Gjennomsnitt

Gjennomsnitt eller middelverdi er et matematisk begrep om sentraltendens i en populasjon, en tallrekke eller en funksjon. Begrepet har flere forskjellige meninger alt etter konteksten.
I sannsynlighetsteori og statistikk blir gjennomsnitt og forventet verdi bruket synonymt for å referere til et mål for sentraltendens enten av en sannsynlighetsfordeling eller for en stokastisk variabel I tilfelle av en diskret sannsynlighetsfordeling av en stokastisk variabel X, er gjennomsnittet lik summen over hver mulig verdi vektet for den gjennomsnittlige sannsynligheten for denne verdien. Det vil si at den er beregnet ved å ta produktet av hver mulig verdi x i X, dens sannsynlighet P (x), og deretter adderes alle disse produkter sammen, noe som gir 
  
    
      
        μ
        =
        ∑
        x
        P
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle \mu =\sum xP(x)}
  . En analog formel gjelder for tilfelle av en kontinuerlig sannsynlighetsfordeling. Ikke alle sannsynlighetsfordeling har et definert gjennomsnitt. Se for eksempel Cauchyfordeling. For noen distribusjoner er middelverdien uendelig, for eksempel når sannsynligheten for verdien 
  
    
      
        
          2
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{n}}
   is 
  
    
      
        
          
            
              1
              
                2
                
                  n
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\tfrac {1}{2^{n}}}}
   for n = 1, 2, 3, ....
For et utvalg eller datasett er termene aritmetisk gjennomsnitt, forventet verdi, og noen ganger er gjennomsnitt brukt synonymt for å vise til en sentral verdi av et diskret sett av tall, nemlig  summen av verdiene dividert med antall verdier. Det aritmetiske gjennomsnittet av et sett med tall x1, x2, ..., xn er vanligvis merket med 
  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}}
   (uttales «x strek»). Hvis datasettet var basert på en serie av observasjoner innhentet ved prøvetaking fra en statistisk populasjon, vil det aritmetisk gjennomsnittet kales utvalgsgjennomsnitt (angitt 
  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}}
  ) for å skille det fra populasjonsgjennomsnittet (angitt som 
  
    
      
        μ
      
    
    {\displaystyle \mu }
   eller 
  
    
      
        
          μ
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle \mu _{x}}
  ).For en gitt populasjon er populasjonsgjennomsnittet av en egenskap lik det aritmetiske gjennomsnittet av den gitte egenskapen vurderer for hvert medlem av populasjonen. For eksempel er en populasjonens gjennomsitteligge høyden lik summen av alle høydene for hver enkelt individ dividert med det totale antall medlemmer. Utvalgsgjennomsnittet kan avvike fra populasjonsgjennomsnittet, spesielt for små utvalg. De store talls lov tilsier at jo større utvalget er jo mer sannsynlig er det at utvalgsgjennomsnittet vil være nær populasjonsgjennomsnittet.Utenfor sannsynlighetsregning og statistikk finnes et bredt spekter av andre definisjoner for hva  «gjennomsnitt» betyr. Innenfor geometri og matematisk analyse er det mange forskjellige definisjoner og eksempler blir gitt her.


== Typer av middel ==


=== Pytagoreisk gjennomsnitt ===


==== Aritmetisk gjennomsnitt (A) ====
Det aritmetisk gjennomsnitt (eller bare "gjennomsnitt") av et utvalg 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        …
        ,
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n}}
  , vanligvis merket med 
  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}}
  , er summen av de de utvalgte verdier delt på antall elementer, n, i utvalget:

  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
        =
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              +
              
                x
                
                  2
                
              
              +
              ⋯
              +
              
                x
                
                  n
                
              
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{n}}{n}}}
  For eksempel er den aritmetiske middelverdien av fem verdiene 4, 36, 45, 50 og 75

  
    
      
        
          
            
              4
              +
              36
              +
              45
              +
              50
              +
              75
            
            5
          
        
        =
        
          
            210
            5
          
        
        =
        42.
      
