Cosinussetningen

I trigonometrien er cosinussetningen en setning om sammenhengen mellom sidene i en generell trekant og cosinus til en av vinklene i trekanten. Ved å bruke notasjonen i figur 1, sier cosinussetningen at

  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        b
        cos
        ⁡
        γ
      
    
    {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }
  der c er den motstående siden til vinkel γ mellom sidene a og b.
Cosinussetningen generaliserer Pythagoras’ læresetning, som bare gjelder for rettvinklede trekanter: hvis vinkel γ er en rett vinkel (90 grader eller π/2 radianer), blir cosγ = 0, og da reduseres cosinussetningen til

  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}\,}
  som er Pythagoras' læresetning.
Cosinussetningen er nyttig for å regne ut den tredje siden i en trekant når to sider og den mellomliggende vinkelen er kjent, og for å regne ut vinklene i en trekant når alle tre sidene er kjent.


== Anvendelser ==

Setningen brukes i triangulering for å regne ut sider og vinkler i trekanter. Cosinussetningen kan brukes  for å finne (se figur 2)

den tredje siden i en trekant der to sider og vinkelen mellom dem er kjent:vinklene i en trekant der alle tre sidene er kjent:
  
    
      
        
        γ
        =
        arccos
        ⁡
        
          
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
              −
              
                c
                
                  2
                
              
            
            
              2
              a
              b
            
          
        
        
        ;
      
    
    {\displaystyle \,\gamma =\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\,;}
  den tredje siden i en trekant der to sider og den motstående vinkelen til en av disse er kjent (man kan også bruke Pythagoras' læresetning til dette hvis trekanten er rettvinklet):
  
    
      
        
        a
        =
        b
        cos
        ⁡
        γ
        ±
        
          
            
              c
              
                2
              
            
            −
            
              b
              
                2
              
            
            
              sin
              
                2
              
            
            ⁡
            γ
          
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle \,a=b\cos \gamma \pm {\sqrt {c^{2}-b^{2}\sin ^{2}\gamma }}\,.}
  Disse formlene gir høye avrundingsfeil i flyttallsberegninger hvis trekanten er meget spiss, det vil si hvis c er liten i forhold til a og b eller γ er liten sammenlignet med 1.
Den tredje formelen vist over er løsningen av andregradsligningen a2 − 2ab cosγ + b2 − c2 = 0 med hensyn på a. Denne ligningen kan ha 2, 1 eller ingen positive løsninger; antallet positive løsninger svarer til antall mulige trekanter som passer til betingelsene. Den vil ha to positive løsninger hvis b sinγ < c < b, bare en positiv løsning hvis c > b eller c = b sinγ, og ingen løsning hvis c < b sinγ.


== Bevis ==


=== Med vektorer ===
La sidene være representert ved vektorene a, b og c=a-b. 
Da har vi at 

  
    
      
        
          
            
              
                
                  |
                
                
                  
                    
                      c
                      →
                    
                  
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      c
                      →
                    
                  
                
                ⋅
                
                  
                    
                      c
                      →
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                

                
                =
                (
                
                  
                    
                      a
                      →
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      b
                      →
                    
                  
                
                )
                ⋅
                (
                
                  
                    
                      a
                      →
                    
                  
                
                −
                
                  
                    
                      b
                      →
                    
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      a
                      →
                    
                  
                
                ⋅
                
                  
                    
                      a
                      →
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      b
                      →
                    
                  
                
                ⋅
                
                  
                    
                      b
                      →
                    
                  
                
                −
                2
                
                  
                    
                      a
                      →
                    
                  
                
                ⋅
                
                  
                    
                      b
                      →
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                

                
                =
                
                  |
                
                
                  
                    
                      a
                      →
                    
                  
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  |
                
                
                  
                    
                      b
                      →
                    
                  
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    2
                  
                
                −
                2
                
                  |
                
                
                  
                    
                      a
                      →
                    
                  
                
                
                  |
                
                
                  |
                
                
                  
                    
                      b
                      →
                    
                  
                
