Greens teorem

Greens teorem gir forholdet mellom et linjeintegral langs en enkel lukket kurve C og dobbeltintegralet over planet D.
  
    
      
        
          ∮
          
            C
          
        
        (
        P
        
        d
        x
        +
        Q
        
        d
        y
        )
        =
        
          ∬
          
            D
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  Q
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  P
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
        d
        A
      
    
    {\displaystyle \oint _{C}(P\,dx+Q\,dy)=\iint _{D}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dA}
  


== Bevis for Greens teorem ==
Først beviser vi teoremet for et rektangel R. Da vil teoremet se slik ut:

  
    
      
        
          ∮
          
            ∂
            R
          
        
        P
        d
        x
        +
        Q
        d
        y
        =
        
          ∬
          
            R
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  Q
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  P
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
        d
        x
        d
        y
      
    
    {\displaystyle \oint _{\partial R}Pdx+Qdy=\iint _{R}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dxdy}
  

Ved lineariteten til Riemann-Integralet skriver vi dobbeltintegralet over R om til følgende:

  
    
      
        
          ∬
          
            R
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  Q
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  P
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
        d
        x
        d
        y
        =
        
          ∬
          
            R
          
        
        
          
            
              ∂
              Q
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        
        d
        x
        d
        y
        −
        
          ∬
          
            R
          
        
        
          
            
              ∂
              P
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        
        d
        x
        d
        y
      
    
    {\displaystyle \iint _{R}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dxdy=\iint _{R}{\frac {\partial Q}{\partial x}}\,dxdy-\iint _{R}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dxdy}
  

Siden R er et rektangel lar vi 
  
    
      
        R
        =
        [
        a
        ,
        b
        ]
        ×
        [
        c
        ,
        d
        ]
      
    
    {\displaystyle R=[a,b]\times [c,d]}
  , betrakt først integralet:

  
    
      
        
          ∬
          
            R
          
        
        
          
            
              ∂
              Q
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        
        d
        x
        d
        y
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        
          
            
              ∂
              Q
              (
              x
              ,
              y
              )
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        d
        x
        d
        y
        =
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        (
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          
            
              ∂
              Q
              (
              x
              ,
              y
              )
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        d
        x
        )
        d
        y
      
    
    {\displaystyle \iint _{R}{\frac {\partial Q}{\partial x}}\,dxdy=\int _{a}^{b}\int _{c}^{d}{\frac {\partial Q(x,y)}{\partial x}}dxdy=\int _{c}^{d}(\int _{a}^{b}{\frac {\partial Q(x,y)}{\partial x}}dx)dy}
  

Ved Fundamentalteoremet i Kalkulus ser vi at

  
    
      
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        (
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        
          
            
              ∂
              Q
              (
              x
              ,
              y
              )
            
            
              ∂
              x
            
          
        
        d
        x
        )
        d
        y
        =
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        (
        Q
        (
        b
        ,
        y
        )
        −
        Q
        (
        a
        ,
        y
        )
        )
        d
        y
      
    
    {\displaystyle \int _{c}^{d}(\int _{a}^{b}{\frac {\partial Q(x,y)}{\partial x}}dx)dy=\int _{c}^{d}(Q(b,y)-Q(a,y))dy}
  

Og for 
  
    
      
        −
        
          ∬
          
            R
          
        
        
          
            
              ∂
              P
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        
        d
        x
        d
        y
      
    
    {\displaystyle -\iint _{R}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dxdy}
    får vi at 

  
    
      
        −
        
          ∬
          
            R
          
        
        
          
            
              ∂
              P
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        
        d
        x
        d
        y
        =
        −
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        (
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        
          
            
              ∂
              P
              (
              x
              ,
              y
              )
            
            
              ∂
              y
            
          
        
        d
        y
        )
        d
        x
        =
        −
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        (
        P
        (
        x
        ,
        d
        )
        −
        P
        (
        x
        ,
        c
        )
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle -\iint _{R}{\frac {\partial P}{\partial y}}\,dxdy=-\int _{a}^{b}(\int _{c}^{d}{\frac {\partial P(x,y)}{\partial y}}dy)dx=-\int _{a}^{b}(P(x,d)-P(x,c))dx}
  

