Differensialform

Differensialform er navnet på generaliserte funksjoner som benyttes i differensialgeometri og topologi på mangfoldigheter og er uavhengig av deres koordinatisering. På den måten gir de også et naturlig grunnlag for integrasjon av funksjoner på slike mangfoldigheter. Deres egenskaper er tett forbundet med fullstendig antisymmetriske tensorer. Dermed kan de behandles som geometriske objekt som danner en Grassmann-algebra. Bruken av differensialformer skyldes i stor grad Élie Cartan som utviklet deres teori på begynnelsen av 1900-tallet.
Avhengig av dimensjonen n  til mangfoldigheten opptrer differensialformer med forskjellig orden eller grad. En skalar funksjon F sies å være en differensiell 0-form, mens differensialet dF av funksjonen er et eksempel på en  1-form. Graden til en form kan økes ved ytre derivasjon som tilsvarer å beregne differensialet av en funksjon. Den ytre deriverte av en 1-form gir en 2-form. Mens 1-former kan naturlig integreres langs en kurve, kan integralet av en 2-form over en flate gis en formulering uavhengig av hvilke koordinater som benyttes. Ved fortsatt ytre derivasjon finner man til slutt en n-form som er den differensielle formen av høyeste grad som eksisterer i dette tilfellet. Den er proporsjonal med volumformen som benyttes ved integrasjon over hele mangfoldigheten.
For å gjøre det tydeligere at ytre derivasjon er en operator som øker graden til en differensialform, betegnes differensialet som dF. Hvis  (x1,x2, .. ,xn ) er koordinatene som benyttes på mangfoldigheten, skrives det derfor som 1-formen

  
    
      
        
          d
        
        F
        =
        
          
            
              ∂
              F
            
            
              ∂
              
                x
                
                  1
                
              
            
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              F
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        
          
            
              ∂
              F
            
            
              ∂
              
                x
                
                  n
                
              
            
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {d} F={\partial F \over \partial x^{1}}\mathbf {d} x^{1}+{\partial F \over \partial x^{2}}\mathbf {d} x^{2}+\cdots {\partial F \over \partial x^{n}}\mathbf {d} x^{n}}
  Differensialene eller 1-formene  dxμ kan derfor betraktes som duale basisvektorer som opptrer i beregning av gradienten til funksjonen.  Ved å kombinere disse ved et ytre produkt, finner man av basisformene

  
    
      
        
          d
        
        
          x
          
            μ
          
        
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            ν
          
        
        =
        −
        
          d
        
        
          x
          
            ν
          
        
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {d} x^{\mu }\wedge \mathbf {d} x^{\nu }=-\mathbf {d} x^{\nu }\wedge \mathbf {d} x^{\mu }}
  for alle differensielle 2-former. Dette kileproduktet gir derfor null mellom to like differensial. At produktet skifter fortegn under ombytte, kan forstås ut fra at det kan betraktes som et lite, orientert flateelement med sider dxμ og dxν. Det skifter fortegn ved ombytte av sidene og kan inngå i et generelt integral over en flate. Basisformer av høyere grad kan finnes ved ytreprodukt av flere 1-former.
Det mentale bildet man har av en vektor, er vanligvis en pil som man tenker seg i et flatt tangentrom. På samme måte kan man tenke seg en 1-form som et sett med plan i et dualt vektorrom. De ligger parallelt inntil hverandre og med normaler i den retning hvor differensialformen varierer raskest på mangfoldigheten.


== Definisjoner ==
For å skille differensialformer fra vektorer og vanlige tensorer, betegnes de ofte med greske bokstaver. En generell 1-form α på en n-dimensjonal mangfoldighet skrives da som

  
    
      
        
          α
        
        =
        
          α
          
            1
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            1
          
        
        +
        
          α
          
            2
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          α
          
            n
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            n
          
        
        =
        
          α
          
            μ
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=\alpha _{1}\mathbf {d} x^{1}+\alpha _{2}\mathbf {d} x^{2}+\cdots +\alpha _{n}\mathbf {d} x^{n}=\alpha _{\mu }\mathbf {d} x^{\mu }}
  når man benytter Einsteins summekonvensjon og summerer overtar med like indekser. Komponentene αμ til differensialformen er vanlige, skalare funksjoner.To 1-former 
  
    
      
        
          α
        
        =
        
          α
          
            μ
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}=\alpha _{\mu }\mathbf {d} x^{\mu }}
   og 
  
    
      
        
          β
        
        =
        
          β
          
            ν
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\beta }}=\beta _{\nu }\mathbf {d} x^{\nu }}
   kan kombineres ved et ytre produkt til å gi en 2-form

  
    
      
        
          θ
        
        =
        
          α
        
        ∧
        
          β
        
        =
        
          α
          
            μ
          
        
        
          β
          
            ν
          
        
        
        
          d
        
        
          x
          
            μ
          
        
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            ν
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          θ
          
            μ
            ν
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            μ
          
        
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}={\boldsymbol {\alpha }}\wedge {\boldsymbol {\beta }}=\alpha _{\mu }\beta _{\nu }\,\mathbf {d} x^{\mu }\wedge \mathbf {d} x^{\nu }={1 \over 2}\theta _{\mu \nu }\mathbf {d} x^{\mu }\wedge \mathbf {d} x^{\nu }}
  med komponenter 
  
    
      
        
          θ
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          α
          
            μ
          
        
        
          β
          
            ν
          
        
        −
        
          α
          
            ν
          
        
        
          β
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta _{\mu \nu }=\alpha _{\mu }\beta _{\nu }-\alpha _{\nu }\beta _{\mu }}
   som er antisymmetriske. Alle slike 2-former utgjør et  lineært vektorrom med dimensjon (1/2)n (n - 1). På samme vis vil en generell k-form alltid kunne skrives som

  
    
      
        
          Φ
        
        =
        
          
            1
            
              k
              !
            
