jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
où se produit la dissipation dominante; (d) une zone statique. On parvient ainsi à des formules pour l'énergie de fracture G fonction de la vitesse V, qui montrent un maximum, où G est plus grand que la dissipation de fissure (G0); Gmax = G0ueo/n0> ou !••_ et Ho sont les modèles élastiques à haute et basse fréquence. Au-delà du maximum, G(V) retombe lorsque l'épaisseur de la région fluide devient comparable à celle du spécimen, et l'on retrouve finalement à G = G0. Un 2° processus, analogue, doit intervenir lors de la transition vitreuse, où le module élastique augmente encore. Toute notre analyse est qualitative, mais elle donne une image physique plausible pour les expériences de Gent et Petrich sur les élastomères butadiène-styrène. Fracture of a weakly crosslinked adhesive Abstract — We analyze the dissipative processes during fracture of a viscoelastic polymer with a relaxation time T. In a large interval of velocities V, we must distinguish four spatial regions: (a) the crazing zone, where chains are strongly extended; (b) a "hard" region, where the polymer behaves like a solid of high modulus u0e; (c) a liquid zone, where a large viscous dissipation occurs; (d) a static zone where the polymer behaves like a solid of modulus u_«u_. The fracture energy G(V) starts from a relatively low value G0 due to the irreversible crazing process, and rises up to a maximum Gmax~G0u_/u0. At higher velocities G(V) decreases as soon as the size of the liquid region becomes comparable to the thickness of the sample, and G ultimately falls back to G~G0. A second process, with similar laws, is expected to take place at velocities which correspond to the rubber-glass transition. The whole analysis is qualitative but it provides a plausible picture for the experiments on Gent and Petrich of butadiene styrene rubbers. I. INTRODUCTION. — L'énergie de fracture d'un polymère G est très supérieure à l'énergie interfaciale de séparation w, et dépend fortement de la vitesse de propagation ([1]-[3]). Elle comprend notamment un terme de frottement statique G0 associé à un étirement irréversible des chaînes. Nous avons suggéré jadis [4] une
behaves like a solid of modulus u_«u_. The fracture energy G(V) starts from a relatively low value G0 due to the irreversible crazing process, and rises up to a maximum Gmax~G0u_/u0. At higher velocities G(V) decreases as soon as the size of the liquid region becomes comparable to the thickness of the sample, and G ultimately falls back to G~G0. A second process, with similar laws, is expected to take place at velocities which correspond to the rubber-glass transition. The whole analysis is qualitative but it provides a plausible picture for the experiments on Gent and Petrich of butadiene styrene rubbers. I. INTRODUCTION. — L'énergie de fracture d'un polymère G est très supérieure à l'énergie interfaciale de séparation w, et dépend fortement de la vitesse de propagation ([1]-[3]). Elle comprend notamment un terme de frottement statique G0 associé à un étirement irréversible des chaînes. Nous avons suggéré jadis [4] une forme possible de G0 pour un polymère non réticulé, dans le domaine où un mécanisme de succion des chaînes est dominant : d) G0 = crp5 où 5 est la longueur des chaînes étirées, et ap une contrainte seuil de déformation physique. Mais à vitesse finie, une contribution importante à G résulte des pertes viscoélastiques : Gent et Schultz [5] ont montré que, pour divers rubans viscoélastiques, cette contribution a la forme (2) G = w[1 + cp(aTV)] où ar est un facteur de Williams Landel Ferry qui permet de ramener sur une même courbe des points mesurés à des températures différentes. Il y a certaine similarité entre cp(aTV) et la partie