Laplace-ligningen

Laplace-ligningen er en partiell differensialligning av andre orden. Den spiller en meget viktig rolle i teoretisk fysikk og matematisk analyse. Ved bruk Laplace-operatoren ∇ 2 som virker på en funksjon Φ med N variable,  kan den skrives på den kompakte formen

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi =0}
  Generelt kan det da vises at løsningene av ligningen er harmoniske funksjoner i N dimensjoner.
Differensialligningen ble funnet i 1782 av Pierre-Simon Laplace i forbindelse med beregning fra Newtons gravitasjonsteori av gravitasjonspotensialet for en kontinuerlig massefordeling. I 1812 viste Siméon Denis Poisson at ligningen ikke gjelder inni en slik fordeling, men kan den utvides med et nytt ledd på høyre side som er proporsjonalt med massetettheten. Den er da gyldig overalt og kalles for Poisson-ligningen.
Laplace-ligningen opptrer ofte ved beskrivelse av stasjonære prosesser i  fysikk. For eksempel vil temperaturen i et legeme som styres av varmeledning, oppfylle ligningen når den ikke lenger forandrer seg med tiden. Også partikkeltettheten ved diffusjon vil være gitt som løsning av ligningen under stasjonære forhold. Likedan vil potensialene både innen elektrostatikken og magnetostatikken utenfor alle elektriske ladninger og strømmer være bestemt av Laplace-ligningen.
I kompleks analyse vil både den reelle og imaginære delen av en kompleks funksjon oppfylle den to-dimensjonale Laplace-ligningen. De er derfor begge harmoniske funksjoner. Dette er en direkte konsekvens av Cauchy–Riemanns ligninger.


== Opprinnelse ==
I sine astronomiske arbeid basert på Newtons gravitasjonslov hadde Laplace vist at mange beregninger kunne gjøres enklere ved å innføre et  gravitasjonspotensial skapt av en masse i stedet for gravitasjonskraften som den forårsaker. Betrakter man en kontinuerlig massefordeling med tetthet ρ, er dette potensialet i et punkt r gitt ved integralet

  
    
      
        Φ
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
        ∫
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          x
          ′
        
        
          
            
              G
              ρ
              (
              
                
                  r
                  ′
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                  ′
                
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=-\int \!d^{3}x'{G\rho (\mathbf {r'} ) \over |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |}}
  hvor G er gravitasjonskonstanten. Ved bruk av kartesiske koordinater kan avstanden R = |r - r'| skrives som

  
    
      
        R
        =
        
          
            (
            x
            −
            
              x
              ′
            
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            y
            −
            
              y
              ′
            
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            z
            −
            
              z
              ′
            
            
              )
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}}
  slik at ∂R/∂x = (x - x' )/R. Dermed er ∂/∂x(1/R) = - (1/R3)(x - x' ). En videre derivasjon gir så

  
    
      
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                ∂
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          
            1
            R
          
        
        =
        
          
            3
            
              R
              
                5
              
            
          
        
        (
        x
        −
        
          x
          ′
        
        
          )
          
            2
          
        
        −
        
          
            1
            
              R
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial x^{2}}\right){1 \over R}={3 \over R^{5}}(x-x')^{2}-{1 \over R^{3}}}
  Sammen med de tilsvarende dobbeltderiverte i de to andre retningene blir dermed

  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          
            1
            R
          
        
        =
        
          
            3
            
              R
              
                5
              
            
          
        
        
          
            [
          
        
        (
        x
        −
        
          x
          ′
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        y
        −
        
          y
          ′
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        z
        −
        
          z
          ′
        
        
          )
          
            2
          
        
        
          
            ]
          
        
        −
        
          
            3
            
              R
              
                3
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}\right){1 \over R}={3 \over R^{5}}{\Big [}(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}{\Big ]}-{3 \over R^{3}}=0}
  Da disse derivasjonene kan tas inn under integrasjonssymbolet for gravitasjonspotensialet, har man dermed

  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        Φ
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}\right)\Phi (x,y,z)=0}
  Dette er Laplace-ligningen i kartesiske koordinater i N = 3 dimensjoner.


=== Elektrisk potensial ===
Da Coulombs lov for elektriske krefter har samme form som Newtons gravitasjonslov, er det å forvente at Laplace-ligningen også vil kunne beskrive det elektriske potensialet φ. Det følger fra Maxwells ligninger. Hvis man ikke har noe magnetisk felt, sier Faradays induksjonslov at  det elektriske feltet E må oppfylle  ∇ × E = 0. Det må derfor kunne skrives som gradienten av potensialet, det vil si at E = - ∇ Φ. Når man i tillegg er i et område hvor det ikke er noen elektriske ladninger, sier Maxwells første ligning at ∇ ⋅ E = 0. Det betyr at ∇ ⋅ ∇ Φ = ∇ 2Φ = 0 som er Laplace-ligningen. Den tillater ofte å finne løsninger for det elektriske potensialet og derav feltet E, noe som er lettere enn å beregne det elektriske feltet direkte.


