0,999...

Στα μαθηματικά, ο περιοδικός δεκαδικός 0,999…, ο οποίος μπορεί επίσης να γραφτεί ως  ή , συμβολίζει ένα πραγματικό αριθμό που μπορεί να αποδειχθεί πως είναι ο αριθμός 1. Με άλλα λόγια, οι συμβολισμοί "0,999…" και "1" αναπαριστούν τον ίδιο αριθμό.

Η ισότητα 0,999… = 1 είναι εδώ και καιρό αποδεκτή από τους μαθηματικούς και συμπεριλαμβάνεται σε ακαδημαϊκά συγγράμματα. Τις τελευταίες δεκαετίες οι ερευνητές της διδακτικής των μαθηματικών μελέτησαν τον βαθμό στον οποίο το κοινό αποδέχεται την εν λόγω ισότητα. Μερικοί την απορρίπτουν λόγω των αντιλήψεων τους ότι κάθε αριθμός έχει μοναδική δεκαδική γραφή, ότι θα πρέπει να υπάρχουν μη-αρνητικοί απειροστοί αριθμοί, ή ότι η γραφή του 0,999… και κατ' επέκταση το πλήθος των ψηφίων του είναι πεπερασμένο. 

Γενικά, βάσει της ισότητας 0,999...=1 κάθε αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με δύο τρόπους, ως απλός δεκαδικός αριθμός και ως περιοδικός αριθμός (επί παραδείγματι το 8,32 και το 8,31999... αναπαριστούν τον ίδιο αριθμό). Η πρώτη αναπαράσταση είναι αυτή που προτιμάται σχεδόν πάντα με αποτέλεσμα να δημιουργηθεί η λανθασμένη αντίληψη ότι είναι η μόνη αναπαράσταση.  Οι αντιλήψεις αυτές αποτυγχάνουν στους πραγματικούς αριθμούς.

Αλγεβρικές Αποδείξεις

Αλγεβρικές αποδείξεις που δείχνουν ότι 0,999 ... αντιπροσωπεύει τον αριθμό 1 χρησιμοποιούν έννοιες , όπως κλάσματα,διχοτόμηση, και ψηφίο χειρισμού για τη δημιουργία μετασχηματισμών που διατηρούν την ισότητα από 0,999 ... προς 1.

Κλάσματα και Διχοτόμηση

Ένας λόγος για τον οποίο είναι άπειρα δεκαδικά μια αναγκαία προέκταση των πεπερασμένων δεκαδικών είναι να εκπροσωπεί τα κλάσματα. Χρησιμοποιώντας διχοτόμηση, μια απλή διαίρεση των ακεραίων, όπως 1/9 γίνεται ένα επαναλαμβανόμενο δεκαδικό, 0,111 ..., όπου τα ψηφία επαναλαμβάνουν χωρίς τέλος. Αυτό το δεκαδικό δίνει μια γρήγορη απόδειξη για  0,999 ... = 1. Πολλαπλασιασμός των 9 φορές 1 παράγει 9 σε κάθε ψηφίο, έτσι 9 × 0,111 ... ισούται με   
0,999 ... και 9 × 1/9 ισούται με 1, οπότε 0,999 ... = 1:

Μια άλλη μορφή αυτής της απόδειξης πολλαπλασιάζει το 1/3 = 0,333 ... με το 3.

Χειρισμός ψηφίου

Όταν ένας αριθμός σε δεκαδική μορφή πολλαπλασιάζεται με το 10, τα ψηφία δεν αλλάζουν, αλλά κάθε ψηφίο μετακινείται κατά μία θέση προς τα αριστερά. Έτσι, 10 × 0,999 ... ισούται με  9,999 ..., το οποίο είναι 10 μεγαλύτερος από τον αρχικό αριθμό. Για να γίνει αυτό, θεωρείστε ότι αφαιρώντας 0,999 ... από 9,999 ..., καθένα από τα ψηφία μετά την υποδιαστολή μηδενίζεται, δηλαδή το αποτέλεσμα είναι 9-9 = 0 για κάθε τέτοιο ψηφίο. Το τελικό βήμα χρησιμοποιεί άλγεβρα:

Συζήτηση

Παρόλο που αυτές οι αποδείξεις αποδεικνύουν ότι 0,999 ... = 1,ο βαθμός στον οποίο αυτές "εξηγούν" την εξίσωση εξαρτάται από το κοινό. Στην εισαγωγική αριθμητική, όπως αποδείξεις που βοηθούν να κατανοηθεί γιατί 0,999 ...  =  1, αλλά 0,333 ...  < 0,34. Και στην εισαγωγική άλγεβρα, οι αποδείξεις εξηγούν γιατί η γενική μέθοδος μετατροπής κλασμάτων και δεκαδικών ψηφίων  λειτουργεί. Αλλά οι αποδείξεις ρίχνουν λίγο φως στη θεμελιώδη σχέση μεταξύ δεκαδικών ψηφίων και των αριθμών που αντιπροσωπεύουν, το οποίο κρύβεται πίσω από το ερώτημα "πώς δύο διαφορετικές δεκαδικές αναπαραστάσεις μπορούμε να πούμε ότι είναι ίσες σε όλα". Ο Γουίλιαμ Μπάγιερς υποστηρίζει ότι ένας μαθητής ο οποίος συμφωνεί ότι 0,999 ... = 1 λόγω των παραπάνω αποδείξεων, αλλά χωρις να έχει αποσαφηνίσει τα πράγματα, δεν καταλαβαίνει πραγματικά την εξίσωση.  Ο Φρεντ Ρίχμαν ισχυρίζεται ότι το πρώτο επιχείρημα "παίρνει τη δύναμή του από το γεγονός ότι οι περισσότεροι άνθρωποι έχουν μάθει να δέχονται την πρώτη εξίσωση χωρίς να σκέφτονται". Μόλις ένα σύστημα αναπαράστασης ορίζεται, μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να δικαιολογήσει τους κανόνες της δεκαδικής αριθμητικής που χρησιμοποιείται στις παραπάνω αποδείξεις. Επιπλέον, μπορεί κανείς άμεσα να αποδείξει ότι και το 0,999 ... και  το 1,000 ... αντιπροσωπεύουν το ίδιο πραγματικό αριθμό. Αυτό γίνεται παρακατω.

Αναλυτικές Αποδείξεις

Δεδομένου ότι το ζήτημα 0,999 ... δεν επηρεάζει την επίσημη ανάπτυξη των μαθηματικών, μπορεί να μετατεθεί μέχρι να αποδειχθούν τα βασικά θεωρήματα της πραγματική ανάλυση. Μια απαίτηση είναι να χαρακτηριστούν πραγματικοί αριθμοί που μπορούν να γραφτούν σε δεκαδική μορφή, αποτελούμενοι από ένα προαιρετικό σύμβολο, μια πεπερασμένη ακολουθία οποιουδήποτε αριθμού  ψηφίων που αποτελούν ακέραιο μέρος, μια υποδιαστολή, και μια ακολουθία ψηφίων που σχηματίζουν ένα κλασματικό μέρος. Για τους σκοπούς της συζήτησης 0,999 ..., το ακέραιο μέρος μπορεί να συνοψιστεί ως b0 και παραμελώντας τους αρνητικούς ,η δεκαδική επέκταση έχει τη μορφή

Το κλασματικό μέρος, σε αντίθεση με το ακέραιο μέρος, δεν περιορίζεται σε έναν πεπερασμένο αριθμό ψηφίων. Αυτή είναι μια ένδειξη θέσης, έτσι ώστε για παράδειγμα, το 5 στο 500 συμβάλλει δέκα φορές όσο το 5 στο 50 και το 5 στο 0,05 συνεισφέρει ένα δέκατο όσο και το 5 σε 0,5.

Άπειρες σειρές και ακολουθίες

Ίσως η πιο κοινή ανάπτυξη των δεκαδικών επεκτάσεων είναι να ορίσουμε ως ποσά των άπειρες σειρές. Σε γενικές γραμμές:

Για 0,999 ... μπορεί κανείς να εφαρμόσει το Σύγκλιση θεώρημα σχετικό με την γεωμετρική σειρά

Αν  τότε 

Από τότε που το 0,999 ... είναι ένα τέτοιο ποσό με κοινή αναλογία r = , το θεώρημα κάνει σύντομη εργασία του θέματος:

Η απόδειξη αυτή (δηλαδή ότι το 10 ισούται με 9,999 ...) Εμφανίζεται ήδη από το 1770 στο βιβλίο του Leonhard Euler   Στοιχεία της άλγεβρας.

Το άθροισμα της γεωμετρικής σειράς είναι το ίδιο ένα αποτέλεσμα ακόμη μεγαλύτερο από του Euler.Μια τυπική παραγωγή του 18ου αιώνα που ήδη χρησιμοποιεί έναν όρο προς όρο χειρισμό παρόμοιο με την αλγεβρική απόδειξη που αναφέρεται παραπάνω, το 1811, από το βιβλίο του Bonnycastle "μια εισαγωγή στην Άλγεβρα" χρησιμοποιεί ένα τέτοιο επιχείρημα για γεωμετρική σειρά για να δικαιολογήσει τον ίδιο ελιγμό στο 0,999 ... Μια αντίδραση του 19ου αιώνα σε αυτές τις φιλελεύθερες μεθόδους άθροισης οδήγησε στον ορισμό που εξακολουθεί να κυριαρχεί σήμερα: το άθροισμα μιας σειράς  ορίζεται να είναι το όριο της ακολουθίας των μερικών αθροισμάτων της. Μια αντίστοιχη απόδειξη του θεωρήματος που υπολογίζει ρητές ακολουθίες. Μπορεί να βρεθεί σε οποιαδήποτε απόδειξη που βασίζεται στο λογισμό ή ανάλυση.

