Riemannin integraali

Riemannin integraali on sovellettu integraali, joka on mittaintegraaleihin verrattuna helpommin määriteltävissä. Sen avulla voi määrittää pituuksia, pinta-aloja, tilavuuksia sekä pyörähdyskappaleiden tilavuuksia ja pinta-aloja. Riemannin integraali on muun muassa suomalaisessa koulumatematiikassa käytettävä integraali.

Riemannin integraali perustuu integroitavan funktion alle jäävän pinta-alan jakamiseen äärettömän pieniin paloihin. Sillä on teoreettisia rajoituksia, jotka voidaan ohittaa käyttämällä esimerkiksi Lebesguen integraalia, joka saa Riemann-integroituvilla funktioilla samat arvot. On olemassa funktioita, jotka ovat Lebesgue-integroituvia mutta eivät ole Riemann-integroituvia.

Riemannin integraali oli ensimmäinen funktiolle reaaliakselin välin yli muodollisesti määritelty integraali. Se on nimetty kehittäjänsä Bernhard Riemannin mukaan.

Integrointi on derivoinnin käänteisoperaatio.

Riemannin integraalin määrittely 

Riemannin integraalin määrittelyn tavoitteena on löytää yksiselitteinen pinta-ala reaalilukujen tason kuviolle, jonka rajaavat koordinaatistossa suorat ,  ja , sekä käyrä , missä  on funktio . Tutkittavat pinta-alat ovat etumerkillisiä. Toisin sanoen, jos  saa negatiivisia arvoja, ovat pinta-alat negatiivisia. Tason kuvaamiseen käytetään merkintää:

Funktion  halutaan sallia olevan mahdollisimman yleinen, toisin sanoen tässä ei rajoituta integroitaviin funktioihin, jotka ovat jossakin mielessä sopivan sileitä. Tämän vuoksi tässä esiteltävä määritelmä saattaa olla monimutkaisempi kuin joissakin oppikirjoissa.

Tämä määrittely tehdään jakamalla väli  osaväleihin, joita sitten tihennetään äärettömästi. Jokaisella osavälillä suoran  ja käyrän  väliin jäävää pinta-alaa approksimoidaan suorakulmioilla. Jaon tihentyessä suorakaiteiden pinta-alojen summan pitäisi supeta kohti kysyttyä pinta-alaa. Riemannin integraalissa suorakaiteen korkeudeksi valitaan funktion  arvo osavälin mielivaltaisessa pisteessä, jolloin jokaista jakoa vastaavan kuvion pinta-ala on niin kutsuttu Riemannin summa. Tässä annetaan kuitenkin myös Darboux'n integraalin määritelmä, missä valitaan kaksi suorakaiteen korkeutta, jotka ovat funktion  maksimi ja minimi kullakin osavälillä, ja sen jälkeen tutkitaan, suppenevatko kyseiset pinta-alat, niin kutsutut Darboux'n ylä- ja alasumma, toisiinsa.

Annetaan nyt muutama määritelmä, joilla saadaan muotoiltua vaadittava osavälien tihentäminen teknisesti. Olkoon  ja . Välin  -välinen jako on lukujono 
, 
jolle pätee  kaikilla ,  ja . Tällöin välit , missä , muodostavat yhteisiä päätepisteitä lukuun ottamatta välin  osituksen. 

Jatkossa jaon merkitsemiseen käytetään symbolia , ja lisäksi oletetaan, että  on -jakoinen, missä siis  on luonnollisten lukujen jono. Jaon  jakopisteitä merkitään symbolilla , missä , eli toisin sanoen
. 

Jaon  pisin jakoväli on luku
.
Jako  on jaon  tihennys, jos , eli jaossa  on vähintään samat jakopisteet kuin jaossa . Jakojen jono  on tihenevä, jos jokainen jako  on sitä edeltävän jaon  tihennys.

Riemannin summa ja integraali 

Olkoon  välin  jako, ja jono 

sellainen, että  kaikilla .

Olkoon  funktio . Funktion  jakoa  pisteissä  vastaava Riemannin summa on
.

