jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
presence results from the nonlinear dynamics of these flows, from which they emerge by a phase locking process and then last on time scales much longer than the eddy turnover time. After the early stage, where the flow is being condensed into coherent vortices, the nonlinear transfers are no more uniformly active in all space but are concentrated in the shear layers formed at their periphery. The flow can then be separated into these coherent vortices, which are dynamically active through their mutual interactions, and a background flow, passively advected by them. Fourier analysis is not adapted to separate those structures from the rest of the flow, because it loses the information concerning the coherence present in physical space. We are looking for a space-scale decomposition able to detect and analyze the coherent structures present in two-dimensional flows. This is why we will consider here the wavelet transform, recently developed by Morlet, Grossmann and Meyer ([4], [5], [6]). 2. SPACE-SCALE DECOMPOSITION USING WAVELET TRANSFORM. — Any transform realizes a correspondence between physical space x and spectral space k, by convoluting the signal f to be analyzed with a given analyzing function /. Figure 1 shows four examples of analyzing functions adapted, either to scale (1a), or to space (1b) decompositions, or to both (1c and 1d); looking at the space-scale diagram (|x|, |k|), we see how the wavelet transform achieves an optimal compromise between space resolution Ax and scale resolution Ak in terms of the uncertainty principle, corresponding to Nyquist relation Àx. A = Const. The wavelet transform uses functions φ, called wavelets (Fig. 1 d), presenting only a few oscillations in a gaussian envelope, that are translated (parameter b) and dilated (parameter a), such as [1] and [2]. The wavelet transform also verifies Parseval's relation, i.e. conserves energy, such as [3]. Note présentée par Paul GERMAIN. 0249-6305/88/03071479 $ 2.00 © Académie des Sciences 1480 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1479-1486, 1988 The wavelet transform is particularly adapted to the analysis of non-periodic signals, especially if they present complex transient behaviors, and even singularities, the
adapted, either to scale (1a), or to space (1b) decompositions, or to both (1c and 1d); looking at the space-scale diagram (|x|, |k|), we see how the wavelet transform achieves an optimal compromise between space resolution Ax and scale resolution Ak in terms of the uncertainty principle, corresponding to Nyquist relation Àx. A = Const. The wavelet transform uses functions φ, called wavelets (Fig. 1 d), presenting only a few oscillations in a gaussian envelope, that are translated (parameter b) and dilated (parameter a), such as [1] and [2]. The wavelet transform also verifies Parseval's relation, i.e. conserves energy, such as [3]. Note présentée par Paul GERMAIN. 0249-6305/88/03071479 $ 2.00 © Académie des Sciences 1480 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1479-1486, 1988 The wavelet transform is particularly adapted to the analysis of non-periodic signals, especially if they present complex transient behaviors, and even singularities, the only requirement being that the signal should have a finite energy; indeed, it locally measures the Hölder regularity of the signal, or even gives the order of an eventual singularity, which is important in the context of turbulent flow analysis. We can choose different wavelets, or continuous, or discrete, under the conditions that they have a zero mean value, a finite energy and that their Fourier transform exists. We will consider here the Morlet wavelet (Fig. 2) [6], which is continuous and complex valued, giving thus a modulus and a phase in spectral space. The isophases lines have the property of converging on the most irregular parts of the signal, while the modulus gives the scale analysis of the energy density. 3. APPLICATION. — The wavelet decomposition of a one-dimensional signal gives a two-dimensional spectral space, with space (parameter b) in abscissa and the logarithm of the scale (parameter a) in ordinate. If ultimately we are interested in analyzing two-dimensional turbulent fields, to which corresponds a four-dimensional wavelet spectral space, as a first step to demonstrate the techniques, we will here analyze a one-dimensional section of a two-dimensional vorticity field, obtained by numerically integrating Saint-Venant's equations with an initial "balance"
