Αντιμεταθετική άλγεβρα

Αντιμεταθετική άλγεβρα είναι ο κλάδος της άλγεβρας που ασχολείται με τη μελέτη των αντιμεταθετικών δακτυλίων, των ιδεωδών τους και των modules που παράγονται πάνω από αυτούς τους δακτύλιους. Η αντιμεταθετική άλγεβρα αποτελεί βασικό εργαλείο της αλγεβρικής γεωμετρίας και της αλγεβρικής θεωρίας αριθμών. Βασικά παραδείγματα αντιμεταθετικών δακτυλίων αποτελούν τα σώματα, ο δακτύλιος των ακεραίων καθώς και οι πολυωνυμικοί (μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών) δακτύλιοι, οι δακτύλιοι των αλγεβρικών ακεραίων και οι δακτύλιοι των p-αδικών αριθμών.

Η μελέτη μη-αντιμεταθετικών δακτυλίων ονομάζεται μη-αντιμεταθετική άλγεβρα, η οποία περιλαμβάνει τη θεωρία δακτυλίων, τη θεωρία αναπαραστάσεων και τη θεωρία των αλγεβρών Banach.

Επισκόπηση 
Η αντιμεταθετική άλγεβρα είναι ουσιαστικά η μελέτη των δακτυλίων που υπάρχουν στην αλγεβρική θεωρία αριθμών και την αλγεβρική γεωμετρία.

Στην αλγεβρική θεωρία αριθμών, οι δακτύλιοι των αλγεβρικών ακεραίων είναι οι δακτύλιοι του Dedekind, οι οποίοι αποτελούν, συνεπώς, μια σημαντική κατηγορία των αντιμεταθετικών  δακτυλίων. Οι εκτιμήσεις που σχετίζονται με την αριθμητική του μέτρου οδήγησαν στην έννοια του δακτυλίου αποτίμησης. Ο περιορισμός του τομέα της αλγεβρικής επέκτασης όσον αφορά τους υποδακτυλίους οδήγησε στις έννοιες της ολοκληρωματικής επέκτασης και των ολοκληρωματικά κλειστών πεδίων ορισμού , καθώς και στην έννοια της διακλάδωσης μιας επέκτασης των αποτιμημένων δακτυλίων.

Η έννοια του εντοπισμού ενός δακτυλίου(ιδίως ο εντοπισμός όσον αφορά το πρώτο ιδεώδες, ο οποίος συνίσταται από την αναστροφή ενός ενιαίου στοιχείου και το ολικό πηλίκο δακτυλίου) είναι μία από τις κύριες διαφορές μεταξύ αντιμεταθετικής άλγεβρας και της θεωρία των μη-αντιμεταθετικών δακτυλίων. Αυτό οδηγεί σε μια σημαντική κατηγορία αντιμεταθετικών δακτυλίων, τους τοπικούς δακτύλιους που έχουν μόνο ένα μεγιστοτικό ιδεώδες. Το σύνολο των πρώτων ιδεωδών των αντιμεταθετικών δακτυλίων είναι φυσικά εξοπλισμένο με μια τοπολογία, την Zariski τοπολογία. Όλες αυτές οι έννοιες χρησιμοποιούνται ευρέως στην αλγεβρική γεωμετρία και αποτελούν τα βασικά τεχνικά εργαλεία για τον καθορισμό της θεωρίας σχήματος, μια γενίκευση της αλγεβρικής γεωμετρίας που εισάγεται από τον Grothendieck.

Πολλές άλλες έννοιες της αντιμεταθετικής άλγεβρας είναι ομόλογες των γεωμετρικών εννοιών που συναντώνται στην αλγεβρική γεωμετρία. Αυτή είναι η περίπτωση της διάστασης του Krull, της πρωτοβάθμιας παραγοντοποίησης, των κανονικών δακτυλίων, των Cohen-Mecaulay δακτυλίων, των Gorenstein δακτυλίων και πολλών άλλων εννοιών.

