Dualrom

Et dualrom er innen matematikk et vektorrom definert som alle funksjonaler fra et gitt vektorrom X til skalarkroppen 
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {F} }
  , der 
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
   er de relle tallene 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   eller de komplekse tallene 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  . Dualrommet til et vektorrom 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
   betegnes gjerne 
  
    
      
        
          V
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle V^{*}}
   eller 
  
    
      
        
          V
          
            
              
              ′
            
          
        
      
    
    {\displaystyle V^{'}}
  , og er i seg selv også et vektorrom. Ofte skilles det mellom algebraiske dualrom, definert generelt, og kontinuerlige dualrom, definert som kontinuerlige operatorer over normerte rom.
Dualrom er sentrale innen funksjonalanalyse, der vektorrommene gjerne er funksjonsrom.


== Algebraiske dualrom ==


=== Definisjon ===
La 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   være et vektorrom definert over en skalarkropp 
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  , der 
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
   er 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   eller 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  . En lineær funksjon

  
    
      
        f
        :
        X
        →
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle f:X\to \mathbb {K} }
  .kalles for en lineær funksjonal, og mengden av alle slike funksjonaler kalles for dualrommet til X. For å ikke blande dette med dualrom som definert under, kalles dette av og til også for algebraiske dualrom.


=== Egenskaper ===


==== Vektorrom ====
La X være et vektorrom over 
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  , 
  
    
      
        α
        ,
        β
        ∈
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \alpha ,\beta \in \mathbb {K} }
   være skalarer, og 
  
    
      
        f
        ,
        g
        ∈
        
          X
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle f,g\in X^{*}}
  . Da er også 
  
    
      
        α
        f
        +
        β
        g
      
    
    {\displaystyle \alpha f+\beta g}
   en funksjonal i 
  
    
      
        
          X
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{*}}
  , definert ved

  
    
      
        (
        α
        f
        +
        β
        g
        )
        (
        x
        )
        =
        α
        f
        (
        x
        )
        +
        β
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle (\alpha f+\beta g)(x)=\alpha f(x)+\beta g(x)}
  .Dersom man bruker dette til å definere addisjon og skalarmultiplikasjon, og lar funksjonalen 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
   være nullelement, gir dette at 
  
    
      
        
          X
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{*}}
   også i seg selv er et vektorrom.


==== Dualbasis ====
Dersom X er endelig-dimensjonal med basis

  
    
      
        {
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          e
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{e_{1},...,e_{n}\}}
  kan man definere en basis for dualrommet 
  
    
      
        
          X
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{*}}
   
  
    
      
        {
        
          f
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          f
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{f_{1},...,f_{n}\}}
   slik at

  
    
      
        (
        
          e
          
            i
          
        
        ,
        
          f
          
            j
          
        
        )
        =
        
          δ
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle (e_{i},f_{j})=\delta _{ij}}
  der 
  
    
      
        
          δ
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{ij}}
   er funksjonen Kronecker-delta gitt ved

  
    
      
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  1
                  
                  
                    hvis 
                  
                  i
                  =
                  j
                
              
              
                
                  0
                  
                  
                    hvis 
                  
                  i
                  ≠
                  j
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{ij}={\begin{cases}1\qquad {\text{hvis }}i=j\\0\qquad {\text{hvis }}i\neq j\end{cases}}}
  .Dette definerer n funksjonaler, alle inneholdt i 
  
    
      
        
          X
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{*}}
  , og disse definerer også en basis for 
  
    
      
        
          X
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{*}}
  . Spesielt impliserer dette at 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   og 
  
    
      
        
          X
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{*}}
   har samme dimensjon. Basisen 
  
    
      
        {
        
          f
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          f
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{f_{1},...,f_{n}\}}
   kalles for dualbasisen korresponderende til 
  
    
      
        {
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          e
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{e_{1},...,e_{n}\}}
  .


