Αλεξάντερ Γκρότεντικ

Ο Αλεξάντερ  Γκρότεντικ (Alexander Grothendieck, 28 Μαρτίου 1928 – 13 Νοεμβρίου 2014) ήταν Γάλλος μαθηματικός, γεννημένος στη Γερμανία. Υπήρξε ηγετική φυσιογνωμία στη θεμελίωση της σύγχρονης αλγεβρικής γεωμετρίας. Το ερευνητικό του πρόγραμμα εξάπλωσε τα όρια του κλάδου, συμπεριλαμβάνοντας στη θεμελίωσή του βασικά στοιχεία από τομείς όπως η αντιμεταθετική άλγεβρα (commutative algebra), η ομολογιακή άλγεβρα (homological algebra), η θεωρία δραγμάτων (sheaf theory) και η θεωρία κατηγοριών.

Ο τρόπος σκέψης του Γκρότεντικ έχει επηρεάσει και συνεχίζει να επηρεάζει γενιές μαθηματικών καιρό μετά την αναχώρησή του από τα μαθηματικά. Το έργο του καθιερώνει την θεωρία κατηγοριών ως βασικό εργαλείο για τη μελέτη της αλγεβρικής γεωμετρίας, καθώς και άλλων κλάδων των μαθηματικών.

Καθοδηγούμενος από βαθιές προσωπικές και πολιτικές πεποιθήσεις, το 1970 ο Γκρόθεντικ έφυγε από το Ινστιτούτο Υψηλών Επιστημονικών Σπουδών της Γαλλίας (IHES) όπου ήταν καθηγητής και είχε επιτύχει το πιο σημαντικό του έργο, καθώς διαφωνούσε με τη στρατιωτική χρηματοδότηση του ινστιτούτου. Η ενασχόληση του με τα μαθηματικά σταματάει επισήμως το 1988. Έπειτα ο Γκρόθεντικ μετακόμισε στα Πυρηναία όρη στη νότια Γαλλία, όπου λέγεται ότι έζησε απομονωμένος μέχρι το θάνατό του.

Ο Αλεξάντερ Γκρότεντικ απεβίωσε στις 13 Νοεμβρίου 2014 στο Σαιν-Ζιρόν της Γαλλίας.

Η ζωή του

Η οικογένεια και τα παιδικά του χρόνια
Ο Αλεξάντερ Γκρότεντικ γεννήθηκε στο Βερολίνο από γονείς αναρχικούς. Ο πατέρας του ήταν αρχικά από την οικογένεια Χασιντικ, Αλεξάντερ ‘’Σάστσα’’ Στσάπιρο ή Τανάροφ,που ήταν φυλακισμένος στη Ρωσία και μετακόμισε στη Γερμανία το 1922, και η μητέρα του από προτεσταντική οικογένεια στο Αμβούργο Τζοάννα ‘’Χάνκα Γκρότεντικ,η οποία εργαζόταν ως δημοσιογράφος. Και οι δύο γονείς του είχαν αποσχιστεί από το υπόβαθρο τους στην εφηβεία. Την ημέρα της γέννησής του η μητέρα του ήταν παντρεμένη με το δημοσιογράφο  Τζοάνες Ράντατζ. Ο γάμος τους διαλύθηκε και ο Στσαπίρο/Τανάροφ αναγνώρισε την πατρότητα του Αλεξάντερ Γκρότεντικ αλλά ποτέ δεν παντρεύτηκε τη Χάνκα Γκρότεντικ.

Ο Γκρότεντικ έζησε μαζί με τους γονείς του μέχρι το 1933 στο Βερολίνο. Στο τέλος αυτής της χρονιάς, η Στσαπίρο μετακόμισε στο Παρίσι για να αποφύγει τους Ναζί και η Χάνκα τον ακολούθησε την επόμενη χρονιά. Άφησαν τον Γκρότεντικ στη φροντίδα του Βίχελμ Χέυντορν, ενός Λουθηρανού πάστορα και δάσκαλου στο Αμβούργο όπου και πήγε σχολείο. Κατά τη διάρκεια αυτή οι γονείς του συμμετείχαν στον Ισπανικό εμφύλιο πόλεμο υπερασπίζοντας παρά πολεμώντας. Ο Γκρότεντικ έμαθε να μιλάει Γερμανικά, Γαλλικά και Αγγλικά.