          
        
        
          Φ
          
            
              μ
              
                1
              
            
            ,
            
              μ
              
                2
              
            
            ,
            …
            ,
            
              μ
              
                k
              
            
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            
              μ
              
                1
              
            
          
        
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            
              μ
              
                2
              
            
          
        
        ∧
        ⋯
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            
              μ
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\Phi }}={1 \over k!}\Phi _{\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{k}}\mathbf {d} x^{\mu _{1}}\wedge \mathbf {d} x^{\mu _{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {d} x^{\mu _{k}}}
  hvor igjen komponentene er fullstendig antisymmetriske i sine indekser. Antall slike komponenter er derfor gitt ved binomialkoeffisienten C(n, k) = n!/k!(n - k)!. Dette er samtidig dimensjonen til det tilsvarende vektorrommet. En k-form er et geometrisk objekt som i alminnelighet kan integreres over en k-dimensjonal, orientert mangfoldighet.


=== Kommutativ lov ===
Kileproduktet er assosiativt, men ikke kommutativt. Det skyldes den fundamental egenskapen dxμ ∧  dxν = - dxν ∧  dxμ til de basale 1-formene. De sies å antikommutere. Som en direkte konsekvens vil derfor også det ytre produktet av to generelle 1-former α og β også antikommutere. Betrakter man derfor 2-formen θ = α ∧ β, vil den skifte fortegn når de to faktorene byttes om,

  
    
      
        
          α
        
        ∧
        
          β
        
        =
        −
        
          β
        
        ∧
        
          α
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}\wedge {\boldsymbol {\beta }}=-{\boldsymbol {\beta }}\wedge {\boldsymbol {\alpha }}}
  Når denne 2-formen multipliseres med enda en 1-form σ, dannes en 3-form

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ϕ
                
              
              
                
                =
                
                  θ
                
                ∧
                
                  σ
                
                =
                
                  α
                
                ∧
                
                  β
                
                ∧
                
                  σ
                
                =
                (
                −
                1
                )
                
                  α
                
                ∧
                
                  σ
                
                ∧
                
                  β
                
              
            
            
              
              
                
                =
                (
                −
                1
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                
                  σ
                
                ∧
                
                  α
                
                ∧
                
                  β
                
                =
                
                  σ
                
                ∧
                
                  θ
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\phi }}&={\boldsymbol {\theta }}\wedge {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {\alpha }}\wedge {\boldsymbol {\beta }}\wedge {\boldsymbol {\sigma }}=(-1){\boldsymbol {\alpha }}\wedge {\boldsymbol {\sigma }}\wedge {\boldsymbol {\beta }}\\&=(-1)^{2}{\boldsymbol {\sigma }}\wedge {\boldsymbol {\alpha }}\wedge {\boldsymbol {\beta }}={\boldsymbol {\sigma }}\wedge {\boldsymbol {\theta }}\end{aligned}}}
  En 1-form vil derfor alltid  kommutere med en 2-form. På denne måten finner man at kileproduktet mellom en generell p-form P og en annen  q-form Q oppfyller

  
    
      
        
          P
        
        ∧
        
          Q
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            p
            q
          
        
        
          Q
        
        ∧
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} \wedge \mathbf {Q} =(-1)^{pq}\mathbf {Q} \wedge \mathbf {P} }
  Det kan bevises direkte ved å kommutere basisformene enkeltvis gjennom hverandre.


== Kontraksjoner ==

De basale 1-formene dxμ  kan geometrisk betraktes som basisvektorer eμ  duale til de basale tangentvektorene eμ. Dual i denne sammenhengen betyr at enhver 1-form kan betraktes som en lineær funksjon som tar vektorer i samme punkt som argument. Resultatet skal være en vanlig, reelt tall. Mer konkret for en 1-form α = αμ dxμ  definerer man denne funksjonale egenskapen ved

  
    
      
        
          α
        
        (
        
          
            e
          
          
            μ
          
        
        )
        =
        
          α
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(\mathbf {e} _{\mu })=\alpha _{\mu }}
  som er komponentene til formen. For en vilkårlig vektor v = vμ eμ vil man da fra linearitet ha

  
    
      
        
          α
        
        (
        
          v
        
        )
        =
        
          v
          
            μ
          
        
        
          α
        
        (
        
          
            e
          
          
            μ
          
        
        )
        =
        
          v
          
            μ
          
        
        
          α
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(\mathbf {v} )=v^{\mu }{\boldsymbol {\alpha }}(\mathbf {e} _{\mu })=v^{\mu }\alpha _{\mu }}
  Denne funksjonssammenhengen kan skrives som en kontraksjon 
  
    
      
        
          α
        
        (
        
          v
        
        )
        =
        
          α
        
        ⋅
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}(\mathbf {v} )={\boldsymbol {\alpha }}\cdot \mathbf {v} }
   mellom en 1-form og en vektor i samme punkt. Alternativ notasjon som ofte benyttes, er

  
    
      
        ⟨
        
          α
        
        ,
        
          v
        
        ⟩
        =
        
          i
          
            
              v
            
          
        
        
          α
        
      
    
    {\displaystyle \langle {\boldsymbol {\alpha }},\mathbf {v} \rangle =i_{\mathbf {v} }{\boldsymbol {\alpha }}}
  Mer generelt gir kontraksjonen mellom en vektor v og en p-form P med antisymmetriske komponenter Pμν...τ  en (p - 1)-form Q med komponenter Qν...τ  = vμ Pμν...τ. Som et eksempel kan man betrakte kontraksjonen mellom v og 2-formen α ∧ β hvor α og β er 1-former. Da er

  
    
      
        
          
            
              
                
                  i
                  
                    
                      v
                    
                  
                
                (
                
                  α
                
                ∧
                
                  β
                
                )
              
              
                
                =
                (
                
                  α
                
                ⊗
                
                  β
                
                −
                
                  β
                
                ⊗
                
                  α
                
                )
                (
                
                  v
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  α
                
                (
                
                  v
                
                )
                
                  β
                
                −
                
                  β
                
                (
                
                  v
                
                )
                
