Den binomiske opsjonsprisingsmodell

Den binomiske opsjonsprisingsmodell er en finansiell modell utviklet av de amerikanske økonomene Cox, Ross og Rubinstein i 1979 for aktivaprising basert på fravær av arbitrasje. Modellen er basert på at verdien av det underliggende aktivum er en diskret, nærmere bestemt binomisk stokastisk variabel som realiseres i diskret tid.


== Bruk av modellen ==
Den binomiske modellen brukes i praksis til numerisk opsjonsprising i tilfeller hvor andre modeller er vanskeligere å anvende. Dette gjelder blant annet for amerikanske opsjoner, dividendebetalende opsjoner, realopsjonsmodeller og særlig kompliserte opsjoner (herunder asiatiske opsjoner). Den binomiske modellen kan i slike tilfeller være raskere enn Monte Carlo-simulering.


== Metode ==
For å prise opsjoner i den binomiske modellen antar man at det finnes et komplett marked bestående av et underliggende aktivum (i dette tilfelle en aksje) hvis verdi betegnes 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  , som er en binomisk stokastisk prosess i diskret tid og et risikofritt aktivum som gir en deterministisk avkastning 
  
    
      
        R
        =
        1
        +
        r
      
    
    {\displaystyle R=1+r}
  . I tillegg til de ovennevnte aktiva eksisterer det et derivat hvis verdi 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   bare avhenger av verdien av 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   (og evt tiden 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  ).
Anta at en aksje på et tidspunktt har verdien 
  
    
      
        
          S
          
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{t}}
  . I den binomiske modellen kan aksjekursen på det neste tidspunkt enten øke med en faktor 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   til 
  
    
      
        
          S
          
            t
          
          
            u
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{t}^{u}}
   eller falle med en faktor 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
   til 
  
    
      
        
          S
          
            t
          
          
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{t}^{d}}
  . Vilkåret for fravær arbitrasje i dette markedet er at 
  
    
      
        u
        ≥
        R
        ≥
      
    
    {\displaystyle u\geq R\geq }
  , hvor streng likhet innebærer en deterministisk aksjekurs.


== Énperiodisk modell ==
For å prise en énperiodisk opsjon tar man utgangspunkt i en replikerende strategi hvor man ved hjelp av det underliggende og det risikofrie aktivum konstruerer en portefølje hvis kontantstrøm er en perfekt kopi av kontantstrømmen fra opsjonen i alle mulige fremtidige tilstander. Denne porteføljen på under forutsetningen om ingen arbitrasje ha samme pris som opsjonen. Man får derfor at:

  
    
      
        
          f
          
            t
            +
            1
          
          
            u
          
        
        (
        S
        )
        =
        a
        
          S
          
            t
            +
            1
          
          
            u
          
        
        +
        b
        R
      
    
    {\displaystyle f_{t+1}^{u}(S)=aS_{t+1}^{u}+bR}
  

  
    
      
        
          f
          
            t
            +
            1
          
          
            d
          
        
        (
        S
        )
        =
        a
        
          S
          
            t
            +
            1
          
          
            d
          
        
        +
        b
        R
      
    
    {\displaystyle f_{t+1}^{d}(S)=aS_{t+1}^{d}+bR}