Ταξινόμηση πεπερασμένων απλών ομάδων

Στα μαθηματικά, η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων είναι ένα θεώρημα που αναφέρει ότι κάθε πεπερασμένη απλή ομάδα ανήκει σε μία από τις τέσσερις κατηγορίες που περιγράφονται παρακάτω. Αυτές οι ομάδες μπορούν να θεωρηθούν ως τα βασικά δομικά στοιχεία όλων των πεπερασμένων ομάδων, με έναν τρόπο που θυμίζει το πως οι πρώτοι αριθμοί είναι τα βασικά δομικά στοιχεία των φυσικών αριθμών. Το θεώρημα Γιόρνταν-Χέλντερ είναι ένας πιο ακριβής τρόπος για να δηλώσουμε το γεγονός αυτό των πεπερασμένων ομάδων. Ωστόσο, μια σημαντική διαφορά όσον αφορά την περίπτωση της παραγοντοποίησης ακεραίων είναι ότι τέτοια "δομικά στοιχεία" δεν καθορίζουν απαραίτητα μια ομάδα μοναδικά, δεδομένου ότι μπορεί να υπάρχουν πολλές μη ισόμορφες ομάδες με την ίδια σύνθεση ή, να το πούμε αλλιώς, το επεκταμένο πρόβλημα δεν έχει μοναδική λύση.

Η απόδειξη του θεωρήματος ταξινόμησης αποτελείται από δεκάδες χιλιάδες σελίδες και εκατοντάδες άρθρα γραμμένα από 100 περίπου συγγραφείς, που δημοσιεύτηκαν ως επί το πλείστον μεταξύ 1955 και το 2004. Ο Ντάνιελ Γκόρενσταϊν (απεβίωσε 1992), ο Ρίτσαρντ Λύονς και ο Ρόναλντ Σόλομον σταδιακά δημοσιεύουν μια απλοποιημένη και αναθεωρημένη έκδοση της απόδειξης.

Δήλωση για το θεώρημα της ταξινόμησης 
Το θεώρημα της ταξινόμησης έχει εφαρμογές σε πολλούς κλάδους των μαθηματικών, ερωτήματα σχετικά με τη δομή των πεπερασμένων ομάδων (και τη δράση τους σε άλλους κλάδους των μαθηματικών) μερικές φορές μπορούν να περιοριστούν σε ερωτήσεις σχετικά με τις πεπερασμένες απλές ομάδες. Χάρη στο θεώρημα ταξινόμησης, τέτοιες ερωτήσεις μπορεί μερικές φορές να απαντηθούν ελέγχοντας κάθε οικογένεια απλών ομάδων και κάθε σποραδική ομάδα.

Ο Ντάνιελ Γκορεστάιν ανακοίνωσε το 1983 ότι οι πεπερασμένες απλές ομάδες είχαν ταξινομηθεί, αλλά αυτό ήταν πρόωρο, όπως είχε παραπληροφορηθεί για την απόδειξη της ταξινόμησης των ομάδων quasithin. Η ολοκληρωμένη απόδειξη της ταξινόμησης ανακοινώθηκε από τον Aschbacher (2004) αφού ο Aschbacher και ο Σμιθ δημοσίευσαν 1221-σελίδες απόδειξη για την ελλειπή περίπτωση των ομάδων quasithin .

Επισκόπηση της απόδειξης του θεωρήματος της ταξινόμησης 
Ο Γκορεστάιν (1982,1983) έγραψε δύο τόμους που περιγράφει μέρος της απόδειξης που αναφέρεται στην περίπτωση χαμηλής βαθμίδας και περιττής χαρακτηριστικής, και οι Michael Aschbacher, Richard Λύονς, Stephen D. Smith έγραψαν έναν τρίτο τόμο καλύπτοντας το υπόλοιπο κομμάτι των δύο περιπτώσεων. Η απόδειξη μπορεί να σπάσει σε πολλά σημαντικά κομμάτια ως εξής:

Ομάδες με βαθμίδα μικρότερη του 2 
Οι απλές ομάδες χαμηλής βαθμίδας (μικρότερης του 2) είναι ως επί το πλείστον ομάδες τύπου Lie μικρής βαθμίδας πάνω από σώματα περιττής χαρακτηριστικής, μαζί με πέντε εναλλασσόμενες, επτά χαρακτηριστικού τύπου 2 και εννέα σποραδικές ομάδες.

