Alġebra

L-alġebra hi waħda mill-friegħi prinċipali tal-matematika u titratta l-istudju ta’ strutturi alġebrin, relazzjonijiet u kwantitajiet.

Il-kelma alġebra (mill-Għarbi الجبر, al-ġabr li tfisser "ġabra") ġejja mill-isem tal-ktieb tal-matematiku Persjan Għarbi Muħammad ibn Musa al-Khwariżmi, intitolat Al-Kitab al-Ġabr wa-l-Muqabala ("Il-Ktieb tal-Ġabra u t-Tqabbil"), li jittratta ir-riżoluzzjoni tal-ekwazzjonijiet linjari u kwadratiċi.

L-alġebra elementari li normalment tifforma parti mill-kurrikulu tal-iskejjel sekondarji, tintroduċi l-idea ta’ simboli jew varjabbli li jirrepreżentaw kwantitajiet mhux magħrufa. Nitgħalmu wkoll kif ngħoddu u nimmultiplikaw dawn il varjabbli, fuq il-polinomji mibnija minnhom u l-fattorizzazzjoni u l-kalkulazzjoni tar-radiċi. 
Però, l-alġebra hi ħafn’ usa’ minn hekk. L-għadd u l-multiplikazzjoni nistgħu nqisuhom bħala operazzjoniet ġenerali u d-definizzjoni eżatta tagħhom twassalna għal strutturi ġodda bħal gruppi, ċrieki u kampi.

Klassifikazzjoni

L-alġebra Elementari 

L-alġebra elementari hija l-forma l-iżjed bażika tal-alġebra. Jitgħalmuha l-istudenti li m’għandhomx tgħalim tal-matematika iżjed avvanzat mill-prinċipji bażiċi tal-aritmetika. Fl-aritmetika, nsibu biss in-numri u l-operazzjonijiet aritmetiċi fuqhom (bħal +, −, ×, ÷). Fl-alġebra, in-numri spiss nirrapreżentawhom bis-simboli (bħal a, x, y). Din ir-rappreżentazzjoni għandha dawn il-vantaġġi:
 Biha nistgħu nagħtu formulazzjoni ġenerali tar-regoli aritmetiċi (pereżempju a + b = b + a għal kull a u b), u hekk nistgħu nagħmlu l-ewwel pass fl-esplorazzjoni sistematika tal-propjetajiet tas-sistema tan-numri reali.
 Biha nistgħu nirreferu għan-numri "mhux magħrufin", nifformulaw ekwazzjonijiet u nistudjaw kif nirriżolvuhom (pereżempju, "Sib numru x sabiex 3x + 1 = 10").
 Biha nistgħu nagħmlu formulazzjoni ta’ relazzjonijiet funzjonali (bħal "Jekk tbigħ x biljetti, jkollok qligħ ta’ 3x - 10 ewri, jew f(x) = 3x - 10, fejn f hija l-funzjoni u x huwa n-numru li taġixxi fuqu l-funzjoni .").

X'inhi l-alġebra Astratta ? 

L-alġebra astratta’ testendi il-kunċetti li nsibu fl-alġebra elementari għal oħrajn iżjed ġenerali.

Settijiet: Minflok nikkunsidraw biss it-tipi ta’ numri differenti, fl-alġebra astratta nqisu il-kunċett iżjed ġenerali ta’ sett li hu ġabra ta’ oġġetti (li jgħidulhom elementi) li għandhom ċerta propjetà speċifika għas-sett. Pereżempju in-numri reali jiffurmaw sett u n-numri kumplessi sett ieħor. Eżempji oħra ta’ settijiet jinkludu is-sett tal-matriċi ta’ tnejn-bi-tnejn, is-sett tal-polinomji tat-tieni ordni (ax2 + bx + c), is-sett tal-vetturi bi-dimensjonali, u gruppi finiti varji bħall-gruppi ċikliċi, jiġifieri l-gruppi tan-numri interi modulo n. It-Teorija tas-settijiet hija fergħa tal-loġika u teknikament mhux fergħa tal-alġebra.

