Τετραγωνική αμοιβαιότητα

Στη θεωρία αριθμών, ο νόμος της τετραγωνικής αμοιβαιότητας είναι ένα θεώρημα για modular αριθμητική που δίνει προϋποθέσεις για την φερεγγυότητα των δευτεροβάθμιων εξισώσεων. Υπάρχει ένας αριθμός από αντίστοιχες δηλώσεις του θεωρήματος. Μια δήλωση του νόμου ορίζει ότι

για p και q περιττός πρώτος αριθμός,και  υποδουλώνει το Legendre σύμβολο.

Αυτός ο νόμος,σε συνδυασμό με τις ιδιότητες του συμβόλου Legendre, σημαίνει ότι κάθε σύμβολο Legendre  μπορεί να υπολογιστεί. Αυτό καθιστά δυνατό να προσδιοριστεί για κάθε τετραγωνική εξίσωση ,όπου p περιττός πρώτος, αν έχει μια λύση. Ωστόσο, δεν παρέχει καμία βοήθεια για την πραγματική εξεύρεση λύσης. ( Το άρθρο σχετικά με τετραγωνική υπολειμμάτων συζητά αλγόριθμους για αυτό)

Το θεώρημα ήταν εικασία από τον Euler και Legendre και πρώτα αποδεικνύεται από Gauss. . Αναφέρεται σε αυτό ως το " θεμελιώδες θεώρημα " στο Disquisitiones Arithmeticae 

Το θεμελιώδες θεώρημα πρέπει ασφαλώς να θεωρηθεί ως ένα από τα πιο κομψά στο είδος του . (Άρθρο . 151 )

Ιδιαίτερα αναφέρθηκε σε αυτό ως το  "χρυσό θεώρημα" .   Έχει εκδώσει έξι αποδείξεις , και δύο ακόμα βρέθηκαν μεταθάνατον στα χαρτιά του. Υπάρχουν τώρα πάνω από 200 αποδείξεις που δημοσιεύθηκαν.

Η πρώτη ενότητα αυτού του άρθρου δίνει μια ιδιαίτερη περίπτωση των τετραγωνικών αμοιβαιοτήτων,που είναι αντιπροσωπευτική γενική περίπτωση . Η δεύτερη ενότητα δίνει τις συνθέσεις των τετραγωνικών αμοιβαιοτήτων που βρέθηκαν από Legendre και Gauss .

Παράδειγμα Παρακίνησης

Θεωρούμε το πολυώνυμο f(n) = n2 − 5 και τις τιμές του για n = 1, 2, 3, 4, ... Οι κύριες παραγοντοποιήσεις αυτών των τιμών δίνονται ως εξής:

Ένα εντυπωσιακό χαρακτηριστικό των δεδομένων είναι ότι με τις εξαιρέσεις των 2 και 5,οι πρώτοι αριθμοί που εμφανίζονται ως παράγοντες είναι ακριβώς αυτές με το τελικό ψηφίο 1 ή 9.
Ένας άλλος τρόπος διατύπωσης για αυτό είναι ότι ο πρώτος p για τον οποίο υπάρχει ένα n τέτοιο ώστε  n2 ≡ 5 (mod p) είναι ακριβώς 2, 5, και εκείνες οι τιμές p οι οποίες είναι ≡ 1 or 4 (mod 5).

Το δίκαιο των τετραγωνικών αμοιβαιότητας δίνει ένα παρόμοιο χαρακτηρισμό των πρώτων διαιρετών του f(n) = n2 − c για κάθε ακέραιο c.

Ορολογία , τα δεδομένα , καθώς και δύο δηλώσεις του θεωρήματος
Ένα τετραγωνικό υπόλειμμα (mod n) είναι ένας οποιοσδήποτε αριθμός παραλληλισμού σε ένα τετράγωνο (mod n). Ένα τετραγωνικό υπόλειμμα (mod n) είναι οποιοσδήποτε αριθμός που δεν είναι σύμφωνος με ένα τετράγωνο (mod n).  Το επίθετο " τετραγωνική " μπορεί να παραλειφθεί αν το πλαίσιο καθιστά σαφές ότι αυτό συνεπάγεται. Κατά την εργασία modulo πρώτων αριθμών ( όπως σε αυτό το άρθρο ) , είναι σύνηθες να μεταχειριζόμαστε το μηδέν ως ειδική περίπτωση. Με αυτό τον τρόπο, οι ακόλουθες δηλώσεις αληθεύουν:

Modulo ένα πρώτο αριθμό,υπάρχει ίσος αριθμός των τετραγωνικών καταλοίπων και υπολειμμάτων.
Modulo έναν πρώτο αριθμό, το προϊόν των δύο τετραγωνικών υπολειμμάτων είναι ένα υπόλειμμα , το προϊόν του υπολείμματος και ένα μη-υπόλοιπο είναι μη-υπόλοιπο , και το προϊόν των δύο μη-υπόλοιπο είναι ένα υπόλειμμα.

Πίνακας τετραγωνικών υπολειμμάτων

Αυτός ο πίνακας είναι πλήρης για περιττούς πρώτους λιγότερο από 50. Για να ελέγξετε αν ένας αριθμός m είναι τετραγωνικό υπόλοιπο mod ένας από αυτούς τους πρώτους p βρείτε έναν a ≡ m (mod p) και 0 ≤ a < p. Αν a είναι στη σειρά p, τότε m είναι ένα υπόλειμμα ( mod p ); αν ένας δεν είναι σε σειρά p του πίνακα, τότε το m είναι ένας μη-υπόλοιπος (mod p).

