jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
B et C est la même au commencement et à la fin de l'intervalle; de même en faisant croître les lignes x, y, z, r, de leurs différentiels dx, dy, dz, dry, il n'y aura que l'angle α*, qui variera en croissant de dα. Or, comme l'équation précédente doit être identique et indépendante de la loi des mouvements des corps B et C, il est clair qu'on pourra y faire varier les quantités x, y, z, r, qui appartiennent au corps B indépendamment des quantités x, y, z, r, et Z, qui appartiennent au corps C, et vice versa, celles-ci indépendamment de celles-là, d'où il suit qu'en faisant varier d'abord x, y, z, r, ensuite x, y, z, r, et enfin les unes et les autres en même temps, on tirera de l'équation dont il s'agit, les trois suivantes. Donc si on fait dans toutes ces équations les substitutions de l'art. 8, on aura ces quatre-ci: Or, il est facile de concevoir que le carré du petit espace que parcourt le corps B dans le temps dt est exprimé par également par Ax^2+A_y^2+Az^2 et par r^2+dr^2, de sorte qu'on aura et par conséquent et de même Ainsi, les seconds membres des quatre équations précédentes seront tous donnés, dès qu'on connaît r, y, r, et r, en (/ (article cité), de sorte qu'on aura quatre équations entre les trois inconnues y, z, et cette équation sera la même que celle qu'on a déjà trouvée plus haut (art. 10) par une voie bien différente. Supposons, pour abréger, que les équations précédentes soient représentées ainsi: et il est facile de réduire ces quatre équations à ces deux-ci: lesquelles, à cause de l'ambiguïté des signes, équivalent réellement à quatre équations. Élevant ces deux équations au carré, et ensuite les ajoutant ensemble, on a, d'où, à cause de l'ambiguïté des signes, on tire de sorte qu'éliminant cos a on aura Si on substitue dans cette équation les valeurs de X, y, y, T, comme aussi celles de dβ et de dγ, on aura une équation qui sera la même que l'équation (N) de l'art. 10,
des quatre équations précédentes seront tous donnés, dès qu'on connaît r, y, r, et r, en (/ (article cité), de sorte qu'on aura quatre équations entre les trois inconnues y, z, et cette équation sera la même que celle qu'on a déjà trouvée plus haut (art. 10) par une voie bien différente. Supposons, pour abréger, que les équations précédentes soient représentées ainsi: et il est facile de réduire ces quatre équations à ces deux-ci: lesquelles, à cause de l'ambiguïté des signes, équivalent réellement à quatre équations. Élevant ces deux équations au carré, et ensuite les ajoutant ensemble, on a, d'où, à cause de l'ambiguïté des signes, on tire de sorte qu'éliminant cos a on aura Si on substitue dans cette équation les valeurs de X, y, y, T, comme aussi celles de dβ et de dγ, on aura une équation qui sera la même que l'équation (N) de l'art. 10, ce qui peut servir à confirmer la bonté de nos calculs. L'équation cos β = ir + fii donnera ce qui sera connu l'inclinaison β des deux orbites. Connus a, on connaît aisément i; et £, car en multipliant les deux équations l'une par l'autre, on aura cette-ci: et de même les deux autres équations étant multipliées ensemble donneront d'où l'on tire ou bien en mettant à la place de * sa valeur 14. cos β = A - (S - y, tirée de l'équation trouvée ci-dessus, on aura, à cause de d'où l'on tire c'est-à-dire, en substituant les valeurs de A, u, v, et faisant faisant que Si on veut que les trois Corps se meuvent dans un même plan, on aura alors β = 0, et par conséquent i, a = 1, et fin. a = 0, de sorte que les quantités Z et Z1 (art. 14) seront nulles, et par conséquent les mouvements des trois Corps s'exécuteront dans le même plan que nous avons pris pour le plan de projection (art. 18). Or, si on substitue les valeurs de u, y, tirées des équations précédentes dans l'équation (P) de l'art. 11, on aura une équation en par
