jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
circular functions. To solve this overdetermined system of non-linear equations a functional F(Xs, Ys) is defined and then minimized with the help of a modified Newton-Raphson numerical method ([11], [12]). Some results are provided by using a numerical simulation. The numerical parameters of this simulation were chosen from the literature [13]. The experimental random errors are simulated with the help of a perturbation procedure. The robustness of the algorithm is clearly demonstrated on several cases illustrating some of the characteristic features of the problem. Table I deals with the influence of the source location on the accuracy of the optimization. These results show that the convergence performance decreases when the source is moved further away from the center of the array of sensors. Nevertheless, the accuracy of the algorithm is generally excellent, even with a weak number of sensors, as the coefficient of variation of the optimized coordinates is smaller than the amount of perturbation on the time of flight differences, at least inside of the array of sensors. The influence of the number of sensors is discussed in Table II. The analysis of some systematical errors on the stiffness constants is performed in Table III. It is shown that, on this particular example, these quantities have a slight influence on the precision of the location process. Extensions of the present work are proposed to include non-principal planes in the description. This is a more difficult problem as analytical expressions for the slowness curves are no longer available. Nevertheless, this problem can be numerically solved by using a Jacobi method [12] which provides the eigenvalues of the propagation tensor. On the other hand, generalizations of the method to the full 3-D problem are possible, although the convergence seems generally to be more problematic. The new functional is complicated by the appearance of supplementary terms. Difficulties in the convergence are due to non-uniqueness of the solutions for some configurations source/sensors. Further work along that direction will be initiated in the future. INTRODUCTION. — L'émission acoustique se rapporte à la génération d'ondes élastiques transitoires dues à une soudaine libération d'énergie de déformation
on this particular example, these quantities have a slight influence on the precision of the location process. Extensions of the present work are proposed to include non-principal planes in the description. This is a more difficult problem as analytical expressions for the slowness curves are no longer available. Nevertheless, this problem can be numerically solved by using a Jacobi method [12] which provides the eigenvalues of the propagation tensor. On the other hand, generalizations of the method to the full 3-D problem are possible, although the convergence seems generally to be more problematic. The new functional is complicated by the appearance of supplementary terms. Difficulties in the convergence are due to non-uniqueness of the solutions for some configurations source/sensors. Further work along that direction will be initiated in the future. INTRODUCTION. — L'émission acoustique se rapporte à la génération d'ondes élastiques transitoires dues à une soudaine libération d'énergie de déformation au sein d'un matériau. La localisation de sources d'émission acoustique va intéresser à la fois le sismologue, le mécanicien de la rupture, et le spécialiste en Science des matériaux. En ce qui concerne la localisation d'épicentres de tremblements de terre, la propagation des ondes sismiques de volume s'effectue dans un milieu, considéré localement isotrope, avec gradients et discontinuités des propriétés mécaniques. La solution de tels problèmes fait appel à des méthodes analytiques complexes très particulières [1]. En Science des matériaux, les applications concernent le contrôle nondestructif pour des matériaux subissant des sollicitations mécaniques non élastiques. Dans ce cas, l'émission acoustique est directement liée à des transformations irréversibles subies par le matériau, telles que des mouvements de dislocation, l'initiation et la propagation de microfissures, ou des transformations de phase. Notons en outre, que des sources d'émission acoustique peuvent être générées à l'aide d'une source thermique. C'est le cas, par exemple, de l'interaction thermoélastique induite par laser Nd : YAG [2], ou par radiation synchrotron [3], ou bien encore par brusque refroidissement d'un défaut à la surface d'un matériau [4]. Pour un matériau isotrope et homogène, la localisation d'une source d'émission acoustique se fait par simple triangulation [5], et peut être étendue
milieu, considéré localement isotrope, avec gradients et discontinuités des propriétés mécaniques. La solution de tels problèmes fait appel à des méthodes analytiques complexes très particulières [1]. En Science des matériaux, les applications concernent le contrôle nondestructif pour des matériaux subissant des sollicitations mécaniques non élastiques. Dans ce cas, l'émission acoustique est directement liée à des transformations irréversibles subies par le matériau, telles que des mouvements de dislocation, l'initiation et la propagation de microfissures, ou des transformations de phase. Notons en outre, que des sources d'émission acoustique peuvent être générées à l'aide d'une source thermique. C'est le cas, par exemple, de l'interaction thermoélastique induite par laser Nd : YAG [2], ou par radiation synchrotron [3], ou bien encore par brusque refroidissement d'un défaut à la surface d'un matériau [4]. Pour un matériau isotrope et homogène, la localisation d'une source d'émission acoustique se fait par simple triangulation [5], et peut être étendue à diverses géométries [6]. Pour des problèmes analogues, des analyses statistiques furent mises en œuvre pour prédire les erreurs dues à des incertitudes sur la position des senseurs récepteurs [7], à l'adjonction de bruit [8]. Aussi, l'influence de la dispersion fut étudiée [9]. Il est toutefois remarquable de constater que peu d'attention fut dévolue au problème de la localisation de sources d'émission acoustique dans des matériaux anisotropes. Pourtant des applications potentielles existent en contrôle nondestructif de matériaux composites par exemple. La difficulté de ce problème tient au fait que l'anisotropie vient compliquer l'analyse vu que les différences en temps de transit ne sont plus liées à des différences de longueurs géométriques comme c'est le cas en milieu isotrope, mais à des différences de chemins acoustiques faisant intervenir l'indice de réfraction acoustique qui est une fonction de l'orientation. MÉTHODE DE CALCUL. — La géométrie retenue, décrite sur la figure, consiste en un ensemble de n senseurs (n^3) distribués sur un cercle centré à l'origine du référentiel, et de rayon d. Chaque senseur est repéré par sa coordonnée angulaire θ(k = 1, . . ., n) avec l'axe principal 1 du matériau. La source S de coordonnées cartésiennes Xs, Ys se trouve
peu d'attention fut dévolue au problème de la localisation de sources d'émission acoustique dans des matériaux anisotropes. Pourtant des applications potentielles existent en contrôle nondestructif de matériaux composites par exemple. La difficulté de ce problème tient au fait que l'anisotropie vient compliquer l'analyse vu que les différences en temps de transit ne sont plus liées à des différences de longueurs géométriques comme c'est le cas en milieu isotrope, mais à des différences de chemins acoustiques faisant intervenir l'indice de réfraction acoustique qui est une fonction de l'orientation. MÉTHODE DE CALCUL. — La géométrie retenue, décrite sur la figure, consiste en un ensemble de n senseurs (n^3) distribués sur un cercle centré à l'origine du référentiel, et de rayon d. Chaque senseur est repéré par sa coordonnée angulaire θ(k = 1, . . ., n) avec l'axe principal 1 du matériau. La source S de coordonnées cartésiennes Xs, Ys se trouve sur la face opposée de la lame à faces parallèles considérée (Fig., b). Pour une paire de senseurs (k, m), l'écart des temps de transit sur les trajets acoustiques des ondes quasi longitudinales source/senseur k, source/senseur m est fourni par l'expression : avec : Il y a N = C^2 équations linéairement indépendantes du type (1). Cette équation est réarrangée, puis élevée successivement deux fois au carré pour aboutir au système d'équations quadratiques : La simulation numérique a été effectuée en C++, en utilisant un algorithme de Newton-Raphson modifié, pour lequel les coefficients A; (j=1, . . ., 6) du système sont des champs scalaires. À chaque itération, ces coefficients doivent être réévalués puisque reliés par l'intermédiaire des vitesses de propagation aux inconnues elles-mêmes. RÉSULTATS NUMÉRIQUES. — Pour éprouver l'algorithme brièvement décrit, ainsi que certaines de ces variantes, plusieurs résultats obtenus par simulation numérique sont présentés ici. Les paramètres numériques utilisés, masse volumique et constantes élastiques, furent choisis dans la littérature. Pour simuler les erreurs aléatoires sur les mesures de temps de parcours, nous avons utilisé une procédure numérique de perturbation mettant en œuvre une fonction de densité quasi gaussienne. Le tableau I regroupe des résultats caractéristiques en ce qui
équations linéairement indépendantes du type (1). Cette équation est réarrangée, puis élevée successivement deux fois au carré pour aboutir au système d'équations quadratiques : La simulation numérique a été effectuée en C++, en utilisant un algorithme de Newton-Raphson modifié, pour lequel les coefficients A; (j=1, . . ., 6) du système sont des champs scalaires. À chaque itération, ces coefficients doivent être réévalués puisque reliés par l'intermédiaire des vitesses de propagation aux inconnues elles-mêmes. RÉSULTATS NUMÉRIQUES. — Pour éprouver l'algorithme brièvement décrit, ainsi que certaines de ces variantes, plusieurs résultats obtenus par simulation numérique sont présentés ici. Les paramètres numériques utilisés, masse volumique et constantes élastiques, furent choisis dans la littérature. Pour simuler les erreurs aléatoires sur les mesures de temps de parcours, nous avons utilisé une procédure numérique de perturbation mettant en œuvre une fonction de densité quasi gaussienne. Le tableau I regroupe des résultats caractéristiques en ce qui concerne l'influence de la position de la source. Intuitivement, on conçoit aisément que la convergence soit meilleure lorsque la source est voisine des senseurs ce qui est clairement confirmé par la simulation. En effet, on observe une plus grande difficulté dans la convergence lorsque la source est éloignée des senseurs, ce qui est attesté par l'augmentation du nombre d'itérations. On peut aussi noter que la précision est excellente, même dans ce cas qui n'utilise que quatre senseurs, puisque les coefficients de variation pour les coordonnées de la source sont inférieurs à l'amplitude de la perturbation sur les temps de transit, en ce qui concerne tout du moins les résultats obtenus à l'intérieur du cercle des senseurs. Le tableau II présente quelques résultats illustrant l'influence du nombre de senseurs sur la précision de l'optimisation. L'amélioration est nette et paraît meilleure que la traditionnelle relation en racine carrée du nombre de senseurs. Le tableau III discute l'influence d'erreurs systématiques, cette fois, sur les constantes élastiques. Il est à noter que cette influence apparaît modeste, et le plus souvent négligeable. Toutefois, Cx et surtout C22 font généralement exception, et cela est directement relié aux valeurs plus importantes de ces deux constantes élastiques, qui
ce qui est attesté par l'augmentation du nombre d'itérations. On peut aussi noter que la précision est excellente, même dans ce cas qui n'utilise que quatre senseurs, puisque les coefficients de variation pour les coordonnées de la source sont inférieurs à l'amplitude de la perturbation sur les temps de transit, en ce qui concerne tout du moins les résultats obtenus à l'intérieur du cercle des senseurs. Le tableau II présente quelques résultats illustrant l'influence du nombre de senseurs sur la précision de l'optimisation. L'amélioration est nette et paraît meilleure que la traditionnelle relation en racine carrée du nombre de senseurs. Le tableau III discute l'influence d'erreurs systématiques, cette fois, sur les constantes élastiques. Il est à noter que cette influence apparaît modeste, et le plus souvent négligeable. Toutefois, Cx et surtout C22 font généralement exception, et cela est directement relié aux valeurs plus importantes de ces deux constantes élastiques, qui ont de façon évidente le plus de poids pour le calcul des vitesses de propagation. DISCUSSION ET CONCLUSION. — L'algorithme présenté résout de façon efficace le problème de localisation d'une source ponctuelle d'émission acoustique dans un solide anisotrope. Par permutations circulaires sur les constantes élastiques, la méthode se généralise aisément aux deux autres plans principaux de la symétrie orthorhombique, ainsi qu'à d'autres systèmes de symétrie. L'extension à des plans non principaux ne présente pas de difficulté insurmontable tant que numériquement les valeurs propres du tenseur de propagation peuvent être calculées. Cette procédure numérique supplémentaire est réalisée par une méthode de Jacobi. Par ailleurs, le problème à trois dimensions peut être traité par une méthode numérique analogue. Certaines différences majeures existent. Par exemple, la nouvelle fonctionnelle compliquée par l'apparition de termes de degré huit possède des singularités pour certaines dispositions relatives des senseurs par rapport à la source. De plus, la convergence des données simulées en présence de bruit est généralement difficile. Pourtant, des améliorations sont possibles. L'ensemble de ces développements seront traités dans de futurs articles. PARAMÈTRES DE LA SIMULATION NUMÉRIQUE. Distance : Rayon du cercle sur lequel sont disposés les senseurs (d = 10,00 cm). Rayon : Rayon vecteur
aux deux autres plans principaux de la symétrie orthorhombique, ainsi qu'à d'autres systèmes de symétrie. L'extension à des plans non principaux ne présente pas de difficulté insurmontable tant que numériquement les valeurs propres du tenseur de propagation peuvent être calculées. Cette procédure numérique supplémentaire est réalisée par une méthode de Jacobi. Par ailleurs, le problème à trois dimensions peut être traité par une méthode numérique analogue. Certaines différences majeures existent. Par exemple, la nouvelle fonctionnelle compliquée par l'apparition de termes de degré huit possède des singularités pour certaines dispositions relatives des senseurs par rapport à la source. De plus, la convergence des données simulées en présence de bruit est généralement difficile. Pourtant, des améliorations sont possibles. L'ensemble de ces développements seront traités dans de futurs articles. PARAMÈTRES DE LA SIMULATION NUMÉRIQUE. Distance : Rayon du cercle sur lequel sont disposés les senseurs (d = 10,00 cm). Rayon : Rayon vecteur de la position, en coordonnées polaires, de la source (R = variable pour le tableau I, = 5,00 cm pour les tableaux II et III). Alpha : Angle avec la direction principale 1, en coordonnées polaires, de la source (oc = 45°). Épaisseur : Épaisseur de la lame à faces parallèles (e = 1.00 cm). Nombre : Nombre de senseurs (n = 4 pour le tableau I, variable pour le tableau II, = 5 pour le tableau III). Pert : Étendue de la perturbation apportée sur les différences en temps de transit (pert = 2% pour les tableaux I et II, 0% pour le tableau III). Rho : Masse volumique du matériau (p = 2,108 g/cm3). Cu : Constante élastique du matériau (Ct = 26,3 GPa). C22 : Constante élastique du matériau (C22 = 65,5 GPa). C12 : Constante élastique du matériau (C12 = 9,58 GPa). C66 : Constante élastique du matériau (C66 = 10,5 GPa). Note reçue le 27 juin 1988, acceptée le 26 août 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] K. AKI et P. G. RICHARDS, Quantitative Seismology, vol. 1, W. H. Freeman and Co., San Francisco, 1980, p. 383-477. [2] C. B. SCRUBY, R. J. DEWHURST, D. A. HUTCHINS
parallèles (e = 1.00 cm). Nombre : Nombre de senseurs (n = 4 pour le tableau I, variable pour le tableau II, = 5 pour le tableau III). Pert : Étendue de la perturbation apportée sur les différences en temps de transit (pert = 2% pour les tableaux I et II, 0% pour le tableau III). Rho : Masse volumique du matériau (p = 2,108 g/cm3). Cu : Constante élastique du matériau (Ct = 26,3 GPa). C22 : Constante élastique du matériau (C22 = 65,5 GPa). C12 : Constante élastique du matériau (C12 = 9,58 GPa). C66 : Constante élastique du matériau (C66 = 10,5 GPa). Note reçue le 27 juin 1988, acceptée le 26 août 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] K. AKI et P. G. RICHARDS, Quantitative Seismology, vol. 1, W. H. Freeman and Co., San Francisco, 1980, p. 383-477. [2] C. B. SCRUBY, R. J. DEWHURST, D. A. HUTCHINS et S. B. PALMER, Laser generation of ultrasound in metals, dans Research Techniques in Nondestructive Testing, vol. 5, R. S. SHARPE éd., Académie Press, New York, 1982, p. 281-327. [3] B. CASTAGNEDE et W. SACHSE, C.R. Acad. Sci. Paris (à paraître). [4] K. Y. KIM et W. SACHSE, Int. J. Fract., 31, 1986, p. 211-231. [5] A. TOBIAS, Nondestructive Testing Int., 10, 1976, p. 9-12. [6] M. ASTY, Nondestructive Testing Int., 12, 1978, p. 223-226. [7] G. C. CARTER, J. Acoust. Soc. Am., 65, (2), 1979, p. 528-531. [8] C. S. CLAY, M. J. HINICH et P. SHAMAN, J. Acoust. Soc. Am., 53, (4) 1973, p. 1161-1166. [9] C. S. CLAY et M. J. HINICH, J. Acoust. Soc. Am., 47, (2), 1970, p. 435-440. [10] B. A. AULD, Acoustic Fields and Waves in Solids, Vol. 1, Wiley and Sons, New York 1973. [11] B. HOSTEN et B. CASTAGNEDE, C.R. Acad. Sci. Paris, 296, série II, 1983, p. 297-300. [12] P. G. CIALLET, Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation, Masson, Paris, 1982, p. 167-207. [13] B. CASTAGNEDE, Mesures des constantes élastiques de solides anisotropes par une méthode ultrasonore, Thèse de spécialité, Univ. de Bordeaux-I, #2001, 1984. Department of Theoretical
Fract., 31, 1986, p. 211-231. [5] A. TOBIAS, Nondestructive Testing Int., 10, 1976, p. 9-12. [6] M. ASTY, Nondestructive Testing Int., 12, 1978, p. 223-226. [7] G. C. CARTER, J. Acoust. Soc. Am., 65, (2), 1979, p. 528-531. [8] C. S. CLAY, M. J. HINICH et P. SHAMAN, J. Acoust. Soc. Am., 53, (4) 1973, p. 1161-1166. [9] C. S. CLAY et M. J. HINICH, J. Acoust. Soc. Am., 47, (2), 1970, p. 435-440. [10] B. A. AULD, Acoustic Fields and Waves in Solids, Vol. 1, Wiley and Sons, New York 1973. [11] B. HOSTEN et B. CASTAGNEDE, C.R. Acad. Sci. Paris, 296, série II, 1983, p. 297-300. [12] P. G. CIALLET, Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation, Masson, Paris, 1982, p. 167-207. [13] B. CASTAGNEDE, Mesures des constantes élastiques de solides anisotropes par une méthode ultrasonore, Thèse de spécialité, Univ. de Bordeaux-I, #2001, 1984. Department of Theoretical and Applied Mechanics, Thurston Hall, Cornell University, Ithaca, New York 14853 U.S.A. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1479-1486, 1988 1479 Mécanique des fluides/Mechanics of Fluids Transformée en ondelettes pour détecter et analyser les structures cohérentes dans les écoulements turbulents bidimensionnels Marie FARGE et Gabriel RABEAU Résumé — La transformée en ondelettes réalise une décomposition à la fois en espace et en échelle, ce qui permet de détecter et d'analyser les structures cohérentes émergeant au sein des écoulements turbulents. Nous effectuons l'analyse spectrale en ondelettes d'une coupe uni-dimensionnelle obtenue à partir d'un champ de vorticité bidimensionnel, ceci à deux instants différents de son évolution. Nous montrons ainsi que, dans les écoulements bidimensionnels non forcés, les plus petites échelles se trouvent concentrées dans les noyaux des tourbillons, et non à leur périphérie comme on le pensait auparavant. Wavelet transform to detect and analyze coherent structures in two-dimensional turbulent flows Abstract — The wavelet transform, by performing a space-scale decomposition, can detect and analyze the coherent structures emerging out of turbulent flows. We perform the wavelet spectral analysis of a one-dimensional cut obtained from a two-dimensional vorticity field, considering two different instants of its evolution. We thus show
Résumé — La transformée en ondelettes réalise une décomposition à la fois en espace et en échelle, ce qui permet de détecter et d'analyser les structures cohérentes émergeant au sein des écoulements turbulents. Nous effectuons l'analyse spectrale en ondelettes d'une coupe uni-dimensionnelle obtenue à partir d'un champ de vorticité bidimensionnel, ceci à deux instants différents de son évolution. Nous montrons ainsi que, dans les écoulements bidimensionnels non forcés, les plus petites échelles se trouvent concentrées dans les noyaux des tourbillons, et non à leur périphérie comme on le pensait auparavant. Wavelet transform to detect and analyze coherent structures in two-dimensional turbulent flows Abstract — The wavelet transform, by performing a space-scale decomposition, can detect and analyze the coherent structures emerging out of turbulent flows. We perform the wavelet spectral analysis of a one-dimensional cut obtained from a two-dimensional vorticity field, considering two different instants of its evolution. We thus show that, in two-dimensional decaying flows, the smallest scales are concentrated inside the vortex cores, and not on their periphery as it was thought before. Abridged English Version — 1. COHERENT STRUCTURES IN TURBULENT FLOWS. — Coherent structures have been recognized as essential features of turbulent flows ([1], [2], [3]). Their presence results from the nonlinear dynamics of these flows, from which they emerge by a phase locking process and then last on time scales much longer than the eddy turnover time. After the early stage, where the flow is being condensed into coherent vortices, the nonlinear transfers are no more uniformly active in all space but are concentrated in the shear layers formed at their periphery. The flow can then be separated into these coherent vortices, which are dynamically active through their mutual interactions, and a background flow, passively advected by them. Fourier analysis is not adapted to separate those structures from the rest of the flow, because it loses the information concerning the coherence present in physical space. We are looking for a space-scale decomposition able to detect and analyze the coherent structures present in two-dimensional flows. This is why we will consider here the wavelet transform, recently developed