Tetraedertall

Tetraedertall er i aritmetikken en følge av positive heltall som angir hvor mange kuler eller baller som kan stables sammen til et  regulært tetraeder. Da det er definert ut fra en slik geometrisk figur, utgjør de en egen klasse av figurtall.  
Det n-te tetraedertallet betegnes ofte ved Tn  der n betegner antall kuler i tetraederet sidekant. Bortsett fra en enkel kule som tilsvarer T1 = 1, er det minste tetraedertallet T2 = 4 som består av tre kuler arrangert som en likesidet trekant med en ekstra kule plassert  i gropen som de tre underliggende kulene danner. På tilsvarende vis finnes de minste tetraedertallene å være

1, 4, 10, 20, 35, 56, 84, 120, 165, 220, 286, 364, 455, 560, 680, 816, 969, 1140, 1330, 1540, 1771, 2024, ...Hvert slikt tetraeder består av n lag med kuler arrangert som regulære triangel med sidekanter som øker fra 1 til n. Det betyr at man kan betrakte hvert tetraedertall som en sum av de n første trekanttallene.
Da et tetraeder er en pyramide med en trekantet grunnflate, utgjør også tetraedertallene en klasse av de mer generelle pyramidetallene basert på pyramider med andre, regulære polygoner som grunnflate. Videre kan et tetraeder også betraktes som en utvidelse av den likesidete trekanten til en tredje dimensjon. Denne utvidelsen kan fortsettes til høyere dimensjoner og på den måten danne simplekser. Derfor kan man si at tetraedertallene er en klasse i denne mye større gruppen av simplekstall basert på slike abstrakte polytoper som er vanskelig å forestille seg.


== Aritmetiske egenskaper ==
Man kan bygge et tetraeder med Tn  kuler fra et mindre tetraeder med Tn - 1  kuler ved å plassere dette på et regulært triangel  med  n kuler i hver sidekant og derfor inneholdende trekanttallet Δn  kuler i alt. Derfor har man rekursjonsformelen

  
    
      
        
          
            
              
                
                  T
                  
                    n
                  
                
              
              
                
                =
                
                  T
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
                +
                
                  Δ
                  
                    n
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  Δ
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  Δ
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  Δ
                  
                    3
                  
                
                +
                ⋯
                +
                
                  Δ
                  
                    n
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}&=T_{n-1}+\Delta _{n}\\&=\Delta _{1}+\Delta _{2}+\Delta _{3}+\cdots +\Delta _{n}\end{aligned}}}
  Da det k-te trekanttallet er Δk = k(k + 1)/2, er det n-te tetraedertallet

  
    
      
        
          
            
              
                
                  T
                  
                    n
                  
                
              
              
                
                =
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    n
                  
                
                
                  Δ
                  
                    k
                  
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    n
                  
                
                
                  k
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    1
                  
                  
                    n
                  
                
                k
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    6
                  
                
                
                  n
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  n
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    3
                  
                
                n
                =
                
                  
                    1
                    6
                  
                
                n
                (
                n
                +
                1
                )
                (
                n
                +
                2
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}T_{n}&=\sum _{k=1}^{n}\Delta _{k}={1 \over 2}\sum _{k=1}^{n}k^{2}+{1 \over 2}\sum _{k=1}^{n}k\\&={1 \over 6}n^{3}+{1 \over 2}n^{2}+{1 \over 3}n={1 \over 6}n(n+1)(n+2)\end{aligned}}}
  Dette resultatet  kan også verifiseres ved matematisk induksjon som sees fra

  
    
      
        
          
            
              
                
                  T
                  
                    n
                    +
                    1
                  
                
              
              
                
                =
                
                  T
                  
                    n
                  
                
                +
                
                  Δ
                  
                    n
                    +
                    1
                  
                
                =
                
                  
                    1
                    6
                  
                
                n
                (
                n
                +
                1
                )
                (
                n
                +
                2
                )
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                (
                n
                +
                1
                )
                (
                n
                +
                2
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    6
                  
                
                (
                n
                +
                1
                )
                (
                n
                +
                2
                )
                (
                n
                +
                3
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}T_{n+1}&=T_{n}+\Delta _{n+1}={1 \over 6}n(n+1)(n+2)+{1 \over 2}(n+1)(n+2)\\&={1 \over 6}(n+1)(n+2)(n+3)\end{aligned}}}
  Da formelen for det n-te tetraedertallet er riktig for n = 2 hvor den gir T2 = 4, vil den derfor være riktig for n + 1 og så videre.


