jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
également satisfaire l'équipartition de l'énergie entre états liés dégénérés. La quantification en n, et la dégénérescence en n2 (fig. 1) ou encore l'existence d'une structure en sous-couches apparaissent alors (intuitivement) associées aux représentations d'une extension de SO(3) dans la. Dégénérescence des n2 états propres associés à U'(y). P'm(x). n2 degeneracy in eigenstates associated to J'(y). P'm(x). C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1333-1336, 1988 1335 Les fonctions d'onde x(P) s'écrivent finalement, compte tenu de (l): XB>lim(P)=nW(P).Ui_1(cosx|f)Pr(cose)eta' Les fonctions P£(cos6) sont les fonctions de Legendre associées [1]. Les U^(y) peuvent être définis comme fonctions de Tchebyshev associées, dont les propriétés n'apparaissent analysées dans la littérature (par exemple, référence [1]) que pour soit pour les polynômes de Tchebyshev usuels. Les propriétés des U s'apparentent à celles des P£. En particulier, les U(y) sont solutions de l'équation différentielle: qui peut être rapprochée de: Les x„, i, m(P) sont ainsi les solutions d'une équation aux dérivées partielles (aisée à reconstruire). Elles n'apparaissaient jusqu'alors que comme solutions de l'équation intégro-différentielle, obtenue par transformée de Fourier de l'équation de Schrödinger: La quantification de v, X, u résulte simplement des conditions d'uniformité à imposer à Ul et à P£. Enfin, les Uln possèdent notamment les importantes propriétés suivantes (respectivement théorèmes d'addition, règles de somme et orthogonalité), analogues à celles des P|" : Par ailleurs, les zéros des U^_x((l — P2)/(l + P2)) et donc les noeuds des fonctions radiales sont associés à ceux des fonctions trigonométriques. Alors que les P™ sous-tendent les représentations irréductibles du groupe des rotations, il reste à interpréter en termes équivalents la signification des Uln_l (y), puis à en tirer les conséquences sur la structure des trajectoires dans l'espace de phase, ou alternativement sur les probabilités p„im(R, P). Cette démarche reste donc à réaliser, avec la transposition des opérateurs J+ et J^ et l'explication de l'origine géométrique des U^. On notera simplement que la fonction | P — P' | ~ 2, qui apparaît dans l'équation (8) comme la transformée de Fourier du potentiel 1/r, est la fonction génératrice des polynômes U„. Les développements précédents suggèrent aussi de tenter
notamment les importantes propriétés suivantes (respectivement théorèmes d'addition, règles de somme et orthogonalité), analogues à celles des P|" : Par ailleurs, les zéros des U^_x((l — P2)/(l + P2)) et donc les noeuds des fonctions radiales sont associés à ceux des fonctions trigonométriques. Alors que les P™ sous-tendent les représentations irréductibles du groupe des rotations, il reste à interpréter en termes équivalents la signification des Uln_l (y), puis à en tirer les conséquences sur la structure des trajectoires dans l'espace de phase, ou alternativement sur les probabilités p„im(R, P). Cette démarche reste donc à réaliser, avec la transposition des opérateurs J+ et J^ et l'explication de l'origine géométrique des U^. On notera simplement que la fonction | P — P' | ~ 2, qui apparaît dans l'équation (8) comme la transformée de Fourier du potentiel 1/r, est la fonction génératrice des polynômes U„. Les développements précédents suggèrent aussi de tenter d'appliquer les méthodes du groupe de renormalisation (/?„ = P/na0, r = R. a0 n 2, E„= —1/2 n 2, r„ = 2«3... ), notamment pour appréhender les problèmes de transition. Ils mettent en évidence la prééminence de l'espace p (mesures de facteurs de diffusion, ou de densités d'impulsion p (P) en diffusion C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 90 1336 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1333-1336, 1988 Compton...) dans les problèmes liés au potentiel coulombien et la détermination expérimentale des structures électroniques d'atomes. On peut enfin se demander ce qu'il résulterait d'une intégration sur P de l'expression (3). On obtient une densité: sans rapport avec la décroissance exponentielle de la densité quantique, mais qui s'apparente plutôt aux images holographiques d'atomes déterminées par Bartell [2]. La présente tentative d'une construction des fonctions d'onde du potentiel coulombien en termes de représentations d'une extension de SO(3), associées à la conservation de l'énergie [équation(3)] permet clairement d'éviter les problèmes que soulèvent l'isomorphisme de Wigner ([3], [4]) et l'introduction de quasi-probabilités, ou encore ceux résultant du calcul de valeurs moyennes de certains opérateurs « mixtes » (hermitiens). En particulier la valeur moyenne de < 01 (r2p
