Gruppeteori

Gruppeteori er en gren innenfor matematikk som omhandler den algebraiske struktur  til grupper. Teorien er av stor betydning på samme måte som beskrivelsen av egenskapene til ringer, tallkropper og andre strukturer. I tillegg er gruppeteori viktig i fysikk og da spesielt innen kvantemekanikken og elementærpartikkelfysikken. Her er de direkte forbundet med symmetrien til slike fysiske systemer. Det gjelder også de mulige krystallstrukturene som lar seg bestemme ut fra egenskapene til diskrete grupper. Spesiell og generell relativitetsteori er basert på egenskaper til Lorentz-gruppa som uttrykker fundamentale egenskaper ved tidrommet.
Alle grupper kan deles opp i to hovedklasser. Den ene inneholder diskrete grupper, som har element som er tellbare. Den andre klassen består av Lie-grupper hvor elementene er kontinuerlig forbundet med hverandre. Gruppeteorien for begge klasser har i stor grad bestått i å skape en systematisk oversikt over hvilke grupper som finnes og etablering av deres egenskaper.
Moderne gruppeteori kan føres tilbake til Niels Henrik Abel og Évariste Galois da de på begynnelsen av 1800-tallet fant kriteriene for løsning av polynomligninger. Augustin Cauchy utviklet gruppeteorien for permutasjoner som Arthur Cayley videreførte dette til mer abstrakte grupper. Noen tiår senere etablerte Sophus Lie teorien for kontinuerlige grupper ved å undersøke transformasjoner av funksjoner. Omtrent samtidig kom Ludvig Sylow frem til detaljerte egenskaper ved diskrete grupper. Felix Klein benyttet denne nye innsikten  til å gi en mer fundamental beskrivelse av mulige geometrier i sitt Erlangen-program. Teorien for Lie-gruppene ble ferdig etablert av Élie Cartan. Den var avgjørende for Murray Gell-Manns klassifikasjon av elementærpartikler i 1961, noe som ga ham nobelprisen i fysikk.


== Definisjoner ==
En gruppe består av en visse mengde elementer {a, b, ...} som man kan kombinere to og to. Denne binære operasjonen kan betegnes med symbolet × som tilsvarer en vanlig multiplikasjon av tall.  Kombinasjonen kalles derfor også ofte for et produkt.Grunnleggende antagelse er at når to element a og b kombineres på denne måten, skal resultatet a × b være et element i samme mengde. I tillegg skal operasjonen oppfylle følgende tre krav:

Kombinasjonen er assosiativ slik at (a × b) × c = a × (b × c)
Det finnes et enhetselement e med den egenskap at e × a = a × e = a
Hvert element a har en invers a−1 som oppfyller a ×  a−1 =   a−1 × a = eDisse tre antagelsene gjelder for alle grupper, både de diskrete og de kontinuerlige. Fra det tredje kravet følger det viktige resultatet at den inverse til et produkt er gitt ved (a × b) -1 = b -1 × a -1. Hvis kombinasjonen av to gruppeelement oppfyller den kommutative loven slik at a × b =  b × a, har man med en abelsk gruppe å gjøre. Navnet går tilbake til Abel som viste at når røttene til en polynomligning kan beregnes ved de vanlige regningsartene kombinert med enkle rotutdragninger, har de en symmetri som tilsvarer en kommutativ gruppe.Antall element i gruppen kalles dens orden. Er dens navn G, skrives dette vanligvis som |G |. Det tilsvarer kardinaliteten til mengden av gruppeelement.


=== Enkle eksempel ===
Mengden Z = {..., -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, ... } av heltall danner en uendelig, diskret gruppe hvor binæroperasjonen er vanlig addisjon. Enhetselementet er tallet 0, og den inverse til tallet n er -n. Gruppen er abelsk da n + m = m + n. Likedan danner partallene 2Z = {..., -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, ... } en gruppe under den samme kombinasjonen og med det samme enhetselementet. De utgjør en undergruppe under gruppen Z. Dette er også en syklisk gruppe hvor hvert element er tallet 2 multiplisert med et heltall. Man sier derfor at dette tallet genererer gruppen og skriver det som 2Z = < 2 >. Generelt er n Z = < n > en syklisk undergruppe av Z generert av det naturlige tallet n. Derimot danner ikke oddetallene noen gruppe da summen av to slike tall er et partall.De  rasjonelle tallene Q danner også en uendelig, diskret gruppe hvor binæroperasjonen  er vanlig multiplikasjon. Hvert tall har da formen m/n hvor m og n er heltall forskjellig fra 0. Enhetselementet  er e = 1 slik at den inverse til m/n er ganske enkelt n/m.
Den minste, ikke-trivielle gruppen har bare to element (e, g). Da må g × g = e som vanligvis skrives mer kompakt som g 2 = e. Elementet g har derfor en invers som er  g selv, det vil si g -1 = g. Denne gruppen av andre orden betegnes normalt som Z2 eller C2 da den er syklisk. Ved en isomorfi kan den avbildes på de to tallene 0 og 1 der e → 0 og g → 1. Elementene kombineres da med binær addisjon slik at 1 + 1 = 0 tilsvarer g 2 = e.


== Lagranges teorem og faktorgrupper ==
Kombinasjonen av to element i en undergruppe H av en annen gruppe G  gir alltid et element i samme undergruppe H. Det betyr at hvis man multipliserer  hvert element i H med et et annet element g i G som ikke tilhører H, vil denne multiplikasjonen gi en mengde gH med forskjellige element. Da en undergruppe alltid inneholder enhetselementet, vil elementet g tilhøre mengden  gH. Denne mengden kalles en restklasse eller kosett til  delgruppen H.
Hvis elementet x tilhører samme restklasse, er xH = gH slik at x -1g må være et element i H. Disse to elementene sies da å være ekvivalente slik at alle elementene til gruppen G kan deles opp i ekvivalensklasser som består av disse restklassene. Hver kan representeres ved et enkelt element som tilhører restklassen.For å finne de forskjellige restklassene, multipliserer man H på samme måte et nytt element g' . Resultatet blir da enten den etablerte restklassen gH hvis g'  er ekvivalent med g,  eller så må man opprette en ny restklasse g'H. Etter å ha kombinert H med alle elementene i G på denne måten, vil man dermed ha fordelt disse over et visst antall forskjellige restklasser med det samme antall element. Hvis  G inneholder n og H inneholder m element, vil man derfor ha

  
    
      
        n
        =
        k
        m
      
    
    {\displaystyle n=km}
  hvor k er et naturlig tall som angir antall restklasser. Det kalles indeksen til undergruppen H i G.  Samtidig vil derfor også orden m til undergruppen H være en faktor i tallet n som er orden til gruppen G den tilhører. Dette viktige resultatet omtales vanligvis som Lagranges teorem og er oppkalt etter den franske matematiker Joseph Lagrange. På slutten av 1700-tallet gjorde han det første, systematiske forsøk på å løse femtegradsligningen på et tidspunkt der formell gruppeteori ennå ikke var etablert.Teoremet til Lagrange har den viktige konsekvens at grupper G hvis orden n = |G | er et primtall, har ingen ikke-trivielle undergrupper. Hvert element g i gruppen kan benyttes til å generere hele gruppen slik at man kan skrive G = < g > der gn = e er enhetselementet. Man sier derfor også at hvert element i gruppen har orden n. Slike grupper er alltid sykliske. Orden til et element sies mer generelt å være antall ganger det må multipliseres med seg selv for å gi enhetselementet.


