Termodynamisk beta

I statistisk termodynamikk er termodynamisk beta, også kjent som kulde, resiprok av den termodynamiske temperaturen til et system:

  
    
      
        β
        =
        
          
            1
            
              
                k
                
                  
                    B
                  
                
              
              T
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}}
  Hvor:

  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
   er temperaturen

  
    
      
        
          k
          
            B
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{B}}
   er Boltzmanns konstantDen ble opprinnelig introdusert i 1971 (som Kältefunktion "kaldhetsfunksjon") av Ingo Müller, en av forkjemperne for den rasjonelle tankegang, basert på tidligere forslag om en "gjensidig temperatur" -funksjon.Termodynamisk beta har enheter resiprok med energien (i SI-enhet, resiprokjoule, 
  
    
      
        [
        β
        ]
        =
        
          
            
              J
            
          
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle [\beta ]={\textrm {J}}^{-1}}
  ). I ikke-termiske enheter kan den også måles i byte per joule, eller mer praktisk, gigabyte per nanojoule; 1 K−1 tilsvarer omtrent 13 062 gigabyte per nanojoule; i romtemperatur: T = 300K, β ≈ 44 GB/nJ ≈ 39 eV−1 ≈ 2,4×1020 J−1. Konverteringsfaktoren er 1 GB/nJ = 
  
    
      
        8
        ln
        ⁡
        2
        ×
        
          10
          
            18
          
        
      
    
    {\displaystyle 8\ln 2\times 10^{18}}
   J−1.


== Beskrivelse ==
Termodynamisk beta er egentlig forbindelsen mellom informasjonsteorien og statistisk mekanikkfortolkning av et fysisk system gjennom dets entropi og termodynamikken knyttet til energien. Det uttrykker entropiens respons på en økning i energi. Hvis et system utfordres med en liten mengde energi, beskriver β mengden systemet vil randomisere.
Via den statistiske definisjonen av temperatur som en funksjon av entropi, kan kuldefunksjonen beregnes i det mikrokanoniske ensemblet fra formelen

  
    
      
        β
        =
        
          
            1
            
              
                k
                
                  
                    B
                  
                
              
              T
            
          
        
        
        =
        
          
            1
            
              k
              
                
                  B
                
              
            
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  S
                
                
                  ∂
                  E
                
              
            
            )
          
          
            V
            ,
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}\,={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}\left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{V,N}}
  (dvs. delvis derivat av entropien S med hensyn til energien E ved konstant volum V og partikkelnummer N).


=== Fordeler ===
Selv om β er fullstendig ekvivalent i konseptuelt innhold med temperatur, anses β generelt som en mer grunnleggende mengde enn temperatur på grunn av fenomenet negativ temperatur, der β er kontinuerlig når den krysser null, mens T har en egenart.I tillegg har β fordelen av å være lettere å forstå årsaksvis: Hvis en liten mengde varme tilsettes et system, er β økningen i entropi delt på økningen i varme. Temperatur er vanskelig å tolke i samme forstand, da det ikke er mulig å "legge til entropi" til et system bortsett fra indirekte, ved å modifisere andre størrelser som temperatur, volum eller antall partikler.


== Statistisk tolkning ==
Fra et statistisk synspunkt er β en numerisk størrelse som relaterer to makroskopiske systemer i likevekt. Den eksakte formuleringen er som følger. Tenk på to systemer, 1 og 2, i termokontakt, med respektive energier E1 og E2. Vi antar at E1 + E2 =konstant  E. Antall mikrotilstander i hvert system vil bli betegnet med Ω1 og Ω2. Under våre antakelser avhenger Ωi bare av Ei. Vi antar også at en hvilken som helst mikrotilstand i system 1 som er i samsvar med E1 kan eksistere sammen med hvilken som helst mikrotilstand i system 2 som er i samsvar med E2. Dermed er antallet mikrotilstander for det kombinerte systemet

  
    
      
        Ω
        =
        
          Ω
          
            1
          
        
        (
        
          E
          
            1
          
        
        )
        
          Ω
          
            2
          
        
        (
        
          E
          
            2
          
        
        )
        =
        
          Ω
          
            1
          
        
        (
        
          E
          
            1
          
        
        )
        
          Ω
          
            2
          
        
        (
        E
        −
        
          E
          
            1
          
        
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle \Omega =\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E_{2})=\Omega _{1}(E_{1})\Omega _{2}(E-E_{1}).\,}
  Vi vil utlede β fra den grunnleggende antagelsen om statistisk mekanikk:

Når det kombinerte systemet når likevekt, maksimeres tallet Ω.(Med andre ord søker systemet naturlig nok det maksimale antallet mikrostater.) Derfor, ved likevekt,

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              
                E
                
                  1
                
              
            
          
        
        Ω
        =
        
          Ω
          
            2
          
        
        (
        
          E
          
            2
          
        
        )
        
          
            d
            
              d
              
                E
                
                  1
                
              
            
          
        
        
          Ω
          
            1
          
        
        (
        
          E
          
            1
          
        
        )
        +
        
          Ω
          
            1
          
        
        (
        
          E
          
            1
          
        
        )
        
          
            d
            
              d
              
                E
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          Ω
          
            2
          
        
        (
        
          E
          
            2
          
        
        )
        ⋅
        
          
            
              d
              
                E
                
                  2
                
              
            
            
              d
              
                E
                
                  1
                
              
            
          
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dE_{1}}}\Omega =\Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})+\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})\cdot {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=0.}
  Men E1 + E2 = E tilsier

  
    
      
        
          
            
              d
              
                E
                
                  2
                
              
            
            
              d
              
                E
                
                  1
                
              
            
          
        
        =
        −
        1.
      
    
    {\displaystyle {\frac {dE_{2}}{dE_{1}}}=-1.}
  Så

  
    
      
        
          Ω
          
            2
          
        
        (
        
          E
          
            2
          
        
        )
        
          
            d
            
              d
              
                E
                
                  1
                
              
            
          
        
        
          Ω
          
            1
          
        
        (
        
          E
          
            1
          
        
        )
        −
        
          Ω
          
            1
          
        
        (
        
          E
          
            1
          
        
        )
        
          
            d
            
              d
              
                E
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          Ω
          
            2
          
        
        (
        
          E
          
            2
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \Omega _{2}(E_{2}){\frac {d}{dE_{1}}}\Omega _{1}(E_{1})-\Omega _{1}(E_{1}){\frac {d}{dE_{2}}}\Omega _{2}(E_{2})=0}
  det vil si

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              
                E
                
                  1
                
              
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          Ω
          
            1
          
        
        =
        
          
            d
            
              d
              
                E
                
                  2
                
              
            
          
        
        ln
        ⁡
        
          Ω
          
            2
          
        
        
        
          
            ved likevekt.
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dE_{1}}}\ln \Omega _{1}={\frac {d}{dE_{2}}}\ln \Omega _{2}\quad {\mbox{ved likevekt.}}}
  Ovennevnte forhold motiverer en definisjon av β:

  
    
      
        β
        =
        
          
            
              d
              ln
              ⁡
              Ω
            
            
              d
              E
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \beta ={\frac {d\ln \Omega }{dE}}.}
  


== Forbindelse av statistisk visning med termodynamisk utsikt ==
Når to systemer er i likevekt, har de samme termodynamisk temperatur  T . Dermed ville man intuitivt forvente at  β  (som definert via mikrotilstander) på en eller annen måte var relatert til  T. Denne lenken er gitt av Boltzmanns grunnleggende antagelse skrevet som

  
    
      
        S
        =
        
          k
          
            
              B
            
          
        
        ln
        ⁡
        Ω
        ,
        
      
    
    {\displaystyle S=k_{\rm {B}}\ln \Omega ,\,}
  hvor kB er Boltzmann-konstanten, S er den klassiske termodynamiske entropien, og Ω er antallet mikrotilstander. Så

  
    
      
        d
        ln
        ⁡
        Ω
        =
        
          
            1
            
              k
              
                
                  B
                
              
            
          
        
        d
        S
        .
      
    
    {\displaystyle d\ln \Omega ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}dS.}
  Å erstatte definisjonen av β fra den statistiske definisjonen ovenfor gir

  
    
      
        β
        =
        
          
            1
            
              k
              
                
                  B
                
              
            
          
        
        
          
            
              d
              S
            
            
              d
              E
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}}}{\frac {dS}{dE}}.}
  Sammenligning med termodynamisk formel

  
    
      
        
          
            
              d
              S
            
            
              d
              E
            
          
        
        =
        
          
            1
            T
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\frac {dS}{dE}}={\frac {1}{T}},}
  vi har

  
    
      
        β
        =
        
          
            1
            
              
                k
                
                  
                    B
                  
                
              
              T
            
          
        
        =
        
          
            1
            τ
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta ={\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}={\frac {1}{\tau }}}
  hvor 
  
    
      
        τ
      
    
    {\displaystyle \tau }
   kalles systemets grunntemperatur, og har energienheter.


== Referanser ==