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un ensemble de fonctionnelles dont le lagrangien et l'hamiltonien du système, on exprime ensuite les principes de la thermodynamique à l'aide de ces fonctionnelles, en tenant compte de discontinuités mobiles éventuelles au sein du milieu continu. 1. DESCRIPTION DE L'ÉTAT DU SYSTÈME. — On suppose qu'en chaque point du système mécanique il existe une densité d'énergie interne e (e, a, s) (fonction de la déformation s, de paramètres internes a et de l'entropie s) ou d'énergie libre p(e, a, s), dans laquelle 0 désigne la température absolue, permettant d'écrire les équations du comportement sous la forme des équations d'état : où p0 est la masse volumique, cr la contrainte réversible, A la force thermodynamique associée à a et s l'entropie spécifique. En présence de viscosité, la contrainte à l'équilibre CT est c = ar + air, où la contrainte irréversible crir dérive d'un potentiel de dissipation Q fonction convexe de Nous considérons que les paramètres internes ont une évolution standard c'est-à-dire qu'il existe un convexe C de A tel que da/dt appartienne au cône des normales extérieures en A à C. Dans le cas de la viscoplasticité, nous supposerons que la force A dérive d'un potentiel p(da/dt), fonction convexe de la vitesse da/dt; en plasticité l'expression de la loi de normalité conduit à poser A = d<p>/dda/dt pour tout da/dt non nul. Note présentée par Paul GERMAIN. 0249-6305/88/03071997 S 2.00 © Académie des Sciences C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 1998 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1997-2000, 1988 Dans la suite on considérera la quantité : 2. ÉQUATIONS DE LAGRANGE. — En mécanique analytique, on introduit le lagrangien L du système comme étant la différence entre l'énergie cinétique K et le potentiel des efforts extérieurs. Il convient ici de tenir compte des forces intérieures d'interaction entre les particules du solide, le potentiel des forces extérieures est naturellement remplacé par l'énergie potentielle totale du système E(u, a, 9, X) : Le Lagrangien L est alors une fonctionnelle des champs représentant la position u, du/dt), de l'état thermodynamique du système (a, 9); cette fonctionnelle
la vitesse da/dt; en plasticité l'expression de la loi de normalité conduit à poser A = d<p>/dda/dt pour tout da/dt non nul. Note présentée par Paul GERMAIN. 0249-6305/88/03071997 S 2.00 © Académie des Sciences C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 1998 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1997-2000, 1988 Dans la suite on considérera la quantité : 2. ÉQUATIONS DE LAGRANGE. — En mécanique analytique, on introduit le lagrangien L du système comme étant la différence entre l'énergie cinétique K et le potentiel des efforts extérieurs. Il convient ici de tenir compte des forces intérieures d'interaction entre les particules du solide, le potentiel des forces extérieures est naturellement remplacé par l'énergie potentielle totale du système E(u, a, 9, X) : Le Lagrangien L est alors une fonctionnelle des champs représentant la position u, du/dt), de l'état thermodynamique du système (a, 9); cette fonctionnelle dépend explicitement du temps par l'intermédiaire du paramètre de chargement X. (a) Les équations d'équilibre dynamique du système peuvent être exprimées sous deux formulations équivalentes : — les équations de Lagrange : pour tout champ Su cinématiquement admissible; c'est-à-dire vérifiant les conditions aux limites ôw = 0 sur dQ.u = {x e dQ/u (x, t) = ud (x, t) pour tout t} et les conditions initiales 8w = 0 aux instants successifs tl et t2 : — l'expression des équations locales et des conditions aux limites : où £ désigne une surface de discontinuité éventuelle et m = p0 c désigne le débit massique à travers cette surface. La preuve de cette équivalence s'obtient en effectuant le calcul des variations : soit encore en intégrant par parties le premier terme C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1997-2000, 1988 1999 intégrons par parties le terme o s(5«), d'où en omettant l'intégration en temps dont on déduit les équations locales et les équations aux discontinuités. Soulignons toutefois que l'on peut introduire l'impulsion p = p0v comme variable au lieu de la vitesse v par la transformation de contact : les équations de la dynamique correspondantes se mettent alors
