Sijoitusmenetelmä (integraalilaskenta)

Sijoitusmenetelmä eli muuttujanvaihto on integraalilaskennassa usein käytetty, yhdistetyn funktion derivoimissääntöön eli ketjusääntöön perustuva menetelmä annetun funktion integroimiseksi. Sijoitusmenetelmää käytettäessä ikään kuin sovelletaan ketjusääntöä takaperoisesti.

Yhden muuttujan vaihto

Johdanto 

Annetun funktion integraalifunktion määrittäminen ei aina ole yksinkertainen tehtävä. Aina integraalifunktiota ei edes voi esittää alkeisfunktioiden avulla.  Joidenkin funktioiden, esimerkiksi polynomien,  eksponenttifunktion sekä sinin ja kosinin integraalifunktiot saadaan kuitenkin yksinkertaisesti soveltamalla derivoimissääntöjä takaperin.

Monissa tapauksissa integrointia voidaan tehostaa sopivilla apukeinoilla. Tärkeimpiä tällaisia apukeinoja ovat sijoitusmenetelmä eli muuttujanvaihto sekä osittaisintegrointi.

Oletetaan, että funktio f on määritelty välillä Δ ja että F on jokin sen integraalifunktio, toisin sanoen
 .

Muuttujan vaihto voidaan suorittaa ottamalla käyttöön apufunktio , joka täyttää seuraavat ehdot:
 x on jatkuvasti derivoituva välillä δ'
 x on aidosti monotoninen välillä δ', joten sillä on käänteisfunktio 
 x kuvaa välin δ' välille δ

Jos nämä ehdot täyttyvät, integraalissa

voidaan ottaa käyttöön uusi muuttuja sijoituksella x = x(u), missä funktio u -> x(u) täyttää edellä olevat ehdot.  Tällöin f(x) on korvattava lausekkeella f(x(t)) ja dx lausekkeella x'''(t)dt).

Kun integrointi on suoritettu, on integraalifunktiota määritettäessä palautettava muuttuja x sijoittamalla u = u(x).

Uusi muuttuja u on valittava niin, että saatu funktio on helpommin integroitavissa kuin alkuperäinen funktio.

Kun sijoituksen avulla määritetään määrätty integraali, on myös integroimisrajat muutettava niin, että integroimisvälin ala- ja ylärajoiksi määritetään ne u:n arvot, jotka u saa alkuperäisen, x:n avulla määritellyn integroimisvälin ala- ja ylärajalla.

 Määrätty integraali 

Olkoon  differentioituva funktio, jolla on jatkuva derivaatta, kun  on jokin väli. Oletetaan lisäksi, että  on jatkuva funktio. Silloin on 

Käytettäessä lausekkeen  derivaatalle Leibnizin merkintää saadaan:

Käyttämällä heuristisesti infinitesimaaleja saadaan yhtälö
, 
mistä näyttää seuraavan edellä oleva muunnoskaava. Täsmällisesti se voidaan todistaa tulkitsemalla se differentiaalimuotoja koskevaksi lauseeksi. Integrointia sijoitusmenetelmällä voidaankin käyttää perusteluna Leibnizin käyttöön ottamille derivaatan ja integraalin merkintätavoille.

Tämän lauseen avulla integraali voidaan usein muuttaa toiseksi integraaliksi, joka on helpommin laskettavissa. Kaava voidaankin lukea vasemmalta oikealle tai oikealta vasemmalle integraalin yksinkertaistamiseksi. Kun se luetaan vasemmalta oikealle, sitä sanotaan toisinaan u-sijoitukseksi tai w-sijoitukseksi. Silloin uusi muuttuja määritellään alkuperäisen muuttujan funktiona, joka esiintyy funktiossa, joka saadaan kertomalla yhdistetty funktio sisäfunktion derivaatalla. Oikealta vasemmalle kaavaa luetaan lähinnä korvattaessa alkuperäinen muuttuja jollakin uuden muuttujan trigonometrisella funktiolla ja alkuperäinen differentiaali trigonometrisen funktion differentiaalilla.

 Todistus 

Sijoitusmenettelyn perustana oleva lause voidaan johtaa analyysin peruslauseesta seuraavasti. Olkoot  ja  kaksi funktiota, joista  on jatkuva välillä  ja  integroituva suljetulla välillä . Silloin myös funktio  on integroituva välillä [a, b]. Niinpä integraalit 

ja

ovat molemmat olemassa, ja on vain osoitettava, että ne ovat yhtä suuret.