Ο νόμος της τετραγωνικής αμοιβαιότητας δηλώνει ότι ορισμένα στοιχεία του πίνακα αληθεύουν σε γενικές γραμμές.

Σε αυτό το άρθρο ,  p  και  q  πάντοτε ανατρέχουν σε ξεχωριστούς θετικούς περιττούς πρώτους αριθμούς .

−1 και το πρώτο συμπλήρωμα
Πρώτα απ 'όλα , για τους πρώτους αριθμούς οι οποίοι είναι -1 τετραγωνικό υπόλοιπο; Εξετάζοντας τον πίνακα , διαπιστώνουμε -1 σε σειρές 5 , 13 , 17 , 29, 37 , και 41 αλλά όχι σε σειρές 3 , 7 , 11, 19 , 23, 31 , 43 ή 47 .

< blockquote > ( - 1 ≡ 2 ( mod 3 ) , & nbsp ? -1 ≡ 4 ( mod 5 ) , & nbsp ? -1 ≡ 10 ( mod 11 ) , & nbsp ? κλπ . ) < / blockquote >

Οι πρώην πρώτων αριθμών είναι όλα ≡ 1 ( mod 4 ) , και η τελευταία είναι όλα ≡ 3 ( mod 4 ) . Αυτό οδηγεί σε

Το πρώτο συμπλήρωμα της τετραγωνικής αμοιβαιότητας :

±2 και το δεύτερο συμπλήρωμα

Για ποιούς πρώτους αριθμούς είναι το 2 το τετραγωνικό υπόλοιπο ; Εξετάζοντας τον πίνακα , βρίσκουμε 2 σε σειρές τα 7 , 17 , 23 , 31 , 41 , και 47 , αλλά όχι σε σειρές τα 3 , 5 , 11, 13 , 19 , 29, 37 , ή 43 .

Οι προηγούμενοι πρώτοι αριθμοί είναι όλα ≡ ± 1 ( mod 8 ) , και η τελευταία είναι όλα ≡ ± 3 ( mod 8). Αυτό οδηγεί σε

Το δεύτερο συμπλήρωμα της τετραγωνικής αμοιβαιότητας

-2 είναι σε σειρές 3 , 11 , 17, 19 , 41 , 43 , αλλά όχι σε σειρές 5 , 7 , 13 , 23 , 29, 31 , 37 , ή 47. Η πρώτη είναι ≡ 1 ή ≡ 3 ( mod 8 ) , και η τελευταία είναι ≡ 5 ή 7 ≡ ( mod 8).

±3
3 είναι σε σειρές 11 , 13 , 23 , 37 , και 47 , αλλά όχι σε σειρές 5 , 7 , 17, 19 , 29, 31 , 41 , ή 43 .

Ο προηγούμενος είναι ≡ ± 1 ( mod 12 ) και η τελευταία είναι όλα ≡ ± 5 ( mod 12 ) .

-3 Είναι σε σειρές 7 , 13 , 19, 31 , 37 , και 43 αλλά όχι στις σειρές 5 , 11 , 17, 23 , 29, 41 , ή 47. Η πρώτη είναι ≡ 1 ( mod 3 ) και η τελευταία ≡ 2 ( mod 3 ) .

Δεδομένου ότι το μόνο κατάλοιπο ( mod 3 ) είναι 1 , βλέπουμε ότι -3 είναι ένα τετραγωνικό κατάλοιπο modulo κάθε πρωταρχικό το οποίο είναι ένα υπόλειμμα ( mod 3 ).

±5
5 είναι στις σειρές 11 , 19 , 29, 31 , και 41 αλλά όχι σε σειρές 3 , 7 , 13 , 17, 23 , 37 , 43 , ή 47 .

Ο προηγούμενος είναι ≡ ± 1 ( mod 5) και η τελευταία είναι ≡ ± 2 ( mod 5).

Δεδομένου ότι τα μόνα υπολείμματα ( mod 5 ) είναι ± 1 , βλέπουμε ότι το 5 είναι ένα τετραγωνικό κατάλοιπο modulo κάθε πρωταρχικό το οποίο είναι ένα υπόλειμμα ( mod 5 ) .

-5 είναι σε σειρές 3 , 7 , 23 , 29, 41 , 43 , και 47 αλλά όχι στις σειρές 11 , 13 , 17, 19 , 31 , ή 37. Η πρώτη είναι ≡ 1 , 3 , 7, 9 ( mod 20 ) και η τελευταία είναι ≡ 11 , 13 , 17, 19 ( mod 20 ) .

Έκδοση Gauss

Οι παρατηρήσεις σχετικά με -3 και 5 εξακολουθούν να κατέχουν : -7 είναι ένα υπόλειμμα ( mod  p ) αν και μόνο αν  p  είναι ένα υπόλειμμα ( mod 7 ) , -11 είναι ένα υπόλειμμα ( mod ' 'p ' ') αν και μόνο αν ' ' p ' ' είναι ένα υπόλειμμα ( mod 11 ) , 13 είναι ένα υπόλειμμα ( mod ' ' p ' ') αν και μόνο αν ' ' p ' ' είναι ένα υπόλειμμα ( mod 13 ) , ...

