Ομολογική Άλγεβρα

Ομολογική Άλγεβρα είναι ο κλάδος των μαθηματικών που μελετά την ομολογία σε ένα γενικό αλγεβρικό περιβάλλον. Είναι μια σχετικά νέα επιστήμη, της οποίας η προέλευση μπορεί να εντοπιστεί σε έρευνες στο πλαίσιο της συνδυαστικής τοπολογίας (ένας πρόδρομος στην Αλγεβρική Τοπολογία) και της αφηρημένης άλγεβρας (θεωρία των προτύπων  και συζυγίες) στα τέλη του 19ου αιώνα, κυρίως από τον Ανρί Πουανκαρέ και Νταβίντ Χίλμπερτ.

Η ανάπτυξη της ομολογικής άλγεβρας ήταν στενά συνυφασμένη με την εμφάνιση της θεωρίας κατηγοριών. Σε γενικές γραμμές, ομολογική άλγεβρα είναι η μελέτη των ομολογικών συναρτήσεων και των περίπλοκων αλγεβρικών δομών που συνεπάγονται. Μία πολύ χρήσιμη και συχνή έννοια στα μαθηματικά είναι η αλυσίδα συμπλεγμάτων, που μπορεί να μελετηθεί τόσο μέσω της ομολογίας όσο και μέσω της cohomology. Η Ομολογική Άλγεβρα παρέχει τα μέσα για την εξαγωγή πληροφοριών που περιέχονται στις αλυσίδες συμπλεγμάτων και τα παρουσιάζει με τη μορφή ομολογικών σταθερών των δακτυλίων, των προτύπων, των τοπολογικών χώρων και άλλων μαθηματικών αντικειμένων. Ένα ισχυρό εργαλείο για να γίνει αυτό, παρέχεται από τις φασματικές ακολουθίες.

Από τις αρχές της, η ομολογική άλγεβρα έχει παίξει τεράστιο ρόλο στην Αλγεβρική Τοπολογία. Η σφαίρα επιρροής της επεκτάθηκε σταδιακά και σήμερα περιλαμβάνει την αντιμεταθετική άλγεβρα, την αλγεβρική γεωμετρία, την Αλγεβρική Θεωρία Αριθμών, την Θεωρία αναπαραστάσεων, Μαθηματική Φυσική, Μιγαδική Ανάλυση και τη Θεωρία των μερικών Διαφορικών εξισώσεων. Η Κ-θεωρία είναι μια ανεξάρτητη θεωρία που βασίζεται στις μεθόδους της ομολογικής άλγεβρας, όπως και η μη-αντιμεταθετική γεωμετρία του Alain Connes.

Η ιστορία της ομολογικής άλγεβρας 
Η Ομολογική άλγεβρα άρχισε να μελετάται στην πιο βασική της μορφή το 1800 ως κλάδος της τοπολογίας, αλλά δεν ήταν μέχρι το 1940 που έγινε ένα ανεξάρτητο θέμα για τη μελέτη των ext functor, tor functor και άλλων.

Αλυσίδα συμπλεγμάτων και ομολογία 
Η αλυσίδα συμπλεγμάτων είναι η κεντρική ιδέα της ομολογικής άλγεβρας. Είναι μια ακολουθία  αντικειμένων (objects) και μορφισμών (morhisms), με την ιδιότητα ότι η σύνθεση δύο συνεχόμενων μετασχηματισμών είναι μηδέν:

Τα στοιχεία Cn ονομάζονται n-αλυσίδες και οι μορφισμοί dn ονομάζονται φραγμένες ή διαφορικές συναρτήσεις. Οι αλυσίδες CN μπορούν να τροφοδοτούνται με επιπλέον δομή. Για παράδειγμα, μπορεί να είναι διανυσματικοί χώροι ή πρότυπα πάνω από ένα σταθερό δακτύλιο R. Οι διαφορικές συναρτήσεις πρέπει να διατηρήσουν την επιπλέον δομή εάν υπάρχει. Για παράδειγμα, θα πρέπει να είναι γραμμικοί μετασχηματισμοί ή ομομορφισμοί προτύπων πάνω από το R. Για ευκολία, ασχολούμαστε με τις αβελιανές ομάδες (πιο σωστά, με την κατηγορία Ab των αβελιανών ομάδων). Σύμφωνα με το διάσημο θεώρημα του Barry Mitchell το παραπάνω αποτελέσμα γενικεύεται σε κάθε αβελιανή κατηγορία. Κάθε αλυσίδα συμπλεγμάτων ορίζει δύο ακόμη ακολουθίες των αβελιανών ομάδων, οι κύκλοι Zn = Ker dn και την φραγμένη ακολουθία Bn = Im dn+1, όπου Ker d και Im d δηλώνουν τον πυρήνα και την εικόνα του d αντίστοιχα. Δεδομένου ότι η σύνθεση των δύο φραγμένων ακολουθιών είναι μηδέν, ισχύει το παρακάτω

