jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
de 1, dont la somme donne le nombre n. Si une progression arithmétique a pour premier terme a et pour raison r, on sait que le terme n est égal à a + (n — 1) r; si on ajoute à ce terme la raison r, on a le terme n + 1 qui est égal à a + rn + l + r ou à a + nr. Si le premier terme était l'unité et la raison 2, le terme du rang n + 1 serait égal à 1 + 2n; mais la différence entre les carrés de n et de n + 1 est précisément le terme n + 1 ou 1 + 2n; donc la différence des carrés de deux nombres consécutifs n et n + 1 est égale à deux fois le plus petit, plus un. Si, dans la valeur du terme n + 1, on suppose que le premier terme est un nombre quelconque et la raison 2, on a a + 2n pour valeur de ce terme; si la raison était 2, ce terme serait égal à a -2n. Si, dans une progression arithmétique, dont le premier terme est a et la raison 2, on désigne par S la somme des n premiers termes, on a : A Si la raison était — 2, on aurait : B On sait que dans la progression arithmétique, dont le premier terme est a et la raison 2, le terme n + 1 est égal à a + 2n; or, si on considère encore x termes après le nème, le premier de ces x termes est a + 2n et le dernier est a + 2n + 2x2; alors, si on désignait par S' la somme de ces x termes, on aurait : A Si la raison était — 2, on aurait : B Si le premier terme de la progression était l'unité, (a — 1) dans l'équation (5) serait égal à zéro et on aurait : C Si le premier terme était — 1 et la raison — 2, on aurait, dans l'équation (6), a +
on désigne par S la somme des n premiers termes, on a : A Si la raison était — 2, on aurait : B On sait que dans la progression arithmétique, dont le premier terme est a et la raison 2, le terme n + 1 est égal à a + 2n; or, si on considère encore x termes après le nème, le premier de ces x termes est a + 2n et le dernier est a + 2n + 2x2; alors, si on désignait par S' la somme de ces x termes, on aurait : A Si la raison était — 2, on aurait : B Si le premier terme de la progression était l'unité, (a — 1) dans l'équation (5) serait égal à zéro et on aurait : C Si le premier terme était — 1 et la raison — 2, on aurait, dans l'équation (6), a + 1 = 0 et S1 = — 2nx — x. (8) Au moyen des propriétés exprimées par les équations (1),(8), on peut donner une démonstration de l'extraction des racines 2e, 3e, 4e, 5e, etc., et une manière de résoudre les équations du 2e degré, sans s'appuyer sur la composition du binôme de Newton. (Les notes qui suivent ne s'étendent pas à la discussion de l'équation générale x2 + px + q = 0, ni ne renferment pas d'une manière complète les raisonnements que nécessite l'extraction des racines; mais quiconque voudra s'y arrêter un peu, pourra suppléer à ce qu'il y a d'inachevé, et se convaincre que cette discussion et ces raisonnements peuvent parfaitement être établis, en s'appuyant sur les progressions arithmétiques.) Extraction des racines 2e, 3e, etc. Soit d'abord à extraire la racine carrée d'un nombre M. La racine carrée de ce nombre pouvant être considérée comme la quantité des premiers nombres impairs à partir de 1, dont la somme donne M, et le nombre M étant compris entre la somme des a et a + 1 premiers nombres impairs (a et a + 1 pouvant exprimer des dizaines, des centaines, etc. cette racine sera déjà a, et elle pourra
binôme de Newton. (Les notes qui suivent ne s'étendent pas à la discussion de l'équation générale x2 + px + q = 0, ni ne renferment pas d'une manière complète les raisonnements que nécessite l'extraction des racines; mais quiconque voudra s'y arrêter un peu, pourra suppléer à ce qu'il y a d'inachevé, et se convaincre que cette discussion et ces raisonnements peuvent parfaitement être établis, en s'appuyant sur les progressions arithmétiques.) Extraction des racines 2e, 3e, etc. Soit d'abord à extraire la racine carrée d'un nombre M. La racine carrée de ce nombre pouvant être considérée comme la quantité des premiers