Betafunksjon

Betafunksjonen er en matematisk funksjon av to variable og er direkte relatert til Eulers gammafunksjon Γ(z). I etableringen av denne sistnevnte funksjonen inngikk betafunksjonen som et mellomtrinn og den går derfor også under navnet Eulers første integral.
Funksjonen betegnes med en stor, gresk beta B og kan defineres ved integralet

  
    
      
        B
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
        d
        t
        
        
          t
          
            x
            −
            1
          
        
        (
        1
        −
        t
        
          )
          
            y
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle B(x,y)=\int _{0}^{1}\!dt\,t^{x-1}(1-t)^{y-1}}
  når realdelen til begge argumentene x og y er positive slik at integralet eksisterer.  Men funksjonen kan analytisk bli utvidet til å gjelde for mer generelle argument. Funksjonen kan alltid beregnes fra gammafunksjonen ved bruk av den fundamentale sammenhengen

  
    
      
        B
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          
            
              Γ
              (
              x
              )
              Γ
              (
              y
              )
            
            
              Γ
              (
              x
              +
              y
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle B(x,y)={\Gamma (x)\Gamma (y) \over \Gamma (x+y)}}
  Innen teoretisk fysikk fikk betafunksjonen en viss berømmelse på slutten av 1960-tallet da Veneziano foreslo at den kunne beskrive en symmetrisk spredningsamplitude for en kollisjon mellom to elementærpartikler. Dette la grunnlaget for strengteori.


== Noen egenskaper ==
Definisjonen av betafunksjonen dukker opp når man vil undersøke hvordan gammafunksjonen av en sum av to argument kan uttrykkes ved gammafunksjonene til hver av argumentene. For eksponentialfunksjonen er denne sammenhengen svært enkel da ex + y = ex⋅ey. Det er da naturlig å betrakte produktet

  
    
      
        Γ
        (
        x
        )
        Γ
        (
        y
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        u
        
        
          u
          
            x
            −
            1
          
        
        
          e
          
            −
            u
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        v
        
        
          v
          
            y
            −
            1
          
        
        
          e
          
            −
            v
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int _{0}^{\infty }\!du\,u^{x-1}e^{-u}\int _{0}^{\infty }\!dv\,v^{y-1}e^{-v}}
  Innfører man her w = u + v som ny integrasjonsvariabel i stedet for v, kan dette dobbeltintegralet faktoriseres,

  
    
      
        
          
            
              
                Γ
                (
                x
                )
                Γ
                (
                y
                )
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                d
                w
                
                
                  e
                  
                    −
                    w
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    w
                  
                
                
                d
                u
                
                
                  u
                  
                    x
                    −
                    1
                  
                
                (
                w
                −
                u
                
                  )
                  
                    y
                    −
                    1
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    ∞
                  
                
                
                d
                w
                
                
                  e
                  
                    −
                    w
                  
                
                
                  w
                  
                    x
                    +
                    y
                    −
                    1
                  
                
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    1
                  
                
                
                d
                t
                
                
                  t
                  
                    x
                    −
                    1
                  
                
                (
                1
                −
                t
                
                  )
                  
                    y
                    −
                    1
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (x)\Gamma (y)&=\int _{0}^{\infty }\!dw\,e^{-w}\int _{0}^{w}\!du\,u^{x-1}(w-u)^{y-1}\\&=\int _{0}^{\infty }\!dw\,e^{-w}w^{x+y-1}\int _{0}^{1}\!dt\,t^{x-1}(1-t)^{y-1}\end{aligned}}}
  
etter å ha skrevet u = wt i siste linje hvor t er enda en ny integrasjonsvariabel i stedet for u. Det første integralet her på høyre siden er gammafunksjonen Γ(x + y), mens det andre definerer betafunksjonen. Dermed er sammenhengen B(x,y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x + y) vist. En direkte konsekvens er at B(1,x) = 1/x.
Denne utledningen gjør også tydelig at betafunksjonen er symmetrisk i sine to argument

  
    
      
        B
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        B
        (
        y
        ,
        x
        )
      
    
    {\displaystyle B(x,y)=B(y,x)}
  Da gammafunksjonen har enkle poler der den divergerer for negative heltallsverdier av argumentet, vil disse divergensene også være tilstede i B(x,y). Hvis man plotter funksjonen  i xy-planet, vil disse singularitetene enkeltvis være tilstede i andre og fjerde kvadrant, mens de begge opptrer i tredje kvadrant av dette planet.
Mange spesielle verdier  kan beregnes. For eksempel, i punktet (1/2,1/2) er den gitt ved integralet

  
    
      
        B
        (
        1
        
          /
        
        2
        ,
        1
        
          /
        
        2
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
        d
        t
        
        
          t
          
            −
            1
            
              /
            
            2
          
        
        (
        1
        −
        t
        
          )
          
            −
            1
            
              /
            
            2
          
        
        =
        2
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
        
          
            
              d
              u
            
            
              
                1
                −
                
                  u
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        =
        2
        arcsin
        ⁡
        (
        1
        )
        =
        π
      
    
    {\displaystyle B(1/2,1/2)=\int _{0}^{1}\!dt\,t^{-1/2}(1-t)^{-1/2}=2\int _{0}^{1}\!{du \over {\sqrt {1-u^{2}}}}=2\arcsin(1)=\pi }
  Men samtidig skal dette være lik med Γ2(1/2,1/2) da Γ(1) = 1. Denne verdien er derfor ekvivalent med at Γ(1/2) = √π .


