Sentralgrenseteoremet

Sentralgrenseteoremet er et sentralt teorem innen matematisk statistikk. Teoremet sier at en sum av uavhengige og identisk fordelte tilfeldige variabler går mot en normalfordeling når antallet går mot uendelig.


== Definisjon ==
La X1, X2, … være en uendelig følge av uavhengige, likt fordelte, stokastiske variabler med forventningsverdi μ og standardavvik σ > 0. Vi innfører en stokastisk variabel for å betegne summen av de første n variablene i følgen:

  
    
      
        
          Y
          
            n
          
        
        =
        
          X
          
            1
          
        
        +
        
          X
          
            2
          
        
        +
        …
        +
        
          X
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle Y_{n}=X_{1}+X_{2}+\ldots +X_{n}}
  Da er 
  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          Y
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }Y_{n}}
   normalfordelt med forventningsverdi nµ og standardavvik 
  
    
      
        σ
        
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma {\sqrt {n}}}
   :

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
        P
        
          (
          
            a
            <
            
              
                
                  
                    Y
                    
                      n
                    
                  
                  −
                  n
                  μ
                
                
                  σ
                  
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            <
            b
          
          )
        
        =
        P
        (
        a
        <
        Z
        <
        b
        )
        =
        Φ
        (
        b
        )
        −
        Φ
        (
        a
        )
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\;P\left(a<{\frac {Y_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}<b\right)=P(a<Z<b)=\Phi (b)-\Phi (a)}
  der Z er standardnormalfordelt og Φ betegner fordelingssfunksjonen for en standardisert normalfordeling.


== Alternativ og ekvivalent definisjon ==
Hvis X er gjennomsnittet av n uavhengige identisk fordelte stokastiske variabler Xi,

  
    
      
        
          
            X
            ¯
          
        
        =
        
          
            1
            n
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          X
          
            i
          
        
        ,
        
        E
        (
        
          X
          
            i
          
        
        )
        =
        μ
        ,
        
        V
        a
        r
        (
        
          X
          
            i
          
        
        )
        =
        
          σ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {X}}={1 \over n}\sum _{i=1}^{n}X_{i},\quad E(X_{i})=\mu ,\quad Var(X_{i})=\sigma ^{2}}
  Da er 
  
    
      
        
          
            X
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle {\overline {X}}}
   normalfordelt med forventningsverdi µ og standardavvik 
  
    
      
        
          σ
        
        
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma  \over {\sqrt {n}}}
   :

  
    
      
        
          
            
              
                
                  X
                  ¯
                
              
              −
              μ
            
            
              
                σ
                
                  
                    n
                  
                
              
            
          
        
         
        
          
            
              
                →
              
              
                D
              
            
          
        
         
        Z
        ,
        
        
          n
          →
          ∞
        
      
    
    {\displaystyle {{{\overline {X}}-\mu } \over {\sigma  \over {\sqrt {n}}}}\ {\stackrel {D}{\rightarrow }}\ Z,\quad {n\rightarrow \infty }}