Riemannsk sfære

Den riemannske sfære (oppkalt etter den tyske matematikeren Bernhard Riemann) betegner innen matematikken en unik måte å visualisere det utvidede komplekse planet, slik at punktet uendelig representerer et punkt på sfæren likesom et hvilken som helst annet komplekst tall. Det viktigste anvendelsesområdet er i behandlingen av utvidede kompekse funksjoner (som kan defineres i punktet uendelig og/eller ta verdien uendelig), spesielt i forhold til kontinuitet og deriverbarhet. Punktet uendelig kan altså gjennom det utvidede komplekse planet og den riemannske sfære behandles på nøyaktig samme måte som et hvilket som helst annet punkt i det komplekse planet.
Topologisk er den riemannske sfære 1-punkts kompaktifikasjonen av det komplekse planet. Dette gir den topologien til en 2-dimensjonal sfære, som bevarer topologien til det komplekse planet. Hvis det komplekse planet beskrives som et geometrisk plan definert gjennom punkter, linjer, sirkler og vinkler, men ikke avstander, kan den riemannske sfære visualiseres ved å legge til et punkt uendelig gjennom hvilket alle linjer går i gjennom; parallelle linjer tangerer i punktet og alle andre linjer krysser i samme vinkel som de gjør i et eksisterende punkt. Denne geometrien forestiller en 2-dimensjonal sfære dannet av det utvidede komplekse planet ved stereografisk projeksjon, gjennom hvilket linjer i det komplekse planet blir til sirkler gjennom punktet uendelig. Vinkler på den riemannske sfære er identiske med de korresponderende vinklene i det komplekse planet (og det samme er sant i punktet uendelig med det naturlige valget av vinkel mellom to linjer som møtes her).
Den 2-dimensjonale sfæren utgjør en kompleks struktur som gjør den til en riemannsk flate (i.e. et 1-dimensjonalt komplekst mangfold). Den riemannske sfæren kan karakteriseres som den unike enkelt sammenhengende, kompakte riemannske flaten, og det komplekse planet kan sees på som et sub-mangfold av denne.


== Geometrisk introduksjon ==
Definer 
  
    
      
        
          
            
              
                C
              
              ^
            
          
        
        =
        
          C
        
        ∪
        {
        ∞
        }
      
    
    {\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}=\mathbb {C} \cup \{\infty \}}
   (i.e. det utvidede komplekse planet: De komplekse tall forbundet med punktet uendelig). Den riemannske sfæren er basert på transformasjonen fra 
  
    
      
        
          
            
              
                C
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}
   til 
  
    
      
        
          
            
              
                C
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}
   på formen

  
    
      
        w
        =
        f
        (
        z
        )
        =
        
          
            1
            z
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle w=f(z)={\frac {1}{z}},}
  der

  
    
      
        w
        ,
        z
        ∈
        
          
            
              
                C
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle w,z\in {\widehat {\mathbb {C} }}}
   og 
  
    
      
        
          
            1
            0
          
        
        =
        ∞
        .
      
    
    {\displaystyle {\frac {1}{0}}=\infty .}
  Vi visualiserer den riemannske sfæren som en sfære i 3 dimensjoner (
  
    
      
        
          
            R
          
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
  ). Hvert punkt på sfæren har både en 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  -verdi og en 
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
  -verdi, forbundet gjennom transformasjonen ovenfor. Det vil si at 
  
    
      
        f
        (
        z
        )
      
    
    {\displaystyle f(z)}
   transformerer sfæren til seg selv.


=== Stereografisk projeksjon ===

For å etablere samsvar mellom punkter i det utvidede komplekse planet og den riemannske sfæren, lar vi først 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  -planet tangere sfærens sydpol. Deretter bruker vi stereografisk projeksjon fra sfærens nordpol. Dette gjøres ved å tegne en linje fra nordpolen som krysser både sfæren og det komplekse planet. Gjennom denne fremgangsmåten oppnås en en-til-en overensstemmelse mellom punkter i det komplekse planet og punkter på den riemannske sfæren.
For å fullføre denne en-til-en overensstemmelsen for det utvidede komplekse planet, definerer vi nordpolen som 
  
    
      
        z
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle z=\infty }
  . Merk at sydpolen er 
  
    
      
        z
        =
        0
      
    
    {\displaystyle z=0}
  , skal vi følge logikken ovenfor.
Samsvaret mellom 
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
  -planet og den riemannske sfæren gjøres mye på samme måte, men "opp-ned". Det vil si at vi lar 
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
  -planet tangere nordpolen og orienterer det motsatt av  
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  -planet, slik at 
  
