jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
même graphique avec une échelle différente mais toujours linéaire les mêmes nombres mesurés \(N(E)\) multipliés par l'énergie \(hf\) des photons de l'intervalle. Selon l'équation (2), chaque \(e^-\) devrait apporter à \(E(N(E))\) une contribution constante et compte tenu de l'équation (3), \(E(N(E))\) devrait être une fonction décroissante de \(E\). Il n'en est pas ainsi dans l'intervalle 1,4-2,0 eV. Dans cet intervalle, \(dN/dE\) n'a pas la courbure prévue, et \(E(N(E))\) n'a pas la pente prévue. Nous avons vérifié que des effets analogues ont lieu dans le krypton dense. UN MODÈLE DE « CAGE ITINÉRANTE » À PAROIS DIFFUSANTES. — En optique, on peut confiner sans perte une onde soit par des miroirs soit par des diffuseurs. Dans le cas de miroirs de formes géométriques bien définies, le calcul de la situation intérieure doit se faire « en amplitude »; pour des parois diffusantes, il doit être « en intensité », c'est-à-dire qu'on additionnera des carrés de modules d'amplitude. En physique des solides, ces problèmes de « localisation » sont nombreux. En fait, nous ne cherchons pas du tout à empêcher l'électron de bouger; nous cherchons à montrer qu'environné de nombreux diffuseurs, \(Ye^-\) ne dispose plus de la même densité d'états accessibles par une transition optique. Le modèle d'une « cage » ayant un rayon bien déterminé est commode pour obtenir l'ordre de grandeur des paramètres décrivant la nouvelle densité d'états accessibles. Les amplitudes diffusées dans l'interaction \(e^--atome\) étant définies par \(f(r)\) où l'angle \(0\) indique la direction, nous nous servirons de \(|f(0)|^2\) pour déterminer la dimension de la cage. Depuis les premiers calculs de Holtzmark [16], le calcul de \(f(0)\) pour les interactions \(e^-gaz\) rares a été sans cesse perfectionné [17]. Les vérifications expérimentales proviennent de mesures directes de sections efficaces de collision ([18], [19]), de mesures de mobilité électrique ([20], [21]) et des déplacements spectraux induits par la présence de gaz. Fermi [22] a en effet remarqué la situation de quasi-liberté des électrons sur des états liés de grand nombre quantique et a relié les décalages spectraux à la partie réelle de /\(\delta\)(0). Prenant pour origine un point quelconque (nous sommes
une transition optique. Le modèle d'une « cage » ayant un rayon bien déterminé est commode pour obtenir l'ordre de grandeur des paramètres décrivant la nouvelle densité d'états accessibles. Les amplitudes diffusées dans l'interaction \(e^--atome\) étant définies par \(f(r)\) où l'angle \(0\) indique la direction, nous nous servirons de \(|f(0)|^2\) pour déterminer la dimension de la cage. Depuis les premiers calculs de Holtzmark [16], le calcul de \(f(0)\) pour les interactions \(e^-gaz\) rares a été sans cesse perfectionné [17]. Les vérifications expérimentales proviennent de mesures directes de sections efficaces de collision ([18], [19]), de mesures de mobilité électrique ([20], [21]) et des déplacements spectraux induits par la présence de gaz. Fermi [22] a en effet remarqué la situation de quasi-liberté des électrons sur des états liés de grand nombre quantique et a relié les décalages spectraux à la partie réelle de /\(\delta\)(0). Prenant pour origine un point quelconque (nous sommes en milieu désordonné), l'angle solide obtenu par des diffuseurs de section Q et de densité L3 sera dans une sphère de rayon r : (4) Nous définissons le rayon R de la « cage diffusante » en posant Q(R) = 4%. R sera donc identique à un « libre parcours » L3 Q1. Il nous faut choisir une section efficace de diffusion. Il nous paraît plus rigoureux de ne retenir que les diffusions « vers l'arrière » et de prendre pour Q la quantité Q_ résultant de l'intégration de n/2 à n de |/\(\delta\)(0)|2sinO. On pourrait aussi utiliser la section efficace QM de transfert de moment qui intervient dans les mobilités électriques; elle résulte de l'intégration de 0 à m de |/\(\delta\)(0)|2(1—cos0)sin0d0; le facteur (1—cos0) y donne aussi un poids plus grand à l'arrière. Les sections Q_ et QM dépendent de l'énergie e des électrons. En exprimant R en unités a0 où a0 est le rayon de Bohr a0 = 0,529.108 cm, on trouve dans l'argon à la densité L~ 3 = 7,5.1021 cm3 (L = 9,66a0) en utilisant la section Q_ : R = 63a0 pour e = 0; R = 334a0 pour e = 2eV; R = 161a0