=== Faktorgrupper ===

To element a og b som tilhører samme restklasse gH sies å være ekvivalente. Denne ekvivalensrelasjonen kunne også være basert på restklasser Hg hvor multiplikasjonen skjer fra høyre. Det vil generelt gi en annen fordeling i restklasser. Men når inndelingen  er uavhengig av om multiplikasjonen gjøres fra høyre eller venstre slik at gH = Hg, vil restklassene få en ny, matematisk struktur. Betingelsen for det kan skrives som

  
    
      
        g
        H
        
          g
          
            −
            1
          
        
        =
        H
      
    
    {\displaystyle gHg^{-1}=H}
  og betyr at H er en normal eller invariant undergruppe i G. Da kan de ekvivalente elementene i hver restklasse betraktes som et element i en ny struktur. Produktet mellom to restklasser aH og bH kan da formelt skrives som

  
    
      
        (
        a
        H
        )
        (
        b
        H
        )
        =
        (
        a
        b
        )
        H
      
    
    {\displaystyle (aH)(bH)=(ab)H}
  og er en kombinasjon av restklasser som gir dem en gruppestruktur. Den kalles faktorgruppen G over H og betegnes som G/H. Restklassen som består av elementene i den normale undergruppen H, er enhetslementet i denne faktorgruppen. På samme måte har elementet aH en invers som er restklassen Ha−1.
Det er viktig at denne binæroperasjonen mellom restklasser er entydig og uavhengig av hvilke representanter i hver slik klasse man velger å benytte. Velger man for eksempel å benytte elementet h1 i H for restklassen aH og tilsvarende h2 for bH, vil produktet (aH)(bH) = (ab)H tilsvare multiplikasjonen

  
    
      
        (
        a
        
          h
          
            1
          
        
        )
        (
        b
        
          h
          
            2
          
        
        )
        =
        (
        a
        b
        )
        (
        
          h
          
            3
          
        
        
          h
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (ah_{1})(bh_{2})=(ab)(h_{3}h_{2})}
  Her er det avgjørende at H er en invariant undergruppe slik at man kan skrive h1b = b h3 hvor også h3 tilhører denne undergruppen. Hvis n er orden til G og m den til H, så har G/H orden n/m. Faktorgruppen har derfor en orden som er lik undergruppens indeks i modergruppen.Faktorgrupper ble først oppdaget og benyttet av  Évariste Galois da han fant kriteriene som måtte oppfylles for å kunne løse femtegradsligningen og andre  polynomligninger av høyere rad ved algebraiske metoder. De har en meget viktig rolle i gruppeteori og mer generelt i moderne matematikk.


=== Noen eksempel ===
Heltallene Z danner en uendelig, diskret og abelsk gruppe under addisjon. På samme måte utgjør også delmengden nZ en uendelig undergruppe der n er et naturlig tall. Dette utgjør også en normal undergruppe da modergruppen Z er abelsk. Man kan nå dele alle heltallene opp i n restklasser hvor to og to restplasser kan kombineres ved addisjon. For eksempel, når n = 3 får man de tre restklassene 3Z, 3Z + 1 og 3Z + 2, mens klassen 3Z + 3 er den samme som 3Z. Som representanter for disse tre restklassene kan man benytte tallene 0, 1 og 2. De utgjør elementene i faktorgruppen Z/3Z som derfor har orden 3. Deres kombinasjon skjer ved modulær addisjon, det vil si i dette tilfellet modulo 3. Den inverse til elementet 1 er 2 og omvendt.
Generelt har faktorgruppen Z/nZ ialt n element som kombineres additivt modulo n og  og benevnes ofte som Zn. Den kan igjen ha sine undergrupper. For eksempel, faktorgruppen  G = Z/8Z har 8 element som kan representeres ved {0,1,2,3,4,5,6,7} hvor elementene 0 og 4 utgjør en invariant undergruppe H av andre orden. Alle elementene kan dermed deles opp i de fire restklassene H = {0, 4}, H + 1 = {1, 5}, H + 2 = {2, 6}  og H + 3 = {3, 7}. De utgjør elementene i faktorgruppen G/H som har orden 8/2 = 4 som er indeksen til H  i G.
Zn =  Z/nZ er alltid en syklisk gruppe der elementene kombineres ved modulær addisjon og enhetselementet er restklassen som inneholder 0. Men samtidig utgjør disse restklassene en matematisk ring hvor man også kan kombinere elementene ved modulær multiplikasjon. I det spesielle tilfellet at n er et primtall p,  har da hvert element i ringen Z/pZ bortsett fra restklassen som inneholder 0, også en multiplikativ invers. Disse p - 1 restklassene danner dermed en abelsk gruppe under multiplikasjon som vanligvis angis ved (Z/pZ)× eller  Z×p. Den inngår i ringen Zp = Z/pZ som da utgjør en endelig tallkropp som også kalles for en Galois-kropp og betegnes med Fp eller GF(p).


== Homomorf avbildning ==

Elementene i en faktorgruppen G/H er restklasser som generelt inneholder flere element av modergruppen G. Hvert element i G blir dermed knyttet til en bestemt restklasse, det vil si til et element i faktorgruppen. Dette er derfor i alminnelighet en homomorfisk avbildning fra G til H.
På lignende måte kan en gruppe G avbildes homomorft på en annen gruppe G' . Det finnes da en funksjon φ som for hvert element g i G gir et element g'  i G'  slik at  g'  = φ(g). Det homomorfe bildet av G i G'  kan da skrives som φ(G) eller Im φ der forkortelsen Im står for det engelske ordet Image.Et enkelt eksempel er avbildningen fra heltallene Z = G til tierpotensene G'  = {.., 10−2, 10−1, 1, 101, 102, ... }. Disse utgjør en abelsk gruppe under vanlig multiplikasjon med 1 som enhetselement. Avbildningen φ(n) = 10n der enhetselementet e = 0 i G avbildes på  enhetselementet  e'  = 1 i G'  slik at 10n + m = 10n10m. Siden hvert element i G'  er bildet av kun ett element i G, er dette en isomorfi.
Ved konjugasjon avbildes  en gruppe G på seg selv. Dette kalles også en indre automorfisme. For et visst element x i gruppen, er denne avbildingen definert ved at

  
    
      
        g
        →
        
          ϕ
          
            x
          
        
        (
        g
        )
        =
        x
        g
        
          x
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle g\rightarrow \phi _{x}(g)=xgx^{-1}}
  Da er φx(g1g2) = x(g1g2)x -1 =  xg1x -1xg2x -1 = φx(g1)φx(g2) som viser at φx gir en isomorf avbildning av gruppen G. Når en normal undergruppe kalles for en invariant undergruppe, er det fordi den er invariant under konjugasjon med alle andre elementer i gruppen.


=== Kjernen til homomorfien ===
Definisjonen av en homomorfi sier at den må oppfylle φ(ab) = φ(a)φ(b) der a og b er gruppeelement i G. Den inneholder ett eller flere element som blir avbildet på enhetselementet e'  i G' . Mengden N av slike element utgjør en undergruppe i G som kalles avbildningens kjerne. Det skrives som N = Ker φ der forkortelsen Ker kommer fra det tyske ordet Kern for kjerne. At det er en undergruppe, vises ved å kombinere to element a og b som begge ligger i kjernen N. Da er bildet av deres produktet φ(ab) = e' ⋅e'  = e'  slik at det også ligger i kjernen.Kjernen N er også en invariant undergruppe. Det følger fra å betrakte et element a i N og et vilkårlig element g i G. Da blir

  
    
      
        ϕ
        (
        g
        a
        
          g
          
            −
            1
          
        
        )
        =
        ϕ
        (
        g
        )
        ϕ
        (
        a
        )
        ϕ
        (
        
          g
          
            −
            1
          
        
        )
        =
        
          g
          ′
        
        
          e
          ′
        
        (
        
          g
          ′
        
        
          )
          
            −
            1
          
        
        =
        
          e
          ′
        
      
    
    {\displaystyle \phi (gag^{-1})=\phi (g)\phi (a)\phi (g^{-1})=g'e'(g')^{-1}=e'}
  Da elementet a kunne være hvilket som helst element i N, har man derfor generelt at g N g -1 = N som viser at kjernen er invariant. Bildet av avbildningen φ er derfor faktorgruppen H = G/N. Mer abstrakt kan det skrives som

  
    
      
        
          Im
        
        
        ϕ
        =
        G
        
          /
        
        
          Ker
        
        
        ϕ
      
    
    {\displaystyle {\text{Im}}\,\phi =G/{\text{Ker}}\,\phi }
  som eksplisitt uttrykker at kjernen til avbildningen er en normal undergruppe. Dette resultatet kalles vanligvis for den fundamentale setningen for homomorfier.


