L’Hôpitals regel

L'Hôpitals regel er en regel innenfor matematikken som brukes til å bestemme grenseverdier av ubestemmelige uttrykk som 00, 0/0, ∞/∞ og lignende. Regelen sier at en kan finne grenseverdien ved å derivere teller og nevner i uttrykket hvis det står på formen 0/0 eller ∞/∞.
Den er oppkalt etter Guillaume François Antoine, marquis de L'Hôpital, som først publiserte den.


== Regel ==
Gitt funksjonene f(x) og g(x)
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        g
        (
        x
        )
        =
        0.
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\lim _{x\to c}g(x)=0.\,}
  eller:
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        f
        (
        x
        )
        =
        ±
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        g
        (
        x
        )
        =
        ±
        ∞
        ,
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to c}f(x)=\pm \lim _{x\to c}g(x)=\pm \infty ,\,}
  Er grenseverdien gitt ved:
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        
          
            
              f
              (
              x
              )
            
            
              g
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            c
          
        
        
          
            
              
                f
                ′
              
              (
              x
              )
            
            
              
                g
                ′
              
              (
              x
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim _{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}
  


== Eksempler ==
Et enkelt eksempel på bruk av L'Hôpitals regel:
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              3
              
                x
                
                  2
                
              
            
            
              2
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              6
              x
            
            
              4
              x
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            6
            4
          
        
        =
        
          
            3
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {3x^{2}}{2x^{2}}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6x}{4x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {6}{4}}={\frac {3}{2}}}
  Et litt mer komplisert uttrykk er gitt ved følgende ligning:
  
    
      
        
          
            
              
                
                  lim
                  
                    x
                    →
                    0
                  
                
                
                  
                    
                      2
                      sin
                      ⁡
                      x
                      −
                      sin
                      ⁡
                      2
                      x
                    
                    
                      x
                      −
                      sin
                      ⁡
                      x
                    
                  
                
              
              
                
                =
                
                  lim
                  
                    x
                    →
                    0
                  
                
                
                  
                    
                      2
                      cos
                      ⁡
                      x
                      −
                      2
                      cos
                      ⁡
                      2
                      x
                    
                    
                      1
                      −
                      cos
                      ⁡
                      x
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  lim
                  
                    x
                    →
                    0
                  
                
                
                  
                    
                      −
                      2
                      sin
                      ⁡
                      x
                      +
                      4
                      sin
                      ⁡
                      2
                      x
                    
                    
                      sin
                      ⁡
                      x
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  lim
                  
                    x
                    →
                    0
                  
                
                
                  
                    
                      −
                      2
                      cos
                      ⁡
                      x
                      +
                      8
                      cos
                      ⁡
                      2
                      x
                    
                    
                      cos
                      ⁡
                      x
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      −
                      2
                      cos
                      ⁡
                      0
                      +
                      8
                      cos
                      ⁡
                      0
                    
                    
                      cos
                      ⁡
                      0
                    
                  
                
              
            
            
              
              
                
                =
                6
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{x\to 0}{2\sin x-\sin 2x \over x-\sin x}&=\lim _{x\to 0}{2\cos x-2\cos 2x \over 1-\cos x}\\&=\lim _{x\to 0}{-2\sin x+4\sin 2x \over \sin x}\\&=\lim _{x\to 0}{-2\cos x+8\cos 2x \over \cos x}\\&={-2\cos 0+8\cos 0 \over \cos 0}\\&=6\end{aligned}}}
  Her er et eksempel på et ∞/∞ uttrykk:
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              x
            
            
              ln
              ⁡
              (
              x
              )
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            
               
              1
              
                /
              
              (
              2
              
                
                  x
                
              
              )
               
            
            
              1
              
                /
              
              x
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              x
            
            2
          
        
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\ 1/(2{\sqrt {x}})\ }{1/x}}=\lim _{x\to \infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=\infty }
  0×∞ uttrykk:
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
            +
          
        
        (
        x
        ln
        ⁡
        x
        )
        =
        
          lim
          
            x
            →
            0
            +
          
        
        
          
            
              ln
              ⁡
              x
            
            
              1
              
                /
              
              x
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            0
            +
          
        
        
          
            
              1
              
                /
              
              x
            
            
              −
              1
              
                /
              
              
                x
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        
          lim
          
            x
            →
            0
            +
          
        
        −
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0+}(x\ln x)=\lim _{x\to 0+}{\ln x \over 1/x}=\lim _{x\to 0+}{1/x \over -1/x^{2}}=\lim _{x\to 0+}-x=0}
  
For å regne ut uttrykk av formen 00 må uttrykket omskrives. Vi bruker resultatet fra forrige eksempel til å fastslå grenseverdien:
  
    
      
        
          lim
          
            x
            →
            0
          
        
        
          x
          
            x
          
        
        =
        
          e
          
            
              lim
              
                x
                →
                0
              
            
            (
            x
            ln
            ⁡
            x
            )
          
        
        =
        
          e
          
            0
          
        
        =
        1.
      
    
    {\displaystyle \lim _{x\to 0}x^{x}=e^{\lim _{x\to 0}(x\ln x)}=e^{0}=1.}
  


== Litteratur ==
Chatterjee, Dipak (2005), Real Analysis, PHI Learning Pvt. Ltd,  
Krantz, Steven G. (2004), A handbook of real variables.  With applications to differential equations and Fourier analysis, Boston, MA: Birkhäuser Boston Inc., ss. xiv+201, , ,  
Lettenmeyer, F. (1936), «Über die sogenannte Hospitalsche Regel», Journal für die reine und angewandte Mathematik 174:  246–247,  
Taylor, A. E. (1952), «L'Hospital's rule», Amer. Math. Monthly 59:  20–24, , ,  
Wazewski, T. (1949), «Quelques démonstrations uniformes pour tous les cas du théorème de l'Hôpital. Généralisations» (på fransk), Prace Mat.-Fiz. 47:  117–128,