Larmors formel

Larmors formel er et matematisk uttrykk for hvor mye energi per tidsenhet en elektrisk ladet partikkel stråler ut når den er akselerert. Den er bare gyldig så lenge som partikkelen beveger seg mye langsommere enn lyshastigheten c. 
Når partikkelens akselerasjon er a og den har en elektrisk ladning q i det vanlige SI-systemet,  skrives formelen som

  
    
      
        P
        =
        
          
            
              
                q
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  2
                
              
            
            
              6
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P={\frac {q^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}}
  I eldre litteratur som benytter CGS-systemet hvor Coulombs konstant ke = 1/4π ε0 er lik en, tar den formen 

  
    
      
        P
        =
        
          
            
              2
              
                q
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  2
                
              
            
            
              3
              
                c
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P={\frac {2q^{2}a^{2}}{3c^{3}}}}
  Måleenhetene i dette systemet er nesten identiske med de Joseph Larmor benyttet i 1897 da han utledet formelen.
Med etableringen av Einsteins spesielle relativitetsteori i 1905 lot formelen til Larmor seg generalisere til partikler med vilkårlig store hastigheter. Dens utledning er en sentral del av moderne elektrodynamikk.


== Bakgrunn ==
Zeeman-effekten ble oppdaget i 1896 og viste at  spektrallinjene fra et atom blir splittet opp når det befinner seg i et magnetfelt. Kort tid etterpå kunne  Lorentz forklare denne effekten ved at atomet inneholder negativt ladete partikler som beveger seg i lukkete baner.  Frekvensen til det utsendte lyset skulle da være gitt ved den omvendte omløpstiden i en slik bane.
Hvis disse ladningene i tillegg ble utsatt for et magnetfelt, vil Lorentz-kraften påvirke omløpstiden i banen og dermed gi opphav til nye frekvenser. Ut fra størrelsen av denne magnetiske oppsplittingen av spektrallinjene, kunne Lorentz estimere at massen til de ladete partiklene tilsvarte massen til elektronet som var oppdaget av Thomson omtrent på samme tid.Larmor hadde i flere år vært opptatt med Maxwells teori for elektromagnetisk stråling og egenskapene til eteren som denne beveger seg gjennom. Det var derfor nærliggende for han å undersøke nærmere denne modellen til Lorentz for utsendelse av lys fra atom med ladete partikler i lukkete baner hvor de må en stor akselerasjon. Selv om han kom frem til en enkel formel for hvor mye energi en slik partikkel vil sende ut, kunne han ikke trekke noen avgjørende konklusjoner av resultatet.Det var i samme arbeid han kom frem til Larmor-frekvensen som angir vinkelhastigheten for presesjon av et magnetisk moment i et magnetfelt.


== Utledning ==
I sin utledning av strålingsformelen beregnet Larmor det elektriske og magnetiske feltet fra en ladet partikkel i bevegelse ved å løse Maxwells ligninger i stor avstand fra denne. Med antagelse av at partikkelen har en hastighet v << c, kan disse feltene i et punkt r langt borte fra partikkelen ved  tidspunktet t beregnes fra vektorpotensialet

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            
              q
              
                μ
                
                  0
                
              
            
            
              4
              π
              r
            
          
        
        
          v
        
        (
        t
        −
        r
        
          /
        
        c
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={q\mu _{0} \over 4\pi r}\mathbf {v} (t-r/c)}
  Det tilsvarende magnetfeltet følger fra definisjonen  B = ∇ × A som gir

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        −
        
          
            
              q
              
                μ
                
                  0
                
              
            
            
              4
              π
              r
              c
            
          
        
        
          
            n
          
          ×
          
            
              
                
                  v
                
                ˙
              
            
          
        
        (
        t
        −
        r
        
          /
        
        c
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=-{q\mu _{0} \over 4\pi rc}{\mathbf {n} \times {\dot {\mathbf {v} }}}(t-r/c)}
  hvor 
  
    
      
        
          a
        
        =
        
          
            
              
                v
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} ={\dot {\mathbf {v} }}}
   er akselerasjonen til partikkelen og enhetsvektoren n = r/r peker mot feltpunktet i retning r. Magnetfeltet står som forventet vinkelrett på denne retningen. På tilsvarende måte er det elektriske feltet gitt ved E = c B × n og står derfor vinkelrett både på B og utbredelsesretningen n. 


