Integrasjon

Se sosial integrasjon for ordets betydning i samfunnsfageneIntegrasjon er en matematisk operasjon som utføres på en matematisk funksjon. Ved å utføre denne operasjonen finner man en ny funksjon, man sier at man finner funksjonens integral. Integrasjon brukes blant annet til å beregne areal og volum.
Integrasjon er på mange måter det motsatte av derivasjon, og kalles i noen sammenhenger også for antiderivasjon. For reelle funksjoner er sammenhengen mellom det ubestemte og det bestemte integralet gitt ved den såkalte fundamentalsatsen for matematisk analyse. Sammen med derivasjon utgjør integrasjon det området man kaller matematisk analyse. Integrasjon kalles også for integrasjonsregning, og derivasjon for differensialregning; samlet betegnet dette som infinitesimalregning. Ligninger som inneholder integral kalles for integralligninger.
Det ubestemte integralet  til en reell funksjon er en ny funksjon med egenskapen at den deriverte er lik den opprinnelige funksjonen.  Et slik integral kalles også en antiderivert og en primitiv til den opprinnelige funksjonen.  En gitt funksjon kan ha en hel familie av primitiver, der differansen mellom to primitiver er en konstant.
 Det bestemte integralet  til en funksjon 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   er en generalisert sum av elementer 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        δ
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)\delta x}
  , der summasjonen foregår mellom to funksjonsargument 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   og 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  . Definisjonen bygger på en grenseprosess der antall ledd i summasjonen går mot uendelig, mens størrelsen av hvert element 
  
    
      
        δ
        x
      
    
    {\displaystyle \delta x}
   går mot null. For reelle funksjoner av en variabel representerer det bestemte integralet arealet mellom funksjonsgrafen og x-aksen, regnet med fortegn.


== Formell definisjon av ubestemt integral ==
La 
  
    
      
        f
        :
        
          R
        
        →
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }
   være en reell funksjon av en reell variabel, og la 
  
    
      
        F
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle F(x)}
   være en ny funksjon med egenskapen at den deriverte av 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   er lik 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
  

  
    
      
        
          
            
              
                d
              
              F
              (
              x
              )
            
            
              
                d
              
              x
            
          
        
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} F(x)}{\mathrm {d} x}}=f(x)}
  .Det ubestemte integralet av 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   skrives med en langstrakt «s» som i ordet «sum» og er definert ved

  
    
      
        ∫
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        =
        F
        (
        x
        )
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int f(x)\,\mathrm {d} x=F(x)+C}
  .Her er 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   en vilkårlig konstant. Funksjonen 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   kalles integranden i integralet.  Dersom funksjonen 
  
    
      
        F
      
    
    {\displaystyle F}
   eksisterer sies funksjonen 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   å være integrerbar.


=== Eksempler på ubestemte integral ===

  
    
      
        ∫
        
          x
          
            n
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            
              x
              
                n
                +
                1
              
            
            
              n
              +
              1
            
          
        
        +
        C
        
        
          
             hvis 
          
        
        n
        ≠
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \int x^{n}\,\mathrm {d} x={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C\qquad {\mbox{ hvis }}n\neq -1}
  
  
    
      
        ∫
        
          
            1
            x
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        ln
        ⁡
        
          
            |
            x
            |
          
        
        +
        C
      
    
    {\displaystyle \int {\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\ln {\left|x\right|}+C}
  


== Formell definisjon av bestemt integral ==
Definisjonen av et bestemt integral bygger på definisjonen av en partisjon (oppdeling) av det  lukkede intervallet 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  .  
Det eksisterer flere ulike definisjoner av et bestemt integral, og presentert her er definisjonen av et Riemannintegral, som igjen er ekvivalent med et Darbouxintegral.  For en videre klasse av funksjoner kan en også definere Riemann-Stieltjesintegral og Lebesguesintegral.


