jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
plus bas art. LVIII et suiv. X LVIII. Il ne reste plus maintenant qu'à chercher les valeurs des quantités Q, S, (art. XXXVI et XXXVIII). Pour cela, on remarquera que la quantité m qui représente la vitesse angulaire moyenne du Soleil autour de Jupiter (art. XXVII), est extrêmement petite par rapport aux quantités M., vitesses moyennes des satellites; d'où il suit qu'elle pourra être négligée vis-à-vis de ces dernières quantités; car on a généralement (art. cités), donc en négligeant les quantités m, on aura: À l'égard des quantités x, y, z, qui doivent être déterminées par les équations Z=o, S== o, (art. XXIX, XXXV et suiv.) il est inutile d'en chercher la valeur, puisqu'elles ne se trouvent point dans l'expression des coefficients de nos formules. Formules des rayons vecteurs, & des longitudes vraies des Satellites de Jupiter par rapport au plan de l'orbite de cette Planète. Dans les formules suivantes, j'ai remis au lieu de nX 4, les quantités |-, ^", Ç', ^1 (art. XXIX) et j'ai substitué pour x1, x2, x3, leurs valeurs en nombres; car puisque nK= (article TU cité), et que =1 (art. XLVI), et par conséquent aussi =/#%on aura nKx1=:~ , nKxx=~ a' p2 (S 1 ft" 2. Sec. Or #z étant la vitesse moyenne angulaire du Soleil autour de Jupiter, et pi les vitesses moyennes angulaires des Satellites, Outre cela, au lieu de ju.*,/* t^fî^fît, et *«/, qui représentent les valeurs moyennes des angles αT, (γn, , cp 1", quily et *, c'est-à-dire des longitudes moyennes des quatre satellites, et du Soleil vus de Jupiter, et rapportés au plan de son orbite, j'ai mis les lettres ptx, ttxx, »nl, »lv, et z. De même au lieu de Mxt, Cx1M1xt, x2xx, Mxxxt, 4»m, anomalies moyennes des Satellites, j'ai substitué pour plus de simplicité F 1, V 11, F 111, Fly. Enfin j'ai exprimé les rayons vecteurs en demi-diamètres de Jupiter, et les longitudes en minutes. De cette manière, j'ai trouvé: L. Rayon vecteur du premier Satellite. Rayon vecteur du second Satellite. Rayon vecteur du troisième Satellite. Rayon vecteur du quatrième Satellite. L. Longitude vraie du premier
ft" 2. Sec. Or #z étant la vitesse moyenne angulaire du Soleil autour de Jupiter, et pi les vitesses moyennes angulaires des Satellites, Outre cela, au lieu de ju.*,/* t^fî^fît, et *«/, qui représentent les valeurs moyennes des angles αT, (γn, , cp 1", quily et *, c'est-à-dire des longitudes moyennes des quatre satellites, et du Soleil vus de Jupiter, et rapportés au plan de son orbite, j'ai mis les lettres ptx, ttxx, »nl, »lv, et z. De même au lieu de Mxt, Cx1M1xt, x2xx, Mxxxt, 4»m, anomalies moyennes des Satellites, j'ai substitué pour plus de simplicité F 1, V 11, F 111, Fly. Enfin j'ai exprimé les rayons vecteurs en demi-diamètres de Jupiter, et les longitudes en minutes. De cette manière, j'ai trouvé: L. Rayon vecteur du premier Satellite. Rayon vecteur du second Satellite. Rayon vecteur du troisième Satellite. Rayon vecteur du quatrième Satellite. L. Longitude vraie du premier Satellite. Longitude vraie du second Satellite. Longitude vraie du troisième Satellite. Longitude vraie du quatrième Satellite. Prix de l'Académie, Tome IX. 60 RECHERCHES SUR LES INÉGALITÉS Longitude vraie du premier Satellite. Longitude vraie du second Satellite. Longitude vraie du troisième Satellite. Longitude vraie du quatrième Satellite. DES SATELLITES DE JUPITER: §• 40/i donne les inégalités des Satellites, qui dépendent de leurs configurations y et qui ont lieu au temps des éclipses. L III. Il est visible que les éclipses des Satellites, c'est-à-dire leurs conjonctions avec Jupiter, arrivent lors que leurs longitudes différent de 180° de la longitude du Soleil vu de Jupiter, de sorte qu'on aura généralement l'équation, = 180°, ou bien, en mettant pour chacune de leurs valeurs, leurs valeurs respectives, on a u - v = 180°, où nj exprime l'équation de Jupiter, ny l'équation, ou plutôt la somme des équations du Satellite, et u - v la distance, ou bien l'élongation moyenne du satellite, donc pour avoir la conjonction vraie, il n'y aura qu'à ajouter au temps de la conjonction moyenne la quantité nj - ny convertie en temps, à raison du mouvement moyen du satellite au Soleil, conversion qu'on fera aisément en multipliant la quantité proposée
