Boolsk differensialregning

Boolsk differensialregning (tysk: Boolescher Differentialkalkül – BDK, engelsk: Boolean differential calculus – BDC) er et emne innen Boolsk algebra som beskriver endring av boolske variabler og boolske funksjoner.
Boolsk differensialregning kan beskrive ulike aspekter av dynamisk systemteori slik som automata teori for finite automata, petri-net teori, og tilsynskontrollteori (Supervisory control theory – SCT), slik at de kan bli behandlet på en enhetlig og lukket form, og at deres egenskaper kan behandles samlet.
En tilsvarende teori om boolsk integralregning har også blitt utviklet.


== Historie ==
Fagfeltet ble som senere ble til boolsk differensialregning ble inspirert av design og testing av switching circuits og bruk av feilrettende koder i elektroteknikk. I perioden fra 1954 til 1959 kom det flere verk, skrevet av Irving S. Reed, David E. Müller, David A. Huffman, Sheldon B. Akers Jr. og A. D. Talantsev (A. D. Talancev, А. Д. Таланцев), og senere av Frederick F. Sellers, Jr, Mu-Yue Hsiao og Leroy W. Bearnson i 1968. På 1970-tallet ble grunnlaget for boolsk differensialregning lagt med verk av André Thayse, Marc Davio og Jean-Pierre Deschamps. Senere  videreutviklet Dieter Bochmann, Christian Posthoff og Bernd Steinbach boolsk differensialregning til en fullverdig matematisk teori.
Siden har det blitt gjort betydelige fremskritt innen både teori og anvendelse av boolsk differensialregning, også på området som initierte fagfeltet – design og logisk syntese av switching circuits.


== Anvendelser ==
Boolsk differensialregning har anvendelser innen dynamiske systemer for diskrete hendelser (discrete event dynamic systems – DEDS). Et eksempel på slike er kommunikasjons protokoller for digitale nettverk.
Diskrete hendelser er også en vesentlig del av biologiske nevrale nett og noen typer nevromorfe nevrale nettverk. I biologiske nevrale nett vil nervecellenes (nevronenes) axon hillock utløse en tilnærmet diskret nerveimpuls, en spike, som propagerer ut til andre nerveceller via nervecellens axoner. Dette vil danne et dynamisk system med diskrete hendelser.
Boolsk differensialregning har også blitt utvidet til variable og funksjoner med flere verdier, og også nettverk av boolske funksjoner.En Tsetlin-maskin vil bruke variable for å implementere læring i et nettverk av boolske funksjoner.


== Oversikt ==
Boolske differensialoperatorer har en betydelig rolle i boolsk differensialregning. De gjør at differensialligninger, kjent fra klassisk matematisk analyse, kan utvides til logiske funksjoner.
Differensialene 
  
    
      
        d
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle dx_{i}}
   av boolske variable 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
   modeller relasjonene:

  
    
      
        d
        
          x
          
            i
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  0
                  ,
                
                
                  
                    ingen endring av
                  
                  
                  
                    x
                    
                      i
                    
                  
                
              
              
                
                  1
                  ,
                
                
                  
                    endring av
                  
                  
                  
                    x
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle dx_{i}={\begin{cases}0,&{\text{ingen endring av}}\,x_{i}\\1,&{\text{endring av}}\,x_{i}\end{cases}}}
  Det er ingen begrensning i forhold til egenskapene, årsakene til endringer, og konsekvensene av endringer.
Differensialene 
  
    
      
        d
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle dx_{i}}
   er binære, og kan brukes akkurat som vanlig binære variabler.


