Lp-rom

Innen matematikk er Lp-rommene funksjonsrom definert som en naturlig generalisering av p-normen for endeligdimensjonale vektorrom. De kalles også for Lesbesgue-rom, navngitt etter Henri Lebesgue. Lp-rom er også Banachrom, og utgjør en viktig klasse av topologiske vektorrom innen funksjonalanalyse. De spiller en nøkkelrolle i matematisk analyse av mål- og sannsynlighetsrom, og er derfor også viktig for det teoretiske grunnlaget for og diskusjonen rundt problemer innenfor blant annet fysikk, statistikk og finans.


== Definisjon ==
La 
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        A
        ,
        μ
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,A,\mu )}
   være et målrom og 
  
    
      
        0
        <
        p
        ≤
        ∞
      
    
    {\displaystyle 0<p\leq \infty }
   kan man definere en norm gitt ved

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        f
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        =
        (
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        
          |
        
        f
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        d
        μ
        
          )
          
            1
            
              /
            
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle ||f||_{p}=(\int _{\Omega }|f|^{p}d\mu )^{1/p}}
  for 
  
    
      
        p
        <
        ∞
      
    
    {\displaystyle p<\infty }
  , og

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        f
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            ∞
          
        
        =
        i
        n
        f
        {
        M
        :
        
          |
        
        f
        
          |
        
        ≤
        M
        }
      
    
    {\displaystyle ||f||_{\infty }=inf\{M:|f|\leq M\}}
  nesten overalt (med hensyn til målet 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  ). Da er det korresponderende Lp-rommet er definert som mengden av A-målbare funksjoner der dette integralet konvergerer (er endelig).Man kan tenke på 
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{p}}
  -rom som en generalisering av 
  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{2}}
  -rom, mengden av kvadratiske integrerbare funksjoner, der disse er definert som mengden av funksjoner hvis 

  
    
      
        
          |
        
        f
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        (
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        
          |
        
        f
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        d
        μ
        
          )
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |f|_{2}=(\int _{\Omega }|f|^{2}d\mu )^{1/2}}
  er endelig. Dette tilsvarer normen indusert av det generelle indreproduktet

  
    
      
        ⟨
        f
        ,
        g
        ⟩
        =
        
          ∫
          
            X
          
        
        f
        
          
            g
            ¯
          
        
        d
        μ
      
    
    {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{X}f{\overline {g}}d\mu }
  definert over et funksjonsrom.


=== Lp-rom over ===
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  
Dersom 
  
    
      
        Ω
        ⊆
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}
   er det vanlig å referere til 
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{p}}
  -rommet som 
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle L^{p}(\Omega )}
  .


=== Lp-rom over følgerom ===
Dersom 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
   er tellemålet er det vanlig å referere til 
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{p}}
  -rommet som 
  
    
      
        
          
            
              l
            
          
          
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {l}}^{p}(\Omega )}
  , eller bare 
  
    
      
        
          
            
              l
            
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {l}}^{p}}
  .


== Egenskaper ==


=== Grunnleggende egenskaper ===
For alle Lp-rom gjelder følgende:
For alle 
  
    
      
        f
        ∈
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle f\in L^{p}}
   og alle skalarer 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   gjelder

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        α
        f
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        =
        
          |
        
        α
        
          |
        
        
          |
        
        
          |
        
        f
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle ||\alpha f||_{p}=|\alpha |||f||_{p}}
  

  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{p}}
   er et vektorrom
For alle 
  
    
      
        f
        ∈
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle f\in L^{p}}
   finnes det en følge av enkle funksjoner 
  
    
      
        {
        
          s
          
            n
          
        
        
          }
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle \{s_{n}\}_{n=1}^{\infty }}
   i Lp som konvergerer til f nesten overalt:

  
    
      
        
          s
          
            n
          
        
        →
        f
      
    
    {\displaystyle s_{n}\to f}
  

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        f
        −
        
          s
          
            n
          
        
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        →
        0
      
    
    {\displaystyle ||f-s_{n}||_{p}\to 0}
  

  
    
      
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        
          |
        
        
          s
          
            n
          
        
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        d
        μ
        →
        ∫
        
