Hessematrisen

Hessematrisen er en kvadratisk matrise bestående av andreordens partiellderiverte til en skalarfunksjon, eller skalarfelt. Den beskriver den lokale krumningen til en funksjon av flere variable. Hessematrisen ble utviklet på 1800-tallet av den tyske matematikeren  Ludwig Otto Hesse og ble senere oppkalt etter ham. Hesse brukte opprinnelig begrepet «funksjonsdeterminanter».
Konkret, anta  f : ℝn → ℝ er en funksjon som tar inn en vektor x ∈ ℝn og gir ut en skalar f(x) ∈ ℝ. Hvis alle andrepartiellderiverte til f eksisterer og er kontinuerlige på funksjonens definisjonsmengde, er hessematrisen H til f en kvadratisk n×n-matrise, vanligvis definert som følgende:

  
    
      
        
          H
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              2
                            
                          
                          f
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              1
                            
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              2
                            
                          
                          f
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              1
                            
                          
                          
                          ∂
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              2
                            
                          
                          f
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              1
                            
                          
                          
                          ∂
                          
                            x
                            
                              n
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              2
                            
                          
                          f
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                          
                          ∂
                          
                            x
                            
                              1
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              2
                            
                          
                          f
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              2
                            
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              2
                            
                          
                          f
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                          
                          ∂
                          
                            x
                            
                              n
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              2
                            
                          
                          f
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              n
                            
                          
                          
                          ∂
                          
                            x
                            
                              1
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              2
                            
                          
                          f
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              n
                            
                          
                          
                          ∂
                          
                            x
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              2
                            
                          
                          f
                        
                        
                          ∂
                          
                            x
                            
                              n
                            
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {H} ={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}\,\partial x_{n}}}\\[2.2ex]\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\[2.2ex]{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{1}}}&{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}\,\partial x_{2}}}&\cdots &{\dfrac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}\end{bmatrix}}.}
  eller, komponent-vis:

  
    
      
        
          
            H
          
          
            i
            ,
            j
          
        
        =
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {H} _{i,j}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}.}
  Determinanten til den overstående matrisen blir omtalt som hessedeterminanten.Hessematrisen kan anses som beslektet med jacobimatrisen ved at H(f)(x) = J(∇f)(x).


== Kryssede deriverte og symmetri av hessematrisen ==
De kryssede partiellderiverte til f er elementene som ikke ligger på matrisens hoveddiagonal. Ved å anta at de er kontinuerlige, har rekkefølgen på derivasjonen ingen betydning («Likhet av kryssede partiellderiverte», også kjent som Clairauts teorem). For eksempel,

  
    
      
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                f
              
              
                ∂
                
                  x
                  
                    j
                  
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            ∂
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                f
              
              
                ∂
                
                  x
                  
                    i
                  
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{j}}}\right)={\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial x_{i}}}\right).}
  Formelt formulert: Hvis de andrepartiellderiverte til f alle er kontinuerlige i en omegn D, er hessematrisen til f en symmetrisk matrise i D.


== Kritiske punkter ==
Hvis gradienten (vektoren med partiellderiverte) av en funksjon f er null i et punkt x, har f et kritisk punkt (også kalt et stasjonært punkt) i x. Determinanten til hessematrisen i x kalles da hessediskriminanten. Hvis determinanten er null, kalles x et degenerert kritisk punkt for f. Ellers er det ikke-degenerert.
Hessematrisen spiller en viktig rolle i morseteori fordi dens nullrom og egenverdier muliggjør klassifisering av de kritiske punktene.


== Andrederiverttesten ==
Hessematrisen til en konveks funksjon er semi-positivt bestemt. Denne egenskapen gjør det mulig å teste om hvorvidt et kritisk punkt x er et lokalt maksimum eller et lokalt minimum.
Hvis hessematrisen er positivt bestemt i x, har f et lokalt minimum i x.  Hvis hessematrisen er negativt bestemt i x, har f et lokalt maksimum i x. Hvis hessematrisen har både positive og negative egenverdier (verken positivt eller negativt bestemt, og determinanten er ulik null), er x et sadelpunkt for f. Ellers (når hessedeterminanten er lik null) gir testen ingen konklusjon. Det betyr at i et lokalt minimum er hessematrisen semi-positivt bestemt, mens den i et lokalt minimum er semi-negativt bestemt. Legg merke til at for semi-positvt bestemte og semi-negativt bestemte hessematriser gir andrederiverttesten ingen konklusjoner (selv om det kan avgjøres om f er henholdsvis konveks eller konkav). Mer kan imidlertid sies ved hjelp av Morseteori.
Andrederiverttesten for funksjoner av én eller to variable er enkel. 

I én variabel inneholder hessematrisen bare én andrederivert. Hvis denne er positiv, er x et lokalt minimum. Hvis den er negativ er x et lokalt maksimum. Hvis den er null, gir testen ingen konklusjon.
I to variable kan determinanten til hessematrisen brukes til å avgjøre hvorvidt funksjonen har et lokalt maksimum/minimum eller et sadelpunkt i x, fordi determinanten da er produktet av egenverdiene. Hvis determinanten er positiv, er begge egenverdiene positive eller begge negative. Hvis det første elementet i matrisen er positivt (fxx > 0), har da f et lokalt minimum i x. Hvis det første elementet i matrisen er negativt (fxx < 0), har f et lokalt maksimum i x. Hvis determinanten er negativ, har de to egenverdiene forskjellig fortegn. Dermed konkluderer testen med at funksjonen har et sadelpunkt i x. Hvis determinanten er null, gir testen ingen konklusjon, og eventuelt maksimum eller minimum må fastslås på andre måter.
I n variable kan det finnes ut om hessematrisen (som nå er av størrelse n × n) er positvt eller negativt bestemt ved å se på delmatrisene langs diagonalen (som illustrert nedenfor). Matrisen er positivt bestemt hvis og bare hvis alle determinantene til delmatrisene er ekte positive. Matrisen er negativt bestemt dersom fortegnet til determinantene av de diagonale delmatrisene alternerer mellom negativt og positivt. Hvis determinantene til alle de diagonale delmatrisene er ulik null, men hessematrisen verken er positivt eller negativt bestemt, er x et sadelpunkt.  


== Referanser ==