Ampères kraftlov

Ampères kraftlov beskriver den magnetiske kraften mellom to strømførende, ledere. Den ble først formulert av André-Marie Ampère som ville forklare alle magnetiske fenomen som direkte krefter mellom elektrisk strømmer. Da disse under stasjonære forhold går i lukkete kretser, kunne Hermann Grassmann senere vise at loven kunne forenkles ved å innføre et magnetisk felt beskrevet ved Biot-Savarts lov. Dette feltet skapes av den ene strømmen og utøver en kraft på den andre.
For en elektrisk ledning som fører en strøm I  og befinner seg i et magnetisk felt B, kan loven dermed formuleres på en enkel, matematisk måte ved å betrakte et lite stykke d s av ledningen. Kraften som virker på dette linjestykket, kan da skrives som

  
    
      
        d
        
          F
        
        =
        I
        d
        
          s
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle d\mathbf {F} =Id\mathbf {s} \times \mathbf {B} }
  når den uttrykkes ved det vektorielle kryssproduktet. Den oppfyller derfor høyrehåndsregelen slik at kraften står vinkelrett både på linjestykket og magnetfeltet. Totalkraften som virker på ledningen, finnes da ved å integrere over hele dens lengde.
I dag betraktes Ampères kraftlov som en direkte konsekvens av den mer fundamentale Lorentz-kraften, som beskriver hvordan en elektrisk ladning påvirkes av et magnetisk felt.


== Rette ledere ==
En rett ledning i et konstant magnetfelt gir det enkleste eksempel på bruk av Ampères kraftlov. Har ledningen lengde L, fører strømmen I  og danner den konstante vinkelen θ med B-feltet, er den påvirket av en magnetisk kraft med størrelse

  
    
      
        F
        =
        I
        L
        B
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle F=ILB\sin \theta }
  og med retning vinkelrett både til ledningen og feltet.Hvis magnetfeltet er skapt av en annen, uendelig lang og rett ledning som fører strømmen I' , vil det fra Biot-Savarts lov følge at feltet står normalt på denne og med størrelse B = μ0I' /2π r i en avstand r. Her er μ0 den magnetiske konstanten i SI-systemet for måleenheter. Hvis nå ledningen med lengde L er parallell med den som fører strømmen I'  og i en avstand r = a, vil den bli utsatt for en kraft per lengdeenhet

  
    
      
        
          
            F
            L
          
        
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              I
              
                I
                ′
              
            
            
              2
              π
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {F \over L}={\mu _{0}II' \over 2\pi a}}
  da vinkelen θ = 90° i dette tilfellet. Går de to strømmene i samme retning, er kraften tiltrekkende. Reverseres den ene strømmen, blir kraften frastøtende. Dette resultatet er i SI-systemet benyttet til å definere enheten ampere for strømstyrke.


== Strømsløyfer ==
Under stasjonære forhold sier kontinuitetsligningen for elektrisk strøm gjennom en ledning at den beveger seg i en sløyfe som danner en lukket kurve. Kalles den C1 og fører strømmen I 1, uttrykker Ampères kraftlov hvordan denne blir påvirket av strømmen I 2 i en annen, lukket sløyfe C2.
Ifølge Biot-Savarts lov er det magnetiske feltet i et punkt r1 skapt av denne strømmen I 2 gitt ved linjeintegralet

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              
                I
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∮
          
            
            
              C
              
                2
              
            
          
        
        
        
          
            
              d
              
                
                  s
                
                
                  2
                
              
              ×
              (
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} _{1})={\frac {\mu _{0}I_{2}}{4\pi }}\oint _{\!C_{2}}\!{d\mathbf {s} _{2}\times (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}) \over |\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}
  hvor posisjonsvektoren r2 angir punkt langs kurven C2 som består av differensielle linjestykker d s2. Den totale, magnetiske kraften på strømmen I 1 i sløyfen C1 er dermed

  
    
      
        
