Imaginær enhet

I matematikk er den imaginære enhet 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
   et komplekst tall med egenskapen 
  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i^{2}=-1}
  . Navnet er gitt fordi ethvert komplekst tall 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
   kan skrives på formen 
  
    
      
        z
        =
        a
        +
        b
        i
      
    
    {\displaystyle z=a+bi}
  , der 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   og 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   er  reelle tall.  Dersom 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   er lik null sies det komplekse tallet å være rent imaginært
Komplekse tall er viktige i mange deler av matematisk analyse, og den imaginære enheten opptrer hyppig i matematiske formler.  Et viktig eksempel er Eulers formel, med spesialtilfellet Eulers likhet.
Historisk var innføringen av komplekse tall motivert av studiet av polynomligninger.  Den imaginære enhet er en  rot i andregradsligningen 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}=-1}
  .


== i og −i ==
Likningen 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}=-1}
   har to distinkte løsninger som er additive inverse. Når en løsning 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
   av likningen er fastslått, er også 
  
    
      
        −
        i
        
        (
        ≠
        i
        )
      
    
    {\displaystyle -i\,(\neq i)}
   en løsning. 
Den mest presise forklaringen er å si at selv om det komplekse feltet definert ved

  
    
      
        
          R
        
        [
        X
        ]
        
          /
        
        (
        
          X
          
            2
          
        
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}
   er unikt opp til isomorfisme, er det ikke unikt opp til en unik isomorfisme — det er nøyaktig 2 feltautomorfismer fra 
  
    
      
        
          R
        
        [
        X
        ]
        
          /
        
        (
        
          X
          
            2
          
        
        +
        1
        )
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} [X]/(X^{2}+1)}
  , identiteten og automorfismen som sender 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   til 
  
    
      
        −
        X
      
    
    {\displaystyle -X}
  . (Det må bemerkes her at dette ikke er de eneste automorfismene til 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
  ; men de er de eneste feltautomorfismene til 
  
    
      
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {C} }
   hvor den reelle del er fast.)
Et liknende problem oppstår hvis de komplekse tall fortolkes som  reelle 2 × 2-matriser, fordi både 
  
    
      
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  −
                  1
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                  
                  0
                
              
            
            )
          
        
        
          
             og 
          
        
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  1
                
              
              
                
                  −
                  1
                
                
                  
                  
                  0
                
              
            
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1\\1&\;\;0\end{pmatrix}}{\mbox{ og }}{\begin{pmatrix}0&1\\-1&\;\;0\end{pmatrix}}}
   er løsninger av likningen 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle x^{2}=-1}
  . I dette tilfelle kommer de tvetydige resultatene fra det geometriske valg av hvilken «retning» rundt enhetssirkelen som er «positiv». En mer presis forklaring er å si at automorfismegruppen til den spesielle ortogonale gruppen 
  
    
      
        
          S
          O
        
        (
        2
        ,
        
          R
        
        )
      
    
    {\displaystyle \mathrm {SO} (2,\mathbb {R} )}
   har nøyaktig to elementer — identiteten og automorfismen som bytter om «med klokken»- og «mot klokken»-rotasjoner.


== Mulige falske løsninger ==
Den imaginære enhet noteres eller behandles ikke som 
  
    
      
        
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {-1}}}
  . Denne notasjonen er reservert enten den prinsipale kvadratrotfunksjonen, som bare defineres for reelle 
  
    
      
        x
        >
        0
      
    
    {\displaystyle x>0}
  , eller for den prinsipale grenen av den komplekse kvadratrotfunksjonen. Å forsøke å anvende beregningsregler for den prinsipale (reelle) kvadratrotfunksjonen for å håndtere den prinsipale gren av den komplekse kvadratrotfunksjonen vil frembringe falske løsninger:

  
    
      
        −
        1
        =
        i
        ⋅
        i
        =
        
          
            −
            1
          
        
        ⋅
        
          
            −
            1
          
        
        =
        
          
            −
            1
            ⋅
            −
            1
          
        
        =
        
          
            1
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle -1=i\cdot i={\sqrt {-1}}\cdot {\sqrt {-1}}={\sqrt {-1\cdot -1}}={\sqrt {1}}=1}
  Beregningsreglen

  
    
      
        
          
            a
            ⋅
            b
          
        
        =
        
          
            a
          
        
        ⋅
        
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {a\cdot b}}={\sqrt {a}}\cdot {\sqrt {b}}}
   er bare gyldig for de reelle, ikke-negative tall 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   og 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  .


== Potenser av i ==
Potensene av 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
   gjentas i en syklus:

  
    
      
        
          i
          
            1
          
        
        =
        i
      
    
    {\displaystyle i^{1}=i}
  

  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i^{2}=-1}
  

  
    
      
        
          i
          
            3
          
        
        =
        −
        i
      
    
    {\displaystyle i^{3}=-i}
  

  
    
      
        
          i
          
            4
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle i^{4}=1}
  

  
    
      
        
          i
          
            5
          
        
        =
        i
      
    
    {\displaystyle i^{5}=i}
  

  
    
      
        
          i
          
            6
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i^{6}=-1}
  Dette kan uttrykkes med følgende mønster hvor 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   er et vilkårlig heltall:

  
    
      
        
          i
          
            4
            n
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle i^{4n}=1}
  

  
    
      
        
          i
          
            4
            n
            +
            1
          
        
        =
        i
      
    
    {\displaystyle i^{4n+1}=i}
  

  
    
      
        
          i
          
            4
            n
            +
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i^{4n+2}=-1}
  

  
    
      
        
          i
          
            4
            n
            +
            3
          
        
        =
        −
        i
      
    
    {\displaystyle i^{4n+3}=-i}
  


== i og Eulers formel ==
Hvis man tar Eulers formel 
  
    
      
        
          e
          
            i
            x
          
        
        =
        cos
        ⁡
        x
        +
        i
        sin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}
  , og setter inn 
  
    
      
        x
        =
        π
        
          /
        
        2
      
    
    {\displaystyle x=\pi /2}
  , får man

  
    
      
        
          e
          
            i
            π
            
              /
            
            2
          
        
        =
        i
      
    
    {\displaystyle e^{i\pi /2}=i}
  Hvis begge sider opphøyes i potensen 
  
    
      
        i
      
    
    {\displaystyle i}
  , idet man husker at 
  
    
      
        
          i
          
            2
          
        
        =
        −
        1
      
    
    {\displaystyle i^{2}=-1}
  , får man følgende identitet:

  
    
      
        
          i
          
            i
          
        
        =
        
          e
          
            −
            π
            
              /
            
            2
          
        
        =
        0,207
        8795763
        …
      
    
    {\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2}=0{,}2078795763\dots }
  Det er lett å fastslå at 
  
    
      
        
          i
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle i^{i}}
   har et uendelig antall løsninger på formen

  
    
      
        
          i
          
            i
          
        
        =
        
          e
          
            −
            π
            
              /
            
            2
            +
            2
            π
            N
          
        
      
    
    {\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2+2\pi N}}
  hvor 
  
    
      
        N
      
    
    {\displaystyle N}
   er et vilkårlig heltall.


== Alternativt symbol ==
I elektrofag og beslektete områder blir den imaginære enhet ofte skrevet som 
  
    
      
        j
      
    
    {\displaystyle j}
   for å unngå sammenblanding med betegnelsen for elektrisk vekselstrøm.