jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
plus, on a, comme l'on fait = ? ?, le nombre ?, étant par la théorie de la précession des équinoxes de M. d'Alembert environ -, et par celles des marées de M. Daniel Bernoulli = ? j donc puisque = ?, et = ? ( art. 34 ) on aura ? = ?, = ? ? ainsi, les quantités B et D seront à peu-près du même ordre. Au reste, pour ce qui regarde la vraie valeur de a, il faudra la déterminer par le rapport connu entre le mouvement moyen du Soleil et celui de la Lune, rapport qui est, selon les nouvelles Tables de M. Meyer de il* 25° 45' 40", 7 à l'effet 0 23' 5" -, quant au coefficient coefficient qui est encore assez incertain, comme il se trouve partout multiplié par les coefficients très petits er et /, il suffit de le connaître à-peu-près, puisque l'erreur, qui en pourrait résulter, ne serait que de l'ordre de i X L I. On fera donc toutes ces substitutions dans les formules du Chapitre précédent, et mettant pour plus de simplicité y à la place de Rz, on aura DES TROIS CORPS. 103 — et. = A une constante. Or, comme les quantités x et X sont assez petites, on aura assez exactement DES TROIS CORPS. 104 De sorte qu'en substituant ces valeurs dans les équations précédentes, et mettant de plus dans les trois dernières la valeur de < tirée de la première par l'intégration, on aura trois équations en x, X, y, et t qui seront intégrables du moins par approximation par les méthodes connues, puisque les variables y seront toutes sous une forme rationnelle et entière. X L I I. Ensuite on aura (art. 36) 105 ESSAI SUR LE PROBLÈME moyennant quoi on aura enfin, les formules de l'art. 3 p donneront et quant à la constante, on la déterminera par l'équation en y faisant / = 0. DES TROIS CORPS. 107 On se souviendra au reste que les valeurs de x, X et y doivent être prises, en sorte que j, — , j
une constante. Or, comme les quantités x et X sont assez petites, on aura assez exactement DES TROIS CORPS. 104 De sorte qu'en substituant ces valeurs dans les équations précédentes, et mettant de plus dans les trois dernières la valeur de < tirée de la première par l'intégration, on aura trois équations en x, X, y, et t qui seront intégrables du moins par approximation par les méthodes connues, puisque les variables y seront toutes sous une forme rationnelle et entière. X L I I. Ensuite on aura (art. 36) 105 ESSAI SUR LE PROBLÈME moyennant quoi on aura enfin, les formules de l'art. 3 p donneront et quant à la constante, on la déterminera par l'équation en y faisant / = 0. DES TROIS CORPS. 107 On se souviendra au reste que les valeurs de x, X et y doivent être prises, en sorte que j, — , j soient nulles, lorsquete=0, et que y devienne alors de plus, il faudra aussi que la valeur de < tirée par l'intégration de l'équation [p) soit telle qu'elle s'évanouisse lorsquete=0. § 3. De l'intégration des équations qui donnent les mouvements de la Lune et du Soleil. X L I I I. LE Problème des mouvements de la Lune et du Soleil se réduit à la recherche des quantités x, X, y, lesquelles dépendent de l'intégration des équations (q), (r), (s), de l'art: 41, à quoi il faut joindre l'équation (p) comme subsidiaire. Si les variables x, X, y ne se trouvaient dans les équations que sous la forme linéaire, l'intégration serait facile par les méthodes connues; or il est aisé de voir que les termes où ces variables se trouvent multipliées entre elles sont tous fort petits à cause que les coefficients a. 2, et /' sont très-petits et que les variables x et X sont aussi supposées 108 ESSAI SUR LE PROBLÈME fort petites; ainsi on pourra d'abord négliger les termes dont nous venons de parler, pour pouvoir trouver les premières valeurs approchées des variables, et ces valeurs serviront ensuite à en trouver d'autres plus exactes et ainsi de suite.