{x e dQ/u (x, t) = ud (x, t) pour tout t} et les conditions initiales 8w = 0 aux instants successifs tl et t2 : — l'expression des équations locales et des conditions aux limites : où £ désigne une surface de discontinuité éventuelle et m = p0 c désigne le débit massique à travers cette surface. La preuve de cette équivalence s'obtient en effectuant le calcul des variations : soit encore en intégrant par parties le premier terme C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1997-2000, 1988 1999 intégrons par parties le terme o s(5«), d'où en omettant l'intégration en temps dont on déduit les équations locales et les équations aux discontinuités. Soulignons toutefois que l'on peut introduire l'impulsion p = p0v comme variable au lieu de la vitesse v par la transformation de contact : les équations de la dynamique correspondantes se mettent alors sous la forme Remarquons que la fonctionnelle L* est la somme de l'énergie cinétique du système et de l'énergie récupérable à chaque instant. Cette énergie est différente de la fonctionnelle classique de Hamilton qui représente l'énergie totale du système. (b) Pour tenir compte du comportement anélastique, il convient de compléter les équations de Lagrange par les équations complémentaires : Ces expressions généralisent les résultats énoncés par Biot [2] pour les systèmes viscoélastiques. 3. FONCTION DE HAMILTON ET EXPRESSION DU PREMIER PRINCIPE. — En mécanique analytique la fonctionnelle de Hamilton est l'énergie totale du système, le principe de Hamilton n'est autre que l'expression du premier principe appliqué aux systèmes conservatifs isolés thermiquement. La fonctionnelle de Hamilton s'exprime ici sous la forme : où Vext est le potentiel des efforts extérieurs et U l'énergie interne du système. Comme U = (cp + 0 s) p0 dta on peut exprimer H en fonction de E : Jn Le principe de Hamilton généralisé sous la forme du premier principe de la thermodynamique peut donc s'écrire dans le cas quelconque : C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 136 2000 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1997-2000, 1988 où
les équations de Lagrange par les équations complémentaires : Ces expressions généralisent les résultats énoncés par Biot [2] pour les systèmes viscoélastiques. 3. FONCTION DE HAMILTON ET EXPRESSION DU PREMIER PRINCIPE. — En mécanique analytique la fonctionnelle de Hamilton est l'énergie totale du système, le principe de Hamilton n'est autre que l'expression du premier principe appliqué aux systèmes conservatifs isolés thermiquement. La fonctionnelle de Hamilton s'exprime ici sous la forme : où Vext est le potentiel des efforts extérieurs et U l'énergie interne du système. Comme U = (cp + 0 s) p0 dta on peut exprimer H en fonction de E : Jn Le principe de Hamilton généralisé sous la forme du premier principe de la thermodynamique peut donc s'écrire dans le cas quelconque : C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 136 2000 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1997-2000, 1988 où Pcal est la puissance calorifique échangée avec le milieu extérieur, exprimée sous sa forme habituelle par le flux de chaleur q à travers la paroi du solide. En effet, exprimons les quantités en fonction des grandeurs locales : soit en introduisant a la contrainte à l'équilibre : Le second membre Pcal = — q.nda devient après intégration Jan ces expressions étant vraies pour tout volume Q, on en déduit les équations locales et aux discontinuités [3] : Nota. — Il est à noter que le second principe exprimant la positivité de la production intérieure d'entropie se met sous sa forme habituelle : ou en considérant les densités : Note remise le 21 octobre 1988, acceptée le 26 octobre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] E. T. WHITTAKER, Analytical dynamics of particles and rigid bodies, Cambridge University Press, 1965. [2] M. A. BIOT, New variationnal irreversible thermodynamics of physical-chemical continua, Pergamon Press, 1981; On variationnal methods in the mechanics of solids. [3] J. MANDEL, Cours de mécanique des milieux continus, Gauthier-Villars, Paris, 1966. Laboratoire de Mécanique des Solides, École Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 2001-2004, 1988 2001 Physique des surfaces et des interfaces/Surface and
Pcal = — q.nda devient après intégration Jan ces expressions étant vraies pour tout volume Q, on en déduit les équations locales et aux discontinuités [3] : Nota. — Il est à noter que le second principe exprimant la positivité de la production intérieure d'entropie se met sous sa forme habituelle : ou en considérant les densités : Note remise le 21 octobre 1988, acceptée le 26 octobre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] E. T. WHITTAKER, Analytical dynamics of particles and rigid bodies, Cambridge University Press, 1965. [2] M. A. BIOT, New variationnal irreversible thermodynamics of physical-chemical continua, Pergamon Press, 1981; On variationnal methods in the mechanics of solids. [3] J. MANDEL, Cours de mécanique des milieux continus, Gauthier-Villars, Paris, 1966. Laboratoire de Mécanique des Solides, École Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 2001-2004, 