Riemanns differensialgeometri

Riemanns differensialgeometri omhandler matematiske egenskaper ved krumme flater og  rom med vilkårlig høy dimensjon. Ved bruk av differensialregning og integrasjonsteori gir den en beskrivelse av de geometriske egenskapene til slike mangfoldigheter. 
Denne differensialgeometrien ble lansert av den tysk matematiker Bernhard Riemann ved en forelesning i 1854. Den er basert på antagelsen at rommet kan tilordnes en metrikk med den egenskap at rommet i svært små områder lar seg beskrive med euklidsk geometri. Linjer med endelig utstrekning i rommet er da gitt som geodetiske kurver, vinkler mellom tangentvektorer til slike kurver kan beregnes sammen med størrelsen til areal eller volum av forskjellige underrom. Riemann viste i tillegg hvordan detaljert informasjon om rommets krumning i forskjellige retninger kan sammenfattes som komponenter til en krumningstensor. 
Arbeidet til Riemann fikk raskt anvendelser i andre deler av matematikken som i teorien for kontinuerlige Lie-grupper og algebraisk topologi. I dag utgjør det en viktig del av matematisk analyse og har spilt en avgjørende rolle i teoretisk fysikk hvor den danner grunnlaget for Einsteins generelle relativitetsteori. Tidrommet er strengt tatt ikke riemannsk i små områder, men sies å være pseudoriemannsk da geometrien der er gitt ved Minkowski-metrikken i spesiell relativitetsteori. Standardmodellen for elementærpartikkelfysikk er likedan basert på gaugeteorier som formuleres matematisk på lignende vis som Riemann-geometrier.


== Historisk bakgrunn ==
Gauss publiserte i 1827 sitt viktige arbeid om de geometriske egenskapene til  todimensjonale, krumme flater. Dette var basert på å betrakte dem i vårt tredimensjonale rom hvor man kan benytte euklidsk geometri. Han var da kommet frem til at den geometrien til en slik flate kan beskrives å benytte vilkårlige koordinater (u,v ) på flaten som dermed kan tilskrives et kvadratisk linjeelement

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        E
        (
        u
        ,
        v
        )
        d
        
          u
          
            2
          
        
        +
        2
        F
        (
        u
        ,
        v
        )
        d
        u
        d
        v
        +
        G
        (
        u
        ,
        v
        )
        d
        
          v
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=E(u,v)du^{2}+2F(u,v)dudv+G(u,v)dv^{2}}
  De tre funksjonene E, F og G bestemmer flatens intrinsikke egenskaper som for eksempel dens krumning. I prinsippet kan de bestemmes på flaten uten å vite hvordan den er lagt inn i vårt rom. Det som her tilsvarer rette linjer, vil på flaten være geodetiske kurver slik som storsirkler på en kuleflate. Denne krumme flaten er beskrevet ved sfærisk geometri som hadde vært kjent i over to tusen år. Men det som gjorde fremstillingen til Gauss spesielt viktig, var at den viste at de geometriske egenskapene kunne være hva som helst avhengig av hvilke funksjoner E, F og G som karakteriserer den. Dermed kunne man tenke seg en uendelighet av forskjellige geometrier på flaten hvor euklidsk geometri ikke lenger syntes å ha noen privilegert rolle mer.Noen få år etter at Gauss sitt arbeid var blitt kjent, viste Bolyai og Lobatjevskij at man kan bygge opp en konsistent, ikke-euklidsk geometri med konstant, negativ krumning. Senere fikk den navnet hyperbolsk geometri. Denne oppdagelsen hadde sannsynligvis gjort Gauss enda mer interessert i å finne ut hva man virkelig mener med geometri og spesielt om vårt eget, tredimensjonale rom kunne vise seg å være ikke-euklidsk.
I 1854 skulle Riemann holde sin obligatoriske habilitasjonsforelesning ved Universitetet i Göttingen hvor han hadde studert og ønsket å fortsette som privatdosent. Han hadde da allerede utmerket seg som en dyp tenker og skaper av ny matematikk. Gauss ønsket derfor at temaet for prøven skulle være Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen med det håp at Riemann kunne kaste et forklarende lys over situasjonen. I denne forelesningen presenterte Riemann de grunnleggende idéene til det som i ettertid kalles hans differensialgeometri. Gauss var da allerede blitt alvorlig syk og døde året etterpå.