Ιστορία 
Το θέμα, που ήταν αρχικά γνωστό ως θεωρία ιδεωδών, ξεκίνησε με την εργασία του Richard Dedekinds σχετικά με ιδανικά, η οποία βασίστηκε στο προγενέστερο έργο του Ernst Kummer και του Leopold Kronecker. Αργότερα, ο David Hilbert εισήγαγε τον όρο δακτύλιος προκειμένου να γενικεύσει τον προηγούμενο όρο δακτύλιος αριθμός. Ο Hilbert εισήγαγε μια από τις πιο αφηρημένες προσεγγίσεις προκειμένου να αντικαταστήσει τις πιο συγκεκριμένες και υπολογιστικά προσανατολισμένες μεθόδους που στηρίζονται σε θέματα όπως η σύνθετη ανάλυση και η κλασική αμετάβλητη θεωρία. Με τη σειρά του, ο Hilbert επηρεάζεται έντονα από την Emmy Noether, η οποία αναδιατυπώνει πολλά από τα προηγούμενα αποτελέσματα σε σχέση με μια συνθήκη αύξουσας αλυσίδας, η οποία είναι τώρα γνωστή ως συνθήκη Noether. Ένα άλλο σημαντικό ορόσημο ήταν το έργο του φοιτητή του Hilbert, Εμάνουελ Λάσκερ, ο οποίος εισήγαγε τα πρωτεύοντα ιδεώδη και απέδειξε την πρώτη εκδοχή του θεωρήματος Lasker-Noether.

Ο κύριος υπεύθυνος για τη γέννηση της αντιμεταθετικής άλγεβρας ως ένα ώριμο θέμα ήταν Wolfgang Krull, ο οποίος εισήγαγε τις θεμελιώδεις έννοιες της τοπολογίας και της πλήρωσης ενός δακτυλίου, καθώς και των κανονικών τοπικών δακτυλίων. Εισήγαγε την έννοια της διάστασης Krull ενός δακτυλίου, το πρώτο για τους δακτύλιους Noether πριν από την κίνηση του να επεκτείνει τη θεωρία του για να καλύψει γενικά τους αποτιμημένους δακτύλιους και τους δακτύλιους Krull. Μέχρι σήμερα, το κύριο ιδανικό θεώρημα του Krullθεωρείται ευρέως το πιο σημαντικό θεμελιώδες θεώρημα στην αντιμεταθετική άλγεβρα. Τα αποτελέσματα αυτά άνοιξαν το δρόμο για την εισαγωγή της αντιμεταθετικής άλγεβρας στην αλγεβρική γεωμετρία, μια ιδέα που θα μπορούσε να φέρει την επανάσταση στο τελευταίο θέμα.

Μεγάλο μέρος της σύγχρονης ανάπτυξης της αντιμεταθετικής άλγεβρας δίνει έμφαση στις ενότητες. Τα ιδεώδη ενός δακτυλίου R και των R-αλγεβρών είναι ειδικές περιπτώσεις των R-modules, οπότε η θεωρία του module περιλαμβάνει τόσο την ιδανική θεωρία, όσο και την θεωρία των δακτυλιακών επεκτάσεων. Αν και είχε ήδη ξεκινήσει με το έργο του Kronecker, η σύγχρονη προσέγγιση της αντιμεταθετικής άλγεβρας χρησιμοποιώντας την θεωρία module, συνήθως πιστώνεται στον Krull και στονNoether.

