jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
qui est important pour analyser les écoulements turbulents. On peut choisir différentes ondelettes, soit continues, soit discrètes, à la condition toutefois que : leur moyenne soit nulle, leur énergie finie et que leur transformée de Fourier existe. Nous utiliserons ici l'ondelette de Morlet (fig. 2) [6], qui est continue et à valeur complexe, donnant ainsi un module et une phase dans l'espace spectral. Nous verrons que les lignes d'isophase ont la propriété de converger sur les parties les plus irrégulières du signal, tandis que le module montre la répartition en échelle de la densité d'énergie. 3. APPLICATION. — La décomposition en ondelettes d'un signal unidimensionnel donne un espace spectral bidimensionnel; on indique l'espace en abscisse (paramètre de translation b) et le logarithme de l'échelle en ordonnée (paramètre de dilatation a). Bien que notre but soit d'analyser en ondelettes des champs turbulents bidimensionnels, auxquels correspond un espace spectral quadridimensionnel, nous allons démontrer l'intérêt de la technique en analysant une section unidimensionnelle obtenue à partir d'un champ de vorticité bidimensionnel, solution des équations de Saint-Venant intégrées numériquement à partir d'un écoulement initial en équilibre « balance » [7]. Le champ à analyser étant ici une vorticité, la mesure de carré moyen qui lui correspond n'est pas l'énergie mais l'enstrophie (carré moyen de la vorticité). Nous allons étudier deux états différents de l'écoulement : le premier, peu de temps après l'instant initial, c'est-à-dire avant que les structures cohérentes n'aient eu le temps de se former, et le second beaucoup plus tardif, après que le champ de vorticité se soit condensé en quelques tourbillons cohérents isolés. La figure 3 a montre l'analyse en ondelettes de l'écoulement après un temps de retournement des tourbillons : l'enstrophie est répartie entre toutes les échelles, et ceci quasi-uniformément dans l'espace, avec un maximum au nombre d'onde /c = 3, correspondant à l'excitation initiale de l'écoulement; les lignes d'isophase montrent l'émergence d'un tourbillon cohérent au voisinage de x = 300. La figure 3 b correspond à l'état de l'écoulement après une centaine de temps de retournement des tourbillons : l'enstrophie est maintenant condensée dans un seul tourbillon cohérent de
lui correspond n'est pas l'énergie mais l'enstrophie (carré moyen de la vorticité). Nous allons étudier deux états différents de l'écoulement : le premier, peu de temps après l'instant initial, c'est-à-dire avant que les structures cohérentes n'aient eu le temps de se former, et le second beaucoup plus tardif, après que le champ de vorticité se soit condensé en quelques tourbillons cohérents isolés. La figure 3 a montre l'analyse en ondelettes de l'écoulement après un temps de retournement des tourbillons : l'enstrophie est répartie entre toutes les échelles, et ceci quasi-uniformément dans l'espace, avec un maximum au nombre d'onde /c = 3, correspondant à l'excitation initiale de l'écoulement; les lignes d'isophase montrent l'émergence d'un tourbillon cohérent au voisinage de x = 300. La figure 3 b correspond à l'état de l'écoulement après une centaine de temps de retournement des tourbillons : l'enstrophie est maintenant condensée dans un seul tourbillon cohérent de grande échelle; les lignes d'isophase pointent sur le centre du tourbillon localisé au voisinage de x = 250. En conclusion, l'analyse en ondelettes a montré que les centres des tourbillons correspondent aux régions les plus irrégulières du champ de vorticité, où se trouve concentrée la plus grande partie de l'enstrophie, tandis que l'écoulement résiduel se développant entre les tourbillons est beaucoup plus régulier et moins excité. Ceci contredit l'interprétation que l'on donne classiquement pour les écoulements turbulents bidimensionnels : les plus petites échelles du champ de vorticité ne sont pas les structures filamentaires, se développant à la périphérie des tourbillons sous l'action de la cascade d'enstrophie, mais se trouvent concentrées dans les noyaux des tourbillons. La dissipation, qui est proportionnelle au laplacien de la vorticité, donc sensible aux petites échelles, agirait ainsi, non seulement sur les filaments de vorticité, mais également sur la structure interne des tourbillons. Il se peut que cette conclusion soit très générale, ou seulement limitée au cas des écoulements turbulents bidimensionnels compressibles non forcés étudiés ici. Nous devrons maintenant généraliser cette approche en utilisant une transformée en ondelettes bidimensionnelles, qui nous apportera une information supplémentaire sur la polarisation locale de l'écoulement, nous permettant ainsi de séparer
