Kvantemekanikk

Kvantemekanikk er den grenen av fysikken som beskriver atomer, molekyler, og oppbygningen av disse. I sin mest komplette form prøver den å beskrive oppbygningen av all materie og stråling. Alle naturkrefter unntatt gravitasjon og energier som vakuum har i dag en kvantemekanisk beskrivelse.
Kvantemekanikk startet med Max Plancks forklaring av strålingsspekteret fra solen i 1900, og er i  dag en hovedgren av fysikken med mange undergrener. All fundamental forskning i fysikk i dag kan sies å videreføre kvantemekanikken.


== Teori ==
Plancks konstant er en fundamental fysisk konstant som ligger til grunn for all kvantemekanikk. Alle resultater i kvantemekanikken inneholder Plancks konstant, for eksempel verdien til energinivåene i et atom.
Bølge-partikkel-dualiteten sier at kvantemekaniske partikler kan oppføre seg både som partikler og bølger. For eksempel kan man observere bølgefenomenet interferens når man sender elektroner gjennom en dobbeltspalte mens man i andre tilfeller kan måle elektronets posisjon, altså en partikkelegenskap.
Kvantisering vil si begrensing av hvilke verdier en størrelse kan ha og de mulige verdiene er gitt av et kvantetall, som ofte er et heltall, men ikke trenger å være det. Med en tilstand menes alle egenskaper en partikkel har til enhver tid og tilstander er ofte formulert som en liste med kvantetall. I et atom kommer kvantisering som resultat av at elektronene er bundet av et potensial fra atomkjernen. Avstanden mellom energinivåene blir mindre jo større område en partikkel kan bevege seg på. For store systemer, for eksempel over 100 nm, er avstanden mellom energinivåene så liten at klassisk fysikk igjen er en god beskrivelse.
Heisenbergs uskarphetsrelasjon sier at noen kvantemekaniske variabler avhenger gjensidig av hverandre, slik at hvis den ene bestemmes skarpt (presist) blir den andre uskarp (omtrentlig). Uskarpheten har en nær sammenheng med bølge-partikkel-dualiteten, siden en må velge i hvilken grad en skal se på partikkelegenskaper, eller bølgeegenskaper. Denne uskarpheten er en fundamental bit av kvantemekanikken og kan ikke fjernes på noen måte. Eksempler på variable som følger Heisenbergs uskarphetsrelasjon er posisjon og impuls eller energi og tid.
Spinn er en fundamental egenskap ved alle kvantemekaniske partikler. Spinnet gir de statistiske egenskapene til partiklene, det vil si hvordan partikler oppfører seg sammen med andre partikler. Det finnes to typer oppførsel, Fermioner med halvtallig spinn og Bosoner med heltallig spinn. Bosoner, for eksempel fotoner, er sosiale partikler som tillater andre partikler å være i samme tilstand som dem selv. Fermioner, for eksempel elektroner og protoner, er asosiale partikler som adlyder Pauliprinsippet. Pauliprinsippet sier at to Fermioner ikke kan okkupere samme tilstand. Det periodiske system er et resultat av dette prinsippet, siden elektroner blir nødt til å spre seg over ulike tilstander i et atom med mange elektroner.
Schrödingerteori formulerer kvantemekanikken ved hjelp av en bølgefunksjon, som inneholder tilstanden til en partikkel. Kvadratet av bølgefunksjonen gir sannsynligheten for at en partikkel er på et gitt sted til en gitt tid og beskriver både bølge- og partikkelegenskaper. Alle felter, inkludert selve bølgefunksjonen, er i Schrödingerteorien klassiske, kontinuerlige, funksjoner, mens tilstandene, slik som posisjon og energi er kvantisert.
Kvantefeltteorier er generaliseringer av Schrödingerteorien hvor alle felter, også selve bølgefunksjonen, er kvantisert. Felter og vekselvirkninger beskrives da som utveksling av partikler, for eksempel er elektrisk vekselvirkning utveksling av fotoner. Standardmodellen for elementærpartikkelfysikk er en kvantefeltteori. Kvantefeltteorier brukes også mye i statistisk fysikk.


