Παράδοξο του ενδιαφέροντος αριθμού

Το Παράδοξο του ενδιαφέροντος αριθμού είναι ένα ημι-χιουμοριστικό παράδοξο που προκύπτει από την προσπάθεια να κατατάξει φυσικούς αριθμούς ως "Ενδιαφέροντες" ή  "μη-ενδιαφεροντες". Το παράδοξο αναφέρει ότι όλοι οι φυσικοί αριθμοί έχουν ενδιαφέρον. Απόδειξη με βάση την αντίφαση:

 Εάν υπάρχει ένα μη-κενό σύνολο μη-ενδιαφέροντων φυσικών αριθμών,
 Θα υπάρχει ο μικρότερος ενδιαφέρων αριθμός
 Αλλά ο μικρότερος μη-ενδιαφέρων αριθμός είναι από μόνος του ενδιαφέρων,

 Επειδή είναι ο μικρότερος ενδιαφέρων αριθμός, ...Δημιουργώντας έτσι μια αντίφαση.

Ο αριθμός 1729 έχει κληθεί ένα αριθμός ταξί, γιατί σε μια συζήτηση μεταξύ των μαθηματικών G. H. Hardy και Srinivasa Ramanujan για την κατάταξη των αριθμών σε Ενδιαφέροντες και Μη-Ενδιαφέροντες, ο Χάρντυ παρατήρησε ότι ο αριθμός 1729 που υπήρχε στο ταξί που πήραν σε κάποια πόλη, του φάνηκε μη-ενδιαφέρον αριθμός.Θυμάμαι μια φορά που πήγαινα να τον επισκεφτώ στο Πάτνεϊ επειδή ήταν άρρωστος. Είχα πάρει ένα ταξί με το νούμερο 1729 και σχολίασα πως ο αριθμός αυτός μου φαινόταν αρκετά βαρετός και πως ήλπιζα αυτό να μην αποτελούσε κάποιον άσχημο οιωνό. "Όχι", μου απάντησε "είναι ένας πολύ ενδιαφέρων αριθμός, είναι ο μικρότερος αριθμός που μπορεί να εκφραστεί ως το άθροισμα δύο κύβων με δύο διαφορετικούς τρόπους.

Το Παράδοξο 
Η προσπάθεια να χαρακτηριστούν όλοι οι αριθμοί με αυτόν τον τρόπο οδηγεί σε ένα παράδοξο ή μία αντινομία του ορισμού. Οποιαδήποτε υποθετική κατάτμηση των φυσικών αριθμών σε ενδιαφέροντες και Μη-Ενδιαφέροντες φαίνεται να αποτυγχάνει. Αφού ο ορισμός του «ενδιαφέροντος» βασίζεται συνήθως σε μία υποκειμενική, διαισθητική έννοια. Πρέπει να γίνει κατανοητή ως μία ημιχιουμοριστική εφαρμογή της αυτοαναφοράς, για να να δημιουργηθεί αυτό το παράδοξο.

Το παράδοξο μπορεί να πάψει να είναι παράδοξο σε αυτό το παράδειγμα, εάν ο όρος «ενδιαφέρων» οριστεί αντικειμενικά αντί υποκειμενικά: για παράδειγμα, ως μη ενδιαφέρων αριθμός μπορεί να οριστεί ο μικρότερος ακέραιος αριθμός που δεν εμφανίζεται σε μια καταχώρηση της On-Line Εγκυκλοπαίδειας Ακέραιων Ακολουθιών. Βρέθηκε αρχικά να είναι ο αριθμός 11630, στις 12 Ιουνίου του 2009. Αργότερα έγινε 12407 από τον Νοέμβριο του 2009 τουλάχιστον μέχρι τον Νοέμβριο του 2011. Έπειτα έγινε 13794 από τον Απρίλιο του 2012, μέχρι που εμφανίστηκε στη σειρά  A218631 κάπου στις 3 Νοεμβρίου του 2012. Από το Νοέμβριο του 2013, ο αριθμός αυτός έγινε 14228, τουλάχιστον μέχρι τις 14 Απριλίου του 2014. Να σημειωθεί ότι αυτός ο ορισμός του μη-ενδιαφέροντος είναι δυνατός μόνο και μόνον επειδή το σύστημα λιστών OEIS παραθέτει μόνο ένα πεπερασμένο αριθμό αριθμών, για κάθε καταχώρηση. 

Ωστόσο, καθώς υπάρχουν πολλά και σημαντικά αποτελέσματα στα μαθηματικά που κάνουν χρήση της αυτο-αναφοράς όπως το Γκέντελ Θεώρημα της Ατέλειας, το παράδοξο μπορεί να δείχνει τη δύναμη της αυτο-αναφοράς, και έτσι αγγίζει σοβαρά προβλήματα σε πολλούς τομείς της επιστήμης.

Ο μαθηματικός και φιλόσοφος Alex Bellos πρότεινε, το 2014, σαν υποψήφιο ελάχιστο μη-ενδιαφέροντα αριθμό να είναι ο 247, επειδή ήταν, εκείνη την εποχή, "ο ελάχιστος αριθμός που να μην έχει τη δική του σελίδα στη Wikipedia".

Δείτε επίσης 

 Church–Turing συζήτηση
 Τα θεωρήματα μη πληρότητας του γκέντελ
 Grelling–Νέλσον παράδοξο
 Kleene–Rosser παράδοξο
 Λίστα με τα παράδοξα
 Παράδοξο του Ρίτσαρντ
 Penguin Dictionary για τα περίεργα και Ενδιαφέροντα Νούμερα
 Το απρόσμενο παράδοξο του εκκρεμούς

Σημειώσεις

Περαιτέρω ανάγνωση

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 

 Πιο Βαρετή Μέρα στην Ιστορία 
 Μια λίστα με "ειδικές ιδιότητες" για κάθε ένα από τα πρώτα 10000 φυσικών αριθμών

Μαθηματικά παράδοξα