Kumulativ fordelingsfunksjon

Den kumulative fordelingsfunksjonen beskriver en sannsynlighetsfordeling for en stokastisk variabel innenfor matematisk statistikk. For en stokastisk variabel X, med sannsynlighetsfunksjonen P(x), defineres den kumulative fordelingsfunksjonen FX(x) som:

  
    
      
        
          F
          
            X
          
        
        (
        x
        )
        =
        P
        (
        X
        ≤
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)}
  Den kumulative fordelingsfunksjonen er monotont stigende og har, blant annet, alltid følgende egenskaper:

  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            −
            ∞
          
        
        F
        (
        x
        )
        =
        0
        ,
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0,}
  
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        F
        (
        x
        )
        =
        1
        ,
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }F(x)=1,}
  
  
    
      
        0
        ≤
        F
        (
        x
        )
        ≤
        1.
      
    
    {\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1.}
  For en diskret stokastisk variabel som kan anta verdiene x1, x2... er F diskontinuerlig i punktene xi og har konstant verdi mellom dem, det vil si at den har et trappetrinnlignende utseende.
For en kontinuerlig stokastisk variabel er F lik

  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            x
          
        
        f
        (
        t
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle F(x)=\int _{-\infty }^{x}f(t)dt}
  der f(t) er tetthetsfunksjonen (eller frekvensfunksjonen) for variabelens fordeling.
Sannsynligheten for at en stokastisk variabel skal anta verdier større enn a og mindre eller lik b kan finnes ved:

  
    
      
        P
        (
        a
        <
        X
        ≤
        b
        )
        =
        F
        (
        b
        )
        −
        F
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)}
  
Tabell over verdiene hos den kumulative normalfordelingsfunksjonen ligger her. Andre fordelinger har andre tabeller.


== Egenskaper ==
Hvis X er en diskret stokastisk variabel, med verdier X1, X2, ... med punktsannsynlighet pi=p(xi)

  
    
      
        F
        (
        x
        )
        =
        P
        ⁡
        (
        X
        ≤
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            
              x
              
                i
              
            
            ≤
            x
          
        
        P
        ⁡
        (
        X
        =
        
          x
          
            i
          
        
        )
        =
        
          ∑
          
            
              x
              
                i
              
            
            ≤
            x
          
        
        p
        (
        
          x
          
            i
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)=\operatorname {P} (X\leq x)=\sum _{x_{i}\leq x}\operatorname {P} (X=x_{i})=\sum _{x_{i}\leq x}p(x_{i})}
  Hvis X er en kontinuerlig stokastisk variabel med tetthetsfunksjon f(x), er kumulative fordelingen gitt ved:

  
    
      
        F
        (
        b
        )
        −
        F
        (
        a
        )
        =
        P
        ⁡
        (
        a
        ≤
        X
        ≤
        b
        )
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        d
        x
      
    
    {\displaystyle F(b)-F(a)=\operatorname {P} (a\leq X\leq b)=\int _{a}^{b}f(x)\,dx}
  Da er det viktig å ha i bakhodet at en kontinuelig sannsynelighetstetthet f(x) har en kumulativ fordeling:

  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        x
        )
        d
        x
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }f(x)dx=1}