jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
PI issu de ce point, et construisons son réfracté, en utilisant les points aplanétiques du dioptre (les circonférences dessinées en pointille ont respectivement pour rayon – et « R »). Ce rayon réfracté PI coupe l'axe en un point P' dont nous allons calculer l'abcisse OP' = a'. Représentons par i et r les angles d'incidence et de refraction, par u l'angle IP'P. Nous remarquerons que IKO = et 1 KO = 1. Dans les triangles IP'P et K1K', on a Mais KK' = ± nft – – Eliminons "sin (i-r)" entre ces deux équations, il viendra Cette relation sera générale à la condition de considérer les segments PI et IK, comme de mêmes signes, s'ils sont portés dans le même sens, de signes contraires, puis sont portés en sens inverse. On peut mettre la relation (1) sous une autre forme quelquefois plus commode. Menons par le point -K la parallèle à 0 I soit M son point de rencontre avec l'axe. Dans les triangles semblables POI, PMK on a Relation qui est encore entièrement générale. Au moyen de ces relations (t) ou (2), on peut se rendre compte très facilement du sens et de la grandeur de sa variation avec l'incidence. Nous ne nous bornons pas à considérer le cas le plus simple, c'est-à-dire, le point objet P est rejeté à l'infini. Comme en effet, la relation (2) se réduit à Donc étant donné un rayon PI parallèle à l'axe, si nous prolongeons ce rayon jusqu'à son point de rencontre K avec la circonférence de rayon nR (figure Il), la longueur IK représentera au facteur 1/(n2-l) près la valeur de l'abcisse a', n2-l L'abcisse des rayons centraux, au même facteur près, s'obtient évidemment en portant à partir du point A, de la circonférence de rayon nR rencontre l'axe une longueur [AP'] = R. L'aberration longitudinale principale est donc P'o M. Mais nous allons nous servir de ces formules (1) ou (2), pour rechercher dans quelles conditions un point placé sur l'axe d'une lentille quelconque peut être rigoureusement stigmatique. Conservons les mêmes notations que plus haut. Soit P un point
avec l'incidence. Nous ne nous bornons pas à considérer le cas le plus simple, c'est-à-dire, le point objet P est rejeté à l'infini. Comme en effet, la relation (2) se réduit à Donc étant donné un rayon PI parallèle à l'axe, si nous prolongeons ce rayon jusqu'à son point de rencontre K avec la circonférence de rayon nR (figure Il), la longueur IK représentera au facteur 1/(n2-l) près la valeur de l'abcisse a', n2-l L'abcisse des rayons centraux, au même facteur près, s'obtient évidemment en portant à partir du point A, de la circonférence de rayon nR rencontre l'axe une longueur [AP'] = R. L'aberration longitudinale principale est donc P'o M. Mais nous allons nous servir de ces formules (1) ou (2), pour rechercher dans quelles conditions un point placé sur l'axe d'une lentille quelconque peut être rigoureusement stigmatique. Conservons les mêmes notations que plus haut. Soit P un point lumineux, qui n'est pas un point stigmatique du dioptre S. Les rayons réfractés viendront couper l'axe entre le point Qo (figure III) d'abcisse OQo = xo, foyer des rayons centraux et le point Qi, d'abcisse OQi = x2, foyer des rayons marginaux extrêmes. Réciproquement, si on se donne une valeur a; de l'abcisse comprise entre xo et x2, à cette valeur correspondra un rayon réfracté QI issu d'un rayon incident PI parfaitement déterminé. Définissons la direction de ce rayon QI par l'angle u qu'il fait avec l'axe. Posons u = 10 P et représentons toujours par a l'abcisse OP. Les deux valeurs de u fournies par cette formule sont les valeurs de l'angle intérieur ou extérieur en Q au triangle QOI. Dans la suite, pour simplifier l'écriture nous écrivons cos(k)=rfcQ(5) P et Q représentent les polynômes qui entrent au numérateur et au dénominateur de la relation (3). Considérons maintenant (figure IV) une lentille SS' d'indice n et de rayons OS=R O'S'= R'. Elle est éclairée par un point P qui n'est pas un point stigmatique du dioptre S, l'abcisse OP = a. Les rayons réfractés par la surface S couperont l'axe à des distances variables du point 0. Soit QI
