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l'autre suivant la ligne R' = z. De plus, si on prend l'élément du temps dt pour considérer, on aura j^ pour les forces accélératrices dont le point est sollicité suivant la direction des espaces dX, dY, dZ, qu'il parcourt dans l'intervalle dt, et il suit par le principe général de la Dynamique que ces forces précises en sens contraire, et combinées avec les forces -7 tiennent le système de tous les points, c'est-à-dire la masse entière de la Lune en équilibre autour de son centre de gravité supposé fixe. C'est un principe généralement vrai en Statique que, si un système quelconque de tant de corps ou de points que l'on veut, tirés chacun par des puissances quelconques est en équilibre; et qu'on donne à ce système un petit mouvement quelconque, en vertu duquel chaque point parcourt un espace infiniment petit; la somme des puissances, multipliées chacune par l'espace que le point, où elle est appliquée, parcourt suivant la direction de cette même puissance, sera toujours = 0. Dans la question présente, si on imagine que les lignes X,Y,Z, R, R', deviennent, en variant infiniment peu la position de la Lune autour de son centre, X = X + dx, il est facile de voir que les différences exprimeront des espaces parcourus en même temps par le point, dans des directions opposées à celles des puissances à X, dY, dZ; et on aura donc, pour les conditions de l'équilibre, l'équation générale savoir, en changeant les lignes. Quant au signe d'intégration, il est mis pour marquer la somme de toutes les formules semblables qui répondent à tous les éléments de la masse de la Lune. SCHOLIE. Le principe de Statique que je viens d'exposer n'est, dans le fond qu'une généralisation de celui qu'on nomme communément le principe des vitesses virtuelles, à qui est reconnu depuis longtemps par les Géomètres pour le principe fondamental de l'équilibre. M. Jean Bernoulli est le premier, que je sache, qui ait envisagé ce principe sous un point de vue général et applicable à toutes les questions de Statique, comme on le peut voir dans la Section
il est facile de voir que les différences exprimeront des espaces parcourus en même temps par le point, dans des directions opposées à celles des puissances à X, dY, dZ; et on aura donc, pour les conditions de l'équilibre, l'équation générale savoir, en changeant les lignes. Quant au signe d'intégration, il est mis pour marquer la somme de toutes les formules semblables qui répondent à tous les éléments de la masse de la Lune. SCHOLIE. Le principe de Statique que je viens d'exposer n'est, dans le fond qu'une généralisation de celui qu'on nomme communément le principe des vitesses virtuelles, à qui est reconnu depuis longtemps par les Géomètres pour le principe fondamental de l'équilibre. M. Jean Bernoulli est le premier, que je sache, qui ait envisagé ce principe sous un point de vue général et applicable à toutes les questions de Statique, comme on le peut voir dans la Section IX. de la nouvelle Mécanique de M. Varignon, où cet habile Géomètre, après avoir rapporté, d'après M. Bernoulli, le principe dont il s'agit, fait voir par différentes applications, qu'il conduit aux mêmes conclusions que celui de la composition des forces. C'est aussi ce même principe qui sert; de base à celui que M. de Maupertuis a donné dans les Mémoires de l'Académie de 1740, sous le nom de Loi du Repos, et que M. Euler a développé ensuite et rendu très-général dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1751. Enfin c'est de ce principe que dépend celui de la conservation des forces vives, comme M. d'Alembert l'a remarqué le premier à la fin de sa Dynamique, ce qui peut d'ailleurs se démontrer généralement ainsi. Soit un système quelconque de tant de corps qu'on voudra, nommés m, m', m", etc., qui pèsent, ou qui soient attirés vers des centres par des forces quelconques, soit P, Q, R, etc. les forces qui agissent sur le corps m, et soit p, q, r, etc. les distances respectives de ce corps aux centres de ses forces; soit aussi F', Q', R', etc. les forces des corps m', m", etc. et leurs distances
