Stirlings formel

Stirlings formel er en approksimasjon til fakultetsfunksjonen for store verdier av argumentet  oppkalt etter den skotske matematiker James Stirling. Mest vanlig er det å skrive formelen uttrykt ved logaritmefunksjonen på den korte formen

  
    
      
        ln
        ⁡
        n
        !
        =
        n
        ln
        ⁡
        n
        −
        n
      
    
    {\displaystyle \ln n!=n\ln n-n}
  hvor man utelater termer av størrelsesorden ln n. Ekvivalent kan man derfor skrive at n ! = nn e-n.
Navnet på denne formelen er til en viss grad misvisende da den først ble funnet av den franske matematiker Abraham de Moivre som viste at

  
    
      
        n
        !
        =
        C
        
          n
          
            n
            +
            1
            
              /
            
            2
          
        
        
          e
          
            −
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle n!=Cn^{n+1/2}e^{-n}}
  hvor C er en numerisk konstant med en verdi av størrelsesorden en. Det var Stirling som klarte å beregne denne konstanten og fant C = √(2π ) = 2,5066... I de aller fleste tilfeller av praktisk betydning er resultatet til de Moivre mer enn godt nok.


== Enkel utledning ==
Fra definisjonen for  n fakultet har man at

  
    
      
        ln
        ⁡
        n
        !
        =
        ln
        ⁡
        1
        +
        ln
        ⁡
        2
        +
        ln
        ⁡
        3
        +
        ⋯
        +
        ln
        ⁡
        n
      
    
    {\displaystyle \ln n!=\ln 1+\ln 2+\ln 3+\dots +\ln n}
  Når argumentet n er stort, kan man nå erstatte summasjonen med en integrasjon,

  
    
      
        ln
        ⁡
        n
        !
        =
        
          ∫
          
            1
          
          
            n
          
        
        
        d
        x
        ln
        ⁡
        x
        =
        
          
            |
            
              x
              ln
              ⁡
              x
              −
              x
            
            |
          
          
            1
          
          
            n
          
        
        =
        n
        ln
        ⁡
        n
        −
        n
        +
        1
      
    
    {\displaystyle \ln n!=\int _{1}^{n}\!dx\ln x=\left|x\ln x-x\right|_{1}^{n}=n\ln n-n+1}
  Det siste ett-tallet her kan neglisjeres i denne approksimasjonen hvor n er mye større enn 1.


== Systematisk utledning ==
En mer nøyaktig utledning av formelen kan finnes ved bruk av gammafunksjonen til Euler. Den tilsier at

  
    
      
        n
        !
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        x
        
        
          x
          
            n
          
        
        
          e
          
            −
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle n!=\int _{0}^{\infty }\!dx\,x^{n}e^{-x}}
  Nå kan man skrive at  xn = en lnx slik at integralet er på formen

  
    
      
        I
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        x
        
          e
          
            −
            f
            (
            x
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle I=\int _{0}^{\infty }\!dxe^{-f(x)}}
  med f(x) = x - n lnx. Denne funksjonen har et minimum for x0 = n og antar positive verdier for større verdier av argumentet og når dette nærmer seg null. Verdien av integralet er derfor med stor nøyaktighet bestemt av hvordan funksjonen  f(x) varierer rundt x0. Dette kommer frem fra en Taylor-utvikling av funksjonen rundt dette punktet,

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        +
        
          f
          ′
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        )
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          f
          ″
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        (
        x
        −
        
          x
          
            0
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+{1 \over 2}f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}+\cdots }
  Da  f(x) har et minimum for x =  x0 , er den førstederiverte f' (x0) = 0. Første, ikke-trivielle ledd i Taylor-utviklingen er da gitt verd den andrederiverte f" (x0). Ser vi i denne omgang bort fra høyere ordens ledd, er derved integralet gitt ved

  
    
      
        I
        =
        
          e
          
            −
            f
            (
            
              x
              
                0
              
            
            )
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        x
        
          e
          
            −
            (
            1
            
              /
            
            2
            )
            
              f
              ″
            
            (
            
              x
              
                0
              
            
            )
            (
            x
            −
            
              x
              
                0
              
            
            
              )
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle I=e^{-f(x_{0})}\int _{0}^{\infty }\!dxe^{-(1/2)f''(x_{0})(x-x_{0})^{2}}}
  I denne tilnærmelsen kan vi nå med tilsvarende nøyaktighet ta den nedre integrasjonsgrensen til - ∞  slik at integralet antar formen

  
    
      
        
          I
          
            0
          
        
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        x
        
          e
          
            −
            (
            1
            
              /
            
            2
            )
            a
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                2
                π
              
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{0}=\int _{-\infty }^{\infty }\!dxe^{-(1/2)ax^{2}}={\sqrt {2\pi  \over a}}}
  som bærer navnet Gauss-integralet. 
For funksjonen f(x) som opptrer her, er f(x0) = n - n lnn og f" (x0) =  1/n. Dermed oppnås resultatet

  
    
      
        n
        !
        =
        
          
            2
            π
            n
          
        
        
          n
          
            n
          
        
        
          e
          
            −
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}n^{n}e^{-n}}
  og kan med rette kalles Stirlings formel. Konstanten C som han regnet ut, er ikke noe annet enn verdien av integralet til Gauss.
Denne metoden tillater også beregning av høyere ordens korreksjoner til formelen. Tar man med neste ledd i Taylor-utviklingen som ble benyttet, finner man

  
    
      
        n
        !
        =
        
          
            2
            π
            n
          
        
        
          n
          
            n
          
        
        
          e
          
            −
            n
          
        
        
          (
          
            1
            +
            
              
                1
                
                  12
                  n
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}n^{n}e^{-n}\left(1+{1 \over 12n}\right)}
  Her kan man nå benytte at 1 + 1/12n ≈ √(1 + 1/6n) som tillater å skrive formelen på formen

  
    
      
        n
        !
        =
        
          
            (
            
              
                n
                e
              
            
            )
          
          
            n
          
        
        
          
            
              
                (
              
            
            2
            n
            +
            1
            
              /
            
            3
            
              
                )
              
            
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle n!=\left({n \over e}\right)^{n}{\sqrt {{\big (}2n+1/3{\big )}\pi }}}
  Den er nå nøyaktig selv for små verdier av argumentet n. Ved å sette inn numeriske verdier, finner man at for n > 2 gir den et resultat som har en nøyaktighet bedre enn 0,1 %. For større verdier av n, blir nøyaktigheten tilsvarende enda bedre.


== Eksterne lenker ==
Stirlings Approximation in MathWorld