Elektrodynamikk

Elektrodynamikk er den del av fysikken som omhandler krefter mellom elektrisk ladete partikler og deres bevegelse som skyldes elektrisk og magnetiske felt. Egenskapene til disse elektromagnetisk feltene utgjør elektromagnetisk teori som er basert på Maxwells ligninger.
Sammenhengen mellom en elektrisk strøm og det magnetfeltet den skaper, ble først påvist av Hans Christian Ørsted i 1820. Han ga denne oppdagelsen navnet elektromagnetisme da den viste at elektriske og magnetiske fenomen er koblet sammen i en større enhet.
Så snart dette ble kjent, satte André-Marie Ampère i gang mer nøyaktige undersøkelser av egenskapene til det skapte magnetfeltet og hvordan det igjen gir opphav til krefter som kan virke på andre elektriske strømmer. Han så dermed for seg en utvidelse av klassisk mekanikk til også å gjelde elektromagnetiske krefter og kalte den elektrodynamikk.
Mens Ampère betraktet disse nye kreftene som om de virket direkte på hverandre, kom Michael Faraday frem til en bedre forståelse basert på at både elektriske krefter mellom ladete partikler beskrevet ved Coulombs lov og de magnetiske krefter mellom strømførende ledere beskrevet ved Ampères kraftlov,  skyldes elektriske og magnetiske felt som formidler disse kreftene. Det var denne innføringen av elektromagnetiske felt som gjorde det mulig for James Clerk Maxwell i 1865 å formulere en helt generell teori for alle slike fenomen.
Maxwells teori viste seg å ikke være konsistent med galileisk relativitetsteori og var derfor i konflikt med klassisk mekanikk på den tiden. Dette problemet hadde også direkte forbindelse med beskrivelsen av elektromagnetiske krefter mellom ladete partikler og legemer i bevegelse. Løsningen ble funnet av Albert Einstein ved formuleringen av den spesielle relativitetsteorien som han publiserte i sitt berømte arbeid Zur Elektrodynamik bewegter Körper.
Noen få år senere ved etableringen av Bohrs atommodell ble det klart at hvis klassisk elektrodynamikk er gyldig på så små avstander som i et atom, vil ikke det være stabilt fordi de bundne elektronene ville sende ut elektromagnetisk stråling og falle inn i atomkjernen. Elektrodynamikken måtte derfor reformuleres for å bli i overensstemmelse med moderne kvantemekanikk. Dette lyktes først 40 år senere da Feynman, Schwinger og Tomonaga hadde utviklet en konsistent kvanteelektrodynamikk. Dette er nå en integrert del av standardmodellen for alle vekselvirkninger mellom elementærpartikler.


== Maxwells ligninger ==

Det var i stor grad Faraday som la det eksperimentelle grunnlaget for eksistensen av elektriske og magnetiske felt. Spesielt var det hans beskrivelse av disse som kontinuerlige feltlinjer som gjorde dette nye begrepet nyttig og intuitivt forståelig. Elektromagnetiske felt ble antatt å eksistere i en eter på samme måte som den eteren som man mente at lys beveget seg i. Om disse to eterne hadde noe med hverandre å gjøre, var uklart. I tillegg hadde man liten eller ingen forståelse av hva elektriske ladninger og strømmer bestod av.Alt dette prøvde Maxwell å forklare i en mekanisk modell for eteren. Den besto av en slags tannhjul som kunne rotere med små kuler seg i mellom. Disse kunne bevege seg mellom tannhjulene og dermed overføre bevegelsen av et tannhjul til andre i nærheten og skulle tilsvare en strøm av elektrisk ladning. Innenfor denne modellen kunne han identifisere elektriske og magnetiske felt samt hvordan de vekselvirket med hverandre. Dette uttrykte han i tyve ligninger som han mente var mer gyldige enn den spesifikke, mekaniske modellen hadde hadde benytte for å komme frem til dem. Av avgjørende betydning for denne teoretiske konstruksjonen, var hans resultat at lys kunne forklares som elektromagnetiske bølger. Lyshastigheten lot seg beregne ut fra naturkonstanter som opptrådte i bestemmelsen av elektriske og magnetiske krefter.I 1865 kunne Maxwell presentere den endelige versjonen av dette arbeidet. Et par tiår senere benyttet Heaviside moderne vektoranalyse til å sammenfatte  de sentrale ligningene i Maxwells teori til fire vektorielle differensialligninger. De omtales i dag som Maxwells ligninger