§• 40/i donne les inégalités des Satellites, qui dépendent de leurs configurations y et qui ont lieu au temps des éclipses. L III. Il est visible que les éclipses des Satellites, c'est-à-dire leurs conjonctions avec Jupiter, arrivent lors que leurs longitudes différent de 180° de la longitude du Soleil vu de Jupiter, de sorte qu'on aura généralement l'équation, = 180°, ou bien, en mettant pour chacune de leurs valeurs, leurs valeurs respectives, on a u - v = 180°, où nj exprime l'équation de Jupiter, ny l'équation, ou plutôt la somme des équations du Satellite, et u - v la distance, ou bien l'élongation moyenne du satellite, donc pour avoir la conjonction vraie, il n'y aura qu'à ajouter au temps de la conjonction moyenne la quantité nj - ny convertie en temps, à raison du mouvement moyen du satellite au Soleil, conversion qu'on fera aisément en multipliant la quantité proposée par 11 79 pour le premier satellite, par 0,2369 pour le second, par 0,4771 pour le troisième et par 0,5699 pour le quatrième, et changeant ensuite les degrés en heures, les minutes en minutes de degrés, on a ces nombres se trouvent, en divisant les durées des révolutions synodiques des satellites, lesquelles sont de 41342,28", 41574,54", 7'-35P'36", 61506,85" 5' 7" par 3600, après avoir réduit le tout en secondes. Nous allons donc donner ici les équations des conjonctions des satellites, mais nous ferons abstraction de celles qui viennent de l'excentricité de Jupiter, et des excentricités particulières des satellites, parce que les une sont assez connues des Astronomes, et que les autres ne sont pas assez exactes pour qu'on puisse s'y fier. Equation du premier Satellite. Equation du second Satellite. Equation du troisième Satellite. Equation du quatrième Satellite. J'ai négligé dans ces formules les termes dus à l'action du Soleil, de la forme de sin(x(v - u)), parce que ces termes deviennent nuls au temps des conjonctions ou l'on a tt = t2 = 3180°. Comparaison formules précédentes avec les observations, et conséquences qui en résultent par rapport aux masses des Satellites. Nous nous contenterons ici de comparer nos formules avec
satellites, lesquelles sont de 41342,28", 41574,54", 7'-35P'36", 61506,85" 5' 7" par 3600, après avoir réduit le tout en secondes. Nous allons donc donner ici les équations des conjonctions des satellites, mais nous ferons abstraction de celles qui viennent de l'excentricité de Jupiter, et des excentricités particulières des satellites, parce que les une sont assez connues des Astronomes, et que les autres ne sont pas assez exactes pour qu'on puisse s'y fier. Equation du premier Satellite. Equation du second Satellite. Equation du troisième Satellite. Equation du quatrième Satellite. J'ai négligé dans ces formules les termes dus à l'action du Soleil, de la forme de sin(x(v - u)), parce que ces termes deviennent nuls au temps des conjonctions ou l'on a tt = t2 = 3180°. Comparaison formules précédentes avec les observations, et conséquences qui en résultent par rapport aux masses des Satellites. Nous nous contenterons ici de comparer nos formules avec les tables de M. Wargentin, qui sont, comme l'on sait, le résultat d'un grand nombre d'observations; mais avant d'entreprendre ce parallèle, il est bon d'avertir que les tables de ce grand Astronome sont dressées de manière qu'il n'y a aucune équation soustractive, quoique les équations qu'il a employées, soient de nature à être tantôt additives et