Vector valued Bohnenblust Hille inequalities The Bohr Bohnenblust Hille theorem states that the maximal width of the strip on which a Dirichlet series converges uniformly but not absolutely equals 1 2. In fact Bohr in 1913 proved that S less or equal 1 2 asked for equality. In course of his investigation he discovered several deep connections between Dirichlet series and power series in infinitely many variables and as a sort of by product he found his famous power series theorem. Bohnenblust and Hille in 1931 invented their (2m) (m+1) inequality in order to answer Bohrs absolute convergence problem in positive. We invent the new notion of coordinatewise multiple summing operators in Banach spaces and use it to give vector valued extensions of the multilinear and the polynomial Bohnenblust Hille inequality. These inequalities are used to study Bohrs power series theorem for holomorphic functions with values in Banach spaces and to give estimates for finite vector valued Dirichlet polynomials. <engl.> Das Bohr Bohnenblust Hille Theorem besagt dass die größtmögliche Breite des Streifens auf dem eine Dirichletreihe unbedingt aber nicht absolut konvergiert 1 2 beträgt. Bohr selbst zeigte 1913 dass S kleiner gleich 1 2 ist und vermutete die Gleichheit. Im Zuge seiner Untersuchungen legte er eine enge Verbindung zwischen Dirichletreihen und Potenzeihen in unendlich vielen Variablen dar und es entstand als eine Art Nebenprodukt sein berühmter Potenzreihensatz. Schließlich entwickelten Bohnenblust und Hille 1931 ihre (2m) (m+1) Ungleichung um damit Bohrs absolutes Konvergenzproblem zum Positiven zu beantworten. Wir führen den neuen Begriff der koordinatenweise multisummierenden Operatoren auf Banachräumen ein und benutzen diesen um vektorwertige Versionen der multilinearen und der polynomiellen Bohnenblust Hille Ungleichung zu beweisen. Mit Hilfe dieser Ungleichungen untersuchen wir Bohrs Potenzreihensatz für holomorphe Funktionen in Banachräumen und geben Abschätzungen für endliche Dirichletpolynome in Banachräumen. <dt.>