Magnetisk dipol

En magnetisk dipol er den enkleste magnet. Den består av et magnetisk moment samt det magnetiske feltet som det skaper. Den dannes av en elektrisk strøm eller ladning som går rundt i en lukket bane. All magnetisme skyldes mikroskopiske, magnetiske dipoler som har sitt opphav i elektronenes rundgang om atomene eller deres intrinsikke, kvantemekaniske spinn.
Ethvert system med lokaliserte, elektriske strømmer vil i store avstander se ut som en magnetisk dipol.


== Magnetisk felt ==
Da det ikke finnes magnetisk monopoler, finnes det heller ikke noe magnetisk felt som tilsvarer Coulomb-feltet fra en elektrisk punktladning. Det mest elementære, magnetiske felt skyldes en magnetisk dipol og kan utledes fra Biot-Savarts lov. For en stasjonær strømfordeling J(r) lar den det magnetiske vektorpotensialet beregnes fra integralet

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        ∫
        
          d
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
        
        
          
            
              
                J
              
              (
              
                
                  r
                
                ′
              
              )
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                
                  r
                
                ′
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int d^{3}r'\,{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}}
  Dette tilsvarer integralet for det elektriske potensialet fra en statisk ladningsfordeling ρ(r). Langt borte fra disse ladningene vil potensialet bli likt med Coulomb-potensialet. På samme måte kan det vises i magnetostatikken ved en multipolutvikling at når strømfordelingen er lokalisert innen et begrenset område rundt origo, kan det magnetiske vektorpotensialet i store avstander skrives som

  
    
      
        
          
            A
          
        
        (
        
          
            r
          
        
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          
            
              
                
                  m
                
              
              ×
              
                
                  r
                
              
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {A} }({\mathbf {r} })={\frac {\mu _{0}}{4\pi }}{\frac {{\mathbf {m} }\times {\mathbf {r} }}{r^{3}}}}
  hvor r = |r|  og

  
    
      
        
          m
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ∫
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          r
          ′
        
        
        
          
            r
            ′
          
        
        ×
        
          J
        
        (
        
          
            r
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {m} ={\frac {1}{2}}\int \!d^{3}r'\,\mathbf {r'} \times \mathbf {J} (\mathbf {r} ')}
  er det magnetiske momentet til strømfordelingen. I stedet for å betrakte dette resultatet som gyldig langt unna en makroskopisk, lokalisert strømfordeling, gir det like godt feltet i vilkårlig avstand fra en «punktdipol» uten utstrekning plassert i origo.
Hvis strømfordelingen skyldes en strøm I  som går rundt i en lukket sløyfe C, kan det magnetiske momentet for strømsløyfen finnes fra samme formel ved å erstatte faktoren d 3r ' J(r')  med Id s'  hvor det differensielle linjeelementet d s'  ligger langs sløyfen. Det gir

  
    
      
        
          m
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        I
        
          ∮
          
            
            C
          
        
        
        
          
            r
            ′
          
        
        ×
        d
        
          
            s
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {m} ={1 \over 2}I\oint _{\!C}\!\mathbf {r'} \times d\mathbf {s'} }
  Herav følger det enkle resultatet m = I S hvor komponentene til vektoren S er arealene til projeksjonene av sløyfen C på de tre koordinatflatene.


=== Dipolfeltet ===
Fra vektorpotensialet A følger det magnetiske induksjonsfeltet fra B = ∇ × A. Det kan utregnes ved å bruke formelen fra vektoranalysen for curl til et kryssprodukt av to vektorer. Men for den magnetiske dipolen er m en konstant vektor og ∇⋅(r/r3) = 0 når r > 0. Derfor kommer det eneste bidraget fra derivasjonen

  
    
      
        (
        
          m
        
        ⋅
        
          ∇
        
        )
        
          
            
              r
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
        =
        
          
            
              m
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
        −
        
          
            
              3
              (
              
                m
              
              ⋅
              
                r
              
              )
              
                r
              
            
            
              r
              
                5
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {m} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}){\mathbf {r}  \over r^{3}}={\mathbf {m}  \over r^{3}}-{3(\mathbf {m} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {r}  \over r^{5}}}
  som gir det magnetiske dipolfeltet

