Χώρος Χίλμπερτ

Η μαθηματική έννοια του χώρου Χίλμπερτ, που πήρε το όνομα του από τον Ντάβιντ Χίλμπερτ (David Hilbert), γενικεύει την έννοια του ευκλείδειου χώρου. Επεκτείνει τις μεθόδους της γραμμικής άλγεβρας και του λογισμού, τόσο από το δισδιάστατο ευκλείδειο χώρο, όσο και τον τριδιάστατο χώρο σε χώρους κάθε πεπερασμένου ή άπειρου αριθμού διαστάσεων. Ένας χώρος Χίλμπερτ είναι ένας αφηρημένος διανυσματικός χώρος εφοδιασμένος με εσωτερικό γινόμενο, το οποίο τον καθιστά μετρήσιμο. Επιπλέον, οι χώροι Χίλμπερτ είναι πλήρεις: υπάρχουν δηλαδή αρκετά όρια στον χώρο για να επιτρέψουν τις τεχνικές του λογισμού, που πρέπει να χρησιμοποιηθούν.
  
Χώροι Χίλμπερτ προκύπτουν φυσικά και συχνά στα μαθηματικά και τη φυσική, συνήθως ως απειροδιάστατες λειτουργίες χώρων. Οι πρώτοι χώροι Χίλμπερτ μελετήθηκαν από την άποψη αυτή κατά την πρώτη δεκαετία του 20ού αιώνα από τους Ντέιβιντ Χίλμπερτ, Έρχαρντ Σμιτ και Φρίντες Ρης. Είναι απαραίτητα εργαλεία στις θεωρίες των μερικών διαφορικών εξισώσεων, την κβαντομηχανική, την ανάλυση Φουριέ (η οποία περιλαμβάνει εφαρμογές για την  επεξεργασία σήματος και τη μεταφορά θερμότητας) και την εργοδική θεωρία, η οποία αποτελεί τη μαθηματική υποστήριξη της θερμοδυναμικής. Ο Τζον φον Νόιμαν επινόησε τον όρο χώρο Χίλμπερτ για την αφηρημένη έννοια, που κρύβεται πίσω από πολλές από αυτές τις ποικίλες εφαρμογές. Η επιτυχία των μεθόδων του χώρου Χίλμπερτ μπαίνει σε μια πολύ γόνιμη εποχή για τη συναρτησιακή ανάλυση. Εκτός από τους κλασσικούς Ευκλείδειους  χώρους, παραδείγματα των χώρων Χίλμπερτ περιλαμβάνονται στους χώρους των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων, τους χώρους των ακολουθιών, τους χώρους Sobolev που αποτελούνται από γενικευμένες συναρτήσεις και τους χώρους Hardy των αναλυτικών συναρτήσεων.

Η γεωμετρική διαίσθηση παίζει σημαντικό ρόλο σε πολλές πτυχές της θεωρίας του χώρου Hilbert. Ακριβή ανάλογα του πυθαγορείου θεωρήματος και του νόμου παραλληλογράμμου συγκρατούν ένα χώρο Hilbert. Σε ένα βαθύτερο επίπεδο, η κάθετη προβολή επί ενός υπόχωρου (το ανάλογο της «ρίψης του υψομέτρου» ενός τριγώνου) παίζει σημαντικό ρόλο στη βελτιστοποίηση των προβλημάτων και σε άλλες πτυχές της θεωρίας. Ένα στοιχείο του χώρου Hilbert μπορεί να προσδιοριστεί με μοναδικό τρόπο από τις συντεταγμένες του σε σχέση με ένα σύνολο από τους άξονες συντεταγμένων (ορθοκανονική βάση), σε αναλογία με καρτεσιανές συντεταγμένες στο επίπεδο. Όταν αυτό το σύνολο των αξόνων είναι αριθμήσιμο άπειρο, αυτό σημαίνει ότι ο χώρος Χίλμπερτ μπορεί επίσης χρησίμως να θεωρηθεί από την άποψη των άπειρων ακολουθιών, που είναι τετράγωνο-αθροίσιμων τετραγωνικών. Οι γραμμικοί φορείς σε ένα χώρο Χίλμπερτ είναι επίσης αρκετά συγκεκριμένα αντικείμενα: σε καλές περιπτώσεις, είναι απλοί μετασχηματισμοί που τεντώνουν το χώρο από διάφορους παράγοντες σε αμοιβαίες κατακόρυφες κατευθύνσεις, με την έννοια ότι γίνονται ακριβείς από τη μελέτη του φάσματος τους.

Ορισμός και επεξήγηση

Η παροχή κινήτρων για παράδειγμα: ευκλείδειος χώρος
Ένα από τα πιο γνωστά παραδείγματα ενός χώρου Hilbert είναι ο Ευκλείδειος χώρος που αποτελείται από τρισδιάστατα διανύσματα, συμβολίζεται με το R3, και είναι εφοδιασμένος με το εσωτερικό γινόμενο. Το γινόμενο παίρνει δύο διανύσματα x και y, και παράγει έναν πραγματικό αριθμό x · y. Αν x και y αναπαρίστανται σε καρτεσιανές συντεταγμένες, τότε το γινόμενο ορίζεται από

Το γινόμενο ικανοποιεί τις ιδιότητες:

Είναι συμμετρικό ως προς x και y: x · y = y · x. 
Είναι γραμμικό στο πρώτο όρισμά του: (AX1 + BX2) · y = AX1 · y + BX2 · y για κάθε βαθμωτά α, β, και οι φορείς x1, x2 και y.
Είναι θετικά ορισμένο: για όλα τα διανύσματα x, x · x ≥ 0, με ισότητα αν και μόνο αν x = 0.
Μία συνάρτηση σε ζεύγη φορέων που, όπως και το εσωτερικό γινόμενο, ικανοποιεί αυτές τις τρεις ιδιότητες που είναι γνωστό ως (πραγματικό) εσωτερικό γινόμενο. Ένας διανυσματικός χώρος εφοδιασμένος με ένα τέτοιο εσωτερικό γινόμενο είναι γνωστός ως (πραγματικός) χώρος εσωτερικού γινομένου. Κάθε πεπερασμένων διαστάσεων χώρος εσωτερικού γινομένου είναι επίσης ένας χώρος Hilbert. Το βασικό χαρακτηριστικό του γινομένου που το συνδέει με την Ευκλείδεια γεωμετρία είναι ότι σχετίζεται τόσο με το μήκος (ή νόρμα) ενός φορέα, και συμβολίζεται ||x||, όσο και με τη γωνία θ μεταξύ δύο διανυσμάτων x και y μέσω του τύπου

Πολυμεταβλητός λογισμός Ευκλείδειο χώρο εξαρτάται από την ικανότητα να υπολογίζουν τα όρια, και να έχουν χρήσιμα κριτήρια για τη σύναψη ότι υπάρχουν όρια. Μια μαθηματική σειρά

που αποτελείται από φορείς σε R3  είναι απολύτως συγκλίνουσα με την προϋπόθεση ότι το άθροισμα των μηκών συγκλίνει ως ένα συνηθισμένο σειρά πραγματικών αριθμών:

Ακριβώς όπως με μια σειρά από βαθμωτά, μια σειρά διανυσμάτων που συγκλίνει απολύτως επίσης συγκλίνει σε κάποιο όριο διάνυσμα L στην Ευκλείδειο χώρο, με την έννοια ότι

Αυτή η ιδιότητα εκφράζει την πληρότητα του Ευκλείδειου διαστήματος: ότι μια σειρά που συγκλίνει απολύτως επίσης συγκλίνει κατά τη συνήθη έννοια του όρου

Ορισμός
Ένα χώρο Hilbert Η είναι μια πραγματική ή ένας πλήρης εσωτερικός χώρος του γινομένου που είναι επίσης ένας πλήρης μετρικός χώρος σε σχέση με την συνάρτηση απόστασης που επάγεται από το εσωτερικό του προϊόντος. να πούμε ότι το Η είναι ένας σύνθετος εσωτερικός χώρος του γινομένου που σημαίνει ότι το H είναι ένας πολύπλοκος διανυσματικός χώρος επί του οποίου υπάρχει ένα εσωτερικό γινόμενο  που  συνδέει έναν μιγαδικό αριθμό σε κάθε ζεύγος στοιχείων x, y του H που ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες:
Το εσωτερικό γινόμενο ενός ζεύγους στοιχείων είναι ίσο με τη μιγαδική συζυγή του εσωτερικού γινομένου των ανταλλαγμένων στοιχείων:

Το εσωτερικό γινόμενο είναι γραμμικό στο πρώτο επιχείρημά του. [3] Για όλους τους μιγαδικούς αριθμούς α και β,

Το εσωτερικό γινόμενο ενός στοιχείου με τον εαυτό της είναι θετικα ορισμένο:

η υπόθεση της ισότητας ισχύει ακριβώς όταν x = 0.
Όπως προκύπτει από τις ιδιότητες 1 και 2 ότι ένα σύνθετο εσωτερικό γινόμενο είναι αντιγραμμικός ή μιγαδικός συζυγής (antilinear) στο δεύτερο επιχείρημά της, πράγμα που σημαίνει ότι

Ένας πραγματικός εσωτερικός χώρος του γινομένου ορίζεται με τον ίδιο τρόπο, εκτός του ότι Η είναι ένας πραγματικός διανυσματικός χώρος και το εσωτερικό γινόμενο παίρνει πραγματικές τιμές. Ένα τέτοιο εσωτερικό γινόμενο θα είναι διγραμμικό: δηλαδή, γραμμικό σε κάθε επιχείρημα.

Ο κανόνας είναι η πραγματική λειτουργία αποτιμώνται

και η απόσταση d μεταξύ δύο σημείων x, y στο Η ορίζεται σε όρους του κανόνα με

Οτί αυτή η λειτουργία είναι ένα μέσο συνάρτηση απόστασης (1) ότι είναι συμμετρική στην x και y, (2) ότι η απόσταση μεταξύ χ και η ίδια είναι μηδέν, και αλλιώς η απόσταση μεταξύ Χ και Υ πρέπει να είναι θετική, και (3)  η τριγωνική ανισότητα κατέχει, πράγμα που σημαίνει ότι το μήκος του ενός ποδιού ενός τριγώνου XYZ δεν μπορεί να υπερβαίνει το άθροισμα των μηκών των άλλων δύο σκελών:

Η τελευταία αυτή ιδιότητα είναι τελικά συνέπεια της πιο θεμελιώδης ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς, η οποία υποστηρίζει

με ισότητα αν και μόνο αν x και y είναι γραμμικά εξαρτημένες.
Σε σχέση με μία συνάρτηση απόστασης που ορίζεται με τον τρόπο αυτό, κάθε εσωτερικός χώρος γινομένου είναι ένας μετρικός χώρος, και μερικές φορές είναι γνωστός ως ένας χώρος προ-Hilbert.  Κάθε χώρος προ-Hilbert που είναι επίσης ένας πλήρης χώρος είναι ένας χώρος Hilbert. Η πληρότητα εκφράζεται χρησιμοποιώντας μια μορφή του κριτηρίου Cauchy για τις ακολουθίες σε H: ένας προ-χώρος Hilbert Η είναι πλήρης αν κάθε ακολουθία Cauchy συγκλίνει σε σχέση με αυτό το πρότυπο σε ένα στοιχείο στο χώρο. Πληρότητα μπορεί να χαρακτηριστεί από την ακόλουθη ισοδύναμη κατάσταση: εάν μια σειρά διανυσμάτων  
συγκλίνει απόλυτα με την έννοια ότι

τότε η σειρά συγκλίνει στο H, με την έννοια ότι τα μερικά αθροίσματα συγκλίνουν σε ένα στοιχείο του Η.

