Peltonturbin

En peltonturbin er en vannturbin av impulstypen som brukes i vannkraftverk med stor fallhøyde. Den ble oppfunnet av Lester Allan Pelton i 1870-årene, og vesentlig forbedret av andre oppfinnere utover på slutten av 1800-tallet. Peltonturbinen er en videreutvikling av det tradisjonelle vannhjulet. Peltonturbinen omskaper impulsen fra én eller flere vannstråler med svært stor hastighet til kinetisk energi (rotasjon). Mange varianter av impulsturbiner eksisterte før Peltons oppfinnelse, men disse hadde lavere virkningsgrad enn peltonturbinen.
En peltonturbin er vanligvis installert i et kraftverk og tilknyttet et trykkrør fra en høyereliggende dam. I turbinen føres vannet inn i én eller flere dyser, og det oppstår en voldsom akselerasjon i vannstrømmen. Vannet har en meget stor hastighet når det forlater dysen og farer mot turbinens løpehjul. Vannstrålen treffer en rekke skålformede skovler, som er karakteristisk for turbintypen. På turbinens aksling er det montert en generator som produserer elektrisk energi.
I tidligere turbintyper hadde vannet fortsatt stor hastighet når det forlot hjulet, slik at mye av vannets kinetiske energi ikke ble fullt utnyttet. Pelton utformet skovlene slik at vannstrålen snur nesten 180° etter at den forlater skovlene. Når periferihastigheten til løpehjulet har omtrent halvparten av hastigheten av vannstrømmen, oppnås størst effekt. Vannet forlater turbinhjulet med svært lav hastighet. En moderne peltonturbin har en virkningsgrad på 92 %.


== Historisk utvikling ==


=== Primitiv utnyttelse av vannkraft i gullrushet i California ===
Lester Allen Pelton var som ung mann med i gullrushet i California i 1850-årene. Her ble vannkraft brukt for å drive møller og lignende i forbindelse med gruvedrift. Turbinrør ble bygget av tømmerplanker og skaffet trykk for å drive rundt såkalte hurdy-gurdy-hjul. Dette var relativt store hjul med skåler eller bøtter påmontert periferien. Dysen som skaffet vannstrålen inn på hjulets periferi var ofte laget av en blokk av tre med et hull borret gjennom. Disse primitive kraftverkene hadde en virkningsgrad på rundt 40 %. En mente at noe av årsaken til den lave virkningsgraden kunne være at bøttene  ble fylt av «dødt-vann» med det samme strålen traff den., altså vann som bare ble værende i bøtten som strålen traff. Dette førte til mye turbulens og dårlig utnyttelse av vannets energi. Som en tilvirker senere uttalte: «Den ideelle konstruksjon er slik at vannstrålen treffer koppen uten at det dannes turbulens, og forlater den uten hastighet.» Veien frem mot en slik konstruksjon skulle komme til å ta sin tid, med mange eksperimenter før dagens utforming ble funnet.
Etterhvert innså en at konstruksjonen mislykkes i å gi vannet nok hastighet i fasen der det forlater bøttene. I 1866 laget the Pacific Iron Works i San Francisco et hjul i støpejern med bøtter som tømte ut vannet raskere, dessuten hadde de latt strålen komme inn noe på skrå mot bøttene. Det siste utnyttet impulsprinsippet og ga en mer effektiv utnyttelse av vannfallet. I 1870 gjorde S. N. Knight en forbedring av bøttene på hjulet ved å la disse få form som en kopp, og denne konstruksjonen hadde forbedrede egenskaper i det å slippe vannet ut.