  
    
      
        
          B
        
        (
        r
        >
        0
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          
            [
          
        
        3
        (
        
          m
        
        ⋅
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        )
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        −
        
          m
        
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (r>0)={\mu _{0} \over 4\pi r^{3}}{\Big [}3(\mathbf {m} \cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}-\mathbf {m} {\Big ]}}
  hvor 
  
    
      
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
   = r/r  er en enhetsvektor i radiell retning. Det er symmetrisk om retningen til dipolen gitt ved momentet m og avtar med avstanden i tredje potens.
De forskjellige komponentene til dipolfeltet kommer klarere frem i kulekoordinater med basisvektorer 
  
    
      
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}
  , 
  
    
      
        
          
            
              ϕ
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\phi }}}}
   og 
  
    
      
        
          
            
              θ
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {\boldsymbol {\theta }}}}
  . Når m er plassert langs z-aksen i retning θ = 0, tar vektorpotensialet formen

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              m
            
            
              4
              π
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        sin
        ⁡
        θ
        
        
          
            
              ϕ
              ^
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} )={\mu _{0}m \over 4\pi r^{2}}\sin \theta \,{\hat {\boldsymbol {\phi }}},}
  og er konstant langs sirkler om z-aksen parallelle med xy-planet. Magnetfeltet utenfor dipolen tar  da den tilsvarende formen

  
    
      
        
          B
        
        (
        r
        >
        0
        )
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              m
            
            
              4
              π
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          
            (
          
        
        2
        cos
        ⁡
        θ
        
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        +
        sin
        ⁡
        θ
        
        
          
            
              θ
              ^
            
          
        
        
          
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (r>0)={\mu _{0}m \over 4\pi r^{3}}{\big (}2\cos \theta \,{\hat {\mathbf {r} }}+\sin \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\big )}.}
  som viser mer tydelig at feltet er symmetrisk om z-aksen. Det er også doppelt så sterkt langs denne aksen enn i et punkt i xy-planet  og i samme avstand fra origo.


=== Indre magnetfelt ===
Magnetfeltet i sentrum r = 0 av dipolen kan beregnes ved å ta med ledd fra derivasjonen som

  
    
      
        
          ∇
        
        ⋅
        
          
            
              r
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
        =
        4
        π
        δ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot {\mathbf {r}  \over r^{3}}=4\pi \delta (\mathbf {r} )}
  Det komplette feltet blir da

  
    
      
        
          B
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          B
        
        (
        r
        >
        0
        )
        +
        
          
            2
            3
          
        
        
          μ
          
            0
          
        
        
          m
        
        
        δ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} )=\mathbf {B} (r>0)+{2 \over 3}\mu _{0}\mathbf {m} \,\delta (\mathbf {r} )}
  Dette ekstra leddet karakteriserer dipolfeltet fra et magnetisk moment dannet av en mikroskopisk strømsløyfe. Hadde man i stedet tenkt seg dipolmomentet dannet av to motsatte, magnetiske ladninger på samme måte som for en elektrisk dipol, ville det resulterende magnetfeltet bli

  
    
      
        
          H
        
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            1
            
              μ
              
                0
              
            
          
        
        
          B
        
        (
        r
        >
        0
        )
        −
        
          
            1
            3
          
        
        
          m
        
        
        δ
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} )={1 \over \mu _{0}}\mathbf {B} (r>0)-{1 \over 3}\mathbf {m} \,\delta (\mathbf {r} )}
  Disse to resultatene er forbundet gjennom den vanlige relasjonen B = μ0(H + M) hvor M = mδ(r) er magnetiseringen til dipolen.
Atomkjerner har kvantemekanisk spinn og derfor også et magnetisk moment. Det tilhørende magnetfeltet gir en hyperfinsplitting av energinivåene til atomet som kan beregnes. Sammenligning med eksperimentelle målinger viser at det er feltet fra et dipolmoment beskrevet som en strømsløyfe, som gir den beste forklaring av denne effekten.


