Carnots teorem (termodynamikk)

Carnots teorem, utviklet i 1824 av Nicolas Léonard Sadi Carnot, også kalt Carnots regel, er et prinsipp som angir grenser for maksimal effektivitet enhver varmekmotor kan oppnå. Effektiviteten til en Carnot-motor avhenger utelukkende av temperaturene i de varme og kalde reservoarene.
Carnots teorem sier at alle varmemotorer mellom to varmereservoarer er mindre effektive enn en Carnot varmekraftmaskin som opererer mellom de samme reservoarene. Hver Carnot-varmekraftmaskin mellom et par varmereservoarer er like effektiv, uavhengig av arbeidsstoffet som brukes eller driftsdetaljene.
Maksimal effektivitet er forholdet mellom temperaturforskjellen mellom reservoarene og temperaturen til det varme reservoaret, uttrykt i ligningen 
  
    
      
        
          η
          
            max
          
        
        =
        1
        −
        
          
            
              T
              
                
                  C
                
              
            
            
              T
              
                
                  H
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{\text{max}}=1-{\frac {T_{\mathrm {C} }}{T_{\mathrm {H} }}}}
  , hvor TC og TH er de absolutte temperaturene i henholdsvis de kalde og varme reservoarene, og effektiviteten 
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
   er forholdet mellom arbeidet som gjøres av motoren og varmen som trekkes ut av det varme reservoaret.
Carnots teorem er en konsekvens av termodynamikkens andre lov. Historisk var den basert på moderne kaloriteori, og gikk foran etableringen av den andre loven.


== Bevis ==

Beviset for Carnot-teoremet er et bevis på motsigelse, eller reductio ad absurdum, som illustrert i figuren som viser to varmemotorer som kjører mellom to magasiner med forskjellig temperatur. Varmemotoren med mer effektivitet (
  
    
      
        
          η
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{M}}
  ) kjører en varmemotor med mindre effektivitet (
  
    
      
        
          η
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{L}}
  ), forårsaker sistnevnte til å fungere som en varmepumpe. Dette paret av motorer mottar ingen utvendig energi, og opererer utelukkende på energien som frigjøres når varmen overføres fra det varme og til det kalde reservoaret. Imidlertid hvis 
  
    
      
        
          η
          
            M
          
        
        >
        
          η
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{M}>\eta _{L}}
  , da vil nettovarmestrømmen være bakover, dvs. inn i det varme reservoaret:

  
    
      
        
          Q
          
            hot
          
          
            out
          
        
        =
        Q
        <
        
          
            
              η
              
                M
              
            
            
              η
              
                L
              
            
          
        
        Q
        =
        
          Q
          
            hot
          
          
            in
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle Q_{\text{hot}}^{\text{out}}=Q<{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q=Q_{\text{hot}}^{\text{in}}.}
  Det er enighet om at dette er umulig fordi det bryter med den andre loven om termodynamikk.
Vi begynner med å verifisere arbeidsverdiene og varmestrømmen som er vist i figuren. Først må vi påpeke en viktig advarsel: motoren med mindre effektivitet (
  
    
      
        
          η
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{L}}
  ) kjøres som varmepumpe, og må derfor være en reversibel motor. Hvis den mindre effektive motoren (
  
    
      
        
          η
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{L}}
  ) er ikke reversibel, da kan enheten bygges, men uttrykkene for arbeid og varmestrøm vist i figuren vil ikke være gyldige.
Ved å begrense vår diskusjon til tilfeller der motor (
  
    
      
        
          η
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{L}}
  ) har mindre effektivitet enn motor (
  
    
      
        
          η
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{M}}
  ), vi er i stand til å forenkle notasjonen ved å vedta konvensjonen om at alle symboler, 
  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
   og 
  
    
      
        W
      
    
    {\displaystyle W}
   representerer ikke-negative størrelser (siden retningen på energistrømmen aldri endrer tegn i alle tilfeller der 
  
    
      
        
          η
          
            L
          
        
        ⩽
        
          η
          
            M
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{L}\leqslant \eta _{M}}
  ). Bevaring av energi krever at for hver motor, energien som kommer inn, 
  
    
      
        
          E
          
            i
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{in}}
  ,må tilsvare energien som kommer ut, 
  
    
      
        
          E
          
            o
            u
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{out}}
  :

  
    
      
        
          E
          
            in
          
          
            M
          
        
        =
        Q
        =
        (
        1
        −
        
          η
          
            M
          
        
        )
        Q
        +
        
          η
          
            M
          
        
        Q
        =
        
          E
          
            out
          
          
            M
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle E_{\text{in}}^{M}=Q=(1-\eta _{M})Q+\eta _{M}Q=E_{\text{out}}^{M},}
  
  
    
      
        
          E
          
            in
          
          
            L
          
        
        =
        
          η
          
            M
          
        
        Q
        +
        
          η
          
            M
          
        
        Q
        
          (
          
            
              
                1
                
                  η
                  
                    L
                  
                
              
            
            −
            1
          
          )
        
        =
        
          
            
              η
              
                M
              
            
            
              η
              
                L
              
            
          
