Klassiset Lien ryhmät

Matematiikassa klassiset Lien ryhmät ovat neljä ääretöntä perhettä Lien ryhmiä, jotka liittyvät läheisesti euklidisen avaruuden symmetrioihin. Näiden äärelliset analogiset ryhmät ovat klassisia Lien tyyppisiä ryhmiä. Käsitteen esitteli Hermann Weyl otsikossaan hänen vuoden 1939 monograafissa The Classical Groups).

Toisinaan klassisia ryhmiä tarkastellaan kompakteista ryhmistä rajoitetussa asetuksessa. Tästä seuraa se, että niiden esitysteoria ja 
algebrallinen topologia on helpommin käsiteltävissä. Tämä ei kuitenkaan sisällä yleisen lineaarisen ryhmän
tapausta.

Suhde bilineaarisiin muotoihin

Yleinen piirre klassisilla Lien ryhmillä on se, että niistä jokainen samantapainen bilineaarisen muodon tai seskvilineaarisen muodon kanssa. Nämä neljä tyyppiä klassisia Lien ryhmiä on varustettu Dynkini kaaviolla. Perheet on esitelty seuraavasti:

 An = SU(n + 1), erityinen unitaarinen ryhmä, jonka muodostavat unitaariset  kompleksikertoimiset matriisit, joiden determinantti on yksi.
 Bn = SO(2n + 1), erityinen ortogonaalinen ryhmä, jonka muodostavat  reaalikertoimiset matriisit, joiden determinantti on yksi.
 Cn = Sp(n), -kvaternioneiden matriisien symplektinen ryhmä, jotka säilyttävät tavallisen sisätulon Hn:ssä.
 Dn = SO(2n), erityinen ortogonaalinen ryhmä, jonka muodostavat  reaalikertoimiset matriisit, joiden determinantti on yksi.

Joissakin tapauksissa on luonnollista pudottaa pois ehto determinantti on yksi ja tarkastella unitaarisia ja epäyhtenäisiä ortogonaalisia ryhmiä.
Taulokossa on lueteltu niin sanotut ryhmien yhtenäiset kompaktit reaalimuodot; ne liittyvät läheisesti kompleksisiin analogisiin ja useisiin ei-kompakteihin muotoihin, esimerkiksi yhdessä kompaktien ortogonaalisten ryhmien kanssa tarkastellaan epämääräistä ortogonaalista ryhmää. Lien algebrat, jotka vastaavat näitä ryhmiä, ovat nimeltään klassiset Lien algebrat. Kaikki klassiset Lien algebrat sopivat yhteen ääretönulotteisen Lien algebran, kuten Moyalin algebran, kanssa.

Kun klassista ryhmää G tarkastellaan ryhmän GL(n) aliryhmänä määritelmänsä perusteella, jonka mukaan se on vektoriavaruuden automorfismien ryhmä joka säilyttää joitain involuutioita saadaan G:n esitys, jota kutsutaan standardiksi esitykseksi.

Klassiset ryhmät yleisten kuntien tai renkaitten suhteen

Klassiset ryhmät, joita tarkastellaan laajemmin algebrassa, ovat kiinnostava esimerkki matriisiryhmistä. Kun
matriisinryhmän kertoimien muodostama rengas on reaali- ja kompleksilukujen muodostama kunta, nämä ryhmät ovat klassisia Lien ryhmiä.

Kun klassisia ryhmiä tarkastellaan äärellisen kunnan suhteen, on klassiset ryhmät Lien tyyppisiä ryhmiä.
Näillä ryhmillä on suuri merkitys äärellisten yksinkertaisten ryhmien luokittelussa.
Tarkastelemalla ryhmäteoriaa nähdään, että monilla lineaarisilla ryhmillä on "erityinen" aliryhmä, joka koostuu usein determinanttia yksi olevista alkioista
(ortogonaalisille karakteristikaa kaksi oleville ryhmille se sisältää alkoit, joiden Dicksonin inveriantti on nolla, ja useimpiin näistä on liittynyt
"projektiiviset" tekijät, jotka ovat ryhmän keskustan tekijöitä.

