Brakistokronproblemet

Brakistokronproblemet (fra gresk  brachistos - korteste, chronos - tid) går ut på å finne den kurven som en partikkel må følge for at den skal bevege seg fortest mulig fra et punkt A  til et annet, lavereliggende punkt B  under påvirkning av tyngdekraften når man ser bort fra luftmotstanden. Problemet ble formulert og løst for over 300 år siden og spilte en viktig rolle i utviklingen av moderne matematikk.
Kurven som ga den ønskede løsningen, viste seg å være en sykloide. I et kartesisk koordinatsystem (x,y) med y -aksen rettet nedover langs tyngdefeltet, kan den fremstilles ved de to ligningene

  
    
      
        x
        =
        R
        (
        φ
        −
        sin
        ⁡
        φ
        )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle x=R(\varphi -\sin \varphi )\,,}
  
  
    
      
        y
        =
        R
        (
        1
        −
        cos
        ⁡
        φ
        )
        
        .
      
    
    {\displaystyle y=R(1-\cos \varphi )\,.}
  hvor vinkelen φ er proporsjonal med tiden og parameteren R er bestemt ved posisjonene til de to gitte punktene. Partikkelen starter ut med null hastighet i punktet A  med koordinater (x = 0, y = 0) som tilsvarer  φ = 0. Den når det laveste punktet i banen for  φ = π  hvor x = Rπ  og y = 2R. Her har den også sin maksimale hastighet.


== Historie ==
 
Har begynnelsespunktet A  for bevegelsen koordinatene (0,0)  og sluttpunktet B ligger i (a,b),  er tiden T  partikkelen behøver for å trille ned langs en rett linje mellom disse to punktene, gitt ved

  
    
      
        T
        =
        
          
            
              2
              g
            
          
        
        
          
            
              
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  b
                  
                    2
                  
                
              
              b
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T={\sqrt {2 \over g}}{\sqrt {a^{2}+b^{2} \over b}}}
  der g  er tyngdeakselerasjonen. Partikkelen starter da langsomt ut og får jevnt økende hastighet, avhengig av forholdet b/a.
For å redusere tiden, kan man gi den større hastighet i begynnelsen. Mest ekstremt er det å slippe den først rett ned en strekning b  slik at den lander i det horisontale planet der B  ligger, med hastighet √(2gb). Så triller den med denne hastigheten en avstand a  frem til B  som vist i animasjonen. Den fulle bevegelsen varer dermed en tid

  
    
      
        
          T
          ′
        
        =
        
          
            
              2
              g
            
          
        
        
          (
          
            
              
                b
              
            
            +
            
              
                a
                
                  2
                  
                    
                      b
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle T'={\sqrt {2 \over g}}\left({\sqrt {b}}+{a \over 2{\sqrt {b}}}\right)}
  Når forholdet b/a < 3/4, vil denne banen gi en kortere tid enn den rette linjen. Det tilsvarer situasjonen i animasjonen. Men er dette den raskeste bevegelsen?


=== Galileo Galilei ===
Allerede i 1638 hadde Galileo Galilei i sitt store verk Discorsi e dimostrazioni matematiche intorno a due nuove scienze diskutert et tilsvarende problem. Han viste da at hvis partikkelen fulgte en brukket linje mellom de to punktene A  og B, ville den bruke kortere tid enn om den fulgte den rette linjen mellom de samme to punktene. Ved å brekke opp den rette linjen i stadig flere og kortere segmenter, mente han at man kunne redusere tiden enda mer. Dette fikk han til å antyde at den raskeste banen ville være en sirkelbue hvor partikkelen i begynnelsespunktet A  faller rett ned et kort øyeblikk. Men han hadde ikke et matematisk apparat til å verifisere denne antagelsen.


