Bidomene-modellen

Bidomene-modellen er en matematisk modell av hjertemuskelens elektriske egenskaper. Den er en kontinuumsmodell basert på forskjeller mellom det ekstracellulære og instracellulære domenet – området på innsiden av og på utsiden av muskelceller – der hver av disse er antatt å eksistere overalt, definert ut fra et lokalt gjennomsnitt. Bidomene-modellen er formulert som et ligningssett, bidomene-ligningene, som sammen med gitte randbetingelser kan løses i et gitt domene.
Bidomene-modellen ble utviklet på slutten av 1970-tallet, første gang presentert av Leslie Tung i januar 1978. Den brukes i dag blant annet til å modellere defibrillering av hjertet.


== Grunnlag ==
Hjertemuskelen består av muskelceller, der man regner området som er på innsiden av disse som det intracellulære området og området som er rundt, utenfor, som det ekstracellulære området. I bidomene-modellen antar man at disse eksisterer overalt, og at hvert punkt i et gitt domene har egenskaper som tilhører hvert av disse. Som vanlig i kontinuumsmodeller er disse egenskapene basert på gjennomsnittsverdier i et lite område rundt et gitt punkt i domenet.Spenningsforskjell i det ekstracellulære og det intracellulære området, membranpotensialet, karakteriserer alle muskelceller. Dette er vesentlig for hjertet og dets funksjonalitet. Bidomene-modellen kobler sammen ligninger som beskriver et legemets elektriske egenskaper generelt, og ligninger som karakteriserer denne forskjellen.Muskelfibrene i hjertet er organisert i lag der hvert lag består av «rør» av sarkomerer. Disse er lokalt velorganisert og går i samme retning. Man kan derfor lokalt definere tre vektorer som henholdsvis angir retningen disse går i, retningen på tvers (men i samme lag) og normalen av disse, som vil være på hvers av lagene. Konduktansverdiene til hjertevevet avhenger av denne retningen, og antas å være sterkest i samme retning som muskelfibrene, dernest kommer på tvers av disse og minst i retning av normalen. Den er videre ulik i det ekstracellulære og det intracellulære området.


== Matematisk modell ==


=== Standardformulering ===
Bidomene-ligningene er gitt ved

  
    
      
        
          
            
              
                ∇
                ⋅
                
                  (
                  
                    
                      M
                      
                        i
                      
                    
                    ∇
                    v
                  
                  )
                
                +
                ∇
                ⋅
                
                  (
                  
                    
                      (
                      
                        
                          M
                          
                            i
                          
                        
                        +
                        
                          M
                          
                            e
                          
                        
                      
                      )
                    
                    ∇
                    
                      v
                      
                        e
                      
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                =
                0
              
            
            
              
                ∇
                ⋅
                
                  (
                  
                    
                      M
                      
                        i
                      
                    
                    ∇
                    v
                  
                  )
                
                +
                ∇
                ⋅
                
                  (
                  
                    
                      M
                      
                        i
                      
                    
                    ∇
                    
                      v
                      
                        e
                      
                    
                  
                  )
                
              
              
                
                =
                χ
                
                  (
                  
                    
                      C
                      
                        m
                      
                    
                    
                      
                        
                          ∂
                          v
                        
                        
                          ∂
                          t
                        
                      
                    
                    +
                    
                      I
                      
                        
                          i
                          o
                          n
                        
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\nabla \cdot \left(M_{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\left(M_{i}+M_{e}\right)\nabla v_{e}\right)&=0\\\nabla \cdot \left(M_{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(M_{i}\nabla v_{e}\right)&=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right)\end{alignedat}}}
  der 
  
    
      
        χ
      
    
    {\displaystyle \chi }
   angir cellemembranens overflateareal, per enhetsvolum, 
  
    
      
        
          C
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{m}}
   cellemembranens elektriske kapasitans per enhetsareal, 
  
    
      
        v
        =
        
          v
          
            i
          
        
        −
        
          v
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle v=v_{i}-v_{e}}
   er 
  
    
      
        
          v
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{i}}
   den intracellulære spenningen og 
  
    
      
        
          v
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{e}}
   den ekstracellulære spenningen, og 
  
    
      
        
          I
          
            
              i
              o
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{\mathrm {ion} }}
   ionestrømmen over membranen per enhetsareal.Sammen med gitte randbetingelser kan man løse disse ligningene over et gitt domene numerisk.


