Lipschitz-kontinuitet

Lipschitz-kontinuitet angir en form for kontinuitet innen matematisk analyse, strengere enn uniform kontinuitet og intuitivt en begrensning på hvor raskt en funksjon kan endre seg. En funksjon sies å være Lipschitz-kontinuerlig dersom det finnes et reelt tall slik at, for hvert par (x, y) i funksjonens definisjonsmengde, er absoluttverdien av forskjellen mellom avbildningen av disse ganget med konstanten større enn absoluttverdien mellom punktene x og y. Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren Rudolf Lipschitz.
En deriverbar funksjon er alltid Lipschitz-kontinuerlig, og en Lipschitz-kontinuerlig funksjon er alltid (uniformt) kontinuerlig. Det motsatte er ikke nødvendigvis sant; en funksjon kan være (uniformt) kontinuerlig uten å være Lipschitz-kontinuerlig, og en funksjon kan være Lipschitz-kontinuerlig uten å være deriverbar. Lipschitz-kontinuitet kan generaliseres til Hölder-kontinuitet.


== Definisjon ==
En funksjon 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\to Y}
  , der X og Y er delmengder av de relle tallene, sies å være Lipschitz-kontinuerlig (eller å være en Lipschitz-funksjon) dersom det finnes en konstant 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   slik at

  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        −
        f
        (
        y
        )
        
          |
        
        ≤
        C
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C|x-y|}
  Dersom det finnes en slik C, kalles denne for en Lipschitz-konstant for funksjonen f. Denne betingelsen kalles for Lipschitz-betingelsen.
Dette gjelder også i andre metriske rom enn de reelle tallene. Gitt to metriske rom 
  
    
      
        (
        X
        ,
        
          d
          
            X
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (X,d_{X})}
   og 
  
    
      
        (
        Y
        ,
        
          d
          
            Y
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (Y,d_{Y})}
  , der 
  
    
      
        
          d
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{X}}
   og 
  
    
      
        
          d
          
            Y
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{Y}}
   angir metrikkene på henholdsvis mengdene X og Y, sier man at en funksjon 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\to Y}
   Lipschitz-kontinuerlig (eller at f er en Lipschitz-funksjon) dersom det finnes en konstant C slik at

  
    
      
        
          d
          
            Y
          
        
        (
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        ,
        f
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
        )
        ≤
        C
        
          d
          
            X
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Cd_{X}(x_{1},x_{2})}
  Dersom betingelsen holder i en omegn rundt en 
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
   sier man at funksjonen er lokalt Lipschitz-kontinuerlig.
Klassen av alle Lipschitz-kontinuerlige funksjoner over et intervall 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
   angis av

  
    
      
        L
        i
        p
        (
        I
        )
        =
        {
        f
        :
        I
        →
        
          R
        
        
          |
        
        f
        
           er Lipschitz-kontinuerlig
        
        }
      
    
    {\displaystyle Lip(I)=\{f:I\to \mathbb {R} |f{\text{ er Lipschitz-kontinuerlig}}\}}
  og for generelle metriske rom kan dette analogt defineres som

  
    
      
        L
        i
        p
        (
        X
        )
        =
        {
        f
        :
        X
        →
        Y
        
          |
        
        f
        
           er Lipschitz-kontinuerlig
        
        }
      
    
    {\displaystyle Lip(X)=\{f:X\to Y|f{\text{ er Lipschitz-kontinuerlig}}\}}
  .


== Eksempler ==
Lipschitz-kontinuerlige funksjonerFunksjonen 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        2
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)=2x}
   er Lipschitz-kontinuerlig, siden
  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        −
        f
        (
        y
        )
        
          |
        
        =
        
          |
        
        2
        x
        −
        2
        y
        
          |
        
        =
        2
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          |
        
        ≤
        2
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |f(x)-f(y)|=|2x-2y|=2|x-y|\leq 2|x-y|}
  
for alle 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} }
   (alle lineære funksjoner er Lipscitz-kontinuerlige).Funksjonen 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)=\sin(x)}
   er Lipschitz-kontinuerlig, siden sinus er kontinuerlig, og ved middelverdisetningen finnes en 
  
    
      
        c
        ∈
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle c\in (x,y)}
   slik at
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        c
        )
        =
        
          
            
              f
              (
              x
              )
              −
              f
              (
              y
              )
            
            
              x
              −
              y
            
          
        
        ⇒
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        −
        f
        (
        y
        )
        
          |
        
        =
        
          |
        
        
          f
          ′
        
        (
        c
        )
        
          |
        
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle f'(c)={\frac {f(x)-f(y)}{x-y}}\Rightarrow |f(x)-f(y)|=|f'(c)||x-y|}
  
Siden 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f'(x)=\cos(x)}
   som er bundet ovenifra av 1, vil dette si at

  
    
