Γενική τοπολογία

Στα μαθηματικά, η γενική τοπολογία είναι ένα μέρος της τοπολογίας που διαπραγματεύεται τους βασικούς συνολοθεωρητικούς  ορισμούς και κατασκευές που χρησιμοποιούνται στην τοπολογία. Είναι το θεμέλιο των περισσότερων άλλων κλάδων της τοπολογίας, περιλαμβανομένης της διαφορικής τοπολογίας, γεωμετρικής τοπολογίας, και αλγεβρικής τοπολογίας. Άλλο ένα όνομα για την γενική τοπολογία είναι σημειακή τοπολογία.

Οι θεμελιώδεις έννοιες στην γενική τοπολογία είναι η συνέχεια, η συμπάγεια και η συνεκτικότητα:
 Οι συνεχείς συναρτήσεις, διαισθητικά, απεικονίζουν κοντινά σημεία σε κοντινά σημεία. 
 Τα συμπαγή σύνολα είναι εκείνα που μπορούν να καλυφθούν από πεπερασμένο πλήθος συνόλων ανεξάρτητα από το μέγεθος τους.
 Τα συνεκτικά σύνολα είναι σύνολα που δεν μπορούν να χωριστούν σε δύο κομμάτια τα οποία είναι πολύ μακριά. 
Οι λέξεις "κοντινά", "αυθαίρετα μικρό", και "πολύ μακριά" μπορούν να γίνουν ακριβείς με τη χρήση ανοικτών συνόλων. Αν αλλάξουμε τον ορισμό του "ανοικτού συνόλου", αλλάζουμε την έννοια των συνεχών συναρτήσεων, των συμπαγών και συνεκτικών συνόλων. Κάθε επιλογή του ορισμού του "ανοικτού συνόλου" ονομάζεται τοπολογία. Ένα σύνολο με μια τοπολογική ιδιότητα ονομάζεται τοπολογικός χώρος.

Οι μετρικοί χώροι είναι ένα σημαντικό μέρος των τοπολογικών χώρων, όπου μπορεί να ορίζονται οι αποστάσεις ως ένας αριθμός που ονομάζεται μετρική. Η ύπαρξη μετρικής απλοποιεί πολλές αποδείξεις και πολλά από τα πιο κοινά είδη τοπολογικών χώρων είναι οι μετρικοί χώροι.

Ιστορία 
Η γενική τοπολογία αναπτύχθηκε σε ένα εύρος κατηγοριών, οι πιο σημαντικές είναι οι ακόλουθες:

Η λεπτομερής μελέτη της ευθείας των πραγματικών αριθμών (κάποτε γνωστή ως τοπολογία του σημειοσυνόλου) 
 Η εισαγωγή της έννοιας της πολλαπλότητας
Η μελέτη των μετρικών χώρων, ειδικά των γραμμικών χώρων με νόρμα , στις πρώτες μέρες της συναρτησιακής ανάλυσης.

Γενικά η τοπολογία πήρε τη σημερινή της μορφή γύρω στο 1940. Έχει συλλάβει, θα μπορούσε κανείς να πει, σχεδόν σε όλη την έννοια της συνεχούς συνάρτησης με μια τεχνικά κατάλληλη μορφή ώστε να εφαρμόζεται σε οποιαδήποτε περιοχή των μαθηματικών.

Τοπολογία σε σύνολα
Έστω X ένα σύνολο και το τ μια οικογένεια συνόλων των υποσυνόλων του X. Τότε το τ καλείται τοπολογικό στο Χ αν:

 Και το κενό σύνολο και το X είναι στοιχεία του τ
 Κάθε ένωση των στοιχείων του τ είναι στοιχείο του τ
 Κάθε τομή πεπερασμένου πλήθους στοιχείων του τ είναι στοιχείο του τ

Αν τ είναι τοπολογικό στο X, τότε το ζεύγος (X, τ) καλείται τοπολογικός χώρος. Ο συμβολισμός Xτ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να υποδηλώσει οτι το σύνολο X είναι εφοδιασμένο με την τοπολογία του τ.

Τα μέλη του τ ονομάζονται ανοιχτά σύνολα στο X. Ένα υποσύνολο του X λέγεται κλειστό σύνολο αν το συμπλήρωμά του ανήκει στο τ (δηλαδή είναι ανοικτό). Ένα υποσύνολο του X μπορεί να είναι ανοικτό, κλειστό, και τα δύο (ανοικτό κλειστό σύνολο) ή τίποτα. Το κενό σύνολο και το X είναι πάντα ταυτόχρονα κλειστά και ανοικτά.

