Cauchy–Schwarz’ ulikhet

Cauchy–Schwarz’ ulikhet er en av de viktigste ulikhetene i lineær algebra. Den har sitt navn etter den franske matematikeren
Augustin Louis Cauchy (1789–1857) og den tyske matematikeren Herman Amandus Schwarz (1843–1921). Trekantulikheten kan bevises ved å bruke Cauchy-Schwarz ulikhet.


== Om ulikheten ==
For vektorer 
  
    
      
        
          u
        
        =
        (
        
          u
          
            1
          
        
        ,
        
          u
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},u_{2})}
   og 
  
    
      
        
          v
        
        =
        (
        
          v
          
            1
          
        
        ,
        
          v
          
            2
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},v_{2})}
   i planet sier ulikheten at:

  
    
      
        
          |
        
        
          u
          
            1
          
        
        
          v
          
            1
          
        
        +
        
          u
          
            2
          
        
        
          v
          
            2
          
        
        
          |
        
        ≤
        
          
            
              u
              
                1
              
              
                2
              
            
            +
            
              u
              
                2
              
              
                2
              
            
          
        
        
          
            
              v
              
                1
              
              
                2
              
            
            +
            
              v
              
                2
              
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle |u_{1}v_{1}+u_{2}v_{2}|\leq {\sqrt {u_{1}^{2}+u_{2}^{2}}}{\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}}}}
  .Generelt gjelder: For vektorer 
  
    
      
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} }
   og 
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
   i et reelt vektorrom med indreprodukt 
  
    
      
        ⋅
      
    
    {\displaystyle \cdot }
  , eksempelvis 
det Euklidske n-rommet 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  , er

  
    
      
        
          |
        
        
          u
        
        ⋅
        
          v
        
        
          |
        
        ≤
        ‖
        
          u
        
        ‖
        ‖
        
          v
        
        ‖
      
    
    {\displaystyle |\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}
  .Ofte blir ulikheten uttrykt ved sumoperatoren, som er ekvivalent med sistnevnte uttrykk.

  
    
      
        
          (
          
            
              ∑
              
                k
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              a
              
                k
              
              
                2
              
            
          
          )
        
        
          (
          
            
              ∑
              
                k
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              b
              
                k
              
              
                2
              
            
          
          )
        
        ≥
        
          
            (
            
              
                ∑
                
                  k
                  =
                  1
                
                
                  n
                
              
              
                a
                
                  k
                
              
              
                b
                
                  k
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}^{2}\right)\left(\sum _{k=1}^{n}b_{k}^{2}\right)\geq \left(\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right)^{2}}
  
Der elementene i følgende 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1},a_{2},\dots ,a_{n}}
  og 
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{1},b_{2},\dots ,b_{n}}
  er i den reelle tallmengden
Ulikheten ble først introdusert av Cauchy i Course d’analyse (1821), da i form av endelige summer, likt den måten ulikheten er uttrykt ved over. I 1859 viste en tidligere student av Cauchy, Bunyakovsky, ulikheten for uendelige summer, uttrykt ved integraler. Karl Schwarz gjenoppdaget Bunyakovskys arbeid i 1888, i hans arbeid med minimalflater, og uttrykte da ulikheten i form av dobbeltintegraler. Ulikheten tar også gjerne navnet Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz’ ulikhet av denne grunn.


== Eksempler ==


=== Vinkler ===
Ulikheten forsikrer at vinkelen mellom to vektorer, begge ulik 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  , er veldefinert. Denne vinkelen 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
  
er spesifisert ved

  
    
      
        cos
        ⁡
        θ
        =
        
          
            
              
                u
              
              ⋅
              
                v
              
            
            
              ‖
              
                u
              
              ‖
              ‖
              
                v
              
              ‖
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \cos \theta ={\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }{\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}}}
   og 
  
    
      
        0
        ≤
        θ
        ≤
        π
      
    
    {\displaystyle 0\leq \theta \leq \pi }
  .


