Svingekrets

En svingekrets eller  LC-krets er en elektrisk krets som består av en induktans og en kapasitans som er koblet sammen. Den går også under navnene resonanskrets eller avstemt krets da den fungere som en elektrisk resonator ved at strømmen gjennom den oscillerer ved en bestemt frekvens. Det tilsvarer  de mekaniske svingningene til en stemmegaffel.
Svingekretser brukes enten for å generere elektriske signaler på en bestemt frekvens eller for å plukke ut et signal på en bestemt frekvens fra et mer komplekst signal. Denne funksjonen kalles et «båndpassfilter». De er sentrale komponenter i mange elektroniske enheter. All sending og mottaking av radiobølgeer er basert på slike kretser.
Når induktansen i kretsen er L og kapasitansen er C, vil den oscillere med frekvensen

  
    
      
        
          f
          
            0
          
        
        =
        
          
            1
            
              2
              π
              
                
                  L
                  C
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f_{0}={\frac {1}{2\pi {\sqrt {LC}}}}}
  Denne verdien kalles også kretsens «egenfrekvens» og beskriver hvordan strømmen svinger frem og tilbake mellom induktansen og konduktansen når den ikke er utsatt for ytre påvirkninger. I motsatt fall der den er påtrykt en elektrisk spenning med en viss frekvens, vil den resulterende strømmen i kretsen være størst når denne ytre frekvensen er lik med egenfrekvensen. Kretsen svinger da i resonans med den ytre spenningen.
Antagelsen at svingekretsen kun inneholder induktans og kapasitans, gir en ideell beskrivelse av strøm og spenning i den. Den forutsetter at det ikke skjer noe energitap på grunn av elektrisk motstand i kretsen. Praktiske realiseringer vil alltid medføre tap som følge av små motstander i komponenter og tilkoblede ledninger. Da det vanligvis er ønskelig at svingekretsen skal virke med minimal demping, bør denne motstanden være så lav som mulig. En  mer fullstendig kretsmodell som også omfatter motstand, beskrives som en RLC-krets.


== Strøm og spenning ==

Til hvert tidspunkt er ladningen Q på kapasitansen og spenningen VC  over den forbundet ved ligningen Q = CVC.  Når ladningen varierer med tiden, vil det tilsvare at det går en elektrisk strøm

  
    
      
        I
        =
        
          
            
              d
              Q
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        C
        
          
            
              d
              
                V
                
                  C
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle I={dQ \over dt}=C{dV_{C} \over dt}}
  i kretsen. Den går gjennom kapasitansen som en forskyvningsstrøm. Ved selvinduksjon oppstår det dermed også en spenning

  
    
      
        
          V
          
            L
          
        
        =
        L
        
          
            
              d
              I
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        L
        C
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                V
                
                  C
                
              
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle V_{L}=L{dI \over dt}=LC{d^{2}V_{C} \over dt^{2}}}
  over induktansen L.
Ifølge Kirchhoffs spenningslov må summen av disse to spenningen oppfylle 
  
    
      
        
          V
          
            C
          
        
        +
        
          V
          
            L
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle V_{C}+V_{L}=0}
   så lenge kretsen ikke er tilknyttet en ekstern spenningskilde. Det resulterer i differensialligningen

  
    
      
        L
        C
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                V
                
                  C
                
              
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          V
          
            C
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle LC{d^{2}V_{C} \over dt^{2}}+V_{C}=0}
  som er den samme «svingeligningen» som beskriver bevegelsen til en harmonisk oscillator. Spenningen over kapasistansen kan derfor skrives som

  
    
      
        
          V
          
            C
          
        
        (
        t
        )
        =
        
          V
          
            m
          
        
        sin
        ⁡
        
          ω
          
            0
          
        
        t
      
    
    {\displaystyle V_{C}(t)=V_{m}\sin \omega _{0}t}
  der Vm  er en integrasjonskonstant, og man har valgt tidspunket t = 0 der denne spenningen er null. Konstanten

  
    
      
        
          ω
          
            0
          
        
        =
        
          
            
              1
              
                L
                C
              
            
          
        
        =
        2
        π
        
          f
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \omega _{0}={\sqrt {1 \over LC}}=2\pi f_{0}}
  er vinkelfrekvensen for denne svingekretsen.


== Elektromagnetisk energi ==

Så lenge det ikke er noen ohmsk motstand i kretsen, vil den elektromagnetiske energien i kretsen være konstant. Mens den elektriske delen kan uttrykkes ved potensialet over kapasitansen, kan den magnetiske delen forbindes med strømmen gjennom induktansen. Summen av disse to er den totale energien

  
    
      
        
          U
          
            t
            o
            t
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        C
        
          V
          
            C
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        L
        
          I
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{tot}={1 \over 2}CV_{C}^{2}+{1 \over 2}LI^{2}}
  Da strømmen i kretsen er

  
    
      
        I
        =
        C
        
          
            
              d
              
                V
                
                  C
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          ω
          
            0
          
        
        C
        
          V
          
            m
          
        
        cos
        ⁡
        
          ω
          
            0
          
        
        t
      
    
    {\displaystyle I=C{dV_{C} \over dt}=\omega _{0}CV_{m}\cos \omega _{0}t}
  ,vil dens elektromagnetiske energi

  
    
      
        
          U
          
            t
            o
            t
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        C
        
          V
          
            m
          
          
            2
          
        
        (
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        
          ω
          
            0
          
        
        t
        +
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        
          ω
          
            0
          
        
        t
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        C
        
          V
          
            m
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{tot}={1 \over 2}CV_{m}^{2}(\sin ^{2}\omega _{0}t+\cos ^{2}\omega _{0}t)={1 \over 2}CV_{m}^{2}}
  være uavhengig av tiden og kun gitt ved maksimalspenningen Vm. Til hvert tidspunkt finnes den i et elektrisk felt E i kapasistansen og et magnetisk felt B i induktansen.Hver av delenergiene varierer periodisk med tiden, og man kan si at den totale energien svinger mellom en ren elektrisk form i kapasitansen til en ren magnetisk form i induktansen. Dette er analogt med den totale energien i en mekanisk oscillator der den svinger mellom ren kinetisk energi fra bevegelsen til ren potensiell energi lagret i den elastiske fjæren.


