jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
être proportionnelle à K1_Df/ où K~' est la longueur d'écran, et Df la dimension fractale de l'objet. Nous comparons les informations sur Df déduites de la mobilité avec celles qui peuvent être obtenues par d'autres méthodes : mesures de capacitance, ou adsorption négative des co-ions. Pour des polyélectrolytes branchés statistiquement (selon un certain protocole bien défini) nous sommes conduits à proposer Df = 2 en solution diluée. Electrophoretic mobility of a fractal object Abstract — We discuss the mobility u of dilute, charged, fractal objects: e.g. colloidal aggregates, or polyélectrolytes (linear or branched). The electrical boundary conditions play an essential rôle: (a) if the Ç potential of the aggregate coincides with the Ç potential of an isolated grain, u is not strongly modified by aggregation; (b) if the charge Qt per grain (or per monomer) is maintained during aggregation, we expect u~K1~Df, where K_I is the Debye screening length and Df the fractal dimension of the aggregate. We compare the information on Df deduced in this case, to some other informations which can be obtained through experiments involving fractal double layers: (i) capacitance; (ii) negative adsorption of co-ions. For statistically branched polyélectrolytes (within a certain synthetic pathway) we are led to predict Df = 2 in dilute solution. I. INTRODUCTION. — Un grain chargé, en suspension dans l'eau, soumis à un champ électrique E, prend une vitesse V = u E avec où Ç est le potentiel de surface, s la constante diélectrique, et r la viscosité de l'eau [1]. L'équation (1) est strictement valable pour KA<1 (Où K1 est le rayon d'écran, et a le rayon du grain). Mais passer à KA>1 ne change que le coefficient numérique. Il en est de même si on change la forme, passant par exemple d'une sphère à un bâtonnet. Mais que se passe-t-il si l'on va vers des formes plus ramifiées ? En particulier, si par un processus de floculation, nous formons des agrégats fractals [2] de grains, comment se comparera la mobilité de l'agrégat à celle du grain individuel ? Dans le régime d'accrétion par diffusion [3] on attend une dimension
to predict Df = 2 in dilute solution. I. INTRODUCTION. — Un grain chargé, en suspension dans l'eau, soumis à un champ électrique E, prend une vitesse V = u E avec où Ç est le potentiel de surface, s la constante diélectrique, et r la viscosité de l'eau [1]. L'équation (1) est strictement valable pour KA<1 (Où K1 est le rayon d'écran, et a le rayon du grain). Mais passer à KA>1 ne change que le coefficient numérique. Il en est de même si on change la forme, passant par exemple d'une sphère à un bâtonnet. Mais que se passe-t-il si l'on va vers des formes plus ramifiées ? En particulier, si par un processus de floculation, nous formons des agrégats fractals [2] de grains, comment se comparera la mobilité de l'agrégat à celle du grain individuel ? Dans le régime d'accrétion par diffusion [3] on attend une dimension fractale Df=2,5. Dans le régime d'agrégation amas [4], Df=1,75. Si KA>1, l'agrégation ne change rien aux écoulements et la formule (1) reste qualitativement inchangée. Dans la présente Note, nous étudions la mobilité u lorsque a<KA<1<R, où R désigne la taille totale de l'amas. II. RÔLE DES CONDITIONS ÉLECTRIQUES. — Lorsqu'on forme un agrégat avec des grains de rayon b, on doit savoir si l'on travaille à potentiel (Qt constant sur les grains, ou bien à charge constante (ou encore avec des conditions mixtes plus compliquées). 1. Si le potentiel de surface Qt reste constant, on peut toujours utiliser (à un coefficient près) l'équation (1) u = (Cte) er ~1Ç Un exemple purement fictif, mais pédagogique, est Note présentée par Pierre-Gilles de GENNES. 0249-6305/88/03071497 $ 2.00 © Académie des Sciences L'action du champ E sur les contre-ions développe un champ de vitesses vz (xy) qui satisfait à où p(xy) est la charge locale des contre-ions, et |/ le potentiel électrostatique. Les conditions aux limites à la surface de l'objet sont uz = V et |/ = Ç. À l'infini dans le plan xy, vz = 0 et |/=0. D'où une relation de Smoluchowski [1] Si Ç est indépendant de la force