=== Kildeligninger ===
Elektriske E = E(r,t) og magnetiske felt B = B(r,t) blir skapt av elektriske ladningstettheter ρ =  ρ(r,t) og strømtettheter J =  J(r,t). Disse virker som «kilder» for de elektromagnetiske feltene.
Denne sammenhengen uttrykkes ved de to Maxwell-ligningene

  
    
      
        
          ∇
        
        ⋅
        
          D
        
        =
        ρ
        ,
        
        
        
        
          ∇
        
        ×
        
          H
        
        =
        
          J
        
        +
        
          
            
              ∂
              
                D
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {D} =\rho ,\;\;\;{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {H} =\mathbf {J} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}}
  hvor det elektriske forskyvningsfeltet D = ε0 E i vakum. Her er  ε0  den elektriske konstanten i SI-systemet. Likedan er de to magnetfeltene knyttet sammen ved  B = μ0 H  der μ0  er den magnetiske konstanten.
Den første av disse to ligningene er Gauss' lov på differensiell form og viser hvordan det elektriske feltet har sitt opphav på elektriske ladninger. Slik uttrykker den indirekte Coulombs lov for kraften mellom to ladete partikler på en mer generell måte. På samme måte er den andre ligningen en utvidelse av Ampères sirkulasjonslov og viser sammenhengen mellom en elektrisk strøm og det magnetfelt den skaper. Det siste leddet i ligningen er Maxwells forskyvningsstrøm som viste at lys er elektromagnetiske bølger.Da divergensen av en curl er null, ser man fra den andre ligningen at

  
    
      
        
          
            
              ∂
              ρ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
        +
        
          ∇
        
        ⋅
        
          J
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {J} =0}
  etter å ha benyttet første ligning som sier at divergensen av D er ρ. Dette er kontinuitetsligningen som uttrykker bevarelse av elektrisk ladning. Man kan betrakte det som en egen naturlov, men den ligger innebygget i Maxwells to kildeligninger.


=== Konsistensligninger ===
De to resterende Maxwell-ligninger viser hvordan elektriske og magnetiske felt er koblet sammen på en konsistent måte,

  
    
      
        
          ∇
        
        ⋅
        
          B
        
        =
        0
        ,
        
        
        
        
          ∇
        
        ×
        
          E
        
        =
        −
        
          
            
              ∂
              
                B
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {B} =0,\;\;\;{\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
  Den første har samme struktur som Gauss' lov for det elektriske feltet, men viser at det ikke finnes magnetiske ladninger eller monopoler. Alle magnetiske feltlinjer må derfor være lukkete kurver som ikke kan oppstå eller forsvinne på en tilsvarende ladning. 
At divergensen til magnetfeltet alltid er null, må bety at det er gradienten av et vektorfelt. Betegnes det med A = A(r,t), har man derfor at 

  
    
      
        
          B
        
        =
        
          ∇
        
        ×
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} ={\boldsymbol {\nabla }}\times \mathbf {A} }
  Maxwell gjorde mye bruk av dette feltet i sin teori, og det omtales nå vanligvis som det magnetiske vektorpotensialet. Innsatt i den andre ligningen her, ser man at curl til E + ∂A/∂t må være null. Det betyr at denne kombinasjonen av vektorfelt må kunne skrives som gradienten av et skalart felt Φ = Φ(r,t). Derfor har man at det elektriske feltet generelt kan uttrykkes som

  
    
      
        
          E
        
        =
        −
        
          ∇
        
        Φ
        −
        
          
            
              ∂
              
                A
              
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}\Phi -{\partial \mathbf {A}  \over \partial t}}
  I det statiske tilfellet er det siste leddet lik null, og man ser at Φ er det elektriske potensialet.


