Εκθετική αύξηση

Εκθετική αύξηση συμβαίνει όταν ο ρυθμός μεταβολής της τιμής μιας  συνάρτησης είναι θετικός και ανάλογος με τη τιμή της συνάρτησης,
με αποτέλεσμα η ανάπτυξή της, συναρτήσει του χρόνου, να είναι μια εκθετική συνάρτηση. 
Εκθετική απόσβεση παρουσιάζεται με τον ίδιο τρόπο, όταν ο ρυθμός μεταβολής είναι αρνητικός. 
Στην περίπτωση ενός διακριτού πεδίου ορισμού χωρισμένου σε ίσα διαστήματα,η εκθετική αύξηση ή απόσβεση
ονομάζεται και γεωμετρική αύξηση ή γεωμετρική απόσβεση, 
και οι τιμές της συνάρτησης σχηματίζουν μια γεωμετρική πρόοδο. 

Ο τύπος για την εκθετική μεταβολή της μεταβλητής x με θετικό ή αρνητικό ρυθμό μεταβολής r, 
καθώς ο χρόνος t παίρνει διακριτές τιμές (δηλαδή, ακέραιους χρόνους 0, 1, 2, 3, ...), είναι
 
όπου x0 είναι η τιμή του x την χρονική στιγμή 0. 
Για παράδειγμα, με ποσοστό αύξησης r = 5% = 0.05, από οποιαδήποτε ακέραια χρονική τιμή στην αμέσως επόμενη ακέραια
προκαλεί το x τη δεύτερη φορά να είναι κατά 5% μεγαλύτερο από όσο ήταν την προηγούμενη φορά. 
Εφόσον η χρονική μεταβλητή, που είναι το εισαγόμενο σε αυτή τη συνάρτηση, 
εμφανίζεται ως εκθέτης, αυτή είναι μια εκθετική συνάρτηση.

Παραδείγματα

Βιολογία
Ο αριθμός των μικροοργανισμών σε μία καλλιέργεια θα αυξηθεί εκθετικά έως ότου εξαντληθεί  ένα απαραίτητο θρεπτικό συστατικό .  Τυπικά ο πρώτος οργανισμός χωρίζεται σε δύο θυγατρικούς οργανισμούς,  οι οποίοι στη συνέχεια χωρίζονται για να δημιουργήσουν τέσσερις ,  οι οποίοι χωρίζονται για να δημιουργήσουν οκτώ , και ούτω καθεξής.  Επειδή η εκθετική αύξηση υποδεικνύει συνεχή ρυθμό ανάπτυξης ,  συχνά θεωρείται ότι τα εκθετικά αναπτυσσόμενα κύτταρα βρίσκονται σε σταθερή κατάσταση .  Ωστόσο, τα κύτταρα μπορούν να αναπτυχθούν εκθετικά με ένα συνεχή ρυθμό ,  ενώ ξαναχτίζουν τον μεταβολισμό και την γονιδιακή έκφραση τους.    
 Ένας ιός (για παράδειγμα το SARS, ή η ευλογιά) συνήθως θα εξαπλωθεί εκθετικά στην αρχή, εάν δεν υπάρχει διαθέσιμη τεχνητή ανοσία. Κάθε μολυσμένο άτομο μπορεί να μολύνει πολλούς νέους ανθρώπους .
 Ανθρώπινος πληθυσμός, εάν ο αριθμός των γεννήσεων και θανάτων ανά άτομο ανά έτος έμενε στα σημερινά επίπεδα ( δείτε λογιστική ανάπτυξη ) . Για παράδειγμα, σύμφωνα με τις απογραφές πληθυσμού των Ηνωμένων Πολιτειών, κατά τα τελευταία 100 χρόνια ( 1910-2010 ) , ο πληθυσμός των Ηνωμένων Πολιτειών αυξάνεται εκθετικά με μέσο ρυθμό ενάμιση τοις εκατό από ένα εξάμηνο ( 1,5 % ) . Αυτό σημαίνει ότι ο χρόνος διπλασιασμού του αμερικανικού πληθυσμού (ανάλογα με την ετήσια αύξηση του πληθυσμού ) είναι περίπου 50 έτη.

