Dielektrisk materiale

Dielektrisk material eller dielektrikum er et elektrisk isolerende stoff. Når dette materialet blir passert i et elektrisk felt, vil ikke ladningsbærerne bevege seg fritt som i en elektrisk leder, men bare flytte seg lokalt innen hvert atom eller molekyl som stoffet består av. De positive ladningene forskyves langs det ytre feltet, mens de negative beveger seg litt i motsatt retning. På den måten vil molekylene få et elektrisk dipolmoment og man sier at materialet er blitt polarisert. Denne effekten kan beskrives ved en elektrisk polarisasjonsvektor P som tilsvarer magnetiseringen M i et magnetisk materiale.
Slike materialer har mange, praktiske anvendelser. De inngår for det første som den avgjørende del av elektriske kondensatorer hvis egenskaper avhenger av materialets dielektrisitetskonstant.  På lignende vis inngår de i mange andre deler av moderne elektronikk. Da de dielektriske egenskapene til materialet også bestemmer dets brytningsindeks, benyttes de i flere forskjellige sammenhenger i optikken.


== Elektrisk polarisasjon ==
I et elektrisk felt E vil hvert molekyl i et dielektrisk materiale polariseres i samme retning som feltet. Det er viktig at det ikke er for sterkt slik at det ikke river noen av ladningsbærerne løs fra molekylene i stoffet. Når det derfor er tilstrekkelig svakt, vil det eksistere en «lineær» sammenheng mellom polarisasjonen og det påtrykte feltet. I SI-systemet skrives denne som

  
    
      
        
          P
        
        =
        
          ε
          
            0
          
        
        
          χ
          
            e
          
        
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon _{0}\chi _{e}\mathbf {E} }
  hvor ε0 er dielektrisitetskonstanten til vakuum og den dimensjonsløse faktoren χe  er den elektriske susceptibiliteten til materialet.  Dens størrelse er bestemt av den atomære oppbygningen av materialet og betraktes vanligvis som en konstant selv om den i allminnelighet vil forandre seg noe med temperaturen. Hvis det ytre feltet varierer periodisk med tiden med en bestemt frekvens, vil den også kunne være avhengig av frekvensen. Det er denne effekten som gir opphav til dispersjon i optikken.


=== Forskyvningsfeltet ===
Når polarisasjonen P er konstant i materialet, vil forskyvningen av ladningene i de forskjellige molekylene være den samme overalt i materialet slik at den ikke gir noe netto ladningsoverskudd noe sted. Men hvis den varierer med posisjonen, vil ikke nødvendigvis ladningsforskyvningen i et punkt kompenseres med en tilsvarende fra et nabopunkt. På den måten vil det oppstå en lokal tetthet ρb  av bundne ladninger som er gitt ved den deriverte av polarisasjonen. I tre dimensjoner uttrykkes dette ved divergensen av dette vektorfeltet som

  
    
      
        
          ρ
          
            b
          
        
        =
        −
        
          ∇
        
        ⋅
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \rho _{b}=-{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {P} }
  
Disse ladningene vil ikke bidra til den elektriske strømmen da de er bundne fast til molekylene, men de forandrer det elektriske feltet i materialet. Dette er gitt ved Gauss' lov som

  
    
      
        
          ∇
        
        ⋅
        
          E
        
        =
        
          
            1
            
              ε
              
                0
              
            
          
        
        ρ
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} ={1 \over \varepsilon _{0}}\rho }
  hvor ρ  er den totale ladningstettheten som eksisterer i hvert punkt. Hvis der også befinner seg frie ladninger med ladningstettheten ρf, vil man derfor ha ρ = ρf + ρb  i et dielektrisk materiale. Ved å innsette her for den bundne ladningstettheten ρb  uttykt ved polarisasjonen, tar Gauss' lov formen

  
    
      
        
          ∇
        
        ⋅
        
          D
        
        =
        
          ρ
          
            f
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {D} =\rho _{f}}
  hvor det elektriske forskyvingsfeltet er definert som

