Hookes lov

Hookes lov om elastisitet sier at kraften som får en deformert gjenstand til å rette seg ut er proporsjonal med og motsatt rettet av strekningen den er deformert:

  
    
      
        
          F
        
        =
        −
        k
        
          x
        
         
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =-k\mathbf {x} \ }
  F er kraften
k er fjærkonstanten
x er strekning ut fra hvilestilling
Innenfor fasthetslære uttrykkes Hookes lov som spenning (
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  ) som en funksjon av elastisitetsmodul (E) og tøyning (
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
  ):

  
    
      
        σ
        =
        E
        ε
      
    
    {\displaystyle \sigma =E\varepsilon }
  Hookes' lov holder i mange situasjoner hvor et elastisk legeme blir deformert, så som vind som blåser på en høy bygning eller en musiker som drar på gitarstrengen. 
Hookes lov er bare en førsteordens lineær tilnærmelse til den virkelige responsen av fjær og andre elastiske legemer på krefter anvendt på dem. Den må eventuelt feile når kraften når en viss grense, knekkpunktet, siden intet material kan sammenpresses eller strekkes over en viss grense, uten å resultere i en viss permanent endring av materialet. Faktisk vil mange materialer avvike merkbart fra Hookes lov godt før disse elastiske grensene blir nådd. Et elastisk legeme for hvilket loven gjelder sies å være lineær-elastisk eller Hookeansk. 
På den andre siden er Hookes lov en ganske god tilnærmelse for de fleste faste legemer, så lenge kreftene og deformasjonene er tilstrekkelig små.  Av denne grunn er Hookes lov omfattende brukt i mange grener av naturvitenskap og ingeniørfag, og er fundamentet for disipliner så som seismologi, molekylær dynamikk og akustikk.  Den er også det bærende prinsippet bak fjærvekter og balansehjulet i mekaniske ur.
Moderne elastisitetsteori generaliserer Hookes lov til å si at deformasjonen av et elastisk legeme eller materiale er proporsjonal til spenningen anvendt på legemet. Men, siden generelle deformasjoner og spenninger kan ha flere uavhengige komponenter, så kan "proporsjonalitetsfaktoren" være ikke bare et enkelt tall, men en lineæravbildning (tensor), som kan representeres ved en matrise av reelle tall.
På denne generelle formen, kan vi ved Hookes lov og Newtons lover for statisk likevekt dedusere relasjonen mellom deformasjon og spenning for komplekse objekter i termer av fundamentale egenskaper ved materialene de er laget av. For eksempel, man kan dedusere at en homogen stav med uniformt tverrsnitt vil oppføre seg som en enkel fjær når strukket, med fjærkonstant 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   direkte proporsjonal med tverrsnittsarealet og omvendt proporsjonal med lengden. 
Hookes lov er oppkalt etter 17de århundre-fysikeren Robert Hooke. Han formulerte først loven i 1660 som et latinsk anagram, hvis løsning han publiserte i 1678 som "Ut tersio, sic vis", direkte oversatt som "som deplasseringen, så kraften." 


== Knekkpunktet ==
I virkeligheten gjelder Hookes lov bare små deformasjoner; forholdet mellom kraft og deformasjon blir ulineært ved knekkpunktet der materialet ikke lenger er elastisk. Forbi knekkpunktet oppfører hvert materiale seg forskjellig. Hookes lov kan også brukes på enkelte ikke-newtonske væsker, for eksempel ketsjup, som oppfører seg elastisk opptil et knekkpunkt før det begynner å renne. Dette fenomenet er kjent som ketsjup-effekten.


