Persamaan fungsional Cauchy

Persamaan fungsional Cauchy adalah persamaan fungsional dari kebebasan linear: Solusi untuk ini disebut fungsi aditif. Melalui bilangan rasional, dapat ditunjukkan menggunakan aljabar dasar bahwa terdapat satu kelompok solusi, yaitu f : x ↦ c x untuk setiap konstanta rasional c . Selama bilangan riil, f : x ↦ c x , sekarang dengan c konstanta nyata arbitrer, juga sekumpulan solusi; namun ada solusi lain yang sangat rumit. Namun, dari sejumlah kondisi keteraturan, beberapa di antaranya cukup lemah, akan menghalangi adanya solusi patologis ini. Misalnya, fungsi aditif f : R → R linier jika: f adalah kontinu. Kondisi ini semakin melemah pada tahun 1875 oleh Darboux yang menunjukkan bahwa hanya perlu fungsi tersebut untuk berlanjut pada satu titik. f adalah monotonik pada interval apa pun. f adalah dibatasi pada interval apa pun. f adalah Lebesgue terukur. Di sisi lain, jika tidak ada kondisi lebih lanjut yang diberlakukan f , kemudian ada banyak fungsi lain yang memenuhi persamaan tersebut. Ini dibuktikan pada tahun 1905 oleh Georg Hamel menggunakan basis Hamel. Fungsi semacam itu terkadang disebut Fungsi Hamel. Masalah kelima pada Daftar Hilbert adalah generalisasi dari persamaan ini. Fungsi di mana terdapat bilangan riil c such that f ≠ c f   dikenal sebagai fungsi Cauchy-Hamel dan digunakan dalam invarian Dehn-Hadwiger yang digunakan dalam perluasan masalah ketiga Hilbert dari 3-D ke dimensi yang lebih tinggi.