Persamaan linear gelanggang

Dalam aljabar, persamaan linear dan sistem persamaan linier lebih dari satu bidang dipelajari secara luas. "Di atas bidang "berarti bahwa koefisien persamaan dan solusi yang dicari termasuk dalam bidang tertentu, biasanya nyata atau bilangan kompleks s. Artikel ini dikhususkan untuk masalah yang sama di mana "bidang" diganti dengan "gelanggang komutatif", atau, biasanya "Noetherian domain integral". Dalam kasus persamaan tunggal, masalahnya terbagi menjadi dua bagian. Pertama, masalah keanggotaan ideal, yang terdiri dari persamaan yang tidak homogen dengan a 1 , … , a k dan b di cincin tertentu R, untuk memutuskan apakah ada solusi dengan x 1 , … , x k pada R, dan, jika ada, untuk menyediakannya. Jumlah ini untuk memutuskan apakah b milik ideal yang dihasilkan oleh ai. Contoh paling sederhana dari masalah ini adalah, untuk k = 1 dan b = 1, untuk memutuskan apakah a adalah satuan dalam R. Masalah syzygy terdiri, diberi elemen k a 1 , … , a k di R, untuk menyediakan sistem generator dari modul dari syzygies dari , itu adalah sistem generator submodul dari elemen tersebut in Rk itu adalah solusi dari persamaan homogen Kasus paling sederhana, ketika k = 1 sama dengan mencari sistem generator dari annihilator dari a1. Diberikan solusi dari masalah keanggotaan yang ideal, seseorang memperoleh semua solusi dengan menambahkan elemen modul syzygies ke dalamnya. Dengan kata lain, semua solusi disediakan oleh solusi.