(P) en diffusion C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 90 1336 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1333-1336, 1988 Compton...) dans les problèmes liés au potentiel coulombien et la détermination expérimentale des structures électroniques d'atomes. On peut enfin se demander ce qu'il résulterait d'une intégration sur P de l'expression (3). On obtient une densité: sans rapport avec la décroissance exponentielle de la densité quantique, mais qui s'apparente plutôt aux images holographiques d'atomes déterminées par Bartell [2]. La présente tentative d'une construction des fonctions d'onde du potentiel coulombien en termes de représentations d'une extension de SO(3), associées à la conservation de l'énergie [équation(3)] permet clairement d'éviter les problèmes que soulèvent l'isomorphisme de Wigner ([3], [4]) et l'introduction de quasi-probabilités, ou encore ceux résultant du calcul de valeurs moyennes de certains opérateurs « mixtes » (hermitiens). En particulier la valeur moyenne de < 01 (r2p 2) op. 10 > est nulle en formalisme de Schrödinger pour l'état fondamental de l'atome d'hydrogène; elle vaudrait respectivement 3/2 selon la définition de Wigner de p(r, p) et 3/4 selon la définition (3). En fait, les solutions x(P) de l'expression (5) apparaissent être finalement les représentations du produit direct de SO(4) [5] par le groupe du temps et pour la mesure de Liouville (conservation classique de l'énergie). Enfin, une extension des techniques de couplage vectoriel des harmoniques sphériques Y|" peut être également envisagée pour les polynômes de Tchebyshev associés Uj,_x. Elle pourrait alors permettre l'approche d'une construction exacte des états propres de systèmes atomiques ou moléculaires complexes. Note reçue et acceptée le 4 juillet 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] M. ABRAMOWITZ et I. A. STEGUN, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York, 1970. [2] L. S. BARTELL, Optik, 43, 1973, p. 373 et 403. [3] M. V. BERRY, PMI. Trans. Roy. Soc. London, 287, 1977, p. 237. [4] J. P. AMIET et P. HUGUENIN, Mécaniques classique et quantique dans l'espace de phase, Université de Neuchâtel, 1981. [5] M. J. ENGLEFIELD, Group Theory and the Coulomb Problem, J. Wiley & Sons, New York, 1972, p. 5 et suivantes. Laboratoire de
de SO(4) [5] par le groupe du temps et pour la mesure de Liouville (conservation classique de l'énergie). Enfin, une extension des techniques de couplage vectoriel des harmoniques sphériques Y|" peut être également envisagée pour les polynômes de Tchebyshev associés Uj,_x. Elle pourrait alors permettre l'approche d'une construction exacte des états propres de systèmes atomiques ou moléculaires complexes. Note reçue et acceptée le 4 juillet 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] M. ABRAMOWITZ et I. A. STEGUN, Handbook of Mathematical Functions, Dover Publications, New York, 1970. [2] L. S. BARTELL, Optik, 43, 1973, p. 373 et 403. [3] M. V. BERRY, PMI. Trans. Roy. Soc. London, 287, 1977, p. 237. [4] J. P. AMIET et P. HUGUENIN, Mécaniques classique et quantique dans l'espace de phase, Université de Neuchâtel, 1981. [5] M. J. ENGLEFIELD, Group Theory and the Coulomb Problem, J. Wiley & Sons, New York, 1972, p. 5 et suivantes. Laboratoire de Physique moléculaire et des Collisions, C.M.S.R., Université de Metz, Ile-du-Saulcy, 57045 Metz Cedex 1. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1337-1342, 1988 1337 Chimie théorique/Theoretical Chemistry Transfert d'énergie non résonnant entre donneur et accepteur en présence de relaxation Belkecem BOULIL, Michel GIRY et Olivier HENRI-ROUSSEAU Résumé — Le transfert d'énergie non résonnant à température nulle, entre les états excités de deux systèmes quantiques à deux niveaux en présence de relaxation, est étudié dans le cadre de l'approximation de Markoff, ce qui permet d'obtenir l'évolution au cours du temps des probabilités d'occupation des deux états excités et des deux états fondamentaux, lorsque au temps initial l'énergie se trouve dans l'état excité du donneur. Ces résultats admettent pour cas limites les équations de Rabi en absence de relaxation et celles de Davydov et Serikov pour un transfert résonnant. Non-resonant energy transfert between donor and acceptor Systems in presence of relaxation Abstract — The non-resonant energy transfer at zero temperature between two interacting two-level quantum Systems in the presence of relaxation is studied by aid of the density matrix formalism in the framework of the Markoff approximation. This gives the time evolution of the four probabilities to find the
