jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
randomized, they become statistically independent. It has also been verified that for most volcanoes, including the Piton de la Fournaise, the length of the repose intervals (U) follows a hyperbolic distribution Pr(U>u) = TuD. We have applied this method to the Piton de la Fournaise volcano over two time intervals: 1930-1987 and 1950-1987. Ln x, - Ln x plots show that data points are aligned on two discrete straight lines for the 1-10 months and 10-48 months intervals respectively (Fig. 3, Table I). The corresponding D values are 0.45 and 0.67 indicating (Smalley et al., 1987) that for the 1-10 months intervals, repose period clusters are more isolated than for the longer intervals. The D values may also be used to estimate the probability that an interval of length U be larger or equal to ut (Mandelbrot, 1982). The cumulative number of repose periods Nu is given by N = N0K-D, where N0 is the total number of repose periods (Fig. 4). Eruption forecasting may be improved by introducing the concept of conditional probability: the probability that an eruption might occur in a given time interval (x) after the occurrence of a previous event. The probabilities corresponding to these precursors are estimated from observatory data: seismicity, differential magnetism, inclinometry, water and gas analyses, etc. Conditional probability is improved if the unconditional one (Aki, 1981) is replaced by the Cantor probability (Fig. 5, Table II). We have observed two different eruptive regimes: the first is in the interval class of 0 to 10 months, the second in the 10 to 48 months class. Figure 3 shows that a linear law fits the data well. A linearity test (Fisher test) will be applied to a group of basaltic volcanoes in a subsequent study. In the first interval class, the small D value indicates that eruptions occur in clusters. On the contrary, for longer intervals, the higher D points to a greater regularity. This last point will be addressed more fully in a later publication. We may compare these results with the cumulative curve of lava emission established by Lenat and Bachélery (1988)
are estimated from observatory data: seismicity, differential magnetism, inclinometry, water and gas analyses, etc. Conditional probability is improved if the unconditional one (Aki, 1981) is replaced by the Cantor probability (Fig. 5, Table II). We have observed two different eruptive regimes: the first is in the interval class of 0 to 10 months, the second in the 10 to 48 months class. Figure 3 shows that a linear law fits the data well. A linearity test (Fisher test) will be applied to a group of basaltic volcanoes in a subsequent study. In the first interval class, the small D value indicates that eruptions occur in clusters. On the contrary, for longer intervals, the higher D points to a greater regularity. This last point will be addressed more fully in a later publication. We may compare these results with the cumulative curve of lava emission established by Lenat and Bachélery (1988) for the Piton de la Fournaise. Lava production rates are generally interpreted in terms of a main magma chamber with or without secondary reservoirs. Replenishment and drainage (by eruptions) may occur at different rates for those two types of reservoirs. At the Piton de la Fournaise, the petrographic characteristics of the lava differ between sizeable eruptions (presumably fed from the chamber) occurring on the volcano flanks, or small-sized eruptions (presumably from secondary reservoirs) occurring in clusters in the summit area. The first type yields oceanites whereas the second gives mostly aphyric basalts. The two regimes observed, characterized by very different fractal dimensions, are directly related to the above-mentioned traits of the eruptive process. INTRODUCTION. — Pour prédire les éruptions d'un volcan, il est essentiel de comprendre la distribution de ses épisodes éruptifs dans le temps. Toutefois, l'examen de telles séquences montre en général une grande irrégularité qui semble échapper à toute quantification (si l'on excepte quelques volcans bien connus, comme le Stromboli avec ses explosions régulières). Des distributions statistiques ont été proposées par Wickman (1966, 1976) et par Carta et coll. (1981). Ces auteurs considèrent que, pour certains volcans, les intervalles de temps entre éruptions successives (repos) sont distribués suivant
