Filtrasi (matematika)

Dalam matematika, filtrasi F adalah keluarga indeks i ∈ I dari subobjek dari struktur aljabar S tertentu, dengan indeks i menjalankan beberapa himpunan indeks terurut total I , persoalan ke syaratnya bahwa Jika indeks i adalah parameter waktu dari suatu proses stokastik, maka filtrasi dapat diartikan sebagai semua informasi historis tetapi bukan hasil yang tersedia tentang stokastik, dengan struktur aljabar S i semakin kompleks seiring berjalannya waktu. Oleh karena itu, proses yang diadaptasi ke filtrasi F , juga disebut non-antisipasi, yaitu yang tidak bisa melihat ke masa depan. Kadang-kadang, seperti dalam aljabar filtrasi, ada persyaratan bahwa S i menjadi subaljabar sehubungan dengan beberapa operasi, tetapi tidak untuk operasi lain, jika S i ⋅ S j ⊂ S i + j , dimana himpunan indeks adalah bilangan asli; ini adalah analogi dengan aljabar bertingkat. Terkadang, filtrasi diharapkan memenuhi persyaratan tambahan bahwa union dari S i menjadi keseluruhan S , atau bahwa homomorfisme kanonik dari limit langsung dari S i pada S adalah sebuah isomorphism. Apakah persyaratan ini diasumsikan atau tidak, biasanya bergantung pada penulis teks dan sering kali dinyatakan secara eksplisit. Artikel ini tidak memaksakan persyaratan ini. Ada juga gagasan tentang filtrasi menurun, yang diperlukan untuk memenuhi S i ⊇ S j sebagai pengganti S i ⊆ S j . Sekali lagi, ini tergantung pada konteks bagaimana tepatnya kata "filtrasi" harus dipahami. Filtrasi menurun tidak sama dengan kofiltrasi. Gagasan ganda tentang filtrasi disebut kofiltrasi . Filtrasi banyak digunakan di aljabar abstrak, aljabar homologis, dan dalam teori pengukuran dan teori probabilitas untuk urutan bersarang σ-aljabar. Dalam analisis fungsional dan analisis numerik, terminologi lain biasanya digunakan, seperti skala ruang atau spasi bersarang.