jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
estimation co*=1429ît, where J_1=0 and J_1'= −5.413. More explicit expressions would probably require very long analytical calculations which are perhaps not essential "since the world is not really waiting breathlessly for the solution to the problem" [11]. A similar feature is observed in composite materials. For instance, in the case of a bimaterial (Fig. 3), as co = TT, − 1 is a single eigenvalue (since the straight edge of a bimaterial is singular) but two critical angles ©_f=0.827t and (©_f = 1.39K arise (Fig. 4), such that J_1' =0 and J_1=0. It is to be noticed that these numerical results require the computation of the root vector v_a as proposed in [10]. I. INTRODUCTION. — Le paradoxe de Sternberg-Koiter. — Dans le cadre de l'élasticité bidimensionnelle, Carothers en 1912 a donné une solution au problème d'un secteur d'angle co formé par un matériel homogène et isotrope, chargé en son sommet par un couple de moment J_1 et libre de contraintes sur les deux côtés de l'angle. En coordonnées polaires (voir fig. 1), cette solution s'écrit : LI désigne le module de cisaillement, K = 3−4v en déformation plane, K = (3−v)/(1+v) en contraintes planes, v est le coefficient de Poisson. Les champs de déplacements et de contraintes sont représentés suivant la nécessité en coordonnées polaires (indices r, θ) ou cartésiennes (indices x, y). De plus, le moment J_1 est donné par l'intégrale sur un arc de cercle T de rayon r_0 : (cette expression est indépendante de r_0). Cette solution présente « l'anomalie » suivante : pour co=©*_1,43n, D s'annule et (1) perd toute signification. Ce point particulier a fait l'objet de nombreuses discussions qu'on trouvera résumées dans [3] et [4]. On peut mentionner en particulier l'analyse de Sternberg et Koiter [5] dans laquelle est posée la question de la signification mécanique précise d'un couple appliqué ponctuellement. Sans entrer dans ces considérations, nous allons tenter de montrer que ce paradoxe n'est qu'apparent et qu'il est possible de construire une solution, dont le moment est non nul, même lorsque co = co*. Le réexamen de ce problème a été suggéré
Poisson. Les champs de déplacements et de contraintes sont représentés suivant la nécessité en coordonnées polaires (indices r, θ) ou cartésiennes (indices x, y). De plus, le moment J_1 est donné par l'intégrale sur un arc de cercle T de rayon r_0 : (cette expression est indépendante de r_0). Cette solution présente « l'anomalie » suivante : pour co=©*_1,43n, D s'annule et (1) perd toute signification. Ce point particulier a fait l'objet de nombreuses discussions qu'on trouvera résumées dans [3] et [4]. On peut mentionner en particulier l'analyse de Sternberg et Koiter [5] dans laquelle est posée la question de la signification mécanique précise d'un couple appliqué ponctuellement. Sans entrer dans ces considérations, nous allons tenter de montrer que ce paradoxe n'est qu'apparent et qu'il est possible de construire une solution, dont le moment est non nul, même lorsque co = co*. Le réexamen de ce problème a été suggéré par E. Sanchez-Palencia, il intervient en effet dans la modélisation des jonctions qu'il propose dans [2]. C. R. Acad. Sci. Paris, t 307, Série II, p. 1741-1746, 1988 1743 II. LE CALCUL DES SOLUTIONS U(r, θ) = rau(θ). — De nombreuses études ont été effectuées dans ce domaine depuis le travail initial de Kondratiev [6]. Ils reposent tous sur des calculs analytiques volumineux ([7], [8]) et les difficultés deviennent rapidement insurmontables dès qu'on tente de les généraliser à des structures plus complexes telles que les matériaux composites [9]. Une approche totalement différente est proposée dans [1], elle est plus numérique et repose sur l'utilisation de la formulation variationnelle du problème de l'élasticité et les éléments finis. Le problème peut être alors exprimé de la façon suivante : Trouver une fonction u(θ)eH 1 (0, co) et un scalaire aeC tels que : A_1 et A_3 sont des opérateurs hermitiens et A_2 est antihermitien. (3.1) peut être reformulé sous forme d'un problème de valeurs propres classiques équivalent [1] : Nous allons donner quelques rappels des propriétés des solutions de (3) en nous limitant au cas réel ae R qui est le seul qui interviendra ici. PROPRIÉTÉS. — (1) La valeur cc =