Βάση για την τοπολογία 
Μια  'βάση'  (ή  'βάση' )  Β  για έναν τοπολογικό χώρο  Χ  με  τοπολογία  Τ  είναι μια συλλογή από ανοιχτά σύνολα  στον  Τ  έτσι ώστε κάθε ανοιχτό σύνολο στο   Τ  μπορεί να γραφεί ως ένωση των στοιχείων του  Β .   Εμείς λέμε ότι η βάση  δημιουργεί  την τοπολογία  Τ . Οι βάσεις είναι χρήσιμες, διότι πολλές τοπολογικές ιδιότητες  μπορεί να μειωθούν σε δηλώσεις σχετικά με μια βάση που παράγει η τοπολογία-και επειδή πολλές τοπολογίες είναι πιο εύκολο να ορίζονται με βάση μια βάση που τους παράγει.

Υποχώροι και πηλίκα
Σε κάθε υποσύνολο ενός τοπολογικού χώρου μπορεί να δοθεί η έννοια του τοπολογικού υποχώρου στην οποία τα ανοιχτά σύνολα είναι οι τομές των ανοιχτών συνόλων του μεγαλύτερου χώρου με το υποσύνολό του.Για κάθε  οικογένεια δεικτών ενός τοπολογικού χώρου, το αποτέλεσμα μπορεί να δώσει την παράγων τοπολογία, η οποία παράγεται από την αντίστροφη εικόνα των ανοικτών συνόλων των στοιχείων αυτών στο πλαίσιο των προβολών αντίστοιχα. Για παράδειγμα, σε πεπερασμένο σύνολο, μια βάση για την παράγουσα τοπολογία αποτελείται από το σύνολο των ανοιχτών συνόλων. Για άπειρα στοιχεία, υπάρχει η απαίτηση ότι σε ένα ανοιχτό σύνολο, όλες οι προβολές τους είναι όλο το σύνολο.

Ένας χώρος πηλίκο ορίζεται ως: αν το X είναι ένας τοπολογικός χώρος το Y είναι ένα σύνολο, και αν η f : X→ Y είναι επί συνάρτηση, τότε το πηλίκο της τοπολογίας του Y είναι μια συλλογή αντικειμένων του Y που έχουν ανοιχτές αντίστροφες εικόνες υπό την f. Με άλλα λόγια,η τοπολογία πηλίκου είναι η καλύτερη τοπολογία του Y για το οποίο η  f είναι συνεχής.  Ένα κοινό παράδειγμα είναι μια σχέση ισοδυναμίας που ορίζεται στον τοπολογικό χώρο του X.  Η σχέση f είναι τότε η φυσική προεξωχή επι του συνόλου των κλάσεων ισοδυναμίας.

Παραδείγματα τοπολογικών χώρων
Ένα δοσμένο σύνολο μπορεί να έχει πολλές διαφορετικές τοπολογίες.  Εάν σε ένα σύνολο δίνονται διαφορετικές τοπολογίες,αυτό θεωρείται ως ένα διαφορετικός τοπολογικός χώρος .Σε κάθε ομάδα μπορεί να δοθεί η ονομασία διακριτή τοπολογία στην οποία κάθε υποσύνολο είναι ανοιχτό . Οι μόνες συγκλίνουσες ακολουθίες σε αυτή την τοπολογία είναι αυτά που είναι τελικά σταθερές. Επίσης, οποιοδήποτε σύνολο μπορεί να δοθεί η ονομασία τετριμμένη τοπολογία (που ονομάζεται επίσης  ενιαία τοπολογία), στην οποία μόνο το κενό σύνολο και όλος ο χώρος είναι ανοιχτά. Κάθε ακολουθία και η γνήσια σε αυτήν την τοπολογία συγκλίνει σε κάθε σημείο του χώρου. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι σε γενικές γραμμές τοπολογικών χώρων, τα όρια των ακολουθιών δεν χρειάζεται να είναι μοναδικά. Ωστόσο, συχνά στους τοπολογικούς χώρους πρέπει να είναι χώροι Hausdorff, όπου το όριο των σημείων είναι μοναδικό.

