Potensiell energi

Potensiell energi eller stillingsenergi er den energien et fysisk system har på grunn av dets posisjon. Dette kan bestå av en samling partikler eller være et fysisk legeme. Den potensielle energien kan skyldes at legemet befinner seg i et ytre «kraftfelt» eller at partiklene som det består av, holdes sammen ved krefter som varierer med avstanden mellom dem. Forandres disse avstandene eller posisjonen til legemet i det ytre feltet, vil den potensielle energien kunne omformes til kinetisk energi i form av bevegelse eller annen energi.
Alle partikler og legemer som påvirkes av tyngdekraften, har en gravitasjonell potensiell energi proporsjonal med deres masse. Den kan utnyttes ved for eksempel å bygge en demning som lagrer vann på et høyt punkt i terrenget. Ved å la vannet renne ned til et lavere nivå, kan det drive turbinene i et vannkraftverk og produsere elektrisk energi.
Partikler med elektrisk ladning har en elektrisk potensiell energi når de påvirkes av andre partikler med elektrisk ladning. Dette skyldes den gjensidige Coulomb-kraften. Den kan oppleves i tordenvær hvor slik potensiell energi bygges opp mellom jordoverflaten og skyer. Vannligvis vil den utløses ved et lyn og gå over i andre energiformer.
Energi som frigjøres i kjemiske reaksjoner, skyldes også elektrisk potensiell energi i kjemisk bindinger mellom atomer som kan innta forskjellige posisjoner i et molekyl. På samme måte er energien som oppstår ved en kjernefysisk fisjon, resultatet av den potensielle energien i atomkjernen som skyldes den sterke kjernekraften.
Potensiell energi for et fysisk system i en bestemt posisjonering kan defineres som det arbeid som må utføres for å bringe det til en slik tilstand uten at den kinetiske energien til systemet forandres. Kjenner man kreftene som påvirker partiklene i systemet, kan denne definisjonen benyttes til å beregne den potensielle energien. Omvendt kan man for et «konservativt system» finne kreftene fra den potensielle energien. Denne blir da ofte noe upresist omtalt som et potensial og man sier at systemet beveger seg i dette potensialet.
Mekaniske krefter og tilsvarende potensiell energi er bare veldefinerte i Newtonsk mekanikk hvor all bevegelse er mye langsommere enn lyshastigheten. For relativistiske system vil koordinater for tid og rom blandes sammen. Det betyr at potensiell energi ikke lenger entydig kan skilles fra kinetisk energi slik at man bare kan omtale den totale energien til systemet på en meningsfull måte.


== Innledning ==
En masse m er påvirket av tyngdekraften F = - mg hvor g = 9.81 m/s2 er tyngdeakselerasjonen ved jordoverflaten. Minustegnet viser at den virker nedover. Massen løftes nå en høyde z > 0. Det gjøres ved å utsette den for en motsatt kraft F'  = mg som beveger den oppover. Nå kan dette gjøres svært langsomt da totalkraften som virker på massen F + F'  = 0. Arbeidet som dermed er utført ved flyttingen, er F' z = mgz. Ifølge definisjonen er dette nå lik med den potensielle energien til massen i sin nye posisjon,

  
    
      
        U
        (
        z
        )
        =
        m
        g
        z
      
    
    {\displaystyle U(z)=mgz}
  Den øker med økende høyde z. Slipper man massen fra denne høyden, vil den falle ned til z = 0 hvor den har en hastighet v. Det skjer ved at den potensielle energien går over i kinetisk energi. Bevarelse av energi sier at disse to energiene må være like store. Det betyr at

  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          v
          
            2
          
        
        =
        m
        g
        z
      
    
    {\displaystyle {1 \over 2}mv^{2}=mgz}
  slik at hastigheten etter fallet blir v = √(2gz). Den potensielle energien U(z) = mgz  kan opplagt også benyttes til produsere annen energi som for eksempel å drive en elektrisk dynamo.
Det eksisterer her en direkte sammenheng mellom den potensielle energien og kraften som virker på massen. I dette tilfellet ser man at  tyngdekraften F er lik minus den deriverte av den potensielle energien,

  
    
      
        F
        =
        −
        
          
            
              d
              U
            
            
              d
              z
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F=-{dU \over dz}}
  Denne sammenhengen kan lett generaliseres og er svært allmenngyldig. Når det er tilfelle, har man å gjøre med en konservativ kraft som påvirker systemet. Grunnen er at da vil den totale energien til systemet være bevart eller konservert.