=== Partisjoner ===
En partisjon er en endelig mengde

  
    
      
        P
        =
        {
        
          x
          
            0
          
        
        ,
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle P=\{x_{0},x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}\}}
  slik at 

  
    
      
        a
        =
        
          x
          
            0
          
        
        <
        
          x
          
            1
          
        
        <
        
          x
          
            2
          
        
        <
        …
        <
        
          n
          
            n
          
        
        =
        b
      
    
    {\displaystyle a=x_{0}<x_{1}<x_{2}<\ldots <n_{n}=b}
  Bredden til partisjonen 
  
    
      
        μ
        (
        P
        )
      
    
    {\displaystyle \mu (P)}
   er definert som den største avstanden mellom to påfølgende element:

  
    
      
        μ
        (
        P
        )
        =
        
          max
          
            i
          
        
        Δ
        
          x
          
            i
          
        
         
        
           der 
        
         
        Δ
        
          x
          
            i
          
        
        =
        
          x
          
            i
          
        
        −
        
          x
          
            i
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu (P)=\max _{i}\Delta x_{i}\ {\text{ der }}\ \Delta x_{i}=x_{i}-x_{i-1}}
  Videre sier en at partisjonen er merket dersom det til hvert par av påfølgende elementer i partisjonen 
  
    
      
        i
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i-1}
   og 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
   er definert en verdi 
  
    
      
        
          t
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{i}}
   slik at

  
    
      
        
          x
          
            i
            −
            1
          
        
        ≤
        
          t
          
            i
          
        
        ≤
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i-1}\leq t_{i}\leq x_{i}}
  


=== Riemann-integrasjon ===
En Riemannsum for en gitt merket partisjon er definert ved

  
    
      
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        f
        (
        
          t
          
            i
          
        
        )
        Δ
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}}
  Det bestemte integralet av funksjonen 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   over intervallet 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   er definert lik 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   dersom det for et hver positivt tall 
  
    
      
        ε
      
    
    {\displaystyle \varepsilon }
   eksisterer en verdi 
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
   slik at for alle partisjoner med bredde mindre enn 
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
  , så er 

  
    
      
        
          |
          
            S
            −
            
              ∑
              
                i
                =
                1
              
              
                n
              
            
            f
            (
            
              t
              
                i
              
            
            )
            Δ
            
              x
              
                i
              
            
          
          |
        
        <
        ε
      
    
    {\displaystyle \left|S-\sum _{i=1}^{n}f(t_{i})\Delta x_{i}\right|<\varepsilon }
  Notasjon for verdien av integralet 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   er på forma

  
    
      
        S
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle S=\int \limits _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x}
  .Noe mer uformelt kan en si at integralet er lik grenseverdien for Riemannsummen når bredden av partisjonen går mot null, dersom en slik grenseverdi eksisterer.  Grenseverdien er lik arealet under grafen til funksjonen, dersom denne er positiv, slik som vist på figurene under.  
 


=== Lesbegue-integrasjon ===
Riemann-integrasjon kan generaliseres ved Lesbegue-integrasjon. Denne generaliseringen danner grunnlaget for målteori.


=== Integrerbare funksjoner ===
En funksjon der grenseverdien for Riemannsummen eksisterer sies å være (Riemann-)integrerbar.

Alle kontinuerlige funksjoner er integrerbare.
Hvis 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   er begrenset i 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   og har et endelig antall diskontinuiteter i intervallet, så er 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   integrerbar i intervallet.


=== Eksempel på bestemt integral ===
Det følgende eksemplene på bestemt integral er basert på det tilsvarende eksempelet for ubestemt integral:

  
    
      
        
          ∫
          
            1
          
          
            2
          
        
        
          
            1
            x
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          
            [
            
              
              ln
              ⁡
              
                
                  |
                  x
                  |
                
              
              
            
            ]
          
          
            1
          
          
            2
          
        
        =
        ln
        ⁡
        2
        −
        ln
        ⁡
        1
        =
        ln
        ⁡
        2
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{1}^{2}{\frac {1}{x}}\,\mathrm {d} x=\left[\;\ln {\left|x\right|}\;\right]_{1}^{2}=\ln 2-\ln 1=\ln 2}
  Her er brukt den følgende notasjonen, som er vanlig i forbindelse med utregning av bestemte integral:

