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ROYALE DES SCIENCES de Paris, pour l'année 1772. De perfectionner les méthodes sur lesquelles est fondée la théorie de la Lune, de fixer par ce moyen celles des équations de ce Satellite, qui sont encore incertaines, et d'examiner en particulier si l'on peut rendre raison, par cette théorie, de l'équation séculaire du mouvement moyen de la Lune. PAR M. EULER. Prix de l'Acad. Tom. IX. NOUVELLES RECHERCHES SUR LE VRAI MOUVEMENT DE LA LUNE. Où l'on détermine toutes les inégalités auxquelles il est assujetti. Hic labor excipit, longae in viae metas, hinc jam digisi, vestris appellimus oris. La théorie de la Lune étant un objet qui exige les plus longs et pénibles calculs, il me sera permis de n'en rapporter que les points essentiels avec les résultats que j'en ai déduits: je supprimerai donc tous les détails que je regarde toujours comme supplémentaires, lorsqu'on a à comparaître devant des Juges aussi éclairés que sont ceux qui composent l'Académie Royale des Sciences de Paris. Je prendrai pour base le Mémoire qui a été couronné en 1770 sur cette même question, et je commencerai par y faire quelques réflexions. D'abord il est indubitable que la manière dont cette recherche a été développée dans le susdit Mémoire, par le moyen des trois coordonnées, mérite à bien des égards la préférence sur toutes les autres méthodes que les Géomètres ont employées jusqu'ici pour déterminer les inégalités dans le mouvement de la Lune. Cependant je ne me servirai ici que de l'idée générale, qui y constitue le fond de la solution, ayant trouvé à propos d'y faire plusieurs changements, tant à l'égard de la situation des trois coordonnées, que dans la résolution même des équations qui en déterminent les valeurs. D'ailleurs il s'en faut beaucoup que le développement du calcul, qui est rapporté dans ledit Mémoire, soit exécuté avec toute la justesse requise, et il paraît que l'Auteur n'a pas eu assez de temps, ou peut-être de patience pour achever un travail aussi fatigant que le est surtout le calcul numérique, calcul auquel on ne pourrait même se fier, à moins qu'on ne l'ait répété
dans le susdit Mémoire, par le moyen des trois coordonnées, mérite à bien des égards la préférence sur toutes les autres méthodes que les Géomètres ont employées jusqu'ici pour déterminer les inégalités dans le mouvement de la Lune. Cependant je ne me servirai ici que de l'idée générale, qui y constitue le fond de la solution, ayant trouvé à propos d'y faire plusieurs changements, tant à l'égard de la situation des trois coordonnées, que dans la résolution même des équations qui en déterminent les valeurs. D'ailleurs il s'en faut beaucoup que le développement du calcul, qui est rapporté dans ledit Mémoire, soit exécuté avec toute la justesse requise, et il paraît que l'Auteur n'a pas eu assez de temps, ou peut-être de patience pour achever un travail aussi fatigant que le est surtout le calcul numérique, calcul auquel on ne pourrait même se fier, à moins qu'on ne l'ait répété à plusieurs reprises, et avec tout le soin imaginable. Que le plan de la figure représentée le plan de l'écliptique, où je suppose le centre du Soleil immobile en O, et pour un temps proposé quelconque le centre de la Terre en S, la droite OS marquant le lieu de l'équinoxe du printemps. Soit ensuite hors de ce plan, (E) le centre du Satellite, d'où j'abaisse sur ce plan de l'écliptique la perpendiculaire EV, de sorte que la droite OS marque la longitude vraie de la Lune, et l'angle EVS la latitude que je suppose boréale. Je tire ensuite dans le plan de l'écliptique la droite SM qui doit indiquer la longitude moyenne de la Lune, sur laquelle j'abaisse enfin de la perpendiculaire VL, pour avoir les trois coordonnées orthogonales OS, EV, SV(L), dont il s'agit de déterminer les valeurs. On voit d'abord que cette disposition est un peu différente de celle qui a été employée dans le Mémoire susmentionné; mais on verra bientôt que j'en tire l'avantage, que mes formules deviennent par-là plus simples et leurs applications au calcul moins embêtantes. Cependant la conduite du calcul reste à peu près la même, de sorte qu'il serait superflu de les