— Le transfert d'énergie non résonnant à température nulle, entre les états excités de deux systèmes quantiques à deux niveaux en présence de relaxation, est étudié dans le cadre de l'approximation de Markoff, ce qui permet d'obtenir l'évolution au cours du temps des probabilités d'occupation des deux états excités et des deux états fondamentaux, lorsque au temps initial l'énergie se trouve dans l'état excité du donneur. Ces résultats admettent pour cas limites les équations de Rabi en absence de relaxation et celles de Davydov et Serikov pour un transfert résonnant. Non-resonant energy transfert between donor and acceptor Systems in presence of relaxation Abstract — The non-resonant energy transfer at zero temperature between two interacting two-level quantum Systems in the presence of relaxation is studied by aid of the density matrix formalism in the framework of the Markoff approximation. This gives the time evolution of the four probabilities to find the Systems in each of the four levels owing to the fact that at the initial time, the energy was in the excited state of the donor. The results obtained lead to the Davydov and Serikov solutions for resonant transfer of energy, and to the Rabi formula in the absence of relaxation. Abridged English Version — INTRODUCTION. The quantum statistical study of energy transfer between excited states of donor and acceptor systems, in presence of relaxation, has been studied by Davydov [1], Reineker [2], Kottis ([3], [6]) and Kenkre [4]... The present paper deals with the study of nonresonant energy transfer. We shall try to obtain analytical solutions to find the excitation either on the donor or the acceptor, assuming that at initial time, it was on the donor. This model may apply to excitation transfer involving atomic or molecular collisions, spin exchanges, supersonic jets... THE MODEL. — In this model, we consider an interaction between two-level-systems. The excited states are coupled specifically with the thermal bath at zero absolute temperature, and are interacting through non-resonant transfer of energy. In order to get the time evolution of the probabilities to find the system in one of the four levels, we have
relaxation. Abridged English Version — INTRODUCTION. The quantum statistical study of energy transfer between excited states of donor and acceptor systems, in presence of relaxation, has been studied by Davydov [1], Reineker [2], Kottis ([3], [6]) and Kenkre [4]... The present paper deals with the study of nonresonant energy transfer. We shall try to obtain analytical solutions to find the excitation either on the donor or the acceptor, assuming that at initial time, it was on the donor. This model may apply to excitation transfer involving atomic or molecular collisions, spin exchanges, supersonic jets... THE MODEL. — In this model, we consider an interaction between two-level-systems. The excited states are coupled specifically with the thermal bath at zero absolute temperature, and are interacting through non-resonant transfer of energy. In order to get the time evolution of the probabilities to find the system in one of the four levels, we have to solve the Liouville equation (1) relating the reduced density operator ψ (t) to the commutator [Hf, ψ (t)] of the total hamiltonian H and the total density operator ψ(t). The total hamiltonian is given by equations (2). The terms H0 and V appearing in this equation are respectively given by equations (3) and (4). H0 is the sum of three terms, the first two h1 and h2 being the hamiltonians of the two independent systems, in the absence of interaction between them and with the solvent, whereas the last one R is the usual hamiltonian of the thermal bath, as considered as a sum of harmonic oscillators. On the other hand, V is also the sum of three terms, FLnt, Vi and V2 where Hint is the matrix element between the excited states of the donor and of the acceptor, whereas Vi and V2 are the matrix elements coupling each of the two excited states with the solvent. h1, h2, Hint, Vi and V2 are given respectively in the second quantization representation by equations (5), (6), (7), (8) and an equation of the form of the last one. Here D+, C+, A+ and D, C and A are respectively
