Käänteishila

Käänteishila on kiinteän olomuodon fysiikassa ja kristallografiassa käytetty matemaattinen konstruktio, joka saadaan toisen hilan, useimmiten Bravais'n hilan Fourier’n-muunnoksena. Tavallisimmin alkuperäisen hilan eli suoran hilan hilapisteet tarkoittavat atomien sijaintia jonkin kiinteän aineen kidehilassa. 

Sen sijaan että suora hila on todellisessa avaruudessa ja vastaa sitä, mikä yleensä ymmärretään fysikaaliseksi hilaksi, käänteishila on abstraktimpi konstruktio, jonka voidaan ajatella sijaitsevan käänteis­avaruudessa, toisin sanoen avaruudessa, jossa pituus­yksiköt ovat tavan­omaisten pituus­yksiköiden käänteis­arvoja kuten m-1 tai cm-1.  Käänteis­avaruutta sanotaan myös k-avaruudeksi, koska tavallisimmissa sovelluksissa sen pisteet tarkoittavat kidehilassa esiintyvien aalto­liikkeiden aaltovektorin arvoja, ja aaltovektorille käytetään fysiikan yhtälöissä tunnusta k. Paikan ja liikemäärän välillä vallitsevan Pontrjaginin dualiteetin vuoksi käänteis­hilaa sanotaan myös liike­määrä­avaruudeksi. Jos jonkin hilan käänteis­hilalle muodostetaan vastaavalla tavalla edelleen käänteis­hila, saadaan jälleen alku­peräinen suora hila, sillä suora ja käänteis­hila ovat toistensa Fourier’n muunnoksia.

Käänteis­hilalla on perustava merkitys jaksollisten rakenteiden analyyttisessä tutkimuksessa, varsinkin diffraktioteoriassa. Lauen ehtojen vuoksi neutroni- ja röntgendiffaktiossa kiteeseen saapuvan ja diffraktioituneen neutronin tai röntgen­säteen aalto­vektorien erotus vastaa jotakin käänteis­hilan hilapistettä. Kiteen diffraktio­kuvan avulla voidaan myös määrittää käänteishilan vektorit. Tästä voidaan edelleen päätellä, miten kiteen atomit sijaitsevat toisiinsa nähden.

Käänteishilan Wigner–Seitzin koppia sanotaan Brillouinin vyöhykkeeksi.

Matemaattinen kuvaus
Tarkastellaan kaksiulotteista Bravais'n hilaa

, missä .

Mikä tahansa suure, esimerkiksi elektronien tiheys atomihilassa voidaan esittää jaksollisena funktiona, jolle pätee

Jaksollisuutensa vuoksi  voidaan esittää Fourier’n sarjana

Koska  millä tahansa kokonaisluvuilla , jälkimmäinen yhtälö pätee erikoistapauksessa 

on oltava , mikä merkitsee, että

, missä .

Matemaattisesti käänteishila voidaan esittää niiden vektorien  joukkona, jotka toteuttavat tämän yhtälön kaikilla hilapisteitä vastaavilla paikkavektorin R arvoilla.

Tämä käänteishila itsekin on Bravais'n hila, ja käänteishilan käänteishila on alkuperäinen suora hila, mikä osoittaa vastaavien vektori­avaruuksien välillä vallitsevan Pontrjaginin dualiteetin.

Äärettömälle kaksi­ulotteiselle hilalle, jonka määrittelevät sen alkeis­kopin särmiä vastaavat vektorit , voidaan käänteishila määritellä muodostamalla sen kaksi kanta­vektoria seuraavien yhtälöiden avulla:

missä

Tässä  tarkoittaa 90 asteen rotaatiomatriisia.

Vastaavasti äärettömälle kolmi­ulotteiselle hilalle, jonka määrittelevät sen alkeiskopin särmiä vastaavat alkeis­vektorit  , voidaan käänteis­hila määritellä muodostamalla sen kolme kanta­vektoria seuraavien yhtälöiden avulla:

missä

Huomataan, että tässä nimittäjänä on näiden vektorien skalaarikolmitulo. Käyttämällä käänteisavaruuden alkeisvektoreille sarakevektoriesitystä voidaan nämä yhtälöt kirjoittaa myös muodostamalla käänteismatriisi, jolloin saadaan:

Tämä menetelmä perustuu käänteishilan määritelmään ja voidaan yleistää kuinka moneen ulottuvuuteen tahansa. Tätä kaavaa, jossa esiintyy vektorien ristitulo, käytetään yleisesti kristallografiassa.

