Konjugert (matematikk)

Konjugert kommer fra latin «konjugere» som betyr å binde to ting sammen, koble sammen parvis. I språkvitenskapen konjugeres verb, og i matematikk og fysikk kobles to ting i en resiprok relasjon.I matematikk brukes konjugert in mange sammenhenger og blant annet om: 


== Algebra ==
I algebra er et konjugat et binominal. Konjugatet av 

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        )
         
      
    
    {\displaystyle (x+y)\ }
  
er 

  
    
      
        (
        x
        −
        y
        )
         
      
    
    {\displaystyle (x-y)\ }
  
hvor x og y er reelle tall. 
Hvis y er et imaginært tall kalles det kompleks konjugasjon. Det komplekse konjugat av 

  
    
      
        (
        a
        +
        b
        i
        )
         
      
    
    {\displaystyle (a+bi)\ }
  
er

  
    
      
        (
        a
        −
        b
        i
        )
         
      
    
    {\displaystyle (a-bi)\ }
  
hvor a og b er reelle tall og 

  
    
      
        (
        i
        =
        
          
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (i={\sqrt {-1}})}
  


=== Konjugatregelen ===
Produktet av et binom med sitt konjugat blir etter tredje kvadratsetning differansen mellom to kvadrater:

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        )
        (
        x
        −
        y
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
        −
        
          y
          
            2
          
        
         
      
    
    {\displaystyle (x+y)(x-y)=x^{2}-y^{2}\ }
  


=== Konjugerte komplekse tall ===
To komplekse tall er innbyrdes konjugert hvis de kan skrives: 
  
    
      
        (
        a
        +
        b
        
          
            c
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a+b{\sqrt {c}})}
    og    
  
    
      
        (
        a
        −
        b
        
          
            c
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a-b{\sqrt {c}})}
   der a og b er relle.
I det komplekse plan representeres konjugerte komplekse tall ved punkter som ligger symmetrisk om den reelle aksen.


=== Konjugerte rotstørrelser ===
I den vanlige algebraen betegnes to uttrykk som inneholder kvadratrøtter konjugerte dersom de er av formen 

  
    
      
        (
        a
        +
        b
        
          
            c
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a+b{\sqrt {c}})}
  og 

  
    
      
        (
        a
        −
        b
        
          
            c
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (a-b{\sqrt {c}})}
   der a, b og c er rasjonelle tall.


== Andre grener av matematikken ==


=== Konjugert diameter ===
I en ellipse og i en hyperbel faller diametrene i konjugerte par gjennom senteret.


=== Konjugert hyperbel ===
Til en gitt hyberbel er det den hyperbelen der første og andreaksen er henholdsvis andre og førsteakse til den gitte.


=== Konjugert hyperbeloide ===
En konjugert hyperbel er definert ved  
  
    
      
        
          (
          
            
              
                x
                
                  2
                
              
              
                
                  a
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          −
          
            
              
                y
                
                  2
                
              
              
                
                  b
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          =
          −
          1
          )
        
      
    
    {\displaystyle {({x^{2} \over {a^{2}}}-{y^{2} \over {b^{2}}}=-1)}}
  , det vil si at aksene er byttet om.
Symptotene og sentrum er da felles, og brennpunktene G og G´ i den  konjugerte har også avstanden c fra sentrum.
Eksentrisiteten er 
  
    
      
        
          (
          
            
              c
              b
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {({c \over b})}}
   i den konjugerte.


== Referanser ==