Spesifikk relativ drivmoment

Det spesifikke relative drivmomentet 
  
    
      
        
          
            
              h
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {h}}}
   spiller en viktig rolle i himmelmekanikk for å løse tolegemeproblemet. Man kan vise at vektoren er konstant for en gitt bane under ideale forhold, noe som beviser Keplers andre lov.
Navnet spesifikk drivmoment kommer fra at man ikke ser på det egentlige drivmomentet 
  
    
      
        
          
            
              L
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {L}}}
  , men på drivmomentet per masse

  
    
      
        
          
            
              h
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              
                L
                →
              
            
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {h}}={\frac {\vec {L}}{m}}}
  Det betyr at SI-enhet er: m2·s−1. 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   betegner her den reduserte massen 
  
    
      
        
          
            1
            m
          
        
        =
        
          
            1
            
              m
              
                1
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              m
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{m}}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}
  .


== Kraver ==
Det som følger trenger noen forenklende kraver som også gjelder for Newtons gravitasjonsteori.
Man ser på to punktformede masser 
  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{1}}
   og 
  
    
      
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{2}}
   som er i avstand 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   fra hverandre. Tyngdekraften 
  
    
      
        
          
            
              F
              →
            
          
        
        =
        G
        
          
            
              
                m
                
                  1
                
              
              
                m
                
                  2
                
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                r
                →
              
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {F}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}
   virker uten forsinkelse og over hvilken som helst distanse og er den eneste kraften. Koordinatsystemet er inersial.
Nå antar man at 
  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
        ≫
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}
  . Det betyr at 
  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{1}}
   er sentrallegemet i origo, og at 
  
    
      
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{2}}
   er satellitten som går rundt den. Den reduserte massen er nå lik 
  
    
      
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{2}}
   og tolegemeproblemets ligning er

  
    
      
        
          
            
              
                
                  r
                  →
                
              
              ¨
            
          
        
        =
        −
        
          
            μ
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                r
                →
              
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}
  med gravitasjonsparameteren 
  
    
      
        μ
        =
        G
        
          m
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu =Gm_{1}}
   og avstandsvektor 
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}}
   (lengden er 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  ) som peker fra origo (sentrallegemet) til satellitten fordi 
  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
        ≫
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}
  .Det er viktig å ikke forveksle gravitasjonsparameteren 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
   med den reduserte massen som blir ofte betegnet med den samme bokstaven 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  .


== Spesifikk relativ drivmoment ==

Man får det spesifikke drivmomentet når man multipliserer (kryssprodukt) tolegemeproblemets ligning med avstandsvektoren 
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}}
  

  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              
                
                  r
                  →
                
              
              ¨
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        ×
        
          
            μ
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                r
                →
              
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}=-{\vec {r}}\times {\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}
  Kryssproduktet av en vektor med seg selv (høyre side) er 0. Den venstre siden forenkler seg slik

  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              
                
                  r
                  →
                
              
              ¨
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  r
                  →
                
              
              ˙
            
          
        
        ×
        
          
            
              
                
                  r
                  →
                
              
              ˙
            
          
        
        +
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              
                
                  r
                  →
                
              
              ¨
            
          
        
        =
        
          
            
              
                d
              
              (
              
                
                  
                    r
                    →
                  
                
              
              ×
              
                
                  
                    
                      
                        r
                        →
                      
                    
                    ˙
                  
                
              
              )
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}={\dot {\vec {r}}}\times {\dot {\vec {r}}}+{\vec {r}}\times {\ddot {\vec {r}}}={\frac {\mathrm {d} ({\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}})}{\mathrm {d} t}}=0}
  ifølge produktregelen i derivasjon.
Der betyr at 
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              
                
                  r
                  →
                
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}}
   er konstant (blir bevart). Og dette er akkurat satellittens drivmoment per masse 

  
    
      
        
          
            
              h
              →
            
          
        
        =
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              
                
                  r
                  →
                
              
              ˙
            
          
        
        =
        c
        o
        n
        s
        t
        .
      
