Τριώνυμο

Τριώνυμο στα μαθηματικά ονομάζεται κάθε παράσταση της μορφής . Ο όρος "τριώνυμο" προκύπτει από το γεγονός ότι πρόκειται για ένα άθροισμα τριών μονωνύμων. Συνήθη προβλήματα που αφορούν τριώνυμα είναι (μεταξύ άλλων) η εύρεση ριζών του τριωνύμου, η παραγοντοποίηση και η αναζήτηση του προσήμου του. Στα ελληνικά σχολεία οι μαθητές διδάσκονται τις βασικές τεχνικές που αφορούν το τριώνυμο στην Γ΄ Γυμνασίου και στην Γ΄ Λυκείου.

Ρίζες Τριωνύμου 
Ένα από τα βασικότερα προβλήματα που αφορούν τριώνυμα είναι η εύρεση των τιμών που τα μηδενίζουν, δηλαδή η επίλυση της εξίσωσης  . Η συγκεκριμένη εξίσωση συνήθως ονομάζεται δευτεροβάθμια εξίσωση ή εξίσωση 2ου βαθμού. Γι' αυτές τις εξισώσεις έχουν προταθεί πολλοί τρόποι επίλυσης, αλλά η πιο ευρέως διαδεδομένη είναι η μέθοδος της διακρίνουσας. Σε αυτή τη μέθοδο αρχικά υπολογίζεται η διακρίνουσα  του τριωνύμου με βάση τον τύπο . Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας το τριώνυμο έχει δύο, μία ή καμμιά πραγματική ρίζα. Πιο συγκεκριμένα, αν θεωρήσουμε ότι οι συντελεστές είναι πραγματικοί αριθμοί (δηλαδή ) θα ισχύει:

Αν , τότε η εξίσωση έχει δύο πραγματικές ρίζες οι οποίες δίνονται από τους τύπους ,  . 

Αν , τότε η εξίσωση έχει μόνο μια πραγματική ρίζα, η οποία δίνεται από τον τύπο . Η συγκεκριμένη ρίζα αναφέρεται συνήθως ως "διπλή ρίζα".

Τέλος, αν , τότε η εξίσωση δεν έχει πραγματικές ρίζες, δεν υπάρχουν δηλαδή πραγματικές τιμές που μηδενίζουν το αντίστοιχο τριώνυμο. Υπάρχουν όμως ρίζες που ανήκουν στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών και οι οποίες δίνονται από τους τύπους  ,  , όπου  είναι η φανταστική μονάδα με . Όπως προβλέπει και η θεωρία των μιγαδικών αριθμών, οι δύο ρίζες είναι συζυγείς μιγαδικοί αριθμοί.

Παραγοντοποίηση Τριωνύμου 
Πολύ συχνά προκύπτει η ανάγκη να μετατραπεί ένα τριώνυμο σε γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων, ώστε να γίνει κάποια απλοποίηση της παράστασης.  Και σε αυτή την περίπτωση ο υπολογισμός της διακρίνουσας παίζει κρίσιμο ρόλο.

Αν , τότε το τριώνυμο μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως εξής:  , όπου  είναι οι δύο πραγματικές ρίζες του τριωνύμου.

Αν , τότε μπορούμε να γράψουμε , όπου  είναι η διπλή ρίζα του τριωνύμου.

Τέλος, αν  , τότε το τριώνυμο δε μπορεί να γραφεί ως γινόμενο πρωτοβάθμιων παραγόντων με πραγματικούς συντελεστές. Μπορεί βέβαια να γραφεί ως γινόμενο παραγόντων με μιγαδικούς συντελεστές, χρησιμοποιώντας τις μιγαδικές ρίζες του τριωνύμου, δηλαδή: .

Πρόσημο Τριωνύμου 
Ένα ακόμη πρόβλημα που ανακύπτει συχνά είναι η ανάγκη αναζήτησης του προσήμου ενός τριωνύμου, δηλαδή η αναζήτηση των τιμών που πρέπει να βάλουμε στον άγνωστο   για να γίνει το τριώνυμο θετικό ή αρνητικό. Και πάλι υπάρχουν 3 περιπτώσεις, ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας.

Αν , τότε το τριώνυμο έχει το ίδιο πρόσημο με τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου  () εκτός από το διάστημα ενδιάμεσα των ριζών του όπου το πρόσημο είναι αντίθετο. Δηλαδή για όλα τα  το τριώνυμο παίρνει τιμές ομόσημες του , ενώ για όλα τα , το τριώνυμο παίρνει τιμές ετερόσημες του .

Αν , τότε το τριώνυμο έχει το ίδιο πρόσημο με τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου  () εκτός βέβαια από την τιμή της ρίζας όπου μηδενίζεται.

Τέλος, αν  , τότε το τριώνυμο έχει το ίδιο πρόσημο με τον συντελεστή του μεγιστοβάθμιου όρου  () για όλες τις τιμές του .

Τύποι Vieta 
Στην περίπτωση που το τριώνυμο έχει δύο ρίζες, μπορούμε εύκολα να βρούμε το άθροισμα και το γινόμενο των δύο ριζών χρησιμοποιώντας τους τύπους της διακρίνουσας. Συγκεκριμένα, μπορεί εύκολα να αποδειχθεί ότι:

.

Οι δύο παραπάνω τύποι, που συνδέουν το άθροισμα και το γινόμενο των ριζών με τους συντελεστές του τριωνύμου συνύθως ονομάζονται τύποι του Vieta.

Παραπομπές

Εξωτερικοί Σύνδεσμοι 
Τριώνυμο - βίντεο στο youtube

Μαθηματικά