Kriging-interpolointi

Kriging-interpolointi ( ) eli Pistekriging on ( ) on tilastotieteessä ja todennäköisyyslaskennassa ja erityisesti geostatistiikassa monimuuttujainen interpolointimenetelmä, jossa kriging-estimointimenetelmällä lasketaan pisteissä  sijaitsevien pistemäisten näytteiden  avulla kohdassa  sijaitsevan kohteen suureen arvo . Jos näytteiden otos säilyy samana, voidaan laskea interpolointikäyrä (yksiulotteinen tapaus) tai -pinta (kaksiulotteinen tapaus)  näytteiden lähiympäristössä. Kunkin arvioitavan kohdan arvo lasketaan määrittämällä ensin kaikille näytteille painokertoimet  ja muodostamalla sitten painokertoimilla ja näytteiden arvoilla  painotettu aritmeettinen keskiarvo
 

Pistekriging ei ole yksinkertainen menetelmä, koska painokertoimet lasketaan huomioimalla näytteiden keskinäiset riippuvuudet ja näytteiden ja kohteen väliset riippuvuudet. Riippuvuudet johtuvat estimoitavan suureen spatiaalisesta autokorrelaatiosta. Kun käytetään  näytteen otosta, joudutaan painokertoimia määritettäessä ratkaisemaan  yhtälön yhtälöryhmä.

Taustaa 
Menetelmä on johdettu geostatistiikassa käytettävästä krigingistä, jolla estimoidaan suureen arvoja halutuissa kohdissa ja jossa suureen arvot muuttuvat tilassa spatiaalisesti levittäytyvän ilmiön vaikutuksesta. Geostatistiikassa ajatellaan, että tila muodostuu satunnaiskentästä , jonka todennäköisyyslaskennallisia ominaisuuksia pyritään hyödyntämään tilastollisesti.

Geostatistiikassa käytettävä Kriging on johdettu sovelluksia silmällä pitäen. Siitä voidaan kuitenkin modifioida interpolointimenetelmä yksinkertaistamalla sen alkuoletuksia. Ensiksi, näytteet eli arvojen otos ajatellaan olevan interpoloitavan funktion arvoja yksittäisissä pisteissä. Toiseksi, interpoloinnissa lasketaan vain käyrän tai pinnan arvoja annetuissa pisteissä. Aito kriging-estimointimenetelmä yrittää estimoida alojen tai tilojen sisältämiä suureen kokonaisarvoja. Kolmanneksi, eri pisteiden välisiä riippuvuuksia ilmaistaan annetulla kovarianssifunktiolla, korrelogrammilla tai variogrammilla. Tässä laskut on esitetty kovarianssifunktiolla.

Merkinnät ja tavalliset reunaehdot 
Interpoloidaan funktiota, joka on määritelty avaruudessa , missä dimensio voi olla esimerkiksi  eli taso tai  eli tila. Merkitään interpoloitavaa funktiota  kohdassa , siihen tarvittavia näytteitä  paikoissa  ja kovarianssifunktion arvot merkitään , kun pisteiden välinen etäisyys on halutulla metriikalla , tai merkitään , kun .

Interpolointimenetelmän tulee käyttäytyä näytteiden välisessä tilassa niin, että kaikki estimoidut arvot ovat odotusarvoltaan samat kuin on koko näyteavaruuden odotusarvo. Tässä esityksessä oletetaan satunnaiskentän odotusarvon  olevan vakio, mutta silti sen tarkka arvo olisi tuntematon. Yhtälöihin liitettävä harhattomuusehto eli normitus

saadaan siitä, että virheen odotusarvo pitäisi olla nolla:

Kovarianssifunktio on oltava positiividefiniitti eli
 
Se on tasan nolla, kun riippuvuus näytteiden nälillä on olematon eli ne ovat tilastollisesti riippumattomia. Tällöin etäisyys  on ylittänyt riippuvuuden etäisyyden raja-arvon. Kovarianssi tulee saada suurimman arvonsa, kun etäisyys . Yleensä vaaditaan, että kovarianssi saa näyteavaruuden tilastollisen varianssin
 
Kovarianssi on yleensä monotonisesti laskeva käyrä.