== Historisk utvikling ==
Kvantemekanikkens begynnelse ligger ved Max Plancks innføring av virkningskvantum h for å forklare  egenskapene ved varmestrålingen i 1900.  Deretter i 1905 kom Einsteins tolkning av den Fotoelektriske effekt, som resultat av at elektromagnetiske bølger nå ikke lenger bare skulle oppfattes som en ren bølgebevegelse, men også som en partikkelstrøm, der partikkel- eller foton-energien skulle settes proporsjonal med bølgens frekvens, og der proporsjonalitetskonstanten nettopp var den 5 år tidligere oppdagede Plancks konstant h.
Neste skille settes ved Niels Bohrs oppdagelse av at Plancks konstant også kunne benyttes til å kvantisere atomenes dreieimpuls. Han krevde da at atomets elektroner skulle gå i baner rundt atomkjernen med en dreieimpuls som kun kunne ha bestemte diskrete verdier, og at disse skulle settes like et heltallig multiplum av virkningskvantet, dvs Plancks konstant 'h'. Han hadde dermed kommet frem til en atommodell som ga et diskret energispektrum, og hadde dermed greid å forklare de velkjente linjespektra fra glødende gasser. Videre viste det seg at den formelen han fant for atomets energinivåer, var i full overensstemmelse med de eksperimentelle resultatene som allerede var blitt oppnådd av Balmer. Bohrs teori var dermed en stor suksess. Likevel vet vi i dag at den kun var halvt på vei til den egentlige kvantemekanikken. For Bohrs kvantemekanikk er egentlig en klassisk mekanisk teori, der en enkel kvantiseringsregel er føyd til som et ekstra prinsipp, uten noen særlig annen begrunnelse enn at man da får en teori hvis forutsigelser stemmer overens med visse eksperimenter.
Den avgjørende overgangen til en fullstendig kvantemekanisk teori kom så med Erwin Schrödinger og hans bølgeligning, nemlig Schrödingerligningen. For i denne ligningen ligger Plancks konstant og dermed virkningskvantumet, innebygd som en integrert del av teorien, og ikke lenger et utenpåklistret ekstraprinsipp, som hos Bohr.
Deretter nevnes Dirac-teorien som det neste avgjørende gjennombrudd. Med denne nyvinningen, matematisk uttrykt gjennom Diracligningen, hadde han greid å kombinere Schrödingers bølgeteori for materien med relativitetsteorien. Men det betydde at man nå også var i stand til å anvende kvantemekanikk på partikler som gikk i veldig høye hastigheter, helt opp til lysets. Videre forutsa Diracs teori antimaterien, ved at hans ligning viste seg å inneholde løsninger med negativ energi, dvs. partikler med negativ masse, som Dirac, gjennom sin hullteori greide å tolke som antipartikler med positiv masse. Ifølge denne teorien vil elektronet ha en partner som består av antimaterie, og denne partneren er da også en partikkel med nøyaktig den samme massen som elektronet, men med motsatt ladning. Et slikt anti-elektron kalles et positron. I tillegg til antimaterien inneholdt Dirac-ligningen også beskrivelsen av elektronet som en partikkel med spinn, dvs. at elektronet hele tiden spinner om sin egen akse, og fordi det har elektrisk ladning, blir det dermed en magnet. Dirac-teorien inneholder derfor opplysninger også om elektronets magnetiske moment.
Ved å benytte Diracs ligning til å beskrive atomet, viste det seg at man hadde kommet frem til en relativistisk atommodell, der elektronets spinn kom med «på kjøpet», helt av seg selv. Innenfor rammen av denne modellen kunne man beregne atomets spektrallinjer med veldig stor nøyaktighet, som ga en uventet god overensstemmelse med eksperimentelle spektralverdier. (dvs. spektralinjenes bølgelengder slik de blev målt med spektroskop).
Men det manglet en beskrivelse av mangepartikkelsystemer. For i virkelige systemer er det ikke bare ett elektron, men myriader av dem, som alle vekselvirker med hverandre gjennom Coulombkraften. Det neste målet bestod derfor i å komme frem til en kvantemekanisk mangepartikkelteori. Det viste seg da at Diracligningen dannet et ypperlig utgangspunkt for nettopp dette. Men man måtte bare ikke nøye seg med teorien slik den stod: teorien måtte kvantiseres en gang til. Dette førte til den beryktede annenkvantiseringen.
I praksis betydde dette at man måtte gå bort fra Schrödingers enkle tankegang om en enkel bølgefunksjon 
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
   som en funksjon av rom- og tidskoordinater og istedenfor betrakte størrelsen 
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
   som en  operator som inneholder muligheten til å skape og destruere partikler i et punkt (x,y,z) ved tiden t. Schrödinger-bølgefunksjon må altså erstattes av en bølgeoperator, noe som er et langt mer abstrakt begrep enn den nå, sett med litt etterpåklokskap, så enfoldige
bølgefunksjon à la Schrödinger. En slik bølgeoperator 
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
   betraktet som en funksjon av x, y, z og t, kaller man idag gjerne et kvantefelt Det siste og dermed avgjørende skritt i kvanteteoriens utviklingshistorie, består dermed i at kvantefeltene entrer scenen. Og dermed også kvantefeltteorien som er det siste og avgjørende skritt i kvantemekanikkens utvikling.
Merk også: 

