Εξίσωση θερμότητας

Η εξίσωση θερμότητας είναι παραβολική διαφορική εξίσωση μερικών παραγώγων ,η οποία περιγράφει την κατανομή της θερμότητας (ή την μεταβολή της θερμοκρασίας) σε μια δοσμένη περιοχή καθώς μεταβάλλεται ο χρόνος.

Διατύπωση της εξίσωσης 
Για μια συνάρτηση u(x,y,z,t) τριών χωρικών μεταβλητών (x,y,z) (βλ. καρτεσιανές συντεταγμένες) και μιας μεταβλητής χρόνου t, η εξίσωση της θερμότητας είναι

Πιο γενικά σε οποιοδήποτε σύστημα συντεταγμένων:

όπου α είναι μια θετική σταθερά, και το Δ ή ∇2 συμβολίζει τον τελεστή Laplace. Στο φυσικό πρόβλημα της μεταβολής της θερμοκρασίας,η συνάρτηση u(x,y,z,t) δίνει την θερμοκρασία ενώ η α είναι η θερμική διαχυτικότητα.  Για τη μαθηματική μελέτη του προβλήματος είναι επαρκές να θεωρήσουμε την περίπτωση  α = 1.

Παρατηρήστε ότι η εξίσωση της θερμότητας , η οποία δίνεται από τον πρώτο θερμοδυναμικό νόμο (δηλαδή η αρχή διατήρησης της ενέργειας), μπορεί να γραφεί στην ακόλουθη μορφή (με την υπόθεση ότι δεν υπάρχει κάποια μεταφορά μάζας ή εκπομπή ακτινοβολίας).Αυτή η μορφή της εξίσωσης είναι πιο γενική και ιδιαίτερα χρήσιμη στο να αναγνωρίσει κάποιος ποια ιδιότητα (π.χ cp ή ) επηρεάζει ποιον όρο.

όπου  είναι η ογκομετρική θερμική ροή.

Η εξίσωση της θερμότητας έχει θεμελιώδη αξία σε διάφορα επιστημονικά πεδία. Στα μαθηματικά, είναι το αρχέτυπο των παραβολικών διαφορικών εξισώσεων με μερικές παραγώγους. Στη Θεωρία πιθανοτήτων, η εξίσωση της θερμότητας σχετίζεται με την μελέτη της κίνησης Brown μέσω της εξίσωσης  Fokker–Planck. Στα οικονομικά μαθηματικά χρησιμοποιείται για τη λύση της διαφορικής εξίσωσης μερικών παραγώγων Black–Scholes. Η εξίσωση διάχυσης, μια πιο γενική μορφή της εξίσωσης της θερμότητας, έρχεται σε σύνδεση με τη μελέτη της χημικής διάχυσης και άλλων σχετικών διεργασιών.

Γενική Περιγραφή 

Ας υποθέσουμε ότι έχουμε μια συνάρτηση u η οποία περιγράφει την θερμοκρασία σε ένα δοσμένο σημείο (x, y, z). Η τιμή της συνάρτησης u μεταβάλλεται με την πάροδο του χρόνου καθώς η θερμότητα διαδίδεται στον χώρο. Η εξίσωση θερμότητας χρησιμοποιείται για να προσδιορίσουμε την μεταβολή της  συνάρτησης  u με το χρόνο.  Ο ρυθμός μεταβολή της u είναι ανάλογος με την "καμπυλότητα" της u.  Thus, the sharper the corner, the faster it is rounded off.  Over time, the tendency is for peaks to be eroded, and valleys filled in.  If u is linear in space (or has a constant gradient) at a given point, then u has reached steady-state and is unchanging at this point (assuming a constant thermal conductivity).

Στο διπλανό σχήμα περιγράφεται ο τρόπος με τον οποίο μεταβάλλεται η θερμότητα σε μια μεταλλική ράβδο με την πάροδο του χρόνου. Μια από τις ενδιαφέρουσες ιδιότητες της εξίσωσης θερμότητας είναι η αρχή του μεγίστου η οποία λέει ότι η μέγιστη τιμή της u is either earlier in time than the region of concern or on the edge of the region of concern. This is essentially saying that temperature comes either from some source or from earlier in time because heat permeates but is not created from nothingness. This is a property of parabolic partial differential equations and is not difficult to prove mathematically (see below).

