Keplers ligning

Keplers ligning er en ligning som gir sammenhengen mellom den eksentriske anomalien E og den midlere anomalien M ved en elliptisk bane:

  
    
      
        M
        =
        E
        −
        ϵ
        sin
        ⁡
        E
      
    
    {\displaystyle M=E-\epsilon \sin E}
  der 
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
   er baneeksentrisiteten.
Ligningen ble utledet av Johannes Kepler i 1619, og har spilt en viktig rolle i både fysikkens og matematikkens historie. Den er også en sentral ved løsningen av tolegemeproblemet.


== Alternative former ==
Keplers ligning har flere former. Hver form er forbundet med en spesiell type omløpsbane. Den vanligste formen brukes for elliptiske baner (0 ≤ 
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
   < 1). Den hyperbolske keplerligningen brukes for hyperbolske baner (
  
    
      
        ϵ
        >
        1
      
    
    {\displaystyle \epsilon >1}
  ). Den radielle formen brukes for lineære (radielle baner). Grensetilfellet for parabolske baner (
  
    
      
        ϵ
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \epsilon =1}
  ) må uttrykkes med hjelp av Barkers ligning.


=== Hyperbolsk form ===
Den hyperbolske formen for Keplers ligning er:

  
    
      
        M
        =
        ϵ
        sinh
        ⁡
        H
        −
        H
        .
      
    
    {\displaystyle M=\epsilon \sinh H-H.}
  der H er den hyperbolske eksentriske anomalien. Denne ligningen kan utledes ved å multiplisere den elliptiske formen av ligningen med kvadratroten av -1, og erstatte E med 
  
    
      
        
          
            −
            1
          
        
        H
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {-1}}H}
  .


=== Radiell form ===
Den radielle formen er:

  
    
      
        t
        (
        x
        )
        =
        
          sin
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          
            x
          
        
        −
        
          
            x
            (
            1
            −
            x
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle t(x)=\sin ^{-1}{\sqrt {x}}-{\sqrt {x(1-x)}}.}
  der t er proporsjonal mot tiden og x er proporsjonal mot avstanden fra fokus. Denne ligningen kan utledes ved å multiplisere den elliptiske formen av ligningen med 1/2, og erstatte E med 
  
    
      
        2
        s
        i
        
          n
          
            −
            1
          
        
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle 2sin^{-1}{\sqrt {x}}}
   og sette 
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
   = 1.


== Inversen av Keplers ligning ==
Å beregne M for en gitt verdi av E er enkelt. Å beregne E når M er angitt er betydelig mer komplisert. Keplers ligning er nemlig transcendental, noe som innebærer at den ikke kan løses for E algebraisk. Keplers ligning kan imidlertid løses for E analytisk gjennom en lagrangeinversjon. Løsningen til Keplers ligning er angitt i de to taylorseriene nedenfor.
Forvirring over keplerligningens løsbarhet har gjennomsyret matematikklitteraturen i fire århundrer. Det hevdes ofte feilaktig at Keplers ligning «ikke kan løses analytisk». Mange forfattere hevder at den ikke kan løses i det hele. Den første til å komme med denne påstanden var ingen ringere enn Kepler selv:

Jeg er tilstrekkelig overbevist om at den [Keplers ligning] ikke kan løses a priori, på grunn av vinkelbuens og sinus ulike natur. Men om jeg har feil, og noe peker ut veien for meg, skal den i mine øyne bli den store Apollonios.


=== Inverse keplerligningen ===
Den inverse keplerligningen er løsningen til Keplers ligning for alle reelle verdier av 
  
    
      
        
          ϵ
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle \epsilon }
  : 
  
    
      
        E
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    
                      ∑
                      
                        n
                        =
                        1
                      
                      
                        ∞
                      
                    
                    
                      
                        
                          M
                          
                            
                              n
                              3
                            
                          
                        
                        
                          n
                          !
                        
                      
                    
                    
                      lim
                      
                        θ
                        →
                        0
                      
                    
                    
                      (
                      
                        
                          
                            
                              
                                d
                              
                              
                                
                                n
                                −
                                1
                              
                            
                            
                              
                                d
                              
                              
                                θ
                                
                                  
                                  n
                                  −
                                  1
                                
                              
                            
                          
                        
                        
                          (
                          
                            
                              
                                θ
                                
                                  
                                    θ
                                    −
                                    sin
                                    ⁡
                                    (
                                    θ
                                    )
                                  
                                  
                                    3
                                  
                                
                              
                            
                            
                              n
                            
                          
                          )
                        
                      
                      )
                    
                    ,
                  
                
                
                  ϵ
                  =
                  1
                
              
              
                
                  
                    
                      ∑
                      
                        n
                        =
                        1
                      
                      
                        ∞
                      
                    
                    
                      
                        
                          M
                          
                            n
                          
                        
                        
                          n
                          !
                        
