Τριγωνομετρία

Τριγωνομετρία (από την ελληνική τρĩγονον "τρίγωνο" + μέτρον "μέτρο" ) είναι ο κλάδος των μαθηματικών που ασχολείται με τη μελέτη ειδικών συναρτήσεων των γωνιών και τις εφαρμογές τους σε διάφορους υπολογισμούς, όπως στην επίλυση τριγώνου, δηλαδή με τον προσδιορισμό άγνωστων στοιχείων τριγώνου, σε συνάρτηση πλευρών και γωνιών. Η τριγωνομετρία ανάλογα του είδους των τριγώνων διακρίνεται σε επίπεδη και σφαιρική τριγωνομετρία.

Τα βασικά της τριγωνομετρίας συχνά διδάσκονται στο σχολείο, είτε ως ξεχωριστό μάθημα ή ως μέρος ενός μαθήματος λογισμού. Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι διάχυτες σε τμήματα των καθαρών μαθηματικών και των εφαρμοσμένων μαθηματικών, όπως η ανάλυση Φουριέ και την εξίσωση του κύματος, που με τη σειρά τους είναι απαραίτητα για πολλούς κλάδους της επιστήμης και της τεχνολογίας. Η σφαιρική τριγωνομετρία μελετά τρίγωνα σε σφαίρες και επιφάνειες με σταθερή θετική καμπυλότητα στην ελλειπτική γεωμετρία. Είναι θεμελιώδους σημασίας για την αστρονομία και την πλοήγηση. Η τριγωνομετρία σε επιφάνειες αρνητικής καμπυλότητας είναι μέρος της υπερβολικής γεωμετρίας.

Ιστορική αναδρομή 
Ο όρος τριγωνομετρία καθιερώθηκε το 1595 από τον Γερμανό μαθηματικό Bartholomäus Pitiscus στο έργο του Trigonometria: sive de solutione triangulorum tractatus brevis et perspicuus. Εντούτοις η τριγωνομετρία αναπτύχθηκε και ήταν μέρος των μαθηματικών από την αρχαιότητα. Ο Αρίσταρχος χρησιμοποίησε ορθογώνια τρίγωνα για να υπολογίσει την απόσταση της Γης από τον Ήλιο και τη Σελήνη.
Οι αστρονόμοι Ίππαρχος και Πτολεμαίος χρησιμοποιούσαν καταλόγους που μετέτρεπαν γωνίες κύκλου σε μήκος χορδής, η γνωστή σε μας τριγωνομετρική συνάρτηση του ημίτονου. 

Οι Σουμέριοι αστρονόμοι εισήγαγαν το μέτρο της γωνίας, χρησιμοποιώντας ένα διαχωρισμό του κύκλου σε 360 μοίρες. Αυτοί και οι διάδοχοί τους, οι Βαβυλώνιοι μελέτησαν τις αναλογίες των πλευρών ομοίων τριγώνων και ανακάλυψαν κάποιες ιδιότητες αυτών των αναλογιών, αλλά δεν το μετέτρεψαν σε μια συστηματική μέθοδο για την εύρεση πλευρών και γωνιών των τριγώνων. Οι αρχαίοι Νουβίοι χρησιμοποιούσαν μια παρόμοια μέθοδο. Οι αρχαίοι Έλληνες μετέτρεψαν την τριγωνομετρία σε μια διατεταγμένη επιστήμη. 

