Kvadratrotsformelen

Kvadratrotsformelen (engelsk navn «Economic order quantity», forkortet «EOQ») er en økonomisk modell som definerer optimal bestillingsmengde ved lavest mulige variable omkostninger og et gitt lagernivå.
Modellen ble opprinnelig utviklet av F. W. Harris i 1915, selv om R. H. Wilson er kreditert for mer djuptgående studier av modellen.  


== Underliggende antagelser ==
Etterspørselen for varen er kjent
Ledetid er kjent og fast
Mottak av ordre er en enkelt hendelse
Kvantumsrabatter medtas ikke i modellen
Økonomiske eller fysiske mankosituasjoner oppstår ikke


== Variabler ==

  
    
      
        
          Q
          
            ∗
          
        
      
    
    {\displaystyle Q^{*}}
   = Optimalt ordrekvantum

  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   = Omkostning per ordrehendelse (ikke per enhet)

  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   = Månedlig etterspørsel av produkt

  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
   = Innkjøpsomkostning per enhet

  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   = Lageromkostningsfaktor (lagerrente). (Denne faktoren settes vanligvis til 10-15 %, selv om det under visse omstendigheter kan være nødvendig å sette denne til alt mellom 0 og 1)

  
    
      
        H
      
    
    {\displaystyle H}
   = Omkostningene ved å ha et produkt på lager per måned (
  
    
      
        H
        =
        P
        F
      
    
    {\displaystyle H=PF}
  )


== Formel ==
EOQ-formelen kan bli sett på som minimumspunktet for den følgende omkostningsfunksjonen:
Total omkostning = innkjøpsomkostning + ordreomkostning + beholdningsomkostninger, som kan skrives

  
    
      
        T
        C
        (
        Q
        )
        =
        P
        R
        +
        
          
            
              C
              R
            
            Q
          
        
        +
        
          
            
              P
              F
              Q
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle TC(Q)=PR+{\frac {CR}{Q}}+{\frac {PFQ}{2}}}
  .Deriverer man begge sider av ligningen og setter lik null, får man

  
    
      
        
          
            
              d
              T
              C
              (
              Q
              )
            
            
              d
              Q
            
          
        
        =
        
          
            d
            
              d
              Q
            
          
        
        
          (
          
            P
            R
            +
            
              
                
                  C
                  R
                
                Q
              
            
            +
            
              
                
                  P
                  F
                  Q
                
                2
              
            
          
          )
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {dTC(Q)}{dQ}}={\frac {d}{dQ}}\left(PR+{\frac {CR}{Q}}+{\frac {PFQ}{2}}\right)=0}
  .Resultatet av denne deriveringen er:

  
    
      
        
          
            
              P
              F
            
            2
          
        
        −
        
          
            
              C
              R
            
            
              Q
              
                2
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {PF}{2}}-{\frac {CR}{Q^{2}}}=0}
  .Løser man så for Q blir resultatet:

  
    
      
        
          
            
              P
              F
            
            2
          
        
        =
        
          
            
              C
              R
            
            
              Q
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {PF}{2}}={\frac {CR}{Q^{2}}}}
  
  
    
      
        
          Q
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              2
              C
              R
            
            
              P
              F
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Q^{2}={\frac {2CR}{PF}}}
  
  
    
      
        
          Q
          
            ∗
          
        
        =
        
          
            
              
                2
                C
                R
              
              
                P
                F
              
            
          
        
        =
        
          
            
              
                2
                C
                R
              
              H
            
          
        
      
    
    {\displaystyle Q^{*}={\sqrt {\frac {2CR}{PF}}}={\sqrt {\frac {2CR}{H}}}}
  .
Asterisk (*) indikerer optimal ordremengde.


== Utvidelser ==
Flere utvidelser kan gjøres til EOQ-modellen, blant annet ved å utvide antall enheter. 


== Litteratur ==
Harris, F. W. Operations Cost (Factory Management Series), Chicago:  Shaw (1915).
Wilson, R. H. "A Scientific Routine for Stock Control" Harvard Business Review, 13, 116-128 (1934).