Τετραγωνική ρίζα του 2

Η τετραγωνική ρίζα του 2, ή αλλιώς, γραμμένο στα μαθηματικά,  ή , είναι ο θετικός αλγεβρικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 2. Τεχνικά, ονομάζεται η κύρια τετραγωνική ρίζα του 2, έτσι ώστε να διακρίνεται από τον αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα.

Γεωμετρικά η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με πλευρά μήκους 1 (προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα). Ήταν ίσως ο πρώτος γνωστός άρρητος αριθμός.

Ιστορία 

Η βαβυλωνιακή πήλινη πλάκα YBC 7289 (1800-1600 π.χ.) δίνει μια προσέγγιση του σε τέσσερα εξηνταδικά στοιχεία, 1 24 51 10 , η οποία έχει ακρίβεια περίπου έξι δεκαδικά ψηφία,  και είναι η κοντινότερη δυνατή εξηκονταδική αναπαράσταση του :

 

Μια άλλη πρώιμη προσέγγιση δίνεται στα αρχαία Ινδικά μαθηματικά κείμενα, τα Sulbasutras (800-200 π. χ.) ως εξής: Αύξηση του μήκους της πλευράς με την τρίτη και της τρίτης από τη δική τέταρτη μικρότερη των τριάντα τέταρτο μέρος του τέταρτου.  

Η προσέγγιση αυτή είναι η έβδομη στη σειρά από ολοένα και πιο ακριβείς προσεγγίσεις με βάση την ακολουθία των αριθμών του Πελ , η οποία μπορεί να προέρχεται από το συνεχές κλάσμα της επέκτασης του . Παρά τον μικρότερο παρονομαστή, είναι μόνο ελαφρώς λιγότερο ακριβές από τη βαβυλωνιακή προσέγγιση.

Πυθαγόρειοι μαθηματικοί ανακάλυψαν ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι μη υπολογίσιμη, ή σε σύγχρονη γλώσσα, η τετραγωνική ρίζα του δύο είναι άρρητη. Λίγα είναι γνωστά σχετικά με το χρόνο ή τις συνθήκες αυτής της ανακάλυψης, αλλά το όνομα του Ιππάσου από το Μεταπόντιο αναφέρεται συχνά. Σύμφωνα με το μύθο, ο Ίππασος δολοφονήθηκε για αυτήν την αποκάλυψη.  Η τετραγωνική ρίζα του δύο μερικές φορές αποκαλείται «ο αριθμός του Πυθαγόρα» ή «Πυθαγόρεια σταθερά», για παράδειγμα στο  .

Υπολογισμός με αλγορίθμους 
Υπάρχουν σειρές αλγορίθμων για την προσέγγιση του , οι οποίες σε εκφράσεις, όπως μια αναλογία ακεραίων ή δεκαδικός αριθμός, μπορούν να είναι μόνο κατά προσέγγιση. Ο πιο κοινός αλγόριθμος για αυτό, είναι εκείνος που χρησιμοποιείται ως βάση σε πολλούς υπολογιστές και αριθμομηχανές: η βαβυλωνιακή μέθοδος  υπολογισμού τετραγωνικών ριζών, η οποία είναι μία από τις πολλές μεθόδους υπολογισμού τετραγωνικών ριζών . Υπολογίζεται ως εξής:

Πρώτον, να πάρει και να μαντέψουν,  ; η αξία του μάλλον επηρεάζει μόνο πόσες επαναλήψεις απαιτούνται για την επίτευξη ενός προσέγγιση της μια συγκεκριμένη ακρίβεια. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας αυτό μάλλον, μετακινηθείτε μέσα από το ακόλουθο αναδρομικό υπολογισμό:

 

Οι περισσότερες επαναλήψεις μέσα από τον αλγόριθμο (που είναι το πιο υπολογισμούς που εκτελούνται και η μεγαλύτερη " "), Η Καλύτερη προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του 2 Επιτυγχάνεται. Κάθε Προμηθευτής επανάληψη περίπου Διπλασιάζει τον ΑΡΙΘΜΌ των σωστών ψηφίων. Το Ξεκινώντας με το  το επόμενο προσεγγίσεις εδώ

 3/2 = 1 ,5
 17/12 = 1,41 6 ...
 577/408= 1,41421 5 ...
 665857/470832= 1,41421356237 46 ...

Η τιμή της υπολογίστηκε με 137.438.953.444 δεκαδικά ψηφία από την ομάδα Yasumasa στον Καναδά  το 1997. Τον Φεβρουάριο του 2006 το ρεκόρ για τον υπολογισμό του επισκιάστηκε με την χρήση του υπολογιστή στο σπίτι. Σιγκέρου Κόντο υπολογίζεται 1 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία του 2010.  Για την ανάπτυξη αυτού του ρεκόρ, δείτε τον παρακάτω πίνακα. Μεταξύ μαθηματικών σταθερών με δύσκολο υπολογιστικά, μόνο το   έχει υπολογιστεί με μεγαλύτερη ακρίβεια. Οι υπολογισμοί έχουν στόχο να ελέγξουν εμπειρικά αν αυτοί οι αριθμοί είναι κανονικοί .

Παραπομπές

Εξωτερικές συνδέσεις 

 .
 
 Η Τετραγωνική Ρίζα του Δύο και 5 εκατομμύρια ψηφία από Jerry Bonnell και Robert J. Nemiroff. Μπορεί, 1994.
 Τετραγωνική ρίζα του 2 είναι παράλογο, μια συλλογή από δοκίμια
 

Άρρητοι αριθμοί
Μαθηματικές σταθερές