» L3 Q1. Il nous faut choisir une section efficace de diffusion. Il nous paraît plus rigoureux de ne retenir que les diffusions « vers l'arrière » et de prendre pour Q la quantité Q_ résultant de l'intégration de n/2 à n de |/\(\delta\)(0)|2sinO. On pourrait aussi utiliser la section efficace QM de transfert de moment qui intervient dans les mobilités électriques; elle résulte de l'intégration de 0 à m de |/\(\delta\)(0)|2(1—cos0)sin0d0; le facteur (1—cos0) y donne aussi un poids plus grand à l'arrière. Les sections Q_ et QM dépendent de l'énergie e des électrons. En exprimant R en unités a0 où a0 est le rayon de Bohr a0 = 0,529.108 cm, on trouve dans l'argon à la densité L~ 3 = 7,5.1021 cm3 (L = 9,66a0) en utilisant la section Q_ : R = 63a0 pour e = 0; R = 334a0 pour e = 2eV; R = 161a0 pour e = 3 eV; R = 69 a0 pour e = 5 eV; R = 33 a0 pour E = 7,5 eV. La grandeur R dépend fortement de s. Entre e = 0 et s = 2 eV, autour de 0,3 eV se trouve un minimum de Q inférieur à a2,. En utilisant la section QM, on aurait trouvé respectivement 31,5a0; 106a0; 58a0, 27a0; 14 a0. Si cette cage a une réalité physique, elle définit une énergie cinétique minimale SM = h2/m R2 qui vaut dans nos conditions sM = 6,8.10−3 eV si R est calculé avec Q_ et 27,2.10−3 eV (environ kT à 300 K) si on la calcule avec QM. Cette énergie qui est proportionnelle au carré de la densité, n'est pas celle qui intervient dans les transitions induites par la lumière. En effet, considérons l'absorption d'un quantum h\nu à partir d'une onde dirigée selon q; si nous prenons q pour axe OZ, le caractère transversal de l'onde restreint son effet à une « surface » Kx, Ky de l'espace réciproque. D'autre part, la règle de sélection |A| = 1 limite encore les états accessibles parmi les niveaux dispersés dans toutes les familles Z, / allant de
à a2,. En utilisant la section QM, on aurait trouvé respectivement 31,5a0; 106a0; 58a0, 27a0; 14 a0. Si cette cage a une réalité physique, elle définit une énergie cinétique minimale SM = h2/m R2 qui vaut dans nos conditions sM = 6,8.10−3 eV si R est calculé avec Q_ et 27,2.10−3 eV (environ kT à 300 K) si on la calcule avec QM. Cette énergie qui est proportionnelle au carré de la densité, n'est pas celle qui intervient dans les transitions induites par la lumière. En effet, considérons l'absorption d'un quantum h\nu à partir d'une onde dirigée selon q; si nous prenons q pour axe OZ, le caractère transversal de l'onde restreint son effet à une « surface » Kx, Ky de l'espace réciproque. D'autre part, la règle de sélection |A| = 1 limite encore les états accessibles parmi les niveaux dispersés dans toutes les familles Z, / allant de zéro à environ KR. La façon la plus simple de tenir compte de ces restrictions qui « aplatissent » en fait un problème à 3 degrés de liberté sur un seul est de raisonner en ondes partielles avec le centre de la cage pour origine. En lumière polarisée circulairement à gauche, seuls seront accessibles les états / à partir d'un état de moment /— 1. Leurs intervalles sont déterminés par la forme asymptotique de l'onde Nous négligeons ici la variation de R pour AK = \(\frac{\text{TIR}}{i}\). Quand K est très supérieur à TIR1, cela correspond à un intervalle d'énergie Cette énergie qui sépare les transitions optiques possibles est proportionnelle à la densité L3 et à la section de diffusion Q. La seule propriété d'une « cage » que nous utilisions finalement est l'impossibilité d'y aller bien loin le long d'une droite quelconque. L'équation (7) a un aspect classique simple si on remarque que \(\frac{\text{hK}}{\text{m}}\) est la vitesse v : oue = 7r.«R_1». Toujours dans l'argon à la densité L~ 3 = 7,5.1021 cm3 en utilisant Q_, les valeurs de h\nu sont : h\nu_e=0,1 eV pour e = 2 eV; h\nu_e = 0,25 eV pour e = 3 eV; h\nu_e =
