Liittomatriisi

Lineaarialgebrassa annetun neliömatriisin liittomatriisi eli adjungoitu matriisi () on matriisi, joka muodostetaan korvaamalla alku­peräisen matriisin alkiot niiden ali­determi­nanteilla, vaihtamalla niistä joka toinen vasta­luvukseen ja ottamalla näin saadusta matriisista transpoosi.

Liitto­matriisista käytetään myös nimitystä adjungoitu matriisi (), joskin samalla termillä voidaan tarkoittaa myös matriisin konju­gaattista trans­poosia.

Määritelmä 

Matriisin A liitto­matriisi on sen kofaktorimatriisin C transpoosi:

.

Yksityiskohtaisemmin: olkoon R kommutatiivinen rengas ja A n×n -matriisi, jonka alkiot kuuluvat R:ään.

Muodostetaan ensin jokaista matriisin alkiota [aij] kohti alideterminantti, toisin sanoen sen matriisin determinantti, joka saadaan, kun alkuperäisestä matriisista A poistetaan i:s rivi ja j:s sarake. Matrisiissa A olevat luvut korvataan saatujen determinanttien arvoilla. Tämän jälkeen ne saadun matriisin alkiot, joita vastaavien rivin ja sarakkeen järjestys­numeroiden summa on pariton, korvataan vasta­luvuillaan. Täten saadaan alku­peräisen matriisin A kofaktori­matriisi. A:n liittomatriisi eli adjungoitu matriisi on sen kofaktori­­matriisin trans­poosi, ja sille käytetään merkintää adj(A).

Liittomatriisin määritelmästä seuraa, että matriisin A ja sen liittomatriisin matriisitulo on diagonaalinen matriisi, jonka diagonaalilla esiintyy joka rivillä alku­peräisen matriisin determinantin arvo det(A).  Kun liitto­matriisin adj(A) kaikki alkiot jaetaan tämän determinantin arvolla, saadaan alku­peräisen matriisin A käänteismatriisi.

Esimerkkejä

2 × 2 -matriisin liittomatriisi 

2 × 2 -matriisin

liittomatriisi on 
.
Voidaan helposti todeta, että det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A.

3 × 3 -matriisin liittomatriisi 

Käsitellään  -matriisia

Muodostetaan ensin alideterminantit:

,  
,  

,  
,  

,  
,  

Sijoitetaan nämä matriisiin ja korvataan niistä joka toinen vastaluvullaan, jolloin saadaan A:n kofaktorimatriisi:

Kun tämä transponoidaan, saadaan alkuperäisen matriisin A liittomatriisiksi:

missä
.

Kaksirivisen determinantin arvo lasketaan seuraavasti:

Ominaisuuksia 

Liittomatriisilla on seuraavat ominaisuudet:

kaikille n×n-matriiseille A ja B. Toisella rivillä oleva yhtälö seuraa yhtälöistä adj(B)adj(A) = 
det(B)B-1 det(A)A-1 = det(AB)(AB)-1. 
Korvaamalla toisella rivillä B matriisilla Am - 1 ja suorittamalla tämä rekursiivisesti saadaan kaikille kokonaisluville m:

Liittomatriisin transpoosi on sama kuin transpoosin liittomatriisi:

Lisäksi,

ja jos det(A) = 1, on det(adj(A)) = det(A) ja adj(adj(A)) = A.

Käänteismatriisi

Laplacen kaavasta n×n -matriisin A determinantille seuraa:

missä  on n×n -yksikkömatriisi. 

Tästä kaavasta seuraa yksi matriisilaskennan tärkeimmistä tuloksista: Kommutatiivisen renkaan R matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos determinantilla det(A) on käänteisalkio renkaassa R. Jos matriisin alkiot ovat esimerkiksi reaali- tai kompleksilukuja, neliömatriisilla on käänteismatriisi, jos ja vain jos sen determinantti ei ole nolla.

Sillä jos A on kääntyvä matriisi, on

ja yllä oleva yhtälö (*) osoittaa, että

Karakteristinen polynomi

Jos p(t) = det(A − t I) on A:n karakteristinen polynomi ja määritellään lisäksi polynomi
q(t) = (p(0) − p(t))/t, saadaan:

missä luvut  ovat p(t):n kertoimet,

Jacobin kaava 

Liitto­matriisi esiintyy myös Jacobin kaavassa determinantin derivaatalle:

Lähteet

Kirjallisuutta
 
 

Matriisit