Roterende referansesystem

Et roterende referansesystem er et referansesystem som roterer relativt til et treghetssystem. Et dagligdags eksempel  er overflaten på jorden.


== Fiktive krefter ==
Alle ikke-treghetssystemer innehar fiktive krefter. Roterende referansesystemer karakteriseres av tre fiktive krefter: 

sentrifugalkraft
corioliskraftog for ikke-uniforme roterende referansesystem

eulerkraftForskere på et slikt roterende referansesystem kan måle farten og retningen til rotasjonen sin ved å måle disse fiktive kreftene. For eksempel kunne Léon Foucault vise corioliskraften som kommer av jordrotasjonen ved å bruke Foucaults pendel. Dersom jorden plutselig begynte å rotere tusen ganger raskere (slik at hver dag bare ble ca. 86 sekunder lang), ville folk lett ha merket de fiktive kreftene som drar i dem, akkurat som på en roterende karusell.


== Forhold mellom posisjoner i to referansesystem ==
For å utlede disse fiktive kreftene er det lurt å kunne transformere ligningene mellom koordinatene 
  
    
      
        
          (
          
            
              x
              
                ′
              
            
            ,
            
              y
              
                ′
              
            
            ,
            
              z
              
                ′
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(x^{\prime },y^{\prime },z^{\prime }\right)}
   i det roterende referansesystemet og koordinatene 
  
    
      
        
          (
          
            x
            ,
            y
            ,
            z
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \left(x,y,z\right)}
   i et treghetssystem med samme opphav. Dersom rotasjonen er om 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  -aksen med vinkelfarten 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
   og de to referansesystemene samsvarer ved tiden 
  
    
      
        t
        =
        0
      
    
    {\displaystyle t=0}
  , så kan transformasjonen fra de roterende koordinatene til treghetskoordinatene skrives:

  
    
      
        x
        =
        
          x
          
            ′
          
        
         
        cos
        ⁡
        ω
        t
        +
        
          y
          
            ′
          
        
         
        sin
        ⁡
        ω
        t
      
    
    {\displaystyle x=x^{\prime }\ \cos \omega t+y^{\prime }\ \sin \omega t}
  

  
    
      
        y
        =
        
          y
          
            ′
          
        
         
        cos
        ⁡
        ω
        t
        −
        
          x
          
            ′
          
        
         
        sin
        ⁡
        ω
        t
      
    
    {\displaystyle y=y^{\prime }\ \cos \omega t-x^{\prime }\ \sin \omega t}
  og den reverse transformasjonen er 

  
    
      
        
          x
          
            ′
          
        
        =
        x
         
        cos
        ⁡
        
          (
          
            −
            ω
            t
          
          )
        
        −
        y
         
        sin
        ⁡
        
          (
          
            −
            ω
            t
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle x^{\prime }=x\ \cos \left(-\omega t\right)-y\ \sin \left(-\omega t\right)}
  

  
    
      
        
          y
          
            ′
          
        
        =
        y
         
        cos
        ⁡
        
          (
          
            −
            ω
            t
          
          )
        
        +
        x
         
        sin
        ⁡
        
          (
          
            −
            ω
            t
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle y^{\prime }=y\ \cos \left(-\omega t\right)+x\ \sin \left(-\omega t\right)}
  Dette resultatet får man ved å bruke en rotasjonsmatrise.


== Generell utledning i et roterende referansesystem ==
Dersom man har enhetsvektorene 
  
    
      
        i
        ,
        j
        ,
        k
      
    
    {\displaystyle i,j,k}
   til å representere de tredimensjonale vektorene, kan vi la disse rotere fordi de vil bli værende normalisert. Dersom vi lar de rotere med farten 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
   så blir hver enhetsvektor styrt av ligningen:

  
    
      
        
          
            
              d
              l
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        ω
        ×
        l
      
    
    {\displaystyle {\frac {dl}{dt}}=\omega \times l}
  ,der 
  
    
      
        l
        =
        {
        i
        ,
        j
        ,
        k
        }
      
