jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
de même. PONTS EN ANSE DE PANIER. Le développement de l'arc de tête étant fait, les paraboles d'assises passant par les points de division en voussoirs se traceront comme il a été dit pour le cas du plein cintre. Aux points où les rayons des arcs de cercle changent, la parabole est normale à la fois aux deux arcs successifs, qui sont tangents sur le développement, aussi bien que dans leur position primitive. Cas où la section droite est circulaire. Dans ce cas, l'équation générale des tangentes est : Les équations de l'arc de tête sont : x = (c + r cos. oj) tan g. a (E') S = ro> = y (A'), et l'expression normale de tang. 9 est tang. ? = tang. a sin. co. xt désignant toujours l'ordonnée d'un point déterminé de l'arc de tête, l'équation de la parabole normale à l'arc de tête développé passant par ce point et ayant son sommet sur l'arc de section droite développé sera toujours l'équation : x2 = 2py. Les y étant comptés sur l'arc de section droite développé et les x perpendiculairement à cette ligne droite ou parallèlement aux génératrices, et la valeur du paramètre sera : ou, puisque 1) xt tang, ou, puisque yt = 2 -, Or le point dont x, est l'ordonnée devant être commun à la parabole et à l'arc de tête, il faut que Xl satisfasse à l'équation (El) pour la valeur de Il) correspondant à ce point; on aura donc : xi = (c + r cos. w) tang. a. Substituant cette valeur et celle de tang. o dans l'expression du paramètre, celle-ci devient : et l'équation des paraboles correspondant à celles que représente l'équation (6) pour le cas de la section de tête circulaire, est ici pour le cas de la section droite circulaire : La valeur des sous-tangentes 2Yt de ces paraboles, représentée par l'équation (8) pour le cas de l'arc de tête circulaire, est ici : 2yt = xi tang. cp ou 2yt = (c + r cos. coj sin. to tang. 3 oc. (19) (J) étant toujours l'angle
puisque 1) xt tang, ou, puisque yt = 2 -, Or le point dont x, est l'ordonnée devant être commun à la parabole et à l'arc de tête, il faut que Xl satisfasse à l'équation (El) pour la valeur de Il) correspondant à ce point; on aura donc : xi = (c + r cos. w) tang. a. Substituant cette valeur et celle de tang. o dans l'expression du paramètre, celle-ci devient : et l'équation des paraboles correspondant à celles que représente l'équation (6) pour le cas de la section de tête circulaire, est ici pour le cas de la section droite circulaire : La valeur des sous-tangentes 2Yt de ces paraboles, représentée par l'équation (8) pour le cas de l'arc de tête circulaire, est ici : 2yt = xi tang. cp ou 2yt = (c + r cos. coj sin. to tang. 3 oc. (19) (J) étant toujours l'angle au centre compté sur la section circulaire (qui est ici la section droite) correspondant au point d'intersection de la parabole avec l'arc de tête. Ces expressions deviendraient pour l'appareil orthogonal parallèle, dans le cas de la section droite circulaire qui nous occupe ici, en y faisant e = r 2yt — r sin. w tang.2 a (1 + cos. w). On y arriverait directement en remarquant que, d'après la figure 4, planche X, tome IX, qui correspond à ce cas, l'on aurait xi = Bm = Bq — mq; or, d'après la figure, on aurait Bq = aD = bD tang. a = 2r tang. (1., et mq a la valeur de x donnée par l'équation (b') x=t' tang. a (1 — cos. w), d'où xt = r tang. a (1 -f-cos. w); or ici l'on a, d'après l'expression (»'). tang. <p = tang. a sin. <ù), d'où 2Yt = xi tang. y = r tang. a sin. w (1 + cos. (ù). Au moyen de cette expression, on construirait facilement la normale au point m de l'arc de tête développé planche X, tome IX, figure 4. M. Lefort, en développant l'équation (F') en série et posant (i) = <x0
