Helmholtz-ligningen

Helmholtz-ligningen er en partiell differensialligning som har en sentral rolle i matematikk og fysikk. I det mest generelle tilfellet kan ligningen for funksjonen U(x)  skrives som

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        U
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        x
        )
        U
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}U(x)=f(x)U(x)}
  der ∇ 2 er Laplace-operatoren og f(x)  er en gitt funksjon. Når denne er en konstant, forenkles Helmholtz-ligningen til

  
    
      
        (
        
          ∇
          
            2
          
        
        +
        
          k
          
            2
          
        
        )
        U
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})U(x)=0}
  som er den mest vanlige formen. I det spesielle tilfellet at k = 0, reduseres den til Laplace-ligningen. Løsningene vil i stor grad være bestemt av grensebetingelsene.
Mest direkte kommer Helmholtz-ligningen frem fra den vanlige bølgeligningen for en bølge med en gitt frekvens. Men den kan også oppstå fra for eksempel diffusjonsligningen eller  varmeledningsligningen under spesielle forhold. I tillegg kan egenskapene til en  kvantemekanisk partikkel med konstant  energi og beskrevet ved Schrödinger-ligningen, finnes fra løsninger av Helmholtz-ligningen.Ligningen har fått sitt navn etter Hermann von Helmholtz som rundt 1860 gjorde detaljerte studier av den i forbindelse med studier av lydbølger. Hans undersøkelser førte i sin tur til Kirchhoffs diffraksjonsteori som ga en matematisk utledning av Huygens-Fresnels prinsipp i optikken.


== Bakgrunn ==
Det elektriske feltet til en elektromagnetisk bølge i et medium med brytningsindeks n,  oppfyller den partielle differensialligningen

  
    
      
        
          
            (
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        −
        
          
            
              n
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        
          E
        
        (
        
          x
        
        ,
        t
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\Big (}\nabla ^{2}-{n^{2} \over c^{2}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}{\Big )}\mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)=0}
  der c er lyshastigheten. Når den har en bestemt vinkelfrekvens ω, beskriver den en harmonisk bølge. Hver komponent av feltet varierer da med tiden som

  
    
      
        
          E
          
            i
          
        
        (
        
          x
        
        ,
        t
        )
        =
        
          U
          
            i
          
        
        (
        
          x
        
        )
        
          e
          
            −
            i
            ω
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{i}(\mathbf {x} ,t)=U_{i}(\mathbf {x} )e^{-i\omega t}}
  når man skriver det som en kompleks fasevektor. Den double deriverte med hensyn på tiden vil nå gi - ω2. Dermed vil den romlige variasjonen av hver komponent være gitt ved den generelle Helmholtz-ligningen

  
    
      
        
          
            (
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              ω
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          n
          
            2
          
        
        (
        
          x
        
        )
        
          
            )
          
        
        
          U
          
            i
          
        
        (
        
          x
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\Big (}\nabla ^{2}+{\omega ^{2} \over c^{2}}n^{2}(\mathbf {x} ){\Big )}U_{i}(\mathbf {x} )=0}
  når man antar at brytningsindeksen har en romlig variasjon n = n(x). Befinner bølgen seg i luft, kan man med god nøyaktighet sette n = 1. Da tar ligningen formen til den spesielle Helmholtz-ligningen der ω/c = k =  2π /λ  er bølgetallet når λ er bølgelengden. Løsningen av ligningen beskriver da en plan bølge i et kartesisk koordinatsystem.


