Derivata

Fil-Matematika id-derivata ta' funzjoni hija, mal-integral, waħda mill-kolonni tal-analisi matematika u tal-kalkulu infiniteżmali. 

Nistgħu nifhmu b'mod sempliċi x'inhi d-derivata jekk inħarsu lejn it-tifsira ġometrika tagħha: ġometrikament id-derivata ta' funzjoni  f' punt  hija l-kejl tal-pendil tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku tal-funzjoni fil-punt , jiġifieri, it-tanġent trigonometriku tal-angolu bejn il-linja dritta tanġenti u l-assi orizzontali.

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' varjabbli waħda, derivabbli fid-dominju kollu tagħhom, jew almenu f'intervall ta' dan, b'operazzjonijiet alġebrin niksbu funzjoni ġdida li tirrappreżenta d-derivata mal-varjazzjoni ta' . Din hi li nfissru s-soltu meta nitħaddtu ġenerikament fuq id-derivata ta' funzjoni, għax hi unika apparti mis-sinjal, li jiddipendi mid-direzzjoni li nkunu qed nikkonsidraw fid-derivazzjoni ('l quddiem jew lura).

Fil-każ ta' funzjonijiet ta' aktar varjabbli indipendenti din l-uniċità tintilef, għaliex in-numru ta' direzzjonijiet li fihom nistgħu nikkalkulaw ir-rapport inkrementali ma jibqgħax iżjed tnejn imma jsir infinit: ma jibqgħax possibli li niddefinixxu funzjoni waħda tal-istess varjabbli indipendenti li tagħti r-rapporti inkrementali kollha possibbli tal-funzjoni. Għalhekk neħtieġu d-derivati parzjali tal-funzjoni, li meta nikkombinawhom linjarment jagħtuna r-rapport inkrementali tal-funzjoni f'kull direzzjoni li rridu.

Definizzjoni u notazzjoni 
Fl-analisi matematika d-derivata ta' funzjoni reali ta' varjabbli reali  fil-punt  hi definita bħala l-limitu tar-rapport inkrementali meta l-inkrement  jersaq lejn 0, taħt l-ipoteżi li dak il-limitu jeżisti u hu finit.

Iżjed preċiż, jekk ikollna funzjoni  definita f'inħawija ta'  ngħidu li hi derivabbli fil-punt  jekk jeżisti u hu finit dan il-limitu: 

Il-valur ta' dan il-limitu, indikat normalment b', ngħidulu d- derivata tal-funzjoni fil-punt . Jekk il-funzjoni  hi derivabbli f'kull punt tal-intervall , ngħidu li hi derivabbli f', u l- funzjoni  li tassoċja ma' kull punt  id-derivata ta'  f' , insejħulha l-funzjoni derivata ta' .

Id-derivata fil-punt  nistgħu nindikawaha b'wieħed minn dawn is-simboli:

  skont in-notazzjoni ta' Lagrange.

  skont in-notazzjoni ta' Cauchy.

  skont in-notazzjoni ta' Leibniz: l-ewwel li dehret storikament hi  .

  skont in-notazzjoni ta' Newton.

Derivata mill-lemin u mix-xellug 
Jissejjaħ derivata mill-lemin ta'  f' il-limitu:

Jissejjaħ derivata mix-xellug ta'  f' il-limitu:

Funzjoni hi derivabbli f' jekk u biss jekk id-derivati mill-lemin u mix-xellug jeżistu u għandhom l-istess valur.

Permezz tad-derivati mill-lemin u mix-xellug nistgħu niddefinixxu d-derivabbiltà fuq intervall mhux miftuħ: pereżempju jekk  hi definita f'l-intervall magħluq , ngħidu li  hi derivabbli f' jekk hi derivabbli f'kull punt intern  ta' , u jekk jeżistu d-derivati mill-lemin u mix-xellug rispettivament fit-truf  u .

