Funzjonijiet (matematika)

Fil-matematika, funzjoni  minn  għal  hi magħmula minn:

1) sett  imsejjaħ id-dominju ta' 

2) sett  imsejjaħ il-kodominju ta’ 

3) liġi li ma' kull element  f'  tassoċja element wieħed u wieħed biss  f' .

 jissejjaħ l-argument tal-funzjoni, jew inkella il-varjabbli indipendenti, waqt li  huwa l-valur tal-funzjoni, jew inkella l-varjabbli dipendenti. 

Dawn li ġejjin huma kliem sinonimi ma' "funzjoni":

"applikazzjoni", "operatur", "mappa", "relazzjoni binarja univoka", "trasformazzjoni".

Dan il-kunċett hu fundamentali fil-friegħi kollha tal-matematika.

Eżempji 
L-iżjed eżempji sempliċi ta’ funzjonijiet huma dawk li bħala d-dominju u l-kodominju għandhom settijiet numeriċi. Pereżempju, jekk ma’ kull numru nassoċjaw id-doppju ta’ dak in-numru, ikollna funzjoni. 
Ma dan kollu nitkellmu fuq funzjoni anki meta d-dominju u l-kodominju jew it-tnejn ma jkunux settijiet ta’ numri. 
Pereżempju, jekk ma’ kull trianglu nassoċjaw iċ-ċirku inskritt fih, ikollna funzjoni għaliex għal kull trianglu jeżisti ċirku wieħed u wieħed biss li hu inskritt fih.

Sikwit nitkellmu fuq funzjonijet b’iżjed argumenti, jew b’iżjed valuri, pereżempju, funzjoni li l-koordinati  ta’ punt fl-ispazju torbothom mat-temperatura  u l-pressjoni  ta’ l-arja.
F’dan il-każ , il-funzjoni fir-realtà xorta għandha argument wieħed biss, li hu t-terna  , u xorta għandha valur wieħed biss, li hu l-koppja  .

Definizzjoni 
Mogħtija s-settijiet  u , sottosett  tal-prodott Carteżjan  insejħulu funzjoni minn  għal , jekk għal kull , jeżisti element wieħed u wieħed biss  tali . Dan l-element tradizzjonalment niddenotawh b’ : fi kliem ieħor, minflok niktbu  nistgħu nużaw il-kitba tradizzjonali .

Il-fatt li  hija funzjoni minn  għal  li tassoċja ma’  l-element  nistgħu nuruh billi niktbu:

Is-sett  (li minnu l-funzjoni  "tieħu" il-valuri) hu id-dominju tal-funzjoni , waqt li s-sett  (li fih insibu l-valuri "mogħtijin" mill-funzjoni ) hu l-kodomiju tal-funzjoni .

Nosservaw li t-termini metaforiċi "tieħu valur" u "tagħti valur" jirreferu għal mudell mekkaniku tal-funzjonijiet li jirrapreżenthom bħala magna li meta ttiha element tad-dominju, tittrasformah fl-element imqabbel tal-kodominju. Minn din ix-xbieha jiġi s-sinonimu trasformazzjoni.

Is-sett 
 
mogħti mill-elementi  tal-kodominju li għalihom jeżisti  fid-dominju li tittrasfoma f’  ngħidulu l-immaġini ta’  u niddenotawh b’ Im jew b’abbuż żgħir tal-lingwa b' .

Anki din it-termini ġejja minn mudell li jħares lejn funzjoni bħala sistema tad-dawl, pereżempju lenti; f’dal-mudell l-elementi tad-dominju jikkorrespondu ma’ ġħejun ta’ raġġi tad-dawl u l-elementi tal-kodominju ma’ fejn jolqtu r-raġġi jew l-immaġini.

Definizzjoni alternattiva 
Xi matematiċi jippreferixxu d-definizzjoni alternattiva ta’ funzjoni li ġejja, li għalkemm hi iżjed rigoruża, rari tintuża: 

Funzjoni hija terna ordnata , fejn  hu sett,  hu sett ieħor, u  hu tali

Operazzjonijiet fuq il-funzjonijiet 
Jekk ikollna żewġ funzjonijiet  :  →  u  :  →  nistgħu niddefinixxu l-kompożizzjoni tagħhom: din hi definita bħala l-applikazzjoni l-ewwel ta’  fuq  u mbagħad l-applikazzjoni ta’  fuq ir-riżultat .

Din il-funzjoni ġdida niddenotawha b’ . Jekk nużaw in-notazzjoni tradizzjonali nistgħu niktbu hekk:

Notazzjonijiet għall-funzjonijiet 
Jistgħu jintużaw notazzjonijiet oħra għall-valur ta’ funzjoni  li jikkorrispondi ma’ element , iddenotat fin-notazzjoni tradizzjonali b’:

F'dik li nsejħulha notazzjoni b’funzjoni prefissa niktbu:
 .
F'dik li nsejħulha notazzjoni b’funzjoni suffissa niktbu:
 .

B’dawn in-notazzjonijiet il-kompożizzjoni ta’ żewġ funzjonijiet  u  jistgħu jinkitbu f’4 modi:

 ,
 ,
 ,
 .