forme un agrégat avec des grains de rayon b, on doit savoir si l'on travaille à potentiel (Qt constant sur les grains, ou bien à charge constante (ou encore avec des conditions mixtes plus compliquées). 1. Si le potentiel de surface Qt reste constant, on peut toujours utiliser (à un coefficient près) l'équation (1) u = (Cte) er ~1Ç Un exemple purement fictif, mais pédagogique, est Note présentée par Pierre-Gilles de GENNES. 0249-6305/88/03071497 $ 2.00 © Académie des Sciences L'action du champ E sur les contre-ions développe un champ de vitesses vz (xy) qui satisfait à où p(xy) est la charge locale des contre-ions, et |/ le potentiel électrostatique. Les conditions aux limites à la surface de l'objet sont uz = V et |/ = Ç. À l'infini dans le plan xy, vz = 0 et |/=0. D'où une relation de Smoluchowski [1] Si Ç est indépendant de la force ionique (de K *), U est donc constant, et insensible à la dimensionalité fractale Df. Le cas opposé serait celui où la charge en chaque point du fractal reste fixe: ceci s'applique peut-être si la surface des grains est couverte de groupes fortement ionisés (sulfonate,...). Ici encore les écoulements de cisaillement induits prennent place sur une épaisseur K" 1, et la dissipation est Dans cette formule, E est la surface du fractal mesurée à l'échelle K l. Si R est la taille macroscopique de l'objet, on a La dissipation égale la puissance électrique QEV, où Q est la charge totale du fractal (Q! étant la charge du grain élémentaire, ou du monomère). On en tire Donc, dans ce cas, la mobilité dépend de la force ionique et est sensible à Df. Il est d'ailleurs intéressant de noter que les équations (3) et (7) sont compatibles : la capacité C de la surface est et le potentiel en surface est III. DISCUSSION. — 1. Trois expériences parallèles. — Il existe plusieurs expériences qui sont sensibles au caractère fractal d'une double couche : (à) si les grains sont conducteurs, et si les amas sont empilés (sans interpénétration excessive) pour former une électrode
cisaillement induits prennent place sur une épaisseur K" 1, et la dissipation est Dans cette formule, E est la surface du fractal mesurée à l'échelle K l. Si R est la taille macroscopique de l'objet, on a La dissipation égale la puissance électrique QEV, où Q est la charge totale du fractal (Q! étant la charge du grain élémentaire, ou du monomère). On en tire Donc, dans ce cas, la mobilité dépend de la force ionique et est sensible à Df. Il est d'ailleurs intéressant de noter que les équations (3) et (7) sont compatibles : la capacité C de la surface est et le potentiel en surface est III. DISCUSSION. — 1. Trois expériences parallèles. — Il existe plusieurs expériences qui sont sensibles au caractère fractal d'une double couche : (à) si les grains sont conducteurs, et si les amas sont empilés (sans interpénétration excessive) pour former une électrode macroscopique, on peut déterminer la capacitance C (par amas). Elle est donnée par l'équation (8) et fournit une détermination directe de la surface mesurée à l'échelle K1 : S. (a) l'adsorption négative des co-ions ([5], [6]) détermine un volume exclu par amas (c) la mobilité électrophorétique u ne nous fournit une information intéressante que dans le cas où c'est la charge Qx par grain qui est fixée. Elle est régie alors par l'équation (7) et est sensible à la dimensionalité fractale Df. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1497-1500, 1988 1499 Les méthodes (a, b, c) sont à rapprocher d'autres déterminations (sans double couche) de Df par des méthodes physicochimiques avec une longueur d'échelle variable : adsorption ou dépletion [8] de polymères flexibles; adsorption d'un mélange binaire critique [9]; condensation capillaire [10]. Mais beaucoup de ces méthodes sont compliquées par des effets d'écart à l'équilibre : les méthodes électriques discutées ici paraissent meilleures de ce point de vue. 2. Extension aux polyélectrolytes. — (a) une chaîne linéaire, portant des groupes fortement ionisés, est localement rigide, avec une longueur de persistance [11] /pSK~2a_ 1 ( où a est la taille du monomère). Nous sommes ici dans un
