Ikosaedrinen symmetria

<noinclude>

.
Ikosaedrinen symmetria on sellaisen kolmiulotteisen kappaleen symmetria, joka säännöllisen ikosaedrin tavoin voidaan kuvata itselleen isometrisesti 120 tavalla, joista 60 on orientaation säilyttäviä. Ikosaedrin ohella myös dodekaedrilla on dodekaedrinen symmetria, sillä se on ikosaedrin duaalikappale.

Ikosaedrisesti symmetrisen kappaleen orientaation säilyttävien symmetriaoperaatioiden ryhmä on A5, sama kuin viiden alkion alternoiva ryhmä, ja sen täysi symmetriaryhmä, johon kuuluvat myös peilaukset, on tämän alternoivan ryhmän ja syklisen ryhmän Z2 tulo A5 × Z2.  Jälkimmäinen ryhmä tunnetaan myös Coxeterin ryhmänä H3, ja sitä esittävät Coxeterin merkintä [5,3] ja Coxeterin diagrammi .

Pisteryhmänä 

prismaattisten ja antiprismaattisten symmetrioiden kahta ääretöntä sarjaa lukuun ottamatta täydellä eli akiraalisella ikosaedrisella symmetrialla on kaikista diskreeteistä pistesymmetrioista ja samalla kaikista pallopinnan diskreeteista symmetrioista suurin symmetriaryhmä ja rotationaalisella eli kiraalisella ikosaedrisella symmetrialla toiseksi suurin.

Ikosaedrinen symmetria ei ole yhdistettävissä siirtosymmetriaan. Näin ollen ei myöskään ole olemassa sellaista kidejärjestelmää, jonka yksikkökopeilla olisi ikosaedrinen symmetria.

Näiden ryhmien presentaatiot ovat:

Nämä vastaavat rotationaalista ja täyttä ikosaedristä ryhmää, jotka ovat (2, 3, 5) -kolmioryhmät.

Ensimmäisen presentaation esitti William Rowan Hamilton ikosiaanilaskentaa koskevassa tutkielmassaan vuonna 1856.

Ryhmä voidaan kuitenkin presentoida myös muilla tavoin, esimerkiksi alternoivana ryhmänä (I:lle).

Visualisointeja

Ryhmän rakenne 

Ikosaedrisen rotaatioryhmän I kertaluku on 60. Ryhmä I on isomorfinen alternoivan ryhmän A5 eli viiden alkion parillisten permutaatioiden ryhmän kanssa. Tämä isomorfismi voidaan toteuttaa suorittamalla I:hin kuuluvat kuvaukset eri kohteille, erityisesti dodekaedrin ympäri piirretyille viiden kuution yhdistelmälle, viiden oktaedrin yhdistelmälle tai jommallekummalle kahdesta viiden tetraedrin yhdistelmästä (jotka ovat enantiomorfisia ja ympäröivät dodekaedria).

Ryhmä I sisältää 5 versiota ryhmästä Th, 20 versiota ryhmästä D3 (10 akselia, joista kutakin vastaa 2 versiota) sekä 6 versiota ryhmästä D5.

Täyden ikosaedrisen ryhmän Ih''' kertaluku on 120. Se sisältää I:n normaalina aliryhmänä, jonka indeksi on 2. Ryhmä Ih in isomorfinen ryhmän I × Z2 eli A5 × Z2 kanssa. Kun Z2 kirjoitetaan multiplikatiivisesti, sen alkiot ovat 1 ja -1, joista edellinen vastaa identtistä kuvausta, jälkimmäinen peilausta (inversiota) keskipisteen suhteen.Ih toimii viiden kuution tai viiden oktaedrin yhdistelmissä, mutta alkio -1 toimii identtisen kuvauksen tavoin, koska kuutiolla ja oktaedrilla on symmetriakeskus. Se toimii myös kymmenen tetraedrin yhdistelmässä: I toimii kahdella kiraalisella puoliskolla ja -1 vaihtaa nämä puoliskot keskenään.  On kuitenkin huomattava, että se ei vaikuta samoin kuin S5, sillä nämä ryhmät eivät ole isomorfisia, kuten jäljempänä tarkemmin selitetään.

Ryhmä Ih sisältää aliryhminään 10 versiota ryhmästä D3d ja kuusi versiota ryhmästä D5d (antiprismojen kaltaiset symmetriat)

I on myös isomorfinen PSL2(5):n kanssa, mutta Ih ei ole isomorfinen SL2(5):n kanssa.