Edellä olevaa käänteisavaruuden määritelmää sanotaan "fyysikon määritelmäksi" ja siinä esiintyvä kerroin  seuraa luonnollisesti jaksollisten funktioiden ominaisuuksista. Vaihto­ehtoinen  "kristallo­grafin määritelmä", saadaan määrittelemällä käänteis­hilaksi
 

jolloin käänteishilavektoreiksi saadaan 

ja samoin vastaavasti molemmille muille vektoreille. Kristallo­grafin määritelmällä on se etu, että 
 on suoraan :n käänteis­arvo :n suunnassa, eikä tekijää  ole mukana.  Tämä yksin­kertaistaa eräitä lasku­toimituksia, ja sen avulla käänteis­hila saadaan avaruudellisen taajuuden yksiköissä. Voidaan pitää makuasiana, kumpaa käänteis­hilan määritelmää käytetään, kunhan vain niitä ei sekoiteta keskenään.

Jokainen käänteis­hilan piste  vastaa jotakin suoran hilan hilatasojen  joukkoa.  Käänteis­hilan vektorin suunta on sama kuin tämän hilatason normaalin suunta. Käänteis­hilan vektorin suuruus taas on yhtä suuri kuin näiden suoran hilan hilatasojen välisen etäisyyden käänteis­arvo.

Jos suora hila määritellään avaruuden pistejoukoksi, jonka muodostavat hilapisteet, voidaan todeta, että kristallografin määritelmää käytettäessä käänteishilan muodostavat ne käänteisavaruuden pisteet, joiden paikkavektorin pistetulo minkä tahansa suoran hilan pisteen paikkavektorin kanssa on kokonaisluku.

Eräiden kidehilojen käänteiskilat

Yksinkertainen kuutiollinen hila 

Yksinkertaisen kuutiollisen Bravais'n hilan, jonka kuutiollisen alkeis­kopin särmän pituus on , käänteishila on yksin­kertainen kuutiollinen hila, jonka kuutiollisen alkeiskopin särmän pituus on  (tai kristallo­grafin määritelmän mukaan ). Kuutiollista hilaa sanotaan itse­duaaliseksi, koska sen käänteis­hilalla on samat symmetria­ominaisuudet kuin suoralla hilalla.

Pintakeskeinen kuutiollinen hila 

Pintakeskeisen kuutiollisen hilan eli FCC-hilan käänteis­hila on tilakeskeinen kuutiollinen eli BCC-hila.

Tarkastellaan FCC-hilan yksikkö­koppia. Valitaan hilasta alkeiskoppi, toisin sanoen yksikkökoppi, jossa on yksi hilapiste. Valitaan edelleen yksi tämän alkeiskopin kärjistä origoksi. Suoran hilan kantavektorit ovat edellä sanotun mukaiset.  Esitetyn kaavan avulla voidaan laskea käänteis­hilan kanta­vektorit. Nämä FCC-hilan käänteis­hilan vektorit vastaavat BCC-hilan kanta­vektoreita. Huomattava on, että suoran BCC-hilan ja FCC-hilan käänteis­hilan kanta­vektorit ovat saman­suuntaisia mutta eivät saman­pituisia.

Tilakeskeinen kuutiollinen hila 

Tilakeskeisen kuutiollisen hilan eli BCC-hilan käänteishila on pintakeskeinen kuutiollinen eli FCC-hila.

Voidaan helposti todistaa, että vain niitä Bravais'n hiloja, joilla :n, :n ja :n väliset kulmat ovat 90 astetta, toisin sanoen kuutiollista, tetragonista ja ortorombista hilaa vastaavien käänteishilojen kantavektorit  ovat yhdensuuntaisia suoran hilan vektorien kanssa.

