Kulekoordinater

Kulekoordinater er et tredimensjonalt  koordinatsystem. Posisjonen til et punkt er gitt ved en radiell koordinat r som angir avstanden fra et fast origo samt to vinkler (θ,φ) som angir retningen til punktet. Disse tre koordinatene tilsvarer derfor et punkt på en kuleflate med radius r, noe som har gitt opphav til navnet kulekoordinater. Alternativt blir også navnet sfæriske koordinater benyttet.
Vinkelen θ måles ut fra en polar akse som står loddrett på et plan. Projeksjonen av punktet ned i dette planet har en azimutal vinkel som er φ.
Denne varierer derfor i intervallet 0° - 360°, mens den polare vinkelen θ varierer i intervallet 0° - 180°. Uttrykt i radianer tilsvarer det at θ varierer mellom 0 og π , mens φ varierer mellom 0 og 2π . På Jordens overflate tilsvarer disse to vinklene geografiske koordinater hvor φ er lengdegrad og 90° - θ er breddegrad.
Benyttes et kartesisk koordinatsystem (x,y,z) med z-aksen langs den polare aksen, vil sammenhengen mellom koordinatene i disse to systemene være gitt som

  
    
      
        x
        =
        r
        sin
        ⁡
        θ
        
        cos
        ⁡
        φ
      
    
    {\displaystyle x=r\sin \theta \,\cos \varphi }
  

  
    
      
        y
        =
        r
        sin
        ⁡
        θ
        
        sin
        ⁡
        φ
      
    
    {\displaystyle y=r\sin \theta \,\sin \varphi }
  

  
    
      
        z
        =
        r
        cos
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle z=r\cos \theta }
  når den azimutale vinkelen måles ut fra x-aksen.
Kulekoordinater kan generaliseres til rom med et vilkårlig antall dimensjoner. For to dimensjoner tilsvarer de polarkoordinater. I alle dimensjoner vil en av koordinatene angi avstanden til et punkt fra origo, mens de andre angir et punkt på en multidimensjonal kuleflate. De kan benyttes også i generell relativitetsteori og kalles da for Schwarzschild-koordinater etter Karl Schwarzschild som benyttet dem til å finne den første beregning av et sort hull. Den radielle koordinaten r angir da ikke lenger en avstand fra et origo, men har en mer abstrakt betydning.


== Ulike konvensjoner ==
Det finnes ulike konvensjoner for hvilke symboler som brukes for de tre kulekoordinatene. I denne artikkelen viser r til radius, θ til polar vinkel og φ til azimutal vinkel. Dette er i tråd med ISO-standard 31-11, og er vanlig i fysikk og mer praktiske anvendelser. Noen ganger benyttes ρ for den radielle koordinaten. I matematisk litteratur kan det forekomme at vinklene θ og φ byttes om eller får andre betegnelser.


== Differensielle egenskaper ==
Kulekoordinater blir brukt ved løsninger av differensialligninger og integrasjon av funksjoner som har enkle egenskaper under rotasjoner. Dette kan da lettere utføres ved å benytte egenskapene til koordinatene uttrykt ved det differensielle linjeelementet. I det omsluttende, kartesiske koordinatsystemet er dette  d r = dx ex + dy ey + dz ez.  Ved direkte utregning fra transformasjonsligningene finner man da at det kvadrerte linjeelementet ds2 = d r⋅d r = dx2 + dy2 + dz2 kan skrives som

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        d
        
          r
          
            2
          
        
        +
        
          r
          
            2
          
        
        (
        d
        
          θ
          
            2
          
        
        +
        
          sin
          
            2
          
        
        
        θ
        
        d
        
          φ
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=dr^{2}+r^{2}(d\theta ^{2}+\sin ^{2}\!\theta \,d\varphi ^{2})}
  Et differensielt flateelement på en kule med radius r er derfor dS = r2 sinθdφdθ. Hele kuleflaten har arealet

  
    
