Debye-lengde

I plasmaer og elektrolytter er Debye-lengden (også kalt Debye-radius), oppkalt etter Peter Debye, et mål på en ladningsbærers netto elektrostatiske effekt i en løsning og hvor langt den elektrostatiske effekten vedvarer. En Debye-kule er et volum hvis radie er Debye-lengden. For hver Debye-lengde blir ladninger i økende grad skjermet elektrisk. Hver Debye-lengde 
  
    
      
        
          λ
          
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{D}}
  , det elektriske potensialet vil reduseres i størrelse med 1/e. Debye-lengde er et viktig parameter i plasmafysikk, elektrolytter og kolloider (DLVO teori). Den tilsvarende Debye-screeningbølgevektoren 
  
    
      
        
          k
          
            D
          
        
        =
        
          
            1
            
              λ
              
                D
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{D}={1 \over \lambda _{D}}}
   for partikler med tetthet 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  , ladning 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   ved temperatur 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
   er gitt ved 
  
    
      
        
          k
          
            D
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              4
              π
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              
                k
                
                  B
                
              
              T
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{D}^{2}={4\pi q^{2} \over k_{B}T}}
   i gaussiske enheter. Uttrykk i MKS-enheter vil bli gitt nedenfor. De analoge mengdene ved veldig lave temperaturer (
  
    
      
        T
        →
        0
      
    
    {\displaystyle T\rightarrow 0}
  ) er kjent som Thomas–Fermi-lengden og Thomas–Fermi-bølgevektoren. De er av interesse for å beskrive oppførselen til elektroner i metaller ved romtemperatur.


== Fysisk opprinnelse ==
Debye-lengden oppstår naturlig i den termodynamiske beskrivelsen av store systemer for mobilavgifter. I et system av 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   forskjellige specier av ladninger, 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
    specier som bærer ladning 
  
    
      
        
          q
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{j}}
   og har konsentrasjon 
  
    
      
        
          n
          
            j
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}
   ved possisjon 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
  . Ifølge den såkalte "primitive modellen" fordeles disse ladningene i et kontinuerlig medium som bare er preget av sin relative statiske permittivitet., 
  
    
      
        
          ε
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{r}}
  . Denne fordelingen av ladninger innenfor dette mediet gir et elektrisk potensial 
  
    
      
        Φ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}
   som tilfredsstiller Poissons ligningen:

  
    
      
        ε
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
        
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          q
          
            j
          
        
        
        
          n
          
            j
          
        
        (
        
          r
        
        )
        −
        
          ρ
          
            
              e
              x
              t
            
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}\,n_{j}(\mathbf {r} )-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}
  ,hvor 
  
    
      
        ε
        ≡
        
          ε
          
            r
          
        
        
          ε
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon \equiv \varepsilon _{r}\varepsilon _{0}}
  , 
  
    
      
        
          ε
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{0}}
  er den elektriske konstanten, og 
  
    
      
        
          ρ
          
            
              e
              x
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho _{\rm {ext}}}
   er en ladetetthet utenfor (logisk, ikke romlig) til mediet.
De mobile ladningene bidrar ikke bare til å etablere 
  
    
      
        Φ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )}
   men også bevege seg som svar på den tilhørende Coulomb-kraften,
  
    
      
        −
        
          q
          
            j
          
        
        
        ∇
        Φ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle -q_{j}\,\nabla \Phi (\mathbf {r} )}
  .Hvis vi videre antar at systemet er i termodynamisk likevekt med et varmebad ved absolutt temperatur 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
  , deretter vil konsentrasjonene av diskrete ladninger, 
  
    
      
        
          n
          
            j
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )}
  , kan betraktes som termodynamiske (ensemble) gjennomsnitt og det tilhørende elektriske potensialet for å være et termodynamisk middelfelt. Med disse antagelsene, konsentrasjonen av 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
   ladde specier bli beskrevet av Boltzmann-distribusjonen,

  
    
      
        
          n
          
            j
          
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          n
          
            j
          
          
            0
          
        
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                
                  
                    q
                    
                      j
                    
                  
                  
                  Φ
                  (
                  
                    r
                  
                  )
                
                
                  
                    k
                    
                      
                        B
                      
                    
                  
                  T
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle n_{j}(\mathbf {r} )=n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)}
  ,hvor 
  
