Hamilton-operator

Hamilton-operatoren er en matematisk-fysisk regnestørrelse som blir brukt i kvantemekanikken for å finne mulige energitilstander for et fysisk system. Den består av to deler som viser til henholdsvis kinetisk og potensiell energi. Det generelle uttrykket lyder som følger

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        =
        
          
            
              T
              ^
            
          
        
        +
        
          
            
              V
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}={\hat {T}}+{\hat {V}}}
  Hvor 

  
    
      
        
          
            
              V
              ^
            
          
        
        =
        V
        =
        V
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\hat {V}}=V=V(\mathbf {r} ,t)}
  er potensialet til systemet og 

  
    
      
        
          
            
              T
              ^
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  
                    p
                    ^
                  
                
              
              ⋅
              
                
                  
                    p
                    ^
                  
                
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  
                    p
                    ^
                  
                
              
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {T}}={\frac {\mathbf {\hat {p}} \cdot \mathbf {\hat {p}} }{2m}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}}
  Er den kinetiske energien, hvor 

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              
                ∂
                x
              
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              
                ∂
                y
              
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                2
              
            
            
              
                ∂
                z
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{{\partial x}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial y}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{{\partial z}^{2}}}}
  og kalles Laplace-operatoren. 
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hbar }
   er konstant og kalles den reduserte Plancks konstant. 
Settes disse sammen, får man uttrykket for Hamilton-operatoren som også går igjen i Schrödinger-ligningen.

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          ψ
          
            n
          
        
        +
        V
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        
          ψ
          
            n
          
        
        =
        
          E
          
            n
          
        
        
          ψ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi _{n}+V(\mathbf {r} ,t)\psi _{n}=E_{n}\psi _{n}}
  Som da ofte forenkles til å inneholde nettopp Hamilton-operatoren

  
    
      
        
          
            
              H
              ^
            
          
        
        
          Ψ
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              E
              ^
            
          
        
        
          Ψ
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {H}}\Psi _{n}={\hat {E}}\Psi _{n}}
  


== Se også ==
Schrödinger-ligningen
Kvantefysikk
Kvantemekanikk


== Litteratur ==
D. J. Griffiths, Introduction to Quantum Mechanics (2nd Edition), Pearson New International Edition, England (2014), ISBN 978-1-29202-408-0
R. Resnick, R. Eisberg, John Wiley & Sons, Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei and Particles (2nd Edition), (1985), ISBN 978-0-471-87373-0