Liġi tan-numri kbar

Il-liġi tan-numri kbar, imsejħa wkoll  it-teorema ta' Bernoulli (għaliex l-ewwel formulazzjoni taha Jacob Bernoulli), tħares lejn l-imġiba tal-medja ta' sekwenza ta'  varjabbli każwali  indipendenti u distribwiti identikament (bħal  qisien tal-istess kobor,  tefgħat tal-istess munita eċċ.) meta  tersaq lejn l-infinit.

Każ partikulari tal-applikazzjoni tal-liġi tan-numri kbar hu t-tbassir probabbilistiku tal-proporzjon ta' suċċessi minn  realizzazzjonijiet indipendenti ta' ġrajja : meta  tersaq lejn l-infinit, il-proporzjon ta' suċċessi jikkonverġi għall-probabbiltà ta'  (ara l-eżempju).

Il-liġi qawwija tan-numri kbar 
Għal suċċessjoni ta' varjabbli każwali  indipendenti u distribwiti identikament b'medja , il-medja kampjunarja hi

Il-liġi (qawwija) tan-numri kbar tgħid li

jiġifieri, il-medja kampjunarja tikkonverġi kważi ċertament għall-medja komuni tal-.

Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar 
Il-liġi (dgħajfa) tan-numri kbar tgħid li jekk  tkun suċċessjoni ta' varjabbli każwali li għandhom l-istess medja , l-istess varjanza finita u indipendenti, imbagħad
għal kull :
 
jiġifieri, il-medja kampjunarja tikkonverġi fil-probabbiltà għall-medja komuni tal-.

Konsegwenzi fl-istatistika
Il-liġi tan-numri kbar tiggarantixxi li l-medja kampjunarja tagħtina stima konsistenti tal-medja ta' popolazzjoni; biżżejjed ngħidu li mħabba l-liġi tan-numri kbar nistgħu ikkolna fiduċja li l-medja li nikkalkulaw minn numru kbir biżżejjed ta' kampjuni hi qrib biżżejjed tal-medja vera.

Eżempju 
Nissoponu li għandna ġrajja (bħall-fatt li t-tfigħ ta' damma jagħtina s-sitta) b'probabbiltà li ma nafuhiex  (ma nafuhiex għax id-damma tista' tkun imbabsa, jew sempliċement difettuża: ma nistgħux inkunu nafu minn qabel).

Jekk nitfgħu id-damma  darba wara xulxin niksbu stima tal-probabbiltà li nġibu s-sitta b'dik id-damma, , li hi mogħtija minn

fejn kull   fis-somma tirrappreżenta tefgħa u tiswa wieħed jekk it-tefgħa tagħtina s-sitta u żero jekk jiġi numru ieħor. Il-liġi tan-numri kbar tafferma sempliċement li, iżjed ma nużaw provi biex nikkalkulaw l-istima, iżjed din tkun qrib, probabbilment, għall-probabbiltà vera tal-ġrajja, .

Jekk l-istima  li nikkalkulaw tkun qrib ħafna ta' wieħed f'sitta, li hi l-probabbiltà teorika li nġibu s-sitta għall-damma perfetta, nistgħu inkun ċerti mhux ħażin li d-damma m'hijiex imxaqilba lejn is-sitta (biex inkunu żguri li d-damma ma xxaqlibx lejn l-ebda numru irridu nirrepetu l-provi għall-ħames numri l-oħra). Xi tfisser żguri mhux ħażin jiddipendi minn kemm irridu nkunu preċiżi fil-provi tagħna: b'għaxar tefgħat ikollna stima raffa, b'mija jkollna waħda iżjed preċiża, b'elf iżjed u nibqgħu sejjrin hekk: il-valur ta'  li lesti li naċċettaw bħala biżżejjed jiddependi mill-grad ta' każwalità li naħsbu li hu neċessarju għad-damma li qegħdin nużaw.

