Lineærkombinasjon

En lineærkombinasjon er i matematikk en endelig sum av ledd der hvert ledd er lik en konstant koeffisient multiplisert med en vektor. Uttrykket (3u + v - 2w) vil for eksempel være en lineærkombinasjon av de tre vektorene u, v og w.   Lineærkombinasjoner er svært viktige i fagfeltet lineær algebra.


== Formell definisjon ==
La V være et vektorrom med en tilhørende kropp K av skalarer.  Dersom v1,...,vn er vektorer i V og a1,...,an er skalarer i K, så er en lineærkombinasjon i V et uttrykk på formen 

  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        
          v
          
            1
          
        
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          v
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            3
          
        
        
          v
          
            3
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            n
          
        
        
          v
          
            n
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}.\,}
  Fra definisjonen av et vektorrom følger det at lineærkombinasjonen er inneholdt i vektorrommet.
Det eksisterer en viss tvetydighet i om begrepet lineærkombinasjon refererer til sum-uttrykket eller til resultatet av summasjonen.  Vanligvis vil bruken referere til resultatet, slik som i utsagnet Alle lineærkombinasjoner av u, v og w utgjør et underrom.  I visse tilfeller kan en også referere til formen på uttrykket, som i formuleringen  Vektoren u kan uttrykkes med to ulike lineærkombinasjoner.  


== Lineær utspenning ==
Den lineære utspenningen av en mengde vektorer S = {v1,...,vn } i vektorrommet V er definert som mengden av alle lineærkombinasjoner av vektorene i mengden.  Adjektivet «lineær» er ofte underforstått, slik at en bare bruker begrepet «utspenning» alene.  Den lineære utspenningen er et underrom i V.
Som notasjon for utspenningen til mengden S brukes både span S, sp S og [S].
Et endelig-dimensjonalt vektorrom V er selv utspent av en mengde av basisvektorer i rommet.  Det vil si at alle vektorer i V kan skrives som en lineærkombinasjon av basisvektorer.  


== Eksempler ==


=== Koordinatvektorer ===
La V være det euklidske vektorrommet R3, definert over mengden av reelle tall.  Som basisvektorer for dette rommet kan en velge e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0) og e3 = (0,0,1).
En vilkårlig vektor i R3 kan uttrykkes som en lineærkombinasjon av disse basisvektorene.  Som eksempel kan vektoren (3,-1,2) skrives som lineærkombinasjonen (3e1 - e2 + 2e3).  


=== Funksjoner ===
La V være vektorrommet av alle relle kontinuerlige funksjoner.  De to funksjonen f(x) = sin x og g(x) = cos x er begge elementer i dette vektorrommet.  Den tredje funksjonen h(x) = sin (x + π) + sin(x + π/2)  er en lineærkombinasjon av funksjonen f og g, noe som følger av kjente trigonometriske identiteter:

  
    
      
        h
        (
        x
        )
        =
        sin
        ⁡
        (
        x
        +
        π
        )
        +
        sin
        ⁡
        (
        x
        +
        
          
            π
            2
          
        
        )
        =
        −
        sin
        ⁡
        x
        +
        cos
        ⁡
        x
        =
        −
        f
        (
        x
        )
        +
        g
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle h(x)=\sin(x+\pi )+\sin(x+{\frac {\pi }{2}})=-\sin x+\cos x=-f(x)+g(x)}
  Den konstante funksjonen j(x) = 3 er derimot ikke en lineærkombinasjon av f og g.  


== Spesialtilfeller av lineærkombinasjoner ==
Ved å legge ytterlige føringer på koeffisientene i lineærkombinasjonene kan en definere spesialtilfeller eller undermengder av lineærkombinasjonene.  I en affin lineærkombinasjon er summen av alle koeffisientene ai lik 1.  I en konveks lineærkombinasjon er alle koeffisientene ikke-negative.   


== Litteratur ==
Fr. Fabricius-Bjerre (1977). Lærebog i geometri.  Del 1: Analytisk geometri.  Lineær algebra. Lyngby,: Polyteknisk forlag. ISBN 978-8-7502-0439-8. Ronald Douglas Milne (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6. 


== Eksterne lenker ==
Lineær algebra, støttesider for studenter ved Universitetet i Oslo.