Invariantu metode

Invariants ir lielums, kas paliek nemainīgs, piemēram, kādā norisē vai apstākļos(franču valodā vārds invariant nozīmē nemainīgs). Ar vārdiem invarianta īpašība apzīmē īpašību, kas kādā procesā saglabājas, nemainās. Kā piemēri tam varētu būt, mašīnas braukšanas ātrums visā ceļa posmā nav nemainīgs lielums, jo, uzsākot braucienu, tās ātrums ir nulle, bet kaut kādā ceļa posmā tas ir nemainīgs, t.i., invariants. Šūpojoties šūpolēs, attālums no šūpolēm līdz stienim, uz kura šūpoles ir pakārtas, ir invariants lielums, bet attālums no šūpolēm līdz šūpoļu balstiem nav invariants lielums. Invariantiem ir ļoti liela nozīme visās zinātnes nozarēs. Zinātne var pastāvēt tikai tāpēc, ka dažas objektu īpašības ir invariantas, nemainīgas. Ja katrs objekts pilnīgi atšķirtos no visiem citiem objektiem un katrā eksperimentā iegūtu citādus rezultātus, tad nevarētu runāt par vispārīgiem likumiem un īpašībām. Invariantu metodi kā pierādīšanu izmanto uzdevumos, kad veicot uzdevumu nav iespējams pierādīt rezultātu, ņemot noteiktas operācijas.

Šādu uzdevumu risina pēc plāna:

Jāatrod piemērota īpašība, kurai

1. Piemīt sākumā dotajiem lielumiem

2. ir invarianta, t.i.., saglabājas, veicot pieļaujamās operācijas;

3. nepiemīt tiem lielumiem, kuri jāiegūst gala rezultātā.

Par invarianto īpašību var izmantot īpašību- elementu skaits, summa vai starpība ir ‘’pāra vai nepāra skaitlis’’, dalās ar 3, dalās ar 4,...; Lai konstatētu kādas invariantas īpašības eksistenci, var izmantot matemātiskās indukcijas metodi.

Aritmētiskie invarianti

Paritāte 
Invariantu metode, kuras atrisināšanas pamatā ir apsvērums ir „pāra” vai „nepāra” skaitlis.

Piemērs:

Uz tāfeles rindā uzrakstīti skaitļi 1;2;3;...;1998. Vienā ‘’gājienā’’ atļauts nodzēst jebkurus divus blakus esošus skaitļus un to vietā uzrakstīt šo skaitļu starpību. Vai eksistē tāda ‘’ gājienu’’ sērija, pēc kuras uz tāfeles paliek tikai viens vienīgs skaitlis 0?

ATRISINĀJUMS.

Uz tāfeles uzrakstīto skaitļu summa ir nepāra skaitlis (aritmētiskā progresija). Nodzēsīsim divus blakus esošos skaitļus 9 un 10, vietā ierakstīsim to starpību 10-9=1 (nepāra skaitli). Nodzēsto skaitļu summa ir 10+9=19 (nepāra skaitlis). Tā kā skaitļu 9 un 10 vietā jāieraksta skaitlis 1, tad skaitļu summa pamazinājās par skaitli 19-1=18, t.i., par pāra skaitli. Tā varētu apskatīt un izanalizēt arī citus blakus esošo skaitļu pārus. Ja tiek nodzēsti divi blakus esoši skaitļi a un b, a&gt;b, un to vietā uzrakstīta šo skaitļu starpība a-b, tad uz tāfeles uzrakstīto skaitļu summa pamazinās par (a+b)-(a-b)=a+b-a+b=2b, t.i., par pāra skaitli.

Izdarīsim secinājumu: ja visu sākumā doto skaitļu summa ir NEPĀRA skaitlis, bet nodzēšot divus blakus esošus skaitļus, to summa pamazinās par pāra skaitli, tad, katrreiz atņemot no nepāra skaitļa pāra skaitli, iegūsim NEPĀRA skaitli. Līdz ar to nulli nevarēsim iegūt, jo nulle ir pāra skaitlis.

