jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
species into one with significant allometry in the fin rays of the dorsal and anal fins in an advanced growth stage. Thus Sorbini's hypothesis has been verified. CONCLUSIONS. — During research on the teleostean fishes from Bolca, and on closely related existing forms, the value of the Blot formula was demonstrated when it was possible to obtain it. — This formula constitutes a new character of great import. — It may show phylogenetic relationships of some close species. — It can be successfully applied to compare fossilized and present-day species. PRESENTATION OF THE FORMULA. — Au cours de l'étude de la faune ichtyologique de l'Eocène de Bolca, dans le but de « rassembler » le plus grand nombre de caractères concernant le squelette axial et le squelette interne et externe des nageoires dorsale et anale, sur les fiches de chacun des fossiles étudiés, et, dans la mesure du possible, de les visualiser, j'ai été amené à élaborer le schéma récapitulatif ci-dessous : qui peut s'interpréter comme suit : Le poisson étudié possède un squelette axial comprenant 24 vertèbres, soit 10 vertèbres abdominales, avec les seules neurapophyses, et 14 vertèbres caudales, avec les neurapophyses et les hémapophyses, les trois dernières vertèbres participant au complexe urophore (Monod, [2]). C. R. Acad. Sci. Paris, t 307, Série II, p. 1131-1136, 1988 1133 TABLE Les principaux caractères permettant de déterminer les exemplaires rangés dans l'espèce Odonteus pygmaeus, comparés à ceux de l'espèce Acanthonemus subaureus. Main characters used to identify and compared Odonteus pygmaeus and Acanthonemus subaureus. Odonteus pygmaeus Acanthonemus subaureus de Zigno T147 T987-988 Padoue Vérone Col. Baja 9 exemplaires Longueur, l'ensemble 33 37.5 48 de 70 à 225 mm Nombre de Vertèbres 23(24) 23 23 23 Vertèbres abdominales 10 10 10 10 Vertèbres Caudales 13(14) 13 13 13 D1. IX/8 ax. IX/8 ax. IX/8 ax. IX/8 ax. D2. 11/11 ax. 11/11 ax. 11/11 ax. 11(12)/11 ax. Anale IV + 10(11)/11 ax. IV + 9/11 ax. IV + 9(10)/11 ax. IV + 10/11 ax. Caudale -I-8/7-I5-I-8/7-I-4 -I-8/7-I5-I-8/7-I-5(6) La première dorsale (D1) est soutenue par 7 axonostes ou pterygophores, elle débute au niveau de la
participant au complexe urophore (Monod, [2]). C. R. Acad. Sci. Paris, t 307, Série II, p. 1131-1136, 1988 1133 TABLE Les principaux caractères permettant de déterminer les exemplaires rangés dans l'espèce Odonteus pygmaeus, comparés à ceux de l'espèce Acanthonemus subaureus. Main characters used to identify and compared Odonteus pygmaeus and Acanthonemus subaureus. Odonteus pygmaeus Acanthonemus subaureus de Zigno T147 T987-988 Padoue Vérone Col. Baja 9 exemplaires Longueur, l'ensemble 33 37.5 48 de 70 à 225 mm Nombre de Vertèbres 23(24) 23 23 23 Vertèbres abdominales 10 10 10 10 Vertèbres Caudales 13(14) 13 13 13 D1. IX/8 ax. IX/8 ax. IX/8 ax. IX/8 ax. D2. 11/11 ax. 11/11 ax. 11/11 ax. 11(12)/11 ax. Anale IV + 10(11)/11 ax. IV + 9/11 ax. IV + 9(10)/11 ax. IV + 10/11 ax. Caudale -I-8/7-I5-I-8/7-I-4 -I-8/7-I5-I-8/7-I-5(6) La première dorsale (D1) est soutenue par 7 axonostes ou pterygophores, elle débute au niveau de la deuxième vertèbre, ses axonostes sont répartis entre la deuxième et la huitième neurapophyse. En avant de cette première dorsale, on découvre deux axonostes inermes — ou « predorsal bones » (2) entre la première et la seconde neurapophyse et un seul (1) en avant de la première neurapophyse. La seconde dorsale (D2) débute en arrière de la dixième vertèbre abdominale, en avant de la première neurapophyse caudale et ses axonostes, au nombre de 13, sont distribués comme il est indiqué. Le premier axonoste de l'anale qui appartient au complexe hémaxanal, se situe en avant de la première hémapophyse caudale et l'ensemble des 12 autres axonostes se répartit régulièrement entre la première et la huitième hémapophyse. En 1968, lorsqu'il s'est agi de conclure l'étude des espèces fossiles de Bolca constituant l'objet de ma thèse de Doctorat, j'ai rassemblé l'ensemble de ces formules pour chacune des espèces étudiées et j'ai alors pu constater que, pour une espèce donnée, il existait entre ces formules une homogénéité assez extraordinaire, notamment au niveau de certaines parties. J'ai donc proposé d'envisager cette représentation schématique comme constituant un caractère spécifique valable (Blot, [3]). Par la suite, j'ai poursuivi mon étude de la faune de Bolca en utilisant