    
      
        
          k
          
            
              B
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{\rm {B}}}
   er Boltzmanns konstant og hvor  
  
    
      
        
          n
          
            j
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{j}^{0}}
   er den gjennomsnittlige konsentrasjonen av ladninger av specie 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  .
Å identifisere de øyeblikkelige konsentrasjonene og potensialet i Poisson-ligningen med deres gjennomsnittsfelt-kolleger i Boltzmanns fordeling, gir Poisson-Boltzmann-ligningen:

  
    
      
        ε
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
        
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          q
          
            j
          
        
        
          n
          
            j
          
          
            0
          
        
        
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                
                  
                    q
                    
                      j
                    
                  
                  
                  Φ
                  (
                  
                    r
                  
                  )
                
                
                  
                    k
                    
                      
                        B
                      
                    
                  
                  T
                
              
            
          
          )
        
        −
        
          ρ
          
            
              e
              x
              t
            
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=-\,\sum _{j=1}^{N}q_{j}n_{j}^{0}\,\exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}
  .Løsninger på denne ikke-lineære ligningen er kjent for noen enkle systemer. Løsninger for mer generelle systemer kan oppnås i grensen for høy temperatur (svak kobling), 
  
    
      
        
          q
          
            j
          
        
        
        Φ
        (
        
          r
        
        )
        ≪
        
          k
          
            
              B
            
          
        
        T
      
    
    {\displaystyle q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )\ll k_{\rm {B}}T}
  ,av Taylorutvidelsen eksponentiell:

  
    
      
        exp
        ⁡
        
          (
          
            −
            
              
                
                  
                    q
                    
                      j
                    
                  
                  
                  Φ
                  (
                  
                    r
                  
                  )
                
                
                  
                    k
                    
                      
                        B
                      
                    
                  
                  T
                
              
            
          
          )
        
        ≈
        1
        −
        
          
            
              
                q
                
                  j
                
              
              
              Φ
              (
              
                r
              
              )
            
            
              
                k
                
                  
                    B
                  
                
              
              T
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \exp \left(-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}\right)\approx 1-{\frac {q_{j}\,\Phi (\mathbf {r} )}{k_{\rm {B}}T}}}
  .Denne tilnærmingen gir den lineariserte Poisson-Boltzmann-ligningen

  
    
      
        ε
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          (
          
            
              ∑
              
                j
                =
                1
              
              
                N
              
            
            
              
                
                  
                    n
                    
                      j
                    
                    
                      0
                    
                  
                  
                  
                    q
                    
                      j
                    
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    k
                    
                      
                        B
                      
                    
                  
                  T
                
              
            
          
          )
        
        
        Φ
        (
        
          r
        
        )
        −
        
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          n
          
            j
          
          
            0
          
        
        
          q
          
            j
          
        
        −
        
          ρ
          
            
              e
              x
              t
            
          
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \varepsilon \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\left(\sum _{j=1}^{N}{\frac {n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}{k_{\rm {B}}T}}\right)\,\Phi (\mathbf {r} )-\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}q_{j}-\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}
  som også er kjent som Debye–Hückel-ligningen: Det andre begrepet på høyre side forsvinner for systemer som er elektrisk nøytrale. Begrepet i parentes delt på 
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  , har enhetene med en omvendt lengde i kvadrat og fører ved dimensjonsanalyse til definisjonen av den karakteristiske lengdeskalaen

  
    
      
        
          λ
          
            
              D
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  ε
                  
                  
                    k
                    
                      
                        B
                      
                    
                  
                  T
                
                
                  
                    ∑
                    
                      j
                      =
                      1
                    
                    
                      N
                    
                  
                  
                    n
                    
                      j
                    
                    
                      0
                    
                  
                  
                  
                    q
                    
                      j
                    
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=\left({\frac {\varepsilon \,k_{\rm {B}}T}{\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,q_{j}^{2}}}\right)^{1/2}}
  som ofte kalles Debye–Hückel-lengden. Som den eneste karakteristiske lengdeskalaen i Debye–Hückel-ligningen, 
  
    
      
        
          λ
          
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{D}}
   setter skalaen for variasjoner i potensialet og i konsentrasjonene av ladede specier. Alle ladede specier bidrar til Debye–Hückel-lengden på samme måte, uavhengig av tegnet på ladningen. For et elektrisk nøytralt system blir Poisson-ligningen

