Bayes’ teorem

Bayes' teorem er innen sannsynlighetsteori og statistikk en beregningsmetode som angir betinget sannsynlighet, altså sannsynligheten for at noe inntreffer gitt en annen hendelse. Dette kan være basert på forkunnskaper om forhold som kan være relatert til hendelsen. For eksempel, hvis kreft er relatert til alder, kan man ved hjelp av Bayes teorem benytte en persons alder til å mer nøyaktig vurdere sannsynligheten for at de har kreft sammenlignet med vurderingen av sannsynligheten for kreft fremkommet uten kjennskap til personens alder .
Bayes' teorem er gitt ved følgende ligning:

  
    
      
        P
        (
        A
        
          |
        
        B
        )
        =
        
          
            
              P
              (
              B
              
                |
              
              A
              )
              
              P
              (
              A
              )
            
            
              P
              (
              B
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle P(A|B)={\frac {P(B|A)\,P(A)}{P(B)}}.}
  Bayes teorem er oppkalt etter pastor Thomas Bayes, som først ga en ligning som tillater nye bevis for å oppdatere tro i sitt An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances (1763). Det ble videreutviklet av Pierre-Simon Laplace, som først publiserte den moderne formuleringen i 1812 Théorie analytique des probabilités. Harold Jeffreys satte Bayes 'algoritme og Laplace's formulering på en aksiomatisk basis. Jeffreys skrev at «Bayes' teorem er for teorien om sannsynligheten som pythagorasetningen er for geometri.»


== Anvendelser ==
Et av de mange bruksområdene i Bayes' teorem er bayesisk inferens, en bestemt tilnærming til statistiske slutninger. Når det brukes, kan sannsynlighetene som er involvert i Bayes teorem ha forskjellige sannsynlighetstolkninger. Med den bayesiske sannsynlighetstolkningen uttrykker ordet hvordan en subjektiv grad av tro skal rasjonelt forandres for å ta hensyn til tilgjengeligheten av relaterte bevis. Bayesiske slutninger er grunnleggende for bayesian statistikk.
Et eksempel på bruk av Bayes-teoremet er ved diagnose av sjeldne sykdommer. Tenk at p prosent av befolkningen har sykdommen A. Hvis en diagnosetest er positiv med sannsynligheten 0,99 for en person som har sykdommen, og positiv med sannsynligheten 0,01 for en frisk person, sier Bayes-teoremet at sannsynligheten for at en tilfeldig valgt person med et positivt testresultat har sykdommen A er lik

  
    
      
        
          P
          
            +
          
        
        =
        
          
            
              0
              ,
              99
              ⋅
              p
               
            
            
              0
              ,
              99
              ⋅
              p
              +
              0
              ,
              01
              ⋅
              (
              100
              −
              p
              )
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle P_{+}={\frac {0,99\cdot p\ }{0,99\cdot p+0,01\cdot (100-p)}}\,}
  Hvis for eksempel 1 av 10 000 har sjukdommen A (p = 0,01), så blir P+ = 0,09.


== Referanser ==