LE Problème des mouvements de la Lune et du Soleil se réduit à la recherche des quantités x, X, y, lesquelles dépendent de l'intégration des équations (q), (r), (s), de l'art: 41, à quoi il faut joindre l'équation (p) comme subsidiaire. Si les variables x, X, y ne se trouvaient dans les équations que sous la forme linéaire, l'intégration serait facile par les méthodes connues; or il est aisé de voir que les termes où ces variables se trouvent multipliées entre elles sont tous fort petits à cause que les coefficients a. 2, et /' sont très-petits et que les variables x et X sont aussi supposées 108 ESSAI SUR LE PROBLÈME fort petites; ainsi on pourra d'abord négliger les termes dont nous venons de parler, pour pouvoir trouver les premières valeurs approchées des variables, et ces valeurs serviront ensuite à en trouver d'autres plus exactes et ainsi de suite. Pour donner un idée du calcul qu'il faudra faire pour cet objet, nous rejetterons d'abord dans les équations du § précédent tous les termes multipliés par 1-, qui dépendent de la parallaxe du Soleil; l'erreur fera d'autant plus petite que ces termes sont en même temps multipliés par la quantité très-petite x. De cette manière, les équations (p), (q), (r), (s), deviendront où il n'y aura plus qu'à réduire en série les puissances de 1 - 4x Se 1 4X. DESTROIS CORPS. XLIV. Négligeons encore les produits de deux ou de plusieurs dimensions de x Se X, on aura, à la place des équations précédentes, celles-ci: Lesquelles en substituant la valeur de cote réduisent à ces trois-ci: ESSAI SUR LE PROBLÈME LV. Comme les variables x Se X sont supposées fort petites vis-à-vis de la variable y qui est finie, on peut d'abord négliger dans l'équation ( ) les termes qui renferment x Se X; on aura ainsi cette première équation approchée laquelle étant différentiée deux fois devient qui est intégrable par les méthodes connues. Pour en trouver l'intégrable, il n'y a qu'à supposer y=f(cose pt-a), ou bien, puisqu'on veut que y=0, lorsque t = 0, on fera simplement y=f(cose
très-petite x. De cette manière, les équations (p), (q), (r), (s), deviendront où il n'y aura plus qu'à réduire en série les puissances de 1 - 4x Se 1 4X. DESTROIS CORPS. XLIV. Négligeons encore les produits de deux ou de plusieurs dimensions de x Se X, on aura, à la place des équations précédentes, celles-ci: Lesquelles en substituant la valeur de cote réduisent à ces trois-ci: ESSAI SUR LE PROBLÈME LV. Comme les variables x Se X sont supposées fort petites vis-à-vis de la variable y qui est finie, on peut d'abord négliger dans l'équation ( ) les termes qui renferment x Se X; on aura ainsi cette première équation approchée laquelle étant différentiée deux fois devient qui est intégrable par les méthodes connues. Pour en trouver l'intégrable, il n'y a qu'à supposer y=f(cose pt-a), ou bien, puisqu'on veut que y=0, lorsque t = 0, on fera simplement y=f(cose pt), Se l'on aura, après les substitutions, cette équation en p d'où l'on tire DES TROIS CORPS. III d'où l'on tire a* a1 p'=1 4— +" ^(i 4J ou bien en négligeant les puissances de x plus hautes que la seconde j'=s 1*4-2a,4 C — z Se a.* p =3 1 4et— — r — z. Donc notant par p l'une de ces valeurs, Se par q l'autre, on aura y = / eof. p 14q cose qt Se g étant des constantes indéterminées qui doivent être telles que lorsque t = 0 on ait y = Rr = x i ce qui donne /4-£=1. Cherchons maintenant d'après cette première valeur approchée de y, celle de sin. 2 par les formules ( ) de l'article 42; on aura, en négligeant les quantités x Se X, jM=a.z 5 donc aussi k1 = et 1, Se k =s et (équation {x) ) j donc *=**(!-1) — -~-»-<Ol> 8c r 1— VK ii2 ESSAI SUR LE PROBLÈME Donc en négligeant les puissances supérieures de x, donc mais /4-g = 1 > donc i =fl 4g1 + zfg > donc donc enfin Or, comme On doit avoir /4-£=:1, on peut supposer Se l'on aura
