Serje ta' Fourier

Fil-matematika, serje ta' Fourier hi rappresentazzjoni ta' funzjoni perjodika (għas-semplicità nieħdu l-perijodu 2π) permezz ta' somma ta' funzjonijiet perjodiċi tal-forma

 ;
Minħabba l-formula ta' Euler, is-serje preċedenti nistgħu nesprimuha ekwivalentement permezz tal-funzjonijiet tas-senu u kosenu. 

Dawn is-serje huma msemmijin għall-matematiku Franċiż Joseph Fourier (1768-1830), li kien l-ewwel li studja sistematikament dawn is-serje infiniti (qabel kienu l-oġġett ta' investigazzjoni preliminari minn Euler, d'Alembert u Daniel Bernoulli). Fourier applika dawn is-serje għas-soluzzjoni tal-ekwazzjoni tas-sħana, u ppubblika ir-riżultati inizjali tiegħu fl-1807 u fl-1811 u fl-ikbar xogħol tiegħu bit-titlu Théorie analytique de la chaleur fl-1822. Skont il-punto di vista modern, ir-riżultati ta' Fourier huma fuq livell xi ftit informali, minħabba l-fatt li l-matematika fis-seklu XIX kienet għadha ma żviluppatx nozzjoni preċiża ta' funzjoni u ta' integral. Kien biss wara n-nofs ta' dak is-seklu li Dirichlet u Riemann irriformulaw ir-riżultati ta' Fourier b'preċisjoni ogħla u f'forma iżjed soddisfaċenti. 

Bil-mogħod daħlu ħafna forom oħra ta' trasformati marbutin ma' dik ta' Fourier. Dawn it-trasformati ġodda jintużaw għal applikazzjonijiet oħra u jestendu l-idea tal-bidu billi nirrappreżentaw kull funzjoni perjodika bħala sovrappożizzjoni ta' armoniċi. L-oqsma li issa huma miftuħin għal dan jagħmlu parti minn dil li ngħidulha analisi armonika.

Definizzjoni ta' serje ta' Fourier 

Ejjew nikkonsidraw funzjoni ta' varjabbli reali b'valuri komplessi  li hi perjodika b'perijodu  u b'kwadrat integrabbli fuq l-intervall . Niddefinixxu

 .

F'dal-każ ir-rappreżentazzjoni premess tas-serje ta' Fourier ta'  tingħata minn

.

Kull wieħed mit-termini ta' din is-somma ngħidulu mod ta' Fourier. Fil-każ partikulari importanti fejn  hi funzjoni ta' valuri reali, sikwit ikun utli li nużaw l-identità

biex nirrappreżentaw  ekwivalentement bħala kumbinazzjoni linjari infinita ta' funzjonijiet tal-forma  u , jiġifieri bħala 

 , 
 
fejn

 ;

din terġa' twassal għar-rappreżentazzjoni preċedenti permezz ta' 
 .

Eżempju 

Nikkonsidraw il-funzjoni , il-funzjoni identità għal . Jekk irridu nikkonsidraw l-żvilupp barra minn dan id-dominju, is-serje ta' Fourier teħtieġ impliċitament li din il-funzjoni tkun perjodika.

Irridu nikkalkulaw il-koeffiċjenti ta' Fourier ta' din il-funzjoni. Naraw mil-ewwel li  hi funzjoni żewġija, waqt li l-f u  huma funzjonijiet farradin.

 

Mela s-serje ta' Fourier għall-funzjoni li qegħdin neżaminaw hi:

Konvergenza tas-serje ta' Fourier 

Waqt li l-koeffiċjenti ta' Fourier  u  nistgħu niddefinuhom formalment għal kull-funzjoni li jagħmel sens li nikkonsidraw l-integrali li jagħtu l-valuri tagħhom, jekk is-serje definita hekk tikkonverġix għal  jiddipendi mill-proprijetajiet speċifiċi ta' dik il-funzjoni.

Ikollna konklużjoni l-iżjed sempliċi meta  hi ta' kwadrat integrabbli; f'dak il-każ 

(jiġifieri għandna konvergenza fin-norma tal-ispazju L2).

