Deltametoden

Deltametoden er innen statistikk en metode for å lage en tilnærmet sannsynlighetsfordeling for funksjonen av en testobservator. Metoden kan også regnes som en generalisering av sentralgrenseteoremet,


== Envariabel deltametode ==
Anta en følge av tilfeldige variable 
  
    
      
        
          X
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{n}}
   som tilfredsstiller

  
    
      
        
          
            n
          
        
        (
        
          X
          
            n
          
        
        −
        θ
        )
        
          
            →
            
              L
            
          
        
        N
        (
        0
        ,
        
          σ
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {n}}(X_{n}-\theta ){\xrightarrow {L}}N(0,\sigma ^{2})}
  
der 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
   og 
  
    
      
        
          σ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma ^{2}}
   er konstanter, og 
  
    
      
        
          
            →
            
              L
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\xrightarrow {L}}}
   betyr konvergens i distribusjon/lov. Anta at 
  
    
      
        g
        (
        )
      
    
    {\displaystyle g()}
   er en kontinuerlig funksjon, så vil

  
    
      
        
          
            n
          
        
        (
        g
        (
        
          X
          
            n
          
        
        )
        −
        g
        (
        θ
        )
        )
        
          
            →
            
              L
            
          
        
        N
        (
        0
        ,
        
          σ
          
            2
          
        
        [
        
          g
          ′
        
        (
        θ
        )
        
          ]
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {n}}(g(X_{n})-g(\theta )){\xrightarrow {L}}N(0,\sigma ^{2}[g'(\theta )]^{2})}
  


== Bevis i envariabeltilfellet ==
For en kontinuerlig funksjon 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
  , sier middelverdisetningen at 

  
    
      
        g
        (
        
          X
          
            n
          
        
        )
        =
        g
        (
        θ
        )
        +
        
          g
          ′
        
        (
        
          
            
              θ
              ~
            
          
        
        )
        (
        
          X
          
            n
          
        
        −
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle g(X_{n})=g(\theta )+g'({\tilde {\theta }})(X_{n}-\theta )}
  
hvor 
  
    
      
        
          
            
              θ
              ~
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\theta }}}
   ligger mellom 
  
    
      
        
          X
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{n}}
   og 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  . Siden 
  
    
      
        
          X
          
            n
          
        
        
          
            →
            
              P
            
          
        
        θ
      
    
    {\displaystyle X_{n}{\xrightarrow {P}}\theta }
   må også 
  
    
      
        
          
            
              θ
              ~
            
          
        
        
          
            →
            
              P
            
          
        
        θ
      
    
    {\displaystyle {\tilde {\theta }}{\xrightarrow {P}}\theta }
  . Hvis vi omarrangerer likningen litt og ganger med 
  
    
      
        
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {n}}}
   får vi

  
    
      
        
          
            n
          
        
        (
        g
        (
        
          X
          
            n
          
        
        )
        −
        g
        (
        θ
        )
        )
        =
        
          g
          ′
        
        (
        θ
        )
        
          
            n
          
        
        (
        
          X
          
            n
          
        
        −
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {n}}(g(X_{n})-g(\theta ))=g'(\theta ){\sqrt {n}}(X_{n}-\theta )}
  
og ettersom 
  
    
      
        
          
            n
          
        
        (
        
          X
          
            n
          
        
        −
        θ
        )
        
          
            →
            
              P
            
          
        
        N
        (
        0
        ,
        
          σ
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {n}}(X_{n}-\theta ){\xrightarrow {P}}N(0,\sigma ^{2})}
   må 
  
    
      
        
          g
          ′
        
        (
        θ
        )
        
          
            n
          
        
        (
        
          X
          
            n
          
        
        −
        θ
        )
        
          
            →
            
              P
            
          
        
        N
        (
        0
        ,
        
          σ
          
            2
          
        
        [
        
          g
          ′
        
        (
        θ
        )
        
          ]
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle g'(\theta ){\sqrt {n}}(X_{n}-\theta ){\xrightarrow {P}}N(0,\sigma ^{2}[g'(\theta )]^{2})}
   og beviset er fullført.


== Eksempel ==
Man ønsker ofte å utføre hypotesetester for parametere i sannsynlighetsfordelinger. I poissonfordelingen betyr dette å teste hypotesen om 
  
    
      
        λ
        =
        
          λ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda =\lambda _{0}}
   mot 
  
    
      
        λ
        ≠
        
          
            
              λ
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda \neq {\hat {\lambda }}}
  . Der 
  
    
      
        
          
            
              λ
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\lambda }}}
   er den observerte, eller estimerte parameteren. Sentralgrenseteoremet gir da at 

  
    
      
        
          
            n
          
        
        (
        
          
            
              λ
              ^
            
          
        
        −
        
          λ
          
            0
          
        
        )
        ∼
        N
        (
        0
        ,
        
          λ
          
            0
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {n}}({\hat {\lambda }}-\lambda _{0})\sim N(0,\lambda _{0})}
  
Problemet med denne testobservatoren er at variansen avhenger helt og holdent på 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  . Så spredningen i estimatet avhenger av parameteren vi prøve å estimere. Dette problemet kan man komme rundt med deltametoden. Bruk at 
  
    
      
        g
        (
        λ
        )
        =
        
          
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle g(\lambda )={\sqrt {\lambda }}}
  :

  
    
      
        
          
            n
          
        
        (
        
          
            (
          
        
        
          
            
              λ
              ^
            
          
        
        −
        
          
            
              λ
              
                0
              
            
          
        
        )
        ∼
        N
        (
        0
        ,
        
          λ
          
            0
          
        
        
          
            1
            
              (
              2
              
                
                  
                    λ
                    
                      0
                    
                  
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        )
        =
        N
        (
        0
        ,
        
          
            1
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {n}}({\sqrt {(}}{\hat {\lambda }}-{\sqrt {\lambda _{0}}})\sim N(0,\lambda _{0}{\frac {1}{(2{\sqrt {\lambda _{0}}})^{2}}})=N(0,{\frac {1}{4}})}
  


== Litteratur ==
E. L. Lehman (1998), Elements of Large Sample Theory, Springer