Φυσική
 Χιονοστιβάδα κατανομή μέσα σε ένα διηλεκτρικό υλικό. Ένα ελεύθερο ηλεκτρόνιο επιταχύνεται επαρκώς από ένα ηλεκτρικό πεδίο που εφαρμόζεται εξωτερικά με αποτέλεσμα να απελευθερώνει επιπλέον ηλεκτρόνια καθώς συγκρούεται με άτομα ή μόρια του διηλεκτρικού μέσου. Τα δευτερεύοντα ηλεκτρόνια επίσης επιταχύνονται , δημιουργώντας μεγαλύτερο αριθμό ελεύθερων ηλεκτρονίων . Προκύπτει ότι το πλήθος των ηλεκτρονίων και των ιόντων αυξάνεται εκθετικά με αποτέλεσμα να οδηγηθούμε γρήγορα σε πλήρη διηλεκτρικής διάσπασης του υλικού.
 Πυρηνική αλυσιδωτή αντίδραση (η ιδέα πίσω από τους πυρηνικούς αντιδραστήρες και τα πυρηνικά όπλα). Κάθε πυρήνας ουρανίου που υφίσταται σχάση παράγει πολλά νετρόνια, καθένα από τα οποία μπορεί να απορροφηθεί από τα γειτονικά άτομα του ουρανίου, προκαλώντας σχάση σε αυτά. Αν η πιθανότητα απορρόφησης νετρονίων υπερβαίνει την πιθανότητα διαφυγής νετρονίων (μία συνάρτηση που συνδέει την μορφή και την μάζα του ουρανίου), k> 0 ο ρυθμός παραγωγής νετρονίων και οι επαγόμενες σχάσεις ουρανίου αυξάνονται εκθετικά, σε μια ανεξέλεγκτη αντίδραση. "Λόγω του εκθετικού ρυθμού αύξησης, σε οποιοδήποτε σημείο της αλυσιδωτής αντίδρασης το 99% της ενέργειας θα έχει απελευθερωθεί στις τελευταίες 4.6 γενιές. Με μια λογική προσέγγιση μπορούμε να θεωρήσουμε τις πρώτες 53 γενιές ως λανθάνουσα περίοδο που οδηγεί στην πραγματική έκρηξη, η οποία διαρκεί μόνο 3-4 γενεές. " .
 Θετική αντίδραση εντός της γραμμικής εμβέλειας των ηλεκτρικών ή ηλεκτροακουστικών ενισχυτών μπορεί να έχει ως αποτέλεσμα  την εκθετική αύξηση του ενισχυμένου σήματος, αν και φαινόμενα συντονισμού μπορεί να ευνοήσουν ορισμένες συχνότητες του σήματος έναντι άλλων.

