jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
facile de l'en préserver dans le système de ponts qui nous occupe, et dont toutes les parties principales sont à découvert et peuvent être constamment entretenues avec une très-faible dépense. NOTE DEUXIÈME. Développement des calculs de résistance relatifs à un pont de 65 mètres d'ouverture, ayant à l'intrados 13 mètres de flèche, et une largeur de 7 mètres entre les garde-corps, avec une chaussée de 5 mètres de largeur et 0m15 d'épaisseur. Le Mémoire de M. Bresse sur la résistance des pièces courbes contient les formules propres à déterminer la pression que supportent les arcs; elles sont, dans son Mémoire, désignées par Ri, R2, Ti, T2, K2 représente le maximum de pression résultant d'une charge uniformément répartie; ri la même quantité pour un poids additionnel placé au milieu de l'arc. Ces quantités sont exprimées par les formules suivantes: Les quantités bb, XX, P-P-t T, sont, comme on l'a dit, fonctions du rapport qui existe entre la demi-ouverture a du pont et la flèche de l'arc. Elles peuvent être déterminées dans chaque cas particulier, au moyen des formules spéciales données par M. Bresse. On a, dans le cas qui nous occupe : a = 32m50, b = 1,221, X = 0.5858, X4 = 0.4247, bl = 1.8887, j. — 0.6244, jot = 0.00621, T = 0.2445. L'ensemble des arcs et de la côte d'arête, pour un côté du pont, peut être (abstraction faite, comme nous l'avons dit, des nervures) représenté sensiblement, quant aux dimensions, par les cotes inscrites dans la figure 5, planche VI, qui servirait, en prenant le double des parties pleines, à déterminer la surface m qui est celle de la section soumise à la compression. On a ainsi to = 0,800 x 14. La quantité I (moment d'inertie) pourra être calculée d'après les formes et les dimensions que l'on vient d'arrêter pour la réunion de deux rangs de voussoirs, accompagnés de la cote d'arête. Ainsi, en négligeant pour cette côte la liaison qui existe entre les deux parties C, D, on a, pour un côté du pont : et, pour l'ensemble des arcs, I = 0.041. La valeur
X4 = 0.4247, bl = 1.8887, j. — 0.6244, jot = 0.00621, T = 0.2445. L'ensemble des arcs et de la côte d'arête, pour un côté du pont, peut être (abstraction faite, comme nous l'avons dit, des nervures) représenté sensiblement, quant aux dimensions, par les cotes inscrites dans la figure 5, planche VI, qui servirait, en prenant le double des parties pleines, à déterminer la surface m qui est celle de la section soumise à la compression. On a ainsi to = 0,800 x 14. La quantité I (moment d'inertie) pourra être calculée d'après les formes et les dimensions que l'on vient d'arrêter pour la réunion de deux rangs de voussoirs, accompagnés de la cote d'arête. Ainsi, en négligeant pour cette côte la liaison qui existe entre les deux parties C, D, on a, pour un côté du pont : et, pour l'ensemble des arcs, I = 0.041. La valeur de p (poids du pont par mètre courant, supposé uniformément réparti sur la longueur du tablier) se compose : 1° du poids de la fonte et des fers employés dans la construction ; 2° de la chaussée en empierrement; 3° de la charge d'épreuve supposée de 200 kilogr. par mètre carré ou tablier. (Pour simplifier les calculs, on appliquera toutes les données à un arc moyen supposé passant par le centre des voussoirs, et sur lequel s'appuie également l'arc moyen des contreforts ou arcs-boutants.) Détermination de la valeur de p. Poids de la fonte. — Les arcs principaux et arcs supplémentaires ont les mêmes dimensions et un développement, ensemble, de 104m60 sur une section de 0,60m14; le poids de la fonte étant de 7,200 kilogr. par mètre cube, le poids total des arcs sera de 75,436 kilogr. que nous supposerons réparti uniformément sur la longueur du tablier, d'où il résulte, par mètre courant, un poids de 1,622 kilogr. pour la fonte des armatures des 195 poutres transversales, dont trois par mètre courant, pour chaque mètre. Poids des fers, par mètre courant 896 kilogr. 896 • 79 Poids total des fers et fontes 3,472 kilogr. Chaussée en empierrement, 0,75 par mètre
