Bohrs atommodell

Bohrs atommodell (eller den atomære skallmodellen) ble foreslått av den danske fysiker Niels Bohr i 1913. Den bygde på modellen til Ernest Rutherford hvor atomet besto av en liten, sentral atomkjerne omkranset av ett eller flere mye lettere elektroner som går i sirkelbaner. Sammenlignet med tidligere foreslåtte teorier kunne den gjøre kvantitative forutsigelser for spektrallinjer som var i overensstemmelse med målinger. Men dette gjaldt bare for hydrogenatomet og lignende atomer med ett elektron.  Den gjorde for første gang bruk av en kvantebetingelse som bestemte de tillatte banene for elektronet. På den måten var modellen den første som gjorde bruk av kvanteteori. Emisjon og absorpsjon av lys skulle foregå ved diskrete kvantesprang mellom disse stabile banene. Resultatene for spektrallinjene som dermed kan oppstå, viste seg senere å stemme med hva den mer moderne kvantemekanikken gir for H-atomet når man ser bort fra finere detaljer Det er hovedgrunnen for at denne halvklassiske modellen har beholdt sin betydning.
Modellen ble utvidet noen få år senere ved å inkludere ellipsebaner som ble beregnet ved Bohr-Sommerfeld-kvantisering. Dette ga en bedre forståelse for de forskjellige kvantetallene som måtte innføres. Sammen med en relativistisk beskrivelse av bevegelsen til elektronet, kunne man da også beregne mindre korreksjoner for verdiene til spektrallinjene som opptrådte. Dette førte til en bedre forståelse av deres finstruktur.
For atomer med mange elektroner ga modellen til Bohr kun en kvalitativ beskrivelse, men skapte likevel et rammeverk som ti år senere ble fullbyrdet ved etableringen av moderne kvantemekanikk. Avgjørende var i tillegg oppdagelsen av Pauli-prinsippet som ordnet alle elektronene inn i veldefinerte elektronkonfigurasjoner og forklarte det periodiske systemet for grunnstoffene. Likevel er det mentale bildet de fleste har den dag i dag av hvordan et atom ser ut,  influert av hva Bohr brukte i utformingen av sin opprinnelige modell.


== Bohrs postulater ==
I tidligere atommodeller var det vanlig å forbinde emisjon av lys fra elektronene i atomet med deres antatt periodiske bevegelser i atomet. Denne var  beskrevet ved klassisk mekanikk og utstrålingen av elektromagnetiske bølger fulgte fra Maxwells ligninger. Dette var også et problem for Rutherfords atommodell som Niels Bohr begynte å arbeide med da han kom til hans gruppe i Manchester om våren 1912. Når elektronet sendte ut lys, ville det tape energi og dermed falle inn mot den positivt ladde kjernen.
For å komme videre, måtte derfor Bohr gjøre nye antagelser som måtte gå utover hva som kan forklares med klassisk fysikk. Han var i samme situasjon som Max Planck hadde vært i tolv år tidligere da han forklarte egenskapene til sort varmestråling. Det hadde han lykkes med ved å postulere at atomene i veggen som omsluttet strålingen, bare kunne emittere og absorbere energi i diskrete energikvant E = hν når frekvensen er ν og  h den nye Plancks konstant.
På denne bakgrunn kom Bohr frem til at han behøvde tre postulater:
Av alle mulige klassiske baner kan et elektron kun bevege seg i noen tillatte sirkelbaner. I en slik stasjonær bane emitteres ingen stråling og elektronet har konstant energi.
Et elektron i en bane med energi E kan gå over til en annen bane med energi E'  ved å absorbere eller emittere lys når frekvensen ν tilfredsstiller Plancks relasjon 
  
    
      
        Δ
        
          E
        
        =
        E
        −
        
          E
          ′
        
        =
        h
        ν
         
        ,
      
    
    {\displaystyle \Delta {E}=E-E'=h\nu \ ,}
  
Emisjon og absorpsjon av lys ved overganger mellom tillatte baner med svært store radier skal skje for frekvenser som faller sammen med omløpsfrekvensen for elektronet i sirkelbanen.Det første postulatet er i direkte motstrid med Maxwells ligninger som sier at elektronet vil sende ut elektromagnetisk stråling. Og det var akkurat dette problemet som hadde vært det store hinder i tidligere modeller som Thomsons rosinbollemodell. Bohr sier ganske enkelt at på atomært nivå gjelder ikke klassisk fysikk lenger og må erstattes med nye lover som hans postulat uttrykker. 
Med det siste postulatet knytter Bohr sin nye beskrivelse til den gamle, klassiske fysikken. Dette er siden blitt kalt for Bohrs korrespondanseprinsipp. I grensen hvor atomet blir veldig stort, skal dets egenskaper som følger fra kvantefysikken, være i overensstemmelse med hva klassisk fysikk ville gi. 
Det ble raskt klart at det tredje postulatet var ekvivalent med å forlange at tillatte baner skulle ha en dreieimpuls gitt ved

  
    
      
        L
        =
        n
        
          
            h
            
              2
              π
            
          
        
      
    
    {\displaystyle L=n{h \over 2\pi }}
  hvor  det hele tallet n = 1,2,3, … blir omtalt som hovedkvantetallet. På høyre siden opptrer den reduserte Planck-konstanten  ħ = h/2π .  Dette var første eksempel på en kvantiseringsbetingelse. Den fikk en forklaring omtrent ti år senere av den franske fysiker Louis de Broglie og hans materiebølger.