tantôt soustractives; cela vient de ce que l'Auteur a retranché, par avance des époques, chacune des plus grandes équations soustractives, de sorte que les équations des tables se trouvent nulles dans le cas où elles auraient été les plus grandes à soustraire, et que leur plus grande valeur est double de ce qu'elle aurait dû être. En examinant les différents termes de la formule de l'article LIV, on voit qu'il y en a un dont le coefficient numérique est très-grand, et vis-à-vis duquel tous les autres termes ne sont presque d'aucune considération, c'est le terme - 14480072 (u2 - a1)2, d'où résulte une équation qui a pour argument 2 (u2 - u1), c'est-à-dire le double de la distance moyenne du second satellite au premier, au temps des conjonctions de celui-ci, et dont la plus grande valeur est de 144800; exprimant le rapport de la
nature à être tantôt additives et tantôt soustractives; cela vient de ce que l'Auteur a retranché, par avance des époques, chacune des plus grandes équations soustractives, de sorte que les équations des tables se trouvent nulles dans le cas où elles auraient été les plus grandes à soustraire, et que leur plus grande valeur est double de ce qu'elle aurait dû être. En examinant les différents termes de la formule de l'article LIV, on voit qu'il y en a un dont le coefficient numérique est très-grand, et vis-à-vis duquel tous les autres termes ne sont presque d'aucune considération, c'est le terme - 14480072 (u2 - a1)2, d'où résulte une équation qui a pour argument 2 (u2 - u1), c'est-à-dire le double de la distance moyenne du second satellite au premier, au temps des conjonctions de celui-ci, et dont la plus grande valeur est de 144800; exprimant le rapport de la masse du second satellite à celle de Jupiter, pour mieux connaître la nature de cette inégalité qui doit avoir lieu dans les conjonctions du premier satellite, il faut chercher sa période, laquelle dépend du rapport des révolutions synodiques des deux premiers satellites. Or suivant M. Wargentin, on a pour la durée de la révolution synodique du premier, 41328 35" 56"; et pour celle du second, 4157317' 53" 45"; de où l'on trouve, en additionnant successivement ces nombres, que 247 révolutions du premier font 437 33' 43" 31'", et que 123 révolutions du second font 437 33' 41" 11" 29"; ainsi pendant que le premier fait une révolution par rapport au Soleil, le second ne fait que 164 d'une pareille révolution; d'où il suit que la distance u2 - u1 du second satellite au premier augmente dans l'intervalle d'une conjonction à l'autre, de 36°, pour avoir une exactitude plus grande, on additionnera de nouveau les périodes du premier et du second satellite que nous venons de trouver, jusqu'à ce qu'ils fassent des sommes à-peu-près égales, et l'on trouvera que 4495 38 révolutions du premier sont 6379591,9" 13' 28" 26", et que 223860 révolutions du second sont 795619'-1 3" 32' 19" 40";
durée de la révolution synodique du premier, 41328 35" 56"; et pour celle du second, 4157317' 53" 45"; de où l'on trouve, en additionnant successivement ces nombres, que 247 révolutions du premier font 437 33' 43" 31'", et que 123 révolutions du second font 437 33' 41" 11" 29"; ainsi pendant que le premier fait une révolution par rapport au Soleil, le second ne fait que 164 d'une pareille révolution; d'où il suit que la distance u2 - u1 du second satellite au premier augmente dans l'intervalle d'une conjonction à l'autre, de 36°, pour avoir une exactitude plus grande, on additionnera de nouveau les périodes du premier et du second satellite que nous venons de trouver, jusqu'à ce qu'ils fassent des sommes à-peu-près égales, et l'on trouvera que 4495 38 révolutions du premier sont 6379591,9" 13' 28" 26", et que 223860 révolutions du second sont 795619'-1 3" 32' 19" 40"; c'est pourquoi on aura, au lieu de la fraction ~^-, celle-ci beaucoup plus exacte. Soit maintenant la distance du second satellite au premier au temps d'une conjonction de celui-ci, cette distance deviendra, après n révolutions, 4n(u2 - u1x) = nu - u1x, donc on aura (u2 - u1) = (nx - 1) 3 80°, et fin.