Bevegelsesligning

En bevegelsesligning er en ligning som skildrer hvordan et system endrer seg (f.eks. bevegelsen til et partikkel som blir utsatt for en kraft) som funksjon av tiden. Iblant omhandler ligningene differensialligningene som systemet oppfyller (f.eks. Newtons bevegelseslover eller Euler-Lagrange-ligningene), og iblant løsningen på disse ligningene.
Ligningene for et legeme som flytter seg lineært (altså i en dimensjon) med jevn akselerasjon er vist under.


== Lineære bevegelsesligninger ==
Man ser på et legeme ved to tidspunkter, starttidspunktet og det aktuelle tidspunktet. Iblant kan en problemstilling utgjøre flere tidspunkter, som krever flere ligninger.

Merk at hver av ligningene inneholder fire av de fem variablene. Altså trenger man bare å kjenne til tre av de fem variablene for å regne ut de to andre.


== Klassisk versjon ==
Ligningene over blir ofte skrevet på følgende måte:

  
    
      
        v
        =
        u
        +
        a
        t
        
      
    
    {\displaystyle v=u+at\,}
  
  
    
      
        s
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        u
        +
        v
        )
        t
      
    
    {\displaystyle s={\frac {1}{2}}(u+v)t}
  
  
    
      
        s
        =
        u
        t
        +
        
          
            1
            2
          
        
        a
        
          t
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle s=ut+{\frac {1}{2}}at^{2}}
  
  
    
      
        
          v
          
            2
          
        
        =
        
          u
          
            2
          
        
        +
        2
        a
        s
        
      
    
    {\displaystyle v^{2}=u^{2}+2as\,}
  
  
    
      
        s
        =
        v
        t
        −
        
          
            1
            2
          
        
        a
        
          t
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle s=vt-{\frac {1}{2}}at^{2}}
  der

s = er forflyttelsen fra starttilstanden til sluttilstandenu = farten i starttilstandenv = farten i sluttilstandena = den konstante akselerasjonent = tiden forflyttelsen har tatt fra start- til sluttilstanden.


=== Eksempel ===
Mange eksempler i kinematikk involverer prosjektiler, f.eks. en ball som blir kastet opp i luften.
Med en fart i starttilstanden lik u, kan man regne ut hvor høyt ballen vil gå før den begynner å falle ned igjen. Akselerasjonen er den normale tyngden g. Her må man huske på at selv om disse størrelsene ser ut til å være skalarer, spiller retningen til forskyvingen, farten og akselerasjonen en rolle, og man kan se på disse som vektorer i en spesifikk retning. Man må altså velge hvilken retning man skal måle størrelsene i for å kunne bruke ligningen over. Man kan velge å måle s opp fra bakken, akselerasjonen må faktisk være −g siden tyngdekraften virker nedover, og derfor også akselerasjonen til ballen.
På det høyeste punktet vil ballen være i ro, og derfor er v = 0. Ved å bruke den fjerde ligningen har vi:

  
    
      
        s
        =
        
          
            
              
                v
                
                  2
                
              
              −
              
                u
                
                  2
                
              
            
            
              −
              2
              g
            
          
        
      
    
    {\displaystyle s={\frac {v^{2}-u^{2}}{-2g}}}
  Ved å sette inn og oppheve minustegnene får vi:

  
    
      
        s
        =
        
          
            
              u
              
                2
              
            
            
              2
              g
            
          
        
      
    
    {\displaystyle s={\frac {u^{2}}{2g}}}
  


=== Utvidelse ===
Mer komplekse versjoner av disse ligningene kan inneholde en størrelse 
  
    
      
        Δ
      
    
    {\displaystyle \Delta }
  s for forskyvingen (s – s0), s0 for startposisjonen til legemet, og v0 for u for å ha konsistens.

  
    
      
        v
        =
        
          v
          
            0
          
        
        +
        a
        t
        
      
    
    {\displaystyle v=v_{0}+at\,}
  

  
    
      
        s
        =
        
          s
          
            0
          
        
        +
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
          
        
        (
        
          v
          
            0
          
        
        +
        v
        )
        t
        
      
    
    {\displaystyle s=s_{0}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(v_{0}+v)t\,}
  

  
    
      
        s
        =
        
          s
          
            0
          
        
        +
        
          v
          
            0
          
        
        t
        +
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
          
        
        
          a
          
            t
            
              2
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle s=s_{0}+v_{0}t+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}{at^{2}}\,}
  

  
    
      
        (
        v
        
          )
          
            2
          
        
        =
        (
        
          v
          
            0
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        2
        a
        Δ
        s
        
      
    
    {\displaystyle (v)^{2}=(v_{0})^{2}+2a\Delta s\,}
  

  
    
      
        s
        =
        
          s
          
            0
          
        
        +
        v
        t
        −
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
          
        
        
          a
          
            t
            
              2
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle s=s_{0}+vt-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}{at^{2}}\,}
  Derimot, ved at man kan velge hvor man skal plassere den endimensjonale aksen som legemet flytter seg på, blir disse mer kompliserte versjonene unødvendige.


