jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
ordinaires contiennent pour la Lune; mais qu'il ne donne que l'excès de cette somme entière sur l'équation du Soleil; ou bien, si nous ajoutons l'équation du Soleil à notre angle CTL, cette somme doit être égale au résultat de toutes les équations dont on se sert ordinairement pour trouver le lieu de la Lune. Je ne parle ici que de la longitude réduite à l'écliptique: la latitude se déterminera aisément par notre troisième coordonnée coordonnée Z, atteinte que la tangente de la latitude de la Lune. Enfin, comme la distance TL = V(XX + YY + ZZ), on en connaîtra aisément, la parallaxe horizontale de la Lune avec son diamètre apparent. XXXVIII. Voilà donc en quoi consiste principalement la différence entre cette nouvelle méthode et celle dont on s'était servi jusqu'ici, où l'on s'était donné toutes les peines imaginables pour trouver les inégalités dans le mouvement de la Lune, chacune séparément des autres. Mon but étant ici de chercher les trois coordonnées TX = X, LY = Y, lZ = Z, il est bien vrai qu'elles dépendront de toutes les inégalités; mais ce n'est qu'après les avoir déterminées toutes, & en avoir conclu les vraies valeurs de ces lignes, qu'on pourra assigner l'angle CTZ; outre cela je ne trouve pas cet angle immédiatement, mais sa tangente, dont il faut encore chercher l'angle dans les Tables. Or j'ose bien affurer que l'expression de cette tangente devient beaucoup moins compliquée que si l'on en voulait déduire toutes les équations partielles indépendamment l'une de l'autre. Tout ceci deviendra plus clair, quand j'aurai réussi à trouver les justes valeurs des trois coordonnées X, Y, et Z. XXXIX. Mais le plus grand avantage de cette nouvelle méthode consiste en ce que j'y ai d'abord introduit l'élongation moyenne de la Lune au Soleil, ce qui me mettra en état de déterminer toutes les inégalités, par des angles proportionnels aux temps, & qu'on pourra aisément trouver dans les Tables des moyens mouvements. Aussi que, selon la méthode ordinaire, la vraie élongation de la Lune au Soleil entre partout dans les calculs, & qu'il est presque impossible de
pourra assigner l'angle CTZ; outre cela je ne trouve pas cet angle immédiatement, mais sa tangente, dont il faut encore chercher l'angle dans les Tables. Or j'ose bien affurer que l'expression de cette tangente devient beaucoup moins compliquée que si l'on en voulait déduire toutes les équations partielles indépendamment l'une de l'autre. Tout ceci deviendra plus clair, quand j'aurai réussi à trouver les justes valeurs des trois coordonnées X, Y, et Z. XXXIX. Mais le plus grand avantage de cette nouvelle méthode consiste en ce que j'y ai d'abord introduit l'élongation moyenne de la Lune au Soleil, ce qui me mettra en état de déterminer toutes les inégalités, par des angles proportionnels aux temps, & qu'on pourra aisément trouver dans les Tables des moyens mouvements. Aussi que, selon la méthode ordinaire, la vraie élongation de la Lune au Soleil entre partout dans les calculs, & qu'il est presque impossible de les en délivrer. Cet inconvénient demande non seulement les plus pénibles calculs, mais il nous laisse encore incertains sur la véritable quantité de plusieurs équations, outre que le nombre de ces équations devient presque effroyable. ARTICLE VII. Plan des opérations à faire pour la détermination du lieu de la Lune, XXXIX. QUELQUE grand que soit le nombre des inégalités qui se trouvent dans le mouvement de la Lune, on peut les rapporter toutes à de certaines classes, que je me propose de développer l'une après l'autre. On n'a qu'à bien considérer les diverses sources d'où naissent toutes ces inégalités, pour établir les caractères qui distinguent ces classes entre elles. Ces sources sont: 1° La différence d'action du Soleil par rapport à ses différentes phases ou aspects. 2° L'excentricité de l'orbite de la Lune. 3° L'inclinaison de cette orbite à l'écliptique. 4° La parallaxe du Soleil, ou le vrai rapport entre les distances de la Lune et du Soleil à la Terre. 5° Enfin les inégalités du mouvement du Soleil ou de la Terre. XXXI. La première source considérée en elle-même produit l'inégalité connue sous le nom de la variation, ou de réflexion, comme Kepler la nommait. Elle dépend uniquement de
