Sigmoid funksjon

En sigmoid funksjon eller en sigmoid kurve er en funksjon med en karakteristisk «S-form». Ett eksempel på en slik funksjon er gitt ved

  
    
      
        S
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              
                e
                
                  −
                  x
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle S(x)={\frac {1}{1+e^{-x}}}}
  som angir logistisk vekst. Sigmoide funksjoner er reelle, begrenset og deriverbare.
Sigmoidefunksjoner brukes ofte i neurale nettverk for å se på ikke-lineære modeller.


== Egenskaper ==
En sigmoid funksjon med parameter 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   kan brukes for å variere hvor bratt kurven er. Med utgangspunkt i funksjonen for logistisk vekst, kan man legge til dette parameteret ved å la

  
    
      
        g
        (
        x
        ,
        k
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              
                e
                
                  −
                  k
                  x
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle g(x,k)={\frac {1}{1+e^{-kx}}}}
  Den deriverte 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   med hensyn på 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   kan da uttrykkes en lineærkombinasjon av funksjonen 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   i seg selv, nemlig som 

  
    
      
        
          
            
              ∂
              g
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        k
        g
        (
        x
        )
        (
        1
        −
        g
        (
        x
        )
        )
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial g}{\partial x}}=kg(x)(1-g(x)).}
  Hvis man lar 
  
    
      
        k
        →
        ∞
      
    
    {\displaystyle k\to \infty }
  , vil 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   gå mot terskelfunksjonen

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        
          
            {
            
              
                
                  1
                  
                  
                    hvis
                  
                  
                  x
                  >
                  0
                
              
              
                
                  0
                  
                  
                    hvis
                  
                  
                  x
                  <
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x){\begin{cases}1\qquad {\text{hvis}}\qquad x>0\\0\qquad {\text{hvis}}\qquad x<0\end{cases}}}
  som, til forskjell fra 
  
    
      
        g
        (
        x
        ,
        k
        )
      
    
    {\displaystyle g(x,k)}
  , ikke vil være deriverbar i 0.


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
(en) Eric W. Weisstein, Sigmoid Function i MathWorld.