Poisson-ligningen

Poisson-ligningen er en partiell differensialligning som har en sentral rolle i matematikk og fysikk. For en funksjon  U(x)  skrives den som

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        U
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}U(x)=f(x)}
  der ∇ 2 er Laplace-operatoren og f(x)  er en gitt funksjon. Når denne er null, forenkles ligningen til Laplace-ligningen.  Denne ble funnet på slutten av 1700-tallet av Pierre-Simon Laplace til å gjelde for gravitasjonspotensialet utenfor en kontinuerlig massefordeling.
Men i 1812 viste Siméon Denis Poisson at Laplace-ligningen ikke gjelder inne i massefordelingen og måtte utvides med et inhomogent ledd på høyre side som var proporsjonalt med den lokale massetettheten. Da Gauss i 1839 offentliggjorde sitt bevis for divergensteoremet, fikk Poisson-ligningen et mer solid grunnlag og inntok dermed også en sentral plass i elektrostatikken. Gauss' lov for det elektriske potensialet er en omskrivning av Poisson-ligningen på integralform.


== Opprinnelse ==
Gravitasjonspotensialet i et punkt r  utenfor en kontinuerlig massefordeling med tetthet ρ(r') i punktet r', er  ifølge Newtons gravitasjonslov gitt ved integralet

  
    
      
        Φ
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
        G
        ∫
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          x
          ′
        
        
          
            
              ρ
              (
              
                
                  r
                  ′
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-G\int \!d^{3}x'{\rho (\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}
  der G  er gravitasjonskonstanten. Da Laplace-operatoren ∇ 2 = ∇⋅∇, finner man ved å bruke denne differensialoperatoren under integraltegnet at

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        (
        
          r
        
        )
        =
        G
        ∫
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          x
          ′
        
        ρ
        (
        
          
            r
            ′
          
        
        )
        
          ∇
        
        ⋅
        
          
            
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=G\int \!d^{3}x'\rho (\mathbf {r'} ){\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {r} -\mathbf {r'}  \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}}
  Ved direkte utregning i kartesiske koordinater av divergensen som her opptrer, finner man at

  
    
      
        
          ∇
        
        ⋅
        
          
            
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  0
                  
                  
                  
                  
                    hvis
                  
                  
                  
                  
                    r
                  
                  ≠
                  
                    
                      r
                      ′
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      0
                      0
                    
                  
                  
                  
                  
                    hvis
                  
                  
                  
                  
                    r
                  
                  =
                  
                    
                      r
                      ′
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {r} -\mathbf {r'}  \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}={\begin{cases}0\;\;\;{\text{hvis}}\;\;\mathbf {r} \neq \mathbf {r'} \\{0 \over 0}\;\;{\text{hvis}}\;\;\mathbf {r} =\mathbf {r'} \end{cases}}}
  Så lenge feltpunktet ligger utenfor massefordelingen slik at r  ≠ r', er derfor ∇ 2Φ = 0  og Laplace-ligningen er oppfylt. Men for et feltpunkt inne i fordelingen, vil integralet være ubestemt da det inneholder en faktor 0/0  som kan være hva som helst.
Poisson klarte å overvinne dette problemet ved å anta at massetettheten ρ(r') var konstant. For dette tilfellet fant han da at potensialet tilfredsstiller differensialligningen

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        =
        4
        π
        G
        ρ
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =4\pi G\rho }
  som siden har får sitt navn etter han.


=== Skallteoremet ===
Innholdet av Poissons ligning er tett knyttet til Newtons skallteorem for beregning av gravitasjonspotensialet fra sfærisk symmetriske massefordelinger. Det sier at gravitasjonsfeltet utenfor denne er det samme som om hele massen er konsentrert i sentrum av fordelingen. Innenfor massefordelingen skyldes feltet i et punkt kun massen som ligger innenfor dette punktet.
Hvis massetettheten er konstant, er massen innenfor en radius r  lik med M(r) = (4π /3)ρr3. Gravitasjonsfeltet i dette punktet er dermed

  
    
      
        g
        (
        r
        )
        =
        G
        
          
            
              M
              (
              r
              )
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              4
              π
            
            3
          
        
        G
        ρ
        r
      
    
    {\displaystyle g(r)=G{M(r) \over r^{2}}={4\pi  \over 3}G\rho r}
  Da feltet er den deriverte av gravitasjonsponsialet, finnes det derfor direkte ved integrasjon å være

  
    
      
        Φ
        (
        r
        )
        =
        
          
            
              2
              π
            
            3
          
        
        G
        ρ
        
          r
          
            2
          
        
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \Phi (r)={2\pi  \over 3}G\rho r^{2}+C}
  der C  er en  integrasjonskonstant som tilsvarer potensialet i punktet r = 0. Når man så lar Laplace-operatoren virke, blir

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        =
        
          
            
              2
              π
            
            3
          
        
        G
        ρ
        
          
            (
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
        )
        =
        4
        π
        G
        ρ
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={2\pi  \over 3}G\rho {\Big (}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}{\Big )}(x^{2}+y^{2}+z^{2})=4\pi G\rho }
  som er Poissons ligning for dette spesielle tilfellet med konstant tetthet. Men for den generelle utledning av ligningen behøver man matematiske metoder som på Poissons tid ennå ikke var utviklet. De tilsvarer bruk av mer moderne vektoranalyse.