    
    {\displaystyle {\vec {h}}={\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}=const.}
  Vektoren står vinkelrett på banen. Den forblir pa det samme plan fordi drivmomentet er konstant.
Med definisjonen av "Flight Path Angle" 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
   og de transversale og radiale komponentene til hastighetsvektoren (se på bildet til høyre) får man noen viktig kunnskap om tolegemetproblemet. De neste tre ligningene er alle mulige former for å angi lengden til drivmomentvektoren

  
    
      
        h
        =
        r
        v
        cos
        ⁡
        ϕ
      
    
    {\displaystyle h=rv\cos \phi }
  

  
    
      
        h
        =
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            
              ν
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle h=r^{2}{\dot {\nu }}}
  

  
    
      
        h
        =
        
          
            μ
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}}
  


== Keplers lover ==

Med dem som ble funnet ut i det forrige avsnittet kan man bevise Keplers lover nesten direkte.


=== Keplers første lov ===
Beviseet begynner igjen med tolegemetproblemets ligning. Denne gangen multipliserer (kryssprodukt) man med det spesifikke relative drivmomentet

  
    
      
        
          
            
              
                
                  r
                  →
                
              
              ¨
            
          
        
        ×
        
          
            
              h
              →
            
          
        
        =
        −
        
          
            μ
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                r
                →
              
            
            r
          
        
        ×
        
          
            
              h
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}\times {\vec {h}}}
  Den venstre siden er lik derivasjonen 
  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              (
              
                
                  
                    
                      
                        r
                        →
                      
                    
                    ˙
                  
                
              
              ×
              
                
                  
                    h
                    →
                  
                
              
              )
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ({\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}})}{\mathrm {d} t}}}
   fordi drivmomentet er konstant.
Den høyre siden kan omskrives slik etter flere trinn 
  
    
      
        −
        
          
            μ
            
              r
              
                3
              
            
          
        
        (
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              h
              →
            
          
        
        )
        =
        −
        
          
            μ
            
              r
              
                3
              
            
          
        
        (
        (
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        −
        
          r
          
            2
          
        
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        =
        −
        (
        
          
            μ
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        −
        
          
            μ
            r
          
        
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        )
        =
        μ
        
          
            
              
                d
              
              
                
                  
                    
                      r
                      →
                    
                  
                  r
                
              
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\mu }{r^{3}}}({\vec {r}}\times {\vec {h}})=-{\frac {\mu }{r^{3}}}(({\vec {r}}\cdot {\vec {v}}){\vec {r}}-r^{2}{\vec {v}})=-({\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}{\vec {r}}-{\frac {\mu }{r}}{\vec {v}})=\mu {\frac {\mathrm {d} {\frac {\vec {r}}{r}}}{\mathrm {d} t}}}
  
Hvis man setter begge lik og integrerer over tiden får man med integrasjonskonstanten 
  
    
      
        
          
            
              C
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {C}}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  r
                  →
                
              
              ˙
            
          
        
        ×
        
          
            
              h
              →
            
          
        
        =
        μ
        
          
            
              
                r
                →
              
            
            r
          
        
        +
        
          
            
              C
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}}=\mu {\frac {\vec {r}}{r}}+{\vec {C}}}
  Nå multipliserer man dette (skalarprodukt) med 
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}}
  

  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        (
        
          
            
              
                
                  r
                  →
                
              
              ˙
            
          
        
        ×
        
          
            
              h
              →
            
          
        
        )
        =
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        (
        μ
        
          
            
              
                r
                →
              
            
            r
          
        
        +
        
          
            
              C
              →
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}({\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}})={\vec {r}}(\mu {\frac {\vec {r}}{r}}+{\vec {C}})}
  

  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        (
        
          
            
              
                
                  r
                  →
                
              
              ˙
            
          
        
        ×
        
          
            
              h
              →
            
          
        
        )
        =
        (
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        ×
        
          
            