===== Eksempel =====
Hvis 
  
    
      
        {
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          e
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{e_{1},...,e_{n}\}}
   er standardbasisen bestående av enhetsvektorene

  
    
      
        {
        [
        1
        ,
        0
        ,
        .
        .
        .
        ,
        0
        ]
        ,
        [
        0
        ,
        1
        ,
        .
        .
        .
        ,
        0
        ]
        ,
        .
        .
        .
        ,
        [
        0
        ,
        0
        ,
        .
        .
        .
        ,
        1
        ]
        }
      
    
    {\displaystyle \{[1,0,...,0],[0,1,...,0],...,[0,0,...,1]\}}
  gitt som kolonnevektorer, er den korresponderende dualbasisen nøyaktig enhetsvektorene

  
    
      
        {
        [
        1
        ,
        0
        ,
        .
        .
        .
        ,
        0
        ]
        ,
        [
        0
        ,
        1
        ,
        .
        .
        .
        ,
        0
        ]
        ,
        .
        .
        .
        ,
        [
        0
        ,
        0
        ,
        .
        .
        .
        ,
        1
        ]
        }
      
    
    {\displaystyle \{[1,0,...,0],[0,1,...,0],...,[0,0,...,1]\}}
  gitt som radvektorer, ettersom 
  
    
      
        (
        
          e
          
            i
          
        
        ,
        
          e
          
            j
          
        
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle (e_{i},e_{j})=1}
   hvis og bare hvis 
  
    
      
        i
        =
        j
      
    
    {\displaystyle i=j}
  .


== Kontinuerlige dualrom ==


=== Definisjon ===
Dualrom kan definert generelt, men ofte er det spesielt interessant å se på kontinuerlige funksjonaler, der X er et normert rom. Noen ganger blir derfor dualrom definert begrenset til dette:
La 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   være et normert vektorrom definert over en skalarkropp 
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  , der 
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
   er 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   eller 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  . En kontinuerlig lineær funksjon

  
    
      
        f
        :
        X
        →
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle f:X\to \mathbb {K} }
  .kalles for en lineær funksjonal, og mengden av alle slike funksjonaler kalles for dualrommet til X.Hvis man definerer en norm over 
  
    
      
        
          X
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{*}}
  , vanligvis gitt ved

  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        f
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            
              X
              
                ∗
              
            
          
        
        :=
        
          sup
          
            x
            ∈
            X
            ,
            x
            ≠
            0
          
        
        
          
            
              
                |
              
              f
              (
              x
              )
              
                |
              
            
            
              
                |
              
              
                |
              
              x
              
                |
              
              
                
                  |
                
                
                  X
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ||f||_{X^{*}}:=\sup _{x\in X,x\neq 0}{\frac {|f(x)|}{||x||_{X}}}}
  er 
  
    
      
        
          X
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{*}}
   også et normert vektorrom. Denne normen kalles for dualnormen indusert av normen til 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  .


=== Egenskaper ===
Generelt arver kontinuerlige dualrom egenskaper fra algebraiske dualrom. Videre er 
  
    
      
        
          X
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle X^{*}}
   (tilordnet en norm) også et Banach-rom, siden både 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   og 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
   er komplette.


=== Riesz'–Fréchet-teoremet ===
Riesz'–Fréchet-teoremet, også kalt Riesz' representasjonsteoremet, sier at dersom 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
   er et Hilbert-rom, har alle funksjonaler 
  
    
      
        f
        ∈
        
          H
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle f\in H^{*}}
   har et unikt korrepsonderende element 
  
    
      
        y
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle y\in H}
  . Mer presist, la H være et Hilbert-rom og 
  
    
      
        x
        ,
        y
      
    
    {\displaystyle x,y}
   være elementer i 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  . Vi kan da definere en funksjonal ved indreproduktet definert for 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
  ,

  
    
      
        
          f
          
            y
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f_{y}(x)=(x,y)}
  .Riesz'–Fréchet-teoremet sier at alle funksjonaler i 
  
    
      
        
          H
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle H^{*}}
   kan kan skrives slik:

