Anatolijus Karacuba

Anatolijus Aleksejevičius Karacuba (1937 m. sausio 31 d., Groznas, TSRS – 2008 m. rugsėjo 28 d., Maskva, Rusijoje) – Rusijos matematikas.

Studijos ir darbas 

1944–1954 m. Anatolijus Karacuba mokėsi Grozno berniukų gimnazijoje ir ją baigė sidabro medaliu. Jau vaikystėje jis parodė išskirtinius gabumus matematikai. Būdamas žemesniųjų klasių moksleiviu jis jau sprendė uždavinius, skirtus vyriausiųjų klasių mokiniams.

1959 m. jis baigė Maskvos valstybinio Lomonosovo universiteto Matematikos ir informatikos fakultetą. 1962 m. apgynęs disertaciją "Specialaus pavidalo racionaliosios trigonometrinės sumos ir jų taikymai" (mokslinis vadovas N. M. Korobovas (Korobov)), tapo fizikos ir matematikos mokslų kandidatu ir pradėjo dirbti MVU Matematikos ir mechanikos fakultete. 1966 m. apgynė disertaciją "Trigonometrinių sumų metodas ir vidurkių teoremos" ir tapo fizikos ir matematikos mokslų daktaru bei Steklovo matematikos instituto (MIAN) mokslo darbuotoju.

Nuo 1983 m. buvo vedantysis skaičių teorijos specialistas TSRS ir Rusijoje. Jis buvo Steklovo instituto skaičių teorijos skyriaus vadovas, nuo 1970 m. – Maskvos valstybinio universiteto skaičių teorijos katedros profesorius, o nuo 1980 m. – Maskvos valstybinio universiteto Matematinės analizės katedros profesorius. Jo mokslinių interesų sritis apėmė trigonometrines sumas ir trigonometrinius integralus, Rymano dzeta funkciją, Dirichlė charakterius, baigtinius automatus, efektyviuosius algoritmus.

Karacuba vadovavo 15 doktorantų, kurie įgijo daktaro laipsnius (tapo mokslų kandidatais); septyni iš jų tapo mokslų daktarais. Karacubai buvo paskirtos premijos ir suteikti garbės vardai.

Premijos ir vardai.
 1991: Tarybų Sąjungos Mokslų Akademijos P. L. Čebyševo vardo premija
 1999: Nusipelnęs Rusijos mokslininkas
 2001: Rusijos Mokslų Akademijos I. M. Vinogradovo vardo premija

Ankstyvieji darbai iš informatikos 
Būdamas Maskvos valstybinio Lomonosovo universiteto studentu, Karacuba lankė Andrejaus Kolmogorovo seminarus ir išsprendė dvi Kolmogorovo iškeltas problemas, kurios buvo svarbios automatų teorijos vystymui ir davė pradžią naujai matematikos šakai – greitųjų algoritmų teorijai.

Automatai 
Edvardo F. Muro (Edward F. Moore) straipsnyje
 tipo  automatu arba mašina yra vadinamas įrenginys su  būsenų,  įėjimo simbolių ir  išėjimo simbolių. Straipsnyje buvo įrodytos devynios teoremos apie  struktūrą ir eksperimentus su . Vėliau  buvo pavadintos Muro mašinomis. Straipsnio pabaigoje skyrelyje "Naujos problemos" Muras suformulavo problemą apie įverčių, gautų 8 ir 9 teoremose patikslinimą.

8 teorema (Muro). Tarkime, jog  yra tokia tipo 
mašina, kad bet kurios dvi būsenos yra skirtingos viena nuo kitos. Tuomet egzistuoja  ilgio algoritmas, savo pabaigoje identifikuojantis 
būseną.

1957 m. Karacuba įrodė dvi teoremas, kurios pilnai išsprendė Muro problemą apie 8 teoremos algoritmo ilgio patikslinimą.

A teorema (Karacubos). Tarkime, jog  yra tipo 
mašina, kurios bet kurios dvi būsenos yra skirtingos. Tuomet egzistuoja ne didesnio negu  išsišakojęs algoritmas, pagal kurį ekspermento pabaigoje gali būti surasta mašinos  būsena.

B teorema (Karacubos). Egzistuoja tokia  tipo mašina su skirtingomis būsenomis, kad būsenos radimo trumpiausio algoritmo ilgis yra 

Šias dvi teoremas Karacuba įrodė ketvirtame kurse, jos buvo jo kursinio darbo pagrindas. Atitinkamas straipsnis 1958 m. gruodžio 17 d. buvo įteiktas žurnalui "Uspechi Matem. Nauk" ir paskelbtas 1960 m..
Iki šiol šis Karacubos rezultatas, vėliau pavadintas Muro-Karacubos teorema, lieka tiksliausias (tiksliausias ne tiesinis eilės įvertis) ne tiesinis rezultatas tiek automatų teorijoje, tiek ir analogiškose skaičiavimų sudėtingumo teorijos problemose.