=== Forbedring av bøttene på hurdy-gurdy-hjulet ===

Pelton fikk patent på sitt hjul med bøtter som kløyver strålen i oktober 1880, men det var også andre som samtidig og enda tidligere arbeidet med den samme ideen uavhengig av hverandre. I 1870 hadde Nicholas J. Colman oppfunnet et hjul med bøtter som kløyvde vannstrålen, noe som han fikk patent for først i 1873 (US Patent 135 891). Colman greide ikke å markedsføre sin oppfinnelse godt nok, og det ser heller ikke ut til at han fikk satt hjulet i produksjon. Pelton fikk først høre om Colmans oppfinnelse flere år etter at han fikk sitt patent godkjent, og det amerikanske patentkontoret hadde heller ikke noen referanse til Colmans oppfinnelse. Hele 17 patenter på lignende hjul ble tatt ut mellom 1882 og 1898.Pelton arbeidet fremdeles med gruvevirksomhet da han eksperimenterte med hurdy-gurdy-hjulet, og oppdaget ved en tilfeldighet det som gjorde at ettertiden har gitt hans navn til turbinen. Det hadde seg slik at et hurdy-gurdy-hjul som var av Knights konstruksjon hadde blitt slitt, dermed satt ikke hjulet lenger helt fast på akslingen. Hjulet ble forskjøvet noen få centimeter til siden, slik at strålen ikke lenger traff senter av bøttene. Da viste det seg at hjulet greide å dra stampemøllen det var tilknyttet betydelig raskere. Dermed forstod Pelton at dette var en bedre løsning for å få større effekt ut av hjulet. Det oppstod et nytt problem, det virket en aksiell kraft på akslingen. Denne uønskede kraften sideveis ville slite på lagrene og måtte elimineres. Pelton tenkte først å plassere bøttene vekselvis usentrert langs hjulet, altså vekselvis til høyre og venstre for senter av vannstrålen. Herfra var ikke veien lang til ideen om en bøtte med en kvass egg i midten som splitter vannstrålen i to deler.Pelton fikk sitt patent på dette hjulet den 26. oktober 1880 (U.S. Patent 233 692), og de originale tegningene til dette patentet er vist i figuren til høyre. Bøttene langs hjulet er i Peltons patent betydelig mindre enn på hurdy-gurdy-hjulet, og på norsk kalles disse derfor skåler. I engelsk litteratur er det imidlertid vanlig å kalle disse bøtter (buckets). Høsten 1880 fikk Pelton etablert et firma sammen med Brayton, som var medeier i det mekaniske verkstedet Brayton & Company i San Francisco. Brayton forlot sitt gamle firma, og sammen stiftet de et nytt som fikk navnet Pelton Water Wheel Company.


=== Dobels ytterligere forbedringer av løpehjulet ===
Den neste store forbedringen av løpehjulet som Pelton og  Colman uavhengig av hverandre hadde oppfunnet, kom fra en konkurrent kalt Aber Dobel Company. Dette firmaet var etablert i 1850 og var spesialisert på utstyr for gruveindustrien. I 1889 hadde en av lederne av dette firmaet, William A. Dobel, vært i en gruve som hadde et peltonhjul og lagt merke til rask slitasje av dette. Dobel la merke til at det var mye sand i vannet som drev hjulet. Han forundret seg over denne slitasjen og dro rundt for å undersøke flere peltonhjul i området for å finne ut om dette var et generelt problem. Dobel studerte problemet og kom frem til at turbulens i deler av skålene på peltonhjulet i kombinasjon med suspendert (innblandet) sand i vannet var årsaken. I 1899 fikk Dobel godkjent tre patenter som forbedret peltonhjulet. En av ideene var å forme hver av skålhalvdelene som ellipser med en skarp egg i midten. Den neste nyvinningen var å skjære inn et hakk i fronten av hver skål. Dette for å unngå at vannstrålen delvis kuttes av skålen foran den skålen som får vannstrålen midt på eggen. Dermed får skålen som får vannstrålen normalt på eggen hele vannstrålen inn, og ikke bare en del av den.Med Dobels forbedring fikk peltonhjulet en utforming som ligner mye på dagens utforming. Vannet  kom inn i skålene og ble delt i to jevne halvdeler. Strømningen fikk mindre turbulens og løpehjulet varer lengre selv om det er sand i vannet. Og ikke minst ble virkningsgraden forbedret.Aber Dobel Company og Pelton Water Wheel Company var konkurrerende firmaer, men ble i 1912 fusjonert. Fusjonen skjedde fire år etter at Lester Pelton selv hadde gått bort. Firmaet fortsatte å hete Pelton Water Wheel Company og fikk Dobel som sjefsingeniør. Dobel brukte årene som kom på å forbedre dysen som skaper vannstrålen, og utviklet blant annet metoder for å regulere vannstrålen. Han patenterte flere forbedringer. Ironisk nok var det altså ikke Pelton selv som stod bak de viktigste forbedringene av turbinen som bærer hans navn. Han var på riktig tid og sted, dessuten hadde han de nødvendige personlige egenskaper både som ingeniør og forretningsmann.


