Aljabar Lie

Dalam matematika, aljabar Lie adalah ruang vektor g bersama dengan operasi yang disebut braket Lie, peta bilinear bergantian g × g → g ,   ↦ [ x , y ] adalah bagian dari identitas Jacobi. Ruang vektor g dengan operasi ini adalah aljabar non-asosiatif, yang berarti bahwa kurung Lie belum tentu asosiatif. Aljabar Lie berkaitan erat dengan grup Lie, yaitu grup dengan lipatan halus: setiap grup Lie memunculkan aljabar Lie, yang merupakan ruang singgung identitasnya. Sebaliknya, untuk aljabar Lie berdimensi-hingga di atas bilangan riil atau kompleks, ada yang sebagai penghubung dengan grup Lie hingga penutupan. Korespondensi ini memungkinkan untuk mempelajari struktur dan klasifikasi grup Lie dalam kaitannya dengan aljabar Lie. Dalam fisika, grup Lie sebagai grup simetri dari sistem fisik, dan aljabar Lie sebagai gerakan simetri yang sangat kecil. Jadi aljabar Lie dan representasi mereka digunakan secara luas dalam fisika, terutama dalam mekanika kuantum dan fisika partikel. Contoh dasar adalah ruang vektor tiga dimensi g = R 3 dengan operasi braket yang ditentukan oleh produk silang [ x , y ] = x × y . Simetris-miring dari x × y = − y × x , dan asosiatif, maka identitas Jacobi: Ini adalah aljabar Lie dari grup Lie rotasi ruang, dan setiap vektor v ∈ R 3 dapat digambarkan sebagai rotasi yang sangat kecil di sekitar sumbu v, dengan kecepatan yang sama dengan besaran v. Braket Lie adalah ukuran non-komutatif antara dua rotasi: karena rotasi berjalan dengan sendirinya, maka memiliki sifat [ x , x ] = x × x = 0 .