Partikkelnummeroperatøren

I kvantemekanikk, for systemer der det totale antall partikler ikke kan bevares, er nummeroperatøren den observerbare som teller antall partikler.
Nummeroperatøren handler på Fock space. La

  
    
      
        
          |
        
        Ψ
        
          ⟩
          
            ν
          
        
        =
        
          |
        
        
          ϕ
          
            1
          
        
        ,
        
          ϕ
          
            2
          
        
        ,
        ⋯
        ,
        
          ϕ
          
            n
          
        
        
          ⟩
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle |\Psi \rangle _{\nu }=|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }}
  være en Fock-tilstand, sammensatt av tilstander med en partikkel 
  
    
      
        
          |
        
        
          ϕ
          
            i
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\phi _{i}\rangle }
   tegnet fra et grunnlag av det underliggende Hilbert-rommet i Fock-rommet. Gitt de tilsvarende etablerings- og utslettelsesoperatørene 
  
    
      
        
          a
          
            †
          
        
        (
        
          ϕ
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle a^{\dagger }(\phi _{i})}
   og 
  
    
      
        a
        (
        
          ϕ
          
            i
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle a(\phi _{i})\,}
   vi definerer nummeroperatøren etter

  
    
      
        
          
            
              
                N
                
                  i
                
              
              ^
            
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          a
          
            †
          
        
        (
        
          ϕ
          
            i
          
        
        )
        a
        (
        
          ϕ
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\hat {N_{i}}}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})}
  og vi har 

  
    
      
        
          
            
              
                N
                
                  i
                
              
              ^
            
          
        
        
          |
        
        Ψ
        
          ⟩
          
            ν
          
        
        =
        
          N
          
            i
          
        
        
          |
        
        Ψ
        
          ⟩
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }}
  hvor 
  
    
      
        
          N
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle N_{i}}
   er antallet partikler i tilstand  
  
    
      
        
          |
        
        
          ϕ
          
            i
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\phi _{i}\rangle }
  . Ovennevnte likhet kan bevises ved å merke seg det

  
    
      
        
          
            
              
                a
                (
                
                  ϕ
                  
                    i
                  
                
                )
                
                  |
                
                
                  ϕ
                  
                    1
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    2
                  
                
                ,
                ⋯
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                    −
                    1
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                    +
                    1
                  
                
                ,
                ⋯
                ,
                
                  ϕ
                  
                    n
                  
                
                
                  ⟩
                  
                    ν
                  
                
              
              
                =
              
              
                
                  
                    
                      N
                      
                        i
                      
                    
                  
                
                
                  |
                
                
                  ϕ
                  
                    1
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    2
                  
                
                ,
                ⋯
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                    −
                    1
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                    +
                    1
                  
                
                ,
                ⋯
                ,
                
                  ϕ
                  
                    n
                  
                
                
                  ⟩
                  
                    ν
                  
                
              
            
            
              
                
                  a
                  
                    †
                  
                
                (
                
                  ϕ
                  
                    i
                  
                
                )
                
                  |
                
                
                  ϕ
                  
                    1
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    2
                  
                
                ,
                ⋯
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                    −
                    1
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                    +
                    1
                  
                
                ,
                ⋯
                ,
                
                  ϕ
                  
                    n
                  
                
                
                  ⟩
                  
                    ν
                  
                
              
              
                =
              
              
                
                  
                    
                      N
                      
                        i
                      
                    
                  
                
                
                  |
                
                
                  ϕ
                  
                    1
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    2
                  
                
                ,
                ⋯
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                    −
                    1
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                    +
                    1
                  
                
                ,
                ⋯
                ,
                
                  ϕ
                  
                    n
                  
                
                
                  ⟩
                  
                    ν
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\end{matrix}}}
  dermed

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      
                        N
                        
                          i
                        
                      
                      ^
                    
                  
                
                
                  |
                
                Ψ
                
                  ⟩
                  
                    ν
                  
                
                =
                
                  a
                  
                    †
                  
                
                (
                
                  ϕ
                  
                    i
                  
                
                )
                a
                (
                
                  ϕ
                  
                    i
                  
                
                )
                
                  |
                
                
                  ϕ
                  
                    1
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    2
                  
                
                ,
                ⋯
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                    −
                    1
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                    +
                    1
                  
                
                ,
                ⋯
                ,
                
                  ϕ
                  
                    n
                  
                
                
                  ⟩
                  
                    ν
                  
                
              
              
                =
              
              
                
                  
                    
                      N
                      
                        i
                      
                    
                  
                
                
                  a
                  
                    †
                  
                
                (
                
                  ϕ
                  
                    i
                  
                
                )
                
                  |
                
                
                  ϕ
                  
                    1
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    2
                  
                
                ,
                ⋯
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                    −
                    1
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                    +
                    1
                  
                
                ,
                ⋯
                ,
                
                  ϕ
                  
                    n
                  
                
                
                  ⟩
                  
                    ν
                  
                
              
            
            
              
              
                =
              
              
                
                  
                    
                      N
                      
                        i
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      N
                      
                        i
                      
                    
                  
                
                
                  |
                
                
                  ϕ
                  
                    1
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    2
                  
                
                ,
                ⋯
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                    −
                    1
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                  
                
                ,
                
                  ϕ
                  
                    i
                    +
                    1
                  
                
                ,
                ⋯
                ,
                
                  ϕ
                  
                    n
                  
                
                
                  ⟩
                  
                    ν
                  
                
              
            
            
              
              
                =
              
              
                
                  N
                  
                    i
                  
                
                
                  |
                
                Ψ
                
                  ⟩
                  
                    ν
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\hat {N_{i}}}|\Psi \rangle _{\nu }=a^{\dagger }(\phi _{i})a(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }&=&{\sqrt {N_{i}}}a^{\dagger }(\phi _{i})|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=&{\sqrt {N_{i}}}{\sqrt {N_{i}}}|\phi _{1},\phi _{2},\cdots ,\phi _{i-1},\phi _{i},\phi _{i+1},\cdots ,\phi _{n}\rangle _{\nu }\\&=&N_{i}|\Psi \rangle _{\nu }\\\end{matrix}}}
  


== Referanser ==