Geometri afin

Dalam matematika, Geometri afin adalah sisa-sisa geometri Euklides saat tidak digunakan pengertian metrik tentang jarak dan sudut. Karena pengertian garis sejajar adalah salah satu properti utama yang tidak bergantung pada metrik apa pun, geometri affine sering dianggap sebagai studi tentang garis sejajar. Oleh karena itu, aksioma Playfair adalah fundamental dalam geometri affine. Perbandingan gambar pada geometri affine dilakukan dengan transformasi affine, yaitu pemetaan yang menjaga kesejajaran titik dan paralelisme garis. Geometri Affine dapat dikembangkan dengan dua cara yang pada dasarnya ekuivalen. Dalam geometri sintetik, ruang affine adalah himpunan titik yang dikaitkan dengan sekumpulan garis, yang memenuhi beberapa aksioma. Geometri affine juga dapat dikembangkan atas dasar aljabar linear. Dalam konteks ini sebuah ruang affine adalah sekumpulan poin yang dilengkapi dengan satu set transformasi , terjemahan, yang membentuk ruang vektor, dan sedemikian rupa sehingga untuk pasangan poin terurut tertentu ada terjemahan unik yang mengirimkan poin pertama ke poin kedua; komposisi dari dua terjemahan adalah jumlah mereka dalam ruang vektor terjemahan. Dalam istilah yang lebih konkret, ini berarti memiliki operasi yang mengaitkan ke pasangan titik terurut apa pun vektor dan operasi lain yang memungkinkan terjemahan titik oleh vektor untuk memberikan yang lain; operasi ini diperlukan untuk memenuhi sejumlah aksioma. Dengan memilih titik mana pun sebagai "asal", titik-titik tersebut berada dalam korespondensi satu-ke-satu dengan vektor, tetapi tidak ada pilihan yang lebih disukai untuk titik asal; dengan demikian ruang affine dapat dilihat sebagai diperoleh dari ruang vektor terkait dengan "melupakan" asalnya. Meskipun artikel ini hanya membahas ruang affine, pengertian "melupakan metrik" jauh lebih umum, dan dapat diterapkan ke sembarang manifold, secara umum. Perluasan pengertian ruang affine ke lipatan pada umumnya dikembangkan dalam artikel di hubungan affine.