=== Stasjonær Schrödinger-ligning ===
En kvantemekanisk partikkel med masse m som beveger seg i et statisk potensial er beskrevet ved den tidsavhengige Schrödinger-ligningen

  
    
      
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        Ψ
        (
        
          x
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            [
          
        
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        +
        V
        (
        
          x
        
        )
        
          
            ]
          
        
        Ψ
        (
        
          x
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle i\hbar {\partial  \over \partial t}\Psi (\mathbf {x} ,t)={\Big [}-{\hbar ^{2} \over 2m}\nabla ^{2}+V(\mathbf {x} ){\Big ]}\Psi (\mathbf {x} ,t)}
  hvor den  komplekse bølgefunksjonen Ψ(x,t) beskriver dens tilstand. Tilsvarer denne en sitasjon der energien E  til partikkelen er konstant, vil tidsvariasjonen av bølgefunksjonen igjen være harmonisk,

  
    
      
        Ψ
        (
        
          x
        
        ,
        t
        )
        =
        ψ
        (
        
          x
        
        )
        
          e
          
            −
            i
            E
            t
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle \Psi (\mathbf {x} ,t)=\psi (\mathbf {x} )e^{-iEt/\hbar }}
  Den romlige delen ψ(x) av den fulle bølgefunksjonen tilfredsstiller derfor den generelle Helmholtz-ligningen

  
    
      
        
          
            (
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              2
              m
            
            
              ℏ
              
                2
              
            
          
        
        
          
            [
          
        
        E
        −
        V
        (
        
          x
        
        )
        
          
            ]
          
        
        
          
            )
          
        
        ψ
        (
        
          x
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\Big (}\nabla ^{2}+{2m \over \hbar ^{2}}{\Big [}E-V(\mathbf {x} ){\Big ]}{\Big )}\psi (\mathbf {x} )=0}
  Avhengig av grensebetingelsene, vil ligningen bare ha løsninger for bestemte verdier av energien E tilsvarende visse egentilstander. Bevegelsen til partikkelen sies da å være kvantisert. I det spesielle tilfellet at potensialet V = 0, vil løsningen beskrive en plan bølge

  
    
      
        ψ
        (
        
          x
        
        )
        =
        C
        
          e
          
            i
            
              p
            
            ⋅
            
              x
            
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (\mathbf {x} )=Ce^{i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} /\hbar }}
  der C er en kompleks amplitude og p er impulsen til partikkelen gitt ved E = p2/2m. At energien er positiv, følger fra antagelsen at bølgefunksjon ikke skal divergere uendelig langt borte som ville vært meningsløst for en fri partikkel.


== Separasjon av variable ==
I mange situasjoner kan Helmholtz-ligningen løses ved «separasjon av variable». Med bruk av kartesiske koordinater (x, y, z)  i tre dimensjoner, tar den i det enkleste tilfellet formen

  
    
      
        
          
            (
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        U
        +
        
          k
          
            2
          
        
        U
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\Big (}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}{\Big )}U+k^{2}U=0}
  hvor k er konstant. Man kan nå anta løsninger som er produkt av funksjoner av hver sin variabel, det vil si U(x) = X(x)Y(y)Z(z). Ligningen kan da omskrives til

  
    
      
        
          
            1
            X
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              X
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            Y
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              Y
            
            
              ∂
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            Z
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              Z
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          k
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {1 \over X}{\partial ^{2}X \over \partial x^{2}}+{1 \over Y}{\partial ^{2}Y \over \partial y^{2}}+{1 \over Z}{\partial ^{2}Z \over \partial z^{2}}+k^{2}=0}
  Da koordinatene varierer uavhengig av hverandre, må hvert av de tre første leddene være konstant. Derfor er

  
    
      
        
          
            1
            X
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              X
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          k
          
            x
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {1 \over X}{\partial ^{2}X \over \partial x^{2}}=-k_{x}^{2}}
  og tilsvarende for de to andre funksjonene med kx2 +  ky2 +  kz2 =  k2. Den generelle løsningen består dermed av en kombinasjon av alle mulige produkt

  
    
      
        
          e
          
            i
            
              k
              
                x
              
            
            x
          
        
        
          e
          
            i
            
              k
              
                y
              
            
            y
          
        
        
          e
          
            i
            
              k
              
                z
              
            
            z
          
        
        =
        
          e
          
            i
            
              k
            
            ⋅
            
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{ik_{x}x}e^{ik_{y}y}e^{ik_{z}z}=e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}
  som oppfyller dette kravet for komponentene til vektoren k = (kx, ky, kz). Dette tilsvarer en sum av plane bølger i forskjellige retninger, men med samme bølgelengde λ = 2π /k.