Ως ένα πλήρες νόρμα χώρου, χώροι Hilbert είναι εξ ορισμού και χώροι Banach. Ως εκ τούτου είναι τοπολογικοί χώροι του φορέα, στον οποίο είναι σαφώς καθορισμένες τοπολογικές έννοιες, όπως η διαφάνεια και η κλειστότητα των υποσυνόλων. Ιδιαίτερης σημασίας είναι η έννοια ενός κλειστού γραμμικού υποχώρου ενός χώρου Hilbert ότι, με το εσωτερικό γινόμενο που προκαλείται από περιορισμό, είναι επίσης πλήρης (είναι ένα κλειστό σύνολο σε ένα πλήρη μετρικό χώρο) και ως εκ τούτου, ένας χώρος Hilbert από μόνο του.

Δεύτερο παράδειγμα: ακολουθίας χώρων

Η αλληλουχία χώρου ℓ2 αποτελείται από όλες τις άπειρες αλληλουχίες z = (z1,z2,...)των μιγαδικών αριθμών τέτοια ώστε η σειρά

να συγκλίνει. Το εσωτερικό γινόμενο για ℓ2 ορίζεται από

με τις τελευταίες σειρές να συγκλίνουν ως συνέπεια της ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς.

Η πληρότητα του χώρου ισχύει υπό τον όρο ότι κάθε φορά που μια σειρά από στοιχεία από  ℓ2 συγκλίνει απολύτως (στο πρότυπο), τότε θα συγκλίνει σε ένα στοιχείο του  ℓ2. Η απόδειξη είναι βασική στην μαθηματική ανάλυση και επιτρέπει την μαθηματική σειρά στοιχείων του χώρου που πρέπει να χειριστεί με την ίδια ευκολία όπως σειρά των μιγαδικών αριθμών (ή οι φορείς σε ένα πεπερασμένο διαστάσεων Ευκλείδειο χώρο).

Ιστορία

Πριν από την ανάπτυξη των χώρων Hilbert, άλλες γενικεύσεις του Ευκλίδειου  χώρου ήταν γνωστές απο μαθηματικούς και φυσικούς. Ειδικότερα, η ιδέα ενός αφηρημένου γραμμικού χώρου είχε κερδίσει κάποια έλξη προς το τέλος του 19ου αιώνα : είναι ένας χώρος του οποίου τα στοιχεία μπορούν να αθροιστούν και να πολλαπλασιαστούν με βαθμωτά μεγέθη (όπως το πραγματικό ή μιγαδικών αριθμών), χωρίς κατ 'ανάγκην την αναγνώριση. Αυτά τα στοιχεία με «γεωμετρικούς" φορείς, όπως οι φορείς της θέσεις και της ορμής σε φυσικά συστήματα. Άλλα αντικείμενα που μελετήθηκαν από μαθηματικούς στο γύρισμα του 20ου αιώνα, ιδίως χώρους των ακολουθιών (συμπεριλαμβανομένων των σειρών) και τους χώρους των λειτουργιών , μπορεί φυσικά να θεωρηθεί ως γραμμικοί χώροι. Λειτουργίες, για παράδειγμα, μπορούν να προστεθούν ή να πολλαπλασιαστούν με συνεχή βαθμωτά μεγέθη, και οι πράξεις αυτές υπακούουν στους νόμους αλγεβρικά ικανοποιημένες με την προσθήκη και κλιμακωτό πολλαπλασιασμό των χωρικών φορέων.

Στην πρώτη δεκαετία του 20ου αιώνα, παράλληλες εξελίξεις οδήγησαν στην εισαγωγή των χώρων Hilbert. Η πρώτη από αυτές ήταν η παρατήρηση, η οποία προέκυψε κατά τη διάρκεια του David Hilbert και η μελέτη Erhard Schmidt των αναπόσπαστο εξισώσεις, ότι δύο τετραγωνικά ολοκληρώσιμες πραγματικές συναρτήσεις f και g σε ένα διάστημα [a,b] έχουν ένα εσωτερικό γινόμενο

το οποίο έχει πολλές από τις γνωστές ιδιότητες του Ευκλείδειου γινομένου. Ειδικότερα, η ιδέα ενός ορθογώνιου γένους των λειτουργιών έχει νόημα. Ο Schmidt εκμεταλλεύτηκε την ομοιότητα αυτού του εσωτερικού του γινομένου με τον συνήθη εσωτερικό γινόμενο για να αποδείξει ένα ανάλογο της φασματικής ανάλυσης για ένα χειριστή της μορφής

όπου Κ είναι μια συνεχής συμμετρική συνάρτηση x ​​και y. Η προκύπτουσα επέκταση ιδιοσυνάρτησης εκφράζει τη συνάρτηση Κ ως μια σειρά της μορφής

όπου οι λειτουργίες φn είναι ορθογώνιες με την έννοια ότι ⟨φn,φm⟩  0}}  για κάθε . Οι επιμέρους όροι αυτής της σειράς μερικές φορές αναφέρονται ως στοιχειώδεις λύσεις του γινομένου. Ωστόσο, υπάρχουν επεκτάσεις ιδιοσυνάρτησης που αποτυγχάνουν να συγκλίνουν σε μια λογική σειρά με μια τετραγωνική ολοκληρώσιμη λειτουργεία: το συστατικό που λείπει, το οποίο εξασφαλίζει τη σύγκλιση, είναι πληρότητα 
.

Η δεύτερη εξέλιξη ήταν το ολοκλήρωμα Lebesgue, μια εναλλακτική λύση για το ολοκλήρωμα Riemann εισήγαγε ο Henri Lebesgue το 1904.  Το πλήρες Lebesgue κατέστησε δυνατή την ενσωμάτωση μιας πολύ ευρύτερης κατηγορίας των λειτουργιών. Το 1907, Frigyes Riesz και Ernst Sigismund Fischer ανεξάρτητα απέδειξε ότι ο χώρος L2 της πλατείας Lebesgue ολοκληρώσιμων λειτουργιών είναι ένα πλήρως μετρικό χώρο. Ως συνέπεια της αλληλεπίδρασης μεταξύ της γεωμετρίας και πληρότητας, τα αποτελέσματα του 19ου αιώνα από τον Joseph Fourier, Friedrich Bessel και ο Marc-Antoine Parseval για τριγωνομετρικές σειρές μεταφέρεται εύκολα πάνω σε αυτούς τους πιο γενικές χώρους, με αποτέλεσμα σε ένα γεωμετρικό και αναλυτικό εξοπλισμό τώρα συνήθως γνωστό ως το θεώρημα Riesz-Fischer.
Περαιτέρω βασικά αποτελέσματα αποδείχθηκαν στις αρχές του 20ου αιώνα. Για παράδειγμα, η αναπαράσταση του θεωρήματος Reisz  ιδρύθηκε από τον Maurice Fréchet και Frigyes Riesz το 1907. Ο John von Neumann επινόησε τον όρο αφηρημένο χώρο Hilbert στο έργο του για απεριόριστη Hermitian φορείς. Παρά το γεγονός ότι άλλοι μαθηματικοί, όπως Hermann Weylκαι Norbert Wiener είχαν ήδη μελετήσει συγκεκριμένα χώρους Hilbert με μεγάλη λεπτομέρεια, συχνά από άποψη φυσικών κινήτρων, ο von Neumann έδωσε την πρώτη πλήρη και αξιωματική θεραπεία τους. Ο Von Neumann αργότερα τα χρησιμοποίησε στη δημιουργικό έργο του πάνω στα θεμέλια της κβαντικής μηχανικής,, και τη συνέχιση του έργου του με τον Eugene Wigner. Το όνομα "χώρος Hilbert" σύντομα υιοθετήθηκε από τους άλλους, για παράδειγμα, από τον Hermann Weyl στο βιβλίο του για την κβαντική μηχανική και η θεωρία των ομάδων.

Η σημασία της έννοιας του χώρου Hilbert υπογραμμίστηκε με την υλοποίηση που προσφέρει μία από τις καλύτερες μαθηματικές διατυπώσεις της κβαντικής μηχανικής.  Εν ολίγοις, τα στάδια του συστύματος της κβαντικής μηχανικής  είναι φορείς σε ένα συγκεκριμένο χώρο Hilbert, τα παρατηρήσιμα είναι ερμιτιανοί φορείς στον εν λόγω χώρο, οι συμμετρίες του συστήματος είναι ενιαίοι φορείς, και οι μετρήσεις είναι ορθογώνιες προβολές. Η σχέση μεταξύ των συμμετριών της κβαντικής μηχανικής είναι ενιαίοι φορείς που έδωσαν ώθηση για την ανάπτυξη της ενιαίας εκπροσώπησης της θεωρίαςτων ομάδων, που ξεκίνησε το 1928 το έργο του Hermann Weyl. Από την άλλη πλευρά, στις αρχές του 1930 έγινε σαφές ότι η κλασική μηχανική μπορεί να περιγραφεί από την άποψη του χώρου Hilbert (Koopman-νοη Neumann κλασσική μηχανική) και ότι ορισμένες ιδιότητες της κλασικών δυναμικών συστημάτων μπορεί να αναλυθεί χρησιμοποιώντας τεχνικές Hilbert χώρου στο πλαίσιο της εργοδικής θωριάς. 
Η άλγεβρα των παρατηρήσιμων στην κβαντομηχανική είναι φυσικά μια άλγεβρα των φορέων που ορίζεται σε ένα χώρο Hilbert, σύμφωνα με τη μηχανική μήτρα σκευάσματος Werner Heisenberg της κβαντικής θεωρίας. Von Neumann άρχισε να ερευνά τον αλγεβρικό φορέα το 1930, όπως οι δακτύλιοι των φορέων σε ένα χώρο Hilbert. Το είδος των αλγεβρών που μελετήθηκαν από von Neumann και τους συγχρόνους του, είναι πλέον γνωστή ως von Neumann άλγεβρες. Στη δεκαετία του 1940, ο Israel Gelfand, Mark Naimark και Irving Segal έδωσε έναν ορισμό του είδους των αλγεβρικών φορέων που ονομάζεται C *-άλγεβρες που από τη μία πλευρά δεν έκανε καμία αναφορά σε υποκείμενο χώρο Hilbert, και από την άλλη επεκτάθηκαν πολλά από τα χρήσιμα χαρακτηριστικά γνωρίσματα του αλγεβρικού φορέα που είχαν προηγουμένως μελετηθεί. Το θεώρημα για τους αυτο-τελεστές που κρύβονται πίσω από μεγάλο μέρος της υφιστάμενης θεωρίας χώρο Hilbert  γενικεύτηκε στις C *-άλγεβρες. Αυτές οι τεχνικές είναι πλέον βασικές στην αφηρημένη αρμονική ανάλυση και την θεωρία της εκπροσώπησης.

Παραδείγματα

ΧώροςLebesgue

Lebesgue χώροι είναι οι χώροι λειτουργίας που σχετίζονται με τη μέτρηση χώρων (X, M, μ), όπου το Χ είναι ένα σύνολο, το Μ είναι μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων του X, και μ είναι ένα αριθμήσιμο πρόσθετο μέτρο για την Μ. Ας L2(X, μ) είναι ο χώρος αυτών των μιγαδικών μετρήσιμων συναρτήσεων στο Χ για την οποία το Lebesgue ολοκλήρωμα του τετραγώνου της απόλυτης τιμής της συνάρτησης είναι πεπερασμένη, δηλαδή, για μια συνάρτηση f στο L2(X,μ),

και όπου οι λειτουργίες οι οποίες προσδιορίζονται αν και μόνο αν διαφέρουν μόνο σε ένα σύνολο μέτρου μηδέν
Το εσωτερικό γινόμενο των συναρτήσεων f και g στο L2(X, μ) στη συνέχεια ορίζεται ως

Για f και g στο L2, αυτό το αναπόσπαστο υπάρχει λόγω της ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς, και ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στο χώρο. Εξοπλισμένο με αυτό το εσωτερικό γινόμενο, το L2 στην πραγματικότητα είναι πλήρης . Το πλήρες Lebesgue είναι απαραίτητο για τη διασφάλιση της πληρότητας:. Όσον αφορά τους τομείς των πραγματικών αριθμών, για παράδειγμα, δεν είναι αρκετές οι λειτουργίες Riemann ολοκληρώσιμες .

