Plücker-koordinater

Plücker-koordinater beskriver retningen og posisjonen til en vilkårlig, rett linje i det tredimensjonale rommet. De utgjør seks homogene koordinater som benyttes i projektiv geometri. Da de tilfredsstiller en ekstra betingelse, er der fire slike uavhengige koordinater for linjer i tre dimensjoner. 
Linjekoordinater ble innført av Julius Plücker på midten av 1800-tallet. En viktig anvendelse er å kunne beskrive hvordan linjer i rommet er plassert i forhold til hverandre. Det er en grunn for at de i dag benyttes innen robotikk, digital fotografering og dataassistert konstruksjon. 
Ved å ta i bruk metoder fra projektiv geometri som kan føres tilbake til Hermann Grassmann, kan lignende koordinater innføres til å beskrive hvordan forskjellige underrom kan legges inn i rom med høyere antall dimensjoner enn tre.


== Bakgrunn ==
En rett linje i tre dimensjoner er entydig gitt ved å angi to punkt med koordinater x = (x1,x2,x3) og y = (y1,y2,y3) som ligger på den. Av det kunne man tro at det behøves seks koordinater eller parametre for å gi dens plassering og retning i rommet. Men hvis koordinatene til det ene punktet forandres på en slik måte at det ligger på den samme linjen, behøver man i alle fall ikke mer enn fem koordinater. 
Det riktige antallet er fire. Det kan man se ved å angi retningen til linjen ved retningen til en parallell linje gjennom origo. Til det trenges to koordinater. For å bestemme dens posisjon, kan man gi dens skjæringspunkt med et plan gjennom dette punktet og normalt på linjen. Det krever to nye koordinater. Tilsammen behøves det derfor fire uavhengige parametre. Alternativt kunne man brukt skjæringspunktene mellom linjen og to gitte plan. De er gitt ved de to koordinatene i hvert plan, det vil si ialt fire koordinater. Plücker valgte å benytte skjæringspunktene i to av de tre kartesiske koordinatplanene.


== Euklidsk geometri ==
Punktene x og y kan betraktes som posisjonsvektorer i et tredimensjonalt, euklidsk rom E3. Retningen til linjen mellom disse to punktene er gitt ved vektoren d = y - x. For å kunne angi dens posisjon i rommet, kan man benytte kryssproduktet m = x × y. Det representerer arealet av trekanten som de to punktene danner sammen med origo. Vektoren m står vinkelrett på dette planet, og man har d ⋅ m = 0. Men da arealet av trekanten også er gitt ved lengden av d multiplisert ved avstanden fra origo til linjen, vil m også inneholde informasjon om denne avstanden i rommet.Plückers seks linjekoordinater er nå gitt som 

  
    
      
        (
        
          d
        
        :
        
          m
        
        )
        =
        (
        
          y
          
            1
          
        
        −
        
          x
          
            1
          
        
        :
        
          y
          
            2
          
        
        −
        
          x
          
            2
          
        
        :
        
          y
          
            3
          
        
        −
        
          x
          
            3
          
        
        :
        
          x
          
            2
          
        
        
          y
          
            3
          
        
        −
        
          x
          
            3
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        :
        
          x
          
            3
          
        
        
          y
          
            1
          
        
        −
        
          x
          
            1
          
        
        
          y
          
            3
          
        
        :
        
          x
          
            1
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        −
        
          x
          
            2
          
        
        
          y
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {d} :\mathbf {m} )=(y_{1}-x_{1}:y_{2}-x_{2}:y_{3}-x_{3}:x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2}:x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3}:x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})}
  De er ikke alle uavhengige av hverandre da de må tilfredsstille ligningen d⋅m = 0. På komponentform gir den Plücker-betingelsen

  
    
      
        (
        
          y
          
            1
          
        
        −
        
          x
          
            1
          
        
        )
        (
        
          x
          
            2
          
        
        
          y
          
            3
          
        
        −
        
          x
          
            3
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        )
        +
        (
        
          y
          
            2
          
        
        −
        
          x
          
            2
          
        
        )
        (
        
          x
          
            3
          
        
        
          y
          
            1
          
        
        −
        
          x
          
            1
          
        
        
          y
          
            3
          
        
        )
        +
        (
        
          y
          
            3
          
        
        −
        
          x
          
            3
          
        
        )
        (
        
          x
          
            1
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        −
        
          x
          
            2
          
        
        
