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accorder une réduction de 50 pour 100 sur leurs prix ordinaires, en faveur des astronomes et de leurs instruments. Les chemins de fer de l'État (Lisbonne-Algarve, Porto-Valença et Porto-Barcelos d'Alva) accorderont même des billets gratuits, de même que la ligne à voie étroite de Viseu. Pour obtenir ces concessions, les intéressés devront s'adresser à l'observatoire royal de Lisbonne (Tapada), sur l'indication duquel les directions des chemins accorderont leurs billets spéciaux à prix réduits. L'observatoire royal de Lisbonne publie une brochure dans laquelle on trouve des cartes pour la trajectoire de l'ombre en Portugal (échelle 1:5000), une autre pour les heures et les angles du premier contact, des cartes célestes des environs du Soleil éclipsé, ainsi que les données numériques qui ont servi à dresser ces cartes. Le climat de la région considérée est généralement agréable et sain, pendant cette époque de l'année, et parfaitement tempéré. Le temps est généralement beau. On trouve partout des routes en macadam se reliant aux stations des chemins de fer, et presque toutes bien entretenues et parfaitement tracées avec des pentes réduites. Les moyens de transport ne manquent pas, quand même plus ou moins primitifs, non plus que les voitures de louage. Les logements confortables seront peut-être un peu moins faciles à trouver sur place, sauf dans les villes d'Aveiro, Viseu et Guarda, et surtout à Porto et à la station thermale de Luso où l'on trouve des hôtels de premier rang. Il ne sera nulle part difficile ni onéreux de se procurer des matériaux de construction et des ouvriers passablement habiles. Les réparations délicates qui pourraient devenir nécessaires ne sont possibles cependant que dans les grands centres, et surtout à Lisbonne. Lisbonne (Tapada). Observatoire royal, 1900, avril 2. Le Directeur, CAMPOS HODRIGUES. OBSERVATIONS DE PLANÈTES ET DE LA COMÈTE TEMPEL 1899 IV, FAITES A L' observatoire de Marseille (équatorial d'Eichens, de 0,26 d'ouverture); PAR M. ESMIOL. Jules. T. du Marseille. AA. A(Z ann. de céc. app. log r. p. a CD Iris. 1899. h III S fil s Il III S AOUT 3. 43.4. -o.3,,~,.~,66.6 * 2 6o, 715 il 7i., ô' 'T *"■"'*
seront peut-être un peu moins faciles à trouver sur place, sauf dans les villes d'Aveiro, Viseu et Guarda, et surtout à Porto et à la station thermale de Luso où l'on trouve des hôtels de premier rang. Il ne sera nulle part difficile ni onéreux de se procurer des matériaux de construction et des ouvriers passablement habiles. Les réparations délicates qui pourraient devenir nécessaires ne sont possibles cependant que dans les grands centres, et surtout à Lisbonne. Lisbonne (Tapada). Observatoire royal, 1900, avril 2. Le Directeur, CAMPOS HODRIGUES. OBSERVATIONS DE PLANÈTES ET DE LA COMÈTE TEMPEL 1899 IV, FAITES A L' observatoire de Marseille (équatorial d'Eichens, de 0,26 d'ouverture); PAR M. ESMIOL. Jules. T. du Marseille. AA. A(Z ann. de céc. app. log r. p. a CD Iris. 1899. h III S fil s Il III S AOUT 3. 43.4. -o.3,,~,.~,66.6 * 2 6o, 715 il 7i., ô' 'T *"■"'* M -»•»•.» b<*7* 7J.4».»,» ..y,,» , 12. 1 o. 52 -1. 3,32 4.12,9 5.5 ,.,6.,9,43 7,5S6« 73.,5.24,„ 0,684,. 3 io • ::rh* 3 r-"? -r?4 7" «-»• 73. 6.53,3 0,70511 10. 12.31.43 "-'S»6 -+-15.4 7,9 7-7 ■•■s. (1,58 7,552« 73.5,-56,S 0,162/1 5 ,2.20.,, +0.28,55 +7.23,2 6.6 ,.,S.57,,2 7,50f« 72.49.3,,,, „,669„ 6 12. II. 2.14 H-,.,5,60 „.2,,3 5.5 ,,,9.44.aj 7,635 M 72.41.4[,2 0,7'7n -, 18. 10.8. 6 -0.17,O[ -.4,36,2 5.5 ..24. ,a,37 1,65111 ,1.55. 4,1 0,737n 8 2,&gt;. 9.54.,, +o.3o,68 + 6.30,3 5.5 ..28.,7,5, 7,65on 71. ,.4, 0,727n 9 -0. 9.54 ,3 +„.58,83 +0.26,8 5.5 1.28.45,71 Ï,6'1gn .o o,^,, 10 31. II. 12.59 +1. 17,7° +,3'5,'r' 1 • ■&gt;°-4°&gt;!)3 1,57Ort 7o.34. 5,2 0,68n II S 4. 10.30.3fl 2. il , 6 1 3.52,3 5.5 1.31.36,92 I,60,3n ,;0.16.20,6o,667/l. 12 +2.22,85 7.47,3 5.5 i-3..46,Ml 7,585/i 70.12.25,4 o,653/i ,3 6. io..|bc,3L 8 +2.3»,20 5.5 .,3.,53,56 7,576« 70. 8.45,8 0,64711 ]4 8. IO. 3. o +0.20,26 +.3.5,i9 6.6 ,.32. 2,45 7,6,6» „,6S,„ 15 9. 10.27. 1 +„.3,,e f +.0,56,3 6.6 ,.32. 3,83 I,S87n (jg.5g.23'9 O,6S21l l6 11. 9"|5 +o.,8,„, +0.56,3 5.5 ,3..&lt;,,.67,586. 6,.54..3,6o,65., 12. Il). 3"' ! 2 ?" ':)''55,5" t,5!'3" 6!).5:LI8,0 0,655n 18 13. 10.3,).1 +0.6.36 + 1.5g,1 6.6 1.3[.'18,6,) I,S55n 69.S0.2G,1 0,632n 19
