jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
après les réductions, une équation de cette forme ax + bx + f lfT + x' + gx + l/T + xï = 0; dans laquelle, délaguée des lignes radicales, devient celle-ci, laquelle ayant son dernier terme négatif, et ne renfermant aucune puissance impaire de x, aura nécessairement, comme on fait, au moins deux racines réelles, l'une positive et l'autre négative; donc puisque tang. Tc + y + r = 0, on aura au moins une valeur réelle de tang. e, et par conséquent de l'angle e, et cette valeur étant substituée dans l'expression de tang. Te ci-dessus, on aura l'angle Te correspondant. Ayant les angles e, et SC, on aura, comme on le voit, la position du plan cherché de l'Équateur, par rapport au plan donné de l'Écliptique. Si = 0, et £ = 0, alors tang. Tc = 0, et le plan cherché tomberait dans le plan donné, ce qui est évident, parce que les deux équations analogues aux équations de condition xr' + cof P fin. P mais en prenant les équations qui résultent immédiatement de ces deux dernières équations, et y mettant £ = 0 et Z = 0, on trouve équations qui, la racine r = 0, donnent encore cof. x = 0 et {A - B) fin. x cof + C {cof. y + fin. e'} = 0, savoir en faisant tang. Tc + t, ** + £ + r = 0, dont les deux racines sont nécessairement réelles, à cause du dernier terme négatif; de là il s'ensuit que si, après avoir trouvé par les équations ci-dessus, la position du plan cherché, on regarde maintenant ce plan comme donné, on trouvera encore deux autres plans qui auront la même propriété, et dont la position par rapport à celui-là sera déterminée par les équations cof. Te = 0, et cof. T4 + C = 0. Donc 1° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire,
= 0, donnent encore cof. x = 0 et {A - B) fin. x cof + C {cof. y + fin. e'} = 0, savoir en faisant tang. Tc + t, ** + £ + r = 0, dont les deux racines sont nécessairement réelles, à cause du dernier terme négatif; de là il s'ensuit que si, après avoir trouvé par les équations ci-dessus, la position du plan cherché, on regarde maintenant ce plan comme donné, on trouvera encore deux autres plans qui auront la même propriété, et dont la position par rapport à celui-là sera déterminée par les équations cof. Te = 0, et cof. T4 + C = 0. Donc 1° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de
égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes
l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles
ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à
à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec
plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se
i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles
et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont
cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i' + r" la tangente de l'angle en question sera; r + r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i que si on néglige les carrés et les puissances plus hautes de e, on aura D'où l'on voit 1.° que les quantités H et K sont des quantités finies; et 2.° que les quantités M et A sont des quantités très petites par rapport à H. Si A, étant de l'ordre de a 3, et que la quantité K, ayant aussi une quantité très petite du même ordre, étant Quant à la masse de la Lune, on la trouve en intégrant l'expression de et, faisant cof.P dP dQ=z (dans la supposition présente)
+ r" = (à cause de l'angle e), et l'on aura donc i.° ces deux derniers plans couperont le premier à angles droits; 2° ils se couperont l'un l'autre avec un angle égal à la différence des angles qui ont pour tangentes les deux racines de l'équation en ti c'est-à-dire, qu'en nommant r, et r" ces racines, i que si on néglige les carrés et les puissances plus hautes de e, on aura D'où l'on voit 1.° que les quantités H et K sont des quantités finies; et 2.° que les quantités M et A sont des quantités très petites par rapport à H. Si A, étant de l'ordre de a 3, et que la quantité K, ayant aussi une quantité très petite du même ordre, étant Quant à la masse de la Lune, on la trouve en intégrant l'expression de et, faisant cof.P dP dQ=z (dans la supposition présente) et son intégrale sera en prenant ici X' pour la valeur de dr, Donc nommant cette masse Z, on aura aux quantités de l'ordre de e près, Or quoique sans connaître la valeur de D on ne puisse déterminer le rapport de F ou de FDr'*dr' à Dr'dr'; on peut néanmoins trouver des limites entre lesquelles ce rapport doit nécessairement demeurer. Il est clair 1.° que si exprime la valeur de r' à la voile, CfDr'1dr'; parce que r' est toujours <f1r'i. De plus on a a une quantité positive, si du est négatif, et une quantité négative; si dD est positif, parce que ru<Cj'; donc 2.° si la densité diminue du centre à la circonférence, Dr'1dr' < Cf Dr'1, dr'; mais si elle augmente, SUR LA LIBRATION DE LA LUNE. ; ainsi dans ce dernier cas, la valeur de F sera contenue entre les limites si la densité était partout la même, on aurait alors F=y. -. VII. SCHOLIE III. On peut au reste déterminer la figure de la Lune, par la théorie, en supposant qu'elle ait été originellement fluide, et qu'elle ait conservé, en se durcissant, la forme qu'elle aurait dû prendre, en vertu de la gravitation mutuelle
