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Laboratoire de Physique et Mécanique des Matériaux, U.A.-C.N.R.S. n° 1215, Faculté des Sciences, Ile-du-Saulcy, 57045 Metz Cedex 01. PLANCHE 1/PLATE I DANIEL DUDZINSKI Fig. 1. — Plaque mince soumise à un champ de contraintes planes, X et Y sont les axes principaux des contraintes. Fig. 1. — Thin sheet submitted to a plane stress field, X and Y are the principal axes of stresses. Fig. 2. — Influence de la sensibilité à la vitesse de déformation M pour N = 0,25, p=0, processus isotherme. Fig. 2. — Effect of strain rate sensitivity M for N = 0.25 and p = 0, isothermal process. Fig. 3. — Courbes limites de formage absolue et effectives pour différentes sensibilités à la vitesse de déformation, pour N = 0,25 et pour un processus isotherme. Fig. 3. — Absolute and effective forming limit curves for different values of the strain rate sensitivity M, the process is isothermal. Fig. 4. — Influence de la conduction sur les limites de formage. Q=0 correspond à des conditions adiabatiques. H = 2,486.1010 SI, N=0,52, M = 0,02, v=-0,5. Fig. 4. — Dependence of the limit strains on heat conductivity. Q=0 corresponds to adiabatic conditions. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1323-1326, 1988 1323 Mécanique des fluides/Mechanics of Fluids Étude analytique de la réponse d'un jet plan à des variations temporelles de masse volumique Jacques BORÉE, Charles MOMBO et Georges CHARNAY Résumé — L'évolution dans le temps d'un jet de gaz subsonique quasi parallèle subissant des variations uniformes de masse volumique est abordée en généralisant l'hypothèse d'affinité longitudinale. La solution n'est physiquement réaliste que pour une excitation faiblement instationnaire. On détermine, dans ce cas, les solutions analytiques du champ de vitesse et du débit entraîné. Analytical study of time density variation effect on a plane jet Abstract — The effect of uniform time density variation on a subsonic quasi parallel gas jet is taken up by generalizing similarity hypothesis. The solution is only physically realistic for slow excitation. In this case, we give analytical solutions of the velocity field and of entrainment rate. Les écoulements de
t. 307, Série II, p. 1323-1326, 1988 1323 Mécanique des fluides/Mechanics of Fluids Étude analytique de la réponse d'un jet plan à des variations temporelles de masse volumique Jacques BORÉE, Charles MOMBO et Georges CHARNAY Résumé — L'évolution dans le temps d'un jet de gaz subsonique quasi parallèle subissant des variations uniformes de masse volumique est abordée en généralisant l'hypothèse d'affinité longitudinale. La solution n'est physiquement réaliste que pour une excitation faiblement instationnaire. On détermine, dans ce cas, les solutions analytiques du champ de vitesse et du débit entraîné. Analytical study of time density variation effect on a plane jet Abstract — The effect of uniform time density variation on a subsonic quasi parallel gas jet is taken up by generalizing similarity hypothesis. The solution is only physically realistic for slow excitation. In this case, we give analytical solutions of the velocity field and of entrainment rate. Les écoulements de jets libres ont été toujours abondamment étudiés, en raison d'une relative simplicité due à l'absence de parois. En situation stationnaire incompressible presque parallèle, ils sont bien décrits par des profils transversaux de vitesses affines, c'est-à-dire auto-similaires longitudinalement, constituant une des rares solutions des équations de Navier avec termes convectifs non linéaires ([1], [2]). Beaucoup plus rares sont les travaux prenant en compte des excitations variables dans le temps, comme nous le proposons ici pour un jet plan en régime laminaire. L'excitation considérée correspond à une variation globale de l'état thermodynamique du milieu gazeux ambiant. Elle est typiquement celle provoquée par le mouvement de deux pistons dans un cylindre équipé d'un jet généré par un circuit fermé (fig. 1). Avec la disposition symétrique choisie et pour des pistons relativement éloignés du jet, nous négligeons toutes déviations de l'axe du jet et tous cisaillements induits par les pistons. De plus, nous supposons l'écoulement de jet largement subsonique, de sorte que la masse volumique p, et donc aussi la pression p et la température T, soient uniformes en espace et ne dépendent que de la position instantanée des pistons. Ainsi, nous considérons une variation de p de p0 à t = t0 jusqu'à
