Αστιγματισμός και καμπύλωση πεδίου

Το σφάλμα του αστιγματισμού και το σφάλμα της καμπύλωσης πεδίου εξετάζονται μαζί γιατί αν και επιδρούν κατά διαφορετικό τρόπο στο είδωλο, προέρχονται εντούτοις από το ίδιο φαινόμενο. 

Έστω ότι ένας φακός είναι διορθωμένος από το σφαιρικό σφάλμα και την κόμη, τότε για αντικείμενα που βρίσκονται σε σχετικά μεγάλη απόσταση από τον κύριο άξονα παρατηρείται ότι τα είδωλα τους είναι μη στιγματικά.

Συγκεκριμένα, μια λεπτή στιγματική δέσμη που ξεκινάει από το σημείο Σ και της οποίας ο άξονας (ΣΟ) σχηματίζει γωνία θ με τον κύριο άξονα του φακού μετατρέπεται σε αστιγματική. 

Οι ακτίνες που περιέχονται στο επίπεδο που ορίζεται από τον άξονα της δέσμης και τον κύριο άξονα ονομαζόμενο πρωτεύον ή μεσημβρινό επίπεδο (tangential plane) (ΟΕ), καθώς και των παράλληλων προς αυτό επιπέδων, συγκεντρώνονται στο πρωτεύoν ή μεσημβρινό είδωλο (εστιακή γραμμή Τ). Το είδωλο αυτό είναι μια μικρή ευθεία γραμμή κάθετη στο πρωτεύον επίπεδο.
Αντίστοιχα, οι ακτίνες που προέρχονται από το δευτερεύον ή ακτινικό επίπεδο (sagital plane) (ΟΑ) που είναι κάθετο στο πρωτεύον καθώς και των παραλλήλων προς αυτό επιπέδων, συγκεντρώνονται στο δευτερεύον ή ακτινικό είδωλο (S) που είναι μια μικρή ευθεία κάθετη στο δευτερεύον επίπεδο. Οι δύο εστιακές γραμμές Τ καιS είναι προφανώς ασύμβατα κάθετες μεταξύ τους και κάθετες στον άξονα της δέσμης.  

Η διατομή της αστιγματικής δέσμης κοντά στις εστιακές γραμμές είναι γενικά μια έλλειψη, της οποίας ο μεγάλος άξονας είναι παράλληλος προς την εγγύτερη εστιακή γραμμή. Στη μέση περίπου της απόστασης των εστιακών γραμμών η διατομή της δέσμης γίνεται σχεδόν κυκλική και το εμβαδόν της παίρνει την ελάχιστη τιμή. Ο κύκλος αυτός ονομάζεται κύκλος ελάχιστης σύγχυσης (βλέπε Σφάλμα σφαιρικής εκτροπής C ).
Η απόσταση των δύο αστιγματικών γραμμών l ονομάζεται αστιγματική διαφορά και δίνεται από τη σχέση: 

όπου οι αποστάσεις  και   μετρούνται κατά μήκος της κύριας ακτίνας, του άξονα συμμετρίας της δέσμης.

Ο αστιγματισμός όπως και η κόμη οφείλονται στην ασυμμετρία της προσπίπτουσας δέσμης ως προς το φακό. Η συμπεριφορά τους διαφέρει στο ότι ο αστιγματισμός κυριαρχεί όταν η γωνία θ είναι μεγάλη και η δέσμη λεπτή, ενώ η κόμη κυριαρχεί όταν η γωνία θ είναι μικρή και η δέσμη ευρεία. Μια άλλη διαφορά είναι ότι η κόμη διαχέει το είδωλο κάθετα προς τον άξονα της δέσμης, ενώ ο αστιγματισμός διαχέει το είδωλο κατά μήκος του άξονα της δέσμης.
 
Μεταβάλλοντας τη γωνία πρόσπτωσης θ της εισερχόμενης δέσμης, οι αποστάσεις στις οποίες δημιουργούνται το μεσημβρινό είδωλο Τ και το ακτινικό είδωλο S μεταβάλλονται. Για μικρές σχετικά γωνίες θ , οι αποστάσεις αυτές δημιουργούν κύκλους, άρα η επιφάνεια του ειδώλου είναι σφαίρα, που για θ=0, εφάπτεται στο επίπεδο Gauss (παραξονικό επίπεδο εστίασης). Όταν η επιφάνεια (t) προηγείται της (s), όπως στη περίπτωση του συγκλίνοντα φακού και του σχήματος, ο αστιγματισμός λέγεται εσωτερικός ή αρνητικός και ο φακός υποδιορθωμένος. Όταν προηγείται η επιφάνεια (s) ισχύουν τα αντίθετα. 

Όταν αυξάνεται η γωνία θ, οι τομές των αστιγματικών αυτών επιφανειών γίνονται παραβολές και στη συνέχεια στρέφουν προς το επίπεδο του Gauss, γιατί παρεμβαίνουν σφάλματα ανώτερης τάξης.
Η επιφάνεια ελάχιστης σύγχυσης (c) που σχηματίζεται το ευκρινέστερο είδωλο, βρίσκεται σε ίση περίπου απόσταση από τις δύο αστιγματικές εστιακές επιφάνειες, άρα είναι και αυτή καμπύλη όμοια με τις προηγούμενες. Το φαινόμενο αυτό αποτελεί την καμπύλωση πεδίου (field curvature), η οποία όταν υπάρχει μας υποχρεώνει να κάμψουμε ανάλογα την επιφάνεια του ειδώλου. Η ακτίνα καμπυλότητας αυτής της επιφάνειας ονομάζεται ακτίνα Petzval (Petzval radius) και υπολογίζεται βάσει της σχέσης :

όπου k είναι ο αριθμός των διοπτρικών επιφανειών, n ο δείκτης διάθλασης του αντικειμενικού χώρου, n' ο δείκτης διάθλασης του χώρου ειδώλου και  η καμπυλότητα της διοπτρικής επιφάνειας.

Σφάλματα φακών