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qui passent par le centre de gravité, doit être égale à la somme des résistances des molécules du corps, réduites aux mêmes termes. Les moments des premières forces, par rapport aux trois axes proposés, doivent être égaux aux moments des dernières, par rapport aux mêmes axes. Toutes ces choses sont démontrées en détail dans quelques Ouvrages auxquels on me permettra de renvoyer le Lecteur. Cela posé, voici la manière d'appliquer ces formules aux mouvements dont il s'agit §. 33, lorsqu'on connaît la figure du vaisseau et la loi de toutes les forces qui l'agitent. Soient ADBE (fig. 20), le plan de flottaison du vaisseau au premier instant du mouvement, AB et DE les sections de ce plan avec deux plans verticaux, perpendiculairement entre eux, et passant l'un et l'autre par le centre de gravité du vaisseau. Ces deux derniers plans sont représentés par ARZB (fig. 19), et par DEE (fig. 21), respectivement. Soit le point G (fig. 19 et 21), le centre de gravité du vaisseau au même instant: qu'on mène par ce point l'axe vertical GC, et les deux axes horizontaux GQ, GT, le premier dans le plan ARZB, le second dans le plan DEE. Il est clair que les trois axes GC, GQ, GT sont ici les mêmes que les trois axes AB, AF, AC de la figure 18. Fig. 19, 20, 21. 36 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE Supposons, comme dans le §. précédent, que chacun de ces trois axes, emporté avec le centre de gravité, demeure toujours parallèle à lui-même, pendant toute la durée du mouvement. Quelques puissent être les mouvements du vaisseau, il est évident qu'ils peuvent être regardés comme composés de trois mouvements progressifs du centre de gravité G, le premier suivant GQ, le second suivant GT, le troisième suivant GC. Et de trois mouvements de rotation de l'axe autour des trois axes, GQ, GT, GC. C'est donc sur cette hypothèse qu'on va indiquer la méthode de calculer les forces D, E, F, et les moments des mêmes forces par rapport aux trois axes de rotation, ainsi que les résistances des molécules du vaisseau, et les
les trois axes GC, GQ, GT sont ici les mêmes que les trois axes AB, AF, AC de la figure 18. Fig. 19, 20, 21. 36 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE Supposons, comme dans le §. précédent, que chacun de ces trois axes, emporté avec le centre de gravité, demeure toujours parallèle à lui-même, pendant toute la durée du mouvement. Quelques puissent être les mouvements du vaisseau, il est évident qu'ils peuvent être regardés comme composés de trois mouvements progressifs du centre de gravité G, le premier suivant GQ, le second suivant GT, le troisième suivant GC. Et de trois mouvements de rotation de l'axe autour des trois axes, GQ, GT, GC. C'est donc sur cette hypothèse qu'on va indiquer la méthode de calculer les forces D, E, F, et les moments des mêmes forces par rapport aux trois axes de rotation, ainsi que les résistances des molécules du vaisseau, et les moments des mêmes résistances par rapport aux axes proposés. XXXVI. Les forces particulières qui composent ici les forces D, E, F, sont, comme nous l'avons déjà dit, la pesanteur du vaisseau, la poussée verticale de l'eau, la résistance de l'eau, l'impulsion du vent et l'agitation des lames. De ces différentes forces, la pesanteur seule du vaisseau, est constante; les autres sont variables et dépendent either de la figure du vaisseau ou de la partie qui est plongée à chaque instant dans l'eau, ou de la figure des voiles. Supposons que le profil longitudinal ARZB, partant de la situation représentée dans la figure 22, où MN est la ligne d'eau au premier instant, parvienne au bout du temps proposé dans la situation arzby, où nm est la ligne d'eau; en sorte qu'il s'incline de la poupe à la proue d'une certaine quantité, et qu'en même temps le centre de gravité s'élève verticalement de la quantité VO. La figure du vaisseau étant donnée, il est clair qu'on connaît par la seule Géométrie, l'espace occupé. Il n'est pas moins évident qu'après que le vaisseau aura subi les deux autres mouvements de rotation, on connaît encore l'espace qu'il occupe dans l'eau. Par conséquent, la