une information intéressante que dans le cas où c'est la charge Qx par grain qui est fixée. Elle est régie alors par l'équation (7) et est sensible à la dimensionalité fractale Df. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1497-1500, 1988 1499 Les méthodes (a, b, c) sont à rapprocher d'autres déterminations (sans double couche) de Df par des méthodes physicochimiques avec une longueur d'échelle variable : adsorption ou dépletion [8] de polymères flexibles; adsorption d'un mélange binaire critique [9]; condensation capillaire [10]. Mais beaucoup de ces méthodes sont compliquées par des effets d'écart à l'équilibre : les méthodes électriques discutées ici paraissent meilleures de ce point de vue. 2. Extension aux polyélectrolytes. — (a) une chaîne linéaire, portant des groupes fortement ionisés, est localement rigide, avec une longueur de persistance [11] /pSK~2a_ 1 ( où a est la taille du monomère). Nous sommes ici dans un cas où K/P> 1 et le caractère fractal à grande échelle (r> lp) n'intervient pas sur la mobilité u, qui n'est pas donnée par l'équation (7) mais par (b) considérons maintenant un polymère branché statistique, engendré juste en dessous d'une transition sol-gel. Supposons que la synthèse est faite en milieu concentré, et en force ionique élevée (pour éliminer les effets des charges sur la statistique du branchement). On attend alors des molécules de dimensionalité fractale Df= 2,5 conforme au modèle de percolation ([12], [13]). Ensuite on dilue (pour amener à des molécules bien séparées). Chaque polymère gonfle, et Df tombe à 2 [14]. Si par la suite, on fait apparaître les effets coulombiens (par élimination du sel, ou par changement de pH,...), on pourrait naïvement croire que Df passe en dessous de 2. Mais nous pensons que Df reste égal à 2. En effet, une molécule branchée de N monomères est en gros formée de chaînes linéaires de N1/ 2 monomères — d'où un rayon idéal R0~N1/4a ([15], [16]). La propriété Df=2 en l'absence d'effets de charges exprime que ces chaînes linéaires sont déjà fortement étirées. Si on fait ensuite apparaître les charges, on peut augmenter l'étirement par un coefficient
concentré, et en force ionique élevée (pour éliminer les effets des charges sur la statistique du branchement). On attend alors des molécules de dimensionalité fractale Df= 2,5 conforme au modèle de percolation ([12], [13]). Ensuite on dilue (pour amener à des molécules bien séparées). Chaque polymère gonfle, et Df tombe à 2 [14]. Si par la suite, on fait apparaître les effets coulombiens (par élimination du sel, ou par changement de pH,...), on pourrait naïvement croire que Df passe en dessous de 2. Mais nous pensons que Df reste égal à 2. En effet, une molécule branchée de N monomères est en gros formée de chaînes linéaires de N1/ 2 monomères — d'où un rayon idéal R0~N1/4a ([15], [16]). La propriété Df=2 en l'absence d'effets de charges exprime que ces chaînes linéaires sont déjà fortement étirées. Si on fait ensuite apparaître les charges, on peut augmenter l'étirement par un coefficient numérique, mais pas changer la loi d'échelle. Avec Df = 2, l'équation (7) prévoit Noter la différence considérable entre les chaînes linéaires (U~K°) et les chaînes branchées (U-K"1). Note reçue le 12 septembre 1988, acceptée le 16 septembre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] M. SCHMOLUCHOWSKI, Handbuch der Elektrizität und des Magnetismus, L. Graetz éd., Leipzig, 1921. [2] B. MANDELBROT, The fractal geometry of nature, Freeman, San Francisco, 1982. [3] T. WITTEN et L. SANDER, Phys. Rev. Letters, 47, 1981, p. 1400. [4] M. KOLB, R. BOTET et R. JULLIEN, Phys. Rev. Letters, 51, 1983, p. 1123. [5] R. K. SCHOFIELD et H. R. SAMSON, Discuss. Faraday Soc, 18, p. 1954, p. 135. [6] H. J. VAN DER HUL et J. LYKLEMA, J. Colloid Interface Sci., 23, p. 500-000; J. Amer. Chem. Soc, 90, 1968, p. 3010. [7] P. G. de GENNES, C. R. Acad. Sci. Paris, 299, série II, p. 913-915. [8] F. BROCHARD et M. MARTIN, Journal de Chimie Physique (Paris) (à paraître) [9] F. BROCHARD, J. Physique (Paris), 46, 1985, p. 2117. [10] P.-G. de GENNES, Physics of disordered materials, D. ADLER, H. FRITZSCHE et S. R. OVSHINSKY éd., Plenum publishing corporation, 1985; F. BROCHARD, C. R. Acad. Sci.