=== Oppløsbare grupper ===
Studiet av matematiske strukturer består ofte å dele de opp i sine enkelte bestanddeler. På den måten kan et heltall faktoriseres i enkelte primtall og et polynom skrives som et produkt av irreduktible polynom av lavere grad. En lignende oppdeling av en gruppe kan også gjøres.
En gruppe som ikke inneholder noen invariante undergrupper, kan ikke avbildes på en faktorgruppe og dermed gis en finere struktur i dens oppbygning. Dette sies da å være en enkel gruppe som tilsvarer et primtall blant heltallene. Et eksempel er en syklisk gruppe Zp  hvis orden p er et primtall.Hvis en gruppe G ikke er enkel, har den en invariant undergruppe H. Man kan derav danne faktorgruppen G/H og får kjeden G ⊃ H ⊃ H0 hvor gruppen H0 består bare av enhetselementet e. Denne oppdelingen kan gjøres finere når H også inneholder en invariant undergruppe. Man får dermed en lengre kjede

  
    
      
        G
        =
        
          H
          
            n
          
        
        ⊃
        
          H
          
            n
            −
            1
          
        
        ⊃
        …
        ⊃
        
          H
          
            1
          
        
        ⊃
        
          H
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle G=H_{n}\supset H_{n-1}\supset \ldots \supset H_{1}\supset H_{0}}
  hvor Hk-1 er en normal undergruppe i Hk. Gruppen G sies å være oppløsbar når alle faktorgruppene Hk/Hk-1 er abelske.Et enkelt eksempel kan vises for den sykliske gruppen Z12. Den har  Z6 som en invariant undergruppe, og man kan danne kjeden

  
    
      
        G
        =
        
          
            Z
          
          
            12
          
        
        ⊃
        
          
            Z
          
          
            6
          
        
        ⊃
        
          
            Z
          
          
            3
          
        
        ⊃
        
          
            Z
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle G=\mathbf {Z} _{12}\supset \mathbf {Z} _{6}\supset \mathbf {Z} _{3}\supset \mathbf {Z} _{1}}
  hvor Z1 bare består av enhetselementet. De tilsvarende faktorgruppene har dermed orden 2, 2 og 3 som alle er oddetall og er derfor enkle grupper.  Gruppen  Z12 er derfor oppløsbar.
Begrepet oppløsbar i denne sammenhengen går tilbake til Galois som viste at hver polynomligning kan tilordnes en matematisk Galois-gruppe. Når denne er oppløsbar på denne måten, er den tilsvarende ligningen algebraisk løsbar. Da Galois-gruppen for polynom med grad n ≥ 5 i alminnelighet er permutasjonsgruppen Sn  som ikke er oppløsbar, vil femtegradsligningen og andre polynomligninger av høyere grad ikke være generelt løsbare.


== Direkte produkt ==
Fra to grupper G1  og G2  kan man danne en større gruppe som man kaller det direkte produktet G = G1 ⊗ G2  av de to gruppene. Hvert element i denne er definert som g = (g1, g2 ) hvor g1  tilhører G1  og  g2  tilhører G2 . Det direkte produktet sies derfor noen ganger å være kartesisk da det har samme form som de kartesiske koordinatene (x, y) for et punkt i planet som formelt består av mengden R ⊗ R med par av reelle tall.Hvis de to gruppene har enhetselement e1  og e2, er enhetselementet i produktgruppen e = (e1, e2).To element g og g'   er definert å kombinere ved regelen

  
    
      
        g
        
          g
          ′
        
        =
        (
        
          g
          
            1
          
        
        ,
        
          g
          
            2
          
        
        )
        (
        
          g
          
            1
          
          ′
        
        ,
        
          g
          
            2
          
          ′
        
        )
        =
        (
        
          g
          
            1
          
        
        
          g
          
            1
          
          ′
        
        ,
        
          g
          
            2
          
        
        
          g
          
            2
          
          ′
        
        )
      
    
    {\displaystyle gg'=(g_{1},g_{2})(g'_{1},g'_{2})=(g_{1}g'_{1},g_{2}g'_{2})}
  som gir et nytt element i produktgruppen. Elementet g = (g1, g2 ) har som invers

  
    
      
        
          g
          
            −
            1
          
        
        =
        (
        
          g
          
            1
          
          
            −
            1
          
        
        
        ,
        
        
          g
          
            2
          
          
            −
            1
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle g^{-1}=(g_{1}^{-1}\!,\,g_{2}^{-1})}
  slik at g g−1 = (e1, e2) = e. Dermed oppfyller G = G1 ⊗ G2  de tre kravene til å være en gruppe.
Når G1  inneholder n1  element og G2  inneholder n2 , vil produktgruppen inneholde  n1⋅n2  element. Det er derfor dens orden. Det direkte produktet kan utvides på tilsvarende måte slik at det kombinerer et vilkårlig antall grupper.


=== Eksempel ===
Den sykliske gruppen Z2 består av elementene {0, 1} som kombineres ved addisjon modulo 2, mens Z3 består av elementene {0, 1, 2} som kombineres på samme måte modulo 3. Produktet Z2 ⊗ Z3  består da av de seks elementene {(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)}. Ved direkte utregning kan man nå vise at denne nye gruppen også er syklisk. Den kan for eksempel genereres av elementet (1,1). Da er (1,1)2 = (0, 2), (1,1)3 = (1, 0) og så videre til (1,1)6 = (0, 0). Det direkte produktet er derfor den sykliske gruppen < (1,1) > som er isomorf med  Z6 = Z2 ⊗ Z3 .
I alminnelighet er isomorfien Zm ⊗ Zn  =  Zmn  bare gyldig når m og n er relativt primiske som 2 og 3 er. For eksempel består Z2 ⊗ Z2  av de fire elementene {(0, 0), (0, 1), (1, 0), (1, 1)}. De kan ikke genereres av et enkelt element og utgjør derfor ikke en syklisk gruppe. Men de to elementene r =  (0, 1) og s = (1, 0) gjør det da r 2 = s 2 = (0, 0) = e  og rs = sr = (1, 1). Dette definerer den dihedrale gruppen D2 som er isomorf med Kleins firergruppe slik at den kan skrives som V4 = Z2 ⊗ Z2.
Dette siste resultatet kan generaliseres til det tilfellet at en gruppe G inneholder to undergrupper H1  og H2  hvis element kommuterer med hverandre og som kun har enhetselementet til G felles. Hvis alle elementene i G da kan skrives som H1 ⊗ H2 , sier man at direkteproduktet er  internt  da det involverer undergrupper i samme gruppe.


== Permutasjonsgrupper ==

Hvis man har n forskjellige objekt, så kan de arrangeres på n ! forskjellige måter når man benytter den vanlige notasjonen for fakultetsfunksjonen. For eksempel, hvis disse objektene er tallene {1, 2, 3}, så kan de arrangereres i 3! = 6 forskjellige rekkefølger 123, 132, 213, 231, 312 og 321. Hver av dem er en permutasjon av den opprinnelige rekkefølgen 123. En slik permutasjon kan betraktes som en abstrakt transformasjon. Tilsammen utgjør disse operasjonene en transformasjonsgruppe som i denne sammenhengen naturlig nok kalles en permutasjonsgruppe eller en symmetrisk gruppe. Når den virker på n objekt, betegnes den som Sn. Den er av orden n ! da hvert gruppeelement tilsvarer en permutasjon. Disse gruppene var de første som ble studert.Den detaljerte virkning av hvert gruppelement blir vanligvis fremstilt ved en notasjon med to linjer som går tilbake til Cauchy. I øverste linje inngår den opprinnelige rekkefølgen og i den underliggende linje skrives den permuterte rekkefølgen. Med for eksempel de fire tallene {1, 2, 3, 4} vil et typisk gruppeelement da skrives som

  
    
      
        σ
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  3
                
                
                  4
                
              
              
                
                  4
                
                
                  1
                
                
                  3
                
                
                  2
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&1&3&2\end{pmatrix}}}
  som beskriver transformasjonen 1 → σ(1) = 4, 2 → σ(2) = 1, 3 → σ(3) = 3 og 4 → σ(4) = 2. Tallet 3 forblir på sin plass, mens 1 → 4 → 2 → 1 på en syklisk måte. Denne permutasjonen kan derfor skrives som en sykel σ = (1, 4, 2) da man ofte ignorerer 1-sykler som (3) siden de ikke betyr noen forandring. Hver permutasjon kan på denne måten skrives som et produkt av sykler.


