Spesifikk varmekapasitet

Spesifikk varmekapasitet for et materiale angir dets evne til å ta opp varme. Er denne liten, vil selv en stor temperaturøkning medføre lite opptatt varme - og omvendt. Mens varmekapasiteten er direkte proporsjonal med mengden av materiale, er molar varmekapasitet vanligvis angitt per antall mol med materiale eller som spesifikk varmekapasitet når den angis per masseenhet. Begge størrelsene brukes til å karakterisere materialets termiske egenskaper.


== Definisjon ==
Hvis et stoff utsettes for en liten temperaturøkning  ΔT  og dermed tar opp en tilsvarende liten varmemengde  ΔQ, defineres varmekapasiteten ved forholdet

  
    
      
        
          C
          
            X
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  Δ
                  Q
                
                
                  Δ
                  T
                
              
            
            )
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{X}=\left({\Delta Q \over \Delta T}\right)_{X}}
  hvor størrelsen X angir andre forhold som holdes konstant under oppvarmingen. Dette kan være for eksempel ved konstant volum V, ved konstant trykk P eller ved konstant magnetfelt B. 
Har stoffet en total masse m, er den "spesifikk varmekapasiteten" cX =  CX /m.  I SI-systemet  måles denne i enheten  J/kg K.  Alternativt kan man definere en "molar varmekapasitet" cX =  CX /n hvis materialet består av en mengde n mol. Den vil ha måleenhet  J/mol K og brukes ofte i kjemiske sammenhenger eller mer teoretiske arbeider.
For en endelig oppvarming av materialet må det tilføres en varmemengde

  
    
      
        Q
        =
        
          m
        
        
          
            c
            
              X
            
          
        
        (
        
          
            T
            
              2
            
          
          −
          
            T
            
              1
            
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle Q={m}{c_{X}}({T_{2}-T_{1}})}
  sålenge temperaturøkning ikke blir så stor at varmekapasiteten forandres. Her er

Q = varmeenergi [J]
m = masse [kg]
cX = spesifikk varmekapasitet [J/kgK]
T1 = Temperatur før oppvarming
T2 = Temperatur etter oppvarmingTidligere ble varmeenergi ofte målt i antall kalorier med enhet cal. Denne ble definert som den energimengde som må til for å varme opp 1g vann ved standard trykk og temperatur med en grad. Ifølge denne definisjonen er derfor den spesifikke varmekapasitet til vann cP = 1.0 cal/g K = 1.0 kcal/kg K. Med  bruk av SI-enheter tilsvarer 1 cal = 4.18 J.


== Termodynamikk ==
Når temperaturøkningen ΔT er veldig liten,  skjer den resulterende varmetilførselen  ΔQ  i  termodynamisk likevekt. Fra termodynamikkens andre hovedsetning følger da ΔQ = T ΔS hvor ΔS  er økningen av entropien. Dermed kan man skrive at CX  = T (ΔS/ΔT)X. I grensen hvor ΔT  blir infinitesemal liten, kan den erstattes med differensialet dT. Dermed kan varmekapasiteten skrives som den termodynamiske deriverte

  
    
      
        
          C
          
            X
          
        
        =
        T
        
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  S
                
                
                  ∂
                  T
                
              
            
            )
          
          
            X
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{X}=T\!\left({\partial S \over \partial T}\right)_{X}}
  Dette resultatet tillater beregning av varmekapasiteter fra kinetisk teori og statistisk mekanikk.
For et materiale som består av en viss mengde stoff med volum V, trykk P og indre energi U, sier termodynamikkens første hovedsetning på differensiell form at

  
    
      
        T
        d
        S
        =
        d
        U
        +
        P
        d
        V
      
    
    {\displaystyle TdS=dU+PdV}
  For en  varmetilførsel som skjer under konstant volum, vil derfor TdS = dU og den tilsvarende varmekapasiteten kan finnes fra

  
    
      
        
          C
          
            V
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  U
                
                
                  ∂
                  T
                
              
            
            )
          