1 4et— — r — z. Donc notant par p l'une de ces valeurs, Se par q l'autre, on aura y = / eof. p 14q cose qt Se g étant des constantes indéterminées qui doivent être telles que lorsque t = 0 on ait y = Rr = x i ce qui donne /4-£=1. Cherchons maintenant d'après cette première valeur approchée de y, celle de sin. 2 par les formules ( ) de l'article 42; on aura, en négligeant les quantités x Se X, jM=a.z 5 donc aussi k1 = et 1, Se k =s et (équation {x) ) j donc *=**(!-1) — -~-»-<Ol> 8c r 1— VK ii2 ESSAI SUR LE PROBLÈME Donc en négligeant les puissances supérieures de x, donc mais /4-g = 1 > donc i =fl 4g1 + zfg > donc donc enfin Or, comme On doit avoir /4-£=:1, on peut supposer Se l'on aura l'angle DES TROIS CORPS. X I 3 l'angle / étant arbitraire et dépendant de l'inclinaison primitive de l'orbite de la Lune; en effet, il est clair que la plus grande valeur de fin. sera =fin. 1 de sorte que l'exprimera la plus grande latitude, c'est-à-dire l'inclinaison de l'orbite; donc puisqu'on fait par les observations que l'inclinaison de l'orbite lunaire est assez petite, et d'environ 50°, la constante g sera toujours très-petite Se la constante f presque égale à l'unité; car on aura à peu près de sorte que la quantité g est encore plus petite que la quantité i qui exprime le rapport des parallaxes de la Lune et du Soleil; d'où il s'enfuit qu'on pourra négliger sans scrupule les termes qui se trouveront multipliés par le carré et les puissances plus hautes de g, XLVII Il est facile de voir, par l'expression de fin. qu'on vient de trouver que l'angle p—-./ n'est autre chose que la distance de la Lune au node, c'est-à-dire l'argument de latitude; d'où il s'enfuit que si on retranche cet angle de la longitude de la Lune dans son orbite, on aura la longitude du node. Donc, si ht note la longitude moyenne de la
fait par les observations que l'inclinaison de l'orbite lunaire est assez petite, et d'environ 50°, la constante g sera toujours très-petite Se la constante f presque égale à l'unité; car on aura à peu près de sorte que la quantité g est encore plus petite que la quantité i qui exprime le rapport des parallaxes de la Lune et du Soleil; d'où il s'enfuit qu'on pourra négliger sans scrupule les termes qui se trouveront multipliés par le carré et les puissances plus hautes de g, XLVII Il est facile de voir, par l'expression de fin. qu'on vient de trouver que l'angle p—-./ n'est autre chose que la distance de la Lune au node, c'est-à-dire l'argument de latitude; d'où il s'enfuit que si on retranche cet angle de la longitude de la Lune dans son orbite, on aura la longitude du node. Donc, si ht note la longitude moyenne de la Lune, on aura ( h — v—~ ) / pour la longitude moyenne du node; or, les longitudes moyennes étant à peu-près les mêmes dans les orbites des planètes étant l'écliptique, ht sera la valeur moyenne de <p, et h sera par conséquent égale à ce qu'il doit y avoir de constant dans la valeur de ~. Or, les formules de l'article 42 donnent, en rejettant x Se z à cause du y sauf cof pt, on aura à-peu-près. Mais on a aussi p—s=i — —, d'où l'on voit que la position du node est fixe du moins par cette première approximation; ce qui ne doit pas paraître surprenant vu que les valeurs de p Se q ne peuvent tout au plus être considérées exactes qu'aux quantités de l'ordre de a, 1 près. Pour savoir maintenant laquelle des deux valeurs i+a— doit être prise pour p; on remarquera qu'en supposant l'inclinaison de l'orbite nulle, on a puisque <p n'est autre chose que l'angle compris entre les deux rayons r Se r1; donc _> _< h — h 1, en nommant ht Se h1 les valeurs moyennes de <p, Se de "p 1 > or on a déjà trouvé h =s
