Kvadratkomplettering

Kvadratkomplettering er en teknikk i algebra med det grunnleggende formål å redusere en variabel med et polynom av annen grad i en ligning eller i et matematisk uttrykk, slik at det fremkommer et lineært polynomisk uttrykk i annen potens. Med andre ord vil det si å skrive et andregradspolynom (polynom av andre grad) på kvadratisk form. På denne måten blir det i mange sammenhenger lettere å løse bestemte ligninger. Teknikken brukes blant annet for å løse andregradsligninger.


== Avledning ==
Et andregradspolynom blir skrevet på kvadratisk form:

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        p
        x
        +
        q
        =
        
          
            (
            
              x
              +
              
                
                  p
                  2
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            (
            
              
                p
                2
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        q
      
    
    {\displaystyle x^{2}+px+q=\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q}
  .Ved hjelp av en av kvadratsetningene utvikler vi leddet på høyre side i ligningen overfor og viser at dette er lik ligningens venstreledd: 

  
    
      
        
          
            (
            
              x
              +
              
                
                  p
                  2
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            (
            
              
                p
                2
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        q
         
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        2
        ⋅
        
          
            
              p
              x
            
            2
          
        
        +
        
          
            (
            
              
                p
                2
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            (
            
              
                p
                2
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        q
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        p
        x
        +
        q
        .
      
    
    {\displaystyle \left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q\ =x^{2}+2\cdot {\frac {px}{2}}+\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}+q=x^{2}+px+q.}
  


== Oversikt ==
Ved kvadratkomplettering omformes altså et andregradspolynom til et kvadrert lineært polynom og en konstant. Det betyr at et polynom av formen 

  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        
        
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx\,\!}
  endres til et av formen

  
    
      
        (
        c
        x
        +
        d
        
          )
          
            2
          
        
        +
        e
        
        
      
    
    {\displaystyle (cx+d)^{2}+e\,\!}
  Legg merke til at koeffisientene a, b, c, d og e overfor selv kan være matematiske uttrykk og inneholde andre variabler enn x.


== Vanlig formel ==
For 

  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        =
        (
        c
        x
        +
        d
        
          )
          
            2
          
        
        +
        e
        
        
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx=(cx+d)^{2}+e\,\!}
  
har vi 

  
    
      
        c
        =
        
          
            a
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle c={\sqrt {a}}\,\!}
  
  
    
      
        d
        =
        
          
            b
            
              2
              
                
                  a
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle d={\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\,\!}
  
  
    
      
        e
        =
        −
        
          d
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            (
            
              
                b
                
                  2
                  
                    
                      a
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle e=-d^{2}=-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\,\!}
  eller

  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        =
        
          
            (
            
              x
              
                
                  a
                
              
              +
              
                
                  b
                  
                    2
                    
                      
                        a
                      
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            (
            
              
                b
                
                  2
                  
                    
                      a
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx=\left(x{\sqrt {a}}+{\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2{\sqrt {a}}}}\right)^{2}\,\!}
  


== Eksempler ==


=== Eksempel 1 ===
Et meget enkelt eksempel er:

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        4
        x
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        4
        x
        +
        4
        −
        4
        =
        (
        x
        +
        2
        
          )
          
            2
          
        
        −
        4
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+4x=x^{2}+4x+4-4=(x+2)^{2}-4\,\!}
  


=== Eksempel 2 ===
Et annet enkelt eksempel er å finne røttene av: 

  
    
      
        
          
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                6
                x
                −
                16
              
              
                =
              
              
                0
              
              
            
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                6
                x
              
              
                =
              
              
                16
              
              
            
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                6
                x
                +
                (
                
                  
                    6
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
              
                =
              
              
                16
                +
                (
                
                  
                    6
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
              
                ∗
              
            
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                6
                x
                +
                9
              
              
                =
              
              
                16
                +
                9
              
              
            
            
              
                (
                x
                +
                3
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
              
                =
              
              
                25
              
              
            
            
              
                (
                x
                +
                3
                )
              
              
                =
              
              
                
                  
                    25
                  
                
              
              
            
            
              
                x
                +
                3
              
              
                =
              
              
                ±
                5
              
              
            
            
              
                x
              
              
                =
              
              
                ±
                5
                −
                3
              
              
            
