jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
on pourra réduire les deux équations du n° 1 à celle-ci par des transformations analogues à celles de l'article 27, Ainsi, il n'y aura qu'à combiner ces deux équations avec celles du n°. i, fa voir ou bien à. = o & A = o ; ce qui fait deux cas que nous allons examiner séparément. XXX. Soit d'abord donc mais on donc savoir. Or, il est visible que la quantité ne pourrait jamais devenir nulle, à cause que les masses A, B, C sont des quantités positives; ainsi, il faudra que l'on ait TT=O, & par conséquent aussi 7r=O, or, dans ce cas, on aura A=O, & les deux équations ci-dessus auront lieu d'elles-mêmes de sorte que toutes les conditions se trouveront remplies, & le Problème des trois Corps sera résoluble exactement dans l'hypothèse de s=a=o, TT = o, w" = o, ce qui donnera r = w = 1, & par conséquent r = y = r = 1, c'est à dire, les distances entre les corps égales entr'elles, comme dans le cas de l'art. 14; mais avec cette différence, que dans le cas présent, elles peuvent être variables. Pour connaître le mouvement des Corps dans ce cas, on reprendra les équations différentielles de l'art. 23, lesquelles, en faisant = C * = 1?* 1 = A knr, se réduisent à cette équation unique multipliant par d. r 1, & intégrant ensuite, on aura confiante arbitraire, & de là moyennant quoi on connaîtra t en r, & vice versa, 1 y en t. Maintenant, puisque w = s o, TT 1 = o, w"s, on aura Q=£, Q 1 = ^ 1, Q n = * u, donc (art. 21) De plus, ayant A s = o, on aura £ = o & cette constante a devra être déterminée, en sorte qu'elle satisfasse à l'équation (AT): on peut donner pour cela à telle valeur qu'on voudra, mais en ne faisant aucune supposition particulière, l'équation (N) devra être identique avec celle que nous avons trouvée ci-dessus, pour la détermination de r, & leur comparaison donnera la valeur de t.
on reprendra les équations différentielles de l'art. 23, lesquelles, en faisant = C * = 1?* 1 = A knr, se réduisent à cette équation unique multipliant par d. r 1, & intégrant ensuite, on aura confiante arbitraire, & de là moyennant quoi on connaîtra t en r, & vice versa, 1 y en t. Maintenant, puisque w = s o, TT 1 = o, w"s, on aura Q=£, Q 1 = ^ 1, Q n = * u, donc (art. 21) De plus, ayant A s = o, on aura £ = o & cette constante a devra être déterminée, en sorte qu'elle satisfasse à l'équation (AT): on peut donner pour cela à telle valeur qu'on voudra, mais en ne faisant aucune supposition particulière, l'équation (N) devra être identique avec celle que nous avons trouvée ci-dessus, pour la détermination de r, & leur comparaison donnera la valeur de t. En effet, à cause de n=r 1 = r u, on aura 2 L. irap—pl—p 11 = — donc P = —; & de même, à cause de u = u 1 = s 11, on aura £ = s v 1 = v 11 s = s — donc £ 7 = — . ensuite l'équation (N) deviendra ou bien d'où l'on tire Or, on a déjà trouvé donc substituant cette valeur, & résolvant l'équation, il viendra Comparant donc cette équation avec la précédente, on aura H = , & par conséquent «, = v/(— 3 H), d'où l'on voit que H doit être nécessairement une quantité négative. On aura ensuite donc l'équation (J0) deviendra d'où l'on tire Or, puisque on a déjà trouvé on aura d'ailleurs on a donc on aura & par conséquent s. 4 = 0, & /». 41 = 0, c'est-à-dire, s= 0 & ^=aO, ce qui montre que les B & C doivent se mouvoir dans un même plan fixe passant par le corps A. Maintenant, si on substitue dans les expressions de ?, & dans celles des valeurs de n, n 1, y, s 1, s 2, & de h, on aura &
