Analisi komplessa

L-Analisi komplessa (jew iżjed preċiż, it-teorija tal-funzjonijiet ta’ varjabbli komplessi) hi dik il-fergħa ta’ l-analisi matematika li tapplika l-idejat tal-kalkulu infiniteżmali għall-funzjonijiet komplessi, jiġifieri għal funzjonijiet li għandhom bħala dominju u kodominju settijiet ta’ numri komplessi. 

Il-kunċett ewlieni tal-analisi komplessa hi l-funzjoni olomorfa: din hi funzjoni komplessa mgħammra b’nozzjoni ta’ derivata, fl-istess mod kif isir fil-każ tal-funzjonijiet reali tas-soltu. Il-funzjoni meromorfa hi estensjoni ta’ dan il-kunċett.

L-analisi komplessa hi utli ħafna f’bosta friegħi tal-matematika, bħal pereżempju, it-Teorija tan-numri u l-ġometrija alġebrija; għandha applikazzjonijiet importanti anki fil-fiżika.

Funzjonijiet olomorfi

Definizzjoni 
L-analisi komplessa tapplika l-metodi tal-kalkulu infiniteżmali għan-numri komplessi. Biex nagħmlu dan, hemm bżonn li nimudellaw in-numri komplessi fil-pjan kompless, mgħammar bit-topoloġija ewklideja tas-soltu. It-topoloġija tippermettielna li nitkellmu fuq suċċessjonijiet, fuq limiti, fuq settijiet miftuħin u magħluqin fil-pjan.

L-analisi komplessa tistudja funzjonijiet

definiti fuq sett miftuħ  tal-pjan kompless , b’valuri komplessi. B’mod analogu għal kollox ma’ dak li jsir fil-każ reali, funzjoni hi derivabbli f’sens kompless f’punt jekk ir-rapport inkrementali għandu limitu fil-punt. Jekk il-funzjoni hi derivabbli f’sens kompless f’kull punt ta’ , ngħidulha funzjoni olomorfa.

Relazzjoni mad-differenzjabbiltà 
Bl-użu tal-identifikazzjoni ta’  ma’ , il-funzjoni  nistgħu ninterpretawha bħala funzjoni minn sett miftuħ ta’  għal . Funzjoni derivabbli f’sens kompless hi neċessarjament differenzjabbli jekk ninterpretawha b’dal-mod. Però l-oppost mhux veru; il-kundizzjoni ta’ derivabbiltà f’sens kompless għal funzjoni differenzjabbli hi miġbura fl-ekwazzjonijiet ta’ Cauchy-Riemann.

Mapep konformi 
Funzjoni olomorfa li għandha derivata kullimkien differenti minn zero, ngħidulha mappa konformi: hi mappa li tippreżerva jew iżżomm l-angoli, imma mhux neċessarjament id-distanzi. Dil-proprjetà ġejja mill-fatt li funzjoni olomorfa hi (bħal fil-każ reali) approssimabbli lokalment minn funzjoni linjari, u mill-fatt li l-funzjonijiet linjari fuq il-pjan kompless huma kompożizzjoni ta’ omotetji u rotazzjonijiet, it-tnejn operazzjonijiet konformi.

Funzjonijiet armoniċi 
Min-naħa l-oħra, il-parti reali u l-parti immaġinarja ta’ funzjoni olomorfa huma t-tnejn funzjonijiet armoniċi: xi proprijetajiet tal-funzjonijiet armoniċi, bħal dik ta’ li ma tħallix massimi u minimi lokali, jintirtu mill-funzjonijiet olomorfi.

