jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
élevé d'une unité que les équations (K), et comme elle renferme la constante arbitraire a1 qui ne se trouve point dans les équations (K), on peut la regarder comme une intégrale complète de ces mêmes équations. On pourrait croire que l'équation (E) que nous avons trouvée dans l'art. 2 pourrait aussi, en y substituant les valeurs de u, u1 et u2, donner une nouvelle intégrale, mais il est facile de voir qu'il n'en résulterait qu'une équation identique, car l'équation dont il s'agit, se réduit d'abord à et mettant pour u, u1 et u2 leurs valeurs tirées des formules (J), on aura, en rejettant ce qui se détruit ce qui ne renferme aucune nouvelle condition, car les quantités Q, Q1, Q" sont déjà d'elles-mêmes telles que (art. 7). Aussi, si on combine l'équation Q4-Q14-Qn=2m1-4m2-4m3 avec les équations (N) et (P) après y avoir substitué les valeurs de u, u1 et u2, on pourra par le moyen de ces trois équations, déterminer les trois quantités Q, Q1 et Q2, lesquelles ne renfermeront par conséquent que les variables finies r, r1, r2 et leurs différentielles première dr, dr1, dr2 avec la quantité m, ainsi substituant ces valeurs dans les équations (K), on aura trois équations du second ordre entre les variables r, r1 et r2, dans lesquelles il n'y aura plus qu'à substituer la valeur de j. Donc, si à l'aide d'une de ces équations on élimine la quantité m des deux autres, on aura d'abord deux équations purement du second ordre entre les variables r, r1 et r2; ensuite si on différentie la valeur de j, et qu'on met, la valeur de m dans l'équation (H), on aura une troisième équation entre les mêmes variables, qui ne sera que du troisième ordre. De sorte que l'on aura, par ce moyen, pour la détermination des variables r, r1 et r2 deux équations différentielles du second ordre et une troisième et ces équations suffiront, comme on le verra dans un moment, pour la solution complète du Problème des trois Corps. Nous croyons cependant qu'il est encore plus simple et plus commode pour le calcul,
trois équations du second ordre entre les variables r, r1 et r2, dans lesquelles il n'y aura plus qu'à substituer la valeur de j. Donc, si à l'aide d'une de ces équations on élimine la quantité m des deux autres, on aura d'abord deux équations purement du second ordre entre les variables r, r1 et r2; ensuite si on différentie la valeur de j, et qu'on met, la valeur de m dans l'équation (H), on aura une troisième équation entre les mêmes variables, qui ne sera que du troisième ordre. De sorte que l'on aura, par ce moyen, pour la détermination des variables r, r1 et r2 deux équations différentielles du second ordre et une troisième et ces équations suffiront, comme on le verra dans un moment, pour la solution complète du Problème des trois Corps. Nous croyons cependant qu'il est encore plus simple et plus commode pour le calcul, de substituer dans les équations (K) les valeurs de Q, Q1 et Q2 tirées des équations (7), car quoique les équations résultantes puissent monter à des ordres plus élevés que le second, elles auront toujours ce grand avantage que les variables s'y trouveront peu mêlées entr'elles, et que l'analogie qui prévaut facilitera beaucoup leur résolution. Des dix équations de l'art. 8 il n'en reste donc plus que neuf, et des trois équations (D) ou (O) de l'art. 11 il n'en reste plus que deux, de sorte qu'on n'aura en tout que onze équations pour la détermination des six variables x, y, z et de leurs différentielles dx, dy, dz. d'où l'on voit qu'il est impossible de déterminer ces variables directement et par les seules opérations de l'algèbre ; mais on pourra en venir à bout au moyen d'une intégration, comme on va le voir. Je suppose que l'on veuille connaître les valeurs de x, ty, et y. On aura d'abord l'équation ensuite, multipliant les trois équations (O) de l'art. 11 respectivement par Ay, y, et les ajoutant ensemble, on aura ou bien en substituant les substitutions du même article enfin, multipliant les mêmes équations (O) respectivement par f, -y, -x,
