Warburg-element

Warburg-diffusjonselementet er en ekvivalent elektrisk kretskomponent som modellerer diffusjonsprosessen i dielektrisk spektroskopi. Dette elementet er oppkalt etter den tyske fysikeren Emil Warburg.
Et Warburg-impedanselement kan være vanskelig å gjenkjenne fordi det nesten alltid er assosiert med en ladningsoverføringsmotstand og en dobbeltlagskapasitans (se elektrisk dobbeltlag), men er vanlig i mange systemer. Tilstedeværelsen av Warburg-elementet kan gjenkjennes hvis et lineært forhold på loggen til et Bode-plot (log |Z| vs log (ω)) eksisterer med et stigningstall på –1/2.


== Generell ligning ==
Warburg-diffusjonselementet (ZW) er et konstant faseelement (CPE), med en konstant fase på 45° (fase uavhengig av frekvens) og med en størrelse omvendt proporsjonal med kvadratroten av frekvensen ved:

  
    
      
        
          
            Z
            
              W
            
          
        
        =
        
          
            
              A
              
                W
              
            
            
              ω
            
          
        
        +
        
          
            
              A
              
                W
              
            
            
              j
              
                
                  ω
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {Z_{W}}={\frac {A_{W}}{\sqrt {\omega }}}+{\frac {A_{W}}{j{\sqrt {\omega }}}}}
  
  
    
      
        
          
            |
          
          
            Z
            
              W
            
          
          
            |
          
        
        =
        
          
            2
          
        
        
          
            
              A
              
                W
              
            
            
              ω
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {|Z_{W}|}={\sqrt {2}}{\frac {A_{W}}{\sqrt {\omega }}}}
  hvor AW er Warburg-koeffisienten (eller Warburg konstanten), j er en imaginær enhet og ω er vinkelfrekvensen. Denne ligningen antar semi-uendelig lineær diffusjon, det vil si ubegrenset diffusjon til en stor plan elektrode.


== Endelig Warburg-element ==
Hvis tykkelsen på diffusjonslaget er kjent, defineres den endelige lengden på Warburg-elementet som:

  
    
      
        
          
            Z
            
              O
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              Y
              
                0
              
            
          
        
        tanh
        ⁡
        (
        B
        
          
            j
            ω
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {Z_{O}}={\frac {1}{Y_{0}}}\tanh(B{\sqrt {j\omega }})}
  hvor 
  
    
      
        B
        =
        
          
            δ
            
              D
            
          
        
      
    
    {\displaystyle B={\frac {\delta }{\sqrt {D}}}}
  ,
hvor 
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
   er tykkelsen på diffusjonslaget og D er diffusjonskoeffisienten.
Det er to spesielle forhold med endelange Warburg-elementer: Warburg Short (WS) for en overførbar grense, og Warburg Open (WO) for en reflekterende grense.


=== Warburg Short (WS) ===
Dette elementet beskriver impedansen til en endelig diffusjon med overførbar grense. Det er beskrevet av følgende ligning:

  
    
      
        
          Z
          
            
              W
              
                S
              
            
          
        
        =
        
          
            
              A
              
                W
              
            
            
              j
              ω
            
          
        
        tanh
        ⁡
        (
        B
        
          
            j
            ω
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle Z_{W_{S}}={\frac {A_{W}}{\sqrt {j\omega }}}\tanh(B{\sqrt {j\omega }})}
  


=== Warburg Open (WO) ===
Dette elementet beskriver impedansen til en endelig diffusjon med reflekterende grense. Det er beskrevet av følgende ligning:

  
    
      
        
          Z
          
            
              W
              
                O
              
            
          
        
        =
        
          
            
              A
              
                W
              
            
            
              j
              ω
            
          
        
        coth
        ⁡
        (
        B
        
          
            j
            ω
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle Z_{W_{O}}={\frac {A_{W}}{\sqrt {j\omega }}}\coth(B{\sqrt {j\omega }})}
  


== Referanser ==