Il-Formula ta’ Cauchy 
L-ingredjent ewlieni tal-analisi komplessa, li m’għandux analogu fl-analisi reali , hu il-formula ta’ Cauchy. Dil-formola tagħti relazzjoni bejn il-valur  ta’ funzjoni olomorfa fil-punt  ma’ l-integral ta’ funzjoni mibnija minn  matul kurva sempliċi magħluqa  li "iddur" mal-punt :

Mill-formola ta’ Cauchy joħorġu ħafna proprijetajiet tal-funzjonijiet olomorfi, li m’għandhomx analogi fl-ambitu ta’ l-analisi reali . Niddeskrivu xi wħud minn dawn il-proprijetajiet hawn taħt.

Analitiċità 
Funzjoni olomorfa hi dejjem analitika. Dan ifisser li lokalment nistgħu nesprimuha bħala serje ta’ potenzi. Fi kliem ieħor, fl-ambitu kompless l-eżistenza tal-ewwel derivata hi biżżejjed biex tiggarantixxi mhux biss l-eżistenza tad-derivati ta’ kull ordni, imma wkoll l-analitiċità tal-funzjoni. Dan ma jiġrix fl-ambitu reali .

It-teorema ta’ Liouville 
Funzjoni olomorfa hi intera jekk hi definita fuq il-pjan kompless kollu. Il-funzjonijiet interi huma dawk il-funzjonijiet li f’kull punt għandhom rappreżentazzjoni bħala serje ta’ potenzi b’raġġ ta’ konvergenza infinit. Il-funzjonijiet interi għandhom ħafna restrizzjonijiet. Fosthom, it-Teorema ta’ Liouville li tgħid li funzjoni intera li mhijiex kostanti ma jistax ikollha modulu limitat fil-pjan. 

Għalhekk fl-ambitu kompless ma jeżistux funzjonijiet bħal l-arktanġent reali , li huma definiti fuq  kollha imma b’modulu uniformement limitat.

It-teorema tal-modulu massimu 
It-Teorema tal-modulu massimu, tgħid li l-modulu  ta' funzjoni olomorfa  definita fuq sett miftuħ  ma jistax jilħaq il-massimu. Jekk id-dominju  hu limitat u l-funzjoni  nistgħu nestenduha bil-kontinwità għall-għeluq ta’ , il-modulu jilħaq il-massimu fuq wieħed mill-punti tat-xifer.

Eżempji ta’ funzjonijiet olomorfi 

Kull funzjoni definita mill-bidu bl-erba’ operazzjonijiet aritmetiċi hi olomorfa fis-sett miftuħ li fih hi definita sewwa. Jekk  u  huma żewġ polinomi, il-funzjoni

hi olomorfa fuq is-sett miftuħ  miksub billi nnaħħu minn  il-punti li jikkorrispondu mar-radiċi ta’ .

Kull funzjoni analitika reali testendi b’mod uniku għal funzjoni olomorfa. Il-proċedura li biha l-funzjonijiet olomorfi jiġu estiżi b’mod uniku ngħidulha prolungament analitiku. In partikulari, il-funzjonijiet esponenzjali, tas-senu, u l-funzjonijiet trigonometriċi huma funzjonijiet olomorfi.

L-imġiba tal-funzjonijiet esponenzjali u s-senu fl-ambitu kompless hi iżjed għanja milli nsibu fl-ambitu reali. Per eżempju, minħabba t-Teorema ta’ Liouville il-funzjoni tas-senu mhijiex limitata fil-pjan kompless (kontra li jiġri fir-reali, fejn tvarja bejn -1 u 1). Anzi, il-funzjoni tas-senu hija surġettiva fuq il-komplessi.

Il-funzjonijiet meromorfi

Singularitajiet iżolati 
Kunċett ieħor ċentrali fl-analisi komplessa hu dak tas-singularitajiet iżolati. Funzjoni olomorfa

definita fuq sett miftuħ , bil-punt intern  imneħħi, għandha singularità iżolata f' . Dan differenti milli jiġri fil-każ ta’ funzjonijiet reali għax l-imġiba tal-funzjoni qrib  nistgħu naqsmuha fi tliet tipi, determinati mill-imġiba tal-modulu  qrib il-punt:

 Jekk  hu limitat fl-inħawi ta’ , is-singularità hi eliminabbli: il-funzjoni testendi bil-kontinwità għall-punt, u l-estensjoni tibqa’ olomorfa. 
 Jekk  jersaq lejn l-infinit meta  tersaq lejn , is-singularità ngħidulha pol.
 Fil-każi l-oħra kollha,  m’għandiex limitu meta  tersaq lejn , u s-singularità ngħidulha essenzjali.