Οι χώροι Lebesgue εμφανίζονται σε πολλές φυσικές ρυθμίσεις. Οι χώροι L2(R) και L2([0,1])των ολοκληρώσιμων τετραγωνικών λειτουργιών σε σχέση με το μέτρο Lebesgue στην πραγματική γραμμή και διαστήματος της μονάδας, αντίστοιχα, είναι τα φυσικά πεδία στα οποία θα καθορίσει ο μετασχηματισμός Fourier και σειρές Fourier. Σε άλλες περιπτώσεις, το μέτρο μπορεί να είναι κάτι διαφορετικό από τα συνηθισμένα μέτρα Lebesgue στην πραγματική ευθεία. Για παράδειγμα, εάν το w είναι οποιαδήποτε θετική μετρήσιμη συνάρτηση, ο χώρος όλων των μετρήσιμων συναρτήσεων f στο διάστημα [0, 1], ικανοποιώντας

ονομάζεται το σταθμισμένο χώρο weighted L2 space L([0,1], και w καλείται η συνάρτηση βάρους. Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται από

Ο σταθμισμένος χώρος L([0,1]) είναι πανομοιότυπο  με το χώρο Χίλμπρτ L2 ([0,1], μ),  όπου το μέτρο μ ένα Lebesgue μετρήσιμη σύνολο A ορίζεται από

Σταθμισμένοι χώροι L2 όπως αυτό συχνά χρησιμοποιούνται για τη μελέτη ορθογώνιων πολυωνύμων, επειδή διαφορετικές οικογένειες των ορθογωνίων πολυωνλυμων είναι ορθογώνια σε σχέση με διαφορετικές λειτουργίες στάθμισης.

Χώροι Sobolev
 
Χώροι Sobolev, συμβολίζεται με Hs or , είναι χώροι Hilbert. Αυτό είναι ένα ιδιαίτερο είδος του χώρου λειτουργίας στις οποίες μπορεί να πραγματοποιηθεί η διαφοροποίηση, αλλά ότι (σε αντίθεση με άλλους χώρους Banach όπως oi χώροι Hölder) υποστηρίζουν τη δομή ενός εσωτερικού προϊόντος. Επειδή η διαφοροποίηση επιτρέπεται, χώροι Sobolev είναι μια βολική τοποθεσία για τη θεωρία των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Μπορούν επίσης να αποτελέσουν τη βάση της θεωρίας των άμεσων μεθόδων στο λογισμό των μεταβολών.

Για s ένας μη αρνητικός ακέραιος και , η Sobolev χώρο Hs(Ω) περιέχει L2  λειτουργίες των οποίων τα αδύναμα παράγωγα της τάξης έως και s είναι επίσης L2. Το εσωτερικό γινόμενο στο Hs(Ω) είναι

όταν η κουκίδα υποδεικνύει το γινόμενο στο ευκλείδειο χώρο των μερικών παραγώγων της κάθε παραγγελίας. Χώροι Sobolev μπορεί επίσης να οριστεί όταν s δεν είναι ακέραιος.

Χώροι Sobolev επίσης μπορεί να μελετηθεί από την άποψη της φασματικής θεωρίας, επικαλούμενη ειδικότερα στη δομή χώρο Hilbert. Αν Ω είναι ένα κατάλληλο πεδίο, τότε μπορεί κανείς να καθορίσει το χώρο Sobolev Hs(Ω), όπως χώρο των δυναμικών Bessel  περίπου,

Εδώ Δ είναι η Laplacian και (1 − Δ)−s/2 είναι κατανοητό από την άποψη του φασματικού θεωρήματος χαρτογράφησης. Εκτός από την παροχή ενός λειτουργικού ορισμού των χώρων Sobolev για μη ακέραιο s, ο ορισμός αυτός έχει επίσης ιδιαίτερα επιθυμητές ιδιότητες στο πλαίσιο του μετασχηματισμού Fourier που το καθιστούν ιδανικό για τη μελέτη των ψευδοδιαφορετικών φορέων. Χρησιμοποιώντας αυτές τις μεθόδους σε ένα πολλαπλό συμπαγές Riemannian, μπορεί να ληφθεί, για παράδειγμα, την αποσύνθεση Hodge, η οποία είναι η βάση της θεωρίας Hodge.

Χώροι με holomorphic λειτουργίες
 Χώροι Hardy
Οι χώροι Hardy είναι οι χώροι λειτουργίας, που προκύπτουν σε πολύπλοκες αναλύσεις και αρμονική ανάλυση, του οποίου τα στοιχεία έχουν ορισμένες ολομορφικές λειτουργίες σε ένα πολύπλοκο τομέα. Αν U χαρακτηρίζει το δίσκο μονάδας στο μιγαδικό επίπεδο. Στη συνέχεια, ο Hardy χώρος H2(U) ορίζεται ως το χώρο των ολομορφικών συναρτήσεων f στο U τέτοια ώστε τα μέσα

παραμένουν οριοθετημένα για . Ο κανόνας για αυτόν τον Hardy χώρο οριοθετείται από

Οι Hardy χώροι στο δίσκο που σχετίζονται με την σειρά Fourier. Μια συνάρτηση f είναι σε H2(U) αν και μόνο αν

όπου

Έτσι,H2(U) αποτελείται από τις λειτουργίες που είναι L2 στον κύκλο, και των οποίων η αρνητικοί συχνότητα συντελεστές Fourier εξαφανίζονται.

Χώροι Bergman

Οι χώροι Bergman είναι μια άλλη οικογένεια ολομορφικών λειτουργειών των Hilbert χώρων.. Ας είναι το D ένα ανοιχτό σύνολο που οριοθετείται στο μιγαδικό επίπεδο (ή ένα υψηλότερων διαστάσεων χώρο complex) και αφήστε το L2,h(D) είναι ο χώρος της ολομορφικής λειτουργίας f στο D που είναι επίσης στο L2(D) με την έννοια ότι

όπου το ολοκλήρωμα λαμβάνεται σε σχέση με το μέτρο Lebesgue στο D. Σαφώς L2, h(D) είναι υπόχωρος του L2(D); Στην πραγματικότητα, είναι ένα κλειστός υποχώρος, και έτσι ένας χώρος Hilbert από μόνο του. Αυτό είναι συνέπεια της εκτίμησης, που ισχύει για συμπαγείς υποσύνολα K του D, ότι

η οποία με τη σειρά της προκύπτει από ολοκληρωτικό τύπο του Cauchy. Έτσι σύγκλιση μιας ακολουθίας ολομορφικών λειτουργιών στο L2(D) συνεπάγεται επίσης συμπαγής σύγκλιση, και έτσι η λειτουργία ορίου είναι επίσης ολομορφική. Μια άλλη συνέπεια αυτής της ανισότητας είναι ότι η γραμμική λειτουργική που αξιολογεί μια συνάρτηση f σε ένα σημείο D είναι πραγματικά συνεχής στο L2,h(D). Η αναπαράσταση του θεωρήματος Riesz συνεπάγεται ότι η λειτουργική αξιολόγηση μπορεί να αναπαρασταθεί ως ένα στοιχείο της L2,h(D). Έτσι, για κάθε z ∈ D, υπάρχει μια συνάρτηση z ∈ L2,h(D), h (D) έτσι ώστε

για όλες τις f ∈ L2,h(D). το ολοκλήρωμα

είναι γνωστή ως πυρήνα Bergman του D. Αυτό αναπόσπαστο πυρήνα ικανοποιεί ένα ακίνητο αναπαραγωγής

Ένας χώρος Bergman είναι ένα παράδειγμα ενός πυρήνα αναπαραγωγής Hilbert χώρο, η οποία είναι ένας χώρος Hilbert λειτουργιών μαζί με ένα πυρήνα K(ζ,z), που επαληθεύει μια ιδιότητα αναπαραγωγής ανάλογη προς αυτό. Ο χώρος Hardy  H2(D) παραδέχεται επίσης έναν πυρήνα αναπαραγωγής, που είναι γνωστός ως πυρήνα Szegő. Οι αναπαραγωγικοί πυρήνες είναι κοινοί σε άλλους τομείς των μαθηματικών, καθώς και για παράδειγμα, στην αρμονική ανάλυση ο πυρήνας Poisson είναι ένας πυρήνας αναπαραγωγής για τον χώρο Hilbert των ολοκληρώσιμων τετραγωνικών αρμονικών συναρτήσεων στη μπάλα μονάδας. Αυτό το τελευταίο είναι ένας χώρος Hilbert σε όλα είναι συνέπεια του θεωρήματος μέσης τιμής για αρμονικές συναρτήσεις.

Εφαρμογές

Πολλές από τις εφαρμογές των χώρων Hilbert εκμεταλλεύονται το γεγονός ότι οι χώροι Hilbert υποστηρίζουν γενικεύσεις των απλών γεωμετρικών εννοιών όπως η προβολή και την αλλαγή της βάσης από τα συνήθη πεπερασμένων διαστάσεων περιβάλλον τους. Ειδικότερα, η φασματική θεωρία της συνεχούς αυτοσυζυγής γραμμικών φορέων σε ένα χώρο Hilbert γενικεύει τη συνήθη φασματική αποσύνθεση της μήτρας, και αυτό παίζει συχνά σημαντικό ρόλο σε εφαρμογές της θεωρίας σε άλλους τομείς των μαθηματικών και της φυσικής.

Θεωρία Sturm–Liouville

Στη θεωρία των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, οι φασματικές μέθοδοι σε κατάλληλο χώρο Hilbert χρησιμοποιούνται για τη μελέτη της συμπεριφοράς των ιδιοτιμών και ιδιοσυναρτήσεων των διαφορικών εξισώσεων. Για παράδειγμα, το πρόβλημα Sturm-Liouville τίθεται στη μελέτη των αρμονικών κυμάτων σε μια συμβολοσειρά βιολιού ή ένα τύμπανο, και είναι ένα κεντρικό πρόβλημα σε συνήθεις διαφορικές εξισώσεις
. Το πρόβλημα είναι μια διαφορική εξίσωση της μορφής

για μια άγνωστη συνάρτηση y σε ένα διάστημα  [a,b],  ικανοποιώντας γενικές ομοιογενείς Robin συνοριακές συνθήκες

Οι λειτουργίες p,q και w δίδονται εκ των προτέρων, και το πρόβλημα είναι να βρούμε τη συνάρτηση y και οι σταθερές λ για τις οποίες η εξίσωση έχει μια λύση. Το πρόβλημα έχει μόνο λύσεις για ορισμένες τιμές των λ, που ονομάζονται ιδιοτιμές του συστήματος, και αυτό αποτελεί συνέπεια της φασματικής θεώρημα για συμπαγείς φορείς που εφαρμόζονται στο αναπόσπαστο φορέα που ορίζεται από τη Green λειτουργία για το σύστημα. Επιπλέον, μια άλλη συνέπεια αυτού του γενικού αποτελέσματος είναι ότι οι ιδιοτιμές λ του συστήματος μπορούν να διατάσσονται σε μια αυξανόμενη ακολουθία που τείνει στο άπειρο.

