Aristoxenos

Aristoxenos Tarasest (umbes 370 eKr Taras – umbes 300 eKr Ateena), Sokratese õpilase Spintharose poeg, kreeka filosoof ja muusikateoreetik. Oli alguses pütagoorlaste Xenophilose ja Lamprose, hiljem Ateenas Aristotelese õpilane, kuuludes peripateetikute koolkonda. Vanim teadaolev muusikast kirjutaja Antiik-Kreekas, kellelt on säilinud üksikasjalikke tekste. Aristoxenos defineeris puhtalt muusikalisel alusel muuhulgas mõisted intervall, helisüsteem, tervetoon, pooltoon, kolmandiktoon, veerandtoon, diatoonika, kromaatika, enharmoonilisus, helistik, helivältus, rütm, mõjutades sellega oluliselt hilisantiigi ja keskaja muusikateooriat. Need mõisted on teatud modifikatsioonidega säilinud tänaseni.

Aristoxenose muusikateooria

Empiirilis-matemaatiline meetod
Aristoxenos oli range empiirik, ehitades muusikateooria vastavuses muusikalisele tajule ning kuulub sellega juhtivate harmoonikute (Harmoniker) hulka. Formuleeris kategoorilised antiteesid oma eelkäijate, eriti pütagoorlaste vastu, taunides nende akustilist muusikateooriat, mis defineerib intervalle arvsuhete kaudu, hälbimisena võõrale territooriumile ning kritiseeris nende kontrollimatuid hüpoteese (Archytas) ja ebatäpsustest kubisevaid eksperimente flöödi ja pillikeelega. Kriitikast hoolimata jäi ta endise pütagoorlasena rangelt matemaatiliseks. Ta koguni suurendas muusikateooria valdkonnas deduktiivsete printsiipide osatähtsust: oma eelkäijate puuduvaid või lünklikke definitsioone pilkas ta kui "oraakellikke" ja soovitas muusika valdkonna puhul kasutada täpseid definitsioone, aksioome ja tõestusi. Sellist läbini muusikalis-matemaatiline kontseptsiooni rakendas ta esimesena tekstides "Harmoonilised elemendid" (Harmonischen Elementen) ja "Rütmilised elemendid" (Rhythmischen Elementen). Kumbki tekst ei ole täielikult säilinud, täielik on definitoorne mõistete moodustamine ning harmoonias ka aksiomaatika, mille tõestuste osa pikkade sõnaliste täpsete deduktsioonidega seevastu mõnikord katkeb. Matemaatiliselt kasutas ta Eudoxos Knidose õpetust suurustest (Größenlehre), mis leidub ka Eukleidese sarnaselt pealkirjastatud "Elementides". Seetõttu on Aristoxenose muusikateooria vahetult enne Eukleidest rakendatud matemaatika poolest klassikalise antiigi varaseimaks musternäiteks.

Harmoonia 
Aristoxenoselt pärineb vanim intervalli täpne definitsioon: ta defineeris intervalli (διάστημα) isoleeritud vahemikuna (Abgeschlossenes Intervall) hulga "kõrgeima" ja "madalaima" lineaarselt järjestatud tooni (φθόγγος) vahel. Helisüsteemi (Tonsystem, σύστημα) defineeris ta antiigi geomeetria põhjal sirgete liitmisena [A,B][B,C]=[A,C]. Igal intervallil on suurus. Kui intervalli suurust tähistada nagu sirgetegi puhul [A,B], kehtib Aristoxenosel pütagoorlase Philolaose suuruste reegel (Größenregel) AB+BC=AC. Aristoxenos arvutas ka võrreldamatute (inkommensurabel) väärtustega irratsionaalsete suurustega. Mõõtühikuna kasutas ta mõistet toon (τόνος, täistoon) ja toetus järeltehtavale (überlieferte, nachvollziehbare) kuulmiseksperimendile, mille kohaselt konsonantseid intervalle (oktav, kvint, kvart) produtseerivad toonide ratsionaalarvulised kordsed. Eriliselt kehtib see järgmiste võrrandite puhul:

{|
|oktav = kvint + kvart|| (definitsioon)
|-
|toon = kvint – kvart || (definitsioon)
|-
|kvart = 2½ toon|| (eksperiment)
|-
|kvint = 3½ toon|| (tuletis)
|-
|oktave = 6 tooni|| (tuletis)
|}

Intervallide klassifitseerimiseks kasutas Aristoxenos matemaatilist Platoni dihairese meetodit (Dihairese-Methode) ja defineeris viis eristust (Unterscheidung), mida tänapäeval nimetatakse negeerivateks ekvivalentsussuheteks (negierte Äquivalenzrelation), kusjuures vahet tehakse mitteliitintervalli suuruse järgnevusel (Folge, τάξις) põhineva intervalli mudeli (Form, σχημα) alusel. See vastab kahehelilistele intervallidele [A1,B1],....,[An,Bn] järgmises võrrandis:

 [A1,B1]....[An,Bn] = A1B1......AnBn

Eraldi intervallidena defineeris ta mudeli A B C abil lõpmatult paljusid neljahelilisi tetrakorde, kusjuures A+B+C=kvart ning klassifitseeris nad spetsiaalsete mudelite järgi "diatoonilistesse", "kromaatilistesse" ja "enharmoonilistesse" helistikesse (Tongeschlecht). Sellisele abstraktsele põhjale visandas Aristoxenos ajaloo esimese muusikateoreetikuna aksiomaatilise helisüsteemiteooria (axiomatische Tonsystemtheorie), milles ta iseloomustas meloodilisi süsteeme aksioomide kaudu ning tuletas seejärel nende mudelid (Form). Esmajoones tuletas ta konsonantside valemid ja näitas, et need on tetrakordi formaalse mudeli A B C tsüklilisteks permutatsioonideks:

{| class="wikitable" 
|- style="background:#E6E6E6"
!kvardimudelid||kvindimudelid||oktavimudelid
|- 
|A B C||A B C toon||A B C A B C toon
|-
|B C A||B C toon A||B C A B C toon A
|-
|C A B||C toon A B||C A B C toon A B 
|-
| ||toon A B C||A B C toon A B C 
|-
| || ||B C toon A B C A 
|-
| || ||C toon A B C A B 
|-
| || ||toon A B C A B C 
|}

Täiusliku süsteemina (σύστημα τέλειον) defineeris ta väikseima meloodilise süsteemi, mis sisaldab kõiki konsonantside mudeleid. Tema tuletuskäik puudub algallikates. Hilisemate aristokseenlike allikate põhjal kasutas ta süsteemide arvutamisel järgmist valemit:

 toon A B C A B C toon A B C A B C       tetrakordide jaoks intervallijärgnevusega A B C. Tänapäeva muusikapraktikaga on seostatav üksnes tema diatoonilise tetrakordi mudelile ½toon toon toon tuginev täiuslik diatooniline süsteem.

See valem vastab tänapäevasele kaheoktavilisele mollhelireale:

 toon ½toon toon toon ½toon toon toon toon ½toon toon toon ½toon toon toon

Rütmika 
Oma teooria rütmist ehitas Aristoxenos üles suures osas analoogina teooriale harmooniast. Suuruse ühikuna kasutas ta seejuures vältust (χρόνος), ka irratsionaalsete suhetega määramata vältusi. Analoogina algarvudele (Primzahl, πρωτος αριθμος) defineeris ta veel tajutava jaotamatu vältuse: algvältuse (πρωτος χρόνος). Tajutavust määratles ta realiseeritavuse kaudu kõnes, laulus või kehalises liikumises (väikseim algvältus on niisiis väljaselgitatav individuaalse eksperimendi abil). Nagu ta rõhutas, annab see tulemuseks lõpmatult palju algvältusi, mida ta kasutas ühikvältustena. Koos väikseima ühikvältusega p kuuluvad kõik ühikvältused vahemikku p ja 2p.Rütmi defineeris ta vältuste järgnevusena (Dauernfolge, χρόνων τάξις) paralleelselt harmoonia intervallimudelile. Rütmide kokkulangevust (Zusammensetzung) jälgis ta silpide, helide ja žestide kui rütmiseerivate elementidena kolmel rütmiseerimistasandil, "kõne", "laul" ja "kehaliikumine". Nendele rütmiseeritavatele elementidele andis ta nagu järjestatud paaridele vältused ning arutles kompleksse kolmekihilise rütmistruktuuri üle. See on esimene katse defineerida polürütmilisi struktuure. Tetrakordid vastavad rütmikas kahe- kuni neljaosalistele mõõtudele (Fuss), millel pole midagi tegemist värsijalgadega värsiõpetuses, vaid mis on selgitatavad kehalise liikumise tasandil (tantsusammud). Mõõdud klassifitseeris ta seitsmesse jaotusesse, mille hulgas leiduvad ka rütmiklassid (Rhythmusgeschlecht) "daktüliliselt", "jambiliselt" ja "paiooniliselt". Tema rütmika fragmentaarne deduktiivne tõestusosa võimalikest mõõtudest pole enam ilma hüpoteesideta rekonstrueeritav, kuna teatud aksioomid on kaduma läinud.

Mõjutused hilisemale muusikateooriale 
Kõik hilisemad antiigi muusikateoreetikud võtsid harmoonia vallas üle Aristoxenose muusikaterminoloogia. See ei kehti mitte ainult tema pooldajate, niinimetatud aristokseenlaste, vaid ka vastaste kohta noorte pütagoorlaste hulgas. Nende hulka kuulus Aristoxenose eluajal matemaatik Eukleides, kes oma muusikaalases tekstis "Kaanonite jagunemine" ("Teilung des Kanons") formuleeris aristokseenliku diatoonilise helisüsteemi pütagoorlikult modifitseeritud versiooni, tõestades samal ajal terve rea Aristoxenose harmoonika vastaseid teoreeme, sealhulgas tooni jaotatavuse negatsiooni (Negation der Teilbarkeit des Tons), eksperimentaalse aksioomi kvart = 2½ tooni ning võrduse oktav = 6 tooni. Need teoreemid näitavad aga vaid antiigi matemaatika hetketasemel pütagoorlik-akustilise seisukoha kokkusobimatust empiirilis-muusikaliste seisukohtadega. Eukleidese autoriteedi kaudu pani ennast arvutuslikult ulatuslikult maksma pütagoorlik teooria, Aristoxenos jäi mõõtuandvaks vaid terminoloogias. Sellise aristoksenoslik-pütagoorliku kompromissliini esindajateks olid ka Eratosthenes ning eelkõige Ptolemaios. Ptolemaios pani Aristoxenose ebatäpsete keelpillikeeltega teostatud eksperimentide kriitika põhjal ette mõõtmistehnilisi parendusi kaanoni (Kanon) või monokordi puhul ja kritiseeris omalt poolt Aristoxenose eksperimenti kui ebatäpset, mis peab ka akustilis-eksperimentaalselt paika. Ta mõjutas sellega Boethiust, kes tõlkis Pythagorese ja Aristoxenose koolkonna dispuudi ladina keeleruumi, omades sellega otsustavat mõju keskaegsele ja tänapäeva helisüsteemiteooriale. Keskaja muusikas omasid kirikulaadide puhul praktilist tähtsust aristokeenlikud oktavimudelid (Formen der Oktave), mida on nimetatud ka oktaviperekondadeks (Oktavgattung).Rütmika valdkonnas oli Aristoxonosel hilisemale teooriale vähene tähtsus, kuna selles muutus hiljem domineerivaks meetrika, mille terminoloogias võttis Dionysios Thrax üle ja interpreteeris kõnerütmiliselt ümber vaid mõiste "mõõt" (Fuß) ja selle kehe- kuni neljaosalise jaotuse.