=== Sfæriske koordinater ===
Like viktig er den samme ligningen i kulekoordinater (r, θ, φ). Med Laplace-operatoren i dette koordinatsystemet, tar den formen

  
    
      
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              r
            
          
        
        
          (
          
            
              r
              
                2
              
            
            
              
                
                  ∂
                  U
                
                
                  ∂
                  r
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              θ
            
          
        
        
          (
          
            sin
            ⁡
            θ
            
              
                
                  ∂
                  U
                
                
                  ∂
                  θ
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              U
            
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          k
          
            2
          
        
        U
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial U \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial U \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}U \over \partial \phi ^{2}}+k^{2}U=0}
  Ved separasjon av variable antar man en løsning på formen U = R(r)Y(θ,φ). Den videre fremgangsmåten vil nå bli den samme for Laplace-ligningen. Den angulære funksjonen Y må oppfylle differensialligningen

  
    
      
        
          
            1
            
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              θ
            
          
        
        
          (
          
            sin
            ⁡
            θ
            
              
                
                  ∂
                  Y
                
                
                  ∂
                  θ
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              Y
            
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        ℓ
        (
        ℓ
        +
        1
        )
        Y
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {1 \over \sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial Y \over \partial \theta }\right)+{1 \over \sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}Y \over \partial \phi ^{2}}+\ell (\ell +1)Y=0}
  som viser at den er gitt ved sfærisk harmoniske funksjoner. De betegnes med Yℓm(θ,φ)  hvor ℓ er et positivt heltall eller null, mens heltallet m ligger i intervallet - ℓ ≤ m ≤ ℓ. Det tar derfor 2ℓ + 1 forskjellige verdier.
Den tilsvarende, radielle ligningen er samtidig gitt ved den ordinære differensialligningen

  
    
      
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              R
            
            
              d
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        2
        r
        
          
            
              d
              R
            
            
              d
              r
            
          
        
        +
        [
        
          k
          
            2
          
        
        
          r
          
            2
          
        
        −
        ℓ
        (
        ℓ
        +
        1
        )
        ]
        R
        =
        0
      
    
    {\displaystyle r^{2}{d^{2}R \over dr^{2}}+2r{dR \over dr}+[k^{2}r^{2}-\ell (\ell +1)]R=0}
  med løsninger gitt som sfæriske Bessel-funksjoner som har halvtallige indekser. Hvis man forlanger at skal være regulære i r = 0, betegnes de med jℓ(kr). Den fulle løsningen av Helmholtz-ligningen i dette koordinatsystemet tar da den generelle formen

  
    
      
        U
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        ϕ
        )
        =
        
          ∑
          
            ℓ
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          ∑
          
            m
            =
            −
            ℓ
          
          
            ℓ
          
        
        
          C
          
            ℓ
            m
          
        
        
          j
          
            ℓ
          
        
        (
        k
        r
        )
        
          Y
          
            ℓ
            m
          
        
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle U(r,\theta ,\phi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }C_{\ell m}j_{\ell }(kr)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )}
  hvor koeffisientene Cℓm  må bestemmes ut fra grensebetingelsene.Løsninger av Schrödinger-ligningen for et sfærisk symmetrisk potensial V(r)  vil kunne finnes på samme måte med separasjon av variable. Den vinkelavhengige delen av bølgefunksjonen vil være den samme som her, mens differensialligningen for den radielle delen R(r)  vil involvere potensialet. For det spesielle tilfellet at dette er gitt ved Coulomb-potensialet, er de bundne løsningene av denne ligningen gitt ved  Laguerre-polynom for diskrete verdier av energien E. De tilsvarer de kvantiserte  energinivåene i hydrogenatomet.