celui que M. de Maupertuis a donné dans les Mémoires de l'Académie de 1740, sous le nom de Loi du Repos, et que M. Euler a développé ensuite et rendu très-général dans les Mémoires de l'Académie de Berlin pour l'année 1751. Enfin c'est de ce principe que dépend celui de la conservation des forces vives, comme M. d'Alembert l'a remarqué le premier à la fin de sa Dynamique, ce qui peut d'ailleurs se démontrer généralement ainsi. Soit un système quelconque de tant de corps qu'on voudra, nommés m, m', m", etc., qui pèsent, ou qui soient attirés vers des centres par des forces quelconques, soit P, Q, R, etc. les forces qui agissent sur le corps m, et soit p, q, r, etc. les distances respectives de ce corps aux centres de ses forces; soit aussi F', Q', R', etc. les forces des corps m', m", etc. et leurs distances aux centres des forces; si l'on imagine que tous ces corps se meuvent, durant un instant quelconque dt, par les espaces ds, ds', ds", etc. avec les vitesses u, u', u", etc. il faudra, par le principe général de la Dynamique, que le système des corps m, m', m"-, etc. animés chacun des forces mPy, mQy, mRy, etc. dans la direction dt dt dt, soit en équilibre avec les forces mPy, wQy, mRy, etc. m'Py, w'Qy, m'Ry, etc. V'Py, m"Qy, m"Ry, etc. Or si l'on considère le système pendant que les corps changent infiniment peu de position, en parcourant les espaces ds, ds', ds", etc. il est clair que dpy, dqy, dry, etc. exprimeront les espaces parcourus par chacun des corps, dans des directions contraires à celles des forces P, Q, R, etc. P', Q', R', etc. On aura donc, par le principe de l'équilibre dont nous parlons. BRECHERCHÉS Mettant, au lieu de dt, ses valeurs infiniment petites, et intégrant, on aura Vy + Vy + Vsec. étant les valeurs primitives de u, i, o", etc. Cette équation renferme, comme on le voit, la conservation des forces vives prises dans toute leur étendue. Au reste, le Principe de Statique que
animés chacun des forces mPy, mQy, mRy, etc. dans la direction dt dt dt, soit en équilibre avec les forces mPy, wQy, mRy, etc. m'Py, w'Qy, m'Ry, etc. V'Py, m"Qy, m"Ry, etc. Or si l'on considère le système pendant que les corps changent infiniment peu de position, en parcourant les espaces ds, ds', ds", etc. il est clair que dpy, dqy, dry, etc. exprimeront les espaces parcourus par chacun des corps, dans des directions contraires à celles des forces P, Q, R, etc. P', Q', R', etc. On aura donc, par le principe de l'équilibre dont nous parlons. BRECHERCHÉS Mettant, au lieu de dt, ses valeurs infiniment petites, et intégrant, on aura Vy + Vy + Vsec. étant les valeurs primitives de u, i, o", etc. Cette équation renferme, comme on le voit, la conservation des forces vives prises dans toute leur étendue. Au reste, le Principe de Statique que je viens d'exposer, étant combiné avec le Principe Dynamique donné par M. d'Alembert, constitue une espèce de formule générale qui renferme la solution de tous les problèmes qui regardent le mouvement des corps. Car on aura toujours une équation semblable à l'équation A, arc. préc. Si toute la difficulté ne consistera plus qu'à trouver l'expression analytique des forces qu'on suppose agir sur les corps, et des lignes suivant lesquelles ces forces agissent, en n'employant dans ces expressions que le plus petit nombre possible de variables indéterminées, de manière que leurs différentielles désignées par le J^ soient entièrement indépendantes les uns des autres; après quoi faisant séparément égaux à zéro, les termes qui se trouveront multipliés par chacune des différentielles dont je parle, on aura tout d'un coup autant d'équations particulières qu'il en faudra pour la solution du problème, comme on le verra dans les articles qui suivent. Soit présentement l'inclinaison du plan de l'équateur lunaire par rapport à celui de l'écliptique. ?r. La longitude du nœud descendant de l'équateur lunaire, c'est-à-dire l'angle que l'interception de cet équateur avec l'écliptique, ou avec le plan parallèle à l'écliptique, passant par le centre de la Lune fait avec l'axe des abscesses (art. II).
