Curies lov

For mange paramagnetiske materialer er magnetiseringen av materialet direkte proporsjonal med et påført magnetfelt, for store temperaturer og små felt. Imidlertid, hvis materialet blir oppvarmet, reduseres denne proporsjonaliteten. For en fast verdi av feltet er den magnetiske følsomheten omvendt proporsjonal med temperaturen, altså

  
    
      
        M
        =
        χ
        H
        
        
          med
        
        
        χ
        =
        
          
            C
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle M=\chi H\;{\text{med}}\;\chi ={\frac {C}{T}}}
  hvor

  
    
      
        χ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \chi >0}
   er (volum) magnetisk følsomhet,

  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   er størrelsen på den resulterende magnetiseringen i ampere/meter (A / m),

  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
   er størrelsen på det påførte magnetfeltet (A / m),

  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
   er absolutt temperatur, målt i kelvin (K),

  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   er en materialspesifikk Curie-konstant (K).Denne relasjonen ble oppdaget eksperimentelt (ved å tilpasse resultatene til en riktig gjettet modell) av Pierre Curie. Det holder bare for høye temperaturer eller svake magnetfelt. Som avledningene nedenfor viser, mettes magnetiseringen i motsatt grense for lave temperaturer eller sterke felt. Hvis Curie-konstanten er null, dominerer andre magnetiske effekter som Langevin-diamagnetisme eller Van Vleck-paramagnetisme.


== Derivasjon med kvantemekanikk ==

En enkel modell av en paramagnet konsentrerer seg om partiklene som komponerer den som ikke samhandler med hverandre. Hver partikkel har et magnetisk moment gitt av 
  
    
      
        
          
            
              μ
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {\mu }}}
  . Energien til et magnetisk moment i et magnetfelt er gitt av

  
    
      
        E
        =
        −
        
          μ
        
        ⋅
        
          B
        
        ,
      
    
    {\displaystyle E=-{\boldsymbol {\mu }}\cdot \mathbf {B} ,}
  hvor 
  
    
      
        
          B
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        (
        
          H
        
        +
        
          M
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} =\mu _{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )}
  ,er magnetfeltets tetthet, målt i tesla (T).


=== To-tilstands (spinn-½) partikkler ===
For å forenkle beregningen skal vi jobbe med en 2-tilstandspartikkel: den kan enten justere magnetmomentet sitt med magnetfeltet eller mot det. Så de eneste mulige verdiene av magnetisk moment er da 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
   og 
  
    
      
        −
        μ
      
    
    {\displaystyle -\mu }
  . I så fall har en slik partikkel bare to mulige energier

  
    
      
        
          E
          
            0
          
        
        =
        −
        μ
        B
      
    
    {\displaystyle E_{0}=-\mu B}
  og

  
    
      
        
          E
          
            1
          
        
        =
        μ
        B
        .
      
    
    {\displaystyle E_{1}=\mu B.}
  Når man søker magnetisering av en paramagnet, er man interessert i sannsynligheten for at en partikkel vil justere seg med feltet. Med andre ord søker man forventningsverdien til magnetiseringen 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  :

  
    
      
        
          ⟨
          μ
          ⟩
        
        =
        μ
        P
        
          (
          μ
          )
        
        +
        (
        −
        μ
        )
        P
        
          (
          
            −
            μ
          
          )
        
        =
        
          
            1
            Z
          
        
        
          (
          
            μ
            
              e
              
                μ
                B
                β
              
            
            −
            μ
            
              e
              
                −
                μ
                B
                β
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              2
              μ
            
            Z
          
        
        sinh
        ⁡
        (
        μ
        B
        β
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta }\right)={2\mu  \over Z}\sinh(\mu B\beta ),}
  hvor sannsynligheten for en konfigurasjon er gitt av sin Boltzmann-faktor, og partisjonsfunksjonen 
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
   gir den nødvendige normaliseringen for sannsynligheter (slik at summen av dem alle er forent.) Partisjonsfunksjonen til en partikkel er:

  
    
      
        Z
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
            ,
            1
          
        
        
          e
          
            −
            
              E
              
                n
              
            
            β
          
        
        =
        
          e
          
            μ
            B
            β
          
        
        +
        
          e
          
            −
            μ
            B
            β
          
        
        =
        2
        cosh
        ⁡
        
          (
          
            μ
            B
            β
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle Z=\sum _{n=0,1}e^{-E_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh \left(\mu B\beta \right).}
  Derfor har vi i dette enkle tilfellet:

  
    
      
        
          ⟨
          μ
          ⟩
        
        =
        μ
        tanh
        ⁡
        
          (
          
            μ
            B
            β
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu \tanh \left(\mu B\beta \right).}
  Dette er magnetisering av en partikkel, den totale magnetiseringen av det faste stoffet er gitt av

  
    
      
        M
        =
        n
        
          ⟨
          μ
          ⟩
        
        =
        n
        μ
        tanh
        ⁡
        
          (
          
            
              
                μ
                B
              
              
                k
                T
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle M=n\left\langle \mu \right\rangle =n\mu \tanh \left({\mu B \over kT}\right)}
  
hvor n er nummertettheten av magnetiske momenter. Formelen ovenfor er kjent som Langevin paramagnetisk ligning. Pierre Curie fant en tilnærming til denne loven som gjelder de relativt høye temperaturene og lave magnetfeltene som ble brukt i hans eksperimenter. La oss se hva som skjer med magnetiseringen når vi spesialiserer den til store 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
   og lille 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
  . Når temperaturen øker og magnetfeltet synker, reduseres argumentet om hyperbolsk tangens. En annen måte å si dette på er

  
    
      
        
          (
          
            
              
                μ
                B
              
              
                k
                T
              
            
          
          )
        
        ≪
        1
      
    
    {\displaystyle \left({\mu B \over kT}\right)\ll 1}
  dette kalles noen ganger Curie-regimet. Vi vet også at hvis 
  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        ≪
        1
      
    
    {\displaystyle |x|\ll 1}
  , så

  
    
      
        tanh
        ⁡
        x
        ≈
        x
        ,
      
    
    {\displaystyle \tanh x\approx x,}
  så magnetiseringen er liten, og vi kan skrive 
  
    
      
        B
        ≈
        
          μ
          
            0
          
        
        H
      
    
    {\displaystyle B\approx \mu _{0}H}
  , og da

  
    
      
        M
        ≈
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              
                μ
                
                  2
                
              
              n
            
            k
          
        
        
          
            H
            T
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle M\approx {\mu _{0}\mu ^{2}n \over k}{H \over T},}
  
og enda viktigere, den magnetiske følsomheten gitt av

  
    
      
        χ
        =
        
          
            
              ∂
              M
            
            
              ∂
              H
            
          
        
        ≈
        
          
            M
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle \chi ={\frac {\partial M}{\partial H}}\approx {\frac {M}{H}}}
  
gir

  
    
      
        χ
        (
        T
        →
        ∞
        )
        =
        
          
            C
            T
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \chi (T\rightarrow \infty )={C \over T},}
  
med en Curie-konstant gitt av 
  
    
      
        C
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        n
        
          μ
          
            2
          
        
        
          /
        
        k
      
    
    {\displaystyle C=\mu _{0}n\mu ^{2}/k}
  , i kelvin (K).I regimet med lave temperaturer eller høye felt, 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   har en maksimal verdi på 
  
    
      
        n
        μ
      
    
    {\displaystyle n\mu }
  ,tilsvarer at alle partiklene er helt justert med feltet. Siden denne beregningen ikke beskriver elektronene som er innebygd dypt inne i Fermi-overflaten, forbudt av Pauli-ekskluderingsprinsippet å snu spinnene sine, eksemplifiserer det ikke kvantestatistikken over problemet ved lave temperaturer. Ved å bruke Fermi-Dirac-fordelingen vil man finne det ved lave temperaturer 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   er lineært avhengig av magnetfeltet, slik at den magnetiske følsomheten mettes til en konstant.


=== Generelt tilfelle ===
Når partiklene har et vilkårlig spinn (et hvilket som helst antall spinntilstander), er formelen litt mer komplisert. Ved lave magnetfelt eller høy temperatur følger spinnet Curies lov, med

  
    
      
        C
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              
                μ
                
                  
                    B
                  
                
                
                  2
                
              
            
            
              3
              k
            
          
        
        n
        
          g
          
            2
          
        
        J
        (
        J
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle C={\frac {\mu _{0}\mu _{\rm {B}}^{2}}{3k}}ng^{2}J(J+1)}
  hvor 
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
   er det totale vinkelmomentkvantetallet og 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   er spinnets g-faktor (slik at 
  
    
      
        μ
        =
        g
        J
        
          μ
          
            
              B
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu =gJ\mu _{\rm {B}}}
   er det magnetiske moment).
Når spinnet nærmer seg uendelig, nærmer seg formelen for magnetisering den klassiske verdien avledet i det følgende avsnittet.