== Dipol i ytre felt ==
En magnetisk dipol i et ytre magnetfelt B = B(r)  vil virke på de elektriske strømmene som finnes i dipolen og beskrevet ved strømtettheten J = J(r). Under stasjonære forhold kan denne påvirkningen uttrykkes ved den magnetiske kraften

  
    
      
        
          F
        
        =
        ∫
        
        
          d
          
            3
          
        
        x
        
        
          J
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =\int \!d^{3}x\,\mathbf {J} \times \mathbf {B} }
  Hvis B-feltet er konstant og dipolstrømmene er lokaliserte, vil kraften bli null som kan vises ved å bruke ∇⋅B = 0. Når feltet derimot varierer i rommet, kan man til laveste orden skrive B(r) = B + (r⋅∇)B. Det resulterende integralet er av samme type som ofte opptrer i magnetostatikken og gir resultatet

  
    
      
        
          F
        
        =
        (
        
          m
        
        ⋅
        
          ∇
        
        )
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =(\mathbf {m} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} }
  hvor det magnetiske momentet m er lokalisert i origo. Dette resultatet tilsvarer kraften som virker på en elektrisk dipol i et inhomogent, elektrisk felt.
Mens denne kraften vil prøve å flytte dipolen, vil et konstant magnetfelt kunne dreie den. Det tilsvarende dreiemomentet kan beregnes fra det definerende integralet

  
    
      
        
          T
        
        =
        ∫
        
        
          d
          
            3
          
        
        x
        
        
          r
        
        ×
        (
        
          J
        
        ×
        
          B
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {T} =\int \!d^{3}x\,\mathbf {r} \times (\mathbf {J} \times \mathbf {B} )}
  som lar seg utregne ved de samme metodene. Man finner da

  
    
      
        
          T
        
        =
        
          m
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {T} =\mathbf {m} \times \mathbf {B} }
  igjen i overensstemmelse med dette tilsvarende resultat for en elektrisk dipol. Dette betyr at formlene for både kraften og dreiemomentet for en magnetisk dipol er de samme uavhengig av om man beskriver dipolen som en elektrisk strømsløyfe eller sammensatt av to magnetike ladninger av motsatt fortegn.


=== Potensiell energi ===
Størrelsen på dreiemomentet er  T = mB sin θ når vinkelen som m danner med B, er θ. Det er derfor null i retningene θ = 0 og θ = π . For å dreie dipolen en vinkel θ, må man utføre arbeidet  ∫Tdθ =  - mB cos θ. Dette kan identifiseres med den potensielle energien

  
    
      
        U
        =
        −
        
          m
        
        ⋅
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} }
  Den er minimal når m peker i samme retning som B, og maksimal når de er motsatt rettet. I dette siste tilfellet er dreiemomentet null, men den minste forstyrrelse i denne posisjonen vil få dipolen til å dreie seg. Retningen θ = π  er derfor en ustabil likevektsposisjon.
Hvis B = B(r), kan man fremdeles skrive

  
    
      
        U
        (
        
          r
        
        )
        =
        −
        
          m
        
        ⋅
        
          B
        
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle U(\mathbf {r} )=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} (\mathbf {r} )}
  som den potensielle energien til dipolen i hvert punkt r  i det ytre feltet. Da vil den påvirkes av kraften F = - ∇U  som kan skrives som

  
    
      
        
          F
        
        =
        
          ∇
        
        (
        
          m
        
        ⋅
        
          B
        
        )
        =
        (
        
          m
        
        ⋅
        
          ∇
        
        )
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} ={\boldsymbol {\nabla }}(\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} )=(\mathbf {m} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} }
  når man benytter at m  er en konstant vektor og det ytre feltet oppfyller ∇ × B = 0. Resultatet for kraften stemmer derfor overens med den tidligere utledningen.Kraften på en magnet med endelig utstrekning kan beregnes med utgangspunkt i samme formel. Har den en magnetisering M, vil et lite volumelement dV ha et magnetisk moment d m = MdV. I et ytre magnetfelt vil dette volumelementet bli påvirket av kraften d F = (d m⋅∇)B. Den totale kraften som virker på magneten finnes så ved integrasjon,

