Tolegemeproblem

Tolegemeproblemet er i klassisk mekanikk problemet med å beregne bevegelsen til to legemer som vekselvirker med hverandre uten å vekselvirke med andre legemer. Vanlige eksempler er en naturlig satellitt som roterer rundt en planet, en planet som roterer rundt en stjerne, to stjerner som roterer rundt hverandre som en dobbeltstjerne, og et klassisk elektron som roterer rundt en atomkjerne.
For å se på noe som et tolegemeproblem må vi ignorere vekselvirkninger med alle andre legemer. Vi kan for eksempel bare se på Jordens bane rundt Solen som et tolegemeproblem om vi ignorerer vekselvirkninger med de andre planetene. For enkle beregninger går det helt fint, siden solsystemet er gravitasjonelt dominert av Solen, og vekselvirkningene planetene seg i mellom er så mye mindre, men for svært nøyaktige beregninger må vi også ta med flere vekselvirkninger og ender opp med et «N-legemeproblem».
Tolegeme problemet kan omformuleres som to uavhengige «én-legeme problemer», ett trivielt og ett som involverer bevegelsen av et legeme i et eksternt potensial. Siden mange ett-legeme problemer har eksakte, analytiske løsninger, kan det korresponderende tolegemeproblemet også løses eksakt. Derimot kan ikke trelegemeproblemet eller n-legemeproblemet for N ≥ 3 løses med numerisk integrasjon, bortsett fra i spesielle tilfeller.


== Massesenter ==

I klassisk mekanikk er all bevegelse styrt av Newtons lover. De to massene antas å ha verdiene m1 og m2. De påvirker hverandre med en gjensidig kraft F12 = - F21 ifølge den tredje loven. Ingen andre krefter virker på dem. Ved bruk av  et kartesisk koordinatsystem kan hver av dem tilordnes posisjonsvektorene  x1 og x2 som begge varierer med tiden. Newtons andre ligning anvendt på de to massene gir dermed

  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
        
          
            
              
                
                  x
                
                ¨
              
            
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            F
          
          
            12
          
        
        ,
        
        
        
          m
          
            2
          
        
        
          
            
              
                
                  x
                
                ¨
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            F
          
          
            21
          
        
      
    
    {\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}=\mathbf {F} _{12},\;\;m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=\mathbf {F} _{21}}
  hvor de to prikkene over vektorene betyr dobbeltderivert med hensyn på tiden. Addereres disse to ligningene sammen, finner man

  
    
      
        
          m
          
            1
          
        
        
          
            
              
                
                  x
                
                ¨
              
            
          
          
            1
          
        
        +
        
          m
          
            2
          
        
        
          
            
              
                
                  x
                
                ¨
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle m_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}=0}
  Det er derfor naturlig å innføre en ny koordinat

  
    
      
        
          R
        
        =
        
          
            
              
                m
                
                  1
                
              
              
                
                  x
                
                
                  1
                
              
              +
              
                m
                
                  2
                
              
              
                
                  x
                
                
                  2
                
              
            
            
              
                m
                
                  1
                
              
              +
              
                m
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} ={m_{1}\mathbf {x} _{1}+m_{2}\mathbf {x} _{2} \over m_{1}+m_{2}}}
  som beskriver posisjonen til massesenter  (barysenter) med bevegelsesligningen 

  
    
      
        (
        
          m
          
            1
          
        
        +
        
          m
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              
                R
              
              ¨
            
          
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle (m_{1}+m_{2}){\ddot {\mathbf {R} }}=0.}
  Det kan derfor tilskrives en masse M =  m1 +  m2 og beveger seg med en hastighet V = d R/dt  som er konstant. Bevegelsen av massesenteret foregår derfor langs en rett linje da det ikke er påvirket av ytre krefter i overensstemmelse med Newtons første lov. Alternativt kan dette resultatet formuleres ved å si at den totale impulsen 

  
    
      
        
          P
        
        =
        
          m
          
            1
          
        
        
          
            
              
                
                  x
                
                ˙
              
            
          
          
            1
          
        
        +
        
          m
          
            2
          
        
        
          
            
              
                
                  x
                
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        M
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {P} =m_{1}{\dot {\mathbf {x} }}_{1}+m_{2}{\dot {\mathbf {x} }}_{2}=M\mathbf {V} }
  forblir konstant eller uforandret under bevegelsen til de to massene som utgjør det mekaniske systemet når det ikke er påvirket av ytre krefter.


