Pi

Den matematiske konstanten 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   (symbol: 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   (minuskel pi), gresk bokstav) er definert som forholdet mellom omkretsen og diameteren til en sirkel: Omkrets = 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   × diameter. Ofte brukes 3,14 eller brøken 22/7 som en rimelig tilnærming til 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   for hverdags bruk, for eksempel i skolen. Den nøyaktige verdien har uendelig mange ikke-sykliske desimaler, dermed er 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   et irrasjonalt tall eller mer spesifikt et transcendentalt tall.
Man bruker tallet 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  , som forklart over, når man skal regne omkrets og areal av sirkler eller ellipser. 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   brukes også når man skal finne volum- og overflateverdi av kjegler, sylindre og kuler. Også i trigonometrien er 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   en grunnleggende konstant.
En numerisk tilnærming til pi, er: 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   ≅ 3,1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679 (100 desimaler).
I 2022 ble 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   kalkulert til 100 billioner desimaler av Google, noe som tok i overkant av fem måneder.Pi-dagen markeres den 14. mars (amerikansk datering: 3.14).


== Historie ==

  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   har gjennom historien blitt beregnet på ulikt vis:

Den tysk-nederlandske matematikkprofessoren Ludolph van Ceulen brukte store deler av sitt liv på å kalkulere 35 desimaler. De ble inngravert på hans gravstein i Leiden i Nederland i 1610.
I 1761 beviste Johann Heinrich Lambert at 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   er irrasjonalt tall. Transcendensen til tallet ble bevist i 1882 av Ferdinand von Lindemann.


== Beregning ==


=== Behovet for nøyaktighet av ===
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
Siden 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   er et  irrasjonalt tall er det ikke grenser for hvor nøyaktig man kan beregne 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  , men er det egentlig nødvendig? – NASA bruker i sine baneberegninger for interplanetære reiser 16 signifikante sifre. Det viser seg at 39 signifikante siffer er tilstrekkelig til å beregne de fleste kosmologiske konstanter, siden du da kan beregne omkretsen av universet med en nøyaktighet på ett atom. Hvis man tar hensyn til avrundingsfeil vil noen få hundre siffer være nok til alle tenkelige vitenskapelige formål. π er nok er matematikkens mest kjente konstant som historisk har vært vanskelig å beregne med høy presisjon, men det har også visse praktiske fordeler, slik som at beregningsalgoritmer for 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   brukes til å teste superdatamaskiner, testing av numeriske algoritmer og i ren matematikk der man trenger data for å evaluere forutsigbarheten i 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  .


=== Algoritmer for beregning av ===
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
Det finnes flere måter å beregne en tilnærming til konstanten. En metode som ikke konvergerer særlig raskt (trenger 152 trinn før det beregnede tallet kan avrundes til 3,14) og som ofte blir kalt Leibniz' formel er

  
    
      
        
          
            π
            4
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              −
              1
              
                )
                
                  k
                
              
            
            
              2
              k
              +
              1
            
          
        
        =
        
          
            1
            1
          
        
        −
        
          
            1
            3
          
        
        +
        
          
            1
            5
          
        
        −
        
          
            1
            7
          
        
        +
        
          
            1
            9
          
        
        −
        ⋯
      
    
    {\displaystyle {\pi  \over 4}=\sum _{k=0}^{\infty }{{(-1)^{k}} \over {2k+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots }
  eller som en tilnærming

  
    
      
        π
        ≈
        3
        ,
        141
         
        592
         
        653
         
        589
         
        793
         
        238
         
        462
         
        643
         
        383
         
        279
         
        502
         
        884
         
        197
         
        169
         
        399
         
        375
         
        105
         
        820
         
        974
         
        944
         
        592
         
        307
         
        816
         
        406
      
    
    {\displaystyle \pi \approx 3,141\ 592\ 653\ 589\ 793\ 238\ 462\ 643\ 383\ 279\ 502\ 884\ 197\ 169\ 399\ 375\ 105\ 820\ 974\ 944\ 592\ 307\ 816\ 406}
  I det ovenstående er 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   angitt til 72 desimaler.
I begynnelsen av 1900-tallet fant den unge matematikeren Srinivasa Aiyangar Ramanujan fra India mange nye formler for 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  . Noen var forbløffende korte og elegante, dype og raskt konvergerende etter få trinn. Spesielt denne er berømt:

  
    
      
        
          
            1
            π
          
        
        =
        
          
            
              2
              
                
                  2
                
              
            
            9801
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              (
              4
              k
              )
              !
              (
              1103
              +
              26390
              k
              )
            
            
              (
              k
              !
              
