Huygens-Fresnels prinsipp

Huygens-Fresnels prinsipp er en fremgangsmåte i fysikken til å beregne hvordan en bølge sprer seg. Det er oppkalt etter Christiaan Huygens og Augustin Fresnel. Metoden sier at hvert punkt på en eksisterende bølgefront er utgangspunkt for en kulebølge. Disse «elementærbølgene» adderes sammen på hvert sted ved superposisjon og gir den resulterende bølgen på et senere tidspunkt.
Prinsippet ble opprinnelig brukt av Huygens for å forklare refraksjon og refleksjon av lys. Det ble forbedret av Fresnel ved å ta med interferens mellom elementærbølgene. På den måten ble det mulig å forklare diffraksjon i optikken.
En matematisk begrunnelse fikk prinsippet av Gustav Kirchhoff som viste at det var en direkte konsekvens av bølgeligningen. For stasjonære system er denne ekvivalent med Helmholtz-ligningen som opptrer i de fleste beskrivelser av bølgefenomen og derfor gir prinsippet gyldighet utenfor optikken. Det betyr at det også kan benyttes for noen kvantefenomen beskrevet ved Schrödinger-ligningen. 
I denne sammenhengen ble prinsippet gitt en videreføring av Richard Feynman som viste hvordan man kan formulere  kvantemekanikken ved hjelp av veiintegral. Her er  også bølgefunksjonen i hvert punkt gitt som en sum over elementære bidrag fra bølgefunksjonen på et tidligere tidspunkt.


== Historisk utvikling ==

Huygens presenterte sin teori for lysets utbredelse i sitt store verk  Traité de la lumière i 1690 etter at det var lagt frem for vitenskapsakademiet i Paris to år tidligere. I motsetning til Descartes og Fermat som flere tiår tidligere hadde forklart mange aspekt ved geometrisk optikk som rettlinjet bevegelse av små partikler, argumenterte Huygens for at lyset var en bølgebevegelse i en mekanisk eter. Mange av idéene sine fikk han fra egenskapene til vannbølger.

Hans sentrale utgangspunkt for hvordan lys beveger seg, var antagelsen om at hvert punkt i en bølgefront er utgangspunkt for en ny kulebølge. Den nye bølgefronten et øyeblikk senere kan så bygges opp som «omhyllingsflaten» til alle disse elementærbølgene som dermed tangerer den nye bølgefronten. Dette er Huygens prinsipp.
Selv om Grimaldi hadde allerede oppdaget avbøyning eller diffraksjon av lys, var ikke det et tema Huygens tok opp i sin avhandling. Men i hans prinsipp lå en mulighet for å forklare også dette ved at en elementærbølge på kanten av en åpning kan spre seg ut til siden.Huygens bølgeteori ble snart overskygget av Newtons teori som igjen var basert på lyspartikler eller korpuksler. Men etter at Thomas Young i 1801 ved det første dobbeltspalteeksperimentet viste at lys også måtte kunne beskrives som bølger, fikk teorien til Huygens en renessanse.


=== Fresnels forbedring ===
Slik Huygens hadde utformet sitt prinsipp, ville de elementære kulebølgene spre seg likt ut i alle retninger. Det vil si at de prinsipielt også kunne bevege seg bakover, noe som var i strid med alle observasjoner. I tillegg ville hver av dem bidra kun i det punktet hvor de tangerte de resulterende bølgefronten.
For å forklare hvordan lys kunne avbøyes ved diffraksjon, utvidet Fresnel Huygens prinsipp i 1818 ved å foreslå at bidragene fra de elementære kulebølgene fra en bølgefront må kombineres ved interferens på hvert sted til å gi en resulterende amplitude i dette punktet. Når fronten har en endelig utstrekning, må summasjonen av bidragene fra alle elementærbølgene erstattes med et integral. I tillegg måtte Fresnel anta at amplituden for en slik kulebølge er maksimal vinkelrett på bølgefronten og avtar jevnt ut til siden med vinkelen χ som utbredelsesretningen danner med normalen til fronten. Fresnel antok at amplituden ble null for vinkler χ > π /2, men hadde ikke noe eksakt uttrykk for denne retningskorreksjonen.

