WKB-approksimasjon

WKB-approksimasjonen gir en tilnærmet løsning av Schrödinger-ligningen for en partikkel som beveger seg i et potensial i en dimensjon. Den er basert på antagelsen at dette forandrer seg lite over en strekning som tilsvarer de Broglies bølgelengde for partikkelen. Approksimasjonen gir resultater som ligger tett opp til den klassiske beskrivelsen av bevegelsen og omtales derfor ofte som halvklassisk. Matematisk tilsvarer den overgangen fra å beskrive lys som utbredelse av en bølge til lysstråler i geometrisk opptikk formulert ved eikonalapproksimasjonen.
Approksimasjonen har fått sitt navn etter initialene til fysikerne Gregor Wentzel, Hendrik A. Kramers og Léon Brillouin som benyttet den i moderne kvantemekanikk selv om grunnlaget for metoden var tidligere benyttet innen optikken og kjent fra mer generell,  anvendt matematikk.


== Bakgrunn ==
For en partikkel med masse m som beveger seg i et statisk potensial V(x) med gitt energi E, er den stasjonære Schrödinger-ligningen

  
    
      
        
          
            [
          
        
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            ∇
          
          
            2
          
        
        +
        V
        (
        
          x
        
        )
        
          
            ]
          
        
        ψ
        (
        
          x
        
        )
        =
        E
        ψ
        (
        
          x
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\Big [}-{\hbar ^{2} \over 2m}{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+V(\mathbf {x} ){\Big ]}\psi (\mathbf {x} )=E\psi (\mathbf {x} )}
  der ħ er den reduserte Planck-konstanten. Den kan omformes til 

  
    
      
        [
        
          
            ∇
          
          
            2
          
        
        +
        
          p
          
            2
          
        
        (
        
          x
        
        )
        
          /
        
        
          ℏ
          
            2
          
        
        ]
        ψ
        (
        
          x
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle [{\boldsymbol {\nabla }}^{2}+p^{2}(\mathbf {x} )/\hbar ^{2}]\psi (\mathbf {x} )=0}
  hvor

  
    
      
        
          p
          
            2
          
        
        (
        
          x
        
        )
        =
        2
        m
        [
        E
        −
        V
        (
        
          x
        
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle p^{2}(\mathbf {x} )=2m[E-V(\mathbf {x} )]}
  er den klassiske impulsen partikkelen har i hvert punkt i potensialet. I det spesielle tilfellet at dette er konstant, er løsningen av ligningen 
  
    
      
        ψ
        (
        
          x
        
        )
        =
        
          e
          
            i
            
              p
            
            ⋅
            
              x
            
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (\mathbf {x} )=e^{i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} /\hbar }}
   som beskriver en plan bølge hvor impulsen p har en viss størrelse bestemt av potensialet, men en vilkårlig retning. For et variabelt potensial kan man da prøve å finne en løsning på formen 
  
    
      
        ψ
        (
        
          x
        
        )
        =
        
          e
          
            i
            W
            (
            
              x
            
            )
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (\mathbf {x} )=e^{iW(\mathbf {x} )/\hbar }}
   hvor funksjonen W(x) må bestemmes. Det gjøres ved å sette inn i den omskrevne Schrödinger-ligningen som da gir

  
    
      
        i
        ℏ
        
          
            ∇
          
          
            2
          
        
        W
        −
        (
        
          ∇
        
        W
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          p
          
            2
          
        
        (
        
          x
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle i\hbar {\boldsymbol {\nabla }}^{2}W-({\boldsymbol {\nabla }}W)^{2}+p^{2}(\mathbf {x} )=0}
  Hvis nå den «klassiske grensen» av kvanteteorien defineres ved å la Plancks konstant ħ → 0, kan funksjonen W(x) finnes fra den resulterende ligningen som kan skrives på formen

  
    
      
        
          
            1
            
              2
              m
            
          
        
        (
        
          ∇
        
        W
        
          )
          
            2
          
        
        +
        V
        (
        
          x
        
        )
        =
        E
      
    
    {\displaystyle {1 \over 2m}({\boldsymbol {\nabla }}W)^{2}+V(\mathbf {x} )=E}
  Dette er Hamilton-Jacobi-ligningen som beskriver klassisk mekanikk. Den tilsvarer eikonalligningen i geometrisk optikk.For å ta med effekten av kvantemekanikk til laveste orden i Plancks konstant, kan man da skrive W = W0 - iħ W1. Det er ekvivalent med å anta en løsning på formen 
  
