William Brouncker, 2. vicomte Brouncker

William Brouncker, 2. viscount Brouncker, PRS (1620 - 5. april 1684) var en engelsk matematiker som introduserte Brounckers formel, og var den første presidenten for Royal Society. Han var også tjenestemann og fungerte som kommisjonær for Royal Navy. Han var en venn og kollega av Samuel Pepys, og har en fremtredende rolle i den store dagboken Pepys skrev.


== Bakgrunn og liv ==
Brouncker ble født i Castlelyons i County Cork som eldste sønnen til William Brouncker (1585-1649), 1. viscount Brouncker og Winifred, datter av William Leigh of Newnham. Familien hans kom opprinnelig fra Melksham i Wiltshire. Hans bestefar Henry Brouncker (død 1607) hadde vært Lord President of Munster 1603-1607, og bosatte sin familie i Irland.
Brouncker fikk en doktorgrad ved University of Oxford i 1647. Fram til 1660 spilte han ingen rolle i det offentlige liv. Som en trofast rojalist, følte han det best å leve stille og vie seg til sine matematiske studier. Han var en av grunnleggerne og den første presidenten for Royal Society. I 1662 ble han kansler for dronning Catherine, den gang leder for Saint Catherine's Hospital. Han ble utnevnt til en av kommisjonærene for Royal Navy i 1664, og hans karriere kan spores i dagboken til Samuel Pepys. Til tross for deres hyppige uenigheter respekterte Samuel Pepys i det hele tatt Brouncker mer enn de fleste av sine andre kolleger, og skrev i 1668 at "i sannhet er han den beste av dem". Selv om hans tilstedeværelse i Royal Society hadde blitt sjelden, og han hadde kranglet med noen av sine medmedlemmer, var han likevel svært misfornøyd med å bli fratatt presidentskapet i 1677.
Brouncker giftet seg aldri, men var i mange år samboer med skuespillerinnen Abigail Williams (til stor avsky for Pepys) de fikk to barn sammen og hun arvet det meste av eiendommene hans. Brannen i 1673 som ødela Royal Navy Office startet i Abigails private skap, dette har sannsynligvis ikke forbedret hennes forhold til Samuel Pepys, hvis private leiligheter også ble ødelagt i brannen. Da Brouncker døde i 1684, ble tittelen hans overført til broren Henry, som William hadde et dårlig forhold til.


== Matematiske arbeider ==
Hans matematiske arbeid gjaldt spesielt beregningene av parabolens og sykloidens lengder, og kvadraturen til hyperbola, som krever tilnærming av den naturlige logaritmefunksjonen ved uendelige serier.  Han var den første europeeren som løste det som nå er kjent som Pells ligning. Han var den første i England som interesserte seg for generaliserte fortsatte fraksjoner, og etter John Wallis 'arbeid ga han utvikling i den generaliserte fortsatte fraksjonen av pi.


=== Brounkers formel ===
Denne formelen gir en utvikling av π / 4 i en generalisert fortsatt brøkdel:

  
    
      
        
          
            π
            4
          
        
        =
        
          
            
              
                
              
              
                
                  1
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  1
                  +
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              1
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            2
                            +
                            
                              
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      
                                        3
                                        
                                          2
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      2
                                      +
                                      
                                        
                                          
                                            
                                              
                                            
                                            
                                              
                                                
                                                  5
                                                  
                                                    2
                                                  
                                                
                                              
                                            
                                          
                                          
                                            
                                              
                                            
                                            
                                              
                                                2
                                                +
                                                
                                                  
                                                    
                                                      
                                                        
                                                      
                                                      
                                                        
                                                          
                                                            7
                                                            
                                                              2
                                                            
                                                          
                                                        
                                                      
                                                    
                                                    
                                                      
                                                        
                                                      
                                                      
                                                        
                                                          2
                                                          +
                                                          
                                                            
                                                              
                                                                
                                                                  
                                                                
                                                                
                                                                  
                                                                    
                                                                      9
                                                                      
                                                                        2
                                                                      
                                                                    
                                                                  
                                                                
                                                              
                                                              
                                                                
                                                                  
                                                                
                                                                
                                                                  
                                                                    2
                                                                    +
                                                                    ⋱
                                                                  
                                                                
                                                              
                                                            
                                                          
                                                        
                                                      
                                                    
                                                  
                                                
                                              
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}
  Konvergensene er relatert til Leibniz-formelen for pi: for eksempel

  
    
      
        
          
            1
            
              1
              +
              
                
                  
                    1
                    
                      2
                    
                  
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            2
            3
          
        
        =
        1
        −
        
          
            1
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{1+{\frac {1^{2}}{2}}}}={\frac {2}{3}}=1-{\frac {1}{3}}}
  and

  
    
      
        
          
            1
            
              1
              +
              
                
                  
                    1
                    
                      2
                    
                  
                  
                    2
                    +
                    
                      
                        
                          3
                          
                            2
                          
                        
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          
            13
            15
          
        
        =
        1
        −
        
          
            1
            3
          
        
        +
        
          
            1
            5
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{1+{\frac {1^{2}}{2+{\frac {3^{2}}{2}}}}}}={\frac {13}{15}}=1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}.}
  På grunn av nødvendigheten av mange ledd for å nærme seg reel pi er ikke  Brounckers formel egnet til praktisk bruk eller utregning av π.
Brounckers formel kan også uttrykkes som

  
    
      
        
          
            4
            π
          
        
        =
        1
        +
        
          
            
              
                
              
              
                
                  
                    1
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            
              
                
              
              
                
                  2
                  +
                  
                    
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            
                              3
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                        
                        
                          
                            2
                            +
                            
                              
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      
                                        5
                                        
                                          2
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                                
                                  
                                    
                                  
                                  
                                    
                                      2
                                      +
                                      
                                        
                                          
                                            
                                              
                                            
                                            
                                              
                                                
                                                  7
                                                  
                                                    2
                                                  
                                                
                                              
                                            
                                          
                                          
                                            
                                              
                                            
                                            
                                              
                                                2
                                                +
                                                
                                                  
                                                    
                                                      
                                                        
                                                      
                                                      
                                                        
                                                          
                                                            9
                                                            
                                                              2
                                                            
                                                          
                                                        
                                                      
                                                    
                                                    
                                                      
                                                        
                                                      
                                                      
                                                        
                                                          2
                                                          +
                                                          ⋱
                                                        
                                                      
                                                    
                                                  
                                                
                                              
                                            
                                          
                                        
                                      
                                    
                                  
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {4}{\pi }}=1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}
  


== Referanser ==