dissipative du module élastique u"(o&gt;) (où co est une fréquence) [6]. Divers auteurs ont résolu des équations de mouvements viscoélastiques, soit sous une forme formelle [7], soit dans des versions simplifiées [8]. La référence [8], par exemple, suppose que la dissipation dominante se produit sur une petite longueur / (indépendante de V) et que la fréquence importante est donc oo'_=VZ_ 1. Dans le présent texte, nous suivrons principalement une analyse récente de Langer et Barber [9], mais en la transposant au cas élastomère faiblement réticulé pour lesquels le
G résulte des pertes viscoélastiques : Gent et Schultz [5] ont montré que, pour divers rubans viscoélastiques, cette contribution a la forme (2) G = w[1 + cp(aTV)] où ar est un facteur de Williams Landel Ferry qui permet de ramener sur une même courbe des points mesurés à des températures différentes. Il y a certaine similarité entre cp(aTV) et la partie dissipative du module élastique u"(o&gt;) (où co est une fréquence) [6]. Divers auteurs ont résolu des équations de mouvements viscoélastiques, soit sous une forme formelle [7], soit dans des versions simplifiées [8]. La référence [8], par exemple, suppose que la dissipation dominante se produit sur une petite longueur / (indépendante de V) et que la fréquence importante est donc oo'_=VZ_ 1. Dans le présent texte, nous suivrons principalement une analyse récente de Langer et Barber [9], mais en la transposant au cas élastomère faiblement réticulé pour lesquels le module élastique statique u0 Note présentée par Pierre-Gilles de GENNES. 0249-6305/88/03071949 S 2.00 © Académie des Sciences C. R.. 1988. 21 Semestre (T. 3&lt;)7| Série II 131 1950 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1949-1953, 1988 est très inférieur au module de haute fréquence u0 (3) [Nous poserons n=(lioo_"u0)T = u_,T = viscosité en régime fluide.] Notre analyse est qualitative, mais elle permet de dégager certains phénomènes importants : notamment le fait que, dans une gamme importante de vitesses, la dissipation viscoélastique dominante n'a pas lieu près de la tête de fissure, mais dans une région plus externe. II. LE RÉGIME « TROMPETTE ». — Soit l0 la longueur de la région plastiquement déformée dans la limite V = 0. Elle est définie par l'égalité des tensions élastiques et plastiques à l'échelle l0 (4) H0S//0 = o&gt; Ici, 2 5 désigne l'ouverture en fin de fissure, et n'est pas nécessairement lié à la longueur des chaînes. Aux vitesses V « l0/x, le comportement reste statique partout et G est donné par l'équation (1). Aux vitesses intermédiaires V~/0/x, la dissipation monte rapidement, et, comme le montre Langer, la longueur / augmente (ce qui exclut une correspondance exacte
[Nous poserons n=(lioo_"u0)T = u_,T = viscosité en régime fluide.] Notre analyse est qualitative, mais elle permet de dégager certains phénomènes importants : notamment le fait que, dans une gamme importante de vitesses, la dissipation viscoélastique dominante n'a pas lieu près de la tête de fissure, mais dans une région plus externe. II. LE RÉGIME « TROMPETTE ». — Soit l0 la longueur de la région plastiquement déformée dans la limite V = 0. Elle est définie par l'égalité des tensions élastiques et plastiques à l'échelle l0 (4) H0S//0 = o&gt; Ici, 2 5 désigne l'ouverture en fin de fissure, et n'est pas nécessairement lié à la longueur des chaînes. Aux vitesses V « l0/x, le comportement reste statique partout et G est donné par l'équation (1). Aux vitesses intermédiaires V~/0/x, la dissipation monte rapidement, et, comme le montre Langer, la longueur / augmente (ce qui exclut une correspondance exacte entre V//0 et co). Dans tout ce qui suit, nous portons notre attention sur le régime V t » l qui correspond encore à des vitesses assez faibles (par exemple l0 = 1 um et t = 1 s) mais à une situation de G fort. Les différentes régions autour de la tête de fissure 0 sont représentées sur la figure 1 (chacune de ces régions correspond, en fait, à un anneau circulaire centré sur 0, mais Fig. 1. — La « trompette » : fracture dans le régime V&gt;l1/t. Les deux régions dissipatives sont (a) et (c). Fig. I.