grafov v Elementoch, poslednej knihe, ktorá bola zasvätená ich vlastnostiam. V knihe popisuje zostrojenie štvorstena, kocky, osemstena, dvanásťstena a dvadsať stena. Pre každý útvar Euklides našiel pomer priemeru opísanej guľe k dĺžke hrany. Taktiež tvrdil, že nie je viac vypuklých pravidelných mnohostenov.

V 16. storočí sa nemecký astronóm Johannes Kepler pokúsil nájsť závislosť medzi vtedy známymi planétami a piatimi planárnymi grafmi. V 1596 predložil model slnečnej sústavy, v ktorej týchto 5 grafov bolo posadených do vnútra ďalšieho a oddelených sériou vpísaných a ohraničených oblastí. 6 oblastí, pričom každá z nich súhlasila s jednou z planét (Merkúr, Venuša, Zem, Mars, Jupiter a Saturn). Grafy boli zoradené od najvnútornejšieho osemstena, nasledoval dvadsaťsten, dvanásťsten, štvorsten a nakoniec kocka. Týmto spôsobom štruktúra slnečnej sústavy a vzťah medzi vzdialenosťami planét boli určené planárnymi grafmi. Nakoniec od Keplerovho originálneho nápadu muselo byt upustené, ale jeho výskum dospel k tomu, že obežné dráhy planét sú elipsy, taktiež jeho dva zákony orbitálnej dynamiky ovplyvnili fyziku a astronómiu, plus objavil Keplerove grafy.

Silne rovinný graf  
Rovinný graf sa nazýva silne rovinný ak ho možno v rovine nakresliť tak, že všetky vrcholy ležia na hranici jednej oblasti.

Veta 
Silne rovinný v-vrcholový graf má maximálne  hrán.

Literatúra 
 Znám, Š: Kombinatorika a teória grafov. Bratislava, Matematicko-fyzikálna fakulta Univerzity Komenského. 1982, s. 60 – 61

Teória grafov