Παράδοξο του Ράσελ

Στη θεμελίωση των μαθηματικών, το παράδοξο του Ράσελ (επίσης γνωστό ως αντινομία του Ράσελ), που ανακαλύφθηκε από τον Μπέρτραντ Ράσελ το 1901, έδειξε ότι η αφελής θεωρία συνόλων που δημιουργήθηκε από τον Γκέοργκ Κάντορ οδηγεί σε μια αντίφαση. Το ίδιο παράδοξο είχε ανακαλυφθεί ένα χρόνο πριν από τον Έρνστ Τσεμέλο, αλλά δεν είχε δημοσιεύσει την ιδέα, που έμεινε γνωστή μόνο στους Χίλμπερτ, Έντμουντ Χούσερλ και άλλα μέλη του Πανεπιστημίου του Γκέτινγκεν.
 
Σύμφωνα με τη θεωρία συνόλων, κάθε προσδιορίσιμη συλλογή είναι ένα σύνολο. Έστω R το σύνολο όλων των συνόλων που δεν είναι μέλη του εαυτού τους. Αν R μπορεί να θεωρηθεί μέλος του εαυτού του, θα ήταν αντίθετος με τον δικό της ορισμό της ως σύνολο που περιέχει όλα τα σύνολα που δεν είναι μέλη του εαυτού τους. Από την άλλη πλευρά, εάν ένα τέτοιο σύνολο δεν είναι μέλος του εαυτού του, θα μπορούσε να χαρακτηρισθεί μέλος της ίδιας από τον ίδιο ορισμό. Αυτή η αντίφαση είναι το παράδοξο του Ράσελ. 

Το παράδοξο του Ράσελ αποτέλεσε τη βάση την αιτιολόγησης, η οποία τον οδήγησε να διαγράψει οποιαδήποτε ελπίδα έτρεφε για τη θεμελίωση των μαθηματικών σε όρους λογικής. Ο σκοπός της έρευνας ήταν η θεωρία των συνόλων. Και η σκέψη του Ράσελ ήταν ότι, κάθε είδος συνόλου θα πρέπει να ανήκει σε ένα ευρύτερο σύνολο, αλλά η αιτιολόγησή του οδήγησε σε ένα παράδοξο. Ανακάλυψε ότι υπήρχαν σύνολα που δεν ανήκουν σε κανένα άλλο σύνολο, αποδεικνύοντας ότι αυτή η λογική δεν ευσταθεί: το σύνολο όλων των συνόλων (τα οποία δεν περιέχουν τον εαυτό τους), θα πρέπει να περιέχει και να μην περιέχει τον εαυτό του, ταυτόχρονα.

Ο Ράσελ το εξήγησε αυτό με μία μικρή ιστορία: «Σε μια χώρα που όλοι οι άντρες είναι καθημερινά ξυρισμένοι, υπάρχει ένας μόνο κουρέας. Αυτός ξυρίζει όλους τους άντρες που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Τότε όμως ποιος ξυρίζει τον κουρέα;». 

Αναλύοντας το πρόβλημα με τη βοήθεια της Θεωρίας των Συνόλων, είναι σαφές ότι στη χώρα υπάρχουν το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται μόνοι τους και το σύνολο εκείνων που ξυρίζονται στον κουρέα. Όλοι, λοιπόν, βάσει του ενός ή του άλλου τρόπου είναι ξυρισμένοι. Το πρόβλημα του φαύλου κύκλου ξεκινά με τον κουρέα. Πώς μπορεί αυτός να είναι ξυρισμένος; 

Ξυρίζεται μόνος του; Αδύνατον, αφού αυτός ξυρίζει μόνο όλους αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Τον ξυρίζει κάποιος άλλος; Όχι, γιατί μόνο ο κουρέας ξυρίζει όλους αυτούς που δεν ξυρίζονται μόνοι τους. Βρισκόμαστε εδώ μπροστά σ’ ένα παράδοξο. Σύμφωνα με τον Ράσελ, για να το ξεπεράσουμε πρέπει να διορθώσουμε τη δική μας λανθασμένη αντίληψη ότι για κάθε ιδιότητα πρέπει οπωσδήποτε να υπάρχει ένα σύνολο. Σ’ αυτή την περίπτωση δε δημιουργείται κανένα ομοιογενές σύνολο.

Πιθανοτική λογική, Σχετικιστικά Σύνολα και αντίλογος 
Ως αντίλογος στον Ράσελ, προτάθηκε η "πιθανοτική λογική", όπου το κάθε σύνολο δεν έχει παγιωμένες όλες τις ιδιότητες μα γενικούς εγγενείς κανόνες (κυμματοσυνάρτηση συνόλου), οπότε ανάλογα με το τι μέτρηση-ερώτηση θέτουμε, προκαλούμε κατάρρευση καθώς εισάγουμε κατά την διαδικασία αναγκαστικά δεδομένο. Η δυνητικότητα της πιθανοτικής λογικής δεν οδηγεί σε αξιωματικά παράδοξα αλλά σε συμβαλλόμενες κυματοσυναρτήσεις, που καταρρέουν ανάλογα με την κρούση-κατάρρευση και το συμπλεκόμενο σύνολο. Παλαιότερης ηλικίας μαθηματικοί ή μαθηματικοί που δεν μελετούν πιθανοτική λογική προσπαθούν να καταπνίξουν αυτόν τον αντίλογο ως μη υπαρκτό. Η αιτία είναι ότι δεν υπάρχει ακόμη θεωρία σχετικιστικά μεταβαλλόμενων συνόλων δυνητικού σημείου κατάρρευσης ούτε οικογένεια αριθμών περιστρεφόμενων φορτίων σε μοίρες -αυξανόμενων ανά αριθμό "n" φορτίων (όχι αναγκαστικά ένα φορτίο, για να εκφραστούν τα δυνητικά "συστατικά-components" που προκύπτουν). Οι έννοιες αυτές στις μέρες μας εκφράζονται με σύνθετο τρόπο, όχι με άμεσες θεωρίες πράγμα που μειώνει την μαθηματική ευελιξία καθώς δαπανάται χρόνος για μηχανιστικές επιλύσεις και όχι επιλύσεις ουσίας.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι 
 Γρίφος: 

Μαθηματικά παράδοξα
Θεωρία συνόλων