        
        Q
        =
        
          E
          
            out
          
          
            L
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle E_{\text{in}}^{L}=\eta _{M}Q+\eta _{M}Q\left({\frac {1}{\eta _{L}}}-1\right)={\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q=E_{\text{out}}^{L},}
  Figuren er også i samsvar med definisjonen av effektivitet som 
  
    
      
        η
        =
        W
        
          /
        
        
          Q
          
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta =W/Q_{h}}
   for begge motorer:

  
    
      
        
          η
          
            M
          
        
        =
        
          
            
              W
              
                M
              
            
            
              Q
              
                h
              
              
                M
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                η
                
                  M
                
              
              Q
            
            Q
          
        
        =
        
          η
          
            M
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \eta _{M}={\frac {W_{M}}{Q_{h}^{M}}}={\frac {\eta _{M}Q}{Q}}=\eta _{M},}
  
  
    
      
        
          η
          
            L
          
        
        =
        
          
            
              W
              
                L
              
            
            
              Q
              
                h
              
              
                L
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                η
                
                  M
                
              
              Q
            
            
              
                
                  
                    η
                    
                      M
                    
                  
                  
                    η
                    
                      L
                    
                  
                
              
              Q
            
          
        
        =
        
          η
          
            L
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \eta _{L}={\frac {W_{L}}{Q_{h}^{L}}}={\frac {\eta _{M}Q}{{\frac {\eta _{M}}{\eta _{L}}}Q}}=\eta _{L}.}
  Det kan virke rart at en hypotetisk varmepumpe med lav effektivitet blir brukt til å bryte den andre loven om termodynamikk, men verdien av kjøleskap er ikke effektivitet, 
  
    
      
        W
        
          /
        
        
          Q
          
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle W/Q_{h}}
  ,men ytelseskoeffisienten (COP)som er 
  
    
      
        
          Q
          
            c
          
        
        
          /
        
        W
      
    
    {\displaystyle Q_{c}/W}
  . En reversibel varmemotor med lav termodynamisk effektivitet, 
  
    
      
        W
        
          /
        
        
          Q
          
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle W/Q_{h}}
   leverer mer varme til det varme reservoaret for en gitt mengde arbeid når det kjøres som varmepumpe.
Etter å ha konstatert at varmestrømningsverdiene vist i figuren er riktige, kan Carnos teorem bevises for irreversible og reversible varmemotorer.


=== Reversible motorer ===
For å se at hver reversible motor går mellom reservoarene 
  
    
      
        
          T
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{1}}
   og 
  
    
      
        
          T
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{2}}
   må ha samme effektivitet, anta at to reversible varmemotorer har forskjellige verdier på 
  
    
      
        η
      
    
    {\displaystyle \eta }
  , og la den mer effektive motoren (M) kjøre den mindre effektive motoren (L) som en varmepumpe. Som figuren viser vil dette føre til at varmen strømmer fra kulden til det varme reservoaret uten noe ytre arbeid eller energi, noe som bryter med den andre loven om termodynamikk. Derfor har begge (reversible) varmemotorene samme effektivitet, og vi konkluderer med at:

Alle reversible motorer som opererer mellom de samme to varmemagasinene har samme effektivitet.Dette er et viktig resultat fordi det hjelper med å etablere Clausius-teoremet, noe som innebærer at endringen i entropi er unik for alle reversible prosesser.,

  
    
      
        Δ
        S
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          
            
              d
              
                Q
                
                  rev
                
              
            
            T
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \Delta S=\int _{a}^{b}{\frac {dQ_{\text{rev}}}{T}},}
  over alle stier (fra a til b i V-T rommet). Hvis denne integralen ikke var baneuavhengig, ville entropi, S, miste statusen som en tilstandsvariabel.


=== Irreversible motorer ===
Hvis en av motorene er irreversibel, må (M) motoren være plassert slik at den reverserer den mindre effektive, men reversible (L) motoren. Men hvis denne irreversible motoren er mer effektiv enn den reversible motoren, (dvs. hvis
  
    
      
        
          η
          
            M
          
        
        >
        
          η
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta _{M}>\eta _{L}}
  ), så er den andre loven om termodynamikk brutt. Og siden Carnot-syklusen representerer en reversibel motor, har vi den første delen av Carnots teorem:

Ingen irreversibel motor er mer effektiv enn Carnot-motoren som går mellom de samme to reservoarene.