Κατά τη διάρκεια του Β΄ Παγκοσμίου Πολέμου
Το 1939 ο Γκρότεντικ πήγε στη Γαλλία και έζησε σε διάφορα στρατόπεδα προσφύγων μαζί με τη μητέρα του, πρώτα στο στρατόπεδο Ρικρός, και στη συνέχεια έζησε για το υπόλοιπο του πολέμου στο χωριό Le Chambon-sur-Lignon, όπου ήταν προστατευμένοι  και κρυμμένοι σε τοπικά οικοτροφεία. Ο πατέρας του συνελήφθη και στάλθηκε μέσω του Ντρανσύ στο στρατόπεδο συγκέντρωσης Άουσβιτς, όπου και πέθανε το 1942. Ενώ ο Γκρότεντικ ζούσε στην Τσαμπόν, παρακολούθησε μαθήματα στο Κολλέγιο Σεβενόλ (γνωστό σήμερα ως το Το Κολλέγιο -Λούσι- διεθνώς), ένα μοναδικό σχολείο δευτεροβάθμιας εκπαίδευσης που ιδρύθηκε το 1938 από τους τοπικούς προτεστάντες  ειρηνιστές και ακτιβιστές κατά του πολέμου. Πολλά από τα παιδιά των προσφύγων που είχαν καταφύγει στην Τσαμπόν  παρακολούθησαν μαθήματα στο Σεβενόλ και σε αυτό το σχολείο ο Γκρότεντικ προφανώς γοητεύτηκε για πρώτη φορά από τα μαθηματικά.

Μελέτες και επαφή με την έρευνα  στα μαθηματικά
Μετά τον πόλεμο, ο νεαρός Γκρότεντικ σπούδασε μαθηματικά στη Γαλλία, αρχικά στο Πανεπιστήμιο του Μονπελλιέ. Μετά από τρία χρόνια, με όλο και πιο ανεξάρτητες μελέτες, πήρε μια υποτροφία για να συνεχίσει τις σπουδές του στο Παρίσι το 1948. [4]
Αρχικά, ο  Γκρότεντικ παρακολούθησε στο Πανεπιστήμιο το σεμινάριο του Ανρί Καρτάν, αλλά δεν είχε το αναγκαίο υπόβαθρο για να ακολουθήσει το υψηλού επιπέδου σεμινάριο. Με τις συμβουλές του Καρτάν και Γουέιλ, μετακόμισε στο Πανεπιστήμιο του Νανσύ, όπου έγραψε τη διατριβή του υπό τον Λαρέντ Σβατς στη λειτουργική ανάλυση, το  1950-1953. Σε αυτό το διάστημα ήταν ένας κορυφαίος ειδικός στη θεωρία των τοπογραφικών διανυσματικών χώρων. Από το 1957, έθεσε το θέμα αυτό στην άκρη, προκειμένου να εργαστεί στην αλγεβρική γεωμετρία και την ομολογική άλγεβρα .

Τα χρόνια στο ΙΥΕΣ 

Εγκατεστημένος  στο Ινστιτούτο Υψηλών Επιστημονικών Σπουδών (ΙΥΕΣ) το 1958, Γκρότεντικ προσέλκυσε την προσοχή από μια έντονη και άκρως παραγωγική δραστηριότητα των σεμιναρίων (ομάδες εργασίας διαμόρφωσή του σε θεμελιώδες έργο ορισμένων από τους ικανότερους Γάλλους  και άλλους  μαθηματικούς της νεότερης γενιάς). Ο Γκρότεντικ σταμάτησε ουσιαστικά τη δημοσίευση των εγγράφων μέσω του συνηθισμένου, γνωστού δημοσιογραφικού τρόπου. Ήταν, ωστόσο, σε θέση να διαδραματίσει κυρίαρχο ρόλο στα μαθηματικά για περίπου μια δεκαετία, συγκεντρώνοντας ένα ισχυρό σχολείο.

Κατά τη διάρκεια αυτής της περιόδου είχε επίσημα ως μαθητές τους  Μισέλ Ντεμαζούρ (ο οποίος εργάστηκε για SGA3, σχετικά με τα συστήματα της ομάδας), συνεφαπτομένο συγκρότημα, Μισέλ Ρανάντ, Τζιν Λουις Βεντερ (συνιδρυτής της παράγωγης θεωρίας  κατηγοριών ) και  Πιερ Ντελίνγκε. Συνεργάτες στα SGA έργα που περιλαμβάνονται, επίσης,ο  Μάικ Άρτιν (συνομολογία) και Νικ Κατζ (θεωρία του μονόδρομου και  μολύβια Λεφτσέντζ). Ο Τζιν Γκιράρντ  επεξεργάστηκε τη θεωρία επεκτάσεων της μη-αβελιανής συνομολογίας. Πολλοί άλλοι ήταν εμπλεκόμενοι.