Η ακολουθία (x0, x1, x2, ...)έχει όριο  Χ αν στην απόσταση |x − xn|  γίνουν n αυθαίρετες μικρές αυξήσεις. Η δήλωση ότι 0,999 ... = 1 μπορεί να ερμηνευθεί και να αποδειχθεί ως ένα όριο:

Το τελευταίο βήμα, του ότι το  → 0 όταν το n → ∞, συχνά αιτιολογείται από το Ιδιοκτησία του Αρχιμήδη των πραγματικών αριθμών. Αυτή η βασισμένη στο όριο στάση απέναντι στο 0,999 ... συχνά βάλει σε πιο υποβλητικούς αλλά λιγότερο ακριβείς όρους. Για παράδειγμα, το  βιβλίο 'Αριθμητική για το πανεπιστήμιο'  εξηγεί "αν το  0,999, συνέχιζε στο άπειρο θα γινόταν 1, Επειδή κάθε προσάρτηση των 9 φέρνει την τιμή πιο κοντά στο 1 ". Το βιβλίο 'Αριθμητική για τα Σχολεία' λέει , "... όταν ένας μεγάλος αριθμός με 9 έχει ληφθεί, η διαφορά μεταξύ 1 και 0,99999 ... γίνεται απίστευτα μικρή".

Ένθετα διαστήματα και ελάχιστα άνω φράγματα

	

Ο ορισμός σειράς παραπάνω είναι ένας απλός τρόπος για να καθοριστεί ο πραγματικός αριθμός που ονομάζεται από μια δεκαδική επέκταση. Μια συμπληρωματική προσέγγιση έχει προσαρτηθεί στην αντίθετη διαδικασία: για ένα δοσμένο πραγματικό αριθμό, καθορίστε τη δεκαδική επέκταση (-ες) για να τον ονομάσετε.
 
		 
	
Εάν ένας πραγματικός αριθμός x είναι γνωστό ότι ανήκει στο κλειστό διάστημα [0, 10] (δηλαδή, είναι μεγαλύτερος από ή ίσος με το 0 και μικρότερος από ή ίσος με το 10), μπορεί κανείς να φανταστεί τη διαίρεση του διαστήματος σε δέκα κομμάτια που επικαλύπτονται μόνο στα άκρα τους: [0, 1], [1, 2], [2, 3], και ούτω καθεξής μέχρι [9, 10]. Ο αριθμός Χ πρέπει να ανήκει σε ένα από αυτά? Αν ανήκει στο [2, 3], τότε καταγράφεται το ψηφίο «2» και υποδιαιρεί το διάστημα σε [2, 2.1], [2.1, 2.2], .. ., [2,8, 2,9], [2,9, 3]. Συνεχίζοντας αυτή τη διαδικασία προκύπτει μια άπειρη ακολουθία του ένθετα διαστήματα,που επισημαίνονται με μια άπειρη ακολουθία ψηφίων b0, b1, b2, b3 ..., και  γράφεται
 
		 
	

 
		 
	
Σε αυτό το φορμαλισμό, οι ταυτότητες 1 = 0,999 ... και 1 = 1,000 ... αντανακλούν, αντίστοιχα, το γεγονός ότι το 1 έγκειται στο [0, 1] και [1, 2], οπότε μπορεί να επιλεχθεί κάποιο υποδιάστημα κατά την εύρεση ψηφίων του. Για να εξασφαλιστεί ότι αυτή η σημείωση δεν καταχράται το σύμβολο «=», κάποιος χρειάζεται ένας τρόπος για να ανακατασκευαστεί ένας μοναδικός πραγματικός αριθμός για κάθε δεκαδικό. Αυτό μπορεί να γίνει με τα όρια, αλλά και άλλες κατασκευές συνεχίζονται με το απαιτούμενο θέμα.
 
		

Μια απλή επιλογή είναι το θεώρημα ένθετων διαστημάτων, που εγγυάται ότι δοσμένης μιας ακολουθίας ένθετων, κλειστών διαστημάτων των οποίων τα μήκη  έχουν γίνει αυθαίρετα μικρά, τα διαστήματα περιέχουν ακριβώς ένα πραγματικό αριθμό  [τομή [(θεωρία συνόλων) | τομή]] τους. Έτσιb0.b1b2b3...  ορίζεται να είναι ο μοναδικός αριθμός που περιέχεται σε όλα τα διαστήματα [b0,b0 + 1],[b0.b1,b0.b1+0.1], και ούτω καθεξής. 0.999 ... τότε είναι ο μοναδικός πραγματικός αριθμός που βρίσκεται σε όλα τα χρονικά διαστήματα [0, 1], [0.9, 1], [0.99, 1], και [0,99 ... 9, 1], για κάθε πεπερασμένη συμβολοσειρά 9s. Καθώς το 1 είναι ένα στοιχείο του καθενός από αυτά τα διαστήματα, 0,999 ... . = 1 
 
		 
	
Η Φωλιά θεώρημα διαστήματα συνήθως στηρίζεται σε ένα πιο θεμελιώδες χαρακτηριστικό των πραγματικών αριθμών: η ύπαρξη ελάχιστο άνω φράγμα s ή suprema. Για να εκμεταλλευθούν άμεσα αυτά τα αντικείμενα, μπορεί να καθοριστεί b0.b1b2b3...  ως το ελάχιστο άνω φράγμα του συνόλου των approximants  {b0,b0.b1,b0.b1b2, ...}. Έτσι στη συνέχεια  μπορεί να αποδειχθεί ότι αυτός ο ορισμός (ή το ένθετων ορισμός διαστήματα) είναι σύμφωνος με τη διαδικασία υποδιαίρεσης, υπονοώντας 0.999 ... = 1 και πάλι.Ο Tom Apostol συμπεραίνει οτι
 
		
Το γεγονός ότι ένας πραγματικός αριθμός μπορεί να έχει δύο διαφορετικές δεκαδικές αναπαραστάσεις είναι απλώς μια αντανάκλαση του γεγονότος ότι δύο διαφορετικά σύνολα των πραγματικών αριθμών μπορεί να έχουν την ίδιο ελάχιστο άνω φράγμα ..

Αποδείξεις από την κατασκευή των πραγματικών αριθμών

Ορισμένες προσεγγίσεις ορίζουν ρητά  πραγματικούς αριθμούς  δομές που δημιουργήθηκαν κατά την αριθμιτική ορθολογική, με αξιωματική θεωρία συνόλων. Οι φυσικός αριθμός  - 0, 1, 2, 3, και ούτω καθεξής - αρχίζουν με 0 και συνεχίζουν προς τα πάνω, έτσι ώστε κάθε αριθμός έχει διάδοχο. Κάποιος μπορεί να επεκτείνει τους φυσικούς αριθμούς με τα αρνητικά τους να δώσουν όλα τα ακέραιος , και να επεκτείνει περαιτέρω τις αναλογίες, δίνοντας την αριθμιτική ορθολογική . Αυτά τα αριθμητικά συστήματα  συνοδεύονται από την αριθμητική πρόσθεση, αφαίρεση, πολλαπλασιασμό και διαίρεση. Πιο διακριτικά, περιλαμβάνουν διάταξη, έτσι ώστε ένας αριθμός να μπορεί να συγκριθεί με ένα άλλο και βρέθηκε να είναι μικρότερος από, μεγαλύτερος από, ή ίσος με άλλο αριθμό.

Το βήμα από ρητούς σε πραγματικούς είναι μια σημαντική επέκταση. Υπάρχουν τουλάχιστον δύο δημοφιλείς τρόποι για να επιτευχθεί αυτό το βήμα, και οι δύο δημοσιευμένοι το 1872: Dedekind cut s\ και ακολουθία Cauchy. Αποδείξεις ότι 0.999 ... = 1 που χρησιμοποιούν άμεσα αυτές τις κατασκευές δεν βρίσκονται στα σχολικά βιβλία για την πραγματική ανάλυση, όπου η σύγχρονη τάση για τις τελευταίες δεκαετίες ήταν να χρησιμοποιήθει μια αξιωματική ανάλυση. Ακόμα και όταν μια κατασκευή προσφέρεται, συνήθως εφαρμόζεται προς απόδειξη αξιωμάτων των πραγματικών αριθμών, τα οποία υποστηρίζουν στη συνέχεια τις παραπάνω αποδείξεις. Ωστόσο, αρκετοί συγγραφείς εκφράζουν την ιδέα ότι, ξεκινώντας με μια κατασκευή είναι πιο λογικά σκόπιμο, και οι αποδείξεις που προκύπτουν είναι πιο ολοκληρωμένες.

