Dodekahedron beraturan

Dodekahedron beraturan adalah polihedron dengan 12 sisi pentagonal, 30 sisi, dan 20 simpul. Ini adalah salah satu padatan Platonis, sekumpulan polihedron yang permukaannya merupakan poligon beraturan yang kongruen dan jumlah permukaan yang sama bertemu pada sebuah titik. Kumpulan polihedron ini dinamai Plato. Dalam Theaetetus, dialog Plato, Plato berhipotesis bahwa unsur-unsur klasik terbuat dari lima benda padat beraturan yang seragam. Plato menggambarkan dodekahedron biasa, dengan samar-samar menyatakan, "... dewa menggunakannya untuk mengatur konstelasi di seluruh langit". Timaeus, sebagai tokoh dialog Plato, mengasosiasikan empat padatan Platonis lainnya — tetrahedron beraturan, kubus, oktahedron beraturan, dan ikosahedron beraturan — dengan empat elemen klasik, menambahkan bahwa ada pola padat kelima yang, meskipun umumnya diasosiasikan dengan beraturan dodekahedron, tidak pernah disebutkan secara langsung; "Inilah yang digunakan Tuhan dalam penggambaran alam semesta." Aristoteles juga mendalilkan bahwa langit terbuat dari unsur kelima, yang disebutnya aithêr. Mengikuti pengaitannya dengan alam oleh Plato, Johannes Kepler dalam bukunya Harmonices Mundi membuat sketsa masing-masing padatan Platonis, salah satunya adalah dodekahedron beraturan. Dalam bukunya Mysterium Cosmographicum, Kepler juga mengusulkan Tata Surya dengan menggunakan susunan padatan Platonis menjadi satu lagi dan memisahkannya dengan enam bola yang menyerupai enam planet. Susunan padatan dimulai dari yang terdalam hingga terluar: segi delapan beraturan, ikosahedron beraturan, dodekahedron beraturan, tetrahedron beraturan, dan kubus. Banyak filsuf zaman kuno mendeskripsikan dodekahedron biasa, termasuk benda padat Platonis lainnya. Theaetetus memberikan deskripsi matematis dari kelima polihedra tersebut dan mungkin bertanggung jawab atas bukti pertama yang diketahui bahwa tidak ada polihedra beraturan cembung lainnya. Euclid secara matematis menggambarkan padatan Platonis dalam Elemen, buku terakhir yang dikhususkan untuk sifat-sifatnya. Proposisi 13–17 dalam Buku XIII menjelaskan konstruksi tetrahedron, oktahedron, kubus, ikosahedron, dan dodekahedron dalam urutan tersebut. Untuk setiap benda padat, Euclid menemukan rasio diameter bola yang dibatasi dengan panjang tepinya. Dalam Proposisi 18 ia berpendapat bahwa tidak ada lagi polihedra beraturan cembung. Iamblichus menyatakan bahwa Hippasus, seorang Pythagoras, tewas di laut, karena dia membual bahwa dia pertama kali membocorkan "bola dengan dua belas segi lima".