=== Utledning ===
La 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
   med rand 
  
    
      
        ∂
        Ω
      
    
    {\displaystyle \partial \Omega }
   betegne alle punkter 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   i hjertet. I hvert punkt i 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
   kan vi definere en intra- og ekstracellulær spenning, samt en intra- og ekstracellulær strøm, kalt henholdsvis 
  
    
      
        
          v
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{i}}
  , 
  
    
      
        
          v
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{e}}
  , 
  
    
      
        
          J
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{i}}
   og 
  
    
      
        
          J
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle J_{e}}
  . Konduktansen i det intra- og ekstracellulære domenet er videre gitt ved 
  
    
      
        
          M
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{i}}
   og 
  
    
      
        
          M
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{e}}
  .
Vi antar at forholdet mellom strøm, spenning og konduktans er gitt ved Ohms lov, hvilket gir

  
    
      
        
          
            
              
                
                  J
                  
                    i
                  
                
              
              
                
                =
                −
                
                  M
                  
                    i
                  
                
                ∇
                
                  v
                  
                    i
                  
                
              
            
            
              
                
                  J
                  
                    e
                  
                
              
              
                
                =
                −
                
                  M
                  
                    e
                  
                
                ∇
                
                  v
                  
                    e
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}J_{i}&=-M_{i}\nabla v_{i}\\J_{e}&=-M_{e}\nabla v_{e}.\end{alignedat}}}
  Vi antar at ladning ikke akkumuleres i noe enkeltpunkt i 
  
    
      
        Ω
      
    
    {\displaystyle \Omega }
   – så total ladning er alltid bevart – hvilket gir

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          (
          
            
              J
              
                i
              
            
            +
            
              J
              
                e
              
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \left(J_{i}+J_{e}\right)=0}
  som ved ligningene over kan skrives om til

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          (
          
            
              M
              
                i
              
            
            ∇
            
              v
              
                i
              
            
          
          )
        
        +
        ∇
        ⋅
        
          (
          
            
              M
              
                e
              
            
            ∇
            
              v
              
                e
              
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \left(M_{i}\nabla v_{i}\right)+\nabla \cdot \left(M_{e}\nabla v_{e}\right)=0}
  Denne ligningen sier at all strøm som går ut fra ett domene (enten det ekstracellulære eller det intracellulære) må gå inn i det andre.Man kan anta at transmembranpotensialet, definert som 
  
    
      
        v
        =
        
          v
          
            i
          
        
        −
        
          v
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle v=v_{i}-v_{e}}
  , er relatert til spenningsforskjellen ved

  
    
      
        v
        =
        
          
            
              
                q
                
                  i
                
              
              −
              
                q
                
                  e
                
              
            
            
              2
              χ
              
                C
                
                  m
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle v={\frac {q_{i}-q_{e}}{2\chi C_{m}}}}
  der 
  
    
      
        
          q
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{i}}
   og 
  
    
      
        
          q
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle q_{e}}
   angir intra- og ekstracellulær ladning, 
  
    
      
        χ
      
    
    {\displaystyle \chi }
   angir overflateareal per enhetsvolum og 
  
    
      
        
          C
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{m}}
   cellemembranens kapasitans. Videre tar vi den tidsderiverte av dette, og antar vi at strømmen inn og ut av hvert domene er bevart. Fra dette kan vi utlede at

  
    
      
        
          J
          
            t
          
        
        =
        χ
        
          (
          
            
              C
              
                m
              
            
            
              
                
                  ∂
                  v
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            
              I
              
                
                  i
                  o
                  n
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle J_{t}=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right)}
  hvilket kombinert gir

  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          (
          
            
              M
              
                i
              
            
            ∇
            v
          
          )
        
        +
        ∇
        ⋅
        
          (
          
            
              M
              
                i
              
            
            ∇
            
              v
              
                e
              
            
          
          )
        
        =
        χ
        
          (
          
            
              C
              
                m
              
            
            
              
                
                  ∂
                  v
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            
              I
              
                
                  i
                  o
                  n
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \left(M_{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(M_{i}\nabla v_{e}\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right).}
  som er den andre bidomene-ligningen.