=== Potensialstrømning ===
En ideell væske beskrives ved Euler-ligningene. Under vanlig forhold er væsken virvelfri. Det betyr at curl til dens hastighet v  er null, det vil si at ∇ × v = 0. På samme måte som for det elektriske feltet, betyr det at hastighetsfeltet til væsken må kunne skrives som gradienten av et potensial Ψ. Da har man at v = ∇ Ψ og bevegelsen til væsken sies å være en potensialstrømning. I stedet for en beskrivelse ved de tre komponentene til  vektorfeltet v, kan man da klare seg med den ene potensialfunksjonen Ψ.Beregning av dette potensialet forenkles når væsken i tillegg er  inkompressibel, det vil si at den medfølgende tettheten er konstant. Kontinuitetsligningen sier da at væskens hastighet v tilfredsstiller ∇ ⋅ v = 0.  Benytter man her kravet v = ∇ Ψ om virvelfrihet, følger igjen Laplace-ligningen 
∇ 2Ψ = 0.
Dette er vanligvis en tredimensjonal ligning da potensialet avhenger av tre koordinater, det vil si at Ψ = Ψ(x,y,z). Men løsning av den todimensjonale ligningen kan også ha praktisk betydning. For eksempel, så følger det fra Young-Laplace-ligningen for en glatt hinne av såpevann med en høyde H = H(x,y) over et plant referansenivå, at den er bestemt av ∇ 2H = 0 hvor nå Laplace-operatoren involverer bare de to koordinatene x og y. Den glatte egenskapen til denne flaten og likedan såpebobler er en konsekvens av overflatespenningen til såpevannet.


== Generell definisjon ==
Laplace-ligningen i et N-dimensjonalt euklidsk rom med kartesiske koordinater x = (x1, x2, ... ,xN ) er definert som

  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      1
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            ⋯
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      N
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        Φ
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          x
          
            N
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial x_{1}^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial x_{2}^{2}}+\cdots +{\partial ^{2} \over \partial x_{N}^{2}}\right)\Phi (x_{1},x_{2},\cdots ,x_{N})=0}
  Ved å innføre nabla-operatoren for å kunne beregne gradient og divergens, kan ligningen på mer kompakt form skrives som

  
    
      
        
          ∇
        
        ⋅
        
          ∇
        
        Φ
        (
        
          r
        
        )
        ≡
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        (
        
          r
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Phi (\mathbf {r} )\equiv \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=0}
  Her inngår på venstre side Laplace-operatoren i N dimensjoner. Ved å benytte andre koordinatsystem i dette rommet, vil den ta andre former som kan finnes fra denne generelle definisjonen.


== Kulesymmetrisk løsning ==
Den enkleste, ikke-trivielle løsningen av Laplace-ligningen finnes ved å anta at den er invariant under rotasjoner. Den er da kun en funksjon av radius

  
    
      
        r
        =
        
          |
        
        
          x
        
        
          |
        
        =
        (
        
          x
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          x
          
            N
          
          
            2
          
        
        
          )
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle r=|\mathbf {x} |=(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{N}^{2})^{1/2}}
  Potensialet kan da skrives som Φ(r) = u(r ). Ved å benytte at  ∂r/∂xi = xi /r,  blir dermed

  
    
      
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        =
        
          u
          ′
        
        (
        r
        )
        
          
            
              x
              
                i
              
            
            r
          
        
        ,
        
        
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              u
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          u
          ″
        
        (
        r
        )
        
          
            
              x
              
                i
              
              
                2
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          u
          ′
        
        (
        r
        )
        
          (
          
            
              
                1
                r
              
            
            −
            
              
                
                  x
                  
                    i
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  r
                  
                    3
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x_{i}}}=u'(r){\frac {x_{i}}{r}},\;\;\;{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}=u''(r){\frac {x_{i}^{2}}{r^{2}}}+u'(r)\left({\frac {1}{r}}-{\frac {x_{i}^{2}}{r^{3}}}\right)}
  for hver koordinat xi. Dermed tar ligningen formen

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        u
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              u
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          u
          ″
        
        (
        r
        )
        +
        
          
            
              N
              −
              1
            
            r
          
        
        
          u
          ′
        
        (
        r
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}u=\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x_{i}^{2}}}=u''(r)+{\frac {N-1}{r}}u'(r)=0}
  Herav følger at løsningen må oppfylle betingelsen

  
    
      
        
          
            
              u
              ″
            
            
              u
              ′
            
          
        
        =
        
          
            
              1
              −
              N
            
            r
          
        
        =
        log
        ⁡
        (
        
          u
          ′
        
        
          )
          ′
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {u''}{u'}}={\frac {1-N}{r}}=\log(u')'}
  som betyr at

  
    
      
        
          u
          ′
        
        (
        r
        )
        =
        
          
            a
            
              r
              
                N
                −
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle u'(r)={\frac {a}{r^{N-1}}}}
  der a er en konstant.  Dermed vil de kulesymmetriske løsningene være av formen

  
    
      
        u
        (
        r
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  a
                  log
                  ⁡
                  r
                  +
                  c
                  ,
                  
                  
                  
                  
                  N
                  =
                  2
                
              
              
                
                  a
                  
                    /
                  
                  
                    r
                    
                      N
                      −
                      2
                    
                  
                  +
                  c
                  ,
                  
                  
                  N
                  >
                  2
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle u(r)={\begin{cases}a\log r+c,\;\;\;\;N=2\\a/r^{N-2}+c,\;\;N>2\end{cases}}}
  hvor c er en konstant som sammen med a kan bestemmes av grensebetingelsene.


