Platono kūnas

Trimatėje erdvėje Platono kūnas – taisyklingasis iškilasis briaunainis, kitaip daugiasienis, poliedras. Jo sienos yra (1) vienas kitam lygūs taisyklingieji daugiakampiai ir (2) į kiekvieną briaunainio viršūnę susieina tiek pat daugiakampių (viršūnė bendra vienodam sienų skaičiui). (Yra ir kitoks (2) sąlygos formulavimas: visi daugiasieniai briaunainio kampai yra lygūs ir taisyklingi.) Šiuos klasikinius reikalavimus (šiuolaikinėje matematikoje jų daugiau nei du) tenkina tik penki iškilieji briaunainiai, turintys atitinkamai 4, 6, 8, 12 ir 20 sienų.

Geometrai tūkstančius metų studijavo Platono kūnų matematinį grožį ir simetriją. Šie briaunainiai vadinami graikų filosofo Platono vardu, nes jis juos aptarė savo dialoguose („Timajo“), teigdamas, kad pradiniai elementai yra sudaryti iš tų penkių taisyklingų briaunainių.

Istorija 

Platono kūnai žinomi iš Antikos ir net senesnių laikų. Jau vėlyvojo neolito stovyklavietėje Škotijoje aptikti išraižyti akmeniniai rutuliai, atitinkantys Platono kūnus, nors jie dar nelaikomi svarbesniais už kitus, mažiau taisyklingus briaunainius.

Sisteminės Platono kūnų studijos pradėtos senovės Graikijoje. Kai kurie autoriai (pavyzdžiui, neoplatonikas Proklas) šių kūnų atradimą priskiria Pitagorui. Bet kiti šaltiniai rodo, kad Pitagoras turbūt pažino tik tetraedrą, kubą ir dodekaedrą, o oktaedrą ir ikosaedrą bus atradęs matematikas Teatetas, gyvenęs tuo pačiu metu kaip Platonas. Bet kuriuo atveju, kaip tik Teatetas matematiškai aprašė visus penkis kūnus ir pateikė, rodos, pirmą žinomą įrodymą, kad egzistuoja tik šie penki taisyklingieji braunainiai.

Taisyklingieji iškilieji briaunainiai svarbią vietą užima Platono filosofijoje, todėl turbūt ir imti vadinti jo vardu. „Timajo“ (Timaeus) dialoge (apie 360 m. p. m. e.) Platonas kiekvieną pradinį elementą susieja su tam tikru taisyklinguoju daugiasieniu: žemė – su kubu; oras – su oktaedru; vanduo – su ikosaedru, o ugnis – su tetraedru. Šios sąsajos buvo grindžiamos intuityvia pajauta: ugnies karštis gali būti juntamas kaip smailus ir veržlus tetraedras; oro dalelės tokios švelnios, beveik nejuntamos, apvalios, kaip oktaedrai. Pasemtas vanduo srūva pro tarpupirščius, nes jo dalelės lygios, kone bebriaunės, kaip ikosaedrai. Gi žemės elementą sudaro kaip tik kampuoti kubai, tuo labiau, kad kubinės dalelės taip akivaizdžiai atitiko euklidinės erdvės koordinačių sistemą, kuri tiems laikams atspindėjo Žemės stabilumą. Penktą elementą, eterį, arba erdvę, aprašė Aristotelis, bet jis nesusiejo jo su dodekaedru.

Geometrijos tėvu vadinamas Euklidas savo „Elementuose“ aprašė taisyklingųjų briaunainių sandarą. Kiekvienam kūnui jis apskaičiavo apibrėžtos sferos skersmens ir briaunainio briaunos ilgio santykį. Be to Euklidas taip pat įrodinėjo, kad nebegali būti daugiau taisyklingųjų briaunainių kaip šie penki. Vėlesni tyrinėtojai spėja, kad Euklidas tik perteikė Teateto teiginius.