1988 2001 Physique des surfaces et des interfaces/Surface and Interphase Physics Conformation d'une goutte posée sur une surface faiblement hétérogène Martin E. R. SHANAHAN Résumé — Tandis qu'une goutte de liquide posée sur une surface solide idéale adopte la forme d'une calotte sphérique, la présence d'hétérogénéités sur le substrat peut rendre sa forme asymétrique. Nous considérons la classe des problèmes pour laquelle les variations des caractéristiques superficielles sont légères. La forme du ménisque et du contour de la ligne triple sont calculés pour la calotte sphérique de faible angle de contact qui est faiblement perturbée. Conformation of a sessile drop on a weakly heterogeneous surface Abstract — Whilst a sessile drop on an ideal solid surface adopts the form of a spherical cap, the presence of heterogeneities on the substrate can destroy the symmetry. We consider the class of problems for which surface characteristics vary slightly. The form of the meniscus and the contour of the triple line are calculated for the spherical drop of low contact angle which is weakly perturbed. I. INTRODUCTION. — A pure liquid drop, L, placed on an ideal solid surface, S (rigid, plane, smooth, homogeneous and isotropic), adopts the form of a spherical cap (if there is no spreading and the effects of
problèmes pour laquelle les variations des caractéristiques superficielles sont légères. La forme du ménisque et du contour de la ligne triple sont calculés pour la calotte sphérique de faible angle de contact qui est faiblement perturbée. Conformation of a sessile drop on a weakly heterogeneous surface Abstract — Whilst a sessile drop on an ideal solid surface adopts the form of a spherical cap, the presence of heterogeneities on the substrate can destroy the symmetry. We consider the class of problems for which surface characteristics vary slightly. The form of the meniscus and the contour of the triple line are calculated for the spherical drop of low contact angle which is weakly perturbed. I. INTRODUCTION. — A pure liquid drop, L, placed on an ideal solid surface, S (rigid, plane, smooth, homogeneous and isotropic), adopts the form of a spherical cap (if there is no spreading and the effects of penetration are negligible). This configuration of the liquid/vapour interface represents a simple solution of the capillarity equation of Laplace [1] but in general the form of the meniscus is not easy to elucidate. In particular, when the solid presents a heterogeneous surface, the axial symmetry is lost and the contour corresponding to the triple line L/S/V must be determined. The general problem of wetting of a heterogeneous solid is very complex and only a few analytical solutions exist [2]. However, by adopting certain simplifying hypotheses, it is possible to find an approximate solution describing the meniscus of a drop placed on a surface of weak heterogeneity. II. A DROP OF SLIGHT DEFORMATION. — We consider a drop placed of low contact angle intrinsèque, θ0, presenting an essentially spherical meniscus, but slightly deformed by an heterogeneity of the solid substrate. ### CORRECTION ### Il convient ici de tenir compte des forces intérieures d'interaction entre les particules du solide, le potentiel des forces extérieures est naturellement remplacé par l'énergie potentielle totale du système E(u, a, 9, X) : Le Lagrangien L est alors une fonctionnelle des champs représentant la position u, du/dt), de l'état thermodynamique du système (a, 9); cette fonctionnelle dépend
corresponding to the triple line L/S/V must be determined. The general problem of wetting of a heterogeneous solid is very complex and only a few analytical solutions exist [2]. However, by adopting certain simplifying hypotheses, it is possible to find an approximate solution describing the meniscus of a drop placed on a surface of weak heterogeneity. II. A DROP OF SLIGHT DEFORMATION. — We consider a drop placed of low contact angle intrinsèque, θ0, presenting an essentially spherical meniscus, but slightly deformed by an heterogeneity of the solid substrate. ### CORRECTION ### Il convient ici de tenir compte des forces intérieures d'interaction entre les particules du solide, le potentiel des forces extérieures est naturellement remplacé par l'énergie potentielle totale du système E(u, a, 9, X) : Le Lagrangien L est alors une fonctionnelle des champs représentant la position u, du/dt), de l'état thermodynamique du système (a, 9); cette fonctionnelle dépend explicitement du temps par l'intermédiaire du paramètre de chargement X. (a) Les équations d'équilibre dynamique du système peuvent être exprimées sous deux formulations équivalentes : — les équations de Lagrange : pour tout champ Su cinématiquement admissible; c'est-à-dire vérifiant les