Balansert strøm

Balansert strøm er i atmosfærisk dynamikk en idealisering av atmosfæriske bevegelser der kreftene som virker på en luftpakke i balanse. Idealisert sett er stasjonær balansert strøm ofte en god tilnærmelse og er nyttig til å kvalitativt forstå atmosfæriske bevegelser.


== Bevegelsesligningene i naturlige koordinater ==
De horisontale bevegelsesligningene for en luftpakke i naturlige koordinater kan uttrykkes som følgende:

  
    
      
        
          
            
              D
              V
            
            
              D
              t
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              ϕ
            
            
              ∂
              s
            
          
        
        −
        K
        V
      
    
    {\displaystyle {\frac {DV}{Dt}}=-{\frac {\partial \phi }{\partial s}}-KV}
  

  
    
      
        0
        =
        
          
            
              V
              
                2
              
            
            R
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              ϕ
            
            
              ∂
              n
            
          
        
        −
        f
        V
      
    
    {\displaystyle 0={\frac {V^{2}}{R}}-{\frac {\partial \phi }{\partial n}}-fV}
  ,
der

V er farten til pakken
t er tiden
Φ er geopotensialet
s er avstanden langs pakkens trajektorie
K er friksjonskoeffisienten
R er krumningsradiusen
n er avstanden normal til pakkens trajektorie
f er coriolisparameteren
D/Dt er den tidsderiverte.Uttrykkene kan deles opp som følger:

  
    
      
        
          D
          V
        
        
          /
        
        
          D
          t
        
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {DV}/{Dt}{\frac {}{}}}
   er pakkens akselerasjon langs sin trajektorie.

  
    
      
        −
        
          ∂
          ϕ
        
        
          /
        
        
          ∂
          s
        
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\partial \phi }/{\partial s}{\frac {}{}}}
   er komponenten til trykkgradientkraften langs pakkens trajektorie.

  
    
      
        −
        K
        V
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -KV{\frac {}{}}}
   er friksjonskraften.

  
    
      
        −
        
          
            V
            
              2
            
          
        
        
          /
        
        
          R
        
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{V^{2}}/{R}{\frac {}{}}}
   er sentrifugalkraften.

  
    
      
        −
        
          ∂
          ϕ
        
        
          /
        
        
          ∂
          n
        
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\partial \phi }/{\partial n}{\frac {}{}}}
   er komponenten til trykkgradientkraften normal til pakkens trajektorie.

  
    
      
        −
        f
        V
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -fV{\frac {}{}}}
   er corioliskraften.I de følgende utledningene regner vi strømmen som stasjonær. Det vil si at strømlinjene ikke endrer seg og at man ikke tar med tangentkraften (slik at 
  
    
      
        
          D
          V
        
        
          /
        
        
          D
          t
        
        =
        0
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {DV}/{Dt}=0{\frac {}{}}}
  ). Ved å ta bort spesifikke ledd, får man fem følgende idealiserte strømmer: Antitriptisk strøm,  syklostrofisk strøm, geostrofisk strøm, gradientstrøm og treghetsstrøm.


== Antitriptisk strøm ==
Antitriptisk strøm skildrer ikke-akselererende strøm i en rett linje fra høyt til lavt trykk. Antitriptisk strøm er trolig den minst benyttede av de fem idealiserte strømmene, fordi vilkårene er strenge.


=== Utledning ===
For å få ligningen for antitriptisk strøm tenker man seg at den antitriptiske strømmen ikke går langs noen kurver. Man lar altså krumningsradiusen gå mot uendelig, og dermed vil sentrifugalleddet (
  
    
      
        
          
            V
            
              2
            
          
        
        
          /
        
        
          R
        
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {V^{2}}/{R}{\frac {}{}}}
  ) gå mot null. Vi tenker oss også at det ikke er noen trykkgradientkrefter normalt på trajektorien, eller vi tar bort 
  
    
      
        −
        
          ∂
          ϕ
        
        
          /
        
        
          ∂
          n
        
      
    
    {\displaystyle -{\partial \phi }/{\partial n}}
  . Vi tar også bort corioliskraften (
  
    
      
        −
        f
        V
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -fV{\frac {}{}}}
  ). Til slutt tenker vi oss at trykkgradientkraften normalt på trajektorien til pakken og friksjonskraften er i perfekt balanse. Dermed blir ligningen for antitriptisk strøm:

  
    
      
        −
        
          
            
              ∂
              ϕ
            
            
              ∂
              s
            
          
        
        =
        K
        V
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\partial \phi }{\partial s}}=KV}
  .


