Aksioma Peano

Dalam logika matematika, aksioma Peano, juga dikenal sebagai aksioma Dedekind–Peano atau postulat Peano, adalah aksioma-aksioma untuk bilangan asli yang disampaikan oleh matematikawan Italia abad ke-19 Giuseppe Peano. Aksioma-aksioma tersebut telah digunakan hampir tanpa diubah dalam beberapa penyelidikan metamatematika, termasuk penelitian mengenai pertanyaan fundamental mengenai apakah teori bilangan bersifat konsisten dan lengkap. Keperluan untuk memformalkan aritmetika tidak terlalu dipikirkan hingga karya Hermann Grassmann, yang menunjukkan pada 1860-an bahwa banyak fakta dalam aritmetika yang bisa diperoleh dari fakta lebih mendasar mengenai operasi penerus dan induksi. Pada tahun 1881, Charles Sanders Peirce memberikan pengaksiomaan dari aritmetika bilangan asli. Pada tahun 1888, Richard Dedekind mengusulkan pengaksiomaan aritmetika bilangan asli lainnya, dan pada tahun 1889, Peano menerbitkan versi sederhana dari mereka sebagai kumpulan aksioma dalam bukunya, The principles of arithmetic presented by a new method. Aksioma Peano berisi tiga jenis pernyataan. Aksioma pertama menegaskan keberadaan paling tidak satu anggota dari himpunan bilangan asli. Empat aksioma berikutnya adalah pernyataan umum mengenai kesamaan; dalam penafsiran modern aksioma-aksioma ini tidak dianggap sebagai bagian dari aksioma Peano, melainkan sebagai aksioma-aksioma dari "logika yang mendasarinya". Tiga aksioma berikutnya merupakan pernyataan tingkat pertama mengenai bilangan asli mengekspresikan sifat-sifat mendasar dari operasi penerus. Aksioma kesembilan, dan yang terakhir, adalah pernyataan tingkat kedua mengenai prinsip induksi matematika pada bilangan asli. Sebuah sistem tingkat pertama yang lebih lemah dan disebut aritmetika Peano diperoleh dengan secara eksplisit menambahkan simbol operasi penambahan dan perkalian serta menggantikan aksioma induksi tingkat kedua dengan sebuah skema aksioma tingkat pertama.