Bølgeligning

En bølgeligning er en differensialligning som beskriver hvordan en bølge beveger seg. I klassisk fysikk beskriver den utbredelsen av felt som for eksempel lyd eller lys. Den kan anta ulike former som for eksempel i hydrodynamikken ved beskrivelse av vannbølger, avhengig av ønsket nøyaktighet.  I kvantemekanikken er Schrödinger-ligningen en bølgeligning for materiebølger som beskriver partikler. Forskjellige former opptrer også i relativistisk kvantemekanikk og innen kvantefeltteori. Da partikler her opptrer som kvanter, kan bølgeligningen i denne sammenhengen betraktes som en generalisering av Newtons ligninger i klassisk mekanikk.
Ved å løse bølgeligningen, finner man hvordan utslaget eller feltet F(t,x)  beveger seg i tid t  og rom, gitt vanligvis ved de kartesiske koordinatene x = (x,y,z). De fleste bølgeligningene er lineære som betyr at hvis man kjenner to løsninger, så er også summen av dem en løsning.
Den mest vanlige bølgeligning ble funnet av Jean le Rond d'Alembert på midten av 1700-tallet for en svingende streng. Omtrent samtidig ble dens egenskaper videre undersøkt av Daniel Bernoulli og Leonhard Euler som også generaliserte den til bølger som beveget seg i mer enn én dimensjon. Hvis c  er bølgehastigheten, kan den skrives som

  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              F
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          c
          
            2
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        F
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial ^{2}F \over \partial t^{2}}-c^{2}\nabla ^{2}F=0}
  når man benytter Laplace-operatoren i det siste leddet. Da utslaget av en svingende streng er på tvers av bølgens bevegelsesretning, sies den tilsvarende bølgen å være «transvers». Men i en lydbølge er utslaget gitt ved trykkforandringer langs bølgeretningen. Den er derfor eksempel på en «longitudinal» bølge. Begge disse mekaniske bølgetypene beskriver skalarfelt som tar reelle verdier. Elektromagnetiske bølger består av transverse, reelle vektorfelt, mens gravitasjonsstråling er beskrevet ved et reelt tensorfelt. Derimot vil kvantemekaniske bølgeligninger vanligvis beskrive  utbredelsen av komplekse kvantefelt.


== D'Alemberts ligning ==

Bølgeligningen i en dimensjon kan lett utledes ved å betrakte en kjede med koblete, harmoniske oscillatorer. Hvis hver av dem har massen m og er elastisk koblet til sine to  naboer på hver side med kraftkonstant k, så kan bevegelsesligningen for massen i posisjon x skrives som

  
    
      
        m
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        u
        (
        t
        ,
        x
        )
        =
        k
        [
        u
        (
        t
        ,
        x
        +
        h
        )
        −
        u
        (
        t
        ,
        x
        )
        ]
        −
        k
        [
        u
        (
        t
        ,
        x
        )
        −
        u
        (
        t
        ,
        x
        −
        h
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle m{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(t,x)=k[u(t,x+h)-u(t,x)]-k[u(t,x)-u(t,x-h)]}
  hvor h  er den opprinnelig avstanden mellom massene før svingningene begynner og u(t,x)  er utslaget til massen som har likevektsposisjonen x.  Da svingningene foregår langs kjeden, vil den resulterende bølgen være longitudinal.I grensen h → 0 vil kjeden med diskrete masser gå over i en kontinuerlig streng. Hver av parentesene på høyre side av ligningen vil da kunne uttrykkes ved den deriverte u' = ∂u/∂x,

  
    
      
        m
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        u
        (
        t
        ,
        x
        )
        =
        k
        h
        [
        
          u
          ′
        
        (
        t
        ,
        x
        +
        h
        )
        −
        
          u
          ′
        
        (
        t
        ,
        x
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle m{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(t,x)=kh[u'(t,x+h)-u'(t,x)]}
  Denne differansen mellom de førstederiverte i to nærliggende punkt vil på samme måte definere den deriverte av den førstederiverte, det vil si den andrederiverte av utslaget med hensyn på posisjonen når h → 0. I denne grensen går derfor den diskrete bevegelsesligningen over i den kontinuerlige bølgeligningen

  
    
      
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        u
        (
        t
        ,
        x
        )
        =
        
          
            
              k
              
                h
                
                  2
                
              
            
            m
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        u
        (
        t
        ,
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(t,x)={kh^{2} \over m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}u(t,x)}
  For at bølgehastigheten skal få en bestemt verdi forskjellig fra null i denne grensen, må massen m og kraftkonstanten k justeres slik at kh2/m  blir endelig. I så fall kan bølgehastigheten skrives som

  
    
      
        c
        =
        
          
            
              F
              μ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c={\sqrt {F \over \mu }}}
  hvor F = kh  er en trykkraft i strengen og μ = m/h  er dens lineære massetetthet. Dette resultatet er ganske analogt med bølgehastigheten for de transversale svingningene av en elastisk streng.


=== Stående bølger ===
Den generelle løsningen av den endimensjonale bølgeligningen kan finnes fra mer fundamentale,  harmoniske bølger. En slik bølge svinger med en bestemt vinkelfrekvens ω  slik at den har formen

  
    
      
        u
        (
        t
        ,
        x
        )
        =
        U
        (
        x
        )
        cos
        ⁡
        (
        ω
        t
        −
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle u(t,x)=U(x)\cos(\omega t-\phi )}
  hvor fasevinkelen φ  avhenger av tidspunktet bølgen begynner å bevege seg. Innsatt i bølgeligningen reduseres denne da til Helmholtz-ligningen

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              U
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          k
          
            2
          
        
        U
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {d^{2}U \over dx^{2}}+k^{2}U=0}
  hvor k = ω/c  er bølgetallet. Denne enklere ligningen er «svingeligningen» for en harmonisk oscillator med de to fundamentale løsningene sinkx og cos kx. Kombineres disse med tidsavhengigheten cosωt, finnes den generelle løsningen som en kombinasjon av bølger sin(kx - ωt)  som går til høyre og sin(kx + ωt)  som går til venstre. Man forutsetter da at strengen er uendelig lang slik at bølgene ikke møter noe endepunkt hvor de kan reflekteres eller absorberes.