=== Kombinasjonsregler ===
For at de forskjellige permutasjonene skal kunne utgjøre en matematisk gruppe, må de tre reglene for kombinasjon av element oppfylles. Enhetselementet betyr ingen forandring i det hele tatt og med fire objekt er det

  
    
      
        ε
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  3
                
                
                  4
                
              
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  3
                
                
                  4
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \varepsilon ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&3&4\end{pmatrix}}}
  En permutasjon σ etterfulgt av en permutasjon τ kan man skrive som τ σ når den virker på objektene som antas å befinne seg på høyre side. For eksempel med fire objekt der τ er gitt ved sykelen τ = (1, 2, 3, 4) og σ = (1, 4, 2), vil effekten av produktet  τ σ være at 1 → 4 fra σ hvor 4 → 1 fra τ. Skrives dette som 1 → 4 → 1, får man videre på samme måte at 2 → 1 → 2, 3 → 4 → 3 og 4 → 2 → 3. Tallene 1 og 2 forblir derfor uforandret, mens 3 og 4 byttes om. Dermed har man at τ σ = (1, 2, 3, 4)(1, 4, 2) = (3, 4).
Ved å bruke den mer fullstendige notasjonen kommer man frem til samme resultat ved å benytte at

  
    
      
        τ
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  3
                
                
                  4
                
              
              
                
                  2
                
                
                  3
                
                
                  4
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  4
                
                
                  1
                
                
                  3
                
                
                  2
                
              
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  4
                
                
                  3
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}4&1&3&2\\1&2&4&3\end{pmatrix}}}
  slik at den øverste linjen i Cauchy-symbolet for τ blir lik den nederste i symbolet for σ.  Produktet gir dermed det ønskede resultatet

  
    
      
        τ
        σ
        =
        
          
            (
            
              
                
                  4
                
                
                  1
                
                
                  3
                
                
                  2
                
              
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  4
                
                
                  3
                
              
            
            )
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  3
                
                
                  4
                
              
              
                
                  4
                
                
                  1
                
                
                  3
                
                
                  2
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  3
                
                
                  4
                
              
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  4
                
                
                  3
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \tau \sigma ={\begin{pmatrix}4&1&3&2\\1&2&4&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2&3&4\\4&1&3&2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\1&2&4&3\end{pmatrix}}}
  når den øverste linjen i τ  forkortes mot den nederste linjen i σ. På denne formen ser man eksplisitt at 1 og 2 forblir på plass, mens 3 og 4 byttes om.
Cauchy-symbolet for det inverse elementet σ -1 til en permutasjon σ som må oppfylle betingelsen  σ σ -1 = ε, finnes ved å bytte om øverste og nederste linje i symbolet for σ. Hvis dette gruppeelementet er som over, har man derfor at

  
    
      
        
          σ
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  4
                
                
                  1
                
                
                  3
                
                
                  2
                
              
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  3
                
                
                  4
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  2
                
                
                  3
                
                
                  4
                
              
              
                
                  2
                
                
                  4
                
                
                  3
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma ^{-1}={\begin{pmatrix}4&1&3&2\\1&2&3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&4&3&1\end{pmatrix}}}
  Uttrykt ved sykler er derfor (1, 4, 2) -1 = (2, 4, 1). Dette er et eksempel på et mer generelt resultat som sier at den inverse av en sykel er elementene i sykelen tatt i motsatt rekkefølge.


=== Alternerende gruppe ===
Enhver permutasjonssykel (a, b, c, ..., x) kan reduseres til produktet av en transposisjon eller ombytte av to element multiplisert med en sykel som er ett element kortere.  Dette følger fra  regelen

  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ,
        …
        ,
        x
        )
        =
        (
        a
        ,
        b
        )
        (
        b
        ,
        c
        ,
        …
        ,
        x
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b,c,\dots ,x)=(a,b)(b,c,\ldots ,x)}
  Sykelen på høyre side bevirker at x → b som transposisjonen foran forandrer til a og dermed gir nettoresultatet x → a som man ønsker. På denne måten kan hver sykel og dermed hver permutasjon skrives som et produkt av transposisjoner. For eksempel er (1, 2, 3) = (1, 2)(2, 3) som også viser det mer generelle resultatet at en sykel med k element kan skrives som et produkt av k - 1 transposisjoner.De seks elementene i den symmetriske gruppen  S3 kan nå skrives som

  
    
      
        
          
            
              
                
                  ρ
                  
                    0
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          1
                        
                        
                          2
                        
                        
                          3
                        
                      
                      
                        
                          1
                        
                        
                          2
                        
                        
                          3
                        
                      
                    
                    )
                  
                
                =
                (
                1
                )
                (
                2
                )
                (
                3
                )
                ,
                
                
                
                  ρ
                  
                    1
                  
                
                =
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          1
                        
                        
                          2
                        
                        
                          3
                        
                      
                      
                        
                          2
                        
                        
                          3
                        
                        
                          1
                        
                      
                    
                    )
                  
                
                =
                (
                1
                ,
                2
                ,
                3
                )
                ,
                
                
                
                  ρ
                  
                    2
                  
                
                =
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          1
                        
                        
                          2
                        
                        
                          3
                        
                      
                      
                        
                          3
                        
                        
                          1
                        
                        
                          2
                        
                      
                    
                    )
                  
                
                =
                (
                1
                ,
                3
                ,
                2
                )
                ,
              
            
            
              
                
                  σ
                  
                    0
                  
                
              
              
                
                =
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          1
                        
                        
                          2
                        
                        
                          3
                        
                      
                      
                        
                          2
                        
                        
                          1
                        
                        
                          3
                        
                      
                    
                    )
                  
                
                =
                (
                1
                ,
                2
                )
                (
                3
                )
                ,
                
                
                
                
                  σ
                  
                    1
                  
                
                =
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          1
                        
                        
                          2
                        
                        
                          3
                        
                      
                      
                        
                          1
                        
                        
                          3
                        
                        
                          2
                        
                      
                    
                    )
                  
                
                =
                (
                2
                ,
                3
                )
                (
                1
                )
                ,
                
                
                  σ
                  
                    2
                  
                
                =
                
                  
                    (
                    
                      
                        
                          1
                        
                        
                          2
                        
                        
                          3
                        
                      
                      
                        
                          3
                        
                        
                          2
                        
                        
                          1
                        
                      
                    
                    )
                  
                
                =
                (
                1
                ,
                3
                )
                (
                2
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}\rho _{0}&={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&2&3\end{pmatrix}}=(1)(2)(3),\;\;\rho _{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}=(1,2,3),\;\;\rho _{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&1&2\end{pmatrix}}=(1,3,2),\\\sigma _{0}&={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&1&3\end{pmatrix}}=(1,2)(3),\;\;\;\sigma _{1}={\begin{pmatrix}1&2&3\\1&3&2\end{pmatrix}}=(2,3)(1),\;\sigma _{2}={\begin{pmatrix}1&2&3\\3&2&1\end{pmatrix}}=(1,3)(2)\end{aligned}}}
  Mens de tre første gruppeelementene ρ0, ρ1 og ρ2 består av null eller to transposisjoner, inneholder de tre siste elementene 
σ0, σ1 og σ2 bare en sådan. De tre første elementene utgjør også en undergruppe da ρ12 =  ρ2 og ρ13 =  ρ0 som er enhetselementet ε i gruppen. Dette er ikke noe annet enn den sykliske gruppen C3 = Z3. Videre utgjør {ε, (1, 2)}, {ε, (2, 3)} og {ε, (1, 3)} tre andre undergrupper isomorfe med C2.
Generelt utgjør de permutasjonene i den symmetriske gruppen Sn som inneholder et like antall transposisjoner, en invariant undergruppe som kalles den alternerende gruppen  An.  Den er invariant da den utgjør kjernen til den homoforme avbildningen Sn → {1, -1} hvor de like permutasjonene avbildes på enhetselementet 1. Lagranges teorem sier da at den alternerende gruppen har orden |An | = |Sn |/2 = n !/2. Det er derfor like mange odde som like permutasjoner i den fulle permutasjonsgruppen Sn.
Mens den alternerende gruppen A3 inneholder tre element og er isomorf med C3, inneholder A4 tolv element. Den er ikke-abelsk da  for eksempel (1, 2, 3)(4) ikke kommuterer med (1, 2)(3, 4). Men den inneholder en invariant undergruppe som er  Kleins firergruppe V4 bestående av elementene {ε, (1, 2)(3, 4), (1, 3)(2, 4), (1, 4)(2, 3)}. Faktorgruppen A4/V4 har derfor orden 3 og er enkel. Dette gjør at både S4 og A4 er oppløsbare grupper som forklarer at fjerdegradsligningen kan løses algebraisk. Derimot for femtegradsligningen er Galois-gruppen den symmetriske gruppen S5 som ikke er oppløsbar da den alternerende gruppen A5  ikke inneholder noen invariant undergruppe. Det samme gjelder for permutasjonsgruppen Sn  med n > 5 slik at den tilsvarende polynomligningen ikke kan løses.


