Magnetostatikk

Magnetostatikk omhandler beskrivelsen av statiske, magnetiske felt. Slike felt skyldes permanente magneter eller skapes av elektriske strømmer som ikke varierer med tiden. På den måten er magnetostatikken analog med elektrostatikken som beskriver elektriske felt forårsaket av elektriske ladninger som ligger i ro.
På samme måte som et elektrisk felt skapt av en ladning i ro, må oppfylle Coulombs lov, vil et statisk magnetfelt B med opphav i en stasjonær strømttetthet J være bestemt av Ampères sirkulasjonslov

  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        
          B
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {J} }
  hvor  μ0  er den magnetiske konstanten i SI-systemet. I motsetning til elektrisk ladning, eksisterer det ikke magnetiske ladninger i elektromagnetismen beskrevet ved Maxwells ligninger. De magnetiske feltlinjene er derfor lukkete kurver som uttrykkes ved at divergensen

  
    
      
        
          ∇
        
        ⋅
        
          B
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} =0}
  Denne egenskapen til det magnetiske feltet betyr at det alltid kan uttrykkes som curl til et vektorpotensial A,

  
    
      
        
          B
        
        =
        
          ∇
        
        ×
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} }
  Bruk av dette magnetiske vektorpotensialet vil ofte forenkle mange problemer i magnetostatikken på samme måte som det elektriske potensialet gjør mange beregninger i elektrostatikken enklere. Det er i utgangspunktet ikke entydig bestemt, men kan forandres ved gaugetransformasjoner uten at det påvirker magnetfeltet. I magnetostatikken er det naturlig å velge «Coulomb-gaugen» slik at det må tilfredsstille tilleggsbetingelsen ∇ ⋅ A = 0 som fjerner denne ekstra frihetsgraden.


== Biot-Savarts lov ==
Ved bruk av Ampères sirkulasjonslov og identiteten

  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        (
        
          ∇
        
        ×
        
          A
        
        )
        =
        
          ∇
        
        (
        
          ∇
        
        ⋅
        
          A
        
        )
        −
        
          
            ∇
          
          
            2
          
        
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )-{\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {A} }
  fra vektoranalysen, følger at vektorpotensialet kan finnes ved løse differensialligningen

  
    
      
        
          
            ∇
          
          
            2
          
        
        
          A
        
        =
        −
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}^{2}\mathbf {A} =-\mu _{0}\mathbf {J} }
  Hver komponent av det magnetiske vektorpotensialet oppfyller derfor Poisson-ligningen under statiske forhold. Det betyr at det generelt er gitt ved integralet

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        ∫
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          x
          ′
        
        
          
            
              
                J
              
              (
              
                
                  r
                
                ′
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\mu _{0} \over 4\pi }\int \!d^{3}x'{\mathbf {J} (\mathbf {r} ') \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}
  på samme måte som det elektriske potensialet er gitt for en kontinuerlig ladningsfordeling. Ved å ta curl av dette integralet, finner man at magnetfeltet kan skrives på formen

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        ∫
        
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          x
          ′
        
        
        
          
            
              
                J
              
              (
              
                
                  r
                  ′
                
              
              )
              ×
              (
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\mu _{0} \over 4\pi }\int \!\!d^{3}x'\,{\mathbf {J} (\mathbf {r'} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}}
  Dette er Biot-Savarts lov som har en like sentral rolle i magnetostatikken som Coulombs lov har i elektrostatikken. Den er ekvivalent med Ampères sirkulasjonslov på samme måte som at Gauss' lov for det elektriske feltet kan skrives både på en integralform og en ekvivalent, lokal differensialform.


== Magnetisk moment ==
Da elektrisk ladning er bevart, vil den elektriske strømmen oppfylle kontinuitetsligningen. Under statiske forhold kan den skrive som ∇ ⋅ J = 0. Det betyr at strømmen går i en lukket sløyfe eller kurve. På samme måte som en punktladning gir det enkleste, elektriske feltet, vil en forsvinnende liten strømsløyfe gi det enkleste, magnetiske feltet. Det er et dipolfelt skapt av et magnetisk moment.
Når strømfordelingen J(r') har en endelig utstrekning, kan man i den generelle formelen for det skapte vektorpotensialet benytte approksimasjonen

  
    
      
        
          
            1
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                |
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            r
          
        
        +
        
          
            