XXXIX. QUELQUE grand que soit le nombre des inégalités qui se trouvent dans le mouvement de la Lune, on peut les rapporter toutes à de certaines classes, que je me propose de développer l'une après l'autre. On n'a qu'à bien considérer les diverses sources d'où naissent toutes ces inégalités, pour établir les caractères qui distinguent ces classes entre elles. Ces sources sont: 1° La différence d'action du Soleil par rapport à ses différentes phases ou aspects. 2° L'excentricité de l'orbite de la Lune. 3° L'inclinaison de cette orbite à l'écliptique. 4° La parallaxe du Soleil, ou le vrai rapport entre les distances de la Lune et du Soleil à la Terre. 5° Enfin les inégalités du mouvement du Soleil ou de la Terre. XXXI. La première source considérée en elle-même produit l'inégalité connue sous le nom de la variation, ou de réflexion, comme Kepler la nommait. Elle dépend uniquement de l'angle p, c'est-à-dire de l'angle BTC qui marque l'élongation moyenne de la Lune à l'opposition du Soleil. Ce sera donc le sujet de mes premières recherches, où je ferai abstraction de toutes les autres sources, par lesquelles le mouvement de la Lune est troublé. XXXII. En second lieu, j'aurai égard à l'excentricité de l'orbite de la Lune, par laquelle un nouvel angle sera introduit dans le calcul. Cet angle fera l'anomalie moyenne de la Lune, que je le marquerai par la lettre q: l'angle q fera donc aussi proportionnel au temps, et son rapport à l'anomalie du Soleil que j'ai nommée s, nous conduira à l'importante recherche du mouvement de l'apogée de la Lune. Je serai obligé de partager la recherche des inégalités de cette classe en trois parties. La première contiendra celles qui dépendent simplement de l'excentricité, et qui renferment le simple angle q. DE LA LUNE. La seconde partie roulera sur les inégalités qui dépendent de l'excentricité ou qui renferment le double angle zq. La troisième partie, contiendra les inégalités qui résultent du cube de l'excentricité; celles-ci dépendront du triple angle xq, et seront déjà si petites, qu'on pourra bien se passer des suivantes, aussi nos formules ne
à l'excentricité de l'orbite de la Lune, par laquelle un nouvel angle sera introduit dans le calcul. Cet angle fera l'anomalie moyenne de la Lune, que je le marquerai par la lettre q: l'angle q fera donc aussi proportionnel au temps, et son rapport à l'anomalie du Soleil que j'ai nommée s, nous conduira à l'importante recherche du mouvement de l'apogée de la Lune. Je serai obligé de partager la recherche des inégalités de cette classe en trois parties. La première contiendra celles qui dépendent simplement de l'excentricité, et qui renferment le simple angle q. DE LA LUNE. La seconde partie roulera sur les inégalités qui dépendent de l'excentricité ou qui renferment le double angle zq. La troisième partie, contiendra les inégalités qui résultent du cube de l'excentricité; celles-ci dépendront du triple angle xq, et seront déjà si petites, qu'on pourra bien se passer des suivantes, aussi nos formules ne s'étendent pas au-delà des troisièmes dimensions. XXXIII. En troisième lieu, je chercherai les inégalités qui résultent de l'inclinaison de l'orbite de la Lune. Cette circonstance introduira un troisième angle r dans le calcul, qui est celui qu'on nomme l'argument de latitude, et qui est