=== Elastisk energi ===

Elastisk potensiell energi er den potensielle energien til et elastisk legeme, for eksempel en armbrøst eller en katapult, som blir deformert under stramming eller kompresjon, noe som ofte kalles  fysisk stress. Energien oppstår som følge av en kraft som prøver å gjenopprette den opprinnelige formen til legemet. Denne kraften er som oftest den elektromagnetiske kraften mellom atomer og molekyler i legemet.Når en elastisk fjær strekkes, må man yte en kraft F'  som virker mot den elastiske kraften F  i fjæren.  Disse to er like store og motsatt rettet når dette skjer langsomt. Hvis den strekkes langs x-aksen og følger Hookes lov, er kraften som må brukes proporsjonal med utslaget x fra likevektsstillingen. Betegnes fjærkonstanten med k, kan man da skrive F' = kx = - F.
Arbeidet som utføres på systemet ved å strekke fjæren et lite stykke δx  blir da δW = F' δx = kxδx. Den potensielle energien til fjæren er nå gitt ved arbeidet W som må utføres for å strekke den fra likevektsposisjonen x = 0 til en lengde x,

  
    
      
        U
        (
        x
        )
        =
        
          ∫
          
            0
          
          
            x
          
        
        k
        x
        d
        x
        =
        
          
            1
            2
          
        
        k
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle U(x)=\int _{0}^{x}kxdx={1 \over 2}kx^{2}}
  Denne energien er alltid positiv som tilsvarer at fjæren yter en motkraft både når den strekkes og trykkes sammen. Festes en masse m til den ene enden av fjæren samtidig som den holdes fast i den andre enden, vil massen bevege seg opp og ned i tyngdefeltet. Energien skifter regelmessig mellom å være potensiell og kinetisk. Massen utfører en harmonisk svingning med en vinkelfrekvens ω = √(k/m).
Hadde fjærkraften avveket litt fra Hookes lov, ville det bety at den potensielle energien fikk et ekstra tilleggsledd proporsjonal med x4 eller tilsvarende slik at den ikke lenger ville ha en rent parabolsk form. Svingebevegelsen ville igjen bli periodisk, men litt uharmonisk.Ved å derivere den potensielle energien med hensyn på x, får man dU/dx = kx som igjen er minus kraften F som fjæren utøver. Den er derfor konservativ.


== Konservative krefter ==
Mer generelt vil en partikkel som tilhører et fysisk system, kunne bevege seg i alle tre retninger. Dens posisjon er da gitt ved en posisjonsvektor  r som kan angis ved dens komponenter i et kartesisk koordinatsystem. Den er påvirket ved en kraft F fra resten av systemet slik at den må holdes på plass med en motkraft F' = - F for ikke å bevege seg.
Hvis man nå øker kraften F'  litt, kan man flytte partikkelen et lite stykke δr uten at resten av systemet forandrer seg. Man utfører da arbeidet δW = F' ⋅δ r som per definisjon vil  være lik forandringen av den potensielle energien til systemet. Dette skjer uendelig langsomt i grensen F' → - F. Ved en endelig flytting av partikkelen fra et punkt r1  til r2  forandres dermed den potensielle energien med

  
    
      
        Δ
        U
        (
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        →
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        )
        =
        −
        
          ∫
          
            
              
                r
              
              
                1
              
            
          
          
            
              
                r
              
              
                2
              
            
          
        
        
          F
        
        ⋅
        d
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \Delta U(\mathbf {r} _{1}\rightarrow \mathbf {r} _{2})=-\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }
  hvor det er angitt at denne forandringen i alminnelighet avhenger av veien  r1 → r2 som partikkelen blir flyttet langs.

For en konservative krefter i et fysisk system er den potensielle energien uavhengig av veien som er valgt til å bringe det i en bestemt posisjon. Da kan den skrives som

  
    
      
        Δ
        U
        (
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        →
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        )
        =
        U
        (
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        )
        −
        U
        (
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \Delta U(\mathbf {r} _{1}\rightarrow \mathbf {r} _{2})=U(\mathbf {r} _{2})-U(\mathbf {r} _{1})}
  hvor U(r) sies å være den potensielle energien når partikkelen er i posisjon r. For at dette skal være matematisk konsistent, må den konservative kraften kunne uttrykkes ved gradienten til denne energien, F = - ∇U. Bare da vil

  
    
      
        
          
            
              
                −
                
                  ∫
                  
                    
                      
                        r
                      
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        r
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  F
                
                ⋅
                d
                
                  r
                
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    
                      
                        r
                      
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        r
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  ∇
                
                U
                ⋅
                d
                
                  r
                
                =
                
                  ∫
                  
                    
                      
                        r
                      
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        r
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    
                      
                        
                          ∂
                          U
                        
                        
                          ∂
                          x
                        
                      
                    
                    d
                    x
                    +
                    
                      
                        
                          ∂
                          U
                        
                        
                          ∂
                          y
                        
                      
                    
                    d
                    y
                    +
                    
                      
                        
                          ∂
                          U
                        
                        
                          ∂
                          z
                        
                      
                    
                    d
                    z
                  
                  )
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  ∫
                  
                    
                      
