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la dépendance temporelle de la concentration (front de diffusion). Nous appliquons ce modèle à différentes situations : dispersion sur l'amas de percolation, fronts de diffusion « anormaux » dus au relargement exponentiel de zones de faible vitesse. A simple model for hydrodynamic dispersion Abstract — The longitudinal diffusivity of a tracer particle in a porous medium depends linearly on its average velocity when dispersion is due to spatial fluctuations of the velocity field, and quadratically when due to holdup mechanisms. We illustrate these behaviours by a very simple statistical model for which the time dependence of the concentration can be obtained in closed form. This model is applied to different situations, such as dispersion on the percolation cluster and "anomalous" dispersion curves displaying exponential tails due to low-velocity regions. Abridged English Version — We propose a simple model of hydrodynamic dispersion which contains the important physical features needed to recover the results obtained within more sophisticated and/or more realistic frameworks ([3], [4], [5]). The model is defined by Figure 1. Every time, the particle either enters a trap (with probability p) with a release time distributed according to v/|x| or carries its way through with velocity V. P(x,t), the probability that the particle (initially at x = 0) reaches x after a time t, is easily obtained to be: from which one obtains (using e.g. Laplace transforms): (a) the mean value of the exit time <T=<x>/V+<T> and thus the average velocity (b) the variance of the exit time distribution <72 = <r2> - <T>2 being related to the dispersion coefficient Dw (defined by <x2>-(x)2=2D;w;x, one obtains Porous media are often described by the fraction f of fluid in which no motion takes place. This quantity may be related to the microscopic probability p by assuming the ergodicity of the process, i.e. the fact that the particle spends a time in a given region proportional to the volume of this region. This means that: f=<T>/[<T>+((1-p)/V)], or using (2) Using (3) and (4), we obtain the central result (for p<<1): D// is thus proportional to f and not f2 as would suggest
that the particle (initially at x = 0) reaches x after a time t, is easily obtained to be: from which one obtains (using e.g. Laplace transforms): (a) the mean value of the exit time <T=<x>/V+<T> and thus the average velocity (b) the variance of the exit time distribution <72 = <r2> - <T>2 being related to the dispersion coefficient Dw (defined by <x2>-(x)2=2D;w;x, one obtains Porous media are often described by the fraction f of fluid in which no motion takes place. This quantity may be related to the microscopic probability p by assuming the ergodicity of the process, i.e. the fact that the particle spends a time in a given region proportional to the volume of this region. This means that: f=<T>/[<T>+((1-p)/V)], or using (2) Using (3) and (4), we obtain the central result (for p<<1): D// is thus proportional to f and not f2 as would suggest Coats-Smith's model [6], the velocity appears in every case the average velocity U [5] and not the local velocity V; finally the time scale which appears is the ratio of the second moment of the trapping time distribution to its mean value. Two APPLICATIONS OF THE "TRAPPING" MODEL. — (a) Dispersion on a comb-like structure (Fig. 2). — In this case, the traps are characterized by a distribution |x|/(x)~a/ Dmx3 if x < 1/2/Dm, and ~ 0 if x > 1/2[Dm. For this distribution law, one can show that <x> ~ al[Dm (which is much smaller than the diffusion time within the traps 1/2/Dm), but that <x2> / <x>2 ~ 1/2/Dm. It is thus indeed this diffusion time which controls D//. (b) Dispersion on the percolation cluster [5]. — The probability for a dead end to contain n sites is, for p<p_c and t,~(1-p)vy; <S>(n)~n~1~,i if n<£r and ~0 if n>ifr where dF is the fractal dimension of the cluster and u an exponent which is equal to 1/2 for d>6. This induces a trapping time distribution |x|/(x) decaying as xidl2Hl~,1)'2 up to T~1/2dF/ds and essentially vanishing for longer times (ds is the "spectral" dimension). Note présentée par Pierre-Gilles de
