Carl Ferdinand Degen

Carl Ferdinand Degen (født 1. november 1766 i Braunschweig – død 8. april 1825 i København) var en dansk matematiker. Han gjorde seg spesielt bemerket med sine arbeider i tallteori og veiledet den unge Niels Henrik Abel på en avgjørende måte. Degen har fått æren for å ha innført høyere matematikk i det danske skolesystemet og dermed også delvis i det norske.
Familien flyttet til København in 1771 da faren Johan Philip Degen fikk en stilling i Det Kongelige Kapel. Der tjente han dårlig, men sønnen Carl Ferdinand fikk et stipendium til å kunne gå på skole i Helsingør. Der var han ferdig i 1783 og fortsatte ved Universitetet i København. I stedet for å følge det planlagte studieforløpet, fulgte han sine egne interesser og gjennomførte studier i klassiske språk, filosofi, naturvitenskap og spesielt matematikk. Da universitetet i 1792 for første gang utlyste prisoppgaver med en premie på 40 riksdaler innen hvert område, vant han både den i teologi og den i matematikk. Foruten at han kunne både latin, gresk og hebraisk, behersket han også de fleste romanske og germanske språk og kunne lese russisk og polsk. En tid var han også privatlærer i matematikk for den unge prins Christian Frederik.  I 1798 mottok han den filosofiske doktorgrad på et arbeid om Kants filosofi og ble i 1800 innvalgt i det danske Videnskapsselskapet.Sin første stilling fikk Degen i 1802 som overlærer i matematikk og fysikk ved Odense Katedralskole. Deretter overtok han i 1806 stillingen som rektor ved Viborg Katedralskole hvor han forble frem til 1814 da han ble ansatt som professor i matematikk ved  Universitetet i København. Her bidro han også til å heve nivået på undervisningen. Gjennom sine arbeider ble han snart ansett som den dygtigste matematiker i Skandinavia på den tiden.Degen ble av Niels Henrik Abel beskrevet som en elskverdig, men litt pussig type med et stort, privat  bibliotek. Han ble i København frem til sin død i 1825. Derfor fikk han ikke oppleve den store berømmelse som den unge Abel kom til å oppleve og som han hadde hjulpet på vei. Degen er gravlagt på Assistens Kirkegård på Nørrebro i København.


== Matematiske bidrag ==
Degen arbeidet over et vidt spektrum av datidens moderne matematikk. Det meste gjaldt forskjellige problem innen tallteori, men han skrev også arbeid som omhandlet geometriske og mekaniske problemstillinger.


=== Pells ligning ===
Euler hadde tidligere vist at Pells ligning

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        −
        D
        
          y
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}-Dy^{2}=1}
  hvor D er et positivt heltall, har heltallige løsninger (x,y) som kan systematisk beregnes  ved bruk av kjedebrøker. I 1817 fikk Degen trykket et stort verk på over hundre sider hvor han presenterte alle løsningene av ligningen for D < 1000. Disse beregningene ga også rasjonelle, tilnærmete verdier for kvadratroten av de samme D. I tillegg fant han med samme metode  alle tilsvarende løsninger for den negative ligningen som har -1 på høyre side. Disse tabellene med løsninger ble i årene som fulgte benyttet som standardreferanser.


=== Åtte-kvadrats likhet ===
Mens arbeidene med Pells ligning var en videreføring av tidligere bidrag av Euler, Lagrange og Legendre, var Degens oppdagelse av den såkalte åtte-kvadrats likheten, hans viktigste ny-oppdagelse. Sannsynligvis kom den ut av hans forsøk på å generalisere Pells ligning. Den enklere to-kvadrats likhet

  
    
      
        (
        
          a
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
          
            2
          
        
        )
        (
        
          b
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
          
            2
          
        
        )
        =
        (
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            1
          
        
        −
        
          a
          
            1
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2})=(a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2})^{2}+(a_{2}b_{1}-a_{1}b_{2})^{2}}
  er kjent fra Diophants tid. Den direkte forbundet med abslolutt størrelse eller «normen» til komplekse tall. På 1700-tallet kunne Euler vise at det finnes en tilsvarende identitet som involverer summer med fire kvadrat. Nesten hundre år senere ble det klart at denne reflekterer normen til kvaternionske tall. I 1818 kunne Degen presentere et arbeid for Videnskapsselskapet i St. Petersburg hvor Euler hadde arbeidet, som inneholdt den enda større identiteten