a; de l'abcisse comprise entre xo et x2, à cette valeur correspondra un rayon réfracté QI issu d'un rayon incident PI parfaitement déterminé. Définissons la direction de ce rayon QI par l'angle u qu'il fait avec l'axe. Posons u = 10 P et représentons toujours par a l'abcisse OP. Les deux valeurs de u fournies par cette formule sont les valeurs de l'angle intérieur ou extérieur en Q au triangle QOI. Dans la suite, pour simplifier l'écriture nous écrivons cos(k)=rfcQ(5) P et Q représentent les polynômes qui entrent au numérateur et au dénominateur de la relation (3). Considérons maintenant (figure IV) une lentille SS' d'indice n et de rayons OS=R O'S'= R'. Elle est éclairée par un point P qui n'est pas un point stigmatique du dioptre S, l'abcisse OP = a. Les rayons réfractés par la surface S couperont l'axe à des distances variables du point 0. Soit QI un rayon réfracté rencontrant l'axe à la distance OQ=a;. Il fera avec l'axe un angle u donné par la formule (3). Ce rayon va subir une nouvelle réfraction sur la surface S'. Traçons de 0' comme centre avec un rayon – une circonférence. Soit I, le point d'incidence de QI sur la Surface S' et K' le point de rencontre de ce rayon avec la circonférence de rayon n R. Le rayon émergent coupera l'axe en un point P' dont l'abcisse O'P' a' est aisée à calculer. Posons en effet Cette formule sera générale si l'on convient de prendre devant le terme (n2-l) sin u le signe + si le rayon R' est positif; le signe dans le cas contraire. Mais comme on a soit identiques à précéderais, puisqu'ils sont indépendants de IV. Remarquons enfin que nous devons prendre le même signe devant ces deux développements, car des deux expressions doivent tendre vers la même valeur en grandeur R'3 et en signe lorsque n tend vers 1; cette valeur commune représentant la longueur l'H' au facteur Q-près. Si la lentille est stigmatique pour le point considéré, cette expression devra être constante quelque soit x. On doit donc avoir en représentant
sur la Surface S' et K' le point de rencontre de ce rayon avec la circonférence de rayon n R. Le rayon émergent coupera l'axe en un point P' dont l'abcisse O'P' a' est aisée à calculer. Posons en effet Cette formule sera générale si l'on convient de prendre devant le terme (n2-l) sin u le signe + si le rayon R' est positif; le signe dans le cas contraire. Mais comme on a soit identiques à précéderais, puisqu'ils sont indépendants de IV. Remarquons enfin que nous devons prendre le même signe devant ces deux développements, car des deux expressions doivent tendre vers la même valeur en grandeur R'3 et en signe lorsque n tend vers 1; cette valeur commune représentant la longueur l'H' au facteur Q-près. Si la lentille est stigmatique pour le point considéré, cette expression devra être constante quelque soit x. On doit donc avoir en représentant par k une constante convenable écrivons que l'expression est vérifiée quel que soit x. Il faudra naturellement que le terme tout entier connu et le coefficient de x soient identiquement nuls. Or ces deux termes ont pour valeur: lorsque l'on prend le signe + devant (n2-l) (x+d) P, Les deux termes qui entrent dans chaque couple ne peuvent pas être simultanément nuls, car on devrait avoir ou bien a = 0, ou bien R =0, conditions incompatibles avec les hypothèses ou les données du problème. La valeur a' ne peut donc pas être indépendante de x. La démonstration précédente est en défaut si la distance d = 0. Dans ce cas la valeur de a' devient il ne peut jamais être nul. Par conséquent la valeur de a' n'est pas indépendante de la variable. Enfin il peut arriver que le rayon R' devienne infini la face de sortie est plane. Un calcul simple montre que si on représente par e l'épaisseur de la lentille, l'abcisse a' comptée à partir du point de rencontre de la face plane avec l'axe est donnée par l'expression expression qui ne peut pas être indépendante de x. En effet, si \(e = 0\), le numérateur