Οι απλές ομάδες με βαθμίδα μικρότερης του δύο περιλαμβάνουν:
 Ομάδες	2-βαθμίδα 0, με άλλα λόγια ομάδες με	περιττή τάξη, οι οποίες είναι όλες	επιλύσιμες χάρη στο θεώρημα Feit–Thompson 
 Ομάδες	2-βαθμίδα 1. Οι υποομάδες-Sylow 2 είναι	είτε κυκλικές, οι οποίες είναι εύκολο	να χειριστούν χρησιμοποιώντας μια	απεικόνιση, ή γενικευμένο επίπεδο, το	οποίο γίνεται με το	θεώρημα Μπράουερ–Suzuki :ειδικότερα,	δεν υπάρχουν απλές ομάδες  2-βαθμίδας	1.
 Ομάδες	των 2-βαθμίδας 2. Ο Alperin έδειξε ότι οι	υποομάδες Sylow πρέπει να είναι δίεδρες,	τετράεδρες, τυλιγμένες, ή μια Sylow 2-υποομάδα	της U3(4). Η πρώτη περίπτωση έγινε	χάρη στο θεώρημα Γκορεστάιν–Γουόλτερ,	το οποίο έδειξε ότι οι μόνες απλές	ομάδες είναι ισόμορφες με την L2(q)	για q περιττά ή Α7, η	δεύτερη και η τρίτη περίπτωση καλύφθηκαν	από το θεώρημα Alperin–Μπράουερ–Γκορστάιν,	το οποίο αναφέρει ότι οι μόνες απλές	ομάδες είναι ισόμορφες με την L3(q)	ή U3(q) για q περιττά	ή M11, και η τελευταία περίπτωση	έγινε από τον Λυών που έδειξε ότι U3(4)	είναι η μόνη απλή πιθανότητα.
 Τμηματικές	ομάδες 2-βαθμίδας 4, κατατάσσονται από	το θεώρημα Γκορεστάιν–Χαράντα.
Η κατάταξη των ομάδων μικρής βαθμίδας 2, ειδικά με βαθμίδα το πολύ 2, κάνει βαριά χρήση της απλής θεωρίας των mod, η οποία σχεδόν ποτέ δεν χρησιμοποιείται άμεσα κάπου αλλού στην ταξινόμηση.

Όλες οι ομάδες, όχι τάξης μικρότερης του 2 μπορεί να χωριστούν σε δύο μεγάλες κατηγορίες: ομάδες τύπου συστατικού στοιχείου και ομάδες χαρακτηριστικού τύπου 2. Αυτό είναι επειδή εάν μια ομάδα έχει τμηματικά 2-βαθμίδα τουλάχιστον 5 τότε ο MacWilliams έδειξε ότι οι Sylow 2-υποομάδες είναι συνδεδεμένες, και από το θεώρημα των υπολοίπων συνεπάγεται ότι κάθε απλή ομάδα συνδεδεμένη με Sylow 2-υποομάδες είναι είτε του συστατικού τύπου στοιχείου ή χαρακτηριστικής 2. (Για ομάδες χαμηλότερης βαθμίδας από 2, η απόδειξη αυτού καταρρέει, επειδή θεωρήματα όπως το θεώρημα signalizer functor λειτουργεί μόνο για ομάδες με αντιμεταθετικές υποομάδες βαθμού τουλάχιστον 3.)