Υπάρχουν πολλοί τρόποι να οριστεί μια τοπολογία R, το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Η βασική τοπολογία R παράγεται από τα ανοικτά διαστήματα. Το σύνολο όλων των ανοικτών διαστημάτων σχηματίζει μία  βάση η βάσεις για την τοπολογία, που σημαίνει ότι κάθε ανοιχτό σύνολο είναι μία ένωση από κάποια συλλογή συνόλων από τη βάση.Ειδικότερα, αυτό σημαίνει ότι ένα σύνολο είναι ανοιχτό, αν υπάρχει ένα ανοικτό διάστημα μη μηδενικής ακτίνας για κάθε σημείο του συνόλου.Γενικότερα, οι Ευκλείδειοι χώροι  Rn μπορούν να δώσουν μια τοπολογία. Στη συνήθη τοπολογία του Rn τα βασικά ανοικτά σύνολα είναι μπάλες. Ομοίως,το σύνολο C, των μιγαδικών αριθμών, και ο  Cn έχουν μια βασική τοπολογία την οποία τα ανοικτά σύνολα είναι όλα ανοικτές μπάλες.

Σε κάθε μετρικό χώρο μπορεί να δοθεί μια μετρική τοπολογία, στην οποία τα βασικά ανοικτά σύνολα είναι ανοικτές μπάλες που ορίζονται από την έννοια του μετρικού. Αυτή είναι η  τοπολογία σε οποιοδήποτε νορμικό διανυσματικό χώρο. Σε ένα πεπερασμένο διαστάσεων διανυσματικό χώρο Αυτή η τοπολογία είναι η ίδια για όλους τους κανόνες.

Πολλά σύνολα γραμμικών τελεστών  σε συναρτησιακή ανάλυση είναι εμφωδιασμένα με τοπολογίες που ορίζονται από το πότε η συνάρτηση μιας συγκεκριμένης σειράς  συγκλίνει στο μηδέν.

Οποιοδήποτε πεδίο έχει τοπολογία εγγενή σε αυτό, και αυτό μπορεί να επεκταθεί σε διανυσματικούς χώρους πάνω από το πεδίο.

Κάθε πολλαπλότητα έχει μια φυσική τοπολογία από την ευκλείδεια τοπολογία.  Ομοίως, κάθε  απλό και κάθε σύμπλοκο συμπεριλαμβάνει μια τοπολογία από το Rn.

Η τοπολογία Ζαρίσκι ορίζεται αλγεβρικά στο φάσμα δακτυλίου . Στο Rn ή Cn, τα κλειστά σύνολα Ζαρίσκι είναι οι  λύσεις συνόλων όλων των πολυωνυμικών εξισώσεων.

Ένα γραμμικό γράφημα έχει φυσική τοπολογία  και γενικεύεται σε πολλούς γεωμετρικούς τομείς όπως η θεωρία γραφημάτων με κορυφές και γωνίες.

Ο χώρος Σιερπίνσκι είναι το πιο απλό μη διακριτό τοπολογικό διάστημα. Σχετίζεται με την θεωρία υπολογισμών και τη σημασιολογία της.

Υπάρχουν πολλές τοπολογίες σε οποιοδήποτε πεπερασμένο σύνολο. Τέτοια διαστήματα καλούνται πεπερασμένα τοπολογικά διαστήματα. Πεπερασμένα τμήματα χρησιμοποιούνται μερικές φορές για παραδείγματα και αντιπαραδείγματα για τα γενικότερα τοπολογικά διαστήματα.

Σε κάθε σύνολο μπορεί να δοθεί η έννοια της πεπερασμένης τοπολογίας στην οποία τα ανοικτά σύνολα είναι τα κενά και τα σύνολα των οποίων τα συμπληρώματα είναι πεπερασμένα. Αυτό είναι το μικρότερο τοπολογικό T1 σε κάθε πεπερασμένο σύνολο.

Κάθε σύνολο είναι  τοπολογικά μετρίσιμο,όταν  ορίζεται ως ανοικτό αν είναι κενό η τα συμπληρωματικά του είναι μετρήσιμα. Όταν τα σύνολα είναι άπειρα, τότε χρησιμοποιείται ως αντιπαράδειγμα σε πολλές περιπτώσεις.