by equations (3) and (4). H0 is the sum of three terms, the first two h1 and h2 being the hamiltonians of the two independent systems, in the absence of interaction between them and with the solvent, whereas the last one R is the usual hamiltonian of the thermal bath, as considered as a sum of harmonic oscillators. On the other hand, V is also the sum of three terms, FLnt, Vi and V2 where Hint is the matrix element between the excited states of the donor and of the acceptor, whereas Vi and V2 are the matrix elements coupling each of the two excited states with the solvent. h1, h2, Hint, Vi and V2 are given respectively in the second quantization representation by equations (5), (6), (7), (8) and an equation of the form of the last one. Here D+, C+, A+ and D, C and A are respectively the creation and annihilation Fermi operators, whereas bj and bj are the corresponding bosons ones. Note présentée par Raymond DAUDEL. 0249-6305/88/03071337 S 2.00 © Académie des Sciences THE LIOUVILLE EQUATION. — In the framework of the Markov approximation, and following Louisell or Cohen-Tannoudji, we find by aid of equations (5), (6), (7) and (8), the Liouville equation (9), where X and y are the relaxation parameters characterizing respectively each of the excited states, whereas α1 and α2 are the respective energies of the excited states and L, the matrix element between them. In order to make more explicit the Liouville equation (9), it is suitable, following Davydov [1], to take the reduced density operator ψ(t) as a linear combination, given by equation (10) of six orthogonal matrices, that are hermitian, built up from the fermions creation and annihilation operators and given by equations (11). As it appears, ψ(t) involves Wj and W6 which correspond respectively to the probability of finding the energy either in the excited state or in the ground state of the donor, whereas W3 and W4 are the corresponding probabilities for the acceptor, and at last, W2 and W5 are phase quantum exchange terms between the two
(6), (7) and (8), the Liouville equation (9), where X and y are the relaxation parameters characterizing respectively each of the excited states, whereas α1 and α2 are the respective energies of the excited states and L, the matrix element between them. In order to make more explicit the Liouville equation (9), it is suitable, following Davydov [1], to take the reduced density operator ψ(t) as a linear combination, given by equation (10) of six orthogonal matrices, that are hermitian, built up from the fermions creation and annihilation operators and given by equations (11). As it appears, ψ(t) involves Wj and W6 which correspond respectively to the probability of finding the energy either in the excited state or in the ground state of the donor, whereas W3 and W4 are the corresponding probabilities for the acceptor, and at last, W2 and W5 are phase quantum exchange terms between the two excited states. Note that W15, W3, W4 and W6 are diagonal matrix elements of the reduced density operator whereas according to equations (18) W2 and W5 are connected to the off elements coupling the excited state of the donor to that of the acceptor. THE SOLUTION OF THE LIOUVILLE EQUATION. We may solve equation (13) by aid of boundary conditions (14) and (15) which state at initial time the excitation is localized on the excited state of the donor. Then, it is suitable to perform the change of variables (16) and to obtain for instance for the situation where x is positive the solutions (17). It may be of interest to observe that these solutions reduce for resonant interaction (A = 0), to those of Davydov and Serikov [1] whereas they reduce to the Rabi equation in the absence of relaxation i.e. when X = y = 0. INTRODUCTION. — L'étude théorique des processus de transfert d'énergie d'excitation entre un donneur et un accepteur en présence de relaxation liée au bain thermique a fait l'objet de nombreuses recherches à l'aide de la mécanique statistique. Parmi elles, on peut citer les travaux de Davydov [1], Reineker [2], Kottis [3], Kenkre [4]...