  
    
      
        
          D
        
        =
        
          ε
          
            0
          
        
        
          E
        
        +
        
          P
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }
  For et linært materiale kan man uttrykke polarisasjonen ved hjelp av det ytre feltet slik at man da har D = ε E hvor

  
    
      
        ε
        =
        
          ε
          
            0
          
        
        (
        1
        +
        
          χ
          
            e
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \varepsilon =\varepsilon _{0}(1+\chi _{e})}
  kalles for permittiviteten til materialet. Den «relative permittiviteten» εr = 1 + χe  er et dimensjonsløst tall. For gasser er denne lite forskjellig fra 1, mens den for væsker og faste stoffer kan ta større verdier.Når disse feltene varierer med tiden, vil den tidsderiverte av D-feltet gi opphav til Maxwells forskyvningsstrøm. Den er avgjørende for eksistensen for alle elektromagnetiske bølger.


=== Molekylær polarisasjon ===
Polarisasjonen P til materialet skyldes at ladningene i hvert molekyl eller atom forskyves i det elektriske feltet E. Dette tenker man seg som et gjennomsnittelig felt i materialet som skiller seg fra det virkelige feltet som kan variere sterkt mellom molekylene med deres elektroner og atomkjerner. Hvis man betrakter et enkelt molekyl, vil det være påvirket av det gjennomsnittelige feltet E pluss det elektriske feltet fra de molekylære naboene. Man kan derfor skrive det som 

  
    
      
        
          
            E
          
          
            l
            o
            k
          
        
        =
        
          E
        
        +
        
          
            E
          
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} _{lok}=\mathbf {E} +\mathbf {E} '}
  hvor det siste bidraget må kunne uttrykkes ved polarisasjonen P. Antar man at det ene molekylet under betraktning befinner seg i et lite, sfærisk hulrom, kan man vise at E'  = P/3ε0. Dette resultatet kommer man frem til på samme måte som ved beregning av feltet i en magnetiserbar kule i et ytre magnetfelt.Forskyvningene av ladningene i molekylet forårsaket av dette lokale feltet gir gir det et elektrisk dipolmoment definert ved

  
    
      
        
          p
        
        =
        
          α
          
            e
          
        
        
          ε
          
            0
          
        
        
          
            E
          
          
            l
            o
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} =\alpha _{e}\varepsilon _{0}\mathbf {E} _{lok}}
  hvor koeffisienten αe  kalles den molekylære polarisabiliteten. Hvis materialet inneholder N molekyler per volumenhet, er da den makroskopiske polarisasjonen gitt som

  
    
      
        
          P
        
        =
        N
        
          p
        
        =
        N
        
          α
          
            e
          
        
        
          ε
          
            0
          
        
        
          
            (
          
        
        
          E
        
        +
        
          
            
              P
            
            
              3
              
                ε
                
                  0
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} =N\mathbf {p} =N\alpha _{e}\varepsilon _{0}{\Big (}\mathbf {E} +{\mathbf {P}  \over 3\varepsilon _{0}}{\Big )}}
  Herfra kan man finne et eksplisitt resultat for P uttrykt ved E som dermed viser hvordan susceptibiliteten χe  avhenger av den molekylære polarisibiliteten αe,

  
    
      
        
          χ
          
            e
          
        
        =
        
          
            
              N
              
                α
                
                  e
                
              
            
            
              1
              −
              N
              
                α
                
                  e
                
              
              
                /
              
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \chi _{e}={N\alpha _{e} \over 1-N\alpha _{e}/3}}
  Derfor er den relative permittiviteten for materialet 

  
    
      
        
          ε
          
            r
          
        
        =
        
          
            
              1
              +
              2
              N
              
                α
                
                  e
                
              
              
                /
              
              3
            
            
              1
              −
              N
              
                α
                
                  e
                
              
              
