Akar bilangan

Dalam matematika, akar pangkat n dari bilangan x adalah suatu bilangan yang apabila dipangkatkan n hasilnya sama dengan x; yaitu suatu bilangan r sedemikian sehingga r n = x terpenuhi. Dengan lambang, akar pangkat n dari x sama dengan r dapat ditulis sebagai Dalam hal ini,       disebut lambang akar, n disebut pangkat akar dan x disebut radikan. Pangkat akar merupakan bilangan bulat positif. Akar pangkat 2 biasa disebut akar kuadrat atau akar saja, dan angka pangkat tidak ditulis pada lambang akar x . Radikan, yakni yang diakarkan, biasanya merupakan suatu bilangan, baik bilangan riil atau bilangan kompleks, maupun sesuatu yang dapat dianggap sebagai bilangan, seperti matriks. Sebagai contoh, 3 adalah akar kuadrat dari 9, karena 32 = 9, dan 3 juga merupakan akar kuadrat dari 9, karena (−3)2 = 9. Setiap bilangan bukan nol yang dianggap sebagai bilangan kompleks memiliki n akar ke-n yang berbeda, termasuk real (paling banyak dua). Akar ke-n dari 0 adalah nol untuk semua bilangan bulat positif n, setelah 0n = 0. Khususnya, jika n genap dan x adalah bilangan real positif, satunya adalah negatif, dan yang lainnya (ketika n > 2) bilangan kompleks non-real; jika n genap dan x adalah bilangan real negatif, tidak ada satupun akar ke-n yang merupakan real. Jika n ganjil dan x real, satu akar n adalah real dan bertanda sama sebagai x, sedangkan akar lainnya (n – 1) bukanlah real. Akhirnya, jika x bukanlah real, maka tidak ada akar ke-n yang merupakan real. dengan menunjukkan akar kuadrat positif dari x jika x adalah positif; untuk akar tinggi, x n menunjukkan akar ke-n yang sebenarnya jika n adalah ganjil, dan akar pangkat n positif jika n adalah genap dan x adalah positif. Dalam kasus lain, simbol tidak umum digunakan sebagai ambigu. Ketika kompleks akar ke-n dipertimbangkan, sering kali berguna untuk memilih salah satu akar, yang disebut akar utama, sebagai nilai utama. Pilihan umum adalah memilih akar ke-n utama dari x sebagai akar ke-n, dengan bagian real terbesar, dan, jika ada dua (untuk x real dan negatif), yang memiliki bagian imajiner positif. Ini membuat akar ke-n sebagai fungsi real dan positif untuk x real dan positif, dan adalah kontinu diseluruh bidang kompleks, kecuali untuk nilai x real dan negatif. Kesulitan dengan pilihan ini adalah, untuk bilangan real negatif dan indeks ganjil, akar ke-n utama yang bukan asli. Misalnya, − 8 memiliki tiga akar pangkat tiga, − 2 , 1 + i 3 dan 1 − i 3 . Akar pangkat tiga sebenarnya adalah − 2 dan akar pangkat tiga utama adalah 1 + i 3 . Akar yang tidak terselesaikan, terutama yang menggunakan simbol radikal, kadang-kadang disebut sebagai surd atau "radikal". Setiap ekspresi yang mengandung radikal, apakah itu akar kuadrat, akar pangkat tiga, atau akar yang lebih tinggi, disebut ekspresi radikal, dan jika tidak mengandung fungsi transendental atau bilangan transendental disebut ekspresi aljabar. Akar juga didefinisikan sebagai kasus khusus dari eksponensial, dimana eksponen adalah pecahan: Akar digunakan untuk menentukan radius konvergensi dari deret pangkat dengan uji akar. Akar ke-n dari 1 disebut akar satuan dan memainkan peran mendasar dalam berbagai bidang matematika, seperti teori bilangan, teori persamaan, dan transformasi Fourier.