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satellite à Jupiter x Le rayon vecteur de l'orbite du Soleil autour de Jupiter... 1 La longitude du Soleil vu du centre de Jupiter .... 4^, & il n'y aura qu'à mettre dans les expressions de R1, Q1, P1, de l'article X, à la place de (C2, à la place de (A(r1, r2), à la place de rn, à la place de (p1, & supposer pn=o. De cette manière on aura, en vertu de l'action du Soleil R =3 DES SATELLITES DE JUPITER; t.f X IL Donc enjolivant ensemble les forces qui proviennent de l'action des trois satellites (C1), (C2), (C3) du Soleil sur le satellite C1, on aura les valeurs complètes de R1, Q1, P1 exprimées de la manière suivante: Prix de l'Académie de l'Institut de France Tome IX, C 16 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS XIII. Telles sont les expressions des forces perturbatrices du satellite C1, d'où il est facile de déduire celles des trois autres satellites (C2, (C3), (CIV). En effet, un peu de réflexion suffit pour faire voir que les quantités Q1, P1, deviendront Q2, P2, en marquant seulement de deux traits les lettres qui sont marquées d'un trait. De même, l'on aura pour les forces perturbatrices du second satellite les expressions suivantes : On aura pareillement les expressions de R2, Q2, P2, et de R3, Q3, P3, en marquant successivement de trois traits et de quatre traits les lettres qui ne sont marquées que d'un seul trait dans les expressions de R1, Q1, P1, et réciproquement. Il reste à chercher les valeurs des quantités A(rx, r1), A(rT, r1), etc., qui expriment les distances entre le premier satellite et le second, entre le premier et le troisième, etc. (arr. IX). Or il est facile de trouver que on a ainsi des autres. On voit par-là que A(r2, r1) > A(r1, r1), car l'expression de cette dernière quantité demeure la même, en changeant r1, p1, <px en y2, pn, etc., et réciproquement, ce qui est d'ailleurs évident. Pour avoir maintenant la valeur de r1, il n'y aura qu'à changer dans celle de A(r1, r11), r11 en y1, <p"
du second satellite les expressions suivantes : On aura pareillement les expressions de R2, Q2, P2, et de R3, Q3, P3, en marquant successivement de trois traits et de quatre traits les lettres qui ne sont marquées que d'un seul trait dans les expressions de R1, Q1, P1, et réciproquement. Il reste à chercher les valeurs des quantités A(rx, r1), A(rT, r1), etc., qui expriment les distances entre le premier satellite et le second, entre le premier et le troisième, etc. (arr. IX). Or il est facile de trouver que on a ainsi des autres. On voit par-là que A(r2, r1) > A(r1, r1), car l'expression de cette dernière quantité demeure la même, en changeant r1, p1, <px en y2, pn, etc., et réciproquement, ce qui est d'ailleurs évident. Pour avoir maintenant la valeur de r1, il n'y aura qu'à changer dans celle de A(r1, r11), r11 en y1, <p" en -, et effacer la quantité y1 (art. XI); on aura donc ainsi et trouvera pareillement autres. Nous avons supposé (article X) que l'attraction de Jupiter sur les satellites était exactement en raison inverse du carré des distances; c'est ce qui n'est rigoureusement vrai, qu'en regardant Jupiter comme un globe de densité uniforme. Or on fait par les observations et par la théorie, que cette Planète est considérablement aplatie; de plus, il peut se faire qu'elle ne soit pas partout de la même densité; deux circonstances qui peuvent aussi influer sur le mouvement des satellites, et auxquelles il est bon par conséquent d'avoir égard ici. Pour cela nous supposerons 1° que la figure de Jupiter soit celle d'un sphéroïde elliptique peu différent d'une sphère; 2° que ce sphéroïde soit formé d'une infinité de couches toutes sphéroïdiques, de densités différentes. 3° Que l'équateur de Jupiter soit dans le plan de l'orbite de cette Planète. Cette dernière supposition n'est pas tout à fait exacte, car on sait que l'équateur de Jupiter est incliné d'environ trois degrés sur le plan de son orbite; mais l'erreur qui en résulte est si petite qu'il serait superflu d'en tenir compte. Cela pose, soit A le demi
