Pytagoras

Pytagoras (gresk: Πυθαγόρας) (født ca. 570 f.Kr. på Samos, død ca. 490 f.Kr. i Kroton i Calabria) var en gresk filosof, mystiker og matematiker.
Han var grunnlegger av den pytagoreiske skolen, et  filosofisk, matematisk og religiøst brorskap i Kroton.  
All kjennskap i dag til Pytagoras kommer fra senere omtale, og ingenting skriftlig er kjent fra Pytagoras’ egen hånd. I studiet av Pytagoras’ liv og tankesett kan det være vanskelig å skille fakta fra hypoteser, gjetninger og anekdoter. Han er blitt omtalt som mystiker, vismann, religiøs leder, karismatisk figur, guru, magiker, sjaman, filosof, kosmolog, matematiker og vitenskapsmann.Idéene og tankene til Pytagoras kom til å påvirke svært mange av filosofene som levde etter ham, inkludert Platon og Aristoteles. På denne måten har han påvirket mye av senere vestlig filosofi. Han er også gitt æren for å ha konstruert ordet «filosof», «visdomselsker».  Bildet vi har i dag av Pytagoras er langt på vei formet av senere fortolkninger, ikke minst i rammen av platonsk filosofi.  
En rekke vitenskapelige oppdagelser er tillagt Pytagoras, både i matematikk, musikkteori og astronomi. Dette inkluderer Pytagoras’ læresetning, pytagoreisk stemming, jordas kuleform samt forbindelsen mellom morgenstjernen og aftenstjernen.
Navnet skrives både Pytagoras og Pythagoras. Språkrådet anbefaler en navneform uten bokstaven h.


== Kilder og kildevurderinger ==
Pytagoras etterlot seg ingenting skriftlig som er kjent i dag, og det gjorde heller ikke elever og tilhengere som fulgte rett etter ham.  Allerede i samtiden skal Pytagoras ha hatt en svært polariserende effekt - han ble høyt elsket eller sterkt mislikt.  Historiske kilder er ofte preget av samme tendens, enten å ha form som hagiografier eller å gjøre narr av Pytagoras.  
De fem eldste kildene om Pytagoras er Xenofanes, Heraklit, Empedokles, Herodot og Ion av Khios, alle nære samtidige av Pytagoras. Alle disse nevner Pytagoras bare sporadisk.  Xenofanes gjør i et fragment narr av troen på sjelevandring: Han forteller en historie om en navnløs person som ser en annen mann slå en hund og som så ber mannen holde opp å slå. «Den du slår har sjelen til min venn, jeg kjenner igjen stemmen.» Senere kilder har identifisert den navnløse mannen som Pytagoras. Heraklit omtaler Pytagoras som en mann med stor kunnskap, men også en mann som blir utsatt for kritikk og satire.Demokrit fra Abdera, født omkring 460 f.Kr., skal ha skrevet et verk om etikk, kalt Pytagoras, men dette verket er gått tapt. Fra byen Abdera i Nord-Hellas kjenner en også to sølvmynter fra omkring 430 f.Kr., der den ene siden har et portrett av en skjegget mann, omgitt av navnet Pytagoras. Myntbildet vitner om Pytagoras' status og er antagelig laget noen få tiår etter hans død.  
Moderatos fra Gades skrev et elleve-binds verk om pytagoreisk tenkning, hvor han forsøker å vise at senere pytagoreere ikke hadde fjernet seg langt i tenkesett fra grunnleggeren Pytagoras.Tre viktige senere kilder, i kronologisk rekkefølge, er Diogenes Laertios (200 e.Kr.), Porfyrios (ca.230-304 e.Kr.) og Jamblikos (ca.230 -330 e.Kr.).  
Alle disse tre levde altså mange hundre år etter Pytagoras.  Verket Liv, lære og utsagn av kjente filosofer av Diogenes Laertios har et avsnitt om Pytagoras.  
Porfyrios bygger delvis på Dikaiarkhos (ca. 350-285 f.Kr.), en elev av Aristoteles, men ingen av Dikaiarkhos' skrifter er bevart.  
Både Porfyrios og Jamblikos var nyplatonikere, og begge skrev biografier med tittel Livet til Pytagoras.  
Porfyrios' presentasjon av Pytagoras' filosofi er omtalt som «grunnleggende platonsk». 
Jamblikos skrev også verket Om det pytagoreiske levesett.  De tre forfatterne omtaler alle Pytagoras som nær overmenneskelig, og omtalen blir mer og mer fantastisk fra den 
første til den tredje.  Jamblikos' Livet til Pytagoras, er beskrevet som «en hedensk parallell til Bibelen».Aristoteles nevner ikke ofte Pytagoras, men omtaler som regel i stedet «de som kaller seg pytagoreere».
Platon nevner Pytagoras bare én enkelt gang. Også andre forfattere ser ut til å unngå å nevne navnet, som Empedokles og Herodot. Dette kan være et tegn på respekt, men også uttrykk for 
skepsis mot en person som det blir fortalt så mye fantastisk om.Mange skribenter har ønsket å kunne ta Pytagoras til inntekt for et spesielt syn eller oppfatning, og omtalen av personen er derfor svært ofte farget og må leses med
kritisk sans.  Bildet vi har av Pytagoras i dag er tildels sterkt farget av hvordan han i ettertiden er blitt tolket i lys av platonsk filosofi.
Andre skribenter har ønsket å framstille Pytagoras i et negativt lys, og han er for eksempel framstilt både som frihetstilhenger og som tyrann. 
Moderne forskere, som W.K.C Guthrie og Walter Burkert, har gjort en betydelig innsats for å forsøke å finne fram til den historiske personen Pytagoras, ved å gå tilbake til de eldste kildene.
De eldste kildene nevner ikke de matematiske resultatene Pytagoras skal ha kommet fram til.
Denne delen av arbeidet hans ble blant disse ikke betraktet som interessant.  I det kjente verket History of Greek Philosophy skriver W.K.C Guthrie at senere kilder
er så unisone i sin omtale av matematikeren Pytagoras, at her likevel må være en kjerne av sannhet.  


