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t. LV). 1895. ZELBR. — Notiz betr. das Keplersche Problem (Astr. Nachr., t. 139, n° 3324). NAU (F.). — LE TRAITÉ SUR L'ASTROLABE PLAN, de Sévère Sabokt, écrit au septième siècle, d'après les sources grecques, et publié pour la première fois avec traduction française. (Extrait du Journal asiatique.) 1 vol. in-8 de 116 pages, Leroux. M. l'abbé Nau vient de publier, dans le Journal asiatique, le texte syriaque et la traduction française d'un Traité sur l'astrolabe plan, écrit au VIe siècle (c'est-à-dire avant que les Arabes pussent s'occuper d'Astronomie) d'après des sources grecques encore inédites. Ce Traité syriaque est un peu diffus et cherche plutôt à multiplier les règles qu'à les bien choisir; mais il est très important pour l'histoire de l'astrolabe plan, car c'est le plus ancien Traité écrit sur ce sujet qui ait été publié avec traduction. L'astrolabe plan, appelé longtemps astrolabe des Arabes, n'a donc pas été inventé par eux, mais leur a été transmis des Grecs sans doute par l'intermédiaire des Syriens. Ptolémée avait déjà donné, dans son Planisphère, les principes mathématiques (projection stéréographique), nécessaires pour construire l'astrolabe plan. S'il n'utilisa pas cet instrument, c'est, suppose M. Nau, à cause des imperfections qui lui étaient inhérentes et provenaient : 1° de ses trop petites dimensions, 2° du jeu de ses diverses pièces les unes dans les autres, et 3° de l'obligation où l'on était de ne s'en servir qu'à une latitude déterminée. M. Nau, interprétant deux passages de Vitruve qu'il cite, y trouve la description de l'astrolabe plan, de son usage principal qui est la détermination de l'heure, et enfin le nom de la pièce la plus importante de cet instrument qui est l'araignée. Il en conclut donc qu'il faut lire dans Vitruve : L'astrolabe plan fut inventé par Eudoxe, ou selon quelques-uns par Apollonius. Apollonius pouvait connaître la projection stéréographique et construire cet instrument, mais Eudoxe le pouvait-il? Il nous est impossible de l'affirmer d'après le peu qui nous reste de ses œuvres. M. Nau laisse cette question pendante et se borne à dire que l'astrolabe plan, inventé du moins par Apollonius de Perge, fut
et provenaient : 1° de ses trop petites dimensions, 2° du jeu de ses diverses pièces les unes dans les autres, et 3° de l'obligation où l'on était de ne s'en servir qu'à une latitude déterminée. M. Nau, interprétant deux passages de Vitruve qu'il cite, y trouve la description de l'astrolabe plan, de son usage principal qui est la détermination de l'heure, et enfin le nom de la pièce la plus importante de cet instrument qui est l'araignée. Il en conclut donc qu'il faut lire dans Vitruve : L'astrolabe plan fut inventé par Eudoxe, ou selon quelques-uns par Apollonius. Apollonius pouvait connaître la projection stéréographique et construire cet instrument, mais Eudoxe le pouvait-il? Il nous est impossible de l'affirmer d'après le peu qui nous reste de ses œuvres. M. Nau laisse cette question pendante et se borne à dire que l'astrolabe plan, inventé du moins par Apollonius de Perge, fut considéré par les astronomes grecs, à cause de ses imperfections, comme un simple instrument d'astrologie; les Arabes le reprirent, en firent grand usage et nous le transmirent, ce qui nous fit croire longtemps que les Arabes l'avaient inventé et que les Grecs n'avaient connu que l'astrolabe sphérique. En dehors des travaux sur les astrolabes plans des Arabes, nous ne connaissons qu'une publication d'un Traité grec, sur ce sujet. Ce Traité fut écrit à Alexandrie par Jean Philoponus, il est donc contemporain du Traité syriaque dont nous nous occupons, et n'a du reste pas été traduit. (Voir RHÉMIS dans Museum fur Philologie, t. VI, Bonn, 1839). MÉMOIRES ET OBSERVATIONS. SUR LA LOI DE ROTATION DIURNE DU CHAMP OPTIQUE Fourni PAR LE SIDÉROSTAT ET L'HÉLIOSTAT; PAR M. A. CORNU. Les appareils bien connus sous le nom d'héliostats et de sidérostats permettent d'envoyer dans une direction fixe, à l'aide d'un miroir mobile, le faisceau de lumière émané d'un astre entraîné par le mouvement diurne. La théorie géométrique de ces appareils est très simple : elle réduit l'astre à un point lumineux, le faisceau incident à un rayon rectiligne qui décrit en vingt-quatre heures un cône de révolution autour de l'axe polaire de l'appareil,