    
    {\displaystyle {\frac {4+36+45+50+75}{5}}={\frac {210}{5}}=42.}
  


==== Geometrisk gjennomsnitt (G) ====
Det geometrisk gjennomsnitt er et gjennomsnitt som er nyttig for sett med positive tall som blir tolket i henhold til deres produkt og ikke deres sum (som er tilfellet med aritmetisk gjennomsnitt) for eksempel vekstrater.

  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              
                ∏
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  n
                
              
              
                
                  x
                  
                    i
                  
                
              
            
            )
          
          
            
              
                1
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod _{i=1}^{n}{x_{i}}\right)^{\tfrac {1}{n}}}
  For eksempel, det geometriske gjennomsnitt av fem verdier: 4, 36, 45, 50 og 75

  
    
      
        (
        4
        ×
        36
        ×
        45
        ×
        50
        ×
        75
        
          )
          
            
              
              
                1
              
            
            
              
                /
              
              
                5
              
            
          
        
        =
        
          
            
              24
              
              300
              
              000
            
            
              5
            
          
        
        =
        30.
      
    
    {\displaystyle (4\times 36\times 45\times 50\times 75)^{^{1}/_{5}}={\sqrt[{5}]{24\;300\;000}}=30.}
  


==== Harmonisk gjennomsnitt (H) ====
Det harmonisk gjennomsnitt er et gjennomsnitt som er nyttig for sett med tall som er definert i forhold til en viss enhet, for eksempel hastighet (avstand per tidsenhet). Definisjonen er gitt ved:

  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
        =
        n
        ⋅
        
          
            (
            
              
                ∑
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  n
                
              
              
                
                  1
                  
                    x
                    
                      i
                    
                  
                
              
            
            )
          
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}=n\cdot \left(\sum _{i=1}^{n}{\frac {1}{x_{i}}}\right)^{-1}}
  For eksempel er det harmoniske gjennomsnitt av de fem verdiene: 4, 36, 45, 50 og 75

  
    
      
        
          
            5
            
              
                
                  
                    1
                    4
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    1
                    36
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    1
                    45
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    1
                    50
                  
                
              
              +
              
                
                  
                    1
                    75
                  
                
              
            
          
        
        =
        
          
            5
            
              
              
                
                  
                    1
                    3
                  
                
              
              
            
          
        
        =
        15.
      
    
    {\displaystyle {\frac {5}{{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{36}}+{\tfrac {1}{45}}+{\tfrac {1}{50}}+{\tfrac {1}{75}}}}={\frac {5}{\;{\tfrac {1}{3}}\;}}=15.}
  


==== Kvadratisk gjennomsnitt (Q) ====
Det kvadratisk gjennomsnitt eller RMS-verdien av et sett med verdier (eller en kontinuerlig bølgeform, se definisjon lenger ned) er kvadratroten av det aritmetiske gjennomsnittet av kvadratene av verdiene:
I tilfelle for et sett med n verdier så er RMS-verdien:

  
    
      
        
          x
          
            
              r
              m
              s
            
          
        
        =
        
          
            
              
                1
                n
              
            
            
              (
              
                
                  x
                  
                    1
                  
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  x
                  
                    2
                  
                  
                    2
                  
                
                +
                ⋯
                +
                
                  x
                  
                    n
                  
                  
                    2
                  
                
              
              )
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{\frac {1}{n}}\left(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}\right)}}.}
  For eksempel er det RMS-verdien av de fem verdiene: 4, 36, 45, 50 og 75 lik

  
    
      
        
          x
          
            
              r
              m
              s
            
          
        
        =
        
          
            
              
                1
                5
              
            
            
              (
              
                
                  4
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  36
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  45
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  50
                  
                    2
                  
                
                +
                
                  75
                  
                    2
                  
                
              
              )
            
          
        
        =
        
          
            
              
                1
                5
              
            
            
              (
              11462
              )
            
          
        
        =
        47
        ,
        879.
      
    
    {\displaystyle x_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{\frac {1}{5}}\left(4^{2}+36^{2}+45^{2}+50^{2}+75^{2}\right)}}={\sqrt {{\frac {1}{5}}\left(11462\right)}}=47,879.}
  


==== Forholdet mellom A, G, H og Q ====
Forholdet mellom disse størrelsene A, G, H og Q er gitt av:

  
    
      
        Q
        ≥
        A
        ≥
        G
        ≥
        H
        
      
    
    {\displaystyle Q\geq A\geq G\geq H\,}
  Dette gjelder bare når alle elementene i et gitt utvalg er like.