          
            F
          
          
            1
          
        
        =
        
          I
          
            1
          
        
        
          ∮
          
            
            
              C
              
                1
              
            
          
        
        
        d
        
          
            s
          
          
            1
          
        
        ×
        
          B
        
        (
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          I
          
            1
          
        
        
          I
          
            2
          
        
        
          ∮
          
            
            
              C
              
                1
              
            
          
        
        
        
          ∮
          
            
            
              C
              
                2
              
            
          
        
        
        
          
            
              d
              
                
                  s
                
                
                  1
                
              
              ×
              [
              d
              
                
                  s
                
                
                  2
                
              
              ×
              (
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
              )
              ]
            
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{1}=I_{1}\oint _{\!C_{1}}\!d\mathbf {s} _{1}\times \mathbf {B} (\mathbf {r} _{1})={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I_{1}I_{2}\oint _{\!C_{1}}\!\oint _{\!C_{2}}\!{d\mathbf {s} _{1}\times [d\mathbf {s} _{2}\times (\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2})] \over |\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}
  hvor posisjonene angitt ved vektoren r1 beskriver denne kurven. Det dobbelte vektorproduktet i telleren kan nå forenkles vd å bruke identiteten

  
    
      
        
          A
        
        ×
        (
        
          B
        
        ×
        
          C
        
        )
        =
        (
        
          A
        
        ⋅
        
          C
        
        )
        
          B
        
        −
        (
        
          A
        
        ⋅
        
          B
        
        )
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \times (\mathbf {B} \times \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} )\mathbf {B} -(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} }
  Ved å innføre den relative posisjonsvektoren r = r1 - r2, splittes dermed dobbeltintegralet i to deler,

  
    
      
        
          
            F
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          I
          
            1
          
        
        
          I
          
            2
          
        
        
          ∮
          
            
            
              C
              
                1
              
            
          
        
        
        
          ∮
          
            
            
              C
              
                2
              
            
          
        
        
        
          (
          
            
              
                
                  (
                  d
                  
                    
                      s
                    
                    
                      1
                    
                  
                  ⋅
                  
                    r
                  
                  )
                  d
                  
                    
                      s
                    
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  r
                  
                    3
                  
                
              
            
            −
            
              
                
                  (
                  d
                  
                    
                      s
                    
                    
                      1
                    
                  
                  ⋅
                  d
                  
                    
                      s
                    
                    
                      2
                    
                  
                  )
                  
                    r
                  
                
                
                  r
                  
                    3
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{1}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I_{1}I_{2}\oint _{\!C_{1}}\!\oint _{\!C_{2}}\!\left({(d\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {r} )d\mathbf {s} _{2} \over r^{3}}-{(d\mathbf {s} _{1}\cdot d\mathbf {s} _{2})\mathbf {r}  \over r^{3}}\right)}
  Men her vil den første delen gi null etter integrasjonen rundt C1. Det følger fra observasjonen at

  
    
      
        
          
            
              d
              
                
                  s
                
                
                  1
                
              
              ⋅
              
                r
              
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
        =
        −
        d
        
          
            s
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          
            ∇
          
          
            1
          
        
        
          (
          
            
              1
              r
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {d\mathbf {s} _{1}\cdot \mathbf {r}  \over r^{3}}=-d\mathbf {s} _{1}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}_{1}\left({1 \over r}\right)}
  slik at det er et eksakt differensial som gir null under integrasjon rundt en lukket kurve. Det endelige resultatet for den magnetiske kraften som virker på strømsløyfe C1 blir dermed

  
    
      
        
          
            F
          
          
            1
          
        
        =
        −
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          I
          
            1
          
        
        
          I
          
            2
          
        
        
          ∮
          
            
            
              C
              
                1
              
            
          
        
        
        
          ∮
          
            
            
              C
              
                2
              
            
          
        
        
         
        (
        d
        
          
            s
          
          
            1
          
        
        ⋅
        d
        
          
            s
          
          
            2
          
        
        )
        