travaux sur les astrolabes plans des Arabes, nous ne connaissons qu'une publication d'un Traité grec, sur ce sujet. Ce Traité fut écrit à Alexandrie par Jean Philoponus, il est donc contemporain du Traité syriaque dont nous nous occupons, et n'a du reste pas été traduit. (Voir RHÉMIS dans Museum fur Philologie, t. VI, Bonn, 1839). MÉMOIRES ET OBSERVATIONS. SUR LA LOI DE ROTATION DIURNE DU CHAMP OPTIQUE Fourni PAR LE SIDÉROSTAT ET L'HÉLIOSTAT; PAR M. A. CORNU. Les appareils bien connus sous le nom d'héliostats et de sidérostats permettent d'envoyer dans une direction fixe, à l'aide d'un miroir mobile, le faisceau de lumière émané d'un astre entraîné par le mouvement diurne. La théorie géométrique de ces appareils est très simple : elle réduit l'astre à un point lumineux, le faisceau incident à un rayon rectiligne qui décrit en vingt-quatre heures un cône de révolution autour de l'axe polaire de l'appareil, parallèle lui-même à l'axe terrestre. Pour obtenir la fixité du faisceau réfléchi, il faut et il suffit que la normale au miroir soit constamment parallèle à la bissectrice de l'angle que fait le rayon venu de l'astre avec la direction fixe choisie : c'est la condition que réalisent d'une manière plus ou moins parfaite les mécanismes imaginés par Segravesande, Gambey, Silbermann, Foucault, etc. Si l'on reçoit suivant l'axe principal d'une lunette le faisceau réfléchi par le miroir ainsi guidé, l'image focale de l'astre restera immobile au centre du champ de vision, malgré le déplacement angulaire de la voûte céleste. Mais cette condition de fixité, réalisée géométriquement pour l'astre visé, n'est plus remplie pour les directions voisines : on constate aisément que le champ de vision tourne autour de son centre de manière à effectuer en vingt-quatre heures une révolution complète. La vitesse de rotation n'est pas uniforme, de sorte que le déplacement angulaire du champ varie avec le temps suivant une loi qu'il importe de déterminer. Représentons la voûte céleste par une sphère de rayon égal à 1 unité et chaque ligne de visée sur le ciel par la trace sur cette sphère d'une droite menée par le centre parallèlement
plus ou moins parfaite les mécanismes imaginés par Segravesande, Gambey, Silbermann, Foucault, etc. Si l'on reçoit suivant l'axe principal d'une lunette le faisceau réfléchi par le miroir ainsi guidé, l'image focale de l'astre restera immobile au centre du champ de vision, malgré le déplacement angulaire de la voûte céleste. Mais cette condition de fixité, réalisée géométriquement pour l'astre visé, n'est plus remplie pour les directions voisines : on constate aisément que le champ de vision tourne autour de son centre de manière à effectuer en vingt-quatre heures une révolution complète. La vitesse de rotation n'est pas uniforme, de sorte que le déplacement angulaire du champ varie avec le temps suivant une loi qu'il importe de déterminer. Représentons la voûte céleste par une sphère de rayon égal à 1 unité et chaque ligne de visée sur le ciel par la trace sur cette sphère d'une droite menée par le centre parallèlement à cette direction. Soit NESW le cercle d'horizon réel ou fictif (fig. Le pôle céleste; Z le zénith; PZS le méridien du lieu; PD le cercle horaire de l'astre D et D' le point de l'horizon réel ou fictif vers lequel le faisceau réfléchi est constamment dirigé. La position de l'astre D est définie à chaque instant par sa distance polaire S = PD et son angle horaire A = SPD compté positivement dans le sens du mouvement diurne, de l'est E vers l'ouest W. De même, le point D' est déterminé par sa distance polaire p = PD' et par l'angle to = SPD' que fait le plan PD' avec le méridien. Nous appellerons plan de référence ce plan SPD' qui est par extension le cercle horaire du point D'. Si, au lieu de p et de w, on se donnait l'azimut a = SD' et l'arc PS, supplément de la latitude L, on calculerait p et w à l'aide des deux relations suivantes fournies par le triangle rectangle PSD'. Pour que le faisceau émané de l'astre D soit constamment réfléchi en D', il faut et il suffit, d'après les lois de la réflexion, que la trace M de
