Stereografisk projeksjon

Stereografisk projeksjon er en konform avbildning av en kuleflate på et plan. Projeksjonssenteret er et punkt på overflaten, og planet er vinkelrett på en diameter gjennom dette punktet. Vanligvis legges planet gjennom kulens sentrum eller det tangerer den i punktets antipode.
Projeksjonen har sannsynligvis vært kjent i minst to tusen år og ble benyttet allerede av Ptolemaios i hans fremstilling av den krumme himmelhvelving på en plan flate. Den benyttes på samme måte i mer moderne planisfærer. Også innen kartografi blir den i dag gjort bruk av ved fremstilling av områder på Jorden. Projeksjonsplanet legges da oftest ved en av polene eller langs Ekvator avhengig av hvor man ønsker å se minst forvrengning på kartet.
Mer abstrakt bruk av projeksjonen gjøres også innen teoretisk fysikk og forskjellige grener av matematikken. Den kan da utvides til også å gjelde for projeksjoner av generaliserte kuleflater i høyere dimensjoner.


== Matematisk beskrivelse ==

Når den todimensjonale kuleflaten med radius R = 1 befinner seg i et tredimensjonalt, euklidsk rom med kartesiske koordinater (x,y,z), er den beskrevet ved ligningen x 2 + y 2 + z 2 = 1. Hvert punkt på flaten avbildes på planet z = 0 ved en sentralprojeksjon med sentrum i punktet N = (0,0,1). Ved å bruke kartesiske koordinater (X,Y) i planet, er denne projeksjonen dermed gitt ved sammenhengen

  
    
      
        (
        X
        ,
        Y
        )
        =
        
          (
          
            
              
                x
                
                  1
                  −
                  z
                
              
            
            ,
            
              
                y
                
                  1
                  −
                  z
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle (X,Y)=\left({\frac {x}{1-z}},{\frac {y}{1-z}}\right)}
  Den inverse transformasjonen kan sammenfattes i ligningene

  
    
      
        (
        
          x
        
        ,
        z
        )
        =
        
          (
          
            
              
                
                  2
                  
                    X
                  
                
                
                  1
                  +
                  
                    X
                  
                  ⋅
                  
                    X
                  
                
              
            
            ,
            
            
              
                
                  
                    X
                  
                  ⋅
                  
                    X
                  
                  −
                  1
                
                
                  1
                  +
                  
                    X
                  
                  ⋅
                  
                    X
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {x} ,z)=\left({2\mathbf {X}  \over 1+\mathbf {X} \cdot \mathbf {X} },\;{\mathbf {X} \cdot \mathbf {X} -1 \over 1+\mathbf {X} \cdot \mathbf {X} }\right)}
  hvor x = (x,y) og X = (X,Y). Punkter på den sydlige halvkule z < 0 blir avbildet på punkter innenfor sirkelen X⋅X = X 2 + Y 2 = 1, mens punkter på den nordlige halvkulen blir projisert til punkter utenfor sirkelen.At den stereografiske projeksjonen er konform, følger fra transformasjonen av det kvadrerte linjeelementet dσ 2 = d x2 + dz 2 på kuleflaten. Her blir nå

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  x
                
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      2
                      d
                      
                        X
                      
                    
                    
                      1
                      +
                      
                        X
                      
                      ⋅
                      
                        X
                      
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      4
                      
                        X
                      
                      (
                      
                        X
                      
                      ⋅
                      d
                      
                        X
                      
                      )
                    
                    
                      (
                      1
                      +
                      
                        X
                      
                      ⋅
                      
                        X
                      
                      
                        )
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                d
                z
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      4
                      
                        X
                      
                      ⋅
                      d
                      
                        X
                      
                    
                    
                      (
                      1
                      +
                      
                        X
                      
                      ⋅
                      
                        X
                      
                      
                        )
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}d\mathbf {x} &={2d\mathbf {X}  \over 1+\mathbf {X} \cdot \mathbf {X} }-{4\mathbf {X} (\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X} ) \over (1+\mathbf {X} \cdot \mathbf {X} )^{2}}\\dz&={4\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X}  \over (1+\mathbf {X} \cdot \mathbf {X} )^{2}}\end{aligned}}}
  slik at 

  
    
      
        d
        
          σ
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              4
              d
              
                X
              
              ⋅
              d
              
                X
              
            
            
              (
              1
              +
              
                X
              
              ⋅
              
                X
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              4
              (
              d
              
                X
                
                  2
                
              
              +
              d
              
                Y
                
                  2
                
              
              )
            
            
              (
              1
              +
              
                X
                
                  2
                
              
              +
              
                Y
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d\sigma ^{2}={4d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X}  \over (1+\mathbf {X} \cdot \mathbf {X} )^{2}}={4(dX^{2}+dY^{2}) \over (1+X^{2}+Y^{2})^{2}}}
  Hvis projeksjonsplanet istedet hadde tangert kuleflaten i sydpolen S = (0,0,-1), ville resultatet ha samme form bare med den forandring at X → X/2 og Y → Y/2. Den transformerte metrikken er proporsjonal med metrikken ds 2 = dX 2 + dY 2 i projeksjonsplanet som derfor er konformt ekvivalent med kuleflaten minus projeksjonspunktet. Dette blir avbildet til det uendelige.