=== Statistiske plassering ===

Gjennomsnitt kan ofte bli forveksles med median, typetall eller mid-range. Middelverdien er det aritmetiske gjennomsnitt av et sett med verdier eller en distribusjon. Imidlertid vil det for en  skjev fordeling være slik at gjennomsnitt ikke nødvendigvis er den samme som median  eller typetall.
For eksempel vil gjennomsnittlig inntekt forskyves oppover av et lite antall mennesker med svært store inntekter, slik at de fleste har en inntekt lavere enn gjennomsnittet. Derimot, er medianinntekten nivået der halvparten av befolkningen er under og halvparten er over. Typetallet er den inntekt er den mest sannsynlige inntekt, og favoriserer større antall personer med lavere inntekter. Medianen eller typetallet er ofte mer intuitive mål for slike data. Likevel er mange skjeve fordelinger best beskrevet av deres gjennomsnitts verdi slik som Weibull fordeling og Poissonfordeling.


==== Typetall ====

Den hyppigst forekommende tallet i en liste kalles typetallet. For eksempel typetallet av listen (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) er 3. Det kan forekomme at det er to eller flere tall som forekommer like ofte, og oftere enn en hvilken som helst annen rekke. I dette tilfellet er det ingen omforent definisjon av typetall. Noen lærebokforfattere sier de er alle typetall og andre sier det ikke er noen typetall.


==== Median ====

Median er den midterste tallet i en rekke når de er rangert i rekkefølge. (Hvis det er et likt antall av tall er medianen middelverdien av de to midterste tallene).
For å finne medianen ordnes tallrekke i henhold til dens elementers størrelse fra lavest til høyest. Deretter fjernes repeterende det høyeste og laveste verdiparet, inntil enten en eller to verdier blir igjen. Hvis nøyaktig en verdi er igjen, er det medianen. Hvis en står igjen med to verdier er medianen det aritmetiske gjennomsnittet av disse to.
Eksempel på bruk av metoden er tallrekken 1, 7, 3, 13, som ordnes slik: 1, 3, 7, 13. Etter at det første parret 1 og 13 er fjernet står en igjen med 3, 7. Siden det er to elementer i den gjenværende listen er medianen det aritmetisk gjennomsnittet av disse, altså (3 + 7)/2 = 5.


=== Generalisert gjennomsnitt ===


==== Potensgjennomsnitt ====
Den generalisert gjennomsnitt, potensgjennomsnitt, og Höldersnitt er en abstraksjon av kvadratisk-, aritmetisk-, geometrisk- og harmonisk gjennomsnitt. Det er definert for et sett med n positive tall xi etter

  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
        (
        m
        )
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                  n
                
              
              ⋅
              
                ∑
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  n
                
              
              
                
                  x
                  
                    i
                  
                  
                    m
                  
                
              
            
            )
          
          
            
              
                1
                m
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{x_{i}^{m}}\right)^{\tfrac {1}{m}}}
  Ved å velge forskjellige verdier for parameteren m kan følgende typer av gjennomsnittsverdier finnes:


==== ƒ-gjennomsnitt ====
Verdiene over kan generaliseres videre til generalisert f-verdi:

  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
        =
        
          f
          
            −
            1
          
        
        
          (
          
            
              
                1
                n
              
            
            ⋅
            
              ∑
              
                i
                =
                1
              
              
                n
              
            
            
              f
              (
              
                x
                
                  i
                
              
              )
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum _{i=1}^{n}{f(x_{i})}}\right)}
  og igjen et passende valg av en inverterbare verdier av ƒ vil gi


=== Vektet gjennomsnitt ===
Vektet gjennomsnitt (eller veid gjennomsnitt) brukes hvis en ønsker å kombinere gjennomsnittsverdier fra utvalg av den samme populasjonen med ulike utvalgsstørrelser:

  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
        =
        
          
            
              
                ∑
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  n
                
              
              
                
                  w
                  
                    i
                  
                
                ⋅
                
                  x
                  
                    i
                  
                
              
            
            
              
                ∑
                
                  i
                  =
                  1
                
                
                  n
                
              
              
                
                  w
                  
                    i
                  
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}{w_{i}\cdot x_{i}}}{\sum _{i=1}^{n}{w_{i}}}}.}
  Vektene 
  
    
      
        
          w
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle w_{i}}
   representerer størrelsen på de ulike utvalgene. I andre anvendelser representerer de et mål for påliteligheten av innflytelse på middelverdien av de respektive verdier.