Dette gjør det mulig å formulere Huygens-Fresnels prinsipp på matematisk form. Ved å anta at kilden for den innkommenende bølgen med en gitt bølgelengde λ, ligger uendelig langt unna, danner dens bølgefronter parallelle plan. Betrakter man ett S av disse, vil hvert punkt i dette sende ut elementære kulebølger som hver har formen eikr/r  når man representerer dem med komplekse fasevektorer. Her er  k = 2π /λ  bølgetallet og r er avstanden fra kulebølgens sentrum. I et punkt P bak planet S er nå den resulterende amplituden gitt ved integralet

  
    
      
        
          U
          
            P
          
        
        =
        
          U
          
            S
          
        
        
          ∫
          
            S
          
        
        
        d
        S
        F
        (
        χ
        )
        
          
            
              e
              
                i
                k
                r
              
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{P}=U_{S}\int _{S}\!dSF(\chi ){e^{ikr} \over r}}
  hvor US  er den konstante amplituden for den innkommende bølgen i S, mens r  nå er avstanden fra punktet P til hvert punkt i planet S. Den ukjente funksjonen F(χ)  er Fresnels retningsfaktor. Finnes det ingen forhindringer av bølgen i dette planet, vil integralet gi et resultat som tilsvarer at punktet P ligger på en ny, plan bølgefront. Hvis flaten S derimot er en ugjennomtrengelig vegg med noen åpninger, får integralet bare bidrag fra disse hvor US  er forskjellig fra null. Det resulterer i bøyning av den innkommende bølgen gjennom åpningene. På den måten kan både Fresnel-diffraksjon og Fraunhofer-diffraksjon beregnes og forklares.


=== Kirchhoffs matematiske bevis ===
Etter at Maxwell hadde forklart lys som elektromagnetiske bølger, var det klart at det kunne beskrives ved den vanlige bølgeligningen. For en bestemt bølgelengde reduseres denne til Helmholtz-ligningen. I 1883 benyttet Kirchhoff denne kombinert med Greens identitet til å gi et matematisk bevis for gyldigheten av Huygens-Fresnels prinsipp. Han kom da frem til et eksakt uttrykk for Fresnels retningsfaktor,

  
    
      
        F
        (
        χ
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              i
              λ
            
          
        
        
          
            (
          
        
        1
        +
        cos
        ⁡
        χ
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle F(\chi )={1 \over 2i\lambda }{\Big (}1+\cos \chi {\Big )}}
  hvor  i = √(-1) er den imaginære enheten. Ved å benytte  Eulers formel som sier at i = e iπ /2, viser denne faktoren i den resulterende bølgen at den er faseforskøvet med 90° i forhold til den innkommende bølgen. I motsetning til hva Fresnel hadde antatt, blir retningsfaktoren først null i bakoverretning som tilsvarer χ = 180°.


=== Rayleigh-Sommerfelds korreksjon ===
Noen få tiår etter at Kirchhoff hadde utviklet sin teori, påviste Lord Rayleigh og Arnold Sommerfeld at den var basert på en antagelse som ikke var matematisk holdbar. Men den eneste konsekvensen ble at retningsfaktoren F(χ)  måtte forandres til cosχ/iλ. Den er dermed null for χ = 90°, akkurat som Fresnel opprinnelig hadde antatt. Dette enkle resultatet kan også utledes mer direkte ved fysiske betraktninger rundt utbredelse av lys.I de fleste praktiske anvendelser av disse forskjellige versjonene er vinkelen χ så liten at de gir samme resultat. Men i noen tilfeller er retningsfaktoren viktig og den forbedrete formuleringen til Rayleigh og Sommerfeld må benyttes. Dette gjelder for eksempel for beskrivelsen av Poissons flekk på aksen bak en sirkulær skive.