=== Konduktansverdier ===
Konduktansverdiene i henholdsvis samme retning som fibrene, på tvers av disse og normalt på hvert lag er ulik; videre er disse igjen ulike i det intracellulære og ekstracellulære området. Dette kan modelleres ved hjelp av diagonale matriser (annengrads tensorer), der konduktivitetsverdiene lokalt er angitt ved

  
    
      
        
          M
          
            i
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    σ
                    
                      f
                      i
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    σ
                    
                      t
                      i
                    
                  
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  
                    σ
                    
                      n
                      i
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
        
          M
          
            e
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    σ
                    
                      f
                      e
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    σ
                    
                      t
                      e
                    
                  
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  
                    σ
                    
                      n
                      e
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{i}={\begin{bmatrix}\sigma _{fi}&0&0\\0&\sigma _{ti}&0\\0&0&\sigma _{ni}\end{bmatrix}}\qquad M_{e}={\begin{bmatrix}\sigma _{fe}&0&0\\0&\sigma _{te}&0\\0&0&\sigma _{ne}\end{bmatrix}}}
  ,der 
  
    
      
        
          σ
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{ij}}
   angir konduktivitetverdi i henholdsvis retning 
  
    
      
        
          
            e
            
              f
            
          
        
        ,
        
          
            e
            
              t
            
          
        
        ,
        
          
            e
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e_{f}} ,\mathbf {e_{t}} ,\mathbf {e_{n}} }
   (i retning fibrene, på tvers, normalt) for 
  
    
      
        j
        ∈
        
          i
          ,
          e
        
      
    
    {\displaystyle j\in {i,e}}
   (intracellulært, ekstracellulært). Dette er lokale verdier som må omregnes til globale verdier ut fra vektorfeltet som definerer fibrenes geometri i et gitt punkt.
Disse verdiene er skalare estimerte verdier, og ikke gitt direkte i originalformuleringen av bidomene-modellen. Forskning på dette antyder at forholdet mellom verdiene er gitt ved 4:2:1, men ulike artikler oppgir ulike konduktansverdier.Ved å anta at konduktansverdiene er proporsjonale i det intra- og ekstracellulære domenet, altså at 
  
    
      
        
          M
          
            i
          
        
        =
        λ
        
          M
          
            e
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{i}=\lambda M_{e}}
   for en skalarverdi 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  , kan modellen reduseres til monodomene-modellen.


=== Randbetingelser ===
For å finne en løsning for ligningssettet over, må man angi randbetingelser. Dersom man antar at domenet er omgitt av et isolerende medium, kan man modellere dette som

  
    
      
        n
        ⋅
        
          J
          
            i
          
        
        =
        0
        
        n
        ⋅
        
          J
          
            e
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle n\cdot J_{i}=0\qquad n\cdot J_{e}=0}
  der n er overflatens normalvektor, og ligningene angir at henholdsvis at den intracellulære og ekstracellulære strømmen er null på randen. Ved å bruke ligningene over kan dette skrives om til

  
    
      
        n
        ⋅
        (
        
          M
          
            i
          
        
        ∇
        v
        +
        
          M
          
            i
          
        
        ∇
        
          v
          
            e
          
        
        )
        =
        0
        
        n
        ⋅
        (
        
          M
          
            e
          
        
        ∇
        
          v
          
            e
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle n\cdot (M_{i}\nabla v+M_{i}\nabla v_{e})=0\qquad n\cdot (M_{e}\nabla v_{e})=0}
  


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
Artikkel om bidomene-modellen på Scholarpedia