Moviment Brownjan

Il- moviment Brownjan hu deskrizzjoni matematika ta' moviment każwali ta' partiċella "tqila" mgħaddsa fi fluwidu u li m'għandhiex fuqha interazzjonijiet oħra ħlief il-ħbit fuqha tal-molekuli "ħfief" tal-fluwidu ta' madwarha. Minn dan jirriżulta li l-partiċella t-tqila timxi b'moviment irregolari ħafna, li ġie deskritt għall-ewwel darba fl-1827 mill-botanista Robert Brown waqt li kien qiegħed josserva ċ-ċaqlieq ta' partiċelli fil-fluwidu fil-ġewwieni ta' trab tal-pollin. 

Id-deskrizzjoni fiżika l-iżjed elementari ta' dan il-fenomenu hi din:
 bejn żewġ ħabtiet, il-partiċella l-kbira timxi f'linja dritta b'veloċità kostanti;
 il-partiċella l-kbira taċċelera meta taħbat ma' molekula tal-fluwidu jew xi ħajt.

Permezz ta' dan il-moviment nistgħu niddeskrivu l-imġiba termodinamika tal-gasijiet (teorija ċinetika tal-gasijiet), kif ukoll il-fenomenu tad-diffużjoni. Huwa użat ħafna wkoll fil-mudelli tal-matematika finanzjarja.

Ħjiel storiku 
Brown ra fil-fluwidu li kien fil-ġewwieni tat-trab tal-pollin (il-moviment Brownjan ma ġiex osservat fuq it-trab tal-pollin stess kif jingħad sikwit), xi partiċelli żgħar ħafna jiċċaqilqu b'movimenti li kienu jidhru kaotiċi. Dan ma setax jiġi spjegat permezz ta' kurrenti u lanqas permezz ta' xi fenomenu fiżiku ieħor magħruf. Għall-ewwel Brown għalhekk attribwieh għal xi attività ħajja. L-ispjegazzjoni korretta tal-fenomenu ġiet wara.

Brown ma kienx eżattament l-ewwel wieħed li għamel din l-osservazzjoni. Qal hu stess li bosta oħrajn kienu ssuġġerew l-eżistenza ta' dan il-moviment (f'konnessjoni mat-teoriji vitalisti ta' żmienu). Nistgħu insemmu lill-qasis kattoliku John Turberville Needham (1713-1781), famus f'ħajtu għas-sengħa li kellu fuq il-mikroskopju, u lill-Olandiż Jan Ingenhousz (1730 -1799) li fl-1785 iddeskriva l-moviment irregolari tat-trab tal-faħam fuq wiċċ l-alkoħol.

Matul is-seklu 20 kien hemm ħafna diskussjonijiet dwar x'kien osserva sewwa Brown. Minħabba l-kwalità medjokra tal-apparat li seta' jinqeda bih, xi wħud iddubitaw jekk kienx veru li ra l-moviment Brownjan, li kien jinvolvi partiċelli ta' xi mikrometri mill-iżjed. L-Ingliż Brian Ford reġa' għamel l-esperiment fil-bidu tas-snin 1990, bil-materjal użat minn Brown u f'kondizzjonijietet li kienu l-istess kemm jista' jkun. Il-moviment kien veru osservat f'dawn il-kondizzjonijiet u hekk ġew ikkonfermati l-osservazzjonijiet ta' Brown.

Rudimenti matematiċi

Il-kunċett ta' proċess każwali 
Insibuh diffiċli li nimmudellaw il-moviment Brownjan minnħabba l-fatt li dan il-moviment hu każwali u li statistikament kull partiċella ma timxix: mhuwiex moviment tal-partiċelli kollha f'daqqa bħar-riħ jew kurrent. Iżjed preċiż:
 f'waqt mogħti, is-somma vettorjali tal-veloċitajiet tal-partiċelli hi żero (m'hemmx moviment tal-ġabra tal-partiċelli);
 jekk insegwu partiċella mogħtija, matul iż-żmien, il-bariċentru tal-mogħdija tagħha hu l-punt minn fejn tkun telqet, tagħmel "dawra durella" madwar l-istess punt.