de densité uniforme. Or on fait par les observations et par la théorie, que cette Planète est considérablement aplatie; de plus, il peut se faire qu'elle ne soit pas partout de la même densité; deux circonstances qui peuvent aussi influer sur le mouvement des satellites, et auxquelles il est bon par conséquent d'avoir égard ici. Pour cela nous supposerons 1° que la figure de Jupiter soit celle d'un sphéroïde elliptique peu différent d'une sphère; 2° que ce sphéroïde soit formé d'une infinité de couches toutes sphéroïdiques, de densités différentes. 3° Que l'équateur de Jupiter soit dans le plan de l'orbite de cette Planète. Cette dernière supposition n'est pas tout à fait exacte, car on sait que l'équateur de Jupiter est incliné d'environ trois degrés sur le plan de son orbite; mais l'erreur qui en résulte est si petite qu'il serait superflu d'en tenir compte. Cela pose, soit A le demi axe d'une couche quelconque, E son ellipticité, et D sa densité; on trouvera par les théorèmes de la figure de la Terre de M. Clairaut (§.XXVI et XLVI seconde Partie) que l'attraction de Jupiter sur un satellite quelconque produit deux forces: l'une dirigée au centre de Jupiter et l'autre perpendiculaire à cette direction dans le plan d'un méridien. La partie de la première de ces deux forces, étant réciproquement proportionnelle au carré de la distance, doit être comparée à la force N (art. X), d'où l'on aura y = -2(r)(DA1dA + fDd.(AE)). L'autre partie de la même force: ** x=ip fDd. (AE), ainsi bien que la force perpendiculaire **p =fDd. (AOE), devront être regardées comme des forces perturbatrices, et par conséquent décomposées suivant les directions de R, Q, P; cette décomposition étant faite, on aura les deux forces suivantes ** X r=rrz fDd. (AE), dans la direction de la force R, et ** X =^/Dd,{AOE) dans la direction de la force P; donc si on suppose v=-2(/i) (DA1dA, E), les forces perturbatrices R & P qui résultent de l'aplatissement de Jupiter, et de l'hétérogénéité de ses couches, seront en général ** 7=~^Jj^p et par conséquent uHi-i-p^l d'où l'on tire, par
à cette direction dans le plan d'un méridien. La partie de la première de ces deux forces, étant réciproquement proportionnelle au carré de la distance, doit être comparée à la force N (art. X), d'où l'on aura y = -2(r)(DA1dA + fDd.(AE)). L'autre partie de la même force: ** x=ip fDd. (AE), ainsi bien que la force perpendiculaire **p =fDd. (AOE), devront être regardées comme des forces perturbatrices, et par conséquent décomposées suivant les directions de R, Q, P; cette décomposition étant faite, on aura les deux forces suivantes ** X r=rrz fDd. (AE), dans la direction de la force R, et ** X =^/Dd,{AOE) dans la direction de la force P; donc si on suppose v=-2(/i) (DA1dA, E), les forces perturbatrices R & P qui résultent de l'aplatissement de Jupiter, et de l'hétérogénéité de ses couches, seront en général ** 7=~^Jj^p et par conséquent uHi-i-p^l d'où l'on tire, par rapport au premier satellite et par rapport au second satellite, Il n'y aura donc qu'à ajouter ces valeurs à celles des articles XII et XIII. Au reste, comme l'aplatissement de Jupiter n'est que d'environ -1, suivant les dernières observations, la quantité E sera fort petite, ainsi bien que la quantité y, de plus le rapport de A1 à r2 sera toujours exprimé par une fraction fort petite; de sorte que les forces perturbatrices, dont nous venons de parler, seront nécessairement très-petites. Si on suppose D constant, on aura v=-2(-1). En général, quelle que soit D, on aura, par les conditions de l'équilibre, fDd.