Simpleks (matematikk)

Et simpleks er i matematikken en generalisering av en trekant i to dimensjoner eller et tetraeder i tre dimensjoner.  Det gir et n-simpleks som en konveks polytop i n dimensjoner. Det har n + 1 hjørner  og sideflater som er (n -1)-simplekser. Simplekset sies å være regulært når det tilsvarer en regulær polytop. Et linjestykke betraktes som et 1-simpleks hvor sideflatene er de to endepunktene. Det er i overensstemmelse med at et 0-simpleks er et enkelt punkt og derfor ingen sideflater..
Trekanter eller 2-simplekser kan benyttes i triangulering til å undersøke de geometriske og topologiske egenskapene til forskjellige flater og geografiske landskap. På en lignende måte kan simplekser benyttes som byggestener ved konstruksjon av mer kompliserte topologiske rom eller komplekser som igjen kan benyttes for å karakterisere mer generelle mangfoldigheter. Dette er en sentral del av algebraisk topologi som spiller en viktig rolle i moderne matematikk og omtales under det mer generell begrep homologi.


== Definisjon ==
Generelt kan et k-simpleks defineres som en konveks omhylning av k + 1 punkter i et affint rom An med dimensjon n ≥ k. Når et affint uavhengig punkt legges til et k-simpleks, kan det kombineres med de eksisterende punktene slik at et (k + 1)-simpleks dannes. For eksempel vil et 0-simplex i punktet A kombineres med et annet punkt B og danne 1-simplekset [A,B]. Det kan fremstilles som et linjestykke mellom disse to punktene. Hvert punkt P på simplekset er gitt ved den affine kombinasjonen P = aA + bB hvor de affine koordinatene oppfyller betingelsen a + b = 1 samtidig som de begge er positive.Sammen med et affint uavhengig punkt C kan man nå danne 2-simplekset [A,B,C] med tre sidekanter [A,B], [B,C] og [C,A] som er 1-simplekser. Det inneholder punkt P = aA + bB + cC hvor nå koordinatene oppfyller a + b + c = 1. Slik kan man fortsette å bygge opp nye simplekser med stadig større dimensjoner.
I allminnelighet er et  k-simpleks bygget opp av k + 1 affint uavhengige punkt P0, P1, P2, ... ,Pk slik at det inneholder alle punkt

  
    
      
        P
        =
        
          λ
          
            0
          
        
        
          P
          
            0
          
        
        +
        
          λ
          
            1
          
        
        
          P
          
            1
          
        
        +
        
          λ
          
            2
          
        
        
          P
          
            2
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          λ
          
            k
          
        
        
          P
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle P=\lambda _{0}P_{0}+\lambda _{1}P_{1}+\lambda _{2}P_{2}+\cdots +\lambda _{k}P_{k}}
  hvor koeffisientene må oppfylle betingelsen  0 ≤ λ0 + λ1 + λ2 + ... + λk ≤ 1. De er  derfor barysentriske koordinater for punktet P. I tillegg må de alle være positive som er nødvendig for at man har en  konveks omhylning som gir k-simplekset [P0,P1,P2,...,Pk]. Firkantparentesen betegner at rekkefølgen av punktene ikke spiller noen rolle i definisjonen.
Antall k-simplekser med mindre dimensjon i et n-simpleks kan regnes ut med enkel kombinatorikk. Da dette inneholder n + 1 punkter, må man finne ut hvor mange måter man kan plukke ut k + 1 punkter blant disse. Det er gitt ved binomialkoeffisienten 

  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              
                n
                +
                1
              
              
                k
                +
                1
              
            
            
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              (
            
            
              n
              
                k
                +
                1
              
            
            
              )
            
          
        
        +
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {n+1 \choose k+1}={n \choose k+1}+{n \choose k}}
  hvor de to leddene på høyre side viser hvordan dette tallet kommer frem ved å betrakte n-simplekset som et (n - 1)-simpleks med ett ekstra punkt lagt til. For eksempel, ved å legge til ett ekstra punkt til et 2-simpleks med tre sidekanter, får man et 3-simpleks. Antall sidekanter i dette er lik antall opprinnelige kanter pluss de tre kantene som dannes fra det nye punktet til de tre hjørnene i 2-simplekset. Det gir i alt 3 + 3 = 6 sidekanter som er det samme antall som i et tetraeder.