— The "trumpet": fracture shape in the régime V&gt;llji. Tliere are two regions of strong dissipation: (a) and (c). C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1949-1953, 1988 1951 nous représentons seulement l'intersection de ces anneaux avec le demi-plan de fracture) : (a) La fissure à déformation plastique a ici une longueur lx telle que uoe „//t = ap. Nous supposons VT&gt;IV (b) Il y a au-delà une région « dure » (u = u00) dans laquelle la dissipation est faible, parce que les contraintes élastiques a varient trop vite (a&gt;&gt; 1/x). La limite de cette région correspond
de la tête de fissure 0 sont représentées sur la figure 1 (chacune de ces régions correspond, en fait, à un anneau circulaire centré sur 0, mais Fig. 1. — La « trompette » : fracture dans le régime V&gt;l1/t. Les deux régions dissipatives sont (a) et (c). Fig. I.— The "trumpet": fracture shape in the régime V&gt;llji. Tliere are two regions of strong dissipation: (a) and (c). C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1949-1953, 1988 1951 nous représentons seulement l'intersection de ces anneaux avec le demi-plan de fracture) : (a) La fissure à déformation plastique a ici une longueur lx telle que uoe „//t = ap. Nous supposons VT&gt;IV (b) Il y a au-delà une région « dure » (u = u00) dans laquelle la dissipation est faible, parce que les contraintes élastiques a varient trop vite (a&gt;&gt; 1/x). La limite de cette région correspond à une distance x1 = Vx. (c) Plus loin on trouve une région « fluide » qui, dans notre cas s'étend très au-delà de xv En effet, sur l'équation (3) on voit que u(oe) devient imaginaire dès que rox&gt;u0/uco. Spatialement, ceci correspond à une limite x2 = Vxuoe/|_0 » xv (d) Finalement, on rentre dans une région « statique » avec le module élastique u0 (faible), qui s'étend de x2 à W, où W est la largeur du spécimen. Dans les régions (b, c, d) il est naturel de postuler que les contraintes cr ont la même loi d'échelle a«x~1/ 2, car les équations du mouvement (avec effets inertiels négligés) ont toujours la même forme Vcr=0, les mêmes conditions de compatibilité sur les composantes cr;y (en régime visqueux), et la même condition aux limites (cr„ = 0 sur la lèvre ouverte). Dans les régions (b) et (d), où le comportement est quasi statique, on a, en outre, \(u(x) = u(x) = Cste\), ce qui implique ici, \(u(x)\) mesure l'ouverture de la fracture (\(w(x) = \xi\), fixé). Par contre, dans la région (c), le produit \(u \cdot a\) n'est pas constant. La loi d'échelle qui relie \(u\) et \(a\) est :
(d) Finalement, on rentre dans une région « statique » avec le module élastique u0 (faible), qui s'étend de x2 à W, où W est la largeur du spécimen. Dans les régions (b, c, d) il est naturel de postuler que les contraintes cr ont la même loi d'échelle a«x~1/ 2, car les équations du mouvement (avec effets inertiels négligés) ont toujours la même forme Vcr=0, les mêmes conditions de compatibilité sur les composantes cr;y (en régime visqueux), et la même condition aux limites (cr„ = 0 sur la lèvre ouverte). Dans les régions (b) et (d), où le comportement est quasi statique, on a, en outre, \(u(x) = u(x) = Cste\), ce qui implique ici, \(u(x)\) mesure l'ouverture de la fracture (\(w(x) = \xi\), fixé). Par contre, dans la région (c), le produit \(u \cdot a\) n'est pas constant. La loi d'échelle qui relie \(u\) et \(a\) est : C. R., 1988, 1er Semestre, J. 3071 Série M 132 Fig. 2. — Énergie de fracture \(G\) en fonction de la vitesse \(V\) (aspect qualitatif). La figure 1 correspond au cas où \(\xi < VT < Wu_0/u_0e\). La partie décroissante est instable. Fig. 2. — Fracture energy \(G\) versus velocity \(V\) (qualitative features). Figure 1 corresponds to the plateau regime \(\xi < VT < Wu_0/u_0e\). The decreasing portion is unstable. 