Sobolev-rom

Innen matematikk er Sobolev-rom et funksjonsrom som består av funksjoner som tilhører et 
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{p}}
  -rom, og hvis deriverte, opp til en viss orden og forstått som svake deriverte, også tilhører dette rommet. Intuitivt er Sobolev-rom funksjonsrom som har tilstrekkelig mange deriverte til å gi det teoretiske grunnlaget for visse anvendelser, der spesielt løsning av partielle differensialligninger er sentralt. Dette kommer av at flere viktige ligninger har løsninger som eksisterer i Sobolev-rom, men ikke i rom av kontinuerlige funksjoner der de deriverte er forstått på vanlig måte (sterke deriverte). Sobolev-rom er også viktige i det teoretiske grunnlaget for elementmetoden, som brukes for å finne numeriske løsninger av partielle differensialligninger.
Sobolev-rom tilordnes en norm definert som en sum av 
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{p}}
  -normen av funksjonen i seg selv og dens (svake) deriverte. Et Sobolev-rom er dermed et normert rom, og også komplett, hvilket gjør det til et Banach-rom. For 
  
    
      
        p
        =
        2
      
    
    {\displaystyle p=2}
  , altså der funksjonene og deres deriverte er 
  
    
      
        
          L
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{2}}
  -funksjoner, er det også et indreproduktrom og dermed et Hilbert-rom. Sobolev-rom er oppkalt etter den russiske matematikeren Sergei Sobolev.


== Definisjon ==
La 
  
    
      
        Ω
        ⊂
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
   for 
  
    
      
        n
        ≥
        1
      
    
    {\displaystyle n\geq 1}
  , 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
   et ikke-negativt heltall og 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   et tall slik at 
  
    
      
        1
        ≤
        p
        ≤
        ∞
      
    
    {\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
  . Sobolev-rommet 
  
    
      
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}
   består av alle lokalt deriverbare funksjoner 
  
    
      
        u
        :
        Ω
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle u:\Omega \to \mathbb {R} }
   slik at for alle multiindekser 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   slik at 
  
    
      
        
          |
        
        α
        
          |
        
        ≤
        k
      
    
    {\displaystyle |\alpha |\leq k}
  , eksisterer de (svake) deriverte 
  
    
      
        
          D
          
            α
          
        
        u
      
    
    {\displaystyle D^{\alpha }u}
   og tilhører 
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle L^{p}(\Omega )}
  .Dersom 
  
    
      
        u
        ∈
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle u\in W^{k,p}(\Omega )}
   definerer vi den tilhørende normen til å være

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              W
              
                k
                ,
                p
              
            
            (
            Ω
            )
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    ∑
                    
                      
                        |
                      
                      α
                      
                        |
                      
                      ≤
                      k
                    
                  
                  
                    
                      (
                    
                  
                  
                    ∫
                    
                      Ω
                    
                  
                  
                    |
                  
                  
                    D
                    
                      α
                    
                  
                  u
                  
                    
                      |
                    
                    
                      p
                    
                  
                  d
                  x
                  
                    
                      
                        )
                      
                    
                    
                      1
                      
                        /
                      
                      p
                    
                  
                  
                  
                    hvis 
                  
                  1
                  ≤
                  p
                  <
                  ∞
                
              
              
                
                  
                    ∑
                    
                      
                        |
                      
                      α
                      
                        |
                      
                      ≤
                      k
                    
                  
                  ess
                  ⁡
                  
                    sup
                    
                      Ω
                    
                  
                  
                    |
                  
                  
                    D
                    
                      α
                    
                  
                  u
                  
                    |
                  
                  
                  
                    hvis 
                  
                  p
                  =
                  ∞
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ||u||_{W^{k,p}(\Omega )}={\begin{cases}\sum _{|\alpha |\leq k}{\Big (}\int _{\Omega }|D^{\alpha }u|^{p}dx{\Big )}^{1/p}\qquad {\text{hvis }}1\leq p<\infty \\\sum _{|\alpha |\leq k}\operatorname {ess} \sup _{\Omega }|D^{\alpha }u|\qquad {\text{hvis }}p=\infty \end{cases}}}
  der

  
    
      
        
          D
          
            α
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                u
                
                  
                    |
                  
                  α
                  
                    |
                  
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  1
                
                
                  
                    α
                    
                      1
                    
                  
                