Τομή Dedekind

Κατά την προσέγγιση της τομής Ντέντεκιντ , κάθε πραγματικός αριθμόςΧ ορίζεται ως άπειρο σύνολο του συνόλου των ρητών αριθμών λιγότερο απόΧ.  Συγκεκριμένα, ο πραγματικός αριθμός 1 είναι το σύνολο όλων των ρητών αριθμών που είναι μικρότεροι από 1.  Κάθε θετική δεκαδική επέκταση καθορίζει εύκολα ένα Dedekind cut:. Το σύνολο των ρητών αριθμών που είναι μικρότεροι από κάποιο στάδιο της επέκτασης. Έτσι, ο πραγματικός αριθμός 0.999 ... είναι το σύνολο των ρητών αριθμών r τέτοιοι ώστε r<0, orr<0.9, orr<0.99, orr είναι μικρότεροι από κάποιον άλλο αριθμό του εντύπου

Κάθε στοιχείο των 0.999 ... είναι μικρότερο από 1, έτσι ώστε να είναι ένα στοιχείο του πραγματικού αριθμού 1. Αντιστρόφως, ένα στοιχείο 1 είναι ένας ρητός αριθμός

η οποία συνεπάγεται

Από το 0.999 ... 1 και περιέχουν τους ίδιους ρητούς αριθμούς, είναι το ίδιο σύνολο: 0.999 ... = 1.

Ο ορισμός των πραγματικών αριθμών ως Dedekind Cut εκδόθηκε για πρώτη φορά από την Richard Dedekind το 1872. 
Η παραπάνω προσέγγιση για την ανάθεση πραγματικού αριθμού σε κάθε δεκαδικό επέκτασης οφείλεται σε ένα χαρτί expository τίτλου "Is 0,999 ... = 1;" από τον Fred Richman στο Μαθηματικά Magazine, το οποίο απευθύνεται σε εκπαιδευτικούς συλλογικών μαθηματικών, ιδιαίτερα στο κατώτερο / ανώτερο επίπεδο, και τους μαθητές τους.  Ο Richman σημειώνει ότι η λήψη Dedekind Cut σε οποιοδήποτε πυκνό υποσύνολο των ρητών αριθμών παράγει τα ίδια αποτελέσματα. Ειδικότερα, χρησιμοποιεί δεκαδικό κλάσμα , για τα οποία η απόδειξη είναι πιο άμεση. Σημειώνει, επίσης, ότι συνήθως οι ορισμοί επιτρέπουν  το
{X: x <1} να είναι μια περικοπή, αλλά όχι το {x: x ≤ 1}. (Ή το αντίστροφο) "Γιατί αυτο;" Ακριβώς για να αποκλείσει την ύπαρξη διακριτών αριθμών 0.9 * και 1 [...] Έτσι, βλέπουμε ότι στον παραδοσιακό ορισμό των πραγματικών αριθμών, η εξίσωση 0.9 * = 1 είναι χτισμένη στο ξεκίνημα. Μια περαιτέρω τροποποίηση της διαδικασίας οδηγεί σε μια διαφορετική δομή όπου τα δύο δεν είναι ίσα. Παρά το γεγονός ότι είναι συνεπείς, πολλοί από τους κοινούς κανόνες των δεκαδικών αριθμητικών δεν ισχύουν πλέον, για παράδειγμα, το κλάσμα 1/3 δεν έχει εκπροσώπηση. Βλέπε "Εναλλακτικά συστήματα αριθμός" παρακάτω.

Ακολουθίες Cauchy

Μια άλλη προσέγγιση είναι να ορίσουμε ένα πραγματικό αριθμό με  'το όριο της ακολουθίας Cauchy ρητών αριθμών ». Η κατασκευή των πραγματικών αριθμών χρησιμοποιεί τη διάταξη των ρητών λιγότερο άμεσα. Πρώτον, η απόσταση μεταξύ των x  και y ορίζεται ως η απόλυτη τιμή |x − y|, όπου η απόλυτη τιμή | z | ορίζεται ως το μέγιστο των Ζ και  −  Ζ, συνεπώς ποτέ αρνητική. Στη συνέχεια, οι πραγματικοί ορίζεται να είναι οι ακολουθίες των ρητών που έχουν την ιδιότητα των ακολουθιών Cauchy  χρησιμοποιώντας αυτή την απόσταση.Δηλαδή, στην ακολουθία (x0, x1, x2, ...), μια χαρτογράφηση από φυσικούς αριθμούς σε ρητούς, για κάθε θετικό  δ υπάρχει ένα Ν τέτοιο ώστε |xm − xn| ≤ δ για κάθε  m, n >  Ν. (Η απόσταση μεταξύ των όρων γίνεται μικρότερη από οποιαδήποτε θετικό αριθμό.)

Αν (xn) και (yn) είναι δύο ακολουθείες Cauchy ,τότε αυτές ορίζονται στο είναι ίση με πραγματικούς αριθμούς,  αν η ακολουθία (xn − yn) έχει όριο το 0. Η αποκοπή του δεκαδικού αριθμού b0.b1b2b3... παράγει μια ακολουθία ρητών που είναι Cauchy, αυτό χρησιμοποιείται για να καθορίσει την πραγματική αξία του αριθμού. Έτσι, στόχος αυτής της διαδικασίας είναι να δείξουμε ότι η ακολουθία  

έχει όριο το 0.Λαμβάνοντας υπόψη την nστη διάρκεια της ακολουθίας, για n=0,1,2,..., επομένως, πρέπει να αποδειχθεί ότι

Το όριο αυτό είναι απλό,  μια πιθανή απόδειξη είναι ότι για ε = a/b > 0 μπορεί κανείς να πάρει N = b  στον ορισμό του όριο μίας ακολουθίας. Έτσι και πάλι 0.999... = 1.

Ο ορισμός των πραγματικών αριθμών, όπως ακολουθίες Cauchy εκδόθηκε για πρώτη φορά ξεχωριστά από τον Eduard Heine και τον Georg Cantor, το 1872. Η παραπάνω προσέγγιση στις δεκαδικές επεκτάσεις, συμπεριλαμβανομένης της απόδειξης ότι 0.999 ... = 1, ακολουθεί στενά το βιβλίο των κλασικών μαθηματικών "Μια σύγχρονη ερμηνεία" έργο των Griffiths και Hilton.  Το βιβλίο είναι γραμμένο ειδικά για να προσφέρει μια δεύτερη ματιά σε γνωστές έννοιες σε ένα σύγχρονο πρίσμα.

Γενικεύσεις

Το αποτέλεσμα ότι 0.999 ... = 1 γενικεύεται εύκολα με δύο τρόπους. Πρώτον, κάθε μη μηδενικό αριθμό με πεπερασμένο δεκαδικό συμβολισμό (ισοδύναμα, ατελείωτα 0 πίσω) έχει ένα αντίστοιχο με καταληκτικά 9. Για παράδειγμα, ο 0,24999 ... ισούται με 0,25. Οι αριθμοί αυτοί είναι ακριβώς τα δεκαδικά κλάσματα, και είναι πυκνή.

Δεύτερον, ένα παρόμοιο θεώρημα ισχύει σε κάθε ρίζα ή βάσης. Για παράδειγμα, στη βάση 2, (το δυαδικό σύστημα αρίθμησης) 0.111 ... ισούται με 1, και στη βάση 3 (το τριαδικό σύστημα αρίθμησης) 0.222 ... ισούται με 1. Τα  διδακτικά βιβλία της πραγματικής ανάλυσης είναι πιθανό να παραλείψουν το παράδειγμα των 0.999 ... και παρουσιάζουν μία ή δύο από αυτές τις γενικεύσεις από την αρχή.

Εναλλακτικές αναπαραστάσεις για το 1 εμφανίζονται ακόμα και σε μη ακέραιες βάσεις. Για παράδειγμα, στο λόγος χρυσής βάσης, οι δύο τυπικές αναπαραστάσεις είναι 1.000 ... και 0.101010 ..., και υπάρχουν απείρως πολλά περισσότερες παραστάσεις που περιλαμβάνουν γειτονικά 1. Γενικώς, το σχεδόν όλων q μεταξύ 1 και 2, υπάρχουν αμέτρητες βάσης q επεκτάσεις του 1. Από την άλλη πλευρά, εξακολουθούν να υπάρχουν πολλά μη αριθμήσιμα q (συμπεριλαμβανομένων όλων των φυσικών αριθμών μεγαλύτερο από 1) για τις οποίες υπάρχει μόνο μία βάση q επέκταση των 1, εκτός από το ασήμαντο 1.000 .... Το αποτέλεσμα ήταν το πρώτο που λαμβάνεται από τον Paul Erdős, τον Miklos Horváth και τον István Joó γύρω στο 1990. Το 1998  ο Vilmos Komornik και η  Paola Loreti καθορίζουν μια μικρότερη τέτοια βάση, την Komornik-Loreti σταθερά q = 1,787231650 .... Σε αυτή τη βάση, 1 = 0.11010011001011010010110011010011 ...Τα ψηφία δίνονται από την Thue-Morse ακολουθία, η οποία δεν επαναλαμβάνεται.
 