Τα παραπάνω προφανώς αποτελούν υποομάδες των αβελιανών ομάδων, γιατί μπορούμε να ορίσουμε την ν-οστή ομολογική ομάδα Hn(C) ως το πηλίκο του Zn προς του Bn

Οι αλυσίδες συμπλεγμάτων συναντιούνται σε μεγάλο βαθμό στην άλγεβρα και στην αλγεβρική τοπολογία. Για παράδειγμα, εάν το Χ είναι ένα τοπολογικός χώρος τότε οι singular αλυσίδες Cn (Χ) είναι γραμμικοί συνδυασμοί των συνεχών μετασχηματισμών από το πρότυπο n-simplex στο Χ. Αν K είναι ένα σύμπλεγμα simplicial τότε οι αλυσίδες simplicial Cn (K) είναι γραμμικοί συνδυασμοί των n-simplices του Χ. Αν Α = F / R όπου Α μια αβελιανή ομάδα Α από γενικεύσεις και σχέσεις, F είναι μια ελεύθερη αβελιανή ομάδα των γενικεύσεων και R είναι  υποομάδα των σχέσεων, στη συνέχεια, θέτοντας C1 (A) = R, C0 (Α ) = F, και Cn (A) = 0 καθορίζει μια ακολουθία των αβελιανών ομάδων για όλα τα n. Σε όλες αυτές τις περιπτώσεις, υπάρχουν φυσικές διαφορικές συναρτήσεις dn που μετατρέπουν την Cn σε μια αλυσίδα συμπλεγμάτων των οποίων η ομολογία αντικατοπτρίζει τη δομή του τοπολογικού χώρου X, το simplicial συγκρότημα Κ ή την αβελιανή ομάδα Α. Στην περίπτωση των τοπολογικών χώρων, φτάνουμε στο έννοια της singular ομολογίας, η οποία παίζει σημαντικό ρόλο στη διερεύνηση των ιδιοτήτων αυτών των χώρων όπως για παράδειγμα, στους συλλέκτες.

Σε φιλοσοφικό επίπεδο, η ομολογική άλγεβρα μας διδάσκει ότι ορισμένες αλυσίδες συμπλεγμάτων που σχετίζονται με αλγεβρικά ή γεωμετρικά αντικείμενα (τοπολογικούς χώρους, simplicial συμπλέγματα, R-πρότυπα) περιέχουν πολλές πολύτιμες αλγεβρικές πληροφορίες σχετικά με αυτά, με την ομολογία την πιο σημαντική. Σε τεχνικό επίπεδο, η ομολογική άλγεβρα παρέχει τα εργαλεία για το χειρισμό συμπλεγμάτων και την εξαγωγή αυτών των πληροφοριών. Εδώ είναι δύο γενικές απεικονίσεις.
 Τα δύο αντικείμενα τα Χ και Υ συνδέονται με μια συνάρτηση f μεταξύ τους. Η Ομολογική άλγεβρα μελετά τη σχέση, που προκαλείται από τον μετασχηματισμό f, μεταξύ αλυσίδων συμπλεγμάτων που συνδέονται με το Χ, το Υ και της ομολογίας τους. Αυτό γενικεύεται στην περίπτωση πολλών αντικειμένων και των μετασχηματισμών σύνδεσης τους. Διατυπώνοντας στη γλώσσα της Θεωρίας Κατηγοριών, η ομολογική άλγεβρα μελετά τις συναρτησιακές ιδιότητες των διαφόρων κατασκευών αλυσίδων συμπλεγμάτων και της ομολογίας αυτών των συμπλεγμάτων.

