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examinerai les lois de la stabilité & des oscillations de deux solides, entre lesquels le Vaisseau de Paris est compris. Le premier solide est un parallélépipède rectangle F R Z I Y H & S (fig. 15), le second est une espèce d'ellipsoïde (fig. 26), qui a pour plan de flottaison l'ellipse A D B E, pour coupe longitudinale la demie ellipse A V B, & qui est formé d'une suite de demi-ellipses verticales & perpendiculaires à la demi-ellipse A F B. Nous supposerons que dans l'un & l'autre solide, la longueur A B est de 175 pieds, la largeur D E de 48 pieds, la profondeur C F de 40 pieds, en nombres ronds. Pour mettre de la clarté dans notre recherche, nous la diviserons en plusieurs articles. ARTICLE I. Stabilité du Vaisseau, La limite de la plus grande hauteur du centre de gravité de la charge au-dessus de celui de la carène, est déterminée en général (§. XLII), par ces équations : h = -, lorsqu'il s'agit des mouvements de tangage ; h = -, lorsqu'il s'agit des mouvements de roulis & de rotation horizontale. La question est de trouver les valeurs des quantités M, I, 7, dans le cas de nos deux solides. Supposons en général la longueur A B = x a, la largeur D E = y b, la profondeur C F = z c. Dans le parallélépipède, on a M = 4 abc. Supposons que, en vertu du mouvement de tangage, la partie E D Z I du plan de flottaison prenne la position E D z, & imaginons que l'onglet E D Z I z, est composé d'une infinité de triangles pris perpendiculaires à D E. Il est clair qu'en nommant, comme ci-dessus, z l'angle de rotation de tangage pour le rayon 1, & faisant C p = y 3, le moment élémentaire de l'onglet, par rapport à D E, est – x j adj x – ; donc la quantité a!^=ixf–x^aay=-^–, en supposant y = b après l'intégration. On trouvera de même que la quantité h = – = 124 pieds pour
le cas de nos deux solides. Supposons en général la longueur A B = x a, la largeur D E = y b, la profondeur C F = z c. Dans le parallélépipède, on a M = 4 abc. Supposons que, en vertu du mouvement de tangage, la partie E D Z I du plan de flottaison prenne la position E D z, & imaginons que l'onglet E D Z I z, est composé d'une infinité de triangles pris perpendiculaires à D E. Il est clair qu'en nommant, comme ci-dessus, z l'angle de rotation de tangage pour le rayon 1, & faisant C p = y 3, le moment élémentaire de l'onglet, par rapport à D E, est – x j adj x – ; donc la quantité a!^=ixf–x^aay=-^–, en supposant y = b après l'intégration. On trouvera de même que la quantité h = – = 124 pieds pour les mouvements de tangage; h = – = 52 pieds pour les mouvements de roulis, On voit que le métacentre est placé à très peu près sur le plan de flottaison ; car la position de ce point doit toujours être déterminée relativement aux mouvements de roulis, comme nous l'avons remarqué §. XLII. Fig. 26. Dans le solide ellipsoïdal, toutes les sections L K I parallèles à la demi-ellipse latitudinale E F D sont des demi-ellipses semblables à cette demi-ellipse E F D ; & toutes les sections R Y S parallèles à la demi-ellipse longitudinale A V B sont des demi-ellipses semblables à cette demi-ellipse A F B. Cela est trop facile à démontrer pour s'y arrêter. Supposons le rapport de la circonférence au diamètre = n, C P = x : on aura l'aire E F D = – 9 P L = F a a – x x, P K = F a a – x x, l'aire L K I = – . Donc le élément du solide est – dont l'intégrale est z a a ° x 6 a'. Supposant x = a. & doublant l'intégrale, on aura – pour la valeur de M. De
