Binær operasjon

En  binær operasjon eller en binæroperasjon er i matematikk en operasjon som har to argumenter fra samme mengde og der også resultatet tilhører samme mengde. De grunnleggende aritmetiske regneartene addisjon, subtraksjon, multiplikasjon og divisjon for reelle tall er alle binære.  
Den vanligste definisjonen av en binæroperasjon krever at resultatet ligger i samme mengde som argumentene.  En del forfattere vil likevel bruke begrepet mer generelt om operasjoner som involverer to argument, uten hensyn til resultatet.  Ifølge den første definisjonen vil indreproduktet mellom to vektorer ikke være en binær operasjon, mens den vil være det ifølge den mer generelle definisjonen.   


== Formell definisjon ==
Formelt kan en definere en binær operasjon som en funksjon  f: M × M →  M.  Denne funksjonen har aritet lik 2, det vil si at den tar to argument.  
Mengden M kalles definisjonsmengden. 


=== Notasjon ===
Dersom (a,b) er et ordnet par i det kartesiske produktet M × M kan en skrive en generell binær operasjon 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle \ast }
   på formen

  
    
      
        a
        ∗
        b
        =
        ∗
        (
        a
        ,
        b
        )
        ∈
        M
        
        ∀
        a
        ,
        b
        ∈
        M
        .
        
      
    
    {\displaystyle a\ast b=\ast (a,b)\in M\quad \forall a,b\in M.\,}
  Når operatorsymbolet 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle \ast }
   i en binær operasjon plasseres mellom argumentene kalles notasjonen for infiks, og dette er den vanligste skriveformen.  En prefiks- og en postfiks notasjon er også mulig, med operatorsymbolet plassert henholdsvis før eller etter det ordnede paret.  Polsk notasjon bruker prefiks notasjon, mens omvendt polsk notasjon er basert på postfiks.  


=== Veldefinerte binære operasjoner ===
En binær operasjon 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle \ast }
   er veldefinert dersom a = b og c = d medfører at 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle \ast }
  (a,c) = 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle \ast }
  (b,d).  All vanlige binære operasjoner er veldefinerte.  
Et eksempel på en binær operasjon som ikke er veldefinert er gitt ved det følgende definisjonen av en addisjonsoperasjon i mengden av rasjonale tall:

  
    
      
        
          
            x
            y
          
        
        +
        
          
            a
            b
          
        
        =
        
          
            
              x
              +
              a
            
            
              y
              +
              b
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {x}{y}}+{\frac {a}{b}}={\frac {x+a}{y+b}}.\,}
  At definisjonen ikke er veldefinert ser en ved å bruke x/y = 1/3 = 2/6 og a/b = 1/2 = 7/14.  


== Egenskaper til binære operasjoner ==


=== Kommutativitet ===
En binær operasjon 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle \ast }
    er kommutativ i M dersom den følgende relasjonen er oppfylt:

  
    
      
        ∗
        (
        a
        ,
        b
        )
        =
        ∗
        (
        b
        ,
        a
        )
        
        ∀
        a
        ,
        b
        ∈
        M
        .
        
      
    
    {\displaystyle \ast (a,b)=\ast (b,a)\quad \forall a,b\in M.\,}
  Addisjon av reelle tall er kommutativ, mens divisjon ikke er det.  


=== Assosiativitet ===
En binær operasjon 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle \ast }
    er assosiativ i M dersom 

  
    
      
        ∗
        (
        a
        ,
        ∗
        (
        b
        ,
        c
        )
        )
        =
        ∗
        (
        ∗
        (
        a
        ,
        b
        )
        ,
        c
        )
        
        ∀
        a
        ,
        b
        ,
        c
        ∈
        M
        .
        
      
    
    {\displaystyle \ast (a,\ast (b,c))=\ast (\ast (a,b),c)\quad \forall a,b,c\in M.\,}
   
Addisjon av reelle tall er assosiativ, mens subtraksjon ikke er assosiativ.


=== Enhetselement ===
En binær operasjon 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle \ast }
    har et enhetselement dersom det eksisterer et element e i M, slik at 

  
    
      
        ∗
        (
        a
        ,
        e
        )
        =
        ∗
        (
        e
        ,
        a
        )
        =
        a
        
        ∀
        a
        ∈
        M
        .
        
      
    
    {\displaystyle \ast (a,e)=\ast (e,a)=a\quad \forall a\in M.\,}
  Addisjon av reelle tall har enhetselementet 0.  Subtraksjon har ikke noe enhetselement.
Enhetselement kalles også for nøytralelement.


=== Invers ===
Dersom en binær operasjon 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle \ast }
    har enhetselement e, så kan et element a i M ha en invers betegnet med a-1, dersom 

  
    
      
        ∗
        (
        a
        ,
        
          a
          
            −
            1
          
        
        )
        =
        ∗
        (
        
          a
          
            −
            1
          
        
        ,
        a
        )
        =
        e
        .
      
    
    {\displaystyle \ast (a,a^{-1})=\ast (a^{-1},a)=e.}
  Det er mulig at enkelte element i M har en invers, mens andre ikke har det.  


=== Idempotens ===
En binær operasjon 
  
    
      
        ∗
      
    
    {\displaystyle \ast }
    er idempotent dersom

  
    
      
        ∗
        (
        a
        ,
        a
        )
        =
        a
        
        ∀
        a
        ∈
        M
        .
        
      
    
    {\displaystyle \ast (a,a)=a\quad \forall a\in M.\,}
  Operasjonen som tar maksimumsverdien av to reelle tall er idempotent, da max(a,a) = a. 


== Regnearter i aritmetikk ==
I aritmetikk regner man med fire grunnleggende regnearter, som alle er binære operasjoner:

AddisjonAddend + addend = sumAddisjon i mengden av reelle tall R er kommutativ, assosiativ og har enhetselementet 0.

SubtraksjonMinuend − subtrahend = differanseSubtraksjon i R er hverken kommutativ eller assosiativ, og operasjonen har ikke enhetselement.

MultiplikasjonFaktor × faktor = produktMultiplikasjon i R er kommutativ og assosiativ, med enhetselement 1. 

DivisjonDividend / divisor = kvotientDivisjon i R er hverken kommutativ eller assosiativ, og operasjonen har ikke enhetselement.


== Referanser ==