Οικονομικά
 Η οικονομική ανάπτυξη εκφράζεται σε ποσοστιαίες μονάδες, γεγονός που συνεπάγεται εκθετική αύξηση. Για παράδειγμα, το κατά κεφαλήν ΑΕΠ των ΗΠΑ έχει αυξηθεί σε εκθετικό ρυθμό περίπου δύο τοις εκατό μετά τον Δεύτερο Παγκόσμιο Πόλεμο.
 Χρηματοοικονομικά Οι τόκοι ανατοκισμού σε σταθερό επιτόκιο παρέχουν εκθετική αύξηση του κεφαλαίου. Βλέπε επίσης άρθρο 72.  Τα συστήματα πυραμίδων ή τα συστήματα Ponzi δείχνουν επίσης αυτό το είδος της ανάπτυξης και έχουν ως αποτέλεσμα υψηλά κέρδη για λίγους αρχικούς επενδυτές και απώλειες μεταξύ μεγάλων αριθμών των επενδυτών.
 Τεχνολογία υπολογιστών 
 Επεξεργαστική ισχύς των υπολογιστών. Δείτε επίσης το νόμο του Moore και την τεχνολογική μοναδικότητα. (Σύμφωνα με εκθετική αύξηση, δεν υπάρχουν ιδιομορφίες. Η ιδιομορφία εδώ είναι μια αλληγορία που προορίζεται για να μεταφέρει ένα αφάνταστο μέλλον. Η σύνδεση αυτής της υποθετικής ιδέας με την εκθετική αύξηση δημιουργήθηκε κυρίως από το μετανθρωπιστή Ρέι Κέρζουελ.) 
 Στη θεωρία πολυπλοκότητας, οι αλγόριθμοι υπολογιστών της εκθετικής πολυπλοκότητας απαιτούν εκθετικά αυξανόμενη ποσότητα πόρων (π.χ. χρόνος, μνήμη του υπολογιστή) για μόνο μια σταθερή αύξηση του μεγέθους του προβλήματος. Έτσι, για έναν αλγόριθμο της χρονικής πολυπλοκότητας 2^x, εάν ένα πρόβλημα του μεγέθους x = 10 απαιτεί 10 δευτερόλεπτα για να ολοκληρωθεί, και ένα πρόβλημα του μεγέθους x = 11 απαιτεί 20 δευτερόλεπτα, τότε το πρόβλημα του μεγέθους x = 12 θα απαιτήσει 40 δευτερόλεπτα. Αυτό το είδος του αλγορίθμου συνήθως γίνεται ακατάλληλο προς χρήση σε πολύ μικρά μεγέθη στα προβλήματα, συχνά μεταξύ 30 και 100 αντικείμενα (οι περισσότεροι αλγόριθμοι υπολογιστή πρέπει να είναι σε θέση να λύσουν πολύ μεγαλύτερα προβλήματα, μέχρι και δεκάδες χιλιάδες ή ακόμα και εκατομμύρια αντικείμενα σε εύλογο χρόνο, κάτι που θα είναι φυσικά αδύνατο με εκθετικό αλγόριθμο). Επίσης, τα αποτελέσματα του νόμου του Moore δεν βοηθούν την κατάσταση πολύ γιατί διπλασιάζοντας την ταχύτητα του επεξεργαστή απλά επιτρέπεται η αύξηση του μεγέθους του προβλήματος κατά μια σταθερά. Π.χ. αν ένας αργός επεξεργαστής μπορεί να λύσει τα προβλήματα του μεγέθους x στο χρόνο t, τότε ένας επεξεργαστής δύο φορές πιο γρήγορος θα μπορούσε απλά να λύσει τα προβλήματα του μεγέθους x + σταθερά στον ίδιο χρόνο t. Έτσι οι εκθετικά πολύπλοκοι αλγόριθμοι συνήθως δεν είναι πρακτικοί, και η αναζήτηση πιο αποδοτικών αλγορίθμων είναι ένας από τους κεντρικούς στόχους της επιστήμης των υπολογιστών σήμερα.
 Αύξηση της κυκλοφορίας στο διαδίκτυο.[χρήζει επέκτασης]

Βασικό Τυπολόγιο 
Μια ποσότητα x εξαρτάται εκθετικά από τον χρόνο t , αν
 
όπου η σταθερά α είναι η αρχική τιμή του x,
 
και η σταθερά b είναι ένας θετικός παράγοντας της ανάπτυξης, και τ είναι η σταθερά χρόνου—ο χρόνος που απαιτείται ώστε το x να αυξηθεί κατά ένα συντελεστή β:
 
Αν τ > 0 και b > 1, τότε το x αυξάνεται εκθετικά. Αν τ < 0 και b > 1, ή τ > 0 και 0 < β < 1, τότε στο x παρατηρείται  εκθετική απόσβεση.

