Advanced tensor based signal processing techniques for wireless communication systems and biomedical signal processing Zahlreiche messbare Signale in verschiedenen Bereichen der digitalen Signalverarbeitung z.B. in der drahtlosen Kommunikation im Mobilfunk biomedizinischen Anwendungen der Bild oder akustischen Signalverarbeitung und dem maschinellen Lernen sind mehrdimensional. Tensoren erhalten die mehrdimensionale Struktur und stellen eine natürliche Darstellung dieser Signale Daten dar. Darüber hinaus bieten Tensoren oft eine verbesserte Trennbarkeit von enthaltenen Signalkomponenten. Daher profitieren wir von der Verwendung der Tensor Algebra in den oben genannten Anwendungen und vielen mehr. In dieser Arbeit stellen wir die Vorteile der Nutzung der Tensor Algebra in zwei Bereichen der Signalverarbeitung vor: drahtlose MIMO (Multiple Input Multiple Output) Kommunikationssysteme und biomedizinische Signalverarbeitung. Darüber hinaus tragen wir zu theoretischen Aspekten der Tensor Algebra bei indem wir neue Eigenschaften und Berechnungsmethoden für die Tensor Zerlegung ableiten. Oftmals verfügen wir lediglich über eine elementweise oder ebenenweise Beschreibung des Signalmodells welche nicht die explizite Tensorstruktur zeigt. Daher ist die Ableitung aller Tensor Unfoldings nicht offensichtlich wodurch die multidimensionale Struktur dieser Modelle nicht trivial nutzbar ist. Wir schlagen eine alternative Darstellung der elementweisen Multiplikation oder der ebenenweisen Multiplikation auf der Grundlage des generalisierten Tensor Kontraktionsoperators vor. Weiterhin nutzen wir diese neuartige Darstellung und deren Eigenschaften zur Ableitung der letztendlichen Tensor Modelle. Es existieren eine Vielzahl von Tensor Zerlegungen die verschiedene Signalmodelle beschreiben wie die HOSVD (Higher Order Singular Value Decomposition) CP PARAFAC (Canonical Polyadic PARallel FACtors) Zerlegung die BTD (Block Term Decomposition) die PARATUCK2 (PARAfac und TUCker2) und die PARAFAC2 Zerlegung (PARAllel FACtors2). Dabei ist die CP Zerlegung am weitesten verbreitet und wird findet in zahlreichen Gebieten Anwendung. Daher ist die Entwicklung von Algorithmen zur effizienten Berechnung der CP Zerlegung von besonderer Bedeutung. Das SECSI (Semi Algebraic Framework for approximate CP decomposition via Simultaneaous matrix diagonalization) Framework ist ein effizientes und robustes Werkzeug zur Berechnung der approximierten Low Rank CP Zerlegung durch simultane Matrixdiagonalisierung. In dieser Arbeit stellen wir fünf Erweiterungen des SECSI Frameworks vor welche die Rechenkomplexität des ursprünglichen Frameworks reduzieren bzw. Einschränkungen für die Faktormatrizen einführen. Darüber hinaus werden die PARAFAC2 und die PARATUCK2 Zerlegung in der Regel mit einer ebenenweisen Notation beschrieben die sich in Form der allgemeinen Tensor Kontraktion wie sie in dieser Arbeit vorgeschlagen wird ausdrücken lässt. Wir nutzen diese neuartige Darstellung um explizite Tensormodelle für diese beiden Zerlegungen abzuleiten. Darüber hinaus verwenden wir das PARAFAC2 Modell um einen ALS Algorithmus (Alternating Least Squares) für die Berechnung der PARAFAC2 Zerlegungen abzuleiten. Weiterhin nutzen wir die neuartigen Kontraktionseigenschaften für elementweise und ebenenweise Multiplikationen um MIMO Multi Carrier Mobilfunksysteme zu modellieren. Wir zeigen dass dieses sehr allgemeine Modell verwendet werden kann um das Tensor Modell des empfangenen Signals für MIMO OFDM (Multiple Input Multiple Output Orthogonal Frequency Division Multiplexing) Khatri Rao codierte MIMO OFDM und zufällig codierte MIMO OFDM Systeme abzuleiten. Wir schlagen die Übertragungstechniken der Khatri Rao Kodierung und zufällige Kodierung vor um eine zusätzliche Tensor Struktur des Sendesignal Tensors einzuführen welcher gewöhnlich keine bestimmte Struktur aufweist. Darüber hinaus zeigen wir dass dieses Modell auf andere Multi Carrier Techniken wie GFDM (Generalized Frequency Division Multiplexing) erweitert werden kann. Unter Verwendung dieser Modelle auf der Empfängerseite entwerfen wir verschiedene Typen von Empfängern für diese Systeme die die traditionellen matrixbasierten Lösungen in Bezug auf die Symbolfehlerrate übertreffen. Im letzten Teil dieser Arbeit zeigen wir die Vorteile der Verwendung von Tensor Algebra in der biomedizinischen Signalverarbeitung durch die gemeinsame Zerlegung von EEG (ElectroEncephaloGraphy) und MEG (MagnetoEncephaloGraphy) Signalen. Diese werden in der Regel gleichzeitig erfasst wobei sie gemeinsame Aspekte derselben Gehirnaktivität beschreiben. Daher können EEG und MEG Signale mit gekoppelten Tensor Zerlegungen wie der gekoppelten CP Zerlegung analysiert werden. Wir nutzen das vorgeschlagene gekoppelte SECSI Framework (eine der vorgeschlagenen Erweiterungen des SECSI Frameworks) für die Berechnung der gekoppelten CP Zerlegung um zunächst den photic driving effect zu validieren und zu analysieren. Darüber hinaus validieren wir die Auswirkungen von Schädeldefekten auf die Messsignale von EEG und MEG durch eine gemeinsame EEG MEG Zerlegung mit dem gekoppelten SECSI Framework. Beide Anwendungen zeigen dass wir von gekoppelten Tensor Zerlegungen profitieren wobei die Methoden des gekoppelten SECSI Frameworks erfolgreich zur Analyse biomedizinischer Daten genutzt werden können.