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2). INTRODUCTION. — Les données palynologiques fournissent des informations paléoclimatiques classiquement interprétées en fonction de la relation qualitative végétation-climat. Dans le but d'obtenir des estimations quantitatives, les méthodes statistiques mises au point pour les Foraminifères [1] ont été appliquées sur les pollens avec succès pour la première fois en Amérique du Nord [2]. La relation entre les données quantitatives de pollens exprimées en pourcentages (P) et certains paramètres climatiques (C) constitue la fonction de transfert (B). La reconstruction paléoclimatique quantitative comporte deux étapes : la calibration de B sur des échantillons actuels et son application aux séries fossiles conduisant à des estimations de C aux époques passées. La diversité floristique des grands ensembles végétaux nécessite l'obtention de fonctions de transferts particulières pour chacun d'entre eux. Après l'Amérique du Nord [2], de telles fonctions ont été obtenues en Inde [3], en Nouvelle-Zélande [4] et en Europe ([5], [6]). Nous présentons ici les premiers résultats concernant la calibration pour les végétations tropicales s'étendant des déserts aux étages afro-alpins de l'Afrique orientale. La méthodologie exposée ne peut être envisagée qu'en formulant l'hypothèse que dans les échantillons actuels utilisés, plantes et végétations sont en équilibre avec le climat ([7], [8]). La fonction de transfert n'utilise pas les données de la végétation elle-même mais les spectres polliniques actuels qui la représentent avec ce que cela suppose d'approximation et de distorsion. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1735-1740, 1988 1737 I. LES DONNÉES. — Les sites de prélèvement des spectres polliniques actuels ont été choisis dans les grands domaines phytogéographiques définis pour l'Afrique [9] en privilégiant les végétations relictuelles non perturbées. 1. Les données polliniques. — Nous avons utilisé 306 spectres fournis par les palynologues résultant de l'analyse d'échantillons de surface (tableau I) et non de sommets de sondages ([4], [6]). 271 spectres proviennent de collectes de terrain réalisées entre 1974 et 1986, par Bonnefille (208) en collaboration avec Riollet et de nombreux botanistes (Raynal, Friis, Gilbert, Gillett, Carr) et aussi par Vincens (63); les autres sont extraits de la littérature ([10], [11]). Les principaux types de végétation rencontrés entre 100 et
n'utilise pas les données de la végétation elle-même mais les spectres polliniques actuels qui la représentent avec ce que cela suppose d'approximation et de distorsion. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1735-1740, 1988 1737 I. LES DONNÉES. — Les sites de prélèvement des spectres polliniques actuels ont été choisis dans les grands domaines phytogéographiques définis pour l'Afrique [9] en privilégiant les végétations relictuelles non perturbées. 1. Les données polliniques. — Nous avons utilisé 306 spectres fournis par les palynologues résultant de l'analyse d'échantillons de surface (tableau I) et non de sommets de sondages ([4], [6]). 271 spectres proviennent de collectes de terrain réalisées entre 1974 et 1986, par Bonnefille (208) en collaboration avec Riollet et de nombreux botanistes (Raynal, Friis, Gilbert, Gillett, Carr) et aussi par Vincens (63); les autres sont extraits de la littérature ([10], [11]). Les principaux types de végétation rencontrés entre 100 et 4500 m d'altitude sous 150 à 2300 mm de pluviosité ont été échantillonnés (fig. I). Les spectres correspondant aux transects altitudinaux, proches spatialement, n'ont pas été regroupés car ils possèdent des informations climatiques différentes. 