Poincarés tilbakevendingsteorem

I fysikk og fysikalsk kjemi beskriver Poincarés tilbakevendingsteorem at enkelte systemer vil, etter en tilstrekkelig lang, men begrenset tid, gå tilbake til en tilstand vilkårlig nær (for kontinuerlige tilstandssystemer), eller nøyaktig den samme som (for diskrete tilstandssystemer), deres opprinnelige tilstand.
Poincaré tilbakevendingstid er lengden på tiden som går til gjentakelsen; denne tiden kan variere sterkt avhengig av den eksakte starttilstanden og den nødvendige graden av nærhet. Resultatet gjelder isolerte mekaniske systemer som er underlagt noen begrensninger, for eksempel må alle partikler være bundet til et begrenset volum. Teoremet blir ofte diskutert i sammenheng med ergodisk teori, dynamiske systemer og statistisk mekanikk. Systemer som Poincaré-tilbakevendingsteoremet gjelder, kalles konservative systemer.
Teoremet er oppkalt etter Henri Poincaré, som diskuterte det i 1890, og det ble bevist av Constantin Carathéodory ved hjelp av måleteori i 1919.


== Presis formulering ==
Ethvert dynamisk system definert av en vanlig differensialligning bestemmer et flytkart f t  for å kartlegge faseområdet på seg selv. Systemet sies å være volumbevarende hvis volumet til et sett i faseplass er uforanderlig under strømmen. For eksempel er alle Hamiltonian-systemer volumbevarende på grunn av Liouvilles teorem. Teoremet er da: Hvis en strøm bevarer volumet og bare har avgrensede baner, eksisterer det baner som krysser settet uendelig ofte for hvert åpent sett.


== Formell formulering ==
La

  
    
      
        (
        X
        ,
        Σ
        ,
        μ
        )
      
    
    {\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
  være et begrenset mål og la

  
    
      
        f
        :
        X
        →
        X
      
    
    {\displaystyle f\colon X\to X}
  være en målbevarende transformasjon. Nedenfor er to alternative utsagn om setningen.


=== Teorem 1 ===
For alle 
  
    
      
        E
        ∈
        Σ
      
    
    {\displaystyle E\in \Sigma }
  , settet med disse punktene 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   av 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
   som det finnes 
  
    
      
        N
        ∈
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle N\in \mathbb {N} }
   slik at 
  
    
      
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        ∉
        E
      
    
    {\displaystyle f^{n}(x)\notin E}
   for alle 
  
    
      
        n
        >
        N
      
    
    {\displaystyle n>N}
   har null mål.
Med andre ord, nesten hvert punkt i 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
   går tilbake til 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  . Faktisk kommer nesten hvert punkt tilbake uendelig ofte; dvs.

  
    
      
        μ
        
          (
          
            {
            x
            ∈
            E
            :
            
              det finnes 
            
            N
            
               slik at 
            
            
              f
              
                n
              
            
            (
            x
            )
            ∉
            E
            
               for alle 
            
            n
            >
            N
            }
          
          )
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \mu \left(\{x\in E:{\text{det finnes }}N{\text{ slik at }}f^{n}(x)\notin E{\text{ for alle }}n>N\}\right)=0.}
  For bevis, se den siterte referansen


=== Teorem 2 ===
Følgende er en topologisk versjon av dette teoremet:
Hvis 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   er et annet tellbart Hausdorffrom og 
  
    
      
        Σ
      
    
    {\displaystyle \Sigma }
   inneholder Borel sigma-algebra, har settet med tilbakevendende punkter for 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   full måling. Det vil si at nesten hvert punkt er tilbakevendende.
For bevis, se den siterte referansen.Mer generelt gjelder teoremet for konservative systemer, og ikke bare for målebevarende dynamiske systemer. Grovt sett kan man si at konservative systemer er nettopp de som tilbakevendingsteoremet gjelder.


