jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
résistance tangentielle de frottement; N : charge appliquée) et en abscisse le logarithme du produit aT V : V est la vitesse de déplacement du frotteur, et aT le « shift factor » (multiplicateur) qui est donné par la formule empirique de William, Landel, Ferry (2): Dans cette expression, T est la température ambiante et To une température de référence égale à Tg + 50°C ; Tg : température de transition vitreuse, est pour nos échantillons environ Tg = –70°C. La première utilisation de ce mode de présentation dans le domaine du frottement est due à Grosch (3) et à Tabor (4); ces auteurs concluaient qu'aux basses vitesses de frottement (ce qui est le cas dans les présentes expériences) les processus essentiels sont de nature viscoélastique. L'élément nouveau, mis en évidence par nos observations sur le caoutchouc irradié, est l'existence d'une zone plus ou moins étroite, entourant la valeur (log aT V)critique = 1 (avec V exprimé en micromètres par seconde), dans laquelle se produit une variation brusque du coefficient de frottement; la valeur de ce dernier passe de 3 à 2 environ. Cette zone correspond à l'apparition des ondes de Schallamach : pour des vitesses telles que log aT V < -1, elles ne se forment pas et les surfaces accommodent leur déplacement relatif par relaxation viscoélastique. Pour des valeurs log aT V > -1, les ondes de décollement se forment à l'avant du contact et défilent sous le frotteur. Au voisinage immédiat de log aT V = -1, c'est-à-dire pour V voisin de la vitesse critique Vc relative à une température donnée, on constate que le régime de propagation des ondes de décollement est un peu irrégulier, ce qui influence corrélativement la valeur du coefficient de frottement : les ondes qui se forment alors ne traversent pas toutes l'aire de contact, et certaines « s'évanouissent » en chemin. Le rôle des rides laissées par le polissage de surface de l'échantillon est sans doute à considérer, mais le facteur prépondérant paraît bien être la température : plus elle s'élève, plus l'amplitude du phénomène s'atténue. De toute façon, les limites
V < -1, elles ne se forment pas et les surfaces accommodent leur déplacement relatif par relaxation viscoélastique. Pour des valeurs log aT V > -1, les ondes de décollement se forment à l'avant du contact et défilent sous le frotteur. Au voisinage immédiat de log aT V = -1, c'est-à-dire pour V voisin de la vitesse critique Vc relative à une température donnée, on constate que le régime de propagation des ondes de décollement est un peu irrégulier, ce qui influence corrélativement la valeur du coefficient de frottement : les ondes qui se forment alors ne traversent pas toutes l'aire de contact, et certaines « s'évanouissent » en chemin. Le rôle des rides laissées par le polissage de surface de l'échantillon est sans doute à considérer, mais le facteur prépondérant paraît bien être la température : plus elle s'élève, plus l'amplitude du phénomène s'atténue. De toute façon, les limites supérieures et inférieures des segments tracés parallèlement à l'axe des pour représenter la dispersion des résultats de mesure (fig. 1) prolongent parfaitement les branches de courbe représentant les variations de f pour les valeurs de log aT V inférieures et supérieures à 1. On met ainsi en évidence une discontinuité pour log10 fl TV -1. Les résultats obtenus sous la même charge (20 mN) que précédemment avec le même caoutchouc, cette fois non irradié aux rayons ultraviolets, diffèrent par les valeurs absolues de la vitesse critique observée, qui est nettement plus élevée pour une même température (par exemple 150 μm/s au lieu de 20 μm/s pour T = 21°C), mais traduisent également les caractères spécifiques d'un processus viscoélastique. Cette analogie ne se maintient toutefois que pour une température inférieure à 30°C. Au-dessus de 30°C, la discontinuité observée pour f disparaît, et la courbe représentative comporte seulement une partie plate. On notera, en passant, que, en ce qui concerne l'effet de l'irradiation aux rayons ultraviolets, décrit plus haut, tout se passe donc comme si la température de transition vitreuse Tg de la couche de matériau concernée par le frottement avait été relevée d'au moins 45°C par l'irradiation, puisque la discontinuité est