== Metriske egenskaper ==

Den grunnleggende antagelse i Riemanns nye geometri er at i et veldig lite område av et generelt, n-dimensjonalt rom eller det som nå kalles en mangfoldighet, er de geometriske egenskapene de samme som i et euklidsk rom. Matematisk betyr det at i dette området kan man benytte kartesiske koordinater slik at den kvadrerte avstanden mellom to nærliggende punkt med koordinatdifferenser (dX1,dX2, ... ,dXn) er gitt som

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        d
        
          X
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        d
        
          X
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        d
        
          X
          
            n
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=dX_{1}^{2}+dX_{2}^{2}+\cdots +dX_{n}^{2}}
  Hvis man skal kunne sammenligne forholdene i forskjellige områder som ligger lengre fra hverandre, må man benytte mer generelle koordinater som forbinder disse områdene. Det er hensiktsmessig å skrive de som (x1,x2, ... ,xn). Linjeelementet vil da ta en ny form på lignende vis som når man introduserer skjevvinklete koordinater i et euklidsk rom. Benytter man Einsteins summekonvensjon, har man da

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        (
        x
        )
        d
        
          x
          
            μ
          
        
        d
        
          x
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=g_{\mu \nu }(x)dx^{\mu }dx^{\nu }}
  hvor man summerer fra 1 til n over par med like indekser. De symmetriske koeffisientene gμν = gνμ  utgjør de kovariante komponentene til den metriske tensoren. For en todimensjonal flate ville da g11 = E, g12 = F og g22 = G med Gauss' notasjon.


=== Geodetiske linjer ===
En rett linje i det euklidske rommet tilsvarer en geodetisk linje i et riemannsk rom. Det er en kurven xμ = xμ(t ) som forbinder to punkt A og B slik at avstanden mellom dem målt langs kurven er kortest mulig. Den jevnt økende parameteren t kan i prinsippet velges fritt. Ved bruk av linjeelementet er denne buelengden av en slik vilkårlig kurve mellom de to punktene gitt ved integralet

  
    
      
        L
        =
        
          ∫
          
            A
          
          
            B
          
        
        
        d
        s
        =
        
          ∫
          
            
              t
              
                A
              
            
          
          
            
              t
              
                B
              
            
          
        
        
        d
        t
        
          
            
              g
              
                μ
                ν
              
            
            
              
                
                  
                    x
                    ˙
                  
                
              
              
                μ
              
            
            
              
                
                  
                    x
                    ˙
                  
                
              
              
                ν
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle L=\int _{A}^{B}\!ds=\int _{t_{A}}^{t_{B}}\!dt{\sqrt {g_{\mu \nu }{\dot {x}}^{\mu }{\dot {x}}^{\nu }}}}
  når man innfører de deriverte 
  
    
      
        
          
            
              
                x
                ˙
              
            
          
          
            μ
          
        
        =
        d
        
          x
          
            μ
          
        
        
          /
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle {\dot {x}}^{\mu }=dx^{\mu }/dt}
  . De utgjør komponentene til kurvens tangentvektorer. Beregningen av den korteste kurven er nå et variasjonsproblem hvor man søker den kurven som under variasjonen xμ → xμ + δxμ  gir en forandring i lengden δL = 0 som tilsvarer et minimum.Resultatet er enklest når man benytter den naturlige parametriseringen av kurven der man kan sette parameteren t  lik med dens egne buelengde s. Den geodetiske kurven er da gitt ved differensialligningen

