Fourier-transformasjon

Fouriertransformasjon er i matematikk en operator som avbilder en funksjon f(t) inn på en ny funksjon F(
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
  ) ved hjelp av integrasjon.   Operatoren er fått navn etter den franske matematikeren Jean Baptiste Joseph Fourier. Fouriertransformasjoner har stor betydning i fagfelt der det opptrer bølger og andre periodiske fenomener, for eksempel innen akustikk, hydrodynamikk, billedbehandling og digital signalbehandling.  Anvendelser spenner fra lagring av bilder, frekvensanalyse av lyd, analyse av krystallstrukturer, til løsning av differensialligninger. For mange grener av fysikk og matematikk er fouriertransformasjon et standardverktøy.
Både argument og funksjonsverdi i fouriertransformasjonen er i generell form en kompleks funksjon av en  reell variabel.  Ofte vil argumentet t i den opprinnelige funksjonen representere tid, og argumentet 
  
    
      
        ω
      
    
    {\displaystyle \omega }
   i den transformerte funksjonen representerer da frekvens.  Det er vanlig språkbruk å si at funksjonen f er definert i tidsdomenet, mens den transformerte F er definert i frekvensdomenet. Fouriertransformasjonen omformer et tidssignal til bølgefunksjoner.
Fouriertransformasjonen er definert for både kontinuerlige
og diskrete signaler. Denne artikkelen beskriver kun den kontinuerlig transformasjonen. For diskret versjon se fourieranalyse og diskret fouriertransform.


== Formell definisjon ==
La f(t) være en reell eller kompleks funksjon med et reelt argument t.  Fouriertransformasjonen av f, også kalt Fourier-integralet av f, er definert ved  

  
    
      
        F
        (
        ω
        )
        =
        
          
            F
          
        
        [
        f
        (
        t
        )
        ]
        =
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        t
        )
        
          e
          
            −
            i
            ω
            t
          
        
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle F(\omega )={\mathcal {F}}[f(t)]=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt}
  hvor i er den imaginære enheten 
  
    
      
        
          
            −
            1
          
        
      
    
    {\textstyle {\sqrt {-1}}}
  .  
Den reelle og den imaginære delen av F definerer henholdsvis cosinus-transformasjonen og sinus-transformasjonen av f.
Fouriertransformasjonen er et eksempel på en integraltransformasjon, definert med kjernen 

  
    
      
        k
        (
        t
        ,
        ω
        )
        =
        
          e
          
            −
            i
            ω
            t
          
        
        
      
    
    {\displaystyle k(t,\omega )=e^{-i\omega t}\,}
  Alternative definisjoner for fouriertransfomasjonen finnes i litteraturen, som for eksempel

  
    
      
        F
        (
        ω
        )
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        f
        (
        t
        )
        
          e
          
            −
            i
            ω
            t
          
        
        
        d
        t
      
    
    {\displaystyle F(\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt}
  


== Invers transformasjon ==
Under nokså generelle vilkår eksisterer også den inverse fouriertransformasjonen, definert ved

  
    
      
        f
        (
        t
        )
        =
        
          
            
              F
            
          
          
            −
            1
          
        
        [
        F
        (
        ω
        )
        ]
        =
        
          
            1
            
              2
              π
            
          
        
        
          ∫
          
            −
            ∞
          
          
            ∞
          
        
        F
        (
        ω
        )
        
          e
          
            i
            ω
            t
          
        
        
        d
        ω
      
    
    {\displaystyle f(t)={\mathcal {F}}^{-1}[F(\omega )]={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }F(\omega )e^{i\omega t}\,d\omega }
  


== Egenskaper ==
Fouriertransformasjonen har følgende egenskaper


=== Linearitet ===
Fouriertransformasjonen er en lineær transformasjon:

  
    
      
        
          
            F
          
        
        
          [
          
            a
            f
            (
            t
            )
            +
            b
            g
            (
            t
            )
          