de constant dans la valeur de ~. Or, les formules de l'article 42 donnent, en rejettant x Se z à cause du y sauf cof pt, on aura à-peu-près. Mais on a aussi p—s=i — —, d'où l'on voit que la position du node est fixe du moins par cette première approximation; ce qui ne doit pas paraître surprenant vu que les valeurs de p Se q ne peuvent tout au plus être considérées exactes qu'aux quantités de l'ordre de a, 1 près. Pour savoir maintenant laquelle des deux valeurs i+a— doit être prise pour p; on remarquera qu'en supposant l'inclinaison de l'orbite nulle, on a puisque <p n'est autre chose que l'angle compris entre les deux rayons r Se r1; donc _> _< h — h 1, en nommant ht Se h1 les valeurs moyennes de <p, Se de "p 1 > or on a déjà trouvé h =s i — —; et pour avoir h1, on prendra la partie constante de — qui est = V^MK, de sorte que h1—CL, Se par conséquent h= 1 —a— > K* donc <7= 14-et • Ainsi, il faudra toujours avoir soin dans la suite de prendre pour p une valeur telle que ses deux premiers termes soient 1 -, et pour q une valeur dont les deux premiers termes soient 1+a; cette remarque est d'autant plus importante que les quantités p Se q seront données dorénavant par des équations particulières dont chacune montera cependant au quatrième degré, comme on le verra ci-après. XLVII. Ayant trouvé la première valeur approchée de x, on substituera dans l'équation (Ç) qui donne la valeur de x, en y négligeant d'abord les termes, où x et y sont mêlés ; ce qui la réduit à celle-ci: Or, puisque Pij ESSAI SUR LE PROBLÈME on aura, en négligeant les _§*&gt;" donc substituant ces valeurs rejettant tous les termes constants, à cause qu'il ne doit y en avoir aucun dans la valeur de x par l'hypothèse, on aura Ainsi la valeur de x sera de cette forme Se la substitution faite, on aura DES TROIS CORPS. Donc égalant
que ses deux premiers termes soient 1 -, et pour q une valeur dont les deux premiers termes soient 1+a; cette remarque est d'autant plus importante que les quantités p Se q seront données dorénavant par des équations particulières dont chacune montera cependant au quatrième degré, comme on le verra ci-après. XLVII. Ayant trouvé la première valeur approchée de x, on substituera dans l'équation (Ç) qui donne la valeur de x, en y négligeant d'abord les termes, où x et y sont mêlés ; ce qui la réduit à celle-ci: Or, puisque Pij ESSAI SUR LE PROBLÈME on aura, en négligeant les _§*&gt;" donc substituant ces valeurs rejettant tous les termes constants, à cause qu'il ne doit y en avoir aucun dans la valeur de x par l'hypothèse, on aura Ainsi la valeur de x sera de cette forme Se la substitution faite, on aura DES TROIS CORPS. Donc égalant à zéro les coefficients de chaque cosinus, on aura les équations suivantes : d'où l'on tire La constante z qui est demeurée indéterminée dépend de l'excentricité de l'orbite lunaire, et doit par conséquent être fixée par les observations. Ainsi l'angle mt représentera l'anomalie moyenne de la Lune, c'est-à-dire sa distance à l'apogée ; de sorte que ESSAI SUR LE PROBLÈME on aura, en négligeant les gx, donc substituant ces valeurs rejettant tous les termes Constants, à cause qu'il ne doit y en avoir aucun dans la valeur de x par l'hypothèse, on aura Ainsi la valeur de x sera de cette forme Se la substitution faite, on aura DES TROIS CORPS. = 0. Donc égalant à zéro les coefficients de chaque cosinus, on aura les équations suivantes : d'où l'on tire La constante z qui est demeurée indéterminée dépend de l'excentricité de l'orbite lunaire, et doit par conséquent être fixée par les observations. Ainsi l'angle mt représentera l'anomalie moyenne de la Lune, c'est-à-dire sa distance à l'apogée ; de sorte que ESSAI SUR LE PROBLÈME (h — mt) sera la longitude moyenne de l'apogée, ht étant comme plus haut celle du lieu de la Lune ; mais comme nous avons
