jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
que le demi-diamètre de la section de l'ombre soulève au centre de Jupiter; cet angle est donné par les observations pour chacun des quatre satellites. Supposons de plus que p dénote la longitude du satellite, et p la tangente de sa latitude, au moment de la conjonction. Enfin soit cp —- •&amp; la longitude du satellite au moment de son entrée dans l'ombre; de sorte que ■¥ exprime l'angle qu'il parcourt sur le plan de Jupiter depuis l'immersion jusque à la conjonction. On aura, pour la valeur de p qui y répond, p—^~^ à peu près. Cela posé: supposons, pour plus d'exactitude, que la section de l'ombre soit une ellipse semblable à celle des méridiens de Jupiter, il est visible qu'on aura: demi-grand axe de l'ellipse ....... t ... v * demi-petit axe . . . , vct(i - E) (E étant l'ellipseité comme dans l'art. XVI) ; abscisse prise depuis le centre . . , »"¥ • appliquée correspondante ..... v(/&gt; —r— "f) Donc, par la nature de l'ellipse, équation d'où l'on tirera . On aura donc a* (i - E) 1 - ^v(i - E) 1 = ^ "•*• * 7^ ^ "+" /i 4' 1 &gt; d'où l'on tire après les réductions DES SATELLITES DE JUPITER; 153 Le signe donne la valeur ^ pour l'immersion, comme nous l'avons supposé, et le signe — donne au contraire la valeur de 4 pour l'émergence. C XXX. Substituons maintenant p à 4ny au lieu de ç, à* au lieu de p, Si de même nfr au lieu de «. (car il est évident que la quantité et doit être du même ordre que la quantité/?), on aura en négligeant que les termes associés de n' : CXXXI Pour convertir cette expression en temps, on la diviera par la vitesse angulaire qui est .-£ = ^ 4», -^; ce qui donnera en négligeant toujours les n x Donc l'intervalle entre l'immersion et la conjonction et l'intervalle entre la conjonction et l'immersion sera Par conséquent la demi-durée sera C XXXII. Il paraît que les Astronomes ont toujours supposé jusqu'à présent, que les
l'on tire après les réductions DES SATELLITES DE JUPITER; 153 Le signe donne la valeur ^ pour l'immersion, comme nous l'avons supposé, et le signe — donne au contraire la valeur de 4 pour l'émergence. C XXX. Substituons maintenant p à 4ny au lieu de ç, à* au lieu de p, Si de même nfr au lieu de «. (car il est évident que la quantité et doit être du même ordre que la quantité/?), on aura en négligeant que les termes associés de n' : CXXXI Pour convertir cette expression en temps, on la diviera par la vitesse angulaire qui est .-£ = ^ 4», -^; ce qui donnera en négligeant toujours les n x Donc l'intervalle entre l'immersion et la conjonction et l'intervalle entre la conjonction et l'immersion sera Par conséquent la demi-durée sera C XXXII. Il paraît que les Astronomes ont toujours supposé jusqu'à présent, que les durées des éclipses des satellites étaient les mêmes avant, et après la conjonction; ce qui n'est pas vrai à la rigueur, la différence étant de 5 secondes, d'où l'on voit que ces durées ne peuvent être égales que dans deux cas; 1° lorsque x= 0, c'est-à-dire que la latitude du satellite est nulle, et que par conséquent l'éclipse est centrale; 2° lorsque dp = 0, c'est-à-dire que la latitude est la plus grande, ou bien que le satellite est dans les limites. Supposons maintenant que l'on ait observé la demidurée d'une éclipse de satellite, laquelle soit de A secondes; on aura en remettant pour n, et nz, a, Si p, où DES SATELLITES DE JUPITER: 153 où il faudra prendre pour *, 3600 divisé par le temps périodique réduit en secondes; ou bien on convertira immédiatement la durée A en degrés, et l'on aura simplement d'où l'on tire c'est la tangente de la latitude du satellite au moment de la conjonction, Ayant ainsi la latitude, Si connaissant d'ailleurs le lieu du noeud par les observations des plus grandes durées on trouvera aisément l'inclinaison de l'orbite, il n'y aura pour cela qu'à diviser la tangente de la latitude trouvée par le
