London-ligningen

London-ligningen beskriver egenskapene til magnetfeltet i en superleder. Spesielt forklarer den Meissner-effekten der et ytre magnetfelt under en kritisk temperatur tvinges ut av dens indre. Ligningen inneholder bare en parameter som er «penetrasjonsdybden» λ og angir hvor langt magnetfeltet kan trenge inn i superlederen. Denne fenomenologske beskrivelsen kan utledes fra den senere mer velfunderte Ginzburg-Landau-teorien.
Ligningen ble funnet av brødrene Fritz og Heinz London i 1935 mens de var i Oxford etter å ha flyktet fra Tyskland.


== Utledning ==
Da det var kjent at superledning først opptrer under en viss, kritisk temperatur, var det nærliggende å tro at fenomenet hadde noen felles trekk med Bose-Einstein-kondensasjon. Selv om elektronene i et metal er fermioner og ikke bosoner, tenkte man seg likevel at en del av disse med tetthet ns kunne danne et superledende kondensat. Over den kritiske temperaturen er denne lik null, mens for lavere temperaturer er ns > 0 og materialet er superledende.
Kondensatet er antatt å bestå av ladningsbærere med masse m og elektrisk ladning q. De beveger seg i et magnetfelt som alltid kan uttrykkes ved vektorpotensialet A ved den fundamentale sammenhengen B = ∇ × A. Den sier at  de magnetiske feltlinjene er lukkete kurver. Fra klassisk mekanikk vil hver slik partikkel i dette feltet ha en hastighet v og impuls p som er forbundet ved relasjonen p = m v + q A som følger fra elektromagnetisk gaugeinvarians.
Bevegelsen til de superledende partiklene i kondensatet gir opphav til en elektrisk strømtetthet Js = qns v. London-ligningen kommer nå frem ved å anta at i et uniformt kondensat må partiklene ha impulsen p som også gjelder for partiklene i et Bose-Einstein-kondensat. Dermed har man sammenhengen

  
    
      
        
          
            J
          
          
            s
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                n
                
                  s
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            m
          
        
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {J} _{s}=-{n_{s}q^{2} \over m}\mathbf {A} }
  som gir opphav til ligningen. På denne formen er den ikke gaugeinvariant, men bare for vektorpotensial som oppfyller betingelsen ∇⋅A = 0. Vanligvis sier man at dette tilsvarer å benytte Coulomb-gauge, men ved utledningen her kalles betingelsen likså ofte for bruk av «London-gauge». Uansett skyldes den at strømmen må tilfredsstille ∇⋅J = 0 som følger fra kontinuitetsligningen under stasjonære forhold.
London-ligningen på denne formen kommer frem på samme form fra den mer velbegrunnete Ginzburg-Landau-teorien og har derfor en gyldighet utover de enkle antagelsene gjort i denne utledningen. Den er også derfor konsistent med den mer fundamentale BCS-teorien hvorav det fremgår at de superledende ladningsbærerne er Cooper-par med tetthet ns bestående av to elektroner slik at ladningen q = 2e.


=== Formulert som differensialligning ===
Ligningen kan formuleres for magnetfeltet alene ved å bruke Ampères sirkulasjonslov  ∇ × B = μ0Js når man benytter SI-systemet hvor μ0 er den magnetiske konstanten. Tar man nå curl av London-ligningen og benytter fra vektoranalysen identiteten  ∇ ×(∇ × B) = ∇ (∇⋅B) - ∇2 B, fremkommer differensialligningen

  
    
      
        
          ∇
          
            2
          
        
        
          B
        
        =
        
          
            1
            
              λ
              
                2
              
            
          
        
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={1 \over \lambda ^{2}}\mathbf {B} }
  da ∇⋅B = 0 gjelder alltid. Her er inngår parameteren λ2 = m/μ0nsq2 som omtales som «penetrasjonslengden». Den sier hvor langt magnetfeltet kan trenge inn i en superleder. Når temperaturen øker og nærmer seg den kritiske verdien, vil ns → 0. Det betyr at da vil λ → ∞ og magnetfeltet kan da gå gjennom hele superlederen. Det er da ingen Meissner-effekt, og superlederen er gått over i den normale fasen.


== Enkel anvendelse ==
Man tenker seg en superleder som fyller rommet x > 0 som ellers består av et normalt materiale eller luft. Hele systemet befinner seg i et ytre magnetfelt som man kan anta er parallelt med z-aksen. Dette har en størrelse B0 i området x < 0  utenfor superlederen. Inni denne forenkles nå London-ligningen til

  
    
      
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              B
            
            
              d
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            B
            
              λ
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {d^{2}B \over dx^{2}}={B \over \lambda ^{2}}}
  Den eneste løsningen som er kompatibel med de gitte gremnsebetingelsene, er

  
    
      
        B
        (
        x
        )
        =
        
          B
          
            0
          
        
        
          e
          
            −
            x
            
              /
            
            λ
          
        
      
    
    {\displaystyle B(x)=B_{0}e^{-x/\lambda }}
  Magnetfelt inni superlederen går derfor mot null i avstander fra overflaten som er mye større en penetrasjonslengden λ. Dette er Meissner-effekten.


== Litteratur ==
F. London and H. London, The Electromagnetic Equations of the Supraconductor, Proc. Roy. Soc. London, Ser. A 149 (866), 71-88 (1935).
M. Tinkham, Introduction to Superconductivity, Dover Books, New York (2004). ISBN 978-0-486-43503-9.