Paraabeli

Paraabeli (, vanh. myös parabeli) on matemaattinen tasokäyrä. Se on eräs kartioleikkauksista. Toisen asteen polynomifunktion kuvaaja on paraabeli. Paraabelilla kartioleikkauksena on ominaisuus, että sen kaltevuuskulma on aina yhtäsuuri kuin kyseistä paraabelia vastaavan ympyräkartion sivujanan kaltevuuskulma.

Geometrinen määritelmä ja nimityksiä 

Olkoon l tason suora ja P piste, joka ei ole suoralla l. Näihin liittyvä paraabeli on niiden pisteiden joukko, jotka ovat yhtä etäällä sekä suorasta l että pisteestä P. Suoraa l kutsutaan paraabelin johtosuoraksi ja pistettä P (myös F) polttopisteeksi.

Paraabelin akseli on polttopisteen kautta kulkeva johtosuoran normaali. Paraabeli on symmetrinen akselinsa suhteen. Paraabelin huippu on paraabelin leikkauspiste akselinsa kanssa.

Paraabeli analyyttisessä geometriassa

Pystysuora symmetria-akseli
Jos paraabelin akseli on pystysuora, on paraabelin yhtälö karteesisessa koordinaatistossa . Tässä kertoimet a, b ja c ovat reaalilukuja ja lisäksi a on nollasta eroava. 

Kertoimen a merkistä riippuu paraabelin aukeamissuunta: jos , aukeaa paraabeli ylöspäin, jos taas , aukeaa paraabeli alaspäin. 

Paraabelin  huippupisteen x-koordinaatti on

Tämä voidaan perustella differentiaalilaskennan avulla derivoimalla funktio  ja määräämällä derivaatan nollakohta. Huippupisteen y-koordinaatti on

Vaakasuora symmetria-akseli
Jos paraabelin akseli on vaakasuora, on sen yhtälö . Kertoimen a merkitys ja huippukohta ovat analogiset edellisten kanssa.

Yleinen paraabeli
Yleiselle paraabelille, jonka polttopiste on  ja jonka johtosuora on muotoa , pätee yhtälö

Paraabeli funktion kuvaajana 
Toisen asteen polynomifunktioiden kuvaajat ovat paraabeleja. Yksinkertaisin tällainen funktio on . Kuvaajan muotoon ja sijaintiin vaikuttavat funktion  parametrit  ja .

Parametri  vaikuttaa yleisesti paraabelin jyrkkyyteen, siis siihen, kuinka jyrkästi paraabeli aukeaa ylös tai alas. Parametrin  arvo määrää myös paraabelin aukeamissuunnan: positiivisella :lla varustetun funktion kuvaaja aukeaa ylöspäin, ja negatiivisella :lla varustetun alaspäin. 

Parametri  vaikuttaa puolestaan kuvaajan sijaintiin sivusuunnassa ja myös pystysuunnassa. Voidaan myös huomata, että funktion  kuvaajan huippupiste siirtyy :n vaihdellessa funktion  kuvaajaa pitkin. Perustelu tälle mielenkiintoiselle havainnolle saadaan siitä, että paraabelin  huippupisteen koordinaatit  ja  toteuttavat yhtälön 

 

ja ovat siis funktion  kuvaajalla.

Pisteen kautta kulkeva tangentti 

Tarkastellaan paraabelia , missä . 

Pisteen  kautta kulkevien tämän paraabelin tangenttien sivuamispisteiden koordinaatit saadaan tällöin yhtälöistä

Juurrettavan arvosta riippuen saadaan nolla, yksi tai kaksi tangenttia.

Jos , ts. piste sijaitsee tarkastellulla paraabelilla, saadaan yksi tangentti, jonka yhtälö saadaan kaavasta

Kun yo. yhtälön juurrettava  saadaan kaksi sivuamispistettä ja kaksi tangenttia. 

Kun , missä , on tällaisen tangentin sivuamispiste, sen yhtälö saadaan kahden pisteen kautta kulkevan suoran yhtälöstä

Paraabelien akrobatiaa 

Tarkastellaan paraabelia , , ja sen peilaamista huippupisteen  kautta kulkevan tangenttinsa suhteen. Olemme siis kiinnostuneita "kääntämään paraabelin ylösalaisin" huippupisteen pysyessä paikallaan. Tämä voidaan ajatella tehtävän kahdessa vaiheessa: 

(1) Peilataan paraabeli ensin -akselin suhteen. Tämä vaihtaa -koordinaatin etumerkin, ja päädytään paraabeliin , jonka huippu on pisteessä  .

(2) Siirretään näin saatua paraabelia  pystysuunnassa siten, että huippupiste tulee alkuperäisen paraabelin huippupisteeseen.  Tarvittava pystysuuntainen siirto on suuruudeltaan . Tämä on selvää, koska huippupisteen -koordinaatti ei muuttunut vaiheessa (1), mutta -koordinaatti muuttui vastaluvuksi. Siirto johtaa paraabeliin 

 

eli 

. 

Näin saadun paraabelin huippu on huippupisteen laskukaavan mukaisesti pisteessä  , siis samassa pisteessä kuin alkuperäisen paraabelin huippupiste, kuten pitikin.  

Kun siis ajatellaan, että paraabeli on kiinni vain huippupisteestään, ja se käännetään ylösalaisin, päädytään paraabeliin . 

Esimerkki. Paraabelin  peilikuva, eli "käännetty" paraabeli, on siis .

Paraabelin  "kääntämisen" kaava on siis: .

Lähteet

Kirjallisuutta
 

Kartioleikkaukset
Käyrät
Seulonnan keskeiset artikkelit