Potens (matematikk)

En potens i matematikken er et tall eller en funksjon uttrykt som en relasjon mellom to tall eller variabler, et grunntall og en eksponent. Man sier at grunntallet er opphøyd i eksponenten. En potens med grunntall b og eksponent n skrives:

  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{n}}
  Dersom n er et positivt heltall, tilsvarer dette å gange grunntallet med seg selv n ganger, dvs.

  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
        =
        b
        ⋅
        b
        ⋅
        ⋯
        ⋅
        b
      
    
    {\displaystyle b^{n}=b\cdot b\cdot \cdots \cdot b}
  der man utfører multiplikasjonen på høyre side n ganger. For eksempel kan man skrive tallet 8 som 
  
    
      
        
          2
          
            3
          
        
        =
        2
        ⋅
        2
        ⋅
        2
      
    
    {\displaystyle 2^{3}=2\cdot 2\cdot 2}
  ; her vil 
  
    
      
        
          2
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle 2^{3}}
   være en potens og 3 tallets eksponent.
Dersom n er et positivt heltall, defineres 
  
    
      
        
          b
          
            −
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{-n}}
   ved hjelp av brøk, slik at

  
    
      
        
          b
          
            −
            n
          
        
        =
        
          
            1
            
              b
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}
  og 
  
    
      
        
          b
          
            1
            
              /
            
            n
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{1/n}}
   som n-te-roten av grunntallet,

  
    
      
        
          b
          
            1
            
              /
            
            n
          
        
        =
        
          
            b
            
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{1/n}={\sqrt[{n}]{b}}}
  Definisjonen av eksponenter kan utvides til å gjelde for alle reelle og komplekse tall.


== Regneregler ==
En potens med grunntall b og eksponent n, multiplisert med en annen potens med grunntall b og eksponent m:

  
    
      
        
          b
          
            n
          
        
        ⋅
        
          b
          
            m
          
        
        =
        
          b
          
            n
            +
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{n}\cdot b^{m}=b^{n+m}}
  En potens med grunntall b og eksponent n, dividert med en annen potens med grunntall b, og eksponent m:

  
    
      
        
          
            
              b
              
                n
              
            
            
              b
              
                m
              
            
          
        
        =
        
          b
          
            n
            −
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle {\frac {b^{n}}{b^{m}}}=b^{n-m}}
  Negative eksponenter gir den inverse til tallet opphøyd i eksponenten:

  
    
      
        
          b
          
            −
            n
          
        
        =
        
          
            1
            
              b
              
                n
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{-n}={\frac {1}{b^{n}}}}
  for alle b ulik 0
Potens av potens regnes ut ved å opphøye grunntallet i produktet av eksponentene:

  
    
      
        (
        
          b
          
            n
          
        
        
          )
          
            m
          
        
        =
        
          b
          
            n
            m
          
        
      
    
    {\displaystyle (b^{n})^{m}=b^{nm}}
  For generelle eksponenter (strengt tatt av type rasjonale tall) kan en forklare potensfunksjonen som en kombinasjon av heltallig potensiering og heltallig rotberegning:

  
    
      
        
          b
          
            0.4
          
        
        =
        
          b
          
            2
            
              /
            
            5
          
        
        =
        
          
            
              b
              
                2
              
            
            
              5
            
          
        
      
    
    {\displaystyle b^{0.4}=b^{2/5}={\sqrt[{5}]{b^{2}}}}
  For eksponenter lik null gjelder:

  
    
      
        
          b
          
            0
          
        
        =
        
          b
          
            n
            −
            n
          
        
        =
        
          
            
              b
              
                n
              
            
            
              b
              
                n
              
            
          
        
        =
        1
      
    
    {\displaystyle b^{0}=b^{n-n}={\frac {b^{n}}{b^{n}}}=1}
  for alle b ulik 0


== Notasjon for funksjoner ==
Dersom et tall angis som opphøyd for en funksjon, før argumentet, betegner dette vanligvis enten en invers (for -1) eller at man anvender samme funksjon et visst antall ganger (for et positivt heltall). F.eks. vil man kunne angi den inverse funksjonen av 
  
    
      
        f
        (
        x
        )
        =
        x
      
    
    {\displaystyle f(x)=x}
   som 
  
    
      
        
          f
          
            −
            1
          
        
        (
        x
        )
        =
        1
        
          /
        
        x
      
    
    {\displaystyle f^{-1}(x)=1/x}
   (for x > 0), og funksjonen 
  
    
      
        f
        (
        f
        (
        f
        (
        x
        )
        )
        )
      
    
    {\displaystyle f(f(f(x)))}
   som 
  
    
      
        
          f
          
            3
          
        
        (
        x
        )
      
    
    {\displaystyle f^{3}(x)}
  . 
For trigonometriske og hyperbolske funksjoner har slike eksponenter, etter konvensjon, en noe annen betydning: -1 betegner den trigonometriske inverse funksjonen, og et positivt heltall betegner at man opphøyer funksjonen i dette tallet n ganger. F.eks. vil 
  
    
      
        
          sin
          
            −
            1
          
        
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \sin ^{-1}x}
   brukes ekvivalent med 
  
    
      
        arcsin
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \arcsin x}
  , og 
  
    
      
        
          sin
          
            2
          
        
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \sin ^{2}x}
   ekvivalent med 
  
    
      
        (
        sin
        ⁡
        x
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (\sin x)^{2}}
  . Tilsvarende konvensjon for positive heltall gjelder også for logaritmiske funksjoner, der 
  
    
      
        
          log
          
            2
          
        
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \log ^{2}x}
   vanligvis refererer til 
  
    
      
        (
        log
        ⁡
        x
        
          )
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle (\log x)^{2}}
  , ikke 
  
    
      
        log
        ⁡
        log
        ⁡
        x
      
    
    {\displaystyle \log \log x}
  .


== Se også ==
Eksponensialfunksjon


== Eksterne lenker ==
(en) Eric W. Weisstein, Exponentiation i MathWorld.
(en) Eric W. Weisstein, Inverse Trigonometric Functions i MathWorld.