== Virkemåte og konstruksjon ==


=== Oppbygging ===

Peltonturbinens hovedkomponenter består av løpehjul, aksling, tilførselsrør, én eller flere dyser og turbinhus. Altså i prinsippet de samme delene som på Peltons tid. Tilførselsrøret på en moderne stor peltonturbin er en ringledning med greinrør til dysene. Ofte er disse tilførselsrørene og turbinhuset innstøpt i armert betong, se tegning til høyre. Det er ofte flere dyser som vannet fra tilførselsrøret fordeles mellom, og som vannet akselererer voldsomt gjennom før det treffer løpehjulets skovler. Løpehjulet roterer helt i friluft og står i et hus eller deksel, ofte kalt turbinhuset, som skal fange opp vannsprut og føre dette ned i kraftverkets avløpstunnel. Trykket i vannet i ringledningen rett før dysene er bestemt av fallhøyden og kan være flere hundre bar. Turbinhuset er luftfylt med atmosfæretrykket (1 bar). Gjennom dysene akselerer vannet, samtidig som trykket i vannet faller til atmosfæretrykk. Siden trykket i vannet ikke endres før og etter kontakt med løpehjulet, kan en peltonturbin omtales som en liketrykksturbin. 
Løpehjulet er montert på en vertikal eller horisontal aksling som er opplagret med et eller flere lagre. Typisk benyttes horisontal aksling for turbiner med én eller to stråler, mens en velger vertikal aksel om det er flere stråler. Dysen eller dysene i peltonturbinen er montert slik at vannstrålen treffer skovlene ytterst på løpehjulet i rett vinkel. Skovlene er montert tett, slik at vannstrålen berører hver skovl bare et lite øyeblikk. Fordi vannet har en viss hastighet etter at det har forlatt skålene forsvinner det raskt vekk fra løpehjulet, dermed er skålene tomme for vann når de kommer frem til neste vannstråle. Kollisjon mellom vanndråper og skålenes bakside representerer et vist problem, dette er forklart lenger ned. Utformingen av turbinen gjøres for å få brukt vann raskt vekk.
Skålene på løpehjulet er doble på den måten at det midt i hver skovl er en kvass egg som klyver vannstrålen. Hver av de to skålhalvdelene avbøyer halvparten av vannstrålen, og når denne må følge konturen av skålene gjør vannet en «u-sving». Hver halvdel av den kløyvde vannstrålen gjennomløper praktisk talt en 180° kurve før det forlater ytterkanten av skålen. Dette utbalanserer sidebelastningskrefter på hjulet og akslingen. At vannet gjør en «u-sving» er en esensiel forutsetning for å få best mulig utnyttelse av vannstrålens impuls. For at ikke vannstrålen skal bli avskåret av skålen rett foran den som får vannstrålen rett inn, er det laget et hakk (utsparing) ytterst på hver skål. 
I moderne peltonturbiner for høyt trykk er løpehjulet laget i ett stykke av smidd stål. Dette er frest, slipt og polert, slik at alle deler der vannet treffer er glatte. Støpejern og senere støpestål var tidligere enerådende, men brukes i dag bare for lavere trykk. For anlegg med lavere trykk er det vanlig at skålene er skrudd fast på hjulet, mens dette tidligere var den enerådende konstruksjonsmåten.
Vannstrålen øver en kraft på hver av skålene, og produktet av denne kraften og radiusen fra senter av løpehjulet til der strålen treffer er momentet (kraft ganger arm) som virker. Når løpehjulet roterer utføres ett arbeid etter definisjonen, som sier at arbeid er lik moment multiplisert med omdreiningshastigheten (vinkelhastighet). Vannets potensielle energi i  kraftverkets inntaksdam blir omformet til kinetisk energi (rotasjon) i turbinen. En liten del av den opprinnelige kinetiske energien i vannstrømmen forblir i vannet etter at hjulet har rotert videre til neste skål. Dette gjør at ikke all energien i vannet utnyttes, men som nevnt over er dette nødvendig for at vannet skal forlate løpehjulet raskt. Dermed unngås kollisjon mellom vann og skålenes bakside, noe som i så fall vil bremse løpehjulet.
Dysen har en regulerbar nål i senter som gjør at vannstrålens diameter kan reguleres. Som forklart lenger ned vil vannstrålens hastighet være konstant, altså uavhengig av diameteren. Ved å regulere diameteren på vannstrålen er det vannstrømningen og momentet på løpehjulet som endres. På moderne turbiner er nålen med servomekanisme (som gjør det mulig å bevege nålen) innkapslet i en sylinder som ligger inne i selve dysen. Det er turbinregulatoren som gir signal for å regulerer nålen ut eller inn, og dermed bestemmes effektproduksjonen fra turbinen. Turbinregulatoren skal sørge for å holde turtallet og dermed også frekvensen i kraftnettet noenlunde konstant, selv om effektbehovet i kraftsystemet stadig endrer seg (lastendringer). Ofte er det en såkalt deflektor eller stråleavbøyer rett utenfor dysen. Denne kan når den manøvreres avskjære strålen slik at den ikke treffer løpehjulet. Hensikten er å unngå en hurtig stenging av dysene om det skjer en brå endring av effektbehovet. En slik hurtig endring kan være skadelig for trykkrøret fordi rask endring av pådraget gir plutselige trykkendringer, trykkbølger og store krefter i røret. Etter at deflektoren har avskåret strålen kan nedjustering av dyseåpningen skje sakte.
Effekten som en peltonturbinen kan utvikle er som for alle andre vannturbiner bestemt kun av virkningsgrad, fallhøyde og vannstrømningen. For øvrig kalles den maksimale vannstrømningen gjennom turbinen for slukeevne.