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0,9 —10,1 15611 W,. 49. 9 » +5,06 » -10,0 Jd. 50. 9 » -1-5,06 » —9,9 Id. 51. 9 » -1-5,06 » —9,9 Id. 52. 8,6 3. 5. 7,47 +5,72 50.I6. 6,2 —17,9 LUND Z. 84, 86. 53. 8,9 I.3I.45,45 +4,82 84.52.54,1 -27,7 503 W, 1 H. 54. 9,2 20.59.3,59 +4,79 106.33.46,2 —19,5 15408 CORD. DURCH. Z —26°. 55. 9 21.0.50,63 +4,94 118. 40,8 —19,5 16601 'Ys. 56. 7,0 21. 2.56,72 +4,97 118.52-51,3 -19,7 9476 YARNALL, 3E ÉDIT. 57. 7,0 » +4,97 » -[g,G Id. 58. 9,5 21. 7.58,86 +5,00 119.39. 3,i -20,0 17648 Cord. Durch. Z— 290. 59. 8,7 21. 5. 2,4C) +4,99 119.22. 1,3 —19,7 17611 Cord. DURCH. Z — 29". 60. 9,0 21.8.53,I8 -+-5,O1 INJ.46.55,8 -20,0 1768 CORD. DURCH. Z — 290. 61. 6,7 21.26. 8,06 +5,20 124.23.21,9 -20,2 11388 CAPE CATALOGUE. 62. 8 21.01.52,72 +5,22 125. 8. 6,7 —20, 4 14879 CORD. DURCH. Z — 35°. SUR LES ÉQUATIONS DU MOUVEMENT DE LA LUNE; PAR M. H. POINCARÉ. 1. À l'exemple de MM. Hill et Brown, nous rapporterons la Lune à trois axes tournants, la vitesse de rotation étant égale à n'y moyen mouvement du Soleil. Les axes des x et des y sont dans le plan de l'écliptique et l'axe des z perpendiculaire à ce plan. Dans ces conditions, les équations du mouvement de la Lune sont de la forme suivante Les lettres accentuées x', tC", etc., désignent les dérivées de x par rapport au temps. Quant à VI c'est une fonction des coordonnées x, y, z de la Lune et de l'anomalie moyenne l' du Soleil. Elle dépend en outre de deux constantes, à savoir : la parallaxe a qui est une quantité inversement proportionnelle au grand axe de l'orbite solaire et l'excentricité e' de l'orbite solaire. Considérée comme fonction de a, e' et l', elle est développable suivant les puissances de (J., e' cos l'. et e' sin l'. Considérons-la maintenant comme fonction de (J., x, y, z, nous verrons qu'elle se réduit à pour a. = o (x est un coefficient constant et r-= x---y2-z2). Quant au coefficient de a", c'est
le plan de l'écliptique et l'axe des z perpendiculaire à ce plan. Dans ces conditions, les équations du mouvement de la Lune sont de la forme suivante Les lettres accentuées x', tC", etc., désignent les dérivées de x par rapport au temps. Quant à VI c'est une fonction des coordonnées x, y, z de la Lune et de l'anomalie moyenne l' du Soleil. Elle dépend en outre de deux constantes, à savoir : la parallaxe a qui est une quantité inversement proportionnelle au grand axe de l'orbite solaire et l'excentricité e' de l'orbite solaire. Considérée comme fonction de a, e' et l', elle est développable suivant les puissances de (J., e' cos l'. et e' sin l'. Considérons-la maintenant comme fonction de (J., x, y, z, nous verrons qu'elle se réduit à pour a. = o (x est un coefficient constant et r-= x---y2-z2). Quant au coefficient de a", c'est un polynome homogène d'ordre 11 + 2 en x, y et z. Les équations peuvent être mises sous la forme canonique par l'artifice suivant. Posons L étant une variable auxiliaire. En prenant pour variables conjuguées r, y, z, L X, Y, Z, V nos équations prennent la forme canonique , Les trois premières équations de chaque ligne se déduisent directement des équations (t); on a d'ailleurs dt = n, e tdl, ni quant à la dernière équation de la première ligne, elle peut être regardée comme la définition de la variable auxiliaire L. : J'ai déjà fait usage des équations (2) dans un article antérieur (Billi.Astr.)marsigoo). ') Toutes les théories de la Lune conduisent à développer x y et z en fonctions, 1° de trois constantes d'intégration a, e et y; 20 de trois arguments fonctions linéaires du temps, t, 1 et X; 3° de l'anomalie moyenne solaire U; 4° des deux constantes solaires cc el e'. Des trois constantes a, e et y, la première est une sorte de demi-grand axe moyen de l'orbite lunaire, la seconde joue le rôle de l'excentricité et la troisième de l'inclinaison. Les trois arguments t, et A représentent respectivement la distance moyenne de
Les trois premières équations de chaque ligne se déduisent directement des équations (t); on a d'ailleurs dt = n, e tdl, ni quant à la dernière équation de la première ligne, elle peut être regardée comme la définition de la variable auxiliaire L. : J'ai déjà fait usage des équations (2) dans un article antérieur (Billi.Astr.)marsigoo). ') Toutes les théories de la Lune conduisent à développer x y et z en fonctions, 1° de trois constantes d'intégration a, e et y; 20 de trois arguments fonctions linéaires du temps, t, 1 et X; 3° de l'anomalie moyenne solaire U; 4° des deux constantes solaires cc el e'. Des trois constantes a, e et y, la première est une sorte de demi-grand axe moyen de l'orbite lunaire, la seconde joue le rôle de l'excentricité et la troisième de l'inclinaison. Les trois arguments t, et A représentent respectivement la distance moyenne de la Lune au Soleil, la distance moyenne de la lune au périgée, la distance moyenne de la lune au nœud. Nous remarquons alors : 1° que les coordonnées sont des fonctions périodiques de période 2π des quatre arguments t, l, À et l'; qu' si l'on regarde pour un instant r et a comme des constantes et si l'on considère les coordonnées comme des fonctions de l, À, l', e, y, e' et oc, ces coordonnées sont développables de l, k, e, y, suivant les puissances des quantités (3) a, ecosl, esinl, ycosl, ysinl, e'cosl', e'sinl'. De tous ces faits bien connus, on peut déduire diverses conséquences. Nos quatre arguments t, l, X et l' sont des fonctions linéaires du temps et nous pouvons écrire T = C1 t + E1, l = C2 t + E2, X = C3 t + E3, l = C4 t + E4, ou plus simplement, en posant T = W1, l=w2, À=W3, l'= W4, nous pouvons écrire W1 = C1 t + E1, Il est clair que C2 = n' et que C1 + C2 = n, n étant le moyen mouvement de la Lune. Cela posé, considérons J. et e' comme des
r et a comme des constantes et si l'on considère les coordonnées comme des fonctions de l, À, l', e, y, e' et oc, ces coordonnées sont développables de l, k, e, y, suivant les puissances des quantités (3) a, ecosl, esinl, ycosl, ysinl, e'cosl', e'sinl'. De tous ces faits bien connus, on peut déduire diverses conséquences. Nos quatre arguments t, l, X et l' sont des fonctions linéaires du temps et nous pouvons écrire T = C1 t + E1, l = C2 t + E2, X = C3 t + E3, l = C4 t + E4, ou plus simplement, en posant T = W1, l=w2, À=W3, l'= W4, nous pouvons écrire W1 = C1 t + E1, Il est clair que C2 = n' et que C1 + C2 = n, n étant le moyen mouvement de la Lune. Cela posé, considérons J. et e' comme des constantes et regardons nos coordonnées comme fonctions de t et des quantités (4) a, e, y, Lo, Ei, Lo est une constante choisie de telle façon que l'équation des forces vives s'écrive F = − n' Lo. Nous désignerons par des d les dérivées prises par rapport à t et aux variables (4), et je poserai Dans cette équation je désignerai par (3 et W deux quelconques des quantités (4); j'ajoute que sous le signe S on doit changer x et X d'abord en y et Y, puis en z et Z. D'après un théorème bien connu, nos équations étant canoniques, les crochets [, W] doivent se réduire à des constantes. Regardons maintenant nos coordonnées comme des fonctions des quantités (5) a, e, y, Lo, Wi et désignons par des d les dérivées prises par rapport à ces quantités (5). Posons où |3 et W sont deux quelconques des quantités (5). J'observe alors que l'on a si [3 est l'une des quantités a, e, y, Lo, et j'en conclus : On aurait une expression analogue pour le crochet [(3, W], si |3 et W désignaient deux des quantités a, e, y, Lo, On voit d'abord que (Wi, Wk) doit se
