Følge (matematikk)

En følge er i matematikk en ordnet liste av objekter i en mengde. Antall objekter eller ledd i følgen kan være endelig eller tellbart uendelig, og det vil si at objektene kan nummereres ved hjelp av de naturlige tallene. 
Dersom det n-te leddet i en uendelig følge i et metrisk rom nærmer seg en grenseverdi når n øker, sies følgen å være konvergent. En følge som ikke er konvergent er divergent.  Følger opptrer i alle områder av matematikk, og studiet av følger er en viktig del av matematisk analyse.  Konvergente følger spiller en spesielt viktig rolle, blant annet i definisjonen av irrasjonale tall.
Følger der elementene er reelle eller komplekse tall kalles tallfølger.  Tilsvarende er en funksjonsfølge en følge der elementene er  funksjoner.  On-Line Encyclopedia of Integer Sequences er en database over heltallsfølger.
En  rekke er definert som summen av en endelig eller uendelig følge.


== Formell definisjon ==
En uendelig følge er en funksjon fra mengden av de naturlige tallene N:

  
    
      
        f
        (
        n
        )
        =
        
          x
          
            n
          
        
         
         
        n
        ∈
        
          N
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle f(n)=x_{n}\ \ n\in \mathbb {N} \ .}
  Følgen sies å være definert i mengden V, der V er verdiområdet til funksjonen. Funksjonsverdiene 
  
    
      
        
          x
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{n}}
   kalles leddene i følgen. 
Alle de følgende eksemplene viser vanlig notasjon for en følge: 

  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        }
        
        
        {
        
          x
          
            n
          
        
        }
        
        
        {
        
          x
          
            n
          
        
        
          }
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
        
        {
        
          x
          
            n
          
        
        
          |
        
        n
        ∈
        
          N
        
        }
        
        
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        ,
        …
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\}\qquad \quad \{x^{n}\}\qquad \quad \{x_{n}\}_{n=1}^{\infty }\qquad \quad \{x_{n}|n\in \mathbb {N} \}\qquad \quad x_{1},x_{2},x_{3},\dots }
  For en endelig følge brukes en endelig delmengde av N som indeksmengde istedenfor N. Vanligvis brukes mengden 
  
    
      
        {
        1
        ,
        …
        ,
        n
        }
      
    
    {\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}
   eller mengden 
  
    
      
        {
        0
        ,
        …
        ,
        n
        −
        1
        }
      
    
    {\displaystyle \{0,\ldots ,n-1\}}
   for en følge med n elementer.


== Grenseverdi og konvergens ==
En følge 
  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\}}
   i et metrisk rom  konverger mot en grenseverdi  x dersom det for en hver verdi av epsilon 
  
    
      
        ϵ
      
    
    {\displaystyle \epsilon }
   eksisterer et heltall N slik at

  
    
      
        n
        >
        N
        ⇒
        d
        (
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        x
        )
        <
        ϵ
        
      
    
    {\displaystyle n>N\Rightarrow d(x_{n},x)<\epsilon \,}
  der d  er  metrikken.  For tallfølger er metrikken som regel definert ved hjelp av absoluttverdien:

  
    
      
        d
        (
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        x
        )
        =
        
          |
        
        
          x
          
            n
          
        
        −
        x
        
          |
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle d(x_{n},x)=|x_{n}-x|\ .}
  Eksistensen av en grenseverdi kan skrives som

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        =
        x
         
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\ .}
  .«lim» er en forkortelse for det latinske ordet limes, med betydning «grense».
Den første kjente bruken av denne notasjonen er fra Simon Antoine Jean L'Huilier i 1786.
I tidlig bruk ble likhetstegn benyttet istedenfor en pil: 
  
    
      
        n
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle n=\infty }
  .
Definisjonen av grenseverdien kan kompakt skrives som

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        =
        x
        
        ⟺
        
        (
        ∀
        ϵ
        >
        0
        )
        (
        ∃
        N
        ∈
        
          N
        
        )
        (
        n
        >
        N
        ⇒
        d
        (
        
          x
          
            n
          
        
        ,
        x
        )
        <
        ϵ
        )
         
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x\iff (\forall \epsilon >0)(\exists N\in \mathbb {N} )(n>N\Rightarrow d(x_{n},x)<\epsilon )\ .}
  


== Cauchyfølger ==
En Cauchyfølge eller en fundamentalfølge er en følge i et metrisk rom der avstanden mellom to vilkårlige elementer gradvis blir mindre og mindre jo lenger ut i følgen de to elementene befinner seg:

  
    
      
        (
        ∀
        ϵ
        >
        0
        )
        (
        ∃
        N
        ∈
        
          N
        
        )
        (
        m
        ,
        n
        >
        N
        ⇒
        d
        (
        
          x
          
            m
          
        
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        <
        ϵ
        )
         
        .
      