La 
  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
   være et Hilbert-rom og 
  
    
      
        f
        ∈
        
          H
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle f\in H^{*}}
  . Da finnes en unik 
  
    
      
        y
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle y\in H}
   slik at

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          f
          
            y
          
        
        (
        x
        )
        =
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)=f_{y}(x)=(x,y)}
  
for alle 
  
    
      
        x
        ∈
        H
      
    
    {\displaystyle x\in H}
  . Videre er 
  
    
      
        
          |
        
        
          |
        
        f
        
          |
        
        
          |
        
        =
        
          |
        
        
          |
        
        y
        
          |
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle ||f||=||y||}
  .


== Eksempler ==


=== Lp-rom ===

Det kan bevises (men er ikke trivielt) at dersom 
  
    
      
        1
        ≤
        p
        <
        ∞
      
    
    {\displaystyle 1\leq p<\infty }
  , og q enten slik at

  
    
      
        
          
            1
            p
          
        
        +
        
          
            1
            p
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p}}=1}
  dersom 
  
    
      
        p
        >
        1
      
    
    {\displaystyle p>1}
  , og 
  
    
      
        q
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle q=\infty }
   hvis 
  
    
      
        p
        =
        1
      
    
    {\displaystyle p=1}
  , så er

  
    
      
        (
        
          L
          
            p
          
        
        
          )
          
            ∗
          
        
        =
        
          L
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle (L^{p})^{*}=L^{q}}
  og

  
    
      
        (
        
          
            
              l
            
          
          
            p
          
        
        
          )
          
            ∗
          
        
        =
        
          
            
              l
            
          
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle ({\mathcal {l}}^{p})^{*}={\mathcal {l}}^{q}}
  .For 
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{p}}
  -rom kan man, for et gitt element 
  
    
      
        f
        ∈
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle f\in L^{p}}
   og enhver 
  
    
      
        g
        ∈
        
          L
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle g\in L^{q}}
  , definere en funksjonal ved

  
    
      
        
          ∫
          
            Ω
          
        
        f
        (
        t
        )
        g
        (
        t
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \int _{\Omega }f(t)g(t)dt}
  som er veldefinet (gitt ved Hölders ulikhet) er veldefinert og gir en kontinuerlig lineær funksjonal for 
  
    
      
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle L^{p}}
  -funksjoner, og det kan videre bevises at for enhver 
  
    
      
        g
        ∈
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle g\in L^{p}}
   finnes en slik 
  
    
      
        f
        ∈
        
          L
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle f\in L^{p}}
  .For 
  
    
      
        
          
            
              l
            
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {l}}^{p}}
  -rom kan man, for et gitt element 
  
    
      
        a
        ∈
        
          
            
              l
            
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle a\in {\mathcal {l}}^{p}}
   og enhver 
  
    
      
        x
        ∈
        
          
            
              l
            
          
          
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in {\mathcal {l}}^{q}}
  , definere en funksjonal ved

  
    
      
        
          f
          
            a
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{a}(x)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}x_{n}}
  og det kan videre bevises at for enhver 
  
    
      
        x
        ∈
        
          
            
              
                
                  l
                
              
              
                p
              
            
          
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle x\in {{\mathcal {l}}^{p}}^{*}}
   finnes en slik 
  
    
      
        a
        ∈
        
          
            
              l
            
          
          
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle a\in {\mathcal {l}}^{p}}
  .


== Referanser ==


== Litteratur ==
Bryan P. Rynne og Martin A. Youngson (2008). Linear Functional Analysis. Springer. ISBN 978-1-848-00004-9. 
Yutaka Yamamoto (2012). From Vector Spaces to Function Spaces: Introduction to Functional Analysis with Applications. Philidelphia: Society for Industrial and Applied Mathematics SIAM. ISBN 1-61197-231-0. 


== Eksterne lenker ==
(en) Mohammad Sal Moslehian, Dual Normed Space i MathWorld.