                )
                
                  4
                
              
              
                396
                
                  4
                  k
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}\!}
  Der 
  
    
      
        k
        !
      
    
    {\displaystyle k!}
   er fakultet av 
  
    
      
        k
      
    
    {\displaystyle k}
  ; dvs. 
  
    
      
        0
        !
        =
        1
      
    
    {\displaystyle 0!=1}
  , 
  
    
      
        1
        !
        =
        1
      
    
    {\displaystyle 1!=1}
  , 
  
    
      
        2
        !
        =
        2
        ×
        1
      
    
    {\displaystyle 2!=2\times 1}
  , 
  
    
      
        3
        !
        =
        3
        ×
        2
        ×
        1
      
    
    {\displaystyle 3!=3\times 2\times 1}
  , 
  
    
      
        4
        !
        =
        4
        ×
        3
        ×
        2
        ×
        1
      
    
    {\displaystyle 4!=4\times 3\times 2\times 1}
  , osv.
Første iterasjon med 
  
    
      
        k
        =
        0
      
    
    {\displaystyle k=0}
   gir 6 desimalers nøyaktighet, andre gir 14 desimaler, tredje gir 22 desimaler …
Et annet eksempel på en formel for 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   som ikke konvergerer særlig raskt er denne:

  
    
      
        π
        =
        
          lim
          
            m
            →
            ∞
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            m
            −
            1
          
        
        
          
            
              8
              
                
                  k
                  m
                  −
                  
                    k
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            
              m
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi =\lim _{m\rightarrow \infty }\sum _{k=0}^{m-1}{\frac {8{\sqrt {km-k^{2}}}}{m^{2}}}}
  


== Formler der ==
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   opptrer


=== Geometri ===

  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   forekommer i mange geometriske formler for sirkler, sfærer og andre runde objekter.


=== Analyse ===
Tallet 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   er tett forbundet med de komplekse tallene, noe som følger av de trigonometriske funksjonenes forekomst i Eulers formel for den komplekse eksponentialfunksjonen,

  
    
      
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        =
        cos
        ⁡
        θ
        +
        i
        sin
        ⁡
        θ
        .
        
      
    
    {\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta .\,}
  Et spesialtilfelle er Eulers likhet,

  
    
      
        
          e
          
            i
            π
          
        
        +
        1
        =
        0
        ,
        
      
    
    {\displaystyle e^{i\pi }+1=0,\,}
  som ble kalt "den merkeligste formelen innen matematikken" av Richard Feynman fordi den knytter sammen fem av de viktigste tallene: 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  , 
  
    
      
        1
      
    
    {\displaystyle 1}
  , 
  
    
      
        e
      
    
    {\displaystyle e}
   som er basisen for de naturlige logaritmene, den imaginære enheten 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
   som de komplekse tallene defineres ut fra og 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  . Videre følger for eksempel av residysatsen for kurveintegraler at

  
    
      
        ∮
        
          
            
              d
              z
            
            z
          
        
        =
        2
        π
        i
        .
      
    
    {\displaystyle \oint {\frac {dz}{z}}=2\pi i.}
  Arealet av en kvart enhetssirkel gis ved:

  
    
      
        
          ∫
          
            0
          
          
            1
          
        
        
          
            1
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        x
        =
        
          
            π
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\pi  \over 4}}
  


=== Øvrig matematikk ===
En integralformel, (se normalfordeling):
  
    
      
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        
          e
          
            −
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        
        d
        x
        =
        
          
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}}
  Baselproblemet, først løst av Euler (se også Riemanns zeta-funksjon):
  
    
      
        ζ
        (
        2
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              2
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              
                2
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              4
              
                2
              
            
          
        
        +
        ⋯
        =
        
          
            