=== Orientering ===
Punktene i et simpleks [P0,P1,P2,...,Pk] har i utgangspunktet ingen merkelapper slik at deres rekkefølge er likegyldig. Men ofte kan det være nyttig å innføre en orientering av et simpleks. For et eksempel kan man gi 1-simplekset [A,B] en retning fra punktet A til punktet B ved å betegne det som (A,B). Da vil simplekset (B,A) være orientert fra B mot A slik at (B,A) = - (A,B). Det skifter fortegn ved ombytte av to punkter.Med tre punkter kan man danne 2-simplekset [A,B,C] som likså godt kan skrives som seks andre kombinasjoner [B,A,C] = [C,B,A] = [B,C,A] og så videre. Men med orientering kan de deles opp i to klasser med motsatt orientering. Da kan man si at  (A,B,C) = - (C,B,A) =  (C,A,B)  har samme, positive orientering og likedan for (B,C,A). Derimot vil da (C,B,A), (B,A,C) og (A,C,B) representere det samme 2-simplekset og ha motsatt orientering. På samme måte kan et generelt k-simpleks [P0,P1,P2,...,Pk] gis en positiv orientering (P0,P1,P2,...,Pk) eller en negativ orientering ved å beytte om to punkt i symbolet. Dette tilsvarer at et visst antall objekter kan deles opp i to grupper som finnes ved ett like eller ett ulike antall permutasjoner av objektene. Et punkt P er et 0-simpleks som mer korrekt kan skrives som (P), men begge notasjoner benyttes.


== Komplekser og kjeder ==

To simplekser med ikke nødvendigvis samme dimensjon kan kobles sammen til ett mer komplisert objekt ved å dele et simpleks med samme dimensjon. Et slikt geometrisk objekt kalles generelt for et simpleksialt kompleks. Tar man for eksempel 2-simplekset (A,B,C) og 1-simplekset (P,D) som man lar få samme hjørne C = P, så skriver man dette komplekset som (A,B,C) + (C,D). Geometrisk ser det ut som en trekant med et linjestykke koblet til et hjørne.En spesiell viktig rolle har komplekser som er slike summer av simplekser med samme dimensjon. De kalles for kjeder. Består den av k-simplekser, har man en k-kjede. For eksempel beskriver summen (A,B) + (B,C)  en 1-kjede som danner en brukket linje. Den forbinder punktene A og C med linjestykkene AB og BC. Likedan kan man kombinere to 3-simplekser slik at de danner ett oktaeder ved at de deler en felles sideflate. Derfor kan man si at det er en liten 3-kjede. Man kan konstruere slike kjeder ut av alle simplekser man har til rådighet.
Når en kjede er lukket, kalles den for en sykel. Geometrisk ser den ut som en løkke hvor endene er knyttet sammen. Består den av k-simplekser, har man med en k-sykel å gjøre.


== Randen til et simpleks ==
Sykler skiller seg fra kjeder ved at de ikke har noen endepunkt eller rand mer generelt. Randen til linjestykket som representerer et 1-simpleks, er gitt ved dets to endepunkter som begge er 0-simplekser. På samme måte er randen ov 2-simplekset (A,B,C) forbundet med omkretsen av den tilsvarende trekanten som er gitt ved 1-kjeden  (A,B) + (B,C) + (C,A). Den er lukket og er derfor en 1-sykel. Dimensjonen til randen av et simpleks er en mindre enn dimensjonen til selve simplekset.Matematisk kan man beregne en rand ved å innføre en randoperator ∂. Dens virkning på et generelt k-simpleks  er definert ved

  
    
      
        ∂
        (
        
          P
          
            0
          
        
        ,
        
          P
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        ,
        
          P
          
            j
          
        
        ,
        .
        .
        ,
        
          P
          
            k
            −
            1
          
        
        ,
        
          P
          
            k
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            0
          
          
            k
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            j
          
        
        (
        
          P
          
            0
          
        
        ,
        
          P
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        ,
        
          P
          
            j
            −
            1
          
        
        ,
        
          P
          
            j
            +
            1
          
        
        ,
        .
        .
        ,
        
          P
          
            k
            −
            1
          
        
        ,
        
          P
          
            k
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \partial (P_{0},P_{1},..,P_{j},..,P_{k-1},P_{k})=\sum _{j=0}^{k}(-1)^{j}(P_{0},P_{1},..,P_{j-1},P_{j+1},..,P_{k-1},P_{k})}
  hvor simpleksene på høyre side inneholder ett mindre punkt og har derfor en dimensjon som også er en mindre. Operasjonen er definert slik at når den for eksempel virker på et 2-simpleks (A,B,C), gir den