Παράδειγμα: Αν ένα είδος βακτηρίων διπλασιάζεται κάθε δέκα λεπτά, ξεκινώντας με μόνο ένα βακτήριο, πόσα βακτήρια θα έχουμε, μετά από μία ώρα; Με το ερώτημα υπονοείται ότι a = 1, b = 2 και τ = 10 min.
 
Μετά από μία ώρα, ή έξι δεκάλεπτα, θα υπάρχουν εξήντα τέσσερα βακτήρια.

Πολλά ζευγάρια (b, τ) που αποτελούνται από τον μη αρνητικό αριθμό β και τον χρόνου τ (δηλαδή μια φυσική ποσότητα η οποία μπορεί να εκφραστεί ως το γινόμενο του αριθμού των μονάδων, και της μονάδας του χρόνου) αντιπροσωπεύουν το ίδιο ρυθμό μεταβολής, με το τ να είναι ανάλογο προς το log b. Για κάθε σταθερό β διαφορετικό από το 1 (π. χ. e ή 2), ο ρυθμός μεταβολής δίνεται από τον μη-μηδενικό τ. Για κάθε μη-μηδενικό  τ ο ρυθμός μεταβολής δίνεται από τον θετικό αριθμό β.

Έτσι ο νόμος της εκθετικής αύξησης μπορεί να γραφτεί σε διαφορετικές αλλά μαθηματικά ισοδύναμες μορφές, χρησιμοποιώντας μια διαφορετική βάση. Οι πιο κοινές μορφές είναι οι ακόλουθες:
 
όπου x0 εκφράζει την αρχική ποσότητα x(0).

Παράμετροι (αρνητικοί στην περίπτωση εκθετική απόσβεσης):
 Η εκθετική σταθερά k είναι η συχνότητα (φορές ανά μονάδα χρόνου) αύξησης κατά ένα παράγοντα e * στην οικονομολογία ονομάζεται επίσης λογαριθμική απόδοση, continuously compounded return, ή force of interest.
 Το τ είναι ο χρόνος που χρειάζεται για να αυξηθεί κατά ένα παράγοντα e.
 ΤοT είναι ο χρόνος που απαιτείται για να διπλασιαστεί.
 Το  r (αδιάστατος αριθμός) είναι το ποσοστό αύξησης σε μια περίοδο p.
Οι ποσότητες κ, τ, Τ,για ένα δοσμένο p και r, έχουν μια ένα-προς-ένα αντιστοίχιση η οποία δίνεται από την ακόλουθη εξίσωση (η οποία μπορεί να προκύψει παίρνοντας τον φυσικό λογάριθμο των παραπάνω):
 
όπου k = 0 αντιστοιχεί σε r = 0 και τα τ και Τ είναι άπειρα.

Αν p είναι η μονάδα του χρόνου το πηλίκο τ/p είναι απλά ο αριθμός των μονάδων του χρόνου. Χρησιμοποιώντας το συμβολισμό t (αδιάστατο) για τον αριθμό των μονάδων του χρόνου και όχι τον ίδιο τον χρόνο,το  τ/p μπορεί να αντικατασταθεί από το τ, αλλά και για λόγους ομοιομορφίας αυτό έχει αποφευχθεί εδώ. Σε αυτήν την  περίπτωση η διαίρεση με το p στον τελευταίο τύπο δεν είναι αριθμητική διαίρεση, αλλά μετατρέπει έναν καθαρό αριθμό στη σωστή ποσότητα, συμπεριλαμβανομένων των μονάδων.

Μια δημοφιλής μέθοδος προσέγγισης για τον υπολογισμό του χρόνου διπλασιασμού από τον ρυθμό μεταβολής είναι ο κανόνας του 70,
δηλ .

