Store halvakse

Den store halvakse er innen geometri brukt til å beskrive dimensjonene til ellipser og hyperbler.


== Ellipse ==
Hovedaksen eller storeaksen i en ellipse er den største diameteren, det vil si en linje som går gjennom senteret og begge brennpunktene og som ender i de to punktene på ellipsen som er lengst fra hverandre. Den store halvaksen er halvparten av hovedaksen og strekker seg fra ellipsens sentrum, gjennom ett brennpunkt og ut til ellipsens periferi. For en sirkel, som er et spesialtilfelle av en ellipse, er den store halvaksen det samme som radiusen i sirkelen. 
Den store halvaksens lengde 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   er relatert til den lille halvaksen 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   gjennom eksentrisiteten 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
   og halve latus rectum 
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
   som følger:

  
    
      
        b
        =
        a
        
          
            1
            −
            
              e
              
                2
              
            
          
        
        ,
        
      
    
    {\displaystyle b=a{\sqrt {1-e^{2}}},\,}
  

  
    
      
        ℓ
        =
        a
        (
        1
        −
        
          e
          
            2
          
        
        )
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \ell =a(1-e^{2}),\,}
  

  
    
      
        a
        ℓ
        =
        
          b
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle a\ell =b^{2}.\,}
  En parabel kan dannes som grensen til en rekke av ellipser når ett brennpunkt holdes konstant og det andre flyttes vilkårlig lengre bort mens 
  
    
      
        ℓ
      
    
    {\displaystyle \ell }
   holdes konstant. Da vil 
  
    
      
        a
        
        
      
    
    {\displaystyle a\,\!}
   og 
  
    
      
        b
        
        
      
    
    {\displaystyle b\,\!}
   gå mot uendelig, og 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   raskere enn 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  .
Den store halvaksen er middelverdien av den minste og største avstanden fra ett brennpunkt til ellipsens periferi. Hvis man bruker polarkoordinater, og holder ett brennpunkt i origo og den andre på den positive x-aksen, får man:

  
    
      
        r
        (
        1
        −
        e
        cos
        ⁡
        θ
        )
        =
        ℓ
        .
        
      
    
    {\displaystyle r(1-e\cos \theta )=\ell .\,}
  Middelverdien av 
  
    
      
        r
        =
        
          
            ℓ
            
              1
              +
              e
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle r={\ell  \over {1+e}}\,\!}
   og 
  
    
      
        r
        =
        
          
            ℓ
            
              1
              −
              e
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle r={\ell  \over {1-e}}\,\!}
   blir da:

  
    
      
        a
        =
        
          
            ℓ
            
              1
              −
              
                e
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle a={\ell  \over 1-e^{2}}.\,}
  


== Hyperbel ==
Den store halvaksen, eller halve førsteaksen, i en hyperbel er halvparten av den minste avstanden mellom de to grenene. Hvis den store halvaksen er orienteret i x-retning og har lengde 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   er:

  
    
      
        
          
            
              
                (
                
                  x
                  −
                  h
                
                )
              
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        −
        
          
            
              
                (
                
                  y
                  −
                  k
                
                )
              
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle {\frac {\left(x-h\right)^{2}}{a^{2}}}-{\frac {\left(y-k\right)^{2}}{b^{2}}}=1.}
  Uttrykt med halve latus rectum og eksentrisiteten har man:

  
    
      
        a
        =
        
          
            ℓ
            
              
                e
                
                  2
                
              
              −
              1
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle a={\ell  \over e^{2}-1}.}
  


== Astronomi ==


== Eksterne lenker ==
Store og lille halvakse i en ellipse, interaktiv animasjon