Greitieji algoritmai 
Greitieji algoritmai yra matematikos sritis, nagrinėjanti duotos funkcijos apskaičiavimo nurodytu tikslumu algoritmus naudojant kiek galima mažiau operacijos bitų. Tarkime, jog skaičiai yra užrašyti binarioje sistemoje, kurios ženklai  ir  yra vadinami "bitais". Vienos "operacijos bitas" apibrėžiamas rašant vieną iš ženklų , plius, minus, skliausteliai; rašant greta, atimant ir sudauginant du bitus. Andrejus Kolmogorovas pirmasis iškėlė problemas apie skaičiavimo sudėtigumo bitus. Daugybos sudėtigumas  yra skaičius operacijos bitų, reikalingas apskaičiuoti dviejų  skaitmenų skaičių sandaugą, naudojant duotą algoritmą.

Daugindami du -skaitmenų skaičius įprastu mokykliniu stulpelio metodu, gauname, kad . 1956 m. A. N. Kolmogorovas iškėlė hipotezę, jog bet kurio daugybos metodo apatinis  rėžis taip pat yra  eilės, t. y., negalima apskaičiuoti dviejų  skaitmenų skaičių sandaugą greičiau negu naudojant  operacijų (vadinamoji Kolmogorovo  hipotezė).  hipotezė atrodė realistinė, kadangi visa skaičių daugybos istorija naudojosi eilės  sedėtingumu, ir jei greitesnis metodas būtų egzistavęs, jis tikriausiai jau būtų surastas.

1960 m. Anatolijus Karacuba surado naują  ženklų skaičių daugybos būdą, dabar vadinamą Karacubos algoritmu, kurio sudėtingumo eilė . Taigi,  hipotezė buvo paneigta. Karacuba šį rezultatą 1960 m. pristatė Maskvos Valstybinio Universiteto Kolmogorovo seminare, kuris vėliau nustojo veikti. Pirmąjį straipsnį, kuriame buvo išdėstytas metodas, paruošė pats Kolmogorovas. Jame buvo pateikti du skirtingi, vienas su kitu nesusiję, jo dviejų studentų rezultatai. Straipsnyje Kolmogorovas aiškiai nurodė, jog viena teorema (nesusijusi su greita daugyba) priklauso J. Ofmanui, o kita (su pirmuoju greitosios daugybos algoritmu) yra įrodyta A. Karacubos. Vėliau Karacubos metodas buvo pavadintas "Dalyk ir nugalėk" algoritmu. Kiti šio metodo pavadinimai, priklausomai nuo taikymų srities, yra Binarusis skaidymas, Dichotomijos principas ir t. t.

Vėliau, remiantis Karacubos idėjomis buvo sukonstruoti tūkstančiai greitųjų algoritmų. Dauguma jų yra tiesioginiai Karacubos metodo apibendrinimai. Tokie yra Šonhagės-Štraseno (Schönhage-Strassen) ir Štraseno matricų daugybos algoritmai. Pastaraisiais metais "Dalyk ir nugalėk" vardas yra naudojamas operacijoms, kurios problemą skaldo į dalis, ir tai paprastai nėra susiję su greitais skaičiavimo algoritmais.

Prancūzų matematikas ir filosofas Žanas – Polis Delajė (Jean-Paul Delahaye) laikė Karacubos daugybos metodą "vienu iš naudingiausių matematikos rezultatų".

Anatolijaus Karacubos algoritmas praktiškai yra realizuotas šiuolaikiniuose kompiuteriuose, ne tik programinėje, bet ir techninėje įrangoje.

Darbai iš  skaičių teorijos 
Straipsnyje "Apie profesoriaus A. A. Karacubos matematikos darbus", paskelbtame A. A. Karacubos šešiasdešimtmečio proga, jo buvę mokiniai G. I. Archipovas ir V. N. Čiubarikovas išskiria tokius A. A. Karacubos mokslinių straipsnių charakteringus bruožus:
"Aprašant garsių mokslininkų darbus, yra natūralu apibendrinti jųkūrybinio darbo kai kurias charakteristikas. Tokie išsiskiriantys profesoriaus Karacubos mokslinio darbo bruožai yra įvairiapusis genialumas, fundamentalus charakteris ir rezultatų išbaigtumas".