        
          
            
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
            
            
              
                |
              
              
                
                  r
                
                
                  1
                
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  2
                
              
              
                
                  |
                
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{1}=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I_{1}I_{2}\oint _{\!C_{1}}\!\oint _{\!C_{2}}\!\ (d\mathbf {s} _{1}\cdot d\mathbf {s} _{2})\,{\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2} \over |\mathbf {r} _{1}-\mathbf {r} _{2}|^{3}}}
  Dette kan sies å være den moderne utgave av Ampères lov for kraften mellom strømførende kretser. Den er symmetrisk i de to strømmene og oppfyller Newtons tredje lov, F1 = - F2. Det vil si at den magnetiske kraften som strømmen I 2 utøver på strømmen I 1 er like stor og motsatt rettet som kraften som virker på I 2 forårsaket av I 1.
Fra samme formel følger også at en strømførende sløyfe ikke blir utsatt for noen kraft av magnetfeltet som den selv skaper. Det tilsvarer at en elektrisk ladningsfordeling ikke blir påvirket av sitt eget elektriske felt.


=== Parallelle ledninger ===
En uendelig lang, rett ledning kan betraktas som en del av en lukket kurve hvor strømmen kommer tilbake til utgangspunktet langs en del om ligger uendelig langt vekk og derfor ikke bidrar på noen måte. Hvis man betrakter to slike parallelle ledninger med gjensidig avstand a, kan kraften nå lett finnes fra den generelle formelen som viser at den ligger i planet med ledningene og står vinkelrett på disse. Nå vil man ha |r1 - r2| = (a2 + s22)1/2 og (d s1⋅d s2) = ds1 ds2. Kraften mellom ledningene følger da fra dobbeltintegralet

  
    
      
        
          F
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          I
          
            1
          
        
        
          I
          
            2
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        
          s
          
            1
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        
          s
          
            2
          
        
        
          
            a
            
              (
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                s
                
                  2
                
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{1}={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}I_{1}I_{2}\int _{-\infty }^{\infty }\!ds_{1}\int _{-\infty }^{\infty }\!ds_{2}{a \over (a^{2}+s_{2}^{2})^{3/2}}}
  som er attraktiv når begge strømmene har samme retning. Den første integrasjonen er proporsjonal med lengden L av ledningen, mens den andre følger fra det ubestemte integralet

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              (
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                x
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        
          
            x
            
              (
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                x
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  1
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int {dx \over (a^{2}+x^{2})^{3/2}}={1 \over a^{2}}{x \over (a^{2}+x^{2})^{1/2}}}
  Resultatet kan uttrykkes ved kraft per lengdeenhet som er

  
    
      
        
          
            
              F
              
                1
              
            
            L
          
        
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              
                I
                
                  1
                
              
              
                I
                
                  2
                
              
            
            
              2
              π
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {F_{1} \over L}={\mu _{0}I_{1}I_{2} \over 2\pi a}}
  i overensstemmelse med beregningen basert på det skapte magnetfeltet.