                        r
                      
                      
                        1
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        r
                      
                      
                        2
                      
                    
                  
                
                d
                U
                =
                U
                (
                
                  
                    r
                  
                  
                    2
                  
                
                )
                −
                U
                (
                
                  
                    r
                  
                  
                    1
                  
                
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}-\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} &=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}{\boldsymbol {\nabla }}U\cdot d\mathbf {r} =\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}\left({\partial U \over \partial x}dx+{\partial U \over \partial y}dy+{\partial U \over \partial z}dz\right)\\&=\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}dU=U(\mathbf {r} _{2})-U(\mathbf {r} _{1})\end{aligned}}}
  Alternativt kan man definere en konservativ kraft ved å bringe systemet rundt en lukket kurve uten at det skal koste noe energi. Det kan skje ved å ta det fra   r1 → r2 en vei og så fra  r1 → r2 langs en annen vei tilbake til utgangspunktet. Da må det lukkete linjeintegralet

  
    
      
        ∮
        
          F
        
        ⋅
        d
        
          r
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle \oint \mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} =0}
  Fra Stokes' teorem vet man da at dette er alltid oppfylt når

  
    
      
        
          ∇
        
        ×
        
          F
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {F} =0}
  slik at curl til den konservative kraften må være null. Det kan igjen bare skje ved at kraften er gradienten av en skalar funksjon. På den måten kommer man igjen frem til at

  
    
      
        
          F
        
        =
        −
        
          ∇
        
        U
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}U}
  Mens elektriske krefter i elektrostatikken er konservative, er derimot magnetiske krefter ikke konservative. Gjennom relativitetsteorien er begge kreftene forbundet og kan beskrives på en enhetlig måte. Dette gjøres ved å innføre et firervektorpotensial som inneholder både det elektriske potensialet og det magnetiske vektorpotensialet.


=== Energibevarelse ===
Et fysisk system som er styrt av konservative krefter, har en total energi som er uforandret ettersom det forandrer seg med tiden. For et ikke-relativistisk system følger det direkte fra Newtons andre lov som bestemmer denne tidsutviklingen. Det kan enklest vises når systemet består av kun en partikkel med masse m som påvirket av en konservativ kraft. Bevegelsesligningen uttrykt ved hastigheten v kan da skrives som  md v/dt = - ∇U. I et infinitesemalt lite tidsrom dt vil partikkelen bevege seg en tilsvarende liten strekning d r = v dt. Multipliseres denne med bevegelsesligningen, kan den omskrives til m/2dv2 = - ∇U⋅d r = -dU etter å ha benyttet at v⋅d v = (1/2)d(v⋅v) =  (1/2)dv2. Beveger partikkelen seg nå et endelig strekning  r1 → r2 slik at dens hastighet forandres med v1 → v2 , finner man så ved direkte integrasjon at

  
    
      
        
          
            m
            2
          
        
        
          ∫
          
            
              
                v
              
              
                1
              
            
          
          
            
              
                v
              
              
                2
              
            
          
        
        d
        
          v
          
            2
          
        
        =
        
          
            m
            2
          
        
        
          
            (
          
        
        
          v
          
            2
          
          
            2
          
        
        −
        
          v
          
            1
          
          
            2
          
        
        
          
            )
          
        
        =
        −
        
          ∫
          
            
              
                r
              
              
                1
              
            
          
          
            
              
                r
              
              
                2
              
            
          
        
        
          ∇
        
        U
        ⋅
        d
        
          r
        
        =
        U
        (
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        )
        −
        U
        (
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {m \over 2}\int _{\mathbf {v} _{1}}^{\mathbf {v} _{2}}dv^{2}={m \over 2}{\Big (}v_{2}^{2}-v_{1}^{2}{\Big )}=-\int _{\mathbf {r} _{1}}^{\mathbf {r} _{2}}{\boldsymbol {\nabla }}U\cdot d\mathbf {r} =U(\mathbf {r} _{1})-U(\mathbf {r} _{2})}
  Dette betyr at den totale energien, som her består av summen av kinetisk og potensiell energi, er konstant under bevegelsen,

  
    
      
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          
            v
          
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        U
        (
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        )
        =
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          
            v
          
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        U
        (
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {1 \over 2}m\mathbf {v} _{1}^{2}+U(\mathbf {r} _{1})={1 \over 2}m\mathbf {v} _{2}^{2}+U(\mathbf {r} _{2})}
  Man sier at den totale energien er konservert eller bevart. Dette er den mekaniske delen av det mer generelle energiprinsippet.