                /
              
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{r}={1+2N\alpha _{e}/3 \over 1-N\alpha _{e}/3}}
  Dette resultatet kalles vanligvis for «Clausius-Mossotti-relasjonen» etter den tyske fysiker Rudolf Clausius og den italienske fysiker Ottaviano-Fabrizio Mossotti som kom frem til den uavhengig av hverandre.Hvis det elektriske materialet er en tynn gass hvor molekylene befinner seg i relativ stor avstand fra hverandre, er det rimelig å anta at  polarisibiliteten er liten slik at man kan sette Nαe << 1, blir da susceptibiliteten ganske enkelt χe = Nαe.


== Elektromagnetiske bølger ==
Når det elektriske feltet i et dielektrikum varierer med tiden, vil det samtidig oppstå et magnetisk felt som en konsekvens av Maxwells ligninger som forbinder dem. Uten elektriske strømmer i materialet er denne sammenhengen dermed gitt ved

  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        
          E
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                B
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        ,
        
        
        
        
          ∇
        
        ×
        
          H
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                D
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\;\;\;{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}
  hvor de to magnetiske feltene er forbundet ved B = μ H via permeabiliteten μ. Dielektriske materialer er umagnetiske og denne er derfor med god nøyaktighet den samme som i vakuum, det vil si at μ = μ0 = 4π × 10-7⋅N/A2  som også kalles den «magnetiske konstanten».
Ved å innføre forskyvningsfeltet D = ε E i den første ligningen og så ta curl av den, tar den formen

  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        (
        
          ∇
        
        ×
        
          D
        
        )
        =
        
          ∇
        
        (
        
          ∇
        
        ⋅
        
          D
        
        )
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          D
        
        =
        −
        ε
        
          μ
          
            0
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        (
        
          ∇
        
        ×
        
          H
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {D} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {D} )-\nabla ^{2}\mathbf {D} =-\varepsilon \mu _{0}{\partial  \over \partial t}({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} )}
  Høyre side kan her forenkles ved å bruke den andre Maxwell-ligningen. Sammen med Gauss' lov ∇⋅D = 0  i materialet hvor der er ingen frie ladninger, gir dette den elektromagnetiske bølgeligningen

  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            −
            
              c
              
                2
              
            
            
              ∇
              
                2
              
            
          
          )
        
        
          D
        
        (
        
          x
        
        ,
        t
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-c^{2}\nabla ^{2}\right)\mathbf {D} (\mathbf {x} ,t)=0}
  etter å ha innført

  
    
      
        c
        =
        
          
            
              1
              
                ε
                
                  μ
                  
                    0
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c={\sqrt {1 \over \varepsilon \mu _{0}}}}
  Den samme ligningen vil det magnetiske feltet  B(x,t)  oppfylle. Konstanten c er derfor forplantningshastigheten for elektromagnetiske bølger i dielektrikumet.


=== Brytningsindeks ===
For den delen av det elektromagnetiske spektret som tilsvarer synlig lys, vil  bølgehastigheten c være lyshastigheten i materialet. Det er da vanlig å uttrykke  permittiviteten ved den relative permittiviteten som ε = ε0εr slik at lyshastighten kan skrives som  c = c0/n  hvor brytningsindeksen n = √εr  og 

  
    
      
        
          c
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              1
              
                
                  ε
                  
                    0
                  
                
                
                  μ
                  
                    0
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{0}={\sqrt {1 \over \varepsilon _{0}\mu _{0}}}}
  er lyshastigheten i vakuum. Da  vanligvis n > 1, vil lyset forplante seg langsommere i et dielektrisk materiale.
Størrelsen av brytningsindeksen er via den relative dielektrisitetskonstanten εr = n2   bestemt av materialets molekylære polarisibilitet αe  og tetthet N. Ved å skrive om relasjonen til Lorenz og Lorentz har man sammenhengen

  
    
      
        
          
            