prévaut facilitera beaucoup leur résolution. Des dix équations de l'art. 8 il n'en reste donc plus que neuf, et des trois équations (D) ou (O) de l'art. 11 il n'en reste plus que deux, de sorte qu'on n'aura en tout que onze équations pour la détermination des six variables x, y, z et de leurs différentielles dx, dy, dz. d'où l'on voit qu'il est impossible de déterminer ces variables directement et par les seules opérations de l'algèbre ; mais on pourra en venir à bout au moyen d'une intégration, comme on va le voir. Je suppose que l'on veuille connaître les valeurs de x, ty, et y. On aura d'abord l'équation ensuite, multipliant les trois équations (O) de l'art. 11 respectivement par Ay, y, et les ajoutant ensemble, on aura ou bien en substituant les substitutions du même article enfin, multipliant les mêmes équations (O) respectivement par f, -y, -x, et les ajoutant ensemble, on aura. Or il est aisé de voir que l'on a A(-^y^y^ = o, et que -A^y^y^ est la même quantité que nous avons désignée plus haut par J^ (art. 9), donc puisqu'on a déjà trouvé (art. 10) on aura, en faisant les substitutions du même art. 10, et par analogie. De sorte que l'équation ci-dessus deviendra. Ainsi on aura trois équations (Q), (R) et (S) à l'aide desquelles on pourra déterminer facilement les valeurs de x, ty, et y dès qu'on connaît celles de r, y1, et r". On peut trouver de semblables formules pour la détermination de x1, y1, et même sans faire un nouveau calcul, il suffira de changer dans les précédentes B, C en B, d'accentuer les lettres qui n'ont point d'accent, et d'effacer l'accent de celles qui en ont un, sans toucher à celles qui ont deux accents. Il faut seulement observer que la quantité dp ne change point de valeur, mais seulement de signe lorsqu'on change entre elles les masses A, B, C et les lettres accentuées, ce qui se voit clairement par l'équation (H) de l'art. 5. XIV. Supposons pour abréger, et l'on aura ces trois équations. Comme les
art. 10, et par analogie. De sorte que l'équation ci-dessus deviendra. Ainsi on aura trois équations (Q), (R) et (S) à l'aide desquelles on pourra déterminer facilement les valeurs de x, ty, et y dès qu'on connaît celles de r, y1, et r". On peut trouver de semblables formules pour la détermination de x1, y1, et même sans faire un nouveau calcul, il suffira de changer dans les précédentes B, C en B, d'accentuer les lettres qui n'ont point d'accent, et d'effacer l'accent de celles qui en ont un, sans toucher à celles qui ont deux accents. Il faut seulement observer que la quantité dp ne change point de valeur, mais seulement de signe lorsqu'on change entre elles les masses A, B, C et les lettres accentuées, ce qui se voit clairement par l'équation (H) de l'art. 5. XIV. Supposons pour abréger, et l'on aura ces trois équations. Comme les constantes a, b, c sont arbitraires (art. 2), et ne dépendent que de la position du plan de projection des orbites des corps B et C autour du corps A, il est facile de voir qu'on peut prendre ce plan de manière que l'on ait a=0 et c=0 ; car pour cela il suffira qu'on ait =0 et c=0 au commencement du mouvement, c'est-à-dire lorsque =0. En supposant donc = 0 et c=0, on aura a(ydx - xdy) = a Tef/ 5 donc t = -1, et à cause de A' 4a1 4? = 1, on aura A: 1 + .y* = r1 i donc, en faisant XV. Mais si on ne veut pas s'astreindre à la supposition de y = c = 0, ce qui oblige de prendre le plan de projection d'une manière déterminée : voici comment on pourra déterminer les quantités a, y, et z avec toute la généralité possible. Soit m y n y Xy (A. v étant des coefficients indéterminés, et X, Y deux nouvelles variables ; on aura donc faisant. On aura l'équation (art. 14.) Supposons maintenant que l'on ait / ( X2, 4K 1) 4-^Z* = A: 1 4-/14s*, substituant les valeurs de
