Αριθμητική πρόοδος

Αριθμητική πρόοδος είναι η ακολουθία , στην οποία για οποιοσδήποτε δύο διαδοχικούς όρους της ,  ισχύει ότι , για μία σταθερή ποσότητα . Η ποσότητα  ονομάζεται διαφορά της αριθμητικής προόδου. Αντίστροφα, αποδεικνύεται ότι, αν η διαφορά δύο οποιωνδήποτε διαδοχικών όρων μιας ακολουθίας είναι σταθερός αριθμός, δηλαδή ανεξάρτητος από το , τότε αυτή η ακολουθία είναι αριθμητική πρόοδος. Έτσι η αριθμητική πρόοδος, όπως πολλές ακολουθίες, έχει δύο ισοδύναμους ορισμούς:

Γενικός τύπος: , όπου ορίζεται ο -οστός όρος συναρτήσει του πρώτου όρου και της διαφοράς.
Αναδρομικός τύπος:  για , όπου ορίζεται ο -οστός όρος συναρτήσει του προηγούμενου όρου και της διαφοράς.

Για παράδειγμα, για  και , οι όροι της αριθμητικής προόδου είναι 

και για  και 

Η αριθμητική πρόοδος ικανοποιεί την γραμμική αναδρομική σχέση πρώτου βαθμού με σταθερούς συντελεστές και σταθερή οδηγό συνάρτηση.

Παραδείγματα 

 Αν  και  τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των φυσικών αριθμών: .
 Αν  και  τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των άρτιων φυσικών αριθμών: . Αντίστοιχα, για  και , είναι το σύνολο των αρνητικών άρτιων αριθμών: .
 Αν  και  τότε η αριθμητική πρόοδος είναι το σύνολο των περιττών φυσικών αριθμών: . Αντίστοιχα, για  και , είναι το σύνολο των αρνητικών περιττών αριθμών: .

Σχέση με άλλες ακολουθίες 

 Η αρμονική πρόοδος μπορεί να οριστεί ως κάθε ακολουθία αριθμών  με  ώστε η ακολουθία: ,  αποτελεί μία αριθμητική πρόοδο.
 Αν  είναι μία γεωμετρική πρόοδος με  και λόγο , τότε η ακολουθία  είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά , καθώς .

Ισοδυναμία ορισμών

Γενικός σε αναδρομικό τύπο 

Ξεκινώντας από τον γενικό τύπο έχουμε ότι , και επομένως οδηγούμαστε στον αναδρομικό.

Αναδρομικός σε γενικό τύπο 

Για να αποδείξουμε τον γενικό τύπο από τον αναδρομικό, θα χρησιμοποιήσουμε την μέθοδο της μαθηματικής επαγωγής για όλους τους φυσικούς αριθμούς .

Βασική Περίπτωση: Για , έχουμε ότι .

Επαγωγική Περίπτωση: Αν ισχύει για , δηλαδή , θα δείξουμε ότι ισχύει και για . Από τον αναδρομικό τύπο,

Επομένως ισχύει και για  και έτσι για όλους τους φυσικούς αριθμούς .

Ιδιότητες της προόδου

Μονοτονία 

Καθώς , προκύπτει άμεσα ότι:
 Αν , η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως αύξουσα.
 Αν , η αριθμητική πρόοδος είναι γνησίως φθίνουσα.
 Αν , η αριθμητική πρόοδος είναι σταθερή.

Γραφική παράσταση 

Η γραφική παράσταση της αριθμητικής προόδου είναι ισαπέχοντα διαδοχικά σημεία μιας ευθείας με κλίση ίση με .

Άθροισμα πρώτων όρων 
Το άθροισμα των  πρώτων όρων της αριθμητικής προόδου  (με πρώτο όρο τον ) ισούται με

Σύμφωνα με κάποιες πηγές, ο τύπος είχε υπολογιστεί από τον Γκάους σε ηλικία μόλις έντεκα χρονών, όντας ο μοναδικός μαθητής στην τάξη του που υπολόγισε σωστά το άθροισμα  και αποδεικνύοντας ότι το αποτέλεσμα ήταν σωστό ξεπερνώντας ακόμη και τον δάσκαλό του. Ο συμβατικός τρόπος (διαδοχική πρόσθεση των αριθμών) περιλάμβανε πάρα πολλές πράξεις και ήταν σχεδόν βέβαιο ότι θα γινόταν λάθος.

Η ιδέα της απόδειξης είναι ότι στο άθροισμα , οι όροι , , , κ.ο.κ. Επειδή υπάρχουν  τέτοια ζεύγη, λαμβάνουμε τον τύπο .

Στην γενική περίπτωση έχουμε για κάθε  ότι
.
Επομένως,

και καταλήγουμε ότι

που μπορεί να γραφτεί και ως,

Μέσος όρος 
Ο αριθμητικός μέσος όρος δύο αριθμών  και  είναι ο , αν και μόνο αν οι όροι , ,  είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου.

() Αν , τότε  και . Επομένως, για , έχουμε ότι  και .

() Αν  είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου, τότε  και . Επομένως, 
.

Υπολογισμός 

Ο παρακάτω κώδικας στην γλώσσα προγραμματισμού C++ χρησιμοποιεί τον αναδρομικό τύπο ώστε να τυπώσει τους πρώτους πέντε όρους της ακολουθίας

#include <iostream>

int main() {
   double a_1 = 4.0;
   double omega = 1.5;
   
   double a_n = a_1;
   for (int n = 1; n <= 5; ++n) {
     std::cout << "a_" << n << " = " << a_n << ", ";
     a_n = a_n + omega; // Υπολογισμός καινούργιου όρου.
   }
   return 0;
}
/* Τυπώνει: a_1 = 4, a_2 = 5.5, a_3 = 7, a_4 = 8.5, a_5 = 10, */

Ο παρακάτω κώδικας χρησιμοποιεί τον γενικό τύπο ώστε να υπολογίσει έναν όρο της ακολουθίας. Χρησιμοποιεί σταθερό αριθμό πράξεων. 
double arithmetic_nth(double a1, double omega, int n) {
   return a1 + (n - 1) * omega;
}
Ο αναδρομικός τύπος είναι πιο αργός καθώς χρειάζεται γραμμικό αριθμό πράξεων, δηλαδή  πράξεις.
double arithmetic_nth_recursive(double a1, double omega, int n) {
   if (n == 1) return a1;
   return omega + arithmetic_nth_recursive(a1, omega, n-1);
}

Δείτε επίσης 
 Γενικευμένη αριθμητική πρόοδος
 Γεωμετρική πρόοδος
 Αρμονική πρόοδος

Παραπομπές 

Ακολουθίες