Landens transformasjon

Landens transformasjon er en omskrivning av et elliptisk integral til et annet integral av samme form, men med nye variable. En av disse er den «elliptiske modulus» og forandringen av denne gir det enkleste eksempel på en «modulær transformasjon» som spiller en viktig rolle i moderne matematikk.En lignende transformasjon ble først benyttet av den engelske matematiker John Landen på midten av 1700-tallet. Han klarte å vise at lengden av en hyperbelbue kunne uttrykkes ved lengdene av buene til to forskjellige ellipser. Hver av disse har en eksentrisitet som kan identifiseres med den elliptiske modulus. Den spesielle sammenhengen mellom eksentrisitetene i de to ellipsene som Landen fant, bar senere navnet hans. Den nåværende form av Landens transformasjon ble utviklet av Lagrange, Legendre og Gauss. Spesielt arbeidene til Legendre spilte en stor rolle for Niels Henrik Abel og Carl Gustav Jacobi i deres utvikling av elliptiske funksjoner.


== Matematiske egenskaper ==
Et elliptisk integral av første type kan skrives som

  
    
      
        F
        (
        ϕ
        ,
        k
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ϕ
          
        
        
          
            
              d
              ϕ
            
            
              1
              −
              
                k
                
                  2
                
              
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              ϕ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {d\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}}
  hvor parameteren  0 < k < 1 er den elliptiske modulus og den øvre grense φ  kalles for «amplituden». Integralet er derfor en funksjon av disse to variable. Strengt tatt skulle integrasjonsvariable være en annen enn den øvre grensen, men det vil ikke skape noen problemer i det følgende.
Landens transformasjon erstatter integrasjonsvariabel φ  med en ny variabel φ1  definert ved ligningen

  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        2
        
          ϕ
          
            1
          
        
        −
        ϕ
        )
        =
        k
        sin
        ⁡
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \sin(2\phi _{1}-\phi )=k\sin \phi }
  .Den følger fra en enkel, geometrisk betraktning. Da k ≤ 1, vil derfor 2φ1 - φ ≤ φ  slik at den transformerte vinkelen φ1 ≤ φ  dermed blir mindre enn den opprinnelige vinkelen.
Ved å bruke en  trigonometrisk identitet for sinus til en differanse av to vinkler, kan man skrive transformasjonen på formen

  
    
      
        tan
        ⁡
        ϕ
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              2
              
                ϕ
                
                  1
                
              
            
            
              k
              +
              cos
              ⁡
              2
              
                ϕ
                
                  1
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan \phi ={\sin 2\phi _{1} \over k+\cos 2\phi _{1}}}
  hvor den transformerte vinkelen er isolert på den ene siden av ligningen.
Nå gjelder også identiteten

  
    
      
        sin
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              tan
              ⁡
              θ
            
            
              
                1
                +
                
                  tan
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin \theta ={\tan \theta  \over {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}}
  slik at transformasjonen kan skrives på den alternative måten som

  
    
      
        sin
        ⁡
        ϕ
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              2
              
                ϕ
                
                  1
                
              
            
            
              
                1
                +
                
                  k
                  
                    2
                  
                
                +
                2
                k
                cos
                ⁡
                2
                
                  ϕ
                  
                    1
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin \phi ={\sin 2\phi _{1} \over {\sqrt {1+k^{2}+2k\cos 2\phi _{1}}}}}
  Men nå er

  
    
      
        1
        +
        
          k
          
            2
          
        
        +
        2
        k
        cos
        ⁡
        2
        
          ϕ
          
            1
          
        
        =
        1
        +
        
          k
          
            2
          
        
        +
        2
        k
        −
        4
        k
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        
          ϕ
          
            1
          
        
        =
        (
        1
        +
        k
        
          )
          
            2
          
        
        
          
            (
          
        
        1
        −
        
          
            
              4
              k
            
            
              (
              1
              +
              k
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        
          ϕ
          
            1
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle 1+k^{2}+2k\cos 2\phi _{1}=1+k^{2}+2k-4k\sin ^{2}\phi _{1}=(1+k)^{2}{\Big (}1-{4k \over (1+k)^{2}}\sin ^{2}\phi _{1}{\Big )}}
  slik at

  
    
      
        sin
        ⁡
        ϕ
        =
        
          
            2
            
              1
              +
              k
            
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                ϕ
                
                  1
                
              
              cos
              ⁡
              
                ϕ
                
                  1
                
              
            
            
              
                1
                −
                
                  k
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                
                  ϕ
                  
                    1
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin \phi ={2 \over 1+k}{\sin \phi _{1}\cos \phi _{1} \over {\sqrt {1-k_{1}^{2}\sin ^{2}\phi _{1}}}}}
  .hvor

  
    
      
        
          k
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                
                  k
                
              
            