2. Sélection des taxons. — Les caractéristiques écologiques des plantes tropicales sont encore trop peu connues pour permettre un choix préalable des taxons. Nous n'avons éliminé que les taxons correspondant aux plantes introduites liées à l'anthropisation, aux aquatiques reflétant les conditions locales, les spores. Il reste entre 200 et mille pollens dans les comptages qui demeurent représentatifs des végétations concernées. Les végétations tropicales sont caractérisées par une grande diversité floristique qui se retrouve dans le grand nombre de taxons polliniques de la base de données (695). Des sélections statistiques sont donc nécessaires. Les taxons trop rares pour avoir une TABLEAU I Répartition des spectres polliniques modernes utilisés pour la reconstitution du climat. Distribution of modern pollen spectra used for climate reconstruction. Pays Nombre Altitude (m) Latitude Longitude Ethiopie 198 350 à 4000 5° à 12°N 34° à 41°E Kenya 92 100 à 4500 4°N à 4°S 34° à 41°E Burundi 16 2000 à 2430 3°S 29° à 30°E Fig. 1. — Répartition des spectres polliniques modernes
pour permettre un choix préalable des taxons. Nous n'avons éliminé que les taxons correspondant aux plantes introduites liées à l'anthropisation, aux aquatiques reflétant les conditions locales, les spores. Il reste entre 200 et mille pollens dans les comptages qui demeurent représentatifs des végétations concernées. Les végétations tropicales sont caractérisées par une grande diversité floristique qui se retrouve dans le grand nombre de taxons polliniques de la base de données (695). Des sélections statistiques sont donc nécessaires. Les taxons trop rares pour avoir une TABLEAU I Répartition des spectres polliniques modernes utilisés pour la reconstitution du climat. Distribution of modern pollen spectra used for climate reconstruction. Pays Nombre Altitude (m) Latitude Longitude Ethiopie 198 350 à 4000 5° à 12°N 34° à 41°E Kenya 92 100 à 4500 4°N à 4°S 34° à 41°E Burundi 16 2000 à 2430 3°S 29° à 30°E Fig. 1. — Répartition des spectres polliniques modernes en fonction de l'altitude (a); de la pluviosité annuelle (b). Fig. 1. — Distribution of modern surface samples versus altitude (a); annual rainfall (b). 1738 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1735-1740, 1988 TABLEAU II Résultats statistiques des interpolations des données météorologiques Statistical results of meteorological interpolated data. Seuil Températures Pluviosité Stations corrélées Pays météo. R (5%) r e r e Ethiopie 72 5°30 0,24 0,94 1,3°C 0,86 162 mm Kenya 68 4°00 0,24 0,98 0,8°C 0,63 227mm Burundi 34 3°00 0,35 0,97 0,7°C 0,84 110mm R = rayon de l'aire d'interpolation; r = coefficient de corrélation entre valeurs estimées et valeurs mesurées; e = écart-type des erreurs d'interpolation (S /l—r 2; S = écart-type total). R = radius of interpolation area; r = corrélation coefficient between estimated and measured values; e = standard déviation of interpolation errors (S /l—r2; S = total st. déviation). TABLEAU III Résultats statistiques des paramètres climatiques estimés sur les intervalles de vérification I et II. Statistical results of climatic estimated parameters on intervals of verification I and II. Température (°C) Pluviosité (mm) I II I II M 21,5 17,5 849,2 1090,5 M 21,7 18,1 841,1 1057,4 S 6,8 7,7 463,0
interpolated data. Seuil Températures Pluviosité Stations corrélées Pays météo. R (5%) r e r e Ethiopie 72 5°30 0,24 0,94 1,3°C 0,86 162 mm Kenya 68 4°00 0,24 0,98 0,8°C 0,63 227mm Burundi 34 3°00 0,35 0,97 0,7°C 0,84 110mm R = rayon de l'aire d'interpolation; r = coefficient de corrélation entre valeurs estimées et valeurs mesurées; e = écart-type des erreurs d'interpolation (S /l—r 2; S = écart-type total). R = radius of interpolation area; r = corrélation coefficient between estimated and measured values; e = standard déviation of interpolation errors (S /l—r2; S = total st. déviation). TABLEAU III Résultats statistiques des paramètres climatiques estimés sur les intervalles de vérification I et II. Statistical results of climatic estimated parameters on intervals of verification I and II. Température (°C) Pluviosité (mm) I II I II M 21,5 17,5 849,2 1090,5 M 21,7 18,1 841,1 1057,4 S 6,8 7,7 463,0 466,5 S 7,3 6,6 419,7 445,3 r 0,90 0,91 0,80 0,80 e 0,10% 0,60% 0,03% 0,50% M = moyenne mesurée; M = moyenne estimée; S = écart-type; r = coefficient de corrélation entre valeurs estimées et mesurées; e = écart-type entre moyennes mesurées et estimées rapporté à la variance. M. = mean measured values; M = mean estimated values; S = standard déviation; r = correlation coefficient between measured and estimated values e = deviation between measured and estimated means related to the variance. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1735-1740, 1988 1739 La signification quelconque dans l'analyse sont éliminés. Le seuil de sélection choisi tient compte du nombre total de taxons et de spectres. Nous avons retiré les taxons dont le pourcentage dans l'ensemble des spectres est inférieur à 2 puis ceux présents dans moins de 10 % des cas, ce qui permet l'exclusion des taxons allochtones aléatoires. Une deuxième sélection est basée sur l'analyse factorielle des correspondances. Les contributions absolues des taxons sur les axes factoriels issus de l'analyse et représentatifs des rapports entre eux sont étudiés. La proportion de variance représentée est décroissante du premier au dernier axe, la prise en compte des
= mean measured values; M = mean estimated values; S = standard déviation; r = correlation coefficient between measured and estimated values e = deviation between measured and estimated means related to the variance. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1735-1740, 1988 1739 La signification quelconque dans l'analyse sont éliminés. Le seuil de sélection choisi tient compte du nombre total de taxons et de spectres. Nous avons retiré les taxons dont le pourcentage dans l'ensemble des spectres est inférieur à 2 puis ceux présents dans moins de 10 % des cas, ce qui permet l'exclusion des taxons allochtones aléatoires. Une deuxième sélection est basée sur l'analyse factorielle des correspondances. Les contributions absolues des taxons sur les axes factoriels issus de l'analyse et représentatifs des rapports entre eux sont étudiés. La proportion de variance représentée est décroissante du premier au dernier axe, la prise en compte des 3 premiers axes étant amplement suffisante. Nous avons éliminé les taxons n'ayant que des contributions inférieures à 0,5 sur ces 3 axes. Nous avons constaté que les variables pollens ainsi éliminées n'avaient pas de signification écologique particulière. Il restait, sur les axes factoriels, des taxons isolés dont l'élimination a été discutée par rapport à leur importance écologique et à leur signification climatique. Une procédure identique est appliquée à la sélection des spectres. La matrice finale est alors constituée de 227 spectres et de 70 taxons. 3. Les données climatiques. — La collecte des données a nécessité de nombreuses collaborations avec les différents services météorologiques concernés ainsi qu'auprès du C.I.D.A.T. ([12], [13]). Dans de nombreux cas, les données fournies sont discontinues, et peu de stations possèdent des normales sur 30 ans. En Afrique, le nombre de stations météorologiques est restreint et rarement proches des sites de prélèvement. Les températures et précipitations moyennes annuelles ont été déterminées par interpolation [14]. Le calcul est basé sur la moyenne pondérée du climat mesuré en des points voisins du site de prélèvement, en tenant compte du gradient altitudinal. Le rayon de recherche des stations météorologiques est fixé entre 3 et 5°30' de coordonnées géographiques. Le
discutée par rapport à leur importance écologique et à leur signification climatique. Une procédure identique est appliquée à la sélection des spectres. La matrice finale est alors constituée de 227 spectres et de 70 taxons. 