=== Bruksområde ===

Peltonturbinen er den foretrukkede turbintypen for utnyttelse av vannfall med stor fallhøyde og små vannmengder. Den største fallhøyden for et kraftverk i verden er Bieudron kraftverk i Sveits med en fallhøyde på 1883 m. Dette kraftverket har tre peltonturbiner som er verdens største med en ytelse på 423 MW hver.I Norge har Sima kraftverk to peltonturbiner med en fallhøyde på 1152 m. Dette er den nest høyeste fallhøyde i Norge (Jostedal har 1186 m), og sammen med to andre enda større turbiner i samme installasjon utgjør dette Norges nest største kraftverk. Sima kraftverk har også de største peltonturbinene i Norge når det gjelder ytelsen, som er på 310 MW per enhet. Hakavik kraftverk fra 1922 hadde opprinnelig installert fire peltonturbiner, hver på 3,5 MW og fallhøyde 389 m. Dette er et eksempel på et kraftverk med liten fallhøyde der peltonturbiner benyttes, noe som ikke var uvanlig i kraftverk på denne tiden.
Peltonturbiner brukes også i småkraftverk, minikraftverk og mikrokraftverk. Anlegg der fallhøyden er noen få titalls meter og slukeevnen noen liter per sekund er ikke uvanlig. Se illustrasjon til høyre som viser en liten peltonturbin som kan utnytte vannet i en bekk.