aux variables (4), et je poserai Dans cette équation je désignerai par (3 et W deux quelconques des quantités (4); j'ajoute que sous le signe S on doit changer x et X d'abord en y et Y, puis en z et Z. D'après un théorème bien connu, nos équations étant canoniques, les crochets [, W] doivent se réduire à des constantes. Regardons maintenant nos coordonnées comme des fonctions des quantités (5) a, e, y, Lo, Wi et désignons par des d les dérivées prises par rapport à ces quantités (5). Posons où |3 et W sont deux quelconques des quantités (5). J'observe alors que l'on a si [3 est l'une des quantités a, e, y, Lo, et j'en conclus : On aurait une expression analogue pour le crochet [(3, W], si |3 et W désignaient deux des quantités a, e, y, Lo, On voit d'abord que (Wi, Wk) doit se réduire à une constante. Considérons maintenant la seconde équation (6). Le premier membre est une constante; comme (rv, (3) et (Wi, Wj) sont des fonctions périodiques des quatre arguments, le second membre est égal à une fonction périodique, plus une autre fonction périodique multipliée par t; il ne peut donc se réduire à une constante que si le coefficient de t s'annule et si en même temps (ivi, [3)-se réduit à une constante dépendant seulement de a, e, Y, Lo. On démontrerait de même que si (3 et W sont deux quelconques des quantités a, e, y et Lo, la parenthèse ((3, W) se réduit à une constante. Mais il y a plus, grâce à une circonstance particulière au cas de la Lune. Nous savons que x, Y, Z et L sont des fonctions paires des w, tandis que X, y, z et l' sont des fonctions impaires. Il en résulte que (si (3 et W sont toujours deux des quantités a, e, yet Lo) les dérivées sont des fonctions paires tandis que les dérivées sont impaires. Donc les parenthèses (wi, Wj) et ([3, W) sont des fonctions impaires des w et comme elles doivent se réduire à des constantes
se réduire à une constante que si le coefficient de t s'annule et si en même temps (ivi, [3)-se réduit à une constante dépendant seulement de a, e, Y, Lo. On démontrerait de même que si (3 et W sont deux quelconques des quantités a, e, y et Lo, la parenthèse ((3, W) se réduit à une constante. Mais il y a plus, grâce à une circonstance particulière au cas de la Lune. Nous savons que x, Y, Z et L sont des fonctions paires des w, tandis que X, y, z et l' sont des fonctions impaires. Il en résulte que (si (3 et W sont toujours deux des quantités a, e, yet Lo) les dérivées sont des fonctions paires tandis que les dérivées sont impaires. Donc les parenthèses (wi, Wj) et ([3, W) sont des fonctions impaires des w et comme elles doivent se réduire à des constantes indépendantes des (v, elles doivent être nulles. Cette circonstance simplifie beaucoup la démonstration du théorème que nous avons en vue et qui serait vrai dans des cas beaucoup plus généraux. Si p., p.' et sont trois quelconques des quantités (5), on a évidemment l'identité Cette identité nous donne en particulier puisque (^, W) est indépendant des w et que (W, (Vi) = − (Wj, $'). On peut donc trouver quatre fonctions At, A2, A3, A4 de a, e, Y et Lo telles que De ces trois relations il est aisé de conclure que dS = 2 x dX + L dl' + kidwi est une différentielle exacte (je regarde, bien entendu, a, e' et l' comme des constantes). Si je me rappelle que IV" = l', je puis écrire dS = l.xdX + L A,.)dl' − Al d. %dl − A2d. J'observe ensuite que dX, dY, dZ, dl', d", dl, d), sont indépendants de dLo; il en résulte que S est indépendant de Lo et il doit en être de même de L − A5, A6, A2 et A3. Donc A5, A6, A3 dépendent seulement de a, e, y et en outre, bien entendu, de e', e' et n'. D'autre