== Elektromagnetiske krefter ==
Grunnlaget for alle elektromagnetiske krefter kan føres tilbake til Coulombs lov for kraften mellom to elektrisk ladete partikler. Den har samme, matematiske form som Newtons gravitasjonslov og kan likedan forklare alle vekselvirkninger mellom statiske ladningsfordelinger. Dette omtales derfor også som elektrostatikk.
Etableringen av tilsvarende, fundamental lov for magnetiske krefter var målet for André-Marie Ampère i hans arbeid fra 1820 med å utforske vekselvirkningene mellom elektriske strømmer. Selv om hans innsats i dag kan sammefattes i Ampères kraftlov, fikk denne likevel ikke like stor betydning som loven til Coulomb.På samme måte som Newtons tyngdelov er begge disse lovene eogså fjernvirkningsteorier hvor for eksempel forandringen av ladningen i et punkt gir i samme øyeblikk en forandring av kraften som virker på en ladning i et annet punkt. Det er da ikke nødvendig å innføre noen eter eller elektromagnetiske felt som skal formidle dette signalet fra den ene ladningen til den andre.
Gjennom Ampères undersøkelser hadde det blitt vanlig å beskrive magnetiske krefter mellom strømførende ledninger som sammensatt av mindre krefter mellom korte strømelementer i hver ledning. Et slikt lite strømelement er ekvivalent med en liten ladning som beveger seg med en viss hastighet i samme retning som strømelementet. Det var derfor ikke unaturlig å tenke seg at magnetiske krefter kunne la seg forklare ved å utvide Coulombs lov til å gjelde for partikler i bevegelse.


=== Webers elektrodynamikk ===

Den som i størst grad utviklet en slik fjernvirkningsteori for elektromagnetiske krefter, var  Wilhelm Weber. Han hadde gjennom mange år et nært samarbeid med Gauss. Etter dennes død i 1855 ble det blant hans notater funnet forsøk på å lage en utvidelse av Coulombs lov som også skulle gjelde for ladninger i bevegelse. Det er nært å anta at Weber var kjent med disse idéene.Basert på Ampères resultat for den magnetiske kraften mellom to strømelement lanserte Weber i 1846 en formel for den utvidete Coulomb-kraften mellom to ladninger q1 og q2.  Ved bruk av SI-systemet kan den skrives som 

  
    
      
        
          F
        
        =
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
              
                n
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            (
          
        
        1
        −
        
          
            
              
                
                  
                    r
                    ˙
                  
                
              
              
                2
              
            
            
              2
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        +
        
          
            
              r
              
                
                  
                    r
                    ¨
                  
                
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {F} ={q_{1}q_{2}\mathbf {n}  \over 4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}{\Big (}1-{{\dot {r}}^{2} \over 2c^{2}}+{r{\ddot {r}} \over c^{2}}{\Big )}}
  hvor vektoren r = r1 - r2 forbinder de to ladningene med avstand r = |r| =  r(t), mens enhetsvektoren n = r/r  peker langs deres forbindelseslinje. På Webers tid var konstanten c ikke kjent som lyshastigheten. Men den opptrådte naturlig i hans ligninger og hadde en verdi tett opp til dagens verdi. Ut fra denne to-partikkelkraften kunne kraften mellom to vilkårlige ladningsfordelinger i bevegelse i prinsippet beregnes.To år senere viste Weber at hans kraftformel kunne avledes som gradienten av et potensial som for en vanlig, konservativ kraft. Det tar den enklere formen

  
    
      
        
          U
          
            W
          
        
        (
        r
        ,
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
        )
        =
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              r
            
          
        
        
          
            (
          
        
        1
        −
        
          
            
              
                
                  
                    r
                    ˙
                  
                
              