Svarbiausi A. A. Karacubos darbai yra paskelbti daugiau negu 160 mokslinių straipsnių ir monografijų.

Trigonometrinės sumos ir trigonometriniai integralai

$p$-adinis metodas 
A. A. Karacuba pastatytas naujas - adinį metodą trigonometrinių sumų teorijoje. Taip vadinamų  sumų pavidalo

įverčiai, gauti darbe, sąlygojo naujus Dirichlė  funkcijų su pirminio skaičiaus laipsnio moduliu nulių įverčius, Varingo (Waring) lyginio

sprendinių skaičiaus asimptotinę formulę, polinomo su sveikais keoficientais moduliu  trupmeninių dalių pasiskirstymo problemos sprendimą. A. A. Karacuba pirmasis realizavo Oilerio – Vinogradovo " įdėjimo principo" -adinį variantą ir suskaičiavo Vinogradovo -skaičiaus, įvertinančio Varingo tipo lyginio sprendinių skaičių, -adinį analogą. Tarkime, kad

ir, be to, , o  yra pirminis skaičius. Karacuba įrodė, kad tuomet su kiekvienu natūraliuoju  egzistuoja toks , kad, kai  kiekvienas natūralusis skaičius  gali būti išreikštas (1) forma su , o kai , egzistuoja tokie , kad (1) lyginys neturi prasmės.

Šis naujas Karacubos metodas atvedė prie naujo -adinio Vinogradovo vidurkių teoremos, sudarančios Vinogradovo trigonometrinių sumų metodo svarbiausią dalį, įrodymo.

Kitas A. A. Karacubos -adinio metodo privalumas yra perėjimas nuo nepilnos lygčių sistemos prie pilnos -adinio nežinomųjų pakeitimo dėka.

Tegul  yra bet koks natūralusis skaičius, , o sveikasis skaičius  yra apibrėžtas nelygybėmis  Nagrinėkime lygčių sistemą

kurioje  Karacuba parodė, kad šios sistemos sprendinių skaičiui  kai , yra teisingas įvertis

Nepilnoms lygčių sistemoms, kai kintamieji perbėga skaičius su mažais pirminiais dalikliais, Karacuba pritaikė multiplikatyvų kintamųjų pakeitimą. Tai leido gauti iš esmės naujus trigonometrinių sumų įverčius ir naują vidurkių teoremą tokio tipo lygčių sistemoms.

Hua-Luogeng'o problema apie Terio (Terry) problemos singuliariojo integralo rodiklių  konvergavimą
-adinis A. A. Karacubos metodas leidžia įvertinti taškų aibių, sudarytų iš mažų funkcijų reikšmių, matą tų reikšmių ir jų parametrų (koeficientų ir t. t.) terminais, ir, priešingai, duoda būdą tų parametrų įvertinimui minėtos aibės mato terminais tiek realioje, tiek ir -adinėje metrikoje. Ši Karacubos metodo pusė labai ryškiai pasireiškia trigonometrinių integralų įvertinime, kuris atvedė prie Hua Luogengo problemos sprendimo. 1979 m. Karacuba kartu su savo mokiniais G. I. Archipovu ir V. N. Čiubarikovu gavo pilną Hua Lougengo problemos sprendimą, nurodydami integralo

konvergavimo rodiklį, kai  yra fiksuotas skaičius. Ši problema buvo iškelta 1937 m. Konvergavimo rodiklis yra reikšmė , su kuria integralas  konverguoja, kai  ir diverguoja, kai . Čia  yra kiek norima mažas skaičius. Buvo įrodyta, kad integralas  konverguoja, kai $2k > \frac{1}{2}(n^{2}+n)+1$, ir diverguoja, kai $2k \leq \frac{1}{2}(n^{2}+n)+1$. Tuo pa{\v c}iu metu pana{\v s}i problema buvo išspręsta ir integralui

čia  yra sveikieji skaičiai, tenkinantys nelygybes . Karacuba ir jo mokiniai įrodė, jog integralas  konverguoja, kai , ir diverguoja, kai .

