Konveks funksjon

En konveks funksjon er en funksjon der en rett linje mellom hvilke som helst to punkter på grafen ligger over grafen. Ekvivalent kan man si at funksjonen er konveks dersom mengden av alle punkter som ligger over grafen danner en konveks mengde i planet. Funksjonene 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
   og 
  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{x}}
   er eksempler på konvekse funksjoner.
En funksjon kan være konveks på en delmengde av sitt definisjonsområde. For eksempel vil den relle funksjonen 
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}}
   være konkav på intervallet 
  
    
      
        (
        −
        ∞
        ,
        0
        ]
      
    
    {\displaystyle (-\infty ,0]}
  , men konveks på intervallet 
  
    
      
        [
        0
        ,
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle [0,\infty )}
  .


== Definisjon ==
For et generelt vektorrom gjelder følgende: La 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   være en konveks mengde i et reelt vektorrom, og la 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:X\rightarrow {\text{R}}}
   være en funksjon.

f sies å være konveks hvis:
  
    
      
        ∀
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ∈
        X
        ,
        ∀
        t
        ∈
        [
        0
        ,
        1
        ]
        :
        
        f
        (
        t
        
          x
          
            1
          
        
        +
        (
        1
        −
        t
        )
        
          x
          
            2
          
        
        )
        ≤
        t
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        +
        (
        1
        −
        t
        )
        f
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \forall x_{1},x_{2}\in X,\forall t\in [0,1]:\qquad f(tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).}
  f sies å være strengt konveks hvis:
  
    
      
        ∀
        
          x
          
            1
          
        
        ≠
        
          x
          
            2
          
        
        ∈
        X
        ,
        ∀
        t
        ∈
        (
        0
        ,
        1
        )
        :
        
        f
        (
        t
        
          x
          
            1
          
        
        +
        (
        1
        −
        t
        )
        
          x
          
            2
          
        
        )
        <
        t
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        +
        (
        1
        −
        t
        )
        f
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \forall x_{1}\neq x_{2}\in X,\forall t\in (0,1):\qquad f(tx_{1}+(1-t)x_{2})<tf(x_{1})+(1-t)f(x_{2}).}
  En funksjon f sies å være (strengt) konkav dersom -f er (strengt) konveks.


== Eksterne lenker ==
(en) Eric W. Weisstein, Convex Function i MathWorld.