jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
du problème dans le demi-plan xOz perpendiculaire à cette bande, l’axe Oz étant orienté positivement vers le bas. On suppose enfin qu’une nappe à surface libre initialement stable est établie à la profondeur H. Soient 0 la teneur en eau volumétrique, h la hauteur capillaire, ou succion et k la conductivité hydraulique du sol, on sait que l’équation de l’écoulement en régime instationnaire a la forme Les relations 0 (h) et k (h) sont très fortement non linéaires. En utilisant la transformation de Kirchoff, dans notre cas la cote de la nappe, l’équation (1) peut être facilement ramenée à une équation du type analogue à celle développée dans la Note précédemment citée. Les conditions initiales et aux limites du problème considéré sont les suivantes : (équilibre hydrostatique en présence de nappe à surface libre); (flux horizontaux nuls sur les frontières verticales du domaine); Profils Hydriques expérimentaux Fig. 2. Comparaisons entre profils hydriques calculés et mesurés aux abscisses X = 0,48, 64 et 80 cm et aux temps 0,5, 1, et 1,5 h. On rappelle que la bande d’infiltration a une demi-largeur Lo = 50 cm. [flux vertical identique à q0 sous la demi-bande de largeur Lo, nul à l’extérieur (pas d’évaporation) et au niveau de la nappe]. Dans ces équations X est une longueur arbitraire suffisamment grande par rapport à Lo. Le seul caractère restrictif imposé, du moins pour cette Note, est d’arrêter les calculs lorsque le front arrive à la nappe. 3. L’équation aux dérivées partielles (3) avec les conditions aux limites de type Neumann forme un système parabolique très fortement non linéaire. Elle a été résolue par voie numérique à partir d’un schéma aux différences finies en utilisant la méthode implicite de directions alternées A. D. I. [cette méthode étant 7 à 25 fois plus rapide que les méthodes implicites simples] et en concevant le programme de calcul pour IBM 1130-11 K. Les pas d’espace ont été choisis : Ax = Az = 8 cm, et le pas de temps : At = 20 s. Le problème simulé numériquement a également été traité expérimentalement, selon la technique et
d’évaporation) et au niveau de la nappe]. Dans ces équations X est une longueur arbitraire suffisamment grande par rapport à Lo. Le seul caractère restrictif imposé, du moins pour cette Note, est d’arrêter les calculs lorsque le front arrive à la nappe. 3. L’équation aux dérivées partielles (3) avec les conditions aux limites de type Neumann forme un système parabolique très fortement non linéaire. Elle a été résolue par voie numérique à partir d’un schéma aux différences finies en utilisant la méthode implicite de directions alternées A. D. I. [cette méthode étant 7 à 25 fois plus rapide que les méthodes implicites simples] et en concevant le programme de calcul pour IBM 1130-11 K. Les pas d’espace ont été choisis : Ax = Az = 8 cm, et le pas de temps : At = 20 s. Le problème simulé numériquement a également été traité expérimentalement, selon la technique et les méthodes de mesure développées par ailleurs avec les conditions géométriques suivantes : L0 = 50 cm, q0 = 14 cm/h, H = 136cm, X = 300cm, l’évolution des teneurs en eau et des pressions capillaires étant mesurées par atténuation de rayon y et par tensiométrie. De nombreux autres essais effectués sur ce modèle expérimental ont enfin permis de déterminer les courbes 0 (h) et k (h) caractéristiques du matériau poreux considéré (fig. 1) qui ont été les seules relations directement utilisées pour la résolution numérique du problème. Il s'agit donc bien d'une simulation et non d'un calage par méthode inverse. 4. On trouvera (fig. 2) une comparaison entre les profils hydriques expérimentaux mesurés aux abscisses x = 0, 48, 64 et 80 cm aux temps 0,5, 1 et 1,5 h et les profils calculés. On notera une très bonne concordance sur l'avancement horizontal et vertical du front, ainsi que sur l'allure générale des courbes. Les profils expérimentaux sont moins réguliers, du fait des hétérogénéités locales, alors que les profils calculés sont lissés par le fait que les courbes k (h) et θ (h) utilisées pour le calcul ont été obtenues par régression sur toutes les valeurs expérimentales. Les volumes