même les deux autres équations étant multipliées ensemble donneront d'où l'on tire ou bien en mettant à la place de * sa valeur 14. cos β = A - (S - y, tirée de l'équation trouvée ci-dessus, on aura, à cause de d'où l'on tire c'est-à-dire, en substituant les valeurs de A, u, v, et faisant faisant que Si on veut que les trois Corps se meuvent dans un même plan, on aura alors β = 0, et par conséquent i, a = 1, et fin. a = 0, de sorte que les quantités Z et Z1 (art. 14) seront nulles, et par conséquent les mouvements des trois Corps s'exécuteront dans le même plan que nous avons pris pour le plan de projection (art. 18). Or, si on substitue les valeurs de u, y, tirées des équations précédentes dans l'équation (P) de l'art. 11, on aura une équation en par laquelle on pourra déterminer cette dernière quantité, substituant ensuite la valeur de 4 dans celles de %, S et S, on aura les valeurs de dt, dt, dt, u%, u1, & u 11 exprimées en r, r, y, et dr, dr, dr1, et ensuite, mettant ces valeurs de u1, u2, u 11 dans les équations (JF) de l'art. 3, on aura enfin trois équations en r, r1, r 11 et t, lesquelles seront amyountiquement différentes du second ordre, au lieu que les équations générales (A') de l'art. 5 montent au quatrième ordre, lorsqu'on. les délivres des signes d'intégration. Au reste, je crois que dans le cas même dont il s'agit, ces dernières équations seront toujours préférables, parce qu'elles ont l'avantage particulier de ne renfermer aucun radical, ce qui n'aurait point lieu dans les équations où l'on emploierait les valeurs de n, x, y déterminées par les équations ci-dessus, valeurs qui renfermeraient nécessairement des radicaux carrés. RÉCAPITULATION. XXII. Pour résumer ce qui vient d'être démontré dans ce Chapitre, je reprends les noms. B les masses des trois Corps. CJ r J r A Se B rx S les distances entre les Corps A Se C rx J LBSCC et supposant pour
u 11 dans les équations (JF) de l'art. 3, on aura enfin trois équations en r, r1, r 11 et t, lesquelles seront amyountiquement différentes du second ordre, au lieu que les équations générales (A') de l'art. 5 montent au quatrième ordre, lorsqu'on. les délivres des signes d'intégration. Au reste, je crois que dans le cas même dont il s'agit, ces dernières équations seront toujours préférables, parce qu'elles ont l'avantage particulier de ne renfermer aucun radical, ce qui n'aurait point lieu dans les équations où l'on emploierait les valeurs de n, x, y déterminées par les équations ci-dessus, valeurs qui renfermeraient nécessairement des radicaux carrés. RÉCAPITULATION. XXII. Pour résumer ce qui vient d'être démontré dans ce Chapitre, je reprends les noms. B les masses des trois Corps. CJ r J r A Se B rx S les distances entre les Corps A Se C rx J LBSCC et supposant pour abréger on aura, en prenant l'élément du temps ds pour constanter 54 ESSAI SUR LE PROBLÈME Ces équations serviront à déterminer les valeurs des distances rx, y, en quoi après quoi on pourra trouver directement sans aucune intégration les valeurs de tous les autres éléments, d'où dépend la détermination des orbites des corps B Se C autour du corps A. En effet, si l'on nomme n = CB CA t? l'angle le plus court parcouru par le corps B autour de A on aura d'abord DES TROIS CORPS. 55 Si l'on nomme ensuite ç> l'angle de la longitude de B. y1 la latitude Se qu'on fasse pour abréger *$ ESSAI SUR LE PROBLÈME en supposant on aura sur le champ DES TROIS CORPS. 57 Il faut remarquer que ces formules renferment deux constantes qui ne sont pas arbitraires, mais qui doivent être déterminées par des équations particulières; ce sont, l'une la constante b, Se l'autre la constante qui peut être ajoutée à la valeur de j déduite de l'équation (H) par la voie de l'intégration. _ Voici donc les équations qui serviront à déterminer ces constantes en supposant On pourrait, si on voulait, employer ces équations à la place de