Kvanteelektrodynamikken (QED), som gir en fullstendig kvantemekanisk teori av den elektromagnetiske vekselvirkningen mellom ladde partikler.
Richard Feynmans diagrammatiske metode, som tillater en å visualisere kvantemekaniske prosesser i mangepartikkelsystemer som utvikling av virtuelle feltkvanter, samtidig som hvert diagram står for et nøyaktig definert matematisk uttrykk i en perturbasjonsrekke, hvis sum forteller oss helt nøyaktig hva sannsynligheten er for at en gitt kvantemekanisk prosess skal finne sted.
S-matriseteorien, som danner et viktig mellomstadium i utviklingen av kvantemekanikk frem til idag. Selv om S-matriseteorien stort sett ikke brukes mye i dag, da en heller arbeider direkte med kvantefeltene, og så beregner de S-matriseelementene man trenger å regne ut for å kunne sammenligne teori med eksperiment ved å ta utgangspunkt direkte i kvantefeltene.Teorien for de elektrosvake vekselvirkninger, samt teorien for de sterke vekselvirkningene og dermed også standardmodellen, er alle kvantefeltteorier.
Noen kjente kvantefysikere er Max Planck, Erwin Schrödinger, Werner Heisenberg, Albert Einstein, Niels Bohr, Wolfgang Pauli, John von Neumann, Max Born  og Paul Dirac.


== Aksiomatisk formulering ==
Kvantemekanikken baserer seg på fire grunnleggende postulater:

Tilstanden til et fysisk system kan beskrives fullstendig ved en tilstandsfunksjon 
  
    
      
        
          |
        
        Ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\Psi \rangle }
  . Denne funksjonen må oppfylle Schrödingerlikningen.
Til enhver observerbar fysisk størrelse 
  
    
      
        A
         
      
    
    {\displaystyle A\ }
    hører det i kvantemekanikken en  lineær operator 
  
    
      
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {A}}}
  .
Forventningsverdien av en observerbar størrelse 
  
    
      
        A
         
      
    
    {\displaystyle A\ }
   er gitt ved 
  
    
      
        ⟨
        A
        ⟩
        =
        ⟨
        Ψ
        
          |
        
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
        
          |
        
        Ψ
        ⟩
        .
      
    
    {\displaystyle \langle A\rangle =\langle \Psi |{\hat {A}}|\Psi \rangle .}
   Teorien forutsier da hva gjennomsnittsverdien av flere målinger vil bli.  Her lar man operatoren 
  
    
      
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {A}}}
   virke på tilstandsfunksjonen 
  
    
      
        
          |
        
        Ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\Psi \rangle }
   og beregner så  indreproduktet med den duale tilstandsfunksjonen 
  
    
      
        ⟨
        Ψ
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \langle \Psi |}
  . I enkel Schrödingerteori er sistnevnte identisk med den komplekskonjungerte bølgefunksjon. Men i kvantefeltteori benytter man helst ikke vanlige (komplekse) funksjoner, men foretrekker å se på tilstandene 
  
    
      
        Ψ
         
      
    
    {\displaystyle \Psi \ }
   som vektorer i et abstrakt Hilbertrom.
En måling av en observerbar størrelse 
  
    
      
        A
         
      
    
    {\displaystyle A\ }
   kan kun gi én av egenverdiene 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
         
      
    
    {\displaystyle a_{n}\ }
   til operatoren 
  
    
      
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {A}}}
   som resultat. Like etter målingen er systemet i tilstanden 
  
    
      
        
          |
        
        
          Ψ
          
            n
          
        
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\Psi _{n}\rangle }
   som er den egenfunksjonen til operatoren 
  
    
      
        
          
            
              A
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\hat {A}}}
  ,  som innehar den målte egenverdien. Men etter hvert kan systemet gli over i mer kompliserte tilstander, som man ofte betrakter som lineærkombinasjoner av  egentilstandene til en av de operatoren man benytter seg av.


== Skrivemåte ==
Skrivemåten med å benytte spisse parenteser til å angi kvantetilstandene, var det Dirac som fant opp.
Det symbolet som har en høyrevendt spiss parentes kalte han en 
  
    
      
        K
        e
        t
         
      
    
    {\displaystyle Ket\ }
  , mens det duale symbol som har en
venstrepekende spiss parentes kalte han for en  
  
    
      
        B
        r
        a
         
      
    
    {\displaystyle Bra\ }
  . Når bølgefunksjonen 
  
    
      
        
          |
        
        Ψ
        ⟩
      
    
    {\displaystyle |\Psi \rangle }
   så ble
satt sammen med den duale 
  
    
      
        ⟨
        Ψ
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \langle \Psi |}
   ved hjelp av indreproduktet, fikk man så en 
  
    
      
        B
        r
        a
        K
        e
        t
         
      
    
    {\displaystyle BraKet\ }
  ,
eller 
  
    
      
        b
        r
        a
        c
        k
        e
        t
         
      
    
    {\displaystyle bracket\ }
   på engelsk. Et slikt ordspill gjorde teorien litt morsommere og mer talende til intuisjonen,
og kvantemekanikerne har stort sett holdt seg til Diracs formulering siden.