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          λ
          
            
              D
            
          
          
            −
            2
          
        
        Φ
        (
        
          r
        
        )
        −
        
          
            
              
                ρ
                
                  
                    e
                    x
                    t
                  
                
              
              (
              
                r
              
              )
            
            ε
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {r} )=\lambda _{\rm {D}}^{-2}\Phi (\mathbf {r} )-{\frac {\rho _{\rm {ext}}(\mathbf {r} )}{\varepsilon }}}
  For å illustrere Debye-screening, potensialet som produseres av en ekstern punktladning 
  
    
      
        
          ρ
          
            
              e
              x
              t
            
          
        
        =
        Q
        δ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho _{\rm {ext}}=Q\delta (\mathbf {r} )}
   is

  
    
      
        Φ
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            Q
            
              4
              π
              ε
              r
            
          
        
        
          e
          
            −
            r
            
              /
            
            
              λ
              
                
                  D
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi (\mathbf {r} )={\frac {Q}{4\pi \varepsilon r}}e^{-r/\lambda _{\rm {D}}}}
  Coulomb-potensialet blir eksponentielt screenet av mediet over en avstand av Debye-lengden.
Lengden på Debye–Hückel kan uttrykkes i form av Bjerrum-lengden 
  
    
      
        
          λ
          
            
              B
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}
   som

  
    
      
        
          λ
          
            
              D
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              4
              π
              
              
                λ
                
                  
                    B
                  
                
              
              
              
                ∑
                
                  j
                  =
                  1
                
                
                  N
                
              
              
                n
                
                  j
                
                
                  0
                
              
              
              
                z
                
                  j
                
                
                  2
                
              
            
            )
          
          
            −
            1
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{\rm {D}}=\left(4\pi \,\lambda _{\rm {B}}\,\sum _{j=1}^{N}n_{j}^{0}\,z_{j}^{2}\right)^{-1/2}}
  ,hvor 
  
    
      
        
          z
          
            j
          
        
        =
        
          q
          
            j
          
        
        
          /
        
        e
      
    
    {\displaystyle z_{j}=q_{j}/e}
   er heltallsladingstallet som relaterer ladningen på  
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
   ioniske specier til elementærladningen 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
  .


== I plasma ==
I et ikke-isotermisk plasma kan temperaturene for elektroner og tunge specier variere mens bakgrunnsmediet kan behandles som vakuum (
  
    
      
        
          ε
          
            r
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{r}=1}
  ), og Debye-lengden er

  
    
      
        
          λ
          
            
              D
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  ε
                  
                    0
                  
                
                
                  k
                  
                    
                      B
                    
                  
                
                
                  /
                
                
                  q
                  
                    e
                  
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                  n
                  
                    e
                  
                
                
                  /
                
                
                  T
                  
                    e
                  
                
                +
                
                  ∑
                  
                    j
                  
                
                
                  z
                  
                    j
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  n
                  
                    j
                  
                
                
                  /
                
                
                  T
                  
                    i
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}/q_{e}^{2}}{n_{e}/T_{e}+\sum _{j}z_{j}^{2}n_{j}/T_{i}}}}}
  hvor

λD er Debye-lengden,
ε0 er permittiviteten til ledig plass,
kB er Boltzmanns konstant,
qe er ladningen til et elektron,
Te og Ti er temperaturene til henholdsvis elektronene og ionene,
ne er tettheten til elektroner,
nj er tettheten til atomarter j, med positiv ionisk ladning zjqeSelv i kvasineutralt kaldt plasma, hvor ionebidrag praktisk talt ser ut til å være større på grunn av lavere ionetemperatur, faller ionebetegnelsen ofte, noe som gir

  
    
      
        
          λ
          
            
              D
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  ε
                  
                    0
                  
                
                
                  k
                  
                    
                      B
                    
                  
                
                
                  T
                  
                    e
                  
                
              
              
                
                  n
                  
                    e
                  
                
                
                  q
                  
                    e
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T_{e}}{n_{e}q_{e}^{2}}}}}
  selv om dette bare er gyldig når mobiliteten til ioner er ubetydelig sammenlignet med prosessens tidsskala.