orbites des corps B Se C autour du corps A. En effet, si l'on nomme n = CB CA t? l'angle le plus court parcouru par le corps B autour de A on aura d'abord DES TROIS CORPS. 55 Si l'on nomme ensuite ç> l'angle de la longitude de B. y1 la latitude Se qu'on fasse pour abréger *$ ESSAI SUR LE PROBLÈME en supposant on aura sur le champ DES TROIS CORPS. 57 Il faut remarquer que ces formules renferment deux constantes qui ne sont pas arbitraires, mais qui doivent être déterminées par des équations particulières; ce sont, l'une la constante b, Se l'autre la constante qui peut être ajoutée à la valeur de j déduite de l'équation (H) par la voie de l'intégration. _ Voici donc les équations qui serviront à déterminer ces constantes en supposant On pourrait, si on voulait, employer ces équations à la place de deux quelconques des équations (K), mais comme elles sont assez compliquées, il vaudra mieux ne s'en servir que dans la détermination des constantes dont il s'agit; Si pour cela, il est clair qu'on y pourra supposer partout /== o. Or, si, pour plus de simplicité, on suppose que, lorsque s= o, on ait — = o, j = o, Se que de plus les rayons, rx concident, en sorte que l'angle compris Prix de VAcad. Tom. IX. H 58 ESSAI SUR LE PROBLÈME entre ces rayons (art. 19) soit nul, ce qui est toujours permis lorsque cet angle est variable, on aura à cause de 71Ii=r1H-rI1—2;7' 1 cos Ç1 (article cité), r11=~(rx—r) 1, de sorte que l'équation (N) deviendra mais à cause de rx2—(rx—r)2 on aura PTSSO 5 donc aussi ~ = o. Ainsi, il faudra prendre la valeur de f dt r <^, ensuite qu'elle devienne nulle lorsque #=0. L'équation (P) se simplifiera aussi beaucoup par les mêmes suppositions, Se elle deviendra où il faudra prendre pour r, r1, r", u, ux, Se u 11 les valeurs qui répondent à t*=o. Quant aux constantes qui pourront entrer dans les valeurs de Q, Q1, Qn, elles seront entièrement arbitraires, Se
o, on ait — = o, j = o, Se que de plus les rayons, rx concident, en sorte que l'angle compris Prix de VAcad. Tom. IX. H 58 ESSAI SUR LE PROBLÈME entre ces rayons (art. 19) soit nul, ce qui est toujours permis lorsque cet angle est variable, on aura à cause de 71Ii=r1H-rI1—2;7' 1 cos Ç1 (article cité), r11=~(rx—r) 1, de sorte que l'équation (N) deviendra mais à cause de rx2—(rx—r)2 on aura PTSSO 5 donc aussi ~ = o. Ainsi, il faudra prendre la valeur de f dt r <^, ensuite qu'elle devienne nulle lorsque #=0. L'équation (P) se simplifiera aussi beaucoup par les mêmes suppositions, Se elle deviendra où il faudra prendre pour r, r1, r", u, ux, Se u 11 les valeurs qui répondent à t*=o. Quant aux constantes qui pourront entrer dans les valeurs de Q, Q1, Qn, elles seront entièrement arbitraires, Se ne dépendront que des valeurs initiales de «, w1,» 11, qui sont à volonté. Enfin, si l'on nomme encore d9 l'angle élémentaire décrit par le corps B autour du corps A dans l'instant dt, dQx l'angle correspondant décrit par le corps C autour de A, u l'inclinaison mutuelle des orbites des corps B Se C autour de A, DES TROIS CORPS. 55 | la distance du corps B au noeud de ces deux orbites, £* la distance du corps C au même noeud, on aura Hij 60 ESSAI SUR LE PROBLÈME CHAPITRE II Solution du Problème des trois Corps dans différents cas. XXIII. .Nous allons examiner dans ce Chapitre quelques cas particuliers, où le Problème des trois Corps se simplifie beaucoup Se admet une solution exacte ou presque exacte, quoique ces cas n'aient pas lieu dans le système du monde, nous croyons cependant qu'ils méritent l'attention des Géomètres, parce qu'il en peut résulter des lumières par la solution générale du Problème des trois Corps. XXIV. Le premier cas qui se présente est celui où les trois distances r, rX, y r 11 seraient constantes, en sorte que le triangle formé par ces corps demeurât toujours le même, Se ne fît