tandis que l'écoulement résiduel se développant entre les tourbillons est beaucoup plus régulier et moins excité. Ceci contredit l'interprétation que l'on donne classiquement pour les écoulements turbulents bidimensionnels : les plus petites échelles du champ de vorticité ne sont pas les structures filamentaires, se développant à la périphérie des tourbillons sous l'action de la cascade d'enstrophie, mais se trouvent concentrées dans les noyaux des tourbillons. La dissipation, qui est proportionnelle au laplacien de la vorticité, donc sensible aux petites échelles, agirait ainsi, non seulement sur les filaments de vorticité, mais également sur la structure interne des tourbillons. Il se peut que cette conclusion soit très générale, ou seulement limitée au cas des écoulements turbulents bidimensionnels compressibles non forcés étudiés ici. Nous devrons maintenant généraliser cette approche en utilisant une transformée en ondelettes bidimensionnelles, qui nous apportera une information supplémentaire sur la polarisation locale de l'écoulement, nous permettant ainsi de séparer les tourbillons cohérents, qui sont non polarisés, de l'écoulement résiduel, formé de filaments de vorticité hautement polarisés. Ensuite, à l'aide d'un filtrage approprié et en utilisant la propriété d'inversibilité de la transformée en ondelettes, nous pourrons reconstruire deux champs de vorticité, l'un correspondant à l'écoulement résiduel et l'autre aux seules structures cohérentes, ceci afin d'étudier leur dynamique séparément. Cette technique de décomposition devrait s'avérer plus adéquate que le filtrage par seuil actuellement utilisé pour extraire les tourbillons cohérents dans les écoulements turbulents. Nous remercions vivement Ginette Saracco et Richard Kronland-Martinet qui nous ont fourni leur programme de transformée en ondelettes, ainsi que Thierry Avrain qui l'a adapté sous Unix. Les calculs ont été effectués sur le « Cray 2 » du C2VR, Palaiseau, en utilisant comme calculateur frontal l' « IBM3090 » du C.I.R.C.E., Orsay. Note reçue le 26 septembre 1988, acceptée le 4 octobre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] C. BASDEVANT, B. LEGRAS, R. SADOURNY et M. BÈLAND, A study of barotropic model flows: intermittency, waves and predictability, J. Atmos. Sci., 38, 1981, p. 2305-2326. [2] J. C. MCWILLIAMS, The emergence of isolated coherent vortices in turbulent flow, J. Fluid Mech., 146, 1984, p. 21-43. [3] A. K. M. FAZLE
structures cohérentes, ceci afin d'étudier leur dynamique séparément. Cette technique de décomposition devrait s'avérer plus adéquate que le filtrage par seuil actuellement utilisé pour extraire les tourbillons cohérents dans les écoulements turbulents. Nous remercions vivement Ginette Saracco et Richard Kronland-Martinet qui nous ont fourni leur programme de transformée en ondelettes, ainsi que Thierry Avrain qui l'a adapté sous Unix. Les calculs ont été effectués sur le « Cray 2 » du C2VR, Palaiseau, en utilisant comme calculateur frontal l' « IBM3090 » du C.I.R.C.E., Orsay. Note reçue le 26 septembre 1988, acceptée le 4 octobre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] C. BASDEVANT, B. LEGRAS, R. SADOURNY et M. BÈLAND, A study of barotropic model flows: intermittency, waves and predictability, J. Atmos. Sci., 38, 1981, p. 2305-2326. [2] J. C. MCWILLIAMS, The emergence of isolated coherent vortices in turbulent flow, J. Fluid Mech., 146, 1984, p. 21-43. [3] A. K. M. FAZLE HUSSAIN, Coherent structures and turbulence, J. Fluid Mech., 173, 1986, p. 303-356. [4] S. JAFFARD, P. G. LEMARIÉ, S. MALLAT et Y. MEYER, Multiscale analysis, Centre de Mathématiques, École Polytechnique, 1986. [5] R. KRONLAND-MARTINET, J. MORLET et A. GROSSMANN, Analysis of sound patterns through wavelet transform, International Journal on Pattern Analysis and Artificial Intelligence, 1, n° 2, 1987, p. 273-302. [6] A. GROSSMANN et J. MORLET, Decomposition of functions into wavelets of constant shape, and related transforms, Mathematics and Physics, Lectures on recent results, World Scientific, 1988. [7] M. FARGE et R. SADOURNY, Wave-vortex dynamics in rotating shallow water, J. Fluid Mech., 1988 (to appear). L.M.D.-C.N.R.S., École normale supérieure, 24, rue Lhomond, 75231 Paris Cedex 5. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1487-1492, 1988 Le fluide considéré est barotrope et faiblement compressible ce qui permet d'introduire une linéarisation des équations au niveau des termes de fluctuation de masse volumique. Les équations des fonctions réponse sont alors explicitées, ainsi que les équations des corrélations doubles en deux points et en deux temps; ces fonctions réponse et ces corrélations mettent en jeu des couplages entre deux modes parmi les trois suivants: vitesse incompressible, vitesse compressible et pression. L'ensemble