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                x
                
                  μ
                
              
            
            
              d
              
                s
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          Γ
          
            
            α
            β
          
          
            μ
          
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  α
                
              
            
            
              d
              s
            
          
        
        
          
            
              d
              
                x
                
                  β
                
              
            
            
              d
              s
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {d^{2}x^{\mu } \over ds^{2}}+\Gamma _{\;\alpha \beta }^{\mu }{dx^{\alpha } \over ds}{dx^{\beta } \over ds}=0}
  når man innfører størrelsene

  
    
      
        
          Γ
          
            
            α
            β
          
          
            μ
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        
          
            (
          
        
        
          
            
              ∂
              
                g
                
                  ν
                  α
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  β
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                g
                
                  ν
                  β
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  α
                
              
            
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              
                g
                
                  α
                  β
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  ν
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma _{\;\alpha \beta }^{\mu }={1 \over 2}g^{\mu \nu }{\Big (}{\partial g_{\nu \alpha } \over \partial x^{\beta }}+{\partial g_{\nu \beta } \over \partial x^{\alpha }}-{\partial g_{\alpha \beta } \over \partial x^{\nu }}{\Big )}}
  som kalles  Christoffel-symbol.  De er symmetriske i de to nedre indeksene, men utgjør ingen tensor. Her er de kontravariante komponentene gμν til den metriske tensoren definert ved

  
    
      
        
          g
          
            μ
            λ
          
        
        
          g
          
            λ
            ν
          
        
        =
        
          δ
          
            
            ν
          
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle g^{\mu \lambda }g_{\lambda \nu }=\delta _{\;\nu }^{\mu }}
  hvor på høyre side inngår Kronecker-deltaet med verdier som er én eller null avhengig av om de to indeksene er like eller forskjellige.


=== Indre produkt ===
Tangentvektorene til koordinatlinjene xμ(s ) danner tilsammen i hvert punkt et vektorrom med disse som basisvektorer. Enhver annen vektor kan dermed uttrykkes ved sine komponenter i denne basisen. Da man kan benytte euklidsk geometri et lite område rundt hvert punkt i det riemannske rommet, er  indreproduktet av to slike vektorer veldefinert. Når de har koordinatkomponentene Uμ  og Vμ  i samme punkt, blir dette nå gitt som

  
    
      
        U
        ⋅
        V
        =
        
          |
        
        U
        
          |
        
        
          |
        
        V
        
          |
        
        cos
        ⁡
        θ
        =
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        
          U
          
            μ
          
        
        
          V
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle U\cdot V=|U||V|\cos \theta =g_{\mu \nu }U^{\mu }V^{\nu }}
  det θ er vinkelen mellom dem. 
På samme måte som på en todimensjonal flate kan man også i en mer generell mangfoldighet benytte flere forskjellige koordinatsystem. Komponentene til den metriske tensoren vil dermed forandres og derfor også ligningene for de geodetiske linjene. Likedan vil komponentene til hver vektor ta nye verdier, men indreproduktet mellom to av dem forblir uforandret. Det er invariant under slike koordinattransformasjoner. Alle disse sammenhengene ble videreutviklet etter Riemanns forelesning og omtales i dag som tensoranalyse.


== Parallell transport ==
I et lite område av et riemannsk rom er euklidsk geometri gyldig. Det er da ingen problem med å sammenligne en vektor med en annen i et nærliggende punkt. Hvis man benytter et lokalt, kartesisk koordinatsystem, vil da to parallelle vektorer i to forskjellige punkt ha de samme komponentene. Derimot ville disse kunne være litt forskjellige fra hverandre hvis man hadde benyttet krumlinjete koordinater. Forskjellen vil være proporsjonal med vektorens komponenter Vμ og den korte avstanden Δx mellom punktene. Derfor kan den skrives som

  
    