=== System med flere partikler ===
Består systemet av mange partikler, vil den totale, kinetiske energien alltid være summen av de kinetiske energiene til hver av partiklene. Hvis de har masser ma, mb etc samt hastigheter  va, vb etc, har de da til sammen den kinetiske energien

  
    
      
        K
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          m
          
            a
          
        
        
          
            v
          
          
            a
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          m
          
            b
          
        
        
          
            v
          
          
            b
          
          
            2
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle K={1 \over 2}m_{a}\mathbf {v} _{a}^{2}+{1 \over 2}m_{b}\mathbf {v} _{b}^{2}+\cdots }
  Dette gjelder også for deres totale, potensielle energi såfremt det er ingen krefter som virker mellom partiklene. De vil da kun påvirkes av et ytre kraftfelt U(r). Hvis deres posisjoner er angitt ved vektorene ra, rb etc, er den totale, potensielle energien til systemet

  
    
      
        U
        =
        U
        (
        
          
            r
          
          
            a
          
        
        )
        +
        U
        (
        
          
            r
          
          
            b
          
        
        )
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle U=U(\mathbf {r} _{a})+U(\mathbf {r} _{b})+\cdots }
  Kraften som virker på partikkel a, er fremdeles gitt som Fa = - ∇aU  hvor derivasjonen i nabla-operatoren er tatt med hensyn til koordinatene som bestemmer posisjonen ra. Det er det samme som først å beregne F = - ∇U  og så sette r = ra. I dette tilfellet er den totale energien til hver partikkel Ea = Ka + Ua  konstant som betyr at også den totale energien til systemet E = Ea + Eb + ... er bevart. Bevegelsen til alle partiklene kan nå finnes fra bevegelsen til en av partiklene. De beveger seg uavhengig av hverandre.
Mye mer komplisert er et system hvor hver partikkel er påvirket av alle de andre partiklene. Den kinetiske energien kan fremdeles skrives på samme måte, mens den potensielle energien er bare en eller annen funksjon

  
    
      
        U
        =
        U
        (
        
          
            r
          
          
            a
          
        
        ,
        
          
            r
          
          
            b
          
        
        ,
        …
        )
      
    
    {\displaystyle U=U(\mathbf {r} _{a},\mathbf {r} _{b},\ldots )}
  av koordinatene til alle partiklene som avhenger av hva slags krefter som opptrer. Men oftest viser det seg at man kan med stor nøyaktighet anta at kraften som virker mellom to partikler er upåvirket av de andre partiklene. Slike krefter kalles tolegemekrefter og ble studert allerede av Newton. Da kan den totale, potensielle  energien til systemet skrives som

  
    
      
        U
        =
        
          ∑
          
            a
            <
            b
          
        
        U
        (
        
          
            r
          
          
            a
          
        
        −
        
          
            r
          
          
            b
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle U=\sum _{a<b}U(\mathbf {r} _{a}-\mathbf {r} _{b})}
  hvor funksjonen U(r) bare avhenger av avstanden mellom partiklene a og b. Den beskriver deres «vekselvirkningsenergi» og er bestemt av kreftene som virker mellom to partikler. Med slike gjendige vekselvirkninger er kun den totale energien E = K + U  til alle partiklene bevart, mens energien til hver enkelt partikkel ikke lenger er konstant.


== Gravitasjon ==
Potensiell energi som skyldes gravitasjonskraft er potensiell energi som et legeme har på grunn av sin masse og tyngdekraften som påvirker det. Denne typen potensiell energi oppstår for eksempel når et legeme blir hevet i jordens tyngdefelt. Økningen av den potensielle energien til legemet er lik energien som må til for å heve det, eller lik energien som blir frigjort om legemet får falle tilbake til det opprinnelige nivået.For eksempel kan en tenke seg en bok som er plassert på et bord. For å heve boken frå gulvet til bordet må en utføre et arbeid, noe som krever energi: Om boken blir løftet av en person så vil denne energien komme fra den kjemiske energien som personen har fått fra mat eller annen næring. Denne igjen har sitt opphav fra solenergi som opprettholder fotosyntesen i planter. Bokens potensielle energi kan bli frigjort om den faller ned fra bordet. Når boken faller blir den potensielle energien omgjort til kinetisk energi, og når boken treffer gulvet blir den kinetiske energien igjen omgjort til varme og lyd.


=== Newtons tyngdelov ===

Gravitasjonskraften mellom to masser er beskrevet ved Newtons tyngdelov. Den sier at kraften er proporsjonal med hver av massene og omvendt proporsjonal med kvadratet av avstanden mellom dem. Strengt tatt er dette bare en korrekt formulering når begge massene er «punktpartikler», det vil si at de ikke har noen utstrekning. Men allerede Newton viste at loven også gjelder for kuleformete masser når avstanden mellom dem regnes mellom deres tyngdepunkt. Hvis formen ikke er helt sfærisk, vil avvikene fra loven være svært små. I sin vanlige formulering benyttes den til å utlede Keplers lover for planetene rundt Solen og beregning av mer kompliserte satellittbaner.
Tyngdeloven formuleres matematisk vanligvis ved å betrakte to slike masser m og M  som har en gjensidig avstand gitt ved vektoren r. Gravitasjonskraften som massen M utøver på massen m, er da gitt ved formelen

