Distributiv lov

En distributiv lov er i matematikk et teorem eller et aksiom som sier at en gitt binær operasjon A i en mengde M er distributiv med hensyn på en annen binær operasjon B.  Dette er tilfelle dersom de to operasjonene oppfyller relasjonen

  
    
      
        u
        A
        (
        v
        B
        w
        )
        =
        (
        u
        A
        v
        )
        B
        (
        u
        A
        w
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle uA(vBw)=(uAv)B(uAw).\,}
  for all u, v og w i mengden M.I mengden av reelle tall er multiplikasjon distributiv med hensyn på addisjon:

  
    
      
        3
        ×
        (
        7
        +
        4
        )
        =
        (
        3
        ×
        7
        )
        +
        (
        3
        ×
        4
        )
        .
        
      
    
    {\displaystyle 3\times (7+4)=(3\times 7)+(3\times 4).\,}
  En distributive lov gir en relasjon mellom to operasjonene når de opptrer sammen i et matematisk uttrykk.  Relasjonen blir ofte postulert i aksiomer som definerer operasjonene.  Dette gjelder for eksempel for kroppsaksiomene for addisjon og multiplikasjon av reelle tall.En algebraisk struktur er distributiv dersom den har to binære operasjoner som oppfyller en distributiv lov.


== Formell definisjon ==
Gitt en mengde S og to binære operasjoner  
  
    
      
        ⊗
      
    
    {\displaystyle \otimes }
   og 
  
    
      
        ⊕
      
    
    {\displaystyle \oplus }
  .
Operasjonen  
  
    
      
        ⊗
      
    
    {\displaystyle \otimes }
   er venstresidig distributiv med hensyn på  
  
    
      
        ⊕
      
    
    {\displaystyle \oplus }
   dersom

  
    
      
        x
        ⊗
        (
        y
        ⊕
        z
        )
        =
        (
        x
        ⊗
        y
        )
        ⊕
        (
        x
        ⊗
        z
        )
        
        
          
            for alle 
          
        
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ∈
        S
        .
      
    
    {\displaystyle x\otimes (y\oplus z)=(x\otimes y)\oplus (x\otimes z)\qquad {\mbox{for alle }}x,y,z\in S.}
  Operasjonen  
  
    
      
        ⊗
      
    
    {\displaystyle \otimes }
   er høyresidig distributiv med hensyn på  
  
    
      
        ⊕
      
    
    {\displaystyle \oplus }
   dersom

  
    
      
        (
        y
        ⊕
        z
        )
        ⊗
        x
        =
        (
        y
        ⊗
        x
        )
        ⊕
        (
        z
        ⊗
        x
        )
        
        
          
            for alle 
          
        
        x
        ,
        y
        ,
        z
        ∈
        S
        .
      
    
    {\displaystyle (y\oplus z)\otimes x=(y\otimes x)\oplus (z\otimes x)\qquad {\mbox{for alle }}x,y,z\in S.}
  Operasjonen  
  
    
      
        ⊗
      
    
    {\displaystyle \otimes }
   er distributiv med hensyn på  
  
    
      
        ⊕
      
    
    {\displaystyle \oplus }
   dersom den er både venstresidig og høyresidig distributiv.  Egenskapen kan også uttrykkes som at 
  
    
      
        ⊗
      
    
    {\displaystyle \otimes }
   distribuerer over 
  
    
      
        ⊕
      
    
    {\displaystyle \oplus }
  . 


== Eksempler ==
I mengden av reelle og komplekse tall er multiplikasjon distributiv med hensyn addisjon og subtraksjon.  Det motsatte er ikke tilfelle.I mengden av reelle tall er maksimumsoperasjonen distributiv over minimumsoperasjonen - og også omvendt:
  
    
      
        m
        a
        x
        (
        a
        ,
        m
        i
        n
        (
        b
        ,
        c
        )
        )
        =
        m
        i
        n
        (
        m
        a
        x
        (
        a
        ,
        b
        )
        ,
        m
        a
        x
        (
        a
        ,
        c
        )
        )
        
      
    
    {\displaystyle max(a,min(b,c))=min(max(a,b),max(a,c))\,}
  
  
    
      
        m
        i
        n
        (
        a
        ,
        m
        a
        x
        (
        b
        ,
        c
        )
        )
        =
        m
        a
        x
        (
        m
        i
        n
        (
        a
        ,
        b
        )
        ,
        m
        i
        n
        (
        a
        ,
        c
        )
        )
        
      
    
    {\displaystyle min(a,max(b,c))=max(min(a,b),min(a,c))\,}
  I mengden av reelle tall er addisjon distributiv over både maksimum- og minimumsoperasjonen:
  
    
      
        a
        +
        m
        a
        x
        (
        b
        ,
        c
        )
        )
        =
        m
        a
        x
        (
        a
        +
        b
        ,
        a
        +
        c
        )
        
      
    
    {\displaystyle a+max(b,c))=max(a+b,a+c)\,}
  

  
    
      
        a
        +
        m
        i
        n
        (
        b
        ,
        c
        )
        )
        =
        m
        i
        n
        (
        a
        +
        b
        ,
        a
        +
        c
        )
        
      
    
    {\displaystyle a+min(b,c))=min(a+b,a+c)\,}
  I mengdelære er operasjonen union distributiv med hensyn på snittet - og også omvendt:
  
    
      
        
          
          
            
              
                
                  
                    A
                    ∩
                    (
                    B
                    ∪
                    C
                    )
                    =
                    (
                    A
                    ∩
                    B
                    )
                    ∪
                    (
                    A
                    ∩
                    C
                    )
                  
                
                
                  
                    A
                    ∪
                    (
                    B
                    ∩
                    C
                    )
                    =
                    (
                    A
                    ∪
                    B
                    )
                    ∩
                    (
                    A
                    ∪
                    C
                    )
                  
                
              
            
            
          
          }
        
        
          
            for alle mengder 
          
        
        A
        ,
        B
        ,
        C
        .
      
    
    {\displaystyle \left.{\begin{matrix}A\cap (B\cup C)=(A\cap B)\cup (A\cap C)\\A\cup (B\cap C)=(A\cup B)\cap (A\cup C)\end{matrix}}\quad \right\}{\mbox{for alle mengder }}A,B,C.}
  Kryssproduktet av to vektorer i R3 er distributivt med hensyn på vektoraddisjon:
  
    
      
        
          
          
            
              
                
                  (
                  
                    u
                  
                  ×
                  
                    v
                  
                  )
                  ×
                  
                    w
                  
                  ≠
                  
                    u
                  
                  ×
                  (
                  
                    v
                  
                  ×
                  
                    w
                  
                  )
                
              
            
          
          }
        
        
          
            for alle 
          
        
        
          u
        
        ,
        
          v
        
        ,
        
          w
        
        ∈
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \left.{\begin{matrix}(\mathbf {u} \times \mathbf {v} )\times \mathbf {w} \neq \mathbf {u} \times (\mathbf {v} \times \mathbf {w} )\end{matrix}}\right\}{\mbox{for alle }}\mathbf {u} ,\mathbf {v} ,\mathbf {w} \in \mathbf {R} }
  


== Distributivitet i matematiske strukturer ==
I en kropp er både multiplikasjonen distributiv med hensyn på addisjonen.  Det samme gjelder for en ring.I en algebra er produktet distributivt med hensyn på vektoraddisjonen.I et vektorrom er skalarmultiplikasjon distributiv med hensyn på vektoraddisjon.


== Se også ==
Assosiativ lov
Kommutativ lov


== Referanser ==


== Litteratur ==
E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6. Walter Rudin (1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3.