l'astre D est définie à chaque instant par sa distance polaire S = PD et son angle horaire A = SPD compté positivement dans le sens du mouvement diurne, de l'est E vers l'ouest W. De même, le point D' est déterminé par sa distance polaire p = PD' et par l'angle to = SPD' que fait le plan PD' avec le méridien. Nous appellerons plan de référence ce plan SPD' qui est par extension le cercle horaire du point D'. Si, au lieu de p et de w, on se donnait l'azimut a = SD' et l'arc PS, supplément de la latitude L, on calculerait p et w à l'aide des deux relations suivantes fournies par le triangle rectangle PSD'. Pour que le faisceau émané de l'astre D soit constamment réfléchi en D', il faut et il suffit, d'après les lois de la réflexion, que la trace M de la normale au miroir soit maintenue par le mécanisme au milieu de l'arc de grand cercle DD'. Connaissant à chaque instant la trace M de cette normale, on peut construire la trace de la direction suivant laquelle un rayon émané d'un point quelconque de la voûte céleste est réfléchi par le miroir : il suffit de joindre ce point au point M par un arc de grand cercle et de prolonger cet arc d'une longueur égale. Ainsi l'image P' du pôle P est sur l'arc PM prolongé jusqu'au point P' tel que MP' = MP. L'image sphérique réfléchie des divers points de la voûte céleste est donc à chaque instant symétrique de leur position directe par rapport au point M. Il en résulte que l'orientation du champ de vision est entièrement déterminée par la connaissance de l'image réfléchie d'un point quelconque, en dehors de l'astre qui en occupe le centre. Le pôle P, par son immobilité sur la voûte céleste, est particulièrement désigné pour ce but et son image P' constitue le repère le plus simple et le plus commode. Nous allons donc calculer pour chaque appareil la distance et l'orientation de l'image P' du pôle, c'est-à-dire la longueur de
le miroir : il suffit de joindre ce point au point M par un arc de grand cercle et de prolonger cet arc d'une longueur égale. Ainsi l'image P' du pôle P est sur l'arc PM prolongé jusqu'au point P' tel que MP' = MP. L'image sphérique réfléchie des divers points de la voûte céleste est donc à chaque instant symétrique de leur position directe par rapport au point M. Il en résulte que l'orientation du champ de vision est entièrement déterminée par la connaissance de l'image réfléchie d'un point quelconque, en dehors de l'astre qui en occupe le centre. Le pôle P, par son immobilité sur la voûte céleste, est particulièrement désigné pour ce but et son image P' constitue le repère le plus simple et le plus commode. Nous allons donc calculer pour chaque appareil la distance et l'orientation de l'image P' du pôle, c'est-à-dire la longueur de l'arc D'P' et l'angle Y que fait cet arc avec le grand cercle PD'Po, trace du plan de référence. Sidérostat. — Sous ce nom, on désigne l'appareil spécialement construit pour diriger le faisceau réfléchi vers l'horizon sud. L'avantage de cette disposition, imaginée par Léon Foucault, est de réduire autant que possible l'angle d'incidence DM = D'M des rayons venant des astres qui, à leur passage supérieur, culminent au voisinage du zénith ou de l'équateur : les aberrations de l'image réfléchie causées par les imperfections du miroir sont ainsi notablement atténuées. La figure 1 représente la disposition du faisceau issu de l'astre D et renvoyé par un sidérostat dans une direction horizontale faisant avec le méridien sud un angle a compté positivement vers l'ouest; a est généralement une petite fraction de l'angle droit. 1° Distance D'P' de l'image P' du pôle au centre D' du champ. — L'arc D'P' est le côté du triangle MD'P' symétrique du triangle MDP, puisque MD'=MD et MP'=MP. Ces deux triangles sont égaux comme ayant un angle égal en M compris entre deux côtés égaux. Les deux côtés D'P' et DP opposés à l'angle égal sont donc égaux : D'P'=DP = S. Donc : la distance