Koska  on jatkuva, sillä on integraalifunktio . Yhdistetty funktio  on silloin määritelty. Koska  on differentioituva, yhdistmällä ketjusääntö ja integraalifunktion määritelmä saadaan 

Soveltamalla analyysin peruslausetta kahdesti saadaan:

mikä on juuri sijoitus- eli muuttujanvaihtosääntö.

 Esimerkkejä 

 Esimerkki 1: 
Tarkastellaan integraalia

Tehdään sijoitus , jolloin , mikä merkitsee, että .  Niinpä,

Koska alaraja  korvattiin alarajalla  ja yläraja  ylärajalla , muunnosta takaisin muuttujan  sisältäväksi lausekkeeksi ei tarvita.

Vaihtoehtoisesti voidaan ensin käsitellä määräämätöntä integraalia eli integraalifunktiota  niin pitkälle kuin mahdollista ja ottaa reunaehdot huomioon vasta sen jälkeen. Tämä on käytännöllistä varsinkin, jos suoritettavia muuttujanvaihdoksia on useita.

 Esimerkki 2: 

Integraalille

on käytettävä edellisen menetelmän muunnelmaa. Sijoitus , josta seuraa , on käyttökelpoinen, koska . Saadaan siis

Tuloksena saatu integraali voidaan laskea joko osittaisintegroinnilla tai soveltamalla kaksinkertaisen kulman trigonometrisia funktioita koskevaa yhteyttä   ja tekemällä toinenkin muuttujanvaihto. Voidaan myös huomata, että integroitava funktio on yksikköympyrän ylempi oikeanpuoleinen neljännes, ja niinpä tämän funktion integraali välillä [0, 1] merkitsee geometrisesti yksikkökiekon neljänneksen pinta-alaa, joka on .

Integraalifunktio

Sijoitusmenetelmällä voidaan määrittään annetun funktion integraalifunktio eli antiderivaatta. Ensin valitaan muuttujaksi u jokin x:n funktio, minkä jälkeen johdetaan differentiaalille du lauseke dx:n avulla ja päinvastoin sekä suoritetaan muuttujanvaihto. Jos muodostetun u:n funktion integraalifunktio on määritettävissä, sellaiseksi saadaan toinen u:n funktio, joka lopuksi ilmaistaan jälleen x':n funktiona.

Edellä esimerkissä 1 käsitellylle funktiolle voidaan muuttujanvaihdolla määrittää integraalifunktio seuraavasti:

missä  on mielivaltainen integroimisvakio.

Tässä tapauksessa ei ole integroimisrajoja, jotka olisi muunnettava, mutta viimeinen vaihe, jossa alkuperäinen muuttujanvaihto  suoritetaan käänteiseen suuntaan, on välttämätön. Kun määrätty integraali lasketaan sijoitusmenetelmällä, onkin ensin muodostettava integraalifunktio ja sitten muutettava integroimisrajat sen mukaisiksi. Sen sijaan pelkästään integraalifunktiota määritettäessä ei integroimisrajojen käsittelyä tarvita.

Tangenttifunktio voidaan myös integroida sijoitusmenetelmällä esittämällä se sinin ja kosinin avulla:

Suoritetaan sijoitus , jolloin saadaan  ja edelleen

Muuttujanvaihto useamman muuttujan funktioille 

Muuttujanvaihtoa voidaan käyttää myös integroitaessa useamman muuttujan funktioita. Silloin korvausfunktion  on oltava injektio ja jatkuvasti differentioituva, ja differentiaalit muuntuvat muotoon 

missä  tarkoittaa funktion  osoittaisderivaattojen Jacobin matriisin determinanttia pisteessä .  Tämä kaava ilmaisee sen seikan, että matriisin determinantin itseisarvo on yhtä suuri kuin sen sarakkeiden ja rivien määrittämän parallelotoopin tilavuus. 

Täsmällisemmin muuttujanvaihtokaavan ilmaisee seuraava lause:

Lause. Olkoon  avoin joukko ja  injektiivinen differentioituva funktio, jolla on jatkuvat osittaisderivaatat ja jonka Jacobin determinantti ei ole nolla missään U:n pisteessä. Silloin jokaiselle reaaliarvoiselle, kompaktissa joukossa määritellylle funktiolle f, jonka määrittelyjoukko sisältyy :hun, pätee:

Lauseen ehtoja voidaan heikentää eri tavoin. Esimerkiksi vaatimus, että :n on oltava jatkuvasti differentoituva, voidaan korvata heikommalla ehdolla, että  on differentoituva ja että sillä on jatkuva käänteisfunktio. Käänteisfunktiolause takaa, että tämä ehto pätee aina, jos  on jatkuvasti differentioituva. Sardin lauseetta soveltamalla voidaan myös poistaa vaatimus, että :n determinantti ei saa olla nolla.

