Spatiaalinen autokorrelaatio

Spatiaalinen autokorrelaatio  on tilastotieteessä ja todennäköisyyslaskennassa stokastisissa prosesseissa eräs autokorrelaation muoto. Kun prosessin satunnaismuuttujat indeksoidaan avaruuden pisteillä, saadaan satunnaiskenttä, jossa satunnaismuuttujat ovat sidoksissa toisiinsa geometrisesti. Satunnaiskentät ovat siis spatiaalisia stokastisia prosesseja. Satunnaiskentässä satunnaismuuttujien väliset riippuvuudet vaikuttavat merkittävästi niiden yhteisjakaumaan ja siksi riippuvuusfunktiot näyttelevät stokastisten prosessien teoriassa merkittävää osaa. Autokorrelaation tärkein käyttömuoto on hyödyntää tietoa riippuvuudesta kentän tietojen estimoinnissa tai arvojen interpoloinnissa.

Satunnaismuuttujien välinen riippuvuus 
Maantieteellisissä ilmiöissä mitattavan suureen arvoissa ilmenee usein suurta samankaltaisuutta läheltä toisiaan otetuissa näytteissä ja vähän samankaltaisuutta kaukana toisistaan otetuissa näytteissä. Maantieteilijän Waldo Toblerin ensimmäinen maantieteellinen sääntö sanoo vapaasti suomennettuna, että ”Kaikki riippuu aina kaikesta muusta, mutta lähellä toisiaan olevat riippuvat enemmän kuin kaukana toisistaan olevat”. Niissä ilmiöissä, joita voidaan luontevasti kuvailla suureilla, voidaan riippuvuutta lähestyä matemaattisesti.

Nimenä autokorrelaatio viittaa korreloimiseen itsensä kanssa. Sillä viitataan kentällä mittatun suureen näytteisiin, joiden arvot korreloivat näytteiden välisten etäisyyksien ollessa pienet. Kun tapahtuma tulkitaan todennäköisyyslaskennan välineillä, muuttuu tutkimuskenttä satunnaiskentäksi ja näytteet satunnaismuuttujiksi, joilla on paikkakoordinaatit ja todennäköisyysjakaumiensa tuottamat arvot. Autokorrelaatio tarkoittaa silloin satunnaiskenttän tai stokastisen prosessin sisällä olevien satunnaismuuttujien välisen riippuvuuden astetta. Aikasarjoissa, jotka ovat temporaalisia stokastisia prosesseja, riippuvuus on tavallisesti voimakasta ajallisesti lähekkäisissä satunnaismuuttujissa. Spatiaalinen riippuvuus on tavallisesti voimakasta maantieteellisesti tai avaruudellisesti lähekkäisissä satunnaismuuttujissa.

Riippuvuutta ilmaistaan riippuvuusfunktioilla, joiden muuttujina ovat spatiaallisten pisteiden väliset etäisyydet ja suunnat (etäisyysvektorit ). Korrelogrammi  ilmaisee korrelaation määrää etäisyysvektorin suhteen, kovarianssifunktio  kovarianssin suuruutta ja variogrammi  erotuksen varianssin suuruutta pisteiden välillä.

Autokorrelaation testaaminen 
Vahvassa autokorrelaatiossa näytepisteiden tai sattunnaismuuttujien sijaintien ja näytteiden tai satunnaismuuttujien arvojen välillä on riippuvuussuhde. On yleistä, että esimerkiksi lähellä toisiaan olevissa pisteissä on samansuuruiset arvot. Satunnaisuus heikentää riippuvuuden määrää ja vaikeuttaa riippuvuuden havaitsemista. Onkin olemassa erilaisia testejä sille sisältääkö stokastinen prosessi autokorrelaatiota. Satunnaiskentän autokorrelaatiossa lasketaan eri etäisyyksillä sijaitseville satunnaismuuttujapareille erotukset, kovarianssien tai variogrammien arvot.