=== Bruk ===
Antitriptisk strøm kan brukes til å skildre visse grenselagsfenomener, som f.eks. solgangsbris og ekmanpumping. 


== Syklostrofisk strøm ==
Noen småskala rotasjonsfenomener kan skildres syklostrofisk. Syklostrofisk balanse kan man få i systemer som tornadoer, støvvirvler og skypumper. 


=== Utledning ===
For å få syklostrofisk balanse tar man bort leddene for friksjon (
  
    
      
        −
        K
        V
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -KV{\frac {}{}}}
  ), coriolis (
  
    
      
        −
        f
        V
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -fV{\frac {}{}}}
  ) og tangentiell trykkgradient (
  
    
      
        −
        
          ∂
          ϕ
        
        
          /
        
        
          ∂
          s
        
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -{\partial \phi }/{\partial s}{\frac {}{}}}
  ). Bevegelsesligningen blir da redusert til:

  
    
      
        0
        =
        −
        
          
            
              V
              
                2
              
            
            R
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              ϕ
            
            
              ∂
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 0=-{\frac {V^{2}}{R}}-{\frac {\partial \phi }{\partial n}}}
  ,
som gir

  
    
      
        V
        =
        
          
            −
            R
            
              
                
                  ∂
                  ϕ
                
                
                  ∂
                  n
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle V={\sqrt {-R{\frac {\partial \phi }{\partial n}}}}}
  .


=== Bruk ===
Siden syklostrofisk strøm ignorerer corioliseffekten, er den avgrenset til bruk på lave breddegrader eller på liten skala. Syklostrofisk strøm eller balanse blir ofte brukt til å studere småskala, kraftige virvler, som støvvirvler, tornadoer og skypumper. Rennó and Buestein brukte den syklostrofiske fartsligningen som grunnlag for en teori om skypumper. Winn, Hunyady og Aulich brukte den syklostrofiske tilnærmelsen for å regne ut den maksimale vinden til store tornadoer som passerer nær Allison i juni 1995.


== Geostrofisk strøm ==

Geostrofisk strøm skildrer rettlinjet strøm parallelt til de geopotensielle høydelinjene. Dette skjer ofte i den øvre troposfæren og meteorologer bruker ofte den geostrofiske og kvasi-geostrofiske teorien.


=== Utledning ===
I den øvre troposfæren kan man ofte se bort ifra friksjon (
  
    
      
        −
        K
        V
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -KV{\frac {}{}}}
  ) og krumning (
  
    
      
        −
        
          V
          
            2
          
        
        
          /
        
        R
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -V^{2}/R{\frac {}{}}}
  ). Ved å tenke seg stasjonær strøm parallelt med de geopotensielle høydelinjene (
  
    
      
        −
        ∂
        ϕ
        
          /
        
        ∂
        s
        =
        0
      
    
    {\displaystyle -\partial \phi /\partial s=0}
  ) står man igjen med:

  
    
      
        0
        =
        −
        
          
            
              ∂
              ϕ
            
            
              ∂
              n
            
          
        
        −
        f
        V
      
    
    {\displaystyle 0=-{\frac {\partial \phi }{\partial n}}-fV}
  .
Hvis vi løser ligningen med tanke på V, får vi:

  
    
      
        V
        =
        −
        
          
            1
            f
          
        
        
          
            
              ∂
              ϕ
            
            
              ∂
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle V=-{\frac {1}{f}}{\frac {\partial \phi }{\partial n}}}
  .


=== Bruk ===
Se artikkelen om geostrofisk vind for en skildring av bruk.