  
    
      
        (
        
          a
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            3
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            4
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            5
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            6
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            7
          
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            8
          
          
            2
          
        
        )
        (
        
          b
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            3
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            4
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            5
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            6
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            7
          
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            8
          
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a_{1}^{2}+a_{2}^{2}+a_{3}^{2}+a_{4}^{2}+a_{5}^{2}+a_{6}^{2}+a_{7}^{2}+a_{8}^{2})(b_{1}^{2}+b_{2}^{2}+b_{3}^{2}+b_{4}^{2}+b_{5}^{2}+b_{6}^{2}+b_{7}^{2}+b_{8}^{2})}
  
  
    
      
        
          
            
              
              
                
                =
                (
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                
                  b
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    3
                  
                
                
                  b
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    4
                  
                
                
                  b
                  
                    4
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    5
                  
                
                
                  b
                  
                    5
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    6
                  
                
                
                  b
                  
                    6
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    7
                  
                
                
                  b
                  
                    7
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    8
                  
                
                
                  b
                  
                    8
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                +
                (
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  b
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    4
                  
                
                
                  b
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    3
                  
                
                
                  b
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    6
                  
                
                
                  b
                  
                    5
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    5
                  
                
                
                  b
                  
                    6
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    8
                  
                
                
                  b
                  
                    7
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    7
                  
                
                
                  b
                  
                    8
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                +
                (
                
                  a
                  
                    3
                  
                
                
                  b
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    4
                  
                
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                
                  b
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  b
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    7
                  
                
                
                  b
                  
                    5
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    8
                  
                
                
                  b
                  
                    6
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    5
                  
                
                
                  b
                  
                    7
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    6
                  
                
                
                  b
                  
                    8
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                +
                (
                
                  a
                  
                    4
                  
                
                
                  b
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    3
                  
                
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  b
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                
                  b
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    8
                  
                
                
                  b
                  
                    5
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    7
                  
                
                
                  b
                  
                    6
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    6
                  
                
                
                  b
                  
                    7
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    5
                  
                
                
                  b
                  
                    8
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                +
                (
                
                  a
                  
                    5
                  
                
                
                  b
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    6
                  
                
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    7
                  
                
                
                  b
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    8
                  
                
                
                  b
                  
                    4
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                
                  b
                  
                    5
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  b
                  
                    6
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    3
                  
                
                
                  b
                  
                    7
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    4
                  
                
                
                  b
                  
                    8
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                +
                (
                
                  a
                  
                    6
                  
                
                
                  b
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    5
                  
                
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    8
                  
                
                
                  b
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    7
                  
                
                
                  b
                  
                    4
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  b
                  
                    5
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                
                  b
                  
                    6
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    4
                  
                
                
                  b
                  
                    7
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    3
                  
                
                
                  b
                  
                    8
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                +
                (
                
                  a
                  
                    7
                  
                
                
                  b
                  
                    1
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    8
                  
                
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    5
                  
                
                
                  b
                  
                    3
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    6
                  
                
                
                  b
                  
                    4
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    3
                  
                
                
                  b
                  
                    5
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    4
                  
                
                
                  b
                  
                    6
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                
                  b
                  
                    7
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  b
                  
                    8
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                +
                (
                
                  a
                  
                    8
                  
                
                
                  b
                  
                    1
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    7
                  
                
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    6
                  
                
                
                  b
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    5
                  
                
                
                  b
                  
                    4
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    4
                  
                
                
                  b
                  
                    5
                  
                
                −
                
                  a
                  
                    3
                  
                
                
                  b
                  
                    6
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                
                  b
                  
                    7
                  
                
                +
                
                  a
                  
                    1
                  
                
                