For en endelig streng med lengde L, må man angi hva som skjer i de to endepunktene som kan velges å være i x = 0 og x = L. Det er enklest er å anta at utslaget til bølgen er null i begge disse punktene. Den får da en romlig variasjon gitt ved funksjonen U(x) = sinkx hvor bølgetallet må oppfylle kravet kL = nπ  med n = 1, 2, 3, ... . For hver verdi av tallet n har man en egenmode som er den stående bølgen

  
    
      
        
          u
          
            n
          
        
        (
        t
        ,
        x
        )
        =
        
          A
          
            n
          
        
        sin
        ⁡
        
          k
          
            n
          
        
        x
        cos
        ⁡
        
          ω
          
            n
          
        
        t
      
    
    {\displaystyle u_{n}(t,x)=A_{n}\sin k_{n}x\cos \omega _{n}t}
  hvor alle punktene svinger synkront «i fase» med vinkelfrekvensen ωn =  ckn. Amplituden An  bestemmer størrelsen på utslaget. Ved å bruke den  trigonometriske identiteten som uttrykker sinus til en sum av to vinkler ved sinus og cosinus til hver av vinklene, kan man skrive

  
    
      
        2
        sin
        ⁡
        k
        x
        cos
        ⁡
        ω
        t
        =
        sin
        ⁡
        (
        k
        x
        +
        ω
        t
        )
        +
        sin
        ⁡
        (
        k
        x
        −
        ω
        t
        )
      
    
    {\displaystyle 2\sin kx\cos \omega t=\sin(kx+\omega t)+\sin(kx-\omega t)}
  Den stående bølgen er derfor en sum av to motgående, plane bølger med samme frekvens og amplitude.Fra disse fundamentale egenmodene kan den mest generelle  løsning for stående bølger på strengen skrives som

  
    
      
        u
        (
        t
        ,
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          A
          
            n
          
        
        sin
        ⁡
        
          
            
              n
              π
              x
            
            L
          
        
        cos
        ⁡
        (
        
          ω
          
            n
          
        
        t
        −
        
          ϕ
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle u(t,x)=\sum _{n=1}^{\infty }A_{n}\sin {n\pi x \over L}\cos(\omega _{n}t-\phi _{n})}
  hvor de er addert med fasevinkler φn  som i alminnelighet ikke er de samme i hver partialbølge. Resultatet er en kontinuerlige utgave av det diskrete resultatet for en kjede med koblede oscillatorer.


== Lydbølger ==
Bølgeligningen for longitudinale svingninger av en streng beskriver lydbølger som beveger seg i en dimensjon. Ligningen for utbredelse av lyd i et tredimensjonalt medium kan utledes i kontinuumsmekanikk. Her betrakter man et medium som består av en gass som luft. Det er karakterisert av et tetthetsfelt  ρ = ρ(t,x), et trykkfelt p = p(t,x) og hastighetsfeltet v = v(t,x). Bevegelsen er gitt ved Euler-ligningen

  
    
      
        ρ
        
          
            
              ∂
              
                v
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ρ
        (
        
          v
        
        ⋅
        
          ∇
        
        )
        
          v
        
        =
        −
        
          ∇
        
        p
      
    
    {\displaystyle \rho {\partial \mathbf {v}  \over \partial t}+\rho (\mathbf {v} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {v} =-{\boldsymbol {\nabla }}p}
  når man ser bort fra tyngdekraften som her ikke spiller noen rolle. Det første leddet på venstre side er den lokale akselerasjonen, mens det andre leddet er den konvektive akselerasjonen. Massen til gassen forandrer seg ikke og uttrykkes ved kontinuitetsligningen

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          ∇
        
        ⋅
        (
        ρ
        
          v
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial \rho  \over \partial t}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot (\rho \mathbf {v} )=0}
  Når gassen er i ro, har den en konstant tetthet ρ0  og et konstant trykk ρ0. En liten bevegelse i gassen vil perturbere disse verdiene. Tettheten og trykket tar da litt andre verdier, henholdsvis  ρ = ρ0 + Δρ  og p = p0 + Δp  hvor fluktuasjonene Δρ(t,x)  og Δp(t,x)  antas å være mye mindre enn likevektsverdiene. Når det er tilfelle, kan også den konvektive akselerasjonen i Euler-ligningen neglisjeres. De to ligningene forenkles da til

  
    
      
        
          ρ
          
            0
          
        
        
          
            
              ∂
              
                v
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          ∇
        
        (
        Δ
        p
        )
        =
        0
        ,
        
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        (
        Δ
        ρ
        )
        +
        
          ρ
          
            0
          
        
        
          ∇
        
        ⋅
        
          v
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \rho _{0}{\partial \mathbf {v}  \over \partial t}+{\boldsymbol {\nabla }}(\Delta p)=0,\;\;{\partial  \over \partial t}(\Delta \rho )+\rho _{0}{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {v} =0}
  hvor et konvektivt ledd v⋅∇(Δρ)  igjen er blitt neglisjert i den siste ligningen. Tar man så den tidsderiverte av denne ligningen og divergensen av den første, kan vi eliminere hastighetsleddet og får en differensialligning som involverer kun de to fluktuasjonene. Disse ikke er uavhengige av hverandre, men forbundet ved tilstandsligningen p = p(ρ,T)  for mediet. Dermed er

