Kirchhoffs diffraksjonsteori

Kirchhoffs diffraksjonsteori gir en matematisk beskrivelse av bølgebevegelse i nærvær av begrensende flater. Den ble utviklet av den tyske fysiker Gustav Kirchhoff i den siste halvdel av 1800-tallet for å forklare Huygens-Fresnels prinsipp for utbredelse av lys. Spesielt ga den en mer presis forklaring av lysets diffraksjon eller avbøyning gjennom smale åpninger eller skarpe kanter.
Teorien er basert på Helmholtz-ligningen som gjelder for ikke-dispersive bølger med en gitt frekvens. Lys består av elektromagnetiske bølger beskrevet ved Maxwells ligninger som de elektriske og magnetiske vektorfeltene må oppfylle. Kirchhoffs diffraksjonsteori gjør den antagelsen at bølgebevegelsen kan beskrives ved et skalart felt og ser derfor bort fra polarisasjon av lyset. Under vanlige forhold antas denne å være bare av sekundær betydning ved diffraksjon.
I årene som fulgte ble det av Lord Rayleigh og Arnold Sommerfeld påvist visse svakheter i Kirchhoffs matematiske utledninger. Men i senere tid har disse vist seg å være av mindre betydning slik at Kirchhoffs beskrivelse fremdeles er den rådende.


== Matematisk bakgrunn ==
En skalar bølge u(r,t ) beskrives matematisk ved den vanlige bølgeligningen. Når den er  harmonisk, har den en gitt vinkelfrekvens ω og kan representeres som en kompleks fasevektor

  
    
      
        u
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        U
        (
        
          r
        
        )
        
          e
          
            −
            i
            ω
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=U(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}}
  Bortsett fra den periodiske variasjonen med tiden t, er bølgens egenskaper dermed gitt som løsning av Helmholtz-ligningen

  
    
      
        (
        
          ∇
          
            2
          
        
        +
        
          k
          
            2
          
        
        )
        U
        (
        
          r
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})U(\mathbf {r} )=0}
  der bølgetallet k = ω/c = 2π /λ når c er utbredelseshastigheten til bølgen og λ dens bølgelengde.Diffraksjon av lys eller andre bølger oppstår når den frie utbredelsen blir forhindret av begrensende flater. I den mest typiske situasjonen tenker man seg at lyset beveger seg mot en flat skjerm som stopper dets utbredelse bortsett fra gjennom en eller flere åpninger. Disse blir ofte kalt for aperturer. Tenker man seg at lyset kommer inn fra venstre mot en slik skjerm, vil man i området bak skjermen være interessert i å bestemme den komplekse bølgeamplituden U(r). Den generelle løsningen kan finnes ved samme fremgangsmåte med bruk av Greens funksjon G(r, r') som benyttes ved løsningen av den inhomogene Helmholtz-ligningen. Man tenker seg derfor en lukket flate som består av skjermen pluss en del C av en stor kuleflate som omslutter et endelig volum V på høyre side av skjermen. Da det her ikke er noen lyskilder, vil amplituden i et punkt r0 i dette volumet dermed kunne skrives som

  
    
      
        U
        (
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        )
        =
        
          ∫
          
            ∂
            V
          
        
        
        d
        S
        [
        U
        (
        
          r
        
        )
        (
        
          n
        
        ⋅
        
          ∇
        
        )
        G
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        )
        −
        G
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        )
        (
        
          n
        
        ⋅
        
          ∇
        
        )
        U
        (
        
          r
        
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle U(\mathbf {r} _{0})=\int _{\partial V}\!dS[U(\mathbf {r} )(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{0})-G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{0})(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})U(\mathbf {r} )]}
  hvor enhetsvektoren n er normal på flaten og peker inn i volumet. Her består volumets totale overflate ∂V av delen C som kan tenkes å ligge i det fjerne, pluss skjermen som igjen består av aperturene A og en ugjennomtrengelig del B. 
Dette generelle uttrykket for bølgeamplituden er eksakt i denne skalare teorien. Men det gir ingen eksplisitt løsning da man må kjenne den samme amplituden på overflaten ∂V samt Green-funksjonen G(r, r0) i det aktuelle volumet.


