Φιλοσοφία των μαθηματικών

Η φιλοσοφία των μαθηματικών είναι ο κλάδος της φιλοσοφίας που μελετά τις υποθέσεις, τα θεμέλια και τις συνέπειες των μαθηματικών, που παρέχει μια άποψη της φύσης και της μεθοδολογίας των μαθηματικών και που κατανοεί την θέση των μαθηματικών στην ζωή των ανθρώπων. Ο λογικός και δομικός χαρακτήρας των μαθηματικών καθιστά αυτή τη μελέτη ευρεία και μοναδική μεταξύ των φιλοσοφικών ομοίων της.

Οι όροι φιλοσοφία των μαθηματικών και μαθηματική φιλοσοφία συχνά χρησιμοποιούνται εναλλάξ. Ωστόσο η τελευταία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αναφερθεί και σε άλλους τομείς μελέτης. Κάποιος αναφέρεται σε ένα έργο σχηματοποίησης μιας φιλοσοφικής θεματικής ύλης, ας πούμε της αισθητικής, της ηθικής, της λογικής, της μεταφυσικής ή της θεολογίας, σε μια πιο ακριβή και αυστηρή μορφή όπως για παράδειγμα οι εργασίες των σχολαστικών θεολόγων ή οι συστηματικοί στόχοι του Λέιμπνιτζ και του Σπινόζα. Κάποιος άλλος αναφέρεται στην εργασιακή φιλοσοφία ενός ελεύθερου επαγγελματία ή μιας ομοϊδεατής κοινότητας των πρακτικών μαθηματικών. Επιπλέον κάποιοι κατανοούν ότι ο όρος "μαθηματική φιλοσοφία" είναι μια παραπομπή στην κατανόηση των θεμελίων των μαθηματικών που ανέφερε ο Bertrand Russell στα βιβλία του "Οι αρχές των μαθηματικών" και "Εισαγωγή στην μαθηματική φιλοσοφία".

Βασικά ζητήματα 
Τα βασικά ζητήματα περιλαμβάνουν :
 Ποιος είναι ο ρόλος της ανθρωπότητας στην ανάπτυξη των μαθηματικών;
 Ποιες είναι οι πηγές του ζητήματος των μαθηματικών;
 Ποια είναι η οντολογική κατάσταση της μαθηματικής ύπαρξης;
 Τι σημαίνει το να αναφέρεσαι σε ένα μαθηματικό αντικείμενο;
 Ποιος είναι ο χαρακτήρας μιας μαθηματικής πρότασης;
 Ποια είναι η σχέση μεταξύ της λογικής και των μαθηματικών;
 Τι είδος έρευνας παίζει ρόλο στα μαθηματικά;
 Ποιοι είναι οι στόχοι της μαθηματικής έρευνας;
 Τι δίνει στα μαθηματικά η εμπειρία τους;
 Ποια είναι τα ανθρώπινα χαρακτηριστικά πίσω από τα μαθηματικά;
 Τι είναι η μαθηματική ομορφιά;
 Ποια είναι η πηγή και ποια η φύση της μαθηματικής αλήθειας;
 Ποια είναι η σχέση ανάμεσα στον αφηρημένο κόσμο των μαθηματικών και τον υλικό κόσμο;

Ιστορία 
Η προέλευση των μαθηματικών είναι θέμα διαμάχης. Το αν η γέννηση των μαθηματικών ήταν τυχαίο γεγονός ή προκλήθηκε από την αναγκαιότητα να εξαρτάται από άλλα πράγματα, όπως για παράδειγμα από την φυσική, είναι ζήτημα παραγωγικών συζητήσεων.

Πολλοί στοχαστές συνέβαλαν με τις ιδέες τους σχετικά με την φύση των μαθηματικών. Σήμερα μερικοί φιλόσοφοι των μαθηματικών στοχεύουν στο να προσφέρουν τις απόψεις τους στην διερεύνηση αυτής της μορφής και των προΪόντων της. Άλλοι τονίζουν έναν ρόλο που ξεπερνά την απλή ερμηνεία στην κριτική ανάλυση. Υπάρχουν παραδόσεις της μαθηματικής φιλοσοφίας τόσο στην δυτική όσο και στην ανατολική φιλοσοφία. Οι δυτικές φιλοσοφίες των μαθηματικών ξεκινούν από τον Πυθαγόρα, ο οποίος περιέγραφε την θεωρία ότι όλα είναι μαθηματικά (μαθηματισμός), τον Πλάτωνα που παράφραζε τον Πυθαγόρα και μελετούσε την οντολογική κατάσταση των μαθηματικών αντικειμένων και τον Αριστοτέλη που μελέτησε την λογική και τα ζητήματα που σχετίζονται με το άπειρο (τρέχον έναντι δυναμικού).