  
    
      
        
          F
        
        =
        −
        G
        
          
            
              M
              m
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          
            e
          
          
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =-G{Mm \over r^{2}}\mathbf {e} _{r}}
  hvor G er gravitasjonskonstanten og er = r/r er en enhetsvektor som peker fra M til m. Minustegnet foran betyr at kraften til tiltrekkende, den trekker m mot M og peker derfor i retning motsatt til r. Like stor, men motsatt rettet virker også tyngdekraften på M forårsaket av påvirkningen fra m.Denne kraften gir nå massen m en potensiell energi. Ut fra definisjonen kan den beregnes ved å flytte m fra posisjonen r til en ny posisjon r0 samtidig som M holdes i ro. Arbeidet som da utføres er

  
    
      
        Δ
        W
        =
        −
        
          ∫
          
            
              r
            
          
          
            
              
                r
              
              
                0
              
            
          
        
        
          F
        
        ⋅
        d
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \Delta W=-\int _{\mathbf {r} }^{\mathbf {r} _{0}}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {r} }
  og vil være lik forandringen i potensiell energi. I alminnelighet vil en vilkårlig forflytning dr  forgå som en kombinasjon av en forflytning retning gitt ved er samt i en forflytning i en retning vinkelrett på denne. Men siden tyngdekraften ikke har noen komponent i denne retningen, vil den ikke bidra til integralet som gir arbeidet. Det vil derfor være uavhengig av veien som velges i integralet mellom  r og r0 slik at tyngdekraften er konservativ. Her er det et direkte resultat av at den er rettet langs forbindelseslinjen mellom de to massene.


=== Potensiell energi ===
Den potensielle energien til m kan enkelt beregnes da man nå kan tenke seg at r0 ligger i forlengelsen av vektoren r. Størrelsen til vektorene angir dermed avstanden mellom de to massene før og etter forflytningen. Nå er d r = er dr slik at integralet forenkles til

  
    
      
        Δ
        W
        =
        U
        (
        
          r
          
            0
          
        
        )
        −
        U
        (
        r
        )
        =
        G
        M
        m
        
          ∫
          
            r
          
          
            
              r
              
                0
              
            
          
        
        
          
            
              d
              r
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              G
              M
              m
            
            
              r
              
                0
              
            
          
        
        +
        
          
            
              G
              M
              m
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta W=U(r_{0})-U(r)=GMm\int _{r}^{r_{0}}{dr \over r^{2}}=-{GMm \over r_{0}}+{GMm \over r}}
  Dette resultatet gjør det naturlig å kalle

  
    
      
        U
        (
        r
        )
        =
        −
        
          
            
              G
              M
              m
            
            r
          
        
      
    
    {\displaystyle U(r)=-{GMm \over r}}
  for den potensielle energien til massene når den defineres å være null hvis de er uendelig langt fra hverandre. Den er negativ siden massene tiltrekkes av hverandre og kan skrives som U(r) = mΦ(r) hvor

  
    
      
        Φ
        (
        r
        )
        =
        −
        
          
            
              G
              M
            
            r
          
        
        +
        
          
            konst
          
        
      
    
    {\displaystyle \Phi (r)=-{GM \over r}+{\mbox{konst}}}
  er gravitasjonspotensialet som massen M forårsaker og som virker på m. Konstanten i dette uttrykket avhenger av hva man definerer den potensielle energien i forhold til. Vanligvis settes den lik null som tilsvarer at to masser uendelig langt fra hverandre (r → ∞) har null potensiell energi.Uttrykket for den potensielle energien til de to massene kan da alternativt skrives som

  
    
      
        U
        (
        
          r
        
        −
        
          R
        
        )
        =
        −
        
          
            
              G
              M
              m
            
            
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                R
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle U(\mathbf {r} -\mathbf {R} )=-{GMm \over |\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}
  hvor r er posisjonsvektoren til massen m og R er posisjonsvektoren til M. Den er bestemt av avstanden mellom dem som her skrives som |r - R|. Ved å ta gradienten av dette uttrykket med hensyn til disse to posisjonene, kommer man tilbake til tyngdekreftene som virker på hver av dem.
Hvis en tenker seg at to legemer i rommet blir holdt på plass og så sluppet løs slik at tyngdekreftene mellom dem drar dem mot hverandre, så vil summen av den kinetiske energien til de to legemene bli nøyaktig lik reduksjonen av den potensielle energien til systemet. Summen av den kinetiske energien som de to legemene får målt i deres felles massesentersystem er lik den inverse verdien av forholdet mellom massene deres. I tilfelle der et lett legeme faller mot et stort og massiv legeme (slik som jorden), så blir så godt som all den potensielle energien i systemet overført til det lette legemet, og nesten ingenting til det store legemet.