=== Cayleys teorem ===
Frem til midten av1800-tallet hadde egenskapene til permutasjonsgrupper i stor grad blitt  utforsket. Da Arthur Cayley på den tiden begynte å undersøke mer abstrakte grupper basert kun på et fåtall av antagelser, kunne det se ut til at det ville finnes diskrete grupper som ikke hadde sin gjenpart blant permutasjonsgruppene. Men et av hans første og viktigste resultat var å vise at en diskret gruppe av orden n er isomorf med en undergruppe til permutasjonsgruppen for like mange objekt.En slik gruppe består av n element samlet i mengden   G  = {g1, g0, ... , gn} som kan kombineres ved vanlige grupperegler. Betrakter man et bestemt element g i denne mengden, kan man multiplisere dette med alle elementene i G. Det resulter i samme mengde, men med elementene i en permutert rekkefølge eller ordning. Man kan derfor tilordne dette elementet g en bestemt permutasjon

  
    
      
        σ
        (
        g
        )
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    g
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    g
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    g
                    
                      n
                    
                  
                
              
              
                
                  g
                  
                    g
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  g
                  
                    g
                    
                      2
                    
                  
                
                
                  …
                
                
                  g
                  
                    g
                    
                      n
                    
                  
                
              
            
            )
          
        
        ≡
        
          
            (
            
              
                
                  G
                
              
              
                
                  g
                  G
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma (g)={\begin{pmatrix}g_{1}&g_{2}&\ldots &g_{n}\\gg_{1}&gg_{2}&\ldots &gg_{n}\end{pmatrix}}\equiv {\begin{pmatrix}G\\gG\end{pmatrix}}}
  Produktet av to slike operasjoner gir dermed opphav til den kombinerte permutasjonen

  
    
      
        σ
        (
        g
        )
        σ
        (
        
          g
          ′
        
        )
        =
        
          
            (
            
              
                
                  G
                
              
              
                
                  g
                  G
                
              
            
            )
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  G
                
              
              
                
                  
                    g
                    ′
                  
                  G
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  
                    g
                    ′
                  
                  G
                
              
              
                
                  g
                  
                    g
                    ′
                  
                  G
                
              
            
            )
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  G
                
              
              
                
                  
                    g
                    ′
                  
                  G
                
              
            
            )
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  G
                
              
              
                
                  g
                  
                    g
                    ′
                  
                  G
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma (g)\sigma (g')={\begin{pmatrix}G\\gG\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}G\\g'G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g'G\\gg'G\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}G\\g'G\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}G\\gg'G\end{pmatrix}}}
  når man benytter regelen for multiplikasjon av Cauchy-symbol. Man har dermed at σ(g)σ(g' ) = σ(g g' ) slik at sammenhengen g → σ(g) er en isomorf avbildning av gruppen G inn i permutasjonsgruppen Sn.
Som et eksempel kan man betrakte den dihedrale gruppen D3. Den har seks element hvorav tre er rotasjonselementene som kan kalles i, a og b med a 3 =  b 3 = i  som er enhetselementet. Tilsvarende er de tre speilingselementene c, d og e med c 2 = d 2 = e 2 = i. Disse kan nå representeres ved permutasjoner som kan leses direkte ut av de horisontale radene i gruppens Cayley-tabell. Det gir

  
    
      
        σ
        (
        i
        )
        =
        
          
            (
            
              
                
                  i
                
                
                  a
                
                
                  b
                
                
                  c
                
                
                  d
                
                
                  e
                
              
              
                
                  i
                
                
                  a
                
                
                  b
                
                
                  c
                
                
                  d
                
                
                  e
                
              
            
            )
          
        
        =
        (
        i
        )
        (
        a
        )
        (
        b
        )
        (
        c
        )
        (
        d
        )
        (
        e
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma (i)={\begin{pmatrix}i&a&b&c&d&e\\i&a&b&c&d&e\end{pmatrix}}=(i)(a)(b)(c)(d)(e)}
  
  
    
      
        σ
        (
        a
        )
        =
        
          
            (
            
              
                
                  i
                
                
                  a
                
                
                  b
                
                
                  c
                
                
                  d
                
                
                  e
                
              
              
                
                  a
                
                
                  b
                
                
                  i
                
                
                  d
                
                
                  e
                
                
                  c
                
              
            
            )
          
        
        =
        (
        i
        ,
        a
        ,
        b
        )
        (
        c
        ,
        d
        ,
        e
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma (a)={\begin{pmatrix}i&a&b&c&d&e\\a&b&i&d&e&c\end{pmatrix}}=(i,a,b)(c,d,e)}
  
  
    
      
        σ
        (
        b
        )
        =
        
          
            (
            
              
                
                  i
                
                
                  a
                
                
                  b
                
                
                  c
                
                
                  d
                
                
                  e
                
              
              
                
                  b
                
                
                  i
                
                
                  a
                
                
                  e
                
                
                  c
                
                
                  d
                
              
            
            )
          
        
        =
        (
        i
        ,
        b
        ,
        a
        )
        (
        c
        ,
        e
        ,
        d
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma (b)={\begin{pmatrix}i&a&b&c&d&e\\b&i&a&e&c&d\end{pmatrix}}=(i,b,a)(c,e,d)}
  
  
    
      
        σ
        (
        c
        )
        =
        
          
            (
            
              
                
                  i
                
                
                  a
                
                
                  b
                
                
                  c
                
                
                  d
                
                
                  e
                
              
              
                
                  c
                
                
                  e
                
                
                  d
                
                
                  i
                
                
                  b
                
                
                  a
                
              
            
            )
          
        
        =
        (
        i
        ,
        c
        )
        (
        a
        ,
        e
        )
        (
        b
        ,
        d
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma (c)={\begin{pmatrix}i&a&b&c&d&e\\c&e&d&i&b&a\end{pmatrix}}=(i,c)(a,e)(b,d)}
  
  
    
      
        σ
        (
        d
        )
        =
        
          
            (
            
              
                
                  i
                
                
                  a
                
                
                  b
                
                
                  c
                
                
                  d
                
                
                  e
                
              
              
                
                  d
                
                
                  c
                
                
                  e
                
                
                  a
                
                
                  i
                
                
                  b
                
              
            
            )
          
        
        =
        (
        i
        ,
        d
        )
        (
        a
        ,
        c
        )
        (
        b
        ,
        e
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma (d)={\begin{pmatrix}i&a&b&c&d&e\\d&c&e&a&i&b\end{pmatrix}}=(i,d)(a,c)(b,e)}
  
  
    
      
        σ
        (
        e
        )
        =
        
          
            (
            
              
                
                  i
                
                
                  a
                
                
                  b
                
                
                  c
                
                
                  d
                
                
                  e
                
              
              
                
                  e
                
                
                  d
                
                
                  c
                
                
                  b
                
                
                  a
                
                
                  i
                
              
            
            )
          
        
        =
        (
        i
        ,
        e
        )
        (
        a
        ,
        d
        )
        (
        b
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle \sigma (e)={\begin{pmatrix}i&a&b&c&d&e\\e&d&c&b&a&i\end{pmatrix}}=(i,e)(a,d)(b,c)}
  Herav går det frem at de to elementene a og b som begge er av orden 3, representeres ved permutasjoner som er produkt av 3-sykler. På samme måtenrepresenteres elementene c, d og e som er av andre orden, ved permutasjon som er produkt av 2-sykler. Dette kan vises å være generelt gyldig for et vilkårlig element av en viss orden i en diskret gruppe.


