Vindskjev linje

I tredimensjonal geometri er to linjer vindskjeve når de verken krysser hverandre eller er parallelle. Et enkelt eksempel på vindskjeve linjer er paret av linjer gjennom motsatte kanter av et regulært tetraeder. To linjer som begge ligger i samme plan må enten krysse hverandre eller være parallelle, så vindskjeve linjer kan eksistere bare i tre eller flere dimensjoner. To linjer er vindskjeve hvis og bare hvis de ikke ligger i samme plan.


== Formler ==


=== Teste for vindskjevhet ===
Hvis hver av et par skrå linjer er definert av to punkter, og disse fire punktene ikke ligger i samme plan, så vil de være hjørner i et tetraeder av endelig volum. Derfor kan vi teste om to par punkter definerer vindskjeve linjer ved å bruke formelen for volumet av et tetraeder gitt ved sine fire hjørner. Vi lar de fire hjørnenes koordinater være gitt ved 3-vektorene a, b, c, og d. Da kan vi sjekke om linjen gjennom a og b er vindskjev til linjen gjennom c og d ved å se om volumet til tetraederet definert av disse fire punktene er forskjellig fra null:

  
    
      
        V
        =
        
          
            1
            6
          
        
        
          |
          
            det
            
              [
              
                
                  
                    
                      
                        b
                      
                      −
                      
                        a
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        c
                      
                      −
                      
                        a
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        d
                      
                      −
                      
                        a
                      
                    
                  
                
              
              ]
            
          
          |
        
        =
        
          
            1
            6
          
        
        
          |
        
        (
        
          b
        
        −
        
          a
        
        )
        ⋅
        (
        (
        
          c
        
        −
        
          a
        
        )
        ×
        (
        
          d
        
        −
        
          a
        
        )
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle V={\frac {1}{6}}\left|\det \left[{\begin{matrix}{\boldsymbol {b}}-{\boldsymbol {a}}\\{\boldsymbol {c}}-{\boldsymbol {a}}\\{\boldsymbol {d}}-{\boldsymbol {a}}\end{matrix}}\right]\right|={\frac {1}{6}}|({\boldsymbol {b}}-{\boldsymbol {a}})\cdot (({\boldsymbol {c}}-{\boldsymbol {a}})\times ({\boldsymbol {d}}-{\boldsymbol {a}}))|}
  


=== Nærmeste punkt ===
Vi uttrykker de to linjene som vektorer:

  
    
      
        
          Linje 1:
        
        
        
          
            v
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            p
          
          
            1
          
        
        +
        
          t
          
            1
          
        
        
          
            d
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\text{Linje 1:}}\;{\boldsymbol {v}}_{1}={\boldsymbol {p}}_{1}+t_{1}{\boldsymbol {d}}_{1}}
  

  
    
      
        
          Linje 2:
        
        
        
          
            v
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            p
          
          
            2
          
        
        +
        
          t
          
            2
          
        
        
          
            d
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\text{Linje 2:}}\;{\boldsymbol {v}}_{2}={\boldsymbol {p}}_{2}+t_{2}{\boldsymbol {d}}_{2}}
  Vektor kryssproduktet av 
  
    
      
        
          
            d
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {d}}_{1}}
   og 
  
    
      
        
          
            d
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {d}}_{2}}
   er vinkelrett på begge linjene.

  
    
      
        
          n
        
        =
        
          
            d
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            d
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {n}}={\boldsymbol {d}}_{1}\times {\boldsymbol {d}}_{2}}
  Planet spent ut av Linje 2 og 
  
    
      
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {n}}}
   inneholder punktet 
  
    
      
        
          
            p
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {p}}_{2}}
   og er vinkelrett på 
  
    
      
        
          
            n
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            d
          
          
            2
          
        
        ×
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{2}={\boldsymbol {d}}_{2}\times {\boldsymbol {n}}}
  .
Skjæringspunktet mellom Linje 1 og dette planet, som også er punktet på Linje 1 som er nærmest Linje 2, er gitt ved

  
    
      
        
          
            c
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            p
          
          
            1
          
        
        +
        
          
            
