Berry–Esseens teorem

Berry–Esseens teorem er et teorem i matematikk som gir en øvre grense for konvergenshastigheten
i sentralgrenseteoremet. Teoremet ble bevist uavhengig av hverandre av Andrew C. Berry i 1941 og Carl-Gustav Esseen i 1942.
Ettersom teoremet ble bevist av to forskjellige matematikere, og deretter ble videreutviklet både av disse og andre, finnes det flere forskjellige formuleringer. En versjon er som følger:

La 
  
    
      
        
          X
          
            1
          
        
        ,
        
          X
          
            2
          
        
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }
   være uavhengige stokastiske variabler med samme sannsynlighetsfordeling, og anta at 
  
    
      
        
          E
        
        [
        
          X
          
            1
          
        
        ]
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} [X_{1}]=0}
  , at 
  
    
      
        
          E
        
        [
        
          X
          
            1
          
          
            2
          
        
        ]
        =
        
          σ
          
            2
          
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} [X_{1}^{2}]=\sigma ^{2}>0}
   og at 
  
    
      
        
          E
        
        [
        
          |
        
        
          X
          
            1
          
        
        
          
            |
          
          
            3
          
        
        ]
        =
        ρ
        <
        ∞
      
    
    {\displaystyle \mathbb {E} [|X_{1}|^{3}]=\rho <\infty }
  . La videre

  
    
      
        
          Y
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              
                X
                
                  1
                
              
              +
              
                X
                
                  2
                
              
              +
              …
              +
              
                X
                
                  n
                
              
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{n}={\frac {X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}{n}}}
  
være gjennomsnittet av de 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   første variablene. La 
  
    
      
        
          F
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{n}}
   være den kumulative fordelingsfunksjonen til

  
    
      
        
          
            
              
                Y
                
                  n
                
              
              
                
                  n
                
              
            
            σ
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {Y_{n}{\sqrt {n}}}{\sigma }}}
  ,
og 
  
    
      
        Φ
      
    
    {\displaystyle \Phi }
   være den kumulative fordelingsfunksjonen til den standard normalfordelingen. Da finnes en positiv konstant 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   slik at for alle 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   og 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   så er

  
    
      
        
          |
        
        
          F
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        −
        Φ
        (
        x
        )
        
          |
        
        ≤
        
          
            
              C
              ρ
            
            
              
                σ
                
                  3
                
              
              
                
                  n
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle |F_{n}(x)-\Phi (x)|\leq {\frac {C\rho }{\sigma ^{3}{\sqrt {n}}}}}
  .Her er 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   en universell matematisk konstant, som er kjent som Berry–Esseen-konstanten.
Den nøyaktige verdien av konstanten er ikke kjent. 
I Esseens opprinnelige arbeid gis den en øvre grense på 7,59, som senere har blitt forbedret. Den beste øvre
grensen som er kjent i dag er 0,7655 og ble vist av Sjiganov i 1985. På den annen side er det kjent at 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  
er større enn 
  
    
      
        1
        
          /
        
        
          
            2
            π
          
        
        ≈
        0
        ,
        3989
      
    
    {\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}\approx 0,3989}
  .


== Referanser ==