 Ένα αντικείμενο X που μπορεί να περιγραφεί με πολλούς τρόπους (για παράδειγμα, ως ένας τοπολογικός χώρος και ως σύμπλεγμα simplicial) ή ένα σύμπλεγμα   , κατασκευάζεται χρησιμοποιώντας κάποια «αναπαράσταση» του Χ, η οποία περιλαμβάνει μη-κανονικές επιλογές. Είναι σημαντικό να γνωρίζουμε την επίδραση της μεταβολής του Χ στις αλυσίδες συμπλεγμάτων που συνδέονται με το Χ. Τυπικά, το σύμπλεγμα και η ομολογία του   είναι συναρτησιακή σχέση με την αναπαράσταση και η ομολογία (όχι όμως το ίδιο το σύμπλεγμα) είναι στην πραγματικότητα ανεξάρτητη από την αναπαράσταση που θα επιλεγεί, έτσι το Χ παραμένει αναλλοίωτο.

Βασικά εργαλεία

Ακριβείς ακολουθίες 
Στο πλαίσιο της θεωρίας των ομάδων, μια ακολουθία

ομάδων και ομομορφισμών ονομάζεται ακριβής εάν η εικόνα (ή πεδίο τιμών) κάθε ομομορφισμού είναι ίση με τον πυρήνα της επόμενης:

Σημειώνεται ότι η ακολουθία των ομάδων και ομομορφισμών μπορεί να είναι είτε πεπερασμένη είτε να τείνει στο άπειρο.

Ένας παρόμοιος ορισμός μπορεί να γίνει και για ορισμένες άλλες αλγεβρικές δομές. Για παράδειγμα, κάποιος θα μπορούσε να έχει μια ακριβή ακολουθία των διανυσματικών χώρων και γραμμικών μετασχηματισμών, ή των προτύπων και πρότυπων ομομορφισμών. Γενικότερα, η έννοια της ακριβούς ακολουθίας έχει νόημα σε οποιαδήποτε κατηγορία με πυρήνες και cokernels.

Βραχεία ακριβής ακολουθία (ή Μικρή ακριβής ακολουθία) 
Ο πιο κοινός τύπος από τις ακριβείς ακολουθίες είναι η βραχεία ακριβής ακολουθία. Αυτή είναι μια ακριβής ακολουθία της μορφής 

όπου ƒ είναι μονομορφισμός και g είναι ένας επιμορφισμός. 

Στην περίπτωση αυτή, το Α είναι ένα υποαντικείμενο του Β, και το αντίστοιχο πηλίκο είναι ισόμορφο με το C:

(όπου f(A)=im(f)).

Μια μικρή ακριβής ακολουθία των αβελιανών ομάδων μπορεί επίσης να γραφεί ως ακριβής ακολουθία με πέντε όρους:

όπου το 0 αντιπροσωπεύει το αντικείμενο μηδέν, όπως την τετριμμένη ομάδα ή το διανυσματικό χώρο διάστασης μηδέν. Η τοποθέτηση των μηδενικών (0) αναγκάζει την ƒ να είναι ένας μονομορφισμός και την g  να είναι ένας επιμορφισμός (βλέπε παρακάτω).

Μακρά ακριβής ακολουθία 
Μια μακρά ακριβής ακολουθία είναι μια ακριβής ακολουθία η οποία αναπροσαρμόζονται από τους φυσικούς αριθμούς

Το λήμμα των πέντε 
Εξετάστε το ακόλουθο αντιμεταθετικό διάγραμμα σε κάθε αβελιανή κατηγορία (όπως στη κατηγορία των αβελιανών ομάδων ή στην κατηγορία των διανυσματικών χώρων πάνω από ένα δεδομένο τομέα) ή στην κατηγορία των ομάδων.

Το λήμμα των δηλώνει ότι:

1) Αν οι ακολουθίες είναι ακριβείς, m και p είναι επιμορφισμοί, και q είναι μονομορφισμός, τότε n είναι επιμορφισμός.

2) Αν οι ακολουθίες είναι ακριβείς, m και p είναι μονομορφισμοί, και l είναι επιμορφισμός, τότε n είναι μονομορφισμός. 

3) Αν οι ακολουθίες είναι ακριβείς, m και p είναι ισομορφισμοί, l είναι ένας επιμορφισμός, και q ένας μονομορφισμός, τότε το n είναι επίσης ένας ισομορφισμός.

