Tasakylkinen puolisuunnikas

Tasakylkinen puolisuunnikas on geometriassa nelikulmainen monikulmio, jossa on kaksi yhdensuuntaista sivua ja kaksi muuta erisuuntaista sivua (eli kylkeä), jotka ovat saman pituiset. Kahden sivun yhdensuuntaisuudesta johtuen kuvio luokitellaan puolisuunnikkaaksi, mutta tasakylkisyytensä vuoksi se on siitä erikoistapaus. Kuvio on symmetrinen, ja se esiintyy tämän takia monissa arjen tilanteissa.

Tasakylkinen puolisuunnikas kuuluu yksinkertaisiin ja konveksisiin nelikulmioihin. Sen ympäri voidaan piirtää ympyrä niin, että kehä kulkee kaikkien kärkien kautta. Sen sisäpuolelle ei välttämättä pysty piirtämään ympyrää niin, että se sivuaisi sen kaikkia sivuja sisäpuolelta. Tämän vuoksi se on ainoastaan syklinen.

Nimityksiä 
Tasakylkinen puolisuunnikas on kuin katkaistu tasakylkinen kolmio, jossa kolmion kärki on leikattu kannan suuntaisella vedolla pois. Puolisuunnikkaalla on kyljet, jotka ovat yhtä pitkät. Samoin kantakulmat ovat tasakylkisyydestä johtuen yhtä suuret. Puolisuunnikkaan yhdensuuntaiset sivut ovat sen kantoja ja kantojen välistä etäisyyttä kutsutaan korkeudeksi. Kylkien keskipisteiden välinen jana on mediaani, kuten on myös kantojen keskipisteiden välinen jana.

Erityispiirteitä 
Puolisuunnikas on tasakylkinen puolisuunnikas jos ja vain jos
 sen molempien kantojen kantakulmat ovat kummallakin erikseen yhtä suuret.
 sen kyljet ovat yhtä pitkät (määritelmä).
 sen lävistäjät ovat saman pituiset.
 sen lävistäjät jakavat toisensa osiin, joiden vastinosat ovat molemmissa lävistäjissä samat.
 sen vastakkaiset kulmat ovat suplementtiset eli niiden summa on 180°. Tämä tekee siitä myös syklisen nelikulmion.
 sen kannan molemmat kantakulmat ovat samat.
 sen kantojen keskipisteet yhdistävä jana on kohtisuorassa kantojen kanssa.

Tasakylkinen puolisuunnikas on symmetrinen kantojen keskipisteiden kautta kulkevan akselin suhteen. Silloin
 sen ympäri piirretyn ympyrän keskipiste sijaitsee akselilla.
 lävistäjät leikkaavat toisensa akselilla.
 painopiste sijaitsee akselilla.
 symmetria-akseli jakaa sen alaltaan ja muodoltaan samanlaiseen suorakulmaiseen puolisuunnikkaaseen.

Ominaisuuksia 

Osa kaavoista on puolisuunnikkaan tai syklisen nelikulmion kaavoista johdettuja sijoittamalla yleisempään kaavaan sen suureiden (pilkulla merkityt) tilalle tasasivuisen puolisuunnikkaan suureet ( eli )

Kulmat 
Konveksin nelikulmion (kulmien lukumäärä n = 4) sisäkulmien summa on
 
Merkitään aluksi kulma A = α ja muut kulmat aakkosittain vastaavalla tavalla. Koska tasakylkinen puolisuunnikas on syklinen, on vastakkaisten kulmien summa eli α + γ = β + δ = 180°. Symmetrisyydestä seuraa, että yhdensuuntaisten sivujen kantakulmat ovat samat eli α = β ja γ = δ. Yhdensuuntaisuudesta seuraa vielä sekin, että sivun ulkokulma on yhtä suuri kuin vastaisen sivun kantakulma.

Tämän vuoksi kulmion kulmat merkitään vastedes vain kulmilla α (sivun a kantakulmat) ja β (sivun b kantakulmat). Lävistäjät jakavat nämä kulmat kahteen osaan, jotka eivät ole yhtä suuria. Kulmat α jakaantuvat kulmiin α1 ja α2 eli α = α1 + α2. Samoin tekevät kulmat β = β1 + β2.