    
    {\displaystyle (\forall \epsilon >0)(\exists N\in \mathbb {N} )(m,n>N\Rightarrow d(x_{m},x_{n})<\epsilon )\ .}
  En hver konvergent følge er en Cauchyfølge, men en Cauchyfølge trenger ikke å ha en grense i den verdimengden en studerer.  
Et metrisk rom sies å være komplett dersom enhver  Cauchyfølge i rommet konvergerer mot en grenseverdi som er inneholdt i rommet.  Mengden av reelle tall er komplett, mens mengden av rasjonale tall ikke er det.  En følge av rasjonale tall kan konvergere mot et irrasjonalt tall, som for eksempel 
  
    
      
        
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {2}}}
  .  Dette kan brukes til å definere de irrasjonale tallene.  Ved hjelp av en følge av rasjonale tall kan en tilnærme et irrasjonalt tall med så stor nøyaktighet som en måtte ønske.  


== Begrensede følger ==
En følge 
  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\}}
   i et metrisk rom er begrenset dersom verdiområdet er begrenset.  Det vil si at det eksisterer et element x i det metriske rommet og en konstant M slik at 

  
    
      
        d
        (
        x
        ,
        
          x
          
            n
          
        
        )
        <
        M
        
      
    
    {\displaystyle d(x,x_{n})<M\,}
  .Alle konvergente følger er begrenset.


== Monotone følger ==
En følge av reelle tall 
  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\}}
   er monoton dersom den er opptil eller nedtil monoton:

  
    
      
        
          
            
              
                
                  x
                  
                    n
                  
                
              
              
                ≤
                
                  x
                  
                    n
                    +
                    1
                  
                
              
              
                
                  
                    Opptil monoton
                  
                
              
            
            
              
                
                  x
                  
                    n
                  
                
              
              
                <
                
                  x
                  
                    n
                    +
                    1
                  
                
              
              
                
                  
                    Strengt opptil monoton
                  
                
              
            
            
              
                
                  x
                  
                    n
                  
                
              
              
                ≥
                
                  x
                  
                    n
                    +
                    1
                  
                
              
              
                
                  
                    Nedtil monoton
                  
                
              
            
            
              
                
                  x
                  
                    n
                  
                
              
              
                >
                
                  x
                  
                    n
                    +
                    1
                  
                
              
              
                
                  
                    Strengt nedtil monoton
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{array}{lll}x_{n}&\leq x_{n+1}&{\mbox{Opptil monoton}}\\x_{n}&<x_{n+1}&{\mbox{Strengt opptil monoton}}\\x_{n}&\geq x_{n+1}&{\mbox{Nedtil monoton}}\\x_{n}&>x_{n+1}&{\mbox{Strengt nedtil monoton}}\\\end{array}}}
  En opptil monoton følge kalles også monotont voksende.  En monotont avtagende følge er det samme som en nedtil monoton følge.
En monoton følge er konvergent hvis og bare hvis den er begrenset.


== Delfølger ==
En delfølge er avledet fra en følge 
  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\}}
   ved å velge ut en delmengde av leddene, men beholde rekkefølgen.   
La 
  
    
      
        {
        
          n
          
            k
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{n_{k}\}}
   være en monoton voksende følge av naturlige tall.  En delfølge kan da skrives som

  
    
      
        {
        
          x
          
            
              n
              
                k
              
            
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{x_{n_{k}}\}}
  Som eksempel er 
  
    
      
        {
        1
        
          /
        
        (
        2
        n
        )
        }
      
    
    {\displaystyle \{1/(2n)\}}
   en delfølge av følgen 
  
    
      
        {
        1
        
          /
        
        n
        }
      
    
    {\displaystyle \{1/n\}}
  .
Dersom delfølgen er konvergent med grenseverdi x, sier en at x også er en delfølgegrense for følgen 
  
    
      
        {
        
          x
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{x_{n}\}}
  .
Bolzano-Weierstrass' teorem kan formuleres som at en hver begrenset følge av reelle tall inneholder en konvergent delfølge.