=== Ved jordoverflaten ===
Befinner massen m seg ved i en høyde z over jordoverflaten, vil dens avstand fra jordens tyngdepunkt være r = R + z  hvor R nå er radius til jorden. Den potensielle energien til massen i denne høyden relativt til verdien på selve jordoverflaten er da

  
    
      
        Δ
        U
        (
        z
        )
        =
        −
        
          
            
              G
              M
              m
            
            
              R
              +
              z
            
          
        
        +
        
          
            
              G
              M
              m
            
            R
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta U(z)=-{GMm \over R+z}+{GMm \over R}}
  I vanlige situasjoner er høyden z << R. Da kan man med stor nøyaktighet skrive at 1/(R + z) = 1/R - z/R2. Den potensielle energien kan derfor forenklet skrives som U(z) = mgz etter å ha innført g = GM/R2 som er tyngdeakselerasjonen. Da jordens radius er omtrent 6000 km, kan dette forenklete uttrykket for den potensielle energien benyttes med en prosents nøyaktighet for høyder opp til 60 km.


== Elektromagnetisme ==
Potensiell energi for to  partikler med elektriske ladninger q1 og q2 er bestemt ved Coulomb-kraften som virker mellom dem. Er avstanden mellom dem r, har den størrelsen  F = kq1q2/r 2  hvor konstanten k er  Coulombs konstant og er avhengig av hva slags enheter som benyttes. Idag er SI-systemet det vanlige med verdien k -1 = 4π ε0  hvor konstanten ε0 er permittiviteten til vakuum når ladningene befinner seg i det tomme rom. Befinner de seg i et medium, vil den ha en annen verdi.
Denne kraften virker langs forbindelseslinjen mellom de to partiklene og er derfor en konservativ kraft. Den kan derfor skrives som en derivert på måten F = - dV/dr  hvor den potensielle energien U = kq1q2/r. Denne kan skrives som U = q1V2  ved å innføre det elektriske potensialet V2 = kq2/r  som skyldes den andre partikkelen. Alternativt kan man også skrive den som  U = q2V1  hvor nå V1 = kq1/r  er potensialet som skyldes den første partikkelen.Siden Coulomb-kraften har samme matematiske form som gravitasjonskraften, vil også den potensielle energien ha mange likhetspunkter. Men en viktig forskjell er at Coulomb-kraften bare gjelder for ladninger i ro eller som beveger seg langsomt. Hvis ikke det er tilfellet, vil også magnetiske krefter opptre mellom ladningene og komme i tillegg til de elektriske kreftene.


=== Elektrostatikk ===

Den potensielle energien til et system av elektrisk ladete partikler som er i ro, kan beregnes ved de elektrostatiske lovene. De er en direkte konsekvens av Coulombs lov. Betrakter man en partikkel med ladning q som befinner seg i et elektrisk potensial U(r), har den per definisjon en potensiell energi

  
    
      
        U
        (
        
          r
        
        )
        =
        q
        V
        (
        
          r
        
        )
      
    
    {\displaystyle U(\mathbf {r} )=qV(\mathbf {r} )}
  Hvis potensialet skyldes en ladning en ladning Q i punktet med posisjonsvektor R, har det den vanlige Coulomb-formen

  
    
      
        V
        (
        
          r
        
        )
        =
        
          
            Q
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                |
              
              
                r
              
              −
              
                R
              
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle V(\mathbf {r} )={Q \over 4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r} -\mathbf {R} |}}
  Kraften som virker på ladningen q, er gitt ved F = -∇U. Den kan skrives som F = q E  hvor  E = -∇V  er det elektriske feltet fra ladning Q.
Befinner flere partikler seg i dette samme potensialet, vil deres potensielle energi være summen av slike bidrag for hver av partiklene,

  
    
      
        
          U
          
            0
          
        
        (
        
          
            r
            
              1
            
          
        
        ,
        
          
            r
            
              2
            
          
        
        ,
        …
        )
        =
        
          ∑
          
            a
          
        
        
          q
          
            a
          
        
        V
        (
        
          
            r
            
              a
            
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              Q
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                |
              
              
                
                  r
                  
                    1
                  
                
              
              −
              
                R
              
              
                |
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                q
                
                  2
                
              
              Q
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                |
              
              
                
                  r
                  
                    2
                  
                
              
              −
              
                R
              
              
                |
              
            
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle U_{0}(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\ldots )=\sum _{a}q_{a}V(\mathbf {r_{a}} )={q_{1}Q \over 4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {R} |}+{q_{2}Q \over 4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {R} |}+\cdots }
  Men her kommer i tillegg den potensielle energien U1  som skyldes Coulomb-kreftene mellom ladningene q1, q2 etc. Den er på samme måte gitt ved summen