£ 7 = — . ensuite l'équation (N) deviendra ou bien d'où l'on tire Or, on a déjà trouvé donc substituant cette valeur, & résolvant l'équation, il viendra Comparant donc cette équation avec la précédente, on aura H = , & par conséquent «, = v/(— 3 H), d'où l'on voit que H doit être nécessairement une quantité négative. On aura ensuite donc l'équation (J0) deviendra d'où l'on tire Or, puisque on a déjà trouvé on aura d'ailleurs on a donc on aura & par conséquent s. 4 = 0, & /». 41 = 0, c'est-à-dire, s= 0 & ^=aO, ce qui montre que les B & C doivent se mouvoir dans un même plan fixe passant par le corps A. Maintenant, si on substitue dans les expressions de ?, & dans celles des valeurs de n, n 1, y, s 1, s 2, & de h, on aura & par conséquent en substituant la valeur ci-dessus de ce qui est l'équation polaire d'une section conique, rapportée au foyer, & dans laquelle -——;— est le grand axe, & {A, B, C} le paramètre. Ainsi, les corps B & C décriront dans ce cas autour du corps A deux sections coniques semblables & égales dont l'espèce & la forme dépendront des quantités arbitraires, & a, lesquelles pourront se déterminer par les équations en donnant à «, r & — les valeurs qui conviennent au premier instant. LE PROBLÈME Mais par la nature des quantités y, y1, y2, de plus, on a, en vertu de l'équation z == 0, donc on aura aussi de sorte que toutes les quantités précédentes P, y, &c.; seront nulles, et conséquemment l'équation (N) se trouvera vérifiée d'elle-même. XXXII. Maintenant, il est clair qu'à cause de z=0, & A==0, les trois équations différentielles de l'art. 29 se réduiront à celle-ci. en faisant pour abréger Cette Cette équation étant donc multipliée par y1, & ensuite intégrée, donnera H étant une constante arbitraire, d'où l'on tire moyennant quoi on déterminera y en x, & par conséquent y & z. De plus, si, dans les équations (7) de l'art. 22,
semblables & égales dont l'espèce & la forme dépendront des quantités arbitraires, & a, lesquelles pourront se déterminer par les équations en donnant à «, r & — les valeurs qui conviennent au premier instant. LE PROBLÈME Mais par la nature des quantités y, y1, y2, de plus, on a, en vertu de l'équation z == 0, donc on aura aussi de sorte que toutes les quantités précédentes P, y, &c.; seront nulles, et conséquemment l'équation (N) se trouvera vérifiée d'elle-même. XXXII. Maintenant, il est clair qu'à cause de z=0, & A==0, les trois équations différentielles de l'art. 29 se réduiront à celle-ci. en faisant pour abréger Cette Cette équation étant donc multipliée par y1, & ensuite intégrée, donnera H étant une constante arbitraire, d'où l'on tire moyennant quoi on déterminera y en x, & par conséquent y & z. De plus, si, dans les équations (7) de l'art. 22, on substitue les valeurs de Q, Q1, Q" de l'art. 25, on aura en vertu des équations du numéro 1 du même article donc prenant là on trouvera P/W & à l'Académie, Tome IX, 17725 L 8E ESSAI SUR LE PROBLÈME et par conséquent y1 = m n%, y2 = L — #S filt = #**, Donc, si on substitue ces valeurs dans l'équation (P), elle deviendra d'où d'où l'on voit que f doit être une quantité négative. Or, à cause de P=0, & de z =0, S =° ; S "-O, on aura y3 = [y1 = o & j2 = 4" — ° ; ce qui montre que les deux corps B & (T doivent se mouvoir dans un même plan fixe, et l'on trouvera ensuite pour les angles de rotation Et si l'on substitue la valeur de dt, trouvée ci-dessus, on aura DES TROIS CORPS. équation polaire d'une section conique, rapportée au foyer, dans laquelle ~ sera le grand axe, & — -le paramètre. XXXIII. Nous venons donc de voir que le Problème des trois Corps est résoluble exactement, soit que les distances entre les trois corps soient constantes, ou qu'elles gardent seulement entre eux des rapports
L — #S filt = #**, Donc, si on substitue ces valeurs dans l'équation (P), elle deviendra d'où d'où l'on voit que f doit être une quantité négative. Or, à cause de P=0, & de z =0, S =° ; S "-O, on aura y3 = [y1 = o & j2 = 4" — ° ; ce qui montre que les deux corps B & (T doivent se mouvoir dans un même plan fixe, et l'on trouvera ensuite pour les angles de rotation Et si l'on substitue la valeur de dt, trouvée ci-dessus, on aura DES TROIS CORPS. équation polaire d'une section conique, rapportée au foyer, dans laquelle ~ sera le grand axe, & — -le paramètre. XXXIII. Nous venons donc de voir que le Problème des trois Corps est résoluble exactement, soit que les distances entre les trois corps soient constantes, ou qu'elles gardent seulement entre eux des rapports constants, et cela dans deux cas : savoir lorsque les trois distances sont égales entre