the conditions that they have a zero mean value, a finite energy and that their Fourier transform exists. We will consider here the Morlet wavelet (Fig. 2) [6], which is continuous and complex valued, giving thus a modulus and a phase in spectral space. The isophases lines have the property of converging on the most irregular parts of the signal, while the modulus gives the scale analysis of the energy density. 3. APPLICATION. — The wavelet decomposition of a one-dimensional signal gives a two-dimensional spectral space, with space (parameter b) in abscissa and the logarithm of the scale (parameter a) in ordinate. If ultimately we are interested in analyzing two-dimensional turbulent fields, to which corresponds a four-dimensional wavelet spectral space, as a first step to demonstrate the techniques, we will here analyze a one-dimensional section of a two-dimensional vorticity field, obtained by numerically integrating Saint-Venant's equations with an initial "balance" condition [7]. The field here being vorticity, the corresponding meansquare measure is enstrophy (meansquare of the vorticity field) instead of energy. We will study two different states of the flow: the first, close to the initial instant, i.e. before the formation of coherent structures, and the second at a later stage, where the vorticity field has been condensated into few coherent vortices. Figure 3 a gives the wavelet analysis of the flow after one eddy turnover time: enstrophy is distributed between all scales and this quite uniformly in space, with a maximum at wavenumber k = 3, which corresponds to the initial excitation of the flow; the isophase lines show the emergence of a coherent vortex near x = 300. Figure 3 b corresponds to the flow after 100 eddy turnover times: enstrophy is now condensed into one large scale coherent vortex surrounded by a smooth background; the isophase lines point at the core of the vortex located near x = 250. In conclusion, the wavelet analysis has shown that the cores of the vortices are the most irregular features in the vorticity field where most of the enstrophy is concentrated, while the background flow in between vortices is much
stage, where the vorticity field has been condensated into few coherent vortices. Figure 3 a gives the wavelet analysis of the flow after one eddy turnover time: enstrophy is distributed between all scales and this quite uniformly in space, with a maximum at wavenumber k = 3, which corresponds to the initial excitation of the flow; the isophase lines show the emergence of a coherent vortex near x = 300. Figure 3 b corresponds to the flow after 100 eddy turnover times: enstrophy is now condensed into one large scale coherent vortex surrounded by a smooth background; the isophase lines point at the core of the vortex located near x = 250. In conclusion, the wavelet analysis has shown that the cores of the vortices are the most irregular features in the vorticity field where most of the enstrophy is concentrated, while the background flow in between vortices is much more regular and less excited. This tends to contradict the classical interpretation of two-dimensional turbulent flows [2]: the smallest scales of the vorticity field are not the filamentary structures, which get developed at the vortex periphery under the action of the enstrophy cascade, but are concentrated inside the vortex cores. Dissipation, which is proportional to the vorticity laplacian, and therefore sensitive to the small scales, would thus act not only on the vorticity filaments, but also on the internal structure of vortices. This conclusion may be very general, or restricted only to the case of decaying compressible two-dimensional turbulent flows studied here. We should now generalize this approach by using a two-dimensional wavelet transform, which will in addition give us information on the local polarization of the flow and enable us to separate the coherent vortices, which are non polarized, from the background flow, formed of vorticity filaments which are highly polarized. Then, after choosing an appropriate filter and using the invertability property of the wavelet transform, we should be able to reconstruct two vorticity fields, one corresponding to the background flow and the other to the coherent vortices alone, in order to study their dynamics separately. This decomposition technique