Αναδιατύπωση ως log-γραμμική ανάπτυξη 
Εάν μια μεταβλητή x παρουσιάζει εκθετική αύξηση, σύμφωνα με τον τύπο   {\displaystyle x(t)=x_{0}(1+r)^{t}} , τότε ο λογάριθμος (ως προς οποιαδήποτε βάση) του x αυξάνεται γραμμικά με την πάροδο του χρόνου, όπως μπορεί να δει κανείς παίρνοντας τους λογαρίθμους και των δύο πλευρών της εξίσωσης της εκθετικής αύξησης:
 
Αυτό επιτρέπει σε μια εκθετικά αυξανόμενη μεταβλητή να διαμορφωθεί με το log-γραμμικό μοντέλο. Για παράδειγμα, αν κάποιος επιθυμεί να εκτιμήσει εμπειρικά το ρυθμό ανάπτυξης από δεδομένα διαφορετικών χρονικών διαστημάτων στο x, μπορεί να πάρει τη γραμμική παλινδρόμηση log x σε t.

Διαφορική εξίσωση 
Η εκθετική συνάρτηση     ικανοποιεί η γραμμική διαφορική εξίσωση:
 
λέγοντας ότι ο ρυθμός αύξησης των x στο χρόνο t είναι ανάλογος με την τιμή της x(t), και έχει την αρχική τιμή
 
Η διαφορική εξίσωση λύνεται με ολοκλήρωση:
 

 

 

 
έτσι ώστε
 
Για μια μη γραμμική παραλλαγή αυτού του μοντέλου ανάπτυξης βλέπε τη λογιστική λειτουργία.

Αναδρομική εξίσωση 
Η αναδρομική εξίσωση
 
έχει λύση
 
δείχνοντας ότι το x εμφανίζει εκθετική αύξηση.

Άλλα ρυθμοί ανάπτυξης 
Μακροπρόθεσμα, η εκθετική ανάπτυξη κάθε είδους, προσπερνάει τη γραμμική ανάπτυξη κάθε είδους (με βάση την Μαλθουσιανή καταστροφή) καθώς και κάθε πολυωνυμική ανάπτυξη, δηλαδή, για όλα τα α:
 
Υπάρχει μια ολόκληρη ιεραρχία από νοητούς ρυθμούς ανάπτυξης που είναι πιο αργοί από την εκθετική και πιο γρήγοροι από τη γραμμική (μακροπρόθεσμα). Δείτε Βαθμό ενός πολυωνύμου#Ο βαθμός υπολογίζεται από την συνάρτηση αξιών.

Οι ρυθμοί ανάπτυξης μπορεί επίσης να είναι ταχύτεροι από την εκθετική.

Στην παραπάνω διαφορική εξίσωση, αν k < 0, τότε η ποσότητα εμφανίζει εκθετική απόσβεση.

Περιορισμοί των μοντέλων 
Τα μοντέλα εκθετικής αύξησης των φυσικών φαινομένων εφαρμόζεται μόνο σε περιορισμένες περιοχές, καθώς η απεριόριστη ανάπτυξη δεν είναι φυσιολογικά ρεαλιστική. Παρόλο που η ανάπτυξη μπορεί αρχικά να είναι εκθετική, το φαινόμενο που εξετάζουμε θα εισαχθεί τελικά σε μια περιοχή στην οποία οι προηγουμένως ασήμαντοι αρνητικοί παράγοντες γίνονται σημαντικοί (που οδηγεί σε ένα μοντέλο logistic growth) ή άλλες παραδοχές στις οποίες βασίστηκε η εκθετική ανάπτυξη του μοντέλου, όπως η συνέχεια ή η στιγμιαία ανατροφοδότηση, παύουν να ισχύουν.