Η πραγματική γραμμή μπορεί να είναι το κατώτερο τοπολογικό όριο. Εδώ, τα βασικά ανοιχτά σύνολα είναι τα μισάνοιχτα διαστήματα  [a, b).  Αυτή η τοπολογία στο R είναι αυστηρά καλύτερη από την Ευκλείδεια τοπολογία που ορίστηκε παραπάνω ; μια ακολουθία συγκλίνει σε ένα σημείο σε αυτή την τοπολογία, εάν και μόνο εάν συγκλίνει και στην Ευκλείδεια τοπολογία. Αυτό το παράδειγμα δείχνει ότι ένα σύνολο μπορεί να έχει πολλές διακριτές τοπολογίες να ορίζονται σε αυτό.

Αν το Γ είναι διακριτός αριθμός, και το σύνολο Γ = [0, Γ) μπορεί να εφωδιαστεί με την τυπικη τοπολογία που γενικέυεται στα διαστήματα (a, b), [0, b) και (a, Γ) όπου a και b είναι στοιχεία του Γ.

Συνεχείς συναρτήσεις 

Η συνέχεια εκφράζεται σε όρους τοπολογικών περιοχών: Η  είναι συνεχής σε ένα  αν και μόνο αν  σε κάποια περιοχή του  η , υπάρχει μια περιοχή  του  τέτοια ώστε . Διαισθητικά, η συνέχεια σημαίνει ότι δεν έχει σημασία πόσο "μικρό" γίνεται το  , υπάρχει πάντα η  που περιέχει το  μέσα στο  και η εικόνα της  περιέχει το . Αυτό είναι ισοδύναμο με την προϋπόθεση ότι  η εικόνα των ανοιχτών (κλειστών) συνόλων του  είναι ανοιχτά (κλειστά) στο . Στα μετρικά διαστήματα, ο ορισμός αυτός είναι ισοδύναμος με την  δ -ευκρίνειας που χρησιμοποιείται συχνά στην ανάλυση.

Ένα ακραίο παράδειγμα: αν το σύνολο  μας δίνει τη διακριτή τοπολογία,όλες οι συναρτήσεις 

σε κάθε τοπολογικό χώρο  είναι συνεχείς. Από την άλλη, αν το  είναι εφωδιασμένο με μη διακριτή τοπολογία και το  σύνολο είναι  T0, τότε οι μόνες συνεχείς συναρτήσεις είναι οι σταθερές συναρτήσεις. Αντίθετα, οποιαδήποτε συνάρτηση των οποίων η εμβέλεια είναι μη διακριτή είναι συνεχής.

Εναλλακτικοί ορισμοί 
Αρκετοί Χαρακτηρισμοί για μια τοπολογική δομή υπάρχουν και ως εκ τούτου υπάρχουν διάφοροι ισοδύναμοι τρόποι για να ορίσετε μια συνεχή συνάρτηση.

Ορισμοί περιοχών
Οι ορισμοί βασίζονται σε προεικόνες που είναι συχνά δύσκολα να χρησιμοποιηθούν άμεσα. Το ακόλουθο κριτήριο εκφράζει τη συνέχεια όσον αφορά τις τοπολογικές περιοχές:Η f είναι συνεχής σε ένα σημείο x ∈ X αν και μόνο αν για κάθε περιοχή V του f(x), υπάρχει περιοχή U του x τετοια ώστε η f(U) ⊆ V.Διαισθητικά, η συνέχεια σημαίνει ότι δεν έχει σημασία πόσο "μικρός" γίνεται ο  V  , υπάρχει πάντα ένα U που περιέχει το x και χαρτογραφεί στο εσωτερικό V.

Αν τα X και Y είναι μετρικοί χώροι, είναι ισοδύναμο να εξετάστουν οι περιχές των ανοικτών μπαλών του κέντρου στο Χ και f (x) αντί για όλες τις περιοχές. Αυτό δίνει τον παραπάνω ορισμό δ-ε της συνέχειας στο πλαίσιο των μετρικών χώρων. Ωστόσο, γενικά στους τοπολογικούς χώρους, δεν υπάρχει έννοια της εγγύτητας ή της απόστασης.

Σημειώστε, ωστόσο, ότι αν ο χώρος  είναι χώρος Hausdorff, εξακολουθεί να είναι αλήθεια ότι η f είναι συνεχής στο α αν και μόνο αν το όριο των f στο x προσεγγίζοντας το a είναι f (α). Σε ένα απομονωμένο σημείο, κάθε συνάρτηση είναι συνεχής.

Παραπομπές