Hydrostatisk ligning

Den hydrostatiske ligningen er en ligning for å regne ut hvordan lufttrykket (eller lufttettheten) endrer seg med høyden. Den baserer seg på en ikke veldig realistisk forenkling om at temperaturen ikke er avhengig av høyden. Men ligningen stemmer likevel ganske bra med de faktiske trykk- og tetthetsvariasjonene vi har i jordatmosfæren opp til en høyde på omtrent 140 km. 

  
    
      
        ρ
        =
        
          ρ
          
            0
          
        
        
          e
          
            −
            z
            
              /
            
            h
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \rho =\rho _{0}e^{-z/h}\,}
  eller

  
    
      
        P
        =
        
          P
          
            0
          
        
        
          e
          
            −
            M
            
              g
              
                0
              
            
            z
            
              /
            
            (
            R
            T
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle P=P_{0}e^{-Mg_{0}z/(RT)}}
  der h er skalahøyde, ρ (rho) er tetthet, P er lufttrykk, 
  
    
      
        
          P
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle P_{0}}
   er lufttrykket ved bakken (Gjennomsnittlig trykk ved havninvå er 1013,25 hPa), M = 0,029 kg mol-1 (massen av 1 mol luft), R = 8,314 J K-1 mol-1 er gasskonstanten, T er temperatur, 
  
    
      
        
          g
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{0}}
   er tyngdeakselerasjonen (rundt 9,81 m s-2 avhengig av hvor på jorden man er) og z er høyden over jordoverflaten.
Ved å bruke de samme prinsippene kan ligningen over løses med tanke på høyden som en funksjon av trykket. Denne ligningen kalles hypsometrisk ligning.
Som en tommelfingerregel avtar trykket med omtrent 1 % når høyden øker med 80 m. En annen tommelfingerregel er at tettheten blir halvert etter 6000 m i troposfæren og for hver 15000. meter i stratosfæren.


== Utledning ==
Den hydrostatiske ligningen kan utledes ved å bruke den ideelle gassloven:

  
    
      
        ρ
        =
        
          
            
              M
              P
            
            
              R
              T
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \rho ={\frac {MP}{RT}}}
  Man tenker seg at trykket er hydrostatisk:

  
    
      
        d
        P
        =
        −
        ρ
        g
        
        d
        z
        
      
    
    {\displaystyle dP=-\rho g\,dz\,}
  Ved å sette den første ligningen inn i den andre får vi: 

  
    
      
        
          
            
              d
              P
            
            P
          
        
        =
        −
        
          
            
              M
              g
              
              d
              z
            
            
              R
              T
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {dP}{P}}=-{\frac {Mg\,dz}{RT}}}
  Integrerer vi dette uttrykket fra overflaten til høyden z, får vi den hydrostatisk ligningen: 

  
    
      
        P
        =
        
          P
          
            0
          
        
        
          e
          
            −
            M
            g
            z
            
              /
            
            R
            T
          
        
        
      
    
    {\displaystyle P=P_{0}e^{-Mgz/RT}\,}
  I denne ligningen er R gasskonstanten, og leddet 
  
    
      
        R
        T
        
          /
        
        M
        g
      
    
    {\displaystyle RT/Mg}
   gir skalahøyden
(omtrent 7,4 km i troposfæren).


== Kjemisk fordeling ==
Den hydrostatiske ligningen kan også brukes til å estimere fordelingen av forskjellige kjemiske stoffer i atmosfæren. Under turbopausen er den relative kjemiske sammensetningen i atmosfæren så godt som konstant, slik at skalahøyden omtrent er den samme for alle kjemiske stoff. Over turbopausen begynner den kjemiske sammensetningen å variere med høyden fordi forskjellige kjemiske stoffer har forskjellig skalahøyde.