Hölder-kontinuitet

Hölder-kontinuitet angir en form for kontinuitet innen matematisk analyse, strengere enn uniform kontinutitet og gir en begrensning på hvor raskt en funksjon kan endre seg. Hölder-kontinuitet kan sees på som en generalisering av Lipschitz-kontinuitet; mens Lipschitz-kontinuitet gir en lineær begrensning, gir Hölder-kontinuitet en eksponensiell begrensning. En funksjon sies å være Hölder-kontinuerlig dersom det finnes to reelle tall C (større eller lik 0) og 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
   (større enn 0) slik at for hvert par (x, y) i funksjonens definisjonsmengde, er absoluttverdien av forskjellen mellom avbildningen av disse, opphøyd i 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
   og ganget med C, større enn absoluttverdien mellom punktene x og y. Begrepet er oppkalt etter den tyske matematikeren Otto Hölder.
En funksjon som er Hölder-kontinuerlig med eksponent 
  
    
      
        γ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \gamma =1}
   er Lipschitz-kontinuerlig. Hvis 
  
    
      
        γ
        >
        1
      
    
    {\displaystyle \gamma >1}
   er funksjonen konstant. Alle Hölder-kontinuerlige funksjoner er også uniformt kontinuerlige, og dermed også kontinuerlige; det motsatte er ikke alltid sant.
Funksjoner som i seg selv og i sine partiell-deriverte er Hölder-kontinuerlige, hvis norm er endelig, sies å tilhøre et Hölder-rom.


== Definisjon ==
En funksjon 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\to Y}
  , der X og Y er delmengder av de relle tallene, sies å være Hölder-kontinuerlig (med eksponent 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  ) dersom det finnes en konstant 
  
    
      
        C
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle C\geq 0}
   og en konstant 
  
    
      
        γ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \gamma >0}
   slik at

  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        −
        f
        (
        y
        )
        
          |
        
        ≤
        C
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          
            |
          
          
            γ
          
        
      
    
    {\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq C|x-y|^{\gamma }}
  Dette gjelder også i andre metriske rom enn de reelle tallene. Gitt to metriske rom 
  
    
      
        (
        X
        ,
        
          d
          
            X
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (X,d_{X})}
   og 
  
    
      
        (
        Y
        ,
        
          d
          
            Y
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (Y,d_{Y})}
  , der 
  
    
      
        
          d
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{X}}
   og 
  
    
      
        
          d
          
            Y
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{Y}}
   angir metrikkene på henholdsvis mengdene X og Y, sier man at en funksjon 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle f:X\to Y}
   Hölder-kontinuerlig (med eksponent 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  ) dersom det finnes en konstant C slik at

  
    
      
        
          d
          
            Y
          
        
        (
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        ,
        f
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
        )
        ≤
        C
        
          d
          
            X
          
        
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        
          )
          
            γ
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{Y}(f(x_{1}),f(x_{2}))\leq Cd_{X}(x_{1},x_{2})^{\gamma }}
  


== Eksempler ==
Funksjoner som er Hölder-kontinuerligeAlle Lipschitz-kontinuerlige funksjoner er også Hölder-kontinuerlige. Dette gjelder f.eks. alle lineære funksjoner 
  
    
      
        f
        :
        
          R
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
  , siden
  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        −
        f
        (
        y
        )
        
          |
        
        =
        
          |
        
        (
        a
        x
        +
        b
        )
        −
        (
        a
        y
        +
        b
        )
        
          |
        
        =
        
          |
        
        a
        
          |
        
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          |
        
        
        ⇒
        
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        −
        f
        (
        y
        )
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        a
        
          |
        
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |f(x)-f(y)|=|(ax+b)-(ay+b)|=|a||x-y|\qquad \Rightarrow \qquad |f(x)-f(y)|\leq |a||x-y|}
   der 
  
    
      
        C
        =
        
          |
        
        a
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle C=|a|}
   og 
  
    
      
        γ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \gamma =1}
  Funksjonen 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          
            (
          
        
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)={\sqrt {(}}x)}
   er ikke Lipschitz-kontinuerlig over 
  
    
      
        (
        0
        ,
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle (0,\infty )}
  , men den er Hölder-kontinuerlig med konstant 
  
    
      
        C
        =
        1
      
    
    {\displaystyle C=1}
   og eksponent 
  
    
      
        γ
        =
        1
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \gamma =1/2}
  :
  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        −
        f
        (
        y
        )
        
          |
        
        =
        
          |
        
        
          
            x
          
        
        −
        
          
            y
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |f(x)-f(y)|=|{\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}|}
  
Anta 
  
    
      
        x
        >
        y
      
    
    {\displaystyle x>y}
  , da får vi

  
    
      
        
          |
        
        
          
            x
          
        
        −
        
          
            y
          
        
        
          |
        
        =
        
          
            
              (
              
                
                  x
                
              
              −
              
                
                  y
                
              
              )
              (
              
                
                  x
                
              
              +
              
                
                  y
                
              
              )
            
            
              
                
                  x
                
              
              +
              
                
                  y
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              x
              −
              y
            
            
              
                
                  x
                
              
              +
              
                
                  y
                
              
            
          
        
        =
        
          
            (
          
        
        
          
            
              x
              −
              y
            
            
              
                
                  x
                
              
              +
              
                
                  y
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          
            |
          
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
        ≤
        
          
            (
          
        
        
          
            
              x
            
            
              
                
                  x
                
              
              +
              
                
                  y
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          
            |
          
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
        ≤
        1
        
          |
        
        x
        −
        y
        
          
            |
          
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle |{\sqrt {x}}-{\sqrt {y}}|={\frac {({\sqrt {x}}-{\sqrt {y}})({\sqrt {x}}+{\sqrt {y}})}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}={\frac {x-y}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}={\Big (}{\frac {\sqrt {x-y}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}{\Big )}|x-y|^{1/2}\leq {\Big (}{\frac {\sqrt {x}}{{\sqrt {x}}+{\sqrt {y}}}}{\Big )}|x-y|^{1/2}\leq 1|x-y|^{1/2}}
  


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
(en) Stover, Christopher og Weisstein, Eric W., Hölder condition i MathWorld.
Hölder condition på Encyclopedia of Math