Euler-ligningene

Eulerligningene styrer bevegelsen til en kompressibel og ikke-viskøs væske i væskedynamikken. Ligningene er en enklere form av Navier-Stokes-ligningene med null viskositet og varmekonduksjon, men blir vanligvis skrevet slik som her, fordi de direkte representerer bevaring av masse, bevegelsesmengde og energi. Ligningene har fått navn etter Leonhard Euler. I denne artikkelen tenker vi oss at den klassiske mekanikken gjelder, se relativistiske Eulerligninger for en diskusjon av kompressible væsker når farten nærmer seg lysfarten.
På differensial form er ligningene: 

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        (
        ρ
        
          u
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial \rho  \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}
  

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ρ
              
                
                  u
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        (
        ρ
        
          u
        
        )
        
          u
        
        +
        ∇
        p
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial \rho {\mathbf {u} } \over \partial t}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )\mathbf {u} +\nabla p=0}
  

  
    
      
        
          
            
              ∂
              E
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        ∇
        ⋅
        (
        
          u
        
        (
        E
        +
        p
        )
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial E \over \partial t}+\nabla \cdot (\mathbf {u} (E+p))=0}
  der 
  
    
      
        E
        =
        ρ
        e
        +
        ρ
        (
        
          u
          
            2
          
        
        +
        
          v
          
            2
          
        
        +
        
          w
          
            2
          
        
        )
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle E=\rho e+\rho (u^{2}+v^{2}+w^{2})/2}
   er den totale energien per volum (
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
   er den indre energien per masse for væsken), 
  
    
      
        p
      
    
    {\displaystyle p}
   er trykket, 
  
    
      
        u
      
    
    {\displaystyle u}
   er væskens fart og 
  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
   tettheten. Den andre ligningen inkluderer divergens av en binær tensor, og er kanskje klarere i indeksnotasjon:

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ρ
              
                u
                
                  j
                
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              ρ
              
                u
                
                  i
                
              
              
                u
                
                  j
                
              
            
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              p
            
            
              ∂
              
                x
                
                  j
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial \rho u_{j} \over \partial t}+{\partial \rho u_{i}u_{j} \over \partial x_{i}}+{\partial p \over \partial x_{j}}=0}
  Merk at ligningene over er uttrykt på bevaringsform, siden denne formen legger vekt på det fysiske opphavet deres (og er den enkleste formen for datasimuleringer av væskedynamikk). Bevegelsesmengdekomponenten i Eulerligningene blir vanligvis uttrykt som:

  
    
      
        ρ
        
          (
          
            
              
                ∂
                
                  ∂
                  t
                
              
            
            +
            
              
                u
              
            
            ⋅
            ∇
          
          )
        
        
          
            u
          
        
        +
        ∇
        p
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \rho \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right){\mathbf {u} }+\nabla p=0}
  men denne formen skjuler den direkte sammenhengen mellom Eulerligningene og Newtons andre bevegelsesligning (særlig er det ikke intuitivt hvorfor denne ligningen er korrekt og 
  
    
      
        
          (
          
            ∂
            
              /
            
            
              ∂
              t
            
            +
            
              
                u
              
            
            ⋅
            ∇
          
          )
        
        (
        ρ
        
          
            u
          
        
        )
        +
        ∇
        p
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \left(\partial /{\partial t}+{\mathbf {u} }\cdot \nabla \right)(\rho {\mathbf {u} })+\nabla p=0}
   ikke er korrekt).
I bevaringsvektorform blir Eulerligningene

  
    
      
        
          
            
              ∂
              U
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              F
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              G
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        +
        
          
            
              ∂
              H
            
            
              ∂
              z
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial U}{\partial t}}+{\frac {\partial F}{\partial x}}+{\frac {\partial G}{\partial y}}+{\frac {\partial H}{\partial z}}=0}
  der

  
    
      
        U
        =
        
          
            (
            
              
                
                  ρ
                
              
              
                
                  ρ
                  u
                
              
              
                
                  ρ
                  v
                
              
              
                
                  ρ
                  w
                
              
              
                
                  E
                
              
            
            )
          
        
        
        F
        =
        
          
            (
            
              
                
                  ρ
                  u
                
              
              
                
                  p
                  +
                  ρ
                  
                    u
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  ρ
                  u
                  v
                
              
              
                
                  ρ
                  u
                  w
                
              
              
                
                  u
                  (
                  E
                  +
                  p
                  )
                
              
            
            )
          
        
        
        G
        =
        
          
            (
            
              
                
                  ρ
                  v
                
              
              
                
                  ρ
                  u
                  v
                
              
              
                
                  p
                  +
                  ρ
                  
                    v
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  ρ
                  v
                  w
                
              
              
                
                  v
                  (
                  E
                  +
                  p
                  )
                
              
            
            )
          
        
        
        H
        =
        
          
            (
            
              
                
                  ρ
                  w
                
              
              
                
                  ρ
                  u
                  w
                
              
              
                
                  ρ
                  v
                  w
                
              
              
                
                  p
                  +
                  ρ
                  
                    w
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  w
                  (
                  E
                  +
                  p
                  )
                
              
            
            )
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle U={\begin{pmatrix}\rho \\\rho u\\\rho v\\\rho w\\E\end{pmatrix}}\qquad F={\begin{pmatrix}\rho u\\p+\rho u^{2}\\\rho uv\\\rho uw\\u(E+p)\end{pmatrix}}\qquad G={\begin{pmatrix}\rho v\\\rho uv\\p+\rho v^{2}\\\rho vw\\v(E+p)\end{pmatrix}}\qquad H={\begin{pmatrix}\rho w\\\rho uw\\\rho vw\\p+\rho w^{2}\\w(E+p)\end{pmatrix}}.\qquad }
  Denne formen viser at 
  
    
      
        F
        ,
        G
        ,
        H
      
    
    {\displaystyle F,G,H}
   er flukser.
Ligningen over representerer altså bevaring av masse, tre komponenter av bevegelsesmengde, og energi. Det er derimot fem ligninger og seks ukjente. For å få en lukket problemstilling må man bruke tilstandsligningen, og den mest vanlige formen av denne er den ideelle gassloven (f.eks. 
  
    
      
        p
        =
        ρ
        (
        γ
        −
        1
        )
        e
      
    
    {\displaystyle p=\rho (\gamma -1)e}
  , der ρ er tettheten, γ er en adiabatisk indeks, og e den indre energien).
Det ekstra leddet som har med p kan tolkes som det mekaniske arbeidet som et væskeelement gjør på væskeelementene rundt. Disse leddene blir summert opp til null i en inkompressibel væske. 
Den mer kjente Bernoulliligningen kan utledes ved å integrere Eulerligningene langs en strømlinje, hvis man setter tettheten til å være konstant.