effectués sur ce modèle expérimental ont enfin permis de déterminer les courbes 0 (h) et k (h) caractéristiques du matériau poreux considéré (fig. 1) qui ont été les seules relations directement utilisées pour la résolution numérique du problème. Il s'agit donc bien d'une simulation et non d'un calage par méthode inverse. 4. On trouvera (fig. 2) une comparaison entre les profils hydriques expérimentaux mesurés aux abscisses x = 0, 48, 64 et 80 cm aux temps 0,5, 1 et 1,5 h et les profils calculés. On notera une très bonne concordance sur l'avancement horizontal et vertical du front, ainsi que sur l'allure générale des courbes. Les profils expérimentaux sont moins réguliers, du fait des hétérogénéités locales, alors que les profils calculés sont lissés par le fait que les courbes k (h) et θ (h) utilisées pour le calcul ont été obtenues par régression sur toutes les valeurs expérimentales. Les volumes stockés (intégration des profils) sont naturellement identiques. 5. Nous nous proposons dans les publications suivantes, d'étudier l'évolution du champ de potentiel et des flux, puis le problème plus complexe de la recharge de la nappe. (*) Séance du 14 janvier 1974. (1) M. MAALEDJ, et G. RENARD Comptes rendus, 277, série A, 1973, p. 353. (2) G. VACHAUD, M. VAUCLIN et J. KHANDI, La Houille blanche, 1, 1973, p. 65-73. (3) J. PHILIP, Theory of Infiltration, in Advances in Hydroscience, V, Academic Press, New-York, 1969, p. 215-296. (4) I. REMSON, G. HORNBERGER et F. MOLTZ, Numerical methods in Subsurface Hydrology, J. Wiley, New-York, 1971. Institut de Mécanique de Grenoble, Laboratoire associé au C. N. R. S. n° 6, B. P. n° 53, 38041 Grenoble-Cedex. ÉLECTROHYDRODYNAMIQUE. Stabilité hydrodynamique non linéaire d'un liquide isolant soumis à une injection unipolaire forte. Note (*) de MM. Pierre Atten et Jean-Claude Lacroix, transmise par M. Louis Néel. On examine la stabilité d'une couche liquide isolante soumise à une injection forte en présence d'une perturbation de vitesse finie (mouvement cellulaire). On montre par le calcul et l'expérience que ce mouvement peut se maintenir alors que la condition de stabilité pour les perturbations infiniment petites est satisfaite,
série A, 1973, p. 353. (2) G. VACHAUD, M. VAUCLIN et J. KHANDI, La Houille blanche, 1, 1973, p. 65-73. (3) J. PHILIP, Theory of Infiltration, in Advances in Hydroscience, V, Academic Press, New-York, 1969, p. 215-296. (4) I. REMSON, G. HORNBERGER et F. MOLTZ, Numerical methods in Subsurface Hydrology, J. Wiley, New-York, 1971. Institut de Mécanique de Grenoble, Laboratoire associé au C. N. R. S. n° 6, B. P. n° 53, 38041 Grenoble-Cedex. ÉLECTROHYDRODYNAMIQUE. Stabilité hydrodynamique non linéaire d'un liquide isolant soumis à une injection unipolaire forte. Note (*) de MM. Pierre Atten et Jean-Claude Lacroix, transmise par M. Louis Néel. On examine la stabilité d'une couche liquide isolante soumise à une injection forte en présence d'une perturbation de vitesse finie (mouvement cellulaire). On montre par le calcul et l'expérience que ce mouvement peut se maintenir alors que la condition de stabilité pour les perturbations infiniment petites est satisfaite, et ceci confirme l'existence de deux critères distincts de stabilité. L'analyse linéaire de la stabilité hydrodynamique d'un fluide incompressible soumis à une injection unipolaire limitée par charge spatiale conduit au critère suivant : T = E(p0/r| K &lt; Tc e) (e : constante diélectrique; (po : tension appliquée; 11 : viscosité dynamique; K : mobilité des ions injectés). Le nombre Tc vaut environ 161 dans le cas d'une couche fluide comprise entre deux parois rigides; des expériences correspondant aux conditions du calcul ont été réalisées dans différents liquides en utilisant comme électrodes injectrice et collectrice des membranes échangeuses d'ions. Les courbes du courant stationnaire 1 mesuré en fonction de (po pour différentes épaisseurs de liquide d, montrent que 1 varie comme <$$>l/d3 pour cp0 &lt; cpl5 puis selon une loi cpyd3 pour cp0 &gt; &lt;Pi avec a 5/2. Le changement de pente constaté pour (po = cp t correspond à un changement dans le mécanisme de transport de la charge (mise en mouvement du fluide). La valeur de la tension critique cpj conduit à des valeurs du nombre critique variant entre 100 et 120 selon les liquides (2). Afin d'apprécier l'incidence du mouvement du fluide sur le transport de la