                  α
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}i_{\mathbf {v} }({\boldsymbol {\alpha }}\wedge {\boldsymbol {\beta }})&=({\boldsymbol {\alpha }}\otimes {\boldsymbol {\beta }}-{\boldsymbol {\beta }}\otimes {\boldsymbol {\alpha }})(\mathbf {v} )\\&={\boldsymbol {\alpha }}(\mathbf {v} ){\boldsymbol {\beta }}-{\boldsymbol {\beta }}(\mathbf {v} ){\boldsymbol {\alpha }}\end{aligned}}}
  Selv om kontraksjonen er definert å finne sted på første indeks, vil antisymmetrien i formen derfor likevel medfører at hver faktor i produktet bidrar til resultatet.
Kontraksjonen fungerer som et indreprodukt på mangfoldigheten, men er ikke avhengig av en metrikk på denne. Med denne notasjonen har man da α⋅eμ = αμ og den fundamentale kontraksjonen

  
    
      
        
          d
        
        
          x
          
            μ
          
        
        (
        
          
            e
          
          
            ν
          
        
        )
        =
        
          d
        
        
          x
          
            μ
          
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            ν
          
        
        =
        
          δ
          
            
            ν
          
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {d} x^{\mu }(\mathbf {e} _{\nu })=\mathbf {d} x^{\mu }\cdot \mathbf {e} _{\nu }=\delta _{\;\nu }^{\mu }}
  uttrykt ved Kronecker-deltaet på høyre side.


=== Retningsderivasjon ===
Den deriverte av en skalar funksjon F(x) på mangfoldigheten i en retning gitt ved vektoren v, kan nå skrives som

  
    
      
        
          D
          
            
              v
            
          
        
        F
        =
        
          v
          
            μ
          
        
        
          
            
              ∂
              F
            
            
              ∂
              
                x
                
                  μ
                
              
            
          
        
        =
        
          d
        
        F
        ⋅
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle D_{\mathbf {v} }F=v^{\mu }{\partial F \over \partial x^{\mu }}=\mathbf {d} F\cdot \mathbf {v} }
  På denne formen virker vektoren v som en derivasjonsoperator. Det innbyr  også notasjonen

  
    
      
        
          d
        
        F
        ⋅
        
          v
        
        =
        
          v
        
        F
      
    
    {\displaystyle \mathbf {d} F\cdot \mathbf {v} =\mathbf {v} F}
  hvor vektoren opptrer som operatoren

  
    
      
        
          v
        
        =
        
          v
          
            μ
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  μ
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} =v^{\mu }{\partial  \over \partial x^{\mu }}}
  Hver av de basale tangentvektorene kan da betraktes som elementære derivasjonsoperator eμ = ∂/∂xμ. Denne mer abstrakte formalismen benyttes i moderne differensialgeometri.


=== Levi-Civita-formen ===
For at kileproduktet 
  
    
      
        
          d
        
        
          x
          
            
              μ
              
                1
              
            
          
        
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            
              μ
              
                2
              
            
          
        
        ∧
        ⋯
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            
              μ
              
                k
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {d} x^{\mu _{1}}\wedge \mathbf {d} x^{\mu _{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {d} x^{\mu _{k}}}
   skal være forskjellig fra null, må alle differensialene som inngår i produktet, være forskjellige. Betrakter man derfor en n-form på en n-dimensjonal mangfoldighet, vil det derfor kun være én basisform for denne. Det tilsvarer at binomialkoeffisienten C(n, n) = 1. Den har komponenter som er gitt ved det n-dimensjonale Levi-Civita-symbolet,

  
    
      
        
          ϵ
        
        =
        
          
            1
            
              n
              !
            
          
        
        
          ϵ
          
            
              μ
              
                1
              
            
            ,
            
              μ
              
                2
              
            
            ,
            …
            ,
            
              μ
              
                n
              
            
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            
              μ
              
                1
              
            
          
        
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            
              μ
              
                2
              
            
          
        
        ∧
        ⋯
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            
              μ
              
                n
              
            
          
        
        =
        
          d
        
        
          x
          
            1
          
        
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            2
          
        
        ∧
        ⋯
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\epsilon }}={1 \over n!}\epsilon _{\mu _{1},\mu _{2},\ldots ,\mu _{n}}\mathbf {d} x^{\mu _{1}}\wedge \mathbf {d} x^{\mu _{2}}\wedge \cdots \wedge \mathbf {d} x^{\mu _{n}}=\mathbf {d} x^{1}\wedge \mathbf {d} x^{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {d} x^{n}}
  Den opptrer når volumet til mangfoldigheten kan beregnes ved integrasjon og vil tilsvare det differensielle volumelementet dx1dx2...dxn. Denne spesielle formen blir derfor også kalt for volumformen.Som et enkelt eksempel kan man betrakte overgangen fra kartesiske (x,y) til polarkoordinater (ρ,θ) i to dimensjoner ved transformasjonen x = ρ cosθ  og y = ρ sinθ. Transformasjonen av flateelementet dx ∧ dy vil da kunne finnes fra differensialformene

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
                x
              
              
                
                =
                cos
                ⁡
                θ
                
                
                  d
                
                ρ
                −
                ρ
                sin
                ⁡
                θ
                
                
                  d
                
                θ
              
            
            
              
                
                  d
                
                y
              
              
                
                =
                sin
                ⁡
                θ
                
                
                  d
                
                ρ
                +
                ρ
                cos
                ⁡
                θ
                
                
                  d
                
                θ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {d} x&=\cos \theta \,\mathbf {d} \rho -\rho \sin \theta \,\mathbf {d} \theta \\\mathbf {d} y&=\sin \theta \,\mathbf {d} \rho +\rho \cos \theta \,\mathbf {d} \theta \end{aligned}}}
  Da kileproduktene dρ ∧ dρ = dθ ∧ dθ = 0 og dθ ∧ dρ = - dρ ∧ dθ, blir

  
    
      
        
          d
        
        x
        ∧
        
          d
        
        y
        =
        ρ
        (
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        +
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        )
        
          d
        
        ρ
        ∧
        
          d
        
        θ
        =
        ρ
        
        
          d
        
        ρ
        ∧
        
          d
        
        θ
      
    
    {\displaystyle \mathbf {d} x\wedge \mathbf {d} y=\rho (\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )\mathbf {d} \rho \wedge \mathbf {d} \theta =\rho \,\mathbf {d} \rho \wedge \mathbf {d} \theta }
  Man har dermed resultatet ρ dρ dθ i vanlig notasjon. I det generelle tilfellet når man går over til krumlinjete koordinater i et n-dimensjonalt euklidsk rom, vil volumformen inneholde en faktor som er kvadratroten av determinanten til den metriske tensoren i de nye koordinatene.