=== Standardform ===
Det er vanlig å skrive disse løsningene på en standardform som benyttes ved beregning av Greens funksjon. Hvis man innfører den fulle  romvinkel i N dimensjoner,

  
    
      
        
          Ω
          
            N
            −
            1
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                π
                
                  N
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
            
              Γ
              (
              N
              
                /
              
              2
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Omega _{N-1}={\frac {2\pi ^{N/2}}{\Gamma (N/2)}}}
  når den uttrykkes ved gammafunksjonen Γ(z ),  er de kulesymmetriske løsningene

  
    
      
        Φ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          {
          
            
              
                
                  −
                  
                    
                      1
                      
                        2
                        π
                      
                    
                  
                  ln
                  ⁡
                  
                    
                      |
                    
                    
                      r
                    
                    
                      |
                    
                  
                   
                  ,
                
                
                  N
                  =
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      1
                      
                        (
                        N
                        −
                        2
                        )
                        
                        
                          Ω
                          
                            N
                            −
                            1
                          
                        
                        
                          |
                        
                        
                          r
                        
                        
                          
                            |
                          
                          
                            N
                            −
                            2
                          
                        
                      
                    
                  
                   
                  ,
                
                
                  N
                  >
                  2
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )=\left\{{\begin{array}{rl}-{\frac {1}{2\pi }}\ln {|\mathbf {r} |}\ ,&N=2\\{1 \over (N-2)\,\Omega _{N-1}|\mathbf {r} |^{N-2}}\ ,&N>2\\\end{array}}\right.}
  De gir potensialet utenfor en punktpartikkel i origo. Med denne standardnormeringen er potensialet Φ = 1/4π r i N = 3 dimensjoner.
Coulomb-potensialet oppfyller generelt Laplace-ligningen i alle områder av rommet hvor det ikke er ladninger. Da potensialet skapt av en punktladning alltid er  kulesymmetrisk, betyr det at Coulomb-potensialet utenfor en slik ladning i N = 2 dimensjoner varierer logaritmisk med avstanden og går ikke mot null ved store avstander. Derimot vil Coulomb-potensialet skapt av en punktladning i rom med N > 3 dimensjoner avta mot null raskere ved store avstander enn i tre dimensjoner.


== To dimensjoner ==
Den todimensjonale Laplace-ligningen

  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        Φ
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}\right)\Phi (x,y)=0}
  opptrer i kompleks analyse hvor en funksjon f (x + iy) = u(x,y) + iv(x,y) må oppfylle Cauchy-Riemanns ligninger

  
    
      
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              v
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        ,
        
        
        
        
          
            
              ∂
              u
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              v
            
            
              ∂
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\;\;\;{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}}
  Ved å derivere den første med hensyn på x og den andre med hensyn på y, vil en addisjon av de to resulterende ligningene gi at den reelle funksjonen u(x,y) tilfredsstiller Laplace-ligningen i to dimensjoner. Det samme gjelder for funksjonen v(x,y) som vises ved å derivere de to ligningene med hensyn på y i stedet.


=== Homogene polynom og harmoniske løsninger ===
I N = 2 dimensjoner er det kun løsningen ln(x2 + y2)  som er rotasjonssymmetrisk. Men oppgis dette kravet, er det en uendelighet av andre løsninger. En spesiell klasse  er homogene polynom. De to enkleste er xy og x2 - y2 som er slike polynom av andre grad og oppfyller Laplace-ligningen. Uttrykkes disse i polare koordinater x = r cosθ og y = r sinθ, er de to løsningene proporsjonale med henholdsvis r 2sin 2θ og r 2cos 2θ.
Denne sammenhengen kan man også se ved å betrakte homogene polynom av tredje grad. Av dem er der fire, nemlig x 3, x 2y, xy 2 og y 3. Men bare de to kombinasjonene 3x 2y - y 3 og 3y 2x - x 3 oppfyller Laplace-ligningen. I polarkoordinater kan de skrives som henholdsvis r 3sin 3θ og r 3cos 3θ når man benytter de Moivres formler. Og slik fortsetter det for polynom av høyere grad. Disse spesielle løsningene sies å være harmoniske da de kan uttrykkes ved trigonometriske funksjoner som beskriver harmoniske svingninger.


