Variansanalyse

Variansanalyse (ANOVA, fra det engelske «analysis of variance») er en fellesbetegnelse for en rekke statistiske metoder for å teste likhet mellom to eller flere utvalg, der én eller flere faktorer gjør seg gjeldende. Variansanalyse er i de enkle tilfellene et alternativ til Z/t-testene for å sammenligne gjennomsnitt i populasjoner.
De to grunnleggende formene for variansanalyse beskrives gjerne som 'enveis' og 'toveis' variansanalyse. I enveistilfellet hensyntar man kun én egenskap som varierer mellom gruppene, i toveistilfellet hensyntar man i tillegg egenskaper som varierer mellom individene i gruppene.


== Variansanalyse med én faktor ==
Det enkleste tilfellet for variansanalyse er tilfellet der man har 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
   grupper med like størrelser 
  
    
      
        J
      
    
    {\displaystyle J}
  , og ønsker å sammenligne gjennomsnittene til gruppene. Den brukes gjerne der man ønsker å sammenligne forskjeller i respons på forskjellige behandlinger (treatments) i forskjellige grupper.
Hypotesen man tester er for et antall populasjoner 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
  

  
    
      
        
          H
          
            0
          
        
        :
         
        
          μ
          
            1
          
        
        =
        
          μ
          
            2
          
        
        =
        ⋯
        =
        
          μ
          
            I
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{0}:\ \mu _{1}=\mu _{2}=\dots =\mu _{I}}
  

  
    
      
        
          H
          
            A
          
        
        :
      
    
    {\displaystyle H_{A}:}
   minst to av gruppene er forskjellige.Forutsetningene for testen er at alle observasjonene er uavhengige normalfordelte tilfeldige variable med lik varians.


=== Kvadratavvik og varians ===
De fundamentale størrelsene i variansanalysen er kvadratavvik totalt (SST), kvadratavvik mellom individ og gruppe (SSE) og kvadratavvik mellom gruppe og totalt gjennomsnitt (SSTr). Disse er definert ved 
  
    
      
        S
        S
        T
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          ∑
          
            j
          
        
        (
        
          x
          
            i
            j
          
        
        −
        
          
            
              x
              ¯
            
          
          
            .
            .
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          ∑
          
            j
          
        
        
          x
          
            i
            j
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                .
                .
              
              
                2
              
            
            
              I
              J
            
          
        
      
    
    {\displaystyle SST=\sum _{i}\sum _{j}(x_{ij}-{\overline {x}}_{..})^{2}=\sum _{i}\sum _{j}x_{ij}^{2}-{\frac {x_{..}^{2}}{IJ}}}
  
  
    
      
        S
        S
        T
        r
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          ∑
          
            j
          
        
        (
        
          
            
              x
              ¯
            
          
          
            i
            .
          
        
        −
        
          
            
              x
              ¯
            
          
          
            .
            .
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                ∑
                
                  i
                
              
              
                X
                
                  i
                  .
                
                
                  2
                
              
            
            J
          
        
        −
        
          
            
              x
              
                .
                .
              
              
                2
              
            
            
              I
              J
            
          
        
      
    
    {\displaystyle SSTr=\sum _{i}\sum _{j}({\overline {x}}_{i.}-{\overline {x}}_{..})^{2}={\frac {\sum _{i}X_{i.}^{2}}{J}}-{\frac {x_{..}^{2}}{IJ}}}
  
  
    
      
        S
        S
        E
        =
        
          ∑
          
            i
          
        
        
          ∑
          
            j
          
        
        (
        
          x
          
            i
            j
          
        
        −
        
          
            
              x
              ¯
            
          
          
            i
            .
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle SSE=\sum _{i}\sum _{j}(x_{ij}-{\overline {x}}_{i.})^{2}}
  
Sammenhengen mellom disse gir opphav til den fundamentale ANOVA-identiteten SST = SSTr + SSE. Videre har vi at
  
    
      
        M
        S
        T
        r
        =
        
          
            
              S
              S
              T
              r
            
            
              I
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle MSTr={\frac {SSTr}{I-1}}}
  
  
    
      
        M
        S
        E
        =
        
          
            
              S
              S
              E
            
            
              I
              (
              J
              −
              1
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle MSE={\frac {SSE}{I(J-1)}}}
  
Dette gir opphavet til det man kaller en ANOVA-tabell:


=== Test av nullhypotesen ===
For å teste nullhypotesen, bruker man ofte en f-test. Testobservatoren er gitt ved
  
    
      
        f
        =
        
          
            
              M
              S
              T
              r
            
            
              M
              S
              E
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f={\frac {MSTr}{MSE}}}
  
som er tilnærmet 
  
    
      
        
          F
          
            I
            −
            1
            ,
            I
            (
            J
            −
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{I-1,I(J-1)}}
  -fordelt. Forkastningsområdet for 
  
    
      
        
          H
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{0}}
   er 
  
    
      
        f
        ≥
        
          F
          
            α
            ,
            I
            −
            1
            ,
            I
            (
            J
            −
            1
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle f\geq F_{\alpha ,I-1,I(J-1)}}
   for ønsket signifikansnivå 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  


=== Tukeys prosedyre ===
F-testen er ment for å sammenligne gjennomsnittene i flere populasjoner, men den gir ikke svar på hvilke av populasjonene som er signifikant ulike hverandre. Tukeys prosedyre bruker en Q-fordeling til å beregne hvilke intervaller gjennomsnittene i populasjonen kan ligge i for å være signifikant like hverandre. For et signifikansnivå 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   definerer vi 
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
   som

  
    
      
        w
        =
        
          Q
          
            α
            ,
            I
            ,
            I
            (
            J
            −
            1
            )
          
        
        
          
            M
            S
            E
            
              /
            
            J
          
        
      
    
    {\displaystyle w=Q_{\alpha ,I,I(J-1)}{\sqrt {MSE/J}}}
  
De gjennomsnittene som har større differanse enn 
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
   er være signifikant ulike, med signifikansnivå 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
  


=== Relasjon til t-testen ===
For tilfellet med to populasjoner, vil variansanalyse og en alminnelig t-test gi samme resultat for hypotesen 
  
    
      
        
          H
          
            0
          
        
        :
         
        
          μ
          
            1
          
        
        =
        
          μ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{0}:\ \mu _{1}=\mu _{2}}
   mot 
  
    
      
        
          H
          
            A
          
        
        :
         
        
          μ
          
            1
          
        
        ≠
        
          μ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{A}:\ \mu _{1}\neq \mu _{2}}
  . T-testen er mer fleksibel, da man og kan teste hvorvidt et gjennomsnitt er større enn, eller mindre enn et annet.
For 
  
    
      
        I
        >
        2
      
    
    {\displaystyle I>2}
   kan man i prinsippet også utføre t-tester for alle kombinasjoner av grupper, men dette vil gi større sannsynlighet for type 1-feil.


== Referanser ==


== Kilder ==
Jay L. Devore and Kenneth N. Berk: Modern Mathematical Statistics with Applications. Thomson 2007.