Komplekst tall

Et komplekst tall er i matematikk et tall på formen 
  
    
      
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle a+bi}
  , der 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
    og 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   er reelle tall, og 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
   er den imaginære enheten med egenskapen 
  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i^{2}=-1}
  .
Mengden av komplekse tall skrives vanligvis C  eller 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  . Denne mengden inneholder de reelle tallene R (eller 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} }
  ) som en delmengde, og innføringen av komplekse tall gir en naturlig utvidelse av begrepet reelle tall.
Et komplekst tall 
  
    
      
        z
        =
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle z=a+bi}
   er definert ved en realdel 
  
    
      
        a
        =
        
          Re
        
         
        z
      
    
    {\displaystyle a={\text{Re}}\ z}
   og en imaginærdel 
  
    
      
        b
        =
        
          Im
        
         
        z
      
    
    {\displaystyle b={\text{Im}}\ z}
  . Hvis 
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a=0}
  , sies tallet å være «rent imaginært».  
Mange assosierer komplekse tall med løsningen av andregradsligninger, som for eksempel ligningen 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}=-1}
  .  Anvendelsesområdet er imidlertid langt videre enn dette, og komplekse tall spiller en viktig rolle i mange grener av matematikk.  Studiet av komplekse funksjoner, det vil si funksjoner der definisjonsmengden og/eller verdimengden ligger i  C,  kalles kompleks analyse. 
Formelt blir komplekse tall definert basert på definisjon av operasjonene addisjon og multiplikasjon for tallmengden.


== Formell definisjon av komplekse tall ==
Formelt er et komplekst tall 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   innført som et ordnet par av reelle tall 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
  , definert med to operasjoner addisjon og multiplikasjon:

  
    
      
        
          
            
              
                (
                a
                ,
                b
                )
                +
                (
                c
                ,
                d
                )
              
              
                
                =
                (
                a
                +
                c
                ,
                b
                +
                d
                )
              
            
            
              
                (
                a
                ,
                b
                )
                (
                c
                ,
                d
                )
              
              
                
                =
                (
                a
                c
                −
                b
                d
                ,
                a
                d
                +
                b
                c
                )
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}(a,b)+(c,d)&=(a+c,b+d)\\(a,b)(c,d)&=(ac-bd,ad+bc)\\\end{aligned}}}
  Mengden av komplekse tall utgjør en  kropp.  
Reelle tall er en delmengde av de komplekse tallene, og et reelt tall kan skrives 
  
    
      
        r
        =
        (
        r
        ,
        0
        )
      
    
    {\displaystyle r=(r,0)}
  .  Addisjon og multiplikasjon, slik de opptrer i definisjonen av komplekse tall, reduserer seg til de velkjente operasjonene for reelle tall.  Ordningsrelasjoner i 
  
    
      
        R
      
    
    {\displaystyle R}
   lar seg imidlertid ikke generalisere til 
  
    
      
        C
      
    
    {\displaystyle C}
  , slik at 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
        <
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1}<z_{2}}
   har mening bare for reelle verdier av 
  
    
      
        
          z
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{1}}
   og 
  
    
      
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{2}}
  .  
Den imaginære enheten 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
   er definert ved 
  
    
      
        i
        =
        (
        0
        ,
        1
        )
      
    
    {\displaystyle i=(0,1)}
  . Fra definisjonen av multiplikasjonsoperasjonen følger det at 
  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        =
        (
        0
        ,
        1
        )
        (
        0
        ,
        1
        )
        =
        (
        −
        1
        ,
        0
        )
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i^{2}=(0,1)(0,1)=(-1,0)=-1}
  .


== Grunnleggende definisjoner og egenskaper ==


=== Additiv og multiplikativ invers ===
Til ethvert komplekst tall 
  
    
      
        z
        =
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle z=a+bi}
   eksisterer det en additiv invers 
  
    
      
        (
        −
        z
        )
        =
        (
        −
        a
        −
        b
        i
        )
      
    
    {\displaystyle (-z)=(-a-bi)}
  , slik at 
  
    
      
        z
        +
        (
        −
        z
        )
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z+(-z)=0}
  .  Den additive inversen er brukt til å definere subtraksjon.
Til ethvert komplekst tall 
  
    
      
        z
        =
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle z=a+bi}
   ulik null eksisterer det også en multiplikativ invers 
  
    
      
        
          z
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle z^{-1}}
  , slik at 
  
    
      
        z
        ⋅
        
          z
          
            −
            1
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle z\cdot z^{-1}=1}
  :

  
    
