Flattrykning

Flattrykning eller elliptisitet er et mål på hvor flattrykt en sirkel er langs en diameter slik at den tar formen til en ellipse. Tilsvarende definisjon gjelder for en flattrykt kule slik at den tar formen av en rotasjonsellipsoide med en kort akse og to like lange akser. En planet som er tilnærmet sfærisk i formen, vil bule utover langs ekvator på grunn av sentrifugalkraften skapt av dens rotasjon. 
For en ellipse med store halvakse a og mindre halvakse  b defineres flattrykningen som 

  
    
      
        f
        =
        
          
            
              a
              −
              b
            
            a
          
        
        =
        1
        −
        
          
            b
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle f={a-b \over a}=1-{b \over a}}
  Den er forskjellig fra ellipsens eksentrisitet e som er gitt ved 

  
    
      
        
          e
          
            2
          
        
        =
        1
        −
        
          
            
              b
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{2}=1-{b^{2} \over a^{2}}}
  Begge størrelsene går mot null når flattrykningen er  liten. Den nøyaktige sammenhengen er 

  
    
      
        
          e
          
            2
          
        
        =
        2
        f
        −
        
          f
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{2}=2f-f^{2}}
  Dette gjelder for planeter som roterer om den korteste aksen. For de er a den ekvatoriale radius, mens b er den polare radius. Jorden har en flattrykning som i versjon WGS 84 av World Geodetic System er f = 1/298, mens den er enda mindre for Månen og Solen. For Jupiter er den f = 1/16, mens den er f = 1/10 for Saturn.
Hvis man antar at massetettheten til planeten er konstant, kan effekten av rotasjonen nøyaktig beregnes. Hvis den har vinkelhastigheten ω = 2π /T hvor T er omløpstiden, vil den resultere i en flattrykning

  
    
      
        f
        =
        
          
            
              5
              
                ω
                
                  2
                
              
              
                a
                
                  3
                
              
            
            
              4
              G
              M
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f={5\omega ^{2}a^{3} \over 4GM}}
  hvor G er gravitasjonskonstanten og M er planetens masse. Selv om antagelsen om konstant massetetthet gir et godt estimat for denne størrelsen, er fordelingen av masse i roterende planeter mer komplisert.


== Fremstilling i polarkoordinater ==

Ved bruk av kartesiske koordinater (x,y) er ligningen for ellipsen

  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1}
  For planeter er det vanligvis mer hensiktsmessig å benytte sfæriske koordinater. Men på grunn av symmetrien om rotasjonsaksen, reduserer disse seg til polare koordinater (r, φ). Hvis vinkelen φ velges å angi breddegrad, er da

  
    
      
        x
        =
        r
        cos
        ⁡
        ϕ
        
        
        
        
          og
        
        
        
        
        y
        =
        r
        sin
        ⁡
        ϕ
      
    
    {\displaystyle x=r\cos \phi \;\;\;{\text{og}}\;\;\;y=r\sin \phi }
  Settes dette inn i ellipseligningen, kan resultatet skrives som

  
    
      
        r
        =
        
          
            a
            
              
                1
                +
                k
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                ϕ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r={a \over {\sqrt {1+k\sin ^{2}\phi }}}}
  hvor nå flattrykningen opptrer i parameteren

  
    
      
        k
        =
        
          
            
              2
              f
              −
              
                f
                
                  2
                
              
            
            
              (
              1
              −
              f
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle k={2f-f^{2} \over (1-f)^{2}}}
  Siden flattrykningen for planeter f << 1, vil man da med god nøyaktighet ha k = 2f. Ligningen for den sammentrykte ellipsen forenkles dermed til

  
    
      
        r
        =
        a
        (
        1
        −
        f
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle r=a(1-f\sin ^{2}\phi )}
  Den polare radius for φ = 90° kommer ut som a(1 - f) = b som den skal. Planeten har samme form som en oblat sfæroide eller flattrykt rotasjonsellipsoide.


== Litteratur ==
D. Turcotte and G. Schubert, Geodynamics, Cambridge University Press, England (2002). ISBN 978-0-521-18623-0.