      
        Δ
        
          V
          
            μ
          
        
        =
        −
        
          Γ
          
            α
            β
          
          
            μ
          
        
        
          V
          
            β
          
        
        Δ
        
          x
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta V^{\mu }=-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }V^{\beta }\Delta x^{\alpha }}
  Her er koeffisientene Γμαβ ukjente størrelser. Men de kan betsemmes ut fra kravet om at vektorens lengde |V |2 = gμνVμVν skal være konstant i dette lille området. Det betyr at koeffisientene som opptrer her er de samme Christoffel-symbolene som opptrer i den geodetiske ligningen og er gitt ved deriverte av den metriske tensoren.


=== Kovariant derivasjon ===
Hvis man har et vektorfelt på en slik mangfoldighet, vil det i hvert punkt finnes en bestemt vektor med komponenter Vμ(x). Den kan da på en entydig måte bli parallelltransportert til et nabopunkt x + Δx og sammenlignet med komponentene Vμ(x + Δx) der. På den måten kan man beregne den deriverte av vektorfeltet. 
Dette vil være en retningsderivert som avhenger av hvordan de to punktene ligger i forhold til hverandre. Hvis man flytter seg et lite stykke Δs langs en linje med tangentvektoren u, vil da koordinatforskjellen mellom punktene være Δxα = uαΔs.  Den deriverte av komponenten  Vμ(x) i denne retningen er da definert ved

  
    
      
        
          
            ∇
          
          
            
              u
            
          
        
        
          V
          
            μ
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          u
          
            α
          
        
        
          ∇
          
            α
          
        
        
          V
          
            μ
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          lim
          
            Δ
            s
            →
            0
          
        
        
          
            1
            
              Δ
              s
            
          
        
        
          
            [
          
        
        
          V
          
            μ
          
        
        (
        x
        +
        Δ
        x
        )
        −
        
          V
          
            μ
          
        
        (
        x
        )
        −
        Δ
        
          V
          
            μ
          
        
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {u} }V^{\mu }(x)=u^{\alpha }\nabla _{\alpha }V^{\mu }(x)=\lim _{\Delta s\to 0}{1 \over \Delta s}{\big [}V^{\mu }(x+\Delta x)-V^{\mu }(x)-\Delta V^{\mu }{\big ]}}
  hvor leddet ΔV μ  opptrer på grunn av parallellelltransporten av Vμ  fra punktet x til x + Δx. Nå er 

  
    
      
        
          V
          
            μ
          
        
        (
        x
        +
        Δ
        x
        )
        =
        
          V
          
            μ
          
        
        (
        x
        )
        +
        Δ
        
          x
          
            α
          
        
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          V
          
            μ
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle V^{\mu }(x+\Delta x)=V^{\mu }(x)+\Delta x^{\alpha }\partial _{\alpha }V^{\mu }(x)}
  i grensen hvor Δx → 0. Dermed faller retningsfaktoren uα ut, og man står igjen med den kovariant deriverte av vektorfeltet,

  
    
      
        
          ∇
          
            α
          
        
        
          V
          
            μ
          
        
        =
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          V
          
            μ
          
        
        +
        
          Γ
          
            α
            β
          
          
            μ
          
        
        
          V
          
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla _{\alpha }V^{\mu }=\partial _{\alpha }V^{\mu }+\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }V^{\beta }}
  På høyre side opptrer Christoffel-symbolet som det også gjør ved tilsvarende derivasjon i euklidske rom beskrevet ved krumlinjete koordinater. Derivasjon av kovariante vektorkomponenter og mer generelle tensorer kan utledes på samme vis. Deres komponenter kan heves eller senkes ved å bruke den metriske tensoren som har den spesielle egenskapen at dens kovariant deriverte 
  
    
      
        
          ∇
          
            α
          
        
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle \nabla _{\alpha }g_{\mu \nu }=0.}
   Dette forenkler ofte beregninger i tensoranalysen.