== Stasjonære baner ==
Bohr hadde samme bilde av atomet som i Rutherfords atommodell hvor det bestod av en positivt ladet atomkjerne som ligger i ro og et eller flere elektroner i bundne baner omkring denne. Antar man at kjernen har ladningen Ze hvor e er elementærladningen og ladningstallet Z, påvirkes dermed et elektron i avstand r av den radielle  Coulomb-kraften

  
    
      
        
          F
          
            C
          
        
        =
        
          
            
              Z
              
                e
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{C}={\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}}
  hvor 1/4π ε0  er Coulombs konstant. Denne gir opphav til en sentripetalkraft mv2/r hvor m er massen til elektronet og v dets hastighet. Med bare et elektron utenfor kjernen, må disse to kreftene være like store ifølge Newtons andre lov. Det betyr at den kinetiske og potensielle energien til elektronet er forbundne ved relasjonen

  
    
      
        
          E
          
            kin
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        m
        
          v
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              Z
              
                e
                
                  2
                
              
            
            
              8
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              r
            
          
        
        =
        −
        
          
            1
            2
          
        
        
          E
          
            pot
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle E_{\text{kin}}={\frac {1}{2}}mv^{2}={\frac {Ze^{2}}{8\pi \varepsilon _{0}r}}=-{\frac {1}{2}}E_{\text{pot}},}
  som kun gjelder for en bevegelse styrt av Coulomb-kraften. Den totale energien for elektronet i banen er dermed E = Ekin + Epot = Epot /2. Dette er et eksempel på det klassiske virialteoremet.


=== Kvantisert radius ===
Hvis man nå antar at banen er en sirkel med radius r, vil elektronet ha dreieimpulsen L = mvr. Bevegelsen blir kvantisert ved å sette L = nħ. Det bestemmer hastigheten til elektronet å være v = nħ/mr. Innsatt i uttrykket for den kinetiske energien, følger da radius 

  
    
      
        
          r
          
            n
          
        
        =
        
          n
          
            2
          
        
        
          
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                ℏ
                
                  2
                
              
            
            
              Z
              m
              
                e
                
                  2
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle r_{n}=n^{2}{\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{Zme^{2}}}.}
  for denne sirkelbanen eller dette elektronskallet. For hydrogenatomet med Z = 1 har den innerste banen med hovedkvantetall n = 1 derfor radius 

  
    
      
        
          a
          
            0
          
        
        =
        
          r
          
            n
            =
            1
          
        
        =
        
          
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                ℏ
                
                  2
                
              
            
            
              m
              
                e
                
                  2
                
              
            
          
        
        =
        5,291
        77
        ×
        
          10
          
            −
            11
          
        
        
          m
        
        .
      
    
    {\displaystyle a_{0}=r_{n=1}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{me^{2}}}=5{,}29177\times 10^{-11}\mathrm {m} .}
  Denne størrelsen omtales vanligvis som en Bohr-radius.  Størrelsen til et H-atom angitt ved diameteren er derfor omtrent 1 Å = 10-10 m = 100 pm når elektronet er i den innerste banen. Dette er også karakteristisk størrelse for tyngre atomer enn hydrogen selv om de har større kjerneladning Z som gjør r0 mindre. Men denne reduksjonen blir i stor grad kompensert ved at de ytterste elektronene er i skall med større verdier for hovedkvantetallet.
Ved å innføre finstrukturkonstanten

  
    
      
        α
        =
        
          
            
              e
              
                2
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              ℏ
              c
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              137
              ,
              036
              …
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \alpha ={e^{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}\hbar c}={1 \over 137,036\dots }}
  kan man skrive at Bohr-radius er  a0 = λC/α ved hjelp av den reduserte Compton-lengden λC = ħ/mc. Generelt er radius for n-te bane rn = n2a0/Z og øker derfor raskt med hovedkvantetallet. Hastigheten i denne banen er vn = cZ/nα. For den innerste banen n = 1 nærmer dette seg lyshastigheten for atomer med kjerneladning 100 eller mer. Da blir relativistiske effekter viktige. Spesielt kritisk kan det bli for Z = 137.


== Diskrete energinivå ==

Den potensielle energien for et elektron som er i n-te bane, er gitt ved den klassiske  Coulomb-energien som er

  
    
      
        
          E
          
            pot
          
        
        =
        −
        
          
            
              Z
              
                e
                
                  2
                
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                r
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        −
        
          Z
          
            2
          
        
        
          
            
              α
              
                2
              
            
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        m
        
          c
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle E_{\text{pot}}=-{\frac {Ze^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}r_{n}}}=-Z^{2}{\frac {\alpha ^{2}}{n^{2}}}mc^{2}}
  Den totale energien for elektronet er nå halvparten av dette, det vil si

  
    
      
        
          E
          
            n
          
        
        =
        −
        
          
            
              Z
              
                2
              
            
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        
          R
          y
        
        
        .
      
    
    {\displaystyle E_{n}=-{\frac {Z^{2}}{n^{2}}}{Ry}\,.}
  Her er den karakteristiske størrelsen

  
    
      
        
          R
          y
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        
          α
          
            2
          
        
        m
        
          c
          
            2
          
        
        =
        13
        ,
        6057
        
        
          e
          V
        
        .
      
