Bølgepakke

Bølgepakke i fysikken er en sammensatt bølge med et utslag som er begrenset i tid og rom. Den er en mer generell løsning av bølgeligningen og kan beskrives som et samspill mellom plane bølger med frekvenser og bølgelengder som skiller seg lite fra hverandre. Ved interferens styrker disse seg kun i et område som beveger seg med en gruppehastighet som i alminnelighet er forskjellig fra hastigheten til hver enkeltbølge.
Formen til en bølgepakke vil vanligvis forandre seg med tiden. Det gjelder for bølgeligninger som sies å være dispersive. I det spesielle tilfelle med ikke-dispersive bølger, vil  en bølgepakke bevege seg uten at formen forandres.
I kvantemekanikken beskrevet ved Schrödingers bølgeligning, kan bølgepakker benyttes til å beskrive partikler. Da kvadratet av bølgefunksjonen gir sannsynligheten for å finne partikkelen, vil den være lokalisert i en bølgepakke og ha forsvinnende sannsynlighet for å finnes andre steder. På den måten kan man vise hvordan klassisk mekanikk kan oppstå fra en kvantemekanisk beskrivelse. Men da denne bølgeligningen er dispersiv, vil likevel sannsynligheten for å finne partikkelen på andre, ikke-klassiske steder øke etter hvert som bølgepakken sprer seg over et større område og desto raskere jo mindre den tilsvarende partikkel er.


== Svevning mellom to bølger ==

En bølgepakke oppstår ved interferens mellom bølger med nesten samme frekvens. Den fremkommer analogt med svevning mellom to bølger hvor en lavfrekvent bølge kan registreres med en frekvens som er lik med halvparten av differensen mellom de to opprinnelige frekvensene. Betrakter man en ikke-dispersiv bølge med frekvens f, har denne bølgelengden λ = c/f  hvor c er bølgehastigheten. Ekvivalent kan den beskrives ved bølgetallet k = 2π /λ  og vinkelfrekvensen ω = 2π f = ck. For en bølge som beveger seg langs x-aksen, varierer dens utslag i tid og rom som

  
    
      
        y
        (
        t
        ,
        x
        )
        =
        a
        cos
        ⁡
        (
        k
        x
        −
        ω
        t
        )
      
    
    {\displaystyle y(t,x)=a\cos(kx-\omega t)}
  hvor a  er amplituden. Den er lik med bølgens maksimale utslag.
For to slike bølger y1 og  y2 med omtrentlig like vinkelfrekvenser ω1 = ck1 og  ω2 = ck2 som beveger seg i samme retning med samme amplituder, er det resulterende utslaget y = y1 + y2. Ved bruk av den trigonometriske identiteten

  
    
      
        cos
        ⁡
        α
        +
        cos
        ⁡
        β
        =
        2
        cos
        ⁡
        
          
            
              α
              +
              β
            
            2
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            
              α
              −
              β
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
  finner man for summen av de to bølgene kan skrives på formen

  
    
      
        y
        (
        t
        ,
        x
        )
        =
        A
        (
        t
        ,
        x
        )
        cos
        ⁡
        (
        k
        x
        −
        ω
        t
        )
      
    
    {\displaystyle y(t,x)=A(t,x)\cos(kx-\omega t)}
  Her er  ω = (ω1 + ω2)/2 og k = (k1 + k2)/2 middelverdiene av de opprinnelige størrelsene, mens Δω = ω1 - ω2 og Δk = k1 - k2 er de tilsvarende differensene. Funksjonen

  
    
      
        A
        (
        t
        ,
        x
        )
        =
        2
        a
        cos
        ⁡
        
          
            (
          
        
        
          
            
              Δ
              k
            
            2
          
        
        x
        −
        
          
            
              Δ
              ω
            
            2
          
        
        t
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle A(t,x)=2a\cos {\Big (}{\Delta k \over 2}x-{\Delta \omega  \over 2}t{\Big )}}
  er amplituden til den resulterende bølgen. Den varierer harmonisk i tid og rom, men med en lavere frekvens enn de to opprinnelige bølgene. Denne variable amplituden er «omhyllingskurven» som her beskriver en uendelig lang kjede med bølgepakker. Hver av disse er bygget opp av et stort antall enkeltbølger med mye større frekvens. Denne kjeden med bølgepakker beveger seg med gruppehastigheten

  
    
      
        v
        =
        
          
            
              Δ
              ω
            
            
              Δ
              k
            
          
        
        =
        c
      
    
    {\displaystyle v={\Delta \omega  \over \Delta k}=c}
  som i dette tilfellet er det samme som bølgehastigheten. Hadde man kombinert to dispersive bølger på samme måte, ville det matematiske resultatet være det samme. Men da i dette tilfellet ω = ω(k), vil gruppehastigheten v ikke lenger være konstant, men varierere med bølgetallet k.


