Spesifikk baneenergi

Den spesifikke baneenergien 
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
   spiller en viktig rolle i himmelmekanikk for å løse tolegemeproblemet. Man kan vise at størrelsen er konstant for en gitt bane under ideale forhold. Her gjelder altså også at summen av kinetisk energi og potensiell energi bevares

  
    
      
        ϵ
        =
        
          
            
              v
              
                2
              
            
            2
          
        
        −
        
          
            μ
            r
          
        
        =
        c
        o
        n
        s
        t
        .
      
    
    {\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=const.}
  Vis man forsetter ideen, kommer man til Vis-Viva ligningen, en fundamental ligning i himmelmekanikk.
Navnet spesifikk baneergi kommer fra at man ikke ser på den egentlige energien 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
  , men på energien per masse

  
    
      
        ϵ
        =
        
          
            E
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon ={\frac {E}{m}}}
  Det betyr at SI-enhet er: m2·s−2. 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   betegner her den reduserte massen 
  
    
      
        
          
            1
            m
          
        
        =
        
          
            1
            
              m
              
                1
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              m
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{m}}={\frac {1}{m_{1}}}+{\frac {1}{m_{2}}}}
  .


== Kraver ==
Det som følger trenger noen forenklende kraver som også gjelder for Newtons gravitasjonsteori.
Man ser på to punktformede masser 
  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{1}}
   og 
  
    
      
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{2}}
   som er i avstand 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
   fra hverandre. Tyngdekraften 
  
    
      
        
          
            
              F
              →
            
          
        
        =
        G
        
          
            
              
                m
                
                  1
                
              
              
                m
                
                  2
                
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                r
                →
              
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {F}}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}
   virker uten forsinkelse og over hvilken som helst distanse og er den eneste kraften. Koordinatsystemet er inersial.
Nå antar man at 
  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
        ≫
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}
  . Det betyr at 
  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{1}}
   er sentrallegemet i origo, og at 
  
    
      
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{2}}
   er satellitten som går rundt den. Den reduserte massen er nå lik 
  
    
      
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{2}}
   og tolegemeproblemets ligning er

  
    
      
        
          
            
              
                
                  r
                  →
                
              
              ¨
            
          
        
        =
        −
        
          
            μ
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                r
                →
              
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}=-{\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}
  med «gravitasjonsparameteren» 
  
    
      
        μ
        =
        G
        
          m
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu =Gm_{1}}
   og avstandsvektor 
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}}
   (lengden er 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  ) som peker fra origo (sentrallegemet) til satellitten fordi 
  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
        ≫
        
          m
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{1}\gg m_{2}}
  .Det er viktig å ikke forveksle gravitasjonsparameteren 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
   med den reduserte massen som blir ofte betegnet med den samme bokstaven 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
  .


== Spesifikk baneenergi ==

Man får den spesifikke baneenergien når man multipliserer (skalarprodukt) tolegemeproblemets ligning med hastighetsvektoren 
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  

  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              
                
                  r
                  →
                
              
              ¨
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            μ
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              
                r
                →
              
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}\cdot {\ddot {\vec {r}}}=-{\vec {v}}\cdot {\frac {\mu }{r^{2}}}{\frac {\vec {r}}{r}}}
  Fra bildet til høyre får man

  
    
      
        
          
            
              
                
                  r
                  →
                
              
              ¨
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  v
                  →
                
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {\vec {r}}}={\dot {\vec {v}}}}
  

  
    
      
        v
        cos
        ⁡
        (
        
          
            π
            2
          
        
        −
        θ
        )
        =
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle v\cos({\frac {\pi }{2}}-\theta )={\dot {r}}}
   (Endringen i den radiale komponenten til 
  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}}
  , ikke lengden 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
   av 
  
    
      
        
          
            
              v
              →
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {v}}}
  )

  
    
      
        
          
            
              r
              →
            
          
        
        ⋅
        
          
            
              v
              →
            
          
        
        =
        r
        v
        cos
        ⁡
        (
        
          
            π
            2
          
        
        −
        θ
        )
        =
        r
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {v}}=rv\cos({\frac {\pi }{2}}-\theta )=r{\dot {r}}}
  de følgende differnsialene gjelder

  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              (
              
                
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                  2
                
              
              )
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        v
        
          
            
              v
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ({\frac {v^{2}}{2}})}{\mathrm {d} t}}=v{\dot {v}}}
  

  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              (
              −
              
                
                  μ
                  r
                
              
              )
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        
          
            μ
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} (-{\frac {\mu }{r}})}{\mathrm {d} t}}={\frac {\mu }{r^{2}}}{\dot {r}}}
  og altså

  
    
      
        v
        
          
            
              v
              ˙
            
          
        
        +
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
        
          
            μ
            
              r
              
                3
              
            
          
        
        r
        =
        
          
            
              
                d
              
              (
              
                
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                  2
                
              
              )
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        +
        
          
            
              
                d
              
              (
              −
              
                
                  μ
                  r
                
              
              )
            
