Omvendt funksjonsteorem

I matematisk analyse gir det omvendt funksjonsteorem betingelser for når en funksjon har en lokal invers. Teoremet gir også en formel for den deriverte til den omvendte funksjonen.


== Formulering av teoremet ==
Teoremet finnes i to versjoner, én i en-variabel-analyse, og en i fler-variabel-analyse. For funksjoner med én variabel sier teoremet følgende: Anta at 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   er en kontinuerlig funksjon med kontinuerlige deriverte, og at 
  
    
      
        
          f
          
            ′
          
        
        (
        a
        )
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle f^{\prime }(a)\neq 0}
   i et punkt 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  . Da finnes en omegn 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
   om 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   slik at 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   restringert til 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
   er injektiv, og slik at om 
  
    
      
        V
        =
        f
        (
        U
        )
      
    
    {\displaystyle V=f(U)}
   er verdimengden til 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  , så er den omvendte funksjonen 
  
    
      
        g
        :
        V
        →
        U
      
    
    {\displaystyle g:V\to U}
   kontinuerlig deriverbar, og tilfredsstiller

  
    
      
        
          
            (
          
        
        
          f
          
            −
            1
          
        
        
          
            
              )
            
          
          ′
        
        (
        b
        )
        =
        
          
            1
            
              
                f
                ′
              
              (
              a
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\bigl (}f^{-1}{\bigr )}'(b)={\frac {1}{f'(a)}}.}
  For funksjoner av flere variabler er påstanden helt analog. Den er som følger: Anta at 
  
    
      
        U
        ⊆
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} ^{n}}
   er en åpen mengde og at 
  
    
      
        
          F
        
        :
        U
        →
        
          
            R
          
          
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} :U\to \mathbb {R} ^{m}}
   har kontinuerlige partiellderiverte. Anta at 
  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
        ∈
        U
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}\in U}
   og at Jacobi-matrisen 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            ′
          
        
        (
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} ^{\prime }({\bar {x}})}
   er inverterbar. Da finnes en åpen omegn 
  
    
      
        
          U
          
            0
          
        
        ⊂
        U
      
    
    {\displaystyle U_{0}\subset U}
   om 
  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}}
   slik at 
  
    
      
        
          F
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} }
   restringert til 
  
    
      
        
          U
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{0}}
   er injektiv. Verdimengden 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
   til denne restriksjonen er en omegn om 
  
    
      
        
          
            
              y
              ¯
            
          
        
        =
        
          F
        
        (
        
          
            
              u
              ¯
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\bar {y}}=\mathbf {F} ({\bar {u}})}
  , og den omvendte funksjonen 
  
    
      
        
          G
        
        :
        V
        →
        
          U
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {G} :V\to U_{0}}
   er deriverbar i 
  
    
      
        
          
            
              y
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {y}}}
   med Jacobi-matrise

  
    
      
        
          
            G
          
          
            ′
          
        
        (
        
          
            
              y
              ¯
            
          
        
        )
        =
        
          
            F
          
          
            ′
          
        
        (
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
        
          )
          
            −
            1
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {G} ^{\prime }({\bar {y}})=\mathbf {F} ^{\prime }({\bar {x}})^{-1}.}
  


== Eksempel ==
Vi tar et eksempel med en funksjon med to variable. La 
  
    
      
        
          F
        
        :
        
          
            R
          
          
            2
          
        
        →
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} :\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}
   være definert ved 
  
    
      
        
          F
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        (
        
          x
          
            4
          
        
        −
        
          y
          
            4
          
        
        ,
        x
        y
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} (x,y)=(x^{4}-y^{4},xy)}
  . Vi skal undersøke om funksjonen er inverterbar nær punktet 
  
    
      
        (
        1
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (1,0)}
  .  Jacobi-matrisen gitt ved

  
    
      
        
          
            F
          
          
            ′
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        
          
            (
            
              
                
                  4
                  
                    x
                    
                      3
                    
                  
                
                
                  4
                  
                    y
                    
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  y
                
                
                  x
                
              
            
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} ^{\prime }(x,y)={\begin{pmatrix}4x^{3}&4y^{3}\\y&x\end{pmatrix}}.}
  Dermed er Jacobi-determinanten gitt ved  
  
    
      
        det
        
          
            F
          
          
            ′
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        4
        
          x
          
            4
          
        
        −
        4
        
          y
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \det \mathbf {F} ^{\prime }(x,y)=4x^{4}-4y^{4}}
  . Setter vi inn for 
  
    
      
        (
        1
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (1,0)}
  , får vi at determinanten er ikke-null. Det følger da fra teoremet at det finnes en omegn om 
  
    
      
        (
        1
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (1,0)}
   slik at funksjonen er lokalt inverterbar. Den deriverte til den omvendte funksjonen er gitt ved 
  
    
      
        
          
            F
          
          
            ′
          
        
        (
        1
        ,
        0
        
          )
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} ^{\prime }(1,0)^{-1}}
  , som er

  
    
      
        
          
            F
          
          
            ′
          
        
        (
        1
        ,
        0
        
          )
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      1
                      4
                    
                  
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} ^{\prime }(1,0)^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{4}}&0\\0&1\end{pmatrix}}.}
  Dette viser at funksjonen har en lokal invers, men den har ingen global invers. Spesielt er funksjoner som har en global invers injektive, noe denne funksjonen ikke er. For å se dette, legg merke til at om 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
        ≠
        (
        0
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)\neq (0,0)}
  , så er 
  
    
      
        
          F
        
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        
          F
        
        (
        −
        a
        ,
        −
        b
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} (a,b)=\mathbf {F} (-a,-b)}
  , så funksjonen kan ikke være injektiv.


== Referanser ==
Lindstrøm, Tom og Hveberg, Klara (2011). Flervariabel analyse med lineær algebra. Harlow: Pearson Education Limited. ISBN 978-0-273-73813-8. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)