=== Kulebølger ===

Bølger som oppstår fra en punktkilde i r = 0, vil være symmetriske om dette punktet og derfor være uavhengige av vinklene θ og φ. De vil derfor tilfredsstille differensialligningen for funksjonen R(r ), men da kun for ℓ = 0. Men man kan ikke lenger forlange at de radielle løsningene er regulære i kildepunktet r = 0. Derimot må de finnes direkte fra den radielle differensialligningen som for ℓ = 0 reduseres til

  
    
      
        
          
            (
          
        
        
          
            
              d
              
                2
              
            
            
              d
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          k
          
            2
          
        
        
          
            )
          
        
        r
        R
        (
        r
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\Big (}{d^{2} \over dr^{2}}+k^{2}{\Big )}rR(r)=0}
  Dette er den enkleste Helmholtz-ligning som er den samme som  svingeligningen for en harmonisk oscillator. Skrives løsningene som komplekse fasevektorer, vil de da ha den generelle formen

  
    
      
        R
        (
        r
        )
        =
        
          
            A
            r
          
        
        
          e
          
            ±
            i
            k
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle R(r)={A \over r}e^{\pm ikr}}
  hvor A er en ukjent konstant i amplituden. Med en tidsavhengighet som e- iωt  i den tilsvarende bølgeligningen, betyr det at  de fulle løsningene av denne er på formen

  
    
      
        U
        (
        
          x
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            A
            r
          
        
        
          e
          
            ±
            i
            k
            r
            −
            i
            ω
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle U(\mathbf {x} ,t)={A \over r}e^{\pm ikr-i\omega t}}
  De representerer inn- og utgående kulebølger. Amplituden avtar som 1/r  fordi den utstrålte energien som er proporsjonal med amplitudene kvadrat, skal være konstant gjennom hvert kuleskall med areal 4π r 2 som omslutter kilden.


=== Sylinderbølger ===
Sylinderbølger oppstår på samme måte fra en linjeformet kilde som har aksial symmetri. Da er det mer hensiktsmessig å buke tredimensjonale polarkoordinater 
(ρ, θ, z). Symmetrien forlanger nå at det ikke kan være noen θ-avhengighet i løsningen. I tillegg kan man for det enkleste tilfellet også anta at der er ingen avhengighet av koordinaten z langs symmetriaksen slik at Helmholtz-ligningen forenkles til

  
    
      
        
          
            1
            ρ
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              ρ
            
          
        
        
          (
          
            ρ
            
              
                
                  ∂
                  U
                
                
                  ∂
                  ρ
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          k
          
            2
          
        
        U
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {1 \over \rho }{\partial  \over \partial \rho }\left(\rho {\partial U \over \partial \rho }\right)+k^{2}U=0}
  Hvis man i den ekvivalente ligningen

  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  d
                  
                    2
                  
                
                
                  d
                  
                    ρ
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              k
              
                2
              
            
            +
            
              
                1
                
                  4
                  
                    ρ
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          ρ
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
        U
        (
        ρ
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left({d^{2} \over d\rho ^{2}}+k^{2}+{1 \over 4\rho ^{2}}\right)\rho ^{1/2}U(\rho )=0}
  skriver  k =  2π /λ, ser man at for avstander ρ >> λ  vil leddet 1/4ρ2 kunne ignoreres.  Funksjonen √ρU  tilfredsstiller derfor den samme svingeligningen som den tilsvarende, sfæriske funksjonen. Den radielle delen av en slik sylinderbølge er dermed 

  
    
      
        U
        (
        ρ
        )
        =
        
          
            A
            
              
                ρ
              
            
          
        
        
          e
          
            ±
            i
            k
            ρ
          
        
      
    
    {\displaystyle U(\rho )={A \over {\sqrt {\rho }}}e^{\pm ik\rho }}
  for avstander mye større enn bølgelengden. Vanligvis er disse bølgene av mest interesse i dette området . Deres amplitude avtar der omvendt proporsjonalt med kvadratroten av radius ρ. Dette er da igjen i overensstemmelse med energibevarelse da en omsluttende sylinder vil ha et areal som er proporsjonalt med 2π ρ.


