Rekke (matematikk)

En rekke er i matematikk en sum av ledd i en følge.   En betegner rekken som henholdsvis endelig eller uendelig, avhengig av om antall ledd er endelig eller uendelig.
Dersom en uendelig rekke har en endelig sum sies rekken å være  konvergent, ellers er den  divergent.
Rekker opptrer i mange områder av matematikk, og studiet av rekker er en viktig del av matematisk analyse.  


== Formell definisjon ==
La 
  
    
      
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{a_{n}\}}
   være en følge.  En  rekke med n-te ledd lik 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
   er definert som summen av alle N leddene i følgen, der N kan være endelig eller uendelig:

  
    
      
        s
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
      
    
    {\displaystyle s=\sum _{n=1}^{N}a_{n}\,}
  Startindeksen for en rekke kan variere, tilsvarende som for en følge.
Til en uendelig følge 
  
    
      
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{a_{n}\}}
   kan en definere en assosiert følge 
  
    
      
        {
        
          s
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{s_{n}\}}
   der

  
    
      
        
          s
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
      
    
    {\displaystyle s_{n}=\sum _{i=1}^{n}a_{i}\,}
  Dersom følgen 
  
    
      
        {
        
          s
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{s_{n}\}}
   konverger sier en at den uendelige rekken konverger, og 

  
    
      
        s
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        
        ⟺
        
        s
        =
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          s
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle s=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}\iff s=\lim _{n\to \infty }s_{n}}
  Leddet 
  
    
      
        
          s
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle s_{n}}
   kalles den n-te partialsummen til rekken. En alternativ definisjon av en rekkesum er gitt ved Cesàro-summering.


== Eksempler på rekker ==


=== Eksempel 1: Aritmetisk rekke ===
En aritmetisk rekke er en rekke der differensen mellom leddene er konstant, det vil si at rekken er summen av en aritmetisk følge. Dersom det første leddet er x0 og n-te leddet er  xn =  x0 + nd, så er

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            N
          
        
        
          x
          
            n
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            N
          
        
        
          (
          
            x
            
              0
            
          
          +
          n
          d
          )
        
        =
        
          
            
              N
              +
              1
            
            2
          
        
        (
        
          x
          
            0
          
        
        +
        
          x
          
            N
          
        
        )
        =
        (
        N
        +
        1
        )
        
          x
          
            0
          
        
        +
        
          
            1
            2
          
        
        N
        (
        N
        +
        1
        )
        d
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}x_{n}=\sum _{n=0}^{N}{(x_{0}+nd)}={\frac {N+1}{2}}(x_{0}+x_{N})=(N+1)x_{0}+{\frac {1}{2}}N(N+1)d}
  En uendelig aritmetisk rekke er divergent.


=== Eksempel 2: Geometrisk rekke ===
En geometrisk rekke er en rekke der forholdet mellom leddene er konstant, og en uendelig geometrisk rekke har formen:

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            x
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{x^{n}}}
  Rekken konverger kun dersom absoluttverdien av x er strengt mindre enn 1, dvs dersom |x| < 1:

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            x
            
              n
            
          
        
        =
        
          
            1
            
              1
              −
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{x^{n}}={1 \over {1-x}}}
  En partialsum er gitt ved:

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            N
          
        
        
          
            x
            
              n
            
          
        
        =
        
          
            
              1
              −
              
                x
                
                  N
                  +
                  1
                
              
            
            
              1
              −
              x
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}{x^{n}}={1-x^{N+1} \over {1-x}}}
  


=== Eksempel 3: Harmonisk rekke ===
En harmonisk rekke er divergent

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over n}}
  Mer generelt vil den følgende rekken konvergere hvis og bare hvis 
  
    
      
        p
        >
        1
      
    
    {\displaystyle p>1}
  :

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              
                n
                
                  p
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{1 \over {n^{p}}}}
  


=== Eksempel 4 ===
Den følgende rekken konvergerer for 
  
    
      
        p
        >
        1
      
    
    {\displaystyle p>1}
  :