viscosité dynamique; K : mobilité des ions injectés). Le nombre Tc vaut environ 161 dans le cas d'une couche fluide comprise entre deux parois rigides; des expériences correspondant aux conditions du calcul ont été réalisées dans différents liquides en utilisant comme électrodes injectrice et collectrice des membranes échangeuses d'ions. Les courbes du courant stationnaire 1 mesuré en fonction de (po pour différentes épaisseurs de liquide d, montrent que 1 varie comme <$$>l/d3 pour cp0 &lt; cpl5 puis selon une loi cpyd3 pour cp0 &gt; &lt;Pi avec a 5/2. Le changement de pente constaté pour (po = cp t correspond à un changement dans le mécanisme de transport de la charge (mise en mouvement du fluide). La valeur de la tension critique cpj conduit à des valeurs du nombre critique variant entre 100 et 120 selon les liquides (2). Afin d'apprécier l'incidence du mouvement du fluide sur le transport de la charge au voisinage des conditions critiques, une étude a été entreprise en transposant l'approche d'Herring (3) dans le problème du transport de la chaleur dans une couche de fluide chauffée par dessous. Les équations générales régissant le problème ont été discutées dans (1). En introduisant comme vitesse de référence la vitesse des ions due à leur mobilité, puis en séparant pour chaque grandeur, la valeur moyenne dans des plans (x, y) parallèles aux électrodes de la fluctuation, on obtient pour l'état stationnaire (les autocorrélations sont négligées) : où j, q, (p, E, w dénotent respectivement les densités de courant et de charge, le potentiel, le champ et la composante selon Oz de la vitesse. Les fluctuations sont décomposées selon x et y, en série de fonctions orthonormales dépendant d'un nombre d'onde k; compte tenu des conditions aux limites habituelles C1), le système d'équations précédent peut se ramener à un système d'équations intégrales résolu en faisant l'hypothèse supplémentaire que seul un mode bien déterminé assure le transport convectif de la charge. Une méthode d'itération permet de déterminer T pour une valeur A donnée de l'amplitude maximale de la vitesse du fluide, le nombre d'onde retenu est celui qui donne une valeur
vitesse des ions due à leur mobilité, puis en séparant pour chaque grandeur, la valeur moyenne dans des plans (x, y) parallèles aux électrodes de la fluctuation, on obtient pour l'état stationnaire (les autocorrélations sont négligées) : où j, q, (p, E, w dénotent respectivement les densités de courant et de charge, le potentiel, le champ et la composante selon Oz de la vitesse. Les fluctuations sont décomposées selon x et y, en série de fonctions orthonormales dépendant d'un nombre d'onde k; compte tenu des conditions aux limites habituelles C1), le système d'équations précédent peut se ramener à un système d'équations intégrales résolu en faisant l'hypothèse supplémentaire que seul un mode bien déterminé assure le transport convectif de la charge. Une méthode d'itération permet de déterminer T pour une valeur A donnée de l'amplitude maximale de la vitesse du fluide, le nombre d'onde retenu est celui qui donne une valeur maximale à la densité de courant. Pour A &lt; 1, les solutions obtenues correspondent à des valeurs de T inférieures à Tc (fig.) quelle que soit l'intensité de l'injection mesurée par C = qo d2/&lt;cp0 (qo densité Variations de l'amplitude maximale de la perturbation de vitesse A et du nombre de Nusselt électrique Nue en fonction