== Simplekstall ==

Mens den likesidete trekanten kan betraktes som et 2-simpleks, er tetraederet et 3-simpleks. Trekanttallene og tetraedertallene kan derfor leses direkte ut fra Pascals trekant hvor de opptrer i tredje og fjerde, loddrette linjer. Til og med de naturlige tallene i andre linje kan betraktes som tokanttall hvor de to sidene i tokanten er falt  sammen til å gi et linjestykke.
Da elementene i Pascals trekant er gitt ved binomialkoeffisienter, kan trekanttallene skrives som

  
    
      
        
          Δ
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              (
            
            
              
                n
                +
                1
              
              2
            
            
              )
            
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        n
        (
        n
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta _{n}={n+1 \choose 2}={1 \over 2}n(n+1)}
  ,mens tetraedertallene er

  
    
      
        
          T
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              (
            
            
              
                n
                +
                2
              
              3
            
            
              )
            
          
        
        =
        
          
            1
            6
          
        
        n
        (
        n
        +
        1
        )
        (
        n
        +
        2
        )
      
    
    {\displaystyle T_{n}={n+2 \choose 3}={1 \over 6}n(n+1)(n+2)}
  At disse kan skrives som en sum av trekanttall, tilsvarer identiteten

  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              
                n
                +
                2
              
              3
            
            
              )
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              
                k
                +
                1
              
              2
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {n+2 \choose 3}=\sum _{k=1}^{n}{k+1 \choose 2}}
  som er kjent fra de generelle egenskapene til binomialkoeffisientene.
Et tetraeder kan utvides til et 4-simpleks ved å legge til en ekstra kule i en fjerde dimensjon slik at denne har samme avstand til de fire hjørnene i det opprinnelige 3-simplekset. Denne regulære polytopen kan dermed tilordnes et n-te simplekstall P4(n) gitt ved rekursjonsformelen

  
    
      
        
          P
          
            4
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          P
          
            4
          
        
        (
        n
        −
        1
        )
        +
        
          P
          
            3
          
        
        (
        n
        )
      
    
    {\displaystyle P_{4}(n)=P_{4}(n-1)+P_{3}(n)}
  der P3(n) er tetraedertallet Tn  i den samme simpleksnotasjonen. Dermed kan 4-simplekstallet P4(n) skrives som en sum over tetraedertall,

  
    
      
        
          P
          
            4
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              
                k
                +
                2
              
              3
            
            
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              (
            
            
              
                n
                +
                3
              
              4
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{4}(n)=\sum _{k=1}^{n}{k+2 \choose 3}={n+3 \choose 4}}
  Tilsvarende relasjoner kan finnes for det n-te simplekstallet Pd (n) i d dimensjoner som dermed generelt tar formen

  
    
      
        
          P
          
            d
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          
            
              (
            
            
              
                n
                +
                d
                −
                1
              
              d
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{d}(n)={n+d-1 \choose d}}
  Det kan leses direkte ut av Pascals trekant som tallene i (d+1)-te loddrette linje fra venstre.


== Litteratur ==
J.H. Conway and R.K. Guy, The Book of Numbers, Springer-Verlag, New York (1996). ISBN 978-1-4612-8488-8.E. Deza and M.M.  Deza (2012), Figurate Numbers,  World Scientific, Singapore (2012). ISBN 978-981-4355-48-3; Figurate numbers: Presentation of a Book.