remarqué §. XLII. Fig. 26. Dans le solide ellipsoïdal, toutes les sections L K I parallèles à la demi-ellipse latitudinale E F D sont des demi-ellipses semblables à cette demi-ellipse E F D ; & toutes les sections R Y S parallèles à la demi-ellipse longitudinale A V B sont des demi-ellipses semblables à cette demi-ellipse A F B. Cela est trop facile à démontrer pour s'y arrêter. Supposons le rapport de la circonférence au diamètre = n, C P = x : on aura l'aire E F D = – 9 P L = F a a – x x, P K = F a a – x x, l'aire L K I = – . Donc le élément du solide est – dont l'intégrale est z a a ° x 6 a'. Supposant x = a. & doublant l'intégrale, on aura – pour la valeur de M. De plus nous avons besoin de connaître le centre de gravité du solide M. Ce centre est évidemment placé en quelque point G sur l'axe vertical C F. Or on fait, par la simple Géométrie élémentaire, que le moment de la demi-ellipse L K I par rapport au point P est exprimé par C P Z x P K. Donc le moment élémentaire du solide A D E C, par rapport à l'axe A B, est exprimé par x – dx (a a – x x). Pour intégrer cette quantité, on remarquera que dx (a a – x x) = a a dx F a a – x x – XX dx F a a – x x ; que d(x (a a – x x)) = – 1 – x xd F a a – x x ; que par conséquent (a a – x x) – dx = f d x {a a – x x} = – x – d F a a – x x, donc l'intégrale qui est complète, parce qu'elle doit s'évanouir lors que X = 0. Supposant x = a, le premier terme s'évanouit, & le second devient un quart de cercle dont a
exprimé par C P Z x P K. Donc le moment élémentaire du solide A D E C, par rapport à l'axe A B, est exprimé par x – dx (a a – x x). Pour intégrer cette quantité, on remarquera que dx (a a – x x) = a a dx F a a – x x – XX dx F a a – x x ; que d(x (a a – x x)) = – 1 – x xd F a a – x x ; que par conséquent (a a – x x) – dx = f d x {a a – x x} = – x – d F a a – x x, donc l'intégrale qui est complète, parce qu'elle doit s'évanouir lors que X = 0. Supposant x = a, le premier terme s'évanouit, & le second devient un quart de cercle dont a est le rayon. Donc, en nommant toujours n le rapport de la circonférence au diamètre, le moment du solide A D F E, par rapport à A B, est exprimé par Doublant cette quantité, & divisant par – –, valeur du solide entier M, on aura c pour la distance CG du centre de gravité au point C. Enfin imaginons que l'onglet formé pour la rotation de l'aire E D B autour de E D, est composé d'une infinité de triangles pris perpendiculaires à l'axe E D. En faisant C p = y, & par conséquent p = – b b – y y, il est clair que le moment élémentaire du demi-onglet, par rapport à E D, est – x b d y x – d'où il suit que t! = y b – y h é, en supposant y = b après l'intégration. On trouvera, par la même méthode dont on vient de servir, que Pareillement. Donc on aura 8.8 m pieds pour les mouvements de tangage, et 10 m pieds pour les mouvements de roulis. Ainsi la hauteur du métacentre au-dessus du centre de gravité de la carène, est de 10 pieds 5 centimètres. Et comme ce
CG du centre de gravité au point C. Enfin imaginons que l'onglet formé pour la rotation de l'aire E D B autour de E D, est composé d'une infinité de triangles pris perpendiculaires à l'axe E D. En faisant C p = y, & par conséquent p = – b b – y y, il est clair que le moment élémentaire du demi-onglet, par rapport à E D, est – x b d y x – d'où il suit que t! = y b – y h é, en supposant y = b après l'intégration. On trouvera, par la même méthode dont on vient de servir, que Pareillement. Donc on aura 8.8 m pieds pour les mouvements de tangage, et 10 m pieds pour les mouvements de roulis. Ainsi la hauteur du métacentre au-dessus du centre de gravité de la carène, est de 10 pieds 5 centimètres. Et comme ce dernier point est au-dessus du plan de flottaison, de 7 m 7 pieds, il s'ensuit que le métacentre est élevé au-dessus du plan de flottaison, de 3 m pieds. Comme le vaisseau la Ville de Paris approche plus du solide elliptique que du parallélépipède, on doit conclure que son métacentre est élevé au-dessus du plan de flottaison, d'environ 1 ou 1 m pieds. ARTICLE.II. Amplitude des