jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
mobile, à ce moment, est au point culminant de sa trajectoire, puisqu'il cesse de monter pour descendre. Soit alors \(I\) sa projection sur l'horizontale \(OA\). En prenant pour unité de temps, le temps écoulé depuis le départ jusqu'au moment considéré, on voit que la vitesse initiale est représentée par \(OH\); la vitesse constante horizontale par \(01\), et la vitesse initiale verticale par \(IH\). En sorte que si \(y\) désigne l'accélération, c'est-à-dire l'accroissement de la vitesse dans l'unité de temps, on aura \[IH-y=0\] ou \(y=IH\). Menons \(ON\), normale à \(OH\). On a \[01=1N\times III.\] Si l'unité de temps est la seconde, on exprimera que l'unité choisie ici \(011\) vaut \(1\) seconde; dès lors, la vitesse initiale par seconde est \(a\), l'accélération par seconde étant \(g\) on a aussi \(y=gt\). Du vecteur, la vitesse verticale devant être annulée par l'accélération \(y\) due au temps, il en résulte \(y=gt\) ou \(IH=gt\). Soit maintenant \(M\) une position du mobile sur sa trajectoire : la vitesse verticale est à ce moment \(S\). Donc, si on mène la tangente à la trajectoire \(ML\), on voit que, en vertu de la théorie de la composition des vitesses \(MK=ML.KL\), il résulte \(KL=IN\). Donc la sous-normale \(IN\) étant constante en vertu de la relation (\(1\)), où \(01\) et \(IH\) sont les composantes données de la vitesse initiale, on voit que : Le lieu des points \(M\) est une parabole de paramètre \(IN\), et dont l'axe est la verticale \(IH\). Le sommet est donc le point culminant \(B\); et l'on obtiendra son foyer \(F\) et sa directrice \(DD'\) en prenant \(BF=RD\). Remarquons que le point \(D'\) est précisément, d'après ce qui précède, le point culminant de la trajectoire d'un mobile lancé verticalement suivant \(OD'\), avec la même vitesse \(OH\). On voit encore par ce qui précède que la parabole coupe l'horizontale \(01\) en \(A\), tel que \(OA=2OD\): la vitesse verticale en ce point est donc égale et de signe contraire à la vitesse verticale initiale. En sorte que les vitesses en \(A\) et \(0\) sont égales, contraires et symétriques par rapport au milieu \(I\). D'autre part, d'après les propriétés de
en vertu de la relation (\(1\)), où \(01\) et \(IH\) sont les composantes données de la vitesse initiale, on voit que : Le lieu des points \(M\) est une parabole de paramètre \(IN\), et dont l'axe est la verticale \(IH\). Le sommet est donc le point culminant \(B\); et l'on obtiendra son foyer \(F\) et sa directrice \(DD'\) en prenant \(BF=RD\). Remarquons que le point \(D'\) est précisément, d'après ce qui précède, le point culminant de la trajectoire d'un mobile lancé verticalement suivant \(OD'\), avec la même vitesse \(OH\). On voit encore par ce qui précède que la parabole coupe l'horizontale \(01\) en \(A\), tel que \(OA=2OD\): la vitesse verticale en ce point est donc égale et de signe contraire à la vitesse verticale initiale. En sorte que les vitesses en \(A\) et \(0\) sont égales, contraires et symétriques par rapport au milieu \(I\). D'autre part, d'après les propriétés de la parabole, \(IN=\) constante. Ainsi, la vitesse initiale restant la même, les trajectoires des diverses inclinaisons dans le même plan vertical ont la même directrice. On remarquera aussi que \(OF=OD'=\) constante. Donc, Le lieu des foyers de toutes ces paraboles est une circonférence dont le centre est l'origine et qui est tangente à la directrice commune. Si l'on considère que la tangente \(OH\) est perpendiculaire au milieu de \(FD'\) en \(G\), on conclut que lorsque l'inclinaison varie seule, l'angle \(OCD'\) reste droit, et que par suite le lieu des points \(C\) est une circonférence de diamètre \(OD'\). Or, \(B'C=CB=-\); on peut donc dire, d'après les propriétés de l'ellipse projection du cercle, que Le lieu des sommets des trajectoires est une ellipse dont l'axe horizontal est le double de l'axe vertical \(OD'\). Considérons à présent la sécante \(OFP\) et la tangente \(VV\); cette dernière, est perpendiculaire au milieu de \(FT\). Si on mène la parallèle \(OP\) à \(PT\), il en résulte \(OV=VP\). On a \(PR=PT+TR\). Or, en vertu de la similitude, les triangles \(FVT\) et \(OYF\), on conclut que \(PT=OY=OF=OD'\). Donc \(PR=OD'+TR=2OD'\). Ainsi, la position du point \(P\) est indépendante de l'inclinaison de \(OK\), et on voit que le lieu des
