Συνάρτηση

Στα μαθηματικά, συνάρτηση, ή απεικόνιση είναι μια αντιστοίχιση μεταξύ δύο συνόλων, που καλούνται σύνολο ορισμού και σύνολο τιμών, κατά την οποία κάθε ένα στοιχείο του πεδίου ορισμού αντιστοιχίζεται σε ένα και μόνο στοιχείο του πεδίου τιμών. Αν  είναι μια συνάρτηση από ένα σύνολο  σε ένα σύνολο , γράφουμε .

Ιστορικά η έννοια της συνάρτησης εισήχθη στα μαθηματικά από τον θεμελιωτή του διαφορικού και ολοκληρωτικού λογισμού Γερμανό μαθηματικό Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς το 1694.

Οι όροι συνάρτηση και απεικόνιση είναι συνώνυμοι. Ο πρώτος χρησιμοποιείται περισσότερο στην στοιχειώδη άλγεβρα και τον απειροστικό λογισμό, ενώ ο δεύτερος στα διακριτά μαθηματικά.

Γενικά 
Μπορούμε να πούμε ότι μια συνάρτηση είναι ο «τρόπος» ή «κανόνας» με τον οποίο αντιστοιχίζεται μία μοναδική τιμή της εξαρτημένης ποσότητας (σύνολο τιμών) σε κάθε τιμή της ανεξάρτητης ποσότητας (πεδίο ορισμού). Η έννοια της συνάρτησης εκφράζει τη διαισθητική ιδέα της ντετερμινιστικής εξάρτησης μιας ποσότητας από μια άλλη. Τούτο διότι εξορισμού απαγορεύεται η αντιστοίχιση μιας τιμής της ανεξάρτητης ποσότητας σε περισσότερες από μία τιμές της εξαρτημένης ποσότητας κατά τρόπο στοχαστικό ή τυχαίο, δηλαδή κατά τρόπο που δεν θα μπορούσαμε να γνωρίζουμε από πριν δεδομένο όρισμα σε ποια ακριβώς τιμή αντιστοιχεί. (Δηλαδή κάθε στοιχείο του πεδίου ορισμού αντιστοιχίζεται σε ακριβώς ένα στοιχείο του συνόλου τιμών).

Εισαγωγή και παραδείγματα 

Για ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης, έστω Χ το σύνολο που αποτελείται από τέσσερα σχήματα: ένα κόκκινο τρίγωνο, ένα κίτρινο ορθογώνιο, ένα πράσινο εξάγωνο και ένα κόκκινο τετράγωνο και έστω Υ το σύνολο που αποτελείται από πέντε χρώματα: κόκκινο, μπλε, πράσινο, ροζ και κίτρινο. Συνδέοντας κάθε σχήμα στο χρώμα του είναι μια συνάρτηση από το Χ στο Υ: κάθε σχήμα συνδέεται με ένα χρώμα (δηλαδή, ένα στοιχείο στο Υ), και κάθε σχήμα είναι "συνδεδεμένο", ή "χαρτογραφείται", σε ακριβώς ένα χρώμα. Δεν υπάρχει σχήμα που στερείται ενός χρώματος και ούτε κάποιο σχήμα που έχει δύο ή περισσότερα χρώματα. Αυτή η λειτουργία θα αναφέρεται ως "χρώμα της συνάρτησης σχήματος".

Η εισαγωγή σε μια συνάρτηση ονομάζεται όρισμα και η έξοδος ονομάζεται τιμή. Το σύνολο όλων των επιτρεπόμενων ορισμάτων σε μια συγκεκριμένη συνάρτηση ονομάζεται σύνολο ορισμού,ενώ το σύνολο των επιτρεπόμενων εξόδων ονομάζεται σύνολο τιμών. Έτσι, το σύνολο ορισμού του "χρώμα της συνάρτησης σχήματος" είναι το σύνολο των τεσσάρων σχημάτων, και το συνόλου τιμών αποτελείται από τα πέντε χρώματα.Η έννοια της συνάρτησης δεν απαιτεί ότι κάθε πιθανή έξοδος είναι η τιμή κάποιου ορισμού, π.χ. το μπλε χρώμα δεν είναι το χρώμα οποιουδήποτε από τα τέσσερα σχήματα στο Χ.

Ένα δεύτερο παράδειγμα μιας συνάρτησης είναι η εξής: το σύνολο ορισμού επιλέγεται να είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών (1, 2, 3, 4, ...), και το σύνολο τιμών είναι το σύνολο των ακεραίων (..., -3 , -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...). Η συνάρτηση σχετίζεται με οποιοδήποτε φυσικό αριθμό n,τον αριθμό 4-n. Για παράδειγμα, το 1 σχετίζεται με το 3 και το 10 με το -6.