Dissipation, which is proportional to the vorticity laplacian, and therefore sensitive to the small scales, would thus act not only on the vorticity filaments, but also on the internal structure of vortices. This conclusion may be very general, or restricted only to the case of decaying compressible two-dimensional turbulent flows studied here. We should now generalize this approach by using a two-dimensional wavelet transform, which will in addition give us information on the local polarization of the flow and enable us to separate the coherent vortices, which are non polarized, from the background flow, formed of vorticity filaments which are highly polarized. Then, after choosing an appropriate filter and using the invertability property of the wavelet transform, we should be able to reconstruct two vorticity fields, one corresponding to the background flow and the other to the coherent vortices alone, in order to study their dynamics separately. This decomposition technique may be more appropriate than the present thresholding used to filter the coherent vortices out of the turbulent flows. STRUCTURES COHERENTES DANS LES ÉCOULEMENTS TURBULENTS. — On pense aujourd'hui que les structures cohérentes jouent un rôle essentiel dans la dynamique non linéaire des écoulements turbulents ([1], [2], [3]). Elles se forment spontanément au sein de ceux-ci, par un processus de blocage de phase, et survivent sur des échelles de temps bien supérieures au temps de retournement des tourbillons. Après une phase initiale où l'écoulement se condense en tourbillons cohérents, les transferts non linéaires ne sont plus actifs uniformément dans l'espace mais restent concentrés dans les couches limites qui se développent autour des tourbillons. L'écoulement peut alors être séparé entre ces structures cohérentes, qui de par leurs interactions mutuelles constituent sa partie dynamiquement active, et un écoulement résiduel passivement advecté par celles-ci. L'analyse de Fourier n'est pas adaptée pour extraire ces structures du reste de l'écoulement, car elle ne tient pas compte de la cohérence présente dans l'espace physique. Nous recherchons une technique de décomposition, à la fois en espace et en échelle, capable de détecter et d'analyser les structures cohérentes présentes dans les écoulements turbulents. Fig. L — Quatre exemples
forment spontanément au sein de ceux-ci, par un processus de blocage de phase, et survivent sur des échelles de temps bien supérieures au temps de retournement des tourbillons. Après une phase initiale où l'écoulement se condense en tourbillons cohérents, les transferts non linéaires ne sont plus actifs uniformément dans l'espace mais restent concentrés dans les couches limites qui se développent autour des tourbillons. L'écoulement peut alors être séparé entre ces structures cohérentes, qui de par leurs interactions mutuelles constituent sa partie dynamiquement active, et un écoulement résiduel passivement advecté par celles-ci. L'analyse de Fourier n'est pas adaptée pour extraire ces structures du reste de l'écoulement, car elle ne tient pas compte de la cohérence présente dans l'espace physique. Nous recherchons une technique de décomposition, à la fois en espace et en échelle, capable de détecter et d'analyser les structures cohérentes présentes dans les écoulements turbulents. Fig. L — Quatre exemples de fonctions analysatrices et comment elles se comportent vis-à-vis du principe d'incertitude (cf. cellules d'information de Gabor Ax.Afc = Cte). (a) Analyse spectrale à l'aide de la transformée de Fourier. À gauche : fonctions analysatrices trigonométriques. À droite : pas de résolution spatiale Ax, mais résolution optimale en échelle Ak. (b) Analyse spatiale à l'aide de l'échantillonnage de Shannon. À gauche : impulsions de Dirac comme fonctions analysatrices. À droite : résolution spatiale optimale, mais pas de résolution en échelle, (c) Analyse espace-échelle à l'aide de la transformée de Gabor (Fourier à fenêtre glissante). À gauche : fonctions analysatrices ayant une enveloppe gaussienne constante. À droite : mêmes résolutions en espace et en échelle quel que soit le nombre d'onde, (d) Analyse espace-échelle à l'aide de la transformée en ondelettes. À gauche : ondelettes analysatrices de forme constante. À droite : résolutions en espace et en échelle optimales, adaptées pour chaque nombre d'onde i. Fig. 1. — Four examples of analyzing functions and how they behave in terms of the uncertainty principle (cf. Gabor's information cells Ax. Ak = Const.). (a) Scale analysis using Fourier transform. Left: trigonometric analyzing functions. Right: no space resolution Ax, but optimal scale resolution Ak.
(b) Analyse spatiale à l'aide de l'échantillonnage de Shannon. À gauche : impulsions de Dirac comme fonctions analysatrices. À droite : résolution spatiale optimale, mais pas de résolution en échelle, (c) Analyse espace-échelle à l'aide de la transformée de Gabor (Fourier à fenêtre glissante). À gauche : fonctions analysatrices ayant une enveloppe gaussienne constante. À droite : mêmes résolutions en espace et en échelle quel que soit le nombre d'onde, (d) Analyse espace-échelle à l'aide de la transformée en ondelettes. À gauche : ondelettes analysatrices de forme constante. À droite : résolutions en espace et en échelle optimales, adaptées pour chaque nombre d'onde i. Fig. 1. — Four examples of analyzing functions and how they behave in terms of the uncertainty principle (cf. Gabor's information cells Ax. Ak = Const.). (a) Scale analysis using Fourier transform. Left: trigonometric analyzing functions. Right: no space resolution Ax, but optimal scale resolution Ak. (b) Space analysis using Shannon sampling. Left: Dirac pulses as analyzing functions. Right: optimal space resolution, but no scale resolution, (c) Space-scale analysis using Gabor (windowed Fourier) transform. Left: trigonometric analyzing functions with a constant gaussian envelope. Right: same space and scale resolutions irrespectivement of the wave number. (d) Space-scale analysis using wavelet transform. Left: wavelet analyzing functions of constant shape. Right: optimal space and scale resolutions, adapted for each wave number i. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1479-1486, 1988 Bidimensionnels. Nous avons ainsi été conduits à utiliser la transformée en ondelettes, récemment développée par Morlet, Grossmann et Meyer ([4], [5], [6]). 2. DÉCOMPOSITION ESPACE-ÉCHELLE À L'AIDE DE LA TRANSFORMÉE EN ONDELETTES. — Toute transformée réalise une correspondance entre l'espace physique x et l'espace spectral k, en convoluant le signal à analyser / avec une fonction analysatrice donnée v|/. La figure 1 montre quatre exemples de fonctions analysatrices différentes, adaptées soit à une décomposition en échelle (1a), soit à une décomposition spatiale (1b), soit aux deux (1c et 1d); le diagramme espace-échelle (| x |, | k |) nous montre que la transformée en ondelettes réalise un compromis optimal entre une résolution spatiale Ax et
analysis using wavelet transform. Left: wavelet analyzing functions of constant shape. Right: optimal space and scale resolutions, adapted for each wave number i. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1479-1486, 1988 Bidimensionnels. Nous avons ainsi été conduits à utiliser la transformée en ondelettes, récemment développée par Morlet, Grossmann et Meyer ([4], [5], [6]). 2. DÉCOMPOSITION ESPACE-ÉCHELLE À L'AIDE DE LA TRANSFORMÉE EN ONDELETTES. — Toute transformée réalise une correspondance entre l'espace physique x et l'espace spectral k, en convoluant le signal à analyser / avec une fonction analysatrice donnée v|/. La figure 1 montre quatre exemples de fonctions analysatrices différentes, adaptées soit à une décomposition en échelle (1a), soit à une décomposition spatiale (1b), soit aux deux (1c et 1d); le diagramme espace-échelle (| x |, | k |) nous montre que la transformée en ondelettes réalise un compromis optimal entre une résolution spatiale Ax et une résolution en échelle Ak, conformément au principe d'incertitude donné par la relation de Nyquist Ax. Ak = Cte. La transformée en ondelettes utilise des fonctions (fig. 1d) ne présentant que quelques oscillations à l'intérieur d'une enveloppe gaussienne, que l'on translate (paramètre b) et dilate (paramètre a), ce qui donne la décomposition suivante : EXPLICATIONS DES PLANCHES I ET II Fig. 3. — Décomposition en ondelettes (2, module; 3, phase) d'une coupe unidimensionnelle (1) obtenue à partir d'un champ de vorticité bidimensionnel. Le paramètre de translation b (donné sur 512 points) est porté en abscisse et le logarithme du paramètre de dilatation a (donné sur 8 octaves avec 5 points par octave) est porté en ordonnée, (a) État de l'écoulement proche de l'instant initial, après un temps de retournement des tourbillons : les structures cohérentes ne se sont pas encore formées, (b) État tardif de l'écoulement, après 100 temps de retournement des tourbillons : condensation du champ de vorticité en une structure cohérente isolée, les plus petites échelles se trouvant concentrées dans le noyau de ce tourbillon. Fig. 3. — Wavelet decomposition (2, modulus; 3, phase) of a one-dimensional section (1) from a two-dimensional vorticity field. The translation parameter b