dorsale (D2) débute en arrière de la dixième vertèbre abdominale, en avant de la première neurapophyse caudale et ses axonostes, au nombre de 13, sont distribués comme il est indiqué. Le premier axonoste de l'anale qui appartient au complexe hémaxanal, se situe en avant de la première hémapophyse caudale et l'ensemble des 12 autres axonostes se répartit régulièrement entre la première et la huitième hémapophyse. En 1968, lorsqu'il s'est agi de conclure l'étude des espèces fossiles de Bolca constituant l'objet de ma thèse de Doctorat, j'ai rassemblé l'ensemble de ces formules pour chacune des espèces étudiées et j'ai alors pu constater que, pour une espèce donnée, il existait entre ces formules une homogénéité assez extraordinaire, notamment au niveau de certaines parties. J'ai donc proposé d'envisager cette représentation schématique comme constituant un caractère spécifique valable (Blot, [3]). Par la suite, j'ai poursuivi mon étude de la faune de Bolca en utilisant cette formule, à la fois pour les formes fossiles et pour les formes actuelles de comparaison. En collaboration avec J. C. Tyler de la Smithsonian Institution, nous avons notamment pu étudier les Acanthuroidei actuels et les formes de Bolca rangées — provisoirement — dans ce sous-ordre. Pour l'ensemble des espèces étudiées (dont 17 espèces actuelles du genre Acanthurus), la formule a pu se vérifier à 97-98 %, voire à 100 %, dans son intégralité. Cela nous a permis, par déduction, de déterminer les différentes espèces fossiles que l'on peut rencontrer au sein des Acanthuroidei de Bolca (Blot, [4], et à paraître). Cette formule, quand elle peut être établie, est d'un intérêt évident, notamment en certaines de ses parties : — la région du complexe hémaxanal et la répartition des axonostes à son voisinage immédiat; — la région antérieure du squelette axial, c'est-à-dire celle qui correspond à la première dorsale, quand elle existe; — la présence ou l'absence des « predorsal bones », ainsi que leur nombre et leur disposition (Blot, [5]). Le problème d'Odonteus pygmaeus. En 1874, de Zigno [6], à partir d'un exemplaire de sa collection personnelle, définissait dans la faune de Bolca la nouvelle espèce Odonteus pygmaeus qu'il
étudiées (dont 17 espèces actuelles du genre Acanthurus), la formule a pu se vérifier à 97-98 %, voire à 100 %, dans son intégralité. Cela nous a permis, par déduction, de déterminer les différentes espèces fossiles que l'on peut rencontrer au sein des Acanthuroidei de Bolca (Blot, [4], et à paraître). Cette formule, quand elle peut être établie, est d'un intérêt évident, notamment en certaines de ses parties : — la région du complexe hémaxanal et la répartition des axonostes à son voisinage immédiat; — la région antérieure du squelette axial, c'est-à-dire celle qui correspond à la première dorsale, quand elle existe; — la présence ou l'absence des « predorsal bones », ainsi que leur nombre et leur disposition (Blot, [5]). Le problème d'Odonteus pygmaeus. En 1874, de Zigno [6], à partir d'un exemplaire de sa collection personnelle, définissait dans la faune de Bolca la nouvelle espèce Odonteus pygmaeus qu'il rattachait à un genre créé par Agassiz en 1839 [7] pour un poisson du même gisement : Odonteus sparoides, aujourd'hui conservé au M.N.H.N., et dont la détermination devra également