Pentagonalt heksekontaeder

Et pentagonalt heksekontaeder er et catalansk legeme med 60 pentagoner som sider, 150 hjørner og 92 kanter. Det duale polyederet er det sløve dodekaederet.
Det pentagonale heksekontaederet er ikke lik speilvendt, slik mange andre polyedre er. Dermed har det to speilvarianter:

		


== Areal og volum ==
Arealet A, volumet V, radiusen p av en innskrevet kule, midtradiusen r og grunnflaten G til et pentagonal ikositetraederr med sidelengde a, er:

  
    
      
        V
        =
        
          
            
              40
              
                a
                
                  3
                
              
              (
              1
              +
              t
              )
              (
              2
              +
              3
              t
              )
              (
              1
              −
              2
              
                t
                
                  2
                
              
              
                )
                
                  2
                
              
            
            
              (
              1
              +
              2
              t
              
                )
                
                  3
                
              
              
                
                  1
                  −
                  2
                  t
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              5
              
                b
                
                  3
                
              
              (
              1
              +
              t
              )
              (
              2
              +
              3
              t
              )
            
            
              (
              1
              −
              2
              
                t
                
                  2
                
              
              )
              
                
                  1
                  −
                  2
                  t
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle V={\frac {40a^{3}(1+t)(2+3t)(1-2t^{2})^{2}}{(1+2t)^{3}{\sqrt {1-2t}}}}={\frac {5b^{3}(1+t)(2+3t)}{(1-2t^{2}){\sqrt {1-2t}}}}}
  
  
    
      
        A
        =
        
          
            
              120
              
                a
                
                  2
                
              
              (
              2
              +
              3
              t
              )
              (
              1
              −
              2
              
                t
                
                  2
                
              
              )
            
            
              (
              1
              +
              2
              t
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            1
            −
            
              t
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              30
              
                b
                
                  2
                
              
              (
              2
              +
              3
              t
              )
            
            
              (
              1
              −
              2
              
                t
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        
          
            1
            −
            
              t
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\frac {120a^{2}(2+3t)(1-2t^{2})}{(1+2t)^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}={\frac {30b^{2}(2+3t)}{(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}}
  
  
    
      
        r
        =
        
          
            
              a
              
              (
              1
              −
              2
              
                t
                
                  2
                
              
              )
            
            
              1
              −
              4
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            2
            
            (
            1
            +
            t
            )
            (
            1
            −
            2
            t
            )
          
        
        =
        b
        
        
          
            
              
                1
                +
                t
              
              
                2
                
                (
                1
                −
                2
                t
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r={\frac {a\,(1-2t^{2})}{1-4t^{2}}}{\sqrt {2\,(1+t)(1-2t)}}=b\,{\sqrt {\frac {1+t}{2\,(1-2t)}}}}
  
  
    
      
        ρ
        =
        
          
            
              a
              
              (
              1
              −
              2
              
                t
                
                  2
                
              
              )
            
            
              1
              +
              2
              t
            
          
        
        
          
            
              
                1
                +
                t
              
              
                (
                1
                −
                t
                )
                (
                1
                −
                2
                t
                )
              
            
          
        
        =
        
          
            b
            2
          
        
        
        
          
            
              
                1
                +
                t
              
              
                (
                1
                −
                t
                )
                (
                1
                −
                2
                t
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho ={\frac {a\,(1-2t^{2})}{1+2t}}{\sqrt {\frac {1+t}{(1-t)(1-2t)}}}={\frac {b}{2}}\,{\sqrt {\frac {1+t}{(1-t)(1-2t)}}}}
  
  
    
      
        G
        =
        
          
            
              2
              
                a
                
                  2
                
              
              (
              2
              +
              3
              t
              )
              (
              1
              −
              2
              
                t
                
                  2
                
              
              )
            
            
              (
              1
              +
              2
              t
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            1
            −
            
              t
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                b
                
                  2
                
              
              (
              2
              +
              3
              t
              )
            
            
              2
              
              (
              1
              −
              2
              
                t
                
                  2
                
              
              )
            
          
        
        
          
            1
            −
            
              t
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle G={\frac {2a^{2}(2+3t)(1-2t^{2})}{(1+2t)^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}={\frac {b^{2}(2+3t)}{2\,(1-2t^{2})}}{\sqrt {1-t^{2}}}}
  


== Nære polyedre og tesseleringer ==
Dette polyederet er topologisk knyttet til en del av en sekvens over polyedre og tesseleringer med pentagoner med sidesammensetningene (V3.3.3.3.n).  Disse figurene har like sider og har (n32) roterende symmetri.