Ομάδες συστατικού τύπου στοιχείο 
Μια ομάδα που λέγεται ότι είναι του τύπου συστατικού στοιχείου, εφόσον για κάποια  C από μια εμπλοκή, C/O(C) έχει ένα στοιχείο (όπου O(C) είναι ο πυρήνας της C, η μέγιστη κανονική υποομάδα περιττής τάξης).
Αυτά είναι είτε περισσότερο ή λιγότερο ομάδες τύπου Lie περιττής χαρακτηριστικής μεγάλης βαθμίδας και εναλλασσόμενες ομάδες, μαζί με κάποιες σποραδικές ομάδες.
Ένα σημαντικό βήμα σε αυτή την περίπτωση είναι να εξαλείψει το εμπόδιο του πυρήνα για ανέλιξη. Αυτό επιτυγχάνεται με το B-θεώρημα, το οποίο ορίζει ότι κάθε στοιχείο του C/O(C) είναι η εικόνα από ένα στοιχείο του C.

Η ιδέα είναι ότι αυτές οι ομάδες έχουν ένα κανονικοποιητή σε εμπλοκή με ένα στοιχείο που είναι η μικρότερη quasisimple ομάδα, το οποίο μπορεί να θεωρηθεί ότι είναι ήδη γνωστό από την επαγωγή. Έτσι, για να ταξινομήσουμε αυτές τις ομάδες παίρνουμε κάθε κεντρική επέκταση της κάθε πεπερασμένης απλής ομάδας, και βρίσκουμε όλες τις απλές ομάδες, με κανονικοποιητή της εμπλοκής με αυτό ως συστατικό. Αυτό δίνει ένα αρκετά μεγάλο αριθμό διαφορετικών περιπτώσεων για έλεγχο: δεν υπάρχουν μόνο 26 σποραδικές ομάδες και 16 οικογένειες των ομάδων τύπου Lie και εναλλασσόμενες ομάδες, αλλά πολλές από τις ομάδες των μικρών τάξεων ή μικρών σωμάτων συμπεριφέρονται διαφορετικά από τη γενική περίπτωση και πρέπει να αντιμετωπίζεται ξεχωριστά. Επιπλέον οι ομάδες τύπου Lie είτε με άρτια είτε με περιττή χαρακτηριστική, συμπεριφέρονται επίσης αρκετά διαφορετικά.

Ομάδες χαρακτηριστικών τύπου 2 
Μια ομάδα είναι χαρακτηριστικού τύπου 2 αν η γενικευμένη τοποθετούμενη υποομάδα F*(Y) της κάθε 2-τοπικής υποομάδα Υ είναι μια τύπου 2-ομάδα. Όπως υποδηλώνει το όνομα, αυτές είναι περίπου οι ομάδες τύπου Lie πάνω από τα πεδία με χαρακτηριστική 2, καθώς και μια συλλογή άλλων που εναλλάσσονται ή σποραδικές ή με περιττή χαρακτηριστική. Η ταξινόμησή τους είναι χωρισμένη σε μικρές και μεγάλες περιπτώσεις βαθμίδων, όπου η βαθμίδα είναι η μεγαλύτερη δυνατή βαθμίδα μιας περιττής αβελιανής υποομάδας κανονικοποιημένη σε μια μη τετριμμένη 2-υποομάδα, η οποία είναι συχνά (αλλά όχι πάντα) της ίδιας βαθμίδας με την Cartan subalgebra όταν η ομάδα είναι μια ομάδα Lie χαρακτηριστικού τύπου 2.

Οι ομάδες βαθμίδας 1 είναι η λεπτές ομάδες, που κατατάσσονται από τον Aschbacher, και αυτές που είναι βαθμίδας 2 είναι οι περιβόητες quasithin ομάδες, που κατατάχθηκαν από τους Aschbacher και Σμιθ. Αυτές αντιστοιχούν περίπου σε ομάδες τύπου Lie βαθμίδας 1 ή 2 πάνω από τα πεδία των χαρακτηριστικών 2.