              
                r
              
              ⋅
              
                
                  r
                  ′
                
              
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle {1 \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}={1 \over r}+{\mathbf {r} \cdot \mathbf {r'}  \over r^{3}}+\cdots }
  for store avstander  r >> r'. Det tilsvarer at strømfordelingen har en utstrekning som er mye mindre enn avstanden til feltpunktet. I denne multipolutviklingen kalles første ledd en monopol, det andre leddet en dipol og så videre.  Men her vil det ikke være noe bidrag fra en magnetisk monopol, og det ledende leddet kommer fra dipolen. Den gir bidraget

  
    
      
        
          
            A
          
        
        (
        
          
            r
          
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          
            
              
                
                  m
                
              
              ×
              
                
                  r
                
              
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {A} }({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}}}
  hvor det magnetiske momentet til strømfordelingen er

  
    
      
        
          m
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ∫
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          x
          ′
        
        
        
          
            r
            ′
          
        
        ×
        
          J
        
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {m} ={\frac {1}{2}}\int \!d^{3}x'\,\mathbf {r'} \times \mathbf {J} (\mathbf {r} ')}
  I det tilfellet at den er gitt ved en strøm I som følger en lukket kurve, kan dette magnetiske momentet skrives som m = I S der vektoren S har en størrelse lik med arealet av flaten som kurven omslutter og en retning som er normal på denne flaten og avhengig  av strømmens retning som gitt ved høyrehåndsregelen.


=== Sirkulær strømsløyfe ===
Det magnetiske vektorpotensialet fra en sirkulær strømsløyfe kan beregnes ved elementære integrasjoner. Da den utgjør en kurve som fører en strøm I, kan man skrive det differensielle strømelementet som

  
    
      
        
          J
        
        
        
          d
          
            3
          
        
        x
        →
        I
        d
        
          s
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} \,d^{3}x\rightarrow Id\mathbf {s} }
  hvor d s er et differensielt linjeelement langs kurven. For en sirkel med radius a som ligger i xy-planet, er da

  
    
      
        d
        
          s
        
        =
        a
        (
        −
        sin
        ⁡
        α
        
        
          
            e
          
          
            x
          
        
        +
        cos
        ⁡
        α
        
        
          
            e
          
          
            y
          
        
        )
        d
        α
      
    
    {\displaystyle d\mathbf {s} =a(-\sin \alpha \,\mathbf {e} _{x}+\cos \alpha \,\mathbf {e} _{y})d\alpha }
  hvor vinkelen α angir et punkt på sirkelen. Dette kildepunktet er dermed r'  = a(cosα ex + sinα ey). Tilsvarende kan feltpunktet angis ved to polare vinkler θ og φ som r = r(sinθ cosφ ex + sinθ sinφ ey + cosθ ez).
Monopolbidraget til vektorpotensialet blir nå

  
    
      
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              I
            
            
              4
              π
              r
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
        d
        α
        
        a
        (
        −
        sin
        ⁡
        α
        
        
          
            e
          
          
            x
          
        
        +
        cos
        ⁡
        α
        
        
          
            e
          
          
            y
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\mu _{0}I \over 4\pi r}\int _{0}^{2\pi }\!d\alpha \,a(-\sin \alpha \,\mathbf {e} _{x}+\cos \alpha \,\mathbf {e} _{y})=0}
  da både integralet av sinus og cosinus over en full periode er null. Dette er det forventede resultatet. Men dipolbidraget forsvinner ikke. Her er

  
    
      
        
          r
        
        ⋅
        
          
            r
            ′
          
        
        =
        a
        r
        (
        sin
        ⁡
        θ
        cos
        ⁡
        ϕ
        cos
        ⁡
        α
        +
        sin
        ⁡
        θ
        sin
        ⁡
        ϕ
        sin
        ⁡
        α
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \cdot \mathbf {r'} =ar(\sin \theta \cos \phi \cos \alpha +\sin \theta \sin \phi \sin \alpha )}
  Multipliserer man dette med d s og igjen integrerer over en full periode av vinkelen α, vil begge integralene

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
        d
        α
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        α
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
        d
        α
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        α
        =
        π
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\!d\alpha \sin ^{2}\alpha =\int _{0}^{2\pi }\!d\alpha \cos ^{2}\alpha =\pi }
  bidra, mens integralet av kryssleddet sinα cosα er null. På denne måten gir dipoltermen det totale bidraget

  
    
      
        ∮
        
        d
        
          s
        
        (
        
          r
        
        ⋅
        
          
            r
            ′
          
        
        )
        =
        π
        
          a
          
            2
          
        
        r
        (
        −
        sin
        ⁡
        θ
        sin
        ⁡
        ϕ
        
        
          
            e
          
          
            x
          
        
        +
        sin
        ⁡
        θ
        cos
        ⁡
        ϕ
        
        
          
            e
          
          
            y
          
        
        )
        =
        
          m
        
        ×
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \oint \!d\mathbf {s} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {r'} )=\pi a^{2}r(-\sin \theta \sin \phi \,\mathbf {e} _{x}+\sin \theta \cos \phi \,\mathbf {e} _{y})=\mathbf {m} \times \mathbf {r} }
  hvor det magnetiske momentet til strømsløyfen er m = π a2 ez i overensstemmelse med hva som følger fra den mer generelle utledningen av vektorpotensialet.


