Abels konvergensteorem

Abels konvergensteorem i matematikk relaterer grenseverdien for en potensrekke til summen av koeffisientene.  Teoremet er oppkalt etter den norske matematikeren Niels Henrik Abel.


== Teorem ==
La a = {ai: i ≥ 0} være en vilkårlig følge av reelle eller komplekse tall, 
og la

  
    
      
        
          G
          
            a
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          z
          
            i
          
        
        
      
    
    {\displaystyle G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}z^{i}\!}
  være potensrekken med koeffisientene a.  Anta at rekken 

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\!}
   konvergerer.  Da

  
    
      
        
          lim
          
            z
            →
            
              1
              
                −
              
            
          
        
        
          G
          
            a
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        .
        
        (
        ∗
        )
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{z\rightarrow 1^{-}}G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}.\qquad (*)\!}
  I det spesielle tilfellet da alle koeffisientene ai
er reelle og ai ≥ 0 for alle i, vil uttrykket overfor

  
    
      
        (
        ∗
        )
      
    
    {\displaystyle (*)}
   gjelde også når rekken 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}\!}
   ikke konvergerer. I så tilfelle er begge sidene av
uttrykket lik +∞.


== Bemerkning ==
I en mer generell versjon av dette teoremet gjelder følgende: hvis r er et tilfeldig reelt tall ulik null
og rekken 
  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          r
          
            i
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=0}^{\infty }a_{i}r^{i}\!}
   konvergerer for dette tallet, da følger det at 

  
    
      
        
          lim
          
            z
            →
            r
          
        
        
          G
          
            a
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          r
          
            i
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{z\to r}G_{a}(z)=\sum _{i=0}^{\infty }a_{i}r^{i}\!}
  forutsatt at vi tolker grensen for dette uttrykket som en énsidig grense, 
fra venstre hvis r er positiv og fra høyre hvis r er negativ.


== Eksempler ==
La 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            ≥
            1
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              
                x
                
                  n
                
              
            
            n
          
        
        =
        log
        ⁡
        (
        1
        +
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle f(x)=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}x^{n}}{n}}=\log(1+x).}
   Da 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            ≥
            1
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}}
   konvergerer (av konvergenskriteriet for alternerende rekker,) følger

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            
              1
              
                −
              
            
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        log
        ⁡
        2
        =
        
          ∑
          
            n
            ≥
            1
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            n
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}f(x)=\log 2=\sum _{n\geq 1}{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}.}
  
La 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            ≥
            0
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
              
                x
                
                  2
                  n
                  +
                  1
                
              
            
            
              2
              n
              +
              1
            
          
        
        =
        arctan
        ⁡
        (
        x
        )
        .
      
    
    {\displaystyle g(x)=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{2n+1}}=\arctan(x).}
   Igjen følger det av konvergenskriteriet for alternerende rekker, at 
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            ≥
            0
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              2
              n
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}}
   konvergerer, og at

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            
              1
              
                −
              
            
          
        
        g
        (
        x
        )
        =
        arctan
        ⁡
        (
        1
        )
        =
        
          
            π
            4
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            ≥
            0
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              2
              n
              +
              1
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 1^{-}}g(x)=\arctan(1)={\frac {\pi }{4}}=\sum _{n\geq 0}{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}.}
  


== Anvendelsesområder ==
Anvendelsen av Abels teorem er knyttet til at den muliggjør å finne grensen til en potensrekke mens dets argument (dvs. z) nærmer seg 1 nedenfra, selv i tilfeller der konvergens radius R, for potensrekke er lik 1 og man ikke kan fastslå om grensen burde være endelig eller ikke. Se for eksempel binomialrekkene.
Ga(z) kalles den genererende funksjon for sekvensen a.  Abels teorem er ofte nyttig ved generering av funksjoner med sekvenser av reelle ikke-negative verdier, som sannsynlighetsgenererende funksjoner.  Den er særlig nyttig i teorien om Galton-Watson prosesser.


== Beslektede konsepter ==
Konverse teoremer til et som Abels kalles Tauberiske teoremer: det finnes ingen nøyaktig konvers, kun resultater som betinger en hypotese. Fagområdet divergerende rekker og deres summasjonsmetoder inneholder mange teoremer av abelsk type og av tauberisk type.


== Eksterne lenker ==
Abel summeringsevne på PlanetMath (en mer generell redegjørelse for Abelske teoremer av denne typen)
A.A. Zakharov (2001), Abel summeringsmetode, i Hazewinkel, Michiel, Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104