Kubikkrot

Kubikkroten av et reelt tall 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   er det unike, reelle tallet som opphøyd i 3. potens blir 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  , altså løsningen til ligningen 
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x^{3}=a}
  . Kubikkroten av 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   skrives 
  
    
      
        
          
            a
            
              3
            
          
        
        =
        
          a
          
            
              1
              3
            
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{a}}=a^{\frac {1}{3}}\ .}
  
For eksempel er 
  
    
      
        
          
            27
            
              3
            
          
        
        =
        3
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}
   fordi 
  
    
      
        
          3
          
            3
          
        
        =
        27
        
      
    
    {\displaystyle 3^{3}=27\,}
   og 
  
    
      
        
          
            
              −
              8
            
            
              3
            
          
        
        =
        −
        2
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}=-2}
   fordi 
  
    
      
        (
        −
        2
        
          )
          
            3
          
        
        =
        −
        8
         
        .
      
    
    {\displaystyle (-2)^{3}=-8\ .}
  
Iblant blir kubikkrot brukt som navn på en løsning til ligningen 
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x^{3}=a}
   også i andre situasjoner, f.eks. når 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   og 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   er komplekse tall. Da er kubikkroten til 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   ikke entydig gitt, fordi ligningen har mer enn én løsning.

En kubikkrot av et tall 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   er et tall slik at 
  
    
      
        
          a
          
            3
          
        
        =
        x
      
    
    {\displaystyle a^{3}=x}
  . Alle reelle tall (unntatt null) har nøyaktig én reell kubikkrot og ett par av komplekskonjugerte kubikkrøtter, og alle komplekse tall forskjellig fra null har tre forskjellige komplekse kubikkrøtter. For eksempel er den reelle kubikkroten av 
  
    
      
        8
         
      
    
    {\displaystyle 8\ }
   betegnet 
  
    
      
        
          
            8
            
              3
            
          
        
         
        ,
         
        2
         
        ,
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}\ ,\ 2\ ,}
   fordi 
  
    
      
        
          2
          
            3
          
        
        =
        8
         
        ,
      
    
    {\displaystyle 2^{3}=8\ ,}
   mens de andre kubikkrøttene av 
  
    
      
        8
      
    
    {\displaystyle 8}
   er 
  
    
      
        −
        1
        +
        
          
            3
          
        
        i
         
      
    
    {\displaystyle -1+{\sqrt {3}}i\ }
   og 
  
    
      
        −
        1
        −
        
          
            3
          
        
        i
         
        .
      
    
    {\displaystyle -1-{\sqrt {3}}i\ .}
  
De tre kubikkrøttene av 
  
    
      
        27
      
    
    {\displaystyle 27}
   er 

  
    
      
        3
         
        ,
        
        −
        
          
            3
            2
          
        
        +
        
          
            
              3
              
                
                  3
                
              
            
            2
          
        
        i
        
        
          og
        
        
        −
        
          
            3
            2
          
        
        −
        
          
            
              3
              
                
                  3
                
              
            
            2
          
        
        i
         
        .
      
    
    {\displaystyle 3\ ,\quad -{\frac {3}{2}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}i\quad {\text{og}}\quad -{\frac {3}{2}}-{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}i\ .}
  Mens de tre kubikkrøttene av 
  
    
      
        −
        27
        i
      
    
    {\displaystyle -27i}
   er  

  
    
      
        3
        i
         
        ,
        
        
          
            3
            2
          
        
        +
        
          
            
              3
              
                
                  3
                
              
            
            2
          
        
        i
        
        
           og 
        
        
        
          
            3
            2
          
        
        −
        
          
            
              3
              
                
                  3
                
              
            
            2
          
        
        i
         
        .
      
