Eulers formel

Eulers formel er en matematisk ligning som gir en fundamental forbindelse mellom den naturlige eksponentialfunksjonen og de trigonometriske funksjonene. Vanligvis skrives den som

  
    
      
        
          e
          
            i
            x
          
        
        =
        cos
        ⁡
        x
        +
        i
        sin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
  der x er et reelt tall, e er Eulers tall som er grunntallet for naturlige logaritmer og i  er den imaginære enheten definert som kvadratroten av -1. 
Formelen er også gyldig i det mer generelle tilfellet der x er et komplekst tall. Den ble første formulert på denne måten av den sveitsiske matematiker Leonhard Euler i 1748 og har siden vært benyttet overalt innen matematikk, fysikk og i mange teknologiske sammenhenger. For eksempel kan alle periodiske svingninger eller bølger fremstilles som komplekse fasevektorer og dermed forenkle mange beregninger.


== Historie ==
Opprinnelsen til Eulers formel kan føres tilbake til den engelske matematiker Roger Cotes. Ved å beregne overflaten til en ellipsoide på to forskjellige måter kom han i 1714 frem til ligningen

  
    
      
        i
        θ
        =
        ln
        ⁡
        (
        cos
        ⁡
        θ
        +
        i
        sin
        ⁡
        θ
        )
        ,
      
    
    {\displaystyle i\theta =\ln(\cos \theta +i\sin \theta ),}
  men uheldigvis med motsatt fortegn på høyre side der ln er den naturlige logaritmefunksjonen. På den tiden var ikke denne funksjonen for komplekse argument skikkelig forstått slik at han ikke kunne relatere den til eksponentialfunksjonen.Omtrent på samme tid hadde den franske matematiker Abraham de Moivre kommet frem til forskjellige trigonometriske identiteter fra løsning av  algebraiske ligninger med en nye fremgangsmåte han utviklet. Med moderne notasjon kan de skrives som

  
    
      
        (
        cos
        ⁡
        θ
        ±
        i
        sin
        ⁡
        θ
        
          )
          
            n
          
        
        =
        cos
        ⁡
        n
        θ
        ±
        i
        sin
        ⁡
        n
        θ
      
    
    {\displaystyle (\cos \theta \pm i\sin \theta )^{n}=\cos n\theta \pm i\sin n\theta }
  hvor n er et positivt heltall.
I 1740 skrev Euler i et brev til sin tidligere læremester Johann Bernoulli  at både cosx  og eix + e-ix var løsninger av den samme differensialligningen og derfor måtte være proporsjonale med hverandre. Det kunne han vise ved en rekkeutvikling av begge funksjonene. Dette gjennombruddet presenterte Euler mer detaljert i sitt store verk Introductio in Analysin Infinitorum som ble offentliggjort i 1748. Her opptrådte hans formel for første gang på formen 

  
    
      
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        =
        cos
        ⁡
        θ
        +
        i
        sin
        ⁡
        θ
      
    
    {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }
  som den siden har blitt skrevet. Det er en av de vakreste og viktigste formler i hele matematikken. Richard Feynman omtalte den i sine forelesninger  som den mest fantastiske formel i matematikken - vår juvel. I det spesielle tilfellet at θ = π , gir den Eulers likhet 

  
    
      
        
          e
          
            i
            π
          
        
        +
        1
        =
        0
      
    
    {\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
  da sinπ = 0 og cosπ = -1. Den forbinder de to transcendentale tallene e og π  med de basale tallene 0 og 1 via den imaginære enheten i.


== Bevis ==
Den  naturlige eksponentialfunksjonen ex  kan defineres ved at dens deriverte er nøyaktig samme funksjon. Derfor vil den generelle løsningen av differensialligningen y" = a 2y  involvere de to funksjonene eax  eller  e-ax.  For den spesielle ligningen y" = -y  vil dermed løsningen være en kombinasjon av de to komplekse funksjonene eix  og e-ix. Med grensebetingelsene y = 2 og y'  = 0  for x = 0 kommer man frem til løsningen y =  eix  + e-ix. 
Men alternativt kan løsningen også finnes uttrykt ved  de to trigonometriske funksjonene sinx og cosx. Når man tar hensyn til grensebetingelsen, kan den korrekte løsningen dermed også skrives som y = 2 cosx. Siden ligningen bare har en løsning, må man derfor ha sammenhengen

  
    
      
        cos
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              
                e
                
                  i
                  x
                
              
              +
              
                e
                
                  −
                  i
                  x
                
              
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}}
  Da den deriverte av  cosx er -sinx, finner man herav også den komplementære relasjonen

  
    
      
        sin
        ⁡
        x
        =
        
          
            
              
                e
                
                  i
                  x
                
              
              −
              
                e
                
                  −
                  i
                  x
                
              
            
            
              2
              i
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sin x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}}
  Disse to uttrykkene er innholdet av Eulers formel e±ix = cosx ± i sinx.