aussi proportionnel au temps. La recherche de son rapport à l'angle s renfermera le mouvement de la ligne des noeuds. Il suffira ici de déterminer les inégalités qui dépendront du simple et du double de cet angle, sans s'embarrasser de celles qui dépendraient du triple ou bien du cube de l'inclinaison, qui serait trop petit pour qu'on fût obligé d'en tenir compte. XXXIV. En quatrième lieu, ayant regardé jusqu'ici la distance du Soleil comme étant infiniment plus grande que celle de la Lune, et ayant négligé pour cet effet les termes qui sont affectés du rapport a, je ferai à présent aussi entrer ces termes dans les équations générales, pour rechercher les inégalités qui en résultent, et qu'on peut nommer inégalités parallactiques, puisqu'elles dépendent de la parallaxe du Soleil. THÉORIE XXXV. Enfin la cinquième classe contiendra les inégalités qui résultent de l'excentricité de l'orbite de la Terre; ces inégalités sont contenues dans les termes affectés par
de son rapport à l'angle s renfermera le mouvement de la ligne des noeuds. Il suffira ici de déterminer les inégalités qui dépendront du simple et du double de cet angle, sans s'embarrasser de celles qui dépendraient du triple ou bien du cube de l'inclinaison, qui serait trop petit pour qu'on fût obligé d'en tenir compte. XXXIV. En quatrième lieu, ayant regardé jusqu'ici la distance du Soleil comme étant infiniment plus grande que celle de la Lune, et ayant négligé pour cet effet les termes qui sont affectés du rapport a, je ferai à présent aussi entrer ces termes dans les équations générales, pour rechercher les inégalités qui en résultent, et qu'on peut nommer inégalités parallactiques, puisqu'elles dépendent de la parallaxe du Soleil. THÉORIE XXXV. Enfin la cinquième classe contiendra les inégalités qui résultent de l'excentricité de l'orbite de la Terre; ces inégalités sont contenues dans les termes affectés par v, et c'est par ces-ci que l'anomalie moyenne du Soleil, marquée par s, est aussi introduite dans le calcul. Dans cette recherche, il suffira de considérer cette simple excentricité; aussi ai-je négligé tous les termes qui renfermeraient le carré et les plus hautes dimensions de cette excentricité. Ce sera donc le plan que je me propose de développer dans les recherches suivantes. LA LUNE. DEUXIÈME SECTION. Recherches des inégalités du mouvement de la Lune de la première Classe, comprises communément sous le nom de la Variation. ARTICLE PREMIER. Application des formules générales à cette recherche. §. I. JUSQU'ICI ne s'agit ici que de déterminer les inégalités qui dépendent uniquement de l'angle p, où l'on ne regarde que le mouvement de la Lune sur l'écliptique, nous abstraction de l'inclinaison de son orbite, en posant Z=az=o, et par-là toute la troisième équation s'en va du calcul. En second lieu, je ferai abstraction de l'excentricité de l'orbite de la Terre, ou bien je mettrai v=o, et en troisième lieu, puisqu'il n'est pas encore question des inégalités parallactiques, je négligerai dans les formules trouvées tous les termes affectés par a. II. De cette manière nos équations différentielles deviendront beaucoup plus simples, et par conséquent
le plan que je me propose de développer dans les recherches suivantes. LA LUNE. DEUXIÈME SECTION. Recherches des inégalités du mouvement de la Lune de la première Classe, comprises communément sous le nom de la Variation. ARTICLE PREMIER. Application des formules générales à cette recherche. §. I. JUSQU'ICI ne s'agit ici que de déterminer les inégalités qui dépendent uniquement de l'angle p, où l'on ne regarde que le mouvement de la Lune sur l'écliptique, nous abstraction de l'inclinaison de son orbite, en posant Z=az=o, et par-là toute la troisième équation s'en va du calcul. En second lieu, je ferai abstraction de