Embedding

Innen matematikk er en embedding en funksjon som definerer en relasjon mellom en mengde X og en delmengde Y. Dersom en slik funksjon finnes, sier man at X er embeddet i Y. Embeddinger er isomorfier som bevarer visse egenskaper, avhengig av sammenhengen og hvilke matematiske strukturer X og Y representerer. Embeddinger brukes blant annet innen ordensteori, topologi, funksjonalanalyse og diskret matematikk.


== I ordensteori ==
La X og Y være totalt ordnede mengder, for hvis addisjon og multiplikasjon er definert, og la Z være en delmengde av Y. En embedding av er en isomorfi 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Z
      
    
    {\displaystyle f:X\to Z}
  , og vi sier at X er embeddet i Y hvis og bare hvis en slik isomorfi finnes.En isomorfi er her bijektiv funksjon 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Z
      
    
    {\displaystyle f:X\to Z}
   som er slik at 

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        <
        
          x
          
            2
          
        
        
        ⟺
        
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        <
        f
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle x_{1}<x_{2}\iff f(x_{1})<f(x_{2})}
  

  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
        
        )
        =
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        +
        f
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(x_{1}+x_{2})=f(x_{1})+f(x_{2})}
  

  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ×
        
          x
          
            2
          
        
        )
        =
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        ×
        f
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(x_{1}\times x_{2})=f(x_{1})\times f(x_{2})}
  og en funksjon som oppfyller dette kalles for strukturbevarende.


== I topologi og geometri ==


=== I generell topologi ===
La X og Y være topologiske rom. Dersom det finnes en homeomorfi 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Z
      
    
    {\displaystyle f:X\to Z}
  , der 
  
    
      
        Z
        ⊆
        Y
      
    
    {\displaystyle Z\subseteq Y}
  , sier vi at f er en embedding og at X er embeddet i Y.Her er en homeomorfi en funksjon 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\to Y}
   slik at

f er bijektiv
f er kontinuerlig
den inverse av f, f−1, er også kontinuerlig.To embeddinger 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\to Y}
   og 
  
    
      
        g
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle g:X\to Y}
   sies å være ekvivalente dersom det finnes en homeomorfi 
  
    
      
        h
        :
        Y
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle h:Y\to Y}
   slik at 
  
    
      
        h
        f
        =
        g
      
    
    {\displaystyle hf=g}
  . Dette definerer en ekvivalensrelasjon.


=== I differensialtopologi ===
La X og Y være glatte manifolder, av dimensjon m og n. En glatt avbildning 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\to Y}
   kalles for en immersjon dersom 
  
    
      
        n
        ≤
        m
      
    
    {\displaystyle n\leq m}
   og 
  
    
      
        rank
        ⁡
        f
        =
        n
      
    
    {\displaystyle \operatorname {rank} f=n}
   for ethvert punkt 
  
    
      
        p
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle p\in X}
  . f kalles for en embedding hvis den også er en homeomorfi fra X til bildet 
  
    
      
        f
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle f(X)}
  . To embeddinger 
  
    
      
        f
        ,
        g
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f,g:X\to Y}
   er isotopiske dersom det finnes en glatt homotopi  
  
    
      
        h
        :
        X
        ×
        
          R
        
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle h:X\times \mathbb {R} \to Y}
   slik at for enhver 
  
    
      
        t
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle t\in \mathbb {R} }
   er også avbildningen

  
    
      
        
          h
          
            t
          
        
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle h_{t}:X\to Y}
  en embedding.Whitneys embeddingsteorem sier at ethvert mangfold av dimensjon n kan embeddes i 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
            n
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}
   som en lukket delmengde av 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
            n
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2n+1}}
  .


== I funksjonalanalyse ==
Metriske rom er også topologiske rom, og vi sier som for topologiske rom at hvis X og Y er metriske rom, er X embeddet i Y dersom det finnes en homeomorfi f fra X til en delmengde i Y.Videre sier vi at f er en kontinuerlig embedding, og at X er kontinuerlig embeddet i Y, dersom f er kontinuerlig (begrenset), og at f er en kompakt embedding, og at X er kompakt embeddet i Y, dersom f er en kompakt.Gelfand-Naimark-teoremet sier at enhver C*-algebra er embeddet i B(H), rommet av begrensede operatorer (eller kontinuerlige operatorer) fra H til H, for et Hilbert-rom H.


== I diskret matematikk ==


=== I grafteori ===

En embedding av en avbildning av en graf til et vektorrom, slik som for eksempel planet, og en graf G kan embeddes i dette vektorrommet hvis den kan tegnes slik at ingen kanter krysser hverandre (ikke har noen felles punkter utenom endepunktene, dvs. nodene).En planar graf er en graf som kan tegnes (embeddes) i planet uten at kantene krysser hverandre. En slik embedding gir en oppdeling i disjunkte delmengder av planet, og disse kalles for ansikter (faces). Det er alltid ett ansikt som ikke er begrenset, og dette kalles for et ytre ansikt (outer face) eller uendelig ansikt (infinite face). Det finnes generelt mange ulike embeddinger av en villkårlig planar graf, og vi sier at to embeddinger er ekvivalente (som gir en ekvivalensrelasjon) dersom randen av ett ansikt i en embedding tilsvarer nøyaktig randen av ett ansikt i den andre.


== Referanser ==


== Litteratur ==
Amiya Mukherjee (2015). Differential Topology (2 utg.). Cham: Springer. ISBN 978-3-319-19044-0. 
Joseph Muskat (2014). Functional Analysis. Cham: Springer. ISBN 978-3-319-06727-8. 
T. Nishizeki, N. Chiba (1988). Planar graphs: theory and algorithms. Amsterdam: Elsevier. ISBN 978-0-444-70212-8. 
Ralph W. Oberste-Vorth, Bonita A. Lawrence, Aristides Mouzakitis (2012). Bridge to Abstract Mathematics. Washington DC: Mathematical Association of America. ISBN 9780883857793. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)
Tomáš Roubíček (2005). Nonlinear Partial Differential Equations with Applications. Basel: Springer. ISBN 978-3-7643-7293-4. 
T. B. Rushing (1973). Topological embeddings. New York: Academic Press. ISBN 9786611984113. 


== Eksterne lenker ==
(en) Eric W. Weisstein, Embedding i MathWorld.