== Ytre derivasjon ==
Når operasjonen d virker på en skalar funksjon F(x), fremkommer differensialet dF = F,μ dxμ der den partiellderiverte  av funksjonen skrives som F,μ = ∂F/∂xμ. Man sier at denne 1-formen er den ytrederiverte av funksjonen som selv kan betraktes som en 0-form. Av den grunn omtales denne 1-formen også som en eksakt form.På samme måte kan graden av en 1-form σ = σν dxν  økes ved ytre derivasjon og bli en 2-form når denne operasjonen defineres som

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  σ
                
              
              
                
                =
                
                  d
                
                
                  σ
                  
                    ν
                  
                
                ∧
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    ν
                  
                
                =
                
                  σ
                  
                    ν
                    ,
                    μ
                  
                
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    μ
                  
                
                ∧
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    ν
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  
                    (
                  
                
                
                  ∂
                  
                    μ
                  
                
                
                  σ
                  
                    ν
                  
                
                −
                
                  ∂
                  
                    ν
                  
                
                
                  σ
                  
                    μ
                  
                
                
                  
                    )
                  
                
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    μ
                  
                
                ∧
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    ν
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {d} {\boldsymbol {\sigma }}&=\mathbf {d} \sigma _{\nu }\wedge \mathbf {d} x^{\nu }=\sigma _{\nu ,\mu }\mathbf {d} x^{\mu }\wedge \mathbf {d} x^{\nu }\\&={1 \over 2}{\big (}\partial _{\mu }\sigma _{\nu }-\partial _{\nu }\sigma _{\mu }{\big )}\mathbf {d} x^{\mu }\wedge \mathbf {d} x^{\nu }\end{aligned}}}
  da komponentene til formen er skalare funksjoner. Denne definisjonen betyr at den ytre deriverte av basisformene dxμ er null. Det følger fra å betrakte det spesielle tilfellet at 1-formen er eksakt, det vil si  σ = dF. Da er σν = ∂νF som betyr at

  
    
      
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          σ
          
            ν
          
        
        −
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          σ
          
            μ
          
        
        =
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          ∂
          
            ν
          
        
        F
        −
        
          ∂
          
            ν
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        F
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \partial _{\mu }\sigma _{\nu }-\partial _{\nu }\sigma _{\mu }=\partial _{\mu }\partial _{\nu }F-\partial _{\nu }\partial _{\mu }F=0}
  da de dobbelt partiellderiverte er uavhengige av rekkefølgen de utføres i. Dermed her man at den dobbelt ytrederiverte  d(dF) = d2F = 0.
En differensialform sies å være lukket hvis dens ytrederiverte er null. Derfor er en eksakt form alltid lukket, men det omvendte behøver ikke være tilfelle.
Definisjonen av den ytrederiverte gjelder også for former av høyere grad. Betrakter man for eksempel 2-formen θ = (1/2)θμν dxμ ∧ dxν , er dens deriverte

  
    
      
        
          d
        
        
          θ
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          θ
          
            μ
            ν
            ,
            λ
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            λ
          
        
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            μ
          
        
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {d} {\boldsymbol {\theta }}={1 \over 2}\theta _{\mu \nu ,\lambda }\mathbf {d} x^{\lambda }\wedge \mathbf {d} x^{\mu }\wedge \mathbf {d} x^{\nu }}
  Er dette en eksakt form slik at θ = dσ, vil igjen dθ = d2σ = 0. Dette kan vises å være generelt oppfylt for den dobbelte ytrederiverte og kan kort sammenfattes i uttrykket

  
    
      
        
        
        
        
        
        
        
          
            d
          
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\mathbf {d} ^{2}=0}
  som kalles Poincarés lemma.


=== Leibniz-regel ===
Vanlig derivasjon av et produkt av to vanlige funksjoner F(x) og G(x) kan utføres ved bruk av produktregelen som bærer navnet til Leibniz. Ved bruk av den ytrederiverte skrives den som

  
    
      
        
          d
        
        (
        F
        G
        )
        =
        (
        
          d
        
        F
        )
        G
        +
        F
        (
        
          d
        
        G
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {d} (FG)=(\mathbf {d} F)G+F(\mathbf {d} G)}
  Men ved derivasjon av ytreprodukt av mer generelle former kan forandring av fortegnene i de forskjellige leddene opptre. Ved direkte utregning blir for eksempel den deriverte av ytreproduktet av to 1-former α og β

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
                (
                
                  α
                
                ∧
                
                  β
                
                )
              
              
                
                =
                
                  ∂
                  
                    λ
                  
                
                (
                
                  α
                  
                    μ
                  
                
                
                  β
                  
                    ν
                  
                
                )
                
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    λ
                  
                
                ∧
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    μ
                  
                
                ∧
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    ν
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                (
                
                  α
                  
                    μ
                    ,
                    λ
                  
                
                
                  β
                  
                    ν
                  
                
                +
                
                  α
                  
                    μ
                  
                
                
                  β
                  
                    ν
                    ,
                    λ
                  
                
                )
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    λ
                  
                
                ∧
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    μ
                  
                
                ∧
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    ν
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  α
                  