Μερικές διαφορικές εξισώσεις
Χώροι Hilbert αποτελούν βασικό εργαλείο για τη μελέτη των μερικών διαφορικών εξισώσεων. Για πολλές τάξεις των μερικών διαφορικών εξισώσεων, όπως γραμμικές ελλειπτικές μερικές διαφορικές εξισώσεις, είναι δυνατόν να εξετάσει μια γενικευμένη λύση (γνωστή ως ένα ασθενές) με τη διεύρυνση της κατηγορίας των λειτουργιών. Πολλές αδύναμες τυποποιήσεις περιλαμβάνουν την κατηγορία των λειτουργιών Sobolev, η οποία είναι ένας χώρος Hilbert. Ένα κατάλληλο ασθενές σκεύασμα μειώνει σε ένα γεωμετρικό πρόβλημα το αναλυτικό πρόβλημα της εύρεσης ενός διαλύματος ή, συχνά αυτό είναι πιο σημαντικό, δείχνοντας ότι υπάρχει μια λύση και είναι μοναδική για τα δεδομένα στοιχεία σύνορο. Για γραμμικές εξισώσεις ελλειπτικού, ένα γεωμετρικό αποτέλεσμα που εξασφαλίζει μοναδική φερεγγυότητα για μια μεγάλη κατηγορία προβλημάτων είναι το θεώρημα Lax-Milgram. Αυτή η στρατηγική αποτελεί το στοιχείο της μεθόδου Galerkin (πεπερασμένων στοιχείων) για την αριθμητική επίλυση μερικών διαφορικών εξισώσεων. [31]

Ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα είναι η εξίσωση Poisson-Δυ = g με οριακές συνθήκες Dirichlet σε περιορισμένη Ω τομέα στο R2. Το ασθενές σκεύασμα αποτελείται από την εξεύρεση μιας συνάρτησης u τέτοια ώστε, για όλες τις λειτουργίες συνεχώς παραγωγίσιμη ν σε Ω φυγής στο όριο:

Αυτό μπορεί να αναδιατυπωθεί ως προς το χώρο Hilbert H1 
0 (Ω) που αποτελείται από τις λειτουργίες u τέτοια ώστε u, μαζί με την ασθενή μερικές παραγώγους της, είναι ολοκληρώσιμο τετράγωνο στο Ω, και εξαφανίζονται στο όριο. Το ερώτημα, λοιπόν, μειώνει την εξεύρεση u σε αυτό το χώρο, έτσι ώστε για όλα τα v σε αυτό το χώρο

όπου α είναι μια συνεχής διγραμμική μορφή, και b είναι μια συνεχής γραμμική λειτουργικό, δίνεται αντίστοιχα από

Δεδομένου ότι η εξίσωση Poisson είναι ελλειπτικό, όπως προκύπτει από την ανισότητα Poincaré ότι η διγραμμική μορφή a είναι καταναγκαστική. Το θεώρημα Lax-Milgram εξασφαλίζει στη συνέχεια την ύπαρξη και την μοναδικότητα των λύσεων της εξίσωσης.

Οι χώροι Hilbert επιτρέπουν πολλές ελλειπτικές διαφορικές εξισώσεις που πρέπει να διατυπωθούν με παρόμοιο τρόπο, και το θεώρημα Lax-Milgram είναι τότε ένα βασικό εργαλείο για την ανάλυση τους. Με κατάλληλες τροποποιήσεις, παρόμοιες τεχνικές μπορούν να εφαρμοστούν σε παραβολική μερικών διαφορικών εξισώσεων και ορισμένων υπερβολικών μερικών διαφορικών εξισώσεων.

Θεωρία Ergodic

Το πεδίο της εργοδικής θεωρίας είναι η μελέτη της μακροπρόθεσμης συμπεριφοράς των xαοτικών δυναμικών συστημάτων. Η πρωτοτυπική περίπτωση ενός πεδίου που η εργοδική θεωρία ισχύει και για είναι θερμοδυναμική, στην οποία-αν και η μικροσκοπική κατάσταση ενός συστήματος είναι εξαιρετικά περίπλοκη (είναι αδύνατο να κατανοήσουμε το σύνολο των επιμέρους συγκρούσεων μεταξύ των σωματιδίων της ύλης), τη μέση συμπεριφορά για αρκετά μεγάλα χρονικά διαστήματα είναι προσιτό. Οι νόμοι της θερμοδυναμικής, οι ισχυρισμοί για τέτοια μέση συμπεριφορά. Ειδικότερα, ένα σκεύασμα της μηδενικής νόμου της θερμοδυναμικής ισχυρίζεται ότι πάνω από αρκούντως μακρά χρονοδιαγράμματα, η μόνη λειτουργικά ανεξάρτητη μέτρηση που μπορεί κανείς να κάνει ένα θερμοδυναμικό σύστημα σε ισορροπία είναι η συνολική ενέργεια του, υπό τη μορφή της θερμοκρασίας.

Ένα εργοδικό δυναμικό σύστημα είναι εκείνο για το οποίο, εκτός από την ενέργεια, που μετράται από το Hamiltonian-, δεν υπάρχουν άλλες λειτουργικά ανεξάρτητες συντηρημένες ποσότητες στο χώρο των φάσεων. Πιο συγκεκριμένα, ας υποθέσουμε ότι η ενέργεια Ε είναι σταθερό, και αφήστε ΩE είναι το υποσύνολο του χώρου φάσεων που αποτελείται από όλα τα κράτη της ενέργειας E (μια επιφανειακή ενέργεια), και αφήστε Tt χαρακτηρίζει το φορέα εξέλιξης στο χώρο των φάσεων. Το δυναμικό σύστημα είναι εργοδική εάν δεν υπάρχουν συνεχείς μη συνεχείς λειτουργίες της ΩE τέτοια ώστε

για όλα τα w on ΩE και για κάθε χρόνο t Θεώρημα Liouville συνεπάγεται ότι υπάρχει μια μ μέτρο για την επιφανειακή ενέργεια που είναι αναλλοίωτη κάτω από το χρόνο μετάφραση. Ως αποτέλεσμα, η μετάφραση του χρόνου είναι ένα μοναδιαίος μετασχηματισμός του χώρου Hilbert L2(ΩE,μ) που αποτελείται από ολοκληρώσιμες τετραγωνικές λειτουργίες της ενέργειας επιφανείας ΩE σε σχέση με το εσωτερικό γινόμενο 

Ο von Neumann με την έννοια του εργοδικού θεωρήματος  αναφέρει τα εξής:
Αν Ut είναι ένα (ισχυρά συνεχής) μίας παραμέτρου ημιομάδας των μοναδιαίων φορέων σε ένα χώρο Hilbert H, και το Ρ είναι η ορθή προβολή επί του χώρου των κοινών σταθερών σημείων Ut, {x∈H | Utx = x for all t > 0}, τότε

,

Για εργοδικό σύστημα, το σταθερό σύνολο της εξέλιξης χρόνου αποτελείται μόνο από τις συνεχείς λειτουργίες, έτσι ώστε το εργοδικό θεώρημα προϋποθέτει τα ακόλουθα: για κάθε συνάρτηση f ∈ L2(ΩE,μ),
,

Δηλαδή, το μέσο μεγάλο χρονικό διάστημα μιας παρατηρήσιμης f είναι ίση με την τιμή της προσδοκίας του πάνω από μια επιφανειακή ενέργεια.

Ανάλυση Fourier

Ένας από τους βασικούς στόχους της Ανάλυσης Fourier είναι η ανάλυση μιας συνάρτησης σε έναν (ενδεχομένως άπειρο) γραμμικό συνδυασμό του δίνεται λειτουργίες βάσης: οι συνδεδεμένες σειρές Fourier.Η κλασική σειρά Fourier σχετίζεται με μια συνάρτηση f ορίζεται στο διάστημα [0, 1], είναι μια σειρά της μορφής

όπου

Το παράδειγμα της προσθήκης μέχρι τους πρώτους όρους σε μια σειρά Fourier για μια πριωνοτή λειτουργία δείχνεται στο σχήμα. Οι λειτουργικές βάσεις είναι ημιτονοειδή κύματα με μήκη κύματος λ / n (n = ακέραιος) μικρότερο από το μήκος κύματος λ του ίδιου του πριονωτού (εκτός από n = 1, toθεμελιώδες κύμα). Όλες οι λειτουργικές βάσεις έχουν κόμβους στους κόμβους του πριονωτού, αλλά όλα αλλά η θεμελιώδης έχουν επιπλέον κόμβους. Η ταλάντωση των όρων αθροίζονται για το πριονωτό ονομάζεται Gibbs φαινόμενο.

Ένα σημαντικό πρόβλημα στην κλασική σειρά Fourier ρωτά με ποια έννοια συγκλίνει η σειρά Fourier, αν όχι καθόλου, με τη λειτουργία f. Οι μέθοδοι του χώρου hilbert παρέχουν μια πιθανή απάντηση στο ερώτημα αυτό. .
Οι λειτουργίες en(θ) = e2πinθ σχηματίζουν μια ορθογώνια βάση του χώρου Hilbert L2([0,1]).
Κατά συνέπεια, κάθε λειτουργία τετραγωνικής ολοκληρώσιμης μπορεί να εκφραστεί ως μια σειρά

και, επιπλέον, αυτή η σειρά συγκλίνει στην έννοια του χώρου Hilbert  (δηλαδή, στην L2 mean)
Το πρόβλημα μπορεί επίσης να μελετηθεί από την αφηρημένη άποψη: κάθε χώρος Hilbert έχει μια ορθοκανονική βάση, και κάθε στοιχείο του χώρου Hilbert μπορεί να γραφτεί με μοναδικό τρόπο ως άθροισμα πολλαπλάσιο αυτών των στοιχείων της βάσης. Οι συντελεστές που περιλαμβάνονται σε αυτά τα στοιχεία με βάση τα γνωστά και αφηρημένα όπως οι συντελεστές Fourier του στοιχείου του χώρου. Η άντληση είναι ιδιαίτερα χρήσιμη όταν είναι πιο φυσικό να χρησιμοποιούν διαφορετικές λειτουργίες βάσης για ένα χώρο, όπως L2([0,1]). Σε πολλές περιπτώσεις, είναι επιθυμητό να μην αποσυντεθεί μια συνάρτηση σε τριγωνομετρικές λειτουργίες, αλλά μάλλον σε ορθογώνια πολυώνυμα ή κυματίδια s, για παράδειγμα, και σε μεγαλύτερες διαστάσεις στις σφαιρικές αρμονικές.
Για παράδειγμα, αν  en είναι οποιαδήποτε ορθοκανονική βάση των λειτουργιών του  L2[0,1], τότε μια συγκεκριμένη λειτουργία σε L2[0,1] μπορεί να προσεγγιστεί ως ένα πεπερασμένο γραμμικό συνδυασμό

Οι συντελεστές { α  ι ​​} επιλέγονται για να κάνουν το μέγεθος της διαφοράς | |
||2
όσο το δυνατόν μικρότερη. Γεωμετρικά, η καλύτερη προσέγγιση είναι η ορθή προβολή του ƒ πάνω στον υπόχωρο που αποτελείται από όλους τους γραμμικούς συνδυασμούς του { e  j ​​}, και μπορεί να υπολογιστεί με 

Ότι αυτή η φόρμουλα ελαχιστοποιεί τη διαφορά | |||2 είναι συνέπεια της ανισότητα του Bessel και ο τύπος του Parseval

Σε διάφορες εφαρμογές σε σωματικά προβλήματα, μια συνάρτηση μπορεί να αναλυθεί σε φυσική σημασία ιδιοσυνάρτησης s του διαφορικού τελεστή (συνήθως ο τελεστής Laplace): αυτό αποτελεί το θεμέλιο για τη φασματική μελέτη των λειτουργιών , σε σχέση με το φάσμα του διαφορικού χειριστή. συγκεκριμένη φυσική αίτηση περιλαμβάνει το πρόβλημα της άκουσε το σχήμα ενός τυμπάνου: δεδομένων των θεμελιωδών τρόπων δόνησης που ένας drumhead είναι ικανός να παράγει, μπορεί κανείς να συναγάγει το σχήμα του ίδιου του τυμπάνου; Η μαθηματική διατύπωση του ερωτήματος αυτού περιλαμβάνει τις Dirichlet ιδιοτιμή s της εξίσωσης Laplace στο επίπεδο, που αντιπροσωπεύουν τους θεμελιώδεις τρόπους δόνησης σε άμεση αναλογία με τους ακέραιους αριθμούς που αντιπροσωπεύουν τους θεμελιώδεις τρόπους δόνησης της χορδής ενός βιολιού.