=== De Moivres formler ===

I sitt store arbeid  Introductio in Analysin Infinitorum gjorde Euler bruk av de Moivres formler til å bevise sin egen formel. Det gjorde han ved å faktorisere Pythagoras' læresetning på formen cos2θ + sin2θ = 1  ved å skrive den som

  
    
      
        (
        cos
        ⁡
        θ
        +
        i
        sin
        ⁡
        θ
        )
        (
        cos
        ⁡
        θ
        −
        i
        sin
        ⁡
        θ
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )(\cos \theta -i\sin \theta )=1}
  Ved å undersøke disse to faktorene hver for seg, kom han frem til det ønskede resultatet. For eksempel, ved direkte utregning er

  
    
      
        
          
            
              
                (
                cos
                ⁡
                θ
                ±
                i
                sin
                ⁡
                θ
                
                  )
                  
                    2
                  
                
              
              
                
                =
                
                  cos
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
                −
                
                  sin
                  
                    2
                  
                
                ⁡
                θ
                ±
                2
                i
                sin
                ⁡
                θ
                cos
                ⁡
                θ
              
            
            
              
              
                
                =
                cos
                ⁡
                2
                θ
                ±
                i
                sin
                ⁡
                2
                θ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}(\cos \theta \pm i\sin \theta )^{2}&=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \pm 2i\sin \theta \cos \theta \\&=\cos 2\theta \pm i\sin 2\theta \end{aligned}}}
  når man benytter de vanlige identitene for sinus og cosinus til den dobbelte vinkel. Herav finner man mer generelt  (cosθ + i sinθ)n  uttrykt ved cosnθ og sinnθ ved matematisk induksjon. 
Ved å kombinere disse to formlene til de Moivre finner  man

  
    
      
        cos
        ⁡
        n
        θ
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          [
          
            (
            cos
            ⁡
            θ
            +
            i
            sin
            ⁡
            θ
            
              )
              
                n
              
            
            +
            (
            cos
            ⁡
            θ
            −
            i
            sin
            ⁡
            θ
            
              )
              
                n
              
            
          
          ]
        
      
    
    {\displaystyle \cos n\theta ={1 \over 2}\left[(\cos \theta +i\sin \theta )^{n}+(\cos \theta -i\sin \theta )^{n}\right]}
  Euler lot her n bli veldig stor, men slik at nθ = x  ble holdt konstant ved å la θ samtidig avta mot null. Da cosθ → 1 og sinθ → θ  i denne grensen, kom han frem til

  
    
      
        
          
            
              
                cos
                ⁡
                x
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  lim
                  
                    n
                    →
                    ∞
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        (
                        
                          1
                          +
                          
                            
                              
                                i
                                x
                              
                              n
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        n
                      
                    
                    +
                    
                      
                        (
                        
                          1
                          −
                          
                            
                              
                                i
                                x
                              
                              n
                            
                          
                        
                        )
                      
                      
                        n
                      
                    
                  
                  ]
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      e
                      
                        i
                        x
                      
                    
                    +
                    
                      e
                      
                        −
                        i
                        x
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\cos x&={1 \over 2}\lim _{n\to \infty }\left[\left(1+{ix \over n}\right)^{n}+\left(1-{ix \over n}\right)^{n}\right]\\&={1 \over 2}\left(e^{ix}+e^{-ix}\right)\end{aligned}}}
  ved å benytte definisjonen av Eulers tall e. På samme måte fant han sinx uttrykt ved  differansen mellom eix  og e-ix.


=== Taylor-rekker ===
Eulers formel følger mest direkte fra Taylor-rekken for den naturlige eksponentialfunksjonen ez som er gyldig for alle komplekse argument z. I det spesielle tilfellet at z = ix følger da direkte at

  
    
      
        
          
            
              
                
                  e
                  
                    i
                    x
                  
                
              
              
                
                =
                1
                +
                i
                x
                +
                
                  
                    
                      (
                      i
                      x
                      
                        )
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      2
                      !
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      (
                      i
                      x
                      
                        )
                        
                          3
                        
                      
                    
                    
                      3
                      !
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      (
                      i
                      x
                      
                        )
                        
                          4
                        
                      
                    
                    
                      4
                      !
                    
                  
                
                +
                
                  
                    
                      (
                      i
                      x
                      
                        )
                        
                          5
                        
                      
                    
                    
                      5
                      !
                    
                  
                
                +
                ⋯
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      
                        
                          x
                          
                            2
                          
                        
                        
                          2
                          !
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          x
                          
                            4
                          
                        
                        
                          4
                          !
                        
                      
                    
                    −
                    ⋯
                  
                  )
                
                +
                i
                
                  (
                  
                    x
                    −
                    
                      
                        
                          x
                          
                            3
                          
                        
                        
                          3
                          !
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          x
                          
                            5
                          
                        
                        
                          5
                          !
                        
                      
                    
                    −
                    ⋯
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                cos
                ⁡
                x
                +
                i
                sin
                ⁡
                x
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}e^{ix}&=1+ix+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+{\frac {(ix)^{4}}{4!}}+{\frac {(ix)^{5}}{5!}}+\cdots \\&=\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots \right)+i\left(x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots \right)\\&=\cos x+i\sin x\end{aligned}}}
  når man benytter Taylor-rekkene for de to trigonometriske funksjonene. Alternativt kan man uttrykke ez ved de to hyperbolske funksjonene sinhz og coshz som

  
    
      
        
          e
          
            z
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          (
          
            
              e
              
                z
              
            
            +
            
              e
              
                −
                z
              
            
            +
            
              e
              
                z
              
            
            −
            
              e
              
                −
                z
              
            
          
          )
        
        =
        cosh
        ⁡
        z
        +
        sinh
        ⁡
        z
      
    
    {\displaystyle e^{z}={1 \over 2}\left(e^{z}+e^{-z}+e^{z}-e^{-z}\right)=\cosh z+\sinh z}
  For  z = ix får man herav Eulers formel da coshix = cosx og sinhix = i sinx som følger fra definisjonene.


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
«Komplekse tall og Eulers formel», av Harald Hanche-Olsen
«Eulers formel- Matte 4», av Björn Runow - MatteBjörn - på Youtube