Uzdevums atrisināts.

Šajā uzdevumā invariants ir- skaitļu summa ir NEPĀRA skaitlis:

- šī īpašība PIEMĪT sākumā dotajam skaitlim;

- šī īpašība SAGLABĀJAS, veicot norādītās operācijas;

- šī īpašība NEPIEMĪT vēlamajam galarezultātam.

Daudzos uzdevumos invariantu nevar atrast tik tieši kā iepriekšējos uzdevumos, bet tas jāizvēlas mākslīgi.

Specifiskās atlikumu vērtības 
Par invariantu var izvēlēties nevis īpašību ”būt pāra skaitlim" vai “būt nepāra skaitlim”, bet gan īpašību “dalīties ar 3 “ vai “dalot ar 3, dot atlikumu 1.

Dalāmība ar 3 
Piemērs:

Mežā auga 36 sēnes. Pirmās dienas rītausmā viena sēne nogāzās, bet izauga 4 jaunas sēnes. Tāpat notiek katrā nākamajā dienā — viena nogāžas, 4 izaug jaunas. Kurā dienā šajā mežā būs tieši 15037 sēnes?

ATRISINĀJUMS.

Izpētīsim, kādas ir sēņu skaita izmaiņas mežā vienā dienā. Ja mežā izauga 4 jaunas sēnes un 1 nogāzās, tad sēņu skaits mežā palielinājās par 3, jo 4-1=3. Tā kā tādas pat izmaiņas ar sēnēm notiek katru dienu, tad sēņu skaits mežā katru dienu palielinās par skaitli 3. Tā kā sākumā tas dalās ar 3, tad tas dalās ar 3 visu laiku. Lai noskaidrotu, kurā dienā mežā būs tieši 15037 sēnes, skaitlis 15037 jādala ar 3. Bet šis skaitlis nedalās ar 3 bez atlikuma, tātad nebūs tādas dienas, kad mežā būs tieši 15037 sēnes.

Uzdevums atrisināts.

INVARIANTS- sēņu skaits dalās ar skaitli 3.

Dalāmība ar 4 
Piemērs:

Vai 19990.gadā Latvijas izlases sportisti piedalīsies Olimpiskajās spēlēs?

ATRISINĀJUMS.

Lai atbildētu uz šo jautājumu, noskaidrosim, vai 19990. gadā notiks Olimpiskās spēles. Olimpiskās spēles notiek reizi četros gados, un tās notika 1996. gadā. Tā kā 1996 dalās ar 4, tad olimpiskās spēles notiek tikai gados, kuru numuri dalās ar 4. Bet 19990 ar 4 nedalās, tātad šajā gadā olimpiskās spēles nenotiks.

Uzdevums atrisināts.

INVARIANTS- olimpisko spēļu gada skaitlis dalās ar 4.

ALGEBRISKIE INVARIANTI

INVARIANTS- SUMMA, ELEMENTU SKAITS VAI STARPĪBA 
Piemērs:

Ar vienu gājienu atļauts diviem trijstūrīšiem, kam ir kopīga mala, pieskaitīt pa vieniniekam. Vai, daudzkārt atkārtojot šādus gājienus, var panākt, lai visos trijstūrīšos būtu ierakstīti vienādi skaitļi?

ATRISINĀJUMS.

Izkrāsojam trijstūrīšus. Melnajos trijstūrīšos ierakstīto skaitļu summa ir 2, bet baltajos tā ir 0. Starpība starp šīm summām ir 2. Ar katru gājienu melnajos un baltajos trijstūrīšos ierakstīto skaitļu summa palielinās par 1, tāpēc šīs summas nekad nekļūst vienādas. Tāpēc visās rūtiņās vienādus skaitļus ierakstīt nevarēsim. Uzdevums atrisināts. INVARIANTS- starpība starp melnajos un baltajos trijstūrīšos ierakstīto skaitļu summu ir 2.