Βασικά εργαλεία και αποτελέσματα

Δακτύλιοι του Noether 
Στα μαθηματικά, και πιο συγκεκριμένα στον τομέα της σύγχρονης άλγεβρας, η οποία είναι γνωστή ως δακτύλια θεωρία, ένας δακτύλιος Noether, το όνομά του οποίου προέρχεται από την Emmy Noether, είναι ένας δακτύλιος στον οποίο κάθε μη-κενό σύνολο ιδανικών έχει ένα μέγιστο στοιχείο. Αντίστοιχα, ένας δακτύλιος είναι Noether αν ικανοποιεί την συνθήκη της αύξουσας αλυσίδας για ιδανικά, δηλαδή, για κάθε αλυσίδα:
 
υπάρχει ένα n τέτοιο ώστε:
 
Για να είναι ένας αντιμεταθετικός δακτύλιος Noether αρκεί κάθε πρώτο ιδεώδες του δακτυλίου να είναι πεπερασμένα παραγόμενο. (Το αποτέλεσμα προήλθε από τον I. S. Cohen.)

Η έννοια του δακτύλιου Noether είναι θεμελιώδους σημασίας τόσο στην αντιμεταθετική, όσο και στην μη-αντιμεταθετική δακτύλια θεωρία, λόγω του ρόλου που διαδραματίζει στην απλούστευση της ιδανικής δομής για έναν δακτύλιο. Για παράδειγμα, ο δακτύλιος των ακεραίων και ο πολυωνυμικός δακτύλιος πάνω από ένα πεδίο είναι και οι δύο δακτύλιοι Noether, και κατά συνέπεια, θεωρήματα όπως το θεώρημα Lasker-Noether, το θεώρημα τομής του Krull, και το θεώρημα βάσης του Hilbert προέρχονται από αυτούς . Επιπλέον, αν ένας δακτύλιος είναι Noether, τότε ικανοποιεί την συνθήκη φθίνουσας αλυσίδας για τα πρώτα ιδεώδη. Αυτή η ιδιότητα, προτείνει μια βαθιά θεωρία της διάστασης για τους δακτύλιους Noether, έχοντας ως απαρχή την έννοια της διάστασης του Krull.

Το βασικό θεώρημα του Hilbert 
Θεώρημα. Αν R είναι ένας αριστερός Noether δακτύλιος, τότε ο πολυωνυμικός δακτύλιος R[X] είναι, επίσης, ένας αριστερός Noether δακτύλιος.Το βασικό θεώρημα του Hilbert έχει κάποια άμεσα πορίσματα: 
 Με επαγωγή μπορούμε να δούμε ότι  , επίσης, θα είναι Noether δακτύλιος. 
 Από οποιαδήποτε αφφινική πολλαπλότητα πάνω από το (δηλαδή γεωμετρικό σύνολο μια συλλογή από πολυωνύμων) μπορεί να γραφτεί ως ιδανικός χώρος  και περαιτέρω ως ο γεωμετρικός τόπος των παραγοντοποιήσεων, προκύπτει ότι κάθε αφφινική πολλαπλότητα είναι ο γεωμετρικός τόπος πολλών πεπερασμένων πολυωνύμων, δηλαδή η τομή πολλών πεπερασμένων υπερεπιφανειών. 
 Αν  είναι μια πεπερασμένη-παραγοντοποιημένη -άλγεβρα, τότε γνωρίζουμε ότι , όπου  είναι ένα ιδανικό. Το βασικό θεώρημα συνεπάγεται ότι  πρέπει να είναι πεπερασμένα παραγόμενο, όπου , δηλαδή  είναι πεπερασμένα παρόν.

Πρωτοβάθμια παραγοντοποίηση 
Ένα ιδανικό  Q του δακτυλίου είναι πρώτο αν Q είναι γνήσιο  και όποτε xy ∈ Q, είτε x ∈ Q ή yn ∈ Q για κάποιο θετικό ακέραιο n. Στο Ζ, τα πρώτα ιδανικά  είναι ακριβώς τα ιδανικά της μορφής (p,e), όπου p είναι πρώτος και e είναι ένας θετικός ακέραιος. Έτσι, μία πρωτοβάθμια παραγοντοποίηση (n) αντιστοιχεί σε αντιπρόσωπο (n) ως την τομή πολλών πεπερασμένων πρώτων ιδανικών.

