Andregradsflate

En andregradsflate er i matematikken definert som løsningsmengden til et kvadratisk polynom med flere ukjente. Den kan betraktes som en hyperflate i et affint rom med en dimensjon som er gitt ved antall ukjente i polynomet. Med to ukjente reduseres denne flaten til et kjeglesnitt i planet. Av den grunn kalles kalles også løsningsmengden med tre ukjente for en kjeglesnittsflate. I det generelle tilfellet med n ukjente gir polynomet opphav til en hyperflate i n dimensjoner og omtales vanligvis som en kvadrikk. Den er et eksempel på en matematisk varietet.
Hvis de n ukjente kalles x1, x2, ... , xn, kan de betraktes som koordinater i det omsluttende, affine rommet. Ligningen som definerer andregradsflaten har da den generelle formen

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            ,
            j
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
            j
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        
          x
          
            j
          
        
        +
        2
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          b
          
            i
          
        
        
          x
          
            i
          
        
        +
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \sum _{i,j=1}^{n}a_{ij}x_{i}x_{j}+2\sum _{i=1}^{n}b_{i}x_{i}+c=0}
  der aij er elementer i en n × n matrise som man kan anta er symmetrisk. Likedan utgjør bi komponentene til en n-dimensjonal vektor og c er en konstant. Disse parametrene tar vanligvis verdier som er reelle eller komplekse tall. Ligningen kan derfor skrives på den mer kompakte formen

  
    
      
        
          x
          
            T
          
        
        a
        x
        +
        2
        
          x
          
            T
          
        
        b
        +
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x^{T}ax+2x^{T}b+c=0}
  hvor xT er en linjematrise som er den transponerte av kolonnematrisen x.
I matematiske undersøkelser av egenskapene til andregradsflater er det ofte av interesse å utvide det omsluttende rommet til å være et projektivt rom med koordinater X = (x0, x1, x2, ... , xn). Det affine rommet kan da avgrenses ved å sette x0 = 1. Kvadrikken tar da den enda mer kompakte formen

  
    
      
        
          X
          
            T
          
        
        A
        X
        =
        0
      
    
    {\displaystyle X^{T}AX=0}
  hvor nå A er en (n + 1)×(n + 1) symmetrisk matrise gitt som

  
    
      
        A
        =
        
          
            (
            
              
                
                  a
                
                
                  b
                
              
              
                
                  
                    b
                    
                      T
                    
                  
                
                
                  c
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\b^{T}&c\end{pmatrix}}}
  I 
Den opprinnelige ligningen for den tilsvarende hyperflaten fremkommer da ved å benytte at xT b =  bT x.


== Tre dimensjoner ==
Når det omsluttende rommet har n = 3 dimensjoner, representerer løsningsmengden en todimensjonal flate. Ved en diagonalisering vil da den definerende ligningen kunne reduseres til forskjellige normalformer hvorav mange er av formen

  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            
              a
              
                2
              
            
          
        
        ±
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        ±
        
          
            
              z
              
                2
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}\pm {\frac {y^{2}}{b^{2}}}\pm {\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1}
  når den har sitt senter i origo (0,0,0). I det tredimensjonale rommet finnes det 16 slike forskjellige normalformer. De mest interessante er følgende:


== Se også ==
Kvadratisk form


== Eksterne lenker ==
Silvio Levy, Quadrics in Geometry Formulas and Facts, CRC Standard Mathematical Tables and Formulas, CRC Press, 30. opplag.PlanetMath, Quadratic Surfaces.