    
    {\displaystyle {Ry}={\frac {1}{2}}\alpha ^{2}mc^{2}=13,6057\,\mathrm {eV} .}
  og kalles for Rydberg-energien. Elektronet kan derfor kun ha disse bestemte verdiene for energien.  De definerer forskjellige energinivå for hver verdi av hovedkvantetallet n. Energien for et bundet elektron tar diskrete verdier i motsetning til i klassisk fysikk hvor den antar kontinuerlige verdier. Derfor sier man at energien er blitt kvantisert i denne modellen til Bohr. 
Dette resultatet for energinivåene i H-atomet viste seg vel ti år senere å stemme med hva den nye kvantemekanikken ga ved den eksakte løsningen av Schrödingerligningen. Denne kanskje overraskende overensstemmelsen er hovedgrunnen for at den enkle modellen til Bohr er av fortsatt nytte og interesse.
For et H-atom Z = 1 med elektronet i den innerste banen, er energien E1 = - Ry = -13,6 eV. Dette er laveste energitilstand og kalles vanligvis for grunntilstanden til atomet. Neste energinivå er E2 = - Ry/4 = - 3,4 eV og så videre. Et elektron i høyeste energinivå n = ∞ har derfor energien E∞ = 0 som tilsvarer at det ikke lenger er bundet til kjernen. Energien som behøves for å ionisere atomet når elektronet befinner seg i grunntilstanden, er derfor E∞ - E1 = 13,6 eV. Dette stemmer med den kjente ioniseringsergien for hydrogenatomet. Da Bohr gjorde denne beregningen, var den kjente verdien på rundt 11 eV eksperimentelt funnet av  J. J. Thomson.


=== Rydbergs formel ===

I alminnelighet er forskjellen mellom energiene til en bane med hovedkvantetall n og en annen med kvantetall m er ΔE = En - Em. Ved et kvantesprang mellom disse to banene vil det da emitteres eller absorberes lys med frekvens ν = ΔE/h. Dette blir historisk angitt ved den tilsvarende bølgelengden

  
    
      
        
          
            1
            λ
          
        
        =
        
          Z
          
            2
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                
                  m
                  
                    2
                  
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  n
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          R
          
            ∞
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {1 \over \lambda }=Z^{2}\left({1 \over m^{2}}-{1 \over n^{2}}\right)R_{\infty }.}
  hvor R∞ = Ry/hc = 10 973 732 m-1 er Rydberg-konstanten. For hydrogenatomet ga Bohrs modell en verdi som stemte helt med den observerte verdien som på den tiden var kjent med stor nøyaktighet.  Dette resultatet var kanskje det som virket mest overbevisende om modellens riktighet.
Emisjonsspekteret til H-atomet  kan ordnes i spektralserier som fremkommer ved overganger til et bestemt nivå med hovedkvantetall m fra høyere nivå med kvantetall n > m. Det synlige spektret består av Balmer-serien som tilsvarer slutt-tilstanden m = 2. Den mest prominente spektrallinje kommer fra overgangen 3 → 2 som har bølgelengden 656,3 nm. Dette tilsvarer rødt lys og linjen kalles H-alpha eller Hα. Overgangen 4 → 2 kalles Hβ og har bølgelengden 486,1 nm og er blå. Videre kommer på samme måte Hδ, Hγ osv. som går over i den ultrafiolette delen av spektret.
Alle overganger til grunntilstanden m = 1 gir ultrafiolett lys som danner Lyman-serien. Disse ble funnet av den amerikanske fysikeren Theodore Lyman på begynnelsen av forrige århundre. Overgangen 2 → 1 gir opphav til spektrallinjen Ly-alpha med bølgelengde 121,6 nm og er meget viktig i astrofysikken.
På samme måte emitteres det infrarød stråling ved overganger til slutt-tilstandene som ligger over Balmer-serien. For  m = 3 oppstår Paschen-serien oppdaget av den tyske fysikeren Friedrich Paschen, mens for  m = 4 fremkommer Brackett-serien.


== Klassisk grense ==
Bohrs kvantiseringsbetingelse var formulert slik at for veldig store atomer, det vil si når kvantetallet n er stort, skulle frekvensen av det emitterte lyset være gitt ved den klassiske frekvensen f for elektronets rundgang i banen. Denne finnes fra den klassiske energibalansen som ga for den totale energien E = - mv2/2. For en bane med radius r er den angulære vinkelfrekvensen ω = v/r = 2π f  som dermed blir ω = -2E/L hvor L er dreieimpulsen. Dette gir for rotasjonsfrekvensen i banen f = -E/π L.
Dette kan nå sammenlignes med frekvensen ν for lyset som sendes ved at elektronet går fra banen med kvantetall n til nærmeste bane med  kvantetallet m = n - 1. Fra Rydbergs formel for Z = 1 følger da

  
    
      
        h
        ν
        =
        
          (
          
            
              
                1
                
                  (
                  n
                  −
                  1
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  n
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        R
        y
        =
        
          
            2
            
              n
              
                3
              
            
          
        
        R
        y
      
    
    {\displaystyle h\nu =\left({1 \over (n-1)^{2}}-{1 \over n^{2}}\right)Ry={2 \over n^{3}}Ry}
  etter å ha skrevet 1/(n - 1)2 = 1/n2 + 2/n3 som er riktig i denne grensen hvor n >> 1. Den kvantiserte energien i banen er E = -Ry/n2 slik at frekvensen kan skrives som ν = - 2E/nh  = -E/π L da den kvantiserte dreieimpulsen  L = nh/2π. Dermed er ν = f, og man har overensstemmelse med klassisk fysikk. Dette var Bohrs første bruk av sitt korrespondanseprinsippet som han i de følgende årene gjorde stor bruk av i den videre utviklingen av kvantefysikken.
Når kvantetallet n >> 1, er elektronet langt utenfor atomkjernen. Atomet oppfører seg da på mange måter som et klassisk system og omtales ofte som et Rydberg-atom. Slike halv-klassiske, atomære tilstander har vist seg å være av interesse i mange sammenhenger innen moderne atomfysikk.


