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aucun indice d'interprétation de nos résultats. Il faut s'attendre à ce que cette tentative d'interprétation ne soit qu'une première approximation, probablement très grossière car le rôle moteur des forces de poussée est distribué par la force de Coriolis entre les trois composantes de vitesse, ce qui conduit à une hydrodynamique nécessairement tridimensionnelle dont la structure est qualitativement différente selon que |g0|<|Q2R| ou |g0|>|Q2R|. À l'examen des ordres de grandeur, on constate que la force de Coriolis peut être tout à fait comparable à la force de poussée [7]. IV. CONCLUSIONS. — Les expériences décrites ici contribuent au faisceau de preuves expérimentales du rôle spécifique joué par l'accélération centrifuge lors de la solidification. En outre, elles montrent, en accord avec les travaux déjà publiés, que la gravité artificielle peut être un paramètre ajustable de la cristallogenèse. En optimisant la valeur de Q2 R, il doit être possible d'améliorer la qualité cristalline d'un lingot. Un nombre plus important d'expériences, faisant varier les paramètres géométriques et d'accélérations sera nécessaire pour aboutir à une interprétation satisfaisante des résultats présentés et à une maîtrise de la procédure de croissance. Il reste toutefois à s'assurer de la reproductibilité de ces expériences et une exploration dans le domaine des accélérations plus élevées est aussi indispensable. Bien que les conditions de gravité réduite présentent, entre autres, l'avantage de pouvoir réaliser des croissances cristallines sans creuset, nous pouvons cependant conclure que les études de cristallogenèse à forte gravité se révèlent être un outil puissant pour la compréhension des mouvements convectifs dans la phase fluide et qu'une centrifugeuse peut devenir un instrument industriel pour la production de matériaux de haute valeur technologique. Je remercie Monsieur le professeur G. Labrosse pour les discussions fructueuses que nous avons eues. Cette étude est partiellement soutenue par le C.N.E.S. Note reçue le 6 juin 1988, acceptée le 6 juillet 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] G. MÜLLER, E. SCHMIDT et P. KYR, J. Cryst. Growth, 49, 1980, p. 387-395. [2] G. MÜLLER et G. NEUMANN, J. Cryst. Growth, 59, 1982, p. 548-555. [3] G. MÜLLER et G. NEUMANN, J. Cryst. Growth, 63, 1983, p. 58-66. [4]
domaine des accélérations plus élevées est aussi indispensable. Bien que les conditions de gravité réduite présentent, entre autres, l'avantage de pouvoir réaliser des croissances cristallines sans creuset, nous pouvons cependant conclure que les études de cristallogenèse à forte gravité se révèlent être un outil puissant pour la compréhension des mouvements convectifs dans la phase fluide et qu'une centrifugeuse peut devenir un instrument industriel pour la production de matériaux de haute valeur technologique. Je remercie Monsieur le professeur G. Labrosse pour les discussions fructueuses que nous avons eues. Cette étude est partiellement soutenue par le C.N.E.S. Note reçue le 6 juin 1988, acceptée le 6 juillet 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] G. MÜLLER, E. SCHMIDT et P. KYR, J. Cryst. Growth, 49, 1980, p. 387-395. [2] G. MÜLLER et G. NEUMANN, J. Cryst. Growth, 59, 1982, p. 548-555. [3] G. MÜLLER et G. NEUMANN, J. Cryst. Growth, 63, 1983, p. 58-66. [4] H. RODOT, L. L. REGEL, G. V. SARAFANOV, M. HAMIDI, I. V. VIDESKII et A. M. TURCHANINOV, J. Cryst. Growth, 79, 1986, p. 77-83. [5] L. REGEL dans Sciences des Matériaux dans l'Espace, Technique et Documentation Lavoisier éd., Paris, 1985, p. 127-144. [6] C. J. CHANG et R. A. BROWN, J. Cryst. Growth, 63, 1983, p. 343-364. [7] G. LABROSSE, Communication privée. Physique des Milieux condensés, U.A. n° 782, Université Pierre-et-Marie-Curie, Tour n° 13, E-4, 4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1151-1154, 1988 1151 Acoustique/Acoustics Identification d'un filtre récursif appliqué à un système d'absorption acoustique active Guy BILLOUD, Marie-Annick GALLAND et Michel SUNYACH Résumé — Cette étude concerne l'absorption acoustique active appliquée à des guides d'ondes planes ouverts. On aborde le problème particulier de l'identification des caractéristiques optimales du contrôleur électronique. On propose une nouvelle schématisation du système global qui conduit à élaborer une procédure systématique d'identification. Son application expérimentale permet d'obtenir une atténuation substantielle de bruits à large bande jusqu'à la fréquence de coupure du conduit. Characterization and use of a recursive filter for noise control Abstract — This paper concerns active sound reduction in open ended ducts
J. Cryst. Growth, 63, 1983, p. 343-364. [7] G. LABROSSE, Communication privée. Physique des Milieux condensés, U.A. n° 782, Université Pierre-et-Marie-Curie, Tour n° 13, E-4, 4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1151-1154, 1988 1151 Acoustique/Acoustics Identification d'un filtre récursif appliqué à un système d'absorption acoustique active Guy BILLOUD, Marie-Annick GALLAND et Michel SUNYACH Résumé — Cette étude concerne l'absorption acoustique active appliquée à des guides d'ondes planes ouverts. On aborde le problème particulier de l'identification des caractéristiques optimales du contrôleur électronique. On propose une nouvelle schématisation du système global qui conduit à élaborer une procédure systématique d'identification. Son application expérimentale permet d'obtenir une atténuation substantielle de bruits à large bande jusqu'à la fréquence de coupure du conduit. Characterization and use of a recursive filter for noise control Abstract — This paper concerns active sound reduction in open ended ducts and presents a systematic means of finding optimal magnitudes for the electronic controller parameters. The technique is successfully applied to achieve broad band noise cancellation below the first cutoff frequency. L'absorption acoustique active dans les conduits de faible longueur présente un grand intérêt. Ses applications sont nombreuses et concernent en particulier tout le domaine des systèmes de ventilation. Dans ce type d'installation (fig. 1), on ne peut pas éviter la sensibilité du détecteur aux ondes de contre-bruit. Comme on l'a montré précédemment [1], le contrôle doit alors être effectué par un filtre récursif. Nous présentons ici plusieurs démarches qui permettent de déterminer les coefficients de ce filtre, de manière systématique. NOUVELLE CONCEPTION DU FILTRE. — Lors d'une première approche [1], on a montré comment on pouvait considérer le contrôleur comme un filtre devant réaliser globalement une fonction de transfert optimale H. H est alors exprimée à partir de trois fonctions de transfert mesurables : H0(f) fonction de transfert entre le capteur de contrôle et le détecteur, la source primaire étant seule en activité. CORRECTION ### La poussée d'Archimède est ici la seule force motrice capable d'engendrer un tel écoulement. Elle est associée à la gravité g0 et à la force
particulier tout le domaine des systèmes de ventilation. Dans ce type d'installation (fig. 1), on ne peut pas éviter la sensibilité du détecteur aux ondes de contre-bruit. Comme on l'a montré précédemment [1], le contrôle doit alors être effectué par un filtre récursif. Nous présentons ici plusieurs démarches qui permettent de déterminer les coefficients de ce filtre, de manière systématique. NOUVELLE CONCEPTION DU FILTRE. — Lors d'une première approche [1], on a montré comment on pouvait considérer le contrôleur comme un filtre devant réaliser globalement une fonction de transfert optimale H. H est alors exprimée à partir de trois fonctions de transfert mesurables : H0(f) fonction de transfert entre le capteur de contrôle et le détecteur, la source primaire étant seule en activité. CORRECTION ### La poussée d'Archimède est ici la seule force motrice capable d'engendrer un tel écoulement. Elle est associée à la gravité g0 et à la force centrifuge Q. 2 R qui s'exercent sur un milieu de masse volumique hétérogène. L'effet moteur de cette poussée se mesure avec le nombre de Rayleigh sans dimension : dans lequel fj est le coefficient d'expansion thermique, k et v sont respectivement la diffusivité thermique et la viscosité cinématique du fluide, AT/r est le gradient radial 1150 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1147-1150, 1988 de stabilisant (r étant le rayon de l'ampoule); R est le rayon de gyration moyen de l'ampoule et £1 est la vitesse angulaire de rotation de la centrifugeuse. La première tentative d'interprétation qui peut être faite consiste à ne considérer l'hydrodynamique du problème que sous son aspect thermique. Alors, deux autres paramètres suffisent pour le décrire complètement, à H1(f) [respectivement H2(f)] fonction de transfert entre le détecteur (respectivement le capteur de contrôle) et le signal envoyé à la source de contre-bruit, la source primaire étant à l'arrêt. Ainsi, Fig. 1 Fig. 2 Note présentée par Robert DAUTRAY. 0249-6305/88/03071151 $ 2.00 © Académie des Sciences 1152 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1151-1154, 1988 Fig. 3 Une telle façon de procéder conduit nécessairement à une approche fréquentielle du filtre
AT/r est le gradient radial 1150 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1147-1150, 1988 de stabilisant (r étant le rayon de l'ampoule); R est le rayon de gyration moyen de l'ampoule et £1 est la vitesse angulaire de rotation de la centrifugeuse. La première tentative d'interprétation qui peut être faite consiste à ne considérer l'hydrodynamique du problème que sous son aspect thermique. Alors, deux autres paramètres suffisent pour le décrire complètement, à H1(f) [respectivement H2(f)] fonction de transfert entre le détecteur (respectivement le capteur de contrôle) et le signal envoyé à la source de contre-bruit, la source primaire étant à l'arrêt. Ainsi, Fig. 1 Fig. 2 Note présentée par Robert DAUTRAY. 0249-6305/88/03071151 $ 2.00 © Académie des Sciences 1152 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1151-1154, 1988 Fig. 3 Une telle façon de procéder conduit nécessairement à une approche fréquentielle du filtre récursif. L'identification de ses coefficients est alors effectuée avec une contrainte de stabilité. Nous ne connaissons pas de méthode générale adaptée à ce type de problème. Ces difficultés d'identification proviennent de la nature récursive du filtre à réaliser. Or, celle-ci est imposée par la sensibilité du détecteur aux ondes de contre-bruit. Si on parvient à retrancher du signal du détecteur une estimation correcte de la contribution de la source secondaire, le phénomène de bouclage électro-acoustique disparaît. Ceci peut être effectué à l'aide d'un filtre transversal B. Un second filtre transversal A est alors chargé de minimiser la pression au capteur de contrôle. Ceci conduit à structurer le filtre récursif comme indiqué sur la figure 2. Le module B doit donc être équivalent au module H1. Par suite, A doit modéliser le comportement du module — H0 en série avec un modèle inverse de H2. Cette démarche s'apparente à celle d'Eriksson[2], bien que la schématisation de ce dernier n'autorise pas l'équivalence immédiate de B et de H1. IDENTIFICATION DES FILTRES TRANSVERSAUX. — L'identification des filtres transversaux A et B peut être envisagée de différentes façons. La méthode classiquement utilisée est celle de la transformée de Fourier inverse. On obtient ainsi directement,
contre-bruit. Si on parvient à retrancher du signal du détecteur une estimation correcte de la contribution de la source secondaire, le phénomène de bouclage électro-acoustique disparaît. Ceci peut être effectué à l'aide d'un filtre transversal B. Un second filtre transversal A est alors chargé de minimiser la pression au capteur de contrôle. Ceci conduit à structurer le filtre récursif comme indiqué sur la figure 2. Le module B doit donc être équivalent au module H1. Par suite, A doit modéliser le comportement du module — H0 en série avec un modèle inverse de H2. Cette démarche s'apparente à celle d'Eriksson[2], bien que la schématisation de ce dernier n'autorise pas l'équivalence immédiate de B et de H1. IDENTIFICATION DES FILTRES TRANSVERSAUX. — L'identification des filtres transversaux A et B peut être envisagée de différentes façons. La méthode classiquement utilisée est celle de la transformée de Fourier inverse. On obtient ainsi directement, à partir de la mesure de la fonction de transfert que doit réaliser le filtre, la réponse impulsionnelle, c'est-à-dire les coefficients du filtre transversal. Ces coefficients sont définis dans un espace de temps centré sur le temps t = 0. Du fait de la convolution, on sait que les coefficients correspondant aux temps u négatifs vont pondérer, pour le calcul de la sortie s (t) du filtre, des valeurs de la fonction d'entrée e (t—u) postérieures à l'instant considéré : Cette propriété constitue un inconvénient majeur dans le cadre du traitement du signal en temps réel, où l'on ne peut utiliser que des valeurs e(t — u) antérieures à l'instant t. On ne peut donc conserver dans le résultat de la transformée de Fourier que les coefficients correspondant aux temps positifs ou nuls. Cette perte d'information peut perturber gravement la réponse du filtre. Dans le cas qui nous intéresse, les réponses impulsionnelles de A et B (fig. 3) associées respectivement à — H1(f)/H2(f) et H1(f) ont des valeurs non négligeables dans les temps négatifs, et la troncature évoquée plus haut risque de poser des problèmes. Cette limitation de la transformée de Fourier conduit à s'intéresser à d'autres méthodes, basées sur
correspondant aux temps u négatifs vont pondérer, pour le calcul de la sortie s (t) du filtre, des valeurs de la fonction d'entrée e (t—u) postérieures à l'instant considéré : Cette propriété constitue un inconvénient majeur dans le cadre du traitement du signal en temps réel, où l'on ne peut utiliser que des valeurs e(t — u) antérieures à l'instant t. On ne peut donc conserver dans le résultat de la transformée de Fourier que les coefficients correspondant aux temps positifs ou nuls. Cette perte d'information peut perturber gravement la réponse du filtre. Dans le cas qui nous intéresse, les réponses impulsionnelles de A et B (fig. 3) associées respectivement à — H1(f)/H2(f) et H1(f) ont des valeurs non négligeables dans les temps négatifs, et la troncature évoquée plus haut risque de poser des problèmes. Cette limitation de la transformée de Fourier conduit à s'intéresser à d'autres méthodes, basées sur des acquisitions temporelles des signaux. On ne caractérise plus un module par sa fonction de transfert, mais par le couple de fonctions temporelles que constituent ses signaux d'entrée et de sortie. Ainsi le rôle du module B est de donner, à partir de son signal d'entrée y (t), le signal P1(t) (fig. 4). On identifie les coefficients de B par la méthode du gradient de plus grande pente proposée par Widrow[3]. Cette méthode permet de déterminer directement le jeu de coefficients qui minimise l'erreur entre le signal de sortie désiré p1 et celui obtenu p1. Ces coefficients sont par définition limités aux temps u positifs [cf. (1)], contrairement au cas de la FFT inverse. S'agissant du module A, le problème est un peu plus délicat. On ne dispose pas dans ce cas de deux signaux mesurables qui permettent une identification directe comme précédemment. On doit en effet modéliser un chemin électro-acoustique qui fait intervenir l'inverse de H2 dont l'identification directe est difficile. Une solution pratique consiste alors à identifier un modèle de H2, soit H2, et à le placer en cascade avec A (fig. 5). Les coefficients de A sont alors optimisés pour que l'ensemble (A, H2) soit un modèle
P1(t) (fig. 4). On identifie les coefficients de B par la méthode du gradient de plus grande pente proposée par Widrow[3]. Cette méthode permet de déterminer directement le jeu de coefficients qui minimise l'erreur entre le signal de sortie désiré p1 et celui obtenu p1. Ces coefficients sont par définition limités aux temps u positifs [cf. (1)], contrairement au cas de la FFT inverse. S'agissant du module A, le problème est un peu plus délicat. On ne dispose pas dans ce cas de deux signaux mesurables qui permettent une identification directe comme précédemment. On doit en effet modéliser un chemin électro-acoustique qui fait intervenir l'inverse de H2 dont l'identification directe est difficile. Une solution pratique consiste alors à identifier un modèle de H2, soit H2, et à le placer en cascade avec A (fig. 5). Les coefficients de A sont alors optimisés pour que l'ensemble (A, H2) soit un modèle correct de — H0. Ainsi, A est bien un modèle de — H0/H2. La méthode du gradient de plus grande pente s'effectue alors d'une façon légèrement différente, comme le montre la figure 5. APPLICATION A L'INSTALLATION EXPÉRIMENTALE. — Les résultats de ces différentes méthodes ont été appliqués au système antibruit de la figure 1 pour le traitement de bruits à large bande. Le contrôleur électronique utilisé est un appareil réalisé au laboratoire équipé d'un microprocesseur spécialisé en traitement du signal, l'ADSP2100 d'« Analog Devices ». Sa fréquence d'échantillonnage est fixée à 4 kHz, et les modules A et B ont chacun 256 points. Les mesures de bruit sont effectuées par un analyseur de spectres «Hewlett-Packard 3582A ». L'atténuation ainsi obtenue est mesurée par comparaison des spectres de pression au capteur de contrôle, le système antibruit étant successivement en marche et à l'arrêt. Les deux démarches (FFT et méthode temporelle) ont été successivement appliquées pour la détermination des coefficients. C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 78 1154 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1151-1154, 1988 L'identification par transformée de Fourier inverse des coefficients du module B s'est révélée insuffisante. Le signal x (fig. 2)