3. Les données climatiques. — La collecte des données a nécessité de nombreuses collaborations avec les différents services météorologiques concernés ainsi qu'auprès du C.I.D.A.T. ([12], [13]). Dans de nombreux cas, les données fournies sont discontinues, et peu de stations possèdent des normales sur 30 ans. En Afrique, le nombre de stations météorologiques est restreint et rarement proches des sites de prélèvement. Les températures et précipitations moyennes annuelles ont été déterminées par interpolation [14]. Le calcul est basé sur la moyenne pondérée du climat mesuré en des points voisins du site de prélèvement, en tenant compte du gradient altitudinal. Le rayon de recherche des stations météorologiques est fixé entre 3 et 5°30' de coordonnées géographiques. Le coefficient de corrélation est alors maximal entre valeurs interpolées et mesurées (tableau II). II. CALIBRATION DE LA FONCTION DE TRANSFERT. — Les pourcentages (P) sont transformés en forme logarithmique selon : Le but de cette transformation est d'atténuer les amples variations des forts pourcentages dont la signification est moindre que les faibles variations des petits pourcentages, et d'éviter ainsi d'éventuelles distorsions. La régression canonique utilisée [15] est basée sur l'étude des composantes canoniques issues de la matrice de corrélation entre les deux groupes de variables en présence : taxons et données climatiques. Les composantes canoniques représentent des combinaisons linéaires entre ces variables mettant en valeur les plus fortes corrélations entre ces deux groupes et sont indépendantes entre elles. Le calcul des coefficients de régression de chaque taxon est basé sur ces composantes. La base de données est divisée en deux sous-ensembles I et II contenant le même nombre de spectres répartis uniformément dans les différents types de végétation. Le calcul des coefficients de régression est fait d'abord sur I, une vérification indépendante ayant lieu sur II. La démarche est répétée en permutant le rôle des sous-ensembles I et II. Ceci permet de vérifier la stabilité, et la fiabilité, des coefficients
les faibles variations des petits pourcentages, et d'éviter ainsi d'éventuelles distorsions. La régression canonique utilisée [15] est basée sur l'étude des composantes canoniques issues de la matrice de corrélation entre les deux groupes de variables en présence : taxons et données climatiques. Les composantes canoniques représentent des combinaisons linéaires entre ces variables mettant en valeur les plus fortes corrélations entre ces deux groupes et sont indépendantes entre elles. Le calcul des coefficients de régression de chaque taxon est basé sur ces composantes. La base de données est divisée en deux sous-ensembles I et II contenant le même nombre de spectres répartis uniformément dans les différents types de végétation. Le calcul des coefficients de régression est fait d'abord sur I, une vérification indépendante ayant lieu sur II. La démarche est répétée en permutant le rôle des sous-ensembles I et II. Ceci permet de vérifier la stabilité, et la fiabilité, des coefficients de régression obtenus pour chacun des 70 taxons polliniques étudiés. La comparaison des températures et des pluviosités moyennes annuelles calculées par l'équation établie à partir de ces 70 coefficients et les paramètres climatiques montre des corrélations élevées et significatives à moins de 1 %. L'étude des moyennes et des écarts-types des valeurs de températures et de précipitations mesurées permet de vérifier la capacité d'extrapolation de la méthode : malgré la différence de 4°C et 141 mm entre les sous-ensembles I et II, les moyennes estimées sont proches des moyennes observées (tableau III). La méthode peut donc être appliquée à des situations différentes de celles ayant servi à la calibration. L'écart quadratique entre moyenne observée et calculée rapportée à la variance est inférieur à 1% dans tous les cas. Les écarts-types estimés sont très proches des valeurs observées, indiquant que la reconstruction est bonne, y compris pour les climats extrêmes (fig. 2). CONCLUSION. — En Afrique Orientale, l'intrication des facteurs orographiques, s'ajoutant à une dynamique climatique régionale compliquée, entraîne diversité et hétérogénéité des végétations. La démarche utilisée montre que les spectres polliniques modernes contiennent suffisamment d'information climatique pour l'obtention d'une bonne calibration de la fonction de transfert pollen-climat. L'application des résultats