== Ligninger for rotasjonsbevegelse ==
Man kan skrive om ligningene over til å gjelde for en rotasjon:

  
    
      
        ω
        =
        
          ω
          
            0
          
        
        +
        α
        t
        
      
    
    {\displaystyle \omega =\omega _{0}+\alpha t\,}
  

  
    
      
        ϕ
        =
        
          ϕ
          
            0
          
        
        +
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
          
        
        (
        
          ω
          
            0
          
        
        +
        ω
        )
        t
      
    
    {\displaystyle \phi =\phi _{0}+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(\omega _{0}+\omega )t}
  

  
    
      
        ϕ
        =
        
          ϕ
          
            0
          
        
        +
        
          ω
          
            0
          
        
        t
        +
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
          
        
        α
        
          
            t
            
              2
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \phi =\phi _{0}+\omega _{0}t+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\alpha {t^{2}}\,}
  

  
    
      
        (
        ω
        
          )
          
            2
          
        
        =
        (
        
          ω
          
            0
          
        
        
          )
          
            2
          
        
        +
        2
        α
        Δ
        ϕ
        
      
    
    {\displaystyle (\omega )^{2}=(\omega _{0})^{2}+2\alpha \Delta \phi \,}
  

  
    
      
        ϕ
        =
        
          ϕ
          
            0
          
        
        +
        ω
        t
        −
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
          
        
        α
        
          
            t
            
              2
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \phi =\phi _{0}+\omega t-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\alpha {t^{2}}\,}
  der:

  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   er vinkelakselerasjon

  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
   er vinkelhastighet

  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
   er vinkelforskyvning

  
    
      
        
          ω
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{0}}
   er vinkelfarten i starttilstanden

  
    
      
        
          ϕ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{0}}
   er vinkelforskyvningen i starttilstanden

  
    
      
        Δ
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \Delta \phi }
   er endringen av vinkelforskyvningen (
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
   – 
  
    
      
        
          ϕ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{0}}
  ).


== Utledning ==


=== Bevegelsesligning 1 ===
Ut fra definisjonen av akselerasjon: 

  
    
      
         
        a
        =
        
          
            
              v
              −
              u
            
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle \ a={\frac {v-u}{t}}}
  Derfor

  
    
      
        a
        t
        =
        v
        −
        u
        
      
    
    {\displaystyle at=v-u\,}
  

  
    
      
        v
        =
        u
        +
        a
        t
        
      
    
    {\displaystyle v=u+at\,}
  


=== Bevegelsesligning 2 ===
Per definisjon

  
    
      
        
          gjennomsnittsfart
        
        =
        
          
            s
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle {\text{gjennomsnittsfart}}={\frac {s}{t}}}
  Så

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
          
        
        (
        u
        +
        v
        )
        =
        
          
            s
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(u+v)={\frac {s}{t}}}
  

  
    
      
        s
        =
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
          
        
        (
        u
        +
        v
        )
        t
      
    
    {\displaystyle s={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(u+v)t}
  


=== Bevegelsesligning 3 ===
Sett inn Bevegelsesligning 1 i Bevegelsesligning 2

  
    
      
        s
        =
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
          
        
        (
        u
        +
        u
        +
        a
        t
        )
        t
      
    
    {\displaystyle s={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(u+u+at)t}
  

  
    
      
        s
        =
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
          
        
        (
        2
        u
        +
        a
        t
        )
        t
      
    
    {\displaystyle s={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(2u+at)t}
  

  
    
      
        s
        =
        u
        t
        +
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
          
        
        a
        
          t
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle s=ut+{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}at^{2}}
  


=== Bevegelsesligning 4 ===

  
    
      
        t
        =
        
          
            
              v
              −
              u
            
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle t={\frac {v-u}{a}}}
  Ved å bruke Bevegelsesligning 2 kan man erstatte t i ligningen over

  
    
      
        s
        =
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
          
        
        (
        u
        +
        v
        )
        (
        
          
            
              v
              −
              u
            
            a
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle s={\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(u+v)({\frac {v-u}{a}})}
  

  
    
      
        2
        a
        s
        =
        (
        u
        +
        v
        )
        (
        v
        −
        u
        )
        
      
    
    {\displaystyle 2as=(u+v)(v-u)\,}
  

  
    
      
        2
        a
        s
        =
        
          v
          
            2
          
        
        −
        
          u
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle 2as=v^{2}-u^{2}\,}
  

  
    
      
        
          v
          
            2
          
        
        =
        
          u
          
            2
          
        
        +
        2
        a
        s
        
      
    
    {\displaystyle v^{2}=u^{2}+2as\,}
  


=== Bevegelsesligning 5 ===
Ved å bruke Bevegelsesligning 1 til å erstatte u i Bevegelsesligning 3 får man

  
    
      
        s
        =
        v
        t
        −
        
          
            
              
                
                  
                    1
                    2
                  
                
              
            
          
        
        a
        
          t
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle s=vt-{\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}at^{2}}
  


== Kilder ==
Robert Resnick, David Halliday, Jearl Walker: Fundamentals of Physics.