jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
alors sera déterminé; donc S; sera déterminé à une constante près; comme S; doit être une fonction impaire, cette constante doit être nulle et S peut être regardé comme entièrement connu. On déterminera ensuite i par l'équation (29) qui reste vraie et l'on n'aura plus qu'à intégrer les équations (25), toujours par le même procédé. Chaque terme de nos développements contient, en facteur, un monôme de la forme fJ— a/fi e'^4. C'est ce monôme u. que M. Brown appelle la caractéristique du terme. Jusqu'ici nous ne nous sommes occupés que des termes dont la caractéristique est une puissance d'une seule des quantités a, e, Y, e'; mais il est aisé de concevoir que la combinaison de ces divers procédés permette de traiter le cas général. Nous désignerons dans la suite par '&lt; J~~t X[j.; Y~, Sj,, Sja, IJJL, 7)p,, !.) Gjj,, l'ensemble des termes des développements de dont la caractéristique est pi. Nous désignerons par ~! ZfJ.' g¡¡.; Ajj, l'ensemble des termes des développements de z, Z, C2) C3 qui admettent respectivement pour caractéristiques De cette façon nous désignons par le même indice, non pas toujours les termes qui ont la même caractéristique, mais ceux que l'on détermine dans la même approximation. Je suppose alors que l'on ait calculé les termes dont l'indice est un monôme diviseur de u., et que l'on se propose de calculer les termes dont l'indice est égal à u. Trois cas sont à distinguer; le premier est celui où tj. ne contient en facteur ni y, ni e. On trouve alors où u, v et P ne dépendent que des fonctions antérieurement déterminées. Ces équations se traiteront absolument comme celles du n° 15; il n'y a absolument rien à changer à l'analyse de ce numéro. Le second cas est celui où p. contient en facteur y, mais pas e. On a alors où e et v sont des fonctions préalablement déterminées; et Z, sont des termes de caractéristique y (comme au n° 11 ). Nous pourrions déterminer (L et Z,, par le procédé du n° 11, mais il est préférable d'avoir recours aux procédés ordinaires
même approximation. Je suppose alors que l'on ait calculé les termes dont l'indice est un monôme diviseur de u., et que l'on se propose de calculer les termes dont l'indice est égal à u. Trois cas sont à distinguer; le premier est celui où tj. ne contient en facteur ni y, ni e. On trouve alors où u, v et P ne dépendent que des fonctions antérieurement déterminées. Ces équations se traiteront absolument comme celles du n° 15; il n'y a absolument rien à changer à l'analyse de ce numéro. Le second cas est celui où p. contient en facteur y, mais pas e. On a alors où e et v sont des fonctions préalablement déterminées; et Z, sont des termes de caractéristique y (comme au n° 11 ). Nous pourrions déterminer (L et Z,, par le procédé du n° 11, mais il est préférable d'avoir recours aux procédés ordinaires qui conduisent comme celui du n° 11 à une équation de la forme où P est une fonction connue, périodique et impaire. Cette équation est de même forme que celle que nous avons rencontrée au n° 13; elle permet de déterminer ;(L; on détermine en même temps Aujour, en choisissant cette constante de façon à faire disparaître les termes non périodiques dans Nous avons ensuite Mais S, Z,, Zp, v sont des fonctions homogènes en y dont l'ordre est respectivement k, i, k 1, k'; cet ordre est d'ailleurs connu. On en déduit ce qui détermine S. On a ensuite ce qui détermine et H{J.. L'équation (8) nous donne ensuite — ^G|j. — fodt^-+hod{J.+ Se dz, où e et E' représentent divers termes déjà connus du développement de c3 et de A3. On tire de là par le procédé du n° 6 ce qui détermine e' où k et k' sont des degrés d'homogénéité de G,, (le même que pour çlJ. et çlJ.), et de e' par rapport à y. On tire de là ce qui détermine !l" Nous arrivons enfin aux équations dont le second membre est une fonction connue, et à une équation analogue dont le second membre
