Brahmaguptas formel

Brahmaguptas formel gir arealet av en syklisk firkant uttrykt ved lengdene av de fire sidene i firkanten.  I en syklisk firkant ligger alle hjørnene på en sirkel. Formelen er oppkalt etter den indiske matematiker  Brahmagupta som levde på 600-tallet.
Kaller man sidelengdene  i firkanten for a, b, c og d, kan dens areal skrives som

  
    
      
        S
        =
        
          
            (
            s
            −
            a
            )
            (
            s
            −
            b
            )
            (
            s
            −
            c
            )
            (
            s
            −
            d
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
  etter at man har innført den halve omkretsen til firkanten,

  
    
      
        s
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        a
        +
        b
        +
        c
        +
        d
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle s={\frac {1}{2}}(a+b+c+d).\,}
  Når en av sidene i firkanten blir forsvinnende liten, går den over til å bli en trekant. Formelen til Brahmagupta går da over i Herons formel som gir arealet til trekanten uttrykt ved  dens sidelengder.
På 1800-tallet ble det vist at Bramhaguptas formel kunne utvides til å gjelde for en vilkårlig firkant.


== Utledning ==
La lengden av sidene i firkanten være  a, b, c og d. Arealet S av firkanten er da lik summen av arealene til de to trekantene ABD og BDC som vist i figuren. Ved bruk av formelen for arealet til en vanlig trekant, har man da

  
    
      
        S
        =
        
          
            1
            2
          
        
        a
        b
        sin
        ⁡
        A
        +
        
          
            1
            2
          
        
        c
        d
        sin
        ⁡
        C
      
    
    {\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin A+{\frac {1}{2}}cd\sin C}
  hvor A er vinkelen i hjørnet A og tilsvarende for C. I en syklisk firkant er summen av vinklene A + C = 180° som følger fra teoremet om periferivinkler. Derfor er sinA = sinC slik at arealet er gitt ved

  
    
      
        S
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            (
          
        
        a
        b
        +
        c
        d
        
          
            )
          
        
        sin
        ⁡
        A
      
    
    {\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\big (}ab+cd{\big )}\sin A}
  Vinklene A og C kan nå finnes fra cosinussetningen brukt på trekantene ABD og BDC. De har siden BD felles slik at

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        b
        cos
        ⁡
        A
        =
        
          c
          
            2
          
        
        +
        
          d
          
            2
          
        
        −
        2
        c
        d
        cos
        ⁡
        C
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}-2ab\cos A=c^{2}+d^{2}-2cd\cos C}
  Da nå cosA = - cosC, følger herav at 2(ab + cd) cosA = a2 + b2 -  c2  -  d2. Dette resultatet for cosA kan nå benyttes i uttrykket for arealet til frikanten da

  
    
      
        S
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            (
          
        
        a
        b
        +
        c
        d
        
          
            )
          
        
        
          
            1
            −
            
              cos
              
                2
              
            
            
            A
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            (
          
        
        a
        b
        +
        c
        d
        
          
            )
          
        
        
          
            1
            +
            cos
            ⁡
            A
          
        
        
          
            1
            −
            cos
            ⁡
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle S={1 \over 2}{\big (}ab+cd{\big )}{\sqrt {1-\cos ^{2}\!A}}={1 \over 2}{\big (}ab+cd{\big )}{\sqrt {1+\cos A}}{\sqrt {1-\cos A}}}
  Settes her inn for (ab + cd) cosA, får man

  
    
      
        
          
            
              
                S
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    4
                  
                
                
                  
                    2
                    (
                    a
                    b
                    +
                    c
                    d
                    )
                    +
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    
                      c
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    
                      d
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    2
                    (
                    a
                    b
                    +
                    c
                    d
                    )
                    −
                    
                      a
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      c
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      d
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    4
                  
                
                
                  
                    (
                    a
                    +
                    b
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    (
                    c
                    −
                    d
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    (
                    c
                    +
                    d
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    (
                    a
                    −
                    b
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    4
                  
                
                
                  
                    (
                    a
                    +
                    b
                    +
                    c
                    −
                    d
                    )
                    (
                    a
                    +
                    b
                    −
                    c
                    +
                    d
                    )
                    (
                    c
                    +
                    d
                    +
                    a
                    −
                    b
                    )
                    (
                    c
                    +
                    d
                    −
                    a
                    +
                    b
                    )
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}S&={1 \over 4}{\sqrt {2(ab+cd)+a^{2}+b^{2}-c^{2}-d^{2}}}{\sqrt {2(ab+cd)-a^{2}-b^{2}+c^{2}+d^{2}}}\\&={1 \over 4}{\sqrt {(a+b)^{2}-(c-d)^{2}}}{\sqrt {(c+d)^{2}-(a-b)^{2}}}\\&={1 \over 4}{\sqrt {(a+b+c-d)(a+b-c+d)(c+d+a-b)(c+d-a+b)}}\end{aligned}}}
  Dette er nå Brahmaguptas formel som sees ved å sette inn den halve omkretsen s = (a + b + c +d)/2 til firkanten.


== Generalisering ==
I en vilkårlig firkant er vinkelen θ = (A + C)/2 ikke nødvendigvis nøyaktig lik 90° som i det sykliske tilfellet.  Men den samme beregningen kan likevel benyttes til å gi resultatet

  
    
      
        S
        =
        
          
            (
            s
            −
            a
            )
            (
            s
            −
            b
            )
            (
            s
            −
            c
            )
            (
            s
            −
            d
            )
            −
            a
            b
            c
            d
            
              cos
              
                2
              
            
            
            θ
          
        
      
    
    {\displaystyle S={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\!\theta }}}
  for arealet av en alminnelig firkant. Det ble vist vist  i 1842 av de tyske matematikerne Carl Anton Bretschneider og Karl von Staudt uavhengig av hverandre. Da summen av de indre vinklene i en firkant alltid er 360°, spiller det ingen rolle hvilke to motstående vinkler blir brukt i bestemmelsen av vinkelen θ.


== Litteratur ==
C.B. Boyer, A History of Mathematics, Princeton University Press, New Jersey (1985). ISBN 0-691-02391-3.