Integralai  ir  atsiranda nagrinėjant taip vadinamą Prušė-Terio-Eskoto (Prouchet-Tarry-Escott) problemą. Karacuba su savo mokiniais gavo eilę naujų rezultatų, liečiančių daugiamatį Terio problemos analogą. Be kita ko, jie įrodė, kad jei  yra , , kintamųjų polinomas

polinomo  laisvasis narys lygus nuliui, , o  yra  – matis vektorius, sudarytas iš polinomo  koeficientų, tai tuomet integralas

konverguoja, kai , čia  yra didžiausias iš skaičių . Šis rezultatas, nors ir ne galutinis, inspiravo naują trigonometrinių integralų teorijos sritį, susijusią su integralo  konvergavimo rodiklio įverčio patikslinimu (I. A. Ikromovas, M. A. Čahkijevas ir kiti).

Kartotinės trigonometrinės sumos 
1966–1980 Karacuba sukūrė kartotinių Hermano Veilio (Hermann Weyl) trigonometrinių sumų, t. y., sumų pavidalo

su

ir realių koeficientų  sistema , teoriją. Centrinė tos teorijos, kaip ir Vinogradovo trigonometrinių sumų teorijos, vieta yra tokia vidurkių teorema.

Tegul ,  yra natūralieji skaičiai, , . Be to, tegul  yra  -matis kubas , , , euklidinėje erdvėje ir

Tuomet su kiekvienu  ir  yra teisingas įvertis

čia , , , , o natūralieji skaičiai  tenkina nelygybes , .

Vidurkių teorema kartu su lema apie daugiamačių gretasienių susikirtimo kartotinumą sudaro Karacubos gauto kartotinių trigonometrinių sumų įvertinimo pagrindą. Tegul  yra skaičių , tenkinančių sąlygą  bendras mažiausias kartotinis. Tuomet, kai , galioja įvertis

čia  yra skaičiaus  daliklių skaičius, o  yra skaičiaus  skirtingų pirminių daliklių skaičius.

Hardžio funkcijos Varingo problemoje įvertis 
Pritaikęs Hardžio-Litlvudo-Vinogradovo metodo -adinė formą trigonometrinių sumų, kuriose yra sumuojama pagal skaičius su mažais pirminiais dalikliais vertinimui, Karacuba gavo naują įvertį gerai žinomoms Hardžio funkcijoms  Varingo problemoje, kai

Varingo problemos daugiamatis analogas 
Toliau nagrinėdamas Varingo problemą, Karacuba gavo tokį dvimatį jos apibendrinimą.

Imkime lygčių sistemą

kurioje  yra duoti sveikieji teigiami skaičiai su tuo pačiu augimo greičiu, ,  ir  yra nežinomieji, kurie taip pat yra sveikieji teigiami skaičiai. Ši sistema turi sprendinių, kai , o kai , tai egzistuoja tokie , kad sistema neturi sprendinių.

Artino (Artin) problema apie lokalią nulio išraišką duotąja forma 
Nagrinėdamas Artino problemą apie
-adinę nulio išraišką bet kokio laipsnio forma, Karacuba priešingai egzistuojančiai hipotezei, kad nulio išreiškimui netrivialia forma reikia, jog kintamųjų skaičius augtų polinomiškai, įrodė, kad iš tikrųjų šis skaičius turėtų augti beveik eksponentiškai priklausomai nuo formos laipsnio.

Karacuba kartu su savo mokiniu Archipovu įrodė
, kad su kiekvienu natūraliuoju  egzistuoja toks , kad su visais  yra mažesnio negu  laipsnio  
kintamųjų su sveikais koeficientais forma  turinti tik trivialią nulio išraišką -adiniais skaičiais. Panašius rezultatus jie gavo su bet kuriuo nelyginiu pirminiu moduliu .

Trumpų Klostermano sumų įverčiai 
1993–1999 m. Karacuba išvystė naują trumpų Klostermano sumų

įvertinimo metodą. Čia  perbėga skaičių, tarpusavyje pirminių su  aibę , aibės  elementų skaičius  yra mažesnis už , o  reiškia likinių moduliu  klasę, atvirkštinę , t. y.,

Iki 1990 m. įverčiai tokio tipo sumoms buvo žinomi tik atveju, kai sumos dėmenų skaičius yra didesnis už  (H. D. Klostermanas, I. M. Vinogradovas, H. Sali (Salie), L. Karlicas (Carlitz), S. Uchijama (Uchiyama), A. Veilis (Weil)). Buvo tik viena išimtis specialaus pavidalo moduliams , kai  yra fiksuotas pirminis skaičius, o rodiklis  auga į begalybę. (Šį atvejį nagrinėjo A. G. Postnikovas (Postnikov), naudodamas Ivano Matvejevičiaus Vinogradovo metodą). Karacubos metodas leidžia įvertinti Klostermano sumas, kuriose dėmenų skaičius neviršija , o kai kuriais atvejais net

,
čia  yra bet koks mažas fiksuotas skaičius.