Arviovarianssin minimointi 
Geostatistiikassa Kriging-estimointi syntyy tilanteessa, jossa on voitu arvioida eri painokertoimien valinnan aiheuttaman virheen varianssi eli arviovarianssi . Optimoimalla painokertoimia, voidaan virheen varianssia pienentää. Kriging-interpoloinnissa arvo lasketaan sellaisilla painokertoimilla, joilla virheen varianssi on pienimmillään. Tätä varianssin minimiarvoa kutsutaan Krigingvarianssiksi . Se on yleensä pienempi kuin näyteavaruuden tilastollinen varianssi .

Interpoloinnin suorittaminen 
Seuraavassa selostetaan, miten kokonaisen alueen kaikki pisteet interpoloidaan, kun aina käytetään samoja näytteitä. Jos näytteet vaihdetaan välillä, tulee interpolointi aloittaa alusta uudelleen.

Interpoloinnin valmistelut 
Koska laskut ovat mutkikkaat ja usein käytetään useita näytteitä, voidaan laskut suorittaa vektori- ja matriisilaskutoimituksin. Aluksi lasketaan näytteiden  ja interpoloitavan kohteen  väliset riippuvuudet ja kootaan niistä kovarianssivektori, joka on pystyvektori

Kootaan painokertoimet  samalla tavalla vektoriksi

Sitten määritetään kaikkien näytteiden väliset riippuvuudet ja kootaan ne kovarianssimatriisiin (neliömatriisi)

koska 

Nyt lisätään normitusta eli harhattomuusehtoa varten matriisiin alimmaiseksi riviksi ja oikeanpuoleisemmaksi sarakkeeksi ykköset ja nolla matriisin kulmaan. Nämä ovat nyt

Geostatistiikan teorian mukaan paras estimaatti saadaan sellaisilla painokertoimien  arvoilla, jotka saadaan yhtälöryhmän eli matriisiyhtälön

ratkaisuna. Lagrangen parametri  tarvitaan mukana, jotta yhtälöiden rivit ja sarakkeet menisivät tasan. Matriisiyhtälö voidaan myös kirjoittaa vektorien ja matriisin nimillä
 
jolloin ratkaisu saadaan kääntämällä matriisi 
 
Matriisin kääntäminen voidaan tehdä Gaussin eliminointimenetelmällä.

Ensimmäisen pisteen interpolointi 
Saatu painokerroinvektori sisältää tarvittavat painokertoimet, joilla voi laske interpolaatiolle arvon
 
Viimeinen lauseke voidaan merkitä ja laskea vektorilaskennalla, kun näytteistä muodostetaan lyhyt pystyvektori

ja sitten vektorit kerrotaan keskenään

Seuraavien pisteiden interpolointi 
Seuraavan pisteen  interpolointi, kun käytetään samoja näytteitä  kuin aikaisemmin, aloitetaan päivittämällä kovarianssivektori

Koska interpoloitava piste  vaihtui, muuttuvat näytteiden  ja pisteen  väliset riippuvuudet, joten ne lasketaan aina uudelleen. Toisaalta, koska näytteet ovat samat, ei niiden väliset riippuvuudet ole vaihtuneet ja nyt voidaan hyödyntää valmiiksi käännettyä matriisia  painokertoimien  laskemisessa. Uudet painokertoimet lasketaan

ja ne sijoitetaan lausekkeeseen

joka antaa uuden interpolaation. Tätä jatketaan kunnes halutaan vaihtaa uudet näytteet, jolloin aloitetaan valmistelemalla uusi matriisi .

Krigingvarianssi 
Interpoloinnin krigingvarianssi pisteessä  lasketaan teorian mukaan
 
missä ratkaisun mukaan on , joten varianssi voidaan kirjoittaa

niillä painokertoimilla, joilla varianssi minimoituu.

Pistekrigingin ominaisuuksia 
Pistekriging on eksakti interpolaatiomenetelmä, sillä näytteiden kohdissa  se antaa interpolaattoriksi näytteen arvon  krigingvarianssilla  Menetelmä on toisaalta tasoittava interpolaatio, koska interpoloinnin tuloksien  pisteessä  varianssit ovat näytepopulaation varianssi.

Kun tarkastellaan Kriging-interpoloinnin tuottaman käyrän tai pinnan ominaisuuksia, periytyvät sen jatkuvuus- ja derivoituvuusominaisuudet käytettävän kovarianssifunktion vastaavista ominaisuuksista.

Lähteet

Aiheesta muualla 
 How to use Kriging
 Firas Ajil Jassim & Fawzi Hasan Altaany: Krigingin soveltaminen valokuviin, Canadian Journal on Image Processing and Computer Vision, 2013

Interpolointi
Geostatistiikka