Πλάνη του τζογαδόρου

Η πλάνη του τζογαδόρου (The Gambler's fallacy) είναι η πεποίθηση ότι εάν υπάρχουν αποκλίσεις από την αναμενόμενη συμπεριφορά σε επανειλημμένες ανεξάρτητες δοκιμές κάποιας τυχαίας διαδικασίας, τότε οι αποκλίσεις αυτές είναι πιθανό να εξομαλυνθούν από αντίθετες αποκλίσεις στο μέλλον.

Για παράδειγμα αν ένα κέρμα ριχτεί επανειλημμένα και έρχεται «γράμματα» περισσότερες φορές από αυτές που αναμένονται, τότε ένας παίκτης μπορεί λανθασμένα να πιστέψει ότι σε μελλοντικές ρίψεις του νομίσματος το «κεφάλι» είναι πιο πιθανό να έρθει. Αυτή η προσδοκία είναι λανθασμένη για τον απλό λόγο ότι το σύμπαν δεν έχει μνήμη. 
Το αποτέλεσμα επαναλαμβανόμενων ρίψεων είναι στατιστικά ανεξάρτητο, δηλαδή η πιθανότητα να έρθει «κεφάλι» ή «γράμματα» είναι 50% σε κάθε ρίψη. Η πιθανότητα στην πρώτη ρίψη να έρθει «κεφάλι» είναι 1⁄2 και η πιθανότητα να έρθει πάλι «κεφάλι» στην δεύτερη ρίψη είναι 1⁄2×1⁄2 = 1⁄4, δηλαδή μία στις τέσσερις και η πιθανότητα να έρθει 3 φορές συνεχόμενα «κεφάλι» είναι 1⁄8 δηλαδή μία στις οχτώ = 0,5×0,5×0,5= 0,53 = 0.125 = 1⁄8 και για n ρίψεις η πιθανότητα να έρθει n φορές κεφάλι είναι , όσοι και όλοι οι πιθανοί συνδυασμοί.

Ας υποθέσουμε ότι ρίξαμε «κεφάλι» 4 συνεχόμενες φορές και εάν ρίξουμε πάλι «κεφάλι» θα έχουμε 5 συνεχόμενες ρίψεις με αποτέλεσμα «κεφάλι». Η πιθανότητα όπως είδαμε να έρθει 5 φορές συνεχόμενες «κεφάλι» είναι  = 0,55 = 0.03125 = 1⁄32 = μια στις τριάντα δύο. Η πλάνη του τζογαδόρου είναι να πιστέψει ότι η πιθανότητα να έρθει «γράμματα» την πέμπτη φορά είναι μεγαλύτερη από το να έρθει «κεφάλι», προσδοκία εσφαλμένη καθώς η πιθανότητα για 5 φορές «κεφάλι» και η πιθανότητα για 4 φορές «κεφάλι» και μετά «γράμματα» είναι απόλυτα ίσες και είναι μια στις τριάντα δύο. Με 4 φορές «κεφάλι» η πιθανότητα να έρθει την πέμπτη φορά «γράμματα» είναι:    δηλαδή πάλι 50%.

Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι εάν κάποιος ρίξει ένα νόμισμα για n=21 φορές, η πιθανότητα να έρθει 21 φορές «κεφάλι» είναι  = 0,521 δηλαδή 1 στις 2.097.152 φορές, αλλά η πιθανότητα να έρθει «κεφάλι» την 21η φορά αφού έχει ήδη ρίξει 20 φορές «κεφάλι» είναι 1⁄2, δηλαδή όσες και να έρθει «γράμματα». 

πιθανότητα 20 φορές «κεφάλι» και μετά «γράμματα» =  0,520 × 0,5 = 0,521
πιθανότητα 20 φορές «κεφάλι» και μετά πάλι «κεφάλι» =  0,520 × 0,5 = 0,521 δηλαδή ακριβώς οι ίδιες όπως και του κάθε ενός από του 2.097.152 πιθανούς συνδυασμούς.

Παραδείγματα
Η πλάνη του τζογαδόρου είναι επίσης γνωστή και ως η πλάνη του Μόντε Κάρλο επειδή το διασημότερο παράδειγμα συνέβη στο καζίνο του Μόντε Κάρλο το καλοκαίρι του 1913, όταν το μαύρο είχε έρθει 26 συνεχόμενες φορές και οι παίκτες έχασαν εκατομμύρια γαλλικά φράγκα ποντάροντας κόκκινο.

Υπάρχει και η αντίθετη περίπτωση, δηλαδή να φαίνεται ότι η πλάνη του τζογαδόρου ισχύει αλλά στην πραγματικότητα να μην ισχύει. Κλασσική περίπτωση είναι το Μπλακ τζακ όπου οι πιθανότητες να βγει βαλές στα εναπομείναντα χαρτιά είναι μικρότερες από το να βγει οποιοδήποτε άλλο φύλλο εάν έχει ήδη βγει βαλές σε προηγούμενο «χέρι». Σε αυτή την λογική είναι χτισμένο το «μέτρημα των χαρτιών» στο Μπλακ τζακ, το οποίο με την κατάλληλη τακτική μπορεί να αποδώσει κέρδη στον παίκτη, καθώς οι πιθανότητες να κερδίζει στην διάρκεια είναι μεγαλύτερες από αυτές του καζίνο (έως και 2.5%), όταν στα εναπομείναντα χαρτιά υπάρχουν πιο πολλά μεγάλα φύλα (δέκα βαλές ντάμα ρήγας και άσος) από μικρά (δύο τρία τέσσερα πέντε και έξι). Τα φύλα εφτά οχτώ και εννέα δεν τα μετράνε. Τα περισσότερα καζίνο για να αντιμετωπίσουν το μέτρημα των χαρτιών επανατοποθετούν τα ήδη μοιρασμένα χαρτιά στα εναπομείναντα μετά από κάθε «χέρι». Περισσότερα για το μέτρημα χαρτιών στο λήμμα Card counting της αγγλικής Wikipedia

Άλλο ένα παράδειγμα που καταδεικνύει ότι τα μαθηματικά και η ανθρώπινη διαίσθηση είναι αντικρουόμενες έννοιες, είναι το πρόβλημα των γενεθλίων. Από την 1η Ιανουαρίου μέχρι και την 31η Δεκεμβρίου είναι 366 μέρες, συμπεριλαμβανομένης και της 29ης Φεβρουαρίου. Άρα για να είμαστε 100% σίγουροι ότι θα βρούμε τουλάχιστον δύο άτομα με κοινή μέρα γενεθλίων, χρειαζόμαστε το λιγότερο 367 άτομα, δηλαδή αυτούς του 366 και ακόμα έναν.
Ενώ το παραπάνω παράδειγμα είναι πλήρως κατανοητό και μέσα στην «κοινή λογική» δεν ισχύει το ίδιο για τον μικρότερο αριθμό ατόμων που απαιτούνται ώστε η πιθανότητα να βρούμε τουλάχιστον δύο άτομα με την ίδια μέρα γενέθλιων να είναι 99%. Σκεφτείτε το λίγο, κάντε μια πρόβλεψη και μετά διαβάστε το άρθρο πρόβλημα των γενεθλίων για να δείτε πόσο έξω πέσατε.

Δείτε επίσης
Λογική πλάνη
Προσφυγή στην αυθεντία

Στατιστική θεωρία
Λογική πλάνη
Μαθηματικά παράδοξα