== Kvantemekanisk versjon ==
For tidsuavhengige kvantemekaniske systemer med diskrete energistatistikker holder en lignende setning. For hver 
  
    
      
        ε
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \varepsilon >0}
   og 
  
    
      
        
          T
          
            0
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle T_{0}>0}
   eksisterer en tid T som er større enn 
  
    
      
        
          T
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{0}}
  , slik at 
  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        ψ
        (
        T
        )
        ⟩
        −
        
          |
        
        ψ
        (
        0
        )
        ⟩
        
          |
        
        <
        ε
      
    
    {\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |<\varepsilon }
  , hvor  
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        (
        t
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi (t)\rangle }
   betegner tilstandsvektoren til systemet på tidspunktet t.De viktigste elementene i beviset er som følger. Systemet utvikler seg i tid i henhold til:

  
    
      
        
          |
        
        ψ
        (
        t
        )
        ⟩
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          c
          
            n
          
        
        exp
        ⁡
        (
        −
        i
        
          E
          
            n
          
        
        t
        )
        
          |
        
        
          ϕ
          
            n
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}\exp(-iE_{n}t)|\phi _{n}\rangle }
  hvor 
  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{n}}
   er energien egenverdier (vi bruker naturlige enheter, så 
  
    
      
        ℏ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \hbar =1}
   ), og 
  
    
      
        
          |
        
        
          ϕ
          
            n
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\phi _{n}\rangle }
   er energien egenstatene. Den kvadratiske normen for forskjellen mellom tilstandsvektoren på det tidspunktet 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
   og tid null kan beskrives som følger:

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        ψ
        (
        T
        )
        ⟩
        −
        
          |
        
        ψ
        (
        0
        )
        ⟩
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        2
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          |
        
        
          c
          
            n
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        [
        1
        −
        cos
        ⁡
        (
        
          E
          
            n
          
        
        T
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle ||\psi (T)\rangle -|\psi (0)\rangle |^{2}=2\sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]}
  Vi kan avkorte summeringen til noen n = N uavhengig av T, fordi

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            N
            +
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          |
        
        
          c
          
            n
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        [
        1
        −
        cos
        ⁡
        (
        
          E
          
            n
          
        
        T
        )
        ]
        ≤
        2
        
          ∑
          
            n
            =
            N
            +
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          |
        
        
          c
          
            n
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]\leq 2\sum _{n=N+1}^{\infty }|c_{n}|^{2}}
  
som kan gjøres vilkårlig liten ved å øke N, som summering 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          |
        
        
          c
          
            n
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }|c_{n}|^{2}}
  , å være den kvadratiske normen til den opprinnelige tilstanden, konvergerer til 1.
Den endelige summen

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            N
          
        
        
          |
        
        
          c
          
            n
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        [
        1
        −
        cos
        ⁡
        (
        
          E
          
            n
          
        
        T
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]}
  kan gjøres vilkårlig liten for spesifikke valg av tiden T, i henhold til følgende konstruksjon. Velg en vilkårlig 
  
    
      
        δ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \delta >0}
  , og velg T slik at det er heltall 
  
    
      
        
          k
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{n}}
   som tilfredsstiller

  
    
      
        
          |
        
        
          E
          
            n
          
        
        T
        −
        2
        π
        
          k
          
            n
          
        
        
          |
        
        <
        δ
      
    
    {\displaystyle |E_{n}T-2\pi k_{n}|<\delta }
  ,for alle tall 
  
    
      
        0
        ≤
        n
        ≤
        N
      
    
    {\displaystyle 0\leq n\leq N}
  . For dette spesifikke valget av T,

  
    
      
        1
        −
        cos
        ⁡
        (
        
          E
          
            n
          
        
        T
        )
        <
        
          
            
              δ
              
                2
              
            
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle 1-\cos(E_{n}T)<{\frac {\delta ^{2}}{2}}.}
  Som sådan har vi:

  
    
      
        2
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            N
          
        
        
          |
        
        
          c
          
            n
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        [
        1
        −
        cos
        ⁡
        (
        
          E
          
            n
          
        
        T
        )
        ]
        <
        
          δ
          
            2
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            N
          
        
        
          |
        
        
          c
          
            n
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        <
        
          δ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 2\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}[1-\cos(E_{n}T)]<\delta ^{2}\sum _{n=0}^{N}|c_{n}|^{2}<\delta ^{2}}
  .Tilstandsvektoren 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        (
        T
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi (T)\rangle }
   returnerer dermed vilkårlig nær den opprinnelige tilstanden 
  
    
      
        
          |
        
        ψ
        (
        0
        )
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\psi (0)\rangle }
  .


== Referanser ==