=== Dipolfeltet ===

Feltet fra den magnetiske dipolen kan finnes ved å ta curl av vektorpotensialet. Man kan da benytte formelen

  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        (
        
          m
        
        ×
        
          v
        
        )
        =
        
          m
        
        (
        
          ∇
        
        ⋅
        
          v
        
        )
        −
        (
        
          m
        
        ⋅
        
          ∇
        
        )
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times (\mathbf {m} \times \mathbf {v} )=\mathbf {m} ({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} )-(\mathbf {m} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {v} }
  fra vektoranalysen der m er en konstant vektor.  Ved denne beregningen er v = - ∇(1/r) = r/r3 slik at det første leddet kan uttrykkes ved Diracs deltafunksjon som

  
    
      
        
          ∇
        
        ⋅
        
          
            
              r
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
        =
        4
        π
        δ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {r}  \over r^{3}}=4\pi \delta (\mathbf {r} )}
  og bidrar derfor bare i det singulære punktet r = 0. For r > 0 stammer derfor hele feltet fra det andre leddet,

  
    
      
        
          B
        
        (
        r
        >
        0
        )
        =
        −
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        (
        
          m
        
        ⋅
        
          ∇
        
        )
        
          
            
              r
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (r>0)=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}(\mathbf {m} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}){\mathbf {r}  \over r^{3}}}
  Ved å benytte at ∂i (xj /r3) = ∂j (xi /r3), kan dette forenkles til

  
    
      
        
          B
        
        (
        r
        >
        0
        )
        =
        −
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∇
        
        
          (
          
            
              
                
                  m
                
                ⋅
                
                  r
                
              
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  3
                  (
                  
                    m
                  
                  ⋅
                  
                    r
                  
                  )
                  
                    r
                  
                
                
                  r
                  
                    5
                  
                
              
            
            −
            
              
                
                  m
                
                
                  r
                  
                    3
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (r>0)=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\boldsymbol {\nabla }}\left({\mathbf {m} \cdot \mathbf {r}  \over r^{3}}\right)={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\left({3(\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {r}  \over r^{5}}-{\mathbf {m}  \over r^{3}}\right)}
  Dette er magnetfeltet fra et magnetisk dipolmoment m lokalisert i punktet r = 0. Det avtar med tredje potens av avstanden til dette punktet.


== Potensialteori ==
På samme måte som for feltet rundt en elektrisk dipol kan yttrykkes ved et skalart potensial Φ, kan feltet rundt en magnetisk dipol m uttrykkes ved et skalart, magnetisk potensial Ψ. Defineres dette ved H = - ∇ Ψ, er da

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              
                m
              
              ⋅
              
                r
              
            
            
              4
              π
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={\mathbf {m} \cdot \mathbf {r}  \over 4\pi r^{3}}}
  Da i tillegg  ∇ ⋅ H = 0 må gjelde, oppfyller dette skalarpotensialet Laplace-ligningen ∇2Ψ = 0. Men i motsetning til det elektriske potensialet som er konservativt under stasjonære forhold, gjelder ikke det i allminnelighet for Ψ da magnetfeltet må oppfylle Ampères sirkulasjonslov ∇ × H = J under tilsvarende forhold. Mens det elektriske potensialet måles i volt, måles det magnetiske skalarpotensialet i ampere.
I sine originalarbeid viste Ampère hvordan det magnetiske skalarpotensialet for en strømsløyfe C kan beregnes på en elegant, geometrisk måte. Da sløyfen er en lukket kurve, kan den tenkes å være randen til en vilkårlig flate S som matematisk skrives som C = ∂S. Hvis man tenker seg denne flaten oppdelt i et stort antall mikroskopiske flater dS som hver omkretses av en strøm I, vil hver av dem være en magnetisk dipol med et mikroskopisk moment d m = I ndS hvor enhetsvektoren n står overalt vinkelrett på flaten. Da strømmene i slike nærliggende flateelement gjensidig kansellerer hverandre, vil potensialet fra dem alle være lik med potensialet fra hele sløyfen. Det er nå gitt ved integralet

