Θεωρία συνόλων

Στα μαθηματικά, θεωρία συνόλων ή συνολοθεωρία είναι η θεωρία που μελετάει τα σύνολα και είναι κλάδος της Μαθηματικής Λογικής. Σε αντίθεση με τις υπόλοιπες μαθηματικές θεωρίες που εξετάζουν δομές, δηλαδή σύνολα εφοδιασμένα με συναρτήσεις και σχέσεις (π.χ. ομάδες, τοπολογικοί χώροι) η θεωρία συνόλων μελετά τα ίδια τα σύνολα και τις μεταξύ τους σχέσεις. Άτυπα μπορούμε να πούμε ότι οποιοδήποτε συλλογή αντικείμενων του φυσικού κόσμου ή της νόησης είναι ένα σύνολο. Η θεωρία συνόλων χρησιμοποιεί σαν θεμελιώδη πρωταρχική σχέση την σχέση του "ανήκειν" (ή "είναι μέλος"), συμβολίζεται με є. Αν και ένα σύνολο μπορεί να περιέχει οποιοδήποτε τύπο αντικειμένου, η θεωρία συνόλων ασχολείται συνήθως με σύνολα που τα αντικείμενά τους σχετίζονται με τα μαθηματικά.

Η σύγχρονη μελέτη της θεωρίας συνόλων ξεκίνησε από τον Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) και τον Ντέντεκιντ (Dedekind) τη δεκαετία του 1870. Αρχικά η έννοια του συνόλου οριζόταν μέσω των κατηγορικών ιδιοτήτων. Κατηγορική είναι μια ιδιότητα για την οποία μπορούμε να απαντήσουμε, τουλάχιστον θεωρητικά, με ένα ναί ή με ένα όχι για το αν ένα αντικείμενο έχει (ικανοποιεί) αυτή την ιδιότητα. Έτσι για κάθε κατηγορική ιδιότητα Φ δέχονταν αξιωματικά ότι υπήρχε ένα σύνολο (δηλαδή μια συλλογή αντικειμένων) του οποίου τα μέλη ήταν ακριβώς εκείνα τα αντικείμενα για τα οποία η Φ ήταν αληθής (Αυτή η παραδοχή ονομάζεται γενική αρχή συμπερίληψης). Αυτή η αρχική μορφή της θεωρίας συνόλων ονομάζεται άτυπη (ή διαισθητική) θεωρία συνόλων. Μετά την ανακάλυψη παραδόξων (αντινομιών) στην άτυπη θεωρία συνόλων, όπως το παράδοξο του Ράσελ (Russell), έγινε φανερό ότι η Γενική Αρχή Συμπερίληψης είναι λάθος και ότι επομένως η έννοια του συνόλου έπρεπε να αποδοθεί πιο αυστηρά μέσα από ένα σύνολο αξιωμάτων. Μια πληθώρα από συστήματα αξιωμάτων προτάθηκαν την αρχή του εικοστού αιώνα, το πιο γνωστό από τα οποία είναι αυτό των Ζερμέλο-Φράνκελ (Zermelo–Fraenkel), μαζί με το Αξίωμα της Επιλογής , γνωστό και ως ZFC. Αν δεχθούμε όλα τα αξιώματα των Ζερμέλο-Φράνκελ, αλλά όχι το Αξίωμα της Επιλογής τότε λέμε ότι έχουμε (ακολουθούμε) το σύστημα ZF.