Ομάδες βαθμίδας τουλάχιστον 3 υποδιαιρούνται περαιτέρω σε 3 κλάσεις χάρη στο θεώρημα τριχοτόμησης που αποδείχθηκε από τον Aschbacher για την περίπτωση που έχουμε βαθμίδα 3 και από Γκορεστάιν και Λύονς για περιπτώσεις με βαθμίδα τουλάχιστον 4. Οι τρεις τάξεις είναι ομάδες του GF(2) τύπου (που ταξινομούνται κυρίως από τον Timmesfeld), ομάδες "κανονικού τύπου" για κάποιο περιττό πρώτο (όπως κατατάσσονται από το θεώρημα Γκίλμαν–Griess και το έργο από πολλούς άλλους), και των ομάδων της μοναδικού τύπου, όπου το αποτέλεσμα του Aschbacher συμπεραίνει ότι δεν υπάρχουν απλές ομάδες. Γενικά η περίπτωση με την υψηλότερη βαθμίδα αποτελείται ως επί το πλείστον από ομάδες τύπου Lie  πάνω από τα πεδία των χαρακτηριστικών 2 του βαθμίδας τουλάχιστον 3 ή 4.

Ύπαρξη και μοναδικότητα των απλών ομάδων 
Το κύριο μέρος της ταξινόμησης παράγει την έννοια της χαρακτηριστικής σε κάθε απλή ομάδα. Στη συνέχεια είναι απαραίτητο να ελέγχεται ότι υπάρχει μια απλή ομάδα για κάθε χαρακτηριστική και ότι είναι αυτή είναι μοναδική. Αυτό δίνει ένα μεγάλο αριθμό από διαφορετικά προβλήματα, για παράδειγμα, οι αρχικές αποδείξεις της ύπαρξης και μοναδικότητας του Fischer–Griess Monster Group M, ανήλθαν σε περίπου 200 σελίδες, και ο προσδιορισμός των Ree ομάδων από τον Τόμσον και Bombieri ήταν ένα από τα δυσκολότερα μέρη της ταξινόμησης. Πολλές από τις υπάρχουσες αποδείξεις και κάποιες από τις αποδείξεις της μοναδικότητας για τις σποραδικές ομάδες χρησιμοποιούν υπολογιστικούς υπολογισμούς, οι περισσότεροι από τους οποίους έχουν πλέον αντικατασταθεί από σύντομες αποδείξεις.