  
    
      
        Δ
        p
        =
        
          (
          
            
              
                ∂
                p
              
              
                ∂
                ρ
              
            
          
          )
        
        Δ
        ρ
      
    
    {\displaystyle \Delta p=\left({\partial p \over \partial \rho }\right)\Delta \rho }
  På denne måten kommer man frem til den tredimensjonale bølgeligningen

  
    
      
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            −
            
              c
              
                2
              
            
            
              ∇
              
                2
              
            
          
          )
        
        Δ
        ρ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left({\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-c^{2}\nabla ^{2}\right)\Delta \rho =0}
  for tetthetsfluktuasjon. Samme ligning gjelder da selvsagt også for trykkfluktuasjonen. Begge forplanter seg i gassen med bølgehastigheten

  
    
      
        c
        =
        
          
            
              
                ∂
                p
              
              
                ∂
                ρ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c={\sqrt {\partial p \over \partial \rho }}}
  Den partiellderiverte i kvadratroten kan uttrykkes ved mediets kompressibilitet og kan derfor beregnes når tilstandsligningen er kjent.


=== Lydhastighet ===
Newton var den første som beregnet lydens hastighet i luft ved å anta at fluktuasjonene foregår ved konstant temperatur. Det ga en verdi som var litt mindre enn den målte. Vel hundre år senere argumenterte Laplace for at Newtons antagelse ikke var riktig og at lyd brer seg ved at entropien er konstant. Dette viser seg å være riktig da det ved normale frekvenser ikke vil foregå noen varmetransport mellom forskjellige deler av væsken.
I uttrykket for lydhastigheten må derfor den partiellderiverte beregnes ved konstant entropi slik at man får

  
    
      
        c
        =
        
          
            
              
                (
                
                  
                    
                      ∂
                      p
                    
                    
                      ∂
                      ρ
                    
                  
                
                )
              
              
                S
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c={\sqrt {\left({\partial p \over \partial \rho }\right)_{S}}}}
  Uttrykt ved mediets kompresjonsmodul KS  blir dette

  
    
      
        c
        =
        
          
            
              
                K
                
                  S
                
              
              ρ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c={\sqrt {K_{S} \over \rho }}}
  som gjelder både for gasser og væsker. For eksempel,  vann ved normale temperaturer har en målt kompresjonsmodul 2.08×109 Pa og tettheten 1g/cm3 som gir en lydhastighet c = 1440 m/s.
Luft under normale forhold kan med god nøyaktighet beskrives som en ideell gass. Den følger tilstandsligningen p = ρRT/M  hvor R er gasskonstanten og  M den molare massen til gassen.  Da kompresjonsmodulen er KS = γp hvor γ er adiabateksponenten, blir lydhastigheten i gassen

  
    
      
        c
        =
        
          
            γ
            
              
                p
                ρ
              
            
          
        
        =
        
          
            γ
            
              
                
                  R
                  T
                
                M
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c={\sqrt {\gamma {p \over \rho }}}={\sqrt {\gamma {RT \over M}}}}
  For luft er den molare massen M = 28 g/mol og består av diatomiske molekyler.  Denne gassen har derfor γ = 7/5 = 1.4. Innsatt i formelen for lydhastigheten ved romtemperatur T = 300 K, finner man  verdien c = 350 m/s som er i overensstemmelse med observasjoner.


== Elastiske bølger ==
I motsetning til gasser og væsker er faste stoffer vanligvis elastiske materialer. En deformasjon av materialet kan beskrives ved et mekanisk felt u(t,x)  som angir forskyvingen av et massepunkt som opprinnelig er i punktet x. Ved en generalisering av Hookes lov vil en slik deformasjon forårsake spenninger i materialet. Disse kan sammenfattes i en spenningstensor med den generelle formen

  
    
      
        
          σ
          
            i
            j
          
        
        =
        μ
        
          ε
          
            i
            j
          
        
        +
        2
        λ
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        
          ε
          
            k
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{ij}=\mu \varepsilon _{ij}+2\lambda \delta _{ij}\varepsilon _{kk}}
  hvor λ  og μ  er de elastiske Lamé-konstantene for materialet og δij  er Kronecker-symbolet. Mens den siste har med skjærspenninger å gjøre, er den første relatert til elastisitetsmodulen. Mer nøyaktig, hvis K  er kompresjonsmodulen, så er λ = K - (2/3)μ. I uttrykket for spenningstensoren inngår deformasjonsstensoren

  
    
      
        
          ε
          
            i
            j
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    u
                    
                      i
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      j
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  
                    u
                    
                      j
                    
                  
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon _{ij}={1 \over 2}\left({\partial u_{i} \over \partial x_{j}}+{\partial u_{j} \over \partial x_{i}}\right)}
  og som er vanlig ved tensorregning, gjøres det her bruk av Einsteins summekonvensjon.
Bevegelsesligningen for utslaget kan finnes på samme måte som for lydbølgene på en streng. Da spenningene virker på begge sider av hvert punkt, vil nettokraften på det være gitt ved den deriverte av spenningstensoren. Det gir differensialligningen

  
    
      
        ρ
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                u
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                σ
                
                  i
                  j
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho {\partial ^{2}u_{i} \over \partial t^{2}}={\partial \sigma _{ij} \over \partial x_{j}}}
  hvor ρ  er massetettheten til materialet. Ligningen kan omskrives ved å innføre deformasjonsvektoren og tar da formen

  
    
      
        ρ
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                u
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        (
        λ
        +
        μ
        )
        
          ∇
        
        (
        
          ∇
        
        ⋅
        
          u
        
        )
        +
        μ
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \rho {\partial ^{2}\mathbf {u}  \over \partial t^{2}}=(\lambda +\mu ){\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} )+\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} }
  Denne ligningen blir vanligvis omtalt som «Naviers bølgeligning» etter den franske fysiker Claude-Louis Navier som fant den rundt 1820.


