Bernoulli-tall

Bernoulli-tall er i matematikken  spesielle, rasjonale tall som er av stor betydning i tallteori og teoretisk fysikk. De betegnes med Bn  med B 0 = 1. Tallene er negative når indeksen n er et liketall delelig med fire og positive hvis ikke. Når n er et oddetall, er de null bortsett fra B 1 = -1/2. De første femten Bernoulli-tall er:

For store verdier av indeksen n  vokser deres størrelse like raskt som fakultetsfunksjonen n !.
Den første opptreden av Bernoulli-tallene ble påvist av den sveitsiske matematiker Jakob Bernoulli i forbindelse med summasjon av potenser av naturlige tall. Dette ble publisert i samlingen av hans arbeid Ars Conjectandi innen sannsynlighetsregning som først kom på trykk i 1713 etter han var død. I ettertid ble det kjent at den japanske matematiker  Seki Takakazu hadde uavhengig oppdaget tallene omtrent på samme tid.
Tallenes videre betydning ble i stor grad klarlagt av den sveitsiske matematiker Leonhard Euler i forbindelse med det som i dag omtales som Riemanns zetafunksjon og Euler-Maclaurins formel. Det var gjennom disse arbeidene at Euler også knyttet Bernoulli-navnet til tallene.
Det som sies å være verdens første datamaskinprogram ble skrevet av Ada Lovelace i 1843. Det skulle i prinsippet kunne beregne stadig større Bernoulli-tall på den planlagte, mekaniske regnemaskinen til Charles Babbage som aldri ble ferdig bygget.


== Definisjon ==
Det er mange forskjellige måter å definere Bernoulli-tallene. En av de enkleste definisjonene og kanskje den med mest direkte, praktiske anvendelser ble først gitt av Euler. Han viste at hvis  funksjonen

  
    
      
        G
        (
        t
        )
        =
        
          
            t
            
              
                e
                
                  t
                
              
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle G(t)={t \over e^{t}-1}}
  utvikles i en Taylor-rekke, opptrer Bernoulli-tallene når rekkeutviklingen skrives som

  
    
      
        
          
            t
            
              
                e
                
                  t
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              B
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        
          t
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {t \over e^{t}-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n} \over n!}t^{n}}
  Direkte multiplikasjon med e t - 1  på begge sider gir dermed til laveste orden

  
    
      
        
          
            
              
                t
              
              
                
                =
                
                  (
                  
                    t
                    +
                    
                      
                        
                          t
                          
                            2
                          
                        
                        
                          2
                          !
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          t
                          
                            3
                          
                        
                        
                          3
                          !
                        
                      
                    
                    +
                    ⋯
                  
                  )
                
                
                  (
                  
                    
                      B
                      
                        0
                      
                    
                    +
                    
                      B
                      
                        1
                      
                    
                    t
                    +
                    
                      
                        
                          B
                          
                            2
                          
                        
                        
                          2
                          !
                        
                      
                    
                    
                      t
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          B
                          
                            3
                          
                        
                        
                          3
                          !
                        
                      
                    
                    
                      t
                      
                        3
                      
                    
                    +
                    ⋯
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                t
                
                  B
                  
                    0
                  
                
                +
                
                  
                    
                      t
                      
                        2
                      
                    
                    
                      2
                      !
                    
                  
                
                
                  
                    (
                  
                
                
                  B
                  
                    0
                  
                
                +
                2
                
                  B
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    )
                  
                
                +
                
                  
                    
                      t
                      
                        3
                      
                    
                    
                      3
                      !
                    
                  
                
                
                  
                    (
                  
                
                
                  B
                  
                    0
                  
                
                +
                3
                
                  B
                  
                    1
                  
                
                +
                3
                
                  B
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    )
                  
                
                +
                
                  
                    
                      t
                      
                        4
                      
                    
                    
                      4
                      !
                    
                  
                
                
                  
                    (
                  
                
                
                  B
                  
                    0
                  
                
                +
                4
                
                  B
                  
                    1
                  
                
                +
                6
                
                  B
                  
                    2
                  
                
                +
                4
                
                  B
                  
                    3
                  
                
                
                  
                    )
                  
                
                ⋯
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}t&=\left(t+{t^{2} \over 2!}+{t^{3} \over 3!}+\cdots \right)\left(B_{0}+B_{1}t+{B_{2} \over 2!}t^{2}+{B_{3} \over 3!}t^{3}+\cdots \right)\\&=tB_{0}+{t^{2} \over 2!}{\big (}B_{0}+2B_{1}{\big )}+{t^{3} \over 3!}{\big (}B_{0}+3B_{1}+3B_{2}{\big )}+{t^{4} \over 4!}{\big (}B_{0}+4B_{1}+6B_{2}+4B_{3}{\big )}\cdots \end{aligned}}}
  For at høyresiden her skal ganske enkelt være lik med t  for alle verdier av denne variable, må man for det første ha at  B 0 = 1. Videre må koeffisienten til t 2  være null slik at B1 = -1/2. Videre fremkommer på samme måte at B2 = 1/6, B3 = 0,  B4 = -1/30, B5 = 0, B6 = 1/42 og så videre. Bortsett fra  B1 ser Bernoulli-tallene med odde indeks ut til å være null. At det er generelt riktig, følger fra å betrakte den spesielle kombinasjonen

  
    
      
        G
        (
        t
        )
        +
        
          
            t
            2
          
        
        =
        
          
            t
            2
          
        
        
          
            
