Mangfoldighet

Mangfoldighet innen matematikk er et topologisk rom som «lokalt» ser ut som vanlig euklidsk rom, men som «globalt» kan ha en annen form. Mer presist, en n-dimensjonal mangfoldighet er et topologisk rom hvor hvert punkt har en åpen omegn homeomorf med en åpen delmengde av Rn. Vi kaller en slikt omegn for en «kartomegn».
Eksempler på mangfoldigheter inkluderer den reelle tallinjen R, sirkelen S1, kuleflaten S2 og torusen. Den reelle linjen og sirkelen er eksempler på 1-dimensjonale mangfoldigheter, og kalles gjerne for kurver. Kuleflaten og torusen er eksempler på 2-dimensjonale mangfoldigheter, og kalles gjerne for flater.
Mangfoldigheter er sentrale i matematikken, siden en mangfoldighet kan arve «global» struktur som ellers er definerert «lokalt» på et euklidsk rom. For eksempel kan en definere glatthet av en funksjon mellom åpne mengder av to endeligdimensjonale reelle vektorrom, og så utvide dette begrepet til mangfoldigheter.
Man sier at en funksjon f mellom to mangfoldigheter M og N er glatt hvis den kan sees å være glatt for ethvert kartomegn U i M som under f sendes til et kartomegn V i N. For at dette skal være nyttig må vi restriktere mulige identifikasjoner av U og V med åpne mengder i Rn på en slik måte at glatthet blir uavhengig av disse valgene. En slik restriksjon gjøres via et valg av glatt atlas:


== Glatte atlas ==
Et kart er en homeomorfi fra en åpen mengde på mangfoldigheten til en åpen delmengde av Rn.  Et atlas er en samling med kart som er kompatible og hvor kartmengdene dekker hele mangfoldigheten. Dette betyr at om 
  
    
      
        ϕ
        :
        U
        →
        
          U
          ′
        
        ⊂
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi :U\to U'\subset \mathbb {R} ^{n}}
   og 
  
    
      
        ψ
        :
        V
        →
        
          V
          ′
        
        ⊂
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \psi :V\to V'\subset \mathbb {R} ^{n}}
   er to kart, så krever vi at både 
  
    
      
        ψ
        ∘
        
          ϕ
          
            −
            1
          
        
        :
        ϕ
        (
        U
        ∩
        V
        )
        →
        ψ
        (
        U
        ∩
        V
        )
      
    
    {\displaystyle \psi \circ \phi ^{-1}:\phi (U\cap V)\to \psi (U\cap V)}
   og 
  
    
      
        ϕ
        ∘
        
          ψ
          
            −
            1
          
        
        :
        ψ
        (
        U
        ∩
        V
        )
        →
        ϕ
        (
        U
        ∩
        V
        )
      
    
    {\displaystyle \phi \circ \psi ^{-1}:\psi (U\cap V)\to \phi (U\cap V)}
   er homeomorfier.
En kan pålegge mer struktur på disse overgangsavbildningene. En kan for eksempel kreve at alle overgangsavbildningene er glatte eller holomorfe. To (glatte) atlas sies å være ekvivalente hvis unionen av dem fortsatt er et (glatt) atlas. En glatt struktur på mangfoldigheten er da et valg av ekvivalensklasse av atlas. En glatt mangfoldighet er en mangfoldighet sammen med et valg av glatt struktur.
En kan tenke på overflaten til jordkloden som en kuleflate. Et atlas er en samling med kart som vi kan bruke for å se hvordan overflaten ser ut lokalt. Mer presist, hvert kart er en homeomorfi fra en åpen delmengde av S2 til planet R2.
For å gi sirkelen S1 en mangfoldighetsstruktur, kan vi gjøre det som illustrert på figuren til høyre. Vi dekker sirkelen med fire åpne mengder, og projiserer hver av disse ned på en åpen linje. Dette illustrerer også at sirkelen på nært hold ser ut som en linje.