Disse resultatene gir oss et nytt uttrykk for høyre side av det opprinnelige uttrykket vårt

  
    
      
        
          ∬
          
            R
          
        
        
          (
          
            
              
                
                  ∂
                  Q
                
                
                  ∂
                  x
                
              
            
            −
            
              
                
                  ∂
                  P
                
                
                  ∂
                  y
                
              
            
          
          )
        
        
        d
        x
        d
        y
        =
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        (
        Q
        (
        b
        ,
        y
        )
        −
        Q
        (
        a
        ,
        y
        )
        )
        d
        y
        −
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        (
        P
        (
        x
        ,
        d
        )
        −
        P
        (
        x
        ,
        c
        )
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \iint _{R}\left({\frac {\partial Q}{\partial x}}-{\frac {\partial P}{\partial y}}\right)\,dxdy=\int _{c}^{d}(Q(b,y)-Q(a,y))dy-\int _{a}^{b}(P(x,d)-P(x,c))dx}
  

For linjeintegralet deler vi opp rektangelet i fire linjer som åpenbart har positiv orientering.

  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
        ,
        
          C
          
            2
          
        
        ,
        
          C
          
            3
          
        
        ,
        
          C
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}}
  
Vi kan parametrisere den første kurven med 

  
    
      
        α
        (
        t
        )
        =
        (
        t
        ,
        c
        )
      
    
    {\displaystyle \alpha (t)=(t,c)}
   hvor 
  
    
      
        t
        ∈
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle t\in [a,b]}
  
den andre kurven med

  
    
      
        β
        (
        t
        )
        =
        (
        b
        ,
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \beta (t)=(b,t)}
   hvor 
  
    
      
        t
        ∈
        [
        c
        ,
        d
        ]
      
    
    {\displaystyle t\in [c,d]}
  
den tredje kurven med

  
    
      
        γ
        (
        t
        )
        =
        (
        b
        +
        a
        −
        t
        ,
        d
        )
      
    
    {\displaystyle \gamma (t)=(b+a-t,d)}
   hvor 
  
    
      
        t
        ∈
        [
        a
        ,
        b
        ]
      
    
    {\displaystyle t\in [a,b]}
  
og til slutt:

  
    
      
        δ
        (
        t
        )
        =
        (
        a
        ,
        d
        +
        c
        −
        t
        )
      
    
    {\displaystyle \delta (t)=(a,d+c-t)}
   med 
  
    
      
        t
        ∈
        [
        c
        ,
        d
        ]
      
    
    {\displaystyle t\in [c,d]}
  
Med disse parametriseringene kan vi uttrykke linjeintegralet slik:

  
    
      
        
          ∮
          
            ∂
            R
          
        
        P
        d
        x
        +
        Q
        d
        y
        =
        
          ∮
          
            
              ∪
              
                i
                =
                1
              
              
                4
              
            
            
              C
              
                i
              
            
          
        
        P
        d
        x
        +
        Q
        d
        y
        =
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            4
          
        
        
          ∮
          
            
              C
              
                i
              
            
          
        
        P
        d
        x
        +
        Q
        d
        y
      
    
    {\displaystyle \oint _{\partial R}Pdx+Qdy=\oint _{\cup _{i=1}^{4}C_{i}}Pdx+Qdy=\sum \limits _{j=1}^{4}\oint _{C_{i}}Pdx+Qdy}
  

Vi betrakter først

  
    
      
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            4
          
        
        
          ∮
          
            
              C
              
                i
              
            
          
        
        P
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        x
        =
        
          ∮
          
            
              C
              
                1
              
            
          
        
        P
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        x
        +
        
          ∮
          
            
              C
              
                2
              
            
          
