Jacobimatrise

Jacobimatrisa er i matematisk analyse ei matrise for alle første ordens partiellderiverte til et vektorfelt. Ei jacobimatrise generaliserer gradienten til en flervariabels skalarvaluert funksjon som i seg selv generaliserer den deriverte av en envariabels skalarvaluert funksjon. Jacobimatrisa av gradienten for en skalarvaluert funksjon blir kalt hessematrisa. Hessematrisa kan ses på som den annenderiverte av den skalarvaluerte funksjonen.
Den er oppkalt etter den tyske matematikeren Carl Gustav Jacob Jacobi. 


== Eksempel ==
Gitt følgende vektorvaluerte funksjon

  
    
      
        
          f
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  y
                
              
              
                
                  5
                  x
                  +
                  sin
                  ⁡
                  y
                
              
            
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {f} (x,y)={\begin{bmatrix}x^{2}y\\5x+\sin y\end{bmatrix}}.}
  
har vi at

  
    
      
        
          f
          
            1
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        y
      
    
    {\displaystyle f_{1}(x,y)=x^{2}y}
  
og at

  
    
      
        
          f
          
            2
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        5
        x
        +
        sin
        ⁡
        y
      
    
    {\displaystyle f_{2}(x,y)=5x+\sin y}
  
Da vil jacobimatrisa for f være

  
    
      
        
          
            J
          
          
            
              f
            
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            f
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          ∂
                          x
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            f
                            
                              1
                            
                          
                        
                        
                          ∂
                          y
                        
                      
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            f
                            
                              2
                            
                          
                        
                        
                          ∂
                          x
                        
                      
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          
                            f
                            
                              2
                            
                          
                        
                        
                          ∂
                          y
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  2
                  x
                  y
                
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  5
                
                
                  cos
                  ⁡
                  y
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathbf {f} }(x,y)={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{1}}{\partial y}}\\[1em]{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial x}}&{\dfrac {\partial f_{2}}{\partial y}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2xy&x^{2}\\5&\cos y\end{bmatrix}}}