Το  θεώρημα Lasker-Noether , που δίνεται εδώ, μπορεί να θεωρηθεί ως μία συγκεκριμένη γενίκευση του θεμελιώδους θεωρήματος της αριθμητικής:Lasker-Noether Θεώρημα. Έστω R είναι ένας αντιμεταθετικός Noether δακτύλιος και έστω Ι ένα ιδεώδες του R. Στη συνέχεια, θα μπορεί να γραφτεί ως το σημείο τομής πολλών πεπερασμένων  πρώτων ιδανικών με διακριτές ρίζες, δηλαδή:

 

με Q πρώτο για όλα τα i και Rad(Qi) ≠ Ρ(Q,j) για i ≠ j. Επιπλέον, εάν:

 

είναι η παραγοντοποίηση του i με το Rad(Pi) ≠ Ρ(Pj) για i ≠ j, και οι δύο παραγοντοποιήσεις του θα είναι ανάγωγες (που σημαίνει ότι δεν υπάρχει γνήσιο υποσύνολο ούτε {Q1, ..., Qt} ούτε {Σ1, ..., Pk} που να αποδίδει μια τομή ίση με I), t = k και (ενδεχομένως, μετά από νέα αρίθμηση του Q ' ) Rad(Qi) = Rad(Pi) για όλα i.Για την πρωτοβάθμια παραγοντοποίηση του i, το σύνολο όλων των ριζών, δηλαδή το σύνολο {Rad(Q1), ..., Rad(Q,t)} παραμένει το ίδιο με αυτό του Lasker–Noether θεωρήματος. Στην πραγματικότητα, αποδεικνύεται ότι (για έναν Noether δακτύλιο) το σύνολο είναι ακριβώς η προσάρτηση της ενότητας R/I, δηλαδή το σύνολο όλων των εκμηδενιστών του R/I (θεωρείται ως μια μονάδα πάνω από το R) που είναι πρώτος.

Τοπολογία 
Η τοπολογία είναι ένας επίσημος τρόπος για να εισάγουμε τους "παρονομαστές" σε έναν συγκεκριμένο δακτύλιο ή μια ενότητα. Δηλαδή, εισάγει έναν νέο δακτύλιο/ενότητα από ένα υπάρχον έτσι ώστε να αποτελείται από κλάσματα
 .
όπου οι παρονομαστές s ορίζονται σε ένα δεδομένο υποσύνολο S του R. Το αρχετυπικό παράδειγμα είναι η κατασκευή του δακτυλίου Q των ρητών αριθμών από το δακτύλιο Z των ακεραίων.

Ολοκλήρωση 
Μια ολοκλήρωση είναι οποιοδήποτε από τα διάφορα που σχετίζονται με το συναρτήσεις σε δακτύλιους και τις ενότητες που έχουν ως αποτέλεσμα την ολοκλήρωση των τοπολογικών δακτυλίων και modules. Η ολοκλήρωση είναι παρόμοια με την τοπολογία, και μαζί είναι ένα από τα πιο βασικά εργαλεία για την ανάλυση των αντιμεταθετικών δακτύλιων. Οι ολοκληρωμένοι αντιμεταθετικοί δακτύλιοι έχουν απλούστερη δομή από τους γενικούς και από αυτούς που υπάρχουν στο λήμμα του Hensel.

Zariski τοπολογία σε πρώτα ιδανικά 
Η Zariski τοπολογία καθορίζει την τοπολογία του φάσματος ενός δακτυλίου(το σύνολο των πρώτων ιδανικών). Σε αυτόν τον τύπο, τα Zariski-κλειστά σύνολα λαμβάνονται για να είναι τα σύνολα
 