Οι πιο περίπλοκη εμφάνιση κανόνων για τους τετραγωνικούς χαρακτήρες 3 και -5 , που εξαρτώνται από congruences ( mod 12) και ( mod 20 ), αντιστοίχως , είναι απλά αυτά για -3 και 5 εργάζονται με το πρώτο συμπλήρωμα .
< blockquote >
Για παράδειγμα, για να είναι το -5 ένα υπόλειμμα ( mod ' p ' '), είτε και τα δύο 5 και -1 πρέπει να είναι υπολείμματα ( mod ' p ' ), ή και τα δύο πρέπει να μην έχουν υπόλοιπο:

π.χ. , p πρέπει να είναι  ≡ ±1 (mod 5) και ≡ 1 (mod 4) , που είναι το ίδιο πράγμα με το  p  ≡ 1 ή 9 ( mod 20 ) , ή  p  πρέπει να είναι ≡ ± 2 mod 5 ' ' και  ≡ 3 mod 4 , η οποία είναι η ίδια όπως p ≡ 3 ή 7 ( mod 20 ). Βλέπε Chinese remainder theorem.</blockquote>

Η γενίκευση των κανόνων -3 και 5 είναι η δήλωση του Gauss της τετραγωνική αμοιβαιότητας :

 

 

Οι δηλώσεις αυτές μπορούν να συνδυαστούν:

Έστω q* = (−1)(q−1)/2q. Στη συνέχεια η αντιστοιχία x2 ≡  p (mod q) είναι επιλύσιμο αν και μόνο αν x2 ≡ q* (mod p).

Τετραγωνικός πίνακας χαρακτήρων των πρώτων αριθμών

Έκδοση Legendre
Ένας άλλος τρόπος για να οργανώσετε τα δεδομένα είναι να δούμε ποιοι πρώτοι αριθμοί αφήνουν υπόλοιπα mod , όπως απεικονίζεται στον παραπάνω πίνακα .Η είσοδος στη σειρά  p  στήλη  q  είναι  R αν  q  είναι ένα τετραγωνικό υπόλοιπο ( mod  p  ); αν είναι μη-υπολοιπόμενη  καταχωρούμε  Ν .

Εάν η γραμμή ή η στήλη , ή και τα δύο , είναι ≡ 1 ( mod 4), η είσοδος είναι μπλε ή πράσινο; αν τα δύο σειράς και στήλης είναι ≡ 3 ( mod 4 ) , είναι κίτρινο ή πορτοκαλί.

Οι μπλε και πράσινες συμμετοχές είναι συμμετρικές γύρω από τη διαγώνιο : Η είσοδος για τη σειρά  p  , στήλη  q  είναι Κ (αντίστοιχα  Ν) αν και μόνο αν η εισόδου σε σειρά  q  , στήλη  p  , είναι Κ (αντίστοιχα  Ν ) .

Τα κίτρινα και πορτοκαλί , από την άλλη πλευρά , είναι αντισυμμετρικές : Η είσοδος για τη σειρά  p  , στήλη  q  είναι  Κ (αντίστοιχα  Ν  ) , αν και μόνο αν η είσοδος σε σειρά  q  , στήλη  p  , είναι  Ν  (αντίστοιχα  R  ) .

Η παρατήρηση αυτή είναι η δήλωση του Legendre της τετραγωνικής αμοιβαιότητας :

Είναι μια απλή άσκηση για να αποδείξει ότι οι δηλώσεις του Legendre και του Gauss είναι ισοδύναμες - δεν απαιτεί περισσότερα από ό, τι το πρώτο συμπλήρωμα και τα γεγονότα σχετικά με τον πολλαπλασιασμό υπολειμμάτων και μη-υπολοίπων.

Σύνδεση με cyclotomy

Οι πρώτες αποδείξεις της τετραγωνική αμοιβαιότητας είναι σχετικά unilluminating . Η κατάσταση άλλαξε όταν ο Gauss χρησιμοποιείται [ [ Gauss συνοψίσω ] ] s για να δείξει ότι το [ [ τετραγωνικό πεδίο ] ] s είναι υποπεδία του [ [ cyclotomic πεδίου ] ] s , και εμμέσως συνάγεται η τετραγωνική αμοιβαιότητα από ένα θεώρημα αμοιβαιότητας για cyclotomic πεδία . Η απόδειξη του πετάχτηκε στη σύγχρονη μορφή του αργότερα αλγεβρικό θεωρητικούς αριθμό . Η απόδειξη αυτή χρησίμευσε ως πρότυπο για τη [ θεωρία [ πεδίο κλάσης ] ] , η οποία μπορεί να θεωρηθεί ως μια μεγάλη γενίκευση της τετραγωνικής αμοιβαιότητας

[ [ Robert Langlands ] ] διατύπωσε την [ [ πρόγραμμα Langlands ] ] , η οποία δίνει μια εικαστική μεγάλη γενίκευση της θεωρίας πεδίου τάξη . Έγραψε :

Ιστορία και εναλλακτικές καταστάσεις

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι για να αναφέρει το θεώρημα . Λάβετε υπόψη ότι η Euler και Legendre δεν έχουν σημειογραφία αντιστοιχίας του Gauss , ούτε ο Gauss έχει το σύμβολο του Legendre .

Σε αυτό το άρθρο  p  και  q  πάντοτε ανατρέχουν σε ξεχωριστούς θετικούς περιττούς πρώτους αριθμούς .

