Riemanns zetafunksjon

Riemanns zetafunksjon  er en matematisk funksjon som har meget stor betydning i tallteori og kompleks analyse. Den betegnes med en gresk zeta ζ  og ble først undersøkt av Leonhard Euler rundt 1730.  Han definerte den ved den uendelige summen 

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              
                s
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              2
              
                s
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              
                s
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              4
              
                s
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              5
              
                s
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              6
              
                s
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              7
              
                s
              
            
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{6^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+\cdots }
  der argumentet s er et positivt tall større enn 1. Når s = 1 faller den sammen med den harmoniske rekken som divergerer. Funksjonen eksisterer derfor ikke i dette punktet.
I 1859 viste Bernhard Riemann at funksjonen kunne defineres for alle komplekse verdier av argumentet s. Funksjonen har trivielle nullpunkter når argumentet er et negativt partall. I tillegg fant Riemann såkalte ikke-trivielle nullpunkt på den rette linjen s = 1/2. Innholdet av Riemann-hypotesen er at funksjonen ikke har andre nullpunkt utenfor denne linjen. Det er på den måten eksistensen av disse komplekse nullpunktene knyttes direkte til fordelingen av primtall mellom de naturlige tallene.


== Viktige egenskaper ==
Allerede Euler hadde vist at funksjonen hadde egenskaper som knyttet den til primtallene. Siden hvert heltall n kan faktoriseres på en bestemt måte som et produkt av primtall p = 2, 3, 5, 7, 11, ... , kunne han skrive zetafunksjonen på formen

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        =
        
          ∏
          
            p
          
        
        
          
            1
            
              1
              −
              
                p
                
                  −
                  s
                
              
            
          
        
        =
        
          
            (
          
        
        
          
            1
            
              1
              −
              
                2
                
                  −
                  s
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        
          
            (
          
        
        
          
            1
            
              1
              −
              
                3
                
                  −
                  s
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        
          
            (
          
        
        
          
            1
            
              1
              −
              
                5
                
                  −
                  s
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        
          
            (
          
        
        
          
            1
            
              1
              −
              
                7
                
                  −
                  s
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        ⋯
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\Big (}{\frac {1}{1-2^{-s}}}{\Big )}{\Big (}{\frac {1}{1-3^{-s}}}{\Big )}{\Big (}{\frac {1}{1-5^{-s}}}{\Big )}{\Big (}{\frac {1}{1-7^{-s}}}{\Big )}\cdots }
  For den spesielle verdien s = 1 blir hver faktor i produktet p/(p - 1). Da den for dette argumentet sammenfaller med den harmoniske rekken som er divergent, betyr det med en gang at det må finnes uendelig mange primtall.
Euler kjente også til verdien av funksjonen for s = 2. Den inngikk i hans løsning av Basel-problemet som ga

  
    
      
        1
        +
        
          
            1
            
              2
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              4
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              5
              
                2
              
            
          
        
        ⋯
        =
        ζ
        (
        2
        )
        =
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}\cdots =\zeta (2)={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
  Noen få år senere viste han at funksjonen for alle argument som var positive partall kunne beregnes analytisk. I mer moderne notasjon skrives disse verdiene på formen

  
    
      
        ζ
        (
        2
        n
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
            −
            1
          
        
        
          
            
              (
              2
              π
              
                )
                
                  2
                  n
                
              
            
            
              2
              (
              2
              n
              )
              !
            
          
        
        
          B
          
            2
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n-1}{(2\pi )^{2n} \over 2(2n)!}B_{2n}}
  hvor B 2n   er Bernoulli-tall som alle er brøker. De første er B1 = - 1/2, B2 = 1/6,  B4 = -1/30. Alle andre med oddetall indeks er null. For n = 2 har man da for rekken

  
    
      
        1
        +
        
          
            1
            
              2
              
                4
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              
                4
              
            
          
        
        +
        ⋯
        =
        ζ
        (
        4
        )
        =
        
          
            
              π
              
                4
              
            
            90
          
        
      
    
    {\displaystyle 1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots =\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}}
  Denne verdien av zetafunksjonen opptrer i Plancks teori for sort stråling. Når argumentet er et positivt oddetall, finnes det ikke noe analytisk uttrykk for verdien av zetafunksjonen.
Fra definisjonen av funksjonen følger at den divergerer i punktet s = 1. En mer nøyaktig utregning viser at i den umiddelbare nærhet av dette punktet varierer den som

  
    
      
        ζ
        (
        1
        +
        x
        )
        =
        
          
            1
            x
          
        
        +
        γ
        +
        O
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta (1+x)={1 \over x}+\gamma +O(x)}
  når x nærmer seg null og der γ = 0.57721.... er Euler-Mascheronis konstant. Dette representer en enkel pol og er den eneste singulariteten som zetafunksjonen har.