          y
          
            1
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (y_{1}-x_{1})(x_{2}y_{3}-x_{3}y_{2})+(y_{2}-x_{2})(x_{3}y_{1}-x_{1}y_{3})+(y_{3}-x_{3})(x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1})=0}
  som er identisk oppfylt for alle verdier av koordinatene. Men i tillegg er de uavhengig av nøyaktig hvilke punkt x og y man velger på linjen. Med et annet valg x'  = x + α d og y'  = y + β d slik at retningsvektoren d forandres til d'  = (1 + β - α)d. Samtidig vil avstandsvektoren m forandres
til  (x + α d) × (y + β d) som ved direkte utregning gir m'  = (1 + β - α)x × y. Begge vektorene multipliseres derfor med samme konstant slik at Plücker-koordinatene er homogene av samme type som benyttes i projektiv geometri. Disse to egenskapene ved de seks Plücker-koordinatene betyr at bare fire av dem kan variere fritt.
To linjer med Plücker-koordinater (d : m) og (d' : m' ) som skjærer hverandre, definer et plan. Legger man origo til i koordinatsystemet i deres skjæringspunkt,  kan man vise at deres linjekoordinater må være knyttet sammen ved ligningen

  
    
      
        
          d
        
        ⋅
        
          
            m
          
          ′
        
        +
        
          
            d
          
          ′
        
        ⋅
        
          m
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {d} \cdot \mathbf {m} '+\mathbf {d} '\cdot \mathbf {m} =0}
  Da denne må være uavhengig av hvordan origo legges, må den være generelt gyldig og kan benyttes for å sjekke om linjene er koplanare.


=== Linjens avstand til origo ===
Når man er gitt Plücker-koordinatene (d : m), kan man lett finne linjens parameterform ved å ta utgangspunkt i dens minste avstand fra origo. Den opptrer for et punkt x0 på linjen som er karakterisert ved at d⋅x0 = 0 da disse to vektorene står vinkelrett på hverandre. Dette punktet må som alle andre punkt på linjen oppfylle x × d = m. Ved å kryssmultiplisere med d finner man dermed for punktet som har den minste avstanden,

  
    
      
        
          
            x
          
          
            0
          
        
        =
        
          
            1
            
              d
              
                2
              
            
          
        
        
          d
        
        ×
        
          m
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} _{0}={1 \over d^{2}}\mathbf {d} \times \mathbf {m} }
  Siden retningen til linjen er gitt ved vektoren d, kan dens Plücker-koordinater benyttes til å skrive den på standard form som

  
    
      
        
          x
        
        =
        
          
            x
          
          
            0
          
        
        +
        λ
        
          d
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} _{0}+\lambda \mathbf {d} }
  der λ er en parameter.
Med flere linjer tilstede kan man på lignende måte beregne deres relative beliggenhet og avstander fra Plücker-koordinatene. Ofte gir dette en mer direkte fremgangsmåte enn med mer konvensjonelle metoder.


== Linjegeometri ==
En linje som har en retningsvektor med lengde d = |d| = 0, har en avstand fra origo som formelt er uendelig stor. Den sies å ligge i det uendelige fjerne. Selv om slike linjer vanligvis har liten praktisk interesse, kan de likevel behandles på samme måte som linjer med endelig avstand ved å tenke seg at de befinner seg i et projektivt rom. På den måten kan man utvide det euklidske rommet E3 hvor hvert punkt har koordinater x = (x1,x2,x3), til det tredimensjonale, projektive rommet RP3 hvor hvert punkt har fire koordinater, X = (x,x4). Disse er homogene slik at effektivt er dette rommet også gitt ved tre, uavhengige koordinater. Punkter i det euklidske rommet kan da gjenfinnes ved å sette x4 = 1.
De homogene koordinatene til punktet X = (x1,x2,x3,x4) i RP3 kan betraktes som å gi retningen til en linje gjennom origo i det euklidske rommet E4. Likedan er en linje i RP3 bestemt av et todimensjonalt plan gjennom origo i E4. Dette skjærer planet x4 = 1 i det som kan betraktes som den euklidiske delen av linjen.