== Bølge eller partikkel? ==
Det at man benytter lineærkombinasjoner av tilstander er noe helt ukjent i den klassiske mekanikken
som omhandler partitiklers bevegelse og dynamikk, men er velkjent fra de klassiske teoriene man kjenner fra
optikken og akustikken, der man har gått bort fra det å betrakte materien som sammensatt av
adskilte partikler, og istenfor ser på materien som kontinuerlig. Det at kvantemekanikken har mer
samhørighet med de klassiske bølgeteorier enn med partikkelteoriene, er grunnen til at kvantemekanikken ofte også
kalles for bølgemekanikk. Men likevel gir kvanteteorien oss utsagn og forutsigelser om partikler, men da ikke
lenger med presise opplysninger om  partiklenes bevegelse og posisjon, men den er kun kapabel til å gi oss
statistiske utsagn om partiklenes oppførsel. Dette fører da til at fysikerne oppfatter
kvantemekanikken som en dual teori, som på et vis sier at materien er både bølge og partikkel. Man omtaler dette som materiebølger.
Men dette duale bildet som kvantemekanikken gir oss av materien, er nettopp den tingen som gjør kvantemekanikken
så vanskelig å fatte. For selv om alt følger bestemte regler, og dens forutsigelseskraft står uomtvistelig fast,
er det meget vanskelig å danne seg et intuitivt lettfattelig bilde av dens vesen. Når vi så tenker på at
kvantemekanikken av de fleste fagfolk betraktes som materiens grunnleggende teori, som inneholder både fysikk, kjemi,
biologi og astronomi i sin ytterste konsekvens, så forstår vi at virkeligheten nok ikke er så lettfattelig som
det virkelighetsbildet vi kjenner fra klassisk mekanikk gir inntrykk av.


== Anvendelsesområder ==
Kvantemekanikken i vid forstand er ikke én enkelt teori, men en klasse av teorier som opererer på ulike lengde- og energiskalaer. Disse teoriene er i et hierarki, hvor egenskapene til en teori kan utledes fra en underliggende teori. Den mest fundamentale teorien som eksisterer i dag, standardmodellen, beskriver elementærpartikler, slik som elektroner og kvarker, men selv denne teorien antas å ha teorier under seg. Strengteorier og andre multidimensjonale teorier har lenge vært kandidater, men disse mangler fortsatt eksperimentell støtte.
Alle systemer under 10 nm må som regel beskrives kvantemekanisk, men lengdeskalaen avhenger av temperatur, og ned mot det absolutte nullpunktet blir kvanteeffekter viktige, selv på store systemer. Dette kalles makroskopiske kvantesystemer, slik som kvantisert Hall-effekt. Supraledning, superfluiditet og Bose-Einstein-kondensasjon kommer også inn under makroskopiske kvantesystemer. 
Vekselvirkning mellom stråling og materie har helt siden starten vært sentralt i kvantemekanikken. Strålingsspekteret fra solen ble forklart av Max Planck i 1900 og den fotoelektriske effekten av Albert Einstein i 1905. Bohrs atommodell er sentral i kvantemekanikken, og den sier at atomer har en positivt ladd kjerne med negativt ladde elektroner rundt. Elektronenes energi er kvantisert, det vil si at de bare kan ha visse spesielle verdier. 
Kvantemekanikk er også sentralt i å forstå elektriske egenskaper til metaller og halvledere. Klassiske elektroner ville ha vanskelighet med å bevege seg i et krystallgitter og metaller ville ikke lede strøm. Kvantemekaniske elektroner kan bevege seg som bølger og går faktisk uten motstand i et ideelt gitter (Bloch-bølger). All motstand i en leder er derfor på grunn av gitterfeil, det vil si atomer er av feil type eller på feil plass, og termiske gitterbevegelser. Egenskapene til halvledere forstås ved at elektronene i utgangspunktet er bundet til atomene, men kan frigjøres og bevege seg omkring.


=== Målingsteori ===
Et av de områdene der kvantemekanikken har hatt størst betydning utenfor fysikerkretser er målingsteori. Kort fortalt postulerer kvantemekanikken at man ikke kan adskille personen som foretar en måling fra det som blir målt. Det betyr ofte at man vil endre en partikkels tilstand når man måler den. 