Η «Χρυσή Εποχή» 

Το έργο του Αλεξάνδρου Γκρότεντικ κατά τη διάρκεια της περιόδου του "Χρυσή Εποχή" στο ΕΙΧΕΣ εγκαθίδρυσε  εδώ και αρκετά κεντρικά θέματα στην Αλγεβρική γεωμετρία, τη θεωρία αριθμών ,την  τοπολογία, τη θεωρία κατηγορία και τη σύνθετη ανάλυση. Η πρώτη του (προ-ΕΙΧΕΣ) επανάσταση στην αλγεβρική γεωμετρία ήταν το  Γκρότεντικ - Χίζερμπρουχ-Ρίμαν-Ροκ θεώρημα, μια εκτεταμένη γενίκευση του Χίζερμπρουχ-Ρίμαν-Ροκ θεωρήματος που  αποδείχθηκε αλγεβρικά .Σε αυτό το πλαίσιο που εισήγαγε επίσης τη θεωρία Κάπα. Στη συνέχεια, σύμφωνα με το πρόγραμμα που περιέγραψε στην ομιλία του στο 1958 Διεθνές Συνέδριο της Μαθηματικοί, εισήγαγε λεπτομερώς τη θεωρία των συστημάτων, αναπτύσσοντας τη στα στοιχεία του αλγεβρική γεωμετρία (ΣΑΓ) και παρέχοντας  τις νέες πιο ευέλικτες και γενικές βάσεις για την αλγεβρική γεωμετρία που έχει εγκριθεί στο χώρο από την εποχή εκείνη. Πήγε για να εισαγάγει στη χαλαρή  συνομολογία  τη θεωρία των συστημάτων, παρέχοντας τα βασικά εργαλεία για την απόδειξη των εικασιών του  Βέιλ, καθώς και  την κρυσταλλική συνομολογία και αλγεβρικό συνομολογία του Γκραμ  για να το συμπληρώσει. Στενά συνδεδεμένος  με αυτές τις θεωρίες συνομολογίας, που προέρχεται από τη θεωρία Τόπου ως γενίκευση της τοπολογίας (σχετική και σε κατηγορηματική λογική). Έδωσε επίσης ένα αλγεβρικό ορισμό των θεμελιωδών ομαδικών συστημάτων και γενικότερα τις βασικές δομές της  θεωρίας  Γκαλουά σε κατηγορίες. Ως πλαίσιο για τη συνεκτική θεωρία δυαδικότητας του εισήγαγε επίσης  κατηγορίες, οι οποίες αναπτύχθηκαν περαιτέρω από τον Βερντιέρ.

Τα αποτελέσματα των εργασιών σε αυτά και σε άλλα θέματα έχουν δημοσιευθεί στην EGA και σε λιγότερο προσεγμένη  μορφή στις σημειώσεις του Σεμινάρια στην Αλγεβρική Γεωμετρία (ΣΑΓ), που σκηνοθέτησε στο …..

Πολιτική και υποχώρηση από την επιστημονική κοινότητα

Οι πολιτικές απόψεις του Γκρότεντικ ήταν ριζοσπαστικές και ήταν ειρηνιστής. Έτσι, ο ίδιος αντιτάχθηκε σθεναρά τόσο στις  Ηνωμένες Πολιτείες με την επιθετικότητα στο Βιετνάμ και το σοβιετικό στρατιωτικό επεκτατισμό. Έδωσε διαλέξεις σχετικά με τη θεωρία της κατηγορίας στα δάση γύρω από  το Ανόι, ενώ η πόλη βομβαρδιζόταν, για να διαμαρτυρηθούν ενάντια στον πόλεμο του Βιετνάμ (Η ζωή και το έργο του Αλέξανδρου Γκρότεντικ, Μηνιαία Αμερικάνικα Μαθηματικά, τομ. 113, όχι. 9, υποσημείωση 6). Αποσύρθηκε από την επιστημονική ζωή γύρω στο 1970, αφού ανακάλυψε την εν μέρει χρηματοδότηση των στρατιωτικών ΕΙΧΕΣ (βλ. σελ. XII και XIII της SGA1, Σπρίνγκερ Σημειώσεις Διαλέξεων 224). Επέστρεψε στην ακαδημία  λίγα χρόνια αργότερα ως καθηγητής στο Πανεπιστήμιο του Μονπελιέ, όπου παρέμεινε μέχρι τη συνταξιοδότησή του το 1988. Οι επικρίσεις του για την επιστημονική κοινότητα, και ιδιαίτερα για πολλούς κύκλους μαθηματικών, στην ουσία περιέχονται σε ένα έγγραφο, γραμμένο το 1988, στο οποίο αναφέρει τους λόγους της άρνησής του για το βραβείο Κράφουντ. [5] Ο ίδιος αρνήθηκε το βραβείο για ηθικούς λόγους με μια ανοιχτή επιστολή προς τα μέσα μαζικής ενημέρωσης. [6]