cette constante de façon à faire disparaître les termes non périodiques dans Nous avons ensuite Mais S, Z,, Zp, v sont des fonctions homogènes en y dont l'ordre est respectivement k, i, k 1, k'; cet ordre est d'ailleurs connu. On en déduit ce qui détermine S. On a ensuite ce qui détermine et H{J.. L'équation (8) nous donne ensuite — ^G|j. — fodt^-+hod{J.+ Se dz, où e et E' représentent divers termes déjà connus du développement de c3 et de A3. On tire de là par le procédé du n° 6 ce qui détermine e' où k et k' sont des degrés d'homogénéité de G,, (le même que pour çlJ. et çlJ.), et de e' par rapport à y. On tire de là ce qui détermine !l" Nous arrivons enfin aux équations dont le second membre est une fonction connue, et à une équation analogue dont le second membre est également une fonction connue. Observons maintenant que si l'on pose x= TfXu. - n'y a, Y= Dy-+1 Xn, on aura où e et w sont deux caractéristiques telles que eto = yy2. Comme tous les x,,, où to est un diviseur de a. sont connus, ainsi que tous les ho., où e est un diviseur de u, et que Au. lui-même, la différence X^,— X'^, est connu et il en est de même de la différence Yjx. — Y '¡Jo. Nos équations peuvent donc s'écrire où Q' et R' sont deux fonctions connues. Elles sont tout à fait de même forme que les équations (24) et s'intègrent de la même manière. 19. Le troisième cas est celui où p contient e en facteur. On a alors (1) Les cas e = y2, w = p-, et s = 1-y2, w = 1 sont naturellement exclus; le premier parce que le terme ho figure dans Dx et que pour E = 2, ht n'est autre chose que ho; le second parce que pour w = 1, x. se réduit à x0 et que dx0 est nul. Il et v étant des fonctions antérieurement déterminées. On en tire d'où où k
ho., où e est un diviseur de u, et que Au. lui-même, la différence X^,— X'^, est connu et il en est de même de la différence Yjx. — Y '¡Jo. Nos équations peuvent donc s'écrire où Q' et R' sont deux fonctions connues. Elles sont tout à fait de même forme que les équations (24) et s'intègrent de la même manière. 19. Le troisième cas est celui où p contient e en facteur. On a alors (1) Les cas e = y2, w = p-, et s = 1-y2, w = 1 sont naturellement exclus; le premier parce que le terme ho figure dans Dx et que pour E = 2, ht n'est autre chose que ho; le second parce que pour w = 1, x. se réduit à x0 et que dx0 est nul. Il et v étant des fonctions antérieurement déterminées. On en tire d'où où k et k' désignent les degrés d'homogénéité de S,,, (le même que celui de Zu.) et de (J par rapport à e. La fonction S zi Z, est alors déterminée. Nous trouvons ensuite d'où l'on tire où l, p = i, p' et p sont les degrés d'homogénéité de ZI, Z!l., et S par rapport à y. La comparaison de ces deux équations nous donne Cette équation (32) va nous permettre de déterminer 5^ et Z[L'. Nous aurons en effet Dans les termes g > s et ta représentent deux caractéristiques telles que soj = e [x. D'ailleurs e doit être divisible par e, sans quoi gw serait nul, puisque le développement de c2 ne doit pas contenir de puissance négative de e. De plus w doit être divisible par e, sans quoi dt serait nul. Donc z et ta sont des diviseurs de p.. Le cas e = e, ta = p. doit être exclu parce que gz se réduit alors à g0 et que le terme go est compris dans DLe cas s = p., ta = e doit être exclu également parce que pour ta = c, z-M est nul. La conclusion est que les indices e et
