Lineaarikuvaus

Matematiikassa ja erityisesti lineaarialgebrassa sanotaan funktion  olevan lineaarikuvaus, jos se toteuttaa ehdot

 ja

jotka voidaan yhdistää yhdeksi riittäväksi ehdoksi 

,

kun , ,  ovat  vektoriavaruuksia ja  on kerroinkunta. Tällöin sanotaan myös, että funktio  on lineaarinen. Määritelmän ehdosta 1 seuraa välttämättä, että . Vektoriavaruudet voivat olla myös  kompleksisia.

Lineaarikuvauksen derivaatta on vakio. Tästä seuraa:

Lineaarikuvausta merkitään usein isolla L-kirjaimella ja laittamalla sulkuihin vektoriavaruus, jonka alajoukko kyseinen lineaarikuvaus on. Esimerkiksi , jolloin vektoriavaruus on V.

Lineaarikuvaukset ja matriisit
Jokainen (äärellisulottuvuinen) lineaarikuvaus  voidaan esittää  kokoisena matriisina. Matriisin sarakkeiden lukumäärä on lähtöavaruuden vektorien ulottuvuus ja rivien lukumäärä vastaavasti kuvausavaruuden vektorien ulottuvuus. Jos lähtö- ja kuvausavaruuden ulottuvuus on sama, matriisi on neliömatriisi. Jos matriisi on  kääntyvä neliömatriisi, lineaarikuvaukselle on olemassa käänteisfunktio. Käänteiskuvaus on matriisin käänteismatriisi. Vektori kuvataan kuvausavaruuteen kertomalla se kaikkien matriisin rivien kanssa sisätulolla. Esimerkiksi kierto, peilaus ja skaalaus koordinaatistossa ovat lineaarikuvauksia.

Esimerkki lineaarikuvauksesta 
Tarkastellaan kuvausta . Nyt

 ja 

eli kuvaus f toteuttaa ehdot 1 ja 2 ja on siis lineaarikuvaus. Sen sijaan kuvaus  antaa tulokseksi

Huomataan, että lineaarikuvauksen ehdot eivät toteudu kuvaukselle g, eikä se siis ole lineaarinen, vaikka kuvaukset f ja g ovat hyvin samanlaiset.

Huomataan myös helposti, että ainakin reaalisissa tapauksissa, joissa funktio on kuvaus  ehdosta 2 seuraa ehto 1. Jos oletetaan ehdon 2 pätevän ja  (kaikki luvut  voidaan esittää näin, jos oletetaan, että  poikkeaa nollasta), saadaan

Jos x = 0, niin ehto 1 seuraa yksinkertaisesti

Tässä hyödynnettiin ehdosta 2 johdettua tietoa, että nolla-alkio kuvautuu nolla-alkioksi. .

Lineaarikuvauksen nolla- ja kuva-avaruus 
Lineaarikuvaus määrää määrittelyjoukkoonsa nolla-avaruuden eli ytimen

. 

Jos alkiot  kuvautuvat kuva-avaruuden nolla-alkioksi, niiden mielivaltainen kombinaatio kuvautuu myös nolla-alkioksi lineaarisuuden aksioomien vuoksi:

. 

Kyseessä on siis eräs määrittelyjoukon aliavaruus. Kyseessä on algebran ydin-käsitteen erikoistapaus. Samaan tapaan muodostuu kuvauksen kuva-avaruus 

, jollakin . 

Kyseessä on taaskin avaruus, koska kahden kuvan mielivaltaiselle kombinaatiolle löytyy ainakin yksi alkukuva, joka on siis vektoriavaruuden  alkio, jolloin kombinaatio on kuva-avaruuden alkio. Tämä on erikoistapaus kuvaryhmästä. Lineaarikuvauksen ytimen ja kuva-avaruuden dimensioiden välille voidaan osoittaa tärkeä tulos, joka tunnetaan dimensiolauseena:

 

Toisin sanoen ytimen ja kuva-avaruuden dimensioiden summa on aina yhtä suuri kuin sen vektoriavaruuden dimensio, josta lineaarikuvaus on määritelty.

Lineaariset funktiot, jotka eivät ole lineaarikuvauksia

Joskus, erityisesti oppikirjoissa käsitteellä lineaarinen funktio tarkoitetaan muotoa  olevaa yhden reaalimuuttujan reaaliarvoista funktiota, jossa . Nimitys johtuu siitä, että tällaisen funktion kuvaaja on aina suora eli funktion arvot muuttuvat lineaarisesti. Näin määriteltynä lineaarinen funktio ei ole lineaarikuvaus (vaan affiinikuvaus), paitsi siinä erikoistapauksessa, että .

Katso myös 
Affiinikuvaus
Topologia

Lähteet

Aiheesta muualla

Kirjallisuutta
 
 

Lineaarialgebra