== Inhomogen Helmholtz-ligning ==
Den spesielle Helmholtz-ligningen som inneholder et inhomogent ledd, er av stor betydning i mange forskjellige sammenhenger. Generelt kan den skrives som 

  
    
      
        (
        
          ∇
          
            2
          
        
        +
        
          k
          
            2
          
        
        )
        U
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
        Q
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})U(\mathbf {r} )=-Q(\mathbf {r} )}
  hvor Q(r) er en gitt funksjon. Den omtales ofte som «kilden» til feltet U(r).  Når k = 0, er ligningen identisk med Poissons ligning.
Generelle løsninger av den inhomogene Helmholtz-ligningen kan finnes ved bruk av Greens funksjon. Den er definert som løsningen av ligningen for en punktformig kilde. Når denne beskrives ved Diracs deltafunksjon, kan Green-funksjonen finnes som en løsning av differensialligningen

  
    
      
        (
        
          ∇
          
            2
          
        
        +
        
          k
          
            2
          
        
        )
        G
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
            ′
          
        
        )
        =
        −
        δ
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
            ′
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )=-\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r'} )}
  hvor r'  er «kildepunktet». Siden  de akseptable løsningene også er bestemt av grensebetingelsene for problemet, vil funksjonen generelt kunne avhenge av begge koordinatvektorene r og r' og ikke bare av deres differens. Den skrives derfor her som G(r, r') og er symmetrisk i de to argumenteneVed å bruke de to funksjonene U(r) og G(r, r') i Greens identitet med integrasjon over et volum V innesluttet av flaten ∂V, finner man sammenhengen

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                
                  ∫
                  
                    V
                  
                
                
                
                  d
                  
                    3
                  
                
                x
                [
                U
                (
                
                  r
                
                )
                
                  ∇
                  
                    2
                  
                
                G
                (
                
                  r
                
                ,
                
                  
                    r
                    ′
                  
                
                )
                −
                G
                (
                
                  r
                
                ,
                
                  
                    r
                    ′
                  
                
                )
                
                  ∇
                  
                    2
                  
                
                U
                (
                
                  r
                
                )
                ]
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    ∂
                    V
                  
                
                
                d
                S
                [
                U
                (
                
                  r
                
                )
                (
                
                  n
                
                ⋅
                
                  ∇
                
                )
                G
                (
                
                  r
                
                ,
                
                  
                    r
                    ′
                  
                
                )
                −
                G
                (
                
                  r
                
                ,
                
                  
                    r
                    ′
                  
                
                )
                (
                
                  n
                
                ⋅
                
                  ∇
                
                )
                U
                (
                
                  r
                
                )
                ]
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{V}\!d^{3}x[U(\mathbf {r} )\nabla ^{2}G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )-G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )\nabla ^{2}U(\mathbf {r} )]\\&=\int _{\partial V}\!dS[U(\mathbf {r} )(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )-G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})U(\mathbf {r} )]\end{aligned}}}
  der enhetsvektoren n står normalt på flaten ∂V og er rettet utover. Siden begge funksjonene som inngår her, tilfredsstiller hver sin differerensialligning, vil denne identiteten nå forenkles og gir det viktige resultatet

  
    
      
        
          
            
              
                U
                (
                
                  
                    r
                    ′
                  
                
                )
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    V
                  
                
                
                
                  d
                  
                    3
                  
                
                x
                G
                (
                
                  r
                
                ,
                
                  
                    r
                    ′
                  
                
                )
                Q
                (
                
                  r
                
                )
              
            
            
              
              
