jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
15 x 40 ou 2200 et 30 x 30 + 15 x 30 ou 1350. Conséquemment, x égale déjà 3 dizaines, plus un nombre d'unités moindre que 10: on soustrait de 1750, 1350 ou 30 x 30 + 15 x 30, reste 400 qui renferme encore la somme des termes de la progression en question, moins les 30 premiers; mais si on désigne le nombre restant de ces termes par x', on sait que 400 = (2 x 30 + 15) x' + x'^2. On connaît un produit et l'un de ses facteurs, il est donc facile de déterminer l'autre x'. On divise alors 400 par 75, le quotient est 5, qui, multiplié par 75, donne 375, et ajouté à son carré donne 400, qui, retranché de 400, donne zéro pour reste; donc x = 35. Soit à chercher la valeur de a, dans l'équation x^2 - 20x = 189, x étant égal au nombre de termes d'une progression par différence commençant par -20 + 1 ou -19, ayant pour raison 2, et formant une somme égale à 189. Si l'on supposait que cette progression eût dix termes, la somme de ces termes serait égale à 10 x 10 - 20 x 10 ou à -100, nombre plus faible que 189; si on supposait que cette progression eût 100 termes, la somme de ces termes serait égale à 100 x 100 - 20 x 100 = 8000, nombre plus fort que 189; donc x est compris entre 10 et 100; du reste, il est facile de voir que x est compris entre 20 et 30, alors x égale déjà 2 dizaines, plus un nombre moindre que 10 : on soustrait de 189, 20 x 20 - 20 x 20 ou zéro, reste 189 qui renferme encore la somme des termes de la progression en question, moins les 10 premiers; mais si on désigne le nombre restant de ces termes par x', on sait que 189 = (2 x 20 - 20) x' + x'^2; on connaît donc un produit et l'un de ses facteurs; il est facile de déterminer le
20 x 10 ou à -100, nombre plus faible que 189; si on supposait que cette progression eût 100 termes, la somme de ces termes serait égale à 100 x 100 - 20 x 100 = 8000, nombre plus fort que 189; donc x est compris entre 10 et 100; du reste, il est facile de voir que x est compris entre 20 et 30, alors x égale déjà 2 dizaines, plus un nombre moindre que 10 : on soustrait de 189, 20 x 20 - 20 x 20 ou zéro, reste 189 qui renferme encore la somme des termes de la progression en question, moins les 10 premiers; mais si on désigne le nombre restant de ces termes par x', on sait que 189 = (2 x 20 - 20) x' + x'^2; on connaît donc un produit et l'un de ses facteurs; il est facile de déterminer le chiffre des plus hautes unités de l'autre x'. On divise 189 par 20, le quotient est 7 qui, multiplié par 20, donne 140, et ajouté à son carré donne 189; cette somme retranchée de 189 donne zéro pour reste; donc x = 27. On sait que dans toute équation du 2ème degré, il y a 2 valeurs pour x; mais la manière qui vient d'être expliquée peut servir à trouver ces deux valeurs, comme c'est indiqué ci-après. Soit à résoudre l'équation x^2 + 6x = 135 (correspondant à l'équation générale x^2 + px + q = 0, p étant positif et q étant négatif). Si, dans cette équation, on fait passer dans le second membre le terme de x, on a x^2 = 135 - 6x ou x = (135 - 6x) : il est facile de voir que x = + 135 - 6x = 9. Ce qui indique que, dans la progression croissante commençant par 6 + 1, et dont la raison est 2, la somme des 9 premiers termes égale 135, comme on peut s'en convaincre à l'inspection des termes de la progression suivante : 7 9 11 13 15 17 19 21 23 23 21 19
2ème degré, il y a 2 valeurs pour x; mais la manière qui vient d'être expliquée peut servir à trouver ces deux valeurs, comme c'est indiqué ci-après. Soit à résoudre l'équation x^2 + 6x = 135 (correspondant à l'équation générale x^2 + px + q = 0, p étant positif et q étant négatif). Si, dans cette équation, on fait passer dans le second membre le terme de x, on a x^2 = 135 - 6x ou x = (135 - 6x) : il est facile de voir que x = + 135 - 6x = 9. Ce qui indique que, dans la progression croissante commençant par 6 + 1, et dont la raison est 2, la somme des 9 premiers termes égale 135, comme on peut s'en convaincre à l'inspection des termes de la progression suivante : 7 9 11 13 15 17 19 21 23 23 21 19 17 