satellite est nulle, et que par conséquent l'éclipse est centrale; 2° lorsque dp = 0, c'est-à-dire que la latitude est la plus grande, ou bien que le satellite est dans les limites. Supposons maintenant que l'on ait observé la demidurée d'une éclipse de satellite, laquelle soit de A secondes; on aura en remettant pour n, et nz, a, Si p, où DES SATELLITES DE JUPITER: 153 où il faudra prendre pour *, 3600 divisé par le temps périodique réduit en secondes; ou bien on convertira immédiatement la durée A en degrés, et l'on aura simplement d'où l'on tire c'est la tangente de la latitude du satellite au moment de la conjonction, Ayant ainsi la latitude, Si connaissant d'ailleurs le lieu du noeud par les observations des plus grandes durées on trouvera aisément l'inclinaison de l'orbite, il n'y aura pour cela qu'à diviser la tangente de la latitude trouvée par le sinus de l'élongation de Jupiter, vu du Soleil, au noeud du satellite; le quotient fera la tangente de l'inclinaison de l'orbite. C'est ainsi que tous les Astronomes en ont usé jusqu'ici pour déterminer la position des plans des orbites des satellites. Mais si on pouvait connaître avec assez de précision par la théorie le moment de la conjonction, on pourrait trouver immédiatement l'inclinaison de la route du satellite dans l'ombre par les observations des immersions et des émersions, car nous avons vu que la différence entre les durées de l'éclipse ayant et après la conjonction doit être = -, . p p, , donc, divisant cette différence par h { ' — Eydt . ' Prix de l'Académie, Tome IX, 158 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS , p—pn aura ~ =a ~ tangente de l'inclinaison de p (i — t) 2 pdt dy &amp; la route du satellite. Mais outre que cette méthode exigerait dans les tables des satellites un degré de précision dont elles sont encore bien éloignées, elle ferait encore le plus souvent impraticable, à cause qu'on ne peut pas toujours observer à la fois les immersions et les émersions. Je finirai ces recherches par dire un mot des
par la théorie le moment de la conjonction, on pourrait trouver immédiatement l'inclinaison de la route du satellite dans l'ombre par les observations des immersions et des émersions, car nous avons vu que la différence entre les durées de l'éclipse ayant et après la conjonction doit être = -, . p p, , donc, divisant cette différence par h { ' — Eydt . ' Prix de l'Académie, Tome IX, 158 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS , p—pn aura ~ =a ~ tangente de l'inclinaison de p (i — t) 2 pdt dy &amp; la route du satellite. Mais outre que cette méthode exigerait dans les tables des satellites un degré de précision dont elles sont encore bien éloignées, elle ferait encore le plus souvent impraticable, à cause qu'on ne peut pas toujours observer à la fois les immersions et les émersions. Je finirai ces recherches par dire un mot des variations qu'on a appercues jusqu'ici dans les positions des orbites des satellites. §. G Des inclinaisons, et des noeuds des Satellites. Le premier Satellite est le seul dont l'orbite parait à peu près fixe; son inclinaison est selon les tables de 3°, 18', et le lieu du noeud à 10s, 140, 30' du moins les demi-durées observées quadrent assez bien avec ces éléments. Le noeud du second paraît aussi fixe, mais son inclinaison est sujette à un changement considérable, dont la période est de 31 ans; la plus grande inclinaison est de 30, 47', 27", et la plus petite de 20, 29', 2" de sorte que la variation est de 10, 18', 27" ou bien de 39', 12" tantôt en plus, tantôt en moins, ce qui fait environ 5 de l'inclinaison moyenne. Un changement si considérable ne pourrait s'expliquer que par les formules de l'art. CIX. En effet, supposons AVEC LE Vrai MOYEN qu'avoir la valeur de fi' ne renferme que deux termes, ou au moins que les deux autres soient assez petits pour pouvoir être négligés, dès lors que l'on ait Assez : On aura, en nommant m la tangente de l'inclinaison de l'orbite, et r, la distance du
