Mittaintegraali

Mittaintegraali on matemaattisessa analyysissa eräs integraali. Mittaintegraalin tavoitteena on luoda mitta-avaruuteen eräänlainen lineaarinen kuvaus, joka liittää jokaiseen mitalliseen funktioon jonkin luvun väliltä . Tämä integraalityyppi on alun perin matemaatikko Henri Lebesguen kehittämä. Tunnettu Lebesguen integraali on mittaintegraali, jonka mittana on Lebesguen mitta.

Määritelmä 
Olkoon  mitta-avaruus. Integraali määritellään yksinkertaisten kuvausten kautta.

Kuvaus  on yksinkertainen, jos
,
missä ;  ja joukot  ovat perusjoukon  ositus ja  on indikaattorifunktio.

Yksinkertaisen funktion  integraali on
.

Olkoon  kuvaus, joka on -mitallinen. Kuvauksen  integraali on
.
Tätä esitysmuotoa kutsutaan mittaintegraaliksi. Yleensä mitta  on yhteydestä selvä, jolloin sitä ei merkitä näkyviin, vaan käytetään lyhyempää tapaa
.

Kuvauksen  integraali yli joukon  on
.

Kuvaus  on integroituva, jos pätee ehto
.
 on integroituva yli joukon , jos pätee
.
 on kvasi-integroituva, jos se ei ole integroituva, mutta pätee
 tai .

Perusominaisuuksia 
Oletetaan, joukko ,  ja  ovat -mitallisia kuvauksia  ja integroituvia yli joukon .

 pätee kolmioepäyhtälö 
 summa  on integroituva yli joukon  ja 
 jos , niin  on integroituva yli joukon  ja 
 jos , niin 
 jos , niin 
 jos  melkein kaikkialla joukossa , niin 

Viimeinen ominaisuus voidaan tulkita niin, että funktion arvot nollajoukolla eivät vaikuta sen integraalin arvoon.

Jos lisäksi ,  ja  ovat erillisiä sekä  on -mitallisia kuvaus  ja integroituva yli joukon , niin
.

Integroituvien funktioiden avaruudet  ja  
Olkoon  mitta-avaruus,  täydellinen mitta ja luku . Merkitään eksponentilla  integroituvien funktioiden joukkoa symbolilla
.
Äärellisen oleellisen supremumin funktioiden joukkoa merkitään symbolilla
.
 on siis integroituva jos ja vain jos . Sanotaan, että  on neliöintegroituva, jos .

Ominaisuuksia:
  on Banach-avaruus kaikilla 
 jos  on äärellinen mitta ja , niin

Epäyhtälöitä integraalille

Hölderin epäyhtälö 
Jos  ja  siten, että
,
sekä  ja , niin Hölderin epäyhtälö on
.
Jos  ja , niin epäyhtälö pätee muodossa
.

Lukuja  ja  kutsutaan toistensa Hölderin konjugaateiksi tai konjugoiduiksi eksponenteiksi.

Minkowskin epäyhtälö
Jos , niin
. Minkowskin epäyhtälö voidaan yleistää useammalle kuin kahdelle -funktiolle matemaattisen induktion avulla tai huomaamalla että avaruus  on vakaa yhteenlaskun suhteen.

Fatoun lemma 
Olkoon joukko  ja  jono -mitallisia kuvauksia . Tällöin

ja
.

Konvergenssilauseet 
Olkoon joukko  ja  jono -mitallisia kuvauksia  siten, että jonon raja-arvo

on olemassa. Konvergenssilauseiksi kutsutaan ehtoja, joista seuraa, että
.
Toisin sanoen raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Monotonisen konvergenssin lause 
Jos pätee , niin raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Dominoidun konvergenssin lause 
Jos on olemassa integroituva kuvaus  siten, että  kaikilla  melkein kaikkialla joukolla , niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Kutsutaan myös Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseeksi.

Rajoitetun konvergenssin lause 
Jos  ja  kaikilla , niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Integraalimitta 
Jokaiseen mitta-avaruuden  mitalliseen kuvaukseen  voidaan liittää mittaintegraali  yli jokaisen joukon . Voidaan osoittaa, että tämä kuvaus   on itse asiassa mitta X:ssä. Tämä ns. integraalimitta on joskus hyödyllinen sovelluksissa, sillä siihen voidaan soveltaa kaikkia mitan ominaisuuksia.

Daniellin integraali 
Mittaintegraalille on olemassa myös vaihtoehtoinen määrittelytapa ns. Daniellin integraali, jossa integraali ensin määritellään niin yksinkertaisille funktioille ettei mittateoriaa tarvitse lainkaan ja sitten rajankäynnillä laajennetaan integraalin määritelmä yleisille funktioille. Mitta-avaruuteen määritelty Daniellin integraali johtaa samoihin tuloksiin kuin edellä määritelty mittaintegraali. Kuitenkin tietyissä yleistyksissä Daniellin integraalilla näyttää olevan etuja (kts. esimerkiksi Integral, measure and derivative: a unified approach. G.E.Shilov/B.L.Gurevich – Prentice-Hall 1966).

Katso myös 
Viivaintegraali
Pintaintegraali

Usein esiintyviä integraaleja:
 Lebesgue–Stieltjes-integraali
 Riemannin integraali
 Riemann–Stieltjes-integraali
 Epäoleellinen integraali
 Bochner-integraali

Lähteet

Kirjallisuutta
 

Mittateoria
Integraalilaskenta