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dans le lieu des noeuds, ou dans l'inclinaison de l'orbite lunaire, ni même de la réduction à l'écliptique. Car tous ces articles, d'ailleurs assez embarrassants, se trouvent déjà renfermés dans nos formules. Enfin, il est fort aisé de tirer de là la vraie distance de la Lune à la Terre, en calculant cette formule : Ou bien pour connaître la vraie parallaxe équatorienne de la Lune, elle sera exprimée par cette formule : où je remarque que j'ai conclu cette parallaxe moyenne de 5 6' 3 5", qui répond à la distance moyenne 1, ou plutôt 10,000,000 de l'éclipse du Soleil de l'année 1769; de sorte qu'on en peut être assuré à quelques secondes près. On reconnaît aisément que cette détermination de la parallaxe doit être infiniment plus exacte que celle qu'on tire des Tables ordinaires, vu qu'elle dépend ici ouvertement de toutes les inégalités de la Lune, pendant que les Tables, dont on se sert, n'y emploient que quelques inégalités qui y influent principalement. Par-là, j'espère avoir pleinement satisfait aux vues de l'illustre ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES, ayant entièrement développé et fixé toutes les inégalités, auxquelles le mouvement de ce satellite est assujetti, sans en excepter aucune, qui pourrait influer sur le lieu de la Lune pour plus de dix secondes, et ayant enfin fait voir que, comme aucune de ces inégalités ne pourrait produire une équation séculaire, dans le moyen mouvement de la Lune, on n'en pourra non plus rendre raison par la seule attraction du Soleil et de tout autre Corps céleste; de sorte qu'il ne relève plus aucun doute que cette équation séculaire, qu'on observe, ne soit l'effet de la réistance du milieu, dans lequel les planètes se meuvent. Au reste, je ne doute pas, qu'en corrigeant tant sur les lieux mouvants de l'apogée et du noeud dans les Tables ordinaires, on ne puisse, par ce moyen, parvenir à déterminer le lieu de la Lune à 30 secondes près. Or, pour un plus haut degré de précision, on ne saurait jamais l'espérer à cause de l'action des autres planètes à laquelle la Lune est assujettie. FIN
influer sur le lieu de la Lune pour plus de dix secondes, et ayant enfin fait voir que, comme aucune de ces inégalités ne pourrait produire une équation séculaire, dans le moyen mouvement de la Lune, on n'en pourra non plus rendre raison par la seule attraction du Soleil et de tout autre Corps céleste; de sorte qu'il ne relève plus aucun doute que cette équation séculaire, qu'on observe, ne soit l'effet de la réistance du milieu, dans lequel les planètes se meuvent. Au reste, je ne doute pas, qu'en corrigeant tant sur les lieux mouvants de l'apogée et du noeud dans les Tables ordinaires, on ne puisse, par ce moyen, parvenir à déterminer le lieu de la Lune à 30 secondes près. Or, pour un plus haut degré de précision, on ne saurait jamais l'espérer à cause de l'action des autres planètes à laquelle la Lune est assujettie. FIN TABLE PREMIÈRE. § 7 Première générale. TABLE II. § 7 Seconde générale. TABLE III. § 7 Troisième générale. TABLE IV. S 13. Equations particulières du premier ordre, pour déterminer les valeurs de O' & O. Equations particulières du second ordre, pour déterminer les valeurs de B' & P. TABLE IV. Equations particulières du troisième ordre, pour déterminer les valeurs de Q & Q'. TABLE IV. Equations particulières du quatrième ordre, pour déterminer les valeurs de E! & R. TABLE IV. Equations particulières du cinquième ordre, pour déterminer les valeurs de S' & S. Equations particulières du sixième ordre, pour déterminer les valeurs de U' & U. TABLE IV. Equations particulières du septième ordre, pour déterminer les valeurs de X' & X. TABLE IV. Pour la troisième Coordonnée z. Equation particulière du premier ordre, pour déterminer la valeur de p. Equation particulière du second ordre, pour déterminer la valeur de q'. Equation particulière du troisième ordre, pour déterminer la valeur de r. TABLE V. § 14 Pour la première Coordonnée. On trouve TABLE VI. Pour la seconde Coordonnée. TABLE VII. § 14 Pour la troisième Coordonnée. TABLE VIII. Valeur de la première Coordonnée z = i + y. TABLE IX. Valeur
