Triangulær matrise

Ei triangulær matrise i lineær algebra er en særskilt type kvadratisk matrise. Ei kvadratisk matrise er enten øvre eller nedre triangulær. Matrisa er kalt nedre triangulær om alle element over diagonalen er 0. Om alle element under diagonalen er 0 er matrisa kalt øvre triangulær.
Ettersom matriselikninger med tringulære matriser er enklere å løse så er de svært sentrale i nummerisk lineær algebra. For eksempel vil ei LU-faktorisering splitte opp ei matrise i ei nedre og ei øvre triangulær matrise. Ei matriselikning på denne formen kan løses ved henholdsvis forlengssubstitusjon og baklengssubstitusjon.


== Forlengssubstitusjon ==
Løsninga av et likningssystem på formen Ax=b der A er ei nedre triangulær matrise kan løses ved forlengssubstitusjon, definert som:

  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              
                b
                
                  i
                
              
              −
              
                ∑
                
                  j
                  =
                  1
                
                
                  i
                  −
                  1
                
              
              
                a
                
                  i
                  ,
                  j
                
              
              
                x
                
                  j
                
              
            
            
              a
              
                i
                ,
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}={\frac {b_{i}-\sum _{j=1}^{i-1}a_{i,j}x_{j}}{a_{i,i}}}}
  
For 
  
    
      
        i
        =
        1
        ,
        .
        .
        ,
        n
      
    
    {\displaystyle i=1,..,n}
  .


== Baklengssubstitusjon ==
Løsninga av et likningssystem på formen Ax=b der A er ei øvre triangulær matrise kan løses ved baklengssubstitusjon, definert som:

  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              
                b
                
                  i
                
              
              −
              
                ∑
                
                  j
                  =
                  i
                  +
                  1
                
                
                  n
                
              
              
                a
                
                  i
                  ,
                  j
                
              
              
                x
                
                  j
                
              
            
            
              a
              
                i
                ,
                i
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}={\frac {b_{i}-\sum _{j=i+1}^{n}a_{i,j}x_{j}}{a_{i,i}}}}
  
For 
  
    
      
        i
        =
        n
        ,
        n
        −
        1
        ,
        .
        .
        .
        ,
        1
      
    
    {\displaystyle i=n,n-1,...,1}
  . Indeksene er minkende, derav navnet baklengssubstitusjon.