à l'apogée ; de sorte que ESSAI SUR LE PROBLÈME on aura, en négligeant les gx, donc substituant ces valeurs rejettant tous les termes Constants, à cause qu'il ne doit y en avoir aucun dans la valeur de x par l'hypothèse, on aura Ainsi la valeur de x sera de cette forme Se la substitution faite, on aura DES TROIS CORPS. = 0. Donc égalant à zéro les coefficients de chaque cosinus, on aura les équations suivantes : d'où l'on tire La constante z qui est demeurée indéterminée dépend de l'excentricité de l'orbite lunaire, et doit par conséquent être fixée par les observations. Ainsi l'angle mt représentera l'anomalie moyenne de la Lune, c'est-à-dire sa distance à l'apogée ; de sorte que ESSAI SUR LE PROBLÈME (h — mt) sera la longitude moyenne de l'apogée, ht étant comme plus haut celle du lieu de la Lune ; mais comme nous avons négligé dans l'équation (Ç) des termes où x se trouve multiplié par a: on doit s'attendre que la valeur de m ne sera exacte qu'aux quantités de l'ordre de et2 près, c'est pourquoi on aura dans cette première approximation m=2, et m—2=0, en rejettant les *ls ce qui donnerait les apogées fixes. Venons maintenant à l'équation (e) qui donne la valeur de X; et comme cette quantité ne doit contenir aucun terme tout constant, il est clair qu'on aura simplement Se que la valeur de X sera de cette forme d'où l'on trouvera par la substitution Le coefficient indéterminé b dépend de l'excentricité de l'orbite du Soleil, et n est par conséquent l'angle de l'anomalie moyenne ; de sorte que (h1 — ht) sera la longitude de l'apogée du Soleil, qui est ici nulle à cause que h1 = et, et h2 = et. XLVIII. Puisqu'on connaît déjà la forme des premiers termes des valeurs y, x et z, on pourra aisément trouver les suivants et rectifier en même temps les coefficients de ceux qu'on a déjà trouvés ; pour cela, il n'y aura qu'à substituer dans les termes négligés des équations proposées, les valeurs qu'on vient de trouver, et
apogées fixes. Venons maintenant à l'équation (e) qui donne la valeur de X; et comme cette quantité ne doit contenir aucun terme tout constant, il est clair qu'on aura simplement Se que la valeur de X sera de cette forme d'où l'on trouvera par la substitution Le coefficient indéterminé b dépend de l'excentricité de l'orbite du Soleil, et n est par conséquent l'angle de l'anomalie moyenne ; de sorte que (h1 — ht) sera la longitude de l'apogée du Soleil, qui est ici nulle à cause que h1 = et, et h2 = et. XLVIII. Puisqu'on connaît déjà la forme des premiers termes des valeurs y, x et z, on pourra aisément trouver les suivants et rectifier en même temps les coefficients de ceux qu'on a déjà trouvés ; pour cela, il n'y aura qu'à substituer dans les termes négligés des équations proposées, les valeurs qu'on vient de trouver, et l'on aura la forme des termes qu'il faudra introduire dans les nouvelles valeurs de y, x et Z; on donnera à tous les termes des coefficients indéterminés, et la substitution faite, on fera égaux à zéro les termes analogues, c'est-à-dire ceux qui renferment les mêmes cosinus ; on aura par-là autant d'équations qu'il en faudra pour la détermination de tous les coefficients. Ainsi reprenant l'équation (n) et substituant dans les termes qui renferment x et Z les valeurs de x, Z trouvées ci-dessus, il viendra des termes de la forme on suppose donc Se prenant pour x et Z les expressions de l'art. 47, on aura l'équation suivante, dans laquelle j'ai négligé les quantités affectées de ax de a et z, et de «S à cause que l'on a négligé dans l'équation (») les termes où x se trouve à la seconde dimension, On DES TROIS CORPS. On égalera donc à zéro les coefficients de ces différents cosinus, et l'on aura équation d'où l'on tirera la même valeur de p, que ci-dessus (art. 45), de sorte qu'on aura et l'on sera maintenant assuré que cette valeur est exacte jusqu'aux quantités de l'ordre de ot inclusivement; or, comme nous négligeons les