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        I
        ∫
        
        d
        S
        
          
            
              
                n
              
              ⋅
              (
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              )
            
            
              4
              π
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=I\int \!dS{\mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ) \over 4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}}
  Telleren her er proporsjonal med projeksjonen av flateelementet dS vinkelrett på vektoren r - r'. Da denne peker mot punktet r, er integranden proporsjonal med minus romvinkelelementet dΩ som flateelementet utgjør sett fra r. Etter integrasjon over hele flaten blir dermed potensialet ganske enkelt

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
        I
        
          
            
              Ω
              (
              
                r
              
              )
            
            
              4
              π
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )=-I{\Omega (\mathbf {r} ) \over 4\pi }}
  hvor nå Ω(r) er romvinkelen til hele strømsløyfen C sett fra feltpunktet r. Dens fortegn er bestemt av enhetsvektoren n som igjen følger fra strømretningen og høyrehåndsregelen.
For en lukket strømsløyfe kommer det magnetiske skalarpotensialet direkte frem ved bruk av en utvidet versjon av Stokes' teorem anvendt på Biot-Savarts lov. Det gir

  
    
      
        
          H
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        I
        
          ∮
          
            C
            =
            ∂
            S
          
        
        
        
          
            
              d
              
                s
              
              ×
              (
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              )
            
            
              4
              π
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
        =
        I
        
          ∇
        
        
          ∫
          
            S
          
        
        
          
            
              d
              
                S
              
              ⋅
              (
              
                
                  r
                  ′
                
              
              −
              
                r
              
              )
            
            
              4
              π
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
        =
        
          
            I
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∇
        
        Ω
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} )=I\oint _{C=\partial S}\!{d\mathbf {s} \times (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ) \over 4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}=I{\boldsymbol {\nabla }}\int _{S}{d\mathbf {S} \cdot (\mathbf {r'} -\mathbf {r} ) \over 4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}={I \over 4\pi }{\boldsymbol {\nabla }}\Omega (\mathbf {r} )}
  hvor det vektorielle flateelementet d S = ndS. Denne utledningen er gyldig forutsatt at feltpunktet r ikke ligger på flaten S som har strømsløyfen som rand. Det har sitt opphav i at størrelsen til potensialt Ψ varierer diskontinuerlig når man passerer denne flaten. Og det er akkurat innholdet av Ampères sirkulasjonslov.
Dette matematiske resultatet til Ampère er kanskje den første indikasjon på at det magnetiske feltet er beskrevet ved den enkleste utgave av en fundamental gaugeteori. Disse har egenskaper som knytter dem tett til geometri og topologi.


=== Eksempel: Sirkulær strømsløyfe ===
En sirkulær strømsløyfe med sentrum i origo og radius a som ligger i xy-planet, vil fra et punkt på z-aksen utgjøre en romvinkel Ω(z) som er bestemt av den polare vinkelen θ0 med

  
    
      
        sin
        ⁡
        
          θ
          
            0
          
        
        =
        
          
            a
            
              
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  z
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin \theta _{0}={a \over {\sqrt {a^{2}+z^{2}}}}}
  Romvinkelen er nå arealet av en sirkel på enhetskulen med denne åpningsvinkelen, det vil si

  
    
      
        Ω
        (
        z
        )
        =
        −
        2
        π
        
          ∫
          
            0
          
          
            
              θ
              
                0
              
            
          
        
        
        d
        θ
        sin
        ⁡
        θ
        =
        2
        π
        (
        cos
        ⁡
        
          θ
          
            0
          
        
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \Omega (z)=-2\pi \int _{0}^{\theta _{0}}\!d\theta \sin \theta =2\pi (\cos \theta _{0}-1)}
  hvor minustegnet kommer fra strømretningen. Det magnetiske feltet blir dermed i dette punktet på aksen til strømsløyfen

  
    
      
        
          H
          
            z
          
        
        (
        z
        )
        =
        −
        
          
            
              ∂
              Ψ
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        =
        
          
            I
            2
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              z
            
          
        
        
          
            (
          
        
        
          
            z
            
              
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  z
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        −
        1
        
          
            )
          
        
        =
        
          
            
              I
              
                a
                
                  2
                
              
            
            
              2
              (
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                z
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{z}(z)=-{\partial \Psi  \over \partial z}={I \over 2}{\partial  \over \partial z}{\Big (}{z \over {\sqrt {a^{2}+z^{2}}}}-1{\Big )}={Ia^{2} \over 2(a^{2}+z^{2})^{3/2}}}
  Dette er selvsagt i overensstemmelse med hva som følger direkte fra Biot-Savarts lov. I sløyfens sentrum der z = 0, er magnetfeltet Hz(0) = I/2a.