== Symmetritransformasjoner ==

Det eksisterer en nær sammenheng mellom gruppeteori og symmetrier til fysiske objekt, geometriske figurer eller matematiske strukturer. Hvert slikt objekt kan utsettes for en operasjon som tilsvarer et gruppeelement. Vanligvis vil objektet forandres ved denne transformasjonen. Men forblir det uforandret, sier man at det er invariant under operasjonen som da er en symmetritransformasjon.
Et enkelt eksempel på en slik transformasjon, er speiling. Hvis man for eksempel ser på en venstrehånd i et speil, ser denne ut som en høyrehånd. Den er ikke symmetrisk under denne operasjonen. Hvis derimot en plan figur er speilsymmetrisk, har den en retning eller akse langs hvilken man kan plassere et speil vinkelrett på planet. Da er speilbildet sammenfallende med den delen av figuren som ligger bak speilet.


=== Speiling ===
Matematisk kan man beskrive denne speiloperasjonen s ved å benytte kartesiske koordinater (x, y) for hvert punkt i planet. Ligger y-aksen langs speilet, vil hvert punkt da transformeres som

  
    
      
        s
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        (
        −
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle s(x,y)=(-x,y)}
  En tilsvarende speiling av speilbildet gir den dobbelte speilingen s 2(x, y) = s(-x, y) = (x, y) som er ingen transformasjon. Det tilsvarer enhetselementet e i en gruppe med to element {e, s } hvor s 2 = e. Består den symmetriske figuren av en mengde M med punkter i planet, kan dens invarians under speiling formelt skrives som

  
    
      
        s
        M
        =
        M
      
    
    {\displaystyle sM=M}
  Transformasjonen inngår som et element i symmetrigruppen C2 = {e, s }. Den er isomorf med den abstrakte gruppen Z2 som fremkommer ved å addere heltall modulo 2.
Resultatet av speilingen er avhengig av orienteringen til speilet. Angis denne ved en vektor v, kan den mer generelle speilingstransformasjonen betegnes med sv hvor fremdeles sv 2 = e. Hvis speilingsaksen er horisontal eller vertikal, kalles de tilsvarende speilingstransformasjonene ofte for sH  og sV. For eksempel er bokstaven A symmetrisk om den vertikale y-aksen slik at sV A = A, mens bokstaven B har symmetrien sH B = B.
Ingen av disse to bokstavene er invariante under den kombinerte transformasjonen sI = sH sV. Den gir en inversjon i to vinkelrett plasserte speil. Den forandrer fortegnet til begge koordinatene for et punkt,

  
    
      
        
          s
          
            I
          
        
        (
        x
        ,
        y
        )
        =
        (
        −
        x
        ,
        −
        y
        )
      
    
    {\displaystyle s_{I}(x,y)=(-x,-y)}
  Bokstaven H er symmetrisk under denne transformasjonen hvor hvert punkt avbildes på et nytt punkt som ligger på motsatt side langs en linje gjennom bokstavens sentrum. Denne bokstaven har mer symmetri enn A og B, noe som også uttrykkes ved at den har en høyere symmetri.En slik inversjon kan defineres på samme måte i det tredimensjonale rommet og kalles da en paritetstransformasjon. Den spiller en viktig rolle i forskjellige deler av fysikken.


=== Rotasjoner ===

Figurer eller objekt som forblir uforandret under rotasjon rundt et fast punkt, sies å være rotasjonssymmetriske. Det mest kjente eksempelet i planet er en sirkel som kan roteres en vilkårlig vinkel rundt sitt sentrum uten at den forandres. Den har en uendelig høy rotasjonssymmetri. I tillegg har den speilingssymmetrier langs linjer gjennom det samme punktet.
En endelig og ren rotasjonssymmetri har for eksempel figuren med form som en triskelion. Den sammenfaller med sin opprinnelige form ved rotasjoner på 120° og 240° om sitt sentrum.
Betegner man den første av disse ved symbolet r, følger den andre som den første utført to ganger etter hverandre, det vil si r 2. En rotasjon på 360° er da gitt som r 3 som tilsvarer ingen rotasjon. Det definerer derfor enhetselementet e i den diskrete rotasjonsgruppen C3 = {e, r, r 2 }. Det inverse gruppeelementet r -1 beskriver en rotasjon på -120° som er identisk med 240° i motsatt retning. Det betyr at  r -1 = r 2 slik at også r -2 = r.
Den minste rotasjonsgruppen beskriver rotasjoner med 180° og har bare to element C2 = {e, r } der nå r 2 = e. Den er isomorf med speilingsgruppen {e, s } og alle andre grupper av orden 2. Derfor brukes ofte symbolet C2 for å betegne alle disse.I det generelle tilfellet kan man betrakte rotasjoner som er bygd opp en minste rotasjon r  som utfører en dreining på 360°/n. Blir denne operasjonen gjentatt k ganger etter hverandre, er resultatet gitt ved rk = r k der rn = e tilsvarer en full rotasjon på 360°. Den inverse transformasjonen  er rk-1 = r-k =  r -k. Tilsammen danner disse operasjonene den diskrete gruppen Cn = {e, r, r 2, ..., rn -1}. Den er syklisk og isomorf med den aritmetiske gruppen Zn som fremkommer ved addisjon av heltall modulo n som benyttes i modulær aritmetikk.


=== Dihedrale symmetrier ===

En regulær sekskant er invariant under rotasjoner som er element i rotasjonsgruppen C6 = < r |r 6 = e > hvor den elementære rotasjonen  r  beskriver en dreining på 60° om dens sentrum og mot klokken. Figuren sies å ha en sekstallig rotasjonsakse. Den har også mindre symmetrier som tilsvarer undergruppene C2 og C3. I tillegg har den speilingssymmetrier s0, s2 og s4  om de tre aksene som går gjennom hjørnene til figuren pluss tre speilingssymmetrier  s1, s3 og s5   gjennom akser som står vinkelrett på sidekantene. Alle disse symmetriene oppfyller sk 2 = e. Den fulle symmetrigruppen har derfor 12 element og kalles den dihedrale gruppen D6.
Alle gruppelementene kan genereres av den elementære rotasjonen r  samt de to speilingssymmetriene s0 og s1.  Sammenhengen mellom disse to speilingene er gitt ved

  
    
      
        
          s
          
            1
          
        
        =
        r
        
          s
          
            0
          
        
        =
        
          s
          
            0
          
        
        
          r
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{1}=rs_{0}=s_{0}r^{-1}}
  hvis rotasjonen  r  er mot klokken. Skriver man  s0 = s, har man da betingelsen  (r s ) 2 = e. Sammen med r 6 = s 2 = e  kan herav alle produkt mellom de tolv elementene til den dihedrale gruppen beregnes. Speilingstransformasjonene er nå gitt som  sk =  rk s.
Ved å gjenta relasjonen srs = r -1  hele k ganger etter hverandre, følger at

  
    
      
        s
        
          r
          
            k
          
        
        s
        =
        
          r
          
            k
          
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle sr_{k}s=r_{k}^{-1}}
  Det viser at en vilkårlig rotasjon er konjugert via speiling med den inverse rotasjonen.
På lignende måte kan alle speilingene ordnes inn i to konjugatklasser. Det følger fra s2 = r s1 som kan omformes til s2 = r s0r -1. På samme måte blir da

  
    
      
        
          s
          
            4
          
        
        =
        r
        
          s
          
            2
          
        
        
          r
          
            −
            1
          
        
        =
        
          r
          
            2
          
        
        
          s
          
            0
          
        
        
          r
          
            −
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{4}=rs_{2}r^{-1}=r^{2}s_{0}r^{-2}}
  slik at s0, s2 og s4  er konjugerte med hverandre. Det betyr at en speiling rundt den fjerde aksen kan gjennomføres ved å rotere figuren 60° tilbake til den andre aksen, foreta speilingen om denne og deretter rotere 60° i positiv retning. Likedan tilhører også  s1, s3 og s5 samme klasse.  At den samme symmetrioperasjonen om ekvivalente akser eller punkt er konjugert med hverandre, er en viktig egenskap ved slike symmetritransformasjoner.På tilsvarende måte gjelder dette også for den generelle, dihedrale gruppen Dn med 2n gruppeelement. Den er symmetrigruppen for en regulær mangekant med n hjørner. Rotasjonen r  gir da en dreining av figuren med 360°/n.