Sana "yleinen" ryhmän edessä tarkoittaa yleensä, että ryhmää voidaan kertoa jonkuntyyppisellä vakiolla toisin kuin jättää se kiinteäksi.
Alaindeksi n tarkoittaa yleensä sen modulin dimensiota, missä ryhmä toimii. Varoitus: tämä merkintä kalskahtaa hieman jos n:ää käytetään
Dynkinin kaavioiden yhteydessä, koska merkintätapa voi myös tarkoittaa rankkia.

Yleiset ja erityiset lineaariset ryhmät
Yleinen lineaarinen ryhmä GLn(R) on kaikkien Rn:n R-lineaaristen automorfismien muodostama ryhmä.
Tämän aliryhmänä saadaan erityinen lineaarinen ryhmä SLn(R) ja tekijäryhmäksi saadaan projektiivinen yleinen lineaarinen ryhmä
PGLn(R) = GLn(R)/Z(GLn(R)) ja projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä 
PSLn(R) = SLn(R)/Z(SLn(R)). Projektiivinen erityinen lineaarinen ryhmä
PSLn(R) reaalilukujen kunnan suhteen on yksinkertainen kun n ≥ 2, lukuun ottamatta tapauksia n = 2
ja kun kunnan kertaluku on kaksi tai kolme.

Unitaariset ryhmät
Unitaarinen ryhmä Un(R) on ryhmä joka säilyttää modulin seskvilineaarisen muodon. Näillä on 
aliryhmämä erityinen unitaarinen ryhmä SUn(R) ja niiden tekijänä saadaan projektiivinen unitaarinen ryhmä
PUn(R) = Un(R)/Z(Un(R)) ja projektiivinen erityinen unitaarinen ryhmä 
PSUn(R) = SUn(R)/Z(SUn(R))

Symplektiset ryhmät

Symplektinen ryhmä Sp2n(R) säilyttää modulin vinosymmetrisen muodon. Sillä on tekijänä 
projektiviinen symplektinen ryhmä PSp2n(R). Yleinen symplektinen ryhmä GSp2n(R) sisältää
modulien automorfismit, joissa vinosymmetrinen muoto on kerrottu jollain kääntyvällä skalaarilla. Projektiivinen symplektinen ryhmä PSp2n(R)
äärellisen kunnan R suhteen on yksinkertainen kun n ≥ 1, lukuun ottamatta tapauksia, missä n = 1 ja kunnan kertaluku on 2 tai 3.

Ortogonaaliset ryhmät
Ortogonaalinen ryhmä On(R) säilyttää modulin ei-degeneroidun kvadraattisen muodon. Tämän aliryhmä on
erityinen ortogonaalinen ryhmä SOn(R) ja tekijöinä projektiivinen ortogonaalinen ryhmä POn(R)
ja projektiivinen erityinen ortogonaalinen ryhmä PSOn(R) (Kun karakteristika on kaksi, on determinantti aina yksi, joten
ortogonaalinen ryhmä määritellään usein niiden alkioiden muodostamana ryhmänä, joiden Dicksonin invariantti on yksi.)

On olemassa nimetön ryhmä, jota merkitään usein Ωn(R). Se koostuu ortogonaalisen ryhmän alkioista, joiden spinor normi on yksi
ja vastaavan ali- ja tekijäryhmät ovat SΩn(R),  PΩn(R),  PSΩn(R).
(Positiivisesti definiitille neliömudoille reaalilukujen suhteen ryhmä Ω on sama kuin ortogonaalinen ryhmä, mutta yleisessä tapauksessa se on pienempi.
On olemassa myös ryhmän Ωn(R) kaksoispeite, jota kutsutaan pin-ryhmäksi, Pinn(R), ja sen aliryhmä on
spin-ryhmä Spinn(R). Yleinen ortogonaalinen ryhmä GOn(R) sisältää automorfismit, jotka saadaan
ottamalla moduli, joka saadaan kertomalla neliömuoto jollain kääntyvällä skalaarilla.

Vastakohta poikkeuksellisiin Lien ryhmiin

Vastakohtana klassisiin Lien ryhmiin ovat poikkeukselliset Lien ryhmät G2,  F4,  E6,  
E7,  E8, jotka ovat vähemmän tunnettuja. Nämä löydettiin noin vuonna 1890 kun Wilhelm Killing ja Élie Cartan
luokitteli yksinkertaiset Lien algebrat kompleksilukujen suhteen.

Lähteet

Aiheesta muualla  
E. Artin, Geometric algebra, Interscience  (1957)

Lien ryhmät