Εκθετικές ιστορίες

Ρύζι σε μια σκακιέρα 
Σύμφωνα με ένα παλιό μύθο, o βεζίρης Sissa Ben Dahir παρουσιάστηκε στον Ινδό βασιλιά Βασιλιά Sharim με μια όμορφη, χειροποίητη σκακιέρα. Ο βασιλιάς ρώτησε τι θα ήθελε ως αντάλλαγμα για το δώρο του και ο αυλικός εξέπληξε το βασιλιά, ζητώντας έναν κόκκο ρυζιού στο πρώτο τετράγωνο, δύο κόκκους στο δεύτερο, τέσσερις κόκκους στο τρίτο κ.λ.π. Ο βασιλιάς συμφώνησε αμέσως και ζήτησε να του φέρουν το ρύζι. Όλα πήγαν καλά στην αρχή, αλλά η απαίτηση για 2 n − 1 κόκκους στο n-οστό τετράγωνο απαιτούσε πάνω από ένα εκατομμύριο κόκκους στο 21ο τετράγωνο, πάνω από ένα εκατομμύριο του εκατομμυρίου (ή αλλιώς τρισεκατομμύρια) για το 41ο και απλά δεν υπήρχε αρκετό ρύζι σε όλο τον κόσμο για τα τελευταία τετράγωνα. (Από Swirski, 2006)[4])

Το δεύτερο μισό της σκακιέρας είναι το διάστημα κατά το οποίο η επιρροή της εκθετικής αύξησης έχει σημαντικές οικονομικές επιπτώσεις στη συνολική επιχειρηματική στρατηγική σε μια οργάνωση.

Νούφαρο 
Τα παιδιά στη Γαλλία μαθαίνουν μια ιστορία στην οποία φαντάζονται ότι έχουν μια λιμνούλα με φύλλα από νούφαρα να επιπλέουν στην επιφάνεια. Τα νούφαρα διπλασιάζονται σε μέγεθος κάθε μέρα και, αν αφεθεί ανεξέλεγκτη, θα πνίξουν τη λίμνη σε 30 ημέρες, σκοτώνοντας όλα τα άλλα έμβια όντα μέσα στο νερό. Μέρα με τη μέρα τα φυτά φαίνονται μικρά και έτσι αποφασίζουν να τα αφήσουν να μεγαλώσουν μέχρι να καλύπτουν τη μισή λίμνη πριν να τα κόψουν. Στη συνέχεια τα ρωτάν για το ποιά μέρα θα συμβεί η λίμνη να είναι μισή καλυμμένη με νούφαρα. Αυτό αποκαλύπτεται ότι είναι η 29η ημέρα, και στη συνέχεια θα υπάρχει μόνο μια μέρα για να σωθεί η λίμνη. (Από το Meadows et al. 1972)[4]

Αναφορές

Πηγές 
 Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers, and William W. Behrens III. (1972) The Limits to Growth. New York: University Books. ISBN 0-87663-165-0
 Porritt, J. Capitalism as if the world matters, Earthscan 2005. ISBN 1-84407-192-8
 Swirski, Peter. Of Literature and Knowledge: Explorations in Narrative Thought Experiments, Evolution, and Game Theory. New York: Routledge. ISBN 0-415-42060-1
 Thomson, David G. Blueprint to a Billion: 7 Essentials to Achieve Exponential Growth, Wiley Dec 2005, ISBN 0-471-74747-5
 Tsirel, S. V. 2004. On the Possible Reasons for the Hyperexponential Growth of the Earth Population. Mathematical Modeling of Social and Economic Dynamics / Ed. by M. G. Dmitriev and A. P. Petrov, pp. 367–9. Moscow: Russian State Social University, 2004.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Exponent calculator — This calculator enables you to enter an exponent and a base number and see the result.
 Exponential Growth Calculator — This calculator enables you to perform a variety of calculations relating to exponential consumption growth.
 Understanding Exponential Growth — video clip 8.5 min
 Growth in a Finite World – Sustainability and the Exponential Function — Presentation
 Dr. Albert Bartlett: Arithmetic, Population and Energy — streaming video and audio 58 min

Διαφορικές εξισώσεις