Ομάδα

Στα μαθηματικά, ομάδα είναι ένα σύνολο στοιχείων εφοδιασμένο με μία πράξη, η οποία συνδυάζει δύο στοιχεία του συνόλου για να σχηματίσουν ένα τρίτο στοιχείο που ανήκει επίσης στο σύνολο, ικανοποιώντας ταυτόχρονα τέσσερις συνθήκες που ονομάζονται αξιώματα της ομάδας και αναφορικά είναι η κλειστότητα, η προσεταιριστική ιδιότητα, η ύπαρξη ουδέτερου στοιχείου και η ύπαρξη αντιστρόφων. Ένα από τα πιο γνώριμα παραδείγματα ομάδας είναι το σύνολο των ακεραίων με την πράξη της πρόσθεσης. Η πρόσθεση δύο οποιονδήποτε ακεραίων έχει ως αποτέλεσμα ακέραιο. Η αφηρημένη διατύπωση των αξιωμάτων της ομάδας, τις καθιστά ένα κυρίαρχο εργαλείο της έρευνας στους περισσότερους κλάδους της αφηρημένης άλγεβρας αλλά και σε άλλους τομείς.

Οι ομάδες συνδέονται στενά με την έννοια της συμμετρίας. Για παράδειγμα μια συμμετρική ομάδα κωδικοποιεί τα συμμετρικά χαρακτηριστικά  ενός  γεωμετρικού αντικειμένου:  η ομάδα απαρτίζεται από το σύνολο των μετασχηματισμών που αφήνουν αναλλοίωτο το αντικείμενο και την πράξη που συνδυάζει δύο τέτοιους μετασχηματισμούς εκτελώντας τον ένα μετά τον άλλο. Οι Ομάδες Lie είναι συμμετρικές ομάδες που χρησιμοποιούνται σε μοντέλα σωματιδιακής φυσικής, οι σημειακές ομάδες χρησιμεύουν στην κατανόηση συμμετρικών φαινομένων της μοριακής χημείας, οι ομάδες του Poincaré μπορούν να εκφράσουν τη φυσική συμμετρία που υποβόσκει στην ειδική σχετικότητα. Η ιδέα της ομάδας ξεκίνησε από τις πολυωνυμικές εξισώσεις, με τον Εβαρίστ Γκαλουά (Évariste Galois) στο 1830. Με τη συνδρομή και άλλων κλάδων όπως η θεωρία αριθμών και η γεωμετρία, η έννοια της ομάδας γενικεύθηκε και θεμελιώθηκε γύρω στο 1870. Η σύγχρονη θεωρία ομάδων —με αυστηρή μαθηματική πειθαρχεία—μελετά τις ομάδες αυτές καθαυτές. Για να ερευνήσουν τις ομάδες οι μαθηματικοί επινόησαν διάφορες έννοιες για να σπάσουν τις ομάδες σε μικρότερα καλύτερα κατανοητά κομμάτια. Τέτοιες έννοιες είναι οι υποομάδες, οι ομάδες πηλίκο και οι απλές ομάδες. Επιπλέον των αφηρημένων ιδιοτήτων τους, οι ειδικοί της θεωρίας ομάδων μελετούν επίσης τους διάφορους τρόπους με τους οποίους μπορεί να οριστεί συγκεκριμένα μια ομάδα (τις παραστάσεις μιας ομάδας), τόσο από θεωρητική όσο και από υπολογιστική πλευρά. Μια ιδιαίτερα πλούσια θεωρία έχει αναπτυχθεί για τις πεπερασμένες ομάδες, η οποία κορυφώθηκε με την μνημειώδη ταξινόμηση των πεπερασμένων απλών ομάδων  που ανακοινώθηκε το 1983 και ολοκληρώθηκε το 2004. Από τα μέσα του 1980, η γεωμετρική θεωρία ομάδων, η οποία μελετά τη δράση ομάδων (συνήθως άπειρων) επί γραφημάτων έχει εξελιχθεί σε έναν ιδιαίτερα ενεργό κλάδο της θεωρίας ομάδων, λόγω και της σχέσης της με την αλγεβρική τοπολογία.

Πρώτο παράδειγμα: Οι ακέραιοι 

Μία από τις πιο γνωστές ομάδες είναι το σύνολο των ακεραίων  το οποίο αποτελείται από τα στοιχεία
μαζί με την πρόσθεση.
Οι ακόλουθες ιδιότητες της πρόσθεσης ακεραίων χρησιμεύουν ως ένα υπόδειγμα για τα θεωρητικά αξιώματα που ορίζονται παρακάτω.

 Για οποιουσδήποτε δύο ακεραίους  και , το άθροισμα  είναι επίσης ακέραιος. Έτσι, η πρόσθεση δύο ακεραίων ποτέ δεν δίνει κάποιο άλλο είδος αριθμού. Αυτή η ιδιότητα είναι γνωστή ως κλειστότητα ως προς την πρόσθεση.
 Για οποιουσδήποτε ακεραίους  ,  και , . Με άλλα λόγια, η σειρά με την οποία προσθέτουμε τρεις ή περισσότερους αριθμούς δεν έχει σημασία, αφού το αποτέλεσμα είναι ίδιο. Η ιδιότητα αυτή είναι γνωστή ως προσεταιριστική ιδιότητα.
 Εάν  είναι ένας οποιοσδήποτε ακέραιος, τότε . Το μηδέν ονομάζεται το ουδέτερο (ή ταυτοτικό) στοιχείο της πρόσθεσης γιατί προσθέτοντας το με οποιονδήποτε ακέραιο το αποτέλεσμά του δίνει τον ίδιο ακέραιο.
 Για κάθε ακέραιο , υπάρχει ένας ακέραιος  τέτοιος ώστε . Ο ακέραιος  ονομάζεται αντίστροφος του ακεραίου  και συμβολίζεται .

Οι ακέραιοι, μαζί με την πράξη +, συγκροτούν ένα μαθηματικό αντικείμενο που ανήκει σε μία πιο μεγάλη κατηγορία αντικειμένων που μοιράζονται παρόμοιες δομικές αρχές. Για να κατανοηθούν κατάλληλα ως ένα σύνολο, δίνεται ο ακόλουθος θεωρητικός ορισμός:

Ορισμός 
Ομάδα είναι ένα σύνολο, , μαζί με μία πράξη  (δηλαδή, μία συνάρτηση ) η οποία συνδυάζει οποιαδήποτε δύο στοιχεία a και b για να σχηματίσει ένα άλλο στοιχείο που συμβολίζεται με  ή απλά . Για να είναι ομάδα, το σύνολο και η πράξη, , πρέπει να ικανοποιούν τέσσερις ιδιότητες γνωστές ως αξιώματα των ομάδων:

 Κλειστότητα
 Για όλα τα ,  που ανήκουν στο , το αποτέλεσμα της πράξης, , ανήκει επίσης στο 
 Προσεταιριστική Ιδιότητα 
 Για όλα τα ,  και  που ανήκουν στο , ισχύει .
 Ουδέτερο στοιχείο
 Υπάρχει ένα στοιχείο e στο , τέτοιο ώστε για κάθε στοιχείο  στο , η εξίσωση  να επαληθεύεται. Αυτό το στοιχείο είναι μοναδικό, και ως εκ τούτου όταν αναφερόμαστε σε αυτό θα λέμε το ουδέτερο στοιχείο.
 Αντίστροφο στοιχείο 
 Για κάθε  στη , υπάρχει ένα στοιχείο  στη  τέτοιο ώστε .

Το αποτέλεσμα της πράξης αυτής μπορεί να εξαρτάται από τους τελεστές. Με άλλα λόγια, το αποτέλεσμα του συνδυασμού του στοιχείου  με το στοιχείο  δεν είναι απαραίτητο να δώσει το ίδιο αποτέλεσμα όπως συνδυάζοντας το στοιχείο  με το στοιχείο  η εξίσωση  μπορεί να μην είναι πάντοτε αληθής. 
Αυτή η εξίσωση ισχύει πάντοτε στην προσθετική ομάδα των ακεραίων, γιατί  για οποιουσδήποτε δύο ακεραίους αντιμεταθεση  ως προς την πρόσθεση). Ομάδες στις οποίες η αντιμεταθετική εξίσωση  ισχύει πάντοτε ονομάζονται αβελιανές ομάδες (προς τιμήν του Niels Abel). Η συμμετρική ομάδα που περιγράφεται στην παρακάτω παράγραφο είναι ένα παράδειγμα ομάδας η οποία δεν είναι αβελιανή.

Το ουδέτερο στοιχείο μιας ομάδας   συχνά γράφεται  ή ,  μια σημειογραφία που κληρονομήθηκε από την πολλαπλασιαστική γραφή. Το ουδέτερο στοιχείο μπορεί επίσης να γραφεί ως , ειδικότερα εάν η πράξη της ομάδας συμβολίζεται με +, στην περίπτωση αυτή η ομάδα ονομάζεται προσθετική ομάδα. Το ουδέτερο στοιχείο μπορεί επίσης να γραφεί ως id.

Το σύνολο  καλείται το σύνολο των στοιχείων . Συχνά γράφουμε απλώς  αντί για  , εφόσον η πράξη είναι προφανής. Παρομοίως, σύντομες εκφράσεις όπως  "ένα υποσύνολο της ομάδας " η  "ένα στοιχείο της ομάδας " χρησιμοποιούνται όταν θέλουμε να αναφερθούμε σε  "ένα υποσύνολο του συνόλου των στοιχείων   της ομάδας " ή "ένα στοιχείο του συνόλου των στοιχείων   της ομάδας ". Συνήθως είναι ξεκάθαρο από το περιεχόμενο αν ο συμβολισμός   αναφέρεται στην ομάδα ή στο σύνολο των στοιχείων της.