Ενώ το θέμα της στρατιωτικής χρηματοδότησης ήταν ίσως η πιο προφανής εξήγηση για την αναχώρηση του Γκρότεντικ από το ΕΙΧΕΣ, εκείνοι που τον γνώριζαν λένε ότι τα αίτια της ρήξης ήταν βαθύτερα.Ο Πιέρ Κάρτερ, με μακρά διάρκεια επισκεψιμότητα στο ΕΙΧΕΣ, έγραψε ένα κομμάτι για τον Γκρότεντικ για ένα ειδικό τόμο που δημοσιεύθηκε με την ευκαιρία της τεσσαρακοστής επετείου της ΕΙΧΕΣ του. Η Γκρότεντικ Φέσττσρίφτ  ήταν ένα τρίτομο έργο των ερευνητικών εργασιών για να σηματοδοτήσει το εξηκοστό έτος της ηλικίας του (πτώση το 1988), και δημοσιεύθηκε το 1990. [7]

Σε αυτό ο Καρτιέρ  σημειώνει ότι, ως γιος αντιμιλιταριστικών αναρχικών και ως αυτός που μεγάλωσε ανάμεσα στους μη  προνομιούχους, ο  Γκρότεντικ είχε πάντα μια βαθιά συμπόνια για τους φτωχούς και τους κατατρεγμένους. Όπως το θέτει ο Καρτιέρ, ο  Γκρότεντικ ήρθε να βρει "ένα χρυσό κλουβί». Ενώ ο Γκρότεντικ ήταν στις ΙΥΕΣ, η αντίθεση στον πόλεμο του Βιετνάμ ήταν το ξεκίνημα-ζέσταμα, και ο  Κάρτιερ δείχνει ότι αυτό ενίσχυσε επίσης την αποστροφή του Γκρότεντικ έχοντας γίνει ένα μανταρίνι από τον επιστημονικό κόσμο. Επιπλέον, μετά από αρκετά χρόνια στο ΙΥΕΣ ο Γκρότεντικ φάνηκε να ενδιαφέρεται για τα νέα πνευματικά ενδιαφέροντα. Μέχρι τα τέλη της δεκαετίας του 1960 είχε αρχίσει να  ενδιαφέρεται για τις επιστημονικούς  κλάδους εκτός των μαθηματικών. Ο Ντέιβιτ Ρουλ, ένας φυσικός ο οποίος εντάχθηκε στο ΕΙΧΕΣ σχολή το 1964, είπε ότι Γκρότεντικ ήρθε να του μιλήσει μερικές φορές για τη φυσική. (Στη δεκαετία του 1970 Ρουλ και η ολλανδική μαθηματικός Φλόρις Τέικενς παράγεται ένα νέο μοντέλο για την αναταραχή, και ήταν ο Ρουλ που εφηύρε την έννοια του ένα παράξενο ελκυστήρα  σε ένα δυναμικό σύστημα.) Στη  Βιολογία ενδιαφερόταν ο  Γκρότεντικ πιο περισσότερο από τη φυσική, και οργάνωσε κάποια σεμινάρια για βιολογικά θέματα. [8]

Μετά την αναχώρηση του από το  ΕΙΧΕΣ, ο  Γκρότεντικ έγινε προσωρινά καθηγητής στο Γαλλικό Κολλέγιο  για δύο χρόνια. Μια μόνιμη θέση έγινε ανοικτή στο τέλος της θητείας του, αλλά η αίτηση του Γκρότεντικ που  υπέβαλε κατέστησε σαφές ότι ο ίδιος δεν είχε σχέδια για να συνεχίσει την μαθηματική έρευνα. Η θέση δόθηκε στον Τζαξ Μπρεστς.
Στη συνέχεια πήγε στο Πανεπιστήμιο Μοντεπελιέρ, όπου έγινε όλο και περισσότερο αποξενωμένος από τη μαθηματική κοινότητα. Αυτή τη φορά, ίδρυσε μια ομάδα που ονομάζεται «επιζόν» (να επιζήσει), η οποία ήταν αφιερωμένη στον αντιμιλιταρισμό  και σε οικολογικά ζητήματα. Μαθηματική του σταδιοδρομία, ως επί το πλείστον, τελείωσε όταν έφυγε από το ΕΙΧΕΣ.