=== Johann Bernoulli ===
Den sveitsiske matematiker Johann Bernoulli formulerte i 1696 brakistokronproblemet slik vi kjenner det i dag. Året etter hadde han kommet frem til løsningen. Den fant han ved å formulere det på samme måte som Fermats prinsipp for lysets bevegelse i et medium med variabel brytningsindeks. Da partikkelen starter ut i punktet A  med null hastighet, vil den etter å ha falt et stykke y ha hastigheten v = √(2gy). Det følger direkte fra energibevarelse som sier at mv2/2 = mgy. Da hastigheten er uavhengig av koordinaten x, vil bevegelsen måtte oppfylle det som tilsvarer Snells lov for lyset. Den sier at sinθ/v  har samme verdi langs hele banen når θ  er vinkelen banen danner med y -aksen. Den maksimale hastigheten vmax  som partikkelen kan ha, opptrer når θ = π/2. Kaller man fallhøyden i det punket for D, er derfor denne hastigheten vmax = √(2gD).
Beveger partikkelen seg et stykke ds  langs banen, er sinθ = dx/ds. Snells lov for bevegelsen kan da skrives som dx/ds = v/vmax = √(y/D). Kvadrerer man denne ligningen og benytter at ds2 = dx2 + dy2, finner man differensialligningen

  
    
      
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              y
            
          
        
        =
        
          
            
              y
              
                D
                −
                y
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {dx \over dy}={\sqrt {y \over D-y}}}
  Løsningen beskriver en sykloide. Den kurven var tidligere blitt studert av Galileo Galilei. Samme løsning ble også funnet av Isaac Newton, Gottfried Leibniz, Jakob Bernoulli og andre. Jakob Bernoulli var broren til Johann Bernoulli og benyttet en ny metode for å utlede løsningen. Den lå tett opp til det som senere ble kalt for variasjonsregning.


== Variasjonsregning ==
Den moderne løsningen av brakistokronproblemet finnes ved variasjonsregning som ble innført av Leonhard Euler i 1744 og gjort mer elegant av Joseph Louis Lagrange noen få år senere. Man tenker seg da banen beskrevet ved en parameter λ  slik at kurven er gitt ved de to funksjonene (x(λ), y(λ). Da man står relativt fritt i valg av kurveparameter, kan man også velge den å være lik en av koordinatene x  eller y. Begge valgene vil gi samme svar. Men velger man å bruke y, blir beregningen spesielt enkel og tett opp til metoden som Johann Bernoulli brukte.
Tiden for å tilbakelegge et lite intervall ds  er dt = ds/ v. Med y  som kurveparameter vil tiden som partikkelen behøver for å trille hele strekningen fra A  til B, være gitt ved integralet

  
    
      
        T
        =
        
          ∫
          
            A
          
          
            B
          
        
        
        d
        y
        
          
            
              
                1
                +
                
                  x
                  
                    ′
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            
              v
              (
              y
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T=\int _{A}^{B}\!dy{{\sqrt {1+x'^{2}}} \over v(y)}}
  hvor nå x' = dx/dy. Problemet består nå i å bestemme den ukjente funksjonen x = x(y)  slik at denne tiden T  blir minst mulig. Det kan gjøres ved bruk av variasjonsregning som vil gi den tilsvarende Euler-Lagrange-ligningen. Det endelige svaret finnes så ved å løse denne.
Men med dette valget av kurveparameter fremstår det nå en snarvei frem til den samme løsningen. Integranden i uttrykket for tiden T  er nemlig uavhengig av koordinaten x. Denne koordinaten er derfor en syklisk variabel. Dermed er den konjugerte variabel

  
    
      
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                ′
              
            
          
        
        
          
            
              
                1
                +
                
                  x
                  
                    ′
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            
              v
              (
              y
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              x
              ′
            
            
              v
              
                
                  1
                  +
                  
                    x
                    
                      ′
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            v
          
        
        
          
            
              d
              x
            
            
              d
              s
            
          
        
        =
        
          konstant,
        
      
    
    {\displaystyle {\partial  \over \partial x'}{{\sqrt {1+x'^{2}}} \over v(y)}={x' \over v{\sqrt {1+x'^{2}}}}={1 \over v}{dx \over ds}={\text{konstant,}}}
  og man er tilbake ved analogien til Snells lov som Johann Bernoulli benyttet. Dette resultatet er uavhengig av den nøyaktige formen til funksjonen v = v(y) og vil også resultere på en mer omstendelig måte ved bruk av Euler-Lagrange-ligningen.