Tifsira ġometrika tad-derivata 

Il-valur tad-derivata ta'  ikkalkulat f' għandu sinjifikat ġometriku: dan hu l-koeffiċjent angulari tal-linja dritta tanġenti mal-kurva rappreżentata mill-grafiku ta' , fil-punt bil-koordinati .

Fi kiem ieħor, id-derivata hi l-valur tat-tanġent trigonometriku tal-angolu li l-linja dritta tanġenti mal-kurva fil-punt  tifforma mal-assi tal-axissi.

L-ekwazzjoni tal-linja dritta tanġenti f' hija: 

Iżjed preċiż, jekk  hi derivabbli fil-punt , teżisti funzjoni  definita f'inħawija ta'  tali li: 

fejn

 

Ngħidu li  hu infiniteżmu ta' ordni ogħla mill-funzjoni . B'din irridu nesprimu l-idea li t-termini  jagħti kontribut li nistgħu nittraskurawh jew inħalluh barra kkomparat mat-termini l-oħra meta nersqu lejn .

Niddefinixxu  b'l-istess dominju ta' , bħala:

u nivverifikaw li:

Niftakru li għal : għandna : mela :

Meta nissostitwixxu din l-aħħar ugwaljanza f'(1) ikollna:

u nikkonfermaw it-teżi.

Teorema tal-kontinwità 
Teorema: Teorema tal-kontinwità
It-teorema jgħid li jekk  tkun derivabbli f' imbagħad tkun ukoll kontinwa f'. <noinclude>

Inwiddbu li l-kuntrarju mhux dejjem veru: pereżempju, il-funzjoni  hi kontinwa fuq id-dominju kollu, imma mhux derivabbli fil-punt , għaliex id-derivata tal-lemin mhux l-istess bħal tax-xellug.
 
Prova tat-Teorema:

Il-prova tiġi mill-ugwaljanza ta' qabel:

minn fejn niksbu:

Għalhekk il-funzjoni hi kontinwa f'.

Funzjonijiet mhux derivabbli 
Funzjoni kontinwa tista' tkun non-derivabbli. Fost il-fenomeni li jistgħu iġegħlu ‘l-funzjoni ma tkunx kontinwa, hemm dawn li ġejjin:
 punt angoluż,
 kuspidi jew qarsa,
 fless bit-tanġent vertikali,

Jeżistu wkoll funzjonijiet kontinwi li jieħdu forom iżjed komplessi ta' non-derivabbiltà, pereżempju l-funzjoni ta' Cantor.

L--il Derivata 
L-" -il derivata", , ta' funzjoni  hi l-funzjoni li niksbu meta nidderivaw il-funzjoni  darbiet waħda wara l-oħra. Għalhekk ngħidu it-tieni derivata, it-tielet derivata, il-ħmistax-il derivata etc... u nużaw din in-notazzjoni:
  
 ,
 ...
  

Funzjoni li hi derivabbli mhux bilfors hi derivabbli -il darba: Pereżempju din il- funzjoni għandha l-ewwel derivata imma m'għandhiex it-tieni:

Infatti id-derivata ta'  hi , li minn naħa tagħha mhijiex derivabbli.

Teoremi 
Hawn taħt nagħtu xi ftit teoremi u riżultati importanti.

Teorema ta' Fermat 

Dan it-teorema jintuża ħafna fi tfittxija ta' punti ta' massimu jew ta' minimu fejn il-funzjoni derivata hi nulla. Kull punt  fejn  hi żero ngħidulu punt stazzjonarju. Allura il-punti ta' massimu u ta' minimu huma stazzjonarji.

Osservazzjonijiet:
 hu neċessarju li  tkun punt ġewwieni tad-dominju
 il-funzjoni trid tkun derivabbli fil-punt , inkella t-teorema ma jagħmilx sens.

Prova:
Biex niffissaw l-idejat, ejjew nissoponu li  hu punt ta' massimu u għalhekk  hu valur massimu tal-funzjoni f' ; il-prova hija l-istess fil-każ li  jkun punt ta' minimu għal . 
Inħarsu lejn ir-rapport inkrementali: 
In-numeratur  għaliex, bl-ipoteżi,  hu punt ta' massimu u għalhekk .