forces, la pesanteur seule du vaisseau, est constante; les autres sont variables et dépendent either de la figure du vaisseau ou de la partie qui est plongée à chaque instant dans l'eau, ou de la figure des voiles. Supposons que le profil longitudinal ARZB, partant de la situation représentée dans la figure 22, où MN est la ligne d'eau au premier instant, parvienne au bout du temps proposé dans la situation arzby, où nm est la ligne d'eau; en sorte qu'il s'incline de la poupe à la proue d'une certaine quantité, et qu'en même temps le centre de gravité s'élève verticalement de la quantité VO. La figure du vaisseau étant donnée, il est clair qu'on connaît par la seule Géométrie, l'espace occupé. Il n'est pas moins évident qu'après que le vaisseau aura subi les deux autres mouvements de rotation, on connaît encore l'espace qu'il occupe dans l'eau. Par conséquent, la poussée verticale de l'eau et les moments par rapport aux trois axes dont on a parlé, seront exprimés en fonctions de quantités constantes, du mouvement d'ascension verticale, et des mouvements de rotation. Les forces qui naissent de l'impulsion de l'eau et des lames contre les flancs de la carène, et de l'impulsion du vent contre les voiles se détermineront suivant les méthodes ordinaires, ou suivant les nouvelles hypothèses qu'on croira les plus vraisemblables. Je n'entends pas là-dessus dans de plus grands détails, parce qu'on verra bientôt l'inutilité d'envisager le problème sous un point de vue si général. Il suffit, quant à présent, qu'on aperçoive les moyens de traduire, relativement à notre question, les premiers membres des équations du §. 34. XXXVII. Soient dans la figure 13 les trois axes GQ, GC, GT qui se croisent perpendiculairement au centre de gravité G, axes qui sont les mêmes respectivement que ceux qui sont désignés par les mêmes lettres dans les figures 19 et 21. D'un point déterminé H du navire au premier instant du mouvement, soit abaissée HF perpendiculaire au plan horizontal IGQ, et depuis le point F soit tirée FE perpendiculaire à GQ, de manière que GE, EF, FH soient les
de l'impulsion du vent contre les voiles se détermineront suivant les méthodes ordinaires, ou suivant les nouvelles hypothèses qu'on croira les plus vraisemblables. Je n'entends pas là-dessus dans de plus grands détails, parce qu'on verra bientôt l'inutilité d'envisager le problème sous un point de vue si général. Il suffit, quant à présent, qu'on aperçoive les moyens de traduire, relativement à notre question, les premiers membres des équations du §. 34. XXXVII. Soient dans la figure 13 les trois axes GQ, GC, GT qui se croisent perpendiculairement au centre de gravité G, axes qui sont les mêmes respectivement que ceux qui sont désignés par les mêmes lettres dans les figures 19 et 21. D'un point déterminé H du navire au premier instant du mouvement, soit abaissée HF perpendiculaire au plan horizontal IGQ, et depuis le point F soit tirée FE perpendiculaire à GQ, de manière que GE, EF, FH soient les coordonnées du point H par rapport aux trois axes proposés. Supposons qu'en vertu de la rotation du corps autour de l'axe vertical GC, la droite FH, en tournant parallèlement à elle-même, prenne la position SV; qu'en vertu de la rotation autour de l'axe GQ, le point K parvienne en R; qu'en vertu de la rotation autour de l'axe GT, le point R parvienne en N. Il est clair que si de ce point on abaisse NM perpendiculaire au plan horizontal VGQ, et qu'on tire MP perpendiculaire à GQ, les trois coordonnées GP, MN, MP sont celles que nous avons nommées x, y, z, respectivement dans le §. 