                    μ
                    ,
                    λ
                  
                
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    λ
                  
                
                ∧
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    μ
                  
                
                ∧
                
                  β
                  
                    ν
                  
                
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    ν
                  
                
                −
                
                  α
                  
                    μ
                  
                
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    μ
                  
                
                ∧
                
                  β
                  
                    ν
                    ,
                    λ
                  
                
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    λ
                  
                
                ∧
                
                  d
                
                
                  x
                  
                    ν
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  d
                
                
                  α
                
                ∧
                
                  β
                
                −
                
                  α
                
                ∧
                
                  d
                
                
                  β
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {d} ({\boldsymbol {\alpha }}\wedge {\boldsymbol {\beta }})&=\partial _{\lambda }(\alpha _{\mu }\beta _{\nu })\,\mathbf {d} x^{\lambda }\wedge \mathbf {d} x^{\mu }\wedge \mathbf {d} x^{\nu }\\&=(\alpha _{\mu ,\lambda }\beta _{\nu }+\alpha _{\mu }\beta _{\nu ,\lambda })\mathbf {d} x^{\lambda }\wedge \mathbf {d} x^{\mu }\wedge \mathbf {d} x^{\nu }\\&=\alpha _{\mu ,\lambda }\mathbf {d} x^{\lambda }\wedge \mathbf {d} x^{\mu }\wedge \beta _{\nu }\mathbf {d} x^{\nu }-\alpha _{\mu }\mathbf {d} x^{\mu }\wedge \beta _{\nu ,\lambda }\mathbf {d} x^{\lambda }\wedge \mathbf {d} x^{\nu }\\&=\mathbf {d} {\boldsymbol {\alpha }}\wedge {\boldsymbol {\beta }}-{\boldsymbol {\alpha }}\wedge \mathbf {d} {\boldsymbol {\beta }}\end{aligned}}}
  For den tilsvarende derivasjon av kileproduktet av en p-form P med en q-form Q finner man

  
    
      
        
          d
        
        (
        
          P
        
        ∧
        
          Q
        
        )
        =
        
          d
        
        
          P
        
        ∧
        
          Q
        
        +
        (
        −
        1
        
          )
          
            p
          
        
        
          P
        
        ∧
        
          d
        
        
          Q
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {d} (\mathbf {P} \wedge \mathbf {Q} )=\mathbf {d} \mathbf {P} \wedge \mathbf {Q} +(-1)^{p}\mathbf {P} \wedge \mathbf {d} \mathbf {Q} }
  da en basisform fra den ytrederiverte må kommuteres gjennom p basisformer i P når faktorene i leddene ordnes. Hvert slikt ombytte gir en faktor (-1).


=== Eksempel: Kovariant elektromagnetisme ===
Det elektriske potensialet Φ(x) og det magnetiske vektorpotensialet A = A(x) kan sammenfattes i et firevektorpotensial Aμ(x) i en kovariant formulering av elektromagnetisk teori. Disse komponentene kan betraktes som en 1-form A = Aμ dxμ i det firedimensjonale Minkowski-rommet.
Herav oppstår ved ytrederivasjon 2-formen

  
    
      
        
          F
        
        =
        
          d
        
        
          A
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          F
          
            μ
            ν
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            μ
          
        
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {d} \mathbf {A} ={1 \over 2}F_{\mu \nu }\mathbf {d} x^{\mu }\wedge \mathbf {d} x^{\nu }}
  hvor de antisymmetriske komponentene Fμν = ∂μAν - ∂νAμ utgjør  Faraday-tensoren som inneholder det elektriske E og magnetiske feltet B.
De samme feltene kan oppstå fra flere forskjellige vektorpotensial. Det ser man hvis 1-formen A endres med en eksakt 1-form dΛ hvor Λ(x) er en skalar funksjon. Da vil

  
    
      
        
          A
        
        →
        
          
            A
          
          ′
        
        =
        
          A
        
        +
        
          d
        
        Λ
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} '=\mathbf {A} +\mathbf {d} \Lambda }
  ,som betyr at komponentene forandres til

  
    
      
        
          A
          
            μ
          
        
        →
        
          A
          
            μ
          
        
        +
        
          ∂
          
            μ
          
        
        Λ
      
    
    {\displaystyle A_{\mu }\rightarrow A_{\mu }+\partial _{\mu }\Lambda }
  Dette kalles en gaugetransformasjon, men har ingen inflytelse på feltene da F'  = dA'  =  dA  = F fordi d2Λ = 0.
Faraday-formen er lukketsom medfører at

  
    
      
        
          d
        
        
          F
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          F
          
            μ
            ν
            ,
            λ
          
        
        
          d
        
        
          x
          
            λ
          
        
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            μ
          
        
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            ν
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbf {d} {\boldsymbol {F}}={1 \over 2}F_{\mu \nu ,\lambda }\mathbf {d} x^{\lambda }\wedge \mathbf {d} x^{\mu }\wedge \mathbf {d} x^{\nu }=0}
  Det betyr at de partiellderiverte komponentene Fμν,λ må være antisymmetriske i alle tre indeksene. Da de allerede er antisymmetriske i de to første indeksene, må man derfor ha

  
    
      
        
          F
          
            μ
            ν
            ,
            λ
          
        
        +
        
          F
          
            λ
            μ
            ,
            ν
          
        
        +
        
          F
          
            ν
            λ
            ,
            μ
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle F_{\mu \nu ,\lambda }+F_{\lambda \mu ,\nu }+F_{\nu \lambda ,\mu }=0}
  Skrives dette kovariante uttrykket ut for forskjellige valg av indeksene, splittes det opp i de to Maxwell-ligningene ∇⋅B = 0 og ∇ × E = - ∂t B. De to andre ligningene finnes fra den ytrederiverte av den duale formen  *F som vil være proporsjonal med elektrisk strøm og ladningstetthet i feltet.