Κλασικοί Έλληνες μαθηματικοί (όπως ο Ευκλείδης και ο Αρχιμήδης) μελέτησαν τις ιδιότητες των χορδών και των χαραγμένων γωνιών σε κύκλους, και απόδειξαν θεωρήματα που ισοδυναμούν με σύγχρονους τριγωνομετρικούς τύπους παρόλο που τα απεδείκνυαν γεωμετρικά και όχι αλγεβρικά. Ο Κλαύδιος ο Πτολεμαίος διεύρυνε τις χορδές του Ίππαρχου σε ένα κύκλο στην Αλμαγέστη του. Η σύγχρονη ημιτονοειδής συνάρτηση ορίσθηκε για πρώτη φορά στη Surya Siddhanta, και οι ιδιότητές της ήταν τεκμηριωμένες περαιτέρω από τον Ινδό μαθηματικό και αστρονόμο του 5ου αιώνα Αριαμπάτα. Τα ελληνικά και τα Ινδικά αυτά έργα έχουν μεταφραστεί και επεκταθεί από Ισλαμιστές μαθηματικούς του μεσαίωνα. Μέχρι το 10ο αιώνα, οι ισλαμιστές μαθηματικοί χρησιμοποιούσαν και τις έξι τριγωνομετρικές συναρτήσεις, είχαν ταξινομημένες τις τιμές τους, και τις χρησιμοποιούσαν για τα προβλήματα στη σφαιρική γεωμετρία. Την ίδια περίπου εποχή, Κινέζοι μαθηματικοί ανέπτυξαν την τριγωνομετρία ανεξάρτητα, αν και δεν ήταν σημαντικό πεδίο μελέτης για αυτούς. Η γνώση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων και μεθόδων έφτασε στην Ευρώπη μέσω λατινικών μεταφράσεων των έργων των Περσών και αράβων αστρονόμων όπως ο Al Battani και Nasir al-Din al-Tusi. Ένα από τα πρώτα έργα στην τριγωνομετρία από έναν ευρωπαίο μαθηματικό είναι το De Triangulis από τον γερμανό μαθηματικό Regiomontanus του 15ου αιώνα. Η τριγωνομετρία ήταν ακόμα τόσο λίγο γνωστή στην Ευρώπη του 16ου αιώνα που ο Νικόλαος Κοπέρνικος αφιέρωσε δύο κεφάλαια του De Revolutionibus orbium coelestium για να εξηγήσει τις βασικές έννοιες.

Καθοδηγούμενη από τις απαιτήσεις της ναυσιπλοΐας και την αυξανόμενη ανάγκη για ακριβείς χάρτες των μεγάλων περιοχών, η τριγωνομετρία μεγάλωσε σε ένα σημαντικό κλάδο των μαθηματικών. Ο Bartholomaeus Pitiscus ήταν ο πρώτος που χρησιμοποίησε τη λέξη, δημοσιεύοντας την trigonometría του το 1595. Η Gemma Frisius περιέγραψε για πρώτη φορά τη μέθοδο της τριγωνοποίησης η οποία χρησιμοποιείται ακόμα και σήμερα στη χωρομέτρηση. Ήταν ο Leonhard Euler ο οποίος ενσωμάτωσε πλήρως τους μιγαδικούς αριθμούς στην τριγωνομετρία. Τα έργα του James Gregory τον 17ο αιώνα και του Colin Maclaurin τον 18ο αιώνα ήταν μεγάλη επιρροή στην ανάπτυξη των τριγωνομετρικών σειρών. Επίσης, τον 18ο αιώνα, ο Brook Taylor καθόρισε τη γενική σειρά Taylor. 

Οι Άραβες υιοθέτησαν τις τριγωνομετρικές μελέτες των αρχαίων Ελλήνων και των Ινδών και ανάπτυξαν τη σφαιρική τριγωνομετρία. Οι μαθηματικοί της Ευρώπης μυήθηκαν στην τριγωνομετρία τον 15ο αιώνα, όταν την εποχή της Αναγέννησης ασχολήθηκαν με τον υπολογισμό βαλλιστικών τροχιών. Ο Γερμανός αστρονόμος Ρεγιομοντάνος σύνταξε μια πεντάτομη διδασκαλία της επίπεδης και σφαιρικής τριγωνομετρία με τίτλο De triangulis omnimodis. Σήμερα ο τρόπος γραφής των τριγωνομετρικών συναρτήσεων βασίζεται κατά μεγάλο βαθμό στα έργα του Όιλερ.