34, et donc il s'agit maintenant de trouver les expressions en fonctions des trois angles de rotation. Soient tirées les droites GF, GS, DV. Du point R soit abaissée KO perpendiculaire sur le plan horizontal TGQ, et par le point O soit menée perpendiculairement à GT la droite XO qui passe nécessairement par le point M. Soient tirées les droites XR, XN. Correction de frappe : TRAITÉ DE L'ARRIMAGE. 38 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE Enfin, des points D, S, X sont élevés perpendiculairement au plan TGC, ou parallèlement à l'axe GC, les droites DZ,
qu'en vertu de la rotation autour de l'axe GT, le point R parvienne en N. Il est clair que si de ce point on abaisse NM perpendiculaire au plan horizontal VGQ, et qu'on tire MP perpendiculaire à GQ, les trois coordonnées GP, MN, MP sont celles que nous avons nommées x, y, z, respectivement dans le §. 34, et donc il s'agit maintenant de trouver les expressions en fonctions des trois angles de rotation. Soient tirées les droites GF, GS, DV. Du point R soit abaissée KO perpendiculaire sur le plan horizontal TGQ, et par le point O soit menée perpendiculairement à GT la droite XO qui passe nécessairement par le point M. Soient tirées les droites XR, XN. Correction de frappe : TRAITÉ DE L'ARRIMAGE. 38 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE Enfin, des points D, S, X sont élevés perpendiculairement au plan TGC, ou parallèlement à l'axe GC, les droites DZ, XY, CGE = 4 EF — A CH = /* P = angle de rotation au cours de l'axe GC... = x angle de rotation au cours de l'axe GQ... = y angle de rotation autour de l'axe GT... — z, Cela pose, 1° l'angle DGS étant la somme de l'angle EGF, et de l'angle FGS (x), on aura 2° l'angle RDZ étant la somme de l'angle VDZ et de l'angle VDR (y), on aura 3° L'angle NXY étant la somme de l'angle RXY et de l'angle RXN (z), on aura, (à cause de ces valeurs de r, q, s sont générales et applicables à toutes sortes de corps. Nous aurons donc ici les valeurs des trois quantités dans les deux différentes qu'il faut faire d'abord pour trouver d(sdq—qds), d(sdr—qdr), d(sdr—rd), les angles x, y, z, sont variables, et les quantités 4, A, /A, sont constantes. Mais dans l'intégration qui suit, il n'y a que les quatre quantités dP, 4*, A, y qui doivent être regardées comme variables, les autres doivent être écrites au devant des lignes d'intégration, parce qu'alors les intégrales renferment les mouvements en tant qu'ils sont appliqués à tous les points de la mâle du corps. XXXVIII.
l'angle EGF, et de l'angle FGS (x), on aura 2° l'angle RDZ étant la somme de l'angle VDZ et de l'angle VDR (y), on aura 3° L'angle NXY étant la somme de l'angle RXY et de l'angle RXN (z), on aura, (à cause de ces valeurs de r, q, s sont générales et applicables à toutes sortes de corps. Nous aurons donc ici les valeurs des trois quantités dans les deux différentes qu'il faut faire d'abord pour trouver d(sdq—qds), d(sdr—qdr), d(sdr—rd), les angles x, y, z, sont variables, et les quantités 4, A, /A, sont constantes. Mais dans l'intégration qui suit, il n'y a que les quatre quantités dP, 4*, A, y qui doivent être regardées comme variables, les autres doivent être écrites au devant des lignes d'intégration, parce qu'alors les intégrales renferment les mouvements en tant qu'ils sont appliqués à tous les points de la mâle du corps. XXXVIII. Il suit des deux sections précédentes, qu'on pourra traduire entièrement les équations générales du § XXXIV, de manière qu'elles représentent en général tous les mouvements d'un vaisseau flottant à la mer. Mais il faut avouer que l'exécution de cette méthode demanderait des calculs immenses et vraisemblablement impraticables. Hétricusement plusieurs raisons dispensent d'entreprendre ce travail dans toute sa complication. 