Μια πιο εκτεταμένη  γενίκευση μη τυποποιημένων θέσεων αριθμητικών συστημάτων. Έχουν πάρα πολλές παραστάσεις, και κατά κάποιο τρόπο οι δυσκολίες είναι μεγαλύτερες. Για παράδειγμα:
 Στο ισορροπημένο τριαδικό σύστημα, 1/2 = 0.111... = 1.111....
 Στο αντίστροφο παραγοντικό σύστημα αρίθμησης (χρήση βάσεων 2,3,4, ... για τις θέσεις μετά την υποδιαστολή), 1 = 1.000 ... = 0,1234 ....

Αδυναμία ύπαρξης μοναδικής αναπαράστασης
Το ότι όλα αυτά τα διαφορετικά αριθμητικά συστήματα πάσχουν από πολλαπλές αναπαραστάσεις για ορισμένους πραγματικούς αριθμούς μπορεί να αποδοθεί σε μια θεμελιώδη διαφορά μεταξύ των πραγματικών αριθμών, ως διατεταγμένο σύνολο και συλλογές άπειρες σειρές των συμβόλων, διέταξε λεξικογραφικά. Πράγματι, οι ακόλουθες δύο ιδιότητες εκφράζουν τη δυσκολία:

 Αν μια διάστημα του πραγματικός αριθμός s είναι [partition [ενός συνόλου | διαμέριση]][14]

Τομή Dedekind

Κατά την προσέγγιση της τομής Ντέντεκιντ , κάθε πραγματικός αριθμόςΧ ορίζεται ως άπειρο σύνολο του συνόλου των ρητών αριθμών λιγότερο απόΧ.  Συγκεκριμένα, ο πραγματικός αριθμός 1 είναι το σύνολο όλων των ρητών αριθμών που είναι μικρότεροι από 1.  Κάθε θετική δεκαδική επέκταση καθορίζει εύκολα ένα Dedekind cut:. Το σύνολο των ρητών αριθμών που είναι μικρότεροι από κάποιο στάδιο της επέκτασης. Έτσι, ο πραγματικός αριθμός 0.999 ... είναι το σύνολο των ρητών αριθμών r τέτοιοι ώστε r<0, orr<0.9, orr<0.99, orr είναι μικρότεροι από κάποιον άλλο αριθμό του εντύπου

Κάθε στοιχείο των 0.999 ... είναι μικρότερο από 1, έτσι ώστε να είναι ένα στοιχείο του πραγματικού αριθμού 1. Αντιστρόφως, ένα στοιχείο 1 είναι ένας ρητός αριθμός

η οποία συνεπάγεται

Από το 0.999 ... 1 και περιέχουν τους ίδιους ρητούς αριθμούς, είναι το ίδιο σύνολο: 0.999 ... = 1.

Ο ορισμός των πραγματικών αριθμών ως Dedekind Cut εκδόθηκε για πρώτη φορά από την Richard Dedekind το 1872. 
Η παραπάνω προσέγγιση για την ανάθεση πραγματικού αριθμού σε κάθε δεκαδικό επέκτασης οφείλεται σε ένα χαρτί expository τίτλου "Is 0,999 ... = 1;" από τον Fred Richman στο Μαθηματικά Magazine, το οποίο απευθύνεται σε εκπαιδευτικούς συλλογικών μαθηματικών, ιδιαίτερα στο κατώτερο / ανώτερο επίπεδο, και τους μαθητές τους.  Ο Richman σημειώνει ότι η λήψη Dedekind Cut σε οποιοδήποτε πυκνό υποσύνολο των ρητών αριθμών παράγει τα ίδια αποτελέσματα. Ειδικότερα, χρησιμοποιεί δεκαδικό κλάσμα , για τα οποία η απόδειξη είναι πιο άμεση. Σημειώνει, επίσης, ότι συνήθως οι ορισμοί επιτρέπουν  το
{X: x <1} να είναι μια περικοπή, αλλά όχι το {x: x ≤ 1}. (Ή το αντίστροφο) "Γιατί αυτο;" Ακριβώς για να αποκλείσει την ύπαρξη διακριτών αριθμών 0.9 * και 1 [...] Έτσι, βλέπουμε ότι στον παραδοσιακό ορισμό των πραγματικών αριθμών, η εξίσωση 0.9 * = 1 είναι χτισμένη στο ξεκίνημα. Μια περαιτέρω τροποποίηση της διαδικασίας οδηγεί σε μια διαφορετική δομή όπου τα δύο δεν είναι ίσα. Παρά το γεγονός ότι είναι συνεπείς, πολλοί από τους κοινούς κανόνες των δεκαδικών αριθμητικών δεν ισχύουν πλέον, για παράδειγμα, το κλάσμα 1/3 δεν έχει εκπροσώπηση. Βλέπε "Εναλλακτικά συστήματα αριθμός" παρακάτω.

Ακολουθίες Cauchy

Μια άλλη προσέγγιση είναι να ορίσουμε ένα πραγματικό αριθμό με  'το όριο της ακολουθίας Cauchy ρητών αριθμών ». Η κατασκευή των πραγματικών αριθμών χρησιμοποιεί τη διάταξη των ρητών λιγότερο άμεσα. Πρώτον, η απόσταση μεταξύ των x  και y ορίζεται ως η απόλυτη τιμή |x − y|, όπου η απόλυτη τιμή | z | ορίζεται ως το μέγιστο των Ζ και  −  Ζ, συνεπώς ποτέ αρνητική. Στη συνέχεια, οι πραγματικοί ορίζεται να είναι οι ακολουθίες των ρητών που έχουν την ιδιότητα των ακολουθιών Cauchy  χρησιμοποιώντας αυτή την απόσταση.Δηλαδή, στην ακολουθία (x0, x1, x2, ...), μια χαρτογράφηση από φυσικούς αριθμούς σε ρητούς, για κάθε θετικό  δ υπάρχει ένα Ν τέτοιο ώστε |xm − xn| ≤ δ για κάθε  m, n >  Ν. (Η απόσταση μεταξύ των όρων γίνεται μικρότερη από οποιαδήποτε θετικό αριθμό.)

Αν (xn) και (yn) είναι δύο ακολουθείες Cauchy ,τότε αυτές ορίζονται στο είναι ίση με πραγματικούς αριθμούς,  αν η ακολουθία (xn − yn) έχει όριο το 0. Η αποκοπή του δεκαδικού αριθμού b0.b1b2b3... παράγει μια ακολουθία ρητών που είναι Cauchy, αυτό χρησιμοποιείται για να καθορίσει την πραγματική αξία του αριθμού. Έτσι, στόχος αυτής της διαδικασίας είναι να δείξουμε ότι η ακολουθία  

έχει όριο το 0.Λαμβάνοντας υπόψη την nστη διάρκεια της ακολουθίας, για n=0,1,2,..., επομένως, πρέπει να αποδειχθεί ότι

Το όριο αυτό είναι απλό,  μια πιθανή απόδειξη είναι ότι για ε = a/b > 0 μπορεί κανείς να πάρει N = b  στον ορισμό του όριο μίας ακολουθίας. Έτσι και πάλι 0.999... = 1.

Ο ορισμός των πραγματικών αριθμών, όπως ακολουθίες Cauchy εκδόθηκε για πρώτη φορά ξεχωριστά από τον Eduard Heine και τον Georg Cantor, το 1872. Η παραπάνω προσέγγιση στις δεκαδικές επεκτάσεις, συμπεριλαμβανομένης της απόδειξης ότι 0.999 ... = 1, ακολουθεί στενά το βιβλίο των κλασικών μαθηματικών "Μια σύγχρονη ερμηνεία" έργο των Griffiths και Hilton.  Το βιβλίο είναι γραμμένο ειδικά για να προσφέρει μια δεύτερη ματιά σε γνωστές έννοιες σε ένα σύγχρονο πρίσμα.

Γενικεύσεις

Το αποτέλεσμα ότι 0.999 ... = 1 γενικεύεται εύκολα με δύο τρόπους. Πρώτον, κάθε μη μηδενικό αριθμό με πεπερασμένο δεκαδικό συμβολισμό (ισοδύναμα, ατελείωτα 0 πίσω) έχει ένα αντίστοιχο με καταληκτικά 9. Για παράδειγμα, ο 0,24999 ... ισούται με 0,25. Οι αριθμοί αυτοί είναι ακριβώς τα δεκαδικά κλάσματα, και είναι πυκνή.

Δεύτερον, ένα παρόμοιο θεώρημα ισχύει σε κάθε ρίζα ή βάσης. Για παράδειγμα, στη βάση 2, (το δυαδικό σύστημα αρίθμησης) 0.111 ... ισούται με 1, και στη βάση 3 (το τριαδικό σύστημα αρίθμησης) 0.222 ... ισούται με 1. Τα  διδακτικά βιβλία της πραγματικής ανάλυσης είναι πιθανό να παραλείψουν το παράδειγμα των 0.999 ... και παρουσιάζουν μία ή δύο από αυτές τις γενικεύσεις από την αρχή.