Η ελληνική φιλοσοφία στα μαθηματικά επηρεάστηκε έντονα από την μελέτη της γεωμετρίας. Για παράδειγμα, οι Έλληνες πίστευαν ότι το 1 (ένα) δεν ήταν αριθμός αλλά μια μονάδα αυθαίρετου μήκους. Ένας αριθμός ορίζεται ως πλήθος. Επομένως, το 3 αντιπροσώπευε ένα ορισμένο πλήθος μονάδων και έτσι δεν ήταν "πραγματικά" ένας αριθμός. Σε ένα άλλο σημείο αναπτύχθηκε ένα παρόμοιο επιχείρημα ότι το 2 δεν ήταν ένας αριθμός αλλά μια θεμελιώδης έννοια ενός ζεύγους. Αυτές οι απόψεις προέρχονται από την έντονα γεωμετρική οπτική γωνία των Ελλήνων : ακριβώς όπως οι γραμμές που σχεδιάζονται σε ένα γεωμετρικό πρόβλημα μετριούνται ανάλογα με την πρώτη αυθαίρετη γραμμή, έτσι και οι αριθμοί σε μια γραμμή αριθμών μετριούνται αναλογικά με τον "πρώτο" αριθμό ή τον αριθμό "ένα".

Αυτές οι πρωταρχικές ελληνικές ιδέες για τους αριθμούς επεκτάθηκαν μετά την ανακάλυψη του ανορθολογισμού της τετραγωνικής ρίζας του δυο. Ο Ίππασος, μαθητής του Πυθαγόρα, έδειξε ότι η διαγώνιος του τετραγώνου της μονάδας δεν μπορεί να αντισταθμιστεί με την ακμή (την κατά μήκος μονάδα) : με άλλα λόγια απέδειξε ότι δεν υπήρχε κανένας (ορθολογικός) αριθμός που να απεικονίζει με ακρίβεια την αναλογία του τετραγώνου της μονάδας με την άκρη της. Αυτό προκάλεσε μια σημαντική επαναξιολόγηση της ελληνικής φιλοσοφίας των μαθηματικών. 

Σύμφωνα με τον μύθο, οι Πυθαγόρειοι τραυματίστηκαν τόσο από αυτή την ανακάλυψη ώστε δολοφόνησαν τον Ίππασο προκειμένου να τον σταματήσουν από την διάδοση της αιρετικής ιδέας του. Ο Simon Stevin ήταν από τους πρώτους Ευρωπαίους που αμφισβήτησε τις ελληνικές ιδέες του 16ου αιώνα. Ξεκινώντας από τον Λέιμπνιτζ, η προσοχή μετατοπίστηκε μεταξύ των μαθηματικών και της λογικής. Αυτή η προοπτική κυριάρχησε στην φιλοσοφία των μαθηματικών κατά τον καιρό του Φρέγκε και του Ράσελ αλλά αμφισβητήθηκε από τις εξελίξεις κατά τα τέλη του 19ου και τις αρχές του 20ου αιώνα.

20ος αιώνας 
Ένα πολυετές ζήτημα στην φιλοσοφία των μαθηματικών αφορά την σχέση μεταξύ της λογικής και των μαθηματικών στα κοινά τους θεμέλια. Ενώ οι φιλόσοφοι του 20ου αιώνα συνέχισαν να θέτουν τις ερωτήσεις που αναφέρθηκαν στην αρχή του άρθρου, η φιλοσοφία των μαθηματικών στον 20ο αιώνα χαρακτηρίζεται από ένα κυρίαρχο ενδιαφέρον για την επίσημη λογική, την θεωρία τνω συνόλων και τα θεμελιώδη ζητήματα.

Αποτελεί ένα βαθύ πρόβλημα το γεγονός ότι από την μια πλευρά οι μαθηματικές αλήθειες φαίνεται να έχουν ένα αναπόφευκτο αλλά από την άλλη πλευρά η πηγή της "αλήθειας" τους παραμένει αόριστη. Οι έρευνες σε αυτό το ζήτημα είναι γνωστές όπως είναι και τα θεμέλια των μαθηματικών.

Στις αρχές του 20ου αιώνα, οι φιλόσοφοι των μαθηματικών άρχιζαν ήδη να χωρίζονται σε διάφορες σχολές σκέψης για όλα αυτά τα ζητήματα που διακρίνονται ευρέως από την μαθηματική επιστημολογία και οντολογία. Αυτήν την περίοδο εμφανίστηκαν τρία σχολεία, φορμαλισμός, διαισθητισμός και λογική, εν μέρει ως απάντηση στην ολοένα και πιο διαδεδομένη ανησυχία ότι τα μαθηματικά ως έχουν αλλά και η ανάλυση κυρίως, δεν ανταποκρίνονταν στα πρότυπα βεβαιότητας και αυστηρότητας που θεωρούνταν δεδομένα. Κάθε σχολή ασχολήθηκε με τα ζητήματα που ήρθαν στο προσκήνιο εκείνη την περίοδο είτε προσπαθώντας να τα επιλύσει είτε ισχυριζόμενη ότι τα μαθηματικά δεν ήταν σε μια κατάσταση της πλέον αξιόπιστης γνώσης.