== Historisk utvikling ==
Etter at Ørsted sommeren 1820 bekjentgjorde sin oppdagelse av hvordan en elektrisk strøm kan utøve en magnetisk kraft, gikk flere av de mest sentrale vitenskapsmenn ved Det franske vitenskapsakademiet i Paris i gang med å studere dette nye fenomenet. Denne store interessen ble snart konsentrert rundt Ampère og en gruppe bestående av  Biot og Savart. Mye av det teoretiske grunnlaget for deres undersøkelser var allerede lagt av Laplace. Han hadde i lengre tid at alle fundamentale krefter i naturen måtte kunne beskrives ved sentrale krefter som avtok omvendt proporsjonalt med avstanden på samme måte som Newtons lov for tyngdekraften. Denne tankegangen kom derfor til å prege utformingen av de nye lovene for den magnetiske kraften. Denne antagelsen ble også snart styrket da den forklarte at kraften utenfor en lang, rett leder avtok omvendt proporsjonalt med avstandenMed denne bakgrunnen kunne Biot og Savart snart sammenfatte sine observasjoner i det som i dag kalles Biot-Savarts lov for det magnetiske feltet. Den er i overensstemmelse med hva som kvalitativt allerede var formulert som Ørsteds lov, men matematisk mer presis. De analyserte sine målinger ut fra et bilde hvor strømmen i en leder gjorde den magnetisk slik at den kunne påvirke andre magneter som befant seg utenfor ledningen.
Ampère derimot var overbevist om at alle magnetiske krefter skyldes vekselvirkninger mellom elektriske strømmer. For eksempel skulle det jordmagnetiske feltet skyldes strømmer i Jordens indre, mens de magnetiske egenskapene til en stavmagnet var de samme som for en strømspole. På samme måte skulle en permanent magnet bestå av et stort antall mikroskopiske strømsløyfer som var orienterte i den samme retning. Han anså derfor loven for kraften mellom to strømsløyfer som den fundamentale forklaringen av alle magnetiske fenomen.


=== Ampères opprinnelige formulering ===
I sin søken etter denne loven var Ampère inspirert av Newtons gravitasjonslov for vekselvirkningen mellom to massepunkt. Denne kraften avtar omvendt proporsjonalt med avstanden og er sentral, det vil at den er rettet langs forbindelseslinjen mellom dem. Kraften mellom større massefordelinger kunne så finnes fra en summasjon eller integrasjon av kreftene mellom enkelte massepunkt. I stedet for massepunkt antok Ampère at den magnetiske vekselvirkningen på samme måte kunne beskrives som en kraft mellom korte linjestykker Id s som de strømførende ledningene kunne deles opp i. Den skulle være sentral og oppfylle Newtons tredje lov om kraft og motkraft som like store og motsatt rettede. Men da strømelementene generelt kunne ha forskjellig orientering i rommet, måtte den nye loven forventes å være mer komplisert.
Det første utkast til loven ble fremlagt allerede i desember 1820. Hvis I1d s1 og I2d s2 er de to strømelementene med posisjoner r1 og r2, vil de danne vinklene θ1 og θ2 med forbindelseslinjen mellom dem gitt ved vektoren r =  r1 -  r2. Utfra teoretiske og eksperimentelle betraktninger hadde Ampère kommet frem til at kraften  måtte ha en størrelse gitt ved

  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
        F
        =
        
          k
          
            m
          
        
        
          
            
              2
              
                I
                
                  1
                
              
              
                I
                
                  2
                
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        d
        
          s
          
            1
          
        
        d
        
          s
          
            2
          
        
        (
        sin
        ⁡
        
          θ
          
            1
          
        
        sin
        ⁡
        
          θ
          
            2
          
        
        cos
        ⁡
        ω
        +
        k
        cos
        ⁡
        
          θ
          
            1
          
        
        cos
        ⁡
        
          θ
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle d^{2}F=k_{m}{2I_{1}I_{2} \over r^{2}}ds_{1}ds_{2}(\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\cos \omega +k\cos \theta _{1}\cos \theta _{2})}
  Her er km en konstant avhengig av hvilket målesystem man benytter. I SI-systemet er km = μ0/4π. Videre er ω den dihedrale vinkelen mellom de to planene som forbindelseslinjen og strømelementene danner. Den første delen av uttrykket dominerer kraften mellom to parallelle element som har, mens den andre gjelder for strømelement som ligger på samme linje og derfor har θ1 = θ2 = 0.  Konstanten k angir deres relative styrke. Opprinnelig mente Ampère at k = 0, men etter et par år med nærmere, eksperimentelle undersøkelser kom han frem til at k = -1/2.I en presentasjon for vitenskapsakademiet i 1822 ga Ampère en ny versjon av sin formel. Ved å innføre vinkelen ε mellom strømelementene  I1d s1 og I2d s2 sier cosinussetningen i sfærisk geometri at