    
    {\displaystyle 3i\ ,\quad {\frac {3}{2}}+{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}i\quad {\text{ og }}\quad {\frac {3}{2}}-{\frac {3{\sqrt {3}}}{2}}i\ .}
  Kubikkrot-operasjonen er ikke assosiativ eller distributiv med addisjon eller subtraksjon.
I noen sammenhenger, spesielt når radikanden er et reelt tall, er det én av røttene (i dette tilfellet den reelle) som betegnes med rottegnet 
  
    
      
        
          
            
              
              
                 
              
            
            
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{^{\ }}}}
  . Kubikkrot-operasjonen er assosiativ med eksponentiering og distributiv med multiplikasjon og divisjon hvis man bare tar reelle tall med i betraktningen, men ikke alltid med komplekse tall: for eksempel er kuben av en hvilken som helst kubikkrot av 
  
    
      
        8
      
    
    {\displaystyle 8}
   lik 
  
    
      
        8
      
    
    {\displaystyle 8}
  , men de tre kubikkrøttene av 
  
    
      
        
          8
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 8^{3}}
   er 
  
    
      
        8
      
    
    {\displaystyle 8}
  , 
  
    
      
        −
        4
        +
        4
        
          
            3
          
        
        i
      
    
    {\displaystyle -4+4{\sqrt {3}}i}
   og 
  
    
      
        −
        4
        −
        4
        
          
            3
          
        
        i
         
        .
      
    
    {\displaystyle -4-4{\sqrt {3}}i\ .}
  


== Egenskaper ==
Følgende viktige egenskaper for kubikkrøtter gjelder for alle positive, reelle tall 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   og 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   (ifølge potensreglene):

  
    
      
        
          
            
              x
              y
            
            
              3
            
          
        
        =
        
          
            x
            
              3
            
          
        
        
          
            y
            
              3
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{xy}}={\sqrt[{3}]{x}}{\sqrt[{3}]{y}}}
  

  
    
      
        
          
            
              x
              y
            
            
              3
            
          
        
        =
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              y
              
                3
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt[{3}]{x}}{\sqrt[{3}]{y}}}}
  

  
    
      
        
          
            
              x
              
                3
              
            
            
              3
            
          
        
        =
        x
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x^{3}}}=x}
   for hvert reelle tall 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
  

  
    
      
        
          
            x
            
              3
            
          
        
        =
        
          x
          
            
              1
              3
            
          
        
        =
        
          x
          
            0,333...
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}}=x^{\frac {1}{3}}=x^{0{,}333...}}
  

  
    
      
        
          
            x
            
              n
            
          
        
        =
        
          x
          
            
              1
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{\frac {1}{n}}}
  Kubikkroten av et heltall som ikke er en jevn kube av et heltall er ett irrasjonalt tall.


== Kubikkroten av 27 hele tall ==

  
    
      
        
          
            1
            
              3
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{1}}=1}
  

  
    
      
        
          
            2
            
              3
            
          
        
        ≈
        1,259
        
        921
        
        049
        
        894
        
        873
        
        164
        
        767
        
        210
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}\approx 1{,}259\;921\;049\;894\;873\;164\;767\;210}
  

  
    
      
        
          
            3
            
              3
            
          
        
        ≈
        1,442
        
        249
        
        570
        
        307
        
        408
        
        382
        
        321
        
        638
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{3}}\approx 1{,}442\;249\;570\;307\;408\;382\;321\;638}
  

  
    
      
        
          
            4
            
              3
            
          
        
        ≈
        1,587
        
        401
        
        051
        
        968
        
        199
        
        474
        
        751
        
        705
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{4}}\approx 1{,}587\;401\;051\;968\;199\;474\;751\;705}
  

  
    
      
        
          
            5
            
              3
            
          
        
        ≈
        1,709
        
        975
        
        946
        
        676
        
        696
        
        989
        
        353
        
        108
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{5}}\approx 1{,}709\;975\;946\;676\;696\;989\;353\;108}
  

  
    
      
        
          
            6
            
              3
            
          
        
        ≈
        1,817
        
        120
        
        592
        
        832
        
        139
        
        658
        
        891
        
        211
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{6}}\approx 1{,}817\;120\;592\;832\;139\;658\;891\;211}
  

  
    
      
        
          
            7
            
              3
            
          
        
        ≈
        1,912
        
        931
        
        182
        
        772
        
        389
        
        101
        
        199
        
        116
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{7}}\approx 1{,}912\;931\;182\;772\;389\;101\;199\;116}
  

  
    
      
        
          
            8
            
              3
            
          
        
        =
        2
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{8}}=2}
  

  
    
      
        
          
            9
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,080
        
        083
        
        823
        
        051
        
        904
        
        114
        
        530
        
        056
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{9}}\approx 2{,}080\;083\;823\;051\;904\;114\;530\;056}
  