— r sin. w tang.2 a (1 + cos. w). On y arriverait directement en remarquant que, d'après la figure 4, planche X, tome IX, qui correspond à ce cas, l'on aurait xi = Bm = Bq — mq; or, d'après la figure, on aurait Bq = aD = bD tang. a = 2r tang. (1., et mq a la valeur de x donnée par l'équation (b') x=t' tang. a (1 — cos. w), d'où xt = r tang. a (1 -f-cos. w); or ici l'on a, d'après l'expression (»'). tang. <p = tang. a sin. <ù), d'où 2Yt = xi tang. y = r tang. a sin. w (1 + cos. (ù). Au moyen de cette expression, on construirait facilement la normale au point m de l'arc de tête développé planche X, tome IX, figure 4. M. Lefort, en développant l'équation (F') en série et posant (i) = <x0 + S, est arrivé à l'équation approchée qui est celle de la parabole qu'il propose de substituer à la trajectoire. Ces paraboles ont leurs sommets sur l'arc de section droite comme celle de l'équation (18) et sont normales à cet arc, mais elles ne sont pas normales à l'arc de tête. Il est vrai qu'elles s'éloignent d'autant moins de cette condition que M — 100 est plus petit, mais dans la plupart des cas, elles coupent l'arc de tête suivant des angles très-différents de l'angle droit, et, d'ailleurs, elles ne se rapprochent pas plus de la trajectoire que les paraboles de l'équation (18) qui coupent l'arc de tête à angle droit, condition essentielle pour un appareil régulier. Les paraboles de l'équation (20) peuvent suffire pour des ponts construits en moellons ordinaires, car alors il n'y a pas de lignes d'assises bien régulières, mais elles forment l'effet le plus choquant dans des voûtes appareillées en moellons piqués et en pierres de taille. Pour le montrer clairement, nous prendrons ici l'exemple numérique traité par M. Lefort. Nous prendrons donc avec lui les données suivantes : le rayon de la section circulaire r = 3,666, c = 2r = 7,332, a = 38°
tête. Il est vrai qu'elles s'éloignent d'autant moins de cette condition que M — 100 est plus petit, mais dans la plupart des cas, elles coupent l'arc de tête suivant des angles très-différents de l'angle droit, et, d'ailleurs, elles ne se rapprochent pas plus de la trajectoire que les paraboles de l'équation (18) qui coupent l'arc de tête à angle droit, condition essentielle pour un appareil régulier. Les paraboles de l'équation (20) peuvent suffire pour des ponts construits en moellons ordinaires, car alors il n'y a pas de lignes d'assises bien régulières, mais elles forment l'effet le plus choquant dans des voûtes appareillées en moellons piqués et en pierres de taille. Pour le montrer clairement, nous prendrons ici l'exemple numérique traité par M. Lefort. Nous prendrons donc avec lui les données suivantes : le rayon de la section circulaire r = 3,666, c = 2r = 7,332, a = 38° et nous nous reporterons à la planche XI, figure 1, tome XI, qui s'applique à ces données. Nous supposerons l'arc de section droite circulaire divisé en quinze voûtes comme dans le cas de la planche VII, tome X, figure 1, de sorte que chaque voûte dans la section droite suss-tende un angle w de 12° et nous supposerons aussi pour le calcul des valeurs de x que io varie de 2 en 2 degrés. Le planche 111, tome XI, figure 1, représente ces dispositions. L'équation (F') des trajectoires devient dans ce cas : et si l'on fait remarquer que L X 10 = 2,302585, elle se met sous la forme suivante : M. Léon a calculé par cette équation une table des valeurs de x que M. Lefort donne dans son Mémoire. Nous prendrons ici, comme dans l'exemple traité pour le cas de la section circulaire, les trois trajectoires correspondant aux trois valeurs de Mo : w0 = 120°, w0 = 90°, w0 = 168°. En faisant d'ailleurs varier w de deux en deux degrés, et prenant cette même variation pour S, on calculera les paraboles correspondantes données par l'équation (20) et nous formerons le tableau suivant: 1 Il y
