Legendre-transformasjon

En Legendre-transformasjon er i matematikken en metode for å omskrive en konveks funksjon av en variabel til en ny funksjon av den deriverte av den opprinnelige funksjonen. Den ble funnet i 1787 av den franske matematiker Adrien-Marie Legendre i forbindelse med hans interesse for såkalte minimale flater som han ville beskrive ved hjelp av deres tangentplan.


== Definisjon ==

En kontinuerlig funksjon y = y(x) er konveks når dens deriverte er en økende funksjon av den variable x. Det er ekvivalent med å si at den andrederiverte av funksjonen alltid er positiv. Det eksisterer da en entydig sammenheng mellom x og den deriverte p = dy/dx.  Dette er en implisitt ligning som gir x = x(p).  Man kan nå konstruere en ny og ekvivalent funksjon som har p som argument ved å betrakte den rette linjen som er tangent til y = y(x) i punktet (x,y).  Denne linjen skjærer y-aksen i punktet (0,g). For hvert argument x vil den deriverte ha en verdi p som gir en entydig verdi 

  
    
      
        g
        =
        y
        −
        p
        x
      
    
    {\displaystyle g=y-px}
  som vist geometrisk i figuren til høyre. Man kan derfor betrakte g = g(p) som en funksjon av p når man benytter at x = x(p). Dette er den Legendre-transformerte  funksjonen g(p) er den opprinnelige funksjonen y(x). De to variable x og p sies ofte å være konjugerte med hverandre. Man kan også definere den Legendre-transformerte med motsatt fortegn av hva som er valgt her.
Tar man differensialet av den nye funksjonen g = g(p), finner man dg = dy - pdx - xdp. Men nå er per definisjon dy = pdx slik at dg = - xdp. Derfor har man det viktige resultatet at x = - dg/dp som tilsvarer at p = dy/dx for den konjugerte variable. 


=== Eksempel ===
Funksjonen y = x2 kan benyttes til å gi en enkel illustrasjon av transformasjonen. I dette tilfellet er p = d(x2)/dx = 2x. Sammenhengen mellom x og p blir da ganske enkelt x = p/2. Uttrykt ved den opprinnelige variable, blir den transformerte funksjonen derfor g = x2 - 2x⋅x = - x2. Dette resultatet kan nå skrives som en funksjon av den konjugerte variable, g(p) = - (p/2)2 = - p2/4. Man sjekker nå lett at den Legendre-transformerte av denne funksjonen, er den opprinnelige.


== Funksjon av flere variable ==
Ofte inneholder den gitte funksjonen ekstra variable som ikke inngår direkte i transformasjonen. De sies å være passive. Med en ekstra variabel er da y = y(x,t) hvor t er en passiv variabel.  Tangenten i x-retning har nå helningskoeffisient gitt ved den partiellderiverte p = ∂y/∂x som beregnes ved å holde t konstant under derivasjonen. Igjen kan man definere en Legendre-transformert funksjon ved g = y - px.   I differensialet dg = dy - pdx - xdp er nå dy = (∂y/∂x)dx + (∂y/∂t)dt slik at man finner

  
    
      
        d
        g
        =
        
          
            (
          
        
        
          
            
              ∂
              y
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        −
        p
        
          
            )
          
        
        d
        x
        −
        x
        d
        p
        +
        
          
            
              ∂
              y
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle dg={\Big (}{\partial y \over \partial x}-p{\Big )}dx-xdp+{\partial y \over \partial t}dt}
  Her er det første leddet lik null som følge av definisjonen p = ∂y/∂x. Dermed har man at dg = - xdp + (∂y/∂t)dt. 
Funksjonen g kan derfor betraktes som en funksjon av den nye variable p samt den passive variable t, det vil si at g = g(p,t). Videre ser man at denne nye funksjonen har  ∂g/∂p = - x og ∂g/∂t = ∂y/∂t som er viktige relasjoner i praktiske anvendelser. Denne konstruksjonen kan opplagt utvides til å gjelde for funksjoner med flere passive variable.


=== Eksempel ===
En enkel funksjon med en passive variabel er y = tx lnx som er konveks når x > 0. Da blir p = ∂y/∂x = t(1 + lnx). Løses denne ligningen med hensyn på x, finner man at x = (1/e)e p/t. Dermed  blir 

  
    
      
        g
        =
        f
        −
        x
        p
        =
        t
        x
        ln
        ⁡
        x
        −
        x
        t
        (
        1
        +
        ln
        ⁡
        x
        )
        =
        −
        x
        t
      
    
    {\displaystyle g=f-xp=tx\ln x-xt(1+\ln x)=-xt}
  som gir

  
    
      
        g
        (
        p
        ,
        t
        )
        =
        −
        
          
            t
            e
          
        
        
          e
          
            p
            
              /
            
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle g(p,t)=-{t \over e}e^{p/t}}
  når man setter inn for x. Dette er den Legendre-transformerte funksjonen. Med dette resultatet kan man nå sjekke at ∂g/∂p = - (1/e)e p/t = - x som forventet. Videre er ∂g/∂t = - (1/e)e p/t(1 - p/t) = x lnx som er akkurat ∂y/∂t.