Koska kulmio on syklinen, voidaan kehäkulmalauseella karsia eri suuruisten kulmien lukumäärää edelleen. Kärjessä A oleva kulma α1 on kehäkulma jänteelle BC. Samalle jänteelle BC on myös kehäkulmana kulma β2, joten näiden on oltava saman suuruisia eli α1 = β2 (kuviossa Figure 1 on ne jo korvattu).

Koska kulmio on syklinen, voidaan sisäkulman suuruus laskea

 
missä s on alempana esiteltävä puolipiiri.

Sivut 
Tasakylkisyydestä seuraa, että yhdensuuntaisten sivujen a ja b väliin jäävät yleensä erisuuntaiset kyljet, jotka ovat nyt yhtä pitkät c. Jos kyljet ovat yhdensuuntaiset, muuttuu kuvio suunnikkaaksi. Samoin käy, jos yhdensuuntaiset sivut a ja b ovat yhtä pitkät.

Tasakylkisen puolisuunnikkaan piiri p lasketaan

Kylkien c sijasta tunnetaankin korkeus, voidaan piirin pituus esittää
 
missä α on kantakulma.
Piiristä saadaan puolipiiri s puolittamalla se

Lävistäjät 
Yksinkertaisessa nelikulmiossa on aina  lävistäjää, jotka ovat AC ja BD. Lävistäjät ovat symmetrian johdosta yhtä pitkät ja tässä pituutta on merkitty kirjaimella d. Lävistäjät leikkaavat pisteessä L, joka sijaitsee symmetria-akselilla.

Lävistäjien väliin syntyy kaksi kolmiota:  ja . Kolmiossa ABL ovat molemmat kantakulmat samat sekä sen huippukulma ristikulmana sama kuin vastinkolmiossa CDL. Kolmiot ovat siten yhdenmuotoiset ja sivujen pituudet suhtautuvat kuten kannatkin eli a : b. Leikkauspiste jakaa myös lävistäjät osiin p ja q siten, että a : b = p : q. Piste L jakaa myös korkeusjanan h osiin samassa suhteessa.

Lävistäjän pituuden voi laskea Pythagoraan lauseella, kun hypotenuusana on lävistäjä d, kateettina korkeus h ja toisena kateettina lävistäjän alle jäävä osa pitemmästä kannasta. Tämä osa lasketaan

jolloin lävistäjäksi saadaan

eli
 
Koska tasakylkinen puolisuunnikas on syklinen, voidaan lävistäjä määrittää myös syklisen nelikulmion tapaan

Muita mittoja 
Kulmion korkeus voidaan laskea Pythagoraan lauseella
 
Mediaanin, jolla tarkoitetaan tässä kylkien keskipisteet yhdistävää janaa, pituus on
 
eli janojen a ja b keskiarvo.

Pinta-alan yleisesti tunnettu lauseke on
 
Pinta-ala voidaan laskea myös
 
mikä tunnetaan Brahmaguptan kaavana.

Ulkoympyrä 
Tasakylkinen puolisuunnikas on syklinen ja sen ympäröivän ympyrän säde on

 
missa  on pinta-ala ja  on lävistäjä.

Konstruointi 
Eräs tapa konstruoida tasakylkinen puolisuunnikas on piirtää ensin kanta. Kantakulman piirtämisen jälkeen se kopioidaan samansuuruisena janan toiseen päähän. Kantakulmien määräämiä kylkiä jatketaan ja katkaistaan samasta kohtaa. Katkaisukohdat yhdistetään toisella kantaviivalla, joka on yhdensuuntainen. On olemassa monia muitakin tapoja piirtää tasakylkinen puolisuunnikas.

Lähteet

Viitteet

Aiheesta muualla 
 iCoachMath: Isosceles Trapezoid
 van Tienhoven, Chris: Encyclopedia of Quadri-Figures

Monikulmiot