Parallellogramloven

Parallellogramloven er i geometri en sammenheng mellom lengdene av sidene og diagonalene i et parallellogram.  I et indreproduktrom der normen er avledet av indreproduktet gjelder også en generalisert form for parallellogramloven, som en normidentitet mellom lineærkombinasjoner av to  vektorer.  
Lar en hjørnene i et parallellogran være betegnet A, B, C og D, slik som vist på figuren til høyre, så kan lengden av sidene betegnes AB, BC, CD og DA.  Lengden av de to diagonalene er  AC og BD.  I euklidsk geometri  er lengden av motstående sider i et parallellogram like lange, slik at AB = CD and BC = DA.  Parallellogramloven kan da uttrykkes som 

  
    
      
        2
        (
        A
        B
        
          )
          
            2
          
        
        +
        2
        (
        B
        C
        
          )
          
            2
          
        
        =
        (
        A
        C
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        B
        D
        
          )
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle 2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=(AC)^{2}+(BD)^{2}\,}
  Dersom parallellogrammet også er et rektangel, så er de to diagonalene like lange:  AC = BD.  Parallellogramloven reduserer seg da til Pythagoras’ læresetning:

  
    
      
        2
        (
        A
        B
        
          )
          
            2
          
        
        +
        2
        (
        B
        C
        
          )
          
            2
          
        
        =
        2
        (
        A
        C
        
          )
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle 2(AB)^{2}+2(BC)^{2}=2(AC)^{2}\,}
  


== Parallellogramloven i indreproduktrom ==

I et indreproduktrom der normen er avledet av indreproduktet er parallellogramloven en identitet mellom vektornormer:

  
    
      
        2
        ‖
        x
        
          ‖
          
            2
          
        
        +
        2
        ‖
        y
        
          ‖
          
            2
          
        
        =
        ‖
        x
        +
        y
        
          ‖
          
            2
          
        
        +
        ‖
        x
        −
        y
        
          ‖
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle 2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}=\|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}.\,}
  Identiteten vil være oppfylt for alle vektorer x og y.  Sammenhengen mellom normen og indreproduktet er gitt ved

  
    
      
        ‖
        x
        
          ‖
          
            2
          
        
        =
        ⟨
        x
        ,
        x
        ⟩
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \|x\|^{2}=\langle x,x\rangle ,\,}
  og bevis for at identiteten er oppfylt følger umiddelbart fra egenskaper til indreproduktet:

  
    
      
        ‖
        x
        +
        y
        
          ‖
          
            2
          
        
        =
        ⟨
        x
        +
        y
        ,
        x
        +
        y
        ⟩
        =
        ⟨
        x
        ,
        x
        ⟩
        +
        ⟨
        x
        ,
        y
        ⟩
        +
        ⟨
        y
        ,
        x
        ⟩
        +
        ⟨
        y
        ,
        y
        ⟩
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x+y,x+y\rangle =\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle ,\,}
  

  
    
      
        ‖
        x
        −
        y
        
          ‖
          
            2
          
        
        =
        ⟨
        x
        −
        y
        ,
        x
        −
        y
        ⟩
        =
        ⟨
        x
        ,
        x
        ⟩
        −
        ⟨
        x
        ,
        y
        ⟩
        −
        ⟨
        y
        ,
        x
        ⟩
        +
        ⟨
        y
        ,
        y
        ⟩
        .
        
      
    
    {\displaystyle \|x-y\|^{2}=\langle x-y,x-y\rangle =\langle x,x\rangle -\langle x,y\rangle -\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle .\,}
  Parallellogramloven framkommer ved å summere de to uttrykkene:

  
    
      
        ‖
        x
        +
        y
        
          ‖
          
            2
          
        
        +
        ‖
        x
        −
        y
        
          ‖
          
            2
          
        
        =
        2
        ⟨
        x
        ,
        x
        ⟩
        +
        2
        ⟨
        y
        ,
        y
        ⟩
        =
        2
        ‖
        x
        
          ‖
          
            2
          
        
        +
        2
        ‖
        y
        
          ‖
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle \|x+y\|^{2}+\|x-y\|^{2}=2\langle x,x\rangle +2\langle y,y\rangle =2\|x\|^{2}+2\|y\|^{2}.\,}
  Dersom x er ortogonal til y, da er 
  
    
      
        ⟨
        x
        ,
         
        y
        ⟩
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \langle x,\ y\rangle =0}
   og 
parallellogramloven reduserer seg igjen til Pythagoras' læresetning:

  
    
      
        ‖
        x
        +
        y
        
          ‖
          
            2
          
        
        =
        ⟨
        x
        ,
        x
        ⟩
        +
        ⟨
        x
        ,
        y
        ⟩
        +
        ⟨
        y
        ,
        x
        ⟩
        +
        ⟨
        y
        ,
        y
        ⟩
        =
        ‖
        x
        
          ‖
          
            2
          
        
        +
        ‖
        y
        
          ‖
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \|x+y\|^{2}=\langle x,x\rangle +\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\langle y,y\rangle =\|x\|^{2}+\|y\|^{2}.}
  


== Referanser ==