Χειρόγραφα γραμμένα στη δεκαετία του 1980

Ενώ δεν  δημοσίευε  μαθηματική  έρευνα με συμβατικούς τρόπους κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1980, παρήγαγε αρκετή επιρροή με χειρόγραφα με περιορισμένη εξάπλωση, τόσο με μαθηματικό και βιογραφικό περιεχόμενο.

«[Ο μακρύς Μάρτης μέσω της θεωρίας Γκαλουά» είναι περίπου ένα 1600 σελίδων χειρόγραφο χειρόγραφο γραμμένο  από τον Γκρότεντικ κατά τη διάρκεια των ετών 1980-1981 που περιέχει πολλές από τις ιδέες που οδηγούν στο σκίτσο του  προγράμματος [9 ] (βλ. επίσης πιο κάτω, μια πιο λεπτομερή είσοδο), και ιδίως τη μελέτη της θεωρίας Τάιτσμίλλερ.

Το 1983 έγραψε ένα εκτεταμένο χειρόγραφο (περίπου 600 σελίδες) με τίτλο Ακολουθώντας Στοίβες, υποκινούμενο από την συνεισφορά ,δια αλληλογραφίας,από τον  Ρόναλντ Μπράουν, (βλ. επίσης Ρ.Μπράουν και Τιμ Πόρτερ στο Πανεπιστήμιο του Μπανγκόρ στην Ουαλία), και ξεκινώντας με μια επιστολή που απευθύνεται προς τον Ντανιέλ Κουίλεν. Η επιστολή και τα διαδοχικά μέρη διανεμήθηκαν από το Μπανκόρ (δείτε τις εξωτερικές συνδέσεις παρακάτω): με ανεπίσημο τρόπο, ως ένα είδος ημερολογίου,ο  Γκρότεντικ εξήγησε και ανέπτυξε τις ιδέες του σχετικά με τη σχέση μεταξύ της αλγεβρικής ομοτοπικής θεωρίας και την  αλγεβρική γεωμετρία και τις προοπτικές για μια μη αντιμεταθετικής θεωρίας των στοιβών. Το χειρόγραφο, το οποίο υπόκειται σε  επεξεργασία για δημοσίευση από τον Γ. ΜΑΛΤΣΙΝΙΩΤΗΣ, οδήγησε αργότερα σε άλλα μνημειώδη έργα του, με παράκαμψη. Γραμμένο το 1991, το τελευταίο αυτό έργο περίπου 2000 σελίδων αναπτύχθηκαν περαιτέρω οι ομοτοπικές  ιδέες άρχισαν στην επιδίωξη σε Στοίβες. Μεγάλο μέρος του έργου προβλέπεται η μεταγενέστερη ανάπτυξη της ομοτοπικής  θεωρίας κινήτρων του Φαμπιέν Μορέλ και Β.Βοαβόντσκι στα μέσα της δεκαετίας του 1990.

Το 1984 έγραψε μια πρόταση για να πάρει μια θέση μέσα από το Κέντρο Φυσικών Επιστημονικών Ερευνών, που κατείχε από το 1984 μέχρι τη συνταξιοδότησή του το 1988. Η πρόταση, με τίτλο «σκίτσο προγράμματος [9] ("Σκίτσο Πρόγραμμα") περιγράφει τις νέες ιδέες για τη μελέτη μόντουλο- χώρου  σύνθετων καμπύλων. Αν και ποτέ ο Γκρότεντικ από μόνος του δε  δημοσίευσε το έργο του στον τομέα αυτό, η πρόταση του έγινε η έμπνευση για το έργο από άλλους μαθηματικούς  και η πηγή της θεωρίας της Ανάληψη παιδιών και ενός νέου τομέα που αναδεικνύεται ως γεωμετρία αβελιανών. Το σκίτσο  πρόγραμματος δημοσιεύθηκε στο δίτομο προσθέτωντας τις Γεωμετρικές δράσεις Γκαλουά (Πανεπιστήμιο του Κέμπριτζ-Τύπου, 1997).

Κατά την περίοδο αυτή κυκλοφόρησε επίσης το έργο του σχετικά με Μπερτίνι θεωρήματα τύπου που περιέχονται σε EGA 5, που δημοσιεύθηκε από τον Κύκλο Γκρότεντικ το 2004.

Το 1000 σελίδων αυτοβιογραφικό χειρόγραφο καλλιέργεια και σπορά (1986) είναι τώρα διαθέσιμο στο διαδίκτυο στο γαλλικό πρωτότυπο, [11], καθώς και μια αγγλική μετάφραση είναι σε εξέλιξη (αυτά τα τμήματα της καλλιέργεια και σπορά έχουν ήδη μεταφραστεί στα ρωσικά και δημοσιεύονται στη Μόσχα [ 12]). Ορισμένα τμήματα της καλλιέργεια και σπορά [13] [14] και το σύνολο Το κλειδί των ονείρων [15] έχουν μεταφραστεί στα ισπανικά και τα ρωσικά.