=== Avkortet gjennomsnitt ===
Noen ganger kan et sett med tall inneholde slengere, det vil si dataverdier som er mye lavere eller mye høyere enn de andre. Ofte er slengere feilaktige data forårsaket av anomaliteter eller avlesningsfeil. I dette tilfelle kan man bruke en avkortet gjennomsnitt. Det innebærer å forkaste gitt deler av dataene på toppen eller bunnen, typisk en lik mengde i hver ende, og deretter ta det aritmetiske gjennomsnitt av de resterende data. Antall verdier som fjernes angis som en prosent av totalt antall verdier.


=== Interkvartil-verdi ===
Den interkvartil-verdi er et spesifikt eksempel på en avkortet gjennomsnittsverdi. Det er rett og slett det aritmetiske gjennomsnittet etter å ha fjernet den laveste og høyeste fjerdedel av verdiene.

  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
        =
        
          
            2
            n
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            (
            n
            
              /
            
            4
            )
            +
            1
          
          
            3
            n
            
              /
            
            4
          
        
        
          
            x
            
              i
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}={2 \over n}\sum _{i=(n/4)+1}^{3n/4}{x_{i}}}
  Det forutsettes at verdiene er ordnet. Andre vektede gjennomsnittsverdier av et spesifikt utvalg kan også gjøres.


=== Gjennomsnitt av en funksjon ===

I noen tilfeller vil en i matematikken beregne en middelverdi av et uendelig sett av verdier (eller et såkalt ikke-tellbart sett av verdier). Dette kan skje ved beregning av gjennomsnittsverdien 
  
    
      
        
          y
          
            gjennomsnitt
          
        
      
    
    {\displaystyle y_{\text{gjennomsnitt}}}
   av en funksjon 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  . Intuitivt kan dette sees på som å beregne arealet under en del av en kurve, og deretter dele på lengden på arealet. Dette kan gjøres grovt ved å telle rutene på millimeterpapir eller mer presist etter ved hjelp av integrasjon. Integrasjonsformelen skrives slik:

  
    
      
        
          y
          
            ave
          
        
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        
          
            
              
                ∫
                
                  a
                
                
                  b
                
              
              
              f
              (
              x
              )
              
              d
              x
              
            
            
              b
              −
              a
            
          
        
      
    
    {\displaystyle y_{\text{ave}}(a,b)={\frac {\int \limits _{a}^{b}\!f(x)\,dx\,}{b-a}}}
  Her må det sikres at den integrerte konvergerer. Gjennomsnittet kan være endelig selv om funksjonen i seg selv kan være uendelig ved gitte punkter.
RMS-verdien er et eksempel på et gjennomsnitt som svært ofte beregnes for en kontinuerlig funksjon. Denne verdien av en formel for en kontinuerlig funksjon (eller bølgeform) f (t) definert over intervallet 
  
    
      
        
          T
          
            1
          
        
        ≤
        t
        ≤
        
          T
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle T_{1}\leq t\leq T_{2}}
   er:

  
    
      
        
          f
          
            
              r
              m
              s
            
          
        
        =
        
          
            
              
                1
                
                  
                    T
                    
                      2
                    
                  
                  −
                  
                    T
                    
                      1
                    
                  
                
              
            
            
              
                ∫
                
                  
                    T
                    
                      1
                    
                  
                
                
                  
                    T
                    
                      2
                    
                  
                
              
              
                
                  [
                  f
                  (
                  t
                  )
                  ]
                
                
                  2
                
              
              
              d
              t
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle f_{\mathrm {rms} }={\sqrt {{1 \over {T_{2}-T_{1}}}{\int _{T_{1}}^{T_{2}}{[f(t)]}^{2}\,dt}}},}
  og RMS for en funksjon over all tid er:

  
    