Το λήμμα snake 
Σε μια αβελιανή κατηγορία (όπως η κατηγορία των αβελιανών ομάδων ή η κατηγορία των διανυσματικών χώρων πάνω από ένα δεδομένο τομέα), δείτε το παρακάτω αντιμεταθετικό διάγραμμα:

όπου οι σειρές είναι ακριβείς ακολουθίες και 0 είναι το αντικείμενο μηδέν. Τότε υπάρχει μια ακριβής ακολουθία που συνδέει τους πυρήνες και τα cokernels των a, b, και c:

Επιπλέον, εάν ο μορφισμός f είναι ένας μονομορφισμός, τότε έτσι είναι και ο μορφισμός kera→ Keb, και αν g’ είναι ένας επιμορφισμός, τότε έτσι είναι και το Cokerb → Cokerc.

Αβελιανές κατηγορίες 
Στα μαθηματικά, μια αβελιανή κατηγορία είναι μια κατηγορία στην οποία μπορούν να προστεθούν μορφισμοί και αντικείμενα και στην οποία υπάρχουν πυρήνες και cokernels και έχουν τις επιθυμητές ιδιότητες. Το πρότυπο παράδειγμα αβελιανών κατηγοριών είναι η κατηγορία των αβελιανών ομάδων Ab. Η θεωρία ξεκίνησε από μια διστακτική προσπάθεια του Alexander Grothendieck να ενοποιήσει διάφορες θεωρίες ομολογιών. Οι αβελιανές κατηγορίες είναι πολύ σταθερές κατηγορίες, για παράδειγμα, είναι κανονικές και πληρούν το λήμμα snake. Η κλάση των αβελιανών κατηγοριών είναι κλειστή κάτω από διάφορους κατηγορηματικούς περιορισμούς. Για παράδειγμα, η κατηγορία των αλυσίδων  συμπλεγμάτων μιας αβελιανής κατηγορίας ή στην κατηγορία των συναρτήσεων από μια μικρή κατηγορία σε αβελιανή κατηγορία, είναι επίσης αβελιανή. Αυτές οι ιδιότητες σταθερότητας είναι πλέον αναπόφευκτες στην ομολογική άλγεβρα. Η θεωρία έχει σημαντικές εφαρμογές στην αλγεβρική γεωμετρία, στην cohomoly και στην καθαρή θεωρία κατηγοριών. Οι αβελιανές κατηγορίες ονομάστηκαν έτσι από τον Niels Henrik Abel.

Πιο συγκεκριμένα, μία κατηγορία είναι αβελιανή αν
 έχει ένα αντικείμενο μηδέν,
 έχει όλα τα δυαδικά προϊόντα και δυαδικά συνπροϊόντα, και
 έχει όλους τους πυρήνες και cokernels.
 Όλοι οι μονομορφισμοί και επιμορφισμοί είναι κανονικοί.

Η Ext functor 
Ας είναι R ένας δακτύλιος και ModR είναι η κατηγορία των προτύπων πάνω στο R. Έστω Β ανήκει στην κατηγορία ModR και ορίζουμε το σύνολο T(B) = HomR(A, B), με σταθερές A που ανήκουν στην κατηγορία ModR. Αυτό είναι ένα left exact functor  και ως εκ τούτου έχει right derived functors RnT. Η Ext functor ορίζεται από

Αυτό μπορεί να υπολογιστεί από τη λήψη κάθε injective resolution

και υπολογίζοντας

Στη συνέχεια (RnT) (Β) είναι η ομολογία αυτού του συμπλέγματος. Σημειώνεται ότι HomR(A,B) εξαιρείται από το σύμπλεγμα. Ένας εναλλακτικός ορισμός δίνεται με τη χρήση της συνάρτησης G(A) = HomR(A,B). Για ένα σταθερό πρότυπο Β, αυτό είναι ένα αναλλοίωτο left exact functor, και έτσι έχουμε επίσης right derived functors  RnG, και ορίζεται

Αυτό μπορεί να υπολογιστεί επιλέγοντας κάθε προβολική επίλυση

και προχωρώντας ομοίως, υπολογίζοντας

Στη συνέχεια (RnG)(Α) είναι η ομολογία αυτού του συμπλέγματος. Πάλι σημειώνεται ότι homr (Α, Β) εξαιρείται.
Οι δύο αυτές κατασκευές αποδεικνύεται ότι δινουν ισομορφικά αποτελέσματα, και έτσι και οι δύο μπορούν να χρησιμοποιηθούν για τον υπολογισμό της Ext functor.