Η θεωρία συνόλων, ειδικά το σύστημα ZFC, είναι το πιο διαδεδομένο σύστημα για την θεμελίωση των μαθηματικών. Η γλώσσα της Θεωρίας Συνόλων χρησιμοποιείται στους ορισμούς σχεδόν όλων των μαθηματικών αντικειμένων, όπως οι συναρτήσεις, και έννοιες της Συνολοθεωρίας υπάρχουν σε όλα τα διδακτέα προγράμματα των τμημάτων των μαθηματικών στα πανεπιστήμια. Στοιχειώδη δεδομένα για τα σύνολα και για την ιδιότητα "μέλους συνόλου" μπορούν να εισαχθούν στο δημοτικό σχολείο, με την χρήση των διαγράμματων Βεν, για τη μελέτη συλλογών από κοινά φυσικά αντικείμενα. Βασικές πράξεις όπως η ένωση και η τομή συνόλων μπορούν να μελετηθούν σ'αυτό το πλαίσιο. Πιο προχωρημένες έννοιες όπως η πληθικότητα είναι βασικό κομμάτι του προπτυχιακού διδακτικού προγράμματος των Μαθηματικών Σχολών.

Πέρα από τη χρήση της ως θεμέλιο των ίδιων των μαθηματικών, η Θεωρία Συνόλων είναι ένας κλάδος των μαθηματικών από μόνη της, με ενεργή ερευνητική κοινότητα. Η σύχρονη έρευνα στη συνολοθεωρία περιλαμβάνει μια ποικίλη συλλογή από θέματα, από τη δομή της ευθείας των πραγματικών αριθμών ως τη μελέτη της συνέπειας για μεγάλους πληθάριθμους.

Ιστορία 
Συνήθως οι μαθηματικές θεωρίες προκύπτουν και εξελίσσονται δια της αλληλεπιδράσεως μεταξύ των ερευνητών. Ωστόσο, η Θεωρία Συνόλων αναπτύχθηκε από μία και μοναδική εργασία του Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) το 1874: "Σχετικά με την χαρακτηριστική ιδιότητα των αλγεβρικών αριθμών".

Ήδη από τον 5ο αιώνα π.Χ, ο αρχαίος Έλληνας μαθηματικός Ζήνων από την μία αλλά και οι αρχαίοι Ινδοί μαθηματικοί από την άλλη, εργάστηκαν πάνω στην έννοια του απείρου. Αξιοσημείωτη είναι η δουλειά του Μπερνάρντ Μπολζάνο (Bernard Bolzano) στο πρώτο μισό του 19ου αιώνα. Η μοντέρνα αντίληψη περί απείρου ξεκίνησε μεταξύ 1867-71, και προέκυψε μέσα από την δουλειά του Κάντορ πάνω στην Πραγματική Ανάλυση. Μία συνάντηση των Κάντορ και Ντέντεκιντ (Richard Dedekind) το 1872 θα επηρεάσει ριζικά τον τρόπο σκέψης του Κάντορ καταλήγοντας στην σχετική εργασία του 1874. 

Το έργο του αρχικά δίχασε του μαθηματικούς της εποχής. Παρ' όλο που οι Καρλ Βάιερστρας (Karl Weierstrass) και Ντέντεκιντ (Dedekind) υποστήριξαν τον Κάντορ, ο Λέοπολντ Κρόνεκερ (Leopold Kronecker), ο οποίος τώρα θεωρείται ως ο θεμελιωτής του μαθηματικού κονστρουκτιβισμού, δεν έπραξε το ίδιο. Η Καντοριανή Θεωρία Συνόλων έγινε ευρέως γνωστή εξαιτίας της χρησιμότητας των εννοιών της, όπως της αμφιμονοσήμαντης αντιστοιχίας συνόλων, της απόδειξής του ότι υπάρχουν περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί απ'ότι ακέραιοι, και του "απείρου των απείρων" ("Ο παράδεισος του Κάντορ" - "Cantor's paradise") ως αποτέλεσμα του τελεστή του δυναμοσύνολου. Η χρησιμότητα της θεωρίας συνόλων οδήγησε στο άρθρο "Μένγκενλερε" ("Mengenlehre") του Άρτουρ Σουνφλις (Arthur Schoenflies) που δημοσιεύτηκε στην εγκυκλοπαίδεια του Klein το 1898.