Dispersion on a comb-like structure (Fig. 2). — In this case, the traps are characterized by a distribution |x|/(x)~a/ Dmx3 if x < 1/2/Dm, and ~ 0 if x > 1/2[Dm. For this distribution law, one can show that <x> ~ al[Dm (which is much smaller than the diffusion time within the traps 1/2/Dm), but that <x2> / <x>2 ~ 1/2/Dm. It is thus indeed this diffusion time which controls D//. (b) Dispersion on the percolation cluster [5]. — The probability for a dead end to contain n sites is, for p<p_c and t,~(1-p)vy; <S>(n)~n~1~,i if n<£r and ~0 if n>ifr where dF is the fractal dimension of the cluster and u an exponent which is equal to 1/2 for d>6. This induces a trapping time distribution |x|/(x) decaying as xidl2Hl~,1)'2 up to T~1/2dF/ds and essentially vanishing for longer times (ds is the "spectral" dimension). Note présentée par Pierre-Gilles de GENNES. 0249-6305/88/03071431 S 2.00 © Académie des Sciences C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 96 1432 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1431-1436, 1988 Using (3) and (4), we obtain the central result (for p<<1): D// is thus proportional to f and not f2 as would suggest Coats-Smith's model [6], the velocity appears in every case the average velocity U [5] and not the local velocity V; finally the time scale which appears is the ratio of the second moment of the trapping time distribution to its mean value. Two APPLICATIONS OF THE "TRAPPING" MODEL. — (a) Dispersion on a comb-like structure (Fig. 2). — In this case, the traps are characterized by a distribution |x|/(x)~a/ Dmx3 if x < 1/2/Dm, and ~ 0 if x > 1/2[Dm. For this distribution law, one can show that <x> ~ al[Dm (which is much smaller than the diffusion time within the traps 1/2/Dm), but that <x2> / <x>2 ~ 1/2/Dm. It is thus indeed this diffusion time which controls D//. (b) Dispersion on the percolation cluster [5]. — The probability for a dead end to contain n sites is, for p<p_c and t,~(1-p)vy; <S>(n)~n~1~,i if
f2 as would suggest Coats-Smith's model [6], the velocity appears in every case the average velocity U [5] and not the local velocity V; finally the time scale which appears is the ratio of the second moment of the trapping time distribution to its mean value. Two APPLICATIONS OF THE "TRAPPING" MODEL. — (a) Dispersion on a comb-like structure (Fig. 2). — In this case, the traps are characterized by a distribution |x|/(x)~a/ Dmx3 if x < 1/2/Dm, and ~ 0 if x > 1/2[Dm. For this distribution law, one can show that <x> ~ al[Dm (which is much smaller than the diffusion time within the traps 1/2/Dm), but that <x2> / <x>2 ~ 1/2/Dm. It is thus indeed this diffusion time which controls D//. (b) Dispersion on the percolation cluster [5]. — The probability for a dead end to contain n sites is, for p<p_c and t,~(1-p)vy; <S>(n)~n~1~,i if n<£r and ~0 if n>ifr where dF is the fractal dimension of the cluster and u an exponent which is equal to 1/2 for d>6. This induces a trapping time distribution |x|/(x) decaying as xidl2Hl~,1)'2 up to T~1/2dF/ds and essentially vanishing for longer times (ds is the "spectral" dimension). For [i], we thus obtain < x2 >/< x > ~ Ç2/D (%) ~ Ç2dp/ds which, together with (5) and ~ 1 (the majority of sites belongs to dead ends), reproduces de Gennes's result [5]: D//~U2^2dF/<Js in which U is the average velocity of the fluid, related for a sample of size Ç to the pressure drop A by U = (A/Ç)Ç"'/v. Remark that ^2/D;/ is invariant under fractal deformations, for which A, and not A/Ç is conserved [7]. APPLICATIONS OF THE "SLOW PATH" MODEL TO GEOMETRICAL DISPERSION. — Most experiments in porous media show a linear dependence of Dw on U rather than the quadratic law described above. A slight modification of the previous model, in which the traps are replaced by slower paths (of length oc£, and velocity PV, see Figure Ib) allows to obtain D///U = Const. = ld. This dispersion length can be much larger than the
[i], we thus obtain < x2 >/< x > ~ Ç2/D (%) ~ Ç2dp/ds which, together with (5) and ~ 1 (the majority of sites belongs to dead ends), reproduces de Gennes's result [5]: D//~U2^2dF/<Js in which U is the average velocity of the fluid, related for a sample of size Ç to the pressure drop A by U = (A/Ç)Ç"'/v. Remark that ^2/D;/ is invariant under fractal deformations, for which A, and not A/Ç is conserved [7]. APPLICATIONS OF THE "SLOW PATH" MODEL TO GEOMETRICAL DISPERSION. — Most experiments in porous media show a linear dependence of Dw on U rather than the quadratic law described above. A slight modification of the previous model, in which the traps are replaced by slower paths (of length oc£, and velocity PV, see Figure Ib) allows to obtain D///U = Const. = ld. This dispersion length can be much larger than the correlation length of the velocity field: for (3/a<<1, we have ld~£,(a.l$). In real porous media, we should take into account the "self-similar" nature of the slow paths ("paths within paths") which defines a characteristic time x0 = Dw/P 2 V2~70/U with l0>>ld>>£,. For long times, these slow paths behave as traps with an exponential release distribution e~'h°. This could be the mechanism present in the recent experiments of [8] and [9], in which an exponential "tail" and a characteristic time such that x0U = Const.>>/<, have been observed. Lorsqu'un traceur est injecté dans un milieu poreux ([1], [2]), il est entraîné par le flux moyen, mais les fluctuations spatiales du champ de vitesse induisent une dispersion des temps de sortie du traceur autour du temps moyen L/U (L est la taille de l'échantillon, U la vitesse moyenne). La variance des temps d'arrivée <t2> - <t> 2 donne accès au coefficient de dispersion D//5 défini par: <(x -Ut)2> = 2D//£ où x est la distance parcourue par le traceur dans la direction du flux. En effet, la dispersion spatiale du traceur entre x = 0 et x = L est d'ordre: Ax(L) = ½D/lt(L) = ½ D^L/U ce qui correspond à
traps with an exponential release distribution e~'h°. This could be the mechanism present in the recent experiments of [8] and [9], in which an exponential "tail" and a characteristic time such that x0U = Const.>>/<, have been observed. Lorsqu'un traceur est injecté dans un milieu poreux ([1], [2]), il est entraîné par le flux moyen, mais les fluctuations spatiales du champ de vitesse induisent une dispersion des temps de sortie du traceur autour du temps moyen L/U (L est la taille de l'échantillon, U la vitesse moyenne). La variance des temps d'arrivée <t2> - <t> 2 donne accès au coefficient de dispersion D//5 défini par: <(x -Ut)2> = 2D//£ où x est la distance parcourue par le traceur dans la direction du flux. En effet, la dispersion spatiale du traceur entre x = 0 et x = L est d'ordre: Ax(L) = ½D/lt(L) = ½ D^L/U ce qui correspond à un retard (ou une avance) temporelle Af = Ax/U, si l'on néglige la dispersion durant le temps At lui-même (ceci est valable si: Ax>>N/2D//At, ou encore N/ÛL/2D^>> 1, ce qui est le cas pour de grands échantillons). Ainsi, on a (a,2~At 2): Comme on pouvait s'y attendre, la