== Matematisk beskrivelse ==

En enkelt bølgepakke kan bygges opp ved å kombinere et stort antall bølger som kun gir konstruktiv interferens i et lokalisert område. Dette området består da av en gruppe av høyfrekvente bølger som sammen beveger seg som et lokalisert objekt i tid og rom. Fasene mellom de forskjellige enkeltbølgene må da variere på en samstemt måte. Man antar da at bølgeligningen er lineær slik at når hver enkeltbølge oppfyller den, vil også enhver sum være en mulig løsning av denne. Vanligvis omtales denne egenskapen som superposisjonsprinsippet.Generelt vil en slik superposisjon av bølger med diskrete bølgetall i en dimensjon gi den resulterende bølgen

  
    
      
        y
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        a
        
          ∑
          
            k
          
        
        cos
        ⁡
        (
        k
        x
        −
        
          ω
          
            k
          
        
        t
        +
        
          ϕ
          
            k
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle y(x,t)=a\sum _{k}\cos(kx-\omega _{k}t+\phi _{k})}
  hvor φk er fasefaktor for bølgen med bølgetallet k. For en ikke-dispersiv bølge er ωk = ck. Hvis bølgetallet tar kontinuerlige verdier, må summen erstattes med et integral. Da er det enklere å betrakte en kompleks bølge som generelt kan skrives på formen

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        ∫
        
          
            
              d
              k
            
            
              2
              π
            
          
        
        a
        (
        k
        )
        
          e
          
            i
            (
            k
            x
            −
            ω
            (
            k
            )
            t
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x,t)=\int {dk \over 2\pi }a(k)e^{i(kx-\omega (k)t)}}
  hvor amplituden a(k) i alminnelighet vil være kompleks. Også en reell bølge kan beskrives på denne måten ved å ta den reelle delen av resultatet etter integrasjonen. Denne matematiske formen tilsvarer å skrive bølgen som et Fourier-integral.
Amplituden  a(k) varierer ikke med tiden og kan bestemmes for eksempel fra bølgens form ψ(x, 0) ved tidspunktet t = 0. Ved å vende om Fourier-transformasjonen
finner man da

  
    
      
        a
        (
        k
        )
        =
        ∫
        d
        x
        ψ
        (
        x
        ,
        0
        )
        
          e
          
            −
            i
            k
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle a(k)=\int dx\psi (x,0)e^{-ikx}}
  som følger fra egenskaper ved Diracs deltafunksjon.


=== Gruppehastighet ===

I denne beskrivelsen vil en bølgepakke kunne fremstå når amplituden a(k) er dominert av bølgetall i nærheten av en bestemt verdi k0. Da vil verdien av hele integralet komme fra bidrag med slike bølgetall. Med den antagelsen kan man da skrive for vinkelfrekvensen

  
    
      
        ω
        (
        k
        )
        =
        
          ω
          
            0
          
        
        +
        v
        (
        k
        −
        
          k
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \omega (k)=\omega _{0}+v(k-k_{0})}
  når man ser bort fra høyere ordens ledd. Her er ω0 =  ω(k0) og

  
    
      
        v
        =
        
          
            
            
              
                
                  ∂
                  ω
                  (
                  k
                  )
                
                
                  ∂
                  k
                
              
            
            |
          
          
            k
            =
            
              k
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle v=\left.{\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}\right|_{k=k_{0}}}
  er gruppehastigheten. Det ser man ved å sette inn denne tilnærmelsen i integralet. Etter en liten omskrivning tar det da formen

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          e
          
            i
            (
            
              k
              
                0
              
            
            x
            −
            
              ω
              
                0
              
            
            t
            )
          
        
        ∫
        
          
            
              d
              k
            
            
              2
              π
            
          
        
        
        a
        (
        k
        )
        
          e
          
            i
            (
            k
            −
            
              k
              
                0
              
            
            )
            (
            x
            −
            v
            t
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x,t)=e^{i(k_{0}x-\omega _{0}t)}\int {dk \over 2\pi }\,a(k)e^{i(k-k_{0})(x-vt)}}
  Faktoren foran integralet beskriver nå en plan bølge med bølgetall k0, vinkelfrekvens ω0 og fasehastighet c = ω0/k0. Selve integralet gir formen på omhyllingskurven til bølgepakken. Den varierer i tid og rom kun gjennom kombinasjonen x - vt som forklarer hvorfor v kan kalles pakke- eller gruppehastigheten.
For en dispersiv bølgeligning vil både fasehastigheten og gruppehastigheten  variere med bølgetallet på forskjellig vis. Enkeltbølgene som utgjør bølgepakken, vil derfor med tiden ikke  bevege seg i takt med den slik at etter hvert vil pakken forandre form og vanligvis spredes ut til en jevnere fordeling av bølgefeltet.