autant d'équations qu'il en faudra pour la détermination de tous les coefficients. Ainsi reprenant l'équation (n) et substituant dans les termes qui renferment x et Z les valeurs de x, Z trouvées ci-dessus, il viendra des termes de la forme on suppose donc Se prenant pour x et Z les expressions de l'art. 47, on aura l'équation suivante, dans laquelle j'ai négligé les quantités affectées de ax de a et z, et de «S à cause que l'on a négligé dans l'équation (») les termes où x se trouve à la seconde dimension, On DES TROIS CORPS. On égalera donc à zéro les coefficients de ces différents cosinus, et l'on aura équation d'où l'on tirera la même valeur de p, que ci-dessus (art. 45), de sorte qu'on aura et l'on sera maintenant assuré que cette valeur est exacte jusqu'aux quantités de l'ordre de ot inclusivement; or, comme nous négligeons les quantités de l'ordre de et, on aura (en mettant pour a et q leurs valeurs approchées) de sorte qu'à cause de B = 2, et B1 = 3 (art. 48) l'équation précédente se réduira à ou bien Prix de l'Académie, Paris, 1772. Q ESSAI SUR LE PROBLÈME d'où l'on tire d'abord, aux quantités de l'ordre de près, en ayant égard à la remarque de l'art 46, et de-là par conséquent le mouvement moyen du noeud qui est représenté par ce qui s'accorde avec les observations y°, etc. d'où l'on tire à-peu-près DES TROIS CORPS. X LIX. On repassera présentement à l'équation (?) pour trouver une valeur de x plus exacte que celle de l'art. 47. Pour cet effet, on commencera par substituer dans les termes de cette dernière équation qui suivent les deux premiers, à la place de x, X et y leurs valeurs trouvées dans les articles précédents, et négligeant les quantités de l'ordre de g1, aussi bien que celles qui seraient affectées de et2 multipliée par a2, bx, ba, et et 4, à cause que nous avons rejété dans la même équation les termes de l'ordre et2 dans lesquels x et Z pouvaient former ensemble des produits de
d'abord, aux quantités de l'ordre de près, en ayant égard à la remarque de l'art 46, et de-là par conséquent le mouvement moyen du noeud qui est représenté par ce qui s'accorde avec les observations y°, etc. d'où l'on tire à-peu-près DES TROIS CORPS. X LIX. On repassera présentement à l'équation (?) pour trouver une valeur de x plus exacte que celle de l'art. 47. Pour cet effet, on commencera par substituer dans les termes de cette dernière équation qui suivent les deux premiers, à la place de x, X et y leurs valeurs trouvées dans les articles précédents, et négligeant les quantités de l'ordre de g1, aussi bien que celles qui seraient affectées de et2 multipliée par a2, bx, ba, et et 4, à cause que nous avons rejété dans la même équation les termes de l'ordre et2 dans lesquels x et Z pouvaient former ensemble des produits de deux dimensions, on aura par ces substitutions des termes de la forme, c'est pourquoi on suppose et substituant cette valeur de x à la même valeur de Q2 ESSAI SUR LE PROBLÈME y et Z des articles précédents, on aura, en négligeant ce qu'on doit négliger, Ainsi, il n'y aura plus qu'à égaler à zéro les coefficients de ces différents cosinus, pour déterminer les inconnues n, J, S, C, et Sec. DES TROIS CORPS. Le coefficient de coeff donnera la valeur de m excepté jusqu'aux quantités de l'ordre de ** incidentellement, et l'on aura, à cause de P = — i, Se P1 = -| (art. préc.) l'équation ou bien d'où, en mettant pour /, p, & à leur valeurs approchées i, on tire x = i—xa, et z=i—et'. De sorte que le mouvement de l'apogée (h — m)t, deviendra — t, à cause de h= i — — • Comme notre dessein n'est point de donner ici une théorie complète de la Lune, nous nous contenterons de ce léger essai, qui peut suffire pour donner une idée de la méthode qu'il faudra suivre dans l'intégration des équations différentielles de l'article 41 auxquelles nous avons réduit le Problème des mouvements