Trasformata ta' Fourier

It-trasformata ta' Fourier hi waħda mit-trasformati integrali l-iżjed importanti fil-matematika, b'applikazzjonijiet bla għadd fix-xjenzi, (in partikulari fil-fiżika, akustika, ottika, kristallografija), u fil-matematika stess (analisi, teorija ta' probabbiltà, statistika, teorija tan-numri, ġometrija). Fit-teorija tas-sinjali, it-trasformata ta' Fourier ninterpretawha bħala rappreżentazzjoni ta' sinjal f'termini ta' frekwenzi u ampjezzi relattivi. Eżempju utli li jista' jgħin biex nifhmu aħjar dan il-kunċett hu dak tal-mużika: permezz tat-trasformata ta' Fourier nistgħu nifirdu l-musika li nisimgħu (is-sinjal prominenti) f'mewġiet separati reżonanti magħmulin mill-istrumenti differenti, jiġifieri l-ħoss (bill-frekwenzi u l-ampjezzi relattivi) tat-tanbur, tal-kuntrabaxx, tal-kitarra, eċċ.

It-trasformata ta' Fourier żviluppaha il-matematiku Franċiż Jean Baptiste Joseph Fourier fl-1822, fit-trattat tiegħu Théorie analytique de la chaleur.

Definizzjoni 

Definizzjoni: Trasformata ta' Fourier
Għal , niddefinixxu t-trasformata ta' Fourier tal-funzjoni  hekk:<noinclude>

Nuru l-operazzjoni bl-ittra F kalligrafika, jiġifieri:

 

Nistgħu nestendu din id-definizzjoni ukoll għall-funzjonijiet :

Definizzjoni: Trasformata ta' Fourier
Għal  niddefinixxu t-trasformata ta' Fourier tal-funzjoni  hekk:

fejn  jirrappreżenta l-prodotti skalari.<noinclude>

Iżjed il-quddiem naraw it-tifsira tal-fattur .

Eżempji 

Jekk , jiġifieri l-funzjoni karatteristika ta' wisa' tnejn, għandna:

Jekk , għandna:

Issa napplikaw il-prinċipju tal-prolungament analitiku u il-lemma ta' Jordan u niksbu:

Meta nagħmlu t-tnejn flimkien niksbu:

Proprijetajiet formali 
Mill-linjarità ta' l-integral toħroġ immedjatament il-linjarità tat-trasformata ta' Fourier, espliċitament:

għal kull  u .

Mid-definizzjoni isegwi immedjatament li traslazzjoni ta' funzjoni tirriżulta f'moltiplikazzjoni
tat-trasformata b'esponenzjali, u vice versa: 

Ħalli  u .

Jekk , imbagħad

u jekk , 
imbagħad
.

Hemm simmetriji oħra, pereżempju: jekk , imbagħad , u jekk , fejn l-asterisk jiddenota il-konjugat kompless, imbagħad . In partikulari, jekk f hi reali u żewġija, imbagħad  hi reali u żewġija; jekk minflok f hi reali u farrada, imbagħad  hi immaġinarja u farrada.

B'bidla ta' varjabbli sempliċi niksbu li jekk  b' , imbagħad .

Proprijetà importanti hi li t-trasformata ta' konvoluzzjoni (denotata b') hi sempliċement il-prodott tat-trasformati. Jekk biex nissemplifikaw in-notazzjoni nużaw l-stess normalizzazzjoni tat-trasformata ta' Fourier anki għall-konvoluzzjoni, jiġifieri għal 
,
imbagħad ikollna
.
Nistgħu nipprovaw din il-proprijetà billi napplikaw it-Teorema ta' Fubini.

Bl-integrazzjoni bill-parti nistgħu nipprovaw li jekk  u , imbagħad  hi differenzjabbli u d-derivata tingħata hekk

Jekk vice versa  hi differenzjabbli u d-derivata minn naħa tagħha hi assolutament integrabbli, , imbagħad it-trasformata tad-derivata hi . 
Din il-proprijetà tippermettilna nsibu s-soluzzjonijiet ta' xi ekwazzjonijiet differenzjali, billi nittrasformawhom f'ekwazzjonijiet alġebrin.

Teorema Riemann-Lebesgue 

Teorema: Teorema Riemann-Lebesgue
Ħalli . Jekk , imbagħad:

 
 
 <noinclude>

Ara wkoll 
 Serje ta' Fourier
 Analisi ta' Fourier
 Trasformata ta' Laplace

Biblijografija 

 Michael Reed, Barry Simon: Methods of Modern Mathematical Physics, vol. II: Fourier Analysis, Self-Adjointness. 

Matematika