=== Vanlige verdier ===
I romplasmaer der elektrondensiteten er relativt lav, kan Debye-lengden nå makroskopiske verdier, slik som i magnetosfæren, solvinden, det interstellare mediet og det intergalaktiske mediet. Se tabellen nedenfor:


== I en elektrolyttløsning ==
I en elektrolytt eller en kolloid suspensjon er Debye-lengden for en monovalent elektrolytt betegnes vanligvis med symbolet κ−1

  
    
      
        
          κ
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  ε
                  
                    
                      r
                    
                  
                
                
                  ε
                  
                    0
                  
                
                
                  k
                  
                    
                      B
                    
                  
                
                T
              
              
                2
                ×
                
                  10
                  
                    3
                  
                
                
                  N
                  
                    
                      A
                    
                  
                
                
                  e
                  
                    2
                  
                
                I
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}k_{\rm {B}}T}{2\times 10^{3}N_{\rm {A}}e^{2}I}}}}
  hvor

I er ionestyrken til elektrolytten i molare enheter (M eller mol/L),
ε0 er permittiviteten til vaccum,
εr er den dielektriske konstant,
kB er Boltzmanns konstant,
T er den absolutte temperaturen i kelvin,
NA er Avogadros tall.

  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
   er elementærladningen,eller for en symmetrisk monovalent elektrolytt,

  
    
      
        
          κ
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  ε
                  
                    
                      r
                    
                  
                
                
                  ε
                  
                    0
                  
                
                R
                T
              
              
                2
                ×
                
                  10
                  
                    3
                  
                
                
                  F
                  
                    2
                  
                
                
                  C
                  
                    0
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa ^{-1}={\sqrt {\frac {\varepsilon _{\rm {r}}\varepsilon _{0}RT}{2\times 10^{3}F^{2}C_{0}}}}}
  hvor 

R er gasskonstanten,
F er Faradays konstant,
C0 er elektrolyttkonsentrasjonen i molar enheter (M ellermol/L).Alternativt,

  
    
      
        
          κ
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            1
            
              8
              π
              
                λ
                
                  
                    B
                  
                
              
              
                N
                
                  
                    A
                  
                
              
              ×
              
                10
                
                  3
                
              
              I
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa ^{-1}={\frac {1}{\sqrt {8\pi \lambda _{\rm {B}}N_{\rm {A}}\times 10^{3}I}}}}
  hvor

  
    
      
        
          λ
          
            
              B
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{\rm {B}}}
   er Bjerrum-lengden på mediet.For vann ved romtemperatur, λB ≈ 0.7 nm.
Ved romtemperatur (20 ° C eller 70 ° F) kan man vurdere forholdet i vann:

  
    
      
        
          κ
          
            −
            1
          
        
        (
        
          n
          m
        
        )
        =
        
          
            0.304
            
              I
              (
              
                M
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \kappa ^{-1}(\mathrm {nm} )={\frac {0.304}{\sqrt {I(\mathrm {M} )}}}}
  hvor

κ−1 er utrykt i nanometer (nm)
I er ionestyrken uttrykt i molar (M eller mol/L)Det er en metode for å estimere en omtrentlig verdi av Debye-lengden i væsker ved bruk av ledningsevne, som er beskrevet i ISO-standard, og boka.


== I halvledere ==
Debye-lengden har blitt stadig viktigere i modelleringen av solid state-enheter ettersom forbedringer i litografisk teknologier har muliggjort mindre geometrier.Debye-lengden på halvledere er gitt:

  
    
      
        
          L
          
            
              D
            
          
        
        =
        
          
            
              
                ε
                
                  k
                  
                    
                      B
                    
                  
                
                T
              
              
                
                  q
                  
                    2
                  
                
                
                  N
                  
                    
                      d
                      o
                      p
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{\rm {D}}={\sqrt {\frac {\varepsilon k_{\rm {B}}T}{q^{2}N_{\rm {dop}}}}}}
  hvor

ε er den dielektriske konstanten,
kB er Boltzmanns konstant,
T er den absolutte temperaturen i kelvin,
q er elementærladning, og
Ndop er netto tetthet av dopanter (enten givere eller akseptorer).Når dopingprofiler overstiger Debye-lengden, oppfører ikke majoritetsbærerne seg lenger i henhold til fordelingen av dopantene. I stedet gir et mål på dopinggradientprofilen en "effektiv" profil som bedre samsvarer med profilen til majoritetsbærertettheten.
I sammenheng med faste stoffer kalles Debye-lengden også Thomas–Fermi screeninglengde.


== Referanser ==