Subtrees search cycle spectra and edge connectivity structures Im ersten Teil dieser Dissertation untersuchen wir Teilbäume eines Baumes $T$ mit vorgegebenen Knotengewichten $c: V(T) \\rightarrow \\mathbb{N}$. Wir führen eine Overload Discharge Methode ein und zeigen dass es immer einen Teilbaum $S$ gibt dessen Gewicht $c(S) := \\sum_ {v \\in V (S)} c(v)$ nahe $\\frac{c(T)}{2}$ liegt. Je kleiner das Gewicht $c(T)$ von $T$ ist desto geringer ist dabei die Differenz zwischen $c(S)$ und $\\frac{c(T)}{2}$ die wir sicherstellen können. Wir zeigen auch dass ein solcher Teilbaum effizient nämlich in Linearzeit berechnet werden kann. Unter Ausnutzung dieser Methode beweisen wir dass jeder planare hamiltonsche Graph $G = (V(G) E(G))$ mit Mindestgrad $\\delta \\geq 4$ einen Kreis der Länge $k$ für jedes $k \\in \\{\\lfloor \\frac{|V(G)|}{2} \\rfloor \\dots \\lceil \\frac{|V(G)|}{2} \\rceil + 3\\}$ mit $3 \\leq k \\leq |V (G)|$ enthält. Dieser kann in Linearzeit berechnet werden falls ein Hamilton Kreis des Graphen bekannt ist. Im zweiten Teil der Dissertation stellen wir drei Schnittbäume eines Graphen vor von denen jeder Einblick in die Kantenzusammenhangsstruktur des Graphen gibt. Allen drei Schnittbäumen ist gemeinsam dass sie eine bestimmte binäre symmetrische irreflexive Relation auf der Knotenmenge des Graphen überdecken; die Bäume können als Verallgemeinerungen von Gomory Hu Bäumen aufgefasst werden. Die Schnittbäume implizieren folgende Aussagen: (i) Jeder schlichte Graph $G$ der $\\delta \\geq 5$ oder Kantenzusammenhang $\\lambda \\geq 4$ oder Knotenzusammenhang $\\kappa \\geq 3$ erfüllt enthält mindestens $\\frac{1}{24} \\delta |V(G)|$ zusammengehörige Paare wobei ein Paar von Knoten $\\{v w \\}$ zusammengehörig ist falls $\\lambda_G (v w) = \\min \\{d_G(v) d_G(w)\\}$ ist. (ii) Jeder schlichte Graph $G$ mit $\\delta > 0$ hat $O(|V (G)| \\delta)$ $\\delta$ kantenzusammenhängende Komponenten und es verbleiben lediglich $O(|V (G)|)$ Kanten wenn diese Komponenten kontrahiert werden. (iii) Für jeden schlichten Graphen $G$ mit $\\delta > 0$ sind Knotenmengen derart effizient berechenbar dass alle nicht trivialen minimalen Schnitte erhalten bleiben und $O(|V(G)| \\delta)$ Knoten und $O(|V(G)|)$ Kanten verbleiben wenn diese Knotenmengen kontrahiert werden.