Xi drabi minflok parentesi tondi jintużaw parentesi kwadri:
 .
B’dan il-mod nevitaw il-konfużjoni mal-parentesi li juru l-ordni ta’ l-operazzjonijiet. Fost oħrajn din in-notazzjoni tintuża f’xi programmi ta’ kalkulu simboliku.

Funzjonijiet ta’ żewġ varjabbli jew iżjed 
Meta d-dominju ta' funzjoni  ikun il-prodott karteżjan ta' żewġ settijiet u hekk il-funzjoni taġixxi fuq koppji ta’ elementi ta’ settijiet l-immaġini tal-koppja  nuruha bin-notazzjoni

allavolja bin-notazzjoni introdotta fuq, suppost niktbu . F'dal-kaz il-funzjoni  tissejjaħ funzjoni ta’ żewġ varjabbli.

Pereżempju, il-funzjoni ta’ multiplikazzjoni tassoċja żewġ numri naturali mal-prodott tagħhom: . Din il-funzjoni nistgħu niddefinuha formalment bid-dominju , is-sett tal-koppji tan-numri naturali kollha.

L-istess japplika jekk minflok żewġ settijiet nieħdu tlieta jew iżjed.

Funzjonijiet ta’ iżjed valuri 
Jekk il-kodominju ta’ funzjoni  hu l-prodott Carteżjan ta' żewġ settijiet jew iżjed, dawk il-varjabbli spiss jinġabru f’vettur u nistgħu ngħidulha funzjoni vettorjali. 

Eżempju tipiku hu t-trasformazzjoni linjari tal-pjan, pereżempju:
.

Funzjoni ngħidulha polidroma fil-każ li r-riżultat ta’ l-operazzjoni hu definit univokament: pereżempju, ir-radiċi kwadrata ta’ numru reali posittiv jinkiteb bħala l-funzjoni

li tassoċja ma kull numru reali posittiv is-sett taż-żewġ radiċi kwadrati. Eżempju ieħor analogu hu l-logaritmu definit fuq is-sett tan-numri komplessi.

Operazzjonijiet binarji 
Ħafna operazzjonijiet binarji ta’ l-aritmetika, bħal l-addizzjoni u l-multiplikazzjoni, huma funzjonijiet mill-prodott karteżjan  għal , u niddeskrivuhomu bin-notazzjoni infissa: jiġifieri niktbu  (u mhux ) biex niddeskrivu l-immagini tal-koppja  bl-operazzjoni .

Din in-notazzjoni ġiet ġeneralizzata fl-alġebra moderna, biex ikunu jistgħu jiġu definiti strutturi alġebrin bħal pereżempju dik ta’ grupp, bħala sett  mogħti xi operazzjonijiet binarji li għandhom propjetajiet determinati.

Klassifikazzjoni 
Fil-matematika u sostanzjalment fl-applikazzjonijiet tagħha kollha niltaqgħu ma’ ħafna tipi ta’ funzjonijiet b’karatteristiċi diversi ħafna. L-għadd kbir tal-funzjonijiet għalhekk nikklassifikawha skond bosta kriteri.

Klassifikazzjoni bbażata purament fuq is-settijiet 
 funzjoni injettiva
 funzjoni surjettiva
 funzjoni bijettiva
 endofunzjoni
 permutazzjoni
 involuzzjoni

Klassifikazzjoni bbażata fuq it-tip ta’ dominju u kodominju 
 funzjoni numerika
 funzjoni diskreta 
 suċċessjoni
 funzjoni ta’ varjabbli reali
 funzjoni ta’ varjabbli komplessa
 morfiżmu
 funzjoni ta’ sett
 funzjoni indikatriċi

Klassifikazzjoni tal-funzjonijiet mill-ambitu tal-kalkulabbilià 
 funzjoni rikorsiva primittiva
 funzjoni kalkulabbli
 funzjoni rikorsiva 
 funzjoni rikorsiva totali
 funzjoni enumerattiva

Klassifikazzjoni tal-funzjonijiet ta’ l-analisi infiniteżmali 
 funzjoni armonika
 funzjoni kontinwa
 funzjoni pari u funzjoni dispari
 funzjoni tiżdied, funzjoni tonqos u funzjoni monotona 
 funzjoni polinomjali
 funzjoni razzjonali fratta
 funzjoni traxendenti
 funzjoni differenzjabbli
 funzjoni lixxa
 funzjoni analitika
 funzjoni olomorfa
 funzjoni antjolomorfa
 funzjoni meromorfa
 funzjoni konvessa
 funzjoni integrali
 funzjoni ċilindrika

Xi funzjonijiet magħrufa 
 funzjoni Beta, funzjoni Gamma
 funzjonijiet trigonometriċi: senu, kosenu, tanġent, kotanġent
 funzjoni identità

Funzjonijiet ta’ interess probabilistiku u statistiku 

 Funzjoni ta’ ripartizzjoni
 Funzjoni ta’ probabbiltà
 Funzjoni ta’ densità
 Funzjoni ġeneratriċi tal-momenti
 Funzjoni karatteristika

Matematika