Riemannin summan jokainen termi vastaa siis sellaisen suorakaiteen etumerkillistä pinta-alaa, jonka kanta on  ja korkeus . Se voidaan täten mieltää etsityn pinta-alan likiarvoksi. Likiarvon voisi olettaa tarkentuvan, kun jakoa tihennetään, mutta näin ei välttämättä ole. Esimerkiksi rationaalilukujen joukon indikaattorifunktiolle  voidaan kaikille tiheneville jakojonoille  valita pisteet  siten, että vastaava Riemannin summien jono  ei suppene.

Riemannin integraali määritellään seuraavaksi tihenevän jaon Riemannin summien raja-arvona. Koska raja-arvo ei välttämättä ole olemassa, sanotaan Riemann-integroituviksi niitä funktioita, joilla raja-arvo on olemassa riippumatta pisteiden  valinnasta.

Olkoon jakojen jono  tihenevä ja , kun . Tämän voi tulkita niin, että jaot hienonevat äärettömän tiheiksi koko välillä . Sanotaan, että funktion  Riemannin summilla on raja-arvo , jos jokaiselle luvulle  on olemassa luvut  ja  siten, että
, kun ,
ja  on yksikäsitteinen kaikilla jonolla . Jos Riemannin summilla on raja-arvo , niin funktio  on Riemann-integroituva välillä  ja sen Riemannin integraali on luku . Tällöin merkitään
.
Tässä merkintätavassa funktiota  kutsutaan integrandiksi.

Tämä määritelmä saattaa olla vaikeaselkoinen ja sen käyttäminen monimutkaista. Seuraavaksi määritellään Darboux'n integraali, jonka määritelmä lienee intuitiivisempi ja joka on ominaisuuksiltaan olennaisin osin sama kuin Riemannin integraali.

Darboux'n integraali 

Olkoon  reaalifunktio . Funktion  Darboux'n yläsumma jaolla  on
.
Vastaava Darboux'n alasumma on
.

Olkoon jakojen jono  tihenevä ja , kun . Jaon ollessa tihenevä, ovat sekä Darboux'n ylä- että alasummien arvot, eli jonot  ja , monotonisia. Darboux'n yläintegraali on yläsummien vähenevän jonon infimum, eli luku
.
Darboux'n alaintegraali on puolestaan alasummien kasvavan jonon supremum, eli luku
.
Funktio  on Darboux-integroituva, jos edellä mainitut raja-arvot ovat yhtäläiset eli
.
Tällöin kyseistä raja-arvoa kutsutaan funktion  Darboux'n integraaliksi yli välin .

Funktio on Darboux-integroituva jos ja vain jos se on Riemann-integroituva. Yleinen tapa tarkastaa, onko funktio Riemann-integroituva, onkin verrata sen Darboux'n ylä- ja alaintegraalin arvoja. Lisäksi Darboux'n integraalin arvo on sama kuin Riemannin integraalin, toisin sanoen jos  on Darboux- eli Riemann-integroituva, niin
.
Näistä syistä johtuen Riemannin integraali voidaan periaatteessa määritellä kuten Darboux'n integraali. Joissakin oppikirjoissa esitelläänkin Darboux'n integraali Riemannin integraalina.

Darboux'n ylä- ja alasummat voidaan merkitä myös  ja , joissa P on välin jako.

Riemannin integraalin määritelmän yleistäminen 

Riemannin integraali yleistetään mielivaltaiselle integrandin lähtöjoukolle seuraavasti. Olkoon joukko  sellainen, että ,  reaalifunktio  ja  sen rajoittuma välille . Jos  on Riemann-integroituva, niin sanotaan, että  on Riemann-integroituva välillä , ja funktion  Riemannin integraaliksi yli välin  määritellään
.
Lisäksi määritellään

ja
.

Epäoleellinen integraali 

Epäoleellinen integraali on Riemannin integraalien raja-arvo, jossa väli, jonka yli integroidaan, lähestyy joukkoa jossa Riemannin integraali ei ole edellä olevan määritelmän mukaan määritelty. Epäoleellinen integraali voidaan tulkita Riemannin integraalin laajennukseksi, eikä merkinnöissä näille tehdä yleensä eroa.

Ensiksi määritellään epäoleellinen integraali rajoitetulle suljetulle välille tapauksessa, jossa integrandi ei ole määritelty toisessa välin päätepisteessä. Toiseksi määritellään epäoleellinen integraali rajoittamattomalle välille.

