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l'initiative privée. À l'expédition prit part aussi l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, représentée par le Lieutenant-Colonel Schultz. L'arc de méridien à mesurer devait être compris entre les parallèles passant par le cap Sud et l'île de Ross, embrassant ainsi à peu près 45° 5, différence des latitudes 760 et 80°, 5. Les sommets des triangles devaient être représentés par des signaux sur les bords du Storfjord, du détroit d'Henlopen et des Sept-Îles. L'expédition put terminer la reconnaissance et installer les signaux depuis l'île de Ross jusqu'au Storfjord. Mais la question de savoir si l'on pouvait comprendre le Storfjord dans la mesure du degré resta ouverte. Dans l'intervalle arriva l'invitation officielle de la Suède à la Russie de prendre part au travail définitif. Deux Commissions firent nommées : une russe par S. M. l'Empereur, dans l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg; l'autre par S. M. le Roi de Suède, dans l'Académie de Stockholm. Ces deux Commissions préparèrent le plan pour la mesure du degré et décidèrent de le mettre à exécution dès l'été de 1899, pour terminer, si possible, en 1900. Pendant l'hiver 1899-1900 la portion principale des géodésiens hivernerait sur le Spitzberg, de manière à pouvoir reprendre le travail le plus tôt possible l'année suivante. Outre les travaux astronomiques et géodésiques, il y avait à poursuivre des observations météorologiques et physiques, et pour cela il fallait pourvoir, dans les stations d'hivernage, à la construction d'observatoires spéciaux. A la fin de juin, l'expédition russo-suédoise se rendit, sur cinq vapeurs, dont trois russes et deux suédois, de Tromsø au Spitzberg. À cause de difficultés non prévues, ni l'expédition russe, ni l'expédition suédoise ne purent atteindre les emplacements indiqués pour l'hivernage; les Russes restèrent donc à Hornsund, sur la côte sud-ouest du Spitzberg, par 77° de latitude nord, pendant que les Suédois s'établirent dans la baie de Freuchenberg, vers 80° de latitude nord. À cause des glaces et de la perte de temps occasionnée par le déchargement des matériaux pour la construction des cabanes, les travaux ne purent être entrepris que vers le milieu de juillet. L'expédition russe travailla exclusivement au Storfjord, et
plus tôt possible l'année suivante. Outre les travaux astronomiques et géodésiques, il y avait à poursuivre des observations météorologiques et physiques, et pour cela il fallait pourvoir, dans les stations d'hivernage, à la construction d'observatoires spéciaux. A la fin de juin, l'expédition russo-suédoise se rendit, sur cinq vapeurs, dont trois russes et deux suédois, de Tromsø au Spitzberg. À cause de difficultés non prévues, ni l'expédition russe, ni l'expédition suédoise ne purent atteindre les emplacements indiqués pour l'hivernage; les Russes restèrent donc à Hornsund, sur la côte sud-ouest du Spitzberg, par 77° de latitude nord, pendant que les Suédois s'établirent dans la baie de Freuchenberg, vers 80° de latitude nord. À cause des glaces et de la perte de temps occasionnée par le déchargement des matériaux pour la construction des cabanes, les travaux ne purent être entrepris que vers le milieu de juillet. L'expédition russe travailla exclusivement au Storfjord, et elle parvint à exécuter complètement la reconnaissance et à établir les signaux, travail qui offre des difficultés sérieuses, parce que les distances entre les deux bords, et par suite les longueurs des côtés des triangles sont considérables (quelques-uns dépassent même 10 km) et parce que les deux bords sont rarement à la fois dégagés de brumes. Outre la reconnaissance, on put encore exécuter les observations astronomiques et géodésiques pour deux des sommets les plus difficiles : savoir ceux du cap Lee et de la pointe de Whole. En ce dernier lieu on doit mesurer une base l'année prochaine. D'après l'expérience acquise au cours des travaux maintenant achevés, si l'état des glaces est aussi favorable en 1900 qu'en 1899, on peut être assuré que les travaux au Storfjord, c'est-à-dire pour la moitié sud de l'arc de méridien, seront achevés en 1900. Au nord, l'état des glaces était cette année très défavorable, On n'a pu atteindre les Sept-Îles. Par suite, la section suédoise de l'expédition a concentré ses efforts sur la mesure d'une base à Hekla Hook et sur la jonction de la base avec la triangulation. Elle a pu en outre exécuter les travaux astronomiques et géodésiques pour quelques sommets de
