Laue-betingelse

Laue-betingelse er en matematisk ligning som benyttes ved røntgenkrystallografi for å bestemme de retninger hvor den spredte strålingen kan detekteres. Betingelsen gjelder også for spredning av elektroner eller nøytroner fra krystallinske materialer. 
Den er basert på antagelsen av at hvert atom i materialet gir opphav til spredte bølger i alle retninger. Når betingelsen er oppfylt, virker disse atomære bølgene sammen ved konstruktiv interferens og kan eksperimentelt påvises. Det samme kan beskrives ved  Braggs lov som antar at spredningen skjer ved refleksjon fra de regelmessige planene som atomene i krystallen danner.
Når den innkommende bølgen er beskrevet ved bølgevektoren k og den spredte bølgen har bølgevektoren k', kan Laue-betingelsen skrives som

  
    
      
        
          r
        
        ⋅
        (
        
          k
        
        −
        
          
            k
          
          ′
        
        )
        =
        2
        π
        m
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \cdot (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')=2\pi m}
  der m  er et heltall og r er en vektor som forbinder to ekvivalente atom i krystallgitteret. Den spredte strålingen vil derfor kun opptre i bestemte retninger som avspeiler den indre strukturen til gitteret.
Diffraksjon av røntgenstråling ble eksperimentelt påvist av Max von Laue og to av hans medarbeidere i 1912. Samme år utarbeidet han en matematisk teori som viste hvordan dette fenomenet kunne benyttes til å studere egenskapene til krystallinske materialer. To år senere mottok han Nobelprisen i fysikk for dette arbeidet.


== Utledning ==
Når røntgenstrålingen har bølgelengde λ, har den bølgetallet k = 2π /λ.  Hvis den i tillegg kan beskrives som en plan bølge i en retning gitt ved enhetsvektoren n, kan den tilordnes bølgevektoren k = (2π /λ)n. Den spredte strålingen kommer ut i en annen retning n' slik at den er beskrevet ved bølgevektoren k'  = (2π /λ)n'  når spredningen på hvert atom er elastisk slik at bølgelengden ikke forandres.I en krystall er atomene plassert på et regelmessig, tredimensjonalt gitter. For at spredningen fra to atomer med avstand r på gitteret skal gi konstruktiv interferens med hverandre, må differansen i veilengde mellom disse to bølgene være et helt antall bølgelengder. Det betyr at

  
    
      
        r
        cos
        ⁡
        θ
        +
        r
        cos
        ⁡
        
          θ
          ′
        
        =
        
          r
        
        ⋅
        (
        
          n
        
        −
        
          
            n
          
          ′
        
        )
        =
        m
        λ
      
    
    {\displaystyle r\cos \theta +r\cos \theta '=\mathbf {r} \cdot (\mathbf {n} -\mathbf {n} ')=m\lambda }
  hvor 2Θ =  θ +  θ'  er den totale vinkelen strålingen spredes. Uttrykt ved de tilsvarende bølgevektorene, gir dette Laue-betingelsen

  
    
      
        
          r
        
        ⋅
        (
        
          k
        
        −
        
          
            k
          
          ′
        
        )
        =
        2
        π
        m
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} \cdot (\mathbf {k} -\mathbf {k} ')=2\pi m}
  hvor heltallet m kan være både positivt og negativt. Det spesielle tilfellet at m = 0, tilsvarer ingen spredning av den innfallende strålingen.


=== Gittervektorer ===

Hvert punkt i krystallgitteret kan angis ved tre gittervektorer a, b og c. Avstanden d mellom to vilkårlige atom som sitter i hvert sitt gitterpunkt, kan dermed skrives som

  
    
      
        
          r
        
        =
        u
        
          a
        
        +
        v
        
          b
        
        +
        w
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =u\mathbf {a} +v\mathbf {b} +w\mathbf {c} }
  hvor komponentene u, v og w er positive og negative heltall. Ved å innføre vektoren K = k - k' , er Laue-betingelsen nå ekvivalent med kravene at

  
    
      
        
          a
        
        ⋅
        
          K
        
        =
        2
        π
        h
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {K} =2\pi h}
  

  
    
      
        
          b
        
        ⋅
        
          K
        
        =
        2
        π
        k
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} \cdot \mathbf {K} =2\pi k}
  

  
    
      
        
          c
        
        ⋅
        
          K
        
        =
        2
        π
        l
      
    
    {\displaystyle \mathbf {c} \cdot \mathbf {K} =2\pi l}
  hvor de tre tallene h, k og l  også må være heltall. Det er nødvendig for at r⋅K = u a⋅K + v b⋅K + w c⋅K er et helt multiplum av 2π  for alle verdier av komponentene u, v og w. Alle atomene i krystallen gir på den måten en kollektiv spredning i samme retning. Disse kravene til K betyr dermed at den er en vektor i det resiproke gitteret. Den kan derfor uttrykkes ved de resiproke basisvektorenene 
  
    
      
        
          
            a
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} ^{*}}
  , 
  
    
      
        
          
            b
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} ^{*}}
   og 
  
    
      
        
          
            c
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {c} ^{*}}
   og skrives som

  
    
      
        
          K
        
        =
        h
        
          
            a
          
          
            ∗
          
        
        +
        k
        
          
            b
          
          
            ∗
          
        
        +
        l
        
          
            c
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {K} =h\mathbf {a} ^{*}+k\mathbf {b} ^{*}+l\mathbf {c} ^{*}}
  Vektorens komponenter  h, k og l er Miller-indekser som kan knyttes til spredning av strålingen i retning k' = k - K. Hver slik retning tilsvarer et punkt i det resiproke gitterrommet.


== Braggs lov ==

Da spredningen på hvert atom er elastisk, vil vektorene k og k' = k - K ha samme lengde slik at k⋅k = k'⋅k'. Det betyr at 2k⋅K = K 2. Siden vinkelen mellom k og k' er 2Θ, følger det at

  
    
      
        2
        
          k
          
            2
          
        
        (
        1
        −
        cos
        ⁡
        2
        Θ
        )
        =
        
          K
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2k^{2}(1-\cos 2\Theta )=K^{2}}
  Ved å benytte den trigonometriske identiteten som uttrykker cosinus til den dobbelte vinkel ved sinus til selve vinkelen, vil derfor

  
    
      
        2
        k
        sin
        ⁡
        Θ
        =
        K
      
    
    {\displaystyle 2k\sin \Theta =K}
  Dette er Braggs lov som kommer frem på vanlig form ved å benytte at k = 2π /λ. Vektoren K står  vinkelrett på alle gitterplan som den innkommende strålingen synes å bli reflektert fra. Den har en lengde K som er et helt multiplum av 2π /d hvor d er den minste avstand mellom to slike plan gitt ved Miller-indeksene h, k og l. Kun ved nærmere kjennskap til krystallstrukturen kan en numerisk verdi for denne avstanden beregnes ut fra disse indeksene.


== Referanser ==


== Eksterne kilder ==
J. Yi, X-ray diffraction, lectures at University of Delaware.
P. Ewald, Laue’s Discovery of X-ray Diffraction by Crystals fra  Fifty Years of X-ray diffraction. International Union of Crystallography, Utrecht (1962). ISBN 978-1-4615-9963-0.