              
              .
              .
              .
              ∂
              
                x
                
                  n
                
                
                  
                    α
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle D^{\alpha }={\frac {\partial u^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}...\partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}}
  for en vektor 
  
    
      
        α
        =
        (
        
          α
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        
          α
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \alpha =(\alpha _{1},...\alpha _{n})}
   der hver indeks igjen er et ikke-negativt heltall og 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          α
          
            i
          
        
        ≤
        k
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\leq k}
  .
Normen over er ekvivalent med normen

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              W
              
                k
                ,
                p
              
            
            (
            Ω
            )
          
        
        =
        
          ∑
          
            
              |
            
            α
            
              |
            
            ≤
            k
          
        
        
          |
        
        
          |
        
        
          D
          
            α
          
        
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              L
              
                p
              
            
            (
            Ω
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle ||u||_{W^{k,p}(\Omega )}=\sum _{|\alpha |\leq k}||D^{\alpha }||_{L^{p}(\Omega )}}
  for 
  
    
      
        1
        ≤
        p
        ≤
        ∞
      
    
    {\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
  .


== Egenskaper ==


=== Lineære egenskaper ===
La 
  
    
      
        u
        ,
        v
        ∈
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle u,v\in W^{k,p}(\Omega )}
  , og 
  
    
      
        
          |
        
        α
        
          |
        
        ≤
        k
      
    
    {\displaystyle |\alpha |\leq k}
  . Da gjelder

  
    
      
        
          D
          
            α
          
        
        u
        ∈
        
          W
          
            k
            −
            
              |
            
            α
            
              |
            
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle D^{\alpha }u\in W^{k-|\alpha |,p}(\Omega )}
  

  
    
      
        
          D
          
            β
          
        
        (
        
          D
          
            γ
          
        
        u
        )
        =
        
          D
          
            γ
          
        
        (
        
          D
          
            β
          
        
        u
        )
        =
        
          D
          
            γ
            +
            β
          
        
        u
      
    
    {\displaystyle D^{\beta }(D^{\gamma }u)=D^{\gamma }(D^{\beta }u)=D^{\gamma +\beta }u}
   dersom 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
   og 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
   er multiindekser slik at 
  
    
      
        
          |
        
        β
        
          |
        
        +
        
          |
        
        γ
        
          |
        
        ≤
        k
      
    
    {\displaystyle |\beta |+|\gamma |\leq k}
  
Hvis 
  
    
      
        λ
        ,
        μ
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} }
   er også 
  
    
      
        λ
        u
        +
        μ
        v
        ∈
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle \lambda u+\mu v\in W^{k,p}(\Omega )}
  
Hvis 
  
    
      
        λ
        ,
        μ
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \lambda ,\mu \in \mathbb {R} }
   er 
  
    
      
        
          D
          
            α
          
        
        (
        λ
        u
        +
        μ
        v
        )
        =
        λ
        
          D
          
            α
          
        
        (
        u
        )
        +
        μ
        
          D
          
            α
          
        
        v
      
    
    {\displaystyle D^{\alpha }(\lambda u+\mu v)=\lambda D^{\alpha }(u)+\mu D^{\alpha }v}
  
Hvis 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   er en åpen delmengde av 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
   er 
  
    
      
        u
        ∈
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
        (
        A
        )
      
    
    {\displaystyle u\in W^{k,p}(A)}
  
Dersom 
  
    
      
        f
        ∈
        
          C
          
            c
          
          
            ∞
          
        
        (
        U
        )
      
    
    {\displaystyle f\in C_{c}^{\infty }(U)}
   (mengden av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte i U) er også 
  
    
      
        f
        u
        ∈
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle fu\in W^{k,p}(\Omega )}
  , og

  
    
      
        
          D
          
            α
          
        
        (
        f
        u
        )
        =
        
          ∑
          
            β
            ≤
            α
          
        
        
          
            
              (
            
            
              α
              β
            
            
              )
            
          
        
        
          D
          
            β
          
        
        f
        
          D
          
            α
            −
            β
          
        
        u
      
    
    {\displaystyle D^{\alpha }(fu)=\sum _{\beta \leq \alpha }{\alpha  \choose \beta }D^{\beta }fD^{\alpha -\beta }u}
   (Leibniz' formel).