elles, en sorte que les trois corps forment toujours un triangle équilatéré, & lorsque l'une des distances est égale à la somme ou à la différence des deux autres, en sorte que les trois corps se trouvent toujours rangés en ligne droite. Or, si on suppose que les distances r, rx, rXJ soient variables, mais de manière que leurs valeurs ne s'écartent que très peu de celles qu'elles devraient avoir, pour que l'un des cas précédents eût lieu, il est clair que le Problème sera résolvable à très peu près, & par les méthodes connues d'approximation; mais nous n'entrerons pas ici dans ce détail, qui nous écarterait trop de notre objet principal. J'avoue au reste qu'on pourrait résoudre les Problèmes précédents d'une manière plus simple par les formules ordinaires du Problème des trois Corps entre les rayons recteurs & les angles décrits par ces rayons, si on voulait se borner d'abord à l'hypothèse que les corps se meuvent dans un même plan fixe; mais il ne serait pas aisé, ce me semble, d'en venir à bout par les mêmes formules, si on supposait, comme nous
se trouvent toujours rangés en ligne droite. Or, si on suppose que les distances r, rx, rXJ soient variables, mais de manière que leurs valeurs ne s'écartent que très peu de celles qu'elles devraient avoir, pour que l'un des cas précédents eût lieu, il est clair que le Problème sera résolvable à très peu près, & par les méthodes connues d'approximation; mais nous n'entrerons pas ici dans ce détail, qui nous écarterait trop de notre objet principal. J'avoue au reste qu'on pourrait résoudre les Problèmes précédents d'une manière plus simple par les formules ordinaires du Problème des trois Corps entre les rayons recteurs & les angles décrits par ces rayons, si on voulait se borner d'abord à l'hypothèse que les corps se meuvent dans un même plan fixe; mais il ne serait pas aisé, ce me semble, d'en venir à bout par les mêmes formules, si on supposait, comme nous l'avons fait, que les corps puissent se mouvoir dans des plans différents. DES TROIS CORPS. CHAPITRE III. Modification des formules du Chapitre premier, pour le cas où l'on suppose que l'un des trois Corps soit éloigné des deux autres. XXXIV. Le cas que nous allons examiner a lieu dans le Système du Monde, par rapport à ces trois Planètes, le Soleil, la Terre, & la Lune, dont les deux dernières sont beaucoup plus éloignées de la première qu'elles ne le sont l'une de l'autre, mais nous ne considérons ici le cas dont il s'agit, que d'une manière générale, & seulement pour voir quelles modifications cette supposition doit apporter aux formules générales de l'article 12. Supposons donc que le corps C soit beaucoup plus éloigné des corps A & B que ceux-ci ne le sont entre eux, en sorte que les quantités rx & r" soient fort grandes par rapport à la quantité r. Pour cela nous prendrons une quantité / que nous supposerons constante & très-petite, R A" & nous ferons r1 =—, r" = —, en sorte que R & R soient des quantités finies & comparables à r. Or si on nomme, comme dans l'article 11, β le
Système du Monde, par rapport à ces trois Planètes, le Soleil, la Terre, & la Lune, dont les deux dernières sont beaucoup plus éloignées de la première qu'elles ne le sont l'une de l'autre, mais nous ne considérons ici le cas dont il s'agit, que d'une manière générale, & seulement pour voir quelles modifications cette supposition doit apporter aux formules générales de l'article 12. Supposons donc que le corps C soit beaucoup plus éloigné des corps A & B que ceux-ci ne le sont entre eux, en sorte que les quantités rx & r" soient fort grandes par rapport à la quantité r. Pour cela nous prendrons une quantité / que nous supposerons constante & très-petite, R A" & nous ferons r1 =—, r" = —, en sorte que R & R soient des quantités finies & comparables à r. Or si on nomme, comme dans l'article 11, β le angle formé au centre du corps A par les rayons recteurs r & rl des corps B & C, on aura d'où ou bien Donc, si on fait z = r cos. β, on aura donc D'ici on aura Ponc (art. 22). Ainsi, on aura à la place des équations (A) de l'art, et les trois équations {g), {h) et (i). Dans Mécanique, on n'a négligé que les quantités très-petites de l'ordre de 6c et des ordres suivants, et ces équations serviront à trouver les valeurs de r, R et z en moyennant quoi le Problème sera résolu dans toute sa généralité, puisqu'il ne s'agira plus ensuite que de substituer ces valeurs dans les formules qui donnent les latitudes et les longitudes des corps B et C (art. 22). Or, comme la supposition de i très-petite simplifie aussi beaucoup les substitutions dont il s'agit, nous allons donner encore les valeurs de r, y, et de z exprimées en termes de r, R et z mais nous ne pouvons pas la précision au-delà des quantités de l'ordre de i. Pour cela nous commencerons par chercher les valeurs des vitesses x, y, z, or, si dans les équations (A) on substitue à
(A) de l'art, et les trois équations {g), {h) et (i). Dans Mécanique, on n'a négligé que les quantités très-petites de l'ordre de 6c et des ordres suivants, et ces équations serviront à trouver les valeurs de r, R et z en moyennant quoi le Problème sera résolu dans toute sa généralité, puisqu'il ne s'agira plus ensuite que de substituer ces valeurs dans les formules qui donnent les latitudes et les longitudes des corps B et C (art. 22). Or, comme la supposition de i très-petite simplifie aussi beaucoup les substitutions dont il s'agit, nous allons donner encore les valeurs de r, y, et de z exprimées en termes de r, R et z mais nous ne pouvons pas la précision au-delà des quantités de l'ordre de i. Pour cela nous commencerons par chercher les valeurs des vitesses x, y, z, or, si dans les équations (A) on substitue à la place des quantités leurs valeurs tirées des équations {k), on a en général Donc faisant ici les mêmes substitutions que ci-dessus, et supposant pour abréger on aura; Or on a donc DES TROIS CORPS, 53; De plus, en faisant pour abréger on aura donc substituant ces valeurs dans les expressions de x, y, z, et faisant encore on aura aux quantités de l'ordre i1 près. 54 ESSAI SUR LE PROBLÈME ou bien la quantité k étant une constante qu'on déterminera par l'équation (P1) comme on le verra ci-dessus, Ainisi, on connaît par ces formules les latitudes 4 et 5 des corps B et C par rapport à un plan fixe prendront par A. On voit par-là qu'on aura à très peu-près ce qui donne un rapport Bien simple et très plausible entre les latitudes des corps B et C, XXXVI. On trouvera ensuite pis TROIS CORPS, 95 et, à cause de on aura de même Donc, si on substitue ces valeurs dans les expressions de y et z, qu'on fasse pour abréger on aura XXXVIII. Voyons maintenant comment on doit déterminer la constante k et les autres constantes du Problème. Pour cela, on supposera, comme dans l'art. 22 que,
expressions de x, y, z, et faisant encore on aura aux quantités de l'ordre i1 près. 54 ESSAI SUR LE PROBLÈME ou bien la quantité k étant une constante qu'on déterminera par l'équation (P1) comme on le verra ci-dessus, Ainisi, on connaît par ces formules les latitudes 4 et 5 des corps B et C par rapport à un plan fixe prendront par A. On voit par-là qu'on aura à très peu-près ce qui donne un rapport Bien simple et très plausible entre les latitudes des corps B et C, XXXVI. On trouvera ensuite pis TROIS CORPS, 95 et, à cause de on aura de même Donc, si on substitue ces valeurs dans les expressions de y et z, qu'on fasse pour abréger on aura XXXVIII. Voyons maintenant comment on doit déterminer la constante k et les autres constantes du Problème. Pour cela, on supposera, comme dans l'art. 22 que, lorsque frequente DES TROIS CORPS. 97 à cause de z, y, r cos. y, et l'équation (P1) de l'article cité, donnera d'où l'on tirera aisément la valeur de k en ayant soin de rapporter les valeurs de x, y, z de M, N au point où t = 0. De plus, on se souviendra que la valeur de r doit être prise, en sorte qu'elle soit nulle lorsque t = 0, XXXIX. Au reste, il est bon de remarquer que dès que l'on aura trouvé les latitudes 4 et 5, on pourra avoir aisément les valeurs des vitesses en longitude v et y par le moyen des vitesses réelles x et y. En effet, nommant dû l'angle décrit par le rayon r dans le temps t, on aura, comme nous l'avons vu dans l'art 19 il est facile de voir que donc ESSAI SUR LE PROBLÈME donc en substituant les valeurs de x et y, on aura Ces formules peuvent quelquefois être plus commodes que les précédentes, surtout lorsque les quantités r, R varient très-peu, et que les latitudes 4, 5 sont fort petites. DES TROIS CORPS. 99 CHAPITRE IV. De la théorie de la Lune. § I. Application des