est tangente à la directrice commune. Si l'on considère que la tangente \(OH\) est perpendiculaire au milieu de \(FD'\) en \(G\), on conclut que lorsque l'inclinaison varie seule, l'angle \(OCD'\) reste droit, et que par suite le lieu des points \(C\) est une circonférence de diamètre \(OD'\). Or, \(B'C=CB=-\); on peut donc dire, d'après les propriétés de l'ellipse projection du cercle, que Le lieu des sommets des trajectoires est une ellipse dont l'axe horizontal est le double de l'axe vertical \(OD'\). Considérons à présent la sécante \(OFP\) et la tangente \(VV\); cette dernière, est perpendiculaire au milieu de \(FT\). Si on mène la parallèle \(OP\) à \(PT\), il en résulte \(OV=VP\). On a \(PR=PT+TR\). Or, en vertu de la similitude, les triangles \(FVT\) et \(OYF\), on conclut que \(PT=OY=OF=OD'\). Donc \(PR=OD'+TR=2OD'\). Ainsi, la position du point \(P\) est indépendante de l'inclinaison de \(OK\), et on voit que le lieu des points \(V\) est une parabole dont l'origine \(0\) est le foyer, et dont la directrice est horizontale \(PP'\). Elle est tangente en \(V\) à la tangente \(VV\), puisque \(VV\) est perpendiculaire sur \(OP\). Donc elle est aussi tangente à la parabole \(OMV\), quelle que soit l'inclinaison \(OK\). En sorte qu'un objet placé en dehors de cette parabole ne peut être atteint sous aucune inclinaison avec la vitesse donnée initiale : c'est ce lieu qui porte le nom de parabole de sûreté. Donc Toutes les paraboles sont tangentes à la parabole de sûreté, qui est leur enveloppe, chacune en un point situé sur la droite qui joint son foyer à celui de la parabole de sûreté. Il résulte encore de la loi de composition des mouvements, que \(SM\) est la chute due à la pesanteur seule pendant le temps écoulé depuis l'origine jusqu'à la prise de position \(M\). Si donc on fait \(OE=SM\), on voit que dans le parallélogramme \(OEMS\), \(EM=OS\). C'est-à-dire que, quelle que soit l'inclinaison, tous les projectiles lancés au même instant du point \(o\) avec la même vitesse sont au même moment à la même distance du point \(E\). En sorte que Si on lance, d'une origine commune,
objet placé en dehors de cette parabole ne peut être atteint sous aucune inclinaison avec la vitesse donnée initiale : c'est ce lieu qui porte le nom de parabole de sûreté. Donc Toutes les paraboles sont tangentes à la parabole de sûreté, qui est leur enveloppe, chacune en un point situé sur la droite qui joint son foyer à celui de la parabole de sûreté. Il résulte encore de la loi de composition des mouvements, que \(SM\) est la chute due à la pesanteur seule pendant le temps écoulé depuis l'origine jusqu'à la prise de position \(M\). Si donc on fait \(OE=SM\), on voit que dans le parallélogramme \(OEMS\), \(EM=OS\). C'est-à-dire que, quelle que soit l'inclinaison, tous les projectiles lancés au même instant du point \(o\) avec la même vitesse sont au même moment à la même distance du point \(E\). En sorte que Si on lance, d'une origine commune, des projectiles dans toutes les directions d'un plan vertical, avec une même vitesse, ils se trouvent au même moment sur une circonférence qui a pour centre la position d'un mobile abandonné de l'origine en chute libre, au moment de la projection. Tous ces théorèmes se transforment aisément au moyen des figures de révolution, pour des directions quelconques de l'espace: on obtient : \(1°\) un plan, lieu des directrices; \(2°\) une sphère fixe, lieu des foyers ; \(3°\) un ellipsoïde de révolution aplati, lieu des sommets ; \(4°\) un paraboloïde de révolution de sûreté; \(5°\) une sphère de centre mobile, lieu des projectiles au même instant. N. GOFFART. TANGENTE A L'ELLIPSE CONSTRUCTION PAR M. N. GOFFART. Il s'agit de construire une tangente en un point d'une ellipse en se servant exclusivement de deux diamètres conjugués donnés de grandeur et de position. Soit d'abord un cercle de centre O, deux diamètres perpendiculaires AA' et BB', et un point M pris sur le quadrant AB. Menons la tangente MO et la corde MA, ainsi que BE parallèle à cette corde (E est un point du cercle). Les arcs MB et AE sont égaux comme segments compris entre deux parallèles : donc EAM =