We may solve equation (13) by aid of boundary conditions (14) and (15) which state at initial time the excitation is localized on the excited state of the donor. Then, it is suitable to perform the change of variables (16) and to obtain for instance for the situation where x is positive the solutions (17). It may be of interest to observe that these solutions reduce for resonant interaction (A = 0), to those of Davydov and Serikov [1] whereas they reduce to the Rabi equation in the absence of relaxation i.e. when X = y = 0. INTRODUCTION. — L'étude théorique des processus de transfert d'énergie d'excitation entre un donneur et un accepteur en présence de relaxation liée au bain thermique a fait l'objet de nombreuses recherches à l'aide de la mécanique statistique. Parmi elles, on peut citer les travaux de Davydov [1], Reineker [2], Kottis [3], Kenkre [4]... Généralement les systèmes étudiés font intervenir des transferts d'énergie résonnants à des températures quelconques dans lesquelles les paramètres de relaxation caractérisant les différents états excités sont considérés comme les mêmes. Il existe cependant quelques études concernant les relaxations d'excitations par transfert non résonnants [5], [6]. D'autres études concernant des transferts résonnants dans lesquels les paramètres de relaxation caractérisant les différents états excités sont distingués [1]. C'est ainsi que Davydov et Serikov ont étudié les processus de transfert d'énergie résonnants pour des systèmes d'accepteur et de donneur à deux niveaux à des températures nulles. L'objet de cette Note est d'étendre cette étude à des transferts d'énergie non résonnants toujours à une température nulle. Une telle approche est susceptible de s'appliquer à des collisions atomiques avec des transferts d'excitation, à des transferts intermoléculaires d'excitation ou de spin en matrice froide [3], ou encore à la dynamique des excitations atomiques ou moléculaires en jets supersoniques. Dans cette étude, nous chercherons à obtenir des solutions analytiques à l'opposé de certaines approches plus numériques [2] de manière à pouvoir établir toutes les possibilités entre le modèle résonnant de Davydov-Serikov [1] faisant intervenir les phénomènes de relaxation et les résultats bien connus de l'équation de Rabi
résonnants dans lesquels les paramètres de relaxation caractérisant les différents états excités sont distingués [1]. C'est ainsi que Davydov et Serikov ont étudié les processus de transfert d'énergie résonnants pour des systèmes d'accepteur et de donneur à deux niveaux à des températures nulles. L'objet de cette Note est d'étendre cette étude à des transferts d'énergie non résonnants toujours à une température nulle. Une telle approche est susceptible de s'appliquer à des collisions atomiques avec des transferts d'excitation, à des transferts intermoléculaires d'excitation ou de spin en matrice froide [3], ou encore à la dynamique des excitations atomiques ou moléculaires en jets supersoniques. Dans cette étude, nous chercherons à obtenir des solutions analytiques à l'opposé de certaines approches plus numériques [2] de manière à pouvoir établir toutes les possibilités entre le modèle résonnant de Davydov-Serikov [1] faisant intervenir les phénomènes de relaxation et les résultats bien connus de l'équation de Rabi [7] concernant les probabilités de transition non résonnantes en absence de relaxation. Nous considérerons deux sous-systèmes, caractérisés chacun par deux niveaux d'énergie, dont les positions relatives sont quelconques et dont seuls les états excités sont couplés. Chacun de ces deux états étant susceptible d'interagir de manière spécifique avec le bain thermique qui pourrait être par exemple, une matrice froide ou un solide organique désordonné. Dans une telle approche la base dans laquelle doit être représenté l'opérateur densité réduit est de quatre et il n'y a seulement que six éléments de matrice à calculer, les quatre diagonaux et les deux non diagonaux qui sont en relation avec les facteurs de phase reliant les deux états excités. L'avantage du présent modèle est donc d'allier la simplicité du calcul (il y aura six équations différentielles dont deux peuvent être découplées) et le caractère concret du système étudié faisant intervenir quatre paramètres fondamentaux (écart d'énergie entre les deux états excités, importance du couplage entre ces deux états, paramètres de relaxation irréversibles caractérisant chacun de ces deux états). ÉQUATION DYNAMIQUE DU SYSTÈME. — Soient respectivement, p(t) l'opérateur densité total, pe(t) l'opérateur densité du bain thermique et ps(t) celui correspondant à l'ensemble donneur plus accepteur. Si