  
    
      
        cos
        ⁡
        ε
        =
        cos
        ⁡
        
          θ
          
            1
          
        
        cos
        ⁡
        
          θ
          
            2
          
        
        +
        sin
        ⁡
        
          θ
          
            1
          
        
        sin
        ⁡
        
          θ
          
            2
          
        
        cos
        ⁡
        ω
      
    
    {\displaystyle \cos \varepsilon =\cos \theta _{1}\cos \theta _{2}+\sin \theta _{1}\sin \theta _{2}\cos \omega }
  Dermed kan loven hans skrives som

  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
        F
        =
        
          k
          
            m
          
        
        
          
            
              2
              
                I
                
                  1
                
              
              
                I
                
                  2
                
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        d
        
          s
          
            1
          
        
        d
        
          s
          
            2
          
        
        (
        cos
        ⁡
        ε
        +
        h
        cos
        ⁡
        
          θ
          
            1
          
        
        cos
        ⁡
        
          θ
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle d^{2}F=k_{m}{2I_{1}I_{2} \over r^{2}}ds_{1}ds_{2}(\cos \varepsilon +h\cos \theta _{1}\cos \theta _{2})}
  hvor h = k - 1. Med k = -1/2 er da h = -3/2. Dette kan betraktes som den endelige form av Ampères magnetiske kraftlov.
Samtidig med dette etablerte Biot og Savart sin lov for det som man i dag kaller det magnetiske feltet. Selv om de hadde et annet, teoretisk utgangspunkt, ble deres resultat styrket ved gjensidig vekselvirkning med medlemmer av gruppen rundt Ampère.


=== Vektornotasjon ===
Ved å innføre mer moderne notasjon basert på vektorer, kan Ampères kraftlov skrives på en form som gjør den mer gjenkjennelig. Da har man at
ds1ds2 cosε = d s1⋅d s2 og på samme måte

  
    
      
        d
        
          s
          
            1
          
        
        cos
        ⁡
        
          θ
          
            1
          
        
        =
        d
        
          
            s
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        ,
        
        
        
        d
        
          s
          
            2
          
        
        cos
        ⁡
        
          θ
          
            2
          
        
        =
        d
        
          
            s
          
          
            2
          
        
        ⋅
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ds_{1}\cos \theta _{1}=d\mathbf {s} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }},\;\;\;ds_{2}\cos \theta _{2}=d\mathbf {s} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}}
  hvor enhetsvektoren 
  
    
      
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        =
        
          r
        
        
          /
        
        r
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} /r}
  . Med h = - 3/2 kan da Ampères lov for kraften som virker på det første linjestykket, skrives som

  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
        
          
            F
          
          
            1
          
        
        =
        −
        
          k
          
            m
          
        
        
          
            
              
                I
                
                  1
                
              
              
                I
                
                  2
                
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        [
        2
        (
        d
        
          
            s
          
          
            1
          
        
        ⋅
        d
        
          
            s
          
          
            2
          
        
        )
        −
        3
        (
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        ⋅
        d
        
          
            s
          
          
            1
          
        
        )
        (
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        ⋅
        d
        
          
            s
          
          
            2
          
        
        )
        ]
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d^{2}\mathbf {F} _{1}=-k_{m}{I_{1}I_{2} \over r^{2}}[2(d\mathbf {s} _{1}\cdot d\mathbf {s} _{2})-3({\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {s} _{1})({\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {s} _{2})]{\hat {\mathbf {r} }}}
  Denne formen gjør tydelig at kraften er rettet langs forbindelseslinjen mellom de to strømelementene. Likedan er den symmetrisk på den måten at kraften på det andre strømelementet er 
  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
        
          
            F
          
          
            2
          
        
        =
        −
        
          d
          
            2
          
        
        
          
            F
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle d^{2}\mathbf {F} _{2}=-d^{2}\mathbf {F} _{1}}
   i overensstemmelse med Newtons tredje lov.