un angle w de 12° et nous supposerons aussi pour le calcul des valeurs de x que io varie de 2 en 2 degrés. Le planche 111, tome XI, figure 1, représente ces dispositions. L'équation (F') des trajectoires devient dans ce cas : et si l'on fait remarquer que L X 10 = 2,302585, elle se met sous la forme suivante : M. Léon a calculé par cette équation une table des valeurs de x que M. Lefort donne dans son Mémoire. Nous prendrons ici, comme dans l'exemple traité pour le cas de la section circulaire, les trois trajectoires correspondant aux trois valeurs de Mo : w0 = 120°, w0 = 90°, w0 = 168°. En faisant d'ailleurs varier w de deux en deux degrés, et prenant cette même variation pour S, on calculera les paraboles correspondantes données par l'équation (20) et nous formerons le tableau suivant: 1 Il y a 12°, w = 90°, M = 168° 1ère courbe ayant son origine 2e courbe ayant son origine 3e courbe ayant son origine au point 1 de l'arc de section développé. section développée. section droite développée. , o 1 No 2. No 3. '-Parabole Parabole Parabole Trajectoire de Trajectoire de Trajectoire de l'équation 20. l'équation 20. l'équation 20. ""----. -------. ""----" .,.----.. VuYaYaYaYaVaVaVaVaVaVaValeurs leurs leurs leurs leurs leurs leurs leurs leurs leurs leurs leurs de de le de de de de de de de de de &s). X• r, x" o. x. S. x. (0. x. 8. x. 112 0.000 0° 0.000 90° 0.000 0° 0.000 168° 0" 0.000 140 3.526 20 3.665 92° 1.364 20 1.370 170° 2.241 20 2.217 16° -4.817 40 5.183 940 1.930 40 1.937 1720 3.334 40 3.036 18° 5.718 60 6.317 96° 2.344 60 2.372 20° 6.418 80 7.330 98° 2.691 80 2.740 22° 6.991 100" 8.195 100° 3.003 100" 3.063 24° 7.477 120 8.977 102° 3.279 120 3.355 26° 7.896 140 9.695 104° 3.530 140 3.621 28° 8.266 160 10.365 106° 3.762 160 3.871 108° 3.978 180 4.109 110° 4.182 200 4.331 112° -4.374 220 4.513 114° 4.518 224° 4.745 M. Lefort n'a
Trajectoire de l'équation 20. l'équation 20. l'équation 20. ""----. -------. ""----" .,.----.. VuYaYaYaYaVaVaVaVaVaVaValeurs leurs leurs leurs leurs leurs leurs leurs leurs leurs leurs leurs de de le de de de de de de de de de &s). X• r, x" o. x. S. x. (0. x. 8. x. 112 0.000 0° 0.000 90° 0.000 0° 0.000 168° 0" 0.000 140 3.526 20 3.665 92° 1.364 20 1.370 170° 2.241 20 2.217 16° -4.817 40 5.183 940 1.930 40 1.937 1720 3.334 40 3.036 18° 5.718 60 6.317 96° 2.344 60 2.372 20° 6.418 80 7.330 98° 2.691 80 2.740 22° 6.991 100" 8.195 100° 3.003 100" 3.063 24° 7.477 120 8.977 102° 3.279 120 3.355 26° 7.896 140 9.695 104° 3.530 140 3.621 28° 8.266 160 10.365 106° 3.762 160 3.871 108° 3.978 180 4.109 110° 4.182 200 4.331 112° -4.374 220 4.513 114° 4.518 224° 4.745 M. Lefort n'a calculé que la deuxième courbe, et comme pour cette courbe les x de la trajectoire et les x de la parabole ne diffèrent pas beaucoup pour les mêmes valeurs de w ainsi que le montre le tableau précédent (la plus grande différence est pour la dernière ligne 4,745 — 4,558 ou 0,187, et la plus petite pour la deuxième ligne 1,370 — 1,364 ou 0,006), il en conclut que dans les applications la parabole de l'équation (20) pourra toujours être substituée à la trajectoire; mais les courbes n° 1 du tableau montrent qu'il en est autrement; car pour ces courbes, les x de la dernière ligne diffèrent de 10,365 — 8.266 ou de 2,099 de la trajectoire à la parabole. Dans les courbes n° 3, la différence des x est à la dernière ligne 3,334 — 3,036 ou 0,298; M. Lefort a été induit en erreur parce qu'il n'a calculé sa parabole que pour le seul cas où elle se rapproche sensiblement de la trajectoire, celui où l'on a w0 = 90°. Tracéons maintenant ces courbes sur la planche III, tome XI, figure 1 ; elles se construisent aisément par points au moyen du tableau précédent ; la courbe M
