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sheet under biaxial stretching is analysed. The material is rigid, isotropic and the thermomechanical coupling is taken into account. The onset of a necking band is determined via a linearized stability analysis. Abridged English Version — This paper is concerned by the necking prediction in sheet metal forming. A thin sheet under quasistatic biaxial stretching is considered. The material is thermoviscoplastic and isotropic. The onset of flow instability is discussed via a linearized stability approach. In the limiting case of a vanishing strain rate sensitivity, the results of Hill [1] are retrieved. The present approach, including viscoplastic effects, thermomechanical coupling and the heat conductivity (effects of anisotropy are taken into account in [2]) and is more general concerning the material behavior than the Hutchinson and Neale approach [3] where the strain rate effects were analyzed with the Marciniak-Kuczynski model. But in their work the post-critical behavior is included, while here in the linearized approach, only the onset of instability can be analyzed. The state of plane stress is represented by the equations (1) in a frame (x, y) having an angle α with the principal axis (Fig. 1). For an isotropic material, the effective stress is defined by (2) in plane stress. The thermoviscoplastic behavior is represented by the power law (3), where the exponents v, N and M characterize the thermal softening (v < 0), the strain hardening and the strain rate sensitivity. The material is rigid plastic. The effective strain rate s and the cumulated plastic deformation s are defined by (4). The flow law is given by (5) where X = e. Finally (5) can be written in the form (6). The compatibility relations reduce essentially in this problem to (7). Under the assumption of large wavelength perturbations, the equilibrium equations have the form (8) where h is the present thickness of the sheet, related to the initial thickness h0 by the relation (9). The incompressibility of the material is expressed by (10). Finally the energy equation (11) gives the rate of growth of the absolute temperature θ. The coefficients c, k and P are the heat
plane stress. The thermoviscoplastic behavior is represented by the power law (3), where the exponents v, N and M characterize the thermal softening (v < 0), the strain hardening and the strain rate sensitivity. The material is rigid plastic. The effective strain rate s and the cumulated plastic deformation s are defined by (4). The flow law is given by (5) where X = e. Finally (5) can be written in the form (6). The compatibility relations reduce essentially in this problem to (7). Under the assumption of large wavelength perturbations, the equilibrium equations have the form (8) where h is the present thickness of the sheet, related to the initial thickness h0 by the relation (9). The incompressibility of the material is expressed by (10). Finally the energy equation (11) gives the rate of growth of the absolute temperature θ. The coefficients c, k and P are the heat capacity at constant strain, the heat conductivity and the Taylor-Quinney factor (taken here constant=0.9). The relations (13) give the principal stresses σx, σy for the proportional loading defined by (12), while the stresses in the frame rotated by the angle α from the principal axis, are given by (14). The stability of the homogeneous solution σx = e2, σy = e2, is analyzed by considering a small perturbation of the form (16). These perturbations, constant on lines xx = const. are used to discuss the onset of a necking band parallel to the axis Xj. The real part of the complex number r characterizes the growth (instability Re(r) > 0) or the decay (stability, Re(r) = 0) of the perturbation. After substitution of the perturbed solution of the form (16) in the equations (2), (3), (6), (7), (8), (10), (11) and after linearization, the linear System (17) with respect to the amplitudes of the perturbation δe, δθ, ... , is obtained. A nonvanishing solution exists if the determinant is equal to zero. A fourth order equation in X (where X = T/|80) is obtained which is the product of XD2 by (19). If one of the roots of (19) has
