Εικασία του Μπορσούκ

Το πρόβλημα του Μπορσούκ στη γεωμετρία, για ιστορικούς λόγους, ονομάζεται λανθασμένα ως εικασία του Μπορσούκ, είναι ερώτημα στη διακριτή γεωμετρία.

Το πρόβλημα 
Το 1932 ο Κάρολ Μπορσούκ έδειξε ότι μια συνηθισμένη μπάλα 3 διαστάσεων στον Ευκλείδειο χώρο μπορεί εύκολα να χωρισθεί σε 4 στερεά, καθένα από τα οποία έχει μια μικρότερη διάμετρο από την μπάλα, και γενικά η d-διάστατη μπάλα μπορεί να καλυφθεί με d + 1 συμπαγή σύνολα διαμέτρων μικρότερες από την μπάλα. Ταυτόχρονα απέδειξε ότι τα υποσύνολα d δεν είναι αρκετά σε γενικές γραμμές. Η απόδειξη βασίζεται στο θεώρημα Μπορσούκ–Ούλαμ. Αυτό οδήγησε τον Μπορσούκ σε μια τόσο γενική ερώτηση:

 Die folgende Frage bleibt offen: Lässt sich jede beschränkte Teilmenge E des Raumes  (n + 1) Mengen zerlegen, von denen jede einen kleineren Durchmesser als E hat;

Αυτό μπορεί να μεταφραστεί ως:

 Το ακόλουθο ερώτημα παραμένει ανοιχτό: κάθε φραγμένο υποσύνολο Ε του χώρου είναι χωρισμένο σε σύνολα (n + 1), καθένα από τα οποία έχει μια μικρότερη διάμετρο από τον Ε;

Το ερώτημα έχει θετική απάντηση στις ακόλουθες περιπτώσεις:

 d = 2 — το οποίο είναι το αρχικό αποτέλεσμα από τον Κάρολ Μπορσούκ (1932).
 d = 3 — εμφανίστηκε από τον Γιούλιαν Πέρκαλ (1947), και ανεξάρτητα, 8 χρόνια αργότερα, από τον Χ. Γ. Έγκλστον (1955). Αργότερα, οι Μπράνκο Γκρηνμπάουμ και Αλαντάρ Χέππες βρήκαν μια απλή απόδειξη.
 Για όλα τα d σε ομαλούς κυρτούς φορείς — αποδείχθηκε από τον Χούγκο Χαντβίγκερ (1946).
 Για όλα τα d σε κεντρικά-συμμετρικούς φορείς — αποδείχθηκε από τον Α. Σ. Ρίσλινγκ (1971).
 Για όλα τα d σε σώματα εκ περιστροφής — αποδείχθηκε από τον Μπόρις Ντέκστερ (1995).

Το πρόβλημα τελικά λύθηκε το 1993 από τους Τζεφ Καχν και Γκιλ Καλάι, οι οποίοι έδειξαν ότι η γενική απάντηση στο ερώτημα του Μπορσούκ είναι όχι. Η αναπαράστασή τους δείχνει ότι τα d + 1 κομμάτια που δεν επαρκούν για d = 1.325 και για κάθε d > 2.014.

Το αποτέλεσμα τους βελτιώθηκε το 2003 από τους Χίνριχς και Ρίχτερ, που αναπαράστησαν πεπερασμένα σύνολα για το d ≥ 298, το οποίο δεν μπορεί να χωριστεί σε d+11 τμήματα με μικρότερη διάμετρο.

Αφότου ο Αντρέι Β. Μπονταρένκο έδειξε το 2013 ότι η εικασία του Μπορσούκ είναι ψευδής για όλα τα d ≥ 65,  το τρέχων καλύτερο όριο, λόγω του Τόμας Γιένριχ, είναι το 64.

Εκτός από την εύρεση του ελάχιστου αριθμού δ  τέτοιων διαστάσεων, εκτός από τον αριθμό τεμαχίων  οι μαθηματικοί ενδιαφέρονται να βρουν την γενική συμπεριφορά της συνάρτησης . Οι Καχν και Καλάι δείχνουν ότι σε γενικές γραμμές (για το d αυτό είναι αρκετά μεγάλο) ένας χρειάζεται αριθμό τεμαχίων . Αναφέρουν επίσης το άνω όριο από τον Οντέντ Σραμ, ο οποίος έδειξε ότι για κάθε ε, αν το d είναι αρκετά μεγάλο, προκύπτει . Η σωστή τάξη μεγέθους του α(d) είναι ακόμα άγνωστη. Ωστόσο, εικάζεται ότι υπάρχει μια σταθερά  τέτοια ώστε να προκύπτει  για όλα τα .

Δείτε επίσης 

 Η Εικασία του Χάντβιγκερ καλύπτει κυρτά σώματα με μικρότερα αντίγραφα του εαυτού τους.

Παραπομπές

Περαιτέρω ανάγνωση 

 Oleg Pikhurko, Algebraic Methods in Combinatorics, course notes.
 Andrei M. Raigorodskii, The Borsuk partition problem: the seventieth anniversary, Mathematical Intelligencer 26 (2004), no. 3, 4–12.

Εξωτερικές συνδέσεις 

 Weisstein, Eric W. "Εικασία Μπορσούκ". MathWorld.

Διακριτή γεωμετρία