== Liv og virke ==


=== Familie og oppvekst ===
Nøyaktige leveår for Pytagoras er ikke kjent.  Han er sannsynligvis født på øya Samos i første halvdel av det sjette århundre før Kristus, men forsøk på angi et nøyaktig årstall spriker.  
Thomas Heath oppgir «ca. 572 - 497 f.Kr eller muligens noe senere». 
MacTutor gir ca. 570 - 490 f.Kr.Apollonius, en skribent fra Samos, oppgir at mor til Pytagoras skal ha hatt navnet Pythaīs.  Det er imidlertid tenkelig at bak dette utsagnet ligger et ønske om å knytte 
Pytagoras til Pythia, Apollons prestinne ved oraklet i Delfi.  Flere kilder, inkludert Heraklit, oppgir at far til Pytagoras skal ha vært Mnesarkos.
(Jamblikos skriver navnet som Mnemarkos.)
Kildene varierer imidlertid i omtale av hvor Mnesarkos kom fra: Samos, byen Tyr i Libanon og øya Limnos er nevnt.Fra tiden omtrent da Pytagoras ble født, kjenner vi også de første greske naturfilosofene, som Tales fra Milet og Anaksimander.  
Pytagoras levde samtidig som filosofene Anaksimenes og Xenofanes, og han døde før Sokrates, Platon og Aristoteles var født.  
Ifølge Diogenes Laertios skal Ferekydes fra Syros ha vært en lærer for Pytagoras.  Også om Ferekydes er det fortalt mange fantastiske historier, 
som at han var i stand til å forutsi hendelser om skipsforlis og jordskjelv.  Da Ferekydes som gammel mann ble syk på øya Dilos, skal Pytagoras ha reist dit for å pleie ham.
Selv om fortellinger om Ferekydes og Pytakoras har preg av legender, kan det være historisk rett at det har vært kontakt mellom disse to. Begge mennene er
talsmenn for en blanding av mytologi og naturvitenskap.  
Jamblikos forteller at Pytagoras skal ha besøk Tales i Milet og fått undervisning i matematikk der, og Tales må i så tilfelle ha vært ganske gammel på denne tiden.   


=== Reiser ===
Pytagoras skal ha forlatt Samos under det tyranniske styret til Polykrates, kanskje på grunn av dette.  Det eksisterer mange fortellinger om senere reiser,
men disse fortellingene er usikre og gir ikke et konsistent bilde.  Alle reisefortellingene kan være farget av et ønske om å presentere Pytagoras og greske tenkere som arvtakere av
kunnskap fra østen.  
Isokrates sier om Pytagoras i en tale at «under et besøk til Egypt studerte han folkets religion, og han var den første til å gi grekerne 
filosofi».
Mange anekdoter eksisterer om reisen til Egypt.  En slik anekdote, som skal stamme fra en ellers ukjent forfatter Antifon, forteller at Pytagoras skal ha bedt tyrannen Polykrates om et anbefalingsbrev til den egyptiske herskeren 
kong Amasis, som var kjent for en pro-gresk holdning. Fra Amasis fikk Pytagoras videre til anbefalingsbrev til de egyptiske prestene. Fra prestene i Heliopolis
ble Pytagoras sendt videre til prestene i Memfis, som igjen sendte ham videre til Teben (gresk: Diospolis). I Teben turte en ikke lenger avvise 
Pytagoras, men de forsøkte å skremme ham bort ved å presentere religiøse ritualer svært fremmed for gresk tankegang. Pytagoras fulgte pliktoppfyllende alle ritualene og 
fikk etter dette stor respekt blant egypterne.  Som den første utlending fikk han lov til å delta i alle offerhandlinger til egyptiske guder.  Anekdoten har vært tolket
som et forsøk på å forklare opphavet til senere ritualer brukt av pytagoreerne, ritualer som grekerne kunne oppfatte som fremmedartede.
Ifølge Porfyrios skal Pytagoras ha lært geometri fra egypterne, aritmetikk fra fønikerne og astronomi fra kaldeerne.  Kaldea var et område i sørlige Mesopotamia.
En senere forfatter, Antonius Diogenes, forteller at Pytagoras lærte drømmetydning av fra jøder. Sofisten Filostratos skriver at Pytagoras var i kontakt med indiske vismenn.  
Jamblikos inkluderer også kontakt med keltere og iberere!