== Riemanns krumningstensor ==

Før Riemanns undersøkelser av denne geometrien var det ikke klart hvordan man skulle kunne beskrive krumningen til et slikt multidimensjonalt rom. Mens den på en todimensjonal flate kan sammenfattes i en størrelse som er den gaussiske krumningen, var det uklart hvordan dette kunne generaliseres til rom med flere dimensjoner. Nærliggende var det å ta utgangspunkt i denne fremgangsmåten ved å betrakte todimensjonale underrom definert ved forskjellige koordinatflater. Ved å kombinere slike flater i forskjellige retninger vil man kunne kartlegge krumningen til rommet.En alternativ beskrivelse kan man komme frem til ved å se hvordan krumningen til rommet påvirker parallell transport av vektorer. For eksempel, hvis man befinner seg et sted på ekvator på en todimensjonal sfære med en vektor som peker rett nordover, vil den ikke forandre retning hvis den blir parallelltransportert langs en vei direkte til nordpolen. Hvis man istedet først parallelltransporterer den langs ekvator et stykke slik at den hele tiden peker nordover og så bringer den til nordpolen, vil man oppdage at den har en annen retning sammenlignet med vektoren som ble brakt dit langs den første veien. På den måten resulterer krumningen i at parallelltransport gir et resultat som er avhengig av den veien man benytter. Ved å sammenligne de resulterende komponentene til vektoren etter transport langs to forskjellige veier, har man dermed et uttrykk for rommets krumning.
Denne fremgangsmåten er ekvivalent med å transportere en vektor rundt en lukket kurve og benytte avviket i dens komponenter fra verdiene de hadde i utgangspunktet, som et kvantitativt mål for krumningen. I grensen hvor denne lukkete kurven begrenser et stadig mindre areal, vil man dermed ha bestemt krumningen lokalt i et punkt og i en retning som tilsvarer orienteringen til  arealet. Enklest er det å velge et lite areal med form som et parallellogram langs koordinatlinjene xα og xβ med sidekanter Δxα = aα og Δxβ = bβ. Bringer man nå en vektor med komponenter Vμ(x) rundt denne figuren med parallell transport, vil den komme tilbake med en liten forandring i komponentene gitt ved

  
    
      
        
          
            
              
                Δ
                
                  V
                  
                    μ
                  
                
                (
                x
                )
                =
              
              
                
                −
                
                  Γ
                  
                    α
                    ν
                  
                  
                    μ
                  
                
                (
                x
                )
                
                  V
                  
                    ν
                  
                
                (
                x
                )
                
                  a
                  
                    α
                  
                
                −
                
                  Γ
                  
                    α
                    ν
                  
                  
                    μ
                  
                
                (
                x
                +
                a
                )
                
                  V
                  
                    ν
                  
                
                (
                x
                +
                a
                )
                
                  b
                  
                    α
                  
                
              
            
            
              
              
                
                +
                
                  Γ
                  
                    α
                    ν
                  
                  
                    μ
                  
                
                (
                x
                +
                b
                )
                
                  V
                  
                    ν
                  
                
                (
                x
                +
                b
                )
                
                  a
                  
                    α
                  
                
                +
                
                  Γ
                  
                    α
                    ν
                  
                  
                    μ
                  
                
                (
                x
                )
                
                  V
                  
                    ν
                  
                
                (
                x
                )
                
                  b
                  
                    α
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta V^{\mu }(x)=&-\Gamma _{\alpha \nu }^{\mu }(x)V^{\nu }(x)a^{\alpha }-\Gamma _{\alpha \nu }^{\mu }(x+a)V^{\nu }(x+a)b^{\alpha }\\&+\Gamma _{\alpha \nu }^{\mu }(x+b)V^{\nu }(x+b)a^{\alpha }+\Gamma _{\alpha \nu }^{\mu }(x)V^{\nu }(x)b^{\alpha }\end{aligned}}}
  Når både de små forskyvningene a og b blir veldig små, kan dette nå forenkles på samme måte som ved utledningen av den kovariante deriverte. Resultatet kan sammenfatte på den kompakte formen

