Cramers regel

I lineær algebra er Cramers regel et teorem som gir uttrykk for løsningen til et lineært ligningssystem med like mange ukjente som ligninger, i tilfeller der en entydig løsning eksisterer.  
Teoremet er oppkalt etter Gabriel Cramer (1704–1752), som i 1750 publiserte teoremet i verket Introduction à l'analyse des lignes courbes algébriques (Introduksjon til analyse av algebraiske kurver).   Også Colin Maclaurin beskrev metoden i  avhandlingen Treatise of Algebra, utgitt i 1748.
Løsningen av ligningssystemet er uttrykt ved hjelp av determinanten til koeffisientmatrisen, samt determinanter til matriser dannet ved å erstatte en kolonne i koeffisientmatrisen med en vektor lik høyresiden i ligningssystemet.  
Cramers regel er ikke praktisk for løsning av ligningssystem der antall ukjente er høyt.  Teoremet blir sporadisk benyttet som er teoretisk resultat.


== Cramers regel for et 2  ×  2 system ==
Et lineært ligninssystem med to ukjente kan skrives på forma

  
    
      
        
          
            
              
                a
                x
                +
                b
                y
              
              
                =
                
                  
                    e
                  
                
              
            
            
              
                c
                x
                +
                d
                y
              
              
                =
                
                  
                    f
                  
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}ax+by&={\color {red}e}\\cx+dy&={\color {red}f}\end{matrix}}.}
  På matriseform skrives ligninssystemet som

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  a
                
                
                  b
                
              
              
                
                  c
                
                
                  d
                
              
            
            ]
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  x
                
              
              
                
                  y
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      e
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      f
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}e}\\{\color {red}f}\end{bmatrix}}.}
  De to ukjente x og y er gitt ved Cramers regel som

  
    
      
        x
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    
                      e
                    
                  
                
                
                  b
                
              
              
                
                  
                    
                      f
                    
                  
                
                
                  d
                
              
            
            |
          
        
        
          /
        
        
          
            |
            
              
                
                  a
                
                
                  b
                
              
              
                
                  c
                
                
                  d
                
              
            
            |
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  e
                
              
              d
              −
              b
              
                
                  f
                
              
            
            
              a
              d
              −
              b
              c
            
          
        
      
    
    {\displaystyle x={\begin{vmatrix}\color {red}{e}&b\\\color {red}{f}&d\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={{\color {red}e}d-b{\color {red}f} \over ad-bc}}
  
  
    
      
        y
        =
        
          
            |
            
              
                
                  a
                
                
                  
                    
                      e
                    
                  
                
              
              
                
                  c
                
                
                  
                    
                      f
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        
          /
        
        
          
            |
            
              
                
                  a
                
                
                  b
                
              
              
                
                  c
                
                
                  d
                
              
            
            |
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                
                  f
                
              
              −
              
                
                  e
                
              
              c
            
            
              a
              d
              −
              b
              c
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle y={\begin{vmatrix}a&\color {red}{e}\\c&\color {red}{f}\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}={a{\color {red}f}-{\color {red}e}c \over ad-bc}.}
  


== Cramers regel for et 3  ×  3 system ==
Tilsvarende skrives et lineært ligningssystem med tre ukjente som

  
    
      
        
          
            
              
                a
                x
                +
                b
                y
                +
                c
                z
              
              
                =
                
                  
                    j
                  
                
              
            
            
              
                d
                x
                +
                e
                y
                +
                f
                z
              
              
                =
                
                  
                    k
                  
                
              
            
            
              
                g
                x
                +
                h
                y
                +
                i
                z
              
              
                =
                
                  
                    l
                  
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}ax+by+cz&={\color {red}j}\\dx+ey+fz&={\color {red}k}\\gx+hy+iz&={\color {red}l}\end{matrix}}.}
  Matriseforma er 

  
    
      
        
          
            [
            
              
                
                  a
                
                
                  b
                
                
                  c
                
              
              
                
                  d
                
                
                  e
                
                
                  f
                
              
              
                
                  g
                
                
                  h
                
                
                  i
                
              
            
            ]
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  x
                
              
              
                
                  y
                
              
              