Η Tor functor 
Ας υποθέσουμε ότι το R είναι ένας δακτύλιος, και συμβολίζεται με R-Mod η κατηγορία του αριστερού R-προτύπου και Mod-R η κατηγορία του δεξιού R-προτύπου (εάν το R είναι αντιμεταθετικός δακτύλιος, οι δύο κατηγορίες συμπίπτουν). Διαλέξτε μια μονάδα προτύπου Β στην Ε-Mod. Για Α να ανήκει στην κατηγορία Mod-R, θέτουμε Τ (Α) = A⊗RB. Στη συνέχεια, το Τ είναι μια right derived functor από την κατηγορία Mod-R στην κατηγορία των αβελιανών ομάδων Ab (στην περίπτωση που το R είναι αθροιστικός δακτύλιος, είναι right derived functor από την κατηγορία Mod-R στην κατηγορία Mod-R) και left derived functors  LnT.Θέτουμε
 
δηλαδή, παίρνουμε μια προβολική επίλυση
 
στη συνέχεια, αφαιρούμε τον όρο Α και χρησιμοποιώντας τον τανυστή της προβολικής επίλυσης με το Β παίρνουμε το παρακάτω σύμπλεγμα.
 
(σημειώνεται ότι το A⊗RB δεν εμφανίζεται και το τελευταίο βέλος είναι μόνο η μηδενική συνάρτηση) και να πάρει την ομολογία του συμπλέγματος αυτού.

Φασματική ακολουθία 
Μια φασματική ακολουθία είναι μια επιλογή ενός μη αρνητικού ακέραιου αριθμού r0 και μια συλλογή από τρεις ακολουθίες:
 Για όλους τους ακεραίους r ≥ r0, ένα Er αντικείμενο, που ονομάζεται φύλλο (όπως σε ένα φύλλο χαρτί), ή μερικές φορές μια σελίδα ή ένας όρος,
 Ενδομορφισμοί dr: Er → Er που ικανοποιούν dr o dr = 0,που ονομάζονται φραγμένοι ή διαφορικοί μετασχηματισμοί,
Ισομορφισμοί του Er + 1 με H(ER), η ομολογία του Er σε σχέση με την dr.
Μια διπλά διαβαθμισμένη φασματική ακολουθία έχει ένα τεράστιο ποσό δεδομένων για παρακολούθηση, αλλά υπάρχει μια κοινή τεχνική απεικόνισης που καθιστά τη δομή της φασματικής ακολουθία σαφέστερη. Έχουμε τρεις δείκτες r, p, και q. Για κάθε r, φανταστείτε ότι έχουμε ένα φύλλο χαρτί. Σε αυτό το φύλλο, θα θεωρήσουμε p να είναι η οριζόντια κατεύθυνση και q να είναι η κατακόρυφη κατεύθυνση. Σε κάθε σημείο του πλέγματος έχουμε ένα αντικείμενο . 

Είναι πολύ κοινό το n = p + q να είναι ένας άλλος φυσικός δείκτης στη φασματική ακολουθία. Ο n κινείται διαγώνια, βορειοδυτικά προς νοτιοανατολικά, κατά μήκος κάθε φύλλου. Στην ομολογική περίπτωση, οι διαφορικές έχουν bidegree (-r, r - 1), έτσι ώστε να μειωθεί το n κατά ένα. Στην περίπτωση της cohomology, το n αυξάνεται κατά ένα. Όταν το r είναι μηδέν, οι διαφορικές μετακινούν αντικείμενα ενός χώρου πάνω ή κάτω. Αυτό είναι παρόμοιο με τις διαφορικές σε μια πολύπλοκη αλυσίδα. Όταν το r είναι ένα, οι διαφορικές μετακινούν αντικείμενα ενός χώρου προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά. Όταν το r είναι δύο, οι διαφορικές μετακινούν τα αντικείμενα όπως ακριβώς κινείται ενός ιππότης στο σκάκι. Για υψηλότερα r, η διαφορικές μετακινούν αντικείμενα ενός χώρου σαν την κίνηση του γενικευμένου ιππότη.