=== Grassmanns modifikasjon ===
I 1845 lanserte den tyske matematik Hermann Grassmann en enklere formulering av den magnetiske kraften mellom to strømelement. Her på pekte han at Ampères lov ga null kraft når disse er parallelle slik at vinkelen ε = 0 og danner vinkelen θ med forbindelseslinjen slik at 2 - 3 cos2θ = 0. Denne kritiske vinkelen har derfor en verdi bestemt ved cos2θ = 2/3 som tilsvarer at cos 2θ = 1/3. Det betyr at θ = 35°. Har vinkelen mellom strømelementene en verdi mindre enn denne, ville de frastøte hverandre og omvendt for større vinkler. Grassmann mente at en fundamental naturkraft ikke kunne ha en slik egenskap.
På denne tiden hadde han utviklet en ny geometrisk algebra som i våre dager vanligvis omtales som ytre algebra. Her inngikk et antisymmetrisk vektorprodukt som senere viste seg å tilsvare det vektorielle kryssproduktet. Ved bruk av dette kunne han skrive sin alternative kraftlov ved bruk av moderne vektornotasjon som

  
    
      
        
          d
          
            2
          
        
        
          
            F
          
          
            1
          
        
        =
        
          k
          
            m
          
        
        
          
            
              
                I
                
                  1
                
              
              
                I
                
                  2
                
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        d
        
          
            s
          
          
            1
          
        
        ×
        (
        d
        
          
            s
          
          
            2
          
        
        ×
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        )
        =
        −
        
          k
          
            m
          
        
        
          
            
              
                I
                
                  1
                
              
              
                I
                
                  2
                
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        [
        (
        d
        
          
            s
          
          
            1
          
        
        ⋅
        d
        
          
            s
          
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        −
        (
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        ⋅
        d
        
          
            s
          
          
            1
          
        
        )
        d
        
          
            s
          
          
            2
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle d^{2}\mathbf {F} _{1}=k_{m}{I_{1}I_{2} \over r^{2}}d\mathbf {s} _{1}\times (d\mathbf {s} _{2}\times {\hat {\mathbf {r} }})=-k_{m}{I_{1}I_{2} \over r^{2}}[(d\mathbf {s} _{1}\cdot d\mathbf {s} _{2}){\hat {\mathbf {r} }}-({\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {s} _{1})d\mathbf {s} _{2}]}
  Denne  magnetiske kraften virker alltid vinkelrett på strømelementet. I tillegg gir den ingen vekselvirkning  mellom to kollineære strømelement. Og det var det Ampère opprinnelig hadde forventet fra sin egen formulering.
Men kraften er ikke lenger antisymmetrisk i de to strømelementene slik at Newtons tredje lov derfor ikke er oppfylt. Dette synes ikke å ha vært noe problem for Grassmann. Derimot var det viktigere for han at når man integrerte all bidragene som virket på det første strømelementet, så ga uttrykket hans det samme resultatet som formelen til Ampère. 
Matematisk henger det sammen med at

  
    
      
        
          ∮
          
            
              C
              
                2
              
            
          
        
        
          
            3
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        (
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        ⋅
        d
        
          
            s
          
          
            1
          
        
        )
        (
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        ⋅
        d
        
          
            s
          
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        =
        
          ∮
          
            
              C
              
                2
              
            
          
