Resiprokt gitter

Resiprokt gitter er et abstrakt gitter som kan beregnes for et virkelig gitter i en krystall og sier like mye om dens symmetrier. Ved røntgendiffraksjon kan det gjøres synlig og gir dermed direkte informasjon om krystallstrukturen. På lignende vis kan det også bestemmes ved elektrondiffraksjon og spredning av nøytroner.
Mens det direkte gitteret kan beskrives ved de krystallinske basisvektorene 
  
    
      
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} }
  , 
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
   og 
  
    
      
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {c} }
  , vil det resiproke gitter være gitt ved tre tilsvarende vektorer 
  
    
      
        
          
            a
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} ^{*}}
  , 
  
    
      
        
          
            b
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} ^{*}}
   og 
  
    
      
        
          
            c
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {c} ^{*}}
  . De defineres på lignende vis som duale basisvektorer i et skjevvinklet koordinatsystem. De ble først definert av Joshua Gibbs da han lanserte sin nye vektoranalyse på slutten av 1800-tallet. Ved Max Laues oppdagelse av røntgendiffraksjon i 1912 var det spesielt Paul Ewald som viste sammenhengen mellom det resiproke gitteret og strukturen til et krystallinsk materiale.
En vektor med heltallkomponentene h, k og l  i det resiproke gitteret står vinkelrett på krystallplan med Miller-indeksene (hkl ) og gir avstanden mellom nærmeste naboplan. Denne inngår i Braggs lov som bestemmer spredning av bølger i en periodisk struktur.


== Definisjon ==
Den resiproke basisvektoren 
  
    
      
        
          
            a
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} ^{*}}
   er definert ved kryssproduktet mellom basisvektorene  
  
    
      
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} }
   og 
  
    
      
        
          c
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {c} }
   i det direkte gitteret. Dermed vil den stå vinkelrett på krystallplanet som disse to basisvektorene definerer. På tilsvarende vis er 
  
    
      
        
          
            b
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} ^{*}}
   og 
  
    
      
        
          
            c
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {c} ^{*}}
   definerte. Hvis de tre gitte basisvektorene er ortogonale med hverandre, vil derfor også de resiproke vektorene bli ortogonale og ha samme retninger som de gitte vektorene.
Innen faststoffysikken er de resiproke basisvektorene definerte som

  
    
      
        
          
            a
          
          
            ∗
          
        
        =
        
          
            
              2
              π
            
            V
          
        
        
          b
        
        ×
        
          c
        
        ,
        
        
        
          
            b
          
          
            ∗
          
        
        =
        
          
            
              2
              π
            
            V
          
        
        
          c
        
        ×
        
          a
        
        ,
        
        
        
          
            c
          
          
            ∗
          
        
        =
        
          
            
              2
              π
            
            V
          
        
        
          a
        
        ×
        
          b
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} ^{*}={2\pi  \over V}\mathbf {b} \times \mathbf {c} ,\;\;\mathbf {b} ^{*}={2\pi  \over V}\mathbf {c} \times \mathbf {a} ,\;\;\mathbf {c} ^{*}={2\pi  \over V}\mathbf {a} \times \mathbf {b} }
  hvor  
  
    
      
        V
        =
        
          a
        
        ⋅
        (
        
          b
        
        ×
        
          c
        
        )
      
    
    {\displaystyle V=\mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}
   er volumet av en enhetscelle i det direkte gitteret. På den måten blir 
  
    
      
        
          a
        
        ⋅
        
          
            a
          
          
            ∗
          
        
        =
        
          b
        
        ⋅
        
          
            b
          
          
            ∗
          
        
        =
        
          c
        
        ⋅
        
          
            c
          
          
            ∗
          
        
        =
        2
        π
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} \cdot \mathbf {a} ^{*}=\mathbf {b} \cdot \mathbf {b} ^{*}=\mathbf {c} \cdot \mathbf {c} ^{*}=2\pi }
  . I mange sammenhenger defineres de også uten denne faktoren 2π . Det tilsvarer å benytte bølgelengden λ istedenfor bølgetallet k = 2π /λ i beskrivelsen av bølger.Alternativt kan man betegne basisvektorene i det direkte og resiproke gitteret som henholdsvis 
  
    
      
        
          
            a
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{i}}
   og 
  
    
      
        
          
            b
          
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} _{i}}
   hvor indeksen tar verdiene  i = 1, 2 og 3. Deres fundamentale sammenheng kan da sammenfattes i den ene ligningen

  
    
      
        
          
            a
          
          
            i
          
        
        ⋅
        
          
            b
          
          
            j
          
        
        =
        2
        π
        
          δ
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{i}\cdot \mathbf {b} _{j}=2\pi \delta _{ij}}
  når man benytter Kronecker-deltaet som er null når de to indeksene er forskjellige og én når de er like.


