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de chaque Corps, d'autres éléments que les distances entre les trois Corps ce soir dit le triangle formé par ces Corps à chaque instant. Pour cela, il faut d'abord trouver les équations qui déterminent ces mêmes distances par le temps ; ensuite, en supposant les distances connues, il faut en déduire le mouvement relatif des Corps, par rapport à un plan fixe quelconque. On verra dans le premier Chapitre, comment je m'y suis pris pour remplir ces deux objets, dont le second surtout demande une Analyse délicate & assez compliquée. A la fin de ce Chapitre, je raffemble les principales formules que j'ai trouvées, & qui renferment la solution du Problème des trois Corps pris dans toute sa généralité. LE Chapitre second a pour objet de expliquer comment, & dans quels cas les trois Corps pourraient se mouvoir; en sorte que leurs distances soient toujours constantes, ou gardaient au moins entre elles des rapports constants : je trouve que ces conditions ne peuvent avoir lieu que dans deux cas ; l'un, lorsque les trois Corps sont rangés dans une même ligne droite, & l'autre, lorsque ils forment un triangle équilatéral ; alors, chacun des trois Corps décrit autour des deux autres, des cercles ou des sections coniques, comme s'il n'y avait que deux Corps. Cette recherche n'est à la vérité que de pure curiosité ; mais j'ai cru qu'elle ne ferait pas déplacée dans un Ouvrage qui traite principalement du Problème des trois Corps, envisagé dans toute son étendue. DANS le troisième Chapitre, je suppose que la distance de l'un des trois Corps aux deux autres soit fort grande, & j'applique la solution générale du Chapitre premier à cette hypothèse, qui est, comme on sait, celle de la Terre, de la Lune & du Soleil. ENFIN, dans le quatrième Chapitre, je traite en particulier de la Théorie de la Lune ; j'y donne les formules qui renferment cette Théorie, & je fais voir par un léger essai de calcul, comment on doit se servir de ces formules pour en déduire les inégalités du mouvement de la Lune autour de la
autres, des cercles ou des sections coniques, comme s'il n'y avait que deux Corps. Cette recherche n'est à la vérité que de pure curiosité ; mais j'ai cru qu'elle ne ferait pas déplacée dans un Ouvrage qui traite principalement du Problème des trois Corps, envisagé dans toute son étendue. DANS le troisième Chapitre, je suppose que la distance de l'un des trois Corps aux deux autres soit fort grande, & j'applique la solution générale du Chapitre premier à cette hypothèse, qui est, comme on sait, celle de la Terre, de la Lune & du Soleil. ENFIN, dans le quatrième Chapitre, je traite en particulier de la Théorie de la Lune ; j'y donne les formules qui renferment cette Théorie, & je fais voir par un léger essai de calcul, comment on doit se servir de ces formules pour en déduire les inégalités du mouvement de la Lune autour de la Terre. LE défaut de temps, & d'autres occupations indispensables, ne m'ont pas permis d'entrer là-dessus dans tout le détail nécessaire pour répondre d'une manière convenable aux principaux Points de la Question proposée par l'Académie : aussitôt ai-je d'abord hésité si je lui présenterais ces Recherches pour le Concours ; & je ne m'y suis déterminé que par l'espérance que cette illustre Compagnie trouvera peut-être ma Méthode, pour résoudre le Problème des trois Corps, digne de quelque attention, tant par sa nouveauté & sa singularité, que par les difficultés considérables de calcul qu'elle renferme. Si l'Académie daigne honorer mon travail de son suffrage, ce sera un puissant motif pour m'engager à le perfectionner, & je ne désespère pas de pouvoir tirer de ma Méthode une Théorie de la Lune aussi complète qu'on puisse le demander, dans l'état d'imperfection où est encore l'Analyse. ESSAI SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. "Juvat integros accedere Fontes." LUCRETIUS. CHAPITRE PREMIER. Formules générales pour la solution du Problème des trois Corps. SOUS LE: A, B, C les masses des trois corps PHÉNOMÈNES] qui s'attirent mutuellement en raison directe SYMBELES] les masses, & en raison inverse du carré DISTANCES; soient nommées de plus x, y, z, les