=== Transverse og longitudinal komponenter ===
Da deformasjonsvektoren u kan i alminnelighet ha komponenter både langs og normalt til en gitt bølgevektor k, kan elastiske bølger være både transverse og longitudinale. Men disse to typene vil utbre seg med forskjellige bølgehastighter. Disse kan finnes ved å skrive et generelt utslag som

  
    
      
        
          u
        
        =
        
          
            u
          
          
            T
          
        
        +
        
          
            u
          
          
            L
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} =\mathbf {u} _{T}+\mathbf {u} _{L}}
  hvor det transverse utslaget er definert ved egenskapen ∇ ⋅ uT = 0, mens det longitudinale utslaget må oppfylle ∇ × uL = 0. De transverse bølgene oppfyller derfor ligningen

  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  u
                
                
                  T
                
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          c
          
            T
          
          
            2
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          
            u
          
          
            T
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial ^{2}\mathbf {u} _{T} \over \partial t^{2}}-c_{T}^{2}\nabla ^{2}\mathbf {u} _{T}=0}
  med bølgehastigheten

  
    
      
        
          c
          
            T
          
        
        =
        
          
            
              μ
              ρ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{T}={\sqrt {\mu  \over \rho }}}
  Uten skjærspenninger i materialet vil disse bølgene ikke eksistere. Det gjelder for væsker og gasser som bare kan gi opphav til longitudinale lydbølger.

For longitudinale bølger kan man benytte identiteten

  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        (
        
          ∇
        
        ×
        
          
            u
          
          
            L
          
        
        )
        =
        
          ∇
        
        (
        
          ∇
        
        ⋅
        
          
            u
          
          
            L
          
        
        )
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          
            u
          
          
            L
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {u} _{L})={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} _{L})-\nabla ^{2}\mathbf {u} _{L}=0}
  fra vektoranalysen. Naviers ligning forenkles da til

  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              
                
                  u
                
                
                  L
                
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          c
          
            L
          
          
            2
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          
            u
          
          
            L
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial ^{2}\mathbf {u} _{L} \over \partial t^{2}}-c_{L}^{2}\nabla ^{2}\mathbf {u} _{L}=0}
  hvor nå den longitudinale bølgehastigheten er

  
    
      
        
          c
          
            L
          
        
        =
        
          
            
              
                λ
                +
                2
                μ
              
              ρ
            
          
        
        =
        
          
            
              
                K
                +
                4
                μ
                
                  /
                
                3
              
              ρ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{L}={\sqrt {\lambda +2\mu  \over \rho }}={\sqrt {K+4\mu /3 \over \rho }}}
  Da begge Lamé-koeffisientene er positive, har denne komponentene alltid en større bølgehastighet enn den transverse komponenten. Den tilsvarer en vanlig lydbølge da den består av fluktuasjoner i trykket.
Jordskjelv eller kraftige eksplosjoner utløser slike elastiske bølger i jordskorpen og litosfæren. I denne sammenhengen omtales de som seismiske bølger. Den longitudinale komponenten kalles «P-bølgen» da den beveger seg raskest og er dermed den primære bølgen som blir først registrert.  Hastigheten er typisk cL = 5000 m/s. Tilsvarende vil den transverse komponenten kalles «S-bølgen» da den registreres senere og blir derfor sekundær.


== Svingende membran ==
En elastisk, strukket membran kan settes i svingning og dermed fremkalle lyd. Dette blir brukt i mange musikkinstrument som for eksempel i en tromme hvor trommeskinnet er en slik membran. Svingningene vil være stående bølger som oppfyller en bølgeligning som kan finnes på samme måte som for en svingende streng.
I likevekt antas membranen å ligge i et plan parallelt med xy - planet i en avstand z0  fra dette. Utslaget u vil være langs z - aksen og være en funksjon u(t,x,y)  som beskriver en flate i rommet. Bølgeligningen tar da formen

  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              u
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  u
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  u
                
                
                  ∂
                  
                    y
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\left({\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\right)}
  hvor hastigheten c er gitt ved spenningen i membranen og dens massetetthet på samme måte som for andre elastiske svingninger. Løsningene til denne partielle differensialligningen vil avhenge av grensebetingelsene. Rent fysisk er strekket i membranen fremkommet ved at den på randen er festet til en ramme. På denne randen må derfor utslaget være lik null.


=== Rektangulær membran ===

Harmoniske bølger på membranen kan finnes ved å skrive utslaget som

  
    
      
        u
        (
        t
        ,
        x
        ,
        y
        )
        =
        U
        (
        x
        ,
        y
        )
        cos
        ⁡
        (
        ω
        t
        −
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle u(t,x,y)=U(x,y)\cos(\omega t-\phi )}
  Innsatt i bølgeligningen betyr det at den nye funksjonen U = U(x,y)  må oppfylle den todimensjonale Helmholtz-ligningen

  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              U
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              U
            
            
              ∂
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          k
          
            2
          
        
        U
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial ^{2}U \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}U \over \partial y^{2}}+k^{2}U=0}
  hvor k = ω/c  igjen er bølgetallet. Er membranen i likevektsposisjonen rektangulær med sidekanter a og b, kan den løses som for de stående bølgene til en svingende streng. Det gir løsninger av formen U = Asinkxx sinkyy hvor komponentene til bølgetallet må oppfylle

  
    
      
        
          k
          
            x
          
          
            2
          
        
        +
        
          k
          
            y
          
          
            2
          
        
        =
        
          k
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              ω
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{x}^{2}+k_{y}^{2}=k^{2}={\omega ^{2} \over c^{2}}}
  
