Binomialkoeffisient

Binomialkoeffisienten er en grunnleggende matematisk funksjon i det matematiske delområdet kombinatorikk. Den angir hvor mange forskjellige kombinasjoner en kan velge 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   objekter fra en mengde av 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   ulike objekter (uten tilbakelegging, uavhengig av rekkefølgen). Sagt på en annen måte angir binomialkoeffisienten antall delmengder med 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
   elementer i en mengde med 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   elementer.
Binomialkoeffisienten av et naturlig tall n og et heltall k er definert som det naturlige tallet

  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              n
              !
            
            
              k
              !
              (
              n
              −
              k
              )
              !
            
          
        
        
        
          
            hvis 
          
        
        n
        ≥
        k
        ≥
        0
        
        
          
            (1)
          
        
      
    
    {\displaystyle {n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}\quad {\mbox{hvis }}n\geq k\geq 0\qquad {\mbox{(1)}}}
  og som er null når k < 0 eller k > n. Her betegner n! fakultetet av n. Ifølge Nicholas J. Higham, ble denne notasjonen introdusert av Albert von Ettinghausen i 1826, selv om disse tallene var kjent i århundrer før dette; se Pascals trekant. 
Binomialkoeffisienten av n og k blir også skrevet som C(n, k), nCk eller 
  
    
      
        
          C
          
            n
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{n}^{k}}
   (C står for det engelske ordet combination) og leses «n over k». For å spare plass bruker vi den første av disse tre notasjonene.
For eksempel kan binomialkoeffisienten brukes til å beregne hvor mange mulige tallkombinasjoner som finnes i Lotto:

  
    
      
        
          C
        
        (
        34
        ,
        7
        )
        =
        
          
            
              34
              !
            
            
              7
              !
              (
              34
              −
              7
              )
              !
            
          
        
        =
        
          
            
              34
              !
            
            
              7
              !
              27
              !
            
          
        
        =
        
          
            
              34
              ⋅
              33
              ⋅
              32
              ⋅
              31
              ⋅
              30
              ⋅
              29
              ⋅
              28
            
            
              7
              ⋅
              6
              ⋅
              5
              ⋅
              4
              ⋅
              3
              ⋅
              2
              ⋅
              1
            
          
        
        =
        5379616
      
    
    {\displaystyle \mathrm {C} (34,7)={\frac {34!}{7!(34-7)!}}={\frac {34!}{7!27!}}={34\cdot 33\cdot 32\cdot 31\cdot 30\cdot 29\cdot 28 \over 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1}=5379616}
  Hvilket igjen betyr at sannsynligheten for å få sju rette i Lotto på en gitt rekke er:

  
    
      
        
          
            1
            5379616
          
        
        ≈
        
          1
          ,
          86
          ⋅
          
            10
            
              −
              7
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {1 \over 5379616}\approx {1,86\cdot 10^{-7}}}
  Binomialkoeffisientene er koeffisienter i utvidelsen av binomet 
  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{n}}
   (derav navnet):

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        
          x
          
            n
            −
            k
          
        
        
          y
          
            k
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.}
  Dette generaliseres ved binomialformelen, som tillater eksponenten n å være et komplekst tall, (spesielt tillater dette n å være ethvert reelt tall, ikke nødvendigvis bare positive heltall).


== Utledning fra binomutvidelse ==
Når eksponenten er 1, blir 
  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{1}}
   til 
  
    
      
        x
        +
        y
      
    
    {\displaystyle x+y}
  . Når eksponenten er 2, blir 
  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{2}}
   til 
  
    
      
        (
        x
        +
        y
        )
        (
        x
        +
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x+y)(x+y)}
  , som former ledd som følger. Det første leddet får vi ved å gange x fra begge faktorene, slik at vi får 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
  ; likeså for y, slik at vi får leddet 
  
    
      
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{2}}
  . Men xy leddet kan formes av x fra den første og y fra den andre faktoren, eller y fra den første og x fra den andre faktoren; derfor får leddet koeffisienten 2.
Når eksponenten er 3, reduseres 
  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{3}}
   til 
  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            2
          
        
        (
        x
        +
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{2}(x+y)}
  , hvor vi allerede vet at 
  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
        +
        2
        x
        y
        +
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}
  . Igjen oppstår ekstremene 
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{3}}
   og 
  