je ne m'y suis déterminé que par l'espérance que cette illustre Compagnie trouvera peut-être ma Méthode, pour résoudre le Problème des trois Corps, digne de quelque attention, tant par sa nouveauté & sa singularité, que par les difficultés considérables de calcul qu'elle renferme. Si l'Académie daigne honorer mon travail de son suffrage, ce sera un puissant motif pour m'engager à le perfectionner, & je ne désespère pas de pouvoir tirer de ma Méthode une Théorie de la Lune aussi complète qu'on puisse le demander, dans l'état d'imperfection où est encore l'Analyse. ESSAI SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. "Juvat integros accedere Fontes." LUCRETIUS. CHAPITRE PREMIER. Formules générales pour la solution du Problème des trois Corps. SOUS LE: A, B, C les masses des trois corps PHÉNOMÈNES] qui s'attirent mutuellement en raison directe SYMBELES] les masses, & en raison inverse du carré DISTANCES; soient nommées de plus x, y, z, les coordonnées rectangles de l'orbite du corps B autour du corps A, x, y, z] les coordonnées rectangles de l'orbite du corps C autour du même corps A, coordonnées qu'on suppose toujours parallèles à trois lignes fixes & perpendiculaires entre elles; enfin soient r, r1, r2 les distances entre les corps A & B, A & C, B & C, en sorte que l'on ait On aura, comme l'on fait, en prenant l'élément dit temps dt constant, les six équations suivantes. Si on fait encore en sorte que x, y, z soient les coordonnées rectangulaires de l'orbite du corps C autour de B, on aura r = √(x^2 + y^2 + z^2). Se retranchant respectivement les trois premières équations des trois dernières, on aura ces trois ci : qui exprimeront le mouvement relatif du corps C autour du corps B. Il est bon de remarquer l'analogie qu'il y a entre ces neuf équations (A), (B), (C), c'est que les équations (A) se changent en les équations (B) en y changeant seulement B en C, x en x1, y en y1, z en z1, r en r1 et réciproquement, et que de même ces équations se changent en les équations (C) en
A & B, A & C, B & C, en sorte que l'on ait On aura, comme l'on fait, en prenant l'élément dit temps dt constant, les six équations suivantes. Si on fait encore en sorte que x, y, z soient les coordonnées rectangulaires de l'orbite du corps C autour de B, on aura r = √(x^2 + y^2 + z^2). Se retranchant respectivement les trois premières équations des trois dernières, on aura ces trois ci : qui exprimeront le mouvement relatif du corps C autour du corps B. Il est bon de remarquer l'analogie qu'il y a entre ces neuf équations (A), (B), (C), c'est que les équations (A) se changent en les équations (B) en y changeant seulement B en C, x en x1, y en y1, z en z1, r en r1 et réciproquement, et que de même ces équations se changent en les équations (C) en y changeant A en C, x en x1, y en y1, z en z1, r en r11 et vice versa, et la même analogie aura lieu dans toutes les formules que nous trouverons par la suite. I. Qu'on multiplie la première des équations (A) par x, la seconde par y, et qu'ensuite on les retranche l'une de l'autre, on aura Prix de l'Académie, Tome IX. 1772. Combinant de même les deux premières des équations (B) et les deux premières des équations (C), on aura ces deux ci : Mais en ajoutant ensemble les trois équations précédentes, après avoir divisé la première par C, la seconde par B et la troisième par A, on aura celle-ci : On trouvera de la même manière ces deux autres équations : De sorte qu'on aura en intégrant a, b, c étant des constantes arbitraires. DES TROIS CORPS, II De plus, si on multiplie la première des équations (A) par dx, la première des équations (B) par dy, et la première des équations (C) par dz, et qu'ensuite on les ajoute ensemble, on aura, à cause de x = xl - x, On trouvera de même Donc, ajoutant ensemble ces trois équations et mettant dr/dx