      
        
          z
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            a
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
        −
        i
        
          
            b
            
              
                a
                
                  2
                
              
              +
              
                b
                
                  2
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle z^{-1}={\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-i{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}}
  


=== Absoluttverdi ===
Absoluttverdien eller modulus til et komplekst tall 
  
    
      
        z
        =
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle z=a+bi}
   er definert ved 

  
    
      
        
          |
        
        z
        
          |
        
        =
        
          
            
              a
              
                2
              
            
            +
            
              b
              
                2
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle |z|={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\,}
  For denne gjelder trekantulikheten:

  
    
      
        
          |
        
        
          z
          
            1
          
        
        +
        
          z
          
            2
          
        
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        
          z
          
            1
          
        
        
          |
        
        +
        
          |
        
        
          z
          
            2
          
        
        
          |
        
        
      
    
    {\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\leq |z_{1}|+|z_{2}|\,}
  


=== Kompleks konjungert ===
Den  kompleks konjungerte til et komplekst tall 
  
    
      
        z
        =
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle z=a+bi}
   er definert ved 

  
    
      
        
          
            
              z
              ¯
            
          
        
        =
        a
        −
        b
        i
      
    
    {\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}
  Fra definisjonen av multiplikasjon følger det at

  
    
      
        z
        
          
            
              z
              ¯
            
          
        
        =
        
          |
        
        z
        
          
            |
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle z{\bar {z}}=|z|^{2}}
  


== Geometrisk tolkning ==

Ethvert komplekst tall 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle (a,b)=a+bi}
   kan representeres ved et punkt i et todimensjonalt, kartesisk koordinatsystem, som vist i figuren. Den horisontale og den vertikale aksen kalles nå henholdsvis den reelle og den imaginære aksen. 
Den geometriske tolkningen av et komplekst tall ble introdusert av den norske matematikeren Caspar Wessel, men fremstillingsmåten kalles likevel ofte for et «Argand-diagram» etter den sveitsiske matematikeren Jean Robert Argand. Alternativt brukes også navnet et «gaussisk plan» etter Carl Friedrich Gauss eller ganske enkelt det komplekse planet.
Siden den kompleks konjungerte til tallet 
  
    
      
        z
        =
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle z=a+bi}
   er definert ved 
  
    
      
        
          
            
              z
              ¯
            
          
        
        =
        a
        −
        b
        i
      
    
    {\displaystyle {\bar {z}}=a-bi}
   representerer den kompleks konjungerte en refleksjon om den horisontale aksen i det komplekse planet.
Rotasjonsvinkelen 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
   som vektoren 
  
    
      
        (
        a
        ,
        b
        )
      
    
    {\displaystyle (a,b)}
   danner med den reelle aksen kalles argumentet til det komplekse tallet, og fra figuren følger de  trigonometriske relasjonene

  
    
      
        
          
            
              
                a
              
              
                
                =
                
                  |
                
                z
                
                  |
                
                cos
                ⁡
                ϕ
              
            
            
              
                b
              
              
                
                =
                
                  |
                
                z
                
                  |
                
                sin
                ⁡
                ϕ
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{aligned}a&=|z|\cos \phi \\b&=|z|\sin \phi \\\end{aligned}}}
  


== Polarform ==
For et gitt kompleks tall 
  
    
      
        z
        =
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle z=a+bi}
   definerer absoluttverdien 
  
    
      
        
          |
        
        z
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |z|}
   og argumentet 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
   et sett av polarkoordinater, og 
  
    
      
        
          |
        
        z
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |z|}
   kan skrives på trigonometrisk form som 

  
    
      
        z
        =
        
          |
        
        z
        
          |
        
        (
        cos
        ⁡
        ϕ
        +
        i
        sin
        ⁡
        ϕ
        )
      
    
    {\displaystyle z=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )}
  Alternativt kan man bruke en eksponential form

  
    
      
        z
        =
        
          |
        
        z
        
          |
        
        
          e
          
            i
            ϕ
          
        
      
    
    {\displaystyle z=|z|e^{i\phi }}
  basert på Eulers formel for sammenhengen mellom eksponentialfunksjonen og trigonometriske funksjoner,

  
    
      
        
          e
          
            i
            ϕ
          
        
        =
        cos
        ⁡
        ϕ
        +
        i
        sin
        ⁡
        ϕ
      
    
    {\displaystyle e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi }
  Eksponentialformen er praktisk for analyse, siden de vanlige eksponentialreglene gjelder.  For multiplikasjon av to komplekse tall gjelder for eksempel at

  
    