=== Andre definerende integral ===
Hvis man innfører t = u/(1 + u) slik at dt = du/(1 + u) 2 som en ny integrasjonsvaribel i det definerende integralet, tar det den alternative formen

  
    
      
        B
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        u
        
        
          
            
              u
              
                x
                −
                1
              
            
            
              (
              1
              +
              u
              
                )
                
                  x
                  +
                  y
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle B(x,y)=\int _{0}^{\infty }\!du\,{u^{x-1} \over (1+u)^{x+y}}}
  Som en enkel bruk av denne formelen kan man betrakte integralet

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        u
        
        
          
            
              u
              
                3
              
            
            
              (
              1
              +
              u
              
                )
                
                  5
                
              
            
          
        
        =
        B
        (
        4
        ,
        1
        )
        =
        
          
            
              Γ
              (
              4
              )
              Γ
              (
              1
              )
            
            
              Γ
              (
              5
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              3
              !
            
            
              4
              !
            
          
        
        =
        
          
            1
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{\infty }\!du\,{u^{3} \over (1+u)^{5}}=B(4,1)={\Gamma (4)\Gamma (1) \over \Gamma (5)}={3! \over 4!}={1 \over 4}}
  Mer interessant blir denne definisjonen i det spesielle tilfellet der y = 1 - x. Betafunksjonen går da over til å være gitt ved et enklere integral

  
    
      
        B
        (
        x
        ,
        1
        −
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        u
        
        
          
            
              u
              
                x
                −
                1
              
            
            
              1
              +
              u
            
          
        
      
    
    {\displaystyle B(x,1-x)=\int _{0}^{\infty }\!du\,{u^{x-1} \over 1+u}}
  som kan utføres ved integrasjonen i det komplekse planet og gir π /sinπ x. Dermed har man resultatet

  
    
      
        Γ
        (
        x
        )
        Γ
        (
        1
        −
        x
        )
        =
        
          
            π
            
              sin
              ⁡
              π
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (1-x)={\pi  \over \sin \pi x}}
  som er  Eulers refleksjonsformel. Herav følger at B(1/3,2/3) = 2π /√3 og B(1/4,3/4) = π √2.
Integranden i det definerende integralet for betafunksjonen kan også uttrykkes ved trigonometriske funksjoner. Man kan for eksempel velge å skrive t = sin 2θ slik at vinkelen θ kan bli benyttet som ny integrasjonsvariabel med differensialet dt = 2sinθ cosθdθ. Øvre grense t = 1 i det opprinnelige integralet tilsvarer da verdien θ = π /2. Siden man nå har at 1- t = cos 2θ, har man dermed

  
    
      
        B
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        2
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
            
              /
            
            2
          
        
        
        d
        θ
        
          sin
          
            2
            x
            −
            1
          
        
        
        θ
        
          cos
          
            2
            y
            −
            1
          
        
        
        θ
      
    
    {\displaystyle B(x,y)=2\int _{0}^{\pi /2}\!d\theta \sin ^{2x-1}\!\theta \cos ^{2y-1}\!\theta }
  Mange spesielle integral kan utføres ved bruk av denne formelen. Et eksempel er

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    π
                    
                      /
                    
                    2
                  
                
                
                d
                θ
                
                
                  tan
                  
                    2
                    p
                  
                
                
                θ
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    0
                  
                  
                    π
                    
                      /
                    
                    2
                  
                
                
                d
                θ
                
                  sin
                  
                    2
                    p
                  
                
                
                θ
                
                
                  cos
                  
                    −
                    2
                    p
                  
                
                
                θ
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                B
                (
                1
                
                  /
                
                2
                +
                p
                ,
                1
                
                  /
                
                2
                −
                p
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                Γ
                (
                1
                
                  /
                
                2
                +
                p
                )
                Γ
                (
                1
                
                  /
                
                2
                −
                p
                )
                =
                
                  
                    π
                    
                      2
                      cos
                      ⁡
                      π
                      p
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{\pi /2}\!d\theta \,\tan ^{2p}\!\theta &=\int _{0}^{\pi /2}\!d\theta \sin ^{2p}\!\theta \,\cos ^{-2p}\!\theta ={1 \over 2}B(1/2+p,1/2-p)\\&={1 \over 2}\Gamma (1/2+p)\Gamma (1/2-p)={\pi  \over 2\cos \pi p}\end{aligned}}}
  hvor forenklingen i siste ledd fremkommer fra refleksjonsformelen med x = 1/2 + p.


