Parallellakseteoremet

Parallellakseteoremet også kjent som Steiners sats (etter Jakob Steiner), brukes i fysikk til å beregne treghetsmoment til et generelt legeme som ikke har massefellespunkt på rotasjonsaksen.


== Bevis ==

Treghetsmomentet til et lite masseelement, dm, med kordinatene (x,y) når origo er i rotasjonsaksen. Treghetsmomentet er:

  
    
      
        I
        =
        ∫
        
          r
          
            2
          
        
        d
        m
        =
        ∫
        (
        
          X
          
            2
          
        
        +
        
          Y
          
            2
          
        
        )
        d
        m
      
    
    {\displaystyle I=\int r^{2}dm=\int (X^{2}+Y^{2})dm}
  Kordinatene til dm etter at origo er flyttet:

  
    
      
         
        X
        =
        
          x
          
            c
            m
          
        
        +
        
          x
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \ X=x_{cm}+x'}
  
  
    
      
         
        Y
        =
        
          y
          
            c
            m
          
        
        +
        
          y
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \ Y=y_{cm}+y'}
  Settes dette inn i første ligning får vi:

  
    
      
        I
        =
        ∫
        [
        (
        
          x
          
            c
            m
          
        
        +
        
          x
          ′
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        (
        
          y
          
            c
            m
          
        
        +
        
          y
          ′
        
        
          )
          
            2
          
        
        ]
        d
        m
      
    
    {\displaystyle I=\int [(x_{cm}+x')^{2}+(y_{cm}+y')^{2}]dm}
  
  
    
      
        I
        =
        ∫
        (
        
          x
          
            ′
            
              2
            
          
        
        +
        
          y
          
            ′
            
              2
            
          
        
        )
        d
        m
        +
        2
        
          x
          
            c
            m
          
        
        ∫
        
          x
          ′
        
        d
        m
        +
        2
        
          y
          
            c
            m
          
        
        ∫
        
          y
          ′
        
        d
        m
        +
        (
        
          x
          
            c
            m
          
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            c
            m
          
          
            2
          
        
        )
        ∫
        d
        m
      
    
    {\displaystyle I=\int (x'^{2}+y'^{2})dm+2x_{cm}\int x'dm+2y_{cm}\int y'dm+(x_{cm}^{2}+y_{cm}^{2})\int dm}
  Ettersom at aksen er nå plassert i objektets massesenter får vi:

  
    
      
        ∫
        
          x
          ′
        
        d
        m
        =
        ∫
        
          y
          ′
        
        d
        m
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \int x'dm=\int y'dm=0}
  Da står vi igjen med:

  
    
      
        I
        =
        ∫
        (
        
          x
          
            ′
            
              2
            
          
        
        +
        
          y
          
            ′
            
              2
            
          
        
        )
        d
        m
        +
        (
        
          x
          
            c
            m
          
          
            2
          
        
        +
        
          y
          
            c
            m
          
          
            2
          
        
        )
        ∫
        d
        m
      
    
    {\displaystyle I=\int (x'^{2}+y'^{2})dm+(x_{cm}^{2}+y_{cm}^{2})\int dm}
  Som kan skrives:

  
    
      
         
        I
        =
        
          I
          
            c
            m
          
        
        +
        M
        
          D
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \ I=I_{cm}+MD^{2}}
  ,der M er massen til hele legemet, og D er avstanden fra den opprinnelige rotasjonsaksen til massesenteret.