Fermat
Ο Fermat απέδειξε (ή υποστήριξε ότι έχει αποδειχθεί) μια σειρά από θεωρήματα για εκφράζοντας ένα πρώτο αριθμό από μια τετραγωνική μορφή:

Ισχυρίστηκε, επίσης,μια απόδειξη σύμφωνα με την οποία, αν ο πρώτος αριθμός  p  τελειώνει με 7, (σε βάση 10) και ο πρώτος αριθμός  q  καταλήγει σε 3, και  p  ≡  q ≡ 3 (mod 4), τότε

Euler εικαζόμενη, Lagrange και απέδειξε, ότι 

Αποδεικνύοντας ότι αυτές και οι άλλες δηλώσεις του Fermat ήταν ένα από τα πράγματα που οδήγησε τους μαθηματικούς στο θεώρημα της αμοιβαιότητας.

Euler
Μεταφρασμένο σε σύγχρονη σημειογραφία, Euler δήλωσε:

 Αν  q  ≡ 1 (mod 4) τότε  q  είναι ένα τετραγωνικό υπόλοιπο (mod  p ) αν και μόνο αν p ≡  R  (mod  q ) , όπου  R  είναι ένα τετραγωνικό κατάλοιπο του  Ε .

 Αν  q  ≡ 3 (mod 4) τότε  q  είναι ένα τετραγωνικό υπόλοιπο (mod  p ) αν και μόνο αν p ≡ ±  β  <sup> 2 </ sup > (mod 4q ), όπου  β  είναι περιττός και δεν διαιρείται με το  Ε .

Αυτό είναι ισοδύναμο με τη τετραγωνική αμοιβαιότητα.

Δεν μπορούσε να το αποδείξει, αλλά απέδειξε το δεύτερο συμπλήρωμα 

Legendre και το σύμβολο του

Ο Fermat απέδειξε ότι αν p είναι ένας πρώτος αριθμός και ο a είναι ένας ακέραιος,

Έτσι, αν το p δεν διαιρεί τοa,
 :

Legendre έστω a and A αντιπροσωπεύουν θετικούς πρώτους ≡ 1 (mod 4) και b  καιB θετικοί ακέραιοι ≡ 3 (mod 4)  και καθορίζει ένα πίνακα οκτώ θεωρημάτων που μαζί είναι ισοδύναμα με την τετραγωνική αμοιβαιότητα:

 

Λέει ότι από εκφράσεις της μορφής:
  (όπου N και c είναι σχετικά πρώτοι) θα καταλήξει τόσο συχνά που θα τους συντομεύσει ως:

Αυτό είναι τώρα γνωστή ως Legendre σύμβολο, και ένα ισοδύναμο Το ανάλογο σύμβολο του Legendre χρησιμοποιείται για υπολείμματα μεγαλύτερης ισχύς ορισμός που χρησιμοποιείται σήμερα : για όλους τους ακέραιους  a ' ' και όλων των περιττών πρώτων  p .

Έκδοση του Legendre για την τετραγωνική αμοιβαιότητα

 
Παρατήρησε ότι αυτό μπορεί να συνδυαστεί ως εξής:

Ένας αριθμός των αποδείξεων , ειδικά εκείνες που βασίζονται στο Gauss's Lemma, υπολογίζει ρητώς αυτό τον τύπο.

Οι συμπληρωματικές νομοθετικές χρησιμοποιώντας σύμβολα Legendre

Η προσπάθεια του Legendre να αποδείξει την αμοιβαιότητα στηρίζεται σε ένα θεώρημα του:

 

   (π.χ. Δεν έχουν όλα το ίδιο πρόσημο)

Π.χ. Το θεώρημα Ι χρησιμοποιείται θέτοντας τα  a ' ' ≡ 1 και  b  ≡ 3 ( mod 4 ) είναι πρώτοι και αν υποτεθεί ότι το < math > ( \ tfrac { b } { a } ) = 1 < / math > και , αντίθετα το θεώρημα , που < math > ( \ tfrac { a } { b } ) = -1 . < / math > Στη συνέχεια, < math > x ^ 2 + ay ^ 2 - BZ ^ 2 = 0 < / math > έχει μια λύση , και λαμβάνοντας congruences ( mod 4 ) οδηγεί σε μια αντίφαση .

Αυτή η τεχνική δεν λειτουργεί για το Θεώρημα VIII . Ας  β  ≡  Β  ≡ 3 ( mod 4 ) , και να αναλάβουν < math > ( \ tfrac { Β } { b } ) = ( \ tfrac { b } { Β } ) = -1 . < / math > Στη συνέχεια, αν υπάρχει ένας άλλος πρώτος  p  ≡ 1 ( mod 4 ), έτσι ώστε < math > ( \ tfrac { σ } { b } ) = ( \ tfrac { σ } { β } ) = -1 , < / math > η φερεγγυότητα των < math > Bx ^ 2 + από ^ 2 - PZ ^ 2 = 0 < / math > οδηγεί σε μια αντίφαση ( mod 4 ) . Αλλά ο Legendre ήταν σε θέση να αποδείξει ότι πρέπει να υπάρχει ένας πρώτος p; ήταν αργότερα σε θέση να αποδείξει ότι το μόνο που απαιτείται είναι " λήμμα του Legendre " :

 

αλλά δεν μπορούσε να αποδείξει ότι είτε . [ [ #Hilbert Σύμβολο | Hilbert σύμβολο (κάτω ) ] ] περιγράφει πώς τεχνικές που στηρίζονται στην ύπαρξη λύσεων σε < math > ax ^ 2 + από ^ 2 + cz ^ 2 = 0 < / math > μπορεί να λειτουργήσει .

