Polarkoordinatsystem

Et polarkoordinatsystem er  et koordinatsystem hvor hvert punkt i et  plan er bestemt ut ifra avstanden fra et gitt punkt (vanligvis origo) og vinkel i forhold til X-aksen. I et vanlig kartesisk koordinatsystem blir punktene bestemt ut ifra avstanden til hver koordinatakse.
Prinsippet i polarkoordinater er at man angir alle punkter ved hjelp av følgende informasjon:

Punktets vinkel (grader eller radianer ) i forhold til hva man ville kalle x-aksen i et rektangulært koordinatsystem, θ.
Punktets avstand fra origo, r.


== Konvertering mellom polare og kartesiske koordinater ==

Omregning polarkoordinater til kartesiske koordinater kan gjøres ved:

  
    
      
        x
        =
        r
        cos
        ⁡
        θ
        
      
    
    {\displaystyle x=r\cos \theta \,}
  

  
    
      
        y
        =
        r
        sin
        ⁡
        θ
        ,
        
      
    
    {\displaystyle y=r\sin \theta ,\,}
  Mens omregningen fra karteiske koordinater til poolarkoordinater kan gjøres ved:

  
    
      
        r
        =
        
          
            
              y
              
                2
              
            
            +
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle r={\sqrt {y^{2}+x^{2}}}\quad }
   (Gitt ved Pythagoras’ læresetning),  og

  
    
      
        θ
        =
        
          
            {
            
              
                
                  0
                
                
                  
                    
                      hvis 
                    
                  
                  x
                  =
                  0
                  
                    
                       og 
                    
                  
                  y
                  =
                  0
                
              
              
                
                  arcsin
                  ⁡
                  (
                  
                    
                      y
                      r
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      hvis 
                    
                  
                  x
                  ≥
                  0
                
              
              
                
                  arcsin
                  ⁡
                  (
                  
                    
                      y
                      r
                    
                  
                  )
                  +
                  π
                
                
                  
                    
                      hvis 
                    
                  
                  x
                  <
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta ={\begin{cases}0&{\mbox{hvis }}x=0{\mbox{ og }}y=0\\\arcsin({\frac {y}{r}})&{\mbox{hvis }}x\geq 0\\\arcsin({\frac {y}{r}})+\pi &{\mbox{hvis }}x<0\\\end{cases}}}
  Alle disse formlene forutsetter at referansepunktet for polarkoordinatsystemet er origo. 
Arcsinfunksjonen er den inverse funksjonen til sinusfunksjonen og gir en løsning i intervallet [−π/2,+π/2], så formelen for θ vil gi en løsning i intervallet [−π/2,+π/2].  
Dersom man vil finne θ i intervallet [0, 2π) kan man også bruke:

  
    
      
        θ
        =
        
          
            {
            
              
                
                  arctan
                  ⁡
                  (
                  
                    
                      y
                      x
                    
                  
                  )
                
                
                  
                    
                      hvis 
                    
                  
                  x
                  >
                  0
                  
                    
                       og 
                    
                  
                  y
                  ≥
                  0
                
              
              
                
                  arctan
                  ⁡
                  (
                  
                    
                      y
                      x
                    
                  
                  )
                  +
                  2
                  π
                
                
                  
                    
                      hvis 
                    
                  
                  x
                  >
                  0
                  
                    
                       og 
                    
                  
                  y
                  <
                  0
                
              
              
                
                  arctan
                  ⁡
                  (
                  
                    
                      y
                      x
                    
                  
                  )
                  +
                  π
                
                
                  
                    
                      hvis 
                    
                  
                  x
                  <
                  0
                
              
              
                
                  
                    
                      π
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                      hvis 
                    
                  
                  x
                  =
                  0
                  
                    
                       og 
                    
                  
                  y
                  >
                  0
                
              
              
                
                  
                    
                      
                        3
                        π
                      
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                      hvis 
                    
                  
                  x
                  =
                  0
                  
                    
                       og 
                    
                  
                  y
                  <
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                    
                      hvis 
                    