=== Differensiell utstråling ===
Den utstrålte energien per tidsenhet og flateenhet i denne retningen er nå gitt som n⋅S hvor  S = E × H er Poyntings vektor og H = B/μ0 i vakum. Betrakter man en liten romvinkel dΩ i stråleretningen, er dermed energistrømmen gjennom denne gitt som

  
    
      
        
          
            
              d
              P
            
            
              d
              Ω
            
          
        
        =
        
          r
          
            2
          
        
        
          n
        
        ⋅
        
          S
        
        =
        
          
            
              
                q
                
                  2
                
              
              
                μ
                
                  0
                
              
            
            
              16
              
                π
                
                  2
                
              
              c
            
          
        
        (
        
          n
        
        ×
        
          
            
              
                v
              
              ˙
            
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {dP \over d\Omega }=r^{2}\mathbf {n} \cdot \mathbf {S} ={q^{2}\mu _{0} \over 16\pi ^{2}c}(\mathbf {n} \times {\dot {\mathbf {v} }})^{2}}
  I denne ikke-relativistiske grensen er energiutstrålingen uavhengig av hastigheten til partikkelen og dennes retning. Kaller man vinkelen mellom vektorene a og n for θ, tar resultatet formen

  
    
      
        
          
            
              d
              P
            
            
              d
              Ω
            
          
        
        =
        
          
            
              
                q
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  2
                
              
            
            
              16
              
                π
                
                  2
                
              
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle {dP \over d\Omega }={q^{2}a^{2} \over 16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3}}\sin ^{2}\theta }
  ved å benytte at cμ0  =  1/cε0. Strålingen er derfor konsentrert i retninger som er nærmest normalen til akselerasjonen og uavhengig av den asimutale vinkelen φ om denne. Dette er Larmors formel på differensial form.


=== Integrert utstråling ===
De to vinklene θ og φ utgjør vanlige kulekoordinater slik at man kan skrive romvinkelen som dΩ = sinθdθ dφ. Den utstrålte energien i alle retninger og per tidsenhet finnes ved integrasjon over disse vinklene. Da formelen er uavhengig av φ, gir denne integrasjonen ganske enkelt 2π. For integrasjonen over θ, kan man innføre x = cosθ slik at sin2θ = 1 - x 2. Da reduseres  det gjenværende integralet til

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            1
          
          
            1
          
        
        
        d
        x
        (
        1
        −
        
          x
          
            2
          
        
        )
        =
        
          
            4
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-1}^{1}\!dx(1-x^{2})={4 \over 3}}
  og gir den integrerte formelen

  
    
      
        P
        =
        
          
            
              
                q
                
                  2
                
              
              
                
                  
                    
                      v
                      ˙
                    
                  
                
                
                  2
                
              
            
            
              6
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle P={q^{2}{\dot {v}}^{2} \over 6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}
  Siden dette resultatet er uavhengig av hastigheten til partikkelen, er det også gyldig i dens instantane hvilesystem hvor den har null hastighet. Spesiell relativitetsteori sier nå at resultatet må være gyldig i et vilkårlig referansesystem der partikkelen beveger seg med hastigheten v.  Ved å skrive resultatet på en Lorentz-invariant måte, kan det så vises at den relativistisk korrekte Larmor-formelen er

  
    
      
        P
        =
        
          
            
              
                q
                
                  2
                
              
              
                γ
                
                  6
                
              
            
            
              6
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          
            [
          
        
        
          
            
              
                
                  v
                
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        −
        (
        
          
            
              
                v
              
              ˙
            
          
        
        ×
        
          v
        
        
          /
        
        c
        
          )
          