                  b
                  
                    8
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&=(a_{1}b_{1}-a_{2}b_{2}-a_{3}b_{3}-a_{4}b_{4}-a_{5}b_{5}-a_{6}b_{6}-a_{7}b_{7}-a_{8}b_{8})^{2}\\&+(a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}+a_{4}b_{3}-a_{3}b_{4}+a_{6}b_{5}-a_{5}b_{6}-a_{8}b_{7}+a_{7}b_{8})^{2}\\&+(a_{3}b_{1}-a_{4}b_{2}+a_{1}b_{3}+a_{2}b_{4}+a_{7}b_{5}+a_{8}b_{6}-a_{5}b_{7}-a_{6}b_{8})^{2}\\&+(a_{4}b_{1}+a_{3}b_{2}-a_{2}b_{3}+a_{1}b_{4}+a_{8}b_{5}-a_{7}b_{6}+a_{6}b_{7}-a_{5}b_{8})^{2}\\&+(a_{5}b_{1}-a_{6}b_{2}-a_{7}b_{3}-a_{8}b_{4}+a_{1}b_{5}+a_{2}b_{6}+a_{3}b_{7}+a_{4}b_{8})^{2}\\&+(a_{6}b_{1}+a_{5}b_{2}-a_{8}b_{3}+a_{7}b_{4}-a_{2}b_{5}+a_{1}b_{6}-a_{4}b_{7}+a_{3}b_{8})^{2}\\&+(a_{7}b_{1}+a_{8}b_{2}+a_{5}b_{3}-a_{6}b_{4}-a_{3}b_{5}+a_{4}b_{6}+a_{1}b_{7}-a_{2}b_{8})^{2}\\&+(a_{8}b_{1}-a_{7}b_{2}+a_{6}b_{3}+a_{5}b_{4}-a_{4}b_{5}-a_{3}b_{6}+a_{2}b_{7}+a_{1}b_{8})^{2}\end{aligned}}}
  Året etter ble Degen innvalgt som korresponderende medlem i det samme selskapet.  Arbeidet ble først trykt i 1822. Med oppdagelsen omtrent tredve år senere av oktonion som Arthur Cayley har fått æren for, ble det klart at denne likheten til Degen beskrev normen til disse nye ikke-kommuterende og ikke-assosiative tallene.


=== Møtet med Abel ===
Niels Henrik Abel var i 1821 ennå en vanlig, men meget begavet elev i siste år ved Katedralskolen i Christiania. Han mente da å ha funnet en metode for å løse femtegradsligningen. Ingen av hans lærere eller professorer ved Universitetet kunne finne noen feil ved dette arbeidet. Det ble derfor sendt til Degen med det håp at det kunne bli publisert ved Videnskapsselskapet der. Han kunne heller ikke finne noen feil i arbeidet, men mente likevel at resultatet måtte først prøves på et praktisk eksempel. I brevet til Christopher Hansteen foreslo han ligningen x5 - 2x4 + 3x2 - 4x + 5 = 0. Han avsluttet med anbefalingen:

Næppe kan jeg ved denne Lejlighed undertrykke det Ønske, at den Tid og de Aandskræfter, et Hoved som Hr. Abel skænker en i mine Øjne noget steril Genstand, måtte ydes et emne, hvis Uddannelse vil have de vigtigste Følger for hele Analysen og dens Anvendelse på dynamiske Undersøgelser, jeg mener de elliptiske Transcendenter. Ved tilbørligt Anlæg for Undersøgelser af dette Slags vil den alvorlige Gransker ingenlunde blive staaende ved disse ellers i og for sig selv højst mærkværdige Funktioners mange og smukke Egenskaber, men opdage Magellanske Gennemfarter til store Partier af et og samme uhyre analytiske Ocean.

Dette skulle i ettertid vise seg å være et meget godt råd. Snart oppdaget Abel selv at hans beregninger ikke var korrekte, men fortsatte likevel å arbeide med ligningen. To år senere kunne han vise at den generelle femtegradsligning i alminnelighet ikke kan løses algebraisk.
Men anbefalingen fra Degen om å konsentrere seg i stedet om de elliptiske integral, hadde han sannsynligvis merket seg. Sommeren 1823 etter at han var blitt student, var han på et kort opphold i København hvor han møtte Degen. I et brev til sin venn og kollega Holmboe i Christiania, kunne han meddele at han hadde konstruert elliptiske funksjoner ved å invertere de tilsvarende integralene. Året etterpå i et brev til Degen skrev han at disse nye funksjonene har to perioder. Selv om dette markerer etableringen av denne nye og meget viktige del av moderne matematikk, ventet Abel med å publisere sine resultat. Det gjorde han først i 1827. Degen var da død og forble derfor uvitende om Abels vakre oppdagelser som han hadde spådd.


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
E.S. Munkholm, Kædebrøker til praktiske beregninger anno 1805, basert på foredrag som Degen holdt i 1805 ved Odense Katedralskole om bruk av kjedebrøker.