  
    
      
        
          F
        
        =
        ∫
        
        
          d
          
            3
          
        
        x
        
        (
        
          M
        
        ⋅
        
          ∇
        
        )
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =\int \!d^{3}x\,(\mathbf {M} \cdot {\boldsymbol {\nabla }})\mathbf {B} }
  Dette uttrykket kan også benyttes hvis man skal beregne kraften på et magnetisk materiale i et ytre felt B = μ0H. Er materialets respons til feltet lineær, vil det det få en magnetisering M = χ H  der χ er dets magnetiske susceptibilitet. For et ferromagnetisk materiale er denne sammenhengen i alminnelighet ikke så enkel.


== Dipol-dipol vekselvirkning ==

Vekselvirkningsenergien U12  mellom to punktdipoler m1 og m2 kan finnes ved å betrakte den ene i det ytre feltet skapt av den andre.  Det gir med en gang

  
    
      
        
          U
          
            12
          
        
        =
        −
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
              
                r
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          
            (
          
        
        3
        (
        
          
            m
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        )
        (
        
          
            m
          
          
            2
          
        
        ⋅
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        )
        −
        
          
            m
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          
            m
          
          
            2
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{12}=-{\frac {\mu _{0}}{4\pi r^{3}}}{\Big (}3(\mathbf {m} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})(\mathbf {m} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})-\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2}{\Big )}}
  hvor nå r = r1 - r2  er vektoren som forbinder de to dipolene. Dette uttrykket er av praktisk betydning i atom- og molekylfysikk hvor de magnetiske momentene er proporsjonale med dreieimpulsen eller spinnet til partiklene.Den tilsvarende kraften mellom dipolene følger fra F12 = - ∇U12. En detaljert utregning gir resultatet

  
    
      
        
          
            F
          
          
            12
          
        
        =
        
          
            
              3
              
                μ
                
                  0
                
              
            
            
              4
              π
              
                r
                
                  4
                
              
            
          
        
        
          
            [
          
        
        (
        
          
            m
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        )
        
          
            m
          
          
            2
          
        
        +
        (
        
          
            m
          
          
            2
          
        
        ⋅
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        )
        
          
            m
          
          
            1
          
        
        +
        (
        
          
            m
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          
            m
          
          
            2
          
        
        )
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        −
        5
        (
        
          
            m
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        )
        (
        
          
            m
          
          
            2
          
        
        ⋅
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        )
        
          
            
              
                r
              
              ^
            
          
        
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} _{12}={\frac {3\mu _{0}}{4\pi r^{4}}}{\Big [}(\mathbf {m} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})\mathbf {m} _{2}+(\mathbf {m} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})\mathbf {m} _{1}+(\mathbf {m} _{1}\cdot \mathbf {m} _{2}){\hat {\mathbf {r} }}-5(\mathbf {m} _{1}\cdot {\hat {\mathbf {r} }})(\mathbf {m} _{2}\cdot {\hat {\mathbf {r} }}){\hat {\mathbf {r} }}{\Big ]}}
  som viser at kraften avtar med fjerde potens av avstanden mellom dipolene. Dens størrelse avhenger av deres relative orientering, og den er rettet langs r. Snus denne retningen, vil derfor kraften forandre fortegn slik at man har  F12 = -  F21. Newtons tredje lov om kraft og motkraft er derfor oppfylt i dette tilfellet.
Denne kraftloven er strengt tatt bare gyldig for punktdipoler. Har de endelig utstrekning, kan den resulterende kraften mellom dem alltid finnes fra den magnetiske delen av Maxwells spenningstensor. Den vil avhenge av det totale magnetfeltet skapt av begge dipolene. Det endelige resultatet for kraften må i dette tilfellet da vanligvis finnes ved numerisk integrasjon.


== Geomagnetisk dipolfelt ==

Magnus magnes ipse est globus terrestris. (Jordkloden self er en stor magnet.)