linéaires ([1], [2]). Beaucoup plus rares sont les travaux prenant en compte des excitations variables dans le temps, comme nous le proposons ici pour un jet plan en régime laminaire. L'excitation considérée correspond à une variation globale de l'état thermodynamique du milieu gazeux ambiant. Elle est typiquement celle provoquée par le mouvement de deux pistons dans un cylindre équipé d'un jet généré par un circuit fermé (fig. 1). Avec la disposition symétrique choisie et pour des pistons relativement éloignés du jet, nous négligeons toutes déviations de l'axe du jet et tous cisaillements induits par les pistons. De plus, nous supposons l'écoulement de jet largement subsonique, de sorte que la masse volumique p, et donc aussi la pression p et la température T, soient uniformes en espace et ne dépendent que de la position instantanée des pistons. Ainsi, nous considérons une variation de p de p0 à t = t0 jusqu'à Ap0 à t=Tp/2. Le temps caractéristique de la variation de masse volumique, que ce soit une compression ou une détente, s'écrit alors : tp=Tp/2(A -1). En rendant sans dimension le temps t avec tp et les autres variables avec la vitesse axiale Uaxe, une largeur représentative du jet l, et la pression initiale p0 et en tenant compte des hypothèses d'écoulement quasi parallèle, les équations d'évolution des variables réduites s'écrivent [3] : avec Re = p0 /,Uaxe/u pouvant être considéré, pour la circonstance, comme le rapport de la longueur représentative L, du jet par la largeur l, puisque (U/V) varie proportionnellement à Re. Note présentée par Robert DAUTRAY. Aussi, voit-on apparaître le temps caractéristique du jet: $f_J = Re/J/U_{axe}$ en quelque sorte, temps d'établissement du jet, de l'ordre de grandeur de la durée mise par une particule fluide pour parcourir $L$, dans le sens longitudinal. Dans une première étape, supposons le phénomène instationnaire avec $tp$ et $t-$ de même importance. Pour généraliser la propriété d'affinité des profils de vitesse du jet stationnaire, nous recherchons une éventuelle solution de la forme: La vitesse sur l'axe $U_{axe}$ et la fonction d'affinité $f$ dépendent ici du temps, alors que le profil sans dimension
la pression initiale p0 et en tenant compte des hypothèses d'écoulement quasi parallèle, les équations d'évolution des variables réduites s'écrivent [3] : avec Re = p0 /,Uaxe/u pouvant être considéré, pour la circonstance, comme le rapport de la longueur représentative L, du jet par la largeur l, puisque (U/V) varie proportionnellement à Re. Note présentée par Robert DAUTRAY. Aussi, voit-on apparaître le temps caractéristique du jet: $f_J = Re/J/U_{axe}$ en quelque sorte, temps d'établissement du jet, de l'ordre de grandeur de la durée mise par une particule fluide pour parcourir $L$, dans le sens longitudinal. Dans une première étape, supposons le phénomène instationnaire avec $tp$ et $t-$ de même importance. Pour généraliser la propriété d'affinité des profils de vitesse du jet stationnaire, nous recherchons une éventuelle solution de la forme: La vitesse sur l'axe $U_{axe}$ et la fonction d'affinité $f$ dépendent ici du temps, alors que le profil sans dimension $F$ n'en dépend pas. L'équation en $F$ obtenue à partir du système (1) vaut alors: Une condition suffisante pour que $F$ ne dépende que de $r$ est que les quatre coefficients ci-dessus soient constants. Le développement de ces quatre équations conduit à la solution suivante: où $R(r) = p(t) n(0 dt; a$ et $K$ sont des constantes d'intégration, $a$ étant la constante de l'affinité, $yp(t)$ et $Vp(t)$ représentent respectivement la position et la vitesse du piston. La dépendance en $x$, qui caractérise l'expansion spatiale du jet, est alors oubliée dans la solution. De plus, $i(t) p(r)$ étant une fonction admettant une borne inférieure strictement positive, sa primitive $R(t)$ croît avec le temps et tend vers l'infini. Donc, $i(t)$ tend vers l'infini alors que la vitesse sur l'axe tend vers zéro, le débit massique étant conservé, la solution obtenue est physiquement inacceptable; l'hypothèse d'affinité [éq. (2)] ne permet pas de prendre en compte les deux phénomènes: expansion spatiale du jet et excitation extérieure lorsque ceux-ci sont du même ordre de grandeur. Supposons maintenant dans une deuxième étape, que l'excitation extérieure vérifie: l'évolution temporelle du jet peut être considérée comme une suite d'états stationnaires et les termes d'excitation disparaissent dans les équations
dt; a$ et $K$ sont des constantes d'intégration, $a$ étant la constante de l'affinité, $yp(t)$ et $Vp(t)$ représentent respectivement la position et la vitesse du piston. La dépendance en $x$, qui caractérise l'expansion spatiale du jet, est alors oubliée dans la solution. De plus, $i(t) p(r)$ étant une fonction admettant une borne inférieure strictement positive, sa primitive $R(t)$ croît avec le temps et tend vers l'infini. Donc, $i(t)$ tend vers l'infini alors que la vitesse sur l'axe tend vers zéro, le débit massique étant conservé, la solution obtenue est physiquement inacceptable; l'hypothèse d'affinité [éq. (2)] ne permet pas de prendre en compte les deux phénomènes: expansion spatiale du jet et excitation extérieure lorsque ceux-ci sont du même ordre de grandeur. Supposons maintenant dans une deuxième étape, que l'excitation extérieure vérifie: l'évolution temporelle du jet peut être considérée comme une suite d'états stationnaires et les termes d'excitation disparaissent dans les équations n° 1. Il reste: avec: $F(0)=0$, $(dF/dr)(0)=1$, $(d^2F/dr^2)(0) = 0$ qui est l'équation classique du profil de vitesses réduites d'un jet plan étendue à une situation faiblement instationnaire, où les variations dans le temps n'affectent que la valeur des coefficients et non la structure de l'équation. Dans cette situation, et avec ces conditions aux limites, on obtient la solution explicite suivante: où: $Re(t) = p(t) U_0 D/n(t)$, $xa$ étant à l'origine de l'affinité. L'évolution longitudinale du débit massique $Q=pUdy$ vaut alors: $J-y_p$ Un exemple formel de comportement non stationnaire a été calculé pour un déplacement linéaire du piston, avec $A=-2$, $Tp = 2s$, $D=10^{-3}mm$, $U_0 = 2m/s$, $u_0= 18,46.10^6 kg/ms$, $p_0=1 kg/m^3$ et $Re_0 = 108$, en supposant une évolution adiabatique et en tablant les évolutions de $u$ [4]. Dans ce cas, on vérifie bien la condition n° 3 ($fp=18,5$ tj). La figure 2 donne les variations des grandeurs globales alors que les distributions transversales des vitesses sont indiquées sur la figure 3. Ainsi, même dans le cadre d'une instationnarité faible et avec les conditions retenues tant pour l'écoulement que pour la formulation mathématique, on observe une modification importante du développement d'un jet lorsque celui-ci est soumis à une variation
avec ces conditions aux limites, on obtient la solution explicite suivante: où: $Re(t) = p(t) U_0 D/n(t)$, $xa$ étant à l'origine de l'affinité. L'évolution longitudinale du débit massique $Q=pUdy$ vaut alors: $J-y_p$ Un exemple formel de comportement non stationnaire a été calculé pour un déplacement linéaire du piston, avec $A=-2$, $Tp = 2s$, $D=10^{-3}mm$, $U_0 = 2m/s$, $u_0= 18,46.10^6 kg/ms$, $p_0=1 kg/m^3$ et $Re_0 = 108$, en supposant une évolution adiabatique et en tablant les évolutions de $u$ [4]. Dans ce cas, on vérifie bien la condition n° 3 ($fp=18,5$ tj). La figure 2 donne les variations des grandeurs globales alors que les distributions transversales des vitesses sont indiquées sur la figure 3. Ainsi, même dans le cadre d'une instationnarité faible et avec les conditions