Hu diffiċli f'dawn il-kondizzjonijiet li nikkaratterizzaw il-moviment. Is-soluzzjoni sabha Louis Bachelier, u ppreżentaha fit-teżi tiegħu li ddefenda fid-29 ta' Marzu 1900. Wera li dak li jikkaratterizza l-moviment, m'hijiex il-medja aritmetika tal-pożizzjonijiet  imma l-medja kwadrata  : jekk  hi d-distanza tal-partiċella fil-ħin  wara li telqet minn fejn telqet, allura :

Nistgħu nuru li hawn l-ispostament kwadrat medju hu proporzjonali għall-ħin :

fejn  hi d-dimensjoni tal-moviment (linjari, pjan, spazjali),  il-koeffiċjent tad-diffużjoni u  il-ħin li jkun għadda.

Definizzjoni matematika 

Nistgħu nagħtu din id-definizzjoni formali: Il-moviment Brownjan hu proċess stokastiku  fejn l-inkrementi disġunti huma indipendenti u l-inkrement  jobdi l-liġi normali b'medja żero u varjanza .

Permezz ta' din id-definizzjoni nistgħu nippruvaw xi proprjetajiet tal-moviment Brownjan, bħal pereżempju il-kontinwità tiegħu (kważi żgura), il-fatt li kważi żgurament, il-mogħdija tiegħu m'hi mkien differenzjabbli, u bosta proprjetajiet oħra.

Nistgħu ukoll niddefinixxu l-moviment Brownjan permezz tal-varjanza. Din id-definizzjoni, imsejħa t-teorema ta' Lévy, tagħti din il-karatterizzazzjoni: Proċess stokastiku li hu martingala lokali u għandu varjanza  hu moviment Brownjan.

Il-formola ta' Einstein 
Permezz tal-formola li tajna hawn fuq nistgħu nikkalkulaw il-koeffiċjent tad-diffużjoni ta' par partiċella-fluwidu. Ġaladarba nkunu nafu l-karatteristiċi tal-partiċella li qiegħda tiddifuża, nistgħu niddeduċu l-karatteristiċi tal-ieħor. Jekk inkunu nafu l-karatteristiċi tat-tnejn, inkunu nistgħu nikkalkulaw in-numru ta' Avogadro bl-għajnuna tal-formola ta' Einstein (1905) :

fejn  hi l-kostanti tal-gasijiet perfetti,  it-temperatura,  il- viskożità tal-fluwidu,  ir-raġġ tal-partiċella u  in-numru ta' Avogadro. Il-fiżiku Jean Perrin ikkalkula dan in-numru fl-1908 permezz ta' din il-formola.

Xi mudelli fl-spazju Ewklidew

L-ekwazzjoni ta' Langevin (1908) 

Fil-metodu ta' Langevin, il-partiċella Brownjana l-kbira ta' massa  għandha fil-waqt , veloċità  u jaħkmu fuqha żewġ forzi:
 forza ta' frizzjoni fluwida tat-tip , fejn  hi kostanti pożittiva;
 ħoss abjad Gaussjan, .
Meta napplikaw il-prinċipju fundamentali tad-dinamika ta' Newton b'dawn il-forzi niksbu l-ekwazzjoni stokastika ta' Langevin:

Il-proċess ta' Ornstein-Uhlenbeck 
Il-proċess ta' Ornstein-Uhlenbeck hu proċess stokastiku li jiddeskrivi l-veloċita ta' partiċella fi fluwidu, f'dimensjoni 1. 

Niddefinuh bħala s-soluzzjoni  ta' din l-ekwazzjoni differenzjali stokastika: 

, 

fejn  hu moviment Brownjan standard, 
u  hi varjabbli każwali mogħtija. 
It-terminu  jirrappreżenta l-għadd kbir ta' ħabtiet stokastiċi mal-partiċella, waqt li t-terminu  jirrappreżenta l-forza tal-frizzjoni fuq il-partiċella.

