Stokes’ teorem

Stokes' teorem sier hvordan et linjeintegral rundt en lukket kurve kan omskrives som et flateintegral over en flate som ligger innenfor denne kurven:

  
    
      
        
          ∮
          
            C
          
        
        
          F
        
        ⋅
        d
        
          l
        
        =
        
          ∫
          
            S
          
        
        (
        ∇
        ×
        
          F
        
        )
        ⋅
        d
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =\int _{S}(\nabla \times \mathbf {F} )\cdot d\mathbf {a} }
  Her er kurven C randen til flaten S, matematisk uttrykt som C = ∂ S. Det kan være nyttig å bruke teoremet begge veier.

Et eksempel på bruk er innen elektromagnetismen hvis en vil omskrive Faradays induksjonslov fra integralform til differensialform:

  
    
      
        
          ∮
          
            C
          
        
        
          E
        
        ⋅
        d
        
          l
        
        =
        −
         
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        
          ∫
          
            S
          
        
        
          B
        
        ⋅
        d
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \oint _{C}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =-\ {\partial  \over \partial t}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} }
  gir ved Stokes' teorem:

  
    
      
        
          ∫
          
            S
          
        
        (
        ∇
        ×
        
          E
        
        )
        ⋅
        d
        
          a
        
        =
        −
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        
          ∫
          
            S
          
        
        
          B
        
        ⋅
        d
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \int _{S}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot d\mathbf {a} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\int _{S}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {a} }
  Derivasjonsoperatoren på tid i det siste uttrykket kan settes på innsiden av integraltegnet siden tida er uavhengige av arealet:

  
    
      
        
          ∫
          
            S
          
        
        (
        ∇
        ×
        
          E
        
        )
        ⋅
        d
        
          a
        
        =
        −
        
          ∫
          
            S
          
        
        
          
            
              ∂
              
                B
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        ⋅
        d
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \int _{S}(\nabla \times \mathbf {E} )\cdot d\mathbf {a} =-\int _{S}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\cdot d\mathbf {a} }
  Ettersom integralet er helt likt på begge sider, kan integrasjonsoperatorene fjernes:

  
    
      
        ∇
        ×
        
          E
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                B
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
  Vi har her fått Faradays lov på differensialform.


== Se også ==
Divergensteoremet