Άλλη μια ενδιαφέρουσα ιδιότητα είναι ότι ενώ η u έχει ασυνέχεια σε ένα αρχικό (χρονικό) σημείο  t = t0, η θερμοκρασία εξομαλύνεται καθώς  t > t0. Παραδείγματος χάρη ,αν μια μεταλλική ράβδος έχει θερμοκρασία 0 και μια άλλη θερμοκρασία 100 και τις φέρουμε σε επαφή άκρο με άκρο, τότε πολύ γρήγορα η θερμοκρασία στο σημείο επαφής θα φτάσει τους 50 και η γραφική παράσταση της θερμοκρασίας θα διαπεράσει ομαλά τις τιμές από το 0 έως το 100.

Η εξίσωση θερμότητας χρησιμοποιείται στην θεωρία πιθανοτήτων για να περιγράψει τον τυχαίο περίπατο. Για το λόγο αυτό έχει εφαρμογή στα οικονομικά μαθηματικά.

Είναι επίσης σημαντική στη γεωμετρία Riemann και συνακόλουθα στη τοπολογία: προσαρμόστηκε (η εξίσωση θερμότητας) από τον Richard Hamilton όταν όρισε τη Ricci flow η οποία χρησιμοποιήθηκε αργότερα από τον Γκριγκόρι Πέρελμαν για να αποδείξει την τοπολογική εικασία του Πουανκαρέ.

Το φυσικό πρόβλημα και η εξίσωση

Παραγώγιση σε μια διάσταση

Η εξίσωση θερμότητας προέρχεται από το νόμο του Φουριέ και από την αρχή διατήρησης της ενέργειας.  
Σύμφωνα με το νόμο του Φουριέ, ο ρυθμός ροής θερμικής ενέργειας ανά μονάδα επιφάνειας μέσω μιας επιφάνειας είναι ανάλογος με την αρνητική βαθμίδα θερμοκρασίας κατά μήκος της επιφάνειας ,

όπου k είναι η θερμική αγωγιμότητα και u είναι η θερμοκρασία.  Σε μία διάσταση, η βαθμίδα θερμοκρασίας είναι μια συνήθης χωρική παράγωγος, κι έτσι ο νόμος του Φουριέ θα είναι:

Απουσία παραγωγής έργου, η μεταβολή της εσωτερικής ενέργειας ανά μονάδα όγκου στο υλικό , ΔQ, είναι ανάλογη με την μεταβολή της θερμοκρασίας,  Δu (σε αυτό το τμήμα και μόνο, με Δ θα συμβολίζουμε τη διαφορά και όχι τον τελεστή Laplace). Δηλαδή,

όπου cp είναι η θερμοχωρητικότητα και ρ η πυκνότητα μάζας του υλικού. Θέτοντας την ενέργεια μηδέν στην απόλυτη μηδενική θερμοκρασία, η προηγούμενη εξίσωση μπορεί να γραφεί ως εξής 

Η αύξηση εσωτερικής ενέργειας σε μια μικρή χωρική περιοχή του υλικού

κατά τη διάρκεια της χρονικής περιόδου

δίνεται από

όπου χρησιμοποιήσαμε το θεμελιώδες θεώρημα του λογισμού.  Απουσία παραγωγής έργου και αν δεν υπάρχουν πηγές θερμότητας ούτε καταβόθρες, η μεταβολή εσωτερικής ενέργειας στο διάστημα [x−Δx, x+Δx] αντιπρoσωπεύεται εξ ολοκλήρου από τη ροή θερμότητας κατά μήκος του συνόρου της επιφάνειας.  Από το νόμο του Φουριέ ,αυτό σημαίνει

λόγω και πάλι του θεμελιώδους θεωρήματος του λογισμού.  Λόγω τώρα της αρχής διατήρησης της ενέργειας θα έχουμε,

Το οποίο αληθεύει για οποιοδήποτε ορθογώνιο [t −Δt, t + Δt] × [x − Δx, x + Δx].  Λόγω του θεμελιώδους λήμματος του λογισμού των μεταβολών , οι ολοκληρωτέες θα πρέπει να μηδενιστούν ταυτοτικά:

Η οποία μπορεί να ξαναγραφεί ως εξής:

ή:

Η οποία είναι η εξίσωση θερμότητας, όπου ο συντελεστής (που συνήθως συμβολίζεται με α)

ονομάζεται θερμικη διαχυτικοτητα.