15 13 11 9 7 5 3 1 11 3 5. Dans la seconde valeur de x - V/135 si on élève les deux membres au carré, on a x^2 = (135-6x') = 135 + 6.x' et x^2 - 6x = 135; en cherchant cette seconde valeur de x' comme si 135 était positif, on trouve x' = 15; mais cette valeur doit être affectée du signe moins; car elle indique que les 15 premiers termes d'une progression décroissante, commençant par 6 -1, ayant pour raison -2 et étant comptés de droite à gauche, forment une somme égale à 135; ces 15 premiers termes sont la continuation de la première progression, comme c'est indiqué plus haut; seulement ils sont pris dans le sens négatif. A l'inspection de cette progression, il serait facile de démontrer que la somme des deux valeurs de x dans une équation du 8e degré est égale à p changé de signe. Dans la résolution de l'équation du 2e degré, par la méthode qui vient d'être expliquée, une seule difficulté paraît se présenter; c'est de trouver le nombre des plus hautes unités de x; mais cette difficulté n'existe pas réellement; car il est facile de déterminer
comme si 135 était positif, on trouve x' = 15; mais cette valeur doit être affectée du signe moins; car elle indique que les 15 premiers termes d'une progression décroissante, commençant par 6 -1, ayant pour raison -2 et étant comptés de droite à gauche, forment une somme égale à 135; ces 15 premiers termes sont la continuation de la première progression, comme c'est indiqué plus haut; seulement ils sont pris dans le sens négatif. A l'inspection de cette progression, il serait facile de démontrer que la somme des deux valeurs de x dans une équation du 8e degré est égale à p changé de signe. Dans la résolution de l'équation du 2e degré, par la méthode qui vient d'être expliquée, une seule difficulté paraît se présenter; c'est de trouver le nombre des plus hautes unités de x; mais cette difficulté n'existe pas réellement; car il est facile de déterminer le nombre des plus hautes unités, en cherchant les plus hautes unités de la racine carrée de q, que l'on diminue de 1 ou de 2, etc., quand p est positif, ou que l'on augmente de 1 ou de 2, etc., quand p est négatif. Ou bien, lorsque p est considérable, il suffit de diviser q par p, et de diminuer le quotient de 1 ou de 2, etc., quand p est positif, ou de l'augmenter de 1 ou de 2, etc., quand p est négatif. En s'appuyant sur les progressions arithmétiques, on peut encore déduire très-facilement, pour la résolution de l'équation du second degré x^2 + px + q = 0, la règle générale donnée dans les algèbres. En effet, on sait que l'équation générale du second degré est l'expression de la somme des termes d'une progression arithmétique dont la raison est 2; le premier terme est le coefficient de x plus un; le nombre des termes x; et la somme des termes q; or, si la progression dont le premier terme est p + 1 était continuée de droite à gauche d'un certain nombre de termes représentés par x', on aurait, à partir de p + 1 une
considérable, il suffit de diviser q par p, et de diminuer le quotient de 1 ou de 2, etc., quand p est positif, ou de l'augmenter de 1 ou de 2, etc., quand p est négatif. En s'appuyant sur les progressions arithmétiques, on peut encore déduire très-facilement, pour la résolution de l'équation du second degré x^2 + px + q = 0, la règle générale donnée dans les algèbres. En effet, on sait que l'équation générale du second degré est l'expression de la somme des termes d'une progression arithmétique dont la raison est 2; le premier terme est le coefficient de x plus un; le nombre des termes x; et la somme des termes q; or, si la progression dont le premier terme est p + 1 était continuée de droite à gauche d'un certain nombre de termes représentés par x', on aurait, à partir de p + 1 une progression décroissante dont le premier terme serait p + 1 - 2, et dont le dernier serait p + 1 - 2x'; mais on peut faire que ce dernier terme soit égal à l'unité; il faut pour cela poser p + 1 - 2x' = 1, d'où l'on tire x' = P; alors en écrivant ces termes à la gauche de la progression dont le premier terme est p - 1, l'on n'a