              
                e
                
                  t
                
              
              +
              1
            
            
              
                e
                
                  t
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          
            t
            2
          
        
        coth
        ⁡
        
          
            t
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle G(t)+{t \over 2}={t \over 2}{e^{t}+1 \over e^{t}-1}={t \over 2}\coth {t \over 2}}
  Funksjonen på høyre side er en like funksjon av t. Derfor er også G(t ) + t/2 en like funksjon slik at alle odde Bernoulli-tall B2k + 1 med k > 0 må være  null.Notasjon og definisjon av Bernoulli-tallene har variert opp gjennom årene. Jakob Bernoulli selv skrev de første med like indekser som  A = B2 , B = B4, C = B6 og så videre. En tidligere mye brukt definisjon var basert på å definere Bernoulli-tallene ved funksjonen

  
    
      
        
          G
          
            ∗
          
        
        (
        t
        )
        =
        G
        (
        −
        t
        )
        =
        
          
            t
            
              1
              −
              
                e
                
                  −
                  t
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle G^{*}(t)=G(-t)={t \over 1-e^{-t}}}
  En tilsvarende rekkeutvikling av denne funksjonen gir alternative Bernoulli-tall Bn* som er nøyaktig de samme som Bn  bortsett fra B1* = +1/2. I de fleste sammenhenger brukes ikke denne definisjonen lenger.


== Summasjon av potenser ==

Helt fra antikken har det vært interesse i å kunne beregne summen av potenser av de naturlige tallene,

  
    
      
        
          S
          
            p
          
          
            ∗
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          k
          
            p
          
        
        =
        
          1
          
            p
          
        
        +
        
          1
          
            p
          
        
        +
        
          2
          
            p
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          n
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{p}^{*}(n)=\sum _{k=1}^{n}k^{p}=1^{p}+1^{p}+2^{p}+\cdots +n^{p}}
  De første eksemplene er

  
    
      
        
          
            
              
                1
                +
                2
                +
                3
                +
                ⋯
                +
                n
              
              
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  n
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                n
              
            
            
              
                
                  1
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  2
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  3
                  
                    2
                  
                
                +
                ⋯
                +
                
                  n
                  
                    2
                  
                
              
              
                =
                
                  
                    1
                    3
                  
                
                
                  n
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  n
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    6
                  
                
                n
              
            
            
              
                
                  1
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  2
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  3
                  
                    3
                  
                
                +
                ⋯
                +
                
                  n
                  
                    3
                  
                
              
              
                =
                
                  
                    1
                    4
                  
                
                
                  n
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  n
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    4
                  
                
                
                  n
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                
                  1
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  2
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  3
                  
                    4
                  
                
                +
                ⋯
                +
                
                  n
                  
                    4
                  
                
              
              
                =
                
                  
                    1
                    5
                  
                
                
                  n
                  
                    5
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  n
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    3
                  
                
                
                  n
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  
                    1
                    30
                  
                
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{lll}1+2+3+\cdots +n&={\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{2}}n\\1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}&={\frac {1}{3}}n^{3}+{\frac {1}{2}}n^{2}+{\frac {1}{6}}n\\1^{3}+2^{3}+3^{3}+\cdots +n^{3}&={\frac {1}{4}}n^{4}+{\frac {1}{2}}n^{3}+{\frac {1}{4}}n^{2}\\1^{4}+2^{4}+3^{4}+\cdots +n^{4}&={\frac {1}{5}}n^{5}+{\frac {1}{2}}n^{4}+{\frac {1}{3}}n^{3}-{\frac {1}{30}}n\end{array}}}
  Slike summer var tidligere blitt undersøkt av den tyske ingeniør og matematiker Johannes Faulhaber.  Han kunne utlede tilsvarende formler for rekker inneholdende opptil 17-potenser. Men det var Jakob Bernoulli som oppdaget systematikken i disse formlene og kunne generalisere dem til rekker med vilkårlig høye potenser.  Han påpekte blant annet at summene av p-potenser kan skrives som polynom i n hvor det ledende leddet alltid er n p+1/(p + 1). Likedan har neste ledd av grad p alltid en koeffisient lik 1/2. Dette er Bernoulli-tallet B1*. Koeffisienten til leddet proporsjonalt med n er Bernoulli-tallet Bp. Sammen med den generelle formelen for summen ble dette en del av hans verk Ars Conjectandi.For å være i overenstemmelse med den moderne definisjonen av Bernoulli-tallene, er det mer naturlig å foreta summasjonen av potenser fra  0 til n - 1  istedenfor fra 1 til n.  Generelt har man da å gjøre med summene

  
    
      
        
          S
          
            p
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        
          k
          
            p
          
        
        =
        
          0
          
            p
          
        
        +
        
          1
          
            p
          
        
        +
        
          2
          
            p
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          
            (
            n
            −
            1
            )
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{p}(n)=\sum _{k=0}^{n-1}k^{p}=0^{p}+1^{p}+2^{p}+\cdots +{(n-1)}^{p}}
  som er direkte relatert til de opprinnelige ved den enkle sammenhengen

  
    
      
        
          S
          
            p
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          S
          
            p
          
          
            ∗
          
        
        (
        n
        )
        −
        
          n
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{p}(n)=S_{p}^{*}(n)-n^{p}}
  Det betyr at  kun koeffisienten til leddet av grad p i polynomet skifter fortegn og tilsvarer den nyere konvensjonen med B1 = -1/2. I tillegg har man da for summen S 0 = n  når man definerer 00 = 1. Disse summene omtales vanligvis som Faulhaber-polynomene.