consistera plus qu'à trouver l'expression analytique des forces qu'on suppose agir sur les corps, et des lignes suivant lesquelles ces forces agissent, en n'employant dans ces expressions que le plus petit nombre possible de variables indéterminées, de manière que leurs différentielles désignées par le J^ soient entièrement indépendantes les uns des autres; après quoi faisant séparément égaux à zéro, les termes qui se trouveront multipliés par chacune des différentielles dont je parle, on aura tout d'un coup autant d'équations particulières qu'il en faudra pour la solution du problème, comme on le verra dans les articles qui suivent. Soit présentement l'inclinaison du plan de l'équateur lunaire par rapport à celui de l'écliptique. ?r. La longitude du nœud descendant de l'équateur lunaire, c'est-à-dire l'angle que l'interception de cet équateur avec l'écliptique, ou avec le plan parallèle à l'écliptique, passant par le centre de la Lune fait avec l'axe des abscesses (art. II). e. La distance d'un méridien lunaire pris à volonté sur la surface de la Lune, et qu'on appellera dorénavant le premier méridien, au nœud descendant de l'équateur, cette distance étant comptée à l'ordinaire sur l'équateur et suivant la suite des figures, a. Il est facile de voir que ces trois variables suffiront pour déterminer à chaque instant, la situation de la Lune par rapport à son centre qui est censé immobile; aussi ce seront les seules qu'il faudra faire varier dans les différentielles des lignes X, Y, Z, R, R'. Soit de plus le rayon ou la distance d'un point quelconque à au centre de gravité de la Lune r. L'angle que ce rayon fait avec le plan de l'équateur, ou la distance du point à l'équateur comptée sur le méridien qui passe par ce point P, L'angle que le méridien passant par le point et fait avec le premier méridien, c'est-à-dire la distance entre ces deux méridiens comptée sur l'équateur en allant d'Occident en Orient. . . Q. Il est visible que ces trois nouvelles indéterminées ne dépendent nullement de la position de la Lune sur son centre, mais seulement de la situation particulière de chacun de ces points
variables suffiront pour déterminer à chaque instant, la situation de la Lune par rapport à son centre qui est censé immobile; aussi ce seront les seules qu'il faudra faire varier dans les différentielles des lignes X, Y, Z, R, R'. Soit de plus le rayon ou la distance d'un point quelconque à au centre de gravité de la Lune r. L'angle que ce rayon fait avec le plan de l'équateur, ou la distance du point à l'équateur comptée sur le méridien qui passe par ce point P, L'angle que le méridien passant par le point et fait avec le premier méridien, c'est-à-dire la distance entre ces deux méridiens comptée sur l'équateur en allant d'Occident en Orient. . . Q. Il est visible que ces trois nouvelles indéterminées ne dépendent nullement de la position de la Lune sur son centre, mais seulement de la situation particulière de chacun de ces points par rapport à tous les autres. Ainsi ces quantités r, P, Q, ne seront variables dans nos formules que relativement aux intégrations indiquées par le signe dans l'équation (A). Au relatif il est bon de remarquer d'avance que, comme on suppose que le centre de rotation de la Lune soit dans son centre de gravité, on aura par la propriété connue de ce centre les trois conditions suivantes : a. r sin. P = 0 b. r cos. P sin. Q = 0 c. r cos P cos. Q = 0 Maintenant pour avoir les valeurs des coordonnées X, Y, Z exprimées en r, P, Q, je considère que l'angle P peut être regardé comme exprimant la declinaison du point vu du centre de la Lune, et rapporté à l'équateur lunaire ; et que dans cette supposition, l'angle Q que je nommerai Q' pour abréger, sera l'ascension droite du même point comptée à l'ordinaire depuis le noeud descendant de l'équateur. Donc en rapportant le point au plan de l'écliptique lunaire (j'appelle ainsi le plan que nous avons imaginé parallèle à l'écliptique, et passant par le centre de la Lune) lequel est incliné à l'équateur de l'angle i, on trouvera facilement,