Gauss

Ο Gauss αποδεικνύει πρώτα  Ο συμπληρωματικών νόμων . Θέτει  η βάση για την επαγωγή , αποδεικνύοντας το θεώρημα για ± 3 και ± 5 . Σημειώνοντας  ότι είναι ευκολότερο να αναφέρει για & μείον ; 3 και 5 από ότι είναι για 3 ή -5 , δηλώνει  το γενικό θεώρημα , με τη μορφή :

 Αν p είναι ένας πρώτος της μορφής 4n&  + 1 και στη συνέχεια p , αλλά αν p είναι της μορφής 4n + 3 Στη συνέχεια - p , είναι ένα τετραγωνικό υπόλοιπο ( αντιστοίχως μη-υπόλοιπο . ) του κάθε πρώτου, η οποία , με θετικό πρόσημο , είναι ένα κατάλοιπο του p (αντίστοιχα μη-υπόλοιπο. ) .
Στην επόμενη φράση , αυτός christens το " θεμελιώδες θεώρημα " ( Ο Gauss ποτέ δεν χρησιμοποίησε τη λέξη « αμοιβαιότητα » ) .

Παρουσιάζοντας τη σημειογραφία a R b (αντ. a N b) σημαίνει a είναι ένα τετραγωνικό υπόλοιπο ( αντιστοίχως μη υπόλοιπο ) ( mod b ) , και να αφήσει a , a & prime ;, κλπ αντιπροσωπεύουν θετικούς πρώτους  ≡ 1 ( mod 4 ) και b , b & πρώτο;, κλπ θετικούς πρώτους ≡ 3 ( mod 4 ) , αυτός ξεσπάει στα ίδια 8 περιπτώσεις όπως ο Legendre :

το επόμενο άρθρο που γενικεύει αυτό σε ότι είναι βασικά οι κανόνες για την Jacobi σύμβολο (κάτω ) . Αφήνοντας  Α  ,  Α  &πρώτο ;, κλπ αντιπροσωπεύει οποιουσδήποτε ( πρωταρχική ή σύνθετων ) θετικούς αριθμούς ≡ 1 ( mod 4 ) και  Β  ,  Β  & πρώτο ;, κλπ θετικούς αριθμούς ≡ 3 ( mod 4 )

Όλες αυτές οι περιπτώσεις λαμβάνουν τη μορφή « εάν ένας πρώτος είναι ένα υπόλειμμα ( mod ένα σύνθετο ) , τότε το σύνθετο είναι ένα κατάλοιπο ή μη-υπόλοιπο( mod το βασικό ) , ανάλογα με τις Όλες αυτές οι περιπτώσεις να λάβει τη μορφή « εάν ένα χαρακτηριστικό είναι ένα υπόλειμμα ( mod ένα σύνθετο ) , τότε το σύνθετο είναι ένα κατάλοιπο ή μη-υπόλοιπο ( mod το βασικό ) , ανάλογα με τις congruences ( mod 4 ) " . Αποδεικνύει ότι αυτές απορρέουν από τις περιπτώσεις που ακολουθούν 1 ) - 8 ) . ( mod 4 ) " . Αποδεικνύει ότι αυτές απορρέουν από τις περιπτώσεις 1 ) - 8 ) .

Ο Gauss που απαιτούσε , και ήταν σε θέση να αποδείξει, ένα λήμμα παρόμοιο με εκείνο που απαιτεί ο Legendre:

 

Η απόδειξη της τετραγωνικής αμοιβαιότητας είναι η πλήρης επαγωγή(π.χ. υποθέτοντας ότι είναι αληθές για όλους τους αριθμούς λιγότερο απόn επιτρέπει την έκπτωση που ισχύει για n) για κάθε μία από τις περιπτώσεις 1) to 8).

Έκδοση Gauss σε σύμβολα Legendre

Αυτά μπορούν να συνδυαστούν :

Μια σειρά από αποδείξεις του θεωρήματος , ειδικά εκείνες που βασίζονται στο άθροισμα Gausss, ή το διάσπαση των πρώτων αριθμών σε αλγεβρικό αριθμό τομέαs, αντλούν αυτή τη φόρμουλα .

Άλλες δηλώσεις
Σημειώστε ότι οι δηλώσεις σε αυτό το τμήμα είναι ισοδύναμες με το τετραγωνικό αμοιβαιότητας: αν, για παράδειγμα, η εκδοχή του Euler έχει υποτεθεί , η εκδοχή Legendre-Gauss μπορεί να συναχθεί από αυτό, και το αντίστροφο.

Euler
Αυτή η μορφή της τετραγωνική αμοιβαιότητας προέρχεται από την εργασία του Euler:

Ο ισχυρισμός του Euler μπορεί να αποδειχθεί με τη χρήση λήμμα του Gauss.

Gauss 
Η τέταρτη απόδειξη του  αποτελείται από την απόδειξη αυτού του θεωρήματος (με τη σύγκριση των δύο τύπων για την αξία των αθροισμάτων Gauss ) και, στη συνέχεια, να την περιορίζουν σε δύο πρώτους αριθμούς:

Έστω a,b, c, ... είναι άνισοι,θετικοί,περιττοί,πρώτοι, του οποίου το προϊόν είναι n, και έστω m ο αριθμός αυτών που είναι ≡ 3 (mod 4)? ελέγξτε εάν n/ a είναι ένα υπόλοιπο ενός, εάν n / b είναι ένα υπόλοιπο β, .... Ο αριθμός αυτών,που δεν είναι υπόλοιπα,θα είναι ζυγός όταν m ≡ 0, 1 (mod 4), και θα είναι περιττός αν m ≡ 2, 3 (mod 4).