  
    
      
        ∂
        (
        A
        ,
        B
        ,
        C
        )
        =
        (
        B
        ,
        C
        )
        −
        (
        A
        ,
        C
        )
        +
        (
        A
        ,
        B
        )
        =
        (
        A
        ,
        B
        )
        +
        (
        B
        ,
        C
        )
        +
        (
        C
        ,
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \partial (A,B,C)=(B,C)-(A,C)+(A,B)=(A,B)+(B,C)+(C,A)}
  som forventet. På samme måten er randen av 1-simplekset (A,B) nå gitt som

  
    
      
        ∂
        (
        A
        ,
        B
        )
        =
        B
        −
        A
      
    
    {\displaystyle \partial (A,B)=B-A}
  Det er i overestemmelse med at det er orientert fra A til B.
Man kan på samme måte også beregne randen av mer kompliserte kjeder For eksempel er randen til 2-kjeden (A,B,C) + (C,B,D) som består av to 2-simplekser med samme orientering og som deler siden (B,C). Det har nå randen

  
    
      
        ∂
        (
        A
        ,
        B
        ,
        C
        )
        +
        ∂
        (
        C
        ,
        B
        ,
        D
        )
        =
        (
        A
        ,
        B
        )
        +
        (
        B
        ,
        D
        )
        +
        (
        D
        ,
        C
        )
        +
        (
        C
        ,
        A
        )
      
    
    {\displaystyle \partial (A,B,C)+\partial (C,B,D)=(A,B)+(B,D)+(D,C)+(C,A)}
  som består av de fire ytre sidene som ikke er delt i den geometriske figuren.


=== Randen av en rand er alltid null ===

En sykel representerer et lukket, geometrisk objekt og har ingen rand. For eksempel kan man betrakte randen (A,B) + (B,C) +  (C,A) til 2-simplekset (A,B,C) som er en 1-sykel. Dets rand er nå

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ∂
                  
                    2
                  
                
                (
                A
                ,
                B
                ,
                C
                )
              
              
                
                =
                ∂
                (
                A
                ,
                B
                )
                +
                ∂
                (
                B
                ,
                C
                )
                +
                ∂
                (
                C
                ,
                A
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                B
                −
                A
                +
                C
                −
                B
                +
                A
                −
                C
                =
                0
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\partial ^{2}(A,B,C)&=\partial (A,B)+\partial (B,C)+\partial (C,A)\\&=B-A+C-B+A-C=0\end{aligned}}}
  Fra definisjonen av virkningen til randoperatoren, kan man vise at dette er alltid tilfelle. Randen av en rand vil alltid være null. På kompakt form kan denne viktige, homologiske setningen skrives som

  
    
      
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
        
          ∂
          
            2
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\partial ^{2}=0}
  da den gjelder uansett hva denne doble operasjonen virker på.Som en illustrasjon kan man betrakte randen til 3-simplekset (A,B,C,D)

  
    
      
        ∂
        (
        A
        ,
        B
        ,
        C
        ,
        D
        )
        =
        (
        B
        ,
        C
        ,
        D
        )
        −
        (
        A
        ,
        C
        ,
        D
        )
        +
        (
        A
        ,
        B
        ,
        D
        )
        −
        (
        A
        ,
        B
        ,
        C
        )
      
    
    {\displaystyle \partial (A,B,C,D)=(B,C,D)-(A,C,D)+(A,B,D)-(A,B,C)}
  som består av de fire sideflatene i det tilsvarende tetraederet. Randen av denne 2-kjeden er nå

  
    
      
        
          ∂
          
            2
          
        
        (
        A
        ,
        B
        ,
        C
        ,
        D
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \partial ^{2}(A,B,C,D)=0}
  som følger på samme måte som tidligere, bare denne gangen med flere 1-simpleks som gjensidig kansellerer hverandre i summen.


== Se også ==
Topologi


== Referanser ==


== Litteratur ==
A. Hatcher, Algebraic Topology, Cambridge University Press, England (2002). ISBN 0-521-79540-0.


== Eksterne lenker ==
E.W. Weisstein, Simplex, Wolfram MathWorld
G. Quick, Algebraic Topology, forelesninger MA3403, NTNU (2018).