              
                n
                
                  2
                
              
              −
              1
            
            
              
                n
                
                  2
                
              
              +
              2
            
          
        
        =
        
          
            
              N
              
                α
                
                  e
                
              
            
            
              3
              
                ε
                
                  0
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {n^{2}-1 \over n^{2}+2}={N\alpha _{e} \over 3\varepsilon _{0}}}
  som kalles «Lorenz-Lorentz-relasjonen» etter den danske fysiker Ludvig Lorenz og den nederlandske fysiker Hendrik Lorentz.Når polarisasjonen er liten, er brytningsindeksen ikke så mye forskjellig fra verdien 1 i vakuum. Man kan da sette nevneren i relasjonen tilnærmet lik med 3, slik at den tar den enklere formen  n2 - 1 = Nαe /ε0. Med samme nøaktighet kan man her også skrive n2 - 1 = 2(n - 1) som gir at

  
    
      
        n
        =
        1
        +
        
          
            
              N
              
                α
                
                  e
                
              
            
            
              2
              
                ε
                
                  0
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle n=1+{N\alpha _{e} \over 2\varepsilon _{0}}}
  På den formen kan den brukes til å finne brytningsindeksen for tynne gasser. Den molekylære polarisibiliteten kan beregnes ved bruk av atomfysikk som gjør det mulig å utlede effekten av det elektriske feltet i lyset på bevegelsen til elektronene i hvert atom. Denne effekten avhenger av bølgelengden til lyset slik at brytningsindeksen også vil ha en slik avhengighet og kalles for dispersjon. Fargene i en regnbue skyldes denne koblingen mellom lys og materie.I denne beregningen av lyshastigheten er det antatt at det dielektriske materialet lar seg polarisere like lett i alle retninger. Men noen ganger har det en krystallstruktur som gir opphav til spesielle retninger i materialet eller det består av molekyler som lar seg polarisere lettere i noen retninger inn i andre. Da vil også lyshastighten bli forskjellig i ulike retninger og man kan observere fenomener som dobbeltbrytning.


== Anisotropisk dielektrikum ==
De dielektriske egenskaper til materialet er bestemt av den polarisasjon P som et elektrisk felt E gir opphav til. Men noen materialer lar seg polarisere lettere i en retning enn i andre. Dette kan skyldes at det består av asymmetriske molekyler som har denne egenskapen, eller at molekylene inngår i en krystallstruktur som skaper foretrukne retninger i materialet. Uansett årsak, vil dermed  vektoren P få en retning som ikke lenger er den samme som det elektriske feltet. Dermed vil i allminnelighet heller ikke forskyvningsfeltet D være parallelt med E. For et lineært materiale må man da skrive hver komponent av denne vektoren på den mer generelle formen

  
    
      
        
          D
          
            i
          
        
        =
        
          ε
          
            i
            x
          
        
        
          E
          
            x
          
        
        +
        
          ε
          
            i
            y
          
        
        
          E
          
            y
          
        
        +
        
          ε
          
            i
            z
          
        
        
          E
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{i}=\varepsilon _{ix}E_{x}+\varepsilon _{iy}E_{y}+\varepsilon _{iz}E_{z}}
  Da både E og D er vektorer, vil derfor dielektrisitetskonstanten i et anisotropt materiale være en tensor med to indekser. Den har da i utgangspunktet i alt 3×3 =  9 uavhengige komponenter.Hvis det i tillegg befinner seg et magnetisk felt B = μ0 H i materialet, vil det ha en elektromagnetisk energitetthet

  
    
      
        U
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            (
          
        
        
          E
        
        ⋅
        
          D
        
        +
        
          B
        
        ⋅
        
          H
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle U={1 \over 2}{\Big (}\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} {\Big )}}
  Denne energien kan bre seg utover ved en energistrøm gitt ved Poyntings vektor S = E × H. Da den totale, elektromagnetiske energien må være bevart også ved slik utstråling, har man kontinuitetsligningen 

  
    
      
        
          
            
              ∂
              U
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          ∇
        
        ⋅
        
          S
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial U \over \partial t}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {S} =0}
  som i denne sammenhengen omtales som Poyntings teorem.