Mela nistgħu ngħidu li :
  jekk , għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem negattiv;
  jekk , għax in-numeratur hu dejjem negattiv jew null u d-denominatur hu dejjem pożittiv. 
Isegwi, bit-teorema tal-permanenza tas-sinjal li: 
 
 
Imma bl-ipoteżi, il-funzjoni  hi derivabbli f'  u għalhekk il-limitu tar-rapport inkrementali f' jeżisti u hu finit. Allura jrid ikun fl-istess ħin  u , u mela hu null, kif ridna nuru.

Teorema ta' Rolle

Teorema ta' Lagrange 

Il-teorema jgħid li jeżisti mill-inqas punt wieħed tal-grafiku tal-funzjoni, 
,
fejn il-linja dritta tanġenti għandha koeffiċjent angulari daqs dak tal-korda dritta li tgħaddi mill-punti 

u 
.

Dan it-teorema hu ġeneralizzazzjoni ta' dak ta qabel fis-sens li jħares lejn il-każ fejn
 hi differenti minn ;
jekk  hi daqs  nerġgħu niksbu it-Teorema ta' Rolle.

Teorema ta' Cauchy 

Jekk inpoġġu , niksbu mill-ġdid it-teorema ta' Lagrange.

Teorema żdieda-tinqis 

Jista' jkun li l-funzjoni ma tiżdidx (jew ma tonqosx) strettament. It-teorema hi konsegwenza diretta tat-teorema ta' Lagrange. 

Għandna wkoll:.

 Jekk , il-funzjoni tiżdied strettament f' 

 Jekk , il-funzjoni tonqos strettament f' 

Funzjoni li tiżdied strettament mhux bilfors ikollha derivata kullimkien posittiva. Pereżempju

hi tiżdied strettament, imma għandha derivata nulla fl-oriġini (fejn hemm punt ta' fless).

Teorema tal-funzjoni kostanti

Derivata ta' funzjonijiet vettorjali 
Funzjoni vettorjali ngħidulha derivabbli fil-punt  jekk jeżisti u hu finit il-limitu

Billi l-argument tal-limitu hu vettur, ir-riżultat hu wkoll vettur. Infatti d-derivata ta'  hi l-vettur magħmul mid-derivati tal-komponenti tagħha:
.

Derivabbiltà f' 
Funzjoni  ngħidulha derivabbli f' jekk jeżistu u huma finiti d-derivati parzjali tagħha kollha.

Konvessità 
Ħalli  tkun derivabbli. Ngħidu li l-funzjoni  hi:

 konvessa f'  jekk  il-grafiku tal-funzjoni f'  jibqa' dejjem taħt il-linja dritta tanġenti fil-punt . 
Bis-simboli:

 konkava f'  jekk  il-grafiku tal-funzjoni f'  jibqa' dejjem 'l fuq mill-linja dritta tanġenti fil-punt . 

Bis-simboli:

Derivata ta' serje ta' potenzi 

Funzjoni li nistgħu niktbuha bħala serje ta' potenzi  b' raġġ ta' konvergenza , 
hi derivabbli fuq l-intervall  kollu. Id-derivata nistgħu nikkalkulawha billi nidderivaw is-serje terminu terminu b'dan il-mod:

Dan it-tip ta' derivata hu importanti għall-iżvilupp ta' Taylor u McLaurin.

Derivata formali 
Fit-teorija taċ-ċrieki nintroduċu l-idea ta' derivata formali bħala l-operatur  li jissodisfa:
  (l-operazzjoni hi linjari)
  (ir-regola ta' Leibniz).

Pereżempju bħala applikazzjoni hemm id-derivata formali ta' polinomju, sfruttata, fost postijiet oħra, fil-ġometrija alġebrija.

Derivata
Derivata