et qu'ensuite on les retranche l'une de l'autre, on aura Prix de l'Académie, Tome IX. 1772. Combinant de même les deux premières des équations (B) et les deux premières des équations (C), on aura ces deux ci : Mais en ajoutant ensemble les trois équations précédentes, après avoir divisé la première par C, la seconde par B et la troisième par A, on aura celle-ci : On trouvera de la même manière ces deux autres équations : De sorte qu'on aura en intégrant a, b, c étant des constantes arbitraires. DES TROIS CORPS, II De plus, si on multiplie la première des équations (A) par dx, la première des équations (B) par dy, et la première des équations (C) par dz, et qu'ensuite on les ajoute ensemble, on aura, à cause de x = xl - x, On trouvera de même Donc, ajoutant ensemble ces trois équations et mettant dr/dx à la place de x, dr/dy à la place de y, dr/dz à la place de z, r1 dr/dx1 à la place de x1, r1 dr/dy1 à la place de y1, r1 dr/dz1 à la place de z1, r" dr/dx" à la place de xl, dr/dy" à la place de y1, dr/dz" à la place de z1, on aura une équation intégrale dont l'intégrale fera f étant une constante arbitraire. Ce sont-là les seules intégrales existantes qu'on ait pu trouver jusqu'à présent ; or, comme il y a en tout six variables x, y, z, A1, y1, z1, il est clair que si on pouvait trouver encore deux autres intégrales, le problème serait réduit aux premières différences mais on ne saurait guère se flatter d'y parvenir dans l'état d'imperfection où est encore l'analyse. Supposons pour abréger en sorte que u, u1, un expriment les vitesses relatives des corps B autour de A, C autour de B, il est clair qu'on aura : Donc mettant dans ces équations au lieu de leurs valeurs tirées des équations (A), (B), (C), et faisant attention que on aura, après avoir fait passer tous les termes du même côté. Donc, si on peut avoir les
y1, dr/dz" à la place de z1, on aura une équation intégrale dont l'intégrale fera f étant une constante arbitraire. Ce sont-là les seules intégrales existantes qu'on ait pu trouver jusqu'à présent ; or, comme il y a en tout six variables x, y, z, A1, y1, z1, il est clair que si on pouvait trouver encore deux autres intégrales, le problème serait réduit aux premières différences mais on ne saurait guère se flatter d'y parvenir dans l'état d'imperfection où est encore l'analyse. Supposons pour abréger en sorte que u, u1, un expriment les vitesses relatives des corps B autour de A, C autour de B, il est clair qu'on aura : Donc mettant dans ces équations au lieu de leurs valeurs tirées des équations (A), (B), (C), et faisant attention que on aura, après avoir fait passer tous les termes du même côté. Donc, si on peut avoir les valeurs de u", u", et u" exprimées en r, y et z seulement, on aura trois équations entre ces trois dernières variables et le temps t, à l'aide desquelles on pourra à chaque instant déterminer la position relative des corps. Or, on a, en différentiant les valeurs de u", u", et u" donnant, donc, si on fait ici les mêmes substitutions que ci-dessus, et qu'on suppose pour un moment on aura, (à cause de dQ/dt = 0, pour abréger On aura de sorte que les équations (F) deviendront et il ne reste plus qu'à trouver les valeurs de Pour cela, je fais et comme l'on a on aura en différentiant donnant ensuite, et ensuite, à cause de donc enfuite fa voir Tout se réduit donc maintenant à avoir la valeur de di. Pour y parvenir, je différentie, et j'ai je substitue à la place de dx, dy, dz, et les valeurs tirées des équations (A) et (B), et faisant les autres substitutions convenables, je trouve ou bien. Supposons, pour mettre nos formules sous une forme plus simple, et l'on aura d'abord, pour la détermination de dj, cette équation On aura ensuite d'où on trouvera de même de sorte qu'en substituant
