On the sobolev inequality for riemannian foliations Abstract: Das Ziel dieser Dissertation besteht darin die Sobolev Ungleichung f¨ur die W1 2 Sobolev Grundfunktionen einer riemannschen Bl¨atterung zu untersuchen als eine Verallgemeinerung der klassichen Sobolev Ungleichungen f¨ur die euklidischen R¨aume und die riemannschen Mannigfaltigkeiten. Insbesondere werden wir versuchen eine optimale Sobolev Ungleichung f¨ur die riemannschen Bl¨atterungen mit spezialen Annahmen zu beweisen n¨amlich wenn es nur endlich viele minimale abgeschlossene Bl¨atter einer riemannschen Bl¨atterung gibt und die Kodimension der Bl¨atterung nicht kleiner als 5 ist.<br>Aufgrund des Lehrsatzes von P.Molino ¨uber die Struktur der Bl¨atter einer riemannschen Bl¨atterung k¨onnen wir die Untersuchung dieses Problems in die Untersuchung einer Ungleichung hinsichtlich der SO(q) invarianten Funktionen auf einem Grundmannigfaltigkeit BF mit einer SO(q) Gruppenaktion verwandeln mit diesem Trick k¨onnen wir viel einfacher diskutieren als direkt auf der originalen Mannigfaltigkeit zu untersuchen. Auf dieser Mannigfaltigkeit brauchen wir nur diese gezielte Ungleichung in verschiedenen tubularen Umgebungen der Bahnen unter der SO(q) Gruppenaktion zu beweisen und der erste Schritt n¨amlich der Beweis der schwachen Ungleichungen kann auch sehr leicht realisiert werden. Aber der Fall der optimalen Ungleichung ist total kompliziert man muss einen Widerspruchsbeweis verwenden und ein Blow up Argument durchsetzen wie im Fall der riemannschen Mannigfaltigkeiten.<br>In dieser Dissertation werden zuerst im ersten Kapitel die klassichen Ergebnisse ¨uber die Sobolev Ungleichung in den F¨allen der euklidischen R¨aume und der riemannschen Mannigfaltigkeiten vorgestellt dann werden wir auch in diesem Kapitel den Rahmen der Verallgemeinerung festlegen und unsere zwei Hauptergebnise vorstellen. Im zweiten Kapitel werden die grundlegenden Kenntnisse ¨uber Bl¨atterungen und riemannsche Bl¨atterungen vorgestellt die schon ganz ausf¨uhrlich in den B¨uchern [19] [24] vorgestellt worden sind. Außerdem werden auch einige sehr wichtige rechnerische Ergebnisse im Ende des zweiten Kapitels dargestellt die der weiteren Anwendung in den ¨ubrigen Kapiteln zugrunde liegen. Im dritten Kapitel werden wir unsere Diskussion im zweiten Kapitel anwenden und die schwachen Ungleichungen beweisen im vierten Kapitel werden wir die Blowup Analysis durchsetzen und endlich unsere gezielte optimale Ungleichung beweisen