Οι εκπληκτικές εξελίξεις στην τυπική λογική και στην θεωρία των συνόλων στις αρχές του 20ου αιώνα οδήγησαν σε νέα ερωτήματα σχετικά με αυτό που ονομάζονταν τα θεμέλια των μαθηματικών. Καθώς ο αιώνας προχωρά, η αρχική έμφαση στην ανησυχία επεκτάθηκε σε μια εξερεύνηση των θεμελιωδών αξιωμάτων των μαθηματικών ενώ η αξιωματική προσέγγιση θεωρήθηκε δεδομένη ήδη από την εποχή του Ευκλείδη γύρω στο 300 π.Χ. ως φυσική βάση για τα μαθηματικά. Οι θεωρίες του αξιώματος, της πρότασης και της απόδειξης καθώς και η έννοια της πρότασης που είναι αληθινή σε ένα μαθηματικό αντικείμενο επισημοποιήθηκαν, επιτρέποντάς τους να αντιμετωπίζονται ως μαθηματικές οντότητες. Τα αξιώματα των Zermelo-Fraenkel για την θεωρία των συνόλων εγκρίθηκαν, τα οποία παρείχαν ένα εννοιολογικό πλαίσιο στο οποίο θα ερμηνευόταν ο μαθηματικός λόγος. Στα μαθηματικά, όπως και στην φυσική, δημιουργήθηκαν νέες και απροσδόκητες ιδέες και σημειώθηκαν σημαντικές αλλαγές. Με την αρίθμηση του Gödel, οι προτάσεις θα μπορούσαν να ερμηνευθούν ως αναφερόμενες στον εαυτό τους ή σε άλλες προτάσεις, επιτρέποντας την διερεύνηση της συνέπειας των μαθηματικών θεωριών. Αυτή η ανακλαστική κριτική στην οποία η εξεταζόμενη θεωρία "γίνεται η ίδια αντικείμενο μαθηματικής μελέτης" οδήγησε τον Hilbert να αποκαλεί τέτοιες μελέτες μεταμαθηματικά ή θεωρία απόδειξης.

Στα μέσα του 20ου αιώνα δημιουργήθηκε μια νέα μαθηματική θεωρία από τον Samuel Eilenberg και τον Saunders Mac Lane, γνωστή ως θεωρία των κατηγοριών και έγινε υποψήφια για τη φυσική γλώσσα της μαθηματικής σκέψης. Καθώς όμως ο 20ος αιώνας προχωρά, οι φιλοσοφικές απόψεις αποκλίνουν ως προς το πόσο βάσιμες ήταν οι ερωτήσεις για τα θεμέλια που τέθηκαν στις αρχές του αιώνα. Ο Hilary Putnam συνόψισε μια άποψη για την κατάσταση στο τελευταίο τρίτο του αιώνα λέγοντας :Όταν η φιλοσοφία ανακαλύπτει κάτι λανθασμένο με την επιστήμη, μερικές φορές η επιστήμη πρέπει να αλλάξει - το παράδοξο του Russell έρχεται στο μυαλό όπως και η επίθεση του Berkeley στο πραγματικό απειροελάχιστο - αλλά πιο συχνά είναι η φιλοσοφία που πρέπει να αλλάξει. Δεν νομίζω ότι οι δυσκολίες που βρίσκει η φιλοσοφία με τα σημερινά κλασικά μαθηματικά είναι πραγματικές δυσκολίες. Και νομίζω ότι οι φιλοσοφικές ερμηνείες των μαθηματικών που προσφέρουμε σε κάθε άτομο είναι λανθασμένες και ότι η "φιλοσοφική ερμηνεία" είναι ακριβώς αυτό που τα μαθηματικά δεν χρειάζονται.Η φιλοσοφία των μαθηματικών προχωρά σήμερα σε πολλές διαφορετικές γραμμές έρευνας από φιλοσόφους των μαθηματικών μέχρι λογιστές και μαθηματικούς και υπάρχουν πολλά τμήματα σκέψης πάνω στο θέμα. Τα τμήματα αναφέρονται ξεχωριστά στην επόμενη ενότητα και οι υποθέσεις τους εξηγούνται.

Κυρίαρχα θέματα

Μαθηματικός ρεαλισμός 
Ο μαθηματικός ρεαλισμός, όπως και ο ρεαλισμός γενικά, υποστηρίζει ότι οι μαθηματικές οντότητες υπάρχουν ανεξάρτητα από το ανθρώπινο μυαλό. Έτσι οι άνθρωποι δεν επινοούν τα μαθηματικά αλλά μάλλον τα ανακαλύπτουν και οποιαδήποτε άλλα ευφυή όντα στο σύμπαν πιθανόν θα κάνουν το ίδιο. Από αυτή την άποψη, υπάρχει ένα είδος μαθηματικών που μπορεί να ανακαλυφθεί. Τα τρίγωνα, για παράδειγμα, είναι πραγματικές οντότητες και όχι δημιουργίες του ανθρώπινου νου.