== Tredimensjonal vektoranalyse ==
En 2-form som dannes ved ytreproduktet av to 1-former på en tredimensjonal mangfoldighet, har (1/2)(3⋅2) = 3 komponenter. Ved dualisering kan herav finnes komponenter til en ekvivalent 1-form. Hvis mangfoldigheten i tillegg er euklidsk og utstyrt med kartesiske koordinater, er det ingen forskjell på kovariante og kontravariante komponenter. De tre kovariant komponentene til en 1-form kan derfor betraktes som kontravariante komponenter til en vektor. At den duale til ytreproduktet av to 1-former utgjør en ny 1-form er da ekvivalent med at vektorproduktet av to vektorer er en ny vektor. Denne sammenhengen forekommer bare i det tredimensjonale, euklidske rommet.Fra de kartesiske komponentene til to vektorer a og b i dette rommet kan man danne den tilsvarende 1-formen A = ax dx + ay dy + az dz og likedan 1-formen B. Deres ytreprodukt er nå 2-formen

  
    
      
        
          
            
              
                
                  C
                
                =
                
                  A
                
                ∧
                
                  B
                
              
              
                
                =
                (
                
                  a
                  
                    x
                  
                
                
                  d
                
                x
                +
                
                  a
                  
                    y
                  
                
                
                  d
                
                y
                +
                
                  a
                  
                    z
                  
                
                
                  d
                
                z
                )
                ∧
                (
                
                  b
                  
                    x
                  
                
                
                  d
                
                x
                +
                
                  b
                  
                    y
                  
                
                
                  d
                
                y
                +
                
                  b
                  
                    z
                  
                
                
                  d
                
                z
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                (
                
                  a
                  
                    y
                  
                
                
                  b
                  
                    z
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    z
                  
                
                
                  b
                  
                    y
                  
                
                )
                
                
                  d
                
                y
                ∧
                
                  d
                
                z
                +
                (
                
                  a
                  
                    z
                  
                
                
                  b
                  
                    x
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    x
                  
                
                
                  b
                  
                    z
                  
                
                )
                
                
                  d
                
                z
                ∧
                
                  d
                
                x
                +
                (
                
                  a
                  
                    x
                  
                
                
                  b
                  
                    y
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    y
                  
                
                
                  b
                  
                    x
                  
                
                )
                
                
                  d
                
                x
                ∧
                
                  d
                
                y
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {C} =\mathbf {A} \wedge \mathbf {B} &=(a_{x}\mathbf {d} x+a_{y}\mathbf {d} y+a_{z}\mathbf {d} z)\wedge (b_{x}\mathbf {d} x+b_{y}\mathbf {d} y+b_{z}\mathbf {d} z)\\&=(a_{y}b_{z}-a_{z}b_{y})\,\mathbf {d} y\wedge \mathbf {d} z+(a_{z}b_{x}-a_{x}b_{z})\,\mathbf {d} z\wedge \mathbf {d} x+(a_{x}b_{y}-a_{y}b_{x})\,\mathbf {d} x\wedge \mathbf {d} y\end{aligned}}}
  Komponentene til denne 2-formen er nå identisk med komponentene til  det vektorielle kryssproduktet c = a × b. Det har komponenter ci = εijk aj bk hvor εijk er det tredimensjonale Levi-Civita-symbolet med ε123 = +1.


=== Dualisering ===
Men samtidig er dette også komponentene til den duale av 2-formen C. Hvis den uttrykkes ved sine komponenter Cij = ai bj - aj bi som

  
    
      
        
          C
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          c
          
            i
            j
          
        
        
        
          d
        
        
          x
          
            i
          
        
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {C} ={1 \over 2}c_{ij}\,\mathbf {d} x^{i}\wedge \mathbf {d} x^{j}}
   ,er den duale 1-formen *C definert ved sine komponenter

  
    
      
        (
        ∗
        
          C
        
        
          )
          
            i
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          ε
          
            i
            j
            k
          
        
        
          c
          
            j
            k
          
        
        =
        
          ε
          
            i
            j
            k
          
        
        
          a
          
            j
          
        
        
          b
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle (*\mathbf {C} )_{i}={1 \over 2}\varepsilon _{ijk}c_{jk}=\varepsilon _{ijk}a_{j}b_{k}}
  som er akkurat komponentene til vektorproduktet c = a × b.
På tilsvarende vis vil den duale av en vektor utgjøre komponentene til en 2-form, mens den duale av en 3-form ganske enkelt blir en 0-form som er en vanlig funksjon. Matematisk kan dette uttrykkes som at  *(dx ∧ dy ∧ dz) = 1 eller omvendt som * 1 = dx ∧ dy ∧ dz.
Et eksempel er at det skalare trippelproduktet (a × b)⋅c kan skrives som det dualiserte ytreproduktet  *(A ∧ B ∧ C) mellom de tilsvarende 1-formene.
Dualisering av 1- og 2-former kan sammenfattes i formlene *dx = dy ∧ dz og *(dx ∧ dy) =  dz  og de som følger herav ved syklisk ombytte.


=== Vektorderivasjon ===
Differensialet av en 0-form gitt ved den skalar funksjonen Φ(x) i det tredimensjonale rommet, er 1-formen

  
    
      
        
          d
        
        Φ
        =
        
          ∂
          
            x
          
        
        Φ
        
        
          d
        
        x
        +
        
          ∂
          
            y
          
        
        Φ
        
        
          d
        
        y
        +
        
          ∂
          
            z
          
        
        Φ
        
        
          d
        
        z
      
    
    {\displaystyle \mathbf {d} \Phi =\partial _{x}\Phi \,\mathbf {d} x+\partial _{y}\Phi \,\mathbf {d} y+\partial _{z}\Phi \,\mathbf {d} z}
  Den har de samme komponentene som opptrer i gradienten  av funksjonen, og man kan derfor skrive at 
  
    
      
        
          d
        
        Φ
        =
        
          ∇
        
        Φ
      
    
    {\displaystyle \mathbf {d} \Phi ={\boldsymbol {\nabla }}\Phi }
   .
På samme vis er den ytrederiverte av 1-formen A forbundet med vektoren a, en 2-form gitt som

  
    
      
        
          d
        
        
          A
        
        =
        (
        
          ∂
          
            x
          
        
        
          a
          
            y
          
        
        −
        
          ∂
          
            y
          
        
        
          a
          
            x
          
        
        )
        
        
          d
        
        x
        ∧
        
          d
        
        y
        +
        (
        
          ∂
          
            y
          
        
        
          a
          
            z
          
        
        −
        
          ∂
          
            z
          
        
        
          a
          
            y
          
        
        )
        
        
          d
        
        y
        ∧
        
          d
        
        z
        +
        (
        
          ∂
          
            z
          
        
        
          a
          
            x
          
        
        −
        
          ∂
          
            x
          
        
        
          a
          
            z
          
        
        )
        
        
          d
        
        z
        ∧
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \mathbf {d} \mathbf {A} =(\partial _{x}a_{y}-\partial _{y}a_{x})\,\mathbf {d} x\wedge \mathbf {d} y+(\partial _{y}a_{z}-\partial _{z}a_{y})\,\mathbf {d} y\wedge \mathbf {d} z+(\partial _{z}a_{x}-\partial _{x}a_{z})\,\mathbf {d} z\wedge \mathbf {d} x}
  Den duale av denne deriverte er 1-formen