L. Graetz éd., Leipzig, 1921. [2] B. MANDELBROT, The fractal geometry of nature, Freeman, San Francisco, 1982. [3] T. WITTEN et L. SANDER, Phys. Rev. Letters, 47, 1981, p. 1400. [4] M. KOLB, R. BOTET et R. JULLIEN, Phys. Rev. Letters, 51, 1983, p. 1123. [5] R. K. SCHOFIELD et H. R. SAMSON, Discuss. Faraday Soc, 18, p. 1954, p. 135. [6] H. J. VAN DER HUL et J. LYKLEMA, J. Colloid Interface Sci., 23, p. 500-000; J. Amer. Chem. Soc, 90, 1968, p. 3010. [7] P. G. de GENNES, C. R. Acad. Sci. Paris, 299, série II, p. 913-915. [8] F. BROCHARD et M. MARTIN, Journal de Chimie Physique (Paris) (à paraître) [9] F. BROCHARD, J. Physique (Paris), 46, 1985, p. 2117. [10] P.-G. de GENNES, Physics of disordered materials, D. ADLER, H. FRITZSCHE et S. R. OVSHINSKY éd., Plenum publishing corporation, 1985; F. BROCHARD, C. R. Acad. Sci. Paris, 304, série II, 1987, p. 785-787. [11] T. ODIJK, J. Polymer Sci. (Phys.), 15, 1977, p. 477-500. [12] D. STAUFFER, Introduction to percolation theory, Taylor et Francis, 1985. [13] D. STAUFFER, A. CONIGLIO et M. ADAM, Adv. Polymer Sci., 44, 1982, p. 105-158. 1500 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1497-1500, 1988 [14] E. BOUCHAUD, M. DELSANTI, M. ADAM, M. DAOUD et D. DURAND, J. Physique, 47, 1986, p. 1273-1277. [15] B. ZIMM et W. STOCKMAYER, J. Chem. Phys., 17, 1949, p. 301-320. [16] P.-G. de GENNES, Biopolymers, 6, 1968, p. 715-723. F. B.-W. : Laboratoire « Structure et Réactivité des Interfaces », Université Paris-VI, 75005 Paris Cedex, P.-G. de G. Laboratoire de Physique de la Matière considérée, Collège de France, 11, place Marcellin-Berthelot, 75231 Paris Cedex 05. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1501-1504, 1988 1501 Électromagnétisme/Magnétisme Sur l'étude numérique de réseaux de diffraction constitués de matériaux anisotropes Gérard TAYEB Résumé — Une précédente Note [1] a été consacrée à l'analyse théorique du problème de la diffraction par un réseau tracé sur support anisotrope. On a ramené le problème à la résolution d'un système d'équations intégrales. Nous présentons ici quelques
t. 307, Série II, p. 1497-1500, 1988 [14] E. BOUCHAUD, M. DELSANTI, M. ADAM, M. DAOUD et D. DURAND, J. Physique, 47, 1986, p. 1273-1277. [15] B. ZIMM et W. STOCKMAYER, J. Chem. Phys., 17, 1949, p. 301-320. [16] P.-G. de GENNES, Biopolymers, 6, 1968, p. 715-723. F. B.-W. : Laboratoire « Structure et Réactivité des Interfaces », Université Paris-VI, 75005 Paris Cedex, P.-G. de G. Laboratoire de Physique de la Matière considérée, Collège de France, 11, place Marcellin-Berthelot, 75231 Paris Cedex 05. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1501-1504, 1988 1501 Électromagnétisme/Magnétisme Sur l'étude numérique de réseaux de diffraction constitués de matériaux anisotropes Gérard TAYEB Résumé — Une précédente Note [1] a été consacrée à l'analyse théorique du problème de la diffraction par un réseau tracé sur support anisotrope. On a ramené le problème à la résolution d'un système d'équations intégrales. Nous présentons ici quelques détails sur l'étude numérique et des résultats que l'on compare à ceux obtenus au moyen d'une autre méthode dans laquelle le problème est ramené à l'intégration d'un système différentiel ([2], [3]). On the numerical study of diffraction gratings made with anisotropic media Abstract — A previous paper [1] has been devoted to the theoretical analysis of the diffraction by a grating ruled on an anisotropic substrate. The problem has been solved using integral equations. We present