              
                2
              
            
            
              2
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle U_{W}(r,{\dot {r}})={q_{1}q_{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}r}{\Big (}1-{{\dot {r}}^{2} \over 2c^{2}}{\Big )}}
  hvor det første leddet er det vanlige Coulomb-potensialet. Denne potensielle energien representerer arbeidet som må utføres for å bringe partiklene fra uendelig separasjon til en gjensidig avstand r  og med relativ hastighet  v = v1 - v2. Da er 
  
    
      
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
        =
        
          n
        
        ⋅
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {r}}=\mathbf {n} \cdot \mathbf {v} }
   som finnes ved direkte derivasjon.
Weber-kraften og den resulterende Newtons bevegelsesligning kan også utledes fra Hamiltons virkningsprinsipp som påpekt av Bernhard Riemann. Han kjente til disse problemstillingene  og ga i tiden rundt 1860 en serie forelesninger om elektrisitet og magnetisme. Da den potensielle energien er hastighetsavhengig, er ikke Lagrange-funksjonen gitt ved differensen mellom kinetisk og den potensielle energien UW. Derimot visste Riemann at den må være

  
    
      
        L
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          m
          
            1
          
        
        
          
            v
          
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          m
          
            2
          
        
        
          
            v
          
          
            2
          
          
            2
          
        
        −
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              r
            
          
        
        
          
            (
          
        
        1
        +
        
          
            
              
                
                  
                    r
                    ˙
                  
                
              
              
                2
              
            
            
              2
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle L={1 \over 2}m_{1}\mathbf {v} _{1}^{2}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {v} _{2}^{2}-{q_{1}q_{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}r}{\Big (}1+{{\dot {r}}^{2} \over 2c^{2}}{\Big )}}
  Det siste leddet her omtales vanligvis som «vekselvirkningsleddet» i Lagrange-funksjonen og betegnes ofte som Lint. Ligningen for den relative bevegelsen av de to partiklene er nå gitt ved den vanlige Euler-Lagrange-ligningen.Riemann foreslo også en alternativ vekselvirkning på formen

  
    
      
        
          L
          
            i
            n
            t
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              r
            
          
        
        
          
            1
            
              
                1
                −
                
                  v
                  
                    2
                  
                
                
                  /
                
                
                  c
                  
                    2
                  
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              r
            
          
        
        
          
            (
          
        
        1
        +
        
          
            
              v
              
                2
              
            
            
              2
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{int}=-{q_{1}q_{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}r}{1 \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}=-{q_{1}q_{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}r}{\Big (}1+{v^{2} \over 2c^{2}}{\Big )}}
  når den relative hastigheten mellom partiklene  v = |v| << c. Det er bemerkelsesverdig at kvadratroten her er Lorentz-faktoren i den spesielle relativitetsteorien. Dette uttrykket har samme form som Webers vekselvirkning der 
  
    
      
        
          
            
              r
              ˙
            
          
        
        =
        
          n
        
        ⋅
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle {\dot {r}}=\mathbf {n} \cdot \mathbf {v} }
  , men lar seg matematisk lettere behandle.


=== Kobling av ladning til felt ===
Webers elektrodynamikk viste seg å ha mange svakheter og førte til nye problem. Det samme gjaldt Riemanns alternativ.. En av de som prøvde å finne ut av denne situasjonen, var Rudolf Clausius. Han viste i 1877 at en kombinasjon av disse to teoriene som unngikk mange av problemene, kan formuleres ved vekselvirkningen

  
    
      
        
          L
          
            i
            n
            t
          
        
        =
        −
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              r
            
          
        
        
          
            (
          
        
        1
        −
        
          
            