Ένας πρόσθετος όρος που μπορεί να εισαχθεί στη εξίσωση για να λογαριάσουμε την απώλεια θερμότητας λόγω εκπομπής ακτινοβολίας , ο οποίος εξαρτάται από την υπερβολική θερμοκρασία u = T − Ts σε ένα δοσμένο σημείο συγκρινόμενη με την θερμοκρασία του περιβάλλοντος χώρου. Σε υπερβολικά χαμηλές θερμοκρασίες , η απώλεια θερμότητας είναι περίπου μu, δίνοντας μια μονοδιάστατη εξίσωση μεταφοράς θερμότητας της μορφής

Σε υπερβολικά υψηλές θερμοκρασίες, ωστόσο, ο νόμος Στέφαν-Μπόλτζμαν δίνει μια καθαρή απώλεια θερμότητας λόγω ακτινοβολίας ,η οποία είναι ανάλογη προς το  , και η παραπάνω εξίσωση είναι ανακριβής. Για μεγάλες θερμοκρασίες έχουμε, , το οποίο δίνει μια εξίσωση μεταφοράς θερμότητας υψηλής θερμοκρασίας  της μορφής

όπου .  Εδώ, σ είναι η σταθερά Στέφαν-Μπόλτζμαν, ε είναι η χαρακτηριστική σταθερά του υλικού, p είναι η περίμετρος διατομής της ράβδου και A είναι το εμβαδόν της εγκάρσιας διατομής. Ωστόσο, χρησιμοποιώντας  T αντί για u παίρνουμε μια καλύτερη προσέγγιση στην περίπτωση αυτή.

Το πρόβλημα στις τρεις διαστάσεις
Στις ειδικές περιπτώσεις της κυματικής διάδοσης της θερμότητας σ' ένα ισότροπο και ομογενές μέσο σ' έναν 3-διάστατο χώρο , αυτή η εξίσωση είναι

 

όπου:

 u = u(x, y, z, t) είναι η θερμοκρασία ως συνάρτηση χώρου και χρόνου·
  είναι ο ρυθμός μεταβολής της θερμοκρασίας σ' ένα σημείο με την πάροδο του χρόνου·
 uxx, uyy, and uzz είναι οι δεύτερες χωρικές παράγωγοι (thermal conductions) της θερμοκρασίας στις κατευθύνσεις x, y, και z  αντίστοιχα·
  είναι η θερμική διαχυτικότητα, μια χαρακτηριστική ιδιότητα του υλικού  που εξαρτάται από την θερμική αγωγιμότητα k, την πυκνότητα μάζας ρ, και τηνand ειδική θερμοχωρητικότητα cp.

Η εξίσωση θερμότητα είναι συνέπεια του νόμου του Φουριέ για την αγωγιμότητα (βλέπε θερμική αγωγιμότητα).

Στην περίπτωση που το μέσο δεν είναι ολόκληρος ο χώρος, πρέπει να ορίσουμε  συνοριακές συνθήκες για την u ώστε να έχουμε μονοσήμαντη λύση της εξίσωσης θερμότητας. To determine uniqueness of solutions in the whole space it is necessary to assume an exponential bound on the growth of solutions.

Solutions of the heat equation are characterized by a gradual smoothing of the initial temperature distribution by the flow of heat from warmer to colder areas of an object. Generally, many different states and starting conditions will tend toward the same stable equilibrium. As a consequence, to reverse the solution and conclude something about earlier times or initial conditions from the present heat distribution is very inaccurate except over the shortest of time periods.

The heat equation is the prototypical example of a parabolic partial differential equation.

Using the Laplace operator, the heat equation can be simplified, and generalized to similar equations over spaces of arbitrary number of dimensions, as

where the Laplace operator, Δ or ∇2, the divergence of the gradient, is taken in the spatial variables.

The heat equation governs heat diffusion, as well as other diffusive processes, such as particle diffusion or the propagation of action potential in nerve cells. Although they are not diffusive in nature, some quantum mechanics problems are also governed by a mathematical analog of the heat equation (see below). It also can be used to model some phenomena arising in finance, like the Black–Scholes or the Ornstein-Uhlenbeck processes. The equation, and various non-linear analogues, has also been used in image analysis.