plus qu'une seule progression arithmétique, dont le premier terme est 1, la raison 2 et le nombre des termes x - 1; or, d'après l'équation, la somme de ces termes est égale à x; et ce carré a été obtenu en ajoutant à la somme q des x termes de la première progression la somme des x termes de la seconde; ce qu'il fallait démontrer. Observations. Par la méthode que j'ai donnée, on ne voit pas tout d'abord comment on doit opérer pour résoudre une équation du 2e degré, lorsque q est une fraction ordinaire; je crois donc nécessaire d'expliquer ce cas. Soit à résoudre l'équation x^2 + px = q, dans laquelle q est une fraction. Si, dans l'équation précédente, on désigne x par x, elle
= P; alors en écrivant ces termes à la gauche de la progression dont le premier terme est p - 1, l'on n'a plus qu'une seule progression arithmétique, dont le premier terme est 1, la raison 2 et le nombre des termes x - 1; or, d'après l'équation, la somme de ces termes est égale à x; et ce carré a été obtenu en ajoutant à la somme q des x termes de la première progression la somme des x termes de la seconde; ce qu'il fallait démontrer. Observations. Par la méthode que j'ai donnée, on ne voit pas tout d'abord comment on doit opérer pour résoudre une équation du 2e degré, lorsque q est une fraction ordinaire; je crois donc nécessaire d'expliquer ce cas. Soit à résoudre l'équation x^2 + px = q, dans laquelle q est une fraction. Si, dans l'équation précédente, on désigne x par x, elle devient x^2 + px = q, d'où x = - ou b; la différence de ces deux fractions, pour obtenir cette somme ou cette différence, il est nécessaire de réduire ces deux fractions au même dénominateur; pour cela il faut multiplier les deux termes de la seconde par le dénominateur de la première, d'où l'on tire b = 144; de l'autre côté, le numérateur se détermine par l'équation a^2 + 3 x 144 = 352, de laquelle on tire a = 8; alors x = 8; donc, lorsque q est une fraction et p un nombre entier, le dénominateur de x est égal à la racine du dénominateur de q et le numérateur est l'inconnue dans l'équation x^2 + px = n, si n est le numérateur et m le dénominateur de q. Soit à résoudre l'équation x^2 + 5 x = q, dans laquelle p et q sont des fractions ordinaires. Si on désigne x par x, l'équation devient x^2 + 5 x = q, les deux fractions du premier membre doivent être réduites au même dénominateur; pour cela, il faut multiplier les deux termes de la première par 24 et les deux termes de la seconde par b;
de la première, d'où l'on tire b = 144; de l'autre côté, le numérateur se détermine par l'équation a^2 + 3 x 144 = 352, de laquelle on tire a = 8; alors x = 8; donc, lorsque q est une fraction et p un nombre entier, le dénominateur de x est égal à la racine du dénominateur de q et le numérateur est l'inconnue dans l'équation x^2 + px = n, si n est le numérateur et m le dénominateur de q. Soit à résoudre l'équation x^2 + 5 x = q, dans laquelle p et q sont des fractions ordinaires. Si on désigne x par x, l'équation devient x^2 + 5 x = q, les deux fractions du premier membre doivent être réduites au même dénominateur; pour cela, il faut multiplier les deux termes de la première par 24 et les deux termes de la seconde par b; l'équation devient x^2 + 5 x b = q, le dénominateur de la fraction du second membre doit être égal au dénominateur commun; alors b = 24; le numérateur sera x^2 + 5 x = 59, equation de laquelle on tire x = 1. Donc la valeur numérique de x est 1, pour chercher la valeur de x dans une équation du 2e degré, où p et q sont des fractions, il faut, pour avoir le dénominateur, diviser le dénominateur de q par celui de p et extraire la racine carrée du quotient, le numérateur est l'inconnue dans l'équation x^2 + px = n', si n est le numérateur et m le dénominateur de q, n' le numérateur et m' le dénominateur de q. Avant de diviser m^ par m, il est nécessaire que les deux termes de p et q soient réduits à leur plus simple expression. NOTICE SUR UNE MACHINE DESTINÉE À COULER LE BÉTON DANS L'EAU, par M. SESQUIÈRES, conducteur des ponts et chaussées. Jusqu'en 1841, dans les travaux hydrauliques qui se sont exécutés dans le département de Tarn-et-Garonne, ainsi que dans celui du Tarn, on s'est servi pour couler le béton dans l'eau d'une caisse ayant
