Transformasjonsmatrise

En transformasjonsmatrise er en matrise som beskriver hvordan to stive legemer er posisjonert og orientert i forhold til hverandre. Typiske transformasjonsmatriser i tredimensjonalt rom er rotasjonsmatrisene 
  
    
      
        
          R
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{x}}
  , 
  
    
      
        
          R
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{y}}
   og 
  
    
      
        
          R
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{z}}
   som er definert ved

  
    
      
        
          
            
              
                
                  R
                  
                    x
                  
                
                (
                θ
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    [
                    
                      
                        
                          1
                        
                        
                          0
                        
                        
                          0
                        
                      
                      
                        
                          0
                        
                        
                          cos
                          ⁡
                          θ
                        
                        
                          −
                          sin
                          ⁡
                          θ
                        
                      
                      
                        
                          0
                        
                        
                          sin
                          ⁡
                          θ
                        
                        
                          cos
                          ⁡
                          θ
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
              
            
            
              
                
                  R
                  
                    y
                  
                
                (
                θ
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    [
                    
                      
                        
                          cos
                          ⁡
                          θ
                        
                        
                          0
                        
                        
                          sin
                          ⁡
                          θ
                        
                      
                      
                        
                          0
                        
                        
                          1
                        
                        
                          0
                        
                      
                      
                        
                          −
                          sin
                          ⁡
                          θ
                        
                        
                          0
                        
                        
                          cos
                          ⁡
                          θ
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
              
            
            
              
                
                  R
                  
                    z
                  
                
                (
                θ
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    [
                    
                      
                        
                          cos
                          ⁡
                          θ
                        
                        
                          −
                          sin
                          ⁡
                          θ
                        
                        
                          0
                        
                      
                      
                        
                          sin
                          ⁡
                          θ
                        
                        
                          cos
                          ⁡
                          θ
                        
                        
                          0
                        
                      
                      
                        
                          0
                        
                        
                          0
                        
                        
                          1
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{1}R_{x}(\theta )&={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta \\[3pt]0&\sin \theta &\cos \theta \\[3pt]\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{y}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &0&\sin \theta \\[3pt]0&1&0\\[3pt]-\sin \theta &0&\cos \theta \\\end{bmatrix}}\\[6pt]R_{z}(\theta )&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta &0\\[3pt]\sin \theta &\cos \theta &0\\[3pt]0&0&1\\\end{bmatrix}}.\end{alignedat}}}
  Den homogene transformasjonsmatrisa 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
   er gitt ved:

  
    
      
        
          T
          
            1
          
          
            0
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    R
                    
                      1
                    
                    
                      0
                    
                  
                
                
                  
                    
                      
                        
                          d
                          →
                        
                      
                    
                    
                      1
                    
                    
                      0
                    
                  
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            ]
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle T_{1}^{0}={\begin{bmatrix}R_{1}^{0}&{\vec {d}}_{1}^{0}\\[3pt]0&1\\[3pt]\end{bmatrix}}.}
  Hvor 
  
    
      
        
          
            
              
                d
                →
              
            
          
          
            1
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle {\vec {d}}_{1}^{0}}
   er en vektor med avstanden fra origo i koordinatsystem 0 til origo i koordinatsystem 1, og 
  
    
      
        
          R
          
            1
          
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{1}^{0}}
   hvordan koordinatsystem 0 er rotert i forhold til 1.