Grup terurut

Dalam aljabar abstrak, grup berurutan adalah grup dilengkapi dengan urutan parsial "≤" yaitu translation-invariant ; dengan kata lain, "≤" memiliki properti itu, untuk semua a , b , dan g pada G, jika a ≤ b kemudian a + g ≤ b + g dan g + a ≤ g + b. Sebuah elemen x dari G disebut elemen positif jika 0 ≤ x. Himpunan elemen 0 ≤ x sering dilambangkan dengan G+, dan itu disebut kerucut positif G. Jadi kita punya a ≤ b jika dan hanya jika -a + b ∈ G+. Berdasarkan definisi tersebut, kita dapat mengurangi urutan parsial menjadi sifat monad: a ≤ b jika dan hanya jika 0 ≤ -a + b. Untuk grup umum G , keberadaan kerucut positif menentukan urutan pada G . Grup G adalah grup yang diurutkan sebagian jika dan hanya jika terdapat subset H dari G sedemikian rupa sehingga: 0 ∈ H
jika a ∈ H dan b ∈ H kemudian a + b ∈ H
if a ∈ H kemudian -x + a + x ∈ H untuk x dari G
if a ∈ H dan -a ∈ H kemudian a = 0 Grup yang dipesan sebagian G dengan kerucut positif G+ dikatakan tidak berlubang jika n · g ∈ G+ untuk beberapa bilangan bulat positif n menyiratkan g ∈ G+. Menjadi tidak berlubang berarti tidak ada "celah" di kerucut positif G+. Jika orde pada grup adalah urutan linear, maka dikatakan sebagai grup urutan linear.
Jika urutan pada grup adalah urutan kisi, yaitu dua elemen memiliki batas atas terkecil, maka itu adalah grup kisi. Grup Riesz adalah grup terurut sebagian tidak berlubang dengan properti sedikit lebih lemah daripada grup berurutan kisi. Yaitu, grup Riesz memenuhi properti interpolasi Riesz: if x1, x2, y1, y2 adalah elemen G dan xi ≤ yj, lalu ada z ∈ G dirumuskan xi ≤ z ≤ yj. Jika G dan H adalah dua grup yang diurutkan sebagian, peta dari G hingga H adalah morfisme grup yang diurutkan sebagian jika keduanya adalah grup homomorfisme dan fungsi monotonik. Grup yang berurutan sebagian, bersama dengan gagasan morfisme ini, membentuk kategori. Grup yang diurutkan sebagian digunakan dalam definisi penilaian dari bidang.