Analysis and Artificial Intelligence, 1, n° 2, 1987, p. 273-302. [6] A. GROSSMANN et J. MORLET, Decomposition of functions into wavelets of constant shape, and related transforms, Mathematics and Physics, Lectures on recent results, World Scientific, 1988. [7] M. FARGE et R. SADOURNY, Wave-vortex dynamics in rotating shallow water, J. Fluid Mech., 1988 (to appear). L.M.D.-C.N.R.S., École normale supérieure, 24, rue Lhomond, 75231 Paris Cedex 5. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1487-1492, 1988 Le fluide considéré est barotrope et faiblement compressible ce qui permet d'introduire une linéarisation des équations au niveau des termes de fluctuation de masse volumique. Les équations des fonctions réponse sont alors explicitées, ainsi que les équations des corrélations doubles en deux points et en deux temps; ces fonctions réponse et ces corrélations mettent en jeu des couplages entre deux modes parmi les trois suivants: vitesse incompressible, vitesse compressible et pression. L'ensemble des équations de la DIA est présenté. Le problème de sa résolution numérique n'est pas abordé. L'étude est considérée comme un point de départ permettant de développer un modèle en un temps nécessitant moins de capacités informatiques (cf. [6]). Version française abrégée — L'étude de la compressibilité connaît actuellement un regain d'intérêt par l'avènement de programmes spatiaux aérodynamiquement ambitieux tels qu'Hermès, Orient-Express... À ces motivations industrielles correspondent de nouveaux moyens de calcul permettant d'envisager la prise en compte des phénomènes propres à la compressibilité : présence d'ondes sonores et nouvelles interactions non linéaires liant les modes incompressible, compressible et de pression. L'approche spectrale a été retenue pour mettre en évidence l'interaction entre les structures tourbillonnaires de tailles différentes et fournir ainsi des informations qui pourront être utilisées pour le développement d'un modèle de sous-maille. Une modélisation en deux points et en deux temps de type Approximation de l'Interaction Directe (DIA) a été développée dans le cadre d'une turbulence homogène isotrope faiblement compressible. Cette approche vise à améliorer la connaissance de certains phénomènes décelés dans des résultats de récentes simulations numériques directes. Le fluide considéré est barotrope et faiblement compressible ce qui permet d'introduire une linéarisation des équations au niveau des
regain d'intérêt par l'avènement de programmes spatiaux aérodynamiquement ambitieux tels qu'Hermès, Orient-Express... À ces motivations industrielles correspondent de nouveaux moyens de calcul permettant d'envisager la prise en compte des phénomènes propres à la compressibilité : présence d'ondes sonores et nouvelles interactions non linéaires liant les modes incompressible, compressible et de pression. L'approche spectrale a été retenue pour mettre en évidence l'interaction entre les structures tourbillonnaires de tailles différentes et fournir ainsi des informations qui pourront être utilisées pour le développement d'un modèle de sous-maille. Une modélisation en deux points et en deux temps de type Approximation de l'Interaction Directe (DIA) a été développée dans le cadre d'une turbulence homogène isotrope faiblement compressible. Cette approche vise à améliorer la connaissance de certains phénomènes décelés dans des résultats de récentes simulations numériques directes. Le fluide considéré est barotrope et faiblement compressible ce qui permet d'introduire une linéarisation des équations au niveau des termes de fluctuation de masse volumique; cette simplification conservant le caractère triadique des interactions. La barotropie permet de plus de ne pas avoir à considérer l'introduction d'un mode lié à la température. Dans l'espace spectral, une décomposition du champ cinématique U est obtenue par projection selon la direction du vecteur d'onde K et selon son plan perpendiculaire. Ceci permet d'isoler respectivement les fluctuations des vitesses compressible et incompressible. Dans le cadre de la DIA, les quantités fondamentales sont les fonctions réponse et les corrélations doubles en deux points et en deux temps. Puisque ces quantités caractérisent les interactions deux à deux entre les trois modes incompressible, compressible et pression, il va falloir considérer au minimum neuf fonctions réponse et neuf corrélations doubles. L'hypothèse d'isotropie permet ensuite de se ramener à cinq fonctions réponse et cinq corrélations doubles non nulles. Les équations des corrélations doubles sont alors présentées [(8) à (12)]. La formulation de la DIA pour le fluide faiblement compressible est complétée par les équations des fonctions réponse [(13) à (17)]. L'ensemble de ces équations, relatif aux grandeurs en deux points et en deux temps met en jeu des couplages entre les trois fondamentaux modes. La complexité des seconds membres
