Geometrisk fordeling

Geometrisk fordeling beskriver sannsynligheten for antall forsøk som må til før et gitt utfall skal inntreffe.
Dette gjelder bare for bernoulli-forsøk. Dersom du utfører en rekke like bernoulli-forsøk og ønsker å finne sannsynligheten for at første suksess kommer etter n forsøk, kan du bruke geometrisk fordeling. Geometrisk fordeling er et spesialtilfelle av negativ binomisk fordeling, med r lik 1.
Vi har formelen, 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        =
        P
        (
        X
        =
        x
        )
        =
        p
        (
        1
        −
        p
        
          )
          
            X
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle g(x)=P(X=x)=p(1-p)^{X-1}}
  , der p er sannsynligheten for suksess og x er antall forsøk. 
Vi gjør først 
  
    
      
        x
        −
        1
      
    
    {\displaystyle x-1}
   forsøk som ikke er suksess. Sannsynligheten for hver av disse er 
  
    
      
        (
        1
        −
        p
        )
      
    
    {\displaystyle (1-p)}
  . Sannsynligheten for at vi skal ha 
  
    
      
        x
        −
        1
      
    
    {\displaystyle x-1}
   forsøk som dette blir da 
  
    
      
        (
        1
        −
        p
        
          )
          
            x
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (1-p)^{x-1}}
  . Til slutt skal vi ha et forsøk som gir suksess. Sannsynligheten for dette er 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
  . Vi ender da opp med formelen 
  
    
      
        g
        (
        x
        )
        =
        P
        (
        X
        =
        x
        )
        =
        p
        (
        1
        −
        p
        
          )
          
            X
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle g(x)=P(X=x)=p(1-p)^{X-1}}
  , som beskrevet over.


== Eksempel ==
På en fødeavdeling ønsker de å beregne sannsynligheten for at det første guttebarnet etter nyttår 
kommer først etter 5 fødsler. De antar at sannsynligheten for å få jente og gutt er like store. Vi bruker da formelen for geometrisk fordeling og får følgende: 
  
    
      
        P
        (
        X
        =
        5
        )
        =
        0.5
        (
        1
        −
        0.5
        
          )
          
            5
            −
            1
          
        
        =
        0.5
        ∗
        0
        ,
        
          5
          
            4
          
        
        =
        0.03125
      
    
    {\displaystyle P(X=5)=0.5(1-0.5)^{5-1}=0.5*0,5^{4}=0.03125}
  


== Sammenheng med geometrisk rekke ==
Summen av en geometrisk rekke er gitt ved:

  
    
      
        
          Σ
          
            i
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        a
        
          k
          
            i
          
        
        =
        
          Σ
          
            i
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        a
        
          k
          
            i
            −
            1
          
        
        =
        
          
            a
            
              1
              −
              k
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \Sigma _{i=0}^{\infty }ak^{i}=\Sigma _{i=1}^{\infty }ak^{i-1}={\frac {a}{1-k}}}
  , når
  
    
      
        
          |
        
        k
        
          |
        
        <
        1
      
    
    {\displaystyle |k|<1}
  
For geometrisk fordeling utgir det følgende:

  
    
      
        
          Σ
          
            x
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        g
        (
        x
        )
        =
        
          Σ
          
            x
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        p
        (
        1
        −
        p
        
          )
          
            x
            −
            1
          
        
        =
        
          
            p
            
              1
              −
              (
              1
              −
              p
              )
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \Sigma _{x=0}^{\infty }g(x)=\Sigma _{x=1}^{\infty }p(1-p)^{x-1}={\frac {p}{1-(1-p)}}=1}
  
Dette gir oss summen av sannsynlighetene for alle mulige utfall. Det skal alltid bli lik 1, og vi ser at det stemmer med summen av den gemometriske rekken.


== Forventning og varians ==
Forventet antall forsøk før suksess er gitt ved 
  
    
      
        E
        (
        X
        )
        =
        
          
            1
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle E(X)={\frac {1}{p}}}
   og varians er gitt ved 
  
    
      
        V
        a
        r
        (
        X
        )
        =
        
          
            
              1
              −
              p
            
            
              p
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Var(X)={\frac {1-p}{p^{2}}}}