Evolvent

Evolvent (engelsk: involute) er en kurve som står vinkelrett på tangentene til en annen kurve. En gitt kurve vil derfor ha uendelig mange evolventer som er parallelle med hverandre og starter i forskjellige punkt på den gitte kurven. Det betyr at normalen til en av disse evolventene også vil være normal til de andre evolventene slik at avstanden mellom to av dem er konstant når denne måles langs en normal.
Da evoluten til en kurve er definert som omhyllingskurven til dens normaler, vil evoluten til alle evolventene av en gitt kurve være denne samme kurven.
Ut fra denne definisjonen kan man gi en praktisk anvisning for konstruksjon av evolventen til en plan kurve. Man tar en tråd av en viss lengde og legger den langs kurven med en ende fast. Så beveges den andre enden ut fra tråden slik at den hele tiden holdes stramm. Det betyr at den frigjorte delen av tråden vil falle sammen med en tangent til kurven. Hvis denne avviklingen av tråden fra kurven fortsettes på samme måte, vil den frie enden beskrive en evolvent.
Noen spesielle evolventer har funnet praktiske anvendelser i utformingen av tannhjul.


== Matematisk definisjon ==
Ved bruk av naturlig parametrisering er den gitte kurven gitt ved en funksjon r = r(s)  der s er dens buelengde. For at et punkt  x skal være på en evolvent, må vektoren x -  r(s) ha samme retning som tangenten t = d r/ds  til kurven. Det betyr at

  
    
      
        
          x
        
        =
        
          r
        
        (
        s
        )
        +
        λ
        
          t
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {r} (s)+\lambda \mathbf {t} }
  hvor den ukjente størrelsen λ =  λ(s) må velges slik at tangenten T = d x/ds  til evolventen står vinkelrett på tangenten t til kurven.. Da

  
    
      
        
          T
        
        =
        
          t
        
        +
        
          
            
              d
              λ
            
            
              d
              s
            
          
        
        
          t
        
        +
        λ
        κ
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {t} +{d\lambda  \over ds}\mathbf {t} +\lambda \kappa \mathbf {n} }
  når man benytter  Frenets formel d t/ds = κ n der κ er kurvens krumning og n dens normal.
Betingelsen t⋅T = 0 gir dermed dλ/ds = - 1 da t⋅t = 1 og t⋅n = 0.  I resultatet λ(s) = a - s vil integrasjonskonsanten a tilsvare lengden på tråden som kan benyttes ved konstruksjonen av evolventen. Den er nå gitt ved ligningen

  
    
      
        
          x
        
        =
        
          r
        
        (
        s
        )
        +
        (
        a
        −
        s
        )
        
          t
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {r} (s)+(a-s)\mathbf {t} }
  som viser at den starter på den gitt kurven i punktet s = a.
Tangentvektoren til en evolvent er nå gitt som T = (a - s)κ n og er derfor null i begynnelsespunktet s = a. Dette er derfor et singulært punkt som arter seg som en spiss til evolventen. Ved å plotte denne for s < a og s > a kommer dette tydelig frem.


=== Evolute ===
Buelengden s er ingen naturlig parameter for evolventen da |T| ≠ 1. Kaller man den for u, vil den derfor være bestemt ved at du/ds = |T| =  (a - s)κ sålenge som s < a. Det gjør det mulig å beregne krumningsradius til evolventen med resultatet ρ = s - a. Skrives dens ligning som x(s) + ρ t = r(s), viser den at kurven r(s) er evoluten til evolventen da dennes normaler faller sammen med tangentene t til den gitte kurven.
Sammenhengene mellom en kurves evolventer og evoluter ble først klarlagt allerede i 1673 av Christian Huygens. Han viste at enhver kurve er evoluten til dens evolventer samtidig som den er en evolvent til dens evolute.