Χρονικό της απόδειξης 
 Ομάδες χαμηλής βαθμίδας 2. Αυτό έγινε  ουσιαστικά από τον Γκορεστάιν και τον Χαράντα, που κατέταξαν τις ομάδες με τμηματικές βαθμίδες 2 σε 4 το πολύ. Οι περισσότερες από τις περιπτώσεις με βαθμίδα 2 το πολύ σε 2 έγιναν  από τη στιγμή που ο Γκοερστάιν ανακοίνωσε το πρόγραμμά του.
 Το semisimplicity 2-στρώματων. Το πρόβλημα είναι να αποδειχτεί ότι 2 στρώματα του κεντροποιητή  από μια εμπλοκή σε μια απλή ομάδα είναι semisimple.
 Κανονική μορφή περιττής  χαρακτηριστικής. Αν μια ομάδα εμπλέκεται με 2-στοιχεία που είναι μια ομάδα τύπου Lie περιττής χαρακτηριστικής, ο στόχος είναι να δείξουμε ότι έχει κανονικοποιητή που συνδέεται με την  "κανονική μορφή",πράγμα που σημαίνει ότι κανονικοποιητής έχει ένα στοιχείο που είναι  τύπου Lie περιττής χαρακτηριστικής και έχει επίσης ένα κανονικοποιητή 2 βαθμίδας 1.
 Κατάταξη των ομάδων περιττού τύπου. Το πρόβλημα είναι να δείξουμε ότι αν μια ομάδα έχει κανονικοποιητή που συνδέεται με την κανονική μορφή τότε είναι μια ομάδα τύπου Lie περιττής  χαρακτηριστικής. Αυτό λύθηκε από τον Aschbacher με το θεώρημα εμπλοκής.
 Quasi κανονική μορφή
 Κεντρική σύνδεση
 Ταξινόμηση των εναλλασσόμενων ομάδων.
 Κάποιες σποραδικές ομάδες
 Λεπτές ομάδες. Οι απλές λεπτές πεπερασμένες ομάδες, εκείνες με 2-τοπικές p-βαθμίδας το πολύ 1 για κάποιο περιττό πρώτο αριθμό p, ταξινομήθηκαν από τον Aschbacher το 1978
 Ομάδες με ισχυρά p(περιττός πρώτος) εμφυτεύονται σε υποομάδες.
 signalizer-συναρτητής μέθοδος για περιττές τιμές. Το κύριο πρόβλημα είναι να αποδείξει ότι ένα signalizer συναρτητής θεώρημα για άλυτους signalizer συναρτητές. Αυτό λύθηκε από τον McBride το 1982.
 Ομάδες χαρακτηριστική p τύπου. Αυτό είναι το πρόβλημα των ομάδων με έντονα p-ενσωματωμένη 2-τοπικής υποομάδας με p περιττό, που χειρίστηκε από Aschbacher.
 Quasithin ομάδες. Μία quasithin ομάδα είναι μία της οποίας 2-τοπικές υποομάδες έχουν p-βαθμίδα το πολύ 2 για όλους τους πρώτους αριθμούς p, και το πρόβλημα είναι να κατατάξουν τις απλές χαρακτηριστικές τύπου 2 Αυτό ολοκληρώθηκε από τον Aschbacher και Smith, 2004.
 Ομάδες χαμηλής 2-τοπικής 3-βαθμίδας. Αυτό ουσιαστικά λύθηκε από τον Aschbacher trichotomy θεώρημα για ομάδες με e(G)=3. Η κύρια αλλαγή είναι ότι οι 2-τοπικές 3-βαθμίδες αντικαθίστανται από 2-τοπικές p-βαθμίδας για περιττούς πρώτους.
 Κανονικοποιητής με 3 στοιχεία σε τυποποιημένη μορφή. Αυτή ουσιαστικά μέσω του Trichotomy θεώρημα.
 Ταξινόμηση των απλών ομάδων χαρακτηριστικής τύπου 2. Αυτό δουλεύτηκε από το θεώρημα Gilman-Griess, με τα 3-στοιχεία να αντικαθίστανται  από p-στοιχεία για το περιττούς πρώτους.

Χρονοδιάγραμμα της απόδειξης 
Πολλά από τα στοιχεία στην παρακάτω λίστα, που έχουν ληφθεί από τον Σόλομον (2001). Η ημερομηνία που δίνεται είναι συνήθως η ημερομηνία δημοσίευσης της πλήρης απόδειξης ενός αποτελέσματος, το οποίο είναι μερικές φορές αρκετά χρόνια αργότερα από την απόδειξη ή την πρώτη ανακοίνωση του αποτελέσματος, έτσι ώστε κάποια από τα στοιχεία που εμφανίζονται με λάθος σκοπό.

Δεύτερης γενιάς ταξινόμηση 
Η απόδειξη του θεωρήματος, όπως αυτή διαμορφώθηκε γύρω στο 1985, μπορεί να ονομαστεί πρώτης γενιάς. Επειδή η απόδειξη αυτή ήταν μακροσκελής, έγινε αρκετή προσπάθεια στο να βρεθεί μια απλούστερη απόδειξη, δημιουργώντας έτσι μια απόδειξη  δεύτερης γενιάς ταξινόμησης. Η προσπάθεια αυτή, ονομάστηκε "ρεβιζιονισμός", με επικεφαλής τον Ντάνιελ Γκορστάιν.

Από το 2005 έξι τόμοι της δεύτερης γενιάς απόδειξης έχουν δημοσιευθεί (Γκορστάιν, Λύονς & Σόλομον, 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005). Το 2012 ο Σόλομον, εκτίμησε ότι το έργο θα χρειαστεί και άλλους 5 τόμους, αλλά είπε ότι η πρόοδος θα ήταν αργή. Εκτιμάται ότι η νέα απόδειξη, τελικά, θα γεμίσει περίπου 5.000 σελίδες. (Αυτό το μήκος που απορρέει από την απόδειξη της δεύτερης γενιάς  γράφτηκε σε ένα πιο χαλαρό ύφος.) Ο Aschbacher και ο Σμιθ έγραψαν τους δύο τόμους σχετικά με την περίπτωση quasithin, με τέτοιο τρόπο που δείχνει πως αυτός ο μεγάλος όγκος ίσως είναι μέρος της απόδειξης της δεύτερης γενιάς. 