Lebesgue-mitallisille funktioille lause voidaan esittää  seuraavassa muodossa:

Lause. Olkoon  mitallinen joukko ja  injektiivinen funktio, ja oletetaan lisäksi, että jokaista pistettä  kohti on olemassa sellainen , että , kun . (Tässä o(||y-x||) on Landaun symboli).
Silloin  on mitallinen, jokaiselle reaaliarvoiselle funktiolle f, joka on määritelty alueessa , pätee:

siinä mielessä, että jos jompikumpi integraali on olemassa, vaikka olisi ääretönkin, toinenkin on olemassa ja molemmat ovat arvoltaan yhtä suuret.

Toinen hyvin yleinen versio mittateoriassa on seuraava:

Lause.  Olkoon X lokaalisti kompakti Hausdorff-avaruus, jossa on määritelty äärellinen Radonin mitta μ, ja olkoon Y sigma-kompakti Hausdorff-avaruus, jossa on määritelty sigma-äärellinen Radonin mitta ρ.  Olkoon  jatkuva ja itseisesti jatkuva funktio, toisin sanoen  aina, kun . Silloin on olemassa sellainen Borel-mitallinen funktio , että jokaiselle Lebesgue-intergroituvaa funktiota  vastaava yhdistetty funktio (f ∘ φ) ⋅ w on Lebesgue-integroituva alueessa X ja 

Lisäksi on olemassa sellainen joukossa Y määritelty Borel-mitallinen funktio g, että
.

Geometrisessa mittateoriassa integrointia sijoitus­menetelmällä käytetään Lipschitz-funktioille. Jos Lipschitz-funktio on injektiivinen ja sen käänteisfunktio on myös Lipschitz-funktio, Rademacherin lauseen mukaan funktio on differentoituva melkein kaikkialla. Erityisesti tällaisen funktion Jacobin determinantti  on melkein kaikkialla hyvin määritelty. Tällaisia funktiota koskee seuraava lause:

Lause  Olkoon  avoin joukko ja  Lipschitz-funktio, jonka käänteisfunktio on myös Lipschitz-funktio. Olkoon lisäksi  mitallinen. Silloin 

siinä mielessä, että jos jompikumpi integraaleista on olemassa (tai se on ääretön), silloin toinenkin on olemassa ja molemmat integraalit ovat yhtä suuret.

Tämän lauseen esitti konjektuurina ensimmäisenä Euler vuonna 1769 kehittäessään kaksin­kertaisen integraalin käsitteen. Vaikka sen yleisti kolmin­kertaiselle integraalille Lagrange vuonna 1773 ja yleisesti n muuttujalle Mihail Ostrogradski vuonna 1836 ja vaikka sitä sovelsivat Legendre, Laplace ja Gauss, sen onnistui täsmällisesti todistamaan vasta Élie Cartan 1890-luvulla.

Sovellus todennäköisyyslaskentaan

Muuttujanvaihdon avulla voidaan ratkaista seuraava toden­näköisyys­laskennassa tärkeä kysymys: Jos  on satunnaismuuttuja, jonka tiheysfunktio  tunnetaan, ja  sen avulla määritelty toinen satunnaismuuttuja, mikä on :n tiheysfunktio?

Vastauksen saamiseksi kannattaa ensin asettaa kysymys hieman toisin: millä todennäköisyydellä  saa arvon, joka kuuluu tiettyyn osajoukkoon .  Käytetään tälle todennäköisyydelle merkintä .  Jos :n tiheysfunktio tunnetaan ja se on , todennäköisyys on tietysti

.

Yleensä tätä tiheysfunktiota  ei kuitenkaan tunneta, vaan se juuri on määritettävä. Tehtävä voidaan ratkaista tarkastelemalla muuttujaa . Muuttujan  arvo kuuluu joukkoon , jos ja vain jos  kuuluu joukkoon . Niinpä

Vaihtamalla muuttuja  muuttujaan  saadaan:

Yhdistämällä tämä ja ensimmäinen yhtälö saadaan

ja niinpä

Mikäli  ja  voidaan esittää useamman keskenään riippumattoman satunnaismuuttujan avulla, toisin sanoen jos  ja ,  saadaan suorittamalla muuttujanvaihto useammalle muuttujalle. Tulos on

Lähteet

Viitteet

Katso myös 

 Osittaisintegrointi

Integraalilaskenta