variance des temps de sortie croît linéairement avec la taille de l'échantillon. Le but de la présente Note est de proposer un modèle très simple pour lequel D/; (et d'ailleurs le front de diffusion complet) s'obtient de façon élémentaire. Ce modèle, en retenant les mécanismes statistiques essentiels, illustre de façon transparente les résultats obtenus dans le cadre de modèles plus compliqués et/ou plus réalistes (procédures d'approximation sur les équations hydrodynamiques en géométrie aléatoire ([3], [4]), dispersion sur l'amas de percolation [5]). Il s'agit d'un modèle unidimensionnel, schématisé par la figure 1 a. La particule est convectée (à la vitesse V) le long du "squelette": tous les k un embranchement se présente à elle, où elle choisit soit de continuer à être convectée le long du squelette, soit de s'engouffrer dans un "bras mort" qui la piège pendant un temps x distribué suivant une loi de probabilité vj/(x). La probabilité d'entrer dans un
temps de sortie croît linéairement avec la taille de l'échantillon. Le but de la présente Note est de proposer un modèle très simple pour lequel D/; (et d'ailleurs le front de diffusion complet) s'obtient de façon élémentaire. Ce modèle, en retenant les mécanismes statistiques essentiels, illustre de façon transparente les résultats obtenus dans le cadre de modèles plus compliqués et/ou plus réalistes (procédures d'approximation sur les équations hydrodynamiques en géométrie aléatoire ([3], [4]), dispersion sur l'amas de percolation [5]). Il s'agit d'un modèle unidimensionnel, schématisé par la figure 1 a. La particule est convectée (à la vitesse V) le long du "squelette": tous les k un embranchement se présente à elle, où elle choisit soit de continuer à être convectée le long du squelette, soit de s'engouffrer dans un "bras mort" qui la piège pendant un temps x distribué suivant une loi de probabilité vj/(x). La probabilité d'entrer dans un piège est égale à p. Si on cherche au contraire à modéliser l'effet des inhomogénéités de vitesse dans le milieu, on considérera la situation de la figure Ib, où s'embranchent le long du squelette des dérivations où la vitesse est plus faible. Soit Px(t) la loi de distribution du temps de sortie de la particule en x, et P(x, t) la distribution de probabilité de présence de cette même particule, lâchée à t=0 en x = 0 (P(x, t = 0) = δ(x)). Les retours en arrière étant ici négligés, ces quantités sont reliées par la relation: Px(t) s'interprète donc comme un courant qui est relié à la concentration P(x, t), habituellement mesurée. Pour le modèle de la figure 1 a, le nombre k de pièges visités varie entre 0 et N=x/£, et Px(t) est la somme sur les "histoires" possibles: ce qui s'écrit, en transformée de Laplace: Trois remarques s'imposent: (a) On tire de (4) (t_=x/V+p(x}, et donc la vitesse moyenne U (liée au débit mesuré): (b) On remarquera que le front de diffusion n'est pas gaussien aux courtes distances: dans l'exemple illustratif où v|/(x)=5(x -x0), Px(t) est simplement une loi binomiale, qui devient gaussienne en pratique dès que
de sortie de la particule en x, et P(x, t) la distribution de probabilité de présence de cette même particule, lâchée à t=0 en x = 0 (P(x, t = 0) = δ(x)). Les retours en arrière étant ici négligés, ces quantités sont reliées par la relation: Px(t) s'interprète donc comme un courant qui est relié à la concentration P(x, t), habituellement mesurée. Pour le modèle de la figure 1 a, le nombre k de pièges visités varie entre 0 et N=x/£, et Px(t) est la somme sur les "histoires" possibles: ce qui s'écrit, en transformée de Laplace: Trois remarques s'imposent: (a) On tire de (4) (t_=x/V+p(x}, et donc la vitesse moyenne U (liée au débit mesuré): (b) On remarquera que le