== Translasjonsymmetri ==
Symmetritransformasjoner som speilinger og rotasjoner holder minst et punkt fast i det objektet som operasjonen virker på. De tilsvarende gruppene kalles derfor ofte for punktgrupper. For transformasjoner i planet er Cn og Dn er de eneste tillatte. Denne observasjonen går tilbake til Leonardo.Motstykket til dette er translasjoner hvor alle punktene forflyttes like mye. Hvis hvert punkt forskyves en avstand a, kan en slik operasjon beskrives som

  
    
      
        
          x
        
        →
        
          
            x
            ′
          
        
        =
        
          T
          
            
              a
            
          
        
        
          x
        
        =
        
          x
        
        +
        
          a
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {x'} =T_{\mathbf {a} }\mathbf {x} =\mathbf {x} +\mathbf {a} }
  En generell translasjon Ta kan splittes opp i uavhengige translasjoner langs de forskjellige, kartesiske koordinataksene. Disse transformasjonene danner i allminnelighet en kontinuerlig Lie-gruppe.
Translasjonsoperatoren  Ta kan også virke på et utstrakt objekt eller figur. Det vil da ikke medføre noen forandring i form eller retning til figuren. Men hvis denne for eksempel hadde en rotasjonssymmetri R(φ) om sitt midtpunkt da dette lå i origo x = 0, vil den samme rotasjonen ikke lenger være en symmetri etter en translasjon. Figuren har bare denne rotasjonssymmetrien om sitt nye midtpunkt som da ligger i x = a. Det er derfor nødvendig å innføre en mer generell rotasjon Rx(φ) om et vilkårlig punkt x. Men da den kan gjennomføres ved å translatere objektet tilbake til origo, der foreta den vanlige rotasjonen R(φ) og så deretter tranlatere det tilbake til x = a, har man at

  
    
      
        
          R
          
            
              a
            
          
        
        (
        ϕ
        )
        =
        
          T
          
            
              a
            
          
        
        R
        (
        ϕ
        )
        
          T
          
            
              a
            
          
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{\mathbf {a} }(\phi )=T_{\mathbf {a} }R(\phi )T_{\mathbf {a} }^{-1}}
  Rotasjoner med den samme vinkel om forskjellige punkt er konjugert med hverandre i en utvidet symmetrigruppe som inneholder både rotasjoner og translasjoner.


=== Bårdmønstre og frisegrupper ===

En friese er et mønster som gjentas i en retning. De opptrer i mange sammenhenger som i forskjellige bårder, ornamenter og utsmykninger. Det samme mønsteret opptrer da 
regelmessig langs denne retningen med en gjensidig avstand som er et helt multiplum av en gitt, minste lengde a. Friesen har derfor en symmetri eller invarians under en translasjon T med den med denne spesielle lengden.Selve mønsteret kan man tenke seg er tegnet inn i en boks eller celle med form av et rektangel med lengde a. Hvis de ligger tett etter hverandre langs x-aksen, må mønsteret ha en symmetri som tilsvarer transformasjoner slik at denne aksen ikke forandres. Det tilsvarer da horisontale speilinger H om denne aksen, vertikale speilinger V i en linje vinkelrett på midtpunktet og rotasjoner R om dette med 180°.

I tillegg er det mulig å tenke seg en gliderefleksjon G eller transfleksjon som oppstår av en kombinasjon av horisontal speiling og translasjon. Hvis denne gjentas to ganger, vil nettoresultatet være en en dobbelt så lang translasjon. Det betyr at G alene må gi en translasjon av lengde a/2. Denne symmetrien kan illustreres ved normal gang. Da settes høyre og venstre fot regelmessig ned slik at minste avstand for eksempel mellom to høyreføtter alltid er en lengde a, mens den tilsvarende avstanden mellom en høyre og en venstre fot er a/2. I dette tilfellet inneholder mønsteret begge fotavtrykkene som er speilbilder av hverandre. Ingen av de andre symmetriene er da tilstede slik at man kan betegne friesen som TG med de to symmetritransformasjonene som karakteriserer den.Når man kombinerer disse symmetriene, fremkommer i alt 7 mulige regelmessige mønster eller frisegrupper. Når mønsteret i en celle eller boks ikke har noen spesiell symmetri, har hele friesen bare translasjonssymmetrien T. Med mer symmetri, kan man ha TH, TV, TR og THV. I tillegg til glidesymmetrien TG, kan også TGV opptre. Men den er inkompatibel med horisontal speiling. I alt finner man da 7 tillatte symmetrier eller frisegrupper.På lignende måte kan man vise at periodiske mønster i to dimensjoner som ved tesselering eller tapetsering, kun kan opptrer med 17 forskjellige symmetrier eller tapetgrupper. I tre dimensjoner opptrer slike periodiske strukturer i krystaller av faste stoffer. Det totale antall symmetrier her er 230 som kan sees i forskjellige krystallgrupper.


== Konjugasjon og gruppesenter ==
En normal underguppe H i en gruppe G er definert ved egenskapen

  
    
      
        g
        H
        
          g
          
            −
            1
          
        
        =
        H
      
    
    {\displaystyle gHg^{-1}=H}
  for alle element g i G. Underruppen H sies også å være invariant under konjugasjon som er definert som en tilsvarende transformasjon av hvert element i gruppen G. Hvis a er et element i G, sier man at dette er konjugert med et annet element b hvis det finnes et element g slik at

  
    
      
        g
        a
        
          g
          
            −
            1
          
        
        =
        b
      
    
    {\displaystyle gag^{-1}=b}
  Det ene elementet g gir dermed en avbildning av alle elementene i G på de samme elementene. Dette er derfor en homomorf avbildning av gruppen på seg selv siden

  
    
      
        (
        g
        x
        
          g
          
            −
            1
          
        
        )
        (
        g
        y
        
          g
          
            −
            1
          
        
        )
        =
        g
        (
        x
        y
        )
        
          g
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle (gxg^{-1})(gyg^{-1})=g(xy)g^{-1}}
  og sies derfor å være en automorfi som i dette tilfellet er isomorf.På denne måten skaper konjugasjon en ekvivalensrelasjon mellom gruppens elementer og kan benyttes til å dele dem opp i klasser med ekvivalente element. Konjugatklassen til gruppeelement a er derfor mengden

  
    
      
        C
        (
        a
        )
        =
        g
        a
        
          g
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C(a)=gag^{-1}}
  når g går gjennom alle gruppens element. Alle element i samme klasse har dermed samme orden. Hver slik klasse inneholder forskjellige element. Hvis ikke har de to klassene C(a) og C(b) minst ett felles element. Det finnes da element x og y i G slik at xax -1 = yby -1. Da blir gag -1 = (gx -1y)b (gx -1y) -1 slik at når g går gjennom alle elementene i G, vil alle elementene de to klassene bli de samme. Ut fra dette kan man dele hele gruppen G opp i konjugatklasser med ikke-overlappende element.
I en abelsk gruppe kommuterer alle element med hverandre. Da vil ga = ag slik at hvert element er konjugert med seg selv. Derfor vil de tilsvarende klassene bare inneholde ett element hver.
Enhetselementet  e = (1)(2)(3) i permutasjonsgruppen S3 er kun konjugert med seg selv og utgjør en egen klasse. Ved direkte utregning finner man at transposisjonen (1, 2) er konjugert med de to andre transposisjonene (2, 3) og (1, 3). Det betyr at disse elementene utgjør en konjugatklasse {(1, 2), (2, 3), (1,3)}. Likedan utgjør elementene {(1, 2, 3), (1, 3, 2)} en slik klasse. Alle elementene til denne gruppen kan derfor ordnes inn i tre forskjellige konjugatklasser. Man legger merke til at elementene i hver av klassene har samme sykelstruktur. Det gjelder også for den mer generelle permutasjonsgruppen Sn. Antall konjugatklasser er da lik med hvor mange forskjellige partisjoner av tallet n som finnes. For n = 3 har man for eksempel 3 = 1 + 1 + 1, 3 = 2 + 1 i tillegg til 3 = 3. Den første partisjonen inneholder enhetselementet, den andre de tre elementene som er 2-sykler og den siste de to elementene som er 3-sykler.