puisque (^, W) est indépendant des w et que (W, (Vi) = − (Wj, $'). On peut donc trouver quatre fonctions At, A2, A3, A4 de a, e, Y et Lo telles que De ces trois relations il est aisé de conclure que dS = 2 x dX + L dl' + kidwi est une différentielle exacte (je regarde, bien entendu, a, e' et l' comme des constantes). Si je me rappelle que IV" = l', je puis écrire dS = l.xdX + L A,.)dl' − Al d. %dl − A2d. J'observe ensuite que dX, dY, dZ, dl', d", dl, d), sont indépendants de dLo; il en résulte que S est indépendant de Lo et il doit en être de même de L − A5, A6, A2 et A3. Donc A5, A6, A3 dépendent seulement de a, e, y et en outre, bien entendu, de e', e' et n'. D'autre part, l'équation F = n' Lo me donne et comme T et V, ne dépendent pas de Lo, A5 − Lo n'en dépendra pas non plus. Nous pourrons donc poser G étant une fonction de ci, e et 'Y' Donc en résumé est une différentielle exacte. Tel est le premier fait que je voulais mettre en évidence. Je n'insiste pas sur les procédés de vérification qui en résultent. 2. Si nous regardons e', a et n' comme des constantes, G, A2 et A3 ne dépendent que de a, e et y. Voyons ce que deviennent les équations (2) si au lieu de x, y, z, L, X, Y, Z, V, on prend pour variables nouvelles Ai, A2, A3, A4, wi, W2, ws, W4. L'expression E x dX + L dl' + Ai dwi étant une différentielle exacte, la forme canonique des équations ne sera pas altérée et elles deviendront Mais nous devons avoir = ci. dt On a donc (8) — d& = Ci dAi + c2 dA2 + c3 dA3. 3. Nous avons dit que \(x, y, z, X, Y, Z\) sont des fonctions périodiques des quatre arguments \(w\) et de plus sont développables suivant les puissances des quantités
fait que je voulais mettre en évidence. Je n'insiste pas sur les procédés de vérification qui en résultent. 2. Si nous regardons e', a et n' comme des constantes, G, A2 et A3 ne dépendent que de a, e et y. Voyons ce que deviennent les équations (2) si au lieu de x, y, z, L, X, Y, Z, V, on prend pour variables nouvelles Ai, A2, A3, A4, wi, W2, ws, W4. L'expression E x dX + L dl' + Ai dwi étant une différentielle exacte, la forme canonique des équations ne sera pas altérée et elles deviendront Mais nous devons avoir = ci. dt On a donc (8) — d& = Ci dAi + c2 dA2 + c3 dA3. 3. Nous avons dit que \(x, y, z, X, Y, Z\) sont des fonctions périodiques des quatre arguments \(w\) et de plus sont développables suivant les puissances des quantités \(e\). Il est aisé d'en conclure qu'il en est de même de \(S\). \(S\) étant une fonction qui ne dépend que des quatre arguments \(w\) et des constantes \(a, e', e, n'\) mais qui est indépendante de \(a, e, y\). De même, il en est encore de même de \(C\) et par conséquent de \(G\). Comme d'une part \(\frac{dx}{dt}\) et \(\frac{dl}{dt}\) ne dépendent que de \(t, 1;\) \(A, l',\) et de \((1, e', n');\) et que d'autre part \(A, A_2, A_3\) et \(G\) ne dépendent que de \(a, e, y\) et de \((1, e', n')\), nous devrons conclure que l'on aura \[\frac{dS}{dt} = \frac{\partial S}{\partial x}\frac{dx}{dt} + \frac{\partial S}{\partial y}\frac{dy}{dt} + \frac{\partial S}{\partial z}\frac{dz}{dt} = \frac{dS}{dx}\frac{dx}{dt} + \frac{dS}{dy}\frac{dy}{dt} + \frac{dS}{dz}\frac{dz}{dt}\] tandis que \(A, A_2, A_3, G\) sont comme \(S_o -fA,\) des fonctions que \(1, 2, 3,\) sont comme \(d-t + \), des fonctions périodiques des \(w,\) développables suivant les puissances des quantités \(e\). (Remarquons que \(S\) ne devant pas dépendre de \(a, e\) et \(y,\) ne pourra contenir que les arguments \(T\) et \(l',\) puisqu'il ne peut dépendre de \(t,\) par exemple, sans dépendre de \(e;\) d'autre part les \(A\) et \(G'\) ne devant pas dépendre des arguments \(w\) seront