Yksinkertainen heksagonaalinen hila

Yksinkertaiselle heksagonaaliselle Bravais'n hilalle, jonka hilavakiot ovat c ja a, saadaan käänteishilaksi heksagonaalinen hila, jonka hilavakiot ovat   ja . Niiden suunnat poikkeavat suoran hilan hilavektorien suunnista 30 astetta. Yksinkertaista heksagonaalista hilaa sanotaan sen vuoksi itse­duaaliseksi, koska sen käänteis­hilalla on samat symmetria­ominaisuudet kuin suoralla hilalla.

Käänteishilan käänteishila

Että käänteishilan käänteishila on sama kuin alkuperäinen suora hila, voidaan todistaa seuraavasti.

Bravais'n hilan määritelmästä seuraa, että siihen kuuluvien vektorien summa ja erotus kuuluvat myös hilaan. Niinpä riittää todeta, että jos

ja

summa ja erotus  toteuttavat saman yhtälön.

Tämä osoittaa, että käänteishilakin on sulkettu vektorien yhteen- ja vähennyslaskun suhteen, toisin sanoen kahden käänteishilaan kuuluvan vektorin summa ja erotus kuuluvat siihen myös. Lisäksi tiedetään, että käänteishilan vektori G voidaan esittää kantavektorien lineaarikombinaationa.

Edellä esitetystä :n määritelmästä seuraa, että 

missä  on Kroneckerin delta. Olkoon R suoran hilan vektori, joka voidaan esittää suoran hilan kantavektorien lineaarikombinaationa.

Tästä voidaan todeta, että:

Käänteishilan määritelmästä todetaan, että :n on toteutettava identtisesti seuraava yhtälö:

Jotta tämä pätee, on tulon  oltava   kertaa jokin kokonaisluku. Tämä toteutuu, koska   and . Näin ollen käänteishilakin on Bravais'n hila.

Jos edelleen vektorit  muodostavat käänteishilan, on selvää, että jokainen vektori , joka toteuttaa yhtälön

,

on känteishilan hilavektori. :n määritelmästä, kun  on suoran hilan vektori , seuraa vastaava yhteys

.

Tästä voidaan päätellä, että käänteishilan käänteishila on alkuperäinen suora hila.

Fysikaalinen merkitys 

Käänteishila on kiinteän olomuodon fysiikan keskeisimpiä käsitteitä. Sen ja siihen liittyvien Brillouinin vyöhykkeiden merkitys kiinteiden aineiden teoriassa on niin keskeinen, että niitä on verrattu Maxwellin yhtälöihin, sillä niistä voidaan johtaa suuri osa koko teoriasta, samoin kuin koko sähkömagnetismin teoria voidaan johtaa Maxwellin yhtälöistä.

Röntgensäteilyn diffraktio 
Kiderakennetta tutkitaan tavallisimmin sellaisen röntgensäteilyn avulla, jonka aallonpituuson samaa suuruusluokkaa kuin kiteen atomien välinen etäisyys. Saadusta diffraktiokuviosta voidaan päätellä hilan muoto ja siten kiteen rakenne.

Käytetään kiteeseen saapuvan säteilyn aaltovektorille merkintää , annettuun suuntaan diffusioituneen säteilyn aaltovektorille merkintää  ja niiden erotuksena saatavalle diffuusiovektorille merkintää .  Tällöin Blochin teoreemasta seuraa, että diffraktio esiintyy, kun  on jokin käänteishilan pisteistä.

Hilavärähtelyt ja Brillouinin vyöhyke 

Käänteishilan yksikkökoppia eli Wigner–Seitzin koppia sanotaan Brillouinin vyöhykkeeksi.

Tutkittaessa kidehilassa esiintyviä kimmoaaltoja voidaan yleensä rajoittua käsittelemään aaltoja, joiden aaltovektori sisältyy ensimmäiseen Brillouinin vyöhykkeeseen, sillä aallot, joiden aaltovektori on tämän ulkopuolella, voidaan käsittää ekvivalenteiksi jonkin Brillouinin vyöhykkeessä olevan aallon kanssa.  Tämä on ehkä helpoimmin ymmärrettävissä tarkasteltaessa yksiulotteista atomiketjua.