=== Vektoranalyse ===
Med bruk av divergensteoremet til Gauss kan Poissons ligning for gravitasjonspotensialet utledes i det generelle tilfellet. I uttrykket for ∇ 2Φ  kan integrasjonen over hele ladningsfordelingen reduseres til et mindre volum V  som omslutter kildepunktet  r' da kun denne delen vil gi et bidrag forskjellig fra null. Man lar nå dette volumet være en kule med punktet r som sentrum og med så liten radius at tettheten ρ(r') kan ansees som konstant i volumet. Da blir

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∇
                  
                    2
                  
                
                Φ
                (
                
                  r
                
                )
              
              
                
                =
                G
                ρ
                (
                
                  r
                
                )
                
                  ∫
                  
                    V
                  
                
                
                
                  d
                  
                    3
                  
                
                
                  x
                  ′
                
                
                  
                    ∇
                    ′
                  
                
                ⋅
                
                  
                    
                      
                        
                          r
                          ′
                        
                      
                      −
                      
                        r
                      
                    
                    
                      
                        |
                      
                      
                        
                          r
                          ′
                        
                      
                      −
                      
                        r
                      
                      
                        
                          |
                        
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                G
                ρ
                (
                
                  r
                
                )
                
                  ∫
                  
                    ∂
                    V
                  
                
                
                d
                
                  
                    S
                    ′
                  
                
                ⋅
                
                  
                    
                      
                        
                          r
                          ′
                        
                      
                      −
                      
                        r
                      
                    
                    
                      
                        |
                      
                      
                        
                          r
                          ′
                        
                      
                      −
                      
                        r
                      
                      
                        
                          |
                        
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                =
                4
                π
                G
                ρ
                (
                
                  r
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )&=G\rho (\mathbf {r} )\int _{V}\!d^{3}x'{\boldsymbol {\nabla '}}\cdot {\mathbf {r'} -\mathbf {r}  \over |\mathbf {r'} -\mathbf {r} |^{3}}\\&=G\rho (\mathbf {r} )\int _{\partial V}\!d\mathbf {S'} \cdot {\mathbf {r'} -\mathbf {r}  \over |\mathbf {r'} -\mathbf {r} |^{3}}=4\pi G\rho (\mathbf {r} )\end{aligned}}}
  når integrasjonspunktet r' er på kuleoverflaten ∂V, slik at |r' - r| = R er radius i kulen med overflate S'  = 4π R2. For et slikt lite integrasjonsvolum V er dette resultatet ikke så mye en konsekvens av det generelle divergensteoremet, men heller en direkte følge av definisjonen av divergensen til et vektorfelt.Den ubestemte divergensen under integraltegnet for ∇ 2Φ  er nå bestemt. Sammenligner man med definisjonen for Diracs deltafunksjon,
ser man at

  
    
      
        
          ∇
        
        ⋅
        
          
            
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          
            1
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                |
              
            
          
        
        =
        4
        π
        δ
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
            ′
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {r} -\mathbf {r'}  \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |^{3}}=-\nabla ^{2}{1 \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}=4\pi \delta (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )}
  Massetettheten for en punktpartikkel med masse m i punktet r' kan ved hjelp av deltafunksjonen derfor skrives ρ(r) = mδ(r - r'). Mange slike punktmasser mi  i posisjoner ri  kan beskrives ved en resulterende massetetthet

  
    
      
        ρ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          m
          
            i
          
        
        δ
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\sum _{i}m_{i}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{i})}
  På tilsvarende måte kan man angi elektrisk ladningstetthet for punktpartikler i elektrostatikken.


== Gauss' divergensteorem ==
Gravitasjonsfeltet i et punkt er gitt ved gradienten g = - ∇ Φ. Integrerer man dette over en lukket flate S = ∂V som omslutter volumet V, sier divergensteoremet at

  
    
      
        
          ∫
          
            ∂
            V
          
        
        
        d
        
          S
        
        ⋅
        
          g
        
        =
        
          ∫
          
            V
          
        
        
        d
        V
        
        
          ∇
        
        ⋅
        
          g
        
        =
        −
        4
        π
        G
        M
      
    
    {\displaystyle \int _{\partial V}\!d\mathbf {S} \cdot \mathbf {g} =\int _{V}\!dV\,{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {g} =-4\pi GM}
  hvor

  
    
      
        M
        =
        
          ∫
          
            V
          
        
        
        d
        V
        ρ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle M=\int _{V}\!dV\rho (\mathbf {r} )}
  er massen innesluttet i volumet V. Dette følger fra Poissons ligning når den skrives på formen ∇⋅g = - 4π Gρ. Dette tilsvarer Gauss' lov i elektrostatikken hvor det elektriske feltet E inngår i stedet for g, Coulombs konstant 1/4π ε0 erstattes med gravitasjonskonstanten - G og den elektriske ladningstettheten med massetettheten.
På denne formen er Gauss' divergensteorem en direkte generalisering av Newtons skallteorem.


== Referanser ==


== Litteratur ==
R.D. Richtmyer,  Principles of advanced mathematical physics, Springer-Verlag, New York (1978). ISBN 0-387-08873-3.