Δεύτερο Παράδειγμα : Μια συμμετρική ομάδα 

Δύο σχήματα στο επίπεδο είναι ισοδύναμα αν το ένα μπορεί να μετασχηματιστεί στο άλλο με έναν συνδυασμό περιστροφών, αντικατοπτρισμών, και μεταφορών. Οποιοδήποτε σχήμα είναι ισοδύναμο με τον εαυτό του. Κάποια σχήματα όμως είναι ισοδύναμα με τον εαυτό τους με παραπάνω από έναν τρόπους και αυτές οι επιπλέον ισοδυναμίες ονομάζονται συμμετρίες. Ένα τετράγωνο έχει οχτώ συμμετρίες. Αυτές είναι:

Αυτές οι συμμετρίες αναπαριστώνται από συναρτήσεις. Καθεμιά από αυτές τις συναρτήσεις στέλνει ένα σημείο του τετραγώνου στο συμμετρικό του. Για παράδειγμα, η r1 περιστρέφει ένα σημείο κατά 90° δεξιά γύρω από το κέντρο του τετραγώνου, και η fh αντικατοπτρίζει ένα σημείο κατά την ευθεία που διέρχεται από τα μέσα των πλευρών του τετραγώνου. Συνθέτοντας δύο τέτοιες συναρτήσεις συμμετρίας παίρνουμε μια τρίτη συνάρτηση συμμετρίας. Αυτές οι συμμετρίες ορίζουν μία ομάδα που ονομάζεται διεδρική ομάδα τάξης τέσσερα  και συμβολίζεται D4. Το σύνολο των στοιχείων της ομάδας είναι το παραπάνω σύνολο συναρτήσεων συμμετρίας, και η πράξη της ομάδας είναι η σύνθεση συναρτήσεων. Δύο συμμετρίες συνδυάζονται όταν τις συνθέτουμε σαν συναρτήσεις. Εφαρμόζουμε την πρώτη σε ένα τετράγωνο και στο αποτέλεσμα αυτής εφαρμόζουμε τη δεύτερη. Το αποτέλεσμα της εκτέλεσης πρώτα του  και μετά του   γράφεται συμβολικά από δεξιά προς τα αριστερά ως
  ("εφάρμοσε τη συμμετρία  αφού εκτελέσεις τη συμμετρία ").
Ο από δεξιά προς τα αριστερά συμβολισμός είναι ο ίδιος που χρησιμοποιείται στη σύνθεση συναρτήσεων.

Ο πίνακας της ομάδας στα δεξιά παρουσιάζει όλους αυτούς του δυνατούς συνδυασμούς. Για παράδειγμα, περιστροφή κατά 270° δεξιά (r3) και μετά οριζόντια αναστροφή (fh) είναι το ίδιο σαν να εφαρμόζαμε αντικατοπτρισμό κατά μήκος της διαγωνίου (fd). Χρησιμοποιούμε τα παραπάνω σύμβολα γραμμένα με μπλε στον πίνακα της ομάδας:

fh • r3 = fd.

Δοθέντος του συνόλου των συμμετριών και την ανωτέρω πράξης, τα αξιώματα της ομάδας γράφονται ως εξής:

<li> Το αξίωμα της κλειστότητας απαιτεί  η σύνθεση   οποιωνδήποτε δύο συμμετριών  και  να είναι επίσης συμμετρία. Ένα άλλο παράδειγμα για την πράξη της ομάδας είναι 
r3 • fh = fc,
δηλαδή περιστροφή κατά 270° δεξιά  έπειτα από οριζόντια αναστροφή ισοδυναμεί με αναστροφή κατά μήκος της διαγωνίου (fc). Πράγματι οποιαδήποτε άλλη σύνθεση δύο συμμετριών δίνει συμμετρία όπως μπορεί να ελεγχθεί και στον πίνακα της ομάδας.

<li> Η προσεταιριστικότητα δεν περιορίζεται μόνο σε δύο συμμετρίες: Ξεκινούμε με τρία στοιχεία a, b και c του D4, υπάρχουν δύο δυνατοί τρόποι να χρησιμοποιήσουμε αυτές τις τρεις συμμετρίες με αυτή τη σειρά για να ορίσουμε μια συμμετρία του τετραγώνου. Ένας από αυτούς τους τρόπους είναι να συνθέσουμε πρώτα το a και το  b σε μία συμμετρία, και μετά να την συνθέσουμε με το c. Ο άλλος τρόπος είναι να συνθέσουμε πρώτα τα b και  c, και μετά το αποτέλεσμα με το a. Η επιμεριστική ιδιότητα
	
μας δείχνει ότι αυτοί οι δύο τρόποι είναι ίδιοι, δηλαδή, ένα γινόμενο πολλών στοιχείων μιας ομάδας μπορεί να γραφεί με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα,  (fd • fv) • r2 = fd • (fv • r2) μπορεί να ελεγχθεί από τον διπλανό πίνακα.
{|style="text-align:center"|
|(fd • fv) • r2|| = ||r3 • r2|| = ||r1, το οποίο ισούται με
|-
|fd • (fv • r2)|| = ||fd • fh|| = ||r1.
|}
Παρότι η προσεταιριστική ιδιότητα ισχύει για τις συμμετρίες του τετραγώνου   και την πρόσθεση των αριθμών , δεν ισχύει για κάθε πράξη. Για παράδειγμα, η αφαίρεση αριθμών δεν είναι προσεταιριστική  : (7 − 3) − 2 = 2 δεν είναι το ίδιο με  7 − (3 − 2) = 6.

 Το ουδέτερο στοιχείο id αφήνει τα πάντα αναλλοίωτα: αν για κάθε συμμετρία , εφαρμόζουμε το id μετά το  (η το  μετά το ) τότε το αποτέλεσμα ισούται με , συμβολικά,
,
.

 Ένα αντίστροφο στοιχείο ανατρέπει το μετασχηματισμό κάποιου άλλου στοιχείου. Κάθε συμμετρία μπορεί να ανατραπεί: καθένας από τους παρακάτω μετασχηματισμούς—ταυτότητα id, οι αναστροφές fh, fv, fd, fc  και η περιστροφή κατά 180°  r2—είναι τα αντίστροφα του εαυτού τους, διότι εφαρμόζοντάς τα δύο φορές το τετράγωνο επανέρχεται στον αρχικό του προσανατολισμό. Οι περιστροφές r3 και r1 είναι η μία αντίστροφη της άλλης, διότι περιστροφή κατά 90° και μετά περιστροφή κατά 270° (ή αντίστροφα) παράγει περιστροφή κατά 360° η οποία αφήνει το τετράγωνο αναλλοίωτο. Συμβολικά,
fh • fh = id,
r3 • r1 = r1 • r3 = id.

Σε αντίθεση με την ομάδα των ακεραίων παραπάνω , όπου η σειρά εκτέλεσης των πράξεων δεν μετράει, στην D4 έχει σημασία: fh • r1 = fc αλλάr1 • fh = fd. Με άλλα λόγια, η D4 δεν είναι αβελιανή, γεγονός που κάνει τη δομή αυτής της ομάδας πιο πολύπλοκη από την προαναφερθείσα παραπάνω ομάδα των ακεραίων.

Ιστορία 
Ένα παράδειγμα ομάδας αποτελούν οι συμμετρίες ενός γεωμετρικού σχήματος. Ενώ όμως εκτενή μελέτη των συμμετριών έχουν πραγματοποιήσει τόσο οι αρχαίοι Αιγύπτιοι όσο και ο Ευκλείδης, οι ομάδες αρχίζουν να αναγνωρίζονται ως μαθηματικά συστήματα μετά τον 18ο αιώνα.

Η σύγχρονη έννοια της αφηρημένης ομάδας αναπτύχθηκε από διάφορους τομείς των μαθηματικών. Το αρχικό κίνητρο για τη θεωρία ομάδων ήταν η αναζήτηση λύσεων πολυωνυμικών εξισώσεων βαθμού μεγαλύτερου του 4. Το 19ο αιώνα ο μαθηματικός Εβαρίστ Γκαλουά, επεκτείνοντας προηγούμενη δουλειά των Πάολο Ρουφίνι και Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ, έδωσε ένα κριτήριο για την επιλυσιμότητα μιας συγκεκριμένης πολυωνυμικής εξίσωσης με χρήση της ομάδας συμμετριών των ριζών της. Τα στοιχεία μιας τέτοιας ομάδας Galois αντιστοιχούν σε συγκεκριμένες μεταθέσεις των ριζών. Αρχικά, οι ιδέες του Galois απορρίφθηκαν από τους συγχρόνους του και δε δημοσιεύθηκαν παρά μόνο μετά θάνατον. Οι ομάδες μεταθέσεων ερευνήθηκαν στη γενική τους μορφή από τον Augustin Louis Cauchy. Στο έργο του Arthur Cayley, On the theory of groups, as depending on the symbolic equation θn = 1 (1854) δίνεται ένας πρώτος αφηρημένος ορισμός της πεπερασμένης ομάδας.

Η γεωμετρία ήταν το δεύτερο πεδίο στο οποίο οι ομάδες χρησιμοποιήθηκαν συστηματικά, ειδικά οι ομάδες συμμετρίας ως μέρος του προγράμματος Erlangen του Felix Klein το 1872. Μετά την εμφάνιση νέων γεωμετριών, όπως της υπερβολικής και της προβολικής, ο Klein χρησιμοποίησε τη θεωρία ομάδων για να τις οργανώσει πιο συνεκτικά. Επεικτείνοτας περεταίρω τις ιδέες αυτές, ο Sophus Lie καθιέρωσε τη μελέτη των ομάδων Lie το 1884.

Το τρίτο πεδίο που συνέβαλε στη θεωρία ομάδων ήταν η θεωρία αριθμών. Ορισμένες δομές αβελιανών ομάδων χρησιμοποιήθηκαν σιωπηρά στο αριθμοθεωρητικό έργο του Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (1798), και σαφἐστερα από τον Λέοπολντ Κρόνεκερ. Το 1847, ο Ernst Kummer έκανε κάποιες πρώτες προσπάθειες να αποδείξει το Τελευταίο Θεώρημα του Φερμά αναπτύσσοντας ομάδες που περιγράφουν την παραγοντοποίηση σε πρώτους αριθμούς.