=== Kroton ===
I siste halvdel av det sjette århundre, ca. 530 f.Kr., reiste Pytagoras til Kroton og bosatte seg der.  Byen var en del av Magna Graecia, et område
i Sør-Italia kolonisert av grekere. Porfyrios bygger på Dikaiarkhos når han forteller at Pytagoras ved ankomsten til Kroton gjorde et sterkt inntrykk på ledelsen i byen.  
Han ble invitert til å holde tale for
byens yngre menn, deretter for skoleelever og for en forsamling av kvinner.  Denne inndelingen i grupper kan reflektere en gammel form for organisering av samfunnet, 
med spesialiserte klubber eller forsamlinger. Pytagoras skal ha holdt taler om moral og blant annet oppfordret lytterne til å respektere
alder og foresatte.  Han skal ha vært en svært god og overbevisende taler.
I Kroton fikk Pytagoras en rekke tilhengere, og blant disse innstiftet han brorskapet av pytagoreere.
En legende sier også at Numa Pompilius, kongen av Roma, fikk undervisning av Pytagoras, men Pytagoras var født etter at denne kongen var død.  
Theano er omtalt som en tilhenger av Pytagoras, og ifølge noen kilder skal han ha giftet seg med henne.  Andre skribenter omtaler Theano som Pytagoras' datter.
Jamblikos nevner at Pytagoras hadde en datter Myia og en sønn Mnesarkos. 
Også en annen datter, Arignote, skal ha vært pytagoréer.I begynnelsen var Pytagoras og disiplene hans høyt respektert, og Porfyrios beretter at flere av disiplene fikk politisk ansvar i byer i Magna Graecia.  Gradvis oppsto det imidlertid
misunnelse og fiendskap, der en aristokrat Cylon fra Kroton skal ha vært en drivende kraft og motstander av Pytagoras. Cylon ville først bli en følger av Pytagoras, men
ble avvist:  Pytagoras ble i antikken sett på som oppdageren av fysiognomikk, sammenhengen mellom psyke og utseende, og Pytagoras skal på et slikt grunnlag ha gitt
Cylon et nei.  Cylon var ikke i stand til å tåle dette nederlaget, ville ha hevn og startet et opprør mot Pytagoras. 


=== Flukt og død ===
Hendelsesforløpet i det etterfølgende opprøret mot pytagoreerne i Kroton er uklart.  Noen kilder sier at Pytagoras 
og andre pytagoreere var samlet i hus og ble angrepet av andre innbyggere.  Andre kilder sier at Pytagoras var på reise til Delos for å stelle
læreren Ferekydes da angrepet skjedde.  Dikaiarkhos forteller av Pytagoras flyktet til Locri, også dette en by i Magna Graecia.  Her ble han imidlertid avvist, og flukten endte til slutt i byen Metapontum i Magna Graecia.  
I Metapontum oppsto ny uro rettet mot pytagoreerne, og for å komme unna måtte Pytagoras gjemme seg i et tempel for musene.  Her skal han ha avsluttet livet, kanskje av naturlige årsaker, kanskje av mangel på mat,
kanskje etter å ha begått selvmord.  Igjen varierer kildene i fortellingen.  


