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décrit le comportement mécanique d'une roche polyminérale dans le cadre du modèle d'orientation préférentielle de forme de A. Fernandez, on établit une relation quantitative entre son anisotropie de susceptibilité magnétique, résultant de la présence de marqueurs paramagnétiques anisotropes et sa déformation finie. L'expression analytique obtenue est particulièrement simple dans le cas d'un aplatissement ou d'un étirement de révolution. Les auteurs font une étude critique de travaux récents consacrés à ce sujet, discutent de la validité d'une « loi de puissance » et suggèrent de tester le modèle proposé en l'appliquant au cas des roches magmatiques acides. Relationship between the finite strain of a rock and the anisotropy of its magnetic susceptibility arising from preferential shape orientation of anisotropic paramagnetic markers Abstract — After describing the mechanical behaviour of a polymineral rock in the framework of the model of preferential shape anisotropy of A. Fernandez, the authors derive a quantitative relationship between the anisotropy of its magnetic susceptibility due to the presence of anisotropic paramagnetic markers and its finite strain. The analytical expression obtained is particularly simple in the case of revolution flattening or stretching. The authors make a critical analysis of recent works devoted to this subject, discuss the validity of a "power law" and suggest testing the proposed model by applying it to the case of acid magmatic rocks. Abridged English Version — Many rocks contain phyllosilicates which behave at room temperature like anisotropic paramagnets. It is of interest to establish a quantitative relationship between the finite strain and anisotropy of the magnetic susceptibility (AMS) of such material. Recent works [1], [2], [3] have been devoted to this subject. We aim at deriving such a relationship from the model of preferred shape orientation (PSO) developed by A. Fernandez [4] and making a critical analysis of some results. This work is a particular case of a more general approach developed in [5]. It leads to a simple analytical solution which is easily compared to experiments. The description of the mechanical behaviour of such a rock stems from the following hypotheses. Only coaxial, orthorhombic, isovolumic deformations are considered. The finite strain
of a "power law" and suggest testing the proposed model by applying it to the case of acid magmatic rocks. Abridged English Version — Many rocks contain phyllosilicates which behave at room temperature like anisotropic paramagnets. It is of interest to establish a quantitative relationship between the finite strain and anisotropy of the magnetic susceptibility (AMS) of such material. Recent works [1], [2], [3] have been devoted to this subject. We aim at deriving such a relationship from the model of preferred shape orientation (PSO) developed by A. Fernandez [4] and making a critical analysis of some results. This work is a particular case of a more general approach developed in [5]. It leads to a simple analytical solution which is easily compared to experiments. The description of the mechanical behaviour of such a rock stems from the following hypotheses. Only coaxial, orthorhombic, isovolumic deformations are considered. The finite strain is described in the reference frame of the main deformation axes by the ellipsoid of finite strain. The rock is assimilated to N rigid markers embedded in a deformable, viscous matrix. The PSO is derived by studying the rotation of markers under strain by means of Jeffery's equations [6], which hold under the following conditions: laminar flow, Newtonian fluid, independent markers, negligible gravitational effects, compatible strains at the particle-matrix interfaces. In [4], the markers are assumed to be revolution ellipsoids with semi-axes a, b, c, (a = b < c) and a shape factor K = (M^2 - 1)/(n^2 + 1) with n = c/a. They are distributed and oriented at random in the initial unstrained state. The model yields the angular density D of the revolution axes of markers assuming the following: the matrix is non-magnetic, the markers are anisotropic paramagnets, their properties are described by a susceptibility tensor [Ky], the revolution axis is along OZ, the couplings between grains and Note présentée par Louis NÉEL. 0249-6305/88/03071869 S 2.00 © Académie des Sciences C. R., 1988. 