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            2
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              (
              log
              ⁡
              n
              
                )
                
                  p
                
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{1 \over {n(\log n)^{p}}}}
  


=== Eksempel 5: Eulertallet og eksponensialfunksjonen ===
 Eulertallet e er ofte definert ved hjelp av den følgende  konvergente rekken:

  
    
      
        e
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over {n!}}}
  Uttrykket i nevneren i brøken er  n-fakultet.  Generelt kan  eksponentialfunksjonen defineres ved

  
    
      
        
          e
          
            x
          
        
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            
              n
              !
            
          
        
      
    
    {\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
  


=== Eksempel 6: Endelige heltalsrekker ===
Summen av de N første naturlige tallene kan skrives som en endelig rekke, med et enkelt uttrykk for summen:

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            N
          
        
        n
        =
        
          
            
              N
              (
              N
              +
              1
              )
            
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n={N(N+1) \over 2}}
  Summen av de N  første kvadrattallene og  kubikktallene kan skrives tilsvarende

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          n
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            6
          
        
        N
        (
        N
        +
        1
        )
        (
        1
        +
        2
        N
        )
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{2}={\frac {1}{6}}N(N+1)(1+2N)}
  
  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            N
          
        
        
          n
          
            3
          
        
        =
        (
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            N
          
        
        n
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{N}n^{3}=(\sum _{n=1}^{N}n)^{2}}
  Summen av de N  første potensene av tallet 2:

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            N
          
        
        
          2
          
            n
          
        
        =
        2
        ⋅
        
          2
          
            N
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{N}2^{n}=2\cdot 2^{N}-1}
  


== Konvergens ==
En uendelig rekke vil konvergere bare dersom leddene utgjør en følge som konvergerer mot null.
En rekke 
  
    
      
        ∑
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum a_{n}}
   sies å konvergere absolutt dersom rekken 
  
    
      
        ∑
        
          |
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \sum |a_{n}|}
   konvergerer.  Dersom 
  
    
      
        ∑
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum a_{n}}
   konvergerer, mens 
  
    
      
        ∑
        
          |
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \sum |a_{n}|}
   divergerer, sies rekken å konvergere betinget.
Dersom 
  
    
      
        ∑
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum a_{n}}
   og 
  
    
      
        ∑
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum b_{n}}
   er to rekker av reelle positive tall, så siest den siste rekken å konvergere langsommere enn den første dersom 

  
    
      
        
          lim
          
            n
            →
            ∞
          
        
        
          
            
              b
              
                n
              
            
            
              a
              
                n
              
            
          
        
        =
        ∞
      
    
    {\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {b_{n}}{a_{n}}}=\infty }
  


== Konvergenskriterier ==
Det eksisterer en rekke kriterier for å bestemme når en uendelig rekke er konvergent, uten krav til at en kjenner summen som rekken konverger mot.


=== Forholdskriteriet ===
En rekke 
  
    
      
        ∑
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum a_{n}}
   av reelle tall der alle leddene er ulik null, konvergerer absolutt dersom det eksisterer et reelt tall q mindre enn 1 og et naturlig tall N slik at

  
    
      
        
          |
          
            
              
                a
                
                  n
                  +
                  1
                
              
              
                a
                
                  n
                
              
            
          
          |
        
        ≤
        q
         
        
          
            for 
          
        
        n
        ≥
        N
      
    
    {\displaystyle \left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|\leq q\ {\mbox{for }}n\geq N}
  


=== Rotkriteriet ===
En rekke 
  
    
      
        ∑
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum a_{n}}
   av reelle tall konvergerer absolutt dersom det eksisterer et reelt tall q mindre enn 1 og et naturlig tall N slik at

  
    
      
        
          
            
              |
            
            
              a
              
                n
              
            
            
              |
            
          
        
        ≤
        q
         
        
          
            for 
          
        
        n
        ≥
        N
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {|a_{n}|}}\leq q\ {\mbox{for }}n\geq N}
  