    
      
        
          y
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{3}}
   på et unikt vis. Men leddet 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        y
      
    
    {\displaystyle x^{2}y}
   er enten 2xy ganget med x eller 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}}
   ganget med y, som gir koeffisienten 3; likeså oppstår 
  
    
      
        x
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle xy^{2}}
   på to måter, ved å summere koeffisientene 1 og 2 får vi 3.
Dette foreslår en induksjon. Slik at for eksponenten 4, har hvert ledd sammenlagt grad (sum av eksponentene) på 4, med 4-k faktorer av x og k faktorer av y. Hvis k ikke er 0 eller 1 (leddene 
  
    
      
        
          x
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{4}}
   eller 
  
    
      
        
          y
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle y^{4}}
  ), da oppstår leddet på to måter, fra tilstøtende koeffisienter med sammenlagt grad 3. For eksempel 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}y^{2}}
   er begge 
  
    
      
        x
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle xy^{2}}
   ganget med x og 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        y
      
    
    {\displaystyle x^{2}y}
   ganget med y, slik at leddets koeffisienten blir 3+3. Dette er opprinnelsen til Pascals trekant, som er diskutert nedenfor.
Sett fra et annet perspektiv, for å forme 
  
    
      
        
          x
          
            n
            −
            k
          
        
        
          y
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{n-k}y^{k}}
   fra n faktorer av 
  
    
      
        (
        x
        +
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x+y)}
  , må vi velge y fra k av faktorene og x fra resten. Vi teller mulighetene ved å betrakte de n! permutasjonene av faktorene. Hver permutasjon fremstilles som en uordnet liste med tall fra 1 til n. Vi velger en x fra de n−k første faktorene, og en y fra de resterende k faktorene; på denne måten vil hver permutasjon bidra til leddet 
  
    
      
        
          x
          
            n
            −
            k
          
        
        
          y
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{n-k}y^{k}}
  . For eksempel, listen ⟨4,1,2,3⟩ velger x fra faktorene 4 og 1, og y velger faktorer fra 2 og 3, som en måte å forme leddet 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        
          y
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{2}y^{2}}
  .

(x  +1 y)(x  +2 y)(x  +3 y)(x  +4 y)Men den distinkte listen ⟨1,4,3,2⟩ gjør akkurat det samme utvalget; formelen for binomialkoeffisienten må fjerne denne overflødigheten. De n-k faktorene av x har (n−k)! permutasjoner, og de k faktorene av y har k! permutasjoner. Derfor er n!/(n−k)!k! antall virkelig distinkte måter å forme leddet 
  
    
      
        
          x
          
            n
            −
            k
          
        
        
          y
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{n-k}y^{k}}
  .
Diskusjonen kan videreføres til tilfellet hvor hver faktor er en sum av flere variabler, som naturligvis leder til definisjonen av en multinomialkoeffisient. En gunstig notasjon bruker en liste av variabler 
  
    
      
        
          x
        
        =
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          x
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} =(x_{1},...,x_{m})}
  , med eksponentene gitt i en annen liste, 
  
    
      
        E
        =
        (
        
          e
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          e
          
            m
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle E=(e_{1},...,e_{m})}
  , kjent som et multi-indeks. Leddene i utvidelsen av 
  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          x
          
            m
          
        
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (x_{1}+...+x_{m})^{n}}
   har formen

  
    
      
        
          
            
              x
            
          
          
            E
          
        
        =
        
          x
          
            1
          
          
            
              e
              
                1
              
            
          
        
        
          x
          
            2
          
          
            
              e
              
                2
              
            
          
        
        ⋯
        
          x
          
            m
          
          
            
              e
              
                m
              
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle {\mathbf {x} }^{E}=x_{1}^{e_{1}}x_{2}^{e_{2}}\cdots x_{m}^{e_{m}},}
  hvor 
  
    
      
        
          |
        
        E
        
          |
        
        =
        
          e
          
            1
          
        
        +
        .
        .
        .
        +
        
          e
          
            m
          
        
        =
        n
      
    
    {\displaystyle |E|=e_{1}+...+e_{m}=n}
  , og koeffisienten til et slikt ledd er multinomialkoeffisienten

  
    
      
        
          
            
              n
              !
            
