Funktor

Funktorer er tilordninger som kan tenkes på som funksjoner mellom kategorier. 


== Definisjon ==
La C and D være kategorier. En (kovariant) funktor F fra C til D er en tilordning som

til ethvert objekt 
  
    
      
        X
        ∈
        C
      
    
    {\displaystyle X\in C}
   tilordner et objekt 
  
    
      
        F
        (
        X
        )
        ∈
        D
      
    
    {\displaystyle F(X)\in D}
  ,
til enhver morfi 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
        ∈
        C
      
    
    {\displaystyle f:X\rightarrow Y\in C}
   tilordner en morfi 
  
    
      
        F
        (
        f
        )
        :
        F
        (
        X
        )
        →
        F
        (
        Y
        )
        ∈
        D
      
    
    {\displaystyle F(f):F(X)\rightarrow F(Y)\in D}
   slik at de følgende krav oppfylles:

  
    
      
        F
        (
        
          
            i
            d
          
          
            X
          
        
        )
        =
        
          
            i
            d
          
          
            F
            (
            X
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}
   for alle 
  
    
      
        X
        ∈
        C
      
    
    {\displaystyle X\in C}
  

  
    
      
        F
        (
        g
        ∘
        f
        )
        =
        F
        (
        g
        )
        ∘
        F
        (
        f
        )
      
    
    {\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}
   for alle morfier 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
        
        
      
    
    {\displaystyle f:X\rightarrow Y\,\!}
   og 
  
    
      
        g
        :
        Y
        →
        Z
        .
        
        
      
    
    {\displaystyle g:Y\rightarrow Z.\,\!}
  En kontravariant funktor F fra C til D er en tilordning som

til ethvert objekt 
  
    
      
        X
        ∈
        C
      
    
    {\displaystyle X\in C}
   tilordner et objekt 
  
    
      
        F
        (
        X
        )
        ∈
        D
      
    
    {\displaystyle F(X)\in D}
  ,
til enhver morfi 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
        ∈
        C
      
    
    {\displaystyle f:X\rightarrow Y\in C}
   tilordner en morfi 
  
    
      
        F
        (
        f
        )
        :
        F
        (
        Y
        )
        →
        F
        (
        X
        )
        ∈
        D
      
    
    {\displaystyle F(f):F(Y)\rightarrow F(X)\in D}
   slik at de følgende krav oppfylles:

  
    
      
        F
        (
        
          
            i
            d
          
          
            X
          
        
        )
        =
        
          
            i
            d
          
          
            F
            (
            X
            )
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle F(\mathrm {id} _{X})=\mathrm {id} _{F(X)}\,\!}
   for alle 
  
    
      
        X
        ∈
        C
      
    
    {\displaystyle X\in C}
  

  
    
      
        F
        (
        g
        ∘
        f
        )
        =
        F
        (
        f
        )
        ∘
        F
        (
        g
        )
      
    
    {\displaystyle F(g\circ f)=F(f)\circ F(g)}
   for alle morfier 
  
    
      
        f
        :
        X
        →
        Y
        
        
      
    
    {\displaystyle f:X\rightarrow Y\,\!}
   og 
  
    
      
        g
        :
        Y
        →
        Z
        .
        
        
      
    
    {\displaystyle g:Y\rightarrow Z.\,\!}
  Funktorer må altså bevare identitetsmorfier og komposisjon av morfier.


== Eksempler ==
I kategorien F-vektorrom for en gitt kropp F er de følgende tilordningene funktorer: 

Tilordning av dualrom V* til et vektorrom V.
Tilordning av homomorfier inn i og ut av V. Hom(V,–) er kovariant og Hom(-,V) er kontravariant.
Tilordning av F-tensorprodukt med V.