stability of the homogeneous solution σx = e2, σy = e2, is analyzed by considering a small perturbation of the form (16). These perturbations, constant on lines xx = const. are used to discuss the onset of a necking band parallel to the axis Xj. The real part of the complex number r characterizes the growth (instability Re(r) > 0) or the decay (stability, Re(r) = 0) of the perturbation. After substitution of the perturbed solution of the form (16) in the equations (2), (3), (6), (7), (8), (10), (11) and after linearization, the linear System (17) with respect to the amplitudes of the perturbation δe, δθ, ... , is obtained. A nonvanishing solution exists if the determinant is equal to zero. A fourth order equation in X (where X = T/|80) is obtained which is the product of XD2 by (19). If one of the roots of (19) has a positive real part, then the corresponding mode is unstable. In order to have a significant growth of the perturbation, the real part of X must be large enough, say > a. Therefore we consider the criterion of effective instability (22), Re(X) > a. This analysis is applied to different paths, -1/2 < p < 1. For a fixed p, the angle α is optimized in order to get the lowest critical strain. On the Figure 2, the evolution of X+ and X-, (the roots corresponding to an isothermal plane deformation, p = 0), is considered with respect to the logarithmic principal strain e2. A rapid growth of Re(X+) is observed when e2 is larger than the critical value N corresponding to the Considère criterion. The stabilizing effect of increasing values of M can be observed. On the Figure 3 are represented the forming limit curves corresponding to the absolute instability criterion (Re(X) = 0) and the effective instability criterion Re(X) = a=10. The process is isothermal. For M=0, the results of Hill are retrieved. For p = 1, there is no effective instability. Indeed it is well known, in time independent plasticity, that a bifurcation is impossible for p>0
paths, -1/2 < p < 1. For a fixed p, the angle α is optimized in order to get the lowest critical strain. On the Figure 2, the evolution of X+ and X-, (the roots corresponding to an isothermal plane deformation, p = 0), is considered with respect to the logarithmic principal strain e2. A rapid growth of Re(X+) is observed when e2 is larger than the critical value N corresponding to the Considère criterion. The stabilizing effect of increasing values of M can be observed. On the Figure 3 are represented the forming limit curves corresponding to the absolute instability criterion (Re(X) = 0) and the effective instability criterion Re(X) = a=10. The process is isothermal. For M=0, the results of Hill are retrieved. For p = 1, there is no effective instability. Indeed it is well known, in time independent plasticity, that a bifurcation is impossible for p>0 when the flow theory without vertex or non-normality effects is considered. Finally on the Figure 4, the thermomechanical coupling is taken into account. The stabilizing effect of the heat conduction are clear when going from an adiabatic to an isothermal process (Qj defined in (18), increasing from 0 to CQ). Other considerations including, deformation and vertex theory, and the material anisotropy are considered in a forthcoming paper. 1. INTRODUCTION. — Dans les processus d'emboutissage, des instabilités dans l'écoulement plastique apparaissent aux grandes déformations et se traduisent par l'apparition de bandes étroites où la déformation se localise et où le matériel se rompt. Les résultats présentés ici décrivent la localisation dans une plaque mince en chargement biaxial au moyen d'une analyse de la stabilité linéarisée qui a été utilisée avec succès dans d'autres contextes ([4] à [8]). Le problème est supposé quasi statique et le matériau isotrope, thermoviscoplastique. Dans le cas limite d'un matériau insensible à la vitesse de déformation et en chargement isotherme, on retrouve les résultats de Hill [1]. Cette étude permet de généraliser l'approche de Hill à des comportements incluant la viscoplasticité, réchauffement dû à la déformation plastique et la conduction thermique. Elle généralise aussi les travaux de
Other considerations including, deformation and vertex theory, and the material anisotropy are considered in a forthcoming paper. 1. INTRODUCTION. — Dans les processus d'emboutissage, des instabilités dans l'écoulement plastique apparaissent aux grandes déformations et se traduisent par l'apparition de bandes étroites où la déformation se localise et où le matériel se rompt. Les résultats présentés ici décrivent la localisation dans une plaque mince en chargement biaxial au moyen d'une analyse de la stabilité linéarisée qui a été utilisée avec succès dans d'autres contextes ([4] à [8]). Le problème est supposé quasi statique et le matériau isotrope, thermoviscoplastique. Dans le cas limite d'un matériau insensible à la vitesse de déformation et en chargement isotherme, on retrouve les résultats de Hill [1]. Cette étude permet de généraliser l'approche de Hill à des comportements incluant la viscoplasticité, réchauffement dû à la déformation plastique et la conduction thermique. Elle généralise aussi les travaux de Hutchinson et Neale [3] qui étaient limités à la prise en compte de la sensibilité à la vitesse de déformation. La prise en compte de l'anisotropie initiale est traitée également dans [2]. 