Ένα τρίτο παράδειγμα μιας συνάρτησης έχει το σύνολο των πολυγώνων ως σύνολο ορισμού και το σύνολο των φυσικών αριθμών ως σύνολο τιμών. Η συνάρτηση συσχετίζει ένα πολύγωνο με τον αριθμό των κορυφών του. Για παράδειγμα, ένα τρίγωνο συνδέεται με τον αριθμό 3, ένα τετράγωνο με τον αριθμό 4, και ούτω καθεξής.

Ο όρος εύρος μερικές φορές χρησιμοποιείται είτε για το σύνολο τιμών είτε για το σύνολο όλων των πραγματικών τιμών που έχει μια συνάρτηση. Για να αποφευχθεί η ασάφεια αυτό το άρθρο αποφεύγει τη χρήση του όρου.

Συμβολισμός 

Για περισσότερες λεπτομέρειες σχετικά με αυτό το θέμα, δείτε το συμβολισμό συναρτήσεων.

Μια συνάρτηση f με σύνολο ορισμού το Χ και σύνολο τιμών το Y συνήθως συμβολίζεται με

ή

Στο πλαίσιο αυτό, τα στοιχεία του Χ ονομάζονται όρισμα μιας συνάρτησης της f. Για κάθε όρισμα Χ, το αντίστοιχο μοναδικό y του συνόλου τιμών ονομάζεται η συνάρτηση τιμή στο Χ ή η εικόνα του x με την f.Γράφεται ως f(x). Λέει ότι η f αντιστοιχεί το y με το x ή στέλνει το x στο y. Αυτό είναι συντομογραφία από το

Μια γενική συνάρτηση συχνά συμβολίζεται με το f. Ειδικές συναρτήσεις έχουν ονομασίες, για παράδειγμα, η συνάρτηση signum συμβολίζεται με sgn. Λαμβάνοντας υπόψη ένα πραγματικό αριθμό x, η εικόνα του στο πλαίσιο της συνάρτησης signum γράφεται ως sgn(x). Εδώ, το όρισμα συμβολίζεται με το σύμβολο x, αλλά διαφορετικά σύμβολα μπορούν να χρησιμοποιηθούν σε άλλα πλαίσια. Για παράδειγμα, στη φυσική, η ταχύτητα κάποιου σώματος, αναλόγως του χρόνου, συμβολίζεται με v(t). Οι παρενθέσεις γύρω από το όρισμα μπορούν να παραλειφθούν όταν υπάρχει μικρή πιθανότητα σύγχυσης, έτσι: ; Αυτό είναι γνωστό ως συμβολισμός προθέματος.

Για να καθορίσετε μια συγκεκριμένη λειτουργία, χρησιμοποιείται ο συμβολισμός  (ένα βέλος με μια μπάρα στην ουρά του). Για παράδειγμα, η παραπάνω συνάρτηση διαβάζει

Το πρώτο μέρος μπορεί να διαβαστεί ως εξής:
 "f είναι μια συνάρτηση από το  (το σύνολο των φυσικών αριθμών) στο  (το σύνολο των ακεραίων)" ή
 "f είναι μια -συνάρτηση τιμών από μια -τιμή μεταβλητών".
Το δεύτερο μέρος μπορεί να διαβαστεί:
 "το x αντιστοιχεί στο 4−x."
Με άλλα λόγια, η συνάρτηση αυτή έχει τους φυσικούς αριθμούς ως σύνολο ορισμού και τους ακεραίους ως σύνολο τιμών. Για να κυριολεκτήσουμε, μια συνάρτηση είναι σωστά ορισμένη μόνο όταν το σύνολο ορισμού και το σύνολο τιμών καθορίζονται. Για παράδειγμα, ο τύπος f(x) = 4 − x μόνος του,(χωρίς να προσδιορίζεται το σύνολο τιμών και του ορισμού) δεν είναι μια σωστά ορισμένη συνάρτηση. Επιπλέον, η συνάρτηση
 
(με διαφορετικό σύνολο ορισμού) δεν θεωρείται η ίδια συνάρτηση, ακόμη και αν οι τύποι που ορίζουν τα f και g συμφωνούν, και ομοίως με ένα διαφορετικό σύνολο τιμών. Παρ 'όλα αυτά, πολλοί συγγραφείς παραλείπουν τον καθορισμό του συνόλου ορισμού και του συνόλου τιμών, ειδικά αν αυτά είναι σαφή από τα συμφραζόμενα.Έτσι, σε αυτό το παράδειγμα, πολλοί απλά γράφουν  f(x) = 4 − x. Μερικές φορές, το μέγιστο δυνατό σύνολο ορισμού είναι επίσης κατανοητό έμμεσα: ένας τύπος όπως ο   μπορεί να σημαίνει ότι το σύνολο ορισμού της f το σύνολο των πραγματικών αριθμών x όπου η τετραγωνική ρίζα ορίζεται(σε αυτή την περίπτωση x ≤ 2 or x ≥ 3).

