Compton-effekt

Compton-effekten er innen fysikken en betegnelse på det fenomen at ved spredning av røntgenstråling eller gammastråling  på løst bundne elektroner i et materiale, så har den spredte strålingen en lengre bølgelengde enn bølgelengden til den innkommende strålingen.   Dette ble påvist av den amerikanske fysiker Arthur Holly Compton  i tidsrommet 1921 - 1923.  Disse målingene var i klar motstrid med klassisk fysikk hvor denne prosessen kalles Thomson-spredning og gir ingen forandring av bølgelengden.
Compton kunne  forklare sine observasjoner  ved å anta at strålingen besto av fotoner som Albert Einstein tidligere hadde foreslått. Hvert slikt kvant med lys har energien E = hν hvor h er Plancks konstant og ν frekvensen til strålingen. I kollisjonen blir fotonet spredt til siden samtidig som elektronet blir spredt til den motsatte siden. Fotonet taper derfor energi og får lavere frekvens og dermed lengre bølgelengde som Compton kunne beregne ved sin antagelse. Han fant full overensstemmelse med målingene sine. Han hadde dermed vist at elektromagnetisk stråling også kunne beskrives som partikler med en bestemt energi og impuls. Dette var et viktig teoretisk og eksperimentelt skritt i etableringen av kvantemekanikken og Compton ble belønnet med Nobelprisen i fysikk allerede i 1927. Siden er denne spredningsprosessen blitt omtalt som Compton-spredning.


== Utledning av Comptons formel ==
De ytterste elektronene til atomene i alle materialer har bindingsenergier som bare er noen få eV. Et foton i røntgenstråling har en typisk energi av størrelsesorden keV, mens gammastråling tilsvarer fotoner med energier av størrelsesorden MeV. I eksperimentene til Compton kan derfor disse elektronene betraktes som frie.
La oss anta at det innkommende fotonet har energien E = hν hvor frekvensen ν = c/λ på vanlig måte kan uttrykkes ved bølgelengden λ. Det spredte fotonet som går i en retning θ, har tilsvarende energien E = hν'  med ν' = c/λ' . Compton antok også at energi og impuls var bevart i denne spredningsprosessen på samme måte som i klassisk fysikk. Dette var på ingen måte opplagt på det tidspunktet og som til og med Niels Bohr bestred. Med energibevarelse skal den totale energien før kollisjonen være den samme som etterpå. Derfor må

  
    
      
        h
        ν
        +
        m
        
          c
          
            2
          
        
        =
        h
        
          ν
          ′
        
        +
        γ
        m
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle h\nu +mc^{2}=h\nu '+\gamma mc^{2}}
  hvor det siste leddet er energien til elektronet som blir slått til siden. Har det hastigheten v, er her γ = 1/√(1 - v2/c2) den berømte Lorentz-faktoren for en relativistisk partikkel.
Compton antok også at fotonet hadde en impuls som i klassisk elektrodynamikk hvor den er p = E/c = h/λ. Dette hadde Einstein tidligere kommet frem til på en helt annet måte basert på statistisk fysikk for sort stråling. Elektronet som blir truffet av det innkommende fotonet, ligger i ro og har derfor impuls p = 0. Derimot har elektronet som blir slått ut med hastighet v, en total impuls p = γmv i retning φ som vist i figuren. Bevarelse av impulsen i retning av det innkommende fotonet blir dermed

  
    
      
        (
        h
        ν
        
          /
        
        c
        )
        =
        (
        h
        
          ν
          ′
        
        
          /
        
        c
        )
        cos
        ⁡
        θ
        +
        γ
        m
        v
        cos
        ⁡
        ϕ
      
    
    {\displaystyle (h\nu /c)=(h\nu '/c)\cos \theta +\gamma mv\cos \phi }
  På samme måte må den totale impulsen normalt på denne retningen være null, altså

  
    
      
        (
        h
        
          ν
          ′
        
        
          /
        
        c
        )
        sin
        ⁡
        θ
        =
        γ
        m
        v
        sin
        ⁡
        ϕ
      
    
    {\displaystyle (h\nu '/c)\sin \theta =\gamma mv\sin \phi }
  I de to siste ligningene kan man nå isolere leddene med sinφ og cosφ, kvadrere disse og legge sammen ligningene. Det gir

  
    
      
        
          γ
          
            2
          
        
        
          m
          
            2
          
        
        
          v
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          h
          
            2
          
        
        (
        
          ν
          
            2
          
        
        +
        
          ν
          
            ′
            
              2
            
          
        
        −
        2
        ν
        
          ν
          ′
        
        cos
        ⁡
        θ
        )
      
    
    {\displaystyle \gamma ^{2}m^{2}v^{2}c^{2}=h^{2}(\nu ^{2}+\nu '^{2}-2\nu \nu '\cos \theta )}
  På samme måte gir kvadratet av ligningen for energibevarelse relasjonen

  
    
      
        
          γ
          
            2
          
        
        
          m
          
            2
          
        
        
          c
          
            4
          
        
        =
        
          
            (
          
        
        h
        (
        ν
        −
        
          ν
          ′
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        m
        
          c
          
            2
          
        
        
          
            
              )
            
          
          
            2
          
        
        =
        
          h
          
            2
          
        
        (
        
          ν
          
            2
          
        
        +
        
          ν
          
            ′
            
              2
            
          
        
