Kardioide

Kardioide er en plan og lukket kurve med en spiss. Formen kan minne om et hjerte slik at den ofte blir omtalt som hjertekurven. 
Den er en episykloide som er generert av et punkt på en sirkel som ruller på en annen, stasjonær sirkel med samme radius. Av denne grunn kan den også betraktes som et spesialtilfelle av Pascals snegle.
En matematisk beskrivelse av kardioiden er enklest ved bruk av polarkoordinater (r,θ). Den er da gitt ved ligningen

  
    
      
        r
        (
        θ
        )
        =
        2
        a
        (
        1
        −
        cos
        ⁡
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle r(\theta )=2a(1-\cos \theta )}
  hvor parameteren a bestemmer dens størrelse. Med disse koordinatene har den spissen i origo θ = 0, mens punktet med størst avstand fra origo er i θ = π .
Evoluten til kardioiden er en mindre kardioide. Kurven beskriver også formen til den største delen av Mandelbrot-mengden når man ser bort fra dens fraktale detaljer.


== Matematisk beskrivelse ==

Fra dens fremstilling i polarkoordinater kan man finne en ekvivalent beskrivelse i kartesiske koordinater x = r cosθ og y = r sinθ. Det gir

  
    
      
        x
        (
        θ
        )
        =
        2
        a
        (
        1
        −
        cos
        ⁡
        θ
        )
        cos
        ⁡
        θ
        =
        a
        (
        2
        cos
        ⁡
        θ
        −
        1
        −
        cos
        ⁡
        2
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle x(\theta )=2a(1-\cos \theta )\cos \theta =a(2\cos \theta -1-\cos 2\theta )}
  

  
    
      
        y
        (
        θ
        )
        =
        2
        a
        (
        1
        −
        cos
        ⁡
        θ
        )
        sin
        ⁡
        θ
        =
        a
        (
        2
        sin
        ⁡
        θ
        −
        sin
        ⁡
        2
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle y(\theta )=2a(1-\cos \theta )\sin \theta =a(2\sin \theta -\sin 2\theta )}
  som viser at den er en episykloide av to sirkler med samme radius a hvorav den ene ruller utenpå den andre. I motsetning til standardfremstillingen av episykloiden, er denne kardioiden forskjøvet et stykke a langs den negative x-aksen.En implisitt ligning for kurven i dette koordinatsystemet kan utledes fra observasjonen at 
  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        +
        2
        a
        x
        =
        r
        (
        r
        +
        2
        a
        cos
        ⁡
        θ
        )
        =
        2
        a
        r
        .
      
    
    {\displaystyle r^{2}+2ax=r(r+2a\cos \theta )=2ar.}
   Da finner man ligningen

  
    
      
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        2
        a
        x
        
          )
          
            2
          
        
        =
        4
        
          a
          
            2
          
        
        (
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (x^{2}+y^{2}+2ax)^{2}=4a^{2}(x^{2}+y^{2})}
  når man benytter at 
  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}.}
   Den viser at kardioiden er en kurve av fjerde grad.


=== Buelengde ===
I polarkoordinater er den differensielle buelengden til en plan kurve gitt som 
  
    
      
        d
        s
        =
        (
        d
        
          r
          
            2
          
        
        +
        
          r
          
            2
          
        
        d
        
          θ
          
            2
          
        
        
          )
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ds=(dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2})^{1/2}}
  . Hele omkretsen til kardioiden er dermed

  
    
      
        s
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
        d
        θ
        
          
            (
          
        
        
          r
          
            2
          
        
        +
        (
        d
        r
        
          /
        
        d
        θ
        
          )
          
            2
          
        
        
          
            
              )
            
          
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle s=\int _{0}^{2\pi }\!d\theta {\big (}r^{2}+(dr/d\theta )^{2}{\big )}^{1/2}}
  Nå er 

  
    
      
        
          
            
              
                
                  r
                  
                    2
                  
                
                +
                (
                d
                r
                
                  /
                
                d
                θ
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                4
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                (
                1
                −
                2
                cos
                ⁡
                θ
                +
                
                  cos
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
                +
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                16
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
                
                  /
                
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}+(dr/d\theta )^{2}&=4a^{2}(1-2\cos \theta +\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )\\&=16a^{2}\sin ^{2}\theta /2\end{aligned}}}
  slik at omkretsen blir

  
    
      
        s
        =
        4
        a
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
        d
        θ
        sin
        ⁡
        θ
        
          /
        
        2
        =
        16
        
        a
      
    
    {\displaystyle s=4a\int _{0}^{2\pi }\!d\theta \sin \theta /2=16\,a}
  .