=== Anekdoter ===
Den eksisterer et stort antall anekdoter og fantasifulle fortellinger om Pytagoras, ofte for å vise at han hadde overnaturlige evner, for å vise hans gudommelige
karakter og spesielle evner.  
Porfyrios skriver at Pytagoras skal ha hatt gullforgylte hofter, som en gud. Han skal ifølge Jamblikos ha brukt dette til å la seg identifisere, 
en gang han møtte Apollon-presten Abaris.Både Porfyrios og Jamblikos forteller at Pytagoras hadde evnen til å være to ulike steder på en gang, for eksempel i Kroton og i Mesopotamia.  
Flere kilder forteller om Pytagoras evne til å lære opp dyr.  Han skal for eksempel ha lært opp en okse til å avstå fra å spise bønner.
Porfyrios og Jamblikos skriver begge at en vill bjørn skal ha sverget til Pytagoras at den aldri mer ville spise kjøtt.Pytagoras skal ha hatt evnen til å huske sine tidligere liv, inkludert livet som helten Euforbos i den trojanske krig.En gang Pytagoras møtte fiskere, var han i stand til å forutsi helt nøyaktig antallet fisk de ville komme til å hente opp i garnet sitt. Også ved en rekke andre 
anledninger skal Pytagoras ha vist profetiske evner.  I Mesopotamia, etter å ha drukket vann fra en brønn, skal han ha forutsagt et jordskjelv.
I Mesopotamia skal en elv ha hilst Pytagoras velkommen, da han ville krysse elva.  Hilsenen var så høy at alle som sto rundt hørte den. Elver var på Pytagoras' tid guddommelige,
så anekdoten er uttrykk for en religiøs forestilling.  


== Pytagoreerne ==

I Kroton grunnla Pytagoras et filosofisk, matematisk og religiøst brorskap, og medlemmene her er kalt pytagoreere.  Dette var et lukket brorskap av både kvinner og menn,
der både kunnskap og ritualer ble holdt hemmelig.  Kilder anslår at antallet medlemmer ikke har oversteget 
tre hundre. I tillegg til de innvidde medlemmene var det også en stor gruppe pytagorister, personer som sympatiserte med Pytagoras og som mer eller mindre forsøkte å rette
seg etter hans lære.  
Pytagoreerne måtte gjennom en flere års prøvetid for å vise seg verdige til å være med i brorskapet. Evnen til å utvise taushet og å gjennomføre en asketisk og etisk livsførsel 
ble sett på som viktig i denne prøveperioden. Jamblikos skriver at kandidatene etter fem års stillhet ble kalt esoterikos, innvidde medlemmer 
i den innerste sirkelen. Pytagoras skal ha hatt en absolutt autoritet i gruppen.  
Kunnskap i brorskapet ble blant annet representert som fyndord, på gresk akousmata («hørte ting»), og som symbola, som symboler og passord.  
Tross hemmelighetsholdet er mange slike akousmata gjengitt av senere skribenter.
Pytagoreisk kunnskap er i ettertiden blitt karakterisert som «esoterisk», en blanding av guddommelig, mystisk og rasjonell innvidd kunnskap.Ritualer ble tillagt stor vekt i brorskapet, inkludert begravelsesritualer.  


== Pytagoras og matematikk ==
Ingenting er sikkert kjent om Pytagoras' bidrag til matematikk, men i ettertiden og tradisjonen er han blitt stående som en av pionerene i vestlig matematikk.  
Han er gitt æren for flere spesifikke resultater, kanskje både med rette og urette.  Som med alt annet ved Pytagoras, er også rollen hans i matematikkhistorien
omdiskutert.  
Pytagoreerne la stor vekt på matematikk, og generelt er det ikke
uvanlig at resultater og oppfinnelser utviklet i et større miljø blir tillagt lederen av miljøet. Det er også fullt mulig at Pytagoras selv har utviklet 
original matematikk.  


