Ekwazzjoni ta' Schrödinger

L-ekwazzjoni ta' Schrödinger, misjuba mill-fiżiku Awstijak/Irlandiż Erwin Schrödinger fl-1925, hi ekwazzjoni fundamentali fil-Mekkanika kwantistika mhux relativistika. Tiddeskrivi l-evoluzzjoni mal-ħin ta' partiċella massiva mhux relativistika, u tieħu l-post li għandha t-tieni liġi ta' Newton fil-Mekkanika klassika.

Twelid tal-ekwazzjoni

Kuntest storiku 

Fil-bidu tas-seklu XX, kien jidher ċar li d-dawl juri d-dwalità mewġa-partiċella, jiġifieri jista' jidher, skont iċ-ċirkostanzi, kemm bħala partiċella, il-foton, u kemm bħala mewġa elettromanjetika. Louis de Broglie imbagħad ippropona li għandna niġġeneralizzaw id-dwalità għall-partiċelli magħrufa kollha allavolja l-ipoteżi kienet ħa toħloq paradoss għall-elettroni li kien ikollhom ikunu jistgħu jagħmlu interferenza bħad-dawl, ħaġa li ġiet verifikata wara mill-esperiment ta' Davisson-Germer. Bl-istess mod bħal fil-każ tal-foton, Louis de Broglie assoċja ma' kull partiċella ħielsa ta' enerġija  u momentu  frekwenza  u tul tal-mewġa  :
.

L-ekwazzjoni ta' Schrödinger, misjuba mill-fiżiku Erwin Schrödinger fl-1925, hi ekwazzjoni tal-mewġa li tiġġeneralizza l-approċċ ta' de Broglie li rajna hawn fuq għall-partiċelli massivi mhux relativistiċi li hemm fuqhom forza mnissla minn potenzjal u li l-enerġija mekkanika totali tagħhom hi klassikament:
. 
L-ekwazzjoni, imnissla minn din l-estensjoni permezz tal-prinċipju tal-korrispondenza, kellha suċċess minnufih billi biha setgħu jikkalkulaw il-livelli kwantifikati tal-enerġija tal-elettron fl-atomu tal-idroġenu u jispjegaw l-ispettru tal-idroġenu : is-serji ta' Lyman, Balmer, Brackett, Paschen, eċċ. 

L-interpretazzjoni fiżika korretta tal-funzjoni ta' Schrödinger ingħatat fl-1926 minn Max Born. Minħabba l-karattru probabilistiku li daħħlet, il-mekkanika ondulatorja ta' Schrödinger fil-bidu intlaqgħet bis-suspett minn ċerti fiżiċi magħrufin bħal Albert Einstein, li għalih "Alla ma jilgħabx bid-dammi".

Id-derivazzjoni ta' Schrödinger 

Id-derivazzjoni tiegħu Schrödinger ibbażaha fuq analoġija formali bejn l-ottika u l-mekkanika:

 Fl-ottika ondulatorja, l-ekwazzjoni tal-propagazzjoni f'materjal trasparenti ta' indiċi reali n li jinbidel bil-mod fuq l-iskala tat-tul tal-mewġa, twassal – sakemm wieħed jkun qiegħed ifittex soluzzjoni monokromatika li l-ampjezza tagħha tvarja bil-mod ħafna mal-fażi – għal ekwazzjoni approssima li tissejjaħ l-ekwazzjoni eikonali. Din hija l-approssimazzjoni tal-ottika ġeometrika, li magħha nassoċjaw il-prinċipju varjazzjonali ta' Fermat.

 Fil-formulazzjoni Hamiltonjana, hemm ekwazzjoni msejħa l-ekwazzjoni ta' Hamilton-Jacobi. Għal partiċella massiva mhux relativistika li fuqha hemm forza mnissla minn potenzjal, l-enerġija mekkanika totali hi kostanti u l-ekwazzjoni ta' Hamilton-Jacobi għall-"funzjoni karatteristika ta' Hamilton" tixbaħ formalment l-ekwazzjoni eikonali (il-prinċipju varjazzjonali użat hawn hu l-prinċipju tal-inqas azzjoni.)

Din l-analoġija induna biha Hamilton fl-1843, imma dan ma kellux għalfejn jiddubita l-validità tal-mekkanika klassika. Wara li De Broglie ħareġ bl-ipoteżi tiegħu fl-1923, Schrödinger qal lilu nnifsu  : la l-ekwazzjoni eikonali hija approssimazzjoni tal-ekwazzjoni tal-mewġa fl-ottika ondulatorja, għaliex ma nfittxux l-ekwazzjoni tal-mewġa fil-"mekkanika ondulatorja" li l-approssimazzjoni tagħha tkun l-ekwazzjoni ta' Hamilton-Jacobi. U hekk għamel, l-ewwel għal mewġa stazzjonarja (E = kostanti), u mbagħad għal liema mewġa tkun kif tkun.