=== Areal ===
På samme måte er arealet til kardioden gitt ved flateintegralet

  
    
      
        
          
            
              
                A
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    r
                  
                
                
                d
                r
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    2
                    π
                  
                
                
                r
                d
                θ
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    2
                    π
                  
                
                
                
                  r
                  
                    2
                  
                
                d
                θ
              
            
            
              
              
                
                =
                2
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    2
                    π
                  
                
                
                d
                θ
                (
                1
                −
                2
                cos
                ⁡
                θ
                +
                
                  cos
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
                )
                =
                6
                π
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}A&=\int _{0}^{r}\!dr\int _{0}^{2\pi }\!rd\theta ={1 \over 2}\int _{0}^{2\pi }\!r^{2}d\theta \\&=2a^{2}\int _{0}^{2\pi }\!d\theta (1-2\cos \theta +\cos ^{2}\theta )=6\pi a^{2}.\end{aligned}}}
  


== Geometriske egenskaper ==

Kardioiden opptrer i mange forskjellige sammenhenger. For eksempel er den omhyllingskurven til en skare sirkler som har sitt sentrum på en sirkel og som går gjennom et gitt punkt på sirkelen. Velges den faste sirkel å ha radius r = 1 og sentrum i punktet (-1, 0), vil hvert punkt på den være gitt som

  
    
      
        
          x
          
            c
          
        
        =
        −
        1
        +
        cos
        ⁡
        θ
        
        ,
        
        
        
          y
          
            c
          
        
        =
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle x_{c}=-1+\cos \theta \,,\;\;y_{c}=\sin \theta }
  avhengig av vinkelen θ. Hvis nå origo (0, 0) velges som det faste punktet på sirkelen, vil dette ha den kvadrerte avstanden 

  
    
      
        
          r
          
            c
          
          
            2
          
        
        =
        
          x
          
            c
          
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            c
          
          
            2
          
        
        =
        (
        −
        1
        +
        cos
        ⁡
        θ
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        =
        2
        −
        2
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle r_{c}^{2}=x_{c}^{2}+y_{c}^{2}=(-1+\cos \theta )^{2}+\sin ^{2}\theta =2-2\cos \theta }
  til sirkelsenteret. Den gitte skaren av sirkler er gitt ved ligningen 
  
    
      
        (
        x
        −
        
          x
          
            c
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        y
        −
        
          y
          
            c
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          r
          
            c
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (x-x_{c})^{2}+(y-y_{c})^{2}=r_{c}^{2}}
   eller 
  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        y
        ,
        θ
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle F(x,y,\theta )=0}
   hvor

  
    
      
        F
        (
        x
        ,
        y
        ,
        θ
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        +
        2
        x
        (
        1
        −
        cos
        ⁡
        θ
        )
        −
        2
        y
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle F(x,y,\theta )=x^{2}+y^{2}+2x(1-\cos \theta )-2y\sin \theta }
  For at to sirkler i denne skaren med nesten samme verdi av parameteren θ skal tangere den samme omhyllingskurven, må Fθ = ∂F/∂θ = 0. Nå er Fθ = 2(x sinθ - y cosθ) slik at denne betingelsen er oppfylt når punktene (x,y) på omhyllingskurven kan skrives på formen x = r cosθ og y = r sinθ.  Den ukjente størrelsen r  bestemmes fra  F = 0 som gir de to løsningene r = 0 og r = 2(1 - cosθ). Denne siste fremstiller en kardioide med størrelse a = 1 som tilsvarer radius til den gitte sirkelen.