=== Generell formel ===
Bernoulli kjente til at summen av vilkårlig mange polytopiske figurtall kan skrives som et nytt slikt figurtall. Ved å kombinere slike summer med koeffisienter fra Pascals trekant kom han frem til en general formel for summen av potenserte heltall. Svaret er gitt ved polynomet

  
    
      
        
          
            
              
                
                  S
                  
                    p
                  
                
                (
                n
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      p
                      +
                      1
                    
                  
                
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    p
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      
                        p
                        +
                        1
                      
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  B
                  
                    k
                  
                
                
                
                  n
                  
                    p
                    +
                    1
                    −
                    k
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      n
                      
                        p
                        +
                        1
                      
                    
                    
                      p
                      +
                      1
                    
                  
                
                +
                
                  B
                  
                    1
                  
                
                
                  n
                  
                    p
                  
                
                +
                
                  
                    
                      B
                      
                        2
                      
                    
                    
                      2
                      !
                    
                  
                
                p
                
                  n
                  
                    p
                    −
                    1
                  
                
                +
                
                  
                    
                      B
                      
                        3
                      
                    
                    
                      3
                      !
                    
                  
                
                p
                (
                p
                −
                1
                )
                
                  n
                  
                    p
                    −
                    2
                  
                
                +
                ⋯
                +
                
                  
                    
                      B
                      
                        p
                        −
                        1
                      
                    
                    
                      2
                      !
                    
                  
                
                p
                
                  n
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  B
                  
                    p
                  
                
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}S_{p}(n)&={1 \over {p+1}}\sum _{k=0}^{p}{p+1 \choose k}B_{k}\,n^{p+1-k}\\&={n^{p+1} \over p+1}+B_{1}n^{p}+{B_{2} \over 2!}pn^{p-1}+{B_{3} \over 3!}p(p-1)n^{p-2}+\cdots +{B_{p-1} \over 2!}pn^{2}+B_{p}n\end{aligned}}}
  Tallene Bk  er konstanter, uavhengige av potensen p og er siden blitt kalt for Bernoulli-tall. Denne formelen reproduserte de allerede kjente polynomene til Faulhaber, men kunne nå benyttes for alle summer med vilkårlig høye potenser.
Beregningen er nå redusert til å finne et lite antall Bernoulli-tall. Jakob Bernoulli selv regnet disse ut opp til p = 10. Han hadde dermed for summen

  
    
      
        
          1
          
            10
          
        
        +
        
          2
          
            10
          
        
        +
        
          3
          
            10
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          n
          
            10
          
        
        =
        
          
            1
            11
          
        
        
          n
          
            11
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          n
          
            10
          
        
        +
        
          
            5
            6
          
        
        
          n
          
            9
          
        
        −
        
          n
          
            7
          
        
        +
        
          n
          
            5
          
        
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          n
          
            3
          
        
        +
        
          
            5
            66
          
        
        n
      
    
    {\displaystyle 1^{10}+2^{10}+3^{10}+\cdots +n^{10}={\frac {1}{11}}n^{11}+{1 \over 2}n^{10}+{5 \over 6}n^{9}-n^{7}+n^{5}-{1 \over 2}n^{3}+{5 \over 66}n}
  Dette skapte tydelig så stor begeistring som han omtalte i Ars Conjectandi, etter at han nå kunne regne summen ut for n = 1000 på mindre enn et halvt kvarter med det store tallet 91 409 924 241 424 243 424 241 924 242 500 som resultat. Istedenfor å legge sammen tusen store tall, forenkler formelen beregningen i dette tilfellet til en summasjon av bare syv tall.


== Rekursjonsrelasjoner ==
Slik som Bernoulli-tallene opptrer i summasjonsformelen, er det klart at de må være relatert til hverandre på en bestemt måte. Bortsett fra B0 er de alle brøker, men likevel skal de gi et heltall for summen Sp(n)  for alle heltall n. Denne sammenhengen kan enklest tydeliggjøres ved å velge n = 1. For alle p ≥ 1 er da summen Sp(1) = 0 slik at formelen til Bernoulli gir

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            p
          
        
        
          
            
              (
            
            
              
                p
                +
                1
              
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          B
          
            k
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{p}{p+1 \choose k}B_{k}=0}
  Ved å isolere leddet i denne rekken hvor k = p, kan sammenhengen skrives som

  
    
      
        (
        p
        +
        1
        )
        
          B
          
            p
          
        
        =
        −
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            p
            −
            1
          
        
        
          
            
              (
            
            
              
                p
                +
                1
              
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          B
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle (p+1)B_{p}=-\sum _{k=0}^{p-1}{p+1 \choose k}B_{k}}
  Dette er en rekursjonsrelasjon som gjør det umulig å beregne Bp  når man allerede kjenner de med indekser k < p. Starter man med B 0 = 1, får man til laveste orden p = 1 at 2B1 = -B 0 eller B1 = -1/2. I neste stepp følger dermed 3B2 = - B 0 - 3B1 = 1/2 som gir  B2 = 1/6. Slik kan man så fortsette. Det var denne formelen at Ada Lovelace programmerte for den planlagte regnemaskinen til Charles Babbage i 1843 for beregning av Bernoulli-tallene .Setter man n = p + 1 I rekursjonsformelen, kan den skrives som

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
            −
            1
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          B
          
            k
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          B
          
            k
          
        
        −
        
          B
          
            n
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}{n \choose k}B_{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}-B_{n}=0}
  hvor nå n ≥ 2. Denne summen har samme struktur som binomialformelen for (1 + B)n  hvis man skriver Bernoulli-tallet Bk = Bk  hvor B uten indeks behandles som et abstrakt symbol. Da kan rekursjonsformelen skrives på den kompakte formen (1 + B)n -  Bn = 0 eller

  
    
      
        
          B
          
            n
          
        
        =
        (
        B
        +
        1
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{n}=(B+1)^{n}}
  Fra n = 2 og oppover finner man herav de tidligere sammenhengene

