Varians

Varians er et mål på variasjon.


== Teoretisk varians ==
Teoretisk varians er et mål på den underliggende variasjonen i en statistisk fordeling. Teoretisk varians noteres ofte som 
  
    
      
        
          σ
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma ^{2}}
  . For en stokastisk variabel 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   er variansen definert som

  
    
      
        
          σ
          
            2
          
        
        =
        Var
        ⁡
        [
        X
        ]
        =
        E
        [
        (
        X
        −
        E
        [
        X
        ]
        
          )
          
            2
          
        
        ]
      
    
    {\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {Var} [X]=E[(X-E[X])^{2}]}
  der 
  
    
      
        E
        [
        ⋅
        ]
      
    
    {\displaystyle E[\cdot ]}
   er forventning. Varians er altså forventet kvadratavvik fra forventningen.
Dersom det er flere varianser involvert i et uttrykk eller en utledning, er det normalt å notere den teoretiske variansen til 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   som for eksempel 
  
    
      
        
          σ
          
            X
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma _{X}^{2}}
   for å vise hvilken variabel variansen refererer til.


== Empirisk varians ==
Empirisk varians, også kalt utvalgsvarians, er et mål på variasjonen i et utvalg fra en statistisk fordeling. Den empiriske variansen er et estimat av den teoretiske variansen. Empirisk varians noteres ofte som 
  
    
      
        
          s
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle s^{2}}
  . Den vanligste estimatoren for varians er

  
    
      
        
          
            s
            
              2
            
          
        
        =
        
          
            
              
                
                  σ
                  ^
                
              
            
            
              2
            
          
        
        =
        
          
            
              Var
              ^
            
          
        
        [
        X
        ]
        =
        
          
            1
            
              n
              −
              1
            
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          
            
              (
              
                
                  x
                  
                    i
                  
                
              
              −
              
                
                  
                    
                      
                        x
                        ¯
                      
                    
                  
                  
                    n
                  
                
              
              )
            
            
              2
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {s^{2}}={{\hat {\sigma }}^{2}}={\widehat {\operatorname {Var} \nolimits }}[X]={1 \over {n-1}}\sum \limits _{i=1}^{n}{{({x_{i}}-{{\bar {x}}_{n}})}^{2}}}
  der 
  
    
      
        
          x
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{i}}
   er hver observasjon og 
  
    
      
        
          
            
              
                x
                ¯
              
            
          
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle {\bar {x}}_{n}}
   er gjennomsnittet av de 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
   observasjonene.
Dersom det er flere varianser involvert i et uttrykk eller en utledning, er det normalt å notere den empiriske variansen til 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   som for eksempel 
  
    
      
        
          s
          
            X
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{X}^{2}}
   for å vise hvilken variabel variansen refererer til.
I praksis regnes variansen ut ved at en først regner ut gjennomsnittet av alle observasjonene, deretter legger du sammen kvadratene av forskjellen mellom hver observasjon og dette gjennomsnittet. Denne summen deles på tallet som er én mindre enn antall observasjoner.
Dersom du derimot kjenner hele populasjonen, kan du regne ut den virkelige variansen (altså ikke et estimat) ved formelen

  
    
      
        
          σ
          
            2
          
        
        =
        Var
        ⁡
        [
        X
        ]
        =
        
          
            1
            n
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        (
        
          x
          
            i
          
        
        −
        
          
            
              
                x
                ¯
              
            
          
          
            n
          
        
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {Var} [X]={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}(x_{i}-{\bar {x}}_{n})^{2}}
  


== Egenskaper ==
Den positive kvadratroten til variansen er standardavviket. På mange kalkulatorer og i de fleste regneark (f.eks. OpenOffice Calc) vil det være en egen funksjon til å regne ut begge disse verdiene.
Dersom 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   og 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   er to vilkårlige konstanter og 
  
    
      
        X
      
    
    {\displaystyle X}
   er en stokastiske variabel gjelder

  
    
      
        Var
        ⁡
        [
        a
        X
        +
        b
        ]
        =
        
          a
          
            2
          
        
        Var
        ⁡
        [
        X
        ]
      
    
    {\displaystyle \operatorname {Var} [aX+b]=a^{2}\operatorname {Var} [X]}