== Formell Definisjon ==


=== Lineære fjær ===
Betrakt en enkel, spiralformet fjær med en ende fast forbundet til et fast, immobilt objekt, mens den frie enden blir strukket av en kraft 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   i samme retning som fjæraksen. 
Anta at fjæren har nådd likevektstilstanden, hvor lengden ikke endres.  La 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   være lengden med hvilken den frie enden av fjæren var strukket fra sin likevektstilstand.  Hookes lov sier at

  
    
      
        F
        =
        k
        X
        ,
      
    
    {\displaystyle F=kX,}
  hvor 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   er et positivt, reelt tall, karakteristisk for fjæren.  Videre, den samme formelen holder når fjæren er trykket sammen, med både 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   og 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   negative i det tilfellet.  
Etter denne formelen, så vil grafen til kraften 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   som funksjon av deplasseringen 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   være en rett linje som går gjennom origo, med stigningstall 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  . 
Hookes lov for en fjær blir ofte formulert ved konvensjonen at 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   er kraften som gjenoppretter likevekt (reaksjonen) utøvd av fjæren på det som trekker i den frie enden. I det tilfellet blir loven

  
    
      
        F
        =
        −
        k
        X
        ,
      
    
    {\displaystyle F=-kX,}
  siden retningen til den gjenopprettende kraften er motsatt av forflytningen. 


=== Generelle "skalare" fjær ===
Hookes fjærlov anvendes vanligvis på ethvert elastisk objekt, så lenge som bade deformasjonen og kraften kan uttrykkes ved et enkelt tall som kan være enten positivt eller negativt.  
For eksempel, når en gummistrikk festet mellom to parallelle plater deformeres ved skjærkrefter, heller enn ved utstrekking eller sammenpressing, så tilfredsstiller  skjærkraften 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   og den sidelengs  forflytningen 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   Hookes lov (for tilstrekkelig små deformasjoner).   
Hookes lov kan også anvendes når en rettlinjet stålbjelke (eller betongbjelke) båret i begge ender, bøyes ned med en vekt 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   plassert på et punkt på bjelken mellom endene. Forflytningen 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   i det tilfeller er det vertikale avviket til bjelken, relativt til bjelkens fasong  uten noen vekt. 
Loven kan også anvendes når en strukket stålwire blir vridd ved å vri på en spak festet til den ene enden. I dette tilfellet er spenningen gitt av kraften anvendt på håndtaket, og 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   som forflytningen målt langs den sirkelformede banen.  Eller, ekvivalent, man kan la 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   være dreiemomentet anvendt på håndtaket og 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   være vinkelen som wiren dreies.  I begge tilfeller er 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   proporsjonal med 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  , men 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   vil være forskjellig i de to tilfellene. 


=== Vektorformulering ===
I tilfellet en spiralformet fjær som blir strukket eller sammenpresset langs aksen, så har kraften og den resulterende uttrekkingen eller sammenpressingen samme retning, slik at, i dette tilfellet, dersom 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   og 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   defineres som vektorer, så holder stadig Hookes lov og har samme symbolske form. 


=== Generell tensorform ===
Enkelte elastiske legemer vil deformeres i en annen retning enn retningen til kraften.  Et eksempel er en horisontal trebjelke med ikke-kvadratisk rektangulært tverrsnitt, som presses av en transversal last som hverken er vertikal eller horisontal.  I slike tilfeller så vil størrelsen av forflytningen 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   være proporsjonal til størrelsen av kraften 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  , så lenge som retningen til siste forblir den samme (og ikke for stor); så den skalare versjonen av Hookes lov holder.  Men, kraft og forflytnings-vektorene vil  ikke  være skalare multipler av hverandre, siden de har forskjellige retninger.  Videre, så vil forholdet 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   mellom størrelsene være avhengig av retningen til vektoren 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  . 
Men, i slike tilfeller er det ofte en konstant lineær relasjon mellom kraft- og deplasserings-vektorene, så lenge som de er tilstrekkelig små. Det finnes en funksjon 
  
    
      
        κ
      
    
    {\displaystyle \kappa }
   fra vektor til vektor, slik at

  
    
      
        F
        =
        κ
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle F=\kappa (X)}
   og 
  
    
      
        κ
        (
        α
        
          X
          
            1
          
        
        +
        β
        
          X
          
            2
          
        
        )
        =
        α
        κ
        (
        
          X
          
            1
          
        
        )
        +
        β
        κ
        (
        
          X
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \kappa (\alpha X_{1}+\beta X_{2})=\alpha \kappa (X_{1})+\beta \kappa (X_{2})}
  for alle reelle tall 
  