  
    
      
        Δ
        
          V
          
            μ
          
        
        =
        −
        
          R
          
            
            ν
            α
            β
          
          
            μ
          
        
        
          V
          
            ν
          
        
        
          a
          
            α
          
        
        
          b
          
            β
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta V^{\mu }=-R_{\;\nu \alpha \beta }^{\mu }V^{\nu }a^{\alpha }b^{\beta }}
  hvor produktet aαbβ uttrykker arealet av det lille parallellogrammet og 

  
    
      
        
          R
          
            
            ν
            α
            β
          
          
            μ
          
        
        =
        
          ∂
          
            α
          
        
        
          Γ
          
            
            ν
            β
          
          
            μ
          
        
        −
        
          ∂
          
            β
          
        
        
          Γ
          
            
            ν
            α
          
          
            μ
          
        
        +
        
          Γ
          
            
            λ
            α
          
          
            μ
          
        
        
          Γ
          
            
            ν
            β
          
          
            λ
          
        
        −
        
          Γ
          
            
            λ
            β
          
          
            μ
          
        
        
          Γ
          
            
            ν
            α
          
          
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{\;\nu \alpha \beta }^{\mu }=\partial _{\alpha }\Gamma _{\;\nu \beta }^{\mu }-\partial _{\beta }\Gamma _{\;\nu \alpha }^{\mu }+\Gamma _{\;\lambda \alpha }^{\mu }\Gamma _{\;\nu \beta }^{\lambda }-\Gamma _{\;\lambda \beta }^{\mu }\Gamma _{\;\nu \alpha }^{\lambda }}
  inneholder komponentene til Riemanns krumningstensor. Selv om han benyttet en ganske annen notasjon og sa lite om hvordan han kom til frem til dette resultatet, så er det blitt stående som et av de viktigste i denne nye geometrien.Krumningstensoren opptrer likedan når man bytter om rekkefølgen til to påfølgende, kovarante derivasjoner. De vanlige partiellderiverte er uavhengig av rekkefølgen i den forstand at ∂α ∂β = ∂β ∂α. Men tar man den kovariante deaivasjonsoperatoren ∇α virke to ganger på en vektor, finner man ved direkte utregning at

  
    
      
        (
        
          ∇
          
            α
          
        
        
          ∇
          
            β
          
        
        −
        
          ∇
          
            β
          
        
        
          ∇
          
            α
          
        
        )
        
          V
          
            μ
          
        
        =
        
          V
          
            ν
          
        
        
          R
          
            
            ν
            α
            β
          
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle (\nabla _{\alpha }\nabla _{\beta }-\nabla _{\beta }\nabla _{\alpha })V^{\mu }=V^{\nu }R_{\;\nu \alpha \beta }^{\mu }}
  Dette er et annet uttrykk for at hvis man transporterer en vektor parallelt med seg selv fra et punkt til et annet punkt langs to ulike veier, vil resultatet generelt bli forskjellig.


=== Symmetrier ===
Hvis rommet har n dimensjoner, så har krumningstensoren i utgangspunktet n4 komponenter. Men nærmere undersøkelser viser at den inneholder mange symmetrier som reduserer dette antallet betraktelig. Direkte fra uttrykket som definerer den ved Christoffel-symbol og deres deribverte, ser man at den er antisymmetrisk i de to siste indeksene. Andre symmetrier kommer frem ved å senke den første indeksen i tensoren, 
  
    
      
        
          R
          
            μ
            ν
            α
            β
          
        
        =
        
          g
          
            μ
            λ
          
        
        