de la figure 1 pour le traitement de bruits à large bande. Le contrôleur électronique utilisé est un appareil réalisé au laboratoire équipé d'un microprocesseur spécialisé en traitement du signal, l'ADSP2100 d'« Analog Devices ». Sa fréquence d'échantillonnage est fixée à 4 kHz, et les modules A et B ont chacun 256 points. Les mesures de bruit sont effectuées par un analyseur de spectres «Hewlett-Packard 3582A ». L'atténuation ainsi obtenue est mesurée par comparaison des spectres de pression au capteur de contrôle, le système antibruit étant successivement en marche et à l'arrêt. Les deux démarches (FFT et méthode temporelle) ont été successivement appliquées pour la détermination des coefficients. C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 78 1154 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1151-1154, 1988 L'identification par transformée de Fourier inverse des coefficients du module B s'est révélée insuffisante. Le signal x (fig. 2) présente alors une composante non négligeable provenant de la source secondaire. Le système devient alors instable du fait du bouclage électro-acoustique qui en résulte. Pour maîtriser cette instabilité, on est contraint de limiter le gain du module A. Dans les expériences reportées sur la figure 6, ce gain a dû être réduit de moitié, et les performances du système antibruit apparaissent limitées. Par contre, les essais effectués avec la méthode temporelle ne font pas apparaître de problème de ce type. La précision du modèle de H1 ainsi obtenu est suffisante pour garantir la stabilité du système et permet d'atteindre une atténuation s'échelonnant, sur la gamme de fréquence étudiée (0 à 1 kHz) de 5 à 20 dB (fig. 7). Dans les deux cas l'efficacité du système s'étend de 100 à 1000 Hz. Au-dessous de 100 Hz, c'est la réponse des sources électrodynamiques utilisées qui est à mettre en cause. Par ailleurs, la fréquence de coupure du conduit étant de 850 Hz, l'atténuation obtenue dans la gamme 850-1000 Hz n'est valable qu'au proche voisinage du capteur. CONCLUSION. — Nous avons présenté ici une nouvelle approche du filtre récursif utilisé dans des systèmes d'absorption acoustique active particulièrement sensibles aux phénomènes de feed-back.
être réduit de moitié, et les performances du système antibruit apparaissent limitées. Par contre, les essais effectués avec la méthode temporelle ne font pas apparaître de problème de ce type. La précision du modèle de H1 ainsi obtenu est suffisante pour garantir la stabilité du système et permet d'atteindre une atténuation s'échelonnant, sur la gamme de fréquence étudiée (0 à 1 kHz) de 5 à 20 dB (fig. 7). Dans les deux cas l'efficacité du système s'étend de 100 à 1000 Hz. Au-dessous de 100 Hz, c'est la réponse des sources électrodynamiques utilisées qui est à mettre en cause. Par ailleurs, la fréquence de coupure du conduit étant de 850 Hz, l'atténuation obtenue dans la gamme 850-1000 Hz n'est valable qu'au proche voisinage du capteur. CONCLUSION. — Nous avons présenté ici une nouvelle approche du filtre récursif utilisé dans des systèmes d'absorption acoustique active particulièrement sensibles aux phénomènes de feed-back. La partition en deux filtres transversaux permet de s'affranchir des problèmes de bouclage, à condition que les phénomènes électro-acoustiques soient modélisés avec une bonne précision. A ce titre, une méthode temporelle d'optimisation s'est révélée plus efficace que la classique identification par FFT inverse. Le filtre alors réalisé, même s'il est intrinsèquement instable, conduit à un système global stable dans son fonctionnement, puisque le bouclage électro-acoustique est supprimé. A l'avenir, les méthodes temporelles pourront être programmées dans le microprocesseur du contrôleur. Ceci permettra d'affiner les identifications de chaque module au cours du fonctionnement du système d'absorption acoustique active. Ainsi, le contrôleur serait à même de s'adapter aux évolutions des conditions ambiantes, et de garantir une atténuation durable. Note reçue le 1er août 1988, acceptée le 5 août 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] G. BILLOUD et M. A. GALLAND, Performances et stabilité d'un système d'antibruit utilisant un contrôleur à réponse impulsionnelle infinie, C. R. Acad. Sci. Paris, 306, série II, 1988, p. 761-764. [2] L. J. ERIKSSON, M. C. ALLIE et R. A. GREINER, The selection and application of an IIR adaptive filter for use in active sound attenuation, I.E.E.E. transactions on acoustics, speech, and signal processing, ASSP-35, n° 4, Apr. 1987. [3]