Για να οριστεί μια συνάρτηση, μερικές φορές χρησιμοποιείται μια τελεία ως συμβολισμός για να τονίσει το λειτουργικό χαρακτήρα της έκφρασης, χωρίς να δίνεται ένα ειδικό σύμβολο για τη μεταβλητή.Για παράδειγμα,ο τύπος  συμβολίζει τη συνάρτηση ,ο τύπος  συμβολίζει το ολοκλήρωμα της συνάρτησης ,κι ούτω καθεξής.

Ορολογία 

Αν Α και Β είναι δύο σύνολα και f : Α → Β μια συνάρτηση από το Α στο Β, το Α λέγεται σύνολο ορισμού και το Β σύνολο τιμών. Κάθε στοιχείο a του Α λέγεται όρισμα της f και κάθε στοιχείο b του Β στο οποίο αντιστοιχίζεται ένα τουλάχιστον όρισμα a λέγεται τιμή ή εικόνα της f στο a, και γράφουμε b = f(a).

Σύμφωνα με τον προηγούμενο ορισμό, για να είναι η f συνάρτηση, θα πρέπει να ισχύει: αν f(a) ≠ f(a') τότε a ≠ a'. Δηλαδή δυο τιμές που είναι διαφορετικές να μην αντιστοιχούν παρά σε διαφορετικά ορίσματα.

Το τυχαίο στοιχείο του συνόλου Α, δηλαδή του πεδίου ορισμού, ονομάζεται ανεξάρτητη μεταβλητή της συνάρτησης. Ενώ το τυχαίο στοιχείο του συνόλου Β, δηλαδή του συνόλου τιμών, ονομάζεται εξαρτημένη μεταβλητή της συνάρτησης. Θα μπορούσε να ειπωθεί ότι οι δύο όροι δηλώνουν τη διαισθητική σχέση αιτιότητας μεταξύ των δύο μεταβλητών. Η ανεξάρτητη μεταβλητή λαμβάνει τιμή αυθαίρετα, ενώ η εξαρτημένη μεταβλητή λαμβάνει την τιμή της πάντα σε σχέση με την ίδια τη συνάρτηση και την ανεξάρτητη μεταβλητή.

Το γράφημα της συνάρτησης f : A → B είναι το σύνολο που αποτελείται από τα διατεταγμένα ζευγάρια της αντιστοίχισης
G(f) = {(a,b)∈ A×B, όπου b = f(a)}
Για συναρτήσεις ορισμένες στο πεδίο των πραγματικών αριθμών το γράφημα ή αλλιώς γραφική παράσταση είναι η απεικόνιση αυτών των ζευγαριών στο καρτεσιανό επίπεδο, όπου κάθε ζευγάρι ορίσματος-τιμής είναι ένα σημείο της γραφικής παράστασης και το σύνολο των σημείων σχηματίζουν τη καμπύλη της γραφικής παράστασης.

Η αντίστροφη αντιστοίχιση f -1 της συνάρτησης f είναι η αντιστοίχιση από το Β στο Α, που ορίζεται ως εξής:
f -1(b) = a ανν f(a) = b
Η αντίστροφη αντιστοίχιση μιας συνάρτησης δεν είναι πάντοτε συνάρτηση, μια και δεν υπακούει απαραίτητα στο αξίωμα μονοτιμίας: ένα στοιχείο b μπορεί να είναι τιμή δύο διαφορετικών ορισμάτων a και a' της f. Στην περίπτωση πάντως που είναι, η f λέγεται αντιστρέψιμη και η f -1 αντίστροφη συνάρτηση της f.

