Gradient

I matematikk er gradienten til et skalarfelt et vektorfelt der vektoren i et hvert punkt peker i retningen til den største økningen i skalarfeltet. Lengden av vektoren er et uttrykk for endringen til skalarfeltet i retning av vektoren.
Gradienten til en funksjon f = f(x1, ..., xn)  skrives vanligvis ∇f  der ∇ er nabla-operatoren. Den utgjør den fundamentale operasjon i vektoranalysen.
I figurene til høyre er to forskjellige skalarfelt tegnet i svart/hvitt, der svart symboliserer høyere verdier. Den tilhørende gradienten er vist med blå piler. 
Ordet gradient brukes også ofte i en løsere betydning for å betegne variasjon i en eller annen størrelse.


== Formell definisjon ==
Gradienten til et generelt skalarfelt 
  
    
      
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        …
        
          x
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(x_{1},x_{2},x_{3},\dots x_{n})}
   definert i et kartesisk koordinatsystem er definert ved

  
    
      
        
          ∇
        
        f
        =
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            ,
            …
            ,
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  
                    x
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f=\left({\frac {\partial f}{\partial x_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f}{\partial x_{n}}}\right).}
  der den i-te  vektorkomponenten er lik den partiellderiverte av funksjonen  f med hensyn på den i-te koordinaten.
Definisjonen av gradienten vil avhenge av koordinatsystemet brukt.  sylinderkoordinater er definisjonen

  
    
      
        
          ∇
        
        f
        (
        ρ
        ,
        θ
        ,
        z
        )
        =
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              ρ
            
          
        
        
          
            e
          
          
            ρ
          
        
        +
        
          
            1
            ρ
          
        
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              θ
            
          
        
        
          
            e
          
          
            θ
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        
          
            e
          
          
            z
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f(\rho ,\theta ,z)={\frac {\partial f}{\partial \rho }}\mathbf {e} _{\rho }+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {\partial f}{\partial z}}\mathbf {e} _{z}}
  som gir de fysiske komponentene av gradienten. I kulekoordinater er på samme måte

  
    
      
        
          ∇
        
        f
        (
        r
        ,
        θ
        ,
        ϕ
        )
        =
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              r
            
          
        
        
          
            e
          
          
            r
          
        
        +
        
          
            1
            r
          
        
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              θ
            
          
        
        
          
            e
          
          
            θ
          
        
        +
        
          
            1
            
              r
              sin
              ⁡
              θ
            
          
        
        
          
            
              ∂
              f
            
            
              ∂
              ϕ
            
          
        
        
          
            e
          
          
            ϕ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f(r,\theta ,\phi )={\frac {\partial f}{\partial r}}\mathbf {e} _{r}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial \theta }}\mathbf {e} _{\theta }+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\frac {\partial f}{\partial \phi }}\mathbf {e} _{\phi }}
  


== Eksempel ==
Gradienten til den følgende funksjonen, definert i kartesiske koordinater,

  
    
      
        f
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
        =
         
        2
        x
        +
        3
        
          y
          
            2
          
        
        −
        sin
        ⁡
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(x,y,z)=\ 2x+3y^{2}-\sin(z)}
  ,er gitt ved

  
    
      
        
          ∇
        
        f
        =
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            ,
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
            ,
            
              
                
                  ∂
                  f
                
                
                  ∂
                  z
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          (
          
            2
            ,
            6
            y
            ,
            −
            cos
            ⁡
            (
            z
            )
          
          )
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f=\left({\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\right)=\left(2,6y,-\cos(z)\right).}
  


== Taylorutvikling av skalarfelt ==
For et punkt der gradienten er definert vil variasjonen i et skalarfelt til første orden kunne uttrykkes ved hjelp av gradienten som

  
    
      
        f
        (
        
          a
          +
          v
        
        )
        =
        f
        (
        
          a
        
        )
        +
        
          ∇
        
        f
        (
        
          a
        
        )
        ⋅
        
          v
        
        +
        ‖
        
          v
        
        ‖
        E
        (
        
          a
          ,
          v
        
        )
      
    
    {\displaystyle f(\mathbf {a+v} )=f(\mathbf {a} )+{\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {a} )\cdot \mathbf {v} +\|\mathbf {v} \|E(\mathbf {a,v} )}
  der restleddet E går mot null når 
  
    
      
        ‖
        
          v
        
        ‖
      
    
    {\displaystyle \|\mathbf {v} \|}
   går mot null.


== Se også ==
Divergens
Curl
Laplace-operator
Temperaturgradient
Trykkgradient


== Referanser ==