Schwarzschilds løsning

Schwarzschilds løsning betegner en løsning av Albert Einsteins feltligninger i den generelle relativitetsteorien, først oppdaget av Karl Schwarzschild. Det finnes to typer av Schwarzschilds løsning, én som beskriver tidrommet utenfor en statisk, sfærisk-symmetrisk massefordeling, den såkalte ytre løsningen eller vakuumløsningen, og en indre løsning som beskriver gravitasjonsfeltet innenfor en tilsvarende inkompressibel massefordeling.


== Schwarzschilds ytre løsning ==
Schwarzschilds ytre løsning er en eksakt løsning av feltligningene på formen

  
    
      
        
          G
          
            μ
            ν
          
        
        =
        0
        
      
    
    {\displaystyle G_{\mu \nu }=0\,}
  med et linjeelement på formen

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        −
        
          e
          
            2
            α
            (
            r
            )
          
        
        
          c
          
            2
          
        
        d
        
          t
          
            2
          
        
        +
        
          e
          
            2
            β
            (
            r
            )
          
        
        d
        
          r
          
            2
          
        
        +
        
          r
          
            2
          
        
        d
        
          θ
          
            2
          
        
        +
        
          r
          
            2
          
        
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        d
        
          ϕ
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=-e^{2\alpha (r)}c^{2}dt^{2}+e^{2\beta (r)}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}
  som utgangspunkt. Løsningen til en massefordeling med masse M blir da

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        −
        
          c
          
            2
          
        
        
          (
          
            1
            −
            
              
                
                  2
                  G
                  M
                
                
                  
                    c
                    
                      2
                    
                  
                  r
                
              
            
          
          )
        
        d
        
          t
          
            2
          
        
        +
        
          
            
              d
              
                r
                
                  2
                
              
            
            
              1
              −
              
                
                  
                    2
                    G
                    M
                  
                  
                    
                      c
                      
                        2
                      
                    
                    r
                  
                
              
            
          
        
        +
        
          r
          
            2
          
        
        d
        
          Ω
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=-c^{2}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)dt^{2}+{\frac {dr^{2}}{1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}}}+r^{2}d\Omega ^{2}\,}
  hvor 
  
    
      
        d
        
          Ω
          
            2
          
        
        =
        d
        
          θ
          
            2
          
        
        +
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        θ
        d
        
          ϕ
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta d\phi ^{2}\,}
  .
I disse koordinatene (Schwarzschild-koordinater) har løsningen en koordinatsingularitet i 

  
    
      
        
          r
          
            s
          
        
        =
        
          
            
              2
              G
              M
            
            
              c
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}}
  som kalles Schwarzschild-radien og definerer hendelseshorisonten til en massefordeling. Dersom utstrekningen til en massefordeling er mindre enn denne radien, sier man at den har kollapset til et sort hull.


=== Singulariteter og analytisk forlengelse ===
Fra linjeelementet i Schwarzschildkoordinater har vi to singulariteter, Schwarzschildradien og r = 0. Fra Kretschmanns krumningsskalar ser vi at det er kun singulariteten i origo som er en fysisk singularitet:

  
    
      
        
          R
          
            μ
            ν
            α
            β
          
        
        
          R
          
            μ
            ν
            α
            β
          
        
        =
        
          
            
              48
              
                G
                
                  2
                
              
              
                M
                
                  2
                
              
            
            
              r
              
                8
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle R_{\mu \nu \alpha \beta }R^{\mu \nu \alpha \beta }={\frac {48G^{2}M^{2}}{r^{8}}}\,}
  Schwarzschild-koordinatene er medbevegende med et statisk referansesystem utenfor en massefordeling. Dersom massefordelingen har kollapset til et sort hull kan vi ikke ha et statisk observatør innenfor hendelseshorisonten i en endelig avstand fra origo. Schwarzschild-koordinatene er ikke veldefinert innenfor hendelseshorisonten. Man kan da ta i bruk nye koordinater introdusert av Kruskal og Szekeres. Med disse koordinatene er linjeelementet gitt som

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            
              4
              
                r
                
                  s
                
                
                  3
                
              
            
            r
          
        
        
          e
          
            −
            
              
                r
                
                  r
                  
                    s
                  
                
              
            
          
        
        d
        U
        d
        V
        +
        
          r
          
            2
          
        
        d
        
          Ω
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=-{\frac {4r_{s}^{3}}{r}}e^{-{\frac {r}{r_{s}}}}dUdV+r^{2}d\Omega ^{2}\,}
  hvor 
  
    
      
        
          r
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{s}}
   er Schwarzschildradien og

  
    
      
        U
        =
        −
        
          e
          
            −
            
              
                u
                
                  2
                  
                    r
                    
                      s
                    
                  
                
              
            
          
        
        ,
        
        V
        =
        
          e
          
            
              v
              
                2
                
                  r
                  
                    s
                  
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle U=-e^{-{\frac {u}{2r_{s}}}},\qquad V=e^{\frac {v}{2r_{s}}}\,}
  
  
    
      
        u
        =
        t
        −
        
          r
          
            ∗
          
        
        ,
        
        v
        =
        t
        +
        
          r
          
            ∗
          
        
        
      
    
    {\displaystyle u=t-r^{*},\qquad v=t+r^{*}\,}
  
  
    
      
        
          r
          
            ∗
          
        
        =
        r
        +
        
          r
          
            s
          
        
        ln
        ⁡
        
          |
          
            
              
                r
                
                  r
                  
                    s
                  
                
              
            
            −
            1
          
          |
        
        
      
    
    {\displaystyle r^{*}=r+r_{s}\ln \left|{\frac {r}{r_{s}}}-1\right|\,}
  Dette er den første formen av Kruskal-Szekeres-linjelementet. Ved å innføre koordinatene

  
    
      
        T
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        V
        +
        U
        )
        ,
        
        Z
        =
        
          
            1
            2
          
        
        (
        V
        −
        U
        )
      
    
    {\displaystyle T={\frac {1}{2}}(V+U),\qquad Z={\frac {1}{2}}(V-U)}
  får vi andre form av Kruskal-Szekeres-linjeelementet

  
    
      
        d
        
          s
          
            2
          
        
        =
        −
        
          
            
              4
              
                r
                
                  s
                
              
            
            r
          
        
        
          e
          
            −
            
              
                r
                
                  r
                  
                    s
                  
                
              
            
          
        
        (
        d
        
          T
          
            2
          
        
        −
        d
        
          Z
          
            2
          
        
        )
        +
        
          r
          
            2
          
        
        d
        
          Ω
          
            2
          
        
        
      
    
    {\displaystyle ds^{2}=-{\frac {4r_{s}}{r}}e^{-{\frac {r}{r_{s}}}}(dT^{2}-dZ^{2})+r^{2}d\Omega ^{2}\,}