== Redusert masse ==
I motsetning til posisjonen R til messesenteret kan den relative avstanden r =  x1 - x2  mellom massene forandre seg med vilkårlig hastighet. Fra de to bevegelsesligningene følger

  
    
      
        
          
            
              
                r
              
              ¨
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  x
                
                ¨
              
            
          
          
            1
          
        
        −
        
          
            
              
                
                  x
                
                ¨
              
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
          
        
        
          
            1
            
              m
              
                1
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              m
              
                2
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        
          
            F
          
          
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {\mathbf {r} }}={\ddot {\mathbf {x} }}_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}_{2}={\Big (}{1 \over m_{1}}+{1 \over m_{2}}{\Big )}\mathbf {F} _{12}}
  som kan skrives som

  
    
      
        m
        
          
            
              
                r
              
              ¨
            
          
        
        =
        
          
            F
          
          
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} _{12}}
  hvor 

  
    
      
        m
        =
        
          
            
              
                m
                
                  1
                
              
              
                m
                
                  2
                
              
            
            
              
                m
                
                  1
                
              
              +
              
                m
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle m={m_{1}m_{2} \over m_{1}+m_{2}}}
  er den reduserte massen til systemet av to masser. Tolegemeproblemet er dermed blitt redusert til et problem som omhandler bevegelsen til kun et fiktivt legeme med denne massen. Når den ene av de to opprinnelige massene er mye tyngre enn den andre, er deres reduserte masse tilnærmet lik den minste massen og massesenteret ligger tilnærmet i ro der den tyngste massen befinner seg. I det spesielle tilfellet at de to massene er like store, er den reduserte massen halvparten av den ene med massesenteret midt mellom dem.
Kraften F12  mellom de to massene kan bare avhenge av den relative avstanden r. Hvis det ikke var tilfellet, ville det bety at kreftene som virker på dem, ville forandres ved en parallell forflytning av begge. Det er i motstrid med antagelsen at det ikke virker ytre krefter på systemet.

Ved bruk av de to nye vektorene R(t ) og r(t ) kan posisjonene til de opprinnelige massene uttrykkes som

  
    
      
        
          
            x
          
          
            1
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          R
        
        (
        t
        )
        +
        
          
            m
            
              m
              
                1
              
            
          
        
        
          r
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} _{1}(t)=\mathbf {R} (t)+{\frac {m}{m_{1}}}\mathbf {r} (t)}
  

  
    
      
        
          
            x
          
          
            2
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          R
        
        (
        t
        )
        −
        
          
            m
            
              m
              
                2
              
            
          
        
        
          r
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} _{2}(t)=\mathbf {R} (t)-{\frac {m}{m_{2}}}\mathbf {r} (t)}
  Siden massesenteret beveger seg med konstant hastighet, kan man alltid velge det spesielle massesentersystemet hvor dette ligger i ro, det vil si R(t ) = 0. Da er bevegelsen til begge massene gitt ved den relative avstanden r(t ). De befinner seg da hele tiden på motsatt side av messesenteret og i en avstand fra dette omvendt proporsjonalt med deres masser.
I det spesielle tilfellet at massene er bundet sammen av en kraft som er gitt ved Newtons gravitasjonslov eller Coulombs lov for elektriske krefter, vil den relative bevegelsen i det generelle tilfellet være en ellipse som beskrevet ved Keplers lover. Hver av de to massene vil derfor følge sin egen ellipsebane med hovedakser i samme retning og lengder omvendt proporsjonal med deres individuelle masser.


== Energier ==
Da kraften F12  som partikkel 2 utøver på partikkel 1, er rettet langs den relative avstanden  r, kan den skrives som en gradient av den potensielle energien U(r ) til de to massene. Man har derfor

  
    
      
        
          
            F
          
          
            12
          
        
        =
        −
        
          
            ∇
          
          
            1
          
        
        U
        (
        
          r
        
        )
        ,
        
        
        
          
            F
          
          
            21
          
        
        =
        −
        
          
            ∇
          
          
            2
          
        
        U
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
        
          
            F
          
          
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{12}=-{\boldsymbol {\nabla }}_{1}U(\mathbf {r} ),\;\;\mathbf {F} _{21}=-{\boldsymbol {\nabla }}_{2}U(\mathbf {r} )=-\mathbf {F} _{12}}
  da r = x1 - x2. Den totale energien til de to massene består av deres kinetiske energi pluss denne potensielle energien,

  
    
      
        
          
            
              
                
                  E
                  
                    t
                    o
                    t
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  m
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    v
                  
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  m
                  
                    2
                  
                
                
                  
                    v
                  
                  
                    2
                  
                  
                    2
                  
                
                +
                U
                (
                
                  r
                
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                M
                
                  
                    V
                  
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                m
                
                  
                    v
                  
                  
                    2
                  
                
                +
                U
                (
                
                  r
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}E_{tot}&={1 \over 2}m_{1}\mathbf {v} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {v} _{2}^{2}+U(\mathbf {r} )\\&={1 \over 2}M\mathbf {V} ^{2}+{1 \over 2}m\mathbf {v} ^{2}+U(\mathbf {r} )\end{aligned}}}
  hvor hastighetene til partiklene er betegnet med 
  
    
      
        
          
            v
          
          
            1
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  x
                
                ˙
              
            
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} _{1}={\dot {\mathbf {x} }}_{1}}
   og 
  
    
      
        
          
            v
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  x
                
                ˙
              
            
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} _{2}={\dot {\mathbf {x} }}_{2}}
   slik at deres relative hastighet  v = v1 - v2  = 
  
    
      
        
          