pour cela il suffira qu'on ait =0 et c=0 au commencement du mouvement, c'est-à-dire lorsque =0. En supposant donc = 0 et c=0, on aura a(ydx - xdy) = a Tef/ 5 donc t = -1, et à cause de A' 4a1 4? = 1, on aura A: 1 + .y* = r1 i donc, en faisant XV. Mais si on ne veut pas s'astreindre à la supposition de y = c = 0, ce qui oblige de prendre le plan de projection d'une manière déterminée : voici comment on pourra déterminer les quantités a, y, et z avec toute la généralité possible. Soit m y n y Xy (A. v étant des coefficients indéterminés, et X, Y deux nouvelles variables ; on aura donc faisant. On aura l'équation (art. 14.) Supposons maintenant que l'on ait / ( X2, 4K 1) 4-^Z* = A: 1 4-/14s*, substituant les valeurs de X, Y, et Z en A:,y, et z, et comparant ensuite les termes qui contiennent les mêmes puissances de x, y, et zy on aura ces six équations. Lesquelles étant combinées avec les trois précédentes serviront à déterminer les neuf inconnues f, m, n, . Cela fait on aura donc, à cause de x1 4f" -H &gt; l'équation donce, Donc si on fait on aura. Ainsi on connaît les trois quantités Y, Y, et Z, à l'aide desquelles on pourra déterminer x, y, et z. Pour cela on prendra les trois équations et on les ajoutera ensemble après les avoir multipliées respectivement par //, /A, et gb, on aura sur le champ, en vertu des équations de l'art précédent, Maintenant, comme on a supposé A* = y1 4*. 7* = (X 2 + Y') 4z+ZS on aura, en substituant les valeurs de x, y, et z qu'on vient de trouver, et comparant les termes homogènes, et ces équations devront être identiques avec les six qu'on a trouvées ci-dessus (art. 15), et pourront par conséquent être employées à la place de celles-là pour la détermination des inconnues f, m, et c. Or, comme il faut satisfaire en même temps à ces
à cause de x1 4f" -H &gt; l'équation donce, Donc si on fait on aura. Ainsi on connaît les trois quantités Y, Y, et Z, à l'aide desquelles on pourra déterminer x, y, et z. Pour cela on prendra les trois équations et on les ajoutera ensemble après les avoir multipliées respectivement par //, /A, et gb, on aura sur le champ, en vertu des équations de l'art précédent, Maintenant, comme on a supposé A* = y1 4*. 7* = (X 2 + Y') 4z+ZS on aura, en substituant les valeurs de x, y, et z qu'on vient de trouver, et comparant les termes homogènes, et ces équations devront être identiques avec les six qu'on a trouvées ci-dessus (art. 15), et pourront par conséquent être employées à la place de celles-là pour la détermination des inconnues f, m, et c. Or, comme il faut satisfaire en même temps à ces trois autres équations w/x. = k a y v/ - l v - k b, l/jt, - m = kc (art. 5) je remarque que si on ajoute ensemble ces dernières équations après les avoir multipliées respectivement par /,*z, par A,^., y, on aura ces deux ci ; lesquelles s'accordent avec la cinquième et la sixième des précédentes ; ainsi on peut déjà réduire à une seule les trois équations dont il s'agit, et on y satisfera par la détermination de l'inconnue k. Or, si on ajoute ensemble les carrés de ces équations, on aura en vertu des six équations ci-dessus -7, de sorte qu'on aura. Donc il n'y aura plus qu'à satisfaire aux six équations trouvées plus haut, c'est ce qu'on pourra exécuter de plusieurs manières à cause qu'il y a plus d'indéterminées que d'équations. On aura d'abord ensuite, si on chante A des deux équations /A4-?/A4-W=0, et A/z4-ja,^4rv =0, on aura ( a m-b l)A-+( a n-cv)v=0, et chantant z, on aura de même (^/-fz;)A4+(^/-fv)v=0, dès quoi je conclus qu'on aura A=3 41, J'étant une inconnue qu'on déterminera par l'équation (A^4-y^1) = 1, laquelle donnera Se #/ 4&n — o par les équations ci-dessus, donc on aura Se