The heat equation is, technically, in violation of special relativity, because its solutions involve instantaneous propagation of a disturbance. The part of the disturbance outside the forward light cone can usually be safely neglected, but if it is necessary to develop a reasonable speed for the transmission of heat, a hyperbolic problem should be considered instead – like a partial differential equation involving a second-order time derivative.  Some models of nonlinear heat conduction (which are also parabolic equations) have solutions with finite heat transmission speed.

Εσωτερική παραγωγή θερμότητας 
Η παραπάνω συνάρτηση u αναπαριστά την θερμοκρασία ενός σώματος. Εναλλακτικά, είναι ορισμένες φορές βολικό να αλλάξουμε τις μονάδες μέτρησης και να αναπαραστήσουμε την  u ως την θερμική ροή ενός μέσου. Και από την στιγμή που η θερμική ροή είναι ανάλογη με την θερμοκρασία σε ένα ομογενές μέσο, η εξίσωση θερμότητας έχει ισχύ και στις νέες μονάδες μέτρησης.

Ας υποθέσουμε ότι ένα σώμα υπακούει στην εξίσωση θερμότητας και, επιπλέον παράγει την δικιά του θερμότητα ανά μονάδα όγκου (π.χ., σε watts/litre - W/L) σε ένα ρυθμό που δίνεται από μια γνωστή συνάρτηση q που ποικίλει ανάλογα με τον χώρο και τον χρόνο. Τότε η θερμότητα ανά μονάδα όγκου u ικανοποιεί μια εξίσωση της μορφής

 

Για παράδειγμα ,το νήμα πυράκτωσης ενός λαμπτήρα βολφραμίου παράγει θερμότητα, έτσι θα έχει μη μηδενική τιμή για την q όταν είναι αναμμένος. Ενώ όταν ο λαμπτήρας είναι  απενεργοποιημένος, η τιμή της q για τον νήμα πυράκτωσης θα είναι μηδέν.

Επίλυση της εξίσωσης θερμότητας χρησιμοποιώντας σειρές Fourier 

Η ακόλουθη τεχνική λύσης για την εξίσωση θερμότητας προτάθηκε από τον Ζοζέφ Φουριέ στην πραγματεία του Théorie analytique de la chaleur (Αναλυτική θεωρία της θερμότητας), η οποία δημοσιεύτηκε το 1822. Ας θερωρήσουμε την εξίσωση θερμότητας για μια χωρική μεταβλητή. Η οποία μπορεί να προσομοιώσει την θερμική αγωγιμότητα σε μία ράβδο. Η εξίσωση είναι

όπου η  u = u(x, t) είναι μια συνάρτηση δύο μεταβλητών x και t. Εδώ 
 x είναι η χωρική μεταβλητή, έτσι x ∈ [0, L], όπου L είναι το μήκος της ράβδου.
 t είναι η μεταβλήτη χρόνου, έτσι t ≥ 0.

Υποθέτουμε την αρχική συνθήκη

όπου η συνάρτηση  f  είναι δοσμένη, και τις συνοριακές συνθήκες

Ας επιχειρήσουμε να βρούμε μια λύση της  που να μην είναι ταυτοτικά μηδέν , να ικανοποιεί της συνοριακές συνθήκες  και να έχει την παρακάτω  ιδιότητα:η u είναι ένα γινόμενο στο οποίο στο οποίο η εξάρτηση της u από τις x, t χωρίζεται, δηλαδή:

Αυτή η τεχνική λύσης ονομάζεται χωριζομένων μεταβλητών. Αντικαθιστώντας την u πίσω στην εξίσωση  έχουμε,

Και από την στιγμή που το δεξί μέλος εξαρτάται μόνο από το  x και το αριστερό μόνο από το t, τα δύο μέλη θα είναι ίσα με μια σταθερή ποσότητα  −λ. Κι έτσι:

και

Θα δείξουμε τώρα ότι δεν υπάρχουν μη τετριμμένες λύσεις για την  για λ ≤ 0 δεν υπάρχουν:

 
	
Με μία απλή διαίρεση,η Schrödinger εξίσωση για ένα μονό σωματίδιο από μάζα m σε απουσία κάθε εφαρμοσμένου πεδίου δύναμης μπορεί να ξαναγραφτεί με τον ακόλουθο τρόπο:
 
	
,
 
		 
	
όπου i είναι η φανταστική μονάδα, ħ είναι reduced Planck's σταθερά, και ψ είναι η  κυματική συνάρτηση  του σωματιδίου.
 