Γενικά
Αν μια γωνία ενός τριγώνου είναι 90 μοίρες και μια από τις άλλες γωνίες είναι γνωστή, η τρίτη με τον τρόπο αυτό καθορίζεται, επειδή οι τρεις γωνίες του τριγώνου προστίθενται μέχρι και τις 180 μοίρες. Οι δύο οξείες γωνίες ωστόσο προστίθενται έως και 90 μοίρες: είναι συμπληρωματικές γωνίες. Το σχήμα ενός τριγώνου είναι απολύτως καθορισμένο, εκτός από την ομοιότητα, από τις γωνίες. Όταν είναι γνωστές οι γωνίες, οι αναλογίες των πλευρών καθορίζονται ανεξαρτήτως του συνολικού μεγέθους του τριγώνου. Αν το μήκος της μίας από τις πλευρές είναι γνωστό, προσδιορίζονται οι άλλες δύο. Αυτές οι αναλογίες δίνονται από τις ακόλουθες τριγωνομετρικές συναρτήσεις της γνωστής γωνίας Α, όπου α, β και γ αναφέρονται τα μήκη των πλευρών στο συνοδευτικό σχήμα:

Ημιτονοειδής συνάρτηση (sin), ορίζεται ως ο λόγος της απέναντι πλευράς της γωνίας με την υποτείνουσα.
 

Συνημιτονειδής συνάρτηση (cos), ορίζεται ως ο λόγος της προσκείμενης της γωνίας με την υποτείνουσα.
 

Συνάρτηση της εφαπτομένης (tan), ορίζεται ως ο λόγος της απέναντι με την προσκείμενη της γωνίας.
 

Η υποτείνουσα είναι η πλευρά απέναντι από τη γωνία 90 μοιρών σε ένα ορθό τρίγωνο: είναι η μακρύτερη πλευρά του τριγώνου, και μία από τις δύο προσκείμενες πλευρές στη γωνία Α. Η προσκείμενη πλευρά είναι η πλευρά που πρόσκεινται στη γωνία Α. Η απέναντι πλευρά είναι η πλευρά που είναι απέναντι από τη γωνία Α. Οι κάθετοι όροι και η βάση χρησιμοποιούνται μερικές φορές για τις απέναντι και τις προσκείμενες πλευρές αντίστοιχα. Πολλοί ομιλητές της αγγλικής θεωρούν ότι είναι ευκολομνημόνευτο ποιες πλευρές του ορθογωνίου τριγώνου είναι ίσες με το ημίτονο, συνημίτονο, την εφαπτομένη με την απομνημόνευση της λέξης SOH-CAH-TOA (βλέπε παρακάτω από το μνημονικό).

Τα αντίστροφα αυτών των συναρτήσεων ονομάζονται συντέμνουσα (csc ή cosec), τέμνουσα (sec), και συνεφαπτομένη (cot), αντίστοιχα:

Οι αντίστροφες συναρτήσεις ονομάζονται τόξο ημίτονου, συνημίτονου και τόξο εφαπτομένης, αντίστοιχα. Υπάρχουν αριθμητικές σχέσεις μεταξύ αυτών των συναρτήσεων οι οποίες είναι γνωστές ως τριγωνομετρικές ταυτότητες. Το συνημίτονο, η συνεφαπτομένη και η συντέμνουσα ονομάζονται έτσι επειδή είναι, αντίστοιχα, το ημίτονο, η εφαπτομένη, και η τέμνουσα της συμπληρωματικής γωνίας με τα αρχικά "συν-".

Με αυτές τις συναρτήσεις κάποιος μπορεί να απαντήσει σχεδόν σε όλες τις ερωτήσεις σχετικά με αυθαίρετα τρίγωνα χρησιμοποιώντας το νόμο των ημιτόνων και το νόμο των συνημιτόνων. Αυτοί οι νόμοι μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να υπολογιστούν οι υπόλοιπες γωνίες και οι πλευρές οποιουδήποτε τριγώνου όταν δύο πλευρές και η περιεχόμενη γωνία ή δύο γωνίες και μία πλευρά ή τρεις πλευρές είναι γνωστές. Αυτοί οι νόμοι είναι χρήσιμοι σε όλους τους κλάδους της γεωμετρίας, αφού κάθε πολύγωνο μπορεί να περιγραφεί ως ένας πεπερασμένος συνδυασμός τριγώνων.

Η επέκταση των ορισμών
Οι παραπάνω ορισμοί ισχύουν για γωνίες μεταξύ 0 και 90 μοιρών (0 και π/2 ακτίνια) μόνο. Χρησιμοποιώντας τον μοναδιαίο κύκλο μπορεί κανείς να τις επεκτείνει σε όλα τα θετικά και αρνητικά επιχειρήματα (βλ. τριγωνομετρική συνάρτηση). Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις είναι περιοδικές, με περίοδο 360 μοίρες ή 2π ακτίνια. Αυτό σημαίνει ότι οι τιμές τους επαναλαμβάνονται σε αυτά διαστήματα. Η συνάρτηση της εφαπτομένης και της συνεφαπτομένης έχουν επίσης μια μικρότερη περίοδο, 180 μοιρών ή π ακτίνιων.

Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να οριστούν και με άλλους τρόπους εκτός από τoυς παραπάνω γεωμετρικούς ορισμούς, χρησιμοποιώντας εργαλεία από το λογισμό και σειρές του απειροστικού λογισμού. Με αυτούς τους ορισμούς οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις μπορούν να εκφραστούν και για μιγαδικούς αριθμούς. Η σύνθετη εκθετική συνάρτηση είναι ιδιαίτερα χρήσιμη.

 

Δείτε τους τύπους του Euler και του De Moivre.

Υπολογισμός τριγωνομετρικών συναρτήσεων
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις ήταν από τις πρώτες χρήσεις των μαθηματικών πινάκων. Τέτοιοι πίνακες ενσωματώθηκαν σε μαθηματικά εγχειρίδια και οι μαθητές διδάχθηκαν να αναζητούν τις τιμές και πως να παρεμβαίνουν μεταξύ των τιμών που αναφέρονται για υψηλότερη ακρίβεια. Οι κυλιόμενοι κανόνες είχαν ειδικές κλίμακες για τριγωνομετρικές συναρτήσεις.

Σήμερα, οι επιστημονικές αριθμομηχανές έχουν κουμπιά για τον υπολογισμό των βασικών τριγωνομετρικών συναρτήσεων (sin, cos, tan, και μερικές φορές cis και των αντιστρόφων τους). Οι περισσότερες επιτρέπουν την επιλογή της γωνίας μέτρησης:. μοίρες, ακτίνια και, μερικές φορές grad. Οι περισσότερες γλώσσες προγραμματισμού ηλεκτρονικών υπολογιστών παρέχουν βιβλιοθήκες συναρτήσεων που περιλαμβάνουν τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Η μονάδα FPU ενσωματώνεται σε τσιπ μικροεπεξεργαστών που χρησιμοποιούνται στους περισσότερους προσωπικούς υπολογιστές και έχει ενσωματωμένες οδηγίες για τον υπολογισμό των τριγωνομετρικών συναρτήσεων.

Πρότυπες ταυτότητες 
Ταυτότητες είναι οι εξισώσεις που ισχύουν για οποιαδήποτε τιμή.

Σχέσεις μετασχηματισμού γωνιών

Πρότυπες σχέσεις
Ορισμένες εξισώσεις περιλαμβανομένων των τριγωνομετρικών συναρτήσεων είναι αληθείς για όλες τις γωνίες και είναι γνωστές ως τριγωνομετρικές ταυτότητες. Ορισμένες ταυτότητες εξισώνουν μια έκφραση σε μια διαφορετική έκφραση που περιλαμβάνει τις ίδιες γωνίες. Αυτά αναφέρονται στον κατάλογο των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων. Οι τριγωνομετρικές ταυτότητες που συνδέουν τις πλευρές και γωνίες ενός δοσμένου τριγώνου αναφέρονται παρακάτω.

Στις ακόλουθες ταυτότητες, Α, Β και Γ είναι οι γωνίες ενός τριγώνου και α, β και γ είναι τα μήκη των πλευρών του τριγώνου απέναντι από τις αντίστοιχες γωνίες.

Νόμος των ημιτόνων
Ο νόμος των ημιτόνων (επίσης γνωστός ως «κανόνας ημίτονου») για ένα αυθαίρετο τρίγωνο αναφέρεται ως εξής:

όπου R είναι η ακτίνα του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου:

Ένας άλλος νόμος που αφορά ημίτονα μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό της περιοχής ενός τριγώνου. Με δοσμένες δύο πλευρές και τη μεταξύ τους γωνία, η περιοχή του τριγώνου είναι:

Νόμος των συνημιτόνων
Ο νόμος των συνημιτόνων (γνωστός και ως εξίσωση συνημιτόνου, ή "κανόνας συνημιτόνου») αποτελεί προέκταση του Πυθαγορείου θεωρήματος σε αυθαίρετα τρίγωνα:

ή ισοδύναμα:

Νόμος των εφαπτομένων

Απόδειξη: Έπεται άμεσα από εφαρμογή του νόμου των ημιτόνων και των τριγωνομετρικών ταυτοτήτων

Τύπος του Euler
Ο τύπος του Euler ισχυρίζεται ότι , παράγει τις ακόλουθες αναλυτικές ταυτότητες για το ημίτονο, συνημίτονο και την εφαπτομένη όσον αφορά το e και τη φανταστική μονάδα i:

Επίπεδη τριγωνομετρία 

Στο ορθογώνιο τρίγωνο του σχήματος 1, ορίζουμε τους εξής τριγωνομετρικούς αριθμούς:

Γενικότερα, μια οποιαδήποτε γωνία ω μπορούμε να τη θέσουμε σε ορθογώνιο σύστημα συντεταγμένων, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2, και από το ορθογώνιο τρίγωνο που σχηματίζεται, να έχουμε τους τρεις τριγωνομετρικούς αριθμούς. Συγκεκριμένα:

Ιδιότητες 

Για τους τριγωνομετρικούς αριθμούς ισχύουν τα παρακάτω:

  και 

  και 

 ,  και 

 

 

 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει ο νόμος των ημιτόνων:

όπου α, β και γ είναι οι πλευρές απέναντι από τις γωνίες Α, Β και Γ αντίστοιχα.

 Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύουν οι νόμοι των συνημιτόνων:

Μια και , ο νόμος του συνημιτόνου για την ορθή γωνία ορθογώνιου τριγώνου, όπως στο Σχήμα 1, δίνει το πυθαγόρειο θεώρημα:

Σφαιρική τριγωνομετρία 
Η σφαιρική τριγωνομετρία αποτελεί εν μέρει αντικείμενο της ουράνιας μηχανικής στην αστρονομία και αφορά στην επίλυση σφαιρικών τριγώνων.

Εφαρμογές της τριγωνομετρίας
Υπάρχει ένας μεγάλος αριθμός χρήσεων της τριγωνομετρίας και των τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Για παράδειγμα, η τεχνική του τριγωνισμού χρησιμοποιείται στην αστρονομία για να μετρήσει την απόσταση σε κοντινά αστέρια, στη γεωγραφία για τη μέτρηση αποστάσεων μεταξύ ορόσημων, και στα συστήματα δορυφορικής πλοήγησης. Οι συναρτήσεις ημίτονου και συνημίτονου είναι θεμελιώδους σημασίας στη θεωρία των περιοδικών συναρτήσεων όπως αυτές που περιγράφουν τα κύματα ήχου και το φωτός.

Τα πεδία που χρησιμοποιούν την τριγωνομετρία ή τις τριγωνομετρικές συναρτήσεις περιλαμβανομένου και της αστρονομίας (ειδικά για τον εντοπισμό θέσης των ουράνιων αντικειμένων, στην οποία η σφαιρική τριγωνομετρία είναι απαραίτητη) και ως εκ τούτου στην πλοήγηση (στους ωκεανούς, σε αεροσκάφη, και στο διάστημα), θεωρία της μουσικής, σύνθεση ήχου, ακουστική, οπτική, ανάλυση των χρηματοπιστωτικών αγορών, ηλεκτρονικά, θεωρία πιθανοτήτων, στατιστική, βιολογία, ιατρική απεικόνιση (ακτινογραφία και υπερηχογράφημα), φαρμακευτική, χημεία, θεωρία αριθμών (και ως εκ τούτου, κρυπτογράφηση), σεισμολογία, μετεωρολογία, ωκεανογραφία, πολλές φυσικές επιστήμες, τοπογράφηση και γεωδαισία, την αρχιτεκτονική, φωνητική, οικονομία, ηλεκτρολογία, μηχανολογία, κατασκευές, γραφικά υπολογιστών, χαρτογραφία, κρυσταλλογραφία και την ανάπτυξη παιχνιδιών.

Δείτε επίσης 
 Τριγωνομετρική συνάρτηση

Παραπομπές

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 http://portal.survey.ntua.gr/main/courses/hisatgeodesy/geoastro/book/GeoAstro_chapter11.pdf