Mantel-testi autokorrelaatiolle 
Testissä verrataan avaruudellisesti jakautuneen näyteotoksen etäisyyksiä  näytteiden arvojen erotuksiin . Jos etäisyys-erotus-pareilla  on korkea Pearsonin korrelaatiokerroin, sisältää aineisto autokorrelaatiota. Korrelaatiokerrointa verrataan usein sekoitetun aineiston tuottamaan Pearsonin korrelaatiokertoimeen. Siinä arvot  irrotetaan etäisyyksistään ja sekoitetaan sattumanvaraisesti. Näyteaineiston ja sekoitettujen aineistojen korrelaatiokerroimien eron tulee olla keskimäärin suuri, jotta autokorrelaatio olisi merkittävä. Erotuksen voi korvata erotuksen neliön puolikkaalla , joka on variogrammin estimointilauseke.

Moranin I testi autokorrelaatiolle 
Moranin I-testi muistuttaa korrelaatiokertoimen laskemista. Se lasketaan etäisyysluokittain annetun etäisyyden  lähiympäristössä siten, että painokerroin  on yksi, kun näyte kuuluu luokkaan, ja nolla, kun se ei kuulu luokkaan. Lopuksi osoittaja jaetaan painokertoimien summalla  ja näytteiden varianssilla. Funktion laskukaava on 

Testi antaa tuloksia väliltä . Tulokset ovat positiivisia, kun riippuvuus on positiivista eli lähellä toisiaan olevien näytteiden suureen arvot ovat yleensä yhdessä suuria tai yhdessä pieniä. Tulokset ovat negatiivisia, kun riippuvuus on käänteistä eli lähellä toisiaan olevat arvot ovat yleensä erisuuruisia. Toinen näytteistä antaa korkeita arvoja, kun lähellä oleva toinen näyte antaa matalia arvoja. Jos tulos on nolla tai lähellä sitä, ei riippuvuutta eli autokorrelaatiota esiinny.

Muita testejä 
Muitakin testejä on käytössä. Sellaisia ovat esimerkiksi Ripley'n K-testi ja Geary'n c-testi.

Ilmiöitä 
Spatiaalisen autokorrelaation aiheuttavia luonnon- tai yhteiskunnan ilmiöitä on monenlaisia. Alla olevassa luettelossa on tyypillisiä esimerkkejä:
 talojen ostohinnat samantyyppisten talojen välillä tietyn kaupunkialueen sisällä ovat yleensä yhtä korkeita 
 Länsi-Niilin virus leviää kantajalta toiselle lyhyitä matkoja lentävien hyttysten välityksellä 
 malmiossa olevan louhittavan mineraalin pitoisuusvaihtelut kallioperässä muotoutuivat sulan kivimassa aikanan osittain diffuusion vaikutuksesta 
 säärintaman aiheuttaman yhtenäisen säätilan muutokset liikkumisensa seurauksena ja sen vaikutukset paikalliseen säähän

Kirjallisuutta 
 Haining, R.: Spatial data analysis in the social and environmental sciences (409 sivua), Cambridge, Cambridge University Press, 1990
 Manly, B. F. J.: Statistics for Environmental Science and Management (326 sivua), Boca Raton, Chapman & Hall, 2001
 Upton, G. & Fingleton, B.: Spatial Data Analysis by Example, Volume 1: Point Pattern and Quantitative Data (410 sivua), Norwich, John Wiley & Sons Ltd, 1985
 Fortin, Marie-Josee, M. Dale and J. Hoeff: Spatial Analysis in Ecology. Encyclopedia of Environmetrics, 4: s. 2051-2058, 2002

Katso myös 
 Autokorrelaatio, aikasarjoissa

Lähteet 
 Griffith, D.A.: Spatial Autocorrelation, Texasin yliopisto Dallasissa, USA, 2009

Viitteet

Aiheesta muualla 
 ArcGIS: How Spatial Autocorrelation (Global Moran's I) works
 GEOB 479: Spatial Autocorrelation
 Briggs: Spatial Autocorrelation: The Single Most Important Concept in Geography and GIS! (Power Point-esitys)
 Carl, G. & Kühn, I.: Analyzing spatial autocorrelation in species distributions using Gaussian and logit models, 2007

Tilastotiede
Signaalinkäsittely
Geostatistiikka