Įvairūs Karacubos metodo aspektai buvo pritaikyti sprendžiant tokias analizinės skaičių teorijos problemas:

 rasti trupmeninių dalių sumų, turinčių pavidalą

asimptotiką; čia  perbėga sveikuosius skaičius, tenkinančius sąlygą
, o  perbėga pirminius skaičius, iš kurių nesidalija 
(A. A. Karacuba);

 įvertinti iš apačios nelygybių

sprendinių sveikaisiais skaičiais , , , , skaičių
(A. A. Karacuba);

 patikslinti bet kokio realaus skaičiaus iš intervalo  artinius trupmeninėms dalims

kai ,  ir 
(A. A. Karacuba);

 patikslinti konstantą  Bruno-Tičmarsho (Brun – Titchmarsh) teoremoje

;
čia  yra pirminių skaičių, neviršijančių  ir
priklausančių aritmetinei progresijai  skaičius.
(J. Fridlanderis (J. Friedlander), H. Ivaniecas (H. Iwaniec));

 rasti skaičių pavidalo ,  sandaugos didžiausio pirminio

daliklio įvertį iš apačios (D. R. His-Braunas (D. R. Heath – Brown));

 įrodyti, jog yra be galo daug pavidalo  pirminių skaičių
(J. Fridlanderis, H. Ivaniecas);

 ištirti skaičių aibės

kombinatorines savybes
(A. A. Glibičiukas (A. A. Glibichuk))

Rymano dzeta funkcija

Selbergo hipotezė 
1984 m. Karacuba įrodė, kad su fiksuotu , 
, pakankamai dideliu  ir  su  intervale  yra bent  Rymano dzeta funkcijos  realių nulių.

Šis nulių skaičius yra 1942 m. Atlės Selbergo (Atle Selberg) iškelta hipotezė, kurią jis pats ir įrodė atveju

Šie Selbergo ir Karacubos įverčiai negali būti patikslinti augimo eilės atžvilgiu, kai

Rymano dzeta funkcijos nulių pasiskirstymas trumpuose kritinės tiesės intervaluose 
Karacuba gavo eilę rezultatų apie funkcijos  nulių pasiskirstymą kritinėje tiesėje. Jis įrodė, jog Selbergo hipotezės analogas yra teisingas "beveik visiems" intervalams  su , kai  yra kiek norint mažas fiksuotas teigiamas skaičius. 1992 m. Karacuba išvystė naują Rymano dzeta funkcijos nulių labai trumpuose kritinės tiesės intervaluose  tyrinėjimo metodą, kai intervalo ilgis  auga lėčiau už bet kurį, kad ir labai mažą,  laipsnį. Be kita ko, jis įrodė, kad su bet kuriais  ir ,  , beveik visuose intervaluose  su  yra bent  funkcijos  nulių. Pastarasis įvertis labai mažai skiriasi nuo įverčio, kuris išplaukia iš Rymano hipotezės.

Dirichlė  eilučių tiesinių kombinacijų nuliai 
Karacuba išvystė naują funkcijų, kurios yra išreiškiamos Dirichlė  eilučių tiesinėmis kombinacijomis, nulių tyrinėjimo metodą. Paprasčiausias tokios funkcijos pavyzdys yra Davenporto-Heilbrono (Davenport-Heilbronn) funkcija , apibrėžiama lygybe

 

kurioje  yra nepagrindinis charakteris moduliu (, , , , ,  for any ),

 

Rymano hipotezė funkcijai  nėra teisinga, tačiau kritinėje tiesėje  guli nenormaliai daug jos nulių.

1989 m. Karacuba įrodė, jog intervale , , yra bent

 
funkcijos  nulių. Panašius rezultatus Karacuba gavo ir tiesinėms kombinacijoms su bet kuriuo baigtiniu dėmenų skaičiumi, tik šiuo atveju rodiklis  yra pakeičiamas mažesniu skačiumi , priklausančiu nuo tiesinės kombinacijos pavidalo.

Dzeta funkcijos nulių sritis ir daugiamatė Dirichlė daliklių problema 
Karacubai priklauso naujo didelio atradimo rezultatas apie daugiamatę Dirichlė daliklių problemą, susijęs su nelygybės  sprendinių natūriniais skaičiais  skaičiumi , kai . Yra žinoma asimptotinė formulė

 
kurioje  yra -ojo laipsnio polinomas su koeficientais, priklausančiais nuo  ir turinčiais išreikštinį pavidalą, o  yra liekamasis narys. Iki 1960 m. buvo žinomi įverčiai

 
su  kai  yra kurios nors absoliučios teigiamos konstantos.

