Grundwissen Mathematikstudium : Analysis und Lineare Algebra mit Querverbindungen Vorwort 1 Mathematik − eine Wissenschaft für sich 2 Logik Mengen Abbildungen − die Sprache der Mathematik 3 Algebraische Strukturen − ein Blick hinter die Rechenregeln 4 Zahlbereiche − Basis der gesamten Mathematik 5 Lineare Gleichungssysteme − ein Tor zur linearen Algebra 6 Vektorräume − von Basen und Dimensionen 7 Analytische Geometrie − Rechnen statt Zeichnen 8 Folgen − der Weg ins Unendliche 9 Funktionen und Stetigkeit − ε trifft auf δ 10 Reihen − Summieren bis zum Letzten 11 Potenzreihen − Alleskönner unter den Funktionen 12 Lineare Abbildungen und Matrizen − Brücken zwischen Vektorräumen 13 Determinanten − Kenngrößen von Matrizen 14 Normalformen − Diagonalisieren und Triangulieren 15 Differenzialrechnung − die Linearisierung von Funktionen 16 Integrale − von lokal zu global 17 Euklidische und unitäre Vektorräume − orthogonales Diagonalisieren 18 Quadriken − vielseitig nutzbare Punktmengen 19 Metrische Räume − Zusammenspiel von Analysis und linearer Algebra 20 Differenzialgleichungen − Funktionen sind gesucht 21 Funktionen mehrerer Variablen − Differenzieren im Raum 22 Gebietsintegrale − das Ausmessen von Mengen 23 Vektoranalysis − im Zentrum steht der Gaußsche Satz 24 Optimierung − aber mit Nebenbedingungen 25 Elementare Zahlentheorie − Teiler und Vielfache 26 Elemente der diskreten Mathematik − die Kunst des Zählens Hinweise zu den Aufgaben Lösungen zu den Aufgaben Symbolglossar deutsch englisch Index. Dieses vierfarbige Lehrbuch wendet sich an Studierende der Mathematik in Bachelor und Lehramts Studiengängen. Es bietet in einem Band ein lebendiges Bild der mathematischen Inhalte die üblicherweise im ersten Studienjahr behandelt werden (und etliches mehr). Mathematik Studierende finden wichtige Begriffe Sätze und Beweise ausführlich und mit vielen Beispielen erklärt und werden an grundlegende Konzepte und Methoden herangeführt. Im Mittelpunkt stehen das Verständnis der mathematischen Zusammenhänge und des Aufbaus der Theorie sowie die Strukturen und Ideen wichtiger Sätze und Beweise. Es wird nicht nur ein in sich geschlossenes Theoriengebäude dargestellt sondern auch verdeutlicht wie es entsteht und wozu die Inhalte später benötigt werden. Herausragende Merkmale sind: durchgängig vierfarbiges Layout mit mehr als 600 Abbildungen prägnant formulierte Kerngedanken bilden die Abschnittsüberschriften Selbsttests in kurzen Abständen ermöglichen Lernkontrollen während des Lesens farbige Merkkästen heben das Wichtigste hervor „Unter der Lupe“ Boxen zoomen in Beweise hinein motivieren und erklären Details „Hintergrund und Ausblick“ Boxen stellen Zusammenhänge zu anderen Gebieten und weiterführenden Themen her Zusammenfassungen zu jedem Kapitel sowie Übersichtsboxen mehr als 400 Verständnisfragen Rechenaufgaben und Aufgaben zu Beweisen deutsch englisches Symbol und Begriffsglossar Der inhaltliche Schwerpunkt liegt auf den Themen der Vorlesungen Analysis 1 und 2 sowie Linearer Algebra 1 und 2. Behandelt werden darüber hinaus Inhalte und Methodenkompetenzen die vielerorts im ersten Studienjahr der Mathematikausbildung vermittelt werden. Hinweise Lösungswege und Ergebnisse zu allen Aufgaben des Buchs stehen als PDF Dateien auf der Website des Verlags zur Verfügung. Das Buch wird allen Studierenden der Mathematik vom Beginn des Studiums bis in höhere Semester hinein ein verlässlicher Begleiter sein. Für die 2. Auflage ist es vollständig durchgesehen an zahlreichen Stellen didaktisch weiter verbessert und um einige Themen ergänzt worden. Stimme zur ersten Auflage: „Besonders gut gefallen mir die Übersichtlichkeit und die Verständlichkeit besonders aber die Sichtbarmachung der Verbindung von Analysis und linearer Algebra die in den Erstsemestervorlesungen oft zu kurz kommt.” Sylvia Prinz Institut für Mathematikdidaktik Universität zu Köln Die Autoren: PD Dr. Tilo Arens und PD Dr. Frank Hettlich sind beide als Dozenten an der Fakultät für Mathematik des Karlsruher Instituts für Technologie (KIT) tätig. Dr. Rolf Busam ist wissenschaftlicher Mitarbeiter am Mathematischen Institut der Universität Heidelberg hält dort seit langen Jahren die Analysis Vorlesungen und ist mitverantwortlich für die Lehrerausbildung. Dr. Christian Karpfinger ist Professor an der Technischen Universität München; 2004 erhielt er den Landeslehrpreis des Freistaates Bayern. Dr. Dr. h.c. Hellmuth Stachel ist emeritierter Professor für Geometrie an der Technischen Universität Wien und kann auf eine mehr als 40 jährige Lehrtätigkeit verweisen.