jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
B. C. HEEZEN, Geol. Soc. Amer. Bull., 78, 1967, p. 1247. (8) R. L. FISHER, J. G. SCLATER et D. P. Mc KENZIE, Geol. Soc. Amer. Bull., 82, 1971, p. 553. (9) J. G. SCLATER, V. RITTER, W. HILTON, L. MEINKE et R. L. FISHER, Scripps Inst. Oceanogr., Special Report n° 71-77, 1971. (10) F. J. VINE, Science, 154, 1966, p. 1405. (11) J. R. HEIRTZLER, G. O. DICKSON, E. M. HERRON, W. C. PITMAN et X. LE PICHON, J. Geophys. Res., 73, 1968, p. 2119. (12) D. P. Mc KENZIE et J. G. SCLATER, Geophys. J. Roy. Astron. Soc. London, 25, 1971, p. 437. (13) Shipboard Scientific Party, Initial Report of the Deep Sea Drilling Project, 25, chap. 2 (sous presse). (14) R. CASEY, Quart. J. Geol. Soc. London, Suppl. 1, 1964, p. 193. (15) J. G. SCLATER, R. D. JARRARD et S. GARTNER, Initial Report of the Deep Sea Drilling Project, 22, chap. 13 (sous presse). R. S.: Institut de Physique du Globe de Paris, 4, avenue de Neptune, 94100 Saint-Maur-des-Fossés; C. F.: Institut Français du Pétrole, 4, avenue de Bois-Préau, 92500 Rueil-Malmaison. SISMOLOGIE THÉORIQUE. Problème direct et inverse de diffraction d'une onde élastique par une zone perturbée sphérique. Note de M. Pierre C. Sabatier, présentée par M. Jean Coulomb. Le problème direct et le problème inverse sont ici traités complètement, mais pour un milieu de rigidité nulle. Le problème suivant est étudié : dans un milieu élastique infini, de densité ρo, de constantes de Lamé X0, ρo, on sait qu'il existe une zone perturbée à symétrie sphérique, de rayon b, centrée en un point O. Une explosion centrée en un point S (OS = a > b) est source d'ondes de compression. Des mesures de déplacements faites hors de la boule (0, b), quelle information peut-on tirer sur cette zone perturbée ? Ce problème peut, dans certaines conditions, être appliqué à un sondage réel (où la surface libre introduirait en outre des réflexions). D'autre part, le problème d'ondes planes de compression, incidentes sur une structure perturbée à symétrie sphérique est un cas particulier du problème traité. Nous
sphérique. Note de M. Pierre C. Sabatier, présentée par M. Jean Coulomb. Le problème direct et le problème inverse sont ici traités complètement, mais pour un milieu de rigidité nulle. Le problème suivant est étudié : dans un milieu élastique infini, de densité ρo, de constantes de Lamé X0, ρo, on sait qu'il existe une zone perturbée à symétrie sphérique, de rayon b, centrée en un point O. Une explosion centrée en un point S (OS = a > b) est source d'ondes de compression. Des mesures de déplacements faites hors de la boule (0, b), quelle information peut-on tirer sur cette zone perturbée ? Ce problème peut, dans certaines conditions, être appliqué à un sondage réel (où la surface libre introduirait en outre des réflexions). D'autre part, le problème d'ondes planes de compression, incidentes sur une structure perturbée à symétrie sphérique est un cas particulier du problème traité. Nous supposons dans cette Note, pour simplifier le modèle, que la rigidité li est nulle en tout point du milieu (ρo = kio = 0). Avec ces hypothèses, l'équation d'un petit mouvement M en un point est Posant alors pu = grad P + rot E, il est facile de voir que si le milieu est au repos –► pour t < 0, E est nul. Si l'on s'intéresse à une onde harmonique (P = Pe^ict), il vient Prenons maintenant un système de coordonnées sphériques (R, θ, φ) centré en 0, –► avec Oz suivant SO. Appelons fonction de R presque continue une fonction continue pour tout R, sauf peut-être en un nombre fini de points Ri (0 < Ri < b) où elle peut présenter des sauts. Nous supposerons l'existence et la presque continuité de p, P, et leurs deux premières dérivées. Données, équations et fonctions du problème sont indépendantes de l'angle d'orientation (φ). Les propriétés de p M permettent de décomposer P en polynômes de Legendre; ce qui donne, compte tenu de l'équation (2) : Les solutions de (2) et (4) doivent être telles que la pression (ADiv u) et le déplacement radial soient continus, donc que II, et
