Tilstandstetthet

Tilstandstetthet er i fysikken et mål for hvor mange tilstander som finnes i et gitt energi-intervall. Det er dermed ikke snakk om tetthet i det vanlige, fysiske rommet, men tetthet i det abstrakte faserommet. Størrelsen er spesielt viktig i kvantemekanikk, statistisk fysikk, mesoskopisk fysikk og halvlederfysikk. Mange fysiske egenskaper kan bestemmes ut fra tilstandstettheten, f.eks. 

Elektriske egenskaper til et stoff, dvs. om det er en leder, halvleder eller isolator.
Dimensjonaliteten til systemet.
Bindinger i et system.Tilstandstetthet er også en standardstørrelse for utregninger i statistisk fysikk.
Tilstandstettet i fysikken er en komprimert representasjon for båndstrukturer som er viktige i fysikk og molekylær kjemi.


== Matematisk formulering ==
Tilstandstettheten kan defineres som

  
    
      
        D
        (
        E
        )
        =
        
          ∑
          
            s
          
        
         
        δ
        (
        E
        −
        
          E
          
            s
          
        
        )
        
      
    
    {\displaystyle D(E)=\sum _{s}~\delta (E-E_{s})\,}
  hvor summen går over alle tilstander s og 
  
    
      
        δ
      
    
    {\displaystyle \delta }
   er Diracs deltafunksjon. Denne formelen sier at en bare skal plukke ut de tilstandene som har energi E. Hvis tilstandene ikke avhenger av posisjon i rommet er det konvensjonelt å dele tilstandstettheten med romlig volum.
Formlen over fungerer både hvis tilstandene ligger tett i faserommet (klassisk og semiklassisk) og hvis avstanden mellom tilstandene er liten (kvantemekanikk). Hvis tilstandene ligger tett går summen over til å bli et integral

  
    
      
        
          ∑
          
            s
          
        
        →
        ∫
        
          
            
              
                d
                
                  n
                
              
              p
               
              
                d
                
                  n
                
              
              q
            
            
              (
              2
              π
              ℏ
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{s}\rightarrow \int {\frac {d^{n}p~d^{n}q}{(2\pi \hslash )^{n}}}\,}
  hvor q er koordinat, p er impuls, 
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hslash }
   er Plancks konstant og 2n er dimensjonen til faserommet. Vil ser at Plancks konstant gir et minste «volum» i faserommet (se også Heisenbergs uskarphetsrelasjon).


=== Ideell gass ===
En ideell gass har energitilstander gitt ved 

  
    
      
        E
        (
        p
        )
        =
        
          
            
              p
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
      
    
    {\displaystyle E(p)={\frac {p^{2}}{2m}}}
  hvor p er impuls og m er effektiv masse. Som regel vil man ved utregning av tilstandstetthet ikke ta for seg en fysisk, ideell gass, men en ideell elektrongass. Resultatet avhenger sterkt av dimensjon
I én dimensjon 

  
    
      
        
          D
          
            1
          
        
        (
        E
        )
        =
        2
        
          
            
              2
              m
            
            
              2
              π
              ℏ
            
          
        
        
          
            1
            
              E
            
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{1}(E)=2{\frac {\sqrt {2m}}{2\pi \hslash }}{\frac {1}{\sqrt {E}}}}
  I to dimensjoner 

  
    
      
        
          D
          
            2
          
        
        (
        E
        )
        =
        2
        
          
            m
            
              2
              π
              
                ℏ
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{2}(E)=2{\frac {m}{2\pi \hslash ^{2}}}}
  I tre dimensjoner

  
    
      
        
          D
          
            3
          
        
        (
        E
        )
        =
        2
        
          
            
              (
              2
              m
              
                )
                
                  3
                  
                    /
                  
                  2
                
              
            
            
              4
              
                π
                
                  2
                
              
              
                ℏ
                
                  3
                
              
            
          
        
        
          
            E
          
        
      
    
    {\displaystyle D_{3}(E)=2{\frac {(2m)^{3/2}}{4\pi ^{2}\hslash ^{3}}}{\sqrt {E}}}
  Her er m effektiv masse og faktoren to kommer fra de to spinntilstandene (antar fermioner). Det viktige med disse størrelsen er at de avhenger av Plancks konstant 
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hslash }
   dvs. de hører hjemme i kvantemekanikken og at tilstandstettheten som funksjon av energi avhenger sterkt av dimensjon.


== Eksempel: Tilstandstetthet i en halvleder ==
Elektroner er Fermioner og vil følgelig ved 
  
    
      
        T
        =
        0
      
    
    {\displaystyle T=0}
   pga. pauliprinsippet kontinuerlig okkupere alle tilstander opp til en gitt energi. Denne energien kalles Ferminivået. Hvis tilstandstettheten er null
ved Ferminivået vil det ikke være noen tilstander lett tilgjengelig for elektroner som vil bevege seg rundt. Stoffet er dermed en isolator eller halvleder. Hvis det derimot finnes tilstander ved ferminivået
er stoffet et metall og en elektrisk leder.