Dodekaeder

Et dodekaeder er et polyeder med tolv sideflater, men vanligvis menes et regulært dodekaeder: et platonsk legeme satt sammen av tolv like, regulære pentagonale sideflater.


== Areal og volum ==
Overflatearealet A og volumet V av et regulært dodekaeder med kantlengde a er:

  
    
      
        A
        =
        3
        
          
            25
            +
            10
            
              
                5
              
            
          
        
        
          a
          
            2
          
        
        ≈
        20.645728807
        
          a
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle A=3{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}a^{2}\approx 20.645728807a^{2}}
  
  
    
      
        V
        =
        
          
            1
            4
          
        
        (
        15
        +
        7
        
          
            5
          
        
        )
        
          a
          
            3
          
        
        ≈
        7.6631189606
        
          a
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle V={\frac {1}{4}}(15+7{\sqrt {5}})a^{3}\approx 7.6631189606a^{3}}
  


== Radius ==
Hvis et regulært oktaeder med kantlengde a, er radius til en omskrevet kule (en som akkurat fyller ut hele figuren):

  
    
      
        
          r
          
            u
          
        
        =
        
          
            a
            4
          
        
        
          (
          
            
              
                15
              
            
            +
            
              
                3
              
            
          
          )
        
        ≈
        1.401258538
        ⋅
        a
      
    
    {\displaystyle r_{u}={\frac {a}{4}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}\right)\approx 1.401258538\cdot a}
  Radiusen av en innskrevet kule (en som fyller ut akkurat så mye den kan inne i den) er:

  
    
      
        
          r
          
            i
          
        
        =
        
          
            a
            20
          
        
        
          
            250
            +
            110
            
              
                5
              
            
          
        
        ≈
        1.113516364
        ⋅
        a
      
    
    {\displaystyle r_{i}={\frac {a}{20}}{\sqrt {250+110{\sqrt {5}}}}\approx 1.113516364\cdot a}
  Midtradiusen, hvor sideflaten berører midten av alle kantene, er:

  
    
      
        
          r
          
            m
          
        
        =
        
          
            a
            4
          
        
        
          (
          
            3
            +
            
              
                5
              
            
          
          )
        
        ≈
        1.309016994
        ⋅
        a
      
    
    {\displaystyle r_{m}={\frac {a}{4}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\approx 1.309016994\cdot a}
  Dette kan også bli beskrevet som:

  
    
      
        
          r
          
            u
          
        
        =
        
          
            
              3
            
            2
          
        
        ϕ
        
        a
      
    
    {\displaystyle r_{u}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\phi \,a}
  
  
    
      
        
          r
          
            i
          
        
        =
        
          
            
              ϕ
              
                2
              
            
            
              2
              
                
                  3
                  −
                  ϕ
                
              
            
          
        
        
        a
        
        
      
    
    {\displaystyle r_{i}={\frac {\phi ^{2}}{2{\sqrt {3-\phi }}}}\,a\,\!}
  
  
    
      
        
          r
          
            m
          
        
        =
        
          
            
              ϕ
              
                2
              
            
            2
          
        
        a
      
    
    {\displaystyle r_{m}={\frac {\phi ^{2}}{2}}a}
  hvor 
  
    
      
        ϕ
        
        
      
    
    {\displaystyle \phi \,\!}
   er det gylne snitt.


== Nært dodekaeder ==

		


== Avstumpingssekvens ==

		
		
		
		


== Se også ==
Pentagon
Polyeder
Platonsk legeme