== Magnetiske materialer ==
Et magnetisk materiale inneholder  et stort antall atomære, magnetiske dipoler som gir materialet en makroskopisk magnetisering M = M(r). Denne kan være indusert av andre magnetfelt, eller konstant som i en permanent magnet. Da den er definert som tettheten av slike mikroskopiske dipoler, er det magnetiske dipolmomentet til et volumelement dV = d 3x lik med d m = MdV. Det magnetiserte materialet gir derfor opphav til et magnetisk vektorpotensial

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        ∫
        
        d
        
          V
          ′
        
        
          
            
              
                M
              
              (
              
                
                  r
                  ′
                
              
              )
              ×
              (
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int \!dV'{\mathbf {M} (\mathbf {r'} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}}
  Ved å omskrive integranden ved bruk av formler fra vektoranalysen, kan det skrives som

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        ∫
        d
        
          V
          ′
        
        
        
          
            
              
                
                  J
                
                
                  m
                
              
              (
              
                
                  r
                  ′
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                |
              
            
          
        
        +
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        ∫
        d
        
          S
          ′
        
        
        
          
            
              
                
                  K
                
                
                  m
                
              
              (
              
                
                  r
                  ′
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int dV'\;{\mathbf {J} _{m}(\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}+{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int dS'\;{\mathbf {K} _{m}(\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}
  hvor  
  
    
      
        
          
            J
          
          
            m
          
        
        =
        
          ∇
        
        ×
        
          M
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} _{m}={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {M} }
   er en romlig fordelt magnetiseringsstrøm, mens 
  
    
      
        
          
            K
          
          
            m
          
        
        =
        
          M
        
        ×
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {K} _{m}=\mathbf {M} \times \mathbf {n} }
   er en tilsvarende strøm fordelt på materialets overflate med normalvektor n. Begge disse elektriske strømmene er «bundne strømmer» som ikke består av frie ladninger, men derimot skyldes bevegelsen til bundne elektroner i atomene som utgjør de mikroskopiske dipolmomentene. Men likevel vil de gi opphav til et magnetfelt B = ∇ × A som må være konsistent med Ampères sirkulasjonslov, det vil si  ∇ × B = J + Jm . For magnetiske materialer er det derfor naturlig å skrive denne som  ∇ × H = J  hvor det magnetiske H-feltet er definert ved

  
    
      
        
          B
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        (
        
          H
        
        +
        
          M
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )}
  De to magnetfeltene skiller seg derfor fra hverandre bare der hvor magnetiseringen er forskjellig fra null.For en stavmagnet med permanent magnetisering M som er romlig konstant, er den bundne strømmen Jm = 0. Magnetfeltet B kan derfor beregnes fra overflatestrømmen Km  alene. Er denne magneten sylinderformet, vil derfor magnetfeltet bli det samme som for en spole med samme form.


=== Skalarpotensial ===
Med kjennskap til både M og B, kan  det magnetiske H-feltet beregnes fra deres differens. Alternativt kan det også finnes fra fiktive, magnetiske ladninger ved metoder som er kjent fra elektrostatikken. Man tar da utgangspunkt i uttrykket

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∇
        
        ×
        ∫
        
        
        d
        
          V
          ′
        
        
        
          
            
              
                M
              
              (
              
                
                  r
                  ′
                
              
              )
              ×
              (
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )={\mu _{0} \over 4\pi }{\boldsymbol {\nabla }}\times \int \!\!dV'\,{\mathbf {M} (\mathbf {r'} )\times (\mathbf {r} -\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}}
  På samme måte som for magnetfeltet fra en enkeldipol, kan dette dermed omformes til

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          M
        
        (
        
          r
        
        )
        −
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∇
        
        ∫
        
        
        d
        
          V
          ′
        
        
        
          M
        
        (
        
          
            r
            ′
          
        
        )
        ⋅
        
          
            
              (
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\mu _{0}\mathbf {M} (\mathbf {r} )-{\mu _{0} \over 4\pi }{\boldsymbol {\nabla }}\int \!\!dV'\,\mathbf {M} (\mathbf {r'} )\cdot {(\mathbf {r} -\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}}
  når man inkluderer bidraget fra δ-funksjonen i det første leddet. Den siste termen er gradienten av det skalære potensialet som her tar formen

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
            
          
        
