Integral

Dalam matematika, integral adalah versi kontinu dari konsep penjumlahan, yang digunakan untuk menghitung luas, volume, dan banyak perumumannya. Integrasi atau mengintegralkan, yakni proses menghitung suatu integral, adalah salah satu dari dua operasi penting dalam kalkulus; operasi yang lain adalah turunan. Integrasi awalnya digunakan untuk menyelesaikan masalah dalam matematika dan fisika, seperti menghitung luas daerah dibawah suatu kurva atau menentukan besar perpindahan objek dari kecepatannya. Penggunaan integrasi selanjutnya meluas ke banyak bidang keilmuan. Integral tentu dari suatu fungsi f menghitung luas bertanda dari daerah pada bidang yang dibatasi oleh kurva fungsi tersebut di antara dua titik di garis horizontal. Berdasarkan konvensi, luas daerah yang terletak di atas garis horizontal memiliki luas yang bernilai positif, sedangkan yang terletak di bawah memiliki luas negatif. Integral juga mencakup konsep antiturunan, yakni suatu fungsi yang turunannya adalah fungsi f ; dalam hal ini, suatu fungsi tersebut disebut integral taktentu. Teorema dasar kalkulus memberikan hubungan antara integral tentu dengan turunan, dan cara menghitung integral tentu dari suatu fungsi yang antiturunannya diketahui; turunan dan integral adalah operasi yang saling berkebalikan. Walaupun cara menghitung luas dan volume sudah diketahui sejak jaman Yunani kuno, prinsip dari integrasi baru dirumuskan secara terpisah oleh Isaac Newton dan Gottfried Wilhelm Leibniz pada akhir abad ke-17. Keduanya menganggap luas daerah dibawah kurva sebagai penjumlahan takhingga dari persegi-persegi panjang dengan lebar infinitesimal. Bernhard Riemann kemudian memberikan definisi cermat (rigorous) dari integral, yang didasarkan pada suatu prosedur yang memprakirakan luas dari suatu daerah kurvilinear dengan memecah daerah tersebut menjadi plat-plat vertikal yang takhingga tipisnya. Pada awal abad ke-20, Henri Lebesgue memperumum metode Riemann dengan memperkenalkan hal yang sekarang disebut sebagai integral Lebesgue; integral ini lebih umum ketimbang Riemann dalam artian ada lebih banyak fungsi yang terintegralkan-Lebesgue. Integral dapat diperumum tergantung jenis dari fungsi maupun domain atas integrasi dilakukan. Sebagai contoh, integral garis didefinisikan untuk fungsi dua-variabel atau lebih, dan selang dari integrasi digantikan oleh suatu kurva yang menghubungkan dua titik di suatu ruang. Sedangkan pada integral permukaan, kurva digantikan oleh sepotong permukaan di ruang dimensi tiga.