Kompleks analyse

Kompleks analyse er den delen av matematikk som omhandler studier av funksjoner med komplekse variable. Kompleks analyse blir anvendt i flere ulike matematiske disipliner, blant annet for analytisk geometri, tallteori, kombinatorikk og for anvendt matematikk. Kompleks analyse er også viktig for flere områder innen fysikk: Mange problemer studert innen fysikk kan løses ved hjelp av teknikker fra kompleks analyse.


== Komplekse funksjoner ==
En kompleks funksjon er en funksjon definert over de komplekse tallene. Formelt kan den defineres ved hjelp av reelle funksjoner, på samme måte som komplekse tall kan defineres ved hjelp av reelle tall: En kompleks funksjon f(z) kan skrives som

  
    
      
        f
        (
        x
        +
        i
        y
        )
        =
        u
        (
        x
        ,
        y
        )
        +
        i
        v
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle f(x+iy)=u(x,y)+iv(x,y)}
  der 
  
    
      
        u
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle u(x,y)}
   og 
  
    
      
        v
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle v(x,y)}
   er funksjoner fra 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
   til 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  .


=== Analytiske funksjoner ===

En kompleks funksjon sies å være holomorf, analytisk eller kompleks deriverbar i en mengde 
  
    
      
        Ω
        ⊂
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {C} }
   dersom den deriverte eksisterer for alle punkter 
  
    
      
        
          z
          
            0
          
        
        ∈
        Ω
      
    
    {\displaystyle z_{0}\in \Omega }
  , det vil si dersom

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        
          z
          
            0
          
        
        )
        =
        
          lim
          
            h
            →
            0
          
        
        
          
            
              f
              (
              
                z
                
                  0
                
              
              +
              h
              )
              −
              f
              (
              
                z
                
                  0
                
              
              )
            
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle f'(z_{0})=\lim _{h\to 0}{\frac {f(z_{0}+h)-f(z_{0})}{h}}}
  konvergerer mot en verdi, uavhengig av hvilken retning h konvergerer mot 0 fra. En funksjon er holomorf i et mengde hvis og bare hvis Cauchy–Riemanns ligninger er oppfylt for alle punkt i denne mengden. Hvis en funksjon er holomorf i hele det komplekse planet kalles den en hel funksjon.


== Litteratur ==
Elias M. Stein og Rami Shakarchi: Complex analysis. Princeton University Press, 2003.


== Eksterne lenker ==
(en) Eric W. Weisstein, Complex Analysis i MathWorld.