Samtidig må grensebetingelsene tilfredsstilles. Det betyr at kx = (π/a)m, ky = (π/b)n  hvor m og n er positive heltall. De nummerer de forskjellige egenmodene

  
    
      
        
          u
          
            m
            n
          
        
        (
        t
        ,
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          A
          
            m
            n
          
        
        sin
        ⁡
        
          
            (
          
        
        
          
            π
            a
          
        
        m
        x
        
          
            )
          
        
        sin
        ⁡
        
          
            (
          
        
        
          
            π
            b
          
        
        n
        y
        
          
            )
          
        
        cos
        ⁡
        (
        
          ω
          
            m
            n
          
        
        t
        −
        
          ϕ
          
            m
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle u_{mn}(t,x,y)=A_{mn}\sin {\Big (}{\pi  \over a}mx{\Big )}\sin {\Big (}{\pi  \over b}ny{\Big )}\cos(\omega _{mn}t-\phi _{mn})}
  hvor egenfrekvensene ωmn  derfor er gitt ved

  
    
      
        
          
            
              ω
              
                m
                n
              
            
            c
          
        
        =
        
          
            
              
                (
              
            
            
              
                
                  π
                  m
                
                a
              
            
            
              
                
                  )
                
              
              
                2
              
            
            +
            
              
                (
              
            
            
              
                
                  π
                  n
                
                b
              
            
            
              
                
                  )
                
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\omega _{mn} \over c}={\sqrt {{\Big (}{\pi m \over a}{\Big )}^{2}+{\Big (}{\pi n \over b}{\Big )}^{2}}}}
  Den laveste frekvensen er ω11 og tilsvarer grunntonen som fremkommer fra den stående bølgen u11(t,x,y). Mer generelle bølger kan konstrueres ved å addere slike egenmoder.


=== Sirkulær membran ===

Når membranen er spent på en sirkulær ramme, er det mer hensiktsmessig å beskrive utslaget ved bruk av polarkoordinater (r,θ). En harmonisk egenmode u = U(r,θ)cos(ωt - φ)  vil nå måtte tilfredsstille differensialligningen

  
    
      
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              U
            
            
              ∂
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            r
          
        
        
          
            
              ∂
              U
            
            
              ∂
              r
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              U
            
            
              ∂
              
                θ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          k
          
            2
          
        
        U
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}U}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \theta ^{2}}}+k^{2}U=0}
  når man omformer Laplace-operatoren i bølgeligningen til disse krumlinjete koordinatene. Denne kan løses ved å anta at U(r,θ) = R(r) F(θ). Da blir funksjonen C = cosmθ, mens den radielle funksjonen R blir proporsjonal med  Bessel-funksjonen Jm(kr).
Her må m være et positivt heltall, m = 0, 1, 2, ... slik at løsningen er uforandret når θ → θ + 2π.For at utslaget skal være null på den sirkulære randen av membranen med radius a, må Jm(ka) = 0. Egenfrekvensene er da bestemt av nullpunktene xmn  til denne Bessel-funksjonen og nummereres med n = 1, 2, 3, ... . for hver verdi av m. De numeriske verdiene til egenfrekvensene blir dermed

  
    
      
        
          
            
              ω
              
                m
                n
              
            
            c
          
        
        =
        
          
            
              x
              
                m
                n
              
            
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\omega _{mn} \over c}={x_{mn} \over a}}
  mens modene selv er gitt ved funksjonene

  
    
      
        
          u
          
            m
            n
          
        
        (
        t
        ,
        r
        ,
        θ
        )
        =
        
          A
          
            m
            n
          
        
        
          J
          
            m
          
        
        
          
            (
          
        
        
          
            
              x
              
                m
                n
              
            
            a
          
        
        r
        
          
            )
          
        
        cos
        ⁡
        (
        m
        θ
        )
        cos
        ⁡
        (
        
          ω
          
            m
            n
          
        
        t
        −
        
          ϕ
          
            m
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle u_{mn}(t,r,\theta )=A_{mn}J_{m}{\Big (}{x_{mn} \over a}r{\Big )}\cos(m\theta )\cos(\omega _{mn}t-\phi _{mn})}
  Alle modene med m = 0 er radielt symmetriske. Den laveste frekvensen har moden u01 med en verdi gitt ved nullpunktet x01 = 2.4048. Høyere eksitasjoner av denne moden har frekvenser bestemt ved x02 = 5.5201, x03 = 8.6537 og så videre. Men noen lavere frekvenser kommer fra høyere m - moder. For eksempel er x11 = 3.8371, x12 = 7.0156 og x21 = 5.1356. De to siste er vist i nedenstående figur.

		


== Elektromagnetiske bølger ==
Alle elektromagnetiske fenomen er styrt av Maxwells ligninger. De sier at en forandring i tid eller rom av det elektriske feltet E vil medføre en forandring av det magnetiske feltet B eller omvendt. I det tomme rommet eller vakuum hvor det ikke finnes frie, elektriske  ladninger eller strømmer, er denne koblingen mellom feltene sammenfattet i de to ligningene

  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        
          E
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                B
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        ,
        
        
        
        
          ∇
        
        ×
        
          H
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                D
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},\;\;\;{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} ={\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}
  Her er forskyvningsfeltet D = ε0E hvor ε0  er permittiviteten til vakuum, mens de to magnetiske feltene er forbundet ved  B = μ0H hvor μ0  er den magnetiske vakuumpermeabiliteten.
Ved å ta curl av den første ligningen, finner man

  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        (
        
          ∇
        
        ×
        
          E
        
        )
        =
        
          ∇
        
        (
        
          ∇
        
        ⋅
        
          E
        
        )
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          E
        
        =
        −
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        (
        
          ∇
        
        ×
        
          B
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times ({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} )={\boldsymbol {\nabla }}({\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} )-\nabla ^{2}\mathbf {E} =-{\partial  \over \partial t}({\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {B} )}
  