=== Sykloiden ===
Denne bevegelsesligningen kan enkelt løses ved å benytte at dx/ds = sinθ = √(y/D).  Fallhøyden til partikkelen varierer derfor som y = D sin2θ  hvor D  angir det laveste punktet i banen for θ = π/2. Brukes nå vinkelen θ  som variabel i differensialligningen, tar den formen

  
    
      
        d
        x
        =
        
          
            
              y
              
                D
                −
                y
              
            
          
        
        d
        y
        =
        2
        D
        
          
            
              
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
              
              
                1
                −
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
              
            
          
        
        sin
        ⁡
        θ
        cos
        ⁡
        θ
        d
        θ
        =
        2
        D
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        d
        θ
      
    
    {\displaystyle dx={\sqrt {y \over D-y}}dy=2D{\sqrt {\sin ^{2}\theta  \over 1-\sin ^{2}\theta }}\sin \theta \cos \theta d\theta =2D\sin ^{2}\theta d\theta }
  Benytter man her den trigonometriske identiteten 2 sin2θ = 1 - cos 2θ, kan denne ligningen integreres direkte med resultatet

  
    
      
        x
        =
        R
        (
        2
        θ
        −
        sin
        ⁡
        2
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle x=R(2\theta -\sin 2\theta )}
  hvor nå R = D/2. Her er grensebetingelsen x = 0  for θ = 0  benyttet. På samme måte kan nå også y = D sin2θ  skrives som

  
    
      
        y
        =
        R
        (
        1
        −
        cos
        ⁡
        2
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle y=R(1-\cos 2\theta )}
  
Disse to ligningene beskriver tilsammen en sykloide med θ  som parameter. Denne kurven genereres av et punkt på en sirkel eller hjul som ruller horisontalt og hvor vinkelen φ = 2θ  angir hvor mye hjulet har rotert. Laveste punkt til kurven tilsvarer φ = π  der y = 2R  slik at D = 2R  er diameteren til den roterende sirkelen. Når φ = 2π  er det genererende punktet tilbake til utgangspunktet y = 0. At φ = 2θ  følger fra en enkel, geometrisk betraktning da tangenten til sykloiden i hvert punkt alltid går gjennom den genererende sirkels momentane toppunkt.
Det laveste punktet i banen tilsvarer φ = π  og har koordinatene x = π R  og y = 2R. Uttrykt ved de opprinnelige koordinatene a  og b  for sluttpunktet B , betyr det at når b/a < 2/π  vil partikkelen passere gjennom minimumspunktet og bevege seg oppover i den siste delen av banen mot B, det vil si mot tyngdekraften.


=== Tidsforløp ===
Sykloidekurven er løsningen til brakistokronproblemet og kalles derfor også noen ganger for en brakistokrone. Den gjør det nå mulig å beregne også hvor lang tid partikkelen behøver i sin bevegelse fra begynnelsespunket A  med y = 0. Den tilbakelegger et lite veistykke ds  i løpet av den korte tiden dt = ds/v  der v = √(2gD) sinθ  er hastigheten i et punkt på banen gitt ved vinkelen θ. Videre er dy/ds = cosθ  hvor dy/dθ = D sin2θ  som følger fra y - koordinaten til kurven. Dermed er tidsforløpet fra utgangspunktet θ = 0  til et vilkårlig punkt θ  gitt ved integralet

  
    
      
        t
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            θ
          
        
        
        
          
            
              d
              s
            
            v
          
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            θ
          
        
        
        
          
            
              d
              y
            
            
              v
              cos
              ⁡
              θ
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                2
                g
                D
              
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            θ
          
        
        
        d
        θ
        
          
            
              D
              sin
              ⁡
              2
              θ
            
            
              sin
              ⁡
              θ
              cos
              ⁡
              θ
            
          
        
        =
        
          
            
              
                2
                D
              
              g
            
          
        
        θ
      
    
    {\displaystyle t=\int _{0}^{\theta }\!{ds \over v}=\int _{0}^{\theta }\!{dy \over v\cos \theta }={1 \over {\sqrt {2gD}}}\int _{0}^{\theta }\!d\theta {D\sin 2\theta  \over \sin \theta \cos \theta }={\sqrt {2D \over g}}\theta }
  da sin2θ = 2 sinθ cosθ. Uttrykt ved vinkelen φ = 2θ  og radius R = D/2, tar svaret den enkle formen

  
    
      
        ϕ
        =
        
          
            
              g
              R
            
          
        
        
        t
      
    
    {\displaystyle \phi ={\sqrt {g \over R}}\,t}
  For å nå det laveste punktet i banen som har φ = π , trenger partikkelen derfor tiden π √(R/g). Fortsetter den videre opp langs sykloidekurven til y = 0 som tilsvarer punktet φ = 2π , bruker den opplagt det dobbelte av denne tiden.


