Faktorisering

Faktorisering er en prosess for å dele opp et matematisk uttrykk som for eksempel en ligning eller et tall i mindre enheter (faktorer) som kan ganges sammen for å få det opprinnelige uttrykket. Primtall kan ikke faktoriseres. 


== Eksempler ==


=== Algebraiske uttrykk ===
Faktorisering blir brukt mye for å dele opp algebraiske uttrykk:

  
    
      
        x
        +
        
          x
          
            2
          
        
        =
        x
        (
        1
        +
        x
        )
         
      
    
    {\displaystyle x+x^{2}=x(1+x)\ }
  


== Faktorisering av andregradsuttrykk ==

  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        =
        0
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
  
Man får da to løsninger, 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}}
   og 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
  . Faktoriseringen er da: 
  
    
      
        a
        (
        x
        −
        
          x
          
            1
          
        
        )
        (
        x
        −
        
          x
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle a(x-x_{1})(x-x_{2})}
  
Dersom 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}=x_{2}}
  , så blir faktoriseringen: 
  
    
      
        a
        (
        x
        −
        
          x
          
            1
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a(x-x_{1})^{2}}
   eller 
  
    
      
        a
        (
        x
        −
        
          x
          
            2
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a(x-x_{2})^{2}}
  .


== Kvadratsetningene ==
Kvadratsetningene blir normalt brukt motsatt ved faktorisering, enn når uttrykk trekkes sammen.
Setningene er:

  
    
      
        (
        a
        +
        b
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        2
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
  

  
    
      
        (
        a
        −
        b
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
  

  
    
      
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        −
        b
        )
        =
        
          a
          
            2
          
        
        −
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}