Black-Scholes

Black-Scholes er et begrep hentet fra matematisk finans som brukes løst om tre ulike ting:

Den stokastiske differensialligningen som ofte brukes som modell for et verdipapir, som for eksempel en aksje.
Den partielle differensialligningen som utledes fra modellen i punktet over.
Løsningen av den partielle differensialligningen i punktet over.Begrepet tar sitt navn fra forfatterne Fisher Black og Myron Scholes som arbeidet med prissetting av en Europeisk opsjon på begynnelsen av 1970-tallet. Sammen med Robert C. Merton, som først innførte begrepet, løste de problemet med å finne en rettferdig pris på en Europeisk opsjon gitt visse betingelser. Senere ble Merton og Scholes tildelt Sveriges Riksbanks pris i økonomisk vitenskap til minne om Alfred Nobel for sitt arbeid i 1997, mens Black ikke kunne motta prisen da han døde i 1995.


== Black-Scholes som en stokastisk prosess ==
Som en stokastisk differensialligning er Black-Scholes-modellen formulert på følgende vis:

  
    
      
        d
        
          S
          
            t
          
        
        =
        α
        
          S
          
            t
          
        
        d
        t
        +
        σ
        
          S
          
            t
          
        
        d
        
          W
          
            t
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle dS_{t}=\alpha S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},}
  under antagelsene at både driften 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   og volatiliteten 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
   er konstante. Videre er "støyen" 
  
    
      
        
          W
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle W_{t}}
   en standard Brownsk bevegelse, og følgende antagelser er gjort med tanke på markedet og aksjen:

Short-salg er tillatt.
Det er ingen transaksjonskostnader.
Markedet er arbitrasje-fritt.
Aksjen betaler ikke ut fortjeneste.
Handel foregår kontinuerlig.
Man kan handle fraksjoner av en aksje.
Man kan låne penger i banken til en gitt risiko-fri rente.Denne modellen kan løses analytisk og gir da en pris for en Europeisk opsjon under disse antagelsene kombinert med startbetingelsen 
  
    
      
        
          S
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{0}}
  . Dette gjøres blant annet på online opsjonskalkulatore slik den Oslo Børs benytter [1].


== Black-Scholes som en partiell differensialligning ==
Fra Black-Scholes modellen over kan man utlede en partiell differensialligning. Dette kan gjøres på flere måter, avhengig av hvilken teknikk man bruker. 


=== Arbitrasje-fri utledning ===
Under antagelsene at man har et komplett marked kan man bruke Feynman-Kacs teorem samt den karakteristiske generatoren assosiert med Black-Scholes stokastiske differensialligningen. Fra dette får man den partielle differensialligningen

  
    
      
        
          u
          
            t
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          σ
          
            2
          
        
        
          x
          
            2
          
        
        
          u
          
            x
            x
          
        
        +
        r
        x
        
          u
          
            x
          
        
        −
        x
        u
        =
        0
      
    
    {\displaystyle u_{t}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}x^{2}u_{xx}+rxu_{x}-xu=0}
  med sluttbetingelsen 

  
    
      
        u
        (
        x
        ,
        T
        )
        =
        max
        (
        S
        −
        K
        ,
        0
        )
        .
      
    
    {\displaystyle u(x,T)=\max(S-K,0).}
  


=== Utledning med delta-hedging ===
Ved å komponere en portefølje bestående av en aksje og en opsjon kan man finne en arbitrasje-fri pris ved bruk av delta hedging. Vi tar utgangspunkt i at aksjedynamikken beskrives ved

  
    
      
        d
        
          S
          
            t
          
        
        =
        α
        
          S
          
            t
          
        
        d
        t
        +
        σ
        
          S
          
            t
          
        
        d
        
          W
          
            t
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle dS_{t}=\alpha S_{t}dt+\sigma S_{t}dW_{t},}
  og at opsjonen kan beskrives som en funksjon av denne, slik at 

  
    
      
        V
        :=
        V
        (
        S
        ,
        t
        )
        =
        
          (
          
            α
            S
            
              
                
                  ∂
                  V
                
                
                  ∂
                  S
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  V
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            
              
                1
                2
              
            
            
              σ
              
                2
              
            
            