    
      
        w
        =
        1
        ,
        i
        ,
        −
        1
        ,
        −
        i
      
    
    {\displaystyle w=1,i,-1,-i}
   passer overens med 
  
    
      
        z
        =
        1
        ,
        −
        i
        ,
        −
        1
        ,
        i
      
    
    {\displaystyle z=1,-i,-1,i}
  . Deretter utfører vi en stereografisk projeksjon fra sydpolen, og på samme måte defineres nå sydpolen som 
  
    
      
        w
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle w=\infty }
  . Nå har hvert punkt på sfæren både en 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  - og 
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
  -koordinat, forbundet gjennom transformasjonen gitt over.


==== Alternativ stereogragisk projeksjon ====
En alternativ versjon av den stereografiske projeksjonen plasserer planene ved ekvator av sfæren, men bevarer deres motsatte orientering. I dette tilfellet er altså planene ikke geometrisk adskilt.
Denne versjonen har vært mindre populær i matematisk utvikling av den riemannske sfære, men forefaller mer populær blant fysikere. Den foretrekkes eksempelvis av Roger Penrose i hans utvikling av twistor-teori (som demonstreres i denne artikkelen).


==== Geometriske bemerkninger ====
Stereografisk projeksjon avbilder alle linjer og sirkler i det komplekse planet til sirkler på den riemannske sfære. Grunnen til at linjer avbildes som sirkler er at en linje med uendelig lengde kan sees på som en sirkel gjennom punktet uendelig.


== Möbiustransformasjoner ==
Möbius-transformasjoner, som overfører 
  
    
      
        
          
            
              
                C
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}
   til 
  
    
      
        
          
            
              
                C
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\widehat {\mathbb {C} }}}
  , er automorfismene til den riemannske sfære (i.e. de konforme bijeksjonene). De er på formen

  
    
      
        t
        =
        f
        (
        z
        )
        =
        
          
            
              a
              z
              +
              b
            
            
              c
              z
              +
              d
            
          
        
        ,
      
    
    {\displaystyle t=f(z)={\frac {az+b}{cz+d}},}
  der 
  
    
      
        t
        ,
        z
        ∈
        
          
            
              
                C
              
              ^
            
          
        
      
    
    {\displaystyle t,z\in {\widehat {\mathbb {C} }}}
  , 
  
    
      
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ,
        d
        ∈
        
          C
        
      
    
    {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {C} }
  , og 
  
    
      
        a
        d
        −
        b
        c
        ≠
        0
      
    
    {\displaystyle ad-bc\neq 0}
  . De avbilder den Riemannske sfære til seg selv gjennom bevaring av vinkler og orientering.
Dette kan vises gjennom dekomponering av Möbius-transformasjonen:

  
    
      
        z
        →
        r
        z
        
      
    
    {\displaystyle z\rightarrow rz\,}
  
  
    
      
        z
        →
        z
        
          e
          
            i
            θ
          
        
        
      
    
    {\displaystyle z\rightarrow ze^{i\theta }\,}
  
  
    
      
        z
        →
        z
        +
        
          z
          
            0
          
        
        
      
    
    {\displaystyle z\rightarrow z+z_{0}\,}
  
  
    
      
        z
        →
        
          
            1
            z
          
        
        
      
    
    {\displaystyle z\rightarrow {\frac {1}{z}}\,}
  (der r and 
  
    
      
        θ
      
    
    {\displaystyle \theta }
   er reelle tall og 
  
    
      
        
          z
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle z_{0}}
   er et komplekst tall).
Disse er elementære utvidelser, rotasjoner, translasjoner og komplekse inversjoner (en sammensetning av inversjon av enhetssirkelen og en refleksjon av den reelle tallinjen, hvis hver av operasjonene er konforme i det komplekse planet). Bruk av avbildningen

  
    
      
        z
        →
        
          
            1
            z
          
        
        
      
    
    {\displaystyle z\rightarrow {\frac {1}{z}}\;}
  gjør oss i stand til å kontrollere at dette også er sant i punktet uendelig. Omvendt gjelder også at enhver konform bijeksjon av den riemannske sfære er en möbiustransformasjon.