travail initial de Kondratiev [6]. Ils reposent tous sur des calculs analytiques volumineux ([7], [8]) et les difficultés deviennent rapidement insurmontables dès qu'on tente de les généraliser à des structures plus complexes telles que les matériaux composites [9]. Une approche totalement différente est proposée dans [1], elle est plus numérique et repose sur l'utilisation de la formulation variationnelle du problème de l'élasticité et les éléments finis. Le problème peut être alors exprimé de la façon suivante : Trouver une fonction u(θ)eH 1 (0, co) et un scalaire aeC tels que : A_1 et A_3 sont des opérateurs hermitiens et A_2 est antihermitien. (3.1) peut être reformulé sous forme d'un problème de valeurs propres classiques équivalent [1] : Nous allons donner quelques rappels des propriétés des solutions de (3) en nous limitant au cas réel ae R qui est le seul qui interviendra ici. PROPRIÉTÉS. — (1) La valeur cc = 1 est toujours solution du problème (3), l'un ou l'unique vecteur propre (suivant les cas) est la rotation de corps rigide. (2) A*(a)=A( − a) où A* désigne l'adjoint de A. (3) Si a est solution de (3), alors −a est également solution avec la même multiplicité géométrique. (4) Si a est une valeur propre défective de se de multiplicité algébrique 2 et de multiplicité géométrique 1, si ua désigne l'unique vecteur propre associé à a, alors le problème admet deux solutions : Le vecteur associé v_K (θ) est caractérisé par : III. RETOUR AU PARADOXE DE STERNBERG-KOITER. — D'après la propriété 1, a = 1 est solution avec pour vecteur propre la rotation : a = − 1 est donc également solution et son vecteur propre est défini (pour tout co tel que 0&lt;con27i) à partir de la solution de Carothers(l) : Le moment associé à cette solution est défini par (2) : Ce moment s'annule pour co = co* (en 1,43 n) et nous retrouvons le paradoxe déjà énoncé. La figure 2 donne l'évolution de a pour différentes valeurs de co. 1741-1746, 1988 On constate que la valeur a = −1 (et donc a = 1) est en
a est une valeur propre défective de se de multiplicité algébrique 2 et de multiplicité géométrique 1, si ua désigne l'unique vecteur propre associé à a, alors le problème admet deux solutions : Le vecteur associé v_K (θ) est caractérisé par : III. RETOUR AU PARADOXE DE STERNBERG-KOITER. — D'après la propriété 1, a = 1 est solution avec pour vecteur propre la rotation : a = − 1 est donc également solution et son vecteur propre est défini (pour tout co tel que 0&lt;con27i) à partir de la solution de Carothers(l) : Le moment associé à cette solution est défini par (2) : Ce moment s'annule pour co = co* (en 1,43 n) et nous retrouvons le paradoxe déjà énoncé. La figure 2 donne l'évolution de a pour différentes valeurs de co. 1741-1746, 1988 On constate que la valeur a = −1 (et donc a = 1) est en général une valeur simple, sauf dans deux situations où elle devient double: co = n et co = oo*, cette dernière valeur est la valeur critique intervenant dans le paradoxe. Remarque 1. — Nous ne disposons pas de démonstration pour établir l'ordre de la multiplicité, ce résultat relève d'une simple constatation numérique. Dans le premier cas, le cas du bord droit, la valeur propre a = 1 est associée à deux vecteurs propres, la rotation de corps solide et la traction uniforme parallèle au bord (axx = 1, axy = 0, axz = 0). La valeur propre a = −1 est associée à la solution de Carothers et au « pincement » (E désigne le module d'Young) : Dans le second cas, celui de la valeur critique co = co*, la situation est décrite dans les deux propositions suivantes. PROPOSITION 1. — Lorsque co = co*, les valeurs a=1 et co = −1 sont des valeurs propres défectives de multiplicité algébrique 2 et de multiplicité géométrique 1. Démonstration. — Avec les réserves de la remarque 1, il faut que le système non homogène singulier écrit pour a = −1 et ua = u_1 soit soluble. Il suffit donc de vérifier
