Kvadrattall

Et kvadrattall er det positive heltallet som oppstår når et heltall multipliseres med seg selv. Eksempelvis er 25 et kvadrattall ettersom 5 · 5 = 25. En annen, vanlig skrivemåte er potensformen 52 som sies å være «fem opphøyd i to» eller «fem i kvadrat». De første kvadrattallene er: 
1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400, 441, 484, 529, ... 
Navnet kvadrattall skyldes at et slikt antall prikker eller kuler kan arrangeres som et  geometrisk kvadrat. Det betyr at det n-te kvadrattallet har n prikker eller kuler i sine sidekanter. Disse tallene danner en klasse av figurtall på samme måte som trekanttallene og andre polygontall. 
Kvadratet av et liketall er alltid et liketall, mens kvadratet av et oddetall alltid er et oddetall.


== Aritmetiske egenskaper ==
Det n-te kvadrattallet Kn  kan skrives som en sum av de n første oddetallene. For eksempel, så er

  
    
      
        
          
            
              
              
                1
              
              
                =
                1
              
              
                
                =
                
                  1
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                1
                +
                3
              
              
                =
                
                  4
                
              
              
                
                =
                
                  2
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                1
                +
                3
                +
                5
              
              
                =
                
                  9
                
              
              
                
                =
                
                  3
                  
                    2
                  
                
              
            
            
              
              
                1
                +
                3
                +
                5
                +
                7
              
              
                =
                16
              
              
                
                =
                
                  4
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}&1&=1&=1^{2}\\&1+3&={4}&=2^{2}\\&1+3+5&={9}&=3^{2}\\&1+3+5+7&=16&=4^{2}\\\end{aligned}}}
  Da det n-te oddetall er 2n + 1, tilsvarer denne egenskapen ved kvadrattallene den rekursive sammenhengen

  
    
      
        
          K
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          K
          
            n
          
        
        +
        (
        2
        n
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle K_{n+1}=K_{n}+(2n+1)}
  Ved å benytte at K1 = 1, kan alle kvadrattallene herav beregnes ved addisjon. Rekursjonsrelasjonen kan også illustreres geometrisk ved figurene

hvor oddetallet som legges til, er gitt ved de blå kulene. Dens riktighet følger også algebraisk fra definisjonen  Kn = n 2  som betyr at

  
    
      
        
          K
          
            n
            +
            1
          
        
        =
        
          n
          
            2
          
        
        +
        2
        n
        +
        1
        =
        (
        n
        +
        1
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{n+1}=n^{2}+2n+1=(n+1)^{2}}
  


== Sammenheng med trekanttall ==

Hvert kvadrattall kan skrives som summen av et trekanttall og det foregående trekanttallet, det vil si

  
    
      
        
          K
          
            n
          
        
        =
        
          Δ
          
            n
          
        
        +
        
          Δ
          
            n
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{n}=\Delta _{n}+\Delta _{n-1}}
  Det følger lett fra den algebraiske sammenhengen

  
    
      
        
          K
          
            n
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        n
        (
        n
        +
        1
        )
        +
        
          
            1
            2
          
        
        n
        (
        n
        −
        1
        )
        =
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle K_{n}={1 \over 2}n(n+1)+{1 \over 2}n(n-1)=n^{2}}
  og kan  geometrisk illustreres ved å arrangere kulene i de to trekantene med sidekanter n og n - 1  til å utgjøre et kvadrat med sidekant n.
Trekanttallene kan også benyttes til å utlede formelen for summen av de n første kvadrattallene. Den er 

  
    
      
        
          
            
              
                
                  S
                  
                    2
                  
                
                (
                n
                )
              
              
                
                =
                
                  1
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  2
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  3
                  
                    2
                  
                
                +
                ⋯
                +
                
                  n
                  
                    2
                  
                
                =
                
                  
                    1
                    3
                  
                
                
                  n
                  
                    3
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                
                  n
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    1
                    6
                  
                
                n
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    6
                  
                
                n
                (
                n
                +
                1
                )
                (
                2
                n
                +
                1
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}S_{2}(n)&=1^{2}+2^{2}+3^{2}+\cdots +n^{2}={1 \over 3}n^{3}+{1 \over 2}n^{2}+{1 \over 6}n\\&={1 \over 6}n(n+1)(2n+1)\end{aligned}}}
  Denne formelen for summen er samtidig det n-te,  pyramidetallet basert på en pyramide med kvadratisk grunnflate. Det kan bevises ved induksjon ved at

  
    
      
        
          S
          
            2
          
        
        (
        n
        )
        =
        
          S
          
            2
          
        
        (
        n
        −
        1
        )
        +
        
          n
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            6
          
        
        n
        (
        n
        −
        1
        )
        (
        2
        n
        −
        1
        )
        +
        
          n
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle S_{2}(n)=S_{2}(n-1)+n^{2}={1 \over 6}n(n-1)(2n-1)+n^{2}}
  Da formelen er riktig for n = 2, vil den derfor være riktig for alle større verdier av n. 
Geometrisk tilsvarer denne rekursjonsrelasjonen at summen Sn  representerer antall kuler i en slik pyramide bestående av n lag med kvadrat hvor hvert kvadrat har sidelengder fra 1 til n. Den kan bygges opp fra en pyramide med  Sn - 1  kuler ved å tilføye en ny, kvadratisk grunnflate med n 2 kuler.


== Litteratur ==
A. Søgaard og R. Tambs Lyche, Matematikk III for realgymnaset,  Gyldendal Norsk Forlag, Oslo (1955).
A. Holme, Matematikkens Historie 1,  Fagbokforlaget, Bergen (2001). ISBN 82-7674-678-0.