Binomisk fordeling

En binomisk fordeling eller binomialfordeling er en diskret fordeling (et begrep innen sannsynlighetsteori og matematisk statistikk) som håndterer hyppige (diskrete) forsøk med fast sannsynlighet. 
Dersom en stokastisk variabel X er binomisk fordelt, med n=totale antall forsøk, k=antall lykkede forsøk og p=sannsynligheten for å lykkes i hvert forsøk, skriver man :

  
    
      
        X
        ∈
        B
        i
        n
        (
        n
        ,
        p
        )
      
    
    {\displaystyle X\in Bin(n,p)}
  X har sannsynlighetsfunksjonen 

  
    
      
        
          p
          
            X
          
        
        (
        k
        )
        =
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          p
          
            k
          
        
        (
        1
        −
        p
        
          )
          
            n
            −
            k
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle p_{X}(k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}.}
  der p er sannsynligheten for at hendelsen skal inntreffe og 1 - p = q således sannsynligheten for at hendelsen ikke skal inntreffe. Slik dukker binomialkoeffisientene opp i fordelingen.
Binomialfordelingen kan under visse omstendigheter tilnærmes med andre fordelinger. Tommelfingerregelen er at dersom 
  
    
      
        p
        <
        0
        ,
        1
      
    
    {\displaystyle p<0,1}
   kan fordelingen tilnærmes med poissonfordelingen Po(np), eller dersom 
  
    
      
        n
        p
        (
        1
        −
        p
        )
        >
        10
      
    
    {\displaystyle np(1-p)>10}
   med normalfordelingen N(
  
    
      
        n
        p
      
    
    {\displaystyle np}
  ,
  
    
      
        
          
            n
            p
            q
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {npq}}}
  ).
Eksempel: Statistikerens favoritteksempel er urnemodeller som bygger på urner med svarte og hvite kuler. Sannsynligheten for å ta ut en hvit kule ved en tilfeldig trekning er p. Sannsynligheten for at man tar ut nøyaktig k hvite kuler ved n forsøk, dersom man har s antall svarte og v hvite kuler i en urne, og legger tilbake kulene mellom hver trekning (trekning med tilbakelegging), gis da av sannsynlighetsfunksjonen over med 

  
    
      
        p
        =
        
          
            v
            
              s
              +
              v
            
          
        
        
        o
        g
        
        q
        =
        1
        −
        p
        ,
      
    
    {\displaystyle p={v \over {s+v}}\quad og\quad q=1-p,}
  der p og q gis gjennom den klassiske sannsynlighetsdefinisjonen.
Eksempel 2: Dersom man kaster en terning tre ganger, og terningen er velbygd, slik at sannsynligheten for å få en sekser er 1/6, blir sannsynligheten for å få sekser to ganger 

  
    
      
        P
        =
        
          
            
              (
            
            
              3
              2
            
            
              )
            
          
        
        
          
            (
            
              
                1
                6
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        
          
            5
            6
          
        
        =
        
          
            5
            72
          
        
      
    
    {\displaystyle P={3 \choose 2}\left({1 \over 6}\right)^{2}{5 \over 6}={5 \over 72}}
  Eksempel 3: På samme vis kan man regne ut sannsynligheten for å få sifferet seks x ganger ved n antall kast:

  
    
      
        P
        (
        X
        =
        x
        )
        =
        
          
            
              (
            
            
              n
              x
            
            
              )
            
          
        
        
          
            (
            
              
                1
                6
              
            
            )
          
          
            x
          
        
        
          
            (
            
              
                5
                6
              
            
            )
          
          
            n
            −
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle P(X=x)={n \choose x}\left({1 \over 6}\right)^{x}\left({5 \over 6}\right)^{n-x}}
  


== Se også ==
Binomialformelen