== Definisjon av termodynamisk temperatur ==
Effektiviteten til motoren er arbeidet delt på varmen som blir introdusert i systemet eller

  
    
      
        η
        =
        
          
            
              w
              
                c
                y
              
            
            
              q
              
                H
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                q
                
                  H
                
              
              −
              
                q
                
                  C
                
              
            
            
              q
              
                H
              
            
          
        
        =
        1
        −
        
          
            
              q
              
                C
              
            
            
              q
              
                H
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta ={\frac {w_{cy}}{q_{H}}}={\frac {q_{H}-q_{C}}{q_{H}}}=1-{\frac {q_{C}}{q_{H}}}}
  hvor wcy er arbeidet som er utført per syklus. Dermed avhenger effektiviteten bare av qC/qH.
Fordi alle reversible motorer som opererer mellom de samme varmeresservoarene er like effektive, fungerer alle reversible varmemotorer mellom temperaturene T1 og T2 må ha samme effektivitet, noe som betyr at effektiviteten bare er en funksjon av de to temperaturene:

  
    
      
        
          
            
              q
              
                C
              
            
            
              q
              
                H
              
            
          
        
        =
        f
        (
        
          T
          
            H
          
        
        ,
        
          T
          
            C
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})}
  I tillegg en reversibel varmemotor som går mellom temperatureneT1 og T3 må ha samme effektivitet som en som består av to sykluser, en mellom T1 og en annen (intermediat) temperaturT2, og den andre mellom T2 og T3. Dette kan bare være tilfelle hvis

  
    
      
        f
        (
        
          T
          
            1
          
        
        ,
        
          T
          
            3
          
        
        )
        =
        
          
            
              q
              
                3
              
            
            
              q
              
                1
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                q
                
                  2
                
              
              
                q
                
                  3
                
              
            
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        f
        (
        
          T
          
            1
          
        
        ,
        
          T
          
            2
          
        
        )
        f
        (
        
          T
          
            2
          
        
        ,
        
          T
          
            3
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle f(T_{1},T_{3})={\frac {q_{3}}{q_{1}}}={\frac {q_{2}q_{3}}{q_{1}q_{2}}}=f(T_{1},T_{2})f(T_{2},T_{3}).}
  Spesialiserer seg i saken som 
  
    
      
        
          T
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{1}}
  er en fast referansetemperatur: temperaturen på trippelpunktet for vann. Så for noen T2 og T3,

  
    
      
        f
        (
        
          T
          
            2
          
        
        ,
        
          T
          
            3
          
        
        )
        =
        
          
            
              f
              (
              
                T
                
                  1
                
              
              ,
              
                T
                
                  3
                
              
              )
            
            
              f
              (
              
                T
                
                  1
                
              
              ,
              
                T
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              273.16
              ⋅
              f
              (
              
                T
                
                  1
                
              
              ,
              
                T
                
                  3
                
              
              )
            
            
              273.16
              ⋅
              f
              (
              
                T
                
                  1
                
              
              ,
              
                T
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f(T_{2},T_{3})={\frac {f(T_{1},T_{3})}{f(T_{1},T_{2})}}={\frac {273.16\cdot f(T_{1},T_{3})}{273.16\cdot f(T_{1},T_{2})}}.}
  Derfor, hvis termodynamisk temperatur er definert av

  
    
      
        T
        =
        273.16
        ⋅
        f
        (
        
          T
          
            1
          
        
        ,
        T
        )
        
      
    
    {\displaystyle T=273.16\cdot f(T_{1},T)\,}
  da er funksjonen sett på som en funksjon av termodynamisk temperatur

  
    
      
        f
        (
        
          T
          
            2
          
        
        ,
        
          T
          
            3
          
        
        )
        =
        
          
            
              T
              
                3
              
            
            
              T
              
                2
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle f(T_{2},T_{3})={\frac {T_{3}}{T_{2}}},}
  og referansetemperaturen T1 har verdien 273.16. (Selvfølgelig kan enhver referansetemperatur og en hvilken som helst positiv numerisk verdi brukes - valget her tilsvarer Kelvin-skalaen.)
Det følger umiddelbart det

  
    
      
        
          
            
              q
              
                C
              
            
            
              q
              
                H
              
            
          
        
        =
        f
        (
        
          T
          
            H
          
        
        ,
        
          T
          
            C
          
        
        )
        =
        
          
            
              T
              
                C
              
            
            
              T
              
                H
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {q_{C}}{q_{H}}}=f(T_{H},T_{C})={\frac {T_{C}}{T_{H}}}}
  |Erstatter ligningen ovenfor i den første ligningen i denne paragrafen gir et forhold for effektiviteten når det gjelder temperatur:

  
    
      
        η
        =
        1
        −
        
          
            
              q
              
                C
              
            
            
              q
              
                H
              
            
          
        
        =
        1
        −
        
          
            
              T
              
                C
              
            
            
              T
              
                H
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta =1-{\frac {q_{C}}{q_{H}}}=1-{\frac {T_{C}}{T_{H}}}}
  |


== Anvendbarhet til brenselceller og batterier ==
Siden brenselceller og batterier kan generere nyttig strøm når alle komponenter i systemet har samme temperatur (
  
    
      
        T
        =
        
          T
          
            H
          
        
        =
        
          T
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle T=T_{H}=T_{C}}
  ), de er tydeligvis ikke begrenset av Carnots teorem, som sier at ingen kraft kan genereres når 
  
    
      
        
          T
          
            H
          
        
        =
        
          T
          
            C
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{H}=T_{C}}
  . Dette er fordi Carnos teorem gjelder motorer som konverterer termisk energi til arbeid, mens brenselceller og batterier i stedet omdanner kjemisk energi til arbeid. Likevel gir den andre loven om termodynamikk fortsatt begrensninger på konvertering av drivstoffcelle og batteri.


== Referanser ==