figures de révolution, pour des directions quelconques de l'espace: on obtient : \(1°\) un plan, lieu des directrices; \(2°\) une sphère fixe, lieu des foyers ; \(3°\) un ellipsoïde de révolution aplati, lieu des sommets ; \(4°\) un paraboloïde de révolution de sûreté; \(5°\) une sphère de centre mobile, lieu des projectiles au même instant. N. GOFFART. TANGENTE A L'ELLIPSE CONSTRUCTION PAR M. N. GOFFART. Il s'agit de construire une tangente en un point d'une ellipse en se servant exclusivement de deux diamètres conjugués donnés de grandeur et de position. Soit d'abord un cercle de centre O, deux diamètres perpendiculaires AA' et BB', et un point M pris sur le quadrant AB. Menons la tangente MO et la corde MA, ainsi que BE parallèle à cette corde (E est un point du cercle). Les arcs MB et AE sont égaux comme segments compris entre deux parallèles : donc EAM = AMB ; et MOP = un droit, c'est-à-dire que OE est parallèle à MO. Remarquons en outre qu'il n'est pas nécessaire d'avoir tracé le cercle pour connaître le point E. En effet, si du centre on abaisse une perpendiculaire sur MA, on sait que cette perpendiculaire coupe BE en son milieu D. Si l'on projette la figure sur un plan, la circonférence deviendra une ellipse de centre O; les diamètres AA' et BB donneront deux diamètres conjugués aa' et bb; les cordes parallèles MA et BE donneront les cordes parallèles xa et xb; le milieu D de BE se projettera au milieu S de xb; et enfin la tangente MG et le rayon OE qui lui est parallèle donneront une tangente yy et un rayon ws parallèles. On tire donc de là la construction fort simple que voici : Pour avoir la tangente en un point M d'une ellipse dont on donne les diamètres conjugués OMO' et bb, on mène la corde xa et l'on joint son milieu au centre O, par une droite qui rencontre en S, la parallèle xb à [KOL. On prend S = S(3 et l'on joint iw, flreste à mener xb parallèle à si. N.
milieu D. Si l'on projette la figure sur un plan, la circonférence deviendra une ellipse de centre O; les diamètres AA' et BB donneront deux diamètres conjugués aa' et bb; les cordes parallèles MA et BE donneront les cordes parallèles xa et xb; le milieu D de BE se projettera au milieu S de xb; et enfin la tangente MG et le rayon OE qui lui est parallèle donneront une tangente yy et un rayon ws parallèles. On tire donc de là la construction fort simple que voici : Pour avoir la tangente en un point M d'une ellipse dont on donne les diamètres conjugués OMO' et bb, on mène la corde xa et l'on joint son milieu au centre O, par une droite qui rencontre en S, la parallèle xb à [KOL. On prend S = S(3 et l'on joint iw, flreste à mener xb parallèle à si. N. GOFFART. Examen de fin d'études. Littérature — Le siècle de Louis XIV par Voltaire ; mérites et défauts de cet ouvrage. Mathématiques. — 1° Calculer l'annuité nécessaire pour amortir au bout de 25 années une dette de 100,000 fr qu'on emprunte aujourd'hui ; les intérêts se capitaliseront à 4/2 p. 100 par an. 2° On donne dans le plan horizontal un point a à 5 centimètres de LT, et on propose : 1° Mener par ce point a un plan P qui fasse un angle de 60° avec des plans de projection ; 2° De trouver sur une parallèle à LT passant par le point b deux points h et c dont la distance au plan P soit 2 centimètres ; 3° De déterminer dans le plan P un point qui avec b et c forme un triangle équilatéral. 3° Montrer qu'à sa conjonction inférieure, Vénus doit avoir un mouvement apparent rétrograde. Physique. — 1° Electrisation par influence, 2° Un observateur, l'oeil placé en O devant un miroir de verre étamé à faces parallèles, voit deux images P1 et P2 d'un même point P. Ces images, formées par réflexion sur les deux faces AB et CD, sont distantes l'une de