    
      
        ψ
        (
        
          x
        
        )
        =
        A
        (
        
          x
        
        )
        
          e
          
            i
            W
            (
            
              x
            
            )
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (\mathbf {x} )=A(\mathbf {x} )e^{iW(\mathbf {x} )/\hbar }}
   etter å ha satt  W0  lik med W  og A = eW1. Innsatt i Schrödinger-ligningen finner man da samme ligning for Hamilton-Jacobi-funksjonen  W(x), men et nytt bidrag kommer fra amplitudefunksjonen A(x). Sammen med det tidligere, imaginære bidraget gir de to leddene den ny ligningen

  
    
      
        A
        
          
            ∇
          
          
            2
          
        
        W
        +
        2
        (
        
          ∇
        
        A
        )
        ⋅
        (
        
          ∇
        
        W
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle A{\boldsymbol {\nabla }}^{2}W+2({\boldsymbol {\nabla }}A)\cdot ({\boldsymbol {\nabla }}W)=0}
  Den betyr at sannsynlighetsstrømmen J = A2 ∇W for bølgefunksjon ψ(x)  er bevart, det vil si at ∇⋅J = 0. Man kan i prinsippet gjøre denne tilnærmelsen enda bedre ved å inkludere neste orden på formen W = W0 - iħ W1 + ħ2W2, men dette er i praksis sjelden nødvendig.


== Endimensjonal bevegelse ==
Hamilton-Jacobi-ligningen for funksjonen W(x) er vanligvis vanskelig å løse. Men når partikkelen kun kan bevege seg langs en dimensjon i potensialet V(x) tar den formen

  
    
      
        
          
            1
            
              2
              m
            
          
        
        
          
            (
          
        
        
          
            
              d
              W
            
            
              d
              x
            
          
        
        
          
            
              )
            
          
          
            2
          
        
        +
        V
        (
        x
        )
        =
        E
      
    
    {\displaystyle {1 \over 2m}{\Big (}{dW \over dx}{\Big )}^{2}+V(x)=E}
  som har de to uavhengig løsningene

  
    
      
        W
        (
        x
        )
        =
        ±
        
          ∫
          
            
              x
              
                0
              
            
          
          
            x
          
        
        
        d
        
          x
          ′
        
        
          
            2
            m
            [
            E
            −
            V
            (
            
              x
              ′
            
            )
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle W(x)=\pm \int _{x_{0}}^{x}\!dx'{\sqrt {2m[E-V(x')]}}}
  hvor  x 0 er en vilkårlig posisjon som tilsvarer en integrasjonskonstant. Kvadratroten i integranden er den klassiske, posisjonsavhengige impulsen p(x) til partikkelen. Kontinuitetsligningen ∇⋅J = 0 i en dimensjon gir nå at Jx forblir konstant under bevegelsen. Det betyr igjen at amplituden til bølgefunksjonen må oppfylle at produktet pA2 er konstant. Det betyr at den generelle løsningen av Schrödinger-ligningen  i denne approksimasjonen er

  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              
                k
                (
                x
                )
              
            
          
        
        
          (
          
            A
            
              e
              
                i
                
                  ∫
                  
                    
                      x
                      
                        0
                      
                    
                  
                  
                    x
                  
                
                
                d
                
                  x
                  ′
                
                k
                (
                
                  x
                  ′
                
                )
              
            
            +
            B
            
              e
              
                −
                i
                
                  ∫
                  
                    
                      x
                      
                        0
                      
                    
                  
                  
                    x
                  
                
                
                d
                
                  x
                  ′
                
                k
                (
                
                  x
                  ′
                
                )
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x)={1 \over {\sqrt {k(x)}}}\left(Ae^{i\int _{x_{0}}^{x}\!dx'k(x')}+Be^{-i\int _{x_{0}}^{x}\!dx'k(x')}\right)}
  hvor k(x) = p(x)/ħ  er det posisjonsavhengige bølgetallet til partikkelen, mens A og B er to vilkårlige konstanter som må bestemmes ut fra grensebetingelsene i problemet.For en ren, klassisk bevegelse vil partikkelens kinetiske energi alltid være positiv eller null. Det betyr at dens totale energi i hvert punkt må være større eller lik dens potensielle energi. Et punkt hvor E = V(x) er dens kinetiske energien lik med null som tilsvarer at hastigheten til partikkelen er null. Den vil derfor snu i dette punktet og bevege seg tilbake i motsatt retning. Dette kalles derfor et vendepunkt. Men i den kvantemekaniske beskrivelsen er det ikke noe til hinder for at bølgefunksjonen har en endelig verdi på den andre siden av et slikt vendepunkt. Den klassiske impulsen blir rent imaginær slik at bølgetallet kan skrives som k(x) = iκ(x) hvor