== Analytisk utvidelse ==

I tillegg til å gi funksjonen et navn knyttet til den greske bokstaven zeta, fant Riemann i 1859 i sitt berømte arbeid Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Größe en mer generell definisjon som gjorde det mulig å beregne den i hele det komplekse planet. Han tok utgangspunkt i Eulers definisjon av gammafunksjonen som et integral slik at man kan skrive

  
    
      
        
          
            1
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        Γ
        (
        s
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        t
        
        
          t
          
            s
            −
            1
          
        
        
          e
          
            −
            n
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle {1 \over n^{s}}\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{s-1}e^{-nt}}
  der s > 1. Fra definisjonen av zetafunksjonen finner man herav ved summasjon at

  
    
      
        ζ
        (
        s
        )
        Γ
        (
        s
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        t
        
        
          t
          
            s
            −
            1
          
        
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            n
            t
          
        
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        t
        
        
          
            
              t
              
                s
                −
                1
              
            
            
              
                e
                
                  t
                
              
              −
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (s)\Gamma (s)=\int _{0}^{\infty }\!dt\,t^{s-1}\sum _{n=1}^{\infty }e^{-nt}=\int _{0}^{\infty }\!dt\,{t^{s-1} \over e^{t}-1}}
  Integralet eksisterer for alle reelle tall s > 1 og Riemann viste at det kunne utvides til å gjelde for alle komplekse verdier av s med realdel større enn 1. Det gir opphav til en analytisk funksjon som ved en «analytisk utvidelse» definerer zetafunksjonen for alle komplekse verdier av argumentet s.
Videre kunne Riemann vise ved bruk av residyregning og definisjonen

  
    
      
        
          
            t
            
              
                e
                
                  t
                
              
              −
              1
            
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              B
              
                k
              
            
            
              k
              !
            
          
        
        
          t
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {t}{e^{t}-1}}=\sum _{k=0}^{\infty }{B_{k} \over k!}t^{k}}
  av Bernoulli-tallene med B 0 = 1 og B 1 = -1/2, at for negative heltallsargument tar funksjonen verdiene

  
    
      
        ζ
        (
        1
        −
        k
        )
        =
        −
        
          
            
              B
              
                k
              
            
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (1-k)=-{\frac {B_{k}}{k}}}
  når k > 1. Da alle Bernoulli-tall med oddetalls indeks k > 2 er null, betyr det at ζ (-2n) = 0 for n ≥ 1. Disse representerer de «trivielle nullpunktene» til funksjonen. For k = 2 har man ζ (-1) =  -B 2/2 = -1/12, mens k = 1 er spesiell. Da er ζ (0) =  +B 1 = -1/2.

Fra samme, komplekse utvidelse av definisjonsområdet for zetafunksjonen viste Riemann at den har den spesielle egenskapen 

  
    
      
        ζ
        (
        1
        −
        s
        )
        =
        
          
            2
            
              (
              2
              π
              
                )
                
                  s
                
              
            
          
        
        cos
        ⁡
        
          
            
              π
              s
            
            2
          
        
         
        Γ
        (
        s
        )
         
        ζ
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta (1-s)={\frac {2}{(2\pi )^{s}}}\cos {\frac {\pi s}{2}}\ \Gamma (s)\ \zeta (s)}
  Dette er en «refleksjonsformel» som for reelle verdier av argumentet forbinder funksjonen på den negative halvaksen med verdier på den positive aksen hvor den opprinnelige definisjonen av funksjonen kan benyttes. Samme resultat var Euler kommet frem til allerede i 1749 med mer indirekte metoder.En direkte konsekvens av formelen er eksistensen av de trivielle nullpunktene som sees ved å sette s = 2n + 1 og skyldes at cosinusfunksjonen for et odde multiplum av π /2 alltid er null.  Derimot for s = 2n  gir den verdier for ζ (2n) i overensstemmelse med Eulers opprinnelige resultat

  
    
      
        ζ
        (
        2
        n
        )
        =
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
            −
            1
          
        
        
          
            
              (
              2
              π
              
                )
                
                  2
                  n
                
              
            
            
              2
              (
              2
              n
              )
              !
            