l'équinoxe du printemps. Soit ensuite hors de ce plan, (E) le centre du Satellite, d'où j'abaisse sur ce plan de l'écliptique la perpendiculaire EV, de sorte que la droite OS marque la longitude vraie de la Lune, et l'angle EVS la latitude que je suppose boréale. Je tire ensuite dans le plan de l'écliptique la droite SM qui doit indiquer la longitude moyenne de la Lune, sur laquelle j'abaisse enfin de la perpendiculaire VL, pour avoir les trois coordonnées orthogonales OS, EV, SV(L), dont il s'agit de déterminer les valeurs. On voit d'abord que cette disposition est un peu différente de celle qui a été employée dans le Mémoire susmentionné; mais on verra bientôt que j'en tire l'avantage, que mes formules deviennent par-là plus simples et leurs applications au calcul moins embêtantes. Cependant la conduite du calcul reste à peu près la même, de sorte qu'il serait superflu de les déduire de nouveau des premiers principes de la mécanique. Suivant le Mémoire couronné, les trois coordonnées ont été nommées: Z = (i + x), LV = ay et KC = az, où la lettre a marque une certaine distance moyenne de la Lune à la Terre, l'unité exprimant la distance moyenne de la Terre au Soleil. Mais pour rendre le calcul plus facile, je nommerai ici la distance moyenne de la Terre au Soleil et la dernière détermination de la parallaxe du Soleil donne à connaître, que la valeur de cette lettre a est fort à peu près 6c par conséquent = 390.. Il s'agit donc de trouver les équations différentielles, qui déterminent les valeurs de ces trois coordonnées x, y, z, où je suppose que l'on emploie la même méthode qui est détaillée dans le Mémoire déjà cité, où il convient de remarquer, que les temps y sont exprimés par le mouvement de l'anomalie moyenne du Soleil, qui y est nommé, de sorte que sa différentielle dt soit constante. Ensuite il entrera dans ces équations l'angle p, qui marque l'élongation moyenne de la Lune au Soleil, Si qu'on tire aisément des Tables des moyens mouvements, en soustrayant la longitude
moyenne de la Terre au Soleil. Mais pour rendre le calcul plus facile, je nommerai ici la distance moyenne de la Terre au Soleil et la dernière détermination de la parallaxe du Soleil donne à connaître, que la valeur de cette lettre a est fort à peu près 6c par conséquent = 390.. Il s'agit donc de trouver les équations différentielles, qui déterminent les valeurs de ces trois coordonnées x, y, z, où je suppose que l'on emploie la même méthode qui est détaillée dans le Mémoire déjà cité, où il convient de remarquer, que les temps y sont exprimés par le mouvement de l'anomalie moyenne du Soleil, qui y est nommé, de sorte que sa différentielle dt soit constante. Ensuite il entrera dans ces équations l'angle p, qui marque l'élongation moyenne de la Lune au Soleil, Si qu'on tire aisément des Tables des moyens mouvements, en soustrayant la longitude moyenne du Soleil de celle de la Lune. Or, pour le rapport entre ces deux angles p et t, je pose, comme dans ledit Mémoire Z = m y de sorte que m = 12,3685, au moins pour le siècle présent, en cas que la résistance de l'éther soit capable d'y causer, avec le temps, quelque changement. Outre cela, il se trouvera dans ces équations encore un autre nombre constant A, dont la valeur doit être supposée conformément aux raisons alléguées dans ledit Mémoire A = (2+1)*(3+1) ou bien A = 175,5218928. Enfin, l'excentricité de l'orbite du Soleil, que je nommerai ici x2, s'introduit aussi dans nos équations, dont la valeur est x = 0,01678. Après ces explications, ayant réduit le calcul à ces trois nouvelles coordonnées, et développé les formules irrationelles, de la même manière, qu'on l'avait déjà fait dans le Mémoire susdit, on trouvera enfin les trois équations différentielles-différentielles, telles que je les ai représentées sur les feuilles détachées ci-jointes, Table première, seconde et troisième, où la différentielle du temps dt est supposée constante. On verra par là que j'ai poussé ici beaucoup plus loin l'évolution des formules irrationnelles, et même jusqu'à la sixième dimension des trois inconnues