Operazzjonijiet binarji: L-idea tal-għadd (+) nistgħu nagħmluha iżjed astratta biex ittina operazzjoni binarja, * ngħidu aħna. Il-kunċett ta’ operazzjoni binarja ma jfisser xejn jekk ma nagħtux is-sett li fuqu qed niddefinixxu l-operazzjoni. Għal żewġ elementi a u b f’sett S a*b ittina element ieħor fis-sett, (dil-kundizzjoni ngħidulha għeluq taħt l-operazzjoni). L-Għad (+), it-Tnaqqis (-), il-multiplikazzjoni (×), u d-[matematika diviżjoni|diviżjoni]] (÷) huma operazzjonijiet binarji meta niddefinuhom fuq settijiet addattati, kif ukoll l-għadd u l-multiplikazzjoni tal-matriċi, vetturi u polinomji.

Elementi tal-identità: Il-kunċett tal-“element tal-identità” huwa l-astrazzjoni tan-numri żero u wieħed. Żero huwa l-element tal-identità għall-għadd and u wieħed l-element tal-identità għall-multiplikazzjoni. Għal operazzjoni binarja ġenerali * l-element tal-identità e irid jissodisfa a * e = a u e * a = a. Għall-għadd din hija sodisfatta billi a + 0 = a u 0 + a = a u għall-multiplikazzjini wkoll għax a × 1 = a u 1 × a = a. Imma, jekk nieħdu n-numri naturali pożittivi u l-operazzjoni tal-għadd, m’hemmx element tal-identità.

Elementi inversi: Min-numri negattivi noħolqu l-kunċett tal- element invers jew sempliċiment l-invers. Għall-għadd, l-invers ta’ a huwa -a, u għall-multiplikazzjoni l-invers huwa 1/a. L-element invers ġenerali a-1 jrid jissodifa r-relazzjoni a * a-1 = e u a-1 * a = e.

Assoċjattività: L-għadd tan-numri interi għandu propjetà li nsejħulha assoċjattività. Jiġifieri, l-kumbinazzjoni tan-numri li nkunu qed ngħoddu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Per eżempju: (2+3)+4=2+(3+4). Fil-kuntest ġenerali, dan isir (a * b) * c = a * (b * c). Il-biċċa l-kbira tal-operazzjonijiet binarji għandhom din il-propjetà imma t-tnaqqis u d-diviżjoni le. 

Kommutattività: L-għadd tan-numri interi għandu wkoll propjetà oħra li ngħidulha kommutattività. Jiġifieri, l-ordni tan-numri li nkunu qegħdin ngħoddu ma tbiddilx is-somma tagħhom. Per eżempju: 2+3=3+2. Fil-kuntest ġenerali, dan isir a * b = b * a. Mhux l-operazzjonijiet binarji kollha għandhom din il-propjetà. L-għadd u l-multiplikazzjoni tan-numri interi għandhom din il-propjetà imma l-multiplikazzjoni tal-matriċi le.

 Gruppi—strutturi ta’ sett b’operazzjoni binarja waħda 

Meta niġbru flimkien il-kunċetti li rajna qabel, ikollna waħda mill-iżjed strutturi importanti fil-matematika: il- grupp. Grupp jikkonsisti f’sett S u operazzjoni waħda li rridu, li niktbuha '*', imma li jrid ikolla dawn il-propjetajiet:

 Irid ikun hemm element tal-identità e, li għal kull membru ieħor a ta’ S, e * a u a * e huma t-tnejn ugwali għal a.
 Kull element irid ikollu invers: għal kull membru ieħor a ta’ S, irid jeżisti membru a-1 sabiex a * a-1 u a-1 * a huma t-tnejn ugwali għall-element tal-identità.
 L-operazzjoni hi assoċjattiva: għal a, b u c membri ta’ S, (a * b) * c hija ugwali għal a * (b * c).

