Parameterfremstilling

En parameterfremstilling av en geometrisk figur er en måte å representere figuren ved hjelp av parametre. For en kurve kan man benytte dens buelengde som gir en naturlig parametrisering med mange matematiske fordeler.   


== Todimensjonale eksempler ==
Parabelen, altså grafen til funksjonen 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=x^{2}}
  , har en parameterframstilling med den frie parameteren t gitt ved:

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  =
                  t
                
              
              
                
                  y
                  =
                  
                    t
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x=t\\y=t^{2}\end{cases}}}
  Et annet eksempel er sirkelen, som kan parametriseres slik:

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  =
                  sin
                  ⁡
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  y
                  =
                  cos
                  ⁡
                  (
                  t
                  )
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x=\sin(t)\\y=\cos(t)\end{cases}}}
  For t i intervallet 
  
    
      
        [
        0
        ,
        2
        π
        )
      
    
    {\displaystyle [0,2\pi )}
  .


== Tredimensjonalt eksempel ==
 Helixen, som er en figur som ser ut som en springfjær, kan parametriseres på følgende måte (her er x,y,z koordinater for det tredimensjonale Euklidske rommet):

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  =
                  sin
                  ⁡
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  y
                  =
                  cos
                  ⁡
                  (
                  t
                  )
                
              
              
                
                  z
                  =
                  t
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x=\sin(t)\\y=\cos(t)\\z=t\end{cases}}}
  


== Flateeksempel ==
Torusen er et eksempel på en todimensjonal flate som kan parametriseres. Siden flaten er todimensjonal, trenger vi to variable. Vi kaller dem u,v. En parameterframstilling for torusen er da gitt ved:

  
    
      
        
          
            {
            
              
                
                  x
                  =
                  (
                  2
                  +
                  cos
                  ⁡
                  v
                  )
                  cos
                  ⁡
                  u
                
              
              
                
                  y
                  =
                  (
                  2
                  +
                  cos
                  ⁡
                  v
                  )
                  sin
                  ⁡
                  u
                
              
              
                
                  z
                  =
                  r
                  sin
                  ⁡
                  u
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{cases}x=(2+\cos v)\cos u\\y=(2+\cos v)\sin u\\z=r\sin u\end{cases}}}
  hvor parametrene u,v begge ligger i intervallet 
  
    
      
        [
        0
        ,
        2
        π
        )
      
    
    {\displaystyle [0,2\pi )}
  .


== Se også ==
Kurver