termes qui entrent dans chaque couple ne peuvent pas être simultanément nuls, car on devrait avoir ou bien a = 0, ou bien R =0, conditions incompatibles avec les hypothèses ou les données du problème. La valeur a' ne peut donc pas être indépendante de x. La démonstration précédente est en défaut si la distance d = 0. Dans ce cas la valeur de a' devient il ne peut jamais être nul. Par conséquent la valeur de a' n'est pas indépendante de la variable. Enfin il peut arriver que le rayon R' devienne infini la face de sortie est plane. Un calcul simple montre que si on représente par e l'épaisseur de la lentille, l'abcisse a' comptée à partir du point de rencontre de la face plane avec l'axe est donnée par l'expression expression qui ne peut pas être indépendante de x. En effet, si \(e = 0\), le numérateur de \(a'\) contient \(x\) en facteur, le dénominateur renferme un terme tout connu \(as R^2\) qui ne peut pas être nul, donc \(a'\) ne peut pas être indépendant de \(x\). Si l'épaisseur de la lentille est différente de 0, il en est de même. Pour que \(a'\) soit constant on doit avoir en effet en représentant part \(k\) une constante convenable. Ces 2 termes ne peuvent jamais être nuls \(a'\) n'est donc jamais indépendant de \(x\). En resumé, si le point lumineux \(P\) disposé sur l'axe de la lentille ne coïncide pas avec un point stigmatique du dioptre \(S\), il ne peut pas être un point rigoureusement stigmatique de la lentille \(SS'\). Si ce point coïncide avec un point stigmatique de \(S\), mais si son image \(Q\) n'est pas un point stigmatique de \(S'\) il ne peut pas être davantage un point rigoureusement stigmatique de la lentille \(SS'\). Remarquons en dernier lieu que notre démonstration est applicable même si les deux faces de la lentille ne plongent pas dans le même milieu. Si nous représentons en effet par \(-l\) l'inverse du milieu extrême par rapport à la lentille, l'abcisse \(a'\) de l'image sera et tous les raisonnements qui ont été
doit avoir en effet en représentant part \(k\) une constante convenable. Ces 2 termes ne peuvent jamais être nuls \(a'\) n'est donc jamais indépendant de \(x\). En resumé, si le point lumineux \(P\) disposé sur l'axe de la lentille ne coïncide pas avec un point stigmatique du dioptre \(S\), il ne peut pas être un point rigoureusement stigmatique de la lentille \(SS'\). Si ce point coïncide avec un point stigmatique de \(S\), mais si son image \(Q\) n'est pas un point stigmatique de \(S'\) il ne peut pas être davantage un point rigoureusement stigmatique de la lentille \(SS'\). Remarquons en dernier lieu que notre démonstration est applicable même si les deux faces de la lentille ne plongent pas dans le même milieu. Si nous représentons en effet par \(-l\) l'inverse du milieu extrême par rapport à la lentille, l'abcisse \(a'\) de l'image sera et tous les raisonnements qui ont été faits plus haut peuvent se répéter ici. En résumé, des considérations précédentes on peut déduire le théorème suivant: Un point placé sur l'axe d'une lentille \(SS'\) d'épaisseur arbitraire et dont les faces extrêmes plongent dans des milieux quelconques ne peut être rigoureusement stigmatique, que s'il coïncide avec un point stigmatique du dioptre \(S\) et si de plus l'image de ce point dans le dioptre \(S\) coïncide avec un point stigmatique d'un dioptre \(S'\). Remarquons que tout point stigmatique d'un dioptre est aplanétique donc tout point de l'axe d'une lentille qui est rigoureusement stigmatique est aplanétique. G. CUMMINGS. Sur un second cliquetis des projectiles à grande vitesse. L'onde qui produit le cliquetis peut se représenter dans l'espace à l'instant \(T\) par l'équation. \(f (x, y, z) = V^2 (x - v T)^2 + (V_1 - v)^2 y^2 + (V_1 - v)^2 z^2 = 0\) \(Y\) étant la vitesse du son, \(v\) celle du projectile, \(T\) le temps employé par ce dernier pour atteindre un point donné de sa trajectoire, l'origine étant l'arme qui a lancé le projectile, l'axe des \(x\) la trajectoire supposée rectiligne. C'est l'enveloppe de la famille de sphères \(f(x,y,z,t) = x^2 + y^2 + z^2 - 2 v