100 par an. 2° On donne dans le plan horizontal un point a à 5 centimètres de LT, et on propose : 1° Mener par ce point a un plan P qui fasse un angle de 60° avec des plans de projection ; 2° De trouver sur une parallèle à LT passant par le point b deux points h et c dont la distance au plan P soit 2 centimètres ; 3° De déterminer dans le plan P un point qui avec b et c forme un triangle équilatéral. 3° Montrer qu'à sa conjonction inférieure, Vénus doit avoir un mouvement apparent rétrograde. Physique. — 1° Electrisation par influence, 2° Un observateur, l'oeil placé en O devant un miroir de verre étamé à faces parallèles, voit deux images P1 et P2 d'un même point P. Ces images, formées par réflexion sur les deux faces AB et CD, sont distantes l'une de l'autre de 22 millimètres. On demande quelle est l'épaissese du miroir. Chimie. — Propriétés et usages de l'acide carbonique. — Étude des principaux carbonates industriels. CAEN — 3 NOVEMBRE 1881. Littérature. — Les sanctions de la loi morale. Mathématiques. — 1° Calculer le rayon de base et la hauteur d'un cône de volume donné circonscrit à une sphère donnée. Déterminer le cône de volume minimum et calculer avec les tables l'angle que fait une génératrice avec son axe. 2° Déterminer les projections d'un tétraèdre régulier dont une arête située dans le plan horizontal a un angle de 30° avec LT, tandis qu'une des faces est perpendiculaire au plan vertical. 3° Définir la longitude et la latitude célestes d'un astre; Dire quelles sont la longitude et la latitude du pôle Boréal relatif à la Terre. Physique. — Théorie des piles à courant constant. Chimie. — Acide chlorhydrique ; préparation industrielle et des laboratoires. — Propriétés et usages. 2° Caractères des sols de cuivre et de mercure. CAEN, — 10 NOVEMBRE 1881. Littérature. — Du genre satirique — Analyser les deux satires de Boileau sur l'homme, sat. IV et sat. IX. Mathématiques — 1° Calculer le rayon de base et la hauteur
cône de volume donné circonscrit à une sphère donnée. Déterminer le cône de volume minimum et calculer avec les tables l'angle que fait une génératrice avec son axe. 2° Déterminer les projections d'un tétraèdre régulier dont une arête située dans le plan horizontal a un angle de 30° avec LT, tandis qu'une des faces est perpendiculaire au plan vertical. 3° Définir la longitude et la latitude célestes d'un astre; Dire quelles sont la longitude et la latitude du pôle Boréal relatif à la Terre. Physique. — Théorie des piles à courant constant. Chimie. — Acide chlorhydrique ; préparation industrielle et des laboratoires. — Propriétés et usages. 2° Caractères des sols de cuivre et de mercure. CAEN, — 10 NOVEMBRE 1881. Littérature. — Du genre satirique — Analyser les deux satires de Boileau sur l'homme, sat. IV et sat. IX. Mathématiques — 1° Calculer le rayon de base et la hauteur d'un cylindre droit dont la surface est donnée et qui est inscrit dans un cône droit connu. — Discuter le problème. 2° Construire les projections d'un carré qui a un sommet sur LT, un sommet situé en un point a situé à 3 centimètres du plan horizontal et à 5 centimètres en avant du plan vertical. Enfin les côtés perpendiculaires à celui qui joint les deux sommets dont on a parlé font des angles de 30° avec chacun des plans de projection. 3° Déterminer le mouvement que prend un poids P de 5 kilogrammes posé sur un plan horizontal lisse et attaché à un fil qui passe sur une poulie très mobile, et supporte à son extrémité libre un poids de 2 kilogrammes. Le coefficient de frottement est 0,15; le poids P est d'abord au repos, et la partie du fil qui va du corps à la poulie est horizontal. — Calculer la tension du fil. Physique. — Propriétés des lentilles convergentes. — Applications. Chimie. — 1° Alcool. — Propriétés et usages. 2° Caractères qui permettent de distinguer entre eux les sols de potasse et ceux d'ammoniaque, Brut. AVIS IMPORTANT Nous avons dressé et nous soumettons à nos camarades la