    
    {\displaystyle l=\{i,j,k\}}
  . Så om vi da har en funksjon , 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        
          f
          
            x
          
        
        (
        t
        )
        i
        +
        
          f
          
            y
          
        
        (
        t
        )
        j
        +
        
          f
          
            z
          
        
        (
        t
        )
        k
      
    
    {\displaystyle f(t)=f_{x}(t)i+f_{y}(t)j+f_{z}(t)k}
   og vi vil utforske den førstederiverte, har vi:

  
    
      
        
          
            
              d
              f
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                f
                
                  x
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        i
        +
        
          
            
              d
              i
            
            
              d
              t
            
          
        
        
          f
          
            x
          
        
        +
        
          
            
              d
              
                f
                
                  y
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        j
        +
        
          
            
              d
              j
            
            
              d
              t
            
          
        
        
          f
          
            y
          
        
        +
        
          
            
              d
              
                f
                
                  z
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        k
        +
        
          
            
              d
              k
            
            
              d
              t
            
          
        
        
          f
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\frac {df_{x}}{dt}}i+{\frac {di}{dt}}f_{x}+{\frac {df_{y}}{dt}}j+{\frac {dj}{dt}}f_{y}+{\frac {df_{z}}{dt}}k+{\frac {dk}{dt}}f_{z}}
  

  
    
      
        
          
            
              d
              f
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                f
                
                  x
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        i
        +
        
          
            
              d
              
                f
                
                  y
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        j
        +
        
          
            
              d
              
                f
                
                  z
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        k
        +
        [
        ω
        ×
        (
        
          f
          
            x
          
        
        i
        +
        
          f
          
            y
          
        
        j
        +
        
          f
          
            z
          
        
        k
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle {\frac {df}{dt}}={\frac {df_{x}}{dt}}i+{\frac {df_{y}}{dt}}j+{\frac {df_{z}}{dt}}k+[\omega \times (f_{x}i+f_{y}j+f_{z}k)]}
  

  
    
      
        
          
            
              δ
              f
            
            
              δ
              t
            
          
        
        +
        ω
        ×
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\delta f}{\delta t}}+\omega \times f(t)}
  Der 
  
    
      
        
          
            δ
            
              δ
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\delta }{\delta t}}}
   er endringsraten med hensyn på det roterende koordinatsystemet. Det vil si at dersom 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle f(t)}
   roterer med samme fart som enhetsvektorene (
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  ) så er 
  
    
      
        
          
            
              δ
              f
            
            
              δ
              t
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\delta f}{\delta t}}=0}
  .


== Forhold mellom raskhet i de to referansesystemene ==
Raskheten til et legeme er den tidsderiverte av posisjonen til lekamet eller

  
    
      
        
          v
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              d
              
                r
              
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}
  Den tidsderiverte til posisjonen i et roterende referansesystem har to komponenter, en fra den tidsderiverte i treghetssystemet, og en annen fra sin egen rotasjon. Forholdet mellom disse har mani ligningen

  
    
      
        
          
            (
            
              
                d
                
                  d
                  t
                
              
            
            )
          
          
            
              t
              r
              e
              g
              h
              e
              t
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                d
                
                  d
                  t
                
              
            
            )
          
          
            
              r
              o
              t
              e
              r
              e
              n
              d
              e
            
          
        
        +
        
          ω
        
        ×
      
    
    {\displaystyle \left({\frac {d}{dt}}\right)_{\mathrm {treghet} }=\left({\frac {d}{dt}}\right)_{\mathrm {roterende} }+{\boldsymbol {\omega }}\times }
  der vektoren 
  
    
      
        
          ω
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}}
   peker i samme retning som rotasjonsaksen med samme størrelse som vinkelfarten. Derfor er forholdet mellom raskheten i de to referansesystema: 

  
    
      
        
          
            v
          
          
            
              t
              r
              e
              g
              h
              e
              t
            
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  
                    r
                  
                
                
                  d
                  t
                
              
            
            )
          
          
            
              t
              r
              e
              g
              h
              e
              t
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  
                    r
                  
                
                
                  d
                  t
                
              
            
            )
          
          
            
              r
              o
              t
              e
              r
              e
              n
              d
              e
            
          
        
        +
        
          ω
        
        ×
        
          r
        
        =
        
          
            v
          
          
            
              r
              o
              t
              e
              r
              e
              n
              d
              e
            