=== Noen egenskaper ===

Den stereografiske projeksjonen har den spesielle fordelen at alle sirkler på kuleflaten blir avbildet som sirkler i planet. Dette gjelder ikke bare for storsirkler,  men også sirkler med mindre radius. Unntaket er sirkler som går gjennom projeksjonspunktet. De opptrer som rette linjer i planet.Man kan vise denne egenskapen ved å beskrive en sirkel på kuleflaten som bestående av skjæringspunktene mellom denne krumme flaten og et plan som har en avstand fra kulens sentrum som er mindre enn dens radius. Planet er beskrevet ved en ligning med den generelle formen

  
    
      
        A
        x
        +
        B
        y
        +
        C
        z
        +
        D
        =
        0
      
    
    {\displaystyle Ax+By+Cz+D=0}
  Hvis man her setter inn for x, y og z uttrykt ved de plane koordinatene X og Y, går den over til

  
    
      
        (
        C
        +
        D
        )
        (
        
          X
          
            2
          
        
        +
        
          Y
          
            2
          
        
        )
        +
        2
        A
        X
        +
        2
        B
        Y
        =
        C
        −
        D
      
    
    {\displaystyle (C+D)(X^{2}+Y^{2})+2AX+2BY=C-D}
  Den beskriver generelt en sirkel i planet  med senter i (-A, -B)/(C + D). Det forutsetter at C + D ≠ 0. I det motsatte tilfellet at C + D = 0, går planet gjennom projeksjonspunktet N = (0,0,1). Bildet av den utskårne sirkelen på kuleflaten er da en rett linje i planet.
Ved en stereografisk kartprojeksjon med projeksjonspunkt på en av de geografiske polene, vil derfor lengdegradene bli avbildet som radielle linjer ut fra dette punktet, mens breddegradene blir konsentriske sirkler om det samme punktet. Derimot når projeksjonspunktet legges til Ekvator, vil denne opptre som en rette linje på kartet sammen med den lengdegrad som passerer gjennom punktet. Alle andre bredde- og lengdegrader avbildes som sirkler.


=== Riemann-sfæren ===

Når det komplekse planet utvides med et punkt 
  
    
      
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty }
   i det uendelig, kan det avbildes ved en stereografisk projeksjon på en kuleflate som kalles en Riemann-sfære. Ved å beskrive den med kulekoordinater (θ,φ), vil et punkt med koordinater x = sinθ cosφ, y = sinθ sinφ og z = cosθ på sfæren, bli projisert til et punkt i det komplekse planet med koordinat Z = X + iY  hvor

  
    
      
        Z
        =
        
          
            
              x
              +
              i
              y
            
            
              1
              −
              z
            
          
        
        =
        cot
        ⁡
        
          
            θ
            2
          
        
        
          e
          
            i
            ϕ
          
        
      
    
    {\displaystyle Z={x+iy \over 1-z}=\cot {\theta  \over 2}e^{i\phi }}
  Punktet 
  
    
      
        ∞
      
    
    {\displaystyle \infty }
   i det uendelig tilsvarer nordpolen N = (0,0,1) på sfæren med θ = 0.
Metrikken til Riemann-sfæren tar nå formen

  
    
      
        d
        
          σ
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              4
              d
              Z
              d
              
                Z
                
                  ∗
                
              
            
            
              (
              1
              +
              Z
              
                Z
                
                  ∗
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d\sigma ^{2}={4dZdZ^{*} \over (1+ZZ^{*})^{2}}}
  hvor den kompleks-konjugerte koordinaten er Z * = X - iY. 
Enhver sirkel på Riemann-sfæren vil avbildes på en ny sirkel under en Möbius-transformasjon. I det spesielle tilfellet at denne har formen

  
    
      
        Z
        →
        
          
            
              a
              Z
              +
              b
            
            
              −
              
                b
                
                  ∗
                
              
              Z
              +
              
                a
                
                  ∗
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Z\rightarrow {aZ+b \over -b^{*}Z+a^{*}}}
  hvor a og b er komplekse parameter som tilfredsstiller aa* + bb* = 1, forblir metrikken uforandret. Det er derfor en isometrisk transformasjon og tilsvarer en rotasjon beskrevet av Lie-gruppen SU(2) med tre uavhengige parametre.