(AE)= A^E - fDA^dA, (étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur, sous l'équateur); donc v= E - (-1) à-très-peu-près. Il faut maintenant développer les expressions des forces perturbatrices Px, Qy, Rz, en employant les suppositions de l'article V. Pour cela nous remarquerons d'abord que nous pouvons négliger dans ce calcul tous les termes de l'ordre n^2, parce que les quantités P, Q, R sont déjà elles-mêmes de l'ordre n, comme nous le verrons plus bas. Donc mettant premièrement dans la valeur de A(rT, rn), art. XIV, au lieu de r1, r1+HX1), au lieu de p1,
y, de plus le rapport de A1 à r2 sera toujours exprimé par une fraction fort petite; de sorte que les forces perturbatrices, dont nous venons de parler, seront nécessairement très-petites. Si on suppose D constant, on aura v=-2(-1). En général, quelle que soit D, on aura, par les conditions de l'équilibre, fDd.(AE)= A^E - fDA^dA, (étant le rapport de la force centrifuge à la pesanteur, sous l'équateur); donc v= E - (-1) à-très-peu-près. Il faut maintenant développer les expressions des forces perturbatrices Px, Qy, Rz, en employant les suppositions de l'article V. Pour cela nous remarquerons d'abord que nous pouvons négliger dans ce calcul tous les termes de l'ordre n^2, parce que les quantités P, Q, R sont déjà elles-mêmes de l'ordre n, comme nous le verrons plus bas. Donc mettant premièrement dans la valeur de A(rT, rn), art. XIV, au lieu de r1, r1+HX1), au lieu de p1, m1, 1; et de même, au lieu de r2, (1 + nxn) et au lieu de pn, m1v, suivant ce que nous avons dit à l'art. IX, on aura: Et ainsi des autres. Mais il se présente ici une difficulté, par rapport aux quantités (cI; - ia) / cos.(pn - (p1)-^11)-1, Cai - 2a1 cos.(q2n - <pT)-+-(z")-1 Sec; c'est de pouvoir les réduire à une forme rationnelle; condition absolument nécessaire pour l'intégration des équations des satellites. Pour résoudre cette difficulté, on écrira d'abord les radicaux proposés ainsi : \(x^2 - coffre 1\) \(p^2 - q^2\) \(i; aix^2 - coffre pu - qi + 1\). Si la question se réduit à changer en une fonction rationnelle, une quantité de cette forme \((i - iq coff. G - t - j)\), dans laquelle \(q\) est un nombre moindre que l'unité. Pour y parvenir, je remarque que la quantité \(i - a\) \(coff. O - hfm. 8 V - i\), et \(i - q\) \(coff - fin. 8 V - i\) ; je les élève donc l'une et l'autre à la puissance \(-A\), en écrivant au lieu du carré de \(coff.\), \(O - hfm. 8 V - i\), et ainsi de suite ;
(p1)-^11)-1, Cai - 2a1 cos.(q2n - <pT)-+-(z")-1 Sec; c'est de pouvoir les réduire à une forme rationnelle; condition absolument nécessaire pour l'intégration des équations des satellites. Pour résoudre cette difficulté, on écrira d'abord les radicaux proposés ainsi : \(x^2 - coffre 1\) \(p^2 - q^2\) \(i; aix^2 - coffre pu - qi + 1\). Si la question se réduit à changer en une fonction rationnelle, une quantité de cette forme \((i - iq coff. G - t - j)\), dans laquelle \(q\) est un nombre moindre que l'unité. Pour y parvenir, je remarque que la quantité \(i - a\) \(coff. O - hfm. 8 V - i\), et \(i - q\) \(coff - fin. 8 V - i\) ; je les élève donc l'une et l'autre à la puissance \(-A\), en écrivant au lieu du carré de \(coff.