d'y causer, avec le temps, quelque changement. Outre cela, il se trouvera dans ces équations encore un autre nombre constant A, dont la valeur doit être supposée conformément aux raisons alléguées dans ledit Mémoire A = (2+1)*(3+1) ou bien A = 175,5218928. Enfin, l'excentricité de l'orbite du Soleil, que je nommerai ici x2, s'introduit aussi dans nos équations, dont la valeur est x = 0,01678. Après ces explications, ayant réduit le calcul à ces trois nouvelles coordonnées, et développé les formules irrationelles, de la même manière, qu'on l'avait déjà fait dans le Mémoire susdit, on trouvera enfin les trois équations différentielles-différentielles, telles que je les ai représentées sur les feuilles détachées ci-jointes, Table première, seconde et troisième, où la différentielle du temps dt est supposée constante. On verra par là que j'ai poussé ici beaucoup plus loin l'évolution des formules irrationnelles, et même jusqu'à la sixième dimension des trois inconnues x, y et z, puisque j'ai trouvé dans la suite que quelques inégalités de la Lune demandent absolument la cinquième dimension, sans quoi leur détermination deviendrait tout à fait fausse. Aussi les petits termes affectés par les lettres a et x sont ici plus soigneusement développés, et dans les derniers on remarquera d'abord une grande différence par rapport à ceux du Mémoire allégué, dont la raison est, que les coordonnées ont rapportées ici à un autre axe que là. Mais à l'égard des autres membres on découvrira une belle harmonie. En considérant la grande prolixité de ces équations, on conviendra aisément qu'il faut entièrement renoncer à toute espérance de les intégrer, et tous nos soins ne doivent aboutir qu'à chercher par des convenables approximations les justes valeurs de nos trois inconnues x, y et z, qui renferment même les constantes arbitraires que les intégrations actuelles y introduiraient. Parmi ces constantes, il se présente d'abord l'excentricité de l'orbite lunaire, que je désignerai ici par la lettre k, à laquelle se rapporte un nouvel angle q, qui est l'anomalie moyenne de la Lune, et dont le rapport à l'angle p est supposé -j = n = 13, 15604, et je ne répète
on remarquera d'abord une grande différence par rapport à ceux du Mémoire allégué, dont la raison est, que les coordonnées ont rapportées ici à un autre axe que là. Mais à l'égard des autres membres on découvrira une belle harmonie. En considérant la grande prolixité de ces équations, on conviendra aisément qu'il faut entièrement renoncer à toute espérance de les intégrer, et tous nos soins ne doivent aboutir qu'à chercher par des convenables approximations les justes valeurs de nos trois inconnues x, y et z, qui renferment même les constantes arbitraires que les intégrations actuelles y introduiraient. Parmi ces constantes, il se présente d'abord l'excentricité de l'orbite lunaire, que je désignerai ici par la lettre k, à laquelle se rapporte un nouvel angle q, qui est l'anomalie moyenne de la Lune, et dont le rapport à l'angle p est supposé -j = n = 13, 15604, et je ne répète pas ici tout ce qui est rapporté à certaine occasion sur le mouvement de l'apogée de la Lune. Ensuite une autre constante renfermera l'inclinaison de l'orbite lunaire à l'écliptique, que je marquerai dans la suite par la lettre i, à laquelle se rapporte aussi un certain angle r, nommé l'argument de latitude, qu'on trouve en ôtant la longitude moyenne du node ascendant de celle de la Lune, tout comme l'angle précédent q se trouve en ôtant la longitude moyenne de l'apogée lunaire de celle de la Lune, de sorte que ces deux angles sont aussi proportionnels au temps : or pour ce dernier je pose -r = ?* /, dont la valeur se tire des tables qui donnent -r = 13, 4,4263. Outre ces deux constantes k et i, les angles q et r même renferment encore deux constantes : car puisque nous n'avons posé que leurs différentielles dq = n dt, et dr = l dt, leurs intégrales, où les angles q et r même renferment sans doute chacun une constante. Il en est de même de l'angle p, parce que l'intégration de la formule dp = rndt reçoit aussi une constante. Enfin la sixième constante se trouve déjà