            
              
                r
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}}
  .
Den første termen her representerer den kinetiske energien til massesenteret. Velger man å beskrive bevegelsen i det koordinatsystemet hvor dette ligger i ro, består systemets energi av den kinetiske energien til den relative bevegelsen pluss den gjensidige, potensielle energien. Det er denne energien

  
    
      
        E
        =
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          
            v
          
          
            2
          
        
        +
        U
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle E={1 \over 2}m\mathbf {v} ^{2}+U(\mathbf {r} )}
  som er avgjørende for tolegemesystemets egenskaper. For eksempel, når man omtaler energien til et hydrogenatom bestående av et proton og et elektron, er det denne energien man mener og som omtales som «atomets energi». Hvis det er i bevegelse, får det en ekstra, kinetisk energi som ansees å være et trivielt tillegg.


== Dreieimpuls ==
Den totale dreieimpulsen av de to partiklene beregnet om origo til koordinatsystemet, blir

  
    
      
        
          
            L
          
          
            t
            o
            t
          
        
        =
        
          m
          
            1
          
        
        
          
            x
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            v
          
          
            1
          
        
        +
        
          m
          
            2
          
        
        
          
            x
          
          
            2
          
        
        ×
        
          
            v
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} _{tot}=m_{1}\mathbf {x} _{1}\times \mathbf {v} _{1}+m_{2}\mathbf {x} _{2}\times \mathbf {v} _{2}}
  De to hastighetene kan uttrykkes ved hastigheten V til messesenteret og den relative hastigheten v. Innsatt i dreieimpulsen til systemet finner man da

  
    
      
        
          
            L
          
          
            t
            o
            t
          
        
        =
        M
        
          R
        
        ×
        
          V
        
        +
        m
        
          r
        
        ×
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} _{tot}=M\mathbf {R} \times \mathbf {V} +m\mathbf {r} \times \mathbf {v} }
  På denne formen representerer det første leddet dreieimpulsen LCM  til massesentereret som beveger seg som et fritt legeme. Det siste leddet er dreieimpulsen 

  
    
      
        
          L
        
        =
        m
        
          r
        
        ×
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \mathbf {v} }
  til den relative bevegelsen beregnet ut fra messesenteret. Dermed har man den enkle og viktige sammenhengen Ltot = LCM + L. 
Da systemet ikke er påvirket av ytre krefter, er denne totale dreieimpulsen konstant under bevegelsen,

  
    
      
        
          
            
              d
              
                
                  L
                
                
                  t
                  o
                  t
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              
                
                  L
                
                
                  C
                  M
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        +
        
          
            
              d
              
                L
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {d\mathbf {L} _{tot} \over dt}={d\mathbf {L} _{CM} \over dt}+{d\mathbf {L}  \over dt}=0}
  Her er ikke bare summen en konstant størrelse, men hver dreieimpuls i seg selv er  en konstant eller bevart størrelse. For eksempel,

  
    
      
        
          
            
              d
              
                L
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        m
        
          
            
              
                r
              
              ˙
            
          
        
        ×
        
          v
        
        +
        m
        
          r
        
        ×
        
          
            
              
                v
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {d\mathbf {L}  \over dt}=m{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {v} +m\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {v} }}}
  Men nå er 
  
    
      
        
          
            
              
                r
              
              ˙
            
          
        
        =
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {v} }
   og  
  
    
      
        
          
            
              
                v
              
              ˙
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {v} }}}
   er proporsjonal med r, slik at begge kryssproduktene her er null og derfor blir d L/dt = 0. På samme måte er LCM  konstant da 
  
    
      
        
          
            
              
                R
              
              ˙
            
          
        
        =
        
          V
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {R} }}=\mathbf {V} }
   og 
  
    
      
        
          
            
              
                V
              
              ˙
            
          
        
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\dot {\mathbf {V} }}=0.}
  
Siden den relative dreieimpulsen L er en bevart vektor, har den en konstant retning i rommet. Da i tillegg r⋅L = 0  ut fra definisjonen til trippelvektorproduktet, vil bevegelsen til tolegemeproblemet alltid foregå i et plan vinkelrett på dreieimpulsen L. I mange praktiske sammenhenger velger man derfor et koordinatsystem hvor partiklene eller legemene beveger seg i et koordinatplan og da vanligvis i xy-planet. Det tilsvarer at den relative dreieimpulsen L peker langs z-aksen.


== Litteratur ==
P. Jerstad og B. Sletbak, Rom Stoff Tid, 3FY,  J.W. Cappelens Forlag, Oslo (1998). ISBN 82-02-17155-5.
J.R. Lien og G. Løvhøyden, Generell fysikk for universiteter og høgskoler, Bind 1, Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 978-8-2150-0005-3.
H.D. Young and R.A. Freedman,  University Physics,  Addison Wesley, New York (2008). ISBN 978-0-321-50130-1.


== Se også ==
Keplers lover
Spesifikk baneenergi
Spesifikk relativ drivmoment


== Eksterne lenker ==
Eric Weisstein's World of Physics, Tolegemeproblemet