Jekk grupp hu anki kommutattiv - jiġifieri, għal kull żewg membri a u b ta’ S, a * b hija ugwali għal b * a – il-grupp ngħidu li hu Abeljan.

Pereżempju, is-sett tan-numri interi bl-operazzjoni tal-għadd huwa grupp. F’dal grupp, l-identità hija 0 u l-invers ta’ kull element a huwa n-negativ tiegħu, -a. Il-kundizzjoni ta’ assoċjattività hi sodisfatta, għax għal kull tliet numri interi a, b u c, (a + b) + c = a + (b + c).

Imma l-interi bl-operazzjoni tal-multiplikazzjoni ma jiffurmawx grupp. Dan jiġri għax, in ġenerali, l-invers multiplikattiv ta’ numru interu mhuwiex interu. Pereżempju, 4 huwa interu, imma l-invers multiplikattiv tiegħu hu 1/4, li mhux interu.

L-istudju tal-gruppi jsir fit-teorija tal-gruppi. Wieħed mir-riżultati l-iżjed importanti f’din it-teorija kien il-klassifikazzjoni tal-gruppi finiti sempliċi li l-ikbar parti tagħha ġiet ippublikata bejn xi l-1955 u l-1983. Din tqassam il-gruppi sempliċi finiti f’xi 30 tip bażiku.

Semigruppi, kważigruppi, u monoidi huma strutturi simili għall-gruppi, imma iżjed ġenerali. Jikkonsistu f’sett u operazzjoni binarja magħluqa, imma ma jissodisfawx il-kondizzjonijiet l-oħra neċessarjament. Semigrupp għandu operazzjoni binarja assoċjattiva, imma jista’ jkun li m’għandux element tal-identità. Monoid huwa semigrupp li għandu identità imma jista’ jkun li m’għandux invers għal kull element. Kważigrupp għandu l-propjetà li kull element jista’ jinbidel f’kull ieħor bi pre- jew post-operazzjoni unika; imma l-operazzjoni binarja jista’ jkun li mhux assoċjattiva.

Il-gruppi kollha huma monoidi, u l-monoidi kollha huma semigruppi.

 Ċrieki u Kampi—strutturi ta’ sett b’żewġ operazzjonijiet binarji, (+) u (×) 

Il-gruppi għandhom operazzjoni binarja waħda biss. Biex nispjegaw il-mekkaniżmu tat-tipi ta’ numri differenti kompletament, hemm bżonn li nistudjaw strutturi b’żewġ operazzjonijiet. L-iżjed importanti fost dawn huma ċ-Ċrieki, u l-Kampi. 

Id-Distributtività tiġġeneralizza l-liġi distributtiva tan-numri u tiffissa f’liema ordni għandna napplikaw l-operazzjonijiet, (ngħidulha l-preċedenza). Għall-interi (a + b) × c = a×c+ b×c u c × (a + b) = c×a + c×b, u ngħidu li × hija  distributtiva  fuq +.

Ċirku għandu żewġ operazzjonijiet (+) u (×), fejn × hu distributtiv fuq +. Taħt l-ewwel operazzjoni (+) jifforma grupp Abeljan. Taħt it-tieni operazzjoni (×) hu assoċjattiv, imma m’hemmx bżonn ta' identità jew ta' invers, u allura ma nistgħux niddividu. L-element tal-identità tal-għadd (+) niktbuha bħala 0 u l-inverse tal-għadd ta’ a jinkiteb -a.

In-numri interi huma eżempju ta’ ċirku. 

Kamp hu ċirku b’propjetà oħra miżjuda li l-elementi kollha barra 0 jiffurmaw grupp Abeljan taħt ×. L-identità multiplikattiva (×) niktbuha bħala 1 u l-invers multiplikattiv ta’ a jinkiteb a-1.

In-numri razzjonali, in-numri reali u n-numri komplessi huma kollha eżempji ta’ kampi.