=== Antagelser ===
Man antar at lyset som opptrer her, kommer inn fra en punktkilde i r = 0 til venstre for skjermen. Denne kilden gir da en kulebølge av formen U(r) = Ceikr/r  i en avstand r = |r| fra kilden og konstanten C angir dens styrke. Den første antagelsen i Kirchhoff-teorien er at denne innkommende bølgen opptrer  uforstyrret i åpningene A og er null på resten B av skjermen. Det samme gjelder for gradienten ∇U i overflateintegralet for U(r0). 
Den andre antagelsen er at Green-funksjonen tilsvarer en fiktiv punktkilde i r0 slik at den har formen

  
    
      
        G
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            
              e
              
                i
                k
                
                  |
                
                
                  r
                
                −
                
                  
                    r
                  
                  
                    0
                  
                
                
                  |
                
              
            
            
              4
              π
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  0
                
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{0})={e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|} \over 4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}}
  som bare avhenger av avstanden s = |s| med s = r0 -  r. På den måten knyttes løsningen av Helmholtz-ligningen direkte til Huygens-Fresnels prinsipp.Bidraget til integralet fra delen C av kuleflaten kan vises å være neglisjerbart når dets radius R går mot uendelig. Med disse antagelsene får integralet dermed bare et bidrag fra aperturene A. I det resterende overflateintegralet vil man der behøve gradientene

  
    
      
        
          ∇
        
        U
        (
        
          r
        
        )
        =
        C
        
          
            
              e
              
                i
                k
                r
              
            
            r
          
        
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        
          
            (
          
        
        i
        k
        −
        
          
            1
            r
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}U(\mathbf {r} )=C{e^{ikr} \over r}{\hat {\mathbf {r} }}{\Big (}ik-{1 \over r}{\Big )}}
  og 

  
    
      
        
          ∇
        
        G
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        )
        =
        −
        
          
            
              e
              
                i
                k
                s
              
            
            
              4
              π
              s
            
          
        
        
          
            
              
                s
              
              ^
            
          
        
        
          
            (
          
        
        i
        k
        −
        
          
            1
            s
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{0})=-{e^{iks} \over 4\pi s}{\hat {\mathbf {s} }}{\Big (}ik-{1 \over s}{\Big )}}
  Her er 
  
    
      
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
   = r/r en enhetsvektor i retning r og 
  
    
      
        
          
            
              
                s
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {s} }}}
   = s/s en tilsvarende enhetsvektor i retning s.


=== Huygens-Fresnels formel ===
Da bølgetallet k = 2π /λ, forenkles uttrykkene for gradientene når man antar at både lyskilden og observasjonspunktet r0 ligger mange bølgelengder vekk fra skjermen slik at k >> 1/r, 1/s. På den måten fremkommer det generelle uttrykket for det avbøydde lyset i Kirchhoffs diffraksjonsteori som

  
    
      
        U
        (
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            C
            
              2
              i
              λ
            
          
        
        
          ∫
          
            A
          
        
        
        d
        S
        (
        
          n
        
        ⋅
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        +
        
          n
        
        ⋅
        
          
            
              
                s
              
              ^
            
          
        
        )
        
          
            
              e
              
                i
                k
                (
                r
                +
                s
                )
              
            
            
              r
              s
            
          
        
      
    
    {\displaystyle U(\mathbf {r} _{0})={C \over 2i\lambda }\int _{A}\!dS(\mathbf {n} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}+\mathbf {n} \cdot {\hat {\mathbf {s} }}){e^{ik(r+s)} \over rs}}
  Man ser at det er symmetrisk mellom kildepunkt og observasjonspunkt. 
I de fleste praktiske situasjoner ligger kildepunktet langt ut til venstre for skjermen. Avstanden r mellom dem er da stor og tilnærmet konstant over aperturen A. Bølgefronten til den innkommende kulebølgen i denne åpningen kan dermed antas å være konstant med amplitude U0 = Ceikr/r . For det enkleste tilfellet at den treffer aperturen vinkelrett, er da i tillegg 
  
    
      
        
          n
        
        ⋅
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}=1}
   slik at den avbøydde bølgen får amplituden

  
    
      
        U
        (
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            
              U
              
                0
              
            
            
              2
              i
              λ
            
          
        
