Derivasjon av trigonometriske funksjoner

Derivasjonen av trigonometriske funksjoner er den matematiske prosessen for å finne ut hvor fort en trigonometrisk funksjon endres med hensyn til en variabel. Vanlige trigonometriske funksjoner omfatter sin(x), cos(x) og tan(x). For eksempel, ved derivasjon av f(x) = sin(x), beregner man en funksjon f ′(x) som beregner hvor fort sin(x) endrer seg ved et spesielt punkt a. Verdien som viser hvor fort funksjonen endrer seg ved a er dermed gitt av f ′(a). Kunnskap om derivasjon fra grunnprinsippene er nødvendig, sammen med kompetanse i bruk av trigonometriske identiteter og grenser. Alle funksjoner involverer den vilkårlige variabelen x, med all derivasjon utført med hensyn til x.
Det viser seg at med en gang man kjenner de deriverte til sin(x) og cos (x), kan man enkelt beregne de deriverte av de andre sirkulære trigonometriske funksjonene fordi de alle kan uttrykkes ved sinus eller cosinus; regelen for derivasjon av en kvotient blir dermed iverksatt for å derivere dette uttrykket. Beviser for de deriverte av sin(x) og cos(x) er gitt i avsnittet for beviser. Resultatene er sitert for å gi bevisene til de deriverte av de andre sirkulære trigonometriske funksjonene. Å finne de deriverte av de inverse trigonometriske funksjonene involverer bruk av implisitt derivasjon og de deriverte av vanlige trigonometriske funksjoner er også gitt i avsnittet for beviser.


== Deriverte av trigonometriske funksjoner og deres inverse ==

  
    
      
        
          
            (
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              )
            
            )
          
          ′
        
        =
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \left(\sin(x)\right)'=\cos(x)}
  

  
    
      
        
          
            (
            
              cos
              ⁡
              (
              x
              )
            
            )
          
          ′
        
        =
        −
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \left(\cos(x)\right)'=-\sin(x)}
  

  
    
      
        
          
            (
            
              tan
              ⁡
              (
              x
              )
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  sin
                  ⁡
                  (
                  x
                  )
                
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  x
                  )
                
              
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              x
              )
              +
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              x
              )
            
            
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        1
        +
        
          tan
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        
          
            1
            
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          sec
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \left(\tan(x)\right)'=\left({\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}=1+\tan ^{2}(x)={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=\sec ^{2}(x)}
  

  
    
      
        
          
            (
            
              cot
              ⁡
              (
              x
              )
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  x
                  )
                
                
                  sin
                  ⁡
                  (
                  x
                  )
                
              
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            
              −
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              x
              )
              −
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              x
              )
            
            
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        −
        (
        1
        +
        
          cot
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        x
        )
        )
        =
        −
        
          
            1
            
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        −
        
          csc
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \left(\cot(x)\right)'=\left({\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\right)'={\frac {-\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-(1+\cot ^{2}(x))=-{\frac {1}{\sin ^{2}(x)}}=-\csc ^{2}(x)}
  

  
    
      
        
          
            (
            
              sec
              ⁡
              (
              x
              )
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            (
            
              
                1
                
                  cos
                  ⁡
                  (
                  x
                  )
                
              
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              )
            
            
              
                cos
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              cos
              ⁡
              (
              x
              )
            
          
        
        .
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              )
            
            
              cos
              ⁡
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        sec
        ⁡
        (
        x
        )
        tan
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \left(\sec(x)\right)'=\left({\frac {1}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos(x)}}.{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}=\sec(x)\tan(x)}
  

  
    
      
        
          
            (
            
              csc
              ⁡
              (
              x
              )
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            (
            
              
                1
                
                  sin
                  ⁡
                  (
                  x
                  )
                
              
            
            )
          
          ′
        
        =
        −
        
          
            
              cos
              ⁡
              (
              x
              )
            
            
              
                sin
                
                  2
                
              
              ⁡
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              )
            
          
        
        .
        
