Ekwazzjoni differenzjali

Fl-analisi matematika, ekwazzjoni differenzjali hi relazzjoni bejn funzjoni  mhux magħrufa u xi derivati tagħha.

Fil-każ li  tkun funzjoni 

definita f' intervall  ta'  ngħidu li hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (imqassra ODE, akronimu ta' ordinary differential equation).
Din ir-relazzjoni hi eżempju ta' ODE 
.
Il-forma l-iżjed ġenerali ta' ekwazzjoni differenzjali ordinarja (invarjabbli) ta' ordni  hija:
.
Insejħu ordni jew grad tal-ekwazzjoni, il-grad tal-ogħla derivata preżenti; pereżempju:

hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja (il-funzjoni mhux magħrufa  hi funzjoni ta'  biss) tat-tieni ordni.

Funzjoni  (derivabbli għal ċertu numru ta' drabi) li tissodisfa r-relazzjoni definita mill-ekwazzjoni ngħidulha soluzzjoni tal-ekwazzjoni differenzjali.

Ġeneralment, hu diffiċli jekk mhux impossibbli li nsibu espressjoni analitika ta' funzjoni li tissodisfa ekwazzjoni differenzjali, jiġifieri nsibu soluzzjoni espliċita,. Ma dan kollu, kważi dejjem possibbli nistudjaw l-imġiba tagħha kwalitativa jew ninqdew b' computer biex insibu approssimazzjoni permezz ta' metodi numeriċi.

Matul is-sekli, mindu Leibniz u Newton ifformalizzaw il-kalkulu infiniteżmali, instabu xi każi fejn hu possibbli nsibu l-espressjoni analitika tas-soluzzjoni. Xi drabi nistgħu insibu soluzzjoni espliċita, jiġifieri , u xi drabi oħra impliċita, jew fil-forma

li tista' tinbidel f'forma espliċita biss jekk  hi invertibbli, u f'dal-każ ikollna

Motivazzjoni 
L-ekwazzjonijiet differenziali huma l-iżjed strumenti importanti li tagħtina l-analisi matematika għall-istudju ta' mudelli matematiċi fl-iżjed setturi tax-xjenza mferrxin, mill-fiżika għall-bijoloġija għall-ekonomija.
Eżempju elementari ħafna ta' kif l-ekwazzjonijiet differenziali jistgħu joħorġu naturalment mill-istudju ta' sistemi huwa dan li ġej: Nissoponu li għandna popolazzjoni ta' batteri komposta fil-bidu  minn  individwi u nsejħu  il-popolazzjoni fil-ħin . Wieħed jistenna li, fil-medja, f'kull waqt , wara ħin relativament żgħir  titwieled kwantità ta' individwi ġodda proporzjonali għall-popolazzjoni u għall-ħin li għadda , jiġifieri daqs  fejn  hu numru (li nissoponu kostanti) li jiddeskrivi r-rata tat-twelid; analogament wieħed jistenna li jmutu  individwi fl-istess intervall ta' ħin, fejn  hu r-rata (kostanti) tal-mewt. Il-popolazzjoni fil-ħin , għalhekk, tingħata mill-popolazzjoni fil-ħin  li nżidu magħha l-popolazzjoni li għadha kif twieldet u nnaqsu dik li mietet, jiġifieri 

Għalhekk għandna

Nistgħu nagħrfu f'din l-espressjoni ir-rapport inkrementali tal-funzjoni ; jekk  hu żgħir ħafna li nistġhu nissostitwuh bid-derivata  u niktbu:

Din hi ekwazzjoni differenzjali ordinarja tal-ewwel ordni. Ir-riżolużzjoni ta' din l-ekwazzjoni tfisser is-sejba ta' kif l-imġiba tal-popolazzjoni tinbidel mal-ħin, jiġifieri l-funzjoni  li tissodisfa. 

F'dal-każ faċli li nsibu s-soluzzjoni, li hi l-funzjoni:

funzjoni esponenzjali li tiżdied mal-ħin (b'mod "esplużiv") jekk , jiġifieri jekk in-natalità hi ogħla mill-mortalità, u tonqos biex tispiċċa fix-xejn malajr jekk . 