de latitude, qu'on trouve en ôtant la longitude moyenne du node ascendant de celle de la Lune, tout comme l'angle précédent q se trouve en ôtant la longitude moyenne de l'apogée lunaire de celle de la Lune, de sorte que ces deux angles sont aussi proportionnels au temps : or pour ce dernier je pose -r = ?* /, dont la valeur se tire des tables qui donnent -r = 13, 4,4263. Outre ces deux constantes k et i, les angles q et r même renferment encore deux constantes : car puisque nous n'avons posé que leurs différentielles dq = n dt, et dr = l dt, leurs intégrales, où les angles q et r même renferment sans doute chacun une constante. Il en est de même de l'angle p, parce que l'intégration de la formule dp = rndt reçoit aussi une constante. Enfin la sixième constante se trouve déjà dans la lettre a, entant qu'elle se rapporte à la quantité de l'orbite lunaire. Voilà donc toutes les six constantes, que les doubles intégrations de nos trois équations introduiraient dans le calcul, et dont les valeurs doivent être tirées de l'état actuel où se trouve le mouvement de la Lune. En réfléchissant bien sur la forme des valeurs qui ont été trouvées pour nos trois inconnues x, y et z, on verra d'abord que les deux premières x et y contiennent quelques termes indépendants des constantes k, i, a et x, qu'on comprend communément sous le nom de VARIATION. Ensuite on y trouve des termes affectés simplement par la lettre k, et il est bon d'en distinguer ceux qui sont affectés par le carré k^2, ou même le cube k^3. Or, ces derniers deviennent déjà si extrêmement petits, qu'on peut hardiment négliger ceux qui seraient affectés par des puissances de k plus hautes que le carré. 11 y aura aussi des termes affectés simplement par la lettre a, et ensuite aussi par ak et enfin des termes multipliés par x et xk, en négligeant tous les autres termes affectés, qui à cause de leur petite valeur ne feraient également d'aucune
En réfléchissant bien sur la forme des valeurs qui ont été trouvées pour nos trois inconnues x, y et z, on verra d'abord que les deux premières x et y contiennent quelques termes indépendants des constantes k, i, a et x, qu'on comprend communément sous le nom de VARIATION. Ensuite on y trouve des termes affectés simplement par la lettre k, et il est bon d'en distinguer ceux qui sont affectés par le carré k^2, ou même le cube k^3. Or, ces derniers deviennent déjà si extrêmement petits, qu'on peut hardiment négliger ceux qui seraient affectés par des puissances de k plus hautes que le carré. 11 y aura aussi des termes affectés simplement par la lettre a, et ensuite aussi par ak et enfin des termes multipliés par x et xk, en négligeant tous les autres termes affectés, qui à cause de leur petite valeur ne feraient également d'aucune conséquence. Pour ce qui regarde la troisième inconnue z, elle renfermera principalement des termes affectés par la constante i simplement, et ensuite aussi par ik, ia et ix, enfin des termes multipliés par ik et en négligeant d'autres combinaisons qui mèneraient à des inégalités trop petites, pour mériter quelque attention. Mais puisque les deux premières équations renferment aussi le carré de la troisième inconnue, z, il s'ensuit que les quantités x et y doivent aussi renfermer des parties affectées premièrement par i, et ensuite aussi par ik et ix, en négligeant des combinaisons plus compliquées. Or, ayant bien réfléchi sur tous les différents ordres des termes, dont nos trois inconnues x, y et z seront composées, je trouvé que les termes de chaque ordre se peuvent déterminer à part, ce qui m'a fourni un très-grand secours pour déterminer exactement les valeurs cherchées, et pour m'assurer de leur justesse. Pour cet effet je distribute les valeurs de x, y et z, conformément à ces classes que je viens d'établir : en supposant Concevons à présent qu'on substitue réellement ces valeurs au lieu des x, y et z, dans nos trois équations générales, et qu'on distingue pour chacune les membres de chacun