conditions aux limites ôw = 0 sur dQ.u = {x e dQ/u (x, t) = ud (x, t) pour tout t} et les conditions initiales 8w = 0 aux instants successifs tl et t2 : — l'expression des équations locales et des conditions aux limites : où £ désigne une surface de discontinuité éventuelle et m = p0 c désigne le débit massique à travers cette surface. La preuve de cette équivalence s'obtient en effectuant le calcul des variations : soit encore en intégrant par parties le premier terme C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1997-2000, 1988 1999 intégrons par parties le terme o s(5«), d'où en omettant l'intégration en temps dont on déduit les équations locales et les équations aux discontinuités. Soulignons toutefois que l'on peut introduire l'impulsion p = p0v comme variable au lieu de la vitesse v par la transformation de contact : les équations de la dynamique correspondantes se mettent alors sous
e dQ/u (x, t) = ud (x, t) pour tout t} et les conditions initiales 8w = 0 aux instants successifs tl et t2 : — l'expression des équations locales et des conditions aux limites : où £ désigne une surface de discontinuité éventuelle et m = p0 c désigne le débit massique à travers cette surface. La preuve de cette équivalence s'obtient en effectuant le calcul des variations : soit encore en intégrant par parties le premier terme C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1997-2000, 1988 1999 intégrons par parties le terme o s(5«), d'où en omettant l'intégration en temps dont on déduit les équations locales et les équations aux discontinuités. Soulignons toutefois que l'on peut introduire l'impulsion p = p0v comme variable au lieu de la vitesse v par la transformation de contact : les équations de la dynamique correspondantes se mettent alors sous la forme Remarquons que la fonctionnelle L* est la somme de l'énergie cinétique du système et de l'énergie récupérable à chaque instant. Cette énergie est différente de la fonctionnelle classique de Hamilton qui représente l'énergie totale du système. (b) Pour tenir compte du comportement anélastique, il convient de compléter les équations de Lagrange par les équations complémentaires : Ces expressions généralisent les résultats énoncés par Biot [2] pour les systèmes viscoélastiques. 3. FONCTION DE HAMILTON ET EXPRESSION DU PREMIER PRINCIPE. — En mécanique analytique la fonctionnelle de Hamilton est l'énergie totale du système, le principe de Hamilton n'est autre que l'expression du premier principe appliqué aux systèmes conservatifs isolés thermiquement. La fonctionnelle de Hamilton s'exprime ici sous la forme : où Vext est le potentiel des efforts extérieurs et U l'énergie interne du système. Comme U = (cp + 0 s) p0 dta on peut exprimer H en fonction de E : Jn Le principe de Hamilton généralisé sous la forme du premier principe de la thermodynamique peut donc s'écrire dans le cas quelconque : C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 136 2000 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1997-2000, 1988 où Pcal
équations de Lagrange par les équations complémentaires : Ces expressions généralisent les résultats énoncés par Biot [2] pour les systèmes viscoélastiques. 3. FONCTION DE HAMILTON ET EXPRESSION DU PREMIER PRINCIPE. — En mécanique analytique la fonctionnelle de Hamilton est l'énergie totale du système, le principe de Hamilton n'est autre que l'expression du premier principe appliqué aux systèmes conservatifs isolés thermiquement. La fonctionnelle de Hamilton s'exprime ici sous la forme : où Vext est le potentiel des efforts extérieurs et U l'énergie interne du système. Comme U = (cp + 0 s) p0 dta on peut exprimer H en fonction de E : Jn Le principe de Hamilton généralisé sous la forme du premier principe de la thermodynamique peut donc s'écrire dans le cas quelconque : C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 136 2000 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1997-2000, 1988 où Pcal est la puissance calorifique échangée avec le milieu extérieur, exprimée sous sa forme habituelle par le flux de chaleur q à travers la paroi du solide. En effet, exprimons les quantités en fonction des grandeurs locales : soit en introduisant a la contrainte à l'équilibre : Le second membre Pcal = — q.nda devient après intégration Jan ces expressions étant vraies pour tout volume Q, on en déduit les équations locales et aux discontinuités [3] : Nota. — Il est à noter que le second principe exprimant la positivité de la production intérieure d'entropie se met sous sa forme habituelle : ou en considérant les densités : Note remise le 21 octobre 1988, acceptée le 26 octobre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] E. T. WHITTAKER, Analytical dynamics of particles and rigid bodies, Cambridge University Press, 1965. [2] M. A. BIOT, New variationnal irreversible thermodynamics of physical-chemical continua, Pergamon Press, 1981; On variationnal methods in the mechanics of solids. [3] J. MANDEL, Cours de mécanique des milieux continus, Gauthier-Villars, Paris, 1966. Laboratoire de Mécanique des Solides, École Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 2001-2004, 1988 2001 Physique des surfaces et des interfaces/Surface and Interphase