== Diffraksjon fra smal spalte ==
Det enkleste eksempel på diffraksjon er plane bølger som går mot et mikroskopisk hull i en vegg parallell med bølgefronten til denne innkommende strålingen. Med mikroskopisk menes da at hullet har en utstrekning av samme størrelsesorden som lysets bølgelengde. Da vil kun en elementær kuldebølge eikr/r  kunne bre seg ut bak veggen og intensiteten av det spredte lyset vil være den samme i alle retninger.
Mer interessant er det å betrakte en uendelig lang og tynn spalte i veggen. Har denne en bredde av samme størrelsesorden som bølgelengden til lyset, vil man ut fra geometrien i problemet forvente å finne sylinderbølger  bak veggen med akse i spalten. Dette følger også fra Huygens-Fresnels prinsipp. Man legger er kartesisk koordinatsystem med y-aksen langs spalten og z-aksen normalt på veggen. Hvis da ρ  er avstanden i zx-planet fra punktet P  bak veggen til spalten, er avstanden fra dette punktet til et punkt i spalten som ligger i en avstand y over dette planet, gitt som

  
    
      
        r
        =
        
          
            
              ρ
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        =
        ρ
        +
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              2
              ρ
            
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+y^{2}}}=\rho +{y^{2} \over 2\rho }+\cdots }
  når man antar at  ρ > y og gjør bruk av binomialformelen. Denne antagelsen kan begrunnes med Fresnels retningsfaktor som demper elementærbølger som når P under store vinkler θ med normalen til veggen. Ser man derfor i det følgende bort fra denne avhengigheten, tar Kirchhoffs integral for den spredte bølgen formen

  
    
      
        
          U
          
            P
          
        
        =
        
          
            
              A
              Δ
              x
            
            
              i
              λ
              ρ
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        y
        
        
          e
          
            i
            k
            ρ
            +
            i
            k
            
              y
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{P}={A\Delta x \over i\lambda \rho }\int _{-\infty }^{\infty }\!dy\,e^{ik\rho +iky^{2}/2\rho }}
  hvor Δx er bredden til spalten der den innkommende bølgen har amplituden A. I nevneren er avstanden r ganske enkelt satt lik ρ som er konsistent med de andre approksimasjonene allerede gjort. Integrasjonen over y er gitt ved det komplekse Fresnel-integralet

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        t
        
        
          e
          
            i
            a
            
              t
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                i
                π
              
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\!dt\,e^{iat^{2}}={\sqrt {i\pi  \over a}}}
  Da bølgetallet k = 2π /λ, blir dermed

  
    
      
        
          U
          
            P
          
        
        =
        
          
            
              A
              Δ
              x
            
            
              i
              λ
              ρ
            
          
        
        
          
            i
            λ
            ρ
          
        
        
        
          e
          
            i
            k
            ρ
          
        
        =
        
          
            
              A
              Δ
              x
            
            
              
                i
                λ
                ρ
              
            
          
        
        
        
          e
          
            i
            k
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{P}={A\Delta x \over i\lambda \rho }{\sqrt {i\lambda \rho }}\,e^{ik\rho }={A\Delta x \over {\sqrt {i\lambda \rho }}}\,e^{ik\rho }}
  Den resulterende bølgen bak veggen brer seg derfor  utover med en amplitude som varierer omvendt proporsjonalt med kvadratroten av avstanden ρ, noe som karakteriserer en sylinderbølge. Men den er faseforskøvet med 45° etter den innkommende bølgen.


=== Ingen hindring ===
Hvis den samme veggen ble fylt opp av uendelig mange tynne spalter, ville den ganske enkelt forsvinne. Det samme Kirchhoff-integralet vil da beskrive en uhindret bevegelse av en plan bølgefront. Med de samme koordinatene som for en spalte, er da avstanden fra punktet P  til et vilkårlig punkt (x, y, 0) på den innkommende bølgefronten i veggen ved z = 0, gitt som

  
    
      
        r
        =
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            +
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
          
        
        =
        z
        +
        
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                y
                
                  2
                
              
            
            
              2
              z
            
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle r={\sqrt {z^{2}+x^{2}+y^{2}}}=z+{x^{2}+y^{2} \over 2z}+\cdots }
  Den resulterende bølgen i dette punktet blir dermed 

  
    
      
        
          U
          
            P
          
        
        =
        
          
            A
            
              i
              λ
              z
            
          
        
        
          e
          
            i
            k
            z
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        x
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        y
        
        
          e
          
            i
            k
            (
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
            )
            