        
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        [
        (
        d
        
          
            s
          
          
            1
          
        
        ⋅
        d
        
          
            s
          
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        +
        (
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        ⋅
        d
        
          
            s
          
          
            1
          
        
        )
        d
        
          
            s
          
          
            2
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \oint _{C_{2}}{3 \over r^{2}}({\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {s} _{1})({\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {s} _{2}){\hat {\mathbf {r} }}=\oint _{C_{2}}{1 \over r^{2}}[(d\mathbf {s} _{1}\cdot d\mathbf {s} _{2}){\hat {\mathbf {r} }}+({\hat {\mathbf {r} }}\cdot d\mathbf {s} _{1})d\mathbf {s} _{2}]}
  som igjen skyldes at et eksakt differensial ikke bidrar under en lukket sløyfeintegrasjon.
Og da det er denne integrerte kraften som tilsvarer hva man kan observere laboratoriet, ville det ikke være mulig å skille mellom disse to formuleringene ved direkte målinger.
I Grassmanns formulering kan man benytte  Biot-Savarts lov og innføre det magnetiske feltet

  
    
      
        d
        
          B
        
        (
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        )
        =
        
          k
          
            m
          
        
        
          I
          
            2
          
        
        
          
            
              d
              
                
                  s
                
                
                  2
                
              
              ×
              
                
                  
                    
                      r
                    
                    ^
                  
                
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d\mathbf {B} (\mathbf {r} _{1})=k_{m}I_{2}{d\mathbf {s} _{2}\times {\hat {\mathbf {r} }} \over r^{2}}}
  som det andre strømelementet I2d s2 skaper i posisjon r1 til det første elementet. Ved bruk av samme notasjon blir dette derfor utsatt for en tilsvarende kraft som lar seg skrive som
d 2F1(r1)  = I1d s1 × d B(r1). Ved integrasjon over den andre strømsløyfen C2, kan dermed totalkraften som virker på strømelementet I1d s1 skrives som

  
    
      
        d
        
          
            F
          
          
            1
          
        
        =
        
          I
          
            1
          
        
        d
        
          
            s
          
          
            1
          
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle d\mathbf {F} _{1}=I_{1}d\mathbf {s} _{1}\times \mathbf {B} }
  hvor nå B er det total magnetfeltet som den andre strømsløyfen skaper i posisjonen til det første elementet. Dette resultatet vil nå også følge fra Ampères opprinnelige formulering. Han hadde tidligere funnet uttrykket uten å ville se noe fysisk innhold av det som her er det magnetiske feltet. Denne størrelsen omtalte han derimot som en direktrise som kunne tilordnes enhver strømsløyfe og hadde visse interessante, matematiske egenskaper.


=== Maxwells syntese ===
I de følgende årene forble arbeidet til Grassmann i stor grad oversett. Derimot fortsatte mange andre som Gauss, Weber, Riemann og Clausius å utvikle alternative beskrivelser av den magnetiske kraften. Disse anstrengelsene bygde i stor grad på Ampères formulering, men førte ikke til noen videre forståelse.Situasjonen ble første avklart av Maxwell rundt 1870. Han viste at det finnes en uendelighet av forskjellige kraftlover for vekselvirkningenen mellom to strømelement som alle vil gi den samme totalkraften ved integrasjon. Det er ikke fysisk meningsfullt å diskutere direkte vekselvirkninger mellom isolerte strømelement. Kun den totale kraften skapt av en lukket strømsløyfe er veldefinert og kan uttrykkes ved det magnetiske feltet den forårsaker og bestemt ved Biot-Savarts lov. Likedan kan ikke denne kraften lokaliseres til å virke i bestemte punkt langs en ledning. Det er bare den totale kraften på en hel strømsløyfe som er fysisk meningsfull og kan bestemmes eksperimentelt. I alminnelighet kan den skrives som

  
    
      
        
          F
        
        =
        I
        ∮
        
        d
        
          s
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =I\oint \!d\mathbf {s} \times \mathbf {B} }
  Når magnetfeltet er skapt av en annen strømsløyfe, vil totalkreftene som virker på dem, være like store og motsatt rettet i overensstemmelse med Newtons tredje lov.


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
C. Blondel and B. Wolff, CNRS, In Search of a Newtonian Law of Electrodynamics (1820-1826), magnetiske krefter i et historisk perspektiv.
K. McDonald, Princeton University, Magnetic fields doing work, lecture note.