Παράγωγες συναρτήσεις 
Ας υποθέσουμε ότι μας δίνεται μια αναλλοίωτη  left exact functor F: A → B μεταξύ δύο αβελιανών κατηγοριών Α και Β. Αν 0 → Α → Β → C → 0 είναι μια σύντομη ακριβής ακολουθία στο Α, στη συνέχεια, εφαρμόζοντας την F παράγεται η ακριβής ακολουθία 0 → F (A) → F (B) → F (C) και θα μπορούσε κανείς να ρωτήσει πώς να συνεχίσουμε αυτή τη σειρά προς τα δεξιά για να σχηματιστεί μια μακρά ακριβής ακολουθία. Για να κυριολεκτήσουμε, το ερώτημα αυτό δεν έχει οριστεί με ακρίβεια, δεδομένου ότι πάντα υπάρχουν πολλοί διαφορετικοί τρόποι για να συνεχίσουμε μια δεδομένη ακριβής ακολουθία προς τα δεξιά. Αλλά αποδεικνύεται ότι (αν ο A είναι αρκετά "καλό") υπάρχει ένας κανονικός τρόπος για να γίνει αυτό, που δίνεται από το δικαίωμα που προέρχεται από τους παράγοντες της F. Για κάθε i≥1, υπάρχει μια συνάρτηση RiF: Α → Β, και η παραπάνω ακολουθία συνεχίζει έτσι: 0 → F (A) → F (Β) → F (C) → R1F (Α) → R1F (Β) → R1F (C) → R2F (Α) → R2F (Β) →... . Από αυτό βλέπουμε ότι η F είναι μια ext functor αν και μόνο αν R1F = 0, οπότε κατά μία έννοια το right derived functor της F είναι το «πόσο μακριά» είναι η F από το να γίνει ακριβής.

Functoriality 
Ένας συνεχής μετασχηματισμός των τοπογραφικών χώρων δημιουργεί ένα ομομορφισμό μεταξύ των n-οστών ομολογικών ομάδων τους για όλα τα n. Αυτό το βασικό γεγονός της Αλγεβρικής Τοπολογίας βρίσκει μια φυσική εξήγηση μέσω ορισμένων ιδιοτήτων των αλυσίδων συμπλεγμάτων. Δεδομένου ότι είναι πολύ κοινό να μελετήσεις διάφορους τοπολογικούς χώρους ταυτόχρονα, στην ομολογική άλγεβρα οδηγείται κανείς στην ταυτόχρονη εξέταση πολλαπλών αλυσίδων συμπλεγμάτων.

Ένας μορφισμός μεταξύ δύο αλυσίδων συμπλεγμάτων, , είναι μια οικογένεια ομομορφισμών των αβελιανών ομάδων Fn: Cn → Dn που σχετίζονται με τις διαφορικές, με την έννοια ότι ισχύει Fn -1 • DnC = DnD • Fn για όλα τα n. Ένας μορφισμός αλυσίδων συμπλεγμάτων προκαλεί ένα μορφισμό  των ομολογικών ομάδων, που αποτελείται από τους ομομορφισμούς Ηn (F): Hn (C) → Hn (D) για όλα τα n. Ένας μορφισμός F ονομάζεται quasi-ισομορφισμός αν προκαλεί ένα ισομορφισμό στην n-ομολογία για κάθε n. Πολλές κατασκευές αλυσίδων συμπλεγμάτων που προκύπτουν στην άλγεβρα και στη γεωμετρία, συμπεριλαμβανομένων την singular ομολογία, έχουν την ακόλουθη ιδιότητα functoriality: εάν δύο αντικείμενα Χ και Υ συνδέονται με μία συνάρτηση f, τότε οι σχετικές αλυσίδες συμπλεγμάτων συνδέονται με ένα μορφισμό F = C (f) από  στο  και επιπλέον, η σύνθεση g • f των συναρτήσεων f: X → Y και g: Y → Z δίνει την μορφισμό C (g • f) από  στο  που συμπίπτει με τη σύνθεση C(g) • C(f). Επομένως, η ομολογικές ομάδες  είναι επίσης functorial, έτσι ώστε οι μορφισμοί μεταξύ αλγεβρικών ή τοπολογικών αντικειμένων να προκαλούν συμβατούς μετασχηματισμούς μεταξύ των ομολογιών. Ο ακόλουθος ορισμός προκύπτει από μια τυπική κατάσταση στην άλγεβρα και στην τοπολογία. Μία τριάδα που αποτελείται από τρία συμπλέγματα  σφαίρα και δύο μορφισμούς μεταξύ τους, , ονομάζεται ακριβής τριάδα, ή σύντομη ακριβής ακολουθία συμπλεγμάτων, και γράφεται 
 
