Absoluttverdi

Absoluttverdien eller tallverdien til et reelt tall er i matematikk den numeriske verdien til tallet uten hensyn til fortegnet.  For eksempel vil absoluttverdien til både 3 og −3 være lik 3.  Absoluttverdien av et tall x skrives |x|.  Definisjonen av absoluttverdi kan også utvides til å omfatte komplekse tall, og begrepet modulus eller modul  brukes da ekvivalent med absoluttverdi.
Absoluttverdi er også definert for andre typer matematiske objekter, som vektorer og matriser. I et endelig-dimensjonalt vektorrom kan betegnelsen absoluttverdi av en vektor bli brukt som synonym for den euklidske vektornormen.  Dette svarer til den geometriske lengden til vektoren.
Absoluttverdien kan defineres formelt som en funksjon definert på en ordnet ring.


== Absoluttverdien av  reelle tall ==


=== Formell definisjon ===
Absoluttverdien av et reelt tall er definert som funksjonen 
  
    
      
        f
        :
        
          R
        
        →
        
          
            R
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbf {R} \rightarrow \mathbf {R} ^{+}}
    gitt ved

  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          {
          
            
              
                
                  x
                  ,
                
                
                  x
                  ≥
                  0
                
              
              
                
                  −
                  x
                  ,
                
                
                  x
                  <
                  0
                
              
            
          
          
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=\left\{{\begin{matrix}x,&x\geq 0\\-x,&x<0\end{matrix}}\right.}
  Funksjonen skrives vanligvis som 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        
          |
        
        x
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle f(x)=|x|}
  .
Absoluttverdien kan alternativt defineres som funksjonen

  
    
      
        
          |
        
        x
        
          |
        
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle |x|={\sqrt {x^{2}}}.\,}
  


=== Fundamentale egenskaper ===
Absoluttverdien for reelle tall har følgende fundamentale egenskaper:

  
    
      
        
          
            
              
              
                
                
                  |
                
                a
                
                  |
                
                ≥
                0
              
            
            
              
              
                
                
                  |
                
                a
                
                  |
                
                =
                0
                
                ⟺
                
                a
                =
                0
              
            
            
              
              
                
                
                  |
                
                a
                b
                
                  |
                
                =
                
                  |
                
                a
                
                  |
                
                
                  |
                
                b
                
                  |
                
                .
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\begin{alignedat}{2}&|a|\geq 0\\[5pt]&|a|=0\iff a=0\\[5pt]&|ab|=|a||b|.\end{alignedat}}}
  Absoluttverdien definerer en metrikk i 
  
    
      
        
          R
        
      
    
    {\displaystyle \mathbf {R} }
  , et avstandsmål mellom to tall.


=== Trekantulikheten ===
Trekantulikheten har forma

  
    
      
        
          |
        
        a
        +
        b
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        a
        
          |
        
        +
        
          |
        
        b
        
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle |a+b|\leq |a|+|b|.}
  En nedre grense for absoluttverdien av en sum er gitt ved

  
    
      
        
          |
        
        
        
          |
        
        a
        
          |
        
        −
        
          |
        
        b
        
          |
        
        
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        a
        +
        b
        
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle |\;|a|-|b|\;|\leq |a+b|.}
  Disse skrives ofte sammen som

  
    
      
        
          |
        
        
        
          |
        
        a
        
          |
        
        −
        
          |
        
        b
        
          |
        
        
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        a
        +
        b
        
          |
        
        ≤
        
          |
        
        a
        
          |
        
        +
        
          |
        
        b
        
          |
        
        .
      
    
    {\displaystyle |\;|a|-|b|\;|\leq |a+b|\leq |a|+|b|.}
  


=== Derivert ===
Den deriverte av absoluttverdifunksjonen for positive verdier av argumentet er lik 1 og for negative verdier lik −1.  Den deriverte er ikke definert i vanlig forstand i punktet 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  , der funksjonen har et knekkpunkt.  I en utvidet klasse av distribusjoner er den deriverte av absoluttverdifunksjonen definert overalt lik tegnfunksjonen, definert som

  
    
      
        sgn
        ⁡
        (
        x
        )
        =
        
          
            {
            
              
                
                  −
                  1
                
                
                  
                     hvis 
                  
                   
                  x
                  <
                  0
                  ,
                
              
              
                
                  0
                
                
                  
                     hvis 
                  
                   
                  x
                  =
                  0
                  ,
                
              
              
                
                  1
                
                
                  
                     hvis 
                  
                   
                  x
                  >
                  0.
                
