Polynominen interpolaatio

Polynominen interpolaatio eli polynomi-interpolaatio on matematiikassa approksimaatiomenetelmä, jossa sovituskäyrinä käytetään polynomeja. Polynomisella interpolaatiolla halutaan yleensä laskea tunnettujen pisteiden välistä puuttuvia pisteitä tai sovittamaan pisteiden väleihin sileä ja jatkuva käyrä. Toisinaan sovitetaan mutkikkaalle funktiolle helpommin laskettava polynomi, jolla funktion arvot voidaan approksimoida nopeasti.

Polynominen interpolaatio on tehokas menetelmä, jos interpoloitavia pisteitä on vähän. Suuri pistejoukko vaatii polynomin, jolla on korkea asteluku ja sellainen polynomi heilahtelee paljon. Alemmilla asteluvuilla heilahtelua on vain vähän ja sen laskeminen on helppoa. Interpoloitava pistejoukko jaetaankin ryhmiin, joihin sovitetaan erilaisia matala-asteisia polynomeja. Silloin eri polynomien yhtymiskohdissa käyrä on jatkuva, mutta sen derivoituvuus puuttuu. Tätä varten voidaan sovitusalgoritmiin lisätä derivoituvuusehtoja, jolloin käyristä tulee jokaisessa kohdassa sileä. On kehitelty monia menetelmiä, jotka sopivat eri tilanteisiin paremmin ja erilaisia polynomiluokkia, jotka täyttävät kulloinkin vaaditut ominaisuudet.

Jotta polynomin kuvaaja kulkisi kaikkien annettujen pisteiden kautta, tulisi polynomin asteluku olla yhtä pienempi kuin pisteiden lukumäärä. Silloinkin, jos pisteitä sijaitsee päällekkäin tai ne ovat esimerkiksi kollineaarisia, tullaan toimeen alemmallakin asteluvulla. Kun kertoimien laskentamenetelmä on valittu, on saatu interpolaatiopolynomi yksikäsitteinen.

Ensimmäisen asteen polynomi 
Lineaarinen interpolaatio toteutetaan joko sovittamalla suoran yhtälö kahden pisteen välille tai luomalla Lagrangen polynomi kahdelle pisteelle. Kun kaksi pistettä merkitään  ja  ja y-koordinaateilla tarkoitetaan funktion  arvoja, voidaan suoran yhtälöllä muodostaa ensimmäisen asteen polynomi 
 
Toinen tapa muodostaa kahden pisteen kautta kulkeva polynomi on luoda lausekkeet, jotka saavat arvon nolla toisen pisteen sijoituksesta ja oman y-koordinaatin omassa kohdassa. Silloin
 on nolla sijoituksella  ja  sijoituksella 
ja
 on nolla sijoituksella  ja  sijoituksella 
Polynomi saadaan näiden lausekkeiden summana
 
Se antaa tulokseksi saman ensimmäisen asteen interpolaatiopolynomin kuin edellinenkin menetelmä. Viimeistä muotoa kutsutaan myös Lagrangen polynomiksi.

Toisen asteen polynomi 
Toisen asteen interpolointi voidaan toteuttaa joko sovittamalla toisen asteen polynomin käyrää eli paraabeli kolmelle pisteelle tai soveltamalla Lagrangen menetelmää. Toisen asteen interpolointi kolmelle pisteelle   ja  voidaan suorittaa viimeksi mainitulla tavalla. Muodostetaan lausekkeet, jotka antavat arvoksi nolla muissa pisteissä paitsi "omassa" pisteessä. Seuraava termi on nolla, kun siihen sijoitetaan  tai , mutta se on , kun siihen sijoitetaan  

Polynomi saadaan kolmella termillä
 
Näitä interpolaatiopolynomeja voi liittää moneen peräkkäisen kolmen pisteen sarjoihin. Jos pisteet ovat kollineaarisia, tulee polynomista ensimmäistä astetta. Jos pisteet eivät ole kollineaarisia, tulee siitä toisen asteen interpolaatiopolynomi. Esitettyä muotoa kutsutaan Lagrangen polynomiksi.

Lagrangen interpolaatio 

Lagrangen interpolaatio luodaan käyttämällä yleistä Lagrangen interpolaatiopolynomia. Se voidaan kirjoittaa muodossa 

missä ensimmäinen kantapolynomi  on

ja  kantapolynomi on

Polynomin aste on korkeintaan , jos pisteitä on . Mikäli osa pisteistä ovat samoja tai ne ovat kollineaarisia, laskee polynomin asteluku alle . Lagrangen interpolaatiopolynomi on vaikea laskea tietokoneella, sillä pyöristysvirheet aiheuttavat joskus yli- tai alivuotoa.

Newtonin interpolaatio 

Newtoinin interpolaatiomenetelmässä polynomille haetaan kertoimet muodossa

Kertoimet määräytyvät ehdosta
 
joka johtaa rekursiivisesti ratkeavaan yhtälöryhmään

Yhtälöryhmän ratkaiseminen voidaan järjestää taulukossa, jota kutsutaan Newtonin erotustaulukoksi.

Newtonin menetelmä on melko suoraviivainen tapa laskea polynomin kertoimet. Kun uuden pisteen lisääminen johtaa Lagrangen menetelmässä uuteen laskutehtävään, tulee Newtonin menetelmässä lisätä vain uusi rivi ja suorittaa sille pikkulaskuja.

Lähteet 
 
 Ruotsalainen, Keijo: Numeeriset menetelmät (luentomoniste), Teknillinen tiedekunta, Oulun Yliopisto, 2010

Viitteet

Aiheesta muualla 
 Lehtonen, Ari: 2. Interpolointi (pdf), kurssilla MATA145 Matematiikan laskennallisia menetelmiä, Jyväskylän yliopisto, 2012, viitattu 2.9.2015

Interpolointi