          
        
        +
        
          ω
        
        ×
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} _{\mathrm {treghet} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)_{\mathrm {treghet} }=\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)_{\mathrm {roterende} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} =\mathbf {v} _{\mathrm {roterende} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} }
  


=== Bevis for ligningen ===
La oss tenke oss en vektor atreghet i treghetssystemet, og aroterende er den samme vektoren i det roterende referansesystemet. Pt er posisjonen til vektoren a ved tiden t i treghetssystemet, Q er et punkt som har samme startposisjon som P0 (Q0 = P0) og roterer i forhold til treghetssystemet som om det var stasjonært på det roterende systemet. .
Etter svært kort tid δ t, har vi at vektoren Q0 Qδ t er

  
    
      
        
          ω
        
        ×
        
          
            a
          
          
            
              t
              r
              e
              g
              h
              e
              t
            
          
        
        ⋅
        δ
        t
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} _{\mathrm {treghet} }\cdot \delta t}
  ved å bruke noen enkle vektoroperasjoner har vi

  
    
      
        
          
            
              
                P
                
                  0
                
              
              
                P
                
                  δ
                  t
                
              
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            a
          
          
            
              t
              r
              e
              g
              h
              e
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              
                P
                
                  0
                
              
              
                Q
                
                  δ
                  t
                
              
            
            ¯
          
        
        +
        
          
            
              
                Q
                
                  δ
                  t
                
              
              
                P
                
                  δ
                  t
                
              
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              
                Q
                
                  0
                
              
              
                Q
                
                  δ
                  t
                
              
            
            ¯
          
        
        +
        
          
            
              
                Q
                
                  δ
                  t
                
              
              
                P
                
                  δ
                  t
                
              
            
            ¯
          
        
        =
        
          ω
        
        ×
        
          
            a
          
          
            
              t
              r
              e
              g
              h
              e
              t
            
          
        
        ⋅
        δ
        t
        +
        
          
            a
          
          
            
              r
              o
              t
              a
              s
              j
              o
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {P_{0}P_{\delta t}}}=\mathbf {a} _{\mathrm {treghet} }={\overline {P_{0}Q_{\delta t}}}+{\overline {Q_{\delta t}P_{\delta t}}}={\overline {Q_{0}Q_{\delta t}}}+{\overline {Q_{\delta t}P_{\delta t}}}={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} _{\mathrm {treghet} }\cdot \delta t+\mathbf {a} _{\mathrm {rotasjon} }}
  deriverer vi på tid får vi

  
    
      
        
          
            
              
                a
                ˙
              
            
          
          
            
              t
              r
              e
              g
              h
              e
              t
            
          
        
        =
        
          ω
        
        ×
        
          
            a
          
          
            
              t
              r
              e
              g
              h
              e
              t
            
          
        
        +
        
          
            
              
                a
                ˙
              
            
          
          
            
              r
              o
              t
              a
              s
              j
              o
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {\dot {a}} _{\mathrm {treghet} }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} _{\mathrm {treghet} }+\mathbf {\dot {a}} _{\mathrm {rotasjon} }}
  og ser at 

  
    
      
        
          ω
        
        ×
        
          
            a
          
          
            
              r
              o
              t
              a
              s
              j
              o
              n
            
          
        
        =
        
          ω
        
        ×
        
          
            a
          
          
            
              t
              r
              e
              g
              h
              e
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} _{\mathrm {rotasjon} }={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {a} _{\mathrm {treghet} }}
  


== Forhold mellom akselerasjon i de to systemene ==
Akselerasjon er den andre tidsderiverte av posisjon, eller den første tidsderiverte av raskhet

  
    
      
        
          
            a
          
          
            
              t
              r
              e
              g
              h
              e
              t
            
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            (
            
              
                
                  
                    d
                    
                      2
                    
                  
                  
                    r
                  
                
                
                  d
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            
              t
              r
              e
              g
              h
              e
              t
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  d
                  
                    v
                  
                
                
                  d
                  t
                
              
            
            )
          
          
            
              t
              r
              e
              g
              h
              e
              t
            
          
        
        =
        
          [
          
            
              
                (
                
                  
                    d
                    
                      d
                      t
                    
                  
                