the lava differ between sizeable eruptions (presumably fed from the chamber) occurring on the volcano flanks, or small-sized eruptions (presumably from secondary reservoirs) occurring in clusters in the summit area. The first type yields oceanites whereas the second gives mostly aphyric basalts. The two regimes observed, characterized by very different fractal dimensions, are directly related to the above-mentioned traits of the eruptive process. INTRODUCTION. — Pour prédire les éruptions d'un volcan, il est essentiel de comprendre la distribution de ses épisodes éruptifs dans le temps. Toutefois, l'examen de telles séquences montre en général une grande irrégularité qui semble échapper à toute quantification (si l'on excepte quelques volcans bien connus, comme le Stromboli avec ses explosions régulières). Des distributions statistiques ont été proposées par Wickman (1966, 1976) et par Carta et coll. (1981). Ces auteurs considèrent que, pour certains volcans, les intervalles de temps entre éruptions successives (repos) sont distribués suivant une loi statistique unique simple (distributions exponentielles), que pour d'autres il faut considérer différents états d'activité du volcan et qu'à chaque état d'activité correspond une distribution exponentielle. Ces méthodes ne sont évidemment applicables que si l'on dispose d'une série assez longue de données. Il y a pour le Piton de la Fournaise une série d'observations assez complète d'un nombre important d'éruptions (plus important que dans le cas du Vésuve, par exemple, étudié par Carta et coll., 1981). Étant donné le caractère très irrégulier de la séquence et de la durée des périodes de repos et d'activité du volcan, l'application d'une analyse fractale à ces événements paraît bien adaptée. Ce type d'analyse a été récemment appliqué à des séquences sismiques par Smalley et coll. (1987). Nous reprenons ici leur méthode. MÉTHODE D'ANALYSE. — Rappelons le modèle de la poussière de Cantor utilisé par Smalley et coll. (1987), appelé également ensemble triadique de Cantor (Berge et coll. 1984). On part d'un intervalle [0, 1], on retire le tiers médian en laissant les deux segments adjacents de longueur 1/3 (fig. 1). On continue l'opération à l'ordre supérieur, c'est-à-dire qu'on divise chacun des deux segments pleins en trois et qu'on enlève ensuite le tiers
la Fournaise une série d'observations assez complète d'un nombre important d'éruptions (plus important que dans le cas du Vésuve, par exemple, étudié par Carta et coll., 1981). Étant donné le caractère très irrégulier de la séquence et de la durée des périodes de repos et d'activité du volcan, l'application d'une analyse fractale à ces événements paraît bien adaptée. Ce type d'analyse a été récemment appliqué à des séquences sismiques par Smalley et coll. (1987). Nous reprenons ici leur méthode. MÉTHODE D'ANALYSE. — Rappelons le modèle de la poussière de Cantor utilisé par Smalley et coll. (1987), appelé également ensemble triadique de Cantor (Berge et coll. 1984). On part d'un intervalle [0, 1], on retire le tiers médian en laissant les deux segments adjacents de longueur 1/3 (fig. 1). On continue l'opération à l'ordre supérieur, c'est-à-dire qu'on divise chacun des deux segments pleins en trois et qu'on enlève ensuite le tiers médian de chacun des segments, et ainsi de suite pour les ordres suivants. Cet ensemble d'opérations donne des segments de plus en plus fins qui constituent une poussière de Cantor. On peut quantifier cette fragmentation par sa dimension fractale D. Étant donné le nombre N d'objets de taille ut, de rang i, on a Nj= 1/3. Dans l'exemple choisi Nj+1/Nj = 2 et Mj+1/Hj = 1/3. On peut également considérer la fraction xt de pas de longueur ut qui contient de la poussière (ici il s'agit du domaine temporel et les éruptions sont les segments — noirs — de la poussière telle que nous l'avons définie). La relation entre xt et ut s'établit ainsi : Nj=xtL, Nj+1 Mj+1 = xt+1 L, L étant la longueur du segment initial. Dans le cas considéré, d'où D = Log 2/Log 3 = 0,6309. On peut généraliser la fragmentation en faisant varier les deux rapports Nj+1/Nj et ut+1/ut (fis2). D varie entre 0 et 1 : lorsqu'on ne garde qu'un seul segment plein, D = 0, dimension euclidienne du point, et lorsqu'on garde tous les segments pleins, D = 1, dimension euclidienne du segment. Enfin, partant d'une approximation tronquée de la poussière de Cantor
rang i, on a Nj= 1/3. Dans l'exemple choisi Nj+1/Nj = 2 et Mj+1/Hj = 1/3. On peut également considérer la fraction xt de pas de longueur ut qui contient de la poussière (ici il s'agit du domaine temporel et les éruptions sont les segments — noirs — de la poussière telle que nous l'avons définie). La relation entre xt et ut s'établit ainsi : Nj=xtL, Nj+1 Mj+1 = xt+1 L, L étant la longueur du segment initial. Dans le cas considéré, d'où D = Log 2/Log 3 = 0,6309. On peut généraliser la fragmentation en faisant varier les deux rapports Nj+1/Nj et ut+1/ut (fis2). D varie entre 0 et 1 : lorsqu'on ne garde qu'un seul segment plein, D = 0, dimension euclidienne du point, et lorsqu'on garde tous les segments pleins, D = 1, dimension euclidienne du segment. Enfin, partant d'une approximation tronquée de la poussière de Cantor (Mandelbrot, 1963), si l'on bat au hasard (ou « randomise ») l'ordre des intermissions (intervals entre deux événements) on les rend statistiquement indépendantes les unes des autres. Mandelbrot montre que, dans ces conditions, le nombre N des intermissions dont la longueur est supérieure ou égale à ut est N = N0ut~D où N0 est le nombre total d'intermissions dans la période analysée. On vérifie bien que pour la plupart des volcans dont le Piton de la Fournaise, les longueurs ut des intermissions satisfont à la distribution hyperbolique Pr(ut) = ut~D. LES DONNÉES RELATIVES À L'ACTIVITÉ DU PITON DE LA FOURNAISE. — On dispose de données depuis 1644; la description précise des périodes d'activité ne date toutefois que de 1930. C'est alors en effet que le suivi de l'activité du volcan a été renforcé suivant les recommandations d'A. Lacroix. L'analyse fractale présentée ici porte sur l'intervalle [1er janvier 1930-31 décembre 1987], soit 58 années pendant lesquelles 64 éruptions ont été répertoriées, dont les durées ont varié de quelques heures à 8 mois (Bénard et Krafft, 1986). La qualité des observations s'étant nettement améliorée depuis 1950, nous avons fait deux analyses, l'une portant sur l'intervalle 1930-1987, l'autre sur l'intervalle 1950-1987. Nous verrons
N0ut~D où N0 est le nombre total d'intermissions dans la période analysée. On vérifie bien que pour la plupart des volcans dont le Piton de la Fournaise, les longueurs ut des intermissions satisfont à la distribution hyperbolique Pr(ut) = ut~D. LES DONNÉES RELATIVES À L'ACTIVITÉ DU PITON DE LA FOURNAISE. — On dispose de données depuis 1644; la description précise des périodes d'activité ne date toutefois que de 1930. C'est alors en effet que le suivi de l'activité du volcan a été renforcé suivant les recommandations d'A. Lacroix. L'analyse fractale présentée ici porte sur l'intervalle [1er janvier 1930-31 décembre 1987], soit 58 années pendant lesquelles 64 éruptions ont été répertoriées, dont les durées ont varié de quelques heures à 8 mois (Bénard et Krafft, 1986). La qualité des observations s'étant nettement améliorée depuis 1950, nous avons fait deux analyses, l'une portant sur l'intervalle 1930-1987, l'autre sur l'intervalle 1950-1987. Nous verrons que les valeurs de D correspondantes ne diffèrent pas. Tout segment ut qui tombe ou empiète sur une période d'activité sera compté comme contenant « de la poussière de Cantor » (plusieurs segments successifs pourront être intéressés par une même éruption de durée supérieure à ut). Le tableau I donne les rapports xt pour tous les ut variant de 1 à 48 mois. Sur la figure 3, on a porté Log xt en fonction de Log ut. Les points s'alignent sur deux droites distinctes dans les intervalles 1 &lt; ut &lt; 10 mois d'une part, 10 &lt; ut &lt; 48 mois d'autre part. Les pentes de ces droites, respectivement m = 0,550 et m = 0,333, permettent de calculer les valeurs de D dans chacun des intervalles, soit D = 0,450 ±0,009 et D = 0,667 ±0,031. PROBABILITÉS D'ÉRUPTIONS. — Suivant Mandelbrot (1982), on a représenté sur la figure 4 le nombre cumulé des intermissions dont le nombre total est de 64 dans la période considérée. Nous les avons rangées par classes de durée allant de 0 à 36 mois. Il y a ainsi 53 intermissions de durée supérieure ou égale à 1 mois, 27 de durée supérieure ou égale
les rapports xt pour tous les ut variant de 1 à 48 mois. Sur la figure 3, on a porté Log xt en fonction de Log ut. Les points s'alignent sur deux droites distinctes dans les intervalles 1 &lt; ut &lt; 10 mois d'une part, 10 &lt; ut &lt; 48 mois d'autre part. Les pentes de ces droites, respectivement m = 0,550 et m = 0,333, permettent de calculer les valeurs de D dans chacun des intervalles, soit D = 0,450 ±0,009 et D = 0,667 ±0,031. PROBABILITÉS D'ÉRUPTIONS. — Suivant Mandelbrot (1982), on a représenté sur la figure 4 le nombre cumulé des intermissions dont le nombre total est de 64 dans la période considérée. Nous les avons rangées par classes de durée allant de 0 à 36 mois. Il y a ainsi 53 intermissions de durée supérieure ou égale à 1 mois, 27 de durée supérieure ou égale à 6 mois et 3 de durée supérieure ou égale à 36 mois (fig. 4). Connaissant D, on peut calculer la probabilité pour que la durée ut d'une intermission soit supérieure ou égale à l'intervalle de temps ut : Pr(ut) = ut~D. La courbe N=N0ut~D s'ajoute bien à la courbe observée des intermissions cumulées avec D=0,45 pour 0&lt;ut&lt; 10 mois et D = 0,67 pour 10 &lt; ut &lt; 48 mois. Après cette analyse du comportement du volcan depuis 1930, on peut donner la valeur de la probabilité de la durée des périodes de calme. Ainsi, au moment de l'arrêt d'une phase eruptive, on peut dire que la probabilité pour que le volcan reste calme pendant 2 mois est P=0,73, pendant 1 an P=0,18 et pendant 3 ans P=0,08. Comparons ces résultats à ceux que l'on obtiendrait en calculant la probabilité inconditionnelle définie par Aki (1981). On appelle fréquence moyenne d'éruptions le taux de déclenchements d'éruptions par unité de temps, p0 = N/T, N étant le nombre d'éruptions pendant la période T. Pour un intervalle x, la probabilité inconditionnelle d'éruption est P=.PoT = TN/T (N = 64, T = 58 ans dans le cas étudié ici). La probabilité inconditionnelle pour
observée des intermissions cumulées avec D=0,45 pour 0&lt;ut&lt; 10 mois et D = 0,67 pour 10 &lt; ut &lt; 48 mois. Après cette analyse du comportement du volcan depuis 1930, on peut donner la valeur de la probabilité de la durée des périodes de calme. Ainsi, au moment de l'arrêt d'une phase eruptive, on peut dire que la probabilité pour que le volcan reste calme pendant 2 mois est P=0,73, pendant 1 an P=0,18 et pendant 3 ans P=0,08. Comparons ces résultats à ceux que l'on obtiendrait en calculant la probabilité inconditionnelle définie par Aki (1981). On appelle fréquence moyenne d'éruptions le taux de déclenchements d'éruptions par unité de temps, p0 = N/T, N étant le nombre d'éruptions pendant la période T. Pour un intervalle x, la probabilité inconditionnelle d'éruption est P=.PoT = TN/T (N = 64, T = 58 ans dans le cas étudié ici). La probabilité inconditionnelle pour qu'un intervalle de repos (ou intermission) soit de durée supérieure ou égale à x est F = 1 — P=1 — xN/T. Le tableau II et la figure 5 donnent les deux courbes de probabilité, celle de « Cantor » et celle d'Aki. On peut améliorer la prévision des éruptions en introduisant la notion de probabilité conditionnelle, c'est la probabilité qu'une éruption se déclenche dans un intervalle de temps donné de durée x sous la condition qu'un précurseur existe. Les probabilités liées à ces précurseurs sont en principe estimées grâce aux données des observatoires volcanologiques : sismicité, magnétisme différentiel, inclinométrie, analyse des eaux et des gaz, etc. Il en résulte un gain de probabilité selon la définition de Aki (1981). Cette probabilité conditionnelle sera améliorée si l'on remplace la probabilité inconditionnelle de Aki par la probabilité « de Cantor ». INTERPRÉTATIONS. — Nous avons observé deux régimes différents, l'un dans la classe d'intervalles [0-10 mois], l'autre dans la classe d'intervalles [10-48 mois]. Le choix d'une loi linéaire paraît évident sur la figure 3. Toutefois un test de linéarité (test de Fisher) sera appliqué dans une étude ultérieure concernant un groupe de volcans basaltiques. Dans la première classe d'intervalles la faible
en introduisant la notion de probabilité conditionnelle, c'est la probabilité qu'une éruption se déclenche dans un intervalle de temps donné de durée x sous la condition qu'un précurseur existe. Les probabilités liées à ces précurseurs sont en principe estimées grâce aux données des observatoires volcanologiques : sismicité, magnétisme différentiel, inclinométrie, analyse des eaux et des gaz, etc. Il en résulte un gain de probabilité selon la définition de Aki (1981). Cette probabilité conditionnelle sera améliorée si l'on remplace la probabilité inconditionnelle de Aki par la probabilité « de Cantor ». INTERPRÉTATIONS. — Nous avons observé deux régimes différents, l'un dans la classe d'intervalles [0-10 mois], l'autre dans la classe d'intervalles [10-48 mois]. Le choix d'une loi linéaire paraît évident sur la figure 3. Toutefois un test de linéarité (test de Fisher) sera appliqué dans une étude ultérieure concernant un groupe de volcans basaltiques. Dans la première classe d'intervalles la faible valeur de D indique une tendance au groupement des éruptions (rafales) tandis que pour les intervalles plus longs la plus grande valeur de D indique une tendance à une plus grande régularité. Cette dernière notion nécessitera une analyse approfondie. On peut rapprocher ces observations du schéma des émissions cumulées de laves établi par Lenat et Bachélery (1988) pour le volcan. Une interprétation courante des débits de lave observés est de supposer l'existence d'une chambre magmatique, avec ou sans réservoirs secondaires, dont le remplissage et la vidange se feraient avec des débits différents. On remarque en effet que la nature pétrographique des laves change suivant qu'on a affaire à des éruptions importantes (provenant de la chambre) prenant naissance généralement sur les flancs du volcan, (on a alors des océanites), ou à des éruptions de petit volume (provenant de réservoirs) se produisant en « rafales » (dans le sens donné par Mandelbrot) dans la région sommitale. Les deux régimes observés, caractérisés chacun par une valeur très différente de la dimension fractale, sont liés à ces deux aspects caractéristiques de processus éruptif du Piton de la Fournaise. Une analyse semblable sur les cycles éruptifs d'Hawaii (en préparation) montre une grande analogie avec ceux
laves établi par Lenat et Bachélery (1988) pour le volcan. Une interprétation courante des débits de lave observés est de supposer l'existence d'une chambre magmatique, avec ou sans réservoirs secondaires, dont le remplissage et la vidange se feraient avec des débits différents. On remarque en effet que la nature pétrographique des laves change suivant qu'on a affaire à des éruptions importantes (provenant de la chambre) prenant naissance généralement sur les flancs du volcan, (on a alors des océanites), ou à des éruptions de petit volume (provenant de réservoirs) se produisant en « rafales » (dans le sens donné par Mandelbrot) dans la région sommitale. Les deux régimes observés, caractérisés chacun par une valeur très différente de la dimension fractale, sont liés à ces deux aspects caractéristiques de processus éruptif du Piton de la Fournaise. Une analyse semblable sur les cycles éruptifs d'Hawaii (en préparation) montre une grande analogie avec ceux du Piton de la Fournaise (mêmes valeurs de D entre 0 et 10 mois et entre 10 et 48 mois); pour l'Etna, en revanche, une seule valeur de D, de l'ordre de 0,8, vaut pour tout l'intervalle [0-24 mois], traduisant ainsi la grande régularité des cycles éruptifs de ce volcan. Fig. 4. — Cumulative repose periods Nia. Theoretical curves N = N0M~ 045 and N = N0 u' 067 in the repose periods with observed values. Fig. 5. — Probabilité inconditionnelle d'Aki appliquée aux périodes de repos du Piton de la Fournaise (droite), probabilité de « Cantor » résultant de notre analyse. Fig. 5. — Unconditional probability of Aki corresponding to the repose periods of Piton de la Fournaise (straight) and our "Cantor" probability. Pédologie/Pedology Équation générale des courbes de retrait d'échantillons de sol structures Erik BRAUDEAU Résumé — Un modèle du « fonctionnement structural d'un échantillon de sol avec la variation de la teneur en eau », a été établi pour être confronté aux courbes de retrait expérimentales mesurées en continu par une méthode récente [4]. Il est basé sur trois hypothèses qui définissent les deux systèmes de porosité micro-et macroscopiques du sol, et permet la quantification des volumes
Fig. 4. — Cumulative repose periods Nia. Theoretical curves N = N0M~ 045 and N = N0 u' 067 in the repose periods with observed values. Fig. 5. — Probabilité inconditionnelle d'Aki appliquée aux périodes de repos du Piton de la Fournaise (droite), probabilité de « Cantor » résultant de notre analyse. Fig. 5. — Unconditional probability of Aki corresponding to the repose periods of Piton de la Fournaise (straight) and our "Cantor" probability. Pédologie/Pedology Équation générale des courbes de retrait d'échantillons de sol structures Erik BRAUDEAU Résumé — Un modèle du « fonctionnement structural d'un échantillon de sol avec la variation de la teneur en eau », a été établi pour être confronté aux courbes de retrait expérimentales mesurées en continu par une méthode récente [4]. Il est basé sur trois hypothèses qui définissent les deux systèmes de porosité micro-et macroscopiques du sol, et permet la quantification des volumes d'eau, d'air et de pores répartis dans ces deux systèmes en fonction de la teneur en eau de l'échantillon. General shrinkage curve equation for undisturbed soil samples Abstract — A model for the structural behaviour of a soil sample with varying moisture content was constructed and compared with the experimental shrinkage curves that were measured automatically according to a recent method [4]. It is based on three hypotheses that define the two functional micro- and macroscopic Systems of soil porosity. It is then shown that this model, which provides very good fits for the overall shrinkage curve, is governed by the same parametric equation regardless of the texture (clay or sandy-clay) of the ferralitic soil samples studied. Major properties of the structural behaviour of these soil samples are derived that allow quantification of the water, air and pore volumes of both porosity Systems according to moisture content. INTRODUCTION. — Bien que la courbe de retrait soit de plus en plus utilisée pour l'analyse et le suivi des propriétés physiques du sol [1], sa formulation mathématique n'est établie que partiellement et avec une précision trop insuffisante aux environs des points de transition de phase de retrait, pour décider d'un modèle continu