Ορισμένη οντολογία 
Κύριο άρθρο:το σύμπαν του von Neumann
Ένα σετ είναι καθαρό αν όλα τα μέλη του είναι σύνολα,όλα τα μέλη των μελών του είναι σύνολα, και ούτω καθεξής. Για παράδειγμα, το σύνολο {{}}που περιέχει μόνο το κενό σύνολο είναι ένα μη κενό καθαρό σύνολο. Στη σύγχρονη Θεωρία Συνόλων , είναι συνηθισμένο να περιορίζεται η προσοχή στο σύμπαν των καθαρών συνόλων του von Neumann, και πολλά συστήματα της Αξιωματικής Θεωρίας Συνόλων είναι σχεδιασμένα μόνο για την αξιωματική θεωρία των καθαρών συνόλων. Υπάρχουν πολλά τεχνικά πλεονεκτήματα σε αυτόν τον περιορισμό,και η ελάχιστη γενικότητα είναι χαμένη,επειδή ουσιαστικά όλες οι μαθηματικές έννοιες μπορούν να μοντελοποιηθούν από καθαρά σύνολα. Τα σύνολα στο σύμπαν von Neumann είναι οργανωμένα σε μια σωρευτική ιεραρχία, βασισμένη στο πόσο βαθιά τα μέλη τους,τα μέλη των μελών, κλπ είναι ένθετα.Στο κάθε σύνολο σε αυτή την ιεραρχία ανατίθεται ένας τακτικός αριθμός α, γνωστός ως τάξη του. Η τάξη ενός καθαρού συνόλου X ορίζεται ως το λιγότερο άνω άκρο όλων των διαδόχων της τάξης των μελών του X.Για παράδειγμα, στο κενό σύνολο ανατίθεται η τάξη 0,ενώ στο σύνολο {{}} συμπεριλαμβανομένου μόνο του κενού συνόλου ανατίθεται η τάξη 1.Για κάθε τακτικό α, το σύνολο Vα ορίζεται να αποτελείται από όλα τα καθαρά σύνολα με τάξη μικρότερη από α.Ολόκληρο το σύμπαν του von Neumann συμβολίζεται με V.

Βασικές έννοιες και συμβολισμοί 
 Κύρια άρθρα:σύνολο (μαθηματικά) και άλγεβρα συνόλων 
 Η θεωρία συνόλων ξεκινά με μια βασική δυαδική σχέση μεταξύ ενός αντικειμένου Ο και ενός συνόλου Α. Αν Ο είναι μέλος(ή στοιχείο) του Α τότε γράφουμε ότι Ο∈Α. Δεδομένου ότι τα σύνολα είναι αντικείμενα οι σχέσεις των μελών μπορούν να αφορούν και σύνολα. Μια δυαδική σχέση που προέρχεται μεταξύ δύο συνόλων είναι επίσης σχέση υποσυνόλων που ονομάζεται σειρά ένταξης. Αν όλα τα μέλη του συνόλου Α είναι μέλη του συνόλου Β, τότε το Α είναι υποσύνολο του Β και συμβολίζεται με Α⊆Β. Για παράδειγμα το σύνολο {1,2} είναι υποσύνολο του {1,2,3}, όπως επίσης και το σύνολο {2} είναι υποσύνολο του {1,2,3} σε αντίθεση με το {1,4} που δεν είναι. Από αυτόν τον ορισμό είναι ξεκάθαρο ότι κάθε σύνολο είναι υποσύνολο του εαυτού του. Για τις περιπτώσεις που κάποιος επιθυμεί να αποκλείσει αυτό το ενδεχόμενο ο  όρος κατάλληλο υποσύνολο ορίζεται. Το Α ονομάζεται κατάλληλο υποσύνολο του Β αν και μόνο αν το Α είναι ένα υποσύνολο του Β, αλλά Β δεν είναι ένα υποσύνολο του Α. Σημειώστε επίσης ότι 1 και 2 και 3 είναι μέλη (στοιχεία) του συνόλου {1,2,3} , αλλά δεν είναι υποσύνολα, και τα υποσύνολα με τη σειρά τους δεν είναι ως εκ τούτου μέλη του συνόλου.