avec la cinquième et la sixième des précédentes ; ainsi on peut déjà réduire à une seule les trois équations dont il s'agit, et on y satisfera par la détermination de l'inconnue k. Or, si on ajoute ensemble les carrés de ces équations, on aura en vertu des six équations ci-dessus -7, de sorte qu'on aura. Donc il n'y aura plus qu'à satisfaire aux six équations trouvées plus haut, c'est ce qu'on pourra exécuter de plusieurs manières à cause qu'il y a plus d'indéterminées que d'équations. On aura d'abord ensuite, si on chante A des deux équations /A4-?/A4-W=0, et A/z4-ja,^4rv =0, on aura ( a m-b l)A-+( a n-cv)v=0, et chantant z, on aura de même (^/-fz;)A4+(^/-fv)v=0, dès quoi je conclus qu'on aura A=3 41, J'étant une inconnue qu'on déterminera par l'équation (A^4-y^1) = 1, laquelle donnera Se #/ 4&n — o par les équations ci-dessus, donc on aura Se il ne refilera fatisfaire à ces deux équations. Supposons pour plus de simplicité l'on aura <f^ =3 Vg = — , de sorte que ^=v/(d!14-^14-<1), et la seconde des deux équations précédentes deviendra la cos,4fin. cos, t-. cos, fén.-t)—o ; soit donc ls=zjïn.tt.jin.'n, Se l'on aura, en faisant pour plus de simplicité =i, Prix de l'Académie Tome IX. 1772. 4* ESSAI SUR LE PROBLÈME Se de là on trouvera les valeurs de A, p, v par les formules précédentes. On aura de cette manière Si on substitue ces valeurs dans les expressions de x, y, z de l'art. 16, il est facile de voir que les quantités Y et — ne sont autre chose que les coordonnées rectangles de la même courbe qui est représentée par les coordonnées x, y, z, mais rapportée à un autre plan de projection, dont la position dépend des angles α, β, γ. En effet, si on considère les deux plans des coordonnées xy et des coordonnées Xi Y, l'angle α sera celui de l'inclinaison de ces deux plans, l'angle β sera celui que la ligne d'interception de ces plans fait avec l'axe des absicisses x, et l'angle γ sera celui que l'axe des absicisses
de simplicité =i, Prix de l'Académie Tome IX. 1772. 4* ESSAI SUR LE PROBLÈME Se de là on trouvera les valeurs de A, p, v par les formules précédentes. On aura de cette manière Si on substitue ces valeurs dans les expressions de x, y, z de l'art. 16, il est facile de voir que les quantités Y et — ne sont autre chose que les coordonnées rectangles de la même courbe qui est représentée par les coordonnées x, y, z, mais rapportée à un autre plan de projection, dont la position dépend des angles α, β, γ. En effet, si on considère les deux plans des coordonnées xy et des coordonnées Xi Y, l'angle α sera celui de l'inclinaison de ces deux plans, l'angle β sera celui que la ligne d'interception de ces plans fait avec l'axe des absicisses x, et l'angle γ sera celui que l'axe des absicisses X comprend avec la même ligne d'interception. Or, comme l'expression des coordonnées X, Y, Z est plus simple que celle des coordonnées x,y,z, il est clair que le plan de projection auquel appartiennent les coordonnées X, Y, Z est plus propre que tout autre plan pour y rapporter les mouvements des trois Corps, ou plutôt le mouvement relatif de deux de ces Corps autour du troisième. On voit donc que la position du plan de projection n'est point de toute indifférente, et que parmi tous les plans possibles qu'on peut faire passer par le corps A, il y en a un qui doit être choisi de préférence, parce que les mouvements des corps B et C autour de A sont par rapport à ce plan les plus simples qu'il est possible. Cette remarque, qui me paraît de quelque importance dans le Problème des trois Corps, n'avait point encore été faite, parce que personne, que je sache, n'avait jusque là envisagé ce Problème d'une manière aussi générale que nous venons de le faire. XVIII. Nous prendrons donc, à la place des coordonnées x, y, z, celles-ci X, Y, Z pour représenter le mouvement du corps B autour de A, et comme