oscillations du vaisseau. Nous venons de voir que le métacentre de notre vaisseau est placé aux environs du plan de flottaison. Ainsi il convient de placer le centre de gravité de la charge au-dessous de ce même plan. Supposons que la charge totale soit distribuée uniformément, de manière que son centre de gravité se confonde avec celui de la carène. De l'examen de ce cas simple naîtront les observations qu'on doit faire, lorsqu'il faut avoir égard à la distribution réelle de la charge. Les mouvements absolus de tangage et de roulis sont exprimés (§. XLI), par ces équations Si il n'y a point de rotation horizontale, parce qu'il est évident que la quantité £=0. Comme on suppose le centre de gravité de la charge réuni à celui de la carène, on a h=s, et
est élevé au-dessus du plan de flottaison, d'environ 1 ou 1 m pieds. ARTICLE.II. Amplitude des oscillations du vaisseau. Nous venons de voir que le métacentre de notre vaisseau est placé aux environs du plan de flottaison. Ainsi il convient de placer le centre de gravité de la charge au-dessous de ce même plan. Supposons que la charge totale soit distribuée uniformément, de manière que son centre de gravité se confonde avec celui de la carène. De l'examen de ce cas simple naîtront les observations qu'on doit faire, lorsqu'il faut avoir égard à la distribution réelle de la charge. Les mouvements absolus de tangage et de roulis sont exprimés (§. XLI), par ces équations Si il n'y a point de rotation horizontale, parce qu'il est évident que la quantité £=0. Comme on suppose le centre de gravité de la charge réuni à celui de la carène, on a h=s, et nos deux équations deviennent Dans le parallélépipède, on a, par l'article précédent, M 6c M 6c, r r 1 Fig.1 En supposant, par exemple, que par quelque coup de vent ou quelque coup de lame, ou par quelque bouffée de vent, le centre de gravité de la carène se soit écarté de 4 pouces de la coupe latitudinale et de la coupe longitudinale, c'est-à-dire, h=4 pou., k=4 pou.: on trouvera Dans le solide elliptique, on a, en supposant toujours h=4 pouces, k=4 pouces: on trouvera On sent assez qu'on n'a supposé chacune des lignes h et k de 4 pouces, que pour faire une application des formules à un cas particulier. Les valeurs de ces lignes ne sont pas faciles à déterminer directement en général. Mais si au lieu de conclure les angles Z et Y des valeurs supposées connues de h et k, on suppose au contraire les angles Z et Y donnés par des observations immédiates; il est évident que par nos formules on connaît h et k, c'est-à-dire les bras de levier de la poussée verticale de l'eau pour ramener le vaisseau à sa situation d'équilibre. Cette connaissance est utile en plusieurs occasions, comme par exemple, quand
écarté de 4 pouces de la coupe latitudinale et de la coupe longitudinale, c'est-à-dire, h=4 pou., k=4 pou.: on trouvera Dans le solide elliptique, on a, en supposant toujours h=4 pouces, k=4 pouces: on trouvera On sent assez qu'on n'a supposé chacune des lignes h et k de 4 pouces, que pour faire une application des formules à un cas particulier. Les valeurs de ces lignes ne sont pas faciles à déterminer directement en général. Mais si au lieu de conclure les angles Z et Y des valeurs supposées connues de h et k, on suppose au contraire les angles Z et Y donnés par des observations immédiates; il est évident que par nos formules on connaît h et k, c'est-à-dire les bras de levier de la poussée verticale de l'eau pour ramener le vaisseau à sa situation d'équilibre. Cette connaissance est utile en plusieurs occasions, comme par exemple, quand on a besoin de comparer l'effort des ailes ou des soles de vent avec la poussée verticale de l'eau. Les mouvements de tangage sont fort petits. Ceux de roulis sont plus conséquents. Comme le centre de