Il-formola ta' Itô applikata għall-proċess  tagħtina:
, 
li fil-forma integrali ssir:
.
Pereżempju, jekk  tieħu kważi żgur il-valur , 
Il-liġi ta'  hi liġi Gaussjana b'medja  u varjanza , li tikkonverġi fil-liġi meta  tersaq lejn l-infinit għal liġi Gaussjana standard.

Mixjiet każwali 
Nistgħu nużaw mudell ta' mixja każwali, fejn il-moviment isir b'qabziet diskreti bejn pożizzjonijiet fissi (b'movimenti f'linja dritta bejn żewġ pożizzjonijiet), bħal pereżempju fil-każ tad-diffużjoni fis-solidi. Jekk ix- huma l-pożizzjonijiet wara xulxin ta' partiċella, wara  qabżiet ikollna:

Mixja każwali f'dimensjoni waħda tal-ispazju (Eżempju) 
Ejjew inħarsu lejn mixja ta' partiċella fuq l-assi Ox. Nissoponu li din il-partiċella tagħmel qabżiet ta' tul  bejn pożizzjonijiet ġirien ta' xulxin sitwati fuq l-għoqod tax-xibka:  ta' ħadma  u kull qabża ddum żmien . 

Irridu nagħtu wkoll numru  li jissodisfa: . L-interpretazzjoni fiżika ta dan il-parametru hi din:
  tirrapreżenta l-probabbiltà li l-partiċella taqbeż lejn il-lemin kull darba;
  tirrapreżenta l-probabbiltà li l-partiċella taqbeż lejn ix-xellug kull darba.

Il-każ tal-moviment Brownjan jikkorrispondi ma' li nagħmlu l-ipoteżi ta' iżotropija spazjali. Id-direzzjonijiet fl-ispazju fiżiku huma a priori ekwivalenti u l-probabbiltajiet ta' qbiż lejn iż-żewġ direzzjonijiet huma l-istess: 

Ix-xbieha hawn taħt turi eżempju tipiku tar-riżultat: il-partiċella titlaq minn , , u l-linja timxi mal-pożizzjonijiet suċċessivi  tal-partiċella fil-ħinijiet .

Il-probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali 
Il-probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali niddefinuha hekk:

bħala l-probabbiltà li nsibu l-partiċella fuq is-sit (għoqda)  fil-ħin  meta nkunu nafu li kienet fuq is-sit  fil-ħin tal-bidu .

L-ipoteżi ta' iżotropija twassalna biex niktbu l-liġi tal-evoluzzjoni ta' din il-pobabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali b'dan il-mod :

Minnha niddeduċu din ir-relazzjoni:

Konverġenza lejn il-moviment Brownjan. Ekwazzjoni ta' Fokker-Planck 
Ejjew nieħdu l-limitu kontinwu tal-aħħar ekwazzjoni, jiġifieri nieħdu l-limitu bil-parametri: 

 

 

Meta nagħmlu l-kalkulu tal-limitu kontinwu naraw li l-kumbinazzjoni  trid tibqa' kostanti f'dan il-limitu. Meta niżviluppaw  f'poteri ta'  insibu:

Meta niżviluppawha f’poteri ta'  ikollna:

u jekk nagħqduhom dawn tal-aħħar flimkien inġibu:

Minn dawn nistgħu niddeduċu l-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck :

jew

li nistgħu nerġgħu niktbuha:

meta nintroduċu l-koeffiċjent tad-diffużjoni:

Solution tal-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck 

Barra mill-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck, id-densità ta' probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali  trid tissosdisfa iż-żewġ kondizzjonijiet supplementari li ġejjin:

 in-normalizzazzjoni tal-probabbiltà totali:

 il-kondizzjoni inizjali:

fejn  hi d-distribuzzjoi ta' Dirac.

Id-densità ta' probabbiltà ta' tranżizzjoni kondizzjonali  hi mela essenzjalment funzjoni ta' Green tal-ekwazzjoni ta' Fokker-Planck. Nistgħu nuru li din tinkiteb espliċament:

 
Il-mumenti ta' din id-distribuzzjoni nistgħu nikkalkulawhom faċilment.