2e Semestre (T. 307) Série II One finds: S0 = NK = 2TCD0K, K being the average susceptibility (2K1 + K3)/3. S is
hold under the following conditions: laminar flow, Newtonian fluid, independent markers, negligible gravitational effects, compatible strains at the particle-matrix interfaces. In [4], the markers are assumed to be revolution ellipsoids with semi-axes a, b, c, (a = b < c) and a shape factor K = (M^2 - 1)/(n^2 + 1) with n = c/a. They are distributed and oriented at random in the initial unstrained state. The model yields the angular density D of the revolution axes of markers assuming the following: the matrix is non-magnetic, the markers are anisotropic paramagnets, their properties are described by a susceptibility tensor [Ky], the revolution axis is along OZ, the couplings between grains and Note présentée par Louis NÉEL. 0249-6305/88/03071869 S 2.00 © Académie des Sciences C. R., 1988. 2e Semestre (T. 307) Série II One finds: S0 = NK = 2TCD0K, K being the average susceptibility (2K1 + K3)/3. S is expressed by (2) with the conditions (3). The anisotropy of S is deduced from that of I. It depends on the magnetic anisotropy of grains and the PSO resulting from the strain. In the case of a revolution, coaxial, isovolumic strain (stretching or flattening), the model yields simple analytical expressions for k [equation (5) and D equation (4) ([7], [9]). The integral I is expressed by (6), C is equal to (k2/3 - 1), and J is expressed by (7) depending on the sign of C. From these results, the indicatrices of I and S can be determined. The anisotropy of S is characterized by ams = P = S3/S3. The knowledge of the nature of markers and their magnetic properties (Hm), together with the measurement of Hr = (S1 - S3)/S (S = average susceptibility (2S1+S3)/3) allows deducing the finite strain and hence X3. It is shown that the "power law" introduced on empirical grounds by J. S. Rathore [8], [equation (8)] is verified if (9) is obeyed. In the framework of the model, (8) is always an approximate relationship. Table illustrates this approximation. F. Hrouda [9] draws similar conclusions: the exponent p of the power law is a
for k [equation (5) and D equation (4) ([7], [9]). The integral I is expressed by (6), C is equal to (k2/3 - 1), and J is expressed by (7) depending on the sign of C. From these results, the indicatrices of I and S can be determined. The anisotropy of S is characterized by ams = P = S3/S3. The knowledge of the nature of markers and their magnetic properties (Hm), together with the measurement of Hr = (S1 - S3)/S (S = average susceptibility (2S1+S3)/3) allows deducing the finite strain and hence X3. It is shown that the "power law" introduced on empirical grounds by J. S. Rathore [8], [equation (8)] is verified if (9) is obeyed. In the framework of the model, (8) is always an approximate relationship. Table illustrates this approximation. F. Hrouda [9] draws similar conclusions: the exponent p of the power law is a function of strain. Let us remark, however, that his mathematical derivation lacks internal consistency. This point was discussed by F. Hrouda and P. Rochette (in [9]). We have shown in [5] that an approximation of this type is also valid for other magnetic properties such as the remanent isothermal saturated magnetization and the thermoremanent magnetization of a population of single-domain