Olkoon ketjussa atomien välimatka vakio r.  Sen suoran hilan pisteitä ovat tällöin suoran pisteet nr, missä n on mielivaltainen kokonaisluku. Ketjun käänteishilan muodostavat k-avaruuden pisteet  Näin ollen sen ensimmäisen Brillouinin vyöhykkeen muodostaa väli 

Tarkastellaan kahta tällaisessa ketjussa etenevää aaltoa, joiden aaltovektorit ovat  ja  ja joilla on sama amplitudi A. Tällöin näistä ensimmäinen on ensimmäisellä Brillouinin vyöhykkeellä, jälkimmäinen sen ulkopuolella. Näiden aaltojen aallonpituudet ovat  ja   Olkoon m mielivaltainen kokonaisluku, jolloin mr on jokin ketjuun kuuluva hilapiste, toisin sanoen jonkin atomin sijaintipaikka. 

Jos kiteessä etenee aalto, jonka aaltovektori on  ja jos sen vaihekulma origossa jollakin hetkellä on , pisteessä mr olevan atomin poikkeama tasapainopisteestä samalla hetkellä on . Jos aallon aaltovektori onkin , saman atomin poikkeama tasapainopisteestä samalla hetkellä onkin  =   Tämä on kuitenkin sama kuin ensimmäisenkin aallon tapauksessa, koska n on kokonaisluku ja sinifunktio saa saman arvon, kun sen argumenttiin lisätään  kerrottuna millä tahansa kokonaisluvulla. Nämä aallot ovat siis aina samassa vaiheessa jokaisen hilapisteen eli atomin kohdalla, eikä sillä, missä vaiheessa ne ovat hilapisteiden välissä, ole fysikaalista merkitystä. Jälkimmäinen aalto on siis ekvivalentti edellisen kanssa, jonka aaltovektori on ensimmäisellä Brillouinin vyöhykkeellä.

Mielivaltainen atomikokoelma

Mielivaltaisellekin atomikokoelmalle voidaan määritellä käänteishila. Tähän voidaan päätyä muun muassa käsittelemällä hajaantuneita aaltoja, jotka syntyvt sellaisessa Fraunhoferin diffraktiossa, joka saadaan rajatapauksena suurilla etäisyyksillä summattaessa kaikista atomeista sironneet aallot Huygensin periaatteen mukaisesti.. Alla olevassa yhtälössä tätä summaa merkitään kompleksiamplitudilla F, koska sekin on suorassa avaruudessa olevan efektiivisen sirontapotentiaalin Fourier’n muunnos:

Tässä g = q/(2π) on sirontavektori q kristallografin yksiköissä, N atomien lukumäärä, fj[g] atomaarinen sirontatekijä j atomille, kun sirontavektori on 'g, kun taas rj on atomin k paikkavektori. On huomattava, että Fourier’n muunnoksen vaihe riippuu koordinaatiston origon valinnasta.

Siinä erikoistapauksessa, että kyseessä on ääretön jaksollinen kide, M yksikkökopista sironnut amplitudi (kuten edellä) osoittautuu nollasta poikkeavaksi vain :n kokonaislukuarvoilla, missä

kun atomien lukumäärä j yksikkökopissa on välillä 1 <= j <= m ja yksikkökopin fraktionaaliset hilaindeksit ovat vastaavasti {uj, vj, wj}. Todellisuudessa kide tietysti on äärellisen kokoinen, minkä vuoksi yhtälöön on tehtävä tämän seikan edellyttämät muutokset.

Olipa atomien muodostama ruudukko äärellinen tai ääretön, voidaan kuvitella myös "intensiteettikäänteishila"  I[g], jonka yhdistää amplitudihilaan F tavanomainen relaatio I = F*F, missä F* on F:n kompleksikonjugaatti. Mielivaltaiselle atomikokoelmalle intensiteettikäänteishilaksi saadaan: 

Tässä rjk on atomien j ja k paikkavektorien erotus. Tällä voidaan myös ennustaa, mitä seuraa nanokrystalliitin muodosta, äkillisestä säteen suunnan muutoksesta tai havaiituista diffraktiopiikeistä siinäkin tapauksessa, että rakennelma jossakin suunnassa olisi vain yhden atomin paksuinen. Toisaalta käänteishilaa käyttävät sirontalaskelmat yleensä koskevat hetkellistä tasoaaltoa. Niinpä vaikka käänteishilan avulla voidaankin tarkastella kinemaattisen sironnan vaikutuksia, on otettava huomioon myös säteen levenemisen ja useamman sironnan vaikutukset.