= — q.nda devient après intégration Jan ces expressions étant vraies pour tout volume Q, on en déduit les équations locales et aux discontinuités [3] : Nota. — Il est à noter que le second principe exprimant la positivité de la production intérieure d'entropie se met sous sa forme habituelle : ou en considérant les densités : Note remise le 21 octobre 1988, acceptée le 26 octobre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] E. T. WHITTAKER, Analytical dynamics of particles and rigid bodies, Cambridge University Press, 1965. [2] M. A. BIOT, New variationnal irreversible thermodynamics of physical-chemical continua, Pergamon Press, 1981; On variationnal methods in the mechanics of solids. [3] J. MANDEL, Cours de mécanique des milieux continus, Gauthier-Villars, Paris, 1966. Laboratoire de Mécanique des Solides, École Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 2001-2004, 1988 2001 Physique des surfaces et des interfaces/Surface and Interphase Physics Conformation d'une goutte posée sur une surface faiblement hétérogène Martin E. R. SHANAHAN Résumé — Tandis qu'une goutte de liquide posée sur une surface solide idéale adopte la forme d'une calotte sphérique, la présence d'hétérogénéités sur le substrat peut rendre sa forme asymétrique. Nous considérons la classe des problèmes pour laquelle les variations des caractéristiques superficielles sont légères. La forme du ménisque et du contour de la ligne triple sont calculés pour la calotte sphérique de faible angle de contact qui est faiblement perturbée. Conformation of a sessile drop on a weakly heterogeneous surface Abstract — Whilst a sessile drop on an ideal solid surface adopts the form of a spherical cap, the presence of heterogeneities on the substrate can destroy the symmetry. We consider the class of problems for which surface characteristics vary slightly. The form of the meniscus and the contour of the triple line are calculated for the spherical drop of low contact angle which is weakly perturbed. I. INTRODUCTION. — A pure liquid drop, L, placed on an ideal solid surface, S (rigid, plane, smooth, homogeneous and isotropic), adopts the form of a spherical cap (if there is no spreading and the effects of penetration
pour laquelle les variations des caractéristiques superficielles sont légères. La forme du ménisque et du contour de la ligne triple sont calculés pour la calotte sphérique de faible angle de contact qui est faiblement perturbée. Conformation of a sessile drop on a weakly heterogeneous surface Abstract — Whilst a sessile drop on an ideal solid surface adopts the form of a spherical cap, the presence of heterogeneities on the substrate can destroy the symmetry. We consider the class of problems for which surface characteristics vary slightly. The form of the meniscus and the contour of the triple line are calculated for the spherical drop of low contact angle which is weakly perturbed. I. INTRODUCTION. — A pure liquid drop, L, placed on an ideal solid surface, S (rigid, plane, smooth, homogeneous and isotropic), adopts the form of a spherical cap (if there is no spreading and the effects of penetration are negligible). This configuration of the liquid/vapour interface represents a simple solution of the capillarity equation of Laplace [1] but in general the form of the meniscus is not easy to elucidate. In particular, when the solid presents a heterogeneous surface, the axial symmetry is lost and the contour corresponding to the triple line L/S/V must be determined. The general problem of wetting of a heterogeneous solid is very complex and only a few analytical solutions exist [2]. However, by adopting certain simplifying hypotheses, it is possible to find an approximate solution describing the meniscus of a drop placed on a surface of weak heterogeneity. II. A DROP OF SLIGHT DEFORMATION. — We consider a drop placed of low contact angle intrinsèque, θ0, presenting an essentially spherical meniscus, but slightly deformed by an heterogeneity of the solid substrate. En coordonnées polaires suivant le plan de la surface solide (r, θ), l'énergie libre du système E, avec la contrainte de volume du liquide constant, V, peut s'écrire : où y( = yLV), YSL et YSV représentent les énergies libres des trois interfaces, e = e(r, θ) est une perturbation énergétique du substrat qui s'ajoute localement à YSV, p(θ) le rayon de