gauche, seuls seront accessibles les états / à partir d'un état de moment /— 1. Leurs intervalles sont déterminés par la forme asymptotique de l'onde Nous négligeons ici la variation de R pour AK = \(\frac{\text{TIR}}{i}\). Quand K est très supérieur à TIR1, cela correspond à un intervalle d'énergie Cette énergie qui sépare les transitions optiques possibles est proportionnelle à la densité L3 et à la section de diffusion Q. La seule propriété d'une « cage » que nous utilisions finalement est l'impossibilité d'y aller bien loin le long d'une droite quelconque. L'équation (7) a un aspect classique simple si on remarque que \(\frac{\text{hK}}{\text{m}}\) est la vitesse v : oue = 7r.«R_1». Toujours dans l'argon à la densité L~ 3 = 7,5.1021 cm3 en utilisant Q_, les valeurs de h\nu sont : h\nu_e=0,1 eV pour e = 2 eV; h\nu_e = 0,25 eV pour e = 3 eV; h\nu_e = 0,76 eV pour e = 5 eV et h\nu_e = 2,32 eV pour e = 7,5 eV. En utilisant la section QM de transfert de moment, on trouverait respectivement : 0,31 eV; 0,69 eV; 1,94 eV; 5,45 eV. CONSÉQUENCES POUR LES SPECTRES. — Les énergies h\nu_e ne sont pas toutes négligeables devant le quantum h\nu = 1,4 eV qui marque la limite de nos spectres et dans ce domaine spectral l'émission sera diminuée par la raréfaction des états accessibles. L'existence d'une fréquence limite h\nu_e n'est pas un effet de haute densité. Ce qu'il y a de particulier dans les expériences à haute densité, c'est que h\nu_e s'est rapprochée des fréquences visibles. Mais, si basse que soit la densité, il y a toujours une fréquence et la divergence « infrarouge » de l'équation (2) n'existe pas. Pour aller plus loin dans l'analyse des conséquences de l'écart h\nu_e, il faut calculer les éléments de matrices et la largeur des raies ainsi apparues. Si cette largeur est due aux fluctuations de la densité des atomes, elle sera en valeur relative de l'ordre de \(\frac{\text{Q}}{\text{2R}}\)^1. Une façon globale et peu satisfaisante de traiter le problème consiste à faire confiance à l'équation (2) jusqu'à h\nu
négligeables devant le quantum h\nu = 1,4 eV qui marque la limite de nos spectres et dans ce domaine spectral l'émission sera diminuée par la raréfaction des états accessibles. L'existence d'une fréquence limite h\nu_e n'est pas un effet de haute densité. Ce qu'il y a de particulier dans les expériences à haute densité, c'est que h\nu_e s'est rapprochée des fréquences visibles. Mais, si basse que soit la densité, il y a toujours une fréquence et la divergence « infrarouge » de l'équation (2) n'existe pas. Pour aller plus loin dans l'analyse des conséquences de l'écart h\nu_e, il faut calculer les éléments de matrices et la largeur des raies ainsi apparues. Si cette largeur est due aux fluctuations de la densité des atomes, elle sera en valeur relative de l'ordre de \(\frac{\text{Q}}{\text{2R}}\)^1. Une façon globale et peu satisfaisante de traiter le problème consiste à faire confiance à l'équation (2) jusqu'à h\nu = h\nu_e et à négliger toute émission pour h\nu&lt;\Delta\nu: a (s — h\nu, E) étant en GO1, les coefficients (j(e±h\nu, s) seront selon l'équation (1) en h\nu_ 3. Quand h\nu&lt;h\nu_e, la quantité Z (a\nu) = a (s + h \nu, E) — a (E — h \nu, E) qui définit l'absorption nette (absorption moins émission stimulée) sera en a\nu_ 2. La règle de somme de Thomas-Kuhn prévoit pour l'intégrale de 2Z(a\nu)d\nu la valeur universelle 2n2e2(mc)^-1. On l'obtient effectivement en la bornant inférieurement par h\nu_e. Fréquences et éléments de matrice issus d'un calcul exact devront satisfaire à la même règle. Un calcul semi-classique prévoit une valeur maximale de la fonction a de l'ordre de v2c2 (e2h c) pour a = coe et une décroissance en 1/cue vers les basses fréquences. PERSPECTIVES. — L'image d'une cage à parois diffusantes apparaît comme un point de départ possible pour l'analyse des spectres optiques à haute densité. Ce modèle ne prétend pas donner la perturbation apportée par les diffuseurs à la densité d'états des électrons; ce problème a été résolu au premier ordre en densité par G. Uhlenbeck et E. Beth dans leur théorie quantique du viriel. Mais il est commode pour décrire statistiquement les