carré ou tablier. (Pour simplifier les calculs, on appliquera toutes les données à un arc moyen supposé passant par le centre des voussoirs, et sur lequel s'appuie également l'arc moyen des contreforts ou arcs-boutants.) Détermination de la valeur de p. Poids de la fonte. — Les arcs principaux et arcs supplémentaires ont les mêmes dimensions et un développement, ensemble, de 104m60 sur une section de 0,60m14; le poids de la fonte étant de 7,200 kilogr. par mètre cube, le poids total des arcs sera de 75,436 kilogr. que nous supposerons réparti uniformément sur la longueur du tablier, d'où il résulte, par mètre courant, un poids de 1,622 kilogr. pour la fonte des armatures des 195 poutres transversales, dont trois par mètre courant, pour chaque mètre. Poids des fers, par mètre courant 896 kilogr. 896 • 79 Poids total des fers et fontes 3,472 kilogr. Chaussée en empierrement, 0,75 par mètre courant, pesant 1,125 kilogr. Charge d'épreuve, à raison de 200 kilogr. par mètre carré 1,400 kilogr. Poids total au moment de l'épreuve. 5,997 kilogr. On prendra pour la valeur de p le nombre 6,000 kilogr. pour l'application de la formule R2. En divisant par 11 tous les termes du second membre de R2, et en faisant la quantité I = K, la formule devient : 0 En l'appliquant aux données de la question, on a : Pression maximale au moment de l'épreuve du pont. La pression par mètre carré (unité superficielle) étant de 4,053,209 kilogr., la pression par millimètre carré, au moment des épreuves, sera de 4 kilogr. Pression permanente maximale. On voit que la valeur de JR2 est proportionnelle à celle de p ; or, dans l'état permanent, p est diminué de 1,400 kilogr. formant la charge d'épreuve, et devient égal à 4,600 kilogr. En appelant x la nouvelle valeur de JR2, on a : 4,053,209 : x :: 6,000 : 4,600. La pression permanente pour l'unité superficielle donnée par la valeur de x est 3,175,016 kilogr., soit, par millimètre carré, 3 kilogr. Si l'on cherche l'augmentation de pression qui résulte d'une charge additionnelle placée au milieu du pont,
membre de R2, et en faisant la quantité I = K, la formule devient : 0 En l'appliquant aux données de la question, on a : Pression maximale au moment de l'épreuve du pont. La pression par mètre carré (unité superficielle) étant de 4,053,209 kilogr., la pression par millimètre carré, au moment des épreuves, sera de 4 kilogr. Pression permanente maximale. On voit que la valeur de JR2 est proportionnelle à celle de p ; or, dans l'état permanent, p est diminué de 1,400 kilogr. formant la charge d'épreuve, et devient égal à 4,600 kilogr. En appelant x la nouvelle valeur de JR2, on a : 4,053,209 : x :: 6,000 : 4,600. La pression permanente pour l'unité superficielle donnée par la valeur de x est 3,175,016 kilogr., soit, par millimètre carré, 3 kilogr. Si l'on cherche l'augmentation de pression qui résulte d'une charge additionnelle placée au milieu du pont, la plus grande tendance à la déformation a lieu pour le sommet, ainsi que le prouvent les calculs appliqués aux formules et de M. Bresse, dont la première représente l'augmentation de pression qui a lieu entre le sommet et le point moyen neutre, et la deuxième la même augmentation entre ce point et les naissances de l'arc. En substituant à l'équivalent K, cette formule devient 2TZ représente dans la formule le poids additionnel placé au milieu. En admettant pour x le chiffre de 10,000 kilogr., ce qui suppose une charge additionnelle de 20,000 kilogr. concentrée au milieu du pont, circonstance impossible à réaliser d’une manière absolue, on aurait dans le cas qui nous occupe : La pression par unité superficielle se trouve ainsi accrue de 1,879,271 kil., soit, par millimètre carré, de 88. Pression maximale résultant de la charge accidentelle ajoutée à telle de l'épreuve. En ajoutant cette pression accidentelle à celle qui résulte de la charge d'épreuve, condition qui aurait pour but d'outrer les épreuves qu'on pourrait s'imposer, la somme des pressions maxima serait 4,305 + 188 = 5,493. Ainsi, avec les données que nous avons prises, on ne pourrait atteindre la limite de 6 kil. par millimètre carré,
