Ekstensi aljabar

Dalam aljabar abstrak, Medan ekstensi L/K disebut aljabar jika setiap elemen L adalah aljabar di atas K, yaitu jika setiap elemen L adalah akar dari beberapa polinomial bukan nol dengan K. Ekstensi bidang yang bukan aljabar, yaitu yang berisi elemen transendental, disebut transendental. Misalnya, bidang ekstensi R/Q, yaitu bidang bilangan real sebagai perpanjangan dari bidang bilangan rasional, bersifat transendental, sedangkan bidang ekstensi C/R dan Q(√2)/Q bersifat aljabar, di mana C adalah bidang bilangan kompleks. Semua ekstensi transendental adalah derajat tak terbatas. Ini pada gilirannya menyiratkan bahwa semua ekstensi hingga adalah aljabar. Namun kebalikannya tidak benar: ada perluasan tak terbatas yang bersifat aljabar. Misalnya, bidang semua bilangan aljabar s adalah perpanjangan aljabar tak terhingga dari bilangan rasional. Jika a aljabar berakhir K, maka K[a], himpunan semua polinomial dalam a dengan koefisien dalam K, bukan hanya cincin tetapi juga bidang: perpanjangan aljabar dari K yang telah berakhir derajatnya K. Kebalikannya juga benar, jika K[a] adalah bidang, lalu a aljabar berakhir K. Dalam kasus khusus di mana K = Q adalah bidang bilangan rasional, Q[a] adalah contoh dari bidang bilangan aljabar. Bidang tanpa ekstensi aljabar yang tepat disebut tertutup secara aljabar. Contohnya adalah bidang bilangan kompleks. Setiap bidang memiliki ekstensi aljabar yang ditutup secara aljabar, tetapi membuktikan hal ini secara umum memerlukan beberapa bentuk aksioma pilihan. Sebuah ekstensi L/K adalah aljabar jika dan hanya jika setiap sub K, aljabar dari L adalah bidang.