Laplacetransformasjon

Laplacetransformasjon er en matematisk operasjon som overfører en funksjon fra tidsdomenet til frekvensdomenet. Laplace brukes ofte til analyse av forskjellige dynamiske systemer. Ved å bruke transformasjonen vil spesielt løsning av lineære, ordinære differensialligninger og dets relaterte initialverdiproblem – samt systemer av disse – kunne utføres lettere.
En ordinær differensialligning blir ofte forkortet som ODE (Ordinary Differential Equation), som brukt videre i denne artikkelen.


== Definisjon ==
Den ensidige laplacetransformasjonen er definert:

  
    
      
        F
        (
        s
        )
        =
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            f
            (
            t
            )
          
          }
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            s
            t
          
        
        f
        (
        t
        )
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt}
  
der 
  
    
      
        s
        
      
    
    {\displaystyle s\!}
   er variabelen man bruker i laplacedomenet og 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
        
      
    
    {\displaystyle f(t)\!}
   er funksjonen som skal transformeres. Her er 
  
    
      
        s
        
      
    
    {\displaystyle s\!}
   en kompleks variabel:

  
    
      
         
        s
        =
        σ
        +
        i
        ω
      
    
    {\displaystyle \ s=\sigma +i\omega }
  


== Invers laplacetransformasjon ==
Den inverse laplacetransformasjonen er definert ved følgende

  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              L
            
          
          
            −
            1
          
        
        
          {
          
            F
            (
            s
            )
          
          }
        
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              i
            
          
        
        
          lim
          
            T
            →
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            γ
            −
            i
            T
          
          
            γ
            +
            i
            T
          
        
        
          e
          
            s
            t
          
        
        F
        (
        s
        )
        
        d
        s
      
    
    {\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\to \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}F(s)\,ds}
  

Dette impliserer videre at

  
    
      
        
          
            
              L
            
          
          
            −
            1
          
        
        
          {
          
            
              
                L
              
            
            
              {
              
                f
                (
                t
                )
              
              }
            
          
          }
        
        =
        f
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}\right\}=f(t)}
  og 
  
    
      
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            
              
                
                  L
                
              
              
                −
                1
              
            
            
              {
              
                F
                (
                s
                )
              
              }
            
          
          }
        
        =
        F
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s)\right\}\right\}=F(s)}
  


== Linearitet ==
Laplacetransformasjonen er en lineær operasjon; hvilket betyr at, for en hver funksjon 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
        
      
    
    {\displaystyle f(t)\!}
   og 
  
    
      
        g
        (
        t
        )
        
      
    
    {\displaystyle g(t)\!}
   som har eksisterende transformasjoner, kan man dele opp transformasjonen slik:

  
    
      
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            a
            f
            (
            t
            )
            +
            b
            g
            (
            t
            )
          
          }
        
        =
        a
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            f
            (
            t
            )
          
          }
        
        +
        b
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            g
            (
            t
            )
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}}
  


== Vekstrestriksjon ==
Per definisjon har en funksjon 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
        
      
    
    {\displaystyle f(t)\!}
   en laplacetransformasjon hvis den ikke vokser for fort. Det er gitt en vekstrestriksjon for alle 
  
    
      
        t
        ≧
        0
        
      
    
    {\displaystyle t\geqq 0\!}
   på følgende måte:

  
    
      
        
          |
          
            f
            (
            t
            )
          
          |
        
        ≦
        M
        
          e
          
            k
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\vert f(t)\right\vert \leqq Me^{kt}}
  

der 
  
    
      
        M
        
      
    
    {\displaystyle M\!}
   og 
  
    
      
        k
        
      
    
    {\displaystyle k\!}
   er konstanter. Siden 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
        
      
    
    {\displaystyle f(t)\!}
   er stykkevis kontinuerlig, vil også 
  
    
      
        
          e
          
            −
            s
            t
          
        
        f
        (
        t
        )
        
      
    
    {\displaystyle e^{-st}f(t)\!}
   være integrerbar over et hvert Intervall intervall på t-aksen. Fra forrige ligning, kan man da utlede bevis for eksistens:

  
    
      
        
          |
          
            
              
                L
              
            
            
              {
              
                f
                (
                t
                )
              
              }
            
          
          |
        
        =
        
          |
          
            
              ∫
              
                0
              
              
                ∞
              
            
            
              e
              
                −
                s
                t
              
            
            f
            (
            t
            )
            
            d
            t
          
          |
        
        ≦
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          |
          
            f
            (
            t
            )
          
          |
        
        
          e
          
            −
            s
            t
          
        
        
        d
        t
        ≦
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        M
        
          e
          
            k
            t
          
        
        
          e
          
            −
            s
            t
          
        
        
        d
        t
        =
        
          
            M
            
              s
              −
              k
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \left\vert {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}\right\vert =\left\vert \int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\right\vert \leqq \int _{0}^{\infty }\left\vert f(t)\right\vert e^{-st}\,dt\leqq \int _{0}^{\infty }Me^{kt}e^{-st}\,dt={\frac {M}{s-k}}}
  
Hvis en funksjon 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
        
      
    
    {\displaystyle f(t)\!}
   er definert og stykkevis kontinuerlig på et hvert intervall der 
  
    
      
        t
        ≧
        0
        
      
    
    {\displaystyle t\geqq 0\!}
   og tilfredsstiller vekstrestriksjonen for alle 
  
    
      
        t
        ≧
        0
        
      
    
    {\displaystyle t\geqq 0\!}
   og konstantene 
  
    
      
        M
        
      
    
    {\displaystyle M\!}
   og 
  
    
      
        k
        
      
    
    {\displaystyle k\!}
   , vil laplacetransformasjonen 
  
    
      
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            f
            (
            t
            )
          
          }
        
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}\!}
   eksistere for alle 
  
    
      
        s
        >
        k
        
      
    
    {\displaystyle s>k\!}
  .