être révisée. Cette espèce de De Zigno n'était connue que par un seul exemplaire en double plaque, conservé de nos jours dans la collection de l'Université de Padoue. En 1897, Bassani [8], à partir d'un autre exemplaire de Padoue, reprenait la description de l'espèce O. pygmaeus. Au cours d'une mission à Padoue, en 1976, j'ai pu effectuer une première étude de l'espèce de De Zigno. Cela m'a permis de compléter les observations de son auteur. J'ai également pu en établir la formule des relations squelettiques. Par contre, il m'a été impossible de retrouver l'exemplaire qui avait été vu par Bassani et qui, selon toute vraisemblance, ne correspondait pas à la même espèce, voire au même genre. On en connaît seulement la figuration [8]. Au cours de la même mission, j'ai pu étudier les exemplaires conservés au Museo Civico de Vérone et rangés dans le genre Odonteus. L'un d'entre eux, catalogué T 147, pouvait être rapproché, sans aucune hésitation, de l'exemplaire de De Zigno et correspondait, par ailleurs, au spécimen figuré par
dans la collection de l'Université de Padoue. En 1897, Bassani [8], à partir d'un autre exemplaire de Padoue, reprenait la description de l'espèce O. pygmaeus. Au cours d'une mission à Padoue, en 1976, j'ai pu effectuer une première étude de l'espèce de De Zigno. Cela m'a permis de compléter les observations de son auteur. J'ai également pu en établir la formule des relations squelettiques. Par contre, il m'a été impossible de retrouver l'exemplaire qui avait été vu par Bassani et qui, selon toute vraisemblance, ne correspondait pas à la même espèce, voire au même genre. On en connaît seulement la figuration [8]. Au cours de la même mission, j'ai pu étudier les exemplaires conservés au Museo Civico de Vérone et rangés dans le genre Odonteus. L'un d'entre eux, catalogué T 147, pouvait être rapproché, sans aucune hésitation, de l'exemplaire de De Zigno et correspondait, par ailleurs, au spécimen figuré par Volta [9] dans son Ittiolitologia veronese, pl. XXIX, 3, sous le nom : « il pampo », Chaetodon macrolepidotus. Cf. tableau. En 1983, à l'occasion de la donation au Musée de Vérone de l'importante collection de fossiles de Bolca rassemblée par Monsieur G. Baja, le docteur L. Sorbini [10] publia un catalogue de cette collection où étaient figurés les plus beaux spécimens. Parmi ceux-ci, on pouvait découvrir un poisson déterminé comme Odonteus pygmaeus et correspondant parfaitement à l'exemplaire de De Zigno. Ce fossile, dont la conservation est excellente, pouvait être facilement étudié, au moins pour un bon nombre de ses caractères, à partir de la reproduction photographique qui en était donnée, (cf. tableau). Tout récemment, en mars 1988, L. Sorbini, me parlant de cet exemplaire particulier et de l'espèce Odonteus pygmaeus, me disait qu'il devait s'agir, selon lui, d'un jeune représentant de l'espèce Acanthonemus subaureus dont j'avais publié l'étude en 1969 [3]. Cette interprétation allait s'avérer pleinement justifiée grâce aux formules Blot des divers exemplaires examinés. En effet, en plus des différents caractères observés sur l'ensemble de ces exemplaires, qu'il s'agisse de celui de De Zigno, de celui du Musée de Vérone ou de celui de la collection Baja, pour
un catalogue de cette collection où étaient figurés les plus beaux spécimens. Parmi ceux-ci, on pouvait découvrir un poisson déterminé comme Odonteus pygmaeus et correspondant parfaitement à l'exemplaire de De Zigno. Ce fossile, dont la conservation est excellente, pouvait être facilement étudié, au moins pour un bon nombre de ses caractères, à partir de la reproduction photographique qui en était donnée, (cf. tableau). Tout récemment, en mars 1988, L. Sorbini, me parlant de cet exemplaire particulier et de l'espèce Odonteus pygmaeus, me disait qu'il devait s'agir, selon lui, d'un jeune représentant de l'espèce Acanthonemus subaureus dont