          
            
              cos
              ⁡
              (
              x
              )
            
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        −
        csc
        ⁡
        (
        x
        )
        cot
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \left(\csc(x)\right)'=\left({\frac {1}{\sin(x)}}\right)'=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-{\frac {1}{\sin(x)}}.{\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=-\csc(x)\cot(x)}
  

  
    
      
        
          
            (
            
              arcsin
              ⁡
              (
              x
              )
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(\arcsin(x)\right)'={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
  

  
    
      
        
          
            (
            
              arccos
              ⁡
              (
              x
              )
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            
              −
              1
            
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(\arccos(x)\right)'={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
  

  
    
      
        
          
            (
            
              arctan
              ⁡
              (
              x
              )
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            1
            
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(\arctan(x)\right)'={\frac {1}{x^{2}+1}}}
  

  
    
      
        
          
            (
            
              arccot
              ⁡
              (
              x
              )
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            
              −
              1
            
            
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(\operatorname {arccot}(x)\right)'={\frac {-1}{x^{2}+1}}}
  

  
    
      
        
          
            (
            
              arcsec
              ⁡
              (
              x
              )
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            1
            
              
                |
              
              x
              
                |
              
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  1
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(\operatorname {arcsec}(x)\right)'={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
  

  
    
      
        
          
            (
            
              arccsc
              ⁡
              (
              x
              )
            
            )
          
          ′
        
        =
        
          
            
              −
              1
            
            
              
                |
              
              x
              
                |
              
              
                
                  
                    x
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  1
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(\operatorname {arccsc}(x)\right)'={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
  


== Beviser for deriverte av sinus- og cosinusfunksjonene ==


=== Bevis for ===
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              )
            
            x
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}
  
I diagrammet over, er arealet av trekant OPA < arealet av sektor OPA < arealet av trekant OAQ
La vinkelen utspent av buen AP være x og radius i sirkelen være r.
Når 
  
    
      
        0
        <
        x
        <
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle 0<x<{\frac {\pi }{2}}}
  
Arealet av trekant OPA er 
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        
          r
          
            2
          
        
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}\sin(x)}
  . Arealet av sektor OPA er 
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        
          r
          
            2
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}x}
  . Arealet av trekant OAQ er 
  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        
          r
          
            2
          
        
        tan
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}r^{2}\tan(x)}
  . Da har vi

  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        <
        x
        <
        tan
        ⁡
        (
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \sin(x)<x<\tan(x)\,\!}
  
  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              )
            
            x
          
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}<1}
  
  
    
      
        x
        <
        tan
        ⁡
        (
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle x<\tan(x)\,\!}
  
  
    
      
        x
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        <
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle x\cos(x)<\sin(x)\,\!}
  
  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              )
            
            x
          
        
        >
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}>\cos(x)}
  
  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        <
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              )
            
            x
          
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle \cos(x)<{\frac {\sin(x)}{x}}<1}
  Når 
  
    
      
        −
        
          
            π
            2
          
        
        <
        x
        <
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<x<0,}
  

  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        −
        x
        )
        <
        −
        x
        <
        tan
        ⁡
        (
        −
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle \sin(-x)<-x<\tan(-x)\,\!}
  
  
    
      
        −
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        <
        −
        x
        <
        −
        tan
        ⁡
        (
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle -\sin(x)<-x<-\tan(x)\,\!}
  
  
    
      
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        >
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle \sin(x)>x\,\!}
  
  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              )
            
            x
          
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}<1}
  
  
    
      
        x
        >
        tan
        ⁡
        (
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle x>\tan(x)\,\!}
  
  
    
      
        x
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        >
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        
        
      
    
    {\displaystyle x\cos(x)>\sin(x)\,\!}
  
  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              )
            
            x
          
        
        >
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sin(x)}{x}}>\cos(x)}
  
  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        <
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              )
            
            x
          
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle \cos(x)<{\frac {\sin(x)}{x}}<1}
  Derfor, når 
  
    
      
        −
        
          
            π
            2
          
        
        <
        x
        <
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}}
   for 
  
    
      
        x
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle x\neq 0}
  

  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        <
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              )
            
            x
          
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle \cos(x)<{\frac {\sin(x)}{x}}<1}
  Siden
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}\cos(x)=1}
   blir uttrykket «klemt flat» mellom 1 og 1, og vi konkluderer med at