140, 30' du moins les demi-durées observées quadrent assez bien avec ces éléments. Le noeud du second paraît aussi fixe, mais son inclinaison est sujette à un changement considérable, dont la période est de 31 ans; la plus grande inclinaison est de 30, 47', 27", et la plus petite de 20, 29', 2" de sorte que la variation est de 10, 18', 27" ou bien de 39', 12" tantôt en plus, tantôt en moins, ce qui fait environ 5 de l'inclinaison moyenne. Un changement si considérable ne pourrait s'expliquer que par les formules de l'art. CIX. En effet, supposons AVEC LE Vrai MOYEN qu'avoir la valeur de fi' ne renferme que deux termes, ou au moins que les deux autres soient assez petits pour pouvoir être négligés, dès lors que l'on ait Assez : On aura, en nommant m la tangente de l'inclinaison de l'orbite, et r, la distance du satellite au noeud ascendant, savoir, en négligeant les termes de l'ordre de n, Donc la plus grande valeur T" sera = A 11 i 4A" 2, et la plus petite = A 11 i — A 11 2, donc, (X" 1 + A 11 2 ) = tang. 30 47' x", Sin (A" 1 + A 11 2 ) = tang. x° x", n A"14-A"2 tang. %? tan-17" par conséquent ———~ t= — —j= 1, 527 ou 1 on tire n— = — o , JOK = environ 1 Maintenant il est clair que la valeur de T" redeviendra la même lorsque l'angle (o1 — oi )t se trouvera augmenté ou diminué de 360°, pris une ou plusieurs fois; donc puisque la longitude moyenne du second satellite est exprimée par fixt, la période de la translation de 1' sera 1 de -4-^r,.-(ffi"—ff(i.) révolutions de ce même satellite. Or cette période est, selon les observations, de 31. AW, Vi 160 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS ce qui répond à peu près à 3189 rev.du second satellite; donc il faudra que -H C XXV II Ayant trouvé A" 2 =.} A 11 1, on pourra Amplifier les expressions de r", et de tangente
x", Sin (A" 1 + A 11 2 ) = tang. x° x", n A"14-A"2 tang. %? tan-17" par conséquent ———~ t= — —j= 1, 527 ou 1 on tire n— = — o , JOK = environ 1 Maintenant il est clair que la valeur de T" redeviendra la même lorsque l'angle (o1 — oi )t se trouvera augmenté ou diminué de 360°, pris une ou plusieurs fois; donc puisque la longitude moyenne du second satellite est exprimée par fixt, la période de la translation de 1' sera 1 de -4-^r,.-(ffi"—ff(i.) révolutions de ce même satellite. Or cette période est, selon les observations, de 31. AW, Vi 160 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS ce qui répond à peu près à 3189 rev.du second satellite; donc il faudra que -H C XXV II Ayant trouvé A" 2 =.} A 11 1, on pourra Amplifier les expressions de r", et de tangente IX et l'on aura à très-peu près : Soit fait 411 = O"11 + <r i)t + h nli 1 + h q, q étant une quantité fort petite, on aura, tang. 4 D'où l'on voit 1 ° que le mouvement du noeud fera de —ÎT par révolution; 2° que ce mouvement fera sujet à une équation analogue à celle de l'inclinaison, laquelle montera à °n° %. Ces derniers résultats ne s'accordent pas avec les observations des demi-durées, par lesquelles il paraît que les noeuds sont à très-peu près fixes, mais j'observe 1 °, que la quantité c 1 peut être nulle, auquel cas le noeud n'aura plus qu'un mouvement d'oscillation. 20 Qu'il est impossible que l'attraction produise un changement dans l'inclinaison sans produire en même temps un changement analogue dans le lieu du noeud. Voyez plus bas, art. CXXX. CX XV III. Voyons maintenant comment on pourrait satisfaire à ces deux conditions, savoir : Pour cela, nous conformerons ici les hypothèses de l'art. C X V III, moyennant quoi l'équation (£) de l'art. C X V se réduira à celle-ci : K l K " X" X' -~ S > ^75 Kl Kly — ° > laquelle donne K1