que si le milieu est au repos –► pour t < 0, E est nul. Si l'on s'intéresse à une onde harmonique (P = Pe^ict), il vient Prenons maintenant un système de coordonnées sphériques (R, θ, φ) centré en 0, –► avec Oz suivant SO. Appelons fonction de R presque continue une fonction continue pour tout R, sauf peut-être en un nombre fini de points Ri (0 < Ri < b) où elle peut présenter des sauts. Nous supposerons l'existence et la presque continuité de p, P, et leurs deux premières dérivées. Données, équations et fonctions du problème sont indépendantes de l'angle d'orientation (φ). Les propriétés de p M permettent de décomposer P en polynômes de Legendre; ce qui donne, compte tenu de l'équation (2) : Les solutions de (2) et (4) doivent être telles que la pression (ADiv u) et le déplacement radial soient continus, donc que II, et p -1 (dli/dR) soient continus. II, est donc solution régulière de (4), en R' à l'origine. Pour R > b, (4) se réduit à où nous avons introduit ko = ρo £ /2 Xo 1/2 ω. Il existe donc une solution régulière \(N(R)\) de (4) telle que, pour \(R > a\), Si \(w\) est la distance d'un point \((R, 0)\) à \(S\), on sait que le potentiel de source, \(P_0\), est \(w^1\) exp \([ i k o w]\). Si l'on écrit son développement en polynômes de Legendre, comme (3), les ondes partielles correspondantes sont exactement calculables et, de même que \(P_0\), ont une dérivée discontinue en \(a\). Nous devons alors trouver une solution de (4) régulière, donc proportionnelle à \(N(R)\) pour \(R < a\), dérivée discontinue sur \(a\) de façon telle que \(P\) soit, pour tout \(R > b\), la superposition de \(P_0\) et d'un potentiel continu et à dérivée continue, et soit, à l'infini, proportionnel à une onde «sortante» \(R^1\) exp \([ i k o R]\). Ces conditions, et le développement de \(P_0\), donnent immédiatement : En particulier, si \(k o a < p_1\), et en un point \(R > a\), on a On pourrait aisément retrouver ce résultat
a\), Si \(w\) est la distance d'un point \((R, 0)\) à \(S\), on sait que le potentiel de source, \(P_0\), est \(w^1\) exp \([ i k o w]\). Si l'on écrit son développement en polynômes de Legendre, comme (3), les ondes partielles correspondantes sont exactement calculables et, de même que \(P_0\), ont une dérivée discontinue en \(a\). Nous devons alors trouver une solution de (4) régulière, donc proportionnelle à \(N(R)\) pour \(R < a\), dérivée discontinue sur \(a\) de façon telle que \(P\) soit, pour tout \(R > b\), la superposition de \(P_0\) et d'un potentiel continu et à dérivée continue, et soit, à l'infini, proportionnel à une onde «sortante» \(R^1\) exp \([ i k o R]\). Ces conditions, et le développement de \(P_0\), donnent immédiatement : En particulier, si \(k o a < p_1\), et en un point \(R > a\), on a On pourrait aisément retrouver ce résultat en remarquant que dans ces conditions l'onde explosive est pour \(R < b\), presque plane, et \(P_0\) asymptotique à \((a+R \cos 0)\). Le résultat est d'ailleurs semblable à celui obtenu en mécanique quantique dans la diffusion d'une particule par un potentiel central. Ces résultats résolvent le problème direct. Admettons maintenant que des mesures convenablement filtrées conduisent aux déphasages \(5\), \((co)\) en fonction de \(co\), pour tout \(co\) (une explosion a un spectre blanc.) Posons successivement, ce qui est possible si \(A\) et \(p\) sont strictement positifs : Ces relations permettent de définir un changement de variables dans (4) qui conduit à la première des deux équations suivantes : L'équation (10) est équivalente à (9) et (4) si (et seulement si) \(Z\) et sa dérivée sont continues, et la dérivée seconde presque continue. Faisons cette hypothèse. Le problème inverse revient à la détermination de \(V(x)\) et \(U(x)\) à partir des déphasages \(5\), des solutions de (10) pour \(T \to \infty\), problème soluble par les méthodes de Gel'fand-Levitan ou Marcenko sans ambiguïté, car aux «potentiels» \(V(x)+U(x)\) ne peuvent correspondre d'états liés. En effet, la théorie de la diffusion par un potentiel nous enseigne que pour un tel état \(0)^2\) serait négatif et