=== Kompletthet ===
For enhver 
  
    
      
        k
        =
        1
        ,
        2
        ,
        .
        .
        .
      
    
    {\displaystyle k=1,2,...}
   er Sobolev-rommet 
  
    
      
        
          W
          
            k
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle W^{k,p}(\Omega )}
   komplett, og dermed et Banach-rom.


== Utvidelser ==
Under visse betingelser kan funksjoner i et Sobolev-rom 
  
    
      
        
          W
          
            1
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}
  , der 
  
    
      
        Ω
        ⊂
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
   utvides til å også være funksjoner i Sobolev-rommet 
  
    
      
        
          W
          
            1
            ,
            p
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}
  , altså fra en begrenset mengde til en ubegrenset mengde. Disse betingelsene er gitt i utvidelsesteoremet, og er nødvendig for å bevise flere av Sobolev-ulikhetene.


=== Utvidelsesteoremet ===
Dersom 
  
    
      
        Ω
        ⊂
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
   er begrenset og randen 
  
    
      
        ∂
        Ω
      
    
    {\displaystyle \partial \Omega }
   er kontinuerlig (i 
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{1}}
  ). Da finnes det en begrenset lineær operator E

  
    
      
        E
        :
        
          W
          
            1
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
        →
        
          W
          
            1
            ,
            p
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle E:W^{1,p}(\Omega )\to W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}
  slik at for enhver 
  
    
      
        u
        ∈
        
          W
          
            1
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )}
  , er

  
    
      
        E
        u
        =
        u
      
    
    {\displaystyle Eu=u}
   nesten overalt i 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  ,og

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        E
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              W
              
                1
                ,
                p
              
            
            (
            
              
                R
              
              
                n
              
            
            )
          
        
        ≤
        C
        
          |
        
        
          |
        
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              W
              
                1
                ,
                p
              
            
            (
            Ω
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle ||Eu||_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C||u||_{W^{1,p}(\Omega )}}
  der 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   er en konstant avhengig av 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   og 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  . E kalles for utvidelsen av 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   til 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  .


== Traser ==
I flere tilfeller er det interessant å studere randen av 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  , og (hvis de ikke allerede er definert) tilordne verdier til u langs denne. Dersom u er kontinuerlig i 
  
    
      
        
          
            Ω
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {\Omega }}}
   (tillukningen av den åpne mengden 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  ) har den allerede slike verdier; en generell 
  
    
      
        u
        ∈
        
          W
          
            1
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )}
   kan imidlertid generelt være diskontinuerlig, og vil heller ikke nødvendigvis være definert på (hele) randen. Som for utvidelser kan man gjøre dette under visse (lignende) betingelser.


=== Traseteoremet ===
Anta at 
  
    
      
        1
        ≤
        p
        <
        ∞
      
    
    {\displaystyle 1\leq p<\infty }
  , og at 
  
    
      
        Ω
        ⊂
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
   er begrenset og at randen 
  
    
      
        ∂
        Ω
      
    
    {\displaystyle \partial \Omega }
   er kontinuerlig (i 
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{1}}
  ). Da finnes det en begrenset lineær operator

  
    
      
        T
        :
        
          W
          
            1
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
        →
        
          L
          
            p
          
        
        (
        ∂
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle T:W^{1,p}(\Omega )\to L^{p}(\partial \Omega )}
  slik at

  
    
      
        T
        u
        =
        u
        
          
            |
          
          
            ∂
            U
          
        
      
    
    {\displaystyle Tu=u|_{\partial U}}
   dersom 
  
    
      
        u
        ∈
        C
        (
        
          
            Ω
            ¯
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle u\in C({\overline {\Omega }})}
  og

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        T
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              L
              
                p
              
            
            (
            ∂
            U
            )
          
        
        ≤
        C
        
          |
        
        
          |
        
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              W
              
                1
                ,
                p
              
            
            (
            Ω
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle ||Tu||_{L^{p}(\partial U)}\leq C||u||_{W^{1,p}(\Omega )}}
  for alle 
  
    
      
        u
        ∈
        
          W
          
            1
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )}
  , der C er en konstant avhengig av 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   og 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  . T kalles for sporet til 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   på 
  
    
      
        ∂
        Ω
      
    
    {\displaystyle \partial \Omega }
  .Sporet T er altså sammenfallende med verdiene u allerede har dersom u er kontinuerlig i tillukningen av 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  , og normen er begrenset oppad av en konstant multiplisert med normen til u i 
  
    
      
        
          W
          
            1
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle W^{1,p}(\Omega )}
  .