plus, on se souviendra que la valeur de r doit être prise, en sorte qu'elle soit nulle lorsque t = 0, XXXIX. Au reste, il est bon de remarquer que dès que l'on aura trouvé les latitudes 4 et 5, on pourra avoir aisément les valeurs des vitesses en longitude v et y par le moyen des vitesses réelles x et y. En effet, nommant dû l'angle décrit par le rayon r dans le temps t, on aura, comme nous l'avons vu dans l'art 19 il est facile de voir que donc ESSAI SUR LE PROBLÈME donc en substituant les valeurs de x et y, on aura Ces formules peuvent quelquefois être plus commodes que les précédentes, surtout lorsque les quantités r, R varient très-peu, et que les latitudes 4, 5 sont fort petites. DES TROIS CORPS. 99 CHAPITRE IV. De la théorie de la Lune. § I. Application des formules du Chapitre précédent à cette théorie. Pour faire cette application, il n'y a qu'à imaginer que le corps A que nous avons regardé comme immobile et auquel nous avons rapporté les mouvements des deux autres, soit la Terre, que le corps B soit la Lune, et que le corps C que nous avons supposé beaucoup plus éloigné du corps A que ne l'est le corps B soit le Soleil, dont la distance à la Terre est en effet très-grande par rapport à la distance entre la Terre et la Lune. Ainsi r sera le rayon rectoire de l'orbite de la Lune autour de la Terre, r1 le rayon rectoire de l'orbite apparente du Soleil, et r2 sera la distance rectiligne entre le Soleil et la Lune. De plus, 4 sera la latitude de la Lune par rapport à un plan fixe que nous prendrons pour l'écliptique, 5 sera la latitude du Soleil, et px sera la longitude de la Lune, et px sera celle du Soleil comptées à l'ordinaire dans l'écliptique. Pour savoir quel est ce plan que nous prenons ici pour l'écliptique, que nous avons vu dans le Chapitre premier être celui par rapport auquel les mouvements des
C que nous avons supposé beaucoup plus éloigné du corps A que ne l'est le corps B soit le Soleil, dont la distance à la Terre est en effet très-grande par rapport à la distance entre la Terre et la Lune. Ainsi r sera le rayon rectoire de l'orbite de la Lune autour de la Terre, r1 le rayon rectoire de l'orbite apparente du Soleil, et r2 sera la distance rectiligne entre le Soleil et la Lune. De plus, 4 sera la latitude de la Lune par rapport à un plan fixe que nous prendrons pour l'écliptique, 5 sera la latitude du Soleil, et px sera la longitude de la Lune, et px sera celle du Soleil comptées à l'ordinaire dans l'écliptique. Pour savoir quel est ce plan que nous prenons ici pour l'écliptique, que nous avons vu dans le Chapitre premier être celui par rapport auquel les mouvements des corps B et C sont les plus simples qu'il est possible, nous remarquerons que après les suppositions de l'article 38, on trouve, (lorsque t = 0) A = 0, Ju = 1 = 0, y = 0, de sorte qu'on aura (aussi article 36 form. I) x = 0, et 4 = 0, donc puisque on a en même temps 2 J 1 y = 0, z = 0 et x = 0 (art. 38), il s'enfuit que le plan dont il s'agit est celui dans lequel le Soleil et la Lune se trouvent en même-temps, lorsqu'ils sont à la fois en conjonction, et dans leurs apogées. Maintenant, puisque nous avons fait (art. 34) r=j On aura, de sorte que si on suppose (ce qui est permis) que les valeurs moyennes de ry et de il soient égales à l'unité, on aura i égal à la valeur moyenne de -, c'est-à-dire,=^—|, or, en prenant 57° 30" pour la parallaxe horizontale moyenne de la Lune, et < for celle du Soleil, on aura i = a —- = s ~ à très peu-; ' 345° 383 r près -, d'où l'on voit que la quantité i sera en effet très petite.