 Alġebriet 
Il-kelma alġebra''' nużawha wkoll għal xi strutturi alġebrin:

 alġebra fuq kamp
 alġebra fuq sett
 alġebra Boolejana
 F-alġebra u F-koalġebra fit-teorija tal-kategoriji
 Sigma-alġebra

 L-Storja tal-alġebra 

L-alġebra nistgħu nsibu l-oriġini tagħha fil-Babilonja antika. Il-Babilonjani żviluppaw sistema aritmetiku avvanzat li bih setgħu jagħmlu kalkulazzjonijiet b’metodu alġebri. Permezz ta’ dan is-sistema, setgħu japplikaw formuli u jikkalkulaw valuri mhux magħrufa għal klassi ta’ problemi li daż-żmien nirriżolvuhom bl-użu ta’ ekwazzjonijiet linjari, ekwazzjonijiet kwadratiċi u ekwazzjonijiet linjari indeterminati. Għall-kontrarju, il-biċċa kbira tal-matematiċi Eġizzjani ta’ dak iż-żmien, u l-biċċa kbira tal-matematiċi Indjani, Griegi u Ċiniżi fl-ewwel millennju QK, is-soltu kienu jirriżolvu dawn il-problemi b’metodi ġometriċi, bħal dawk imfissra fil-Papiru matematiku ta’ Rhind, Sulba Sutras, L-Elementi ta’ Ewklidi, u Id-Disgħa Kapitli fuq’ l-Arti matematika. Ix-xogħol ġometriku tal-Griegi, li l-Elementi huwa eżempju tajjeb ħafna tiegħu, ipprovda s-sisien għall-ġeneralizzazzjoni tal-formuli mis-soluzzjoni ta’ problemi partikulari għal sistemi iżjed ġenerali li jistgħu jintużaw għall-formulazzjoni u s-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet.

Il-kelma "alġebra" ġejja mill-Għarbi "al-ġabr" fit-titlu tal-ktieb "al-Kitab al-muhtasar fi ħisab al-ġabr wa-l-muqabala", li jfisser Il-ktieb fil-qosor fi ħsib il-ġbir u tqassim. Dan kitbu il-matematiku Persjan Muħammad ibn Musa al-Khwariżmi (Għarbi: محمد بن موسى الخوارزميّ المجوسيّ القطربّليّ) fit-820. Il-matematiku Grieg Diofantu (Grieg: Διόφαντος ὁ Ἀλεξανδρεύς t. bejn 200 u 214, m. bejn 284 u 298 AD) hu tradizzjonalment magħruf bħala “missier l-Algebra” imma hemm argument jekk Al-Khwariżmi għandux joħodlu dan it-titlu. Dawk li jżommu ma Al-Khwariżmi jsossnu li ħafna mix-xogħol tiegħu fuq “il-ġbir” jew riduzzjoni għadu użat sa llum u li hu ta spjegazzjoni kompleta fuq is-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet kwadratiċi. Dawk li jżommu ma' Diofantu jgħidu li l-alġebra li nsibu f’Al-Ġabr hi iżjed elementari mill-alġebra fl- Aritmetika ta’ Diofantu u li l-Aritmetika hi miktuba fi stil sinkopat waqt li Al-Ġabr hi kollha fi stil retoriku. matematiku Persjan ieħor, Omar Khajjam (Persjan: غیاث الدین ابو الفتح عمر بن ابراهیم خیام نیشابوری t. 18 ta’ Mejju, 1048, m. 4 ta’ Diċembru, 1131), żviluppa l-ġometrija alġebrija u sab soluzzjoni ġenerali ġometrika tal-ekwazzjonijiet kubiċi. Il-matematiċi Indjani Maħavira u Baskara II, u l-matematiku Ċiniż Żu Xiġje, irriżolvew xi każi ta’ ekwazzjonijiet kubiċi, kwartiċi, kwintiċi u polinomjali ta’ ordni ogħla.