 Δίνει το παράδειγμα. Έστω a = 3, b = 5, c = 7, και d = 11. Τρεις από αυτούς, 3, 7, και 11 ≡ 3 (mod 4), έτσι ώστε m ≡ 3 (mod 4).

5×7×11 R 3;  3×7×11 R 5;  3×5×11 R 7;  and  3×5×7 N 11, έτσι υπάρχει μονός αριθμός,αυτών που δεν είναι υπόλοιπα.

Eisenstein
Eisenstein , ορίζονται ως εξής:

Mordell
Mordell  αποδείχθηκε ότι τα ακόλουθα είναι ισοδύναμα με το τετραγωνικό αμοιβαιότητας

Σύμβολο Jacobi 
Το σύμβολο Jacobi είναι μια γενίκευση του συμβόλου Legendre; Η κύρια διαφορά είναι ότι ο  αριθμός πρέπει να είναι θετικός και περιττός, αλλά δεν χρειάζεται να είναι πρώτος. Αν είναι πρώτος, τα δύο σύμβολα συμφωνούν. Υπακούει στους ίδιους κανόνες υπολογισμού ως σύμβολο Legendre. συγκεκριμένα

και αν και οι δύο αριθμοί είναι θετικοί και περιττοί (αυτό μερικές φορές αποκαλείται «νόμος της αμοιβαιότητας Jacobi είναι"):

Ωστόσο, εάν το σύμβολο Jacobi είναι 1 και το κάτω άκρο είναι σύνθετος, αυτό δεν σημαίνει απαραίτητα ότι το πάνω άκρο είναι ένα τετραγωνικό υπόλοιπο του πυθμένα ένα. Περιπτώσεις του Gauss 9) - 14) το παραπάνω μπορεί να εκφράζεται σε όρους των συμβόλων Jacobi:

και δεδομένου ότι ο p  είναι πρώτος, η αριστερή πλευρά του τύπου είναι ένα σύμβολο Legendre, και γνωρίζουμε αν ο Μ  είναι ένα υπόλοιπο (mod  p ) ή όχι.

Οι τύποι που αναφέρονται στην προηγούμενη παράγραφο ισχύουν για τα σύμβολα Jacobi όσο τα σύμβολα ορίζονται.Ο τύπος Euler μπορεί να γραφτεί

για παράδειγμα,

και 2 είναι ένα υπόλοιπο mod οι πρώτοι 7, 23 και 31: 32 ≡ 2 (mod 7),52 ≡ 2 (mod 23), και 82 ≡ 2 (mod 31), αλλά δύο δεν είναι τετραγωνικό υπόλοιπο (mod 5) , οπότε δεν μπορεί να είναι μία (mod 15). Αυτό σχετίζεται με το πρόβλημα Legendre: αν γνωρίζουμε ότι , γνωρίζουμε ότι ο α είναι ένας αριθμός χωρίς υπόλοιπο,κάθε πρώτος του αριθμητικής σειράς m + 4a, m + 8α,. .., αν υπάρχουν πρώτοι σε αυτή τη σειρά, αλλά αυτό δεν είχε αποδειχθεί εδώ και δεκαετίες  μέχρι τον Legendre.

 
 

 

Σύμβολο του Hilbert
Ο νόμος της τετραγωνικής αμοιβαιότητας μπορεί να διατυπωθεί ως προς το Hilbert σύμβολο

όπου  a  και  b είναι οποιοιδήποτε μη μηδενικοί ρητοί αριθμοί και  v παίρνει όλες τις μη τετριμμένες απόλυτες τιμές των ρητών (αρχιμήδειων και των  p  - adic απόλυτων τιμών για πρώτους  π ). Το σύμβολο Hilbert 
είναι 1 ή και μείον; 1. Ορίζεται να είναι 1 αν και μόνο αν η εξίσωση

έχει μια λύση στο σύνολο ολοκλήρωση των ρητών στο v εκτός από 
Ο νόμος της αμοιβαιότητας υποστηρίζει ότι Hilbert που , για σταθερές a και b και διαφορετικό v, είναι ένα για όλα, αλλά τελικά πολλά v και το προϊόν της  πάνω από όλα τα v είναι 1 (Αυτό τυπικά
μοιάζει με το θεώρημα υπόλοιπο από την ανάλυση).

Η απόδειξη του Hilbert μειώνει αισθητά τον έλεγχο μερικών ειδικών περιπτώσεων, και οι μη-τετριμμένες περιπτώσεις,αποδεικνύεται να είναι ισοδύναμο με το κύριο νόμο και των δύο συμπληρωματικών νόμων της τετραγωνική αμοιβαιότητας για το σύμβολο Legendre. Δεν υπάρχει το είδος της αμοιβαιότητας στο νόμο Hilbert αμοιβαιότητας το όνομά του δείχνει απλά την ιστορική πηγή του αποτελέσματος σε τετραγωνική αμοιβαιότητα. Σε αντίθεση με τη τετραγωνική αμοιβαιότητα, η οποία απαιτεί ειδικές συνθήκες (δηλαδή θετικότητα των πρώτων αριθμών που συμμετέχουν) και μια ειδική μεταχείριση από τους πρωταρχικούς 2, ο νόμος της αμοιβαιότητας Hilbert αντιμετωπίζει όλες τις απόλυτες τιμές των ρητών επί ίσοις όροις. Ως εκ τούτου, είναι ένας πιο φυσικός τρόπος έκφρασης της τετραγωνική αμοιβαιότητας με προοπτική γενίκευσης: ο νόμος της αμοιβαιότητας Hilbert επεκτείνεται με πολύ λίγες αλλαγές σε όλους τους παγκόσμιους τομείς και η επέκταση αυτή μπορεί δικαίως να θεωρηθεί ως γενίκευση της τετραγωνικής αμοιβαιότητας σε όλους τους παγκόσμιους τομείς.