XVI a. Johannesas Kepleris mėgino susieti tuo metu žinomas penkias Saulės sistemos planetas su penkiais Platono kūnais. 1596 metais išleistoje Mysterium Cosmographicum Kepleris pasiūlė Saulės sistemos modelį, kur penki taisyklingieji briaunainiai buvo sudėti vienas į kitą ir buvo atskirti įbrėžtinių ir apibrėžtinių sferų. Mokslininkas pateikė painią planetų tarpusavio išsidėstymo sistemą, kurios vėliau pats atsisakė, bet jos tyrinėjimas vienaip ar kitaip jį atvedė prie atradimo, kad planetų orbitos yra elipsės, kas vėliau buvo suformuluota kaip Pirmas Keplerio dėsnis.

XX a. Platono kūnus buvo bandyta sieti su cheminiais elektronų orbitų modeliais (Robert Moon).

Ortogonaliosios koordinatės 

Lentelėje pateiktos Platono kūnų centro ortogonaliosios koordinatės. Graikiška raide φ žymimas aukso pjūvis .

Šios koordinatės atskleidžia kai kurias Platono kūnų tarpusavio priklausomybes: vieno tetraedro viršūnės sutampa su puse kubo viršūnių, o abiejų apsukimo variantų viršūnės atitinka visas kubo viršūnes. Aštuonios iš dvylikos dodekaedro viršūnių sutampa su kubo viršūnėmis.

Kombinatorinės savybės 

Iškilasis briaunainis yra Platono kūnas tada ir tik tada, kai

 visos jo sienos yra tokie pat lygiakraščiai daugiakampiai,
 visos jo sienos susikerta tik sudarydamos jo briaunas, ir
 į kiekvieną briaunainio viršūnę sueina vienodas sienų skaičius.

Todėl kiekvieną Platono kūną galima nusakyti kintamaisiais {p, q}, kurie reiškia

 p = kiekvienos sienos kraštinių skaičius (arba kiekvienos sienos viršūnių skaičius), o
 q = į vieną viršūnę sueinančių sienų skaičius (arba vienoje viršūnėje susieinančių briaunų skaičius).

Kintamieji {p, q} yra vadinami Schläfli skaičiais ir nusako kombinatorines briaunainių taisykles. Penkių Platono kūnų Schläfli simbolių reikšmės pateikiamos lentelėje.

Visus kitus kombinatorinius duomenis apie šiuos briaunainius, kaip bendras viršūnių (V), briaunų (E) ir sienų (F) skaičius, gali būti apskaičiuotas iš kintamųjų p ir q. Kadangi kiekviena briauna jungia tik dvi viršūnes ir prie jos šliejasi tik dvi sienos, todėl gauname, kad

 

Kitą kintamuosius aprašančią išraišką turime iš Eulerio formulės:

 

Pastarąją kiek neįprastą lygybę galima įrodyti daugeliu būdų (algebrinėje topologijoje ji reiškia, kad sferos Eulerio savybė yra lygi 2).
Žemiau pateiktos trys lygybės leidžia visiškai apibrėžti V, E ir F, remiantis tik Schläfli simboliais:

 

Atkreipkite dėmesį, kad sukeičiant vietomis p ir q reikšmes, susikeičia F ir V, o E lieka nepakitęs.

Įrodymai 
Klasikine prasme gali egzistuoti tik penki iškilieji taisyklingieji briaunainiai.

Geometrinis įrodymas 

Tolimesnis geometrinis įrodymas beveik tapatus Euklido pateiktam įrodymui:

 Kiekviena iškiliojo taisyklingojo briaunainio viršūnė turi sutapti mažiausiai su trijų briaunainio sienų daugiakampio viršūnėmis.
 Kiekvienoje iškiliojo taisyklingojo briaunainio viršūnėje susieinančių sienų kampų suma turi būti mažesnė nei 360°. Defektas iki 360° vadinamas kampo defektu, arba kampo trūkumu.
 Kiekvienos iškiliojo taisyklingojo briaunainio sienos kampai yra vienodi: kiekvienas sienos daugiakampio kampas turi būti mažesnis nei 360°/3 = 120°.
 Taisyklingieji daugiakampiai, kuriuos sudaro šešios ir daugiau kraštinių, gali turėti tik 120° ar didesnį kampą, todėl Platono kūno siena gali būti tik lygiakraštis trikampis, kvadratas arba taisyklingasis penkiakampis. Šių skirtingų figūrų sienoms būdinga:
 Trikampė siena: kiekvienas lygiakraščio trikampio kampas yra 60°, todėl briaunainio viršūnę gali sudaryti 3, 4 arba 5 trikampiai; atitinkamai susidaro tetraedras, oktaedras ir ikosaedras.
 Kvadratinė siena: kiekvienas kvadrato kampas yra 90°, todėl įmanomas tik vienas kvadratų sudėjimo būdas, kad gautume briaunainio viršūnę; atitinkamai susidaro kubas.
 Penkiakampė siena: kiekvienas taisyklingojo penkiakampio kampas yra 108°; tad vėl, įmanomas tik vienas sudėjimo būdas, kad gautume briaunainio viršūnę; atitinkamai susidaro dodekaedras.
 Šitaip gauname tik 5 įmanomus Platono kūnus.

Topologinis įrodymas 

Topologinį įrodymą gausime pasinaudodami minėtu kombinatoriniu Eulerio pastebėjimu, kad  ir kad , kur p reiškia kiekvienos sienos kraštinių skaičių, o q – vienoje viršūnėje susieinančių briaunų skaičių. Sujungus šias dvi lygybes gausime:

 

Po nesudėtingų algebrinių perkeitimų gauname:

 

Kadangi  gali būti tik teigiamas, tai

 

Remdamiesi tuo, kad p ir q turi būti ne mažesni už 3, nesunkiai nustatysime, kad įmanomi tik 5 deriniai {p, q}:
 {3, 3}, {4, 3}, {3, 4}, {5, 3}, {3, 5}.

Geometrinės savybės

Kampai 

Kiekviename Platono kūne randame keletą būdingų kampų. Dvisienis kampas yra vidinis kampas tarp dviejų briauną sudarančių sienų. Šį briaunainio {p,q} kampą θ nusako tokia formulė:

 

Kitaip galima šį kampą išreikšti tangentu:

 

Dydis h (vadinamas Coxeterio skaičiumi) yra 4, 6, 6, 10 ir 10 atitinkamai tetraedrui, kubui, oktaedrui, dodekaedrui ir ikosaedrui.

Briaunainio viršūnės kampo defektas yra skirtumas tarp viršūnės sienų kampų sumos ir 2π. Defektas, δ, prie bet kurios Platono kūno {p,q} viršūnės yra:

 

Pagal Dekarto teoremą jis yra lygus 4π padalintam iš viršūnių skaičiaus, vadinasi, bendras kampo defektas prie visų viršūnių yra 4π.

Trimatis plokščiojo kampo analogas yra erdvinis kampas. Platono kūno viršūnės erdvinis kampas, Ω, gali būti apskaičiuotas iš dvisienio kampo:

 

Formulė sudaryta remiantis sferinių briaunainių savybėmis ir tuo, kad briaunainio {p,q} viršūnės planas yra taisyklingasis q-kampis.

Erdvinis kampas tarp sienos ir briaunainio centro yra lygus visos sferos erdviniam kampui (4π steradianų) padalintam iš sienų skaičiaus. Pastebėkite, kad jis yra lygus apskaičiuoto taisyklingojo briaunainio dualiosios formos kampo defektui.

Įvairūs Platono kūnų kampai pateikti lentelėje. Skaitinės erdvinių kampų reikšmės pateiktos steradianais. Konstanta φ = (1+√5)/2 yra aukso pjūvis.

