Kvadratrot

I matematikken er kvadratroten til et tall 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   det tallet som multiplisert med seg selv gir 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   som resultat. Kvadratroten til 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   skrives 
  
    
      
        
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {a}}}
  . For eksempel er 
  
    
      
        
          
            9
          
        
        =
        3
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {9}}=3}
  , siden 
  
    
      
        3
        ×
        3
        =
        9
      
    
    {\displaystyle 3\times 3=9}
  .
Det finnes to tall 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   som tilfredsstiller ligningen 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        a
      
    
    {\displaystyle x^{2}=a}
   (unntatt hvis 
  
    
      
        a
        =
        0
      
    
    {\displaystyle a=0}
  , som har den eneste løsningen 
  
    
      
        x
        =
        0
      
    
    {\displaystyle x=0}
  ), og begge disse tallene betegnes som kvadratrøttene til 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
  . Hvis 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   er et positivt reelt tall, er kvadratrøttene ett positivt og ett negativt tall med samme absoluttverdi. For eksempel er kvadratrøttene til 
  
    
      
        9
      
    
    {\displaystyle 9}
   lik 
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
   og 
  
    
      
        −
        3
      
    
    {\displaystyle -3}
  . Symbolet 
  
    
      
        
          
            9
          
        
        =
        3
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {9}}=3}
   refererer likevel alltid til den positive kvadratroten. Hvis 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   er et negativt tall, er begge kvadratrøttene imaginære, og hvis 
  
    
      
        a
      
    
    {\displaystyle a}
   er kompleks, er begge kvadratrøttene også komplekse.
En annen måte å skrive kvadratroten av 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   på, er å opphøye i en halv, altså: 
  
    
      
        
          x
          
            
              1
              2
            
          
        
        =
        
          
            x
          
        
      
    
    {\displaystyle x^{1 \over 2}={\sqrt {x}}}
   eller mer generelt: 
  
    
      
        
          
            x
            
              n
            
          
        
        =
        
          x
          
            
              1
              n
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}=x^{1 \over n}}
  .
Symbolet 
  
    
      
        
          
            
              
              
                 
              
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {^{\ }}}}
   ble først benyttet på 1500-tallet.


== Noen regneregler ==
Følgende egenskaper for kvadratrøtter gjelder for alle positive, reelle tall 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   og 
  
    
      
        y
      
    
    {\displaystyle y}
  , og de kan utledes fra potensreglene:

  
    
      
        
          
            x
            y
          
        
        =
        
          
            x
          
        
        
          
            y
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}
  

  
    
      
        
          
            
              x
              y
            
          
        
        =
        
          
            
              x
            
            
              y
            
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {\frac {x}{y}}}={\frac {\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}}
  

  
    
      
        
          
            
              x
              
                2
              
            
          
        
        =
        
          |
          x
          |
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|}
   for alle reelle tall 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   (se absoluttverdi)

  
    
      
        
          
            x
          
        
        =
        
          x
          
            
              1
              2
            
          
        
        =
        
          x
          
            0
            
              ,
            
            5
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{\frac {1}{2}}=x^{0{,}5}}
  


=== Metode for å regne ut kvadratrot uten kalkulator ===
Her beskrives en nesten 4000 år gammel metode/oppskrift fra ca 1800 f.Kr. fra Babylonia. Inderne hadde også tidlige metoder for dette.
La 
  
    
      
        x
      
    
    {\displaystyle x}
   være 
  
    
      
        
          
            a
          
        
      
    
    {\displaystyle {\sqrt {a}}}
  .
Først gjetter man seg frem til et tall 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{0}}
  , deretter setter man det inn i en formel:

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ⋅
        
          (
          
            
              x
              
                0
              
            
            +
            
              
                a
                
                  x
                  
                    0
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\cdot \left(x_{0}+{\frac {a}{x_{0}}}\right)}
  Deretter går man videre med samme metode, denne gangen med 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
  :

