Σ-algebra

En familie 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
   av delmengder av mengden 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   kalles en sigma-algebra dersom

  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
   er ikke tom. (Det finnes minst en delmengde 
  
    
      
        A
        ∈
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}
  .)
Lukket under komplement: Hvis 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   er med i 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
   så er komplementet 
  
    
      
        
          A
          
            c
          
        
        =
        X
        ∖
        A
      
    
    {\displaystyle A^{c}=X\setminus A}
   også være med i 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  
Lukket under tellbare unioner: Hvis 
  
    
      
        (
        
          A
          
            n
          
        
        
          )
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle (A_{n})_{n=1}^{\infty }}
   er en samling av mengder i 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
   er også unionen 
  
    
      
        
          ∪
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          A
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \cup _{n=1}^{\infty }A_{n}}
   med i 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  Det følger at 
  
    
      
        ∅
      
    
    {\displaystyle \emptyset }
   og 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   er med i 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  :
Tar vi en vilkårlig mengde 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   i 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
   (som finnes, ved egenskap 1) har vi at komplementet 
  
    
      
        
          A
          
            c
          
        
      
    
    {\displaystyle A^{c}}
   er i 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
   ved egenskap 2, og ved egenskap 3 får vi at da må unionen 
  
    
      
        A
        ∪
        
          A
          
            c
          
        
        =
        X
      
    
    {\displaystyle A\cup A^{c}=X}
   og dens komplement 
  
    
      
        ∅
      
    
    {\displaystyle \emptyset }
   være i 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
  .


== Eksempel ==
Den enkleste 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  -algebraen på en gitt mengde 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   er den trivielle: 
  
    
      
        
          
            A
          
        
        =
        {
        ∅
        ,
        X
        ,
        A
        ,
        
          A
          
            c
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}=\{\emptyset ,X,A,A^{c}\}}
  , for en delmengde 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
   av 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  . Går vi til den andre enden av skalaen er den største 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  -algebraen på en gitt mengde samlingen av alle delmengder av 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  , 
  
    
      
        
          
            P
          
        
        (
        X
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}
  .
La 
  
    
      
        X
        =
        
          1
          ,
          2
          ,
          3
          ,
          4
          ,
          5
          ,
          .
          .
          .
          .
        
      
    
    {\displaystyle X={1,2,3,4,5,....}}
   være mengden 
  
    
      
        
          N
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {N} }
   av alle naturlige tall, og la
familien 
  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
   bestå av de 4 delmengdene 
  
    
      
        ∅
      
    
    {\displaystyle \emptyset }
  , 
  
    
      
        
          1
          ,
          3
          ,
          5
          ,
          .
          .
          .
          .
        
      
    
    {\displaystyle {1,3,5,....}}
   (alle oddetall)

  
    
      
        
          2
          ,
          4
          ,
          6
          ,
          .
          .
          .
        
      
    
    {\displaystyle {2,4,6,...}}
   (alle partall) samt 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   selv.

  
    
      
        
          
            A
          
        
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {A}}}
   er da en sigma-algebra.
En svært viktig 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  -algebra er Borel 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  -algebraen.  Denne definerer vi som 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  -algebraen generert av alle de åpne mengdene på en mengde 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
  . Dersom vi betrakter de reelle tallene vil da de åpne mengdene være åpne intervaller, og dermed kan vi skrive 
  
    
      
        
          
            B
          
        
        =
        σ
        (
        (
        a
        ,
        b
        )
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {B}}=\sigma ((a,b))}
  . Ved egenskapene 2 og 3 kan vi vise at også de lukkede mengdene, de halvåpne mengdene og åpne og lukkede stråler genererer Borel 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  -algebraen. Igjen for de reelle tallene får vi da at Borel 
  
    
      
        σ
      
    
    {\displaystyle \sigma }
  -algebraen også er generert av 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
  ,
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle [a,b)}
  ,
  
    
      
        (
        a
        ,
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle (a,\infty )}
   og 
  
    
      
        [
        a
        ,
        ∞
        )
      
    
    {\displaystyle [a,\infty )}
  .


== Referanser ==
Bartle, Robert G: The Elements of Integration and Lebesgue Measure. Wiley Classics Library