possible l'angle d'incidence DM = D'M des rayons venant des astres qui, à leur passage supérieur, culminent au voisinage du zénith ou de l'équateur : les aberrations de l'image réfléchie causées par les imperfections du miroir sont ainsi notablement atténuées. La figure 1 représente la disposition du faisceau issu de l'astre D et renvoyé par un sidérostat dans une direction horizontale faisant avec le méridien sud un angle a compté positivement vers l'ouest; a est généralement une petite fraction de l'angle droit. 1° Distance D'P' de l'image P' du pôle au centre D' du champ. — L'arc D'P' est le côté du triangle MD'P' symétrique du triangle MDP, puisque MD'=MD et MP'=MP. Ces deux triangles sont égaux comme ayant un angle égal en M compris entre deux côtés égaux. Les deux côtés D'P' et DP opposés à l'angle égal sont donc égaux : D'P'=DP = S. Donc : la distance D'P' de l'image du pôle à l'image de l'astre (centre du champ) est égale à la distance polaire de l'astre visé. D'où il résulte que l'image du pôle décrit autour du centre du champ un cercle ayant pour rayon la distance polaire de l'astre visé. 2° Orientation de l'arc D'P'. — Soit Y l'angle que l'arc D'P' fait avec D' Po, prolongation de la trace du plan de référence DP. Y = PD'P' = 2π - (PD'D + DD'P') = 2π(PD'D + PDD'), car DD'P'= PDD' en vertu de l'égalité des triangles MDP et MD'P'. L'angle cherché Y est donc le supplément des angles à la base du triangle PDD', dont le sommet est en P. De la formule de Neper on déduit, en substituant A = DPD' = 1, b = p, c = Q, expression qui donne l'orientation de l'arc D'P' et, par suite, la loi de la rotation du champ de vision, car A varies proportionnellement au temps. Si l'on prend pour origine du temps le moment où l'astre visé est dans le plan de référence, t = 0 pour A = w = 0, et pour unité de temps le jour sidéral ou solaire (suivant l'astre
— Soit Y l'angle que l'arc D'P' fait avec D' Po, prolongation de la trace du plan de référence DP. Y = PD'P' = 2π - (PD'D + DD'P') = 2π(PD'D + PDD'), car DD'P'= PDD' en vertu de l'égalité des triangles MDP et MD'P'. L'angle cherché Y est donc le supplément des angles à la base du triangle PDD', dont le sommet est en P. De la formule de Neper on déduit, en substituant A = DPD' = 1, b = p, c = Q, expression qui donne l'orientation de l'arc D'P' et, par suite, la loi de la rotation du champ de vision, car A varies proportionnellement au temps. Si l'on prend pour origine du temps le moment où l'astre visé est dans le plan de référence, t = 0 pour A = w = 0, et pour unité de temps le jour sidéral ou solaire (suivant l'astre considéré), on a (A - w) = 27° et l'expression de Y prend la forme symétrique avec On en conclut aisément : a. La rotation du champ a la même période que le mouvement diurne. b. Elle est continue et toujours dans le même sens, direct ou inverse suivant le signe de K. c. Le plan de référence est un plan de symétrie, car l'angle Y prend des valeurs égales et de signe contraire à des époques équidistantes de part et d'autre de l'origine du temps. On pourrait représenter géométriquement cette loi de rotation par une courbe en prenant le temps comme abscisse et l'angle Y comme ordonnée. Mais on aura une figuration plus directe de la rotation du champ en considérant l'arc D'P' comme le rayon vecteur mobile du cercle décrit par l'image P' du pôle et en traçant les positions successives de ce rayon vecteur à des époques équidistantes, subdivisions aliquotes du jour. La fig. 2 offre une représentation de ce genre sur le plan sagittal à la sphère en D' : les vingt-quatre positions successives de D' P' se projettent suivant des rayons rectilignes; elles correspondent à la subdivision du jour en vingt-quatre heures. L'origine du temps