== Derivasjon med klassisk statistisk mekanikk ==
En alternativ behandling gjelder når paramagnetonene blir forestilt seg å være klassiske, fritt roterende magnetiske moment. I dette tilfellet vil deres posisjon bli bestemt av deres vinkler i sfæriske koordinater, og energien til en av dem vil være:

  
    
      
        E
        =
        −
        μ
        B
        cos
        ⁡
        θ
        ,
      
    
    {\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,}
  hvor 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
   er vinkelen mellom magnetmomentet og magnetfeltet (som vi tar for å peke i 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  -koordinater.) Den tilsvarende partisjonsfunksjonen er

  
    
      
        Z
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        d
        ϕ
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        d
        θ
        sin
        ⁡
        θ
        exp
        ⁡
        (
        μ
        B
        β
        cos
        ⁡
        θ
        )
        .
      
    
    {\displaystyle Z=\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).}
  Vi ser at det ikke er noen avhengighet av 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
   vinkel, og vi kan også endre variabler til 
  
    
      
        y
        =
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle y=\cos \theta }
   for å få

  
    
      
        Z
        =
        2
        π
        
          ∫
          
            −
            1
          
          
            1
          
        
        d
        y
        exp
        ⁡
        (
        μ
        B
        β
        y
        )
        =
        2
        π
        
          
            
              exp
              ⁡
              (
              μ
              B
              β
              )
              −
              exp
              ⁡
              (
              −
              μ
              B
              β
              )
            
            
              μ
              B
              β
            
          
        
        =
        
          
            
              4
              π
              sinh
              ⁡
              (
              μ
              B
              β
              )
            
            
              μ
              B
              β
              .
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Z=2\pi \int _{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}}
  Nå, den forventede verdien av
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   komponent av magnetiseringen (de to andre blir sett på som null (på grunn av integrasjon over 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  ), som de burde) vil bli gitt av

  
    
      
        
          ⟨
          
            μ
            
              z
            
          
          ⟩
        
        =
        
          
            1
            Z
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        d
        ϕ
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        d
        θ
        sin
        ⁡
        θ
        exp
        ⁡
        (
        μ
        B
        β
        cos
        ⁡
        θ
        )
        
          [
          
            μ
            cos
            ⁡
            θ
          
          ]
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int _{0}^{2\pi }d\phi \int _{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].}
  For å forenkle beregningen ser vi at dette kan skrives som en differensiering av 
  
    
      
        Z
      
    
    {\displaystyle Z}
  :

  
    
      
        
          ⟨
          
            μ
            
              z
            
          
          ⟩
        
        =
        
          
            1
            
              Z
              β
            
          
        
        
          
            
              ∂
              Z
            
            
              ∂
              B
            
          
        
        =
        
          
            1
            β
          
        
        
          
            
              ∂
              ln
              ⁡
              Z
            
            
              ∂
              B
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle \mu _{z}\right\rangle ={1 \over Z\beta }{\frac {\partial Z}{\partial B}}={1 \over \beta }{\frac {\partial \ln Z}{\partial B}}}
  (Denne tilnærmingen kan også brukes til modellen ovenfor, men beregningen var så enkel at dette ikke er så nyttig.)
Gjennomføring av avledningen vi finner

  
    
      
        M
        =
        n
        
          ⟨
          
            μ
            
              z
            
          
          ⟩
        
        =
        n
        μ
        L
        (
        μ
        B
        β
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle M=n\left\langle \mu _{z}\right\rangle =n\mu L(\mu B\beta ),}
  hvor 
  
    
      
        L
      
    
    {\displaystyle L}
   er Langevin-funksjonen:

  
    
      
        L
        (
        x
        )
        =
        coth
        ⁡
        x
        −
        
          
            1
            x
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle L(x)=\coth x-{1 \over x}.}
  Denne funksjonen ser ut til å være singulær for små 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  ,men det er det ikke, siden de to entalluttrykkene avbryter hverandre. Faktisk er dens oppførsel for små argumenter
  
    
      
        L
        (
        x
        )
        ≈
        x
        
          /
        
        3
      
    
    {\displaystyle L(x)\approx x/3}
  ,så Curie-grensen gjelder også, men med en Curie-konstant tre ganger mindre i dette tilfellet. På samme måte mettes funksjonen ved 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
   for store verdier av argumentet, og den motsatte grensen er også gjenopprettet.


== Referanser ==