Persamaan Laplace

Dalam matematika dan fisika, persamaan Laplace adalah persamaan diferensial parsial orde dua yang dinamankan dengan nama Pierre-Simon Laplace, yang pertama kali mempelajari sifat-sifatnya. Persamaan ini umum ditulis dalam bentuk atau dengan simbol Δ = ∇ ⋅ ∇ = ∇ 2 menyatakan operator Laplace, ∇ ⋅ menyatakan operator divergensi, ∇ menyatakan operator gradien, dan f adalah sebuah fungsi bernilai real yang terdiferensialkan dua kali. Persamaan ini juga mengartikan operator Laplace memetakan sebuah fungsi bernilai skalar ke sebuah fungsi bernilai skalar yang lain. Jika ruas kanan persamaan Laplace berisi sebuah fungsi h , maka akan didapatkan bentuk Persamaan ini disebut dengan persamaan Poisson, sebuah perumuman dari persamaan Laplace. Persamaan Laplace dan persamaan Poisson adalah contoh termudah dari persamaan diferensial eliptik parsial. Selain itu, persamaan Laplace merupakan kasus khusus dari persamaan Helmholtz. Solusi kontinu dan terdiferensialkan dua kali dari persamaan Laplace akan berupa fungsi harmonik, yang memiliki peran penting dalam banyak cabang fisika, contohnya di elektrostatika, gravitasi, dan dinamika fluida. Dalam konduksi panas, persamaan Laplace menyatakan persamaan panas yang tunak (steady-state). Secara umum, persamaan Laplace menyatakan kondisi keseimbangan, atau kondisi yang secara eksplisit tidak bergantung pada waktu.