Fjerdegradsligning

En fjerdegradsligning er en polynomligning av fjerde grad i en variabel. Den har den generelle formen 

  
    
      
        a
        
          x
          
            4
          
        
        +
        b
        
          x
          
            3
          
        
        +
        c
        
          x
          
            2
          
        
        +
        d
        x
        +
        e
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0}
  hvor koeffisientene vanligvis er rasjonale tall. Ifølge algebraens fundamentalteorem har ligningen i fire røtter som kan være reelle eller komplekse tall. Det avhenger av verdiene til de forskjellige koeffisientene.
Kalles ligningens polynom for 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle P(x)}
  , vil fjerdegradsfunksjonen 
  
    
      
        y
        =
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=P(x)}
  ; fremstille en kurve når den plottes i et kartesisk koordinatsystem. Dens røtter er da skjæringspunktene med 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -aksen 
  
    
      
        y
        =
        0
      
    
    {\displaystyle y=0}
   som tilsvarer 
  
    
      
        P
        (
        x
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle P(x)=0}
  . Da den ledende koeffisienten 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   alltid kan velges positiv, vil funksjonen gå mot uendelig når 
  
    
      
        x
        →
        ±
        ∞
      
    
    {\displaystyle x\rightarrow \pm \infty }
  . Den vil derfor ha minst ett minimum. Ligger dette under 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -aksen og derfor er negativt, har ligningen minst to reelle røtter. De to andre er da også reelle eller kompleks konjugerte av hverandre. Ligger det laveste minimum over 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  -aksen, er alle de fire røttene komplekse. De opptrer da som to kompleks konjugerte par.
Antall minima til fjerdegradsfunksjonen er bestemt ved de reelle nullpunktene til dens deriverte. Dette er en tredjegradsligning som kan ha én eller tre reelle røtter. I det første tilfellet har funksjonen bare ett minimum og derfor to reelle røtter hvis dette er negativt. I det andre tilfellet har den to minima (og et maksimum). Er begge minima negative som i illustrasjonen, har funksjonen fire reelle røtter.
Den første systematisk beregning av røttene til fjerdegradsligningen ble gjort av den italienske matematiker Ludovico Ferrari på midten av 1500-tallet. Han var en elev av Girolamo Cardano som omtalte løsningen i sitt store verk Ars Magna hvor også løsning av tredjegradsligningen ble gitt. Metoden besto i å utvide ligningen med ekstra termer med ukjente koeffisienter. Disse kunne så bestemmes ut fra betingelsen at fjerdegradsligningen skulle faktorisere i et produkt av to andregradsligninger som så kunne løses hver hvor seg. Denne fremgangsmåten for algebraiske løsninger av fjerdegradsligningen ble senere utvidet og raffinert av Descartes, Euler og Lagrange. Ligninger av høyere grad enn fjerde lar seg i alminnelighet ikke løse med algebraiske metoder.


== Metoden til Ferrari ==
Som for tredjegradsligningen kan man også for fjerdegradligningen fjerne det nest høyeste leddet. Setter man inn 
  
    
      
        x
        =
        z
        −
        b
        
          /
        
        4
        a
      
    
    {\displaystyle x=z-b/4a}
  , finner man den reduserte formen

  
    
      
        
          z
          
            4
          
        
        +
        p
        
          z
          
            2
          
        
        +
        q
        z
        +
        r
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z^{4}+pz^{2}+qz+r=0}
  med bestemte verdier for de nye koeffisientene 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  , 
  
    
      
        q
      
    
    {\displaystyle q}
   og 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  . I det spesielle tilfellet at 
  
    
      
        q
        =
        0
      
    
    {\displaystyle q=0}
  , er dette en andregradsligning for den nye variable 
  
    
      
        y
        =
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y=z^{2}}
  , og man kan med en gang finne de fire røttene til den opprinnelige fjerdegradsligningen.
I det generelle tilfellet kan man samle de to kvadratiske leddene og skrive ligningen som

  
    
      
        
          
            (
          
        
        
          z
          
            2
          
        
        +
        
          
            p
            2
          
        
        
          
            
              )
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              p
              
                2
              
            
            4
          
        
        −
        q
        z
        −
        r
         
        .
      
    
    {\displaystyle {\Big (}z^{2}+{p \over 2}{\Big )}^{2}={p^{2} \over 4}-qz-r\ .}
  Ved å legge til en foreløbig ukjent størrelse 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   i parentesen på venstre side, kan man lage et kvadrat av høyresiden. Det gir

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    (
                  
                
                
                  z
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    p
                    2
                  
                
                +
                u
                
                  
                    
                      )
                    
                  
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    (
                  
                
                
                  z
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    p
                    2
                  
                
                
                  
                    
                      )
                    
                  
                  
                    2
                  
                
                +
                2
                u
                
                  
                    (
                  
                
                
                  z
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    p
                    2
                  
                
                +
                u
                
                  
                    )
                  