(u2 - u1) = fin.(xt1 - n - 3 80°), donc pour que cette quantité devienne fin. 2, il faut que n = 247, 270; c'est le nombre des révolutions du premier satellite qui exprime la période de l'équation fin. 2(u2 - u1). Or 247 révolutions font à-très-peu-près 437 33,44", et 164 de révolutions font 1 28' 7", donc la période cherchée sera de 437 15 33' 12" 7". Voyons à présent quelle doit être la marche de cette équation pour cela, nous supposons \(z = 0\), c'est-à-dire, que les deux saturnales se trouvent à la fois en conjonction, et nous aurons, après un nombre quelconque de révolutions du premier saturnale, \(fin.(uxx - ux)=1 - fin.n\), ou bien en faisant, pour abréger, \(x=44\), on a au nombre des révolutions qui forment la période de l'équation, \(fin. x(uxx - u_1) = -fin. 360^\circ\). De là on
- 1) 3 80°, et fin.(u2 - u1) = fin.(xt1 - n - 3 80°), donc pour que cette quantité devienne fin. 2, il faut que n = 247, 270; c'est le nombre des révolutions du premier satellite qui exprime la période de l'équation fin. 2(u2 - u1). Or 247 révolutions font à-très-peu-près 437 33,44", et 164 de révolutions font 1 28' 7", donc la période cherchée sera de 437 15 33' 12" 7". Voyons à présent quelle doit être la marche de cette équation pour cela, nous supposons \(z = 0\), c'est-à-dire, que les deux saturnales se trouvent à la fois en conjonction, et nous aurons, après un nombre quelconque de révolutions du premier saturnale, \(fin.(uxx - ux)=1 - fin.n\), ou bien en faisant, pour abréger, \(x=44\), on a au nombre des révolutions qui forment la période de l'équation, \(fin. x(uxx - u_1) = -fin. 360^\circ\). De là on voit que l'équation \(2 (u - ux)\) sera nulle au commencement de la période, qu'ensuite elle deviendra soustractive, et qu'elle sera la plus grande à soustraire, lorsque \(x=^4\), c'est à dire, au quart de la période; après quoi elle redeviendra nulle à la moitié de la période, ensuite se changera en addictive croissante jusqu'aux trois quarts de la période, où elle sera la plus grande, et enfin décroîtra pendant le dernier quart, pour se retrouver nulle au commencement de la période suivante. Je dis maintenant que l'équation que nous venons d'examiner est la même que celle qui se trouve dans les tables du premier saturnale, désignée par la lettre C, et qui est la seule que les observations aient fait connaître jusque ici. En effet, la période de cette équation est, selon M. Wargentin de 437'19" à 41 environ, ce qui s'accorde admirablement bien avec ce que nous avons trouvé dans l'article LIX, car la différence de 4.28' qui s'y trouve, n'est d'aucune considération par rapport à un intervalle de 437". 2° Si on examine l'équation C on verra qu'en ôtant toujours 3' 30" (moitié de la plus grande valeur de cette équation, selon la remarque de l'article LVIII) et
en addictive croissante jusqu'aux trois quarts de la période, où elle sera la plus grande, et enfin décroîtra pendant le dernier quart, pour se retrouver nulle au commencement de la période suivante. Je dis maintenant que l'équation que nous venons d'examiner est la même que celle qui se trouve dans les tables du premier saturnale, désignée par la lettre C, et qui est la seule que les observations aient fait connaître jusque ici. En effet, la période de cette équation est, selon M. Wargentin de 437'19" à 41 environ, ce qui s'accorde admirablement bien avec ce que nous avons trouvé dans l'article LIX, car la différence de 4.28' qui s'y trouve, n'est d'aucune considération par rapport à un intervalle de 437". 