            
              
                e
                
                  1
                
              
              !
              
                e
                
                  2
                
              
              !
              ⋯
              
                e
                
                  m
                
              
              !
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {n!}{e_{1}!e_{2}!\cdots e_{m}!}}.}
  Den enkle binomialkoeffisienten er tilfellet der m=2.


== Pascals trekant ==
Pascals regel er det viktige gjentakelsesforholdet 

  
    
      
        
          C
        
        (
        n
        ,
        k
        )
        +
        
          C
        
        (
        n
        ,
        k
        +
        1
        )
        =
        C
        (
        n
        +
        1
        ,
        k
        +
        1
        )
        ,
        
        (
        3
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {C} (n,k)+\mathrm {C} (n,k+1)=C(n+1,k+1),\qquad (3)}
  som følger direkte fra definisjonen. Dette gjentakelsesforholdet  kan brukes til å bevise, ved matematisk induksjon, at C(n, k) er et naturlig tall for alle n og k, et faktum som ikke er umiddelbart tydelig ut ifra definisjonen.
Den gir også opphav til pascals trekant:

row 0                     1
row 1                   1   1
row 2                 1   2   1
row 3               1   3   3   1
row 4             1   4   6   4   1
row 5           1   5   10  10   5   1
row 6         1   6   15  20  15   6   1
row 7       1   7   21  35  35   21  7   1
row 8     1   8   28  56  70  56   28  8   1

rad nummer n inneholder tallene C(n, k) for k = 0,...,n. Den konstrueres ved å begynne med enere på utsiden og så legge sammen nabotall og skrive summen rett under. Denne metoden gjør det mulig å raskt regne ut binomial koeffisienter uten å måtte bruke brøk eller multiplikasjon. For eksempel, ved å se på den femte raden i trekanten, kan en straks lese av at

  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            5
          
        
        =
        
          1
        
        
          x
          
            5
          
        
        +
        
          5
        
        
          x
          
            4
          
        
        y
        +
        
          10
        
        
          x
          
            3
          
        
        
          y
          
            2
          
        
        +
        
          10
        
        
          x
          
            2
          
        
        
          y
          
            3
          
        
        +
        
          5
        
        x
        
          y
          
            4
          
        
        +
        
          1
        
        
          y
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{5}=\mathbf {1} x^{5}+\mathbf {5} x^{4}y+\mathbf {10} x^{3}y^{2}+\mathbf {10} x^{2}y^{3}+\mathbf {5} xy^{4}+\mathbf {1} y^{5}}
  .Differansene mellom elementer på andre diagonaler er elementene på forrige diagonal – slik som følger av gjentakelsesforholdet  (3) ovenfor.
I Precious Mirror of the Four Elements (1303), nevner Zhu Shijie trekanten som en eldgammel metode for å løse binomialkoeffisienter, noe som indikerer at metoden var kjent for kinesiske matematikere fem århundrer før Pascal.


== Kombinatorikk og statistikk ==
Binomialkoeffisienter er av stor betydning i kombinatorikk, fordi de gir ferdige formler for visse hyppige telleproblemer:

Alle mengder med n elementer har 
  
    
      
        
          C
        
        (
        n
        ,
        k
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {C} (n,k)}
   forskjellige delmengder som har k elementer hver (disse kalles k-kombinasjoner).
Antallet strenger av lengde n som inneholder k ett-tall og n−k null-tall er 
  
    
      
        
          C
        
        (
        n
        ,
        k
        )
        .
      
    
    {\displaystyle \mathrm {C} (n,k).}
  
Det finnes 
  
    
      
        
          C
        
        (
        n
        +
        1
        ,
        k
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {C} (n+1,k)}
   strenger som består av k ett-tall og n null-tall slik at ingen ett-tall er tilstøtende.
Antallet sekvenser som består av n naturlige tall som har summer lik k er 
  
    
      
        
          C
        
        (
        n
        +
        k
        −
        1
        ,
        k
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {C} (n+k-1,k)}
  ; dette er også antallet måter å velge k elementer ut av en mengde med n hvis tilbakelegging er tillat.
Catalantallene har en enkel formulering som involverer binomialkoeffisisnter; de kan brukes til å telle diverse strukturer, slik som trær og parentesuttrykk.Binomialkoeffisienter forekommer også i formelen for binomisk distribusjon i statistikk og i formelen for en Bézier kurve.


