Hölder-rom

Et Hölder-rom er et funksjonsrom av kontinuerlige funksjoner som er Hölder-kontinuerlige i seg selv og sine deriverte. Formelt definerer man en norm over et funksjonsrom av kontinuerlige funksjoner, og definerer et Hölder-rom til å være mengden av alle funksjoner der denne normen er endelig. Hölder-rom brukes innen funksjonalanalyse for å studere partielle differensialligninger.


== Definisjon ==


=== Hölder-norm ===
La 
  
    
      
        U
        ⊂
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{n}}
  , og la 
  
    
      
        
          C
          
            k
          
        
        (
        U
        )
      
    
    {\displaystyle C^{k}(U)}
   være alle begrensede og kontinuerlige funksjoner 
  
    
      
        u
        :
        U
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle u:U\to \mathbb {R} }
  . Definer en norm

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              C
              
                k
              
            
            (
            U
            )
          
        
        :=
        s
        u
        
          p
          
            x
            ∈
            U
          
        
        
          |
        
        u
        (
        x
        )
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle ||u||_{C^{k}(U)}:=sup_{x\in U}|u(x)|}
  og en seminorm

  
    
      
        [
        u
        
          ]
          
            
              C
              
                0
                ,
                γ
              
            
            (
            U
            )
          
        
        :=
        sup
        
          {
          
            
              
              
                
                  
                    
                      
                        |
                      
                      u
                      (
                      x
                      )
                      −
                      u
                      (
                      y
                      )
                      
                        |
                      
                    
                    
                      
                        |
                      
                      x
                      −
                      y
                      
                        
                          |
                        
                        
                          γ
                        
                      
                    
                  
                
                 
              
              |
            
             
            x
            ,
            y
            ∈
            U
            ,
            x
            ≠
            y
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle [u]_{C^{0,\gamma }(U)}:=\sup \left\{\left.{\frac {|u(x)-u(y)|}{|x-y|^{\gamma }}}\ \right|\ x,y\in U,x\neq y\right\}}
  .Da kan man definere Hölder-normen med eksponent 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
   til å være

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              C
              
                k
                ,
                γ
              
            
            (
            U
            )
          
        
        =
        
          |
        
        
          |
        
        u
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              C
              
                k
              
            
            (
            U
            )
          
        
        +
        [
        u
        
          ]
          
            
              C
              
                0
                ,
                γ
              
            
            (
            U
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle ||u||_{C^{k,\gamma }(U)}=||u||_{C^{k}(U)}+[u]_{C^{0,\gamma }(U)}}
  .


=== Hölder-rom ===
Hölder-rommet 
  
    
      
        
          C
          
            k
            ,
            γ
          
        
        (
        
          
            U
            ¯
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle C^{k,\gamma }({\overline {U}})}
   består av alle funksjoner 
  
    
      
        u
        :
        U
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle u:U\rightarrow \mathbb {R} }
   slik at 
  
    
      
        u
        ∈
        
          C
          
            k
          
        
        (
        
          
            U
            ¯
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle u\in C^{k}({\overline {U}})}
   og normen

  
    
      
        ‖
        u
        
          ‖
          
            
              C
              
                k
                ,
                γ
              
            
            (
            
              
                U
                ¯
              
            
            )
          
        
        :=
        
          ∑
          
            
              |
            
            α
            
              |
            
            ≤
            k
          
        
        ‖
        
          D
          
            α
          
        
        u
        
          ‖
          
            C
            (
            U
            )
          
        
        +
        
          ∑
          
            
              |
            
            α
            
              |
            
            =
            k
          
        
        [
        
          D
          
            α
          
        
        u
        
          ]
          
            
              C
              
                0
                ,
                γ
              
            
            (
            U
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \|u\|_{C^{k,\gamma }({\overline {U}})}:=\sum _{|\alpha |\leq k}\|D^{\alpha }u\|_{C(U)}+\sum _{|\alpha |=k}[D^{\alpha }u]_{C^{0,\gamma }(U)}}
  er endelig. Her angir 
  
    
      
        
          D
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle D^{\alpha }}
   partiellderiverte av orden 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  , og 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   en multiindeks 
  
    
      
        
          α
        
        =
        (
        
          α
          
            1
          
        
        ,
        
          α
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          α
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\alpha } =(\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n})}
   der 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          α
          
            i
          
        
        ≤
        k
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}\leq k}
   i første ledd, og 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          α
          
            i
          
        
        =
        k
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\alpha _{i}=k}
   i andre ledd. Det første leddet tilsvarer at dette er funksjoner som er k ganger kontinuerlig deriverbare. Det andre leddet tilsier at disse k-deriverte er begrensede og Hölder-kontinuerlige med eksponent 
  
    
      
        γ
      
    
    {\displaystyle \gamma }
  .


== Egenskaper ==
Funksjonsrommet 
  
    
      
        
          C
          
            k
            ,
            γ
          
        
        (
        U
        )
      
    
    {\displaystyle C^{k,\gamma }(U)}
   er et Banach-rom.


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
Hölder space på Encyclopedia of Mathematics