Begrenset funksjon

En begrenset funksjon er en funksjon hvis verdimengde er begrenset. En funksjon 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        :
        X
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f(x):X\to \mathbb {R} }
   er altså begrenset hvis det finnes et reelt tall 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   slik at

  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        
          |
        
        <
        M
      
    
    {\displaystyle |f(x)|<M}
  for alle 
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
  . Sinus- og cosinus-funksjonene er, for eksempel, begge begrensede, siden 
  
    
      
        
          |
        
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        
          |
        
        ≤
        1
      
    
    {\displaystyle |\sin(x)|\leq 1}
   og 
  
    
      
        
          |
        
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        
          |
        
        ≤
        1
      
    
    {\displaystyle |\cos(x)|\leq 1}
   for alle 
  
    
      
        x
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle x\in \mathbb {R} }
   .


== Definisjoner ==
Dersom det finnes et tall 
  
    
      
        
          M
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{1}}
   slik at 

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        <
        
          M
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)<M_{1}}
  for alle 
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
   sier man at funksjonen er oppad begrenset (av 
  
    
      
        
          M
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{1}}
  ). Tilsvarende, dersom det finnes et tall 
  
    
      
        
          M
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{2}}
   slik at 

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        >
        
          M
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)>M_{2}}
  for alle 
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
   sier man at funksjonen er nedad begrenset (av 
  
    
      
        
          M
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{2}}
  ). En funksjon regnes som begrenset hvis og bare hvis den er oppad og nedad begrenset; dette er ekvivalent med at det finnes en konstant 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   slik at

  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        
          |
        
        <
        M
      
    
    {\displaystyle |f(x)|<M}
  for alle 
  
    
      
        x
        ∈
        X
      
    
    {\displaystyle x\in X}
  .


== Begrensningsteoremet ==
Begrensningsteoremet sier at dersom en funksjon 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   er kontinuerlig over et lukket, begrenset intervall 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  , så er 
  
    
      
        f
        :
        [
        a
        ,
        b
        ]
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} }
   også begrenset.


== Se også ==
Begrenset operator


== Referanser ==