gravité de la charge totale est toujours placé au-dessous de celui de la carène, dans les vaisseaux de guerre, les mouvements de tangage et de roulis du vaisseau la Ville de Paris pourront être plus sensibles qu'on ne vient de les trouver. ARTICLE III. Durée des oscillations du vaisseau. Nous continuerons de supposer que le centre de gravité de la charge totale est confondu avec celui de la carène, comme dans l'article précédent. Les trois axes GC, GQ, GT sont ici les mêmes respectivement que les trois axes désignés par les mêmes lettres dans la figure 13 : seulement on en a changé la perspective, pour faire mieux voir les autres lignes dont on a besoin; mais cela ne doit produire aucun embarras. Il suffit d'en être averti. Les temps des mouvements de tangage et de roulis sont représentés (§. XLIV), par ces équations Il s'agit de trouver les quantités F et Q, c'est-à-dire, les sommes des produits des particules de chaque solide par
dans les vaisseaux de guerre, les mouvements de tangage et de roulis du vaisseau la Ville de Paris pourront être plus sensibles qu'on ne vient de les trouver. ARTICLE III. Durée des oscillations du vaisseau. Nous continuerons de supposer que le centre de gravité de la charge totale est confondu avec celui de la carène, comme dans l'article précédent. Les trois axes GC, GQ, GT sont ici les mêmes respectivement que les trois axes désignés par les mêmes lettres dans la figure 13 : seulement on en a changé la perspective, pour faire mieux voir les autres lignes dont on a besoin; mais cela ne doit produire aucun embarras. Il suffit d'en être averti. Les temps des mouvements de tangage et de roulis sont représentés (§. XLIV), par ces équations Il s'agit de trouver les quantités F et Q, c'est-à-dire, les sommes des produits des particules de chaque solide par les carrés de leurs distances aux deux axes horizontaux GQ, GT. La quantité £=0. Soient LXxl une section quelconque du parallélépipède, Fig.17 Faite perpendiculairement à sa longueur, PK la rencontre de cette section avec la coupe longitudinale ABba; Nn un élément quelconque du rectangle LXxl. Qu'on prenne sur Nn une partie infiniment petite n'arrivant qu'on mène du point n au point O, où l'axe longitudinal GQ et la verticale PK se rencontrent, la droite UO. Supposons CP=x, PM=z, Mn=q, et par conséquent M0=T-z. Il est clair que le produit de ln par le carré de sa distance à l'axe longitudinal GQ est (qdx-(z-dz.)^2, dont l'intégrale est V~(ï-dJ)dz. Supposant Q=b, et doublant l'intégrale, on aura (qdx-(z-dz.)^2 pour la somme des produits de tous les points de Nn par les carrés de leurs distances à l'axe GQ. Multipliant cette quantité par dz, intégrant le produit, et supposant après l'intégration z=c, on trouvera (l-dJ) pour la somme des produits de tous les points du rectangle LXxl par les carrés de leur distance à l'axe GQ. Enfin multipliant cette dernière quantité par dx, intégrant, supposant x=a après l'intégration, et doublant l'intégrale, on aura pour la somme des produits des particules du parallélépipède par les
partie infiniment petite n'arrivant qu'on mène du point n au point O, où l'axe longitudinal GQ et la verticale PK se rencontrent, la droite UO. Supposons CP=x, PM=z, Mn=q, et par conséquent M0=T-z. Il est clair que le produit de ln par le carré de sa distance à l'axe longitudinal GQ est (qdx-(z-dz.)^2, dont l'intégrale est V~(ï-dJ)dz. Supposant Q=b, et doublant l'intégrale, on aura (qdx-(z-dz.)