pour log10 fl TV -1. Les résultats obtenus sous la même charge (20 mN) que précédemment avec le même caoutchouc, cette fois non irradié aux rayons ultraviolets, diffèrent par les valeurs absolues de la vitesse critique observée, qui est nettement plus élevée pour une même température (par exemple 150 μm/s au lieu de 20 μm/s pour T = 21°C), mais traduisent également les caractères spécifiques d'un processus viscoélastique. Cette analogie ne se maintient toutefois que pour une température inférieure à 30°C. Au-dessus de 30°C, la discontinuité observée pour f disparaît, et la courbe représentative comporte seulement une partie plate. On notera, en passant, que, en ce qui concerne l'effet de l'irradiation aux rayons ultraviolets, décrit plus haut, tout se passe donc comme si la température de transition vitreuse Tg de la couche de matériau concernée par le frottement avait été relevée d'au moins 45°C par l'irradiation, puisque la discontinuité est encore observée à 75°C, alors que le domaine théorique de validité de la loi W. L. F. pour le matériau initial est (-70°C, +30°C). On disposerait, donc, là, d'une méthode physique très sensible permettant l'étude directe des couches superficielles durcies par vieillissement. Avec du caoutchouc non irradié, dont l'adhésion au verre est beaucoup plus forte que celle du caoutchouc irradié, on peut illustrer de façon spectaculaire le fait que, au voisinage de la charge zéro, la notion de coefficient de frottement perd toute signification, tandis que celle de propagation d'ondes de Schallamach (ondes de détachement), subsiste. Sur un film pris pour une charge zéro et une vitesse légèrement supérieure à la vitesse critique, on n'observe qu'une seule onde à la fois; elle parcourt toute l'aire de contact, et entraîne un décollement progressif total des surfaces, qui recollent brusquement ensuite par le processus d'adhésion élastique étudié par K. L. Johnson. Dans ces conditions, on constate que la résistance instantanée de frottement varie entre 5 mN et zéro selon que l'on est dans la phase de décollement progressif ou dans la phase de non contact. (Le coefficient de frottement moyen calculé sur la base de ces valeurs serait évidemment infini ou indéterminé
verre est beaucoup plus forte que celle du caoutchouc irradié, on peut illustrer de façon spectaculaire le fait que, au voisinage de la charge zéro, la notion de coefficient de frottement perd toute signification, tandis que celle de propagation d'ondes de Schallamach (ondes de détachement), subsiste. Sur un film pris pour une charge zéro et une vitesse légèrement supérieure à la vitesse critique, on n'observe qu'une seule onde à la fois; elle parcourt toute l'aire de contact, et entraîne un décollement progressif total des surfaces, qui recollent brusquement ensuite par le processus d'adhésion élastique étudié par K. L. Johnson. Dans ces conditions, on constate que la résistance instantanée de frottement varie entre 5 mN et zéro selon que l'on est dans la phase de décollement progressif ou dans la phase de non contact. (Le coefficient de frottement moyen calculé sur la base de ces valeurs serait évidemment infini ou indéterminé puisque la charge appliquée est nulle.) La figure 2 représente en 2 a l'aspect de l'empreinte au repos, et en 2 b la forme