            
              
                x
              
              
                =
              
              
                −
                8
                ,
                2
              
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}+6x-16&=&0&\\x^{2}+6x&=&16&\\x^{2}+6x+({\frac {6}{2}})^{2}&=&16+({\frac {6}{2}})^{2}&*\\x^{2}+6x+9&=&16+9&\\(x+3)^{2}&=&25&\\(x+3)&=&{\sqrt {25}}&\\x+3&=&\pm 5&\\x&=&\pm 5-3&\\x&=&-8,2&\\\end{matrix}}}
  * kvadratkompletteringen


=== Eksempel 3 ===
Si at man vil finne løsningen av ligningen 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        3
        x
        −
        4
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{2}+3x-4=0}
  . Man kan da anvende kvadratkomplettering: 

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        3
        x
        −
        4
        =
        
          
            (
            
              x
              +
              
                
                  3
                  2
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            (
            
              
                3
                2
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        4
        =
        
          
            (
            
              x
              +
              
                
                  3
                  2
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            25
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+3x-4=\left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {3}{2}}\right)^{2}-4=\left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}-{\frac {25}{4}}}
  sett overforstående lik null og løs:

  
    
      
        
          
            
              
              
                

                
                
                  
                    (
                    
                      x
                      +
                      
                        
                          3
                          2
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
                −
                
                  
                    25
                    4
                  
                
                =
                0
              
            
            
              
              
                
                

                
                ⇔
                
                  
                    (
                    
                      x
                      +
                      
                        
                          3
                          2
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
                =
                
                  
                    25
                    4
                  
                
              
            
            
              
              
                
                

                
                ⇔
                x
                +
                
                  
                    3
                    2
                  
                
                =
                ±
                
                  
                    5
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                

                
                ⇔
                x
                =
                −
                
                  
                    3
                    2
                  
                
                ±
                
                  
                    5
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                
                

                
                ⇔
                x
                =
                1
                 
                 
                
                  e
                  l
                  l
                  e
                  r
                
                 
                 
                x
                =
                −
                4
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&{}\left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}-{\frac {25}{4}}=0\\&{}\Leftrightarrow \left(x+{\frac {3}{2}}\right)^{2}={\frac {25}{4}}\\&{}\Leftrightarrow x+{\frac {3}{2}}=\pm {\frac {5}{2}}\\&{}\Leftrightarrow x=-{\frac {3}{2}}\pm {\frac {5}{2}}\\&{}\Leftrightarrow x=1~~\mathrm {eller} ~~x=-4\end{aligned}}}
  


=== Eksempel 4 ===
Betrakt problemer med å finne følgende integral:

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              9
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              90
              x
              +
              241
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}\,\!}
  .Det kan gjøres ved hjelp av kvadratkomplettering av nevneren. Nevneren er 

  
    
      
        9
        
          x
          
            2
          
        
        −
        90
        x
        +
        241
        =
        9
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        10
        x
        )
        +
        241
        
        
      
    
    {\displaystyle 9x^{2}-90x+241=9(x^{2}-10x)+241\,\!}
  .Når kvadratet kompletteres ved å legge (10/2)² = 25 til x² - 10x fås det perfekte kvadratet x² - 10x + 25 = (x - 5)². Derfor fås:

  
    
      
        9
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        10
        x
        )
        +
        241
        =
        9
        (
        
          x
          
            2
          
        
        −
        10
        x
        +
        25
        )
        +
        241
        −
        9
        (
        25
        )
        =
        9
        (
        x
        −
        5
        
          )
          
            2
          
        
        +
        16
        
        
      
    
    {\displaystyle 9(x^{2}-10x)+241=9(x^{2}-10x+25)+241-9(25)=9(x-5)^{2}+16\,\!}
  .Dermed er integralet

  
    
      
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              9
              
                x
                
                  2
                
              
              −
              90
              x
              +
              241
            
          
        
        =
        
          
            1
            9
          
        
        ∫
        
          
            
              d
              x
            
            
              (
              x
              −
              5
              
                )
                
                  2
                
              
              +
              (
              4
              
                /
              
              3
              
                )
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          
            1
            9
          
        
        ⋅
        
          
            3
            4
          
        
        arctan
        ⁡
        
          
            
              3
              (
              x
              −
              5
              )
            
            4
          
        
        +
        C
        
        
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {dx}{9x^{2}-90x+241}}={\frac {1}{9}}\int {\frac {dx}{(x-5)^{2}+(4/3)^{2}}}={\frac {1}{9}}\cdot {\frac {3}{4}}\arctan {\frac {3(x-5)}{4}}+C\,\!}
  .