Høyre side av ligningen kan forenkles ved å bruke den andre Maxwell-ligningen. Sammen med Gauss' lov ∇⋅E = 0  i vakuum, gir dette den elektromagnetiske bølgeligningen

  
    
      
        
          (
          
            
              
                1
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                
                  ∂
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            −
            
              ∇
              
                2
              
            
          
          )
        
        
          E
        
        (
        t
        ,
        
          x
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left({1 \over c^{2}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}\right)\mathbf {E} (t,\mathbf {x} )=0}
  hvor

  
    
      
        c
        =
        
          
            
              1
              
                
                  ε
                  
                    0
                  
                
                
                  μ
                  
                    0
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c={\sqrt {1 \over \varepsilon _{0}\mu _{0}}}}
  er lyshastigheten i vakuum. Den samme ligningen vil det magnetiske feltet  B(t,x)  oppfylle.En plan, elektromagnetisk bølge med  bølgevektor k og vinkelfrekvens ω = c |k|  og har formen

  
    
      
        
          E
        
        (
        t
        ,
        
          x
        
        )
        =
        
          
            E
          
          
            0
          
        
        cos
        ⁡
        (
        
          k
        
        ⋅
        
          x
        
        −
        ω
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} (t,\mathbf {x} )=\mathbf {E} _{0}\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega t)}
  hvor E0  er en konstant vektor. Denne vektoren definerer et plan i rommet og bølgen er derfor planpolarisert. Fra ∇⋅E = 0  følger da at k⋅E = 0. Bølgens utslag står derfor vinkelrett på dens utbredelsesretning k slik at den er en transversal bølge. Fra de to Maxwell-ligningene følger nå i tillegg at

  
    
      
        
          B
        
        (
        t
        ,
        
          x
        
        )
        =
        
          
            
              k
            
            ω
          
        
        ×
        
          E
        
        (
        t
        ,
        
          x
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (t,\mathbf {x} )={\mathbf {k}  \over \omega }\times \mathbf {E} (t,\mathbf {x} )}
  Derfor står magnetfeltet vinkelrett både på retningen k og på det elektriske feltet E. Disse to feltene oscillerer dermed i takt i to plan som står vinkelrett på hverandre, mens bølgen brer seg langs skjæringslinjen mellom disse to planene.


=== Kovariant elektrodynamikk ===
Einsteins utledning av den spesielle relativitetsteorien var basert på den observasjon han gjorde at Maxwells ligninger har samme utseende i alle koordinatsystem som beveger seg med konstant hastighet i forhold til hverandre. Det betyr at de kan skrives på kovariant form som automatisk er invariant under Lorentz-transformasjonen.
Den kovariante formuleringen er enklest å finne ved å kombinere det elektriske potensialet  Φ(t,x)  og det magnetiske potensialet A(t,x)  til et «firevektorpotensial» Aμ(x) = (Φ/c, A) hvor argumentet x står for de fire relativistiske koordinatene xμ = (ct, x). Det elektriske og det magnetiske feltet kan da kombineres i den antisymmetriske Faraday-tensoren 
Fμν = ∂μAν - ∂νAμ. Dens komponenter kan sammenstilles i matrisen

  
    
      
        
          F
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  0
                
                
                  
                    E
                    
                      x
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  
                    E
                    
                      y
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  
                    E
                    
                      z
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
              
              
                
                  −
                  
                    E
                    
                      x
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  0
                
                
                  −
                  
                    B
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  
                    B
                    
                      y
                    
                  
                
              
              
                
                  −
                  
                    E
                    
                      y
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  
                    B
                    
                      z
                    
                  
                
                
                  0
                
                
                  −
                  
                    B
                    
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                  −
                  
                    E
                    
                      z
                    
                  
                  
                    /
                  
                  c
                
                
                  −
                  
                    B
                    
                      y
                    
                  
                
                
                  
                    B
                    
                      x
                    
                  
                
                
                  0
                
              
            
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle F_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}/c&E_{y}/c&E_{z}/c\\-E_{x}/c&0&-B_{z}&B_{y}\\-E_{y}/c&B_{z}&0&-B_{x}\\-E_{z}/c&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}.}
  Forskjellige vektorpotensial kan gi de samme feltstyrkene. Det kalles invarians under gaugetransformasjoner eller «gaugeinvarians». Hvis Λ(x) er en skalar funksjon, så vil en slik transformasjon av vektorpotensialet være Aμ → Aμ + ∂μΛ når man skriver den kovariante gradienten som ∂μ = ∂/∂xμ. Men fra definisjonen av felttensoren følger da at Fμν → Fμν  slik at den er uforandret. Den sies å være gaugeinvariant.
To av de fire Maxwell-ligningene kan nå skrives som

  
    
      
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          F
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle \partial _{\mu }F^{\mu \nu }=\mu _{0}J^{\nu }}
  ved å bruke Einsteins summekonvensjon. Her består «firestrømmen» Jμ = (cρ, J) av ladningstettheten ρ(t,x) og den elektriske strømtettheten J(t,x). Kovariante indekser kan heves og senkes med den diagonale Minkowski-metrikken med komponenter ημν = (1, -1, -1, -1).
Nå er ∂μ∂νFμν = 0  fordi Fμν er antisymmetrisk og ∂μ∂ν er symmetrisk i de to summasjonsindeksene. Den kovariante Maxwell-ligningen medfører da at ∂μJμ = 0  som er kontinuitetsligningen for elektrisk strøm og ladning på kovariant form. Utføres summasjonen over de to like indeksene her, går den over til