=== Eksempel: Kvadratisk bølgepakke ===
En kvadratisk bølgepakke som ved tiden t = 0 har sitt senter i origo og som inneholder kun et bølgetall k0, har et utslag

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        0
        )
        =
        
          e
          
            i
            
              k
              
                0
              
            
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x,0)=e^{ik_{0}x}}
  for |x | < L og null ellers hvor 2L er dens fulle  utstrekning. Når k0 = 0, går denne bølgepakken over i det som heller kalles en «puls». Den Fourier-transformerte amplituden er nå

  
    
      
        a
        (
        k
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            L
          
          
            L
          
        
        d
        x
        
          e
          
            i
            (
            
              k
              
                0
              
            
            −
            k
            )
            x
          
        
        =
        2
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              k
              −
              
                k
                
                  0
                
              
              )
              L
            
            
              k
              −
              
                k
                
                  0
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a(k)=\int _{-L}^{L}dxe^{i(k_{0}-k)x}=2{\sin(k-k_{0})L \over k-k_{0}}}
  som er en funksjon av k som har et skarpt maksimum for k =  k0. Hvordan denne pakken beveger seg med tiden, avhenger av vinkelfrekvensen ω. Er der ingen dispersjon, er ω = ck slik at gruppehastigheten er lik med fasehastigheten c. Innsatt i det fulle integralet for bølgepakken, finner man da som forventet resultatet

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          e
          
            i
            
              k
              
                0
              
            
            (
            x
            −
            c
            t
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x,t)=e^{ik_{0}(x-ct)}}
  så lenge |x - ct | < L og null ellers. Den kvadratiske bølgepakken forflytter seg derfor uforandret med den konstante hastigheten c. Med dispersjon hadde man funnet et ganske annet resultat avhengig av den nøyaktige formen på dispersjonsrelasjonen ω = ω(k).
Alternativt kan kan en tilsvarende, kvadratisk bølgepakke defineres ved å anta at amplituden i k-rommet har en rektangulær form sentrert rundt verdien k0. Det vil si at denne amplituden er a(k) = 1 kun når |k - k0| < Δk og null ellers. Ved integrasjon finner man da ved tiden t = 0 bølgen

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        0
        )
        =
        
          e
          
            i
            
              k
              
                0
              
            
            x
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              Δ
              k
              x
            
            
              π
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x,0)=e^{ik_{0}x}{\sin \Delta kx \over \pi x}}
  Bølgepakken har derfor en oscillerende form konsentrert om punktet x = 0. Er den underliggende bølgeligning ikke-dispersiv, vil denne pakken forflytte seg med konstant form og hastighet c hvormed  bølgefunksjonen ψ(x,t) ved et senere tidspunkt  t > 0 finnes ved substitusjonen x → x - ct  i funksjonen ψ(x,0).


== Gaussiske bølgepakker ==
Basert på sine matematiske egenskaper har gaussiske bølgepakker viktige fordeler ved praktiske beregninger. I tillegg benyttes de ofte i kvantemekanikken og spesielt i forbindelse med Heisenbergs usikkerhetsrelasjon.. Slike bølgepakker har en form som er beskrevet ved Gauss-funksjonen som inngår i normalfordelingen.
For en bølge langs x-aksen har en gaussisk bølgepakke sentrert rundt origo ved tiden t = 0 formen

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        0
        )
        =
        
          e
          
            i
            
              k
              
                0
              
            
            x
          
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
            σ
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x,0)=e^{ik_{0}x}e^{-x^{2}/2\sigma }}
  hvor parameteren σ gir kvadratet av bredden til pakken beskrevet ved Gauss-funksjonen. Dens Fourier-transformerte amplitude blir dermed

  
    
      
        a
        (
        k
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        d
        x
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
            σ
          