== Høyere dimensjoner ==
En N-dimensjonal sfære med radius R = 1 i et euklidsk rom med N + 1 dimensjoner er beskrevet ved ligningen x 2 + z 2 = 1 hvor den N-dimensjonale vektoren x = (x1, x2, ..., xN). Hypersfæren kan stereografisk projiseres på et N-dimensjonalt hyperplan som står vinkelrett på z-aksen på samme måte som for den todimensjonale kuleflaten. Hvis X = (X1, X2, ..., XN) er kartesiske koordinater i dette planet, er projeksjonen gitt ved avbildningen X = x/(1 - z). Den inverse transformasjonen er som for N = 2 dimensjoner

  
    
      
        (
        
          x
        
        ,
        z
        )
        =
        
          (
          
            
              
                
                  2
                  
                    X
                  
                
                
                  1
                  +
                  
                    X
                  
                  ⋅
                  
                    X
                  
                
              
            
            ,
            
            
              
                
                  
                    X
                  
                  ⋅
                  
                    X
                  
                  −
                  1
                
                
                  1
                  +
                  
                    X
                  
                  ⋅
                  
                    X
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {x} ,z)=\left({2\mathbf {X}  \over 1+\mathbf {X} \cdot \mathbf {X} },\;{\mathbf {X} \cdot \mathbf {X} -1 \over 1+\mathbf {X} \cdot \mathbf {X} }\right)}
  Det kvadrerte linjeelementet dσ 2 = d x2 + dz 2 tar derfor samme form og blir

  
    
      
        d
        
          σ
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              4
              d
              
                X
              
              ⋅
              d
              
                X
              
            
            
              (
              1
              +
              
                X
              
              ⋅
              
                X
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              4
              (
              d
              
                X
                
                  1
                
                
                  2
                
              
              +
              d
              
                X
                
                  2
                
                
                  2
                
              
              +
              ⋯
              +
              d
              
                X
                
                  N
                
                
                  2
                
              
              )
            
            
              (
              1
              +
              
                X
                
                  1
                
                
                  2
                
              
              +
              
                X
                
                  2
                
                
                  2
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                X
                
                  N
                
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle d\sigma ^{2}={4d\mathbf {X} \cdot d\mathbf {X}  \over (1+\mathbf {X} \cdot \mathbf {X} )^{2}}={4(dX_{1}^{2}+dX_{2}^{2}+\cdots +dX_{N}^{2}) \over (1+X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+\cdots +X_{N}^{2})^{2}}}
  Hvis projeksjonsplanet tangerer kuleflaten i stedet for å gå gjennom dens sentrum, vil det tilsvare å la X → X/2 i denne metrikken.


=== Ikke-lineær sigmamodell ===
Den sterke kjernekraften som virker mellom nukleoner når de har stor avstand seg i mellom, kan forklares ved at de kobler til pimesoner. Deres masse er så liten at den kan sees bort fra i mange sammenhenger. Men disse tre partiklene π = (π +,π 0,π -) vekselvirker også med hverandre på en måte som kan beskrives ved at de tilhører en gruppe med fire partikler (π,σ) som oppfyller kravet π⋅π + σ 2 = fπ2 hvor fπ  er en konstant. Her beskriver σ en sigmapartikkel med lignende egenskaper som Higgs-partikkelen for den svake kjernekraften. Verdiene av disse fire kvantefeltene tar derfor verdier som ligger på en 3-dimensjonal kuleflate med radius fπ  i et fiktivt, 4-dimensjonalt rom. Dette kalles for den ikke-lineære sigmamodellen.I Lagrange-funksjonen 

  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          π
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          ∂
          
            μ
          
        
        σ
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}(\partial _{\mu }{\boldsymbol {\pi }})^{2}+{1 \over 2}(\partial _{\mu }\sigma )^{2}}
  for disse fire feltene kan nå bare tre av dem betraktes som uavhengige på grunn av betingelsen π⋅π + σ 2 = fπ2. Ved en stereografisk projeksjon av denne 3-dimensjonale sfæren på et hyperplan som står vinkelrett på σ-aksen og tangerer sfæren, vil punktet (π,σ) avbildes på  Π = 2π /(fπ - σ). Når disse koordinatene benyttes i Lagrange-funksjonen, går den da over til

  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            
              (
              
                ∂
                
                  μ
                
              
              
                Π
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              (
              1
              +
              
                Π
              
              ⋅
              
                Π
              
              
                /
              
              4
              
                f
                
                  π
                
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}{(\partial _{\mu }{\boldsymbol {\Pi }})^{2} \over (1+{\boldsymbol {\Pi }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }}/4f_{\pi }^{2})^{2}}}
  og inneholder dermed bare kvantefeltene for pimesonene. Når disse har verdier som er mindre enn konstanten fπ , kan nevneren utvikles i en Taylor-rekke. Det gir

  
    
      
        
          
            L
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          Π
        
        
          )
          
            2
          
        
        −
        
          
            1
            
              4
              
                f
                
                  π
                
                
                  2
                
              
            
          
        
        (
        
          Π
        
        ⋅
        
          Π
        
        )
        (
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          Π
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}={1 \over 2}(\partial _{\mu }{\boldsymbol {\Pi }})^{2}-{1 \over 4f_{\pi }^{2}}({\boldsymbol {\Pi }}\cdot {\boldsymbol {\Pi }})(\partial _{\mu }{\boldsymbol {\Pi }})^{2}+\cdots }
  hvor den første termen beskriver den frie bevegelsen til pimesonene og den andre deres gjensidige vekselvirkninger.


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
E. Weisstein, Stereographic Projection, Wolfram MathWorld
J.P. Snyder, Map Projections - A Working Manual, U.S. Geological Survey Professional Paper 1395, Washington D.C. (1987). Archive.org.