Bilineær form

Innen matematikk sies en funksjon sies å være på bilineær form dersom den er definert fra det kartesiske produktet av to vektorrom til skalarkroppen vektorrommet er definert over, og er lineær i hvert argument. Bilineære former er en generalisering av lineære funksjoner, og et spesialtilfelle av funksjoner på multilineær form.
Merk at man ikke kompleks-konjugerer skalarene; dette gjøres derimot for funksjoner på sesquilineær form, som ofte er mer interessante dersom man jobber med komplekse vektorrom.


== Definisjon ==
En bilineær form er en funksjon

  
    
      
        f
        :
        V
        ×
        V
        :
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle f:V\times V:\mathbb {K} }
  der V er et vektorrom definert over 
  
    
      
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {K} }
  , som vanligvis er de relle tallene 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
   eller de komplekse tallene 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  , som oppfyller at

  
    
      
        f
        (
        a
        x
        +
        b
        y
        ,
        z
        )
        =
        a
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        +
        b
        f
        (
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(ax+by,z)=af(x,y)+bf(y,z)}
  , og

  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        a
        y
        +
        b
        z
        )
        =
        a
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        +
        b
        f
        (
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,ay+bz)=af(x,y)+bf(y,z)}
  for alle vektorer 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ∈
        V
      
    
    {\displaystyle x,y,z\in V}
   og alle skalarer 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ∈
        
          K
        
      
    
    {\displaystyle a,b\in \mathbb {K} }
  . Et vektorrom V definert med en bilineær form f kalles for et bilineært rom.


=== Spesialiseringer ===
En bilineær form 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   sies å være

refleksiv hvis 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=0}
   dersom 
  
    
      
        f
        (
        y
        ,
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(y,x)=0}
  
symmetrisk hvis 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        f
        (
        y
        ,
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=f(y,x)}
  
skjevsymmetrisk hvis 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        −
        f
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y)=-f(x,y)}
  
alternerende hvis 
  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle f(x,x)=0}
  for alle 
  
    
      
        x
        ,
        y
        ∈
        V
      
    
    {\displaystyle x,y\in V}
  .


== Referanser ==


== Litteratur ==
Vivek Sahai og Vikas Bist (2002). Linear Algebra. CRC Press. ISBN 9780849324260. 


== Eksterne lenker ==
(en) Todd Rowland, Bilinear Form i MathWorld.
(en) Todd Rowland, Symmetric Bilinear Form i MathWorld.