nombres impairs à partir de 1, dont la somme donne M, et le nombre M étant compris entre la somme des a et a + 1 premiers nombres impairs (a et a + 1 pouvant exprimer des dizaines, des centaines, etc. cette racine sera déjà a, et elle pourra encore contenir un certain nombre d'unités d'un rang inférieur à celles que a représente; or, en soustrayant de M la somme des a premiers nombres impairs ou a X a, on a pour reste M' qui est la somme des nombres impairs que M contient après les a premiers, et si l'on désigne par b la quantité de ces derniers nombres impairs, on a, d'après l'équation (7), M' = ab + b2; mais l'on connaît M' et 2a, c'est-à-dire un produit et l'un de ses facteurs, il est facile de déterminer x, les plus hautes unités de l'autre b; seulement, le quotient de M1 par 2a peut être trop fort; car M', en outre du produit de 2a par b, contient encore b3 : par le tâtonnement, il sera très-facile de trouver la valeur de x; cette valeur étant connue, on retranche de M', 2ax + x2, puis on opère sur le reste M" comme sur le premier reste M', et on voit qu'on obtiendrait, pour l'extraction de la racine carrée, une règle générale semblable à celle qui se trouve dans les traités d'arithmétique ou d'algèbre. Ainsi, par cette méthode, comme par celle donnée dans les arithmétiques et les algèbres,
si l'on désigne par b la quantité de ces derniers nombres impairs, on a, d'après l'équation (7), M' = ab + b2; mais l'on connaît M' et 2a, c'est-à-dire un produit et l'un de ses facteurs, il est facile de déterminer x, les plus hautes unités de l'autre b; seulement, le quotient de M1 par 2a peut être trop fort; car M', en outre du produit de 2a par b, contient encore b3 : par le tâtonnement, il sera très-facile de trouver la valeur de x; cette valeur étant connue, on retranche de M', 2ax + x2, puis on opère sur le reste M" comme sur le premier reste M', et on voit qu'on obtiendrait, pour l'extraction de la racine carrée, une règle générale semblable à celle qui se trouve dans les traités d'arithmétique ou d'algèbre. Ainsi, par cette méthode, comme par celle donnée dans les arithmétiques et les algèbres, extraire la racine carrée de M, c'est soustraire successivement de ce nombre, le carré des plus hautes unités de la racine; puis le carré des unités d'un rang immédiatement inférieur, avec le double produit de ces unités par les précédentes; puis le carré des unités d'un rang inférieur aux dernières, avec le double produit de ces unités par les précédentes; ainsi de suite. Ou le carré d'un nombre se compose du carré des unités et du double produit de ces unités par les chiffres à gauche; plus du carré des dizaines et du double produit de ces dizaines par tous les chiffres à gauche; ainsi de suite. En conséquence, pour élever un nombre au carré, par exemple 347857, on peut dire : 7 fois 7 font 49, on pose 9 et on retient 4; 7 fois 5 font 35 dont le double est 70, plus 4 de retenue font 74, on pose 4 et on retient 7, 7 fois 8 font 56 dont le double est 112, plus 7 de retenue font 119, on pose 9 et on retient 11 ; 7 fois 7 font 49 dont le double est 98, plus 11 de retenue font 109, on pose 9
avec le double produit de ces unités par les précédentes; ainsi de suite. Ou le carré d'un nombre se compose du carré des unités et du double produit de ces unités par les chiffres à gauche; plus du carré des dizaines et du double produit de ces dizaines par tous les chiffres à gauche; ainsi de suite. En conséquence, pour élever un nombre au carré, par exemple 347857, on peut dire : 7 fois 7 font 49, on pose 9 et on retient 4; 7 fois 5 font 35 dont le double est 70, plus 4 de retenue font 74, on pose 4 et on retient 7, 7 fois 8 font 56 dont le double est 112, plus 7 de retenue font 119, on pose 9 et on retient 11 ; 7 fois 7 font 49 dont le double est 98, plus 11 de retenue font 109, on pose 9 et on retient 10; 7 fois 4 font 28 dont le double est 66, plus 10 de retenue font 66, on pose 6 et on retient 6; 7 fois 3 font 21 dont le double est 42, plus 6 de retenue font 48, on pose 8 et on avance 4. 