                
                +
                
                  ∫
                  
                    ∂
                    V
                  
                
                
                d
                S
                [
                G
                (
                
                  r
                
                ,
                
                  
                    r
                    ′
                  
                
                )
                (
                
                  n
                
                ⋅
                
                  ∇
                
                )
                U
                (
                
                  r
                
                )
                −
                U
                (
                
                  r
                
                )
                (
                
                  n
                
                ⋅
                
                  ∇
                
                )
                G
                (
                
                  r
                
                ,
                
                  
                    r
                    ′
                  
                
                )
                ]
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}U(\mathbf {r'} )&=\int _{V}\!d^{3}xG(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )Q(\mathbf {r} )\\&+\int _{\partial V}\!dS[G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})U(\mathbf {r} )-U(\mathbf {r} )(\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )]\end{aligned}}}
  Det har mange viktige anvendelser. Hvis systemet er åpent og uten en begrensende overflate, er det siste leddet på høyre side lik med null, og man har det mest vanlige formen 

  
    
      
        U
        (
        
          r
        
        )
        =
        ∫
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          x
          ′
        
        G
        (
        
          r
        
        ,
        
          
            r
            ′
          
        
        )
        Q
        (
        
          
            r
            ′
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle U(\mathbf {r} )=\int \!d^{3}x'G(\mathbf {r} ,\mathbf {r'} )Q(\mathbf {r'} )}
  for løsningen av ligningen for funksjonen U(r) direkte uttrykt ved kilden Q(r) via Green-funksjonen. Derimot når kildefunksjonen er null og systemet befinner seg innen et endelig volum V, danner det siste leddet en integralligning for den ukjente funksjonen U(r) hvor den har en verdi i hvert punkt i volumet som avhenger av dens verdier på overflaten ∂V av dette. Denne danner grunnlaget for Kirchhoffs diffraksjonsteori som gir den matematiske forklaringen av Huygens-Fresnels prinsipp for bølgebevegelse.


=== Eksempel ===
Bølger har sin opprinnelse i en eller annen kilde. For elektromagnetiske bølger vil den være en tidsvariabel, elektrisk ladning eller strøm.
Den vil opptre som en inhomogen term på høyre side i den tilsvarende bølgeligningen. Velger man å bruke Lorenz-gaugen for de elektromagnetiske potensialene, vil det elektriske potensialet i vakuum da tilfredsstille den inhomogene bølgeligningen

  
    
      
        
          
            (
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        −
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        Φ
        (
        
          x
        
        ,
        t
        )
        =
        −
        
          
            1
            
              ε
              
                0
              
            
          
        
        ρ
        (
        
          x
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\Big (}\nabla ^{2}-{1 \over c^{2}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}{\Big )}\Phi (\mathbf {x} ,t)=-{1 \over \varepsilon _{0}}\rho (\mathbf {x} ,t)}
  der ε0  er den elektriske permittiviteten som inngår i Coulombs lov og ρ(x,t)  er den elektrisk ladningstettheten. Når denne er konstant i tiden, går ligningen over i Poisson-ligningen som kan betraktes som den inhomogene Laplace-ligningen for et statisk potensial.
Når dette varierer med tiden, kan ligningen enklest løses ved å innføre det Fourier-transformerte potensialet 

  
    
      
        Φ
        (
        
          x
        
        ,
        ω
        )
        =
        ∫
        
        d
        t
        Φ
        (
        
          x
        
        ,
        t
        )
        
          e
          
            i
            ω
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi (\mathbf {x} ,\omega )=\int \!dt\Phi (\mathbf {x} ,t)e^{i\omega t}}
  og tilsvarende for ladningstettheten ρ(x,t). Den inhomogene bølgeigningen går det over til

  
    
      
        
          
            (
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              ω
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        Φ
        (
        
          x
        
        ,
        ω
        )
        =
        −
        
          
            1
            
              ε
              
                0
              
            
          
        
        ρ
        (
        
          x
        
        ,
        ω
        )
      