front de diffusion n'est pas gaussien aux courtes distances: dans l'exemple illustratif où v|/(x)=5(x -x0), Px(t) est simplement une loi binomiale, qui devient gaussienne en pratique dès que px/£,~ 10. (c) Dans le cas où le second moment de v|/(x) diverge, la loi Px(t) ne devient jamais gaussienne: son expression analytique fait intervenir une distribution de Lévy. Le coefficient de dispersion apparent dépend de la taille L de l'échantillon selon une loi de la forme D//(L)~L(2/fc_ 1) où l'exposant b (l<b<2) caractérise la décroissance algébrique lente de |/(x) à l'infini: |/(x)~x""16. Un milieu poreux est volontiers décrit géométriquement en appelant / la fraction du volume liquide qui reste au repos, ou qui joue le rôle de piège. Le modèle proposé ici permet d'exprimer les quantités d'intérêt physique en fonction de /, plutôt qu'en fonction de la probabilité p, inobservable directement. En effet, la diffusion moléculaire, présente en réalité, assure l'« ergodicité » du processus, c'est-à-dire le fait que la particule passe dans chaque région un temps proportionnel au volume de cette région (cette propriété serait modifiée en présence d'un potentiel agissant sur la particule). On a donc : ou encore, en utilisant (5) (9 a) signifie simplement que la vitesse moyenne est égale à la moyenne spatiale des vitesses — ce qui est une autre façon d'exprimer l'ergodicité — ; (9 b) indique que la probabilité d'entrer dans
l'exposant b (l<b<2) caractérise la décroissance algébrique lente de |/(x) à l'infini: |/(x)~x""16. Un milieu poreux est volontiers décrit géométriquement en appelant / la fraction du volume liquide qui reste au repos, ou qui joue le rôle de piège. Le modèle proposé ici permet d'exprimer les quantités d'intérêt physique en fonction de /, plutôt qu'en fonction de la probabilité p, inobservable directement. En effet, la diffusion moléculaire, présente en réalité, assure l'« ergodicité » du processus, c'est-à-dire le fait que la particule passe dans chaque région un temps proportionnel au volume de cette région (cette propriété serait modifiée en présence d'un potentiel agissant sur la particule). On a donc : ou encore, en utilisant (5) (9 a) signifie simplement que la vitesse moyenne est égale à la moyenne spatiale des vitesses — ce qui est une autre façon d'exprimer l'ergodicité — ; (9 b) indique que la probabilité d'entrer dans un bras mort est inversement proportionnelle à la vitesse locale de l'écoulement, ce qui est somme toute assez intuitif. Notons que le modèle perd son sens quand V < Ç/x ~ Dm/i; (Dm est le coefficient de diffusion moléculaire), auquel cas le rôle des « retours en arrière » le long du squelette (c'est-à-dire de DJ ne peut être négligé. En utilisant (7) et (9b), on obtient pour Dw l'expression suivante (dans la limite p<<l) : D;/ est donc proportionnel à / et non à f2 comme le suggérerait le modèle de Coats-Smith [6]; la vitesse qui apparaît est dans tous les cas la vitesse moyenne U [5] et non la vitesse locale V; enfin l'échelle de temps est fixée par le rapport du second au premier moment de |/(x). DEUX APPLICATIONS DU MODÈLE DES PIÈGES. — (a) Dispersion sur un peigne (fig. 2). — Les pièges dont il est question ici sont caractérisés par un |/(x) tel que C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1431-1436, 1988 1435 puisque |/(x) n'est autre la probabilité de premier retour à l'origine d'une marche unidimensionnelle. Il en résulte que le coefficient de diffusion le long du squelette en l'absence