Άλλοι δακτύλιοι
Υπάρχουν, επίσης,νόμοι τετραγωνικής αμοιβαιότητας σε δακτυλίους, εκτός από τους ακέραιους αριθμούς.

Ακέραιοι Gaussian
Στη δεύτερη μονογραφία του για τεταρτοβάθμια αμοιβαιότητα  Ο Gauss ανέφερε νόμο τετραγωνικής αμοιβαιότητας για τον δακτύλιο Z[i]  του Gaussian ακέραιοι, λέγοντας ότι είναι απόρροια της του νόμου τετραγωνισμού Z[i], αλλά δεν παρείχε αποδείξεις είτε θεώρημα . Peter Gustav Lejeune Dirichlet  έδειξε ότι η νομοθεσία Z[i] μπορεί να συναχθεί από το νόμο για το Z, χωρίς τη χρήση διτετράγωνης αμοιβαιότητας.

Για ένα περιττό, Gaussian πρώτο π και έναν Gaussian ακέραιο α, gcd (α, π) = 1, καθορίζουν το τετραγωνικό χαρακτήρα για  'Ζ'  [ i '] από τον τύπο

Έστω λ = a + b i και μ = c + di να είναι διακριτοί Gaussian πρώτοι, όπου a και c είναι περιττοί και bκαι d είναι ακόμα. τότε

όπου είναι το σύμβολο Jacobi για Ζ.

Eisenstein ακέραιοι 
Ο δακτύλιος των Αϊνστάιν ακεραίων Ζ [ω], όπου  είναι μια κυβική ρίζα του 1. (Δείτε τα άρθρα σχετικά με Eisenstein ακέραιος και κυβικά αμοιβαιότητας για τους ορισμούς και συμβολισμούς).

Για Eisenstein πρώτο π, nπ ≠ 3 και ένα Eisenstein ακέραιο α, gcd (α, π) = 1, καθορίζουν το τετραγωνικό χαρακτήρα για Ζ [ω] από τον τύπο

Έστω λ = a + b ω και μ = c + d ω να είναι διακριτοί Eisenstein πρώτοι, όπου a και c δεν είναι διαιρετοί από 3 και b και d διαιρείται με το 3.Ο Αϊνστάιν απέδειξε

όπουείναι το σύμβολο Jacobi για Ζ.

Φανταστικά τετραγωνικά πεδία 
Οι νόμοι Ζ [εγώ] και Ζ [ω] είναι ειδικές περιπτώσεις των πιο γενικών νόμων που ισχύουν και για τον δακτύλιο των ακεραίων σε οποιοδήποτε φανταστικό τετραγωνικό πεδίο αριθμού.

Ας είναι k ένα πεδίο φανταστικών τετραγωνικών αριθμών με δακτύλιο των ακεραίων
Για έναν πρώτο φανταστικό  με περιττό κανόνα  & nbsp? και    define the quadratic character for  & nbsp; καθορίζει το τετραγωνικό χαρακτήρα για  από τον τύπο

για ένα αυθαίρετο φανταστικό  συνυπολογίζονται πρώτοι φανταστικοί  define

και για το  καθορίζει

Άς  είναι μία ολοκλήρωμα βάση του 
Για  με τύπο περιττών Νν, καθορισμένων (κοινών) ακέραιων a, b, c, d'»από τις εξισώσεις,

και καθορισμένη συνάρτηση χ(ν) όπου ν είναι ένας τύπος περιττού αριθμού με

Αν m =  Νμ  και  Β  = Νν είναι αμφότεροι περιττοί, Herglotz απέδειξε 

και καθορισμένη συνάρτηση χ(ν) όπου ν είναι ένας τύπος περιττού αριθμού με

Επίσης αν,

 Πολυώνυμα πάνω από ένα πεπερασμένο πεδίο 
Ας είναι F ένα πεπερασμένο πεδίο με q = p n n  </ sup> στοιχεία, όπου p είναι ένας περιττός πρώτος αριθμός και το n είναι θετικό, και ας είναι F [x]  το δακτύλιος πολυωνύμων σε μια μεταβλητή με συντελεστές στο  'F  '. Εάν  και f είναι αμείωτη, monic, και έχει θετικό βαθμό, καθορίζουν τον τετραγωνικό χαρακτήρα  για f [x] κατά τον συνήθη τρόπο