      
        
          f
          
            
              r
              m
              s
            
          
        
        =
        
          lim
          
            T
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              
                1
                
                  T
                
              
            
            
              
                ∫
                
                  0
                
                
                  T
                
              
              
                
                  [
                  f
                  (
                  t
                  )
                  ]
                
                
                  2
                
              
              
              d
              t
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle f_{\mathrm {rms} }=\lim _{T\rightarrow \infty }{\sqrt {{1 \over {T}}{\int _{0}^{T}{[f(t)]}^{2}\,dt}}}.}
  RMS-verdien av hele forløpet av en periodisk funksjon er lik RMS-verdien av en periode av funksjonen. Spesielt er RMS-veriden mye brukt innefor vekselstrømsteknikken der en behandler sykliske strømmer og spenninger. Da er RMS-veriden eller effektivverdien av en vekselstrøm den samme verdien av en likestrøm som ville produsere samme varmeavgivelse i en resistiv last.


== Oversikt over forskjellige gjennomsnittsverdier ==


== Glidende gjennomsnitt ==

Gitt en tidsrekke med verdier som skifter verdi hurtig, for eksempel aksjemarkedets daglige priser eller årlige temperaturer. For slike måleserier kan være fremstilt som en kurve i et koordinatsystem, og det er ofte ønskelig å skape en jevnere serie. Dette bidrar til å vise underliggende trender eller kanskje periodisk oppførsel. En enkel måte å gjøre dette på er å velge et nummer n og lage en ny serie ved å ta det aritmetiske gjennomsnittet av de  første n verdiene i måleserien, deretter flytte frem en posisjon og så videre.
Dette er den enkleste formen for glidende gjennomsnitt. Mer kompliserte former innebære å bruke et vektet gjennomsnitt. Vektingen kan brukes til å forsterke eller undertrykke ulike periodiske oppførsler.
Innenfor digital signalbehandling er filtrering et sentralt begrep, der elektriske signaler blir «jevnet ut» etter spesielle metoder som er analogt til at glidende gjennomsnittsverdier blir beregnet.
En ytterligere generalisering er en autoregressiv glidende gjennomsnitt I dette tilfelle den gjennomsnittlige omfatter også noen av de nylig beregnede utganger. Dette gjør at prøver fra lenger tilbake i historien for å påvirke dagens produksjon.


== Fordeling av utvalgsgjennomsnitt ==
Det aritmetiske gjennomsnittet av en populasjon betegnes μ. Utvalgets gjennomsnitt (aritmetisk gjennomsnitt av et utvalg av verdier hentet fra populasjonen) er en god estimator av populasjonens gjennomsnitt når den forventede verdien er lik populasjonens gjennomsnitt (som er  en forventningsestimator). Utvalgetsgjennomsnittet er en stokastisk variabel og ikke en konstant. Grunnen er at den beregnede verdien vil variere avhengig av hvilke medlemmer av populasjonen som blir med i utvalget, følgelig vil det ha sin egen fordeling. For et tilfeldig utvalg av n observasjoner fra en normalfordelt populasjon vil utvalgsgjennomsnittet ha en fordelingen som  er normalfordelt med forventning og varians gitt av:

  
    
      
        
          
            
              x
              ¯
            
          
        
        ∼
        N
        
          {
          
            μ
            ,
            
              
                
                  σ
                  
                    2
                  
                
                n
              
            
          
          }
        
        .
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}\thicksim N\left\{\mu ,{\frac {\sigma ^{2}}{n}}\right\}.}
  Ettersom populasjonens varians er en ukjent parameter vil den ofte bli anslått av gjennomsnittlig sum av kvadrater. Når denne forventningsestimatoren blir brukt er fordelingen av utvalgsgjennomsnittet ikke lenger normalfordeling, men heller en Students t-fordeling med n − 1 frihetsgrader.


== Se også ==
Kurtose
Middelverdisetningen
Median


== Referanser ==


== Eksterne lenker ==
(en) Eric W. Weisstein, Mean i MathWorld.
(en) Eric W. Weisstein, aritmetisk gjennomsnitt i MathWorld.
Sammenligning mellom aritmetisk og geometrisk gjennomsnitt av to tall
Noen forhold som involverer midler