=== Evolute ===

Punkter x på evoluten til kardioiden r = 4a sin2θ/2 (cosθ, sinθ) er definert ved formelen x = r + ρ n hvor ρ er krumningsradius  til kurven og n er dens normerte normal. Begge disse størrelsene kan finnes fra tangentvektoren 
  
    
      
        
          T
        
        =
        d
        
          r
        
        
          /
        
        d
        θ
      
    
    {\displaystyle \mathbf {T} =d\mathbf {r} /d\theta }
   med komponenter

  
    
      
        
          T
        
        =
        
          
            (
          
        
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              θ
            
          
        
        ,
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              θ
            
          
        
        
          
            )
          
        
        =
        4
        a
        sin
        ⁡
        
          
            θ
            2
          
        
        
          
            (
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            θ
            2
          
        
        cos
        ⁡
        θ
        −
        sin
        ⁡
        
          
            θ
            2
          
        
        sin
        ⁡
        θ
        ,
        sin
        ⁡
        
          
            θ
            2
          
        
        cos
        ⁡
        θ
        +
        cos
        ⁡
        
          
            θ
            2
          
        
        sin
        ⁡
        θ
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {T} ={\Big (}{dx \over d\theta },{dy \over d\theta }{\Big )}=4a\sin {\theta  \over 2}{\Big (}\cos {\theta  \over 2}\cos \theta -\sin {\theta  \over 2}\sin \theta ,\sin {\theta  \over 2}\cos \theta +\cos {\theta  \over 2}\sin \theta {\Big )}}
  Den normerte tangentvektoren er derfor

  
    
      
        
          t
        
        =
        
          
            (
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            
              3
              θ
            
            2
          
        
        ,
        sin
        ⁡
        
          
            
              3
              θ
            
            2
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {t} ={\Big (}\cos {3\theta  \over 2},\sin {3\theta  \over 2}{\Big )}}
  når man benytter de trigonometriske identitetene for sinus og cosinus for en sum av to vinkler. Den normerte normalvektoren er derfor 
  
    
      
        
          n
        
        =
        
          
            (
          
        
        −
        sin
        ⁡
        (
        3
        θ
        
          /
        
        2
        )
        ,
        cos
        ⁡
        (
        3
        θ
        
          /
        
        2
        )
        
          
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} ={\big (}-\sin(3\theta /2),\cos(3\theta /2){\big )}.}
  
Kardioidens krumningsradius ρ finnes nå direkte fra  Frenets første formel d t/ds = d t/dθ (dθ/ds) = n/ρ. Det betyr at ρ = 2ds/3dθ  hvor ds/dθ = 4a sin(θ/2) er kjent fra dens buelengde. 
Dermed er x-koordinatene til evoluten x = r + ρ n gitt ved

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
                
                =
                4
                a
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                
                  
                    θ
                    2
                  
                
                cos
                ⁡
                θ
                −
                
                  
                    8
                    3
                  
                
                a
                sin
                ⁡
                
                  
                    θ
                    2
                  
                
                sin
                ⁡
                
                  
                    
                      3
                      θ
                    
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    4
                    3
                  
                
                a
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                
                  
                    θ
                    2
                  
                
                cos
                ⁡
                θ
                −
                
                  
                    4
                    3
                  
                
                a
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
                =
                −
                
                  
                    4
                    3
                  
                
                a
                +
                
                  
                    4
                    3
                  
                
                a
                
                  cos
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                
                  
                    θ
                    2
                  
                
                cos
                ⁡
                θ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x&=4a\sin ^{2}{\theta  \over 2}\cos \theta -{8 \over 3}a\sin {\theta  \over 2}\sin {3\theta  \over 2}\\&={4 \over 3}a\sin ^{2}{\theta  \over 2}\cos \theta -{4 \over 3}a\sin ^{2}\theta =-{4 \over 3}a+{4 \over 3}a\cos ^{2}{\theta  \over 2}\cos \theta \end{aligned}}}
  På samme vis finnes y-koordinatene å være 
  
    
      
        y
        =
        
          
            4
            3
          
        
        a
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        
          
            θ
            2
          
        
        sin
        ⁡
        θ
        .
      
    
    {\displaystyle y={4 \over 3}a\cos ^{2}{\theta  \over 2}\sin \theta .}
   Evoluten til kardioiden er derfor en ny kardiode som 1/3 av den opprinnelige, speilvendt om y-aksen og forskjøvet (4/3)a langs den negative x-aksen. Før denne forskyvningen er den gitt ved den polare ligningen r(θ) = (2/3)a(1 + cosθ) som tydeliggjør speilingen om y-aksen.


== Referanser ==


== Litteratur ==
E. H. Lockwood, A Book of Curves, Cambridge University Press, England (1967). ISBN 0-5210-4444-8.


== Eksterne lenker ==
Stackexchange, Why does the boundary of the Mandelbrot set contain a cardioid?, argument basert på eksistens av fikspunkt