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systems with one-sided conditions (à paraître). [6] W. TULCZYJEW, C. R. Acad. Sci. Paris, 283, série A, 1976, p. 675-678. M. DE L. : C.E.C.I.M.E., Consejo Superior de Investigaciones Cientificas, Serrano, 123, 28006 Madrid, Espagne; E. A. L. : Departamento de Matematicas, Universidad Autonoma Metropolitana, Iztapalapa, P.O. Box 55-543, Mexico D.F., Mexique. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1141-1146, 1988 1141 Cristallographie/Crystallography L'indicateur d'Euler et les opérations de symétrie cristallographiques transitives dans les hyperespaces En Erwin-Félix BERTAUT Résumé — Pour l'indicateur d'Euler <p(m), on déduit deux lois d'échelle tp(2m) = <p(m) pour m impair et <p (2 m) = 2 <p (m) pour m pair. Une opération de symétrie cristallographique dans l'espace En, et appelée transitive par Carl Hermann [1], est représentée par une matrice nxn d'ordre m, notée ici [m] avec n = (<p(m). Les lois d'échelle servent à classifier les opérations de symétrie transitives et à trouver des relations simples entre les matrices [m] et [2m]. On donne les expressions de [m], [2m], des matrices de puissances [m"], et de produits [m1m2]. Finalement on généralise les équations caractéristiques pour les puissances [2% [3"], [5] et produits de puissances [2" 3"], <p^], [3<5p], [2" 3. Euler's indicatrix and crystallographic transitive symmetry operations in the hyperspaces En Abstract — From elementary number theory one derives two scaling laws for Euler's indicatrix <p (m) which are <p (2 m) = <p (m) for m odd and <p (2 m) = 2 <p (m) for m even: A crystallographic symmetry operation in space En, called transitive by Carl Hermann [1], is represented by a nxn matrix of order m, denoted here by [m], with n = <p(m). The scaling laws are used to classify transitive symmetry operations in En and to find simple relations between the matrices [m] and [2m]. Expressions are given for [m], [2m], matrices of powers (m") and products [m1 m2]. Finally the characteristic equations are generalized for powers [2"], [3% [5"] and products of powers [2"3p], [2°5p], [3" 5p], [2" 3"5p]. Dans cette Note nous étudions les opérations de symétrie cristallographiques transitives [1] d'ordre
Euler's indicatrix and crystallographic transitive symmetry operations in the hyperspaces En Abstract — From elementary number theory one derives two scaling laws for Euler's indicatrix <p (m) which are <p (2 m) = <p (m) for m odd and <p (2 m) = 2 <p (m) for m even: A crystallographic symmetry operation in space En, called transitive by Carl Hermann [1], is represented by a nxn matrix of order m, denoted here by [m], with n = <p(m). The scaling laws are used to classify transitive symmetry operations in En and to find simple relations between the matrices [m] and [2m]. Expressions are given for [m], [2m], matrices of powers (m") and products [m1 m2]. Finally the characteristic equations are generalized for powers [2"], [3% [5"] and products of powers [2"3p], [2°5p], [3" 5p], [2" 3"5p]. Dans cette Note nous étudions les opérations de symétrie cristallographiques transitives [1] d'ordre m dans les espaces En et nous les représentons par des matrices carrées nxn. Nous rappelons d'abord des propriétés élémentaires de la théorie des nombres et liées à l'indicateur <p (m) d'Euler. Soient p, q, r, . . ., des nombres premiers et soit (1) la décomposition du nombre entier m en puissances de nombres premiers avec a>0, |3>0, y>0 Soit <p (m) l'indicateur d' Euler qui est le nombre des nombres premiers a m (c'est-à-dire n'ayant pas de diviseur commun avec m) et inférieurs à m. On a (2) ([1], [2]) avec la convention <p (1) = 1 Des considérations algébriques simples permettent d'énoncer les lois d'échelle (3) et (4) (3) <p (2 m) = 2 <p (m) pour m pair, (4) <p (2 m) = <p (m) pour m impair. Dans le tableau I, la première colonne indique la valeur de <p (m). La deuxième colonne contient m impair et c'est la seule colonne pour laquelle on a à calculer <p (m). En effet la troisième colonne est une conséquence de la loi d'échelle (4); de même la quatrième colonne résulte de l'application de la loi d'échelle (3). En ce qui concerne l'économie de calcul, l'intérêt des lois