1952 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1949-1953, 1988 donc, \(u~x^{3/2}\) d'où la forme en « trompette » de la figure 1. Dans la région (c), \(ua~x\), donc, d'après (5) et (6) : La dissipation se produit principalement dans la région (c) : On peut vérifier qu'il y a bien continuité de \(a\) aux frontières \(xx\) et \(x_2\) : III. RÉGIME DES FORTES VITESSES. — La figure 1 décrit la fracture dans le régime \(Vx > \xi\) mais elle suppose aussi une autre inégalité \(W > x_2\). Si l'on renverse cette inégalité (\(Vx > Wu_0/u_0e\)) la région statique disparaît de la zone active de la fracture, et est rejetée dans un domaine inactif où \(u(x) = Cte\). La dissipation viscoélastique est, au lieu de (9) ce
\(V\) (qualitative features). Figure 1 corresponds to the plateau regime \(\xi < VT < Wu_0/u_0e\). The decreasing portion is unstable. 1952 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1949-1953, 1988 donc, \(u~x^{3/2}\) d'où la forme en « trompette » de la figure 1. Dans la région (c), \(ua~x\), donc, d'après (5) et (6) : La dissipation se produit principalement dans la région (c) : On peut vérifier qu'il y a bien continuité de \(a\) aux frontières \(xx\) et \(x_2\) : III. RÉGIME DES FORTES VITESSES. — La figure 1 décrit la fracture dans le régime \(Vx > \xi\) mais elle suppose aussi une autre inégalité \(W > x_2\). Si l'on renverse cette inégalité (\(Vx > Wu_0/u_0e\)) la région statique disparaît de la zone active de la fracture, et est rejetée dans un domaine inactif où \(u(x) = Cte\). La dissipation viscoélastique est, au lieu de (9) ce qui correspond à et \(G(V)\) décroît (ce qui correspond à un régime instable). Finalement, lorsque \(x_1\) devient comparable à \(W\), la zone fluide disparaît complètement, et l'on retourne à \(G = C_5\). L'ensemble de ces comportements est représenté qualitativement sur la figure 2. IV. DISCUSSION. — 1. Toute notre approche, basée uniquement sur des lois d'échelle, demanderait à être étayée par des calculs élastiques détaillés. Elle souffre, par ailleurs de simplifications extrêmes (\(E_0\) et \(E_2\) indépendants de \(V\), un seul temps \(x\), etc.). Mais l'équation (8) montre bien l'intérêt des élastomères faiblement réticulés (\(u_0 << u_2\)) pour l'adhésion à \(V\) fini. 2. Pour une épaisseur de spécimen \(W\) très grande (fracture en volume), notre modèle prévoit un plateau, mais pas de maximum dans \(G(V)\) : il n'y a pas de ressemblance fondamentale entre \(G(V)\) et \(J"(w = V/l~l)\). 3. Par contre pour \(W\) faible, on attend un maximum \(G = G_0u_2/u_0\) suivi d'une chute de \(G(V)\) dès que \(V < W x / (u_0/u_0)\) (par exemple, avec \(W = 0,1\) mm, \(x=1\) s, \(u_0/u_0e = 0,1\), ceci correspond à un seuil de \(V = 10\) \(\mu\)m/s). La présence de ce maximum et l'instabilité intrinsèque de la branche \(G(V)\) décroissante, permettent