              
                
                  r
                  →
                
              
              ˙
            
          
        
        )
        
          
            
              h
              →
            
          
        
        =
        
          h
          
            2
          
        
        
        ,
        
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        (
        μ
        
          
            
              
                r
                →
              
            
            r
          
        
        +
        
          
            
              C
              →
            
          
        
        )
        =
        μ
        r
        +
        r
        C
        cos
        ⁡
        ν
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}({\dot {\vec {r}}}\times {\vec {h}})=({\vec {r}}\times {\dot {\vec {r}}}){\vec {h}}=h^{2}\;,\qquad {\vec {r}}(\mu {\frac {\vec {r}}{r}}+{\vec {C}})=\mu r+rC\cos \nu }
  Til slutt følger ligningen til Omløpsbanen
Schließlich erhält man die Bahngleichung 

  
    
      
        r
        =
        
          
            
              
                h
                
                  2
                
              
              μ
            
            
              1
              +
              
                
                  C
                  μ
                
              
              cos
              ⁡
              ν
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r={\frac {\frac {h^{2}}{\mu }}{1+{\frac {C}{\mu }}\cos \nu }}}
  som beskriver et kjeglesnitt i polare koordinater med semi latus rectum 
  
    
      
        p
        =
        
          
            
              h
              
                2
              
            
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}}
   og eksentrisiteten 
  
    
      
        e
        =
        
          
            C
            μ
          
        
      
    
    {\displaystyle e={\frac {C}{\mu }}}
  . Derved er Keplers første lov beviset som er i ord:

 Planetene beveger seg i ellipser med Solen i det ene brennpunktet.


=== Keplers andre lov ===
Den andre av de tre ligningene for å angi lengden til drivmomentvektoren fører direkte til Keplers andre lov.
Forbinder man nemlig denne formen av ligningen 
  
    
      
        
          d
        
        t
        =
        
          
            
              
                r
                
                  2
                
              
              
                d
              
              ν
            
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {r^{2}\mathrm {d} \nu }{h}}}
   med arealet 
  
    
      
        
          d
        
        A
        =
        
          
            
              
                r
                
                  2
                
              
              
                d
              
              ν
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} A={\frac {r^{2}\mathrm {d} \nu }{2}}}
   av en sektor med en infinitesimal liten vinkel 
  
    
      
        
          d
        
        ν
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} \nu }
   (altså arealet til en trekant med en veldig liten side), følger 

  
    
      
        
          d
        
        t
        =
        
          
            
              2
              
                d
              
              A
            
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {d} t={\frac {2\mathrm {d} A}{h}}}
  som er ligningen til loven:

 En rett linje fra Solen til planeten, radiusvektor, beskriver like store flater i like lange tidsrom.


=== Keplers tredje lov ===
Den tredje loven får man ut av den andre loven. Integrasjon over et omløp gir omløpstiden

  
    
      
        T
        =
        
          
            
              2
              π
              a
              b
            
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle T={\frac {2\pi ab}{h}}}
  for arealet 
  
    
      
        π
        a
        b
      
    
    {\displaystyle \pi ab}
   til en ellipse. Hvis man skriver 
  
    
      
        b
        =
        
          
            a
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle b={\sqrt {ap}}}
   for den liten halvaksen og 
  
    
      
        h
        =
        
          
            μ
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}}
   for det spesifikke relative drivmomentet blir ligningen til 

  
    
      
        T
        =
        2
        π
        
          
            
              
                a
                
                  3
                
              
              μ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {a^{3}}{\mu }}}}
  Det er altså en sammenheng mellom den store halvaksen og omløpstiden til en satellitt som er bare avhengig av en konstant til sentrallegemet. Det er det samme som Keplers formulering av loven:

 Kvadratet av den sideriske omløpstid for en planet er proporsjonalt med 3. potens av dens midlere avstand fra Solen.


== Se også ==
Spesifikk baneenergi, en annen størrelse som bevares i tolegemeproblemet.


== Fotnoter ==


== Referanser ==