== Ionisert helium ==
Atomkjernen i H-atomet ikke er uendelig tung, men består av et proton som er 1836 ganger tyngre enn et elektron. Antagelsen om at kjernen ligger helt i ro i atomet, er derfor ikke helt korrekt. Klassisk er dette et tolegemeproblem som kan beskrives slik som ovenfor, men bare med den lille forskjell at elektronets masse m må erstattes med den reduserte massen μ = m/(1 + m/M) hvor M er massen til protonet. Dette betyr at den virkelige Rydberg-konstanten for H-atomet er RH =R∞/(1 + 1/1836) = 0,99945 R∞ som stemmer med målinger.
Men på den tiden var det også påvist spektrallinjer fra stjerner som lignet spekteret fra hydrogen, men inneholdt bølgelengder med verdier som tilsvarte halvtallige verdier for kvantetallene i Rydbergs formel. Så hvis dette var riktig, måtte det eksistere en annen serie for hydrogen som ikke fulgte dette skjemaet. Da dette ble brukt som innvending mot Bohrs modell, kunne han med en gang påpeke at dette måtte skyldes stråling fra ionert helium som har ladningstall Z = 2 og bare et elektron. Det gir opphav til bølgelengder

  
    
      
        
          
            1
            λ
          
        
        =
        4
        
          (
          
            
              
                1
                
                  m
                  
                    2
                  
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  n
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          R
          
            ∞
          
        
        =
        
          (
          
            
              
                1
                
                  (
                  m
                  
                    /
                  
                  2
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  (
                  n
                  
                    /
                  
                  2
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
          
          )
        
        
          R
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle {1 \over \lambda }=4\left({1 \over m^{2}}-{1 \over n^{2}}\right)R_{\infty }=\left({1 \over (m/2)^{2}}-{1 \over (n/2)^{2}}\right)R_{\infty }}
  som bare tilsynelatende ser ut til å komme fra hydrogen med halvtallige kvantetall. Likevel ble det påpekt at Rydberg-konstanten for denne serien ikke var nøyaktig 4 ganger større enn RH, men 4,0016. Bohr svarte med en gang tilbake at dette heller ikke var noe problem hvis man tar hensyn til at massen til atomkjernen i helium er endelig og fire ganger tyngre enn i hydrogen. Forholdet mellom Rydberg-konstantene skulle derfor være  RHe/RH = 4(1 + m/M)/(1 + m/4M) = 4,00163. Etter dette motargumentet var det ingen tvil lenger. Til og med Einstein uttrykte sin begeistring for modellens fortreffelighet.
Denne beskrivelsen av ionisert helium He+ gjelder opplagt uten videre for andre ioner med ett elektron som Li2+, Be3+ og så videre.


== Atomer med flere elektroner ==

I det andre arbeidet som Bohr publiserte i 1913, la han frem en beskrivelse av tyngre atomer med mer enn ett elektron. Han bygde da videre på Rutherfords atommodell med en liten, sentral kjerne med ladning Ze hvor ladningstallet Z nå var akseptert å være dets atomnummer eller plass i det periodiske systemet. Videre brukte han ideer fra Thomsons rosinbollemodell og spesielt hvordan elektronene kunne plasseres i konsentriske ringer utfra kravet om symmetri og stabilitet. For dette brukte han klassisk fysikk. Ut fra samme tankegang måtte ringene ligge i samme plan. Modellen hans ga derfor et bilde som ble omtalt som et ringatom.
Ut fra dagens bilde av et atom, ville man kanskje ha forventet at de forskjellige ringene var bestemt ut fra den samme kvantebetingelsen som han hadde brukt for dreieimpulsen for et elektron i hydrogenatomet, det vil si ved L = nh/2π med et hovedkvantetall n = 1, 2, 3, ... I stedet valgte han å karakterisere den permanente tilstanden eller grunntilstanden til atomet ved at alle elektroner skulle ha dreieimpuls som tilsvarer n = 1. Baner med større verdier av dette kvantetallet, var antatt å være ustabile slik som i hydrogenatomet. Hastigheten v og ringradius r skulle derfor for alle elektroner i atomet være forbundet ved mvr = h/2π. Dette var Bohrs såkalte enkvanthypotese som han innførte for tyngre atomer. Det viste seg snart i de følgende årene at den måtte oppgis.
Med N elektroner plassert regelmessig på en sirkel med radius r, vil de være adskilt fra hverandre med en vinkel 2π/N. Med ladningen Ze til atomkjernen plassert i sentrum, er nettokraften som virker på et elektron

  
    
      
        F
        =
        
          
            
              e
              
                2
              
            
            
              4
              π
              
                ε
                
                  0
                
              
              
                r
                
                  2
                
              
            
          
        
        
          (
          
            Z
            −
            
              
                1
                4
              
            
            
              ∑
              
                n
                =
                1
              
              
                N
                −
                1
              
            
            
              
                1
                
                  sin
                  ⁡
                  n
                  π
                  
                    /
                  
                  N
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle F={e^{2} \over 4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}\left(Z-{1 \over 4}\sum _{n=1}^{N-1}{1 \over \sin n\pi /N}\right)}
  De første er den tiltrekkende Coulomb-kraften fra atomkjernen, mens den siste summen gir den frastøtende kraften fra de N - 1 andre elektronene i ringen. Effekten av dem er at de reduserer kraften fra kjernen, de virker avskjermende. Nettokraften  blir balansert av sentrifugalkraften mv2/r hvor r og v er knyttet sammen ved kvantebetingelsen. 
Befinner det seg elektroner i ringer innenfor en gitt ring, vil disse også gi en avskjerming av kjerneladningen. Er avstanden til de indre ringene tilstrekkelig stor, blir nettoladningen virkende på et elektron i en ytre ring, ganske enkelt kjerneladningen minus ladningen av alle elektronene innenfor.