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          
            
              sin
              ⁡
              (
              x
              )
            
            x
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x}}=1}
  


=== Derivasjon av sinusfunksjonen ===
Definisjonen av den deriverte av en funksjon f(x):

  
    
      
        
          f
          ′
        
        (
        x
        )
        =
        
          (
          
            
              lim
              
                h
                →
                0
              
            
            
              cos
              ⁡
              
                (
                
                  x
                  +
                  
                    
                      h
                      2
                    
                  
                
                )
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              lim
              
                h
                →
                0
              
            
            
              
                
                  sin
                  ⁡
                  
                    (
                    
                      
                        h
                        2
                      
                    
                    )
                  
                
                
                  h
                  2
                
              
            
          
          )
        
        =
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f'(x)=\left(\lim _{h\to 0}{\cos \left(x+{\frac {h}{2}}\right)}\right)\left(\lim _{h\to 0}{\frac {\sin \left({\frac {h}{2}}\right)}{\frac {h}{2}}}\right)=\cos(x)}
  


=== Derivasjon av cosinusfunksjonen ===
Fra den trigonometriske identiteten

  
    
      
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        sin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                2
              
            
            −
            x
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \cos(x)=\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)}
  Som vist over, siden

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        (
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        )
        =
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\sin(x))=\cos(x)}
  Derfor,

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        (
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        )
        =
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        
          (
          
            sin
            ⁡
            
              (
              
                
                  
                    π
                    2
                  
                
                −
                x
              
              )
            
          
          )
        
        =
        −
        cos
        ⁡
        
          (
          
            
              
                π
                2
              
            
            −
            x
          
          )
        
        =
        −
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {d}{dx}}(\cos(x))={\frac {d}{dx}}\left(\sin \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)\right)=-\cos \left({\frac {\pi }{2}}-x\right)=-\sin(x)}
  


== Beviser for deriverte av inverse trigonometriske funksjoner ==
De følgende deriverte er funnet ved å sette en variabel y lik den inverse trigonometriske funksjonen vi vil derivere. Ved å bruke implisitt derivasjon og deretter løse med hensyn på dy/dx, blir den deriverte til den inverse funksjonen funnet uttrykt ved y. For å konvertere dy/dx tilbake til å være uttrykt ved x, kan vi tegne en referansetrekant på enhetssirkelen, og la θ være y. Ved å bruke Pythagoras' læresetning og definisjonen av de vanlige trigonometriske funksjonene, kan vi endelig uttrykke dy/dx ved x.


=== Derivasjon av den inverse sinusfunksjonen ===
Vi lar

  
    
      
        y
        =
        arcsin
        ⁡
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle y=\arcsin x\,\!}
  Der

  
    
      
        −
        
          
            π
            2
          
        
        ≤
        y
        ≤
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}
  Så

  
    
      
        sin
        ⁡
        y
        =
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle \sin y=x\,\!}
  Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        sin
        ⁡
        y
        =
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x}
  
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        cos
        ⁡
        y
        =
        1
        
        
      
    
    {\displaystyle {dy \over dx}\cos y=1\,\!}
  Ved substitusjon av 
  
    
      
        cos
        ⁡
        y
        =
        
          
            1
            −
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}
   fra uttrykket over,

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        
          
            1
            −
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            y
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {dy \over dx}{\sqrt {1-\sin ^{2}y}}=1}
  Ved substitusjon av 
  
    
      
        x
        =
        sin
        
        y
      
    
    {\displaystyle x=\sin \,y}
   fra uttrykket over,

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        
          
            1
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {dy \over dx}{\sqrt {1-x^{2}}}=1}
  
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
  


=== Derivasjon av den inverse cosinusfunksjonen ===
Vi lar

  
    
      
        y
        =
        arccos
        ⁡
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle y=\arccos x\,\!}
  Der

  
    
      
        0
        ≤
        y
        ≤
        π
      
    
    {\displaystyle 0\leq y\leq \pi }
  Så

  
    
      
        cos
        ⁡
        y
        =
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle \cos y=x\,\!}
  Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        cos
        ⁡
        y
        =
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}
  