4 = 0, donc puisque on a en même temps 2 J 1 y = 0, z = 0 et x = 0 (art. 38), il s'enfuit que le plan dont il s'agit est celui dans lequel le Soleil et la Lune se trouvent en même-temps, lorsqu'ils sont à la fois en conjonction, et dans leurs apogées. Maintenant, puisque nous avons fait (art. 34) r=j On aura, de sorte que si on suppose (ce qui est permis) que les valeurs moyennes de ry et de il soient égales à l'unité, on aura i égal à la valeur moyenne de -, c'est-à-dire,=^—|, or, en prenant 57° 30" pour la parallaxe horizontale moyenne de la Lune, et < for celle du Soleil, on aura i = a —- = s ~ à très peu-; ' 345° 383 r près -, d'où l'on voit que la quantité i sera en effet très petite. DES TROIS CORPS. 101 Or, comme les observations nous apprennent que les orbites de la Lune et du Soleil sont presque circulaires, il est clair que les variations des quantités r et B devront être fort petites; de sorte que si on fait r1 = i + x, R= i + x, x et X devront être des quantités assez petites par rapport à l'unité, et de plus, elles ne devront contenir aucun terme constant, autrement les valeurs moyennes de r et B ne seraient plus c=a 1 contre l'hypothèse. Donc le carré de la vitesse angulaire de la Lune sera à-peu-près = A - H B - Z> ( 3 ** — 1 ) et le carré de la vitesse angulaire du Soleil autour de la Terre sera à-peu-près = M= D (art. 36), mais on fait que la vitesse angulaire de la Lune est à celle du Soleil environ comme 1 à 13, de sorte que leurs carrés sont à-peu près entre eux comme 169 à 1 : d'où l'on voit que la quantité D doit être beaucoup plus petite que la quantité A + B, et cela dans une raison peu différente de là 169. Donc, si
+ x, x et X devront être des quantités assez petites par rapport à l'unité, et de plus, elles ne devront contenir aucun terme constant, autrement les valeurs moyennes de r et B ne seraient plus c=a 1 contre l'hypothèse. Donc le carré de la vitesse angulaire de la Lune sera à-peu-près = A - H B - Z> ( 3 ** — 1 ) et le carré de la vitesse angulaire du Soleil autour de la Terre sera à-peu-près = M= D (art. 36), mais on fait que la vitesse angulaire de la Lune est à celle du Soleil environ comme 1 à 13, de sorte que leurs carrés sont à-peu près entre eux comme 169 à 1 : d'où l'on voit que la quantité D doit être beaucoup plus petite que la quantité A + B, et cela dans une raison peu différente de là 169. Donc, si on suppose, ce qui est permis, A + B == 1, et qu'on fasse D = a. 1, on aura «,» = - 1 _, I? environ, et a1 sera presque = xi > en sorte que l'on pourra regarder les quantités /' et 0 comme du même ordre. De plus, on a, comme l'on fait = ? ?, le nombre ?, étant par la théorie de la précession des équinoxes de M. d'Alembert environ -, et par celles des marées de M. Daniel Bernoulli = ? j donc puisque = ?, et = ? ( art. 34 ) on aura ? = ?, = ? ? ainsi, les quantités B et D seront à peu-près du même ordre. Au reste, pour ce qui regarde la vraie valeur de a, il faudra la déterminer par le rapport connu entre le mouvement moyen du Soleil et celui de la Lune, rapport qui est, selon les nouvelles Tables de M. Meyer de il* 25° 45' 40", 7 à l'effet 0 23' 5" -, quant au coefficient coefficient qui est encore assez incertain, comme il se trouve partout multiplié par les coefficients très petits er et /, il suffit de le connaître à-peu-près,