l'excentricité de l'orbite de la Terre, ou bien je mettrai v=o, et en troisième lieu, puisqu'il n'est pas encore question des inégalités parallactiques, je négligerai dans les formules trouvées tous les termes affectés par a. II. De cette manière nos équations différentielles deviendront beaucoup plus simples, et par conséquent plus propres à en déduire les inégalités, qui sont l'objet de cette première recherche. Voilà donc les formules qu'il faut prendre en considération. III. D'abord je remarque que la Lune ne serait avoir un mouvement uniforme autour de la Terre, comme il arrive dans le mouvement des planètes principales. Car pour que l'angle CTL devienne = o, il faudrait qu'il fut F= o, ou bien y = o, ce qui est contraire à la seconde formule. Ensuite on voit que x ne serait pas constante, mais qu'elle renferme nécessairement l'angle p, et comme cette x est toujours une quantité très-petite, nous voyons d'abord qu'il faudra mettre A = m 42m 4, ou bien A = 175, 2274177 (Sect. 1. § 24), IV. D'où nos deux équations seront: ARTICLE II. Détermination des inégalités de la Lune de cette première Classe. V. PREMIÈRE APPROXIMATION. Ne considérons d'abord que les premiers termes de nos deux équations, pour avoir: Et il est clair que pour remplir ces deux conditions, il faudra mettre x = b cos xp, y = z sin 2p. Je substitue donc ces valeurs dans nos deux équations et comme à cause de -4m m cos 2p: fin. 2p nous obtiendrons
pour que l'angle CTL devienne = o, il faudrait qu'il fut F= o, ou bien y = o, ce qui est contraire à la seconde formule. Ensuite on voit que x ne serait pas constante, mais qu'elle renferme nécessairement l'angle p, et comme cette x est toujours une quantité très-petite, nous voyons d'abord qu'il faudra mettre A = m 42m 4, ou bien A = 175, 2274177 (Sect. 1. § 24), IV. D'où nos deux équations seront: ARTICLE II. Détermination des inégalités de la Lune de cette première Classe. V. PREMIÈRE APPROXIMATION. Ne considérons d'abord que les premiers termes de nos deux équations, pour avoir: Et il est clair que pour remplir ces deux conditions, il faudra mettre x = b cos xp, y = z sin 2p. Je substitue donc ces valeurs dans nos deux équations et comme à cause de -4m m cos 2p: fin. 2p nous obtiendrons ces deux déterminations: ou bien en divisant par cos. zp: Prix de l'Acad, Tom. IX, THÉORIE (4mm 43 A) b 44m (m 4I) £ -sin. 2p = O, et 47° (m -4)b -44mm cos, -| = o, ou enfin à cause de m = 12, 3688974 S: A = 179, 2274177, nous aurons b = -0, 0071800 et C = -40, 0102118. d'où l'on trouvera b = -0, 0071800 et C = -40, 0102118. VI. SECONDE APPROXIMATION. Soit maintenant x = b cos xp, y = sin 2p. 2p ou bien écrivons dans nos deux équations du §.4, x 4x1 5cos -4-y au lieu de x2 et y2 comme nous avons fait évanouir encore ces deux conditions à remplir. LA LUNE. VII. J'ai négligé ici les termes qui contiendraient x^2, x^2, etc. car comme x1 et y1 sont déjà équivalents à xx, y y, et yy, ces termes négligés seraient équivalents aux quatrièmes puissances de x et y, que nous avons toujours omis, comme donnant des inégalités qui ne sont d'aucune importance. VIII. Commençons par satisfaire à ces deux équations: d'où nos deux équations deviendront Il est donc évident qu'il faudra supposer que \(x_1 = C_1 \sin 4 p\), \(y_1