=== Traser med verdi 0 ===
Anta at 
  
    
      
        Ω
        ⊂
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}}
   er begrenset og at randen 
  
    
      
        ∂
        Ω
      
    
    {\displaystyle \partial \Omega }
   er kontinuerlig (i 
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C^{1}}
  ), samt at 
  
    
      
        u
        ∈
        
          W
          
            1
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )}
  . Da er

  
    
      
        u
        ∈
        
          W
          
            0
          
          
            1
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle u\in W_{0}^{1,p}(\Omega )}
   hvis og bare hvis 
  
    
      
        T
        u
        =
        0
      
    
    {\displaystyle Tu=0}
   på 
  
    
      
        ∂
        Ω
      
    
    {\displaystyle \partial \Omega }
  .Her betegner 
  
    
      
        
          W
          
            0
          
          
            1
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle W_{0}^{1,p}(\Omega )}
   mengden av alle funksjoner 
  
    
      
        u
        ∈
        
          W
          
            1
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )}
   som er slik at det finnes en følge 
  
    
      
        {
        
          u
          
            m
          
        
        
          }
          
            m
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle \{u_{m}\}_{m=1}^{\infty }}
   av uendelig deriverbare funksjoner med kompakt støtte (
  
    
      
        
          u
          
            m
          
        
        ∈
        
          C
          
            c
          
          
            ∞
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle u_{m}\in C_{c}^{\infty }(\Omega )}
   for alle m) som konvergerer til 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   med hensyn på normen 
  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        ⋅
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              W
              
                1
                ,
                p
              
            
            (
            Ω
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle ||\cdot ||_{W^{1,p}(\Omega )}}
  .


== Sobolev-ulikhetene ==
Sobolev-ulikhetene er en klasse ulikheter som beskriver hvordan relasjonen mellom n, p og k sier noe om hvilke Sobolev-rom som er inneholdt i andre Sobolev- og 
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{p}}
  -rom.
For 
  
    
      
        1
        ≤
        p
        <
        n
      
    
    {\displaystyle 1\leq p<n}
   kan man definere den Sobolev-konjugerte av p til å være

  
    
      
        
          p
          
            ∗
          
        
        :=
        
          
            
              n
              p
            
            
              n
              −
              p
            
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{*}:={\frac {np}{n-p}}}
  hvilket brukes gjennomgående i flere av ulikhetene under.
For to Banach-rom 
  
    
      
        X
        ,
        Y
      
    
    {\displaystyle X,Y}
   slik at 
  
    
      
        X
        ⊂
        Y
      
    
    {\displaystyle X\subset Y}
   sier vi at X er kompakt embeddet i Y dersom

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            y
          
        
        ≤
        C
        
          |
        
        
          |
        
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle ||u||_{y}\leq C||u||_{X}}
   for alle 
  
    
      
        u
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle u\in X}
  , for en konstant 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  , og
for hver begrenset følge 
  
    
      
        {
        
          u
          
            k
          
        
        
          }
          
            k
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle \{u_{k}\}_{k=1}^{\infty }}
   i X har denne en konvergent delfølge:

  
    
      
        
          lim
          
            j
            →
            ∞
          
        
        
          |
        
        
          |
        
        
          u
          
            
              k
              
                j
              
            
          
        
        −
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            Y
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{j\to \infty }||u_{k_{j}}-u||_{Y}=0}
  .


=== Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten ===
Anta at 
  
    
      
        1
        ≤
        p
        <
        n
      
    
    {\displaystyle 1\leq p<n}
  . Da finnes en konstant C (kun) avhengig av p og n slik at

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              L
              
                p
                ∗
              
            
            (
            
              
                R
              
              
                n
              
            
            )
          
        
        ≤
        C
        
          |
        
        
          |
        
        D
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              L
              
                p
              
            
            (
            
              
                R
              
              
                n
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle ||u||_{L^{p*}(\mathbb {R} ^{n})}\leq C||Du||_{L^{p}(\mathbb {R} ^{n})}}
  for alle 
  
    
      
        u
        ∈
        
          C
          
            c
          
          
            1
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle u\in C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
  .
Her betegner 
  
    
      