ce point et les naissances de l'arc. En substituant à l'équivalent K, cette formule devient 2TZ représente dans la formule le poids additionnel placé au milieu. En admettant pour x le chiffre de 10,000 kilogr., ce qui suppose une charge additionnelle de 20,000 kilogr. concentrée au milieu du pont, circonstance impossible à réaliser d’une manière absolue, on aurait dans le cas qui nous occupe : La pression par unité superficielle se trouve ainsi accrue de 1,879,271 kil., soit, par millimètre carré, de 88. Pression maximale résultant de la charge accidentelle ajoutée à telle de l'épreuve. En ajoutant cette pression accidentelle à celle qui résulte de la charge d'épreuve, condition qui aurait pour but d'outrer les épreuves qu'on pourrait s'imposer, la somme des pressions maxima serait 4,305 + 188 = 5,493. Ainsi, avec les données que nous avons prises, on ne pourrait atteindre la limite de 6 kil. par millimètre carré, pour la pression à laquelle on soumettrait la fonte. Pression maximale résultant de la charge additionnelle ajoutée à la charge permanente. Si, ce qui paraît plus admissible, on se contente de chercher l'effet qui résulte d'un poids accidentel de 20,000 kilogr. concentré au milieu du pont, ajouté à la charge permanente du tablier, il faudra ajouter les deux quantités 3,811 et 188. On trouve, dans ce cas, pour le maximum de pression par millimètre carré, qui aurait lieu accidentellement, 4 kil. 93. Effet des charges accidentelles comparées à un poids uniformément réparti sur la longueur du tablier. On a vu par les formules que la pression par millimètre carré de la section de la fonte est proportionnelle à p, ou au poids uniformément réparti sur la longueur du tablier; on peut donc conclure de la pression accidentelle, 1 kil. 88, résultant de la charge additionnelle de 20,000 kil., le poids par mètre courant qui serait censé ajouté à p. En l'appelant p', il sera donné par la proportion : p' : p :: x : 6,000 kil. :: 1.88 : 4.05. On tire de là x = 2,786 kil. Ainsi, l'effet de la charge additionnelle de 20,000 kil. au milieu
permanente du tablier, il faudra ajouter les deux quantités 3,811 et 188. On trouve, dans ce cas, pour le maximum de pression par millimètre carré, qui aurait lieu accidentellement, 4 kil. 93. Effet des charges accidentelles comparées à un poids uniformément réparti sur la longueur du tablier. On a vu par les formules que la pression par millimètre carré de la section de la fonte est proportionnelle à p, ou au poids uniformément réparti sur la longueur du tablier; on peut donc conclure de la pression accidentelle, 1 kil. 88, résultant de la charge additionnelle de 20,000 kil., le poids par mètre courant qui serait censé ajouté à p. En l'appelant p', il sera donné par la proportion : p' : p :: x : 6,000 kil. :: 1.88 : 4.05. On tire de là x = 2,786 kil. Ainsi, l'effet de la charge additionnelle de 20,000 kil. au milieu peut être représenté, quant à la pression qu'elle exerce sur la fonte, par un nouveau poids de 2,785 kil. par mètre courant, et pour tout le pont, de 181,025 kil. équivalant à 9.05 fois la charge additionnelle. Pression de la construction sur les culées. La composante horizontale des efforts que la construction exerce sur la maçonnerie des culées, et à laquelle on doit s'opposer pour en éviter le renversement, est déterminée dans les formules de M. Bresse, en appelant cette quantité Q; pour un côté du pont, on a Q = 6pa. Dans l'exemple ci-dessus, 6 = 1,221, p = 6,000, a = 32,50 ; d'où résulte, par ce calcul, Q = 238,095 kil. En négligeant la résistance du massif de la culée placée entre les arcs, chaque mur placé dans le prolongement d'un arc devra résister à une force ayant en intensité 119,047 kil. 50, et agissant à une hauteur de 6 mètres. Le moment de cette force en faisant H = 6, est représenté par qH = 119,047 50 X 6 = 714,285. Pression exercée par les arcs supplémentaires. Suivant les dispositions que nous avons adoptées sur la construction du pont, le quart du tablier est, de chaque
