Κλίμακα Βερνιέρου

Η κλίμακα Βερνιέρου, όπως ονομάστηκε προς τιμήν του Γάλλου μαθηματικού και εφευρέτη οργάνων Πιέρ Βερνιέ (Pierre Vernier), είναι ένα οπτικό βοήθημα για τη λήψη ακριβούς μέτρησης μεταξύ δύο ενδείξεων μιας γραμμικής κλίμακας, χρησιμοποιώντας μηχανική παρεμβολή, αυξάνοντας έτσι την ανάλυση και μειώνοντας την αβεβαιότητα μέτρησης, με αποτέλεσμα τη μείωση του ανθρώπινου λάθους εκτίμησης. Διαστημόμετρα με κλίμακα Βερνιέρου χρησιμοποιούνται για τον υπολογισμό της εσωτερικής και εξωτερικής διαμέτρου κοίλων κυλίνδρων, καθώς και το βάθος μιας οπής.

Σε αντίθεση με τα απλά διαστημόμετρα, όπου η μέτρηση ενός διαστήματος στηρίζεται αποκλειστικά στην ανάγνωση μιας μόνο κλίμακας, ο Βερνιέρος είναι μια δεύτερη κλίμακα, συρόμενη επί της κύριας κλίμακας, που περιλαμβάνει ένα πλήθος ισαπεχουσών υποδιαιρέσεων, διαφορετικού μεγέθους από εκείνες της κύριας κλίμακας, ακολουθώντας μια γνωστή αναλογία, τη λεγόμενη σταθερά του Βερνιέρου, που χαρακτηρίζει την ακρίβεια του οργάνου. Κατά την μέτρηση, η αδρή εκτίμηση του διαστήματος γίνεται από την κύρια κλίμακα, ενώ η πιο λεπτή εκτίμηση γίνεται με τη βοήθεια της κλίμακας του Βερνιέρου, παρατηρώντας με παρεμβολή ποια από τις υποδιαιρέσεις της κλίμακας Βερνιέρου συμπίπτει με μια υποδιαίρεση στην κύρια κλίμακα. Μια τέτοια διάταξη μπορεί να φτάσει σε υψηλότερη ανάλυση χρησιμοποιώντας μια υψηλότερη σταθερά Βερνιέρου. Ένας βερνιέρας μπορεί να χρησιμοποιηθεί σε κυκλικές ή ευθείες κλίμακες όπου επαρκεί ένας απλός γραμμικός μηχανισμός. Χαρακτηριστικά παραδείγματα είναι τα διαστημόμετρα, τα παχύμετρα και τα μικρόμετρα για τη μέτρηση λεπτών ανοχών μήκους, τα γωνιόμετρα για τη μέτρηση μικρών γωνιών, σε εξάντες και θεοδόλιχους για εφαρμογές ναυσιπλοΐας και τοπογραφίας, αντίστοιχα, και γενικά σε επιστημονικά όργανα. Η αρχή της παρεμβολής Vernier χρησιμοποιείται επίσης στους ηλεκτρονικούς αισθητήρες μετατόπισης, όπως οι κωδικοποιητές απόλυτου (absolute encoder), που μετρούν την γραμμική ή την περιστροφική κίνηση, ως μέρος ενός ηλεκτρονικού συστήματος μέτρησης.

Λειτουργία κλίμακας Βερνιέρου 

Η χρήση της κλίμακας Βερνιέρου εμφανίζεται ευρέως σε παχύμετρα Βερνιέρου, που μετρούν την εσωτερική και την εξωτερική διάμετρο ενός αντικειμένου, αλλά και σε πολλές πειραματικές διατάξεις, όπως τα συμβολόμετρα, που μετρούν τις μικρομετρικές μετακινήσεις των κατόπτρων.

