Riemann-hypotesen

Riemann-hypotesen er en matematisk formodning som sier at Riemanns zetafunksjon,

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              
                s
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              2
              
                s
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              
                s
              
            
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots }
  ,
bare kan være lik null når 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
   er lik enten et negativt partall eller et komplekst tall med realdel lik 
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}}
  .
Formodningen er ikke bevist, derav betegnelsen hypotese. Man vet imidlertid at formodningen er sann for de negative partallene, det vil si at 
  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)=0}
   når  
  
    
      
        s
        =
        −
        2
        ,
        −
        4
        ,
        −
        6
        ,
        ⋯
      
    
    {\displaystyle s=-2,-4,-6,\cdots }
  . Disse nullpunktene til 
  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)}
   kalles trivielle nullpunkter. Funksjonen 
  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)}
   har imidlertid flere nullpunkter enn disse. Disse nullpunktene kalles ikke-trivielle nullpunkter, og det er hvor disse ikke-trivielle nullpunktene ligger som foreløpig ikke er bevist, og som Riemann-hypotesen konsentrerer seg om. 
Riemann-hypotesen sier at man bare kan finne ikke-trivielle nullpunkter der 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
   er lik et komplekst tall 
  
    
      
        s
        =
        σ
        +
        i
        t
      
    
    {\displaystyle s=\sigma +it}
   med realdel 
  
    
      
        σ
        =
        
          
            1
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma ={\frac {1}{2}}}
  . Hvis hypotesen er korrekt, vil derfor alle de ikke-trivielle nullpunktene ligge langs den kritiske linjen 
  
    
      
        s
        =
        
          
            1
            2
          
        
        +
        i
        t
      
    
    {\displaystyle s={\frac {1}{2}}+it}
   i det komplekse planet.
Riemann-hypotesen er et av de største uløste problemene i matematikken, og det ble plukket ut av Clay Mathemathics Institute som et av de syv millenniumprisproblemene i år 2000, som til dags er seks igjen. Den som klarer å løse et av disse seks problemene, vil bli tildelt én million amerikanske dollar. Riemann-hypotesen er av stor betydning fordi det er mange andre matematiske formodninger som er bevist å være sanne dersom Riemann-hypotesen er sann. Blant annet har plasseringen av de ikke-trivielle nullpunktene til Riemanns zetafunksjon betydning for fordelingen av primtallene.Hypotesen ble fremsatt i 1859 av den tyske matematikeren Bernhard Riemann og er derfor navngitt etter ham. Den norske matematikeren Atle Selberg har levert et av de viktigste bidragene for å forsøke å løse problemet.


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
Populærvitenskapelig fremstilling av problemet hos Numberphile