Apollonios’ sirkel

Apollonios' sirkel er det geometriske sted for alle punkt som har avstander til to gitte punkt slik at forholdet mellom avstandene er konstant. Radius til sirkelen er gitt ved størrelsen til det konstante forholdet.
Dette kan benyttes som definisjon av en sirkel og ble først omtalt av Apollonios fra Perge. Hans navn er derfor knyttet til setningen.


== Geometrisk bevis ==

Det geometriske stedet er definert ved punkt X slik at forholdet λ = AX/BX mellom avstandene til de to gitte punktene A og B er konstant. For å vise at dette er en sirkel, kan man konstruere et indre punkt Ti og et ytre punkt Ta som begge deler linjestykket AB med delingsforholdet λ. Disse to punktene er dermed harmonisk konjugerte med A og B. Dermed vil ATi /TaB = λ som igjen er lik med forholdet XA/XB.
Halveringslinjesetningen sier nå at linjen XTi halverer den indre vinkelen til hjørnet X i trekanten AXB. Da det samme argumentet viser at linjen XTa halverer den ytre vinkelen til X  i samme trekant, vil vinkelen Ti XTa være en rett vinkel. Fra  Tales’ teorem følger da at punktet X  må ligge på en sirkel med linjestykket TiTa som diameter. Dette er Apollonios' sirkel.


=== Inversjonssirkel ===
Apollonios-sirkelen har sitt sentrum i M som er midtpunktet mellom punktene Ti og Ta. Vinkelen MAX vil da være like stor som MXB fordi linjene XTi og XTa halverer de to vinklene i X. De to trekantene MAX og MXB er derfor  likeformede da de har vinkelen AMX felles. Dermed er forholdene

  
    
      
        
          
            
              A
              X
            
            
              B
              X
            
          
        
        =
        λ
        =
        
          
            
              M
              X
            
            
              M
              B
            
          
        
        =
        
          
            
              M
              A
            
            
              M
              X
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {AX \over BX}=\lambda ={MX \over MB}={MA \over MX}}
  også like store.Ved divisjon av de to siste forholdene følger at

  
    
      
        M
        A
        ⋅
        M
        B
        =
        M
        
          X
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle MA\cdot MB=MX^{2}}
  De to gitte punktene A og B er  derfor inverse av hverandre relativt til deres Apollonios-sirkel med radius r = MX.
Størrelsen til denne radius kan finnes ved å multipliseres de to siste forholdene sammen. Det resulterer i at MA/MB = λ2. Hvis lengden av det gitte linjestykket AB = a, vil da MB = a /(λ2 - 1) når λ > 1. Radius i Apollonios-sirkelen er dermed r = aλ /(λ2 - 1).  Denne blir uendelig stor i det spesielle tilfellet at λ = 1 og sirkelen degenerer til en rett linje som står vinkelrett på AB og halverer den.


== Analytisk fremstilling ==
Man kan benytte et kartesiske koordinater med origo i A og x-aksen langs linjen som forbinder den med B. Disse to gitte punktene har gjensidig avstand a, Kravet til et punkt X = (x,y) på det geometriske stedet er da at XA/XB = λ skal være konstant. Det betyr at

  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        =
        λ
        
          
            
              
                (
                
                  x
                  −
                  a
                
                )
              
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}=\lambda {\sqrt {\left(x-a\right)^{2}+y^{2}}}}
  ,Ved å kvadrere denne ligningen kan den skrives på formen

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        −
        
          
            
              2
              
                λ
                
                  2
                
              
              a
              x
            
            
              
                λ
                
                  2
                
              
              −
              1
            
          
        
        +
        
          
            
              
                λ
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  2
                
              
            
            
              
                λ
                
                  2
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}-{\frac {2\lambda ^{2}ax}{\lambda ^{2}-1}}+{\frac {\lambda ^{2}a^{2}}{\lambda ^{2}-1}}=0}
  .Den beskriver en sirkel med sentrum i  
  
    
      
        a
        
          λ
          
            2
          
        
        
          /
        
        (
        
          λ
          
            2
          
        
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle a\lambda ^{2}/(\lambda ^{2}-1)}
    på x-aksen og med radius 
  
    
      
        r
        =
        a
        λ
        
          /
        
        
          |
        
        
          λ
          
            2
          
        
        −
        1
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle r=a\lambda /|\lambda ^{2}-1|}
  . Når 
  
    
      
        λ
        ≪
        1
      
    
    {\displaystyle \lambda \ll 1}
   ligger sirkelsentrum like til venstre for origo i A. Etterhvert som 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
   øker, flytter det seg ut til venstre, og radius øker. For den spesielle verdien 
  
    
      
        λ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lambda =1}
   forsvinner senteret ut til venstre for så å dukke opp igjen langt ute til høyre for B. For enda  større verdier av 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
   nærmer det seg dette punktet, mens sirkelens radius samtidig går mot null.


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
Cut-the-Knot, Locus of Points in a Given Ratio to Two Points
P. Pamfilos, Apollonian Circles, Geometrikon.