des trois Corps, ou plutôt le mouvement relatif de deux de ces Corps autour du troisième. On voit donc que la position du plan de projection n'est point de toute indifférente, et que parmi tous les plans possibles qu'on peut faire passer par le corps A, il y en a un qui doit être choisi de préférence, parce que les mouvements des corps B et C autour de A sont par rapport à ce plan les plus simples qu'il est possible. Cette remarque, qui me paraît de quelque importance dans le Problème des trois Corps, n'avait point encore été faite, parce que personne, que je sache, n'avait jusque là envisagé ce Problème d'une manière aussi générale que nous venons de le faire. XVIII. Nous prendrons donc, à la place des coordonnées x, y, z, celles-ci X, Y, Z pour représenter le mouvement du corps B autour de A, et comme il est clair, à l'art. 15, il est clair que φ sera l'angle décrit par le corps B autour de A dans le plan de projection, c'est-à-dire la longitude du corps B dans ce même plan, et que θ sera le sinus de la latitude. Ainsi on aura (art. 16) à cause Pour le corps B Rayon recteur de l'orbite .... r Longitude .... Sinus de la latitude : . Pour le corps C Rayon recteur de l'orbite .... r% Longitude .... Sinus de la latitude : . Les valeurs de T et de Z sont données par les formules de l'art. 14, et pour avoir celles de V et Zx, il n'y aura qu'à changer dans celles-là l'accent 0 en 1 en 0, et ensuite i? en C et Si en B. DES TROIS CORPS; 45 Quant à la quantité h, c'est une constante arbitraire qui dépend du mouvement initial des corps, mais il faudra la prendre telle qu'elle s'accorde avec l'équation (P) de l'art. 11 dans laquelle le second membre est de sorte qu'il n'y aura qu'à prendre pour h la racine carrée de la valeur du premier membre de cette équation lorsqu'on y fait /B= 0. XIX.
à cause Pour le corps B Rayon recteur de l'orbite .... r Longitude .... Sinus de la latitude : . Pour le corps C Rayon recteur de l'orbite .... r% Longitude .... Sinus de la latitude : . Les valeurs de T et de Z sont données par les formules de l'art. 14, et pour avoir celles de V et Zx, il n'y aura qu'à changer dans celles-là l'accent 0 en 1 en 0, et ensuite i? en C et Si en B. DES TROIS CORPS; 45 Quant à la quantité h, c'est une constante arbitraire qui dépend du mouvement initial des corps, mais il faudra la prendre telle qu'elle s'accorde avec l'équation (P) de l'art. 11 dans laquelle le second membre est de sorte qu'il n'y aura qu'à prendre pour h la racine carrée de la valeur du premier membre de cette équation lorsqu'on y fait /B= 0. XIX. Les formules, que nous venons de trouver, servent à déterminer les orbites des B et C autour du corps A par rapport à un plan fixe passant par ce même corps, mais il faut voir encore comment on peut déterminer par leur moyen, la position mutuelle de ces orbites. Pour cela, nous commencerons par remarquer que si on considère le triangle formé à chaque instant par les trois corps A, B, et C, dont les trois côtés sont r, r1 et r 11, et qu'on nomme α, β, γ, les trois angles opposés à ces côtés, on aura, comme on le sait, par la Géométrie élémentaire, 1+2+3. Or on a donc cos α = 2 cos β cos γ, C étant l'angle formé au centre du corps A par les rayons recteurs r, et r des deux autres corps B et C. Qu'on imagine maintenant deux plans par le corps A et par les deux points infiniment proches, dans lesquels s'était trouvé le corps B au commencement et à la fin du temps infiniment petit dt, et l'autre par le même corps A, et par les deux points infiniment proches, où le corps C était au commencement et à la