here some explanations on the numerical study and some results which are compared to those given by another method in which the problem is solved through the integration of a differential system ([2], [3]). Les notations sont les mêmes que dans notre première Note [1] à laquelle il faut donc se reporter, notamment pour connaître les définitions de l'inconnue F, des opérateurs S1 et S2, et de certains espaces fonctionnels (tels que fj"). Le réseau est décrit par une interface y=f(x) et on s'intéresse au cas particulier où la matrice de permittivité relative [E2] du substrat (éventuellement complexe), est diagonale dans le repère Oxyz utilisé pour décrire le réseau. Le champ incident est une onde plane se propageant dans le superstrat isotrope et telle
devoted to the theoretical analysis of the diffraction by a grating ruled on an anisotropic substrate. The problem has been solved using integral equations. We present here some explanations on the numerical study and some results which are compared to those given by another method in which the problem is solved through the integration of a differential system ([2], [3]). Les notations sont les mêmes que dans notre première Note [1] à laquelle il faut donc se reporter, notamment pour connaître les définitions de l'inconnue F, des opérateurs S1 et S2, et de certains espaces fonctionnels (tels que fj"). Le réseau est décrit par une interface y=f(x) et on s'intéresse au cas particulier où la matrice de permittivité relative [E2] du substrat (éventuellement complexe), est diagonale dans le repère Oxyz utilisé pour décrire le réseau. Le champ incident est une onde plane se propageant dans le superstrat isotrope et telle que son vecteur d'onde n'ait pas de composante selon l'axe Oz parallèle aux sillons. Notant que Finc qui représente le champ incident appartient à Y"[, on tire des propriétés (8) et (9) de [1]: [S1F = F-2Finc et S2F=-F]. Ceci représente 8 équations intégrales couplées, parmi lesquelles, comme nous l'avons expliqué [1], il suffit d'en retenir 4 qui se trouvent être celles qui ont les noyaux les moins singuliers. 1. CONSÉQUENCES DE LA FORME PARTICULIÈRE ADOPTÉE POUR LA PERMITTIVITÉ DU SUBSTRAT. — Compte tenu de la forme diagonale de [E2], une nouvelle simplification apparaît : les 4 équations intégrales retenues se scindent en 2 systèmes de 2 équations indépendants. Avec les notations de [1], on peut dire que l'un (soit S1) ne fait intervenir que les composantes 1 et 4 de F et Finc. L'autre (S2) ne fait intervenir que leurs composantes 2 et 3. Ceci résulte d'ailleurs de considérations élémentaires : si on explicite dans un tel milieu anisotrope les deux équations de Maxwell rotE = i'cou0H et rot H = — i (u£0 [E2] E, on constate que les 6 équations obtenues se scindent en 2 systèmes de 3 équations aux dérivées partielles. Chacun de ces systèmes ne
expliqué [1], il suffit d'en retenir 4 qui se trouvent être celles qui ont les noyaux les moins singuliers. 1. CONSÉQUENCES DE LA FORME PARTICULIÈRE ADOPTÉE POUR LA PERMITTIVITÉ DU SUBSTRAT. — Compte tenu de la forme diagonale de [E2], une nouvelle simplification apparaît : les 4 équations intégrales retenues se scindent en 2 systèmes de 2 équations indépendants. Avec les notations de [1], on peut dire que l'un (soit S1) ne fait intervenir que les composantes 1 et 4 de F et Finc. L'autre (S2) ne fait intervenir que leurs composantes 2 et 3. Ceci résulte d'ailleurs de considérations élémentaires : si on explicite dans un tel milieu anisotrope les deux équations