Aristokseenlased 
Aristokseenlasteks nimetatakse neid muusikateoreetikuid, kes orienteerusid Aristoxenose õpetusele ning hoidsid eemale pütagoorlikust liinist. Nende hulka kuuluvad Kleoneides ehk Pseudo-Eukleides, Aristides Quintilianus, Bakcheios, Psellos ning mõningad anonüümsed muusikaliste traktaatide, mida on ekslikult peetud Aristoxenosele kuuluvaks, autorid. Aristokseenlased olid puhtad epigoonid, kes ei küündinud oma eeskuju tasemele ning lahjendasid tema õpetust tunduvalt. Nad kõrvaldasid oma õpetusest kogu matemaatika, aksioomid, tõestused ja paljud definitsioonid, hiljem koguni eksperimentaalse tajuga seotud põhjendused. Tihti ei olnud aristokseenlaste õpetus Aristoxenose enda õpetusest selgelt lahutatud. Aristoxenose retseptsioonile on juba antiigist alates omane tugev vääritimõistmine. Tema antipütagoreismi tõlgendati tihti vääriti kui võimetust arvutada ning tema empiirilisi seisukohti kui antimatemaatilisi. Need vääritimõistmised õilmitsevad tänapäevani. Üheks näitks on Johann Mattheson, kes pseudonüümi Aristoxenus Noorem (Aristoxenus der Jüngere) all kirjutas pamflette muusika ja matemaatika seoste vastu. Vincenzo Galileist alanud Aristoxenose renessansist peale on kui aristokseenlikku vääriti mõistetud ka kaheteisthelilist võrdtempereeritud helisüsteemi, kuna selles kehtivad justkui Aristoxenose suuruste võrdlused. Temperatsioon eeldab aga eeskujuna pütagoorlikku süsteemi puhta kvindi suhtega 3:2, mis Aristoxenosel puudus.

Teosed, tõlked 
 Aristoxenos: Eléments harmoniques, tõlge prantsuse keelde, 
 Aristoxenos: Harmonische Elemente, ed. R. da Rios, Rom 1954
 Aristoxenos: Rhythmische Elemente, ed. G. P. Pighi, Bologna 1959
 Heinrich Feußner: Aristoxenos, Grundzüge der Rhythmik. Hanau 1840
 Stefan Ikarus Kaiser: Die Fragmente des Aristoxenos von Tarent. Neu herausgegeben, übersetzt und mit einer Einleitung versehen. Phil. Diss., Wien 2004 (Drucklegung erfolgt in Kürze)
 Paul Marquard: Die harmonischen Fragmente des Aristoxenos. Berlin 1886.
 Rudolf Westphal: Melik und Rhythmik des Aristoxenos, übersetzt und erläutert. Leipzig 1883; Nachdruck Hildesheim 1965

Kirjandus 
 Wilfried Neumaier: Was ist ein Tonsystem? Eine historisch-systematische Theorie der abendländischen Tonsysteme, gegründet auf die antiken Theoretiker, Aristoxenos, Eukleides und Ptolemaios, dargestellt mit Mitteln der modernen Algebra. Lang, Frankfurt am Main etc. 1986, ISBN 3-8204-9492-8
 Wilfried Neumaier: Antike Rhythmustheorien, historische Form und aktuelle Substanz. Amsterdam 1989, ISBN 90-6032-064-6 (online)
 Aristoxenos. In: Der Kleine Pauly, Lexikon der Antike. Band 1, S. 591f.
 Stefan Ikarus Kaiser: Die harmonischen Elemente des Aristoxenos von Tarent. Diplom-Arbeit, Salzburg 2000

Vanakreeka filosoofid
Muusikateoreetikud
Sündinud 4. sajandil eKr
Surnud 4. sajandil eKr