Diagonal

For avenyen i Barcelona, se Avinguda Diagonal.
En diagonal er i vid forstand en skrå linje eller noe som kan karakteriseres ved en skrå linje.  
I matematikk kan en diagonal være

en diagonal i et polygon eller en mangekant: et linjestykke som forbinder to hjørner i polygonet, slik at hjørnene ikke ligger på samme sidekant.  Hvis en mangekant er konkav, vil noen diagonaler ligge utenfor mangekanten.
en diagonal i et polyeder: et linjestykke som forbinder to hjørner i polyederet, slik at hjørnene ikke ligger på samme sideflate.  En utvidet definisjon sier at en diagonal i et polyeder er et linjestykke mellom to hjørner, så lenge disse ikke ligger på samme sidekant.
en diagonal i en matrise:  En samling av matriseelementer 
  
    
      
        
          a
          
            i
            j
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{ij}}
   der 
  
    
      
        
          |
        
        i
        −
        j
        
          |
        
        =
        
          konstant
        
      
    
    {\displaystyle |i-j|={\text{konstant}}}
  .
en diagonal i et kartesisk produkt 
  
    
      
        V
        ×
        V
      
    
    {\displaystyle V\times V}
  : en undermengde som inneholder alle elementer der begge koordinatene er like, det vil si på forma 
  
    
      
        (
        v
        ,
        v
        )
      
    
    {\displaystyle (v,v)}
  .Ordet «diagonal» stammer fra det greske  διαγώνιος = diagonios, fra dia-  som betyr «gjennom», «på tvers» og gonia  som betyr «vinkel».  Siste stavelse er beslektet med gony, med betydning «kne».


== Diagonal i et polygon ==
Et enkelt polygon er et polygon der ingen av sidekantene krysser hverandre.  Antall diagonaler 
  
    
      
        
          n
          
            d
          
        
      
    
    {\displaystyle n_{d}}
   i en enkel 
  
    
      
        n
      
    
    {\displaystyle n}
  -kant er gitt av:

  
    
      
        
          n
          
            d
          
        
        =
        
          
            
              n
              (
              n
              −
              3
              )
            
            2
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle n_{d}={\frac {n(n-3)}{2}}.}
  Tabellen under gir antall diagonaler som funksjon av antall sider i en mangekant:


== Diagonal i et polyeder ==

En diagonal i en mangekant som utgjør en av sideflatene i et polyeder, kalles en sidediagonal.  Tilsvarende kan romdiagonal brukes dersom en ønsker å poengtere at diagonalen går i det indre av polyederet.


== Diagonal i en matrise ==
I en kvadratisk matrise kalles matriseelementene 
  
    
      
        
          a
          
            i
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{ii}}
  , der begge indeksene er like, for hoveddiagonalen eller bare diagonalen.  Tilsvarende kalles alle elementer der 
  
    
      
        
          |
        
        i
        −
        j
        
          |
        
        =
        
          konstant
        
        >
        0
      
    
    {\displaystyle |i-j|={\text{konstant}}>0}
   for en sidediagonal.  
I en identitetsmatrise er alle elementene utenfor hoveddiagonalen lik null.  Elementene på hoveddiagonalen er lik 1.  En matrise med nullelementer overalt bortsett fra på hoveddiagonalen, kalles generelt en diagonalmatrise.  En 
  
    
      
        (
        3
        ×
        3
        )
      
    
    {\displaystyle (3\times 3)}
  -identitetsmatrise har forma

  
    
      
        I
        =
        
          
            (
            
              
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
            
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle I={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}.}
  I den følgende matrisen 
  
    
      
        M
      
    
    {\displaystyle M}
   er bare matriseelementer i en øvre sidediagonal ulik null:

  
    
      
        M
        =
        
          
            (
            
              
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
                
                  0
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  1
                
              
              
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
                
                  0
                
              
            
            )
          
        
        .
      
    
    {\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}.}
  


== Diagonal i et kartesisk produkt ==
Det kartesiske produktet 
  
    
      
        V
        ×
        V
      
    
    {\displaystyle V\times V}
   er en mengde av ordnede par 
  
    
      
        (
        v
        ,
        w
        )
      
    
    {\displaystyle (v,w)}
  , slik at både 
  
    
      
        v
      
    
    {\displaystyle v}
   og 
  
    
      
        w
      
    
    {\displaystyle w}
   er elementer i mengden 
  
    
      
        V
      
    
    {\displaystyle V}
  .  Diagonalen eller diagonalmengden er undermengden som  inneholder alle ordende par der de to koordinatene er like.  
Planet R2 er et kartesisk produkt R 
  
    
      
        ×
      
    
    {\displaystyle \times }
   R, dvs en mengde av ordnede par 
  
    
      
        (
        x
        ,
        y
        )
      
    
    {\displaystyle (x,y)}
   der både 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   og 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
   er relle tall.  Diagonalmengden er lik mengden av 
  
    
      
        (
        x
        ,
        x
        )
      
    
    {\displaystyle (x,x)}
  , det vil si den rette linja som har ligning 
  
    
      
        y
        =
        x
      
    
    {\displaystyle y=x}
  .  Dette er en skrå linje i planet, noe som forklarer bruken av navnet «diagonal» også for det kartesiske produktet 
  
    
      
        V
        ×
        V
      
    
    {\displaystyle V\times V}
   i mer abstrakt betydning.


== Se også ==
Diagonaldekk


== Referanser ==