Maatriks

Maatriks on ristkülikukujuline tabel, mis koosneb arvudest (tavaliselt reaalarvudest või kompleksarvudest) või mingitest muudest etteantud hulga elementidest, sealhulgas näiteks polünoomidest, funktsioonidest, diferentsiaalidest, vektoritest. Tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks või maatriksi komponentideks. Maatriksi elementide tehete (liitmine ja lahutamine, korrutamine ja jagamine) kaudu on võimalik defineerida ka tehted maatriksitega.

Tavaliselt eeldatakse, et selle hulga elemente, millest maatriksi elemendid võetakse, saab liita ja lahutada sarnaselt arvudega (nad moodustavad Abeli rühma). Lineaaralgebras eeldatakse tavaliselt ka, et neid saab arvude kombel korrutada ja jagada (nad moodustavad korpuse). Üldistustes lepitakse ka suurema lahknemisega arvudest: võidakse piirduda nõudmisega, et nad moodustavad ühikelemendiga assotsiatiivse ringi. Et osutada sellele, kust maatriksi elemendist võetakse, räägitakse maatriksist üle mingi hulga, ringi või korpuse (näiteks reaalarvuliste elementidega maatriksit nimetatakse üle reaalarvude korpuseks).

Maatriksid kuuluvad lineaaralgebra kesksete objektide hulka. Neid uurib maatriksite teooria.

Maatrikseid kasutatakse näiteks lineaarvõrrandisüsteemide lahendamisel.

Definitsioon

Maatriks on eristatavate horisontaalsete ridade ja vertikaalsete veergudega ümarsulgudesse asetatud arvudest (või üldiselt ringi elementidest) koosnev tabel. Näiteks

Maatriksi kui tabeli sissekandeid nimetatakse maatriksi elementideks. Maatriksi suurus määratakse selle ridade ja veergude arvuga. Kui maatriksil on m rida ja n veergu, siis nimetatakse seda m × n (m-korda-n) järku maatriksiks või lihtsalt m × n maatriksiks. Naturaalarvude paari m × n nimetatakse maatriksi järguks  ja täisarve m ja n selle mõõtmeteks ehk dimensioonideks. Ülal on kujutatud 4-korda-3 maatriksit.

Maatrikseid, mille ridade ja veergude arvud kattuvad, nimetatakse ruutmaatriksiteks. n × n ruutmaatriksi järguks loetakse lihtsalt arvu n.

Tähistus

Elemendi kohta, mis asub maatriksi i-ndas reas ja j-ndas veerus, öeldakse, et see element asub kohal i-j.

Maatrikseid tähistatakse suurte ladina tähtedega ning elemente üldjuhul väikeste ladina tähtedega, mis on varustatud kahe asukohale viitava indeksiga, kusjuures esimene indeks viitab reale ja teine veerule. m × n maatriksit

esitatakse lühidalt üldelemendi aij abil: A=(aij). Kasutusel on ka tähistus, kus maatriksi elementi tähistatakse sama sümboliga, kui maatriksit ennast. Näiteks (A)ij või ka sulgudeta Aij.

Maatriksit, mille üks dimensioonidest võrdub ühega, nimetatakse ka vektoriks. Täpsemalt, maatrikseid dimensioonidega 1 × n ja m × 1 nimetatakse vastavalt rea- ja veeruvektoriteks. Näiteks 

on 1 × 3 reavektor.

Maatriksit, mille elemendid kuuluvad ringi R, nimetatakse maatriksiks üle R. Näiteks maatrikseid, mille elementideks on reaalarvud, nimetatakse maatrikseiks üle reaalarvude.

Tehted maatriksitega

Liitmine, korrutamine skalaariga ja transponeerimine

Lihtsaimad tehted maatriksitega on maatriksite liitmine, skalaariga korrutamine ja transponeerimine.

Juba tuttavad tehete omadused arvudega (või ringi elementidega) kanduvad maatriksitele üle: näiteks liitmine on kommutatiivne st A + B = B + A. Transponeerimise tehe, mida arvude (või ringi elementide) jaoks ei eksisteeri, ühildub liitmise ja skalaariga korrutamisega kui (cA)T = c(AT) ja (A + B)T = AT + BT. Veel kehtib (AT)T = A.

Korrutamine

Kahte maatriksit saab korrutada vaid siis, kui esimese teguri veergude arv on võrdne teise teguri ridade arvuga. Kui A on m × n maatriks ja B on n × p siis AB on m × p maatriks, mille elemendid on

 
iga i = 1,2 ... m ja j = 1,2 ... p korral.

Näiteks
 
ja sarnaselt

Maatriksite korrutamine on:
 assotsiatiivne: (AB)C = A(BC)
 distributiivne: (A + B)C = AC + BC ja C(A + B) = CA + CB

Kui korrutis AB on defineeritud, ei pruugi korrutis BA defineeritud olla. Täpsemalt on mõlemad korrutised defineeritud parajasti siis, kui A ja B on sama järku ruutmaatriksid. Ka siis, kui AB ja BA on defineeritud, ei pruugi need korrutised võrdsed olla, st üldjuhul

AB ≠ BA.

st erinevalt reaal- või kompleksarvude korrutamisest pole maatriksite korrutamine kommutatiivne.

Pöördmaatriks

Ruutmaatriksi A pöördmaatriksiks nimetatakse maatrksit B, mis rahuldab tingimust
 
kus I on ühikmaatriks. Pöördmaatriksit tähistatakse sümboliga . Ruutmaatriksil leidub pöördmaatriks parajasti siis, kui selle determinant on nullist erinev ehk kui see on regulaarne. Maatriksi A pööramiseks nimetatakse tehet, mis seisneb ülalantud tingimust rahuldava maatriksi B leidmises.

Vaata ka 
 Regulaarne maatriks
 Ühikmaatriks
 Nullmaatriks
 Skalaarmaatriks
 Diagonaalne maatriks
 Jordani kast
 Kolmnurkmaatriks
 Transponeeritud maatriks
 Sümmeetriline maatriks
 Kaldsümmeetriline maatriks
 Ortogonaalne maatriks
 Kaasmaatriks
 Hermiitiline maatriks
 Antihermiitiline maatriks
 Unitaarne maatriks

Viited

Välislingid 
 Võrgus leiduvad maatriksite kalkulaatorid
 Otsingumootor wolframalpha, mis lahendab mathematica programmeerimiskoodi, sh maatrikseid
 Xiao, Gang Matrix calculator
 Online matrix calculator

Lineaaralgebra