Karacuba gavo daug tikslesnį nario  įvertį, kuriame  yra  eilės ir yra mažėjanti daug lėčiau, negu ankstesniuose įverčiuose. Karacubos įvertis yra tolygus  ir  atžvilgiu, be to ,  reikšmė gali augti kartu su  kaip kuris nors logaritmo  laipsnis. (Iš pažiūros panašų, bet silpnesnį rezultatą 1960 m. gavo vokiečių matematikas Richertas (Richert), kurio straipsnis tarybiniams matematikams nebuvo žinomas bent iki septintojo dešimtmečio vidurio).

Ǐverčio dydžiui  įrodymas remiasi eile tvirtinimų, iš esmės ekvivalenčių teoremai apie Rymano dzeta funkcijos nulių sritį. Ši teorema buvo gauta Vinogradovo metodu ir tvirtino, kad funkcija  neturi nulių srityje

2000 m. Karacuba rado
atvirkščius sąryšius tarp  įverčių ir funkcijos  elgesio arti tiesės  Be kita ko, jis įrodė, kad jei  yra bet kokia nedidėjanti funkcija, tenkinanti sąlygą , kad su visais  galioja įvertis

 tai tuomet funkcija  neturi nulių srityje 

 
 ir  yra absoliučios teigiamos konstantos.

Rymano dzeta funkcijos maksimumo įverčiai iš apačios siaurose kritinės juostos srityse ir mažuose kritinės tiesės intervaluose 
Karacuba apibrėžė ir nagrinėjo
funkcijas  ir , duotas lygybėmis

Čia  yra pakankamai didelis teigiamas skaičius,  Dydžių  ir  įverčiai iš apačios rodo, kiek dideles reikšmes funkcija  gali įgyti trumpuose kritinės tiesės intervaluose arba kritinės juostos  taškų mažose aplinkose. Atvejį  anksčiau nagrinėjo Ramačandra (Ramachandra), o atvejis  su pakankamai didele konstanta  yra trivialus.

Be kita ko, Karacuba įrodė, kad jei  ir  reikšmės yra didesnės už kurias nors pakankamai mažas konstantas, tai tuomet su kuriomis nors absoliučiomis konstantomis  ir  galioja įverčiai

Dzeta funkcijos elgesys kritinėje tiesėje 
Karacuba gavo eilę naujų rezultatų apie funkcijos
, vadinamos Rymano dzeta funkcijos argumentu kritinėje tiesėje, elgesį. Čia  yra bet kurios tolydžios  šakos pokytis išilgai laužt{\. e}s, jungian{\v c}ios taškus ,  ir  Tarp tų rezultatų yra funkcijos  ir jos pirmojo integralo  vidurkių teoremos realiosios ties{\. e}s intervaluose bei teorema, tvirtinanti, jog intervale  su  yra bent  taškų, kuriuose funkcija  keičia ženklą. Anksčiau panašius rezultatus atveju  buvo gavęs Selbergas.

Dirichlė charakteriai

Trumpų charakterių sumų baigtiniuose kūnuose įverčiai 
Šeštojo dešimtmečio pabaigoje Karacuba, vertindamas trumpas charakterių sumas, išvystė naują metodą, leidžiantį gauti netrivialius trumpų charakterių sumų baigtiniuose kūnuose įverčius. Tegul  yra fiksuotas sveikasis skaičius,  yra neredukuojamas virš racionaliųjų skaičių kūno  polinomas,  yra lygties  šaknis,  yra atitinkamas kūno  plėtinys,  yra plėtinio  bazė, , , ,…,. Tarkime, kad  yra toks pakankamai didelis pirminis skaičius, kad polinomas  yra neredukuojamas moduliu ,  yra Galua kūnas su baze  ir  yra nepagrindinis kūno  charakteris. Pagaliau tegul  yra kurie nors neneigiami sveikieji skaičiai, o  yra tokia Galua kūno  elementų 

 
aibė, kad su kiekvienu ,  yra teisingos nelygybės

 
Karacuba įrodė, kad su kiekvienu fiksuotu ,  ir su bet kuriuo , tenkinančiu nelygybes

 
yra teisingas įvertis

 
čia , o konstanta  priklauso tik nuo  ir nuo bazės

Tiesinių charakterių sumų pastumtuose pirminiuose skaičiuose įverčiai 
Karacuba sukŭrė eilę metodų, kurie kartu su Vinogradovo metodu sumų pagal pirminius skaičius įvertinimu, leido jam 1970 m. įvertinti sumas su nepagrindiniu charakteriu pirminiu moduliu  pastumtuose pirminiuose skaičiuose. Jis įrodė, kad

 
čia  yra sveikasis skaičius, ,  yra kiek norint ma{\v z}as fiksuotas skaičius, , o konstanta  priklauso tik nuo .