Πολλοί μαθηματικοί στην εκπαίδευση υπήρξαν μαθηματικοί ρεαλιστές. Θεωρούν ότι οι ίδιοι ανακάλυψαν τα φυσικά αντικείμενα. Ως παραδείγματα τέτοιων αναφέρονται οι Paul Erdős και Kurt Gödel. Ο Gödel πίστευε σε μια αντικειμενική μαθηματική πραγματικότητα που θα μπορούσε να γίνει αντιληπτή με τρόπο ανάλογο με την αίσθηση της αντίληψης. Ορισμένα αξιώματα (π.χ. για οποιαδήποτε δυο αντικείμενα υπάρχει μια συλλογή αντικειμένων που αποτελούνται από αυτά ακριβώς τα δυο αντικείμενα) θα μπορούσαν να θεωρηθούν αληθή αλλά η συνεχής υπόθεση μπορεί να θεωρηθεί ακατάλληλη μόνο με βάση αυτές τις αρχές. Ο Gödel πρότεινε ότι η εμπειρική μεθοδολογία θα μπορούσε να χρησιμοποιηθεί για να παράσχει επαρκείς αποδείξεις ώστε εύλογα να μπορεί να υποτεθεί μια τέτοια εικασία.

Μέσα στα πλαίσια του ρεαλισμού υπάρχουν διαφορές ανάλογες με το είδος της ύπαρξης που λαμβάνουν οι μαθηματικές οντότητες και με τον τρόπο που ξέρουμε για αυτές. Οι κύριες μορφές του μαθηματικού ρεαλισμού περιλαμβάνουν τον πλατωνισμό.

Μαθηματικός αντι-ρεαλισμός 
Ο μαθηματικός αντι-ρεαλισμός θεωρεί γενικά ότι οι μαθηματικές δηλώσεις περιλαμβάνουν αξίες περί αλήθειας αλλά ότι δεν το κάνουν αυτό μέσω ενός ειδικού πεδίου άυλων ή μη εμπειρικών οντοτήτων. Οι κύριες μορφές μαθηματικού αντι-ρεαλισμού περιλαμβάνουν τον φορμαλισμό και τον φανταλισμό.

Σύγχρονες σχολές σκέψης

Πλατωνισμός 
Ο μαθηματικός πλατωνισμός είναι η μορφή του ρεαλισμού που προτείνει ότι οι μαθηματικές οντότητες είναι αφηρημένες, δεν έχουν χωροχρονικές ή αιτιώδεις ιδιότητες και ότι είναι αιώνιες και αμετάβλητες. Αυτό συχνά θεωρείται πως είναι η άποψη που οι περισσότεροι άνθρωποι έχουν για τους αριθμούς. Ο όρος πλατωνισμός χρησιμοποιείται γιατί μια τέτοια άποψη φαίνεται να συμπίπτει με την θεωρία περί μορφής του Πλάτωνα και τον "κόσμο των ιδεών" που περιγράφεται στην Αλληγορία του Σπηλαίου του Πλάτωνα: ο απλός κόσμος μπορεί μόνο να προσεγγίσει πλημμελώς μια αμετάβλητη, απόλυτη πραγματικότητα. Τόσο το σπήλαιο του Πλάτωνα όσο και ο πλατωνισμός έχουν σημαντικές, όχι μόνο επιφανειακές συνδέσεις, γιατί οι ιδέες του Πλάτωνα προηγήθηκαν και ίσως επηρεάστηκαν από τους ιδιαίτερα δημοφιλείς Πυθαγόρειους της αρχαίας Ελλάδας οι οποίοι πίστευαν ότι ο κόσμος κυριολεκτικά δημιουργήθηκε από τους αριθμούς.

Ένα σημαντικό ερώτημα που εξετάζεται στον μαθηματικό πλατωνισμό είναι : Πού και πώς ακριβώς υπάρχουν οι μαθηματικές οντότητες και πώς ξέρουμε για αυτές; Υπάρχει ένας κόσμος, εντελώς ξεχωριστός από τον δικό μας, που καταλαμβάνεται από τις μαθηματικές οντότητες; Πώς μπορούμε να αποκτήσουμε πρόσβαση σε αυτόν τον ξεχωριστό κόσμο και να ανακαλύψουμε αλήθειες για τις οντότητες; Μια προτεινόμενη απάντηση είναι το Ultimate Ensemble, μια θεωρία που υποθέτει ότι όλες οι δομές που υπάρχουν μαθηματικά, υπάρχουν και φυσικά στο δικό τους σύμπαν.