Η συνένωση αυτών των ποικίλων αποτελεσμάτων σε μια ενιαία θεωρία άρχισε με το Traité des substitutions et des équations algébriques (1870) του Camille Jordan. Ο Walther von Dyck (1882) έδωσε μια πρώτη μορφή του σύγχρονου ορισμού μιας αφηρημένης ομάδας. Μέχρι τον 20ο αιώνα, οι ομάδες είχαν τύχει ευρείας αναγνώρισης μέσω του επαναστατικού έργου των Ferdinand Georg Frobenius και William Burnside, οι οποίοι εργάστηκαν πάνω στη θεωρία αναπαραστάσεων πεπερασμένων ομάδων, την modular θεωρία αναπαραστάσεων του Richard Brauer και τις εργασίες του Issai Schur. Η θεωρία των ομάδων Lie, και γενικότερα των τοπικά συμπαγών ομάδων προωθήθηκε από τους Hermann Weyl, Élie Cartan και πολλούς άλλους. Το αλγεβρικό αντίστοιχό της, η θεωρία αλγεβρικών ομάδων, σχηματίστηκε αρχικά από τον Claude Chevalley (στα τέλη του 1930) και αργότερα από το καίριο έργο των Armand Borel και Jacques Tits.

Το Έτος Θεωρίας Ομάδων 1960-61 του Πανεπιστημίου του Chicago μάζεψε ειδικούς της θεωρίας ομάδων, όπως οι Daniel Gorenstein, John G. Thompson και Walter Feit, θέτοντας τα θεμέλια μιας συνεργασίας η οποία, με τη συμβολή πολλών άλλων μαθηματικών, ταξινόμησε όλες τις πεπερασμένες ομάδες το 1982. Αυτό το πρόγραμμα υπερέβη όλες τις προηγούμενες προσπάθειες λόγω του μεγέθους της, τόσο ως προς το μήκος των αποδείξεων, όσο και ως προς τον αριθμό των ερευνητών. Η έρευνα συνεχίζεται με σκοπό την απλοποίηση της απόδειξης της ταξινόμησης αυτής. Στις μέρες μας, η θεωρία ομάδων είναι ακόμη ένας ιδιαίτερα ενεργός κλάδος των μαθηματικών με αποφασιστική επιρροή σε πολλά άλλα πεδία.

Χαρακτηρισμοί ομάδων 
Έστω  ένα σύνολο διάφορο του κενού και εφοδιασμένο με μία εσωτερική πράξη , δηλαδή 

Tότε η δομή  καλείται :

ημιομάδα, αν η πράξη είναι προσεταιριστική, δηλαδή αν ισχύει

μονοειδές, αν είναι ημιομάδα και επιπλέον η πράξη έχει ουδέτερο στοιχείο, δηλαδή αν ισχύουν οι εξής δύο συνθήκες:
 
(i) 

(ii) υπάρχει στοιχείο του , το οποίο συμβολίζουμε με  και καλούμε ουδέτερο στοιχείο, τέτοιο ώστε 

ομάδα, αν είναι μονοειδές και κάθε στοιχείο  έχει αντίστροφο, δηλαδή αν ισχύουν οι ακόλουθες συνθήκες:

(i) 

(ii) υπάρχει στοιχείο του , το οποίο συμβολίζουμε με  και καλούμε ουδέτερο στοιχείο, τέτοιο ώστε 

(iii) για κάθε  υπάρχει στοιχείο του , το οποίο συμβολίζουμε με  και καλούμε αντίστροφο του , τέτοιο ώστε

Επιπλέον μια ομάδα καλείται αβελιανή ή αντιμεταθετική, αν επιπλέον ισχύει η εξής ιδιότητα:

Στοιχειώδη πορίσματα από τις ιδιότητες των ομάδων 
Τα βασικά στοιχεία για όλες τις ομάδες που προκύπτουν απευθείας από τις τρεις ιδιότητες των ομάδων υπόκεινται συνήθως στη στοιχειώδη θεωρία ομάδων. Για παράδειγμα, η επαναλαμβανόμενη εφαρμογή της προσεταιριστικής ιδιότητας δείχνει ότι η παρακάτω ιδιότητα
a • b • c = (a • b) • c = a • (b • c)
γενικεύεται σε περισσότερους από τρεις παράγοντες. Και επειδή απ’ αυτό φαίνεται ότι οι παρενθέσεις μπορούν να εισαχθούν οπουδήποτε μέσα σε μια τέτοια σειρά από όρους, συνήθως παραλείπονται.

Πολλές φορές οι ιδιότητες μπορούν να περιοριστούν στην ύπαρξη μόνο του αριστερού μοναδιαίου και αντίστροφου στοιχείου. Ωστόσο, και στις δύο περιπτώσεις μπορεί να αποδειχθεί ότι οι ιδιότητες ισχύουν και από τις δύο πλευρές, οπότε είναι ισοδύναμες με τις παραπάνω.

Μοναδικότητα του μοναδιαίου και του αντίστροφου στοιχείου
Δύο πολύ σημαντικές συνέπειες των ιδιοτήτων των ομάδων είναι η μοναδικότητα του αντίστροφου και του μοναδιαίο στοιχείου. Μπορεί να υπάρχει μόνο ένα μοναδιαίο στοιχείο σε μία ομάδα και κάθε στοιχείο της ομάδας έχει ακριβώς ένα αντίστροφο στοιχείο. Γι’ αυτό αναφερόμαστε σ’ αυτά μιλώντας για το μοναδιαίο στοιχείο και το αντίστροφο στοιχείο.

Για να αποδείξουμε τη μοναδικότητα του αντίστροφου στοιχείου ενός a, υποθέτουμε ότι το a έχει δύο αντίστροφους, έστω b και c, σε μία ομάδα (G, •). Τότε

{|
|b ||=||b • e ||    ||αφού το  e είναι το μοναδιαίο στοιχείο
|-
| ||=||b • (a • c) ||    ||επειδή το c είναι το αντίστροφο του a, ισχύει ότι e = a • c
|-
| ||=||(b • a) • c ||    ||από την προσεταιριστική ιδιότητα
|-
| ||=||e • c||    ||αφού το b είναι αντίστροφο του a, δηλ. b • a = e
|-
| ||=||c||    || επειδή το e είναι το μοναδιαίο στοιχείο
|}

Προκύπτει ότι το b είναι ίσο με το c.  Με άλλα λόγια, υπάρχει μόνο ένα αντίστροφο στοιχείο για κάθε a.  Όμοια, για να αποδείξουμε ότι το μοναδιαίο στοιχείο μιας ομάδας είναι μοναδικό, υποθέτουμε ότι η ομάδα G έχει δύο μοναδιαία στοιχεία, τα e και f. Τότε  e = e • f = f, αφού e και f είναι ίσα.

Διαίρεση
Στις ομάδες μπορούμε να κάνουμε διαίρεση: δοθέντων στοιχείων a και b μιας ομάδας G, υπάρχει ακριβώς μία λύση x στην G που ικανοποιεί την εξίσωση x • a = b. Για την ακρίβεια, πολλαπλασιάζοντας από τα δεξιά με a−1 προκύπτει ότι x = x • a • a−1 = b • a−1. Όμοια, υπάρχει ακριβώς μία λύση y στην G που ικανοποιεί την εξίσωση a • y = b, και προκύπτει ότιy = a−1 • b. Γενικά, τα x και y δεν είναι απαραίτητο να είναι ίσα.

Άμεση συνέπεια αυτού είναι ότι ο πολλαπλασιασμός μιας ομάδας με ένα στοιχείο g είναι ισομορφισμός.  Πιο συγκεκριμένα, αν το g είναι στοιχείο της ομάδας G, τότε υπάρχει ένας ισομορφισμός από την  G στον εαυτό της που ονομάζεται αριστερή κλάση κατά  g και στέλνει το h ∈ G στο g • h. Όμοια, η δεξιά κλάση κατά g είναι ισομορφισμός της  G  στον εαυτό της που στέλνει το h στο h • g. Αν η G είναι αβελιανή ομάδα, η αριστερή και δεξιά κλάση ενός στοιχείου ταυτίζονται.

Βασικές έννοιες 
 Οι ενότητες που ακολουθούν χρησιμοποιούν μαθηματικά σύμβολα, όπως το X = {x, y, z}
το οποίο υποδηλώνει ένα σύνολο X που περιέχει στοιχεία x, y, και z, ή εναλλακτικά, το x ∈ X το οποίο υποδηλώνει ότι το x είναι ένα στοιχείο του X. Ο συμβολισμός  σημαίνει η f είναι μια συνάρτηση που στέλνει κάθε στοιχείο του X σε ένα στοιχείο του Υ.

Για να κατανοήσουμε τις ομάδες, πέρα από τα σύμβολα όπως τα παραπάνω, πρέπει να εισάγουμε έννοιες που αφορούν τη δομή τους. Υπάρχει μια εννοιολογική αρχή που διέπει όλες τις ακόλουθες έννοιες: για να επωφεληθούμε από τη δομή των ομάδων, οι κατασκευές που σχετίζονται με τις ομάδες πρέπει να είναι συμβατές με την πράξη της ομάδας. Η συμβατότητα αυτή εκδηλώνεται στις ακόλουθες έννοιες με διάφορους τρόπους. Για παράδειγμα, οι ομάδες μπορούν να συνδέονται μεταξύ τους μέσω συναρτήσεων που ονομάζονται ομομορφισμοί ομάδων. Σύμφωνα με όσα αναφέρθηκαν παραπάνω, οι ομομορφισμοί οφείλουν να τηρούν τις δομές της ομάδας. Επίσης, μπορούμε να μελετήσουμε τη δομή των ομάδων χωρίζοντάς τες σε υποομάδες και ομάδες πηλίκου. Η αρχή της «διατήρηση της δομής» - ένα σύνηθες πρόβλημα στα μαθηματικά - είναι ένα παράδειγμα του να εργάζεσαι σε μία κατηγορία, στην προκειμένη περίπτωση, στην κατηγορία των ομάδων.