et u" donnant, donc, si on fait ici les mêmes substitutions que ci-dessus, et qu'on suppose pour un moment on aura, (à cause de dQ/dt = 0, pour abréger On aura de sorte que les équations (F) deviendront et il ne reste plus qu'à trouver les valeurs de Pour cela, je fais et comme l'on a on aura en différentiant donnant ensuite, et ensuite, à cause de donc enfuite fa voir Tout se réduit donc maintenant à avoir la valeur de di. Pour y parvenir, je différentie, et j'ai je substitue à la place de dx, dy, dz, et les valeurs tirées des équations (A) et (B), et faisant les autres substitutions convenables, je trouve ou bien. Supposons, pour mettre nos formules sous une forme plus simple, et l'on aura d'abord, pour la détermination de dj, cette équation On aura ensuite d'où on trouvera de même de sorte qu'en substituant ces valeurs, et faisant pour plus de simplicité on aura de là on trouvera de même de sorte qu'en substituant ces valeurs, et faisant pour plus de simplicité on aura Maintenant on aura donnant ensuite ajoutant ces deux équations, et mettant f à la place de q - a1, on aura on trouvera de même donnant toutes ces substitutions dans les équations (G) ou (F) des articles précédents, elles deviendront celles-ci, Ainsi, on pourra, à l'aide de ces trois équations, déterminer les trois rayons r, r1 et n en 1, ce qui donnera pour chaque instant la position relative des Corps entre eux. Il est bon de remarquer que si on divise la première de ces équations par C, la seconde par B, et la troisième par A; et qu'ensuite on les ajoute ensemble, on aura (à cause de dQ/dt + dQ1/dt + dQ2/dt = 0, et par conséquent Q + Q1 + Q2 = 0) une constante, celle-ci, laquelle pourra tenir lieu d'une quelconque des trois équations (K). Si je l'intègre ensuite pour avoir Z étant une constante arbitraire. Pour abréger, on a P = q(indj) 1 - pIdpu - rzdp, on aura, en négligeant la constante L qui
aura on trouvera de même donnant toutes ces substitutions dans les équations (G) ou (F) des articles précédents, elles deviendront celles-ci, Ainsi, on pourra, à l'aide de ces trois équations, déterminer les trois rayons r, r1 et n en 1, ce qui donnera pour chaque instant la position relative des Corps entre eux. Il est bon de remarquer que si on divise la première de ces équations par C, la seconde par B, et la troisième par A; et qu'ensuite on les ajoute ensemble, on aura (à cause de dQ/dt + dQ1/dt + dQ2/dt = 0, et par conséquent Q + Q1 + Q2 = 0) une constante, celle-ci, laquelle pourra tenir lieu d'une quelconque des trois équations (K). Si je l'intègre ensuite pour avoir Z étant une constante arbitraire. Pour abréger, on a P = q(indj) 1 - pIdpu - rzdp, on aura, en négligeant la constante L qui peut être réduite contenue dans P, et divisant toute l'équation par, Faifant de même on trouvera par des opérations semblables aux précédentes Et si on retranche ces équations respectivement des équations trouvées ci-dessus, qu'ensuite on divise les équations reliantes par r, rx, rn, on aura ces trois-ci. VII. Nous avons donc réduit les six équations primitives (A), (B) qui renferment la solution du Problème des trois Corps pris dans toute sa généralité à trois autres équations entre les trois distances r, r1, r" et le temps t. Il est vrai que ces réduites renferment chacune deux signes d'intégration (ce qui est évident en substituant les valeurs de Q., Q1, Q2 ou de P, Px, P1 et z de d?) et qu'à cet égard elles sont moins simples que les équations primitives mais d'un autre côté elles ont l'avantage de ne renfermer aucun radical, ce qui me paraît d'une grande importance dans ces sortes de problèmes. Supposons donc qu'on a déterminé par les équations (K) ou (M) les trois variables r, r1, r" en t; on ne connaît encore par là que la position relative des corps, c'est-à-dire le triangle que les trois Corps forment à chaque instant; ainsi il reflète