  
    
      
        
          
            
              
                
                  B
                  
                    0
                  
                
                +
                2
                
                  B
                  
                    1
                  
                
              
              
                
                =
                0
              
            
            
              
                
                  B
                  
                    0
                  
                
                +
                3
                
                  B
                  
                    1
                  
                
                +
                3
                
                  B
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                0
              
            
            
              
                
                  B
                  
                    0
                  
                
                +
                4
                
                  B
                  
                    1
                  
                
                +
                6
                
                  B
                  
                    2
                  
                
                +
                4
                
                  B
                  
                    3
                  
                
              
              
                
                =
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}+2B_{1}&=0\\B_{0}+3B_{1}+3B_{2}&=0\\B_{0}+4B_{1}+6B_{2}+4B_{3}&=0\end{aligned}}}
  som kan fortsettes på samme måte hvor koeffisientene finnes direkte fra Pascals trekant. Som tidligere er her B 0 = 1.


== Matriseformulering ==
Rekursjonsrelasjonen som genererer Bernoulli-tallene, kan skrives på matriseform.. Skal man beregne for eksempel de tre første, kan de inngå i en kolonnevektor  b med komponenter bT = (B 0, B1, B2, B3). Ved å innføre 4×4-matrisen

  
    
      
        A
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  1
                
                
                  3
                
                
                  3
                
                
                  0
                
              
              
                
                  1
                
                
                  4
                
                
                  6
                
                
                  4
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\1&2&0&0\\1&3&3&0\\1&4&6&4\end{bmatrix}}}
  ,kan de fire rekursjonsligningene skrives på den kompakte formen

  
    
      
        A
        ⋅
        
          b
        
        =
        
          e
        
      
    
    {\displaystyle A\cdot \mathbf {b} =\mathbf {e} }
  hvor kolonnevektoren e har komponentene eT = (1, 0, 0, 0). Mer eksiplitt ser dette ut som den ene matriseligningen

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  1
                
                
                  3
                
                
                  3
                
                
                  0
                
              
              
                
                  1
                
                
                  4
                
                
                  6
                
                
                  4
                
              
            
            ]
          
        
        ⋅
        
          
            [
            
              
                
                  
                    B
                    
                      0
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    B
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    B
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    B
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0&0&0\\1&2&0&0\\1&3&3&0\\1&4&6&4\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}B_{0}\\B_{1}\\B_{2}\\B_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\\0\\0\\0\end{bmatrix}}}
  Elementene til matrisen A er de samme som i Pascals trekant hvor linjen til høyre med bare 1-tall er fjernet. De kan uttrykkes ved binomialkoeffisientene som

  
    
      
        
          A
          
            i
            j
          
        
        =
        
          
            
              (
            
            
              
                i
                +
                1
              
              j
            
            
              )
            
          
        
        ,
        
        
        j
        ≤
        i
      
    
    {\displaystyle A_{ij}={i+1 \choose j},\;\;j\leq i}
  og er null ellers.  Indeksene i og j går her fra 0 til 3. Hver kolonne i matrisen inneholder de polytopiske figurtallene. Disse matriseligningene kan lett generaliseres til n×n-matriser som gjelder for Bernoulli-tallene fra B 0 opp til Bn - 1Ved å beregne den inverse matrisen A−1 kan Bernoulli-tallene beregnes fra b =  A−1⋅e. De er derfor gitt ved elementene  i den første kolonnen til den inverse matrisen. I eksempelet over der A er en  4×4-matrise, finner man

  
    
      
        
          A
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  −
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  
                    
                      1
                      6
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                      1
                      3
                    
                  
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    
                      1
                      4
                    
                  
                
                
                  −
                  
                    
                      1
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                      1
                      4
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{-1}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}&0&0\\{\frac {1}{6}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{3}}&0\\0&{\frac {1}{4}}&-{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\end{bmatrix}}}
  I tillegg til B 0 = 1, ser man herav at B1 = -1/2, B2 = 1/6 og B3 = 0.


=== Faulhaber-polynom ===
Formelen til Bernoulli for summasjon av potenser kan nå også lett utledes. Man kan da ta utgangspunkt i summen

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
                
                  
                    [
                  
                
                (
                k
                +
                1
                
                  )
                  
                    m
                  
                
                −
                
                  k
                  
                    m
                  
                
                ]
              
              
                
                =
                
                  1
                  
                    m
                  
                
                −
                
                  0
                  
                    m
                  
                
                +
                
                  2
                  
                    m
                  
                
                −
                
                  1
                  
                    m
                  
                
                +
                
                  3
                  
                    m
                  
                
                −
                
                  2
                  
                    m
                  
                
                +
                ⋯
                +
                
                  n
                  
                    m
                  
                
                −
                (
                n
                −
                1
                
                  )
                  
                    m
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  n
                  
                    m
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{n-1}{\big [}(k+1)^{m}-k^{m}]&=1^{m}-0^{m}+2^{m}-1^{m}+3^{m}-2^{m}+\cdots +n^{m}-(n-1)^{m}\\&=n^{m}\end{aligned}}}
  når m ≥ 1. Men samtidig kan man omskrive summen på venstre side ved bruk av binomialformelen slik at man har

  
    
      
        
          ∑
          
            p
            =
            0
          
          
            r
          
        
        
          
            
              (
            
            
              
                r
                +
                1
              
              p
            
            
              )
            
          
        