et S par rapport à y. La comparaison de ces deux équations nous donne Cette équation (32) va nous permettre de déterminer 5^ et Z[L'. Nous aurons en effet Dans les termes g > s et ta représentent deux caractéristiques telles que soj = e [x. D'ailleurs e doit être divisible par e, sans quoi gw serait nul, puisque le développement de c2 ne doit pas contenir de puissance négative de e. De plus w doit être divisible par e, sans quoi dt serait nul. Donc z et ta sont des diviseurs de p.. Le cas e = e, ta = p. doit être exclu parce que gz se réduit alors à g0 et que le terme go est compris dans DLe cas s = p., ta = e doit être exclu également parce que pour ta = c, z-M est nul. La conclusion est que les indices e et co étant des diviseurs de p. plus petits que p., tous les termes en question sont connus. Dans les termes ht dit, s et co représentent deux caractéristiques telles que EU) = y2 [JL. L'indice s doit être divisible par y2, sans quoi ho. serait nul, puisque le développement de c3 ne doit pas contenir de puissance négative de y. De plus w doit être divisible par y2, sans quoi ddz,w A serait nul. Donc e et w sont des diviseurs de p.. Le cas e = y2, co = p. est exclu parce que ho. se réduit alors à ho et que le terme ho t est compris dans DLe cas s = p., co = y2 n'est pas exclu. Alors w se réduit à 1, z. ayant même signification qu'au n, 11. La conclusion est que tous ces termes sont connus à l'exception du terme L'équation (32) prend donc la forme où P est une fonction entièrement connue. La fonction dépend donc ici d'une équation linéaire du premier ordre et non plus du second. Cette même équation (33) déterminerait en même temps la constante ht par la condition que z,, soit périodique. On trouve ensuite car ro et
c3 ne doit pas contenir de puissance négative de y. De plus w doit être divisible par y2, sans quoi ddz,w A serait nul. Donc e et w sont des diviseurs de p.. Le cas e = y2, co = p. est exclu parce que ho. se réduit alors à ho et que le terme ho t est compris dans DLe cas s = p., co = y2 n'est pas exclu. Alors w se réduit à 1, z. ayant même signification qu'au n, 11. La conclusion est que tous ces termes sont connus à l'exception du terme L'équation (32) prend donc la forme où P est une fonction entièrement connue. La fonction dépend donc ici d'une équation linéaire du premier ordre et non plus du second. Cette même équation (33) déterminerait en même temps la constante ht par la condition que z,, soit périodique. On trouve ensuite car ro et X, ne dépendent pas de A, et l'; ni Z, de l et l'. En tenant compte de (30) ces équations deviennent ce qui détermine Çjj,, r1(Ji et H!J.' On détermine ensuite !J. par le procédé du n° 6. L'équation (8) nous donne rfGjj, = Jo d;!J. + go d'f¡!J. + ho d!J. + 'f. g dr¡w +1 hzdÇM. Dans les termes go.d-f¡Ct)', on doit avoir Ew = eii. D'ailleurs e doit être divisible par e et il en est de même de (0, puisque A2 est divisible par e2. Donc e et co divisent [x. On ne peut avoir 10 = p., d'où z = e, gs = g0, puisque le terme g0drÏVi figure déjà explicitement. On ne peut avoir s = p., d'où 10 = c, car alors rlw serait nul, puisque A2 est divisible par e2Tous ces termes sont donc connus. Dans les termes kEd, on doit avoir ZOi = y2 JJL. L'indice E doit être divisible par y2, et il en est de même de w, puisque A3 est divisible par y2. Donc e et w divisent y. On ne peut avoir w = y, d'où e = y2, ho. = ho, puisque le terme h0d^^
+ ho d!J. + 'f. g dr¡w +1 hzdÇM. Dans les termes go.d-f¡Ct)', on doit avoir Ew = eii. D'ailleurs e doit être divisible par e et il en est de même de (0, puisque A2 est divisible par e2. Donc e et co divisent [x. On ne peut avoir 10 = p., d'où z = e, gs = g0, puisque le terme g0drÏVi figure déjà explicitement. On ne peut avoir s = p., d'où 10 = c, car alors rlw serait nul, puisque A2 est divisible par e2Tous ces termes sont donc connus. Dans les termes kEd, on doit avoir ZOi = y2 JJL. L'indice E doit être divisible par y2, et il en est de même de w, puisque A3 est divisible par