Deformasjon

Deformasjon eller deformering er endring i form forårsaket av ytre påvirkning, for eksempel en tilført kraft, eller et for eksempel et temperaturfelt. Deformasjon kan være elastisk eller plastisk, eller en kombinasjon av begge. En tilstrekkelig stor deformasjon fører til brudd. For sprø materialer (for eksempel glass) vil denne skje nokså momentant. Ofte vil en deformasjon være en kombinasjon, men slik at den ene typen er så dominerende at man kun betrakter den dominerende typen.


== Typer deformasjon ==


=== Elastisk deformasjon ===
Elastisk deformasjon er den type deformasjon et materiale utsettes for uten å få varig endring av form. Etter at belastningen er fjernet, vil den elastiske deformasjonen reverseres og materialet gå tilbake til sin opprinnelige form (ved ren elastisk deformasjon). Dette er i motsetning til plastisk deformasjon hvor materialet får en varig fasongendring. Mengden elastisk deformasjon som et materiale kan utsettes for, er definert av elastisitetsmodulen. Se også Hookes lov.
Når du strekker en strikk, forandrer den form så lenge du holder den i strekk. Slipper du strikken, går den tilbake til sin opprinnelige form. Dette er da en elastisk deformasjon.


=== Plastisk deformasjon ===
Plastisk deformasjon inntreffer når et materiale strekkes over flytegrensen (seige materialer). Spenningene blir så store at det oppstår glidninger mellom atomplanene slik at deformasjonen blir varig (plastisk). Selv om materialet er endret så henger det fortsatt sammen på molekylærnivå. Når man klemmer på leire, forandrer den form permanent. Det er en plastisk deformasjon.
Dersom et legeme blir utsatt for gjentatte (vekslende) laster, som hver for seg ikke fører til varig deformasjon, men etter et antall lastvekslinger over tid brått fører til varig deformasjon, kalles dette for utmatting.


=== Brudd ===
Når et materiale belastes over bruddgrensen blir spenningene mellom molekylene brutt og de blir dermed varig adskilt. Vi får et skille mellom tidligere sammenhengende flater. Et brudd trenger ikke å bety at flatene er synlig adskilt, men kan også observeres som mikroskopiske sprekkdannelser eller riss.


== Matematisk definisjon ==
Deformasjonen defineres ved hjelp av et referansepunkt, en startposisjon. Dette kan gis i et tredimensjonalt, kartesisk koordinatsystem. Over tid har legemet en gitt konfigurasjon i forhold til referansepunktet, og alle endringer er i henhold til dette.For hvert punkt i legemet er denne konfingurasjonen unikt definert ved en posisjonsvektor x,

  
    
      
        
          
            
              x
            
            =
            
              
                [
                
                  
                    
                      
                        x
                        
                          1
                        
                      
                      (
                      t
                      )
                    
                    
                    
                      
                        x
                        
                          2
                        
                      
                      (
                      t
                      )
                    
                    
                    
                      
                        x
                        
                          3
                        
                      
                      (
                      t
                      )
                    
                  
                
                ]
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bf {{x}={\begin{bmatrix}x_{1}(t)&&x_{2}(t)&&x_{3}(t)\end{bmatrix}}}}}
  som gir posisjon i x-, y- og z-retning og varierer over tid. For ethvert tidspunkt t er x gitt i forhold til en startposisjon X,

  
    
      
        
          
            
              X
            
            =
            
              
                [
                
                  
                    
                      
                        X
                        
                          1
                        
                      
                    
                    
                    
                      
                        X
                        
                          2
                        
                      
                    
                    
                    
                      
                        X
                        
                          3
                        
                      
                    
                  
                
                ]
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bf {{X}={\begin{bmatrix}X_{1}&&X_{2}&&X_{3}\end{bmatrix}}}}}
  .For et gitt punkt vil x definere en kurve (eller en trajektorie) i rommet. For et gitt tidspunkt vil posisjonsvektoren til samtlige punkter fullstendig definere legemets konfigurasjon.Deformasjonsgradienten i et materiale er definert ved en tensor som fullstendig beskriver endringen i ethvert punkt ved et gitt tidspunkt, i forhold til referansevektoren X. Hver komponent er, for en gitt t, definert som

  
    
      
        
          F
          
            i
            j
          
        
        =
        
          
            
              ∂
              
                x
                
                  i
                
              
            
            
              ∂
              
                X
                
                  j
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle F_{ij}={\frac {\partial x_{i}}{\partial X_{j}}}}
  hvilket tilsammen gir tensoren

  
    
      
        
          
            