5 fois 5 font 25, on pose 5 sous les centaines (car des dizaines multipliées par des dizaines ne peuvent donner moins que des centaines) et on retient 2; 5 fois 8 font 40 dont le double est 80, plus 2 de retenue font 82, on pose 2 et on retient 8; 5 fois 7 font 35 dont le double est 70, plus 8 de retenue font 78, on pose 8 et on retient 7 ; 5 fois 4 font 20, dont le double est 40, plus 7 de retenue font 47, on pose 7 et on retient 4; 5 fois 3 font 15, dont le double est 30, plus 4 de retenue font 34, on pose 4 et on avance 3. 8 fois 8 font 64, on pose 4 sous les dizaines de mille et on retient 6; 8 fois 7 font 56 dont le double est 112, plus
5 fois 5 font 25, on pose 5 sous les centaines (car des dizaines multipliées par des dizaines ne peuvent donner moins que des centaines) et on retient 2; 5 fois 8 font 40 dont le double est 80, plus 2 de retenue font 82, on pose 2 et on retient 8; 5 fois 7 font 35 dont le double est 70, plus 8 de retenue font 78, on pose 8 et on retient 7 ; 5 fois 4 font 20, dont le double est 40, plus 7 de retenue font 47, on pose 7 et on retient 4; 5 fois 3 font 15, dont le double est 30, plus 4 de retenue font 34, on pose 4 et on avance 3. 8 fois 8 font 64, on pose 4 sous les dizaines de mille et on retient 6; 8 fois 7 font 56 dont le double est 112, plus 6 de retenue font 118, on pose 8 et on retient 11; 8 fois 4 font 32, dont le double est 64, plus 11 de retenue font 75, on pose 5 et on retient 7; 8 fois 3 font 24, dont le double est 48, plus 7 de retenue font 55, on pose 5 et on avance 5. 7 fois 7 font 49, on pose 9 sous les millions et on retient 4; 7 fois 4 font 28, dont le double est 56, plus 4 de retenue font 60, on pose 0 et on retient 6; 7 fois 3 font 21, dont le double est 42, plus 6 de retenue font 48, on pose 8 et on avance 4. 4 fois 4 font 16, on pose 6 sous les centaines de millions et on retient 1 ; 4 fois 3 font 12, dont le double est 24, plus 1 de retenue font 25, on pose 5 et on avance 2. 3 fois 3 font 9, on pose 9 sous les dizaines de billions; puis on fait la somme des produits partiels : ce qui donne, pour le carré de 347857, 121004492449. Lorsqu'on connaît le produit des cent premiers nombres par
55, on pose 5 et on avance 5. 7 fois 7 font 49, on pose 9 sous les millions et on retient 4; 7 fois 4 font 28, dont le double est 56, plus 4 de retenue font 60, on pose 0 et on retient 6; 7 fois 3 font 21, dont le double est 42, plus 6 de retenue font 48, on pose 8 et on avance 4. 4 fois 4 font 16, on pose 6 sous les centaines de millions et on retient 1 ; 4 fois 3 font 12, dont le double est 24, plus 1 de retenue font 25, on pose 5 et on avance 2. 3 fois 3 font 9, on pose 9 sous les dizaines de billions; puis on fait la somme des produits partiels : ce qui donne, pour le carré de 347857, 121004492449. Lorsqu'on connaît le produit des cent premiers nombres par 2, les chiffres de chaque produit partiel sont aussi faciles à trouver que par la multiplication ordinaire, et comme il y en a moins, il y a donc abréviation. Extraction de la racine cubique. On sait que la somme des x premiers termes de la progression T1.3.5.7 2x -1, formée par les x premiers nombres impairs, est égale à x2; or, si on multiplie chaque terme de cette progression par x, on a : T x.2x.3x.4x 5x 6x)-x et la somme des x termes de cette dernière progression, sera égale à x2 X x ou à x3; car si cette somme est représentée par S on a : On peut donc considérer le cube d'un nombre n, comme étant la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique, ayant pour premier terme n et pour raison 2 n; et la racine cubique d'un nombre, comme étant le nombre des termes d'une progression arithmétique, ayant pour premier terme la racine, pour raison 2 fois cette racine, et pour somme des termes le nombre donné. Soit alors à extraire la racine cubique d'un nombre M ; ce nombre étant compris entre le cube de a et de a + 1 (a pouvant