Ο Πλάτωνας μίλησε για τα μαθηματικά μέσω :Πως το εννοείς?Εννοώ ότι η αριθμητική έχει ένα πολύ μεγάλο αποτέλεσμα, αναγκάζοντας την ψυχή να μιλήσει για έναν αφηρημένο αριθμό και να επαναστατήσει εναντίον της εισαγωγής ορατών ή απτών αντικειμένων στο επιχείρημα. Ξέρετε πόσο σταθερά οι δάσκαλοι της τέχνης αποκρούουν και γελοιοποιούν όποιον προσπαθεί να διαιρέσει την απόλυτη ενότητα όταν υπολογίζει, και αν κάποιος καταφέρνει να την χωρίσει, τότε αυτή πολλαπλασιάζεται, φροντίζοντας ώστε κάποιος να συνεχίσει και να μην χαθεί στα κλάσματα.Αυτό είναι αλήθεια.Τώρα ας υποθέσουμε ότι κάποιος θα τους έλεγε : Φίλοι μου, ποιοι είναι αυτοί οι υπέροχοι άνθρωποι για τους οποίους σκεφτεστε ότι διαθέτουν μια ενότητα όπως εσείς την ζητάτε και κάθε μονάδα είναι ίση, αμετάβλητη, αδιαίρετη - τι θα απαντούσαν; Πλάτωνας, Κεφάλαιο 7, "Η Δημοκρατία" Στην ουσία, στο κεφάλαιο 8 της μετάφρασης του Lee αναφέρεται ότι στην εκπαίδευση κάθε φιλοσόφου περιλαμβάνονται 5 μαθηματικές αξίες :
 μαθηματικά
 αριθμητική
 επίπεδη γεωμετρία και στερεά γεωμετρία
 αστρονομία
 αρμονία
Οι μεταφραστές του έργου του Πλάτωνα επαναστάτησαν ενάντια στις πρακτικές εκδοχές των μαθηματικών της εποχής του. Ωστόσο ο ίδιος ο Πλάτωνας και οι Έλληνες είχαν αντιγράψει 1,500 παλαιότερες Αιγυπτιακές μονάδες, μια από τις οποίες ήταν η ενότητα hekat που είχε μέγεθος 64/64 στο ξύλινο δίσκο Akhmim έτσι ώστε να μην χαθεί σε κλάσματα.

Εμπειρισμός 
Ο εμπειρισμός είναι μια μορφή του ρεαλισμού η οποία αρνείται ότι τα μαθηματικά μπορούν να είναι εξ ολοκλήρου γνωστά εκ των προτέρων. Υποστηρίζει ότι ανακαλύπτουμε τα μαθηματικά γεγονότα μέσα από εμπειρική αναζήτηση, όπως ακριβώς τα γεγονότα σε κάθε άλλη επιστήμη. Δεν αποτελεί μια από τις κλασικές τρεις θέσεις που αναπτύχθηκαν στις αρχές του 20ου αιώνα αλλά δημιουργήθηκε κυρίως κατά τα μέσα του αιώνα. Ωστόσο ένας σημαντικός υποστηρικτής μιας άποψης σαν αυτήν ήταν ο John Stuart Mill. Η άποψη του Mill δέχτηκε ευρεία κριτική καθώς, σύμφωνα με τους κριτικούς όπως ο A. J. Ayer, ο Mill κάνει δηλώσεις όπως "2 + 2 = 4" οι οποίες προκύπτουν ως αβέβαιες, ενδεχόμενες αλήθειες τις οποίες μπορούμε να μάθουμε μόνο παρατηρώντας περιπτώσεις δυο ζευγών που συναντιούνται και σχηματίζουν ένα κουαρτέτο.

Ο σύγχρονος μαθηματικός εμπειρισμός, που διατυπώθηκε από τους Quine και Putnam, υποστηρίζεται κυρίως από το επιχείρημα της αναγκαιότητας : τα μαθηματικά είναι απαραίτητα σε όλες τις εμπειρικές επιστήμες και εάν θέλουμε να πιστέψουμε στην πραγματικότητα των φαινομένων που περιγράφονται από τις επιστήμες, πρέπει να πιστέψουμε και στην πραγματικότητα των οντοτήτων που απαιτούνται για την περιγραφή αυτή. Δηλαδή δεδομένου ότι η φυσική πρέπει να μιλάει για ηλεκτρόνια προκειμένου να πει γιατί οι λαμπτήρες συμπεριφέρονται με έναν ορισμένο τρόπο, τότε πρέπει να υφίστανται τα ηλεκτρόνια. Δεδομένου ότι η φυσική πρέπει να μιλήσει για αριθμούς προκειμένου να προσφέρει οποιαδήποτε από τις εξηγήσεις της, τότε πρέπει να υφίστανται οι αριθμοί. Σύμφωνα με την συνολική φιλοσοφία των Quine και Putnam, αυτό είναι ένα φυσιολογικό επιχείρημα. Η φιλοσοφία των Quine και Putnam υποστηρίζει την ύπαρξη των μαθηματικών οντοτήτων ως την καλύτερη ερμηνεία της εμπειρίας, απομακρύνοντας έτσι τα μαθηματικά από το να ξεχωρίζουν από τις υπόλοιπες επιστήμες.

