1 − 2 + 3 − 4 + ⋯

Dalam matematika, 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ adalah deret tak hingga yang suku-sukunya merupakan bilangan bulat positif yang berurutan, diberi tanda plus dan minus secara bergantian satu sama lain membentuk deret selang-seling. Dengan menggunakan notasi penjumlahan sigma, jumlah m suku pertama deret tersebut dapat dinyatakan sebagai ∑ n = 1 m n n − 1 . Deret tak hingga divergen, artinya barisan jumlah parsialnya,, tidak cenderung menuju batas berhingga. Meskipun demikian, pada pertengahan abad ke-18, Leonhard Euler menulis apa yang dia akui sebagai persamaan yang paradoks: 1 − 2 + 3 − 4 + ⋯ = 1 4 . Penjelasan yang tepat mengenai persamaan ini baru dapat diperoleh beberapa waktu kemudian. Mulai tahun 1890, Ernesto Cesàro, Émile Borel, dan lainnya menyelidiki metode yang terdefinisi dengan baik untuk menetapkan jumlah umum ke deret yang berbeda—termasuk interpretasi baru atas upaya Euler. Banyak dari metode penjumlahan ini dengan mudah menetapkan 1 − 2 + 3 − 4 + ... sebuah "nilai" 14. Penjumlahan Cesàro adalah salah satu dari sedikit metode yang tidak menjumlahkan 1 − 2 + 3 − 4 + ..., sehingga deret tersebut merupakan contoh yang memerlukan metode yang sedikit lebih kuat, seperti penjumlahan Abel. Deret 1 − 2 + 3 − 4 + ... berkaitan erat dengan deret Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + .... Euler memperlakukan keduanya sebagai kasus khusus dari deret yang lebih umum 1 − 2n + 3n − 4n + ..., dimana n = 1 dan n = 0 masing-masing. Penelitian ini memperluas karyanya pada masalah Basel dan mengarah pada persamaan fungsional yang sekarang dikenal sebagai fungsi eta Dirichlet dan fungsi zeta Riemann.