όπου Α είναι ένας σταθερός αντιμεταθετικός δακτύλιος και I είναι ένα ιδανικό. Αυτά ορίζονται κατά αναλογία με την κλασική Zariski τοπολογία, όπου κλειστά σύνολα σε αφφινικό χώρο είναι εκείνα που ορίζονται από πολυωνυμικές εξισώσεις . Για να δείτε την σύνδεση με την κλασική εικόνα, σημειώστε ότι για κάθε σύνολο S των πολυωνύμων (πάνω από ένα αλγεβρικά κλειστό πεδίο), όπως προκύπτει από το Nullstellensatz του Hilbert ότι τα σημεία Β(S) (με την παλιά έννοια) είναι ακριβώς oι πλειάδες(a1, ..., an) τέτοιες ώστε (x1 - a1, ..., xn - an) να περιέχουν το S, επιπλέον, αυτά είναι μέγισταl ιδεώδη και από το "ασθενές" Nullstellensatz, ένα ιδανικό για οποιονδήποτε αφφινικό συντονισμένο δακτύλιο είναι μέγιστο αν και μόνο αν είναι αυτής της μορφής. Συνεπώς, V(S) είναι "το ίδιο" όπως τα μέγιστα  ιδεώδη που περιέχουν το S. Η καινοτομία του Grothendieck στον καθορισμό του Spec ήταν ότι αντικατέστησε τα μέγιστα ιδανικά με όλα τα πρώτα ιδανικά σε αυτόν τον τύπο είναι φυσικό απλά να γενικεύσουμε αυτή την παρατήρηση για τον ορισμό του κλειστού συνόλου του φάσματος ενός δακτυλίου.

Παραδείγματα 
Το θεμελιώδες παράδειγμα στην αντιμεταθετική άλγεβρα είναι ο δακτύλιος των ακεραίων . Η ύπαρξη των πρώτων και το μοναδικό θεώρημα της παραγοντοποίησης έθεσε τα θεμέλια για έννοιες όπως οι Noether δακτύλιοι και η πρωτοβάθμια παραγοντοποίηση.

Άλλα σημαντικά παραδείγματα είναι:
 Πολυωνυμικοί δακτύλιοι 
 Το p-αδικοί ακέραιοι
 Οι δακτύλιοι των αλγεβρικών ακεραίων.

Συνδέσεις με την αλγεβρική γεωμετρία 
Η αντιμεταθετική άλγεβρα (με τη μορφή πολυωνυμικών δακτυλίων και των συντελεστών τους, που χρησιμοποιούνται στον ορισμό των αλγεβρικών πολλαπλοτήτων) ήταν πάντα ένα μέρος της αλγεβρικής γεωμετρίας. Ωστόσο, στα τέλη της δεκαετίας του 1950, οι αλγεβρικές πολλαπλότητες ήταν ενταγμένες στην έννοια του συστήματος του Alexander Grothendieck. Τα τοπικά αντικείμενα είναι αφφινικά συστήματα ή φάσματα τα οποία είναι τοπικοί δακτύλιοι χώροι που αποτελούν μια κατηγορία, η οποία είναι μη ισοδύναμη (δυαδική) για την κατηγορία των αντιμεταθετικών μοναδιαίων δακτυλίων, για την επέκταση της δυαδικότητας μεταξύ της κατηγορίας των αφφινικών αλγεβρικών πολλαπλοτήτων πάνω από ένα πεδίο k, και την κατηγορία των πεπερασμένων παραγόμενων μειωμένων k-αλγεβρών. Η σύνδεση βρίσκεται στην Zariski τοπολογία, όπου κάποιος μπορεί να την ενσωματώσει στην κατηγορία των τοπικών δακτυλιακών χώρων, αλλά επίσης η χρήση της Yoneda ενσωμάτωσης, κατά την πιο αφηρημένη κατηγορία αλυσίδων των συνόλων πάνω από την κατηγορία των αφφινικών συστημάτων. Η Zariski τοπολογία ως θεωρητική έννοια, στη συνέχεια αντικαταστήθηκε από την Zariski τοπολογία, με την έννοια της τοπολογίας Grothendieck. Ο Grothendieck εισήγαγε τις Grothendieck τοπολογίες έχοντας κατά νου πιο εξωτικά, αλλά γεωμετρικά λεπτότερα και πιο ευαίσθητα παραδείγματα από την ακατέργαστη Zariski τοπολογία, δηλαδή την étale τοπολογία, και τις δύο επίπεδες Grothendieck τοπολογίες: fppf και fpqc, σήμερα κάποια άλλα παραδείγματα διέπρεψαν συμπεριλαμβανομένων της Nisnevich τοπολογίας. Οι αλυσίδες μπορεί να είναι επιπλέον γενικευμένες σε στοίβες κατά την έννοια του Grothendieck, συνήθως με κάποιες επιπλέον αντιπροσωπευτικές συνθήκες που οδηγούν σε Artin στοίβες και, ακόμα πιο συγκεκριμένα, σε Deligne-Mumford στοίβες, και οι δύο συχνά ονομάζονται αλγεβρικές στοίβες.