Εάν  είναι ένα προϊόν της αμείωτης, ας είναι 

Dedekind απέδειξε ότι   είναι monic και έχουν θετικό βαθμό,

 Ανώτερες δυνάμεις 
Η προσπάθεια γενίκευσης της τετραγωνικής αμοιβαιότητας για υψηλότερες δυνάμεις  από το δεύτερο ήταν ένας από τους κύριους στόχους που οδήγησε τους μαθηματικούς του 19ου αιώνα, συμπεριλαμβανομένων των Καρλ Φρίντριχ Γκάους, Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Καρλ Γκούσταβ Jakob Jacobi Gotthold Eisenstein, Richard Dedekind, Ernst Kummer και David Hilbert με τη μελέτη των γενικών πεδίων αλγεβρικού αριθμού  και τους δακτυλίους των ακεραίων αριθμών; ειδικά Kummer εφεύρει ιδανικά την κατάσταση και να απέδειξε υψηλότερους νόμους της αμοιβαιότητας.
Το ένατη στην λίστα των 23 άλυτα προβλήματα, το οποίο πρότεινε ο Ντάβιντ Χίλμπερτ  για το Συνέδριο των Μαθηματικών το 1900 ζήτησε την "απόδειξη της πιο γενικής νομοθεσίας περί αμοιβαιότητας [f] ή ένα αυθαίρετο πεδίων αριθμών ". Το 1923 Artin, βάσει των εκτελούμενων εργασιών από Furtwängler, Takagi, Hasse και άλλους, ανακάλυψε ένα γενικό θεώρημα για το οποίο όλοι οι γνωστοί νόμοι της αμοιβαιότητας είναι ειδικές περιπτώσεις; το απέδειξε το 1927.
Οι σύνδεσμοι που ακολουθούν παρέχουν πιο λεπτομερείς συζητήσεις αυτών των θεωρημάτων.

 Δείτε επίσης 
 Κριτήριο του Euler
 Λήμμα Zolotarev του
 Αποδείξεις της αμοιβαιότητας τετραγωνική
 Κυβικά αμοιβαιότητας
 Quartic αμοιβαιότητας
 Eisenstein αμοιβαιότητας
 Artin της αμοιβαιότητας

 Παραπομπές 

 Βιβλιογραφία 
Η  Disquisitiones Arithmeticae  έχει μεταφραστεί (από τα λατινικά) στα αγγλικά και στα γερμανικά. Η γερμανική έκδοση περιλαμβάνει όλα τα έγγραφα του Gauss σε θεωρία αριθμών: όλες οι αποδείξεις της τετραγωνικής αμοιβαιότητας, ο προσδιορισμός του σημείου του αθροίσματος Gauss, οι έρευνες διτετράγωνης αμοιβαιότητας, και ανέκδοτες σημειώσεις. Υποσημειώσεις που παραπέμπουν στο  Disquisitiones Arithmeticae  είναι της μορφής "Gauss, DA, Τέχνης.  Ν ».

 
 

Αυτά είναι σε Gauss 's Werke, Τόμος ΙΙ, pp. 65–92 and 93–148. Γερμανική μετάφραση είναι σε pp. 511–533 και 534–586 Untersuchungen über höhere Arithmetik.Κάθε βιβλίο για την στοιχειώδη θεωρία αριθμών (και αρκετά στο Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών) έχει μια απόδειξη της τετραγωνικής αμοιβαιότητας. Δύο είναι ιδιαίτερα αξιοσημείωτες:

Ο Franz Lemmermeyer του Αμοιβαιότητα Νόμοι: Από Euler για Eisenstein έχει πολλές αποδείξεις (μερικές ασκήσεις) των δύο νόμων τετραγωνικής αμοιβαιότητας  και μεγαλύτερη ισχύ και μια συζήτηση για την ιστορία τους . Τεράστια βιβλιογραφία του περιλαμβάνει βιβλιογραφικές αναφορές για 196 διαφορετικά.Δημοσιεύονται αποδείξεις για την τετραγωνική νόμο της αμοιβαιότητας.
 
Ο Ιρλανδός Kenneth  και Michael Rosen ' s  Μια κλασική Εισαγωγή στη Σύγχρονη Θεωρία Αριθμών '' έχει επίσης πολλές αποδείξεις της τετραγωνική; αμοιβαιότητας (και πολλές ασκήσεις) , και καλύπτει τις τρίτου και τέταρτου βαθμού περιπτώσεις. Άσκηση 13.26 (σελ.202) τα λέει όλα
  Μετρήστε τον αριθμό των αποδείξεων με το νόμο της τετραγωνικής αμοιβαιότητας που έχει δώσει μέχρι τώρα αυτό το βιβλίο και να επινοήσετε ένα άλλο .

 
 
 {{Παραπομπή
 �

  | Last1 =Lemmermeyer | first1 =Franz
  | Title =Αμοιβαιότητα Νόμοι
  | Εκδότης =Springer-Verlag
  | Σειρά =Springer Μονογραφίες στα Μαθηματικά
  | Θέση =Βερολίνο
  | Mr =1761696
  | Χρόνος =2000
  | ISBN 3-540-66957-4 =
  | Doi =10,1007 / 978-3-662-12893-0}}

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 
 τετραγωνική αμοιβαιότητας Θεώρημα από MathWorld
 Α  παιχνίδι  συγκρίνοντας δύο αποδείξεις του τετραγωνικού νόμου αμοιβαιότητας 
 Μια απόδειξη αυτού του θεωρήματος  σε PlanetMath
 Μια διαφορετική απόδειξη σε MathPages
 χρονολόγιο και βιβλιογραφία των αποδείξεων της αμοιβαιότητας τετραγωνική Νόμου ΣΤ Lemmermeyer του (233 αποδείξεις)

Αλγεβρική θεωρία αριθμών
Αριθμητική υπολοίπων
Θεωρία αριθμών
Μαθηματικά θεωρήματα