Cauchy-følge

En Cauchy-følge eller en fundamentalfølge  er en følge av elementer i et metrisk rom der avstanden mellom to vilkårlige elementer gradvis blir mindre og mindre jo lenger ut i følgen de to elementene befinner seg.  Velger en et vilkårlig positivt tall kan en alltid finne to elementer i følgen slik av avstanden mellom disse elementene er mindre enn  det valgte tallet.
Navnet har følgene fått etter matematikeren Augustin Louis Cauchy, og begrepet «Cauchy-følge» (Cauchy sequence) ble første gang kjent brukt i 1906.Cauchy-følger spiller en svært viktig rolle i studiet av  konvergens for følger, blant annet fordi de gjør det mulig å studere konvergens uten å ha kjennskap til grenseverdien som følgene konvergerer mot.  I et komplett metrisk rom vil en Cauchy-følge alltid være konvergent, og omvendt.  Dette gjelder for eksempel for Cauchy-følger av  reelle tall, såkalte tallfølger. 


== Formell definisjon ==
La S være et metrisk rom utstyrt med metrikken  d.  En følge  
  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\}}
   av elementer i S er en Cauchy-følge dersom det for enhver 
  
    
      
        ϵ
        >
        0
      
    
    {\displaystyle \epsilon >0}
   eksisterer et naturlig tall N slik at 

  
    
      
        d
        (
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        
          x
          
            m
          
        
        )
        <
        ϵ
         
         
        ∀
        
        n
        ,
        m
        ≥
        N
      
    
    {\displaystyle d(x_{n},x_{m})<\epsilon \ \ \forall \,n,m\geq N}
  .For et metrisk rom som består av reelle tal bruker en vanligvis metrikken

  
    
      
        d
        (
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        
          x
          
            m
          
        
        )
        =
        
          |
        
        
          x
          
            n
          
        
        −
        
          x
          
            m
          
        
        
          |
        
        
      
    
    {\displaystyle d(x_{n},x_{m})=|x_{n}-x_{m}|\,}
  


== Egenskaper ==
I et vilkårlig metrisk rom vil en konvergent følge alltid være en Cauchy-følge.  Det motsatte er ikke generelt tilfelle: en følge kan være en Cauchy-følge uten å være konvergent.
I et  kompakt metrisk rom vil en Cauchy-følge alltid være konvergent og ha en grenseverdi i rommet.


== Komplette metriske rom ==
Et metrisk rom S sies å være komplett dersom en hver Cauchy-følge konvergerer mot et element som også ligger i S.  
Mengden av reelle tall R er et eksempel på et komplett metrisk rom.  Det er derimot ikke mengden av  rasjonale tall Q, dvs tall som kan skrives som en brøk.  I Q er det mulig å konstruere Cauchy-følger som konvergerer mot en grense som ikke selv er et rasjonalt tall. Ett eksempel er gitt i det følgende:

  
    
      
        
          
            
              
                
                  x
                  
                    1
                  
                
              
              
                =
                1
              
            
            
              
                
                  x
                  
                    n
                  
                
              
              
                =
                
                  
                    1
                    2
                  
                
                (
                
                  x
                  
                    n
                    −
                    1
                  
                
                +
                
                  
                    2
                    
                      x
                      
                        n
                        −
                        1
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                n
                >
                1
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{lll}x_{1}&=1\\x_{n}&={1 \over 2}(x_{n-1}+{2 \over x_{n-1}})&n>1\\\end{array}}}
  Alle elementene er rasjonale, men følgen konvergerer mot kvadratroten av to, som er et irrasjonalt tall.


== Cauchy-kriteriet ==
Cauchy-kriteriet for en følge av reelle tall sier at følgen er konvergent  hvis og bare hvis følgen er en Cauchy-følge.


== Referanser ==


== Litteratur ==
Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3.  


== Eksterne lenker ==
(en) Eric W. Weisstein, Cauchy Sequence i MathWorld.