        ∫
        
        
        d
        
          V
          ′
        
        
        
          M
        
        (
        
          
            r
            ′
          
        
        )
        ⋅
        
          
            ∇
            ′
          
        
        
          
            1
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi }\int \!\!dV'\,\mathbf {M} (\mathbf {r'} )\cdot {\boldsymbol {\nabla '}}{1 \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}
  På denne måten er man igjen kommet frem til at det totale magnetfeltet i det magnetiske materialet kan skrives som  B = μ0(H + M)  hvor man nå kan skrive at H = - ∇ Ψ.
Bruken av skalarpotensialet forutsetter at det ikke finnes noen frie, elektriske strømmer J i det området hvor den blir brukt. Det følger fra gradienten som medfører at ∇ × H = 0. Da Maxwells ligning ∇ ⋅ B = 0 alltid må være oppfylt, vil ∇ ⋅ H = - ∇ ⋅ M.  Ved å definere ρm = - ∇ ⋅ M, kan det magnetiske potensialet  i dette tilfellet finnes fra den skalære Poisson-ligningen

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
        
          ρ
          
            m
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Psi (\mathbf {r} )=-\rho _{m}(\mathbf {r} )}
  Ved å sammenligne med den samme ligningen for det elektriske skalarpotensialet, ser man at størrelsen ρm  kan betraktes som en tetthet av magnetisk ladning som utgjør en kilde for dette H-feltet. Det betyr at dets feltlinjer begynner og ender opp på disse ladningene. Men de er fiktive ladninger som gjenspeiler matematiske egenskaper ved magnetiseringen. Frie, magnetiske ladninger som omtales som magnetiske monopoler, finnes ikke i vanlig, elektromagnetisk teori.

Uttykket for det magnetiske skalarpotensialt kan omskrives til

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
            
          
        
        ∫
        
        
        d
        
          V
          ′
        
        
        
          M
        
        (
        
          
            r
            ′
          
        
        )
        ⋅
        
          
            ∇
            ′
          
        
        
          
            1
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi }\int \!\!dV'\,\mathbf {M} (\mathbf {r'} )\cdot {\boldsymbol {\nabla '}}{1 \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}
  ved å bruke identiteten

  
    
      
        
          v
        
        ⋅
        
          ∇
        
        ϕ
        =
        
          ∇
        
        ⋅
        (
        ϕ
        
          v
        
        )
        −
        ϕ
        
          ∇
        
        ⋅
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\phi ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\phi \mathbf {v} )-\phi {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} }
  fra vektoranalysen for et vektorfelt 
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
   og en skalær funksjon som her kan tas å være 
  
    
      
        ϕ
        =
        1
        
          /
        
        
          |
        
        
          r
        
        −
        
          
            r
            ′
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \phi =1/|\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}
  . Det gir

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
            
          
        
        ∫
        
        
        d
        
          V
          ′
        
        
        
          [
          
            
              
                ∇
                ′
              
            
            ⋅
            
              
                
                  
                    M
                  
                  (
                  
                    
                      r
                      ′
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    r
                  
                  −
                  
                    
                      r
                      ′
                    
                  
                  
                    |
                  
                
              
            
            −
            
              
                
                  
                    
                      ∇
                      ′
                    
                  
                  ⋅
                  
                    M
                  
                  (
                  
                    
                      r
                      ′
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    r
                  
                  −
                  
                    
                      r
                      ′
                    
                  
                  
                    |
                  
                
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi }\int \!\!dV'\,\left[{\boldsymbol {\nabla '}}\cdot {\mathbf {M} (\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}-{{\boldsymbol {\nabla '}}\cdot \mathbf {M} (\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}\right]}
  Ved bruk divergensteoremet i det første integralet slik at edt kan skrives som et integral over overflaten S'  til materialet med flatenormal n, tar skalarpotensialet den endelige formen

  
    
      
        Ψ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
            
          
        
        ∫
        
        
        d
        
          V
          ′
        
        
        
          
            
              
                ρ
                
                  m
                
              
              (
              
                
                  r
                  ′
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                |
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              4
              π
            
          
        
        ∫
        
        
        d
        
          S
          ′
        
        
        
          
            