=== Peltonturbinens matematiske grunnlag ===


==== Energi og innledende strålehastighet ====
I et ideelt, friksjonsløst, system vil hele den hydrauliske potensielle energien av vannet i kraftverkets inntaksdam (Ep = mgh) bli omgjort til kinetisk energi i peltonturbinen (Ek = 1/2mv2) (se Bernoulli-prinsippet). Settes disse to ligningene sammen og løses med hensyn på vannstrålehastigheten fås:

  
    
      
        v
        =
        
          
            2
            g
            h
          
        
      
    
    {\displaystyle v={\sqrt {2gh}}}
  
der:

v =  vannstrålens hastighet [m/s]
g = konstanten for tyngdens akaslerasjon 9,81 m/s²
h = fallhøyden [m] (den vertikal lengdekomponent fra dammens vannspeil til peltonturbinen).Det vil si at diameteren til vannstrålen eller vannføringen ikke har betydning for hastigheten. Det har dermed ikke noen betydning for vannstrålens hastighet om dysen i peltonturbinen har stor eller liten åpning. 
Hastigheten til vannstrålene i peltonturbinene til Bieudron kraftverket nevnt over, med en fallhøyde på 1883 m, vil med innsetting i formelen ha en hastighet på 192 m/s, eller 692 km/timen. Trykket vil være på nesten 19 MPa (19 millioner pascal) ved dysene.
Formelen for effekt fra en hvilken som helst turbin er:

  
    
      
        P
        =
        η
        ρ
        
        g
        Q
        h
        
      
    
    {\displaystyle P=\eta \rho \,gQh\!}
  
der:

P = effekt [MW]
η = virkningsgrad i turbinen
ρ = tettheten av vann 1000 kg/m3
Q = slukeevne eller vanngjennomstrømning pr tidsenhet [m³/s]
g = massens aksellerasjon 9,81 m/s²
h = netto fallhøyde [m]. Det vil si at trykkfallet i turbinrør eller tilløpstunnel må subtraheres.Brukes igjen Bieudron kraftverket som eksempel ble det nevnt at hver peltonturbin har en ytelse på 423 MW. Antas virkningsgraden å være 92 % ved denne effekten, noe som er vanlig for moderne peltonturbiner, kan en finne slukeevne ved å løse formelen med hensyn på Q og innsetting til 24,6 m³/s.


==== Noen empiriske sammenhenger for konstruksjon ====
Noen typiske forholdstall og sammenhenger for konstruksjon av en peltonturbin er:

Hastigheten for vannstrålen ut av dysene er redusert med en faktor mellom 0,96 og 0,99.
Vinkelen som vannet gjennomløper fra inngang til utgang av skålene er mellom 165° og 170°.
Aksiell utforming av skålene er 3,5 til 4 ganger diameteren av vannstrålen.
Antallet skåler på løpehjulet er D/d + 15, der D er diameteren for løpehjulet og d er diameteren til vannstrålen.
Forholdet mellom diameteren til løpehjulet og vannstrålen er mindre enn 12.
Hastigheten til en peltonturbin er bestemt av generatoren. Følgende formel gjelder: 
  
    
      
        n
        =
        
          
            
              120
              f
            
            p
          
        
      
    
    {\displaystyle n={120f \over p}}
   der n [rpm] er turtallet, f [Hz] som er bestemt av kraftsystemet og er konstant lik 50 Hz (i Europa) og p er polpartallet og er et partall fra 2 og oppover. Ved å sette inn i denne formelen finner en at generatorens turtall kan være 3000, 1500, 1000, 750, 600, 500,... rpm.
Antall dyser er vanligvis ikke mer enn to for peltonturbiner med horisontal aksling, selv om det har vært bygget turbiner noen med flere dyser. Moderne peltonturbiner har som regel vertikal aksling og flere dyser, se illustrasjon helt innledningsvis. Tidligere var det vanlig å sette to løpehjul på samme aksling om en ville ha flere enn to stråler.


==== Optimal hastighet for løpehjulet ====
Om en tenker seg et løpehjul til en peltonturbin som holdes helt i ro mens vannstrålen virker på det, vil det ikke utvikles noen effekt. Skal det utvikles et arbeid må det også skje bevegelse. Den andre ytterligheten er at løpehjulet får rotere helt fritt, da vil periferihastigheten bli lik vannstrålens hastighet. Da utvikles det heller ikke noe arbeid fordi det knapt er noen kraft som virker på løpehjulet. For øvrig kalles denne hastigheten for turbinens ruseturtall. Utfordringen er da å finne den hastigheten mellom disse ytterpunktene der det utvikles optimal effekt. Nedenfor skal dette utledes analytisk.