              π
              
                2
              
            
            6
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}}
  

  
    
      
        ζ
        (
        4
        )
        =
        
          
            1
            
              1
              
                4
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              2
              
                4
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              3
              
                4
              
            
          
        
        +
        
          
            1
            
              4
              
                4
              
            
          
        
        +
        ⋯
        =
        
          
            
              π
              
                4
              
            
            90
          
        
      
    
    {\displaystyle \zeta (4)={\frac {1}{1^{4}}}+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+{\frac {1}{4^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}}
  
Generelt er 
  
    
      
        ζ
        (
        2
        n
        )
      
    
    {\displaystyle \zeta (2n)}
   et rasjonelt multiplum av 
  
    
      
        
          π
          
            2
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \pi ^{2n}}
   for det positive heltallet 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  .Gammafunksjonen utregnet ved ½:
  
    
      
        Γ
        
          (
          
            
              1
              2
            
          
          )
        
        =
        
          
            π
          
        
      
    
    {\displaystyle \Gamma \left({1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}}
  Stirlings formel:
  
    
      
        n
        !
        ∼
        
          
            2
            π
            n
          
        
        
          
            (
            
              
                n
                e
              
            
            )
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
  Egenskapen av Eulers phi-funksjon (se også Fareysekvens):
  
    
      
        
          ∑
          
            k
            =
            1
          
          
            n
          
        
        ϕ
        (
        k
        )
        ∼
        3
        
          n
          
            2
          
        
        
          /
        
        
          π
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\phi (k)\sim 3n^{2}/\pi ^{2}}
  


== Omtrentlige verdier av π ==

  
    
      
        22
        
          /
        
        7
        =
        3,142
        85714285714...
      
    
    {\displaystyle 22/7=3{,}14285714285714...}
   2 desimalers nøyaktighet, er en av de Diofantiske approksimasjoner

  
    
      
        355
        
          /
        
        113
        =
        3,141
        59292035398...
      
    
    {\displaystyle 355/113=3{,}14159292035398...}
   6 desimalers nøyaktighet, funnet av en den kinesiske matematiker og astronom Zu Chongzhi rundt år 450 e.kr. Det tok ca 1000 år å finne den neste rasjonelle approksimasjonen med flere desimaler 
  
    
      
        86953
        
          /
        
        27678
      
    
    {\displaystyle 86953/27678}
  .

  
    
      
        
          
            
              2143
              
                /
              
              22
            
            
              4
            
          
        
        =
        3,141
        5926525...
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{4}]{2143/22}}=3{,}1415926525...}
   8 desimalers nøyaktighet, en av mange approksimasjoner funnet av Srinivasa Ramanujan


==  ==
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   på avveier
I 1897 var kongressen i delstaten Indiana, i USA, i ferd med å vedta en lov som bl.a. kunne tolkes som en avrunding av 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   til 3,2 i stedet for 3,14. Kongressen ble dog stoppet av en professor som tilfeldigvis var til stede før det endelige vedtaket.Nordmannen Andreas Dahl Uthaug utga i 1916 en bok om et eget norsk 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  , som var nøyaktig 3,125.


== Bruk (utvalg) ==
utregning av størrelsen på fallskjermen som er nødvendig til å lande en rover på Mars
utregning av hvor mange rektangulære kamerabilder er nødvendig for å kartlegge overflaten av en planet
få et romskip til å bremse til akkurat riktig tid når det skal gå inn i den fastlagte banen rund en planet


== Fotnoter ==
^  Tidsangivelsen kan være omstridt, det er her tatt utgangspunkt i tidsangivelsen slik den fremkommer i Nevi'im og ikke når Nevi'im er skrevet ned.


== Referanser ==


== Diverse ==
David Blatner: The Joy of Pi, Walker & Company (1997), ISBN 0-8027-1332-7.
I 1998 debuterte Darren Arnofsky med en film med navnet pi som handlet om en matematiker som arbeidet med nettopp tallet 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  .


== Eksterne lenker ==
(no) Norsk side om 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
  
(en) 
  
    
      
        π
      
    
    {\displaystyle \pi }
   med fire millioner desimaler
(en) Pi-memory