2. ÉQUATIONS DU PROBLÈME. On considère une plaque mince d'épaisseur uniforme h soumise à un champ de contraintes planes : les autres composantes cfy étant nulles. Les axes 1 et 2 sont des axes faisant un angle φ avec les axes principaux des contraintes (fig. 1). Le matériau est supposé isotrope et la contrainte équivalente σ est définie par le critère de Von Mises et s'écrit avec l'hypothèse de contraintes planes : C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1315-1321, 1988 1317 La réponse thermoviscoplastique du matériau est décrite par une loi puissance de la forme : où R est la température absolue, i une constante et v, N et M sont les exposants caractérisant respectivement l'adoucissement thermique (v<0), l'écrouissage et la sensibilité à la vitesse de déformation. Le point représente la dérivée particulaire qui sera ici confondue avec la dérivée partielle par rapport au temps car nous supposerons les vitesses faibles. La vitesse de déformation équivalente s et la déformation plastique cumulée ε sont
planes : les autres composantes cfy étant nulles. Les axes 1 et 2 sont des axes faisant un angle φ avec les axes principaux des contraintes (fig. 1). Le matériau est supposé isotrope et la contrainte équivalente σ est définie par le critère de Von Mises et s'écrit avec l'hypothèse de contraintes planes : C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1315-1321, 1988 1317 La réponse thermoviscoplastique du matériau est décrite par une loi puissance de la forme : où R est la température absolue, i une constante et v, N et M sont les exposants caractérisant respectivement l'adoucissement thermique (v<0), l'écrouissage et la sensibilité à la vitesse de déformation. Le point représente la dérivée particulaire qui sera ici confondue avec la dérivée partielle par rapport au temps car nous supposerons les vitesses faibles. La vitesse de déformation équivalente s et la déformation plastique cumulée ε sont définies par : Le matériau est supposé rigide plastique et les équations de la théorie de l'écoulement sont du type : En utilisant les relations (2) et (4) définissant la contrainte et la vitesse de déformation équivalentes, on trouve : Les relations de compatibilité se réduisent, pour l'essentiel dans ce problème, à : Les équations d'équilibre s'écrivent, dans l'hypothèse de perturbations de longueurs d'onde assez grandes : où h est l'épaisseur courante de la plaque donnée par : h° épaisseur initiale uniforme, s3 étant la déformation logarithmique transverse. L'incompressibilité du matériau se traduit par : Et enfin l'équation de l'énergie s'écrit : 0 est la dérivée partielle par rapport au temps (approximation valable en petites vitesses), c, k et P sont respectivement la capacité calorifique, le coefficient de conduction et le coefficient de Taylor-Quinney qui correspond à la fraction de travail de déformation plastique transformée en chaleur, p est supposé constant et égal à 0,9. Le chemin de déformation proportionnel : 1318 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1315-1321, 1988 est imposé à la plaque. Par ex et ey on désigne les déformations logarithmiques principales. On en déduit grâce aux relations (6) écrites dans les axes
problème, à : Les équations d'équilibre s'écrivent, dans l'hypothèse de perturbations de longueurs d'onde assez grandes : où h est l'épaisseur courante de la plaque donnée par : h° épaisseur initiale uniforme, s3 étant la déformation logarithmique transverse. L'incompressibilité du matériau se traduit par : Et enfin l'équation de l'énergie s'écrit : 0 est la dérivée partielle par rapport au temps (approximation valable en petites vitesses), c, k et P sont respectivement la capacité calorifique, le coefficient de conduction et le coefficient de Taylor-Quinney qui correspond à la fraction de travail de déformation plastique transformée en chaleur, p est supposé constant et égal à 0,9. Le chemin de déformation proportionnel : 1318 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1315-1321, 1988 est imposé à la plaque. Par ex et ey on désigne les déformations logarithmiques principales. On en déduit grâce aux relations (6) écrites dans les axes (x, y) les contraintes principales : et les composantes des contraintes dans les axes 1, 2 : (14) σ1 = a x cos2 φ + a3y sin2 φ, a2 = a x sin2 φ + a y cos2 φ, a12=( — σx + σy) cos φ sin φ. La solution homogène du système d'équations [(2), (3), (6), (7), (8), (10), (11)], est S°=(σ1, σ2, k°2, s°, e°, a°, a2, σ2, CJ°, 0°). On superpose à la solution homogène précédente une petite perturbation dont les composantes sont les parties réelles d'expressions de la forme : Cette quantité est constante sur les lignes x1=Cte. On modélise ainsi l'apparition d'instabilités sous forme de bandes de striction. Le nombre complexe r| caractérise le taux de croissance ou de décroissance de la perturbation suivant que Re(r|) est positif (instabilité) ou négatif (stabilité). La solution perturbée s'écrit alors : (17) C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1315-1321, 1988 1319 avec : (18) Ce système linéaire d'équations par rapport aux amplitudes 8s? . . . admet une solution non triviale si son déterminant est nul. On obtient une équation du 4e degré en X produit de X D22 par le polynôme du 3e
homogène du système d'équations [(2), (3), (6), (7), (8), (10), (11)], est S°=(σ1, σ2, k°2, s°, e°, a°, a2, σ2, CJ°, 0°). On superpose à la solution homogène précédente une petite perturbation dont les composantes sont les parties réelles d'expressions de la forme : Cette quantité est constante sur les lignes x1=Cte. On modélise ainsi l'apparition d'instabilités sous forme de bandes de striction. Le nombre complexe r| caractérise le taux de croissance ou de décroissance de la perturbation suivant que Re(r|) est positif (instabilité) ou négatif (stabilité). La solution perturbée s'écrit alors : (17) C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1315-1321, 1988 1319 avec : (18) Ce système linéaire d'équations par rapport aux amplitudes 8s? . . . admet une solution non triviale si son déterminant est nul. On obtient une équation du 4e degré en X produit de X D22 par le polynôme du 3e degré suivant : Si l'une des racines de cette équation (19) a une partie réelle positive, alors le mode associé à cette racine est instable. La condition d'apparition de l'instabilité est alors : (21) Re(X)>0. Dans les calculs de mise en forme, l'évolution d'une perturbation sera significative lorsque la partie réelle de la racine X atteint une valeur positive assez grande notée, a ([2], [9]). On parlera alors d'instabilité effective lorsque : (22) Re(X)>a. Une discussion plus détaillée est présentée dans [2]. L'analyse linéarisée est appliquée à différents chemins en faisant varier le rapport p de — 1/2 à +1, c'est-à-dire de la traction uniaxiale à l'expansion biaxée symétrique. Pour un p fixé, l'angle φ est optimisé de manière à trouver la déformation critique la plus faible. 3. EFFETS DE LA SENSIBILITÉ À LA VITESSE DE DÉFORMATION ET DE LA CONDUCTION. — Dans le cas d'un processus isotherme, l'équation (19) est du second degré. La figure 2 illustre, alors, l'influence de la sensibilité à la vitesse de déformation sur les deux racines X+ et X~. Il s'agit d'un essai de déformation plane (p = 0). Pour toutes les valeurs de M, on observe une croissance rapide de Re (X +)
réelle de la racine X atteint une valeur positive assez grande notée, a ([2], [9]). On parlera alors d'instabilité effective lorsque : (22) Re(X)>a. Une discussion plus détaillée est présentée dans [2]. L'analyse linéarisée est appliquée à différents chemins en faisant varier le rapport p de — 1/2 à +1, c'est-à-dire de la traction uniaxiale à l'expansion biaxée symétrique. Pour un p fixé, l'angle φ est optimisé de manière à trouver la déformation critique la plus faible. 3. EFFETS DE LA SENSIBILITÉ À LA VITESSE DE DÉFORMATION ET DE LA CONDUCTION. — Dans le cas d'un processus isotherme, l'équation (19) est du second degré. La figure 2 illustre, alors, l'influence de la sensibilité à la vitesse de déformation sur les deux racines X+ et X~. Il s'agit d'un essai de déformation plane (p = 0). Pour toutes les valeurs de M, on observe une croissance rapide de Re (X +) quand la déformation logarithmique principale ε° dépasse la valeur critique N correspondant au critère de Considère. Plus M est petit, plus cette croissance est marquée; l'instabilité se développe alors rapidement. Au C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 89 1320 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1315-1321, 1988 contraire, une valeur plus grande de la sensibilité à la vitesse de déformation stabilise l'écoulement. Sur la figure 3 sont tracées les courbes limites de formage absolues (Re(X)=0) et effectives (Re(X)=a=10) pour différentes sensibilités à la vitesse et pour un processus de déformation isotherme. Pour M = 0, on retrouve dans le domaine p<0 la droite de Hill [1] sous forme analytique ([2], [12]). On remarque qu'il n'y a pas d'instabilité effective en expansion biaxée symétrique. Ceci est lié au choix de l'écrouissage isotrope, on sait ([10], [11]) que la localisation dans le domaine du biaxé positif est due à l'apparition d'un vertex ou d'une forte courbure sur la surface d'écoulement. La théorie de l'écoulement présentée ici ne permet pas l'apparition d'un tel phénomène. Enfin sur la figure 4 nous considérons un matériau thermoviscoplastique. On met ainsi en évidence l'effet stabilisant de la conduction caractérisée par