de T pour C = 10 et comparaison avec les résultats expérimentaux relatifs au pyralène 1460 (d « 0,5 mm). de charge sur l'injecteur). Il existe donc des solutions d'amplitude finie pour des conditions sous-critiques. Ce résultat a été confirmé par un calcul analogue à celui effectué par Chandrasekhar dans le problème de Bénard (4) : on montre que pour A &lt; 1, A2 = p2 (TcT), quel que soit C. De ce point de vue notre problème présente une certaine analogie avec celui de la stabilité de l'écoulement de Poiseuille CS); on peut s'attendre à l'existence d'un critère de stabilité pour des perturbations d'amplitude finie inférieur à Tc. Le calcul précis de ce critère nécessiterait une approche théorique plus raffinée prenant en compte plusieurs modes et certaines corrélations négligées ci-dessus. En effet, pour A 1, il existe des zones où, la vitesse du
de Nusselt électrique Nue en fonction de T pour C = 10 et comparaison avec les résultats expérimentaux relatifs au pyralène 1460 (d « 0,5 mm). de charge sur l'injecteur). Il existe donc des solutions d'amplitude finie pour des conditions sous-critiques. Ce résultat a été confirmé par un calcul analogue à celui effectué par Chandrasekhar dans le problème de Bénard (4) : on montre que pour A &lt; 1, A2 = p2 (TcT), quel que soit C. De ce point de vue notre problème présente une certaine analogie avec celui de la stabilité de l'écoulement de Poiseuille CS); on peut s'attendre à l'existence d'un critère de stabilité pour des perturbations d'amplitude finie inférieur à Tc. Le calcul précis de ce critère nécessiterait une approche théorique plus raffinée prenant en compte plusieurs modes et certaines corrélations négligées ci-dessus. En effet, pour A 1, il existe des zones où, la vitesse du fluide étant supérieure à KE, il n'y aura pas de charge; la fluctuation q sera alors du même ordre de grandeur que la charge moyenne et les autocorrélations ne seront plus négligeables. L'équation déduite de (4) cesse d'être valable et il n'est d'ailleurs plus possible d'obtenir de solutions dès que A &gt; A1. Cependant un calcul approché a été effectué en conservant un mode unique et en imposant à A d'être au plus égale à Q. Les résultats reportés sur la figure montrent l'existence d'un minimum à Tf = 118 pour A m = 1,05 (C = 10); T croît ensuite avec A. Dans l'intervalle Tf < T < Tc, en dehors de la solution stable A = 0, il existe deux solutions d'amplitude finie : l'une telle que 0 < A < 1 et l'autre telle que A > 1. La première de ces deux solutions est instable comme l'a montré Félici (6) sur un modèle simplifié; il y a donc deux états possibles du système : l'un sans mouvement (localement stable) et l'autre caractérisé par une vitesse maximum du fluide supérieure à la vitesse propre des ions KE. En faisant croître la tension très lentement, il devrait être
A &gt; A1. Cependant un calcul approché a été effectué en conservant un mode unique et en imposant à A d'être au plus égale à Q. Les résultats reportés sur la figure montrent l'existence d'un minimum à Tf = 118 pour A m = 1,05 (C = 10); T croît ensuite avec A. Dans l'intervalle Tf < T < Tc, en dehors de la solution stable A = 0, il existe deux solutions d'amplitude finie : l'une telle que 0 < A < 1 et l'autre telle que A > 1. La première de ces deux solutions est instable comme l'a montré Félici (6) sur un modèle simplifié; il y a donc deux états possibles du système : l'un sans mouvement (localement stable) et l'autre caractérisé par une vitesse maximum du fluide supérieure à la vitesse propre des ions KE. En faisant croître la tension très lentement, il devrait être possible d'observer une hystérésis (tout au moins dans des conditions physiques telles que Tf < Tc). Un tel comportement a été mis en évidence en réalisant une injection unipolaire dans du pyralène 1460, désionisé par électrodialyse (résistivité, 1013 n. cm) (d variant de 10-1 à 1 mm). Le mode opératoire est le suivant : la tension est augmentée (ou diminuée) par sauts de 1 V et on attend que le