=== Eksempel 5 ===
Som en generalisering av eksempel 2, kan røttene av

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+bx+c=0\,\!}
  finnes ved å omforme ligningen slik at x og x2 ikke lengre opptre. For å klare dette kompletteres kvadratet: ta halvdelen av koeffisienten til x, kvadrer den og legg den til på begge sider av likhetstegnet på følgende måte:

  
    
      
        
          
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                b
                x
                +
                c
              
              
                =
              
              
                0
              
              
            
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                b
                x
              
              
                =
              
              
                −
                c
              
              
            
            
              
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                b
                x
                +
                (
                
                  
                    b
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
              
                =
              
              
                −
                c
                +
                (
                
                  
                    b
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
              
                ∗
              
            
            
              
                (
                x
                +
                
                  
                    b
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
              
                =
              
              
                (
                
                  
                    b
                    2
                  
                
                
                  )
                  
                    2
                  
                
                −
                c
              
              
            
            
              
                (
                x
                +
                
                  
                    b
                    2
                  
                
                )
              
              
                =
              
              
                ±
                
                  
                    (
                    
                      
                        b
                        2
                      
                    
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    c
                  
                
              
              
            
            
              
                x
              
              
                =
              
              
                −
                
                  
                    b
                    2
                  
                
                ±
                
                  
                    (
                    
                      
                        b
                        2
                      
                    
                    
                      )
                      
                        2
                      
                    
                    −
                    c
                  
                
              
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}x^{2}+bx+c&=&0&\\x^{2}+bx&=&-c&\\x^{2}+bx+({\frac {b}{2}})^{2}&=&-c+({\frac {b}{2}})^{2}&*\\(x+{\frac {b}{2}})^{2}&=&({\frac {b}{2}})^{2}-c&\\(x+{\frac {b}{2}})&=&\pm {\sqrt {({\frac {b}{2}})^{2}-c}}&\\x&=&-{\frac {b}{2}}\pm {\sqrt {({\frac {b}{2}})^{2}-c}}&\end{matrix}}}
  * kvadratkomplettering


=== Eksempel 6 (den generelle andregradsligningen) ===
Eksempel 5 kan generaliseres ytterligere til å finne løsningene av den generelle andregradsligningen

  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        =
        0
        
        
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0\,\!}
  
ettersom det først foretas kvadratkomplettering slik:

  
    
      
        
          
            
              
                a
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                b
                x
                +
                c
              
              
                =
              
              
                a
                
                  (
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          b
                          x
                        
                        a
                      
                    
                  
                  )
                
                +
                c
              
            
            
              
              
                =
              
              
                a
                
                  (
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          b
                          x
                        
                        a
                      
                    
                    +
                    
                      (
                      
                        
                          
                            
                              b
                              
                                2
                              
                            
                            
                              4
                              
                                a
                                
                                  2
                                
                              
                            
                          
                        
                        −
                        
                          
                            
                              b
                              
                                2
                              
                            
                            
                              4
                              
                                a
                                
                                  2
                                
                              
                            
                          
                        
                      
                      )
                    
                  
                  )
                
                +
                c
              
            
            
              
              
                =
              
              
                a
                
                  (
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          b
                          x
                        
                        a
                      
                    
                    +
                    
                      
                        (
                        
                          
                            b
                            
                              2
                              a
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                −
                a
                
                  
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                    
                      4
                      
                        a
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                +
                c
              
            
            
              
              
                =
              
              
                a
                
                  (
                  
                    
                      x
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    2
                    
                      
                        
                          b
                          x
                        
                        
                          2
                          a
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        (
                        
                          
                            b
                            
                              2
                              a
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                −
                a
                
                  
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                    
                      4
                      
                        a
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                +
                c
              
            
            
              
              
                =
              
              
                a
                
                  
                    (
                    
                      x
                      +
                      
                        
                          b
                          
                            2
                            a
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
                −
                a
                
                  
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                    
                      4
                      