                  
                  x
                  =
                  0
                  
                    
                       og 
                    
                  
                  y
                  =
                  0
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \theta ={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\mbox{hvis }}x>0{\mbox{ og }}y\geq 0\\\arctan({\frac {y}{x}})+2\pi &{\mbox{hvis }}x>0{\mbox{ og }}y<0\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\mbox{hvis }}x<0\\{\frac {\pi }{2}}&{\mbox{hvis }}x=0{\mbox{ og }}y>0\\{\frac {3\pi }{2}}&{\mbox{hvis }}x=0{\mbox{ og }}y<0\\0&{\mbox{hvis }}x=0{\mbox{ og }}y=0\end{cases}}}
  


== Anvendelse av polarkoordinater ==

En ligning uttrykt i polarkoordinater er kjent som en polar ligning. Normalt er disse ligningene gitt ved å definere r som en funksjon av θ.  Denne definisjonen gir visse fordeler i anvendelsen av polarkoordinater i forhold til hva man kan oppnå med rektangulære. Særlig fordelaktig er det å bruke polarkoordinater hvor det inngår noe sirkulært. Det enklest tenkelige eksempel er å fremstille en sirkel. Her er definisjonen av en sirkel med radius 1. 

  
    
      
        
          
          
            
              
                
                  x
                  =
                  r
                  ⋅
                  cos
                  ⁡
                  θ
                
              
              
                
                  y
                  =
                  r
                  ⋅
                  sin
                  ⁡
                  θ
                
              
            
          
          }
        
        
        ,
        r
        =
        1
        
        ,
        
        θ
        ∈
        [
        0
        ,
        2
        π
        ]
      
    
    {\displaystyle \left.{\begin{matrix}x=r\cdot \cos \theta \\y=r\cdot \sin \theta \end{matrix}}\right\}\quad ,r=1\quad ,\quad \theta \in [0,2\pi ]}
  
Lengden til det bevegelige punktet, settes altså konstant til å være lik én, som altså er avstanden fra origo til periferien. Deretter settes vinkelen til å variere mellom 0 og 2π eksklusiv (eller 0 og 360° i vinkler), hvor hele sirklen er med.


=== Arkimedisk spiral ===

En arkimedisk spiral er en spiral som ble oppdaget av Arkimedes, som kan forklares med polarkoordinater. Spiralen har formelen

  
    
      
        r
        (
        θ
        )
        =
        a
        +
        b
        θ
        .
        
      
    
    {\displaystyle r(\theta )=a+b\theta .\,}
  Ved å forandre a vil spiralen skifte form, mens b er distansen mellom kurvene, som for en gitt spiral alltid er konstant. Den Arkimediske spiralen har to kurver, en for θ > 0 og en for θ < 0. De to kurvene starter i origo. Sett bort fra kjeglesnittene var denne kurven blant de første til å bli beskrevet. Kurven er også et godt eksempel på kurver som blir best beskrevet med polarkoordinater.


=== Polar rose ===

En polar rose er en matematisk kurve som ser ut som en blomst med kronblader, denne kan defineres som en enkel polar ligning.

  
    
      
        r
        (
        θ
        )
        =
        a
        cos
        ⁡
        (
        k
        θ
        +
        
          ϕ
          
            0
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle r(\theta )=a\cos(k\theta +\phi _{0})\,}
  For enhver konstant 
  
    
      
        
          ϕ
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle \phi _{0}}
   (Inkludert 0). Dersom k er et heltall vil disse ligningene gi kurver hvor «blomsten» har k kronblader når k  er et oddetall og 2k  kronblader når  k er et partall. Dersom k er et rasjonalt tall, men ikke et heltall vil man også få frem en blomst hvor kronbladene overlapper hverandre. Her må imidlertid definisjonsintervallet for kurven være større enn [0, 2π) for at «blomsten» skal bli komplett. Merk at det er umulig å definere en kurve hvor man får 
  
    
      
        4
        n
        +
        2
      
    
    {\displaystyle 4n+2}
  , hvor n er et heltall, kronblader.
Variabelen a angir lengden på kronbladene.