Nafu ħafna kriteri oħra li jiggarantixxu li s-serje tikkonverġi f'punt mogħti x, pereżempju jekk il-funzjoni tkun differenzjabbli fx. Anki diskontinwità b'qabża ma tagħmilx problemi: jekk il-funzjoni jkollha derivati fuq ix-xellug u l-lemin f'''x, imbagħad is-serje ta' Fourier tikkonverġi għall-valur medju tal-limiti mix-xellug u mill-lemin. Dan igħidulu l-fenomenu Gibbs. 

Minn naħa l-oħra hemm il-possibbiltà li ħafna jsibu stramba: is-serje ta' Fourier ta' funzjoni kontinwa tista' ma tikkonverġiex punt punt.

 Xi konsegwenzi utli tal-proprijetajiet tal-omomorfiżmu tal-exp 

Konsegwenza tal-fatt li l-"funzjonijiet bażi"  huma omomorfiżmi tal-linja reali, u iżjed eżatt, tal-grupp tal-ċirkonferenza, hemm xi identitajiet utli:

 Jekk

u niddenotaw bG it-trasformata ta' g, imbagħad

 .

 Jekk  hi it-trasformata ta' , imbagħad
 ,

jiġifieri t-trasformata ta' Fourier ta' konvoluzzjoni hi l-prodott tat-trasformati ta' Fourier. Viceversa, jekk , imbagħad it-trasformata ta' Fourier H ta' h hi l-konvoluzzjoni tat-trasformati ta' Fourier ta' f u ta' g:

 .

 Teorema ta' Parseval 

Proprijetà importanti oħra tas-serje ta' Fourier hi t-teorema ta' Parseval, każ partikulari tat-teorema ta' Plancherel u forma ta' unitarjetà:

 .

 Norma bill-kwadrat tals-serje (li fil-fiżika jgħidulha l-enerġija tas-sinjal).
In partikulari għall-funzjoni f b'valuri reali:

.

L-identità għandha sinjifikat importanti ħafna u hi valida esklużivament għan-norma bill-kwadrat: tagħti ugwaljanza bejn funzjoni perjodika u s-serje ta' Fourier korrispondenti.

 Formulazzjoni ġenerali 

Il-proprijetajiet tas-serje ta' Fourier l-iżjed utli għall-komputazzjonali huma l-biċċa l-kbira konsegwenzi tal-proprijetajiet tal-ortognalità u tal-omomorfiżmu tal-funzjonijiet .
Ħafna suċċessjonijiet oħra ta' funzjonijiet ortognali għandhom proprijetajiet simili; imma f'dawn il-każi jintilfu l-identitajiet utli (pereżempju, dawk li għandhom x'jaqsmu mal-konvoluzzjoni) li jiġu mill-proprijetà tal-omomorfiżmu.

Eżempji ta' funzjonijiet ortognali utli jinkludu s-suċċessjonijiet ta' funzjonijiet ta' Bessel u l-polinomji ortognali. Dawn is-suċċessjonijiet sikwit jikkorrispondu ma' soluzzjonijiet ta' ekwazzjonijiet differenzjali; klassi wiesa' ta' suċċessjonijiet utili huma s-soluzzjonijiet tal-problemi ta' Sturm-Liouville. Huma jwasslu anki għas-soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni ta' Schrödinger tal-mekkanika mewġija.

 Paġni li għandhom x'jaqsmu 
 Trasformata ta' Fourier
 Analisi armonika
 Fenomenu ta' Gibbs
 Teorija ta' Sturm-Liouville

 Bibljografija 
 William E. Byerly (1893): An elementary treatise on Fourier's series and spherical, cylindrical, and ellipsoidal harmonics with applications to problems in mathematical physics Ginn & Company. 
 Horatio S. Carslaw (1921): Introduction to the theory of Fourier's series and integrals, Macmillan & co., ltd.
 E. W. Hobson (1926): The Theory Of Functions Of A Real Variable And The Theory Of Fourier's Series Vol. 2, Cambridge University Press. 
 Antoni Zygmund (1935): Trigonometrical series, Subwencji Fundusz Kultury Narodowej
 Yitzhak Katznelson (1976): An introduction to harmonic analysis'', Second corrected edition. Dover Publications, ISBN 0-486-63331-4

Ħoloq esterni 

 Eżempji ta' problemi ta' Fourier fuq exampleproblems.com
 Java applet li turi l-żvilupp f'serje ta' Fourier ta' funzjoni liema tkun.

Matematika