=== Plücker-matrisen ===
Denne sammenhengen gjør det mulig å karakterisere en generell linje i tre dimensjoner ved koordinatene som spesifiserer et plan gjennom origo i E4. Et slikt plan som tilsvarer en linje gjennom de euklidske punktene x og y, er definert ved det antisymmetriske ytreproduktet X ∧ Y. Hvis nå  e1, e2, e3 og e4 er basisvektorer i E4, blir denne bivektoren

  
    
      
        
          P
        
        =
        
          X
        
        ∧
        
          Y
        
        =
        
          X
          
            i
          
        
        
          Y
          
            j
          
        
        
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        ∧
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          P
          
            i
            j
          
        
        
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        ∧
        
          
            e
          
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {Y} =X_{i}Y_{j}\,\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}={1 \over 2}P_{ij}\,\mathbf {e} _{i}\wedge \mathbf {e} _{j}}
  og derfor har komponenter

  
    
      
        
          P
          
            i
            j
          
        
        =
        
          X
          
            i
          
        
        
          Y
          
            j
          
        
        −
        
          X
          
            j
          
        
        
          Y
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{ij}=X_{i}Y_{j}-X_{j}Y_{i}}
  De utgjør en antisymmetrisk, 4×4 matrise hvor alle diagonale komponenter er null og kalles Plücker-matrisen.
For en euklidsk linje mellom punktene x og y som begge har fjerde komponent x4 = y4 = 1, gjenfinner man dermed de tidligere Plücker-koordinatene. Retningsvektoren er  gitt som d = (P41,P42,P43), mens de resternde komponentene utgjør avstandsvektoren m = (P23,P31,P12).
Planet som bivektoren X ∧ Y definerer, kan likså godt formes av to andre vektorer som ligger i samme planet. Disse er da gitt som lineærkombiniasjonene X'  = α X + β Y og Y'  = δ X + γ Y. Deres kileprodukt gir nå en ny bivektor

  
    
      
        
          
            P
          
          ′
        
        =
        
          
            X
          
          ′
        
        ∧
        
          
            Y
          
          ′
        
        =
        (
        α
        γ
        −
        β
        δ
        )
        
          X
        
        ∧
        
          Y
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} '=\mathbf {X} '\wedge \mathbf {Y} '=(\alpha \gamma -\beta \delta )\mathbf {X} \wedge \mathbf {Y} }
  når man benytter at kileproduktene X ∧ X = Y ∧ Y = 0. Alle komponentene vil dermed blir multiplisert ved den samme konstanten, uten at bivektorens geometriske innhold forandres. De seks Plücker-koordinatene er derfor homogene koordinater i et projektivt rom PR5. Hver linje i det tredimensjonale rommet tilsvarer derfor et punkt i dette femdimensjonale rommet.Plücker-matrisene P'  som tilsvarer de to vektorene X'  og Y' i samme planet som  X og Y, vil nå måtte oppfylle P ∧ P'  = 0. Da dette kileproduktet bare har en komponent i retning e1 ∧ e2 ∧ e3 ∧ e4, må den være null. Ved direkte utregning finner man da at

  
    
      
        
          P
          
            23
          
        
        
          P
          
            41
          
          ′
        
        +
        
          P
          
            31
          
        
        
          P
          
            42
          
          ′
        
        +
        
          P
          
            12
          
        
        
          P
          
            43
          
          ′
        
        +
        
          P
          
            23
          
          ′
        
        
          P
          
            41
          
        
        +
        
          P
          
            31
          
          ′
        
        
          P
          
            42
          
        
        +
        
          P
          
            12
          
          ′
        
        
          P
          
            43
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle P_{23}P'_{41}+P_{31}P'_{42}+P_{12}P'_{43}+P'_{23}P_{41}+P'_{31}P_{42}+P'_{12}P_{43}=0}
  Ved here å sette inn P = (d : m) og tilsvarende for P', kan dette skrives som m⋅d'  +  m'⋅d = 0. Det er betingelsen for at de to tilsvarende, tredimensjonale linjene skal ligge i samme planet.


=== Klein-kvadrikken ===
På samme måte må man for en og samme linje ha at P ∧ P = (X ∧ Y)∧(X ∧ Y) = - Y ∧ X ∧ X ∧ Y = 0. Ved å sette P = P' i resultatet for P ∧ P'  må Plücker-koordiantene oppfylle 

  
    
      
        
          P
          
            23
          
        
        
          P
          
            41
          
        
        +
        
          P
          
            31
          
        
        
          P
          
            42
          
        
        +
        
          P
          
            12
          
        
        