            2
          
        
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle P={q^{2}\gamma ^{6} \over 6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}{\Big [}{\dot {\mathbf {v} }}^{2}-({\dot {\mathbf {v} }}\times \mathbf {v} /c)^{2}{\Big ]}}
  hvor γ 2 = 1/(1 - v 2/c 2) er den kvadrerte Lorentz-faktoren. Utstrålingen øker derfor kraftig når partikkelhastigheten nærmer seg lyshastigheten.Dette generelle resultatet ble funnet allerede i 1898 av Alfred-Marie Liénard som en konsekvens av Liénard-Wiechert-potensialene.  At dette kunne gjøres flere år før Einstein hadde formulert sin spesielle relativitetsteori, skyldes at Maxwell-teorien i utganspunktet er i overensstemmelse med Einsteins teori. I den ikke-relativistiske grensen der v << c, kan det siste leddet i det generelle uttrykket neglisjeres, og man står igjen med den opprinnelige formelen til Larmor.


== Thomsons utledning ==

Mens Larmor hadde utledet sin formel ved den strenge, matematisk behandling av Maxwells ligninger, kunne J.J. Thomson noen få år senere presentere en forenklet utgave av denne beregningen. Den har senere blitt nevnt i noen lærebøker, mens andre har gitt den en mer grundig gjennomgang.Man betrakter ladningen q først liggende i ro. Den omgir seg da med et radielt, elektrisk felt Er = q/4π ε0r 2  som er det samme i alle retninger. I løpet av et kort tidsrom dt gis nå partikkelen en hastighet dv som den fortsetter med i samme retng. Etter en tid t >> dt har den derfor beveget seg et stykke t dv. Ved dette tidspunktet vil da de elektriske feltlinjene peke radielt ut fra denne nye posisjonen. Men de gamle feltlinjene utenfor en avstand ct har ennå ikke fått vite at partikkelen har inntatt en ny posisjon,. De peker derfor fremdeles tilbake til den opprinnelige posisjonen før akselerasjonen.
Hver enkel feltlinje vil derfor få en «knekk» som illustrert ved siden av.  Det elektriske feltet har dermed fått en komponent i en retning vinkelrett til den radielle. Denne nye komponenten Eθ  er opphavet til strålingsfeltet når vinkelen θ angir retningen til feltpunktet i forhold til akselerasjonen. 
Hvis tidsrommet dt er veldig kort, er knekken i feltlinjen tilnærmet en rett linje med to komponenter Er  og Eθ . Fra geometrien i illustasjonen følger nå at

  
    
      
        
          
            
              E
              
                θ
              
            
            
              E
              
                r
              
            
          
        
        =
        
          
            
              t
              d
              v
              sin
              ⁡
              θ
            
            
              c
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {E_{\theta } \over E_{r}}={tdv\sin \theta  \over cdt}}
  Setter man her inn for den radielle komponenten Er, er strålingskomponenten

  
    
      
        
          E
          
            θ
          
        
        =
        
          
            
              q
              a
            
            
              4
              π
              
                ϵ
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
              r
            
          
        
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle E_{\theta }={qa \over 4\pi \epsilon _{0}c^{2}r}\sin \theta }
  etter å ha benyttet at r = ct og innført akselerasjonen a = dv/dt. Dette er  et strålingsfelt da det avtar omvendt proporsjonalt med avstanden r.
Da størrelsen til Poyntings vektor nå er gitt som S = ε0c Eθ2, blir den differensiell strålingsintensiteten

  
    
      
        
          
            
              d
              P
            
            
              d
              Ω
            
          
        
        =
        
          r
          
            2
          
        
        S
        =
        
          
            
              
                q
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  2
                
              
            
            
              16
              
                π
                
                  2
                
              
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle {dP \over d\Omega }=r^{2}S={q^{2}a^{2} \over 16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3}}\sin ^{2}\theta }
  i full overensstemmelse med Larmors mer metodiske utledning.


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
D.V. Schroeder, Purcell Simplified: Magnetism, Radiation and Relativity samt Thomsons forenklete utledning.