Tallfølge

En tallfølge er en følge hvor elementene er tall. Hvis alle elementene er heltall, kalles følgen en heltallsfølge. Eksempler på slike følger er følgen av primtall og Fibonacci-tallene; slike følger opptrer gjerne i tallteori og kombinatorikk. Mer generelt kan elementene være reelle eller komplekse tall. Slike følger opptrer ofte i analyse og beslektede felt.
Det er vanlig å skrive en følge ved notasjonen

  
    
      
        {
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        
          a
          
            3
          
        
        ,
        …
        }
        .
      
    
    {\displaystyle \{a_{1},a_{2},a_{3},\ldots \}.}
  Indekseringen begynner vanligvis enten med 0 eller 1.


== Egenskaper til følger ==
En følge er monotont voksende hvis hvert element er like stort eller større enn det foregående; det vil si hvis 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        ≤
        
          a
          
            i
            +
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}\leq a_{i+1}}
  . Hvis hvert element er større enn det foregående, kalles følgen strengt monotont voksende. Begrepene monotont synkende og strengt monotont synkende blir analogt definert.
En følge er begrenset ovenfra hvis følgen har en øvre skranke; det vil si at det finnes et tall 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   slik at 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
        ≤
        S
      
    
    {\displaystyle a_{i}\leq S}
   for alle 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  . Tilsvarende er en følge begrenset nedenfra hvis følgen har en nedre skranke.
En følge hvor annethvert element er positivt og annethvert element er negativt kalles en alternerende følge.
Hvis alle følgens elementer er like, er følgen en konstant følge.
Hvis følgen består av gjentagelser av en endelig delfølge, kalles følgen periodisk.


== Konvergens ==
En følge sies å konvergere mot et tall 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   hvis tallene i følgen kommer nærmere og nærmere 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   ettersom indeksen øker. Formelt defineres dette slik: 

Hvis det for ethvert åpent intervall 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
   rundt 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   finnes et tall 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   slik at 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        ∈
        I
      
    
    {\displaystyle a_{n}\in I}
   for alle 
  
    
      
        n
        ≥
        N
      
    
    {\displaystyle n\geq N}
  , så konvergerer følgen mot 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  , som kalles grenseverdien til følgen.Alternativt kan man si at ethvert åpent intervall 
  
    
      
        I
      
    
    {\displaystyle I}
   rundt 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   inneholder alle unntatt et endelig antall av følgens elementer.
Hvis følgen er en følge av komplekse tall, brukes  omegn istedenfor intervall.
Et eksempel på en konvergent følge er følgen 
  
    
      
        {
        1
        ,
        1
        
          /
        
        2
        ,
        1
        
          /
        
        3
        ,
        1
        
          /
        
        4
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,1/2,1/3,1/4,\ldots \}}
   som er definert ved at 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        1
        
          /
        
        n
      
    
    {\displaystyle a_{n}=1/n}
   for 
  
    
      
        n
        ≥
        1
      
    
    {\displaystyle n\geq 1}
  . Grenseverdien til følgen er 0 fordi hvis man tar et hvilket som helst åpent intervall som inneholder 0, vil alle unntatt et endelig antall av elementene i følgen ligge innenfor intervallet.
En følge som ikke konvergerer, sies å divergere. Et eksempel på en divergent følge er 
  
    
      
        {
        1
        ,
        2
        ,
        3
        ,
        4
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,2,3,4,\ldots \}}
  , hvor 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        n
      
    
    {\displaystyle a_{n}=n}
  ; denne følgen er ikke begrenset og kan dermed ikke konvergere. Et annet eksempel er 
  
    
      
        {
        0
        ,
        1
        ,
        0
        ,
        1
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle \{0,1,0,1,\ldots \}}
  , hvor elementene er 0 og 1 annenhver gang.
Selv om en følge ikke har noen grenseverdi, kan den besitte opphopningspunkter. Verdien 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   er et opphopningspunkt for følgen 
  
    
      
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{a_{n}\}}
   hvis ethvert intervall som inneholder 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   inneholder uendelig mange elementer i følgen. Følgen 
  
    
      
        {
        0
        ,
        1
        ,
        0
        ,
        1
        ,
        …
        }
      
    
    {\displaystyle \{0,1,0,1,\ldots \}}
  , som ble nevnt ovenfor, har to opphopningspunkter, nemlig 0 og 1.
Teorien om konvergensen av uendelige følger er en viktig del av grunnlaget for analyse. Blant annet er grenseverdien til funksjoner og definisjonen av derivasjon og Riemann-integralet basert på konvergens av følger.