              F
            
            =
            
              
                [
                
                  
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              x
                              
                                1
                              
                            
                          
                          
                            ∂
                            
                              X
                              
                                1
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              x
                              
                                1
                              
                            
                          
                          
                            ∂
                            
                              X
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              x
                              
                                1
                              
                            
                          
                          
                            ∂
                            
                              X
                              
                                3
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              x
                              
                                2
                              
                            
                          
                          
                            ∂
                            
                              X
                              
                                1
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              x
                              
                                2
                              
                            
                          
                          
                            ∂
                            
                              X
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              x
                              
                                2
                              
                            
                          
                          
                            ∂
                            
                              X
                              
                                3
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                  
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              x
                              
                                3
                              
                            
                          
                          
                            ∂
                            
                              X
                              
                                1
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              x
                              
                                3
                              
                            
                          
                          
                            ∂
                            
                              X
                              
                                2
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                    
                    
                      
                        
                          
                            ∂
                            
                              x
                              
                                3
                              
                            
                          
                          
                            ∂
                            
                              X
                              
                                3
                              
                            
                          
                        
                      
                    
                  
                
                ]
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bf {{F}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial X_{1}}}&&{\frac {\partial x_{1}}{\partial X_{2}}}&&{\frac {\partial x_{1}}{\partial X_{3}}}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial X_{1}}}&&{\frac {\partial x_{2}}{\partial X_{2}}}&&{\frac {\partial x_{2}}{\partial X_{3}}}\\{\frac {\partial x_{3}}{\partial X_{1}}}&&{\frac {\partial x_{3}}{\partial X_{2}}}&&{\frac {\partial x_{3}}{\partial X_{3}}}\end{bmatrix}}}}}
  Deformasjonsgradienten er definert for ethvert tidspunkt t og beskriver bevegelsen rundt et punkt på dette tidspunktet.Posisjonen u til ethvert punkt er gitt ved

  
    
      
        
          
            
              u
            
            =
            
              
                
                  x
                
                −
                
                  
                    X
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bf {{u}={\bf {{x}-{\bf {X}}}}}}}
  og deformasjonsgradienten kan derfor også uttrykkes som

  
    
      
        
          
            
              F
            
            =
            
              
                
                  I
                
                +
                
                  
                    
                      ∂
                      
                        
                          u
                        
                      
                    
                    
                      ∂
                      
                        
                          X
                        
                      
                    
                  
                
                =
                
                  
                    [
                    
                      
                        
                          1
                          +
                          
                            u
                            
                              11
                            
                          
                        
                        
                        
                          
                            u
                            
                              12
                            
                          
                        
                        
                        
                          
                            u
                            
                              13
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            u
                            
                              21
                            
                          
                        
                        
                        
                          1
                          +
                          
                            u
                            
                              22
                            
                          
                        
                        
                        
                          
                            u
                            
                              23
                            
                          
                        
                      
                      
                        
                          
                            u
                            
                              31
                            
                          
                        
                        
                        
                          
                            u
                            
                              32
                            
                          
                        
                        
                        
                          1
                          +
                          
                            u
                            
                              33
                            
                          
                        
                      
                    
                    ]
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bf {{F}={\bf {{I}+{\frac {\partial {\bf {u}}}{\partial {\bf {X}}}}={\begin{bmatrix}1+u_{11}&&u_{12}&&u_{13}\\u_{21}&&1+u_{22}&&u_{23}\\u_{31}&&u_{32}&&1+u_{33}\end{bmatrix}}}}}}}
  der I er identitetsmatrisen.
Dette kan man også snu og definere som

  
    
      
        
          Grad
        
        
          
            
              U
            
            =
            
              
                
                  F
                
                −
                
                  
                    I
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\text{Grad}}{\bf {{U}={\bf {{F}-{\bf {I}}}}}}}
  ,som er kalt deformasjonsgradienttensoren.


== Tøyning ==
Relativ deformasjon kalles tøyning. Det er en geometrisk, dimensjonsløs størrelse. Tøyning måler forskyvningen mellom to punkter innenfor et legeme og uttrykkes gjerne som en matematisk fraksjon (brøk/prosentandel) eller på vektorform. Man bruker også matriser eller polar form for å uttrykke tøyning. Relasjonen mellom spenning som en funksjon av tøyning og elastisitetsmodul er uttrykt ved Hookes lov.


=== Tøyningstensorer ===


== Referanser ==


== Litteratur ==
Gerhard A. Holzapfel (2000). Nonlinar Solid Mechanics – A Continuum Approach for Engineers. Chichester: John Wiley & Sons. ISBN 978-0471-82304-9.