==== Superposisjon ====
Når man i kvantemekanikken gir avkall på de klassiske begrepene som posisjon, fart og impuls, åpner man muligheten for å ha partikler som ikke er i en definert tilstand (eller egentilstand) av f.eks. impuls. Man sier at en slik partikkel er i en superposisjon av impuls, hvor den populært sagt er i flere tilstander samtidig uten ennå å ha valgt hvilken. Partikkelen blir så å si først nødt til å velge i det øyeblikket man måler på den, og den antar så straks en definert tilstand. Når en partikkel ikke er i en defineret tilstand kan man som sagt ikke bruke det klassiske begrep lenger, og man er nødt til å arbeide med forventningsverdier. Forventningsverdien er i bunn og grunn bare middelverdien av de tilstandene som partikkelen kan være i.
Det er partiklers superposisjonsegenskaper som gir anledning til mange av de fenomener som kvantemekanikken er berømt for. F.eks. danner superposisjon grunnlaget for kvantedatamaskinen og for paradokset om Schrödingers katt. Ofte er man også interessert i å ha en partikkel i en superposisjon for å kunne foreta en annen måling presist, fordi Heisenbergs usikkerhetsrelasjoner ikke tillater at man vet begge deler samtidig.


==== Stern-Gerlach-eksperimentet ====
 
Et av kvantemekanikkens mest bisarre resultater kan vises i en tenkt utgave av forsøket som Otto Stern og Walther Gerlach gjorde i 1922. I det opprinnelige eksperimentet ble en stråle av sølvatomer sendt gjennom et inhomogent magnetfelt som avbøyer atomene forskjellig alt etter elektronenes spinn. Når strålen treffer en skjerm vil man se to adskilte stråler fordi elektronene kan ha to spinntilstander. Dette var i strid med den klassiske teorien, og eksperimentet dannet et fundamentalt bevis for partiklers spinn.
For å forstå spinns bisarre egenskaper helt kan man tenke seg tre Stern-Gerlach-apparater (S-G) satt etter hverandre. For hvert apparat deler strålen seg i to, og kun den ene fortsetter videre til neste apparat. Det første S-G virker langs z-aksen og deler strålen i to, z+ og z-, hvilket betyr at de henholdsvis har spinn opp og spinn ned. Den ene strålen (z+) fortsetter nå inn i det neste S-G, som virker langs x-aksen. Strålen deles igjen i to, men denne gangen er det etter spinn i x-aksens retning: x+ og x- (vi kan kalle det henholdsvis spinn høyre og spinn venstre). Til sist fortsetter kun x+ inn i det siste S-G, som igjen virker langs z-aksen. Overraskende nok kommer det igjen to stråler ut av det siste S-G, som igjen er oppdelt etter spinn opp og spinn ned. 

Klassisk sett ville man forvente at det kun kom én stråle med spinn opp ut til sist, for alle partikler med spinn ned ble frasortert allerede i første trinn. Kvantemekanikkens resultat kan kun tolkes slik at man endrer på partiklens tilstand når man foretar en måling. Matematisk sett betyr det at man setter partikkelen i en superposisjon (se ovenfor) av spinn opp og spinn ned når man foretar målingen i x-aksens retning. 


==== Schrödingers katt ====
Et av de mest kjente paradokser innenfor den moderne fysikken handler om Schrödingers katt. Det er et tankeeksperiment som Erwin Schrödinger fremsatte i 1935. Man forestiller seg at man har en lukket kasse med en katt, et radioaktivt materiale, en geigerteller og en beholder med giftgass. Geigertelleren er forbundet med giftgasbeholderen på en slik måte at hvis den gir utslag så sendes giftgassen ut. Innenfor et gitt tidsintervall er det altså en viss sannsynlighet for at der skjer et henfald i det radioaktive materiale så katten drepes. Men hvorvidt katten er levende eller død vil man ikke kunne avgjøre før man åpner kassen, og dermed kan man betrakte katten som værende i en superposisjon mellom levende og død.