== Transformasjoner av differensialkvotienter og integraler ==


=== Laplacetransformasjon av første- og andreordens differensialkvotient ===
Transformasjonen av første- og andreordens differensialkvotient av 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
        
      
    
    {\displaystyle f(t)\!}
  , tilfredsstiller følgende:

  
    
      
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            f
            ′
          
          }
        
        =
        s
        
          
            L
          
        
        
          {
          f
          }
        
        −
        f
        (
        0
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f'\right\}=s{\mathcal {L}}\left\{f\right\}-f(0)}
  

  
    
      
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            f
            ″
          
          }
        
        =
        
          s
          
            2
          
        
        
          
            L
          
        
        
          {
          f
          }
        
        −
        s
        f
        (
        0
        )
        −
        
          f
          ′
        
        (
        0
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f''\right\}=s^{2}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}-sf(0)-f'(0)}
  


=== Laplacetransformasjon av differensialkvotienter i alle ordener ===
Det kan bevises ved bruk av induksjon at hvis en stykkevis kontinuerlig funksjon 
  
    
      
        f
        
      
    
    {\displaystyle f\!}
   har 
  
    
      
        n
        −
        1
        
      
    
    {\displaystyle n-1\!}
   antall kontinuerlige deriverte for 
  
    
      
        t
        ≧
        0
        
      
    
    {\displaystyle t\geqq 0\!}
  , og den tilfredsstiller vekstrestriksjonen, vil transformasjonen av 
  
    
      
        
          f
          
            (
            n
            )
          
        
        
      
    
    {\displaystyle f^{(n)}\!}
   tilfredsstille:

  
    
      
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            f
            
              (
              n
              )
            
          
          }
        
        =
        
          s
          
            n
          
        
        
          
            L
          
        
        
          {
          f
          }
        
        −
        
          s
          
            n
            −
            1
          
        
        f
        (
        0
        )
        −
        
          s
          
            n
            −
            2
          
        
        
          f
          ′
        
        (
        0
        )
        −
        ⋯
        −
        
          f
          
            (
            n
            −
            1
            )
          
        
        (
        0
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\left\{f\right\}-s^{n-1}f(0)-s^{n-2}f'(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)}
  


=== Laplacetransformasjon av integraler ===
La 
  
    
      
        F
        (
        s
        )
        
      
    
    {\displaystyle F(s)\!}
   være den laplacetransformerte av funksjonen 
  
    
      
        f
        (
        t
        )
        
      
    
    {\displaystyle f(t)\!}
   som er stykkevis kontinuerlig for 
  
    
      
        t
        ≧
        0
        
      
    
    {\displaystyle t\geqq 0\!}
   og tilfredsstiller vekstrestriksjonen. Da, for 
  
    
      
        s
        >
        0
        
      
    
    {\displaystyle s>0\!}
  , 
  
    
      
        s
        >
        k
        
      
    
    {\displaystyle s>k\!}
   ( i forhold til vekstrestriksjonen), og 
  
    
      
        t
        >
        0
        
      
    
    {\displaystyle t>0\!}
  , er

  
    
      
        
          
            L
          
        
        
          {
          
            
              ∫
              
                0
              
              
                t
              
            
            f
            (
            
              τ
            
            )
            
            d
            
              τ
            
          
          }
        
        =
        
          
            1
            s
          
        
        F
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int \limits _{0}^{t}f({\boldsymbol {\tau }})\,d{\boldsymbol {\tau }}\right\}={\frac {1}{s}}F(s)}
  

som også gir:

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            t
          
        
        f
        (
        
          τ
        
        )
        
        d
        
          τ
        
        =
        
          
            
              L
            
          
          
            −
            1
          
        
        
          {
          
            
              
                1
                s
              
            
            F
            (
            s
            )
          
          }
        
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{0}^{t}f({\boldsymbol {\tau }})\,d{\boldsymbol {\tau }}={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{s}}F(s)\right\}}
  


== Laplace og ODE'er ==


=== Prosess for løsing av lineære ODE'er ===
Prosedyren for å løse disse ligningene ved bruk av Laplacetransformasjon består av tre steg:

Steg 1. Den oppgitte ODE transformeres til en algebraisk ligning, ved bruk av Laplacetransformasjon. Denne er ofte referert som en hjelpeligning.
Steg 2. Denne hjelpeligningen løses deretter ved bruk av vanlige algebraiske manipuleringer.
Steg 3. Løsningen i Steg 2 transformeres tilbake ved bruk av invers-laplacetransformasjon, som gir løsningen på den opprinnelige ODE.


=== Fordeler framfor vanlig framgangsmåte ===
I. Problemene blir løst mer direkte: Initialverdiproblemer blir løst uten å først måtte bestemme en generell løsning. Inhomogene ODE'er blir løst uten å først måtte løse den korresponderende homogene ODE'en.
II. Mer viktig: bruken av Heavisides stegfunksjon og Diracs deltafunksjon gjør metoden særlig mektig for problemer med inndata som er usammenhengende eller representerer korte impulser eller kompliserte periodiske funksjoner.


== Tabell over noen kjente laplacetransformasjoner ==


== Se også ==
Fouriertransformasjon


== Kilder ==
Kreyszig, Erwin (2011), Advanced Engineering Mathematics (10th utgave), John Wiley & Sons, Inc.,  .