ou 0,187, et la plus petite pour la deuxième ligne 1,370 — 1,364 ou 0,006), il en conclut que dans les applications la parabole de l'équation (20) pourra toujours être substituée à la trajectoire; mais les courbes n° 1 du tableau montrent qu'il en est autrement; car pour ces courbes, les x de la dernière ligne diffèrent de 10,365 — 8.266 ou de 2,099 de la trajectoire à la parabole. Dans les courbes n° 3, la différence des x est à la dernière ligne 3,334 — 3,036 ou 0,298; M. Lefort a été induit en erreur parce qu'il n'a calculé sa parabole que pour le seul cas où elle se rapproche sensiblement de la trajectoire, celui où l'on a w0 = 90°. Tracéons maintenant ces courbes sur la planche III, tome XI, figure 1 ; elles se construisent aisément par points au moyen du tableau précédent ; la courbe M est la trajectoire et la courbe M'T est la parabole de M. Lefort partant du même point 1 de l'arc de section développé. On voit que cette courbe s'éloigne de la trajectoire à mesure que l'on s'approche de l'arc de tête, et qu'elle coupe celui-ci sous un angle aigu; on pècherait donc ici singulièrement contre le principe le plus essentiel de l'appareil orthogonal, qui est d'avoir des angles droits, en adoptant les paraboles de l'équation (20). Pour la deuxième trajectoire Pl correspondant à w0 = 90°, la parabole Pl' et la trajectoire Pl se rapprochent davantage, et il en serait de même de la troisième trajectoire. Cette manière de tracer les lignes d'assises en partant de la section droite, ce à quoi la forme des équations (F') et (20) oblige, a d'ailleurs un grave inconvénient, c'est que ces courbes ne rencontrent pas l'arc de tête dans des points de division de voûtes; qu'il faut, dès lors, les dévier si l'on veut avoir des lignes d'assises continues; or ces déviations ne peuvent se tracer que d'une manière arbitraire, ce qui éloigne encore du principe orthogonal. La méthode d'appareil que nous avons donnée dans l'exemple numérique du plein cintre, pour le cas
pècherait donc ici singulièrement contre le principe le plus essentiel de l'appareil orthogonal, qui est d'avoir des angles droits, en adoptant les paraboles de l'équation (20). Pour la deuxième trajectoire Pl correspondant à w0 = 90°, la parabole Pl' et la trajectoire Pl se rapprochent davantage, et il en serait de même de la troisième trajectoire. Cette manière de tracer les lignes d'assises en partant de la section droite, ce à quoi la forme des équations (F') et (20) oblige, a d'ailleurs un grave inconvénient, c'est que ces courbes ne rencontrent pas l'arc de tête dans des points de division de voûtes; qu'il faut, dès lors, les dévier si l'on veut avoir des lignes d'assises continues; or ces déviations ne peuvent se tracer que d'une manière arbitraire, ce qui éloigne encore du principe orthogonal. La méthode d'appareil que nous avons donnée dans l'exemple numérique du plein cintre, pour le cas de la section de tête circulaire, est applicable ici sans aucune modification; pour le démontrer, il nous suffira de faire partir les deux séries de courbes des équations (F') et (18) des mêmes points de l'arc de tête développé, comme nous l'avons fait pour le cas de la section de tête circulaire. La méthode de tâtonnement que nous avons indiquée plus haut pour déterminer la valeur de l'angle w correspondant à l'intersection de la trajectoire avec l'arc de tête, s'applique ici avec cette différence toujours bien importante à remarquer que, dans le cas de la section de tête circulaire, c'était sur cet arc que se comptaient les coords, tandis qu'ici, c'est sur la section droite qu'il faut les compter, puisque c'est celle-ci qui est la section circulaire, et que, d'après la définition même des angles w, ceux-ci ne peuvent être comptés que sur un cercle; ainsi les arcs s ou m se compteront sur la ligne droite 0,15 qui représente l'arc circulaire de section droite développé; chacune des divisions 0.1, 1.2, 2.3, etc. de cet arc de section droite correspondant à un angle au centre de 12°, aura une longueur de 0,768, la demi-circuference de la section droite de rayon
