Diracs deltafunksjon

Diracs deltafunksjon med betegnelse δ(x), er en såkalt generalisert funksjon. Den ble innført av den engelske fysiker Paul Dirac i hans grunnleggende arbeid innen kvantemekanikk. Siden har den fått mange andre anvendelser innen moderne naturvitenskap og teknikk. I signalbehandling blir den omtalt som enhetspulsen eller impulsfunksjonen.
Multipliseres deltafunksjonen med en vilkårlig funksjon f(x) og integeres så produktet over hele den reelle tall-linjen, gir det verdien av denne funksjonen i origo,

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        
        d
        x
        
        δ
        (
        x
        )
        f
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        0
        )
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,\delta (x)f(x)=f(0)}
  Dette integralet kan betraktes som en definisjon av δ(x). I det spesielle tilfellet at f(x) = 1, ser man at integralet av deltafunksjonen alene gir en. Den er null overalt på den reelle tall-linjen unntatt i origo x = 0. I  dette punktet må derfor deltafunksjonen ha en uendelig stor verdi. Den kan derfor ikke være noen vanlig funksjon da en som kun eksisterer i et punkt, ikke kan ha et integral forskjellig fra null. Derfor kalles den en generalisert funksjon eller distribusjon.


== Egenskaper ==
De fleste av deltafunksjonens egenskaper kan utledes fra integralet som definerer den. Ved et enkelt skifte av variabel finner man 

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        δ
        (
        α
        x
        )
        
        d
        x
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        δ
        (
        y
        )
        
        
          
            
              d
              y
            
            
              
                |
              
              α
              
                |
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              
                |
              
              α
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\delta (\alpha x)\,dx=\int _{-\infty }^{+\infty }\delta (y)\,{\frac {dy}{|\alpha |}}={\frac {1}{|\alpha |}}}
  slik at man har

  
    
      
        δ
        (
        α
        x
        )
        =
        
          
            
              δ
              (
              x
              )
            
            
              
                |
              
              α
              
                |
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \delta (\alpha x)={\frac {\delta (x)}{|\alpha |}}.}
  Herav følger også at den er en like funksjon δ(-x) = δ(x) som forventet. Videre følger fra definisjonen at xδ(x) = 0 og at

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        
        d
        x
        
        δ
        (
        x
        −
        a
        )
        f
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,\delta (x-a)f(x)=f(a)}
  som sees ved å skifte variabel x → x + a i integralet. Man kan også definere den deriverte av deltafunksjonen ved

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        
        d
        x
        
        
          δ
          ′
        
        (
        x
        −
        a
        )
        f
        (
        x
        )
        =
        −
        
          f
          ′
        
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\!dx\,\delta '(x-a)f(x)=-f'(a)}
  som følger fra integralet over ved en partiell integrasjon.
En videre utvidelse er å betrakte deltafunksjonen av en funksjon g(x). Da vil  δ(g(x))  = 0 hvis  g(x) ikke har noe røtter.  Har den derimot en reell rot i x0, så vil

  
    
      
        δ
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        =
        
          
            
              δ
              (
              x
              −
              
                x
                
                  0
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                g
                ′
              
              (
              
                x
                
                  0
                
              
              )
              
                |
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \delta (g(x))={\frac {\delta (x-x_{0})}{|g'(x_{0})|}}.}
  Det følger fra å skrive g(x) = g(x0) + g'(x0)(x - x0) + ... i nærheten av punktet x0 hvor g(x0) = 0. Har g(x) flere slike røtter, så vil 

  
    
      
        δ
        (
        g
        (
        x
        )
        )
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          
            
              δ
              (
              x
              −
              
                x
                
                  i
                
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                g
                ′
              
              (
              
                x
                
                  i
                
              
              )
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta (g(x))=\sum _{i}{\frac {\delta (x-x_{i})}{|g'(x_{i})|}}}
  Som et eksempel, vil man derfor ha at

  
    
      
        δ
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          α
          
            2
          
        
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              
                |
              
              α
              
                |
              
            
          
        
        
          
            [
          
        
        δ
        (
        x
        +
        α
        )
        +
        δ
        (
        x
        −
        α
        )
        
          
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \delta (x^{2}-\alpha ^{2})={\frac {1}{2|\alpha |}}{\Big [}\delta (x+\alpha )+\delta (x-\alpha ){\Big ]}.}
  


== Definert som grense av en vanlig funksjon ==

Deltafunksjonen kan defineres som en  grense av en vanlig funksjon. På den måten kan man utvikle en bedre forståelse av funksjonen samtidig som man lettere kan demonstrere flere viktige egenskaper som kan benyttes i praktiske anvendelser.


=== Rektangulær funksjon ===
En rektangulær funksjon med bredde  ε sentrert om origo, er definert ved

  
    
      
        
          δ
          
            ϵ
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  x
                  <
                  −
                  ϵ
                  
                    /
                  
                  2
                  ,
                
              
              
                
                  1
                  
                    /
                  
                  ϵ
                  ,
                
                
                  −
                  ϵ
                  
                    /
                  
                  2
                  <
                  x
                  <
                  ϵ
                  
                    /
                  
                  2
                  ,
                
              
              
                
                  0
                
                
                  x
                  >
                  ϵ
                  
                    /
                  
                  2.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta _{\epsilon }(x)={\begin{cases}0,&x<-\epsilon /2,\\1/\epsilon ,&-\epsilon /2<x<\epsilon /2,\\0&x>\epsilon /2.\end{cases}}}
  Integrert over x-aksen gir den opplagt en da det er arealet av dette rektangelet. Nå kan deltafunksjonen defineres som

  
    
      
        δ
        (
        x
        )
        =
        
          lim
          
            ϵ
            →
            0
          
        
        
          δ
          
            ϵ
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \delta (x)=\lim _{\epsilon \to 0}\delta _{\epsilon }(x)}
  og vil ha de ønskede egenskaper. Men den egner seg ikke for nærmere analytiske studier.