que des mesures convenablement filtrées conduisent aux déphasages \(5\), \((co)\) en fonction de \(co\), pour tout \(co\) (une explosion a un spectre blanc.) Posons successivement, ce qui est possible si \(A\) et \(p\) sont strictement positifs : Ces relations permettent de définir un changement de variables dans (4) qui conduit à la première des deux équations suivantes : L'équation (10) est équivalente à (9) et (4) si (et seulement si) \(Z\) et sa dérivée sont continues, et la dérivée seconde presque continue. Faisons cette hypothèse. Le problème inverse revient à la détermination de \(V(x)\) et \(U(x)\) à partir des déphasages \(5\), des solutions de (10) pour \(T \to \infty\), problème soluble par les méthodes de Gel'fand-Levitan ou Marcenko sans ambiguïté, car aux «potentiels» \(V(x)+U(x)\) ne peuvent correspondre d'états liés. En effet, la théorie de la diffusion par un potentiel nous enseigne que pour un tel état \(0)^2\) serait négatif et que, pour \(T > x (b)\), \(Z^{-1} II, (R (x))\) serait proportionnel à \(x^{1/2} KI+ (1/2) (coT)\), fonction à dérivée logarithmique partout négative. Or l'équation (9) peut être mise sous la forme de Picard : Pour une solution régulière, \(R = E\), et \(e \to 0\), \(d^2H/dx^2\) et \(II,\) sont de même signe. Ils le restent donc, si \(co^2\) est négatif, pour tout \(x\), ce qui contredit le comportement exigé. Ainsi, pour une fonction \(0, (m)\) il existe au plus une fonction \(V(x) +U(x)\). Elle existe si \(6j\) satisfait certaines propriétés d'analyticité du type tauberien liées au fait que le milieu n'est perturbé que pour des valeurs finies de \(T\). Si deux déphasages \(5\), sont connus et satisfont ces conditions, \(V(T)\) \(1\) \((1 + 1)\) \(U(x)\) peut être entièrement déterminé pour deux valeurs de \(j\), et donc chacun des deux termes peut l'être. \(T (b)\) est le point \(T_m\) à partir duquel \(V(x)\) est nul. \(b\) est déterminé par la forme de \(U(x)\) pour \(T > x_m\). \(R_m\) est donné univoquement pour \(T < T_m\) à partir de \(U(x)\) à la condition nécessaire et suffisante que \(\int U(T)\) soit strictement positif. \(Z(x)\) est donné à partir de \(V(x)\) par intégration
de même signe. Ils le restent donc, si \(co^2\) est négatif, pour tout \(x\), ce qui contredit le comportement exigé. Ainsi, pour une fonction \(0, (m)\) il existe au plus une fonction \(V(x) +U(x)\). Elle existe si \(6j\) satisfait certaines propriétés d'analyticité du type tauberien liées au fait que le milieu n'est perturbé que pour des valeurs finies de \(T\). Si deux déphasages \(5\), sont connus et satisfont ces conditions, \(V(T)\) \(1\) \((1 + 1)\) \(U(x)\) peut être entièrement déterminé pour deux valeurs de \(j\), et donc chacun des deux termes peut l'être. \(T (b)\) est le point \(T_m\) à partir duquel \(V(x)\) est nul. \(b\) est déterminé par la forme de \(U(x)\) pour \(T > x_m\). \(R_m\) est donné univoquement pour \(T < T_m\) à partir de \(U(x)\) à la condition nécessaire et suffisante que \(\int U(T)\) soit strictement positif. \(Z(x)\) est donné à partir de \(V(x)\) par intégration d'une équation différentielle du deuxième ordre et prise en compte de sa valeur connue au point \(x_m\) (où \(R = b)\), avec dérivée nulle par continuité. Notons que la donnée des \(5\), revient à la donnée des coefficients de réflexion en \(x_m\). Si \(X\) et \(p\) sont seulement presque continus (milieu stratifié) et si les coefficients de réflexion satisfont les propriétés renforcées d'analyticité alors nécessaires, il est facile de voir qu'on peut construire \(V(x) +U(x)\) par une variante des méthodes discrètes étudiées par Goupillaud, Kunetz et d'Erceville, Claerbout, Ware et