Ο Putnam απέρριψε έντονα τον όρο "πλατωνιστής" υπονοώντας μια ειδική οντότητα που δεν ήταν απαραίτητη για την μαθηματική πράξη με κάποια πραγματική έννοια. Υποστήριξε μια μορφή "καθαρού ρεαλισμού" η οποία απέρριπτε τις μυστικιστικές έννοιες της αλήθειας και αποδεχόταν τον εμπειρισμό στα μαθηματικά. Ο Putnam συμμετείχε στην δημιουργία του όρου "καθαρός ρεαλισμός".

Η πιο σημαντική κριτική πάνω στις εμπειρικές απόψεις των μαθηματικών είναι σχεδόν η ίδια με αυτήν που εγείρεται εναντίον του Mill. Εάν τα μαθηματικά είναι εξίσου εμπειρικά με τις άλλες επιστήμες, τότε αυτό υποδηλώνει ότι τα αποτελέσματά του είναι εξίσου λανθασμένα με τα δικά τους. Στην περίπτωση του Mill η εμπειρική αιτιολογία έρχεται άμεσα ενώ στην περίπτωση του Quine έρχεται έμμεσα, μέσω της συνοχής της επιστημονικής θεωρίας ως συνόλου, δηλαδή της συμβολής του E. O. Wilson. Ο Quine υποδηλώνει ότι τα μαθηματικά παρουσιάζονται απολύτως βέβαια επειδή ο ρόλος που διαδραματίζουν στην πεποίθησή μας είναι αρκετά κεντρικός και θα ήταν εξαιρετικά δύσκολο να αναθεωρηθεί, αν όχι αδύνατο.

Μαθηματικός μονισμός 
Η υπόθεση του Max Tegmark για το μαθηματικό σύμπαν ξεπερνά τον πλατωνισμό και υποστηρίζει ότι όχι μόνο υπάρχουν όλα τα μαθηματικά αντικείμενα αλλά ότι τίποτα άλλο δεν γίνεται. Το μοναδικό αξίωμα του Tegmark είναι : Όλες οι δομές που υπάρχουν μαθηματικά, υπάρχουν και φυσικά. Δηλαδή ότι σε εκείνους τους αρκετά σύνθετους κόσμους που περιέχουν αυτοσυντήρητες δομές, αυτοί θα αντιλαμβάνουν υποκειμενικά τους εαυτούς τους ως υπάρχοντες σε έναν φυσικά πραγματικό κόσμο.

Λογισμός 
Ο λογισμός είναι η θεωρία ότι τα μαθηματικά είναι αναγώγιμα στην λογική και ως εκ τούτου δεν είναι παρά ένα κομμάτι της λογικής. Οι λογικιστές ισχυρίζονται ότι τα μαθηματικά μπορούν να είναι γνωστά εκ των προτέρων αλλά υποδηλώνουν ότι η γνώση των μαθηματικών είναι σε γενικές γραμμές μόνο ένα μέρος της γνώσης μας για τη λογική, χωρίς να απαιτείται κάποια ειδική ικανότητα μαθηματικής διαίσθησης. Από αυτή την αποψη η λογική είναι η σωστή θεμελίωση των μαθηματικών και όλες οι μαθηματικές διατυπώσεις αποτελούν απαραίτητες λογικές αλήθειες.

Ο Ρούντολφ Κάρναπ (1931) χωρίζει τον λογισμό σε δυο μέρη :
 Οι έννοιες των μαθηματικών μπορούν να προέρχονται από λογικές έννοιες μέσω ρητών ορισμών.
 Τα θεωρήματα των μαθηματικών μπορούν να εξαχθούν από λογικά αξιώματα μέσω μιας αμιγώς λογικής αφαίρεσης.
Ο Γκότλομπ Φρέγκε ήταν ο ιδρυτής του λογισμού. Στο έργο του Die Grundgesetze der Arithmetik (Βασικές Αρχές της Αριθμητικής) δημιούργησε μια αριθμητική μέσω ενός συστήματος λογικής με μια γενική αρχή κατανόησης την οποία ονόμασε "Βασικός Νόμος V", αρχή που ο ίδιος θεωρούσε αποδεκτή ως μέρος της λογικής.

Η άποψη του Φρέγκε ήταν λανθασμένη. Ο Ράσελ ανακάλυψε ότι ο Βασικός Νόμος V είναι ασυνεπής (αυτό είναι το παράδοξο του Ράσελ). Ο Φρέγκε εγκατέλειψε σύντομα το λογικιστικό του πρόγραμμα αλλά αυτό συνεχίστηκε από τους Ράσελ και Γουάιτχεντ. Απέδοσαν το παράδοξο στην "φαύλη κυκλικότητα" και δημιούργησαν αυτό που ονόμασαν θεωρία θεμελιωμένου τύπου για να το αντιμετωπίσουν. Αυτοί ήταν τελικά σε θέση να δημιουργήσουν ένα μεγάλο μέρος των σύγχρονων μαθηματικών αλλά σε μια αλλοιωμένη και υπερβολικά σύνθετη μορφή (για παράδειγμα υπήρχαν διαφορετικοί φυσικοί αριθμοί σε κάθε τύπο αλλά και απείρως πολλοί τύποι). Έπρεπε επίσης να κάνουν διάφορους συμβιβασμούς προκειμένου να αναπτύξουν αυτό το τόσο μεγάλο μέρος των μαθηματικών, όπως ένα "αξίωμα της μειωσιμότητας". Ακόμα και ο Ράσελ έχει αναφέρει ότι αυτό το αξίωμα δεν ανήκε στην λογική.