          ]
        
        =
        a
        
          
            F
          
        
        [
        f
        (
        t
        )
        ]
        +
        b
        
          
            F
          
        
        [
        g
        (
        t
        )
        ]
        =
        a
        F
        (
        ω
        )
        +
        b
        G
        (
        ω
        )
      
    
    {\displaystyle {\mathcal {F}}\left[af(t)+bg(t)\right]=a{\mathcal {F}}[f(t)]+b{\mathcal {F}}[g(t)]=aF(\omega )+bG(\omega )}
  


=== Funksjonsprodukt og konvolusjon ===
For produkt av funksjoner gjelder

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    F
                  
                
                [
                f
                (
                t
                )
                ∗
                g
                (
                t
                )
                ]
              
              
                
                =
                F
                (
                ω
                )
                G
                (
                ω
                )
              
            
            
              
                
                  
                    F
                  
                
                [
                f
                (
                t
                )
                g
                (
                t
                )
                ]
              
              
                
                =
                
                  
                    1
                    
                      2
                      π
                    
                  
                
                F
                (
                ω
                )
                ∗
                G
                (
                ω
                )
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathcal {F}}[f(t)*g(t)]&=F(\omega )G(\omega )\\{\mathcal {F}}[f(t)g(t)]&={\frac {1}{2\pi }}F(\omega )*G(\omega ).\\\end{alignedat}}}
  Her markerer 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle *}
   en konvolusjonsoperator.


=== Tids- og frekvensforskyvning ===

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    F
                  
                
                [
                f
                (
                t
                −
                T
                )
                ]
              
              
                
                =
                
                  e
                  
                    −
                    i
                    ω
                    T
                  
                
                F
                (
                ω
                )
              
            
            
              
                
                  
                    F
                  
                
                [
                
                  e
                  
                    i
                    Ω
                    t
                  
                
                f
                (
                t
                )
                ]
              
              
                
                =
                F
                (
                ω
                −
                Ω
                )
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathcal {F}}[f(t-T)]&=e^{-i\omega T}F(\omega )\\{\mathcal {F}}[e^{i\Omega t}f(t)]&=F(\omega -\Omega ).\\\end{alignedat}}}
  


=== Derivasjon ===
For deriverte av funksjoner gjelder 

  
    
      
        
          
            
              
                
                  
                    F
                  
                
                
                  [
                  
                    
                      
                        
                          d
                          
                            (
                            n
                            )
                          
                        
                        f
                        (
                        t
                        )
                      
                      
                        d
                        
                          t
                          
                            (
                            n
                            )
                          
                        
                      
                    
                  
                  ]
                
              
              
                
                =
                (
                i
                ω
                
                  )
                  
                    (
                    n
                    )
                  
                
                F
                (
                ω
                )
              
            
            
              
                
                  
                    F
                  
                
                [
                (
                −
                i
                t
                
                  )
                  
                    n
                  
                
                f
                (
                t
                )
                ]
              
              
                
                =
                
                  
                    
                      
                        d
                        
                          (
                          n
                          )
                        
                      
                      F
                      (
                      ω
                      )
                    
                    
                      d
                      
                        ω
                        
                          (
                          n
                          )
                        
                      
                    
                  
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\mathcal {F}}\left[{\frac {d^{(n)}f(t)}{dt^{(n)}}}\right]&=(i\omega )^{(n)}F(\omega )\\{\mathcal {F}}[(-it)^{n}f(t)]&={\frac {d^{(n)}F(\omega )}{d\omega ^{(n)}}}.\\\end{alignedat}}}
  


== Se også ==
Diskret fouriertransformasjon
Rask fouriertransformasjon
Fourieranalyse
Laplacetransformasjon
Z-transformasjon


== Litteratur ==
Athanasios Papoulis (1962). The Fourier integral and its applications. New York: McGraw-Hill Book Company Inc. ISBN 978-00-70-48447-4.