  
    
      
        −
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        sin
        ⁡
        y
        =
        1
      
    
    {\displaystyle -{dy \over dx}\sin y=1}
  Ved substitusjon av 
  
    
      
        sin
        ⁡
        y
        =
        
          
            1
            −
            
              cos
              
                2
              
            
            ⁡
            y
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!}
   fra uttrykket over, får vi

  
    
      
        −
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        
          
            1
            −
            
              cos
              
                2
              
            
            ⁡
            y
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle -{dy \over dx}{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}=1}
  Ved substitusjon av 
  
    
      
        x
        =
        cos
        ⁡
        y
        
        
      
    
    {\displaystyle x=\cos y\,\!}
   fra uttrykket over, får vi

  
    
      
        −
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        
          
            1
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle -{dy \over dx}{\sqrt {1-x^{2}}}=1}
  
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            
              1
              −
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
  


=== Derivasjon av den inverse tangensfunksjonen ===
Vi lar

  
    
      
        y
        =
        arctan
        ⁡
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle y=\arctan x\,\!}
  Der

  
    
      
        −
        
          
            π
            2
          
        
        <
        y
        <
        
          
            π
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}
  Så

  
    
      
        tan
        ⁡
        y
        =
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle \tan y=x\,\!}
  Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        tan
        ⁡
        y
        =
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}
  
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        
          sec
          
            2
          
        
        ⁡
        y
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {dy \over dx}\sec ^{2}y=1}
  Ved substitusjon av 
  
    
      
        1
        +
        
          tan
          
            2
          
        
        ⁡
        y
        =
        
          sec
          
            2
          
        
        ⁡
        y
        
        
      
    
    {\displaystyle 1+\tan ^{2}y=\sec ^{2}y\,\!}
   fra uttrykket over,

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        (
        1
        +
        
          tan
          
            2
          
        
        ⁡
        y
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {dy \over dx}(1+\tan ^{2}y)=1}
  Ved substitusjon av 
  
    
      
        x
        =
        tan
        ⁡
        y
        
        
      
    
    {\displaystyle x=\tan y\,\!}
   fra uttrykket over,

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        (
        1
        +
        
          x
          
            2
          
        
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {dy \over dx}(1+x^{2})=1}
  
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}}
  


=== Derivasjon av den inverse cotangensfunksjonen ===
Vi lar

  
    
      
        y
        =
        arccot
        ⁡
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle y=\operatorname {arccot} x\,\!}
  Der

  
    
      
        0
        <
        y
        <
        π
      
    
    {\displaystyle 0<y<\pi }
  Så

  
    
      
        cot
        ⁡
        y
        =
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle \cot y=x\,\!}
  Ved å bruke implisitt derivasjon og å løse med hensyn på dy/dx:

  
    
      
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        cot
        ⁡
        y
        =
        
          
            d
            
              d
              x
            
          
        
        x
      
    
    {\displaystyle {d \over dx}\cot y={d \over dx}x}
  
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        −
        
          csc
          
            2
          
        
        ⁡
        y
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {dy \over dx}-\csc ^{2}y=1}
  Ved substitusjon av 
  
    
      
        1
        +
        
          cot
          
            2
          
        
        ⁡
        y
        =
        
          csc
          
            2
          
        
        ⁡
        y
        
        
      
    
    {\displaystyle 1+\cot ^{2}y=\csc ^{2}y\,\!}
   fra uttrykket over,

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        −
        (
        1
        +
        
          cot
          
            2
          
        
        ⁡
        y
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {dy \over dx}-(1+\cot ^{2}y)=1}
  Ved substitusjon av 
  
    
      
        x
        =
        cot
        ⁡
        y
        
        
      
    
    {\displaystyle x=\cot y\,\!}
   fra uttrykket over,

  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        −
        (
        1
        +
        
          x
          
            2
          
        
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {dy \over dx}-(1+x^{2})=1}
  
  
    
      
        
          
            
              d
              y
            
            
              d
              x
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            
              1
              +
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}
  


== Se også ==
Trigonometri
Kalkulus
Derivasjon
Tabell over deriverte


== Referanser ==


== Bibliografi ==
Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964).