Kompleksinis skaičius

Kompleksinis skaičius – dviejų realiųjų skaičių pora z:
 ,
kur a ir b – realieji skaičiai,
o  – menamasis vienetas tenkinantis sąlygą:
 
Dažnai klaidingai sakoma, jog  tačiau tai ne visai tikslu, nes yra dvi reikšmės, kurias pakėlę kvadratu gauname -1: i ir -i.

Skaičius a vadinamas realiąja z dalimi, žymima a = Re(z), skaičius b vadinamas menamąja z dalimi, žymima b = Im(z).

Kompleksinių skaičių aibė žymima C:

Aritmetinės operacijos su kompleksiniais skaičiais 
Sudėtis
 

Atimtis
 ,

Daugyba
 
 
 

Dalyba
 

 .
 .

Kompleksinių skaičių laukas 
Formaliai kompleksinis skaičius gali būti apibrėžtas kaip išrikiuota dviejų realių skaičių (a, b) pora su įvestomis operacijomis:

 

 

Taip apibrėžti kompleksiniai skaičiai sudaro lauką, kompleksinių skaičių lauką, žymimą C (laukas matematikoje yra algebrinė struktūra, kurioje apibrėžtos sudėties, atimties, daugybos ir dalybos operacijos, turinčios tam tikras algebrines savybes. Pvz., realieji skaičiai yra laukas).

Realusis skaičius a yra sutapatinamas su kompleksiniu skaičiumi (a, 0), ir tuo būdu realiųjų skaičių laukas R tampa C dalimi. Menamasis vienetas i apibrėžiamas kaip kompleksinis skaičius (0, 1), kuris tenkina:
 

Lauke C mes turime:
 vienetinį elementą sudėčiai („nulį“): (0, 0)
 vienetinį elementą daugybai („vienetą“): (1, 0)
 atvirkštinį elementą sudėties operacijai (a,b): (−a, −b)
 atvirkštinį elementą sandaugos operacijai nenuliniam (a, b):

Kompleksinių skaičių plokštuma 
Kompleksinis skaičius gali būti vaizduojamas dvimatėje koordinačių sistemoje kaip vektorius, jungiantis koordinačių sistemos pradžią su tašku, kurio x koordinatė yra realioji kompleksinio skaičiaus dalis, o y – menamoji. 

Dviejų (ar daugiau) kompleksinių skaičių suma yra tokių juos kompleksinėje plokštumoje atitinkančių vektorių vektorinė suma. 

Dviejų kompleksinių skaičių sandaugą atitinkančio vektoriaus (irgi prilyginamo kompleksiniam skaičiui) ilgis lygus dauginamųjų vektorių ilgių sandaugai, o kampas su X ašimi – dauginamųjų vektorių kampų sumai. Kompleksiniai skaičiai, kuriuos atitinka vienetinio ilgio (normalizuoti) vektoriai, dauginant tiesiog pasuka kitą dauginamąjį savuoju kampu su X ašimi.

Tiek i, tiek ir -i yra kompleksiniai skaičiai, kurių realioji dalis lygi nuliui, tačiau menamoji dalis yra priešingų ženklų. Tai du su Y ašimi sutampantys vienetinio ilgio vektoriai, nukreipti priešingomis kryptimis (i aukštyn, -i žemyn), jų vektorinė suma lygi nuliui, o sandaugos kampas 90° + 270° = 360° = 0°, kas atitinka su X ašimi sutampantį, dešinėn nukreiptą vektorių (realųjį skaičių 1).   sandaugos kampas 90° + 90° = 180°, kas atitinka su X ašimi sutampantį kairėn nukreiptą vektorių, realųjį skaičių -1. Tačiau  sandaugos kampas 270° + 270° = 540° = (apsukus ratą) 180°, kas irgi atitinka -1.

Trigonometrinė forma 

Greta algebrinės formos () dar yra trigonometrinė kompleksinių skaičių užrašymo forma:

,

Čia
 ,11
 
 .

Formulė kai  yra vadinama Oilerio formule: .

Šiuo atveju kompleksinis skaičius  turi paprastą geometrinę interpretaciją. a yra atkarpos ilgis x ašimi, o b – y ašimi. Kampas  yra kampas tarp x ašies ir tiesės, jungiančios koordinačių pradžią (0,0) ir tašką (a, b).  yra atkarpos ilgis nuo koordinačių pradžios (0, 0) iki taško (a, b).

Daugyba, dalyba, kėlimas laipsniu ir šaknies traukimo operacijos trigonometrinėje formoje 
Dviejų kompleksinių skaičių daugyba atrodys taip:
 

dalyba:

 

Kėlimui laipsniu yra naudojama Muavro formulė:

 

Šaknies traukimo operacija:

,
 – egzistuoja lygiai n skirtingų šaknų. Kai k kinta nuo 0 iki (n-1), visos gaunamos reikšmės yra skirtingos. Kai k > n, gaunamos reikšmės kartojasi.

Šaltiniai 

Skaičių teorija
Kompleksinė analizė