          P
          
            43
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle P_{23}P_{41}+P_{31}P_{42}+P_{12}P_{43}=0}
  Denne ekstra betingelsen er ekvivalent med d ⋅ m = 0 i det euklidske rommet E3. Når man derfor betrakter de seks komponentene til Plücker-matrisen P som homogene koordinater for et punkt i det femdimensjonale rommet PR5, vil bare de punktene som oppfyller denne ekstra betingelsen tilsvare en linje i det tredimensjonale rommet. De tillatte punktene danner derfor et firedimensjonalt underrom. Da det er gitt ved en kvadratisk ligning som koordinatene må oppfylle, kalles det vanligvis for Klein-kvadrikken etter Felix Klein.Man kan få et bedre bilde av denne firedimensjonale kvadrikken ved å benytte et nye koordinater som ble innført av Klein.  Da Plücker-koordinatene er antisymmetriske, kan man skrive
P23 = p + q, P41 = p - q,  P31 = s + t, P42 = s -  t,
P12 = u + v og P43 = u - v. Plücker-betingelsen tar da formen

  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
        +
        
          s
          
            2
          
        
        +
        
          u
          
            2
          
        
        =
        
          q
          
            2
          
        
        +
        
          t
          
            2
          
        
        +
        
          v
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{2}+s^{2}+u^{2}=q^{2}+t^{2}+v^{2}}
  som er ligningen for Klein-kvadrikken i PR5. Den kan derfor oppfattes som definert ved  de to ligningene p 2  + s 2 + u 2 = R 2 og q 2  + t 2 + v 2 = R 2 der R  er en parameter. Da hver av disse beskriver en todimensjonal kuleflate S2, kan man tenke seg Klein-kvadrikken som den firedimensjonale mangfoldigheten S2× S2. Det må forstås på lignende måte som at en todimensjonal torus eller smultring kan topologisk betraktes som produktet  S1× S1 av to sirkler.


== Grassmann-mangfoldigheter ==
 
Den firedimensjonale Klein-kvadrikken er et eksempel på det som i dag omtales som en Grassmann-mangfoldighet etter Hermann Grassmann. Den kom frem ved å betrakte vilkårlige linjer i E3 som ekvivalent med todimensjonale plan gjennom origo i E4. Man kan derfor betegne denne mangfoldigheten som Gr(2,4) for å klargjøre at den kommer frem ved å betrakte alle 2-dimensjonale underrom i et 4-dimensjonalt vektorrom. Det er her E4, men kunne likså godt vært R4 da man ikke behøver det euklidske indreproduktet.En generell Grassmann-mangfoldighet Gr(k,n) er definert som mangfoldigheten av alle k-dimensjonale underrom i et n-dimensjonalt vektorrom. Det kan være Rn eller Cn hvis vektorrommet er  komplekst. Hvis det reelle vektorrommet benyttes, vil derfor Gr(1,n) = RPn - 1  som er det (n - 1)-dimensjonale, projektive rommet definert ved alle linjer som går gjennom origo i Rn. Kanskje det mest kjente eksempel er Gr(1,3) som er det projektive planet. Da hvert plan i et tredimensjonalt vektorrom kan angis ved vektoren vinkelrett på planet, vil Gr(2,3) og Gr(1,3) være de samme og betraktes som kuleflater der motsatte punkt identifiseres med hverandre.Hvert  k-dimensjonalt underrom i Rn kan angis ved k lineært uavhengige vektorer v1, v2, ... , vk. Deres ytre produkt tilhører vektorrommet Λk(Rn) av den tilsvarende Grassmann-algebraen. Vektorrommet har en dimensjon gitt ved binomialkoeffisienten C(k,n) som dermed også angir antall, generaliserte Plücker-koordinater som karakteriserer et slikt underrom. De inngår som elementer i en k × k Plücker-matrise. For Plückers opprinnelige koordinater var n = 4 og k = 2, som gir C(2,4) = 4!/2!⋅2! = 6.
Beskrivelsen av underrommet må være uavhengig av valg av basisvektorer i dette rommet. Det medfører at disse koordinatene er homogene da alle komponentene forandres med den samme størrelsen ved et slikt basisskifte. Hvert underrom tilsvarer derfor et punkt i et projektivt rom RPN med dimensjon N = C(k,n)  - 1. Men i det generelle tilfellet vil det også være et visst antall Plücker-betingelser som må være oppfylt. Tar man hensyn til disse, er antall uavhengige koordinater k(n - k) som dermed er dimensjonen til Grassmann-mangfoldigheten Gr(k,n).  For k = 2 og n = 4 gir dette 4 som er i overensstemmelse med dimensjonen til Klein-kvadrikken.


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
Y.-B. Jia, Plücker Coordinates for Lines in the Space Arkivert 27. august 2020 hos Wayback Machine., forelesning I Computer Science ved Iowa State University (2020).
R.I. Liu, Projective spaces and Grassmannians Arkivert 7. februar 2021 hos Wayback Machine., forelesning i matematikk ved North Carolina State University (2020).