Ορισμοί 
Στα πλαίσια της θεωρίας συνόλων η συνάρτηση ορίζεται από το γράφημά της. Συγκεκριμένα, μια συνάρτηση f : A → B θεωρείται ως σχέση μεταξύ των Α και Β, δηλαδή ως ένα σύνολο f ⊂ A×B, η οποία υπακούει στο αξίωμα της μονοτιμίας, που εδώ παίρνει την εξής μορφή:
αν (a,b) ∈ f και (a,b') ∈ f τότε b = b'

Από την άποψη της μαθηματικής λογικής, η έννοια της συνάρτησης εκφράζεται με βάση μια τυπική γλώσσα ως ένα σύμβολο f βαθμού 2, το οποίο πάλι υπακούει στο αξίωμα μονοτιμίας:
αν f(a,b) και f(a,b') τότε b ≡ b'

Στα πλαίσια του λ-λογισμού, η έννοια της συνάρτησης εκφράζεται με βάση μία τυπική γλώσσα ως λογικός όρος t, ο οποίος μπορεί αξιωματικά να
 εφαρμόζεται σε άλλον όρο s, ο οποίος συμπεριφέρεται ως όρισμα, με αποτέλεσμα η σύνταξη t s να ανάγεται (β-αναγωγή) σε έναν νέο όρο που μαθηματικά είναι η τιμή του t(s)
 μετατρέπεται σε αφαίρεση ως προς κάποια του μεταβλητή x, με αποτέλεσμα έναν νέο όρο λx.t, ο οποίος συμπεριφέρεται ως γενικός κανόνας αντιστοίχισης μέσα από τον κανόνα της αντικατάστασης:(λx.t)(s) = t[x:=s]
Η συνηθισμένη διαισθητική ερμηνεία των παραπάνω είναι ότι «η ανεξάρτητη μεταβλητή x αντιστοιχίζεται στην εξαρτημένη μεταβλητή t(x), ώστε αν εφαρμοστεί σε όρισμα s, τότε θα προκύψει η τιμή t(s)».

Είδη συναρτήσεων 
 Μία συνάρτηση f : A → B λέγεται ένα προς ένα (1-1) ή αμφιμονότιμη όταν αντιστοιχίζει κάθε όρισμα σε αποκλειστικά δική του τιμή, δηλαδή όταν διαφορετικά ορίσματα απεικονίζονται σε διαφορετικές τιμές:
αν a ≠ a' τότε f(a) ≠ f(a')

 Μία συνάρτηση f : A → B λέγεται επί (με την έννοια: «το Α απεικονίζεται μέσω της f επί του Β, πάνω στο Β») ή επιρριπτική όταν δεν υπάρχει στοιχείο στο Β που να μην είναι η εικόνα κάποιου στοιχείου στο Α:
για κάθε b∈B υπάρχει a∈A ώστε b = f(a)

Από πολλούς μαθηματικούς, ο όρος «αμφιμονότιμη συνάρτηση» δεν χρησιμοποιείται ως συνώνυμο του «ένα προς ένα συνάρτηση» παρά ως συνώνυμο του «ένα προς ένα και επί». Το δε επίθημα -εση (<ίημι) αποδίδει το γαλλικό - jection (<λατ. jacere), και έτσι χρησιμοποιούνται και οι όροι «ένεση» - «έφεση» - «αμφίεση» για να αποδίδουν τα «injection» - «surjection» - «bijection», τα οποία έχουν επικρατήσει στη δυτική μαθηματική ορολογία, και σημαίνουν «ένα προς ένα» - «επί» - «ένα προς ένα και επί» αντίστοιχα.

Καθορισμός συνάρτησης 
Μια συνάρτηση μπορεί να οριστεί από οποιοδήποτε μαθηματικό όρο σχετίζοντας το κάθε όρισμα (τιμή εισόδου) προς την αντίστοιχη τιμή εξόδου.Εάν το σύνολο ορισμού είναι πεπερασμένο, μια συνάρτηση f μπορεί να οριστεί απλά κατατάσσοντας όλα τα ορίσματα x και την αντίστοιχη συνάρτηση των τιμών της f(x). Συνηθέστερα, μια συνάρτηση ορίζεται από έναν τύπο, ή (γενικότερα) από έναν αλγόριθμο - μια συνταγή που λέει πώς να υπολογιστεί η τιμή του f(x) δίνοντας οποιοδήποτε χ στο σύνολο ορισμού.

Υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι ορισμού συναρτήσεων. Παραδείγματα περιλαμβάνουν τμηματικούς ορισμούς, μαθηματική επαγωγή ή αναδρομή, αλγεβρική ή αναλυτική συνάρτηση κλείσιμο, όρια, αναλυτική συνέχεια, άπειρες σειρές, και λύσεις σε ολοκληρωτικές και διαφορικές εξισώσεις. Ο λογισμός λάμδα παρέχει μια ισχυρή και ευέλικτη σύνταξη για τον καθορισμό και το συνδυασμό συναρτήσεων πολλών μεταβλητών. Σε προχωρημένα μαθηματικά, ορισμένες συναρτήσεις υπάρχουν εξαιτίας ενός αξιώματος, όπως το Αξίωμα της επιλογής.