Εναλλακτικές αναπαραστάσεις για το 1 εμφανίζονται ακόμα και σε μη ακέραιες βάσεις. Για παράδειγμα, στο λόγος χρυσής βάσης, οι δύο τυπικές αναπαραστάσεις είναι 1.000 ... και 0.101010 ..., και υπάρχουν απείρως πολλά περισσότερες παραστάσεις που περιλαμβάνουν γειτονικά 1. Γενικώς, το σχεδόν όλων q μεταξύ 1 και 2, υπάρχουν αμέτρητες βάσης q επεκτάσεις του 1. Από την άλλη πλευρά, εξακολουθούν να υπάρχουν πολλά μη αριθμήσιμα q (συμπεριλαμβανομένων όλων των φυσικών αριθμών μεγαλύτερο από 1) για τις οποίες υπάρχει μόνο μία βάση q επέκταση των 1, εκτός από το ασήμαντο 1.000 .... Το αποτέλεσμα ήταν το πρώτο που λαμβάνεται από τον Paul Erdős, τον Miklos Horváth και τον István Joó γύρω στο 1990. Το 1998  ο Vilmos Komornik και η  Paola Loreti καθορίζουν μια μικρότερη τέτοια βάση, την Komornik-Loreti σταθερά q = 1,787231650 .... Σε αυτή τη βάση, 1 = 0.11010011001011010010110011010011 ...Τα ψηφία δίνονται από την Thue-Morse ακολουθία, η οποία δεν επαναλαμβάνεται.
 
Μια πιο εκτεταμένη  γενίκευση μη τυποποιημένων θέσεων αριθμητικών συστημάτων. Έχουν πάρα πολλές παραστάσεις, και κατά κάποιο τρόπο οι δυσκολίες είναι μεγαλύτερες. Για παράδειγμα:
 Στο ισορροπημένο τριαδικό σύστημα, 1/2 = 0.111... = 1.111....
 Στο αντίστροφο παραγοντικό σύστημα αρίθμησης (χρήση βάσεων 2,3,4, ... για τις θέσεις μετά την υποδιαστολή), 1 = 1.000 ... = 0,1234 ....

Αδυναμία ύπαρξης μοναδικής αναπαράστασης
Το ότι όλα αυτά τα διαφορετικά αριθμητικά συστήματα πάσχουν από πολλαπλές αναπαραστάσεις για ορισμένους πραγματικούς αριθμούς μπορεί να αποδοθεί σε μια θεμελιώδη διαφορά μεταξύ των πραγματικών αριθμών, ως διατεταγμένο σύνολο και συλλογές άπειρες σειρές των συμβόλων, διέταξε λεξικογραφικά. Πράγματι, οι ακόλουθες δύο ιδιότητες εκφράζουν τη δυσκολία:

 Αν μια διάστημα του πραγματικός αριθμός s είναι [partition [ενός συνόλου | διαμέριση
σε δύο μη κενά τμήματαL,R , έτσι ώστε κάθε στοιχείο τηςL είναι (απολύτως) μικρότερο από κάθε στοιχείο τουR, τότε είτεL περιέχει ένα μεγαλύτερο στοιχείο ήR περιέχει ένα μικρότερο στοιχείο, αλλά όχι δύο.
 Η συλλογή του άπειρου εγχόρδων s συμβόλων που λαμβάνονται από κάθε πεπερασμένο «αλφάβητο», λεξικογραφικά διατεταγμένη, μπορεί να χωριστεί σε δύο μη κενά τμήματαL,R , έτσι ώστε κάθε στοιχείο τουL να είναι μικρότερο από κάθε στοιχείο τουR, ενώL περιέχει ένα μεγαλύτερο στοιχείο και R περιέχει ένα μικρότερο στοιχείο. Πράγματι, αρκεί να λάβει δύο πεπερασμένο πρόθεμα (αρχική substrings)p1,p2 των στοιχείων από τη συλλογή, όπως ότι διαφέρουν μόνο στο τελικό τους σύμβολο, για το οποίο σύμβολο έχουν διαδοχικές τιμές, και να λάβει για L το σύνολο όλων των χορδών στη συλλογή του οποίου το αντίστοιχο πρόθεμα είναι p1, και γιαR το υπόλοιπο, οι χορδές στη συλλογή του οποίου  είναι τουλάχιστονp2. Στη συνέχεια,L έχει ένα μεγαλύτερο στοιχείο, ξεκινώντας μεp1 και επιλέγοντας το μεγαλύτερο διαθέσιμο σύμβολο σε όλες τις παρακάτω θέσεις, ενώR έχει ένα μικρότερο στοιχείο που λαμβάνεται ακολουθώντας p2 από το μικρότερο σύμβολο σε όλες τις θέσεις.

Το πρώτο σημείο προκύπτει από τις βασικές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών:L έχει μια supremum και τοR έχει μια infimum, τα οποία είναι εύκολα φαίνεται να είναι ίσα.  ένα πραγματικός αριθμός βρίσκεται είτε στοR ήL, αλλά όχι και στα δύο καθώς τα L καιR υποτίθεται ότι είναι ασυνεχές. Το δεύτερο σημείο γενικεύει την 0.999.../1.000 ... ζεύγος που λαμβάνεται γιαp 1="0",p 2="1". Στην πραγματικότητα, το ένα δεν χρειάζεται να χρησιμοποιεί το ίδιο αλφάβητο για όλες τις θέσεις (έτσι ώστε, για παράδειγμα, μικτή radix συστήματα μπορούν να περιλαμβάνονται) ή να εξετάσει την πλήρη συλλογή των πιθανών χορδών. Το μόνο σημαντικό σημείο είναι ότι σε κάθε θέση ένα πεπερασμένο συμβόλων (τα οποία μπορεί ακόμη και να εξαρτώνται από τα προηγούμενα σύμβολα) μπορεί να επιλεγεί από (αυτό είναι απαραίτητο για να διασφαλιστεί η μέγιστη και ελάχιστη επιλογή), και ότι κάνοντας μια έγκυρη επιλογή για κάθε θέση που θα πρέπει να οδηγήσει σε μια έγκυρη άπειρη χορδή (έτσι ένα δεν πρέπει να επιτρέψει "9" σε κάθε θέση, ενώ απαγορεύουν μια άπειρη διαδοχή "9"). Βάσει των υποθέσεων αυτών, το ανωτέρω επιχείρημα δείχνει ότι ο Για τη διατήρηση χάρτης από τη συλλογή των χορδών σε ένα διάστημα των πραγματικών αριθμών δεν μπορεί να είναι μια bijection: είτε ορισμένοι αριθμοί δεν αντιστοιχούν σε οποιαδήποτε σειρά, ή ορισμένες από αυτές αντιστοιχούν σε περισσότερες από μία χορδή.

Marko Petkovšek έχει αποδειχθεί ότι για κάθε θέση σύστημα που ονομάζει όλους τους πραγματικούς αριθμούς, το σύνολο των πραγματικών με πολλαπλές αναπαραστάσεις είναι πάντα πυκνό. Χρησιμοποιεί την απόδειξη "μια διδακτική άσκηση στο δημοτικό σημείο που τοπολογία",που
Περιλαμβάνει την προβολή σύνολων της θέσης αξίες με τη χώρου Stone  και την παρατήρηση ότι οι πραγματικές αντιπροσωπείες τους δίνονται από . συνεχείς συναρτήσεις

Εφαρμογες

Μία εφαρμογή του 0.999 ... ως μια αναπαράσταση του 1 εμφανίζεται στη στοιχειώδη θεωρία αριθμων. Το 1802, ο H. Goodwin δημοσίευσε μια παρατήρηση για την εμφάνιση του ψηφιου 9 στις επαναλαμβανόμενες δεκαδικές αναπαραστάσεις των κλασμάτων των οποίων οι παρονομαστές είναι ορισμένα πρώτων αριθμών. Παραδείγματα περιλαμβάνουν:
1/7 = 0.142857142857 ... και 142 + 857 = 999.
1/73 = 0.0136986301369863 ... και 0136 + 9863 = 9999.

Ο Ε. Midy απεδειξε ένα γενικό αποτέλεσμα για τετοια κλασματα, που σήμερα ονομάζεται θεώρημα του Midy, το 1836. Η δημοσίευση ήταν ασαφής, και δεν είναι σαφές αν η απόδειξη του εμπλέκεται άμεσα με το 0.999 ..., αλλά τουλάχιστον μία σύγχρονη απόδειξη του WG Leavitt το κάνει. Εάν μπορεί να αποδειχθεί ότι ένα δεκαδικό ψηφίο με τη μορφή 0.b1b2b3 ... είναι ένας θετικός ακέραιος, τότε θα πρέπει να είναι ο 0,999 ..., η οποία είναι η πηγή του 9 στο θεώρημα.  Έρευνες σε αυτή την κατεύθυνση μπορουν να παρακινήσουν τετοιες έννοιες όπως αυτη του μεγιστου κοινού διαιρέτη, modular αριθμητική, Fermat primes, σειρες από στοιχεία της ομάδας, και τετραγωνική αμοιβαιότητα.

Επιστρέφοντας στην πραγματική ανάλυση, η βάση-3 αναλογα 0.222 ... = 1 διαδραματίζει καίριο ρόλο σε ένα χαρακτηρισμό ενός από τα απλούστερα fractals, τα μεσαία τρίτα Cantor:

 Ένα σημείο στο διάστημα μονάδας έγκειται στο σύνολο Cantor, αν και μόνο αν μπορεί να αναπαρασταθεί σε τριαδικο χρησιμοποιώντας μόνο τα ψηφία 0 και 2.

