Tangenssetningen

I trigonometrien er tangenssetningen en setning om forbindelsen mellom tangens til to vinkler av en trekant og lengdene av de motstående sidene.
I figur 1 er a, b og c lengdene av tre sider av trekanten, og α, β og γ er henholdsvis vinklene motstående disse sidene. Tangenssetningen sier at

  
    
      
        
          
            
              a
              −
              b
            
            
              a
              +
              b
            
          
        
        =
        
          
            
              tan
              ⁡
              [
              
                
                  1
                  2
                
              
              (
              α
              −
              β
              )
              ]
            
            
              tan
              ⁡
              [
              
                
                  1
                  2
                
              
              (
              α
              +
              β
              )
              ]
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}
  Tangenssetningen er, selv om den ikke er så vidt kjent som sinussetningen eller cosinussetningen, like nyttig, og kan brukes i alle tilfeller der to sider og en vinkel, eller to vinkler og en side, er kjent.
Tangenssetningen for sfæriske trekanter ble beskrevet i det 13. århundre av den persiske matematikeren Nasir al-Din al-Tusi (1201–74), som også presenterte sinussetningen for trekanter i planet i sitt fembinds verk Treatise on the Quadrilateral.


== Bevis ==
For å bevise tangenssetningen kan vi starte med sinussetningen:

  
    
      
        
          
            a
            
              sin
              ⁡
              α
            
          
        
        =
        
          
            b
            
              sin
              ⁡
              β
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}.}
  La

  
    
      
        d
        =
        
          
            a
            
              sin
              ⁡
              α
            
          
        
        =
        
          
            b
            
              sin
              ⁡
              β
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle d={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }},}
  slik at

  
    
      
        a
        =
        d
        sin
        ⁡
        α
        
           and 
        
        b
        =
        d
        sin
        ⁡
        β
        .
        
      
    
    {\displaystyle a=d\sin \alpha {\text{ and }}b=d\sin \beta .\,}
  Det følger at

  
    
      
        
          
            
              a
              −
              b
            
            
              a
              +
              b
            
          
        
        =
        
          
            
              d
              sin
              ⁡
              α
              −
              d
              sin
              ⁡
              β
            
            
              d
              sin
              ⁡
              α
              +
              d
              sin
              ⁡
              β
            
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              α
              −
              sin
              ⁡
              β
            
            
              sin
              ⁡
              α
              +
              sin
              ⁡
              β
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {d\sin \alpha -d\sin \beta }{d\sin \alpha +d\sin \beta }}={\frac {\sin \alpha -\sin \beta }{\sin \alpha +\sin \beta }}.}
  Ved å bruke trigonometriske identiteter, er faktorformelen for sinus

  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        α
        )
        ±
        sin
        ⁡
        (
        β
        )
        =
        2
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                α
                ±
                β
              
              2
            
          
          )
        
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                α
                ∓
                β
              
              2
            
          
          )
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \sin(\alpha )\pm \sin(\beta )=2\sin \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)\cos \left({\frac {\alpha \mp \beta }{2}}\right),\;}
  vi får

  
    
      
        
          
            
              a
              −
              b
            
            
              a
              +
              b
            
          
        
        =
        
          
            
              2
              sin
              ⁡
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              
                (
                
                  α
                  −
                  β
                
                )
              
              cos
              ⁡
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              
                (
                
                  α
                  +
                  β
                
                )
              
            
            
              2
              sin
              ⁡
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              
                (
                
                  α
                  +
                  β
                
                )
              
              cos
              ⁡
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
              
                (
                
                  α
                  −
                  β
                
                )
              
            
          
        
        =
        
          
            
              tan
              ⁡
              [
              
                
                  1
                  2
                
              
              (
              α
              −
              β
              )
              ]
            
            
              tan
              ⁡
              [
              
                
                  1
                  2
                
              
              (
              α
              +
              β
              )
              ]
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {a-b}{a+b}}={\frac {2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)}{2\sin {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha +\beta \right)\cos {\tfrac {1}{2}}\left(\alpha -\beta \right)}}={\frac {\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )]}{\tan[{\frac {1}{2}}(\alpha +\beta )]}}.}
  Som et alternativ til å bruke identiteten for summen og differansen av to sinusverdier, kan man sitere den trigonometriske identiteten

  
    
      
        tan
        ⁡
        
          (
          
            
              
                α
                ±
                β
              
              2
            
          
          )
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              α
              ±
              sin
              ⁡
              β
            
            
              cos
              ⁡
              α
              +
              cos
              ⁡
              β
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha \pm \sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}}
  (se formelen for tangens av halve vinkelen).


== Se også ==
Sinussetningen
Cosinussetningen
Mollweides formel


== Fotnoter ==