Jordens magnetfelt ble tidlig utnyttet til navigasjon. Ved bruk av kompassnåler som kunne bevege seg både i det horisontale og vertikale planet,  kartla man retningen til magnetfeltet i hvert punkt. Denne retningen blir angitt ved to vinkler som angir den horisontale, magnetiske deklinasjon og den vertikale, magnetiske inklinasjon. Det ble tidlig klart at disse verdiene varierte langsomt med tiden.
Resultatene av de første, vitenskapelige undersøkelsene av det geomagnetiske feltet ble samlet sammen i det store verket De Magnete av den engelske naturforskeren William Gilbert i 1600. Han viste at Jorden selv er en stor magnet med den magnetiske sydpolen i nærheten av den geografiske nordpolen og omvendt for den magnetiske nordpolen. Senere arbeid av Edmond Halley, Alexander Humboldt og Carl Friedrich Gauss gjorde det klart at magnetfeltet kunne med god tilnærmelse beskrives som forårsaket av en magnetisk dipol i Jordens sentrum. Vinkelen mellom dipolens akse og Jordens rotasjonsakse er for tiden rundt 11°. Styrken av dette magnetfelt på Jordens overflate på våre breddegrader er omtrent |B| = 0.5 gauss som tilsvarer et magnetisk moment med størrelse |m| = 8×1022  A·m2.Antar man at magnetfeltet B er et rent dipolfelt, kan dets inklinasjon eller «dippevinkel» β finnes direkte fra

  
    
      
        tan
        ⁡
        β
        =
        
          
            
              B
              
                r
              
            
            
              B
              
                θ
              
            
          
        
        =
        2
        cot
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle \tan \beta ={B_{r} \over B_{\theta }}=2\cot \theta }
  hvor nå θ er observatørens polarvinkel eller elevasjon målt fra den magnetiske aksen. Denne kan også uttrykkes ved observatørens breddegrad φ som
θ = π /2 - φ - α  der α er vinkelen mellom de to aksene. Dermed er dippevinkelen gitt som

  
    
      
        tan
        ⁡
        β
        =
        2
        tan
        ⁡
        (
        ϕ
        +
        α
        )
      
    
    {\displaystyle \tan \beta =2\tan(\phi +\alpha )}
  i denne forenklete beskrivelsen av Jordens magnetfelt. Vinkelen blir da 90° ved den magnetiske nordpolen. En kompassnål der vil peke rett nedover mot Jordens sentrum.


== Magnetisk dipolstråling ==
Når det magnetiske momentet varierer med tiden, kan det gi opphav til elektromagnetisk stråling på samme måte som at en elektrisk dipol kan gi opphav til elektrisk dipolstråling. I begge tilfeller kan den beregnes fra vektorpotensialet som for store avstander r = |r|  fra dipolen er gitt ved integralet

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
              r
            
          
        
        ∫
        
          d
          
            3
          
        
        
          x
          ′
        
        
          J
        
        (
        
          
            r
            ′
          
        
        ,
        
          t
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\mu _{0} \over 4\pi r}\int d^{3}x'\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t')}
  hvor og J(r,t ) er strømtettheten i dipolen og t'  = t - |r - r' |/c  er den retarderte tiden. Det er den tiden da et signal ble sent ut  med lysets hastiget  fra et kildepunkt r' i dipolen slik at det når frem til feltpunktet r ved tiden t.Ved beregning av dette integralet i laveste orden ser man bort fra avhengigheten av r' i den retarderte tiden. Det gir et bidrag til vektorpotensialet som skyldes strømfordelingens elektriske dipolmoment. Det magnetiske bidraget kommer fra neste orden der man gjør den nøyaktigere tilnærmelsen

  
    
      
        
          |
        
        
          r
        
        −
        
          
            r
            ′
          
        
        
          |
        
        =
        r
        −
        
          n
        
        ⋅
        
          
            r
            ′
          
        
      
    
    {\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r'} |=r-\mathbf {n} \cdot \mathbf {r'} }
  hvor enhetsvektoren n = r /r  har samme retning som r.  Se man bort fra bidraget fra det elektriske dipolmomentet, har man da til denne orden