à la fois dégagés de brumes. Outre la reconnaissance, on put encore exécuter les observations astronomiques et géodésiques pour deux des sommets les plus difficiles : savoir ceux du cap Lee et de la pointe de Whole. En ce dernier lieu on doit mesurer une base l'année prochaine. D'après l'expérience acquise au cours des travaux maintenant achevés, si l'état des glaces est aussi favorable en 1900 qu'en 1899, on peut être assuré que les travaux au Storfjord, c'est-à-dire pour la moitié sud de l'arc de méridien, seront achevés en 1900. Au nord, l'état des glaces était cette année très défavorable, On n'a pu atteindre les Sept-Îles. Par suite, la section suédoise de l'expédition a concentré ses efforts sur la mesure d'une base à Hekla Hook et sur la jonction de la base avec la triangulation. Elle a pu en outre exécuter les travaux astronomiques et géodésiques pour quelques sommets de triangles. Il paraît donc que la section nord de la mesure, à moins que l'état des glaces ne crée des obstacles insurmontables, pourra être aussi terminée en 1900. Au commencement de septembre tous les navires revinrent. Dans la station russe hivernent quatre astronomes, géodésiens, un météorologue, un médecin, un mécanicien et douze matelots. La composition de la Section suédoise est à peu près la même. SUR LE MOUVEMENT DU PÉRIGÉE DE LA LUNE; PAR M. H. POINCARÉ, Les termes du mouvement de la Lune qui ne dépendent ni de l'inclinaison, ni de la parallaxe, ni de l'excentricité solaire, sont déterminés par les équations Ici, on a posé n étant le moyen mouvement du Soleil et n celui de la Lune; et on a choisi l'unité de temps de telle façon que n — n' = 1. Quant à x, c'est la somme des masses de la Terre et de la Lune. Si l'on pose ces équations peuvent s'écrire et l'on en déduit l'intégrale de Jacobi M. Hill a déterminé une solution particulière de ces équations, cette solution que je désignerai spécialement par x, y, est une solution périodique et elle représente l'ensemble des termes de degré zéro par rapport aux
et douze matelots. La composition de la Section suédoise est à peu près la même. SUR LE MOUVEMENT DU PÉRIGÉE DE LA LUNE; PAR M. H. POINCARÉ, Les termes du mouvement de la Lune qui ne dépendent ni de l'inclinaison, ni de la parallaxe, ni de l'excentricité solaire, sont déterminés par les équations Ici, on a posé n étant le moyen mouvement du Soleil et n celui de la Lune; et on a choisi l'unité de temps de telle façon que n — n' = 1. Quant à x, c'est la somme des masses de la Terre et de la Lune. Si l'on pose ces équations peuvent s'écrire et l'on en déduit l'intégrale de Jacobi M. Hill a déterminé une solution particulière de ces équations, cette solution que je désignerai spécialement par x, y, est une solution périodique et elle représente l'ensemble des termes de degré zéro par rapport aux deux excentricités, à l'inclinaison et à la parallaxe. Elle correspond à la valeur zéro de la constante d'intégration e qui joue le rôle de l'excentricité. Désignons par x + E, y + 'l, une solution infiniment voisine de la précédente, de telle sorte que nous puissions négliger les carrés des variations E et '/j. Alors x et y représenteront l'ensemble des termes qui seront du premier degré par rapport à e. Il est clair que x et y devront satisfaire aux équations aux variations (3) imr{ —. P| -H QT), r/'+ im%=Q £ -h RY), où j'ai posé pour abréger, De plus, on déduit de l'intégrale de Jacobi Ces équations (3) et (4) permettent de calculer les termes du premier degré par rapport à e et la partie du mouvement du périgée, qui est indépendante des excentricités, de l'inclinaison et de la parallaxe et dépend seulement du rapport des moyens mouvements. Les équations (3) sont des équations différentielles linéaires à coefficients périodiques; le système est du quatrième ordre puisqu'il se compose de deux équations du deuxième ordre. M. Hill, pour calculer le mouvement du périgée, commence par ramener le système au deuxième ordre et parvient à le remplacer par une