1° La figure du vaisseau est extrêmement irrégulière, et ne peut se rapporter à celle d'aucun corps géométrique. Elle est fort différente dans les différents vaisseaux: par conséquent les calculs qu'on ferait à cet égard seraient purement hypothétiques, et n'iraient point au but dans la pratique. 2° L'impulsion du vent sur les voiles, et la résistance que le navire éprouve en divisant l'eau, sont deux forces qui se font sans cesse équilibre, du moins à travers-peu-près. Si cet équilibre vient à être dérangé, il se rétablit très-promptement et peut être considéré comme permanent. De plus ces deux mêmes forces sont ordinairement fort petites en comparaison de la pesanteur du vaisseau et de la poussée verticale de l'eau. Ainsi les inégalités qu'elles produisent dans les mouvements du vaisseau peuvent le plus souvent être négligés, sans craindre aucune erreur sensible. 3° L'action des lames
dispensent d'entreprendre ce travail dans toute sa complication. 1° La figure du vaisseau est extrêmement irrégulière, et ne peut se rapporter à celle d'aucun corps géométrique. Elle est fort différente dans les différents vaisseaux: par conséquent les calculs qu'on ferait à cet égard seraient purement hypothétiques, et n'iraient point au but dans la pratique. 2° L'impulsion du vent sur les voiles, et la résistance que le navire éprouve en divisant l'eau, sont deux forces qui se font sans cesse équilibre, du moins à travers-peu-près. Si cet équilibre vient à être dérangé, il se rétablit très-promptement et peut être considéré comme permanent. De plus ces deux mêmes forces sont ordinairement fort petites en comparaison de la pesanteur du vaisseau et de la poussée verticale de l'eau. Ainsi les inégalités qu'elles produisent dans les mouvements du vaisseau peuvent le plus souvent être négligés, sans craindre aucune erreur sensible. 3° L'action des lames est une force qu'il est absolument impossible de soumettre à un calcul réel et non hypothétique. Dans certains moments, cette force se fait sentir avec violence : dans d'autres elle est comme nulle. Je crois qu'il convient de la rapporter plutôt au genre des forces de percussion, qui agissent par coups fins et interrompus à l'endroit du genre des forces de pression. Par-là elle doit être exclue du calcul. La fonction qu'elle aura alors sera de troubler de temps en temps l'état actuel du vaisseau, ce qui ne peut qu'introduire certaines quantités constantes dans les intégrales. 4° Il est inutile de déterminer en général les oscillations d'un vaisseau, parce que ces oscillations ne doivent jamais passer; 41 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE passer certaines bornes, afin qu'il y ait sûreté dans la navigation. Ainsi la solution de ce problème aura assez de généralité, si l'on détermine seulement les oscillations très-petites du vaisseau, et qu'on affigne de plus les conditions qui doivent avoir lieu, afin que ces mêmes oscillations demeurent très-petites. De ces quatre assertions, la première, la troisième et la quatrième sont évidentes par elles-mêmes. La seconde est la seule qui ait besoin d'une explication un peu plus développée. XXXIX. Le vent
coups fins et interrompus à l'endroit du genre des forces de pression. Par-là elle doit être exclue du calcul. La fonction qu'elle aura alors sera de troubler de temps en temps l'état actuel du vaisseau, ce qui ne peut qu'introduire certaines quantités constantes dans les intégrales. 