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
              r
            
          
        
        ∫
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          x
          ′
        
        
          J
        
        (
        
          
            r
            ′
          
        
        ,
        t
        −
        r
        
          /
        
        c
        )
        +
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
              c
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        ∫
        
        
          d
          
            3
          
        
        
          x
          ′
        
        (
        
          r
        
        ⋅
        
          
            r
            ′
          
        
        )
        
          
            
              
                J
              
              ˙
            
          
        
        (
        
          
            r
            ′
          
        
        ,
        t
        −
        r
        
          /
        
        c
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)={\mu _{0} \over 4\pi r}\int \!d^{3}x'\mathbf {J} (\mathbf {r'} ,t-r/c)+{\mu _{0} \over 4\pi cr^{2}}\int \!d^{3}x'(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r'} ){\dot {\mathbf {J} }}(\mathbf {r'} ,t-r/c)}
  der prikken over strømtettheten indikerer en derivasjon med hensyn på tiden. Her representerer den første termen bidraget fra den elektriske dipolen som man her kan se bort fra. Kildens magnetiske moment ligger i den siste termen.For å kunne isolere den, er det enklest å tenke seg at den elektriske strømmen i kilden skyldes punktladninger qa, hver med hastighet va = d ra /dt. Da tar strømtettheten formen

  
    
      
        
          J
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          ∑
          
            a
          
        
        
          q
          
            a
          
        
        
          
            v
          
          
            a
          
        
        (
        t
        )
        δ
        (
        
          r
        
        −
        
          
            r
          
          
            a
          
        
        (
        t
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)=\sum _{a}q_{a}\mathbf {v} _{a}(t)\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} _{a}(t))}
  slik at det gjenværende integralet kan skrives som

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                ∫
                
                
                  d
                  
                    3
                  
                
                
                  x
                  ′
                
                (
                
                  r
                
                ⋅
                
                  
                    r
                    ′
                  
                
                )
                
                  J
                
                =
                
                  ∑
                  
                    a
                  
                
                
                  q
                  
                    a
                  
                
                (
                
                  r
                
                ⋅
                
                  
                    r
                  
                  
                    a
                  
                
                )
                
                  
                    v
                  
                  
                    a
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  ∑
                  
                    a
                  
                
                
                  q
                  
                    a
                  
                
                
                  
                    [
                  
                
                (
                
                  r
                
                ⋅
                
                  
                    r
                  
                  
                    a
                  
                
                )
                
                  
                    v
                  
                  
                    a
                  
                
                +
                (
                
                  r
                
                ⋅
                
                  
                    v
                  
                  
                    a
                  
                
                )
                
                  
                    r
                  
                  
                    a
                  
                
                +
                (
                
                  
                    r
                  
                  
                    a
                  
                
                ×
                
                  
                    v
                  
                  
                    a
                  
                
                )
                ×
                
                  r
                
                
                  
                    ]
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&\int \!d^{3}x'(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r'} )\mathbf {J} =\sum _{a}q_{a}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} _{a})\mathbf {v} _{a}\\&={1 \over 2}\sum _{a}q_{a}{\Big [}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} _{a})\mathbf {v} _{a}+(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} _{a})\mathbf {r} _{a}+(\mathbf {r} _{a}\times \mathbf {v} _{a})\times \mathbf {r} {\Big ]}\end{aligned}}}
  På høyre side er de to første leddene symmetriske i ra og va. De gir et bidrag som er gitt det tidsderiverte  kvadrupolmomentet til ladningene. I det siste  leddet opptrer det magnetiske momentet

  
    
      
        
          m
        
        (
        t
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          ∑
          
            a
          
        
        
          q
          
            a
          
        
        (
        
          
            r
          
          
            a
          
        
        ×
        
          
            v
          
          
            a
          
        
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ∫
        
          d
          
            3
          
        
        x
        
        
          r
        
        ×
        
          J
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {m} (t)={1 \over 2}\sum _{a}q_{a}(\mathbf {r} _{a}\times \mathbf {v} _{a})={1 \over 2}\int d^{3}x\,\mathbf {r} \times \mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)}
  Det gir resultatet