== Eksempel ==

Når den gitte kurven har en vilkårlig parametrisering  r = (x(t ),y(t )), er ikke tangenten r'  = d r/dt  i alminnelighet en enhetsvektor. Buelengden s må da beregnes fra 

  
    
      
        s
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            s
          
        
        
        d
        t
        
          |
        
        
          
            r
            ′
          
        
        
          |
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            s
          
        
        
        d
        t
        
          
            
              x
              
                ′
                
                  2
                
              
            
            (
            t
            )
            +
            
              y
              
                ′
                
                  2
                
              
            
            (
            t
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle s=\int _{0}^{s}\!dt|\mathbf {r'} |=\int _{0}^{s}\!dt{\sqrt {x'^{2}(t)+y'^{2}(t)}}}
  Den normerte tangentvektoren er da t = d r/ds  = r'(dt/ds).
Et enkelt eksempel er kjedelinjen y = coshx. Det tilsvarer parametriseringen x(t ) = t  og y(t ) = cosht  slik at s = sinht. Dermed er tangenten r'  = (1,sinht ) med lengde |r'| = ds/dt = cosht. En evolvent som starter i et vilkårlig punkt s = a er da gitt ved ligningene

  
    
      
        x
        (
        t
        )
        =
        t
        +
        (
        a
        −
        sinh
        ⁡
        t
        )
        
          
            1
            
              cosh
              ⁡
              t
            
          
        
        =
        t
        −
        tanh
        ⁡
        t
        +
        
          
            a
            
              cosh
              ⁡
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x(t)=t+(a-\sinh t){1 \over \cosh t}=t-\tanh t+{a \over \cosh t}}
  

  
    
      
        y
        (
        t
        )
        =
        cosh
        ⁡
        t
        +
        (
        a
        −
        sinh
        ⁡
        t
        )
        
          
            
              sinh
              ⁡
              t
            
            
              cosh
              ⁡
              t
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              cosh
              ⁡
              t
            
          
        
        +
        a
        tanh
        ⁡
        t
      
    
    {\displaystyle y(t)=\cosh t+(a-\sinh t){\sinh t \over \cosh t}={1 \over \cosh t}+a\tanh t}
  I det spesielle tilfellet for en evolvent som starter i kjedelinjens laveste punkt (0,1) som tilsvarer  at a = 0, blir den en traktrise.


=== Sirkelevolventen ===

Tangenten til sirkelen r = (cost, sint ) er enhetsvektoren  r'  = (-sint, cost ). Det betyr at t gir en naturlig parametrisering av sirkelen med buelengde s = t.
En evolvent til sirkelen som starter i punktet med parameter t = a, er da gitt som x = (cost, sint ) + (a - t ) (-sint, cost ). Hvert punkt på denne sirkelevolventen  har derfor koordinatene

  
    
      
        
          
            
              
                x
                (
                t
                )
              
              
                
                =
                cos
                ⁡
                t
                +
                (
                t
                −
                a
                )
                sin
                ⁡
                t
              
            
            
              
                y
                (
                t
                )
              
              
                
                =
                sin
                ⁡
                t
                −
                (
                t
                −
                a
                )
                cos
                ⁡
                t
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&=\cos t+(t-a)\sin t\\y(t)&=\sin t-(t-a)\cos t\end{aligned}}}
  Når  a = 0, starter den i punktet (1,0). Vanligvis blir kurven fremstilt for dette valget av denne parameteren.Buelengden til sirkelevolventen finnes nå som

  
    
      
        L
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            t
          
        
        
        d
        t
        
          
            
              x
              
                ′
                
                  2
                
              
            
            (
            t
            )
            +
            
              y
              
                ′
                
                  2
                
              
            
            (
            t
            )
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        t
        −
        a
        
          )
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle L=\int _{0}^{t}\!dt{\sqrt {x'^{2}(t)+y'^{2}(t)}}={1 \over 2}(t-a)^{2},}
  mens krumningen  er

  
    
      
        κ
        =
        
          
            
              
                x
                ′
              
              
                y
                ″
              
              −
              
                x
                ″
              
              
                y
                ′
              
            
            
              (
              
                x
                
                  ′
                  
                    2
                  
                
              
              +
              
                y
                
                  ′
                  
                    2
                  
                
              
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              t
              −
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa ={x'y''-x''y' \over (x'^{2}+y'^{2})^{3/2}}={1 \over t-a}}
  Det betyr at den har en krumningsradius ρ = 1/κ = t - a. Herav kan nå evoluten til denne evolventen beregnes og blir den gitte sirkelen (cost, sint ) uavhengig av parameteren a. Evoluten til alle sirkelevolventer er derfor sirkelen.


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
Stackexchange, Evolute of Involute, Mathematics blog
Tec-Science, Geometry of Involute Gears, evolventer og tannhjul