                )
              
              
                
                  r
                  o
                  t
                  a
                  s
                  j
                  o
                  n
                
              
            
            +
            
              ω
            
            ×
          
          ]
        
        
          [
          
            
              
                (
                
                  
                    
                      d
                      
                        r
                      
                    
                    
                      d
                      t
                    
                  
                
                )
              
              
                
                  r
                  o
                  t
                  a
                  s
                  j
                  o
                  n
                
              
            
            +
            
              ω
            
            ×
            
              r
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {treghet} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)_{\mathrm {treghet} }=\left({\frac {d\mathbf {v} }{dt}}\right)_{\mathrm {treghet} }=\left[\left({\frac {d}{dt}}\right)_{\mathrm {rotasjon} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \right]\left[\left({\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)_{\mathrm {rotasjon} }+{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} \right]}
  Ved å utføre deriveringen og omarrangere noen av leddene får man akselerasjonen i det roterende referansesystemet

  
    
      
        
          
            a
          
          
            
              r
              o
              t
              a
              s
              j
              o
              n
            
          
        
        =
        
          
            a
          
          
            
              t
              r
              e
              g
              h
              e
              t
            
          
        
        −
        2
        
          ω
        
        ×
        
          
            v
          
          
            
              r
              o
              t
              a
              s
              j
              o
              n
            
          
        
        −
        
          ω
        
        ×
        (
        
          ω
        
        ×
        
          r
        
        )
        −
        
          
            
              d
              
                ω
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        ×
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rotasjon} }=\mathbf {a} _{\mathrm {treghet} }-2{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {rotasjon} }-{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )-{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\times \mathbf {r} }
  der 
  
    
      
        
          
            a
          
          
            
              r
              o
              t
              a
              s
              j
              o
              n
            
          
        
         
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
         
        
          
            (
            
              
                
                  
                    d
                    
                      2
                    
                  
                  
                    r
                  
                
                
                  d
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            
              r
              o
              t
              a
              s
              j
              o
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {rotasjon} }\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \left({\frac {d^{2}\mathbf {r} }{dt^{2}}}\right)_{\mathrm {rotasjon} }}
   er den tilsynelatende akselerasjonen i det roterende referansesystemet. 
De tre leddene på høyre side kommer av de fiktive kreftene i et roterende referansesystem. Ved å bruke Newton sin andre bevegelseslov 
  
    
      
        F
        =
        m
        a
      
    
    {\displaystyle F=ma}
  , får vi

corioliskraft en
  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              C
              o
              r
              i
              o
              l
              i
              s
            
          
        
        =
        −
        2
        m
        
          ω
        
        ×
        
          
            v
          
          
            
              r
              o
              t
              a
              s
              j
              o
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Coriolis} }=-2m{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {v} _{\mathrm {rotasjon} }}
  sentrifugalkraften
  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              s
              e
              n
              t
              r
              i
              f
              u
              g
              a
              l
            
          
        
        =
        −
        m
        
          ω
        
        ×
        (
        
          ω
        
        ×
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {sentrifugal} }=-m{\boldsymbol {\omega }}\times ({\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {r} )}
  eulerkraften
  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              E
              u
              l
              e
              r
            
          
        
        =
        −
        m
        
          
            
              d
              
                ω
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        ×
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {Euler} }=-m{\frac {d{\boldsymbol {\omega }}}{dt}}\times \mathbf {r} }
  der 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   er massen til legemet disse tre fiktive kreftene virker på.
Treghetsakslerasjonen 
  
    
      
        
          
            a
          
          
            
              t
              r
              e
              g
              l
              e
              i
              k
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {a} _{\mathrm {tregleik} }}
   kan man finne ut fra den totale fysiske kraften 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              t
              o
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {tot} }}
   (for eksempel den totale kraften fra fysiske vekselvirkninger som elektromagnetisme) og bruke Newton sin andre bevegelseslov.

  
    
      
        
          
            F
          
          
            
              t
              o
              t
            
          
        
        =
        m
        
          
            a
          
          
            
              i
              n
              e
              r
              t
              i
              a
              l
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{\mathrm {tot} }=m\mathbf {a} _{\mathrm {inertial} }}