dans son centre de gravité, on aura par la propriété connue de ce centre les trois conditions suivantes : a. r sin. P = 0 b. r cos. P sin. Q = 0 c. r cos P cos. Q = 0 Maintenant pour avoir les valeurs des coordonnées X, Y, Z exprimées en r, P, Q, je considère que l'angle P peut être regardé comme exprimant la declinaison du point vu du centre de la Lune, et rapporté à l'équateur lunaire ; et que dans cette supposition, l'angle Q que je nommerai Q' pour abréger, sera l'ascension droite du même point comptée à l'ordinaire depuis le noeud descendant de l'équateur. Donc en rapportant le point au plan de l'écliptique lunaire (j'appelle ainsi le plan que nous avons imaginé parallèle à l'écliptique, et passant par le centre de la Lune) lequel est incliné à l'équateur de l'angle i, on trouvera facilement, par les formules de la trigonométrie, sa latitude que j'appellerai p, et sa longitude que je nommerai q, car on aura, comme il a déjà été de le démontrer, Mais il est clair d'autre part que l'angle p n'est autre chose que l'angle fait par le rayon r avec le plan des X, Y, et que q = e, que je nomme q, est l'angle que la projection de r sur ce plan fait avec l'axe des X; on aura donc, comme il est facile de le concevoir même sans figure: Z = r sin. p Substituant pour r, p, sin. q', et cos. p, et cos. q, leurs valeurs, ci-devant, SUR LA LIBRATION DE LA LUNE. On différentiera d'abord ces valeurs de X, Y, Z, en faisant varier seulement r, et en mettant la caractéristique J^ au lieu de la d, pour avoir celles de frX, frY, frZ; on différentiera ensuite les mêmes valeurs X, Y, Z deux fois à l'ordinaire, pour avoir les différentes différentielles d'X, dY, dZ; après quoi on fera les produits d'XfrX, dYfrY, dZfrZ; et l'on aura, après avoir effacé ce qui se détruit, et mis pour sin. Q' cos. Q', leur valeur fin. z
plan des X, Y, et que q = e, que je nomme q, est l'angle que la projection de r sur ce plan fait avec l'axe des X; on aura donc, comme il est facile de le concevoir même sans figure: Z = r sin. p Substituant pour r, p, sin. q', et cos. p, et cos. q, leurs valeurs, ci-devant, SUR LA LIBRATION DE LA LUNE. On différentiera d'abord ces valeurs de X, Y, Z, en faisant varier seulement r, et en mettant la caractéristique J^ au lieu de la d, pour avoir celles de frX, frY, frZ; on différentiera ensuite les mêmes valeurs X, Y, Z deux fois à l'ordinaire, pour avoir les différentes différentielles d'X, dY, dZ; après quoi on fera les produits d'XfrX, dYfrY, dZfrZ; et l'on aura, après avoir effacé ce qui se détruit, et mis pour sin. Q' cos. Q', leur valeur fin. z On multipliera cette quantité par dr, et, Se on en prendra l'intégrale en faisant varier seulement r, P, Q, (Art. V.); l'on aura ainsi la valeur de l'intégrale de (dl XfrX + dl YfrY + dZfrZ) qu'il faudra substituer dans l'équation (A), Art. III. Remarque. Il y a plusieurs moyens d'abréger le calcul de la valeur de dlXfrX + dYfrY + dZfrZ; en voici un qui quoique indirect est néanmoins préférable par sa simplicité et sa généralité. On commencera par chercher la valeur de dXx~ + dYy + dZi, et pour ce j'observerai dans la supposition présente, que la valeur de X devient celle de Y, en mettant simplement cos. e à la place de fin. e, et y', e à la place de cos. e, c'est-à-dire en augmentant l'angle e de 50", ce qui aura par conséquent lieu aussi dans les valeurs de dX'y et de dY; d'où il s'ensuit que dès que l'on aura la valeur de dX, on en pourra tirer tout de suite celle de dX + dY, en négligeant simplement, dans le carré de dX, tous les termes qui renfermeraient fin. ecos, et effaçant dans les autres les carrés sin. e, et cos. e, après