très particulière prise par l'aire de contact entre la sphère de verre et le plan de caoutchouc lorsque le processus de décollement est en cours. Dans le cas d'une charge nulle, comme dans le cas d'une charge positive, la vitesse de déplacement critique régissant l'apparition des ondes de Schallamach et la vitesse de propagation de ces ondes semblent dépendre assez peu de la charge; mais la propagation des ondes suit des lois différentes dans la première moitié de l'aire de contact, qui est en compression et dans la deuxième, qui est en tension. Un complément d'étude est nécessaire pour élucider les processus qui entrent en jeu et les interpréter à l'aide d'une théorie simple, actuellement en cours d'élaboration. Séance du 4 février 1974. M. BARQUINS, R. COURTEL et P. THIUON, Comptes rendus, 277, série B, 1973, p. 479. M. L. WILLIAMS, R. F. LANDEL et J. D. FERRY, J. Amer. Chem. Soc., 77, 1955, p. 3701-3707. K. A. GROSCH, Nature, 197, 1963, p. 858-859. D. TABOR, Nature, 197, 1963, p. 856-858. K. L. JOHNSON, K. KENDALL
le cas d'une charge nulle, comme dans le cas d'une charge positive, la vitesse de déplacement critique régissant l'apparition des ondes de Schallamach et la vitesse de propagation de ces ondes semblent dépendre assez peu de la charge; mais la propagation des ondes suit des lois différentes dans la première moitié de l'aire de contact, qui est en compression et dans la deuxième, qui est en tension. Un complément d'étude est nécessaire pour élucider les processus qui entrent en jeu et les interpréter à l'aide d'une théorie simple, actuellement en cours d'élaboration. Séance du 4 février 1974. M. BARQUINS, R. COURTEL et P. THIUON, Comptes rendus, 277, série B, 1973, p. 479. M. L. WILLIAMS, R. F. LANDEL et J. D. FERRY, J. Amer. Chem. Soc., 77, 1955, p. 3701-3707. K. A. GROSCH, Nature, 197, 1963, p. 858-859. D. TABOR, Nature, 197, 1963, p. 856-858. K. L. JOHNSON, K. KENDALL et A. D. ROBERTS, Proc. Roy. Soc. London, A, 324, 1971, p. 301-313. Laboratoire de Mécanique des Surfaces, C. N. R. S., 1, place Aristide-Briand, 92190 Meudon-Bellevue. RHÉOLOGIE. Restrictions imposées à des écoulements par une paroi rigide. Conséquence dans l'étude des lois de comportement. Note de M. Jean-Robert Clermont, présentée par M. Paul Germain. On sait que les écoulements viscométriques appartiennent à la classe des écoulements où le troisième invariant B3 de la vitesse de déformation est nul et ne peuvent donc être utilisés pour étudier une loi de comportement où B3 intervient. C'est le cas de certains fluides visqueux purs, mais aussi de fluides dont la loi de comportement est une relation fonctionnelle de s. En vue de l'étude expérimentale de telles lois, nous étudions une classe d'écoulements à B3 = 0 susceptibles d'être réalisés en laboratoire. Considérons une loi de comportement de fluide incompressible faisant intervenir les trois invariants de la vitesse de déformation pure s: 1. THÉORÈME SUR LES ÉCOULEMENTS AU VOISINAGE D'UNE PAROI RIGIDE. Pour un fluide non newtonien adhérent à une paroi rigide, B3 (S) est nul au voisinage de cette paroi. Considérons un point quelconque O de la paroi rigide (P) et trois axes
par M. Paul Germain. On sait que les écoulements viscométriques appartiennent à la classe des écoulements où le troisième invariant B3 de la vitesse de déformation est nul et ne peuvent donc être utilisés pour étudier une loi de comportement où B3 intervient. C'est le cas de certains fluides visqueux purs, mais aussi de fluides dont la loi de comportement est une relation fonctionnelle de s. En vue de l'étude expérimentale de telles lois, nous étudions une classe d'écoulements à B3 = 0 susceptibles d'être réalisés en laboratoire. Considérons une loi de comportement de fluide incompressible faisant intervenir les trois invariants de la