Virialteoremet

Virialteoremet er en sammenheng innen mekanikken mellom tidsmiddelverdien til den totale kinetiske energien 
  
    
      
        
          ⟨
          T
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle T\right\rangle }
  , og tidsmiddelverdien til den totale potensielle energien 
  
    
      
        
          ⟨
          V
          ⟩
        
      
    
    {\displaystyle \left\langle V\right\rangle }
  , i et system. Matematisk er teoremet gitt ved

  
    
      
        
          ⟨
          T
          ⟩
        
        =
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          ⟨
          
            
              
                F
              
              
                k
              
            
            ⋅
            
              
                r
              
              
                k
              
            
          
          ⟩
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \left\langle T\right\rangle =-{\frac {1}{2}}\,\sum _{k=1}^{N}\left\langle \mathbf {F} _{k}\cdot \mathbf {r} _{k}\right\rangle ,}
  der 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   er det totale antallet partikler i systemet, og 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{k}}
   og 
  
    
      
        
          
            r
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} _{k}}
   er henholdsvis krafta og posisjonen til hver enkelt partikkel. Spesielt gjelder det for et konservativt system, der

  
    
      
        
          F
        
        =
        −
        ∇
        V
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V,}
  og der 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
   er en 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -te ordens homogen funksjon,

  
    
      
        V
        (
        λ
        
          r
        
        )
        =
        
          λ
          
            n
          
        
        V
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle V(\lambda \mathbf {r} )=\lambda ^{n}V(\mathbf {r} )}
  for en vilkårlig konstant 
  
    
      
        λ
      
    
    {\displaystyle \lambda }
  , at

  
    
      
        
          ⟨
          T
          ⟩
        
        =
        
          
            n
            2
          
        
        
          ⟨
          V
          ⟩
        
        .
      
    
    {\displaystyle \left\langle T\right\rangle ={\frac {n}{2}}\left\langle V\right\rangle .}
  Dersom 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
   eksempelvis er gitt ved 
  
    
      
        V
        (
        
          r
        
        )
        =
        V
        (
        r
        )
        =
        −
        k
        
          /
        
        r
      
    
    {\displaystyle V(\mathbf {r} )=V(r)=-k/r}
   for en vilkårlig konstant 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  , er 
  
    
      
        n
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle n=-1}
   og 
  
    
      
        
          ⟨
          T
          ⟩
        
        =
        −
        
          ⟨
          V
          ⟩
        
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle \left\langle T\right\rangle =-\left\langle V\right\rangle /2}
  . Dette gjelder blant annet et system bestående av et legeme i et tyngdefelt.


== Litteratur ==
Lev Landau og Lifshitz; Mechanics: Course of Theoretical Physics Volume 1 -  3. opplag (1976), 16. utg. 2003. ISBN 0-7506-2896-0
James Binney & Scott Tremaine: Galactic Dynamics, Princeton Series in Astrophysics. Princeton University Press, Princeton, N.J. (1988), 3. opplag 2003. ISBN 0-691-08445-9
G. W. Collins;  The Virial Theorem in Stellar Astrophysics, Pachart Press (1978)


== Eksterne lenker ==
The Virial Theorem på "MathPages"