Enhetsformelen

Enhetsformelen er en trigonometrisk identitet som uttrykker Pytagoras’ læresetning ved hjelp av trigonometriske funksjoner. Sammen med formler for sum av to vinkler er den en av de grunnleggende sammenhengene mellom sinus og cosinus, som alle andre trigonometriske funksjoner kan utledes fra.


== Setningen ==

Enhetsformelen sier:

  
    
      
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        +
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        =
        1.
        
      
    
    {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1.\!}
  (Merk at sin2 θ betyr (sin θ)2).
Hvis lengden av hypotenusen i en rettvinklet trekant er 1, så er lengden av katetene lik sinus og cosinus til en av vinklene. Derfor følger denne trigonometriske identiteten fra Pytagoras’ læresetning.


== Bevis og deres forhold til Pytagoras' setning ==


=== Bevis basert på rettvinklede trekanter ===
De elementære definisjonene av sinus- og cosinusfunksjonene ut fra sidene i en rettvinklet trekant er:

  
    
      
        sin
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              
                m
                o
                t
                s
                t
              
              
                
                  
                    a
                  
                  
                    

                    
                    
                      ∘
                    
                  
                
              
              
                
                  ende
                
              
            
            
              h
              y
              p
              o
              t
              e
              n
              u
              s
            
          
        
        =
        
          
            b
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin \theta ={\frac {\mathrm {motst} {\overset {{}_{\circ }}{\textrm {a}}}{\textrm {ende}}}{\mathrm {hypotenus} }}={\frac {b}{c}}}
  
  
    
      
        cos
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              h
              o
              s
              l
              i
              g
              g
              e
              n
              d
              e
            
            
              h
              y
              p
              o
              t
              e
              n
              u
              s
            
          
        
        =
        
          
            a
            c
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathrm {hosliggende} }{\mathrm {hypotenus} }}={\frac {a}{c}}\ .}
  Enhetsformelen følger ved å kvadrere begge definisjonene over, og legge sammen; venstre side i identiteten blir da

  
    
      
        
          
            
              
                m
                o
                t
                s
                t
              
              
                
                  
                    a
                  
                  
                    

                    
                    
                      ∘
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    ende
                  
                
                
                  2
                
              
              +
              
                
                  h
                  o
                  s
                  l
                  i
                  g
                  g
                  e
                  n
                  d
                  e
                
                
                  2
                
              
            
            
              
                h
                y
                p
                o
                t
                e
                n
                u
                s
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {motst} {\overset {{}_{\circ }}{\textrm {a}}}{\textrm {ende}}^{2}+\mathrm {hosliggende} ^{2}}{\mathrm {hypotenus} ^{2}}}}
  som ved Pytagoras' setning er lik 1. Merk imidlertid at denne definisjonen bare er gyldig for vinkler mellom 0 og π/2 radianer (ikke inklusive 0 og π/2) og beviser derfor ikke identiteten for alle vinkler. Verdier på 0 og π/2 bevises enkelt ved direkte evaluering av sin og cos for disse vinkler.


== Se også ==
Enhetssirkel
Potensrekke
Differensialligning


== Noter og referanser ==


== Eksterne lenker ==
En interaktiv illustrasjon av enhetsformelen