Sinussetning

Sinussetningen (også kalt sinusproporsjonen) er i trigonometrien (se også trigonometriske funksjoner) en læresetning om en hvilken som helst trekant i planet. Når a, b, og c er sidene i trekanten, og disse sidenes motstående vinkler er A, B og C, sier sinussetningen at

  
    
      
        
          
            a
            
              sin
              ⁡
              A
            
          
        
        =
        
          
            b
            
              sin
              ⁡
              B
            
          
        
        =
        
          
            c
            
              sin
              ⁡
              C
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.}
  Den felles verdien av disse tre brøkene er diameteren til trekantens omskrevne sirkel. Sinussetningen kan også fremstilles som

  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              A
            
            a
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              B
            
            b
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              C
            
            c
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sin A}{a}}={\frac {\sin B}{b}}={\frac {\sin C}{c}}.}
  Denne setningen er nyttig når man skal beregne resten av sidene i en trekant der to vinkler og en side er kjent, et kjent problem i triangulering. Den kan også brukes når to sider og en vinkel som ikke ligger mellom dem, er kjent; i noen tilfeller gir formelen to mulige verdier for den mellomliggende vinkelen. Når det skjer, vil ofte bare ett resultat få vinkelsummen til å bli 180°; i andre tilfeller har trekanten to løsninger.
Det kan vises at diameteren til trekantens omskrevne sirkel er

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    
                      a
                      b
                      c
                    
                    
                      2
                      S
                    
                  
                
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      a
                      b
                      c
                    
                    
                      2
                      
                        
                          s
                          (
                          s
                          −
                          a
                          )
                          (
                          s
                          −
                          b
                          )
                          (
                          s
                          −
                          c
                          )
                        
                      
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                

                
                =
                
                  
                    
                      2
                      a
                      b
                      c
                    
                    
                      (
                      
                        a
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        b
                        
                          2
                        
                      
                      +
                      
                        c
                        
                          2
                        
                      
                      
                        )
                        
                          2
                        
                      
                      −
                      2
                      (
                      
                        a
                        
                          4
                        
                      
                      +
                      
                        b
                        
                          4
                        
                      
                      +
                      
                        c
                        
                          4
                        
                      
                      )
                    
                  
                
                ,
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {abc}{2S}}&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}}\\&{}={\frac {2abc}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}},\end{aligned}}}
  der S er trekantens areal og s dens halve omkrets

  
    
      
        s
        =
        
          
            
              a
              +
              b
              +
              c
            
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}
  


== Eksempler ==
Gitt en trekant med side a = 20, side c = 24, og vinkel C = 40°
Ved å bruke sinussetningen kommer vi frem til at

  
    
      
        
          
            
              sin
              ⁡
              A
            
            20
          
        
        =
        
          
            
              sin
              ⁡
              
                40
                
                  ∘
                
              
            
            24
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {\sin A}{20}}={\frac {\sin 40^{\circ }}{24}}.}
  
  
    
      
        A
        =
        arcsin
        ⁡
        
          (
          
            
              
                20
                sin
                ⁡
                
                  40
                  
                    ∘
                  
                
              
              24
            
          
          )
        
        ≅
        32
        ,
        
          39
          
            ∘
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle A=\arcsin \left({\frac {20\sin 40^{\circ }}{24}}\right)\cong 32,39^{\circ }.}
  Et annet eksempel på å løse et problem ved hjelp av sinussetningen: 
Hvis de to sidene i en trekant er lik R og lengden av den tredje siden, korden, er gitt som 100 meter, og vinkel C motstående korden er gitt i grader, er

  
    
      
        ∠
        A
        =
        ∠
        B
        =
        
          
            
              180
              −
              C
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \angle A=\angle B={\frac {180-C}{2}}}
  og

  
    
      
        
          
            R
            
              sin
              ⁡
              A
            
          
        
        =
        
          
            
              
                korde
              
            
            
              sin
              ⁡
              C
            
          
        
        
           eller 
        
        
          
            R
            
              sin
              ⁡
              B
            
          
        
        =
        
          
            
              
                korde
              
            
            
              sin
              ⁡
              C
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {R \over \sin A}={{\mbox{korde}} \over \sin C}{\text{ eller }}{R \over \sin B}={{\mbox{korde}} \over \sin C}\,}
  

  
    
      
        
          
            
              
                
                  korde
                
              
              
              sin
              ⁡
              A
            
            
              sin
              ⁡
              C
            
          
        
        =
        R
        
           eller 
        
        
          
            
              
                
                  korde
                
              
              
              sin
              ⁡
              B
            
            
              sin
              ⁡
              C
            
          
        
        =
        R
        .
      
    
    {\displaystyle {{\mbox{korde}}\,\sin A \over \sin C}=R{\text{ eller }}{{\mbox{korde}}\,\sin B \over \sin C}=R.}
  


== Utledning ==

Lag en trekant med sider a, b og c, og vinkler A, B og C. Tegn høyden fra vinkel C til side c; per definisjon vil den dele den opprinnelige trekanten i to rettvinklede trekanter. Kall høyden h.
Vi ser at

  
    
      
        sin
        ⁡
        A
        =
        
          
            h
            b
          
        
        
           and 
        
        sin
        ⁡
        B
        =
        
          
            h
            a
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \sin A={\frac {h}{b}}{\text{ and }}\sin B={\frac {h}{a}}.}
  Derfor er

  
    
      
        h
        =
        b
        
        (
        sin
        ⁡
        A
        )
        =
        a
        
        (
        sin
        ⁡
        B
        )
      
    
    {\displaystyle h=b\,(\sin A)=a\,(\sin B)}
  og

  
    
      
        
          
            a
            
              sin
              ⁡
              A
            
          
        
        =
        
          
            b
            
              sin
              ⁡
              B
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {a}{\sin A}}={\frac {b}{\sin B}}.}
  Ved å gjøre det samme med høyden fra A får vi

  
    
      
        
          
            b
            
              sin
              ⁡
              B
            
          
        
        =
        
          
            c
            
              sin
              ⁡
              C
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {b}{\sin B}}={\frac {c}{\sin C}}.}
  


== Se også ==
Sinus