Laplace-operator

Laplace-operator er en differensiell vektor-operator i matematikk, definert som divergensen til gradienten til en funksjon i et euklidsk rom. Laplace-operatoren anvendt på en funksjon 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   skrives som regel som 
  
    
      
        ∇
        ⋅
        ∇
        f
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot \nabla f}
  , 
  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        f
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}f}
   eller 
  
    
      
        Δ
        f
      
    
    {\displaystyle \Delta f}
  , der 
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
   er nabla-operatoren.


== Definisjon ==
Laplace-operatoren er en andreordens differensial operator som i kartesiske koordinater er gitt ved:

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          ∇
          
            2
          
        
        f
        =
        ∇
        ⋅
        ∇
        f
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f=\nabla \cdot \nabla f.}
  Merk at 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   må være to ganger deriverbar og at 
  
    
      
        ∇
      
    
    {\displaystyle \nabla }
   er definert ved:

  
    
      
        ∇
        =
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            ,
            …
            ,
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x_{n}}}\right).}
  


== Forskjellige koordinatsystem ==
Hvordan Laplace operatoren uttrykkes, avhenger av koordinatsystemet.


=== To dimensjoner ===
I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}
  der 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   og 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   er standard kartesiske koordinater i 
  
    
      
        x
        y
      
    
    {\displaystyle xy}
  -planet.
I et polarkoordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

  
    
      
        
          
            
              
                Δ
                f
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    r
                  
                
                
                  
                    ∂
                    
                      ∂
                      r
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    r
                    
                      
                        
                          ∂
                          f
                        
                        
                          ∂
                          r
                        
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                
                  
                    1
                    
                      r
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          2
                        
                      
                      f
                    
                    
                      ∂
                      
                        θ
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          2
                        
                      
                      f
                    
                    
                      ∂
                      
                        r
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    r
                  
                
                
                  
                    
                      ∂
                      f
                    
                    
                      ∂
                      r
                    
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    
                      r
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          2
                        
                      
                      f
                    
                    
                      ∂
                      
                        θ
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta f&={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}\\&={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \theta ^{2}}}.\end{aligned}}}
  der 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   er avstand fra origo og 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
   er vinkel i forhold til det man vil kalle 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -aksen i et kartesisk koordinatsystem.


=== Tre dimensjoner ===
I et kartesisk koordinatsystem er Laplace operatoren gitt ved

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                y
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}
  der 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  , 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   og 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   er standard kartesiske koordinater i 
  
    
      
        x
        y
        z
      
    
    {\displaystyle xyz}
  -rommet.
I sylinderkoordinater er Laplace operatoren gitt ved

  
    
      
        Δ
        f
        =
        
          
            1
            ρ
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              ρ
            
          
        
        
          (
          
            ρ
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  ρ
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              ρ
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                φ
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              f
            
            
              ∂
              
                z
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \Delta f={\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}\left(\rho {\frac {\partial f}{\partial \rho }}\right)+{\frac {1}{\rho ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}
  der 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   er avstand fra origo til projeksjonen i 
  
    
      
        x
        y
      
    
    {\displaystyle xy}
  -planet, 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
   er vinkel i forhold til det man vil kalle 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -aksen i et kartesisk koordinatsystem, og 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   er høyden.
I kulekoordinater er Laplace operatoren gitt ved

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        Φ
        =
        
          
            1
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              r
            
          
        
        
          (
          
            
              r
              
                2
              
            
            
              
                
                  ∂
                  Φ
                
                
                  ∂
                  r
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            ∂
            
              ∂
              θ
            
          
        
        
          (
          
            sin
            ⁡
            θ
            
              
                
                  ∂
                  Φ
                
                
                  ∂
                  θ
                
              
            
          
          )
        
        +
        
          
            1
            
              
                r
                
                  2
                
              
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              Φ
            
            
              ∂
              
                ϕ
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={1 \over r^{2}}{\partial  \over \partial r}\left(r^{2}{\partial \Phi  \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial  \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial \Phi  \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}\Phi  \over \partial \phi ^{2}}.}
  der 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   er avstand fra origo og 
  
    
      
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle (\theta ,\phi )}
   angir vinkelen.


== Se også ==
Gradient
Divergens
Curl


== Referanser ==