II, p. 1315-1321, 1988 contraire, une valeur plus grande de la sensibilité à la vitesse de déformation stabilise l'écoulement. Sur la figure 3 sont tracées les courbes limites de formage absolues (Re(X)=0) et effectives (Re(X)=a=10) pour différentes sensibilités à la vitesse et pour un processus de déformation isotherme. Pour M = 0, on retrouve dans le domaine p<0 la droite de Hill [1] sous forme analytique ([2], [12]). On remarque qu'il n'y a pas d'instabilité effective en expansion biaxée symétrique. Ceci est lié au choix de l'écrouissage isotrope, on sait ([10], [11]) que la localisation dans le domaine du biaxé positif est due à l'apparition d'un vertex ou d'une forte courbure sur la surface d'écoulement. La théorie de l'écoulement présentée ici ne permet pas l'apparition d'un tel phénomène. Enfin sur la figure 4 nous considérons un matériau thermoviscoplastique. On met ainsi en évidence l'effet stabilisant de la conduction caractérisée par des valeurs croissantes du facteur Q. Dans le domaine de l'expansion biaxiale positive (p > 0) l'utilisation d'une théorie de la déformation permet de modéliser l'apparition d'un point de forte courbure sur la surface d'écoulement [11] et d'obtenir des déformations critiques à l'aide de l'analyse linéarisée. Cette approche linéarisée permet également de considérer un matériau initialement anisotrope [2] et pour des processus de formage à grande vitesse d'étudier l'influence des forces d'inertie. Note reçue le 18 mai 1988, acceptée le 12 juillet 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] R. HILL, J. Mech. Phys. Solids, 1, 1952, p. 19-30. [2] D. DUDZINSKI et A. MOLINARI (à paraître). [3] J. W. HUTCHINSON et K. W. NEALE, Sheet necking, in Mech. of Sheet Metal Forming, Plenum Press, N.Y., 1978. [4] R. CLIFTON, Report to the NRC Committee on Material Response to Ultrasonic loading rates, 1978. [5] Y. L. BAI, J. Mech. Phys. Solids, 30, 1982, p. 196-207. [6] A. MOLINARI, J. de Mécanique théorique et Appliquée, 4, n° 5, 1985, p. 659-684. [7] C. FRESSENGEAS et A. MOLINARI, J. Mech. Phys. Solids, 35, n° 2, 1987, p. 185-211. [8] C. FRESSENGEAS et A. MOLINARI, Acta. Metall, 33, n° 3, 1985, p. 387-396. [9] E. DUNCOMBE,
également de considérer un matériau initialement anisotrope [2] et pour des processus de formage à grande vitesse d'étudier l'influence des forces d'inertie. Note reçue le 18 mai 1988, acceptée le 12 juillet 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] R. HILL, J. Mech. Phys. Solids, 1, 1952, p. 19-30. [2] D. DUDZINSKI et A. MOLINARI (à paraître). [3] J. W. HUTCHINSON et K. W. NEALE, Sheet necking, in Mech. of Sheet Metal Forming, Plenum Press, N.Y., 1978. [4] R. CLIFTON, Report to the NRC Committee on Material Response to Ultrasonic loading rates, 1978. [5] Y. L. BAI, J. Mech. Phys. Solids, 30, 1982, p. 196-207. [6] A. MOLINARI, J. de Mécanique théorique et Appliquée, 4, n° 5, 1985, p. 659-684. [7] C. FRESSENGEAS et A. MOLINARI, J. Mech. Phys. Solids, 35, n° 2, 1987, p. 185-211. [8] C. FRESSENGEAS et A. MOLINARI, Acta. Metall, 33, n° 3, 1985, p. 387-396. [9] E. DUNCOMBE, Int. J. Solids Structures, 10, 1974, p. 1445-1458. [10] V. TVERGAARD, Int. J. Mech. Sci., 20, 1978, p. 651-658. [11] S. STOREN et J. R. RICE, J. Mech. Phys. Solids, 1, 1975, p. 421-441. [12] D. DUDZINSKI et A. MOLINARI, École d’Été, G.R.E.C.O. grandes déformations et endommagement, Ile d’Oléron, 1987. Laboratoire de Physique et Mécanique des Matériaux, U.A.-C.N.R.S. n° 1215, Faculté des Sciences, Ile-du-Saulcy, 57045 Metz Cedex 01. PLANCHE 1/PLATE I DANIEL DUDZINSKI Fig. 1. — Plaque mince soumise à un champ de contraintes planes, X et Y sont les axes principaux des contraintes. Fig. 1. — Thin sheet submitted to a plane stress field, X and Y are the principal axes of stresses. Fig. 2. — Influence de la sensibilité à la vitesse de déformation M pour N = 0,25, p=0, processus isotherme. Fig. 2. — Effect of strain rate sensitivity M for N = 0.25 and p = 0, isothermal process. Fig. 3. — Courbes limites de formage absolue et effectives pour différentes sensibilités à la vitesse de déformation, pour N = 0,25 et pour un processus isotherme. Fig. 3. — Absolute and effective forming limit curves for different values of the strain rate sensitivity M, the process