Το nστο ψηφίο του παρουσιάζει τη θέση του σημείου στοnστο στάδιο της κατασκευής. Για παράδειγμα, το σημείο 2/3 είναι δεδομένη η συνηθισμένη αναπαράσταση των 0,2 ή 0,2000 ..., δεδομένου ότι βρίσκεται στα δεξιά της πρώτης διαγραφής και στα αριστερα καθε επομενης διαγραφης. Το σημείο 1/3 παριστάνεται όχι ως 0.1 αλλά ως 0,0222 ..., δεδομένου ότι βρίσκεται στα αριστερά της πρώτης διαγραφής και στα δεξιά της κάθε διαγραφής στη συνέχεια.

Η επανάληψη των 9 επίσης εμφανιζεται σαν ένα ακόμη από τα έργα του Georg Cantor. Θα πρέπει να ληφθούν υπόψη για να κατασκευάσει μια έγκυρη απόδειξη, εφαρμόζοντας το διαγώνιο επιχείρημα του , του 1891 σε δεκαδικες επεκτάσεις, και της μη μετρισημοτητας του διαστήματος της μονάδας. Μια τέτοια απόδειξη θα πρέπει να είναι σε θέση να δηλώσει ορισμένα ζεύγη των πραγματικών αριθμών να είναι διαφορετικα με βάση τις δεκαδικες επεκτάσεις τους, έτσι κάποιες πρέπει να αποφεύγονται, όπως ζεύγη 0,2 και 0,1999 ... Μια απλή μέθοδος αντιπροσωπεύει όλους τους αριθμούς με ατερμωνες επεκτάσεις. η αντίθετη μέθοδος καταργει την επανάληψη του 9  . Μια παραλλαγή που μπορεί να είναι πιο κοντά στο αρχικό επιχείρημα του Cantor  στην πραγματικότητα χρησιμοποιεί βάση το 2, και μετατρεποντας σε βάσης-3 επεκτάσεις σε βάση-2, μπορεί ακομη κανείς να αποδείξει την μη-μετρησιμοτητα του συνόλου Cantor.

Σκεπτικισμός στην εκπαίδευση 

Οι φοιτητές των μαθηματικών συχνά απορρίπτουν την ισότητα των 0.999 ... και 1, για λόγους που πηγάζουν από βαθιές ανησυχίες όσον αφορά την έννοια όριο και τις διαφωνίες σχετικά με τη φύση των απειροελάχιστων. Υπάρχουν πολλοί κοινοί παράγοντες που συμβάλλουν στη σύγχυση:
Οι μαθητές είναι συχνά «διανοητικά δεσμευμένοι στην ιδέα ότι ένας αριθμός μπορεί να αναπαρασταθεί με ένα και μονάδικο τρόπο ως δεκαδικός." Βλέποντας δύο προδήλως διαφορετικά δεκαδικά ψηφία που αντιπροσωπεύουν τον ίδιο αριθμό φαίνεται να είναι ένα παράδοξο, το οποίο ενισχύεται από την εμφάνιση του φαινομενικά καλώς εννοούμενου αριθμού 1
Μερικοί μαθητές ερμηνεύουν τον "0.999 ..." (ή παρόμοια μορφή) ως μια μεγάλη, αλλά πεπερασμένη σειρά από  9, ενδεχομένως με ένα μεταβλητό, απροσδιόριστο μήκος. Εάν δέχονται μια άπειρη σειρά από εννιάρια, μπορούν να αναμένουν ακόμα ένα τελευταίο 9 "στο άπειρο».
Η διαισθητική και διφορούμενη διδασκαλία οδηγεί τους μαθητές να σκεφτούν το όριο μιας ακολουθίας ως ένα είδος άπειρης διαδικασίας και όχι μια σταθερή αξία, δεδομένου ότι μια ακολουθία δεν χρειάζεται να φθάσει το όριο της. Όταν οι μαθητές δέχονται τη διαφορά ανάμεσα σε μια ακολουθία αριθμών και το όριό της, θα μπορούν να διαβάζουν "0.999 ..." υπό την έννοια της αλληλουχίας και όχι του ορίου της.

Οι ιδέες αυτές λανθασμένα βρίσκονται στο πλαίσιο του προτύπου πραγματικών αριθμών, αν και μερικές μπορεί να ισχύουν σε άλλα συστήματα αριθμών είτε επειδή εφευρέθηκαν για τη γενική μαθηματική χρησιμότητά τους ή ως διδακτικό αντιπαράδειγμα s για την καλύτερη κατανόηση του 0.999 ...

Πολλές από αυτές τις εξηγήσεις βρέθηκαν από τον David Tall, ο οποίος έχει μελετήσει τα χαρακτηριστικά της διδασκαλίας και της γνωστικής λειτουργίας που τον είχαν οδήγησει εκει από κάποιες παρεξηγήσεις που είχαν προκυψει από τους φοιτητές του. Παίρνοντας συνέντευξη από τους μαθητές του για να καθορίσει γιατί η συντριπτική πλειοψηφία απέρριψε αρχικά την ισότητα, διαπίστωσε ότι «οι μαθητές συνέχισαν να αντιλαμβανονται το 0,999 ... ως μια ακολουθία αριθμών όλο και πιο κοντά στο 1 και όχι ως μια σταθερή αξία, διότι « δεν έχει καθοριστει πόσες θέσεις υπάρχουν »ή« είναι το κατά το δυνατόν πλησιέστερο δεκαδικό κάτω του 1 ».

Από τις στοιχειώδεις αποδείξεις, πολλαπλασιάζοντας το 0.333 ... =1/3 με 3 φαίνεται να είναι μια επιτυχημένη στρατηγική για να πείσει τους μαθητές που αμφιβαλλουν ότι το  0.999 ... = 1. Παρόλα αυτά, όταν έρχονται αντιμέτωποι με τη σύγκρουση μεταξύ της πίστης τους στην πρώτη εξίσωση και τη δυσπιστίας τους για τη δεύτερη, κάποιοι μαθητές είτε αρχίζουν να αμφισβητουν την πρώτη εξίσωση ή απλά μπερδευονται. Καμια από τις πιο εξελιγμένες ,ακομη , μεθόδους δεν είναι αλάνθαστη: φοιτητές που είναι πλήρως ικανοι για την εφαρμογή αυστηρών ορισμών μπορεί ακόμα να εκπλαγουν στην οψη των αποτέλεσματων σε προχωρημένα μαθηματικά, συμπεριλαμβανομένων του 0.999 .... Για παράδειγμα, ένας μαθητής  της πραγματικης ανάλυσης ήταν σε θέση να αποδείξει ότι ο 0.333 ... = 1 /3 χρησιμοποιώντας τον supremum  ορισμό, αλλά επέμεινε στη συνέχεια, ότι το 0.999 ... <1 βασιζόμενος στην προηγούμενη κατανόηση του για την διχοτόμηση. Άλλοι εξακολουθούν να είναι σε θέση να αποδείξουν ότι 1/3= 0,333 ..., αλλά, μετά προκειμενου να μην βρεθούν αντιμέτωποι με την   [​​[# κλάσματα | κλασματική απόδειξη]], επιμένουν ότι  η «λογική» αντικαθιστά τους μαθηματικούς υπολογισμούς.

Ο Joseph Mazur αφηγείται την ιστορία ενός κατά τα άλλα λαμπρου  του φοιτητή λογισμού που "αμφισβήτησε σχεδόν ό,τι είπα στην τάξη, αλλά ποτέ δεν αμφισβήτησε τον υπολογιστή του," και ο οποίος πίστευε ότι εννέα ψηφία είναι το μόνο που χρειάζεται κανεις για τα μαθηματικά, όπως τον υπολογισμό της ρίζας του 23. Ο μαθητής παρέμεινε με τον περιοριστικο επιχείρημα ότι ο 9,99 ... = 10, αποκαλώντας το «αγριο​​φάνταστη άπειρη αναπαραγωγικη διαδικασία».

Ως μέρος της APOS Ed Dubinsky θεωρίας της μαθηματικής εκπαίδευσης, ο ίδιος και οι συνεργάτες του (2005) προτείνει ότι οι φοιτητές οι οποίοι συλλάβουν το 0,999 ... ως ένα πεπερασμένο, αορίστου μηκους με μια απείρως μικρή απόσταση από το 1 "δεν έχουν κατασκευάσει ακόμη μια πλήρη αντίληψη της διαδικασίας των άπειρων δεκαδικών». Άλλοι φοιτητές οι οποίοι έχουν πλήρη αντίληψη της διαδικασίας του 0.999 ... μπορεί να μην είναι ακόμη σε θέση να "ενσωματώσουν" αυτή τη διαδικασία στην " αντικειμενική αντίληψη", όπως η αντικειμενική αντίληψη που έχουν του 1, και έτσι βλέπουν την διαδικασία 0.999 ... και το αντικείμενο 1, ως ασυμβίβαστα. Ο Dubinsky et al. επίσης, συνδέει αυτή τη διανοητική ικανότητα της ενθυλάκωσης να βλέπουν το 1/3 ως μια σειρά από μόνη της και να ασχολείται με το σύνολο των φυσικών αριθμών σαν ένα σύνολο.