Aki, Souriau. En conclusion, si nous faisons abstraction des conditions nécessaires et des incertitudes expérimentales, nous voyons que le problème inverse est bien posé, et entièrement résolu, pour la mesure de deux déphasages. Ce travail a été effectué dans le cadre de la R.C.P. n° 264 « Problèmes inverses ». (*) Séance du 14 janvier 1974. Université des Sciences et Techniques du Languedoc, Laboratoire de Physique mathématique, place Eugène-Bataillon, 34000 Montpellier. NOTES DES MEMBRES ET CORRESPONDANTS ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS MÉCANIQUE DES SOLIDES. De la détection des zones de déformation plastique dans les métaux par des mesures de température de surface. Note (*) de MM. Christian
(milieu stratifié) et si les coefficients de réflexion satisfont les propriétés renforcées d'analyticité alors nécessaires, il est facile de voir qu'on peut construire \(V(x) +U(x)\) par une variante des méthodes discrètes étudiées par Goupillaud, Kunetz et d'Erceville, Claerbout, Ware et Aki, Souriau. En conclusion, si nous faisons abstraction des conditions nécessaires et des incertitudes expérimentales, nous voyons que le problème inverse est bien posé, et entièrement résolu, pour la mesure de deux déphasages. Ce travail a été effectué dans le cadre de la R.C.P. n° 264 « Problèmes inverses ». (*) Séance du 14 janvier 1974. Université des Sciences et Techniques du Languedoc, Laboratoire de Physique mathématique, place Eugène-Bataillon, 34000 Montpellier. NOTES DES MEMBRES ET CORRESPONDANTS ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS MÉCANIQUE DES SOLIDES. De la détection des zones de déformation plastique dans les métaux par des mesures de température de surface. Note (*) de MM. Christian Saix et Paul Jouanna, transmise par M. Léopold Escande. Le procédé décrit ci-dessous permet la mise en évidence de la répartition et de l'intensité des déformations plastiques à la surface de pièces métalliques sous contraintes variables. Ces déformations irréversibles provoquent une augmentation de température donc une variation de l'énergie rayonnée par la surface de la pièce. PRINCIPE. La mise en évidence expérimentale des zones plastifiées d'une pièce métallique soumise à un certain champ de contraintes mécaniques peut s'effectuer par la mesure de températures de surface de la pièce. Fig. Il Dispositif de mise en évidence du phénomène En effet les phénomènes dissipatifs qui prennent naissance dans les zones d'écoulement plastique donnent lieu à une quantité de chaleur cédée au milieu extérieur. Dans des phénomènes transitoires rapides, ce phénomène monotherme n'est pas isotherme. Le champ des températures qui prend naissance dans la pièce métallique est directement lié à l'intensité des phénomènes dissipatifs. En particulier à la surface de la pièce, la carte des températures donne une image de la géométrie et de l'intensité des phénomènes irréversibles d'écoulement plastique. Dans une application progressive et lente du champ des contraintes à la pièce, cette image est altérée par diffusion thermique au sein de
par la surface de la pièce. PRINCIPE. La mise en évidence expérimentale des zones plastifiées d'une pièce métallique soumise à un certain champ de contraintes mécaniques peut s'effectuer par la mesure de températures de surface de la pièce. Fig. Il Dispositif de mise en évidence du phénomène En effet les phénomènes dissipatifs qui prennent naissance dans les zones d'écoulement plastique donnent lieu à une quantité de chaleur cédée au milieu extérieur. Dans des phénomènes transitoires rapides, ce phénomène monotherme n'est pas isotherme. Le champ des températures qui prend naissance dans la pièce métallique est directement lié à l'intensité des phénomènes dissipatifs. En particulier à la surface de la pièce, la carte des températures donne une image de la géométrie et de l'intensité des phénomènes irréversibles d'écoulement plastique. Dans une application