Tall

Tall er aritmetikkens grunnbegrep og et tall er en abstrakt matematisk enhet som beskriver en størrelse, måling eller opptelling. I det indisk-arabiske tallsystemet har vi tallsymbolene 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, og ett eller flere av disse symbolene brukes til å representere tall. Et tall kan være flersifret, og da kaller vi tallsymbolene for siffer i tallet. 


== Ulike typer tall ==

Tallene kan klassifiseres i ulike mengder, og i matematikken bruker vi bestemte symboler for å symbolisere disse mengdene.


=== Naturlige tall ===
Se hovedartikkel: Naturlige tallDe naturlige tallene er de mest kjente, og det er disse tallene barn blir kjent med når de lærer å telle. Naturlige tall er positive, hele tall, altså 1, 2, 3, 4, 5, ...
I vårt titallsystem (som blir brukt over nesten hele verden) blir tallene representert ved ti ulike tallsymboler, fra 0 til 9. Tall som er større enn 9 blir representert ved to eller flere tallsymboler som utgjør sifrene i tallet. Symbolet for mengden av naturlige tall er 
  
    
      
        
          N
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} .}
  


=== Hele tall ===
Se hovedartikkel: Hele tallDe negative tallene er de tallene som er mindre enn null. De representeres ved å indikere det motsatte positive tallet med et minus-tegn foran. For eksempel kan et positivt tall representere saldoen i en bankkonto, mens et negativt tall kan representere uttak. Når vi kombinerer de negative heltallene med de naturlige tallene og null, får vi mengden av hele tall, symbolisert ved 
  
    
      
        
          Z
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} .}
  


=== Rasjonale tall ===
Se hovedartikkel: Rasjonale tall. Se også: Irrasjonale tall.De rasjonale tallene er de som kan uttrykkes som en brøk med en teller (som er et heltall) og en nevner som er forskjellig fra null. Brøken 
  
    
      
        m
        
          /
        
        n
      
    
    {\displaystyle m/n}
   er den størrelsen du får når et helt tall 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   blir delt i 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   like store deler. To ulike brøker kan representere det samme tallet, for eksempel representerer 1/2 og 2/4 det samme tallet. Brøkene kan være negative, positive eller null. Symbolet for de rasjonale tallene er 
  
    
      
        
          Q
        
        .
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Q} .}
  


=== Reelle tall ===
Se hovedartikkel: Reelle tall. Se også: Imaginære tall.De reelle tallene er alle de tallene som kan representeres ved punkter på en linje, det vil si alle naturlige tall, alle heltall, alle rasjonale tall og også de irrasjonale tallene, det vil si de tallene som ikke kan uttrykkes som en brøk. Et eksempel på et slikt irrasjonalt tall er 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  , som hører med til de reelle tallene, men kan ikke skrives som et brøk eller som et desimaltall med et endelig antall siffer.
Symbolet for de reelle tallene er 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  .


=== Komplekse tall ===
Se hovedartikkel: Komplekse tallDe reelle tallene kan utvides med de komplekse tallene 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  . Historisk sett oppsto disse tallene ut fra spørsmålet om det er mulig å trekke ut kvadratroten av et negativt tall. Ut fra undersøkelser av denne problemstillingen ble det oppdaget et nytt tall 
  
    
      
        
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {-1}}}
  , representert ved symbolet i. De komplekse tallene består av alle tallene på formen 
  
    
      
        a
        +
        b
      
    
    {\displaystyle a+b}
  i, hvor 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   og 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   er reelle tall. Dersom 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   er null, kaller vi 
  
    
      
        a
        +
        b
      
    
    {\displaystyle a+b}
  i for et imaginært tall. Dersom 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   er null, får vi et reelt tall. Komplekse tall korresponderer med koordinatene til punkter i det komplekse planet. I det komplekse planet måles de reelle tallene langs førsteaksen (x-aksen) og de imaginære tallene langs andreaksen (y-aksen) i et koordinatsystem.


== Tallenes historie ==
Gjennom arkeologiske utgravninger datert 30 000 år f.Kr. har det blitt funnet ulvebein med 55 streker systematisk risset inn. Dette er noen av de eldste forløperne til tallsystem vi har. Det er uvisst hva dette ulvebeinet ble brukt til, men det er sannsynlig at det har blitt brukt til å holde oversikt over ett eller annet (for eksempel en dyreflokk, tidssykluser i en kalender eller lignende). 
Babylonerne hadde det eldste plassverdisystemet vi kjenner til, med 60 som grunntall. Det eldste titallsystemet vi kjenner tilhørte de gamle egypterne, men dette var et additivt tallsystem. 


== Aspekter ved tallbegrepet ==
I forbindelse med barns læring av tallbegrepet skiller vi ofte mellom noen hovedaspekter:

Kardinaltall
Ordinaltall
Tall som identitetFor at barn skal få en full forståelse for tall og telling, må det få erfaring med alle de ulike måtene tallene kan opptre på og lære å skille mellom dem. 


=== Kardinaltall ===
Kardinaltall kaller vi det når tallordet forteller noe om hvor mange. Dette kan vi også kalle for mengdetall eller antall. Her skiller vi ofte mellom to hovedtyper:

Hovedtype A: Tallordet angir antallet objekter, for eksempel 5 klosser.
Hovedtype B: Tallordet angir antallet måleenheter, for eksempel 4 meter.Når barn utvikler kardinaltallsbegrepet, ser vi ofte eksempler på at noe av det første de lærer er å skille mellom en-to-mange. Små barn kan ofte skille mellom små mengder, mens større mengder blir bare betegnet som mange. Dersom barnet har et fullt utviklet kardinaltallsbegrep, innebærer det at de:

kan telle
kan svare på spørsmålet om hvor mange ved å oppgi det siste ordet i tellingen
har antallskonservering (dvs. at antallet er uavhengig av hvordan en teller, hva slags objekter som telles, osv.)


