A remark on 𝐶_{𝜎} spaces

We give a simple new proof of the following result, conjectured by Effros and proved by Fakhoury: Let <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E"> <mml:semantics> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> be a <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper C Subscript sigma"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msub> <mml:mi>C</mml:mi> <mml:mi>σ<!-- σ --></mml:mi> </mml:msub> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{C_\sigma }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> space and <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Z"> <mml:semantics> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Z</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> the set of extreme points of the unit ball of <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E Superscript asterisk"> <mml:semantics> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">{E^ \ast }</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>. Then <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper Z union StartSet 0 EndSet equals left-brace p element-of upper E Superscript asterisk Baseline colon mathematical left-angle f g h comma p mathematical right-angle equals mathematical left-angle f comma p mathematical right-angle mathematical left-angle g comma p mathematical right-angle mathematical left-angle h comma p mathematical right-angle"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>Z</mml:mi> <mml:mo>∪<!-- ∪ --></mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mn>0</mml:mn> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mo fence="false" stretchy="false">{</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> <mml:mo>∈<!-- ∈ --></mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:msup> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo>∗<!-- ∗ --></mml:mo> </mml:msup> </mml:mrow> <mml:mo>:</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mo>=</mml:mo> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> <mml:mrow> <mml:mo>⟨</mml:mo> <mml:mrow class="MJX-TeXAtom-ORD"> <mml:mi>h</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>p</mml:mi> </mml:mrow> <mml:mo>⟩</mml:mo> </mml:mrow> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">Z \cup \{ 0\} = \{ p \in {E^ \ast }:\left \langle {fgh,p} \right \rangle = \left \langle {f,p} \right \rangle \left \langle {g,p} \right \rangle \left \langle {h,p} \right \rangle</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> for all <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="f comma g comma h"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>f</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>g</mml:mi> <mml:mo>,</mml:mo> <mml:mi>h</mml:mi> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">f,g,h</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula> in <inline-formula content-type="math/mathml"> <mml:math xmlns:mml="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" alttext="upper E right-brace"> <mml:semantics> <mml:mrow> <mml:mi>E</mml:mi> <mml:mo fence="false" stretchy="false">}</mml:mo> </mml:mrow> <mml:annotation encoding="application/x-tex">E\}</mml:annotation> </mml:semantics> </mml:math> </inline-formula>.

Topic: Advanced Topology and Set Theory
Subfield: Geometry and Topology
Field: Mathematics
Domain: Physical Sciences