Ομομορφισμοί ομάδων

Οι ομομορφισμοί ομάδων είναι συναρτήσεις που διατηρούν τη δομή των ομάδων. Μία συνάρτηση a: G → H ανάμεσα σε δύο ομάδες (G,•) και (H,*) ονομάζεται ομομορφισμός, αν η εξίσωση
a(g • k) = a(g) * a(k)
ισχύει για όλα τα στοιχεία g, k της G. Με άλλα λόγια, το αποτέλεσμα είναι το ίδιο αν εφαρμόσουμε την πράξη της ομάδας, είτε πριν είτε μετά τη συνάρτηση a. Έτσι εξασφαλίζεται ότι a(1G) = 1H, και επιπλέον a(g)−1 = a(g−1) για κάθε g της G. Έτσι, ένας ομομορφισμός ομάδων τηρεί τη δομή της G που προκύπτει από τις ιδιότητες των ομάδων.

Δύο ομάδες G και H λέγονται ισόμορφες, αν υπάρχουν ομομορφισμοί a: G → H και b: H → G, έτσι ώστε εφαρμόζοντας τις δύο αυτές απεικονίσεις τη μία μετά την άλλη με οποιαδήποτε σειρά, να προκύπτουν οι ταυτοτικές απεικονίσεις της G και της H. Δηλαδή, a(b(h)) = h και b(a(g)) = g για κάθε g της G και h της H. Κατά μία έννοια, οι ισόμορφες ομάδες μεταφέρουν την ίδια πληροφορία. Για παράδειγμα, το να αποδείξουμε ότι g • g = 1G για κάποιο στοιχείο g της G είναι το ίδιο με το να αποδείξουμε ότι a(g) * a(g) = 1H, γιατί εφαρμόζοντας την a στην πρώτη εξίσωση, προκύπτει η δεύτερη και αντίστοιχα εφαρμόζοντας την b στη δεύτερη εξίσωση, προκύπτει η πρώτη.

Υποομάδες

Ανεπίσημα, μία υποομάδα είναι μια ομάδα H που εμπεριέχεται σε μία μεγαλύτερη ομάδα G. Συγκεκριμένα, το μοναδιαίο στοιχείο της G ανήκει και στην H και για οποιαδήποτε h1 και h2 στοιχεία της H, υπάρχουν επίσης τα  και h1−1, έτσι ώστε η H, εφοδιασμένη με την πράξη της G, να αποτελεί ομάδα.

Στο παραπάνω παράδειγμα, το ταυτοτικό στοιχείο και οι στροφές αποτελούν την υποομάδα R = {id, r1, r2, r3}, που είναι σκιασμένη με κόκκινο χρώμα στον παραπάνω πίνακα: οποιεσδήποτε δύο στροφές αποτελούν στροφή και επιπλέον, μία στροφή μπορεί να αναιρεθεί (δηλ. να αντιστραφεί) με τις συμπληρωματικές στροφές 270° για τις 90°, 180° για τις 180°, και 90° για τις 270° (εδώ να σημειώσουμε ότι η περιστροφή προς την αντίθετη κατεύθυνση δεν μπορεί να οριστεί).  Η παρακάτω συνθήκη είναι ικανή και αναγκαία για να ελέγχουμε αν ένα υποσύνολο H της G είναι υποομάδα της G: αρκεί να ελέγξουμε αν  για κάθε στοιχείο g, h ∈ H. Είναι πολύ σημαντικό να κατανοήσουμε τις υποομάδες για να καταλάβουμε τις ομάδες ως δομές.

Για οποιοδήποτε υποσύνολο S της ομάδας G, η υποομάδα που παράγεται από το S αποτελείται από τα στοιχεία του S και τα αντίστροφά τους. Αυτή είναι η μικρότερη δυνατή υποομάδα της G που να περιέχει το S. Στο εισαγωγικό παράδειγμα παραπάνω, η υποομάδα που παράγεται από τα r2 και fv αποτελείται από αυτά τα δύο στοιχεία, το ταυτοτικό στοιχείο id και από τα fh = fv • r2. Όπως ήδη είπαμε, αυτό είναι υποομάδα, επειδή ο συνδυασμός οποιωνδήποτε δύο εκ των τεσσάρων αυτών στοιχείων, ή των αντίστροφών τους (που στην προκειμένη περίπτωση τυγχάνει να ταυτίζονται) παράγει ένα στοιχείο της υποομάδας.

Σύμπλοκα 

Σε ορισμένες περιπτώσεις, θεωρούμε ότι δύο στοιχεία μιας ομάδας είναι το ίδιο, αν διαφέρουν κατά κάποιο στοιχείο μιας δοθείσας υποομάδας. Για παράδειγμα, στην D4 παραπάνω, μόλις πραγματοποιήσουμε μετατόπιση, το τετράγωνο δεν επιστρέφει στη θέση r2 με απλή εφαρμογή στροφής, δηλαδή η πράξη της στροφής δεν σχετίζεται με τον αν έχει πραγματοποιηθεί μετατόπιση. Τα σύμπλοκα χρησιμοποιούνται για να λυθεί αυτό το πρόβλημα: μια υποομάδα H ορίζει το δεξιό και αριστερό σύμπλοκο, τα οποία μπορούν να θεωρηθούν ως μετατοπίσεις της H από κάποιο τυχαίο στοιχείο g. Το αριστερό και δεξιό σύμπλοκο της H που περιέχουν το g συμβολίζονται ως

gH = {g • h:h ∈ H} καιHg = {h • g:h ∈ H}, αντίστοιχα.

Τα σύμπλοκα οποιασδήποτε υποομάδας H σχηματίζουν μία διαμέριση της G. Δηλαδή, η ένωση όλων των αριστερών συμπλόκων σχηματίζει την G και δύο αριστερά σύμπλοκα είτε ταυτίζονται είτε η τομή τους είναι το κενό. Στην πρώτη περίπτωση, το g1H = g2H ισχύει όταν και μόνο όταν , δηλαδή όταν δύο στοιχεία διαφέρουν κατά ένα στοιχείο της H. Όμοια και για το δεξιό σύμπλοκο. Τα αριστερά και δεξιά σύμπλοκα της H δεν είναι κατ’ ανάγκη ίσα. Αν είναι ίσα, δηλαδή αν για κάθε g της G, ισχύει  gH = Hg, τότε η H ονομάζεται κανονική υποομάδα της G.

Στην D4, την εισαγωγική ομάδα συμμετρίας,  τα αριστερά σύμπλοκα gR της υποομάδας R που αποτελείται από τις περιστροφές, είναι είτε ίσα με R, αν το g ανήκει στο ίδιο το R είτε ίσα με U = fcR = {fc, fv, fd, fh} (που είναι σκιασμένο με πράσινο). Η υποομάδα R είναι κι αυτή κανονική, επειδή fcR = U = Rfc και το ίδιο ισχύει για κάθε άλλο στοιχείο πέρα απ’ το fc.

Σύνολο πηλίκο

Κάποιες φορές, το σύνολο των υποσυνόλων μιας υποομάδας διέπεται από τις ιδιότητες της ομάδας, και προκύπτει έτσι το σύνολο πηλίκο. Για να γίνει αυτό, μια υποομάδα πρέπει να είναι κανονική. Για οποιαδήποτε υποομάδα N, το σύνολο πηλίκο ορίζεται ως
G / N = {gN, g ∈ G}, "G modulo N".
Αυτό το σύνολο υιοθετεί την πράξη (που πολλές φορές την ονομάζουμε πολλαπλασιασμό ή πρόσθεση) της ομάδας G: (gN) • (hN) = (gh)N για κάθε g και h της G. Αυτός ο ορισμός προκύπτει ξέροντας ότι η απεικόνιση  που στέλνει κάθε στοιχείο g στο σύμπλοκο gN, είναι ομομορφισμός ομάδων. Το υποσύνολο eN=N είναι το ουδέτερο στοιχείο της ομάδας και το αντίστροφο του gN στο σύνολο πηλίκο είναι το στοιχείο (gN)−1 = (g−1)N.

Τα στοιχεία του σύνολου πηλίκου  είναι το ίδιο το R, που είναι το μοναδιαίο στοιχείο, καθώς και το U = fvR. Η πράξη του σύνολου πηλίκου αναπαριστάται στον διπλανό πίνακα. Για παράδειγμα, U • U = fvR • fvR = (fv • fv)R = R. Η υποομάδα R = {id, r1, r2, r3}, καθώς και το αντίστοιχο σύνολο πηλίκο, είναι αβελιανές ομάδες, ενώ το D4 δεν είναι αβελιανή ομάδα. Ο σχηματισμός μεγαλύτερων ομάδων από την ένωση μικρότερων, όπως για παράδειγμα η ομάδα D4 που σχηματίζεται από την υποομάδα R και το σύνολο πηλίκο  προκύπτει από ως ημιευθύ γινόμενο.

Τα σύνολα πηλίκα και οι υποομάδες μπορούν να περιγράψουν μια ομάδα ως εξής: κάθε ομάδα είναι το πηλίκο της ελεύθερης ομάδας προς τους γεννήτορες της ομάδας, διαιρούμενοι από την υποομάδα των σχέσεων. Η διεδρική ομάδα D4, για παράδειγμα, παράγεται από δύο στοιχεία r και f (π.χ., r = r1, η δεξιά στροφή και f = fv η κάθετη (ή οποιαδήποτε άλλη) μετατόπιση), που σημαίνει ότι κάθε συμμετρία του τετραγώνου είναι πεπερασμένη σύνθεση αυτών των δύο συμμετριών ή των αντιστρόφων τους. Μαζί με τις σχέσεις
r 4 = f 2 = (r • f)2 = 1, η ομάδα περιγράφεται πλήρως. Κάτι τέτοιο μπορεί επίσης να χρησιμοποιηθεί για την κατασκευή του γραφήματος Cayley, που είναι ένας μηχανισμός για τη γραφική απεικόνιση διακριτών ομάδων.