=== Senter og sentralisator ===
I en generell gruppe vil det alltid være minst ett element som kommuterer med alle gruppens element og er derfor invariant under konjugasjon. Slike element har egenskapen xg = gx for alle andre element g i gruppen G. De utgjør en mengde som kalles for gruppens senter og betegnes som Z(G). Dette senteret er en invariant undergruppe i G.
Det vil alltid inneholde enhetselementet e. Hvis det i tillegg inneholder et element x, vil det også inneholde det inverse elementet x -1.  Det følger fra xg = gx ved å multiplisere med x -1 fra begge sider. Det gir  gx -1 = x -1g. Likedan vil produktet mellom to element x og y i senteret også tilhøre denne mengden da (xy)g = x(gy) = g(xy). Dette viser ikke bare at senteret danner en undergruppe, men også at denne er invariant under konjugasjon.Fra et vilkårlig element g kan man også danne mengden Z(g) av element som kommuterer med g, det vil si at de er invariante under konjugasjon. Denne mengden kalles for sentralisatoren til elementet. For en abelsk gruppe faller den sammen med hele gruppen G. Sentralisatoren danner i alminnelighet en undergruppe,  som kan vises på tilsvarende måte som for gruppens senter. Hvis den inneholder et element x i tillegg til enhetslementet e, må xg = gx. Da vil den også inneholde det inverse elementet x -1. Hvis sentralisatoren også inneholder elementet y, vil det likedan inneholde produktet xy. Men dette er ingen invariant undergruppe da elementet g nå er fiksert. Hver sentralisator  Z(g) inneholder senteret  Z(G). Sentralisatoren til enhetselementet er hele gruppen G.
Som en  enkel illustrasjon av hvordan disse undergruppene ser ut, kan man betrakte den dihedrale gruppen D3. Den har seks element hvorav {r0, r1, r2} representerer rotasjoner på henholdsvis 0°, 120° og 240°. De tre andre elementene {s0, s1, s2} står for speilinger om de tre symmetriaksene. Senteret til  D3 består kun av enhetselementet r0, mens sentralisatoren til hvert av rotasjonselementene består av de samme elementene {r0, r1, r2}. De utgjør den sykliske undergruppen C3. Sentralisatoren til elementet s0 er på samme måte undergruppen {r0, s0} og likedan for de to andre speilingselementene.


=== Klasseligningen ===
Sentralisatoren Z(a) til gruppelementet a består av element x i G som kommuterer med a. Hvert slikt element oppfyller derfor x a x -1 = a. Da Z(a) er en undergruppe i G, kan man plassere alle elementene til G i forskjellige restklasser eller kosett g Z(a). Antall slike restklasser er indeksen n/na til sentralisatoren hvor n =  |G | er ordenen til G og na = |Z(a)| er den til undergruppen.
Alle elementene i hver restklasse basert på Z(a) har samme konjugerte element som a. Det er en konsekvens av at et typisk element i en slik klasse kan skrives som gx hvor g er et vilkårlig element og x tilhører sentralisatoren Z(a). Men da er (gx)a(gx) -1 = gxax -1g -1 =  g a g -1. Element fra forskjellige restklasser vil derimot gi opphav til ulike konjugerte av a. Derfor har hvert element a like mange forskjellige konjugerte som det er restklasser av sentralisatoren Z(a), det vil si dens indeks. Ifølge Lagranges teorem er denne alltid en faktor i gruppens orden  n =  |G |.
Ut fra dette kan man nå dele hele gruppen G opp i konjugatklasser med forskjellig antall element. Hvert element i dens senter Z(G) gir opphav til konjugatklasser med bare ett element. De andre klassene er bestemt av de forskjellige sentralisatorene til G og inneholder hver et antall element lik deres indeks n/na. Man får dermed sammenhengen

  
    
      
        
          |
        
        G
        
          |
        
        =
        
          |
        
        Z
        (
        G
        )
        
          |
        
        +
        
          ∑
          
            a
          
        
        
          
            
              
                |
              
              G
              
                |
              
            
            
              
                |
              
              Z
              (
              a
              )
              
                |
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle |G|=|Z(G)|+\sum _{a}{|G| \over |Z(a)|}}
  hvor man summerer over representative element a fra hver konjugatklasse utenom gruppesenteret. Denne sammenhengen kalles gruppens klasseligning og kan benyttes til å gi avgjørende informasjon om dens indre struktur. For den den symmetriske gruppen S3 gir ligningen at 6 = 1 + 3 + 2. Den sier at gruppen inneholder en konjugatklasse med ett element som er enhetselementet, pluss to andre slike klasser med henholdsvis tre og to element.


== Sylow-grupper ==
Lagranges teorem sier at undergrupper til en gruppe G må ha en orden som er en faktor til n = |G |. For eksempel har den symmetriske gruppen S3 der n = 6 = 2⋅3, en undergruppe av orden 3 og tre undergrupper av orden 2. Men teoremet garanterer ikke at det virkelig finnes en undergruppe for hver slik faktor. Det er tilfelle for den alternerende gruppen A4 med orden 12 = 2⋅6 = 22⋅3. Den har ingen undergrupper av orden 6, bare av orden 2, 3 og 4.
Dette og mer generell spørsmål rundt egenskapene til endelige grupper ble delvis besvart av den norske matematiker Ludvig Sylow. Ifølge aritmetikkens fundamentalteorem kan hvert heltall n skrives entydig som et produkt av primtall og deres potenser. Det er derfor naturlig å studere grupper av orden n = p r⋅m hvor p er et primtall, heltallet r > 0 og m ikke inneholder noen faktor p. For denne typen grupper kom Sylow frem til flere viktige resultat som kan sammenfattes i tre teorem.


=== Definisjon av p-grupper ===
Hvis orden til gruppen G er et primtall n = p, sier Lagranges teorem ganske enkelt at denne ikke kan ha noen ikke-trivielle undergrupper. Gruppen er syklisk og generert av et enkelt element av orden p. Derimot når n = p r med r > 0 sier det samme teoremet at undergruppene kan ha orden n = p s med  0 < s < r - 1. Da man kan bevise at undergruppen med s = r - 1 eksisterer og er normal, vil også de andre undergruppene med  s = r - 2 og så videre ha den samme egenskapen. Hele gruppen G er derfor oppløsbar.
En slik gruppe kalles en p-gruppe eller en primgruppe. Ved bruk av klasseligningen kan man også vise at senteret Z(G) til denne gruppen må inneholde et antall element som er et multiplum av primtallet p. De minste p-gruppene er de abelske gruppene Z4 og firergruppen  Z2⊗Z2 som begge har orden 4 = 22. Generelt er grupper av orden p 2 abelske.


=== Sylows teorem ===
Når orden til en gruppe G skrives som n = p r⋅m, inneholder heltallet m ingen faktorer med primtallet p, men vil i alminnelighet kunne skrives som et produkt med potenser av andre primtall. Sylows tre teorem sier da:

G inneholder minst én p-undergruppe H av orden p r. Denne kalles for en Sylow p-gruppe.
Alle slike Sylow p-grupper er konjugerte med hverandre. Hvis det finnes en annen slik gruppe K, må den da kunne skrives som K = gHg -1 hvor g er et element i G.
Antall  np Sylow p-grupper er gitt som  np = 1 + (mod p) og må være en faktor i tallet m.I mange tilfeller har gruppen G bare har én Sylow p-gruppe. Denne er da en invariant undergruppe som følger av det andre teoremet. Per definisjon er G da ikke en enkel gruppe.
Som et enkelt eksempel på bruk av disse teoremene, kan man se på en gruppe av orden n = 12 = 22⋅31. Denne kan da ha n2 = 1 Sylow 2-gruppe med 22 = 4 element og likedan én 3-gruppe med tre element som undergrupper. I det spesielle tilfellet at G er syklisk som Z12, vil 2-gruppen bestå av elementene (0, 3, 6, 9) og 3-gruppen av {0, 4, 8} hvor alle elementene kombineres modulo 12. Undergruppen {0, 2, 4, 6, 8, 10} av orden 6 er ingen Sylow-gruppe. Derimot kan hele gruppen skrives som det direkte produktet av de to Sylow p-gruppene. Dette er en generell egenskap ved alle endelige, abelske grupper.


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
MAT1060, Gruppeteori, forelesning ved UiO (2019).