retenues tant pour l'écoulement que pour la formulation mathématique, on observe une modification importante du développement d'un jet lorsque celui-ci est soumis à une variation uniforme de la masse volumique. L'hypothèse du régime laminaire permet des développements analytiques proches des phénomènes fondamentaux. Restrictive au premier abord pour les grands nombres de Reynolds moléculaires, elle inclut une part de réalité physique pour le régime turbulent car alors il convient de considérer le nombre de Reynolds de la turbulence qui est relativement bien plus petit [5]. Les calculs développés ici restent ainsi significatifs pour les nombreuses applications dans les domaines de l'aéronautique ou de l'automobile. Note reçue le 17 juin 1988, acceptée le 12 juillet 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] G. N. ABRAMOVICH, The theory of turbulent jets, M.I.T. Press, 1963. [2] H. SCHLICHTING, Boundary layer theory, McGraw Hill Book Company, 6th Edition, 1968. [3] J. C. TANNEHILL, Computational fluid mechanics and heat transfer, Dale A. Anderson, Richard H. Pletcher, 1984. [4] Encyclopédie des Gaz, Elsevier S.P.C., 1976, p. 78-79. [5] H. RAJARATNAM, Turbulent jet, Development in water science, Elsevier, 1976. Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse, Unité associée au C.N.R.S. n° 005, I.N.P.T., E.N.S.E.E.I.H.T., 2, avenue du Professeur-Camille-Soula, 31400 Toulouse. C R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1327-1332, 1988 Aux faibles densités, les interactions sont des événements successifs nettement séparés par des parcours
la turbulence qui est relativement bien plus petit [5]. Les calculs développés ici restent ainsi significatifs pour les nombreuses applications dans les domaines de l'aéronautique ou de l'automobile. Note reçue le 17 juin 1988, acceptée le 12 juillet 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] G. N. ABRAMOVICH, The theory of turbulent jets, M.I.T. Press, 1963. [2] H. SCHLICHTING, Boundary layer theory, McGraw Hill Book Company, 6th Edition, 1968. [3] J. C. TANNEHILL, Computational fluid mechanics and heat transfer, Dale A. Anderson, Richard H. Pletcher, 1984. [4] Encyclopédie des Gaz, Elsevier S.P.C., 1976, p. 78-79. [5] H. RAJARATNAM, Turbulent jet, Development in water science, Elsevier, 1976. Institut de Mécanique des Fluides de Toulouse, Unité associée au C.N.R.S. n° 005, I.N.P.T., E.N.S.E.E.I.H.T., 2, avenue du Professeur-Camille-Soula, 31400 Toulouse. C R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1327-1332, 1988 Aux faibles densités, les interactions sont des événements successifs nettement séparés par des parcours vraiment libres et la situation est assez facilement décrite. Aux hautes densités, les choses se compliquent, l'interaction électron-atome étant quasi permanente. Dans tous les cas existent entre émission et absorption les relations d'Einstein. Si on désigne par \(a(s-hc, e)\) le rythme d'émission spontanée de photons de fréquence comprise entre \(co\) et \(co + rfoo\) par une énergie \(e\), il existera entre la fonction \(a\) et les sections d'émission stimulée \(a(s-ha, e)\) et d'absorption \(a(s+htro, e)\) les relations où \(n(e-hc)\) et \(n(e)\) désignent des densités d'états. De nombreux travaux ([1]-[6]) sont relatifs au calcul de l'élément de matrice qui détermine ces trois grandeurs observables. C'est presque toujours la méthode des ondes partielles qui est utilisée : l'onde incidente décrite par \(Ye^{\)}\) dont le nombre d'ondes est \(K\), est décomposée en ondes définies par leur moment cinétique \(h l\) par rapport au centre du potentiel perturbateur symétrique \(V(r)\). Ce potentiel introduit un déphasage \(r|\((K)\) dans la forme asymptotique. Note présentée par Pierre-Gilles de Gennes. 0249-6305/88/03071327 $ 2.00 © Académie des Sciences Spectre d'émission d'électrons chauffés par une impulsion laser dans l'argon à la densité de 7,5.1021 cm-3. Abcisses : énergie \(E\) des photons émis en électron-volt. Ordonnées : échelles linéaires, unités arbitraires.