Δείτε επίσης 
 Λίστα θεμάτων αντιμεταθετικής άλγεβρας
 Γλωσσάριο αντιμεταθετικής άλγεβρας
 Συνδυαστική αντιμεταθετική άλγεβρα
 Βάση Grobner
  Ομολογική άλγεβρα

Παραπομπές

Βιβλιογραφία 

 Michael Atiyah & Ian G. Macdonald, Introduction to Commutative Algebra, Massachusetts : Addison-Wesley Publishing, 1969.
 Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra. Chapters 1--7. Translated from the French. Reprint of the 1989 English translation. Elements of Mathematics (Berlin). Springer-Verlag, Berlin, 1998. xxiv+625 pp. ISBN 3-540-64239-0
 Bourbaki, Nicolas, Éléments de mathématique. Algèbre commutative. Chapitres 8 et 9. (Elements of mathematics. Commutative algebra. Chapters 8 and 9) Reprint of the 1983 original. Springer, Berlin, 2006. ii+200 pp. ISBN 978-3-540-33942-7
 David Eisenbud, Commutative Algebra With a View Toward Algebraic Geometry, New York : Springer-Verlag, 1999.
 Rémi Goblot, "Algèbre commutative, cours et exercices corrigés", 2e édition, Dunod 2001, ISBN 2-10-005779-0
 Ernst Kunz, "Introduction to Commutative algebra and algebraic geometry", Birkhauser 1985,  ISBN 0-8176-3065-1
 Matsumura, Hideyuki, Commutative algebra. Second edition. Mathematics Lecture Note Series, 56. Benjamin/Cummings Publishing Co., Inc., Reading, Mass., 1980. xv+313 pp. ISBN 0-8053-7026-9
 Matsumura, Hideyuki, Commutative Ring Theory. Second edition. Translated from the Japanese. Cambridge Studies in Advanced Mathematics, Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1989. ISBN 0-521-36764-6
 Nagata, Masayoshi, Local rings. Interscience Tracts in Pure and Applied Mathematics, No. 13. Interscience Publishers a division of John Wiley and Sons, New York-London 1962 xiii+234 pp.
 Miles Reid, Undergraduate Commutative Algebra (London Mathematical Society Student Texts), Cambridge, UK : Cambridge University Press, 1996.
 Jean-Pierre Serre, Local algebra. Translated from the French by CheeWhye Chin and revised by the author. (Original title: Algèbre locale, multiplicités) Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2000. xiv+128 pp. ISBN 3-540-66641-9 
 Sharp, R. Y., Steps in commutative algebra. Second edition. London Mathematical Society Student Texts, 51. Cambridge University Press, Cambridge, 2000. xii+355 pp. ISBN 0-521-64623-5 
 Zariski, Oscar; Samuel, Pierre, Commutative algebra. Vol. 1, 2. With the cooperation of I. S. Cohen. Corrected reprinting of the 1958, 1960 edition. Graduate Texts in Mathematics, No. 28, 29. Springer-Verlag, New York-Heidelberg-Berlin, 1975.