Ακριβώς όπως η αριθμητική διαθέτει δυαδικές πράξεις σε αριθμούς, η θεωρία συνόλων διαθέτει δυαδικές πράξεις σε σύνολα. Τις εξής:
Ένωση συνόλων των συνόλων Α και Β, που συμβολίζεται με Α ∪ Β και είναι το σύνολο όλων των αντικειμένων που είναι μέλος της Α, ή Β, ή και των δύο. Η ένωση του {1, 2, 3} και {2, 3, 4} είναι το σύνολο {1, 2, 3, 4}.
Τομή συνόλων  και για παράδειγμα των σύνολων Α και Β, που συμβολίζεται Α ∩ Β, είναι το σύνολο όλων των αντικειμένων που είναι μέλη και  των δύο Α και Β. Η τομή του {1, 2, 3} και {2, 3, 4} είναι το σύνολο {2 , 3}.
Διαφορά συνόλων για παράδειμα ενός συνόλου U και Α , συμβολίζεται U \ Α, είναι το σύνολο όλων των μελών του U που δεν είναι μέλη της Α Το σύνολο της διαφοράς {1,2,3} \ {2,3,4} είναι {1}, ενώ, αντίθετα, το σύνολο {2,3,4 } \ {1,2,3} είναι {4}. Όταν το Α είναι ένα υποσύνολο του U, το σύνολο της διαφοράς U \ Α ονομάζεται επίσης το συμπλήρωμα του Α σε U. Στην περίπτωση αυτή, εάν η επιλογή του U είναι σαφή από τα συμφραζόμενα, ο συμβολισμός Ac χρησιμοποιείται μερικές φορές αντί του U \ A , ιδιαίτερα εάν το U είναι ένα οικομενικού συνόλου, όπως θα διαπιστώσει κανείς αν μελετήσει το Διαγραμμα Venn.
Συμμετρική διαφορά των συνόλων Α και Β, που συμβολίζεται Α △ Β ή Α ⊖ Β, είναι το σύνολο όλων των αντικειμένων που είναι ένα μέλος  ακριβώς ενός από τα Α και Β (τα στοιχεία που βρίσκονται σε ένα από τα σετ, αλλά όχι και στα δύο). Για παράδειγμα, για τα σύνολα {1,2,3} και {2,3,4}, η συμμετρική σετ διαφορά είναι {1,4}. Είναι το σύνολο διαφοράς της ένωσης και της τομής, (Α ∪ Β) \ (Α ∩ Β) ή (A \ B) ∪ (Β \ Α).
Καρτεσιανό γινόμενο των Α και Β, που συμβολίζεται Α × Β, είναι το σύνολο του οποίου τα μέλη είναι όλα τα δυνατά διατεταγμένα ζεύγη (a, b), όπου a είναι ένα μέλος των Α και b είναι μέλος της Β το καρτεσιανό γινόμενο {1, 2} και {κόκκινο, λευκό} είναι {(1, κόκκινο), (1, λευκό), (2, κόκκινο), (2, λευκό)}.
Δυναμοσύνολο ενός συνόλου Α είναι το σύνολο του οποίου τα μέλη είναι όλα τα δυνατά υποσύνολα του Α Για παράδειγμα, το δυναμοσύνολο του {1, 2} είναι {{}, {1}, {2}, {1,2}}.

Μερικά βασικά σύνολα κεντρικής σημασίας είναι το κενό σύνολο (η μοναδική ομάδα που δεν περιέχει στοιχεία), το σύνολο των φυσικών αριθμών, και το σύνολο των πραγματικών αριθμών.

Εφαρμογές 
Πολλές μαθηματικές έννοιες μπορούν να οριστούν ακριβώς χρησιμοποιώντας μόνο σύνολα θεωρητικών εννοιών. Για παράδειγμα, μαθηματικές δομές τόσο διαφορετικές όσο γραφήματα,πολυχώροι,δακτύλιοι και διανυσματικοί χώροι μπορούν όλοι να όλοι να ορισθούν ως σύνολα ικανοποιώντας  διάφορες (αξιωματικές) ιδιότητες.Ισοδυναμία και προκείμενες σχέσεις είναι πανταχού παρόντα στα μαθηματικά, και η θεωρία των μαθηματικών σχέσεων μπορούν να περιγραφούν στη θεωρία συνόλων.