=== Separasjon av variable ===
Mer generelle løsninger kan finnes ved å anta at løsningene kan skrives som et produkt av to funksjoner hvor hver kun avhenger av en variabel. Dette kalles for metoden med «separasjon av variable».
Med denne antagelsen Φ(x,y) = X(x)Y(y) kan den to-dimensjonale Laplace-ligningen omformes til

  
    
      
        
          
            
              
                X
                ″
              
              (
              x
              )
            
            
              X
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                Y
                ″
              
              (
              y
              )
            
            
              Y
              (
              y
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {X''(x) \over X(x)}=-{Y''(y) \over Y(y)}}
  Da x og y er uavhengige variable, kan denne ligningen bare være gyldig hvis hver side er lik med en konstant. Kalles den for K, vil dermed den opprinnelige Laplace-ligningen være redusert til de to vanlige differensialligningene

  
    
      
        
          X
          ″
        
        =
        K
        X
        ,
        
        
        
        
          Y
          ″
        
        =
        −
        K
        Y
      
    
    {\displaystyle X''=KX,\;\;\;Y''=-KY}
  som er enklere å løse. For eksempel, hvis konstanten K er positiv slik at man kan skrive K = k2, vil X = ekx og Y = sinky gi den enkle løsningen Φ = ekx sinky av den opprinnelige Laplace-ligningen. Mer generelle løsninger finnes ved å kombinere flere slike løsninger med verdier for K som er valgt for å oppfylle gitte grensebetingelser.


=== Polarkoordinater ===
Laplace-operator tar forskjell form avhengig av hvilke koordinatsystem man benytter. I to dimensjoner kan det ofte være hensiktsmessig å benytte polarkoordinater (r,φ). Laplace-ligningen tar da formen

  
    
      
        
          
            1
            r
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              r
            
          
        
        
          (
          
            r
            
              
                
                  ∂
                  V
                
                
                  ∂
                  r
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              V
            
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                1
                r
              
            
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  r
                
              
            
            +
            
              
                1
                
                  r
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    ϕ
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        V
        (
        r
        ,
        ϕ
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right)V(r,\phi )=0}
  Løsninger kan igjen finnes ved separasjon av variable. Man skriver da V = R(r)F(φ) og setter inn i ligningen. Det vil da gi at

  
    
      
        
          
            1
            R
          
        
        (
        
          r
          
            2
          
        
        
          R
          ″
        
        +
        r
        
          R
          ′
        
        )
        =
        −
        
          
            
              F
              ″
            
            F
          
        
        =
        λ
      
    
    {\displaystyle {1 \over R}(r^{2}R''+rR')=-{F'' \over F}=\lambda }
  hvor λ er en konstant. Skal løsningene være periodiske i φ, må λ =  n 2 hvor n er et helt positivt tall eller null. Vinkelavhengigheten til løsningene må derfor være

  
    
      
        F
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    a
                    
                      0
                    
                  
                  ,
                  
                  
                  n
                  =
                  0
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                    
                  
                  cos
                  ⁡
                  n
                  ϕ
                  +
                  
                    b
                    
                      n
                    
                  
                  sin
                  ⁡
                  n
                  ϕ
                  ,
                  
                  
                  n
                  =
                  1
                  ,
                  2
                  ,
                  3
                  ,
                  …
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F={\begin{cases}a_{0},\;\;n=0\\a_{n}\cos n\phi +b_{n}\sin n\phi ,\;\;n=1,2,3,\ldots \end{cases}}}
  Den resterende, radielle ligningen er nå

  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        
          R
          ″
        
        +
        r
        
          R
          ′
        
        −
        
          n
          
            2
          
        
        R
        =
        0
      
    
    {\displaystyle r^{2}R''+rR'-n^{2}R=0}
  som har løsningene

  
    
      
        R
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    c
                    
                      0
                    
                  
                  +
                  
                    d
                    
                      0
                    
                  
                  ln
                  ⁡
                  r
                  ,
                  
                  
                  n
                  =
                  0
                
              
              
                
                  
                    c
                    
                      n
                    
                  
                  
                    r
                    
                      n
                    
                  
                  +
                  
                    d
                    
                      n
                    
                  
                  
                    r
                    
                      −
                      n
                    
                  
                  ,
                  
                  
                  n
                  =
                  1
                  ,
                  2
                  ,
                  3
                  ,
                  …
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle R={\begin{cases}c_{0}+d_{0}\ln r,\;\;n=0\\c_{n}r^{n}+d_{n}r^{-n},\;\;n=1,2,3,\ldots \end{cases}}}
  Her er an , bn , cn  og  dn integrasjonskonstanter som må bestemmes ut fra grensebetingelsene. For eksempel, hvis man vil at løsningene skal være regulære i punktet r = 0, da må alle  dn = 0 slik at den mest generelle løsningen tar formen

  
    
      
        V
        =
        
          a
          
            0
          
        
        +
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          r
          
            n
          
        
        (
        
          a
          
            n
          
        
        cos
        ⁡
        n
        ϕ
        +
        
          b
          
            n
          
        
        sin
        ⁡
        n
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle V=a_{0}+\sum _{n=1}^{\infty }r^{n}(a_{n}\cos n\phi +b_{n}\sin n\phi )}
  hvor man her har redefinert konstantene slik at cn = 1. Hvis man lar radius r = konstant, finner man her de harmoniske løsningene cos nφ og sin nφ som oppsto på en mer komplisert måte som homogene polynom ved bruk av kartesiske koordinater.