donc réduit les six équations primitives (A), (B) qui renferment la solution du Problème des trois Corps pris dans toute sa généralité à trois autres équations entre les trois distances r, r1, r" et le temps t. Il est vrai que ces réduites renferment chacune deux signes d'intégration (ce qui est évident en substituant les valeurs de Q., Q1, Q2 ou de P, Px, P1 et z de d?) et qu'à cet égard elles sont moins simples que les équations primitives mais d'un autre côté elles ont l'avantage de ne renfermer aucun radical, ce qui me paraît d'une grande importance dans ces sortes de problèmes. Supposons donc qu'on a déterminé par les équations (K) ou (M) les trois variables r, r1, r" en t; on ne connaît encore par là que la position relative des corps, c'est-à-dire le triangle que les trois Corps forment à chaque instant; ainsi il reflète à voir comment on pourra déterminer ensuite l'orbite même de chaque corps, c'est-à-dire les six variables x, y, z, x1, y1, z1. VIII. Pour cet effet, nous remarquerons d'abord qu'en connaissant r, r1 et r" on connaît aussi u, u1, u" et dV, dVx, dVz par les équations de l'art 5. De sorte qu'on aura (en mettant p1z à la place de z et v1z à la place de z) les dix équations suivantes. Or, en regardant les quantités x, y, z, x1, y1, z1, dx, dy, dz, idx1, dy1, dz1, comme autant d'inconnues, il est clair que les équations précédentes ne suffisent pas pour les déterminer, puisqu'on aurait douze inconnues, et seulement dix équations, mais si on joint à ces équations les trois équations (D) de l'art i. On aura alors une équation de plus qu'il n'y a d'inconnues; et la difficulté ne consistera qu'à résoudre ces équations. J'observe, à l'égard des équations de l'article précédent, qu'elles ne peuvent tenir lieu que de neuf équations, parce qu'en éliminant quelques-unes des inconnues il arrive que les autres s'en vont d'elles-mêmes, de sorte qu'on tombe par ce moyen dans une équation où il n'entre seulement que les quantités connues r1, r2,
5. De sorte qu'on aura (en mettant p1z à la place de z et v1z à la place de z) les dix équations suivantes. Or, en regardant les quantités x, y, z, x1, y1, z1, dx, dy, dz, idx1, dy1, dz1, comme autant d'inconnues, il est clair que les équations précédentes ne suffisent pas pour les déterminer, puisqu'on aurait douze inconnues, et seulement dix équations, mais si on joint à ces équations les trois équations (D) de l'art i. On aura alors une équation de plus qu'il n'y a d'inconnues; et la difficulté ne consistera qu'à résoudre ces équations. J'observe, à l'égard des équations de l'article précédent, qu'elles ne peuvent tenir lieu que de neuf équations, parce qu'en éliminant quelques-unes des inconnues il arrive que les autres s'en vont d'elles-mêmes, de sorte qu'on tombe par ce moyen dans une équation où il n'entre seulement que les quantités connues r1, r2, p1, etc. Pour le prouver de la manière la plus simple qu'il est possible, je prends d'abord les trois équations et j'en tire par les règles ordinaires de l'élimination, les valeurs de dx, dy, dz, j'aurai en faisant pour abréger De même si on prend les trois équations et qu'on en tire les valeurs de x, y et z, il est facile de voir qu'on aura pour x, y et z les mêmes expressions que l'on a trouvées plus haut pour dx, dy et dz en y changeant seulement rdr en r, dp en p et dx/dz en dVx donc faisant les mêmes opérations et les mêmes substitutions que ci-dessus, on aura cette autre équation. On tient ainsi deux équations suivantes. Dès lors, en chassant z, on aura une équation entre les seules quantités connues r, r1, et z. Si on tire de la dernière équation la valeur de F, on aura, en réduisant et effaçant ce qui se détruit. Et cette valeur de V1 étant substituée dans l'autre équation, on aura : DÉS TROIS CORPS ou bien, en ordonnant les termes, de plus on a, par les formules du même article, et de même donc si on fait ces