Muita saman kertaluvun ryhmiä 
Seuraavilla ryhmillä on kaikilla kertaluku 120, mutta ne eivät ole isomorfisia:
 S5, 5 alkion symmetrinen ryhmä
 Ih, täysi ikosaedrinen ryhmä (tämän artikkelin aihe, käytetään myös merkintää H3)
 2I, binäärinen ikosaedrinen ryhmä
Ne vastaavat seuraavia lyhyitä täsmällisiä sarjoja (joista jälkimmäinen ei jakaudu) ja tuloa

Sanallisesti ilmaistuna,
  on :n aliryhmä
  on suoran summan  tekijä
  on :n tekijäryhmä.

On huomattava, että ryhmällä  on poikkeuksellinen palautumaton kolmiulotteinen lineraarinen esitysmuoto, ikosaedrinen rotaatioryhmä, mutta ryhmällä  ei ole palautumatonta kolmiulotteista esitysmuotoa, mikä vastaa sitä seikkaa, ettei täysi ikosaedrinen ryhmä ole sama kuin symmetrinen ryhmä.

Nämä liittyvät lineaarisiin ryhmiin myös viiden alkion äärellisen kunnan kautta, joka osoittaa aliryhmät ja peiteryhmät suoraan; yksikään näistä ei ole täysi ikosaedrinen ryhmä.
  projektiivinen erikoinen lineaarinen ryhmä
  projektiivinen yleinen lineaarinen ryhmä
  erikoinen lineaarinen ryhmä

Konjugaattiluokat

Täyden ikosaedrisen symmetrian aliryhmät 

Kaikki nämä aliryhmien luokat ovat konjugaattisia ja voidaan tulkita geometrisesti.

On huomattava, että jokaisella kärjellä, särmällä, tahkolla ja monitahokkaalla on samat stabilisaattorit kuin vastakkaisella kärjellä, särmällä, tahkolla tai monitahokkaalla.  Toisin sanoen symmetriakuvaus, joka kuvaa kappaleen jonkin kärjen, särmän, tahkon tai monitahokkaan itselleen, kuvaa myös sille vastakkaisen kärjen, särmän, tahkon tai monitahokkaan itselleen.

Kärkien stabilisaattorit 
Kärjen stabilisaattorit ovat symmetriakuvauksia, joissa annettu kärki kuvautuu itselleen. Ne voidaan tulkita myös generoimansa akselin stabilisaattoreiksi.
 kunkin kärjen stabilisaattorit I:ssä muodostavat syklisen ryhmän C3.
 kunkin kärjen stabilisaattorit Ih:ssa muodostavat diedriryhmän' D3.
 kunkin vastakkaisten kärkien parin stabilisaattorit I:ssä muodostavat syklisen ryhmän D3
 kunkin vastakkaisten kärkien parin stabilisaattorit Ih:ssa muodostavat ryhmän .

Särmien stabilisaattorit 
Vastakkaisten särmien muodostaman parin stabilisaattorit voidaan tulkita niiden generoiman suorakulmion stabilisaattoreiksi.
 Kunkin särmän stabilisaattorit I:ssa muodostavat syklisen ryhmän Z2.
 Kunkin särmän stabilisaattorit Ih:ssa muodostavat Kleinin neliryhmän 
 Kunkin vastakkaisten särmien parin stabilisaattorit I:ssä muodostavat Kleinin neliryhmän 
 Kunkin vastakkaisten särmien parin stabilisaattorit Ih:ssa muodostavat ryhmän ; tällaisia pareja on viisi ja ne voidaan muodostaa peilauksilla kolmen kohtisuoran akselin suhteen.

Tahkojen stabilisaattorit 
Vastakkaisten tahkojen muodostaman parin stabilisaattorit voidaan tulkita niiden generoiman antiprisman stabilisaattoreiksi.
 Kunkin tahkon stabilisaattorit I:ssa muodostavat syklisen ryhmän C5.
 Kunkin tahkon stabilisaattorit Ih:ssa muodostavat diedriryhmän D5.
 Kunkin vastakkaisten tahkon parin stabilisaattorit I:ssä muodostavat diedriryhmän D5.
 Kunkin vastakkaisten tahkon parin stabilisaattorit Ih:ssa muodostavat ryhmän .

Monitahokkaiden stabilisaattorit 
Näistä jokaiselle on viisi konjugaattista kopiota, ja konjugaatiotoimitus muodostaa kuvauksen, itse asiassa isomorfismin .
 Kappaleen sisään piirretyn tetraedrin stabilisaattorit I:ssä muodostavat T:n kopion.
 Kappaleen sisään piirretyn tetraedrin stabilisaattorit I'h:ssa muodostavat T:n kopion.
 Kappaleen sisään piirretyn kuution tai oktaedrin taikka kahden vastakkaisen tetraedrin muodostaman parin stabilisaattorit I:ssä muodostavat T:n kopion.
 Kappaleen sisään piirretyn kuution tai oktaedrin taikka kahden vastakkaisen tetraedrin muodostaman parin stabilisaattorit Ih:ssä muodostavat Th:n kopion.