j'avais publié l'étude en 1969 [3]. Cette interprétation allait s'avérer pleinement justifiée grâce aux formules Blot des divers exemplaires examinés. En effet, en plus des différents caractères observés sur l'ensemble de ces exemplaires, qu'il s'agisse de celui de De Zigno, de celui du Musée de Vérone ou de celui de la collection Baja, pour chacun d'eux, la formule squelettique était la même et correspondait à celle qui avait été établie par moi-même et J. C. Tyler pour l'espèce Acanthonemus subaureus. Donnée une première fois en 1969 [3] de manière légèrement erronée, — je ne pensais pas alors qu'elle pouvait avoir autant d'importance —, en collaboration avec J. C. Tyler, nous l'avions reprise et rectifiée à partir des exemplaires de Paris, de Vérone, de Londres et de Padoue; cela nous avait permis de constater son homogénéité au sein de l'espèce et nous l'avions définie comme suit: Reconstitution de l'anatomie squelettique de la forme adulte (Gx0,7) et de la forme juvénile (G x 1) d'Acanthonemus subaureus. Les écailles de l'une et de l'autre, ainsi que la nageoire pectorale du petit n'ont pas été figurées. Acanthonemus subaureus (de Blainville). Restoration of an adult form (M x 0,7), scales omitted, and of a juvenil (M x 1), scales and pectoral fin omitted. Cette formule d'Acanthonemus subaureus concorde parfaitement avec celle de l'espèce « Odonteus pygmaeus ». Elle permet d'affirmer que, selon toute vraisemblance, les petits exemplaires rangés dans cette espèce doivent être considérés comme des formes juvéniles de l'espèce Acanthonemus subaureus. Cette dernière espèce se caractérise donc, au
collaboration avec J. C. Tyler, nous l'avions reprise et rectifiée à partir des exemplaires de Paris, de Vérone, de Londres et de Padoue; cela nous avait permis de constater son homogénéité au sein de l'espèce et nous l'avions définie comme suit: Reconstitution de l'anatomie squelettique de la forme adulte (Gx0,7) et de la forme juvénile (G x 1) d'Acanthonemus subaureus. Les écailles de l'une et de l'autre, ainsi que la nageoire pectorale du petit n'ont pas été figurées. Acanthonemus subaureus (de Blainville). Restoration of an adult form (M x 0,7), scales omitted, and of a juvenil (M x 1), scales and pectoral fin omitted. Cette formule d'Acanthonemus subaureus concorde parfaitement avec celle de l'espèce « Odonteus pygmaeus ». Elle permet d'affirmer que, selon toute vraisemblance, les petits exemplaires rangés dans cette espèce doivent être considérés comme des formes juvéniles de l'espèce Acanthonemus subaureus. Cette dernière espèce se caractérise donc, au cours de sa croissance, par un développement allométrique des rayons épineux de sa première dorsale et de sa nageoire anale, le développement de ces rayons épineux se réalisant assez tardivement et s'accélérant ensuite avec la croissance du poisson. En réunissant l'ensemble des exemplaires ainsi rangés dans l'espèce Acanthonemus subaureus, on constate, en effet, que le plus grand rayon épineux de la dorsale présente une variation de 30,76 % de la longueur totale sans la caudale à 77,88 %, si l'on n'envisage que le plus petit exemplaire, celui de De Zigno, et le plus grand, celui du M.N.H.N.; pour la nageoire anale, cette variation est comparable, elle va de 10,81 à 53,26 % pour les mêmes exemplaires. On notera, enfin, que dès 1839, Agassiz avait suggéré la possibilité d'une telle interprétation en proposant, avec hésitation, de considérer comme appartenant à l'espèce Acanthonemus subaureus (= Acanthonemus filamentosus selon lui) l'exemplaire figuré par Volta dont on a parlé plus haut et qui est conservé, aujourd'hui, au Museo Civico di Storia Naturale de Vérone. CONCLUSIONS. — L'importance de la représentation schématique des relations existant entre le squelette axial et le squelette interne des nageoires impaires (formule Blot), est une nouvelle fois mise en évidence.