centimètres en avant du plan vertical. Enfin les côtés perpendiculaires à celui qui joint les deux sommets dont on a parlé font des angles de 30° avec chacun des plans de projection. 3° Déterminer le mouvement que prend un poids P de 5 kilogrammes posé sur un plan horizontal lisse et attaché à un fil qui passe sur une poulie très mobile, et supporte à son extrémité libre un poids de 2 kilogrammes. Le coefficient de frottement est 0,15; le poids P est d'abord au repos, et la partie du fil qui va du corps à la poulie est horizontal. — Calculer la tension du fil. Physique. — Propriétés des lentilles convergentes. — Applications. Chimie. — 1° Alcool. — Propriétés et usages. 2° Caractères qui permettent de distinguer entre eux les sols de potasse et ceux d'ammoniaque, Brut. AVIS IMPORTANT Nous avons dressé et nous soumettons à nos camarades la liste des membres de la Société. Malgré tous nos soins, cette liste est inexacte, nous en sommes certain. Les réclamations toujours trop nombreuses qui nous parviennent nous prouvent en effet que plusieurs de nos adresses sont fausses, et que des sociétaires ont changé de résidence sans que nous ayons pu en avoir connaissance. Nous relevons attentivement toutes les mutations au Bulletin du ministère ; mais beaucoup de noms peuvent nous échapper, puisque beaucoup de membres nouveaux nous sont inconnus, ou du moins ne nous sont connus que par nos listes, que nous avouons ne pas posséder dans notre mémoire. D'autre part, il peut arriver que dans un semblable travail nous fassions des confusions de noms ; et les indications de la feuille officielle sont en général insuffisantes pour nous permettre de décider infailliblement si tel ou tel nom nous appartient. Nous pourrions même citer le cas de MM. Cros dont l'un, qui faisait partie de la Société avait cessé de recevoir le Bulletin parce qu'il était envoyé à l'autre qui n'en faisait pas partie encore. Ainsi, à l'avenir, il faudra que nos camarades se donnent la peine de nous faire part eux-mêmes, immédiatement, de leurs changements. Quant à présent, il
en avoir connaissance. Nous relevons attentivement toutes les mutations au Bulletin du ministère ; mais beaucoup de noms peuvent nous échapper, puisque beaucoup de membres nouveaux nous sont inconnus, ou du moins ne nous sont connus que par nos listes, que nous avouons ne pas posséder dans notre mémoire. D'autre part, il peut arriver que dans un semblable travail nous fassions des confusions de noms ; et les indications de la feuille officielle sont en général insuffisantes pour nous permettre de décider infailliblement si tel ou tel nom nous appartient. Nous pourrions même citer le cas de MM. Cros dont l'un, qui faisait partie de la Société avait cessé de recevoir le Bulletin parce qu'il était envoyé à l'autre qui n'en faisait pas partie encore. Ainsi, à l'avenir, il faudra que nos camarades se donnent la peine de nous faire part eux-mêmes, immédiatement, de leurs changements. Quant à présent, il est urgent qu'une révision générale soit faite. Et nous demandons à nos camarades de vouloir bien nous adresser à bref délai, toutes les rectifications d'adresses ou de promotions qui devraient, à leur connaissance, être faites à la liste que nous leur donnons aujourd'hui. Quelques noms ont été rayés de la liste, conséquence de l'envoi des derniers chèques. Certains membres, en retard de trois ou quatre cotisations, saisissent bravement le prétexte de bulletins arrivés irrégulièrement pour refuser net de payer. Nous cessons l'envoi, naturellement ; mais nous regrettons sincèrement de ne pouvoir insérer les épîtres aimables qu'on nous adresse en motivant les refus : nos camarades trouveraient là des échantillons de l'urbanité avec laquelle des professeurs, qui se disent camarades, traitent ceux d'entre leurs confrères qui prennent la peine pour leur rendre ce qu'ils croient être des services. N. GOFFAUT. BULLETIN DE L'ÉCOLE NORMALE. ÉTAT DE LA SOCIÉTÉ AU 13 JANVIER 1884 1866. Auriculosle, sous-principal, c. Mende. Aubriet, c. Béthune. Aubert, 1. Reims. M. 11. Biard, 1. Bordeaux. Bovier-Lapierre, 8, rue Garancière, Paris. 1836. Bayles, Dr é. n. Angers. Bernard (A.), é. Gluny. Bernard (R.), c. Digne. Bierk, c. Cognac. Bihel, c. Lisieux. Bonnodeau, prêtre, Verteuil (Gironde). Bourniquel, 1. Rennes. 1867.