Στον Γκορστάιν και στους συνεργάτες του έχουν δοθεί διάφοροι λόγοι γιατί να είναι δυνατή μια απλούστερη απόδειξη.

Το πιο σημαντικό είναι ότι η σωστή, η τελική διατύπωση του θεωρήματος είναι τώρα γνωστή. Απλούστερες τεχνικές είναι γνωστό ότι  μπορούν να εφαρμοστούν καθώς είναι κατάλληλες για τους τύπους απλών και πεπερασμένων ομάδων. Σε αντίθεση, όσοι εργάστηκαν στην πρώτη γενιάς απόδειξη δεν ξέρουν πόσες σποραδικές ομάδες υπήρχαν, και στην πραγματικότητα, μερικές από τις σποραδικές ομάδες (π. χ.,  Γιάνκο ομάδες) ανακαλύφθηκαν ενώ αποδεικνύονταν και άλλες περιπτώσεις του θεωρήματος της ταξινόμησης. Ως αποτέλεσμα, πολλά από τα κομμάτια του θεωρήματος αποδείχτηκαν με τη χρήση τεχνικών που ήταν υπερβολικά γενικές.
 Γιατί	το συμπέρασμα ήταν άγνωστο, η απόδειξη	 πρώτης γενιάς αποτελείται από πολλά	αυτόνομα θεωρήματα, που ασχολούνται	με σημαντικές ειδικές περιπτώσεις. Μεγάλο	μέρος του έργου που αποδεικνύει τα	θεωρήματα ήταν αφιερωμένο στην ανάλυση	πολλών ειδικών περιπτώσεων. Για να	δοθεί μια μεγαλύτερη και ενορχηστρωμένη	απόδειξη, για την αντιμετώπιση πολλών	από αυτών των ειδικών περιπτώσεων θα	πρέπει να αναβληθεί μέχρι να εφαρμοστούν	και οι πιο ισχυρές παραδοχές. Το τίμημα	κάτω από αυτήν την αναθεωρημένη	στρατηγική είναι ότι τα θεωρήματα	πρώτης γενιάς δεν έχουν μόνο συγκριτικά	μικρές αποδείξεις, αλλά αντί αυτού	βασίζονται στην πλήρη ταξινόμηση.
 Πολλά	θεωρήματα πρώτης γενιάς επικαλύπτονται,	και έτσι χωρίζουν τις πιθανές περιπτώσεις	με αναποτελεσματική τρόπους. Ως	αποτέλεσμα, οι οικογένειες και	υπο-οικογένειες των πεπερασμένων απλών	ομάδων εντοπίστηκαν πολλές φορές.	Η αναθεωρημένη	απόδειξη εξαλείφει αυτές τις περιπτώσεις	στηριζόμενη σε μια διαφορετική	υποδιαίρεση των περιπτώσεων.
 Θεωρητικοί	πεπερασμένων ομάδων έχουν μεγαλύτερη	εμπειρία σε αυτό το είδος της θεμάτων,	έχοντας στην διάθεσή τους νέες τεχνικές	.

Ο Aschbacher (2004) κάλεσε το έργο σχετικά με την ταξινόμηση του προβλήματος από τον Ulrich Meierfrankenfeld, Bernd Stellmacher, Gernot Stroth, και μερικούς άλλους, τρίτης γενιάς πρόγραμμα. Στόχος είναι να αντιμετωπίζουμε όλες τις ομάδες με χαρακτηριστική 2 ομοιόμορφα χρησιμοποιώντας τη μέθοδο αμάλγαμα.

Γιατί η απόδειξη παίρνει τόσο χρόνο; 
Ο Γκορενστείν έχει συζητήσει  μερικούς από τους λόγους γιατί μπορεί να μην υπάρχει μια μικρή απόδειξη της ταξινόμησης, παρόμοια με την ταξινόμηση των σyμπαγών ομάδων τύπου Lie.