constate, en effet, que le plus grand rayon épineux de la dorsale présente une variation de 30,76 % de la longueur totale sans la caudale à 77,88 %, si l'on n'envisage que le plus petit exemplaire, celui de De Zigno, et le plus grand, celui du M.N.H.N.; pour la nageoire anale, cette variation est comparable, elle va de 10,81 à 53,26 % pour les mêmes exemplaires. On notera, enfin, que dès 1839, Agassiz avait suggéré la possibilité d'une telle interprétation en proposant, avec hésitation, de considérer comme appartenant à l'espèce Acanthonemus subaureus (= Acanthonemus filamentosus selon lui) l'exemplaire figuré par Volta dont on a parlé plus haut et qui est conservé, aujourd'hui, au Museo Civico di Storia Naturale de Vérone. CONCLUSIONS. — L'importance de la représentation schématique des relations existant entre le squelette axial et le squelette interne des nageoires impaires (formule Blot), est une nouvelle fois mise en évidence. Cette formule, chaque fois que l'on peut l'établir, constitue ainsi un caractère spécifique de premier ordre. Elle peut même devenir un élément de détermination des fossiles quand les exemplaires sont incomplets. On peut l'utiliser comme un élément de comparaison pour l'établissement de relations phylogénétiques entre les formes fossiles et les espèces actuelles. Elle peut également permettre de relier entre elles des formes apparemment éloignées et préciser ainsi leur systématique : l'espèce Odontesthes pygmaeus doit être supprimée et placée en synonymie avec l'espèce Acanthonemus subaureus (de Blainville). Cette formule permet enfin de relier la paléichtyologie à l'ichtyologie actuelle en facilitant les comparaisons entre les différentes formes étudiées, au moins à partir des Téléostéens du Tertiaire, ce qui présente, on le conçoit aisément, un intérêt indéniable. Note reçue le 13 juin 1988, acceptée le 19 juillet 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] J. BLOT, C. R. Acad. Sci. Paris, 266, série D, 1968, p. 1943-1946. [2] Th. MONOD, Mém. Ifan, 81, 1968, Dakar, 705 p. [3] J. BLOT, Studi e ric. sui giacimenti di Bolca, I, 1969, 540 p., Vérone. [4] J. BLOT, Bull. Mus. natn. Hist. nat., Paris, 2, sect. C, 1980, p. 339-396. [5] J. BLOT, Cybium, 8, (4), 1984, Paris, p.
espèces actuelles. Elle peut également permettre de relier entre elles des formes apparemment éloignées et préciser ainsi leur systématique : l'espèce Odontesthes pygmaeus doit être supprimée et placée en synonymie avec l'espèce Acanthonemus subaureus (de Blainville). Cette formule permet enfin de relier la paléichtyologie à l'ichtyologie actuelle en facilitant les comparaisons entre les différentes formes étudiées, au moins à partir des Téléostéens du Tertiaire, ce qui présente, on le conçoit aisément, un intérêt indéniable. Note reçue le 13 juin 1988, acceptée le 19 juillet 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] J. BLOT, C. R. Acad. Sci. Paris, 266, série D, 1968, p. 1943-1946. [2] Th. MONOD, Mém. Ifan, 81, 1968, Dakar, 705 p. [3] J. BLOT, Studi e ric. sui giacimenti di Bolca, I, 1969, 540 p., Vérone. [4] J. BLOT, Bull. Mus. natn. Hist. nat., Paris, 2, sect. C, 1980, p. 339-396. [5] J. BLOT, Cybium, 8, (4), 1984, Paris, p. 19-30. [6] A. DE ZIGNO, Mem. Ist. ven. Sci, Let. ed Arti, XVIII, 1874, Venise, 15 p. [7] L. AGASSIZ, Pois, fos., IV, 1833-1844, Neuchâtel, p. 178. [8] F. BASSANI, Palaeont italica, III, 1897, p. 77-88, Pise. [9] L. SORBINI, Mus. Civ. Stor. Nat., Vérone, 1983, 117 p. [10] S. VOLTA, Ittiolit. veronese, 1796, 323 p., Vérone. Institut de Paléontologie, 8, rue de Buffon, 75005 Paris. On trouve que et L'inclusion canonique s'exprime par Si la condition nous dit que 8q = 6yl, àyl=8y2, . . ., Syk_1=8a. Enfin, comme et l'égalité de ces produits internes implique et Si on écrit j&gt;; = q; et a — qk on obtient les équations d'Euler pour L ([3], [4]) : Les coordonnées p0, p1 . . ., pk-1 sont les moments généraux du système. Remarque. — On note que le lagrangien L peut être dégénéré ou non. En outre, on peut supposer que L est défini sur une sous-variété J de Tk Q. 4. Soit L un lagrangien d'ordre k à liaisons holonomes, c'est-à-dire, L est une fonction L : T* S -* R, où S < Q est une sous-variété. Donc la sous-variété lagrangienne N engendrée par L est définie par
