Geometri aljabar

Geometri aljabar merupakan cabang matematika yang mempelajari akar dari suatu suku banyak. Dalam kajian modern, digunakan berbagai alat dari aljabar abstrak seperti aljabar komutatif dan teori kategori. Studi geometri aljabar dilakukan dengan mengonstruksi suatu objek matematika lalu kemudian meninjau hubungannya dengan struktur yang sudah dikenal. Berbagai alat ini dibuat untuk membantu memahami permasalahan mendasar terkait geometri. Salah satu objek fundamental dalam studi geometri aljabar adalah varietas aljabarik yang merupakan manifestasi geometris dari akar suatu sistem suku banyak. Dari struktur ini, dapat dikaji berbagai kurva aljabarik seperti garis, parabola, elips, kurva eliptik dan lain-lain. Geometri aljabar merupakan salah satu topik sentral dalam matematika dengan berbagai topik terkait seperti analisis kompleks, topologi, teori bilangan, teori kategori, dan lain-lain. Geometri aljabar menempati tempat sentral dalam matematika modern dan memiliki beberapa hubungan konseptual dengan berbagai bidang seperti analisis kompleks, topologi dan teori bilangan. Awalnya studi tentang sistem persamaan polinomial dalam beberapa variabel, subjek geometri aljabar dimulai di mana pemecahan persamaan berhenti, ini mengarah ke beberapa daerah terdalam dalam semua matematika, baik secara konseptual maupun dalam istilah teknik. Pada abad ke-20, geometri aljabar terpecah menjadi beberapa subdaerah. Arus utama geometri aljabar dikhususkan untuk mempelajari titik-titik kompleks dari varietas aljabar dan lebih umum lagi pada titik-titik dengan koordinat dalam bidang tertutup aljabar.
Geometri aljabar real adalah ilmu yang mempelajari titik-titik real dari suatu ragam aljabar.
Geometri Diofantin dan, secara lebih umum, geometri aritmetika adalah studi tentang titik varietas aljabar dengan koordinat di bidang yang tidak tertutup secara aljabar dan terjadi di teori bilangan aljabar, seperti bidang bilangan rasional, bidang bilangan, bidang terbatas, bidang fungsi, dan bilangan p-adik.
Sebagian besar teori singularitas dikhususkan untuk singularitas varietas aljabar.
Geometri aljabar komputasi adalah area yang muncul di persimpangan geometri aljabar dan aljabar komputer, dengan munculnya komputer. Ini terutama terdiri dari algoritme desain dan perangkat lunak pengembangan untuk mempelajari sifat dari varietas aljabar yang diberikan secara eksplisit. Banyak perkembangan arus utama geometri aljabar di abad ke-20 terjadi dalam kerangka aljabar abstrak, dengan peningkatan penekanan ditempatkan pada sifat "intrinsik" dari varietas aljabar yang tidak bergantung pada cara tertentu untuk menanamkan varietas dalam ruang koordinat ambien; ini paralel dengan perkembangan dalam topologi, diferensial dan geometri kompleks. Salah satu pencapaian utama geometri aljabar abstrak ini adalah Grothendieck pada teori skema yang memungkinkan salah satunya untuk menggunakan teori gemal untuk mempelajari varietas aljabar dengan cara yang sangat mirip dengan penggunaannya dalam studi lipatan diferensial dan analitik. Ini diperoleh dengan memperluas pengertian titik: Dalam geometri aljabar klasik, titik dari varietas afin dapat diidentifikasi, melalui Hilbert Nullstellensatz, dengan ideal maksimal dari gelanggang koordinat, sedangkan titik dari skema afin yang sesuai adalah semua ideal utama dari gelanggang ini. Ini berarti bahwa titik dari skema seperti itu dapat berupa titik biasa atau subvarietas. Pendekatan ini juga memungkinkan penyatuan bahasa dan alat geometri aljabar klasik, terutama berkaitan dengan titik kompleks, dan teori bilangan aljabar. Bukti Wiles dari konjektur lema yang disebut Teorema terakhir Fermat adalah contoh kekuatan pendekatan ini.