Mais puisque les deux premières équations renferment aussi le carré de la troisième inconnue, z, il s'ensuit que les quantités x et y doivent aussi renfermer des parties affectées premièrement par i, et ensuite aussi par ik et ix, en négligeant des combinaisons plus compliquées. Or, ayant bien réfléchi sur tous les différents ordres des termes, dont nos trois inconnues x, y et z seront composées, je trouvé que les termes de chaque ordre se peuvent déterminer à part, ce qui m'a fourni un très-grand secours pour déterminer exactement les valeurs cherchées, et pour m'assurer de leur justesse. Pour cet effet je distribute les valeurs de x, y et z, conformément à ces classes que je viens d'établir : en supposant Concevons à présent qu'on substitue réellement ces valeurs au lieu des x, y et z, dans nos trois équations générales, et qu'on distingue pour chacune les membres de chacun des ordres que je viens d'établir, en rejettant ceux qui monteraient à des ordres plus compliqués, comme ne méritant aucune attention, et on pourra séparément égaler à zéro les membres de chaque ordre, ce qui nous fournira une multitude d'équations particulières, dont je ne rapporterai ici que celles des cinq premiers ordres, vu que les autres ont toutes des formes semblables, et que leur résolution demande la même méthode qui est enseignée dans le Mémoire cité, en y employant certains artifices qui ont rendu la solution plus facile et en même temps plus certaine, de sorte qu'il ne reste plus aucun doute sur les coefficients de tous les termes qui en ont été trouvés. Je passe maintenant aux résultats même de ces recherches pénibles, que je me contenterai d'avoir mis ici sous les yeux de l'Académie, tels que je les ai trouvé avec l'assistance de trois habiles Calculateurs, dont chacun s'est donné la peine de les calculer suivant les différentes méthodes que je leur ai fournies, et de répéter ces calculs plusieurs fois de suite, de sorte que je puis répondre parfaitement de l'exactitude et de la justesse des valeurs trouvées pour les coefficients O, P, Q, et ainsi de
premiers ordres, vu que les autres ont toutes des formes semblables, et que leur résolution demande la même méthode qui est enseignée dans le Mémoire cité, en y employant certains artifices qui ont rendu la solution plus facile et en même temps plus certaine, de sorte qu'il ne reste plus aucun doute sur les coefficients de tous les termes qui en ont été trouvés. Je passe maintenant aux résultats même de ces recherches pénibles, que je me contenterai d'avoir mis ici sous les yeux de l'Académie, tels que je les ai trouvé avec l'assistance de trois habiles Calculateurs, dont chacun s'est donné la peine de les calculer suivant les différentes méthodes que je leur ai fournies, et de répéter ces calculs plusieurs fois de suite, de sorte que je puis répondre parfaitement de l'exactitude et de la justesse des valeurs trouvées pour les coefficients O, P, Q, et ainsi de suite. Les recherches même et les artifices analytiques, qu'il m'a fallu employer pour y parvenir, remplissent un assez grand volume, que je ne manquerai cependant pas de mettre en son temps sous les yeux du Public. En substituant toutes ces valeurs, pour avoir celles de nos trois inconnues x, y et z, je comparai d'abord ces formules avec celles que Messieurs Mayer et Clairaut ont employées pour construire leurs Tables lunaires: je m'assurai par ce moyen des justes valeurs qu'il faut donner aux deux constantes k et i, et je les trouvai k = 0,05495 / = 0,0844. Mais ayant ensuite comparé mes formules trouvées avec plusieurs observations actuelles, sur lesquelles j'avais fait le calcul, j'ai remarqué que l'erreur, dans quelques-unes, montait à plus que une minute, de sorte que pour obtenir un plus juste accord entre les formules trouvées et les observations, il me fallut apporter encore quelques légères corrections aux valeurs de k et i, que j'ai enfin trouvé k = 0,054505 i = 0,085646. Substituons donc en effet ces valeurs pour k, i, et supposons rt = — Si x=z 0,01678, pour obtenir les valeurs entièrement développées en nombres de nos trois coordonnées o Z = 1
