Cesàro-summering

Cesàro-summering er i matematisk analyse en alternativ måte å gi en sum til en uendelig rekke. Hvis rekken konvergerer på vanlig måte mot en sum A, er den også Cesàro-summabel og har Cesàro-summen A. Det viktige med Cesàro-summering er at en rekke som divergerer allikevel kan ha en veldefinert Cesàro-sum. Derimot er ei rekke som positivt konvergerer mot en uendelig verdi ikke i noe tilfelle summabel til en endelig verdi.
Cesàro-summering er oppkalt etter den italienske analytikeren Ernesto Cesàro (1859–1906).


== Fremgangsmåte ==
Summen av de k første leddene i en uendelig følge {an } definerer en partialsum

  
    
      
        
          S
          
            k
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            k
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
      
    
    {\displaystyle S_{k}=\sum _{n=1}^{k}a_{n}\,}
  av den uendelige rekken

  
    
      
        S
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
      
    
    {\displaystyle S=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\,}
  Dersom følgen {Sk } konverger mot en verdi som også kalles S, sier en at den uendelige rekken konvergerer mot denne verdien.
Cesàro-summering av rekken kan gjenomføres når middelverdien A av alle partialsummene Sk  eksisterer, det vil si

  
    
      
        A
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            1
            n
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          S
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle A=\lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}S_{k}}
  For konvergente rekker gir denne beregningen av summen et svar i overensstemmelse med det vanlige resultatet S. Men i tillegg kan den for noen divergente rekker også gi et endelig svar.


=== Eksempel ===
Grandis rekke 1 - 1 + 1 - 1 + ...  er ikke konvergent. Partialsummene Sk  svinger mellom 0 og 1 avhengig av om k er et like eller ulike tall. Derimot hvis man beregner middelverdien av de n første partialsummene,

  
    
      
        
          A
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            n
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          S
          
            k
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle A_{n}={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}S_{k},}
  finner man verdiene An = (1, 1/2, 2/3, 2/4, 3/5, 3/6, 4/7, 4/8, ... ) som kan sammenfattes i formelen

  
    
      
        
          A
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        +
        
          
            
              1
              −
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                
              
            
            
              4
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle A_{n}={1 \over 2}+{1-(-1)^{n} \over 4n}}
  Når n blir veldig stor, går derfor middeleverdiene  mot A = 1/2 som er Grandi-rekkens sum.
Hvis man på samme måte prøver å summere den divergente rekken 1 − 2 + 3 − 4 + · · ·, finner man delsummene Sk = (1, -1, 2, -2, 3, -3, ...) med aritmetiske middelverdier An = (1, 0, 2/3, 0, 3/5, 0, 4/7, ….) som ikke konvergerer mot en entydig verdi. Denne rekken kan derfor ikke Cesàro-summeres.


== Referanser ==


== Litteratur ==
(en) Shawyer, Bruce; Watson, Bruce (1994), Borel's Methods of Summability: Theory and Applications, Oxford UP, ISBN 0-19-853585-6 .
(en) Titchmarsh, E (1948), Introduction to the theory of Fourier integrals (2nd utgave) (publisert 1986),  .
(en) Zygmund, Antoni (1968), Trigonometric series (2nd utgave), Cambridge University Press (publisert 1988),  .