Torus

En torus er et matematisk objekt, mer presist en mangfoldighet. Den har form som en smultring (uten fyll). Én måte å realisere torusen på er ved å dreie en sirkel om en linje som ligger utenfor sirkelen. En annen måte er å starte med et rektangulært «materiale», og lime sammen to og to sider (se animasjonen til høyre).


== Geometri ==
En parameterfremstilling av torusen er gitt ved:

  
    
      
        x
        (
        u
        ,
        v
        )
        =
        (
        R
        +
        r
        cos
        ⁡
        
          v
        
        )
        cos
        ⁡
        
          u
        
        
      
    
    {\displaystyle x(u,v)=(R+r\cos {v})\cos {u}\,}
  

  
    
      
        y
        (
        u
        ,
        v
        )
        =
        (
        R
        +
        r
        cos
        ⁡
        
          v
        
        )
        sin
        ⁡
        
          u
        
        
      
    
    {\displaystyle y(u,v)=(R+r\cos {v})\sin {u}\,}
  

  
    
      
        z
        (
        u
        ,
        v
        )
        =
        r
        sin
        ⁡
        
          v
        
        
      
    
    {\displaystyle z(u,v)=r\sin {v}\,}
  
hvor 
  
    
      
        u
        ,
        v
        ∈
        [
        0
        ,
        2
        π
        )
      
    
    {\displaystyle u,v\in [0,2\pi )}
  , R er avstanden fra sentrum av røret til sentrum av torusen, og r er radiusen til røret. Forskjellige verdier av r og R gir forskjellige typer toruser. En ring-torus er det vi får om R > r, eller med andre ord at dreiesirkelen i innledningen har større avstand fra linjen enn radiusen. En horn-torus er det vi får om R=r, og en spindel-torus er det vi får om R < r. Topologisk ser spindel-torusen ut som en sfære limt på en annen sfære via to punkter.
Ved hjelp av Pappos' sentroideteorem kan vi regne ut overflatearealet A og volumet V for en ring-torus i tre dimensjoner:

  
    
      
        A
        =
        (
        2
        π
        r
        )
        (
        2
        π
        R
        )
        =
        4
        
          π
          
            2
          
        
        R
        r
      
    
    {\displaystyle A=(2\pi r)(2\pi R)=4\pi ^{2}Rr}
  

  
    
      
        V
        =
        (
        π
        
          r
          
            2
          
        
        )
        (
        2
        π
        R
        )
        =
        2
        
          π
          
            2
          
        
        R
        
          r
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle V=(\pi r^{2})(2\pi R)=2\pi ^{2}Rr^{2}}
  


== Topologi ==
En torus er topologisk det samme som produktet av to sirkler: 
  
    
      
        
          
            S
          
          
            1
          
        
        ×
        
          
            S
          
          
            1
          
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {S} ^{1}\times \mathbb {S} ^{1}}
  . Den har genus 1. Fundamentalgruppen til torusen T er 
  
    
      
        
          Z
        
        ×
        
          Z
        
      
    
    {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} }
  .