        
          ∫
          
            A
          
        
        
        d
        S
        (
        1
        +
        cos
        ⁡
        χ
        )
        
          
            
              e
              
                i
                k
                s
              
            
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle U(\mathbf {r} _{0})={U_{0} \over 2i\lambda }\int _{A}\!dS(1+\cos \chi ){e^{iks} \over s}}
  hvor cos χ = 
  
    
      
        
          n
        
        ⋅
        
          
            
              
                s
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {n} \cdot {\hat {\mathbf {s} }}}
  . Dette er standardutrykket for Huygens-Fresnels prinsipp. Bortsett fra retningsfaktoren (1 +  cosχ)/2,  har dette samme form som Fresnel opprinnelig foreslo.


== Rayleigh-Sommerfelds forbedring ==
Kirchhoffs resultat er basert på antagelsen at både amplituden U og gradienten ∇U er null på den delen B av skjermen som stopper det innkommende lyset. Men nå kan et vises at en analytisk funksjon som oppfyller begge disse betingelsene, må være null overalt. Disse antagelsene er derfor ikke riktige. Men det sier heller ikke hvordan resultatet til Kirchhoff er feil.Dette problemet ble tatt opp igjen av Lord Rayleigh og Arnold Sommerfeld noen få år etter Kirchhoffs teori ble kjent. De innså at istedenfor disse to antagelsene om selve strålingsfeltet U, kunne man gjøre andre antagelser for Green-funksjonen G(r, r0). Hvis den i tillegg har en kilde i speilbildet r0' av observasjonspunktet r0 på den andre siden av skjermen på samme måte som for speilladninger i elektrostatikken, kan man konstruere to Green-funksjoner

  
    
      
        
          G
          
            ±
          
        
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            
              e
              
                i
                k
                
                  |
                
                
                  r
                
                −
                
                  
                    r
                  
                  
                    0
                  
                
                
                  |
                
              
            
            
              4
              π
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  0
                
              
              
                |
              
            
          
        
        ±
        
          
            
              e
              
                i
                k
                
                  |
                
                
                  r
                
                −
                
                  
                    r
                  
                  
                    0
                  
                  ′
                
                
                  |
                
              
            
            
              4
              π
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                
                  0
                
                ′
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle G_{\pm }(\mathbf {r} ,\mathbf {r} _{0})={e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|} \over 4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}|}\pm {e^{ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}'|} \over 4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}'|}}
  som begge tilfredsstiller den opprinnelige differensialligningen. Mens G - er null på den plane skjermen, er gradienten ∇G + der null. På den måten gir dette valget av Green-funksjoner to akseptable løsninger for den spredte strålingen. En tilsvarende beregning viser at Kirchhoffs formel er middelverdien av de to resultatene i denne forbedrete teorien til Rayleigh og Sommerfeld.Hvis den innkommende bølgefronten er parallell med skjermen, tilsvarer de to løsningene de to leddene i retningsfaktoren (1 +  cosχ)/2 hvor det første kommer fra G + og det andre fra G -. For å være i overensstemmelse med Fresnels opprinnelige krav at det må finnes en retningsfaktor som avtar for χ > 0, er det vanlig å velge den siste Rayleigh-Sommerfeld-løsningen som gir leddet cosχ og kommer fra  G -. Dermed har man den forbedrete diffraksjonsformelen

  
    
      
        
          U
          
            R
            S
          
        
        (
        
          
            r
          
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            
              U
              
                0
              
            
            
              i
              λ
            
          
        
        
          ∫
          
            A
          
        
        
        d
        S
        cos
        ⁡
        χ
        
          
            
              e
              
                i
                k
                s
              
            
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{RS}(\mathbf {r} _{0})={U_{0} \over i\lambda }\int _{A}\!dS\cos \chi {e^{iks} \over s}}
  Dette forholdsvis enkle resultatet følger også mer direkte fra en fysisk betraktning som ikke er basert på Green-funksjoner. I de fleste praktiske anvendelsene på diffraksjon av lys, spiller de forskjellige retningsfaktorene liten rolle slik at både Kirchoffs opprinnelige formel og de to fra Rayleigh og Sommerfeld vil gi samme resultat.


== Se også ==
Optikk
Diffraksjon
Huygens-Fresnels prinsipp


== Referanser ==