fine grains or the susceptibility of an ideal polydomain, with similar ranges of validity. Starting from the same hypotheses, B. Henry [2] derives a power law (11) different from (8). The reasons for this discrepancy are an incorrect definition for the ellipsoid of finite strain and an erroneous derivation of the magnetic shape factor which determines p' in (11). Consequently, the theoretical derivation of (11) is not valid. The model developed here allows a quantitative determination of the finite strain of a rock from a measurement of its AMS in the case of anisotropic paramagnetic markers. It can be easily extended to the case of a simple shear. Some rocks, in particular acid magmatic rocks, feature constitutions and orientation mechanisms similar to those discussed here. Hence joint studies of their magnetic and structural properties can be a good test for
magnetization and the thermoremanent magnetization of a population of single-domain fine grains or the susceptibility of an ideal polydomain, with similar ranges of validity. Starting from the same hypotheses, B. Henry [2] derives a power law (11) different from (8). The reasons for this discrepancy are an incorrect definition for the ellipsoid of finite strain and an erroneous derivation of the magnetic shape factor which determines p' in (11). Consequently, the theoretical derivation of (11) is not valid. The model developed here allows a quantitative determination of the finite strain of a rock from a measurement of its AMS in the case of anisotropic paramagnetic markers. It can be easily extended to the case of a simple shear. Some rocks, in particular acid magmatic rocks, feature constitutions and orientation mechanisms similar to those discussed here. Hence joint studies of their magnetic and structural properties can be a good test for the validity of the model. De très nombreuses roches contiennent des phyllosilicates dont les propriétés magnétiques à la température ambiante sont celles d'un milieu paramagnétique anisotrope. Pour un tel matériel, il est intéressant de développer un modèle conduisant à une relation quantitative entre sa déformation finie et son anisotropie de susceptibilité magnétique (AMS). Un certain nombre de travaux récents ([1], [2], [3]) ont été consacrés à ce sujet. Nous nous proposons d'établir une telle relation à partir du modèle d'orientation préférentielle de forme (O.P.F.) développé par A. Fernandez [4] et de faire une étude critique de quelques résultats. Ce travail est un cas particulier d'un traitement plus général développé en [5]. Il conduit à une solution analytique simple qu'il est facile de comparer à l'expérience. DÉMARCHE ET HYPOTHÈSES PHYSIQUES PERMETTANT DE DÉCRIRE LE COMPORTEMENT MÉCANIQUE D'UNE ROCHE. — On se borne au cas d'une déformation coaxiale orthorhombique isovolumique et l'on se place dans un repère invariant au cours de celle-ci : les axes principaux de déformation. La déformation finie de la roche est alors décrite par l'ellipsoïde de déformation finie. Ce dernier est le résultat, dans l'état déformé, de l'application de la transformation linéaire représentée par la matrice [1/A], à
susceptibilité magnétique (AMS). Un certain nombre de travaux récents ([1], [2], [3]) ont été consacrés à ce sujet. Nous nous proposons d'établir une telle relation à partir du modèle d'orientation préférentielle de forme (O.P.F.) développé par A. Fernandez [4] et de faire une étude critique de quelques résultats. Ce travail est un cas particulier d'un traitement plus général développé en [5]. Il conduit à une solution analytique simple qu'il est facile de comparer à l'expérience. DÉMARCHE ET HYPOTHÈSES PHYSIQUES PERMETTANT DE DÉCRIRE LE COMPORTEMENT MÉCANIQUE D'UNE ROCHE. — On se borne au cas d'une déformation coaxiale orthorhombique isovolumique et l'on se place dans un repère invariant au cours de celle-ci : les axes principaux de déformation. La