F’nofs is-seklu 16 kien hemm żvilupp importanti ieħor tal-alġebra. Dan kien is-soluzzjoni alġebrija ġenerali tal-ekwazzjonijiet kubiċi u kwartiċi. L-idea ta’ determinant żviluppha l-matematiku Ġappuniż Kowa Seki fis-seklu 17, u għaxar snin wara Gottfried Leibniz uża d-determinanti biex jirriżolvi sistemi ta’ ekwazzjonijiet linjari simultanji premezz tal-matriċi. Fis-seklu 18, Gabriel Cramer ukoll ħadem fuq il-matriċi u d-determinanti. L-iżvilupp tal-alġebra astratta sar fis-seklu 19. Fil-bidu dan ix-xogħol ikkonċentra fuq li daż-żmien insejħulha it-teorija ta’ Galois u fuq kwistjonijiet tal-kostruttibbiltà.

L-istadji tal-iżvilupp tal-alġebra simbolika kienu bejn wieħed u ieħor dawn:

 alġebra retorika, li żviluppawha l-Babilonjani u baqet dominanti sas-seklu 16;
 alġebra ġometrika kostruttiva, li tawha ħafna mportanza il-matematiċi Indjani u l-matematiċi klassiċi Griegi;
 alġebra sinkopata, li kienet żviluppata minn Diofantu u fil-Manuskritt Bakxali; 
 alġebra simbolika, li laħqet il-quċċata fix-xogħol ta’ Leibniz.

Kronoloġija ta’ żviluppi kritiċi fl-alġebra:

 Ċirka 1800 QK: Fit-tavletta ta’ Strassburg il-Babilonjani jfittxu s-soluzzjoni ta’ ekwazzjoni ellittika kwadratika.
 Ċirka 1600 QK: It-tavletta ta’ Plimpton 322 tagħti tavola ta’ trippli Pitagoriċi fi skritt Kuneiformi Babilonjan
 Ċirka 800 QK: Il-matematiku Indjan Bawdajana, fix-xogħol tiegħu Sulba Sutra, jiskopri trippli Pitagoriċi b’metodi algebrin, jsib soluzzjonijiet ġometriċi ta’ ekwazzjonijiet linjari u ekwazzjonijiet kwadratiċi tal-forma ax2 = c u ax2 + bx = c, u jsib żewġ settijiet ta’ soluzzjonijiet integrali pożittivi għal sett ta’ ekwazzjonijiet simultanji Diofantini.
 Ċirka 600 QK: Il-matematiku Indjan Apastamba, fix-xogħol tiegħu Apastamba Sulba Sutra, jirriżolvi l-ekwazzjoni linjari ġenerali u juża ekwazzjonijiet simultanji Diofantini b’sa ħames kwantitajiet mhux magħrufa.
 Ċirka 300 QK: Fit-tieni ktieb tal-Elementi, Ewklidi jagħti kostruzzjoni ġometrika b’metodi Ewklidej għas-soluzzjoni tal-ekwazzjoni kwadratika għal radiċi posittivi reali. Il-kostruzzjoni hi dovuta għall-iSkola Pitagorika tal-ġometrija.
 Ċirka 300 QK: Titfittex kostruzzjoni ġometrika għas-soluzzjoni tal-ekwazzjoni kubika. Issa nafu li bil-metodi Ewklidej ma nistgħux insibu soluzzjoni għall-ekwazzjoni kubika ġenerali.
 Ċirka 100 QK: Il-ktieb tal-matematika Ċiniż Ġjużang Suwanxu (Id-Disgħa Kapitli fuq l-Arti matematika), jittratta Ekwazzjonijiet alġebrin. Dal-ktieb fih soluzzjonijiet ta’ ekwazzjonijiet linjari bl-użu tar-regola tal-pożizzjoni falza doppja, soluzzjonijiet gometriċi ta’ ekwazzjonijiet kwadratiċi, u soluzzjonijiet ta’ matriċi, ekwivalenti għall-metodi moderni, għas-soluzzjoni tas-sistemi ta’ ekwazzjonijiet linjari simultanji.
 Ċirka 100 QK: Il-Manuskritt ta’ Bakxali, miktub fl-Indja, juża forma ta’ notazzjoni alġebrija bl-ittri u sinjali oħra, u fih ekwazzjonijiet kubiċi u kwartiċi, soluzzjonijiet alġebrin ta’ ekwazzjonijiet linjari b’sa ħames kwantitajiet mhux magħrufa, il-formula alġebrija ġenerali għall-ekwazzjoni kwadratiċi, u soluzzjonijiet ta’ ekwazzjonijiet kwadratiċi indeterminati u ekwazzjonijiet simultanji.