          
        
        
          B
          
            2
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (2n)=(-1)^{n-1}{(2\pi )^{2n} \over 2(2n)!}B_{2n}}
  Fortegnet følger fra faktoren cosnπ = (-1)n sammen med egenskapene til gammafunksjonen som gjør at (2n)⋅Γ(2n) = Γ(2n + 1) = (2n)!.
Langs den negative s-aksen har man for eksempel ζ (-1) = -1/12 og ζ (-3) = 1/120.  Da i tillegg ζ (-2) = ζ (-4) = 0, har funksjonen små verdier i dette området.


== Dirichlets etafunksjon ==
Det finnes andre, uendelige rekker som enkelt kan forbindes med Riemanns zetafunksjon. En av de viktigste er den alternerende zetafunksjonen hvor annethvert ledd i den definerende summen skifter fortegn,

  
    
      
        η
        (
        s
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              
                s
              
            
          
        
        −
        
          
            1
            
              2
              
                s
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              
                s
              
            
          
        
        −
        
          
            1
            
              4
              
                s
              
            
          
        
        +
        ⋯
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  n
                  −
                  1
                
              
            
            
              n
              
                s
              
            
          
        
        ≈
        
          ∏
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              1
              −
              
                p
                
                  2
                  n
                  −
                  1
                
                
                  −
                  s
                
              
            
            
              1
              −
              
                p
                
                  2
                  n
                
                
                  −
                  s
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{1^{s}}}-{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}-{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots =\sum _{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}\approx \prod _{n=1}^{\infty }{1-p_{2n-1}^{-s} \over 1-p_{2n}^{-s}}.}
  En slik sum er et eksempel på en mer generell tallrekke som kalles for en Dirichlet-rekke. Av denne grunn blir funksjonen η(s) også kalt for Dirichlets etafunksjon.
På grunn av de alternerende fortegnene i summen konvergerer den for alle s > 0, mens Riemanns zetafunksjon kan bare summeres når s > 1. Ved å ta ut en faktor 2 i hver term i summen som inneholder et partall 2n, finner man den viktige sammenhengen

  
    
      
        η
        (
        s
        )
        =
        (
        1
        −
        
          2
          
            1
            −
            s
          
        
        )
        ζ
        (
        s
        )
      
    
    {\displaystyle \eta (s)=(1-2^{1-s})\zeta (s)}
  Den gir en utvidelse av området s > 1 der zetafunksjonen eksisterer, til det større området s > 0 der etafunksjonen eksisterer. Når s → 1, vil faktoren 1 - 21 - s gå mot null på en slik måte at når den multipliseres med divergensen til ζ(s) i dette punktet, vil etafunksjonen der ta en endelig verdi.  I motsetning til Riemanns zetafunksjon har den derfor ingen divergenser i det komplekse planet. Den er der gitt ved integralet

  
    
      
        η
        (
        s
        )
        =
        
          
            1
            
              Γ
              (
              s
              )
            
          
        
        
          ∫
          
            0
          
          
            ∞
          
        
        
        d
        t
        
          
            
              t
              
                s
                −
                1
              
            
            
              
                e
                
                  t
                
              
              +
              1
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }\!dt{\frac {t^{s-1}}{e^{t}+1}}}
  Denne alternerende zetafunksjonen opptrer i flere sammenhenger i statistisk mekanikk hvor partikler med Fermi-Dirac statistikk inngår. Dette gjelder for systemer med elektroner og nøytrinoer. For eksempel, ved beregning av energitettheten i Universet som skyldes slik fermioner, opptrer summen i Dirichlets etafunksjon. Da tidrommet har s = 4 dimensjoner, vil faktoren 1 - 21 - s = 7/8 slik at summen blir

  
    
      
        η
        (
        4
        )
        =
        
          
            7
            8
          
        
        ζ
        (
        4
        )
        =
        
          
            7
            8
          
        
        ⋅
        
          
            
              π
              
                4
              
            
            90
          
        
        =
        
          
            
              7
              
                π
                
                  4
                
              
            
            720
          
        
      
    
    {\displaystyle \eta (4)={7 \over 8}\zeta (4)={7 \over 8}\cdot {\frac {\pi ^{4}}{90}}={7\pi ^{4} \over 720}}
  


== Referanser ==


== Litteratur ==
H.M. Edwards, Riemann's Zeta Function, Academic Press, New York (2001).  ISBN 0-486-41740-9.