constatation numérique. Dans le premier cas, le cas du bord droit, la valeur propre a = 1 est associée à deux vecteurs propres, la rotation de corps solide et la traction uniforme parallèle au bord (axx = 1, axy = 0, axz = 0). La valeur propre a = −1 est associée à la solution de Carothers et au « pincement » (E désigne le module d'Young) : Dans le second cas, celui de la valeur critique co = co*, la situation est décrite dans les deux propositions suivantes. PROPOSITION 1. — Lorsque co = co*, les valeurs a=1 et co = −1 sont des valeurs propres défectives de multiplicité algébrique 2 et de multiplicité géométrique 1. Démonstration. — Avec les réserves de la remarque 1, il faut que le système non homogène singulier écrit pour a = −1 et ua = u_1 soit soluble. Il suffit donc de vérifier que le second membre de ce système est orthogonal au noyau de l'adjoint A (1) (propriété 2), c'est-à-dire à ut (propriété 3) : PROPOSITION 2. — Lorsque co = co*, à la solution de Carothers s'ajoute une seconde solution : Le vecteur associé v_1 est caractérisé par (5). L'expression (2) calculée pour (11) est indépendante de r0. On peut donc lui associer un moment JIl x et on constate numériquement que celui-ci est non nul. Démonstration. — La première partie de cette proposition est une simple conséquence de la propriété 4. Si on désigne maintenant par a (W) le champ de contraintes associé à un déplacement W par la loi de Hooke, il vient, sachant que Jl_1 =0 d'après (8) : et ar8(v_1)=Logrrjr6(U_1)+ar9(-v_1j-r--U_18 Les calculs de a (fig. 2), u_2 (recalculé) et v_1 sont effectués à l'aide des méthodes numériques présentées dans [1] et plus spécialement dans [10] pour les valeurs propres défectives. On détecte la présence d'un bloc de Jordan pour 1,422 TT g oo* ^ 1,444 n, encadrement qui donne −0,015g^'_1g0,019. Le moment Jl_1 s'annule pour CO*^1,429TI et pour cette valeur Jl'_1 = −5,413. IV* CONCLUSIONS. — Des termes logarithmiques peuvent apparaître dans les solutions de certains problèmes
calculée pour (11) est indépendante de r0. On peut donc lui associer un moment JIl x et on constate numériquement que celui-ci est non nul. Démonstration. — La première partie de cette proposition est une simple conséquence de la propriété 4. Si on désigne maintenant par a (W) le champ de contraintes associé à un déplacement W par la loi de Hooke, il vient, sachant que Jl_1 =0 d'après (8) : et ar8(v_1)=Logrrjr6(U_1)+ar9(-v_1j-r--U_18 Les calculs de a (fig. 2), u_2 (recalculé) et v_1 sont effectués à l'aide des méthodes numériques présentées dans [1] et plus spécialement dans [10] pour les valeurs propres défectives. On détecte la présence d'un bloc de Jordan pour 1,422 TT g oo* ^ 1,444 n, encadrement qui donne −0,015g^'_1g0,019. Le moment Jl_1 s'annule pour CO*^1,429TI et pour cette valeur Jl'_1 = −5,413. IV* CONCLUSIONS. — Des termes logarithmiques peuvent apparaître dans les solutions de certains problèmes d'élasticité dans un secteur (voir par exemple [1], [6] et [8]). Nous mettons en évidence, ici, la présence d'un tel terme dans le cas particulier du paradoxe de Sternberg-Koiter. Ce terme permet de lever ce paradoxe et de construire une solution de la forme (11), dans le cas critique co = co*, dont le moment est non nul. Cette solution n'est plus une solution de similitude (voir [3]). Evidemment, deux des résultats énoncés ci-dessus ne sont que de simples constatations numériques. La démonstration rigoureuse de la multiplicité de la valeur propre a = − 1 et le calcul explicite de JIl x risquent d'être extrêmement délicats à obtenir directement et l'investissement nécessaire ne se justifie peut-être pas « since the world is not really waiting breathlessly for the solution to the problem » [11]. Si on quitte définitivement le domaine des calculs explicites, il est possible d'observer numériquement le même phénomène en présence de matériaux composites. Dans le cas d'un bi-matériau (E=1, v = 0,3; E=10, v = 0,3) (voir fig. 3), pour co = 7t, −1 est valeur propre simple (le bord droit en présence d'une interface est singulier [1]). De plus, on relève des valeurs propres défectives en
