Adveksjonsligningen

Adveksjonsligningen er en partiell differensialligning som styrer bevegelsen til en konservert skalar når den blir advektert av et kjent vektorfelt. Den blir utledet ved å bruke skalaren sin bevaringslov sammen med Gauss' teorem og ved å bruke infinitesimale grenser.
Dette beskriver det som skjer når et bevart kvantum (skalaren), for eksempel varme, vann, mudder ol. transporteres med og spres i (adekveres av) en strømning (vektorfeltet) i f.eks. vann eller luft. Spesifikt brukes adveksjonsligningen ofte for å beskrive den horisontale transport av varme og fuktighet som foregår i luftmasser.
Det beste eksempel på dette er kanskje transport av oppløst salt i vann.
Matematisk kan en uttrykke adveksjonsligningen som: 

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ψ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        
          (
          
            ψ
            
              
                u
              
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+\nabla \cdot \left(\psi {\mathbf {u} }\right)=0}
  der  ∇· er divergensen. 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
   er skalæren og 
  
    
      
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} }
   er vektorfeltet. Ofte tenker en seg at hastighetsfeltet er solenoidalt, altså er 
  
    
      
        ∇
        ⋅
        
          
            u
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \nabla \cdot {\mathbf {u} }=0}
  . Når dette er oppfylt blir ligningen over redusert til

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ψ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          
            u
          
        
        ⋅
        ∇
        ψ
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0.}
  Hvis strømmen er laminær, er 
  
    
      
        
          
            u
          
        
        ⋅
        ∇
        ψ
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {u} }\cdot \nabla \psi =0}
   som viser at 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
   er konstant langs en strømlinje.
Adveksjonsligningen er ikke enkel å løse numerisk: Systemet er en hyperbolsk partiell differensialligning, og interesseområdet er vanligvis diskontinuerlige «sjokkløsninger» (som er svært vanskelig å takle for numeriske skjema).
Selv med konstant fart og et endimensjonalt rom er systemet vanskelig å simulere (det er en standardtest for adveksjonsskjema som kalles grisehusproblemet). Ligningen over blir da:

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ψ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        u
        
          
            
              ∂
              ψ
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \psi }{\partial t}}+u{\frac {\partial \psi }{\partial x}}=0}
  der 
  
    
      
        ψ
        =
        ψ
        (
        x
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \psi =\psi (x,t)}
  .
Ifølge Zan [2] kan en skjevsymmetrisk form av adveksjonsoperatoren hjelpe den numeriske løsningen.

  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        
          
            u
          
        
        ⋅
        ∇
        
          
            u
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        ∇
        (
        
          
            u
          
        
        
          
            u
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{2}}{\mathbf {u} }\cdot \nabla {\mathbf {u} }+{\frac {1}{2}}\nabla ({\mathbf {u} }{\mathbf {u} })}
  der 
  
    
      
        ∇
        (
        
          
            u
          
        
        
          
            u
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \nabla ({\mathbf {u} }{\mathbf {u} })}
   er en vektor med komponenter 
  
    
      
        [
        ∇
        (
        
          
            u
          
        
        
          u
          
            x
          
        
        )
        ,
        ∇
        (
        
          
            u
          
        
        
          u
          
            y
          
        
        )
        ,
        ∇
        (
        
          
            u
          
        
        
          u
          
            z
          
        
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle [\nabla ({\mathbf {u} }u_{x}),\nabla ({\mathbf {u} }u_{y}),\nabla ({\mathbf {u} }u_{z})]}
   der en har brukt notasjonen 
  
    
      
        
          
            u
          
        
        =
        [
        
          u
          
            x
          
        
        ,
        
          u
          
            y
          
        
        ,
        
          u
          
            z
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {u} }=[u_{x},u_{y},u_{z}]}
  .
Siden skjevsymmetri bare medfører komplekse egenverdier, reduserer denne formen «oppblåsning» og «spektral blokkering», som en ofte får i numeriske løsninger med skarpe diskontinuiteter (se Boyd [1] pp. 213).


== Andre størrelser ==
Adveksjonslignen gjelder også om størrelsen som blir advektert er representert ved en tetthetsfunksjon i hvert punkt, men å regne ut diffusjonene er da vanskeligere.


== Se også ==
Adveksjon
Kontinuitetsligningen
Couranttall
Partiell differensialligning


== Kilder ==
Boyd, J.P.: 2000, Chebyshev and Fourier Spectral Methods 2nd edition, Dover, New York
Zang, T: 1991, On the rotation and skew-symmetric forms for incompressible flow simulations, Applied Numerical Mathematics,7,27-40.