== RCL -krets ==

I praksis vil en LC-krets også inneholde en motstand R i komponentene eller i ledningene som koblet dem sammen. Denne vil forbruke energien i kretsen slik at enhver svingning vil opphøre etter en viss tid. Den elektriske motstanden virker dempende på kretsen på tilsvarende måte som mekanisk friksjon demper en svingende fjær.. Kretsen kan kun fortsatt oscillere ved  å drive den med en ekstern spenningskilde som tilfører den energi. Men da vil oscillasjonene ha samme frekvens som denne påtrykte spenningen.Motstanden R forårsaker et spenningsfall VR  = RI  i kretsen. Strømmen I er fremdeles gitt ved den deriverte av spenningsfallet VC  over kapasitansen slik at Kirchhoffs spenningslov nå betyr at

  
    
      
        L
        C
        
          
            
              
                d
                
                  2
                
              
              
                V
                
                  C
                
              
            
            
              d
              
                t
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        R
        C
        
          
            
              d
              
                V
                
                  C
                
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        +
        
          V
          
            C
          
        
        =
        
          V
          
            e
            x
            t
          
        
      
    
    {\displaystyle LC{d^{2}V_{C} \over dt^{2}}+RC{dV_{C} \over dt}+V_{C}=V_{ext}}
  Dette er svingeligningen for en dempet oscillator som er drevet av en ytre kraft. Når denne er periodisk med vinkelfrekvens ω, kan den eksterne spenningen skrives som

  
    
      
        
          V
          
            e
            x
            t
          
        
        =
        
          V
          
            0
          
        
        cos
        ⁡
        ω
        t
      
    
    {\displaystyle V_{ext}=V_{0}\cos \omega t}
  når den oscillerer med amplitude V0.
Egenskapene til de stasjonære svingningene til denne drevne kretsen kan enklest beregnes ved bruk av fasevektorer. Den resulterende strøm vil oscillere med samme frekvens ω som den ytre spenningskilde har og med en amplitude Im  som er gitt ved kretsens impedans Z,

  
    
      
        
          I
          
            m
          
        
        =
        
          
            
              V
              
                0
              
            
            Z
          
        
        =
        
          
            
              V
              
                0
              
            
            
              
                
                  R
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  
                    (
                  
                
                ω
                L
                −
                1
                
                  /
                
                ω
                C
                
                  
                    
                      )
                    
                  
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle I_{m}={V_{0} \over Z}={V_{0} \over {\sqrt {R^{2}+{\Big (}\omega L-1/\omega C{\Big )}^{2}}}}}
  Strømmen blir maksimal når impedansen er minimal. Det skjer når den ytre frekvensen oppfyller 
  
    
      
        ω
        C
        =
        1
        
          /
        
        ω
        L
      
    
    {\displaystyle \omega C=1/\omega L}
  , det vil si at den er lik med egenfrekvensen ω0. Kretsen svinger da i resonans med den ytre påvirkningen.


== Historisk bakgrunn ==
Under utforskningen av elektrisitetens egenskaper på 1800-tallet ble den i begynnelsen oppfattet som en slags fluid eller væske. Denne forståelsen lå delvis bak bruken av Leidnerflasker for å lagre elektrisk ladning. Allerede i 1842 hadde Joseph Henry observert at når en slik flaske utlades gjennom en ledning, syntes strømmen å kunne variere litt frem og tilbake.
Leidnerflasken er en elektrisk kondensator med en viss kapasitans. Ledningen som benyttes ved en utladning, har både en induktans og en ohmsk motstand. Denne innsikten gjorde det mulig for William Thomson i 1853 å forklare observasjonene til Henry rent matematisk som en dempet svingning i en LC-krets. Ved å la strømmen i kretsen danne en liten lysbue eller gnist, viste mer nøyaktige målinger at denne oscillerte med en frekvens som var i overensstemmelse med Thomsons beregninger.Den første forklaring av resonans i en RCL-krets ble gitt av James Maxwell i 1868. Han ble en kveld fortalt om et eksperiment med en elektrisk krets hvor en ekstern vekselspenning drev en strøm gjennom en spole. Da ble det observert at strømmen i kretsen  kunne økes betraktelig ved å koble en kapasitans i serie med denne induktansen. Neste dag kunne Maxwell presentere en matematisk beskrivelse av strømforløpet i kretsen som viste at den ekstra kapasitansen  medførte at kretsens egenfrekvens kom nærmere frekvensen til den ytre spenningskilden og dermed førte svingningene nærmere resonans.


== Se også ==
Resonans
RC-krets


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
L.O. Tveita, Sensorteori: Svingingar og bølgjer, forelesninger ved Sjøkrigsskolen (2010).
T. Kuphaldt, An electric pendulum, detaljert diskusjon om svingninger i LC-kretser.