John Wallis

John Wallis (født 23. november 1616 i Ashford, død 28. oktober 1703 i Oxford) var en engelsk teolog og matematiker. Han var en av grunnleggerne av vitenskapsselskapet Royal Society.
Samtidig med Isaac Newton var han med på å utvikle differensialregning, og han innførte symbolet ∞ for det uendelige i matematikken. I tillegg var han anerkjent som en dyktig kryptograf og spilte en viktig rolle i de indre stridighetene i England på 1600-tallet. 


== Biografi ==
Faren til John Wallis var prest i Ashford i Kent. Han lærte seg tidlig både latin, gresk og hebraisk. Interessen for matematikk fikk han ved å lese en bok om aritmetikk som tilhørte hans eldre bror. Som 16-åring begynte han å studere teologi ved Universitetet i Cambridge. Da matematikk på den tiden ikke var betraktet av særlig betydning, fulgte han forelesninger i mange andre felt og da spesielt legevitenskap. Etter å ha mottatt en MA-grad i 1640, fikk han mindre stillinger som prest forskjellige steder.På denne tiden brøt den engelske borgerkrigen ut mellom parlamentarianerne og rojalistene. Wallis var på parti med dem som ville kvitte seg med styret under Charles I og utmerket seg tidlig ved at han kunne tyde krypterte meldinger fra rojalistene. Dette styrket hans innflytelse blant parlamentarianerne. 
Gjennom forelesningene og læreboken Clavis Mathematicae til William Oughtred ble han stadig mer opptatt av matematikk. Snart begynte han å utlede nye resultat som økte hans anseelse enda mer. På denne tiden i London tilhørte han en gruppe av lærde som var opptatt av naturvitenskap og som senere skulle utgjøre begynnelsen til  Royal Society. Selv om han hadde satt seg imot henrettelsen av Charles I i 1649, ble han samme år utnevnt til professor i geometri ved Universitetet i Oxford med støtte fra parlamentarianerne og Oliver Cromwell. Samtidig fikk han den viktige stillingen som arkivar for hele universitetet, noe som ga han stor innflytelse.Wallis ble i Oxford resten av sitt liv. Etter restaurasjonen i 1660 av Charles II som ny konge, gikk Wallis inn i rollen som dennes hoffprest.  I årene som fulgte bidro han til oversettelse av vitenskapelige verk fra antikkens Hellas samt nye tanker om teologi og logikk. I tillegg skrev han en engelsk grammatikk Grammatica linguae Anglicanae hvor han også tok opp flere filosofiske spørsmål.
Han er likevel best husket for arbeidene han bidro med til utviklingen av infinitesimalregningen på denne tiden. Den var basert på bruk av uendelig små størrelser eller infinitesimaler, men fremgangsmåten ble møtt med kritikk fra mange hold. Mest kjent er kanskje diskusjonene med Thomas Hobbes. Wallis ble derfor en omstridt person, men er likevel i ettertid vurdert som en av de største matematikere England hadde på den tiden.


== Matematiske bidrag ==
Det var et arbeid om kjeglesnitt i 1655 som gjorde Wallis først kjent som matematiker. Med utgangspunkt i analytisk geometri som tidligere formulert av Descartes, viste han at disse kunne beskrives ved andregradsligninger i to variable. Avhengig av størrelsene på koeffisientene i denne, vil ligningen beskrive en ellipse, hyperbel eller parabel. Tidligere var disse kurvene definert ved rent geometriske konstruksjoner.


=== Infinitesimalregning ===

Året etter i 1656 publiserte han kanskje sitt viktigste verk, Arithmetica Infinitorum hvor han videreutviklet infinitesimalregning basert på uendelig små størrelser. Tidligere hadde spesielt italienske matematikere brukt geometriske betraktninger til å utlede formler for areal under kurver med den analytiske formen y = xm. I moderne notasjon tilsvarer det integralet

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            a
          
        
        
        d
        x
        
          x
          
            m
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                m
                +
                1
              
            
            
              m
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{a}\!dxx^{m}={a^{m+1} \over m+1}}
  Wallis kom frem til samme resultat rent algebraisk ved å addere sammen uendelig mange små bidrag på en systematisk måte. Det var i denne forbindelse at han innførte symbolet ∞ for det uendelige store tall. Hvis man adderer ∞ mange infinitesesimalt små bidrag hver med størrelse 1/∞, kan resultatet ∞/∞ likevel være et endelig tall.Uten å kunne gi noen endelige bevis argumenterte Wallis for at formelen til integralet skal også være gyldig for negative verdier av eksponenten m, det vil si at man skal ha likheten  x -n = 1/xn. Likedan skal den gjelde når eksponenten er en brøk,  det vil si m = p/q. Når m = 1/2, er x1/2 det samme som kvadratroten √x. Bare tilfellet m = -1 lot seg ikke analysere på denne måten.
Selv om disse betraktningene var lite fundert og mer basert på intuisjon, viste de seg senere å være riktige. Dette er desto mer overraskende da Wallis hadde en oppfatning av negative tall som er i motstrid med dagens syn. Han mente at de representerte noe som er større enn uendelig og ikke noe mindre enn ingenting som er vanlig. Det tilsvarer den normale plasseringen av dem til venstre på tallinjen.