progressive et lente du champ des contraintes à la pièce, cette image est altérée par diffusion thermique au sein de la pièce, et par les échanges de chaleur avec le milieu extérieur. Dans le cas où le calcul ne peut prédire l'incidence sur la mesure de ces phénomènes parasites, il est préférable de s'en tenir à une application rapide du champ des contraintes. MESURE DES TEMPÉRATURES DE SURFACE. Les variations de températures de surface produisent des variations d'énergie radiante émise par la pièce soumise à essai, peinte en noir au préalable pour lui assurer une émissivité voisine de 1. Les variations d'énergie radiante émise dans la plage de longueur d'onde 2 à 20 μm correspondant aux températures ambiantes, sont détectées par un bolomètre. La liaison entre énergie radiante et températures s'obtient par les lois de rayonnement du corps noir. On peut également opérer directement par étalonnage en visant des sources de température rigoureusement connues, ce qui a l'avantage de vérifier toute la chaîne de mesure, y compris la partie électronique qui amplifie la réponse du bolomètre. Le dispositif expérimental est représenté sur la figure 1. Fig. 2 Évolution de la température de surface lors de la formation d'une rotule plastique À titre d'exemple on trouvera sur la figure 2 l'évolution des températures de surface notées en fonction du temps, lors
de températures de surface produisent des variations d'énergie radiante émise par la pièce soumise à essai, peinte en noir au préalable pour lui assurer une émissivité voisine de 1. Les variations d'énergie radiante émise dans la plage de longueur d'onde 2 à 20 μm correspondant aux températures ambiantes, sont détectées par un bolomètre. La liaison entre énergie radiante et températures s'obtient par les lois de rayonnement du corps noir. On peut également opérer directement par étalonnage en visant des sources de température rigoureusement connues, ce qui a l'avantage de vérifier toute la chaîne de mesure, y compris la partie électronique qui amplifie la réponse du bolomètre. Le dispositif expérimental est représenté sur la figure 1. Fig. 2 Évolution de la température de surface lors de la formation d'une rotule plastique À titre d'exemple on trouvera sur la figure 2 l'évolution des températures de surface notées en fonction du temps, lors de la formation d'une rotule plastique au centre d'un barreau d'acier doux. La surface visée a un diamètre de l'ordre de 1 mm. L'appareillage utilisé permet d'apprécher 1/100 de degré Celsius. On peut obtenir la carte des températures à la surface de la pièce grâce à un balayage optique. CONCLUSION. Ce procédé ouvre une voie nouvelle pour l'étude expérimentale des pièces travaillant en plasticité. L'essai décrit ci-dessus est non destructif et peut s'effectuer à distance. Il ne nécessite qu'une préparation sommaire à l'aide d'une peinture noire, dans le cas où l'on ignore l'émissivité de la surface de l'échantillon. Enfin il donne une image continue de la répartition et de l'intensité des phénomènes plastiques. Laboratoire de Génie Civil, Université Montpellier II, 34060 Montpellier-Cedex. MÉCANIQUE PHYSIQUE. Sur une quasi-discontinuité de la résistance au frottement du caoutchouc au voisinage de la vitesse critique d'apparition des ondes de Schallamach. Note de MM. Michel Barquins et Robert Courtel, présentée par M. Jean-Jacques Trillat. On a mesuré la résistance au frottement à sec du caoutchouc en fonction de la vitesse (5-1 500 m/s) et de la température (20-75°C) pour une force normale de 20 mN, dans le cas d'échantillons irradiés ou non aux rayons ultraviolets, pour