== Legendres fordoblingsformel ==
Den trigonometriske definisjonen av betafunksjonen kan benyttes til å gi en enkel utledning av en spesiell egenskap ved gammafunksjonen. 
Denne kan også utledes direkte fra definisjonsintegralet for betafunksjonen. Resultatet B(1/2,1/2) = √π  kan da generaliseres til en verdi for B(x,x) som er gitt ved integralet

  
    
      
        B
        (
        x
        ,
        x
        )
        =
        2
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
            
              /
            
            2
          
        
        
        d
        θ
        (
        sin
        ⁡
        θ
        cos
        ⁡
        θ
        
          )
          
            2
            x
            −
            1
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              
                2
                x
                −
                1
              
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        
        d
        ϕ
        
        
          sin
          
            2
            x
            −
            1
          
        
        
        ϕ
      
    
    {\displaystyle B(x,x)=2\int _{0}^{\pi /2}\!d\theta (\sin \theta \cos \theta )^{2x-1}={1 \over 2^{2x-1}}\int _{0}^{\pi }\!d\phi \,\sin ^{2x-1}\!\phi }
  etter å ha innført φ = 2θ slik at sinφ = 2 sinθ cosθ. Men integralet på høyre side er gitt ved B(x,1/2) slik at man har sammenhengen

  
    
      
        B
        (
        x
        ,
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              
                2
                x
                −
                1
              
            
          
        
        B
        (
        x
        ,
        1
        
          /
        
        2
        )
      
    
    {\displaystyle B(x,x)={1 \over 2^{2x-1}}B(x,1/2)}
  Betafunksjonene her kan nå uttrykkes ved gammafunksjoner slik at man står igjen med sammenhengen

  
    
      
        
          2
          
            2
            x
            −
            1
          
        
        Γ
        (
        x
        )
        ⋅
        Γ
        (
        x
        +
        1
        
          /
        
        2
        )
        =
        
          
            π
          
        
        
        Γ
        (
        2
        x
        )
      
    
    {\displaystyle 2^{2x-1}\Gamma (x)\cdot \Gamma (x+1/2)={\sqrt {\pi }}\,\Gamma (2x)}
  hvor man har brukt at Γ(1/2) = √π . Dette resultatet omtales som Legendres fordoblingsformel  etter å ha blitt funnet av Legendre rundt 1810. Han ga også  betafunksjonen sitt navn og symbol.
Noen år senere kunne Gauss generalisere denne formelen. Han fant

  
    
      
        
          n
          
            n
            x
            −
            1
            
              /
            
            2
          
        
        Γ
        
          
            (
          
        
        x
        
          
            )
          
        
        ⋅
        Γ
        
          
            (
          
        
        x
        +
        
          
            1
            n
          
        
        
          
            )
          
        
        ⋯
        Γ
        
          
            (
          
        
        1
        +
        
          
            
              n
              −
              1
            
            n
          
        
        
          
            )
          
        
        =
        (
        2
        π
        
          )
          
            (
            n
            −
            1
            )
            
              /
            
            2
          
        
        Γ
        (
        n
        x
        )
      
    
    {\displaystyle n^{nx-1/2}\Gamma {\big (}x{\big )}\cdot \Gamma {\big (}x+{1 \over n}{\big )}\cdots \Gamma {\big (}1+{n-1 \over n}{\big )}=(2\pi )^{(n-1)/2}\Gamma (nx)}
  for alle heltall n ≥ 2. Dette kalles for Gauss' multiplikasjonsformel. Setter man inn her x = 1/n, leder det til det spesielle produktet

  
    
      
        Γ
        
          
            (
          
        
        
          
            1
            n
          
        
        
          
            )
          
        
        ⋅
        Γ
        
          
            (
          
        
        
          
            2
            n
          
        
        
          
            )
          
        
        ⋯
        Γ
        
          
            (
          
        
        
          
            
              n
              −
              1
            
            n
          
        
        
          
            )
          
        
        =
        
          
            
              (
              2
              π
              
                )
                
                  (
                  n
                  −
                  1
                  )
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
            
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma {\big (}{1 \over n}{\big )}\cdot \Gamma {\big (}{2 \over n}{\big )}\cdots \Gamma {\big (}{n-1 \over n}{\big )}={(2\pi )^{(n-1)/2} \over {\sqrt {n}}}}
  Akkurat denne flotte formelen var blitt funnet av Euler mange år tidligere.


== Litteratur ==
J. Mathews and R.L. Walker, Mathematical Methods of Physics,  W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1.
M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.
M. Abramowitz and I.A. Stegun,  Handbook of Mathematical Functions, Dover, New York (1972).