des valeurs de températures et de précipitations mesurées permet de vérifier la capacité d'extrapolation de la méthode : malgré la différence de 4°C et 141 mm entre les sous-ensembles I et II, les moyennes estimées sont proches des moyennes observées (tableau III). La méthode peut donc être appliquée à des situations différentes de celles ayant servi à la calibration. L'écart quadratique entre moyenne observée et calculée rapportée à la variance est inférieur à 1% dans tous les cas. Les écarts-types estimés sont très proches des valeurs observées, indiquant que la reconstruction est bonne, y compris pour les climats extrêmes (fig. 2). CONCLUSION. — En Afrique Orientale, l'intrication des facteurs orographiques, s'ajoutant à une dynamique climatique régionale compliquée, entraîne diversité et hétérogénéité des végétations. La démarche utilisée montre que les spectres polliniques modernes contiennent suffisamment d'information climatique pour l'obtention d'une bonne calibration de la fonction de transfert pollen-climat. L'application des résultats obtenus à la reconstruction climatique passée sur des séquences fossiles est l'étape suivante de ce travail, en tenant compte du fait que le domaine temporel peut avoir des caractéristiques très différentes du domaine spatial actuel. Nous remercions J. C. Duplessy pour les encouragements apportés à ce travail. Pour les premiers essais de calibration, ces recherches ont bénéficié de l'aide de P. Tucholka, R. Smadja, A. Vincens, de la collaboration de M. Roux et, pour les données météorologiques, de A. B. Ergo. Les A.F.C. ont été faites grâce à la programmathèque BIOMECO du C.E.P.E. à Montpellier. Ce travail a été effectué grâce à la collaboration technique de G. Riollet, G. Buchet à qui l'on doit les comptages polliniques et de N. Buchet pour leur gestion sur IBM. Il a bénéficié du support financier du PNEDC et du soutien moral de A. Pons et de H. Puig. Note reçue le 27 juillet 1988, acceptée le 26 septembre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] J. IMBRIE et N. G. KIPP, The late Cenozoic glacial ages, K. K. TUREKIAN éd., New-Haven; Yale University Press, 1971. [2] T. WEBB III et R. A. BRYSON, Quaternary research, 2, 1972, p. 70-115. [3] A. M. SWAIN, J. E. KUTZBACH
essais de calibration, ces recherches ont bénéficié de l'aide de P. Tucholka, R. Smadja, A. Vincens, de la collaboration de M. Roux et, pour les données météorologiques, de A. B. Ergo. Les A.F.C. ont été faites grâce à la programmathèque BIOMECO du C.E.P.E. à Montpellier. Ce travail a été effectué grâce à la collaboration technique de G. Riollet, G. Buchet à qui l'on doit les comptages polliniques et de N. Buchet pour leur gestion sur IBM. Il a bénéficié du support financier du PNEDC et du soutien moral de A. Pons et de H. Puig. Note reçue le 27 juillet 1988, acceptée le 26 septembre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] J. IMBRIE et N. G. KIPP, The late Cenozoic glacial ages, K. K. TUREKIAN éd., New-Haven; Yale University Press, 1971. [2] T. WEBB III et R. A. BRYSON, Quaternary research, 2, 1972, p. 70-115. [3] A. M. SWAIN, J. E. KUTZBACH et S. HASTENRATH, Quaternary research, 19, 1983, p. 1-17. [4] D. A. NORTON, M. S. McGLONE et T. WIGLEY, N.-Z. J. of Bot, 24, 1986, p. 331-342. [5] R. SABATIER et M. VAN CAMPO, Bull. Soc. Bot. Fr., 131, Actualités Botaniques, 1984, p. 85-96. [6] J. GUIOT et A. PONS, C. R. Acad. Sci. Paris, 302, série H, 1986, p. 911-916. [7] J. GUIOT, Vegetatio, 67, 1986, p. 65-74. [8] T. WEBB III, Vegetatio, 67, 1986, p. 75-91. [9] R. KEAY, Carte de la végétation d’Afrique au sud du tropique du Cancer, Oxford University Press, AEFTAT, Unesco, 1959, 24 p. [10] O. HEDBERG, Oikos, 5, 1954, p. 137-166. [11] A. C. HAMILTON et R. A. PERROTT, Pollen et Spores, 22, n° 3-4, 1980, p. 437-468. [12] A. B. ERGO et B. DE HALLEUX, Banque de données climatiques, A.C.C.T., publication C.I.D.A.T., 1981, 53 p. [13] A. B. ERGO et B. DE HALLEUX, Catalogue mondial des données climatiques moyennes, II, l’Afrique, Publication C.I.D.A.T., 1984, 203 p. [14] J. GUIOT, Quaternary research, 28, 1987, p. 100-118. [15] H. R. GLAHN, J. of the Atmospheric Sci, 25, 1968, p. 23-31. J.-C. R. et R. B. : Géologie du Quaternaire C.N.R.S. Luminy, 13288 Marseille; J.
