Determinant

Determinanten til en kvadratisk matrise er et reelt eller komplekst tall entydig bestemt av elementene i matrisen.  Mer presist kan en si at determinanten er en funksjon med definisjonsmengde lik mengden av alle kvadratiske matriser og med verdimengde lik mengden av reelle eller komplekse tall.
Determinanten til matrisen A betegnes ofte det A eller det(A). Notasjonen |A| brukes også for determinanten, men det er lett å forveksle denne med absoluttverdien av matrisen. Ønsker en å presisere elementene i matrisen skrives determinanten vanligvis ved å omgi elementene med loddrette streker:

  
    
      
        det
        
        A
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      12
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      1
                      m
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    a
                    
                      2
                      m
                    
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    a
                    
                      n
                      m
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {det} \,A={\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1m}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\dots &a_{nm}\end{vmatrix}}}
  Generelt kan determinanten defineres ved hjelp av Laplaces formel eller ved Leibniz’ formel, begge beskrevet i mer detalj i påfølgende avsnitt.


== Eksempler ==

Determinanten til en 2×2 matrise M er definert ved

  
    
      
        det
        
          M
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  a
                
                
                  b
                
              
              
                
                  c
                
                
                  d
                
              
            
            |
          
        
        =
        a
        d
        −
        b
        c
      
    
    {\displaystyle \det {M}={\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc}
  Dette er arealet A av et parallellogram med vektorene u = (a,b) og v = (c,d) som sidekanter. På kompakt form kan dets areal derfor skrives som A = det(u, v).


=== 3×3-matrise ===
Determinanten til en 3×3-matrise M er definert ved

  
    
      
        det
        
        M
        =
        
          
            |
            
              
                
                  a
                
                
                  b
                
                
                  c
                
              
              
                
                  d
                
                
                  e
                
                
                  f
                
              
              
                
                  g
                
                
                  h
                
                
                  i
                
              
            
            |
          
        
        =
        a
        e
        i
        −
        a
        f
        h
        −
        b
        d
        i
        +
        b
        f
        g
        +
        c
        d
        h
        −
        c
        e
        g
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {det} \,M={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}=aei-afh-bdi+bfg+cdh-ceg.}
  Denne formelen blir noen ganger omtalt som Sarrus’ regel.  Definerer en tre vektorer u = (a,b,c), v = (d,e,f) og w = (g,h,i), så danner de til sammen et parallellepiped. Dets volum er da gitt ved determinanten V = det(M). Den kan skrives som det  skalare trippelprodukt V = (u × v)⋅ w = u ⋅( v × w) =  det(u,v,w).


== Definisjon ved Laplaces formel ==
La 
  
    
      
        
          
            |
            
              
                
                  
                    a
                    
                      i
                      j
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{vmatrix}a_{ij}\end{vmatrix}}}
   være determinanten til matrisen A, og la 

  
    
      
        
          M
          
            k
            l
          
        
        =
        
          
            |
            
              
                
                  
                    a
                    
                      i
                      j
                    
                  
                  ;
                  k
                  ,
                  l
                
              
            
            |
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{kl}={\begin{vmatrix}a_{ij};k,l\end{vmatrix}}}
   være determinanten til den matrisen en får ved å stryke rekke k og kolonne l i den opprinnelige matrisen A. Determinanten 
  
    
      
        
          M
          
            k
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle M_{kl}}
   kalles minoren til matrise-elementet 
  
    
      
        
          a
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{ij}}
  .  Tilsvarende er kofaktoren 
  
    
      
        
          T
          
            k
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{kl}}
   til matrise-elementet lik minoren med en fortegnsmodifikasjon:

  
    
      
        
          T
          
            k
            l
          
        
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            k
            +
            l
          
        
        
          
            |
            
              
                
                  
                    M
                    
                      k
                      l
                    
                  
                
              
            
            |
          
        
        
      
    