Γραφική Παράσταση
Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης είναι το σύνολο των διατεταγμένων ζευγών F. Αυτό είναι μια αφαίρεση της ιδέας ενός γραφήματος, σαν μια εικόνα που δείχνει τη συνάρτηση να απεικονίζεται σε ένα ζεύγος αξόνων συντεταγμένων.Για παράδειγμα,, το σημείο πάνω από το 3 βρίσκεται επί του οριζόντιου άξονα και στα δεξιά του 9 επί του κατακόρυφου άξονα, βρίσκεται πάνω στη γραφική παράσταση της

Τύποι και αλγόριθμοι 
Διαφορετικοί τύποι ή αλγόριθμοι μπορεί να περιγράψουν την ίδια συνάρτηση.Για παράδειγμα,  είναι ακριβώς η ίδια συνάρτηση με την ..Επιπλέον, η συνάρτηση δεν χρειάζεται να περιγράφεται από έναν τύπο, έκφραση, ή αλγόριθμο, ούτε απαιτείται να ασχολείται με τους αριθμούς.Το σύνολο ορισμών και σύνολο τιμών μιας συνάρτησης μπορεί να είναι αυθαίρετα σύνολα. Ένα παράδειγμα μιας συνάρτησης που ενεργεί για μη αριθμητικές εισόδους παίρνει αγγλικές λέξεις ως τιμή εισόδου, και επιστρέφει το πρώτο γράμμα της λέξης της τιμής εισόδου ως τιμή εξόδου.

Για παράδειγμα, η παραγοντική συνάρτηση ορίζεται στους μη αρνητικούς ακεραίους και παράγει έναν μη αρνητικό ακέραιο αριθμό. Ορίζεται από την ακόλουθο επαγωγικό αλγόριθμο: 0! που ορίζεται να ισούται με 1, και το n! που ορίζεται να είναι   για όλους τους θετικούς ακέραιους n. Η παραγοντική συνάρτηση  συμβολίζεται με το θαυμαστικό (που απεικονίζει το σύμβολο της συνάρτησης) μετά τη μεταβλητή (συμβολισμός postfix).

Υπολογισιμότητα

Συναρτήσεις που στέλνουν ακέραιους αριθμούς σε ακέραιους αριθμούς, ή πεπερασμένο χορδές σε πεπερασμένες χορδές, μπορεί μερικές φορές να ορίζονται από έναν αλγόριθμο, που δίνει μια ακριβή περιγραφή μιας σειράς βημάτων για τον υπολογισμό της εξόδου της συνάρτησης από την είσοδο του .Οι συναρτήσεις που προσδιορίζονται από έναν αλγόριθμο ονομάζονται υπολογίσιμες συναρτήσεις.Για παράδειγμα, ο Αλγόριθμος του Ευκλείδη δίνει μια ακριβή διαδικασία για τον υπολογισμό του μέγιστου κοινού διαιρέτη των δύο θετικών ακεραίων. Πολλές από τις συναρτήσεις που μελετήθηκαν στο πλαίσιο της Θεωρίας Αριθμών είναι υπολογίσιμες.

Θεμελιώδη αποτελέσματα της θεωρίας υπολογισιμότητας δείχνουν ότι υπάρχουν συναρτήσεις που μπορούν να προσδιοριστούν επακριβώς, αλλά δεν είναι υπολογίσιμες. Εξάλλου, υπό την έννοια του πληθάριθμου, σχεδόν όλες οι συναρτήσεις από τους ακέραιους αριθμούς σε ακέραιους δεν είναι υπολογίσιμες.Ο αριθμός των υπολογίσιμων συναρτήσεων από ακέραιους αριθμούς σε ακέραιους αριθμούς είναι μετρήσιμος, επειδή ο αριθμός των πιθανών αλγορίθμων είναι.Ο αριθμός όλων των συναρτήσεων από ακέραιους σε ακέραιους είναι υψηλότερη: το ίδιο συμβαίνει και με τον πληθάριθμο των πραγματικών αριθμών.Έτσι, οι περισσότερες συναρτήσεις από ακέραιους αριθμούς σε ακέραιους αριθμούς δεν είναι υπολογίσιμες. Συγκεκριμένα παραδείγματα μη υπολογίσιμων συναρτήσεων είναι γνωστά, συμπεριλαμβανομένου της Busy beaver και των συναρτήσεων που σχετίζονται με το πρόβλημα ανάσχεσης και άλλα αναποφάσιστα προβλήματα.

Σύγκριση συναρτήσεων και πράξεις 
Μία συνάρτηση f είναι ίση με μία συνάρτηση g όταν έχουν το ίδιο σύνολο ορισμού, το ίδιο σύνολο τιμών και αντιστοιχίζουν ίσα ορίσματα σε ίσες τιμές:
f(a) = b ανν g(a) = b
Σύμφωνα εξάλλου με τη συνολοθεωρητική προσέγγιση, δύο συναρτήσεις είναι ίσες όταν τα γραφήματά τους ταυτίζονται (ως σύνολα).