liste, conséquence de l'envoi des derniers chèques. Certains membres, en retard de trois ou quatre cotisations, saisissent bravement le prétexte de bulletins arrivés irrégulièrement pour refuser net de payer. Nous cessons l'envoi, naturellement ; mais nous regrettons sincèrement de ne pouvoir insérer les épîtres aimables qu'on nous adresse en motivant les refus : nos camarades trouveraient là des échantillons de l'urbanité avec laquelle des professeurs, qui se disent camarades, traitent ceux d'entre leurs confrères qui prennent la peine pour leur rendre ce qu'ils croient être des services. N. GOFFAUT. BULLETIN DE L'ÉCOLE NORMALE. ÉTAT DE LA SOCIÉTÉ AU 13 JANVIER 1884 1866. Auriculosle, sous-principal, c. Mende. Aubriet, c. Béthune. Aubert, 1. Reims. M. 11. Biard, 1. Bordeaux. Bovier-Lapierre, 8, rue Garancière, Paris. 1836. Bayles, Dr é. n. Angers. Bernard (A.), é. Gluny. Bernard (R.), c. Digne. Bierk, c. Cognac. Bihel, c. Lisieux. Bonnodeau, prêtre, Verteuil (Gironde). Bourniquel, 1. Rennes. 1867. Bougueret, 1. Saint-Louis, Paris. Bourcier, c. Dreux. Brulard, 1. Lyon. 1808. Baroger, c. Cluny. Beaudet, 1. Grenoble. Bernard (L.), coll, Marmande. Marmande. c. Bayeux. Bourragué, 1. Avignon. 1869. Bouché, c. Salins. Brivet, c. Avallon. 1870. Billière, 1. Agen. Boutonnet, c. Bourgoin. Baylon, c. Castel-Sarrazin. Castel-Sarrazin. 1874. Bézineau, 1. Alger. 1875. Bestel, é. n. Charleville, Blanchard, c. St-Flour 1876. Boudin, c. Auxerre. 1877. Boblin, 1. Douai. 1878. Brion, 1. Coutances. Bellot, c. Bailleul. 1866. Chevallier, 1. p. Bernay. Chiffre, 1. Toulouse. Gommet, 1. Reims. Coste (P.), c. Perpignan. 1867. Cadoref, d. é. n. Alger. Chervin, 10, avenue Victor-Hugo, Paris. 1868. Coderch, 1. Tarbes. Colomyès, s.-pal, c. St-Maixent St-Maixent 1869. Chaverot (présid.), inconnue. Clément, c. Poligny. Combe, 1. Marseille. Coqublin, 1. Nantes, Courtois, c. Laun. 1870. Combier, 1. Moulins. Coste (M.) 1. p. Morceenx (Landes). Couillard, 1. Laval. 1871. Cueuat, 1. Montauban. 1873. Chiron, c. Chalon. Colsenet, c. Montluçon. 1871. Callé, c. Tournus. 1875. Chanal, 1. Valenciennes. Clément, 1. Tours. 1876. Cercelet, 1. St-Denis (Réunion). 1877. Ghauvet, c. Compiègne. 1878. Caralp, c. St-Michel. Clabé, c. Beauvais. Cornaille, c. Gatineau-Thierry Gatineau-Thierry Cayenne. 1878. Charpentier, 1. du Puy. Gros, 1. Bayonne. C. P. 1866. Duruy, 5, rue Médicis, Paris. Dumas, membre de l'Institut. David