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          ∇
        
        ⋅
        
          J
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial \rho  \over \partial t}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0}
  som er den mer vanlige formen som benyttes når relativistiske effekter ikke er så viktige.Setter man det 4-dimensjonale vektorpotensialet inn i den kovariante Maxwell-ligningen, blir den

  
    
      
        (
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        )
        
          A
          
            ν
          
        
        −
        
          ∂
          
            ν
          
        
        (
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          A
          
            μ
          
        
        )
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
          
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle (\partial _{\mu }\partial ^{\mu })A^{\nu }-\partial ^{\nu }(\partial _{\mu }A^{\mu })=\mu _{0}J^{\nu }}
  Denne kan forenkles ved bruk av gaugeinvarians. Man foretar en gaugetransformasjon slik at det transformerte ligningen er mest hensiktsmessig. Et av de mest vanlige valgene er bruke et vektorpotensial som tilfredsstiller ∂μAμ = 0. Man sier da at man har valgt å arbeide i den såkalte Lorenz-gaugen. Det andre leddet på venstre side i den kovariante Maxwell-ligningen forsvinner da, og man står igjen med den kovariante bølgeligningen

  
    
      
        
          ∂
          
            2
          
        
        
          A
          
            μ
          
        
        =
        
          μ
          
            0
          
        
        
          J
          
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle \partial ^{2}A^{\mu }=\mu _{0}J^{\mu }}
  På venstre side står nå operatoren

  
    
      
        
          ∂
          
            2
          
        
        =
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        =
        
          η
          
            μ
            ν
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          ∂
          
            ν
          
        
        =
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \partial ^{2}=\partial _{\mu }\partial ^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\partial _{\nu }={1 \over c^{2}}{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}-\nabla ^{2}}
  som vanligvis kalles d'Alemberts operator etter hans bølgeligning. Det er den kovariante utvidelsen av Laplace-operatoren. Denne bølgeligningen viser at firestrømmen Jμ er kilden til elektromagnetiske bølger.


== Gravitasjonsbølger ==
Gravitasjonsbølger er fluktuasjoner i geometrien til tidrommet som beveger med lyshastigheten. De ble eksperimentelt påvist i 2016 fra en kilde som besto av to kolliderende sorte hull og er en ny bekreftelse på Einsteins generelle relativitetsteori. Han viste at tidrommet har riemannsk geometri som er karakterisert ved metrikken gμν. Den kan i denne forbindelen betraktes som en relativistisk generalisering av gravitasjonspotensial.
Metrikken i tidrommet er bestemt ut fra Einsteins gravitasjonsligning som viser hvordan den avhenger av masse og energi som forefinnes. Den er

  
    
      
        
          E
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            
              8
              π
              G
            
            
              c
              
                4
              
            
          
        
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
        +
        Λ
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{\mu \nu }={8\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }+\Lambda g_{\mu \nu }}
  hvor G er gravitasjonskonstanten og Λ er den kosmologiske konstanten. Denne kan tas inn i energi-impulstensoren Tμν som er en relativistisk generalisering av massetettheten som forårsaker all gravitasjon. Den symmetriske Einstein-tensoren Eμν er gitt ved krumningstensoren til tidrommet og kan beregnes fra metrikken.

For en gravitasjonsbølge som beveger seg i et tilnærmet flatt Minkowski-rom, kan metrikken skrives som

  
    
      
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          η
          
            μ
            ν
          
        
        +
        
          h
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{\mu \nu }=\eta _{\mu \nu }+h_{\mu \nu }}
  hvor ημν  er den flate Minkowski-metrikken og hμν  er fluktuasjonen fra denne. Dette utslaget beskriver bølgen som derfor er karakterisert ved et tensorfelt.Settes denne formen for den fulle metrikken inn i gravitasjonsligningen og man regner til laveste orden i utslaget hμν, kan ligningen for en gravitasjonsbølge finnes. Da den generelle teorien til Einstein er invariant under koordinattransformasjoner, kan man velge koordinater slik at ligningen blir spesielt enkel. Det tilsvarer valget av en gauge i det elektromagnetiske tilfellet. Her tilsvarer det å innføre det modifiserte tensorfeltet

  
    
      
        
          
            
              
                h
                ¯
              
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          h
          
            μ
            ν
          
        
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          η
          
            μ
            ν
          
        
        
          h
          
            
            λ
          
          
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {h}}_{\mu \nu }=h_{\mu \nu }-{1 \over 2}\eta _{\mu \nu }h_{\;\lambda }^{\lambda }}
  som oppfyller koordinatvalget eller gaugebetingelsen 
  
    
      
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          
            
              
                h
                ¯
              
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \partial _{\mu }{\bar {h}}^{\mu \nu }=0}
  . Den kalles vanligvis for Hilbert-gaugen etter David Hilbert som fant den mest elegante utledningen av Einsteins gravitasjonsligning. Med dette kovariante valget tar dermed den søkte bølgeligningen den enkle formen

  
    
      
        
          ∂
          
            2
          
        
        
          
            
              
                h
                ¯
              
            
          
          
            μ
            ν
          
        
        =
        −
        
          
            
              16
              π
              G
            
            
              c
              
                4
              
            
          
        
        
          T
          
            μ
            ν
          
        
      
    
    {\displaystyle \partial ^{2}{\bar {h}}_{\mu \nu }=-{16\pi G \over c^{4}}T_{\mu \nu }}
  som viser at energi-impulstensoren er kilden til disse bølgene. I vakuum hvor denne er null, oppfyller gravitasjonsbølgene d'Alemberts ligning og sprer seg med lyshastigheten. Denne opptrer her fordi den generelle relativitetsteorien bygger på den spesielle teorien som igjen er basert på denne naturkonstanten.