 Η (ξένη) ένωση δύο συναρτήσεων f : A → B και g : A' → B', όπου τα Α, Α' είναι σύνολα ξένα μεταξύ τους, είναι η αντιστοίχιση f∪g: A∪A' → B∪B' που ορίζεται ως
f∪g(a) = f(a) και f∪g(a') = g(a')
για κάθε a∈A, a'∈A'.

 Η τομή δύο συναρτήσεων f : A → B και g : A' → B' είναι η αντιστοίχιση f∩g: A∩A' → B∩B' που ορίζεται ως
f∩g(a) = b ανν f(a)=g(a)=b
για κάθε a∈ A∩A'.

 Η σύνθεση της συνάρτησης f : A → B με την g : B → C είναι η αντιστοίχιση gof: A → C, που ορίζεται ως
gof(a) = g(f(a))
για κάθε a∈ A∩f(a)∈B.

Ιδιότητες 
Υπάρχουν ορισμένες βασικές ιδιότητες και έννοιες. Σε αυτή την ενότητα,f είναι μια συνάρτηση με σύνολο ορισμού Χ και σύνολου τιμών Y.

Εικόνα και αντίστροφη εικόνα

Αν το Α είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του συνόλου ορισμού Χ, τότε το f(Α) είναι το υποσύνολο του συνόλου τιμών του Υ που αποτελείται από όλες τις εικόνες των στοιχείων του Α . Λέμε το f(Α) είναι η εικόνα του Α. Η εικόνα της f δίνεται από την f(Χ). Από την άλλη πλευρά, η αντίστροφη εικόνα (ή  πλήρης αντίστροφη εικόνα) ενός υποσυνόλου Β του συνόλου τιμών Υ  κάτω από μια συνάρτηση f είναι το υποσύνολο του συνόλου ορισμού Χ που ορίζεται από την

Έτσι, για παράδειγμα, η αντίστροφη εικόνα του {4, 9} υπό την συνάρτηση τετράγωνου είναι το σύνολο {-3, -2,2,3}. Ο όρος εύρος αναφέρεται συνήθως στην εικόνα, αλλά μερικές φορές αναφέρεται και στο σύνολο τιμών.

Εξ ορισμού μιας συνάρτησης, η εικόνα ενός στοιχείου x του συνόλου ορισμού είναι πάντα ένα μόνο στοιχείο y του συνόλου τιμών. Αντίθετα, όμως, η αντίστροφη εικόνα του μονου (μαθηματικά) συνόλου (ένα σύνολο με ακριβώς ένα στοιχείο) μπορεί γενικά να περιέχει οποιοδήποτε αριθμό στοιχείων. Για παράδειγμα, αν f(x) = 7 (η σταθερή συνάρτηση, παίρνει την τιμή 7), τότε η αντίστροφη εικόνα του του {5} είναι το κενό σύνολο, αλλά του {7} είναι ολόκληρο το σύνολο ορισμού. Είναι σύνηθες να γράφουμε f−1(b) αντί f−1({b}), δηλαδή

Η χρήση του f(Α) για να υποδηλώσει την εικόνα ενός υποσυνόλου Α⊆Χ ορίζεται εφόσον κανένα υποσύνολο του συνόλου ορισμού δεν είναι επίσης ένα στοιχείο του συνόλου ορισμού. Σε ορισμένους τομείς (π.χ., στη θεωρία των συνόλων, όπου ο διατεταγμένος αριθμός είναι επίσης σύνολα διάταξης) είναι βολικό ή ακόμα και απαραίτητο να γίνει διάκριση μεταξύ των δύο εννοιών.Ο συνήθης συμβολισμός είναι f[A] για το σύνολο { f(x): x ∈ A }.Ομοίως, ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν αγκύλες για να αποφευχθεί η σύγχυση μεταξύ της αντίστροφης εικόνας και την αντίστροφης συνάρτησης.Έτσι θα έγραφαν f−1[B] και f−1[b] για την αντίστροφη εικόνα ενός συνόλου και μιας συνάρτησης.