Οι σύγχρονοι λογικιστές (όπως ο Bob Hale, ο Crispin Wright και ίσως άλλοι) επέστρεψαν σε ένα πρόγραμμα πιο κοντά στου Φρένγκε. Έχουν εγκαταλείψει τον Βασικό Νόμο V υπέρ των αρχών αφαίρεσης, όπως η αρχή του Χιουμ (ο αριθμός των αντικειμένων που εμπίπτουν στην έννοια F αντιστοιχεί στον αριθμό των αντικειμένων που εμπίπτουν στην έννοια G αν και μόνο αν η επέκταση του F και η επέκταση του G μπορούν να τοποθετηθούν σε μια one-to-one αλληλογραφία).

Πηγές 
 Aristotle, "Prior Analytics", Hugh Tredennick (trans.), pp. 181–531 in Aristotle, Volume 1, Loeb Classical Library, William Heinemann, London, UK, 1938.
 Benacerraf, Paul, and Putnam, Hilary (eds., 1983), Philosophy of Mathematics, Selected Readings, 1st edition, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, NJ, 1964. 2nd edition, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1983.
 Berkeley, George (1734), The Analyst; or, a Discourse Addressed to an Infidel Mathematician. Wherein It is examined whether the Object, Principles, and Inferences of the modern Analysis are more distinctly conceived, or more evidently deduced, than Religious Mysteries and Points of Faith, London & Dublin. Online text, David R. Wilkins (ed.), Eprint.
 Bourbaki, N. (1994), Elements of the History of Mathematics, John Meldrum (trans.), Springer-Verlag, Berlin, Germany.
 Chandrasekhar, Subrahmanyan (1987), Truth and Beauty. Aesthetics and Motivations in Science, University of Chicago Press, Chicago, IL.
 Colyvan, Mark (2004), "Indispensability Arguments in the Philosophy of Mathematics", Stanford Encyclopedia of Philosophy, Edward N. Zalta (ed.), Eprint.
 Davis, Philip J. and Hersh, Reuben (1981), The Mathematical Experience, Mariner Books, New York, NY.
 Devlin, Keith (2005), The Math Instinct: Why You're a Mathematical Genius (Along with Lobsters, Birds, Cats, and Dogs), Thunder's Mouth Press, New York, NY.
 Dummett, Michael (1991 a), Frege, Philosophy of Mathematics, Harvard University Press, Cambridge, MA.
 Dummett, Michael (1991 b), Frege and Other Philosophers, Oxford University Press, Oxford, UK.
 Dummett, Michael (1993), Origins of Analytical Philosophy, Harvard University Press, Cambridge, MA.
 Ernest, Paul (1998), Social Constructivism as a Philosophy of Mathematics, State University of New York Press, Albany, NY.
 George, Alexandre (ed., 1994), Mathematics and Mind, Oxford University Press, Oxford, UK.
 Hadamard, Jacques (1949), The Psychology of Invention in the Mathematical Field, 1st edition, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2nd edition, 1949. Reprinted, Dover Publications, New York, NY, 1954.
 Hardy, G.H. (1940), A Mathematician's Apology, 1st published, 1940. Reprinted, C.P. Snow (foreword), 1967. Reprinted, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1992.
 Hart, W.D. (ed., 1996), The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK.
 Hendricks, Vincent F. and Hannes Leitgeb (eds.). Philosophy of Mathematics: 5 Questions, New York: Automatic Press / VIP, 2006. [1]
 Huntley, H.E. (1970), The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty, Dover Publications, New York, NY.
 Irvine, A., ed (2009), The Philosophy of Mathematics, in Handbook of the Philosophy of Science series, North-Holland Elsevier, Amsterdam.
 Klein, Jacob (1968), Greek Mathematical Thought and the Origin of Algebra, Eva Brann (trans.), MIT Press, Cambridge, MA, 1968. Reprinted, Dover Publications, Mineola, NY, 1992.
 Kline, Morris (1959), Mathematics and the Physical World, Thomas Y. Crowell Company, New York, NY, 1959. Reprinted, Dover Publications, Mineola, NY, 1981.
 Kline, Morris (1972), Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, New York, NY.
 König, Julius (Gyula) (1905), "Über die Grundlagen der Mengenlehre und das Kontinuumproblem", Mathematische Annalen 61, 156-160. Reprinted, "On the Foundations of Set Theory and the Continuum Problem", Stefan Bauer-Mengelberg (trans.), pp. 145–149 in Jean van Heijenoort (ed., 1967).
 Körner, Stephan, The Philosophy of Mathematics, An Introduction. Harper Books, 1960.
 Lakoff, George, and Núñez, Rafael E. (2000), Where Mathematics Comes From: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being, Basic Books, New York, NY.
 Lakatos, Imre 1976 Proofs and Refutations:The Logic of Mathematical Discovery (Eds) J. Worrall & E. Zahar Cambridge University Press