ce mouvement fera sujet à une équation analogue à celle de l'inclinaison, laquelle montera à °n° %. Ces derniers résultats ne s'accordent pas avec les observations des demi-durées, par lesquelles il paraît que les noeuds sont à très-peu près fixes, mais j'observe 1 °, que la quantité c 1 peut être nulle, auquel cas le noeud n'aura plus qu'un mouvement d'oscillation. 20 Qu'il est impossible que l'attraction produise un changement dans l'inclinaison sans produire en même temps un changement analogue dans le lieu du noeud. Voyez plus bas, art. CXXX. CX XV III. Voyons maintenant comment on pourrait satisfaire à ces deux conditions, savoir : Pour cela, nous conformerons ici les hypothèses de l'art. C X V III, moyennant quoi l'équation (£) de l'art. C X V se réduira à celle-ci : K l K " X" X' -~ S > ^75 Kl Kly — ° > laquelle donne K1 = 0, ou bien *,v = 0, ou bien KXX}|*IV —5, 675 = 0, cette dernière équation se réduit à celle-ci : Or, suivant les mêmes hypothèses, on a fi 1 = 0, P42 xU 1 > &amp; *r" 1 == , * 5°^^" à peu près (art. L X X V I) donc fi 1 fi 11 = 0, 94 2 x 1, 5o6Xnfls= ', 429 x 1, i donc faisant pour plus de simplicité v" 1 == m XX 1, 6c mettant 0, 496 fil au lieu de ^UI, on aura l'équation : 158 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS d'où l'on tire Donc on satisfera à nos conditions en prenant pour a-1 la première de ces deux racines, et pour a 2 la seconde, et supposant donne à cause de "*" = 0,00002417 (art.LXIII) m = 27 à très peu près. Il est vrai que cette détermination ne s'accorde point avec ce que nous avons trouvé dans l'art. LXVIII, mais cela n'est point surprenant vu le grand nombre des quantités que nous avons négligées dans ce calcul, ainsi ne l'ai-je donné ici que comme un essai, me réservant de les reprendre dans quelqu'autre occasion. CX XI X. La position
X V I) donc fi 1 fi 11 = 0, 94 2 x 1, 5o6Xnfls= ', 429 x 1, i donc faisant pour plus de simplicité v" 1 == m XX 1, 6c mettant 0, 496 fil au lieu de ^UI, on aura l'équation : 158 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS d'où l'on tire Donc on satisfera à nos conditions en prenant pour a-1 la première de ces deux racines, et pour a 2 la seconde, et supposant donne à cause de "*" = 0,00002417 (art.LXIII) m = 27 à très peu près. Il est vrai que cette détermination ne s'accorde point avec ce que nous avons trouvé dans l'art. LXVIII, mais cela n'est point surprenant vu le grand nombre des quantités que nous avons négligées dans ce calcul, ainsi ne l'ai-je donné ici que comme un essai, me réservant de les reprendre dans quelqu'autre occasion. CX XI X. La position de l'orbite du troisième satellite est aussi sujette à des variations fort remarquables; son inclinaison paraît avoir été la plus petite en 1697, où elle n'était que d'environ 29°, et depuis lors elle a toujours été en augmentant, de sorte qu'en 1765 on l'a trouvée de 30 27', ce qui fait 27' en 66 ans, et par conséquent environ 6" par an. Quoiqu'on ne connaisse pas encore le terme de cette augmentation, il y a cependant tout lieu de croire qu'elle est périodique comme celle du second satellite; car suivant la comparaison que M. Maraldi a faite d'un très grand nombre d'observations des demi-durées depuis 1671, jusqu'en 1763 l'inclinaison se trouve à très peu près la même à intervalles égaux avant et après 1657. DES SATHELITES DE JUPITER. 159 À l'égard du noeud, les tables de M. Wargentin le supposent fixe à 10' 49 3', mais M. Maraldi trouve qu'il doit avoir un mouvement direct d'environ 1 par an; suivant ce savant Astronome il était à 10' 40 52' en 1657, et à 10° 47°s en 1763. Ces variations peuvent s'expliquer de la même manière que celles du second satellite, pourvu qu'on suppose que la période de l'inclinaison soit beaucoup