C. R. Acad. Sci. Paris, 302, série H, 1986, p. 911-916. [7] J. GUIOT, Vegetatio, 67, 1986, p. 65-74. [8] T. WEBB III, Vegetatio, 67, 1986, p. 75-91. [9] R. KEAY, Carte de la végétation d’Afrique au sud du tropique du Cancer, Oxford University Press, AEFTAT, Unesco, 1959, 24 p. [10] O. HEDBERG, Oikos, 5, 1954, p. 137-166. [11] A. C. HAMILTON et R. A. PERROTT, Pollen et Spores, 22, n° 3-4, 1980, p. 437-468. [12] A. B. ERGO et B. DE HALLEUX, Banque de données climatiques, A.C.C.T., publication C.I.D.A.T., 1981, 53 p. [13] A. B. ERGO et B. DE HALLEUX, Catalogue mondial des données climatiques moyennes, II, l’Afrique, Publication C.I.D.A.T., 1984, 203 p. [14] J. GUIOT, Quaternary research, 28, 1987, p. 100-118. [15] H. R. GLAHN, J. of the Atmospheric Sci, 25, 1968, p. 23-31. J.-C. R. et R. B. : Géologie du Quaternaire C.N.R.S. Luminy, 13288 Marseille; J. G. : Botanique historique et Palynologie, U.A. 1152, Saint-Jérôme, 13397 Marseille. As a consequence of the paradox, its moment (8) vanishes as © = <». Figure 2 exhibits the variation of α vs. co. These values have been computed using the methods proposed in [1] and [10]. One can point out that − 1 is generally a single value except in two cases © = 71 and (© = 2©*, the critical value, where it becomes double (we have Note présentée par Enrique SANCHEZ-PALENCIA. 0249-6305/88/03071741 S 2.00 © Académie des Sciences C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 117 1742 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1741-1746, 1988 no rigorous proof of this, it is purely a numerical verification). In the first case, − 1 is associated with two eigenvectors (7) and (9). In the second case the eigenvalue − 1 is defective. To prove this point it is sufficient to verify that the right hand member of the non-homogeneous singular system (5) (with a= − 1 and u_a = u_1) is orthogonal to the kernel of A(l), i.e. to u_[w(10)]. The problem has therefore the additional solution (11). Formula (2) applied to (11)
out that − 1 is generally a single value except in two cases © = 71 and (© = 2©*, the critical value, where it becomes double (we have Note présentée par Enrique SANCHEZ-PALENCIA. 0249-6305/88/03071741 S 2.00 © Académie des Sciences C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 117 1742 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1741-1746, 1988 no rigorous proof of this, it is purely a numerical verification). In the first case, − 1 is associated with two eigenvectors (7) and (9). In the second case the eigenvalue − 1 is defective. To prove this point it is sufficient to verify that the right hand member of the non-homogeneous singular system (5) (with a= − 1 and u_a = u_1) is orthogonal to the kernel of A(l), i.e. to u_[w(10)]. The problem has therefore the additional solution (11). Formula (2) applied to (11) is independent of r_0 (the radius of the circle along which the integral is computed). It is numerically observed that this moment J_1 (12) is not zero which removes the paradox. It is, once more, a purely numerical verification, however, these numerical results are quite accurate, they provide the satisfactory estimation co*=1429ît, where J_1=0 and J_1'= −5.413. More explicit expressions would probably require very long analytical calculations which are perhaps not essential "since the world is not really waiting breathlessly for the solution to the problem" [11]. A similar feature is observed in composite materials. For instance, in the case of a bimaterial (Fig. 3), as co = TT, − 1 is a single eigenvalue (since the straight edge of a bimaterial is singular) but two critical angles ©_f=0.827t and (©_f = 1.39K arise (Fig. 4), such that J_1' =0 and J_1=0. It is to be noticed that these numerical results require the computation of the root vector v_a as proposed in [10]. I. INTRODUCTION. — Le paradoxe de Sternberg-Koiter. — Dans le cadre de l'élasticité bidimensionnelle, Carothers en 1912 a donné une solution au problème d'un secteur d'angle co formé par un matériel homogène et isotrope, chargé en son