Η κβαντομηχανική

Στο μαθηματικά αυστηρή διατύπωση της κβαντομηχανικής, που αναπτύχθηκε από τον John von Neumann, οι πιθανές καταστάσεις (πιο συγκεκριμένα, η καθαρή κατάσταση) είναι ένα σύστημα κβαντικής μηχανικής που εκπροσωπείται από  το μοναδιαίο διάνυσμα (που ονομάζεται κρατικών φορέων) που κατοικούν σε ένα πολύπλοκο διαχωρίσιμο χώρο Hilbert, που είναι γνωστή ως το χώρο κατάστασης, και ορίζεται μέχρι ένα σύνθετο αριθμό του κανόνα 1 (ο παράγοντας φάσης). Με άλλα λόγια, οι πιθανές καταστάσεις είναι σημεία του projectivization  από ένα χώρο Hilbert, που συνήθως ονομάζεται σύνθετη προβολική χώρο. Η ακριβής φύση αυτού του χώρου Hilbert εξαρτάται από το σύστημα. Για παράδειγμα, η θέση και η ορμική στάση για ένα μοναδικό μη-σχετικιστικό σπιν μηδέν σωματίδιο είναι ο χώρος όλων των ολοκληρώσιμων τετραγωνικών λειτουργιών, ενώ η στάση για την περιστροφή  ενιαίων πρωτονίων είναι μονάδα στοιχείων των δύο διαστάσεων συγκροτημάτων Hilbert χώρων των spinors. Κάθε παρατηρήσιμη αντιπροσωπεύεται από ένα αυτοσυζυγή γραμμικό τελεστή που δρουν στο χώρο κατάστασης. Κάθε ιδιοκατάσταση του ένα παρατηρήσιμο αντιστοιχεί σε μία διοσυνάρτηση του φορέα, καθώς και των συνδεδεμένων ιδιοτιμών αντιστοιχούν στην αξία του παρατηρήσιμου εν λόγω ιδιοκατάσταση.

Η εξέλιξη του χρόνου από μια κβαντική κατάσταση περιγράφεται από την εξίσωση του Schrödinger, στο οποίο η Hamiltonian, ο χειριστής που αντιστοιχεί στη συνολική ενέργεια του συστήματος, δημιουργεί την εξέλιξη του χρόνου.

Το εσωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο κρατικών φορέων είναι ένα σύνθετο αριθμό γνωστό ως πιθανότητα πλάτος. Κατά τη διάρκεια μια ιδανικής μέτρησης του συστήματος της κβαντικής μηχανικής, η πιθανότητα ότι ένα σύστημα καταρρέει από μια δεδομένη αρχική κατάσταση σε μια συγκεκριμένη ιδιοκατάσταση δίνεται από την πλατεία της απόλυτης τιμής των πλατών πιθανοτήτων μεταξύ των αρχικών και των τελικών καταστάσεων. Τα πιθανά αποτελέσματα της μέτρησης είναι οι ιδιοτιμές του χειριστή που εξηγεί την επιλογή του αυτο-τελεστή, για όλες τις ιδιοτιμές πρέπει να είναι πραγματική. Η κατανομή πιθανότητας παρατηρούνται σε μια δεδομένη κατάσταση μπορεί να βρεθεί υπολογίζοντας τη φασματική αποσύνθεση του αντίστοιχου οικονομικού φορέα.

Για ένα γενικό σύστημα, η στάση συνήθως δεν είναι καθαρή, αλλά, αντίθετα, εκπροσωπήθηκαν ως στατιστικά μείγματα καθαρών στάσεων, ή μικτές καταστάσεις, με μήτρες πυκνότητα: ιδιο-τελεστές της εντοπίζουν για ένα χώρο Hilbert. Επιπλέον, για γενικά συστήματα κβαντικής μηχανικής , τα αποτελέσματα μιας μόνο μέτρησης μπορεί να επηρεάσει άλλα μέρη του συστήματος, κατά τρόπο που περιγράφεται αντί από ένα θετικό φορέα αξιόλογο μέτρο. Έτσι, η δομή και των δύο κρατών και παρατηρήσιμα στην γενική θεωρία είναι σημαντικά πιο περίπλοκη από ό, τι την εξιδανίκευση για τα καθαρή στάση.

Αρχή της αβεβαιότητας Heisenberg αντιπροσωπεύεται από τη δήλωση ότι οι φορείς εκμετάλλευσης που αντιστοιχούν σε ορισμένες παρατηρήσιμες δεν μετακινούνται, και δίνει μια ειδική μορφή συλλέκτη που πρέπει να έχουν.

Ακίνητα

Πυθαγόρεια ταυτότητα  
Δύο διανύσματα u καιv σε ένα χώρο Hilbert H είναι ορθογώνιες όταν  = 0. Ο συμβολισμός γι 'αυτό είναι . Γενικότερα, όταν S είναι ένα υποσύνολο στο Χ, ο συμβολισμός  σημαίνει ότι u είναι ορθογώνιο σε κάθε στοιχείο από το S.  
Όταν u και v είναι ορθογώνιο, το ένα έχει

Με επαγωγή στο n, αυτό επεκτείνεται σε κάθε οικογένεια u <sub> 1 </ sub>, ..., u <sub> n </ sub> της n  ορθογώνια διανύσματα,

Ότι η Πυθαγόρεια ταυτότητα, όπως αναφέρεται ισχύει σε οποιοδήποτε εσωτερικό χώρο του γινομένου, η πληρότητα απαιτείται για την επέκταση της Πυθαγόρειας ταυτότητας στη σειρά. Μια σειρά Σ  uk τα ορθογώνια διανύσματα συγκλίνουν στο H   αν και μόνο αν η σειρά των τετραγώνων των κανόνων συγκλίνει, και 

Επιπλέον, το άθροισμα μιας σειράς ορθογωνικών φορέων είναι ανεξάρτητα από τη σειρά με την οποία έχει ληφθεί.

Ταυτότητα παραλληλόγραμμο και πόλωση 
 Εξ ορισμού, κάθε χώρος Hilbert είναι επίσης ένα Banach χώρου. Επιπλέον, σε κάθε χώρο Hilbert η ακόλουθη ταυτότητα παραλληλογράμμου ισχύει:
 
Αντίθετα, κάθε χώρος Banach στον οποίο κατέχει η ταυτότητα παραλληλογράμμου είναι ένας χώρος Hilbert, και το εσωτερικό γινόμενο είναι μοναδικό και καθορίζεται από τον κανόνα της ταυτότητα πόλωσης. Για πραγματικούς χώρους Hilbert, η ταυτότητα πόλωση είναι 

Για σύνθετους χώρους Hilbert, είναι

Ο νόμος του παραλληλογράμμου σημαίνει ότι κάθε χώρος Hilbert είναι ένας ομοιόμορφος κυρτός χώρος Banach.

Καλύτερη προσέγγιση  
Αν C είναι ένα μη κενό κλειστό κυρτό υποσύνολο ενός χώρου Hilbert H και x ένα σημείο στο Χ, υπάρχει ένα μοναδικό σημείο y ∈ C  που ελαχιστοποιεί την απόσταση μεταξύ Χ και σημεία C,

Αυτό είναι ισοδύναμο με το να πούμε ότι υπάρχει ένα σημείο με ελάχιστο κανόνα στο μεταφρασμένο κυρτό σύνολο D = . Η απόδειξη συνίσταται στο να δείχνει ότι κάθε ελαχιστοποίηση ακολουθίας (dn) ⊂ D είναι Cauchy (χρησιμοποιώντας την ταυτότητα παραλληλόγραμμο) συγκλίνει εκ τούτου (χρησιμοποιώντας πληρότητα) σε ένα σημείο Δ που έχει ελάχιστο κανόνα. Γενικότερα, αυτό ισχύει σε κάθε ομοιόμορφο κυρτο χώρο Banach.
Όταν αυτό το αποτέλεσμα εφαρμόζεται σε ένα κλειστό υπόχωρο F του Η, μπορεί να αποδειχθεί ότι το σημείο y ∈ F πιο κοντινό σε x χαρακτηρίζεται από 

Αυτό το σημείο y είναι η ορθή προβολή της Χ σε F, καθώς και τη χαρτογράφησηPF : είναι γραμμική (βλ. Ορθογώνια συμπληρώνει και προβλέψεις). Αυτό το αποτέλεσμα είναι ιδιαίτερα σημαντική στα εφαρμοσμένα μαθηματικά, ιδίως αριθμητική ανάλυση, όπου αποτελεί τη βάση των ελαχίστων τετραγώνων .

Ειδικότερα, όταν F δεν είναι ίση με Χ, μπορεί κανείς να βρει ένα μη-μηδενικό διάνυσμα κατά ορθογώνια στην F (επιλέξτε Χ δεν F και κατά = . Ένα πολύ χρήσιμο κριτήριο λαμβάνεται εφαρμόζοντας αυτή την παρατήρηση στο κλειστό υποχώρο F που παράγεται από ένα υποσύνολο S του Η. 
 Ένα υποσύνολο S της Χ εκτείνεται σ' ένα πυκνό υπόχωρο φορέα, εάν (και μόνο εάν) ο φορέας 0 είναι ο μοναδικός φορέας ν ∈ Χ ορθογώνια στην S .

Δυαδικότητα 
	
Ο διπλός χώρος  Η * είναι ο χώρος όλων των  γραμμικών συναρτήσεων από το χώρο  Η στο πεδίο βάσης. Μεταφέρει ένα φυσικό πρότυπο, που ορίζεται από την παρακάτω σχέση 	

Αυτό το πρότυπο ικανοποιεί το νόμο του παραλληλογράμμου, και έτσι ο διπλός χώρος είναι επίσης ένας χώρος στον οποίο ορίζεται ένα εσωτερικό γινόμενο. Ο διπλός χώρος είναι επίσης πλήρης, και γι 'αυτό είναι ένας χώρος Hilbert από μόνος του.	

Το Θεώρημα αναπαράστασης Riesz δίνει μια βολική περιγραφή του διπλού χώρου. Σε κάθε στοιχείο u του Η, αντιστοιχίζεται ένα μοναδικό στοιχείο φ<sub>u του Η *, που ορίζεται από την σχέση:	

Η απεικόνιση  είναι μια μη γραμμική απεικόνιση από το H στο Η *. Το θεώρημα αναπαράστασης Riesz αναφέρει ότι αυτή η απεικόνιση είναι ένας μη γραμμικός ισομορφισμός. Έτσι, για κάθε στοιχείο φ του διπλού χώρου  Η *  αντιστοιχίζεται ένα και μόνο ένα u<sub>φ στον  H, έτσι ώστε

για κάθε  x ∈ H. Το εσωτερικό γινόμενο στο διπλό  χώρο Η * ικανοποιεί την σχέση 
	
	
Η αντιμεταθετικότητα στην δεξιά πλευρά επαναφέρει τη γραμμικότητα στην φ από τη μη γραμμικότητα  της u<sub>φ . Στην πραγματικότητα , ο μη γραμμικός ισομορφισμός από τον H στον διπλό του χώρο είναι ένας ισομορφισμός, και έτσι οι πραγματικοί χώροι Hilbert είναι φυσικά ισομορφικοί με τις δικούς τους διπλούς.
	
