Einsteins summekonvensjon

Einsteins summekonvensjon er en notasjon som benyttes innen lineær algebra og teoretisk fysikk for å forenkle matematisk uttrykk ved at summasjonssymbolet utelates. Dette erstattes med regelen at det i hvert ledd skal summeres over alle par med like indekser. Denne konvensjonen ble innført av Albert Einstein i 1916 i hans generelle relativitetsteori og har senere blitt vanlig å bruke i mange andre anvendelser.


== Eksempel ==
I sin generelle relativitetsteori viste Einstein at tyngdekraften kunne forklares som geometriske egenskaper ved tidrommet. Disse kan beskrives ved forskjellige tensorer med komponenter som angis ved et visst antall indekser. Ved beregninger vil tensorene kombineres  ved at komponentene blir multiplisert sammen og de resulterende produktene summert. Hver slik kombinasjon vil da behøve et eller flere summasjonstegn som ofte gjør de matematiske uttrykkene uoversiktlige. Men da det i hver summasjon inngår to like indekser, kan man erstatte hvert summasjonstegn med den implisitte regelen at man skal summere over disse to like indeksene. Dette er Einstein summekonvensjon.


=== Vektorer ===
Betrakter man en vektor u i et n - dimensjonalt, euklidsk rom med basisvektorer e1, e2, ... , en, kan den uttrykkes ved sine komponenter som

  
    
      
        
          u
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          u
          
            i
          
        
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        =
        
          u
          
            1
          
        
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        +
        
          u
          
            2
          
        
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        +
        …
        +
        
          u
          
            n
          
        
        
          
            e
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} =\sum _{i=1}^{n}u_{i}\mathbf {e} _{i}=u_{1}\mathbf {e} _{1}+u_{2}\mathbf {e} _{2}+\ldots +u_{n}\mathbf {e} _{n}}
  Her inngår to like indekser. Ved bruk av Einsteins summekonvensjon, kan dette nå skrives mer kompakt som u = ui ei. Hva de to like summasjonsindeksene kalles, spiller ingen rolle. Derfor kunne man likså godt ha skrevet u = uk ek.  Er basisvektoren «ortonormerte» slik at

  
    
      
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        =
        
          δ
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}}
  hvor δij er Kroneckers symbol, følger hver komponent fra indreproduktet u⋅ei = ui . Da kan også indreproduktet med en annen vektor v = vj ej skrives som

  
    
      
        
          u
        
        ⋅
        
          v
        
        =
        
          u
          
            i
          
        
        
          v
          
            j
          
        
        
          
            e
          
          
            i
          
        
        ⋅
        
          
            e
          
          
            j
          
        
        =
        
          u
          
            i
          
        
        
          v
          
            j
          
        
        
          δ
          
            i
            j
          
        
        =
        
          u
          
            1
          
        
        
          v
          
            1
          
        
        +
        
          u
          
            2
          
        
        
          v
          
            2
          
        
        +
        …
        
          u
          
            n
          
        
        
          v
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} =u_{i}v_{j}\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=u_{i}v_{j}\delta _{ij}=u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}+\ldots u_{n}v_{n}}
  Her opptrer to par med like indekser og skal derfor summeres over slik at man får det vanlige resultatet. De fleste utledninger og beregninger i vektoranalysen forenkles med bruk av denne konvensjonen. Dette gjelder spesielt uttrykk som inneholder vektorielle kryssprodukt for vektorer. Da kan Levi-Civita-symbolet  εijk i tre dimensjoner benyttes. For to vektorer u og v blir da

  
    
      
        
          u
        
        ×
        
          v
        
        =
        
          ε
          
            i
            j
            k
          
        
        
          u
          
            i
          
        
        
          v
          
            j
          
        
        
          
            e
          
          
            k
          
        
        =
        (
        
          u
          
            2
          
        
        
          v
          
            3
          
        
        −
        
          u
          
            3
          
        
        
          v
          
            2
          
        
        )
        
          
            e
          
          
            1
          
        
        +
        (
        
          u
          
            3
          
        
        
          v
          
            1
          
        
        −
        
          u
          
            1
          
        
        
          v
          
            3
          
        
        )
        
          
            e
          
          
            2
          
        
        +
        (
        
          u
          
            1
          
        
        
          v
          
            2
          
        
        −
        
          u
          
            2
          
        
        
          v
          
            1
          
        
        )
        
          
            e
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} =\varepsilon _{ijk}u_{i}v_{j}\mathbf {e} _{k}=(u_{2}v_{3}-u_{3}v_{2})\mathbf {e} _{1}+(u_{3}v_{1}-u_{1}v_{3})\mathbf {e} _{2}+(u_{1}v_{2}-u_{2}v_{1})\mathbf {e} _{3}}
  og tilsvarende for mer kompliserte vektorprodukt.


=== Matriser ===
Hvis vektoren  u i dette rommet blir utsatt for en lineær transformasjon gitt ved en matrise A med komponenter (Aij ), vil den transformeres til en ny vektor v = A u med komponenter som nå kan skrives som

  
    
      
        
          v
          
            i
          
        
        =
        
          A
          
            i
            j
          
        
        
          u
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle v_{i}=A_{ij}u_{j}}
  Blir dette resultatet så igjen transformert med matrisen B, oppstår vektoren w = B v  = BA u. Denne har komponentene

  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
        =
        
          B
          
            i
            j
          
        
        
          v
          
            j
          
        
        =
        
          B
          
            i
            j
          
        
        
          A
          
            j
            k
          
        
        
          u
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{i}=B_{ij}v_{j}=B_{ij}A_{jk}u_{k}}
  Resultatet av denne doble transformasjonen kan sammenfattes mer kompakt som  w = C u hvor matrisen C = BA har komponentene

  
    
      
        
          C
          
            i
            j
          
        
        =
        
          A
          
            i
            k
          
        
        
          B
          
            k
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{ij}=A_{ik}B_{kj}}
  som er regelen for matrisemultiplikasjon skrevet i denne summekonvensjonen.
Sporet eller «trasen» til matrisen C er summen av dens diagonale elementer og derfor lik med Cii . Sporet til produktet av matrisene A og B er derfor

  
    
      
        
          
            Tr
          
        
        C
        =
        
          C
          
            i
            i
          
        
        =
        
          A
          
            i
            k
          
        
        
          B
          
            k
            i
          
        
        =
        
          
            Tr
          
        
        A
        B
      
    
    {\displaystyle {\mbox{Tr}}C=C_{ii}=A_{ik}B_{ki}={\mbox{Tr}}AB}
  Herav følger den viktige egenskapen at Tr AB = Tr BA selv om matriseproduktene AB og BA i alminnelighet er forskjellige. Denne sykliske egenskapen til sporet kan på samme måte vises å være gyldig for et vilkårlig antall matriser.


== Referanser ==


== Litteratur ==
Kuptsov, L. P. (2001), «Einstein rule», i 'Hazewinkel, Michiel, Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4


== Eksterne lenker ==
Einstein Summation Notation, Rawlings, Steve (2007-02-01). «Lecture 10 – Einstein Summation Convention and Vector Identities» Arkivert 6. januar 2017 hos Wayback Machine. (PDF). Oxford University