VOLTA, Ittiolit. veronese, 1796, 323 p., Vérone. Institut de Paléontologie, 8, rue de Buffon, 75005 Paris. On trouve que et L'inclusion canonique s'exprime par Si la condition nous dit que 8q = 6yl, àyl=8y2, . . ., Syk_1=8a. Enfin, comme et l'égalité de ces produits internes implique et Si on écrit j&gt;; = q; et a — qk on obtient les équations d'Euler pour L ([3], [4]) : Les coordonnées p0, p1 . . ., pk-1 sont les moments généraux du système. Remarque. — On note que le lagrangien L peut être dégénéré ou non. En outre, on peut supposer que L est défini sur une sous-variété J de Tk Q. 4. Soit L un lagrangien d'ordre k à liaisons holonomes, c'est-à-dire, L est une fonction L : T* S -* R, où S < Q est une sous-variété. Donc la sous-variété lagrangienne N engendrée par L est définie par On obtient C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1137-1139, 1988 1139 où les liaisons CA(q) = 0, l^A^s definissent la sous-variété ScQ, et où les XA sont des multiplicateurs de Lagrange pour tenir compte des relations Pour k = 1, on retrouve le résultat de Lacomba et Tulczyjew [5]. 5. EXEMPLE. — Soit S l'espace-temps de la gravité pure avec des coordonnées (x°, x 1, x 2, x 3) telles que les surfaces x° = Cte soient « space-like ». Le lagrangien de Hilbert L = L(t, gap, gap&gt; 0, ga^ 00) est défini par [2] : où (les indices grecs vont de 0 à 3 et les indices latins vont de 1 à 3). Si on note les moments généraux sont Alors, la sous-variété lagrangienne N est définie localement par et N est engendrée par le lagrangien L défini sur la variété T2 Q, où Q est l'espace des métriques pseudo-riemanniennes sur S. Note reçue le 26 juillet 1988, acceptée le 5 août 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] D. CHRISTODOULOU, M. FRANCAVIGLLA et W. M. TULCZYJEW, Gen. Relativity Gravitation, 10, 1979, p. 567-579. [2] S. K. DUTT et M. DRESDEN, Pure gravity as a constrained second-order
et Tulczyjew [5]. 5. EXEMPLE. — Soit S l'espace-temps de la gravité pure avec des coordonnées (x°, x 1, x 2, x 3) telles que les surfaces x° = Cte soient « space-like ». Le lagrangien de Hilbert L = L(t, gap, gap&gt; 0, ga^ 00) est défini par [2] : où (les indices grecs vont de 0 à 3 et les indices latins vont de 1 à 3). Si on note les moments généraux sont Alors, la sous-variété lagrangienne N est définie localement par et N est engendrée par le lagrangien L défini sur la variété T2 Q, où Q est l'espace des métriques pseudo-riemanniennes sur S. Note reçue le 26 juillet 1988, acceptée le 5 août 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] D. CHRISTODOULOU, M. FRANCAVIGLLA et W. M. TULCZYJEW, Gen. Relativity Gravitation, 10, 1979, p. 567-579. [2] S. K. DUTT et M. DRESDEN, Pure gravity as a constrained second-order System, preprint ITP-SB-86-32. [3] M. DE LEON et P. R. RODRIGUES, C. R. Acad. Sci. Paris, 301, série II, 1985, p. 455-458. [4] M. DE LEON et P. R. RODRIGUES, Generalized Classical Mechanics and Field Theory, North-Holland, Amsterdam, 1985. [5] E. A. LACOMBA et W. TULCZYJEW, Geometric Formulation of mechanical systems with one-sided conditions (à paraître). [6] W. TULCZYJEW, C. R. Acad. Sci. Paris, 283, série A, 1976, p. 675-678. M. DE L. : C.E.C.I.M.E., Consejo Superior de Investigaciones Cientificas, Serrano, 123, 28006 Madrid, Espagne; E. A. L. : Departamento de Matematicas, Universidad Autonoma Metropolitana, Iztapalapa, P.O. Box 55-543, Mexico D.F., Mexique. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1141-1146, 1988 1141 Cristallographie/Crystallography L'indicateur d'Euler et les opérations de symétrie cristallographiques transitives dans les hyperespaces En Erwin-Félix BERTAUT Résumé — Pour l'indicateur d'Euler <p(m), on déduit deux lois d'échelle tp(2m) = <p(m) pour m impair et <p (2 m) = 2 <p (m) pour m pair. Une opération de symétrie cristallographique dans l'espace En, et appelée transitive par Carl Hermann [1], est représentée par une matrice nxn d'ordre m, notée ici [m] avec n = (<p(m). Les lois d'échelle servent à classifier les opérations de symétrie transitives