== Kvantemekaniske bølger ==
I  ikke-relativistisk kvantemekanikk er den komplekse sannsynlighetsamplituden  ψ = ψ(t,x)  en bølgefunksjon hvis kvadrerte absoluttverdi gir sannsynligheten for å finne en partikkel i posisjon x ved tiden t. Den tilfredsstiller en bølgeligning som først ble funnet av Erwin Schrödinger. For en fri partikkel med masse m er den

  
    
      
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        ψ
        (
        t
        ,
        
          x
        
        )
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        ψ
        (
        t
        ,
        
          x
        
        )
      
    
    {\displaystyle i\hbar {\partial  \over \partial t}\psi (t,\mathbf {x} )=-{\hbar ^{2} \over 2m}\nabla ^{2}\psi (t,\mathbf {x} )}
  hvor ħ er den reduserte Planck-konstanten og i = √-1  er den imaginær enheten. Har partikkelen en bestemt impuls p og energi E, er den plane bølgen

  
    
      
        ψ
        (
        t
        ,
        
          x
        
        )
        =
        
          e
          
            i
            (
            
              p
            
            ⋅
            
              x
            
            −
            E
            t
            )
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (t,\mathbf {x} )=e^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -Et)/\hbar }}
  en løsning når man har den vanlige sammenhengen E = p2/2m.  Det betyr at slike bølger kan tilordnes en  gruppehastighet v = ∂E/∂p = p/m som er lik med den klassiske hastigheten til partikkelen. Fasehastigheten derimot er u = E/p = v/2 slik at disse løsningene er dispersive. For et ikke-relativistisk elektron som har spinn S = 1/2, kan Schrödingers bølgeligning generaliseres til Pauli-ligningen.Bølgefunksjonen ψ = ψ(t,x)  kan alternativt betraktes som et kvantefelt som beskriver et vilkårlig antall identiske, ikke-relativistiske partikler ved andrekvantisering. Schrödinger-ligningen er da en «feltligning» på tilsvarende måte som Maxwells ligninger beskriver fotonfeltet.


=== Relativistiske bølgeligninger ===
For partikler som beveger seg meget raskt med hastigheter opp mot lyshastigheten, må man benytte i den kvantemekaniske beskrivelsen benytte bølgeligninger som tilfredsstiller den spesielle relativitetsteorien. For en fri partikkel med masse m spiller Klein-Gordon-ligningen en viktig rolle. Den kan skrives som

  
    
      
        
          
            1
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              ∂
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        ψ
        −
        
          ∇
          
            2
          
        
        ψ
        +
        
          
            
              
                m
                
                  2
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              ℏ
              
                2
              
            
          
        
        ψ
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}\psi -\nabla ^{2}\psi +{\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\psi =0.}
  hvor d'Alembert-operatoren inngår. Innfører man igjen den kovariante gradientoperatoren ∂μ = ∂/∂xμ, kan ligningen skrives på den mer kompakte formen

  
    
      
        
          
            (
          
        
        
          ℏ
          
            2
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        +
        
          m
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            )
          
        
        ψ
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\Big (}\hbar ^{2}\partial _{\mu }\partial ^{\mu }+m^{2}c^{2}{\Big )}\psi (x)=0}
  Den har også plane bølger

  
    
      
        ψ
        (
        x
        )
        =
        
          e
          
            i
            (
            
              p
            
            ⋅
            
              x
            
            −
            E
            t
            )
            
              /
            
            ℏ
          
        
        =
        
          e
          
            −
            i
            
              p
              
                μ
              
            
            
              x
              
                μ
              
            
            
              /
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x)=e^{i(\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} -Et)/\hbar }=e^{-ip_{\mu }x^{\mu }/\hbar }}
  som løsninger hvor pμ = (E/c,p)  er den relativistiske 4-impulsen til partikkelen. Settes løsningen inn i ligningen, må den kovariante impulsen oppfylle pμpμ = m2c2. Energien til partikkelen kan derfor ta de to verdiene

  
    
      
        E
        =
        ±
        
          
            
              p
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
            +
            
              m
              
                2
              
            
            
              c
              
                4
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E=\pm {\sqrt {p^{2}c^{2}+m^{2}c^{4}}}}
  Løsningene med positiv energi tilsvarer vanlige partikler, mens de med negativ energi kan benyttes til å beskrive antipartikler. Når massen m > 0 er disse løsningene dispersive.
Klein-Gordon-ligningen kan best betraktes som en feltligning for bosoner, det vil si for partikler med spinn S = 0 eller heltallig. For relativistiske partikler med spinn S = 1/2 må Dirac-ligningen benyttes. På kovariant form kan den skrives som

  
    
      
        (
        i
        ℏ
        
          γ
          
            μ
          
        
        
          ∂
          
            μ
          
        
        −
        m
        c
        )
        ψ
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle (i\hbar \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-mc)\psi (x)=0}
  hvor γμ utgjør de fire Dirac-matrisene. Operatoren som virker på bølgefunksjonen her er Dirac-operatoren. Den kan kvadreres og går dermed over i 
d'Alembert-operatoren. Denne bølgefunksjonen vil derfor automatisk også tilfredsstille Klein-Gordon-ligningen og beskriver både partikler og antipartikler. Som feltligning for elektronet koblet til fotonfeltet utgjør den teorien for kvantiserte elektromagnetisme som vanligvis omtales som kvanteelektrodynamikk.


== Se også ==
Svingende streng
Lydbølger


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
A.I. Vistnes, Svingninger og bølger, forelesninger i FYS2130, Universitetet i Oslo (2016).
H.E. Krogstad, Linear Wave Theory, forelesninger ved NTNU (2000).
R. Fitzpatrick, Longitudinal Standing Waves, forelesninger ved University of Texas.
D. Morin, Longitudinal waves, forelesninger ved Harvard University.