Dimensi Hausdorff

Dalam matematika, dimensi Hausdorff adalah pengukuran dimensi suatu bangunan atau objek matematika yang bukan bernilaikan bilangan bulat, atau penjelasan lebih khususnya, dimensi fraktal. Dimensi ini pertama kali diperkenalkan oleh seorang matematikawan yang bernama Felix Hausdorff pada tahun 1918. Misalnya, dimensi Hausdorff suatu titik adalah nol, ruas garis adalah 1, persegi adalah 2, dan kubus adalah 3. Artinya, untuk himpunan titik-titik yang menentukan suatu bangun datar atau bangun datar yang mempunyai jumlah sudut yang sedikit—bentuk geometri dan ilmu pengetahuan tradisional—dimensi Hausdorff adalah bilangan bulat yang sesuai dengan pengertian dimensi pada umumnya, yang juga dikenal sebagai topologi. dimensi. Namun, formula juga telah dikembangkan yang memungkinkan penghitungan dimensi objek lain yang kurang sederhana, yang hanya berdasarkan sifat penskalaan dan kesamaan diri, seseorang dapat menyimpulkan bahwa objek tertentu—termasuk fraktal —tidak memiliki dimensi yang sama. -dimensi Hausdorff bilangan bulat. Karena kemajuan teknis signifikan yang dibuat oleh Abram Samoilovitch Besicovitch memungkinkan penghitungan dimensi untuk himpunan yang sangat tidak beraturan atau "kasar", dimensi ini juga biasa disebut sebagai dimensi Hausdorff – Besicovitch. Lebih khusus lagi, dimensi Hausdorff adalah bilangan dimensi yang diasosiasikan dengan ruang metrik, yakni himpunan yang jarak antara semua anggotanya ditentukan. Dimensi diambil dari bilangan real yang diperluas, R ¯ , berbeda dengan gagasan dimensi yang lebih intuitif, yang tidak dikaitkan dengan ruang metrik umum, dan hanya mengambil nilai dalam bilangan bulat non-negatif. Dalam istilah matematika, dimensi Hausdorff menggeneralisasikan pengertian dimensi ruang vektor nyata. Artinya, dimensi Hausdorff dari ruang hasil kali dalam berdimensi n sama dengan n. Hal ini mendasari pernyataan sebelumnya bahwa dimensi Hausdorff suatu titik adalah nol, suatu garis adalah satu, dan seterusnya, dan bahwa himpunan tak beraturan dapat mempunyai dimensi Hausdorff yang bukan bilangan bulat. Misalnya, kepingan salju Koch yang ditunjukkan di sebelah kanan dibuat dari segitiga sama sisi; pada setiap iterasi, ruas garis komponennya dibagi menjadi 3 ruas satuan panjang, ruas tengah yang baru dibuat digunakan sebagai alas segitiga sama sisi baru yang mengarah ke luar, dan ruas alas ini kemudian dihapus sehingga menyisakan objek akhir dari segitiga sama sisi. iterasi satuan panjang 4. Artinya, setelah iterasi pertama, setiap ruas garis asli telah diganti dengan N=4, dengan setiap salinan serupa memiliki panjang 1/S = 1/3 dari aslinya. Dengan kata lain, kita telah mengambil sebuah benda berdimensi Euclidean, D, dan memperkecil skala liniernya sebesar 1/3 pada setiap arah, sehingga panjangnya bertambah menjadi N=SD. Persamaan ini mudah diselesaikan untuk D, menghasilkan rasio logaritma yang muncul pada gambar, dan memberikan—dalam kasus Koch dan kasus fraktal lainnya—dimensi non-integer untuk objek-objek ini. Dimensi Hausdorff adalah penerus dari dimensi penghitungan kotak atau dimensi Minkowski–Bouligand yang lebih sederhana, tetapi biasanya setara.