Kovarians

Samvariasjon eller kovarians er et mål på den lineære avhengigheten mellom to varierende størrelser.


== Teoretisk kovarians ==
Teoretisk kovarians er et mål på den underliggende lineære avhengigheten mellom to stokastiske variabler. Kovariansen mellom 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   og 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
   noteres ofte som 
  
    
      
        
          σ
          
            X
            Y
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{XY}}
  . For to stokastiske variabler 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   og 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
   er kovariansen definert som

  
    
      
        Cov
        ⁡
        [
        X
        ,
        Y
        ]
        =
        E
        [
        (
        X
        −
        E
        [
        X
        ]
        )
        (
        Y
        −
        E
        [
        Y
        ]
        )
        ]
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Cov} [X,Y]=E[(X-E[X])(Y-E[Y])]}
  der 
  
    
      
        E
        [
        ⋅
        ]
      
    
    {\displaystyle E[\cdot ]}
   er forventning.


== Empirisk kovarians ==
Empirisk kovarians er et estimat av teoretisk kovarians. En estimator for den empiriske kovariansen er

  
    
      
        
          
            
              Cov
              ^
            
          
        
        [
        X
        ,
        Y
        ]
        =
        
          
            1
            
              n
              −
              1
            
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
        
        −
        
          
            
              
                x
                ¯
              
            
          
          
            n
          
        
        )
        (
        
          y
          
            i
          
        
        −
        
          
            
              
                y
                ¯
              
            
          
          
            n
          
        
        )
      
    
    {\displaystyle {\widehat {\operatorname {Cov} }}[X,Y]={\frac {1}{n-1}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}}_{n})(y_{i}-{\bar {y}}_{n})}
  der 
  
    
      
        
          
            
              
                x
                ¯
              
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}_{n}}
   er gjennomsnittet av 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}}
   og 
  
    
      
        
          
            
              
                y
                ¯
              
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {y}}_{n}}
   er gjennomsnittet av 
  
    
      
        
          y
          
            1
          
        
        ,
        
          y
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          y
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle y_{1},y_{2},\dots ,y_{n}}
  .


== Egenskaper ==
Kovariansen er avhengig av måleskalaen, slik at om skalaen endres vil kovariansen endres. Derfor er korrelasjon, som ikke er avhengig av skala, et godt alternativ til å måle lineær avhengighet.
For vilkårlige konstanter 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   og 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   og stokastiske variabler 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   og 
  
    
      
        Y
      
    
    {\displaystyle Y}
   gjelder

  
    
      
        Cov
        ⁡
        [
        X
        ,
        Y
        ]
        =
        E
        [
        X
        Y
        ]
        −
        E
        [
        X
        ]
        E
        [
        Y
        ]
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Cov} [X,Y]=E[XY]-E[X]E[Y]}
  

  
    
      
        Cov
        ⁡
        [
        a
        X
        +
        b
        ,
        c
        Y
        +
        d
        ]
        =
        a
        c
        
        Cov
        ⁡
        [
        X
        ,
        Y
        ]
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Cov} [aX+b,cY+d]=ac\,\operatorname {Cov} [X,Y]}
  


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
Kovarians