Στο δημοφιλή πολιτισμό

Με την άνοδο του Διαδικτύου, οι συζητήσεις για το 0.999 ... έχουν ξεφύγει από την τάξη και είναι κοινός τόπος για τις ομάδες συζητήσεων καιτους πίνακες μηνυμάτων, συμπεριλαμβανομένων πολλών που έχουν ονομαστικά λίγο να κάνουν με τα μαθηματικά. Στο newsgroup sci.math, διαφωνώντας για τον  0.999 ... έχει περιγράφεται ως ένα "δημοφιλές άθλημα", και είναι ένα από τα ερωτήματα που απαντά στο FAQ. Το FAQ ισα που καλύπτει το 1/3,  το πολλαπλασιασμό με 10, και τα όρια, και επίσης παραπέμπει σε ακολουθίες Cauchy.

Μια έκδοση του 2003 της στηλης γενικου ενδιαφέροντος της εφημερίδας The Straight Dope εξετάζει το 0.999 ... μέσω του 1/3 και τών ορίων, λέγοντας πραγματα που δεν είναι ορθά,

 Το κάτω πρωτευόντων σε μας διατηρείτε ακόμα, λέγοντας: .999 ~ δεν αντιπροσωπεύει πραγματικά μια σειρά, στη συνέχεια, αλλά μια διαδικασία. Για να βρείτε έναν αριθμό πρέπει να σταματήσει η διαδικασία,  στο σημείο στο οποίο ο .999 ~ = 1  τα πράγματα δεν συμβαινουν .Επομενως είναι ανοησίες

Δύο αποδείξεις προσφέρονται στη συνέχεια, με βάση τα όρια και τον πολλαπλασιασμό με 10.
0.999 ... εμφανιζεται επισης και στη μαθηματική λαογραφία, συγκεκριμένα στα ανέκδοτα που ακολουθούν:

Ε: Πόσοι μαθηματικοί χρειάζονται για να βιδώσουν μια λάμπα;
Α:0.9999999

Σε εναλλακτικά συστήματα αριθμών

Παρά το γεγονός ότι οι πραγματικοί αριθμοί αποτελούν ένα εξαιρετικά χρήσιμο σύστημα αριθμών, η απόφαση να ερμηνευτεί η ένδειξη «0,999 ..." με την ονοματοδοσία του πραγματικού αριθμού είναι τελικά μια σύμβαση, και ο Timothy Gowers υποστηρίζει στα Μαθηματικά οτι: μια πολύ σύντομη εισαγωγή ότι η προκύπτουσα ταυτότητα 0.999 ... = 1 είναι επίσης μια σύμβαση  :

Ωστόσο, δεν είναι σε καμία περίπτωση μια αυθαίρετη σύμβαση, διότι δεν θεσπίστηκε ώστε να αναγκάζει ούτε να εφεύρει παράξενα νέα αντικείμενα ή να εγκαταλείψει κάποιους από τους γνωστους κανόνες της αριθμητικής. 

Κάποιος μπορεί να καθορίσει και άλλα αριθμητικά συστήματα που χρησιμοποιούν διαφορετικούς κανόνες ή νέα αντικείμενα΄ σε μερικά τέτοια συστήματα αριθμών, οι παραπάνω αποδείξεις θα πρέπει να ερμηνευθούν εκ νέου και θα μπορούσε κανείς να διαπιστώσει ότι, σε ένα δεδομένο σύστημα αριθμών, το 0.999 ... και το 1, μπορεί να μην είναι ταυτόσημα. Ωστόσο, πολλά συστήματα αριθμών είναι προέκταση της, και όχι από ανεξάρτητες εναλλακτικές λύσεις προς το σύνολο των πραγματικών αριθμών, έτσι ώστε το 0.999 ... = 1 εξακολουθεί να ισχύει. Ακόμη και σε τέτοια συστήματα αριθμών, όμως, αξίζει τον κόπο να εξετάσει κανεις εναλλακτικά αριθμητικά συστήματα, όχι μόνο για το πώς ο 0,999 ... συμπεριφέρεται (αν, πράγματι, ένας αριθμός που εκφράζεται ως "0.999 ..." είναι τόσο ουσιαστικος και ξεκάθαρος), αλλά επίσης και για τη συμπεριφορά των σχετικών φαινομένων. Εάν τέτοια φαινόμενα διαφέρουν από εκείνα στο πραγματικό σύστημα αριθμών, τότε τουλάχιστον μία από τις υποθέσεις που είναι ενσωματωμένη στο σύστημα πρέπει να μην ισχύει.

Απειροελάχιστα
Μερικές αποδείξεις ότι ο 0.999 ... = 1 βασίζονται στην Αρχιμήδια ιδιοκτησία των πραγματικών αριθμών: ότι δεν υπάρχουν μη μηδενικά απειροελάχιστα. Συγκεκριμένα, η διαφορά 1 - 0,999 ... πρέπει να είναι μικρότερη από οποιοδήποτε θετικο ρητό αριθμό, έτσι πρέπει να είναι ένα απειροελάχιστο' αλλά επειδή οι πραγματικοί δεν περιέχουν μη μηδενικά απειροστά, η διαφορά είναι επομένως μηδέν, και ως εκ τούτου οι δύο τιμές είναι ίδιες.
Ωστόσο, υπάρχουν μαθηματικά συνεκτικά διατεταγμένες αλγεβρικές δομές, συμπεριλαμβανομένων των διαφόρων εναλλακτικών λύσεων για τους πραγματικούς αριθμούς, τα οποία είναι μη-Αρχιμήδια. Για παράδειγμα, οι διπλοί αριθμοί περιλαμβάνουν ένα νέο απειροελάχιστο στοιχείο ε, ανάλογη προς την φανταστική μονάδα i στους μιγαδικούς αριθμούς εκτός του ότι ε2 = 0. Η δομή που προκύπτει είναι χρήσιμη στην αυτόματη διαφοροποίηση.Στους δύο αριθμούς μπορεί να δοθεί μια λεξικογραφική σειρά, στην οποία τα πολλαπλάσια του ε καθίστανται μη Αρχιμήδια στοιχεία. Ως προέκταση των πραγματικών αριθμών, στους διπλούς αριθμούς ισχυει ακόμα ότι 0.999 ... = 1. Σχετικά με αύτο, ενώ ε υπάρχει στους διπλούς αριθμούς, το ίδιο κάνει και το ε / 2, οπότε το ε δεν είναι "ο μικρότερος διπλός θετικός αριθμός," και, μάλιστα, όπως και στους πραγματικούς, δεν υφίστανται τέτοιοι αριθμοί.

Ο Lightstone δείχνει πώς να συνδέσει σε κάθε αριθμό μια ακολουθία αριθμών,

Αναπροσαρμόζονται από τoυς hypernatural αριθμούς. Ενώ ο ίδιος δεν συζητά άμεσα τον 0.999 ..., δείχνει τον πραγματικό αριθμό 1/3 να αντιπροσωπεύεται από 0.333 ...? ... 333 ... η οποία είναι συνέπεια της αρχή της μεταφοράς. Κατά συνέπεια, ο αριθμός 0.999 ...? ... 999 ... = 1. Με αυτόν τον τύπο δεκαδική αναπαράσταση, δεν είναι κάθε επέκταση  που αντιπροσωπεύει έναν αριθμό. Ειδικότερα, "0.333 ...? ... 000 ..." και "0.999 ...? ... 000 ..." δεν ανταποκρίνονται σε οποιονδήποτε αριθμό.

Ο τυπικός ορισμός του αριθμού 0.999 ... είναι το [όριο [μίας αλληλουχίας | ορίου της αλληλουχίας]] 0,9, 0,99, 0,999, ... Ένας διαφορετικός ορισμός θεωρεί ότι η κλάση ισοδυναμίας [(0,9, 0,99, 0,999, ...)] της παρόντος ακολουθίας στην κατασκευή Ultrapower, το οποίο αντιστοιχεί σε έναν αριθμό που είναι απείρως μικρότερο από 1. Γενικότερα, ο hyperreal αριθμός  με το τελευταίο ψηφίο 9 στο άπειρο hypernatural rankΧ, ικανοποιεί μια αυστηρή ανισότητα . Ως εκ τούτου,ο Karin Katz και ο Mikhail Katz έχουν προτείνει μια εναλλακτική ερμηνεία του «0,999 ...":

Όλες αυτές οι ερμηνείες του "0,999 ..." είναι απείρως κοντά στο 1. Ian Stewart χαρακτηρίζει αυτή την ερμηνεία ως τον «απολύτως λογικο» τρόπο για να δικαιολογήσει αυστηρά την διαίσθηση ότι «υπάρχει ένα μικρό κομμάτι που λείπει" από 1 σε 0,999 .... Μαζί με Katz & Katz,  ο Robert Ely αμφισβητεί επίσης την υπόθεση ότι οι ιδέες των μαθητών σχετικά με  είναι λανθασμένες διαισθήσεις σχετικά με τους πραγματικούς αριθμούς, την ερμηνεία τους και όχι συνηθισμένες διαισθήσεις που θα μπορούσαν να αποδειχθούν πολύτιμες για την εκμάθηση του λογισμού.