=== Maxwells ligninger ===
I allminnelighet vil de elektromagnetiske feltene i materialet variere med tiden. De vil da bli koblet sammen og styrt av de to Maxwell-ligningene ∇ × E = - ∂B/∂t  og ∇ × H = ∂D/∂t  når der ikke finnes noen elektriske strømmer. Da magnetiske materialer vanligvis er umagnetiske, er de to magnetfeltene ganske enkelt forbundet ved B = μ0 H. Derimot er de to elektriske feltene E og D forbundet ved den dielektriske tensoren εik som i utgangspunktet har 3×3 = 9 komponenter.Divergensen av Poyntings vektor gir kan utregnes ved bruk av standard formel fra vektoranalysen og disse to ligningene,

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∇
                
                ⋅
                (
                
                  E
                
                ×
                
                  H
                
                )
              
              
                
                =
                
                  H
                
                ⋅
                
                  ∇
                
                ×
                
                  E
                
                −
                
                  E
                
                ⋅
                
                  ∇
                
                ×
                
                  H
                
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                
                  H
                
                ⋅
                
                  
                    
                      
                        B
                      
                      ˙
                    
                  
                
                −
                
                  E
                
                ⋅
                
                  
                    
                      
                        D
                      
                      ˙
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\mathbf {E} \times \mathbf {H} )&=\mathbf {H} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} -\mathbf {E} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} \\&=-\mathbf {H} \cdot {\dot {\mathbf {B} }}-\mathbf {E} \cdot {\dot {\mathbf {D} }}\end{aligned}}}
  når den deriverte av en variabel med hensyn på tiden angis ved en prikk over denne variabelen. Men samtidig er den tidsderiverte av energitettheten

  
    
      
        
          
            
              ∂
              U
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            (
          
        
        
          
            
              
                E
              
              ˙
            
          
        
        ⋅
        
          D
        
        +
        
          E
        
        ⋅
        
          
            
              
                D
              
              ˙
            
          
        
        +
        
          
            
              
                B
              
              ˙
            
          
        
        ⋅
        
          H
        
        +
        
          B
        
        ⋅
        
          
            
              
                H
              
              ˙
            
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\partial U \over \partial t}={1 \over 2}{\Big (}{\dot {\mathbf {E} }}\cdot \mathbf {D} +\mathbf {E} \cdot {\dot {\mathbf {D} }}+{\dot {\mathbf {B} }}\cdot \mathbf {H} +\mathbf {B} \cdot {\dot {\mathbf {H} }}{\Big )}}
  Men nå er 
  
    
      
        
          
            
              
                B
              
              ˙
            
          
        
        ⋅
        
          H
        
        =
        
          B
        
        ⋅
        
          
            
              
                H
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {B} }}\cdot \mathbf {H} =\mathbf {B} \cdot {\dot {\mathbf {H} }}}
   da disse to vektorene har samme retning. Innsatt i kontinuitetsligningen som uttrykker Poyntings teorem, forenkles denne dermed til 
  
    
      
        
          
            
              
                E
              
              ˙
            
          
        
        ⋅
        
          D
        
        =
        
          E
        
        ⋅
        
          
            
              
                D
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {E} }}\cdot \mathbf {D} =\mathbf {E} \cdot {\dot {\mathbf {D} }}}
  . Skriver man begge sidene av denne ligningen ut på komponentform, har man

  
    
      
        
          
            
              
                E
              
              ˙
            
          
        
        ⋅
        
          D
        
        =
        
          
            
              
                E
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        
          D
          
            i
          
        
        =
        
          ε
          
            i
            k
          
        
        
          
            