        
          S
          
            p
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          n
          
            r
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{p=0}^{r}{r+1 \choose p}S_{p}(n)=n^{r+1}}
  etter å ha satt m = r + 1 og innført notasjonen Sp(n) for summene av p-potenser over n heltall. Men dette settet med ligninger representerer igjen en enkelt matriseligning A⋅s = n  hvor de to kolonnevektorene har komponenter  sT = (S0, S1, S2, ....)  og nT = (n, n 2, n 3, ...). Ved å bruke den inverse matrisen kan ligningen omskrives til

  
    
      
        
          s
        
        =
        
          A
          
            −
            1
          
        
        ⋅
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {s} =A^{-1}\cdot \mathbf {n} }
  som gir summene uttrykt ved Faulhaber-polynomer i n. Dette er ikke noen annet Bernoullis summasjonsformel skrevet på matriseform.
Et enkelt eksempel er de fire første summene. De kan nå avleses fra

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  
                    S
                    
                      0
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    S
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    S
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    S
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  −
                  1
                  
                    /
                  
                  2
                
                
                  1
                  
                    /
                  
                  2
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  1
                  
                    /
                  
                  6
                
                
                  −
                  1
                  
                    /
                  
                  2
                
                
                  1
                  
                    /
                  
                  3
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                  
                    /
                  
                  4
                
                
                  −
                  1
                  
                    /
                  
                  2
                
                
                  1
                  
                    /
                  
                  4
                
              
            
            ]
          
        
        ⋅
        
          
            [
            
              
                
                  n
                
              
              
                
                  
                    n
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    n
                    
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    n
                    
                      4
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{0}\\S_{1}\\S_{2}\\S_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\-1/2&1/2&0&0\\1/6&-1/2&1/3&0\\0&1/4&-1/2&1/4\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}n\\n^{2}\\n^{3}\\n^{4}\end{bmatrix}}}
  Denne fremgangsmåten er dermed redusert til å finne den inverse matrisen A-1. Dette kan alltid gjøres med standard metoder fra lineær algebra for vilkårlig store matriser.


== Bernoulli-polynom ==

Ved å betrakte B som er abstrakt symbol, kan man fra den samme rekursjonsrelasjon lett definere spesielle polynom direkte forbundet med Bernoulli-tallene. Det er Bernoulli-polynomnene

  
    
      
        
          B
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        B
        +
        x
        
          )
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          B
          
            k
          
        
        
        
          x
          
            n
            −
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{n}(x)=(B+x)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}B_{k}\,x^{n-k}}
  De fem første er

  
    
      
        
          
            
              
                
                  B
                  
                    0
                  
                
                (
                x
                )
              
              
                
                =
                1
              
            
            
              
                
                  B
                  
                    1
                  
                
                (
                x
                )
              
              
                
                =
                x
                −
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
            
              
                
                  B
                  
                    2
                  
                
                (
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                −
                x
                +
                
                  
                    1
                    6
                  
                
              
            
            
              
                
                  B
                  
                    3
                  
                
                (
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  
                    3
                    2
                  
                
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                x
              
            
            
              
                
                  B
                  
                    4
                  
                
                (
                x
                )
              
              
                
                =
                
                  x
                  
                    4
                  
                
                −
                2
                
                  x
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  
                    1
                    30
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}B_{0}(x)&=1\\B_{1}(x)&=x-{\frac {1}{2}}\\B_{2}(x)&=x^{2}-x+{\frac {1}{6}}\\B_{3}(x)&=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x\\B_{4}(x)&=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}}\end{aligned}}}
  Fra definisjonen ser man at de har alle den spesielle egenskapen Bn(0) =  Bn for n ≥ 0, mens Bn(1) =  Bn for n ≥ 2. Disse polynomene kan derfor lett utvides til å bli periodiske funksjoner.
Summasjonsformelen til Bernoulli kan nå skrives på den kompakte formen

  
    
      
        
          S
          
            p
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          
            1
            
              p
              +
              1
            
          
        
        
          [
          
            
              B
              
                p
                +
                1
              
            
            (
            n
            )
            −
            
              B
              
                p
                +
                1
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle S_{p}(n)={1 \over p+1}\left[B_{p+1}(n)-B_{p+1}\right]}
  De opprinnelige polynomene som Faulhaber fant for summene av potenser, kan derfor på denne måten enkelt  uttrykkes ved Bernoulli-polynom.


=== Analytisk sammenheng ===
Bernoulli-polynomene kan forbindes ved derivasjon. Det følger fra å skrive den genererende funksjonen

  
    
      
        G
        (
        t
        )
        =
        
          
            t
            
              
                e
                
                  t
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              t
              
                k
              
            
            
              k
              !
            
          
        
        
          B
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle G(t)={t \over e^{t}-1}=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}B_{k}}
  for Bernoulli-tallene på den symbolske formen

  
    
      
        G
        (
        t
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              t
              
                k
              
            
            
              k
              !
            
          
        
        
          B
          
            k
          
        
        =
        
          e
          
            B
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle G(t)=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}B^{k}=e^{Bt}}
  Det betyr at produktet G(t,x) = G(t )etx  blir

  
    
      
        G
        (
        t
        ,
        x
        )
        =
        
          
            
              t
              
                e
                
                  x
                  t
                
              
            
            
              
                e
                
                  t
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          e
          
            (
            B
            +
            x
            )
            t
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              t
              
                k
              
            
            
              k
              !
            
          
        
        
          B
          
            k
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle G(t,x)={te^{xt} \over e^{t}-1}=e^{(B+x)t}=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}B_{k}(x)}
  En derivasjon av begge sidene av denne ligningen med hensyn på den variable x, gir nå

  
    
      
        
          
            
              ∂
              G
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        (
        t
        ,
        x
        )
        =
        t
        G
        (
        t
        ,
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              t
              
                k
              
            
            
              k
              !
            