Il-mudell li eżaminajna, però, hu semplifikat ħafna; in ġenerali, ir-rata tal-kobor mhijiex sempliċement proporzjonali għall-popolazzjoni preżenti b'kostanti tal-proporzionalità fissa: nistennew, pereżempju, li r-riżorsi disposti jkunu limitati u mhux biżżejjed biex jissodisfaw popolazzjoni arbitrarjament kbira. Nistgħu nikkonsidraw, minflok, sitwazzjonijiet iżjed komplikati bħal dawk fejn hemm iżjed popolazzjonijiet li interaġixxu bejniethom, bħal pereżempju predi u predaturi fil-mudell ta' Volterra - Lotka. 

Hekk hu importanti li jkollna metodi matematiċi biex nirriżolvu ekwazzjonijiet u sistemi ta' ekwazzjonijiet differenzjali b'mod analitiku u niksbu soluzzjoni eżatta. Imma billi dan mhux dejjem possibbli, jinħtieġu wkoll metodi biex nirriżolvuhom numerikament, jiġifieri napprossimaw is-soluzzjoni bl-idejn jew permezz ta' kalkulatur fl-inħawi ta' punt wieħed jew iżjed. Mill-banda l-oħra, jidher utli wkoll l-istudju kwalitativ tal-istruttura ġometrika tas-soluzzjonijiet meta nvarjaw id-dati inizjali jew il-parametri esterni, fejn sikwit jiġri li s-soluzzjoni tal-ekwazzjoni differenzjali għandha klassi sħieħa ta' funzjonijiet, li jiddipendu mill-parametri msejħin ġeneralment kundizjonijiet inizjali jew tax-xifer.

Problema ta' Cauchy 
Il-problema ta' Cauchy assoċjat ma' ekwazzjoni differenzjali waħda jew iżjed jikkonsisti fir-riżoluzzjoni tas-sistema ffurmat mis-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet u tal-kundizzjoni inizjali. Bil-formuli:

L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata 
L-ekwazzjoni polinomjali assoċjata ma' ekwazzjoni differenzjali linjari hi l-ekwazzjoni li tinkiseb meta nbiddlu l-funzjoni , mhux magħrufa, fil-varjabbli awżilljarja  b'potenza rispettivament daqs l-ordni tad-derivazzjoni ta'  waqt li nżommu l-istess koeffiċjenti.

Pereżempju, jekk ningħtaw l-ekwazzjoni differenzjali , nistgħu noħolqu ekwazzjoni fil-varjabbli awżilljarja  skont ir-regola indikata fuq u niksbu .

Ekwazzjonijiet differenziali bid-derivati parzjali 
Ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali (imqassra PDE, mill-inizjali tal-kliem Ingliżi partial differential equation) hi ekwazzjoni li tinvolvi d-derivati parzjali ta' funzjoni mhux magħrufa.

Fil-każ li  tkun funzjoni ta'  varjabbli reali indipendenti , jiġifieri , ekwazzjoni differenzjali bid-derivati parzjali ta' ordni , jkollha l-forma ġenerali:

 

jekk  tiddipendi espliċitament minn mill-inqas waħda mid-derivati parzjali ta' ordni  ta'  .

L-idea hi li niddeskrivu l-funzjoni indirettament permezz ta' relazzjoni bejnha u d-derivati parzjali tagħha, minflok niktbu l-funzjoni espliċitamenti. Ir-relazzjoni trid tkun lokali: trid tgħaqqad il-funzjoni mad-derivati tagħha fl-istess punt. Soluzzjoni tal-ekwazzjoni hi funzjoni li tissodisfa r-relazzjoni.

Bibljografija 
 G. Boole A treatise on differential equations (McMillan, Cambridge, 1859)
 W. W. Johnson A treatise on ordinary and partial differential equations. (J. Wiley & Sons, New York, 1889)
 E. Goursat A course of mathematical analysis, part II of volume II (Ginn & co. 1917) 
 E. L. Ince Ordinary Differential Equations (Longman Greens, London, 1927) 
 A. R. Forsyth A Treatise On Differential Equations (MacMillan, London, 1929) 
 E. G. C. Poole Introduction To The Theory Of Linear Differential Equations (Clarendon Press, Oxford, 1936)
 E. Picard Traité d'Analyse (vol. 3) (Gauthier-Villars, 1896) 
 C. Jordan Cours d'Analyse de l'Ecole Polytechnique (vol. 3)'' (Gauthier-Villars, 1913)

Ħoloq esterni 

 EqWorld
 MathWorld

Matematika
Analisi matematika