== Tautokroni ==

Flere tiår før brakistokronproblemet var løst hadde Christiaan Huygens undersøkt egenskaper ved sykloiden i forbindelse med konstruksjon av nøyaktige klokker. Han oppdaget da at hvis en partikkel starter å trille ned langs en brakistokronkurve, så tar det like lang tid å nå bunnen til kurven for φ = π  uavhengig av hvor på kurven den starter.
Dette er vist i animasjonen til høyre. En kurve med den egenskapen sies å være tautokron, noe  som kommer fra gresk  tauto - samme, chronos - tid. Sykloiden er den eneste kurven med den egenskapen, og Huygens benyttet den ved utformingen av presise urverk.
Dette kan vises ved en beregning som er ganske lik beregningen av tidsforløpet for start i det øvre punktet med φ = 0. Men med et lavere startpunkt y0  blir hastigheten til partikkelen litt anderledes og følger fra energibevarelsen

  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          v
          
            2
          
        
        =
        m
        g
        (
        y
        −
        
          y
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {1 \over 2}mv^{2}=mg(y-y_{0})}
  Bruker man nå vinkelen θ  som variabel, følger fra sykloideligningene at y - y0 = R (cos2θ0 - cos2θ) og gir dermed hastigheten v = v(θ). Tiden som går med til å trille ned til bunnen, er da gitt ved det tidligere integralet

  
    
      
        t
        (
        
          θ
          
            0
          
        
        )
        =
        
          ∫
          
            
              θ
              
                0
              
            
          
          
            π
          
        
        
        
          
            
              d
              s
            
            v
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                2
                g
                D
              
            
          
        
        
          ∫
          
            
              θ
              
                0
              
            
          
          
            π
          
        
        
        
          
            
              d
              θ
            
            
              cos
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            
              D
              sin
              ⁡
              2
              θ
            
            
              
                
                  cos
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                
                  θ
                  
                    0
                  
                
                −
                
                  cos
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle t(\theta _{0})=\int _{\theta _{0}}^{\pi }\!{ds \over v}={1 \over {\sqrt {2gD}}}\int _{\theta _{0}}^{\pi }\!{d\theta  \over \cos \theta }{D\sin 2\theta  \over {\sqrt {\cos ^{2}\theta _{0}-\cos ^{2}\theta }}}}
  etter å ha brukt den trigonometriske identiteten cos 2θ = 2 cos2θ - 1. Ved å skifte integrasjonsvariabel til x = cosθ/cosθ0 , forenkles så integralet til

  
    
      
        t
        (
        
          θ
          
            0
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                2
                D
              
              g
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
        
          
            
              d
              x
            
            
              
                1
                −
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle t(\theta _{0})={\sqrt {2D \over g}}\int _{0}^{1}\!{dx \over {\sqrt {1-x^{2}}}}}
  Dermed er avhengigheten av utgangspunktet falt bort. Nå inngår bare et endelig integral som har verdien π/2  slik at svaret for trilletiden blir

  
    
      
        t
        (
        
          θ
          
            0
          
        
        )
        =
        π
        
          
            
              R
              g
            
          
        
      
    
    {\displaystyle t(\theta _{0})=\pi {\sqrt {R \over g}}}
  Den er den samme for alle startpunkt og lik tiden som ble tidligere funnet for å trille fra toppunktet.  Sykloiden er derfor en tautokron kurve. Dermed kunne den også ha blitt funnet ut fra dette kravet om tautokroni alene. Etterpå kunne man så ha vist at den også er en brakistokron kurve.


== Litteratur ==
H. Goldstine: A History of the Calculus of Variations from the 17th through the 19th Century, Springer, New York (1980). ISBN 1-4613-8106-8.