Generell lineær modell

Den generelle lineære modellen eller multivariat regresjonsmodel er en statistisk lineær modell. Den kan bli skevet som

  
    
      
        
          Y
        
        =
        
          X
        
        
          B
        
        +
        
          U
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {X} \mathbf {B} +\mathbf {U} ,}
  hvor 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
   er en matrise med multivariate målingsserier (hver kolonne er et målingssett på en av de avhengige variablene), 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   er en matrise med observasjoner av uavhengige variabler som kan være en designmatrise (hver kolonne er et sett observasjoner på en av de avhengige variablene), 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   er en matrise som inneholder parametere som vanligvis estimeres og 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
   er en matrise som inneholder feil (støy).
Feilene er vanligvis antatt å være ukorrelerte på tvers av målinger og følger en multivariat normalforderling. Hvis feilene ikke følger en multivariat normalfordeling kan generaliserte lineære modeller bli brukt for å slakke antakelsene om 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
   og 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
  .
Den generelle lineære modellen innlemmer flere ulike statistiske modeller: ANOVA, ANCOVA, MANOVA, MANCOVA, vanlig lineær regresjon, t-tester og F-tester. Den generelle lineære modellen er en generalisering av en multippel lineær regresjonsmodell i tilfeller med flere enn en avhengig variabel. Hvis 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  , 
  
    
      
        B
      
    
    {\displaystyle B}
   og 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
   var kolonnevektorer ville matriselikningen over forestillt en multippel lineær regresjon.
Hypotesetester med den generelle lineære modellen kan bli gjort på to måter: multivariat eller som flere uavhengige univariate tester. I multivariate tester er 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  s kolonner testet sammen, mens i univariate tester er 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
  s kolonner testet separat, i.e. som flere univariate tester med den samme designmatrisen.


== Multippel lineær regresjon ==
Multippel lineær regresjon er en generalisering av en lineær regresjon ved å vurdere flere enn én avhengig variabel, og et spesielt tilfelle i formingen av generelle lineære modeller ved å begrense antallet avhengige variabler til en. Den grunnleggende modellen for lineær regresjon er

  
    
      
        
          Y
          
            i
          
        
        =
        
          β
          
            0
          
        
        +
        
          β
          
            1
          
        
        
          X
          
            i
            1
          
        
        +
        
          β
          
            2
          
        
        
          X
          
            i
            2
          
        
        +
        …
        +
        
          β
          
            p
          
        
        
          X
          
            i
            p
          
        
        +
        
          ϵ
          
            i
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle Y_{i}=\beta _{0}+\beta _{1}X_{i1}+\beta _{2}X_{i2}+\ldots +\beta _{p}X_{ip}+\epsilon _{i}.}
  I formelen over vurderer vi n observasjoner av en avhengig variabel og p uavhengige variabler. Dermed er 
  
    
      
        
          Y
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{i}}
   den 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  -ende observasjonen av den avhengige variabelen, 
  
    
      
        
          X
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{ij}}
   den 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  -ende observasjonen av den 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
  -ende uavhengige variabelen, 
  
    
      
        j
        =
        1
        ,
        2
        ,
        .
        .
        .
        ,
        p
      
    
    {\displaystyle j=1,2,...,p}
  . Verdiene 
  
    
      
        
          β
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta _{j}}
   representerer parametrene som skal estimeres, og 
  
    
      
        
          ϵ
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{i}}
   er den 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  -ende uavhengige, identiskfordelte normalfeilen.


== Bruksområder ==
En generell lineær modells bruksområde kan for eksempel fremkomme i analysen av hjernescanninger i forskningseksperimenter, hvor 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
   inneholder data fra hjernescannere og 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   inneholder eksperimentelle designvariabler og -forvekslinger. Den er vanligvis testet univariat, og er ofte henvist til som statistisk parameterkartlegging.


== Se også ==
Bayesiansk multivariat lineær regresjon
Sammenlikning av generelle og generaliserte lineære modeller


== Referanser ==


== Litteratur ==
Christensen, Ronald (2002). Plane Answers to Complex Questions: The Theory of Linear Models (Third utg.). New York: Springer. ISBN 0-387-95361-2. 
Wichura, Michael J. (2006). The coordinate-free approach to linear models. Cambridge Series in Statistical and Probabilistic Mathematics. Cambridge: Cambridge University Press. s. xiv+199. ISBN 978-0-521-86842-6. MR 2283455. 
Rawlings, John O.; Pantula, Sastry G.; Dickey, David A., red. (1998). «Applied Regression Analysis». Springer Texts in Statistics. doi:10.1007/b98890.