== Formler som inneholder binomialkoeffisienter ==
Følgende formler kan være nyttige:

  
    
      
        
          C
        
        (
        n
        ,
        k
        )
        =
        
          C
        
        (
        n
        ,
        n
        −
        k
        )
        
        
        (
        4
        )
        
      
    
    {\displaystyle \mathrm {C} (n,k)=\mathrm {C} (n,n-k)\qquad \qquad (4)\,}
  Dette utledes fra (2) ved at 
  
    
      
        (
        x
        +
        y
        
          )
          
            n
          
        
        =
        (
        y
        +
        x
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle (x+y)^{n}=(y+x)^{n}}
  , og dette viser seg i den numeriske "symmetrien" i Pascals trekant.

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          C
        
        (
        n
        ,
        k
        )
        =
        
          2
          
            n
          
        
        
        (
        5
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\mathrm {C} (n,k)=2^{n}\qquad (5)}
  Fra (2) ved å bruke at x = y = 1. Dette er det samme som å si at summen av elementene av en rad i Pascals trekant alltid tilsvarer to opphøyd i et heltall.

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        k
        
          C
        
        (
        n
        ,
        k
        )
        =
        n
        
          2
          
            n
            −
            1
          
        
        
        (
        6
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}k\mathrm {C} (n,k)=n2^{n-1}\qquad (6)}
  Fra (2), etter å ha derivert og satt inn x = y = 1.

  
    
      
        
          ∑
          
            j
          
        
        
          C
        
        (
        m
        ,
        j
        )
        
          C
        
        (
        n
        −
        m
        ,
        k
        −
        j
        )
        =
        
          C
        
        (
        n
        ,
        k
        )
        
        (
        7
        a
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{j}\mathrm {C} (m,j)\mathrm {C} (n-m,k-j)=\mathrm {C} (n,k)\qquad (7a)}
  Siden C(n, k) er definert som null hvis k > n, er summen endelig. Ved å utvide (1+x)m (1+x)n-m = (1+x)n med (2). Likning (7a) generaliserer likning (3). Likning (7a) er Vandermonde's konvolusjonsformel (etter Alexandre-Théophile Vandermonde) og er essensielt en form for Chu-Vandermonde identiteten. Den kan vises å gjelde for tilfeldige, komplekse 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   og 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  .

  
    
      
        
          ∑
          
            m
          
        
        
          C
        
        (
        m
        ,
        j
        )
        
          C
        
        (
        n
        −
        m
        ,
        k
        −
        j
        )
        =
        
          C
        
        (
        n
        +
        1
        ,
        k
        +
        1
        )
        
        (
        7
        b
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{m}\mathrm {C} (m,j)\mathrm {C} (n-m,k-j)=\mathrm {C} (n+1,k+1)\qquad (7b)}
  Likning (7a) gjelder for alle verdier av m, mens likning (7b) gjelder for alle verdier av j.

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          C
        
        (
        n
        ,
        k
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          C
        
        (
        2
        n
        ,
        n
        )
        
        (
        8
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\mathrm {C} (n,k)^{2}=\mathrm {C} (2n,n)\qquad (8)}
  Fra (7) ved å bruke m = k = n og (4).

  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          C
        
        (
        n
        −
        k
        ,
        k
        )
        =
        
          F
        
        (
        n
        +
        1
        )
        
        (
        9
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=0}^{n}\mathrm {C} (n-k,k)=\mathrm {F} (n+1)\qquad (9)}
  Her betegner F(n + 1) Fibonacci-tallene. Denne formelen om diagonalene i Pascals trekant kan bevises med induksjon ved å bruke (3).

  
    
      
        
          ∑
          
            j
            =
            k
          
          
            n
          
        
        
          C
        
        (
        j
        ,
        k
        )
        =
        
          C
        
        (
        n
        +
        1
        ,
        k
        +
        1
        )
        
        (
        10
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{j=k}^{n}\mathrm {C} (j,k)=\mathrm {C} (n+1,k+1)\qquad (10)}
  Dette kan bevises ved induksjon av n ved å bruke (3).