        
        P
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        x
        +
        
          ∮
          
            
              C
              
                3
              
            
          
        
        P
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        x
        +
        
          ∮
          
            
              C
              
                4
              
            
          
        
        P
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{4}\oint _{C_{i}}P(x,y)dx=\oint _{C_{1}}P(x,y)dx+\oint _{C_{2}}P(x,y)dx+\oint _{C_{3}}P(x,y)dx+\oint _{C_{4}}P(x,y)dx}
  

Vi ser umiddelbart at integralene over 
  
    
      
        
          C
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{2}}
   og 
  
    
      
        
          C
          
            4
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{4}}
   vil bli null, det er siden den eneste variabelen som endrer seg medfører endringer på y-koordinatene og ikke x-koordinatene i det hele tatt.

  
    
      
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            4
          
        
        
          ∮
          
            
              C
              
                i
              
            
          
        
        P
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        x
        =
        
          ∮
          
            
              C
              
                1
              
            
          
        
        P
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        x
        +
        
          ∮
          
            
              C
              
                3
              
            
          
        
        P
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{4}\oint _{C_{i}}P(x,y)dx=\oint _{C_{1}}P(x,y)dx+\oint _{C_{3}}P(x,y)dx}
  

Ved definisjonen til linjeintegralet får vi at 

  
    
      
        
          ∮
          
            
              C
              
                1
              
            
          
        
        P
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        x
        +
        
          ∮
          
            
              C
              
                3
              
            
          
        
        P
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        x
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        P
        (
        t
        ,
        c
        )
        d
        t
        −
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        P
        (
        b
        +
        a
        −
        t
        ,
        d
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \oint _{C_{1}}P(x,y)dx+\oint _{C_{3}}P(x,y)dx=\int _{a}^{b}P(t,c)dt-\int _{a}^{b}P(b+a-t,d)dt}
  

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        P
        (
        t
        ,
        c
        )
        d
        t
        −
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        P
        (
        b
        +
        a
        −
        t
        ,
        d
        )
        d
        t
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        P
        (
        t
        ,
        c
        )
        d
        t
        −
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        P
        (
        t
        ,
        d
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}P(t,c)dt-\int _{a}^{b}P(b+a-t,d)dt=\int _{a}^{b}P(t,c)dt-\int _{a}^{b}P(t,d)dt}
  

  
    
      
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        P
        (
        t
        ,
        c
        )
        d
        t
        −
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        P
        (
        t
        ,
        d
        )
        d
        t
        =
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        (
        P
        (
        t
        ,
        c
        )
        −
        P
        (
        t
        ,
        d
        )
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \int _{a}^{b}P(t,c)dt-\int _{a}^{b}P(t,d)dt=\int _{a}^{b}(P(t,c)-P(t,d))dt}
  

Ser vi på 
  
    
      
        
          ∑
          
            j
            =
            1
          
          
            4
          
        
        
          ∮
          
            
              C
              
                i
              
            
          
        
        Q
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        y
      
    
    {\displaystyle \sum \limits _{j=1}^{4}\oint _{C_{i}}Q(x,y)dy}
    observerer vi at integralene over 
  
    
      
        
          C
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{1}}
   og 
  
    
      
        
          C
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle C_{3}}
   blir null. Vi får derfor at

  
    
      
        
          ∮
          
            
              C
              
                2
              
            
          
        
        Q
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        y
        +
        
          ∮
          
            
              C
              
                4
              
            
          
        
        Q
        (
        x
        ,
        y
        )
        d
        y
        =
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        Q
        (
        b
        ,
        t
        )
        d
        t
        −
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        Q
        (
        a
        ,
        d
        +
        c
        −
        t
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \oint _{C_{2}}Q(x,y)dy+\oint _{C_{4}}Q(x,y)dy=\int _{c}^{d}Q(b,t)dt-\int _{c}^{d}Q(a,d+c-t)dt}
  

  
    