        
        
          e
          
            −
            i
            (
            k
            −
            
              k
              
                0
              
            
            )
            x
          
        
        =
        
          
            2
            π
            σ
          
        
        
          e
          
            −
            σ
            (
            k
            −
            
              k
              
                0
              
            
            
              )
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a(k)=\int _{-\infty }^{\infty }dxe^{-x^{2}/2\sigma }e^{-i(k-k_{0})x}={\sqrt {2\pi \sigma }}e^{-\sigma (k-k_{0})^{2}/2}}
  og har også en normalfordeling. Hvis nå bølgen er beskrevet ved en ikke-dispersiv bølgeligning med fasehastighet c, vil ω = ck. Ved et senere tidspunkt blir da gitt den gaussiske bølgefunksjonen

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          e
          
            i
            
              k
              
                0
              
            
            (
            x
            −
            c
            t
            )
          
        
        
          e
          
            −
            (
            x
            −
            c
            t
            
              )
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
            σ
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x,t)=e^{ik_{0}(x-ct)}e^{-(x-ct)^{2}/2\sigma }}
  som beskriver en jevn forflytning med gruppehastighet lik fasehastighet slik at funksjonens form forblir uforandret.


=== Kvantemekanikk ===

Antas bølgefunksjonen i stedet å være styrt av den kvantemekaniske Schrödinger-ligningen for en fri partikkel, vil dens impuls p være forbundet med bølgetallet k ved de Broglies relasjon p = ħk hvor ħ er  den reduserte Plancks konstant. På samme måte er energien til partikkelen E = p2/2m når den har masse m, være gitt ved vinkelfrekvensen til bølgen ifølge Einsteins relasjon E = ħω. Det betyr at ω = ħk2/2m.
Bølgetallet k0  tilsvarer at denne gaussiske bølgepakken beveger seg med konstant hastighet og kan for enkelhets skyld settes lik null. Det tilsvarer å betrakte en partikkel som er klassisk i ro. Da blir dens kvantemekaniske bølgefunksjon ved et senere tidspunkt

  
    
      
        ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
        =
        
          
            2
            π
            σ
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              d
              k
            
            
              2
              π
            
          
        
        
          e
          
            −
            σ
            
              k
              
                2
              
            
            
              /
            
            2
          
        
        
          e
          
            i
            (
            k
            x
            −
            ℏ
            
              k
              
                2
              
            
            t
            
              /
            
            2
            m
            )
          
        
        =
        
          
            
              e
              
                −
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                
                  /
                
                2
                σ
                (
                1
                +
                i
                ℏ
                t
                
                  /
                
                σ
                m
                )
              
            
            
              
                1
                +
                i
                ℏ
                t
                
                  /
                
                σ
                m
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (x,t)={\sqrt {2\pi \sigma }}\int _{-\infty }^{\infty }{dk \over 2\pi }e^{-\sigma k^{2}/2}e^{i(kx-\hbar k^{2}t/2m)}={e^{-x^{2}/2\sigma (1+i\hbar t/\sigma m)} \over {\sqrt {1+i\hbar t/\sigma m}}}}
  Sannsynligheten for å finne partikkelen på et sted x er kvadratet av absoluttverdien til denne komplekse bølgefunksjonen. Dette vil igjen bli en normalfordelt sannsynlighetsfordeling, men med en med en effektiv parameter σ(t)   som både er kompleks og varierer med tiden. Den har en absoluttverdi

  
    
      
        
          |
        
        σ
        (
        t
        )
        
          |
        
        =
        σ
        
          
            [
          
        
        1
        +
        
          
            (
          
        
        
          
            
              ℏ
              t
            
            
              σ
              m
            
          
        
        
          
            
              )
            
          
          
            2
          
        
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle |\sigma (t)|=\sigma {\Big [}1+{\Big (}{\hbar t \over \sigma m}{\Big )}^{2}{\Big ]}}
  som betyr at den gaussiske fordelingen blir flatere og flatere etter som tiden øker. Tilslutt går den mot null overalt når t >> tc  hvor

  
    
      
        
          t
          
            c
          
        
        =
        
          
            
              σ
              m
            
            ℏ
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{c}={\sigma m \over \hbar }}
  Dette er et rent kvantemekanisk resultat som betyr at om partikkelen plasseres i origo ved tiden t = 0, vil den ha en viss sannsynlighet for å finnes utenfor dette punktet ved et senere tidspunkt. Men for at dette skal kunne ha noen observable konsekvenser, må massen m være svært liten.
Betrakter man for eksempel et elektron med omtrentlig masse m = 10−27 g som plasseres innen et lite område med utstrekning √σ = 10-10 m som tilsvarer størrelsen til et atom, så blir tc =  10-16 s. Så for elektronet vil disse kvantemekaniske effektene opptre omtrent med en gang. Men for en makroskopisk partikkel med masse m = 1 g som plasseres innen √σ = 10-6 m, blir den karakteristiske tiden tc =  10+19 s som er mer enn Universets alder og derfor overhodet ikke merkbart.