  
    
      
        
          U
          
            1
          
        
        (
        
          
            r
            
              1
            
          
        
        ,
        
          
            r
            
              2
            
          
        
        ,
        …
        )
        =
        
          ∑
          
            a
            <
            b
          
        
        
          
            
              
                q
                
                  a
                
              
              
                q
                
                  b
                
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                |
              
              
                
                  r
                  
                    a
                  
                
              
              −
              
                
                  r
                  
                    b
                  
                
              
              
                |
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                |
              
              
                
                  r
                  
                    1
                  
                
              
              −
              
                
                  r
                  
                    2
                  
                
              
              
                |
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  3
                
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                |
              
              
                
                  r
                  
                    1
                  
                
              
              −
              
                
                  r
                  
                    3
                  
                
              
              
                |
              
            
          
        
        +
        
          
            
              
                q
                
                  2
                
              
              
                q
                
                  3
                
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                |
              
              
                
                  r
                  
                    2
                  
                
              
              −
              
                
                  r
                  
                    3
                  
                
              
              
                |
              
            
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle U_{1}(\mathbf {r_{1}} ,\mathbf {r_{2}} ,\ldots )=\sum _{a<b}{q_{a}q_{b} \over 4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r_{a}} -\mathbf {r_{b}} |}={q_{1}q_{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}+{q_{1}q_{3} \over 4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |}+{q_{2}q_{3} \over 4\pi \varepsilon _{0}|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |}+\cdots }
  Den totale, potensielle energien for denne samlingen av elektrisk ladete partikler er derfor U =  U0 +  U1. Et vanlig eksempel hvor dette resultatet er viktig, er innen atomfysikken hvor den brukes til å beregne energinivåene  til et atom ved bruk av kvantemekanikk.


=== Elektrisk dipol ===
Hvis man beregner det elektriske potensialet langt borte fra en samling av ladninger, et det med god tilnærmelse gitt ved Coulomb-potensialet fra en enkel ladning som er nettoladningen til alle ladningene. I det spesielle tilfellet at denne er nøyaktig lik null, vil det derfor ikke finnes noe Coulomb-potensial fra denne samlingen av ladninger. Det resulterende potensialet vil i stedet være mye svakere og kalles for et «multipolpotensial». Det kan regnes nøyaktig ut ved å summere delpotensialene fra hver ladning på vanlig måte.
Et viktig eksempel er den potensielle energien til en elektrisk dipol som befinner seg i det elektriske feltet fra andre ladninger. En slik dipol består av to motsatte ladninger q1 = - q2 = q  som er separert med vektoren d = r1 - r2 . Deres potensielle energi er da

  
    
      
        U
        =
        
          q
          
            1
          
        
        V
        (
        
          
            r
          
          
            1
          
        
        )
        +
        
          q
          
            2
          
        
        V
        (
        
          
            r
          
          
            2
          
        
        )
        =
        q
        (
        V
        (
        
          r
        
        )
        −
        V
        (
        
          r
        
        −
        
          d
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle U=q_{1}V(\mathbf {r} _{1})+q_{2}V(\mathbf {r} _{2})=q(V(\mathbf {r} )-V(\mathbf {r} -\mathbf {d} ))}
  hvor r1 er erstattet med r. Dipolpotensialet kommer nå frem ved å anta at vektoren d er mye mindre enn r slik at potensialet V kan antas å være tilnærmet det samme på de to stedene ladningene befinner seg. Da er differansen V(r) - V(r - d) = d⋅∇V = - d⋅E ved å innføre det elektriske feltet  E = -∇V  på stedet ladningene befinner seg. Deres potensielle energi er dermed

  
    
      
        U
        =
        −
        
          p
        
        ⋅
        
          E
        
      
    
    {\displaystyle U=-\mathbf {p} \cdot \mathbf {E} }
  etter å ha definert et elektrisk dipolmoment for de to nærliggende ladningene som p = q d. Denne potensielle energien varierer med avstanden som 1/r2 og avtar dermed raskere enn Coulomb-energien til hver av ladningene som utgjør dipolen.Innfører man vinkelen θ mellom dipolen og feltet, kan energien skrives som U = - pEcosθ. Den er derfor minst når dipolen peker langs det elektriske feltet, og har en maksimal verdi +pE når den rettet i motsatt retning.