des corps B Se C autour de A, DES TROIS CORPS. 55 | la distance du corps B au noeud de ces deux orbites, £* la distance du corps C au même noeud, on aura Hij 60 ESSAI SUR LE PROBLÈME CHAPITRE II Solution du Problème des trois Corps dans différents cas. XXIII. .Nous allons examiner dans ce Chapitre quelques cas particuliers, où le Problème des trois Corps se simplifie beaucoup Se admet une solution exacte ou presque exacte, quoique ces cas n'aient pas lieu dans le système du monde, nous croyons cependant qu'ils méritent l'attention des Géomètres, parce qu'il en peut résulter des lumières par la solution générale du Problème des trois Corps. XXIV. Le premier cas qui se présente est celui où les trois distances r, rX, y r 11 seraient constantes, en sorte que le triangle formé par ces corps demeurât toujours le même, Se ne fît que changer de position. On aura dans ce cas dr=o, drx=0, drxl=o, Se par conséquent aussi, dp=0, dpx=0, dpu=0, de sorte que les trois équations (A') deviendront DES TROIS CORPS. é-i d'où l'on voit que les quantités Q, Q1, Qu seront pareillement constantes, en sorte qu'on aura dQ = o, dQ_1=0, dQU = O, moyennant quoi les équations (/) se réduiront à celles-ci :sip = o, <fdç= o, qudp = o, lesquelles donneront ou ^=o, jWo, ^"—Q, ou asp=o; examinons séparément ces deux cas. XXV. Soit d'abord q==Oy <f=o, cfx=o, donc r=rx=rm, de sorte que le triangle formé par les trois Corps sera équilatéré; les équations (a) donneront donc et ces valeurs étant substituées dans les formules (/) on aura Maintenant on aura donc de plus l'équation (H) donnera donnera == o, par conséquent j *=* * «. étant une constante arbitraire qui doit satisfaire à l'équation (N). Or, on trouve g = Sx sa g " <== r1 * 5 de sorte que l'équation dont nous parlons, deviendra ê% ESSAI SUR LE PROBLÈME <>> r4»4—6rlttlcLl-ha4=o, c'est-à-dire (3? V—a.i)l=o > d'où al=3>/V=3(/H-B-K:)r. Ainsi, on aura satisfait à toutes les équations du Problème; de sorte que la valeur de r demeurera
dQ_1=0, dQU = O, moyennant quoi les équations (/) se réduiront à celles-ci :sip = o, <fdç= o, qudp = o, lesquelles donneront ou ^=o, jWo, ^"—Q, ou asp=o; examinons séparément ces deux cas. XXV. Soit d'abord q==Oy <f=o, cfx=o, donc r=rx=rm, de sorte que le triangle formé par les trois Corps sera équilatéré; les équations (a) donneront donc et ces valeurs étant substituées dans les formules (/) on aura Maintenant on aura donc de plus l'équation (H) donnera donnera == o, par conséquent j *=* * «. étant une constante arbitraire qui doit satisfaire à l'équation (N). Or, on trouve g = Sx sa g " <== r1 * 5 de sorte que l'équation dont nous parlons, deviendra ê% ESSAI SUR LE PROBLÈME <>> r4»4—6rlttlcLl-ha4=o, c'est-à-dire (3? V—a.i)l=o > d'où al=3>/V=3(/H-B-K:)r. Ainsi, on aura satisfait à toutes les équations du Problème; de sorte que la valeur de r demeurera indéterminée; d'où il s'enfuit que le système des trois Corps peut se mouvoir de manière que les trois Corps forment toujours un triangle quelconque équilatéral. Ayant trouvé on aura donc /. On voit, ensuite, que les trois corps feront toujours nécessairement dans un même plan. On trouve ensuite que, à cause de, on aura muis l'équation (P) donnera par conséquent dont l'équation (P) donnera par conséquent ainssi les corps B & C ne feront que tourner autour du corps A avec une vitesse angulaire constante. Examinons maintenant l'autre cas, où -y = 0 sans que q, q1 & en soient nuls; et substituons d'abord dans les équations les valeurs de CQ, BQ & HQ tirées des équations ci-dessus, on aura, dont l'on voit que les vitesses relatives des corps seront également constantes, mais non pas égales entre elles comme dans le cas précédent. Or, puisque il faut que -y = 0, on aura donc aussi, en conséquence, l'équation (N) deviendra, à cause de dr = 0, dy = 0, donc dp = 0, dp1 = 0, et ainsi l'équation (N) deviendra, à cause de dr = 0, dy = 0, dr1 = 0, dp = 0, dp1 = 0, donc