              (
              
                
                  p
                
                
                  2
                
              
              −
              
                
                  p
                
                
                  1
                
              
              )
              ⋅
              
                
                  n
                
                
                  2
                
              
            
            
              
                
                  d
                
                
                  1
                
              
              ⋅
              
                
                  n
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            d
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {c}}_{1}={\boldsymbol {p}}_{1}+{\frac {({\boldsymbol {p}}_{2}-{\boldsymbol {p}}_{1})\cdot {\boldsymbol {n}}_{2}}{{\boldsymbol {d}}_{1}\cdot {\boldsymbol {n}}_{2}}}{\boldsymbol {d}}_{1}}
  På samme måte er punktet på Linje 2 nærmest Linje 1 gitt ved 

  
    
      
        
          
            c
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            p
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              (
              
                
                  p
                
                
                  1
                
              
              −
              
                
                  p
                
                
                  2
                
              
              )
              ⋅
              
                
                  n
                
                
                  1
                
              
            
            
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              ⋅
              
                
                  n
                
                
                  1
                
              
            
          
        
        
          
            d
          
          
            2
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {c}}_{2}={\boldsymbol {p}}_{2}+{\frac {({\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{2})\cdot {\boldsymbol {n}}_{1}}{{\boldsymbol {d}}_{2}\cdot {\boldsymbol {n}}_{1}}}{\boldsymbol {d}}_{2},}
  hvor 
  
    
      
        
          
            n
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            d
          
          
            1
          
        
        ×
        
          n
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {n}}_{1}={\boldsymbol {d}}_{1}\times {\boldsymbol {n}}}
  .


==== Avstand ====
De nærmeste punktene 
  
    
      
        
          
            c
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {c}}_{1}}
   og 
  
    
      
        
          
            c
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {c}}_{2}}
   danner det korteste linjestykket som forbinder Linje 1 med Linje 2:

  
    
      
        d
        =
        ‖
        
          
            c
          
          
            1
          
        
        −
        
          
            c
          
          
            2
          
        
        ‖
        .
      
    
    {\displaystyle d=\Vert {\boldsymbol {c}}_{1}-{\boldsymbol {c}}_{2}\Vert .}
  Dersom vi bruker kryssproduktet mellom 
  
    
      
        
          
            d
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {d}}_{1}}
   og 
  
    
      
        
          
            d
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {d}}_{2}}
   til å definere en enhetsvektor for linjen som forbinder de vindskjeve linjene:

  
    
      
        
          
            
              n
              ^
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  d
                
                
                  1
                
              
              ×
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
            
            
              ‖
              
                
                  d
                
                
                  1
                
              
              ×
              
                
                  d
                
                
                  2
                
              
              ‖
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\widehat {\boldsymbol {n}}}={\frac {{\boldsymbol {d}}_{1}\times {\boldsymbol {d}}_{2}}{\Vert {\boldsymbol {d}}_{1}\times {\boldsymbol {d}}_{2}\Vert }},}
  Så kan avstanden mellom linjene også uttrykkes ved

  
    
      
        d
        =
        
          |
        
        
          
            
              n
              ^
            
          
        
        ⋅
        (
        
          
            p
          
          
            1
          
        
        −
        
          
            p
          
          
            2
          
        
        )
        
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle d=|{\widehat {\boldsymbol {n}}}\cdot ({\boldsymbol {p}}_{1}-{\boldsymbol {p}}_{2})|.}
  Hvis 
  
    
      
        
          
            d
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            d
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {d}}_{1}\times {\boldsymbol {d}}_{2}}
   er null, så er linjene er parallelle og denne metoden kan ikke brukes.


== Litteratur ==
Hilbert, David; Cohn-Vossen, Stephan (1952), Geometry and the Imagination (2nd utgave), Chelsea, ss. 13–17,  .
Viro, Julia Drobotukhina; Viro, Oleg (1990), Configurations of skew lines, ss. 1027–1050 . Revised version in English: .


== Eksterne lenker ==
(en) Eric W. Weisstein, Skew Lines i MathWorld.