Die Tonleiter und ihre Mathematik : mathematische Theorie musikalischer Intervalle und historischer Skalen Die Tonleiter – Trivialität oder Problem Das vorliegende Buch geht dieser provokanten Frage nach. Dabei wird schnell klar dass das Zusammenfügen von Tönen zu „wohlklingenden“ Tonsystemen eine Herausforderung darstellt deren Komplexität ungeahnt viele vernetzte Probleme beherbergt. Die Fragen Warum hat eine Tonleiter ausgerechnet 12 Töne Und gäbe es auch andere Sind nicht 12 Quintschritte genau so viel wie 7 Oktaven Was ist eigentlich „Konsonanz“ Wann sind Intervalle „rein“ wann „unrein“ Was meinen die Leute mit „Tonartencharakteristik“ mit „Ganz und Halbtönen“ Was bedeutet „alte Stimmung“ – und gibt es eine neue die sich von der alten unterscheidet und worin genau bestünden überhaupt die Unterschiede und viele ähnliche zeigen schnell dass ihre Antworten nicht nur wohlüberlegte Begründungen benötigen sondern dass sie auch miteinander eng verbunden sind. In dieser Betrachtung kommt der „Mathematik“ eine Schlüsselrolle zu. Aus zunächst nur „einfachen Proportionen und Zahlenverbindungen“ erwächst ein regelrechtes Netzwerk in welchem sowohl die Methoden der Tonleiter Generierungen mit ihren Wolfsquintenkreisen und Eulergitter Auswahlverfahren als auch die Modelle der Temperierungssysteme wissenschaftlich fundiert erklärt werden können. In drei Teilen werden eine moderne Intervall Arithmetik und ihre durch Primzahlen gesteuerte Theorie der Teilung der Zerlegung und des Aufbaus musikalischer Intervalle die Architektur Gesetze musikalischer Skalen mit ihren Modellen und Mustern ihren Stufengeometrien und Charakteristiken ihren Semitonia und Kommata sowie der kombinatorischen Vielfalt aller leitereigenen Strukturen die Systematik der historischen Stimmungen und ihrer Temperierungssysteme vorgestellt und durch zahlreiche Beispiele und Geschichten aus der Märchenwelt musikalischer Fabelwesen begleitet. Das musik mathematische Rechnen und verstehende Argumentieren benötigt lediglich die bekannten schulischen Grundlagen welche dann zu einer passenden Algebra und Analysis entwickelt und musikalisch angewendet werden. Prof. Dr. Karlheinz Schüffler ist Mathematiker Organist und Chorleiter. Als Mathematiker lehrt er an der Universität Düsseldorf und vormals an der Hochschule Niederrhein (Krefeld). Als Musiker ist er von Jugend an der Kirchenmusik verpflichtet; dabei sind sowohl die Orgel als auch die mathematische Musiktheorie seine Schwerpunkte geworden. Teil I Mathematische Theorie der Intervalle. Musikalische Intervalle und Töne Die Kommensurabilität musikalischer Intervalle Harmonisch rationale und klassisch antike Intervalle Iterationen und ihre musik mathematischen Gesetze Teil II: Mathematische Theorie der Skalen. Skalen und ihre Modelle Kombinatorische Spiele rund um die Charakteristiken Diatonik und Chromatik der Wolfsquintenkreise Teil III Mathematische Temperierungstheorie. Das pythagoräische Intervallsystem Die Mitteltönigkeit Das natürlich harmonische System und die Enharmonik Die Gleichstufigkeit und ihr spannendes Umfeld Epilog – Postludium Verzeichnisse.