The Willmore flow with prescribed area for a small bubble in a Riemannian manifold Abstract: Die Entwicklung einer eingebetteten Fläche unter dem Willmore Gradientenfluss mit vorgeschriebener Oberfläche wird durch die Wechselwirkung zwischen der Geometrie der sich zu entwickelnden Fläche und der Geometrie des Umgebungsraums beeinflußt. Wir beweisen in einer drei dimensionalen kompakten Riemannschen Mannigfaltigkeit dass der Willmore Fluß mit vorgeschriebener Oberfläche für eine kleine fast runde Sphäre für alle Zeiten existiert und gegen eine kritische Willmore Fläche mit vorgeschriebener Oberfläche subkonvergiert. Haben wir einen nicht degenerierten kritischen Punkt der Skalarkrümmung in der Nähe dieser kritischen Willmore Fläche so konvergiert der Fluß gegen diese kritische Willmore Fläche. <br>Wir können jeder fast runden Sphäre einen eindeutigen Schwerpunkt zuweisen. Wir beweisen dass die Schwerpunktkurve des Willmore Flußes mit vorgeschriebener Oberfläche asymptotisch der Gradientenfluss der Skalarkrümmung der Mannigfaltikeit ist. Damit lässt sich die Langzeitexistenz des Willmore Flußes mit vorgeschriebener Oberfläche beweisen. Falls der Fluß gegen eine kritische Willmore Fläche mit vorgeschriebener Oberfläche subkonvergiert und diese in der Umgebung eines nicht degenerierten kritischen Punktes der Skalarkrümmung liegt so bleibt der Schwerpunkt stets in der Nähe des Gradienflußes der Skalarkrümmung Abstract: The evolution of an embedded surface under the Willmore gradient flow with prescribed area is the result of the interaction between the geometry of the evolving surface and the geometry of the ambient space. The initial condition is an almost round sphere in the following called a bubble. For a compact ambient space we prove that the flow exists for all time and subconverges to a critical Willmore surface with prescribed area. Assuming there is a nondegenerated critical point of the scalar curvature on the manifold near this critical Willmore surface the flow actually converges. In order to show this we split the problem. On the one hand every bubble has a geometric barycenter hence the Willmore Flow has a barycentric curve. We prove that this curve remains near the gradient flow of the scalar curvature of the ambient manifold. On the other hand we observe that under the assumption of a prescribed barycenter curve the solution of the Willmore Flow can be treated as a perturbation problem of the Willmore Flow in the euclidean R 3