vitesse de déformation pure s: 1. THÉORÈME SUR LES ÉCOULEMENTS AU VOISINAGE D'UNE PAROI RIGIDE. Pour un fluide non newtonien adhérent à une paroi rigide, B3 (S) est nul au voisinage de cette paroi. Considérons un point quelconque O de la paroi rigide (P) et trois axes de coordonnées rectangulaires en O: Ox, Oy et Oz, Oz étant porté par la normale à la surface en O. Nous avons V(M) = 0, V M e (P). C'est la condition d'adhérence. Il existe W, voisinage de O dans le plan tangent, que nous pouvons assimiler à un voisinage de O de la surface (P) à l'ordre d'approximation adopté pour le calcul ci-après. Si (u, v, w) désignent les composantes du vecteur vitesse d'un point matériel X au voisinage de la paroi, nous avons, en faisant un développement limité de la vitesse au voisinage de 0, u, v, w étant supposées deux fois différentiables : Puisque u, v, et w sont nuls dans W, voisinage de 0 dans le plan tangent, on a D'où, en exprimant la vitesse de transformation e, on a On obtient bien B3(S) = 0. Si le fluide est incompressible, on a Ainsi, la mesure, ponctuelle ou globale des pressions, sur des parois pour lesquelles il n'y a pas glissement ne peut tenir compte du troisième invariant B3 que si celles-ci sont déformables. 2. CONSÉQUENCES POUR L'EXPLORATION DES CINÉMATIQUES DANS LE PLAN DÉVIATOIRE. 3), vitesse de déformation pure, est diagonalisable et il existe [ri] base
de O de la surface (P) à l'ordre d'approximation adopté pour le calcul ci-après. Si (u, v, w) désignent les composantes du vecteur vitesse d'un point matériel X au voisinage de la paroi, nous avons, en faisant un développement limité de la vitesse au voisinage de 0, u, v, w étant supposées deux fois différentiables : Puisque u, v, et w sont nuls dans W, voisinage de 0 dans le plan tangent, on a D'où, en exprimant la vitesse de transformation e, on a On obtient bien B3(S) = 0. Si le fluide est incompressible, on a Ainsi, la mesure, ponctuelle ou globale des pressions, sur des parois pour lesquelles il n'y a pas glissement ne peut tenir compte du troisième invariant B3 que si celles-ci sont déformables. 2. CONSÉQUENCES POUR L'EXPLORATION DES CINÉMATIQUES DANS LE PLAN DÉVIATOIRE. 3), vitesse de déformation pure, est diagonalisable et il existe [ri] base orthonormée telle que Nous nous intéressons ici aux écoulements à phase ç = Cte, Ç étant déterminée à k.2 u/3 près par ç = Cte implique donc = Cte dans tout l'écoulement. Les écoulements viscométriques appartiennent à la classe des écoulements à ç = n/6 : L'écoulement « tri-axial » pour lequel la base [ri] est le référentiel nous permet de décrire tout le plan déviatoire. Les parois qui limitent cet écoulement sont indéformables et ç = n/6 au voisinage de ces parois quand l'hypothèse d'adhérence est vérifiée. Nous étudions ici une classe d'écoulements où ç :f:. n/6 partout. 3. ÉCOULEMENTS MÉRIDIENS A TROISIÈME INVARIANT NON NUL. 1° Le champ des vitesses est de révolution et se trouve dans le plan méridien : V = Vp(pJz)e;+Vz(p,z)e;, [e;]. = (ep, eé, e^) formant la base orthonormée associée aux coordonnées cylindriques p = 1, 0 = 2, z = 3. Dans ce repère, la vitesse de déformation pure s'écrit : D'après les relations (1) et (2), il existe une rotation a(p&gt;z) autour de e'e=s2 telle que ri = Rf ej, ce qui impose, après élimination de el, la relation suivante : (3) (®11-®33)2+4(®13)2 = (21+1)2(®22)2. C'est avec ht condition d'intégrabilité de -9,