par les x premiers nombres impairs, est égale à x2; or, si on multiplie chaque terme de cette progression par x, on a : T x.2x.3x.4x 5x 6x)-x et la somme des x termes de cette dernière progression, sera égale à x2 X x ou à x3; car si cette somme est représentée par S on a : On peut donc considérer le cube d'un nombre n, comme étant la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique, ayant pour premier terme n et pour raison 2 n; et la racine cubique d'un nombre, comme étant le nombre des termes d'une progression arithmétique, ayant pour premier terme la racine, pour raison 2 fois cette racine, et pour somme des termes le nombre donné. Soit alors à extraire la racine cubique d'un nombre M ; ce nombre étant compris entre le cube de a et de a + 1 (a pouvant exprimer des dizaines, des centaines ou des mille, etc.), la racine cubique de M sera a, plus un certain nombre b moindre qu'une unité de a; en on désigne la racine cubique de M par r, on a r = a + b. Mais dans la progression arithmétique r < r.3.r.5.r. 2x'—.r, le terme a est égal à r + (a - 1) 2x, et la somme des a premiers terme est égale à 2 a (x + x + 2an - 2x) et en changeant par sa valeur a + b, la somme des a premiers termes devient a3 + a2b, ce qui fait qu'en soustrayant de M le cube de a, il reste M' qui renferme a2b en plus de la somme des b derniers termes de la progression précédente. Le terme a + 1 de cette progression est égal à x + 2ax, le dernier est 2x2 x et la somme des b derniers termes est égale à b (x + 2ax + 2x2 - x) = b (ax + x2); or, en changeant x par sa valeur a + b, cette somme devient égale à b (a2 + ab + a2 + 2ab + b2) =
r.3.r.5.r. 2x'—.r, le terme a est égal à r + (a - 1) 2x, et la somme des a premiers terme est égale à 2 a (x + x + 2an - 2x) et en changeant par sa valeur a + b, la somme des a premiers termes devient a3 + a2b, ce qui fait qu'en soustrayant de M le cube de a, il reste M' qui renferme a2b en plus de la somme des b derniers termes de la progression précédente. Le terme a + 1 de cette progression est égal à x + 2ax, le dernier est 2x2 x et la somme des b derniers termes est égale à b (x + 2ax + 2x2 - x) = b (ax + x2); or, en changeant x par sa valeur a + b, cette somme devient égale à b (a2 + ab + a2 + 2ab + b2) = 2 a2b + 3 ab2 + b2; mais M' en outre de la somme des b derniers termes contient encore alb des a premiers termes; donc M' = 3a2b + 3ab2 + b2; on connaît un produit M! et l'un de ses facteurs 3a2, il est facile de déterminer le nombre des plus hautes unités de l'autre facteur b mais le quotient de M' par 3a2 peut être trop fort, puisque, en outre de 3a2b, M' contient encore 3ab2 + b2, on trouvera donc a', ces plus hautes unités de b, par le tâtonnement et après avoir retranché de M', le cube de a + a', ou de a', 3a2a' + a3, on opérera sur le reste M" comme sur le précédent. Si on considère la progression x.3x.5x 2x2 - x, dont la somme des x termes est égale à x3, et que l'on multiplie chaque terme par x, on aura une progression arithmétique x2,3x2,5x2, 2x3 - x2, dont la somme des termes sera égale à x4; on pourra donc extraire la racine 4e d'un nombre n, en s'appuyant sur ce que la 46e puissance d'un nombre n peut être considérée comme la somme des n premiers termes d'une progression
nombre des plus hautes unités de l'autre facteur b mais le quotient de M' par 3a2 peut être trop fort, puisque, en outre de 3a2b, M' contient encore 3ab2 + b2, on trouvera donc a', ces plus hautes unités de b, par le tâtonnement et après avoir retranché de M', le cube de a + a', ou de a', 3a2a' + a3, on opérera sur le reste M" comme sur le précédent. Si on considère la progression x.3x.5x 2x2 - x, dont la somme des x termes est égale à x3, et que l'on multiplie chaque terme par x, on aura une progression arithmétique x2,3x2,5x2, 2x3 - x2, dont la somme des termes sera égale à x4; on pourra donc extraire la racine 4e d'un nombre n, en s'appuyant