  
    
      
        
          
            [
            
              
              f
              (
              x
              )
              
            
            ]
          
          
            a
          
          
            b
          
        
        =
        f
        (
        b
        )
        −
        f
        (
        a
        )
        
      
    
    {\displaystyle \left[\;f(x)\;\right]_{a}^{b}=f(b)-f(a)\,}
  


== Egenskaper til integral ==


=== Linearitet ===
Integralet er en lineær funksjon med hensyn på integranden:

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        (
        α
        f
        (
        x
        )
        +
        β
        g
        (
        x
        )
        )
        
        
          d
        
        x
        =
        α
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        +
        β
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        g
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}(\alpha f(x)+\beta g(x))\,\mathrm {d} x=\alpha \int \limits _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x+\beta \int \limits _{a}^{b}g(x)\,\mathrm {d} x}
  


=== Additivitet ===
Integral av samme funksjon over to nabointervall kan summeres:

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        
        
          d
        
        x
        +
        
          ∫
          
            b
          
          
            c
          
        
        f
        
        
          d
        
        x
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            c
          
        
        f
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x+\int \limits _{b}^{c}f\,\mathrm {d} x=\int \limits _{a}^{c}f\,\mathrm {d} x}
  


=== Monotonisitet ===
Hvis 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
    og 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   er to funksjoner som begge er integrerbare på intervallet 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  , og der 
  
    
      
        f
        ≤
        g
      
    
    {\displaystyle f\leq g}
  , så er

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        
        
          d
        
        x
        ≤
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        g
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x\leq \int \limits _{a}^{b}g\,\mathrm {d} x}
  


=== Absoluttverdi-integrasjon ===
Dersom 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   er integrerbar på intervallet 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  , så er absoluttverdi-funksjonen 
  
    
      
        
          |
        
        f
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |f|}
   integrerbar, og

  
    
      
        
          
            |
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        
        
          d
        
        x
        
          
            |
          
        
        ≤
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          |
        
        f
        
          |
        
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle {\big |}\int \limits _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x{\big |}\leq \int \limits _{a}^{b}|f|\,\mathrm {d} x}
  


== Uekte integral ==

Et uekte integral er et integral der integranden 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   går mot uendelig når argumentet nærmer seg en verdi i integrasjonsområdet, eller der integrasjonsområdet er uendelig. I begge tilfeller må verdien av integralet defineres ved en grenseprosess. For eksempel kan en definere

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            ∞
          
        
        f
        
        
          d
        
        x
        =
        
          lim
          
            b
            →
            ∞
          
        
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        
        
          d
        
        x
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{a}^{\infty }f\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\int \limits _{a}^{b}f\,\mathrm {d} x}
  .Et eksempel på et uekte integral av denne typen er

  
    
      
        
          ∫
          
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        
          d
        
        x
        =
        
          lim
          
            b
            →
            ∞
          
        
        
          
            [
            
              −
              
                
                  1
                  x
                
              
            
            ]
          
          
            1
          
          
            b
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}\,\mathrm {d} x=\lim _{b\to \infty }\left[-{\frac {1}{x}}\right]_{1}^{b}=1}
  


== Numerisk integrasjon ==

Vanligvis kan ikke et integral beregnes eksakt. Man er derfor ofte henvist til å bruke numeriske metoder og elektroniske regnemaskiner. Disse tar vanligvis utgangspunkt i Riemann-summen som definerer integralet. Det er også hensiktsmessig å beregne funksjonsverdiene i diskrete punkt 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
   med konstant avstand 
  
    
      
        h
      
    
    {\displaystyle h}
  . 
Da integrasjon av en funksjon 
  
    
      
        y
        =
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle y=f(x)}
   som beskriver en kurve i 
  