              
            
            
          
        
      
    
    {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)={\begin{cases}-1&{\text{ hvis }}\ x<0,\\0&{\text{ hvis }}\ x=0,\\1&{\text{ hvis }}\ x>0.\end{cases}}}
  


=== Antiderivert ===
Absoluttverdifunksjonen er integrerbar, og den antideriverte er gitt ved

  
    
      
        ∫
        
          |
        
        x
        
          |
        
        d
        x
        =
        
          
            
              x
              
                |
              
              x
              
                |
              
            
            2
          
        
        +
        C
        .
      
    
    {\displaystyle \int |x|dx={\frac {x|x|}{2}}+C.}
  


=== Intervalldefinisjon med absoluttverdi ===
Et åpent intervall av relle tall blir ofte definert ved hjelp av absoluttverdifunksjonen som

  
    
      
        
          D
          
            1
          
        
        =
        
          {
          
            x
            
              |
            
            
            
              |
            
            x
            −
            a
            
              |
            
            <
            b
          
          }
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle D_{1}=\left\{x|\;|x-a|<b\right\}.\,}
  Her er 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   midtpunktet i intervallet, og lengden av intervallet er lik 
  
    
      
        2
        b
      
    
    {\displaystyle 2b}
  .  Et lukket intervall defineres tilsvarende som

  
    
      
        
          D
          
            2
          
        
        =
        
          {
          
            x
            
              |
            
            
            
              |
            
            x
            −
            a
            
              |
            
            ≤
            b
          
          }
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle D_{2}=\left\{x|\;|x-a|\leq b\right\}.\,}
  .


=== Absolutt konvergens for rekker ===
En rekke 
  
    
      
        ∑
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum a_{n}}
   sies å konvergere absolutt dersom rekken 
  
    
      
        ∑
        
          |
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \sum |a_{n}|}
   konvergerer.  Dersom 
  
    
      
        ∑
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle \sum a_{n}}
   konvergerer, mens 
  
    
      
        ∑
        
          |
        
        
          a
          
            n
          
        
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle \sum |a_{n}|}
   divergerer, sies rekken å konvergere betinget.


== Absoluttverdien av komplekse tall ==


=== Formell definisjon ===

Absoluttverdien eller modulus til et komplekst tall er definert som funksjonen 
  
    
      
        f
        :
        
          C
        
        →
        
          
            R
          
          
            +
          
        
      
    
    {\displaystyle f:\mathbf {C} \rightarrow \mathbf {R} ^{+}}
   gitt ved

  
    
      
        
          |
        
        z
        
          |
        
        =
        
          
            z
            
              z
              
                ∗
              
            
          
        
        =
        
          
            (
            
              Re
            
            
            z
            
              )
              
                2
              
            
            +
            (
            
              Im
            
            
            z
            
              )
              
                2
              
            
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle |z|={\sqrt {zz^{*}}}={\sqrt {({\text{Re}}\;z)^{2}+({\text{Im}}\;z)^{2}}}.\,}
  Her er z* den kompleks konjugerte av 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  .  Videre er 
  
    
      
        
          Re 
        
        z
      
    
    {\displaystyle {\text{Re }}z}
   realdelen av 
  
    
      
        z
      
    
    {\displaystyle z}
  , og 
  
    
      
        
          Im 
        
        z
      
    
    {\displaystyle {\text{Im }}z}
   er imaginærdelen.  Dersom imaginærdelen er lik null, samsvarer definisjonen for komplekse tall med definisjonen for reelle tall.


=== Geometrisk tolkning ===
Ved hjelp av absoluttverdien, samt polarvinkelen 
  
    
      
        ϕ
      
    
    {\displaystyle \phi }
  , kan ethvert komplekst tall skrives på eksponensialformen

  
    
      
        z
        =
        
          |
        
        z
        
          |
        
        
          e
          
            i
            ϕ
          
        
        .
        