cause de, on aura muis l'équation (P) donnera par conséquent dont l'équation (P) donnera par conséquent ainssi les corps B & C ne feront que tourner autour du corps A avec une vitesse angulaire constante. Examinons maintenant l'autre cas, où -y = 0 sans que q, q1 & en soient nuls; et substituons d'abord dans les équations les valeurs de CQ, BQ & HQ tirées des équations ci-dessus, on aura, dont l'on voit que les vitesses relatives des corps seront également constantes, mais non pas égales entre elles comme dans le cas précédent. Or, puisque il faut que -y = 0, on aura donc aussi, en conséquence, l'équation (N) deviendra, à cause de dr = 0, dy = 0, donc dp = 0, dp1 = 0, et ainsi l'équation (N) deviendra, à cause de dr = 0, dy = 0, dr1 = 0, dp = 0, dp1 = 0, donc dp = 0, dpl = 0, et le problème sera résolu. Supposons d'abord P = 0, l'on aura donc, puisque r, r1 & r11 sont supposées positives, on aura ces équations, dont l'on tire, ce qui montre que l'une des trois distances doit être égale aux deux autres, ce qui montre que les trois corps doivent être toujours rangés dans une même ligne droite. Imaginons que les trois corps A, B, C soient rangés de suite dans la même direction, en sorte que l'on ait m = r1 - r, et faisant pour plus de simplicité r1 = mr, il n'y aura qu'à substituer dans l'équation (e), mr à la place de r, et (m-r) à la place de r1, l'inconnue r s'en ira, et l'on aura une équation qui servira à déterminer m. On trouvera donc ces substitutions étant faites dans l'équation (c), elle deviendra après avoir été multipliée par, qui est ordonnée par rapport à m, montera au cinquième degré, et aura par conséquent toujours une racine réelle. Il est bon de remarquer ici que, quoique nous ayons supposé r11 - r1 -r = 0, la solution n'en renfermera pas moins tous les cas possibles, à cause que
montre que les trois corps doivent être toujours rangés dans une même ligne droite. Imaginons que les trois corps A, B, C soient rangés de suite dans la même direction, en sorte que l'on ait m = r1 - r, et faisant pour plus de simplicité r1 = mr, il n'y aura qu'à substituer dans l'équation (e), mr à la place de r, et (m-r) à la place de r1, l'inconnue r s'en ira, et l'on aura une équation qui servira à déterminer m. On trouvera donc ces substitutions étant faites dans l'équation (c), elle deviendra après avoir été multipliée par, qui est ordonnée par rapport à m, montera au cinquième degré, et aura par conséquent toujours une racine réelle. Il est bon de remarquer ici que, quoique nous ayons supposé r11 - r1 -r = 0, la solution n'en renfermera pas moins tous les cas possibles, à cause que les distances r, r1 & C r11 étant prises sur une même ligne droite, peuvent être positives ou négatives, suivant la différente position des corps. Prix de l'Académie, Tome IX. 1772. D'où l'on voit que l'équation P=0 ne peut donner que celle-ci P = 0, l'autre facteur de P ne pouvant jamais devenir nul, à cause que les rayons r, y1, y" & les maps AB, BC sont des quantités positives. L'équation P=0 étant donc la seule qui puisse satisfaire au cas que nous examinons, ce cas n'aura lieu, comme nous l'avons vu plus haut, que lorsque les trois Corps seront rangés dans une même ligne droite, & que leurs distances seront dans le rapport exprimé par l'équation. Or, nous avons déjà trouvé que les trois Corps doivent se mouvoir dans un plan fixe, de sorte que, connaissant la vitesse relative du corps B autour de A, il n'y aura qu'à la diviser par r pour avoir la vitesse angulaire du corps B autour de A, mais si l'on veut faire usager des formules générales de l'art. 22, on remarquera qu'à cause de P = 0, on a mais les équations donnent donc substituant les valeurs précédentes de y, Se,