  
    
      
        ∗
        
        
          d
        
        
          A
        
        =
        (
        
          ∂
          
            x
          
        
        
          a
          
            y
          
        
        −
        
          ∂
          
            y
          
        
        
          a
          
            x
          
        
        )
        
        
          d
        
        z
        +
        (
        
          ∂
          
            y
          
        
        
          a
          
            z
          
        
        −
        
          ∂
          
            z
          
        
        
          a
          
            y
          
        
        )
        
        
          d
        
        x
        +
        (
        
          ∂
          
            z
          
        
        
          a
          
            x
          
        
        −
        
          ∂
          
            x
          
        
        
          a
          
            z
          
        
        )
        
        
          d
        
        y
      
    
    {\displaystyle *\,\mathbf {d} \mathbf {A} =(\partial _{x}a_{y}-\partial _{y}a_{x})\,\mathbf {d} z+(\partial _{y}a_{z}-\partial _{z}a_{y})\,\mathbf {d} x+(\partial _{z}a_{x}-\partial _{x}a_{z})\,\mathbf {d} y}
  med samme komponenter som curl til den relaterte vektoren. Derfor har man at  
  
    
      
        ∗
        
        
          d
        
        
          A
        
        =
        
          ∇
        
        ×
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle *\,\mathbf {d} \mathbf {A} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {a} }
  .
Da den  duale til 1-formen A er 2-formen

  
    
      
        ∗
        
          A
        
        =
        
          a
          
            x
          
        
        
          d
        
        y
        ∧
        
          d
        
        z
        +
        
          a
          
            y
          
        
        
          d
        
        z
        ∧
        
          d
        
        x
        +
        
          a
          
            z
          
        
        
          d
        
        x
        ∧
        
          d
        
        y
      
    
    {\displaystyle *\mathbf {A} =a_{x}\mathbf {d} y\wedge \mathbf {d} z+a_{y}\mathbf {d} z\wedge \mathbf {d} x+a_{z}\mathbf {d} x\wedge \mathbf {d} y}
  vil den ytrederiverteo av denne gi en 3-form. Den blir

  
    
      
        
          
            
              
                
                  d
                
                ∗
                
                  A
                
              
              
                
                =
                
                  ∂
                  
                    x
                  
                
                
                  a
                  
                    x
                  
                
                
                
                  d
                
                x
                ∧
                
                  d
                
                y
                ∧
                
                  d
                
                z
                +
                
                  ∂
                  
                    y
                  
                
                
                  a
                  
                    y
                  
                
                
                
                  d
                
                y
                ∧
                
                  d
                
                z
                ∧
                
                  d
                
                x
                +
                
                  ∂
                  
                    z
                  
                
                
                  a
                  
                    z
                  
                
                
                
                  d
                
                z
                ∧
                
                  d
                
                x
                ∧
                
                  d
                
                y
              
            
            
              
              
                
                =
                (
                
                  ∂
                  
                    x
                  
                
                
                  a
                  
                    x
                  
                
                +
                
                  ∂
                  
                    y
                  
                
                
                  a
                  
                    y
                  
                
                +
                
                  ∂
                  
                    z
                  
                
                
                  a
                  
                    z
                  
                
                )
                
                
                  d
                
                x
                ∧
                
                  d
                
                y
                ∧
                
                  d
                
                z
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {d} *\mathbf {A} &=\partial _{x}a_{x}\,\mathbf {d} x\wedge \mathbf {d} y\wedge \mathbf {d} z+\partial _{y}a_{y}\,\mathbf {d} y\wedge \mathbf {d} z\wedge \mathbf {d} x+\partial _{z}a_{z}\,\mathbf {d} z\wedge \mathbf {d} x\wedge \mathbf {d} y\\&=(\partial _{x}a_{x}+\partial _{y}a_{y}+\partial _{z}a_{z})\,\mathbf {d} x\wedge \mathbf {d} y\wedge \mathbf {d} z\end{aligned}}}
  Den har derfor en komponent som er divergensen til vektoren a slik at 
  
    
      
        ∗
        
        
          d
        
        ∗
        
          A
        
        =
        
          ∇
        
        ⋅
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle *\,\mathbf {d} *\mathbf {A} ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {a} }
  .
Når Laplace-operatoren virker på funksjonen  Φ(x), er den definert som divergensen til gradienten av funksjonen. Derfor har man også sammenhengen

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        =
        
          ∇
        
        ⋅
        
          ∇
        
        Φ
        =
        ∗
        
        
          d
        
        ∗
        
          d
        
        Φ
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\boldsymbol {\nabla }}\Phi =*\,\mathbf {d} *\mathbf {d} \Phi }
  Derimot er divergensen til curl av en vektor alltid null på samme måte som curl til en gradient av en funksjon er det. Begge disse fundamentale egenskapene ved vektorderivasjon kan nå sees som en direkte konsekvens av Poincarés lemma.
Ved bruk av ytrederivasjon  på denne måten i det tredimensjonale rommet kan også disse vektoroperasjonene utføres når krumlinjete koordinater benyttes.


== Integrasjon ==
Hvis man er gitt en n-form ω på en n-dimensjonal mangfoldighet M, kan man alltid gi den koordinater slik at den kan skrives som

  
    
      
        
          ω
        
        =
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        
          x
          
            1
          
        
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            2
          
        
        ∧
        ⋯
        ∧
        
          d
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=f(x)\,\mathbf {d} x^{1}\wedge \mathbf {d} x^{2}\wedge \cdots \wedge \mathbf {d} x^{n}}
  hvor f(x) er en skalar funksjon på mangfoldigheten. Integralet av n-formen er da definert som

  
    
      
        
          ∫
          
            M
          
        
        
          ω
        
        =
        
          ∫
          
            M
          
        
        f
        (
        x
        )
        d
        
          x
          
            1
          
        
        d
        
          x
          
            2
          
        
        ⋯
        d
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{M}{\boldsymbol {\omega }}=\int _{M}f(x)dx^{1}dx^{2}\cdots dx^{n}}
  hvor man på høyre side har det vanlige Riemann-Lebesgue-integralet. Dette forutsetter at mangfoldigheten M er orienterbar.  Et eksempel på en ikke-orienterbar mangfoldighet er Möbius-båndet.