Equations particulières du troisième ordre, pour déterminer les valeurs de Q & Q'. TABLE IV. Equations particulières du quatrième ordre, pour déterminer les valeurs de E! & R. TABLE IV. Equations particulières du cinquième ordre, pour déterminer les valeurs de S' & S. Equations particulières du sixième ordre, pour déterminer les valeurs de U' & U. TABLE IV. Equations particulières du septième ordre, pour déterminer les valeurs de X' & X. TABLE IV. Pour la troisième Coordonnée z. Equation particulière du premier ordre, pour déterminer la valeur de p. Equation particulière du second ordre, pour déterminer la valeur de q'. Equation particulière du troisième ordre, pour déterminer la valeur de r. TABLE V. § 14 Pour la première Coordonnée. On trouve TABLE VI. Pour la seconde Coordonnée. TABLE VII. § 14 Pour la troisième Coordonnée. TABLE VIII. Valeur de la première Coordonnée z = i + y. TABLE IX. Valeur de la seconde Coordonnée y = y. TABLE X. Valeur de la troisième Coordonnée z = z. RÉPONSE À LA Question proposée par L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES de Paris pour l'année 1770. Perfectionner les méthodes sur lesquelles est fondée la théorie de la Lune, de fixer par ce moyen celles des équations de ce Satellite, qui sont encore incertaines, & d'examiner en particulier si l'on peut rendre raison, par cette théorie de l'équation séculaire du mouvement de la Lune. Prix de l'Académie, Tome IX. THÉORIE DE LA LUNE. En animé cant Lunam. Virz. PREMIÈRE SECTION Des formules différentielles qui déterminent le mouvement de la Lune. ARTICLE PREMIER. Des formules tirées immédiatement de l'action du Soleil & de la Terre. S. I. Dans le plan de l'écliptique soit représenté par celui de la planche: soit E le centre du Soleil considéré en repos, & SA une ligne fixe tirée vers l'équinoxe du printemps. Qu'à un temps proposé, la Terre se trouve en T & la Lune hors du plan de l'écliptique en Ci, d'où l'on biffé sur ce plan la perpendiculaire EZ. Enfin ayant mené les droites LS, ST, TL, S(£ & T(£, qu'on tire suivant SA, les perpendiculaires TQ &
des équations de ce Satellite, qui sont encore incertaines, & d'examiner en particulier si l'on peut rendre raison, par cette théorie de l'équation séculaire du mouvement de la Lune. Prix de l'Académie, Tome IX. THÉORIE DE LA LUNE. En animé cant Lunam. Virz. PREMIÈRE SECTION Des formules différentielles qui déterminent le mouvement de la Lune. ARTICLE PREMIER. Des formules tirées immédiatement de l'action du Soleil & de la Terre. S. I. Dans le plan de l'écliptique soit représenté par celui de la planche: soit E le centre du Soleil considéré en repos, & SA une ligne fixe tirée vers l'équinoxe du printemps. Qu'à un temps proposé, la Terre se trouve en T & la Lune hors du plan de l'écliptique en Ci, d'où l'on biffé sur ce plan la perpendiculaire EZ. Enfin ayant mené les droites LS, ST, TL, S(£ & T(£, qu'on tire suivant SA, les perpendiculaires TQ & LP. I. Cela posé, qu'on nomme ST = u : l'angle AST = <p ; la distance SL = v ; TL = a ; ensuite les trois coordonnées pour le lieu de la Lune: SP = X, PL = Y, ZC = Z ; & on aura SQ = u cos <p, QZ = u sin <p, & les distances SL = V (t; y + ZZ) ; T(£ = V (a4 + ZZ). D'où, exprimant les masses du Soleil & de la Terre par S & T, les forces dont la Lune est sollicitée, seront qu'on décomposerait aisément suivant les directions de nos trois coordonnées. III. Que marque un angle proportionnel au temps pour lequel nous prendrons dans la suite l'anomalie moyenne du Soleil, & prenant le différentiel dt pour constant, les principes de Mécanique nous fournissent ces trois équations. IV. Dans la suite la distance moyenne de la Terre au Soleil = 1, & puisque t marque l'anomalie moyenne du Soleil, on fait, par la théorie du mouvement des Planètes que la lettre S sera aussi exprimée par l'unité, ou S = as 1. De-là on fait aussi que posant l'excentricité de l'orbite de la Terre =