      
        
          r
          
            1
          
        
        
          e
          
            i
            ϕ
          
        
        ⋅
        
          r
          
            2
          
        
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        =
        
          r
          
            1
          
        
        
          r
          
            2
          
        
        
          e
          
            i
            (
            ϕ
            +
            θ
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle r_{1}e^{i\phi }\cdot r_{2}e^{i\theta }=r_{1}r_{2}e^{i(\phi +\theta )}}
  Geometrisk kan multiplikasjon av et komplekst tall med et annet 
  
    
      
        r
        
          e
          
            i
            ϕ
          
        
      
    
    {\displaystyle re^{i\phi }}
  , tolkes som en forlenging med faktoren 
  
    
      
        r
      
    
    {\displaystyle r}
  , samt en rotasjon med vinkelen 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  .
For divisjon av to komplekse tall gjelder

  
    
      
        
          
            
              
                r
                
                  1
                
              
              
                e
                
                  i
                  ϕ
                
              
            
            
              
                r
                
                  2
                
              
              
                e
                
                  i
                  θ
                
              
            
          
        
        =
        
          
            
              r
              
                1
              
            
            
              r
              
                2
              
            
          
        
        
          e
          
            i
            (
            ϕ
            −
            θ
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {r_{1}e^{i\phi }}{r_{2}e^{i\theta }}}={\frac {r_{1}}{r_{2}}}e^{i(\phi -\theta )}}
  


== Komplekse vektorrom ==
Et vektorrom er lukket under operasjonene

  
    
      
        
          w
        
        =
        
          x
        
        +
        
          y
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {w} =\mathbf {x} +\mathbf {y} }
  

  
    
      
        
          u
        
        =
        α
        
          v
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {u} =\alpha \mathbf {v} }
  der 
  
    
      
        
          x
        
        ,
        
          y
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} }
   er vektorer og 
  
    
      
        α
      
    
    {\displaystyle \alpha }
   en skalar. Et vektorrom sies å være komplekst dersom man lar skalarene være komplekse tall.


=== Rommet ===
  
    
      
        
          
            C
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
  
Vektorrommet 
  
    
      
        
          
            C
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
   består av alle ordnede n-tupler av komplekse tall. Hver vektor kan skrives på formen

  
    
      
        [
        
          c
          
            1
          
        
        ,
        
          c
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          c
          
            n
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle [c_{1},c_{2},...,c_{n}]}
  der 
  
    
      
        
          c
          
            1
          
        
        ,
        .
        .
        ,
        
          c
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle c_{1},..,c_{n}}
   er komplekse tall. Prikkproduktet (det vanlige indreproduktet) i dette rommet er gitt ved

  
    
      
        z
        ⋅
        w
        =
        z
        
          
            w
            ¯
          
        
        
      
    
    {\displaystyle z\cdot w=z{\overline {w}}\,}
  som igjen generelt også er et komplekst tall. Dersom vektorene består av komponenter der imaginær-delen er lik 0 overalt, slik at de også ligger i 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  , er de to prikkproduktene sammenfallende. Videre har prikkproduktet alle de samme egenskapene som definert for prikkproduktet i 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
  , men i tillegg holder også at

  
    
      
        z
        ⋅
        w
        =
        
          
            
              w
              ⋅
              z
            
            ¯
          
        
      
    
    {\displaystyle z\cdot w={\overline {w\cdot z}}}
  hvilket man kan vise direkte ved regning. 
  
    
      
        
          
            C
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}
   sammen med det tilordnede indreproduktet danner et indreproduktrom.


== Se også ==
Caspar Wessel


== Referanser ==


== Litteratur ==
Adams, Robert (2003). Calculus : a complete course (english). Toronto, Ont. Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5. 
Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford Quick Reference. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-157976-9. Besøkt 30. august 2016. 
Larson, R. (2015). Elementary Linear Algebra (7 utg.). Brooks/Cole, Cengage learning. ISBN 978-1-133-11087-3. 
Lindstrøm, T.L. (2006). Kalkulus (norsk). Universitetsforlaget. ISBN 978-82-15-00977-3. Besøkt 30. august 2016. 
Lindstrøm, T.L. (2018). Spaces: An Introduction to Real Analysis. Pure and Applied Undergraduate Texts. American Mathematical Society. ISBN 978-1-470-44062-6. 
Lindström, S.B. (2013). Matematisk ordbok för högskolan: engelsk-svensk, svensk-engelsk: (svensk). Stefan B. Lindström. ISBN 978-91-981287-0-3. Besøkt 30. august 2016. 


== Eksterne lenker ==
(en) Eric W. Weisstein, Complex Number i MathWorld.