déformation finie de la roche est alors décrite par l'ellipsoïde de déformation finie. Ce dernier est le résultat, dans l'état déformé, de l'application de la transformation linéaire représentée par la matrice [1/A], à une sphère de rayon unité de l'état initial non déformé. Les Xt étant les élongations quadratiques principales (cf. [5], p. 899). Pour modéliser une roche polyminérale, on considère l'ensemble des grains d'un même minéral (les marqueurs) et le reste de la roche (la matrice). On assimile cet ensemble à N marqueurs indéformables identiques dispersés dans une matrice homogène déformable. Pour calculer l'O.P.F. des grains résultant de la déformation finie on suppose que les marqueurs sont des ellipsoïdes de révolution de demi-axes a, b, c (a = b = c) caractérisés par un facteur de forme K = (H2 - 1)/(n2 + 1) avec n = c/a. On attribue à la matrice les propriétés d'un fluide visqueux. La rotation des grains sous l'effet d'un champ de déformation s'obtient à partir des équations de G. B. Jeffery [6]. Les hypothèses physiques permettant leur formulation sont les suivantes : le régime d'écoulement du fluide est du type laminaire (condition d'application des équations de Navier-Stockes); les phénomènes de gravité sont négligés (forces visqueuses d'ordre supérieur aux forces de pesanteur agissant sur les particules); les particules n'interfèrent pas les unes avec les autres pendant la déformation; la déformation est compatible dans l'interface particule-matrice; la relation
marqueurs indéformables identiques dispersés dans une matrice homogène déformable. Pour calculer l'O.P.F. des grains résultant de la déformation finie on suppose que les marqueurs sont des ellipsoïdes de révolution de demi-axes a, b, c (a = b = c) caractérisés par un facteur de forme K = (H2 - 1)/(n2 + 1) avec n = c/a. On attribue à la matrice les propriétés d'un fluide visqueux. La rotation des grains sous l'effet d'un champ de déformation s'obtient à partir des équations de G. B. Jeffery [6]. Les hypothèses physiques permettant leur formulation sont les suivantes : le régime d'écoulement du fluide est du type laminaire (condition d'application des équations de Navier-Stockes); les phénomènes de gravité sont négligés (forces visqueuses d'ordre supérieur aux forces de pesanteur agissant sur les particules); les particules n'interfèrent pas les unes avec les autres pendant la déformation; la déformation est compatible dans l'interface particule-matrice; la relation entre la vitesse de rotation de la particule autour de ses axes principaux et le tenseur de vitesse de déformation référé aux mêmes axes est linéaire (fluide newtonien). La répartition volumique des marqueurs ainsi que celle de leurs axes sont isotropes dans l'état initial non déformé. Dans ce contexte, A. Fernandez [4] fait le lien entre ce type de modèle et celui de March et le généralise. Il donne l'expression analytique de la densité D d'orientation des axes de révolution des marqueurs résultant de leur rotation et de l'invariance de leur nombre. D caractérise l'O.P.F. Le modèle conduit à une interprétation géométrique simple de la densité D : c'est le cube du rayon vecteur de l'ellipsoïde de fabrique. Ce dernier a pour axes les axes principaux de la déformation et pour demi-axes /Â:=(1,2,3) avec A; = A.r[71. LES HYPOTHÈSES RELATIVES AU COMPORTEMENT MAGNÉTIQUE DE LA ROCHE (cf. [5], p. 893). — On suppose que la matrice n'est pas magnétique; mais on peut également envisager le cas où celle-ci constitue un milieu diamagnétique ou paramagnétique, isotrope ou non. Les marqueurs sont paramagnétiques et anisotropes, leurs propriétés sont décrites par le tenseur de susceptibilité [Ky]. Les axes de forme des grains coïncident