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ⋅
        
          (
          
            
              x
              
                1
              
            
            +
            
              
                a
                
                  x
                  
                    1
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}\cdot \left(x_{1}+{\frac {a}{x_{1}}}\right)}
  

  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ⋅
        
          (
          
            
              x
              
                2
              
            
            +
            
              
                a
                
                  x
                  
                    2
                  
                
              
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle x_{3}={\frac {1}{2}}\cdot \left(x_{2}+{\frac {a}{x_{2}}}\right)}
   osv.Grunnen til at man fortsetter med 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
  , 
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{3}}
  , osv., er at jo lengre man kommer, desto mer nøyaktig blir svaret.
Eksempel:
Vi skal finne kvadratroten av 
  
    
      
        7
      
    
    {\displaystyle 7}
  . Vi vet at 
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
   er roten av 
  
    
      
        4
      
    
    {\displaystyle 4}
  , og 
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
   er roten av 
  
    
      
        9
      
    
    {\displaystyle 9}
  . Derfor må roten av 
  
    
      
        7
      
    
    {\displaystyle 7}
   ligge mellom 
  
    
      
        2
      
    
    {\displaystyle 2}
   og 
  
    
      
        3
      
    
    {\displaystyle 3}
  , vi velger derfor 
  
    
      
        
          x
          
            0
          
        
        =
        2
        
          ,
        
        5
      
    
    {\displaystyle x_{0}=2{,}5}
  .

  
    
      
        
          x
          
            1
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ⋅
        
          (
          
            2
            
              ,
            
            5
            +
            
              
                7
                
                  2
                  
                    ,
                  
                  5
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ⋅
        (
        2
        
          ,
        
        5
        +
        2
        
          ,
        
        8
        )
        =
        2
        
          ,
        
        65
      
    
    {\displaystyle x_{1}={\frac {1}{2}}\cdot \left(2{,}5+{\frac {7}{2{,}5}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot (2{,}5+2{,}8)=2{,}65}
  

  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ⋅
        
          (
          
            2
            
              ,
            
            65
            +
            
              
                7
                
                  2
                  
                    ,
                  
                  65
                
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ⋅
        (
        2
        
          ,
        
        65
        +
        2,642
        )
        =
        2,646
      
    
    {\displaystyle x_{2}={\frac {1}{2}}\cdot \left(2{,}65+{\frac {7}{2{,}65}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot (2{,}65+2{,}642)=2{,}646}
  

  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ⋅
        
          (
          
            2,646
            +
            
              
                7
                2,646
              
            
          
          )
        
        =
        
          
            1
            2
          
        
        ⋅
        (
        2,646
        +
        2,646
        )
        =
        2,646
      
    
    {\displaystyle x_{3}={\frac {1}{2}}\cdot \left(2{,}646+{\frac {7}{2{,}646}}\right)={\frac {1}{2}}\cdot (2{,}646+2{,}646)=2{,}646}
  Ved å bruke tre desimaler, ser vi at den tredje desimalen ikke forandrer seg fra 
  
    
      
        
          x
          
            2
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{2}}
   til 
  
    
      
        
          x
          
            3
          
        
      
    
    {\displaystyle x_{3}}
  , noe som betyr at vi har funnet svaret med tre desimaler. Regner man ut kvadratroten av 
  
    
      
        7
      
    
    {\displaystyle 7}
   på en kalkulator, får man svaret 
  
    
      
        2
        ,
        645
        
           
        
        751
        
           
        
        311...
      
    
    {\displaystyle 2,645{\ }751{\ }311...}
  . Vi ser derfor at metoden stemmer ganske bra.
Denne metoden er en avart av den mye nyere og mer generelle Newtons metode som også kan brukes på andre utregninger. De fleste moderne CPUer har kvadratrotutregning og mange andre flyttallsoperasjoner innbygget i hardware slik at det kan kjøres flere titalls eller hundretalls millioner av dem pr. sekund.


=== Kvadratroten av de 30 første heltallene ===


== Se også ==
Kvadratroten av 2
Kubikkrot
N-te-rot