u cos <p, QZ = u sin <p, & les distances SL = V (t; y + ZZ) ; T(£ = V (a4 + ZZ). D'où, exprimant les masses du Soleil & de la Terre par S & T, les forces dont la Lune est sollicitée, seront qu'on décomposerait aisément suivant les directions de nos trois coordonnées. III. Que marque un angle proportionnel au temps pour lequel nous prendrons dans la suite l'anomalie moyenne du Soleil, & prenant le différentiel dt pour constant, les principes de Mécanique nous fournissent ces trois équations. IV. Dans la suite la distance moyenne de la Terre au Soleil = 1, & puisque t marque l'anomalie moyenne du Soleil, on fait, par la théorie du mouvement des Planètes que la lettre S sera aussi exprimée par l'unité, ou S = as 1. De-là on fait aussi que posant l'excentricité de l'orbite de la Terre = v, dont la valeur est v =0,01 676. On aura #= 1 - v cos <p et = 1 - 2 v cos t. Ces valeurs feront suffisantes pour notre dessein, & on pourra hardiment négliger les termes où la lettre v aurait deux & plusieurs dimensions. V. Puisque la distance v est extrêmement grande, par rapport à l'ordonnée Z, & à plus forte raison vv à l'égard de ZZ, il sera permis de négliger dans la formule vv + ZZ le terme ZZ. Cela remarqué, nos trois équations prendront les formes suivantes. ARTICLE II. Réduction de ces formules à d'autres coordonnées qui se rapportent au lieu de la Terre. VI. AYANT prolongé la ligne ST en B, de sorte que B marque l'opposition du Soleil vu de la Terre, qu'on y tire la perpendiculaire Lx, & qu'on pose les trois coordonnées Tx = x, xL = y, ZC = Z ; & nous aurons vv = (u + xx)14yy, aa = xx + yy. De-là puisque x & y sont très-petites par rapport à u, à cause de vv = uu + xux + hxx + yy, nous aurons, en négligeant les termes où x & y auraient plus
distance v est extrêmement grande, par rapport à l'ordonnée Z, & à plus forte raison vv à l'égard de ZZ, il sera permis de négliger dans la formule vv + ZZ le terme ZZ. Cela remarqué, nos trois équations prendront les formes suivantes. ARTICLE II. Réduction de ces formules à d'autres coordonnées qui se rapportent au lieu de la Terre. VI. AYANT prolongé la ligne ST en B, de sorte que B marque l'opposition du Soleil vu de la Terre, qu'on y tire la perpendiculaire Lx, & qu'on pose les trois coordonnées Tx = x, xL = y, ZC = Z ; & nous aurons vv = (u + xx)14yy, aa = xx + yy. De-là puisque x & y sont très-petites par rapport à u, à cause de vv = uu + xux + hxx + yy, nous aurons, en négligeant les termes où x & y auraient plus de deux dimensions — = — = — 4. Ou l'on pourra même rejetter les termes Se y, à moins qu'il ne s'agisse de déterminer les inégalités de la Lune qui dépendent de la parallaxe du Soleil. Maintenant pour réduire les coordonnées précédentes à celle-ci, il est évident qu'on aura X = (x + cosQ) - (y + sinQ), Se Y = y cosQ - (x + sinQ), d'où l'on pourrait calculer les valeurs de dX, dY, ddX Se ddY; mais comme cela nous mènerait à des calculs trop embarassés, nous commencerons à substituer à la place des deux premières équations, les deux suivantes: Auxquelles on doit toujours joindre la troisième, Pour faire le plus succinctement les substitutions nécessaires, tirons d'abord des valeurs de X, Se Y les rapports suivants : X.cosQ / Y.sinQ = u / x, Y.cosQ - X.sinQ = y; différencier ces formules, Se nous obtiendrons dX, cosQ / dY.sinQ = z du + dx. DE LA LUNE. Ces formules étant encore une fois différentiées, fourniront I X. On voit que par cette réduction, les fin. (p Se cos.p s'en vont partout du calcul, & maintenant nos trois équations fondamentales seront: Ce sont donc nos équations rapportées