                
                  |
                
                cos
                ⁡
                θ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}|{\vec {c}}|^{2}&{}={\vec {c}}\cdot {\vec {c}}\\&{}=({\vec {a}}-{\vec {b}})\cdot ({\vec {a}}-{\vec {b}})\\&{}={\vec {a}}\cdot {\vec {a}}+{\vec {b}}\cdot {\vec {b}}-2{\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\\&{}=|{\vec {a}}|^{2}+|{\vec {b}}|^{2}-2|{\vec {a}}||{\vec {b}}|\cos \theta \end{aligned}}}
  


=== Med avstandsformelen ===
Betrakt en trekant med sider a, b, c, der 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
   er den motstående vinkelen til side c. Vi kan plassere denne trekanten i et koordinatsystem ved å plotte 
  
    
      
        A
        (
        b
        cos
        ⁡
        θ
        ,
         
        b
        sin
        ⁡
        θ
        )
        ,
         
        B
        (
        a
        ,
        0
        )
        ,
         
        
          and
        
         
        C
        (
        0
        ,
        0
        )
        .
      
    
    {\displaystyle A(b\cos \theta ,\ b\sin \theta ),\ B(a,0),\ {\text{and}}\ C(0,0).}
    Ved å bruke avstandsformelen har vi 
  
    
      
        c
        =
        
          
            (
            b
            cos
            ⁡
            θ
            −
            a
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            b
            sin
            ⁡
            θ
            −
            0
            
              )
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle c={\sqrt {(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta -0)^{2}}}}
  .  Nå arbeider vi bare videre med denne ligningen.

  
    
      
        
          
            
              
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                

                
                =
                (
                b
                cos
                ⁡
                θ
                −
                a
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                +
                (
                b
                sin
                ⁡
                θ
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                

                
                =
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                
                  cos
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
                −
                2
                a
                b
                cos
                ⁡
                θ
                +
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
              
            
            
              
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                

                
                =
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                (
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
                +
                
                  cos
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
                )
                −
                2
                a
                b
                cos
                ⁡
                θ
              
            
            
              
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                

                
                =
                
                  a
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  b
                  
                    2
                  
                
                −
                2
                a
                b
                cos
                ⁡
                θ
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}c^{2}&{}=(b\cos \theta -a)^{2}+(b\sin \theta )^{2}\\c^{2}&{}=b^{2}\cos ^{2}\theta -2ab\cos \theta +a^{2}+b^{2}\sin ^{2}\theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}(\sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta )-2ab\cos \theta \\c^{2}&{}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \theta .\end{aligned}}}
  En fordel med dette beviset er at man ikke behøver å ta i betraktning forskjellige tilfeller ut fra om trekanten er spiss eller stump.


=== Med trigonometri ===

Tegn høyden på side c; vi får (se figur 3)

  
    
      
        c
        =
        a
        cos
        ⁡
        (
        β
        )
        +
        b
        cos
        ⁡
        (
        α
        )
        
        .
      
    
    {\displaystyle c=a\cos(\beta )+b\cos(\alpha )\,.}
  (Dette er fortsatt sant hvis α eller β er stump; i et slikt tilfelle faller høyden utenfor trekanten.)  Multipliser hvert ledd med c:

  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        =
        a
        c
        cos
        ⁡
        (
        β
        )
        +
        b
        c
        cos
        ⁡
        (
        α
        )
        
        .
      
    
    {\displaystyle c^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )\,.}
  Ved å betrakte de andre høydene får vi

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        =
        a
        c
        cos
        ⁡
        (
        β
        )
        +
        a
        b
        cos
        ⁡
        (
        γ
        )
        
        ,
      
    
    {\displaystyle a^{2}=ac\cos(\beta )+ab\cos(\gamma )\,,}
  
  
    
      
        
          b
          
            2
          
        
        =
        b
        c
        cos
        ⁡
        (
        α
        )
        +
        a
        b
        cos
        ⁡
        (
        γ
        )
        
        .
      