              
                E
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        
          E
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {E} }}\cdot \mathbf {D} ={\dot {E}}_{i}D_{i}=\varepsilon _{ik}{\dot {E}}_{i}E_{k}}
  
  
    
      
        
          E
        
        ⋅
        
          
            
              
                D
              
              ˙
            
          
        
        =
        
          E
          
            i
          
        
        
          
            
              
                D
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        =
        
          ε
          
            i
            k
          
        
        
          
            
              
                E
                ˙
              
            
          
          
            k
          
        
        
          E
          
            i
          
        
        =
        
          ε
          
            k
            i
          
        
        
          
            
              
                E
                ˙
              
            
          
          
            i
          
        
        
          E
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\dot {\mathbf {D} }}=E_{i}{\dot {D}}_{i}=\varepsilon _{ik}{\dot {E}}_{k}E_{i}=\varepsilon _{ki}{\dot {E}}_{i}E_{k}}
  etter å ha har byttet om navnene på de to summasjonsindeksene i siste ledd av nederste ligning. Bevarelse av feltenergien betyr derfor at dielektrisitetstensoren må være symmetrisk,

  
    
      
        
          ε
          
            i
            k
          
        
        =
        
          ε
          
            k
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{ik}=\varepsilon _{ki}}
  Som for enhver symmetrisk tensor, kan man da alltid finne et rettvinklet koordinatsystem hvor tensoren har bare tre diagonale komponenter,

  
    
      
        ε
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    ε
                    
                      x
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    ε
                    
                      x
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    ε
                    
                      x
                      z
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    ε
                    
                      y
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    ε
                    
                      y
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    ε
                    
                      y
                      z
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    ε
                    
                      z
                      x
                    
                  
                
                
                  
                    ε
                    
                      z
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    ε
                    
                      z
                      z
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        ⟹
        
          
            [
            
              
                
                  
                    ε
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    ε
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  
                    ε
                    
                      z
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon ={\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}&\varepsilon _{xy}&\varepsilon _{xz}\\\varepsilon _{yx}&\varepsilon _{yy}&\varepsilon _{yz}\\\varepsilon _{zx}&\varepsilon _{zy}&\varepsilon _{zz}\end{bmatrix}}\Longrightarrow {\begin{bmatrix}\varepsilon _{x}&0&0\\0&\varepsilon _{y}&0\\0&0&\varepsilon _{z}\end{bmatrix}}}
  Disse tre retningene i det dielektriske materialet kalles hovedretningene med de tilsvarende dielektriske komponentene εx,  εy og  εz. De gir opphav til tre forskjellige brytningsindekser som tilsier at lys kan bevege seg i et slikt materiale med opp til tre forskjellige hastigheter, noe som danner grunnlaget for krystalloptikken.


=== Plane bølger ===

En plan bølge er karakterisert ved en bølgevektor k som står vinkelrett på de tilsvarende plane bølgefrontene. Den har en tilsvarende vinkelfrekvens ω og kan skrives som en fasevektor

  
    
      
        
          E
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            E
          
          
            0
          
        
        
          e
          
            i
            (
            
              k
            
            ⋅
            
              r
            
            −
            ω
            t
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} _{0}e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t)}}
  hvis man betrakter det elektriske feltet i bølgen. De andre feltene tilhørende den samme bølgen kan skrives likedan. I et isotropt medium er sammenhengen mellom frekvensen ω og bølgetallet k gitt ved «dispersjonsrelasjonen» ω = kc hvor c er lyshastigheten i materialet som da er den samme i alle retninger.Sammenhengen mellom de forskjellige feltene i et anisotropt materiale er igjen gitt ved Maxwells ligninger. Fra ∇⋅D = 0 som betyr at k⋅D = 0 slik at dette feltet står vinkelrett på bølgevektoren k. Det gjelder ikke lenger for det elektriske feltet E. Men fra ∇⋅B = 0 følger at begge de magnetiske feltene B og H står vinkelrett på denne retningen. På samme måte som D, sies de å være transverse til utbredelsesretningen k.
Maxwell-ligningen ∇ × E = - ∂B/∂t  anvendt på den samme bølgen gir sammenhengen