du dioptre \(S\) et si de plus l'image de ce point dans le dioptre \(S\) coïncide avec un point stigmatique d'un dioptre \(S'\). Remarquons que tout point stigmatique d'un dioptre est aplanétique donc tout point de l'axe d'une lentille qui est rigoureusement stigmatique est aplanétique. G. CUMMINGS. Sur un second cliquetis des projectiles à grande vitesse. L'onde qui produit le cliquetis peut se représenter dans l'espace à l'instant \(T\) par l'équation. \(f (x, y, z) = V^2 (x - v T)^2 + (V_1 - v)^2 y^2 + (V_1 - v)^2 z^2 = 0\) \(Y\) étant la vitesse du son, \(v\) celle du projectile, \(T\) le temps employé par ce dernier pour atteindre un point donné de sa trajectoire, l'origine étant l'arme qui a lancé le projectile, l'axe des \(x\) la trajectoire supposée rectiligne. C'est l'enveloppe de la famille de sphères \(f(x,y,z,t) = x^2 + y^2 + z^2 - 2 v x + v^2 l^2 - V^2(T - t)^2 = 0\), où \(t\) est un paramètre variable (abcisse des centres). \((x, y, z, T)\) représente à l'instant \(T\) toutes les ondes engendrées par la pointe du projectile depuis son passage à l'origine. Cette enveloppe n'est réelle, on le sait, que si l'on a \(v > V\), le cliquetis n'existe que si le projectile a une vitesse supérieure à celle du son. Alors \(f(x, y, z)\) représente une courbe cycloïdale dont le demi-angle au sommet est constant et a pour tangente \(v^2/e\) par l'enseignant pour sinus; le sommet est à une distance à l'origine égale à \(v T\), variable avec \(T\). Ce cône est limité du côté de l'origine par une surface du second degré obtenue en cherchant le lieu des intersections de la famille de sphères par le plan d'abcisse \(minima x = - V^2 T + (V_1 + Y)^2 l\), \(t\), pour chaque valeur de \(T\). \(minima x = - -\) pour chaque valeur de \(T\), étant variable, indépendante; elle a pour équation \(f(x, y, z) = V^2 - v^2 - z^2 + y^2 z + V^2 = 0\) C'est un cône que j'appellerai « cône limite » son demi-angle
l'on a \(v > V\), le cliquetis n'existe que si le projectile a une vitesse supérieure à celle du son. Alors \(f(x, y, z)\) représente une courbe cycloïdale dont le demi-angle au sommet est constant et a pour tangente \(v^2/e\) par l'enseignant pour sinus; le sommet est à une distance à l'origine égale à \(v T\), variable avec \(T\). Ce cône est limité du côté de l'origine par une surface du second degré obtenue en cherchant le lieu des intersections de la famille de sphères par le plan d'abcisse \(minima x = - V^2 T + (V_1 + Y)^2 l\), \(t\), pour chaque valeur de \(T\). \(minima x = - -\) pour chaque valeur de \(T\), étant variable, indépendante; elle a pour équation \(f(x, y, z) = V^2 - v^2 - z^2 + y^2 z + V^2 = 0\) C'est un cône que j'appellerai « cône limite » son demi-angle au sommet a donc pour cosinus et sa surface est normale à celle du cône de cliquetis. Ce dernier s'arrête d'autre part au sommet, d'abcisse \(v T\) (maximum de \(x\)) mais tout plan sécant passant par la trajectoire de l'onde de cliquetis sera figurée par deux droites symétriques se déplaçant parallèlement aux mêmes. C'est le cas du sillage laissé par un bateau en eau calme. C'est un exemple remarquable d'ondes circulaires ayant pour résultante une ligne rigoureusement plane. Les équations s'obtiennent en faisant \(z = 0\) dans les relations ci-dessus. En dehors du cône limite, le cliquetis n'existe pas. Pour l'obus de 75 dont la vitesse initiale est de 529 m. sec, il sera perçu seulement si la droite joignant l'observateur à la pièce fait avec la trajectoire un angle moindre que 50° environ; pour la balle Lebel 36° 7' pour un projectile qui ferait 900 m. sec, 67°48. Si l'observateur est sur la surface du cône, le cliquetis l'atteindra en même temps que le coup de départ (onde de bouche), avant ce dernier s'il est à l'intérieur du cône limite. Tout ceci quand \(s\) est constant (Fig. 1). Dans la réalité, la vitesse du projectile varie. La vitesse \(dy