pour lequel la base [ri] est le référentiel nous permet de décrire tout le plan déviatoire. Les parois qui limitent cet écoulement sont indéformables et ç = n/6 au voisinage de ces parois quand l'hypothèse d'adhérence est vérifiée. Nous étudions ici une classe d'écoulements où ç :f:. n/6 partout. 3. ÉCOULEMENTS MÉRIDIENS A TROISIÈME INVARIANT NON NUL. 1° Le champ des vitesses est de révolution et se trouve dans le plan méridien : V = Vp(pJz)e;+Vz(p,z)e;, [e;]. = (ep, eé, e^) formant la base orthonormée associée aux coordonnées cylindriques p = 1, 0 = 2, z = 3. Dans ce repère, la vitesse de déformation pure s'écrit : D'après les relations (1) et (2), il existe une rotation a(p&gt;z) autour de e'e=s2 telle que ri = Rf ej, ce qui impose, après élimination de el, la relation suivante : (3) (®11-®33)2+4(®13)2 = (21+1)2(®22)2. C'est avec ht condition d'intégrabilité de -9, la condition nécessaire et suffisante pour que ç soit constante dans tout l'écoulement. 20 Fonction de courant H (p, z) associée. L'incompressibilité, se traduit, d'après (2) par Posons En déterminant les composantes de -9 en fonction de H, nous obtenons l'équation aux dérivées partielles : Pour 1 = 1 (phase Ç = 0 ou TT/3), nous trouvons la fonction de courant : (5) H(p, z) = fcz(p2 + z2)-1/2 (k = Cte) correspondant à la déformation sphérique, réalisée dans une sphère à paroi déformable Une deuxième solution de l'équation (4) est donnée par ao, al, a2, b, c étant des constantes. Le champ des vitesses correspondant est donné par L'écoulement défini par (7) peut être considéré, à un déplacement solide près, comme la superposition de deux écoulements particuliers. Ce sont : 1° La déformation cylindrique homogène, réalisée en paroi déformable, le champ des vitesses étant donné par (7') Vp = b p; Vz = -2 bz; Ve = 0, 2° L'écoulement défini par le champ des vitesses : (7") Vp = 2ao pz; Vz = -2a0z2-a0 p2; V0 = 0. Les trajectoires sont des courbes d'équation Les cinématiques correspondant aux relations (5) et (7') correspondent aux écoulements les plus simples
Ç = 0 ou TT/3), nous trouvons la fonction de courant : (5) H(p, z) = fcz(p2 + z2)-1/2 (k = Cte) correspondant à la déformation sphérique, réalisée dans une sphère à paroi déformable Une deuxième solution de l'équation (4) est donnée par ao, al, a2, b, c étant des constantes. Le champ des vitesses correspondant est donné par L'écoulement défini par (7) peut être considéré, à un déplacement solide près, comme la superposition de deux écoulements particuliers. Ce sont : 1° La déformation cylindrique homogène, réalisée en paroi déformable, le champ des vitesses étant donné par (7') Vp = b p; Vz = -2 bz; Ve = 0, 2° L'écoulement défini par le champ des vitesses : (7") Vp = 2ao pz; Vz = -2a0z2-a0 p2; V0 = 0. Les trajectoires sont des courbes d'équation Les cinématiques correspondant aux relations (5) et (7') correspondent aux écoulements les plus simples à réaliser en laboratoire pour l'étude de lois de comportement dans lesquelles intervient B3 (eJ). N. B. : Cette étude a été faite dans le cadre d'une thèse de 3e cycle (2). (*) Séance du 7 janvier 1974. e) COLEMAN, MARKOVITZ et NOLL, Viscometric flows of Non Newtonian fluids, Springer-Verlag, 1966. (2) J. R. CLERMONT, Lois de comportement et classes d'écoulement de fluides non newtoniens (Thèse de Doctorat de Spécialité, Grenoble, juin 1972). Université Scientifique et Médicale de Grenoble, Institut de Mécanique de Grenoble, Laboratoire de Mécanique des Fluides, associé n° 6 au C. N. R. S., B. P. n° 53, Centre de Tri, 38041 Grenoble-Cédex. PHYSIQUE THÉORIQUE. Un moyen rapide de simplification de la représentation de l'énergie potentielle des molécules. Note (*) de M. Manuel Sieskind, présentée par M. Jean Lecomte. On applique à différents types de potentiels une méthode de réduction basée sur la linéarité des opérateurs de dérivation. Dans l'approximation harmonique, seuls les termes quadratiques du développement en série en fonction des paramètres <7f Ci = 1, ., n) de l'énergie potentielle V des molécules sont conservés. Alors : Si la molécule, et par suite V, sont invariants vis-à-vis d'un groupe G de transformations géométriques (linéaires), on