long du squelette (c'est-à-dire de DJ ne peut être négligé. En utilisant (7) et (9b), on obtient pour Dw l'expression suivante (dans la limite p<<l) : D;/ est donc proportionnel à / et non à f2 comme le suggérerait le modèle de Coats-Smith [6]; la vitesse qui apparaît est dans tous les cas la vitesse moyenne U [5] et non la vitesse locale V; enfin l'échelle de temps est fixée par le rapport du second au premier moment de |/(x). DEUX APPLICATIONS DU MODÈLE DES PIÈGES. — (a) Dispersion sur un peigne (fig. 2). — Les pièges dont il est question ici sont caractérisés par un |/(x) tel que C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1431-1436, 1988 1435 puisque |/(x) n'est autre la probabilité de premier retour à l'origine d'une marche unidimensionnelle. Il en résulte que le coefficient de diffusion le long du squelette en l'absence de convection (V=0) vaut 42/<Ç>x = (Ç2/a/)Dm et non (Ç2/P)Dm. Il est cependant facile de constater que pour la loi (11) l'échelle de temps caractéristique intervenant dans Dw est bien le temps de diffusion dans les pièges : <x2>/<x> ~ /2/Dm. (b) Dispersion sur l'amas de percolation [5]. — Dans ce cas, les pièges sont les « bras morts » qui sont des amas de n sites. On a : vj/(n)(x)~x"(2_ds/ 2) si x<nz/ds (~0 si x>nz/ds) où ds est la dimension spectrale de l'amas. La loi de distribution de taille des bras morts p(n) est, pour p~pc:(t~(Ap)~v) (p(n)~n-111 si n<ç (~0 si n>ÇdF) où u. est un exposant qui prend la valeur 1/2 en champ moyen (d>6). On en tire donc : |/(T)~ dnq>(n)ty_(x)~xldsl2ni-(l)2 (ou 0 si x>tz,d^, ce qui conduit à JT"S/2 <x 2 >/<x>~^2/D(£,)~^2rfF/ds si ces deux intégrales sont dominées par la même borne, en particulier si u.<1. En utilisant (10) avec/<<1 (la majorité des sites sont dans les « bras morts »), on retrouve le résultat de de Gennes [5] : D//~U2^2dF/ds où U est la vitesse moyenne du fluide, reliée à la différence de pression A aux bornes de l'échantillon (de taille Ç) par la
ce cas, les pièges sont les « bras morts » qui sont des amas de n sites. On a : vj/(n)(x)~x"(2_ds/ 2) si x<nz/ds (~0 si x>nz/ds) où ds est la dimension spectrale de l'amas. La loi de distribution de taille des bras morts p(n) est, pour p~pc:(t~(Ap)~v) (p(n)~n-111 si n<ç (~0 si n>ÇdF) où u. est un exposant qui prend la valeur 1/2 en champ moyen (d>6). On en tire donc : |/(T)~ dnq>(n)ty_(x)~xldsl2ni-(l)2 (ou 0 si x>tz,d^, ce qui conduit à JT"S/2 <x 2 >/<x>~^2/D(£,)~^2rfF/ds si ces deux intégrales sont dominées par la même borne, en particulier si u.<1. En utilisant (10) avec/<<1 (la majorité des sites sont dans les « bras morts »), on retrouve le résultat de de Gennes [5] : D//~U2^2dF/ds où U est la vitesse moyenne du fluide, reliée à la différence de pression A aux bornes de l'échantillon (de taille Ç) par la relation : U= (A/Ç) Z)-'i* = àZ)i+"dT'«-M&amp;. Il faut remarquer que la quantité x^ = £2/D// est bien invariante dans une déformation fractale pour laquelle les potentiels (A) et non les champs (A/Ç) se conservent [7]. APPLICATION DU MODÈLE DES « BRAS LENTS » À LA DISPERSION GÉOMÉTRIQUE. — Les modèles envisagés ci-dessus correspondent tous à des situations de piégeage conduisant à une dépendance en U2 du coefficient de dispersion D/y. Cependant la majorité des résultats expérimentaux font apparaître une dépendance linéaire de Dw en U à suffisamment grand débit, conséquence des fluctuations spatiales du champ de vitesses (dispersion géométrique). Le modèle de la figure 1 b permet d'en rendre compte très simplement. Si, conformément à la figure 1 b, a mesure le rapport des longueurs des bras convectifs et P le rapport des vitesses (ou des perméabilités), on trouve (en négligeant la dispersion dans les bras lents) : D//= (U£a/4P)/(1-/) ((1 -P/a)/(l-/p/a) 2) et donc une longueur de dispersion L_ = D//;/U qui, pour P/a<1, vaut /d~Ça/P, et peut donc être beaucoup plus grande que E, (qui doit ici être comprise comme la longueur de corrélation du champ de vitesse et peut elle même être beaucoup plus grande que