Ideelt skal altså forholdene i en peltonturbin være slik at vannet kastes ut av skålene på løpehjulet i en 180° vinkel. Imidlertid er ikke dette tilfellet for en praktisk konstruksjon og vannet forlater skålene i en vinkel på 165° til 170° som nevnt ovenfor. Andre forhold som heller ikke er ideelle er at det oppstår friksjon mellom vann og stål både i dysen og i skålene. Dette er forhold som gjør at virkningsgraden er lavere enn 100 % og at en matematisk analyse kan bli komplisert.
Eulers turbinligning er generell for alle turbiner og forteller om forholdet mellom hastigheten til fluidet og løpehjulet ved inngang og utgang:

  
    
      
        P
        =
        ρ
        Q
        (
        
          u
          
            1
          
        
        
          c
          
            1
            u
          
        
        −
        
          u
          
            2
          
        
        
          c
          
            2
            u
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P=\rho Q(u_{1}c_{1u}-u_{2}c_{2u})}
  der:

  
    
      
        ρ
      
    
    {\displaystyle \rho }
   = vannets tetthet 1000 kg/m³,
Q = vannstrømning [m³/s],
u1 = vektor for rotorens periferihastighet ved innløp [m/s²],
u2 = vektor for rotorens periferihastighet ved utgangen[m/s²],
c1u = projeksjonen av vannstrålens hastighetsvektor normalt på radius (tangentiell komponent) ved  innløp [m/s²], og
c2u = projeksjonen av vannstrålens hastighetsvektor normalt på radius ved utløp [m/s²].For en peltonturbin vil vannstrålens absolutte hastighet (absolutte hastigheten er hastigheten en observatør som står stille og ser inn mot rotoren vil registrere, den er en vektor med både fart og retning.) mot skålene og hastigheten til den tangentielle komponenten på radius ha samme retning, se illustrasjonen til høyre. Den tangentielle hastighetskomponenten ved inngangen c1u er derfor lik hastigheten til skålen der strålen treffer den, altså c1u = c1. Strålens tangentielle komponent ved utløp av skålen er gitt av: c2u = u2 - w2cos 
  
    
      
        
          β
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta _{2}}
  . 
Der vinkelen 
  
    
      
        
          β
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \beta _{2}}
   er definert i tegningen over til venstre. Antas det videre at strålen kommer inn på og forlater skålen på samme radielle punkt kan den tangentielle hastigheten settes til  u1 = u2 = u. Ved innsetting i Eulers turbinligning fås:

  
    
      
        P
        =
        ρ
        Q
        u
        (
        
          c
          
            1
            u
          
        
        −
        
          c
          
            2
            u
          
        
        )
        =
        ρ
        Q
        u
        (
        
          c
          
            1
          
        
        −
        
          u
          
            2
          
        
        +
        
          w
          
            2
          
        
        c
        o
        s
        
          β
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P=\rho Qu(c_{1u}-c_{2u})=\rho Qu(c_{1}-u_{2}+w_{2}cos\beta _{2})}
  
Av definisjonene av hastighetsvektoren har en at c1-u1 = w1. Dermed kan ligningen over omformes til en ligning for effekt i en peltonturbin:

  
    
      
        P
        =
        ρ
        Q
        u
        (
        
          w
          
            1
          
        
        +
        
          w
          
            2
          
        
        c
        o
        s
        
          β
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P=\rho Qu(w_{1}+w_{2}cos\beta _{2})}
  
Tapsfaktoren defineres slik: 
  
    
      
        △
      
    
    {\displaystyle \triangle }
   = 1 – w2/w1. Denne faktoren forteller om fluidets reduserte hastighet på grunn av friksjon i skålen. Ved innsetting i formelen får likningen denne formen:

  
    