== Kompleks struktur ==
Strukturen til det komplekse mangfold på den riemannske sfære gis ved et atlas med to kart som følger

  
    
      
        f
        :
        
          
            
              
                C
              
              ^
            
          
        
        ∖
        {
        ∞
        }
        →
        
          C
        
        ,
         
        f
        (
        z
        )
        =
        z
      
    
    {\displaystyle f:{\widehat {\mathbb {C} }}\setminus \{\infty \}\to \mathbb {C} ,\ f(z)=z}
  
  
    
      
        g
        :
        
          
            
              
                C
              
              ^
            
          
        
        ∖
        {
        0
        }
        →
        
          C
        
        ,
         
        g
        (
        z
        )
        =
        
          
            1
            z
          
        
        
          
             and 
          
        
        g
        (
        ∞
        )
        =
        0.
      
    
    {\displaystyle g:{\widehat {\mathbb {C} }}\setminus \{0\}\to \mathbb {C} ,\ g(z)={\frac {1}{z}}{\mbox{ and }}g(\infty )=0.}
  Kartene overlapper i alle punkter bortsett fra 0 og ∞. I overlappende områder gis overgangsfunksjonen av  z → 1/z, som er holomorf og derfor definerer et komplekst område.
Den riemannske sfære har den samme topologien som S2, dvs, sfæren med radius 1 sentrert rundt origo i det euklidske rom R3. En homeomorfisme mellom dem er gitt ved den stereografiske projeksjon tangenten til sydpolen ned på det komplekse planet. Hvis vi betegner punktene på S2 med (x1, x2, x3) der 
  
    
      
        
          x
          
            1
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            2
          
          
            2
          
        
        +
        
          x
          
            3
          
          
            2
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}=1}
  , er homeomorfismen

  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
        →
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              −
              i
              
                x
                
                  2
                
              
            
            
              1
              −
              
                x
                
                  3
                
              
            
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\to {\frac {x_{1}-ix_{2}}{1-x_{3}}}.}
  Dette avbilder sydpolen til origo i det komplekse planet og nordpolen til ∞.
Uttrykt i standard sfæriske koordinater (θ, φ), kan denne avbildningen skrives som

  
    
      
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
        →
        
          e
          
            −
            i
            ϕ
          
        
        cot
        ⁡
        
          
            θ
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (\theta ,\phi )\to e^{-i\phi }\cot {\frac {\theta }{2}}.}
  En kan også bruke den stereografiske projeksjon tangenten til nordpolen, som avbilder nordpolen til origo og sydpolen til ∞. Formelen er

  
    
      
        (
        
          x
          
            1
          
        
        ,
        
          x
          
            2
          
        
        ,
        
          x
          
            3
          
        
        )
        →
        
          
            
              
                x
                
                  1
                
              
              +
              i
              
                x
                
                  2
                
              
            
            
              1
              +
              
                x
                
                  3
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle (x_{1},x_{2},x_{3})\to {\frac {x_{1}+ix_{2}}{1+x_{3}}}}
  eller, i sfæriske koordinater

  
    
      
        (
        θ
        ,
        ϕ
        )
        →
        
          e
          
            i
            ϕ
          
        
        tan
        ⁡
        
          
            θ
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle (\theta ,\phi )\to e^{i\phi }\tan {\frac {\theta }{2}}.}
  


== Den komplekse projektive linje ==
Den Riemannske sfære kan også sees som den komplekse projektive linje, CP1. Isomorfismen er gitt ved

  
    
      
        [
        
          z
          
            1
          
        
        :
        
          z
          
            2
          
        
        ]
        ↔
        
          z
          
            1
          
        
        
          /
        
        
          z
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle [z_{1}:z_{2}]\leftrightarrow z_{1}/z_{2}}
  der [z1 : z2] er homogene koordinater på CP1. Merk at det komplekse planet sitter inne i den projektive linjen som undergruppen

  
    
      
        {
        [
        z
        ,
        1
        ]
        :
        z
        ∈
        
          C
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{[z,1]:z\in \mathbb {C} \}}
  mens punktet uendelig er gitt ved de homogene koordinatene [1 : 0].


== Egenskaper ==
Innen kategorien riemannske flater, er gruppen av automorfismer lik gruppen av möbiustransformasjoner. Disse er nettopp de projektive linjære transformasjonene PGL2 C på CP1. Hvis sfæren gis den runde metriske tensor er undergruppen PSU2 C (som er isomorfisk til rotasjonsgruppen SO(3)).
Den Riemannske sfære er en av tre enkelt sammenhengende riemannske flater, de andre to er det komplekse planet og det hyperbolske planet. Denne påstanden, kjent som uniformisasjonsteoremet, er viktig for klassifikasjonen av riemannske flater.