=== Tall og aritmetikk ===

Pytagoras skal ha ment at alle ting ikke bare kan uttrykkes ved tall, men grunnleggende er tall. Aristoteles skriver i Metafysikken at «Pytagoreerne 
studerte matematikk, og de var de første til å utvikle denne vitenskapen. Studiet ledet dem til å tro at matematiske prinsipper er grunnleggende for alt.  Og siden
tallene er det grunnleggende prinsippet i matematikk, trodde de at de kunne finne i tallene - mer enn i ild, jord og vann - mange analogier for det som finnes.
En egenskap til tallene er lov og rett, en annen er sjelen og tanken, en tredje er muligheter, og så videre med alt annet.  Og siden de videre så at
egenskaper og forhold i skalaer i musikk er basert på tall, og siden det syntes klart at alle andre ting er fullt og helt basert på tall, så måtte tallene være det
ultimat grunnleggende i hele det fysiske universet.»Pytagoreisk tallforståelse sammenfattes ofte til at «alt er tall», men dette bildet har også vært en kilde til mye diskusjon i moderne tid. Har Aristoteles og senere skribenter oppfattet pytagoreerne riktig? Er bildet vi har at denne talltenkningen, farget av platonsk filosofi om ideale elementer? 
Tallene var for grekerne de positive heltallene, de naturlige tallene. Likevel ble ett-tallet 1 lenge ikke betraktet som et tall, men som den grunnleggende enheten. Denne betraktningsmåten kan ha opprinnelse hos pytagoreerne. Skillet mellom partall («kvinnelige tall») og oddetall («mannlige tall») tilskrives Pytagoras. Summen av ulike tall gir kvadrattall, og ulike tall regnet han derfor som mer perfekte og «mannlige» enn partallene. Disse danner i stedet rektangler, som i hans øyne gjorde dem ufullkomne, dvs. «kvinnelige».Jamblikos gir også Pytagoras æren for å ha oppdaget såkalt «vennlige tall». Angivelig uttalte han at en venn er «en som er det annet jeg, slik som 220 og 284». Det han mente, var at 220 kan deles på 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 44, 55 og 110, og om disse legges sammen, blir de 284. 284 kan deles på 1, 2, 4, 71 og 142, og om disse legges sammen, får man 220. Et tallpar 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
   er vennlig dersom summen av ekte divisorer 
i det ene tallet 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   er lik det andre tallet 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   og omvendt. 
Pytagoras skal også ha introdusert figurtall. 
Flere systemer var i bruk av grekerne for å representere heltallene, alle basert på bruk av bokstavene i det greske alfabetet. Egne symboler for tall var ikke i bruk.Gresk opererte ikke med rasjonale tall, men med forhold mellom to og flere heltall. Pytagoras må ha vært kjent med noe teori for forholdstall,
siden dette var grunnlaget for musikkteorien hans. De første kildene vi har til teori for forholdstall, er imidlertid fra tiden etter Pytagoras, for eksempel fra Evdoksos fra Knidos.
Tre typer middelverdier, aritmetisk, harmonisk og geometrisk middel, kan uttrykkes som forholdstall, og opphavet til disse middelverdiene føres mange ganger tilbake til Pytagoras, 
blant annet ved tilnavnet pytagoreiske gjennomsnitt.
Om Pytagoras har hatt en forståelse av irrasjonale tall, er omdiskutert.Proklos har i Det evdemiske sammendraget en setning som er blitt tolket som «Det var Pytagoras som oppdaget teori for irrasjonale». Thomas Heath argumenterer imidlertid for at det siste ordet i den greske setningen skal oversettes med «forholdstall», ikke «irrasjonale».
Pytagoreernes forhold til inkommensurable størrelser er et stort og omdiskutert emne.


=== Geometri ===

Diodorus Siculus siterer en tidlig kilde, Kallimakhos, som skal ha sagt at Pytagoras var den første til å introdusere geometriske problemstillinger fra Egypt, og han
skal ha oppdaget flere geometriske problem på egen hånd.
I Det evdemiske sammendraget skriver Proklos at Pytagoras fulgte etter Tales fra Milet og utviklet geometri til å være en av de frie kunstene.  Han skal også
ha konstruerte «de kosmiske figurene», det vil si de fem regulære legemene, men dette er nok en overdrivelse.  
Bruk av areal til å uttrykke produkt av to størrelser er grunnleggende i gresk matematikk og geometri. Ved hjelp av dette var en i stand til å løse geometrisk enkelte former for
andregradsligninger, i det som i ettertiden er blitt omtalt som (gresk) geometrisk algebra.  Slike arealbetraktninger har opphav hos pytagoreerne og kanskje
hos Pytagoras selv.


=== Pytagoras' læresetning ===

Setningen som i dag er kjent som Pytagoras' læresetning, gir sammenhengen mellom sidelengdene 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  , 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   og 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   i en rettvinklet trekant:

  
    
      
        
          a
          
            2
          
        
        +
        
          b
          
            2
          
        
        =
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
  Sammenhengen var kjent lenge før Pytagoras tid, blant annet i babylonsk matematikk. Selv om tradisjonen har knyttet setningen sterkt til Pytagoras, finnes det ikke sikkert 
grunnlag for å si at han oppdaget sammenhengen på egen hånd:

Though this is the proposition universally associated with the name of Pythagoras, no really trustworthy evidence exists that it was actually discovered by him...I would not go so far as to deny to Pythagoras the credit of the discovery of our proposition; nay, I like to believe that the tradition is right, and that it was really his.

Det er mulig at Pytagoras introduserte setningen til grekerne, etter for eksempel å ha fått kunnskapen fra reiser i Babylon, men heller ikke dette kan 
belegges med historiske fakta.Flere kilder forteller at Pytagoras skal ha ofret en okse da han oppdaget sammenhengen uttrykt i setningen, men dette samsvarer ikke med tradisjonen om at pytagoreerne
var mot blodoffer.      
En gruppering av tre heltall 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b,c)}
   som oppfyller Pytagoras' setning, kalles et pytagoreisk trippel. Et eksempel på et slikt trippel er (3, 4, 5).