      
        P
        =
        ρ
        Q
        u
        
          w
          
            1
          
        
        (
        1
        +
        (
        1
        −
        △
        )
        c
        o
        s
        
          β
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P=\rho Quw_{1}(1+(1-\triangle )cos\beta _{2})}
  
Videre defineres c0 som strålens hastighet ut av dysen:

  
    
      
        
          c
          
            0
          
        
        =
        
          k
          
            c
            0
          
        
        
          
            2
            g
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{0}=k_{c0}{\sqrt {2gH}}}
  
der kc0 er et tall mellom 0,96 og 0,99 som nevnt over, og har å gjøre med redusert hastighet gjennom dysen på grunn av friksjon. 
Videre defineres løpehjulets hastighetskoeffisient ku:

  
    
      
        u
        =
        
          k
          
            u
          
        
        
          
            2
            g
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle u=k_{u}{\sqrt {2gH}}}
  
Ved innsetting av alle disse nye faktorene fås ligningen for effekt i peltonturbinen på formen:

  
    
      
        P
        =
        ρ
        Q
        
          k
          
            u
          
        
        
          
            2
            g
            H
          
        
        (
        
          k
          
            c
            o
          
        
        
          
            2
            g
            H
          
        
        −
        
          k
          
            u
          
        
        
          
            2
            g
            H
          
        
        (
        1
        +
        (
        1
        −
        △
        )
        c
        o
        s
        
          β
          
            2
          
        
        )
        =
        2
        ρ
        g
        Q
        H
        
          k
          
            u
          
        
        (
        
          k
          
            c
            o
          
        
        −
        
          k
          
            u
          
        
        )
        (
        1
        +
        (
        1
        −
        △
        )
        c
        o
        s
        
          β
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle P=\rho Qk_{u}{\sqrt {2gH}}(k_{co}{\sqrt {2gH}}-k_{u}{\sqrt {2gH}}(1+(1-\triangle )cos\beta _{2})=2\rho gQHk_{u}(k_{co}-k_{u})(1+(1-\triangle )cos\beta _{2})}
  
Det som nå er av interesse, er å finne når faktoren ku gir forholdene for maksimalt utviklet effekt. Eller sagt på en annen måte: Hvilket forhold må det være mellom vannstrålens hastighet og løpehjulets pereferihastighet for at mest mulig effekt skal utvikles i turbinen? Fra matematisk analyse vet en at derivering av uttrykket under betingelsen:

  
    
      
        
          
            
              ∂
              P
            
            
              ∂
              
                k
                
                  u
                
              
            
          
        
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial P \over \partial k_{u}}=0}
  
gir betingelsene der ku gir størst verdi for formelen for P:

  
    
      
        
          
            
              ∂
              P
            
            
              ∂
              
                k
                
                  u
                
              
            
          
        
        =
        (
        2
        ρ
        g
        Q
        )
        (
        1
        +
        (
        1
        −
        △
        )
        c
        o
        s
        
          β
          
            2
          
        
        )
        (
        
          k
          
            c
            0
          
        
        −
        2
        
          k
          
            u
          
        
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle {\partial P \over \partial k_{u}}=(2\rho gQ)(1+(1-\triangle )cos\beta _{2})(k_{c0}-2k_{u})=0}
  
Betingelsen for å få maksimal effekt blir av dette ku = kco/2. Altså at løpehjulet må ha en hastighet som er noe under halvparten av vannstrålens hastighet (ku = 0,48 - 0,495). I praktiske tilfeller viser det seg at effekten blir størst om faktoren er et tall mellom 0,45 og 0,5.