= co*, dont le moment est non nul. Cette solution n'est plus une solution de similitude (voir [3]). Evidemment, deux des résultats énoncés ci-dessus ne sont que de simples constatations numériques. La démonstration rigoureuse de la multiplicité de la valeur propre a = − 1 et le calcul explicite de JIl x risquent d'être extrêmement délicats à obtenir directement et l'investissement nécessaire ne se justifie peut-être pas « since the world is not really waiting breathlessly for the solution to the problem » [11]. Si on quitte définitivement le domaine des calculs explicites, il est possible d'observer numériquement le même phénomène en présence de matériaux composites. Dans le cas d'un bi-matériau (E=1, v = 0,3; E=10, v = 0,3) (voir fig. 3), pour co = 7t, −1 est valeur propre simple (le bord droit en présence d'une interface est singulier [1]). De plus, on relève des valeurs propres défectives en deux points co*~0,82;i et cof m 1,39n pour lesquels Jl_1=0etJl'_1^0(fig. 4). Note remise le 22 septembre 1988, acceptée le 13 octobre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] D. LEGUILLON et E. SANCHEZ-PALENCIA, Computation of singular solutions in elliptic problems and elasticity, Masson, Paris, 1987. [2] E. SANCHEZ-PALENCIA, C. R. Acad. Sci. Paris, 307, série II, 1988, p. 689-694. 1746 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1741-1746, 1988 [3] G. I. BARENBLATT, Similarity, self-similarity and intermediate asymptotics, traduit du russe par N. Stein, Consultants Bureau, New York, 1979, p. 145-158. [4] J. DUNDURS et X. MARKENSCOFF, A.S.M.E. J. of Appl. Mech. (à paraître). [5] E. STERNBERG et W. T. KOITER, J. of Appl. Mech., 25, 1958, p. 575-581. [6] V. A. KONDRATIEV, Trans. Moscow Math. Soc, 16, 1967, p. 209-292. [7] P. GRISVARD, Elliptic problems in non smooth domains, Pitman, London, 1985. [8] J. P. DEMPSEY, J. of Elast., 11, n° 1, 1981, p. 1-10. [9] J. P. DEMPSEY et G. B. SINCLAIR, J. of Elast., 9, 1979, p. 373-391. [10] D. LEGUILLON et E. SANCHEZ-PALENCIA, Communication au Symposium on Modern Problems in Mathematical Physics, Tbilissi, 1987 (à paraître). [11] B. BUDIANSKI et G. F. CARRIER, S.I.A.M. J. in
307, série II, 1988, p. 689-694. 1746 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1741-1746, 1988 [3] G. I. BARENBLATT, Similarity, self-similarity and intermediate asymptotics, traduit du russe par N. Stein, Consultants Bureau, New York, 1979, p. 145-158. [4] J. DUNDURS et X. MARKENSCOFF, A.S.M.E. J. of Appl. Mech. (à paraître). [5] E. STERNBERG et W. T. KOITER, J. of Appl. Mech., 25, 1958, p. 575-581. [6] V. A. KONDRATIEV, Trans. Moscow Math. Soc, 16, 1967, p. 209-292. [7] P. GRISVARD, Elliptic problems in non smooth domains, Pitman, London, 1985. [8] J. P. DEMPSEY, J. of Elast., 11, n° 1, 1981, p. 1-10. [9] J. P. DEMPSEY et G. B. SINCLAIR, J. of Elast., 9, 1979, p. 373-391. [10] D. LEGUILLON et E. SANCHEZ-PALENCIA, Communication au Symposium on Modern Problems in Mathematical Physics, Tbilissi, 1987 (à paraître). [11] B. BUDIANSKI et G. F. CARRIER, S.I.A.M. J. in Appl. Math., 25, n° 3, 1973, p. 378-387. Laboratoire de Modélisation en Mécanique, Université Pierre-et-Marie-Curie, Tour n° 66, 4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05. Synthesis and structural study of the entity TiO2(OCH3)16: an example of intramolecular twinning Abstract — The alcoholysis by ethanol of Ti(OC2H5)4 at 100°C in a bomb, leads to the formation of single crystals of the condensed species Ti16tetra(14-O)octa(3-O)tetra(12-O)hexadeca(12-OC2H5)(OC2H5)16. The