== Se også ==
Boole's expansion theorem
Ramadge–Wonham framework


== Referanser ==


== Videre lesning ==
Davio, Marc; Piret, Philippe M. (juli 1969). «Les dérivées Booléennes et leur application au diagnostic» [Boolean derivatives and their application and diagnosis]. Philips Revue (French). Brussels, Belgium: Philips Research Laboratory, Manufacture Belge de Lampes et de Materiel Electronique (MBLE Research Laboratory). 12 (3): 63–76.  (14 pages)
Rudeanu, Sergiu (September 1974). Boolean Functions and Equations. North-Holland Publishing Company/American Elsevier Publishing Company. ISBN 0-44410520-4. ISBN 0-72042082-2.  (462 pages)
Bochmann, Dieter (1977). «Boolean differential calculus (a survey)». Engineering Cybernetics. Institute of Electrical and Electronics Engineers (IEEE). 15 (5): 67–75. ISSN 0013-788X.  (9 pages) Translation of: Bochmann, Dieter (1977). «[Boolean differential calculus (survey)]». Известия Академии наук СССР – Техническая кибернетика (Izvestii︠a︡ Akademii Nauk SSSR – Tekhnicheskai︠a︡ kibernetika) [Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR – Engineering Cybernetics] (russisk) (5): 125–133.  (9 pages)
Kühnrich, Martin (1986) [1984-07-31 (submission)]. «Differentialoperatoren über Booleschen Algebren» [Differential operators on Boolean algebras]. Zeitschrift für mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik (tysk). Berlin, Germany (East). 32 (17-18): 271–288. doi:10.1002/malq.19860321703. #18.  (18 pages)
Dresig, Frank (1992). Gruppierung – Theorie und Anwendung in der Logiksynthese. Fortschritt-Berichte VDI. 9 (tysk). 145. Düsseldorf, Germany: VDI-Verlag. ISBN 3-18-144509-6.  (NB. Also: Chemnitz, Technische Universität, Dissertation.) (147 pages)
Scheuring, Rainer; Wehlan, Herbert "Hans" (1993). «Control of Discrete Event Systems by Means of the Boolean Differential Calculus». Discrete Event Systems: Modeling and Control. Progress in Systems and Control Theory (PSCT). 13. Institut für Systemdynamik und Regelungstechnik (ISR), Universität Stuttgart, Stuttgart, Germany: Birkhäuser Verlag. Arkivert fra originalen 17. oktober 2017. Besøkt 16. oktober 2017.  (15 pages)
Posthoff, Christian; Steinbach, Bernd (4. februar 2004). Logic Functions and Equations – Binary Models for Computer Science (1st utg.). Freiberg, Germany: Springer Science + Business Media B. V. ISBN 1-4020-2937-3. OCLC 254106952. doi:10.1007/978-1-4020-2938-7. ISBN 978-1-4020-2937-0. Besøkt 19. oktober 2017.  (392 pages)
Steinbach, Bernd; Posthoff, Christian (12. februar 2009). Logic Functions and Equations – Examples and Exercises (1st utg.). Freiberg, Germany: Springer Science + Business Media B. V. ISBN 978-1-4020-9594-8. LCCN 2008941076. doi:10.1007/978-1-4020-9595-5.  (xxii+232 pages) [1]
Steinbach, Bernd; Posthoff, Christian (1. juni 2010). «Boolean Differential Calculus – Theory and Applications». Journal of Computational and Theoretical Nanoscience. American Scientific Publishers. 7 (6): 933–981. ISSN 1546-1955. doi:10.1166/jctn.2010.1441.  (49 pages)
Steinbach, Bernd; Posthoff, Christian. Chapter 3: Boolean Differential Calculus.  In Sasao, Tsutomu; Butler, Jon T. (15. januar 2010) [2009].  Thornton, Mitchell A., red. «Progress in Applications of Boolean Functions». Synthesis Lectures on Digital Circuits and Systems. 4 (1) (1st utg.). San Rafael, CA, USA: Morgan & Claypool Publishers: 55–78, 121–126. ISBN 978-1-60845-181-4. ISSN 1932-3166. doi:10.2200/S00243ED1V01Y200912DCS026. Lecture #26. Besøkt 15. oktober 2017.  (24 of 153 pages)


== Eksterne lenker ==
Wehlan, Herbert "Hans". «Boolean differential calculus». Springer Science+Business Media. Arkivert fra originalen 16. oktober 2017. Besøkt 16. oktober 2017. 
Institut für Informatik (IfI). «XBOOLE». TU Bergakademie Freiberg. Arkivert fra originalen 31. oktober 2017. Besøkt 31. oktober 2017.  med «XBOOLE Monitor». Arkivert fra originalen 31. oktober 2017. Besøkt 31. oktober 2017.