      
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        Q
        (
        b
        ,
        t
        )
        d
        t
        −
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        Q
        (
        a
        ,
        d
        +
        c
        −
        t
        )
        d
        t
        =
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        Q
        (
        b
        ,
        t
        )
        d
        t
        −
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        Q
        (
        a
        ,
        t
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \int _{c}^{d}Q(b,t)dt-\int _{c}^{d}Q(a,d+c-t)dt=\int _{c}^{d}Q(b,t)dt-\int _{c}^{d}Q(a,t)dt}
  

  
    
      
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        Q
        (
        b
        ,
        t
        )
        d
        t
        −
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        Q
        (
        a
        ,
        t
        )
        d
        t
        =
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        Q
        (
        b
        ,
        t
        )
        −
        Q
        (
        a
        ,
        t
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \int _{c}^{d}Q(b,t)dt-\int _{c}^{d}Q(a,t)dt=\int _{c}^{d}Q(b,t)-Q(a,t)dt}
  

Vi får derfor at vårt opprinnelige linjeintegral er lik: 
  
    
      
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        (
        Q
        (
        b
        ,
        t
        )
        −
        Q
        (
        a
        ,
        t
        )
        )
        d
        t
        +
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        (
        P
        (
        t
        ,
        c
        )
        −
        P
        (
        t
        ,
        d
        )
        )
        d
        t
      
    
    {\displaystyle \int _{c}^{d}(Q(b,t)-Q(a,t))dt+\int _{a}^{b}(P(t,c)-P(t,d))dt}
    , Plugger vi dette uttrykket inn i samme ligning som uttrykket vårt for dobbeltintegralet får vi:

  
    
      
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        Q
        (
        b
        ,
        t
        )
        −
        Q
        (
        a
        ,
        t
        )
        d
        t
        +
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        P
        (
        t
        ,
        c
        )
        −
        P
        (
        t
        ,
        d
        )
        d
        t
        =
        
          ∫
          
            c
          
          
            d
          
        
        (
        Q
        (
        b
        ,
        t
        )
        −
        Q
        (
        a
        ,
        t
        )
        )
        d
        t
        −
        
          ∫
          
            a
          
          
            b
          
        
        (
        P
        (
        t
        ,
        d
        )
        −
        P
        (
        t
        ,
        c
        )
        )
        d
        x
      
    
    {\displaystyle \int _{c}^{d}Q(b,t)-Q(a,t)dt+\int _{a}^{b}P(t,c)-P(t,d)dt=\int _{c}^{d}(Q(b,t)-Q(a,t))dt-\int _{a}^{b}(P(t,d)-P(t,c))dx}
    Som er ekvivalent til at 
  
    
      
        0
        =
        0
      
    
    {\displaystyle 0=0}
  , altså uttrykkene er like.

Siden alle regioner i 
  
    
      
        
          
            R
          
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}
   kan bli tilnærmet så nærme som vi vil med en sum av rektangler må Greens teorem også holde for mer generelle områder. Dette er fordi for to rektangler 
  
    
      
        
          R
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{1}}
   og 
  
    
      
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R_{2}}
  
som tangerer hverandre med 
  
    
      
        R
        =
        
          R
          
            1
          
        
        ∪
        
          R
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle R=R_{1}\cup R_{2}}
   så vil 
  
    
      
        
          ∮
          
            ∂
            
              R
              
                1
              
            
          
        
        P
        d
        x
        +
        Q
        d
        y
        +
        
          ∮
          
            ∂
            
              R
              
                2
              
            
          
        
        P
        d
        x
        +
        Q
        d
        y
        =
        
          ∮
          
            ∂
            R
          
        
        P
        d
        x
        +
        Q
        d
        y
      
    
    {\displaystyle \oint _{\partial R_{1}}Pdx+Qdy+\oint _{\partial R_{2}}Pdx+Qdy=\oint _{\partial R}Pdx+Qdy}
  , dermed kan vi si at beviset er fullført. 
  
    
      
        ◼
      
    
    {\displaystyle \blacksquare }
  


== Referanser ==