Θεώρημα του Πτολεμαίου

Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία το Θεώρημα του Πτολεμαίου μας δίνει τη σχέση των πλευρών ενός εγγεγραμμένου τετραπλεύρου με τις διαγώνιές του. Το διατύπωσε ο Κλαύδιος Πτολεμαίος (2ος αι. μ.Χ.) και το χρησιμοποίησε για τη δημιουργία του "Πίνακα των χορδών", ενός τριγωνομετρικού πίνακα για αστρονομικούς υπολογισμούς.

Αν το εγγεγραμμένο τετράπλευρο είναι το ΑBCD, τότε ισχύει: 
 

όπου οι οριζόντιες γραμμές επάνω από τα τμήματα δηλώνουν τα μήκη τους. Η σχέση γράφεται απλούστερα:
 AC·BD=AB·CD+BC·AD.

Λεκτικά η σχέση περιγράφεται ως εξής: "Σε ένα εγγράψιμο τετράπλευρο το γινόμενο (των μηκών) των διαγωνίων του είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων (των μηκών) των ζευγών των απέναντι πλευρών."

Ισχύει και το αντίστροφο: "Αν σε ένα τετράπλευρο το γινόμενο των διαγωνίων είναι ίσο με το άθροισμα των γινομένων των ζευγών των απέναντι πλευρών, τότε το τετράπλευρο είναι εγγράψιμο."

Εφαρμογές του θεωρήματος του Πτολεμαίου

Σε ισόπλευρο τρίγωνο και τον περιγεγραμμένο κύκλο του

Ας είναι το ισόπλευρο τρίγωνο ABC πλευράς s, ο περιγεγραμμένος κύκλος του και Τ ένα σημείο του κύκλου. Αν C είναι η κορυφή η πιο μακριά από το σημείο Τ και A, B οι κορυφές οι πιο κοντά στο Τ, τότε: ΤC = TA+TB.

Πράγματι, το ATBC είναι εγγεγραμμένο και από το θεώρημα του Πτολεμαίου ισχύει ΤC s = TA s + TB s, από όπου έπεται το ζητούμενο. Αν TC=q, TA=p, TB=r τότε q = p+r.

Σε ορθογώνιο

Αν είναι a, b οι πλευρές του ορθογωνίου και d η διαγώνιος ενός ορθογωνίου τότε, επειδή τα ορθογώνια είναι εγγράψιμα σε κύκλο, από το θεώρημα του Πτολεμαίου έχω d2 = 2 + b2, που είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα.

Ειδικότερα, αν σε τετράγωνο εφαρμόσω το θεώρημα του Πτολεμαίου, έχω ότι: d2 = 2a2 ή d = .

Σε κανονικό πεντάγωνο

Ας είναι a η πλευρά του κανονικού πενταγώνου και b η διαγώνιός του. Το ABCD είναι εγγράψιμο, άρα από το θεώρημα του Πτολεμαίου b2 = a2+ab ή (b/a)2 = 1+b/a ή  = φ, ο χρυσός λόγος.

Σε κανονικό δεκάγωνο

Αν είναι a και b όπως πριν, c η πλευρά του κανονικού δεκαγώνου και AF=d η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου, τότε το ADFC είναι εγγεγραμμένο τετράπλευρο και από το θεώρημα του Πτολεμαίου έχω ότι ad = bc+bc ή d = 2(b/a)c ή d = 2φc ή , έτσι υπολογίζω την πλευρά του κανονικού δεκαγώνου από τη διάμετρο του περιγεγραμμένο κύκλου του.

Μπορώ να κάνω το ίδιο για την πλευρά a του κανονικού δεκαγώνου; Από την εφαρμογή του θεωρήματος του Πτολεμαίου στο κανονικό πεντάγωνο έχω ότι a = b/φ. Αρκεί να υπολογίσω το b από το d· παρατηρώ ότι το τρίγωνο ADF είναι ορθογώνιο και από το Πυθαγόριο θεώρημα έχω b2 = d2-c2, όπου c = d/(2φ).

Ο Κοπέρνικος, διαβάζοντας το έργο του Πτολεμαίου συνοψίζει πως "αν είναι γνωστή η διάμετρος του κύκλου, τότε μπορεί να υπολογιστεί η πλευρά ενός εγγεγραμένου πολυγώνου, αν αυτό είναι τρίγωνο, τετράγωνο, πεντάγωνο, εξάγωνο και δεκάγωνο".

Πορίσματα
Ας είναι κύκλος διαμέτρου 1 και εγγεγραμμένο ορθογώνιο τρίγωνο, όπου η μία κάθετη πλευρά του να είναι α και η απέναντι οξεία γωνία Α. Τότε ημΑ = α/1, δηλ. αριθμητικά η χορδή α ταυτίζεται με το ημίτονο της εγγεγραμμένης γωνίας Α που βαίνει στο τόξο της χορδής α.

Θεωρούμε ένα εγγεγραμμένο τετράπλευρο ABCD, όπου ΑΒ = S1 και όμοια τα S2, S3, S4. Επίσης θ1 = η εγγεγραμμένη γωνία που βαίνει στο τόξο της χορδής S1 και όμοια οι θ2, θ3, θ4. Εφαρμόζω το θεώρημα του Πτολεμαίου, χρησιμοποιώντας τη σχέση α = sinΑ και έχω την τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος του Πτολεμαίου:

Έχουμε ότι , έτσι sin(θ1+θ2) = sin(180-(θ3+θ4)) = sin(θ3+θ4), δηλ. για τη χορδή ΑC μπορώ να πάρω την εγγεγραμμένη θ1+θ2 ή τη θ3+θ4.