1966. (2) J. R. CLERMONT, Lois de comportement et classes d'écoulement de fluides non newtoniens (Thèse de Doctorat de Spécialité, Grenoble, juin 1972). Université Scientifique et Médicale de Grenoble, Institut de Mécanique de Grenoble, Laboratoire de Mécanique des Fluides, associé n° 6 au C. N. R. S., B. P. n° 53, Centre de Tri, 38041 Grenoble-Cédex. PHYSIQUE THÉORIQUE. Un moyen rapide de simplification de la représentation de l'énergie potentielle des molécules. Note (*) de M. Manuel Sieskind, présentée par M. Jean Lecomte. On applique à différents types de potentiels une méthode de réduction basée sur la linéarité des opérateurs de dérivation. Dans l'approximation harmonique, seuls les termes quadratiques du développement en série en fonction des paramètres <7f Ci = 1, ., n) de l'énergie potentielle V des molécules sont conservés. Alors : Si la molécule, et par suite V, sont invariants vis-à-vis d'un groupe G de transformations géométriques (linéaires), on montre e) que (2) se transforme comme (S) : A où Cij est un opérateur défini par Si S est une matrice représentant l'un des opérateurs de G, l'invariance de la molécule se traduit par l'égalité tensorielle, où q désigne un vecteur colonne : (5) q®q = Sq<g>Sq. Cette relation permet de trouver rapidement le nombre de coefficients Cy de (1) indépendants. APPLICATION A QUELQUES CHAMPS DE FORCE V PARTICULIERS. 1° V s'exprime en coordonnées de symétrie. A titre d'exemple, examinons le cas de la molécule linéaire XY2 de symétrie Dcoh (fig. 1). Fig. 1. Coordonnées de symétrie de XY2 (D2h) [Herzberg (2)]. Soit Si, S2a, S2b, S3 ses coordonnées de symétrie. L'énergie potentielle se met sous la forme générale, qu'on cherche à simplifier : D'après (5), la matrice [C] se comporte comme [c]:a: [Si S2a S2b S3] (D [S1 S2a S2b S3]. Appliquons les opérateurs S de G. Par exemple, sous l'action de C2 : (7) S1 -+ S1; S3 -+ S3' On en déduit : S1 S3 = S2a S3 = S2b S3 = 0. Par suite: (8) C13 = C23 = C23 = 0. Sous l'effet de S = C_: Si -* Si; S2a -+ S2a; S2b
permet de trouver rapidement le nombre de coefficients Cy de (1) indépendants. APPLICATION A QUELQUES CHAMPS DE FORCE V PARTICULIERS. 1° V s'exprime en coordonnées de symétrie. A titre d'exemple, examinons le cas de la molécule linéaire XY2 de symétrie Dcoh (fig. 1). Fig. 1. Coordonnées de symétrie de XY2 (D2h) [Herzberg (2)]. Soit Si, S2a, S2b, S3 ses coordonnées de symétrie. L'énergie potentielle se met sous la forme générale, qu'on cherche à simplifier : D'après (5), la matrice [C] se comporte comme [c]:a: [Si S2a S2b S3] (D [S1 S2a S2b S3]. Appliquons les opérateurs S de G. Par exemple, sous l'action de C2 : (7) S1 -+ S1; S3 -+ S3' On en déduit : S1 S3 = S2a S3 = S2b S3 = 0. Par suite: (8) C13 = C23 = C23 = 0. Sous l'effet de S = C_: Si -* Si; S2a -+ S2a; S2b -+ S2b; S3 –> S3; d'où = C_ = 0. (9) S2. S1 = S26Si = 0 => C21 = C21 = 0. Pour S = C9=n/2 : (10) S2o -+ S2b C22 = C22. L'énergie potentielle de la molécule se réduit donc à 2° Champ de force de valence. Examinons le cas particulier de X2 Y4 de symétrie D2h (fig. 2). L'énergie potentielle contient des coefficients Cij qui se comportent comme : À Qij désigne les distances séparant les noyaux i et j, Δuvw est l'angle de valence uvw, Pk, représente l'angle entre les plans formés par XY2 et l'axe XX, et y est l'angle de torsion des deux groupements XY2 autour de l'axe XX. Fig. 2. Molécule plane X2 Y4 (D2h) [Herzberg (2)]. On n'a pas tenu compte des termes rectangles. Il suffit alors d'examiner les permutations des indices sous l'action de G. Ainsi l'application de S = 0'1 donne l'-»5; 3-«–»4; 2&lt;-»6. Par suite : De même, pour S = a2 : 1 +-+ 2; 5 +-+ 6; 1«-+2; 5«->6; Finalement : 30 Potentiel de Urey-Bradley-Shimanouchi. Ce potentiel peut se mettre sous la forme où ri est la distance entre les ions liés à un ion central,