== Tre dimensjoner ==
Ved bruk av kartesiske koordinater i  N = 3 dimensjoner har Laplace-ligningen formen

  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    z
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        Φ
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}\right)\Phi (x,y,z)=0}
  Som for to dimensjoner kan man finne løsninger med form av homogene polynom i de tre variable x, y og z.  Disse har formen x p y q z r og kombinasjoner av slike hvor heltallene p, q og r  har en konstant sum som er graden til polynomet. Har disse polynomene grad ℓ , er det i allminnelighet 2ℓ + 1 slike løsninger av Laplace-ligningen. De danner sfærisk harmoniske funksjoner  Yℓm ,  også kalt for kuleflatefunksjoner.
Av laveste grad ℓ = 1 har man tre løsninger som ganske enkelt er de tre koordinatene x, y og z.  For ℓ = 2 finner man de fem løsningene xy, xz, yz, x 2 - y 2  samt x 2 + y 2 - 2z 2.
Uttrykkes disse i  kulekoordinater (r, θ, φ) slik at x = r sinθ cosφ,  y = r sinθ sinφ og z = r cosθ, ser man at denne siste kombinasjonen x 2 + y 2 - 2z 2 tilsvarer Y20. På samme måte danner xy og x 2 - y 2 de to sfæriske harmoniske funksjonene Y2,±2, mens  xz og yz kan kombineres til å gi Y2,±1. Med bruk av komplekse variable viser man lett at det homogene polynomet (x + iy)ℓ er direkte proporsjonal med  den spesielle kuleflatefunksjonen Yℓℓ(θ,φ).


=== Kulekoordinater ===
Løsninger av Laplace-ligningen som involverer sfærisk harmonisk funksjoner kommer mer direkte frem ved å uttrykke Laplace-operatoren i kulekoordinater. For potensialet V = V(r,θ,φ) har den da formen

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        V
        =
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              r
            
          
        
        
          (
          
            
              r
              
                2
              
            
            
              
                
                  ∂
                  V
                
                
                  ∂
                  r
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              θ
            
          
        
        
          (
          
            sin
            ⁡
            θ
            
              
                
                  ∂
                  V
                
                
                  ∂
                  θ
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              V
            
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}V={1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial V \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial V \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}V \over \partial \phi ^{2}}=0}
  Ved en første separasjon av variable kan man skrive V = R(r)Y(θ,φ). Det gir

  
    
      
        
          
            1
            R
          
        
        (
        
          r
          
            2
          
        
        
          R
          ″
        
        +
        2
        r
        
          R
          ′
        
        )
        =
        −
        
          
            1
            Y
          
        
        
          [
          
            
              
                1
                
                  sin
                  ⁡
                  θ
                
              
            
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  θ
                
              
            
            
              (
              
                sin
                ⁡
                θ
                
                  
                    
                      ∂
                      Y
                    
                    
                      ∂
                      θ
                    
                  
                
              
              )
            
            +
            
              
                1
                
                  
                    sin
                    
                      2
                    
                  
                  ⁡
                  θ
                
              
            
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  Y
                
                
                  ∂
                  
                    ϕ
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          ]
        
        =
        λ
      
    
    {\displaystyle {1 \over R}(r^{2}R''+2rR')=-{1 \over Y}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial Y \over \partial \theta }\right)+{1 \over \sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}Y \over \partial \phi ^{2}}\right]=\lambda }
  hvor λ må være en konstant. For at den  partielle differensialligningen på høyre side skal ha regulære løsninger, må λ = ℓ (ℓ + 1)  hvor ℓ er et helt, positivt tall. Den går da over til differensialligningen som definerer sfærisk harmoniske funksjoner. De betegnes med Yℓm(θ,φ)  hvor heltallet m må ligge i intervallet - ℓ ≤ m ≤ ℓ og derfor tar 2ℓ + 1 forskjellige verdier.
Den radielle ligningen tar nå formen

  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        
          R
          ″
        
        +
        2
        r
        
          R
          ′
        
        −
        ℓ
        (
        ℓ
        +
        1
        )
        R
        =
        0
      
    
    {\displaystyle r^{2}R''+2rR'-\ell (\ell +1)R=0}
  og har løsninger av formen r ℓ eller 1/r ℓ + 1. Disse siste divergerer når r → 0. Disse løsningene har derfor den generelle formen

  
    
      
        V
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        ϕ
        )
        =
        
          ∑
          
            ℓ
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          ∑
          
            m
            =
            −
            ℓ
          
          
            ℓ
          
        
        
          
            (
          
        
        
          A
          
            ℓ
            m
          
        
        
          r
          
            ℓ
          
        
        +
        
          
            
              B
              
                ℓ
                m
              
            
            
              r
              
                ℓ
                +
                1
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        
          Y
          
            ℓ
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle V(r,\theta ,\phi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }{\Big (}A_{\ell m}r^{\ell }+{B_{\ell m} \over r^{\ell +1}}{\Big )}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}
  hvor Aℓm og Bℓm er konstanter som må bestemmes ut fra grensebetingelsene. For eksempel, hvis man vil at løsningene skal være regulære i grensen r → 0, må man ha at Bℓm = 0.