    {\displaystyle T_{kl}=(-1)^{k+l}{\begin{vmatrix}M_{kl}\end{vmatrix}}\,}
  Laplace-ekspansjon av determinanten basert på en vilkårlig kolonne j er gitt ved

  
    
      
        det
        
        A
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            k
            j
          
        
        
          T
          
            k
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {det} \,A=\sum _{k=1}^{n}a_{kj}T_{kj}}
  Tilsvarende formel gjelder for en vilkårlig rekke i:

  
    
      
        det
        
        A
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
            k
          
        
        
          T
          
            i
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {det} \,A=\sum _{k=1}^{n}a_{ik}T_{ik}}
  


== Definisjon ved Leibniz’ formel ==
Leibniz’ formel for determinanten til en matrise A har forma

  
    
      
        det
        
        A
        =
        
          ∑
          
            p
            ∈
            
              S
              
                n
              
            
          
        
        sgn
        ⁡
        (
        p
        )
        
          ∏
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          A
          
            i
            ,
            p
            (
            i
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \operatorname {det} \,A=\sum _{p\in S_{n}}\operatorname {sgn}(p)\prod _{i=1}^{n}A_{i,p(i)}.}
  Summasjonen skal utføres over alle permutasjoner p av tallene {1, 2, ..., n}.  En permutasjon er en funksjon som re-organiserer rekkefølgen til denne heltallsmengden.  Fra kombinatorikk er det kjent at det eksisterer  n fakultet n! = 1 · 2 · 3 · ... ·n slike permutasjoner.  Mengden av alle permutasjoner danner en gruppe og har vanligvis betegnelsen Sn.  For en vilkårlig permutasjon p er sgn(p) dens fortegn eller «signatur»  med verdien +1 dersom permutasjonen er jevn og lik −1 dersom permutasjonen er odde.


== Egenskaper ==
Determinanten til en matrise der en kolonne eller en rad inneholder bare nullelement er lik null.
Determinanten til en identitetsmatrise er lik 1.
Dersom to rekker eller kolonner i matrisen bytter plass, så vil determinanten skifte fortegn.
Dersom hvert element i en rekke eller en kolonne blir multiplisert med en skalar k, så vil determinanten bli multiplisert med samme faktor.
Determinanten er uendret dersom man til en rekke eller en kolonne adderer til et multiplum av en annen rekke eller kolonne.
Determinanten til den transponerte matrisen 
  
    
      
        
          A
          
            T
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{T}}
   er lik determinanten til matrisen A.
Dersom to rekker eller kolonner i matrisen er lineært avhengige vil determinanten være lik null.  Et spesialtilfelle av dette er dersom matrisen har to like rekker eller kolonner.
En matrise er ikke-singulær hvis og bare hvis determinanten er ulik null.
En matrise er invertibel hvis og bare hvis determinanten er ulik null.
Similære matriser har lik determinant.


== Bruk av determinanter ==
Løsningen til et lineært ligningssystem kan skrives eksplisitt ved hjelp av determinanter og Cramers regel.
Det karakteristiske polynomet 
  
    
      
        p
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p(x)}
   til matrisen A er definert ved ligningen

  
    
      
        p
        (
        x
        )
        =
        det
        
        (
        A
        −
        I
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle p(x)=\operatorname {det} \,(A-Ix)\,}
  der I er identitetsmatrisen med samme dimensjon som A.  Røttene i det karakteristiske polynomet er egenverdiene til A.
Volumet til et parallellepiped utspent av tre vektorer er lik absoluttverdien av determinanten til 3x3 matrisen definert ved  de tre vektorene.


== Se også ==
Levi-Civita-symbolet


== Litteratur ==
S. MacLane and G. Birkhoff, Algebra, MacMillan Publishing Co., New York (1979). ISBN 0-02-978830-7.
G. Fisher, Lineare Algebra, Springer Spektrum, Wiesbaden (2008). ISBN 978-3-658-03944-8.