m en puissances de nombres premiers avec a>0, |3>0, y>0 Soit <p (m) l'indicateur d' Euler qui est le nombre des nombres premiers a m (c'est-à-dire n'ayant pas de diviseur commun avec m) et inférieurs à m. On a (2) ([1], [2]) avec la convention <p (1) = 1 Des considérations algébriques simples permettent d'énoncer les lois d'échelle (3) et (4) (3) <p (2 m) = 2 <p (m) pour m pair, (4) <p (2 m) = <p (m) pour m impair. Dans le tableau I, la première colonne indique la valeur de <p (m). La deuxième colonne contient m impair et c'est la seule colonne pour laquelle on a à calculer <p (m). En effet la troisième colonne est une conséquence de la loi d'échelle (4); de même la quatrième colonne résulte de l'application de la loi d'échelle (3). En ce qui concerne l'économie de calcul, l'intérêt des lois d'échelle paraît bien mince, car le calcul de <p (m) ne présente pas de difficulté particulière. C'est en liaison avec la cristallographie que le tableau I prend de l'importance, car il permet de classer les opérations de symétrie transitives dans les espaces En. En effet, à toute opération de symétrie d'ordre m impair, le tableau I associe une opération de symétrie d'ordre 2m. Note présentée par Erwin-Félix BERTAUT. TABLEAU I Indicateur d'Euler et lois d'échelle. Euler's indicatrix and scaling laws. cp(m) = cp(2m) m impair (odd) cp(2m) = 2cp(m) n = cp(m) m 2m m pair (even) 1 1 2 2 3 6 4 4 5 10 8, 12 6 7 14 9 18 8 15 30 16, 20, 24 10 11 22 12 13 26 28, 36 21 42 14 16 17 34 32, 40, 48, 60 18 19 38 27 54 20 25 50 44 33 66 22 23 46 24 35 70 52, 56, 72, 84 39 78 45 90 26 dans le même espace En; cela généralise le fait banal que les symétries de rotation 3 et 6 apparaissent ensemble dans E2. De même on passe de la symétrie 2 dans E1 à la symétrie 4
d'ordre m impair, le tableau I associe une opération de symétrie d'ordre 2m. Note présentée par Erwin-Félix BERTAUT. TABLEAU I Indicateur d'Euler et lois d'échelle. Euler's indicatrix and scaling laws. cp(m) = cp(2m) m impair (odd) cp(2m) = 2cp(m) n = cp(m) m 2m m pair (even) 1 1 2 2 3 6 4 4 5 10 8, 12 6 7 14 9 18 8 15 30 16, 20, 24 10 11 22 12 13 26 28, 36 21 42 14 16 17 34 32, 40, 48, 60 18 19 38 27 54 20 25 50 44 33 66 22 23 46 24 35 70 52, 56, 72, 84 39 78 45 90 26 dans le même espace En; cela généralise le fait banal que les symétries de rotation 3 et 6 apparaissent ensemble dans E2. De même on passe de la symétrie 2 dans E1 à la symétrie 4 dans E2, puis à la symétrie 8 dans E4 comme conséquence de la relation. Selon Carl Hermann une opération de symétrie est dite cristallographique transitive [1] si elle laisse invariant un réseau de Bravais ayant pour base n vecteurs a-(f'=l,2 n) linéairement indépendants, n est appelé la dimension du réseau. L'opération de symétrie est représentée par une matrice carrée nxn d'ordre m et que nous noterons ici [m]. On a par définition la relation, où 1n est la matrice ayant n fois l'unité dans la diagonale principale. [m] a une équation séculaire de degré n dont les racines sont exp(2nij/m) où j est inférieur à m et premier à m. Entre la dimension n et l'indicateur d'Euler on a la relation importante. REPRÉSENTATIONS MATRICIELLES, m = NOMBRE PREMIER. — L'opération identité correspond à la matrice [1]= + 1. L'opération d'ordre m —2 correspond à la matrice [2]= — 1 (cf. commentaires). À part ces deux cas pour lesquels cp(m) = 1, d'ailleurs en accord avec la loi d'échelle (4), la dimension n est toujours paire. Les symétries d'ordre 5, 7, 11, 13 apparaissent pour la première fois dans des espaces En de dimensions respectives 4, 6, C. R. Acad. Sci.