  
    
      
        κ
        (
        x
        )
        =
        
          
            2
            m
            [
            V
            (
            x
            )
            −
            2
            E
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa (x)={\sqrt {2m[V(x)-2E]}}}
  Bølgefunksjonen i det klassisk forbudte området vil da ha den generelle formen

  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              
                κ
                (
                x
                )
              
            
          
        
        
          (
          
            C
            
              e
              
                −
                
                  ∫
                  
                    
                      x
                      
                        0
                      
                    
                  
                  
                    x
                  
                
                
                d
                
                  x
                  ′
                
                κ
                (
                
                  x
                  ′
                
                )
              
            
            +
            D
            
              e
              
                
                  ∫
                  
                    
                      x
                      
                        0
                      
                    
                  
                  
                    x
                  
                
                
                d
                
                  x
                  ′
                
                κ
                (
                
                  x
                  ′
                
                )
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x)={1 \over {\sqrt {\kappa (x)}}}\left(Ce^{-\int _{x_{0}}^{x}\!dx'\kappa (x')}+De^{\int _{x_{0}}^{x}\!dx'\kappa (x')}\right)}
  hvor igjen C  og D  er vilkårlige konstanter. Er for eksempel problemet slik at sannsynligheten skal gå mot null i dette området, vil disse måtte velges slik at kun den eksponensielt avtagende løsningen opptrer. Det at en partikkel i det hele tatt har en endelig sannsynlighet for å finnes her, kalles for kvantetunnelering og har mange viktige konsekvenser.


=== Konneksjonsformler ===
WKB-approksimasjonen er basert på at differansen mellom  den totale energien E og  potensialet V(x) skal være stor. Spesielt i et vendepunkt der disse to er like, bryter den sammen. Dette er også tydeliggjort ved at de approksimative løsningene der synes å divergere. Men nær et vendepunkt kan differansen E - V(x) lineæriseres. Schrödinger-ligningen kan da løses eksakt og bølgefunksjonene uttrykkes ved Airy-funksjoner. Disse tar endelige verdier i vendepunktet og kan benyttes til å forbinde løsningene på begge sider av dette med de approksimative WKB-løsningene. For et vendepunkt a der E < V(x) for x < a,  finner man da at løsningen

  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
        =
        
          
            A
            
              
                κ
                (
                x
                )
              
            
          
        
        exp
        ⁡
        
          
            [
          
        
        −
        
        
          ∫
          
            x
          
          
            a
          
        
        
        d
        
          x
          ′
        
        κ
        (
        
          x
          ′
        
        )
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x)={A \over {\sqrt {\kappa (x)}}}\exp {\Big [}-\!\int _{x}^{a}\!dx'\kappa (x'){\Big ]}}
  for x < a  i det klassisk forbudte området må forbindes med løsningen

  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              2
              A
            
            
              
                p
                (
                x
                )
              
            
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            [
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            x
          
        
        
        d
        
          x
          ′
        
        p
        (
        
          x
          ′
        
        )
        −
        
          
            π
            4
          
        
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x)={2A \over {\sqrt {p(x)}}}\cos {\Big [}\int _{a}^{x}\!dx'p(x')-{\pi  \over 4}{\Big ]}}
  for  x > a til høyre for vendepunktet hvor partikkelen kan befinne seg i klassisk fysikk. Den ekstra faseforskjellen π /4 kommer fra de eksakte løsningene uttrykt ved Airy-funksjoner.På samme måte finner man for et annet vendepunkt b med E < V(x) for x > b at i dette området må WKB-løsningen

  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
        =
        
          
            B
            
              
                κ
                (
                x
                )
              
            
          
        
        exp
        ⁡
        
          
            [
          
        
        −
        
        
          ∫
          
            b
          
          
            x
          
        
        
        d
        
          x
          ′
        
        κ
        (
        
          x
          ′
        
        )
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x)={B \over {\sqrt {\kappa (x)}}}\exp {\Big [}-\!\int _{b}^{x}\!dx'\kappa (x'){\Big ]}}
  forbindes med

  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
        =
        
          
            
              2
              B
            
            
              
                p
                (
                x
                )
              
            
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            [
          
        
        
          ∫
          
            x
          
          
            b
          
        
        
        d
        
          x
          ′
        
        p
        (
        
          x
          ′
        
        )
        −
        
          
            π
            4
          
        
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x)={2B \over {\sqrt {p(x)}}}\cos {\Big [}\int _{x}^{b}\!dx'p(x')-{\pi  \over 4}{\Big ]}}
  i det klassisk tillatte området x < b. Denne og den forrige konneksjonsformelen er to av mange andre som kan etableres med andre antagelser for bølgefunksjonene i områdene i de tre områdene x < a, a < x < b og b < x.