          R
          
            
            ν
            α
            β
          
          
            λ
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle R_{\mu \nu \alpha \beta }=g_{\mu \lambda }R_{\;\nu \alpha \beta }^{\lambda }.}
   Da er

  
    
      
        
          R
          
            μ
            ν
            α
            β
          
        
        =
        
          R
          
            α
            β
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{\mu \nu \alpha \beta }=R_{\alpha \beta \mu \nu }}
  som betyr at den også er antisymmetrisk i de to første indeksene. Videre har tensoren den sykliske egenskapen at

  
    
      
        
          R
          
            μ
            ν
            α
            β
          
        
        +
        
          R
          
            μ
            β
            ν
            α
          
        
        +
        
          R
          
            μ
            α
            β
            ν
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle R_{\mu \nu \alpha \beta }+R_{\mu \beta \nu \alpha }+R_{\mu \alpha \beta \nu }=0}
  som noen gangen blir omtalt som Bianchis første identitet. Det finnes også en annen identitet som er direkte forbundet med den italienske matematiker Luigi Bianchi. Den kan skrives som

  
    
      
        
          ∇
          
            λ
          
        
        
          R
          
            
            ν
            α
            β
          
          
            μ
          
        
        +
        
          ∇
          
            β
          
        
        
          R
          
            
            ν
            λ
            α
          
          
            μ
          
        
        +
        
          ∇
          
            α
          
        
        
          R
          
            
            ν
            β
            λ
          
          
            μ
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla _{\lambda }R_{\;\nu \alpha \beta }^{\mu }+\nabla _{\beta }R_{\;\nu \lambda \alpha }^{\mu }+\nabla _{\alpha }R_{\;\nu \beta \lambda }^{\mu }=0}
  og spilte en viktig rolle da Einstein formulerte sin generelle relativitetsteori basert på Riemanns geometri.På en flate med n = 2 dimensjoner han Riemann-tensoren kun én uavhengig komponent R1212. Denne uttrykker flatens gaussisk krumning K ved den fundamentale sammenhengen

  
    
      
        K
        =
        
          
            
              R
              
                1212
              
            
            g
          
        
      
    
    {\displaystyle K={R_{1212} \over g}}
  hvor g = det(gμν) er determinanten til den metriske tensoren.


=== Ricci-tensoren ===
Krumningstensoren til Riemann har fire indekser og sies derfor å være av fjerde rang. Ved hjelp av den metriske tensoren kan indeksene flyttes opp og ned. Man kan redusere rangen med to ved å sette en øvre indeks lik med en nedre og så summere over disse. Denne operasjonen sies å være en kontraksjon og gir opphav til en ny tensor.
En slik kontraksjon av Riemann-tensoren Rαμβν kan bare skje mellom den øvre indeksen og en av de to siste indeksene da tensoren er antisymmetrisk i de to første indeksene. Resultatet er en ny krumningstensor av andre rang som kalles Ricci-tensoren og er oppkalt etter den italienske matematiker Gregorio Ricci Curbastro. Den er definert som

  
    
      
        
          R
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          R
          
            
            μ
            α
            ν
          
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{\mu \nu }=R_{\;\mu \alpha \nu }^{\alpha }}
  Dette er nå en symmetrisk tensor som følger fra symmetriene til Riemann-tensoren,

  
    
      
        
          
            
              
                
                  R
                  
                    ν
                    μ
                  
                
              
              
                
                =
                
                  R
                  
                    
                    ν
                    α
                    μ
                  
                  
                    α
                  
                
                =
                
                  g
                  
                    α
                    β
                  
                
                
                  R
                  
                    β
                    ν
                    α
                    μ
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  g
                  
                    α
                    β
                  
                
                