de Maxwell rotE = i'cou0H et rot H = — i (u£0 [E2] E, on constate que les 6 équations obtenues se scindent en 2 systèmes de 3 équations aux dérivées partielles. Chacun de ces systèmes ne contient que 3 composantes de champ : (Ez, Hx, Hy) ou (Hz, Ex, Hj). On peut évidemment scinder le champ incident en 2 parties : l'une (dite de polarisation E//) à ses composantes Hzinc, Exinc, E3inc nulles et l'autre (polarisation H//) à ses composantes Ezinc, H1inc, H2inc nulles. Les problèmes associés à une onde incidente E// et à une onde incidente H// sont donc indépendants. En d'autres termes, si l'onde incidente est polarisée E// (resp. H//), le champ total sera partout polarisé E// (resp. H//). Ces deux cas sont respectivement attachés aux systèmes S1 et S2. Il faut aussi noter que dans le cas de polarisation E//, le réseau se comporte exactement comme si le substrat était isotrope, de permittivité e3. En H//, mais cette fois uniquement si les permittivités e1 et e2 ont une valeur commune s, le problème est identique à celui d'un réseau isotrope de permittivité s. On retiendra donc que le cas d'un milieu uniaxe disposé Note présentée par André LICHNEROWICZ. 0249-6305/88/03071501 S 2.00 © Académie des Sciences 1502 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1501-1504, 1988 TABLEAU I Profil sinusoïdal (sinusoidal profile); h = 0,2 um (h/d = 0,4). NF =
associés à une onde incidente E// et à une onde incidente H// sont donc indépendants. En d'autres termes, si l'onde incidente est polarisée E// (resp. H//), le champ total sera partout polarisé E// (resp. H//). Ces deux cas sont respectivement attachés aux systèmes S1 et S2. Il faut aussi noter que dans le cas de polarisation E//, le réseau se comporte exactement comme si le substrat était isotrope, de permittivité e3. En H//, mais cette fois uniquement si les permittivités e1 et e2 ont une valeur commune s, le problème est identique à celui d'un réseau isotrope de permittivité s. On retiendra donc que le cas d'un milieu uniaxe disposé Note présentée par André LICHNEROWICZ. 0249-6305/88/03071501 S 2.00 © Académie des Sciences 1502 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1501-1504, 1988 TABLEAU I Profil sinusoïdal (sinusoidal profile); h = 0,2 um (h/d = 0,4). NF = 3, ND=15, NF = 5, ND = 25, NF=12, ND = 45, NSOM = 10 NSOM = 20 NSOM = 30 Efficacités Efficacités Efficacités Efficacités Efficacités Efficacités Ordre réfléchies transmises réfléchies transmises réfléchies transmises -2 0,008 2 0,007 8 0,007 8 -1 0,0914 0,2608 0,0923 0,2530 0,0923 0,2530 0 0,0003 0,2185 0,0003 0,2230 0,0003 0,2231 1 0,4275 0,4238 0,4235 Somme des efficacités : Somme des efficacités : Somme des efficacités : 1,0067 1,0002 1,0000 T=15 T = 35 T=15S TABLEAU II Profil sinusoïdal (sinusoidal profile); h = 0,1 um (h/d = 0,2). Méthode intégrale NF = 3, ND = 15, Méthode différentielle NSOM = 20 NF = 7, 90 pas d'intégration Efficacités Efficacités Efficacités Efficacités Ordre réfléchies transmises réfléchies transmises -2 0,0019 0,0015 -1 0,0695 0,0571 0,0695 0,0573 0 0,0736 0,6288 0,0730 0,6357 1 0,1691 0,1630 Somme des efficacités : Somme des efficacités : 1,0000 1,0000 de telle sorte que son axe optique soit parallèle aux sillons du réseau peut se traiter au moyen de programmes conçus pour des milieux isotropes. Dans la suite, supposant sx#sJ, nous ne nous intéresserons donc qu'au cas de polarisation H//, pour lequel un nouveau programme a été réalisé. 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS INTÉGRALES OBTENUES.