Στο χειρόγραφο του «το κλειδί των ονείρων» εξηγεί πώς εξετάζει την πηγή των ονείρων τον οδήγησαν στο συμπέρασμα ότι ο Θεός υπάρχει. [16] Η αυξανόμενη ενασχόληση του με πνευματικά θέματα ήταν επίσης εμφανής σε επιστολή με τίτλο «Γράμμα σε στυλ νουβέλλας» που έστειλε σε 250 φίλους τον Ιανουάριο του 1990. Σε αυτό, περιέγραψε τις συναντήσεις του με μια θεότητα και ανακοίνωσε ότι η "Νέα Εποχή" θα αρχίσει στις 14 Οκτωβρίου 1996.

Συνταξιοδότηση σε απομόνωση

Ο Γκρότεντικ ήταν βραβευμένος  (αλλά απορρίφθηκε) με το  βραβείο Κράφουντ μαζί με τον Πιέρ Ντελίνγκε το 1988.
Το 1991, Γκρότεντικ μετακόμισε σε μια διεύθυνση που δεν  είχε πρόσβαση στις  προηγούμενες επαφές του στην μαθηματική κοινότητα.

Τον Ιανουάριο του 2010, Γκρότεντικ έγραψε μια επιστολή προς Λουκλουσι. Σε αυτό το «Δήλωση  μη δημοσιεύσεως", δηλώνει ότι ουσιαστικά όλα τα υλικά που έχουν δημοσιευθεί κατά την  απουσία του έχουν  γίνει χωρίς την άδειά του. Ζητάει  κανένα από τα έργα του να μην  αναπαραχθεί ολόκληρο  ή εν μέρει, και επιπλέον την άρση αυτών που  οι βιβλιοθήκες  περιέχουν αντίγραφα από το έργο του.

Μαθηματικά επιτεύγματα

Οι πρόωρες μαθηματικές εργασίες του Γκρότεντικ  ήταν σε λειτουργική ανάλυση. Μεταξύ 1949 και 1953 εργάστηκε για τη διδακτορική του διατριβή για το θέμα αυτό στο Νανσί, εποπτευόμενος από τον Τζιν Ντιντόν και Λαρέντ Σβάτς. Οι βασικές συνεισφορές του περιλαμβάνουν προϊόντα  τοπολογικών τανυστών των τοπογραφικών διανυσματικών χώρων, τη θεωρία των πυρηνικών χώρων, σαν θεμελιακό για τη συνεισφορά του Σβάτς, και την εφαρμογή των χώρων Lp στη μελέτη γραμμικών απεικονίσεων μεταξύ τοπολογικών διανυσματικών χώρων. Σε λίγα χρόνια, ο ίδιος είχε μετατραπεί σε μια κορυφαία μορφή στον τομέα αυτής της λειτουργικής ανάλυσης –σε σημείο που ο  Ντουντόν συγκρίνει  την επίδρασή του στον τομέα αυτό με εκείνη του Μπάναχ.

Είναι, ωστόσο, στην αλγεβρική γεωμετρία και σε συναφείς τομείς, όπου ο Γκρότεντικ έκανε το πιο σημαντικό και ισχυρό έργο του. Από περίπου το 1955 άρχισε να εργάζεται στη θεωρία συνόλων και την ομολογική άλγεβρα, παράγοντας  το"χαρτί Τοχόκου"που άσκησε επιρροή (Sur quelques σημεία αλγεβρικών ομολογιών, που δημοσιεύθηκε το 1957), όπου εισήγαγε αβελιανές κατηγορίες και να εφαρμοστεί η θεωρία τους για να δείξουν ότι συνομολογία συνόλων μπορεί να είναι ορίζεται ως ορισμένα από τα παράγωγα  σε αυτό το πλαίσιο.