    
      
        x
        y
      
    
    {\displaystyle xy}
  -planet, gir arealet under kurven, kan dette deles opp i mindre deler som kan beregnes mer nøyaktig. Trapesintegrasjon er basert på å dele arealet opp i mindre trapeser. Deles hele integrasjonen opp i 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   slike interval, har man for integralet

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        f
        (
        x
        )
        
        
          d
        
        x
        ≈
        
          
            h
            2
          
        
        (
        f
        (
        
          x
          
            0
          
        
        )
        +
        2
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        )
        +
        2
        f
        (
        
          x
          
            2
          
        
        )
        +
        2
        f
        (
        
          x
          
            3
          
        
        )
        +
        …
        +
        2
        f
        (
        
          x
          
            n
            −
            1
          
        
        )
        +
        f
        (
        
          x
          
            n
          
        
        )
        )
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,\mathrm {d} x\approx {\frac {h}{2}}(f(x_{0})+2f(x_{1})+2f(x_{2})+2f(x_{3})+\ldots +2f(x_{n-1})+f(x_{n}))}
  hvor 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x_{0}=a}
   og 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
        =
        b
      
    
    {\displaystyle x_{n}=b}
  . Denne fremgangsmåten kan gjøres mer nøyaktig i form av Simpson-integrasjon eller Romberg-integrasjon.


== Generaliseringer ==
For funksjoner av flere variable eksisterer det en rekke generaliseringer av integralet, som i hovedsak skiller seg fra hverandre i elementet som funksjonen summeres over.


=== Multippelintegral ===

For en funksjon av én variabel utføres integrasjonen over et intervall. Tilsvarende kan funksjoner av flere variable integreres over en region 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
   i definisjonsområdet til funksjonen, og resultatet av slik integrasjon kalles et multippelintegral:

  
    
      
        ∫
        …
        
          ∫
          
            D
          
        
        
        f
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        
        
          d
        
        
          x
          
            1
          
        
        …
        
          d
        
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \int \ldots \int _{D}\;f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})\,\mathrm {d} x_{1}\ldots \mathrm {d} x_{n}}
  For funksjoner i to variable kalles integralet et dobbeltintegral. Verdien av et dobbeltintegral til en positiv funksjon svarer til volumet av legemet mellom kurva og planet definert ved 
  
    
      
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z=0}
   innenfor integrasjonsområdet. Fubinis teorem gir vilkår for når et dobbeltintegral kan beregnes ved suksessivt å integrere over en og en variabel.  
Et multippelintegral over et tredimensjonalt område kalles et trippelintegral eller et volumintegral.  Et volumintegral over området 
  
    
      
        D
      
    
    {\displaystyle D}
   kan skrives med både ett og tre integraltegn:

  
    
      
        S
        =
        
          ∫
          
            D
          
        
        f
        
        
          d
        
        V
        =
        
          ∭
          
            D
          
        
        f
        
        
          d
        
        x
        
          d
        
        y
        
          d
        
        z
      
    
    {\displaystyle S=\int \limits _{D}f\,\mathrm {d} V=\iiint \limits _{D}f\,\mathrm {d} x\mathrm {d} y\mathrm {d} z}
  


=== Linjeintegral ===
I et linjeintegral utføres integrasjonen av et vektorfelt over lengde-elementer langs en kurve.   Også navnet kurveintegral er vanlig brukt. La 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   være en kurve i et flerdimensjonalt rom og anta at kurva er definert med en parametrisering 
  
    
      
        
          r
        
        =
        
          r
        
        (
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =\mathbf {r} (t)}
  , der parameteren 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   er inneholdt i intervallet 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  . La 
  
    
      
        
          f
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {f} }
   være et vektorfelt definert i et område som inneholder 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   og med komponenter i det samme rommet 
  
    
      
        (
        
          f
          
            1
          
        
        ,
        
          f
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          f
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle (f_{1},f_{2},\ldots ,f_{n})}
  . Da er linjeintegralet 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   langs 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
   definert ved

  
    