parallèlement aux mêmes. C'est le cas du sillage laissé par un bateau en eau calme. C'est un exemple remarquable d'ondes circulaires ayant pour résultante une ligne rigoureusement plane. Les équations s'obtiennent en faisant \(z = 0\) dans les relations ci-dessus. En dehors du cône limite, le cliquetis n'existe pas. Pour l'obus de 75 dont la vitesse initiale est de 529 m. sec, il sera perçu seulement si la droite joignant l'observateur à la pièce fait avec la trajectoire un angle moindre que 50° environ; pour la balle Lebel 36° 7' pour un projectile qui ferait 900 m. sec, 67°48. Si l'observateur est sur la surface du cône, le cliquetis l'atteindra en même temps que le coup de départ (onde de bouche), avant ce dernier s'il est à l'intérieur du cône limite. Tout ceci quand \(s\) est constant (Fig. 1). Dans la réalité, la vitesse du projectile varie. La vitesse \(dy v\) diminue de 8 coefficient angulaire de la tangente à la section par le plan des \(xy\), augmente. L'onde de cliquetis est représentée par l'enveloppe des tangentes à la surface \(f(x, y, z, v)\) elle a la forme d'une sorte de paraboloïde de plus en plus obtus, symétrique par rapport au plan vertical passant par la trajectoire en supposant la dérive nulle-asymétrique pour tout autre plan sécant, parce que la trajectoire s'incurve vers le sol quand l'angle de tir est plus petit que 90°. Quand \(v = V\), les tangentes sont dans un même plan perpendiculaire à la trajectoire le projectile cesse alors d'engendrer l'onde de cliquetis (Fig. 2). \(v\) croît. Au-delà d'un certain angle de tir, v, après avoir atteint un minimum, se met à croître dans la partie descendante de la trajectoire. Si la vitesse limite de chute du projectile peut atteindre et dépasser V, il se produit à nouveau une onde condensée, deuxième claquement. Cette onde admettra encore une surface limite conoïde, ayant son sommet au point de la trajectoire où v repasse en croissant par la valeur V. Son demi-angle au sommet sera toujours égal à V cos– Comme V = l'angle au sommet est nul
au plan vertical passant par la trajectoire en supposant la dérive nulle-asymétrique pour tout autre plan sécant, parce que la trajectoire s'incurve vers le sol quand l'angle de tir est plus petit que 90°. Quand \(v = V\), les tangentes sont dans un même plan perpendiculaire à la trajectoire le projectile cesse alors d'engendrer l'onde de cliquetis (Fig. 2). \(v\) croît. Au-delà d'un certain angle de tir, v, après avoir atteint un minimum, se met à croître dans la partie descendante de la trajectoire. Si la vitesse limite de chute du projectile peut atteindre et dépasser V, il se produit à nouveau une onde condensée, deuxième claquement. Cette onde admettra encore une surface limite conoïde, ayant son sommet au point de la trajectoire où v repasse en croissant par la valeur V. Son demi-angle au sommet sera toujours égal à V cos– Comme V = l'angle au sommet est nul toutes les tangentes se confondent en ce point avec la trajectoire. La vitesse v continuant à croître, cet angle grandit et la surface limite est l'enveloppe de la famille des cônes : (-1 ^) i* + VJ y2 + z -i2 = 0, v étant un paramètre variant de V à la vitesse limite, et l'origine se déplaçant suivant une certaine fonction de v et de t, dérivée de 1 On obtient un conoïde de plus en plus évasé, infiniment aigu au sommet et dont la surface devient développable à partir de la vitesse limite. L'onde de claquement sera de même l'enveloppe de la famille. /(x,y,z,v,T)=V+-v'tT + ()y~("–v~=0 quand v varie et que le point d'ordre (x,y,z)== 0 se déplace sur la trajectoire suivant une certaine fonction de v et de T. Elle aura la forme d'un cône évasé au maximum (bords parallèles au plan des y z) et dont le sommet deviendra de plus en plus aigu, la valeur minimale du demi-angle au sommet étant obtenue quand v atteindra la vitesse limite de chute dans l'air du projectile (obus, boule, etc.) arc sinus – partir de ce moment, la surface devient développable, x étant constant (Fig. 3). J. MELCHIOR.