la décomposition suivante : EXPLICATIONS DES PLANCHES I ET II Fig. 3. — Décomposition en ondelettes (2, module; 3, phase) d'une coupe unidimensionnelle (1) obtenue à partir d'un champ de vorticité bidimensionnel. Le paramètre de translation b (donné sur 512 points) est porté en abscisse et le logarithme du paramètre de dilatation a (donné sur 8 octaves avec 5 points par octave) est porté en ordonnée, (a) État de l'écoulement proche de l'instant initial, après un temps de retournement des tourbillons : les structures cohérentes ne se sont pas encore formées, (b) État tardif de l'écoulement, après 100 temps de retournement des tourbillons : condensation du champ de vorticité en une structure cohérente isolée, les plus petites échelles se trouvant concentrées dans le noyau de ce tourbillon. Fig. 3. — Wavelet decomposition (2, modulus; 3, phase) of a one-dimensional section (1) from a two-dimensional vorticity field. The translation parameter b (given on 512 points) is shown in abscissa and the logarithm of the dilation parameter a (given on 8 octaves with 5 points by octave) is shown in ordinate, (a) Early stage of the flow, after one eddy turn-over time: the coherent structures are not yet formed. (b) Later stage of the flow, after 100 eddy turn-over times: condensation of the vorticity field into one isolated coherent structure, the smallest scales being concentrated inside the vortex core. Fig. 2. — (a) Ondelette complexe de Morlet : partie réelle et partie imaginaire ( ). (b) Transformée de Fourier de l'ondelette de Morlet (module). Fig. 2. — (a) Morlet complex wavelet: real part and imaginary part . (b) Fourier transform of the Morlet wavelet (modulus). PLANCHE 1/PLATE I MARIE FARGE C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II PLANCHE II/PLATE II C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1479-1486, 1988 |/*, le conjugué complexe de v|/, avec C (|/) = 2 7t | / (x) |2 dx et |/ la transformée de Fourier de v|/. Jjc = — co La transformée en ondelettes vérifie également la relation de Parseval, c'est-à-dire la conservation de l'énergie, telle que : La
of the flow, after 100 eddy turn-over times: condensation of the vorticity field into one isolated coherent structure, the smallest scales being concentrated inside the vortex core. Fig. 2. — (a) Ondelette complexe de Morlet : partie réelle et partie imaginaire ( ). (b) Transformée de Fourier de l'ondelette de Morlet (module). Fig. 2. — (a) Morlet complex wavelet: real part and imaginary part . (b) Fourier transform of the Morlet wavelet (modulus). PLANCHE 1/PLATE I MARIE FARGE C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II PLANCHE II/PLATE II C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1479-1486, 1988 |/*, le conjugué complexe de v|/, avec C (|/) = 2 7t | / (x) |2 dx et |/ la transformée de Fourier de v|/. Jjc = — co La transformée en ondelettes vérifie également la relation de Parseval, c'est-à-dire la conservation de l'énergie, telle que : La transformée en ondelettes est particulièrement adaptée à l'analyse des signaux non périodiques, surtout s'ils présentent des comportements transitoires complexes, voire des singularités, la seule condition étant que ceux-ci soient d'énergie finie; en effet, elle permet de mesurer localement la régularité holderienne du signal, voire donne l'ordre d'une éventuelle singularité, ce qui est important pour analyser les écoulements turbulents. On peut choisir différentes ondelettes, soit continues, soit discrètes, à la condition toutefois que : leur moyenne soit nulle, leur énergie finie et que leur transformée de Fourier existe. Nous utiliserons ici l'ondelette de Morlet (fig. 2) [6], qui est continue et à valeur complexe, donnant ainsi un module et une phase dans l'espace spectral. Nous verrons que les lignes d'isophase ont la propriété de converger sur les parties les plus irrégulières du signal, tandis que le module montre la répartition en échelle de la densité d'énergie. 3. APPLICATION. — La décomposition en ondelettes d'un signal unidimensionnel donne un espace spectral bidimensionnel; on indique l'espace en abscisse (paramètre de translation b) et le logarithme de l'échelle en ordonnée (paramètre de dilatation a). Bien que notre but soit d'analyser en ondelettes des champs turbulents bidimensionnels, auxquels correspond un espace spectral quadridimensionnel, nous allons