INVARIANTS- REIZINĀJUMS 
Piemērs:

Uz displeja ekrāna uzrakstītas 1997 “+” un 1996 “-” zīmes. Vienā gājienā drīkst nodzēst jebkuras divas zīmes un to vietā uzrakstīt “+” zīmi, ja nodzēstās zīmes bijušas vienādas, un “-”zīmi, ja nodzēstās zīmes bijušas dažādas. Kāda zīme paliks uz tāfeles pēc 3992. gājiena?

ATRISINĀJUMS.

Aizstāsim katru “+” zīmi ar skaitli “+1”, bet katru “-” zīmi- ar skaitli “-1”. Izdarot norādītās operācijas, uz tāfeles uzrakstīto skaitļu reizinājums ir nemainīgs. Sākumā tas ir +1, jo “-1” reizinātāju skaits ir pāra skaitlis. Pēc 3992. gājiena uz tāfeles paliks tikai viens skaitlis, tāpēc tas būs skaitlis +1. Tātad uz tāfeles paliks “+” zīme. Uzdevums atrisināts.

INVARIANTS- mūsu ieviesto skaitļu reizinājums paliek nemainīgs.

PERIODISKUMS 
Piemērs:

Bezgalīgu skaitļu virkni 1; 2; 3; 5; 8; 3; 1; 4; 5; 9; 4; 3; 7; 0; 7; 7; ... veido pēc šāda likuma: pirmie divi skaitļi ir 1 un 2, bet katrs nākamais skaitlis, sākot ar trešo, ir divu iepriekšējo skaitļu summas pēdējais cipars. Vai šajā skaitļu virknē kaut kur blakus atrodas skaitļi 2 un 4?

ATRISINĀJUMS.

Ievedīsim apzīmējumus: pāra skaitļus apzīmēsim ar p, bet nepāra skaitļus — ar n. Skaitļu virkne veidojas šādi :n,p,n; n,p,n; n,p,n; n,p,n; ... . Šajā virknē periodiski atkārtojas grupa (n,p,n). Virknē nekur blakus neatrodas divi pāra skaitļi, tātad šajā virknē nekur blakus neatradīsies skaitļi 2 un 4.

INVARIANTS- virknē periodiski atkārtojas grupa (n,p,n).

ĢEOMETRISKIE INVARIANTI

INVARIANTS- LAUKUMS 
Piemērs:

Plakne sadalīta vienādos kvadrātiņos kā rūtiņu lapa. Atzīmētas 6 virsotnes A, B, C, D, E, F

Virsotnēs A, B, C atrodas pa figūriņai. Ar vienu gājienu atļauts izvēlēties divas patvaļīgas figūriņas (apzīmēsim tās ar X un Y) un pārcelt figūriņu X pāri Y, novietojot to tā, ka figūriņa Y, un figūriņas X vecā atrašanās vieta un figūriņas X jaunā atrašanās vieta atrodas uz vienas taisnes, pie tam attālums starp figūriņām X unY nav mainījies

Vai pēc vairākiem šādiem gājieniem var rasties tāda situācija, ka figūriņa no punkta A pārvietojusies uz punktu D, no B- uz E, bet no C- uz F?

ATRISINĀJUMS.

Apzīmēsim figūriņas ar F1, F2, F3. Gājiena rezultātā trijstūra F1F2F3 laukums nemainās.

Tiešām, ∆F1F2F3 un ∆F1′F2F3 ir vienādi pamati F1F2 un F1′F2 un kopējs augstums pret tiem, tāpēc vienādi arī to laukumi. Atliek ievērot, ka ∆ABC un ∆DEF laukumi acīmredzami atšķiras, tātad prasītais nav sasniedzams.

INVARIANTS- figūriņu veidotā trijstūra laukums nemainās.