            
              1
              +
              k
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{1}={2{\sqrt {k}} \over 1+k}}
  er den transformerte modulusen. Da k < 1, vil derfor k1 > √k  som betyr at k1 ≥ k. Dermed blir modulus større og dette kalles en økende Landen-transformasjon. Den komplimentære verdien er

  
    
      
        
          k
          
            1
          
          ′
        
        =
        
          
            1
            −
            
              k
              
                1
              
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              1
              −
              k
            
            
              1
              +
              k
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k_{1}'={\sqrt {1-k_{1}^{2}}}={1-k \over 1+k}}
  slik at

  
    
      
        (
        1
        +
        k
        )
        (
        1
        +
        
          k
          
            1
          
          ′
        
        )
        =
        2
      
    
    {\displaystyle (1+k)(1+k_{1}')=2}
  .Fra sinφ  kan man videre finne cosφ. Den sentrale faktoren i integranden til det elliptiske integralet kan dermed omformes til

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    −
                    
                      k
                      
                        2
                      
                    
                    
                      sin
                      
                        2
                      
                    
                    ⁡
                    ϕ
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    −
                    
                      sin
                      
                        2
                      
                    
                    ⁡
                    (
                    2
                    
                      ϕ
                      
                        1
                      
                    
                    −
                    ϕ
                    )
                  
                
                =
                cos
                ⁡
                (
                2
                
                  ϕ
                  
                    1
                  
                
                −
                ϕ
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      1
                      +
                      k
                      cos
                      ⁡
                      2
                      
                        ϕ
                        
                          1
                        
                      
                    
                    
                      
                        1
                        +
                        
                          k
                          
                            2
                          
                        
                        +
                        2
                        k
                        cos
                        ⁡
                        2
                        
                          ϕ
                          
                            1
                          
                        
                      
                    
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}&={\sqrt {1-\sin ^{2}(2\phi _{1}-\phi )}}=\cos(2\phi _{1}-\phi )\\&={1+k\cos 2\phi _{1} \over {\sqrt {1+k^{2}+2k\cos 2\phi _{1}}}}\end{aligned}}}
  I det elliptiske integralet inngår differensialet dφ. Det kan enklest beregnes fra

  
    
      
        d
        tan
        ⁡
        ϕ
        =
        
          
            
              d
              ϕ
            
            
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              ϕ
            
          
        
        =
        (
        1
        +
        
          tan
          
            2
          
        
        ⁡
        ϕ
        )
        d
        ϕ
      
    
    {\displaystyle d\tan \phi ={d\phi  \over \cos ^{2}\phi }=(1+\tan ^{2}\phi )d\phi }
  som gir at

  
    
      
        d
        ϕ
        =
        
          
            
              2
              (
              1
              +
              k
              cos
              ⁡
              2
              
                ϕ
                
                  1
                
              
              )
            
            
              1
              +
              
                k
                
                  2
                
              
              +
              2
              k
              cos
              ⁡
              2
              
                ϕ
                
                  1
                
              
            
          
        
        d
        
          ϕ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle d\phi ={2(1+k\cos 2\phi _{1}) \over 1+k^{2}+2k\cos 2\phi _{1}}d\phi _{1}}
  Dermed er

  
    
      
        
          
            
              d
              ϕ
            
            
              
                1
                −
                
                  k
                  
                    2
                  
                
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                ϕ
              
            
          
        
        =
        
          
            2
            
              1
              +
              k
            
          
        
        
          
            
              d
              
                ϕ
                
                  1
                
              
            
            
              
                1
                −
                
                  k
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                
                  ϕ
                  
                    1
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {d\phi  \over {\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\phi }}}={2 \over 1+k}{d\phi _{1} \over {\sqrt {1-k_{1}^{2}\sin ^{2}\phi _{1}}}}}
  som betyr at de tilsvarende integralene er relatert ved

  
    
      
        F
        (
        ϕ
        ,
        k
        )
        =
        
          
            2
            
              1
              +
              k
            
          
        
        F
        (
        
          ϕ
          
            1
          
        
        ,
        
          k
          
            1
          
        
        )
        =
        (
        1
        +
        
          k
          
            1
          
          ′
        
        )
        F
        (
        
          ϕ
          
            1
          
        
        ,
        
          k
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle F(\phi ,k)={2 \over 1+k}F(\phi _{1},k_{1})=(1+k_{1}')F(\phi _{1},k_{1})}
  .Transformasjon av de to andre typene elliptiske integral kan beregnes på samme måte, men resultatet kan ikke skrives så kompakt som for dette integralet av første type.


