Indre energi

Indre energi er en viktig størrelse i termodynamikk og betegner energien som finnes i en lukket mengde med stoff. Dette er i hovedsak termisk energi og kjemisk energi. Termisk energi er den  kinetiske energien som materialet har på grunn av uordnede bevegelser til atomer og molekyler. Kjemisk energi er ordnet bindingsenergi til de samme partiklene og skyldes i stor grad deres potensielle energi. Konvensjonelt regnes ikke masseenergi som indre energi, siden denne stort sett er uendret i termodynamiske og kjemiske reaksjoner. Den indre energien kan beregnes med metoder fra kinetisk teori eller statistisk fysikk. Den er vanligvis betegnet ved symbolene U eller E  og  måles i SI-enheten  Joule.


== Matematiske relasjoner ==
For et termodynamisk system beskrevet ved de termodynamiske variablene volum V, trykk P og temperatur T, vil enhver infinitesemal forandring medføre en forandring i systemets indre energi U og entropi S som må oppfylle termodynamikkens andre hovedsetning. Matematisk betyr det at de tilsvarende differensialene er forbundet ved ligningen

  
    
      
        d
        U
        =
        T
        d
        S
        −
        P
        d
        V
      
    
    {\displaystyle dU=TdS-PdV}
  Dette gjør det naturlig å betrakte den indre energien som en funksjon av entropien S og volumet V.Da vil differensialet av den indre energien være

  
    
      
        d
        U
        =
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  U
                
                
                  ∂
                  S
                
              
            
            )
          
          
            V
          
        
        d
        S
        +
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  U
                
                
                  ∂
                  V
                
              
            
            )
          
          
            S
          
        
        d
        V
      
    
    {\displaystyle dU=\left({\partial U \over \partial S}\right)_{V}dS+\left({\partial U \over \partial V}\right)_{S}dV}
  slik at man må ha

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  U
                
                
                  ∂
                  S
                
              
            
            )
          
          
            V
          
        
        =
        T
        
        ,
        
        
        
        
        
        
        
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  U
                
                
                  ∂
                  V
                
              
            
            )
          
          
            S
          
        
        =
        −
        P
      
    
    {\displaystyle \left({\partial U \over \partial S}\right)_{V}=T\,,\;\;\;\;\;\;\;\left({\partial U \over \partial V}\right)_{S}=-P}
  Slike termodynamiske deriverte spiller en viktig rolle i alle anvendelser av de termodynamiske lovene. 
Varmekapasiteten for systemet er gitt ved forholdet mellom en liten, reversibelt  tilført varmemengde ΔQ = TΔS  og den resulterende økningen ΔT  i temperaturen. Skjer dette ved konstant volum slik at ΔV = 0, vil derfor varmekapasiteten være gitt ved den deriverte

  
    
      
        
          C
          
            V
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  U
                
                
                  ∂
                  T
                
              
            
            )
          
          
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{V}=\left({\partial U \over \partial T}\right)_{V}}
  som gjør det mulig å beregne den ved bruk av statistisk fysikk. Varmekapasiteten ved konstant trykk P er gitt ved en tilsvarende derivert av entalpien til systemet.


=== Åpne system ===
I kjemiske reaksjoner og mange andre, praktiske sammenhenger vil antall partikler N i systemet forandres ved at de skapes eller forsvinner i vekselvirkning med andre partikler eller med omgivelsene. I slike sammenhenger kan det utføres et arbeid som er gitt ved det kjemiske potensialet μ. Ved en liten forandring ΔN  i partikkeltallet, vil det medføre arbeidet ΔW = - μΔN . Matematisk vil man dermed ha den differensielle sammenhengen

  
    
      
        d
        U
        =
        T
        d
        S
        −
        P
        d
        V
        +
        μ
        d
        N
      
    
    {\displaystyle dU=TdS-PdV+\mu dN}
  Denne gir nå de termodynamiske deriverte

  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  U
                
                
                  ∂
                  S
                
              
            
            )
          
          
            V
            N
          
        
        =
        T
        
        ,
        
        
        
        
         
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  U
                
                
                  ∂
                  V
                
              
            
            )
          
          
            S
            N
          
        
        =
        −
        P
        
        ,
        
        
        
        
         
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  U
                
                
                  ∂
                  N
                
              
            
            )
          
          
            S
            V
          
        
        =
        μ
      
    
    {\displaystyle \left({\partial U \over \partial S}\right)_{VN}=T\,,\;\;\;\;\ \left({\partial U \over \partial V}\right)_{SN}=-P\,,\;\;\;\;\ \left({\partial U \over \partial N}\right)_{SV}=\mu }
  som likedan har mange anvendelser.
Temperaturen T, trykket P og kjemisk potensial μ er intensive variable som er uavhengige av systemets størrelse. Derimot er de variable N, U og S proporsjonale med systemets størrelse og kalles for ekstensive variable. Tar man f.eks. to identiske system med samme trykk, temperatur og kjemisk potensial og legger dem sammen, så får man et dobbelt så stort system med samme trykk, temperatur og kjemisk potensial, men med dobbelt så stor indre energi, entropi og partikkeltall. Matematisk sett kan det bare bety at U = TS - PV + μN. De forskjellige, termodynamiske variable må derfor være sammenknyttet på denne enkle måten som kan noen ganger forenkle deres bestemmelse.


== Referanser ==


== Litteratur ==
E. Lillestøl, O. Hunderi og  J.R. Lien, Generell Fysikk, Bind 2,  Universitetsforlaget, Oslo (2001). ISBN 82-15-00006-1.
P.A. Rock, Chemical Thermodynamics, University Science Books, Oxford (1983). ISBN 0-19-855712-5.