      
        
          |
        
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        −
        sin
        ⁡
        (
        y
        )
        
          |
        
        =
        
          |
        
        cos
        ⁡
        (
        c
        )
        
          |
        
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          |
        
        ≤
        1
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |\sin(x)-\sin(y)|=|\cos(c)||x-y|\leq 1|x-y|}
  .
Funksjoner som ikke er Lipschitz-kontinuerligeFunksjonen 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=x^{2}}
   er ikke Lipschitz-kontinuerlig over hele 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  , siden man alltid kan finne tall (x, y) som gjør at betingelsen ikke holder.
Funksjonen 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}}
   er ikke Lipschitz-kontinuerlig siden den blir uendelig bratt når x går mot 0. Hvis man antar (for motsigelse) at det finnes en konstant 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  , kan man se på en følge 
  
    
      
        
          
            x
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {x_{n}}}
   som går mot 0, bruke middelverdisetningen og vise at funksjonen er større enn noe som går mot uendelig.


== Egenskaper ==
Alle lineære funksjoner 
  
    
      
        f
        :
        
          
            R
          
          
            m
          
        
        →
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}
   er Lipschitz-kontinuerlige.
Dersom 
  
    
      
        f
        :
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        →
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
   er Lipschitz-kontinuerlig, avbilder den alle mengder med mål 0 til mengder med mål 0, og alle målbare mengder til målbare mengder.
Dersom 
  
    
      
        f
        :
        I
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }
  , der 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
   er et intervall i 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   er deriverbar over 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  , der 
  
    
      
        
          f
          ′
        
      
    
    {\displaystyle f'}
   er bundet over 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  , er f Lipschitz-kontinuerlig; dette følger av middelverdisetningen.
Dersom 
  
    
      
        f
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
   er deriverbar med kontinuerlig derivert, altså 
  
    
      
        f
        ∈
        
          C
          
            1
          
        
        (
        [
        a
        ,
        b
        ]
        )
      
    
    {\displaystyle f\in C^{1}([a,b])}
  , er f Lipschitz-kontinuerlig over 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   (
  
    
      
        f
        ∈
        L
        i
        p
        (
        [
        a
        ,
        b
        ]
        )
      
    
    {\displaystyle f\in Lip([a,b])}
  ). Videre, dersom 
  
    
      
        f
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
   er Lipschitz-kontinuerlig, er f en absolutt kontinuerlig funksjon over 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   (
  
    
      
        f
        ∈
        A
        C
        (
        [
        a
        ,
        b
        ]
        )
      
    
    {\displaystyle f\in AC([a,b])}
  ). Dersom 
  
    
      
        f
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
   er absolutt kontinuerlig, er f en funksjon med avgrenset variasjon over 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   (
  
    
      
        f
        ∈
        B
        V
        (
        [
        a
        ,
        b
        ]
        )
      
    
    {\displaystyle f\in BV([a,b])}
  ). Vi har altså at
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
        (
        [
        a
        ,
        b
        ]
        )
        ⊆
        L
        i
        p
        (
        [
        a
        ,
        b
        ]
        )
        ⊆
        A
        C
        (
        [
        a
        ,
        b
        ]
        )
        ⊆
        B
        V
        (
        [
        a
        ,
        b
        ]
        )
      
    
    {\displaystyle C^{1}([a,b])\subseteq Lip([a,b])\subseteq AC([a,b])\subseteq BV([a,b])}
  (Rademachers teorem) Lipschitz-kontinuerlige funksjoner er deriverbare nesten overalt.
(McShanes, eller McShane-Whitneys utvidelsesteorem) Dersom 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }
   er Lipschitz-kontinuerlig med Lipschitz-konstant C, og 
  
    
      
        X
        ⊂
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle X\subset \mathbb {R} }
  , så finnes det en funksjon 
  
    
      
        g
        :
        
          R
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
   slik at 
  
    
      
        
          g
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{X}}
   (g definert over definisjonsmengden X) er lik 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  . Resultatet kan ikke generaliseres til alle metriske rom, for eksempel ikke for X delmengde av ℓ2, rommet av alle kvadratisk summerbare følger.
(Kirszbrauns teorem) Det samme gjelder i flere dimensjoner – dersom 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle f:X\to \mathbb {R} ^{n}}
   er Lipschitz-kontinuerlig med Lipschitz-konstant C, og 
  
    
      
        X
        ⊂
        
          
            R
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle X\subset \mathbb {R} ^{m}}
  , så finnes det en funksjon 
  
    
      
        g
        :
        
          
            R
          
          
            m
          
        
        →
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle g:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}}
   slik at 
  
    
      
        
          g
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{X}}
   (g definert over definisjonsmengden X) er lik 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  .


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
(en) Eric W. Weisstein, Lipschitz Function i MathWorld.
(en) Eric W. Weisstein, Lipschitz Condition i MathWorld.
Lipschitz condition på Encyclopedia of Mathematics
Lipschitz constant på Encyclopedia of Mathematics