l'absorption nette (absorption moins émission stimulée) sera en a\nu_ 2. La règle de somme de Thomas-Kuhn prévoit pour l'intégrale de 2Z(a\nu)d\nu la valeur universelle 2n2e2(mc)^-1. On l'obtient effectivement en la bornant inférieurement par h\nu_e. Fréquences et éléments de matrice issus d'un calcul exact devront satisfaire à la même règle. Un calcul semi-classique prévoit une valeur maximale de la fonction a de l'ordre de v2c2 (e2h c) pour a = coe et une décroissance en 1/cue vers les basses fréquences. PERSPECTIVES. — L'image d'une cage à parois diffusantes apparaît comme un point de départ possible pour l'analyse des spectres optiques à haute densité. Ce modèle ne prétend pas donner la perturbation apportée par les diffuseurs à la densité d'états des électrons; ce problème a été résolu au premier ordre en densité par G. Uhlenbeck et E. Beth dans leur théorie quantique du viriel. Mais il est commode pour décrire statistiquement les restrictions apportées par les diffuseurs à la densité des états accessibles par transitions optiques à partir d'un état donné. De plus, il fait apparaître une énergie cinétique minimale « de fond » h2/m R2 proportionnelle au carré de la densité dont l'ordre de grandeur est celui d'une énergie thermique à 100 K. Il serait intéressant de savoir si ce terme a une réalité physique mais le calcul de ses effets éventuels sera rendu délicat par la très grande sensibilité à l'énergie des amplitudes de diffusion près de la limite K=0. Il nous faut enfin remarquer que nous prévoyons une relation linéaire entre fréquence de coupure coe et densité L3 mais que nos expériences ne déterminent qu'un point de la courbe a=coe(L~3). Vers les plus hautes densités, les expériences sont difficiles à imaginer car h(ue se rapprochera trop de l'énergie d'ionisation. Vers les basses densités, coe s'enfoncera dans les domaines infrarouges de plus en plus lointains où les mesures spectrales sont plus difficiles car on n'y dispose pas de détecteurs photomultiplicateurs analogues à ceux que nous avons utilisés pour /ia> = 1,4 eV. Note reçue le 23 décembre 1987, acceptée le 3 août 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] O. B. FIRSOV et
100 K. Il serait intéressant de savoir si ce terme a une réalité physique mais le calcul de ses effets éventuels sera rendu délicat par la très grande sensibilité à l'énergie des amplitudes de diffusion près de la limite K=0. Il nous faut enfin remarquer que nous prévoyons une relation linéaire entre fréquence de coupure coe et densité L3 mais que nos expériences ne déterminent qu'un point de la courbe a=coe(L~3). Vers les plus hautes densités, les expériences sont difficiles à imaginer car h(ue se rapprochera trop de l'énergie d'ionisation. Vers les basses densités, coe s'enfoncera dans les domaines infrarouges de plus en plus lointains où les mesures spectrales sont plus difficiles car on n'y dispose pas de détecteurs photomultiplicateurs analogues à ceux que nous avons utilisés pour /ia> = 1,4 eV. Note reçue le 23 décembre 1987, acceptée le 3 août 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] O. B. FIRSOV et M. I. CHIBISOV, Sov. Phys. J.E.T.P., 12, 1961, p. 1235-1239. [2] W. B. SOMERVILLE, Astrophys. Jnl., 139, 1964, p. 192-197. [3] M. ASHKIN, Phys. Rev., 141, 1966, p. 41-44. [4] R. R. JOHNSTON, J. Quant. Spectrosc. Radiat. Transfer, 7, 1967, p. 815-835. [5] N. M. KROLL et K. M. WATSON, Phys. Rev., 8A, 1973, p. 804-809. [6] P. W. COULTER, Phys. Rev., 28A, 1983, p. 2881-2884. [7] J. C. MORRIS, R. V. KREY et R. L. GARRISON, Phys. Rev., 180, 1969, p. 167-183. [8] V. M. BATENIN et V. F. CHINNOV, Sov. Phys. J.E.T.P., 34, 1972, p. 30-33. [9] J. R. STALLCOP, Astron. Astrophys., 30, 1974, p. 293-296. [10] C. YAMABE, S. J. BUCKMAN et A. V. PHELPS, Phys. Rev., 21k, 1983, p. 1345-1352. [11] A. RUTSCHER et S. PFAU, Physica, 81C, 1976, p. 395-402. [12] M. LOUIS-JACQUET, Thèse, Université de Paris-VI, 1977, 201 p. [13] A. WEINGARTSHOFER, E. M. CLARKE, J. K. HOLMES et C. YUNG, Phys. Rev., 19A, 1979, p. 2371-2376. [14] A. WEINGARTSHOFER, J. K. HOLMES, J. SABBAGH et S. L. CHIN, J. Phys., B16, 1983, p. 1805-1817. [15] G. MAYER, Nucl. Instr. and Meth., A254, 1987, p. 100-110. [16] J. HOLTSMARK, Z. Phys., 55, 1929, p.