                      
                    
                    
                      lim
                      
                        θ
                        →
                        0
                      
                    
                    
                      (
                      
                        
                          
                            
                              
                                d
                              
                              
                                
                                n
                                −
                                1
                              
                            
                            
                              
                                d
                              
                              
                                θ
                                
                                  
                                  n
                                  −
                                  1
                                
                              
                            
                          
                        
                        
                          (
                          
                            
                              
                                θ
                                
                                  θ
                                  −
                                  ϵ
                                  ⋅
                                  sin
                                  ⁡
                                  (
                                  θ
                                  )
                                
                              
                            
                            
                              n
                            
                          
                          )
                        
                      
                      )
                    
                    ,
                  
                
                
                  ϵ
                  ≠
                  1
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{\frac {n}{3}}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\sqrt[{3}]{\theta -\sin(\theta )}}}^{n}\right)\right),&\epsilon =1\\\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {M^{n}}{n!}}\lim _{\theta \to 0}\left({\frac {\mathrm {d} ^{\,n-1}}{\mathrm {d} \theta ^{\,n-1}}}\left({\frac {\theta }{\theta -\epsilon \cdot \sin(\theta )}}^{n}\right)\right),&\epsilon \neq 1\end{cases}}}
  
Ved beregning gir dette: 
  
    
      
        E
        =
        
          
            {
            
              
                
                  
                    x
                    +
                    
                      
                        1
                        60
                      
                    
                    
                      x
                      
                        3
                      
                    
                    +
                    
                      
                        1
                        1400
                      
                    
                    
                      x
                      
                        5
                      
                    
                    +
                    
                      
                        1
                        25200
                      
                    
                    
                      x
                      
                        7
                      
                    
                    +
                    
                      
                        43
                        17248000
                      
                    
                    
                      x
                      
                        9
                      
                    
                    +
                    
                      
                        1213
                        7207200000
                      
                    
                    
                      x
                      
                        11
                      
                    
                    +
                    
                      
                        151439
                        12713500800000
                      
                    
                    
                      x
                      
                        13
                      
                    
                    +
                    ⋯
                     
                    
                      |
                    
                     
                    x
                    =
                    (
                    6
                    M
                    
                      )
                      
                        
                          1
                          3
                        
                      
                    
                    ,
                  
                
                
                  ϵ
                  =
                  1
                
              
              
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        1
                        
                          1
                          −
                          ϵ
                        
                      
                    
                    M
                    −
                    
                      
                        ϵ
                        
                          (
                          1
                          −
                          ϵ
                          
                            )
                            
                              4
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          M
                          
                            3
                          
                        
                        
                          3
                          !
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          (
                          9
                          
                            ϵ
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          ϵ
                          )
                        
                        
                          (
                          1
                          −
                          ϵ
                          
                            )
                            
                              7
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          M
                          
                            5
                          
                        
                        
                          5
                          !
                        
                      
                    
                    −
                    
                      
                        
                          (
                          225
                          
                            ϵ
                            
                              3
                            
                          
                          +
                          54
                          
                            ϵ
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          ϵ
                          )
                        
                        
                          (
                          1
                          −
                          ϵ
                          
                            )
                            
                              10
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          M
                          
                            7
                          
                        
                        
                          7
                          !
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          (
                          11025
                          
                            ϵ
                            
                              4
                            
                          
                          +
                          4131
                          
                            ϵ
                            
                              3
                            
                          
                          +
                          243
                          
                            ϵ
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          ϵ
                          )
                        
                        
                          (
                          1
                          −
                          ϵ
                          
                            )
                            
                              13
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        
                          M
                          
                            9
                          
                        
                        
                          9
                          !
                        
                      
                    
                    +
                    ⋯
                    ,
                  
                
                
                  ϵ
                  ≠
                  1
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E={\begin{cases}\displaystyle x+{\frac {1}{60}}x^{3}+{\frac {1}{1400}}x^{5}+{\frac {1}{25200}}x^{7}+{\frac {43}{17248000}}x^{9}+{\frac {1213}{7207200000}}x^{11}+{\frac {151439}{12713500800000}}x^{13}+\cdots \ |\ x=(6M)^{\frac {1}{3}},&\epsilon =1\\\\\displaystyle {\frac {1}{1-\epsilon }}M-{\frac {\epsilon }{(1-\epsilon )^{4}}}{\frac {M^{3}}{3!}}+{\frac {(9\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{7}}}{\frac {M^{5}}{5!}}-{\frac {(225\epsilon ^{3}+54\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{10}}}{\frac {M^{7}}{7!}}+{\frac {(11025\epsilon ^{4}+4131\epsilon ^{3}+243\epsilon ^{2}+\epsilon )}{(1-\epsilon )^{13}}}{\frac {M^{9}}{9!}}+\cdots ,&\epsilon \neq 1\end{cases}}}
  
Disse rekkene kan gjenskapes i Mathematica med InverseSeries-operasjonen.

InverseSeries[Series[M - Sin[M], {M, 0, 10}]]
InverseSeries[Series[M - e Sin[M], {M, 0, 10}]]Funksjonene over er enkle taylorserier. Taylorsererepresentasjoner av transcendentafunksjoner betraktes som definisjon av de funksjonene. Der er løsningen over den formelle definisjonen av den inverse keplerligningen. Selv om denne løsningen er den enkleste i matematisk sammenheng, er konvergensen veldig dårlig når 
  
    
      
        
          ϵ
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle \epsilon }
   er nær 1, noe som gjør rekkene lite egnet for tilpasninger: øvrige formuleringer, som for eksempel universalvariabelformuleringen har bedre konvergensegenskaper og fungerer både på elliptiske, parabolske og hyperbolske baner. Alternativt kan Keplers ligning løses numerisk, men også der er konvergensen dårlig når 
  
    
      
        
          ϵ
        
      
    
    {\displaystyle \displaystyle \epsilon }
   er nær 1.
Løsningen for 
  
    
      
        
          ϵ
        
      
    
    {\displaystyle \textstyle \epsilon }
   
  
    
      
        ≠
        1
      
    
    {\displaystyle \neq 1}
   ble oppdaget av Karl Stumpff i 1968, men dens betydning ble ikke anerkjent.


== Referanser ==