est 1, pour chercher la valeur de x dans une équation du 2e degré, où p et q sont des fractions, il faut, pour avoir le dénominateur, diviser le dénominateur de q par celui de p et extraire la racine carrée du quotient, le numérateur est l'inconnue dans l'équation x^2 + px = n', si n est le numérateur et m le dénominateur de q, n' le numérateur et m' le dénominateur de q. Avant de diviser m^ par m, il est nécessaire que les deux termes de p et q soient réduits à leur plus simple expression. NOTICE SUR UNE MACHINE DESTINÉE À COULER LE BÉTON DANS L'EAU, par M. SESQUIÈRES, conducteur des ponts et chaussées. Jusqu'en 1841, dans les travaux hydrauliques qui se sont exécutés dans le département de Tarn-et-Garonne, ainsi que dans celui du Tarn, on s'est servi pour couler le béton dans l'eau d'une caisse ayant la forme d'une pyramide tronquée suspendue à ses extrémités par une corde qui s'enroule sur un treuil à barres de levier. Une corde attachée au milieu du fond de la caisse sert à la faire basculer pour la vider. Cette manœuvre est vicieuse, d'abord parce que la caisse étant obligée d'être tournée sens dessus dessus pour se vider, et étant suspendue à une hauteur fixe pour faire ce mouvement se trouve éloignée du fond, alors le béton se divise et se lave de manière qu'il n'arrive au fond que le sable et le caillou du mortier. Un entrepreneur de mauvaise foi peut même vider la caisse aussitôt qu'elle a disparu sous l'eau, et l'inconvénient devient plus grave en ce que le mortier a bien plus de temps pour se laver; aussi je n'ai jamais vu une coulée sans que l'eau devînt blanche comme du lait. La manœuvre de cette caisse, très dangereuse d'ailleurs, exige le travail de six manœuvres : quatre aux barres du treuil et deux à la corde qui fait basculer la caisse. Voulant faire disparaître les inconvénients de la caisse que je viens de décrire, j'ai imaginé d'abord de faire ouvrir la caisse d'elle-même en arrivant au
d'être tournée sens dessus dessus pour se vider, et étant suspendue à une hauteur fixe pour faire ce mouvement se trouve éloignée du fond, alors le béton se divise et se lave de manière qu'il n'arrive au fond que le sable et le caillou du mortier. Un entrepreneur de mauvaise foi peut même vider la caisse aussitôt qu'elle a disparu sous l'eau, et l'inconvénient devient plus grave en ce que le mortier a bien plus de temps pour se laver; aussi je n'ai jamais vu une coulée sans que l'eau devînt blanche comme du lait. La manœuvre de cette caisse, très dangereuse d'ailleurs, exige le travail de six manœuvres : quatre aux barres du treuil et deux à la corde qui fait basculer la caisse. Voulant faire disparaître les inconvénients de la caisse que je viens de décrire, j'ai imaginé d'abord de faire ouvrir la caisse d'elle-même en arrivant au fond, de faire en sorte surtout qu'elle ne pût pas s'ouvrir en chemin, et enfin d'établir la machine pour la manœuvrer de manière à ce qu'elle ne fût point dangereuse et qu'elle fût plus économique. La caisse que j'ai faite est prismatique, de même capacité en moyenne, elle pourrait sans inconvénient être exécutée sur une plus grande dimension; le moyen de suspension est le même, c'est-à-dire qu'elle a une boucle à chaque extrémité à laquelle s'attache une corde, de laquelle je parlerai plus tard. À la partie inférieure de la caisse j'ai adapté une barre longitudinale portant à ses deux bouts un système de ferrure correspondant aux loquets, qui peut les repousser et lâcher les détentes. La caisse remplie de béton et descendue au fond de l'eau appuie de tout son poids sur le sol ou le béton déjà posé comme à ce point d'appui; c'est la barre qui est pressée, elle remonte nécessairement, soulève les loquets, et le propre poids du béton fait le reste en entr'ouvrant complètement la caisse qui se vide en la relevant pour recommencer l'opération. Cette modification procure d'abord l'économie des deux manœuvres qui sont employées à tourner la caisse sens dessus dessous. La deuxième
