Jumlah langsung

Dalam aljabar abstrak, jumlah langsung adalah salah satu operasi pada himpunan. Sebagai contoh, jumlah langsung R ⊕ R , dimana R adalah ruang koordinat nyata, adalah bidang Kartesius, R 2 . Untuk melihat bagaimana penjumlahan langsung digunakan dalam aljabar abstrak, pertimbangkan struktur yang lebih mendasar dalam aljabar abstrak, grup abelian. Jumlah langsung dari dua grup abelian A and B adalah grup abelian lainnya A ⊕ B terdiri dari urutan pasangan , dimana a ∈ A dan b ∈ B . Untuk menambahkan pasangan terurut, kita definisikan penjumlahan + sebagai ; dengan kata lain, penjumlahan didefinisikan secara koordinat. Proses serupa dapat digunakan untuk membentuk jumlah langsung dari dua struktur aljabar, seperti gelanggang, modul, dan ruang vektor. Kita juga dapat membentuk penjumlahan langsung dengan jumlah penjumlahan yang terbatas, misalnya A ⊕ B ⊕ C , diberikan A , B , dan C adalah jenis struktur aljabar yang sama. Ini bergantung pada fakta bahwa penjumlahan langsungnya adalah asosiatif hingga isomorfisme, ⊕ C ≅ A ⊕ untuk struktur aljabar A , B , dan C dari jenis yang sama. Jumlah langsung juga komutatif hingga isomorfisme, yaitu A ⊕ B ≅ B ⊕ A . untuk struktur aljabar apa pun A dan B dari jenis yang sama. Dalam kasus dua penjumlahan, atau suatu jumlah terhingga, jumlah langsungnya sama dengan hasilkali langsung. Jika operasi aritmetika ditulis sebagai + , seperti biasanya di grup abelian, lalu kita pakai penjumlahan langsung. Jika operasi aritmetika ditulis sebagai × atau ⋅ atau menggunakan penjajaran kita menggunakan hasilkali langsung. Dalam kasus di mana banyak objek digabungkan, kebanyakan penulis membuat perbedaan antara jumlah langsung dan hasilkali langsung. Sebagai contoh, perhatikan jumlah langsung dan hasilkali langsung dari tak hingga. Unsur dalam hasilkali langsung adalah urutan tak hingga, seperti tetapi dalam jumlah langsung, akan ada persyaratan bahwa semua kecuali banyak koordinat menjadi nol, sehingga urutan akan menjadi elemen hasilkali langsung tetapi bukan dari jumlah langsung, sementara akan menjadi elemen keduanya. Secara lebih umum, jika tanda + digunakan, semua kecuali banyak koordinat pasti harus nol, sedangkan jika beberapa bentuk perkalian digunakan, semua kecuali banyak koordinat pasti harus 1. Dalam bahasa yang lebih teknis, jika ringkasannya adalah i ∈ I , jumlah langsung ⨁ i ∈ I A i didefinisikan sebagai himpunan tupel i ∈ I dengan a i ∈ A i seperti yang a i = 0 untuk semua kecuali i . Jumlah langsung ⨁ i ∈ I A i terkandung dalam hasilkali langsung ∏ i ∈ I A i , tetapi biasanya sangat lebih kecil jika kumpulan indeks I tidak terbatas, karena hasilkali langsung tidak memiliki batasan bahwa semua kecuali banyak koordinat harus nol.