 Ċirka 150 AD: Il-matematiku Eġizzjan Ellenistiku Eroni ta’ Lixandra, jittratta l-ekwazzjonijiet alġebrin fi tliet volumi tal-matematika.
 Ċirka 200: Il-matematiku Babilonjan Ellenistiku, Diofantu li għex fl-Eġittu u li ħafna jikkunsidrawh bħala "missier l-alġebra", jikteb l-opra famuża tiegħu, l-Aritmetika, li fiha soluzzjonijiet ta’ ekwazzjonijiet Alġebrin u xogħol fuq it-teorija tan-numri.
 499: Il-matematiku Indjan Arjabata, fit-trattat tiegħu Arjabatija, jsib soluzzjonijiet interi għal xi ekwazzjonijiet linjari b’metodu ekwivalenti għal dak li nużaw illum, jiddeskrivi s-soluzzjoni integrali ġenerali tal-ekwazzjoni linjari indeterminata u jagħti soluzzjonijiet integrali ta’ xi ekwazzjonijiet linjari simultanji indeterminati.
 Ċirka 625: Il-matematiku Ċiniż, Wang Ksijaotong, jsib soluzzjonijiet numeriċi ta’ ekwazzjonijiet kubiċi.
 628: Il-matematiku Indjan, Brahmagupta, fit-trattat tiegħu Brahma Sputa Siddhanta, jivvinta l-metodu ċakravala għas-soluzzjoni ta’ xi ekwazzjonijiet kwadratiċi simultanji indeterminati, fosthom l-ekwazzjoni ta’ Pell, u jagħti regoli għas-soluzzjoni tal-ekwazzjonijiet linjari u kwadratiċi.
 820: Il-matematiku Persjan, Muhammad ibn Musa al-Khwariżmi, jikteb it-trattat intitolat Al-Kitab al-Ġabr wa-l-Muqabala (li tfisser "Il-Ktieb tal-ġbir u t-tqabbil") fuq is-soluzzjoni sistematika tal-ekwazzjonijiet linjari u kwadratiċi. Il-kelma alġebra ġejja minn al-Ġabr fit-titlu ta’ dal-ktieb. Al-Khwariżmi hu kkunsidrat minn bosta bħala "missier l-alġebra" u ħafna mill-metodi tiegħu ta’ riduzzjoni jew ‘’ġbir’’ għadna nużawhom fl-alġebra sa llum.
 Ċirka 850: Il-matematiku Persjan, al-Maħani, jaħseb fl-idea ta’ riduzzjoni ta’ problemi ġometriċi, bħad-duplikazzjoni tal-kubu, għal problemi fl-alġebra.
 Ċirka 850 Il-matematiku, Mahavira, jirriżolvi bosta ekwazzjonijiet kwadratiċi, kubiċi, kwartiċi, kwintiċi u ta’ ordni ogħla kif ukoll xi ekwazzjonijiet indeterminati. kwadratiċi, kubiċi u ta’ ordni ogħla. 
 Ċirka 990: Il-Persjan Abu Bakr al-Karaġi, fit-trattat tiegħu al-Fakhri, jiżviluppa l-alġebra iżjed billi jestendi l-metodoloġija ta’ Al-Khwariżmi biex tinkludi potenzi integrali u radiċi integrali ta’ kwantitajiet mhux magħrufa. Jissostwixxi l-operazzjonijiet gometriċi tal-alġebra b’operazzjonijiet aritmetiċi moderni, u jiddefinixxi il-monomjali x, x2, x3, ... u 1/x, 1/x2, 1/x3, ... u jagħti l-prodott ta’ kull par minn dawn.
 Ċirka 1050: Il-matematiku Ċiniż, Ġija Ksijan, jsib soluzzjonijiet numeriċi ta’ ekwazzjonijiet polinomjali.
 1072: Il-matematiku Persjan, Omar Khajjam, jiżviluppa l-ġometrija algebrija, u fit-Trattat fuq Dimostrazzjoni ta’ Problemi fl-alġebra, jagħti klassifikazzjoni ta’ ekwazzjonijiet kubiċi permezz ta’soluzzjonijiet ġometriċi ġenerali misjuba bis-sezzjonijiet koniċi ntlaqqin.
 1114: Il-matematiku Indjan, Bhaskara, fil- Biġaganita (alġebra), jinduna li numru pożittiv għandu radiċi kwadrata pożittiva u oħra negattiva, u jirriżolvi bosta ekwazzjonijiet kubiċi, kwartiċi, kwintiċi u ta’ ordni polinomjali, kif ukoll l-ekwazzjoni kwadratika ġenerali indeterminata.
 1202: L-alġebra tidħol l-Ewropa l-iktar imħabba x-xogħol ta’ Leonardo Fibonacci ta’ Pisa fil-ktieb tiegħu Liber Abaci.
 Ċirka 1300: Il-matematiku Ċiniż, Żhu Xiġje, jittratta l-alġebra polinomjali, jirriżolvi ekwazzjonijiet kwadratiċi, ekwazzjonijiet simultanji u ekwazzjonijiet b’sa erbgħa kwantitajiet mhux magħrufa, u jirriżolvi numerikament xi ekwazzjonijiet kwartiċi, kwintiċi u polinomjali ta’ ordni ogħla.