inconvénient être exécutée sur une plus grande dimension; le moyen de suspension est le même, c'est-à-dire qu'elle a une boucle à chaque extrémité à laquelle s'attache une corde, de laquelle je parlerai plus tard. À la partie inférieure de la caisse j'ai adapté une barre longitudinale portant à ses deux bouts un système de ferrure correspondant aux loquets, qui peut les repousser et lâcher les détentes. La caisse remplie de béton et descendue au fond de l'eau appuie de tout son poids sur le sol ou le béton déjà posé comme à ce point d'appui; c'est la barre qui est pressée, elle remonte nécessairement, soulève les loquets, et le propre poids du béton fait le reste en entr'ouvrant complètement la caisse qui se vide en la relevant pour recommencer l'opération. Cette modification procure d'abord l'économie des deux manœuvres qui sont employées à tourner la caisse sens dessus dessous. La deuxième modification s'applique au système de la manœuvre de la caisse. Deux chèvres portant chacune un treuil sur lequel s'enroule la corde, à l'extrémité duquel se trouve une roue et un pignon avec une manivelle, composent tout le système. Un seul homme suffit pour faire tourner les deux manivelles à la fois au moyen d'une barre percée de deux trous dans lesquels les deux poignées peuvent aisément se mouvoir; cet homme prenant la barre à son milieu la fait mouvoir en va-et-vient, les deux manivelles tournent à la fois et la caisse descend et remonte ainsi d'une manière uniforme. Il résulte de ces modifications, d'abord une économie de cinq hommes sur six, puis l'assurance que la caisse ne peut être vidée que lorsqu'elle arrive au fond, et l'on peut dire d'un autre côté que le service se fait avec plus de vitesse, plus de régularité et surtout sans danger, car l'homme qui est à la barre est obligé de faire un plus grand effort pour remonter la caisse que pour l'empêcher de descendre trop vite. Plusieurs expériences avec cette caisse de grandeur naturelle ont été faites en présence de MM. Abrial, ingénieur en chef, et Capella, ingénieur ordinaire, et ont donné
fois au moyen d'une barre percée de deux trous dans lesquels les deux poignées peuvent aisément se mouvoir; cet homme prenant la barre à son milieu la fait mouvoir en va-et-vient, les deux manivelles tournent à la fois et la caisse descend et remonte ainsi d'une manière uniforme. Il résulte de ces modifications, d'abord une économie de cinq hommes sur six, puis l'assurance que la caisse ne peut être vidée que lorsqu'elle arrive au fond, et l'on peut dire d'un autre côté que le service se fait avec plus de vitesse, plus de régularité et surtout sans danger, car l'homme qui est à la barre est obligé de faire un plus grand effort pour remonter la caisse que pour l'empêcher de descendre trop vite. Plusieurs expériences avec cette caisse de grandeur naturelle ont été faites en présence de MM. Abrial, ingénieur en chef, et Capella, ingénieur ordinaire, et ont donné les meilleurs résultats. Le sieur Sigaud, entrepreneur du barrage éclusé de Lamothe-Saliens, et en même temps de plusieurs barrages sur la même rivière, dans le département du Tarn, se sert avec un grand succès de cette machine, que je lui ai fait confectionner moi-même. Quelque temps après que j'eus fait la machine dont je viens de parler, je vis à Montauban, sur les travaux du quai Villcourtbon, une caisse demi-cylindrique employée à couler le béton, s'ouvrant par le milieu dans le sens de sa longueur, pour laisser couler le béton qu'elle contenait en arrivant au fond de l'eau. Le système de suspension et de descente est à peu près le même que celui de l'ancienne caisse, seulement la corde qui sert à faire basculer celle-ci est employée dans la dernière à lâcher les détentes qui tiennent les loquets arrêtés et la caisse fermée. La manœuvre et le jeu de cette caisse sont aisés à comprendre : étant fermée et placée au niveau de l'échafaudage, on la remplit de béton, et on la descend immédiatement au fond de l'eau; arrivée à ce point, des manœuvres tirent les cordes pour dégager les loquets, et le propre poids du béton fait ouvrir la