  
    
      
        
          A
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        −
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              4
              π
              c
              r
            
          
        
        
          n
        
        ×
        
          
            
              
                m
              
              ˙
            
          
        
        (
        t
        −
        r
        
          /
        
        c
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {r} ,t)=-{\mu _{0} \over 4\pi cr}\mathbf {n} \times {\dot {\mathbf {m} }}(t-r/c)}
  for vektorpotensialet når man ser bort fra bidraget fra kvadrupolmomentet.  Da det avtar med avstanden som 1/r, gir det opphav til elektromagnetisk stråling i form av en bølge som har en form som er gitt ved den tidsderiverte av det magnetiske momentet. Den vil vanligvis inneholde alle mulige frekvenser som er bestemt av funksjonen som beskriver hvordan momentet varierer med tiden og kan finnes ved en Fourier-transformasjon av denne funksjonen.


=== Strålingsfelt ===

Ut fra formen for vektorpotensialet kan de elektromagnetiske feltene E(r,t)  og B(r,t) = ∇ × A(r,t)  i strålingssonen nå beregnes på samme måte som for en ladet partikkel i akselerert bevegelse. Mens det elektriske strålingsfeltet da blir

  
    
      
        
          E
        
        (
        
          r
        
        ,
        t
        )
        =
        
          
            
              q
              
                μ
                
                  0
                
              
            
            
              4
              π
              c
              r
            
          
        
        
          n
        
        ×
        
          
            
              
                m
              
              ¨
            
          
        
        (
        t
        −
        r
        
          /
        
        c
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={q\mu _{0} \over 4\pi cr}\mathbf {n} \times {\ddot {\mathbf {m} }}(t-r/c)}
  ,kan det magnetiske feltet skrives som B = n × E/c. Det viser at det som forventet står vinkelrett på utbredelsesretning n og det elektriske feltet.  Sammenligner man dette med strålingsfeltene fra en elektrisk dipol, ser man at fordelingen av strålingsfeltene E og B er byttet om.Intensiteten av den utstrålte energien kan beregenes fra Poyntings vektor S = E × H hvor magnetfeltet H = B/μ0.
Gjennom en liten romvinkel dΩ i retning n blir den

  
    
      
        
          
            
              d
              P
            
            
              d
              Ω
            
          
        
        =
        
          
            
              μ
              
                0
              
            
            
              16
              
                π
                
                  2
                
              
              
                c
                
                  3
                
              
            
          
        
        (
        
          n
        
        ×
        
          
            
              
                m
              
              ¨
            
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  
                    m
                    ¨
                  
                
              
              
                2
              
            
            
              16
              
                π
                
                  2
                
              
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  5
                
              
            
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle {dP \over d\Omega }={\mu _{0} \over 16\pi ^{2}c^{3}}(\mathbf {n} \times {\ddot {\mathbf {m} }})^{2}={{\ddot {m}}^{2} \over 16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{5}}\sin ^{2}\theta }
  hvor θ er vinkelen som n danner med 
  
    
      
        
          
            
              
                p
              
              ¨
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {\mathbf {p} }}}
  . Dette er samme «dipolfordeling» av utstrålt energi som for den elektriske dipolen og konsentrert vinkelrett til vektoren 
  
    
      
        
          
            
              
                m
              
              ¨
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\ddot {\mathbf {m} }}}
  .
Utfra definisjonene har det magnetiske dipolmomentet en størrelsesorden som er en faktor v i forhold til det elektriske. Den gir derfor en utstrålt energi som er omtrent en faktor v 2/v 2 av  den elektriske energien. Da man allerede har antatt at v << c, vil energien fra en magnetisk dipol være mye mindre en fra det tilsvarende, elektriske dipolmomentet til samme strømfordelingen. Det samme gjelder for den utstrålte energien som skyldes kvadrupolmomentet.


== Se også ==
Magnetisk moment
Dipol


== Referanser ==