Bertrano teorema

Klasikinėje mechanikoje teigiama, kad tik dviejų rūšių potencialai turi uždaras stacionarias orbitas: atvirkštinės kvadratinės centrinės jėgos (gravitacinis arba elektrostatinis potencialas),

ir radialinio harmoninio osciliatoriaus potencialas

Bertrano uždavinys 
Tai atvirkštinis dviejų kūnų judėjimo uždavinys, kurio esmė, žinant judėjimo trajektorijos savybes nustatyti sąveikos jėgą.
I. Niutonas parodė, kad Keplerio dėsniai seka iš visuotinio traukos dėsnio ir mechanikos dėsnių (I, II ir III Niutono dėsnių). Tačiau buvo neaišku, ar galimos kitokios sąveikos jėgos, kurios duoda tuos pačius Keplerio dėsnius. Tik 1870 m. Ž. Bertranas su bendradarbiais suformulavo problemą: 
Pirmasis Bertrano uždavinys. Rasti jėgos išraišką, priklausančią tik nuo materialaus taško padėties, ir nepriklausančią nuo pradinių sąlygų, kuriai veikiant materialus taškas  gali judėti  kūgio pjūvio kreivėmis.
Šis uždavinys buvo sėkmingai išspręstas darbu ir Alfeno pasitelkus papildomą sąlygą, kad jėga - centrinė, bet vėliau pavyko atmesti ir šią prielaidą . Jie parodė, kad  tokių jėgų dvi : visuotinio traukos dėsnio jėga ir Huko tamprumo jėga. Tuo pačiu nuo I. Niutono laikų lekęs neišspręstas klausimas buvo sėkmingai išaiškintas.

Antrasis Bertrano uždavinys. Žinodami, kad jėga veikianti judančią aplink  Saulę planetą priklauso tik nuo atstumo, ir planetos trajektorijos yra uždara kreivė, nepriklausomai nuo pradinių sąlygų, jei greitis neviršija tam tikros ribos.
Šį uždavinį išsprendė pats Bertranas. Pilnas įrodymas pateiktas darbu. Atsakymas toks pats: tai visuotinės traukos jėga ir Huko tamprumo jėga.
Pagaliau Kenigsas suformulavo dar bendresnį uždavinį: 

Kenigso (Koenigs G.) uždavinys. Žinodami, kad jėga veikianti planetą judančią aplink Saulę, priklauso tik nuo atstumo, ir jos veikimo pasėkoje planetos trajektorija yra algebrinė kreivė, nepriklausomai nuo pradinių sąlygų, rasti jėgos išraišką.
Atsakymas yra tas pats: jėga gali būti arba Huko tamprumo jėga, arba visuotinio traukos dėsnio jėga. Šį uždavinį išsprendė pats Kenigsas.

Įžanga 

Judėjimo lygtys judančios masės  dalelės spinduliu  potenciale  nustatoma iš Lagranžo lygties:

kur  ir   yra pastovus dydis.  
Dėl sukamosios orbitos, pirmas narys kairėje lygus 0, ir taikomas vidutinės jėgos   įcentrinis jėgos reikalavimas .

Iš kampinio momento apibrėžimo seka, 

Tai leidžia pereiti nuo kintamojo  prie . tai duoda naują judėjimo lygtį, kuri yra nepriklausoma nuo laiko.

Šią lygtį pertvarkom  ir padauginam abi puses iš

Bertrano teorema 

Čia mes parodome, kad stabilias, visiškai uždaras orbitas galima gauti tik su atvirkštine kvadratinės jėgos arba radialinio harmoninio osciliatoriaus atvejeis.

Įstatome funkciją  į lygtį

kur  radialinė jėga.  Dėl judėjimo spindulio  pirmas narys iš kairės pusės yra lygus 0.

kur .  

Sekantis žingsnis yra mažųjų trikdymų   lygtis judėjimo apskritimine orbita. Dešinėje pusėje,   funkcija gali būti išskleista Teiloro eilute

Pakeičiamas šis skleidinys į lygtį nuo  ir atimami pastovūs nariai

kurie gali būti parašyti kaip:

kur   pastovus dydis.   gali būti neigiamas; kitaip orbitos spindulys būtų proporcingai priklausomas nuo pradinio spindulio. Sprendims   atitinka sukamąsias orbitas. Jeigu dešinės pusės nepaisytumėm, sprendiniai būtų

kur amplitudė   yra integravimo konstantos. Kad orbita būtų uždara,   turi būti racionalus skaičius.  Ir jis privalo būti toks pats visiems spinduliams (visose ribose), nes   negali nuolat kisti; racionalieji skaičiai yra visiškai nepriklausomi vienas nuo kito. Kadangi nustatant lugtį

privaloma įvesti 

tai reiškia, kad jėga turi atitikti energijos dėsnį

Taigi  bendruoju atveju turi būti

 gali būti išskleista Furjė eilute, pavyzdžiui,

pakeičiant šią eilutę iš abiejų pusių į lygtį nuo  galima perrašyti taip:

ir, svarbiausia,

Kai perrašoma  lygtispagal  ir yra pagrindinis Bertrando teoremos rezultatas.

Vadinasi, tik potencialuose, kurie gali būti stabilūs, uždari ir nežiedinės orbitos yra atvirkštinis kvadratinis jėgos dėsnis () ir radialinis harmoninis osciliatoriaus potencialas  ().

Atvirkštinė kvadratinė jėga (Keplerio uždavinys)

Dėl atvirkštinės kvadratinės jėgos dėsnio, tokie kaip gravitacijos ar elektrostatiniai potencialai gali būti užrašomi taip:

Orbitą  galima gauti iš bendrosios lygties

kur sprendinys yra pastovus dydis  ir sinusoidė

kur  (ekscentricitetas) ir  yra integravimo konstantos.

Bendrąją išraišką galima gauti iš kūgio pjūvio. Jei  atitinka pavyzdį su apskritimu,   -  yra elipsė ,  - parabolė , and  - hiperbolė.  Ekscentricitetas  yra susijęs su visa energija   (pgl. Laplaso-Runge-Lenz vektorius).

Palyginus šias formules matome, kad  atitinka elipsę,  atitinka parabolę, ir   atitinka hiperbolę. Kai  
visiškai žiedinės orbitos

Radialinis harmoninis osciliatorius

Siekiant išreikšti orbitą pagalradialinį harmonimį osciliatoriaus potencialą, lengviausia dirbti su komponentėmis .  Energijos potencialas gali būti perrašytas tai:

Judėjimo lygtis ir dalelių masė  yra apskaičiuojami iš trijų nepriklausomų Lagranžo lygčių:

kur  yra nekintantis, teigiamas dydis(t. y., ). Šių paprastų harmoninių osciliatorių lygčių sprendiniai yra:

čia ,  ir   yra teigiamos konstantos su atitinkamomis svyravimo kampų amplitudėmis  ,  ir  .Orbita   yra uždara, nes ji neperiodiškai pasikartoja:

Ši sistema yra stabili, nes maži trikdymai nedaro didelių pakeitimų amplitudėse ir fazių bendrose orbitose.

Naudota literatūra
 Despeyrous T. Cours de mecanique. T.2. Paris: A. Herman, 1886.
 Bertrand J.// C.R. T. LXXVII.P.849-853.
 Koenigs G. // Bull.de la Society de France, t. 17, p. 153-155.

Fizika