== Tre dimensjoner ==
For bølger i tre dimensjoner erstattes bølgetallet k med bølgevektoren k = (kx,ky,kz). Bølgefunksjonen ψ(x,t)  vil oppfylle en mer komplisert bølgeligning som vil ha løsninger som generelt kan skrives som tredimensjonale Fourier-integral

  
    
      
        ψ
        (
        
          x
        
        ,
        t
        )
        =
        ∫
        
          
            
              
                d
                
                  3
                
              
              k
            
            
              (
              2
              π
              
                )
                
                  3
                
              
            
          
        
        a
        (
        
          k
        
        )
        
          e
          
            i
            (
            
              k
            
            ⋅
            
              x
            
            −
            ω
            (
            
              k
            
            )
            t
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}a(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} -\omega (\mathbf {k} )t)}}
  hvor nå vinkelfrekvensen ω(k)  er en funksjon av bølgevektoren som kan finnes fra bølgeligningen. Fourier-amplituden a(k)  kan beregnes fra bølgefunksjonen ved tiden t = 0,

  
    
      
        a
        (
        
          k
        
        )
        =
        ∫
        
          d
          
            3
          
        
        x
        ψ
        (
        
          x
        
        ,
        0
        )
        
          e
          
            −
            i
            
              k
            
            ⋅
            
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a(\mathbf {k} )=\int d^{3}x\psi (\mathbf {x} ,0)e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {x} }}
  Er denne amplituden dominert av bølgevektorer rundt en verdi k0, kan man approksimere vinkelfrekvensen med uttrykket

  
    
      
        ω
        (
        
          k
        
        )
        =
        
          ω
          
            0
          
        
        +
        
          v
        
        ⋅
        (
        
          k
        
        −
        
          
            k
          
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \omega (\mathbf {k} )=\omega _{0}+\mathbf {v} \cdot (\mathbf {k} -\mathbf {k} _{0})}
  hvor ω0 =  ω(k0)  og gruppehastigheten i dette mer generelle tilfellet kan skrives som

  
    
      
        
          v
        
        =
        
          
            
            
              
                
                  ∂
                  ω
                  (
                  
                    k
                  
                  )
                
                
                  ∂
                  
                    k
                  
                
              
            
            |
          
          
            
              k
            
            =
            
              
                k
              
              
                0
              
            
          
        
        =
        
          
            
            
              
                
                  ∇
                
                
                  
                    k
                  
                
              
              ω
            
            |
          
          
            
              k
            
            =
            
              
                k
              
              
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} =\left.{\frac {\partial \omega (\mathbf {k} )}{\partial \mathbf {k} }}\right|_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}=\left.{\boldsymbol {\nabla }}_{\mathbf {k} }\omega \right|_{\mathbf {k} =\mathbf {k} _{0}}}
  En bølgepakke i tre dimensjoner har da en bølgefunksjon på formen

  
    
      
        ψ
        (
        
          x
        
        ,
        t
        )
        =
        
          e
          
            i
            (
            
              
                k
              
              
                0
              
            
            ⋅
            
              x
            
            −
            
              ω
              
                0
              
            
            t
            )
          
        
        ∫
        
          
            
              
                d
                
                  3
                
              
              k
            
            
              (
              2
              π
              
                )
                
                  3
                
              
            
          
        
        
        a
        (
        
          k
        
        )
        
          e
          
            i
            (
            
              k
            
            −
            
              
                k
              
              
                0
              
            
            )
            ⋅
            (
            
              x
            
            −
            
              v
            
            t
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi (\mathbf {x} ,t)=e^{i(\mathbf {k} _{0}\cdot \mathbf {x} -\omega _{0}t)}\int {d^{3}k \over (2\pi )^{3}}\,a(\mathbf {k} )e^{i(\mathbf {k} -\mathbf {k} _{0})\cdot (\mathbf {x} -\mathbf {v} t)}}
  hvor integralet viser at bølgepakken beveger seg med gruppehastigheten v. For en ikke-dispersiv bølgeligning blir den lik med fasehastigheten, det vil si v = ω0/k0  i retning k0.


== Referanser ==