              
                
                  v
                
                
                  1
                
              
              ⋅
              
                
                  v
                
                
                  2
                
              
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{int}=-{q_{1}q_{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}r}{\Big (}1-{\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2} \over c^{2}}{\Big )}}
  Her opptrer de absolutte hastighetene v1 og v2 til partiklene, mens i Webers teori involverer bare relative hastigheter. I denne vekselvirkningen til Clausius må hastighetene derfor være de som finnes i Newtons absolutte rom eller målt relativt til en mulig eter.Vekselvirkningen kan lett generaliseres til en ladning q med hastighet v som vekselvirker med flere partikler. Da tar denne koblingen formen

  
    
      
        
          L
          
            i
            n
            t
          
        
        =
        −
        q
        (
        Φ
        −
        
          v
        
        ⋅
        
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle L_{int}=-q(\Phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )}
  hvor Φ er Coulomb-potensialet skapt av de andre ladningene og A det tilsvarende vektorpotensialet som skyldes deres bevegelse.


=== Syntese ===
På den tid Clausius lanserte sin vekselvirkning, var de fleste gått bort fra Webers opprinnelige fjernvirkningsteori og blitt mer overbevist av Maxwells elektromagnetiske feltteori. Mye av denne holdningsendringen skyldes Helmholtz. Det som ble stående igjen av Webers innsats, var betydningen av å konsentrere seg om vekselvirkningen mellom elementære ladninger. Også Clausius la vekt på dette spesielt etter at han forklarte elektrolyse ved transport i motsatt retning av slike «elektriske molekyler». Dette var i kontrast til Maxwell som så elektriske ladninger og strømmer som kontinuerlig fordelt i eteren. Men han døde i 1879 og fikk ikke oppleve den triumfen hans egen feltteori hadde.Det ble snart klart at de elektromagnetiske potensialene Φ og A som inngår i Clausius' vekselvirkning, måte være retarderte løsninger av Maxwells bølgeligninger. En slik løsning var tidligere blitt foreslått av Riemann og benyttet av Ludvig Lorenz i hans teori for lys. På slutten av 1800-tallet og spesielt etter at elektronet var oppdaget i 1896, ble dermed en endelig formulering av moderne elektrodynamikk mulig. Den skyltes i stor grad innsatsen til Lorentz. I 1900 skrev Larmor en større sammenfatning av hele teorien, mens Karl Schwarzschild i 1903 ga den en matematisk utforming som fremdeles benyttes idag.  De fundamentale utledningene ble av begge to  gjort ved bruk av Hamiltons virkningsprinsipp. Men denne utvidete syntesen forutsatte en elektromagnetisk eter som syntes å være i motstrid med Michelson–Morley-eksperimentet. Det problemet ble løst i 1905 da Einstein lanserte sin spesielle relativitetsteori. Dermed var det heller ikke behov for noen eter mer.


== Lorentz-kraften ==
For en ikke-relativistisk partikkel med masse m, ladning q og hastighet v som vekselvirker med et elektrisk skalarpotensial Φ = Φ(r,t)  og et magnetisk vektorpotensial A = A(r,t), er Lagrange-funksjonen

  
    
      
        L
        =
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          
            v
          
          
            2
          
        
        −
        q
        (
        Φ
        −
        
          v
        
        ⋅
        
          A
        
        )
      
    
    {\displaystyle L={1 \over 2}m\mathbf {v} ^{2}-q(\Phi -\mathbf {v} \cdot \mathbf {A} )}
  Bevegelsen til partikkelen kan nå finnes fra Hamiltons virkningsprinsipp og den resulterende Euler-Lagrange-ligningen. I dette tilfelle kan den skrives på den kompakte formen

  
    
      
        
          
            
              d
              
                p
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                r
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {d\mathbf {p}  \over dt}={\partial L \over \partial \mathbf {r} }}
  hvor den kanoniske impulsen er

  
    
      
        
          p
        
        =
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                v
              
            
          
        
        =
        m
        
          v
        
        +
        q
        
          A
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {p} ={\partial L \over \partial \mathbf {v} }=m\mathbf {v} +q\mathbf {A} }
  Dermed tar bevegelsesligningen formen

  
    
      
        m
        
          
            
              d
              
                v
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              L
            
            
              ∂
              
                r
              
            
          