Οι μέθοδοι ομολογίας και η θεωρία συνόλων είχε ήδη εισαχθεί στην αλγεβρική γεωμετρία από τον Τζιν-Πιέρ Σερέ και άλλους, μετά από τα σύνολα που είχαν οριστεί από τον Τζιν Λιρέυ. Ο  Γκρότεντικ τους πήρε σε ένα υψηλότερο επίπεδο αφαιρετικότητας και μετέτρεψε σε μια βασική αρχή την οργάνωση της θεωρίας του. Μετατόπισε την προσοχή από τη μελέτη των επιμέρους ποικιλιών με τη σχετική άποψη (ζεύγη ποικιλιών που σχετίζονται με μορφισμό), επιτρέποντας μια ευρεία γενίκευση πολλών κλασικών θεωρημάτων. Η πρώτη σημαντική εφαρμογή ήταν η σχετική έκδοση του θεωρήματος του Σερέ που δείχνει ότι η συνομολογία μιας συνεκτικής δέσμης φύλλων σε μια πλήρη ποικιλία είναι πεπερασμένων διαστάσεων,το  θεώρημα του  Γκρότεντικ δείχνει ότι οι υψηλότερες άμεσες εικόνες των συνεκτικών τροχαλιών κάτω από μια κατάλληλη οπτική είναι συνεπείς, Αυτό περιορίζει το θεώρημα του Σερε  για περίοδο ενός σημείου  στο χώρο.

Το 1956, εφαρμόστηκε το ίδιο σκεπτικό με το θεώρημα του Ρίμαν-Ροτς, το οποίο είχε ήδη πρόσφατα γενικευτεί σε οποιαδήποτε διάσταση από τον  Χίρζεμπρουχ. Το θεώρημα των   Γκρότεντικ -Ρίμαν-Ροτς ανακοινώθηκε από  τον Γκρότεντικ στο πρώτο  Μαθηματικό Συνέδριο στη Βόννη, το 1957.Εμφανίστηκε σε έντυπη μορφή σε ένα έγγραφο που γράφτηκε από τον Άρμαντ Μπορέλ με Σερε. Το αποτέλεσμα αυτό ήταν το πρώτο σημαντικό επίτευγμα του στην αλγεβρική γεωμετρία. Πήγε για να σχεδιάσει και να εκτελέσει ένα μεγάλο θεμελιώδες πρόγραμμα για την ανοικοδόμηση των θεμελίων της Αλγεβρικής γεωμετρίας, η οποία ήταν τότε σε μια ρευστή κατάσταση και είναι υπό συζήτηση στο σεμινάριο του Κλάουντ  Τσεβάλι του .Περιέγραψε το πρόγραμμά του στην ομιλία του στο 1958 Διεθνές Συνέδριο των Μαθηματικών.

Το θεμελιώδες έργο του στην Αλγεβρική γεωμετρία είναι σε ένα υψηλότερο επίπεδο αφαίρεσης από όλες τις προηγούμενες εκδόσεις. Έχει προσαρμόσει τη χρήση των μη κλειστών σημείων γενικής , τα οποία οδήγησαν στη θεωρία των συστημάτων. Πρωτοστάτησε, επίσης, στη συστηματική χρήση των χαρακτηριστικών των ομάδων. Σαν συναρτήσεις αυτές μπορούν να πάρουν μόνο την τιμή 0, αλλά φέρνουν απειροελάχιστες πληροφορίες, στις καθαρά αλγεβρικές ρυθμίσεις. Η θεωρία  των συστημάτων  του έχει καθιερωθεί ως το καλύτερο  θεμέλιο καθολικά για αυτό το σημαντικό τομέα, λόγω της μεγάλης εκφραστικής δύναμη του, καθώς και τις τεχνικές σε βάθος. Σε αυτό το σκηνικό μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει birational γεωμετρία, τεχνικές από θεωρία αριθμών, θεωρία Γκαλουά και αντιμεταθετική άλγεβρα, και στενούς ανάλογα με τις μεθόδους της Αλγεβρικής Τοπολογίας, όλα με ένα ολοκληρωμένο τρόπο.

Είναι επίσης γνωστή για την κατάκτηση των αφηρημένων προσεγγίσεων στα μαθηματικά και την τελειομανία του σε θέματα σύνθεσης και παρουσίασης. Σχετικά λίγο από το έργο του μετά το 1960,εκδόθηκε στη δημοσιότητα από την συμβατική οδό της δημοσιογραφίας, που κυκλοφορεί αρχικά σε διπλές ποσότητες των σημειώσεων σεμιναρίου,η επιρροή του ήταν σε μεγάλο βαθμό προσωπική. Η επιρροή του επεκτάθηκε και σε πολλούς άλλους κλάδους των μαθηματικών, όπως για παράδειγμα η σύγχρονη θεωρία των Δ ενοτήτων. (επίσης προκάλεσε ανεπιθύμητες ενέργειες, με πολλούς μαθηματικούς να αναζητούν πιο συγκεκριμένους τομείς και  προβλήματα.) [22] [23]

Πέθανε στις 13 Νοεμβρίου 2014 στο Σαιν-Ζιρόν της Γαλλίας.