Sfera ta’ Riemann 
Jekk il-funzjoni għandha singularità eliminabbli f’, din testendi għal funzjoni olomorfa fuq . Jekk għandha pol, possibbli wkoll nestendu l-funzjoni billi nqegħdu . Ir-riżultat ta’ din operazzjoni hi funzjoni ta’ tip ġdid, li ngħidula meromorfa. 

Il-funzjonijiet meromorfi iġibu ruħhom lokalment bħall-funzjonijiet olomorfi: biżżejjed inżidu mal-pjan kompless, il-punt , permezz tal-projezzjoni sterjografika. L-ispazju li niksbu hu topoloġikament ekwivalenti għal l-isfera, u jgħidulu l-isfera ta’ Riemann. Spiss hu identifikat mall-linja dritta projettiva komplessa . Funzjoni meromorfa hi għalhekk funzjoni partikulari

B’din il-kostruzzjoni, il-punt fl-infinit nittrattawh bħal l-oħrajn kollha, u nistgħu naqilbu ħafna riżultati fuq il-funzjonijiet olomorfi għall-kuntest tal-funzjonijiet meromorfi. Estensjoni analoga tista’ ssir jekk id-dominju, , jkun sett miftuħ ta’ . 

Per eżempju (trasformazzjoni ta’ Möbius):

fejn  huma komplessi u

hi funzjoni meromorfa

Biblijografija 

 F. Casorati Teorica delle funzioni di variabili complesse ( Fratelli Fusi, Pavia, 1868)
 H. Durège Elements of the theory of functions of a complex variable with especial reference to the methods of Riemann (G.E. Fisher and I.J. Schwatt, Philadelphia, 1896) 
 J. Pierpont Functions of a complex variable (Ginn & co., Boston, 1914)
 E. J. Townsend Functions Of a complex variable (Henry Holt And Company, 1915) 
 T. M. MacRobert Functions of a complex variable (London, MacMillan, 1917) 
 H. F. Burkhardt Theory of functions of a complex variable (D. C. Heath, Boston, 1913) 
 A. R. Forsyth Theory of functions of a complex variable (Cambridge University Press, 1918) 
 J. Harkness e F. Morley Introduction ToThe Theory Analytic Functions (Stechert & co., 1898) 
 E. T. Whittaker e G. N. Watson Modern Analysis (Cambridge University Press, 1922) 
 E. Goursat Functions of a complex variable I (Ginn & co. 1916) 
 E. Goursat Functions of a complex variable II (Ginn & co. 1916) 
 S.Saks e A. Zygmund Analytic functions (Polskie Towarzystwo Matematyczne, 1952) 
 J. Houel Cours de calcul infinitésimal. Tome troisième e Cours de calcul infinitésimal. Tome troisième deuxième partie (Gauthier-Villars, 1881)
 E. Picard Traité d'Analyse (vol. 2) (Gauthier-Villars, 1893) 

 Needham T., Visual Complex Analysis (Oxford, 1997).
 Henrici P., Applied and Computational Complex Analysis (Wiley). [Three volumes: 1974, 1977, 1986.]
 Kreyszig, E, Advanced Engineering Mathematics, 9 ed., Ch.13-18 (Wiley, 2006).
 Scheidemann, V., Introduction to complex analysis in several variables (Birkhauser, 2005)
 Shaw, W.T., Complex Analysis with Mathematica (Cambridge, 2006).
 Marsden & Hoffman, Basic complex analysis (Freeman, 1999).

Matematika
Analisi matematika