=== Kjeglesnitt ===
Alle kjeglesnittene kan også uttrykkes ved hjelp av polarkoordinater gjennom formelen:

  
    
      
        r
        =
        
          
            p
            
              1
              +
              e
              cos
              ⁡
              θ
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r={p \over {1+e\cos \theta }}}
  Hvor e er eksentrisiteten og p er semi latus rectum
Derson e > 1, vil ligningen gi en hyperbel;  e = 1 gir en parabel mens e < 1 gir oss en ellipse. Spesialtilfellet e = 0 vil gi en sirkel mad radius p.


== Anvendelse i tre dimensjoner ==
Polarkoordinater kan også anvendes til bruk i tre dimensjoner. Kulekoordinater og sylinderkoordinater inneholder begge polarkoordinatplanet, utvidet med en ekstra akse. De er viktige eksempel på mer generelle, krumlinjete koordinater.


=== Sylinderkoordinater ===

Sylinderkoordinater systemet er en utvidelse av polarkoordinater med en ekstra z-akse, på samme måte som det kartesiske koordinatsytemet i tre dimensjoner. Den tredje koordinaten er vanligvis uttrykt med en h eller en z, som beskriver høyden til det øvre planet i sylinderen. Alle tre koordinatene blir da skrevet (r, θ, z).
Sammenhengen mellom de tre sylinderkoordinatene og de respektive kartesiske koordinatene blir

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
                
                =
                r
                
                cos
                ⁡
                θ
              
            
            
              
                y
              
              
                
                =
                r
                
                sin
                ⁡
                θ
              
            
            
              
                z
              
              
                
                =
                z
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\cos \theta \\y&=r\,\sin \theta \\z&=z.\end{aligned}}}
  


=== Kulekoordinater ===

Kulekoordinatsystemet er et koordinatsystem basert på polarkoordinater. Kulekoordinater skiller seg fra polarkoordinater ved at høyden fra xy-planet blir beskrevet av en vinkel φ fra z-aksen. Avstanden fra origo er ρ slik at radien i xy-planet blir r = ρ sinφ. Vinkelen φ varierer med en størrelsene 0°-180° eller 0-π radianer.  De tre koordinatene blir da skrevet  (ρ, θ, φ).
Sammenhengen mellom de tre kulekoordinatene og de respektive kartesiske koordinatene er dermed

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
                
                =
                ρ
                
                sin
                ⁡
                φ
                
                cos
                ⁡
                θ
              
            
            
              
                y
              
              
                
                =
                ρ
                
                sin
                ⁡
                φ
                
                sin
                ⁡
                θ
              
            
            
              
                z
              
              
                
                =
                ρ
                
                cos
                ⁡
                φ
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x&=\rho \,\sin \varphi \,\cos \theta \\y&=\rho \,\sin \varphi \,\sin \theta \\z&=\rho \,\cos \varphi .\end{aligned}}}
  Betegnelsene for disse tre koordinatene varierer. I fysikk og mer praktiske anvendelser er det vanlig å bytte navnene til de to vinklene. Ofte blir også avstanden fra origo gitt ved r i stedet for ρ slik at de kartesiske koordinatene kan skrives som

  
    
      
        
          
            
              
                x
              
              
                
                =
                r
                
                sin
                ⁡
                θ
                
                cos
                ⁡
                φ
              
            
            
              
                y
              
              
                
                =
                r
                
                sin
                ⁡
                θ
                
                sin
                ⁡
                φ
              
            
            
              
                z
              
              
                
                =
                r
                
                cos
                ⁡
                θ
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\,\sin \theta \,\cos \varphi \\y&=r\,\sin \theta \,\sin \varphi \\z&=r\,\cos \theta .\end{aligned}}}
  


== Litteratur ==
J. Mathews and R.L. Walker, Mathematical Methods of Physics,  W.A. Benjamin, New York (1970). ISBN 0-8053-7002-1.
M.L. Boas, Mathematical Methods in the Physical Sciences, John Wiley & Sons, New York (1983). ISBN 0-471-04409-1.