=== Magnetiske krefter ===
En partikkel med elektrisk ladning q som beveger seg hastighet v i et magnetisk felt B er påvirket av  Lorentz-kraften

  
    
      
        
          F
        
        =
        q
        
          v
        
        ×
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} =q\mathbf {v} \times \mathbf {B} }
  Den virker vinkelrett på partikkelens hastighet og kan derfor ikke utøve noe arbeid. Partikkelen vil dermed ikke ha noen magnetisk, potensiell energi. Lorentz-kraften forårsaker at hastigheten forandrer retning uten at størrelsen på denne forandres. Under sin bevegelse vil partikkelen derfor ha en konstant kinetisk energi forutsatt at ingen andre krefter virker på den.Denne spesielle egenskapen ved magnetiske krefter er forbundet med at det ikke finnes magnetiske monopoler eller frie, magnetiske ladninger. Men likevel finnes det magnetiske dipoler. Fra elektromagnetisk teori fremkommer disse ved å la en elektrisk strøm I gå i en lukket sløyfe. Hvis denne omslutter et areal A, vil strømsløyfen ha et magnetisk moment m = IA n  hvor enhetsvektoren n står vinkelrett på sløyfen i en retning gitt ved høyrehåndsregelen brukt sammen med strømretningen. En slik magnetisk dipol har da en potensiell energi

  
    
      
        U
        =
        −
        
          m
        
        ⋅
        
          B
        
      
    
    {\displaystyle U=-\mathbf {m} \cdot \mathbf {B} }
  av samme matematiske form som for en elektrisk dipol.
En kompassnål er et praktisk eksempel på en magnetisk dipol. I et ytre magnetfelt vil den rette seg inn slik at den peker parallelt med feltet hvor dens potensielle energi er minst. Det magnetiske dipolmomentet til nålen skyldes elektronene som beveger seg i atomene som den består av. Hvert elektron har sitt eget moment som skyldes spinnet. I tillegg vil bevegelsen rundt atomkjernen i en lukket bane også gi et bidrag da dette tilsvarer en elektrisk strøm i en sløyfe.


=== Elektrodynamikk ===
På tilsvarende måte som det elektriske feltet kan beregnes fra et skalart, elektrisk potensial, kan også det magnetiske feltet beregnes fra et vektorpotensial. Dette betegnes vanligvis ved A(r,t) da det generelt varierer med posisjon r og tiden t. Ved bruk av elektrodynamikk kan det beregnes for en samling av elektrisk ladete partikler med bestemte hastigheter på tilsvarende måte som Coulomb-potensialet U(r,t) kan beregnes fra deres posisjoner. Magnetfeltet kan da beregnes ved å ta curl av vektorpotensialet slik  at B = ∇×A.
En partikkel med ladning q og hastighet v som befinner seg i disse elektromagnetiske potensialene, vil da ha en potensiell energi

  
    
      
        U
        =
        q
        V
        −
        q
        
          v
        
        ⋅
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle U=qV-q\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} }
  som består av en elektrisk del og en magnetisk del. For et system bestående av mange partikler kan man herav beregne deres totale, elektromagnetiske vekselvirkningsenergi. I tillegg vil systemet også ha en feltenergi som finnes i det elektriske og magnetiske feltet mellom partiklene. Den totale energien for systemet består av denne pluss den potensielle vekselvirkningsenergien pluss den kinetiske energien fra partiklenes bevegelse.


== Kjemisk og kjernefysisk energi ==
Molekylene i et fast eller flytende stoff  er sammensatt av atomer som holdes sammen med kjemiske bindinger. Disse skyldes vanligvis Coulomb-krefter mellom ulike deler av atomene med forskjellige ladningsfordelinger. På den måten har et stoff en kjemisk energi i form av bindingsenergi som kan frigjøres ved overgang til et annet stoff i en kjemisk reaksjon. For eksempel, ved forbrenning av et stoff blir den kjemiske energien omgjort til varme. Noe av det samme skjer ved fordøying av mat i biologiske organismer. På den måten kan man si at kjemisk energi er en manifestasjon av den underliggende, potensielle energien på atomnivå. Men det ville være feil å kalle den selv for en potensiell energi på den måten som her definert.
Det samme kan man si om kjernefysisk energi som blir produsert i en atomreaktor eller frigjort i en atombombe. Den potensielle energien til protonene og nøytronene i en atomkjerne skyldes sterke kjernekrefter på korte avstander og Coulomb-krefter på litt større avstander. Sammen bidrar de til bindingsenergien for atomkjernen og bestemmer dermed også dens masse ved bruk av masseenergiloven til Einstein.Den sterke kjernekraften ble tidligere forsøkt beskrevet ved hjelp av forskjellige vekselvirkningspotensial. I mange tilfeller kan dette gi en ganske god beskrivelse av energiforholdene til nukleonene i atomkjernen. Men i dag er det akseptert at dette bare vil kunne gi approksimative resultat. Den korrekte beskrivelsen må baseres på kvantekromodynamikk (QCD) for de mer fundamentale kvarkene og gluonene.  En slik kvantefeltteori er relativistisk og tillater derfor ikke noen klart skille mellom kinetisk og potensiell energi.


== Se også ==
Kinetisk energi
Energikilde
Newtons bevegelseslover


== Referanser ==