Η θεωρία συνόλων είναι επίσης ένα πολλά υποσχόμενο θεμελιακό σύστημα για το μεγαλύτερο μέρος των μαθηματικών. Από τη δημοσίευση του πρώτου τόμου του Principia Mathematica, προβλήθηκε ο ισχυρισμός ότι τα περισσότερα ή ακόμα όλα τα μαθηματικά θεωρήματα μπορούν να παραχθούν με τη χρήση ενός εύστοχα σχεδιασμένου συνόλου αξιωμάτων για τη θεωρία συνόλων, επαυξημένου με πολλούς ορισμούς, χρησιμοποιώντας την λογική πρώτης τάξης ή δεύτερης.Για παράδειγμα, ιδιότητες των φυσικών και πραγματικών αριθμών μπορούν να προκύψουν μέσα από τη θεωρία συνόλων, καθώς το κάθε σύστημα αριθμών μπορεί να ταυτοποιηθεί με ένα σύνολο από κλάσεις ισοδυναμίας κάτω από την κατάλληλη σχέση ισοδυναμίας της οποίας το πεδίο είναι κάποιο άπειρο σύνολο.

Η θεωρία συνόλων ως θεμέλιο για τη μαθηματική ανάλυση, την τοπολογία, την αφηρημένη άλγεβρα και τα διακριτά μαθηματικά είναι επίσης αναμφισβήτητη.Μαθηματικοί αποδέχονται ότι (κατ 'αρχήν) θεωρήματα σε αυτούς τους τομείς μπορεί να προέλθουν από τους σχετικούς ορισμούς και τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων. Λίγες πλήρεις παραγωγές σύνθετων μαθηματικών θεωρημάτων από τη θεωρία συνόλων έχουν επισήμως επιβεβαιωθεί, ωστόσο, επειδή οι τυπικές παραγωγές είναι συχνά πολύ περισσότερες από ό,τι η φυσική γλώσσα αποδεικνύει μαθηματικούς που συνήθως υπάρχουν. Ένα έργο επαλήθευσης, Metamath, περιλαμβάνει τις ανθρωπίνως-γραπτές, τις υπολογιστικά-επαληθευμένες παραγωγές πάνω από 12.000 θεωρημάτων ξεκινώντας από τη ZFC θεωρία συνόλων, λογική πρώτης τάξης και προτασιακή λογική.

Αξιωματική θεωρία συνόλων 
Η στοιχειώδης θεωρία των συνόλων μπορεί να μελετηθεί άτυπα και διαισθητικά , και έτσι μπορεί να διδαχθεί στα σχολεία της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης , χρησιμοποιώντας το Διάγραμμα Venn. Η διαισθητική προσέγγιση υποθέτει σιωπηρά ότι μια σειρά μπορεί να σχηματιστεί από την κλάση όλων των αντικειμένων που ικανοποιούν κάθε συγκεκριμένη και καθοριστική κατάσταση. Αυτή η υπόθεση δημιουργεί παράδοξα , τα απλούστερα και πιο γνωστά από τα οποία είναι το Παράδοξο του Russell και το Burali - Forti παράδοξο. Η αξιωματική θεωρία συνόλων αρχικά επινοήθηκε για να απαλλαγούμε από την θεωρία των συνόλων αυτών των παραδόξων.

