First integrals in stationary and axially symmetric space times and sub riemannian structures (Erste) Integrale haben sowohl in der Physik als auch in der Mathematik große Bedeutung. Sie sind konstant entlang Lösungen der geodätischen oder Hamiltonschen Gleichungen. Killing Tensoren entsprechen Integralen welche homogene Polynome in den Impulsen sind. Die Dissertation untersucht die (Nicht )Existenz von Integralen für stationär axialsymmetrische Vakuum Raumzeiten und sub Riemannsche Strukturen. Es werden zwei neue Algorithmen vorgestellt mit denen die Existenz von Killing Tensoren für stationär axialsymmetrische Vakuum Metriken einfach und effizient untersucht werden kann. Mit Hilfe der Algorithmen wird die Nichtexistenz irreduzibler Killing Tensoren bis zur Valenz 11 für die Darmois Metrik (eine spezielle Zipoy Voorhees Metrik) gezeigt. Für eine nicht statische Tomimatsu Sato Metrik wird die Nichtexistenz bis zum Grad 7 gezeigt. Die Anwendung der Methode für Metriken mit einem reellen Parameter wird an Hand der Zipoy Voorhees Metriken demonstriert. Für beliebige statisch axialsymmetrische Vakuum Metriken (Weyl Metriken) zeigt die Arbeit die Reduzibilität involutiver Killing Tensoren von Valenz 3. Für sub Riemannsche Strukturen auf Distributionen vom Rang 2 in Carnot Gruppen wird der Zusammenhang von Liouville Integrabilität und der Größe der Symmetriealgebren untersucht. Es wird gezeigt dass es sub Riemannsche Strukturen gibt die zwar ein hohes Maß an Symmetrie aber nicht genügend Integrale für Liouville Integrabilität besitzen.