=== Iterasjon ===
Siden denne Landen-transformasjonen gir en stadig økende verdi for modulus, kan man gjenta den flere ganger etter hverandre til man til slutt kommer til den maksimale verdien k∞ = 1. For denne verdien av modulus kan det elliptiske integralet regnes ut analytisk,

  
    
      
        F
        (
        ϕ
        ,
        1
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ϕ
          
        
        
          
            
              d
              θ
            
            
              1
              −
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
        =
        ln
        ⁡
        tan
        ⁡
        (
        ϕ
        
          /
        
        2
        +
        π
        
          /
        
        4
        )
      
    
    {\displaystyle F(\phi ,1)=\int _{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}=\ln \tan(\phi /2+\pi /4)}
  .Hvis man starter ut med en vilkårlig modulus k  og amplitude φ , kan et generelt elliptisk integral av første type finnes numerisk fra

  
    
      
        F
        (
        ϕ
        ,
        k
        )
        =
        
          
            2
            
              1
              +
              k
            
          
        
        F
        (
        
          ϕ
          
            1
          
        
        ,
        
          k
          
            1
          
        
        )
        =
        
          
            2
            
              1
              +
              k
            
          
        
        
          
            2
            
              1
              +
              
                k
                
                  1
                
              
            
          
        
        F
        (
        
          ϕ
          
            2
          
        
        ,
        
          k
          
            2
          
        
        )
        =
        
          
            2
            
              1
              +
              k
            
          
        
        
          
            2
            
              1
              +
              
                k
                
                  1
                
              
            
          
        
        ⋯
        
          
            2
            
              1
              +
              
                k
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
          
        
        F
        (
        
          ϕ
          
            n
          
        
        ,
        
          k
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle F(\phi ,k)={2 \over 1+k}F(\phi _{1},k_{1})={2 \over 1+k}{2 \over 1+k_{1}}F(\phi _{2},k_{2})={2 \over 1+k}{2 \over 1+k_{1}}\cdots {2 \over 1+k_{n-1}}F(\phi _{n},k_{n})}
  Her er k2  relatert til k1  på samme måte som denne er relatert til k. Kun etter en håndfull iterasjoner konvergerer dette produktet til en forholdsvis nøyaktig verdi med  kn ≈ 1  og hvor det siste integralet da er gitt ved F(φn,1).


== Avtagende transformasjon ==
Denne samme matematikken kan benyttes til å finne den motsatte transformasjon hvor man går fra en modulus til en med mindre verdi. Dette omtales derfor som en avtagende Landen-transformasjon. Den kan finnes ved å bytte om  k1  og k  samtidig som φ1  og φ  byttes om. Det resulterer i

  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        2
        ϕ
        −
        
          ϕ
          
            1
          
        
        )
        =
        
          k
          
            1
          
        
        sin
        ⁡
        
          ϕ
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin(2\phi -\phi _{1})=k_{1}\sin \phi _{1}}
  eller

  
    
      
        tan
        ⁡
        
          ϕ
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              2
              ϕ
            
            
              
                k
                
                  1
                
              
              +
              cos
              ⁡
              2
              ϕ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan \phi _{1}={\sin 2\phi  \over k_{1}+\cos 2\phi }}
  hvor nå

  
    
      
        k
        =
        
          
            
              2
              
                
                  
                    k
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            
              1
              +
              
                k
                
                  1
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k={2{\sqrt {k_{1}}} \over 1+k_{1}}}
  .Det betyr at

  
    
      
        
          k
          ′
        
        =
        
          
            
              1
              −
              
                k
                
                  1
                
              
            
            
              1
              +
              
                k
                
                  1
                
              
            
          
        
        
        
        
          
            eller
          
        
        
        
        
          k
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              1
              −
              
                k
                ′
              
            
            
              1
              +
              
                k
                ′
              
            
          
        
        =
        
          
            
              k
              
                2
              
            
            
              (
              1
              +
              
                k
                ′
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k'={1-k_{1} \over 1+k_{1}}\;\;{\mbox{eller}}\;\;k_{1}={1-k' \over 1+k'}={k^{2} \over (1+k')^{2}}}
  som viser tydelig at nå er k1 ≤ k. Det betyr også at man har den viktige sammenhengen

  
    
      
        (
        1
        +
        
          k
          ′
        
        )
        (
        1
        +
        
          k
          
            1
          
        
        )
        =
        2
      
    
    {\displaystyle (1+k')(1+k_{1})=2}
  .For praktiske beregninger er det hensiktsmessig at man skriver transformasjonsformelen mellom vinklene  som sin(φ1 + φ1 - φ) = k1 sin(φ1 - φ + φ)  etterfulgt av sinus til en sum og differans mellom to vinkler. Det gjør det mulig å isolere forskjellen mellom den nye og den gamle vinkelen:

  
    
      
        tan
        ⁡
        (
        
          ϕ
          
            1
          
        
        −
        ϕ
        )
        =
        
          k
          ′
        
        tan
        ⁡
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \tan(\phi _{1}-\phi )=k'\tan \phi }
  Ved å bruke tangens til en differanse av to vinkler er dette ekvivalent med det alternative uttrykket