sur ce que la 46e puissance d'un nombre n peut être considérée comme la somme des n premiers termes d'une progression arithmétique commençant par n5 et ayant pour raison 2n3 et la racine 4e d'un nombre, comme étant le nombre des termes d'une progression arithmétique dont le premier terme serait le carré de cette racine, la raison, le double de ce carré et la somme de ces termes, égale au nombre donné. On déduirait facilement les suppositions qu'il faudrait faire pour l'extraction des racines 5e, 6e, 7e etc. Résolution des équations du deuxième degré. La somme des termes d'une progression arithmétique dont la raison est 2, peut être mise sous la forme x2 + px - q, x étant le nombre des termes, p le premier moins un, et q la somme des x termes. En effet, dans la progression a.a + 2.a + 4.a + 6.a + 8. a + 2x - 2, si on fait a = p - 1, elle devient p + 1. p + 3. p + 5. p + 7. p + 9 p + 2x - 1. Les termes de même rang de ces deux progressions sont identiques, et les sommes des x premiers termes dans l'une et l'autre sont égales; or, la somme des termes de la dernière est égale à p répété
donné. On déduirait facilement les suppositions qu'il faudrait faire pour l'extraction des racines 5e, 6e, 7e etc. Résolution des équations du deuxième degré. La somme des termes d'une progression arithmétique dont la raison est 2, peut être mise sous la forme x2 + px - q, x étant le nombre des termes, p le premier moins un, et q la somme des x termes. En effet, dans la progression a.a + 2.a + 4.a + 6.a + 8. a + 2x - 2, si on fait a = p - 1, elle devient p + 1. p + 3. p + 5. p + 7. p + 9 p + 2x - 1. Les termes de même rang de ces deux progressions sont identiques, et les sommes des x premiers termes dans l'une et l'autre sont égales; or, la somme des termes de la dernière est égale à p répété autant de fois qu'il y a de termes ou x fois, plus à la somme des termes de la progression arithmétique formée par les x premiers nombres impairs ou x2; donc cette somme est égale à x2 + px, et si on la désigne par q, on aura x2 + px - q ou x2 + px + q; car p et q peuvent être entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs. Ou bien encore, si dans l'équation(3) on fait (a + 1) = p, n = x et s = q, on aura de même x2 + px = q. Si l'on considérait une progression dont la raison serait 2, il faudrait faire dans l'équation(1) a + 1 = p, n = x et s = q; dans l'un et l'autre, a, s et n sont des nombres quelconques, et il en est de même de x, p et q; ainsi, toute équation du 2e degré peut être considérée comme l'expression de la somme des termes d'une progression arithmétique, ayant pour raison ±: 2, pour premier terme le coefficient de x + 1, pour nombre des termes x, et pour sommes de ces x termes ± q. Enfin, résoudre une
px - q ou x2 + px + q; car p et q peuvent être entiers ou fractionnaires, positifs ou négatifs. Ou bien encore, si dans l'équation(3) on fait (a + 1) = p, n = x et s = q, on aura de même x2 + px = q. Si l'on considérait une progression dont la raison serait 2, il faudrait faire dans l'équation(1) a + 1 = p, n = x et s = q; dans l'un et l'autre, a, s et n sont des nombres quelconques, et il en est de même de x, p et q; ainsi, toute équation du 2e degré peut être considérée comme l'expression de la somme des termes d'une progression arithmétique, ayant pour raison ±: 2, pour premier terme le coefficient de x + 1, pour nombre des termes x, et pour sommes de ces x termes ± q. Enfin, résoudre une équation du 2e degré, c'est chercher le nombre des termes d'une progression arithmétique dont la raison serait zt 2, le premier terme le coefficient de x + 1, et la somme de ces termes ± q. Cela posé, soit à résoudre l'équation x2 + px = q. On cherche les plus hautes unités de et le nombre de ces plus hautes unités, soit ; on soustrait de , la somme des premiers termes de la progression; cette somme des premiers termes d'après l'équation (3) et ce qui vient d'être dit, est égale à + , le reste est qui, d'après l'équation (5), est égal à ( + ) x' + x'^2, si x' représente le nombre des termes que la progression arithmétique possède de plus que ; on connaît donc un produit et l'un de ses facteurs + ; il sera facile de déterminer les plus hautes unités de l'autre x' ; mais le quotient de par + peut être trop fort; car , en outre de ( + ) x x", contient encore x'^2. Les plus hautes unités de x' étant connues et représentées par , on soustrait de la somme des termes après les premiers; cette somme est