== Gradientstrøm ==
Geostrofisk strøm er hovedsakelig en grei tilnærmelse i den øvre troposfæren. Den er derimot en strøm som er parallell med isobarer, noe strømmen sjelden er. Gradientstrøm tar med krumningen i strømmen og er generelt en mer nøyaktig tilnærmelse enn geostrofisk strøm. Matematisk er derimot gradientstrømmen mer komplisert og geostrofisk strøm er bare litt mindre nøyaktig, så gradienttilnærmelsen blir ikke like ofte brukt.


=== Utledning ===
Vi tenker oss at strømmen ikke er utsatt for friksjon (
  
    
      
        −
        K
        V
        =
        0
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -KV=0{\frac {}{}}}
  ) og strømmer parallelt til de geopotensielle høydelinjene (
  
    
      
        −
        ∂
        ϕ
        
          /
        
        ∂
        s
        =
        0
      
    
    {\displaystyle -\partial \phi /\partial s=0}
  ). Løser vi den resterende bevegelsesligningen får vi:

  
    
      
        0
        =
        −
        
          
            
              V
              
                2
              
            
            R
          
        
        −
        
          
            
              ∂
              ϕ
            
            
              ∂
              n
            
          
        
        −
        f
        V
      
    
    {\displaystyle 0=-{\frac {V^{2}}{R}}-{\frac {\partial \phi }{\partial n}}-fV}
  ,
for V får vi:

  
    
      
        V
        =
        −
        
          
            
              f
              R
            
            2
          
        
        ±
        
          
            (
            
              
                
                  
                    
                      f
                      
                        2
                      
                    
                    
                      R
                      
                        2
                      
                    
                  
                  4
                
              
              −
              
                
                  R
                  ρ
                
              
              
                
                  
                    ∂
                    ϕ
                  
                  
                    ∂
                    n
                  
                
              
            
            )
          
          
            1
            
              /
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle V=-{\frac {fR}{2}}\pm \left({\frac {f^{2}R^{2}}{4}}-{\frac {R}{\rho }}{\frac {\partial \phi }{\partial n}}\right)^{1/2}}
  
Ikke alle løsninger av gradientvindligningen gir rimelige resultater. For vanlig syklonisk og antisyklonisk rotasjon kan man vise at den geostrofiske vindligningen underestimerer den virkelige vinden i syklonisk rotasjon og overestimerer den faktiske vinden i antisyklonisk rotasjon.


=== Bruk ===
Gradientvinden er nyttig for å studere atmosfærisk strøm rundt høy- og lavtrykkssentre, særlig i områder der krumningsradiusen til strømmen rundt trykksenteret er liten og den geostrofiske tilnærmelsen ikke lenger kan brukes med stor nøyaktighet.


== Treghetsstrøm ==
Selv om det sjelden er observert i atomsfæren, kan man få roterende strøm uten at man har trykkgradientkrefter. Denne typen strøm blir kalt for treghetsstrøm.


=== Utledning ===
Ved å se bort ifra trykkgradientkraften (
  
    
      
        −
        ∂
        ϕ
        
          /
        
        ∂
        n
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -\partial \phi /\partial n{\frac {}{}}}
   og 
  
    
      
        −
        ∂
        ϕ
        
          /
        
        ∂
        s
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -\partial \phi /\partial s{\frac {}{}}}
  ) og friksjonskraften (
  
    
      
        −
        K
        V
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -KV{\frac {}{}}}
  ) står vi igjen med:

  
    
      
        −
        
          
            
              V
              
                2
              
            
            R
          
        
        −
        f
        V
        =
        0
      
    
    {\displaystyle -{\frac {V^{2}}{R}}-fV=0}
  ,
som gir oss

  
    
      
        V
        =
        −
        f
        R
        
          
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle V=-fR{\frac {}{}}}
  


=== Bruk ===
Siden atmosfæriske bevegelser i stor grad kommer av trykkgradientkrefter, er ikke treghetsstrøm særlig mye brukt i atmosfærisk dynamikk. Man har derimot oftere treghetsbevegelser i havet, der strømmene ofte er drevet mer av overflatevind enn av trykkforskjeller.


== Referanser ==


== Kilder ==
Plymouth State Weather Center Balansert strøm Arkivert 8. juli 2007 hos Wayback Machine.
Holton, James R.: An Introduction to Dynamic Meteorology, 2004. ISBN 0-12-354015-1