Smolyaks algorithm sparse grid approximation and periodic function spaces with dominating mixed smoothness Gegenstand der Arbeit sind periodische Funktionenräume mit dominierend gemischter Glattheit vom Besov Triebel Lizorkin und Sobolev Typ. Ausgehend von der Fourier analytischen Definition werden verschiedene Einbettungen und äquivalente Charakterisierungen bereitgestellt. Dabei spielt insbesondere die Charakterisierung mittels Differenzen eine wichtige Rolle. Im Mittelpunkt der Untersuchungen steht allerdings die Approximation solcher Funktionen durch Abtastoperatoren basierend auf dem Smolyak Algorithmus. Wir erhalten scharfe Abschätzungen für den Fehler gemessen in der Lp Metrik. Daraus gewinnen wir neue obere Schranken für das Problem der optimalen Rekonstruktion solcher Funktionen aus einer endlichen Menge von Funktionswerten.