=== Wallis' formel ===

Med sin nye beregningsmetode ville Wallis beregne arealet av sirkelen y 2 = x -  x 2. Den har radius 1/2 og derfor omslutter arealet A = π /4. Formelt skal dette følge fra integralet

  
    
      
        
          I
          
            n
          
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
        d
        x
        (
        x
        −
        
          x
          
            2
          
        
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{n}=\int _{0}^{1}\!dx(x-x^{2})^{n}}
  for n = 1/2. Wallis var ikke kjent med binomialformelen som først ble utviklet av Newton noen få år senere. Han kunne derfor kun beregne integralet for heltallige verdier av eksponenten n. Ved en utspekulert interpolasjon av disse verdiene kom han så frem til et resultat for n = 1/2. På den måten fant han sin berømte formel

  
    
      
        
          
            π
            2
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                2
              
            
            
              1
              ⋅
              3
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              4
              
                2
              
            
            
              3
              ⋅
              5
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              6
              
                2
              
            
            
              5
              ⋅
              7
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              8
              
                2
              
            
            
              7
              ⋅
              9
            
          
        
        ⋅
        
        ⋯
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}={\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\cdot {\frac {4^{2}}{3\cdot 5}}\cdot {\frac {6^{2}}{5\cdot 7}}\cdot {\frac {8^{2}}{7\cdot 9}}\cdot \;\cdots }
  som han i all ettertid vil bli husket for. Den har mer teoretisk enn praktisk interesse da man må ta med veldig mange ledd i produktet for å få en nøyaktig verdi for π.
I dette arbeidet undersøkte også Wallis nye egenskaper ved kjedebrøker som han ga navnet continued fractions. Lord Brouncker som var den første president i Royal Society, lyktes i denne sammenheng å omskrive formelen til Wallis på en elegant måte som en generalisert kjedebrøk.


=== Wallis-integral ===
Formelen til Wallis ble senere etablert på andre måter. En nærliggende metode er å betrakte integralene

  
    
      
        
          J
          
            n
          
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        
        d
        x
        
          sin
          
            n
          
        
        
        x
      
    
    {\displaystyle J_{n}=\int _{0}^{\pi }\!dx\sin ^{n}\!x}
  der n ≥ 0. De har fått navnet til Wallis knyttet til seg. Ved bruk av trigonometriske identiteter og partiell integrasjon, kan man da etablere rekursjonsformelen

  
    
      
        
          J
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              n
              −
              1
            
            n
          
        
        
          J
          
            n
            −
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{n}={n-1 \over n}J_{n-2}}
  med utgangsverdier J0 = π  og J1 = 2. På den måten finner man når n = 2p, at

  
    
      
        
          J
          
            2
            p
          
        
        =
        
          
            
              1
              ⋅
              3
              ⋅
              5
              ⋅
              ⋯
              (
              2
              p
              −
              1
              )
            
            
              2
              ⋅
              4
              ⋅
              6
              ⋅
              ⋯
              2
              p
            
          
        
        π
      
    
    {\displaystyle J_{2p}={1\cdot 3\cdot 5\cdot \cdots (2p-1) \over 2\cdot 4\cdot 6\cdot \cdots 2p}\pi }
  og et tilsvarende uttrykk med π  erstattet med 2 når n er et odde tall.Da sinx ≤ 1 i intervallet 0 < x < π , må J2p + 1 < J2p < J2p - 1. Man får dermed en nedre og øvre grense for forholdet π /2. Når p → ∞, faller disse to grenseverdiene sammen og man står igjen med Wallis' formel.


=== Mekanikk ===
Det som i dag betegnes som fysikk og mekanikk, ble på Wallis' tid behandlet som en del av matematikken. Rundt 1670 utga han et nytt verk Mechanica sive de motu tractatus geometricus som omhandlet bevegelse av materielle legemer og deres tyngdepunkt. Ved bruk av geometriske argument forklarte han hva som vil skje ved en elastisk kollisjon mellom slike gjenstander. Resultatene han kom frem til, tilsvarer å benytte bevarelse av bevegelsesmengde eller impuls.I dette arbeidet og senere i hans samlete verker Opera Mathematica skrev han formler mellom fysiske størrelser på en mer kompakt måte ved å la disse størrelsene være angitt i passende måleenheter. Det ble snart vanlig i slike sammenhenger. Men hans mekaniske utledninger ble snart overskygget av Newtons Principia som kom ut i 1687.


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
Oxford, John Wallis, illustrert fremstilling av livet til John Wallis
MacTutor, John Wallis, 1616 - 1703, University of St. Andrews, Scotland