structural study shows isolated molecules with the above formula. The inorganic part of this molecule, Ti16048, is built up of two groups of eight TiO6 octahedra. These groups are connected, with a large deformation of the octahedral surroundings, through an intramolecular twinning. INTRODUCTION. — La principale voie de synthèse des céramiques et des verres par les procédés dits sol-gel repose sur la chimie des complexes alcooliques ([1]-[3]). Le savoir accumulé dans ce domaine de la chimie permet un contrôle très fin de ces synthèses et une optimisation des propriétés physiques des produits obtenus. Il reste toutefois des zones d'ombre au niveau de la compréhension des mécanismes de réaction mis en jeu dans ces procédés sol-gel. Cette situation résulte essentiellement de l'absence quasi totale de données structurales. Considérant, par exemple, la chimie de l'orthotitanate d'éthyle, Ti(OC2H5)4, seules
bomb, leads to the formation of single crystals of the condensed species Ti16tetra(14-O)octa(3-O)tetra(12-O)hexadeca(12-OC2H5)(OC2H5)16. The structural study shows isolated molecules with the above formula. The inorganic part of this molecule, Ti16048, is built up of two groups of eight TiO6 octahedra. These groups are connected, with a large deformation of the octahedral surroundings, through an intramolecular twinning. INTRODUCTION. — La principale voie de synthèse des céramiques et des verres par les procédés dits sol-gel repose sur la chimie des complexes alcooliques ([1]-[3]). Le savoir accumulé dans ce domaine de la chimie permet un contrôle très fin de ces synthèses et une optimisation des propriétés physiques des produits obtenus. Il reste toutefois des zones d'ombre au niveau de la compréhension des mécanismes de réaction mis en jeu dans ces procédés sol-gel. Cette situation résulte essentiellement de l'absence quasi totale de données structurales. Considérant, par exemple, la chimie de l'orthotitanate d'éthyle, Ti(OC2H5)4, seules les structures du produit de départ et du premier produit d'hydrolyse Ti(OC2H5)19 sont connues ([4], [5]). Une exploration structurale systématique des associations chimiques présentes dans les synthèses sol-gel impliquant ce complexe a donc été entreprise. Une étude de l'association orthotitanate d'éthyle — alcool éthylique — acide acétique a permis de caractériser l'entité hexanucleaire Ti(604(OC2H5)8(CH3COO)8 montrant ainsi que l'acide acétique, présenté dans la littérature comme un catalyseur, agit comme un véritable ligand et conduit à un précurseur moléculaire stable [6]. Cette Note est consacrée à l'exposé des résultats issus de l'étude du système Ti(OC2H5)4-C2H5OH. PRÉPARATIONS ET ÉTUDE STRUCTURALE. — De l'orthotitanate d'éthyle et de l'alcool éthylique anhydre sont mélangés dans le rapport volumique 1/1. Le mélange est placé dans une bombe en acier, à 100°C, pendant 2 semaines. Après refroidissement à l'air, la bombe est ouverte; elle contient des cristaux incolores (espèce 1) et une solution légèrement brune. Cette solution n'est pas stable à l'air et un précipité blanc amorphe se forme rapidement. Toutefois, placée dans un récipient fermé à la température de la pièce, la solution laisse déposer au bout de quelques jours des cristaux incolores différents des précédents (espèce 2). Note présentée par Fernand GALLAIS. 0249-6305/88/03071747 S 2.00 ©
caractériser l'entité hexanucleaire Ti(604(OC2H5)8(CH3COO)8 montrant ainsi que l'acide acétique, présenté dans la littérature comme un catalyseur, agit comme un véritable ligand et conduit à un précurseur moléculaire stable [6]. Cette Note est consacrée à l'exposé des résultats issus de l'étude du système Ti(OC2H5)4-C2H5OH. PRÉPARATIONS ET ÉTUDE STRUCTURALE. — De l'orthotitanate d'éthyle et de l'alcool éthylique anhydre sont mélangés dans le rapport volumique 1/1. Le mélange est placé dans une bombe en acier, à 100°C, pendant 2 semaines. Après refroidissement à l'air, la bombe est ouverte; elle contient des cristaux incolores (espèce 1) et une solution légèrement brune. Cette solution n'est pas stable à l'air et un précipité blanc amorphe se forme rapidement. Toutefois, placée dans un récipient fermé à la température de la pièce, la solution laisse déposer au bout de quelques jours des cristaux incolores différents des précédents (espèce 2). Note présentée par Fernand GALLAIS. 