Phys. Rev., 8A, 1973, p. 804-809. [6] P. W. COULTER, Phys. Rev., 28A, 1983, p. 2881-2884. [7] J. C. MORRIS, R. V. KREY et R. L. GARRISON, Phys. Rev., 180, 1969, p. 167-183. [8] V. M. BATENIN et V. F. CHINNOV, Sov. Phys. J.E.T.P., 34, 1972, p. 30-33. [9] J. R. STALLCOP, Astron. Astrophys., 30, 1974, p. 293-296. [10] C. YAMABE, S. J. BUCKMAN et A. V. PHELPS, Phys. Rev., 21k, 1983, p. 1345-1352. [11] A. RUTSCHER et S. PFAU, Physica, 81C, 1976, p. 395-402. [12] M. LOUIS-JACQUET, Thèse, Université de Paris-VI, 1977, 201 p. [13] A. WEINGARTSHOFER, E. M. CLARKE, J. K. HOLMES et C. YUNG, Phys. Rev., 19A, 1979, p. 2371-2376. [14] A. WEINGARTSHOFER, J. K. HOLMES, J. SABBAGH et S. L. CHIN, J. Phys., B16, 1983, p. 1805-1817. [15] G. MAYER, Nucl. Instr. and Meth., A254, 1987, p. 100-110. [16] J. HOLTSMARK, Z. Phys., 55, 1929, p. 437-445. [17] R. P. MCEACHRAN et A. D. STAUFFER, J. Phys., B16, 1983, p. 4023-4038. [18] H. F. MAYER, Thèse, Université de Heidelberg, 1920, 171 p. et Ann. Phys., 64, 1921, p. 451-480. [19] C. RAMSAUER et R. KOLLATH, Ann. Phys., 3, 1929, p. 536-564. [20] J. S. TOWNSEND et V. A. BAILEY, Phil. Mag., 44, 1922, p. 1033-1052 et 46, 1923, p. 661-664. [21] L. S. FROST et A. V. PHELPS, Phys. Rev., 136A, 1964, p. 1538-1545. [22] E. FERMI, Nuovo Cimento, 11, 1934, p. 157-165. [23] G. E. UHLENBECK et E. BETH, Physica, 3, 1936, p. 729-745; 4, 1937, p. 915-924. Laboratoire d'Optique quantique du Groupe de Physique des Solides de l'École normale supérieure, Université Paris-VII, 2, place Jussieu, 75251 Paris Cedex 05. C. R. Acad. Sci. Paris, t 307, Série H, p. 1333-1336, 1988 1333 Chimie théorique/Theoretical Chemistry Reconstruction des fonctions d'onde du potentiel coulombien sans recours à l'équation de Schrödinger Claude TAVARD Résumé — Il est proposé de reconstruire les fonctions d'onde représentant les états liés du potentiel coulombien à partir de la simple règle de la conservation de l'énergie et des propriétés structurales de l'espace de phase. Rebuilding the bound states of the hydrogenic Systems
V. A. BAILEY, Phil. Mag., 44, 1922, p. 1033-1052 et 46, 1923, p. 661-664. [21] L. S. FROST et A. V. PHELPS, Phys. Rev., 136A, 1964, p. 1538-1545. [22] E. FERMI, Nuovo Cimento, 11, 1934, p. 157-165. [23] G. E. UHLENBECK et E. BETH, Physica, 3, 1936, p. 729-745; 4, 1937, p. 915-924. Laboratoire d'Optique quantique du Groupe de Physique des Solides de l'École normale supérieure, Université Paris-VII, 2, place Jussieu, 75251 Paris Cedex 05. C. R. Acad. Sci. Paris, t 307, Série H, p. 1333-1336, 1988 1333 Chimie théorique/Theoretical Chemistry Reconstruction des fonctions d'onde du potentiel coulombien sans recours à l'équation de Schrödinger Claude TAVARD Résumé — Il est proposé de reconstruire les fonctions d'onde représentant les états liés du potentiel coulombien à partir de la simple règle de la conservation de l'énergie et des propriétés structurales de l'espace de phase. Rebuilding the bound states of the hydrogenic Systems without the use of the Schrödinger equation Abstract — The bound states Wave functions of the Coulomb potential are rebuilt here from the energy conservation law and the assumed structural properties of the phase space. Les probabilités quantiques associées aux distributions électroniques p (r) dans l'espace