Il-moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana 
Insejħu moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana  il-proċess każwali kontinwu Markovjan li s-semigrupp tiegħu tat-tranżizzjoni b'parametru wieħed hu mnissel minn , fejn  hu l-operatur ta' Laplace-Beltrami fuq il-varjetà .

Noti u referenzi

Bibljografija

Aspetti storiċi 
 Jean Perrin, Mouvement brownien et réalité moléculaire, (Il-moviment Brownjan u r-realtà molekulari) Annales de Chimie et de Physique 19 (it-8 serje), (1909), 5-104. Wieħed jista' jikkonsulta u jniżżel it-test komplut fil-format pdf minn fuq is-sit Gallica tal-BNF.
 Albert Einstein, Investigations on the Theory of the Brownian Movement, (Starriġ dwar it-teorija tal-moviment Brownjan) Dover Publications, Inc. (1985), ISBN 0-486-60304-0. Edizzjoni mill-ġdid tal-artikli oriġinali ta' Einstein fuq it-teorija tal-moviment Brownjan.

Il-moviment Brownjan fl-ispazju Ewklidew 
 Bertrand Duplantier ; Le mouvement brownien, (Il-moviment Brownjan) Séminaire Poincaré : Einstein, 1905-2005 (Pariġi, 8 ta' April 2005). Test komplut disponibbli fuq .
 Bernard Derrida u Eric Brunet, Le mouvement brownien et le théorème de fluctuation-dissipation, (Il-moviment Brownjan u t-teorema ta' flutwazzjoni-dissipazzjoni) f Michèle Leduc & Michel Le Bellac (edituri) ; Einstein aujourd'hui, EDP Sciences (Jannar 2005), ISBN 2-86883-768-9.
 Paul Lévy, Processus stochastiques et mouvement brownien, (Proċessi stokastiċi u l-moviment Brownjan) Gauthier-Villars (it-2 edizzjoni - 1965). Re-editjata minn Jacques Gabay (1992), ISBN 2-87647-091-8.
 Mark Kac, Random Walk and the Theory of Brownian Motion, (Mixjiet każwali u t-teorija tal-moviment Brownjan) American Mathematical Monthly 54(7) (1947),  369-391. Test jista' jinstab fil-format pdf fuq .
 Edward Nelson, Dynamical Theories of Brownian Motion, (Teoriji dinamiċi tal-moviment Brownjan) Princeton University Press (1967). Test jista' jinstab fil-format pdf fuq .

 Il-moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana 
 Elton P. Hsu ; Stochastic Analysis on Manifolds, (Analisi stokastika fuq il-varjetajiet) American Mathematical Society (Jannar 2002), ISBN 0-8218-0802-8. 
 Elton P. Hsu ; A Brief Introduction to Brownian Motion on a Riemannian Manifold, (Introduzzjoni fil-qosor għall-moviment Brownjan fuq varjetà Riemannjana) (2003). Test jista' jinstab fil-format pdf fuq .
 Mark A. Pinsky ; Isotropic transport process on a Riemannian manifold, (Proċess iżotropiku tat-trasport fuq varjetà Riemannjana), Transaction of the American Mathematical Society 218 (1976), 353-360. 
 Mark A. Pinsky ; Can You Feel the Shape of a Manifold with Brownian Motion ? (Tista' tħoss il-forma ta' varjetà permezz tal-moviment Brownjan ?), Expositiones Mathematicae 2 (1984), 263-271.
 Nicolas Th. Varopoulos ; Brownian motion and random walks on manifolds (Moviment Brownjan u mixjiet każwali fuq varjetajiet), Annales de l'Institut Fourier 34(2) (1984), 243-269. Test jista' jinstab fil-format pdf fuq . 
 Alexander Grigor'yan ; Analytic and geometric background of recurrence and non-explosion of the Brownian motion on Riemannian manifolds'', (Sfond analitiku u ġeometriku tal-moviment Brownjan fuq varjetajiet Riemannjani), Bulletin of the American Mathematical Society 36(2) (1999), 135-249. Test jista' jinstab fuq .

Ħoloq esterni 
 Animazzjoni bil-Java fuq il-moviment Brownjan (test bl-Inġliż)

Matematika
Probabbiltà u statistika
Fiżika