cela, nous commencerons par remarquer que si on considère le triangle formé à chaque instant par les trois corps A, B, et C, dont les trois côtés sont r, r1 et r 11, et qu'on nomme α, β, γ, les trois angles opposés à ces côtés, on aura, comme on le sait, par la Géométrie élémentaire, 1+2+3. Or on a donc cos α = 2 cos β cos γ, C étant l'angle formé au centre du corps A par les rayons recteurs r, et r des deux autres corps B et C. Qu'on imagine maintenant deux plans par le corps A et par les deux points infiniment proches, dans lesquels s'était trouvé le corps B au commencement et à la fin du temps infiniment petit dt, et l'autre par le même corps A, et par les deux points infiniment proches, où le corps C était au commencement et à la fin du même temps dt; ces deux plans seront ceux des orbites des corps B et C autour de A, et ils se couperont nécessairement dans une ligne droite passant par le corps A, laquelle sera donc la ligne des noeuds des deux orbites. Soit l'inclinaison de ces deux plans l'un à l'autre, et la distance du corps B à l'intersection des deux plans ou à la ligne des noeuds, c'est-à-dire l'angle compris entre le rayon RS et la ligne des noeuds, et la distance du corps C à la même ligne des noeuds, c'est à dire l'angle formé par le rayon RS et la ligne des noeuds; si on imagine une sphère décrite autour de A comme centre, et que par les points, où les deux rayons RS et la ligne des noeuds, traversent la surface de cette sphère, dont nous supposerons le rayon égal à 1, où mènent des arcs de grandes cercles, on aura un triangle sphérique, dont les trois côtés seront égaux, dont l'angle opposé au côté égal à l'angle, de sorte qu'on aura par les formules connues. Supposons maintenant que pendant le temps dt le corps B décrive autour de A l'angle infiniment petit dβ,
l'un à l'autre, et la distance du corps B à l'intersection des deux plans ou à la ligne des noeuds, c'est-à-dire l'angle compris entre le rayon RS et la ligne des noeuds, et la distance du corps C à la même ligne des noeuds, c'est à dire l'angle formé par le rayon RS et la ligne des noeuds; si on imagine une sphère décrite autour de A comme centre, et que par les points, où les deux rayons RS et la ligne des noeuds, traversent la surface de cette sphère, dont nous supposerons le rayon égal à 1, où mènent des arcs de grandes cercles, on aura un triangle sphérique, dont les trois côtés seront égaux, dont l'angle opposé au côté égal à l'angle, de sorte qu'on aura par les formules connues. Supposons maintenant que pendant le temps dt le corps B décrive autour de A l'angle infiniment petit dβ, que le corps C décrive l'angle dβ, il est clair que, tandis que les lignes x, y, z, r, croissent de leurs différentiels dx, dy, dz, dry l'angle α croîtra de dα, et l'angle β demeurera le même, parce qu'on suppose que la position des plans des orbites des corps B et C est la même au commencement et à la fin de l'intervalle; de même en faisant croître les lignes x, y, z, r, de leurs différentiels dx, dy, dz, dry, il n'y aura que l'angle α*, qui variera en croissant de dα. Or, comme l'équation précédente doit être identique et indépendante de la loi des mouvements des corps B et C, il est clair qu'on pourra y faire varier les quantités x, y, z, r, qui appartiennent au corps B indépendamment des quantités x, y, z, r, et Z, qui appartiennent au corps C, et vice versa, celles-ci indépendamment de celles-là, d'où il suit qu'en faisant varier d'abord x, y, z, r, ensuite x, y, z, r, et enfin les unes et les autres en même temps, on tirera de l'équation dont il s'agit, les trois suivantes. Donc si on fait dans toutes ces équations les substitutions de