Τα πιο ευρέως μελετημένα συστήματα της αξιωματικής θεωρίας συνόλων οδηγούν στο συμπέρασμα ότι όλα τα σύνολα αποτελούν μια Αθροιστική ιεραρχία. Τέτοια συστήματα ταξινομούνται σε δύο κατηγορίες εκ των οποίων η οντολογία αποτελείται από:
 Μόνα σύνολα.Αυτό περιλαμβάνει την πιο κοινή αξιωματική θεωρία συνόλων , Zermelo - Fraenkel θεωρία συνόλων ( ZFC ), το οποίο περιλαμβάνει το Αξίωμα της επιλογής.Θραύσματα του ZFC περιλαμβάνουν :
 Τη θεωρία συνόλων Zarmelo, που αντικαθιστά Το αξίωμα σχήμα της αντικατάστασης με αυτό του Διαχωρισμού;                                                                                                                                                                                                      
 Τη Γενική θεωρία συνόλων , ένα μικρό θραύσμα από τη θεωρία συνόλων Zarmelo επαρκεί για τα Αξιώματα Peano και τα Πεπερασμένα σύνολα;
 Τη Θεωρία συνόλων Kripke-Platek που παραλείπει τα αξιώματα του απείρου, δυναμοσύνολο και επιλογή και αποδυναμώνει τα αξιώματα του Διαχωρισμού και της αντικατάστασης;
 Σύνολα και κατάλληλες τάξεις. Αυτές περιλαμβάνουν τη θεωρία των συνόλων Von Neumann-Bernays-Γκέντελ, η οποία έχει την ίδια δύναμη όπως η  ZFC για θεωρήματα για τα σύνολα και μόνο, και η Μορς-Kelley θεωρία των συνόλων και η Tarski-Grothendieck θεωρία των συνόλων.Και τα δύο είναι ισχυρότερα από ό,τι η  ZFC.

Τα παραπάνω συστήματα μπορούν να τροποποιηθούν ώστε να επιτρέψουν urelements, αντικείμενα που μπορούν να είναι μέλη των συνόλων, αλλά που δεν είναι τα ίδια σύνολα και δεν έχουν κανένα μέλος.Τα συστήματα των Νέων Ιδρυμάτων NFU (επιτρέποντας urelements) και NF (χωρίς αυτά) δεν βασίζονται σε σωρευτική ιεραρχία. NF και NFU περιλαμβάνουν ένα "σύνολο των πάντων", σε σχέση με το οποίο κάθε ομάδα έχει ένα συμπλήρωμα. Σε αυτά τα συστήματα urelements σημασία έχει ότι χάρη στα NFU αλλά όχι στα NFU, παράγονται τα σύνολα για τα οποία το αξίωμα της επιλογής δεν τα κατέχει.Συστήματα εποικοδομητικής θεωρίας συνόλων, όπως CST, czf, και IZF, ενσωματώνονται στο σύνολο αξιωμάτων τους στην ενορατική αντί της κλασικής λογικής. Ωστόσο, άλλα συστήματα δέχονται την κλασική λογική, αλλά διαθέτουν μια όχι συνηθισμένη σχετικά με την ένταξη. Αυτά περιλαμβάνουν την ακατέργαστη θεωρία των συνόλων και η συγκεχυμένη καθορισμένη θεωρία, κατά την οποία η αξία ενός ατομικού τύπου που ενσωματώνει τη σχέση των μελών δεν είναι απλά Σωστό ή Λάθος. Η άλγεβρα Boole μοντέλα της ZFC είναι ένα συναφές θέμα.

Ένας εμπλουτισμός της ZFC ονομάζεται Εσωτερική Θεωρία Συνόλων και προτάθηκε από τον Έντουαρντ Νίλσον το 1977.

Βιβλιογραφία 
 "Naive Set Theory", Paul R. Halmos, Springer-Verlag, 1960 (ελληνική μετάφραση: "Αφελής συνολοθεωρία", μτφ. Γιώργος Κολέτσος, εκδόσεις Εκκρεμές, Αθήνα, 2002, ISBN 960-7651-26-X)
 "Notes on Set Theory", Yannis N. Moschovakis, Springer, 2nd edition, 2005 (λληνική έκδοση "Σημειώσεις στη Συνολοθεωρία", εκδόσεις Νεφέλη, 1993)
 "Set Theory", Tomas Jech, Springer, 3rd edition, 2006

Μαθηματική λογική