B'iżjed rigur 

Ħalli   tkun suċċessjoni ta' spazji ta' probabbiltà. Inħarsu lejn l-ispazju prodott  u fih suċċessjoni Bernoulljana ta' ġrajjiet (stokastikament indipendenti u b'probabbiltà kostanti ), . Għal kull element  niddefinixxu l-frekwenza ta' suċċess f' provi,   , fejn  turi n-numru ta' suċċessi miksuba f'  provi.

Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar 

B'din in-notazzjoni il-liġi nistgħu niktbuha:
, .

Prova: 
Jekk niffissaw  u nużaw id-diżugwaljanza ta' Čebyšëv 

 Jekk  għandha distribuzzjoni binomjali, jkollna
 u 
mil-liema 
 u . 
Meta nissostitwixxu niksbu:

 u la , ,  
 
 Imma , u għalhekk ipprovajna l-liġi dgħajfa.

Nota:  Il-liġi dgħajfa tan-numri kbar ma tiżgurax li, nagħżlu kif nagħżlu , kważi ċertament jekk nibdew minn ċertu  il-valur ta'  ħa jibqa inqas jew daqs , jiġifieri li s-sett  ħa jkun  -traskurabbli.
Infatti, jekk nagħmlu d-definizzjoni tal-limitu iżjed espliċita, insibu li:

imma m'hemm xejn li jiżgura li  ma tiddiverġiex  meta .

Il-liġi qawwija tan-numri kbar 

Minn naħa l-oħra l-liġi qawwija tan-numri kbar: :
timplika li , 
 
u din l-asserzjoni tal-aħħar timplika l-liġi dagħjfa tan-numri kbar.

Prova taż-żewġ implikazzjonijiet:

1.  
Billi nagħmlu d-definizzjoni tal-limitu espiliċita u ngħaddu għall-kumplement, nistgħu nifformolaw il-liġi qawwija b'dal-mod:
 
Meta nittrasformaw il-kwantifikatur eżistenzjali f'unjoni, din issir:
 
Issa jekk , bil-monotonija ta'  għandna
 
 
u mela
 

2.  
Minn naħa l-oħra jekk nassumu din tal-aħħar u nittrasformaw ukoll il-kwantifikaturi f'operazzjoniet tas-settijiet, ikollna:
 
 
Imma, billi hemm intersezzjoni ta' suċċessjoni ta' settijiet li ma jikbrux, bil-monotonija ta' , nistgħu niktbu:
 
Imbagħad bil-monotonija ta'  niksbu għal kull .

li hi l-liġi dagħjfa tan-numri kbar.

Prova tal-liġi qawwija: 
 Digà rajna li l-asserzjoni hi ekwivalenti għal:
 
Din hi wkoll ekwivalenti għal: 

 Bis-subadditività

 
 Mela, billi  mhux negattiva, jekk nuru li 
 
inkunu pprovajna l-liġi qawwija.  L-ewwel ħa nipprovaw din għas-sottosuċċessjoni , jiġifieri 
 .
Biex nagħmlu dan, bil-lemma ta' Borel-Cantelli, biżżejjed li nivverifikaw li l-espressjoni li ġejja tikkonverġi
 
 Bid-diżugwaljanza ta' Čebyšëv insibu li 

 minn fejn:
 
Imma nafu li din is-serje tikkonverġi u għalhekk għandna li ,
 
Issa ninotaw li kull numru naturali n qiegħed bejn żewġ kwadrati konsekuttivi, jiġifieri,  hekk li

 minn fejn inġibu

Issa ninotaw li  hi l-ikbar differenza possibbli bejn  u , u għalhekk:
 
u mela:

Issa jekk nużaw , ikollna:

Meta ngħaddu għall-limitu () u napplikaw ir-riżultat miksub għal , niksbu li, kważi ċertament:

li ttemm il-prova.

Noti

Matematika
Probabbiltà u statistika