              
                σ
                
                  m
                
              
              (
              
                
                  r
                  ′
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {r} )={1 \over 4\pi }\int \!\!dV'\,{\rho _{m}(\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}+{1 \over 4\pi }\int \!\!dS'\,{\sigma _{m}(\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}
  etter å ha der innført en flatetetthet σm  = M⋅n av fiktive, magnetiske ladninger i tillegg til den romlige tettheten ρm . Dette potensialet har derfor akkurat samme, matematiske form som det elektriske potensialet skapt av elektriske ladninger kontinuerlig fordelt i rommet og på flater. Det kan derfor også beregnes med bruk av de samme metodene.Hvis man igjen betrakter eksemplet med en sylinderformet stavmagnet med konstant magnetisering M, vil den romlige tettheten av magnetiske ladninger ρm  = 0. Men på de to endeflatene vil flatetettheten σm  være forskjellig fra null. Mens den er positiv på den ene enden som tilsvarer en magnetisk N-pol, vil den andre være en S-pol med negativ ladning. Dette tilsvarer forklaring av magnetisme i den antikverte Gilbert-modellen som man her ser likevel har en beregningsverdig relevans. H-feltet i og omnkring stavmagneten har derfor samme form som for to parallelle plater med like store ladninger med motsatte fortegn. Inni denne magneten har derfor B- og H-feltene motsatt retning. Det er typisk for permanente magneter.


== Kulemagnet ==
De magnetiske egenskapene til en magnetisert kule kan beregnes på tilsvarende måte som for en stavmagnet. Er dens magnetisering M = M ez langs z-aksen konstant, vil den hverken inneholde noen magnetiseringsstrøm Jm eller magnetisk ladningstetthet ρm .  Derimot vil det på overflaten av kulen være en strømtetthet Km = M × n hvor normalen n til overflaten peker utover i radiell retning.  Her er det naturlig å bruke  kulekoordinater slik at man kan skrive M = M(cosθ er  -  sinθ eθ) og n = er , gir det overflatestrømmen

  
    
      
        
          
            K
          
          
            m
          
        
        =
        M
        sin
        ⁡
        θ
        
        
          
            e
          
          
            ϕ
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {K} _{m}=M\sin \theta \,\mathbf {e} _{\phi }}
  Denne strømmen gir opphav til et magnetisk vektorpotensial A som nå kan beregnes.  Inni kulen blir dette

  
    
      
        
          A
        
        (
        r
        <
        a
        )
        =
        
          
            1
            3
          
        
        
          μ
          
            0
          
        
        M
        r
        sin
        ⁡
        θ
        
        
          
            e
          
          
            ϕ
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (r<a)={1 \over 3}\mu _{0}Mr\sin \theta \,\mathbf {e} _{\phi }}
  der a er dens radius. Ved å ta curl i dette koordinatsystemet finner man

  
    
      
        
          B
        
        (
        r
        <
        a
        )
        =
        
          
            2
            3
          
        
        
          μ
          
            0
          
        
        M
        (
        cos
        ⁡
        θ
        
        
          
            e
          
          
            r
          
        
        −
        sin
        ⁡
        θ
        
        
          
            e
          
          
            θ
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (r<a)={2 \over 3}\mu _{0}M(\cos \theta \,\mathbf {e} _{r}-\sin \theta \,\mathbf {e} _{\theta })}
  som er et konstant magnetfelt B = (2/3)μ0 M langs z-aksen. Dermed blir H = - (1/3)M inni kula slik at feltene B og H igjen har motsatt retning i dette området.
Utenfor kula gir den tilsvarende beregningen

  
    
      
        
          A
        
        (
        r
        >
        a
        )
        =
        
          
            1
            3
          
        
        
          μ
          
            0
          
        
        M
        
          
            
              a
              
                3
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        sin
        ⁡
        θ
        
        
          
            e
          
          
            ϕ
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (r>a)={1 \over 3}\mu _{0}M{a^{3} \over r^{2}}\sin \theta \,\mathbf {e} _{\phi }}
  Dette er akkurat vektorpotensial A = (μ0/4π ) m × r/r3 fra det totale dipolmomentet m = (4π /3)a3M til kula. Utenfor denne har derfor magnetfeltet formen til en punktformig dipol selv om det magnetiske momentet her har en endelig utstrekning.
Det magnetiske H-feltet kan alternativt bestemmes fra skalarpotensialet Ψ. Da den magnetiske ladningstettheten ρm  = 0, vil dette potensialet oppfylle Laplace-ligningen ∇ 2 Ψ = 0. På samme måte som normalkomponenten av det elektriske feltet E = - ∇ Φ på begge sider av en grenseflate har en diskontinuitet gitt ved den elektriske overflateladningen σ på flaten, vil det magnetiske feltet H = - ∇ Ψ ha en diskontinuitet som er gitt ved den magnetiske flateladningen σm = M⋅n = M cosθ. Laplace-ligningen har to løsninger som varierer med den polare vinkelen som cosθ. Den ene er Ψ1 = C1 r cosθ hvor C1 er en konstant. Den kan brukes inni kula. Utenfor kan løsningen Ψ2 = C2  cosθ/r 2 benyttes da den avtar mot null i store avstander. Fra kravet at potensialet Ψ skal ha samme verdi like innenfor som utenfor kula, følger at C2 = a 3C1, mens kravet at Hr = - ∂Ψ/∂r forandres diskontinuerlig med M cosθ, bestemmer C1 = M/3.Skalarpotensialet utenfor kula kan nå skrives som