== Regneregler for konvergente følger ==
Gitt to konvergente følger 
  
    
      
        
          s
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{n}}
   og 
  
    
      
        
          t
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle t_{n}}
   av komplekse tall, med grenseverdier henholdsvis 
  
    
      
        s
      
    
    {\displaystyle s}
   og 
  
    
      
        t
      
    
    {\displaystyle t}
  .  Da gjelder regnereglene

  
    
      
        
          
            
              
                
                  lim
                  
                    n
                    →
                    ∞
                  
                
                (
                
                  s
                  
                    n
                  
                
                +
                
                  t
                  
                    n
                  
                
                )
              
              
                
                =
                s
                +
                t
              
            
            
              
                
                  lim
                  
                    n
                    →
                    ∞
                  
                
                (
                
                  s
                  
                    n
                  
                
                
                  t
                  
                    n
                  
                
                )
              
              
                
                =
                s
                t
              
            
            
              
                
                  lim
                  
                    n
                    →
                    ∞
                  
                
                (
                
                  
                    1
                    
                      s
                      
                        n
                      
                    
                  
                
                )
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    s
                  
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\lim _{n\to \infty }(s_{n}+t_{n})&=s+t\\\lim _{n\to \infty }(s_{n}t_{n})&=st\\\lim _{n\to \infty }({\frac {1}{s_{n}}})&={\frac {1}{s}}\end{alignedat}}}
  Den siste regelen krever at alle leddene og grensen er ulik null.  


== Cauchyprodukt ==
Cauchyproduktet av to følger 
  
    
      
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{a_{n}\}}
   og 
  
    
      
        {
        
          b
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{b_{n}\}}
   er definert som en ny følge 
  
    
      
        {
        
          c
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{c_{n}\}}
   der hvert ledd er definert ved summasjonen

  
    
      
        
          c
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            k
            =
            0
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            k
          
        
        
          b
          
            n
            −
            k
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}\ .}
  Dette er en diskret konvolusjonssum.


== Eksempler på tallfølger ==


=== Eksempel 1: Aritmetiske følger ===
En aritmetisk følge er en tallfølge der differensen mellom to påfølgende ledd er konstant, dvs

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        d
         
        .
      
    
    {\displaystyle a_{n}=a_{n-1}+d\ .}
  Aritmetiske følger er divergente for alle verdier av konstanten d ulik null.


=== Eksempel 2: Geometriske følger ===
En geometrisk følge er en tallfølge der forholdet mellom to påfølgende ledd er konstant, dvs

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        k
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle a_{n}=ka_{n-1}\ .}
  Følgene konvergerer mot null dersom absoluttverdien av konstanten k er mindre enn 1.


=== Eksempel 3: Harmoniske følger ===
I en harmonisk følge er leddene definert som inversen av leddene i en aritmetisk følge.  Dersom følgen 
  
    
      
        {
        
          b
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{b_{n}\}}
   er en aritmetisk følge med ledd ulik null, så vil 
  
    
      
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
        =
        {
        1
        
          /
        
        
          b
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{a_{n}\}=\{1/b_{n}\}}
   være en harmonisk følge. Leddene i en harmonisk følge kan defineres ved

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          
            
              a
              
                0
              
            
            
              1
              +
              n
              d
            
          
        
         
        ,
      
    
    {\displaystyle a_{n}={a_{0} \over 1+nd}\ ,}
  der 
  
    
      
        d
      
    
    {\displaystyle d}
   er en konstant slik at 
  
    
      
        (
        −
        1
        
          /
        
        d
        )
      
    
    {\displaystyle (-1/d)}
   ikke er et naturlig tall.


=== Eksempel 4: Fibonaccifølge ===
En fibonaccifølge er definert rekursivt ved 

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        =
        
          
            {
            
              
                
                  0
                
                
                  
                    
                      hvis 
                    
                  
                  n
                  =
                  0
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                    
                      hvis 
                    
                  
                  n
                  =
                  1
                
              
              
                
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      1
                    
                  
                  +
                  
                    a
                    
                      n
                      −
                      2
                    
                  
                
                
                  
                    
                      ellers
                    
                  
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}={\begin{cases}0&{\mbox{hvis }}n=0\\1&{\mbox{hvis }}n=1\\a_{n-1}+a_{n-2}&{\mbox{ellers}}\end{cases}}}
  Fibonaccifølgen er divergent.


=== Eksempel 5: Følge for Eulertallet ===

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            (
            
              1
              +
              
                
                  1
                  n
                
              
            
            )
          
          
            n
          
        
        =
        e
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{1 \over n}\right)^{n}=e}
  Grenseverdien er  Eulertallet e.