      
    
    {\displaystyle z=|z|e^{i\phi }.\,}
  I et Argand-diagram, der et komplekst tall representeres ved et punkt i et to-dimensjonalt koordinatsystem, svarer absoluttverdien av det komplekse tallet til lengden av vektoren fra origo til punktet.  I figuren til høyre er 
  
    
      
        
          |
        
        z
        
          |
        
        =
        r
      
    
    {\displaystyle |z|=r}
  .


=== Egenskaper ===
For komplekse tall gjelder de samme fundamentale egenskapene som for reelle tall.  Også trekantulikheten har samme form.   I tillegg gjelder relasjonene

  
    
      
        
          |
        
        z
        
          |
        
        ≥
        
          |
        
        
          Re
        
        
        z
        
          |
        
        ≥
        
          Re
        
        
        z
        
      
    
    {\displaystyle |z|\geq |{\text{Re}}\;z|\geq {\text{Re}}\;z\;}
  

  
    
      
        
          |
        
        z
        
          |
        
        ≥
        
          |
        
        
          Im
        
        
        z
        
          |
        
        ≥
        
          Im
        
        
        z
        .
        
      
    
    {\displaystyle |z|\geq |{\text{Im}}\;z|\geq {\text{Im}}\;z.\;}
  Dersom 
  
    
      
        
          a
          
            1
          
        
        ,
        
          a
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          a
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{1},a_{2},...,a_{n}}
  > og 
  
    
      
        
          b
          
            1
          
        
        ,
        
          b
          
            2
          
        
        ,
        .
        .
        .
        ,
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b_{1},b_{2},...,b_{n}}
  > er komplekse tall, så gjelder Cauchy–Schwarz’ ulikhet på forma

  
    
      
        
          |
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
          
        
        
          b
          
            i
          
          
            ∗
          
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        ≤
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          a
          
            i
          
          
            2
          
        
        
          ∑
          
            i
            =
            1
          
          
            n
          
        
        
          b
          
            i
          
          
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle |\sum _{i=1}^{n}a_{i}b_{i}^{*}|^{2}\leq \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{2}\sum _{i=1}^{n}b_{i}^{2}.}
  


== Absoluttverdien av vektorer ==


=== Formell definisjon ===
For vektorer i et endelig-dimensjonalt euklidsk vektorrom definerer en del lærebøker absoluttverdien til en vektor til å være lik normen til vektoren.  For en koordinatvektor  
  
    
      
        v
        =
        (
        x
        ,
        y
        ,
        z
        )
      
    
    {\displaystyle v=(x,y,z)}
   i et tredimensjonalt rom er absoluttverdien da definert ved

  
    
      
        
          |
        
        v
        
          |
        
        =
        
          |
        
        
          |
        
        v
        
          |
        
        
          
            |
          
          
            2
          
        
        =
        
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              y
              
                2
              
            
            +
            
              z
              
                2
              
            
          
        
        
      
    
    {\displaystyle |v|=||v||_{2}={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\,}
  Absoluttverdien er da lik den geometriske lengden av vektoren.


=== Egenskaper ===
Trekantulikheten gjelder for vektorer på samme form som for reelle tall.  Den geometriske tolkningen av denne ulikheten er at den korteste veien mellom to punkt er en rett linje.  Den geometriske illustrasjonen av trekantulikheten viser øverste et eksempel med streng ulikhet, nederst et eksempel med likhet i relasjonen.


== Absoluttverdi av matriser ==


=== Formell definisjon ===
Absoluttverdien til en matrise 
  
    
      
        A
        =
        {
        
          a
          
            i
            j
          
        
        }
      
    
    {\displaystyle A=\lbrace a_{ij}\rbrace }
   betegnes med 
  
    
      
        
          |
        
        A
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |A|}
   eller 
  
    
      
        
          |
        
        A
        
          
            |
          
          
            a
            b
            s
          
        
      
    
    {\displaystyle |A|_{abs}}
   og er definert lik en matrise med elementer lik absoluttverdien av elementene i den opprinnelige matrisen:

  
    
      
        
          |
        
        A
        
          
            |
          
          
            a
            b
            s
          
        
        =
        
          
            [
            
              
                
                  
                    |
                  
                  
                    a
                    
                      11
                    
                  
                  
                    |
                  
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    a
                    
                      12
                    
                  
                  
                    |
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    a
                    
                      1
                      m
                    
                  
                  
                    |
                  
                
              
