Fredholm Theory with Applications to Random Operators This thesis is concerned with the Fredholm theory of bounded linear operators acting on Banach space valued sequence spaces. As an application random operators are considered and studied in detail. One of the most important tools in the study of operators on sequence spaces is the concept of limit operators. The correspondence between an operator and its limit operators is studied regarding properties like spectrum pseudospectrum and numerical range. It turns out that similar theorems can be formulated for all these properties respectively. These results prove to be particularly useful in the case of random operators. Special attention is directed to the so called Feinberg Zee random hopping matrix which despite its simple appearance seems to have a very complicated spectrum. With the help of new methods improved upper and lower bounds to the spectrum are obtained. One of these lower bounds is an infinite sequence of Julia sets which emphasizes the complexity of the spectrum of this particular operator.$cen$dAbstract Diese Arbeit befasst sich mit der Fredholmtheorie von beschränkten linearen Operatoren auf banachraumwertigen Folgenräumen. Im Speziellen werden zufällige Operatoren auf ebendiesen Räumen betrachtet. Eines der wichtigsten Hilfsmittel zur Untersuchung von Operatoren auf Folgenräumen ist der Begriff des Grenzoperators. Die Beziehung zwischen einem Operator und seinen Grenzoperatoren wird im Bezug auf Eigenschaften wie Spektrum Pseudospektrum und numerischer Wertebereich untersucht. Es stellt sich heraus dass sich für alle diese Eigenschaften jeweils ähnliche Sätze formulieren lassen. Diese Erkenntnisse erweisen sich als besonders nützlich bei der Untersuchung zufälliger Operatoren. Ein besonderes Augenmerk liegt dabei auf der sogenannten Feinberg Zee Random Hopping Matrix welche trotz ihrer einfachen Gestalt ein sehr komplexes Spektrum zu haben scheint. Mit der Hilfe neuer Methoden können verbesserte obere und untere Schranken an jenes Spektrum angegeben werden. Eine dieser unteren Schranken ist eine unendliche Folge von Julia Mengen. Dies unterstreicht die Komplexität des Spektrums jenes Operators.$cde$dAbstract