=== Matematikk ===


==== Schrödinger-ligningen ====

Den utvilsomt viktigste ligningen innenfor kvantemekanikken er Schrödinger-ligningen. For én partikkel antar ligningen formen

  
    
      
        −
        
          
            
              ℏ
              
                2
              
            
            
              2
              m
            
          
        
        
          ∇
          
            2
          
        
        Ψ
        
          (
          
            
              r
            
            ,
            t
          
          )
        
        +
        U
        
          (
          
            
              r
            
            ,
            t
          
          )
        
        Ψ
        
          (
          
            
              r
            
            ,
            t
          
          )
        
        =
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
        Ψ
        
          (
          
            
              r
            
            ,
            t
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)+U\left(\mathbf {r} ,t\right)\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi \left(\mathbf {r} ,t\right)}
  ,hvor 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   er partikkelens masse, 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
   er stedvektor for partikkelen og 
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hbar }
   er Plancks konstant dividert med 2π. Ligningen uttrykker energibevarelse for et kvantemekanisk system - første ledd på venstre side er det kvantemekaniske uttrykket for kinetisk energi, det andre leddet er den potensielle energien, og høyre side angir den samlede energien for systemet. Schrödingerligningen er en differensialligning der løsninger er funksjoner. Man kan bruke den til å finne bølgefunksjoner 
  
    
      
        Ψ
      
    
    {\displaystyle \Psi }
   som er løsninger til et gitt potensial 
  
    
      
        U
        
          (
          
            
              r
            
            ,
            t
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle U\left(\mathbf {r} ,t\right)}
  . 
Ligningen finnes også i en tidsuavhengig utgave, hvor man kan finne stasjonære tilstander (eller bundne tilstander) som ikke endrer seg over tid. Slike tilstander er blant annet elektroner som er bundet til en atomkjerne, eller andre partikler som på andre måter er fanget i et elektrisk felt. I den tidsuavhengige utgaven erstattes energioperatoren 
  
    
      
        i
        ℏ
        
          
            ∂
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}
   på høyre side med den samlede energien for systemet 
  
    
      
        E
      
    
    {\displaystyle E}
   og de tidsuavhengige løsningene betegnes ofte med en liten psi (
  
    
      
        ψ
        
          (
          
            r
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \psi \left(\mathbf {r} \right)}
  ).
Ligningen er ikke-relativistisk, dvs. den gjelder kun for partikler hvis hastighet ikke er sammenlignbare med lysets hastighet (299 792 458 m/s). For relativistiske partikler må man bruke den mer avanserte Dirac-ligningen eller kvantefeltteorien.


==== Dirac-ligningen ====
Dirac-ligningen er en fusjon mellom Schrödinger-ligningen og den spesielle relativitetsteorien. Ligningen er

  
    
      
        −
        i
        ℏ
        c
        
          (
          
            
              α
            
            ⋅
            ∇
          
          )
        
        ψ
        +
        β
        m
        
          c
          
            2
          
        
        ψ
        =
        i
        ℏ
        
          
            
              ∂
              ψ
            
            
              ∂
              t
            
          
        
      
    
    {\displaystyle -i\hbar c\left({\boldsymbol {\alpha }}\cdot \nabla \right)\psi +\beta mc^{2}\psi =i\hbar {\frac {\partial \psi }{\partial t}}}
  ,hvor 
  
    
      
        m
      
    
    {\displaystyle m}
   er partikkelens masse, 
  
    
      
        
          r
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {r} }
   er stedvektor for partikkelen, 
  
    
      
        c
      
    
    {\displaystyle c}
   er lysets hastighet og 
  
    
      
        ℏ
      
    
    {\displaystyle \hbar }
   er Plancks konstant. 
  
    
      
        β
      
    
    {\displaystyle \beta }
   er en 4x4 matrise og 
  
    
      
        
          α
        
      
    
    {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}}
   består av 3 forskjellige 4x4 matriser - en for hver dimensjon. I denne modellen er 
  
    
      
        ψ
      
    
    {\displaystyle \psi }
   ikke bare en funksjon, men en «spinorfunksjon» med fire komponenter.
En av de ting som Dirac-ligningen kan forklare er betydningen av spinn. Spinn inngår ikke i Schrödinger-ligningen, men i Dirac-ligningen dukker det opp som en konsekvens av møtet mellom kvantemekanikk og relativitetsteori. Dirac-ligningen kan forklare ting som finstruktur i atomspektre, men kommer til kort ved for eksempel det gyromagnetiske spinnforholdet 
  
    
      
        
          g
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{s}}
  . Diracs teori forutsier verdien av 
  
    
      
        
          g
          
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle g_{s}}
   til å være presis 2, men målinger viser at den er litt høyere enn 2. Dette kan forklares innenfor kvantefeltteori.