          
            V
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{V}=\left({\partial U \over \partial T}\right)_{V}}
  Skulle derimot oppvarmingen skje under konstant trykk, har man at  PdV = d(PV) og derfor TdS = dU + d(PV) = dH hvor H = U + PV er entalpien til materialet. Derfor er i dette tilfellet

  
    
      
        
          C
          
            P
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                
                  ∂
                  H
                
                
                  ∂
                  T
                
              
            
            )
          
          
            P
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{P}=\left({\partial H \over \partial T}\right)_{P}}
  Disse termodynamiske resultat er allmenngyldige og kan benyttes både for gasser, væsker og faste stoffer. De kan også lett generaliseres til andre forhold, som f.eks. magneter som påvirkes av ytre magnetfelt.


== Ideelle gasser ==
Ideelle gasser har tilstandsligningen

  
    
      
        P
        V
        =
        n
        R
        T
      
    
    {\displaystyle PV=nRT}
  hvor n er antall mol partikler i gassen og R er den universelle gasskonstanten. Består den av partikler som er atomer, kan den indre energi U regnes ut i kinetisk teori. Resultatet er U = (3/2)nRT som tilsvarer varmekapasiteten CV = (3/2)nR. Den spesifikke varmekapasiteten er derfor cV = (3/2)R hvor verdien  til den universelle gasskonstanten R = 8,314 J/mol K bestemmer størrelsen.
Direkte fra tilstandsligningen følger nå at entalpien til gassen er H = (3/2 + 1)nRT = (5/2)nRT slik at den molare varmekapasiteten ved konstant trykk er cP = (5/2)R. Man har at  cP -  cV = R som gjelder for alle ideelle gasser, uansett om gasspartiklene har indre frihetsgrader eller ikke.
Tilsvarende kan den spesifikke varmekapasiteten  beregnes fra definisjonen cV = CV /m. Her er massen til gassen m = nM hvor M er den molare massen til gasspartiklene.  Dermed er cV = (3/2)nR /nM = (3/2) Rs gitt ved den spesifikke gasskonstanten Rs = R/M. Den varierer fra gass til gass. For luft har den verdien Rs = 287 J/kg K.


=== Ekvipartisjonsprinsippet ===
Luft består hovedsakelig av 2-atomige molekyler  O2 og  N2. Hvert molekyl beveger seg fritt og gir opphav til den ideelle tilstandsligningen. Fra kinetisk teori gir denne frie bevegelsen i tre retninger en indre energi som er (3/2)kBT per partikkel hvor kB er Boltzmanns konstant. Det er vanlig å si at bidraget (1/2)kBT til den indre energien som skyldes bevegelse i en bestemt retning, tilsvarer  bidraget fra en frihetsgrad. 
Et molekyl  har flere frihetsgrader enn de tre som skyldes fri  translasjon i tre retninger. Molekylet kan også rotere og vibrere. Disse bidragene kan regnes ut, men da med statistisk mekanikk hvor kvantemekanikk vil måtte brukes. Hver frihetsgrad kan da vises å bidra  (1/2)kBT til den indre energien. Dette resultatet kalles ofte for "ekvipartisjonsprinsippet".
For et 2-atomig molekyl er det bare to frihetsgrader som skyldes rotasjon. Disse oppstår ved at molekylet kan rotere rundt to akser, begge vinkelrett til aksen som forbinder de to atomene. Rotasjon om denne aksen er neglisjerbart da atomene er så små at treghetsmomentet om aksen kan sees bort fra.  Dermed vil den molare varmekapasiteten for slike molekyl bli cV = (3/2 + 2/2)R = (5/2)R.  Først ved veldig høye temperaturer kommer de to frihetsgradene som skyldes vibrasjon, inn. Da blir varmekapasiteten cV = (7/2)R.
For luft forventes nå en spesifikk varmekapasitet cV = (5/2)Rs = 720 J/kg K. Da cP - cV = Rs gir dette  cP = 1,00 kJ/kg K som stemmer godt med målinger ved rom-temperatur.


== Litteratur ==
Francis W. Sears: Thermodynamics. Addison-Wesley Publishing Company (1959).
Ali Ghaderi: Gåten om spesifikk varmekapasitet, Symmetri, 3,1/2, 12-16, 1996.