== Pytagoras og musikk ==

Pytagoras har en stor plass i historien for musikkteori, ved å fått æren for å ha oppdaget at toner og musikk har et matematisk fundament.  Forhold mellom intervaller
kan beskrives ved forhold mellom tall.  Ofte blir Pytagoras også gitt æren for å være oppdageren av monokorden, et plankeinstrument med én streng.  Ved hjelp av et bevegelig 
trestykke under strengen kan en variere tonehøyden og også demonstrere matematiske forhold.  
Som så mye rundt Pytagoras er også oppdagelsen av harmoniske forhold omgitt av fantasifulle fortellinger. Nikomakhos fra Gerasa beretter at Pytagoras en gang gikk forbi
en smie og hørte da klangen fra hammere som slo mot metall.  Lyden fra de fleste slagene var i full harmoni med hverandre, men også disharmonisk lyd forekom. I harmoniene skal 
Pytagoras ha identifisert intervaller som oktav, kvart og kvint, og han skal ha registrert at kvarten og kvinten sammen laget disharmoni.  Han løp inn i smien, og
der inne gjennomførte han en rekke eksperimenter. Disse viste at det ikke var styrken i slagene eller hammerformen, men forholdet mellom hammervekt som skapte harmoniene.Etter den grunnleggende oppdagelsen skal Pytagoras ha utviklet det som ble det klassiske greske tonale systemet, med skalaer og akkorder. Grunnleggende var tetrakorden,
en gruppe av fire tonehøyder med kvart-intervaller i mellom.  Forholdet mellom de fire første tallene (1 : 2 : 3 : 4) skal Pytagoras ha kalt tetraktys («fire-het»), 
og i forholdet 1:2 fant han oktaven, i 2:3 kvinten og i 3:4 kvarten.  Tetraktys
ble for pytagoreerne en hemmelig nøkkel for å forstå verden og kosmos. Dette forholdet mente de å se ikke bare i musikk, men overalt i naturen.  I en innvielsesseremoni skal
pytagoreerne ha sverget troskap til Pytagoras, oppdageren av tetraktys.Den kristne skribenten Hippolytus fra Roma gir i verket Argument mot alt kjetteri plass til omtale av Pytagoras. Her skriver han at Pytagoras mente at
kosmos har en egen sang og musikk.  Hvert himmellegeme skal også ha sin egen rytme og melodi, og sammen skaper de musikk.  
Omtalen hos Hippolytus reflekterer at Pytagoras gjennom hele antikken og middelalderen var berømt for en forestilling om kosmisk harmoni og «sfærenes harmoni».I moderne musikkteori er flere begreper gitt navn etter Pytagoras.
I pytagoreisk stemming favoriserer en rene kvinter framfor andre intervall, en måte å stemme på som var i bruk gjennom hele middelalderen. For å beskrive forhold mellom
intervall i en slik skala eller stemming brukes et lite intervall kalt et pytagoreisk komma.


== Pytagoras og astronomi ==

Pytagoras skal være en av de første til å mene at både jorda og universet har en kuleform.
Hva som ga inspirasjon til teorien er ikke kjent, men det har vært spekulert på om Pytagoras observerte skyggen av jorda under en måneformørkelse.  
Det er også mulig at bakgrunnen bare var estetisk, et ønske om å koble jorda til en perfekt form.En annen oppdagelse som Pytagoras har fått æren for, er at morgenstjernen og aftenstjernen er ett og samme objekt, i dag kjent som planeten Venus.  
Pytagoras kan være den første grekeren til å observere at planetene har en uavhengig bevegelse fra vest til øst, motsatt av den daglige omdreiningen til fiksstjernene.
Det er også mulig at han har fått den kunnskapen fra babylonerne.Senere pytagoreere laget et verdensbilde der både sola, jorda og planeter sirkulerer rundt en brennende flamme i sentrum. For Pytagoras var nok jorda sentrum i universet, 
og sola, stjernene og planetene sirkulerte rundt denne. Opphavet til det pytagoreiske verdensbildet med flammen i midten skal være pytagoreeren Filolaos.Et krater på månen er oppkalt etter Pytagoras.


== Pytagoras, filosofi, religion og levesett ==
Pytagoras og pytagoreerne blandet aritmetikk, geometri, astronomi og musikkteori med filosofi, mystikk og religion. Den foregående inndelingen i avsnitt, etter moderne 
naturvitenskapelige skillelinjer, er nok ikke representativ for Pytagoras' eget tankesett.