L'opération de symétrie est représentée par une matrice carrée nxn d'ordre m et que nous noterons ici [m]. On a par définition la relation, où 1n est la matrice ayant n fois l'unité dans la diagonale principale. [m] a une équation séculaire de degré n dont les racines sont exp(2nij/m) où j est inférieur à m et premier à m. Entre la dimension n et l'indicateur d'Euler on a la relation importante. REPRÉSENTATIONS MATRICIELLES, m = NOMBRE PREMIER. — L'opération identité correspond à la matrice [1]= + 1. L'opération d'ordre m —2 correspond à la matrice [2]= — 1 (cf. commentaires). À part ces deux cas pour lesquels cp(m) = 1, d'ailleurs en accord avec la loi d'échelle (4), la dimension n est toujours paire. Les symétries d'ordre 5, 7, 11, 13 apparaissent pour la première fois dans des espaces En de dimensions respectives 4, 6, C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1141-1146, 1988 1143 10, 12. On a L'opération [3] transforme les axes a1, a2 du réseau de Bravais selon et les coordonnées x, y selon. Ici nous adoptons les notations des Tables internationales [3] La généralisation à d'autres symétries, avec m nombre premier est immédiate. On garde dans la matrice [m] la dernière colonne des — 1 comme dans la matrice [3] ci-dessus et l'on remplace le nombre 1 par une matrice diagonale. On a par exemple pour la matrice [5] et dans le cas général Les équations séculaires sont données par; elles ont pour valeurs propres les mêmes racines de l'unité pour m nombre premier RELATIONS ENTRE [m] ET [2 m], m IMPAIR. — La loi d'échelle (4) suggère une relation simple. Dans le cas déjà cité de [3] et de [6], appartenant à E2, posons et déterminons s par la condition [6] 2 = [3] exprimant que deux rotations successives de 2 π/6 équivalent à une rotation de 2 π/3, condition satisfaite pour s = 2. Il s'ensuit la relation matricielle, conforme à l'usage des Tables internationales D'une manière générale on a, qui satisfait aux conditions. Les puissances et doivent représenter des
immédiate. On garde dans la matrice [m] la dernière colonne des — 1 comme dans la matrice [3] ci-dessus et l'on remplace le nombre 1 par une matrice diagonale. On a par exemple pour la matrice [5] et dans le cas général Les équations séculaires sont données par; elles ont pour valeurs propres les mêmes racines de l'unité pour m nombre premier RELATIONS ENTRE [m] ET [2 m], m IMPAIR. — La loi d'échelle (4) suggère une relation simple. Dans le cas déjà cité de [3] et de [6], appartenant à E2, posons et déterminons s par la condition [6] 2 = [3] exprimant que deux rotations successives de 2 π/6 équivalent à une rotation de 2 π/3, condition satisfaite pour s = 2. Il s'ensuit la relation matricielle, conforme à l'usage des Tables internationales D'une manière générale on a, qui satisfait aux conditions. Les puissances et doivent représenter des symétries d'ordre 4 et 3 respectivement, ce qui détermine les exposants u et v. On trouve ainsi, et par le même raisonnement, . Les matrices, , et affectent manifestement des formes différentes. Leur équivalence est cependant prouvée par l'équation séculaire qui leur est commune. Construisons aussi la matrice comme le produit de puissances des matrices et commutantes et de même dimension que . Compte tenu du fait que et doivent représenter des symétries d'ordre 3 et 5 respectivement, on trouve, tous calculs faits. En posant, on trouve une matrice de forme différente, mais équivalente, c'est-à-dire admettant la même équation séculaire. Finalement la matrice appartenant au même espace [cf. ] peut s'écrire. Remarque. — 1. La relation entre les matrices et pour m impair peut s'écrire comme un produit en y remplaçant le signe — par la matrice . 2. La procédure décrite peut se généraliser au produit de plusieurs facteurs. ÉQUATIONS SÉCULAIRES. — Nous nous sommes servis de deux méthodes. Dans la première on annule le déterminant caractéristique pour une matrice donnée. Dans la deuxième on explicite le polynôme (X—X±) (X—X2) ... (X—Xn), les racines Xj=exp (2nij/m) étant connues a priori; par exemple pour m = 15, n=8 et les