== Alternerende rekker ==
Alternerende rekker er rekker der leddene veksler fortegn, det vil si at annenhvert ledd er positivt negativt. 
Leibniz’ kriterium for alternerende rekker sier at rekken

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}a_{n}}
  er konvergent dersom  
  
    
      
        {
        
          a
          
            n
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle \{a_{n}\}}
   er en monotont minkende følge av positive tall som konvergerer mot null.  Den følgende rekken er for eksempel konvergent:

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          
            1
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{1 \over n}}
  


== Potensrekker ==
Potensrekker er rekker der leddene er relle eller komplekse tall, på forma

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          a
          
            n
          
        
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}
  Her er c kalt senter for rekken og 
  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}}
   er koeffisientene.   En potensrekke vil generelt konvergere eller divergere avhengig av valg av variablene x, som kan være et vilkårlig reelt eller komplekst tall.  Til en hver potensrekke er det assosiert en konvergenssirkel i det komplekse planet, slik at rekken konverger dersom x ligger innenfor sirkelen.  Konvergenssirkelen har sentrum i c.  Radiusen til konvergenssirkelen kalles konvergensradiusen.
Rekken i det følgende eksempelet har konvergensradius lik 1:

  
    
      
        
          ∑
          
            n
            =
            1
          
          
            ∞
          
        
        (
        −
        1
        
          )
          
            n
          
        
        
          
            
              x
              
                n
              
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{x^{n} \over n}}
  


== Taylorrekker og maclaurinrekker ==
Utdypende artikkel: TaylorrekkeEn taylorrekke for en uendelig mange ganger deriverbar reell funksjon f(x) er en potensrekke med sentrum i et vilkårlig verdi c på forma

  
    
      
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        =
        
          ∑
          
            n
            =
            0
          
          
            ∞
          
        
        
          
            1
            
              n
              !
            
          
        
        
          f
          
            (
            n
            )
          
        
        (
        c
        )
        (
        x
        −
        c
        
          )
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle p_{n}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }{1 \over n!}f^{(n)}(c)(x-c)^{n}}
  Her er den n-te deriverte av funksjonen betegnet med 
  
    
      
        
          f
          
            (
            n
            )
          
        
      
    
    {\displaystyle f^{(n)}}
  . 
For argument innenfor konvergensradiusen til taylorrekken vil 

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          p
          
            n
          
        
        (
        x
        )
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=p_{n}(x)\,}
  En taylorrekke med senter i null kalles en  maclaurinrekke.


== Se også ==
Abels teorem for potensrekker
Grandis rekke
 Logaritmer – Seksjonen Rekkeutviklinger for logaritmefunksjonen
 Niels Henrik Abel – Seksjonen Uendelige rekker


== Litteratur ==
Adams, Robert (2003). Calculus : a complete course (english). Toronto, Ont. Addison-Wesley. ISBN 0-201-79131-5. 
Clapham, C.; Nicholson, J. (2009). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics. Oxford Quick Reference. OUP Oxford. ISBN 978-0-19-157976-9. Besøkt 30. august 2016. 
Lindstrøm, T. (2006). Kalkulus (norsk). Universitetsforlaget. ISBN 978-82-15-00977-3. Besøkt 30. august 2016. 
Lindström, S.B. (2013). Matematisk ordbok för högskolan: engelsk-svensk, svensk-engelsk: (svensk). Stefan B. Lindström. ISBN 978-91-981287-0-3. Besøkt 30. august 2016. 
Adams, Robert A. (2006). Calculus: A Complete Course. ,. ISBN 0-321-27000-2. 
Sandvold, Øgrim, Bakken, Pettersen, Skrindo, Thorstensen, Thorstensen: Gyldendals formelsamling i matematikk, 1.utg. 2008,Gyldendal, ISBN 978-82-05-38499-6
Walter Rudin (1953, 1964, 1976). Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3.