4° Il est inutile de déterminer en général les oscillations d'un vaisseau, parce que ces oscillations ne doivent jamais passer; 41 TRAITÉ DE L'ARRIMAGE passer certaines bornes, afin qu'il y ait sûreté dans la navigation. Ainsi la solution de ce problème aura assez de généralité, si l'on détermine seulement les oscillations très-petites du vaisseau, et qu'on affigne de plus les conditions qui doivent avoir lieu, afin que ces mêmes oscillations demeurent très-petites. De ces quatre assertions, la première, la troisième et la quatrième sont évidentes par elles-mêmes. La seconde est la seule qui ait besoin d'une explication un peu plus développée. XXXIX. Le vent est la force motrice qui pousse le navire en mouvement, et qui le pousse vers le but désiré. Dans les premiers instants, cette force l'emporte beaucoup sur la résistance que le navire éprouve en divisant l'eau. Ainsi le sillage s'accélère avec rapidité. Mais cette accélération ne dure guère que trois ou quatre minutes. Au bout de ce temps le vaisseau a acquis toute sa vitesse, qu'il conserve dans la suite, en vertu de son inertie; et par conséquent l'impulsion du vent et la résistance de l'eau se font équilibre. Cela est constaté par l'expérience. La même chose peut encore se démontrer par le raisonnement. Quoique cette discussion n'appartienne pas proprement à mon sujet, je crois devoir y entrer, parce qu'un Auteur célèbre qui a traité au long ce problème, n'a pas fait une remarque dont l'omission semble mécontenter le calcul en contradiction avec l'expérience. Supposons, avec l'Auteur dont il s'agit, un navire qui se meut suivant la route directe, et qui étant en repos au premier instant du mouvement, est exposé tout-d'un-coup à l'action du vent. Il est question de déterminer le temps que ce navire employera à acquérir toute sa vitesse. On voit assez que si on trouve ce
ou quatre minutes. Au bout de ce temps le vaisseau a acquis toute sa vitesse, qu'il conserve dans la suite, en vertu de son inertie; et par conséquent l'impulsion du vent et la résistance de l'eau se font équilibre. Cela est constaté par l'expérience. La même chose peut encore se démontrer par le raisonnement. Quoique cette discussion n'appartienne pas proprement à mon sujet, je crois devoir y entrer, parce qu'un Auteur célèbre qui a traité au long ce problème, n'a pas fait une remarque dont l'omission semble mécontenter le calcul en contradiction avec l'expérience. Supposons, avec l'Auteur dont il s'agit, un navire qui se meut suivant la route directe, et qui étant en repos au premier instant du mouvement, est exposé tout-d'un-coup à l'action du vent. Il est question de déterminer le temps que ce navire employera à acquérir toute sa vitesse. On voit assez que si on trouve ce temps fort petit, on sera en droit d'affirmer, à plus forte raison, que l'accélération ou la réduction auxquelles un navire en mer peut être sujet s'opèrent en un temps très-court, et de regarder par conséquent sa vitesse comme sensiblement uniforme. Nommons e la traversée, N la mâle du navire, i la direction du vent, p celle de l'eau, Ala surface plane qui est exposée au choc perpendiculaire du vent, éprouverait la même chose qu'éprouvent les voiles parallèlement à la quille, B la surface qui est exposée au choc perpendiculaire de l'eau éprouverait la même impulsion qu'éprouve le navire dans le sens de la quille, // la vitesse du vent, qu'on peut regarder comme constante, au moins pendant un certain temps, u la variation de la vitesse du navire, le temps écoulé depuis le commencement du mouvement. Soulpens de plus que sous une vitesse donnée ?», l'impulsion directe de l'eau contre un plan donné ?», soit égale à un poids donc la masse est P. Cela posé, on aura, suivant l'hypothèse ordinaire, que l'impulsion directe d'un fluide contre un plan est proportionnelle au produit de ce plan par la densité du fluide, Si. par le carré de la vitesse avec laquelle
