Målrom

Et målrom er en trippel av en mengde, en σ-algebra og et ikke-negativt mål på de ulike delmengdene gitt ved σ-algebraen. Mengden kan for eksempel være de reelle tallene. σ-algebra gir en måte å dele opp disse i ulike delmengder, for eksempel intervaller. 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
   er en måte å tilordne et mål på hver delmengde i σ-algebraen, for eksempel lengden av hvert intervall.
Målrom et basiskonsept innen målteori, og generaliserer konsepter som lengde, areal og volum fra euklidsk geometri.


== Definisjon ==
En mengde er innen matematikk en veldefinert samling av objekter. En σ-algebra er videre en familie 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
   av delmengder i en gitt mengde 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
   slik at

  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
   er ikke tom.
Lukket under komplement: Hvis 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   er med i 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
   så er komplementet 
  
    
      
        
          A
          
            c
          
        
        =
        X
        ∖
        A
      
    
    {\displaystyle A^{c}=X\setminus A}
   også være med i 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  
Lukket under tellbare unioner: Hvis 
  
    
      
        (
        
          A
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle (A_{n})_{n=1}^{\infty }}
   er en samling av mengder i 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
   er også unionen 
  
    
      
        
          ∪
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          A
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \cup _{n=1}^{\infty }A_{n}}
   med i 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  og et mål 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
   på er en utvidet reell funksjon slik at

  
    
      
        μ
        (
        A
        )
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle \mu (A)\geq 0}
   for alle 
  
    
      
        A
        ∈
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
  

  
    
      
        μ
        (
        ∅
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mu (\emptyset )=0}
  
Dersom 
  
    
      
        
          A
          
            1
          
        
        ,
        
          A
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle A_{1},A_{2},...}
   er en følge av parvis disjunkte delmengder av 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  , altså slik at 
  
    
      
        
          A
          
            i
          
        
        ∩
        
          A
          
            j
          
        
        =
        ∅
      
    
    {\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\emptyset }
   for 
  
    
      
        i
        ≠
        j
      
    
    {\displaystyle i\neq j}
  , så er

  
    
      
        μ
        
          
            (
          
        
        
          ∪
          
            n
          
        
        
          A
          
            n
          
        
        
          
            )
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
          
        
        μ
        (
        
          A
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mu {\Big (}\cup _{n}A_{n}{\Big )}=\sum _{n}\mu (A_{n})}
  .En trippel 
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        
          
            A
          
        
        ,
        μ
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}
   kalles for et målrom.


== Egenskaper ==
Et målrom sies å være komplett dersom alle delmengder av alle 
  
    
      
        A
        ∈
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
   med mål 0 også er i 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  ; altså dersom 
  
    
      
        A
        ∈
        
          
            A
          
        
        ,
        μ
        (
        A
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A\in {\mathcal {A}},\mu (A)=0}
   og 
  
    
      
        B
        ⊂
        A
      
    
    {\displaystyle B\subset A}
  , så er 
  
    
      
        B
        ∈
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle B\in {\mathcal {A}}}
  . Ethvert målrom kan alltid utvides til et komplett målrom.


== Eksempel ==
La 
  
    
      
        Ω
        =
        {
        0
        ,
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \Omega =\{0,1\}}
  , og 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
   potensmengden til 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  , altså

  
    
      
        
          
            A
          
        
        =
        {
        ∅
        ,
        {
        0
        }
        ,
        {
        1
        }
        ,
        {
        0
        ,
        1
        }
        }
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}=\{\emptyset ,\{0\},\{1\},\{0,1\}\}}
  .Definer 
  
    
      
        μ
      
    
    {\textstyle \mu }
   til å være

  
    
      
        μ
        (
        {
        0
        }
        )
        =
        μ
        (
        {
        1
        }
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ;
        
        μ
        (
        ∅
        )
        =
        0
        ;
        
        μ
        (
        Ω
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \mu (\{0\})=\mu (\{1\})={\frac {1}{2}};\qquad \mu (\emptyset )=0;\qquad \mu (\Omega )=1}
  Trippelen 
  
    
      
        (
        Ω
        ,
        
          
            A
          
        
        ,
        μ
        )
      
    
    {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}
   er et målrom, og mer nøyaktig et sannsynlighetsrom, siden 
  
    
      
        μ
        (
        Ω
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \mu (\Omega )=1}
  .


== Referanser ==


== Litteratur ==
John. N McDonald og Neil A. Weiss (2013). A Course in Real Analysis. Elsevier. ISBN 978-0-123-87774-1.