Konvolusjon

Konvolusjon (engl.: convolution) eller folding er en matematisk operasjon med mange anvendelseområder som f.eks. i digital bildebehandling, signalbehandling og reguleringsteknikk. Konvolusjonsoperatoren tar to funksjoner 
  
    
      
        f
      
    
    {\displaystyle f}
   og 
  
    
      
        g
      
    
    {\displaystyle g}
   som parameter.
Definisjon av kontinuerlig konvolusjonsintegral:

  
    
      
        (
        f
        ∗
        g
        )
        (
        t
        )
        
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        τ
        )
        g
        (
        t
        −
        τ
        )
        
        d
        τ
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        t
        −
        τ
        )
        g
        (
        τ
        )
        
        d
        τ
      
    
    {\displaystyle (f*g)(t)\,{\stackrel {\rm {def}}{=}}\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau =\int _{-\infty }^{\infty }f(t-\tau )g(\tau )\,d\tau }
  
Definisjon av diskret konvolusjonssum:

  
    
      
        (
        f
        ∗
        g
        )
        [
        n
        ]
        
        
          
            
              
                =
              
              
                
                  d
                  e
                  f
                
              
            
          
        
        
          ∑
          
            k
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        [
        k
        ]
        g
        [
        n
        −
        k
        ]
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        [
        n
        −
        k
        ]
        g
        [
        k
        ]
      
    
    {\displaystyle (f*g)[n]\,{\stackrel {\rm {def}}{=}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }f[k]g[n-k]=\sum _{k=-\infty }^{\infty }f[n-k]g[k]}
  


== Eksempel på anvendelse ==
I digital bildebehandling har man bare diskrete verdier, så der fungerer det slik:
Man har et konvolusjonsfilter, enten 1-dimensjonalt eller 2-dimensjonalt. Det blir lagt oppå hvert pixel og pixelet i det filtrerte bildet blir regnet sammen som en lineærkombinasjon av nabopixelene med filterelementene som koeffisienter. Et konvolusjonsfilter er det samme som et korrelasjonsfilter, bare rotert 180 grader.
Et eksempel på et konvolusjonsfilter er gjennomsnittsfilteret;
der er konvolusjonssfilteret 
  
    
      
        h
        =
        [
        111
        ;
        111
        ;
        111
        ]
        
          /
        
        9
      
    
    {\displaystyle h=[111;111;111]/9}
  . Hvert pixel i det filtrerte bildet blir altså gjennomsnittet av alle nabopixelene.