Tallsystem

Det finnes en rekke tallsystemer som er og har vært i bruk. De mest kjente er romertallene og desimalltallene/titallsystemet, som er i bruk i dag. Det finnes også en del tallsystemer som brukes i sammenheng med datamaskiner som totallsystemet/binærtall, åttetallsystemet, sekstentallsystemet og 64-tallsystemet. Tallsystemet vi bruker i dagliglivet er titallsystemet. Det vil si et tallsystem bygget opp av tierpotenser. For eksempel er tallet 100 = 10². Tallsystemet som brukes i databehandling er det såkalte totallsystemet (binære tall). Tallene i dette systemet bygges opp av toerpotenser. For eksempel er tallet 8 = 2³ Det finnes også andre tallsystemer, som tolvtallsystemet (dusin) og sekstitallsystemet (brukes i beregninger av tid og vinkler).  Symbolene som tallene i et tallsystem skrives med kalles siffer eller talltegn.


== Historiske tallsystemer ==
Det finnes en rekke tallsystemer som ikke lenger er i bruk eller som brukes mest av historiske årsaker.  Et eksempel på dette er det romerske tallsystemet.  Aztekerne og mayaene brukte et 20-tallsystem og sumererne brukte et 60-tallsystem (seksagesimalsystemet).


== Moderne tallsystemer ==


=== Heltall ===
I moderne tallsystemer, som for eksempel

det desimale tallsystemet (titallsystemet),
det binære tallsystemet (totallsystemet),
det oktale tallsystemet (åttetallsystemet)
det duodesimale tallsystemet (tolvtallsystemet) og
det heksadesimale tallsystemet (sekstentallsystemet),kan alle heltall uttrykkes som en sekvens av sifre på formen

  
    
      
        (
        
          a
          
            n
          
        
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        …
        
          a
          
            2
          
        
        
          a
          
            1
          
        
        
          a
          
            0
          
        
        
          )
          
            b
          
        
      
    
    {\displaystyle (a_{n}a_{n-1}\dots a_{2}a_{1}a_{0})_{b}}
  der 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
   er grunntallet og hver 
  
    
      
        
          a
          
            i
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{i}}
   er et siffer.
Hvert siffer er større enn eller lik 0 og mindre enn grunntallet 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  .
Eksempler på dette er (4D2)16, (2322)8,
(10011010010)2 og (1234)10, som alle uttrykker den samme
tallverdien, den vi skriver i desimalnotasjon som 1234.
Det er normalt å utelate grunntallet når det er underforstått hvilket grunntall
som er brukt.  Da uttrykkes tallet som

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        …
        
          a
          
            2
          
        
        
          a
          
            1
          
        
        
          a
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}a_{n-1}\dots a_{2}a_{1}a_{0}}
  som for eksempel 4D2, 2322, 10011010010 eller 1234.
Verdien av et slikt tall, med grunntall 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  , er

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        
          b
          
            n
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        
          b
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            2
          
        
        
          b
          
            2
          
        
        +
        
          a
          
            1
          
        
        b
        +
        
          a
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{2}b^{2}+a_{1}b+a_{0}}
  For eksempel, (4D2)16 i titallsystemet blir

  
    
      
        (
        4
        
          )
          
            16
          
        
        (
        16
        
          )
          
            10
          
          
            2
          
        
        +
        (
        D
        
          )
          
            16
          
        
        (
        16
        
          )
          
            10
          
        
        +
        (
        2
        
          )
          
            16
          
        
      
    
    {\displaystyle (4)_{16}(16)_{10}^{2}+(D)_{16}(16)_{10}+(2)_{16}}
  

  
    
      
        =
        (
        4
        
          )
          
            10
          
        
        
          256
          
            10
          
        
        +
        (
        13
        
          )
          
            10
          
        
        (
        16
        
          )
          
            10
          
        
        +
        (
        2
        
          )
          
            10
          
        
      
    
    {\displaystyle =(4)_{10}256_{10}+(13)_{10}(16)_{10}+(2)_{10}}
  

  
    
      
        =
        (
        1024
        
          )
          
            10
          
        
        +
        (
        208
        
          )
          
            10
          
        
        +
        (
        2
        
          )
          
            10
          
        
      
    
    {\displaystyle =(1024)_{10}+(208)_{10}+(2)_{10}}
  

  
    
      
        =
        (
        1234
        
          )
          
            10
          
        
      
    
    {\displaystyle =(1234)_{10}}
  


=== Desimaltall ===
Som for heltall er det normalt å utelate grunntallet når det er underforstått hvilket grunntall som er brukt. Da uttrykkes tallet som

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        …
        
          a
          
            1
          
        
        
          a
          
            0
          
        
        ,
        
          a
          
            −
            1
          
        
        
          a
          
            −
            2
          
        
        …
      
    
    {\displaystyle a_{n}a_{n-1}\dots a_{1}a_{0},a_{-1}a_{-2}\dots }
  Verdien av et slikt tall, med grunntall 
  
    
      
        b
      
    
    {\displaystyle b}
  , er

  
    
      
        
          a
          
            n
          
        
        
          b
          
            n
          
        
        +
        
          a
          
            n
            −
            1
          
        
        
          b
          
            n
            −
            1
          
        
        +
        ⋯
        +
        
          a
          
            1
          
        
        b
        +
        
          a
          
            0
          
        
        +
        
          a
          
            −
            1
          
        
        
          b
          
            −
            1
          
        
        +
        
          a
          
            −
            2
          
        
        
          b
          
            −
            2
          
        
        +
        ⋯
      
    
    {\displaystyle a_{n}b^{n}+a_{n-1}b^{n-1}+\cdots +a_{1}b+a_{0}+a_{-1}b^{-1}+a_{-2}b^{-2}+\cdots }
  


== Omgjøring av tall i ett tallsystem til det tilsvarende tallet i titallsystemet ==
For å gjøre om et tall i f.eks. et totallssystem til det tilsvarende tallet i et titallssystem må tallet multipliseres med en toerpotens. Størrelsen på potensen bestemmes av verdien av sifferet i tallet (altså tierplassen, hundreplassem osv). Tallet 1011 (i et totallssystem) vil da bli 1*2³ + 0*2² + 1*2 + 1*2° = 11 i et titallssytem. Det samme gjør du med et utgangspunkt i f.eks. et tolvtallsystem, bare med potenser av tallet 12 istedenfor toerpotenser.


== Omgjøring av tall i titallsystemet til det tilsvarende tallet i et annet tallsystem ==
For å gjøre om et tall i titallsystemet til det tilsvarende tallet i et annet tallsystem, må tallet deles med den gjeldende potensen helt til det når 0, og alle rester må taes i betraktning. For eksempel vil tallet 83 (i titallsystemet) regnes om på denne måten, for å gjøre det om til totallsystemet:

83:2 blir 41, med rest 1,
41:2 blir 20, med rest 1,
20:2 blir 10, med rest 0,
10:2 blir  5, med rest 0,
 5:2 blir  2, med rest 1,
 2:2 blir  1, med rest 0,
 1:2 blir  0, med rest 1.

For å finne hva tallet 83 (i titallsystemet) blir i totallsystemet, begynner vi med restene nedenifra. Tallet blir dermed 1010011 i totallsystemet. Hvis et tall skal gjøres om til det tilsvarende tallet i f.eks femtallsystemet, må man dele tallet på 5:

83:5 blir 16, med rest 3,
16:5 blir  3, med rest 1,
 3:5 blir  0, med rest 3.

Altså blir dette 313 i femtallsystemet.


== Se også ==
Tall