\), \(O - hfm. 8 V - i\), et ainsi de suite ; j'ai \((i - q\) \(coff. + ;_//_. 6 V"--i\)\(-A = 1 + A q\). Or si on fait les carrés des deux suites \(M\) et \(N\), qu'on ajoute ensemble les termes qui ont le même coefficient ; et qu'on remarque que \(cof m \times x \times t\). \(\hat{fin. m \times xj}\). \(#9\) est \(=cof(m-r-n)\), \(G\), et \(z\) étant des nombres quelconques, on trouvera \((i-qcof^q1)^2=A^2 + B coffA - Ccof 2^ - Dcof 3^ + Sec. Et les coefficients \(A, B, C\), Sec. seront exprimés de la manière suivante. DES SATELLITES DE JUPITER. Et ainsi de suite. Au reste il ne sera nécessaire que de connaître les deux premiers coefficients \(A, B\), pour avoir tous les autres \(C, D\), Sec. car on trouvera par les formules de l'article XXVI de la Pièce sur le mouvement de Saturne (Prix 1748) Tout consiste donc à déterminer les valeurs de \(A, B\). Or, dans la théorie des satellites de Jupiter, la plus grande valeur de \(j\) d'environ \(\pm 1\), comme on le verra plus bas ; donc \(q^2\) sera toujours moindre que \(j\) donc si on fait \(A=f\), les suites \(A\) & \(B\) seront allez convergentes pour qu'on puisse se contenter d'un petit nombre
xj}\). \(#9\) est \(=cof(m-r-n)\), \(G\), et \(z\) étant des nombres quelconques, on trouvera \((i-qcof^q1)^2=A^2 + B coffA - Ccof 2^ - Dcof 3^ + Sec. Et les coefficients \(A, B, C\), Sec. seront exprimés de la manière suivante. DES SATELLITES DE JUPITER. Et ainsi de suite. Au reste il ne sera nécessaire que de connaître les deux premiers coefficients \(A, B\), pour avoir tous les autres \(C, D\), Sec. car on trouvera par les formules de l'article XXVI de la Pièce sur le mouvement de Saturne (Prix 1748) Tout consiste donc à déterminer les valeurs de \(A, B\). Or, dans la théorie des satellites de Jupiter, la plus grande valeur de \(j\) d'environ \(\pm 1\), comme on le verra plus bas ; donc \(q^2\) sera toujours moindre que \(j\) donc si on fait \(A=f\), les suites \(A\) & \(B\) seront allez convergentes pour qu'on puisse se contenter d'un petit nombre de termes. Ces suites seront représentées en général par celles-ci dont les coefficients numériques sont très aisés à calculer. Voici les logarithmes de ces coefficients pour les différentes puissances de \(q\) qui entrent dans les deux suites dont il s'agit ; les logarithmes qui répondent aux puissances paires de \(q\) sont ceux des coefficients des termes de la suite \(A\) ; et les logarithmes qui répondent aux puissances impaires de \(q\) sont ceux des coefficients des termes de la suite \(B\) Et ainsi de suite. Il ne s'agira donc plus que d'ajouter à chacun de ces logarithmes celui de la puissance correspondante de \(q\), et de chercher ensuite le nombre qui répond à chaque. Comme on aura ainsi les valeurs d'autant de termes des deux suites \(A\) et \(B\) qu'on voudra, d'où l'on pourra tirer pour \(A\) et \(B\) des valeurs aussi approchées qu'on le croira nécessaire. Pour juger de la quantité de l'approximation, on remarquera que les différences des logarithmes de la table précédente forment une progression décroissante, d'où il suit que si après avoir pris la somme d'un nombre quelconque de termes de la suite \(A\) ou \(B\), on regarde le reste de la suite comme une progression