Το αντιπροσωπευτικό διάνυσμα U<sub>φ επιτυγχάνεται με τον ακόλουθο τρόπο. Όταν φ ≠ 0, ο Πυρήνας F = Ker(φ) είναι ένας κλειστός υπόχωρος του H, όχι ίσος με τον  Η . Ως εκ τούτου, υπάρχει ένα μη μηδενικό διάνυσμα v ορθογώνιο στον  F. Το διάνυσμα  u είναι ένα κατάλληλο βαθμωτό πολλαπλάσιο λv του 'v'. Η απαίτηση να ισχύει φ (v) = ⟨v, u⟩ αποδίδεται ως 

Την  αντιστοιχία  φ ↔ u εκμεταλλεύεται η σημειογραφία  bra-ket notation  που είναι δημοφιλής στη φυσική. Είναι σύνηθες στη φυσική  να υποθέτουμε ότι το εσωτερικό γινόμενο,που  συμβολίζεται με ⟨ x | y⟩, είναι γραμμικό στα δεξιά,
	
Το αποτέλεσμα ⟨x | y⟩ μπορεί να θεωρηθεί ως  δράση της γραμμικής λειτουργίας  ⟨ Χ | (η the bra) on the vector |y⟩ (the ket)

Το θεώρημα αναπαράστασης Riesz  στηρίζεται ουσιαστικά όχι μόνο στην ύπαρξη ενός εσωτερικού γινομένου, αλλά και στην πληρότητα του χώρου. Στην πραγματικότητα, το θεώρημα συνεπάγεται ότι ο τοπολογικός διπλός  κάθε εσωτερικού γινομένου μπορεί να ταυτιστεί με την ολοκλήρωσή του. Μια άμεση συνέπεια του θεωρήματος αναπαράστασης Riesz είναι, επίσης, ότι ένα χώρος Hilbert H είναι αντανακλαστικός, πράγμα που σημαίνει ότι η φυσική απεικόνιση από τον H στον διπλό του χώρο είναι ένας ισομορφισμός.

Ασθενώς συγκλίνουσες ακολουθίες 

Σε ένα χώρο Hilbert H, μια ακολουθία {xn} είναι ασθενώς συγκλίνουσα σε ένα διάνυσμα x ∈ H όταν :

 για κάθε .

Για παράδειγμα οποιαδήποτε ορθοκανονική ακολουθία {fn} συγκλίνει ασθενώς στο  0, ως συνέπεια της ανισότητας του Bessel. Κάθε ασθενώς συγκλίνουσα ακολουθία {xn} οριοθετείται, από την αρχή ομοιόμορφου φράγματος.
Αντίθετα, κάθε φραγμένη ακολουθία σε ένα χώρο Hilbert δέχεται ασθενώς συγκλίνουσες Υπακολουθίες (θεώρημα του Alaoglu).Το γεγονός αυτό μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθούν αποτελέσματα ελαχιστοποίησης για συνεχή κυρτή συνάρτηση,με τον ίδιο τρόπο με τον οποίο το  θεώρημα Bolzano-Weierstrass , χρησιμοποιείται για συνεχείς συναρτήσεις στον Rd. Μεταξύ των πολλών παραλλαγών,
μια απλή διατύπωση έχει ως εξής:
Άν f:  είναι μια κυρτή συνεχής συνάρτηση τέτοια ώστε f(x) τείνει στο +∞ όταν ||x|| τείνει στο +∞, τότε η  f δέχεται ελάχιστο σε κάποιο σημείο .
Το γεγονός αυτό (και οι διάφορες γενικεύσεις του) είναι θεμελιώδους σημασίας στην άμεση μέθοδο του υπολογισμού των μεταβολών. Τα ελάχιστα αποτελέσματα για κυρτές συναρτήσεις είναι επίσης μια άμεση συνέπεια  του γεγονότος ότι τα κλειστά φραγμένα κυρά υποσύνολα σε ένα χώρο Hilbert H είναι ασθενώς συμπαγή, αφού ο H είναι αντανακλαστικός.Η ύπαρξη ασθενώς συγκλίνουσας υπακολουθίας είναι μια ειδική περίπτωση του θεωρήματος Eberlein-Šmulian .

Ιδιότητες χώρου Banach 
Κάθε γενική ιδιότητα του χώρου Banach συνεχίζει να ισχύει και στους χώρους Hilbert. Το θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης δηλώνει ότι ένας 'surjective' γραμμικός μετασχηματισμός από ένα χώρο Banach σε έναν άλλο, είναι μία ανοιχτή απεικόνιση που σημαίνει ότι στέλνει ανοιχτά σύνολα σε ανοιχτά σύνολα. Μία συνέπεια είναι το φραγμένο αντίστροφο θεώρημα, ότι μια συνεχής και bijective γραμμική συνάρτηση από έναν Banach χώρο σε έναν άλλο είναι ισομορφισμός. Το θεώρημα αυτό είναι πολύ πιο απλό να αποδειχθεί στην περίπτωση των χώρων Hilbert από ό,τι στην περίπτωση των χώρων Banach. Το θεώρημα της ανοιχτής απεικόνισης είναι ισοδύναμο με το κλειστό θεώρημα γράφημα, το οποίο υποστηρίζει ότι μια συνάρτηση από ένα χώρο Banach σε έναν άλλο είναι συνεχής αν και μόνο αν η γραφική της παράσταση είναι ένα κλειστό σύνολο. Στην περίπτωση των χώρων Hilbert,αυτό είναι βασικό στη μελέτη των unbounded operator.

Το γεωμετρικό Hahn-Banach θεώρημα ισχυρίζεται ότι ένα κλειστό κυρτό σύνολο μπορεί να διαχωριστεί από οποιοδήποτε σημείο έξω από αυτό μέσω ενός υπερεπιπέδου του χώρου Hilbert.Αυτή είναι μια άμεση συνέπεια της ιδιότητας καλύτερης προσέγγισης: Άν y είναι το στοιχείο ενός κλειστού κυρτού συνόλου F κοντά στο x,τότε το διαχωριστικό υπερεπίπεδο είναι κάθετο προς το τμήμα xy που διέρχεται από το μέσο του.

 Συναρτήσεις σε χώρους Hilbert 

Φραγμένες Συναρτήσεις

Οι συνεχείς γραμμικές συναρτήσεις A : H1 → H2  από ένα χώρο Hilbert H1 σε έναν άλλο χώρο Hilbert H2 είναι φραγμένες,υπό την έννοια ότι απεικονίζουν φραγμένα σύνολα σε φραγμένα σύνολα. Αντίθετα, αν μία συνάρτηση είναι φραγμένη, τότε είναι συνεχής.Ο χώρος των εν λόγω φραγμένων γραμμικών συναρτήσεων έχει έναν κανόνα, τον κανόνα των συναρτήσεων που δίνεται από την παρακάτω σχέση 

Το άθροισμα και η σύνθεση δύο φραγμένων γραμμικών συναρτήσεων είναι και αυτή φραγμένη και γραμμική. Για y στον H2, η απεικόνιση που στέλνει x ∈ H1 στο ⟨Ax, y⟩ είναι γραμμική και συνεχής, και σύμφωνα με το Θεώρημα Αναπαράστασης Riesz μπορεί ως εκ τούτου,να εκπροσωπείται με τη μορφή

για κάποιο διάνυσμα A* y στον H1. Αυτό ορίζει μία άλλη φραγμένη γραμμική συνάρτηση A*: H2 → H1, την Hermitian συζυγή του A.Μπορεί κανείς να δει ότι .

Το σύνολο B(H) όλων των φραγμένων γραμμικών συναρτήσεων στον H,μαζί με τις πράξεις της πρόσθεσης και της σύνθεσης, του κανόνα και της adjoint operation, είναι ένα C*-algebra. το οποίο είναι ένα είδος συνόλου στην Άλγεβρα.
Ένα στοιχείο A  του B(H) ονομάζεται  αυτοσυζυγής ή Hermitian αν A*= A.Αν A  είναι Hermitian και  0  για κάθε x, τότε το A  ονομάζεται μη αρνητικό, γράφεται A ≥ 0; αν  ισχύει η ισότητα μόνο όταν x = 0, τότε το A  ονομάζεται θετικό. Το σύνολο των αυτο-συζυγών συναρτήσεων δέχεται μία μερική διάταξη, σύμφωνα με την οποία A ≥ B αν A − B ≥ 0. Αν το A  έχει τη μορφή B* B  για κάποιο B, τότε το A είναι μη-αρνητικό, αν το B είναι αντιστρέψιμο, τότε το A είναι θετικό. Το αντίστροφο ισχύει με την έννοια ότι, για ένα μη αρνητικό A, υπάρχει μοναδική μη-αρνητική τετραγωνική ρίζα B τέτοια ώστε :
Σε μία έννοια πιο ακριβή από το φασματικό θεώρημα, οι αυτοσυζυγείς τελεστές μπορούν να θεωρηθούν σαν πραγματικοί τελεστές. Ένα στοιχείοA του B(H) ονομάζεται κανονικό αν A* A = A A*. Οι κανονικοί τελεστές αποσυντίθεται στο άθροισμα των αυτοσυζυγών τελεστών και σε ένα φανταστικό πολλαπλό ενός αυτοσυζυγούς

που ανταλλάσσονται το ένα με το άλλο. Τους κανονικούς τελεστές μπορούμε να τους σκεφτούμε να αποτελούνται από τον πραγματικό και τον φανταστικό τους όρο.

Ένα στοιχείο U  του B(H) ονομάζεται ενωτικό αν το U  είναι αντιστρέψιμο και το αντίστροφο δίνεται από τον U*.Αυτό μπορεί επίσης να εκφραστεί απαιτώντας 'U  be onto  για κάθε x και y στο H. Οι ενιαίοι τελεστές σχηματίζουν μία ομάδα υπό την σύνθεση, η οποία είναι η ομάδα ισομετρίας του H.

Ένα στοιχείο του  B(H)είναι συμπαγής αν στέλνει φραγμένα σύνολα σε σχετικά συμπαγή σύνολα. Ισοδύναμα, μια φραγμένη φορέα T είναι συμπαγής, αν, για κάθε φραγμένη ακολουθία {xk}, η ακολουθία {Txk} έχει μια υπο-συγκλίνουσα. Πολλοί integral operators είναι συμπαγής, και στην πραγματικότητα καθορίζουν μια ειδική κατηγορία των επιχειρηματιών που αποκαλούνται φορείς Hilbert-Schmidt, που είναι ιδιαίτερα σημαντική για τη μελέτη των ολοκληρωτικών εξισώσεων.Oi Fredholm φορείς διαφέρουν από ένα συμπαγή φορέα από ένα πολλαπλάσιο του ταυτότητα, και είναι ομοίως χαρακτηρίζονται ως φορείς εκμετάλλευσης με ένα πεπερασμένο διαστάσεων του πυρήνα και cokernel. Ο δείκτης του Fredholm φορέα Τ ορίζεται από

Ο δείκτης είναι homotopy αμετάβλητες, και παίζει μια βαθιά ρόλο στη διαφορική γεωμετρία μέσω του δείκτη του θεώρηματος Atiyah-Singer

Μη φραγμένες συναρτήσεις 
Οι μη φραγμένες συναρτήσεις είναι επίσης προσιτές σε χώρους Hilbert, και έχουν σημαντικές εφαρμογές στην κβαντομηχανική. Μία μη φραγμένη συνάρτηση Τ σε ένα χώρο Hilbert H ορίζεται ως γραμμική της οποίας η περιοχή D ( Τ) είναι ένας γραμμικός υπόχωρος του Η. Συχνά, η περιοχή D ( Τ) είναι ένας πυκνός υποχώρος του Η, και στην περίπτωση αυτλη η Τ είναι γνωστή ως μια πυκνά ορισμένη συνάρτηση.