Spinduliai, plotas ir tūris 

Kitas Platono kūnų taisyklingumo bruožas – jiems visiems būdingi trys koncentriški rutuliai, arba sferos:

 apibrėžtinis rutulys, einantis per visas viršūnes;
 tarpinis įbrėžtinis rutulys, liečiantis kiekvienos briaunos vidurį;
 įbrėžtinis rutulys, liečiantis kiekvieną sienelę jos centre.

Šių rutulių spinduliai vadinami apibrėžtiniu (toliau R), viduriniu (ρ) ir įbrėžtiniu (r) spinduliais. Jie nusako atstumą nuo briaunainio centro iki, atitinkamai: viršūnės; briaunos viduriniojo taško; ir sienos vidurio taško. Kūno {p, q}, kurio briaunos ilgis a spinduliai R ir r apskaičiuojami taip:

 
 

kur θ yra dvisienis kampas. Vidurinis spindulys ρ apskaičiuojamas

 

kur h yra dydis, panaudotas ankstesnėse formulėse, kai buvo kalbama apie dvisienius kampus (h = 4, 6, 6, 10, 10). Pastebėkite, kad apibrėžtinio ir įbrėžtinio spindulio santykis yra simetriškas p ir q atžvilgiu:

 

Platono kūno {p, q} paviršiaus plotas A nesunkiai apskaičiuojamas kaip taisylingojo p-kampio plotas padaugintas iš sienų skaičiaus F:

 

Tūris apskaičiuojamas imant piramidės, kurios pagrindas yra taisyklingasis p-kampis ir kurios aukštis yra įbrėžtinis spindulys r, tūrį ir dauginant jį iš sienų skaičiaus F:

 

Toliau pateikta lentelė, kurioje nurodyti įvairūs Platono kūnų spinduliai, taip pat šių taisyklingųjų iškiliųjų briaunainių plotai ir tūriai, kai briaunos ilgis a yra lygus 2.

Konstantos φ ir ξ randamos taip:

 

Tarp Platono kūnų dodekaedrą ir ikosaedrą matome kaip geriausiai priartėjančius prie rutulio. Ikosaedras turi daugiausiai sienų ir didžiausius dvisienius kampus, todėl jis glaudžiausiai apglėbia įbrėžtinį rutulį, o jo paviršiaus ploto ir tūrio santykis labai artimas tokių pat rutulio dydžių santykiui, kai imamas rutulys turi: arba tokį pat kaip ikosaedras paviršiaus plotą, arba tokį pat kaip ikosaedras tūrį. Kita vertus, dodekaedras turi mažiausią kampo trūkumą, didžiausią daugiasienį viršūnės kampą ir labai smarkiai priartėja prie apibrėžtinio rutulio.

Simetrijos grupės 

Matematinę simetriją nagrinėja matematinė grupių teorija. Kiekvienam briaunainiui yra būdinga tam tikra simetrijos grupė, kurią sudaro aibė transformacijų (Euklido erdvės izometrija), sukuriančių pačiam sau tapačius (invariantinius) briaunainius. Simetrinės grupės eilė yra briaunainio simetrinių invariantų skaičius. Dažnai išskiriama pilnoji simetrijos grupė, apimanti atspindžio ir pan. simetrijas, ir tikroji simetrijos grupė, apimanti tik sukimo simetrijos variantus.

Didelis Platono kūnų simetriškumas gali būti aiškinamas įvairiai. Svarbiausia, kad briaunainio viršūnės, briaunos ir sienos, tam tikros simetrinės grupės transformacijų metu išlieka visiškai ekvivalentiškos. Turime tik tris Platono kūnams būdingas, o ne penkias, simetrines grupes, nes dualių briaunainių simetrijos grupė yra tokia pat:

 tetraedrų grupė T;
 oktaedrų grupė O (kuriai priklauso ir kubai); ir
 ikosaedrų grupė I (kuriai priklauso ir dodekaedrai).