=== Ordinaltall ===
Ordinaltall er tallord som forteller om hvor et objekt er plassert i en serie eller rekkefølge. Dette kaller vi for ordenstall eller rekkefølgetall. Et eksempel på dette er datoer, som beskriver en rekkefølge og ikke et antall. 
Dersom et barn har ordinal forståelse, kan det sortere ulike gjenstander etter størrelse eller andre egenskaper. 


=== Tall som identitet ===
Tall som identitet bruker vi når tallordet brukes som identifikasjon, for eksempel når en buss har nummer 60, eller et hus har nummer 39. Da er ikke tallordet knyttet til antall eller rekkefølge, og det blir mer som en merkelapp.


=== Algebra ===
Algebra generaliserer tall ved at bokstaver eller andre symboler representerer tall. Dette brukes for å beskrive mønster og sammenhenger. Algebra brukes også i fagene geometri og funksjoner.


== Store tall ==
For forklaring på hvorfor store tall kan ha motstridende navn på andre språk, se den korte og den lange skalaen for store tall.

Million har 6 nuller, 106
Milliard har 9 nuller, 109
Billion har 12 nuller, 1012
Billiard har 15 nuller, 1015
Trillion har 18 nuller, 1018
Trilliard har 21 nuller, 1021
Kvadrillion har 24 nuller, 1024
Kvadrilliard har 27 nuller, 1027
Kvintillion har 30 nuller, 1030
Kvintilliard har 33 nuller, 1033
Sekstillion har 36 nuller, 1036
Sekstilliard har 39 nuller, 10 39
Septillion har 42 nuller, 1042
Septilliard har 45 nuller, 1045
Oktillion har 48 nuller, 1048
Oktilliard har 51 nuller, 1051
Nonillion har 54 nuller, 1054
Nonilliard har 57 nuller, 1057
Desillion har 60 nuller, 1060
Undesillion har 66 nuller, 1066
Dodesillion har 72 nuller, 1072
Tredesillion har 78 nuller, 1078
Quattordesillion har 84 nuller, 1084
Kvindesillion har 90 nuller, 1090
Seksdesillion har 96 nuller, 1096
Googol har 100 nuller, 10100
Septendesillion har 102 nuller, 10102
Oktoesillion har 108 nuller, 10108
Novemdesillion har 114 nuller, 10114
Vigintillon har 120 nuller, 10120
Unvigintillion har 126 nuller, 10126
Dovigintillion har 132 nuller, 10132
Trevigintillion har 138 nuller, 10138
Kvartvigintillion har 144 nuller, 10144
Kvintvigintillion har 150 nuller, 10150
Seksvigintillion har 156 nuller, 10156
Septenvigintillion har 162 nuller, 10162
Octovigintillion har 168 nuller, 10168
Novemvigintillion har 174 nuller, 10174
Trigintillion har 180 nuller, 10180
Untrigintillion har 186 nuller, 10186
Dotrigintillion har 192 nuller, 10192
Trerigintillion har 198 nuller, 10198
Dogoogol har 200 nuller, 10200
Centillion har 600 nuller, 10600Ordene er sammensatt av et latinsk prefiks og en endelse fra million. Det latinske tallet i prefikset svarer til eksponenten som må benyttes dersom tallet skrives som potens med million som grunntall. 
Eksempelvis er tri = tre og trillion er lik 
  
    
      
        
          1000000
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 1000000^{3}}
  
tilsvarende kvadr = 4 og kvadrillion er lik 
  
    
      
        
          1000000
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle 1000000^{4}}
  , kvint = 5 og kvintillion er lik 
  
    
      
        
          1000000
          
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle 1000000^{5}}
   etc. Betegnelsene fortsetter således i det uendelige.
I praksis benyttes meget sjelden betegnelser på større tall enn milliard. Dette har både sammenheng med fare for sammenblanding med de amerikansk-engelske formene og at ordene er generelt lite kjente. I vitenskapelig sammenheng foretrekker man å benytte enten SI-prefiks eller eksponensiell notasjon.


=== Billion og trillion internasjonalt ===
Den amerikanske betydningen av billion, trillion, quadrillion og quintillion er henholdsvis 109, 1012, 1015 og 1018 (altså europeisk milliard, billion, billiard og trillion). Brasil og engelskspråklige land benytter i stor grad den amerikanske forståelsen av ordene, spesielt innenfor finansliv og journalistikk. De fleste andre land som bruker disse ordene holder seg til samme forståelse som Norge.


=== Andre store tall ===
En googol er 
  
    
      
        
          10
          
            100
          
        
      
    
    {\displaystyle 10^{100}}
  , og har altså 100 nuller.
En googolplex er 
  
    
      
        
          10
          
            
              10
              
                100
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle 10^{10^{100}}}
  , og har én googol nuller.
Grahams tall er det største tallet som er blitt brukt i et matematisk bevis.


== Se også ==
Nummer
Tallord
Tallsystem
Tallsymbolikk


== Litteratur ==
Solem, I.H. og Reikerås, E.K.L. (2001). Det matematiske barnet. Bergen: Caspar Forlag. ISBN 82-90898-26-6. CS1-vedlikehold: Flere navn: forfatterliste (link)Ifrah, Georges (1997). All verdens tall. Oslo: Pax. ISBN 8253018878. 


== Eksterne lenker ==
Gamle talltegn (på tysk)