sont ceux des coefficients des termes de la suite \(A\) ; et les logarithmes qui répondent aux puissances impaires de \(q\) sont ceux des coefficients des termes de la suite \(B\) Et ainsi de suite. Il ne s'agira donc plus que d'ajouter à chacun de ces logarithmes celui de la puissance correspondante de \(q\), et de chercher ensuite le nombre qui répond à chaque. Comme on aura ainsi les valeurs d'autant de termes des deux suites \(A\) et \(B\) qu'on voudra, d'où l'on pourra tirer pour \(A\) et \(B\) des valeurs aussi approchées qu'on le croira nécessaire. Pour juger de la quantité de l'approximation, on remarquera que les différences des logarithmes de la table précédente forment une progression décroissante, d'où il suit que si après avoir pris la somme d'un nombre quelconque de termes de la suite \(A\) ou \(B\), on regarde le reste de la suite comme une progression géométrique, l'erreur sera toujours moindre que la somme de cette progression. Au reste dans le cas même où \(q\) sera la plus grande (ce cas est celui où \(q=-0,04\), comme on le verra dans la suite) il suffira de prendre les dix premiers termes des suites \(A\) et \(B\), pour avoir les valeurs de ces coefficients en millions, c'est-à-dire aux dix-millièmes près, et en prenant encore trois ou quatre termes, on pourra l'exactitude jusqu'aux dix-millièmes et au-delà. Ayant ainsi les valeurs des coefficients \(A, B, C, D\), de la suite qui représente \((1 - xqcof. 1) + q\), on trouvera aisément ceux de la suite qui exprime \((-xqcof. 1)^{-1}\), car dénotant ces derniers par \((A)\), \((B)\), \((C)\), Sec. il faudra que la suite \((A)+(B)t^2)+(C) cof 28-t\), étant multipliée par \(1 - xqcof 1\), devienne égale à la suite \(A+-Bcof.Q+-Ccof 3+-Sec\). La multiplication faite, on trouvera, en comparant les deux premiers termes : Or \((C)\) est donné en \((A)\) et \((B)\) de la même manière que \(C\) est donné en \(A\) et \(B\) ; il suffira pour cela de mettre dans l'expression de \(C\) (art. XVIII), \((A)\) au lieu de \(A\), \((B)\) au lieu de \(B\), \((C)\) au lieu de \(C\),
avoir les valeurs de ces coefficients en millions, c'est-à-dire aux dix-millièmes près, et en prenant encore trois ou quatre termes, on pourra l'exactitude jusqu'aux dix-millièmes et au-delà. Ayant ainsi les valeurs des coefficients \(A, B, C, D\), de la suite qui représente \((1 - xqcof. 1) + q\), on trouvera aisément ceux de la suite qui exprime \((-xqcof. 1)^{-1}\), car dénotant ces derniers par \((A)\), \((B)\), \((C)\), Sec. il faudra que la suite \((A)+(B)t^2)+(C) cof 28-t\), étant multipliée par \(1 - xqcof 1\), devienne égale à la suite \(A+-Bcof.Q+-Ccof 3+-Sec\). La multiplication faite, on trouvera, en comparant les deux premiers termes : Or \((C)\) est donné en \((A)\) et \((B)\) de la même manière que \(C\) est donné en \(A\) et \(B\) ; il suffira pour cela de mettre dans l'expression de \(C\) (art. XVIII), \((A)\) au lieu de \(A\), \((B)\) au lieu de \(B\), \((C)\) au lieu de \(C\), et \(A-t\) au lieu de \(A\); ce qui donnera \((C)=\), et donc si on substitue cette valeur de \((C)\), on aura deux équations en \(A, B, (A), (B)\), d'où l'on tirera \((A)=\), \((B)=\). Connaissant \((A)\) et \((B)\), on connaît tous les suivants (art. XVIII). De ce qu'on vient de démontrer, il suit qu'on peut supposer : Je entends par \(r (1, j)\), \(r (2, j)\), \(r (3, j)\), \(r (a, j)\), \(r (b, j)\), \(r (c, j)\), \(r (d, j)\), \(r (e, j)\), \(r (f, j)\), \(r (g, j)\), \(r (h, j)\), \(r (i, j)\), \(r (j, j)\), \(r (k, j)\), \(r (l, j)\), \(r (m, j)\), \(r (n, j)\), \(r (o, j)\), \(r (p, j)\), \(r (q, j)\), \(r (r, j)\), \(r (s, j)\), \(r (t, j)\), \(r (u, j)\), \(r (v, j)\), \(r (w, j)\), \(r (x, j)\), \(r (y, j)\), \(r (z, j)\), \(A^1 (a, b)\), \(A^1 (c, d)\), \(A^2 (a, b)\), Sec. des fonctions données de \(a\), \(b\), dont on trouvera la valeur par les méthodes des articles précédents. Donc si on fait ces substitutions dans la quantité (art. XVII), et qu'on développe les produits des sinus et des cosinus, on trouvera DES SATELLITES DE JUPITER.
