Mollweiden projektio

Mollweiden projektio on lieriöprojektioista muokattu karttaprojektio, jota käytetään yleisesti maailmankartoissa ja myös tähti­kartoissa. Se tunnetaan myös nimillä Babinet'n projektio, homalo­grafinen projektio ja elliptinen projektio. Kuten sen täsmällisempi nimi Mollweiden oikea­pintainen projektio osoittaa, tämän projektion mukaisissa kartoissa eri alueiden pinta-alojen suhteet ovat oikeat, mutta kulmat ja alueiden muodot vääristyvät suuresti varsinkin kartan reunoilla. Mollweiden projektiota käytetään varsinkin sellaisissa kartoissa, joissa pinta-alojen oikeellisuutta pidetään tärkeämpänä kuin alueiden muotojen, esimerkiksi kartoissa, jotka kuvaavat jonkin asian jakautumista maapallon eri alueille.

Projektion julkaisi ensimmäisenä matemaatikko ja tähti­tieteilijä Karl Brandan Mollweide (1774-1825) Leipzigissä vuonna 1805. Yleisemmin tunnetuksi sen teki Jacques Babinet vuonna 1857, jolloin hän antoi sille nimen homalo­grafinen projektio. Tällä nimellä sitä käytettiin 1800-luvulla yleisesti tähtikartoissa.

Matemaattinen määritelmä 

Mollweiden projektiossa maanpinnan kohta, jonka leveysaste on  ja pituusaste eroaa sovitusta keski­meridiaanista kulman  verran, kuvataan taso­pinnan pisteeseen (x,y), jonka koordinaatit ovat:

missä apukulma  määritellään yhtälöllä

Yhtälö (1) voidaan ratkaista Newtonin menetelmällä, jolloin lauseke suppenee nopeasti muualla paitsi napojen läheisyydessä:

Jos φ = ±π/2, on myös θ = ±π/2. Tässä tapauksessa Newtonin menetelmän mukaista iteraatiota ei voida suorittaa, sillä se saattaa johtaa nollalla jakoon.

Ominaisuudet

Mollweiden projektio on pseudo­sylindrinen projektio, jossa päiväntasaaja on vaakasuora viiva. Se on kohtisuorassa tiettyä, kartan keskikohdan kautta kulkevaa pituuspiiriä vastaan, jonka pituus on puolet päiväntasaajan pituudesta.  Leveys­piirien väli­matkat kartalla pienenevät napoja kohti mentäessä, kun taas pituus­piirit leikkaavat päivän­tasaajan tasaisin välein. Pituus­piirit 90 astetta keskipituuspiirin itä- ja länsipuolella muodostavat täydellisen ympyrän, ja koko maapalloa esittää ellipsin muotoinen alue, jonka pituus on kaksi kertaa niin suuri kuin leveys. Pinta-alojen suhde ellipsin sekä minkä tahansa kahden leveys­piirin välillä on sama kuin vastaavien pinta-alojen suhde maapallolla, mutta alueiden muodot vääristyvät varsinkin kartan reunojen läheisyydessä, joskaan eivät niin paljon kuin sinusoidaalisessa projektiossa.

Muotojen vääristymistä voidaan vähentää käyttämällä projektion lohkottua muunnosta. Sinusoidaalisessa lohkotussa Mollweiden projektiossa ei ole yhtä keski­pituus­piiriä vaan useita keskipituuspiirin tavoin käsiteltyä pituus­piirin puolikasta, jotka kohtaavat päivän­tasaajan suorassa kulmassa, vuorotellen kummaltakin puolelta. Täten maan pinta jakautuu lohkoihin.  Sitä vastoin yhdensuuntaisesti lohkotussa Mollweiden projektiossa käytetään useita erillisiä keski­pituus­piirejä, jolloin maan pinta jakautuu useampaan ellipsiin, jotka sivuavat toisiaan päivän­tasaajalla. Harvemmin projektiota käytetään vino­asentoisena siten, että muotojen vääristymät keskittyvät valtameriin, jolloin manteret pysyvät paremmin oikean muotoisina.

Mollweiden projektion pohjalta on kehitetty useita muita kartta­projektioita kuten Gooden homolosini­projektio, van der Grintenin projektio ja Boggsin eumorfinen projektio.

Lähteet

Aiheesta muualla

Java-appletti, jolla voidaan tutkia pinta-alan, etäisyyksien ja kulmien vääristymistä Mollweiden projektiossa
Mollweide Projection Mathworldissa

Karttaprojektiot