d'onde K et selon son plan perpendiculaire. Ceci permet d'isoler respectivement les fluctuations des vitesses compressible et incompressible. Dans le cadre de la DIA, les quantités fondamentales sont les fonctions réponse et les corrélations doubles en deux points et en deux temps. Puisque ces quantités caractérisent les interactions deux à deux entre les trois modes incompressible, compressible et pression, il va falloir considérer au minimum neuf fonctions réponse et neuf corrélations doubles. L'hypothèse d'isotropie permet ensuite de se ramener à cinq fonctions réponse et cinq corrélations doubles non nulles. Les équations des corrélations doubles sont alors présentées [(8) à (12)]. La formulation de la DIA pour le fluide faiblement compressible est complétée par les équations des fonctions réponse [(13) à (17)]. L'ensemble de ces équations, relatif aux grandeurs en deux points et en deux temps met en jeu des couplages entre les trois fondamentaux modes. La complexité des seconds membres traduit les forts couplages non linéaires entre les différents modes. Cette formulation compressible permet de retrouver, dans la limite où la vitesse du son tend vers l'infini, la formulation purement incompressible usuelle de la DIA. Le problème de la résolution numérique de ce système n'est pas abordé. L'étude est considérée comme un point de départ permettant de développer un modèle en un temps nécessitant moins de capacités informatiques (cf. [6]). 1. INTRODUCTION. — Compressible turbulence has been essentially studied in the past for applications to the field of acoustics or astrophysics. Recent developments in aerospace industry have enhanced the interest in understanding and modeling the effects of compressibility. Moreover, Direct Numerical Simulations which are now available are providing interesting results concerning the spectral behaviour of compressible fields (see for example [2]). In the present Note, the problem of compressible turbulence is addressed in the framework of two-point closures. There has been relatively little work done to extend such closures to compressible turbulence (see [5] or [4]), and it seems reasonable to hope to get an insight on the dynamics of high Reynolds number compressible fields by developing such an approach. In particular, a better understanding of the exchange of energy
comme un point de départ permettant de développer un modèle en un temps nécessitant moins de capacités informatiques (cf. [6]). 1. INTRODUCTION. — Compressible turbulence has been essentially studied in the past for applications to the field of acoustics or astrophysics. Recent developments in aerospace industry have enhanced the interest in understanding and modeling the effects of compressibility. Moreover, Direct Numerical Simulations which are now available are providing interesting results concerning the spectral behaviour of compressible fields (see for example [2]). In the present Note, the problem of compressible turbulence is addressed in the framework of two-point closures. There has been relatively little work done to extend such closures to compressible turbulence (see [5] or [4]), and it seems reasonable to hope to get an insight on the dynamics of high Reynolds number compressible fields by developing such an approach. In particular, a better understanding of the exchange of energy between eddies of various sizes is needed if one wants to develop subgrid scale models which are of crucial interest for practical computations. In the present Note, the equations of the Direct Interaction Approximation are written in the case of a weakly compressible isotropic field. It must be pointed out that the advantage of DIA, when compared to other two-point theories, is that it is a self-deducing closure which contains no phenomenological parameters nor adjustable constants. DIA is thereafter considered as the first step in extending two-point closures to compressible turbulence, and will be used in a second Note as a starting point to develop more efficient models (in terms of computational effort) such as the Eddy Damped Quasi Normal Markovian approximation. After a short description of the basic hypotheses, the equations for the two-point, two-time correlations and for the response functions are presented in the paper. 2. BASIC HYPOTHÈSES. — The starting point is the continuity equation for a compressible fluid combined with the momentum equation: without any gravity effects and without mean velocity gradients. The coefficients of viscosity μ and ν are assumed to be uniform. In order to avoid introducing an energy equation, barotropy is assumed: p