Οι υποομάδες και τα σύνολα πηλίκα σχετίζονται ως εξής: ένα υποσύνολο Η της G μπορεί να θεωρηθεί ως συνάρτηση ένα προς ένα , δηλαδή κάθε όρισμα αντιστοιχίζεται σε αποκλειστικά δική του τιμή.  Αντίστοιχα με τις ένα προς ένα, υπάρχουν και οι επί συναρτήσεις (κάθε στοιχείο του G είναι εικόνα κάποιου στοιχείου στο H), όπως για παράδειγμα η κανονική συνάρτηση . Η ερμηνεία των υποομάδων και των συνόλων πηλίκων υπό το πρίσμα των ομομορφισμών, δίνει έμφαση στις δομές αυτών των ορισμών που αναφέρθηκαν στην εισαγωγή. Γενικά, οι ομομορφισμοί δεν είναι ούτε ένα προς ένα συναρτήσεις, ούτε επί. Ο πυρήνας και η εικόνα μιας ομάδας ομομορφισμών, καθώς και το πρώτο θεώρημα του ισομορφισμού το αποδεικνύουν.

Παραδείγματα και εφαρμογές

Υπάρχουν αμέτρητα παραδείγματα και εφαρμογές για τις ομάδες. Πρώτα απ’ όλα, το σύνολο Z των ακέραιων εφοδιασμένο με την πράξη της πρόσθεσης, που περιγράφεται παραπάνω. Αν αντί για την πρόσθεση χρησιμοποιήσουμε τον πολλαπλασιασμό, προκύπτουν πολλαπλασιαστικές ομάδες. Αυτές οι ομάδες είναι προκάτοχοι σημαντικών κατασκευών της αφηρημένης άλγεβρας.
Οι ομάδες χρησιμοποιούνται επίσης και σε άλλους τομείς των μαθηματικών. Διάφορα μαθηματικά αντικείμενα εξετάζονται συνήθως ταξινομώντας τα σε ομάδες και μελετώντας τις ιδιότητές τους. Για παράδειγμα, ο Henri Poincaré δημιούργησε αυτό που λέμε σήμερα αλγεβρική τοπολογία, ορίζοντας την θεμελιώδη ομάδα. Μέσω αυτής της σύνδεσης, τοπολογικές ιδιότητες όπως η ανοιχτή περιοχή και η συνέχεια προκύπτουν ως ιδιότητες των ομάδων. Για παράδειγμα, στοιχεία της θεμελιώδους ομάδας αναπαριστώνται από βρόχους. Η δεύτερη εικόνα στα δεξιά δείχνει βρόχους στον χώρο, γύρω από ένα σημείο που δεν ανήκει στον βρόχο. Ο μπλε βρόχος θεωρείται μη ομοτοπικός (γι’ αυτό και άσχετος), επειδή μπορεί να μικραίνει συνεχώς, μέχρι ένα σημείο. Η ύπαρξη της τρύπας εμποδίζει τον πορτοκαλί βρόχο να μικραίνει μέχρι ένα σημείο. Η θεμελιώδης ομάδα του επιπέδου που δεν περιλαμβάνει ένα σημείο, προκύπτει ως ένας άπειρος κύκλος, που παράγεται από τον πορτοκαλί βρόχο (ή οποιονδήποτε άλλον βρόχο που περιστρέφεται γύρω από την τρύπα). Με αυτόν τον τρόπο, η θεμελιώδης ομάδα ανιχνεύει την τρύπα.
Σε πιο πρόσφατες εφαρμογές, η επίδραση έχει επίσης αντιστραφεί για να παρακινήσει γεωμετρικές κατασκευές στη θεωρία ομάδων. Με παρόμοιο τρόπο, η γεωμετρική θεωρία ομάδων ασχολείται με γεωμετρικές έννοιες, όπως για παράδειγμα, τη μελέτη των υπερβολικών ομάδων. Άλλοι τομείς στους οποίους χρησιμοποιείται η θεωρία ομάδων είναι η αλγεβρική γεωμετρία και η θεωρία αριθμών.
Εκτός από τις παραπάνω θεωρητικές εφαρμογές, υπάρχουν πολλές πρακτικές εφαρμογές των ομάδων. Η κρυπτογραφία βασίζεται στο συνδυασμό της αφηρημένης προσέγγισης της θεωρίας ομάδων και στις γνώσεις πάνω στους αλγορίθμους που αποκτήθηκαν στην υπολογιστική θεωρία ομάδων, ιδίως όταν εφαρμόζεται για πεπερασμένες ομάδες. Οι εφαρμογές της θεωρίας ομάδων δεν περιορίζονται στα μαθηματικά. Επιστήμες όπως η φυσική, η χημεία και η επιστήμη των υπολογιστών ωφελούνται σε μεγάλο βαθμό από την θεωρία ομάδων.

Αριθμοί 
Πολλά αριθμητικά συστήματα, όπως οι ακέραιοι και οι ρητοί, ανήκουν εκ φυσικού σε σύνολα που συμπεριφέρονται ως ομάδες. Σε μερικές περιπτώσεις, όπως συμβαίνει με τους ρητούς, και η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός δημιουργούν ομάδες. Τέτοια αριθμητικά συστήματα είναι προκάτοχοι κάποιων άλλων γενικών αλγεβρικών εννοιών, γνωστοί ως δακτύλιοι και σώματα. Άλλες έννοιες της αφηρημένης άλγεβρας, όπως τα πρότυπα, οι διανυσματικοί χώροι και οι άλγεβρες, σχηματίζουν επίσης ομάδες.

Ακέραιοι 
Το σύνολο των ακεραίων Z εφοδιασμένο με την πρόσθεση, συμβολίζεται ως (Z, +), και αναφέρθηκε παραπάνω. Οι ακέραιοι, με την πράξη του πολλαπλασιασμού αντί για την πρόσθεση, δηλαδή το (Z, ·) δεν αποτελούν ομάδα. Ενώ πληρούνται όλες οι ιδιότητες της ομάδας, δεν υπάρχει το αντίστροφο στοιχείο: για παράδειγμα, το a = 2 είναι ένας ακέραιος, αλλά η μόνη λύση της εξίσωσης a · b = 1 είναι το b = 1/2, που ανήκει στους ρητούς και όχι στους ακέραιους. Οπότε, δεν υπάρχει το (πολλαπλασιαστικό) αντίστροφο στοιχείο για κάθε στοιχείο του  Z.

Ρητοί 
Η ανάγκη ύπαρξης αντιστρόφων στον πολλαπλασιασμό μας οδηγεί στη χρήση κλασμάτων

Τα κλάσματα ακεραίων (με bδιάφορο του μηδενός) ονομάζονται ρητοί αριθμοί. Το σύνολο όλων αυτών των κλασμάτων συμβολίζεται ως Q. Υπάρχει ακόμα ένα μικρό εμπόδιο για να αποτελέσει ομάδα το  το σύνολο των ρητών με τον πολλαπλασιασμών. Ο ρητός αριθμός 0 δεν έχει αντίστροφο (δηλαδή δεν υπάρχει x τέτοιο ώστε x · 0 = 1), οπότε το (Q, ·) δεν είναι ομάδα.

Ωστόσο, το σύνολο όλων των μη μηδενικών ρητών αριθμών Q \ {0} = {q ∈ Q, q ≠ 0} είναι αβελιανή ομάδα με πράξη τον πολλαπλασιασμό και συμβολίζεται ως . Η προσεταιριστικότητα και το μοναδιαίο στοιχείο είναι επακόλουθα των ιδιοτήτων των ακεραίων. Η κλειστότητα όμως δεν ισχύει, εφόσον το γινόμενο δύο μη μηδενικών ρητών δεν είναι ποτέ μηδέν. Τέλος, ο αντίστροφος του a/b είναι ο b/a, οπότε ικανοποιείται η ιδιότητα του αντίστροφου στοιχείου.

Οι ρητοί αριθμοί (συμπεριλαμβανομένου και του μηδενός) σχηματίζουν ομάδα με την πράξη της πρόσθεσης. Συνδέοντας την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμού, προκύπτουν πιο περίπλοκες δομές που ονομάζονται δακτύλιοι και - αν μπορούμε να κάνουμε διαίρεση, όπως στο Q— προκύπτουν τα σώματα, που καταλαμβάνουν κεντρική θέση στην αφηρημένη άλγεβρα. Οπότε πολλά επιχειρήματα της θεωρίας ομάδων αποτελούν τη βάση για δομές σαν αυτές.

Αριθμητική μέτρου

Στην αριθμητική μέτρου, δύο ακέραιοι προστίθενται, και μετά το άθροισμά τους διαιρείται από τον θετικό ακέραιο που ονομάζεται modulus. Το αποτέλεσμα της αριθμητικής μέτρου είναι το υπόλοιπο αυτής της διαίρεσης. Για κάθε modulus, το n, το σύνολο των ακεραίων από 0 μέχρι n−1 σχηματίζει ομάδα υπό την αριθμητική μέτρου: το αντίστροφο ενός στοιχείου a είναι το n−a, και το 0 είναι το μοναδιαίο στοιχείο. Αυτό θυμίζει τις ώρες των ρολογιών: αν ο δείκτης του ρολογιού είναι στο 9 και προχωρήσει κατά 4 ώρες, θα καταλήξει στο 1, όπως φαίνεται στα δεξιά. Μπορούμε δηλαδή να πούμε ότι 9 + 4 ίσον 1 "modulo 12" ή συμβολίζοντάς το έτσι:
9 + 4 ≡ 1 modulo 12.
Η ομάδα των ακεραίων modulo n γράφεται Zn or Z/nZ.

