Aljabar atas medan

Dalam matematika, aljabar atas medan adalah ruang vektor kelengkapan dengan bilinear hasil kali. Jadi, aljabar adalah struktur aljabar yang terdiri dari himpunan bersama dengan operasi perkalian dan penjumlahan dan perkalian skalar oleh elemen medan dan memenuhi aksioma yang diimplikasikan oleh "ruang vektor" dan "bilinear". Operasi perkalian dalam aljabar atau mungkin asosiatif, mengarah ke gagasan aljabar asosiatif dan aljabar takasosiatif. Diberikan sebuah bilangan bulat n, gelanggang dari matriks persegi rii tingkat n adalah contoh aljabar asosiatif pada medan bilangan riil bawah penambahan matriks dan perkalian matriks karena perkalian matriks bersifat asosiatif. Ruang Euklides tiga dimensi dengan perkalian yang diberikan oleh perkalian silang vektor adalah contoh aljabar takasosiatif pada medan bilangan riil karena perkalian vektor takasosiatif, memenuhi identitas Jacobi sebagai gantinya. Sebuah aljabar dikatakan unital atau uniter jika memiliki elemen identitas sehubungan dengan perkalian. Gelanggang matriks kuadrat riil urutan n dalam bentuk aljabar unital karena matriks identitas tingkat n adalah elemen identitas yang berkaitan dengan perkalian matriks. Ini adalah contoh aljabar asosiatif unital, yang juga merupakan ruang vektor. Banyak penulis menggunakan istilah aljabar yang berarti aljabar asosiatif, atau aljabar asosiatif unital, atau dalam beberapa mata pelajaran seperti geometri aljabar, aljabar komutatif asosiatif unital. Mengganti medan skalar dengan gelanggang komutatif mengarah ke gagasan yang lebih umum tentang aljabar atas gelanggang. Aljabar tidak disamakan dengan ruang vektor kelengkapan dengan bentuk bilinear, seperti darab dalam, karena, untuk ruang seperti itu, hasil darab bukan dalam ruang, melainkan di medan koefisien.