plus hautes unités de et le nombre de ces plus hautes unités, soit ; on soustrait de , la somme des premiers termes de la progression; cette somme des premiers termes d'après l'équation (3) et ce qui vient d'être dit, est égale à + , le reste est qui, d'après l'équation (5), est égal à ( + ) x' + x'^2, si x' représente le nombre des termes que la progression arithmétique possède de plus que ; on connaît donc un produit et l'un de ses facteurs + ; il sera facile de déterminer les plus hautes unités de l'autre x' ; mais le quotient de par + peut être trop fort; car , en outre de ( + ) x x", contient encore x'^2. Les plus hautes unités de x' étant connues et représentées par , on soustrait de la somme des termes après les premiers; cette somme est égale, d'après l'équation (5), à ( + ) a! + a'^2, le reste est , et on trouverait tous les chiffres de la solution de la même manière qu'on a trouvé . Donc pour déterminer x, dans l'équation x^2 + px = q, il faut chercher le nombre des plus hautes unités de x, les élever au carré et les multiplier par p; retrancher ce carré plus ce produit, de q; puis chercher les plus hautes unités a' du quotient de la division du reste par ( + p) et retrancher le produit de a' par ( + p), augmenté du carré de a'; puis opérer sur le second reste , comme on a opéré sur le premier, etc. Application à des exemples numériques. Soit maintenant à chercher la valeur de x, dans l'équation x^2 + 15x = 1750, x étant égal au nombre des termes d'une progression par différence commençant par 15 + 1 ou 16, ayant 2 pour raison et formant une somme égale à 1750; si on supposait que cette progression eût dix termes, la somme de ces termes serait 10 x 10 + 15 x 10 = 250, nombre plus faible que 1750. Si on supposait
hautes unités de x, les élever au carré et les multiplier par p; retrancher ce carré plus ce produit, de q; puis chercher les plus hautes unités a' du quotient de la division du reste par ( + p) et retrancher le produit de a' par ( + p), augmenté du carré de a'; puis opérer sur le second reste , comme on a opéré sur le premier, etc. Application à des exemples numériques. Soit maintenant à chercher la valeur de x, dans l'équation x^2 + 15x = 1750, x étant égal au nombre des termes d'une progression par différence commençant par 15 + 1 ou 16, ayant 2 pour raison et formant une somme égale à 1750; si on supposait que cette progression eût dix termes, la somme de ces termes serait 10 x 10 + 15 x 10 = 250, nombre plus faible que 1750. Si on supposait que cette progression eût 100 termes, la somme de ces termes serait 100 x 100 + 15 x 100 = 11500, nombre plus fort que 1750; donc x est compris entre 10 et 100; du reste, il est facile de voir que 1750 est compris entre 40 x 40 + 15 x 40 ou 2200 et 30 x 30 + 15 x 30 ou 1350. Conséquemment, x égale déjà 3 dizaines, plus un nombre d'unités moindre que 10: on soustrait de 1750, 1350 ou 30 x 30 + 15 x 30, reste 400 qui renferme encore la somme des termes de la progression en question, moins les 30 premiers; mais si on désigne le nombre restant de ces termes par x', on sait que 400 = (2 x 30 + 15) x' + x'^2. On connaît un produit et l'un de ses facteurs, il est donc facile de déterminer l'autre x'. On divise alors 400 par 75, le quotient est 5, qui, multiplié par 75, donne 375, et ajouté à son carré donne 400, qui, retranché de 400, donne zéro pour reste; donc x = 35. Soit à chercher la valeur de a, dans l'équation x^2 - 20x = 189,