Kehäkulma

Kehäkulma on geometriassa ympyrään liittyvä kulma. Ympyrän kehältä valitaan kolme pistettä A, B ja P, joista P:stä piirretään jänteet PA ja PB. Jänteiden PA ja PB välistä kulmaa  nimitetään kehäkulmaksi. Koska kulman määrittäminen kahden pisteen avulla jättää kaksi vaihtoehtoista tulkintaa, sidotaan keskuskulma usein ympyrän kaareen tai sitä vastaavaan jänteeseen.

Kehäkulmalause 
Seuraavaa lausetta kutsutaan kehäkulmalauseeksi: Olkoon  annettu ympyrä ja olkoot  ja  kaksi :n pistettä siten että  ja  eivät ole :n halkaisijan päätepisteet. Jos  ja  ovat samalla puolella suoraa  olevia :n pisteitä, niin . Tämän tiedon välittömänä seurauksena, mikäli kahdella kehäkulmalla  ja  on yhteinen keskuskulma , ovat kehäkulmat suuruudeltaan puolet tästä ja siten yhtäsuuret eli . Kaikki saman kaaren kehäkulmat ovat siksi aina yhtä suuria, kuten alla olevassa kuvassa näytetään.

Kehäkulmalauseella on yksinkertaisuudestaan huolimatta merkittävä asema Euklidiseen geometriassa, jossa sen ominaisuuksia käytettiin paljon todistamisessa. Esimerkiksi, kun kaksi ympyrän jännettä leikkaavat toisensa, voidaan kehäkulmalauseella osoittaa, että jänteiden osien tulo on vakio. Myös tunnettu tulos, jossa jännenelikulmion vastakkaisten kulmien summa on 180°, saadaan kehäkulmalauseella pääteltyä helposti.

Viimeinen huomautus nähdään yllä olevasta kuvasta. Kaarta ADC vastaavat keskuskulma α ja kehäkulma β. Kaarta CBA vastaavat keskuskulma θ ja kehäkulma ψ. Koska θ = 360° - α, ovat kehäkulma puolet tästä eli ψ = 1/2·θ = 1/2·(360° - α) = 180° - α/2 = 180° - β. Täten vastakkaiset kulmat ovat suplementtikulmat eli ψ = 180° - β.

Kun kehäpiste lähestyy kaaren reunapistettä, jää toisen kehäkulman jänne lyhyeksi. Kehäkulman suuruus säilyy saman suuruisena lähestymisen loppuun saakka, mutta kun kehäpiste yhtyy kaaren reunapisteeseen, näkyy kehäkulman aukeama sen toisen kylkenä olevan jänteen ja ympyrän tangentin välissä. Tätä erikoistilannetta voi pitää kehäkulmalauseen laajennuksena (katso viereinen kuva).

Thaleen lause 
Kehäkulmalauseen erikoistapauksena saadaan Thaleen lause, kun keskuskulma on oikokulma eli 180°, niin kehäkulma on suora kulma eli 90°. Kehäkulmalauseen mukaisesti kaksi (eli kaikki) puoliympyrän kehäkulmaa ovat molemmat suoria.

Kehäkulmalauseen todistus 
Lause on ollut tapana todistaa Suomen koululaitoksen oppikirjoissa yhdessä erikoistapauksessa ja kahdessa yleisessä tapauksessa, jotka kattavat kaikki tapaukset ja tukevat toisiaan todistelussa.

Kehäkulman jänne ja sektorin säde ovat päällekkäin 

Tutkimalla kuviota huomataan, että
 kehäkulma on  ja keskuskulma on .
 janat VO = OB = OA = R eli ympyrän säde.
 tasakylkisessä kolmiossa  kärki O on huipun kärki ja A ja V ovat kankakulmien kärjet.
 kantakulmat  =  =  ja huippukulma on keskuskulman vieruskulma 
Kolmion  kulmien summa on , aivan kuten kehäkulmalause väittääkin. Tähän tulokseen vedotaan kahdessa alemmassa osassa.

Keskuskulma mahtuu kokonaan kehäkulman sisälle 

Piirretään kehäpisteestä V keskipisteen O kautta kulkeva halkaisija kehäpisteeseen E. Jana VE jakaa kaaren DC osiin DE ja EC. Huomataan, että
 kaarta EC vastaavat keskuskulma  ja kehäkulma . Tilanne on sama kuin todistuksen ensimmäisessä osassa, jolloin kehäkulman jänne ja sektorin säde olivat päällekkäin. Sen perusteella .
 kaarta DE vastaavat keskuskulma  ja kehäkulma . Silloin, kun vedotaan taas todistuksen ensimmäiseen osaan, on .
 Kehäkulmaksi  saadaan .
Keskuskulma  aivan kuten kehäkulmalause väittääkin.

Keskuskulma mahtuu vain osittain kehäkulman sisälle 

Piirretään kehäpisteestä V keskipisteen O kautta kulkeva halkaisija kehäpisteeseen E. Jana VE osuu kaaren DC viereen muodostaen kaaret ED ja EC. Huomataan, että
 kaarta EC vastaavat keskuskulma  ja kehäkulma . Silloin, kun vedotaan uudestaan todistuksen ensimmäiseen osaan, on .
 kaarta ED vastaavat keskuskulma  ja kehäkulma . Silloin todistuksen ensimmäisen osan mukaisesti on .
 Kehäkulmaksi  saadaan .
Keskuskulma  aivan kuten kehäkulmalause väittääkin.

Historia 
Eukleideksen (noin 300 eaa.) kirjassa Alkeet käsitellään kehäkulmia 3. kirjassa väittämien 20, 21 ja 22 muodossa. Väittämät olivat "kehäkulma on puolet keskuskulmasta" , "samaa kaarta vastaavat kehäkulmat ovat saman suuruiset"  ja "vastakkaisten kaarien kehäkulmien summa on 180°" .

Thales (636–546 eaa.) esitti oman lauseensa paljon aikaisemmin, mutta se oli kehäkulmalauseen erikoistapaus. Hän on kuitenkin oppinut sen kauppamatkoillaan Babyloniassa. Tämänkin lauseen Eukleides liitti Alkeisiin 3. kirjaan väittämäksi 33.

Lähteet 

Geometria