Η κλίμακα του Βερνιέρου είναι κατασκευασμένη, έτσι ώστε να αντιστοιχεί με ένα σταθερό κλάσμα της σταθερής κύριας κλίμακας. Για παράδειγμα, σε έναν βερνιέρο με σταθερά 0.1, κάθε υποδιαίρεση στον βερνιέρο αντιστοιχεί στα 9/10 μιας υποδιαίρεσης της κύριας κλίμακας. Έτσι, εάν οι δύο κλίμακες ευθυγραμμιστούν στο σημείο "μηδέν", η πρώτη ένδειξη στην κλίμακα βερνιέρου είναι 1/10 μικρότερη από την πρώτη ένδειξη της κύριας κλίμακας, η δεύτερη είναι μικρότερη κατά 2/10 και ούτω καθεξής μέχρι την ένατη ένδειξη, που είναι μικρότερη κατά 9/10 και η δέκατη ένδειξη είναι μικρότερη κατά 10/10, δηλαδή μια πλήρη μονάδα της κύριας κλίμακας, επομένως υπάρχει πλήρης ευθυγράμμιση της δέκατης ένδειξης του βερνιέρου με την ένατη ένδειξη της κύριας κλίμακας.

Μετακινώντας την κλίμακα του βερνιέρου κατά μια μικρή ποσότητα, ας πούμε, κατά 1/10 της σταθερής κύριας κλίμακας, τότε ευθυγραμμίζεται το πρώτο ζεύγος ενδείξεων, διότι αυτό το ζεύγος διέφερε εξαρχής κατά 1/10 της κύριας κλίμακας. Επίσης, εάν μετακινηθεί ο βερνιέρος κατά 2/10, τότε θα ευθυγραμμιστούν το δεύτερο ζεύγος ενδείξεων, διότι αυτό το ζεύγος διέφερε εξαρχής κατά 2/10 της κύριας κλίμακας. Όμοια, εάν ο βερνιέρος μετακινηθεί κατά 5/10, θα ευθυγραμμιστεί το πέμπτο ζεύγος ενδείξεων και ούτω καθεξής, μέχρι να μετακινηθεί κατά 10/10, όπου τότε θα ευθυγραμμιστεί το δέκατο ζεύγος ενδείξεων, αλλά ταυτόχρονα ευθυγραμμίζεται και η ένδειξη "μηδέν" του βερνιέρου με την ένδειξη της πρώτης μονάδας της κύριας κλίμακας. Τέλος, εάν ο βερνιέρος μετακινηθεί πέραν των 10/10 της κύριας κλίμακας, τότε ευθυγράμμιση ενδείξεων συνεχίζει κυκλικά από το "μηδέν" του βερνιέρου, ενώ για κάθε κυκλική επαναφορά, προσαυξάνεται μια μονάδα στην κύρια κλίμακα.

Σταθερά του βερνιέρου 
Η διαφορά μεταξύ της τιμής μιας υποδιαίρεσης στην κύρια κλίμακα και της τιμής μιας υποδιαίρεσης στην κλίμακα βερνιέρου είναι γνωστή ως η ελάχιστη διακριτική ικανότητα του βερνιέρου, γνωστή και ως σταθερά βερνιέρου. Έστω ότι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών υποδιαιρέσεων στην κύρια κλίμακα είναι S, και η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών υποδιαιρεσεων στην κλίμακα βερνιέρου είναι V, έτσι ώστε το μήκος (n − 1) υποδιαιρέσεων στην κύρια κλίμακα είναι ίσο με n υποδιαιρέσεις στην κλίμακα βερνιέρου. Τότε ισχύει ότι:
(n − 1)S = nV

Η σταθερά του βερνιέρου, C, ορίζεται ως η διαφορά:
C = S-V = S-S(n-1)/n = S/n
και έχει μονάδες μήκους κύριας κλίμακας/υποδιαιρέσεις κλίμακας βερνιέρου (λ.χ. mm/υποδιαιρέσεις).