en tire les valeurs de x, y et z, il est facile de voir qu'on aura pour x, y et z les mêmes expressions que l'on a trouvées plus haut pour dx, dy et dz en y changeant seulement rdr en r, dp en p et dx/dz en dVx donc faisant les mêmes opérations et les mêmes substitutions que ci-dessus, on aura cette autre équation. On tient ainsi deux équations suivantes. Dès lors, en chassant z, on aura une équation entre les seules quantités connues r, r1, et z. Si on tire de la dernière équation la valeur de F, on aura, en réduisant et effaçant ce qui se détruit. Et cette valeur de V1 étant substituée dans l'autre équation, on aura : DÉS TROIS CORPS ou bien, en ordonnant les termes, de plus on a, par les formules du même article, et de même donc si on fait ces substitutions, et qu'on suppose pour plus de simplicité l'équation suivante deviendra, après avoir été multipliée Il faut donc que cette équation ait lieu en même temps que les trois équations (K) de l'art. 5 de sorte que, comme elle ne contient d'ailleurs que les mêmes variables que les équations (K), et qu'elle est d'un ordre moins élevé d'une unité que celle-ci, on pourra la regarder comme une intégrale de ces mêmes équations (K), mais intégrale particulière à cause qu'elle ne renferme aucune nouvelle constante ainsi, si on intégre les équations (K) en y ajoutant les constantes nécessaires, ces constantes devront être telles qu'elles satisfassent à l'équation (N). De sorte que, si on ne veut pas se servir de cette dernière équation à la place d'une des équations (K), il faudra néanmoins y avoir égard dans la détermination des constantes, mais pour cela il suffira d'y supposer partout 1—0. Au reste, nous ferons toujours usage de cette équation pour déterminer la constante qui doit entrer dans la valeur de j résultante de l'intégration de l'équation (H) de l'art. 5. DÉS TROIS CORPS Reprenons maintenant les équations (D) de l'art. 10, faits pour abréger On aura, après avoir multiplié par dt, Or
et qu'elle est d'un ordre moins élevé d'une unité que celle-ci, on pourra la regarder comme une intégrale de ces mêmes équations (K), mais intégrale particulière à cause qu'elle ne renferme aucune nouvelle constante ainsi, si on intégre les équations (K) en y ajoutant les constantes nécessaires, ces constantes devront être telles qu'elles satisfassent à l'équation (N). De sorte que, si on ne veut pas se servir de cette dernière équation à la place d'une des équations (K), il faudra néanmoins y avoir égard dans la détermination des constantes, mais pour cela il suffira d'y supposer partout 1—0. Au reste, nous ferons toujours usage de cette équation pour déterminer la constante qui doit entrer dans la valeur de j résultante de l'intégration de l'équation (H) de l'art. 5. DÉS TROIS CORPS Reprenons maintenant les équations (D) de l'art. 10, faits pour abréger On aura, après avoir multiplié par dt, Or je trouve, comme plus haut, je trouve de même et par analogie Donc si on fait pour plus de simplicité en sorte que l'on ait DÉS TROIS CORPS. ion aura, en considérant les trois équations (O) et les ajoutant ensemble, Équation qui est aussi comme on voit d'un ordre moins élevé d'une unité que les équations (K), et comme elle renferme la constante arbitraire a1 qui ne se trouve point dans les équations (K), on peut la regarder comme une intégrale complète de ces mêmes équations. On pourrait croire que l'équation (E) que nous avons trouvée dans l'art. 2 pourrait aussi, en y substituant les valeurs de u, u1 et u2, donner une nouvelle intégrale, mais il est facile de voir qu'il n'en résulterait qu'une équation identique, car l'équation dont il s'agit, se réduit d'abord à et mettant pour u, u1 et u2 leurs valeurs tirées des formules (J), on aura, en rejettant ce qui se détruit ce qui ne renferme aucune nouvelle condition, car les quantités Q, Q1, Q" sont déjà d'elles-mêmes telles que (art. 7). Aussi, si on combine l'équation Q4-Q14-Qn=2m1-4m2-4m3 avec les équations (N) et (P) après y avoir substitué les valeurs de u, u1 et u2,