    
      
        α
        ,
        β
      
    
    {\displaystyle \alpha ,\beta }
   og alle forflytnings-vektorer 
  
    
      
        
          X
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{1}}
   og 
  
    
      
        
          X
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle X_{2}}
  . En slik funksjon kalles en (andre-ordens)   tensor .  
I et vilkårlig kartesisk koordinat-system så kan kraft-og forflytningsvektorene representeres som 
  
    
      
        1
        ×
        3
      
    
    {\displaystyle 1\times 3}
  -matriser av reelle tall. Da kan tensoren 
  
    
      
        κ
      
    
    {\displaystyle \kappa }
   som forbinder dem representeres ved en 
  
    
      
        3
        ×
        3
      
    
    {\displaystyle 3\times 3}
  -matrise av reelle tall, som, når multiplisert med forflytnings-vektoren, gir kraft-vektoren 

  
    
      
        F
        
        =
        
        
          
            [
            
              
                
                  
                    F
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    F
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    F
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
        =
        
        
          
            [
            
              
                
                  
                    κ
                    
                      1
                      
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    κ
                    
                      1
                      
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    κ
                    
                      1
                      
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    κ
                    
                      2
                      
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    κ
                    
                      2
                      
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    κ
                    
                      2
                      
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    κ
                    
                      3
                      
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    κ
                    
                      3
                      
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    κ
                    
                      3
                      
                      3
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
          
            [
            
              
                
                  
                    X
                    
                      1
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    X
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    X
                    
                      3
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
        =
        
        κ
        X
      
    
    {\displaystyle F\;=\;{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\;=\;{\begin{bmatrix}\kappa _{1\,1}&\kappa _{1\,2}&\kappa _{1\,3}\\\kappa _{2\,1}&\kappa _{2\,2}&\kappa _{2\,3}\\\kappa _{3\,1}&\kappa _{3\,2}&\kappa _{3\,3}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}X_{1}\\X_{2}\\X_{3}\end{bmatrix}}\;=\;\kappa X}
  Det vil si at

  
    
      
        
          F
          
            i
          
        
        
        =
        
        
          κ
          
            i
            
            1
          
        
        
          X
          
            1
          
        
        +
        
          κ
          
            i
            
            2
          
        
        
          X
          
            2
          
        
        +
        
          κ
          
            i
            
            3
          
        
        
          X
          
            3
          
        
        
        =
        
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          κ
          
            i
            
            j
          
        
        
          X
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{i}\;=\;\kappa _{i\,1}X_{1}+\kappa _{i\,2}X_{2}+\kappa _{i\,3}X_{3}\;=\;\sum _{j=1}^{3}\kappa _{i\,j}X_{j}}
  for 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
   lik 1, 2 eller 3.  
Derfor så kan Hookes' lov 
  
    
      
        F
        =
        κ
        X
      
    
    {\displaystyle F=\kappa X}
   sies å holde også når 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   og 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   er vektorer med variable retninger, bortsett fra at fjærkonstanten 
  
    
      
        κ
      
    
    {\displaystyle \kappa }
  
er en tensor og ikke et enkelt, reelt tall. 


=== Hookes' lov for kontinuerlige media ===
Krefter på og deformasjoner av et materiale inne i et kontinuerlig elastisk legeme (så som en gummiblokk, stålbjelke eller veggene til en beholder) er forbundet av en lineær relasjon som er matematisk analog til Hookes' fjærlov, og som ofte kalles ved samme navn.  
Men, den deformerte tilstanden i et fast legeme kan ikke beskrives med bare en vektor. Den samme biten av materialet, uansett hvor liten, kan komprimeres, strekkes, eller skjærtøyes samtidig, langs forskjellige retninger.  På samme måte, spenningene på den biten kan være samtidig dyttende, trekkende eller skjærende. For å kunne fange denne kompleksiteten, så må den relevante tilstanden til materialet omkring et punkt representeres ved 2 andre-ordens tensorer, deformasjons-tensoren 
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
   (som erstatter forflytningen 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  ) og spenningstensoren  
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
   (som erstatter kraften 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
  ).  Analogien med Hookes' fjærlov gir da at 