  
    
      
        
          B
        
        =
        
          
            
              k
            
            ω
          
        
        ×
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} ={\mathbf {k}  \over \omega }\times \mathbf {E} }
  ,mens ∇ × H = ∂D/∂t  gir

  
    
      
        
          D
        
        =
        −
        
          
            
              k
            
            ω
          
        
        ×
        
          H
        
        =
        −
        
          
            1
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              
                ω
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          k
        
        ×
        (
        
          k
        
        ×
        
          E
        
        )
        =
        
          
            
              
                E
              
              
                T
              
            
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {D} =-{\mathbf {k}  \over \omega }\times \mathbf {H} =-{1 \over \mu _{0}\omega ^{2}}\mathbf {k} \times (\mathbf {k} \times \mathbf {E} )={\mathbf {E} _{T} \over \mu _{0}c^{2}}}
  hvor den transverse komponenten av det elektriske feltet er

  
    
      
        
          
            E
          
          
            T
          
        
        =
        
          E
        
        −
        
          
            
              
                k
              
              ^
            
          
        
        (
        
          
            
              
                k
              
              ^
            
          
        
        ⋅
        
          E
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} _{T}=\mathbf {E} -{\hat {\mathbf {k} }}({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {E} )}
  etter å ha innført enhetsvektoren 
  
    
      
        
          
            
              
                k
              
              ^
            
          
        
        =
        
          k
        
        
          /
        
        k
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {k} /k}
   hvor k = ω/c. Dermed er k⋅ET = 0. Vektoren E ligger i samme plan som k og D.Den elektriske feltenergitettheten i bølgen er 

  
    
      
        
          U
          
            e
            l
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          E
        
        ⋅
        
          D
        
        =
        
          
            
              
                E
              
              ⋅
              
                
                  E
                
                
                  T
                
              
            
            
              2
              
                μ
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              
                μ
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            [
          
        
        
          
            E
          
          
            2
          
        
        −
        (
        
          
            
              
                k
              
              ^
            
          
        
        ⋅
        
          E
        
        
          )
          
            2
          
        
        
          
            ]
          
        
        =
        
          
            
              
                E
              
              
                T
              
              
                2
              
            
            
              2
              
                μ
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{el}={1 \over 2}\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} ={\mathbf {E} \cdot \mathbf {E} _{T} \over 2\mu _{0}c^{2}}={1 \over 2\mu _{0}c^{2}}{\Big [}\mathbf {E} ^{2}-({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {E} )^{2}{\Big ]}={\mathbf {E} _{T}^{2} \over 2\mu _{0}c^{2}}}
  På samme måte blir den magnetiske feltenergitettheten 

  
    
      
        
          U
          
            m
            a
            g
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          B
        
        ⋅
        
          H
        
        =
        
          
            1
            
              2
              
                μ
                
                  0
                
              
              
                ω
                
                  2
                
              
            
          
        
        (
        
          k
        
        ×
        
          E
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              
                μ
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            [
          
        
        
          
            E
          
          
            2
          
        
        −
        (
        
          
            
              
                k
              
              ^
            
          
        
        ⋅
        
          E
        
        
          )
          
            2
          
        
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{mag}={1 \over 2}\mathbf {B} \cdot \mathbf {H} ={1 \over 2\mu _{0}\omega ^{2}}(\mathbf {k} \times \mathbf {E} )^{2}={1 \over 2\mu _{0}c^{2}}{\Big [}\mathbf {E} ^{2}-({\hat {\mathbf {k} }}\cdot \mathbf {E} )^{2}{\Big ]}}
  De to energikomponentene er derfor like store som for en elektromagnetisk bølge i et isotropisk materiale. Men Poyntings vektor E × H har nå en annen retning enn bølgevektoren k.


== Referanser ==