2° Si on examine l'équation C on verra qu'en ôtant toujours 3' 30" (moitié de la plus grande valeur de cette équation, selon la remarque de l'article LVIII) et établissant le commencement de la période (qui est ici divisée en mille parties) au nombre 750, on verra, dis-je, que la marche de cette équation est la même que celle de l'équation \(2 (u - ux)\) (art. préc). De plus on trouvera, par les tables du premier et du second saturnale, que dans les conjonctions du premier saturnale, qui répondent exactement au nombre 750, l'élongation du second saturnale est nulle. Donc, secondement, Dès lors il suit que les nombres C des tables du premier saturnale ne sont autre chose que les distances, c'est-à-dire, les élongations du second saturnale au premier, au temps des conjonctions de celui-ci, le cercle étant supposé divisé en 1000 parties, de sorte que le nombre 750 corresponde aux conjonctions des deux saturnales et 250 à leurs oppositions; cette remarque fournit un moyen de rectifier les époques de ces nombres, si elles en avaient besoin, et les prolonger autant qu'on voudra, sans craindre de s'égarer. La plus grande valeur de l'équation C du premier saturnale est \(7'\), dont il ne faut prendre que la moitié (art. LVIII); donc, comparant cette valeur avec le coefficient de l'équation \(fin. x(uxx - ux)\), lequel est \(144800'\), on aura \(144800 \times
saturnale, que dans les conjonctions du premier saturnale, qui répondent exactement au nombre 750, l'élongation du second saturnale est nulle. Donc, secondement, Dès lors il suit que les nombres C des tables du premier saturnale ne sont autre chose que les distances, c'est-à-dire, les élongations du second saturnale au premier, au temps des conjonctions de celui-ci, le cercle étant supposé divisé en 1000 parties, de sorte que le nombre 750 corresponde aux conjonctions des deux saturnales et 250 à leurs oppositions; cette remarque fournit un moyen de rectifier les époques de ces nombres, si elles en avaient besoin, et les prolonger autant qu'on voudra, sans craindre de s'égarer. La plus grande valeur de l'équation C du premier saturnale est \(7'\), dont il ne faut prendre que la moitié (art. LVIII); donc, comparant cette valeur avec le coefficient de l'équation \(fin. x(uxx - ux)\), lequel est \(144800'\), on aura \(144800 \times 360^\circ\), d'où l'on tire \(^= 0,00002417 = 4^0^30\) à-peu-près, c'est le rapport de la masse du second saturnale à celle de Jupiter. Si on prend la masse de la Terre pour l'unité, on a \(^ = 363, 9\), ce qui donne \(u=0,008794 = -4^1^ à-peu-près\). Supposons que la densité de ce saturnale soit la même que celle de Jupiter, ou au moins qu'elle n'en diffère que très peu, ce qui est très naturel, on trouvera, en prenant le demi-diamètre de Jupiter pour l'unité, que celui du saturnale est \(0,0189\), c'est-à-dire, environ \(9\), ce qui donnerait pour le temps que le saturnale doit employer à entrer dans l'ombre de Jupiter \(5' 14"\), ce qui est à-peu-près le milieu entre les résultats des observations de M. Maraldi et de M. Whiston (Mém. Acad. 1734). Il serait tout à fait inutile d'examiner les autres termes de la formule de l'article LIV; car il est clair qu'il n'en pourrait résulter que des équations extrêmement petites, et par conséquent insensibles, à moins qu'on ne voudrait supposer les masses du troisième et du quatrième saturnale, énormément grandes par rapport à celle du second, ce qui ne paraît guères naturel d'ailleurs l'équation que nous avons examinée est
