Gauss-integral

Gauss-integralet gir arealet under Gauss-kurven y = e−x2. I tillegg til å være av betydning i forskjellige deler av matematikken, har det mange anvendelser i sannsynlighetsregning, statistisk mekanikk, kvantemekanikk og kvantefeltteori. Integralet er definert som

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        x
        =
        
          
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}
  og gir opphav til mange andre, relaterte integraler. Dets navn er knyttet til Carl Friedrich Gauss selv om flere andre matematikere som Leonhard Euler, Pierre-Simon Laplace og Siméon Denis Poisson var kjent med det.


== Beregning ==
Det er ikke mulig å beregne det gaussiske integralet I  direkte fra de vanligste reglene for integrasjon. Men det lar seg gjøre fra det dobbelte integralet

  
    
      
        
          I
          
            0
          
          
            2
          
        
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            (
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
            )
          
        
        
        d
        x
        
        d
        y
      
    
    {\displaystyle I_{0}^{2}=\int _{-\infty }^{+\infty }\int _{-\infty }^{+\infty }e^{-(x^{2}+y^{2})}\,dx\,dy}
  som kan beregnes ved å innføre polarkoordinater x = r cosθ og y = r sinθ. Det gir

  
    
      
        
          I
          
            0
          
          
            2
          
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
        d
        θ
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        r
        
        r
        
          e
          
            −
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        =
        2
        π
        ⋅
        
          
            1
            2
          
        
        =
        π
      
    
    {\displaystyle I_{0}^{2}=\int _{0}^{2\pi }\!d\theta \int _{0}^{\infty }\!dr\,re^{-r^{2}}=2\pi \cdot {1 \over 2}=\pi }
  hvor verdien til den radielle integrasjonen følger fra eksponentialfunksjonen ved å innføre t = r 2 som ny integrasjonsvariabel. Dermed har man verdien I0 = √π  av Gauss-integralet.


== Relaterte integral ==
Ved et skifte av integrasjonsvariabel har Gauss-integralet på litt mer generell form verdien

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            a
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        x
        =
        
          
            
              π
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\pi  \over a}}}
  Tar man her den deriverte av begge sider med hensyn på parameteren a, finner man at

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        
          e
          
            −
            a
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        x
        =
        
          
            
              π
              a
            
          
        
        
          
            1
            
              2
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }x^{2}e^{-ax^{2}}\,dx={\sqrt {\pi  \over a}}{1 \over 2a}}
  Fortsatte derivasjoner gir verdien av mer kompliserte integral. 
En videre generalisering av Gauss-integralet er

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        x
        
        
          e
          
            −
            a
            
              x
              
                2
              
            
            +
            b
            x
          
        
        =
        
          
            
              π
              a
            
          
        
        
        
          e
          
            
              b
              
                2
              
            
            
              /
            
            4
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!dx\,e^{-ax^{2}+bx}={\sqrt {\pi  \over a}}\;e^{b^{2}/4a}}
  som fremkommer ved å skrive eksponenten som et fullstendig kvadrat,

  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        −
        b
        x
        =
        a
        (
        x
        −
        b
        
          /
        
        2
        a
        
          )
          
            2
          
        
        −
        
          
            
              b
              
                2
              
            
            
              4
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ax^{2}-bx=a(x-b/2a)^{2}-{b^{2} \over 4a}}
  og så skifte integrasjonsvariabel til y = x - b/2a.


== Sammenheng med gammafunksjonen ==
Ved å bruke t = x 2 som ny variabel i Gauss-integralet, tar det formen

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        x
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        t
        
        
          t
          
            −
            1
            
              /
            
            2
          
        
        
          e
          
            −
            t
          
        
        =
        Γ
        (
        1
        
          /
        
        2
        )
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx=\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{-1/2}e^{-t}=\Gamma (1/2)}
  Det er derfor ekvivalent med den spesielle verdien Γ(1/2) = √π  for gammafunksjonen.
Mer generelle Gauss-integral kan gjøres på samme måte ved bruk av gammafunksjonen. For eksempel, 

  
    
      
        
          I
          
            2
            n
          
        
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        x
        
        
          x
          
            2
            n
          
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        t
        
        
          t
          
            n
            −
            1
            
              /
            
            2
          
        
        
          e
          
            −
            t
          
        
        =
        Γ
        (
        n
        +
        1
        
          /
        
        2
        )
      
    
    {\displaystyle I_{2n}=\int _{-\infty }^{\infty }\!dx\,x^{2n}e^{-x^{2}}=\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{n-1/2}e^{-t}=\Gamma (n+1/2)}
  igjen etter substitusjonen x →  t = x 2 slik at dt = 2xdx. For n = 1 gir dette I 2 = Γ(3/2) = Γ(1/2 + 1) = (1/2)⋅Γ(1/2) = √π /2 i overenstemmelse med hva som tidligere ble funnet.


== Se også ==
Normalfordeling
Gammafunksjon


== Litteratur ==
T. Lindstrøm, Kalkulus, Universitetsforlaget, Oslo (2016). ISBN 978-82-1502-710-4.
M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.


== Eksterne lenker ==
K. Conrad, University of Connecticut,  The Gaussian Integral