 Ċirka 1400: Il-matematiku Indjan, Madhava ta’ Sangamagramma, jiskopri metodi iterattivi għas-soluzzjoni approssima ta’ ekwazzjonijiet mhux linjari.
 1535: Nicolo Fontana Tartaglia u matematiċi oħra fl-Italja independentement jirriżolvu l-ekwazzjoni kubika ġenerali.
 1545: Girolamo Cardano jippublika Ars magna (L-Arti l-Kbira) fejn jagħti s-soluzzjoni ta’ Fontana għall-ekwazzjoni kwartika ġenerali.
 1572: Rafael Bombelli jsib ir-radiċi komplessa tal-kubiku u jtejjeb in-notazzjoni kurrenti.
 1591: François Viète jiżviluppa u jtejjeb in-notazzjoni simbolika għall-potenzi fil-ktieb In artem analyticam isagoge.
 1682: Gottfried Wilhelm Leibniz jiżviluppa l-manipulazzjoni simbolika b’regoli formali li jgħidilhom characteristica generalis.
 1680s: Il-matematiku Ġappuniż, Kowa Seki, fil-Metodu għas-soluzzjoni ta’ problemi dissimulati, jiskopri d-determinant u n-numri ta’ Bernoulli.
 1750: Gabriel Cramer, fit-trattat tiegħu Introduzzjoni għall-analisi ta’ kurvi alġebrin'', jipproponi r-regola ta’ Cramer u jistudja l-kurvi alġebrin, il-matriċi u d-determinanti.
 1824: Niels Henrik Abel jipprova li ma nistgħux nirriżolvu l-ekwazzjoni kwintika ġenerali bir-radiċi.
 1832: It-teorija ta’ Galois jiżviluppha Évariste Galois fix-xogħol tiegħu fuq l-alġebra astratta.

Matematika