Olkoon funktio  Riemann-integroituva kaikilla väleillä . Jos vasemmanpuoleinen raja-arvo

on olemassa eli reaaliluku, ääretön tai miinus ääretön, niin funktion  epäoleellinen integraali yli välin  on
.
Funktiolle  epäoleellinen integraali määritellään samoin oikeanpuoleisen raja-arvon kautta.

Olkoon funktio  Riemann-integroituva kaikilla väleillä . Jos raja-arvo

on olemassa, niin funktion  epäoleellinen integraali yli välin  on
.
Samoin määritellään funktiolle 
.

Riemannin integraalin ominaisuuksia 

Koska Riemannin integraali on määritelty mittateoriasta riippumattomasti, ei se peri kaikkia yleisiä mittaintegraalin ominaisuuksia, vaan ne on johdettava sen määritelmästä analyysin menetelmin. Useimmat niistä ovat johdettavissa, mutta erityisesti konvergenssilauseita ei pysty Riemannin integraalille todistamaan ilman mittateoriaa. Ne ja kaikki muutkin mittaintegraalin ominaisuudet kuitenkin ovat voimassa, sillä Riemannin integraali yhtenee Riemann-integroituville funktioille joidenkin mittaintegraalien kanssa, esimerkiksi Lebesguen integraalin ja Riemann–Stieltjes-integraalin, jonka integraattori on identtinen kuvaus.

Riemann-integroituvia funktioita 

Suljetulla välillä jatkuvat funktiot ovat Riemann-integroituvia. Riemann-integroituvien funktioiden summa ja tulo on Riemann-integroituva.

Riemann-integroituvien funktioiden integraalien ominaisuuksia 

 Jos ja  ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}], niin 
Jos ja  ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}], niin  kaikilla minmax
Jos ja  ovat integroituvia välillä [min{a,b},max{a,b}], niin  kaikilla minmax

Integraalilaskennan väliarvolauseita 

Jos funktio  on Riemann-integroituva välillä , niin
.
Jos  on jatkuva välillä , niin on olemassa sellainen , että
.

Edellä olleita tuloksia kutsutaan integraalilaskennan väliarvolauseiksi. Seuraavia kutsutaan (integraalilaskennan) yleistetyiksi väliarvolauseiksi.

Jos funktiot  ja  ovat Riemann-integroituvia välillä ,  ja
,
niin
.
Jos  on jatkuva välillä , niin on olemassa sellainen , että
.

Riemann-integroituvien funktioiden jonojen ominaisuuksia 

Nimenomaan funktiojonoja tutkittaessa Riemannin integraalin tekniset puutteet tulevat esiin. Mittateoriassa on käytännöllisiä ja vahvoja konvergenssilauseita, joiden todistaminen on Riemannin integraalille mahdotonta pelkästään analyysin keinoin. Ne pätevät myös Riemannin integraalille, mutta tässä annetaan kaksi ilman mittateoriaa johdettavissa olevaa kaavaa integroimisen ja funktiojonon raja-arvon oton järjestyksen vaihtamiselle. Ne vaativat tasaisen suppenemisen ehdon, mikä on vaativampi ja monimutkaisempi kuin konvergenssilauseiden ehdot, jotka ovat funktiojonon monotonisuus tai funktiojonon rajoittuneisuus. Pelkkä pisteittäinen suppeneminen ei takaa integroimisen ja raja-arvon oton järjestyksen vaihdettavuutta.

Olkoon  jono Riemann-integroituvia funktioita .

Jos  suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava
.

Jos sarja
 suppenee tasaisesti kohti Riemann-integroituvaa funktiota, niin summan raja-arvon ja integroimisen järjestys voidaan vaihtaa, eli pätee kaava
.

Riemannin integraalin arvon määrääminen 

Riemannin integraalin arvo voidaan laskea integraalifunktion avulla. Muita yleisiä apukeinoja ovat sijoittaminen eli muuttujanvaihto ja osittaisintegrointi.

Analyysin ensimmäinen peruslause 

Analyysin ensimmäinen peruslause antaa yhteyden integraalifunktion ja Riemannin integraalin välille sekä hyvin käytännöllisen tavan Riemannin integraalien laskemiseen. Sen mukaan, jos  on välillä  jatkuva funktio ja  jokin sen integraalifunktio, niin pätee yhtälö
.