== Anvendelser ==
Transformasjonen ble etablert av Legendre for å løse rent matematiske problemer han var konfrontert med. Fremdeles har den mange anvendelser innen ren matematikk.
I fysikken blir Legendre-transformasjoner benyttet spesielt innen klassisk mekanikk og termodynamikk. 


=== Termodynamikk ===
En differensiell økning dU av den indre energien til et system i termisk likevekt som skyldes forandringene dV av dets volum og dS av dets entropi, er forbundet gjennom termodynamikkens andre hovedsetning.  Denne kan matematisk skrives som

  
    
      
        d
        U
        =
        −
        P
        d
        V
        +
        T
        d
        S
      
    
    {\displaystyle dU=-PdV+TdS}
  hvor P er trykket som systemet er utsatt for og T er temperaturen det har. Dette er et uttrykk for energiens bevarelse. Man kan derfor betrakte den indre enrgien som en funksjon U = U(S,V) hvor P = - (∂U/∂V)S  og  T = (∂U/∂S)V . Dette gjør det mulig å gjennomføre to forskjellige Legendre-transformasjoner. Enten kan man erstatte volumet V  med den konjugerte variable som er trykket P, eller man kan erstatte entropien S  med den konjugerte variable som er temperaturen T.
I det første tilfellet får man da  H = U + PV  som er entalpien til systemet slik at H = H(S,P)  med V = (∂H/∂P)S  som følger fra definsjonen av den Legendre-transformerte. Videre er T = (∂H/∂S)P  da S  er en passiv variabel. Den andre muligheten gir  F = U - TS  hvor F = F(T,V)  er Helmholtz fri energi. Da vil S = - (∂F/∂T)V  og P = - (∂F/∂V)T  da volumet V  denne gangen er passiv. 
Denne frie energien kan man nå Legendre-transformeres videre ved å erstatte V med den konjugerte trykkvariable P. Det gir G = F + PV = H -TS  som er Gibbs fri energi G = G(T,P)  med deriverte  V =  (∂G/∂P)T  og  S = - (∂G/∂T)P. Alle disse relasjonene mellom variable og tilsvarende deriverte som følger så direkte fra Legendre-transformasjonen, spiller en viktig rolle i beregninger av praktiske konsekvenser av de termodynamiske lover.


=== Mekanikk ===
De mekaniske lovene kan formuleres på to tilsynelatende, forskjellige måter. Hvis man benytter Lagrange-mekanikk, kan de alle utledes fra  Lagrange-funksjonen for systemet. Hvis man betrakter bare en dynamisk variabel q som varierer med tiden t, er Lagrange-funksjon L = L(q,q',t) hvor den deriverte q' = dq/dt er en generalisert hastighet. Fra prinsippet om minste virkning følger da bevegelsesligningen

  
    
      
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              q
            
          
        
        −
        
          
            d
            
              d
              t
            
          
        
        
          (
          
            
              
                ∂
                L
              
              
                ∂
                
                  q
                  ′
                
              
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial L \over \partial q}-{d \over dt}\left({\partial L \over \partial q'}\right)=0}
  som er en differensialligning av andre orden i tiden. Det siste leddet inneholder p = ∂L/∂q' som er definert som den kanoniske impulsen for systemet. Bevegelsesligningen kan derfor skrives som p' = ∂L/∂q.
Ut fra definisjonen for impulsen ser man at Lagrange-funksjonen kan Legendre-transformeres til en ny funksjon H = pq' - L hvor man erstatter en hastighetsvariabel q'  med en impulsvariabel  p = ∂L/∂q' . Den transformerte funksjonen er da H = H(q,p,t) og kalles for Hamilton-funksjonen for systemet. Da q er en passive variabel under denne transformasjonen, vil  ∂H/∂q = - ∂L/∂q = - p'  når man passer på at denne Legendre-transformasjonen har motsatt fortegn av hva som ble benyttet over. Av samme grunn vil derfor q' = + ∂H/∂p.
Hamilton-mekanikk er dermed ikke noe annet enn Legendre-transformert Lagrange-mekanikk. I stedet for å ha en andreordens differensialligning å løse, kan man da i stedet benytte de to førsteordens differensialligningene

  
    
      
        
          
            
              d
              q
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              H
            
            
              ∂
              p
            
          
        
        
        ,
        
        
        
        
        
        
        
          
            
              d
              p
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              H
            
            
              ∂
              q
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {dq \over dt}={\partial H \over \partial p}\,,\;\;\;\;\;\;{dp \over dt}=-{\partial H \over \partial q}}
  for å beregne bevegelsen. Mange ganger kan dette være enklere selv om fysikken er den samme. Dette er Hamiltons bevegelsesligninger og kan lett generaliseres for systemer med et vilkårlig antall dynamiske variable.


== Litteratur ==
M.L. Boas, Mathematical Methods in the physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.


== Eksterne lenker ==
MathWorld: Legendre Transformation