Μονοτονία συνάρτησης

Η μονοτονία μιας συνάρτησης αναφέρεται ποιοτικά στην κατεύθυνση της μεταβολής των τιμών της στο πεδίο ορισμού της ή σε τμήμα αυτού. Με άλλα λόγια, έστω ότι η ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης αυξάνεται, η μονοτονία είναι η πληροφορία που αναφέρει αν η εξαρτημένη μεταβλητή αυξάνεται και αυτή ή αντίθετα μειώνεται ή μένει αμετάβλητη. 

Η μονοτονία μπορεί να είναι:
Γνήσια αύξουσα
Γνήσια φθίνουσα
Αύξουσα
Φθίνουσα
Σταθερή

Γνήσια αύξουσα 

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής (x) αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης (f(x)) επίσης αυξάνεται και αντίστροφα. Γενικά, ισχύει η ισοδυναμία: α<β <=> f(α)<f(β), όπου f είναι η συνάρτηση.

Γνήσια φθίνουσα 

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης μειώνεται και αντίστροφα. Γενικά, ισχύει η ισοδυναμία: α<β <=> f(α)>f(β), όπου f η συνάρτηση.

Αν η συνάρτηση είναι σε ένα τμήμα του πεδίου ορισμού της, ή στο πεδίο ορισμού της γνήσια αύξουσα ή γνήσια φθίνουσα, τότε ονομάζεται γνησίως μονότοτονη. Αυτό ο όρος διακρίνει τις περιπτώσεις όπου μία συνάρτηση μπορεί να είναι σταθερή σε κάποια τμήματα του πεδίου ορισμού της.

Αύξουσα 

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης είτε αυξάνεται είτε μένει σταθερή. Γενικά, ισχύει η συνεπαγωγή:  α<β => f(α)≤f(β), όπου f είναι η συνάρτηση.

Φθίνουσα 

Όταν η τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής αυξάνεται, η τιμή της εξαρτημένης είτε μειώνεται είτε μένει σταθερή. Γενικά, ισχύει η συνεπαγωγή:  α<β => f(α)≥f(β), όπου f είναι η συνάρτηση.

Σταθερή 

Σε μία σταθερή συνάρτηση, ανεξάρτητα από τις αλλαγές της ανεξάρτητης μεταβλητής η τιμή της συνάρτησης δε μεταβάλλεται. Δηλαδή για μία σταθερή συνάρτηση , ισχύει ότι , ανεξάρτητα από το αν ,  ή .

Μελέτη της μονοτονίας

Λόγος μεταβολής 
Η κατεύθυνση της μεταβολής δύο διαδοχικών τιμών α1 και α2 μιας μεταβλητής α είναι το πρόσημο της διαφοράς Δα=α2-α1. Έτσι, ισχύει:

Γνήσια αύξουσα: Δα>0 => Δf(α)>0 ή Δα<0 => Δf(α)<0
	
Γνήσια φθίνουσα: Δα>0 => Δf(α)<0 ή Δα<0 => Δf(α)>0
	 	
Αύξουσα: Δα>0 => Δf(α)≥0 ή Δα<0 => Δf(α)≤0
	 	
Φθίνουσα: Δα>0 => Δf(α)≤0 ή Δα<0 => Δf(α)≥0
	 	
Σταθερή: Δf(α)=0

Η μελέτη της μονοτονίας γίνεται πρωτογενώς μέσω του λόγου μεταβολής της συνάρτησης λ=Δf(α)/Δα, όπου f η συνάρτηση. Το πρόσημο του λόγου μεταβολής δείχνει την ποιοτική σχέση της ανισότητας των f(α),f(β) και της ανισότητας των α,β. Αν η συνάρτηση είνα γνήσια αύξουσα, τότε η μεταβολή της εξαρτημένης μεταβλητής είναι ίδια με αυτήν της ανεξάρτητης και ισχύει λ>0. Παρομοίως, αν η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα τότε λ<0. Αν είναι αύξουσα είναι λ≥0, αν είναι φθίνουσα λ≤0 και αν είναι σταθερή λ=0.

Παράγωγος αριθμός 

Η μονοτονία μπορεί να μελετηθεί τόσο σε παραγωγίσιμες, όσο και σε μή παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Η μελέτη της μονοτονίας στις παραγωγίσιμες συναρτήσεις γίνεται με τον παράγωγο αριθμό πόυ μπορεί να οριστεί ως το όριο του λ, όταν το Δα τείνει στο μηδέν. Αποδεικνύεται ότι η μονοτονία σε περιοχή του σημείου στο οποίο βρίσκουμε την παράγωγο μπορεί να προσδιοριστεί με βάση το πρόσημο της παραγώγου, όπως και στο λόγο μεταβολής. Για αυτό και η παράγωγος ονομάζεται και ρυθμός μεταβολής. Αν η παράγωγος είναι μηδέν, τότε δε μπορούμε να τη χρησιμοποιήσουμε για το προδισε υποσύνολα του πεδίου ορισμού (συνήθως διαστήματα) ή όλο το πεδίο ορισμού. Συνήθως προσπαθούμε να βρούμε διαδοχικά υποσύνολα του πεδίου ορισμού, όπου το καθένα έχει ένα συγκεκριμένο είδος μονοτονίας, ενώ ο συνδυασμός τους είναι το ίδιο το πεδίο ορισμού. Σε διαστήματα στα οποία η παράγωγος συνάρτηση είναι θετική, η αρχική συνάρτηση είναι γνήσια αύξουσα, ενώ σε διαστήματα στα οποία η παράγωγος είναι αρνητική η συνάρτηση είναι γνήσια φθίνουσα.

Σημεία στα οποία η μονοτονία είναι διαφορετική στις δυο μεριές του σημείου είναι ακρότατα. Ο παράγωγος αριθμός σε αυτά τα σημεία είναι μηδέν (αυτή η πρόταση είναι γνωστή και ως μικρό θεώρημα του Φερμά).

Εφαπτομένη 

Έστω η ευθεία που σχηματίζει με τον άξονα x'x γωνία θ εφαπτομένης ίση με το λόγο μεταβολής. Αποδεικνύεται ότι αυτή η ευθεία διέρχεται από τα σημεία που χρησιμοποιήσαμε για τον προσδιορισμό του λόγου μεταβολής τους και το είδος μονοτονίας της εξαρτάται από τη σχέση των ανισοτικών σχέσεων των δύο σημείων. Η εφαπτομένη της θ ονομάζεται και κλίση της ευθείας. Η εφαπτομένη σε σημείο γραφικής παράστασης έχει κλίση ίση με τον παράγωγο αριθμό στο σημείο επαφής, που ισούται με την εφαπτομένη της γωνίας θ.

Αν τα δύο σημεία ορίζουν κλειστό διάστημα συνέχειας της συνάρτησης και ανοιχτό διάστημα στο οποίο είναι παραγωγίσιμη, τότε υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο εντός του ανοιχτού διαστήματος στο οποίο ο παράγωγος αριθμός να ισούται με την κλίση του αρχικού λόγου μεταβολής. Αυτή η πρόταση είναι γνωστή και ως θεώρημα μέσης τιμής του διαφορικού λογισμού. Γεωμετρικά η παραπάνω πρόταση σημαίνει ότι υπάρχει τουλάχιστον μία εφαπτόμενη ευθεία στη γραφική παράσταση η οποία να είναι παράλληλη (ή να ταυτίζεται) με την αρχική ευθεία. Σε μαθηματική γλώσσα:

Συναρτησιακή ανάλυση
Θεωρία διάταξης