des positions r et p (p) dans l'espace des quantités de mouvement p possèdent certainement un rapport étroit avec l'espace de phase. En effet les premières expressions explicites de fonctions d'onde radiales t„i(p) des premiers états liés (définies à un facteur de phase près) s'écrivent respectivement, en unités atomiques et après changement de variable P=np, tel que %„i(P) = n~3/2X„i(P) . avec Les propriétés des polynômes Ul„i (y) seront présentées dans un paragraphe suivant. Il est aisé de vérifier que pour chacune des couches électroniques précédentes, de nombre quantique principal n (n=1, 2, 3...), la probabilité moyenne de distributions d'impulsions résulte de : Note présentée par Raymond DAUDEL. 0249-6305/88/0307(1333) S 2.00 © Académie des Sciences 1334 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série H, p. 1333-1336, 1988 * 00 de sorte que 4 n fn (P) P2 dP=n 2. Ce résultat, qu'on peut établir pour tout n, est en fait la conséquence de
p (p) dans l'espace des quantités de mouvement p possèdent certainement un rapport étroit avec l'espace de phase. En effet les premières expressions explicites de fonctions d'onde radiales t„i(p) des premiers états liés (définies à un facteur de phase près) s'écrivent respectivement, en unités atomiques et après changement de variable P=np, tel que %„i(P) = n~3/2X„i(P) . avec Les propriétés des polynômes Ul„i (y) seront présentées dans un paragraphe suivant. Il est aisé de vérifier que pour chacune des couches électroniques précédentes, de nombre quantique principal n (n=1, 2, 3...), la probabilité moyenne de distributions d'impulsions résulte de : Note présentée par Raymond DAUDEL. 0249-6305/88/0307(1333) S 2.00 © Académie des Sciences 1334 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série H, p. 1333-1336, 1988 * 00 de sorte que 4 n fn (P) P2 dP=n 2. Ce résultat, qu'on peut établir pour tout n, est en fait la conséquence de la conservation classique de l'énergie alternativement réécrite (P 2 + 1)/2 — 1/R=0, où a devient un facteur d'échelle. En effet, en assumant pour l'espace de phase d'existence d'une densité de probabilité on obtient, après intégration sur R : En outre, la définition (3) actuellement avancée pour p(R, P) s'avère également satisfaire l'équipartition de l'énergie entre états liés dégénérés. La quantification en n, et la dégénérescence en n2 (fig. 1) ou encore l'existence d'une structure en sous-couches apparaissent alors (intuitivement) associées aux représentations d'une extension de SO(3) dans la. Dégénérescence des n2 états propres associés à U'(y). P'm(x). n2 degeneracy in eigenstates associated to J'(y). P'm(x). C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1333-1336, 1988 1335 Les fonctions d'onde x(P) s'écrivent finalement, compte tenu de (l): XB>lim(P)=nW(P).Ui_1(cosx|f)Pr(cose)eta' Les fonctions P£(cos6) sont les fonctions de Legendre associées [1]. Les U^(y) peuvent être définis comme fonctions de Tchebyshev associées, dont les propriétés n'apparaissent analysées dans la littérature (par exemple, référence [1]) que pour soit pour les polynômes de Tchebyshev usuels. Les propriétés des U s'apparentent à celles des P£. En particulier, les U(y) sont solutions de l'équation différentielle: qui peut être rapprochée de: Les x„, i, m(P) sont ainsi