Για κάθε πρώτο αριθμό p, υπάρχει επίσης η πολλαπλασιαστική ομάδα ακεραίων modulo p]]. Τα στοιχεία του είναι οι ακέραιοι 1 έως p−1. Η πράξη της ομάδας είναι ο πολλαπλασιασμός modulo p. Δηλαδή, το σύνηθες γινόμενο διαιρείται με p και το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι το αποτέλεσμα του  πολλαπλασιασμού κατά modulo. Για παράδειγμα, αν p = 5, υπάρχουν τέσσερα στοιχεία της ομάδας 1, 2, 3, 4. Σε αυτήν την ομάδα, 4 · 4 = 1, επειδή το σύνηθες γινόμενο 16 είναι ισοδύναμο με 1, αφού όταν διαιρεθεί με το 5 δίνει υπόλοιπο 1. Αυτό συμβολίζεται ως:
16 ≡ 1 (mod 5).
Το ότι ο p είναι πρώτος διασφαλίζει ότι το γινόμενο των δύο ακέραιοι, απ’ τους οποίους κανείς δεν διαιρείται από το p δεν θα είναι επίσης πολλαπλάσιο του p,  οπότε το σύνολο των κλάσεων θα είναι κλειστό ως προς τον πολλαπλασιασμό. Το μοναδιαίο στοιχείο είναι το 1, όπως συνηθίζεται στις πολλαπλασιαστικές ομάδα, και η προσεταιριστικότητα προκύπτει από την αντίστοιχη ιδιότητα των ακεραίων. Τέλος, το αντίστροφο στοιχείο προϋποθέτει ότι αν δίνεται ένας ακέραιος a που δεν διαιρείται με το p, υπάρχει ένας ακέραιος b τέτοιος ώστε
a · b ≡ 1 (mod p), δηλαδή ο p διαιρεί τη διαφορά .
Ο αντίστροφος b μπορεί να βρεθεί με τη χρήση της ταυτότητας Bézout και το γεγονός ότι ο μέγιστος κοινός διαιρέτης μ.κ.δ ισούται με 1. Στην περίπτωση παραπάνω όπου p = 5, το αντίστροφο του 4 είναι 4, και το αντίστροφο του 3 είναι 2, αφού 3 · 2 = 6 ≡ 1 (mod 5). Ως εκ τούτου, πληρούνται όλες οι ιδιότητες της ομάδας. Στην πραγματικότητα, αυτό το παράδειγμα είναι παρόμοιο με το (Q\{0}, ·) που αναφέρθηκε παραπάνω: αποτελείται από τα στοιχεία του Z/pZ που έχουν μια αντίστροφο με πράξη τον πολλαπλασιασμό. Οι ομάδες αυτές συμβολίζονται ως Fp×. Είναι ζωτικής σημασίας για την κρυπτογράφηση κωδικών..

Κυκλικές ομάδες

Μια κυκλική ομάδα είναι η ομάδα της οποίας όλα τα στοιχεία προκύπτουν από δυνάμεις ενός συγκεκριμένου στοιχείου a. Με πολλαπλασιαστικό συμβολισμό, τα στοιχεία της ομάδας θα είναι:
..., a−3, a−2, a−1, a0 = e, a, a2, a3, ...,
όπου a2 σημαίνει a • a, και a−3 σημαίνει a−1 • a−1 • a−1=(a • a • a)−1 κτλ. Ένα τέτοιο στοιχείο a ονομάζεται γεννήτορας ή αρχικό στοιχείο της ομάδας. Στην πρόσθεση, ένα στοιχείο είναι γεννήτορας όταν όλα τα υπόλοιπα στοιχεία μπορούν να γραφτούν ως
 ..., −a−a, −a, 0, a, a+a, ...

Στις ομάδες Z/nZ που αναφέρθηκαν παραπάνω, το στοιχείο 1 είναι γεννήτορας, οπότε αυτές οι ομάδες είναι κυκλικές. Πράγματι, κάθε στοιχείο εκφράζεται ως ένα άθροισμα του οποίου όλοι οι όροι ισούνται με 1. Κάθε κυκλική ομάδα με n στοιχεία είναι ισόμορφη αυτής της ομάδας. Ένα δεύτερο παράδειγμα για τις κυκλικές ομάδες είναι η ομάδα των n-οστών μιγαδικών ριζών της μονάδας, που προκύπτουν από τους μιγαδικούς αριθμούς z που ικανοποιούν την εξίσωση zn = 1. Αυτοί οι αριθμοί μπορούν να παρασταθούν ως οι κορυφές ενός κανονικού n-γώνου, όπως φαίνεται στα δεξιά με μπλε χρώμα για n = 6. Η πράξη της ομάδας είναι ο πολλαπλασιασμός των μιγαδικών αριθμών. Στην εικόνα, πολλαπλασιάζοντας με το z αντιστοιχεί σε μια αριστερόστροφη περιστροφή κατά 60°. Χρησιμοποιώντας τη θεωρία σωμάτων, μπορούμε να αποδείξουμε ότι η ομάδα Fp× είναι κυκλική: για παράδειγμα, αν p = 5, το 3 είναι γεννήτορας, δεδομένου ότι 31 = 3, 32 = 9 ≡ 4, 33 ≡ 2, and 34 ≡ 1.

Ορισμένες κυκλικές ομάδες έχουν άπειρο αριθμό στοιχείων. Σε αυτές τις ομάδες, για κάθε μη μηδενικό στοιχείο a, όλες οι δυνάμεις του a είναι διαφορετικές. Παρά την ονομασία "κυκλική ομάδα", οι δυνάμεις των στοιχείων δεν δημιουργούν κύκλο. Μια άπειρη κυκλική ομάδα είναι ισόμορφη με την (Z, +), την ομάδα των ακέραιων υπό την πράξη της πρόσθεσης που αναφέρθηκε παραπάνω. Όπως και αυτές οι δύο είναι αβελιανές, έτσι και όλες οι κυκλικές ομάδες είναι αβελιανές.

Η μελέτη των πεπερασμένων αβελιανών ομάδων έχει προχωρήσει αρκετά, συμπεριλαμβανομένου και του θεμελιώδους θεωρήματος των πεπερασμένων παραγόμενων αβελιανών ομάδων. Έτσι, πολλές θεωρίες που σχετίζονται με τις ομάδες, όπως το κέντρο και ο αντιμεταθέτης, περιγράφουν πότε μια ομάδα δεν είναι αβελιανή.

Ομάδες συμμετρίας

Οι ομάδες συμμετρίας είναι ομάδες που αποτελούνται από συμμετρίες δοθέντων μαθηματικών αντικειμένων – είτε γεωμετρικής φύσης, όπως η εισαγωγική συμμετρική ομάδα του τετραγώνου, ή αλγεβρικής φύσης, όπως οι πολυωνυμικές εξισώσεις και οι λύσεις τους. Από εννοιολογικής άποψης, η θεωρία ομάδων μπορεί να θεωρηθεί ως η μελέτη της συμμετρίας. Οι συμμετρίες στα μαθηματικά απλοποιούν σημαντικά τη μελέτη των γεωμετρικών ή αναλυτικών αντικείμενων. Μια ομάδα λέγεται ότι δρα σε ένα άλλο μαθηματικό αντικείμενο X εάν κάθε στοιχείο της ομάδας εκτελεί κάποια λειτουργία στο X και είναι συμβατή με τους κανόνες της ομάδας.  Στο παρακάτω παράδειγμα δεξιά, ένα στοιχείο τάξης 7 της (2,3,7) τριγωνικής ομάδας δρα με μετάθεση των επισκιασμένων πλαγίων  τρίγωνων. Από μια ομάδα δράσης, το μοτίβο της ομάδας είναι συνδεδεμένο με τη δομή του αντικειμένου που ενήργησε.

Σε τομείς χημικών προϊόντων, όπως η κρυσταλλογραφία, ομάδες χώρων και ομάδες σημείων περιγράφουν τη μοριακή συμμετρία και τις κρυσταλλικές συμμετρίες. Αυτές οι συμμετρίες διέπουν τη  χημική και φυσική συμπεριφορά των συστημάτων αυτών, και της θεωρίας  ομάδας επιτρέπει την απλούστευση της κβαντικής μηχανικής ανάλυσης των ιδιοτήτων αυτών. 
Για παράδειγμα, η θεωρία ομάδων  χρησιμοποιείται για να δείξει κανείς ότι οι οπτικές μεταβάσεις μεταξύ ορισμένων κβαντικών επιπέδων δεν μπορεί να γίνει εξαιτίας  της εμπλεκόμενης συμμετρίας των κανόνων.

Δεν είναι μόνο οι ομάδες χρήσιμες για την εκτίμηση των επιπτώσεων των συμμετριών στα μόρια, αλλά εκπληκτικά αυτά προβλέπουν επίσης ότι τα μόρια μερικές φορές μπορεί να αλλάξουν συμμετρία. Η επίδραση Τζιάν-Τέλερ (Jahn-Teller effect) είναι μια στρέβλωση του ενός μορίου της υψηλής συμμετρίας, όταν υιοθετεί μια συγκεκριμένη κατάσταση του εδάφους της συμμετρίας κάτω από ένα σύνολο των πιθανών καταστάσεων του εδάφους που σχετίζονται με κάθε άλλη από τις πράξεις συμμετρίας του μορίου.