=== Helium Z = 2 ===

Et heliumion har bare et elektron rundt kjernen og kan beskrives som et H-atom. I grunntilstanden befinner elektronet seg i en sirkel med radius som da er (1/2)a0 hvor a0 er Bohr-radiusen.
Med to elektroner på motsatt side i sirkelen er den effektive ladningen som virker på hvert elektron, (2 - 1/4)e = (7/4)e slik at radius blir (4/7)a0. Det nøytrale He-atomet er derfor litt større enn ionet. I denne modellen er det nå lett å regne ut differensen mellom energiene til det nøytrale og ioniserte atomet. Bohr fant den å være (22 - 2(7/4)2)Ry = - 2,13 Ry som er -27 eV. På den tiden var det kjent at ioniseringsenergien for helium var rundt 20 eV så dette var et meget godt resultat.


=== Lithium Z = 3 ===

Det ioniserte atomet Li+ kan beregnes på samme måte som det nøytrale He-atomet med to elektroner i samme ring. Radius kan finnes på samme måte og blir 0,36 a0. I det nøytrale Li-atomet er det nærliggende å plassere det tredje elektronet i samme ring, i vinkelavstand 120° og 240° fra de to andre. Radius blir da 0,41 a0. 
Selv om Bohr fant dette å være den mest stabile tilstanden, plasserte han likevel det tredje elektronet i en ny ring utenfor den første med en radius som han fant omtrent tre ganger så stor som for den innerste ringen. Dette var basert på de kjemiske egenskapene som Bohr mente lå i de ytterste elektronene. Og da lithium reagerer med andre stoffer på lignende måter som hydrogen, mente han at det måtte ha kun ett elektron i ytre bane. Derfor skrev han elektronkonfigurasjonen som Li(2,1) som betyr to elektroner i indre bane og ett i ytre. Med samme notasjon var da nøytralt helium He(2).


=== Tyngre atomer ===

På denne måten fortsatte Bohr å konstruere ringatomer for de neste elementene i det periodiske system. De numeriske resultatene fra modellen ble hele tiden vurdert i forhold til elementenes valens og andre, kjente egenskaper. Og disse var mest avgjørende ved plassering av elektronene i de konsentriske ringene. De neste atomene i samme periode fikk da konfigurasjonene Be(2,2), B(2,3), C(2,4), N(4,3), O(4,2,2), F(4,4,1) med edelgassen neon Ne(8,2) som siste element i denne andre perioden. På den måten hadde neon to elektroner i ytre skall som helium. Men da måtte han plassere åtte elektroner i innerste ring selv om han tidligere hadde vist at den kunne maksimalt inneholde syv for å være stabil.
I tredje periode følger nå natrium  Na(8,2,1) med det nye elektronet i en ny, tredje ring. Disse to ringene fylles nå opp på samme måte som han fylte opp første og andre ring ved å gå fra Li(3,1) til Ne(8,2). Det gir de følgende elementene Mg(8,2,2) som ligger i samme gruppe som Be(2,2), Al(8,2,3) i samme gruppe som B(2,3) og så videre med  Si(8,2,4), P(8,4,3), S(8,4,2,2), Cl(8,4,4,1). Siste element i denne perioden er edelgassen argon Ar(8,8,2) i samme gruppe som Ne(8,2). I hele denne perioden forblir den innerste ringen intakt med åtte elektroner. Slik fortsetter det så videre med de neste elementene. Bohr benyttet bare sporadisk numeriske resultat for disse konfigurasjonene da det var klart at modellen ikke var god nok i detaljene. Men den indre struktur til det periodiske systemet var for første gang gitt en delvis forklaring.


=== Alkaliatomer ===
Det neste elementet etter edelgassen argon er kalium K(8,8,2,1). Som for de andre  alkalimetallene Li(2,1) og Na(8,2,1) beveger seg her det ytterste elektronet utenfor ringene for de andre elektronene. Er den ytterste ringen tilstrekkelig stor, vil elektrone innenfor i stor grad avskjerme kjerneladningen. Effektivt blir den da omtrent Z = 1 som i H-atomet. Ved igjen å anta at emisjon og absorpsjon av lys foregår ved at det ytterste elektronet beveger seg mellom forskjellige energinivå, pekte da Bohr på at man skal for disse atomene forvente observerte frekvenser gitt ved den generelle Rydberg-formelen

  
    
      
        h
        ν
        =
        
          (
          
            
              
                1
                
                  (
                  n
                  −
                  Δ
                  
                    )
                    
                      2
                    
                  
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  (
                  
                    n
                    ′
                  
                  −
                  
                    
                      
                        Δ
                        ′
                      
                    
                    
                      2
                    
                  
                  )
                
              
            
          
          )
        
        R
        y
      
    
    {\displaystyle h\nu =\left({1 \over (n-\Delta )^{2}}-{1 \over (n'-{\Delta '}^{2})}\right)Ry}
  hvor kvantetallene n og n'  er heltallige som for hydrogen, men opptrer sammen med små korreksjoner uttrykt ved parameterne Δ og Δ'  for begynnelses- og slutt-tilstand ved overgangen. 
Denne resultatet bekreftet dermed den tidligere observerte egenskapen ved de forskjellige sprektralseriene for alkalimetallene som ble kalt for Rydberg-Ritz' kombinasjonsprinsipp.


