Kvadratsetningene

Det finnes to kvadratsetninger, og dessuten den noe beslektede konjugatsetningen. De er nyttige å kunne både fremlengs og baklengs, for å gjøre både algebra og hoderegning enklere.


== 1. Kvadratsetning ==

  
    
      
         
        (
        a
        +
        b
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        +
        2
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \ (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
  


== 2. Kvadratsetning ==

  
    
      
         
        (
        a
        −
        b
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          a
          
            2
          
        
        −
        2
        a
        b
        +
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \ (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
  


== Konjugatsetningen ==
Vi regner ikke her ut noe kvadrat, men en differanse mellom to kvadrater. Denne setningen blir ofte feilaktig kalt 3. kvadratsetning.

  
    
      
         
        (
        a
        +
        b
        )
        (
        a
        −
        b
        )
        =
        
          a
          
            2
          
        
        −
        
          b
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \ (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}}
  


== Fullstendig kvadrat ==

Et fullstendig kvadrat er et andregradsuttrykk som kan faktoriseres ved hjelp av den første eller den andre kvadratsetningen. Uttrykket 
  
    
      
         
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
      
    
    {\displaystyle \ x^{2}+bx+c}
   er et fullstendig kvadrat dersom 
  
    
      
         
        (
        b
        
          /
        
        2
        
          )
          
            2
          
        
        =
        c
      
    
    {\displaystyle \ (b/2)^{2}=c}
  .  Da er 
  
    
      
         
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        =
        (
        x
        +
        b
        
          /
        
        2
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \ x^{2}+bx+c=(x+b/2)^{2}}
   .
Dersom en har et uttrykk som ikke akkurat passer med en av de to første kvadratsetningene kan man utvide dem til fullstendig kvadrater.

  
    
      
         
        
          x
          
            2
          
        
        −
        6
        x
        +
        4
      
    
    {\displaystyle \ x^{2}-6x+4}
  
Vi lager et fullstendig kvadrat:

  
    
      
         
        =
        
          x
          
            2
          
        
        −
        6
        x
        +
        (
        6
        
          /
        
        2
        
          )
          
            2
          
        
        −
        (
        6
        
          /
        
        2
        
          )
          
            2
          
        
        +
        4
      
    
    {\displaystyle \ =x^{2}-6x+(6/2)^{2}-(6/2)^{2}+4}
  

  
    
      
         
        =
        
          x
          
            2
          
        
        −
        6
        x
        +
        
          3
          
            2
          
        
        −
        9
        +
        4
      
    
    {\displaystyle \ =x^{2}-6x+3^{2}-9+4}
  

  
    
      
         
        =
        (
        x
        −
        3
        
          )
          
            2
          
        
        −
        5
      
    
    {\displaystyle \ =(x-3)^{2}-5}
  


== Generalisert fullstendig kvadrat ==
Et generelt andregradsuttrykk kan skrives som et generelt fullstendig kvadrat på følgende måte

  
    
      
        a
        
          x
          
            2
          
        
        +
        b
        x
        +
        c
        =
        a
        
          
            (
            
              x
              +
              
                
                  b
                  
                    2
                    a
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        c
        −
        
          
            
              b
              
                2
              
            
            
              4
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ax^{2}+bx+c=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}}
  
Mer generelt, om 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   er et positivt heltall, så

  
    
      
        a
        
          x
          
            2
            n
          
        
        +
        b
        
          x
          
            n
          
        
        +
        c
        =
        a
        
          
            (
            
              
                x
                
                  n
                
              
              +
              
                
                  b
                  
                    2
                    a
                  
                
              
            
            )
          
          
            2
          
        
        +
        c
        −
        
          
            
              b
              
                2
              
            
            
              4
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle ax^{2n}+bx^{n}+c=a\left(x^{n}+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}+c-{\frac {b^{2}}{4a}}}
  


== Hoderegning ==
God kunnskap til kvadratsetningene kan gjøre vanlig hoderegning enklere. Fremgangsmåten er å se på ulike multiplikasjonsoppgaver som en kvadratsetning.
Eksempler:
  
    
      
        19
        ∗
        21
        =
        (
        20
        −
        1
        )
        (
        20
        +
        1
        )
        =
        
          20
          
            2
          
        
        −
        
          1
          
            2
          
        
        =
        399
      
    
    {\displaystyle 19*21=(20-1)(20+1)=20^{2}-1^{2}=399}
  
  
    
      
        31
        ∗
        31
        =
        
          31
          
            2
          
        
        =
        (
        30
        +
        1
        
          )
          
            2
          
        
        =
        
          30
          
            2
          
        
        +
        2
        ∗
        30
        ∗
        1
        +
        
          1
          
            2
          
        
        =
        900
        +
        60
        +
        1
        =
        961
      
    
    {\displaystyle 31*31=31^{2}=(30+1)^{2}=30^{2}+2*30*1+1^{2}=900+60+1=961}
  


== Se også ==
Kuberingssetningene
Binomialformelen


== Kilder ==
«Kvadratsetningene», fra matematikk.org