                  R
                  
                    α
                    μ
                    β
                    ν
                  
                
                =
                
                  R
                  
                    
                    μ
                    β
                    ν
                  
                  
                    β
                  
                
                =
                
                  R
                  
                    μ
                    ν
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}R_{\nu \mu }&=R_{\;\nu \alpha \mu }^{\alpha }=g^{\alpha \beta }R_{\beta \nu \alpha \mu }\\&=g^{\alpha \beta }R_{\alpha \mu \beta \nu }=R_{\;\mu \beta \nu }^{\beta }=R_{\mu \nu }\end{aligned}}}
  Ved enda en kontraksjon av denne tensoren reduseres rangen ned til null, og man står igjen med den skalare størrelsen

  
    
      
        R
        =
        
          R
          
            
            μ
          
          
            μ
          
        
        =
        
          R
          
            
            
            
            α
            μ
          
          
            α
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle R=R_{\;\mu }^{\mu }=R_{\;\;\;\alpha \mu }^{\alpha \mu }}
  som er en slags midlere krumning i hvert punkt.Det var ved lignende betraktninger at Einstein kom frem til sin gravitasjonsligning. Den er basert på hans krumningstensor 

  
    
      
        
          E
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          R
          
            μ
            ν
          
        
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        R
      
    
    {\displaystyle E^{\mu \nu }=R^{\mu \nu }-{1 \over 2}g^{\mu \nu }R}
  som har den spesielle egenskapen at den kovariante divergensen ∇μE μν = 0. Det følger direkte fra Bianchis andre identitet.


== Utvikling etter Riemann ==
Innholdet av habilitasjonsforelesningen til Riemann i 1854 spredte seg først langsomt da den først forelå i en trykt utgave noen år etter at han døde i 1866. Selve forelesningen inneholdt svært få detaljer, selv om noen av disse ble inngikk i et helt annet arbeid i 1861. Men dette ble også først publisert etter hans død.
I Tyskland var det først og fremst Elwin Bruno Christoffel som fortsatte studiet av Riemanns nye geometri. Spesielt undersøkte han hvordan hans fremstilling vil forandre seg under skifte av koordinatsystem. Han la dermed grunnlaget for moderne tensoranalyse og innførte i denne sammenheng en bedre notasjon enn den Riemann hadde benyttet. På den måten fikk Christoffel-symbolene sine navn.
Under de siste årene av sitt liv tilbrakte Riemann mye tid i Italia på grunn av den sykdom han led under. Spesielt knyttet han under disse oppholdene kontakt med det matematiske miljøet ved universitetet i Pisa. Her var det spesielt Eugenio Beltrami som tok opp hans nye idéer i og anvendte de blandt annet  på hyperbolsk geometri som på den tiden fremdeles var omstridt. Likedan startet  Gregorio Ricci Curbastro ved universitetet i Padova opp et detaljert studium av de matematiske egenskapene ved de geometriske størrelsene som Riemann hadde innført. Hans differensialgeometri ble derfor ofte i årene som fulgte omtalt som Ricci-kalkulus. En av hans tidligere studenter Tullio Levi-Civita samlet mye av dette i et større verk som kom ut rundt århundreskiftet. Her ble også parallelltransport av vektorer og tensorer analysert for å gi en geometrisk forståelse av kovariant derivasjon og krumning i høyere dimensjoner.Omtrent på samme tid begynte Élie Cartan i Frankrike å legge grunnlaget for en mer abstrakt og generell beskrivelse av riemannske mangfoldigheter. Her benyttes differensielle former som også tydeliggjør symmetriene til krumningstensoren samtidig som de gjør konkrete beregninger mer oversiktlige og kompakte. Det er dette rammeverket som i dag ligger under moderne differensialgeometri og benyttes både i teoretiske og mer praktiske sammenhenger.


== Referanser ==


== Litteratur ==
J.M. Lee, Introduction to Riemannian Manifolds, Springer Graduate Texts in Mathematics, New York (1997). ISBN 978-3-319-91754-2.


== Eksterne lenker ==
B. Riemann, Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen,  Habilitasjonsforelesning (1854).