    
    {\displaystyle {\Big (}\nabla ^{2}+{\omega ^{2} \over c^{2}}{\Big )}\Phi (\mathbf {x} ,\omega )=-{1 \over \varepsilon _{0}}\rho (\mathbf {x} ,\omega )}
  som er den inhomogene Helmholtz-ligningen.
Denne kan løses ved å beregne ligningens Green-funksjon i et åpent rom uten grenseflater. Den tar da den enkle formen

  
    
      
        G
        (
        
          x
        
        −
        
          
            x
            ′
          
        
        ,
        ω
        )
        =
        
          
            1
            
              4
              π
              
                |
              
              
                x
              
              −
              
                
                  x
                  ′
                
              
              
                |
              
            
          
        
        
          e
          
            ±
            i
            ω
            
              |
            
            
              x
            
            −
            
              
                x
                ′
              
            
            
              |
            
            
              /
            
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle G(\mathbf {x} -\mathbf {x'} ,\omega )={1 \over 4\pi |\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}e^{\pm i\omega |\mathbf {x} -\mathbf {x'} |/c}}
  og representerer inn- og utgående kulebølger fra punktkilden i x = x' . Dermed blir

  
    
      
        Φ
        (
        
          x
        
        ,
        ω
        )
        =
        
          
            1
            
              ε
              
                0
              
            
          
        
        ∫
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          x
          ′
        
        G
        (
        
          x
        
        −
        
          
            x
            ′
          
        
        ,
        ω
        )
        ρ
        (
        
          
            x
            ′
          
        
        ,
        ω
        )
        =
        ∫
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          x
          ′
        
        
          
            
              ρ
              (
              
                
                  x
                  ′
                
              
              ,
              ω
              )
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                |
              
              
                x
              
              −
              
                
                  x
                  ′
                
              
              
                |
              
            
          
        
        
          e
          
            ±
            i
            ω
            
              |
            
            
              x
            
            −
            
              
                x
                ′
              
            
            
              |
            
            
              /
            
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi (\mathbf {x} ,\omega )={1 \over \varepsilon _{0}}\int \!d^{3}x'G(\mathbf {x} -\mathbf {x'} ,\omega )\rho (\mathbf {x'} ,\omega )=\int \!d^{3}x'{\rho (\mathbf {x'} ,\omega ) \over 4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}e^{\pm i\omega |\mathbf {x} -\mathbf {x'} |/c}}
  En invers Fourier-transformasjon gir så løsningen av den inhomogene bølgeligningen som

  
    
      
        Φ
        (
        
          x
        
        ,
        t
        )
        =
        ∫
        
        
          
            
              d
              ω
            
            
              2
              π
            
          
        
        Φ
        (
        
          x
        
        ,
        ω
        )
        
          e
          
            −
            i
            ω
            t
          
        
        =
        ∫
        
          d
          
            3
          
        
        
          x
          ′
        
        
          
            
              ρ
              (
              
                
                  x
                  ′
                
              
              ,
              
                t
                ′
              
              )
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                |
              
              
                x
              
              −
              
                
                  x
                  ′
                
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi (\mathbf {x} ,t)=\int \!{d\omega  \over 2\pi }\Phi (\mathbf {x} ,\omega )e^{-i\omega t}=\int d^{3}x'{\rho (\mathbf {x'} ,t') \over 4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}
  der t'  = t 
  
    
      
        ∓
      
    
    {\displaystyle \mp }
   |x - x'|/c  er den retarderte eller avanserte tiden i kilden. Den tilsvarer at en forandring av ladningstettheten behøver en viss tid å nå frem til punktet i den resulterende bølgen avhengig av avstanden mellom kildepunkt og bølgepunkt. 
Når den gitte ladningstettheten ikke varierer med tiden, er dette resultatet ikke noe annet enn det uttrykket for Coulomb-potensialet for en generell ladningsfordeling.


== Referanser ==


== Litteratur ==
J. Mathews and R.L. Walker, Mathematical Methods of Physics,  W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1.