d'abréger le calcul de la valeur de dlXfrX + dYfrY + dZfrZ; en voici un qui quoique indirect est néanmoins préférable par sa simplicité et sa généralité. On commencera par chercher la valeur de dXx~ + dYy + dZi, et pour ce j'observerai dans la supposition présente, que la valeur de X devient celle de Y, en mettant simplement cos. e à la place de fin. e, et y', e à la place de cos. e, c'est-à-dire en augmentant l'angle e de 50", ce qui aura par conséquent lieu aussi dans les valeurs de dX'y et de dY; d'où il s'ensuit que dès que l'on aura la valeur de dX, on en pourra tirer tout de suite celle de dX + dY, en négligeant simplement, dans le carré de dX, tous les termes qui renfermeraient fin. ecos, et effaçant dans les autres les carrés sin. e, et cos. e, après cela il n'y aura plus qu'à faire le carré de dZ, et l'on aura après quelques réductions: Je différencie à présent cette équation par r, c'est-à-dire en affectant les différentielles de J au lieu de d; j'aurai après avoir divisé par z, drX X + dY S"dY + dZ £dZ SUR LA LIBRATION DE LA LUNE fin.frdadt finSic. Je ne mets pas cette différentielle en entier parce que je ne veux que donner une idée de la méthode que je propose. Maintenant je considère que "NX est la même chose que dX/dt, comme il est aisé de s'en convaincre en considérant la nature du calcul différentiel; il en est de même des autres différences affectées de dt, on peut donc mettre partout d/dt pour dt, et difin Sec. On prendra l'intégrale de cette équation, et regardant les différences affectées de dt comme de simples variables on fera disparaitre leurs différentielles par l'opération assez connue des intégrations par parties; ce qui aura le comprendre que cette équation doit être identique, et que par conséquent il faut que la partie algébrique du premier membre soit égale à la partie algébrique du second, et la partie intégrale à la partie intégrale; donc, n'ayant
SUR LA LIBRATION DE LA LUNE fin.frdadt finSic. Je ne mets pas cette différentielle en entier parce que je ne veux que donner une idée de la méthode que je propose. Maintenant je considère que "NX est la même chose que dX/dt, comme il est aisé de s'en convaincre en considérant la nature du calcul différentiel; il en est de même des autres différences affectées de dt, on peut donc mettre partout d/dt pour dt, et difin Sec. On prendra l'intégrale de cette équation, et regardant les différences affectées de dt comme de simples variables on fera disparaitre leurs différentielles par l'opération assez connue des intégrations par parties; ce qui aura le comprendre que cette équation doit être identique, et que par conséquent il faut que la partie algébrique du premier membre soit égale à la partie algébrique du second, et la partie intégrale à la partie intégrale; donc, n'ayant égard qu'à la partie intégrale de l'un et de l'autre membre, et ôtant le terme commun, on aura tout de suite d1XfiX + d1-YfiY + dZfiZ dont on a besoin dans la solution de tous les problèmes de Dynamique qu'on voudra traiter suivant notre méthode. Justqu'ici la position de l'axe de rotation, autour duquel nous supposons que la Lune tourne en décrivant d'occident en orient l'angle α, est absolument arbitraire, et nous pourrons prendre telle ligne qu'il nous plaira pourvu qu'elle passe par le centre de gravité mais le calcul sera beaucoup simplifié si on suppose, qu'abstraction faite des forces étrangères, la rotation de la Lune doive être uniforme, et son axe une ligne fixe et invariable. Voyons donc les conditions qui résultent de ces suppositions; pour cela il n'y a qu'à faire T = 0, et S = 0 dans l'équation (A), ce qui la réduit à donnant le rapport des deux termes IV. à la fin / et y. Fin. P cof. P fin. Q = 0, {F). Telles sont les conditions nécessaires pour que la Lune puisse d'elle-même tourner uniformément autour d'un axe fixe; par conséquent si on suppose, comme les observations de la Libération paraissent le