=== Eksiterte atomer ===
De kompliserte linjespektrene fra tyngre atomer måtte komme fra overganger mellom eksiterte tilstander av atomene. Bohr foreslo at disse var klassiske svingninger av elektronene rundt deres likevektsposisjoner og normalt på baneplanet. Svingninger i planet skulle derimot være styrt av kvantebetingelsen for bevegelsen. Men på tross av lange, numeriske beregninger ga dette ingen overbevisende resultat. 
I de følgende årene ble disse idéene forlatt og egenskapene til linjespektrene forklart ved bevegelsene til elektronene i den ytterste ringen. Disse ble derfor også ofte omtalt som optiske elektroner eller valenselektroner. De periodiske egenskapene til grunnstoffene skyldes også disse elektronene. Atomer med de samme antall elektroner i ytre ring ville ha like, kjemiske egenskaper.


=== Karakteristisk røntgenstråling ===
Mer direkte bekreftelse på modellens gyldighet skulle derimot komme fra egenskapene til elektronene i de innerste ringene. Bohr hadde foreslått  at den karakteristiske røntgenstrålingen som tidligere var observert av Charles Barkla, skyldes at elektron ble slått ut fra en av de innerste ringene slik at atomet ble eksitert med energi E. Når det så faller tilbake i en ny,  stabil likevektstilstand med energi E' , sendes det ut stråling med frekvens gitt ved samme formel hν = E - E' som for optiske overganger. Og da elektronene i de innerste ringene skulle være de samme for alle tyngre atomer, ville det forklare  de nye og mer nøyaktige målingene til Henry Moseley hvor det ikke fantes noen periodiske forandringer i røntgenstrålingen fra grunnstoff til grunnstoff. I motsetning til Barkla kunne Moseley måle bølgelengden til strålingen ved bruk av den nyoppdagede og presise røntgenspektroskopien. Han fant at kvadratroten av frekvensen til den karakteristiske strålingen økte lineært med atomnummeret Z. Denne oppdagelsen er senere blitt kalt for Moseleys lov.

Forklaringen som Bohr hadde gitt for denne strålingen,  ble videreført av den tyske fysiker Walther Kossel i 1914. Mens Bohr opprinnelig hadde postulert at de forskjellige ringene med elektroner skulle være 1-kvantebaner, mente Kossel at eksperimentene kunne enklest forklares ved at ring nummer n regnet innenfra, i virkeligheten var en n-kvantebane med dreieimpuls nh/2π. Bohr hadde ment at slike baner ville være kvantemekanisk ustabile. 
Den mest energetiske strålingen som Barkla hadde døpt K-stråling, skulle oppstå ved at et elektron i den innerste ringen med n = 1 ble slått fri ut av atomet. Denne ringen kunne derfor omtales som K-ringen. Strålingen ville da fremkomme ved at elektron fra et høyere nivå falt ned i hullet i K-ringen. På samme måte ville L-strålingen som Barkla hadde sett, skyldes at et elektron ble slått ut av den neste ringen med n = 2 som derfor ble kalt for L-ringen og så videre. 
Den mest intense K-strålingen hadde Moseley kalt for Kα og kunne nå forklares som en overgang av et elektron fra L-ringen til K-ringen. Han hadde også funnet en svakere, men mer energetisk komponent   Kβ som kunne forklares på tilsvarende måte som en overgang fra M-ringen med n = 3 til vakansen i K-ringen. For et atom med ladningstall Z  vil frekvensen for Kα da følge fra Bohrs formel

  
    
      
        h
        ν
        =
        (
        Z
        −
        1
        
          )
          
            2
          
        
        c
        
          R
          
            ∞
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                
                  1
                  
                    2
                  
                
              
            
            −
            
              
                1
                
                  2
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle h\nu =(Z-1)^{2}cR_{\infty }\left({1 \over 1^{2}}-{1 \over 2^{2}}\right)}
  når den effektive ladningen som elektronet ser, settes lik Z - 1. Dette er akkurat Moseleys lov.
Disse navnene på ringene ble i de følgende årene beholdt selv om de snart ble erstattet med ellipser i tre dimensjoner og enda senere med mer abstrakte elektronskall basert på kvantemekanikk. Da var de mekaniske banene blitt byttet ut med sannsynlighetsfordelinger.


