Kompakt operator

I matematikk er en kompakt operator en lineær operator 
  
    
      
        T
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle T:X\to Y}
  , der X og Y er normerte vektorrom, slik at verdimengden til L i Y er relativ kompakt (tillukningen er kompakt).


== Definisjon ==
La X og Y være normerte rom. En lineærtransformasjon 
  
    
      
        T
        :
        X
        →
        Y
      
    
    {\displaystyle T:X\to Y}
   er kompakt dersom for enhver begrenset følge 
  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\}}
   i X, inneholder følgen 
  
    
      
        {
        T
        
          x
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{Tx_{n}\}}
   i Y en konvergent delfølge.Ekvivalent kan en kompakt operator defineres slik: Dersom T er en lineær operator, er T kompakt hvis og bare hvis for enhver begrenset delmengde 
  
    
      
        A
        ⊂
        X
      
    
    {\displaystyle A\subset X}
  , er 
  
    
      
        T
        (
        A
        )
        ⊂
        Y
      
    
    {\displaystyle T(A)\subset Y}
   relativt kompakt.


== Egenskaper ==
La X, Y og Y være normerte vektorrom, og 
  
    
      
        B
        (
        ⋅
        ,
        ⋅
        )
      
    
    {\displaystyle B(\cdot ,\cdot )}
   og 
  
    
      
        K
        (
        ⋅
        ,
        ⋅
        )
      
    
    {\displaystyle K(\cdot ,\cdot )}
   betegne mengden av henholdsvis begrensede og kompakte operatorer fra ett normert vektorrom til et annet.


=== Forhold til mengden av begrensede operatorer ===
En kompakt operator er også en begrenset operator. Mengden av kompakte operatorer 
  
    
      
        K
        (
        X
        ,
        Y
        )
      
    
    {\displaystyle K(X,Y)}
   er derfor inneholdt i mengden av begrensede operatorer B(X, Y). Hvis 
  
    
      
        S
        ,
        T
        ∈
        K
        (
        X
        ,
        Y
        )
      
    
    {\displaystyle S,T\in K(X,Y)}
  , og 
  
    
      
        a
        ,
        b
      
    
    {\displaystyle a,b}
   skalarer, så er også operatoren definert ved 
  
    
      
        a
        S
        +
        b
        T
      
    
    {\displaystyle aS+bT}
   kompakt, og hvis 
  
    
      
        S
        ∈
        B
        (
        X
        ,
        Y
        )
      
    
    {\displaystyle S\in B(X,Y)}
   og 
  
    
      
        T
        ∈
        B
        (
        Y
        ,
        Z
        )
      
    
    {\displaystyle T\in B(Y,Z)}
   og minst en av de er kompakt, er også operatoren 
  
    
      
        T
        S
      
    
    {\displaystyle TS}
   kompakt.Dersom X er et normert rom, Y et Banach-rom og 
  
    
      
        {
        
          T
          
            k
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{T_{k}\}}
   en følge i 
  
    
      
        K
        (
        X
        ,
        Y
        )
      
    
    {\displaystyle K(X,Y)}
   som konvergerer til en operator 
  
    
      
        T
        ∈
        B
        (
        X
        ,
        Y
        )
      
    
    {\displaystyle T\in B(X,Y)}
   er T også kompakt. Mengden av kompakte operatorer er derfor lukket i mengden av begrensede operatorer.


=== Endelig-dimensjonale rom ===
Dersom T er en lineær operator endelig rang, eller dersom enten X eller Y har endelig dimensjon, er T kompakt.


=== Verdimengden til T er separabel ===
Dersom T er en kompakt operator, er verdimengden (bildet) 
  
    
      
        I
        m
        (
        T
        )
      
    
    {\displaystyle Im(T)}
   samt verdimengden til tillukningen 
  
    
      
        
          
            
              I
              m
              (
              T
              )
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {Im(T)}}}
   separable.


=== Følger av begrensede operatorer i Banach- og Hilbert-rom ===
Hvis X er et normert rom, Y et Banach-rom og 
  
    
      
        {
        
          T
          
            k
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{T_{k}\}}
   en følge av begrensede operatorer med endelig rang, slik at 
  
    
      
        {
        
          T
          
            k
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{T_{k}\}}
   konvergerer til T, er T kompakt. Hvis Y i tillegg er et Hilbert-rom er det motsatte også sant: Hvis T er kompakt, finnes det en følge 
  
    
      
        {
        
          T
          
            k
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{T_{k}\}}
   av begrensede operatorer med endelig rang som konvergerer til T. Dette impliserer videre at T har samme rang som sin adjungerte, og at T er kompakt hvis og bare hvis den adjungerte T* er kompakt.


== Referanser ==


== Litteratur ==
Bryan P. Rynne og Martin A. Youngson (2008). Real Analysis. Springer. ISBN 978-1-848-00004-9. 


== Eksterne lenker ==
(en) Eric W. Weisstein, Compact Operator i MathWorld.