 Lakatos, Imre 1978 Mathematics, Science and Epistemology: Philosophical Papers Volume 2 (Eds) J.Worrall & G.Currie Cambridge University Press
 Lakatos, Imre 1968 Problems in the Philosophy of Mathematics North Holland
 Leibniz, G.W., Logical Papers (1666–1690), G.H.R. Parkinson (ed., trans.), Oxford University Press, London, UK, 1966.
 Maddy, Penelope (1997), Naturalism in Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK.
 Maziarz, Edward A., and Greenwood, Thomas (1995), Greek Mathematical Philosophy, Barnes and Noble Books.
 Mount, Matthew, Classical Greek Mathematical Philosophy,[citation needed].
 Peirce, Benjamin (1870), "Linear Associative Algebra", § 1. See American Journal of Mathematics 4 (1881).
 Peirce, C.S., Collected Papers of Charles Sanders Peirce, vols. 1-6, Charles Hartshorne and Paul Weiss (eds.), vols. 7-8, Arthur W. Burks (ed.), Harvard University Press, Cambridge, MA, 1931 – 1935, 1958. Cited as CP (volume).(paragraph).
 Peirce, C.S., various pieces on mathematics and logic, many readable online through links at the Charles Sanders Peirce bibliography, especially under Books authored or edited by Peirce, published in his lifetime and the two sections following it.
 Plato, "The Republic, Volume 1", Paul Shorey (trans.), pp. 1–535 in Plato, Volume 5, Loeb Classical Library, William Heinemann, London, UK, 1930.
 Plato, "The Republic, Volume 2", Paul Shorey (trans.), pp. 1–521 in Plato, Volume 6, Loeb Classical Library, William Heinemann, London, UK, 1935.
 Resnik, Michael D. Frege and the Philosophy of Mathematics, Cornell University, 1980.
 Resnik, Michael (1997), Mathematics as a Science of Patterns, Clarendon Press, Oxford, UK, ISBN 978-0-19-825014-2
 Robinson, Gilbert de B. (1959), The Foundations of Geometry, University of Toronto Press, Toronto, Canada, 1940, 1946, 1952, 4th edition 1959.
 Raymond, Eric S. (1993), "The Utility of Mathematics", Eprint.
 Smullyan, Raymond M. (1993), Recursion Theory for Metamathematics, Oxford University Press, Oxford, UK.
 Russell, Bertrand (1919), Introduction to Mathematical Philosophy, George Allen and Unwin, London, UK. Reprinted, John G. Slater (intro.), Routledge, London, UK, 1993.
 Shapiro, Stewart (2000), Thinking About Mathematics: The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK
 Strohmeier, John, and Westbrook, Peter (1999), Divine Harmony, The Life and Teachings of Pythagoras, Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.
 Styazhkin, N.I. (1969), History of Mathematical Logic from Leibniz to Peano, MIT Press, Cambridge, MA.
 Tait, William W. (1986), "Truth and Proof: The Platonism of Mathematics", Synthese 69 (1986), 341-370. Reprinted, pp. 142–167 in W.D. Hart (ed., 1996).
 Tarski, A. (1983), Logic, Semantics, Metamathematics: Papers from 1923 to 1938, J.H. Woodger (trans.), Oxford University Press, Oxford, UK, 1956. 2nd edition, John Corcoran (ed.), Hackett Publishing, Indianapolis, IN, 1983.
 Ulam, S.M. (1990), Analogies Between Analogies: The Mathematical Reports of S.M. Ulam and His Los Alamos Collaborators, A.R. Bednarek and Françoise Ulam (eds.), University of California Press, Berkeley, CA.
 van Heijenoort, Jean (ed. 1967), From Frege To Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge, MA.
 Wigner, Eugene (1960), "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences", Communications on Pure and Applied Mathematics 13(1): 1-14. Eprint 
 Wilder, Raymond L. Mathematics as a Cultural System, Pergamon, 1980.
 Witzany, Guenther (2011), Can mathematics explain the evolution of human language?, Communicative and Integrative Biology, 4(5): 516-520.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Philosophy of mathematics at PhilPapers
 Philosophy of mathematics at the Indiana Philosophy Ontology Project
 The London Philosophy Study Guide  offers many suggestions on what to read, depending on the student's familiarity with the subject:
 Philosophy of Mathematics 
 Mathematical Logic 
 Set Theory & Further Logic 
 R.B. Jones' philosophy of mathematics page
 Philosophy of mathematics  at DMOZ
 The Philosophy of Real Mathematics Blog
 Kaina Stoicheia  by C.S. Peirce.

Περιοδικά 
 Philosophia Mathematica journal
 The Philosophy of Mathematics Education Journal homepage