=== Sylinderkoordinater ===
Noen løsninger av Laplace-ligningen finnes mer direkte i sylinderkoordinater  (r, φ, z) der x = r cosφ og y = r sinφ. Fra uttrykke for den tilsvarende Laplace-operatoren tar ligningen da formen

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        V
        =
        
          
            1
            r
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              r
            
          
        
        
          (
          
            r
            
              
                
                  ∂
                  V
                
                
                  ∂
                  r
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              V
            
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              V
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}V={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0}
  Igjen kan løsninger finnes ved en separasjon av variabler. Ved å anta formen V = R(r)F(φ)Z(z), vil φ-avhengigheten være gitt av løsninger til den enklere differnsialligningen F"  = λF hvor på venstre side opptrer den dobbeltderiverte, her med hensyn på φ. For at den skal ha skal periodiske løsninger, må λ = - m 2 hvor m er et positivt heltall. Det gir

  
    
      
        
          F
          
            m
          
        
        (
        ϕ
        )
        =
        
          A
          
            m
          
        
        cos
        ⁡
        m
        ϕ
        +
        
          B
          
            m
          
        
        sin
        ⁡
        m
        ϕ
      
    
    {\displaystyle F_{m}(\phi )=A_{m}\cos m\phi +B_{m}\sin m\phi }
  hvor Am og Bm   er kontanter.  Likedan vil z-avhengigheten følge fra differensialligningen Z"  = KF hvor K er en foreløbig ubestemt parameter.  Hvis man ønsker at ligningen skal ha løsninger som ikke er periodiske i z-retningen, må  K = k 2 > 0.  Da vil løsningene av denne differensialligningen kunne skrives som

  
    
      
        Z
        (
        k
        z
        )
        =
        a
        (
        k
        )
        
          e
          
            −
            k
            z
          
        
        +
        b
        (
        k
        )
        
          e
          
            k
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle Z(kz)=a(k)e^{-kz}+b(k)e^{kz}}
  der integrasjonskonstantene a og b avhenger av grensebetingelsene. Hele Laplace-ligningen involverer nå bar den radielle funksjonen R som må oppfylle

  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        
          R
          ″
        
        +
        r
        
          R
          ′
        
        +
        (
        
          k
          
            2
          
        
        
          r
          
            2
          
        
        −
        
          m
          
            2
          
        
        )
        R
        =
        0
      
    
    {\displaystyle r^{2}R''+rR'+(k^{2}r^{2}-m^{2})R=0}
  Dette er Bessel-ligningen med løsninger som er gitt ved de to Bessel-funksjonene Jm(kr) og Ym(kr). Denne siste er ikke regulær i grensen r → 0. De kan kombineres med to ubestemte konstanter Cm og Dm  til å gi den generelle, radielle løsningen.

  
    
      
        
          R
          
            m
          
        
        (
        k
        r
        )
        =
        
          C
          
            m
          
        
        (
        k
        )
        
          J
          
            m
          
        
        (
        k
        r
        )
        +
        
          D
          
            m
          
        
        (
        k
        )
        
          Y
          
            m
          
        
        (
        k
        r
        )
      
    
    {\displaystyle R_{m}(kr)=C_{m}(k)J_{m}(kr)+D_{m}(k)Y_{m}(kr)}
  Den fulle løsningen av Laplace-ligningen i sylinderkoordinater er nå gitt som produktet av de tre delløsningene R(r),  F(φ) og  Z(z) summert over alle mulige verdier for k og m. Integrasjonskonstantene vil i allminnelighet også avhenge av disse verdiene.
Som et enkelt eksempel på en fullstendig løsning kan man tenke seg at den skal være regulær i origo r = 0. Det betyr med en gang at alle Dm = 0. Mulige verdier for k kan så finnes ved å forlange en viss verdi for den radielle funksjonen R for en endelig verdi av r.  Hvis ikke, kan k variere fritt mellom null og uendelig og man må integrere løsningen over alle disse verdiene. Videre kan man forlange at løsningen ikke skal divergere for store verdier av koordinaten z, noe som medfører at alle konstantene b = 0. Dermed vil den generelle løsningen i dette tilfellet kunne skrives som

  
    
      
        V
        (
        r
        ,
        ϕ
        ,
        z
        )
        =
        
          ∑
          
            m
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        d
        k
        
          e
          
            −
            k
            z
          
        
        
          J
          
            m
          
        
        (
        k
        r
        )
        
          
            (
          
        
        