Ομοίως, η θεωρία ομάδων βοηθά στην πρόβλεψη των αλλαγών στις φυσικές ιδιότητες που συμβαίνουν όταν ένα υλικό υποβάλλεται σε μια μεταβατική φάση, για παράδειγμα,  ένα κυβικό σε μια τετραεδρική κρυσταλλική μορφή. Ένα παράδειγμα είναι σιδηροηλεκτρικά υλικά, όπου η αλλαγή από  παραηλεκτρική σε ένα σιδεροηλεκτρική κατάσταση λαμβάνει χώρα στη θερμοκρασία Κιουρί(Curie) και σχετίζεται με μια αλλαγή από την κατάσταση υψηλής συμμετρίας παραηλεκτρικής  κατάστασης χαμηλότερης σιδηροηλεκτρικής συμμετρίας, που συνοδεύεται από μια λεγόμενη μαλακή λειτουργία, μια παλμική λειτουργία πλέγματος που πηγαίνει στο μηδέν συχνότητα κατά τη μετάβαση.

Τέτοιο αυθόρμητο σπάσιμο της συμμετρίας βρίσκει εφαρμογή στην φυσική των στοιχειωδών σωματιδίων, όπου η εμφάνισή της σχετίζεται με την εμφάνιση των μποζονίων Γκολντστόουν (Goldstone).

Οι πεπερασμένες ομάδες συμμετρίας, όπως οι ομάδες Μάθιου (Mathieu), χρησιμοποιούνται στη θεωρία κωδικοποίησης, η οποία με τη σειρά της εφαρμόζεται στην διόρθωση σφαλμάτων των μεταδιδόμενων δεδομένων και σε συσκευές αναπαραγωγής CD. [51] Μια άλλη εφαρμογή είναι η διαφορική θεωρία Γκαλουά (Galois), η οποία χαρακτηρίζει τις συναρτήσεις που έχουν αντιπαράγωγο της προκαθορισμένης μορφής , δίνοντας κριτήρια θεωρίας ομάδων για το πότε οι λύσεις ορισμένων διαφορικών εξισώσεων είναι καλά ορισμένες. Οι γεωμετρικές ιδιότητες που παραμένουν σταθερές στο πλαίσιο των δράσεων της ομάδας μελετώνται στη θεωρία (γεωμετρικής) μεταβλητότητας.

Γενική γραμμική ομάδα και θεωρία εκπροσώπησης

Οι ομάδες πινάκων αποτελούνται από πίνακες με πράξη τον πολλαπλασιασμό πινάκων. Η γενική γραμμική ομάδα  αποτελείται από όλους τους αντιστρέψιμους  πίνακες με πραγματικά στοιχεία. Οι υποομάδες της αναφέρονται ως ομάδες πινάκων ή γραμμικές ομάδες. Το παράδειγμα της διεδρικής ομάδας που αναφέρθηκε παραπάνω μπορεί να θεωρηθεί ως μια (πολύ μικρή) ομάδα πινάκων. Μια άλλη σημαντική ομάδα πινάκων είναι η ειδική ορθογώνια ομάδα . Περιγράφει όλες τις πιθανές περιστροφές σε  διαστάσεις. Μέσω γωνιών Όιλερ, οι πίνακες περιστροφής χρησιμοποιούνται σε γραφικά υπολογιστών.

Η θεωρία εκπροσώπησης είναι εφαρμογή της έννοιας της ομάδας και σημαντική για μια βαθύτερη κατανόηση των ομάδων. Μελετά την ομάδα από τις ενέργειες του διανυσματικού χώρου σε άλλους χώρους. Μια ευρεία κατηγορία των αναπαραστάσεων της ομάδας είναι γραμμικές αναπαραστάσεις, δηλαδή η ομάδα που δρα σε ένα χώρο φορέα, όπως ο τρισδιάστατος Ευκλείδειος χώρος . Μια αναπαράσταση του  σε ένα -διάστατο διάνυσμα πραγματικού χώρου είναι απλά μια ομάδα ομομορφισμού

από την ομάδα στη γενική γραμμική ομάδα. Με αυτό τον τρόπο, η λειτουργία της ομάδας, η οποία μπορεί να δοθεί αφηρημένα, μεταφράζεται στον πολλαπλασιασμό των πινάκων καθιστώντας προσιτό στους ρητούς υπολογισμούς.
Λαμβάνοντας υπόψη μια ομάδα δράσης, αυτό δίνει περαιτέρω μέσα για να μελετήσουν το αντικείμενο που μελετάται. Από την άλλη πλευρά, δίνει επίσης πληροφορίες σχετικά με την ομάδα. Αναπαραστάσεις Ομάδας είναι μια οργανωτική αρχή στη θεωρία των πεπερασμένων ομάδων, ομάδες Λάι (Lie), αλγεβρικές ομάδες και τοπολογικές ομάδες, ειδικά (τοπικά) συμπαγείς ομάδες.

Ομάδες Γκαλουά (Galois) 

Οι ομάδες Γκαλουά αναπτύχθηκαν για να βοηθήσουν στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων, αναπαριστώντας αποδοτικά τα χαρακτηριστικά συμμετρίας τους. Για παράδειγμα, οι λύσεις της εξίσωσης  δίνονται από

Ανταλλάσσοντας τα "+" και "-" στην έκφραση (δηλαδή μετατίθοντας τις δύο λύσεις της εξίσωσης) μπορεί να θεωρηθεί ως μια (πολύ απλή) πράξη ομάδας. Παρόμοιοι τύποι είναι γνωστοί για εξισώσεις 3ου κ 4ου βαθμού, αλλά δεν υπάρχουν σε γενικές γραμμές για 5ου βαθμού και άνω. Αφηρημένες ιδιότητες των ομάδων Γκαλουά που συνδέονται με πολυώνυμα (ιδίως στην επιλυσιμότητά τους) μπορούν να δώσουν ένα κριτήριο για πολυώνυμα που έχουν όλες τις λύσεις τους, και να εκφραστεί μόνο από πρόσθεση, πολλαπλασιασμό και ρίζες ομοίως με τον κανόνα που είδαμε παραπάνω.

Το πρόβλημα μπορεί να αντιμετωπιστεί με τη μετατόπιση της θεωρίας σωμάτων και λαμβάνοντας υπόψη τη διάσπαση σώματος ενός πολυωνύμου. Η σύγχρονη θεωρία Galois γενικεύει τον παραπάνω τύπο ομάδων Galois για τις επεκτάσεις τομέα και καθορίζει, μέσω του θεμελιώδους θεωρήματος της θεωρίας Galois, μια ακριβής σχέση ανάμεσα στα πεδία και τις ομάδες, υπογραμμίζοντας για άλλη μια φορά την πανταχού παρουσία των ομάδων στα μαθηματικά.

Πεπερασμένες ομάδες 

Μια ομάδα ονομάζεται πεπερασμένη αν έχει έναν πεπερασμένο αριθμό στοιχείων. Ο αριθμός των στοιχείων ονομάζεται τάξη της ομάδας. Μια σημαντική κατηγορία είναι η συμμετρικές ομάδες , δηλαδή οι ομάδες των μεταθέσεων  γραμμάτων. Για παράδειγμα, η συμμετρική ομάδα για 3 γράμματα  είναι η ομάδα που αποτελείται από όλες τις πιθανές διατάξεις από τα τρία γράμματα ABC, δηλαδή περιλαμβάνει τα στοιχεία ABC, ACB, ..., μέχρι CBA, στο σύνολο 6 (ή 3 παραγοντικό) στοιχεία. Αυτή η κατηγορία είναι θεμελιώδης στο βαθμό που οποιαδήποτε ομάδα πεπερασμένη μπορεί να εκφραστεί ως μια υποομάδα μιας συμμετρικής ομάδας  για ένα κατάλληλο ακέραιο  (θεώρημα του Cayley). Όπως με την ομάδα των συμμετριών του τετραγώνου παραπάνω, η  μπορεί επίσης να ερμηνευθεί ως η ομάδα των συμμετριών ενός ισοσκελούς τριγώνου.

Η τάξη ενός στοιχείου  σε μια ομάδα  είναι ο μικρότερος θετικός ακέραιος  τέτοιος ώστε , όπου

δηλαδή η εφαρμογή της πράξης  σε  αντίγραφα του στοιχείου . (Αν το  αντιπροσωπεύει πολλαπλασιασμό, τότε αντιστοιχεί στην -ιοστή δύναμη του .) Στις άπειρες ομάδες, μπορεί να μην υπάρχει τέτοιο , οπότε λέμε ότι η τάξη του  είναι άπειρη. Η τάξη ενός στοιχείου ισούται με την τάξη της κυκλικής υποομάδα που παράγεται από αυτό το στοιχείο.

Πιο εξελιγμένες τεχνικές μέτρησης, για παράδειγμα, μετρώντας πλευρικές τάξεις ομάδας αποδίδει πιο ακριβείς προτάσεις σχετικά με πεπερασμένες ομάδες: το Θεώρημα Λαγκράνζ (Lagrange) δηλώνει ότι για μια πεπερασμένη ομάδα G η  τάξη  της  κάθε πεπερασμένη υποομάδας H χωρίζει την τάξη του G. Τα θεωρήματα Sylow δίνουν αντίστροφο.

Η διεδρική ομάδα  (που συζητείται ανωτέρω) είναι μια πεπερασμένη ομάδα τάξης 8. Η τάξη του  r1 είναι 4, όπως είναι η σειρά της υποομάδας R που παράγει (βλέπε παραπάνω). Η σειρά του προβληματισμού fv στοιχείων κλπ. είναι 2. Και οι δύο εντολές διαιρούν το 8, όπως προβλέπεται από το Θεώρημα του Λαγκράνζ (Lagrange). Οι ομάδες Fp× παραπάνω έχουν τάξη .