produit de puissances des matrices et commutantes et de même dimension que . Compte tenu du fait que et doivent représenter des symétries d'ordre 3 et 5 respectivement, on trouve, tous calculs faits. En posant, on trouve une matrice de forme différente, mais équivalente, c'est-à-dire admettant la même équation séculaire. Finalement la matrice appartenant au même espace [cf. ] peut s'écrire. Remarque. — 1. La relation entre les matrices et pour m impair peut s'écrire comme un produit en y remplaçant le signe — par la matrice . 2. La procédure décrite peut se généraliser au produit de plusieurs facteurs. ÉQUATIONS SÉCULAIRES. — Nous nous sommes servis de deux méthodes. Dans la première on annule le déterminant caractéristique pour une matrice donnée. Dans la deuxième on explicite le polynôme (X—X±) (X—X2) ... (X—Xn), les racines Xj=exp (2nij/m) étant connues a priori; par exemple pour m = 15, n=8 et les huit nombres j sont 1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14. Nous avons trouvé l'équation par la première méthode et vérifié par la deuxième que le coefficient de X2 (et de A6) y est nul, que celui de A4 est bien égal à — 1 et ainsi de suite. Pour n < 8 les deux méthodes sont également fastidieuses. Quant à l'incidence des lois d'échelle on passe de l'équation séculaire de [m] à celle de [2 m] pour m pair en remplaçant X par X 2. On a ainsi A.+ 1=0 pour [2], A.2+ 1 = 0 pour [4] de sorte que pour [m = 2E] on a X" +1 =0 avec n=1/2m. On opère de même pour les puissances de 3 [cf. ] remplaçant X par X 3 ... dans l'équation séculaire de [3] pour obtenir celle de [32]. Le tableau résume les équations séculaires pour [24] [32], [52] généralisant les équations. On passe de l'équation séculaire de [m] à celle de [2 m] pour m impair en remplaçant X par —X. L'exemple le plus simple est X2 — X+1 =0, équation caractéristique de [6] = [2 x 3]. On généralise ensuite pour m = 2n, 3p, 2n.
Pour n < 8 les deux méthodes sont également fastidieuses. Quant à l'incidence des lois d'échelle on passe de l'équation séculaire de [m] à celle de [2 m] pour m pair en remplaçant X par X 2. On a ainsi A.+ 1=0 pour [2], A.2+ 1 = 0 pour [4] de sorte que pour [m = 2E] on a X" +1 =0 avec n=1/2m. On opère de même pour les puissances de 3 [cf. ] remplaçant X par X 3 ... dans l'équation séculaire de [3] pour obtenir celle de [32]. Le tableau résume les équations séculaires pour [24] [32], [52] généralisant les équations. On passe de l'équation séculaire de [m] à celle de [2 m] pour m impair en remplaçant X par —X. L'exemple le plus simple est X2 — X+1 =0, équation caractéristique de [6] = [2 x 3]. On généralise ensuite pour m = 2n, 3p, 2n. 5p et 2n. 3p. 5y (cf. tableau). TABLEAU Équations caractéristiques généralisées de la matrice [m]. Generalized characteristic equations of the matrix [m]. m n w Équations caractéristiques 2n m/2 m/2 V+1=0 3n 2m/3 m/3 X,2W + A"+1=0 5n 4m/5 m/5 XA w + à. 3 w + X2 w + V" +1 = 0 2n 3p m/3 m/6 X2 w + Xw +1 = 0 2n 5p 2m/5 m/10 XA-™-X3w + X2™-Xm + l=0 3n 5P 8m/15 m/15 X5w-X'!w + X5w-Xiw + X:i"'-Xw+l=0 2n3|i51' 4m/15 m/30 X8w + Xlw-X5w-Xiw-X3w + Xw+l=0 COMMENTAIRES. — Les opérations de symétries transitives de Hermann n'admettent pas de sous-espace invariant de dimension inférieure à n. Des opérations de symétrie dans E2, laissant un sous-espace invariant sont appelées intransitives. Il est instructif de comparer ici la signification de la matrice [2] et des symboles m, 1 et 2 habituels des cristallographes dans les espaces E2 et E3. L'opérateur [2] transforme x en — x. C'est une opération de symétrie transitive dans E1. L'opération qui dans E2 transforme x en —x et y en +y est une opération intransitive, notée 2,1 (opération de [2] plus opération identité) dans [1]; le symbole cristallographique est m dans les groupes