variations E et '/j. Alors x et y représenteront l'ensemble des termes qui seront du premier degré par rapport à e. Il est clair que x et y devront satisfaire aux équations aux variations (3) imr{ —. P| -H QT), r/'+ im%=Q £ -h RY), où j'ai posé pour abréger, De plus, on déduit de l'intégrale de Jacobi Ces équations (3) et (4) permettent de calculer les termes du premier degré par rapport à e et la partie du mouvement du périgée, qui est indépendante des excentricités, de l'inclinaison et de la parallaxe et dépend seulement du rapport des moyens mouvements. Les équations (3) sont des équations différentielles linéaires à coefficients périodiques; le système est du quatrième ordre puisqu'il se compose de deux équations du deuxième ordre. M. Hill, pour calculer le mouvement du périgée, commence par ramener le système au deuxième ordre et parvient à le remplacer par une équation unique w"-0 W = 0, Où 8 est une fonction périodique du temps. Je voudrais indiquer une méthode par laquelle on pourrait déterminer ce mouvement du périgée sans avoir recours à cette transformation. Pour cela cherchons à nous rendre compte de la forme de l'intégrale générale du système (3). J'ai dit que les équations (1) admettent une solution périodique; en réalité, elles en admettent une infinité (une pour chaque valeur de m) qui peuvent s'écrire x = f(t, m), y = g(t, m), Où f et g sont des fonctions développées d'une part suivant les puissances de m, d'autre part suivant les cosinus et les sinus des multiplés impairs de t. Quant à t, c'est la différence des longitudes moyennes de la Lune et du Soleil t = (72 n')( £ + S). J'ai écrit les équations (1) en adoptant une unité de temps particulière, à savoir la période synodique divisée par 2π; je ne puis le faire si je veux faire varier m, parce que cela fera varier précisément cette période synodique. Je rétablis donc l'homogénéité et j'écris les équations (1) sous la forme Mes solutions périodiques deviennent alors Contenant deux constantes d'intégration n et e. On obtient
J'ai dit que les équations (1) admettent une solution périodique; en réalité, elles en admettent une infinité (une pour chaque valeur de m) qui peuvent s'écrire x = f(t, m), y = g(t, m), Où f et g sont des fonctions développées d'une part suivant les puissances de m, d'autre part suivant les cosinus et les sinus des multiplés impairs de t. Quant à t, c'est la différence des longitudes moyennes de la Lune et du Soleil t = (72 n')( £ + S). J'ai écrit les équations (1) en adoptant une unité de temps particulière, à savoir la période synodique divisée par 2π; je ne puis le faire si je veux faire varier m, parce que cela fera varier précisément cette période synodique. Je rétablis donc l'homogénéité et j'écris les équations (1) sous la forme Mes solutions périodiques deviennent alors Contenant deux constantes d'intégration n et e. On obtient évidemment deux solutions particulières des équations aux variations en différentiant par rapport à ces deux constantes. Ces deux solutions particulières sont et. Après la différentiation, je puis supposer de nouveau n = 1, d'où x = t + 1, ce qui donne. Outre ces deux solutions particulières, la théorie des équations linéaires à coefficients périodiques nous enseigne qu'il en existe une troisième de la forme suivante. Les a et les b sont des coefficients constants; j est un entier, c est l'exposant caractéristique dont dépend le mouvement du périgée; enfin Ç = cos x + i sin x. Si l'on change r en -1, l'en -1, 7j en -1, les quantités x, r et y se changeront en x, r et -y et les équations ne changeront pas. Nous aurons donc une quatrième solution it = j (cos s -+i sin s) y = V [ j, -2j-1-C. Nous en déduisons une cinquième. Quelles sont les conditions initiales correspondantes? On a d'abord F'(0) = (0) = 0. Reprenons maintenant l'équation (4); je dis que pour cette solution particulière la constante qui figure dans le second membre de (4) doit être nulle. Il suffit, en effet, de prouver qu'il en est