Rimarka : Schrödinger kien beda jittratta l-każ ta' partiċella relativistika – kif kien għamel De Broglie qablu. Kien kiseb l-ekwazzjoni li llum tissejjaħ bl-isem l-ekwazzjoni ta' Klein-Gordon, imma meta sab li l-applikazzjoni tiegħu għall-każ tal-potenzjal Coulombjan tagħti livelli tal-enerġija li ma jaqblux mar-riżultati tal-esperimenti għall-atomu tal-idroġenu, reġa' ntefa' fuq il-każ mhux relativistiku, bis-suċċess li jaf kulħadd.

Derivazzjoni elementari 
 
Ladarba nkunu waqqafna l-anoloġija bejn l-ottika u l-mekkanika Hamiltonjana, il-bqija tad-derivazzjoni hi ħafifa. L-ekwazzjoni li tissodisfa l-ampjezza spazjali ta' mewġa monokromatika ta' frekwenza   f'materjal ta' indiċi n li tvarja bilmod nistgħu niktbuha hekk:

Nintroduċu n-numru tal-mewġa k f'materjal ta' indiċi n:

Imbagħad niksbu l-ekwazzjoni ta' Helmholtz :

Niddefinixxu t-tul tal-mewġa f'materjal : u nerġgħu niktbu l-ekwazzjoni ta' Helmholtz hekk :

Imbagħad nistgħu nużaw ir-relazzjoni ta' de Broglie għall-partiċella mhux relativistika, li għaliha il-momentu hu p = m v  :

Issa, l-enerġija ċinetika għall-partiċella mhux relativistika hi :

u minha niksbu l-ekwazzjoni ta' Schrödinger stazzjonarja :

Nintroduċu l-kwantu ta' azzjoni   u l-ekwazzjoni npoġguha fil-forma formali :

Baqgħalna nerġgħu nintroduċu il-ħin t biex nuru d-dipendenza ta' mewġa monkromatika. Nużaw ir-relazzjoni ta' Planck-Einstein   u niksbu:

Fl-aħħar niksbu l-ekwazzjoni ġenerali ta' Schrödinger:

Formulazzjoni moderna tal-ekwazzjoni 

Fil-mekkanika kwantistika, l-istat fil-mument t ta' sistema niddeskrivuha b'element  tal-ispazju ta' Hilbert kompless — nużaw in-notazzjoni bra-ket ta' Paul Dirac.  tirrappreżenta l-probabbilità tar-riżultati ta' kull kejl possibbli fuq is-sistema.

L-evoluzzjoni temporali ta'  niddeskrivuha bl-ekwazzjoni ta' Schrödinger :
 
fejn 
  hu radiċi ta'  ;
  fejn  hu l-kostanti ta' Planck ;
  hu l-Hamiltonjan, li inġenerali jiddependi mill-ħin, l-osservabbli li jikkorrespondi għall-enerġija totali tas-sistema ;
  hu l-osservabbli pożizzjoni ;
  hu l-osservabbli momentu.

Bil-kontra għall-ekwazzjonijiet ta' Maxwell li jagħtu l-evoluzzjoni tal-mewġ elettromanjetiċi, l-ekwazzjoni ta' Schrödinger mhijiex relativistika. Din l-ekwazzjoni kienet postulat. Ġiet aċċettata bħala korretta wara li Davisson u Germer bl-esperimenti tagħhom kienu kkonfirmaw l-ipoteżi ta' Louis ta' Broglie.

Riżoluzzjoni tal-ekwazzjoni 
Billi l-ekwazzjoni ta' Schrödinger hi ekwazzjoni vettorjali, nistgħu niktbuha b'mod ekwivalenti f'bażi partikulari tal-ispazju tal-istati. Jekk pereżempju nagħżlu l-bażi  li tikkorrispondi mar-rappreżentazzjoni tal-pożizzjoni ddefinita hekk

imbagħad il-funzjoni tal-mewġa tissodisfa l-ekwazzjoni li ġejja

fejn   hi l-Laplacjana.

F'din il-forma nistgħu naraw li l-ekwazzjoni ta' Schrödinger hi ekwazzjoni lineari bid-derivati parzjali u allura nistgħu niktbu s-soluzzjoni ġenerali tagħha bħala s-somma ta' soluzzjonijiet partikulari. L-ekwazzjoni fil-parti l-kbira tal-każi hi kkomplikata wisq biex ikollha soluzzjoni analitika u għalhekk ikollna nfittxu soluzzjoni approssima jew numerika.

