Approximating residual sets by strongly residual sets

Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a closed topological manifold, <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> residual in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N"> <mml:semantics> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> any neighborhood of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. The fulfillment by <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of a certain local separation property in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> implies that there exists a topological spine <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R prime"> <mml:semantics> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R’</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper M"> <mml:semantics> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">M</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> such that <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper N superset-of upper R prime superset-of upper R"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>N</mml:mi> <mml:mo>⊃<!-- ⊃ --></mml:mo> <mml:msup> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>′</mml:mo> </mml:msup> <mml:mo>⊃<!-- ⊃ --></mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">N \supset R’ \supset R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. (Topological spine = strongly residual set.) This local separation property is satisfied whenever <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">R</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> is an <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper A upper N upper R"> <mml:semantics> <mml:mi>ANR</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\operatorname {ANR}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>, or when <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="dimension upper R less-than-over-equals dimension upper M minus 2"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>dim</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mi>R</mml:mi> <mml:mo>≦<!-- ≦ --></mml:mo> <mml:mi>dim</mml:mi> <mml:mo>⁡<!-- ⁡ --></mml:mo> <mml:mi>M</mml:mi> <mml:mo>−<!-- − --></mml:mo> <mml:mn>2</mml:mn> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">\dim R \leqq \dim M - 2</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Topic: Advanced Numerical Analysis Techniques
Subfield: Computational Mechanics
Field: Engineering
Domain: Physical Sciences