y2. Donc e et w divisent y. On ne peut avoir w = y, d'où e = y2, ho. = ho, puisque le terme h0d^^ figure déjà explicitement. On pourrait avoir ê = p., W = y2, mais ~[j,. a déjà été calculé. Tous ces termes sont donc connus. On tire de là ou k et kl étant le degré d'homogénéité de G, et de riM en e. On en tire enfin Cette équation détermine !l" car .'w et !L sont connus. On trouverait ensuite, toujours par le même procédé, des équations de la forme où Q et R sont connus, et l'on en déduirait, toujours de la même manière, d'autres équations de la forme Ces équations, intégrées toujours par le même procédé, nous donneraient x,, et }'(L et elles nous feraient en même temps connaître g(L que l'on déterminerait par la condition que x[J. et Y[J. soient périodiques. 20. Malheureusement l'équation du premier ordre (33) n'est pas aussi facile à manier qu'on pourrait le croire. Elle donne en effet en appelant Pt le second membre et la présence de z2 au dénominateur est gênante parce que z, est susceptible de s'annuler. On pourrait songer à réserver l'équation (33) comme un moyen de vérification et à revenir pour le calcul de z-y à l'équation ordinairement employée. Voici comment cette équation pourrait se déduire de (33)
!l" car .'w et !L sont connus. On trouverait ensuite, toujours par le même procédé, des équations de la forme où Q et R sont connus, et l'on en déduirait, toujours de la même manière, d'autres équations de la forme Ces équations, intégrées toujours par le même procédé, nous donneraient x,, et }'(L et elles nous feraient en même temps connaître g(L que l'on déterminerait par la condition que x[J. et Y[J. soient périodiques. 20. Malheureusement l'équation du premier ordre (33) n'est pas aussi facile à manier qu'on pourrait le croire. Elle donne en effet en appelant Pt le second membre et la présence de z2 au dénominateur est gênante parce que z, est susceptible de s'annuler. On pourrait songer à réserver l'équation (33) comme un moyen de vérification et à revenir pour le calcul de z-y à l'équation ordinairement employée. Voici comment cette équation pourrait se déduire de (33) : Differentions deux fois cette équation (33), il viendra (en nous souvenant que Z, = Ds,) Or D2z1—Pzi = 0; il reste donc , + '.PZI = O' On doit se souvenir que Alors on doit pouvoir choisir la constante h,, de telle façon que soit divisible par ZILa possibilité d'un pareil choix est un moyen de vérification. Il doit arriver ensuite que Au. étant ainsi choisi, on trouve pour z!J. une fonction périodique. C'est une seconde vérification. Mais il y a mieux à faire. Rapprochons l'équation (32) de la première équation (34). Ces deux équations peuvent s'écrire Q et R étant connus. On tirera zl et Zp sans intégration de ces deux équations du premier degré. Comme, ainsi que nous venons de le voir, Je déterminant de ces équations se réduit à une constante, on pourra achever cette opération sans avoir à faire une division dans laquelle on pourrait craindre que le diviseur ne devienne nul. On devra pouvoir choisir h2, de telle façon que les valeurs de zl et Zp ainsi trouvées satisfassent à la condition trouvée plus haut C'est une vérification et cela détermine en même temps la constante h2. On remarquera que la constante h1 est