==== Heisenbergs usikkerhetsrelasjoner ====

Heisenbergs usikkerhetsrelasjoner er et sett ulikheter som er av stor betydning innenfor kvantemekanikken. De uttrykker fundamentale grenser for hvor presise målinger det er mulig å oppnå på samme tid. Mest berømt er ulikheten

  
    
      
        Δ
        x
        ⋅
        Δ
        
          p
          
            x
          
        
        ≥
        
          
            ℏ
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \Delta x\cdot \Delta p_{x}\geq {\frac {\hbar }{2}}}
  ,som uttrykker at man ikke kan vite en partikkels posisjon og impuls uendelig presist på samme tid fordi de to størrelsene er konjugerte variabler. Dette skal ikke ses som en begrensning ved måleutstyret, men en fundamental egenskap ved naturen. Det finnes tilsvarende relasjoner mellom andre variabler.
Matematisk kan usikkerhetsprinsippet bevises med Fourier-analyse.


==== Perturbasjonsteori ====
Én av Schrödingerligningens store ulemper er at den kun kan løses eksakt for noen ganske enkle tilfeller. F.eks. kan man ikke finne analytiske bundne tilstander for andre atomer enn hydrogen. Man er derfor nødt til å gjøre forskjellige forenklinger av de kvantemekaniske problemene for å kunne løse dem. Et av de viktigste verktøyene til dette er perturbasjonsteori.
Selv om Schrödingerligningen ikke kan løses eksakt har den en fordel i at den er lineær. Det betyr at en liten endring (perturbasjon) i potensialet 
  
    
      
        U
      
    
    {\displaystyle U}
   vil gi en liten endring i bølgefunksjonen og dens energi. Dermed kan man lage tilnærmede løsninger til avanserte problemer ut fra simple problemer som man kan løse eksakt.