Για παράδειγμα, η ελάχιστη διαμέριση της κύριας κλίμακας ενός παχύμετρου βερνιέρου είναι το 1mm, ενώ η κλίμακα βερνιέρου περιλαμβάνει 20 υποδιαιρέσεις. Τότε, η σταθερά C θα είναι 1mm/20 υποδιαιρέσεις ή 0,05 mm/υποδιαιρέσεις. Μια ακόμη δημοφιλής κλίμακα βερνιέρου σε παχύμετρα έχει ακρίβεια 0,02 mm/υποδιαιρέσεις, όπου η κλίμακα περιλαμβάνει 50 υποδιαιρέσεις.

Όσο μικρότερη είναι η σταθερά του βερνιέρου (μεγαλύτερη ακρίβεια), τόσο περισσότερες υποδιαιρέσεις περιλαμβάνονται στην κλίμακα, η οποία γίνεται ευμεγέθης, ενώ όσο μεγαλύτερη είναι η σταθερά του βερνιέρου (μικρότερη ακρίβεια), τόσο λιγότερες οι υποδιαιρέσεις της κλίμακας, η οποία γίνεται πιο δύσχρηστη (βλ. διπλανό σχήμα κλιμάκων για διαφορετικές τιμές σταθερών βερνιέρου).

Η παραπάνω θεώρηση μπορεί να γενικευθεί ως εξής:

Έστω ότι η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών υποδιαιρέσεων στην κύρια κλίμακα είναι S, και η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών υποδιαιρεσεων στην κλίμακα βερνιέρου είναι V, έτσι ώστε το μήκος (kn − 1) υποδιαιρέσεων στην κύρια κλίμακα είναι ίσο με n υποδιαιρέσεις στην κλίμακα βερνιέρου, όπου k ακέραιος αριθμός. Τότε ισχύει ότι:
(kn − 1)S = nV

Τότε, η σταθερά του βερνιέρου, C, θα είναι η διαφορά:
C = kS-V = kS-S(kn-1)/n = S/n
όπως και πριν, για k=1. Η παράμετρος k εκφράζει τη μεγέθυνση της κλίμακας του βερνιέρου και ρυθμίζεται, έτσι ώστε αυτή να καθίσταται ευανάγνωστη από το χρήστη. 

Για παράδειγμα, έστω ένα παχύμετρο με κύρια κλίμακα σε χιλιοστά (mm), σταθερά βερνιέρου C=0,05 και k=1. Τότε, το μήκος της κλίμακας του βερνιέρου από τη μηδενική έως την εικοστή υποδιαίρεση θα είναι ίσο με:
L1=(kn − 1)S = (1 x 20 - 1) x 1 mm = 19 mm, με την κάθε διαμέριση να απέχει μόλις 0,95 mm, που είναι πολύ πυκνή και επομένως η χρήση της κλίμακας είναι αρκετά δύσκολη.

Εάν όμως το k=2, με ίδιες τις άλλες παραμέτρους, τότε το μήκος της κλίμακας του βερνιέρου από τη μηδενική έως την εικοστή υποδιαίρεση θα είναι ίσο με:
L2=(kn − 1)S = (2 x 20 - 1) x 1 mm = 39 mm, με την κάθε διαμέριση να απέχει 1,95 mm, επομένως η κλίμακα είναι πιο ευανάγνωστη.

Ομοίως, εάν το k=3, τότε: L3= 59 mm, με την κάθε διαμέριση να απέχει 2,95 mm, ενώ για k=4, τότε: L4= 79 mm, με την κάθε διαμέριση να απέχει 3,95 mm, κ.ο.κ. (βλ. διπλανό σχήμα κλιμάκων για διαφορετικές τιμές k). 

Γενικά, η ένδειξη της τελικής μέτρησης είναι ίση το άθροισμα της ένδειξης της κύριας κλίμακας και της ένδειξης του βερνιέρου επί την σταθερά του βερνιέρου και του τυχόν σφάλματος μετάθεσης του μηδενός (θετικό ή αρνητικό), που υπεισέρχεται λόγω φθοράς, όταν οι αρχές της κύριας και της συρόμενης κλίμακας δεν ευθυγραμμίζονται (ενώ λ.χ. οι σιαγόνες του παχύμετρου εφάπτονται). 

Μέτρηση