Täielik järjestus

Täielik järjestus hulgal H on selline lineaarne järjestus hulgal H, mille  puhul iga hulga H mittetühi alamhulk omab vähimat elementi selle järjestuse suhtes (elementi a, mille puhul a ≤ x mis tahes elemendi x korral sellest alamhulgast). 

Hulka H koos täieliku järjestusega nimetatakse täielikult järjestatud hulgaks.

Näited
Lõplik lineaarselt järjestatud hulk on täielikult järjestatud hulk, sest lineaarselt järjestatud hulga lõplikus alamhulgas leidub vähim element.  
Naturaalarvude tavaline järjestus (väiksem või võrdne) on täielik.
Täisarvude tavaline järjestus (väiksem või võrdne) ei ole täielik, sest näiteks kõigi negatiivsete täisarvude hulgal ei ole vähimat elementi.
Ratsionaalarvude tavaline järjestus (väiksem või võrdne) ei ole täielik, sest näiteks hulgal {1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...} ei ole vähimat elementi (siin pole oluline, et tal on alamraja 0).
Reaalarvude tavaline järjestus (väiksem või võrdne) ei ole täielik, sest näiteks vahemikul (0, 1) ei leidu vähimat elementi. Näiteks sobib ka sama alamhulk mis ratsionaalarvude korral. 
Positiivsete reaalarvude tavaline järjestus (väiksem või võrdne) ei ole täielik samal põhjusel.
Tavaline järjestus (väiksem või võrdne) reaalarvude lõigul [0, 1]] ei ole täielik samal põhjusel.  
Kuigi täisarvude tavaline järjestus ei ole täielik, võib täisarvude hulgal määratleda täieliku järjestuse. Näiteks järgmine järjestusseos on täielik: 
x <z y siis ja ainult siis, kui |x| < |y| või (|x| = |y| ja x ≤ y). See järjestus näeb välja nii: 
 0  -1  1  -2  2  -3  3  -4  4  ...
Ei ole teada ühtki täieliku järjestusseost reaalarvude hulgal.

Piisavad ja tarvilikud tingimused
Lineaarselt järjestatud hulk on täielikult järjestatud siis ja ainult siis, kui ta ei sisalda alamhulka, mis on antiisomorfne naturaalarvude järjestatud hulgaga tavalise järjestuse järgi.

Ei eksisteeri lõpmatult pikka kahanevat ahelat 
Kui hulgal H on antud täielik järjestus, siis ei eksisteeri lõpmatult pikka kahanevat ahelat, st lõpmatut jada hulgas H, mille korral iga  korral .

Elementide eellased ja järglased  ning vähim ja suurim element
Kui hulgal H on antud täielik järjestus, siis  leidub hulgas H ilma eellaseta element, nimelt hulga H enda vähim element (seda nimetatakse nulliks ja tähistatakse 0). Eellaseta elemente võib olla rohkem, isegi lõpmata palju. Eellaseta elemente nimetatakse piirelementideks. 

Elemendi järglane on üheselt määratletud või puudub. Kui element ei ole suurim element, siis tema järglane on määratletud kui temast suuremate elementide hulga vähim element. Suurim element võib leiduda või mitte; kui ta leidub, siis ta on ainus. Suurimal elemendil järglast ei ole.

Näited
Naturaalarvude tavalise järjestuse puhul on vähim naturaalv eellaseta element. Suurimat elementi ei ole.
Olgu naturaalarvude hulgal defineeritud niisugune järjestus, et mistahes paarisarv on suurem kui mistahes paaritu arv. Omavahel olgu nii paarisarvud kui ka paarisarvud järjestatud tavalisel moel, seega  

Ilmselt on tegu täieliku järjestusega. Tõepoolest, kui alamhulka kuulub mingeid paarituid arve, siis on vähim nende seas ka alamhulga "vähim" arv (kõik paarisarvud on "suuremad"); kui aga temasse kuuluvad ainult paarisarvud, siis on vähim nende seas ka "vähim" selle täieliku järjestuse suhtes, sest paarituid arve, mis oleksid "väiksemad", lihtsalt pole. Selle täieliku järjestuse ordinaalarvu tähistatakse tavaliselt . Siin ei ole suurimat elementi, küll aga kaks ilma eellaseta elementi: 1 ja 2.

Transfiniitne induktsion
Kui hulk on täielikult järjestatud, siis saab kasutada transfiniitse induktsiooni tehnikat, et näidata, et antud väide kehtib selle hulga iga elemendi kohta. Matemaatiline induktsioon on transfiniitse induktsiooni erijuht.

Zermelo teoreem
Valikuaksioomist järelduv Zermelo teoreem väidab, et mistahes mittetühja hulka on võimalik täielikult järjestada.

Kui eeldada ülejäänud aksioome Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas, siis see väide on valikuaksioomiga samaväärne. 

Selle teoreemi järgi saab reaalarvude hulka täielikult järjestada, kuid pole teada, kuidas seda teha.

Täieliku järjestuse pärandumine
Täielikult järjestatud hulga alamhulk on sama järjestuse järgi täielikult järjestatud.

Täielikult järjestatud hulkade otsekorrutis on leksikograafilise järjestuse järgi täielikult järjestatud.

Alglõik ja võrdlusteoreem
Täielikult järjestatud hulga mingist elemendist väiksemate elementide hulka nimetatakse selle täielikult järjestatud hulga alglõiguks.

Võrdlusteoreem ütleb, et iga kahe täielikult järjestatud hulga T1 ja T2  korral kehtib täpselt üks kolmest: 1) T1 on isomorfne T2-ga; 2) T1 on isomorfne T2 mõne alglõiguga; 3) T2 on isomorfne T1 mõne alglõiguga.

Ordinaalarvud
Täielikult järjestatud hulkade järjestustüüpe nimetatakse ordinaalarvudeks.

Ajalugu
Täieliku järjestuse ja täielikult järjestatud hulga mõiste võttis kasutusele Georg Cantor.

Vaata ka 
järjestatud paar
fundeeritud hulk
ordinaalarv
Zermelo teoreem

Viited

Kirjandus 
 Oliver Deiser: Einführung in die Mengenlehre, Springer, 2004, ISBN 978-3-540-20401-5, lk 222–230 Google'i raamat

Matemaatika
Hulgateooria