==== Spesifikk hastighet ====
Et mye brukt system for numerisk klassifikasjon av turbiner er dens spesifikke hastighet, ns. Dette tallet beskriver hastigheten av turbinen ved høyeste virkningsgrad med hensyn til effekt og strømningshastighet. Den spesifikke hastighet er avledet slik at den er uavhengig av turbinstørrelse (ytelse). Gitt forholdene for fluidstrømningen og den ønskede hastigheten for akselen, kan den spesifikke hastigheten beregnes og et passende turbindesign velges.
Den spesifikke hastigheten, sammen med noen grunnleggende formler, kan brukes for sikkert å oppskalere et eksisterende turbindesign av kjent ytelsen, til en ny og større/mindre enhet. Dette brukes mye i forbindelse med modelforsøk, der en liten modell av et løpehjul testes og forbedres i et laboratorium. Når optimal utforming er funnet skaleres modellen opp til full størrelse i verkstedet.
Her vises det som et eksempel forholdene for en peltonturbin. Gitt vannmengde, fallhøyde og den ønskede hastigheten til hjulet. Da kan den spesifikke hastigheten beregnes og en passende turbin velges. Formelen for spesifikk hastighet for en vannturbin er:

  
    
      
        
          n
          
            s
          
        
        =
        
          
            
              n
              
                
                  P
                
              
            
            
              H
              
                n
              
              
                5
                
                  /
                
                4
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{s}={n{\sqrt {P}} \over H_{n}^{5/4}}}
   [rpm]der: 

  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   = omdreiningstallet [rpm]

  
    
      
        P
      
    
    {\displaystyle P}
   = effekt [kW]

  
    
      
        
          H
          
            f
          
        
      
    
    {\displaystyle H_{f}}
   = effektiv fallhøyde [m]

  
    
      
        Q
      
    
    {\displaystyle Q}
   = fluidstrøm [m³/s]En peltonturbin som er vellykket konstruert får en spesifikk hastighet rundt 15.


=== Utfordringer og forskning for å forbedre konstruksjon av peltonturbinen ===
Til tross for at peltonturbinen har eksistert siden 1870-årene er det fremdeles flere forhold rundt dens fysikk som er uløst. Konstruksjon av peltonturbiner har alltid vært oppfattet som mer vanskelig enn konstruksjon av andre turbintyper. Erfaring og omfattende testing av nedskalerte modeller har vært de viktigste metodene for konstruksjon. Imidlertid har overgangen fra en nedskalert modell til en fullskala turbin ofte vært usikker. Noen av årsaken til dette er at det i en peltonturbin eksisterer fire forskjellige strømningsmodier. Dette er:

Avgrenset stasjonær strømning i rørene frem til dysene
Fri vannstråle ut av dysene
Transient overflatestrømning på skålene og
Tofaset dispergert strømning i turbinhuset (i form av vanndråper og stråler)På grunn av vannets egenskaper som for eksempel overflatespenning, samt de fire forskjellige modiene som har egne hastigheter og lengder av vannets løp gjennom turbinen, vil det være forskjellige regler for oppskalering for de fire stedene i turbinen.Det er av interesse å gjøre målinger og observasjoner i modeller av peltonturbiner, men på grunn av at dette er et meget utfordrende miljø (vannstråler, dråper, tåke etc.) er dette vanskelig. Uansett har det vært gjort flere undersøkelser med systemer med stroboskopisk lys. Noen av de problemene en har sett på løpehjulet er erosjonsskader på eggen og utløpet av skålene. Dette fenomenet er antatt å skyldes kavitasjon, men er ikke bekreftet. For å studere fenomenet i detalj mener en at forløpet der vannstrålen treffer skålene skulle vært undersøkt grundig, noe som aldri er gjort.Et annet fenomen er prosessen der vannet på baksiden av skålene slynges av. Hvis vannet har en tendens til å klebe seg fast, er konsekvensen av dette ikke kjent. Et tredje fenomen er trykkstøt og erosjonsskader i bunnen av skålene. Sensorer for trykkmåling har vært montert i skålene på modeller, og disse viser meget store trykkpulser i senter av skålene. En hypotese for dette fenomenet er kollisjon med vanndråper i turbinhuset.


== Se også ==
Kaplanturbin
Francisturbin
Energikilde


== Noter ==


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
(en) Pelton wheels – kategori av bilder, video eller lyd på Commons 
(en) Pelton-Turbine – galleri av bilder, video eller lyd på Commons 
Om peltonturbin, video fra nettstedet YouTube (engelsk)