Algebrallinen luku

Algebrallinen luku tarkoittaa sellaista reaali- tai kompleksilukua , joka on kokonaislukukertoimisen polynomin  nollakohta eli toteuttaa yhtälön . Polynomin

aste tulee olla positiivinen, jolloin vähintään yksi kertoimista  poikkeaa nollasta. Jos vain  poikkeaa nollasta, on kyseessä vakiofunktio, joka ei täytä edellä mainittua ehtoa. Yleensä algebrallinen luku on kompleksinen, mutta tietyillä ehdoilla se voi olla myös reaalinen, rationaalinen tai kokonainen.

Polynomia, jonka korkeimman asteen termin kerroin on  ja muut kertoimet ovat kokonaislukuja, kutsutaan pääpolynomiksi. Pääpolynomin nollakohtaa kutsutaan algebralliseksi kokonaisluvuksi tai kokonaiseksi algebralliseksi luvuksi.

Määritelmästä seuraa algebran peruslauseen mukaisesti, että polynomin nollakohdan  avulla voidaan päätellä sen yhden tekijän olevan binomi . Algebralliseen lukuun voidaan liittää useita polynomeja, joissa on tämä tekijä. Sitä polynomia, jonka aste on matalin, kutsutaan minimaalipolynomiksi. Minimaalipolynomin aste on samalla algebrallisen luvun aste.

Voidaan todistaa, että algebrallisen luvun minimaalipolynomi on yksikäsitteinen ja että minimaalipolynomi on aina tekijänä muissa luvun polynomeissa. Lisäksi minimipolynomi on aina jaoton. Samaan polynomiin liittyvät algebralliset luvut ovat toistensa konjugaatteja.

Johdanto

Merkintä
Algebrallisten lukujen joukkoa merkitään joskus  tai . Niitä kompleksilukuja, jotka eivät ole algebrallisia lukuja eli , kutsutaan transkendenttiluvuiksi.

Algebrallinen yhtälö
Algebrallisen yhtälön juuret ovat algebrallisia lukuja. Algebrallinen yhtälö muodostetaan laskettaessa polynomin nollakohtia 
 
eli 

missä  Joskus yhtälön ensimmäisen termin kerroin  jaetaan molemmista puolista pois, jolloin saadaan pääpolynomin yhtälö

ja jonka kertoimet ovat rationaalilukuja 
Koska yhtälön molemmat puolet voi kertoa luvulla , voidaan algebrallisen yhtälön kertoimiksi sallia myös rationaaliluvut.

Esimerkkejä algebrallisista yhtälöistä ja -luvuista
Luvun voi todeta algebralliseksi, jos keksii sille rationaalilukukertoimisen polynomiyhtälön, jonka juuri luku on. Luvun asteen voi päätellä retusoimalla polynomin tekijöitä. Seuraavassa on joitakin esimerkkejä lukuisasta soveltamiskentästä.

Ensimmäisen asteen luvut
Jos polynomi  kerroin , saadaan pääpolynomi. Tämän polynomin algebralliset luvut ovat kokonaislukuja, joiden aste on 1. Tällöin voidaan merkitä . Kaikki rationaaliluvut ovat algebrallisia lukuja, jotka toteuttavat 1. asteen polynomiyhtälön 
 
Tästä nähdään, että .

Toisen asteen luvut
Erilaisia esimerkkejä:
 Kokonaislukujen juuriluvut  ovat pääpolynomin  nollakohtina toisen asteen algebrallisia kokonaislukuja, jotka ovat lisäksi toistensa konjugaatteja. 
 Irrationaalinen  on toista astetta oleva algebrallinen luku, sillä se on algebrallisen yhtälön  juuri. 
 Kokonaislukukertoimisen toisen asteen polynomiyhtälön  kaikki ratkaisut ovat algebrallisia lukuja. Joukossa on myös paljon erilaisia irrationaaliratkaisuja.
 Kultainen leikkaus on luku 

joka on polynomin  nollakohta.
 Imaginaariyksikkö  on toista astetta oleva algebrallinen luku, sillä se toteuttaa yhtälön .

Muita algebrallisia lukuja
 Kaikki luvut, jotka saadaan polynomin kertoimista peruslaskutoimituksilla ja n-asteisella juuretuksella, ovat algebrallisia lukuja.

 Trigonometriset funktiot, joiden argumenttina olevalla :llä on rationaalikerroin, ovat algebrallisia lukuja. Esimerkiksi jokainen algebrallinen luku  ,  ja  on minimaalipolynomin  nollakohta. Tämä tekee luvuista toistensa kolmannen asteen konjugaatteja.

Myös luvut , ,  ja  ovat minimaali- ja pääpolynomin  nollakohtia ja ovat toistensa neljännen asteen konjugaatteja ja algebrallisia kokonaislukuja.

Algebrallisten lukujen yleisiä ominaisuuksia

Algebralliset luvut
 Voidaan myös todistaa, että kompleksiluku  on toisen asteen algebrallinen luku, jos luvut  ja  ovat algebrallisia. Silloin on myös liittoluku  algebrallinen.

Tiheys
Algebrallisten lukujen joukko on tiheä, jolloin kahden mielivaltaisen algebrallisen luvun välistä löytyy aina kolmas algebrallinen luku riippumatta kuinka lähellä ensin mainitut kaksi lukua olivat.

Algebrallisten lukujen mahtavuus
Algebrallisten luvut ovat numeroituvasti ääretön joukko, jonka mahtavuus on siis  . Transkendenttisten lukujen mahtavuus on kuitenkin ylinumeroituvasti ääretön.

Lähteet

Viitteet

Aiheesta muualla

Pahikkala, J.: Kirjoituksia matematiikasta
Halko, Aapo: Joukko-oppia reaaliluvuilla

Algebra
Lukuavaruudet