Fernandez [4] fait le lien entre ce type de modèle et celui de March et le généralise. Il donne l'expression analytique de la densité D d'orientation des axes de révolution des marqueurs résultant de leur rotation et de l'invariance de leur nombre. D caractérise l'O.P.F. Le modèle conduit à une interprétation géométrique simple de la densité D : c'est le cube du rayon vecteur de l'ellipsoïde de fabrique. Ce dernier a pour axes les axes principaux de la déformation et pour demi-axes /Â:=(1,2,3) avec A; = A.r[71. LES HYPOTHÈSES RELATIVES AU COMPORTEMENT MAGNÉTIQUE DE LA ROCHE (cf. [5], p. 893). — On suppose que la matrice n'est pas magnétique; mais on peut également envisager le cas où celle-ci constitue un milieu diamagnétique ou paramagnétique, isotrope ou non. Les marqueurs sont paramagnétiques et anisotropes, leurs propriétés sont décrites par le tenseur de susceptibilité [Ky]. Les axes de forme des grains coïncident avec les axes propres de [Ky]; l'axe de révolution c du marqueur étant selon OZ. On se borne au cas où il y a isotropie dans le plan XOY. On néglige les interactions entre grains et les effets de champ démagnétisant dans chaque grain. EXPRESSION DE LA SUSCEPTIBILITÉ DE LA ROCHE SUIVANT LA DIRECTION DU CHAMP APPLIQUÉ h0. — Le calcul est analogue à celui développé dans [5] annexe 2 et qui a trait à la susceptibilité réversible de marqueurs suivant une loi de Rayleigh. Soit sho la susceptibilité suivant le champ magnétisant h0 = u0/z0, K1=K2=K3 les susceptibilités TABLEAU Validité de la loi de puissance exprimée par la variation de la pente de la droite approchée Logams = aLogfc en fonction de la forme des marqueurs et de leur anisotropie 8 = (K1 - K3)/Kj du type de déformation et de l'amplitude de celle-ci. Validity of the power law associated with the change in slope of the approximate linear law In ams = a In k as a function of the shape and anisotropy: 8 = (K1 - K3)/Kj of markers, the type and amplitude of strain. Ki=2K3 K3 - 2K1 8 = 0,5 8=-1 n K1 k2 (K3)t
ROCHE SUIVANT LA DIRECTION DU CHAMP APPLIQUÉ h0. — Le calcul est analogue à celui développé dans [5] annexe 2 et qui a trait à la susceptibilité réversible de marqueurs suivant une loi de Rayleigh. Soit sho la susceptibilité suivant le champ magnétisant h0 = u0/z0, K1=K2=K3 les susceptibilités TABLEAU Validité de la loi de puissance exprimée par la variation de la pente de la droite approchée Logams = aLogfc en fonction de la forme des marqueurs et de leur anisotropie 8 = (K1 - K3)/Kj du type de déformation et de l'amplitude de celle-ci. Validity of the power law associated with the change in slope of the approximate linear law In ams = a In k as a function of the shape and anisotropy: 8 = (K1 - K3)/Kj of markers, the type and amplitude of strain. Ki=2K3 K3 - 2K1 8 = 0,5 8=-1 n K1 k2 (K3)t (K3)2 102Aa/a 102Aa/a 00 1 0,99 0,5 0,99 0,5 11,5 7,5 ap. 1,01 2 1,01 2 6,5 2 et. 5 0,96 0,99 0,5 0,989 0,48 11,5 7,5 ap. 1,01 2 1,01 2,058 6,5 2 et. 1,5 0,5 0,99 0,5 0,98 0,25 11,5 7,5 ap. 1,01 2 1,02 4 6,5 2 et. Le changement de signe de K(II - 1/n) fait que Aa/a s'échange entre aplatissement et étirement. Le principe des marqueurs, (u.u0)2 le carré du cosinus de l'angle que fait le champ magnétique avec la direction de l'axe de révolution des marqueurs orientés suivant le vecteur unitaire courant u(0, cp) et D0D(9, (p)rfS le nombre de ces grains. 0 et cp étant les angles habituels des coordonnées sphériques, dS = sin 0 dQ dq. On obtient finalement : On définit une susceptibilité réduite S en rapportant s à la valeur s0 qu'elle aurait pour une répartition uniforme de la direction de leurs axes de révolution sur la sphère de rayon unité (D(0, (p) = l, D0=N/2TI;). s0 = NK = 27tD0K, K étant la susceptibilité moyenne (2K1+K3)/3. S s'écrit en faisant apparaître L'anisotropie de S se déduit de celle de I. Elle est fonction de l'anisotropie magnétique du grain et