        −
        2
        ν
        
          ν
          ′
        
        )
        +
        2
        h
        m
        
          c
          
            2
          
        
        (
        ν
        −
        
          ν
          ′
        
        )
        +
        
          m
          
            2
          
        
        
          c
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \gamma ^{2}m^{2}c^{4}={\Big (}h(\nu -\nu ')^{2}+mc^{2}{\Big )}^{2}=h^{2}(\nu ^{2}+\nu '^{2}-2\nu \nu ')+2hmc^{2}(\nu -\nu ')+m^{2}c^{4}}
  Fra denne ligningen trekker vi nå ligningen over og benytter relasjonen γ2(1 - v2/c2) = 1. Det gir hνν' (1 - cosθ) = mc2(ν - ν' ) eller

  
    
      
        
          λ
          ′
        
        −
        λ
        =
        
          
            h
            
              m
              c
            
          
        
        
          
            (
          
        
        1
        −
        cos
        ⁡
        θ
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda '-\lambda ={h \over mc}{\Big (}1-\cos \theta {\Big )}}
  som er Comptons formel for forandringen av bølgelengden til den spredte strålingen. Omtrent samtidig ble dette resultatet også utledet av Peter Debye. Utledningen kan gjøres mer direkte ved bruk av relativitetsteori og firervektorer.


== Compton-bølgelengden ==
Formelen til Compton viser at bølgelengden  λ'  til den spredte strålingen er mindre enn bølgelengden λ for den innkommende strålingen for alle spredningsvinkler θ unntatt i fremoverretning θ = 0. Differansen λ' - λ i en gitt retning er den samme for alle bølgelengder og uavhengig av materialet til sprederen. Den avhenger kun av bølgelengden

  
    
      
        
          λ
          
            C
          
        
        =
        
          
            h
            
              m
              c
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lambda _{C}={h \over mc}}
  som kalles for Compton-bølgelengden.  For θ = 90° er λ' - λ = λC  og er derfor uavhengig av bølgelengden til den innkommende strålingen.  Benytter man at hc =  1,240 keV⋅nm sammen med verdien for elektronets masse m = 0,511 MeV/c2, finner man λC = 0,00243 nm. Et foton med denne bølgelengden vil ha energien EC = mc2 = 511 keV som er en typisk røntgenenergi. Den reduserte Compton-bølgelengden er definert som λC' =  ħ/mc hvor  ħ = h/2π  er den reduserte Plancks konstant. Denne er 137 ganger mindre enn Bohr-radius og 137 ganger større enn den klassiske elektronradiusen.
I sitt avgjørende eksperiment i 1923 benyttet Compton røntgenstråling fra molybden og spesielt Kα - linjen med bølgelengden λ = 0,0710 nm. Som spreder brukte han grafitt fordi elektronene i kullatomet er forholdsvis løst bundne. Han målte da spredt stråling med bølgelengde λ' = 0,0731 nm for spredningsvinkelen  θ = 90° i overensstemmelse med sin formel når man tar hensyn til usikkerheten i målingene. Formelen ga også riktige resultater ved andre spredningsvinkler.
For røntgenstråling med bølgelengder lengre enn Compton-bølgelengden, vil den spredte strålingen ha omtrent samme bølgelengde som den innfallende strålingen. Dette tilsvarer røntgenenergier E < 500 keV. Compton-spredning kan da beskrives som Thomson-spredning.  Derimot for høyere energier E > 500 keV vil den spredte strålingen ha en bølgelengde λ'  av samme størrelsesorden som Compton-bølgelengden uavhengig av bølgelengden til den innfallende strålingen.


== Sekundærelektronet ==
Elektronet som det innkommende fotonet vekselvirker med mottar en impuls fra dette og blir slått ut en vinkel φ til siden. Det kan da påvises som et sekundærelektron. Fra de to ligningene for impulsbevarelse følger at utslagsvinkelen er gitt ved relasjonen

  
    
      
        cot
        ⁡
        ϕ
        =
        
          
            (
          
        
        1
        +
        
          
            
              h
              ν
            
            
              m
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        tan
        ⁡
        
          
            θ
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \cot \phi ={\Big (}1+{h\nu  \over mc^{2}}{\Big )}\tan {\theta  \over 2}}
  Når spredningsvinkelen er θ = 90°, har sekundærelektronet en impuls langs innfallsretningen lik impulsen h/λ til det innfallende fotonet. Normalt til denne retningen har elektronet samtidig en impulskomponent lik impulsen  h/λ'  til det spredte fotonet.
Den kinetiske energien T = (γ - 1)mc2 til det spredte elektronet er T = h(ν - ν' ). Denne vil ikke overstige energien til det innkommende fotonet E = hν og får sin maksimale verdi

  
    
      
        
          T
          
            m
            a
            x
          
        
        =
        
          
            
              h
              ν
            
            
              1
              +
              m
              
                c
                
                  2
                
              
              
                /
              
              2
              h
              ν
            
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{max}={h\nu  \over 1+mc^{2}/2h\nu }}
  når fotonet blir spredt tilbake, det vil si for θ = 180°. Denne energien tilsvarer Compton-kanten for spredning av fotoner på elektroner.


== Referanser ==