^2 pour la somme des produits de tous les points de Nn par les carrés de leurs distances à l'axe GQ. Multipliant cette quantité par dz, intégrant le produit, et supposant après l'intégration z=c, on trouvera (l-dJ) pour la somme des produits de tous les points du rectangle LXxl par les carrés de leur distance à l'axe GQ. Enfin multipliant cette dernière quantité par dx, intégrant, supposant x=a après l'intégration, et doublant l'intégrale, on aura pour la somme des produits des particules du parallélépipède par les carrés de leur distance à l'axe GQ. Nous aurons donc On trouvera pareillement Donc 70 TRAITÉ DE L'ARRIMAGÉ Donc en remarquant qu'ici p= 1, on aura Les mouvements de tangage et de roulis se font avec promptitude, comme on voit, et doivent paraître sensibles. Fig.18. Soit, comme ci-dessus, la demi-ellipce LKl un élément quelconque du solide elliptique. Que soit une double ordonnée à l'axe PK. En faisant CP=x, PM=z, et considérant MN=1. V PK+-PML = M/^-l-z,z-. On trouvera, par la même méthode dont on vient de se servir pour le parallélépipède, que la somme des produits de tous les points de MN par les carrés de leurs distances à l'axe GQ, est exprimée par y^.(Z,Z,)T+-. y/ aacc–ccxx–ZZltQc–z,ylS:ÎEE^–z,z,, expression dans laquelle z. seule est variable en ce moment. Supposons, pour abréger un peu le calcul, =AK On aura —-——i-*-fz.z,dzy Al–z,2-. Pour effectuer l'intégration du dernier terme, on remarquera que d(z,{Az–zx) i)~dz, yt A1–z. 1 j que par conséquent Czx,dzy A–=–. Çdzy A1–z1–-–HLll. Donc, en reprendant les facteurs constants négligés dans les intégrations, réunissant toutes les parties de l'intégrale, et observant qu'elle doit s'évanouir, lorsquel z.=0; Se recevoir sa valeur complète, lorsque z,=y4: on trouvera que la somme des produits de tous
LKl un élément quelconque du solide elliptique. Que soit une double ordonnée à l'axe PK. En faisant CP=x, PM=z, et considérant MN=1. V PK+-PML = M/^-l-z,z-. On trouvera, par la même méthode dont on vient de se servir pour le parallélépipède, que la somme des produits de tous les points de MN par les carrés de leurs distances à l'axe GQ, est exprimée par y^.(Z,Z,)T+-. y/ aacc–ccxx–ZZltQc–z,ylS:ÎEE^–z,z,, expression dans laquelle z. seule est variable en ce moment. Supposons, pour abréger un peu le calcul, =AK On aura —-——i-*-fz.z,dzy Al–z,2-. Pour effectuer l'intégration du dernier terme, on remarquera que d(z,{Az–zx) i)~dz, yt A1–z. 1 j que par conséquent Czx,dzy A–=–. Çdzy A1–z1–-–HLll. Donc, en reprendant les facteurs constants négligés dans les intégrations, réunissant toutes les parties de l'intégrale, et observant qu'elle doit s'évanouir, lorsquel z.=0; Se recevoir sa valeur complète, lorsque z,=y4: on trouvera que la somme des produits de tous les points de la demi-ellipse MN par les carrés de leurs distances à l'axe longitudinal GQ, est exprimée par la quantité Multipliant cette quantité par dx, intégrant, supposant x=a, après l'intégration, et doublant l'intégrale, on trouvera pour la somme des produits des particules du solide entier par les carrés de leurs distances à l'axe longitudinal. On trouvera de même que la somme des produits des particules du solide par les carrés de leurs distances à l'axe latitudinal GT est exprimée par Nous aurons donc par conséquent on trouvera dans le solide ellipsoïdal, les mouvements de tangage et de roulis sont un peu plus rapides que dans le parallélépipède. Il suit de là que si la charge de la Ville de Paris était distribuée uniformément dans la calève, et que son centre de gravité tombait sur celui de la carène considérée comme homogène, les mouvements de tangage et de roulis feraient très-rapides, et tourmenteraient extrêmement la mâture et l'équipage. Pour en diminuer la vitesse, on aura soin de mettre le plus qu'il sera possible les poids les plus pesants de la charge aux extrémités et dans les flancs du vaisseau. Il est vrai que par là la quille sera un peu