== Periodiske struktur ==
Basisvektorene 
  
    
      
        
          
            a
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{1}}
  , 
  
    
      
        
          
            a
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{2}}
   og 
  
    
      
        
          
            a
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{3}}
   beskriver den periodiske strukturen i en krystall langs tre forskjellige akser. Hvis man forflytter seg et helt multiplum av en slik vektor, kommer man til et nytt punkt i krystallen med helt de samme egenskapene. Denne kan for eksempel være en massetetthet eller en tetthet av elektroner n(r) hvor r er en posisjonsvektor i krystallen. Under en generell forskyvning

  
    
      
        
          R
        
        =
        
          u
          
            1
          
        
        
          
            a
          
          
            1
          
        
        +
        
          u
          
            2
          
        
        
          
            a
          
          
            2
          
        
        +
        
          u
          
            3
          
        
        
          
            a
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} =u_{1}\mathbf {a} _{1}+u_{2}\mathbf {a} _{2}+u_{3}\mathbf {a} _{3}}
  hvor komponentene (u1,u2,u3) er heltall, kan denne periodisiiteten uttrykkes som

  
    
      
        n
        (
        
          r
        
        +
        
          R
        
        )
        =
        n
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle n(\mathbf {r} +\mathbf {R} )=n(\mathbf {r} )}
  Det betyr at tettheten kan skrives som en Fourier-rekke

  
    
      
        n
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          ∑
          
            
              K
            
          
        
        
          n
          
            
              K
            
          
        
        
          e
          
            i
            
              K
            
            ⋅
            
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle n(\mathbf {r} )=\sum _{\mathbf {K} }n_{\mathbf {K} }e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {r} }}
  hvor tallene 
  
    
      
        
          n
          
            
              K
            
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{\mathbf {K} }}
   er Fourier-komponentene som avhenger av vektoren K. Ut fra definisjonen av periodisiteten må denne vektoren ha egenskapen

  
    
      
        
          e
          
            i
            
              K
            
            ⋅
            
              R
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle e^{i\mathbf {K} \cdot \mathbf {R} }=1}
  Den må derfor være en vektor i det resiproke gitteret og ha formen

  
    
      
        
          K
        
        =
        
          v
          
            1
          
        
        
          
            b
          
          
            1
          
        
        +
        
          v
          
            2
          
        
        
          
            b
          
          
            2
          
        
        +
        
          v
          
            3
          
        
        
          
            b
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {K} =v_{1}\mathbf {b} _{1}+v_{2}\mathbf {b} _{2}+v_{3}\mathbf {b} _{3}}
  hvor komponentene (v1,v2,v3) også er heltall,  Da blir nemlig 
  
    
      
        
          K
        
        ⋅
        
          R
        
        =
        2
        π
        (
        
          u
          
            1
          
        
        
          v
          
            1
          
        
        +
        
          u
          
            2
          
        
        
          v
          
            2
          
        
        +
        
          u
          
            3
          
        
        
          v
          
            3
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {K} \cdot \mathbf {R} =2\pi (u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+u_{3}v_{3})}
   slik at den periodiske betingelsen er oppfylt ved bruk av Eulers formel 
  
    
      
        
          e
          
            2
            π
            i
            n
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle e^{2\pi in}=1}
   for alle heltall n.