X = (x + cosQ) - (y + sinQ), Se Y = y cosQ - (x + sinQ), d'où l'on pourrait calculer les valeurs de dX, dY, ddX Se ddY; mais comme cela nous mènerait à des calculs trop embarassés, nous commencerons à substituer à la place des deux premières équations, les deux suivantes: Auxquelles on doit toujours joindre la troisième, Pour faire le plus succinctement les substitutions nécessaires, tirons d'abord des valeurs de X, Se Y les rapports suivants : X.cosQ / Y.sinQ = u / x, Y.cosQ - X.sinQ = y; différencier ces formules, Se nous obtiendrons dX, cosQ / dY.sinQ = z du + dx. DE LA LUNE. Ces formules étant encore une fois différentiées, fourniront I X. On voit que par cette réduction, les fin. (p Se cos.p s'en vont partout du calcul, & maintenant nos trois équations fondamentales seront: Ce sont donc nos équations rapportées aux trois coordonnées x, y & Z. Avant que de passer plus loin, substituons ici au lieu de la valeur donnée ci-dessus (§. VI), Se rejettons toujours les termes où x, Se y auraient plus de deux dimensions: alors nos trois équations prendront les formes qui suivent. ARTICLE III. Réduction ultérieure de ces formules à des coordonnées, qui se rapportent à la distance moyenne de la Lune au Soleil. LOMME l'angle BTL marque la véritable élongation de la Lune à l'opposition du Soleil sur l'écliptique, soit p l'élongation moyenne de la Lune au même terme B, Se tirons la droite TC, en sorte que l'angle BTC soit p. Qu'on abaisse sur cette TC de Z la perpendiculaire IX, Se qu'on nomme les trois coordonnées TX, X; XL = Y_(£=._=Z, auxquelles il s'agit de réduire nos trois équations différentielles. Pour cet effet, remarquons que le rapport de dp à dt est donné par les Tables Astronomiques, d'où prenant un intervalle de 30 jours, dp nf ('4î'n".i dp IÎI6(5OI.I on trouve ~ = -——-—T—T~ , ou — = ——— dt 0,1293 3V 4> 5 dt 106444.1 = 12,368897. Je postule, pour abréger, dp = mdt, dès lors que m = 12,3688574. Ces
ultérieure de ces formules à des coordonnées, qui se rapportent à la distance moyenne de la Lune au Soleil. LOMME l'angle BTL marque la véritable élongation de la Lune à l'opposition du Soleil sur l'écliptique, soit p l'élongation moyenne de la Lune au même terme B, Se tirons la droite TC, en sorte que l'angle BTC soit p. Qu'on abaisse sur cette TC de Z la perpendiculaire IX, Se qu'on nomme les trois coordonnées TX, X; XL = Y_(£=._=Z, auxquelles il s'agit de réduire nos trois équations différentielles. Pour cet effet, remarquons que le rapport de dp à dt est donné par les Tables Astronomiques, d'où prenant un intervalle de 30 jours, dp nf ('4î'n".i dp IÎI6(5OI.I on trouve ~ = -——-—T—T~ , ou — = ——— dt 0,1293 3V 4> 5 dt 106444.1 = 12,368897. Je postule, pour abréger, dp = mdt, dès lors que m = 12,3688574. Ces nouvelles coordonnées tiennent aux précédentes les rapports suivants: Se réciproquement, Il sera bon d'avertir ici, qu'il ne faut pas confondre ces lettres majuscules X, Se F avec celles dont je me suis servi au premier article, Se que je regarde comme entièrement oubliées. Pour éviter les calculs trop prolixes, je transformerai encore les deux premières équations du §. X en d'autres, par ces combinaisons, dont la première donnera : Prix de l'Académie 3 tome IX. B ARTICLE IV. Troisième réduction de ces formules, en appliquant à la question proposée. Nos équations différentielles deviendront beaucoup plus simples, si l'on a égard à la théorie du Soleil, par laquelle on fait que /. " ~ = 0,05 & TT = '. Car en substituant ces relations dans les formules trouvées, tous les termes où il n'y a ni X ni Y se détruiront. Nous obtiendrons de là les équations suivantes : En substituant les sinus Se cosinus des angles multiples à la place des produits des sinus Se cosinus de l'angle simple p, ces trois équations différentielles prendront ces formes. ARTICLE V. Dernière réduction de ces formules différentielles. COMME les deux coordonnées F & Z sont toujours très-petites à l'égard de la