αν για κάθε n, η ακολουθία
 
είναι μια σύντομη ακριβής ακολουθία των αβελιανών ομάδων. Εξ ορισμού, αυτό σημαίνει ότι η fn είναι μία ένεση, gn είναι έφεση, και Im fn = Kergn. Ένα από τα πιο βασικά θεωρήματα της ομολογικής άλγεβρας, μερικές φορές γνωστό ως το λήμμα ζιγκ-ζαγκ, αναφέρει ότι, στην περίπτωση αυτή, υπάρχει μια μακρά ακριβής ακολουθία ομολογίας
 
όπου οι ομολογικές ομάδες L, M, και N κυκλικά ακολουθούν η μία την άλλη, και dn είναι  ομομορφισμοί που καθορίζονται από τις f και g, που ονομάζεται ομομορφισμοί σύνδεσης. Τοπολογικές εκδηλώσεις αυτού του θεωρήματος, περιλαμβάνουν την ακολουθία Mayer-Vietoris και τη μακρά ακριβής ακολουθία για τη σχετική ομολογία.

Θεμελιώδης αρχές 
Οι ομολογικές θεωρίες έχουν οριστεί για πολλά διαφορετικά αντικείμενα όπως οι τοπολογικοί χώροι, οι δεσμίδες, οι ομάδες, οι δακτύλιοι και η C*-άλγεβρα. Η μελέτη της μοντέρνας αλγεβρικής γεωμετρίας θα ήταν σχεδόν αδιανόητη χωρίς τις cohomological δεσμίδες.

Το κέντρο της ομολογικής άλγεβρας είναι η έννοια της ακριβής ακολουθία. Αυτά μπορούν να χρησιμοποιηθούν για να εκτελέσουν πραγματικούς υπολογισμούς. Ένα κλασικό εργαλείο της ομολογικής άλγεβρας είναι αυτό της παράγωγης συνάρτησης. Τα πιο βασικά παραδείγματα είναι οι Ext και Tor functors. Έχοντας μια ποικιλία εφαρμογών στο μυαλό θα ήταν φυσικό να προσπαθήσουμε να θέσουμε το όλο θέμα σε μία βάση. Υπήρξαν πολλές προσπάθειες προτού το όλο θέμα διευθετηθεί. Πάνω κάτω η ιστορία έχει ως εξής:
 Cartan-Eilenberg: Το 1956 στο βιβλίο τους “Homological Algebra” (ομολογική άλγεβρα) οι συγγραφείς αυτοί χρησιμοποίησαν τους όρους projective και injective module resolutions
 Tohoku: Η προσέγγιση στο celebrated paper από τον Alexander Grothendieck η οποία εμφανιστηκε στην δεύτερη σειρά του βιβλίου Tohoku Mathematical Journal το 1957 χρησιμοποιώντας την έννοια της αβελιανής κατηγορίας  (για να συμπεριλάβει τις δεσμίδες των αβελιανών ομάδων)
 Οι παράγωγες κατηγορίες των Grothendieck και Verdier. Αυτές οι κατηγορίες χρονολογούνται στις θέσεις του Verdier's το 1967. Αυτά είναι παραδείγματα των triangulated κατηγοριών που χρησιμοποιούνται σε πολλές μοντέρνες θεωριές.
Αυτές κινούνται από τον υπολογισμό στην γενικότητα.

Η υπολογιστική «βαριοπούλα» είναι κατεξοχήν η φασματική ακολουθία. Αυτά είναι σημαντικά στις προσεγγίσεις των Cartan-Eilenberg και Tohoku όπου είναι απαραίτητες. Παραδείγματος χάρη, για να υπολογίσουν τις παράγωγες συναρτήσεις μιας σύνθεσης δύο συναρτήσεων. Οι φασματικές ακολουθίες είναι λιγότερο σημαντικές στην προσέγγιση της παράγωγης κατηγορίας αλλά παίζουν ρόλο οποτεδήποτε συγκεκριμένοι υπολογισμοί είναι απαραίτητοι.

Έχουν υπάρξει προσπάθειες στις μη-αντιμεταθετικές θεωρίες οι οποίες επεκτείνουν πρώτα την cohomology σαν tonsor (σημαντικά στην Galois cohomology)
Αφηρημένη άλγεβρα