                        a
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                +
                c
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}ax^{2}+bx+c&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}\right)+c\\&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+\left({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}\right)\right)+c\\&=&a\left(x^{2}+{\frac {bx}{a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+c\\&=&a\left(x^{2}+2{\frac {bx}{2a}}+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}\right)-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+c\\&=&a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-a{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}+c\end{matrix}}\,\!}
  .hvorav

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    (
                    
                      x
                      +
                      
                        
                          b
                          
                            2
                            a
                          
                        
                      
                    
                    )
                  
                  
                    2
                  
                
              
              
                =
              
              
                
                  
                    
                      b
                      
                        2
                      
                    
                    
                      4
                      
                        a
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                −
                
                  
                    c
                    a
                  
                
              
            
            
              
                x
                +
                
                  
                    b
                    
                      2
                      a
                    
                  
                
              
              
                =
              
              
                ±
                
                  
                    
                      
                        
                          b
                          
                            2
                          
                        
                        
                          4
                          
                            a
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    −
                    
                      
                        c
                        a
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
                x
              
              
                =
              
              
                ±
                
                  
                    
                      
                        
                          b
                          
                            2
                          
                        
                        
                          4
                          
                            a
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    −
                    
                      
                        c
                        a
                      
                    
                  
                
                −
                
                  
                    b
                    
                      2
                      a
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                =
              
              
                
                  
                    
                      ±
                      
                        
                          4
                          
                            a
                            
                              2
                            
                          
                          (
                          
                            
                              
                                b
                                
                                  2
                                
                              
                              
                                4
                                
                                  a
                                  
                                    2
                                  
                                
                              
                            
                          
                          −
                          
                            
                              c
                              a
                            
                          
                          )
                        
                      
                    
                    
                      2
                      a
                    
                  
                
                −
                
                  
                    b
                    
                      2
                      a
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                =
              
              
                
                  
                    
                      −
                      b
                      ±
                      
                        
                          
                            b
                            
                              2
                            
                          
                          −
                          4
                          a
                          c
                        
                      
                    
                    
                      2
                      a
                    
                  
                
              
            
          
        
        
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}&=&{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}\\x+{\frac {b}{2a}}&=&\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}\\x&=&\pm {\sqrt {{\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}}}}-{\frac {b}{2a}}\\&=&{\frac {\pm {\sqrt {4a^{2}({\frac {b^{2}}{4a^{2}}}-{\frac {c}{a}})}}}{2a}}-{\frac {b}{2a}}\\&=&{\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}\end{matrix}}\,\!}
  


== Komplekse versjoner av kvadratkomplettering ==
Betrakt uttrykket

  
    
      
        
          |
        
        z
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        −
        
          b
          
            ∗
          
        
        z
        −
        b
        
          z
          
            ∗
          
        
        +
        c
        ,
        
      
    
    {\displaystyle |z|^{2}-b^{*}z-bz^{*}+c,\,}
  der 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   og 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   er komplekse tall, 
  
    
      
        
          z
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle z^{*}}
   og 
  
    
      
        
          b
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{*}}
   er de komplekse konjugasjonene av henholdsvis 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   og 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  , og 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   er et reelt tall. Dette kan uttrykkes på denne måten:

  
    
      
        
          |
        
        z
        −
        b
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        −
        
          |
        
        b
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        +
        c
        ,
        
      
    
    {\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,\,}
  som klart er en virkelig mengde. Det er den fordi

  
    
      
        
          
            
              
                
                  |
                
                z
                −
                b
                
                  
                    |
                  
                  
                    2
                  
                
              
              
                =
              
              
                (
                z
                −
                b
                )
                (
                z
                −
                b
                
                  )
                  
                    ∗
                  
                
              
            
            
              
              
                =
              
              
                (
                z
                −
                b
                )
                (
                
                  z
                  
                    ∗
                  
                
                −
                
                  b
                  
                    ∗
                  
                
                )
              
            
            
              
              
                =
              
              
                z
                
                  z
                  
                    ∗
                  
                
                −
                z
                
                  b
                  
                    ∗
                  
                
                −
                b
                
                  z
                  
                    ∗
                  
                
                +
                b
                
                  b
                  
                    ∗
                  
                
              
            
            
              
              