Ο πιο προφανής λόγος είναι ότι η λίστα με απλές ομάδες είναι αρκετά περίπλοκη:με 26 σποραδικές ομάδες ενδέχεται να υπάρχουν πολλές ειδικές περιπτώσεις που πρέπει να εξετάζονται σε κάθε απόδειξη. Μέχρι στιγμής κανείς δεν έχει βρει μια καθαρή εφαρμοσμένη περιγραφή των πεπερασμένων απλών ομάδων παρόμοια με την παραμετροποίηση των συμπαγών ομάδων τύπου Lie μέσα από τα διαγράμματα Dynkin.

Ο Atiyah και άλλοι έχουν προτείνει ότι η ταξινόμηση θα πρέπει να απλουστευθεί κατασκευάζοντας κάποιο γεωμετρικό αντικείμενο πάνω στο οποίο οι ομάδες θα δρούν και, στη συνέχεια, να ταξινομήσουν αυτές τις γεωμετρικές δομές. Το πρόβλημα είναι ότι κανείς δεν ήταν σε θέση να προτείνει έναν εύκολο τρόπο για να βρεθεί μια τέτοια γεωμετρική δομή που συνδέεται σε μια απλή ομάδα. Κατά κάποιο τρόπο η ταξινόμηση δεν λειτουργεί με την εύρεση γεωμετρικών δομών όπως τα BN-ζεύγη, αλλά αυτό έρχεται μόνο στο τέλος μιας μακράς και δύσκολης ανάλυσης της δομής μιας πεπερασμένης απλής ομάδας.

Μια άλλη πρόταση για την απλούστευση της απόδειξης είναι να κάνουν μεγαλύτερη χρήση της θεωρίας της εκπροσώπησης  Το πρόβλημα εδώ είναι ότι η θεωρία εκπροσώπησης φαίνεται να απαιτεί πολύ αυστηρό έλεγχο των υποομάδων μιας ομάδας, προκειμένου να λειτουργήσει σωστά. Για τις ομάδες μικρής τάξης έχει γίνει έλεγχος και η θεωρία της εκπροσώπησης λειτουργεί πολύ καλά, αλλά για ομάδες μεγαλύτερες βαθμού κανείς δεν έχει καταφέρει να τη χρησιμοποιήσει για να απλοποιήσει την ταξινόμηση. Κατά τις πρώτες ημέρες της ταξινόμησης υπήρχε σημαντική προσπάθεια που γίνεται για να χρησιμοποιηθεί η θεωρία εκπροσώπησης, αλλά αυτό δεν επιτεύχθηκε με μεγάλη επιτυχία στην περίπτωση υψηλότερης βαθμίδας.

Συνέπειες της ταξινόμησης 

Αυτή η ενότητα παραθέτει κάποια αποτελέσματα που έχουν αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων.

Τις Schreier εικασίες

Το Signalizer θεώρημα συναρτητή

Τις Β εικασίες

Το Schur–Zassenhaus θεώρημα για όλες τις ομάδες (αν και αυτό χρησιμοποιεί μόνο το Feit–Thompson θεώρημα).

Μια μεταβατική μεταθετική ομάδα σε ένα πεπερασμένο σύνολο με περισσότερα από 1 στοιχείο έχει ένα σταθερό ελεύθερο στοιχείο πρωταρχικής δυναμικής σειράς.

Η ταξινόμηση των 2-μεταβατικών μεταθετικών ομάδων.

Η κατάταξη των βαθμίδας 3 μεταθετικών ομάδων.

Τις Sims εικασίες

Τις Frobenius εικασίες σχετικά με τον αριθμό των λύσεων της xn=1.

Δείτε επίσης 
 Θεώρημα O'Nan–Scott

Βιβλιογραφία 
 

 

 Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.

 Mark Ronan, Symmetry and the Monster, ISBN 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)
Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader)
 Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
  – article won Levi L. Conant prize for exposition

Θεωρία ομάδων
Ιστορία των Μαθηματικών