signe de K. c. Le plan de référence est un plan de symétrie, car l'angle Y prend des valeurs égales et de signe contraire à des époques équidistantes de part et d'autre de l'origine du temps. On pourrait représenter géométriquement cette loi de rotation par une courbe en prenant le temps comme abscisse et l'angle Y comme ordonnée. Mais on aura une figuration plus directe de la rotation du champ en considérant l'arc D'P' comme le rayon vecteur mobile du cercle décrit par l'image P' du pôle et en traçant les positions successives de ce rayon vecteur à des époques équidistantes, subdivisions aliquotes du jour. La fig. 2 offre une représentation de ce genre sur le plan sagittal à la sphère en D' : les vingt-quatre positions successives de D' P' se projettent suivant des rayons rectilignes; elles correspondent à la subdivision du jour en vingt-quatre heures. L'origine du temps t = 0 correspond à D'Po, trace du plan de référence et axe de symétrie. Expression de la vitesse angulaire. — La vitesse angulaire de rotation à l'époque t s'obtient en prenant la dérivée de l'expression de Y par rapport à t; toutes réductions faites, on obtient la formule Le dénominateur étant essentiellement positif, la vitesse a toujours le signe de K; elle varie périodiquement entre la valeur 2t:R, correspondant aux époques t = 0, 1, 2, ... et la valeur -1 correspondant aux époques intermédiaires t = -1, -2, ... en passant par la valeur 0, vitesse angulaire du mouvement diurne, aux époques données par la condition cos2zt + K! sin2ttl = K ou Comme les positions de l'astre les plus favorables à l'observation (passages supérieurs) sont voisines du plan de référence t = 0, la vitesse de rotation peut être considérée comme constante et égale à 27tK, car cette vitesse varie peu aux environs de t = 0 puisqu'elle répond à un maximum ou à un minimum. La vitesse n'est jamais observable avec le sidérostat, qui ne permet pas d'observer les passages inférieurs. L'unité de vitesse angulaire est évidemment celle de 27° ou d'une circonférence par jour; si
dénominateur étant essentiellement positif, la vitesse a toujours le signe de K; elle varie périodiquement entre la valeur 2t:R, correspondant aux époques t = 0, 1, 2, ... et la valeur -1 correspondant aux époques intermédiaires t = -1, -2, ... en passant par la valeur 0, vitesse angulaire du mouvement diurne, aux époques données par la condition cos2zt + K! sin2ttl = K ou Comme les positions de l'astre les plus favorables à l'observation (passages supérieurs) sont voisines du plan de référence t = 0, la vitesse de rotation peut être considérée comme constante et égale à 27tK, car cette vitesse varie peu aux environs de t = 0 puisqu'elle répond à un maximum ou à un minimum. La vitesse n'est jamais observable avec le sidérostat, qui ne permet pas d'observer les passages inférieurs. L'unité de vitesse angulaire est évidemment celle de 27° ou d'une circonférence par jour; si l'on voulait prendre une autre unité, exprimer par exemple la vitesse en minutes d'arc par minute de temps, ou plus généralement en unités de circonférence par unités de jour, il suffirait de remplacer 27t par En effet, ce changement d'unités revient à poser d'où Comme il y a 11 = 360 x 60 minutes d'arc dans la circonférence et m = 24 x 60 minutes de temps, la vitesse 2tK, devenue tK, est ici égale à 15K; on retrouve bien 15° d'angle par minute de temps pour la vitesse angulaire du mouvement diurne K = 1. Sens du mouvement de rotation du champ de vision. — On doit supposer l'observateur recevant le faisceau lumineux; par conséquent, il dirige donc son regard vers le centre de la sphère suivant le rayon qui aboutit en D', d'où il résulte que le sens du mouvement de rotation sera celui qu'un observateur placé suivant la direction Dr en dehors de la sphère attribuera au mouvement de l'arc D' P'. D'après l'expression de Y, on voit que Y et JR = w seront de même signe si le coefficient K est positif. On connaît le sens du mouvement diurne, c'est à-dire le sens de la