Η συζυγής μία πυκνά ορισμένης μη  φραγμένης συνάρτησης  ορίζεται ουσιαστικά με τον ίδιο τρόπο όπως και στις φραγμένες συναρτήσεις. Οι  αυτοσυζυγείς μη φραγμένες συναρτήσεις παίζουν το ρόλο των παρατηρήσιμων στη μαθηματική διατύπωση της κβαντικής μηχανικής.Παραδείγματα αυτοσυζυγών μη φραγμένων συναρτήσεων για το χώρο Hilbert L2(R) είναι: 
 Μία κατάλληλη προέκταση της διαφορικής συνάρτησης
 
 Όπου i είναι η φανταστική μονάδα και f είναι μια διαφορίσιμη συνάρτηση συμπαγή φορέα.
 The multiplication-by-x συνάρτηση:
 

Αυτά αντιστοιχούν στην ορμή και τη θέση παρατηρήσιμων μεγεθών, αντίστοιχα.

Σημειώστε ότι ούτε η Α ούτε η  Β ορίζεται σε όλους τους H, δεδομένου ότι στην περίπτωση του  Α το παράγωγο δεν χρειάζεται να υπάρχει, και στην περίπτωση του Β η λειτουργία του γινομένου δεν χρειάζεται να είναι τετράγωνο integrable. Σε αμφότερες τις περιπτώσεις, το σύνολο των πιθανών επιχειρημάτων σχηματίζουν πυκνούς υποχώρους του L 2(R).

Κατασκευές

Ευθύ αθροίσματα
Δύο χώροι Hilbert H1 και H2 μπορούν να συνδυαστούν σε ένα άλλο χώρο Hilbert, που ονομάζεται ορθογώνιο ευθύ άθροισμα και συμβολίζεται :
που αποτελείται από το σύνολο όλων των διατεταγμένων ζευγών (x1, x2) όπου , , και το εσωτερικό γινόμενο που ορίζεται από
τη σχέση :

Πιο γενικά, αν Hi μια οικογένεια από Hilbert χώρους αναπροσαρμόζονται από , τότε το ευθύ άθροισμα των Hi, συμβολίζεται με :  

ή αλλιώς:  (βλέπε Coproduct) αποτελείται από το σύνολο όλων των οικογένειες με δείκτη : στο καρτεσιανό γινόμενο του  Hi  έτσι ώστε :
Το εσωτερικό γινόμενο ορίζεται από

Κάθε ένας από τους Hi συμπεριλαμβάνεται ως ένας κλειστός υπόχωρος στο ευθύ άθροισμα όλων των Hi. Επιπλέον, οι Hi είναι ανά δύο ορθογώνιοι. Αντιστρόφως, εάν υπάρχει ένα σύστημα όλων των κλειστών υποχώρων,Vi, ,σε ένα χώρο Hilbert H που είναι κατά ζεύγη ορθογώνια και η ένωσή τους είναι πυκνή στον H τότε ο H είναι κανονικώς ισομορφικός στο ευθύ άθροισμα Vi.Στην περίπτωση αυτή, ο H ονομάζεται  το εσωτερικό  άμεσο άθροισμα των Vi. 
Ένα ευθύ άθροισμα (εσωτερικό ή εξωτερικό) είναι επίσης εξοπλισμένο με μια οικογένεια ορθών προβολών Ei πάνω στο i η άμεση summand Hi. Οι προβλέψεις αυτές οριοθετούνται, αυτοσυζυγής, idempotent φορέων που πληρούν την προϋπόθεση orthogonality :

Γινόμενα Τανυστή
Αν H1 και H2, τότε το ένα ορίζει ένα εσωτερικό γινόμενο στo σύνηθες Γινόμενο Τανυστή ως εξής. Ως απλό τανυστή έχουμε

Ο τύπος αυτός εκτείνεται στη συνέχεια με 'sesquilinearity' σε ένα εσωτερικό γινόμενο H1 ⊗ H2. Το γινόμενο Hilbertian τανυστής των H1 και H2, μερικές φορές συμβολίζεται με , είναι ο χώρος Hilbert που λαμβάνεται με τη συμπλήρωση H1 ⊗ H2 για την μετρική που σχετίζεται με αυτό το εσωτερικό γινόμενο.

Ένα παράδειγμα παρέχεται από τον χώρο Hilbert L2([0, 1]). Το γινόμενο Hilbertian τανυστής των δύο αντιγράφων του L2([0, 1]) είναι ισομετρικά και γραμμικά ισομορφικό στο χώρο L2([0, 1]2) τετραγωνικών integrable λειτουργίες στο τετράγωνο [0, 1]2. Αυτός ο ισομορφισμός στέλνει έναν απλό τανυστή  στην συνάρτηση : στο τετράγωνο.
Αυτό το παράδειγμα είναι τυπικό με την ακόλουθη έννοια.  Συνδεδεμένη σε κάθε απλό γινόμενο τανυστή x1 ⊗ x2 
είναι η κατάταξη μιας συνάρτησης από τον H1∗ στον H2 που απεικονίζει ένα δεδομένο  ως :.
Αυτή η απεικόνιση καθορίζεται σε απλές tensors εκτείνεται σε μια γραμμική ταύτιση μεταξύ H1 ⊗ H2 και του χώρου των πεπερασμένων σε βαθμό συναρτήσεων από τον H*1 στον H2. Αυτό εκτείνεται σε μια γραμμική ισομετρία του Hilbertian γινομένου τανυστή  με τον χώρο Hilbert  HS(H*1, H2) των  Hilbert–Schmidt  συναρτήσεις από H*1 to H2.

Ορθοκανονικές βάσεις 

Η έννοια του της ορθοκανονικής βάσης από τη γραμμική άλγεβρα γενικεύεται πάνω στην περίπτωση των χώρων Hilbert. Σε ένα χώρο Hilbert H,μια ορθοκανονική βάση είναι μια οικογένεια  {ek}  των στοιχείων του H που πληρούν τις προϋποθέσεις:
Ορθογωνικότητα: Κάθε δύο διαφορετικά στοιχεία του B είναι ορθογώνια:   για κάθε k, j στο B με .
Κανονικοποίηση: Κάθε στοιχείο της οικογένειας έχει κανόνα 1:||ek|| = 1 για κάθε k στο B.
 Πληρότητα: το γραμμικό άνοιγμα της οικογένειας ek, ,είναι πυκνό στον Η.

Ένα σύστημα των διανυσμάτων που ικανοποιεί τις δύο πρώτες προϋποθέσεις καλείται ορθοκανονικό σύστημα ή ορθοκανονικό σύνολο (ή ορθοκανονική ακολουθία αν το B είναι αριθμήσιμο). Ένα τέτοιο σύστημα είναι πάντα γραμμικά ανεξάρτητο.

Η πληρότητα του ορθοκανονικού συστήματος των διανυσμάτων του χώρου Hilbert μπορεί να επαναδιατυπωθεί ισοδύναμα ως:
 Αν  για κάθε  και κάποια  τότε .

Αυτό σχετίζεται με το γεγονός ότι το μόνο διάνυσμα ορθογώνιο προς ένα πυκνό γραμμικό υποχώρο είναι το μηδενικό διάνυσμα, έτσι αν S είναι οποιαδήποτε ορθοκανονικό σύστημα  και v είναι ορθογώνιο ως προς S, τότε το v είναι ορθογώνιο προς το κλείσιμο του γραμμικού εύρους S,που είναι όλος ο χώρος.

Παραδείγματα ορθοκανονικών βάσεων :
 το σύνολο {(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)} αποτελεί μία ορθοκανονική βάση του R3 με το γινόμενο
 η ακολουθία {fn : n ∈ Z} με fn(x) = exp(2πinx) αποτελεί μία ορθοκανονική βάση του πολύπλοκου χώρου L2([0,1])

Στην περίπτωση άπειρων διαστάσεων η ορθοκανονική βάση δεν θα είναι βάση με την έννοια της γραμμικής άλγεβρας, για να διακρίνουμε τα δύο, η τελευταία βάση επίσης ονομάζεται {Βάση Haml|βάση Hamel]]. Ότι το άνοιγμα των διανυσμάτων βάσης είναι πυκνό συνεπάγεται ότι κάθε διάνυσμα στο χώρο μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα μιας άπειρης σειράς, και η ορθογωνιότητα συνεπάγεται ότι αυτή η αποσύνθεση είναι μοναδική.

Χώροι Ακολουθιών 
Ο χώρος ℓ 2 τετραγωνικών summable ακολουθιών των μιγαδικών αριθμών είναι το σύνολο των άπειρων ακολουθιών 
 
μιγαδικών αριθμών τέτοιος ώστε
 

Αυτός ο χώρος έχει ορθοκανονική βάση:

Πιο γενικά, αν Β είναι ένα οποιοδήποτε σύνολο, τότε τότε μπορεί κανείς να σχηματίσει ένα χώρο Hilbert  ακολουθιών με δείκτη το σύνολο Β, που ορίζεται από τη σχέση 

Η άθροιση πάνω από το B  εδώ ορίζεται από τη σχέση

το ανώτατο μπορεί να αναλάβει όλα τα πεπερασμένα υποσύνολα  B.Επομένως, για να είναι το άθροισμα αυτό πεπερασμένο, κάθε στοιχείο του ℓ 2(B) έχει μόνο μετρήσιμους πολλούς μη μηδενικούς όρους. Αυτός ο χώρος γίνεται ένας χώρος Hilbert με εσωτερικό γινόμενο : για κάθε x και y στο ℓ 2(B).
Εδώ το άθροισμα έχει επίσης μόνο μετρήσιμα πολλούς μη μηδενικούς όρους και  συγκλίνει άνευ όρων σύμφωνα με την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς.

Ορθοκανονική βάση του  ℓ 2(B) που υποδεικνύεται από το σύνολο B,είναι η

Ανισότητα του Bessel και τύπος του Parseval 
Ας είναι  ένα πεπερασμένο ορθοκανονικό σύστημα  in H. Για ένα αυθαίρετο διάνυσμα x στον H, ας είναι :
Τότε  =   για κάθε k = .Επομένως,   είναι ορθογώνιο σε κάθε fk,ως εκ τούτου, είναι ορθογώνιο στο  y.

Χρησιμοποιώντας την Πυθαγόρεια ταυτότητα δύο φορές, προκύπτει ότι 

Ας είναι το , είναι ένα αυθαίρετο ορθοκανονικό σύστημα in H.Εφαρμόζοντας την προηγούμενη ανισότητα σε κάθε πεπερασμένο υποσύνολο J του I δίνει την  ανισότητα του Bessel

(σύμφωνα με τον ορισμό του αθροίσματος ενός αυθαίρετου συνόλου μη-αρνητικών πραγματικών αριθμών).

Γεωμετρικά, η ανισότητα του Bessel σημαίνει ότι η ορθή προβολή του x επί του γραμμικού υποχώρου που εκτείνεται από το fi, έχει κανόνας που δεν υπερβαίνει εκείνο του x. Σε δύο διαστάσεις, αυτός είναι ο ισχυρισμός ότι το μήκος του σκέλους ενός ορθογωνίου τριγώνου δεν μπορεί να υπερβαίνει το μήκος της υποτείνουσας.