la construction exerce sur la maçonnerie des culées, et à laquelle on doit s'opposer pour en éviter le renversement, est déterminée dans les formules de M. Bresse, en appelant cette quantité Q; pour un côté du pont, on a Q = 6pa. Dans l'exemple ci-dessus, 6 = 1,221, p = 6,000, a = 32,50 ; d'où résulte, par ce calcul, Q = 238,095 kil. En négligeant la résistance du massif de la culée placée entre les arcs, chaque mur placé dans le prolongement d'un arc devra résister à une force ayant en intensité 119,047 kil. 50, et agissant à une hauteur de 6 mètres. Le moment de cette force en faisant H = 6, est représenté par qH = 119,047 50 X 6 = 714,285. Pression exercée par les arcs supplémentaires. Suivant les dispositions que nous avons adoptées sur la construction du pont, le quart du tablier est, de chaque côté, supporté par les arcs supplémentaires. Si l'on cherche la valeur de p (poids par mètre courant porté par les arcs supplémentaires) qui doit servir à déterminer l'action qu'ils exercent sur les arcs principaux à leur point de rencontre en d, il y faut ajouter le poids des arcs eux-mêmes sur un développement de 16m60, avec la section connue de 0,14, il est, pour la fonte et pour les deux arcs d'amont et d'aval d'une même extrémité du pont, de 16,733 kil. faisant, par mètre courant, sur la longueur de 16m25, 1,029 kil. 70 Fonte pour les poutres et trottoirs comme pour les arcs principaux 953 80 Fers du tablier, tiges, etc. 896 79 Poids des fers et fontes. 2,880 29 Chaussée en empierrement 1,125 Charge d'épreuve. 1,400 Valeur de p', pour les arcs supplémentaires, au moment de l'épreuve. 5,405 kil. 29 On supposera p' égal à 5,400 kil. On trouve, par le calcul, que la flèche de l'arc cd est égale à 2m942 (pl. VI, fig. 6). Si l'on détermine, au moyen de cette flèche et de la corde bd= 16m2â, la valeur applicable à l'arc cd du coefficient b, qui entre dans la détermination de la composante horizontale
sur un développement de 16m60, avec la section connue de 0,14, il est, pour la fonte et pour les deux arcs d'amont et d'aval d'une même extrémité du pont, de 16,733 kil. faisant, par mètre courant, sur la longueur de 16m25, 1,029 kil. 70 Fonte pour les poutres et trottoirs comme pour les arcs principaux 953 80 Fers du tablier, tiges, etc. 896 79 Poids des fers et fontes. 2,880 29 Chaussée en empierrement 1,125 Charge d'épreuve. 1,400 Valeur de p', pour les arcs supplémentaires, au moment de l'épreuve. 5,405 kil. 29 On supposera p' égal à 5,400 kil. On trouve, par le calcul, que la flèche de l'arc cd est égale à 2m942 (pl. VI, fig. 6). Si l'on détermine, au moyen de cette flèche et de la corde bd= 16m2â, la valeur applicable à l'arc cd du coefficient b, qui entre dans la détermination de la composante horizontale produite par la charge p sur l'arc, on trouve : b = 2,646. La force horizontale agissant dans la direction bd donnée par la formule devient : bp' = 2,646 X 5,400 X 16.25 = 132,180 kil. En représentant cette force par la ligne db et en la décomposant suivant les côtés dm et dh du parallélogramme rectangle, la ligne dm représenterait son intensité dans le sens du rayon, et dh la valeur de la pression opposée à celle exercée perpendiculairement à la section des arcs principaux par les poids dont est chargé l'arc dsd. On a dh = db X cos. (bdh). Or, l'angle bdh = dab = 20° 11' 30". En effectuant les calculs, on trouve pour l'intensité de la force hd, 124,056 kil. Si l'on divise cette quantité par co = 0,14, qui représente la section des arcs, on aura la valeur de la pression par unité superficielle qui agit en sens contraire de celle qui tend à produire la déformation des arcs principaux; on trouve, en appelant cette pression T: d'où résulte, par millimètre carré, une pression de 68.886. Résultat de cette pression, et réduction qu'elle opère sur celle exercée par le poids du pont et