360 x 60 minutes d'arc dans la circonférence et m = 24 x 60 minutes de temps, la vitesse 2tK, devenue tK, est ici égale à 15K; on retrouve bien 15° d'angle par minute de temps pour la vitesse angulaire du mouvement diurne K = 1. Sens du mouvement de rotation du champ de vision. — On doit supposer l'observateur recevant le faisceau lumineux; par conséquent, il dirige donc son regard vers le centre de la sphère suivant le rayon qui aboutit en D', d'où il résulte que le sens du mouvement de rotation sera celui qu'un observateur placé suivant la direction Dr en dehors de la sphère attribuera au mouvement de l'arc D' P'. D'après l'expression de Y, on voit que Y et JR = w seront de même signe si le coefficient K est positif. On connaît le sens du mouvement diurne, c'est à-dire le sens de la variation positive de ; on voit sur la figure que, quand l'ascension droite de l'astre D grandit, l'arc PD, vu de l'extérieur de la sphère, tourne dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre; donc, pour K positif, Y varie dans le même sens. La condition pour que K soit positif est évidemment D'où l'on conclut Lorsque la distance polaire de l'astre visé est moindre que le supplément de la distance polaire de la direction réfléchie, le sens apparent de la rotation du champ de vision du sidérostat est celui du mouvement des aiguilles d'une montre. Il est de sens contraire si la distance polaire de l'astre est moindre que ce supplément. L'observation avec une lunette astronomique ne change pas le sens de la rotation : le renversement des images se borne à tourner de 180° la direction originale D'P0. Distance polaire critique : champ de vision immobile. — La transition entre ces deux cas correspond à la condition K = 0, c'est-à-dire cos(p + 0, la valeur de Y demeure constamment nulle, quelle que soit l'ascension droite de l'astre : donc Le champ de vision du sidérostat reste rigoureusement immobile lorsque la distance polaire de l'astre visé est
soit positif est évidemment D'où l'on conclut Lorsque la distance polaire de l'astre visé est moindre que le supplément de la distance polaire de la direction réfléchie, le sens apparent de la rotation du champ de vision du sidérostat est celui du mouvement des aiguilles d'une montre. Il est de sens contraire si la distance polaire de l'astre est moindre que ce supplément. L'observation avec une lunette astronomique ne change pas le sens de la rotation : le renversement des images se borne à tourner de 180° la direction originale D'P0. Distance polaire critique : champ de vision immobile. — La transition entre ces deux cas correspond à la condition K = 0, c'est-à-dire cos(p + 0, la valeur de Y demeure constamment nulle, quelle que soit l'ascension droite de l'astre : donc Le champ de vision du sidérostat reste rigoureusement immobile lorsque la distance polaire de l'astre visé est égale au supplément de la distance polaire de la direction réfléchie. Ce cas d'immobilité absolue du champ correspond à une particularité géométrique qui rend le résultat évident : on démontre en effet aisément que, si p + ï = 7t, l'arc PM = la normale au miroir devient normale à la ligne des pôles : le miroir est donc parallèle à l'axe terrestre. En outre, l'arc PM bissecte l'angle DPD'; par suite, le miroir tourne d'un angle égal à la moitié de la variation de l'angle horaire. Ce sont les deux conditions caractéristiques du Cœlostat de M. Lippmann, appareil très simple qui donne une image du ciel absolument fixe; il se compose, en effet, d'un miroir tournant autour d'un axe parallèle en son plan et à l'axe terrestre avec une vitesse angulaire égale à la moitié de celle du mouvement diurne et de même sens. Le sidérostat peut donc remplacer le cœlostat pour une région du ciel située autour d'un astre de distance polaire 0 : il suffit de choisir pour direction du faisceau réfléchi l'une de celles qui satisfont à la condition p + S = 7t, c'est-à-dire l'une des génératrices du cône de révolution faisant avec l'axe terrestre