2274177, nous aurons b = -0, 0071800 et C = -40, 0102118. d'où l'on trouvera b = -0, 0071800 et C = -40, 0102118. VI. SECONDE APPROXIMATION. Soit maintenant x = b cos xp, y = sin 2p. 2p ou bien écrivons dans nos deux équations du §.4, x 4x1 5cos -4-y au lieu de x2 et y2 comme nous avons fait évanouir encore ces deux conditions à remplir. LA LUNE. VII. J'ai négligé ici les termes qui contiendraient x^2, x^2, etc. car comme x1 et y1 sont déjà équivalents à xx, y y, et yy, ces termes négligés seraient équivalents aux quatrièmes puissances de x et y, que nous avons toujours omis, comme donnant des inégalités qui ne sont d'aucune importance. VIII. Commençons par satisfaire à ces deux équations: d'où nos deux équations deviendront Il est donc évident qu'il faudra supposer que \(x_1 = C_1 \sin 4 p\), \(y_1 = C_2 \sin 4 p\), d'où nous aurons ces deux équations : Se par conséquent les trois déterminations suivantes ou bien en nombres, à cause de \(b = -0,0071800\) \(x_1 = 10, 01281473\), \(y_1 = 7,682256\), \(z_1 = 1 - 0,0129146 = 0,9870854\) 2985, 51621, \(x_1 = 322,86816\), \(y_1 = 6,424477\), \(z_1 = 396\). \(G_1 = -0,02202642 = 0,98807458\), par conséquent X. DERNIÈRE APPROXIMATION. Il me reste à déterminer les inégalités qui dépendent des termes affectés par \(x^2\), \(xy\), \(x^2y\), \(y^1\), \(xx^1\), \(yy^1\), \(xy\) cof. \(xp\), etc. Je poserai pour cet effet \(x_1 = a_1 \sin 4 p\) et \(y_1 = b_1 \cos 4 p\) ou bien j'écrirai dans les deux équations du § 6 \(x_1 - t x"\) et \(y_1 + y_1\) au lieu de \(x_1\) et \(y_1\); et comme nous avons déjà satisfait aux termes \(x\) cof. \(2p\) et \(-y\) fin. \(2 p\) et \(Axx\), \(Xyy\) et \(-y\) cof. \(2 p\) et \([x\) fin. \(zp\) et \(Xxy\), en négligeant tous les termes, où \(x\) et \(y\) auraient ensemble plus de trois dimensions, en comptant toujours \(x_1\) et \(y_1\) pour deux et \(x_1 y_1\) pour trois dimensions, il nous reste encore ces deux conditions à remplir. TROISIÈME SECTION. Recherches
6,424477\), \(z_1 = 396\). \(G_1 = -0,02202642 = 0,98807458\), par conséquent X. DERNIÈRE APPROXIMATION. Il me reste à déterminer les inégalités qui dépendent des termes affectés par \(x^2\), \(xy\), \(x^2y\), \(y^1\), \(xx^1\), \(yy^1\), \(xy\) cof. \(xp\), etc. Je poserai pour cet effet \(x_1 = a_1 \sin 4 p\) et \(y_1 = b_1 \cos 4 p\) ou bien j'écrirai dans les deux équations du § 6 \(x_1 - t x"\) et \(y_1 + y_1\) au lieu de \(x_1\) et \(y_1\); et comme nous avons déjà satisfait aux termes \(x\) cof. \(2p\) et \(-y\) fin. \(2 p\) et \(Axx\), \(Xyy\) et \(-y\) cof. \(2 p\) et \([x\) fin. \(zp\) et \(Xxy\), en négligeant tous les termes, où \(x\) et \(y\) auraient ensemble plus de trois dimensions, en comptant toujours \(x_1\) et \(y_1\) pour deux et \(x_1 y_1\) pour trois dimensions, il nous reste encore ces deux conditions à remplir. TROISIÈME SECTION. Recherches des inégalités du mouvement de la Lune de la troisième Classe, qui dépendent de l'excentricité de l'orbite de la Lune. ARTICLE PREMIER, Réflexions générales sur la nature de ces inégalités! Les valeurs de \(x\) et \(y\), que nous venons de trouver, entant qu'elles satisfassent à nos deux équations différentielles, ne seraient être regardées, que comme une intégrale particulière, vu qu'il n'y entre que deux constantes arbitraires, l'une étant marquée par la lettre \(a_1\) et l'autre comprise dans l'angle \(p\); car puisque \(dp = md t\), on en aura \(\int dp = + C\), et cette constante \(C\) se rapporte au point fixe, d'où l'on compte cet angle. Or, ayant deux équations différentielles, leurs intégrales complètes, doivent nécessairement renfermer quatre constantes arbitraires, d'où l'on comprend que pour trouver ces intégrales, il faut encore introduire dans nos formules un autre angle proportionnel au temps, avec un coefficient indéterminé qui joint à la constante contenue dans l'angle même, en se rapportant à son commencement, fournira les quatre constantes arbitraires, qui continuent le caractère de l'intégrale complète. Prix de l'Académie, Tome XVII, ÉT Puissance le commencement de cet angle peut être regardé comme arbitraire, il doit y entrer un coefficient arbitraire, qui répond à
