Conception et analyse d’estimateurs d’état résilients pour les systèmes linéaires en temps discret

Field: Computer Science (Physical Sciences)

Du fait de la place des représentations d'état dans les méthodes liées au contrôle des systèmes, il est important de connaître à tout instant l'état d’un système. Cependant, cet état n'est pas toujours mesurable directement par le biais de capteurs. Le problème de l'estimation d'état consiste à reconstruire l'état du système à partir d'un modèle du système et de données mesurables dans le système, et ce sans connaître la valeur exacte des perturbations pouvant exister dans le système. Le but de cette thèse est de développer et d'analyser des estimateurs pouvant reconstruire l'état d'un système malgré la présence de bruits impulsifs. Les bruits impulsifs sont des perturbations dont la caractéristique principale est d'être égales à zéro la plupart du temps, mais avec valeurs non nulles potentiellement arbitrairement grandes. Pour parvenir à ce but, nous étudierons la propriété de résilience des estimateurs, c'est-à-dire la capacité à produire une erreur d'estimation insensible à la présence d'une classe de perturbations donnée. Nous aborderons aussi la résilience approchée d'un estimateur, qui caractérise le cas où une classe de perturbations, bien qu’à valeurs potentiellement non bornées, a un impact borné sur les performances de l'estimateur. Les estimateurs d’états seront considérés dans le cadre de l'estimation optimale. Ainsi, un estimateur est défini comme l'ensemble des arguments minimisants d'une fonction coût. Cette fonction coût sert à discriminer toutes les trajectoires que l'état du système peut emprunter sur un horizon de temps donné. L'estimateur retourne ensuite les meilleures trajectoires au regard de cette fonction coût. Une première question abordée est celle du choix de la fonction coût. Un état de l'art nous a permis d’isoler deux types d'estimateurs optimaux intéressants. D'une part, les estimateurs dérivés des méthodes d'acquisition compressée, dont les fonctions coûts mettent en œuvre des normes. D'autre part, les estimateurs issus du cadre du critère de correntropie maximale (MCC), définis par des fonctions coûts qui saturent via la présence de termes exponentiels avec un argument négatif. Basées sur ces deux types d’estimateurs, nous définissons alors deux classes d’estimateurs optimaux, pour lesquelles les fonctions coûts des estimateurs qui les composent sont définies par un ensemble de propriétés et non par une expression algébrique précise. L'analyse de la résilience stricte ou approchée de ces estimateurs est ensuite effectuée. Les principaux résultats théoriques obtenus dans cette thèse sont des bornes sur la norme de l'erreur d'estimation. L'existence de ces bornes est garantie par des conditions nécessaires portant sur l'observabilité des systèmes considérés, les propriétés de la fonction coût de l'estimateur, ainsi que sur le nombre d'occurrences du bruit impulsif. Ces bornes ont un intérêt double : elles ne dépendent pas des valeurs extrêmes prises par le bruit impulsif, et s'expriment explicitement en fonction des paramètres du système et de l'estimateur. Ce dernier point permet d'analyser l'impact de ces paramètres sur la qualité de l'estimation. Pour finir, l'implémentation des estimateurs d'état définis dans cette thèse est traitée. Certains d'entre eux peuvent être implémentés directement via des algorithmes d'optimisation convexe du fait que leur fonction coût associée est convexe. Nous avons également développé des algorithmes implémentant une version approchée de certains estimateurs définis par des fonctions coûts non convexes. Enfin, des algorithmes récursifs, semblables à des filtres de Kalman, ont été proposés via le cadre du Forward Dynamic Programming. Les performances de l'ensemble de ces algorithmes ont par ailleurs été étudiées, notamment par le biais de quatre cas d'application. Ces cas, tirés de problématiques d'ingénierie réelles, montrent la polyvalence du cadre d'estimation développé.