          
        
        
          B
          
            k
          
          ′
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\partial G \over \partial x}(t,x)=tG(t,x)=\sum _{k=0}^{\infty }{t^{k} \over k!}B'_{k}(x)}
  Ved å sammenligne koeffisientene til t k  på begge sider, fremkommer den analytiske sammenhengen

  
    
      
        
          B
          
            k
          
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        k
        
          B
          
            k
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle B'_{k}(x)=kB_{k-1}(x)}
  Da Faulhaber-summene kan uttrykkes ved Bernoulli-polynom, betyr dette at man kan finne summen Sp - 1(n)  ganske enkelt  ved derivasjon av Sp(n) . Det følger fra

  
    
      
        
          
            
              
                
                  S
                  
                    p
                  
                  ′
                
                (
                n
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        B
                        
                          p
                          +
                          1
                        
                        ′
                      
                      (
                      n
                      )
                    
                    
                      p
                      +
                      1
                    
                  
                
                =
                
                  B
                  
                    p
                  
                
                (
                n
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                p
                
                  S
                  
                    p
                    −
                    1
                  
                
                (
                n
                )
                +
                
                  B
                  
                    p
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}S'_{p}(n)&={B'_{p+1}(n) \over p+1}=B_{p}(n)\\&=pS_{p-1}(n)+B_{p}\end{aligned}}}
  Dette kan illustrereres for eksempel for p = 4. Da er

  
    
      
        
          
            
              
                
                  S
                  
                    4
                  
                  ′
                
                (
                n
                )
              
              
                
                =
                
                  n
                  
                    4
                  
                
                −
                2
                
                  n
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  n
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  
                    1
                    30
                  
                
                =
                
                  B
                  
                    4
                  
                
                (
                n
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                4
                
                  S
                  
                    3
                  
                
                (
                n
                )
                +
                
                  B
                  
                    4
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}S'_{4}(n)&=n^{4}-2n^{3}+n^{2}-{1 \over 30}=B_{4}(n)\\&=4S_{3}(n)+B_{4}\end{aligned}}}
  Men man kan også ut fra dette øke graden på Faulhaber-polynomene ved direkte integrasjon. Det gir

  
    
      
        
          
            
              
                
                  S
                  
                    p
                  
                
                (
                n
                )
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    n
                  
                
                
                d
                x
                
                  B
                  
                    p
                  
                
                (
                x
                )
                =
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    p
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      p
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  B
                  
                    k
                  
                
                
                  
                    
                      n
                      
                        p
                        +
                        1
                        −
                        k
                      
                    
                    
                      p
                      +
                      1
                      −
                      k
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      p
                      +
                      1
                    
                  
                
                
                  ∑
                  
                    k
                    =
                    0
                  
                  
                    p
                  
                
                
                  
                    
                      (
                    
                    
                      
                        p
                        +
                        1
                      
                      k
                    
                    
                      )
                    
                  
                
                
                  B
                  
                    k
                  
                
                
                
                  n
                  
                    p
                    +
                    1
                    −
                    k
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}S_{p}(n)&=\int _{0}^{n}\!dxB_{p}(x)=\sum _{k=0}^{p}{p \choose k}B_{k}{n^{p+1-k} \over p+1-k}\\&={1 \over p+1}\sum _{k=0}^{p}{p+1 \choose k}B_{k}\,n^{p+1-k}\end{aligned}}}
  som er den opprinnelige summasjonsformelen til Bernoulli.


== Bernoulli-tallene og zetafunksjonen ==
 
Det var Euler rundt 1735 som i forbindelse med løsningen av  Basel-problemet,  fant sammenhengen mellom Bernoulli-tallene og det som senere av Riemann skulle bli kalt zetafunksjonen ζ(s). Denne sammenhengen eksisterer spesielt for positive partall  s = 2k  og kan da skrives som

  
    
      
        ζ
        (
        2
        k
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              
                2
                k
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              
                2
                k
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              
                2
                k
              
            
          
        
        +
        ⋯
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            k
            −
            1
          
        
        
          
            
              (
              2
              π
              
                )
                
                  2
                  k
                
              
            
            
              2
              (
              2
              k
              )
              !
            
          
        
        
          B
          
            2
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (2k)={1 \over 1^{2k}}+{1 \over 3^{2k}}+{1 \over 3^{2k}}+\cdots =(-1)^{k-1}{(2\pi )^{2k} \over 2(2k)!}B_{2k}}
  Når argumentet i zetafunksjonen blir stort og positivt, vil den første termen i rekken dominere slik at funksjonen går mot den konstante verdien 1.  Bernoulli-tallene for store indekser vil derfor vokse som

  
    
      
        
          |
        
        
          B
          
            2
            k
          
        
        
          |
        
        ∼
        
          
            
              2
              
              (
              2
              k
              )
              !
            