Αμφιμονοσήμαντες και επιρριπτικές συναρτήσεις
Μια συνάρτηση ονομάζεται αμφιμονότιμη (ή ένα-προς-ένα, ή ένεση) αν f(a) ≠ f(b) για οποιαδήποτε διαφορετικά στοιχεία a και b του συνόλου ορισμού.Ονομάζεται επιρριπτική (ή επί) αν f(X) = Y.Δηλαδή, είναι επί αν για κάθε στοιχείο y του συνόλου τιμών υπάρχει ένα x στο σύνολο ορισμού, έτσι ώστε f(x) = y. Τέλος η f ονομάζεται αμφιρριπτική, αν είναι αμφιμονότιμη και επί. Αυτή η ονοματολογία εισήχθη από την ομάδα bourbaki.

Η παραπάνω χρώμα του σχήματος συνάρτηση δεν είναι αμφιμονότιμη αφού δύο διαφορετικά σχήματα (το κόκκινο τρίγωνο και το κόκκινο ορθογώνιο) έχουν την ίδια τιμή. Επιπλέον, δεν είναι επί, δεδομένου ότι η εικόνα της συνάρτησης περιέχει μόνο τρία, αλλά όχι και τα πέντε χρώματα του συνόλου τιμών.

Σύνθεση συνάρτησης

 
Η σύνθεση συνάρτησης δυο συναρτήσεων παίρνει την έξοδο της μιας συνάρτησης ως την είσοδο της δεύτερης. Πιο συγκεκριμένα, η σύνθεση της f με μια συνάρτηση g: Y → Z είναι η συνάρτηση   που ορίζεται από την

Δηλαδή, η τιμή του x προέρχεται εφαρμόζοντας πρώτα το f στο x για να διατηρήσουμε το y = f(x) κι έπειτα εφαρμόζοντας το g στο y για να διατηρήσουμε το z = g(y).Στο συμβολισμό , η συνάρτηση στα δεξιά, η f,  δρα πρώτη και η συνάρτηση στα αριστερά,η g λειτουργεί δεύτερη ,αντιστρέφοντας τη σειρά ανάγνωσης.Ο συμβολισμός μπορεί να απομνημονευθεί διαβάζοντας  το συμβολισμό ως "g του f".Η σύνθεση  ορίζεται μόνο όταν το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο ορισμού της g.. Υποθέτοντας ότι, η σύνθεση κατά την αντίθετη σειρά  δεν χρειάζεται να οριστεί.Ακόμα κι αν είναι, δηλαδή, αν το σύνολο τιμών της f είναι το σύνολο τιμών της g,σε γενικές γραμμές δεν ισχύει πως

Δηλαδή, η διάταξη της σύνθεσης είναι σημαντική. Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε f(x) = x2 και g(x) = x+1. Τότε g(f(x)) = x2+1, ενώ f(g(x)) = (x+1)2, που ισούται με x2+2x+1, μια διαφορετική συνάρτηση.

Ταυτοτική συνάρτηση

Η μοναδική συνάρτηση ενός συνόλου X που αντιστοιχεί το κάθε στοιχείο στον εαυτό του ονομάζεται ταυτοτική συνάρτηση του Χ, και συνήθως συμβολίζεται με idX. Κάθε σύνολο έχει τη δική του ταυτοτική συνάρτηση,  οπότε ο δείκτης δεν μπορεί να παραλειφθεί εάν το σύνολο μπορεί προκύψει από τα συμφραζόμενα. Στη σύνθεση η ταυτοτική συνάρτηση είναι ουδέτερη: αν η f είναι οποιαδήποτε συνάρτηση από το X στο Y, τότε

Περιορισμοί και επεκτάσεις

Ανεπίσημα, ο περιορισμός μιας συνάρτησης f είναι το αποτέλεσμα της περικοπής του συνόλου ορισμού του. Πιο συγκεκριμένα, αν S είναι οποιοδήποτε υποσύνολο του Χ, ο περιορισμός της f στο S είναι η συνάρτηση f|S από το S στο Υ, έτσι ώστε f|S(s) = f(s) για όλα τα s του S. Αν g είναι ένας περιορισμός του f, τότε λέγεται ότι το f είναι μια επέκταση της g.

Το πρωταρχικό της f: X → Y μέσω της g: W → Y'(που ονομάζεται επίσης επιτακτική ένωση) είναι μια επέκταση της g που συμβολίζεται ως (f ⊕ g): (X ∪ W) → Y.Η γραφική παράσταση του είναι η σύνολο-θεωρητική ένωση των γραφικών παραστάσεων των g and f|X \ W. Έτσι, σχετίζει οποιοδήποτε στοιχείο του συνόλου ορισμού της g στην εικόνα του επί της g, καθώς και κάθε άλλο στοιχείο του συνόλου ορισμού της f στην εικόνα του επί της f. είναι μια προσεταιριστική ιδιότητα ,που περιέχει την κενή συνάρτηση ως το ουδέτερο στοιχείο. Αν f|X ∩ W και g|X ∩ W είναι σημειακά ίσες  (π.χ., η τομή των f και g είναι ξένη), τότε η ένωση των f και g ορίζεται και είναι ίση με επιτακτικό ένωσή τους. Ο ορισμός αυτός συμφωνεί με τον ορισμό της ένωσης για την δυαδική σχέση.