la machine dont je viens de parler, je vis à Montauban, sur les travaux du quai Villcourtbon, une caisse demi-cylindrique employée à couler le béton, s'ouvrant par le milieu dans le sens de sa longueur, pour laisser couler le béton qu'elle contenait en arrivant au fond de l'eau. Le système de suspension et de descente est à peu près le même que celui de l'ancienne caisse, seulement la corde qui sert à faire basculer celle-ci est employée dans la dernière à lâcher les détentes qui tiennent les loquets arrêtés et la caisse fermée. La manœuvre et le jeu de cette caisse sont aisés à comprendre : étant fermée et placée au niveau de l'échafaudage, on la remplit de béton, et on la descend immédiatement au fond de l'eau; arrivée à ce point, des manœuvres tirent les cordes pour dégager les loquets, et le propre poids du béton fait ouvrir la caisse qui se vide entièrement et que l'on remonte aussitôt après pour renouveler l'opération. Cette manœuvre exige le travail de six hommes. J'ai appliqué le système de ferrure de ma caisse à la caisse de M. Petot, dont la forme m'a procuré la facilité de la rendre beaucoup plus simple, car un loquet attaché à chaque extrémité de la barre, et un mentonnet attaché à chaque tête de la caisse suffisent pour produire le même effet. En y appliquant le même système pour la manœuvrer, on économise également cinq hommes sur six. J'ose croire, sans l'avoir éprouvé, que cette caisse produira des effets au moins aussi satisfaisants que ma caisse prismatique. Dans tous les rivages où l'on emploie le béton coulé, un drainage précède le coulage du béton, afin de bien dégager le fond ou le tuf de toutes parties terreuses, travellées ou salées; quand le drainage est terminé, les machines à draguer deviennent inutiles : alors les chèvres au engrenage qui tirent la drague peuvent être employées pour manœuvrer la caisse ; il suffit de les relever à leur sommet au moyen d'une traverse ; par ce moyen, la machine à couler le béton n'occasionne que la dépense indispensable
car un loquet attaché à chaque extrémité de la barre, et un mentonnet attaché à chaque tête de la caisse suffisent pour produire le même effet. En y appliquant le même système pour la manœuvrer, on économise également cinq hommes sur six. J'ose croire, sans l'avoir éprouvé, que cette caisse produira des effets au moins aussi satisfaisants que ma caisse prismatique. Dans tous les rivages où l'on emploie le béton coulé, un drainage précède le coulage du béton, afin de bien dégager le fond ou le tuf de toutes parties terreuses, travellées ou salées; quand le drainage est terminé, les machines à draguer deviennent inutiles : alors les chèvres au engrenage qui tirent la drague peuvent être employées pour manœuvrer la caisse ; il suffit de les relever à leur sommet au moyen d'une traverse ; par ce moyen, la machine à couler le béton n'occasionne que la dépense indispensable de la caisse. MÉMOIRE SUR L'APPAREIL ET LA CONSTRUCTION DES PONTS BIAIS, Par M. GRAEFF, Ingénieur des ponts et chaussées. (Cinquième article). PONTS EN ARC DE CERCLE SURBAISSÉS. Il est évident que tout ce que nous avons dit pour le plein cintre s'applique ici : les paraboles se traceront exactement de même. PONTS EN ANSE DE PANIER. Le développement de l'arc de tête étant fait, les paraboles d'assises passant par les points de division en voussoirs se traceront comme il a été dit pour le cas du plein cintre. Aux points où les rayons des arcs de cercle changent, la parabole est normale à la fois aux deux arcs successifs, qui sont tangents sur le développement, aussi bien que dans leur position primitive. Cas où la section droite est circulaire. Dans ce cas, l'équation générale des tangentes est : Les équations de l'arc de tête sont : x = (c + r cos. oj) tan g. a (E') S = ro> = y (A'), et l'expression normale de tang. 9 est tang. ? = tang. a sin. co. xt désignant toujours l'ordonnée d'un point déterminé de l'arc de tête, l'équation de la parabole normale à l'arc de tête développé passant