Ce procédé ouvre une voie nouvelle pour l'étude expérimentale des pièces travaillant en plasticité. L'essai décrit ci-dessus est non destructif et peut s'effectuer à distance. Il ne nécessite qu'une préparation sommaire à l'aide d'une peinture noire, dans le cas où l'on ignore l'émissivité de la surface de l'échantillon. Enfin il donne une image continue de la répartition et de l'intensité des phénomènes plastiques. Laboratoire de Génie Civil, Université Montpellier II, 34060 Montpellier-Cedex. MÉCANIQUE PHYSIQUE. Sur une quasi-discontinuité de la résistance au frottement du caoutchouc au voisinage de la vitesse critique d'apparition des ondes de Schallamach. Note de MM. Michel Barquins et Robert Courtel, présentée par M. Jean-Jacques Trillat. On a mesuré la résistance au frottement à sec du caoutchouc en fonction de la vitesse (5-1 500 m/s) et de la température (20-75°C) pour une force normale de 20 mN, dans le cas d'échantillons irradiés ou non aux rayons ultraviolets, pour lesquels les ondes de Schallamach sont observables. On a mis en évidence, pour chaque température, une vitesse critique d'apparition des ondes, pour laquelle la résistance au déplacement tangentiel subit une variation brusque. Ses valeurs obéissent à la loi de William, Landel, Ferry reliant les effets de la vitesse et de la température dans le cas des processus viscoélastiques. Le dispositif expérimental présenté dans une Note antérieure a été perfectionné pour effectuer la mesure de la résistance que des échantillons de caoutchouc naturel, vulcanisé, irradié ou non aux rayons ultraviolets, opposent au frottement à sec d'une bille de verre dans une gamme de vitesse de 5 à 1 500 m/s, à des températures allant de 20 à 75°C. Simultanément, on a observé grâce à ce même dispositif l'apparition et la propagation des ondes de détachement (ondes de Schallamach) que l'on pouvait filmer de 64 à 400 images/s. Les valeurs mesurées du coefficient de frottement f d'un caoutchouc irradié en fonction de la vitesse et de la température, pour une charge de 20 mN sur l'hémisphère de verre constituant le frotteur (diamètre de la bille : 4 mm; ordre de grandeur de la dimension de l'aire de contact sous 20 mN sur
la température dans le cas des processus viscoélastiques. Le dispositif expérimental présenté dans une Note antérieure a été perfectionné pour effectuer la mesure de la résistance que des échantillons de caoutchouc naturel, vulcanisé, irradié ou non aux rayons ultraviolets, opposent au frottement à sec d'une bille de verre dans une gamme de vitesse de 5 à 1 500 m/s, à des températures allant de 20 à 75°C. Simultanément, on a observé grâce à ce même dispositif l'apparition et la propagation des ondes de détachement (ondes de Schallamach) que l'on pouvait filmer de 64 à 400 images/s. Les valeurs mesurées du coefficient de frottement f d'un caoutchouc irradié en fonction de la vitesse et de la température, pour une charge de 20 mN sur l'hémisphère de verre constituant le frotteur (diamètre de la bille : 4 mm; ordre de grandeur de la dimension de l'aire de contact sous 20 mN sur caoutchouc irradié : 400 μm) sont représentées sur la figure 1, comme pour la plupart des corps viscoélastiques, sur une « courbe maîtresse » f = (p (log aT V). Rappelons que ce mode de représentation consiste à porter en ordonnée le coefficient de frottement f = F/N (F : résistance tangentielle de frottement; N : charge appliquée) et en abscisse le logarithme du produit aT V : V est la vitesse de déplacement du frotteur, et aT le « shift factor » (multiplicateur) qui est donné par la formule empirique de William, Landel, Ferry (2): Dans cette expression, T est la température ambiante et To une température de référence égale à Tg + 50°C ; Tg : température de transition vitreuse, est pour nos échantillons environ Tg = –70°C. La première utilisation de ce mode de présentation dans le domaine du frottement est due à Grosch (3) et à Tabor (4); ces auteurs concluaient qu'aux basses vitesses de frottement (ce qui est le cas dans les présentes expériences) les processus essentiels sont de nature viscoélastique. L'élément nouveau, mis en évidence par nos observations sur le caoutchouc irradié, est l'existence d'une zone plus ou moins étroite, entourant la valeur (log