Šis tvirtinimas yra žymiai stipresnis negu Vinogradovo įvertis, kuris yra netrivialus, kai 
1971 m. akademikas Jurijus Linikas (Linnik), kalbėdamas tarptautinėje skaičių teorijos konferencijoje, skirtoje Ivano Matvejevičiaus Vinogradovo aštuoniasdešimtmečiui, pažymėjo:

"Labai  svarbūs yra Vinogradovo Dirichlė charakterių pastumtuose pirminiuose skaičiuose sumos 

 
įverčiai su , , kai  yra charakterio  modulis. Tokie įverčiai yra nepaprastai svarbūs ir tiek gilūs, jog duoda daugiau negu išplėstinė Rymano hipotezė ir, atrodo, kad tai yra net gilesnis faktas už hipotezė. Neseniai šį įvertį patikslino A. A. Karacuba".

Minėtą rezultatą Karacuba išplėtė atveju, kai  perbėga pirminius skaičius aritmetinėje progresijoje, kurios skirtumas auga kartu su moduliu

Charakterių sumų polinomuose su pirminiu argumentu įverčiai 
Karacuba gavo eilę įverčių charakterių sumoms antrojo laipsnio polinomuose atveju, kai polinomo argumentas perbėga trumpą vienas po kito einančių pirminių skaičių seką. Tarkime, jog  yra pakankamai didelis pirminis skaičius,

 ir  yra sveikieji skaičiai, susieti lygybe ,
o  yra Ležandro simbolis. Tuomet su kiekvienu , , ir  sumai

 yra teisingas įvertis 

 
Čia  nuosekliai perbėga pirminius skaičius,  yra pirminių skaičių, neviršijančių , skaičius, o  yra konstanta, priklausanti tik nuo .

Panašų įvertį gavo ir tuo atveju, kai  perbėga pirminius skaičius aritmetinėje progresijoje, kurios skirtumas gali augti kartu su moduliu .

Karacuba iškėlė hipotezę, kad netrivialus sumos  su , kuris yra "mažas" lyginant su ,
įvertis išlieka teisingas tik tuomet, kai  yra bet kurio laipsnio  polinomas, nelygus kvadratui moduliu . Ši hipotezė yra iki šiol atvira.

Įverčiai iš apačios charakterių nuo polinomų sumoms 
Karacuba sudarė begalinę pirminių skaičių seką ir polinomų  laipsnio  su sveikaisiais koeficientais seką, kuriose  nėra pilnas kvadratas moduliu ,

 ir 

 
Kitaip tariant, su kiekvienu  reikšmė  yra kvadratinis likinys moduliu . Šis rezultatas įrodė, kad Andrė Veilio (Andrè Weil) įvertis

 iš esmės negali būti patikslintas ir dešinioji nelygybės pusė negali būti pakeista, tarkime, reikšme  su absoliučia konstanta .

Charakterių nuo adityviųjų sekų sumos 
Karacuba atrado naują metodą
kuris leido gauti pakankamai tikslius įverčius nepagrindinių charakterių nuo adityvių sekų sumoms. Tokios sekos yra sudarytos iš skaičių , kai kintamieji  ir  nepriklausomai vienas nuo kito perbėga kurias nors aibes  ir . Bene charakteringiausias šios rūšies pavyzdys yra tvirtinimas, kuris buvo pritaikytas sprendžiant platų problemų, susijusių su Dirichlė charakterių reikšmių sumavimu, ratą. Tarkime, kad  yra kiek norint mažas fiksuotas skaičius, ,  yra pakankamai didelis pirminis skaičius, o  yra nepagrindinis charakteris moduliu . Be to, tegul  ir  yra bet kokie pilnosios likinių klasių sistemos moduliu  poaibiai, tenkinantys sąlygas ,  Tuomet yra teisingas įvertis

 
Karacubos metodas leido gauti tokio pobūdžio įverčius ir kitais atvejais, kai anksčiau nurodytos sąlygos aibėms  ir  yra pakeičiamos kitomis, pavyzdžiui, kai

 
Atveju, kai  ir  yra pirminių skaičių atitinkamai iš intervalų  ir  aibės, , , galioja įvertis

 
Čia  yra pirminių skaičių, neviršijančių , skaičius, , o  yra absoliuti konstanta.