=== Molekyler ===
Den tredje delen av Bohrs arbeid omhandlet en beskrivelse av molekyler sammensatt av atomer og styrt av de samme tre grunnleggende kvanteprinsippene.  Da hans resultat for tyngre atomer ikke ga så mange overbevisende, kvantitative resultat, ble dette i enda større grad tilfelle med hans betraktninger om molekylenes egenskaper. 
Her gjaldt det i første omgang å forklare molekylenes struktur og bindinger til andre atomer. Ut fra symmetribetraktninger var kjernene til de forskjellige atomene i et molekyl  tenkt lokalisert på en rett linje og med elektroner så forsøkt plassert i forskjellige klassiske, stabile sirkelbaner omkring eller mellom disse. For eksempel, det enkleste molekylet som er H2, kunne fremstilles som to protoner i en viss avstand med to elektroner plassert diametralt motsatt av hverandre på en sirkel vinkelrett på linjen som forbinder protonene og midtveis mellom dem. Ut fra elektrostatisk likevekt, kan man så vise at de to protonene sammen med ett av elektronene, må danne en likesidet trekant. Ved så å bruke kvantebetingelsen at dreieimpulsen til hver av elektronene i sirkelbanen må være h/2π, kunne Bohr regne ut avstanden mellom protonene i molekylet. Den var omtrent like stor som a0. Hydrogenmolelylet hadde derfor en utstrekning som var omtrent den samme som hydrogenatomet i grunntilstanden som stemte med hva man da visste. Han viste også at molekylet hadde lavere energi enn to separate H-atomer og derfor en positiv disassosiasjonsenergi. Modellen til Bohr hadde derfor mange gode egenskaper som viste at den ikke kunne være altfor langt unna virkeligheten.
Bortsett fra fasinerende illustrasjoner av hvordan molekylene kunne være oppbygd, ga likevel disse halvklassiske beregningene lite av varig verdi. Det var først med oppdagelsen av kvantemekanikken vel ti år senere at man fikk en dypere forståelse av alle disse spørsmålene.


== Bohr-Sommerfeld-kvantisering ==
Den klassiske bevegelsen til elektronet rundt atomkjernen er matematisk den samme Kepler-bevegelse som for en planet rundt Solen. I den sammenhengen er de fleste banene elliptiske. Det samme burde derfor være tilfelle for elektronet. Tidlig 1916 publiserte den tyske fysiker Arnold Sommerfeld et arbeid hvor han viste hvordan denne mer generelle bevegelsen kunne kvantiseres. Dette var basert på Lagrange-mekanikk hvor hver koordinat qi for en partikkel har en tilsvarende, kanonisk konjugert impuls pi. For en periodisk bevegelse skal da integralet

  
    
      
        ∮
        
        d
        
          q
          
            i
          
        
        
        
          p
          
            i
          
        
        =
        
          n
          
            i
          
        
        h
      
    
    {\displaystyle \oint \!dq_{i}\,p_{i}=n_{i}h}
  hvor ni er heltallige kvantetall. Da elektronet beveger seg i tre dimensjoner rundt atomkjernen, trenges det derfor i alt tre kvantetall for å spesifisere nøyaktig en lukket bane. Disse tre kvantebevegelsene vil da gi energien, formen og orienteringen i rommet til hver slik ellipsebane. Denne mer generelle metoden er siden blitt omtalt som Bohr-Sommerfeld-kvantisering.
En enkel illustrasjon av denne nye kvantiseringen finnes ved å betrakte en sirkulær bane i den opprinnelige Bohr-modellen. Kalles rotasjonsvinkelen for φ, er vinkelfrekvensen ω = dφ/dt og dreieimpulsen  pφ = mr 2ω = L er en bevegelseskonstant. Kvantisering av denne impulsen gir da

  
    
      
        ∮
        
        d
        ϕ
        
        
          p
          
            ϕ
          
        
        =
        L
        ∮
        
        d
        ϕ
        =
        2
        π
        L
        =
        n
        h
      
    
    {\displaystyle \oint \!d\phi \,p_{\phi }=L\oint \!d\phi =2\pi L=nh}
  da vinkelen φ øker fra 0 til 2π  under en periodisk rundgang. Så dette gir L = nh/2π i overensstemmelse med Bohrs opprinnelige antagelse.
En elliptisk bane er med denne mer generelle kvantiseringen gitt ved et hovedkvantetall n = 1,2,3,4... som angir de kvantiserte energinivåene på samme måte som i den opprinnelige modellen til Bohr. I tillegg kommer så et asimutalt kvantetall k = 1,2,3,...,n som avhenger av den totale dreieimpulsen til elektronet. Det angir også ellipsebanens form idet forholdet mellom dens hovedakser er b/a = k/n. Sirkulære baner har k = n, og de mest eksentriske har k = 1. Til slutt kommer det magnetiske kvantetallet m som tar positive og negative, heltallige verdier |m | ≤ k. Det angir ellipsens orientering i rommet, for eksempel i forhold til et ytre magnetfelt som atomet kunne befinne seg i.
Det er bemerkelsesverdig at de samme tre kvantetallene oppstår ved løsninger av Schrödinger-ligningen som beskriver de bundne banene eller orbitalene til H-atomet i kvantemekanikken. Den  eneste forskjellen er at det da viste seg hensiktsmessig å benytte seg av ℓ = k - 1 = 0,1,2, ... ,n - 1 som det asimutale kvantetallet.


=== Finstruktur i hydrogenatomet ===
Når elektronet i hydrogenatomet går i en ellipsebane, vil det ikke lenger ha konstant hastighet v. Nærme atomkjernen går det raskere enn ellers slik at man må benytte relativistisk mekanikk for å beskrive bevegelsen nøyaktig. Korreksjonene for n = 1 vil være av størrelsesorden v2/c2 = (Zα)2. I ionet He+ vil de være fire ganger mer fremtredende enn i H-atomet.
En slik relativistisk korreksjon til spektrene ble først diskutert av Bohr i 1915. Han foreslo her at effekten kanskje også kunne forklare hvorfor de mest fremtredende linjene i Balmer-serien så ut til å være doble. En slik dublettstruktur hadde blitt observert av Albert Michelson og Edward Morley allerede i 1887 i linjen Hα. Ifølge Bohrs atommodell skyldes den overgangen n = 3 → 2 som har en bølgelengde λ = 6563 Å. De fant at denne spektrallinjen består av to komponenter med en forskjell i bølgelengden på  Δλ = 0.14 Å.
Med sin mer generelle kvantisering kunne Sommerfeld allerede i 1916 beregne denne såkalte finstrukturen i spekteret for H-atomet. En ellipsebane karakterisert ved de to kvantetallene (n,k) får en korreksjon til energien gitt ved formelen