=== Eksempel 6 ===

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          n
          
            
              1
              n
            
          
        
        =
        1
         
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }n^{\frac {1}{n}}=1\ .}
  


=== Eksempel 7 ===

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          a
          
            
              1
              n
            
          
        
        =
        1
        
          
             hvis 
          
        
        a
        >
        0
         
        .
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }a^{\frac {1}{n}}=1{\hbox{ hvis }}a>0\ .}
  


=== Eksempel 8 ===

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              n
              
                a
              
            
            
              (
              1
              +
              p
              
                )
                
                  n
                
              
            
          
        
        =
        1
        
        
          
             hvis 
          
        
        p
        >
        0
        
          
             og 
          
        
        a
        
          
             er reell.
          
        
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n^{a}}{(1+p)^{n}}}=1\quad {\hbox{ hvis }}p>0{\hbox{ og }}a{\hbox{ er reell.}}}
  


== Funksjonsfølger ==


=== Konvergens ===
En følge av funksjoner 
  
    
      
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f_{n}(x)}
   som for hvert argument 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   i definisjonsmengden konvergerer mot en grense 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   sies å konvergere punktvis.  Punktvis konvergens trenger ikke medføre konvergens med hensyn på metrikken.  For eksempel konvergerer følgen

  
    
      
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          n
          
            2
          
        
        x
        (
        1
        −
        x
        
          )
          
            n
          
        
        
        x
        ∈
        [
        0
        ,
        1
        ]
      
    
    {\displaystyle f_{n}(x)=n^{2}x(1-x)^{n}\qquad x\in [0,1]}
  punktvis mot null, men følgen er ikke konvergent i metrikken definert ved

  
    
      
        
          d
          
            ∞
          
        
        (
        
          f
          
            1
          
        
        ,
        
          f
          
            2
          
        
        )
        =
        max
        
          |
        
        
          f
          
            1
          
        
        −
        
          f
          
            2
          
        
        
          |
        
         
        .
      
    
    {\displaystyle d_{\infty }(f_{1},f_{2})=\max |f_{1}-f_{2}|\ .}
  Generelt er konvergens med hensyn på metrikken 
  
    
      
        
          d
          
            ∞
          
        
      
    
    {\displaystyle d_{\infty }}
   ekvivalent med uniform konvergens.


=== Egenskaper til grensefunksjonen ===
Et generelt problem i matematisk analyse er å studere om egenskaper til funksjonene 
  
    
      
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f_{n}(x)}
   overføres til grensefunksjonen 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
  .  For eksempel, vil funksjonen 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   være kontinuerlig dersom alle funksjonene 
  
    
      
        
          f
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f_{n}(x)}
   er det?  Svaret på dette spørsmålet er generelt «nei», det eksisterer følger av kontinuerlige funksjoner som konvergerer mot funksjoner som ikke er kontinuerlig overalt i definisjonsmengden.  Hvis følgen konvergerer uniformt, da er imidlertid svaret «ja» - grensefunksjonen vil være kontinuerlig.


=== Polynomfølger ===
For en kompleks kontinuerlig funksjon 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f(x)}
   definert i et intervall 
  
    
      
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle [a,b]}
   gjelder Weierstrass' approksimasjonsteorem.  Dette sier at det eksisterer en uendelig følge av polynomfunksjoner 
  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle p_{n}(x)}
  , slik at

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
        x
        ∈
        [
        a
        ,
        b
        ]
         
        .
      
    
    {\displaystyle f(x)=\lim _{n\to \infty }p_{n}(x)\qquad x\in [a,b]\ .}
  Konvergensen er uniform.  En generalisering av dette teoremet kalles Stone-Weierstrass' teorem.  Teoremet medfører at en kan tilnærme en kontinuerlig funksjon så nøyaktig en måtte ønske ved hjelp av et polynom.


== Se også ==
Primtallsørken


== Referanser ==


== Litteratur ==
Adams, Robert (2003). Calculus : a complete course (english). Toronto, Ont. Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5. 
Lindstrøm, T. (2006). Kalkulus (norsk). Universitetsforlaget. ISBN 978-82-15-00977-3. 
Milne, Ronald Douglas (1980). Applied functional analysis, an introductory treatment. London: Pitman Publishing Limited. ISBN 0-273-08404-6. 
Rudin, Walter (1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3. 
Aas, Hans Fredrik (1974). Forelesningsnotater i matematisk analyse. I. Bergen: Matematisk institutt, Universitetet i Bergen. 


== Eksterne lenker ==
«The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences» (engelsk). The OEIS Foundation. Besøkt 5. april 2021.