Laipsninių likinių klasių ir pirmykščių šaknų pasiskirstymas retose sekose 
2000 m. Karacuba gavo netrivialius Dirichlė charakterių sumų su svoriais įverčius, t. y., sumų, kurių dėmenys , ir  yra natūralaus argumento funkcija. Tokio tipo įverčiai yra taikomi sprendžiant platų skaičių teorijos uždavinių, susijusių su laipsninių likinių klasių bei pirmykščių šaknų kai kuriose sekose pasiskirstymu, ratą.

Tegul  yra sveikasis skaičius,  yra pakankamai didelis pirminis skaičius, ,  ,  ir

 
Sumos  asimptotinė formulė buvo pateikta skyrelyje apie Dirichlė daliklių daugiamates problemas. Funkcijos  reikšmių sumoms  ir  pagal , kai  yra kvadratiniai likiniai ir nelikiniai moduliu , Karacuba gavo tokias asimptotines formules

 
Panašiai, reikšmių  pagal  sumai , kai  yra primityvioji šaknis moduliu , buvo gauta asimptotinė formulė

 kurioje  yra visi skaičiaus  pirminiai dalikliai. Savo metodą Karacuba taip pat pritaikė laipsninių likinių (nelikinių) pasiskirstymo uždaviniams pastumtų pirminių skaičių , sveikųjų skaičių, turinčių pavidalą , ir kitose sekose.

Paskutiniųjų metų darbai 
Paskutiniaisiais gyvenimo metais be skaičių teorijos tyrimų Karacuba nagrinėjo ir kai kurias teorinės fizikos problemas, ypač kvantinės kūnų teorijos srityje. Pritaikęs savo ATS teoremą ir kai kuriuos kitus skaičių teorijos metodus, jis gavo naujus rezultatus apie Džeinso-Kamingso (Jaynes-Cummings) modelį kvantinėje optikoje.

Asmeninis gyvenimas 

Jis buvo vedęs Dianą Vasiljevną Senčenko, buvusią tų pačių metų Maskvos valstybinio Lomonosovo universiteto Matematikos ir mechanikos fakulteto studentę. Dabar ji fizikos matematikos m. kandidatė, MVU Ekonomikos fakulteto matematinių metodų ekonomikoje katedros docentė. Jų duktė Jekaterina Anatoljevna Karacuba yra Dorodnicyno skaičiavimo centro vedančioji mokslo darbuotoja, profesorė, fizikos ir matematikos mokslų daktarė.

Visą savo gyvenimą Karacuba daug sportavo. Jaunystėje užsiiminėjo lengvąja atletika, vėliau speleologija ir kalnų turizmu. Yra vienuolika kartų kopęs į aukštesnes negu 7000 metrų viršukalnes.

 Ismoilo Somonio viršukalnė (anksčiau TSRS), 1977 m. ir 1985 m.

 Lenino viršukalnė, 1968 m. ir 1979 m.

 Korženevskajos viršukalnė, 1980 m., 1982 m., 1983 m., 1985 m., 1986 m., 1988 m. ir 1991 m.

Keturis kartus jis įkopė į Elbruso viršukalnę. Kopė Kaukazo, Pamyro, ypač paskutiniais savo gyvenimo metais, bei Tiam-Šanio, Zailiski Alatau ir Tesky Ala-To kalnuose.

Mėgo klasikinę muziką ir puikiai ją žinojo, ypač Johaną Sebastianą Bachą ir Antonijų Vivaldį. Regulairiai lankė koncertus Maskvos konservatorijoje, mėgo Svetoslavo Richterio, Leonido Kogano, Mstislavo Rostropovičiaus, Viktoro Tretjekovo, Andrejaus Korsakovo ir jo grupės "Koncertino", Vladimiro Ovčinikovo, Nikolajaus Luganskio koncertus.

 Anatolijus Aleksejevičius Karacuba (http://genealogy.math.ndsu.nodak.\\edu/id.php?id=\\87931) Matematikos geneologijos projekte.

 "Karacuba Anatolijus Aleksejevičius (asmeninis puslapis)" (http://www.\\mi.ras.ru/~\\karacuba/index e. html). http://www.mi.ras.ru/~karacuba/index e. html.\\ Atnaujinta 2008 m. lapkričio 17 d.

 Mokslinių darbų sąrašas (http://www.mi.ras.ru/~karacuba/\\list e. html) Steklovo Matematikos Institute

Nuorodos 

Karacuba