  
    
      
        Δ
        
          E
          
            n
            ,
            k
          
        
        =
        
          E
          
            n
          
        
        
          
            
              
                Z
                
                  2
                
              
              
                α
                
                  2
                
              
            
            
              n
              
                2
              
            
          
        
        
          (
          
            
              
                n
                k
              
            
            −
            
              
                3
                4
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \Delta E_{n,k}=E_{n}{Z^{2}\alpha ^{2} \over n^{2}}\left({n \over k}-{3 \over 4}\right)}
  Forskjellen i energi mellom sirkelbanen og ellipsebanen som utgjør energinivået n = 2 i H-atomet, blir dermed ΔEH = ΔE2,2 - ΔE2,1 = α2Ry/16. Numerisk tilsvarer dette nøyaktig den observerte forskjellen mellom de to bølgelengdene som inngår i spektrallinjen Hα. En tilsvarende oppsplitting av spektrallinjene fra He+ ble observert av Friedrich Paschen.
Formelen for finstrukturen som Sommerfeld fant, viste seg knapt ti år senere å være i overensstemmelse med den mer moderne kvantemekanikken når det asimutale kvantetallet k erstattes med j + 1/2 hvor j er den totale dreieimpulsen til elektronet, inkludert spinn.


=== Røntgen-dubletter ===
Målingene til Moseley i 1914 hadde også vist antydninger til at Kα - linjen kunne være en dublett. Dette ble bekreftet året etterpå av Ivar Malmer som var en doktorgradsstudent i gruppen til Manne Siegbahn ved Universitetet i Lund. Denne splittingen økte raskt med atomnummeret Z. Disse resultatene ble publisert i 1916.Med bruk av Kossels teori for den karakteristiske røntgenstrålingen, kunne Sommerfeld nå forklare dette ved å anta at L-ringen kunne være enten en ellipse eller en sirkel på samme måte som for de to banene med n = 2 i H-atomet. Den eneste forskjellen ville være at energidifferensen mellom disse to banene nå ville involvere et ladningstall Z > 1. De svenske dataene kom fra 22 forskjellige grunnstoff fra Cr til U. Ved å bruke et effektivt ladningstall Z - 3,5, fant han at disse resultatene for splittingene ΔνK i røntgenstrålingen Kα kunne sammenfattes i den enkle formelen 

  
    
      
        Δ
        
          ν
          
            K
          
        
        =
        (
        Z
        −
        3
        ,
        
        5
        
          )
          
            4
          
        
        Δ
        
          ν
          
            H
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta \nu _{K}=(Z-3,\!5)^{4}\Delta \nu _{H}}
  hvor  ΔνH er den tilsvarende splittingen i den optiske dubletten Hα i H-atomet. Konstanten 3,5 kunne forklares som en avskjerming av den fulle kjerneladningen Ze som skyldes elektronene innenfor L-ringen. For et element med atomnummer rundt Z = 35, blir altså den lille finstrukturkorreksjonen i hydrogen forstørret med en faktor som er omtrent en million. Denne beregningen til Sommerfeld bidro til at overbevisningen om eksistensen av elliptiske baner i atomene ble styrket.


=== Fra elektronringer til elektronskall ===

Sommerfelds forklaring av finstrukturen både i det optiske spekteret for hydrogenlignende atomer og røntgenspekteret for tyngre atomer, var så overbevisende at eksistensen av ellipsebaner i Bohrs atommodell ikke var til å komme utenom. Men samtidig skapte denne utvidelsen av modellen nye problemer. Kunne det for eksempel være flere elektroner på en og samme ellipse? Hvis hvert elektron beveget seg på sin egen ellipse eller sirkel, kunne ikke disse lenger ligge i samme plan da de i så fall ville kollidere. Og hvis ellipsene var plassert symmetrisk i tre dimensjoner rundt atomkjernen, hvordan kunne disse banene være mekanisk stabile under påvirking av de elektriske kreftene fra de andre elektronene?
En ring med hovedkvantetall n inneholdende et visst antall elektroner måtte uansett bli erstattet med en familie med ellipser med forskjellige verdier for det asimutale kvantetallet k og plassert på en eller annen måte rundt atomkjernen. Denne samlingen av ellipser ble snart kalt for et elektronskall. For hver verdi av hovedkvantetallet n skulle det finnes et tilsvarende skall med elektroner. Men på tross av denne utvidelsen av modellen, var det nå enda mer vanskelig å beregne energiene for elektronene i disse mer generelle banene. Til og med for He-atomet med kun to elektroner, lot det seg ikke gjøre på en overbevisende måte. Det ble først mulig med etableringen av moderne kvantemekanikk i 1925.


== Referanser ==


== Litteratur ==
A. Pais, Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World, Clarendon Press, Oxford (1986). ISBN 0-19-851971-0.
H. Kragh, Niels Bohr and the Quantum Atom, Oxford University Press, England (2012). ISBN 978-0199654987.
P. Tipler and R. Llewellyn, Modern Physics, W. H. Freeman, New York (2002). ISBN 0-7167-4345-0.
E. Lillestøl, O. Hunderi og J.R. Lien, Generell Fysikk, Universitetsforlaget, Oslo (2001).