et. Le changement de signe de K(II - 1/n) fait que Aa/a s'échange entre aplatissement et étirement. Le principe des marqueurs, (u.u0)2 le carré du cosinus de l'angle que fait le champ magnétique avec la direction de l'axe de révolution des marqueurs orientés suivant le vecteur unitaire courant u(0, cp) et D0D(9, (p)rfS le nombre de ces grains. 0 et cp étant les angles habituels des coordonnées sphériques, dS = sin 0 dQ dq. On obtient finalement : On définit une susceptibilité réduite S en rapportant s à la valeur s0 qu'elle aurait pour une répartition uniforme de la direction de leurs axes de révolution sur la sphère de rayon unité (D(0, (p) = l, D0=N/2TI;). s0 = NK = 27tD0K, K étant la susceptibilité moyenne (2K1+K3)/3. S s'écrit en faisant apparaître L'anisotropie de S se déduit de celle de I. Elle est fonction de l'anisotropie magnétique du grain et de l'O.P.F. résultant de la déformation considérée. APPLICATION AU CAS PARTICULIER D'UNE DÉFORMATION COAXIALE DE RÉVOLUTION : APLATISSEMENT ET ÉTIREMENT. — La densité, fonction de 0 seulement, s'écrit : où le paramètre k a pour expression L'axe OZ étant un axe de révolution, il suffit de faire l'étude dans un plan quelconque le contenant, par exemple, ZOX. L'intégrale I a une expression analytique simple : 90 étant l'angle du champ magnétisant avec l'axe OZ. J prend les valeurs J+ ou J suivant le signe de C = fc-3/2 - l; avec : A partir de ces résultats, on détermine les indicatrices de I, puis celles de la susceptibilité relative S. Par analogie avec ad = /X^f/Xl, on définit ams = P=S1/S3 qui caractérise l'anisotropie de S. La connaissance de la nature des porteurs et de leurs propriétés magnétiques (Hm) et la détermination expérimentale de Hr=(S1 - S3)/S, S étant la susceptibilité moyenne (2S1 + S3)/3, permettent d'accéder à R = Hr/Hm. R étant connu, le modèle permet de remonter à la déformation finie, c'est-à-dire à X3. VALIDITÉ D'UNE « LOI DE PUISSANCE ». — On peut montrer simplement, dans le cadre du modèle, que la loi de puissance introduite empiriquement
plan quelconque le contenant, par exemple, ZOX. L'intégrale I a une expression analytique simple : 90 étant l'angle du champ magnétisant avec l'axe OZ. J prend les valeurs J+ ou J suivant le signe de C = fc-3/2 - l; avec : A partir de ces résultats, on détermine les indicatrices de I, puis celles de la susceptibilité relative S. Par analogie avec ad = /X^f/Xl, on définit ams = P=S1/S3 qui caractérise l'anisotropie de S. La connaissance de la nature des porteurs et de leurs propriétés magnétiques (Hm) et la détermination expérimentale de Hr=(S1 - S3)/S, S étant la susceptibilité moyenne (2S1 + S3)/3, permettent d'accéder à R = Hr/Hm. R étant connu, le modèle permet de remonter à la déformation finie, c'est-à-dire à X3. VALIDITÉ D'UNE « LOI DE PUISSANCE ». — On peut montrer simplement, dans le cadre du modèle, que la loi de puissance introduite empiriquement par J. S. Rathore [8] est vérifiée si la relation : est satisfaite. C'est-à-dire s'il y a proportionalité entre Logams et la déformation naturelle s3. (9) résulte de la possibilité de définir un « ellipsoïde de fabrique magnétique » semblable à l'ellipsoïde de fabrique. En toute rigueur (9) n'est jamais vérifiée. La dissymétrie entre le cas de l'aplatissement et celui de l'étirement et l'influence de la forme des marqueurs et de leur anisotropie magnétique font que les limites de validité de l'approximation diffèrent suivant les cas envisagés. Le tableau illustre ce qui précède. Dans ce dernier l'anisotropie des marqueurs est caractérisée par 5=(K1-K3)/Kj. Les valeurs de p correspondantes varient de —9 à —18 pour K compris entre 1 et 0,5, 5 valant 0,5 (K1=2K3) et entre +7 et +14, pour la même variation de K, mais pour 5= -1 (K3=2K1). F. Hrouda [3] arrive à des conclusions analogues : l'exposant p de la loi de puissance est fonction de la déformation. Remarquons cependant que le développement mathématique de son modèle manque d'une certaine cohérence interne. Ce point a fait l'objet d'une discussion entre F. Hrouda et P. Rochette [9]. Nous avons montré dans [5] qu'une approximation de ce type est