              /
            
            2
            z
          
        
        =
        A
        
          e
          
            i
            k
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{P}={A \over i\lambda z}e^{ikz}\int _{-\infty }^{\infty }\!dx\,\int _{-\infty }^{\infty }\!dy\,e^{ik(x^{2}+y^{2})/2z}=Ae^{ikz}}
  Dette er ikke noe annet enn den samme, plane bølgen som fortsetter bak veggen uten noen faseforskyvning. På den måten ser man hvordan denne matematiske beskrivelsen bekrefter Huygens opprinnelige prinsipp.


== Refraksjon og refleksjon ==

Huygens viste at Hans nye prinsipp kan forklare brytning og refleksjon av lys. På hans tid var Snells brytningslov allerede anerkjent som riktig.   Descartes hadde forklart den ved å anta at lyset består av små partikler som beveger seg raskere i et optisk tettere medium. Men  Fermat hadde også kunne forklare den ut fra sitt prinsipp om at lystet beveger seg mellom to punkt så raskt som mulig sammen med antagelsen at det går langsommere i et tettere medium. Hvis lyshastigheten i vakuum er c, vil den være c/n  i et medium med brytningsindeks n.Til forskjell fra både Descartes og Fermat, mente Huygens at lys måtte være en bølgebevegelse. Utbredelseshastigheten skulle være c/n  som Fermat hadde antatt. Han betraktet en lysstråle som beveger seg fra et medium med brytningsindeks n  til et annet medium med indeks n' . Hvis det innkommende lyset danner vinkelen θ  med normalen til spilleflaten mellom de to mediene, vil det utgående lyset i det tettere mediet danne en mindre vinkel θ'  med den samme normalen. Dette forklarte Huygens ved at den innkommende bølgefronten sender ut samtidige kulebølger. De som blir sendt ut fra punktet B i figuren bruker en tid t til å tilbakelegge veilengden BC = (c/n)⋅t. I samme tidsrom har kulebølgene fra punkt A beveget seg inn i det optisk tettere mediet slik at avstanden AD = (c/n ')⋅t. Fra figuren følger nå at

  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              θ
            
            
              sin
              ⁡
              
                θ
                ′
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                BC
              
              
                /
              
              
                AC
              
            
            
              
                AD
              
              
                /
              
              
                AC
              
            
          
        
        =
        
          
            
              BC
            
            
              AD
            
          
        
        =
        
          
            
              n
              ′
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sin \theta  \over \sin \theta '}={{\text{BC}}/{\text{AC}} \over {\text{AD}}/{\text{AC}}}={{\text{BC}} \over {\text{AD}}}={n' \over n}}
  som er akkurat Snells brytningslov. Her har man benyttet at bølgefrontene alltid står vinkelrett på lysretningen.

Når lys derimot treffer en reflekterende overflate, vil kulebølgene fra den innkommende bølgefronten bevege seg tilbake i det samme mediet. Det vil si at de har samme hastighet. De som går ut fra punktet A, som er det punktet på bølgefronten som først treffer overflaten, beveger seg derfor like langt som kulebølgene fra det punktet som sist treffer fronten. På den måten bygger disse elementærbølgene opp en ny, utgående  bølgefront som danner samme vinkel med overflaten som den innkommende. Derfor er i dette tilfellet innfallsvinkel lik utfallsvinkel som er innholdet i refleksjonsloven.


== Se også ==
Bølger
Optikk
Diffraksjon
Kirchhoffs diffraksjonsteori


== Referanser ==


== Litteratur ==
H. Crew,  The wave theory of light: Memoirs of Huygens, Young and Fresnel, American Book Company, New York  (1900).
M. Born and E. Wolf, Principles of Optics,  Cambridge University Press, Cambridge (1999). ISBN 978-0-521-64222-4.


== Eksterne lenker ==
J. Bain, New York University, The History of Light Arkivert 16. oktober 2019 hos Wayback Machine., forelesninger om bølgeoptikk.MathPages, On diffraction, generelle betraktninger rundt diffraksjon