that the advantage of DIA, when compared to other two-point theories, is that it is a self-deducing closure which contains no phenomenological parameters nor adjustable constants. DIA is thereafter considered as the first step in extending two-point closures to compressible turbulence, and will be used in a second Note as a starting point to develop more efficient models (in terms of computational effort) such as the Eddy Damped Quasi Normal Markovian approximation. After a short description of the basic hypotheses, the equations for the two-point, two-time correlations and for the response functions are presented in the paper. 2. BASIC HYPOTHÈSES. — The starting point is the continuity equation for a compressible fluid combined with the momentum equation: without any gravity effects and without mean velocity gradients. The coefficients of viscosity μ and ν are assumed to be uniform. In order to avoid introducing an energy equation, barotropy is assumed: p = p (ρ). We introduce a statistical averaging < >. As a first approximation, in order to lead to a reasonable degree of complexity, the density ρ = < ρ > + ρ' is linearized. This assumption will preserve the triadic character of turbulent interactions and will remove nonlinearities in continuity equation. We then assume ρ' ≪ < ρ > and neglect ρ' when < ρ > is present. It must be pointed out that this assumption is more stringent in continuity equation since it implies that spatial derivatives of p' are also neglected. It can be shown that this requires that the turbulent Mach number satisfies Mr2 < 1. It comes: After Fourier transforming, the following equations are obtained: in which p0 stands for < p >. The barotropic equation which relates pressure to density fluctuation is now introduced: This set of hypotheses is consistent with the one of Szu et al. [3]. Using the two projectors introduced by Kraichnan: the velocity field is split into a compressible part: UC(K, t) = Hu (K) U (K, t) and an incompressible part: U'(K, t) = Py(K)U(K, t) It is interesting to notice that, after having applied the projectors P, and
continuity equation. We then assume ρ' ≪ < ρ > and neglect ρ' when < ρ > is present. It must be pointed out that this assumption is more stringent in continuity equation since it implies that spatial derivatives of p' are also neglected. It can be shown that this requires that the turbulent Mach number satisfies Mr2 < 1. It comes: After Fourier transforming, the following equations are obtained: in which p0 stands for < p >. The barotropic equation which relates pressure to density fluctuation is now introduced: This set of hypotheses is consistent with the one of Szu et al. [3]. Using the two projectors introduced by Kraichnan: the velocity field is split into a compressible part: UC(K, t) = Hu (K) U (K, t) and an incompressible part: U'(K, t) = Py(K)U(K, t) It is interesting to notice that, after having applied the projectors P, and P2 to (1), the viscous term in the equation for the incompressible velocity field — U1 (K, t) — is found to be proportional to v = u/p0 while in the equation for the compressible velocity — UC(K, t) —, it is found to be proportional to v' = (X + 2i)/p0 (v'=4/3v when it is assumed that 3 X + 2 u=0). Hence, a slight difference in the rate of viscous dissipation exists. 3. DIRECT INTERACTION APPROXIMATION. — The first step of the analysis in the framework of two-point closures is to write down the equations for the Direct Interaction Approximation, which is the most deductive of the different two-point theories (cf. [1]). 1492 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1487-1492, 1988 The following quantities are introduced: — Response functions: < G"/ (K, K', t, t') > averaged response of the i-th component of the a-mode at K and t from a perturbation of the y'-th component of the p-mode at K' and t'. — Correlations: < Da (K, t, t') > correlation between the i-th component of the a-mode at K and t and the y-th component of the p-mode at -K and t'.