        
        −
        q
        
          
            
              d
              
                A
              
            
            
              d
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle m{d\mathbf {v}  \over dt}={\partial L \over \partial \mathbf {r} }-q{d\mathbf {A}  \over dt}}
  Da på venstre side akselerasjonen dv/dt til partikkelen inngår, vil kraften som virker på den ifølge Newtons andre lov være gitt ved de to termene på høyresiden. De finnes ved direkte derivasjon med resultatet 

  
    
      
        m
        
          
            
              d
              
                v
              
            
            
              d
              t
            
          
        
        =
        q
        (
        
          E
        
        +
        
          v
        
        ×
        
          B
        
        )
      
    
    {\displaystyle m{d\mathbf {v}  \over dt}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}
  etter å ha innført  det elektriske feltet E = -∇ Φ - ∂ A/∂ t og det magnetiske feltet B = ∇ × A. Den totale kraften på høyresiden er Lorentz-kraften. For en relativistisk partikkel tar den samme form, kun akselerasjonen på venstre side vil forandres på grunn av en mer generell, kinetisk energi.Selv om det er Lorentz som har fått sitt navn knyttet til denne elektromagnetiske kraften, er den implisitt tilstede også i Maxwells arbeider. Den ble gjenoppdaget av Heaviside i 1889, men det var Lorentz som noen få år senere gjorde den kjent.


== Darwin-vekselvirkningen ==
Den generelle koblingen av en ladet partikkel til de elektromagnetiske potensialene Φ og A som Claussius kom frem til, har den spesielle egenskapen at den er invariant under gaugetransformasjoner. Det ble først klarlagt mange tiår senere og har vist seg å være av stor viktighet.En ikke-relativistisk partikkel med ladning q og hastighet vil ifølge Biot-Savarts lov gi opphav til et magnetfelt

  
    
      
        
          B
        
        =
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              q
            
            
              4
              π
            
          
        
        
          
            
              
                v
              
              ×
              
                r
              
            
            
              r
              
                3
              
            
          
        
        =
        
          
            
              q
              
              
                v
              
              ×
              
                n
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\mu _{0}q}{4\pi }}{\mathbf {v} \times \mathbf {r}  \over r^{3}}={\frac {q\,\mathbf {v} \times \mathbf {n} }{4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r^{2}}}}
  der enhetsvektoren n = r/r peker fra ladningen til det punkt hvor feltet opptrer og etter å ha benyttet at cμ0 = 1/cε0 ut fra definisjon av lyshastigheten. Generelt har man at dette feltet kan uttrykkes ved vektorpotensialet som B = ∇ × A. En direkte utregning viser at det enkle uttrykket

  
    
      
        
          A
        
        =
        
          
            
              q
              
              
                v
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
              r
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {A} ={q\,\mathbf {v}  \over 4\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}}
  oppfyller denne betingelsen. Men ved gaugetransformasdjoner kan man også skrive mange andre potensial som gir samme svar.


=== Coulomb-gauge ===
Coulomb-potensialet Φ forandres også ved slike transformasjoner. Vil man at det skal ha den opprinnelige formen Φ = q/4π ε0r  for en ladning som beveger seg, må man benytte den spesielle Coulomb-gaugen hvor ∇⋅A = 0. Det enkle uttrykket som ble funnet for A, oppfyller ikke denne betingelsen.
Ved å gå tilbake til de opprinnelige Maxwell-ligningene kan man vise at vektorpotensialet i Coulomb-gaugen er gitt ved den transverse strømmen som ladningen skaper.  Det kan finnes alternativt ved gaugetransformasjon A → A + ∇ χ  hvis man velger χ = - r⋅v/2r multiplisert med konstanten q/4π ε0c2. Det transformerte vektorpotensialet blir dermed

  
    
      
        
          
            
              
                
                  A
                
              
              
                
                =
                
                  
                    q
                    
                      4
                      π
                      
                        ε
                        
                          0
                        
                      
                      