          A
          
            m
          
        
        (
        k
        )
        cos
        ⁡
        m
        ϕ
        +
        
          B
          
            m
          
        
        (
        k
        )
        sin
        ⁡
        m
        ϕ
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle V(r,\phi ,z)=\sum _{m=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }dke^{-kz}J_{m}(kr){\big (}A_{m}(k)\cos m\phi +B_{m}(k)\sin m\phi {\big )}}
  


== Middelverditeoremet ==
Løsningene av Laplace-ligningen er harmoniske funksjoner. En av de viktigste egenskaper til disse, er at slike funksjoner tilfredsstiller et generelt teorem om deres midlere verdi i hvert punkt.Dette kan nesten trivielt illustreres i det endimensjonale tilfellet for Laplace-ligningen d 2Φ/dx2 = 0. Den mest generelle løsningen er Φ = ax + b  hvor a og b er konstanter. Ved direkte innsetting i løsningen ser man da at verdien til funksjon Φ i et vilkårlig punkt x er gitt ved verdiene i to nabopunkt som

  
    
      
        Φ
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            (
          
        
        Φ
        (
        x
        +
        h
        )
        +
        Φ
        (
        x
        −
        h
        )
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi (x)={1 \over 2}{\Big (}\Phi (x+h)+\Phi (x-h){\Big )}}
  hvor h her er vilkårlig stor eller liten. Dette er  den middelverdien av de to verdiene i nabopunktene. Man ser dette også geometrisk da løsningen representerer en rett linje.


=== Diskret versjon ===
Teoremet kan lett sannsynliggjøres ved å erstatte Laplace-operatoren med en diskret versjon. For en funksjon f(x) er den deriverte i et punkt definert som

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            h
          
        
        
          
            (
          
        
        f
        (
        x
        +
        h
        )
        −
        f
        (
        x
        )
        
          
            )
          
        
        =
        
          
            1
            h
          
        
        
          
            (
          
        
        f
        (
        x
        )
        −
        f
        (
        x
        −
        h
        )
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle f'(x)={1 \over h}{\big (}f(x+h)-f(x){\big )}={1 \over h}{\big (}f(x)-f(x-h){\big )}}
  i grensen der h → 0. Lar man istedet h være tilstrekkelig liten og endelig, er dette definisjonen for en «diskret derivasjon» av funksjonen. Den andrederiverte kan man da skrive som

  
    
      
        
          f
          ″
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            h
          
        
        
          
            (
          
        
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        −
        
          f
          ′
        
        (
        x
        −
        h
        )
        
          
            )
          
        
        =
        
          
            1
            
              h
              
                2
              
            
          
        
        
          
            (
          
        
        f
        (
        x
        +
        h
        )
        +
        f
        (
        x
        −
        h
        )
        −
        2
        f
        (
        x
        )
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle f''(x)={1 \over h}{\big (}f'(x)-f'(x-h){\big )}={1 \over h^{2}}{\big (}f(x+h)+f(x-h)-2f(x){\big )}}
  Tilfredsstiller denne funksjonen den endimensjonal Laplace-ligningen f "(x) = 0, vil derfor igjen f(x) være gitt ved middelverdien i de to nabopunktene.
Ved bruk av denne diskrete derivasjonen for en funksjon F(x,y) som tilfredsstiller den todimensjonale Laplace-ligningen, vil man da på samme måte ha

  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          
            1
            4
          
        
        
          
            (
          
        
        F
        (
        x
        +
        h
        ,
        y
        )
        +
        F
        (
        x
        −
        h
        ,
        y
        )
        +
        F
        (
        x
        ,
        y
        +
        h
        )
        +
        F
        (
        x
        ,
        y
        −
        h
        )
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle F(x,y)={1 \over 4}{\big (}F(x+h,y)+F(x-h,y)+F(x,y+h)+F(x,y-h){\big )}}
  Denne verdien er igjen middelverdien av de fire naboverdiene. Man kan utvide dette resultatet på samme måte til vilkårlige høyere dimensjoner, men størrelsen h må her være tilstrekkelig liten.


=== Middelverditeoremet ===
Harmoniske funksjoner mer generelt har en meget spesiell egenskap som er uttrykt ved «middelverditeoremet». Det sier at for en generell løsning Φ(x) av Laplace i N dimensjoner hvor punktet x er angitt ved N koordinater x1, x2, ... ,xN, så er verdien av funksjonen i hvert punkt lik med den midlere verdi av funksjonen på en vilkårlig stor kuleflate rundt det samme punktet. På matematisk form kan dette uttrykkes som

  
    
      
        Φ
        (
        
          x
        
        )
        =
        
          
            1
            
              
                S
                
                  N
                  −
                  1
                
              
              (
              r
              )
            
          
        
        
          ∮
          
            
            S
          
        
        Φ
        (
        
          y
        
        )
        d
        S
      
    
    {\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )={1 \over S_{N-1}(r)}\oint _{\!S}\Phi (\mathbf {y} )dS}
  hvor y angir punkt på kuleflaten S omkring x med vilkårlig stor radius r. For en generell kule i N dimensjoner,  vet man at den har et areal

  
    
      
        