courant atteigne une valeur stationnaire pour chaque tension appliquée. Sur la figure, sont reportées les variations du rapport du courant mesuré à 1 au courant qu'on aurait si les variations étaient rigoureusement en cp2. L'hystérésis obtenue nous assure de l'existence de deux critères : l'un caractérisant des perturbations très faibles (pc = 55-56 V (Tc 110)) l'autre relatif à des perturbations d'amplitude finie (pc, 50 V (Tf 100)). La valeur de Tc donnée par cette expérience est nettement inférieure à la valeur théorique 161; ce désaccord n'est pas surprenant si l'on se rappelle que la théorie suppose que l'injecteur est autonome; un changement de condition aux limites sur l'injecteur concernant la fluctuation de charge q influe de manière très sensible sur la valeur du critère Tc. Par contre la valeur
est le suivant : la tension est augmentée (ou diminuée) par sauts de 1 V et on attend que le courant atteigne une valeur stationnaire pour chaque tension appliquée. Sur la figure, sont reportées les variations du rapport du courant mesuré à 1 au courant qu'on aurait si les variations étaient rigoureusement en cp2. L'hystérésis obtenue nous assure de l'existence de deux critères : l'un caractérisant des perturbations très faibles (pc = 55-56 V (Tc 110)) l'autre relatif à des perturbations d'amplitude finie (pc, 50 V (Tf 100)). La valeur de Tc donnée par cette expérience est nettement inférieure à la valeur théorique 161; ce désaccord n'est pas surprenant si l'on se rappelle que la théorie suppose que l'injecteur est autonome; un changement de condition aux limites sur l'injecteur concernant la fluctuation de charge q influe de manière très sensible sur la valeur du critère Tc. Par contre la valeur expérimentale de Tf est assez proche de la valeur calculée; de plus les variations du nombre de Nusselt électrique (Nue = 1/10) sont voisines de celles qui ont été calculées (C = 10). Il semble donc que le calcul approché rende bien compte des phénomènes observés. Enfin, on peut remarquer que le critère non linéaire Tf dépend beaucoup moins que Tc du mécanisme d'injection : un changement de la condition q = 0 sur l'injecteur n'affectera qu'un petit intervalle 0 < z < z, (z, est le premier point où q = Q) et par suite les variations de Tf sont plus faibles que celles de Tc. Séance du 2 janvier 1974. P. ATTEN et R. MOREAU, Comptes rendus, 270, série A, 1970, p. 415; Journal de Mécanique, 11, 1972, p. 471. J. C. LACROIX (à paraître). J. R. HERRING, J. Atmosph. Sc., 20, 1963, p. 325. S. CHANDRASEKHAR, Hydrodynamic and Hydromagnetic stability, 1re éd., Oxford University Press, London, 1961. D. MEKSYN et J. T. STUART, Proc. Roy. Soc., A, 208, 1951, p. 517. N. FELICI, Rev. gén. Électr., 78, 1969, p. 717. Laboratoire d'Électrostatique. B. P. n° 166, Centre de Tri, 30482 Grenoble-Cedex. AUTOMATIQUE THÉORIQUE. Problème des inégalités et
que le critère non linéaire Tf dépend beaucoup moins que Tc du mécanisme d'injection : un changement de la condition q = 0 sur l'injecteur n'affectera qu'un petit intervalle 0 < z < z, (z, est le premier point où q = Q) et par suite les variations de Tf sont plus faibles que celles de Tc. Séance du 2 janvier 1974. P. ATTEN et R. MOREAU, Comptes rendus, 270, série A, 1970, p. 415; Journal de Mécanique, 11, 1972, p. 471. J. C. LACROIX (à paraître). J. R. HERRING, J. Atmosph. Sc., 20, 1963, p. 325. S. CHANDRASEKHAR, Hydrodynamic and Hydromagnetic stability, 1re éd., Oxford University Press, London, 1961. D. MEKSYN et J. T. STUART, Proc. Roy. Soc., A, 208, 1951, p. 517. N. FELICI, Rev. gén. Électr., 78, 1969, p. 717. Laboratoire d'Électrostatique. B. P. n° 166, Centre de Tri, 30482 Grenoble-Cedex. AUTOMATIQUE THÉORIQUE. Problème des inégalités et application à la programmation dans le cas où l'espace d'arrivée est de dimension finie. Note de M. Philippe Michel, présentée par M. Jacques-Louis Lions. Dans le cas où l'espace d'arrivée est de dimension finie, on peut résoudre le problème des inégalités e) avec des hypothèses allégées : dérivabilité simple au lieu de la dérivabilité stricte et aucune condition particulière sur l'espace de départ, ni condition de fermeture sur l'ensemble convexe de définition. PROBLÈME DES INÉGALITÉS. On considère un sous-ensemble convexe M d'un espace vectoriel réel E et deux fonctions f et g définies dans M et à valeurs respectivement dans Rn et RP. Pour un point (y, z) de Rn x RP, on cherche s'il existe un élément x de M qui vérifie f(x) = y et g(x) = z. On suppose que l'on a f = 1 + d et g = m + h pour une fonction linéaire affine nulle en x, une fonction m nulle en x dont toutes les composantes sont convexes dans M, et deux fonctions d et h telles que, pour tout convexe compact K de M de dimension n et pour tout nombre e > 0, il existe une fonction t de K
lieu de la dérivabilité stricte et aucune condition particulière sur l'espace de départ, ni condition de fermeture sur l'ensemble convexe de définition. PROBLÈME DES INÉGALITÉS. On considère un sous-ensemble convexe M d'un espace vectoriel réel E et deux fonctions f et g définies dans M et à valeurs respectivement dans Rn et RP. Pour un point (y, z) de Rn x RP, on cherche s'il existe un élément x de M qui vérifie f(x) = y et g(x) = z. On suppose que l'on a f = 1 + d et g = m + h pour une fonction linéaire affine nulle en x, une fonction m nulle en x dont toutes les composantes sont convexes dans M, et deux fonctions d et h telles que, pour tout convexe compact K de M de dimension n et pour tout nombre e > 0, il existe une fonction t de K dans ]0, 1] telle que est continue dans K et que l'on a, pour tout point x de K : Remarque. Pour que l'hypothèse précédente soit satisfaite, il suffit que, sur l'enveloppe convexe Ki de K u { * }, d soit continu et d et h soient dérivables en x de dérivées nulles. Une autre condition suffisante est que d soit continue sur Ki et qu'il existe une fonction continue r(x) sur Ki qui vérifie : (3) il existe une suite tn > 0 qui décroît vers zéro telle que, pour tout n et tout x de K, la fonction (1/t) r(x + t (x - x)) atteint son minimum sur [tn, 1] en un point unique. THÉORÈME 1. On suppose que (y0, z0) est un point intérieur à l'ensemble C des points (y, z) de Rn x RP tels qu'il existe un point x de M qui vérifie f(x) = y et g(x) = z. Alors il existe un nombre s de ]0, 1] et un point x de M tels que l'on a Démonstration. Pour ei (1 ≤ i ≤ n) base de Rn et e = (1, 1, ...). 1) dans RP, il existe un nombre
x de dérivées nulles. Une autre condition suffisante est que d soit continue sur Ki et qu'il existe une fonction continue r(x) sur Ki qui vérifie : (3) il existe une suite tn > 0 qui décroît vers zéro telle que, pour tout n et tout x de K, la fonction (1/t) r(x + t (x - x)) atteint son minimum sur [tn, 1] en un point unique. THÉORÈME 1. On suppose que (y0, z0) est un point intérieur à l'ensemble C des points (y, z) de Rn x RP tels qu'il existe un point x de M qui vérifie f(x) = y et g(x) = z. Alors il existe un nombre s de ]0, 1] et un point x de M tels que l'on a Démonstration. Pour ei (1 ≤ i ≤ n) base de Rn et e = (1, 1, ...). 1) dans RP, il existe un nombre r > 0 et des points Xj de M (1 j 2 n) qui vérifient pour 1 i n : il résulte des hypothèses appliquées au convexe compact K image par A de la boule y rjn, qu'il existe une fonction t de K dans ]0, 1] telle que la fonction la fonction x -> X (-a (x)) continue de K dans K admet un point fixe Xo, et on vérifie que s = t (xo) et x = x + t (xo) (xo x) vérifient la conclusion du théorème. APPLICATION AU PROBLÈME DE PROGRAMMATION. Minimiser cpx (x) sur l'ensemble des points x de M qui vérifient pour des fonctions f, d, m et h qui satisfont aux conditions posées dans le problème des inégalités. THÉORÈME 2. Si x est une solution optimale du problème précédent, alors il existe des nombres ai (-n i 1) et bj (1 j p) non tous nuls tels que l'on a : (1) pour 1 j S P, bj 0; (2) pour 2 j < p, bj (pj (x) = 0; (3) pour tout x de M, Démonstration. On démontre, à l'aide du théorème 1, que le point (Yo, zo) défini par y0 =