      
        S
        =
        
          ∫
          
            C
          
        
        
          f
        
        (
        
          r
        
        )
        ⋅
        
        
          d
        
        
          r
        
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          f
        
        (
        
          r
        
        (
        t
        )
        )
        ⋅
        
          
            r
          
          ′
        
        (
        t
        )
        
        
          d
        
        t
      
    
    {\displaystyle S=\int _{C}\mathbf {f} (\mathbf {r} )\cdot \,\mathrm {d} \mathbf {r} =\int _{a}^{b}\mathbf {f} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,\mathrm {d} t}
  Alternativt skrives linjeintegralet også som

  
    
      
        S
        =
        
          ∫
          
            C
          
        
        (
        
          f
          
            1
          
        
        
        
          d
        
        
          r
          
            1
          
        
        +
        
          f
          
            2
          
        
        
        
          d
        
        
          r
          
            2
          
        
        +
        …
        +
        
          f
          
            n
          
        
        
        
          d
        
        
          r
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle S=\int _{C}(f_{1}\,\mathrm {d} r_{1}+f_{2}\,\mathrm {d} r_{2}+\ldots +f_{n}\,\mathrm {d} r_{n})}
  når 
  
    
      
        
          r
        
        =
        (
        
          r
          
            1
          
        
        ,
        
          r
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          r
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} =(r_{1},r_{2},\ldots ,r_{n})}
  .


=== Flateintegral ===
I et flateintegral utføres integrasjon av et skalarfelt over et elementer av en parametriserbar flate. La 
  
    
      
        S
        =
        
          r
        
        =
        
          r
        
        (
        u
        ,
        v
        )
      
    
    {\displaystyle S=\mathbf {r} =\mathbf {r} (u,v)}
   være en flate definert for en region 
  
    
      
        T
      
    
    {\displaystyle T}
   i 
  
    
      
        (
        u
        ,
        v
        )
      
    
    {\displaystyle (u,v)}
  -planet. La 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   være en skalar funksjon definert og begrenset på 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
  . Flateintegralet av 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   over 
  
    
      
        S
      
    
    {\displaystyle S}
   er da definert ved

  
    
      
        
          ∫
          
            S
          
        
        f
        
        
          d
        
        S
        =
        
          ∬
          
            T
          
        
        f
        (
        
          r
        
        (
        u
        ,
        v
        )
        )
        
          
            ‖
            
              
                
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          r
                        
                      
                      
                        ∂
                        u
                      
                    
                  
                  ×
                  
                    
                      
                        ∂
                        
                          r
                        
                      
                      
                        ∂
                        v
                      
                    
                  
                
              
            
            ‖
          
        
        
        
          d
        
        u
        
        
          d
        
        v
      
    
    {\displaystyle \int _{S}f\,\mathrm {d} S=\iint _{T}f(\mathbf {r} (u,v)){\begin{Vmatrix}{\partial \mathbf {r}  \over \partial u}\times {\partial \mathbf {r}  \over \partial v}\end{Vmatrix}}\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v}
  


== Historie ==
Den moderne notasjonen for et ubestemt integral ble innført av Gottfried Leibniz i 1675.  Han innførte integrasjonssymbolet som en forlenget «S».


== Litteratur ==
Adams, Robert (2003). Calculus : a complete course (english). Toronto, Ont. Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5. 
Atkinson, Kendall E. (1989). An Introduction to Numerical Analysis (2nd edition). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-50023-2.
Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford Quick Reference. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-157976-9. Besøkt 30. august 2016. 
Lindstrøm, T. (2006). Kalkulus (norsk). Universitetsforlaget. ISBN 978-82-15-00977-3. Besøkt 30. august 2016. 
Lindström, S.B. (2013). Matematisk ordbok för högskolan: engelsk-svensk, svensk-engelsk: (svensk). Stefan B. Lindström. ISBN 978-91-981287-0-3. Besøkt 30. august 2016. 


== Eksterne lenker ==
Kalkulator som kan integrere funksjoner av én variabel