Αντίστροφη συνάρτηση

Μια αντίστροφη συνάρτηση για την f, συμβολίζεται με f−1,και είναι μια συνάρτηση προς την αντίθετη κατεύθυνση, από το Υ στο X, ικανοποιώντας την 

Δηλαδή, οι δύο πιθανές συνθέσεις της f και f−1 πρέπει να είναι οι αντίστοιχοι ακριβείς του Χ και Υ.

Ως ένα απλό παράδειγμα, αν η f μετατρέπει μια θερμοκρασία από βαθμούς Κελσίου C σε βαθμούς Fahrenheit F, η συνάρτηση που μετατρέπει τους βαθμούς Fahrenheit  σε βαθμούς Κελσίου θα ήταν μια κατάλληλη f−1.

Μια τέτοια αντίστροφη συνάρτηση υπάρχει αν και μόνο αν η f είναι αμφιρριπτική. Σε αυτή την περίπτωση,η f ονομάζεται αντιστρέψιμη. Ο συμβολισμός   (ή, σε κάποια κείμενα, απλά  ) και f−1 είναι παρόμοιος με τον πολλαπλασιασμό. Έτσι, οι ταυτοτικές συναρτήσεις είναι σαν την πολλαπλασιαστική ταυτότητα, 1, και οι αντίστροφες συναρτήσεις είναι σαν  αντίστροφες(εξ ου και ο συμβολισμός).

Γενικά

 Μια συνάρτηση είναι αντιστρέψιμη αν και μόνο αν είναι αμφίεση.
 Η ένωση δύο συναρτήσεων είναι πάλι συνάρτηση, ενώ η τομή όχι πάντα (ωστόσο είναι πάντα μερική συνάρτηση, δες παρακάτω).
 Η σύνθεση δύο συναρτήσεων είναι επίσης συνάρτηση.
 Αν f : A → B και g : B → C είναι ενέσεις τότε και η σύνθεσή τους gof είναι ένεση.
 Αν f : A → B και g : B → C είναι εφέσεις τότε και η σύνθεσή τους gof είναι έφεση.

 Γενικεύσεις 
 Μία αντιστοίχιση f : A → B, η οποία δεν είναι απαραίτητα μονότιμη, αλλά μπορεί να αποδίνει περισσότερες από μία τιμές σε ένα όρισμα, λέγεται πολύτιμη ή πλειότιμη ή πολυσήμαντη συνάρτηση. Παράδειγμα πολύτιμης συνάρτησης είναι η αντίστροφη αντιστοίχιση μιας συνάρτησης.
 Μία αντιστοίχιση f : A → B, η οποία δεν αποδίνει απαραίτητα τιμή σε κάθε όρισμα από το Α, λέγεται μερική συνάρτηση, και στην αντίθετη περίπτωση, ολική συνάρτηση. Στην περίπτωση της μερικής συνάρτησης, λέμε ότι η f ορίζεται σε κάποιο στοιχείο a του Α όταν το αντιστοιχίζει σε κάποιο στοιχείο b του Β· το υποσύνολο Α' του συνόλου ορισμού Α στο οποίο η f ορίζεται, λέγεται πεδίο ορισμού (ακόμη, πεδίο), και το υποσύνολο Β' του συνόλου τιμών Β, που αποτελείται από τις εικόνες της f, λέγεται πεδίο τιμών (ακόμη, συμπεδίο) της f.
 Μία αντιστοίχιση F : (A → B) → C, που δέχεται δηλαδή συναρτήσεις f : A → B ως ορίσματα και τους αποδίνει τιμή F(f) μέσα στο C, και ακόμη υπακούει στο αξίωμα της μονοτιμίας, λέγεται συναρτησιακό ή συναρτησοειδές''. Τυπικά παραδείγματα συναρτησιακών στη μαθηματική ανάλυση είναι το ολοκλήρωμα και η παράγωγος συνάρτησης.

Παραπομπές

Δείτε ακόμη 

 Γραφική παράσταση συνάρτησης
 Συνέχεια συνάρτησης
 Πραγματική συνάρτηση
 Μιγαδική συνάρτηση
 Συναρτησιακό και Τελεστής
 Μερική συνάρτηση
 Σχέση
 Συνάρτηση μεταφοράς
 Συνάρτηση ζήτα

Στοιχειώδη μαθηματικά
Θεωρία συνόλων