basée uniquement sur des lois d'échelle, demanderait à être étayée par des calculs élastiques détaillés. Elle souffre, par ailleurs de simplifications extrêmes (\(E_0\) et \(E_2\) indépendants de \(V\), un seul temps \(x\), etc.). Mais l'équation (8) montre bien l'intérêt des élastomères faiblement réticulés (\(u_0 << u_2\)) pour l'adhésion à \(V\) fini. 2. Pour une épaisseur de spécimen \(W\) très grande (fracture en volume), notre modèle prévoit un plateau, mais pas de maximum dans \(G(V)\) : il n'y a pas de ressemblance fondamentale entre \(G(V)\) et \(J"(w = V/l~l)\). 3. Par contre pour \(W\) faible, on attend un maximum \(G = G_0u_2/u_0\) suivi d'une chute de \(G(V)\) dès que \(V < W x / (u_0/u_0)\) (par exemple, avec \(W = 0,1\) mm, \(x=1\) s, \(u_0/u_0e = 0,1\), ceci correspond à un seuil de \(V = 10\) \(\mu\)m/s). La présence de ce maximum et l'instabilité intrinsèque de la branche \(G(V)\) décroissante, permettent de comprendre qualitativement le premier pic observé par Gent et Petrich [1] sur un élastomère butadiène-styrène. Ce pic disparaît dans un système fortement réticulé (\(u_02/u_0\)). D'une façon plus générale, l'activité de fortes largeurs \(W\) pour les adhésifs en régime de choc (\(V\) fini) est reconnue empiriquement depuis longtemps : elle s'explique bien par la figure 1. 4. À des vitesses plus élevées, un deuxième pic est observé dans \(G(V)\); il doit être dû à une deuxième anomalie viscoélastique, liée à la traversée de la transition vitreuse, comme il est suggéré dans la référence [1]. Le deuxième pic peut aussi être compris, à condition que le module élastique de la phase verre soit nettement plus élevé que le module de plateau du caoutchouc. Nous avons bénéficié de discussions précieuses avec J. Langer et D. Maugis. Note remise le 7 novembre 1988, acceptée le 8 novembre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A. N. GENT et R. P. PETRICH, Proc. Roy. Soc, A310, 1969, p. 433-450, voir aussi S. Wu, Polymer interfaces and adhesion, Marcel Dekker, 1982. [2] E. H. ANDREWS et A. J. KINLOCH, Proc. Roy. Soc, A332, 1973, p. 385-399. [3] D. MAUGIS et M. BARQUINS, J. Phys., D 11, 1978, p.
s'explique bien par la figure 1. 4. À des vitesses plus élevées, un deuxième pic est observé dans \(G(V)\); il doit être dû à une deuxième anomalie viscoélastique, liée à la traversée de la transition vitreuse, comme il est suggéré dans la référence [1]. Le deuxième pic peut aussi être compris, à condition que le module élastique de la phase verre soit nettement plus élevé que le module de plateau du caoutchouc. Nous avons bénéficié de discussions précieuses avec J. Langer et D. Maugis. Note remise le 7 novembre 1988, acceptée le 8 novembre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A. N. GENT et R. P. PETRICH, Proc. Roy. Soc, A310, 1969, p. 433-450, voir aussi S. Wu, Polymer interfaces and adhesion, Marcel Dekker, 1982. [2] E. H. ANDREWS et A. J. KINLOCH, Proc. Roy. Soc, A332, 1973, p. 385-399. [3] D. MAUGIS et M. BARQUINS, J. Phys., D 11, 1978, p. 1989-2023, D. MAUGIS, J. Materials Proc. Sci., 20, 1985, p. 3041-3073. [4] P. G. de GENNES dans Microscopic aspects of adhesion and lubrication, J. M. GEORGES éd., 1982, p. 355-368, Elsevier. [5] A. N. GENT et J. SCHULTZ, J. adhesion, 3, 1972, p. 281-294. [6] L. MULLINS, Trans. Inst. rubber, 35, 1959, p. 213-222; J. GREENWOOD et K. L. JOHNSON, Phil. Mag., A43, 1981, p. 697-711. [7] Voir par ex. M. DAHAN et E. ZNATY, C. R. Acad. Sci. Paris, 292, série II, 1981, p. 481-484. [8] R. M. CHRISTENSEN et E. M. Wu, Engineering Fracture Mechanics, 14, 1981, p. 215-225. [9] J. LANGER, Cours à l'école d'été de Physique théorique, Les Houches, juin 1988 (à paraître). Laboratoire de Physique de la Matière condensée, Collège de France, 11, place Marcelin-Berthelot, 75231 Paris Cedex 05. The goal of this Note is to explain how the entropy dissipation term, — Q_(f, f) log fdv, measures the distance from/to the space of maxwellian states with zero bulk velocity. In order to do this, we compare this term with a distance of the type where H={aJr-bv2ja, bsU}, space of the logarithms of maxwellians with zero bulk velocity. Note présentée par Henri CABANNES. 0249-6305/88/03071955 $2.00