=== Eksempel: Linjeintegral ===
Man er gitt en kurve C i det tredimensjonale rommet med koordinater (x, y, z). Den har parametriseringen x = t 2, y = 1 - t, z = 1 + t. En 1-form

  
    
      
        
          ω
        
        =
        
          y
          
            2
          
        
        
          d
        
        x
        +
        2
        x
        
        
          d
        
        y
        +
        y
        z
        
        
          d
        
        z
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}=y^{2}\mathbf {d} x+2x\,\mathbf {d} y+yz\,\mathbf {d} z}
  skal integreres langs kurven fra t = 0 til t = 1. Der tar differensialene formene dx = 2t dt, dy = - dt og dz =  dt. Det bestemte linjeintegralet blir dermed

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∫
                  
                    C
                  
                
                
                  ω
                
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    C
                  
                
                2
                (
                1
                −
                t
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                t
                
                
                  d
                
                t
                −
                2
                
                  t
                  
                    2
                  
                
                
                
                  d
                
                t
                +
                (
                1
                −
                
                  t
                  
                    2
                  
                
                )
                
                
                  d
                
                t
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    1
                  
                
                
                d
                t
                (
                1
                +
                2
                t
                −
                7
                
                  t
                  
                    2
                  
                
                +
                2
                
                  t
                  
                    3
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                1
                +
                1
                −
                
                  
                    7
                    3
                  
                
                +
                
                  
                    2
                    4
                  
                
                =
                
                  
                    1
                    6
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{C}{\boldsymbol {\omega }}&=\int _{C}2(1-t)^{2}t\,\mathbf {d} t-2t^{2}\,\mathbf {d} t+(1-t^{2})\,\mathbf {d} t\\&=\int _{0}^{1}\!dt(1+2t-7t^{2}+2t^{3})\\&=1+1-{7 \over 3}+{2 \over 4}={1 \over 6}\end{aligned}}}
  


=== Generalisert Stokes-teorem ===
Fra den mer generelle 1-formen ω = P(x,y) dx + Q(x,y) dy i to dimensjoner kan man ved ytrederivasjon danne 2-formen

  
    
      
        
          d
        
        
          ω
        
        =
        
          
            (
          
        
        
          
            
              ∂
              Q
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              P
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        
          
            )
          
        
        
          d
        
        x
        ∧
        
          d
        
        y
      
    
    {\displaystyle \mathbf {d} {\boldsymbol {\omega }}={\Big (}{\partial Q \over \partial x}-{\partial P \over \partial y}{\Big )}\mathbf {d} x\wedge \mathbf {d} y}
  Denne kan integreres over et område M i xy-planet. Innholdet av Greens teorem sier nå at dette integralet er likt med integralet av 1-formen ω rundt omkretsen til M. Denne randen skrives vanligvis som ∂M. Dermed kan teoremet skrives som

  
    
      
        
          ∫
          
            M
          
        
        
          d
        
        
          ω
        
        =
        
          ∫
          
            ∂
            M
          
        
        
        
          ω
        
      
    
    {\displaystyle \int _{M}\mathbf {d} {\boldsymbol {\omega }}=\int _{\partial M}\!{\boldsymbol {\omega }}}
  På denne formen kan det nå vises å være generelt gyldig for en n-form ω på en vilkårlig mangfoldighet M med dimensjon n + 1. Vanligvis blir det da omtalt som det generelle Stokes-teoremet.I det enkleste tilfellet er ω en 0-form, det vil si en skalar funksjon f(x) av en variabel på en endimensjonal mangfoldighet. Integreres da 1-formen df  fra punktet x1 til x2, vil

  
    
      
        
          ∫
          
            M
          
        
        
          d
        
        f
        =
        
          ∫
          
            
              x
              
                1
              
            
          
          
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        =
        f
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
        −
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \int _{M}\mathbf {d} f=\int _{x_{1}}^{x_{2}}f'(x)\,\mathbf {d} x=f(x_{2})-f(x_{1})}
  hvor kun funksjonsverdien i de to randpunktene opptrer.
For en todimensjonal mangfoldighet eller flate S som inneholder en 1-form  ω = A, vil den ytrederiverte dA gi curl ∇ × A slik at teoremet går over til

  
    
      
        
          ∫
          
            S
          
        
        (
        
          ∇
        
        ×
        
          A
        
        )
        ⋅
        d
        
          S
        
        =
        
          ∫
          
            ∂
            S
          
        
        
          A
        
        ⋅
        d
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \int _{S}({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} )\cdot d\mathbf {S} =\int _{\partial S}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {r} }
  Her er d S et vektorielt flateelement på S og d r et vektorielt linjeelement på randen ∂S til flaten. Dette er det vanlige Stokes-teoremet.
På samme måte finner man at på en tredimensjonal mangfoldighet V med overflate ∂V og en 2-form ω = *A vil det generelle Stokes-teoremet gi

  
    
      
        
          ∫
          
            V
          
        
        (
        
          ∇
        
        ⋅
        
          A
        
        )
        
        d
        V
        =
        
          ∫
          
            ∂
            V
          
        
        
          A
        
        ⋅
        d
        
          S
        
      
    
    {\displaystyle \int _{V}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {A} )\,dV=\int _{\partial V}\mathbf {A} \cdot d\mathbf {S} }
  hvor dV er et differensielt volumelement på mangfoldigheten. Denne sammenhengen er kjent som Gauss' divergensteorem.


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
J.E. Marsden, Differential forms and Stokes' theorem, forelesninger ved Caltech
E.W. Weisstein, Differential k-form, Wolfram MathWorld