Esimerkki 

Analyysin peruslauseen käyttöä voi valaista seuraavalla esimerkillä. Lasketaan Riemannin integraalin

arvo. Koska funktiolle

pätee
,
niin analyysin peruslauseesta seuraa tulos

Integrointi sijoittamalla 

Olkoon  jatkuva funktio reaalivälillä . Jos  funktio , jonka derivaatta on jatkuva ja jolle  ja , niin

Tässä siis muuttujan  tilalle sijoitetaan muuttujan  kuvaus , eli identtisen kuvauksen  tilalle sijoitetaan kuvaus . Tätä kutsutaan Riemannin integraalin muuttujanvaihtokaavaksi. Laskua, jossa etsitään kuvaus  ja sijoitetaan se muuttujanvaihtokaavaan, kutsutaan sijoittamalla integroimiseksi.

Esimerkki 

Tyypillistä sijoittamalla integroimista voi kuvata seuraavalla esimerkillä. Riemannin integraalin

laskeminen pelkän analyysin peruslauseen avulla lienee vaikeaa.

Sijoitetaan muuttujan  tilalle kuvaus . Nyt edellä olevan kaavan merkinnöin

 ja 
.

Koska 
 ja ,
rajoiksi saadaan
 ja 

Sijoittamalla nämä arvot ja  muuttujanvaihtokaavaan, saadaan

Tästä voidaan jatkaa ratkaisuun käyttämällä trigonometrisiä kaavoja ja analyysin peruslausetta. Koska  saadaan:

Koska kosini on ei-negatiivinen kyseisellä integroimisvälillä, on

Sijoittamalla  seuraa:

Edeltävästä esimerkistä seuraa lopputulos

Osittaisintegrointi 

Osittaisintegrointi on operaatio, jonka merkitys riippuu asiayhteydestä, mutta osittaisintegrointikaava Riemannin integraalille pätee seuraavassa muodossa. Olkoon  ja  derivoituvia sekä derivaatat  ja  Riemann-integroituvia välillä . Tällöin

Esimerkki 

Lasketaan Riemannin integraali osittaisintegroinnilla. On annettu integraali:

Valitaan osittaisintegrointikaavassa 

Tällöin 

Osittaisintegrointikaavan mukaan:

Riemannin integraalin sovelluksia 

Riemannin integraali soveltuu määritelmänsä kautta luonnollisesti tasokuvioiden pinta-alojen laskemiseen.

Tasokuvion pinta-ala 

Tasokuvion, joka jää suorien  ja  sekä x-akselin ja jatkuvan funktion  kuvaajan  sisäpuolelle, pinta-ala on
.

Yleisemmin, jos  ja  ovat jatkuvia funktioita  ja , niin niiden kuvaajien sekä suorien  ja  väliin jäävän tasokuvion pinta-ala on
.

Käyrän pituus 

Olkoon  tasokuviossa jatkuva käyrä, joka on kuvaus

,missä  ja  ovat kuvauksia , joiden derivaatat ovat jatkuvia välillä . Tällöin käyrän  pituus on:

Käyrän pyörähdyskappaleen tilavuus 

Jos  on jatkuva funktio, niin suorien  ja  ja käyrän  x-akselin pyörähdyskappaleen tilavuus on
.

Käyrän pyörähdyskappaleen pinnan ala 

Jos  on funktio , joka on positiivinen välillä  ja jonka derivaatta on jatkuva välillä , niin käyrän  pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvän kappaleen pinnan ala on
.

Lisäesimerkkejä 

1.

                            (laskeva suora)

          (paraabelin kaari)

                             (nouseva suora)

Integraalin pienin arvo on , ja se on paraabelin kaaren alueella t:n arvolla .

2. 
 

Esimerkki liittyy esim. kolikon heittämiseen, missä kruunan todennäköisyys on p ja klaavan näin ollen 1-p. Kolikkoa on heitetty n kertaa ja saatu k kruunaa ja n-k klaavaa.

Katso myös 
 Henstock-Kurzweil-integraali Riemannin integraalin yleistys

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 

 MathWorld. Darboux Integral
 MathWorld. Lower Sum
 MathWorld. Upper Sum
 MathWorld. Lower Integral
 MathWorld. Upper Integral
 MathWorld. Riemann Sum
 MathWorld. Riemann Integral
 MathWorld. Improper Integral
 MathWorld. Integration by Parts

Integraalilaskenta
Seulonnan keskeiset artikkelit