== Sentrale begreper ==
Tilstand. Det sentrale begrepet i kvantemekanikken er et systems kvantetilstand, som ofte identifiseres med systemets bølgefunksjon. Tilstandsfunksjon er et annet navn. Den inneholder all informasjon som det overhodet er mulig å kjenne om det systemet det gjelder. Skillet mellom klassisk mekanikk og kvantemekanikk ligger i det at dersom man har nøyaktig kjennskap til alle posisjoner og hastigheter som beskriver et isolert klassisk system ved et gitt tidspunkt, så er dets oppførsel i prinsippet kjent for all fremtid i alle detaljer. Man sier at klassiske systeme er deterministiske. Kvantemekaniske systemer er derimot kjennetegnet ved en iboende uskarphet, som innebærer at man kun kan gi probablistiske utsagn om et systems framtidige oppførsel, selv om systemets tilstand er nøyaktig kjent. Teorien er dermed probabilistisk. Her må man imidlertid skille mellom resultatet av målinger foretatt på systemet, og systemets tilstandsfunksjon. For systemets tilstandsfunksjons tidsutvikling viser seg å være 100% deterministisk i isolerte kvantesystemer. Et systems tilstandsfunksjon gir oss nemlig alle mulige opplysninger om sannsynlighetene for de diverse måleresultater som det er mulig å oppnå, man aldri noe utover det.
Operator. En kvantemekanisk tilstand er i seg selv uten mening. Tilstandene er avhengige av operatorer som binder forskjellige tilstander sammen. Ved hjelp av operatorene beskriver man hvordan forskjellige systemers tilstander påvirker og gjensidig forandrer hverandre. Hamiltonoperatoren står sentralt. Det er den som bestemmer et kvantesystems tidsutvikling. I kvantemekanikken spiller Hamiltonoperatoren den samme rollen som Hamiltonfunksjonen i klassisk mekanikk. Ved siden av å bestemme et systems tidsutvikling er Hamiltonoperatoren også energioperator. Det vil si at det er hamiltonoperatorens egenverdier som bestemmer systemets energinivåer. Samlingen av de ulike energinivåer som et system har tilgang til, kalles ofte for systemets spektrum. Andre operatorer av grunnleggende betydning i kvantemekanikken er impulsoperatoren, som er en vektoroperator. Den såkalte dreieimpulsoperatoren (Eng. Angular momenum operator) spiller også en avgjørende rolle. Paritetsoperatoren er en annen. Den avgjør om et system er speilsymmetrisk eller ikke.
Kommutator. En kommutator angir forskjellen man får når man bytter to operatorers rekkefølge. Av grunnleggende betydning er kommutatoren mellom posisjons- og impulsoperatoren. Den skal nemlig alltid settes lik kvadratroten av minus en, multiplisert med Plancks konstant dividert på 2 pi. Denne regelen er kvantemekanikkens grunnleggende kvantiseringsregel. Men den viser seg å inneholde hele kvantemekanikken i et nøtteskall.
Kvantisering. En prosedyre for hvordan man definerer et kvantemekanisk system. Ulike skjemaer finnes for hvordan dette gjøres, for eksempel kanonisk kvantisering og veiintegralkvantisering. Kvantiseringen gir begrensinger for hvilke tilstander som er tillatt.
Pauliprinsippet sier at to Fermioner ikke kan være i samme kvantetilstand. Det periodiske system er et resultat av dette prinsippet.
Bølgefunksjon. Bølgefunksjonen gir systemets tilstand. Bølgefunksjon er en kompleks funksjon av posisjon og tid og gir sannsynligheten for at en partikkel er på et gitt sted til en gitt tid.
Kvantesammenfiltring (Eng.: entanglement). Sammenfiltring vil si at to adskilte kvantesystemer framviser statistiske korrelasjoner. En slik tilstand kan også eksistere mellom partikler på ulike steder i rommet.
Kvantetunnelering. Tunnelering vil si at en partikkel trenger gjennom et hinder som er ugjennomtrengelig i klassisk fysikk.
Konjugert impuls. Kvantemekaniske variable henger sammen to og to, de kalles for variabel og tilhørende konjugert impuls. Det mest typiske eksemplet er posisjon og impuls (bevegelsesmengde). Et annet er dreieimpuls og vinkel.
Heisenbergs uskarphetsrelasjon sier at Plancks konstant setter begrensning på hvor presist størrelser som henger sammen kan bestemmes. Eksempler på slike størrelser som henger sammen er posisjon og impuls eller energi og tid.
Bølge-partikkel-dualitet. Kvantemekaniske partikler kan oppføre seg både som partikler og som bølger. Bølgenaturen kommer for eksempel frem i dobbelspalteforsøk hvor partikler, slik som elektroner, opplever interferens.
Schrödingerteori. Erwin Schrödingers formulering av kvantemekanikken med bølgefunksjonen som klassisk, kompleks, kontinuerlig funksjon.
Matrisemekanikk. Werner Heisenbergs abstrakte formulering av kvantemekanikken ved hjelp av matriser.
Kvantefeltteori. En teori hvor også bølgefunksjonen er kvantisert. Eksempler på slike teorier er elektronteorien kvanteelektrodynamikk og kvarkteorien kvantekromodynamikk.
Veiintegralformalisme. Richard P. Feynmanns formulering av kvantemekanikken som sier at en partikkel beveger alle mulige veier mellom to punkter A og B.
Standardmodellen. En modell for alle elementærpartikler, slik som elektroner, kvarker, nøytrinoer, fotoner, m.m.
Symmetri. En matematisk egenskap i systemet. F.eks. har Dirac-ligningen to symmetriske løsninger som tilsvarer elektroner og positroner (anti-elektroner).
Effektiv teori. Hvis teori B er avledet av teori A er teori B en effektiv teori.
Spontane symmetribrudd. Betyr at en effektiv teori ikke har de samme symmetriene som teorien den er avledet av.
Spinn. I kvantemekanikken benyttes ordet spinn til å beskrive en elementærpartikkels 'indre dreieimpuls' (eng. spin angular momentum), som må betraktes som grunnleggende forskjellig fra en partikkels 'banedreieimpuls' (eng. orbital angular momentum). Sistnevnte skyldes at partikkelens posisjon og impuls er beskrevet ved dens posisjons- og impulsoperator, og at dens banedreieimpuls da er gitt ved vektorkryssproduktet av disse to, i analogi med klassisk mekanikk. Men den samme elementærpartikkelen har ingen indre posisjon og heller ingen indre impuls. Likevel viser det seg at den har en indre dreieimpuls, slik det ble påvist av Goudsmit og Uhlenbeck i deres velkjente eksperiment med avbøyning av elektronstråler i inhomogene magnetfelt. Det var Wolfgang Pauli som da fant fram til den gjeldende teorien for dette fenomenet. Elektronets spinn beskrives da ved de såkalte Paulimatrisene eller spinnmatriser. Bølgefunksjon består da av 'to' komponenter, én komponent for 'spinn opp' og en annen for 'spinn ned'. En slik bølgefunksjon kalles for spinor. Paulimatrisene er da et sett av 3 stk. 2x2 komplekse matriser. Det er 3 stk. fordi spinn er en vektor, og således må ha 3 komponenter.


== Teorier som kommer inn under kvantemekanikken ==
Schrödingerteori
Kanonisk kvantemekanikk
Veiintegralformalisme
Atomfysikk
Kjernefysikk
Partikkelfysikk
Kvantekjemi
Mesoskopisk fysikk
Kvantefeltteori
Relativistisk kvantemekanikk
Kvanteelektrodynamikk
Kvantekromodynamikk
Standardmodellen
Kvantekosmologi
Strengteori
M-teori


== Se også ==
Fotoelektrisk effekt
Plancks strålingslov


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
Innføring i kvantemekanikk
Kvantefysisk abrakadabra - artikkel fra forskning.no 5.10.05
Den knøttlille fysikken- artikkel fra forskning.no 20.4.13