d'un pareil choix est un moyen de vérification. Il doit arriver ensuite que Au. étant ainsi choisi, on trouve pour z!J. une fonction périodique. C'est une seconde vérification. Mais il y a mieux à faire. Rapprochons l'équation (32) de la première équation (34). Ces deux équations peuvent s'écrire Q et R étant connus. On tirera zl et Zp sans intégration de ces deux équations du premier degré. Comme, ainsi que nous venons de le voir, Je déterminant de ces équations se réduit à une constante, on pourra achever cette opération sans avoir à faire une division dans laquelle on pourrait craindre que le diviseur ne devienne nul. On devra pouvoir choisir h2, de telle façon que les valeurs de zl et Zp ainsi trouvées satisfassent à la condition trouvée plus haut C'est une vérification et cela détermine en même temps la constante h2. On remarquera que la constante h1 est restée arbitraire. Cette nouvelle constante arbitraire remplace la constante d'intégration de l'équation (33). Nous n'avons rien à changer d'ailleurs au calcul de x11. H2, x12 et x2n 21. Dans les calculs qui précèdent, nous avons souvent différentié par rapport à la constante que nous appelons f0. Si l'on veut pouvoir comparer avec les formules usuelles, il faut poser d'où Mais pour que la comparaison soit possible avec les formules données par Delaunay et d'autres auteurs, il faut faire plusieurs remarques. En premier lieu, ce que j'appelle ici m, c'est ce que Delaunay appelle 1 ln M. Brown appelle cette même quantité m; mais il y a d'autres différences; j'ai supposé mes coordonnées, x par exemple, exprimées en fonctions de n', a, lu et en outre de e, y, t, l, 1, e', l'. La quantité K, d'où dépendent les termes parallactiques, était égale à a étant une longueur constante et a' le demi-grand axe de l'orbite solaire. M. Brown exprime tout en fonction de a, cxl et m et en outre de e, y, t, l, À, e', U. La longueur a est le coefficient du terme principal du développement de xo+ vI}'o; c'est une fonction de n' et de
comparer avec les formules usuelles, il faut poser d'où Mais pour que la comparaison soit possible avec les formules données par Delaunay et d'autres auteurs, il faut faire plusieurs remarques. En premier lieu, ce que j'appelle ici m, c'est ce que Delaunay appelle 1 ln M. Brown appelle cette même quantité m; mais il y a d'autres différences; j'ai supposé mes coordonnées, x par exemple, exprimées en fonctions de n', a, lu et en outre de e, y, t, l, 1, e', l'. La quantité K, d'où dépendent les termes parallactiques, était égale à a étant une longueur constante et a' le demi-grand axe de l'orbite solaire. M. Brown exprime tout en fonction de a, cxl et m et en outre de e, y, t, l, À, e', U. La longueur a est le coefficient du terme principal du développement de xo+ vI}'o; c'est une fonction de n' et de m, c'est-à-dire de n'et de Jo. Quant à ':J.', (qu'il appelle a) c'est le rapport La longueur a reste constante dans le mouvement de la Lune, mais ce n'est pas une constante absolue au point de vue qui nous occupe, puisqu'elle dépend de Jo. À la fin du calcul, toutefois, et après toutes les différentiations, on pourra supposer a = a0, d'où a = a'. À cause de l'homogénéité spéciale des équations, les coordonnées x,y, z, sont de la forme suivante x = a o(a', ln), et l'on aura d'ailleurs 2 a = n' a ( m ) ; la fonction 0 (a', m) dépendant en outre de e, y, T, l, À, e', l'. On trouve alors Or d'où Cette formule rend les comparaisons possibles. Observons maintenant que l'analyse précédente, exigeant des différentiations par rapport à m, conviendrait plus particulièrement aux cas où l'on veut obtenir le développement littéral des coordonnées, comme le faisait Delaunay. Ce n'est pas qu'elle ne puisse être appliquée à la recherche d'un développement numérique analogue à celui de Brown. Il faudrait alors calculer d'avance, non seulement xo et mais un certain nombre de leurs dérivées successives par rapport à m, ce qui d'ailleurs se