transformerai encore les deux premières équations du §. X en d'autres, par ces combinaisons, dont la première donnera : Prix de l'Académie 3 tome IX. B ARTICLE IV. Troisième réduction de ces formules, en appliquant à la question proposée. Nos équations différentielles deviendront beaucoup plus simples, si l'on a égard à la théorie du Soleil, par laquelle on fait que /. " ~ = 0,05 & TT = '. Car en substituant ces relations dans les formules trouvées, tous les termes où il n'y a ni X ni Y se détruiront. Nous obtiendrons de là les équations suivantes : En substituant les sinus Se cosinus des angles multiples à la place des produits des sinus Se cosinus de l'angle simple p, ces trois équations différentielles prendront ces formes. ARTICLE V. Dernière réduction de ces formules différentielles. COMME les deux coordonnées F & Z sont toujours très-petites à l'égard de la troisième X, dont la valeur moyenne est a, il sera bon d'introduire au lieu de ces coordonnées trois autres inconnues qui conservent entr'elles une plus grande égalité : je postule pour cet effet, A' = a ( 1 + 4x) ; Y = ay; Z = az, en avertissant encore qu'il ne faudra pas confondre ces x, y & z avec les coordonnées employées au second article. Cette substitution nous procurera aussi l'avantage de pouvoir développer en général les formules irrationelles qui entrent dans nos équations différentielles, & qui sans cela embarrasseraient beaucoup lorsque nous voudrions en faire l'application aux inégalités des mouvements de la Lune. Négligeant les quatrièmes Se les plus hautes puissances de x, y, & z. Soit maintenant — = A, dont la valeur, quelle qu'elle soit, sera toujours constante, si nous obtiendrons, pour les derniers membres de nos trois équations, de sorte que nos trois équations deviendront, après les avoir divisées par a: En omettant les termes affectés par axx, ayy, axy, axz & ayz, puisque les inégalités qui en dépendent ne pourront pas monter à une seconde. Enfin comme la théorie de la Terre fournit, pour la distance u, cette valeur tt = 1 +
qu'il ne faudra pas confondre ces x, y & z avec les coordonnées employées au second article. Cette substitution nous procurera aussi l'avantage de pouvoir développer en général les formules irrationelles qui entrent dans nos équations différentielles, & qui sans cela embarrasseraient beaucoup lorsque nous voudrions en faire l'application aux inégalités des mouvements de la Lune. Négligeant les quatrièmes Se les plus hautes puissances de x, y, & z. Soit maintenant — = A, dont la valeur, quelle qu'elle soit, sera toujours constante, si nous obtiendrons, pour les derniers membres de nos trois équations, de sorte que nos trois équations deviendront, après les avoir divisées par a: En omettant les termes affectés par axx, ayy, axy, axz & ayz, puisque les inégalités qui en dépendent ne pourront pas monter à une seconde. Enfin comme la théorie de la Terre fournit, pour la distance u, cette valeur tt = 1 + 4v cos t, nous aurons, en négligeant les puissances de v : — = 1 + 2v cos t, d'où en substituant ces valeurs dans nos trois équations différentielles, & en arrangant leurs termes selon leur importance, nous parviendrons enfin aux équations, & qui seront celles dont je me servirai dans les recherches présentes. Équations qui renferment toutes les inégalités du mouvement de la Lune. Tous les autres termes que j'ai négligés ici, sont trop petits pour qu'il en puisse résulteer une erreur de deux à trois secondes dans le lieu de la Lune. Aurefte il sera bon de répéter ici que si l'on prend 2,368,8974 Si par conséquent Ensuite l'unité exprimant ici la distance moyenne de la Terre au Soleil, nous aurons à-peu-près v = 0,0 1 676 et a = 0,002 5 : je dis à-peu-près, car les vraies valeurs de ces rapports se doivent déterminer, lorsqu'on comparera les inégalités trouvées par nos équations à celles que l'observation fournissent. Or ayant trouvé les valeurs de x, y, z, nous obtiendrons pour les coordonnées TX = X = a(i + x) ; LY = Y = ay; lZ = Z = az: De là TL = yl(XX + YY)