Ο Χοσέ Benardete στο βιβλίο του Infinity: Ένα δοκίμιο στη μεταφυσική υποστηρίζει ότι κάποιες φυσικές προ-μαθηματικες διαίσθησεις δεν μπορεί να εκφραστουν αν περιορίζονται σε ένα υπερβολικά περιοριστικό σύστημα αριθμων:
 Η ευκρίνεια της συνέχειας έχει βρεθεί-πολλές φορές-να απαιτει ότι ο τομέας των πραγματικών αριθμών να διευρυνθεί για να συμπεριλάβει απειροελάχιστα . Αυτή η διευρυμένη περιοχή μπορεί να ορισεί το πεδίο συνεχειας των αριθμών. Θα είναι πλέον προφανές ότι 0.9999 ... δεν είναι ίσο με 1, αλλά είναι απειροελάχιστα κοντα του. Νομίζω ότι το 0.9999 ... Πρέπει βέβαια να γίνει δεκτό ως αριθμός '' ... αν και όχι ως πραγματικός αριθμός 

Hackenbush

Η συνδυαστική θεωρία παιγνίων παρέχει εναλλακτικους πραγματικούς, καθώς, με το άπειρο Blue-Red Hackenbush ως ένα ιδιαίτερα σημαντικό παράδειγμα. Το 1974, η Elwyn Berlekamp περιγράφει μια αλληλογραφία μεταξύ Hackenbush χορδές και δυαδικες επεκτάσεις των πραγματικών αριθμών, η οποία υποκινήθηκε από την ιδέα της συμπίεσης δεδομένων. Για παράδειγμα, η αξία των Hackenbush εγχόρδων LRRLRLRL ... είναι 0.0101012 ... = 1/3. Ωστόσο, η αξία της LRLLL ... (που αντιστοιχούν σε 0,111 ... 2) απειροελάχιστα λιγότερο από 1. Η διαφορά μεταξύ των δύο είναι ο σουρεαλιστικός αριθμός 1/ω, όπου ω είναι η πρώτη άπειρη τακτικη' το σχετικό παιχνίδι είναι LRRRR ... ή 0.000 ... 2.
Αυτό είναι στην πραγματικότητα αληθές των δυαδικών επεκτάσεων των πολλών ρητών αριθμών, όπου οι τιμές των αριθμών είναι ίσες, αλλά οι αντίστοιχες διαδρομές δυαδικόυ δέντρου είναι διαφορετικες. Για παράδειγμα, 0,10111 ... 2 = 0,11000 ... 2, τα οποία είναι και τα δύο ίσα με 3/4, αλλά η πρώτη αναπαράσταση αντιστοιχεί στο δυαδικό LRLRRR διαδρομή δέντρο ... ενώ η δεύτερη αντιστοιχεί στη διαφορετική LRRLLL διαδρομής\ ....

Επανεξέταση αφαίρεσης

Ένας άλλος τρόπος με τον οποίο οι αποδείξεις θα μπορούσαν να υπονομευθούν αν είναι 1 - 0,999 ... απλά δεν υπάρχει, διότι η αφαίρεση δεν είναι πάντα δυνατό. Μαθηματικές δομές με μια λειτουργία προσθήκης, αλλά όχι λειτουργία αφαίρεσης περιλαμβάνουν αντιμεταθετική semigroup s, αντιμεταθετική monoid s και semiring s. Richman θεωρεί δύο τέτοια συστήματα,σχεδιασμένα έτσι ώστε 0.999 ... <1.

Πρώτον,ο Richman ορίζει ένα μη αρνητικό δεκαδικό αριθμό ως μια κυριολεκτική δεκαδική επέκταση . Αυτός ορίζει τη λεξικογραφική σειρά και η λειτουργία της πρόσθεσης, σημειώνοντας ότι 0.999 ... <1 μόνο και μόνο επειδή 0 <​​1 στη θέση του ενός, αλλά και για οποιαδήποτε nonterminatingΧ, ένα έχει 0.999 ... + Χ = 1 + Χ. Έτσι, μία ιδιαιτερότητα των δεκαδικών αριθμών είναι ότι η προσθήκη αυτή δεν μπορεί πάντα να ακυρωθεί?Επίσης κανένας δεκαδικός αριθμός δεν αντιστοιχεί σε 1⁄3. Μετά τον ορισμό του πολλαπλασιασμού, οι δεκαδικοί αριθμοί αποτελούν ένα θετικό, εντελώς διατεταγμένο, ευμετάβλητο semiring.

Κατά τη διαδικασία καθορισμού πολλαπλασιασμού,ο Richman ορίζει επίσης ένα άλλο σύστημα που ο ίδιος αποκαλεί "cut D", το οποίο είναι το σύνολο των Dedekind cut s των δεκαδικών κλασμάτων. Κανονικά ο ορισμός αυτός οδηγεί στους πραγματικούς αριθμούς, αλλά για ένα δεκαδικό κλάσμαd επιτρέπει τόσο η μείωση (- ∞, Α)όσο και το "κύριο cut" (- ∞,  d]. Το αποτέλεσμα είναι ότι οι πραγματικοί αριθμοί είναι «ανήσυχα ζουν μαζί με" τα δεκαδικά κλάσματα. πάλι 0,999 ... <1. δεν υπάρχει καμία θετική infinitesimals στην περικοπήD», αλλά υπάρχει« ένα είδος αρνητικής απειροελαχιστοποίησης, "0-., η οποία δεν έχει δεκαδική επέκταση.Επίσης καταλήγει στο συμπέρασμα ότι  0.999... = 1 + 0−, ενώ η εξίσωση  "0.999...+x=1"
δεν έχει καμία λύση.

p-adic αριθμοί

Όταν ρωτάμε για το 0.999 ..., αρχάριοι συχνά πιστεύουν ότι πρέπει να υπάρχει ένα  «τελικό 9," πιστεύοντας ότι 1 − 0,999 ...  είναι ένας θετικός αριθμός που γράφεται ως "0.000 ... 1". Το αν έχει νόημα ή όχι είναι σαφής: η προσθήκη ενός 1 στην τελευταία 9 σε 0.999 ... θα φέρουν όλα τα 9 σε 0 και θα αφήσει ένα 1 στη πρώτη θέση. Η ιδέα αυτή αποτυγχάνει, επειδή δεν υπάρχει "τελευταίο 9" σε 0.999 ....  Ωστόσο, υπάρχει ένα σύστημα που περιέχει μια άπειρη σειρά από 9 συμπεριλαμβανομένης ενός τελευταίου 9.

Οι  p-αδικό αριθμοί  είναι ένα εναλλακτικό σύστημα ενδιαφέρον για την Θεωρία Αριθμών. Όπως και οι πραγματικοί αριθμοί, οι p-adic αριθμοί μπορoύν να κατασκευαστούν μέσω  ακολουθιών Cauchy. Η κατασκευή χρησιμοποιεί ένα διαφορετικό μετρικό όπου το 0 είναι πιο κοντά στο p, και πολύ πιο κοντά στο pn, απ'ότι είναι στο 1. Οι p-adic αριθμοί αποτελούν ένα τομέα πεδίου για το πρώτο p και ένα δακτυλίου για τα άλλα p, συμπεριλαμβανομένων 10 . Έτσι η αριθμητική μπορεί να πραγματοποιηθεί στους p-αδικούς, και δεν υπάρχουν απειροστά.
Στους 10 adic αριθμούς, τα ανάλογα των δεκαδικών επεκτάσεων τρέχουν προς τα αριστερά. Η 10-adic επέκταση ... 999 έχει ένα τελευταίο 9, και δεν έχει ένα πρώτο 9. Κάποιος μπορεί να προσθέσει 1 σ' αυτά, και να αφήσει πίσω του μόνο 0 μετά την εκτέλεση, μέσω: 1 + ...999 = ...000 = 0,  και έτσι ...999 = −1.
Μια άλλη παραγωγή χρησιμοποιεί μια γεωμετρική σειρά. Η άπειρη σειρά αποτελείται από "...999" που δεν συγκλίνουν σε πραγματικούς αριθμούς, αλλά συγκλίνουν στους 10 adics, και έτσι μπορεί κανείς να επαναχρησιμοποιήσει το γνωστό τύπο:
 

(Σύγκριση με τη σειρά παραπάνω.) Μια τρίτη παραγωγή επινοήθηκε από μια μαθήτρια που αμφισβητούσε την δασκάλα της ότι το 0.999 ... = 1, αλλά εμπνεύστηκε να πάρει την πολλαπλώς κατά 10 απόδειξη ανωτέρω προς την αντίθετη κατεύθυνση: αν x = ...999  τότε 10x =  ...990, έτσι x = x − 9, ως εκ τούτου,x'' = −1 και πάλι.

Ως τελική επέκταση, δεδομένου ότι 0.999... = 1 (στους πραγματικούς) και ...999 = −1  (στους 10-adics), στη συνέχεια μπορεί κανείς να προσθέσει τις δύο εξισώσεις και να καταλήξει σε ...999.999... = 0.. Αυτή η εξίσωση δεν έχει νόημα, είτε σε μια 10-adic επέκταση ή σε μια δεκαδική επέκταση, αλλά αποδεικνύεται για να έχει νόημα και αλήθεια, αν κάποιος αναπτύσσει μια θεωρία των "διπλών δεκαδικών" με τελικά επαναλαμβανόμενα αριστερά άκρα για να αντιπροσωπεύουν ένα γνωστό σύστημα: τους πραγματικούς αριθμούς.

Παραπομπές 

Μαθηματικά παράδοξα
Πραγματικοί αριθμοί