il suit qu'on peut supposer : Je entends par \(r (1, j)\), \(r (2, j)\), \(r (3, j)\), \(r (a, j)\), \(r (b, j)\), \(r (c, j)\), \(r (d, j)\), \(r (e, j)\), \(r (f, j)\), \(r (g, j)\), \(r (h, j)\), \(r (i, j)\), \(r (j, j)\), \(r (k, j)\), \(r (l, j)\), \(r (m, j)\), \(r (n, j)\), \(r (o, j)\), \(r (p, j)\), \(r (q, j)\), \(r (r, j)\), \(r (s, j)\), \(r (t, j)\), \(r (u, j)\), \(r (v, j)\), \(r (w, j)\), \(r (x, j)\), \(r (y, j)\), \(r (z, j)\), \(A^1 (a, b)\), \(A^1 (c, d)\), \(A^2 (a, b)\), Sec. des fonctions données de \(a\), \(b\), dont on trouvera la valeur par les méthodes des articles précédents. Donc si on fait ces substitutions dans la quantité (art. XVII), et qu'on développe les produits des sinus et des cosinus, on trouvera DES SATELLITES DE JUPITER. RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS On aura la quantité exprimée de la manière suivante: On trouvera de même, en changeant simplement x en r, a en um, <p en <pin, et x en x III, Et pareillement, XXIII. Cela posé, on aura : DES SATELLITES DE JUPITER. RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS Enfin multipliant la même quantité par (1+<p")/(1+$'), on aura: DES SATELLITES DE JUPITER; XXIV. Soit maintenant XXXIV. C'est la valeur de la force R1 qui résulte de l'action du satellite (C2, art. X). XXV. Soit de plus XXVI. C'est la valeur de la force Q1, en tant qu'elle vient de l'action du satellite (C3, art. X). XXVII. C'est la partie de force P1, qui vient de l'action du même satellite (C4, art. X). On changera maintenant dans les expressions précédentes les quantités x1, a1, <p1, x1, z1, et en xIV, alv, cplv, xiv, et en <IV, suivantment, et l'on aura les valeurs de R1, Q1, P1, dues à l'action des satellites C1, CIV. Il ne reste donc plus qu'à chercher les valeurs de ces mêmes forces, en tant qu'elles viennent de l'action du Soleil. Pour cela nous remarquerons d'abord que le rayon r1 de l'orbite de Jupiter est considérablement plus
Enfin multipliant la même quantité par (1+<p")/(1+$'), on aura: DES SATELLITES DE JUPITER; XXIV. Soit maintenant XXXIV. C'est la valeur de la force R1 qui résulte de l'action du satellite (C2, art. X). XXV. Soit de plus XXVI. C'est la valeur de la force Q1, en tant qu'elle vient de l'action du satellite (C3, art. X). XXVII. C'est la partie de force P1, qui vient de l'action du même satellite (C4, art. X). On changera maintenant dans les expressions précédentes les quantités x1, a1, <p1, x1, z1, et en xIV, alv, cplv, xiv, et en <IV, suivantment, et l'on aura les valeurs de R1, Q1, P1, dues à l'action des satellites C1, CIV. Il ne reste donc plus qu'à chercher les valeurs de ces mêmes forces, en tant qu'elles viennent de l'action du Soleil. Pour cela nous remarquerons d'abord que le rayon r1 de l'orbite de Jupiter est considérablement plus grand que le rayon r de l'orbite d'un satellite quelconque, d'où il suit que la valeur de JS, qui est exprimée généralement par vy*(4-2pV)/(4-py+2-ri-pz) (art. XV) se réduira en une suite très convergente, dont il suffira de prendre les premiers termes; on aura donc: XXVIII. Soit à présent: La valeur moyenne de ix.;..... a. La valeur moyenne de -, c'est-à-dire, la vitesse angulaire moyenne de Jupiter autour du Soleil; On suppose, à l'imitation de ce que nous avons fait (art. IV), x = <i4-/*£) Et "....... 