35, 1959, p. 213-222; J. GREENWOOD et K. L. JOHNSON, Phil. Mag., A43, 1981, p. 697-711. [7] Voir par ex. M. DAHAN et E. ZNATY, C. R. Acad. Sci. Paris, 292, série II, 1981, p. 481-484. [8] R. M. CHRISTENSEN et E. M. Wu, Engineering Fracture Mechanics, 14, 1981, p. 215-225. [9] J. LANGER, Cours à l'école d'été de Physique théorique, Les Houches, juin 1988 (à paraître). Laboratoire de Physique de la Matière condensée, Collège de France, 11, place Marcelin-Berthelot, 75231 Paris Cedex 05. The goal of this Note is to explain how the entropy dissipation term, — Q_(f, f) log fdv, measures the distance from/to the space of maxwellian states with zero bulk velocity. In order to do this, we compare this term with a distance of the type where H={aJr-bv2ja, bsU}, space of the logarithms of maxwellians with zero bulk velocity. Note présentée par Henri CABANNES. 0249-6305/88/03071955 $2.00 © Académie des Sciences 1956 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1955-1960, 1988 Such an information may provide some help in order to understand the following asymptotics of Kac's model: — When the time t tends to infinity (cf. [2]). — When the mean free path 8 goes to zero in the spatially inhomogeneous Kac's equation: The result given in this Note is a partial answer to a question of McKean (cf. [2], p. 365; 13 b). However, we restrict ourselves to densities describing states "far from vacuum". For all nonnegative R, let BR be nonnegative, we define U = (A v e [ R, R], f(v) è BR}. THEOREM. — Let R be a nonnegative real, then there exists a nonnegative KR such that for all / in Le, and for all even, convex, nonnegative and continuous function |/ such that x(ex-1), 2. SKETCH OF THE PROOF. — Boltzmann's H-Theorem ensures that ou/f dv and by Jensen's inequality we obtain the following estimate: "f Q(f)(v)log fdv JveK i / i r r2 " d6 = -B2TCR2W — {logAvD+logfW-logfM-lagf^ldvdv, — . 4 7iR 2 J„2+t,?gR2jG_0 2nJ Then, we prove that * r2 n //o I log
8 goes to zero in the spatially inhomogeneous Kac's equation: The result given in this Note is a partial answer to a question of McKean (cf. [2], p. 365; 13 b). However, we restrict ourselves to densities describing states "far from vacuum". For all nonnegative R, let BR be nonnegative, we define U = (A v e [ R, R], f(v) è BR}. THEOREM. — Let R be a nonnegative real, then there exists a nonnegative KR such that for all / in Le, and for all even, convex, nonnegative and continuous function |/ such that x(ex-1), 2. SKETCH OF THE PROOF. — Boltzmann's H-Theorem ensures that ou/f dv and by Jensen's inequality we obtain the following estimate: "f Q(f)(v)log fdv JveK i / i r r2 " d6 = -B2TCR2W — {logAvD+logfW-logfM-lagf^ldvdv, — . 4 7iR 2 J„2+t,?gR2jG_0 2nJ Then, we prove that * r2 n //o I log f(vf) + log f(v*) log f(vt ) log f(v) dvdvl7^ dvdvl7^ | log_/~(_)>1)+logy('u) —X(u 2 + -f) [-Ju-fci. functions T Jv2+v2^K 2 Finally the open mapping theorem is used in order to obtain the existence of a nonnegative KR such that inf log f&J + log f(v)-T(v 2 +v21)dvdvl functions T Jv 2 + v2£R 2 =KR inf |log/(u)— m(v)dv, |IEH J V |§R whence the announced conclusion. It seems that this method can be extended to the case of the two-dimensional Boltzmann equation and to the case of the nonlinear Fokker-Planck equation (cf. [4]). C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1955-1960, 1988 1957 1. INTRODUCTION. — M. Kac (cf. [1]) a proposé un modèle simplifié de l'équation de Boltzmann décrivant un gaz où les particules se meuvent dans un espace de dimension 1. Si l'on note f(t, v) la densité de particules qui, à l'instant t, possèdent la vitesse v, l'équation de Kac spatialement homogène s'écrit : L'énergie v2 + v est conservée lors d'un choc, mais non l'impulsion. Le modèle de Kac possède l'analogue du théorème H de Boltzmann, (cf. [1]): si et seulement si / est une maxwellienne centrée. Le terme de dissipation