néanmoins trouver des limites entre lesquelles ce rapport doit nécessairement demeurer. Il est clair 1.° que si exprime la valeur de r' à la voile, CfDr'1dr'; parce que r' est toujours <f1r'i. De plus on a a une quantité positive, si du est négatif, et une quantité négative; si dD est positif, parce que ru<Cj'; donc 2.° si la densité diminue du centre à la circonférence, Dr'1dr' < Cf Dr'1, dr'; mais si elle augmente, SUR LA LIBRATION DE LA LUNE. ; ainsi dans ce dernier cas, la valeur de F sera contenue entre les limites si la densité était partout la même, on aurait alors F=y. -. VII. SCHOLIE III. On peut au reste déterminer la figure de la Lune, par la théorie, en supposant qu'elle ait été originellement fluide, et qu'elle ait conservé, en se durcissant, la forme qu'elle aurait dû prendre, en vertu de la gravitation mutuelle de ses parties, combinée avec la force centrifuge, et avec l'attraction de la Terre. Pour cela, nous supposerons que le premier méridien de la Lune, d'où l'on commence à compter les angles Q, soit celui qui passe par la Terre, lorsque le lieu moyen de cette planète est égal à son lieu vrai, et nous regarderons l'attraction de la Terre comme agissant dans le sens du diamètre de l'Équateur qui se trouve dans le premier méridien; ce qui est vrai à très-peu près, à cause que la Lune nous présente toujours sensiblement la même face. Or soit p le rapport de la force centrifuge à la pesanteur sous l'équateur de la Lune et p la distance moyenne du centre de la Lune à la Terre, on trouvera généralement pour la figure de chaque couche %=-. A cof.P B cof.P' cof.Q Si les deux quantités A et B seront déterminées par les deux équations suivantes (g et étant égales à ce que deviennent /DdA et /DdB, lorsque r'.=-/; la démonstration de ces formules est facile à trouver par les principes établis par MM. Clairaut et d'Alembert; je ne la donne point ici, pour ne pas m'écarter trop de mon objet principal.
son lieu vrai, et nous regarderons l'attraction de la Terre comme agissant dans le sens du diamètre de l'Équateur qui se trouve dans le premier méridien; ce qui est vrai à très-peu près, à cause que la Lune nous présente toujours sensiblement la même face. Or soit p le rapport de la force centrifuge à la pesanteur sous l'équateur de la Lune et p la distance moyenne du centre de la Lune à la Terre, on trouvera généralement pour la figure de chaque couche %=-. A cof.P B cof.P' cof.Q Si les deux quantités A et B seront déterminées par les deux équations suivantes (g et étant égales à ce que deviennent /DdA et /DdB, lorsque r'.=-/; la démonstration de ces formules est facile à trouver par les principes établis par MM. Clairaut et d'Alembert; je ne la donne point ici, pour ne pas m'écarter trop de mon objet principal. On aura donc dans cette hypothèse Si par conséquent on trouvera Si on suppose Z=1, on aura alors F=--, JV=o, et Tf=//=-(//'-4-45'), en prenant pour les valeurs de A et B, lorsque r'==/. Mais si l'on veut avoir égard aux conditions de l'équilibre, on aura, par les équations (K), quelque soit d'ailleurs la densité Dz en mettant r'=f. Si l'on supposait de plus la densité constante Z = 1 ; on aurait A'^=L_.<./>= (à cause de Z=-- dans cette hypothèse), et B'=1=2=7r; as=(par la même raison) 1. Du reste on remarquera que e(A'-B') sera dans ce cas l'ellipticité du premier méridien, et eA celle du méridien qui est à 90° de là, d'où il suit que les deux demi-axes de l'Équateur seront f(A'+eB'), Si(1+eA'), Si que son ellipticité sera très-peu-près, eB'. SUR LA LIBRATION DE LA LUNE. XIII. Il reste encore à trouver la valeur des deux termes /--- ySiJ~rde l'équation (A) Pour cela soit Le rayon de l'orbite de la Terre autour de la Lune, projeté sur le plan de l'écliptique lunaire; ou ce qui revient au même, le rayon de l'orbite de la Lune autour de la Terre, réduit à l'écliptique p La longitude de la terre, vue