Momenttifunktio

Momenttifunktio  eli momentit generoiva funktio  eli momenttiemäfunktio  on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan jakaumasta määritelty funktio, joka on yleinen menetelmä laskea jakauman tunnuslukuja eli momentteja. Diskreetin jakauman momenttifunktio muodostetaan pistetodennäköisyysfunktion ja jatkuvan jakauman momenttifunktio tiheysfunktion avulla. Jakauma voidaan karakterisoida kätevästi käyttäen pelkästään momenttifunktiota.

Momenttifunktiolla voidaan laskea jakauman momentit yksinkertaisella tavalla, sen avulla ratkeavat tietyt laskennalliset ja kombinatoriset ongelmat, sillä voidaan käsitellä yksinkertaisesti riippumattomien satunnaismuuttujien summia, helpottavat leveiden jakaumien todennäköisyyksien laskemista, yhdistää todennäköisyyslaskennan kompleksilukulaskentaan, helpottaa suurten lukujen lain soveltamista ja Markovin ketjujen analysointia.

Määritelmä 
Jos  on diskreetti satunnaismuuttuja,  satunnaismuuttujan perusjoukko ja  sen pistetodennäköisyysfunktio. Silloin reaalimuuttujan  funktio
 
on satunnaismuuttujan  momenttifunktio kunhan odotusarvo

on olemassa avoimella välillä  (). Luku  määräytyy siten, että momenttifunktio on äärellisenä olemassa kaikilla välin arvoilla. Momenttifunktio on siten funktion kuvaus
 

Jatkuvan satunnaismuuttujan momenttifunktio määritellään vastaavalla tavalla 

Momenttifunktion määrittämiseksi määrätyn integraalin eksponenttifunktio voidaan avata Taylorin sarjaksi, jolloin saadaan jatkuvassa tapauksessa lausekkeet 

missä   ... ovat momentteja (katso alla).

Esimerkkejä

Diskreetti satunnaismuuttuja 
Satunnaismuuttuja  saa vain kolme arvoa  todennäköisyyksillä  vastaavasti. Silloin :n jakauman momenttifunktio on

kaikille

Jatkuva satunnaismuuttuja 
Jos satunnaismuuttuja  on tasaisesti jakautunut välille [0,1], on sen tiheysfunktio tällä välillä  Silloin momenttifunktio lasketaan

Ominaisuuksia 
Momenttifunktiolla on joitakin ominaisuuksia, joita voidaan käyttää hyödyksi yhden tai useamman satunnaismuuttujan jakaumissa. Merkitään satunnaismuuttujien  ja  momenttifunktioita  ja .
 Mikäli , niin 
 Jos  (aina), niin 
 Jos  muuttujan  origon ympäristössä, on satunnaismuuttujilla  ja  sama jakauma.
 Jos satunnaismuuttujat  ja  ovat riippumattomat, on niiden summan  momenttifunktio  Monitermiset summat muodostetaan vastaavalla tavalla.

Todennäköisyydet generoiva funktio  liittyy momenttifunktioihin seuraavasti:

Momentteja 

Satunnaismuuttujien jakaumien tunnuslukujen joukossa on erilaisia momentteja. Yleensä halutaan käyttää tavallisia momentteja  eli origomomentteja sekä ja keskusmomentteja  missä  Satunnaismuuttujalle voidaan muodostaa myös tekijämomentteja, jotka määritellään  

Momenttifunktio liittyy momentteihin siten, että momenttifunktion r. kertaluvun derivaattojen arvot kohdassa nolla antavat satunnaismuuttujan  r. origomomentit:  Origomomentit saadaan seuraavasti (eksponenttifunktion sarjamuodostelman merkinnöillä):
 , jolloin 
 , jolloin 
, jolloin 
, jolloin

Kaksiulotteinen yhteisjakauma

Origomomentit generoiva funktio 
Diskreetit satunnaismuuttujat  ja  muodostavat yhteisjakauman todennäköisyysfunktiolla  Yhteisjakauman momenttifunktio on myös kaksiarvoinen funktio
 
Jatkuvilla satunnaismuuttujilla momenttifunktio kirjoitetaan
 
Kun  saadaan satunnaismuuttujan  momenttifunktio
 
ja arvolla  saadaan satunnaismuuttujan  momenttifunktio 
Momenttifunktiosta muodostetaan tarvittavat origomomentit derivoimalla se vaihtelevilla tavoilla. Seuraavat osittaisderivaatat ovat hyödyllisiä:

Keskusmomentit generoivat funktiot 
Yhden satunnaismuuttujan keskusmomentit kirjoitetaan  ja niitä generoiva funktio vastaavasti

Näistä toinen derivaatta

on varianssi.

Kahden satunnaismuuttujan keskusmomentit kirjoitetaan  ja niitä generoiva funktio vastaavasti

Näistä toinen osittaisderivaatta

on kovarianssi.

Lähteet

Aiheesta muualla 
 http://www.statlect.com/subon2/momgen1.htm
 http://www.le.ac.uk/users/dsgp1/COURSES/MATHSTAT/6normgf.pdf
 https://www.math.ucdavis.edu/~gravner/MAT135B/materials/ch10.pdf
 http://www.dartmouth.edu/~chance/teaching_aids/books_articles/probability_book/Chapter10.pdf
 http://web.am.qub.ac.uk/users/g.gribakin/sor/Chap6.pdf
 http://courses.ncssm.edu/math/Stat_Inst/PDFS/SEC_2_f.pdf 

Tilastotiede
Todennäköisyyslaskenta