  
    
      
        
          
            10
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,154
        
        434
        
        690
        
        031
        
        883
        
        721
        
        759
        
        293
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{10}}\approx 2{,}154\;434\;690\;031\;883\;721\;759\;293}
  

  
    
      
        
          
            11
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,223
        
        980
        
        090
        
        569
        
        315
        
        521
        
        165
        
        363
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{11}}\approx 2{,}223\;980\;090\;569\;315\;521\;165\;363}
  

  
    
      
        
          
            12
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,289
        
        428
        
        485
        
        106
        
        663
        
        735
        
        616
        
        084
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{12}}\approx 2{,}289\;428\;485\;106\;663\;735\;616\;084}
  

  
    
      
        
          
            13
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,351
        
        334
        
        687
        
        720
        
        757
        
        489
        
        500
        
        016
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{13}}\approx 2{,}351\;334\;687\;720\;757\;489\;500\;016}
  

  
    
      
        
          
            14
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,410
        
        142
        
        264
        
        175
        
        229
        
        986
        
        128
        
        369
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{14}}\approx 2{,}410\;142\;264\;175\;229\;986\;128\;369}
  

  
    
      
        
          
            15
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,466
        
        212
        
        074
        
        330
        
        470
        
        101
        
        491
        
        611
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{15}}\approx 2{,}466\;212\;074\;330\;470\;101\;491\;611}
  

  
    
      
        
          
            16
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,519
        
        842
        
        099
        
        789
        
        746
        
        329
        
        534
        
        421
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{16}}\approx 2{,}519\;842\;099\;789\;746\;329\;534\;421}
  

  
    
      
        
          
            17
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,571
        
        281
        
        590
        
        658
        
        235
        
        355
        
        453
        
        187
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{17}}\approx 2{,}571\;281\;590\;658\;235\;355\;453\;187}
  

  
    
      
        
          
            18
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,620
        
        741
        
        394
        
        208
        
        896
        
        607
        
        141
        
        661
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{18}}\approx 2{,}620\;741\;394\;208\;896\;607\;141\;661}
  

  
    
      
        
          
            19
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,668
        
        401
        
        648
        
        721
        
        944
        
        867
        
        339
        
        627
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{19}}\approx 2{,}668\;401\;648\;721\;944\;867\;339\;627}
  

  
    
      
        
          
            20
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,714
        
        417
        
        616
        
        594
        
        906
        
        571
        
        518
        
        089
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{20}}\approx 2{,}714\;417\;616\;594\;906\;571\;518\;089}
  

  
    
      
        
          
            21
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,758
        
        924
        
        176
        
        381
        
        120
        
        669
        
        465
        
        791
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{21}}\approx 2{,}758\;924\;176\;381\;120\;669\;465\;791}
  

  
    
      
        
          
            22
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,802
        
        039
        
        330
        
        655
        
        387
        
        120
        
        665
        
        677
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{22}}\approx 2{,}802\;039\;330\;655\;387\;120\;665\;677}
  

  
    
      
        
          
            23
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,843
        
        866
        
        979
        
        851
        
        565
        
        477
        
        695
        
        439
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{23}}\approx 2{,}843\;866\;979\;851\;565\;477\;695\;439}
  

  
    
      
        
          
            24
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,884
        
        499
        
        140
        
        614
        
        816
        
        764
        
        643
        
        276
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{24}}\approx 2{,}884\;499\;140\;614\;816\;764\;643\;276}
  

  
    
      
        
          
            25
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,924
        
        017
        
        738
        
        212
        
        866
        
        065
        
        506
        
        787
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{25}}\approx 2{,}924\;017\;738\;212\;866\;065\;506\;787}
  

  
    
      
        
          
            26
            
              3
            
          
        
        ≈
        2,962
        
        496
        
        068
        
        407
        
        370
        
        508
        
        673
        
        062
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{26}}\approx 2{,}962\;496\;068\;407\;370\;508\;673\;062}
  

  
    
      
        
          
            27
            
              3
            
          
        
        =
        3
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{3}]{27}}=3}
  


== Historie ==
Utregningen av kubikkrøtter kan spores tilbake til Babylonske matematikere fra så tidlig som 1800 f.Kr.


== Referanser ==


== Se også ==
Kvadratrot