=== Filosofi og religion ===
Blant pytagoreerne var Pytagoras beundret for evnen til å lage nye ord, og det eksisterer en omfattende tradisjon for at det var Pytagoras som laget ordet
«philosophos», med betydning «en elsker av visdom».  Om denne tradisjonen er rett - og i så tilfelle hva slags visdom Pytagoras har hatt i tankene - er igjen gjenstand for
diskusjon.Pytagoras følger etter de joniske tenkerne, førsokratikerne som hadde tatt opp spørsmål om hva som er det grunnleggende og uforanderlige i universet.  
Svaret Pytagoras gir er tall og matematikk.  Kunnskap i matematikk er sikker kunnskap.
Pytagoreisk tenkning er også framstilt som et tidlig forsøk på å skape orden og sammenheng i kosmos.  
Politisk skal pytagoreerne ha gått inn for et hierarkisk styresett, der de som har innsikt skal styre og også ha privilegier og ære.Et vitnesbyrd om Pytagoras som tenker er gitt av Herodot, som omtaler Pytagoras som «ikke den dårligste sofisten blant grekerne». 
Bruken av ordet «sofist» hadde mange valører og kunne bli brukt om kunnskapsrike personer og filosofer. (Den nedsettende betydningen av ordet kom inn senere, med Platon.)
Pytagoreerne betraktet Pytagoras i en mellomstilling mellom gudene og menneskene, en framstilling som kanskje Pytagoras selv har bidratt til å forsterke.
Ofte understrekes en forbindelse mellom Pytagoras og guden Apollon.  Pytagoras' omtale av Troja-helten Euforbos som en tidligere inkarnasjon, er også blitt 
forklart med denne heltens nære samarbeid med Apollon. 
Også den mytologiske Orfeus er ofte nevnt som en lærer for Pytagoras.I de mange fyndordene som finnes etter Pytagoras, er det mange leveregler, regler for hva en skal gjøre og ikke gjøre.  Noen av de mest detaljerte er, ifølge Aristoteles,
regler for ofringer til gudene og regler for å ære gudene.  


=== Reinkarnasjon ===
Pytagoras skal ha lagt stor vekt på sjelen og dens evne til å overleve etter døden.  Dette er tanker og ideer han kanskje har hentet fra læreren Ferekydes og fra orfisme.
Etter døden drar sjelen videre og kan ta bolig i et nytt menneske eller et dyr, gjennom reinkarnasjon.  Dette gjør at alt levende må være likeverdig og må behandles med respekt.
Følgere av Pytagoras skal ha blitt lovet et godt liv etter døden, basert på et strengt etisk levesett, en grunnleggende tanke han også delte med orfistene.


=== Diettregler ===

Som en konsekvens av troen på reinkarnasjon, karakteriserer tradisjonen ofte Pytagoras og pytagoreere med vegetarianisme.
Både Evdoksos og Dikaiarkhos går ut fra at Pytagoras har vært vegetarianer, og Jamblikos oppfordrer til å avstå fra å drepe og spise alle legemer med sjel.
Også orfistene praktiserte vegetarianisme.I gresk religion og offentlig liv var dyreoffer helt sentralt, og en konsekvent form for vegetarianisme ville isolere pytagoreerne fra resten av samfunnet.
Kravet til å avstå fra kjøtt er derfor omdiskutert.  Jamblikos skriver at sjeler ikke går inn i alle dyr, og bare de som ikke har sjel, kan ofres.
Det er også mulig at ulike krav ble stilt til ulike grupper av pytagoreere, slik at streng vegetarianisme bare ble praktisert av en liten indre kjerne.
Porfyrios skriver at «de som har lov til å spise kjøtt, skal bare spise dyr som kan ofres».Kravet til diett blant pytagoreerne er imidlertid langt fra entydig og konsistent i kildene.
Hos noen skribenter finner en beskrevet forbud mot å spise bestemte dyr eller fiskearter, for eksempel hvite haner.  Også forbud mot å spise
bestemte deler av dyr er omtalt, for eksempel mage, hjerte, hjerne og testikler.  
Andre kilder oppgir bare forbud mot å ofre dyr og forbud mot å spise dyr som er ofret. 
Berømt er Pytagoras' forbud mot å spise bønner. Dette forbudet gjaldt favabønner og er omtalt av blant andre Aristoteles og Porfyrios.
Mange forklaringer blir gitt på de ulike diettreglene, ikke bare troen på reinkarnasjon, men også religiøse årsaker samt likhet med forplantningsorganer.