              
                
                  
                    |
                  
                  
                    a
                    
                      21
                    
                  
                  
                    |
                  
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    a
                    
                      22
                    
                  
                  
                    |
                  
                
                
                  ⋯
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    a
                    
                      2
                      m
                    
                  
                  
                    |
                  
                
              
              
                
                  ⋮
                
                
                  ⋮
                
                
                  ⋱
                
                
                  ⋮
                
              
              
                
                  
                    |
                  
                  
                    a
                    
                      n
                      1
                    
                  
                  
                    |
                  
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    a
                    
                      n
                      2
                    
                  
                  
                    |
                  
                
                
                  …
                
                
                  
                    |
                  
                  
                    a
                    
                      n
                      m
                    
                  
                  
                    |
                  
                
              
            
            ]
          
        
      
    
    {\displaystyle |A|_{abs}={\begin{bmatrix}|a_{11}|&|a_{12}|&\cdots &|a_{1m}|\\|a_{21}|&|a_{22}|&\cdots &|a_{2m}|\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\|a_{n1}|&|a_{n2}|&\dots &|a_{nm}|\end{bmatrix}}}
  
Notasjonen 
  
    
      
        
          |
        
        A
        
          |
        
      
    
    {\displaystyle |A|}
   er også en vanlig form for determinanten til matrisen 
  
    
      
        A
      
    
    {\displaystyle A}
  .


=== Egenskaper ===
Trekantulikheten gjelder også for absoluttverdien av matriser:

  
    
      
        
          |
        
        A
        +
        B
        
          
            |
          
          
            a
            b
            s
          
        
        ≤
        
          |
        
        A
        
          
            |
          
          
            a
            b
            s
          
        
        +
        
          |
        
        B
        
          
            |
          
          
            a
            b
            s
          
        
        
      
    
    {\displaystyle |A+B|_{abs}\leq |A|_{abs}+|B|_{abs}\;}
  Dersom matriseproduktet AB er definert, så er

  
    
      
        
          |
        
        A
        B
        
          
            |
          
          
            a
            b
            s
          
        
        ≤
        
          |
        
        A
        
          
            |
          
          
            a
            b
            s
          
        
        
          |
        
        B
        
          
            |
          
          
            a
            b
            s
          
        
        
      
    
    {\displaystyle |AB|_{abs}\leq |A|_{abs}|B|_{abs}\;}
  


== Diverse ==
I programmeringsspråk kalles absoluttverdifunksjonen ofte abs().


== Historie ==
Både Augustin Louis Cauchy (1789-1857) og Jean Robert Argand (1768-1822) brukte skriveformen mod x, som en forkortelse for modulen til x.  Siden mod i matematikk også brukes som notasjon for modulo, er denne skriveformen i dag ikke så vanlig.  Notasjonen med bruk av to vertikale streker |x| for absoluttverdi ble første gang brukt av den tyske matematikeren Karl Weierstrass (1815-1897) i et arbeid fra 1841, der bruken omfattet komplekse tall.Navnet «absoluttverdi» er avledet av det latinske verbet «absolvere», som kan bety å gjøre fri fra.  Absoluttverdien er gjort «fri» fra fortegnet.  Før introduksjon av notasjonen |x| var det vanlig å referere til absoluttverdien som den numeriske verdien av et tall.


== Referanser ==


== Litteratur ==
E.J.Borowski, J.M.Borwein (1989). Dictionary of mathematics. Glasgow: Collins. ISBN 0-00-434347-6. Hans Fredrik Aas (1974). Forelesningsreferater i matematisk analyse. I. Bergen: Matematisk institutt, Universitetet i Bergen. Walter Rudin (1976) [1953]. Principles of mathematical analysis. Singapore: McGraw-Hill International Book Co. ISBN 0-07-085613-3. Fr Fabricius-Bjerre (1977) [1949]. Lærebog i geometri.  I: Analytisk geometri, lineær algebra. Lyngby: Polyteknisk forlag. ISBN 97-502-0440-8. Helmut Lütkepohl (1996). Handbook of Matrices. Chichester: John Wiley and Sons. ISBN 0-471-97015-8. 


== Eksterne lenker ==
Absoluttverdi (definisjon) - matematikk.net