Kompleks konjugasjon

Et komplekskonjugat er resultatet av en operasjon på et komplekst tall. I det komplekse tallsystemet innebærer konjugering å avbilde tallet som dets speiling om den reelle aksen. Komplekskonjugatet av et tall 
  
    
      
         
        z
        =
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle \ z=a+bi}
   betegnes med 
  
    
      
        
          
            
              z
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {z}}}
   eller 
  
    
      
        
          z
          
            ∗
          
        
        
      
    
    {\displaystyle z^{*}\,}
   og kan defineres som

  
    
      
        
          
            
              z
              ¯
            
          
        
        =
        
          
            
              a
              +
              b
              i
            
            ¯
          
        
        =
        a
        −
        b
        i
        
        a
        ,
        b
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {z}}={\overline {a+bi}}=a-bi\quad a,b\in \mathbb {R} }
  eller i polarkoordinater

  
    
      
        
          
            z
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              r
              
                e
                
                  i
                  θ
                
              
            
            ¯
          
        
        =
        r
        
          e
          
            −
            i
            θ
          
        
        
        r
        ∈
        
          R
        
        
        θ
        ∈
        [
        0
        ,
        2
        π
        ]
      
    
    {\displaystyle {\overline {z}}={\overline {re^{i\theta }}}=re^{-i\theta }\quad r\in \mathbb {R} \quad \theta \in [0,2\pi ]}
  


== Egenskaper ==
Følgende gjelder for alle komplekse tall 
  
    
      
         
        z
      
    
    {\displaystyle \ z}
   og 
  
    
      
         
        w
      
    
    {\displaystyle \ w}
  

  
    
      
        
          
            
              (
              z
              +
              w
              )
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            z
            ¯
          
        
        +
        
          
            w
            ¯
          
        
        
         
      
    
    {\displaystyle {\overline {(z+w)}}={\overline {z}}+{\overline {w}}\!\ }
  
  
    
      
        
          
            
              (
              z
              w
              )
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            z
            ¯
          
        
        
        
          
            w
            ¯
          
        
        
         
      
    
    {\displaystyle {\overline {(zw)}}={\overline {z}}\;{\overline {w}}\!\ }
  
  
    
      
        
          
            
              (
              
                
                  z
                  w
                
              
              )
            
            ¯
          
        
        =
        
          
            
              z
              ¯
            
            
              w
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {\left({\frac {z}{w}}\right)}}={\frac {\overline {z}}{\overline {w}}}}
    om 
  
    
      
        w
        ≠
        0
        
      
    
    {\displaystyle w\neq 0\,}
  
  
    
      
        
          
            z
            ¯
          
        
        =
        z
        
         
      
    
    {\displaystyle {\overline {z}}=z\!\ }
   om og bare om 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   er et reelt tall.
  
    
      
        
          |
          
            
              z
              ¯
            
          
          |
        
        =
        
          |
          z
          |
        
      
    
    {\displaystyle \left|{\overline {z}}\right|=\left|z\right|}
  
  
    
      
        arg
        ⁡
        (
        
          
            z
            ¯
          
        
        )
        =
        −
        arg
        ⁡
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle \arg({\overline {z}})=-\arg(z)}
  
  
    
      
        
          
            
              |
              z
              |
            
          
          
            2
          
        
        =
        z
        
          
            z
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\left|z\right|}^{2}=z{\overline {z}}}
  
  
    
      
        
          z
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            
              z
              ¯
            
            
               
              
                
                  |
                  z
                  |
                
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle z^{-1}={\frac {\overline {z}}{\ \left|z\right|^{2}}}}
   om 
  
    
      
        z
        ≠
        0
        
      
    
    {\displaystyle z\neq 0\,}
  Komplekskonjugering er et av de enkleste eksemplene på en ikke-analytisk funksjon.