EΓA και η ΑΜ

Το μεγαλύτερο μέρος των δημοσιευμένων εργασιών του Γκρότεντικ συλλέγονται στο μνημείο, και δεν έχουν ακόμη ολοκληρωθεί, τα στοιχεία γεωμετρικής άλγεβρας (ΣΓΑ) Σεμινάρια γεωμετρικής άλγεβρας (ΣΓΑ). Η συλλογή Ιδρύματα γεωμετρικής άλγεβρας (ΣΓΑ), το οποίο συγκεντρώνει ομιλίες στο Σεμινάριο Μπουρμπάκι, περιέχει επίσης σημαντικό υλικό.

Ίσως το πιο ουσιαστικό και μόνο επίτευγμα του Γκρότεντικ είναι η εφεύρεση της εξάπλωσης και  θεωρίες, που εξηγούν την παρατήρηση του Αντρέ Βέιλ  ότι υπάρχει μια βαθιά σχέση μεταξύ των τοπολογικών χαρακτηριστικών της ποικιλίας και των διοφαντικών (υποθετικό νούμερο) του ιδιοτήτων. Για παράδειγμα, ο αριθμός των λύσεων μιας εξίσωσης πάνω από ένα πεπερασμένο πεδίο αντανακλά την τοπολογική φύση των διαλυμάτων του έναντι των μιγαδικών αριθμών.Ο  Βέηλ συνειδητοποίησε ότι για να αποδειχθεί μια τέτοια σχέση κάποιος χρειάζεται μια νέα θεωρία συνομολογίας, αλλά ούτε αυτός ούτε κανένας άλλος εμπειρογνώμονας είδε πώς να το κάνουν αυτό μέχρι που μια τέτοια θεωρία βρέθηκε από τον Γκρότεντικ.

Το πρόγραμμα κορυφώθηκε με τις αποδείξεις από τις εικασίες του Βέηλ, η τελευταία εκ των οποίων, ενώ διακανονίστηκε από τον μαθητή Πιέρ Γκρότεντικ του Ντελίνγκε στις αρχές του 1970 μετά την Γκρότεντικ είχε αποσυρθεί πριν από καιρό από τα μαθηματικά.

Σημαντικά θέματα μαθηματικών
Έγραψε μια αναδρομική αξιολόγηση των μαθηματικών εργασιών του (βλ. την εξωτερική όψη  παρακάτω). Ως κύρια επιτεύγματα του μαθηματικού ("Μετρ-Θέματα»), επέλεξε αυτή τη συλλογή 12 θέματα (χρονολογική σειρά του):

Προϊόντα τοπολογικών τανυστών  και πυρηνικοί χώροι

"Συνεχής" και "διακριτική" δυαδικότητα (περιεχόμενες κατηγορίες και «έξι λειτουργίες»).
 
Γιόγκα του Γκρόντεντικ-Ρίμαν-Ροκ  θεώρημα (Κ-θεωρία, η σχέση με τη θεωρία διασταύρωσης).

Σχέδια.

Τόποι.

Συνομολογία διασποράς συμπεριλαμβανομένης της L-adic συνομολογίας.

Κίνητρα και το κιννητήρια  ομάδα Γκαλουά (και Γκρότεντικ του κατηγορίες)

Κρύσταλλα και κρυσταλλική συνομολογία, γιόγκα  Ντε Ραμ και συντελεστές Χοτζ.

Τοπολογική άλγεβρα, άπειροι χώροι, «παρακάμψεις», συνομολογιακό φορμαλισμό των συνόλων ως έμπνευση για μια νέα ομοτοπική άλγεβρα

Τοπολογία Τέιμ.

Γιόγκα αβελιανής γεωμετρίας  και  θεωρία Γκαλουά-Τάτσμίλλερ .

Σχηματική άποψη, ή «αριθμητική» για την τακτική πολύεδρα και τακτικές  συνθέσεις όλων των ειδών.

Έγραψε ότι το κεντρικό θέμα των παραπάνω θεμάτων είναι η Θεωρία των Τόπων, ενώ το πρώτο και το τελευταίο ήταν το λιγότερης σημασίας για αυτόν.

Εδώ ο όρος γιόγκα σημαίνει ένα είδος «μετα-θεωρίας» που μπορεί να χρησιμοποιηθεί ευρηστικά. Μισέλ Ρανάντ  γράφει τους άλλους όρους «μίτος της Αριάδνης» και «φιλοσοφία» ως αποτελεσματικά ισοδύναμα [24].

Παραπομπές 

Γάλλοι μαθηματικοί