            
              
                d
              
              t
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle v{\dot {v}}+{\dot {r}}{\frac {\mu }{r^{3}}}r={\frac {\mathrm {d} ({\frac {v^{2}}{2}})}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\mathrm {d} (-{\frac {\mu }{r}})}{\mathrm {d} t}}=0}
  Det betyr at denne summen er konstant (blir bevart). Og dette er akkurat energien per masse til satelliten, man gjenkjenner den kinetiske energien per masse 
  
    
      
        
          
            
              
                v
                
                  2
                
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {v^{2}}{2}}}
   og den potensielle energien per masse på grunn av gravitasjon 
  
    
      
        −
        
          
            
              μ
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\tfrac {\mu }{r}}}
   

  
    
      
        ϵ
        =
        
          
            
              v
              
                2
              
            
            2
          
        
        −
        
          
            μ
            r
          
        
        +
        c
        =
        c
        o
        n
        s
        t
        .
      
    
    {\displaystyle \epsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}+c=const.}
  med integrasjonskonstanten 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   som kan velges i forhol til når 
  
    
      
        ϵ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon =0}
   skal være. Vanligvis velger man 
  
    
      
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle c=0}
  .I ord betyr ligningen at baneernegien blir større jo lengre satelliten er fra sentrallegemet og jo raskere den beveger seg. Valget 
  
    
      
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle c=0}
   betyr at energien er negativ når det lille legemet står i ro på overflaten til det større legemet eller når bane er lukket. Energien blir positiv når satellitten flykter ut av gravitasjonsfeltet.


== Vis-Viva ligning ==

Ligningen lengre opp kan omskrives til den tradisjonelle fromen av Vis-Viva ligningen. Det er nok å se på den spesifikke energien i et punkt av omløpsbanen (energien er konstant), f. eks. på periapsen. Med det spesifikke relative drivmomentet 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
   blir hastigheten

  
    
      
        
          v
          
            p
          
        
        =
        
          
            h
            
              r
              
                p
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{p}={\frac {h}{r_{p}}}}
  For Keplerbaner gjelder i tillegg

  
    
      
        h
        =
        
          
            μ
            p
          
        
        =
        
          
            μ
            a
            (
            1
            −
            
              e
              
                2
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle h={\sqrt {\mu p}}={\sqrt {\mu a(1-e^{2})}}}
  

  
    
      
        
          r
          
            p
          
        
        =
        a
        (
        1
        −
        e
        )
      
    
    {\displaystyle r_{p}=a(1-e)}
  Til sammen blir den spesifikke baneenergien, med unntak av parabelen der 
  
    
      
        e
        =
        1
      
    
    {\displaystyle e=1}
  :

  
    
      
        ϵ
        =
        
          
            
              v
              
                p
              
              
                2
              
            
            2
          
        
        −
        
          
            μ
            
              r
              
                p
              
            
          
        
        =
        
          
            
              μ
              a
              (
              1
              −
              
                e
                
                  2
                
              
              )
            
            
              2
              
                a
                
                  2
                
              
              (
              1
              −
              e
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        
          
            μ
            
              a
              (
              1
              −
              e
              )
            
          
        
        =
        −
        
          
            μ
            
              2
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon ={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r_{p}}}={\frac {\mu a(1-e^{2})}{2a^{2}(1-e)^{2}}}-{\frac {\mu }{a(1-e)}}=-{\frac {\mu }{2a}}}
  Noen elementare omsrkivelser gir den tradisjonelle fromen av Vis-Viva ligningen 

  
    
      
        
          v
          
            2
          
        
        =
        μ
        
          (
          
            
              
                2
                r
              
            
            −
            
              
                1
                a
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle v^{2}=\mu \left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)}
  Den viktige sammenhengen 
  
    
      
        ϵ
        =
        −
        
          
            
              μ
              
                2
                a
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon =-{\tfrac {\mu }{2a}}}
   sier at energien til satellitten er bare avhengig av gravitasjonsparameteren til sentrallegemet og den store halvaksen til banen.
Dette gjelder for elliptiske baner: 
  
    
      
        a
        >
        0
      
    
    {\displaystyle a>0}
  , 
  
    
      
        ϵ
        <
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon <0}
   som også inneholder sirkelen som spesialtilfellet med 
  
    
      
        a
        =
        r
      
    
    {\displaystyle a=r}
  ; og for hyperboliske baner: 
  
    
      
        a
        <
        0
      
    
    {\displaystyle a<0}
  , 
  
    
      
        ϵ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon >0}
  . For grensetilfellet paraboliske bane er den spesifike baneenergien 0. Da befinner seg satellitten presist på grensen mellom fengslet i gravitasjonsfeltet til sentrallegemet og flykt fra gravitasjonsfeltet til sentrallegemet.


== Eksempler ==


== Se også ==
Spesifikk relativ drivmoment, en annen størrelse som bevares i tolegemeproblemet.


== Fotnoter ==


== Referanser ==