                =
              
              
                
                  |
                
                z
                
                  
                    |
                  
                  
                    2
                  
                
                −
                z
                
                  b
                  
                    ∗
                  
                
                −
                b
                
                  z
                  
                    ∗
                  
                
                +
                
                  |
                
                b
                
                  
                    |
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}|z-b|^{2}&=&(z-b)(z-b)^{*}\\&=&(z-b)(z^{*}-b^{*})\\&=&zz^{*}-zb^{*}-bz^{*}+bb^{*}\\&=&|z|^{2}-zb^{*}-bz^{*}+|b|^{2}\end{matrix}}}
  På samme måte kan uttrykket

  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        
          y
          
            2
          
        
        +
        c
        ,
        
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,\,}
  der 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  , 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  , 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  , 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   og 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   er reelle tall og 
  
    
      
        a
        >
        0
      
    
    {\displaystyle a>0}
   samt 
  
    
      
        b
        >
        0
      
    
    {\displaystyle b>0}
  , uttrykkes ved kvadratet av den absolutte verdien av et komplekst tall. Defineres

  
    
      
        z
        =
        
          
            a
          
        
        x
        +
        i
        
          
            b
          
        
        y
        ,
      
    
    {\displaystyle z={\sqrt {a}}x+i{\sqrt {b}}y,}
  slik

  
    
      
        
          
            
              
                
                  |
                
                z
                
                  
                    |
                  
                  
                    2
                  
                
              
              
                =
              
              
                z
                
                  z
                  
                    ∗
                  
                
              
            
            
              
              
                =
              
              
                (
                
                  
                    a
                  
                
                x
                +
                i
                
                  
                    b
                  
                
                y
                )
                (
                
                  
                    a
                  
                
                x
                −
                i
                
                  
                    b
                  
                
                y
                )
              
            
            
              
              
                =
              
              
                a
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                −
                i
                
                  
                    a
                  
                
                
                  
                    b
                  
                
                x
                y
                +
                i
                
                  
                    b
                  
                
                
                  
                    a
                  
                
                y
                x
                −
                
                  i
                  
                    2
                  
                
                b
                
                  y
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                =
              
              
                a
                
                  x
                  
                    2
                  
                
                +
                b
                
                  y
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}|z|^{2}&=&zz^{*}\\&=&({\sqrt {a}}x+i{\sqrt {b}}y)({\sqrt {a}}x-i{\sqrt {b}}y)\\&=&ax^{2}-i{\sqrt {a}}{\sqrt {b}}xy+i{\sqrt {b}}{\sqrt {a}}yx-i^{2}by^{2}\\&=&ax^{2}+by^{2}\end{matrix}}}
  , noe som gir

  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        
          y
          
            2
          
        
        +
        c
        =
        
          |
        
        z
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        +
        c
        .
        
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.\,}
  


== Bruk ==
Med kvadratkomplettering kan man lokalisere andregradspolynomets minste verdi:

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        p
        x
        +
        q
        =
        
          
            
              
                
                  (
                  
                    x
                    +
                    
                      
                        p
                        2
                      
                    
                  
                  )
                
                
                  2
                
              
              ⏟
            
          
          
            ≥
            0
          
        
        +
        
          (
          
            q
            −
            
              
                (
                
                  
                    p
                    2
                  
                
                )
              
              
                2
              
            
          
          )
        
        ≥
        q
        −
        
          
            (
            
              
                p
                2
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle x^{2}+px+q=\underbrace {\left(x+{\frac {p}{2}}\right)^{2}} _{\geq 0}+\left(q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}\right)\geq q-\left({\frac {p}{2}}\right)^{2}.}
  Denne ulikheten viser at den minste verdien 
  
    
      
        q
        −
        (
        p
        
          /
        
        2
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle q-(p/2)^{2}}
   antas ettersom tallet x er lik tallet 
  
    
      
        −
        p
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle -p/2}
  .
Kvadratkomplettering kan også brukes på andre måter, eksempelvis for å skrive om følgende eksempel:

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        2
        x
        y
        =
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            2
          
        
        −
        
          y
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+2xy=(x+y)^{2}-y^{2}\,}
  

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            2
          
        
        =
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            2
          
        
        −
        2
        x
        y
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}+y^{2}=(x+y)^{2}-2xy\,}
  


== Se også ==
Kvadratsetningene