Tikrosios simetrijos grupių eilės, atitinkamai, yra 12, 24 ir 60 – tai tiksliai atitinka atitinkamo briaunainio briaunų skaičių. O pilnosios simetrijos grupių eilės, atitinkamai, yra dvigubai didesni skaičiai: 24, 48 ir 120. Tai įrodė Coxeteris, 1973 m. publikacijoje. Visi Platono kūnai, išskyrus tetraedrą, yra centrinės simetrijos kūnai.

Žemiau pateiktoje lentelėje apibendrintos įvairios Platono kūnų simetrijos savybės. Nurodytos pilnosios simetrijos grupės su sukimo simetrijos pogrupiais, nurodytais skliaustuose. Vaithofo (Wythoff) kaleidoskopiniai dariniai gaunami kai briaunainiai konstruojami remiantis simetrinės grupės parametrais.

Gamtoje ir technologijose 

Tetraedras, kubas ir oktaedras yra plačiai paplitę gamtiniuose kristaluose, nors tai nėra vienintelės įmanomos kristalų formos. Kita vertus, gamtoje neaptinkami ikosaedrai ir oktaedrai. Tiesa, sutinkami vadinamieji piritoedrai (taip vadinami pagal šiai grupei būdingą mineralą piritą), kurie turi dvylika penkiakampių sienų, išdėstytų taip pat kaip taisyklingo dodekaedro, bet vis dėlto, piritoedrų sienos nėra taisyklingos, todėl šie kristalai nėra Platono kūnai.

XX a. pradžioje Ernstas Hekelis aprašė (Haeckel, 1904) keletą radiolarijų rūšių, kurios yra įvairių taisyklingųjų briaunainių formos, tarp jų Circoporus octahedrus, Circogonia icosahedra, Lithocubus geometricus ir Circorrhegma dodecahedra. Pats rūšies pavadinimas nusako, kokia yra jų forma. 

Daugelis virusų, pavyzdžiui, herpis, yra taisyklingo ikosaedro pavidalo. Virusų karkasai sudaryti iš pasikartojančių baltyminių fragmentų, o ikosaedras yra tokia forma, kurią paprasčiausia surinkti iš atskirų fragmentų. Šiuo atveju panaudotas taisyklingasis briaunainis, kadangi jį galima surinkti naudojant vis tą patį bazinį baltymą ir tokiu būdu viruso genome reikia mažiau vietos surinkimo informacijai koduoti.

Vis didėja poreikis kurti meteorologijos ir klimatologijos skaitmeninius modelius, kuriuose naudojamas geodezinis tinklas, sudaromas ikosaedro (gaunamo trianguliacijos būdu) pagrindu, o ne anksčiau labiau paplitusius analoginius modelius, sudaromus geografinės ilgumos ir platumos atvaizdavimo būdu.

Erdvės vaizdavimo geometrijoje taip pat dažnai naudojami Platono kūnai. MERO sistemoje šių kūnų pagrindu vadinamos įvairios erdvės konfigūracijos. Pavyzdžiui, ½O+T nusako konfigūraciją, sudarytą iš pusės oktaedro ir tetraedro. 

Šiuolaikinių technologijų mokslininkams yra pavykę susintetinti kai kuriuos Platono angliavandenilius, tarp kurių kubanas ir dodekaedranas.

Platono kūnų pagrindu dažnai daromi lošimo kauliukai, nes tokio pavidalo kauliukų išriedėjimo viena ar kita siena į viršų tikimybės yra vienodos. Labiausiai paplitęs šešiasienis kauliukas, bet kai kuriuose žaidimuose (pavyzdžiui, vaidmenų žaidimuose), neretai naudojami ir kitokį sienų skaičių turintys kauliukai. Jie aprašymuose žymimi kaip dn, kur d reiškia kauliuką (nuo angliško žodžio dice), o n nusako jo sienų skaičių (d8, d20 ir pan.).

Šios formos dažnai sutinkamos ir kituose žaidimuose bei galvosūkiuose. Pavyzdžiui, Rubiko kubas būna visų penkių Platono kūnų pavidalo.

Išnašos 

Briaunainiai