  
    
      
        σ
        =
        −
        c
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \sigma =-c\epsilon }
  hvor 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   er en fjerde-ordens tensor.  
I et kartesisk koordinat-system, så kan spennings- og deformasjonstensorene representeres ved 
  
    
      
        3
        ×
        3
      
    
    {\displaystyle 3\times 3}
  -matriser

  
    
      
        ϵ
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    ϵ
                    
                      1
                      
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    ϵ
                    
                      1
                      
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    ϵ
                    
                      1
                      
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    ϵ
                    
                      2
                      
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    ϵ
                    
                      2
                      
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    ϵ
                    
                      2
                      
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    ϵ
                    
                      3
                      
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    ϵ
                    
                      3
                      
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    ϵ
                    
                      3
                      
                      3
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
        
        
        
        
        σ
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    σ
                    
                      1
                      
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    σ
                    
                      1
                      
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    σ
                    
                      1
                      
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    σ
                    
                      2
                      
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    σ
                    
                      2
                      
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    σ
                    
                      2
                      
                      3
                    
                  
                
              
              
                
                  
                    σ
                    
                      3
                      
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    σ
                    
                      3
                      
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    σ
                    
                      3
                      
                      3
                    
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon ={\begin{bmatrix}\epsilon _{1\,1}&\epsilon _{1\,2}&\epsilon _{1\,3}\\\epsilon _{2\,1}&\epsilon _{2\,2}&\epsilon _{2\,3}\\\epsilon _{3\,1}&\epsilon _{3\,2}&\epsilon _{3\,3}\end{bmatrix}}\quad \quad \quad \quad \sigma ={\begin{bmatrix}\sigma _{1\,1}&\sigma _{1\,2}&\sigma _{1\,3}\\\sigma _{2\,1}&\sigma _{2\,2}&\sigma _{2\,3}\\\sigma _{3\,1}&\sigma _{3\,2}&\sigma _{3\,3}\end{bmatrix}}}
  Ettersom stivhets-tensoren 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   er en lineær avbildning mellom de 9 tallene 
  
    
      
        
          σ
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{ij}}
   og de 9 tallene 
  
    
      
        
          ϵ
          
            k
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle \epsilon _{kl}}
  ,  så kan stivhetstensoren 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   bli representert ved en matrise av 
  
    
      
        3
        ×
        3
        ×
        3
        ×
        3
        =
        81
      
    
    {\displaystyle 3\times 3\times 3\times 3=81}
   reelle tall 
  
    
      
        
          c
          
            i
            j
            k
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{ijkl}}
  .  Formulert slik sier Hookes' lov at 

  
    
      
        
          σ
          
            i
            j
          
        
        =
        −
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          ∑
          
            l
            =
            1
          
          
            3
          
        
        
          c
          
            i
            j
            k
            l
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{ij}=-\sum _{k=1}^{3}\sum _{l=1}^{3}c_{ijkl}}
  hvor 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
   og 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
   er 1, 2 eller 3. 
Alle tre tensorene varierer generelt fra punkt til punkt innen materialet, og kan også variere i tid. 
Deformasjons-tensoren 
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
   spesifiserer simpelthen forflytningen av partikler i materialet i en omegn av punktet, mens spennings-tensoren 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
   spesifiserer kreftene som omgivende biter av materialet virker på hverandre med.  Derfor, så er de uavhengige av sammensetning og fysisk tilstand til materialet.   Stivhetstensoren 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  , på den andre siden, er en materialegenskap, og avhenger ofte av fysiske tilstandsvariabler som temperatur, trykk og mikrostruktur.  
På grunn av de iboende symmetriene i 
  
    
      
        σ
        ,
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \sigma ,\epsilon }
   og 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
  , er bare 21 elastiske koeffisienter i sistnevnte uavhengige.  


== Analoge lover ==


== Måleenheter ==


== Generell anvendelse til elastiske materialer ==


== Avledede formler ==


== Se også ==
Potensiell energi