et après toutes les différentiations, on pourra supposer a = a0, d'où a = a'. À cause de l'homogénéité spéciale des équations, les coordonnées x,y, z, sont de la forme suivante x = a o(a', ln), et l'on aura d'ailleurs 2 a = n' a ( m ) ; la fonction 0 (a', m) dépendant en outre de e, y, T, l, À, e', l'. On trouve alors Or d'où Cette formule rend les comparaisons possibles. Observons maintenant que l'analyse précédente, exigeant des différentiations par rapport à m, conviendrait plus particulièrement aux cas où l'on veut obtenir le développement littéral des coordonnées, comme le faisait Delaunay. Ce n'est pas qu'elle ne puisse être appliquée à la recherche d'un développement numérique analogue à celui de Brown. Il faudrait alors calculer d'avance, non seulement xo et mais un certain nombre de leurs dérivées successives par rapport à m, ce qui d'ailleurs se ferait sans difficulté. 22. Cherchons ce que devient, dans les nouvelles approximations, le paradoxe signalé au n° 10. Voyons donc dans quelle mesure nous avons eu affaire aux équations différentielles qu'il s'agissait d'intégrer. Nous verrons que nous nous sommes servis de ces équations aux n° 11, 14, 15, 17; que nous n'y avons fait seulement appel aux n° 12, 19, et 20; et qu'enfin aux n° 13 et 18 nous nous sommes servis de ces équations pour le calcul de z, mais que nous n'en avons plus eu besoin pour le calcul de x et de y. En résumé, après avoir déterminé, à l'aide des équations qu'il s'agit d'intégrer, les termes de x et de y qui sont indépendants de e et de j, et ceux de z qui sont indépendants de e, nous pourrons, sans faire intervenir de nouveau ces équations, calculer les termes de x et de y qui dépendent de y ou de e, ceux de z qui dépendent de e. Le résultat conserve son apparence paradoxale, mais le paradoxe s'explique comme au n° 10. REVUE DES PUBLICATIONS ASTRONOMIQUES. MEDDELANDEN FUR LUNDS ASTRONOMISKA OBSERVATORIUM (Extraits de L'Ofversigt af k. sv. vet.-akad. Forhandl. i 1899). N° 8. Schultz-Steinheil
nous n'y avons fait seulement appel aux n° 12, 19, et 20; et qu'enfin aux n° 13 et 18 nous nous sommes servis de ces équations pour le calcul de z, mais que nous n'en avons plus eu besoin pour le calcul de x et de y. En résumé, après avoir déterminé, à l'aide des équations qu'il s'agit d'intégrer, les termes de x et de y qui sont indépendants de e et de j, et ceux de z qui sont indépendants de e, nous pourrons, sans faire intervenir de nouveau ces équations, calculer les termes de x et de y qui dépendent de y ou de e, ceux de z qui dépendent de e. Le résultat conserve son apparence paradoxale, mais le paradoxe s'explique comme au n° 10. REVUE DES PUBLICATIONS ASTRONOMIQUES. MEDDELANDEN FUR LUNDS ASTRONOMISKA OBSERVATORIUM (Extraits de L'Ofversigt af k. sv. vet.-akad. Forhandl. i 1899). N° 8. Schultz-Steinheil (C.-A.). — Introduction de l'argument Xm dans le problème des perturbations. L'auteur revient sur un procédé dû à Gyldén et consistant à développer les perturbations suivant deux arguments, dont l'un reste constant pendant chaque demi-révolution de la planète troublée. Plusieurs astronomes ont utilisé avec avantage ce procédé pour le calcul des perturbations relatives des petites planètes. M. Charlier en fit l'essai pour le calcul des perturbations absolues de Thétis (Bulletin, IV, 207) dans un travail approfondi; mais il était intéressant de reprendre la question traitée par M. Charlier, l'argument Xm, qui varie par sauts ayant été introduit par celui-ci après l'intégration, tandis qu'il était tout indiqué de le faire intervenir avant l'intégration. M. Schultz-Steinheil est en train de faire les calculs pour 2(53 Dresde. Il n'y a pas là, on doit l'observer, une tentative pour faire disparaître les petits diviseurs qui se manifestent sous la forme de forts coefficients lorsqu'on détermine les constantes arbitraires. Le gain principal est une simplification dans la mise en tables, réduites à un seul argument, l'autre (ou les autres) restant constant pendant un intervalle plus ou moins étendu. Le Verrier s'est placé à un point de vue analogue dans le Ch. XII de ses Recherches