la direction du vent, p celle de l'eau, Ala surface plane qui est exposée au choc perpendiculaire du vent, éprouverait la même chose qu'éprouvent les voiles parallèlement à la quille, B la surface qui est exposée au choc perpendiculaire de l'eau éprouverait la même impulsion qu'éprouve le navire dans le sens de la quille, // la vitesse du vent, qu'on peut regarder comme constante, au moins pendant un certain temps, u la variation de la vitesse du navire, le temps écoulé depuis le commencement du mouvement. Soulpens de plus que sous une vitesse donnée ?», l'impulsion directe de l'eau contre un plan donné ?», soit égale à un poids donc la masse est P. Cela posé, on aura, suivant l'hypothèse ordinaire, que l'impulsion directe d'un fluide contre un plan est proportionnelle au produit de ce plan par la densité du fluide, Si. par le carré de la vitesse avec laquelle se fait le choc. d'où l'on tire aussitôt, en complétant l'intégrale, de manière que ?—? donne ?=?, Maintenant il est évident que l'accélération devient nulle lorsque on a ?{V—u)1—pB%ttl—?, ou bien u :=?Aj.By' Il semble donc que pour déterminer le temps que le navire emploie à acquérir sa plus grande vitesse, il n'y aurait qu'à substituer cette valeur de « dans l'expression générale de t.. Mais si l'on fait cette substitution, on trouvera que le dénominateur de la quantité logarithmique devient égal à zéro; d'où il s'enfuit que le temps cherché, au lieu d'être très-petit, serait au contraire infini. Comment concilier le calcul avec l'expérience? voici le dénouement de cette petite difficulté. Il est certain d'abord que suivant l'hypothèse de l'impulsion des fluides, dont nous venons de tirer la valeur du temps, la vitesse ne pourra parvenir à une uniformité rigoureuse qu'au bout d'un temps infini. Dans le commencement du mouvement, l'impulsion du vent contre le navire est très-grande, d'où il suit que « augmente très-promptement: Et comme le carré de u entre dans l'expression de la résistance que l'eau oppose au navire, on comprend que tt peut approcher très-près de , sans qu'on ait pour cela rigoureusement ?=?{V—n)1=:pBlu 1:
vitesse, il n'y aurait qu'à substituer cette valeur de « dans l'expression générale de t.. Mais si l'on fait cette substitution, on trouvera que le dénominateur de la quantité logarithmique devient égal à zéro; d'où il s'enfuit que le temps cherché, au lieu d'être très-petit, serait au contraire infini. Comment concilier le calcul avec l'expérience? voici le dénouement de cette petite difficulté. Il est certain d'abord que suivant l'hypothèse de l'impulsion des fluides, dont nous venons de tirer la valeur du temps, la vitesse ne pourra parvenir à une uniformité rigoureuse qu'au bout d'un temps infini. Dans le commencement du mouvement, l'impulsion du vent contre le navire est très-grande, d'où il suit que « augmente très-promptement: Et comme le carré de u entre dans l'expression de la résistance que l'eau oppose au navire, on comprend que tt peut approcher très-près de , sans qu'on ait pour cela rigoureusement ?=?{V—n)1=:pBlu 1: Ainsi s'il n'y avait pas d'autre cause qui influât sur la vitesse, elle ne parviendrait pas à l'uniformité absolue. Mais il faut remarquer que le navire éprouve encore une autre force de résistance qui achève d'opérer l'effet dont il s'agit. Cette seconde résistance est celle qui naît de la ténacité ou de l'adhésion mutuelle des parties de l'eau. Elle est comme nulle, en comparaison de la première, lorsque le navire a acquis une vitesse un peu considérable. Mais dans les premiers instants du mouvement, elle doit se faire sentir et produire quelque retardation dans la vitesse du vaisseau, de manière que, par la combinaison des deux résistances, la vitesse devient bientôt uniforme, comme on l'observe en effet. Quant à ce que nous avons ajouté que l'impulsion du vent et la résistance de l'eau font des forces très-petites en comparaison de la pesanteur du vaisseau, et de la poussée verticale de l'eau ; cela est aisément à voir par les calculs de l'impulsion de l'eau contre la proue de plusieurs vaisseaux, que M. Duhamel a faits dans son Architecture navale. Je reviens à mon sujet, et je vais en conséquence de toutes les remarques qui précèdent, déterminer les mouvements d'oscillation du