seraient être regardées, que comme une intégrale particulière, vu qu'il n'y entre que deux constantes arbitraires, l'une étant marquée par la lettre \(a_1\) et l'autre comprise dans l'angle \(p\); car puisque \(dp = md t\), on en aura \(\int dp = + C\), et cette constante \(C\) se rapporte au point fixe, d'où l'on compte cet angle. Or, ayant deux équations différentielles, leurs intégrales complètes, doivent nécessairement renfermer quatre constantes arbitraires, d'où l'on comprend que pour trouver ces intégrales, il faut encore introduire dans nos formules un autre angle proportionnel au temps, avec un coefficient indéterminé qui joint à la constante contenue dans l'angle même, en se rapportant à son commencement, fournira les quatre constantes arbitraires, qui continuent le caractère de l'intégrale complète. Prix de l'Académie, Tome XVII, ÉT Puissance le commencement de cet angle peut être regardé comme arbitraire, il doit y entrer un coefficient arbitraire, qui répond à ce qu'on nomme excentricité de l'orbite lunaire, et qui dépend uniquement des observations, ou bien du mouvement, qui a été imprimé à la Lune au premier commencement. DE LA LUNE. On verra bientôt que ce nouvel angle est le même que celui qu'on nomme anomalie moyenne de la Lune. Par conséquent, en posant dq = ndt, le nombre s sera à l'unité, comme le mouvement de l'anomalie moyenne de la Lune à celui de l'anomalie moyenne du Soleil. Donc pour le temps de trente jours, le mouvement de l'anomalie moyenne de la Lune étant : 13s 56' 59" s= 1411019" et le mouvement de l'anomalie moyenne du Soleil 290 34' 4", 5 = 106444", 5 nous en concluons ; n = 106 9 = 3 13, 25591x7. Mais quoique cette valeur soit tirée des observations, il faudrait que la théorie nous fournisse la même, si le mouvement de l'apogée était uniquement produit par les forces du Soleil et de la Terre. Or, on verra que ce nombre est en effet très-conforme à la Théorie. ARTICLE II préparation aux articles suivants, COMME dans les recherches précédentes il ne s'agit ni de l'inclinaison de l'orbite de la Lune, ni de l'excentricité de
conséquent, en posant dq = ndt, le nombre s sera à l'unité, comme le mouvement de l'anomalie moyenne de la Lune à celui de l'anomalie moyenne du Soleil. Donc pour le temps de trente jours, le mouvement de l'anomalie moyenne de la Lune étant : 13s 56' 59" s= 1411019" et le mouvement de l'anomalie moyenne du Soleil 290 34' 4", 5 = 106444", 5 nous en concluons ; n = 106 9 = 3 13, 25591x7. Mais quoique cette valeur soit tirée des observations, il faudrait que la théorie nous fournisse la même, si le mouvement de l'apogée était uniquement produit par les forces du Soleil et de la Terre. Or, on verra que ce nombre est en effet très-conforme à la Théorie. ARTICLE II préparation aux articles suivants, COMME dans les recherches précédentes il ne s'agit ni de l'inclinaison de l'orbite de la Lune, ni de l'excentricité de l'orbite de la Terre, ni enfin des inégalités parallèles, les inégalités de cette classe seront encore enfermées dans les deux équations données au quatrième §. de la seconde Section, qui sont V. Pour accommoder ces équations aux recherches précédentes, soit u et v les valeurs de x et Ly, que nous avons trouvées en cherchant les inégalités de la première classe, de sorte qu'en omettant les termes affectés par cof. qp et Lfm.p comme très petits à l'égard des autres, nous ayons u = a1 + b cof. 2 pi v = Q, fin. xpi ou <*==-t-o, 0000240 5 bz=—0,0071802 Ôc £=-t-o, oi 02118. Il serait même suffisant de prendre u = b cof. 2 p 5c v = Zfin. 2p, puisque a1 est déjà une quantité de la seconde classe. Écrivons dans nos deux équations u + x v -h y au lieu de x & y, et ayant déjà rempli ces deux conditions, il nous restera encore de satisfaire à ces deux équations DE LA LUNE. 37 VII. Substituons pour u & v leurs valeurs & nous obtiendrons ces deux équations, qui renferment toutes les inégalités de cette seconde classe: 38 THÉORIE ARTICLE III. Détermination des inégalités qui