V" +1 = 0 2n 3p m/3 m/6 X2 w + Xw +1 = 0 2n 5p 2m/5 m/10 XA-™-X3w + X2™-Xm + l=0 3n 5P 8m/15 m/15 X5w-X'!w + X5w-Xiw + X:i"'-Xw+l=0 2n3|i51' 4m/15 m/30 X8w + Xlw-X5w-Xiw-X3w + Xw+l=0 COMMENTAIRES. — Les opérations de symétries transitives de Hermann n'admettent pas de sous-espace invariant de dimension inférieure à n. Des opérations de symétrie dans E2, laissant un sous-espace invariant sont appelées intransitives. Il est instructif de comparer ici la signification de la matrice [2] et des symboles m, 1 et 2 habituels des cristallographes dans les espaces E2 et E3. L'opérateur [2] transforme x en — x. C'est une opération de symétrie transitive dans E1. L'opération qui dans E2 transforme x en —x et y en +y est une opération intransitive, notée 2,1 (opération de [2] plus opération identité) dans [1]; le symbole cristallographique est m dans les groupes plans [3]. L'opération qui dans E2 transforme x en — x et y en —y est intransitive, notée 22; la notation des cristallographes est 2 pour les groupes plans. Enfin les opérations intransitives dans E3, notées 211, 221, et 222 dans [3], ont les symboles m, 2 et 1 respectivement dans les groupes d'espaces [3]. Il n'y a pas d'opération de symétrie transitive dans E14 et E26 (cf. tableau I); par contre il y a des opérations intransitives « = cp(m1) + cp(m2) + ... pour n= 14, 26. Note reçue le 4 juillet 1988, acceptée le 19 juillet 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] C. HERMANN, Kristallographie in Räumen beliebiger Dimensionszahl, Acta Cryst., 2, 1949, p. 139. [2] P. SAMUEL, Théorie algébrique des nombres, cf. chap. 1, Hermann, Paris, 1971. [3] International Tables for Crystallography, Th. HAHN éd., Reidel Publishing Company, Dordrecht 1987. Laboratoire de Cristallographie du C.N.R.S. associé à l'Université J.-Fourier, 166 X, 38042 Grenoble. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1147-1150, 1988 1149 Cristallographie/Crystallography Cristallogenèse du germanium en centrifugeuse Alain CHEVY Résumé — Les résultats préliminaires d'expériences de croissance cristalline en centrifugeuse sont présentés. Des lingots de germanium dopé au gallium ont été cristallisés sous
dans les groupes d'espaces [3]. Il n'y a pas d'opération de symétrie transitive dans E14 et E26 (cf. tableau I); par contre il y a des opérations intransitives « = cp(m1) + cp(m2) + ... pour n= 14, 26. Note reçue le 4 juillet 1988, acceptée le 19 juillet 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] C. HERMANN, Kristallographie in Räumen beliebiger Dimensionszahl, Acta Cryst., 2, 1949, p. 139. [2] P. SAMUEL, Théorie algébrique des nombres, cf. chap. 1, Hermann, Paris, 1971. [3] International Tables for Crystallography, Th. HAHN éd., Reidel Publishing Company, Dordrecht 1987. Laboratoire de Cristallographie du C.N.R.S. associé à l'Université J.-Fourier, 166 X, 38042 Grenoble. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1147-1150, 1988 1149 Cristallographie/Crystallography Cristallogenèse du germanium en centrifugeuse Alain CHEVY Résumé — Les résultats préliminaires d'expériences de croissance cristalline en centrifugeuse sont présentés. Des lingots de germanium dopé au gallium ont été cristallisés sous des accélérations allant jusqu'à 8 fois l'accélération terrestre. Une simple analyse métallographique montre que, dans cette gamme de valeurs, la convection dans la phase liquide est nettement modifiée. Crystal growth of germanium in a centrifuge Abstract — Preliminary results on crystal growth in a centrifuge are reported. Gallium doped germanium ingots were crystallized under accelerations up to 8 times the earth's gravity. A simple metallographic analysis shows that in this range of values convection is clearly modified. I. INTRODUCTION. — Les développements récents de la cristallogenèse s'orientent vers l'étude des problèmes fondamentaux de transport de masse et de chaleur dans les systèmes en phase gazeuse ou en phase liquide. Les mécaniciens des fluides ont développé des modèles pour rendre compte des mouvements convectifs dans les phases fluides et à l'interface cristal-phase source. Les équations gouvernant l'écoulement de la phase fluide font intervenir l'accélération de la pesanteur g. C'est pour cette raison qu'ont été conçues les expériences de science des matériaux dans l'espace, la diminution de la pesanteur jusqu'à gxO devant éliminer la convection naturelle et conduire à des matériaux de meilleure qualité. Les expériences spatiales sont onéreuses et une préparation au sol rigoureuse doit être achevée avant d'entreprendre les manipulations
ingots were crystallized under accelerations up to 8 times the earth's gravity. A simple metallographic analysis shows that in this range of values convection is clearly modified. I. INTRODUCTION. — Les développements récents de la cristallogenèse s'orientent vers l'étude des problèmes fondamentaux de transport de masse et de chaleur dans les systèmes en phase gazeuse ou en phase liquide. Les mécaniciens des fluides ont développé des modèles pour rendre compte des mouvements convectifs dans les phases fluides et à l'interface cristal-phase source. Les équations gouvernant l'écoulement de la phase fluide font intervenir l'accélération de la pesanteur g. C'est pour cette raison qu'ont été conçues les expériences de science des matériaux dans l'espace, la diminution de la pesanteur jusqu'à gxO devant éliminer la convection naturelle et conduire à des matériaux de meilleure qualité. Les expériences spatiales sont onéreuses et une préparation au sol rigoureuse doit être achevée avant d'entreprendre les manipulations dans un laboratoire orbital. De plus, les opportunités de vol sont restreintes à court terme. Les expériences en centrifugeuse peuvent mettre en évidence les phénomènes qui dépendent (ou non) de l'accélération résultante, et démontrer les mécanismes qui sont (ou ne sont pas) spécifiques de la microgravité. D'autre part, les expériences en gravité artificielle supérieure à l'accélération terrestre (g0) peuvent être un test pour les divers modèles théoriques, permettre de définir leur domaine de validité et de savoir si l'extrapolation à g « 0 d'une expérience ou d'un modèle établi à g=g0 est légitime ou non. Paradoxalement, compte tenu de l'intérêt potentiel de cette technique, très peu d'articles ont été publiés sur ce sujet. Müller et coll. [1] ont montré le rôle joué par le niveau d'accélération sur les oscillations de température et le gradient thermique dans un bain d'indium liquide. Ces chercheurs ont utilisé ces résultats pour la croissance de cristaux de InSb et de GaSb ([1]-[3]) par les méthodes de solidification dirigée, de fusion de zone et T. H. M. Plus récemment, la croissance de PbTe en centrifugeuse a été étudiée par Rodot et coll. [4]. Une amélioration de la qualité cristalline a été observée pour une surcharge g/g0