Bra-ket notasjon

I kvantemekanikken brukes bra-ket notasjon, eller Dirac notasjon, ofte. Notasjonen bruker vinkelparenteser "
  
    
      
        ⟨
      
    
    {\displaystyle \langle }
  " og "
  
    
      
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \rangle }
  ", samt vertikale streker "
  
    
      
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |}
  ", for å skrive "bra"er og "ket"er. En "bra" skrives som 
  
    
      
        ⟨
        A
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \langle A|}
  , og en "ket" skrives som 
  
    
      
        
          |
        
        B
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |B\rangle }
  .


== Som rad- og kolonnevektorer ==
I et tilfelle der man ser på et komplekst vektorrom 
  
    
      
        
          
            C
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
  , kan "bra"er og "ket"er sees på som rad- og kolonnevektorer hhv. Hvis man antar at man har det Hermitske indreproduktet på vektorrommet er en "bra", 
  
    
      
        ⟨
        m
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \langle m|}
  , den kompleks-transponerte av sin tilsvarende ket, 
  
    
      
        
          |
        
        m
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |m\rangle }
  .
For et endeligdimensjonalt vektorrom har vi da rad- og kolonnevektorene:

  
    
      
        ⟨
        A
        
          |
        
        =
        (
        
          A
          
            1
          
          
            ∗
          
        
        ,
        
          A
          
            2
          
          
            ∗
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          A
          
            N
          
          
            ∗
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \langle A|=(A_{1}^{*},A_{2}^{*},...,A_{N}^{*})}
  

  
    
      
        
          |
        
        B
        ⟩
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    B
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    B
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  .
                
              
              
                
                  .
                
              
              
                
                  .
                
              
              
                
                  
                    B
                    
                      N
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle |B\rangle ={\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\.\\.\\.\\B_{N}\end{pmatrix}}}
  
Indreproduktet mellom dem kan skrives som

  
    
      
        ⟨
        A
        
          |
        
        B
        ⟩
        =
        (
        
          A
          
            1
          
          
            ∗
          
        
        ,
        
          A
          
            2
          
          
            ∗
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          A
          
            N
          
          
            ∗
          
        
        )
        
          
            (
            
              
                
                  
                    B
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    B
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  .
                
              
              
                
                  .
                
              
              
                
                  .
                
              
              
                
                  
                    B
                    
                      N
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          A
          
            1
          
          
            ∗
          
        
        
          B
          
            1
          
        
        +
        
          A
          
            2
          
          
            ∗
          
        
        
          B
          
            2
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          A
          
            N
          
          
            ∗
          
        
        
          B
          
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle A|B\rangle =(A_{1}^{*},A_{2}^{*},...,A_{N}^{*}){\begin{pmatrix}B_{1}\\B_{2}\\.\\.\\.\\B_{N}\end{pmatrix}}=A_{1}^{*}B_{1}+A_{2}^{*}B_{2}+...+A_{N}^{*}B_{N}}
  


== I kvantemekanikken ==
Kvantemekaniske bølgefunksjoner kan beskrives av en tilstandsvektor i et komplekst lineært vektorrom, også kjent som et Hilbert rom. Her kan en bølgefunksjon skrives som 
  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
        =
        ⟨
        x
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle \psi (x)=\langle x|\psi \rangle }
  , men fordelen med bra-ket notasjonen er at den lar oss studere ting som ikke vil la seg beskrive av en bølgefunksjon, slik som spinn. 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle }
   kalles en tilstandsvektor. Vi har også her at en "bra" er den Hermitsk adjungerte av den tilsvarende "ket"en, og vice versa:

  
    
      
        ⟨
        ψ
        
          |
        
        =
        
          |
        
        ψ
        
          ⟩
          
            †
          
        
        
           og 
        
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        =
        ⟨
        ψ
        
          
            |
          
          
            †
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle \psi |=|\psi \rangle ^{\dagger }{\text{ og }}|\psi \rangle =\langle \psi |^{\dagger }}
  
Tilstandsvektoren kan konstrueres som en lineær kombinasjon av ortonormale tilstander i et 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
  -dimensjonalt Hilbert rom

  
    
      
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          c
          
            n
          
        
        
          |
        
        n
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{n=1}^{N}c_{n}|n\rangle }
  
hvor vi har at indreproduktet mellom de ortonormale tilstandene er

  
    
      
        ⟨
        
          ψ
          
            i
          
        
        
          |
        
        
          ψ
          
            j
          
        
        ⟩
        =
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        ,
        
           hvor 
        
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  1
                  ,
                
                
                  
                    hvis 
                  
                  i
                  =
                  j
                
              
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  
                    hvis 
                  
                  i
                  ≠
                  j
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \langle \psi _{i}|\psi _{j}\rangle =\delta _{ij},{\text{ hvor }}\delta _{ij}={\begin{cases}1,&{\text{hvis }}i=j\\0,&{\text{hvis }}i\neq j\end{cases}}}
   er den vanlige Kronecker-delta.
For en normalisert tilstand er

  
    
      
        
          |
        
        ψ
        (
        x
        )
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        ⟨
        ψ
        
          |
        
        ψ
        ⟩
        =
        ⟨
        
          ψ
          
            1
          
        
        
          |
        
        
          c
          
            1
          
          
            ∗
          
        
        
          c
          
            1
          
        
        
          |
        
        
          ψ
          
            1
          
        
        ⟩
        +
        ⟨
        
          ψ
          
            2
          
        
        
          |
        
        
          c
          
            2
          
          
            ∗
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          |
        
        
          ψ
          
            2
          
        
        ⟩
        +
        .
        .
        .
        +
        ⟨
        
          ψ
          
            N
          
        
        
          |
        
        
          c
          
            N
          
          
            ∗
          
        
        
          c
          
            N
          
        
        
          |
        
        
          ψ
          
            N
          
        
        ⟩
        =
        
          |
        
        
          c
          
            1
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        +
        
          |
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          |
        
        
          c
          
            N
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle |\psi (x)|^{2}=\langle \psi |\psi \rangle =\langle \psi _{1}|c_{1}^{*}c_{1}|\psi _{1}\rangle +\langle \psi _{2}|c_{2}^{*}c_{2}|\psi _{2}\rangle +...+\langle \psi _{N}|c_{N}^{*}c_{N}|\psi _{N}\rangle =|c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}+...+|c_{N}|^{2}=1}
  
der 
  
    
      
        
          |
        
        
          c
          
            i
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |c_{i}|^{2}}
   er sannsynligheten for å finne partikkelen man beskriver i tilstanden 
  
    
      
        
          |
        
        i
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |i\rangle }
  .