	
Αυτή η εξίσωση είναι τυπικά όμοια με την εξίσωση διάχυσης των σωματιδίων που λαμβάνεται μέσω του ακόλουθου μετασχηματισμού:
 
	

 
	
Εφαρμόζοντας αυτό το μετασχηματισμό στις συναρτήσεις του Green ορισμένες στην περίπτωση των σωματιδίων διάχυσης δίνει την Schrödinger εξίσωση,η οποία με τη σειρά της χρησιμοποιείται για την κυματική συνάρτηση μέσω ενός ολοκληρώματος της κυματικής συνάρτησης για 
 
	
t = 0:
 
	
 
 
	
με
 
	

 
	
Παρατήρηση:αυτή η αναλογία μεταξύ της κβαντομηχανικής και της διάχυσης είναι καθαρά τυπική.Φυσικά,η εξέλιξη της κυματικής συνάρτησης ικανοποιώντας την Schrödinger εξίσωση θα μπορούσε να έχει προέλευση διάφορη της διάχυσης.

Θερμική διάχυση σε πολυμερή

Μία άμεση εφαρμογή της εξίσωσης της θερμότητας,σε συνδυασμό με τη Fourier θεωρία, σε σφαιρικές συντεταγμένες,είναι η πρόβλεψη των προφίλ θερμικής μεταφοράς και η μέτρηση της θερμικής διάχυσης σε πολυμερή (Unsworth και Duarte). Αυτή η διπλή θεωρητική-πειραματική μέθοδος εφαρμόζεται σε καουτσούκ,διάφορα άλλα πολυμερή υλικά πρακτικού ενδιαφέροντος και σε υγρά.Οι συγγραφείς αυτοί προέρχονται από μία έκφραση της θερμοκρασίας στο κλεντρο της σφαίρας 
 
−	

 
−	
όπου  είναι η αρχική θερμοκρασία της σφαίρας και  η θερμοκρασία στην επιφάνεια της σφαίρας,ακτίνας  .Αυτή η εξίσωση έχει επίσης βρει εφαρμογές στη μεταφορά πρωτεϊνης και στα θερμικά μοντέλα στη φυσική.

Κι άλλες εφαρμογές
 
	
Η εξίσωση της θερμότητας προκύπτει στο modeling από ένα αριθμό φαινομένων και συχνά χρησιμοποιείται στα οικονομικά μαθηματικά στη μοντελοποίηση options.Η διάσημη Black–Scholes διαφορική εξίσωση μπορεί να μετατραπεί σε εξίσωση θερμότητας που επιτρέπει σχετικά εύκολα λύσεις από ένα οικείο όργανο μαθηματικών.Πολλές από τις επεκτάσεις των απλών μοντέλων επιλογής δεν έχουν λύσεις και ως εκ τούτου πρέπει να λυθούν αριθμητικά για να αποκτήσουν μία μοντελοποιημένη τιμή.Η εξίσωση που περιγράφει την πίεση της διάχυσης σε ένα πορώδες μέσο είναι πανομοιότυπη στη μορφή με την αξίσωση θερμότητας.Προβλήματα διάχυσης που ασχολούνται με [[
 
	
Dirichlet οριακές συνθήκες|Dirichlet]], Neumann και Robin οριακές συνθήκες έχουν κλειστή μορφή αναλυτικών λύσεων .
 
	
Η εξίσωση της θερμότητας χρησιμοποιείται ευρέως στην ανάλυση εικόνας   και στη μηχανική μάθηση όπως τη θεωρία οδήγησης πίσω από τις scale-space ή graph Laplacians μεθόδους.Η εξίσωση της θερμότητας μπορεί να λυθεί αποτελεσματικά αριθμητικώς χρησιμοποιώντας τη  Crank–Nicolson method του .Αυτή η μέθοδος μπορεί να επεκταθεί σε πολλά μοντέλα χωρίς κλειστού τύπου λύσεις,βλέπε για παράδειγμα .
 
	
Μία αφηρημένη μορφή της εξίσωσης της θερμότητας manifolds παρέχει μία σημαντική προσέγγιση για το Atiyah–Singer index theorem,και έχει οδηγήσει σε περεταίρω εργασίες για την εξίσωση της θερμότητας στη Riemannian geometry.

Παραπομπές