pouvant jamais devenir nul, à cause que les rayons r, y1, y" & les maps AB, BC sont des quantités positives. L'équation P=0 étant donc la seule qui puisse satisfaire au cas que nous examinons, ce cas n'aura lieu, comme nous l'avons vu plus haut, que lorsque les trois Corps seront rangés dans une même ligne droite, & que leurs distances seront dans le rapport exprimé par l'équation. Or, nous avons déjà trouvé que les trois Corps doivent se mouvoir dans un plan fixe, de sorte que, connaissant la vitesse relative du corps B autour de A, il n'y aura qu'à la diviser par r pour avoir la vitesse angulaire du corps B autour de A, mais si l'on veut faire usager des formules générales de l'art. 22, on remarquera qu'à cause de P = 0, on a mais les équations donnent donc substituant les valeurs précédentes de y, Se, & faisant pour abréger, on aura Ainsi, on aura (art. 22) mais à cause de P=0, on a donc l'équation (P) deviendra où ensuite, à cause de a = 0 & b = 0, Nous avons supposé ci-dessus que les rayons r, r1 & l étaient consants, & nous avons vu que cela ne peut avoir lieu que dans deux cas, savoir, lorsque ces trois rayons sont égaux entre eux, & lorsque l'un d'eux est égal à la somme des deux autres. Supposons maintenant que ces trois rayons soient seulement dans un rapport constant entre eux, & voyons dans quel cas cette condition pourra avoir lieu. Soit donc r1 - rt = m, r & n étant des quantités constantes, & l'on aura d'abord (art. 21), en faisant pour abréger, la conclusion (H) deviendra ou bien, en faisant plus généreux, dû à du fait, H=0, & intégrant, A, étant une constante arbitraire égale à la valeur de lorsque t = 0. Ensuite on aura, en intégrant, A1 & A" étant des constantes arbitraires. Faisant toutes ces substitutions dans les équations (K) & divisant ensuite la seconde par mx & la troisième par m*, elles deviendront celles-ci : Lesquelles devront être
vu que cela ne peut avoir lieu que dans deux cas, savoir, lorsque ces trois rayons sont égaux entre eux, & lorsque l'un d'eux est égal à la somme des deux autres. Supposons maintenant que ces trois rayons soient seulement dans un rapport constant entre eux, & voyons dans quel cas cette condition pourra avoir lieu. Soit donc r1 - rt = m, r & n étant des quantités constantes, & l'on aura d'abord (art. 21), en faisant pour abréger, la conclusion (H) deviendra ou bien, en faisant plus généreux, dû à du fait, H=0, & intégrant, A, étant une constante arbitraire égale à la valeur de lorsque t = 0. Ensuite on aura, en intégrant, A1 & A" étant des constantes arbitraires. Faisant toutes ces substitutions dans les équations (K) & divisant ensuite la seconde par mx & la troisième par m*, elles deviendront celles-ci : Lesquelles devront être identiques, de sorte qu'on aura ces conditions à remplir : ou bien Ces deux dernières conditions peuvent toujours se remplir par le moyen des constantes indéterminées k, A1 & A2, ainsi la difficulté ne consiste qu'à satisfaire à celles des n° 1 & 2. Or, si on fait pour abréger, on pourra réduire les deux équations du n° 1 à celle-ci par des transformations analogues à celles de l'article 27, Ainsi, il n'y aura qu'à combiner ces deux équations avec celles du n°. i, fa voir ou bien à. = o & A = o ; ce qui fait deux cas que nous allons examiner séparément. XXX. Soit d'abord donc mais on donc savoir. Or, il est visible que la quantité ne pourrait jamais devenir nulle, à cause que les masses A, B, C sont des quantités positives; ainsi, il faudra que l'on ait TT=O, & par conséquent aussi 7r=O, or, dans ce cas, on aura A=O, & les deux équations ci-dessus auront lieu d'elles-mêmes de sorte que toutes les conditions se trouveront remplies, & le Problème des trois Corps sera résoluble exactement dans l'hypothèse de s=a=o, TT = o, w" = o, ce qui donnera r = w =