Η ανισότητα του Bessel είναι ένα σκαλοπάτι για την πιο ισχυρή, Ταυτότητα Parseval που διέπει την περίπτωση όπου η ανισότητα του Bessel είναι στην πραγματικότητα μια ισότητα. Αν {ek}k ∈ B είναι μια ορθοκανονική βάση του H, τότε κάθε στοιχείο x του H μπορεί να γραφτεί ως

Ακόμα κι αν το Β είναι μη αριθμήσιμο, η ανισότητα του Bessel εγγυάται ότι η έκφραση είναι καλά ορισμένη και αποτελείται μόνο από μετρήσιμα πολλούς μη μηδενικούς όρους. Το άθροισμα αυτό καλείται επέκταση Fourier του Χ, και οι επιμέρους συντελεστές  ⟨x,ek⟩ είναι οι συντελεστές Fourier του x.Ο τύπος του Parseval είναι τότε 

Αντιστρόφως, εάν {ek} είναι ένα ορθοκανονικό σύστημα τέτοιο ώστε η ταυτότητα του Parseval να ισχύει για κάθε x, τότε η {ek} είναι ορθοκανονική βάση.

Διάσταση Hilbert  
Ως συνέπεια του λήμματος του Zorn κάθε χώρος Hilbert δέχεται μια ορθοκανονική βάση. Επιπλέον, οποιασδήποτε δύο ορθοκανονικές βάσεις του ίδιου χώρου έχουν την ίδια πληθάριθμος, που ονομάζεται διάσταση του χώρου Hilbert. Για παράδειγμα, αφού ο ℓ2(B) έχει μια ορθοκανονική βάση που υποδεικνύεται από τον B, η Hilbert διάσταση του είναι ο πληθάριθμος του B (ο οποίος μπορεί να είναι ένας πεπερασμένος ακέραιος, ή ένας αριθμήσιμος ή μη αριθμήσιμος απόλυτος αριθμός).

Ως συνέπεια της ταυτότητας του Parseval, εάν {ek}k ∈ B είναι μια ορθοκανονική βάση του Η τότε η απεικόνιση   ℓ2(B) που ορίζεται από τη σχέση  είναι ένας ισομετρικός ισομορφισμός των χώρων Hilbert:είναι μια αμφιμονοσήμαντη γραμμική απεικόνιση τέτοια ώστε : για κάθε x και y στον H. Ο απόλυτος αριθμός του B είναι η Hilbert διάσταση του H. Έτσι, κάθε χώρος Hilbert είναι ισομετρικά ισομορφικός με ένα χώρο ακολουθιών  ℓ2(B) για κάποιο σύνολο Β.

Διαχωρίσιμοι χώροι 

Ένας χώρος Hilbert είναι διαχωρίσιμος χώρος  αν και μόνο αν ο ίδιος δέχεται μία μετρήσιμη ορθοκανονική βάση. Επομένως, όλοι οι απειροδιάστατοι διαχωριζόμενοι χώροι Hilbert είναι ισομετρικά ισομορφικοίμε τον ℓ2.
Στο παρελθόν, οι χώροι Hilbert συχνά εξ ορισμού απαιτούνταν να είναι διαχωρίσιμοι. Οι περισσότεροι χώροι που χρησιμοποιούνται στη φυσική είναι διαχωρίσιμοι και δεδομένου ότι όλοι είναι ισόμορφοι μεταξύ τους,ο ένας αναφέρεται συχνά σε οποιοδήποτε απειροδιάστατο διαχωρίσιμο χώρο Hilbert ως  "χώρο Hilbert". Ακόμη και στην κβαντική θεωρία πεδίου, οι περισσότεροι από τους χώρους Hilbert είναι στην πραγματικότητα διαχωρίσιμοι, όπως ορίζεται από τα αξιώματα Wightman. Ωστόσο, μερικές φορές υποστηρίζεται ότι οι μη-διαχωριζόμενοι χώρουι Hilbert είναι επίσης σημαντικοί για την κβαντική θεωρία πεδίου, κυρίως επειδή τα συστήματα στη θεωρία έχουν έναν άπειρο αριθμό ελευθερίας, και κάθε άπειρο  γινόμενο τανυστή (χώρων διάστασης μεγαλύτερης από ένα) είναι μη διαχωρίσιμο. Για παράδειγμα, ένα μποζονικό πεδίο  μπορεί φυσικά να θεωρηθεί ως ένα στοιχείο ενός γινομένου τανυστή του οποίου οι συντελεστές αντιπροσωπεύουν αρμονικούς ταλαντωτές σε κάθε σημείο του χώρου. Από αυτή την άποψη, το πεδίο ενός μποζονίου μπορεί να φαίνεται σαν να είναι ένας μη-διαχωριζόμενος χώρος. Ωστόσο, αυτός είναι μόνο ένας μικρός διαχωρίσιμος υπόχωρος του πλήρους γινομένου τανυστή που μπορεί να περιέχει πεδία με φυσική σημασία (στο οποίο τα αισθητά μπορούν να οριστούν). Ένας άλλος μη-διαχωριζόμενος χώρος Hilbert παρουσιάζει την κατάσταση μιας άπειρου συλλογής σωματιδίων σε μια απέραντη περιοχή του χώρου. Μία ορθοκανονική βάση του χώρου αναπροσαρμόζεται από την πυκνότητα των σωματιδίων, μια συνεχή παράμετρο, και δεδομένου ότι το σύνολο των πιθανών πυκνοτήτων είναι αμέτρητο, η βάση δεν είναι μετρήσιμη.

Ορθογώνια συμπληρώματα και προβολές
Αν S είναι ένα υποσύνολο ενός χώρου Hilbert H, το σύνολο των διανυσμάτων που είναι ορθογώνια προς το S ορίζεται από τη σχέση:

S⊥ είναι ένας κλειστός υποχώρος του H (μπορεί εύκολα να αποδειχθεί χρησιμοποιώντας την γραμμικότητα και τη συνέχεια του εσωτερικού γινομένου) και έτσι αποτελεί ο ίδιος ένα χώρο Hilbert. Αν ο V είναι ένας κλειστός υποχώρος του H, τότε ο V⊥ ονομάζεται το ορθογώνιο συμπλήρωμα του V. Στην πραγματικότητα κάθε x στον H μπορεί να γραφεί με μοναδικό τρόπο ως x = v + w, όπου v ανήκει στον V και w ανήκει στον V⊥.Ως εκ τούτου,ο H είναι το εσωτερικό ευθύ άθροισμα των V και V⊥.
Η γραμμική συνάρτηση PV : H → H που απεικονίζει το x στο v ονομάζεται ορθή προβολή πάνω στον V. Υπάρχει μια φυσική αντιστοιχία ένα-προς-ένα μεταξύ του συνόλου όλων των κλειστών υποχώρων του H και του συνόλου όλων των φραγμένων αυτο-συζυγών συναρτήσεων P έτσι ώστε P2 = P. Ειδικότερα,
Θεώρημα.Η ορθογώνια προβολή PV είναι μία αυτο-συζυγής γραμμική συνάρτηση στον H με  norm ≤ 1 με την ιδιότητα P2V = PV. Επιπλέον, κάθε αυτο-συζυγής γραμμική συνάρτηση E τέτοια ώστε 
E2 = E είναι της μορφής PV,όπου V είναι το φάσμα των E. Για κάθε x στον H, PV(x) είναι το μοναδικό στοιχείο v του V,το οποίο ελαχιστοποιεί την απόσταση ||x − v||.

Αυτό παρέχει την γεωμετρική ερμηνεία της PV(x):είναι η καλύτερη προσέγγιση του x από στοιχεία του V.

Προβολές PU και PV καλούνται αμοιβαία ορθογώνιες εάν PUPV = 0. Αυτό είναι ισοδύναμο με το να είναι οι U και V ορθογώνιοι ως υποχώροι του Η. Το άθροισμα των δύο προβολών PU και PV είναι μια προβολή μόνο εάν U και V είναι ορθογώνιοι μεταξύ τους, και στην περίπτωση αυτή
PU + PV = PU+V. Η σύνθεση PUPV γενικά δεν είναι προβολή, στην πραγματικότητα, η σύνθεση είναι μία προβολή αν και μόνο αν οι δύο προβολές εναλλάσσονται, και στην περίπτωση αυτή ισχύει PUPV = PU∩V.

Περιορίζοντας το σύνολο τιμών στο χώρο Hilbert V,η ορθογώνια προβολή PV δημιουργεί μια προβολική απεικόνιση 
π: H → V, είναι η αυτοσυζυγής of the inclusion απεικόνιση

πράγμα που σημαίνει ότι

για κάθε x ∈ V και y ∈ H.

Ο operator norm της ορθογώνιας προβολής PV επάνω σε ένα μη-μηδενικό κλειστό υποχώρο V είναι ίσος με ένα 

Κάθε κλειστός υποχώρος V ενός χώρου Hilbert είναι συνεπώς, η εικόνα μιας συνάρτησης P του κανόνα τέτοια ώστε P2 = P. Η ιδιότητα της κατοχής κατάλληλων συναρτήσεων προβολής χαρακτηρίζει τους χώρους Hilbert

 Ένας χώρος Banach με διάσταση μεγαλύτερη από 2 είναι ισομετρικά ένας χώρος Hilbert αν και μόνο αν, για κάθε κλειστό υποχώρο του V,υπάρχει μία συνάρτηση PV του κανόνα μία εικόνα του οποίου είναι V τέτοια ώστε 

Ενώ αυτό το αποτέλεσμα χαρακτηρίζει τη μετρική δομή ενός χώρου Hilbert, η δομή ενός χώρου Hilbert ως τοπολογικού διανυσματικού χώρου μπορεί από μόνη της  να χαρακτηρίζεται από την άποψη της παρουσίας των συμπληρωματικών υποχώρων.

 Ένας χώρος Banach Χ είναι τοπολογικά και γραμμικά ισομορφικός σε ένα χώρο Hilbert αν και μόνο αν, σε κάθε κλειστό υποχώρο V, υπάρχει ένας κλειστός υπόχωρος ' W, έτσι ώστε ο Χ να είναι ίσος με το εσωτερικό ευθύ άθροισμα V⊕ Δ.

Το ορθογώνιο συμπλήρωμα ικανοποιεί κάποια πιο στοιχειώδη αποτελέσματα. Είναι μια μονότονη συνάρτηση με την έννοια ότι, εάν U ⊂ V, τότε  με την ισότητα εκμετάλλευση, εάν και μόνο εάν ο V περιέχεται στο κλείσιμο του U.
Το αποτέλεσμα αυτό είναι μια ειδική περίπτωση του Hahn-Banach θεωρήματος.Το κλείσιμο ενός υπόχωρου μπορεί να χαρακτηρισθεί πλήρως από την άποψη του ορθογώνιου συμπληρώματος: Αν V είναι ένας υπόχωρος του H, τότε το κλείσιμο του V είναι ίσο με . Το ορθογώνιο συμπλήρωμα είναι συνεπώς μία σύνδεση Galois στην μερική διάταξη υποχώρων ενός χώρου Hilbert. Σε γενικές γραμμές, το ορθογώνιο συμπλήρωμα ενός αθροίσματος των υποχώρων είναι η τομή των ορθογωνίων συμπληρωμάτων.
. Αν οι V''i είναι επιπλέον κλειστοί 
.

Παραπομπές

Γραμμική άλγεβρα
Θεωρία τελεστών
Κβαντική μηχανική
Συναρτησιακή ανάλυση