De Moivres formel

De Moivres formel er et matematisk uttrykk som forbinder komplekse tall med trigonometri. Den sier at for hvert  reelt tall x og heltall n har man sammenhengen

  
    
      
        (
        cos
        ⁡
        x
        +
        i
        sin
        ⁡
        x
        
          )
          
            n
          
        
        =
        cos
        ⁡
        n
        x
        +
        i
        sin
        ⁡
        n
        x
      
    
    {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\cos nx+i\sin nx}
  hvor i er den imaginær enhet, det vil si i 2 = -1.
En indirekte utgave av formelen ble først publisert  av Abraham de Moivre på begynnelsen av 1700-tallet, men ble mer systematisk formulert av Leonhard Euler noen tiår senere. Den er da en direkte konsekvens av Eulers formel 
  
    
      
        
          e
          
            i
            x
          
        
        =
        cos
        ⁡
        x
        +
        i
        sin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
   og egenskapen 
  
    
      
        (
        
          e
          
            i
            x
          
        
        
          )
          
            n
          
        
        =
        
          e
          
            i
            n
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle (e^{ix})^{n}=e^{inx}}
   til eksponentialfunksjonen.
Formelen kan utvides til å gjelde for det mer generelle tilfellet der n er et rasjonalt tall. Den man da benyttes til å beregne n-te enhetsrøtter, det vil si komplekse løsninger av ligningen z n = 1. Historisk har disse spilt en viktig rolle innen tallteori.


== Noen anvendelser ==
Når n = 2 sier formelen at

  
    
      
        (
        cos
        ⁡
        x
        +
        i
        sin
        ⁡
        x
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        +
        2
        i
        sin
        ⁡
        x
        cos
        ⁡
        x
        −
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        =
        cos
        ⁡
        2
        x
        +
        i
        sin
        ⁡
        2
        x
      
    
    {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos ^{2}x+2i\sin x\cos x-\sin ^{2}x=\cos 2x+i\sin 2x}
  Ved å sammenligne de reelle og imaginære leddene på begge sider, finner man sammenhengene

  
    
      
        
          
            
              
                cos
                ⁡
                2
                x
              
              
                
                =
                
                  cos
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                x
                −
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                x
              
            
            
              
                sin
                ⁡
                2
                x
              
              
                
                =
                2
                sin
                ⁡
                x
                cos
                ⁡
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\cos 2x&=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\\\sin 2x&=2\sin x\cos x\end{aligned}}}
  De er to av de viktigste, trigonometriske identitetene.
På samme måte kan binomialformelen benyttes for n = 3 og gir

  
    
      
        (
        cos
        ⁡
        x
        +
        i
        sin
        ⁡
        x
        
          )
          
            3
          
        
        =
        
          cos
          
            3
          
        
        ⁡
        x
        +
        3
        i
        sin
        ⁡
        x
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        −
        3
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        cos
        ⁡
        x
        −
        i
        
          sin
          
            3
          
        
        ⁡
        x
        =
        cos
        ⁡
        3
        x
        +
        i
        sin
        ⁡
        3
        x
      
    
    {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{3}=\cos ^{3}x+3i\sin x\cos ^{2}x-3\sin ^{2}x\cos x-i\sin ^{3}x=\cos 3x+i\sin 3x}
  Nå betyr dette at

  
    
      
        
          
            
              
                cos
                ⁡
                3
                x
              
              
                
                =
                4
                
                  cos
                  
                    3
                  
                
                ⁡
                x
                −
                3
                cos
                ⁡
                x
              
            
            
              
                sin
                ⁡
                3
                x
              
              
                
                =
                3
                sin
                ⁡
                x
                −
                4
                
                  sin
                  
                    3
                  
                
                ⁡
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\cos 3x&=4\cos ^{3}x-3\cos x\\\sin 3x&=3\sin x-4\sin ^{3}x\end{aligned}}}
  som man finner etter å ha benyttet Pythagoras' setning 
  
    
      
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        +
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        x
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1.}
   Slik kan man fortsette og finne uttrykk for 
  
    
      
        sin
        ⁡
        n
        x
      
    
    {\displaystyle \sin nx}
   og 
  
    
      
        cos
        ⁡
        n
        x
      
    
    {\displaystyle \cos nx}
   ved enklere, trigonometriske funksjoner.


=== Enhetsrøtter ===

Da cosnφ = 1 og sinnφ = 0 når φ = 2π k/n når både k og n er heltall, gir de Moivres formel at løsningene til ligningen z n = 1 med z = cosφ + i sinφ er gitt som

  
    
      
        z
        =
        cos
        ⁡
        
          
            
              2
              π
              k
            
            n
          
        
        +
        i
        sin
        ⁡
        
          
            
              2
              π
              k
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle z=\cos {2\pi k \over n}+i\sin {2\pi k \over n}}
  Det finnes k slike forskjellige røtter som er verdiene til disse komplekse tallene for k = 0,1,2,..,n - 1. I det komplekse planet tilsvarer de en oppdeling av enhetssirkelen i n like store deler. Ligningen omtales derfor også som sirkeldelingsligningen.Enhetsrøttene spiller en avgjørende rolle ved løsning av mer generelle polynomligning. For eksempel gjorde Niels Henrik Abel bruk av dem i forbindelse med løsninger av femtegradsligningen. Galois-teori sier at de alle kan reduseres til de tre basale regneartene, det vil si addisjon, multiplikasjon og rotuttrekning.


== Referanser ==


== Litteratur ==
A. de Moivre, De sectione anguli, Phil. Trans. 32(374), 228–230 (1723).
L. Euler, Introductio in analysin infinitorum, Vol I, Kap.8,  §133 (1748).