    
    {\displaystyle b^{2}=bc\cos(\alpha )+ab\cos(\gamma )\,.}
  Ved å legge sammen de to siste ligningene får vi

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        a
        c
        cos
        ⁡
        (
        β
        )
        +
        b
        c
        cos
        ⁡
        (
        α
        )
        +
        2
        a
        b
        cos
        ⁡
        (
        γ
        )
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,}
  .Ved å trekke den første ligningen fra den siste får vi

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        −
        
          c
          
            2
          
        
        =
        −
        a
        c
        cos
        ⁡
        (
        β
        )
        −
        b
        c
        cos
        ⁡
        (
        α
        )
        +
        a
        c
        cos
        ⁡
        (
        β
        )
        +
        b
        c
        cos
        ⁡
        (
        α
        )
        +
        2
        a
        b
        cos
        ⁡
        (
        γ
        )
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}-c^{2}=-ac\cos(\beta )-bc\cos(\alpha )+ac\cos(\beta )+bc\cos(\alpha )+2ab\cos(\gamma )\,}
  som kan forenkles til

  
    
      
        
          c
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        b
        cos
        ⁡
        (
        γ
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos(\gamma ).\,}
  
Mange bevis behandler tilfellene med stump og spiss vinkel γ separat.


== Den utvidede cosinussetningen ==
Den utvidede cosinussetningen kan brukes til å finne den siste siden i en firkant hvor man kjenner 3 sider og vinklene mellom dem.

  
    
      
        
          
            
              
                D
                C
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    A
                    
                      D
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          A
                          
                            B
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          B
                          
                            C
                            
                              2
                            
                          
                          −
                          2
                          ⋅
                          A
                          B
                          ⋅
                          B
                          C
                          ⋅
                          cos
                          ⁡
                          (
                          b
                          )
                        
                      
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    2
                    ⋅
                    A
                    D
                    ⋅
                    
                      
                        A
                        
                          B
                          
                            2
                          
                        
                        +
                        B
                        
                          C
                          
                            2
                          
                        
                        −
                        2
                        ⋅
                        A
                        B
                        ⋅
                        B
                        C
                        ⋅
                        cos
                        ⁡
                        (
                        b
                        )
                      
                    
                    ⋅
                    cos
                    ⁡
                    (
                    a
                    −
                    
                      sin
                      
                        −
                        1
                      
                    
                    ⁡
                    (
                    
                      
                        
                          sin
                          ⁡
                          (
                          b
                          )
                          ⋅
                          B
                          C
                        
                        
                          A
                          
                            B
                            
                              2
                            
                          
                          +
                          B
                          
                            C
                            
                              2
                            
                          
                          −
                          2
                          ⋅
                          A
                          B
                          ⋅
                          B
                          C
                          ⋅
                          cos
                          ⁡
                          (
                          b
                          )
                        
                      
                    
                    )
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}DC&{}={\sqrt {AD^{2}+{\sqrt {AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(b)}}^{2}-2\cdot AD\cdot {\sqrt {AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(b)}}\cdot \cos(a-\sin ^{-1}({\frac {\sin(b)\cdot BC}{\sqrt {AB^{2}+BC^{2}-2\cdot AB\cdot BC\cdot \cos(b)}}})}}\\\end{aligned}}}
  
Som kan forkortes til:

  
    
      
        
          
            
              
                D
                C
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    A
                    
                      D
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    A
                    
                      C
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    2
                    ⋅
                    A
                    D
                    ⋅
                    A
                    C
                    ⋅
                    cos
                    ⁡
                    (
                    a
                    −
                    
                      sin
                      
                        −
                        1
                      
                    
                    ⁡
                    (
                    
                      
                        
                          sin
                          ⁡
                          (
                          b
                          )
                          ⋅
                          B
                          C
                        
                        
                          A
                          C
                        
                      
                    
                    )
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}DC&{}={\sqrt {AD^{2}+AC^{2}-2\cdot AD\cdot AC\cdot \cos(a-\sin ^{-1}({\frac {\sin(b)\cdot BC}{AC}})}}\\\end{aligned}}}
  


== Se også ==
Triangulering
Sinussetningen
Tangenssetningen


== Eksterne lenker ==
Mange utledninger av cosinussetningen på cut-the-knot