Det annet arealmoment

Det annet arealmoment (I, ofte feilaktig kalt treghetsmomentet; I denne sammenhengen handler det om arealtreghetsmomentet, og ikke massetreghetsmomentet som brukes i dynamikk. Se treghetsmoment.) beregnes for bjelketverrsnitt og andre geometriske former, ved integrasjon over tverrsnittet:

  
    
      
        I
        =
        
          ∫
          
            A
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        
        d
        A
      
    
    {\displaystyle I=\int \limits _{A}y^{2}\,dA}
  
I vanlig praksis brukes formler som er beregnet for standardprofiler, og noen eksempler er gitt under.


== Rektangulært tverrsnitt ==
Integralet løses på følgende måte for et rektangulært tverrsnitt:

  
    
      
        
          I
          
            x
          
        
        =
        
          ∫
          
            −
            h
            
              /
            
            2
          
          
            h
            
              /
            
            2
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        
        b
        d
        y
        =
        
          
            
              [
              
                
                  
                    
                      y
                      
                        3
                      
                    
                    b
                  
                  3
                
              
              ]
            
          
          
            −
            h
            
              /
            
            2
          
          
            h
            
              /
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              b
              
                h
                
                  3
                
              
            
            12
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{x}=\int \limits _{-h/2}^{h/2}y^{2}\,bdy={\left[{\frac {y^{3}b}{3}}\right]}_{-h/2}^{h/2}={\frac {bh^{3}}{12}}}
  
der h er høyden, og b er bredden av det rektangulære tverrsnittet. Ix blir da annet arealmoment om x-aksen i senteret C.


== Sirkulært tverrsnitt ==
Integralet er ikke vist her, men et rørtverrsnitt beregnes fra 
  
    
      
        I
        =
        
          
            
              π
              
                D
                
                  4
                
              
            
            64
          
        
      
    
    {\displaystyle I={\frac {\pi D^{4}}{64}}}
  , der D er ytterdiameteren


== Rørtverrsnitt ==

  
    
      
        I
        =
        
          
            π
            64
          
        
        (
        
          D
          
            4
          
        
        −
        
          d
          
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle I={\frac {\pi }{64}}(D^{4}-d^{4})}
  
der D er ytterdiameteren, og d er innerdiameteren.


== Steiners teorem ==
Dersom du har et tverrsnitt som er sammensatt av flere arealer som ikke ligger på samme akse som tyngdepunktet av arealet, er det vanlig å bruke Steiners teorem for å beregne annet arealmoment, kalt parallellakseteoremet, eller Steiners Sats.

  
    
      
        
          I
          
            z
          
        
        =
        
          I
          
            x
          
        
        +
        A
        
          d
          
            2
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle I_{z}=I_{x}+Ad^{2}.\,}
  , der Ix er annet arealmoment for arealet som ligger på en parallell akse utenfor arealsenteret (i akse z), d er avstanden fra arealsenteret i akse z til arealsenteret av A.


== Anvendelse av annet arealmoment ==
En vanlig anvendelse av annet arealmoment er ved beregning av bøyespenningen, 
  
    
      
        
          σ
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{b}}
   i en bjelke.

  
    
      
        
          σ
          
            b
          
        
        =
        
          
            M
            I
          
        
        y
      
    
    {\displaystyle \sigma _{b}={\frac {M}{I}}y}
  
der M er momentet, I er annet arealmoment og y er avstanden fra arealsenteret til punktet der du ønsker å beregne spenningen.


== Motstandsmomentet ==
Et annet vanlig begrep i bjelkeberegninger er motstandsmomentet eller tverrsnittsmodulen (Engelsk: Section modulus), og benevnes ofte W. I vanlig praksis beregnes største bøyespenning 
  
    
      
        
          σ
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{b}}
   fra 

  
    
      
        
          σ
          
            b
          
        
        =
        
          
            M
            W
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{b}={\frac {M}{W}}}
  , der 
  
    
      
        W
        =
        
          
            I
            y
          
        
        =
        
          
            I
            
              h
              
                /
              
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle W={\frac {I}{y}}={\frac {I}{h/2}}}
  
siden arealsenteret til tverrsnittet vanligvis ligger i midten av tverrsnittet, og følgelig er avstanden fra senteret av tverrsnittet til ytterste fiber lik h/2.
Motstandsmomentet for noen vanlige tverrsnitt er gitt under
Rektangulært tverrsnitt

  
    
      
        
          W
          
            x
          
        
        =
        
          
            
              b
              
                h
                
                  2
                
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle W_{x}={\frac {bh^{2}}{6}}}
  
b = bredden, h = høyden
Her gjelder bøying om x-akse

Sirkulært tverrsnitt

  
    
      
        W
        =
        
          
            
              π
              
                D
                
                  3
                
              
            
            32
          
        
      
    
    {\displaystyle W={\frac {\pi D^{3}}{32}}}
  
D = diameteren
Rørtverrsnitt

  
    
      
        W
        =
        
          
            π
            
              32
              D
            
          
        
        (
        
          D
          
            4
          
        
        −
        
          d
          
            4
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle W={\frac {\pi }{32D}}(D^{4}-d^{4})}
  
D = ytterdiameter, d = innerdiameter