  
    
      
        Ψ
        (
        r
        >
        a
        )
        =
        
          Ψ
          
            2
          
        
        =
        M
        
          a
          
            3
          
        
        
          
            
              cos
              ⁡
              θ
            
            
              3
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                m
              
              ⋅
              
                r
              
            
            
              4
              π
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (r>a)=\Psi _{2}=Ma^{3}{\cos \theta  \over 3r^{2}}={\mathbf {m} \cdot \mathbf {r}  \over 4\pi r^{3}}}
  som er det skalare dipolpotensialet fra det totale dipolmomentet m = MV til kula med volum V = (4π /3)a3. I dette området er derfor magnetfeltet B = μ0H et rent dipolfelt.
På tilsvarende måte er det skalare potensialet inni kula

  
    
      
        Ψ
        (
        r
        <
        a
        )
        =
        
          Ψ
          
            1
          
        
        =
        
          
            1
            3
          
        
        M
        r
        cos
        ⁡
        θ
        =
        
          
            1
            3
          
        
        M
        z
      
    
    {\displaystyle \Psi (r<a)=\Psi _{1}={1 \over 3}Mr\cos \theta ={1 \over 3}Mz}
  og varierer derfor bare i z-retning. Det tilsvarende magnetfeltet vil derfor peke i samme retning og er H = - M/3. I dette området er derfor  B = (2/3)μ0M i overensstemmelse med hva som ble funnet fra vektorpotensialet skapt av magnetiseringsstrømmene.


=== Ytre magnetfelt ===
Magnetisering av en kule kan induseres ved å plassere den i et konstant, ytre magnetfelt B0 = μ0H0. Hvis den antas å bestå av et lineært, magnetiserbart materiale med relativ permeabilitet μr , vil det oppstå et magnetfelt inni den B = μ0μr H som i utgangspunktet ikke lenger er konstant. Men da det skalære potensialet fremdeles må oppfylle Laplace-ligningen, vil det bli konstant inni kulen. Utenfor vil det være en lineærkombinasjon av det ytre feltet  B0 og dipolfeltet skapt av magnetiseringen M indusert i kulen.Feltene inni kulen kan nå skrives som

  
    
      
        
          B
        
        (
        r
        <
        a
        )
        =
        
          
            B
          
          
            0
          
        
        +
        
          
            2
            3
          
        
        
          μ
          
            0
          
        
        
          M
        
        ,
        
        
        
        
          H
        
        (
        r
        <
        a
        )
        =
        
          
            H
          
          
            0
          
        
        −
        
          
            1
            3
          
        
        
          M
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (r<a)=\mathbf {B} _{0}+{2 \over 3}\mu _{0}\mathbf {M} ,\;\;\;\mathbf {H} (r<a)=\mathbf {H} _{0}-{1 \over 3}\mathbf {M} .}
  Siden de er forbundne via den relative permeabiliteten, kan nå herav den induserte magnetiseringen finnes. Den blir

  
    
      
        
          M
        
        =
        3
        
          (
          
            
              
                
                  μ
                  
                    r
                  
                
                −
                1
              
              
                
                  μ
                  
                    r
                  
                
                +
                2
              
            
          
          )
        
        
          
            H
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {M} =3\left({\mu _{r}-1 \over \mu _{r}+2}\right)\mathbf {H} _{0}}
  og er null når det ytre feltet blir null. Fra denne magnetiseringen kan man fra det totale dipolmomentet m = MV til kula igjen finne det magnetiske dipolfeltet utenfor kula som nå opptrer sammen med det ytre feltet.
Mange magnetiserbare materialer har en susceptibilitet χm = μr - 1 << 1. For en slik kule vil en derfor kunne skrive med god nøyaktighet at M = χm H0. Forskjellen mellom feltet H inni kula og det ytre feltet H0 er da neglisjerbar.


== Se også ==
Magnetisme
Biot-Savarts lov
Magnetisering
Elektrostatikk


== Referanser ==