fait 27' en 66 ans, et par conséquent environ 6" par an. Quoiqu'on ne connaisse pas encore le terme de cette augmentation, il y a cependant tout lieu de croire qu'elle est périodique comme celle du second satellite; car suivant la comparaison que M. Maraldi a faite d'un très grand nombre d'observations des demi-durées depuis 1671, jusqu'en 1763 l'inclinaison se trouve à très peu près la même à intervalles égaux avant et après 1657. DES SATHELITES DE JUPITER. 159 À l'égard du noeud, les tables de M. Wargentin le supposent fixe à 10' 49 3', mais M. Maraldi trouve qu'il doit avoir un mouvement direct d'environ 1 par an; suivant ce savant Astronome il était à 10' 40 52' en 1657, et à 10° 47°s en 1763. Ces variations peuvent s'expliquer de la même manière que celles du second satellite, pourvu qu'on suppose que la période de l'inclinaison soit beaucoup plus longue; faisons-la de r révolutions du troisième satellite, il faudra que l'on ait -H = (0-1 -<ri)= -5 prenons pour 0-1 la même racine que ci-dessus, et pour 0-2 une des deux autres racines, par exemple celle qui résulte de l'équation K1= 0, avoir ax = 0,981 x 4-0, 16° (art. LXXXVI); mettons au lieu de a 1, 4, 044 et au lieu de m, m %, et au lieu de n %" = m avons la valeur n 0 2 0, 00002417, on aura -H = 0, 00004796 +-0,0000061 m = -3 fi m. = 10, on aurait environ r= 10000, ce qui donnerait la peu près 15,5 ans pour la durée de la période. Maintenant, si on désigne par n fi 11 la tangente de l'inclinaison, et par -}xx la distance au noeud, et qu'on suppose A 1" 1 = v AIU 1, v étant une fraction assez petite, on aura comme dans l'art. CXXVI, ou bien (à cause de a 1 = 0, et de sin t = à la longitude moyenne du satellite que nous dénoterons par uxxx) 1 où fi 11 - 4/I" e^ la longitude du noeud. Supposons, ce qui est permis, que
16° (art. LXXXVI); mettons au lieu de a 1, 4, 044 et au lieu de m, m %, et au lieu de n %" = m avons la valeur n 0 2 0, 00002417, on aura -H = 0, 00004796 +-0,0000061 m = -3 fi m. = 10, on aurait environ r= 10000, ce qui donnerait la peu près 15,5 ans pour la durée de la période. Maintenant, si on désigne par n fi 11 la tangente de l'inclinaison, et par -}xx la distance au noeud, et qu'on suppose A 1" 1 = v AIU 1, v étant une fraction assez petite, on aura comme dans l'art. CXXVI, ou bien (à cause de a 1 = 0, et de sin t = à la longitude moyenne du satellite que nous dénoterons par uxxx) 1 où fi 11 - 4/I" e^ la longitude du noeud. Supposons, ce qui est permis, que la longitude moyenne 1 soit comptée depuis le point, où se trouvait le satellite au moment de la plus petite inclinaison de son orbite, on aura cos. (-r-fi 111 4fi 112) = -1, donc -fi 111 4fi 112 = 180°; par conséquent les équations précédentes deviendront : Donc la vitesse du noeud sera à la vitesse moyenne du satellite comme v - cos. -^f. fi 11 à 1 i d'où l'on voit que le mouvement du noeud sera direct tant que cos. -^f. fi 11 sera positif, c'est-à-dire tant que l'inclinaison fera au-dessous de la moyenne. Au reste, si je donne ici ces formules, ce n'est pas que je les regarde comme fort exactes et conformes au mouvement du troisième satellite; mon objet est simplement de donner une idée de la manière, dont on pourrait DES SATELLITES DE JUPITER. 161 pourrait rendre raison de l'augmentation d'inclinaison, et du mouvement direct des noeuds de ce satellite; phénomènes qui paraissent assez difficiles à expliquer. CX XX. Le quatrième satellite est aussi dans le même cas que le troisième à l'égard du mouvement des noeuds. M. Maraldi l'a trouvé d'environ 5' 33" par an suivant l'ordre des signes, mais M. Wargentin ne le
