Puolisuunnikassääntö

Puolisuunnikassääntö on likiarvoyhtälö alla olevan määrätyn integraalin laskemiseksi. 

Puolisuunnikassääntö perustuu siihen, että funktion f kuvaajan ja x-akselin väliin jäävää pinta-ala arvioidaan puolisuunnikkaaksi, jonka pinta-ala määritetään. Siis seuraa, että

Puolisuunnikassääntö on yksi numeerisen integroinnin kaavoista, joita kutsutaan Newton-Cotes kaavoiksi. Muita Newton-Cotes kaavoja ovat Simpsonin sääntö ja suorakaidesääntö. Puolisuunnikassääntö on erityisen käyttökelpoinen ja tarkka jaksollisten funktioiden integraalien approksimoinnissa.

Puolisuunnikassäännön yleinen muoto 

Perusmuotoisen puolisuunnikassäännön tuloksia voidaan parantaa jakamalla väli  useampiin osaväleihin ja soveltamalla puolisuunnikassääntöä jokaisella osavälillä erikseen. Jaetaan väli N osaväliin, jonka päätepisteet ovat .  Merkitään kunkin osavälin pituutta kirjaimella "h". Välille, joka jakautuu "N" yhtä pitkään väliin "h=(b-a)/N", voidaan puolisuunnikassääntö kirjoittaa seuraavasti:

Jos osavälit ovat eripituisia, voidaan puolisuunnikassääntö kirjoittaa seuraavasti:

Puolisuunnikassäännön virhe 

Puolisuunnikassäännön tuottama virhe on integraalin tarkan arvon ja numeerisen arvon välinen erotus:

Virhetermi saadaan johdettua integraalilaskennan väliarvolauseen ja Lagrangen polynomin approksimaation avulla. Tällöin on olemassa c välillä [a, b] siten, että

Jos funktion toinen derivaatta saa positiivisen arvon, niin virhetermi on negatiivinen ja puolisuunnikassäännön antama arvo integraalille on suurempi kuin todellinen. Geometrisesti tilanne tarkoittaa tilannetta, jossa todellinen käyrä jää piirretyn puolisuunnikkaan sisään. Tilanne on juuri päinvastoin tilanteessa, jossa funktion toinen derivaatta on negatiivinen ja käyrä kulkee siis piirretyn suoran yläpuolella. 

Puolisuunnikassäännön hyvää tarkkuutta juuri jaksollisten funktioiden tapauksessa
voidaan perustella intuitiivisesti. Kun jaksollista funktiota integroidaan yhden jakson
välillä piirretyt puolisuunnikkaat aliarvioivat ja yliarvioivat funktion kuvaaja
kutakuinkin yhtä monta kertaa. Tällöin virheet kumoutuvat ja approksimaatio on
varsin lähellä integraalin tarkkaa arvoa.

Toinen muoto virhetermille saadaan tutkimalla edellä johdettua virhetermiä silloin,
kun tutkittava väli jaetaan yhä useampaan osaväliin eli, kun N → ∞. Tämä asymptoottinen virhetermi voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Esimerkki 
Lasketaan integraalille arvo puolisuunnikassäännöllä. 

Olkoot yhden osavälin pituus h=0,05. Tällöin osavälejä on yhteensä 4.

Korjataan vielä saatua approksimaatiota virhetermillä:

Sovelluksia 

Numeerisia menetelmiä käytetään etenkin reaalimaailman ongelmia ratkottaessa. 

Numeerisia menetelmiä sovelletaan nykyisin tietokoneella, jolla menetelmän soveltaminen on huomattavasti nopeampaa ja helpompaa kuin laskimella. Puolisuunnikassäännön avulla integraaleja voidaan laskea esimerkiksi Excelillä, Pythonilla ja MATLABilla.

Lähteet 

Trapezoidal Rule for Numerical Integration
 Trapezoidal rule Wikipedia 
 Atkinson, Kendall E. (1989), An Introduction to Numerical Analysis (2nd ed.), New York: John Wiley & Sons
 Burden R. L., Faires, J. D. (1989) Numerical Analysis. United States of America.: PWS-KENT Publishing Company 
 Daniels, R. W. (1987) An introduction to Numerical Methods and Optimizing techniques. Ireland: Elsevier North-Holland, Inc.
 Jäppinen, P., Kupiainen, A., Räsänen, M. (2006): Lukion Calculus: Numeerisia ja algebrallisia menetelmiä. Keuruu: Otava.

Kirjallisuutta

Aiheesta muualla 
Trapezoidal Rule for Numerical Integration
Notes on the convergence of trapezoidal-rule quadrature
 Trapezoidal Rule of Integration – Notes, PPT, Videos, Mathcad, Matlab, Mathematica, Maple, Multiple Choice Tests at Holistic Numerical Methods Institute
C Language Implementation of Trapezoidal Rule

Integraalilaskenta
Numeerinen analyysi