                        c
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          v
                        
                        r
                      
                    
                    −
                    
                      
                        
                          v
                        
                        
                          2
                          r
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            r
                          
                          (
                          
                            r
                          
                          ⋅
                          
                            v
                          
                          )
                        
                        
                          2
                          
                            r
                            
                              3
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  ]
                
              
            
            
              
              
                
                =
                
                  
                    q
                    
                      4
                      π
                      
                        ε
                        
                          0
                        
                      
                      
                        c
                        
                          2
                        
                      
                    
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          v
                        
                        
                          2
                          r
                        
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          
                            r
                          
                          (
                          
                            r
                          
                          ⋅
                          
                            v
                          
                          )
                        
                        
                          2
                          
                            r
                            
                              3
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  ]
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} &={q \over 4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}\left[{\mathbf {v}  \over r}-{\mathbf {v}  \over 2r}+{\mathbf {r} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} ) \over 2r^{3}}\right]\\&={q \over 4\pi \varepsilon _{0}c^{2}}\left[{\mathbf {v}  \over 2r}+{\mathbf {r} (\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} ) \over 2r^{3}}\right]\end{aligned}}}
  og oppfyller nå ∇⋅A = 0 da partikkelhastigheten v kan betraktes som en konstant under disse romlige derivasjonene.


=== Lagrange-funksjon ===
Man kan nå finne Lagrange-funksjonen for en ladet partikkel q1 med hastighet v1 som beveger seg under påvirkning av en annen partikkel med q2 med hastighet v2. Den har formen L =  Lkin +  Lint  hvor den første delen beskriver deres kinetiske energi. Det siste leddet er vekselvirkningen

  
    
      
        
          
            
              
                
                  L
                  
                    i
                    n
                    t
                  
                
              
              
                
                =
                
                  q
                  
                    1
                  
                
                
                  
                    v
                  
                  
                    1
                  
                
                (
                t
                )
                ⋅
                
                  A
                
                (
                
                  
                    r
                  
                  
                    1
                  
                
                ,
                t
                )
                −
                
                  q
                  
                    1
                  
                
                Φ
                (
                
                  
                    r
                  
                  
                    1
                  
                
                ,
                t
                )
              
            
            
              
              
                
                =
                −
                
                  
                    
                      
                        q
                        
                          1
                        
                      
                      
                        q
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                      4
                      π
                      
                        ε
                        
                          0
                        
                      
                      r
                    
                  
                
                
                  (
                  
                    1
                    −
                    
                      
                        1
                        
                          2
                          
                            c
                            
                              2
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        [
                      
                    
                    
                      
                        v
                      
                      
                        1
                      
                    
                    ⋅
                    
                      
                        v
                      
                      
                        2
                      
                    
                    +
                    
                      
                        
                          (
                          
                            
                              v
                            
                            
                              1
                            
                          
                          ⋅
                          
                            r
                          
                          )
                          (
                          
                            
                              v
                            
                            
                              2
                            
                          
                          ⋅
                          
                            r
                          
                          )
                        
                        
                          r
                          
                            2
                          
                        
                      
                    
                    
                      
                        ]
                      
                    
                  
                  )
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}L_{int}&=q_{1}\mathbf {v} _{1}(t)\cdot \mathbf {A} (\mathbf {r} _{1},t)-q_{1}\Phi (\mathbf {r} _{1},t)\\&=-{q_{1}q_{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}r}\left(1-{1 \over 2c^{2}}{\Big [}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}+{(\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {r} )(\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {r} ) \over r^{2}}{\Big ]}\right)\end{aligned}}}
  hvor separasjonen mellom partiklene nå er gitt ved vektoren r = r1 - r2 med størrelse r = |r|.  Det siste leddet her er  Darwin-vekselvirkningen mellom de to partiklene. Den avhenger både av avstanden mellom dem og deres hastigheter.Da denne vekselvirkningen er omtrent en faktor v 2/c 2 mindre enn den vanlige Coulomb-vekselvirkningen, må man inkludere tilsvarende, relativistiske korreksjoner i den  kinetiske energien til partiklene slik at den er