=== Gauss-funksjon ===
En bedre definisjon av deltafunksjonen får man ved å benytte Gauss-funksjonen. Normeres den slik at arealet under denne klokkekurven er en, vil den akkurat ha egenskapene til δ(x) i grensen hvor dens bredde a går mot null. Matematisk betyr det at

  
    
      
        δ
        (
        x
        )
        =
        
          lim
          
            a
            →
            0
          
        
        
          
            1
            
              a
              
                
                  π
                
              
            
          
        
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
            
              /
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta (x)=\lim _{a\to 0}{\frac {1}{a{\sqrt {\pi }}}}\,e^{-x^{2}/a^{2}}}
  hvor denne grensen er illustrert i animasjonen til høyre. Dette er opplagt en like funksjon δ(x) = δ(-x). Videre sees at  δ(αx) =  δ(x)/α ved å skalere bredden a med den samme faktoren.


=== Lorentz-funksjon ===
En lignende klokkeform har også Lorentz-funksjonen. I grensen hvor dens bredde går mot null, finner man igjen deltafunksjonen

  
    
      
        δ
        (
        x
        )
        =
        
          lim
          
            ϵ
            →
            0
          
        
        
          
            1
            π
          
        
        
          
            ϵ
            
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                ϵ
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta (x)=\lim _{\epsilon \to 0}{\frac {1}{\pi }}{\frac {\epsilon }{x^{2}+\epsilon ^{2}}}}
  med de ønskede egenskapene.
Denne definisjonen kan også benyttes til å utlede et meget nyttig uttrykk for δ(x). Det følger fra det konvergente integralet

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        
        d
        k
        
          e
          
            i
            k
            x
            −
            ϵ
            
              |
            
            k
            
              |
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              i
              x
              +
              ϵ
            
          
        
        −
        
          
            1
            
              i
              x
              −
              ϵ
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              ϵ
            
            
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              
                ϵ
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{+\infty }\!dke^{ikx-\epsilon |k|}={1 \over ix+\epsilon }-{1 \over ix-\epsilon }={2\epsilon  \over x^{2}+\epsilon ^{2}}}
  Nå ved å ta grensen ε → 0 på begge sider, har man at

  
    
      
        δ
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            +
            ∞
          
        
        
        
          
            
              d
              k
            
            
              2
              π
            
          
        
        
          e
          
            i
            k
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta (x)=\int _{-\infty }^{+\infty }\!{dk \over 2\pi }e^{ikx}}
  Integralet på høyre side er ikke lenger helt veldefinert, noe som reflekterer at δ(x) ikke er noen vanlig funksjon.


== Høyere dimensjoner ==
Ved å for eksempel betrakte et tredimensjonalt rom med kartesiske koordinater, vil et punkt x være angitt ved de tre koordinatene (x,y,z). Man kan da definere en deltafunksjon i dette rommet som δ(x) = δ(x)δ(y)δ(z). For en vilkårlig funksjon f(x), har den nå den fundamentale egenskapen at

  
    
      
        ∫
        
        
          d
          
            3
          
        
        x
        f
        (
        
          x
        
        )
        δ
        (
        
          x
        
        −
        
          
            x
          
          ′
        
        )
        =
        f
        (
        
          
            x
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \int \!d^{3}xf(\mathbf {x} )\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')=f(\mathbf {x} ')}
  hvor integralet går over hele rommet. Fra definisjonen i en dimensjon, følger at man i tre dimensjoner kan skrive

  
    
      
        δ
        (
        
          x
        
        −
        
          
            x
          
          ′
        
        )
        =
        ∫
        
        
          
            
              
                d
                
                  3
                
              
              k
            
            
              (
              2
              π
              
                )
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            
              k
            
            ⋅
            (
            
              x
            
            −
            
              
                x
              
              ′
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')=\int \!{d^{3}k \over (2\pi )^{3}}e^{i\mathbf {k} \cdot (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}}
  Denne funksjonen kan brukes til å matematisk beskrive hva man mener med et punktmasse eller punktladning i fysikken. For eksempel, hvis man har en punktladning Q liggende i et punkt x', så tilsvarer det en ladningstetthet

  
    
      
        ρ
        (
        
          x
        
        )
        =
        Q
        δ
        (
        
          x
        
        −
        
          
            x
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=Q\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x} ')}
  Den er null i alle punkt unntatt i punktet  x' hvor den formelt nå er uendelig stor. I dette rommet er derfor  den totale ladning ∫ d3xρ(x) = Q. Dette er meget nyttig i elektrodynamikken hvor man da kan beskrive effekten av utstrakte ladningsfordelinger som oppbygd av diskrete punktladninger.


== Referanser ==


== Litteratur ==
P. A. M. Dirac, Lectures on Quantum Mechanics, Dover Publications, New York (2001).
J. R. Pierce, An Introduction to Information Theory, Dover Publications, New York (1980).


== Eksterne lenker ==
E.W. Weisstein, Delta Function, MathWorld.