          Ω
        
        
          |
        
        f
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        d
        μ
      
    
    {\displaystyle \int _{\Omega }|s_{n}|^{p}d\mu \to \int {\Omega }|f|^{p}d\mu }
  


=== Hölders ulikhet ===
Hvis p og q er to (utvidet reelle) tall, slik at 
  
    
      
        1
        ≤
        p
        ≤
        ∞
      
    
    {\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
   og 
  
    
      
        1
        ≤
        p
        ≤
        ∞
      
    
    {\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
  , og slik at 
  
    
      
        
          
            1
            p
          
        
        +
        
          
            1
            q
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1}
  , og 
  
    
      
        f
        ,
        g
      
    
    {\displaystyle f,g}
   to A-målbare funksjoner, har vi at

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        f
        g
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            1
          
        
        =
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        
          |
        
        f
        g
        
          |
        
        d
        μ
        ≤
        
          |
        
        
          |
        
        f
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        
          |
        
        
          |
        
        g
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle ||fg||_{1}=\int _{\Omega }|fg|d\mu \leq ||f||_{p}||g||_{p}}
  med likhet for p > 1 hvis og bare hvis det finnes to konstanter 
  
    
      
        α
        ,
        β
      
    
    {\displaystyle \alpha ,\beta }
   som ikke begge er 0, slik at

  
    
      
        α
        
          |
        
        f
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        =
        β
        
          |
        
        g
        
          
            |
          
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha |f|^{p}=\beta |g|^{q}}
  .Dette kalles for Hölders ulikhet, og hvis 
  
    
      
        p
        =
        q
        =
        2
      
    
    {\displaystyle p=q=2}
   får vi Cauchy–Schwarz’ ulikhet.
Dersom vi jobber med funksjonsrom over 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  , der 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
   f.eks. kan være et interval 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   kan ulikheten uttrykkes som

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          |
        
        f
        g
        
          |
        
        d
        x
        ≤
        
          |
        
        
          |
        
        f
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        
          |
        
        
          |
        
        g
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}|fg|dx\leq ||f||_{p}||g||_{p}.}
  


=== Minkowskis ulikhet ===
La 
  
    
      
        1
        ≤
        p
        ≤
        ∞
      
    
    {\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
   igjen. Da gjelder 

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        f
        +
        g
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        ≤
        
          |
        
        
          |
        
        f
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        +
        
          |
        
        
          |
        
        g
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle ||f+g||_{p}\leq ||f||_{p}+||g||_{p}}
  for alle 
  
    
      
        f
        ,
        g
        ∈
        
          L
          
            p
          
        
        (
        μ
        )
      
    
    {\displaystyle f,g\in L^{p}(\mu )}
  .Dette kalles for Minkowskis ulikhet.


=== Riesz' teorem ===
For 
  
    
      
        1
        ≤
        p
        ≤
        ∞
      
    
    {\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
   er 
  
    
      
        (
        
          L
          
            p
          
        
        (
        μ
        )
        ,
        
          |
        
        
          |
        
        ⋅
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            p
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (L^{p}(\mu ),||\cdot ||_{p})}
   et komplett metrisk rom med hensyn på normen gitt ved 
  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        ⋅
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle ||\cdot ||_{p}}
  , altså et Banach-rom.Dette kalles for Riesz' teorem. For 
  
    
      
        0
        <
        p
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 0<p<1}
   har vi at 
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{p}}
   fortsatt er et vektorrom, men || · ||p er ikke lenger en norm – derimot kan man vise at det er en metrikk, så for 
  
    
      
        0
        <
        p
        <
        1
      
    
    {\displaystyle 0<p<1}
   er 
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{p}}
   et metrisk rom. For 
  
    
      
        p
        =
        2
      
    
    {\displaystyle p=2}
   er 
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{p}}
   også et Hilbertrom.


== Referanser ==


== Litteratur ==
John. N McDonald og Neil A. Weiss (2013). A Course in Real Analysis. Elsevier. ISBN 978-0-123-87774-1. 


== Eksterne lenker ==
(en) Eric W. Weisstein, Lp-space i MathWorld.