=== Amplitude for svingninger ===
Svingninger beskrives ved en funksjon 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        a
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        +
        b
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)=a\cos(x)+b\sin(x)}
  , hvor 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   og 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   er parametere.
Ved å se på 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
   og 
  
    
      
        (
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        ,
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        )
      
    
    {\displaystyle (\cos(x),\sin(x))}
   som vektorer i planet gir Cauchy-Schwarz’ ulikhet at

  
    
      
        
          |
        
        f
        (
        x
        )
        
          |
        
        =
        
          |
        
        a
        cos
        ⁡
        (
        x
        )
        +
        b
        sin
        ⁡
        (
        x
        )
        
          |
        
        ≤
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              b
              
                2
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle |f(x)|=|a\cos(x)+b\sin(x)|\leq {\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}
  siden 
  
    
      
        
          cos
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        x
        )
        +
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        1
      
    
    {\displaystyle \cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)=1}
  .


== Bevis ==
Dersom 
  
    
      
        
          u
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} }
   eller 
  
    
      
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {v} }
   er lik 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  , så er ulikheten opplagt.
Anta derfor at begge vektorene er ulik 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  .
La 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   være en skalar, og se på vektoren 
  
    
      
        t
        
          u
        
        +
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle t\mathbf {u} +\mathbf {v} }
  . Vi har

  
    
      
        (
        t
        
          u
        
        +
        
          v
        
        )
        ⋅
        (
        t
        
          u
        
        +
        
          v
        
        )
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle (t\mathbf {u} +\mathbf {v} )\cdot (t\mathbf {u} +\mathbf {v} )\geq 0}
  .Ved å multiplisere ut venstre side og betrakte den som et polynom i 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  , får vi

  
    
      
        ‖
        
          u
        
        
          ‖
          
            2
          
        
        
          t
          
            2
          
        
        +
        2
        (
        
          u
        
        ⋅
        
          v
        
        )
        t
        +
        ‖
        
          v
        
        
          ‖
          
            2
          
        
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle \|\mathbf {u} \|^{2}t^{2}+2(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )t+\|\mathbf {v} \|^{2}\geq 0}
  .Et annengradspolynom 
  
    
      
        a
        
          t
          
            2
          
        
        +
        b
        t
        +
        c
      
    
    {\displaystyle at^{2}+bt+c}
   er større enn eller lik 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
   for alle 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
   dersom

  
    
      
        a
        ≥
        0
      
    
    {\displaystyle a\geq 0}
   og diskriminanten 
  
    
      
        D
        =
        
          b
          
            2
          
        
        −
        4
        a
        c
      
    
    {\displaystyle D=b^{2}-4ac}
   er mindre enn eller lik 
  
    
      
        0
      
    
    {\displaystyle 0}
  . I vårt tilfelle fås:

  
    
      
        (
        2
        (
        
          u
        
        ⋅
        
          v
        
        )
        
          )
          
            2
          
        
        −
        4
        ‖
        
          u
        
        
          ‖
          
            2
          
        
        ‖
        
          v
        
        
          ‖
          
            2
          
        
        ≤
        0
      
    
    {\displaystyle (2(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} ))^{2}-4\|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}\leq 0}
  .En rydder opp og ser at:

  
    
      
        (
        
          u
        
        ⋅
        
          v
        
        
          )
          
            2
          
        
        ≤
        ‖
        
          u
        
        
          ‖
          
            2
          
        
        ‖
        
          v
        
        
          ‖
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2}}
  .Cauchy-Schwartz’ ulikhet fremkommer nå ved å ta kvadratrot på begge sider:

  
    
      
        
          |
        
        
          u
        
        ⋅
        
          v
        
        
          |
        
        ≤
        ‖
        
          u
        
        ‖
        ‖
        
          v
        
        ‖
      
    
    {\displaystyle |\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} |\leq \|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|}
  .


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
Video om Cauchy–Schwarz’ ulikhet