Newtons metode

Newtons metode, også kjent som Newton-Raphson-metoden, er en metode for å finne nullpunkter for funksjoner. Man finner ikke en eksakt løsning, men en tilnærmelsesverdi med så høy nøyaktighet man ønsker. Før man begynner, må man regne ut den deriverte til funksjonen. Metoden går ut på at man starter fra et punkt i nærheten av et nullpunkt og bruker dette punktet som tilnærmelsesverdi. Så finner man grafens tangent i punktet, og bruker tangentens skjæringspunkt med x-aksen som ny tilnærmelsesverdi. Prosessen gjentas til man har fått ønsket nøyaktighet. Regneprosessen resulterer i følgende rekursjonsformel: 
  
    
      
        
          x
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          x
          
            n
          
        
        −
        
          
            
              f
              (
              
                x
                
                  n
                
              
              )
            
            
              
                f
                ′
              
              (
              
                x
                
                  n
                
              
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{f(x_{n}) \over f'(x_{n})}}
  .
Det er ikke alle ligninger man kan løse eksakt eller ved regning. Eksempler: cos x = 2x + 1; ex = x + 2
Newtons metode virker ikke på alle ligninger.


=== Eksempel ===
Vi ønsker å finne nullpunktet til funksjonen 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          e
          
            x
          
        
        +
        2
        x
      
    
    {\textstyle f(x)=e^{x}+2x}
  . Legg merke til at 
  
    
      
        f
        (
        −
        2
        )
        =
        
          e
          
            −
            2
          
        
        −
        4
        <
        0
      
    
    {\textstyle f(-2)=e^{-2}-4<0}
   og 
  
    
      
        f
        (
        0
        )
        =
        1
        >
        0
      
    
    {\textstyle f(0)=1>0}
  , slik at 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\textstyle f(x)}
   må ha minst ett nullpunkt i intervallet 
  
    
      
        (
        −
        2
        ,
        0
        )
      
    
    {\textstyle (-2,0)}
  . Videre er 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        >
        0
      
    
    {\textstyle f'(x)>0}
   for alle 
  
    
      
        x
      
    
    {\textstyle x}
  , funksjonen er derfor monotont voksende og har bare ett nullpunkt. Den deriverte er lik 
  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        
          e
          
            x
          
        
        +
        2
      
    
    {\textstyle f'(x)=e^{x}+2}
  . Newtons metode blir da:

  
    
      
        
          x
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          x
          
            n
          
        
        −
        
          
            
              
                e
                
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
              +
              2
              
                x
                
                  n
                
              
            
            
              
                e
                
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
              +
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n+1}=x_{n}-{e^{x_{n}}+2x_{n} \over e^{x_{n}}+2}}
  
Dersom vi starter med 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        =
        1
      
    
    {\textstyle x_{0}=1}
   og bruker formelen ovenfor til å regne ut videre verdier, får vi følgende tabell:

Utregningene konvergerer mot det riktige svaret, dette kan vi se ved å regne ut 
  
    
      
        f
        (
        −
        0.35173371
        )
        ≈
        3.377
        ×
        
          10
          
            −
            9
          
        
      
    
    {\displaystyle f(-0.35173371)\approx 3.377\times 10^{-9}}
  . Om metoden konvergerer, og hvor raskt metoden konvergerer, er avhengig av startverdien 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  .


== Eksterne lenker ==
(en) Newton Method – kategori av bilder, video eller lyd på Commons 
(en) Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Newton method", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4
(en) Eric W. Weisstein, Newton's Method i MathWorld.