== Eksempel ==
For et enkelt,  kubisk gitter faller de tre krystallvektorene 
  
    
      
        
          
            a
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{1}}
  , 
  
    
      
        
          
            a
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{2}}
   og 
  
    
      
        
          
            a
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{3}}
   sammen med de kartesiske basisvektorene 
  
    
      
        
          i
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {i} }
  , 
  
    
      
        
          j
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {j} }
   og 
  
    
      
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {k} }
  . Hvis gitteravstanden er a, har man da

  
    
      
        
          
            a
          
          
            1
          
        
        =
        a
        
          i
        
        ,
        
        
        
          
            a
          
          
            2
          
        
        =
        a
        
          j
        
        ,
        
        
        
          
            a
          
          
            3
          
        
        =
        a
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{1}=a\mathbf {i} ,\;\;\mathbf {a} _{2}=a\mathbf {j} ,\;\;\mathbf {a} _{3}=a\mathbf {k} }
  Den fundamentale gittercellen er en kube med volum 
  
    
      
        V
        =
        (
        
          
            a
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            a
          
          
            2
          
        
        )
        ⋅
        
          
            a
          
          
            3
          
        
        =
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle V=(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2})\cdot \mathbf {a} _{3}=a^{3}}
  . Dermed blir de resiproke basisvektorene ganske enkelt

  
    
      
        
          
            b
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              2
              π
            
            a
          
        
        
          i
        
        ,
        
        
        
          
            b
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              2
              π
            
            a
          
        
        
          j
        
        ,
        
        
        
          
            b
          
          
            3
          
        
        =
        
          
            
              2
              π
            
            a
          
        
        
          k
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} _{1}={2\pi  \over a}\mathbf {i} ,\;\;\mathbf {b} _{2}={2\pi  \over a}\mathbf {j} ,\;\;\mathbf {b} _{3}={2\pi  \over a}\mathbf {k} }
  De har samme retninger som basisvektorene i det direkte gitteret, men lengder som er gitt ved den inverse gitteravstanden.


=== Romsentrert, kubisk gitter ===
Når det kubiske gitteret er romsentrert, befinner det seg et ekstra gitterpunkt midt i kuben. De fundamentale basisvektorene blir  da

  
    
      
        
          
            a
            
              1
            
          
        
        =
        
          
            a
            2
          
        
        
          
            (
          
        
        
          j
        
        +
        
          k
        
        −
        
          i
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a_{1}} ={a \over 2}{\big (}\mathbf {j} +\mathbf {k} -\mathbf {i} {\big )}}
  
  
    
      
        
          
            a
            
              2
            
          
        
        =
        
          
            a
            2
          
        
        
          
            (
          
        
        
          k
        
        +
        
          i
        
        −
        
          j
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a_{2}} ={a \over 2}{\big (}\mathbf {k} +\mathbf {i} -\mathbf {j} {\big )}}
  
  
    
      
        
          
            a
            
              3
            
          
        
        =
        
          
            a
            2
          
        
        (
        
          i
        
        +
        
          j
        
        −
        
          k
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a_{3}} ={a \over 2}(\mathbf {i} +\mathbf {j} -\mathbf {k} {\big )}}
  som lett kan se fra en geometrisk illustrasjon.  De står ikke lenker vinkelrett på hverandre. Den primitive gittercellen har nå volumet

  
    
      
        V
        =
        (
        
          
            a
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            a
          
          
            2
          
        
        )
        ⋅
        
          
            a
          
          
            3
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle V=(\mathbf {a} _{1}\times \mathbf {a} _{2})\cdot \mathbf {a} _{3}={1 \over 2}a^{3}}
  Ved direkte utregning finnes de resiproke basisvektorene å være

  
    
      
        
          
            b
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              2
              π
            
            a
          
        
        
          
            (
          
        
        
          j
        
        +
        
          k
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} _{1}={2\pi  \over a}{\big (}\mathbf {j} +\mathbf {k} {\big )}}
  
  
    
      
        
          
            b
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              2
              π
            
            a
          
        
        
          
            (
          
        
        
          k
        
        +
        
          i
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} _{2}={2\pi  \over a}{\big (}\mathbf {k} +\mathbf {i} {\big )}}
  
  
    
      
        
          
            b
          
          
            3
          
        
        =
        
          
            
              2
              π
            
            a
          
        
        
          
            (
          
        
        
          i
        
        +
        
          j
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {b} _{3}={2\pi  \over a}{\big (}\mathbf {i} +\mathbf {j} {\big )}}
  


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
IUCR, Reciprocal Lattice, definisjoner fra  International Union of Crystallography.
ChemistryLibreTexts, The Unit Cell, god orientering om gitterceller