Trigonometrija

Trigonometrija ( – trikampis, metreo – matuoju) – geometrijos šaka, tyrinėjanti sąryšius tarp kampų ir kraštinių geometrinėse figūrose. Pagrindinės trigonometrinės funkcijos yra sinusas (), kosinusas (), tangentas ( arba ), kotangentas ( arba ) bei jų atvirkštinės funkcijos.

Istorija 
Trigonometrijos ištakas jau galima atsekti anksčiausiuose matematiniuose šaltiniuose Egipto bei Babilono civilizacijose. Babiloniečiai buvo pirmieji, kurie kampų matavimui naudojo laipsnių, minučių ir sekundžių sistemą.

Tačiau daugiausiai prie trigonometrijos prisidėjo graikų matematikai, tarp kurių turbūt žymiausias buvo Hiparchas jau II a. pr. m. e. sudaręs trigonometrinę lentelę, pagal kurią buvo galima rasti kraštinių ilgius. Dabar tai būtų sinusų lentelės atitikmuo. Vėliau šią lentelę patikslino bei išpletė kitas graikų matematikas Ptolemėjas, savo knygoje smulkiai paaiškinęs, kaip rasti nežinomus trikampių dydžius žinant kitus kampus ir kraštines.

Maždaug tuo pat metu Indijos matematikai taip pat aktyviai tyrinėjo šią geometrijos šaką ir pasiekė panašių rezultatų kaip ir graikai. Jau vėliau, VIII a., arabų matematikai perėmė graikų ir indų žinias šioje srityje ir patys pradėjo aktyviai tyrinėti. Maždaug X a. jie išvedė jau penkias trigonometrines funkcijas, įrodė pagrindines teoremas bei sudarė labai tikslią trigonometrinę lentelę, nurodydami sinuso reikšmes kas 1/60 laipsnio.

Vakarų Europa šiuos arabų matematikų tekstus išvertė bei pradėjo naudoti XII a. XIII amžiuje vokiečių matematikas Georgas Jochimas (George Joachim) įvedė šiuolaikišką trigonometrinių funkcijų naudojimą, kurios nurodo kraštinių santykį, o ne vienetinį ilgį, kuriuo rėmėsi indų bei arabų matematikai.

Vėlesniais amžiais būtų galima išskirti škotų matematiko Džono Neperio (XVII a.) ir garsiojo šveicarų matematiko Leonardo Oilerio indėlius į šią matematikos šaką.

Trigonometrinės funkcijos 
Sinuso, kosinuso ir tangento funkcijos gali būti apibrėžtos keliais būdais. Vienas iš jų – pagal statųjį trikampį (dešinėje):

Tada kampo A intervale nuo 0 iki 90 laipsnių (nuo 0 iki  radianų) sinuso funkciją galima apibrėžti kaip kraštinės esančios prieš kampą A ir įžambinės santykį. Arba:

 

Kosinuso funkcija atitinkamai yra kraštinės esančios šalia ir įžambinės santykis:

 

Tangento funkcija atitinkamai yra statinio esančio priešais ir šalia santykis:

 

Kotangento funkcija atitinkamai yra statinio esančio prie kampo ir prieš kampą santykis:

 

Trigonometrinės funkcijos gali būti naudojamos stataus trikampio kraštinės ilgiui apskaičiuoti, kai yra žinomi trikampio kampai ir kuri nors viena kraštinė. Taigi, jeigu, pavyzdžiui, žinome, kad kampas B = 60° ir kraštinė a = 5 cm, įžambinės c ilgį galime rasti pasinaudoję formule cos B = a/c, nes iš jos išplaukia, kad c = a/cos B = 5 cm/cos(60°) = 5 cm/0,5 = 10 cm.

 Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos 
Arksinusas, arkkosinusas, arktangentas ir arkotangentas yra atvirkštinės funkcijos, atitinkamai, sinusui, kosinusui, tangentui ir kotangentui. Taigi, jei sin 30° = 0,5, tai arcsin 0,5 = 30°

Atvirkštinės trigonometrinės funkcijos gali būti naudojamos vidiniams stačių trikampių kampams apskaičiuoti, kai yra žinomos bet kurios dvi trikampio kraštinės.

Arksinusas gali būti naudojamas apskaičiuoti kampui, kai yra žinomas stataus trikampio įžambinės ilgis ir kraštinės prieš ieškomą kampą ilgis. Kampas α yra lygus kraštinės prieš kampą α ir įžambinės santykio arksinusui:

 

Atitinkamai, kampas β lygus kraštinės prieš kampą β ir įžambinės santykio arksinusui:

 

Kampas α taip pat yra lygus kraštinės šalia kampo α ir įžambinės santykio arkkosinusui:

 

Arktangentas gali būti naudojamas apskaičiuoti kampams, kai yra žinomi abejų statinių ilgiai:

 

Kartais įžangoje į trigonometriją vietoje arcsin, arcos ir arctan rašoma atitinkamai sin−1, cos−1 ir tan−1. Aukštojoje matematikoje toks žymėjimas paprastai nenaudojamas, nes užrašą sin−1 (α) galima interpretuoti ir kaip 1/sin (α)''.

Pagrindinės trigonometrinės lygybės

To paties kampo trigonometrinės savybės

Kampų sudėtis ir atimtis

Funkcijų sudėtis ir atimtis

Funkcijų daugyba

Dvigubo kampo tapatybės

Trigubo kampo tapatybės

Keturgubo kampo tapatybės

Funkcijų laipsniai

Pusės kampo tapatybės

Pusės kampo tapatybių įrodymai 

 
 
 Iš čia

Funkcijų daugybos įrodymai 
Įrodysime, kad

Iš kampų sudėties ir atimties turime
 ir

Sudedame pirmą eilutę su antra

Įrodysime, kad

Iš kampų sudėties ir atimties formulių turime
 ir

Atimame antrą eilutę iš pirmos

Įrodysime, kad

Iš kampų sudėties ir atimties formulių turime
 ir

Sudedame pirmą eilutę su antra

Įrodysime, kad

Iš kampų sudėties ir atimties formulių turime
 

Atimame antrą eilutę iš pirmos eilutės

Nuorodos 

 Visų trigonometrinių formulių įrodymai
 Trigubo kampo formulės įrodymas

Trigonometrija