et \(co + rfoo\) par une énergie \(e\), il existera entre la fonction \(a\) et les sections d'émission stimulée \(a(s-ha, e)\) et d'absorption \(a(s+htro, e)\) les relations où \(n(e-hc)\) et \(n(e)\) désignent des densités d'états. De nombreux travaux ([1]-[6]) sont relatifs au calcul de l'élément de matrice qui détermine ces trois grandeurs observables. C'est presque toujours la méthode des ondes partielles qui est utilisée : l'onde incidente décrite par \(Ye^{\)}\) dont le nombre d'ondes est \(K\), est décomposée en ondes définies par leur moment cinétique \(h l\) par rapport au centre du potentiel perturbateur symétrique \(V(r)\). Ce potentiel introduit un déphasage \(r|\((K)\) dans la forme asymptotique. Note présentée par Pierre-Gilles de Gennes. 0249-6305/88/03071327 $ 2.00 © Académie des Sciences Spectre d'émission d'électrons chauffés par une impulsion laser dans l'argon à la densité de 7,5.1021 cm-3. Abcisses : énergie \(E\) des photons émis en électron-volt. Ordonnées : échelles linéaires, unités arbitraires. Points ronds : nombre de photons \(N(E)\) par intervalle d'énergie. Points barrés : produit \(E(N(E))\). Émission spectra of hot electrons in argon at density 7.5 x 1021 at. cm-3. Abcissas: photon energy in electronvolt Ordinales: arbitrary linear scales; circles: number of photons per unit of energy interval \(dN/dE\); circles with bars: the same measured values multiplied by photon energy \(E(dN/dE)\). De même que la connaissance des \(|f(K)|\) suffit au calcul des sections efficaces de diffusion, elle suffit souvent au calcul des éléments de matrice du Bremsstrahlung. Dans les gaz de forte polarisabilité comme l'Ar, Kr, CH4, le potentiel \(V(r)\) comporte un terme \(-a^2r^4\) qui joue un rôle essentiel. Une expression souvent utilisée pour l'émission spontanée est : \(V = \frac{V_i^2}{v^2} \) où \(V_i\) et \(V_f\) désignent les vitesses initiale (énergie \(e\)) et finale (énergie \(s-hc\)o) ; \(Q_i\) et \(Q_f\) sont les sections efficaces de transfert de quantité de mouvement. \(\rho\) désigne la densité du gaz. Les sections \(Q\) apparaissent assez naturellement, la part diffusée de l'onde incidente jouant un rôle essentiel dans le calcul de l'élément de matrice. Cette expression est en accord avec la théorie classique : l'énergie \(aha\) rayonnée par unités de temps et de volume ne dépend
bars: the same measured values multiplied by photon energy \(E(dN/dE)\). De même que la connaissance des \(|f(K)|\) suffit au calcul des sections efficaces de diffusion, elle suffit souvent au calcul des éléments de matrice du Bremsstrahlung. Dans les gaz de forte polarisabilité comme l'Ar, Kr, CH4, le potentiel \(V(r)\) comporte un terme \(-a^2r^4\) qui joue un rôle essentiel. Une expression souvent utilisée pour l'émission spontanée est : \(V = \frac{V_i^2}{v^2} \) où \(V_i\) et \(V_f\) désignent les vitesses initiale (énergie \(e\)) et finale (énergie \(s-hc\)o) ; \(Q_i\) et \(Q_f\) sont les sections efficaces de transfert de quantité de mouvement. \(\rho\) désigne la densité du gaz. Les sections \(Q\) apparaissent assez naturellement, la part diffusée de l'onde incidente jouant un rôle essentiel dans le calcul de l'élément de matrice. Cette expression est en accord avec la théorie classique : l'énergie \(aha\) rayonnée par unités de temps et de volume ne dépend pas de \(cu\) et \(h\) n'y figure plus. Ce genre de formules est en accord avec de nombreuses expériences ([7]-[14]), mais un problème de divergence « infrarouge » s'y trouve posé. EXPÉRIENCES À HAUTE DENSITÉ. — Les points de la figure montrent le spectre de l'émission spontanée d'électrons chauffés par une impulsion laser dans de l'argon à la densité \(\rho=7,5.1021\) cm-3. Le transfert d'énergie du faisceau laser (\(fco=1,2\) eV) aux \(e^-\) est dû à la différence \(a(E+hfco, s)-a(s-hc, e)\), absorption moins émission stimulée qui dépendent respectivement de deux éléments de matrice différents. La distribution d'énergie \(N(e)\) des \(e^-\) est probablement assez large et centrée entre 2 et 3 eV. Les atomes d'argon, eux, gardent une énergie cinétique proche de celle de la température ambiante. Des détails expérimentaux sont donnés dans un précédent article [15]. Les abcisses indiquent l'énergie des photons émis. Les ordonnées présentent en échelle linéaire des nombres \(N(E)\) de photons par intervalle d'énergie \(dE=hf\). Elles correspondent donc aux expressions \(a(e-hf, e)\) intégrées sur toute la distribution d'énergie \(N(e)\) des \(e^-\) pendant la durée de l'expérience (\(\sim 5.10^{-9}\) s) : Typiquement, le nombre total de photons émis par un \(e^-\) dans tout l'espace est de quelques unités. L'aspect nouveau
une impulsion laser dans de l'argon à la densité \(\rho=7,5.1021\) cm-3. Le transfert d'énergie du faisceau laser (\(fco=1,2\) eV) aux \(e^-\) est dû à la différence \(a(E+hfco, s)-a(s-hc, e)\), absorption moins émission stimulée qui dépendent respectivement de deux éléments de matrice différents. La distribution d'énergie \(N(e)\) des \(e^-\) est probablement assez large et centrée entre 2 et 3 eV. Les atomes d'argon, eux, gardent une énergie cinétique proche de celle de la température ambiante. Des détails expérimentaux sont donnés dans un précédent article [15]. Les abcisses indiquent l'énergie des photons émis. Les ordonnées présentent en échelle linéaire des nombres \(N(E)\) de photons par intervalle d'énergie \(dE=hf\). Elles correspondent donc aux expressions \(a(e-hf, e)\) intégrées sur toute la distribution d'énergie \(N(e)\) des \(e^-\) pendant la durée de l'expérience (\(\sim 5.10^{-9}\) s) : Typiquement, le nombre total de photons émis par un \(e^-\) dans tout l'espace est de quelques unités. L'aspect nouveau apporté par la haute densité au spectre est l'absence du côté infrarouge de la forme hyperbolique prévue par l'équation (2) qui devrait présenter une concavité vers le haut. Une courbure est difficile à apprécier quand les points sont dispersés. Aussi, pour mieux illustrer ce point, nous avons porté sur le même graphique avec une échelle différente mais toujours linéaire les mêmes nombres mesurés \(N(E)\) multipliés par l'énergie \(hf\) des photons de l'intervalle. Selon l'équation (2), chaque \(e^-\) devrait apporter à \(E(N(E))\) une contribution constante et compte tenu de l'équation (3), \(E(N(E))\) devrait être une fonction décroissante de \(E\). Il n'en est pas ainsi dans l'intervalle 1,4-2,0 eV. Dans cet intervalle, \(dN/dE\) n'a pas la courbure prévue, et \(E(N(E))\) n'a pas la pente prévue. Nous avons vérifié que des effets analogues ont lieu dans le krypton dense. UN MODÈLE DE « CAGE ITINÉRANTE » À PAROIS DIFFUSANTES. — En optique, on peut confiner sans perte une onde soit par des miroirs soit par des diffuseurs. Dans le cas de miroirs de formes géométriques bien définies, le calcul de la situation intérieure doit se faire « en amplitude »; pour des parois diffusantes, il doit être « en intensité », c'est-à-dire qu'on