INVARIANTS- ORIENTĀCIJA 

Hokeja laukumā atzīmēti punkti A, B, C, D, E, F

Punktos A, B, C novietots pa ripai. Hokejists trenējas mest pa vārtiem. Viņš pieslido kādai ripai un met to “vārtos”, kurus veido abas pārējās ripas; pēc tam pieslido kādai citai ripai un dara to pašu, utt. . Pieņemsim, ka ripas slīd pa taisni, neatsitas pret apmali un nemaina virzienu; pieņemsim arī, ka ripa vienmēr šķērso “vārtu” līniju, t.i., visi metieni ir vienmērīgi.

Vai var gadīties, ka tieši pēc 1998 metieniem ripa no A nonāk punktā D, ripa no B punktā E, bet ripa no C- punktā F?

ATRISINĀJUMS.

Viegli saprast, ka spēkā sekojoša īpašība: ja pirms metiena ripas A,B,C izvietotas uz ledus pulksteņa rādītāja kustības virzienā, tad pēc metiena tās izvietotas pretēji pulksteņa rādītāja kustības virzienam, un otrādi. (Pārliecinieties par to patstāvīgi, atsevišķi aplūkojot gadījumus, kad met ripu A, ripu B vai ripu C.) Tātad pēc pāra skaita metieniem ripu orientācija ir tāda pati kā sākumā. Atliek ievērot, ka 1) 1998- pāra skaitlis, 2) A,B,C izvietoti pulksteņa rādītāja kustības virzienā, 3) D,E,F izvietoti pretēji pulksteņa rādītāja kustības virzienam. Tātad uzdevumā prasītais mērķis nav sasniedzams.

INVARIANTS- ripu veidotā trijstūra orientācija ik pēc diviem metieniem ir tāda pati kā sākumā.

INVARIANTS- RĀDIUSS 

Patvaļīgu trijstūri ABC atļauts aizvietot ar trijstūri MNK tā, ka AB=MN, BC=NK un ∠A=∠M

Vairāku šādu gājienu rezultātā no sākotnējā trijstūra XYZ iegūts trijstūris X1Y1Z1, pie tam ∆XYZ∼∆X1Y1Z1. Pierādīt, ka ∆XYZ=∆X1Y1Z1.

ATRISINĀJUMS.

Apzīmēsim ap ∆ABC apvilktās riņķa līnijas rādiusu ar , bet ap ∆MNK apvilktās riņķa līnijas rādiusu-ar  Tad, saskaņā ar labi zināmu formulu,  un . Saskaņā ar doto iegūstam, ka .

Varam secināt, ka gājienu izpildes procesā ir invariants lielums- iegūto trijstūru apvilkto riņķa līniju rādiusu garums. Tātad apvilkto riņķa līniju rādiusi vienādi arī ∆XYZ un ∆X1Y1Z1. Ja līdzīgiem trijstūriem vienādi divi atbilstoši garuma elementi, tad tie paši ir vienādi, kas arī bija jāpierāda.

Atsauces

Literatūra 
 E.Riekstiņš, A.Andžāns. Atrisini pats!- R.:Zvaigzne, 1984.- 271lpp.
 A.Andžāns, I.Kreicberga. Vai vari atrisināt?- R.:Zvaigzne, 1985.-159 lpp.
 A.Andžāns, A.Bērziņš, M.Stupāne. Matemātikas olimpiāžu un konkursu uzdevumi R.:Zvaigzne, 1992.-239 lpp.
 A.Andžāns, M.Vītuma. 1982./83. mācību gada dažādu matemātikas olimpiāžu, konkursu uzdevumi un to atrisinājumi- R.:Latvijas PSR Izglītības ministrija, 1986.-199 lpp.
 I.Muceniece. Algoritmisko uzdevumu krājums 5.-9.klasei-A.:Krauklītis, 1996.-116 lpp.
 A.Andžāns, I.Jēkabsone. Profesora Cipariņa kluba uzdevumi un to atrisinājumi- R.:Mācību apgāds, 1996.-65 lpp.
 LU A.Liepas NMS uzdevumu kartotēka

Matemātika