à la vitesse limite, et l'origine se déplaçant suivant une certaine fonction de v et de t, dérivée de 1 On obtient un conoïde de plus en plus évasé, infiniment aigu au sommet et dont la surface devient développable à partir de la vitesse limite. L'onde de claquement sera de même l'enveloppe de la famille. /(x,y,z,v,T)=V+-v'tT + ()y~("–v~=0 quand v varie et que le point d'ordre (x,y,z)== 0 se déplace sur la trajectoire suivant une certaine fonction de v et de T. Elle aura la forme d'un cône évasé au maximum (bords parallèles au plan des y z) et dont le sommet deviendra de plus en plus aigu, la valeur minimale du demi-angle au sommet étant obtenue quand v atteindra la vitesse limite de chute dans l'air du projectile (obus, boule, etc.) arc sinus – partir de ce moment, la surface devient développable, x étant constant (Fig. 3). J. MELCHIOR. Les centres. Au sein des Armées. ––––––––––––~–––––––––~––––– A propos de la sonnette électrique On a fait observer bien souvent que l'explication usuelle des vibrateurs électriques est incomplète. Dans The Theory of Sound, t. 1, p. 59 (1877), Lord Rayleigh dit à propos des diapasons entretenus électriquement : « Le propos de ce genre d'appareils est souvent imparfaitement compris. Si la force agissant sur l'armature ne dépendait que de la position de celle-ci, le travail fourni en passant par une position serait rendu au retour, de sorte qu'après une période complète il ne resterait rien qui put compenser l'effet des frottements. Toute explication qui ne tient pas compte du retard du courant, passe complètement à côté du but. Il y a deux causes de retard : le contact irrégulier et la self induction. » Dvorak a publié en 1891 (Journal de Physique, t. 14; p. 841), une bibliographie et des recherches expérimentales sur l'importance des différents phénomènes qui interviennent dans le fonctionnement d'un vibrateur électrique. Le meilleur exposé est le suivant donné par Sylvanus Thompson dans un ouvrage de vulgarisation très remarquable L'Electroaimant, traduit par Hostet (1895) p. 98 : « Dans cet appareil, dès que le circuit électrique est fermé,
de ce genre d'appareils est souvent imparfaitement compris. Si la force agissant sur l'armature ne dépendait que de la position de celle-ci, le travail fourni en passant par une position serait rendu au retour, de sorte qu'après une période complète il ne resterait rien qui put compenser l'effet des frottements. Toute explication qui ne tient pas compte du retard du courant, passe complètement à côté du but. Il y a deux causes de retard : le contact irrégulier et la self induction. » Dvorak a publié en 1891 (Journal de Physique, t. 14; p. 841), une bibliographie et des recherches expérimentales sur l'importance des différents phénomènes qui interviennent dans le fonctionnement d'un vibrateur électrique. Le meilleur exposé est le suivant donné par Sylvanus Thompson dans un ouvrage de vulgarisation très remarquable L'Electroaimant, traduit par Hostet (1895) p. 98 : « Dans cet appareil, dès que le circuit électrique est fermé, l'électroaimant attire son armature et l'éloigne de la position de repos. Le ressort de contact, étant tendu, met le contact pendant les premiers instants d'avancement de l'armature, mais dès que celle-ci augmente, il y a séparation avec ce médiateur ressort et de la pointe de contact et par suite interruption du courant. À partir de cet instant l'aimantation commence à disparaître et l'attraction continue : néanmoins l'armature ayant acquis une certaine vitesse continue son mouvement en vertu de son énergie cinétique, jusqu'à ce que freinée par la tension de son ressort elle revienne immédiatement en arrière. Elle a alors une nouvelle vitesse, le ressort de contact venant frapper contre la pointe et rétablit le circuit, mais l'armature ne s'arrête pas de suite son inertie la porte à nouveau de la et d'ailleurs l'effroissance de l'action a pour but d'atteindre toute sa puissance attractive. Avant qu'elle soit parvenue, l'armature est elle-même arrivée au repos, et a de nouveau commencé à se rapprocher de l'électroaimant. Il est évident que dans ce cycle d'opération le mouvement mécanique des parties mobiles joue un rôle très important; celui de l'inertie électrique n'est pas moins considérable. Si le courant obéissait immédiatement à la rupture et à