de rotation, autour duquel nous supposons que la Lune tourne en décrivant d'occident en orient l'angle α, est absolument arbitraire, et nous pourrons prendre telle ligne qu'il nous plaira pourvu qu'elle passe par le centre de gravité mais le calcul sera beaucoup simplifié si on suppose, qu'abstraction faite des forces étrangères, la rotation de la Lune doive être uniforme, et son axe une ligne fixe et invariable. Voyons donc les conditions qui résultent de ces suppositions; pour cela il n'y a qu'à faire T = 0, et S = 0 dans l'équation (A), ce qui la réduit à donnant le rapport des deux termes IV. à la fin / et y. Fin. P cof. P fin. Q = 0, {F). Telles sont les conditions nécessaires pour que la Lune puisse d'elle-même tourner uniformément autour d'un axe fixe; par conséquent si on suppose, comme les observations de la Libération paraissent le démontrer, que ces conditions ayent lieu dans la rotation de la Lune, il faudra négliger dans la valeur de dlX fi X + tdY fi Y + dLZ fi Z (Art.VII.) tous les termes où se trouvent J/«. P cof. P cof. Q et fin. P cof P fin. Q; et pour avoir l'intégrale (dX fi X + dY fi Y + dxZ fi Z), il n'y aura plus qu'à mettre au lieu de Q1 sa valeur Q + a; ce qui donne cof 1 Q' = cof. 1 Q + cof 1 a; en supposant pour abréger, X. SCHOLIE I. On aurait tort de croire que les conditions fin. P cof P cof Q = 0, et T = 1/P cof. P fin. Q' = 0, rendent notre solution moins générale, car je vais démontrer que dans quel corps que ce soit, on peut toujours trouver trois axes qui passent par le centre de gravité, par rapport à chacun desquels ces deux équations ayent lieu en même temps. Pour cela imaginons pour un moment que la position de la Lune, que je considérerai ici comme un corps quelconque, soit fixe par rapport au plan de son écliptique; et cherchons
et pour avoir l'intégrale (dX fi X + dY fi Y + dxZ fi Z), il n'y aura plus qu'à mettre au lieu de Q1 sa valeur Q + a; ce qui donne cof 1 Q' = cof. 1 Q + cof 1 a; en supposant pour abréger, X. SCHOLIE I. On aurait tort de croire que les conditions fin. P cof P cof Q = 0, et T = 1/P cof. P fin. Q' = 0, rendent notre solution moins générale, car je vais démontrer que dans quel corps que ce soit, on peut toujours trouver trois axes qui passent par le centre de gravité, par rapport à chacun desquels ces deux équations ayent lieu en même temps. Pour cela imaginons pour un moment que la position de la Lune, que je considérerai ici comme un corps quelconque, soit fixe par rapport au plan de son écliptique; et cherchons la position du plan de l'équateur de manière que l'on ait cof. P fin. Q = 0; on aura d'abord en combinant les forces deux équations d'où on tirera les valeurs de 63 Sew. La première nous donne donc cherchant tang. Te, et ayant fin. x = y, on aura, après les réductions, une équation de cette forme ax + bx + f lfT + x' + gx + l/T + xï = 0; dans laquelle, délaguée des lignes radicales, devient celle-ci, laquelle ayant son dernier terme négatif, et ne renfermant aucune puissance impaire de x, aura nécessairement, comme on fait, au moins deux racines réelles, l'une positive et l'autre négative; donc puisque tang. Tc + y + r = 0, on aura au moins une valeur réelle de tang. e, et par conséquent de l'angle e, et cette valeur étant substituée dans l'expression de tang. Te ci-dessus, on aura l'angle Te correspondant. Ayant les angles e, et SC, on aura, comme on le voit, la position du plan cherché de l'Équateur, par rapport au plan donné de l'Écliptique. Si = 0, et £ = 0, alors tang. Tc = 0, et le plan cherché tomberait dans le plan donné,