Höhere Mathematik in Rezepten : Begriffe Sätze und zahlreiche Beispiele in kurzen Lerneinheiten Vorwort 1 Sprechweisen Symbole und Mengen 2 Die natürlichen ganzen und rationalen Zahlen 3 Die reellen Zahlen 4 Maschinenzahlen 5 Polynome 6 Trigonometrische Funktionen 7 Komplexe Zahlen Kartesische Koordinaten 8 Komplexe Zahlen – Polarkoordinaten 9 Lineare Gleichungssysteme 10 Rechnen mit Matrizen 11 LR Zerlegung einer Matrix 12 Die Determinante 13 Vektorräume 14 Erzeugendensysteme und lineare (Un )Abhängigkeit 15 Basen von Vektorräumen 16 Orthogonalität I 17 Orthogonalität II 18 Das lineare Ausgleichsproblem 19 Die QR Zerlegung einer Matrix 20 Folgen 21 Berechnung von Grenzwerten von Folgen 22 Reihen 23 Abbildungen 24 Potenzreihen 25 Grenzwerte und Stetigkeit 26 Differentiation 27 Anwendungen der Differentialrechnung I 28 Anwendungen der Differentialrechnung II 29 Polynom und Splineinterpolation 30 Integration I 31 Integration II 32 Uneigentliche Integrale 33 Separierbare und lineare Differentialgleichungen 1. Ordnung 34 Lineare Differentialgleichungen mit konstanten Koeffizienten 35 Einige besondere Typen von Differentialgleichungen 36 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen I 37 Lineare Abbildungen und Darstellungsmatrizen 38 Basistransformation 39 Diagonalisierung Eigenwerte und Eigenvektoren 40 Numerische Berechnung von Eigenwerten und Eigenvektoren 41 Quadriken 42 Schurzerlegung und Singulärwertzerlegung 43 Die Jordannormalform I 44 Die Jordannormalform II 45 Definitheit und Matrixnormen 46 Funktionen mehrerer Veränderlicher 47 Partielle Differentiation Gradient Hessematrix Jacobimatrix 48 Anwendungen der partiellen Ableitungen 49 Extremwertbestimmung 50 Extremwertbestimmung unter Nebenbedingungen 51 Totale Differentiation Differentialoperatoren 52 Implizite Funktionen 53 Koordinatentransformationen 54 Kurven I 55 Kurven II 56 Kurvenintegrale 57 Gradientenfelder 58 Bereichsintegrale 59 Die Transformationsformel 60 Flächen und Flächenintegrale 61 Integralsätze I 62 Integralsätze II 63 Allgemeines zu Differentialgleichungen 64 Die exakte Differentialgleichung 65 Lineare Differentialgleichungssysteme I 66 Lineare Differentialgleichungssysteme II 67 Lineare Differentialgleichungssysteme II 68 Randwertprobleme 69 Grundbegriffe der Numerik 70 Fixpunktiteration 71 Iterative Verfahren für lineare Gleichungssysteme 72 Optimierung 73 Numerik gewöhnlicher Differentialgleichungen II 74 Fourierreihen Berechnung der Fourierkoeffzienten 75 Fourierreihen Hintergründe Sätze und Anwendung 76 Fouriertransformation I 77 Fouriertransformation II 78 Diskrete Fouriertransformation 79 Die Laplacetransformation 80 Holomorphe Funktionen 81 Komplexe Integration 82 Laurentreihen 83 Der Residuenkalkül 84 Konforme Abbildungen 85 Harmonische Funktionen und das Dirichletsche Randwertproblem 86 Partielle Differentialgleichungen 1. Ordnung 87 Partielle Differentialgleichungen 2. Ordnung – Allgemeines 88 Die Laplace bzw. Poissongleichung 89 Die Wärmeleitungsgleichung 90 Die Wellengleichung 91 Lösen von pDGLen mit Fourier und Laplacetransformation Index. Haben Sie schon einmal ein 3 Gänge Menü anhand eines Rezepts gekocht Das klappt im Allgemeinen ganz gut auch wenn man kein großer Koch ist. Was das mit Mathematik zu tun hat Na ja man kann auch viele mathematische Probleme rezeptartig lösen: Brauchen Sie die Lösung einer Riccatischen Differenzialgleichung oder die Singulärwertzerlegung einer Matrix Schlagen Sie in diesem Buch nach hier finden Sie ein Rezept dazu. Rezepte gibt es zu Problemen aus der Analysis in einer und mehreren Variablen linearen Algebra Vektoranalysis Theorie zu Differenzialgleichungen gewöhnlich und partiell Theorie der Integraltransformationen Funktionentheorie. Wir haben versucht diese Rezepte so gut und auch so verständlich wie möglich in diesem Buch zusammenzufassen. Vielfach wird davon gesprochen dass man Höhere Mathematik verstehen muss um sie anwenden zu können. Wir zeigen in diesem Buch dass das Verständnis auch ganz von selbst durch das Tun kommt: Kein Mensch lernt die Grammatik einer Sprache von vorne bis hinten wenn er eine Sprache lernen will. Man lernt eine Sprache indem man sich ein bisschen über die Grammatik informiert und dann loslegt; man muss sprechen Fehler machen auf Fehler hingewiesen werden Beispielsätze und Rezepte kennen häppchenweise Themen erarbeiten dann klappt es. In der Höheren Mathematik ist es nicht anders. Weitere Besonderheiten dieses Buches sind: Die Einteilung der Höheren Mathematik in ca. 100 etwa gleich lange Kapitel. Jedes Kapitel behandelt etwa den Stoff einer 90 minütigen Vorlesung. Zahlreiche Beispiele. Viele Aufgaben die Lösungen dazu findet man auf der Website zu diesem Buch bzw. in dem dazu gehörigen Arbeitsbuch. Viele Probleme der Höheren Mathematik lassen sich mit dem Computer lösen. Wir geben stets an wie es mit MATLAB® funktioniert. Aufgrund der übersichtlichen Darstellung kann das Buch auch als kommentierte und mit zahlreichen Beispielen unterlegte Formelsammlung benutzt werden. Für die vorliegende 2. Auflage wurde das Buch vollständig durchgesehen und um ein Kapitel zur Lösung partieller Differentialgleichungen mittels Integraltransformationen um einen Abschnitt zur numerischen Lösung der Wellengleichung sowie um etliche zusätzliche Aufgaben ergänzt. PD Dr. Christian Karpfinger lehrt an der Technischen Universität München; 2004 erhielt er den Landeslehrpreis des Freistaates Bayern.