tête circulaire. La méthode de tâtonnement que nous avons indiquée plus haut pour déterminer la valeur de l'angle w correspondant à l'intersection de la trajectoire avec l'arc de tête, s'applique ici avec cette différence toujours bien importante à remarquer que, dans le cas de la section de tête circulaire, c'était sur cet arc que se comptaient les coords, tandis qu'ici, c'est sur la section droite qu'il faut les compter, puisque c'est celle-ci qui est la section circulaire, et que, d'après la définition même des angles w, ceux-ci ne peuvent être comptés que sur un cercle; ainsi les arcs s ou m se compteront sur la ligne droite 0,15 qui représente l'arc circulaire de section droite développé; chacune des divisions 0.1, 1.2, 2.3, etc. de cet arc de section droite correspondant à un angle au centre de 12°, aura une longueur de 0,768, la demi-circuference de la section droite de rayon 3,666 ayant 11,517 de longueur. En menant par les points 1, 2, 3, 4, etc., des génératrices, leur rencontre avec l'arc de tête développé déterminera les divisions correspondantes a, b, c, d, etc., de cet arc en voussoirs. Les largeurs des voussoirs de tête, déterminées par ces divisions, ne seront pas parfaitement égales comme dans le cas de la section de tête circulaire, où la division en parties égales se faisait sur cet arc même : mais elles différeront très peu de l'être, et comme l'appareil elliptique de la tête offre déjà la sujétion de la forme même de l'ellipse, il est peu important de l'augmenter un peu par l'inégalité de largeur en douelle des voussoirs, inégalité qui ne sera d'ailleurs jamais assez grande d'un voussoir à l'autre, pour être sensible à l'œil. En faisant pour les points M, P, R, où les trois trajectoires calculées rencontreront l'arc de tête, les calculs de tâtonnement que nous avons indiqués pour les cas de la section de tête circulaire, on trouve que les valeurs de w correspondant à ces points sont pour la première trajectoire ou le point M : w = 27° 56'. Pour la deuxième ou le point P :
pas parfaitement égales comme dans le cas de la section de tête circulaire, où la division en parties égales se faisait sur cet arc même : mais elles différeront très peu de l'être, et comme l'appareil elliptique de la tête offre déjà la sujétion de la forme même de l'ellipse, il est peu important de l'augmenter un peu par l'inégalité de largeur en douelle des voussoirs, inégalité qui ne sera d'ailleurs jamais assez grande d'un voussoir à l'autre, pour être sensible à l'œil. En faisant pour les points M, P, R, où les trois trajectoires calculées rencontreront l'arc de tête, les calculs de tâtonnement que nous avons indiqués pour les cas de la section de tête circulaire, on trouve que les valeurs de w correspondant à ces points sont pour la première trajectoire ou le point M : w = 27° 56'. Pour la deuxième ou le point P : w = 114° 01'. Pour la troisième ou le point R : W = 171° 10'. Introduisant ces valeurs de w dans les équations (18) et (19), on trouve pour les équations des paraboles correspondantes: x1 = 45,104 y parabole MT', x2 = 12,794 y parabole PL', xa = 48,283 y parabole RS', et pour les valeurs des sous-tangentes YX, DE, ZF correspondant aux tangentes des paraboles ou aux normales à l'arc de tête des points M, P, R, les valeurs: 2Y1 = 3,021 = YX, ïh = 3,252 = DE, 2Y1 = 0,348 = ZF. Les sommets T', L', S1 des paraboles sur l'arc de section droite développé s'obtiennent en divisant les longueurs de ces sous-tangentes, chacune en deux parties égales. Ici d'ailleurs, les écartements TT', LL' de la parabole et de la trajectoire, qu'il a fallu prendre à l'échelle dans le cas de la section droite elliptique, peuvent se déterminer par le calcul, cette section étant circulaire; en effet, la distance TT peut se calculer, c'est l'arc soustendu, sur la section droite par l'angle 27° 56' — 12° ou 15° 56' qui a pour longueur 1,019; 1"Y est, d'ailleurs, égal à XY qui est qui a pour longueur