              S
              
                2
              
            
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  V
                
                
                  ∂
                  
                    S
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        d
        t
        +
        σ
        S
        
          
            
              ∂
              V
            
            
              ∂
              S
            
          
        
        d
        
          W
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle V:=V(S,t)=\left(\alpha S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt+\sigma S{\frac {\partial V}{\partial S}}dW_{t}}
  ved bruk av Itôs lemma.
Nå konstruerer vi en portefølje med én opsjon og 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   aksjer, og får da følgende:

  
    
      
        Π
        =
        V
        +
        n
        S
      
    
    {\displaystyle \Pi =V+nS}
  .Dersom vi holder antallet aksjer fiksert over et lite tidsintervall 
  
    
      
        d
        t
      
    
    {\displaystyle dt}
   vil porteføljens verdi forandre seg etter relasjonen

  
    
      
        d
        Π
        =
        d
        V
        +
        n
        d
        S
        .
      
    
    {\displaystyle d\Pi =dV+ndS.}
  Setter vi nå inn for 
  
    
      
        d
        V
      
    
    {\displaystyle dV}
   og 
  
    
      
        d
        S
      
    
    {\displaystyle dS}
   gitt over finner vi at 

  
    
      
        d
        Π
        =
        σ
        S
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  V
                
                
                  ∂
                  S
                
              
            
            −
            n
          
          )
        
        d
        
          W
          
            t
          
        
        +
        
          (
          
            α
            S
            
              
                
                  ∂
                  V
                
                
                  ∂
                  S
                
              
            
            +
            
              
                1
                2
              
            
            
              σ
              
                2
              
            
            
              S
              
                2
              
            
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  V
                
                
                  ∂
                  
                    S
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            +
            
              
                
                  ∂
                  V
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            −
            α
            n
            S
          
          )
        
        d
        t
        .
      
    
    {\displaystyle d\Pi =\sigma S\left({\frac {\partial V}{\partial S}}-n\right)dW_{t}+\left(\alpha S{\frac {\partial V}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+{\frac {\partial V}{\partial t}}-\alpha nS\right)dt.}
  Siden vi ønsker at all usikkerhet skal bort – vi vil hedge – velger vi 
  
    
      
        n
        =
        
          
            
              ∂
              V
            
            
              ∂
              S
            
          
        
      
    
    {\displaystyle n={\frac {\partial V}{\partial S}}}
   i starten av tidsintervallet 
  
    
      
        d
        t
        .
      
    
    {\displaystyle dt.}
   Nå har vi en portefølje hvor usikkerheten er fjernet og endringen er helt deterministisk:

  
    
      
        d
        Π
        =
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  V
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            
              
                1
                2
              
            
            
              σ
              
                2
              
            
            
              S
              
                2
              
            
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  V
                
                
                  ∂
                  
                    S
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        d
        t
        .
      
    
    {\displaystyle d\Pi =\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt.}
  Ved arbitrasjeargumenter må verdien til porteføljen være 
  
    
      
        r
        Π
        d
        t
      
    
    {\displaystyle r\Pi dt}
  , og vi finner at 

  
    
      
        r
        Π
        d
        t
        =
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  V
                
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            
              
                1
                2
              
            
            
              σ
              
                2
              
            
            
              S
              
                2
              
            
            
              
                
                  
                    ∂
                    
                      2
                    
                  
                  V
                
                
                  ∂
                  
                    S
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        d
        t
        .
      
    
    {\displaystyle r\Pi dt=\left({\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}\right)dt.}
  Setter vi nå inn for 
  
    
      
        Π
      
    
    {\displaystyle \Pi }
   og 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   finner vi Black-Scholes partielle differensialligning:

  
    
      
        
          
            
              ∂
              V
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          σ
          
            2
          
        
        
          S
          
            2
          
        
        
          
            
              
                ∂
                
                  2
                
              
              V
            
            
              ∂
              
                S
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        r
        S
        
          
            
              ∂
              V
            
            
              ∂
              S
            
          
        
        −
        r
        V
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial V}{\partial S}}-rV=0.}
  


== Kritikk ==
Portfolio.com ved Michael Lewis skrev i 2008 en kritisk artikkel som omhandler denne modellen.


== Referanser ==