Perusalueet 
Ikosaedrisen rotaatioryhmän ja täyden ikosaedrisen ryhmän perusalueet näkyvät seuraavassa kaaviossa:

Disdyakis-triakontaedrin jokainen tahko on ikosaedrisen symmetrian perusalue. Muut kappaleet, joilla on sama symmetria, voidaan muodostaa siitä muuntamalla tahkoja eri tavoin, esimerkiksi tasoittamalla sopivasti valitut tahkojen ryhmät siten, että samaan ryhmään kuuluvat tahkot yhdistyvät yhdeksi tahkoksi, vaihtamalla jokainen tahko useamman tahkon yhdistelmään tai kaarevaan pintaan.

Monitahokkaat, joilla on ikosaedrinen symmetria

Kiraaliset monitahokkaat

Täysi ikosaedrinen symmetria

Muita ikosaedrisesti symmetrisiä kohteita 

Ikosaedrisesti symmetrisiä ovat myös:
 Barthin pinnat
 monien virusten rakenne ja niiden kapsidit
 kemiassa dodekaboraatti-ioni ([B12H12]2−) ja dodekaedraanimolekyyli (C20H20).

Nestekiteet ja kvasikiteet 

Hagen Kleinert ja K. Maki tutkivat vuonna 1981 yksityiskohtaisesti nestekiteiden rakennetta ja totesivat, että niissä esiintyy ikosaedrista symmetriaa  Kolme vuotta myöhemmin Dan Shechtman osoitti kokeellisesti, että eräät alumiinin seokset muodostavat kvasikiteitä, joissa esiintyy myös ikosaedrista symmetriaa. Tästä havainnostaan hän sai Nobelin palkinnon vuonna 2011.

Muita samantapaisia geometrioita 
Ikosaedrisen symmetria on symmetriaryhmä on isomorfinen projektiivisen erityisen lineaarisen ryhmän PSL (2,5) kanssa, joka on myös modulaarisella käyrällä X(5). Yleisemminkin PSL(2,p) on modulaarisen käyrän X(p) symmetriaryhmä.  Modulaarinen käyrä X(5) on geometrisesti dodekaedri, johon on lisätty kärki sen jokaisen tahkon keskipisteeseen, mikä kuvastaa sen symmetriaryhmää.

Tätä geometriaa ja siihen liittyvää symmetriaryhmää tutki Felix Klein vuonna 1888 Belyin pinnan monodromiaryhminä. Belyin punta on Riemannin pinta, joka voidaan kuvata holomorfisesti Riemannin pallolle niin, että sehaarautuu vain pisteissä 0, 1 ja &infinity; (Belyun funktio). Kärjet vastaavat äärettömyydessä olevia pisteitä, kun taas kärjet ja särmien keskipisteet vastaavat pisteitä 0 ja 1. Kuvauksen aste on 5, eli se peittää pallon viisi kertaa.

Klein päätyi teoriaansa yrittäessään selittää geometrisesti, miksi ikosaedrisen symmetrian symmetriaryhmä on isomorfinen viidennen asteen yhtälön Galois'n ryhmän A5 kanssa.

Jatkaessaan tutkimuksiaan Klein löysi kertalukujen 7 ja 11 symmetrioita sekä niihin liittyviä Riemannin pallon 7. ja 11. asteen peitteitä Hän muodosti myös neljännen asteen pinnan, jonka geometria voidaan laatoittaa 24 seitsenkulmiolla, joista jokaisen keskipisteessä on kärki.

Vastaavia geometrioita esiintyy myös PSL(2,n):ssä sekä yleisemmin muiden modulaaristen käyrien ryhmissä.

On myös löydetty yhteyksiä ryhmien PSL(2,5) (kertalukua 60), PSL(2,7) (kertalukua 168) ja PSL(2,11) (kertalukua 660) välillä. Nämäkin ryhmät voidaan tulkita geometrisesti: PSL(2,5) on ikosaedrin, (genus 0), PSL(2,7) Kleinin neljännen asteen pinnan (genus 3) ja PSL(2,11) buckyball-pinnan (genus 70) symmetriaryhmä. Nämä ryhmät muodostavat Vladimir Arnoldin  tarkoittamassa mielessä kolmikon, jonka jäsenten välillä on monia yhteyksiä.

Katso myös 
 Tetraedrinen symmetria
 Oktaedrinen symmetria

Lähteet 
 Peter R. Cromwell, Polyhedra (1997), s. 296

Viitteet 

Geometria
Ryhmäteoria