Η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων 
Οι μαθηματικοί συχνά προσπαθούν για μια πλήρη ταξινόμηση μιας μαθηματικής έννοιας. Στο πλαίσιο των πεπερασμένων ομάδων, ο στόχος αυτός οδηγεί γρήγορα σε δύσκολα και βαθιά μαθηματικά. Σύμφωνα με το θεώρημα του Λαγκράνζ, πεπερασμένες ομάδες τάξης , είναι κατ'ανάγκην κυκλικές (αβελιανές) Zp ομάδες. Ομάδες p2 τάξης μπορεί επίσης να αποδειχθεί ότι είναι αβελιανή, μια πρόταση η οποία δεν γενικεύεται για τάξη p3, ως μη αβελιανή ομάδα D4 τάξης 8 = 23 όπως φαίνεται παραπάνω. Το  σύστημα άλγεβρας υπολογιστών μπορεί να χρησιμοποιηθεί στη λίστα μικρών ομάδων, αλλά δεν υπάρχει κατάταξη όλων των πεπερασμένων ομάδων. Ένα ενδιάμεσο βήμα είναι η κατάταξη των πεπερασμένων απλών ομάδων.  Μια ομάδα ονομάζεται απλή, αν οι μόνες κανονικές της υποομάδες είναι η τετριμμένη ομάδα και η ίδια η ομάδα.  Το θεώρημα Jordan-Hölder παρουσιάζει πεπερασμένες απλές ομάδες, όπως τα δομικά στοιχεία για όλες τις πεπερασμένες ομάδες. περί του καταλόγου όλων των πεπερασμένων απλών ομάδων ήταν ένα σημαντικό επίτευγμα στη σύγχρονη θεωρία ομάδων. Ο νικητής του μεταλλίου Fields του 1998 Borcherds Richard κατάφερε να αποδείξει τα τερατώδη εικασία, μια εκπληκτική και βαθιά σχέση της  μεγαλύτερης  πεπερασμένης απλής σποραδικής ομάδα-η «ομάδα τέρας»-με ορισμένες σπονδυλωτή λειτουργίες, ένα κομμάτι της μιγαδικής ανάλυσης, και η θεωρία μέτρου, μια  θεωρία υποτίθεται ότι θα ενοποιήσει την περιγραφή πολλών φυσικών φαινομένων.

Προσθετικές Ομάδες

Πολλές ομάδες είναι ταυτόχρονα ομάδες και παραδείγματα άλλων μαθηματικών δομών. Στη γλώσσα της θεωρίας  κατηγοριών, είναι τα αντικείμενα της ομάδας σε μια κατηγορία, που σημαίνει ότι είναι αντικείμενα (δηλαδή, παραδείγματα άλλη μαθηματική δομή) τα οποία έρχονται με μετασχηματισμούς (που ονομάζονται πολυμορφισμοί) που μιμούνται τα αξιώματα της ομάδας. Για παράδειγμα, κάθε ομάδα (όπως ορίζεται παραπάνω) είναι, επίσης, ένα σύνολο, έτσι ώστε μια ομάδα είναι ένα αντικείμενο της ομάδας στην κατηγορία των συνόλων.

Τοπολογικές Ομάδες

Μερικοί τοπολογικοί  χώροι μπορούν να τροφοδοτούνται με τον νόμο της ομάδας. Σύμφωνα με τον νόμο της ομάδας  και την τοπολογία για να διαπλέξει καλά, οι  πράξεις της ομάδας πρέπει να είναι συνεχείς συναρτήσεις, δηλαδή,  και g−1 δεν πρέπει να διαφέρουν  εξωφρενικά, αν g και h διαφέρουν μόνο λίγο. Τέτοιες ομάδες που ονομάζονται τοπολογικές ομάδες, και είναι τα αντικείμενα της ομάδας στην κατηγορία των τοπολογικών χώρων. [66] Τα πιο βασικά παραδείγματα είναι ο R των πραγματικών με την πρόσθεση , και παρόμοιο με οποιαδήποτε άλλο τοπολογικό τομέα, όπως  τους μιγαδικούς αριθμούς ήp- αδικους αριθμούς. Όλες αυτές οι ομάδες είναι τοπικά συμπαγής, έτσι ώστε να έχουν Haar μέτρα και μπορεί να μελετηθεί μέσω της αρμονικής ανάλυσης. Ο πρώην προσφέρει ένα αφηρημένο φορμαλισμό αμετάβλητων ολοκληρωμάτων. Αναλλοίωτο σημαίνει, στην περίπτωση των πραγματικών αριθμών, για παράδειγμα:
 
για κάθε σταθερά c. Ομάδες πινάκων  πάνω από αυτούς τους τομείς εμπίπτουν σε αυτό το καθεστώς, όπως και οι αβελιανοί δακτύλιοι και αβελιανές αλγεβρικές ομάδες, οι οποίες είναι βασικές για θεωρία αριθμών. Galois ομάδες του άπειρου επέκταση του πεδίου, όπως η απόλυτη ομάδα Galois μπορεί επίσης να εξοπλιστεί με μια τοπολογία, η λεγόμενη τοπολογία Κρουλ (Krull), η οποία με τη σειρά της είναι κεντρικής σημασίας για τη γενίκευση της παραπάνω σκιαγραφούμενης σύνδεσης των πεδίων και των ομάδων σε άπειρες επεκτάσεις τομέων. Μια προηγμένη γενίκευση αυτής της ιδέας, προσαρμοσμένη στις ανάγκες της αλγεβρικής γεωμετρίας, είναι η βασική ομάδα Etale.

Ομάδες Λι (Lie)
Οι ομάδες Lie (προς τιμήν του Sophus Lie) είναι ομάδες οι οποίες έχουν επίσης μια πολλαπλή δομή, δηλαδή οι χώροι που τοπικά μοιάζουν με έναν Ευκλείδειο χώρο κατάλληλης διάστασης. Και πάλι, ο ορισμός χρειάζεται επιπλέον δομή, εδώ η πολλαπλή δομή, πρέπει να είναι συμβατή, δηλαδή οι συναρτήσεις  που αντιστοιχούν σε πολλαπλασιασμό και η αντίστροφη συνάρτηση πρέπει να είναι λεία.
Ένα πρότυπο παράδειγμα είναι η γενική γραμμική ομάδα που εισάγεται παραπάνω: είναι ένα ανοικτό υποσύνολο του χώρου όλων των Ν-με-Ν μήτρες, επειδή αυτή δίνεται από την ανισότητα

det (A) ≠ 0,
όπου το A συμβολίζει έναν πίνακα  nxn.

Οι ομάδες Lie είναι θεμελιώδους σημασίας στη σύγχρονη φυσική: συνδέσεις του θεωρήματος Noether είναι συνεχείς συμμετρίες σε διατηρούμενες ποσότητες, περιστροφή, καθώς και μεταφράσεις στο χώρο και το χρόνο είναι βασικές συμμετρίες των νόμων της μηχανικής.. Μπορούν, για παράδειγμα, να χρησιμοποιηθούν για την κατασκευή απλών μοντέλων-επιβολή, ας πούμε, αξονική συμμετρία σε μία κατάσταση τυπικά θα οδηγήσει σε σημαντική απλούστευση στις εξισώσεις πρέπει κανείς να λύσει για να παρέχει μια φυσική περιγραφή. Ένα άλλο παράδειγμα είναι οι μετασχηματισμοί Lorentz, οι οποίοι αφορούν τις μετρήσεις του χρόνου και της ταχύτητας των δύο παρατηρητές σε κίνηση σε σχέση με το άλλο. Μπορούν να προκύψουν με έναν  αμιγώς φτωχό θεωρητικό τρόπο ομάδας, εκφράζοντας τους μετασχηματισμούς ως περιστροφική συμμετρία του Minkowski χώρου. Ο τελευταίος εξυπηρετεί-στην απουσία σημαντικής βαρύτητας-ως μοντέλο του χωροχρόνου στην ειδική θεωρία της σχετικότητας. Η πλήρης ομάδα συμμετρίας χώρου Minkowski, δηλαδή συμπεριλαμβανομένων των μεταφράσεων, που είναι γνωστό ως ομάδα Poincaré. Από τα παραπάνω, διαδραματίζει σημαντικότατο ρόλο στην ειδική θεωρία της σχετικότητας και, κατά συνέπεια, για την κβαντική θεωρία πεδίου. συμμετρίες που ποικίλουν ανάλογα με την τοποθεσία είναι κεντρικής σημασίας για τη σύγχρονη περιγραφή των φυσικών αλληλεπιδράσεων με τη βοήθεια της θεωρίας βαθμίδας.

Γενικεύσεις
Στην αφηρημένη άλγεβρα, πιο γενικές δομές ορίζονται με την απλούστευση ορισμένων από τα αξιώματα των ομάδων. Για παράδειγμα, η αλγεβρική δομή των μονοειδών δεν απαιτεί ότι κάθε στοιχείο έχει έναν αντίστροφο. Οι φυσικοί αριθμοί  (συμπεριλαμβανομένου του 0)  με την πράξη της πρόσθεσης σχηματίζουν ένα μονοειδές, όπως και οι μη μηδενικοί ακέραιοι με πολλαπλασιασμό . Υπάρχει μια γενική μέθοδος ώστε να προστεθούν αντίστροφοι στα στοιχεία κάθε αβελιανού μονοειδούς, με παρόμοιο τρόπο όπως το  προέρχεται από , λαμβάνοντας μία ομάδα γνωστή ως ομάδα Grothendieck.
Τα ομαδοειδή είναι παρόμοια με τις ομάδες εκτός από το ότι η σύνθεση  δεν χρειάζεται να οριστεί για όλες τα στοιχεία  και . Τέτοιες δομές μπορούν να προκύψουν από μελέτη περίπλοκων μορφών συμμετρίας, συχνά σε τοπολογικές και αναλυτικές δομές, όπως το θεμελιώδες ομαδοειδές ή στοίβες. Τέλος, είναι δυνατό να γενικεύσουμε οποιαδήποτε από αυτές τις έννοιες, αντικαθιστώντας την δυαδική λειτουργία με αυθαίρετη -οστή (δηλαδή μια πράξη λαμβάνοντας  παραμέτρους). Με την κατάλληλη γενίκευση των αξιωμάτων της ομάδας μπορεί να δημιουργήσει μια -αδική ομάδα.

Παραπομπές

Εξωτερικοί σύνδεσμοι

Θεωρία ομάδων
Συμμετρία
Αλγεβρικές δομές