          S
          
            N
            −
            1
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                π
                
                  N
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
            
              Γ
              (
              N
              
                /
              
              2
              )
            
          
        
        
          r
          
            N
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{N-1}={\frac {2\pi ^{N/2}}{\Gamma (N/2)}}r^{N-1}}
  For den mest vanlige situasjon med N = 3 dimensjoner gir denne generelle formelen det kjente resultatet  S2 = 4π r 2. Hvis punktet x er i origo og man benytter kulekoordinater slik at flateelementet dS = r 2sinθdθdφ, sier teoremet at verdien der er

  
    
      
        Φ
        (
        0
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∮
          
            
            S
          
        
        Φ
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        ϕ
        )
        sin
        ⁡
        θ
        d
        θ
        d
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \Phi (0)={1 \over 4\pi }\oint _{\!S}\Phi (r,\theta ,\phi )\sin \theta d\theta d\phi }
  uavhengig av verdien til radius r. Dette viser med klarhet at harmoniske funksjoner må ha veldig spesielle egenskaper.


=== Elektrostatisk eksempel ===
En elektrisk punktladning Q er plassert på z-aksen i avstand z fra origo. Det elektriske potensialet i origo er derfor Φ(0)  = keQ /z  der ke er Coulombs konstant. Ifølge middelverditeoremet skal dette være lik den midlere verdien av potensialet på en kuleflate med sentrum i origo. Har den radius r, er potensialet i hvert punkt på denne flaten Φ  = keQ /R  hvor

  
    
      
        R
        =
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            +
            
              r
              
                2
              
            
            −
            2
            z
            r
            cos
            ⁡
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle R={\sqrt {z^{2}+r^{2}-2zr\cos \theta }}}
  når man benytter cosinussetningen og hvert punkt på flaten er angitt ved de sfæriske koordinatene (θ,φ). Den søkte middelverdien er dermed

  
    
      
        Φ
        (
        0
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
            
          
        
        
          ∮
          
            
            S
          
        
        
          
            
              
                k
                
                  e
                
              
              Q
            
            
              
                
                  z
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  r
                  
                    2
                  
                
                −
                2
                z
                r
                cos
                ⁡
                θ
              
            
          
        
        sin
        ⁡
        θ
        d
        θ
        d
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \Phi (0)={1 \over 4\pi }\oint _{\!S}{k_{e}Q \over {\sqrt {z^{2}+r^{2}-2zr\cos \theta }}}\sin \theta d\theta d\phi }
  Integranden er uavhengig av den asimutal vinkelen φ slik at integrasjon over denne variable gir ganske enkelt 2π . Integrasjonen over den polare vinkelen θ forenkles ved  å la x = cosθ være ny integrasjonsvariabel. Det gir

  
    
      
        
          
            
              
                Φ
                (
                0
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        k
                        
                          e
                        
                      
                      Q
                    
                    
                      4
                      π
                    
                  
                
                
                  
                    
                      4
                      π
                    
                    
                      2
                      z
                      r
                    
                  
                
                
                  
                    
                      z
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      r
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    2
                    z
                    r
                    cos
                    ⁡
                    θ
                  
                
                
                  
                    
                      |
                    
                  
                  
                    0
                  
                  
                    π
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        k
                        
                          e
                        
                      
                      Q
                    
                    
                      2
                      z
                      r
                    
                  
                
                
                  
                    [
                  
                
                (
                z
                +
                r
                )
                −
                (
                z
                −
                r
                )
                
                  
                    ]
                  
                
                =
                
                  
                    
                      
                        k
                        
                          e
                        
                      
                      Q
                    
                    z
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\Phi (0)&={k_{e}Q \over 4\pi }{4\pi  \over 2zr}{\sqrt {z^{2}+r^{2}-2zr\cos \theta }}{\Big |}_{0}^{\pi }\\&={k_{e}Q \over 2zr}{\Big [}(z+r)-(z-r){\Big ]}={k_{e}Q \over z}\end{aligned}}}
  som er uavhengig av radius r og bekrefter middelverditeoremets korrekthet. For at Laplace-ligningen skal være gyldig innenfor kuleflaten,  må ladningen Q ligge utenfor denne. Det betyr her at r < z.


=== Maksima og minima ===
Middelverditeoremet legger store krav på formen til harmoniske funksjoner. Det viktigste er at de ikke kan ha noe lokalt maksimum eller minimum innenfor et begrenset område. Slike ekstremalpunkt kan eventuelt kun finnes på randen av området. Grunnen er at hvis det for eksempel fantes et lokalt maksimum inni området, så kunne ikke dette være middelverdien av punktene på en liten kuleflate som omslutter punktet da alle verdiene på denne ville være mindre enn verdien i det gitte punktet. Tilsvarende ville gjelde for et lokalt minimum.


== Referanser ==


== Litteratur ==
J. Mathews and R.L. Walker, Mathematical Methods of Physics,  W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1.
M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.


== Eksterne lenker ==
 Artikkelen har ingen egenskaper for offisielle lenker i Wikidata