leurs distances à l'axe longitudinal. On trouvera de même que la somme des produits des particules du solide par les carrés de leurs distances à l'axe latitudinal GT est exprimée par Nous aurons donc par conséquent on trouvera dans le solide ellipsoïdal, les mouvements de tangage et de roulis sont un peu plus rapides que dans le parallélépipède. Il suit de là que si la charge de la Ville de Paris était distribuée uniformément dans la calève, et que son centre de gravité tombait sur celui de la carène considérée comme homogène, les mouvements de tangage et de roulis feraient très-rapides, et tourmenteraient extrêmement la mâture et l'équipage. Pour en diminuer la vitesse, on aura soin de mettre le plus qu'il sera possible les poids les plus pesants de la charge aux extrémités et dans les flancs du vaisseau. Il est vrai que par là la quille sera un peu fatiguée [§. XXIV] mais cette pièce a ordinairement beaucoup plus de force qu'il ne lui en faut pour résister aux forces dont elle est pressée [§. XXIX]. Résultat de tout cet examen. Le métacentre du vaisseau la Ville de Paris est placé à 1 ou 2 pieds au-dessus du plan de flottaison. Si donc on veut que ce vaisseau porte bien la voile, il faudra distribuer la charge, de manière que son centre de gravité soit placé au moins à 1 ou 2 pieds au-dessous du plan de flottaison; Il conviendra que la plus grande partie du lest soit en fer, et qu'elle soit distribuée dans les flancs du vaisseau, ainsi que sous la sofa aux câbles et vers la flotte aux poudres. Ce vaisseau décrira de très-petits arcs dans le tangage; mais dans le roulis il en décrira qui, même par un temps calme, pourront monter à 7 ou 8 degrés. Il paraît qu'en arrimant comme on vient de le dire, les mouvements de tangage seront peu sensibles; mais quelques précautions qu'on prenne, ceux de roulis seront peu-être un peu rudes, principalement lorsqu'on ira vent arrière. L'événement décidera de la justesse de cette remarque, si car en ce moment
de flottaison. Si donc on veut que ce vaisseau porte bien la voile, il faudra distribuer la charge, de manière que son centre de gravité soit placé au moins à 1 ou 2 pieds au-dessous du plan de flottaison; Il conviendra que la plus grande partie du lest soit en fer, et qu'elle soit distribuée dans les flancs du vaisseau, ainsi que sous la sofa aux câbles et vers la flotte aux poudres. Ce vaisseau décrira de très-petits arcs dans le tangage; mais dans le roulis il en décrira qui, même par un temps calme, pourront monter à 7 ou 8 degrés. Il paraît qu'en arrimant comme on vient de le dire, les mouvements de tangage seront peu sensibles; mais quelques précautions qu'on prenne, ceux de roulis seront peu-être un peu rudes, principalement lorsqu'on ira vent arrière. L'événement décidera de la justesse de cette remarque, si car en ce moment (Février 1764) la Ville de Paris est encore dans le port, dénuée de sa mâture, et remplie de copeaux. On dressera de la même manière tous les vaisseaux dont on connaîtra les dimensions. SECTION IV. Influence de l'arrimage sur les mouvements de rotation produits par l'action du gouvernail ou des voiles. Je ne m'arrêterai pas ici à expliquer la manœuvre du gouvernail; c'est une chose assez connue. Mais je ne puis me dispenser de remarquer que tous les Auteurs qui ont entrepris de donner la théorie des mouvements que cette pièce imprime au vaisseau, ont regardé le vaisseau et le gouvernail comme solidement liés entre eux, et ne faisant, pour ainsi dire, qu'un seul et même corps; ce qui n'est pas exact, puisque le vaisseau et le gouvernail sont vraiment deux corps séparés, mobiles l'un et l'autre sur les gonds qui les unissent. D'où il résulte que les solutions de ces Auteurs sont incomplètes, au moins dans la rigueur géométrique. En voici une qui n'a pas le même défaut. Supposons que AB représente le corps du navire, BC le gouvernail qui est mobile sur le gond ou la charnière B. Soit FF la direction du choc de l'eau qui résiste