les côtés dm et dh du parallélogramme rectangle, la ligne dm représenterait son intensité dans le sens du rayon, et dh la valeur de la pression opposée à celle exercée perpendiculairement à la section des arcs principaux par les poids dont est chargé l'arc dsd. On a dh = db X cos. (bdh). Or, l'angle bdh = dab = 20° 11' 30". En effectuant les calculs, on trouve pour l'intensité de la force hd, 124,056 kil. Si l'on divise cette quantité par co = 0,14, qui représente la section des arcs, on aura la valeur de la pression par unité superficielle qui agit en sens contraire de celle qui tend à produire la déformation des arcs principaux; on trouve, en appelant cette pression T: d'où résulte, par millimètre carré, une pression de 68.886. Résultat de cette pression, et réduction qu'elle opère sur celle exercée par le poids du pont et de l'épreuve, sur les arcs principaux. L'effet des arcs supplémentaires est donc de réduire de 0.886 par millimètre carré la pression à laquelle serait soumise, lors des épreuves, la fonte employée dans la construction des arcs principaux. 4k La pression maximale que nous avons trouvée plus haut, de 4k 05, serait réduite ainsi à 3k 164. Résistance des poutres en fer du tablier. Les poutres qui supportent le tablier sont au nombre de trois par mètre courant; elles sont formées par un fer à T courbé en sortant du laminoir, reliées verticalement par des montants boulonnés sur les poutres et sur les tirants horizontaux qui leur servent d'entraits. Elles forment ainsi des poutres armées. La section du fer est de 0,016 mètres carrés pour chaque poutre, et de 0,01 mètres carrés pour les deux tirants horizontaux. Le poids total du tablier, par mètre courant, est pour fonte et fer, de 1,806 kilogrammes 99. Chaussée, 1,125 kilogrammes. Charge d'épreuve, 1,400 kilogrammes. Poids, par mètre courant, du tablier chargé, 4,331 kilogrammes 99. Le poids supporté par chaque poutre sera de 1,444 kilogrammes. Soit, par mètre courant de la poutre, 206,30 kilogrammes. Pour rendre plus simple le calcul des efforts exercés sur chaque
serait réduite ainsi à 3k 164. Résistance des poutres en fer du tablier. Les poutres qui supportent le tablier sont au nombre de trois par mètre courant; elles sont formées par un fer à T courbé en sortant du laminoir, reliées verticalement par des montants boulonnés sur les poutres et sur les tirants horizontaux qui leur servent d'entraits. Elles forment ainsi des poutres armées. La section du fer est de 0,016 mètres carrés pour chaque poutre, et de 0,01 mètres carrés pour les deux tirants horizontaux. Le poids total du tablier, par mètre courant, est pour fonte et fer, de 1,806 kilogrammes 99. Chaussée, 1,125 kilogrammes. Charge d'épreuve, 1,400 kilogrammes. Poids, par mètre courant, du tablier chargé, 4,331 kilogrammes 99. Le poids supporté par chaque poutre sera de 1,444 kilogrammes. Soit, par mètre courant de la poutre, 206,30 kilogrammes. Pour rendre plus simple le calcul des efforts exercés sur chaque poutre, on lui supposera, eu égard à sa faible courbure, la forme parabolique, et on déterminera le maximum de pression sur l'unité superficielle, par la formule de Navier (Leçons de mécanique appliquée): T est la pression qu'il faut déterminer. Nous prendrons p = 206,30 kilogrammes, a = 1/2 corde de l'arc = 3,50 mètres, b = flèche de l'arc = 0,402 mètre, w = poids placé au sommet et ajouté à celui des épreuves, il est supposé égal à 3,600 kilogrammes, ce qui fait une charge additionnelle de 10,800 kilogrammes placée sur un mètre courant du tablier et portant sur le milieu de chaque poutre. En appliquant ces nombres dans la formule, on a : T = 3,159 kilogrammes + 330,08 kilogrammes + 1,800 x 6,89 = 15,891 kilogrammes. Si l'on divise T par la section (J) = 0,0016 mètre carré de la poutre, on a pour la pression sur l'unité superficielle, au moment de cette charge exceptionnelle : Cette pression serait, par millimètre carré, de 9,93 kilogrammes. La tension horizontale, sur les tirants, que nous appellerons q, serait représentée par la formule D'où l'on tire q = 15,651. La section des tirants étant de 0,001 mètre carré, la tension