  
    
      
        tan
        ⁡
        
          ϕ
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              (
              1
              +
              
                k
                ′
              
              )
              tan
              ⁡
              ϕ
            
            
              1
              −
              
                k
                ′
              
              
                tan
                
                  2
                
              
              ⁡
              ϕ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan \phi _{1}={(1+k')\tan \phi  \over 1-k'\tan ^{2}\phi }}
  for den transformerte vinkelen.
Det endelige resultatet for det transformerte integralet kan også la seg finne ved den samme ombyttingen av varible og er derfor

  
    
      
        F
        (
        
          ϕ
          
            1
          
        
        ,
        
          k
          
            1
          
        
        )
        =
        
          
            2
            
              1
              +
              
                k
                
                  1
                
              
            
          
        
        F
        (
        ϕ
        ,
        k
        )
        =
        (
        1
        +
        
          k
          ′
        
        )
        F
        (
        ϕ
        ,
        k
        )
      
    
    {\displaystyle F(\phi _{1},k_{1})={2 \over 1+k_{1}}F(\phi ,k)=(1+k')F(\phi ,k)}
  .Herav følger også hvordan det fullstendige, elliptiske integralet K(k ) transformerer. Dette tilsvarer φ = π/2 som blir transformert til den dobbelte vinkelen φ1 = π . Da F(π,k1) = 2F(π/2,k1) = 2K(k1), vil det fullstendige integralet derfor transformere som

  
    
      
        K
        (
        k
        )
        =
        (
        1
        +
        
          k
          
            1
          
        
        )
        K
        (
        
          k
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle K(k)=(1+k_{1})K(k_{1})}
  under en avtagende Landen-transformasjon. De to andre typene av elliptiske integral forandrer seg på tilsvarende måter under denne transformasjonen, men noe mer omstendelig enn for dette integralet av første type.


=== Iterasjon ===
Blir denne Landen-transformasjonen gjentatt, vil den gi en stadig mindre verdi for modulus. Etter et stort antall n  ganger ender man dermed opp med en verdi kn ≈ 0 og det elliptiske integralet gir ganske enkelt F(φn,0) = φn. På den måten får man

  
    
      
        F
        (
        ϕ
        ,
        k
        )
        =
        
          
            
              1
              +
              
                k
                
                  1
                
              
            
            2
          
        
        F
        (
        
          ϕ
          
            1
          
        
        ,
        
          k
          
            1
          
        
        )
        =
        
          
            
              1
              +
              
                k
                
                  1
                
              
            
            2
          
        
        
          
            
              1
              +
              
                k
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        F
        (
        
          ϕ
          
            2
          
        
        ,
        
          k
          
            2
          
        
        )
        =
        
          
            
              1
              +
              
                k
                
                  1
                
              
            
            2
          
        
        
          
            
              1
              +
              
                k
                
                  2
                
              
            
            2
          
        
        ⋯
        
          
            
              1
              +
              
                k
                
                  n
                
              
            
            2
          
        
        F
        (
        
          ϕ
          
            n
          
        
        ,
        
          k
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle F(\phi ,k)={1+k_{1} \over 2}F(\phi _{1},k_{1})={1+k_{1} \over 2}{1+k_{2} \over 2}F(\phi _{2},k_{2})={1+k_{1} \over 2}{1+k_{2} \over 2}\cdots {1+k_{n} \over 2}F(\phi _{n},k_{n})}
  slik at

  
    
      
        F
        (
        ϕ
        ,
        k
        )
        =
        
          ϕ
          
            ∞
          
        
        
          ∏
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              1
              +
              
                k
                
                  n
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle F(\phi ,k)=\phi _{\infty }\prod _{n=1}^{\infty }{1+k_{n} \over 2}}
  hvor φ∞  er den asympotiske verdien av den transformerte vinkelen. For det fullstendig integralet finner man tilsvarende

  
    
      
        K
        (
        k
        )
        =
        (
        1
        +
        
          k
          
            1
          
        
        )
        K
        (
        
          k
          
            1
          
        
        )
        =
        (
        1
        +
        
          k
          
            1
          
        
        )
        (
        1
        +
        
          k
          
            2
          
        
        )
        K
        (
        
          k
          
            2
          
        
        )
        =
        
          
            π
            2
          
        
        
          ∏
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        (
        1
        +
        
          k
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle K(k)=(1+k_{1})K(k_{1})=(1+k_{1})(1+k_{2})K(k_{2})={\pi  \over 2}\prod _{n=1}^{\infty }(1+k_{n})}
  .Etter ganske få iterasjoner gir dette uttrykket meget nøyaktige resultat for integralet.


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
Paramanand's Math Notes, Landen's Transformation. Matematisk blogg.