Duaalihilan yleistys 

Abstraktin duaalihilan käsitteestä on matematiikassa kaksi versiota, jotka molemmat voidaan liittää äärellisulotteisessa vektoriavaruudessa V olevaan hilaan L.

Ensimmäinen versio on suora yleistys käänteishilan konstruktiolle, ja siinä käytetään Fourier-analyysia. Se voidaan esittää yksinkertaisesti Pontrjaginin dualiteetin termein. Ryhmän V duaaliryhmä V^ on sekin vektoriavaruus, ja osoittautuu, että sen suljettu aliryhmä L^, joka on L:n duaali, on hila V^:ssä. Siksi L^ on luonnollinen ehdokas duaalihilaksi toisessa vektoriavaruudessa, jolla on sama ulottuvuus.

Toisen näkökulman antavat V:n neliömuodot Q. Jos V ei ole degeneroitunut, ne mahdollistavat V:n ja sen duaaliavaruuden  V* samastaminen. V*:n ja V välinen yhteys ei ole yksiselitteinen, vaan riippuu V:n Haarin mitan eli tilavuusalkion valinnasta. Jos kuitenkin on tehty jokin samastus, joka on jotakin skalaaria vaille hyvin määritelty, Q:n mukanaolo tekee mahdollisesti puhua L:n duaalihilasta, vaikka pysytään avaruudessa V.

Matematiikassa annetun hilan L duaalihila lokaalisti kompaktissa topologisessa Abelin ryhmässä G on G:n duaaliryhmän aliryhmä L∗, johon kuuluvat kaikki jatkuvat funktiot, jotka jokaisessa L:n pisteessä saavat arvon 1.

Diskreetissä matematiikassa hila määritellään valitsemalla n-ulotteisesta avaruudesta  n lineaarisesti riippumatonta vektoria. Hila on tällöin lokaalisti diskreetti pistejoukko, jonka muodostavat kaikki näiden vektorien lineaarikombinaatiot. Tämän hilan duaalihila'' on tällöin niiden avaruuden  pisteiden joukko, joiden sisätulo jokaisen alkuperäisen hilan pisteen kanssa on kokonaisluku. Tästä seuraa, että duaalihilan duaalihila on sama kuin alkuperäinen hila.

Jos lisäksi matriisin B sarakkeet tarkoittavat hilan määritteleviä lineaarisesti riippumattomia vektoreita, matriisin 

sarakkeina ovat ne vektorit, jotka määrittelevät sen duaalihilan.

Käänteisavaruus
Käänteisavaruus eli "k-avaruus" on avaruus, jossa avaruudellisten funktioiden Fourier-muunnokset esitetään, samaan tapaan kuin ajasta riippuvien funktioiden Fourier-muunnokset voidaan esittää taajuustasossa.  Fourier-muunnos merkitsee siirtymistä "todellisesta avaruudesta" käänteisavaruuteen tai päinvastoin. Käänteisavaruudella on suuri merkitys aaltomekaniikassa. Tasoaalto voidaan nimittäin kirjoittaa värähtelyterminä , aaltovektorin  ja kulmataajuuden  avulla, joten se on sekä aaltovektorin () että paikan () funktio, kun taas sen "spektroskooppinen osuus" on vain kulmataajuuden () ja ajan () funktio. Tasoaallon avaruudellisen värähtelyn vaihe on muotoa , ja niinpä aallon ollessa tietyssä vaiheessa avaruudellisen osan termit  ja  ovat kääntäen verrannollisia:  ja .

Käänteisavaruuden käsite soveltuu myös kuvan rekonstruktioon magneettikuvauksessa.

Käänteishila on käänteisavaruuden jaksollinen pistejoukko, eli hila, johon kuuluvat ne pisteet , jotka muodostavat jaksollisen avaruushilan Fourier’n muunnoksen. Brillouinin vyöhyke on tämän avaruuden alue, joka käsittää ne yksikäsitteiset k-vektorit, jotka esittävät jaksollisessa rakenteessa mahdollisia klassisia tai kvanttiaaltoja.

Lähteet

Katso myös 
 Kristallografia
 Millerin indeksit

Tiiviin aineen fysiikka
Kristallografia
Aaltoliike