=== Vennskap ===
Pytagoras skal ha hevdet at det eksisterte en spesiell form for ideelt vennskap mellom de innvidde, et pytagoreisk vennskap.
Dette vennskapet ville eksistere selv om to innvidde personer aldri hadde møtt hverandre før.
Ifølge historikeren Timaios skal Pytagoras ha sagt at de som gikk inn i fellesskapet, måtte holde alt felles.  
Vennskapet var imidlertid begrenset til medlemmene av brorskapet.  Apollonios fra Tyana skriver at «Pytagoras betraktet vennene som guder, de andre var ikke verdt å nevne
og talte ingenting».Ifølge den tidligste kilden, Xenofanes, skulle Pytagoras nettopp ha gjenkjent sjelen til en venn i en hund.  
Sammenblanding av filosofi og matematikk viser seg også her, ved definisjonen av vennlige tall.  


== Pytagoras i ettertiden ==
Etter at Pytagoras var død, ble pytagoreerne spredd. Brorskapet gikk langsomt i oppløsning, men spredningen førte også til at idéene ble spredd.  
Pytagoreerne delte seg også i to fraksjoner, og historikere har hatt problem med å fastslå om denne fraksjoneringen skjedde under eller etter
opprøret mot pytagoreerne.W.K.C Guthrie skriver at det må være hevet over tvil at Pytagoras ga impuls til «en ny tradisjon i filosofien». 
Walter Burkett karakteriserer Pytagoras mer som en seer og mystiker, men vil ikke omtale ham som filosof eller naturvitenskapsmann.  
Uansett tolkning og karakteristikk, så framstår Pytagoras som en svært viktig inspirator, en person senere skribenter bygger på og spinner rundt.  
Det har imidlertid vært hevdet at den store mengden litteratur som ble skrevet senere - og så tilegnet Pytagoras og pytagoreere - har vært viktigere enn 
Pytagoras selv.Pytagoras skal ha gitt inspirasjon i mange retninger, og forfatteren og filosofi-professoren Charles H. Kahn deler påvirkningen opp i tre områder:
Troen på det okkulte og det overnaturlige
Reinkarnasjon og vegetarianisme
Naturvitenskap: matematikk, musikk og astronomi.Ifølge Aristoteles var Platons filosofi sterkt påvirket av Pytagoras. 
Bildet av Pytagoras endret seg sterkt etter Platon og hans akademi, fra å være en religiøs mystiker til å være sett på som skaperen av
en matematisk filosofi. Atronomi, musikkteori, geoemtri og aritmetikk ble sett på som
søstervitenskaper, slik som det ble uttrykt i quadrivium, en gruppering av fire av de syv frie kunstene.  
Neopytagoreisme er en filosofisk retning i hellinistisk tid som forsøkte å ta opp igjen og fornye pytagoreisk tenkning, blant annet ved å blande
mystiske religiøse elementer med annen eksisterende filosofi.  Retningen var farget av platonismen og kom igjen til å påvirke nyplatonismen.  Kjente nypytagoreister 
er Apollonios fra Tyana, Moderatos fra Gades og Nikomakhos fra Gerasa. 
I middelalderen spilte Boëthius en viktig rolle for å formidle et platonsk bilde av Pytagoras. Verker av Boëthius om aritmetikk, geometri, astronomi og musikk
kom til å sette et tydelig preg på høyere utdanning i Europa, og disse verkene bygget tungt på nypytagoreeren Nikomakhos.


== Se også ==
Pytagorastall
Pytagoreisk kopp


== Referanser ==


== Litteratur ==
K. S. Guthrie, red. (1988). The Pythagorean Sourcebook and Library. Grand Rapids: Phanes Press. ISBN 0-933999-51-8. 
Thomas Heath (1981). A history of Greek mathematics. I. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-24073-8. 
Christoph Riedweg (2002). Pythagoras.  His life, teaching and influence. Ithaca: Cornell University Press. ISBN 978-0-8014-7452-1. 
Charles H. Kahn (2001). Pythagoras and the pythagoreans.  A brief history. Indianapolis: Hackett Publishing Company. ISBN 978-0-87220-575-8. 
Carl A. Hufmann, red. (2002). A history of pythagoreanism. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-1-316-64847-6. 
Ove Kr. Sundberg (1980). Pythagoras og de tonende tall. Oslo: Tanum-Norli. ISBN 82-518-0900-2. 


== Eksterne lenker ==
«The life of Pythagoras, by Iamblichus». Internet Archive. Besøkt 14. desember 2021.  Jamblikos verk i engelsk oversettelse av Thomas Taylor, 1918
«The complete Pythagoras». Internet Archive. Besøkt 14. desember 2021.  Pytagoras-biografier og fragment oversatt til engelsk av Kenneth Sylvan Guthrie
«Pythagoras of Samos». MacTutor History of Mathematics Archive. Besøkt 14. desember 2021.