et z, je comparai d'abord ces formules avec celles que Messieurs Mayer et Clairaut ont employées pour construire leurs Tables lunaires: je m'assurai par ce moyen des justes valeurs qu'il faut donner aux deux constantes k et i, et je les trouvai k = 0,05495 / = 0,0844. Mais ayant ensuite comparé mes formules trouvées avec plusieurs observations actuelles, sur lesquelles j'avais fait le calcul, j'ai remarqué que l'erreur, dans quelques-unes, montait à plus que une minute, de sorte que pour obtenir un plus juste accord entre les formules trouvées et les observations, il me fallut apporter encore quelques légères corrections aux valeurs de k et i, que j'ai enfin trouvé k = 0,054505 i = 0,085646. Substituons donc en effet ces valeurs pour k, i, et supposons rt = — Si x=z 0,01678, pour obtenir les valeurs entièrement développées en nombres de nos trois coordonnées o Z = 1 + Jz, Z = y et V (Z = z, que je mettrai ici devant les yeux dans la Table IX. Si Xe. Table. où au lieu des fractions décimales "ai" j'ai exprimé tous les coefficients en dix millionsièmes parties de l'unité. Ces parties sont si petites que 100 ne feraient produire que 2 secondes dans le lieu de la Lune. Pour se servir de ces formules, d'où l'on pourrait aisément construire des Tables ordinaires, on n'a qu'à tirer des bonnes Tables des moyens mouvements, pour un temps proposé quelconque, les cinq éléments suivants 1°. Longitude moyenne de la Lune = L. 2°. Longitude de son apogée = P. 3°. Longitude du noeud ascendant = N. 4°. Longitude moyenne du Soleil = A. 5°. Longitude de son apogée = n. Et de former de là les quatre arguments suivants : D'où l'on trouvera aisément les justes valeurs de nos trois coordonnées Ayant trouvé ces trois valeurs, qu'on cherche les deux angles suivants par le moyen de ces simples formules : Et alors l'angle <p ou ajouté, ou retranché de la longitude moyenne de la Lune = L, selon que y provient positif ou négatif, donnera d'abord la vraie longitude de
feraient produire que 2 secondes dans le lieu de la Lune. Pour se servir de ces formules, d'où l'on pourrait aisément construire des Tables ordinaires, on n'a qu'à tirer des bonnes Tables des moyens mouvements, pour un temps proposé quelconque, les cinq éléments suivants 1°. Longitude moyenne de la Lune = L. 2°. Longitude de son apogée = P. 3°. Longitude du noeud ascendant = N. 4°. Longitude moyenne du Soleil = A. 5°. Longitude de son apogée = n. Et de former de là les quatre arguments suivants : D'où l'on trouvera aisément les justes valeurs de nos trois coordonnées Ayant trouvé ces trois valeurs, qu'on cherche les deux angles suivants par le moyen de ces simples formules : Et alors l'angle <p ou ajouté, ou retranché de la longitude moyenne de la Lune = L, selon que y provient positif ou négatif, donnera d'abord la vraie longitude de la Lune, pendant que l'autre angle z, montre sur le champ sa vraie latitude nord ou méridionale, selon que z est positif ou négatif. Ce calcul paraît d'autant plus aisé, qu'il ne s'agit ici que des angles, connus par les seules Tables des moyens mouvements, sans s'embarrasser ni d'aucune correction dans le lieu des noeuds, ou dans l'inclinaison de l'orbite lunaire, ni même de la réduction à l'écliptique. Car tous ces articles, d'ailleurs assez embarrassants, se trouvent déjà renfermés dans nos formules. Enfin, il est fort aisé de tirer de là la vraie distance de la Lune à la Terre, en calculant cette formule : Ou bien pour connaître la vraie parallaxe équatorienne de la Lune, elle sera exprimée par cette formule : où je remarque que j'ai conclu cette parallaxe moyenne de 5 6' 3 5", qui répond à la distance moyenne 1, ou plutôt 10,000,000 de l'éclipse du Soleil de l'année 1769; de sorte qu'on en peut être assuré à quelques secondes près. On reconnaît aisément que cette détermination de la parallaxe doit être infiniment plus exacte que celle qu'on tire des Tables ordinaires, vu qu'elle dépend ici ouvertement de toutes les inégalités de la Lune, pendant que