Tfittxija għall-awtostati 
Bill l-operaturi li jidhru fl-ekwazzjoni ta' Schrödinger huma operaturi lineari, kull kumbinazzjoni lineari ta' soluzzjonijiet hi soluzzjoni tal-ekwazzjoni. Għalhekk nikkonċentraw fuq it-tfittxija għal soluzzjoniet li hemm interess kbir fihom għar-raġunijiet teoretiċi u prattiċi, l-istati li huma awtostati tal-operatur Hamiltonjan:
.
L-awtostat  hu assoċjat mal-awtovalur skalari reali , l-enerġija tal-partiċella li għandha  bħala stat. Din l-ekwazzjoni xi minn daqqiet tissejjaħ l-ekwazzjoni ta' Schrödinger indipendenti mill-ħin. 

Il-valuri tal-enerġija jistgħu jkunu diskreti bħas-soluzzjonijiet fil-każ ta' bir ta' potenzjal (pereż. il-livelli tal-atomu tal-idroġenu); dawn jirriżultaw fil-kwantifikazzjoni tal-livelli tal-enerġija. Jistgħu ukoll jagħtu spettru kontinwu bħal meta l-partiċella jkollha biżżejjed enerġija biex titbiegħed għall-infinit (pereż. elettron li għandu biżżejjed enerġija biex jaħrab min-nukleu tal-idroġenu).
	
Spiss jiġri li bosta stati jikkorispondu mal-istess valur tal-enerġija: f'dan il-każ ngħidu li l-livell tal-enerġija hu deġenerat.

B'mod ġenerali awtostat tal-Hamiltonjan,  , u l-enerġija assoċjata miegħu, jagħti soluzzjoni stazzjonarju tal-ekwazzjoni ta' Schrödinger (li tiddependi mill-ħin) :
                     
Mela s-soluzzjoni ġenerali tal-ekwazzjoni ta' Schrödinger nistgħu niktbuha bħala kumbinazzjoni lineari ta' stati bħal dawn:

Skont il-postulati tal-Mekkanika kwantistika,
 il-kwantità skalari komplessa hi l-ampjezza tal-istat fuq l-istat ;
 in-numru reali  hu l-probabbiltà (fil-każ ta' spettru diskret) li nsibu enerġija meta nkejlu l-enerġija tas-sistema.

Soluzzjonijet analitiċi eżatti 
It-tfittixija għall-awtostati tal-Hamiltonjan hi, inġenerali, komplessa ħafna. Anki l-każ tal-atomu tal-idroġenu li nistgħu nirriżolvuh analitikament, ma nistgħux niktbuh f'forma sempliċi jekk ma nħallux barra r-rabta mal-kamp elettromanjettiku li tippermetti l-istati eċċitati, is-soluzzjonijiet tal-ekwazzjoni de Schrödinger tal-atomu, li jgħaddu għall-istat fundamentali. 

Nistgħu nsibu soluzzjonijiet analitiċi għal xi mudelli sempliċi li għalkemm ma jaqblux mar-realtà nstabu utli ħafna: 
 partiċella ħielsa (potenzjal null);
 oxxillatur armoniku (potenzjal kwadratiku);
 partiċella li timxi f'ċirku;
 partiċella f'bir ta'potenzjal rettangulari;
 partiċella f'gwida tal-mewġ anulari ;
 partiċella f'potenzjal b'simetrija sferika;
 partiċella f'xibka unidimensjonali (potenzjal perjodiku).

Fil-każi l-oħra jkollna nirrikorru għal diversi metodi ta' approssimazzjoni:
 it-teorija tal-perturbazzjonijiet tagħti espressjonijiet analitiċi f'forma ta' żvilupp asintotiku madwar problema mhux perturbat li hu eżattament riżolvibbli.
 l-analiżi numerika tippermettielna nistudjaw sitwazzjonijiet li ma nistgħux nilħquhom bit-teorija tal-perturbazzjonijiet.

Ġeneralizzazzjoni tal-ekwazzjoni 
Il-ġeneralizzazzjoni għall-qasam relativistiku twassal għall-ekwazzjoni ta' Klein-Gordon, u mbagħad għall-ekwazzjoni ta' Dirac; din tal-aħħar tistabilixxi b'mod naturali l-eżistenza tal-ispin u tal-antipartiċelli. Madankollu ma teżistix interpretazzjoni koerenti għalkollox ta' dawn l-ekwazzjonijiet relativistiċi tal-mewġa fil-forma ta' teorija li tiddeskrivi partiċella waħda u għalhekk it-teorija kwantistika relativistika rridu nqegħduha fit-teorija kwantistika tal-kampi.

Referenzi u noti

Bibljografija 
 Erwin Schrödinger, Quantisierung als Eigenwertproblem. Annalen der Physik vol. 79, 1926, pp. 361, 489, 734, u Vol 81, p. 109, 1926.
 Paul Adrien Maurice Dirac, The Principles of Quantum Mechanics ir-4 edizzjoni, Oxford University Press, 1958.
 Erwin Schrödinger, "An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules"  Physical. Review, Vol 28 p. 1049, 1926.

Ara wkoll 

 Erwin Schrödinger
 Mekkanika kwantistika

Fiżika
Matematika