      
        S
        =
        
          r
          
            2
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
        d
        φ
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        
        sin
        ⁡
        θ
        d
        θ
        =
        4
        π
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S=r^{2}\int _{0}^{2\pi }\!d\varphi \int _{0}^{\pi }\!\sin \theta d\theta =4\pi r^{2}}
  På tilsvarende vis er blir det differensielle volumelementet dV =  r2 sinθdφdθdr. Det kan benyttes til å finne volumet av en kule med radius R,

  
    
      
        V
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            R
          
        
        
        
          r
          
            2
          
        
        d
        r
        
          ∫
          
            0
          
          
            2
            π
          
        
        
        d
        φ
        
          ∫
          
            0
          
          
            π
          
        
        
        sin
        ⁡
        θ
        d
        θ
        =
        4
        π
        
          ∫
          
            0
          
          
            R
          
        
        
        
          r
          
            2
          
        
        d
        r
        =
        
          
            4
            3
          
        
        π
        
          R
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle V=\int _{0}^{R}\!r^{2}dr\int _{0}^{2\pi }\!d\varphi \int _{0}^{\pi }\!\sin \theta d\theta =4\pi \int _{0}^{R}\!r^{2}dr={4 \over 3}\pi R^{3}}
  På denne måten kan man utføre alle integrasjoner hvor integranden bare avhenger av den radielle koordinaten r.
Dette kvadrerte linjeelementet kan også skrives som ds2 = gμνdxμdxν for krumlinjete koordinater xμ = (r,θ,φ) når man benytter Einsteins summekonvensjon  over like indekser. Den metriske matrisen i kulekoordinater er derfor

  
    
      
        
          g
          
            μ
            ν
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  
                    r
                    
                      2
                    
                  
                  
                    sin
                    
                      2
                    
                  
                  ⁡
                  θ
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&r^{2}&0\\0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}}
  Denne diagonale formen kan brukes til å konstruere Laplace-operatoren i kulekoordinater. Når den virker på en skalar funksjon 
  
    
      
        Φ
        =
        Φ
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        φ
        )
      
    
    {\displaystyle \Phi =\Phi (r,\theta ,\varphi )}
  , gir den Laplace-ligningen

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        =
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              r
            
          
        
        
          (
          
            
              r
              
                2
              
            
            
              
                
                  ∂
                  Φ
                
                
                  ∂
                  r
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              θ
            
          
        
        
          (
          
            sin
            ⁡
            θ
            
              
                
                  ∂
                  Φ
                
                
                  ∂
                  θ
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              Φ
            
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial \Phi  \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial \Phi  \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}\Phi  \over \partial \phi ^{2}}.}
  I det spesielle tilfellet at funksjonen er uavhengig av den radielle koordinaten r, blir løsningen av differensialligningen gitt ved sfærisk harmonisk funksjoner.


=== Sfæriske basisvektorer ===

I kulekoordinater kan det differensielle linjeelementet nå skrives som d r = dxμ eμ  hvor de nye basisvektorene eμ = ∂r/∂xμ   er tangenter til koordinatlinjene  i dette koordinatsystemet.  Ved å sammenligne med linjeelementet i kartesiske koordinater, finner man da direkte fra transformasjonsligningene at

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    e
                  
                  
                    r
                  
                
              
              
                
                =
                sin
                ⁡
                θ
                cos
                ⁡
                φ
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    x
                  
                
                +
                sin
                ⁡
                θ
                sin
                ⁡
                φ
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    y
                  
                
                +
                cos
                ⁡
                θ
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    z
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    e
                  
                  
                    θ
                  
                
              
              
                
                =
                r
                cos
                ⁡
                θ
                
                cos
                ⁡
                φ
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    x
                  
                
                +
                r
                cos
                ⁡
                θ
                
                sin
                
                φ
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    y
                  
                
                −
                r
                sin
                ⁡
                θ
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    z
                  
                
              
            
            
              
                
                  
                    e
                  
                  
                    φ
                  
                
              