du noeud sera à la vitesse moyenne du satellite comme v - cos. -^f. fi 11 à 1 i d'où l'on voit que le mouvement du noeud sera direct tant que cos. -^f. fi 11 sera positif, c'est-à-dire tant que l'inclinaison fera au-dessous de la moyenne. Au reste, si je donne ici ces formules, ce n'est pas que je les regarde comme fort exactes et conformes au mouvement du troisième satellite; mon objet est simplement de donner une idée de la manière, dont on pourrait DES SATELLITES DE JUPITER. 161 pourrait rendre raison de l'augmentation d'inclinaison, et du mouvement direct des noeuds de ce satellite; phénomènes qui paraissent assez difficiles à expliquer. CX XX. Le quatrième satellite est aussi dans le même cas que le troisième à l'égard du mouvement des noeuds. M. Maraldi l'a trouvé d'environ 5' 33" par an suivant l'ordre des signes, mais M. Wargentin ne le fait que d'environ 4, 24" dans ses nouvelles tables. Quant à l'inclinaison, ils la supposent constante et de 20° 36' 5 mais il y a tout lieu de croire que cette détermination n'est pas tout à fait exacte, car il paraît difficile que les noeuds aient un mouvement direct, tandis que l'inclinaison demeure la même. D'ailleurs, M. Wargentin remarque que les noeuds ont dû être stationnaires vers la fin du siècle dernier, ce qui prouve, ce me semble, qu'ils étaient auparavant rétrogrades, et que leur mouvement n'est qu'une espèce d'oscillation, comme nous l'avons déjà supposé, à l'égard du troisième satellite; or, je dis qu'un tel mouvement ne pourrait avoir lieu dans le noeud, sans qu'il ait, dans l'inclinaison, une variation analogue; c'est de quoi il est facile de se convaincre en jetant les yeux sur la formule donnée à l'art. III, laquelle exprime la relation qu'il doit avoir en général entre le mouvement du noeud, et la variation de l'inclinaison. Je fais cette remarque, moins pour faire naître des doutes sur les résultats de ces deux savants Astronomes, que pour les engager à se rendre de plus en plus attentifs à la détermination d'éléments si délicats et si difficiles. Prix
que l'inclinaison demeure la même. D'ailleurs, M. Wargentin remarque que les noeuds ont dû être stationnaires vers la fin du siècle dernier, ce qui prouve, ce me semble, qu'ils étaient auparavant rétrogrades, et que leur mouvement n'est qu'une espèce d'oscillation, comme nous l'avons déjà supposé, à l'égard du troisième satellite; or, je dis qu'un tel mouvement ne pourrait avoir lieu dans le noeud, sans qu'il ait, dans l'inclinaison, une variation analogue; c'est de quoi il est facile de se convaincre en jetant les yeux sur la formule donnée à l'art. III, laquelle exprime la relation qu'il doit avoir en général entre le mouvement du noeud, et la variation de l'inclinaison. Je fais cette remarque, moins pour faire naître des doutes sur les résultats de ces deux savants Astronomes, que pour les engager à se rendre de plus en plus attentifs à la détermination d'éléments si délicats et si difficiles. Prix de l'Académie, tome IX. RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS, &C. Au reste, quand on sera bien assuré de l'exactitude de ces éléments, on pourra alors se servir de nos formules pour donner à la théorie du quatrième satellite de nouveaux degrés de perfection. FIN. RÉPONSE À LA Question proposée par L'ACADÉMIE ROYALE DES SCIENCES de Paris, pour l'année 1772. De perfectionner les méthodes sur lesquelles est fondée la théorie de la Lune, de fixer par ce moyen celles des équations de ce Satellite, qui sont encore incertaines, et d'examiner en particulier si l'on peut rendre raison, par cette théorie, de l'équation séculaire du mouvement moyen de la Lune. PAR M. EULER. Prix de l'Acad. Tom. IX. NOUVELLES RECHERCHES SUR LE VRAI MOUVEMENT DE LA LUNE. Où l'on détermine toutes les inégalités auxquelles il est assujetti. Hic labor excipit, longae in viae metas, hinc jam digisi, vestris appellimus oris. La théorie de la Lune étant un objet qui exige les plus longs et pénibles calculs, il me sera permis de n'en rapporter que les points essentiels avec les résultats que j'en ai déduits: je supprimerai donc tous les détails que je regarde toujours comme supplémentaires, lorsqu'on a à comparaître devant des Juges