                
                +
                
                  u
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                2
                u
                
                  z
                  
                    2
                  
                
                −
                q
                z
                +
                
                  
                    
                      p
                      
                        2
                      
                    
                    4
                  
                
                −
                r
                +
                u
                p
                +
                
                  u
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\Big (}z^{2}+{p \over 2}+u{\Big )}^{2}&={\Big (}z^{2}+{p \over 2}{\Big )}^{2}+2u{\Big (}z^{2}+{p \over 2}+u{\Big )}+u^{2}\\&=2uz^{2}-qz+{p^{2} \over 4}-r+up+u^{2}\\\end{aligned}}}
  Den kvadratiske formen i 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   på høyre side er nå et fullstendig kvadrat når diskriminanten er null. Det gir betingelsen

  
    
      
        8
        
          u
          
            3
          
        
        +
        8
        p
        
          u
          
            2
          
        
        +
        (
        2
        
          p
          
            2
          
        
        −
        8
        r
        )
        u
        −
        
          q
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 8u^{3}+8pu^{2}+(2p^{2}-8r)u-q^{2}=0}
  som er en tredjegradsligning for den ukjente størrelsen 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  . Dette er en hjelpeligning som ofte omtales som resolventen til den gitte ligningen. Benytter man en av de tre røttene for 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
  , kan dermed høyresiden skrives som

  
    
      
        2
        u
        
          z
          
            2
          
        
        −
        q
        z
        +
        
          
            
              p
              
                2
              
            
            4
          
        
        −
        r
        +
        u
        p
        +
        
          u
          
            2
          
        
        =
        
          
            (
          
        
        z
        
          
            2
            u
          
        
        −
        
          
            q
            
              
                8
                u
              
            
          
        
        
          
            
              )
            
          
          
            2
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle 2uz^{2}-qz+{p^{2} \over 4}-r+up+u^{2}={\Big (}z{\sqrt {2u}}-{q \over {\sqrt {8u}}}{\Big )}^{2}\ .}
  På denne måten er hele fjerdegradsligningen redusert til en ligning mellom to kvadrat. Derved er hele problemet forenklet til løsningen av de to resulterende andregradsligningene

  
    
      
        
          z
          
            2
          
        
        +
        
          
            p
            2
          
        
        +
        u
        =
        ±
        
          
            (
          
        
        z
        
          
            2
            u
          
        
        −
        
          
            q
            
              
                8
                u
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle z^{2}+{p \over 2}+u=\pm {\Big (}z{\sqrt {2u}}-{q \over {\sqrt {8u}}}{\Big )}\ .}
  Til sammen gir disse de fire søkte røttene til den opprinnelige ligningen. De vil være uavhengig av hvilken av de tre røttene 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   til resolventen som man velger å gjøre bruk av.


== Eksempel ==
Som et typisk eksempel på bruk av Ferraris løsningsmetode kan man bruke ligningen 
  
    
      
        
          z
          
            4
          
        
        −
        10
        
          z
          
            2
          
        
        +
        4
        z
        +
        8
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z^{4}-10z^{2}+4z+8=0}
   som også finnes som et eksempel i Cardanos Ars Magna. Her er koeffisientene 
  
    
      
        p
        =
        −
        10
      
    
    {\displaystyle p=-10}
  , 
  
    
      
        q
        =
        4
      
    
    {\displaystyle q=4}
   og 
  
    
      
        r
        =
        8
      
    
    {\displaystyle r=8}
  . Dermed blir resolventen

  
    
      
        
          u
          
            3
          
        
        −
        10
        
          u
          
            2
          
        
        +
        17
        u
        −
        2
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle u^{3}-10u^{2}+17u-2=0.}
  Dette er en tredjegradsligning som har tre reelle løsninger. En av dem er 
  
    
      
        u
        =
        2
      
    
    {\displaystyle u=2}
   som kan lett verifiseres ved å sette inn. Med denne verdien står man dermed igjen med å løse de to andregradsligningene

  
    
      
        
          z
          
            2
          
        
        −
        3
        =
        ±
        (
        2
        z
        −
        1
        )
         
        .
      
    
    {\displaystyle z^{2}-3=\pm (2z-1)\ .}
  Den første 
  
    
      
        
          z
          
            2
          
        
        −
        2
        z
        −
        2
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z^{2}-2z-2=0}
   har løsningene 
  
    
      
        z
        =
        1
        ±
        
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle z=1\pm {\sqrt {3}}}
  , mens den andre 
  
    
      
        
          z
          
            2
          
        
        +
        2
        z
        −
        4
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z^{2}+2z-4=0}
   har løsningene 
  
    
      
        z
        =
        −
        1
        ±
        
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle z=-1\pm {\sqrt {5}}}
  . Dette er de fire reelle løsningene til den gitte fjerdegradsligningen.
De to andre røttene til resolventen er 
  
    
      
        u
        =
        4
        ±
        
          
            15
          
        
      
    
    {\displaystyle u=4\pm {\sqrt {15}}}
  . Brukes en av disse i stedet for roten 
  
    
      
        u
        =
        2
      
    
    {\displaystyle u=2}
   som over, ville man igjen finne de same fire røttene for den opprinnelige ligningen.


== Se også ==
Andregradsligning
Tredjegradsligning
Femtegradsligning


== Referanser ==


== Litteratur ==
C.B. Boyer: A history of mathematics,  John Wiley & Sons Inc, New York (1968). ISBN 0-691-02391-3.


== Eksterne lenker ==
MacTutor, Quadratic, cubic and quartic equations, University of St. Andrews, Scotland.