Eksentrisk anomali

Eksentrisk anomali, betegnet: E, er for en planet vinkelen mellom perihelium og planetens posisjon projisert på en sirkel med samme radius og samme sentrum som store halvakse for baneellipsen målt i baneellipsens origo.
Den eksentriske anomalien er relatert til midlere anomali gjennom Keplers ligning:

  
    
      
        M
        =
        E
        −
        e
        ⋅
        sin
        ⁡
        E
      
    
    {\displaystyle M=E-e\cdot \sin E}
  der 
  
    
      
        e
        
        
      
    
    {\displaystyle e\,\!}
   er banens eksentrisitet og 
  
    
      
        M
        
        
      
    
    {\displaystyle M\,\!}
   er planetens midlere anomali. Denne ligningen mangler en endelig løsning for 
  
    
      
        E
        
        
      
    
    {\displaystyle E\,\!}
   for gitte 
  
    
      
        M
        
        
      
    
    {\displaystyle M\,\!}
   og 
  
    
      
        e
        
        
      
    
    {\displaystyle e\,\!}
  . Ligningen løses i praksis med en numerisk iterativ metode, for eksempel Newton-Raphsons metode. Hvis 
  
    
      
        e
        
        
      
    
    {\displaystyle e\,\!}
   er liten, kan i stedet en avkortet serieutvikling benyttes:

  
    
      
        
          
            
              
                E
                =
                M
                +
                e
                ⋅
                sin
                ⁡
                M
                +
                
                  
                    
                      e
                      
                        2
                      
                    
                    
                      2
                      !
                      ⋅
                      2
                    
                  
                
                (
                2
                sin
                ⁡
                2
                M
                )
                +
                
                  
                    
                      e
                      
                        3
                      
                    
                    
                      3
                      !
                      ⋅
                      
                        2
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                (
                
                  3
                  
                    2
                  
                
                sin
                ⁡
                3
                M
                −
                3
                sin
                ⁡
                M
                )
                +
                
                  
                    
                      e
                      
                        4
                      
                    
                    
                      4
                      !
                      ⋅
                      
                        2
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                (
                
                  4
                  
                    3
                  
                
                sin
                ⁡
                4
                M
                −
                4
                ⋅
                
                  2
                  
                    3
                  
                
                s
                i
                n
                2
                M
                )
                +
                .
                .
                .
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}E=M+e\cdot \sin M+{\frac {e^{2}}{2!\cdot 2}}(2\sin 2M)+{\frac {e^{3}}{3!\cdot 2^{2}}}(3^{2}\sin 3M-3\sin M)+{\frac {e^{4}}{4!\cdot 2^{3}}}(4^{3}\sin 4M-4\cdot 2^{3}sin2M)+....\end{matrix}}}
  
Når den eksentriske anomalien er beregnet, kan man ut av dette beregne den sanne anomalien, 
  
    
      
        ν
        
        
      
    
    {\displaystyle \nu \,\!}
  :

  
    
      
        ν
        =
        2
        ⋅
        
          tan
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        
          (
          
            
              
                
                  
                    1
                    +
                    e
                  
                  
                    1
                    −
                    e
                  
                
              
            
            ⋅
            tan
            ⁡
            
              
                E
                2
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \nu =2\cdot \tan ^{-1}\left({\sqrt {\frac {1+e}{1-e}}}\cdot \tan {\frac {E}{2}}\right)}
  og man kan da også beregne planetens avstand 
  
    
      
        r
        
        
      
    
    {\displaystyle r\,\!}
   fra sentrallegemet (solen):

  
    
      
        r
        =
        a
        
          (
          
            1
            −
            e
            ⋅
            cos
            ⁡
            
              E
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle r=a\left(1-e\cdot \cos {E}\right)}
  Eksentrisk anomali kan også brukes for en satellitts bevegelse rundt jorden, eller for et annet himmellegemes bevegelse rundt et annet, betydelig større sentrallegeme.


== Litteratur ==
Murray, C.D.; Dermott, S.D. (1999). Solar System Dynamics. Cambridge: Cambridge University Press. 
Plummer, H.C. (1960). An Introductory treatise on Dynamical Astronomy. New York: Dover Publications.  [Reprint av Cambridge University Press-utgaven fra 1918]