l'arc = 3,50 mètres, b = flèche de l'arc = 0,402 mètre, w = poids placé au sommet et ajouté à celui des épreuves, il est supposé égal à 3,600 kilogrammes, ce qui fait une charge additionnelle de 10,800 kilogrammes placée sur un mètre courant du tablier et portant sur le milieu de chaque poutre. En appliquant ces nombres dans la formule, on a : T = 3,159 kilogrammes + 330,08 kilogrammes + 1,800 x 6,89 = 15,891 kilogrammes. Si l'on divise T par la section (J) = 0,0016 mètre carré de la poutre, on a pour la pression sur l'unité superficielle, au moment de cette charge exceptionnelle : Cette pression serait, par millimètre carré, de 9,93 kilogrammes. La tension horizontale, sur les tirants, que nous appellerons q, serait représentée par la formule D'où l'on tire q = 15,651. La section des tirants étant de 0,001 mètre carré, la tension qu'ils éprouveraient serait de 15,62 kilogrammes par millimètre carré. Le poids de 6,500 kilogrammes placé au milieu du pont est à peu près équivalent, pour la pression qu'il produit, à une charge additionnelle de 6,500 kilogrammes répartie uniformément sur la longueur de la poutre. Résistance d'une poutre, en tenant compte de la liaison entre la partie courbe et les tirants. Le mode de construction des poutres établit une liaison complète entre la partie supérieure et les entraits, au moyen des armatures boulonnées sur ces pièces. Il paraît, dès lors, rationnel de tenir compte de cette liaison pour déterminer l'effort qu'on peut faire supporter à une poutre chargée en son milieu. En appelant P ce poids, et en conservant les dénominations données aux quantités a et b ci-dessus, en désignant par h la hauteur totale de la poutre, par h' la hauteur comprise entre la partie courbe et les tirants, on a : En prenant pour R la résistance à la compression qui n'altère pas l'élasticité, c'est-à-dire R = 6,000,000 et faisant a = 3,50 mètres, b = 0,10 mètre, h = 0,45 mètre, h' = 0,30 mètre, on a P = 2,709 kilogrammes. Ainsi, chaque poutre pourrait supporter d'une manière
de la liaison entre la partie courbe et les tirants. Le mode de construction des poutres établit une liaison complète entre la partie supérieure et les entraits, au moyen des armatures boulonnées sur ces pièces. Il paraît, dès lors, rationnel de tenir compte de cette liaison pour déterminer l'effort qu'on peut faire supporter à une poutre chargée en son milieu. En appelant P ce poids, et en conservant les dénominations données aux quantités a et b ci-dessus, en désignant par h la hauteur totale de la poutre, par h' la hauteur comprise entre la partie courbe et les tirants, on a : En prenant pour R la résistance à la compression qui n'altère pas l'élasticité, c'est-à-dire R = 6,000,000 et faisant a = 3,50 mètres, b = 0,10 mètre, h = 0,45 mètre, h' = 0,30 mètre, on a P = 2,709 kilogrammes. Ainsi, chaque poutre pourrait supporter d'une manière permanente, sans altération, un poids de 2,709 kilogrammes placé en son milieu, et, comme charge accidentelle, les 2/3 en sus, c'est-à-dire 4,500 kilogrammes, en faisant R = 10,000,000. Résistance des tiges de suspension. On prendrait pour diamètre des tiges de suspension 0,03 mètre; la section serait, pour chacune d'elles, de 0,710 mètre carré, et si on les suppose espacées de 1 mètre, on aura pour supporter le tablier, sur la longueur de 1 mètre, deux tiges présentant une section de 1,420 mètre carré. On a vu que le poids du tablier, par mètre courant, au moment de l'épreuve, était de 4,332 kilogrammes. Les tiges n'auraient donc à supporter alors qu'une tension, par millimètre carré, de 3,05 kilogrammes. Si l'on admet une charge accidentelle et qu'on porte la tension à 14 kilogrammes par millimètre carré, on trouve pour la charge qu'on pourrait faire subir aux deux tiges, le poids de 20,000 kilogrammes. Calcul des dimensions pour la résistance à opposer à la pression sur les culées. On a vu plus haut que le moment QH de la pression horizontale exercée sur les culées, à la naissance des arcs, était, pour un des arcs, de 714,285 kilogrammes; en donnant aux murs placés