            
              (
              2
              π
              
                )
                
                  2
                  k
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle |B_{2k}|\sim {\frac {2\,(2k)!}{(2\pi )^{2k}}}}
  som kan estimeres mer nøyaktig ved bruk av Stirlings formel for fakultetsfunksjonen. Det gir

  
    
      
        
          |
        
        
          B
          
            2
            k
          
        
        
          |
        
        ∼
        4
        
          
            π
            k
          
        
        
          
            (
            
              
                k
                
                  π
                  e
                
              
            
            )
          
          
            2
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle |B_{2k}|\sim 4{\sqrt {\pi k}}\left({\frac {k}{\pi e}}\right)^{2k}}
  .og betyr at Taylor-rekken

  
    
      
        
          
            x
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              B
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {x \over e^{x}-1}=\sum _{n=0}^{\infty }{B_{n} \over n!}x^{n}}
  for Bernoulli-tallene er konvergent bare for |x | < 2π.
Fra integraldefinisjonen av zetafunksjonen følger nå integralene

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        x
        
          
            
              x
              
                2
                k
                −
                1
              
            
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        (
        2
        k
        −
        1
        )
        !
        ζ
        (
        2
        k
        )
        =
        (
        2
        π
        
          )
          
            2
            k
          
        
        
          
            
              
                |
              
              
                B
                
                  2
                  k
                
              
              
                |
              
            
            
              4
              k
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\!dx{x^{2k-1} \over e^{x}-1}=(2k-1)!\zeta (2k)=(2\pi )^{2k}{|B_{2k}| \over 4k}}
  De opptrer i statistisk kvantemekanikk for masseløse bosoner som for eksempel fotoner i sort stråling.
Ved å bruke omskrivningen

  
    
      
        
          
            1
            
              
                e
                
                  x
                
              
              +
              1
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        −
        
          
            2
            
              
                e
                
                  2
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {1 \over e^{x}+1}={1 \over e^{x}-1}-{2 \over e^{2x}-1},}
  finner man de tilsvarende integralene

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        x
        
          
            
              x
              
                2
                k
                −
                1
              
            
            
              
                e
                
                  x
                
              
              +
              1
            
          
        
        =
        (
        2
        π
        
          )
          
            2
            k
          
        
        
          
            
              
                |
              
              
                B
                
                  2
                  k
                
              
              
                |
              
            
            
              4
              k
            
          
        
        
          
            (
          
        
        1
        −
        
          2
          
            1
            −
            2
            k
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\!dx{x^{2k-1} \over e^{x}+1}=(2\pi )^{2k}{|B_{2k}| \over 4k}{\big (}1-2^{1-2k}{\big )}}
  for masseløse fermioner som nøytrinoer i det tidlige Universet.
For negative heltall fant Euler at zetafunksjonen igjen kunne uttrykkes ved Bernoulli-tallene som

  
    
      
        ζ
        (
        1
        −
        k
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            k
            −
            1
          
        
        
          
            
              B
              
                k
              
            
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (1-k)=(-1)^{k-1}{\frac {B_{k}}{k}}}
  Mer generelt er dette en konsekvens av Riemanns refleksjonsformel for zetafunksjonen. Det betyr at når dens  argumentet er et negativt partall, er den lik med null. Dette er funksjonens såkalte  trivielle nullpunkt.
Euler benyttet dette resultatet til å gi endelig svar for de divergente rekkene

  
    
      
        1
        +
        
          2
          
            p
          
        
        +
        
          3
          
            p
          
        
        +
        
          4
          
            p
          
        
        +
        ⋯
        =
        ζ
        (
        −
        p
        )
        =
        −
        
          
            
              B
              
                p
                +
                1
              
            
            
              p
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 1+2^{p}+3^{p}+4^{p}+\cdots =\zeta (-p)=-{B_{p+1} \over p+1}}
  Mest kjent av disse er rekken med p = 1,

  
    
      
        1
        +
        2
        +
        3
        +
        4
        +
        ⋯
        =
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          B
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            1
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle 1+2+3+4+\cdots =-{1 \over 2}B_{2}=-{1 \over 12}}
  som den indiske matematiker  Ramanujan gjorde berømt.


== Rekkeutviklinger ==
Bernoulli-tallene er definert ved rekkeutviklingen

  
    
      
        
          
            x
            
              
                
                  
                    e
                  
                
                
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        1
        −
        
          
            
              x
              2
            
          
        
        +
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          B
          
            2
            k
          
        
        
          
            
              x
              
                2
                k
              
            
            
              (
              2
              k
              )
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {x}{{\rm {e}}^{x}-1}}=1-{\dfrac {x}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }B_{2k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}}
  som er konvergent for |x| < 2π. Ved å benytte at den  hyperbolske funksjonen coth x kan defineres som

  
    
      
        coth
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              
                e
                
                  x
                
              
              +
              
                e
                
                  −
                  x
                
              
            
            
              
                e
                
                  x
                
              
              −
              
                e
                
                  −
                  x
                
              
            
          
        
        =
        
          
            2
            
              
                e
                
                  2
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        +
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle \coth x={e^{x}+e^{-x} \over e^{x}-e^{-x}}={2 \over e^{2x}-1}+1,}
  har man derfor rekkeutviklingen

  
    
      
        x
        coth
        ⁡
        x
        =
        1
        +
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          B
          
            2
            k
          
        
        
          
            
              (
              2
              x
              
                )
                
                  2
                  k
                
              
            
            
              (
              2
              k
              )
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x\coth x=1+\sum _{k=1}^{\infty }B_{2k}{(2x)^{2k} \over (2k)!}}
  som konvergerer for |x| < π. De første termene  er

  
    
      
        coth
        ⁡
        x
        =
        
          
            1
            x
          
        
        +
        
          
            x
            3
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            45
          
        
        +
        
          
            
              2
              
                x
                
                  5
                
              
            
            945
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \coth x={1 \over x}+{x \over 3}-{x^{3} \over 45}+{2x^{5} \over 945}+\cdots }
  Ved å benytte identiteten tanh x +  coth x = 2coth 2x, har man nå også rekkeutviklingen

  
    
      
        x
        tanh
        ⁡
        x
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          B
          
            2
            k
          
        
        
          
            
              (
              2
              x
              
                )
                
                  2
                  k
                
              
            
            
              (
              2
              k
              )
              !
            