ce saturnale soit la même que celle de Jupiter, ou au moins qu'elle n'en diffère que très peu, ce qui est très naturel, on trouvera, en prenant le demi-diamètre de Jupiter pour l'unité, que celui du saturnale est \(0,0189\), c'est-à-dire, environ \(9\), ce qui donnerait pour le temps que le saturnale doit employer à entrer dans l'ombre de Jupiter \(5' 14"\), ce qui est à-peu-près le milieu entre les résultats des observations de M. Maraldi et de M. Whiston (Mém. Acad. 1734). Il serait tout à fait inutile d'examiner les autres termes de la formule de l'article LIV; car il est clair qu'il n'en pourrait résulter que des équations extrêmement petites, et par conséquent insensibles, à moins qu'on ne voudrait supposer les masses du troisième et du quatrième saturnale, énormément grandes par rapport à celle du second, ce qui ne paraît guères naturel d'ailleurs l'équation que nous avons examinée est la seule qu'on ait jusqu'ici déduite des observations. Passons donc à la formule de l'article LV, qui renferme les équations des conjonctions du second saturnale. Parmi tous les termes dont cette formule est composée, j'épingle d'abord deux qui sont beaucoup plus considérables que les autres par les coefficients numériques dont ils sont affectés, savoir: Dont l'un vient de l'action du premier saturnale, et l'autre de l'action du troisième. Ces deux termes produisent, comme l'on voit, deux équations dont les argument sont \(sel-uxx\) distance moyenne du premier saturnale au second, et \(x(ulxx-ux)\) double de la distance moyenne du troisième saturnale au second au temps des conjonctions de celui-ci. Je remarque maintenant que la durée de la révolution synodique du troisième saturnale est de \(73'59' 3 5" 5 5"' 23\), selon M. Wargentin; ce qui donne, pour 6 révolutions, \(437"\) \(3h3 5'\) \(3 1"\) \(18"\), et pour \(11102\) révolutions \(79\) \(561\) \(9'13h29'\) \(1"\) \(5 5"\) \(5\), or nous avons déjà trouvé que \(449\) \(538\) révolutions du premier sont \(79\) \(5\) \(6\) \(1\) \(9'\) \(13h28'\) \(8"\) \(26"\), et que \(223860\) révolutions du second font \(795\) \(619"\) \(13h32'\) \(19"\) \(40"\) (art. LIX, donc les mouvements des trois premiers satellites au Soleil sont entre eux
ils sont affectés, savoir: Dont l'un vient de l'action du premier saturnale, et l'autre de l'action du troisième. Ces deux termes produisent, comme l'on voit, deux équations dont les argument sont \(sel-uxx\) distance moyenne du premier saturnale au second, et \(x(ulxx-ux)\) double de la distance moyenne du troisième saturnale au second au temps des conjonctions de celui-ci. Je remarque maintenant que la durée de la révolution synodique du troisième saturnale est de \(73'59' 3 5" 5 5"' 23\), selon M. Wargentin; ce qui donne, pour 6 révolutions, \(437"\) \(3h3 5'\) \(3 1"\) \(18"\), et pour \(11102\) révolutions \(79\) \(561\) \(9'13h29'\) \(1"\) \(5 5"\) \(5\), or nous avons déjà trouvé que \(449\) \(538\) révolutions du premier sont \(79\) \(5\) \(6\) \(1\) \(9'\) \(13h28'\) \(8"\) \(26"\), et que \(223860\) révolutions du second font \(795\) \(619"\) \(13h32'\) \(19"\) \(40"\) (art. LIX, donc les mouvements des trois premiers satellites au Soleil sont entre eux comme les nombres 449538, 223860, 111021, et les différences entre les mouvements des deux premiers et les mouvements du troisième sont au mouvement du second comme les nombres 225678, 112839 au nombre 223860; donc pendant que le second achevé une révolution au Soleil, les angles augmentent de 225678, et diminuent de 112839; donc l'angle x(diminue) diminue à chaque révolution du second de la même quantité dont l'angle augmente, avoir de 1/2 36°5 donc la quantité constante est toujours la même dans les conjonctions du second satellite. Examinons donc une conjonction quelconque de ce satellite, et voyons quelles sont les élongations du premier & du troisième, c'est-à-dire, les valeurs de u1 - u, et de um - u; je prends pour exemple la première conjonction de l'année 1760, laquelle est marquée dans les tables à 23h,42' 50", à quoi ajoutant la moitié des plus grandes équations, avoir, 13h 5' 6", (art. LVIil) on a 23h 17' 16" pour le temps moyen de la conjonction moyenne du second satellite; je trouve de la même manière, que les premières conjonctions moyennes du premier et du troisième satellites ont dû arriver à 20h-48' 48", et à 3h 5h54' 56" de temps moyen; d'où je