1. Tο Πυθαγόρειο θεώρημα
Αν θ1 = θ3 και θ2 = θ4, τότε η εφαρμογή της τριγωνομετρικής μορφής του θεωρήματος του Πτολεμαίου δίνει

  με θ1+θ2+θ1+θ2 = 180o ή θ1+θ2 = 90o, άρα

2. O Νόμος των συνημιτόνων

Ένα ισοσκελές τραπέζιο με ίσες τις πλευρές S2 = S4 και βάσεις τις S1 και S3 = S1 - 2χ, όπου χ = S2cos(θ2+θ3), θα έχει ίσες τις διαγώνιες AC, BD. Εφαρμόζω το θεώρημα του Πτολεμαίου:

3. Υπολογισμός ημιτόνου σε άθροισμα γωνιών
Στην ειδική περίπτωση όπου:

έχω ότι sinθ1 = sin(90-θ2) = cos(θ2), όμοια sinθ4 = cosθ3 και sin(θ1+θ2) = sin(90) = 1. Εφαρμόζω την τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος του Πτολεμαίου:

Από όπου προκύπτει:

 

που είναι ο υπολογισμός ημιτόνου γωνίας, όταν αυτή είναι άθροισμα δύο γωνιών.

4. Υπολογισμός ημιτόνου σε διαφορά γωνιών
Στην ειδική περίπτωση που θ1 = 90o θα έχω sinθ1 = sin90 = 1, θ2+θ3+θ4 = 90, sinθ4 = sin(90-(θ2+θ3)) = cos(θ2+θ3), sin(θ1+θ2) = sin(90+θ2) = cosθ2. Εφαρμόζω την τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος του Πτολεμαίου:

 

 

Αν είναι θ2+θ3 = θ5 τότε

 

που είναι ο υπολογισμός ημιτόνου γωνίας, όταν αυτή είναι διαφορά δύο γωνιών.

Είναι το τρίτο θεώρημα στη "Μεγίστη Μαθηματική Σύνταξη" και μπορεί να χρησιμοποιηθεί για τον υπολογισμό του ημ6o: ημ(36-30) = ημ36συν30-συν36ημ30, όπου από το κανονικό πεντάγωνο μπορεί να υπολογιστεί το cos36 = d/(2a) = φ/2. O υπολογισμός του ημ6 ήταν ένα σημαντικό βήμα για τη δημιουργία πίνακα χορδών.

5. Υπολογισμός συνημιτόνου σε άθροισμα γωνιών
Αν θ3 = 90, τότε sinθ3 = 90,  θ1+θ2+θ4 = 90, sinθ1 = sin(90-(θ2+θ4)) = cos(θ2+θ4), sin(θ1+θ2) = sin(90-θ4) = cosθ4, sin(θ2+θ3) = sin(θ2+90) = cos(θ2)

Εφαρμόζω την τριγωνομετρική μορφή του θεωρήματος του Πτολεμαίου:

 

 

Είνα το 5ο θεώρημα στη "Μεγίστη Μαθηματική Σύνταξη" του Πτολεμαίου και έχει την ίδια αρίθμηση (theorema quintum) στο "De Revolutionibus Orbis" του Κοπέρνικου.

Ιστορική αναφορά
Το θεώρημα του Πτολεμαίου, από ό,τι καταφαίνεται από τα πορίσματα, έδωσε στους Αρχαίους Έλληνες ένα εξαιρετικά ευέλικτο εργαλείο. Παρά τη μικρότερη επιδεξιότητά του απ΄τον σημερινό μας τριγωνομετρικό συμβολισμό, ο γνώστης της εποχής εκείνης μπορούσε να υπολογίσει ακριβείς πίνακες χορδών, που αντιστοιχούν στους πίνακες ημιτόνων της εποχής μας. Τέτοιους πίνακες σχημάτισε ο Ίππαρχος ο Νικαιεύς τρεις αιώνες πριν τον Πτολεμαίο, άρα πρέπει να γνώριζε το θεώρημα και τα πορίσματά του. Τέσσερις γενιές πιο πριν από αυτόν, ο Τιμόχαρις ο Αλεξανδρεύς (320-280 π.Χ.) συνέταξε κατάλογο αστέρων. Αν, όπως φαίνεται πιθανό, η σύνταξη τέτοιων καταλόγων χρειάζεται το θεώρημα του Πτολεμαίου, τότε οι απαρχές του θεωρήματος χάνονται πίσω στο χρόνο. Είναι το 2ο θεώρημα του Κοπέρνικου στο έργο του "De Revolutionibus Orbis".

Η ανισότητα του Πτολεμαίου

Γενικά το άθροισμα των γινομένων των ζευγών των απέναντι πλευρών είναι μεγαλύτερο ή ίσο του γινομένου των διαγωνίων:
 

όπου η ισότητα ισχύει μόνο για τα εγγράψιμα και η γνήσια ανισότητα μόνο για τα μη εγγράψιμα.

Γενίκευση του θεωρήματος του Πτολεμαίου είναι το Θεώρημα του Κάζεϋ.

Ευκλείδεια επιπεδομετρία
Θεωρήματα στη Γεωμετρία