41 — m* Dans ces formules, #£ représente l'équation de la distance de Jupiter au Soleil, et « l'équation du centre de Jupiter, lesquelles sont connues par la théorie de cette Planète. En effet, en n'ayant égard qu'aux équations elliptiques, et supposant que ne soit l'excentricité, et U l'anomalie moyenne, on a à-très-peu-près g = e cos.U, et / = - ie sin.U. DES SATELLITES DE JUPITER. XXX. Ce sont les valeurs des forces R1, Q1, P1, qui viennent de l'action du Soleil (art. XI). XXIX. En joignant ensemble toutes ces différentes valeurs, on aura les valeurs complètes des forces R1, Q1, P1 exprimées de la manière suivante. RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS DES SATELLITES
moyenne de ix.;..... a. La valeur moyenne de -, c'est-à-dire, la vitesse angulaire moyenne de Jupiter autour du Soleil; On suppose, à l'imitation de ce que nous avons fait (art. IV), x = <i4-/*£) Et "....... 41 — m* Dans ces formules, #£ représente l'équation de la distance de Jupiter au Soleil, et « l'équation du centre de Jupiter, lesquelles sont connues par la théorie de cette Planète. En effet, en n'ayant égard qu'aux équations elliptiques, et supposant que ne soit l'excentricité, et U l'anomalie moyenne, on a à-très-peu-près g = e cos.U, et / = - ie sin.U. DES SATELLITES DE JUPITER. XXX. Ce sont les valeurs des forces R1, Q1, P1, qui viennent de l'action du Soleil (art. XI). XXIX. En joignant ensemble toutes ces différentes valeurs, on aura les valeurs complètes des forces R1, Q1, P1 exprimées de la manière suivante. RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS DES SATELLITES DE JUPITER. Il ne reste plus qu'à substituer pour <p1, <p", <pIII, <pIV, et pour leurs valeurs, <i4-»/, <"/4-»yi, <i4III*4-#y 11, <iV/4-»yv, et met-t-nj-, ce qui est très facile, car il n'y aura qu'à changer <p1, <p", <pIII, <pIV, en <i, <x"/, p,1"/, <iivt, <w/, et ajouter ensuite aux expressions de R1 et Q1 les quantités suivantes. Pour trouver les valeurs de x", Q", P", il ne faudra qu'ajouter un trait aux lettres qui n'en ont qu'un, et en ôter un à celles qui en ont deux; et ainsi des autres quantités R1, Q" 1, P 11, R" 2, Q1V, PIV, (art. XIII). À l'égard des forces perturbatrices qui viennent de la non-sphéricité de Jupiter, on trouvera, en négligeant dans les formules de l'art. XVI, ce qu'on y doit négliger, qu'il faut ajouter aux valeurs de R1 et P1 les quantités suivantes: Appliquons maintenant ces formules au premier Satellite. Nous aurons d'abord en substituant la valeur de R1 (art. XXVIII). Prix de l'Académie, Tome IX, RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS DES SATELLITES DE JUPITER. En multipliant la valeur de Q1 par 4nx1, et faisant pour abréger: On aura, après l'intégration et la substitution, RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS Enfin si l'on fait: