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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1051-1053, 1988 1051 Physique théorique/Theoretical Physics Sur l'entropie des surfaces aléatoires François DAVID Résumé — Nous prouvons, et généralisons à des surfaces de genre quelconque, une conjecture de Knizhnik, Polyakov et Zamolodchikov donnant la valeur de l'exposant y de la susceptibilité d'une surface aléatoire en fonction de la dimension d de l'espace de plongement. On the entropy of Random surfaces Abstract — We prove, and generalize to the case of surfaces with arbitrary genus, a conjecture by Knizhnik, Polyakov and Zamolodchikov for the value of the susceptibility exponent y of a random surface as a function of the dimensionality d of embedding space. Abridged English Version — Recently Knizhnik, Polyakov and Zamolodchikov proposed a formula (2) for the susceptibility exponent Y of a planar random surface, related to the number of configurations N(A) as a function of the area A by (1). We prove this formula by extending it to surfaces with arbitrary genus g. Starting from the partition function of the Polyakov string (3) and using the conformal gauge (4) one obtains the Liouville action (6), which depends on a background metric g®b and on the renormalized surface tension Kr. The coupling constant X. and the field renormalization A in (6) are fixed by the absence of Weyl anomaly and given by (8) and (9). Taking for the background metric a constant curvature metric, the classical solution of the Liouville field equation is given by (10) and shifting the Liouville field <5 allows to extract immediately the Kr dependence of the partition function (11) and from (7) the value of the exponent y as a function of the dimension of space d and of the Euler characteristic x of the surface is given by (13). For a planar surface (x = 2) one recovers (2). (13) agrees with exact results of random lattice models with arbitrary genus for d=0 and -2 [11], and with the semi-classical estimates from the Liouville theory ([6], [7]). Récemment Knizhnik, Polyakov et Zamolodchikov ont proposé une formule donnant la valeur de l'exposant y associé
Kr. The coupling constant X. and the field renormalization A in (6) are fixed by the absence of Weyl anomaly and given by (8) and (9). Taking for the background metric a constant curvature metric, the classical solution of the Liouville field equation is given by (10) and shifting the Liouville field <5 allows to extract immediately the Kr dependence of the partition function (11) and from (7) the value of the exponent y as a function of the dimension of space d and of the Euler characteristic x of the surface is given by (13). For a planar surface (x = 2) one recovers (2). (13) agrees with exact results of random lattice models with arbitrary genus for d=0 and -2 [11], and with the semi-classical estimates from the Liouville theory ([6], [7]). Récemment Knizhnik, Polyakov et Zamolodchikov ont proposé une formule donnant la valeur de l'exposant y associé au nombre de configurations N(A) d'une surface aléatoire planaire (ayant la topologie de la sphère S2) d'aire A plongée dans un espace de dimension d. Cette formule est [1] Dans cette Note nous prouvons cette formule en la généralisant au cas de surfaces de genre g quelconque. Partant de la fonction de partition d'une surface bosonique [2] Note présentée par Roger BALIAN. 0249-6305/88/03071051 $2.00 © Académie des Sciences C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 71 1052 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1051-1053, 1988 en fixant la jauge conforme où {SL} est un ensemble de métriques conformément inéquivalentes sur la surface qui paramètre l'espace des modules, et en intégrant sur XM on obtient la fonction de partition ([2], [3]) où SL est l'action de Liouville Kr = K - K0. Lorsque Kr = 0 l'aire de la surface diverge et d'après (1) Classiquement X = 26 - d et A = 1 ([2], [3]). Si on tient compte des fluctuations du champ de Liouville <5>, ils sont renormalisés. Leur valeur est fixée par la condition de consistence suivante : la physique décrite par (6) doit être invariante sous des transformations de Weyl de
fonction de partition d'une surface bosonique [2] Note présentée par Roger BALIAN. 0249-6305/88/03071051 $2.00 © Académie des Sciences C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 71 1052 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1051-1053, 1988 en fixant la jauge conforme où {SL} est un ensemble de métriques conformément inéquivalentes sur la surface qui paramètre l'espace des modules, et en intégrant sur XM on obtient la fonction de partition ([2], [3]) où SL est l'action de Liouville Kr = K - K0. Lorsque Kr = 0 l'aire de la surface diverge et d'après (1) Classiquement X = 26 - d et A = 1 ([2], [3]). Si on tient compte des fluctuations du champ de Liouville <5>, ils sont renormalisés. Leur valeur est fixée par la condition de consistence suivante : la physique décrite par (6) doit être invariante sous des transformations de Weyl de la métrique de référence g®b. On obtient ([4], [5]) Si la surface est compacte et sans bord on peut choisir pour les g®b des métriques de courbure constante R°(x,) = R°. L'extrême de l'action (6) est et changant <5> -> <5>0 + O, Z s'écrit où x est la caractéristique d'Euler Pour une surface planaire (x = 2) cette formule coïncide avec celle proposée dans [1]. Dans la limite de couplage faible (d--> - oo) elle redonne les résultats de ([6], [7]). Enfin elle redonne également les valeurs de y qui peuvent être obtenues dans les modèles de réseaux aléatoires pour les valeurs particulières de la dimension d=0 et d=-2 pour g=0 ([8]-[10]) et pour g>0 [11]. L'intégration sur les paramètres modulaires ne devrait pas changer ce résultat. En effet, seul le bord de l'espace des modules peut conduire à C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1051-1053, 1988 1053 des singularités supplémentaires. Elles sont donc associées à des surfaces de genre plus petit, donc à des valeurs plus petites de y et à des singularités sous-dominantes de Z. Note reçue le 16 juin 1988, acceptée le 6 juillet 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] G. KNIZHNIK, A. M.
d'Euler Pour une surface planaire (x = 2) cette formule coïncide avec celle proposée dans [1]. Dans la limite de couplage faible (d--> - oo) elle redonne les résultats de ([6], [7]). Enfin elle redonne également les valeurs de y qui peuvent être obtenues dans les modèles de réseaux aléatoires pour les valeurs particulières de la dimension d=0 et d=-2 pour g=0 ([8]-[10]) et pour g>0 [11]. L'intégration sur les paramètres modulaires ne devrait pas changer ce résultat. En effet, seul le bord de l'espace des modules peut conduire à C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1051-1053, 1988 1053 des singularités supplémentaires. Elles sont donc associées à des surfaces de genre plus petit, donc à des valeurs plus petites de y et à des singularités sous-dominantes de Z. Note reçue le 16 juin 1988, acceptée le 6 juillet 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] G. KNIZHNIK, A. M. POLYAKOV et A. B. ZAMOLODCHIKOV, Fractal Structure of 2-d Quantum Gravity, prépublication Institut Landau, mai 1988. [2] A. M. POLYAKOV, Phys. Lett., 103B, 1981, p. 207. [3] O. ALVAREZ, Nucl. Phys., B216, 1983, p. 125. [4] J. L. GERVAIS et A. NEVEU, Nucl. Phys., B238, 1984, p. 125-141 et 396-406. [5] F. DAVID et E. GUITTER, Europhys. Lett., 3, 1987, p. 1169 et Nucl. Phys., B293, 1988, p. 332. [6] A. B. ZAMOLODCHIKOV, Phys. Lett., 117B, 1982, p. 87. [7] I. K. KOSTOV et A. KRZYWICKI, Phys. Lett., 187B, 1987, p. 149. [8] V. A. KAZAKOV, I. K. KOSTOV et A. A. MIGDAL, Phys. Lett., 157B, 1985, p. 295. [9] J. AMBJORN, B. DURHUUS et J. FROHLICH, Nucl. Phys., B257, 1985, p. 433. [10] F. DAVID, Nucl. Phys., B257, 1985, p. 543. [11] I. K. KOSTOV et M. L. MEHTA, Phys. Lett., 189B, 1987, p. 118. Laboratoire de l'Institut de Recherche fondamentale du C.E.A. et Physique théorique C.N.R.S., Service de Physique théorique de Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette Cedex. Nous montrons de plus, que même en croissance lente, la forme du cristal diffère notablement de la forme d'équilibre et établissons la taille des facettes en fonction du potentiel thermodynamique moyen agissant sur
[5] F. DAVID et E. GUITTER, Europhys. Lett., 3, 1987, p. 1169 et Nucl. Phys., B293, 1988, p. 332. [6] A. B. ZAMOLODCHIKOV, Phys. Lett., 117B, 1982, p. 87. [7] I. K. KOSTOV et A. KRZYWICKI, Phys. Lett., 187B, 1987, p. 149. [8] V. A. KAZAKOV, I. K. KOSTOV et A. A. MIGDAL, Phys. Lett., 157B, 1985, p. 295. [9] J. AMBJORN, B. DURHUUS et J. FROHLICH, Nucl. Phys., B257, 1985, p. 433. [10] F. DAVID, Nucl. Phys., B257, 1985, p. 543. [11] I. K. KOSTOV et M. L. MEHTA, Phys. Lett., 189B, 1987, p. 118. Laboratoire de l'Institut de Recherche fondamentale du C.E.A. et Physique théorique C.N.R.S., Service de Physique théorique de Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette Cedex. Nous montrons de plus, que même en croissance lente, la forme du cristal diffère notablement de la forme d'équilibre et établissons la taille des facettes en fonction du potentiel thermodynamique moyen agissant sur celles-ci. Faceted crystals in equilibrium and in slow growth: a theory Abstract — We explicit here the Wulff construction in 3 dimensions which gives the geometry of a facetted crystal in thermodynamical equilibrium, without any obvious symmetry. Moreover, we show that, even in case of slow growth conditions, the shape of the crystal differs significantly from the one at equilibrium and we establish the facet size in term of the averaged chemical potential acting on it. Dans cette Note, nous expliquons ce qui détermine la forme des facettes d'un cristal à l'équilibre; nous étendons ensuite nos résultats au cas d'un cristal en croissance lente, donc en quasi-équilibre, ceci constituant une extension au cas tridimensionnel (la situation réelle la plus courante) de résultats précédemment obtenus pour le cas bidimensionnel, et qui seront rappelés plus loin. Comme on le sait [1], la forme d'équilibre d'un cristal provient de la minimisation de son énergie de surface, à volume imposé. Cette minimisation conduit à une construction géométrique, dite construction de Wulff. Soit n le vecteur unité courant normal à la surface du cristal (que l'on supposera d'équilibre pour l'instant) et y(n) l'énergie superficielle par unité d'aire pour cette orientation de la surface. Soit Z(n)
of the crystal differs significantly from the one at equilibrium and we establish the facet size in term of the averaged chemical potential acting on it. Dans cette Note, nous expliquons ce qui détermine la forme des facettes d'un cristal à l'équilibre; nous étendons ensuite nos résultats au cas d'un cristal en croissance lente, donc en quasi-équilibre, ceci constituant une extension au cas tridimensionnel (la situation réelle la plus courante) de résultats précédemment obtenus pour le cas bidimensionnel, et qui seront rappelés plus loin. Comme on le sait [1], la forme d'équilibre d'un cristal provient de la minimisation de son énergie de surface, à volume imposé. Cette minimisation conduit à une construction géométrique, dite construction de Wulff. Soit n le vecteur unité courant normal à la surface du cristal (que l'on supposera d'équilibre pour l'instant) et y(n) l'énergie superficielle par unité d'aire pour cette orientation de la surface. Soit Z(n) la surface d'équation polaire p = y(n). À l'équilibre, la surface du cristal est l'enveloppe convexe de la surface obtenue à partir de Z par la construction de Wulff : on mène en chaque point de Z le plan normal au rayon vecteur issu de l'origine et le cristal est limité par l'enveloppe convexe de la famille à 2 paramètres de plans ainsi définie. Le cristal sera facetté si Z a des points coniques rentrants, en effet cette construction conduit alors à des facettes planes dont la normale est suivant la direction no joignant le point conique au centre de Z. Naturellement toute cette construction définit la forme du cristal à une dilatation près, dont le rapport sera donné plus loin, ce qui définit le volume physique du cristal. Nous allons maintenant nous intéresser à la courbe plane qui limite une facette et montrer comment elle se déduit du voisinage du point conique de Z. Bien que le lien entre les 2 propriétés soit relativement simple, nous ne l'avons trouvé nulle part dans la littérature, d'où la présente Note. Soit donc no le vecteur unité suivant l'axe Oz et z0 = y(n0). La surface Z ayant un point conique en
limité par l'enveloppe convexe de la famille à 2 paramètres de plans ainsi définie. Le cristal sera facetté si Z a des points coniques rentrants, en effet cette construction conduit alors à des facettes planes dont la normale est suivant la direction no joignant le point conique au centre de Z. Naturellement toute cette construction définit la forme du cristal à une dilatation près, dont le rapport sera donné plus loin, ce qui définit le volume physique du cristal. Nous allons maintenant nous intéresser à la courbe plane qui limite une facette et montrer comment elle se déduit du voisinage du point conique de Z. Bien que le lien entre les 2 propriétés soit relativement simple, nous ne l'avons trouvé nulle part dans la littérature, d'où la présente Note. Soit donc no le vecteur unité suivant l'axe Oz et z0 = y(n0). La surface Z ayant un point conique en C(0, 0, z0), on peut la décrire localement en coordonnées cartésiennes paramétriques réelles (t, s) par les équations : z=z0(1 + t), x = tX(s), y = tY(s), où t est petit et positif, X (. ) et Y (. ) sont deux fonctions continues de période 2 n (par exemple). La courbe plane T d'équation paramétrique x=X(s), y = Y(s) est, à une dilatation arbitraire (et grande) près, la section de la surface Z près du point conique par un plan parallèle au plan de la facette. On supposera donc T homéomorphe à un cercle. La facette se trouve dans le plan horizontal de cote z0 et elle est bordée par l'enveloppe des plans normaux en M au vecteur courant OM=(x(t, s), y(t, s), z(t)) dans la limite t→0+. Soit P(x, y, z) le point courant de ce plan, plan dont l'équation cartésienne peut s'écrire OM.MP = 0, soit : Cette famille de plans indexés par s et t coupe le plan z = z0, c'est-à-dire le plan de la facette, suivant la famille de droites d'équation : La courbe cherchée, c'est-à-dire le bord de la facette est l'enveloppe, dans le plan de cette facette, de la famille de
exemple). La courbe plane T d'équation paramétrique x=X(s), y = Y(s) est, à une dilatation arbitraire (et grande) près, la section de la surface Z près du point conique par un plan parallèle au plan de la facette. On supposera donc T homéomorphe à un cercle. La facette se trouve dans le plan horizontal de cote z0 et elle est bordée par l'enveloppe des plans normaux en M au vecteur courant OM=(x(t, s), y(t, s), z(t)) dans la limite t→0+. Soit P(x, y, z) le point courant de ce plan, plan dont l'équation cartésienne peut s'écrire OM.MP = 0, soit : Cette famille de plans indexés par s et t coupe le plan z = z0, c'est-à-dire le plan de la facette, suivant la famille de droites d'équation : La courbe cherchée, c'est-à-dire le bord de la facette est l'enveloppe, dans le plan de cette facette, de la famille de droites limite de la famille précédente lorsque t tend vers zéro par valeurs positives. C'est donc la famille de droites A à un paramètre d'équation générale : Cette dernière équation a une interprétation géométrique et une interprétation physique assez simples. En effet soit Hx(X(s), Y (s)) le point courant de la courbe T. Suivant l'équation (2), A est perpendiculaire à CH1 au point H tel que CH. CT = z0. Autrement dit, la courbe cherchée, V est l'enveloppe « de Wulff » des normales au rayon vecteur de la courbe T", obtenue à partir de T par inversion de centre C et de rapport z0. L'interprétation physique de ce résultat pourrait être que cette nouvelle construction est comme la construction de Wulff habituelle, sauf que l'on ne considère plus l'énergie de surface en fonction de l'orientation mais plutôt l'énergie par unité de longueur d'une marche (« step » dans la terminologie de Burton et coll. [2]) ayant une certaine orientation moyenne sur la facette. Cette interprétation provient de ce que la structure locale du point conique de Z dépend justement de cette énergie de marche comme fonction de son orientation. Ces remarques conduisent à une détermination du bord de la
la courbe T. Suivant l'équation (2), A est perpendiculaire à CH1 au point H tel que CH. CT = z0. Autrement dit, la courbe cherchée, V est l'enveloppe « de Wulff » des normales au rayon vecteur de la courbe T", obtenue à partir de T par inversion de centre C et de rapport z0. L'interprétation physique de ce résultat pourrait être que cette nouvelle construction est comme la construction de Wulff habituelle, sauf que l'on ne considère plus l'énergie de surface en fonction de l'orientation mais plutôt l'énergie par unité de longueur d'une marche (« step » dans la terminologie de Burton et coll. [2]) ayant une certaine orientation moyenne sur la facette. Cette interprétation provient de ce que la structure locale du point conique de Z dépend justement de cette énergie de marche comme fonction de son orientation. Ces remarques conduisent à une détermination du bord de la facette complètement différente de celle considérée par Herring [3]. En effet celui-ci considère le cas où la facette est limitée par une courbe le long de laquelle le plan tangent est discontinu, alors que nous avons supposé, jusqu'ici implicitement que Z satisfait partout la condition d'Herring [4] qui assure que toutes les orientations possibles sont représentées par les normales à la surface du cristal, donc que son plan tangent est continu. En fonction de ce qui a été dit plus haut, on pourrait spéculer quant à l'existence d'une transition rugueuse du bord de facette, transition qui correspondrait à l'apparition d'une énergie libre de décrochement (kink) sur une marche, comme la transition rugueuse habituelle correspond à l'apparition (ou la disparition) de l'énergie libre de marche. En fait, l’absence bien connue de transition de phase à température non nulle dans les systèmes unidimensionnels à interaction à courte portée semble exclure la possibilité d’avoir à température finie un « facettage » de la courbe limitant une facette plane : cette transition correspondrait à l’existence de parties rectilignes sur cette courbe. Ceci entraîne aussi le fait que les fluctuations thermiques délocalisent le bord de la facette, sans doute comme la ligne de contact entre
toutes les orientations possibles sont représentées par les normales à la surface du cristal, donc que son plan tangent est continu. En fonction de ce qui a été dit plus haut, on pourrait spéculer quant à l'existence d'une transition rugueuse du bord de facette, transition qui correspondrait à l'apparition d'une énergie libre de décrochement (kink) sur une marche, comme la transition rugueuse habituelle correspond à l'apparition (ou la disparition) de l'énergie libre de marche. En fait, l’absence bien connue de transition de phase à température non nulle dans les systèmes unidimensionnels à interaction à courte portée semble exclure la possibilité d’avoir à température finie un « facettage » de la courbe limitant une facette plane : cette transition correspondrait à l’existence de parties rectilignes sur cette courbe. Ceci entraîne aussi le fait que les fluctuations thermiques délocalisent le bord de la facette, sans doute comme la ligne de contact entre un liquide et un solide dans le cas du mouillage parfait. Ici le rôle du rayon du ménisque de la théorie de la référence [5] serait joué par une dimension caractéristique de la facette. Peut-être ces fluctuations quasi statiques (ou évoluant probablement sur des échelles de temps très longues, sauf peut-être pour l’Hélium solide) seraient-elles détectables par une méthode optique analogue à celle évoquée dans la référence [5] ? Pour terminer cette partie consacrée au cas d’équilibre, indiquons comment déterminer zo. Si c’est le volume du cristal qui est imposé, cette quantité est un multiplicateur de Lagrange. Par contre, dans le cas de croissance limitée par diffusion on doit relier ce zo C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1055-1059, 1988 1057 aux paramètres thermodynamiques. La thermodynamique montre que zo est égal à Q0/(u—Ho), où Q0 est le volume moléculaire dans le solide, u le potentiel chimique par molécule — soit une grandeur qui a la même valeur dans les 2 phases en présence — alors que u0 est la valeur qu’aurait ce potentiel si le cristal avait une taille infinie. Ce potentiel chimique pratique dépend de la température et de la concentration en impuretés, dans les
peut-être pour l’Hélium solide) seraient-elles détectables par une méthode optique analogue à celle évoquée dans la référence [5] ? Pour terminer cette partie consacrée au cas d’équilibre, indiquons comment déterminer zo. Si c’est le volume du cristal qui est imposé, cette quantité est un multiplicateur de Lagrange. Par contre, dans le cas de croissance limitée par diffusion on doit relier ce zo C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1055-1059, 1988 1057 aux paramètres thermodynamiques. La thermodynamique montre que zo est égal à Q0/(u—Ho), où Q0 est le volume moléculaire dans le solide, u le potentiel chimique par molécule — soit une grandeur qui a la même valeur dans les 2 phases en présence — alors que u0 est la valeur qu’aurait ce potentiel si le cristal avait une taille infinie. Ce potentiel chimique pratique dépend de la température et de la concentration en impuretés, dans les 2 cas sa dynamique est donc régie par une équation de diffusion. Cette Note, comme on l'a déjà exposé, était motivée par le désir d'étendre au cas tridimensionnel les résultats de [6] qui montraient comment déterminer la longueur d’une facette dans une situation de quasi équilibre, mais avec des conditions thermodynamiques non uniformes dans l’espace. On avait montré que cette longueur dépendait du potentiel chimique moyen sur cette facette. Le problème équivalent ici est celui de la détermination de la forme du bord extérieur d’une facette placée dans un champ thermodynamique non uniforme. Naturellement, comme on l’a déjà vu, celle-ci suit d’une façon élémentaire de la construction de Wulff lorsque l’on est exactement à l’équilibre. Par contre pour une situation même très proche de l’équilibre, la détermination de la forme des facettes devient une question tout à fait non triviale. Imaginons donc un cristal en quasi équilibre dans un champ de température imposé et cherchons à trouver sa forme. On sait bien que cette détermination est une des étapes qui permet de trouver l'équation intégrale de Nash et Glicksman [7] qui définit la forme des cristaux croissants, en l’absence de facettage. Le problème que nous nous posons avait déjà été