Gabrielin torvi

Gabrielin torvi eli Torricellin trumpetti on Evangelista Torricellin keksimä geometrinen kappale tai sen rajapinta, jolla on äärellinen tilavuus mutta ääretön pinta-ala.

Nimen alkuperä 
Nimi Gabrielin torvi viittaa arkkienkeli Gabrieliin, joka Raamatun mukaan käyttää torvea ilmoittaakseen ihmisille toisinaan ilahduttavia, toisinaan kohtalokkaitakin uutisia, esimerkiksi Harmagedonin taistelun yhteydessä, yhdistäen täten jumalallisen äärettömyyden ja inhimillisen äärellisyyden.

Matemaattinen määritelmä ja ominaisuuksia

Gabrielin torvi on pyörähdyspinta, joka muodostuu kun hyperbelin muotoinen käyrä  (x ≥ 1) pyörähtää kolmessa ulottuvuudessa x-akselin ympäri. Mukana on vain se osa käyrästä, jossa , jotta vältetään asymptootti kohdassa . 

Gabrielin torven ominaisuudet keksittiin alkujaan soveltamalla Cavalierin periaatetta ennen kuin integraalilaskenta keksittiin, mutta nykyisin sitä on helpointa käsitellä integraalilaskennan avulla. Soveltamalla pyörähdyskappaleen tilavuuden ja pyörähdyspinnan alan lausekkeita voidaan laskea torven sen osan pinta-ala ja tilavuus, joka jää tasojen  ja  väliin, missä . Tällöin saadaan torven sisään jäävän alueen tilavuudeksi:

ja torven pinta-alaksi:

Näissä a voi olla kuinka suuri luku tahansa, mutta tilavuuden lausekkeesta nähdään, ettei torven tilavuus koskaan ylitä arvoa . Se voi kyllä olla kuinka lähellä :tä tahansa, kunhan vain a on tarpeeksi suuri. Toisin sanoen tilavuuden raja-arvo a:n kasvaessa on  eli 

Voidaan siis ajatella, että vaikka torvi todella olisi äärettömän pitkä, sillä on äärellinen tilavuus. Sitä vastoin torven pinta-alalle saatu lauseke kasvaa rajattomasti a:n kasvaessa. Sillä ei ole ylärajaa. Niinpä torven kokonaispinta-ala on ääretön. Toisin sanoen:

Näennäinen paradoksi

Kun Gabrielin torven ominaisuudet oli keksitty, sitä seikkaa, että xy-tason äärettömän pitkälle ulottuvan alueen pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyvällä kappaleella on äärellinen tilavuus, pidettiin paradoksina.

Vaikka torven ja xy-tason leikkauksen pinta-ala on ääretön, sen ja minkä tahansa muun samansuuntaisen tason pinta-ala on äärellinen. Näin ollen tilavuus, joka voidaan laskea myös leikkausten 'painotettuna keskiarvona, on äärellinen.

Mahdollisesti vielä vakuuttavampi lähestymistapa on pitää torvea levyjen pinona, joiden säde jatkuvasti pienenee. Koska ne ovat kaikki samanmuotoisia, voisi ensin kuvitella, että torven tilavuutta laskettaessa olisi ensin laskettava levyjen säteet yhteen, mutta ne muodostavat harmonisen sarjan, jonka raja-arvo on ääretön. Tarkemmin ajateltuna on kuitenkin selvää, että onkin laskettava niiden säteiden neliöiden summa. Niistä kunkin säde on  ja pinta-ala .  Sarja  hajaantuu, mutta sarja  suppenee. Yleensäkin jokaiselle reaaliluvulle  pätee, että  suppenee.

Näennäinen paradoksi muodosti osan äärettömyyden luonteesta käydyssä keskustelussa, johon osallistuivat monet aikakauden huomattavimmat ajattelijat kuten Thomas Hobbes, John Wallis ja Galileo Galilei.

 Maalarin paradoksi 

Koska torvella on äärellinen tilavuus, mutta ääretön pinta-ala, näyttäisi siltä, että se voitaisiin täyttää äärellisellä määrällä maalia, mutta sama määrä maalia ei riittäisi peittämään sen sisäpintaa, mikä vaikuttaa paradoksilta.

Jos maalikerros olisi äärettömän ohut, riittäisi pisarakin maalia maalaamaan koko torven. Todellisuudessa näin ei tietenkään ole, vaan maalikerroksella on aina jokin positiivinen, nollaa suurempi paksuus. Gabrielin torven sisäpinnalle levitetty kerros ei kuitenkaan voisi olla tasapaksu, vaan kohdassa x = a sen paksuus voisi olla enintään , ja a:n kasvaessa tämä paksuus pienenee rajatta. Tätä paksumpi maalikerros ei torven sisään kyseiseen kohtaan mahtuisikaan. Puhtaan matemaattisessa mielessä äärellinen määrä maalia tosiaan voi peittää äärettömän pinta-alan, kunhan vain maalikerroksen paksuus yhä kauemmas mentäessä pienee tarpeeksi nopeasti, jotta sen pieneneminen kompensoi pinta-alan kasvun. Gabrielin torven tapauksessa sen paksuuden pienenemisen tekeekin välttämättömäksi myös torven kapeneminen. Sen sijaan sen ulkopinnan peittäminen tasapaksulla maalikerroksella, olipa se kuinka ohut tahansa, edellyttäisi äärettömän paljon maalia.

Näin ollen paradoksi on ratkaistavissa siinäkin tapauksessa, että maali ja torven materiaali oletetaan jatkuvaksi aineeksi. Todellisuudessa aine ei kuitenkaan ole loppumattomiin jaettavissa, ja jossakin kohdassa torvi tulee liian kapeaksi, jotta sisään mahtuisi edes yksi molekyyli maalia. Sitä paitsi torvi itsekin koostuu atomeista tai molekyyleistä, eikä sen pinta tarkkaan katsottuna ole jatkuva sileä käyrä. Täten paradoksin edellyttämä tilanne ei edes ole fysikaalisesti toteutettavissa, ja siihen johtava päättely menettää merkityksensä, sillä jatkuvan aineen sijasta on lopulta käsiteltävä erillisiä hiukkasia ja niiden välisiä etäisyyksiä ja tällöin turvauduttava kvanttifysiikkaan.

 Käänteinen tilanne 

Gabrielin torvelle käänteistä tilannetta, jossa pyörähdyspinnan ala olisi äärellinen mutta se rajoittaisi äärettömän tilavuuden, ei voi esiintyä. Tämä voidaan todistaa seuraavasti:

Lause
Olkoon f: [1,∞) → [0,∞) jatkuvasti differentioituva funktio. Olkoon S pyörähdyskappale, joka syntyy käyrän  pyörähtäessä x-akselin ympäri. Jos tämän kappaleen pinnan ala on äärellinen, myös kappaleen tilavuus on äärellinen.

 Todistus 

Koska torven poikkipinta-ala  on äärellinen, saadaan yläraja-arvo:

On siis olemassa sellainen , että pienin yläraja  on äärellinen. Niinpä myös 

on äärellinen, koska f on jatkuva funktio, mistä seuraa, että f on rajoitettu välillä [1,∞).
Lopuksi todetaan, että tilavuus

Niinpä jos pinta-ala A on äärellinen, myös tilavuus V on äärellinen''. mot.

Katso myös 
 Hyperbeli
 Kochin käyrä
 Maailmankaikkeuden muoto
 Pyörähdyspinta
 Zenonin paradoksit

Lähteet

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 

 
 
 
 
 
 

Integraalilaskenta
Matemaattiset paradoksit