Diskriminant

I algebra kan diskriminanten (
  
    
      
        Δ
      
    
    {\displaystyle \Delta }
  ) til et polynom si noe om polynomets røtter uten at man trenger å beregne dem. For eksempel diskriminanten til annengradspolynomet

  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx+c}
  
er 
  
    
      
        (
        
          r
          
            1
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
          
        
        
          
            
              −
              b
              +
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
        −
        
          
            (
          
        
        
          
            
              −
              b
              −
              
                
                  
                    b
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  4
                  a
                  c
                
              
            
            
              2
              a
            
          
        
        
          
            )
          
        
        
          
            
              )
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              4
              a
              c
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (r_{1}-r_{2})^{2}={\Big (}{\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}-{\Big (}{\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}{\Big )}{\Big )}^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{a^{2}}}}
  Siden nevneren alltid er positiv, er det tilstrekkelig med 
  
    
      
        Δ
        =
        
          b
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        c
         
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta =b^{2}-4ac\ .}
  
Hvis polynomets koeffisienter er reelle, vil diskriminanten være null når polynomet har én dobbeltrot; den vil være positiv når polynomet har to reelle røtter og den vil være negativ når polynomet har to kompleks konjugerte røtter.
Tredjegradspolynomet

  
    
      
        a
        
          x
          
            3
          
        
        +
        b
        
          x
          
            2
          
        
        +
        c
        x
        +
        d
      
    
    {\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d}
  
har diskriminanten 
  
    
      
         
        
          b
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        
          c
          
            3
          
        
        −
        4
        
          b
          
            3
          
        
        d
        −
        27
        
          a
          
            2
          
        
        
          d
          
            2
          
        
        +
        18
        a
        b
        c
        d
      
    
    {\displaystyle \ b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd}
  Diskriminantene til høyere ordens polynomer er mye lengre. Diskriminanten til et fjerdegradspolynom har for eksempel 16 ledd,
til et femtegradspolynom har den 59 ledd
og til et sjettegradspolynom har den 246 ledd.


=== Diskriminanten uttrykt med røtter ===
Uttrykt med røtter vil diskriminanten være lik:

  
    
      
        
          a
          
            n
          
          
            2
            n
            −
            2
          
        
        
          ∏
          
            i
            <
            j
          
        
        
          (
          
            r
            
              i
            
          
          −
          
            r
            
              j
            
          
          
            )
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}^{2n-2}\prod _{i<j}{(r_{i}-r_{j})^{2}}}
  der 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
   er koeffisientene foran og 
  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        ,
         
        .
        .
        .
         
        
          r
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{1},\ ...\ r_{n}}
   er røttene til polynomet.


== Kilder ==


== Eksterne lenker ==
Mathworld article
Planetmath article