y parabole RS', et pour les valeurs des sous-tangentes YX, DE, ZF correspondant aux tangentes des paraboles ou aux normales à l'arc de tête des points M, P, R, les valeurs: 2Y1 = 3,021 = YX, ïh = 3,252 = DE, 2Y1 = 0,348 = ZF. Les sommets T', L', S1 des paraboles sur l'arc de section droite développé s'obtiennent en divisant les longueurs de ces sous-tangentes, chacune en deux parties égales. Ici d'ailleurs, les écartements TT', LL' de la parabole et de la trajectoire, qu'il a fallu prendre à l'échelle dans le cas de la section droite elliptique, peuvent se déterminer par le calcul, cette section étant circulaire; en effet, la distance TT peut se calculer, c'est l'arc soustendu, sur la section droite par l'angle 27° 56' — 12° ou 15° 56' qui a pour longueur 1,019; 1"Y est, d'ailleurs, égal à XY qui est qui a pour longueur 1,019; 2 qui est ici d'après la première des trois équations précédentes égal à = 1,511. Ainsi l'on aura: TT' = 1"11 — Ty = 1,511 — 1,019 = 0,492. On opérera donc dans ce cas avec plus d'exactitude encore que pour celui de la section de tête circulaire, puisque les écartements extrêmes se déterminent par le calcul. Du reste, tout ce que nous avons dit plus haut pour arriver aux paraboles ou lignes d'assises définitives s'appliquera ici sans aucune modification; nous n'insisterons donc plus sur ce point. On voit d'ailleurs, en comparant les paraboles aux trajectoires, que les écartements TT1, LL' des deux courbes sur l'arc de section droite développé vont en diminuant de l'origine au sommet de l'arc de tête comme pour le cas de la section de tête circulaire. Dans ce dernier cas, la parabole passait de gauche à droite de la trajectoire entre l'origine et le sommet de l'arc de tête; ici, elle reste constamment à gauche et ne passe à droite qu'entre le sommet de l'arc de tête et le point 14; les paraboles se rapprocheront donc un peu moins ici des trajectoires que pour le cas de la section de tête circulaire, mais cela
les écartements extrêmes se déterminent par le calcul. Du reste, tout ce que nous avons dit plus haut pour arriver aux paraboles ou lignes d'assises définitives s'appliquera ici sans aucune modification; nous n'insisterons donc plus sur ce point. On voit d'ailleurs, en comparant les paraboles aux trajectoires, que les écartements TT1, LL' des deux courbes sur l'arc de section droite développé vont en diminuant de l'origine au sommet de l'arc de tête comme pour le cas de la section de tête circulaire. Dans ce dernier cas, la parabole passait de gauche à droite de la trajectoire entre l'origine et le sommet de l'arc de tête; ici, elle reste constamment à gauche et ne passe à droite qu'entre le sommet de l'arc de tête et le point 14; les paraboles se rapprocheront donc un peu moins ici des trajectoires que pour le cas de la section de tête circulaire, mais cela ne modifie en rien le principe de la méthode donnée plus haut, qui ne fait servir ces paraboles que comme intermédiaires pour arriver aux paraboles définitives, paraboles qui sont, à la fois, plus près des trajectoires et forment des lignes d'assises continues entre les têtes et les sections droites, limites des parties biaises de la voûte. En résumé, la méthode que nous avons indiquée dans le cas de la planche VII, tome X, figure 1, pour déterminer les paraboles définitives qui doivent former les lignes d'assises des parties biaises de la voûte, est très simple en pratique, puisqu'elle n'exige que le calcul de deux trajectoires et celui des sous-tangentes des paraboles normales aux arcs de tête et de section de droite développés, et que tout le reste se fait au moyen d'opérations graphiques. Ces paraboles définitives satisfont d'ailleurs à la fois à la condition de s'éloigner de la forme réelle des trajectoires aussi peu que le permet la division en voussoirs de la partie droite de la voûte, et de donner des lignes d'assises régulières sans jarrets ni crossettes normales à la fois aux arcs de tête et de section droite développés. Elles remplissent donc, aussi exactement qu'on peut le