        
          C
          
            c
          
          
            1
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle C_{c}^{1}(\mathbb {R} ^{n})}
   rommet av alle kontinuerlige funksjoner 
  
    
      
        f
        :
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
   med kompakt støtte. Denne ulikheten ble bevist for 
  
    
      
        1
        <
        p
        <
        ∞
      
    
    {\displaystyle 1<p<\infty }
   av Sergei Sobolev, og for 
  
    
      
        p
        =
        1
      
    
    {\displaystyle p=1}
   både av Emilio Gagliardo og Louis Nirenberg (uavhengig av hverandre).Gagliardo-Nirenberg-Sobolev-ulikheten impliserer at dersom 
  
    
      
        u
        ∈
        
          W
          
            1
            ,
            p
          
        
        (
        Ω
        )
      
    
    {\displaystyle u\in W^{1,p}(\Omega )}
   er slik at 
  
    
      
        D
        u
        =
        0
      
    
    {\displaystyle Du=0}
   nesten overalt i 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  , så er også 
  
    
      
        u
        =
        0
      
    
    {\displaystyle u=0}
   nesten overalt i 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
  . Videre impliserer det også at for alle 
  
    
      
        q
        ∈
        [
        1
        ,
        p
        ∗
        ]
      
    
    {\displaystyle q\in [1,p*]}
   gjelder ulikheten

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              L
              
                q
              
            
            (
            Ω
            )
          
        
        ≤
        C
        
          |
        
        
          |
        
        D
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              L
              
                p
              
            
            (
            Ω
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle ||u||_{L^{q}(\Omega )}\leq C||Du||_{L^{p}(\Omega )}}
  der C er en konstant (kun) avhengig av 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  , 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
  , 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   og 
  
    
      
        
          |
        
        Ω
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |\Omega |}
  .


=== Morreys ulikhet ===
Anta at 
  
    
      
        n
        <
        p
        <
        ∞
      
    
    {\displaystyle n<p<\infty }
  . Da finnes det en konstant C, avhengig av (kun) p og n, slik at

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              C
              
                0
                ,
                γ
              
            
            (
            
              
                R
              
              
                n
              
            
            )
          
        
        ≤
        C
        
          |
        
        
          |
        
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              W
              
                1
                ,
                p
              
            
            (
            
              
                R
              
              
                n
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle ||u||_{C^{0,\gamma }(\mathbb {R} ^{n})}\leq C||u||_{W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}}
  for alle 
  
    
      
        u
        ∈
        
          C
          
            1
          
        
        (
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle u\in C^{1}(\mathbb {R} )}
  , der 
  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        ⋅
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              C
              
                0
                ,
                γ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ||\cdot ||_{C^{0,\gamma }}}
   angir Hölder-normen med eksponent 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  , og 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
   er gitt ved

  
    
      
        γ
        :=
        1
        −
        
          
            n
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma :=1-{\frac {n}{p}}}
  .Hvis 
  
    
      
        u
        ∈
        
          W
          
            1
            ,
            p
          
        
        (
        
          
            R
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle u\in W^{1,p}(\mathbb {R} ^{n})}
  , så er 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   altså også Hölder-kontinuerlig med eksponent 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  , gitt at man eventuelt tilordner verdier ti l 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   over en mengde med mål 0.


=== Rellichs og Kondrachovs kompakthetsteorem ===
Anta at U er en begrenset, åpen delmengde av 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
   og at randen 
  
    
      
        ∂
        U
      
    
    {\displaystyle \partial U}
   er kontinuerlig. Anta videre at 
  
    
      
        1
        ≤
        p
        <
        n
      
    
    {\displaystyle 1\leq p<n}
  . Da er 
  
    
      
        
          W
          
            1
            ,
            p
          
        
        (
        U
        )
      
    
    {\displaystyle W^{1,p}(U)}
   en kompakt embeddet i 
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
        (
        U
        )
      
    
    {\displaystyle L^{p}(U)}
   for alle 
  
    
      
        q
        ∈
        [
        1
        ,
        
          p
          
            ∗
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle q\in [1,p^{*})}
  .


== Referanser ==


== Litteratur ==
Lawrence C. Evans (2010). Partial Differential Equations. 19 (2 utg.). USA: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4974-3. 
Juha Kinnunen (2020). «Sobolev spaces» (PDF). Besøkt 13. mai 2020.