== Divisorer til binomialkoeffisienter ==
Primtallsdivisorer til C(n, k) kan tolkes som følger: Hvis p er et primtall og r er den høyeste eksponenten slik at slik at 
  
    
      
        
          p
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle p^{r}}
   er delelig med C(n, k), da er r likt antallet naturlige tall j slik at brøkdelen av 
  
    
      
        k
        
          /
        
        
          p
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle k/p^{j}}
   er større enn brøkdelen av 
  
    
      
        n
        
          /
        
        
          p
          
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle n/p^{j}}
  . Særskilt er C(n, k) alltid delelig med n/gcd(n, k).


== Ulikheter for binomialkoeffisienter ==
Følgende grenser for C(n, k) gjelder:

  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        ≤
        
          
            
              n
              
                k
              
            
            
              k
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {n \choose k}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}}
  

  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        ≤
        
          
            (
            
              
                
                  n
                  ⋅
                  e
                
                k
              
            
            )
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle {n \choose k}\leq \left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}}
  

  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              n
              k
            
            
              )
            
          
        
        ≥
        
          
            (
            
              
                n
                k
              
            
            )
          
          
            k
          
        
      
    
    {\displaystyle {n \choose k}\geq \left({\frac {n}{k}}\right)^{k}}
  


== Generalisering til komplekse verdier ==
Binomialkoeffisienten 
  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              z
              k
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {z \choose k}}
   kan defineres for alle komplekse tall z og alle naturlige tall k som følger:

  
    
      
        
          
            
              (
            
            
              z
              k
            
            
              )
            
          
        
        =
        
          ∏
          
            n
            =
            1
          
          
            k
          
        
        
          
            
              z
              −
              k
              +
              n
            
            n
          
        
        =
        
          
            
              z
              (
              z
              −
              1
              )
              (
              z
              −
              2
              )
              ⋯
              (
              z
              −
              k
              +
              1
              )
            
            
              k
              !
            
          
        
        
        (
        11
        )
      
    
    {\displaystyle {z \choose k}=\prod _{n=1}^{k}{z-k+n \over n}={\frac {z(z-1)(z-2)\cdots (z-k+1)}{k!}}\qquad (11)}
  Denne generaliseringen er kjent som den generelle binomialkoeffisienten og er brukt i utredningen av binomialformelen og oppfyller egenskapene (3) og (7).
For en konstant k, er uttrykket 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              (
            
            
              z
              k
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle f(z)={z \choose k}}
   et polynom av k'te grad med rasjonale koeffisienter.
f(z) er det unike polynomet av grad k som oppfyller

f(0)=f(1)=...=f(k-1)=0og

f(k)=1.Ethvert polynom p(z) av grad d kan skrives på formen

  
    
      
        p
        (
        z
        )
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            d
          
        
        
          a
          
            k
          
        
        
          
            
              (
            
            
              z
              k
            
            
              )
            
          
        
      
    
    {\displaystyle p(z)=\sum _{k=0}^{d}a_{k}{z \choose k}}
  Dette er viktig i teorien om differenslikninger og kan bli sett på som en diskret analog til Taylors teorem.
Newtons binomserie får den enkle formen

  
    
      
        (
        1
        +
        z
        
          )
          
            α
          
        
        =
        
          ∑
          
            r
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
            
            
              α
              r
            
            
              )
            
          
        
        
          z
          
            r
          
        
        =
        1
        +
        
          
            
              (
            
            
              α
              1
            
            
              )
            
          
        
        z
        +
        
          
            
              (
            
            
              α
              2
            
            
              )
            
          
        
        
          z
          
            2
          
        
        +
        .
        .
      
    
    {\displaystyle (1+z)^{\alpha }=\sum _{r=0}^{\infty }{\alpha  \choose r}z^{r}=1+{\alpha  \choose 1}z+{\alpha  \choose 2}z^{2}+..}
  .Det er ikke vanskelig å vise at rekkens konvergensradius er 1.


== Generalisering til q-serie ==
Binomialkoeffisienten har en q-analog generalisering kjent som Gauss-binomet.


== Se også ==
Fakultet (matematikk)
Liste over fakultet- og binomemner


== Referanser ==
Denne artikkelen bruker materiale fra følgende PlanetMath artikler, som er lisensiert under GFDL:

Binomial Coefficient
Bounds for binomial coefficients
Proof that C(n,k) is an integer
Generalized binomial coefficients