          
        
        (
        
          2
          
            2
            k
          
        
        −
        1
        )
      
    
    {\displaystyle x\tanh x=\sum _{k=1}^{\infty }B_{2k}{(2x)^{2k} \over (2k)!}(2^{2k}-1)}
  Denne konvergerer nå for  |x| < π /2. De første termene er

  
    
      
        tanh
        ⁡
        x
        =
        x
        −
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            3
          
        
        +
        
          
            
              2
              
                x
                
                  5
                
              
            
            15
          
        
        −
        
          
            
              17
              
                x
                
                  7
                
              
            
            315
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \tanh x=x-{x^{3} \over 3}+{2x^{5} \over 15}-{17x^{7} \over 315}+\cdots }
  Tilsvarende rekkeutviklinger for de trigonometriske funksjonene kan finnes fra sammenhengen cotx = i coth ix hvor i  er den imaginære enheten.
Det finnes mange andre rekkeutviklinger hvor Bernoulli-tallene opptrer. Ofte er dette et resultat av Euler-Maclaurins formel for summasjon av rekker.
En spesiell rekke er

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              k
              
                4
                n
                +
                1
              
            
            
              
                e
                
                  2
                  π
                  k
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          
            
              B
              
                4
                n
                +
                2
              
            
            
              8
              n
              +
              4
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }{k^{4n+1} \over e^{2\pi k}-1}={B_{4n+2} \over 8n+4}}
  som ble funnet av Ramanujan. Sammenlignes dette med det tidligere integralet

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        x
        
          
            
              x
              
                4
                n
                +
                1
              
            
            
              
                e
                
                  2
                  π
                  x
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          
            
              B
              
                4
                n
                +
                2
              
            
            
              8
              n
              +
              4
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\!dx{x^{4n+1} \over e^{2\pi x}-1}={B_{4n+2} \over 8n+4},}
  får man en antydning om den viktige rollen Bernoulli-tallene har i matematisk analyse.


== Von Staudt - Clausens teorem ==
For store indekser vokser Bernoulli-tallene B 2k raskt og kan skrives som uekte brøker. Det første som er større enn 1, er B14 = 7/6. Det eksisterer ingen enkel sammenheng mellom et av tallene i denne følgen og det neste. Derimot har de en spesiell, tallteoretisk egenskap slik at nevnerne i deres uekte brøker lett kan beregnes på forhånd. De første er

  
    
      
        6
        ,
        30
        ,
        42
        ,
        30
        ,
        66
        ,
        2730
        ,
        6
        ,
        510
        ,
        798
        ,
        330
        ,
        138
        ,
        2730
        ,
        6
        ,
        870
        ,
        14322
        ,
        510
        ,
        6
        ,
        1919190
        ,
        ⋯
      
    
    {\displaystyle 6,30,42,30,66,2730,6,510,798,330,138,2730,6,870,14322,510,6,1919190,\cdots }
  og det er tydelig at alle kan deles med 6. Alt dette er en konsekvens av teoremet til Karl von Staudt og Thomas Clausen som de utledet uavhengig av hverandre i 1840. Det sier at når man for hvert primtall p som er slik at p - 1 deler 2k, legger 1/p til Bernoulli-tallet B 2k, så får man et heltall Ik,

  
    
      
        
          B
          
            2
            k
          
        
        +
        
          ∑
          
            (
            p
            −
            1
            )
            
              |
            
            2
            k
          
        
        
          
            1
            p
          
        
        =
        
          I
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle B_{2k}+\sum _{(p-1)|2k}{\frac {1}{p}}=I_{k}}
  I tillegg til at nevneren til Bernoulli-tallene må være delelige med 6, viser dette også at de ikke kan inneholde kvadrattall.
De første eksemplene på teoremets innhold er

  
    
      
        
          
            
              
                
                  B
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    3
                  
                
              
              
                
                =
                1
              
            
            
              
                
                  B
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    3
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    5
                  
                
              
              
                
                =
                1
              
            
            
              
                
                  B
                  
                    6
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    3
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    7
                  
                
              
              
                
                =
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}B_{2}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}&=1\\B_{4}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}&=1\\B_{6}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{7}}&=1\end{aligned}}}
  Men heltallet på høyre side behøver ikke å være alltid lik med 1. For eksempel,

  
    
      
        
          
            
              
                
                  B
                  
                    14
                  
                
              
              
                
                =
                2
                −
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                −
                
                  
                    1
                    3
                  
                
                =
                
                  
                    7
                    6
                  
                
              
            
            
              
                
                  B
                  
                    18
                  
                
              
              
                
                =
                56
                −
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                −
                
                  
                    1
                    3
                  
                
                −
                
                  
                    1
                    7
                  
                
                −
                
                  
                    1
                    19
                  
                
                =
                
                  
                    
                      43
                      
                      867
                    
                    798
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}B_{14}&=2-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}={\frac {7}{6}}\\B_{18}&=56-{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{7}}-{\frac {1}{19}}={\frac {43\;867}{798}}\end{aligned}}}
  Heltallene  Ik  opptrer på denne måten i rekkefølgen

  
    
      
        1
        ,
        1
        ,
        1
        ,
        1
        ,
        1
        ,
        1
        ,
        2
        ,
        −
        6
        ,
        56
        ,
        −
        528
        ,
        ⋯
      
    
    {\displaystyle 1,1,1,1,1,1,2,-6,56,-528,\cdots }
  Da teoremet bestemmer nevneren til Bernoulli-tallet og man kan estimere dets størrelse for eksempel ved bruk av Stirlings formel, er dette ofte nok til å kunne finne det eksakt som en uekte brøk.


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
The Bernoulli number page
Jakob Bernoulli, Ars Conjectandi,  latinsk utgave, Basel (1713).