0249-6305/88/03071747 S 2.00 © Académie des Sciences 1748 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1747-1750, 1988 L'espèce 1 se présente sous forme de monocristaux à faciès scalénoèdre de plusieurs millimètres de long. Ces cristaux sont stables à l'air et peuvent être conservés plusieurs mois sans précaution particulière. Cependant, on observe un léger jaunissement sous l'effet de la lumière solaire et ils se décomposent lentement sous rayonnement X. L'espèce 2 est obtenue sous forme de plaquettes monocristallines triangulaires. Ces cristaux sont extrêmement instables. Ils s'hydrolysent immédiatement à l'air pour donner un produit amorphe blanc. Par ailleurs, ils se décomposent très rapidement sous l'effet des rayons X. L'étude de ces deux espèces, par diffraction des rayons X, montre qu'elles sont de symétrie monoclinique : espèce 1: a=23,392(7) Å, b = 19,627(8) Å, c = 24,130(14) Å, β = 96,4(4)°, V=11009 Å3; groupe spatial C2/c; espèce 2: a = 23,154(7) Å, b=22,365(8) Å, c = 26,948(16) Å, β=112,6(4)°, V= 12883 Å3; groupe spatial P2₁/a. La structure cristalline de l'espèce 1 a été déterminée en utilisant les méthodes directes (programme MULTAN) et affinée par moindres carrés jusqu'à un facteur d'accord R = 0,099 à partir des mesures des intensités enregistrées sur un diffractomètre automatique
un léger jaunissement sous l'effet de la lumière solaire et ils se décomposent lentement sous rayonnement X. L'espèce 2 est obtenue sous forme de plaquettes monocristallines triangulaires. Ces cristaux sont extrêmement instables. Ils s'hydrolysent immédiatement à l'air pour donner un produit amorphe blanc. Par ailleurs, ils se décomposent très rapidement sous l'effet des rayons X. L'étude de ces deux espèces, par diffraction des rayons X, montre qu'elles sont de symétrie monoclinique : espèce 1: a=23,392(7) Å, b = 19,627(8) Å, c = 24,130(14) Å, β = 96,4(4)°, V=11009 Å3; groupe spatial C2/c; espèce 2: a = 23,154(7) Å, b=22,365(8) Å, c = 26,948(16) Å, β=112,6(4)°, V= 12883 Å3; groupe spatial P2₁/a. La structure cristalline de l'espèce 1 a été déterminée en utilisant les méthodes directes (programme MULTAN) et affinée par moindres carrés jusqu'à un facteur d'accord R = 0,099 à partir des mesures des intensités enregistrées sur un diffractomètre automatique (XMoKa). DESCRIPTION DE LA STRUCTURE. — La détermination de la structure cristalline met en évidence la présence d'entités moléculaires de formule Ti16tétra(14-O)octa(3-O)tetra(12-O)hexadeca(12-OC2H5)(OC2H5)16. La cohésion du cristal n'est assurée que par des contacts de Van der Waals entre les groupes méthyle. Dans l'aldehyde méthylique ou phénaméthylbenzène, Pauling [7] relève des contacts méthyle-méthyle entre 3,90 et 4,11 Å et attribue ainsi un rayon de Van der Waals de 2 Å à ce groupe. Dans le présent complexe, les contacts intermoléculaires les plus courts vont de 3,73 à 4,04 Å. La figure 1 présente deux vues, à 90° l'une de l'autre, de la partie inorganique Ti16048, les groupes éthyle ayant été supprimés pour plus de clarté. Ces deux vues soulignent la caractéristique principale de l'édifice : celui-ci est formé de deux blocs orthogonaux, de huit octaèdres chacun, admettant un pseudo-axe de rotation inverse 4. (L'absence de toute corrélation entre paramètres affinés permet d'écarter l'hypothèse d'un véritable axe 4 et, donc, d'une symétrie quadratique.) Aucun élément de symétrie associé au groupe Fig. 2. — Assemblage des deux groupes de huit octaèdres, vu suivant l'axe binaire. Fig. 2. — Twinning of the two groups of eight octahedra along the binary axis. 1750 C. R. Acad.