              
                
                =
                −
                r
                sin
                ⁡
                θ
                sin
                ⁡
                φ
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    x
                  
                
                +
                r
                sin
                ⁡
                θ
                cos
                
                φ
                
                
                  
                    e
                  
                  
                    y
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} _{r}&=\sin \theta \cos \varphi \,\mathbf {e} _{x}+\sin \theta \sin \varphi \,\mathbf {e} _{y}+\cos \theta \,\mathbf {e} _{z}\\\mathbf {e} _{\theta }&=r\cos \theta \,\cos \varphi \,\mathbf {e} _{x}+r\cos \theta \,\sin \,\varphi \,\mathbf {e} _{y}-r\sin \theta \,\mathbf {e} _{z}\\\mathbf {e} _{\varphi }&=-r\sin \theta \sin \varphi \,\mathbf {e} _{x}+r\sin \theta \cos \,\varphi \,\mathbf {e} _{y}\\\end{aligned}}}
  Mens basisvektoren er  peker i radiell retning, er de angulære basisvektorene eθ  og eφ  tangentvektorer til en kule. Disse tre vektorene står i hvert punkt vinkelrett på hverandre. Det kommer til uttrykk ved at den metriske tensoren gμν = eμ⋅eν  har bare diagonale elementer. Disse angir de relative lengdene til vektorene.


=== Christoffel-symbol ===
Basisvektorene har forskjellige retninger i forskjellige punkt. Flytter man seg fra et punkt til et nærliggende punkt separert med d r = dxα eα  , vil forandringen av vektorene være en lineærkombinasjon av de eksisterende basisvektorene. Dette kan skrives som

  
    
      
        d
        
          
            e
          
          
            μ
          
        
        =
        
          
            e
          
          
            ν
          
        
        
          Γ
          
            
            μ
            α
          
          
            ν
          
        
        d
        
          x
          
            α
          
        
      
    
    {\displaystyle d\mathbf {e} _{\mu }=\mathbf {e} _{\nu }\Gamma _{\;\mu \alpha }^{\nu }dx^{\alpha }}
  hvor koeffisientene Γνμα = Γναμ  er Christoffel-symbolene for dette koordinatsystemet. De kan finnes ved en  direkte derivasjon av basisvektorene som gir

  
    
      
        
          Γ
          
            
            θ
            θ
          
          
            r
          
        
        =
        −
        r
        ,
        
        
          Γ
          
            
            φ
            φ
          
          
            r
          
        
        =
        −
        r
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        ,
      
    
    {\displaystyle \Gamma _{\;\theta \theta }^{r}=-r,\quad \Gamma _{\;\varphi \varphi }^{r}=-r\sin ^{2}\theta ,}
  

  
    
      
        
          Γ
          
            
            r
            θ
          
          
            θ
          
        
        =
        
          Γ
          
            
            r
            φ
          
          
            φ
          
        
        =
        1
        
          /
        
        r
        ,
      
    
    {\displaystyle \Gamma _{\;r\theta }^{\theta }=\Gamma _{\;r\varphi }^{\varphi }=1/r,}
  

  
    
      
        
          Γ
          
            
            φ
            φ
          
          
            θ
          
        
        =
        −
        cos
        ⁡
        θ
        sin
        ⁡
        θ
        ,
        
        
          Γ
          
            
            θ
            φ
          
          
            φ
          
        
        =
        
          c
          o
          t
        
        
        θ
        ,
      
    
    {\displaystyle \Gamma _{\;\varphi \varphi }^{\theta }=-\cos \theta \sin \theta ,\quad \Gamma _{\;\theta \varphi }^{\varphi }=\mathrm {cot} \,\theta ,}
  mens alle andre er null.


== Referanser ==


== Litteratur ==
M. R. Spiegel, Vector Analysis, Schaum's Outline Series, New York, (1959).
M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.


== Eksterne lenker ==
E. Weisstein, Spherical Coordinates, Wolfram MathWorld.