  
    
      
        
          L
          
            k
            i
            n
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          m
          
            1
          
        
        
          
            v
          
          
            1
          
          
            2
          
        
        
          
            (
          
        
        1
        +
        
          
            
              3
              
                
                  v
                
                
                  1
                
                
                  2
                
              
            
            
              4
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        
          m
          
            2
          
        
        
          
            v
          
          
            2
          
          
            2
          
        
        
          
            (
          
        
        1
        +
        
          
            
              3
              
                
                  v
                
                
                  2
                
                
                  2
                
              
            
            
              4
              
                c
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle L_{kin}={1 \over 2}m_{1}\mathbf {v} _{1}^{2}{\Big (}1+{3\mathbf {v} _{1}^{2} \over 4c^{2}}{\Big )}+{1 \over 2}m_{2}\mathbf {v} _{2}^{2}{\Big (}1+{3\mathbf {v} _{2}^{2} \over 4c^{2}}{\Big )}}
  Den komplette Lagrange-funksjonen for to partikler med Darwin-vekselvirkningen kan dermed skrives som

  
    
      
        L
        =
        
          L
          
            k
            i
            n
          
        
        −
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              r
            
          
        
        +
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              8
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                c
                
                  2
                
              
              r
            
          
        
        
          
            [
          
        
        
          
            v
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          
            v
          
          
            2
          
        
        +
        (
        
          
            v
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          n
        
        )
        (
        
          
            v
          
          
            2
          
        
        ⋅
        
          n
        
        )
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle L=L_{kin}-{q_{1}q_{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}r}+{q_{1}q_{2} \over 8\pi \varepsilon _{0}c^{2}r}{\Big [}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {v} _{2}+(\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {n} )(\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {n} ){\Big ]}}
  hvor enhetsvektoren n = r/r. 
Denne vekselvirkningen tilsvarer også en bestemt vekselvirkningsenergi. Den følger fra den tilsvarende  Hamilton-funksjonen

  
    
      
        H
        =
        
          
            p
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          
            v
          
          
            1
          
        
        +
        
          
            p
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          
            v
          
          
            1
          
        
        −
        L
      
    
    {\displaystyle H=\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}+\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {v} _{1}-L}
  hvor de konjugerte impulsene finnes fra definisjonen p = ∂L/∂v. Resultatet kan da igjen skrives på formen H =  Hkin +  Hint  hvor den kinetiske delen  Hkin kan finnes fra  Lkin ved å uttrykke hastighetene ved de tilsvarende impulsene. Vekselvirkningsenergien blir da

  
    
      
        
          H
          
            i
            n
            t
          
        
        =
        
          
            
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              r
            
          
        
        −
        
          
            
              
                μ
                
                  0
                
              
              
                q
                
                  1
                
              
              
                q
                
                  2
                
              
            
            
              8
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                m
                
                  1
                
              
              
                m
                
                  2
                
              
              r
            
          
        
        
          
            [
          
        
        
          
            p
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          
            p
          
          
            2
          
        
        +
        (
        
          
            p
          
          
            1
          
        
        ⋅
        
          n
        
        )
        (
        
          
            p
          
          
            2
          
        
        ⋅
        
          n
        
        )
        
          
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{int}={q_{1}q_{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}r}-{\mu _{0}q_{1}q_{2} \over 8\pi \varepsilon _{0}m_{1}m_{2}r}{\Big [}\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {p} _{2}+(\mathbf {p} _{1}\cdot \mathbf {n} )(\mathbf {p} _{2}\cdot \mathbf {n} ){\Big ]}}
  da man har kan ganske enkelt sette v1 = p1/m1 og likedan for den andre partikkelen. Den er ikke helt ulik den potensielle energien Weber kom frem til og som var utgangspunktet for den videre, teoretiske utviklingen av elektrodynamikken.


== Referanser ==