                
                  z
                
              
            
            ]
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    
                      j
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      k
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    
                      l
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{bmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {red}j}\\{\color {red}k}\\{\color {red}l}\end{bmatrix}}}
  Cramers regel sier at løsningen for de tre ukjente x og y og z er gitt ved 

  
    
      
        x
        =
        
          
            
              |
              
                
                  
                    
                      
                        j
                      
                    
                  
                  
                    b
                  
                  
                    c
                  
                
                
                  
                    
                      
                        k
                      
                    
                  
                  
                    e
                  
                  
                    f
                  
                
                
                  
                    
                      
                        l
                      
                    
                  
                  
                    h
                  
                  
                    i
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    a
                  
                  
                    b
                  
                  
                    c
                  
                
                
                  
                    d
                  
                  
                    e
                  
                  
                    f
                  
                
                
                  
                    g
                  
                  
                    h
                  
                  
                    i
                  
                
              
              |
            
          
        
        ,
        
        y
        =
        
          
            
              |
              
                
                  
                    a
                  
                  
                    
                      
                        j
                      
                    
                  
                  
                    c
                  
                
                
                  
                    d
                  
                  
                    
                      
                        k
                      
                    
                  
                  
                    f
                  
                
                
                  
                    g
                  
                  
                    
                      
                        l
                      
                    
                  
                  
                    i
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    a
                  
                  
                    b
                  
                  
                    c
                  
                
                
                  
                    d
                  
                  
                    e
                  
                  
                    f
                  
                
                
                  
                    g
                  
                  
                    h
                  
                  
                    i
                  
                
              
              |
            
          
        
        ,
        
        z
        =
        
          
            
              |
              
                
                  
                    a
                  
                  
                    b
                  
                  
                    
                      
                        j
                      
                    
                  
                
                
                  
                    d
                  
                  
                    e
                  
                  
                    
                      
                        k
                      
                    
                  
                
                
                  
                    g
                  
                  
                    h
                  
                  
                    
                      
                        l
                      
                    
                  
                
              
              |
            
            
              |
              
                
                  
                    a
                  
                  
                    b
                  
                  
                    c
                  
                
                
                  
                    d
                  
                  
                    e
                  
                  
                    f
                  
                
                
                  
                    g
                  
                  
                    h
                  
                  
                    i
                  
                
              
              |
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle x={\frac {\begin{vmatrix}{\color {red}j}&b&c\\{\color {red}k}&e&f\\{\color {red}l}&h&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad y={\frac {\begin{vmatrix}a&{\color {red}j}&c\\d&{\color {red}k}&f\\g&{\color {red}l}&i\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}},\quad z={\frac {\begin{vmatrix}a&b&{\color {red}j}\\d&e&{\color {red}k}\\g&h&{\color {red}l}\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}.}
  


== Cramers regel for et generelt system ==
Et generelt ligningssystem med n ligninger og n ukjente kan skrives på matriseforma

  
    
      
        A
        
          x
        
        =
        
          b
        
        
      
    
    {\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} \,}
  Matrisen A er antatt å være ikke-singulær, slik at determinanten til A er ulik null og en entydig løsning til ligningssystemet eksisterer.  Kolonnevektoren  x = (x1, ..., xn)T inneholder de ukjente i ligningssystemet. 
Cramers regel sier at løsningen av ligningssystemet kan skrives på forma

  
    
      
        
          x
          
            k
          
        
        =
        
          
            
              det
              
                A
                
                  k
                
              
            
            
              det
              A
            
          
        
        
        k
        =
        1
        ,
        …
        ,
        n
        
      
    
    {\displaystyle x_{k}={\frac {\det A_{k}}{\det A}}\qquad k=1,\ldots ,n\,}
  der  Ak er matrisen dannet ved å erstatte kolonne nummer k i matrisen A med kolonnevektoren  b.


== Litteratur ==
C.B.Boyer (1968). A history of mathematics. Princton, USA: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-691-02391-3. Fr Fabricius-Bjerre (1977). Lærebog i geometri.  I: Analytisk geometri, lineær algebra. Lyngby: Polyteknisk forlag. ISBN 978-8-7502-0439-8.