=== Bundne tilstander ===
I en situasjon hvor potensialet går mot uendelig utenfor vendepunktene, tilsvarer WKB-løsningene tilstander av partikkelen hvor den er lokalisert mellom disse. Den approksimative bølgefunksjonen beskriver da en bunden tilstand av partikkelen. Mellom vendepunktene a og b har man da to uttrykk for bølgefunksjonen avhengig av om man integrerer fra det ene eller det andre av disse. Men begge uttrykkene må beskrive samme tilstand. Ved å skrive integrasjonen fra a til et vilkårlig punkt x mellom vendepunktene som en integrasjon fra a til b pluss en videre integrasjon fra b til x, ser man at de to uttrykkene gir samme resultat under forutsetning av at integralet

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
        d
        
          x
          ′
        
        p
        (
        
          x
          ′
        
        )
        =
        (
        n
        +
        
          1
          
            /
          
          2
        
        )
        π
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}\!dx'p(x')=(n+{1/2})\pi \hbar }
  er oppfylt hvor  heltallet n kan ta verdiene 0, 1, 2, 3, etc. Siden impulsen p avhenger av partikkelens energi, tillater denne betingelsen kun visse, diskrete verdier av E. Dette kalles Bohr-Sommerfeld-kvantisering av bevegelsen i potensialet og var av stor betydning i den tidlige kvanteteorien. Den ble postulert av Niels Bohr i forbindelse med hans atommodell for hydrogenatomet og generalisert av Arnold Sommerfeld noen få år senere. Først med kvantemekanikken og den tilhørende WKB-approksimasjonen fikk den en forklaring omtrent ti år senere.Opprinnelig ble denne Bohr-Sommerfeld-kvantiseringen benyttet uten tillegget 1/2 til kvantetallet n. Det skyldes leddet π /4 i fasen til bølgefunksjonen som kommer fra konneksjonsformlene utledet fra Airy-funksjonen. Da selve approksimasjonen forventes å være mindre god for små kvantetall, spiller dette leddet vanligvis ingen avgjørende rolle. Men for den kvantiserte, harmoniske oscillatoren gir dette tilleggsleddet eksakt overensstemmelse med det kvantemekaniske resultatet for alle verdier av n.


=== Kvantetunnelering ===
I den motsatte situasjonen hvor potensialet V(x) > E mellom de to vendepunktene, vil dette området være klassisk forbudt for partikkelen. Beveger den seg mot høyre, vil den da ikke kunne trenge inn i potensialet og reflekteres derfor tilbake fra vendepunktet x = a. Kvantemekanisk vil den derimot kunne «tunnelere» gjennom dette området, men med en sannsynlighet som avtar raskt desto lengre det er til det andre vendepunktet i x = b. Herfra vil den så fortsette uhindret mot høyre, men med en sannsynlighet som er redusert med en faktor T  i forhold til den innkommende sannsynligheten for x < a. Denne skyldes reduksjonen av bølgefunksjonen i det forbudte området og er gitt som

  
    
      
        T
        =
        exp
        ⁡
        
          
            (
          
        
        −
        
          
            2
            ℏ
          
        
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
        d
        x
        
          
            2
            m
            [
            V
            (
            x
            )
            −
            E
            ]
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle T=\exp {\Big (}-{2 \over \hbar }\!\int _{a}^{b}\!dx{\sqrt {2m[V(x)-E]}}{\Big )}}
  og finnes når man forbinder bølgefunksjonene på de forskjellige strekningene x < a, a < x < b og b < x ved bruk av konneksjonsformlene.Fra antagelsene som WKB-approksimasjonen bygger på, følger at dette enkle uttrykket for kvantetunnelering bare er gyldig for situasjoner der T << 1. Den reflekterte brøkdelen R = 1 - T  av partikler fra  vendepunktet x = a er da ikke så mye forskjellig fra det klassiske resultatet der 100% av de innkommende partiklene reflekteres.


== Referanser ==