dans les recherches présentes. Équations qui renferment toutes les inégalités du mouvement de la Lune. Tous les autres termes que j'ai négligés ici, sont trop petits pour qu'il en puisse résulteer une erreur de deux à trois secondes dans le lieu de la Lune. Aurefte il sera bon de répéter ici que si l'on prend 2,368,8974 Si par conséquent Ensuite l'unité exprimant ici la distance moyenne de la Terre au Soleil, nous aurons à-peu-près v = 0,0 1 676 et a = 0,002 5 : je dis à-peu-près, car les vraies valeurs de ces rapports se doivent déterminer, lorsqu'on comparera les inégalités trouvées par nos équations à celles que l'observation fournissent. Or ayant trouvé les valeurs de x, y, z, nous obtiendrons pour les coordonnées TX = X = a(i + x) ; LY = Y = ay; lZ = Z = az: De là TL = yl(XX + YY) ; TC = V(XX + YY + ZZ); la tangente de l'angle LTX = y / (1 + y) ; Et la tangente de l'angle lCT = y(X + _yy ARTICLE VI Réflexions sur les formules qu'on vient de trouver, XXXVI. QUAND la droite TC est tirée, en sorte que l'angle BTC est égal à l'élongation moyenne de la Lune à l'opposition du Soleil, Si qu'on trouve en additionnant six lignes à la différence des longitudes moyennes du Soleil et de la Lune, on voit qu'en ajoutant à cet angle le petit angle CUL, dont la tangente est, on aura la véritable élongation de la Lune à l'opposition du Soleil; donc, quand on y ajoute encore l'angle BSA, qui exprime l'excès de la longitude vraie du Soleil sur six lignes, on aura la vraie longitude de la Lune dans l'écliptique. Or, la vraie longitude du Soleil étant égale à la moyenne plus son équation du centre, il s'ensuit que pour trouver la vraie longitude de la Lune, on n'a qu'à ajouter à la longitude moyenne premièrement l'angle CTL et de plus cela encore l'équation du centre du Soleil : c'est-à-dire Prix de l'Académie, Tome IX. Longue vraie de la Lune
l'angle BTC est égal à l'élongation moyenne de la Lune à l'opposition du Soleil, Si qu'on trouve en additionnant six lignes à la différence des longitudes moyennes du Soleil et de la Lune, on voit qu'en ajoutant à cet angle le petit angle CUL, dont la tangente est, on aura la véritable élongation de la Lune à l'opposition du Soleil; donc, quand on y ajoute encore l'angle BSA, qui exprime l'excès de la longitude vraie du Soleil sur six lignes, on aura la vraie longitude de la Lune dans l'écliptique. Or, la vraie longitude du Soleil étant égale à la moyenne plus son équation du centre, il s'ensuit que pour trouver la vraie longitude de la Lune, on n'a qu'à ajouter à la longitude moyenne premièrement l'angle CTL et de plus cela encore l'équation du centre du Soleil : c'est-à-dire Prix de l'Académie, Tome IX. Longue vraie de la Lune = Longueur moyenne de la Lune + angle CUL + équation du centre du Soleil. XXXVII. Comme je tâcherai dans la suite de déterminer l'angle CTL aussi exactement qu'on pourra le souhaiter, on comprend que cet angle n'est pas égal à la somme de toutes les équations que les Tables ordinaires contiennent pour la Lune; mais qu'il ne donne que l'excès de cette somme entière sur l'équation du Soleil; ou bien, si nous ajoutons l'équation du Soleil à notre angle CTL, cette somme doit être égale au résultat de toutes les équations dont on se sert ordinairement pour trouver le lieu de la Lune. Je ne parle ici que de la longitude réduite à l'écliptique: la latitude se déterminera aisément par notre troisième coordonnée coordonnée Z, atteinte que la tangente de la latitude de la Lune. Enfin, comme la distance TL = V(XX + YY + ZZ), on en connaîtra aisément, la parallaxe horizontale de la Lune avec son diamètre apparent. XXXVIII. Voilà donc en quoi consiste principalement la différence entre cette nouvelle méthode et celle dont on s'était servi jusqu'ici, où l'on s'était donné toutes les peines imaginables pour trouver les inégalités dans le mouvement de la Lune, chacune