équations linéaires à coefficients périodiques nous enseigne qu'il en existe une troisième de la forme suivante. Les a et les b sont des coefficients constants; j est un entier, c est l'exposant caractéristique dont dépend le mouvement du périgée; enfin Ç = cos x + i sin x. Si l'on change r en -1, l'en -1, 7j en -1, les quantités x, r et y se changeront en x, r et -y et les équations ne changeront pas. Nous aurons donc une quatrième solution it = j (cos s -+i sin s) y = V [ j, -2j-1-C. Nous en déduisons une cinquième. Quelles sont les conditions initiales correspondantes? On a d'abord F'(0) = (0) = 0. Reprenons maintenant l'équation (4); je dis que pour cette solution particulière la constante qui figure dans le second membre de (4) doit être nulle. Il suffit, en effet, de prouver qu'il en est ainsi pour les deux solutions particulières E3, r3 et E4, r4. Or la solution E3, r3, jouit de cette propriété de se reproduire multipliée par (COS CT + i SIN CT.) quand on change t en t + T. Le premier membre de (4) est donc multiplié par le même facteur, si après y ayant fait E = Z, t = r3, on change t en t + T. Comme ce facteur n'est pas égal à i et que le second membre est une constante, il faut que cette constante soit nulle; elle le sera encore, pour la même raison, si l'on fait ç = E4, t = r4, et, par conséquent, on aura. Pour t = 0, F' et Ft s'annulent, et il reste. Mais pour t = 0, on a x = r; d'où en appelant x0 et y0 les valeurs de x et y pour t = 0. Comme F et F' ne sont définis qu'à un facteur constant près, nous pourrons prendre pour les conditions initiales F(0) = F'(0) = 0, F ( 0) = Z j = y0, On aura alors. Ces équations vont nous fournir un moyen de calculer cosct; Il suffit pour cela
facteur, si après y ayant fait E = Z, t = r3, on change t en t + T. Comme ce facteur n'est pas égal à i et que le second membre est une constante, il faut que cette constante soit nulle; elle le sera encore, pour la même raison, si l'on fait ç = E4, t = r4, et, par conséquent, on aura. Pour t = 0, F' et Ft s'annulent, et il reste. Mais pour t = 0, on a x = r; d'où en appelant x0 et y0 les valeurs de x et y pour t = 0. Comme F et F' ne sont définis qu'à un facteur constant près, nous pourrons prendre pour les conditions initiales F(0) = F'(0) = 0, F ( 0) = Z j = y0, On aura alors. Ces équations vont nous fournir un moyen de calculer cosct; Il suffit pour cela de calculer par exemple F (-r). Observation que P, Q, R sont des fonctions périodiques de t; la période étant 2π, les développements procéderont suivant les lignes trigonométriques des multiples de 2π. De plus, par raison de symétrie, les développements de P et R ne contiendront que des cosinus et celui de Q ne contiendra que des sinus; soit P = SPycosayT, Q = Qy sin ijT, R = Ry cos ijT. Posons maintenant ç = p cost + j sin r; rt = p sin t -t cos"; nos équations deviendront p" + ( m + 1)' -^ ( 2ml + 1) 2 = P' p + Q' t, cr"2( m + 1 )p' (2ml + 1) t = Q'p + R' t, en posant P' = P cos2t + 42Q cos. Si Il'-) Q'= Q( sin2 t - cos2t) + (P - R) cos r sin R' = P Si Il 22 Q cos i sin + R COS2., c'est-à-dire. Il est aisé de voir que (x+iy)-1, (x-iy), et par conséquent x cost + y sin r, x sin -+ y cost, et enfin P', Q', R' sont développables suivant les puissances de m, et m étant regardé
celui de Q ne contiendra que des sinus; soit P = SPycosayT, Q = Qy sin ijT, R = Ry cos ijT. Posons maintenant ç = p cost + j sin r; rt = p sin t -t cos"; nos équations deviendront p" + ( m + 1)' -^ ( 2ml + 1) 2 = P' p + Q' t, cr"2( m + 1 )p' (2ml + 1) t = Q'p + R' t, en posant P' = P cos2t + 42Q cos. Si Il'-) Q'= Q( sin2 t - cos2t) + (P - R) cos r sin R' = P Si Il 22 Q cos i sin + R COS2., c'est-à-dire. Il est aisé de voir que (x+iy)-1, (x-iy), et par conséquent x cost + y sin r, x sin -+ y cost, et enfin P', Q', R' sont développables suivant les puissances de m, et m étant regardé comme du premier ordre. J'observe de plus que Qr est nul. Ne laissons dans le second membre que les quantités du second ordre; nos équations deviendront ( x"+2(m + 1)l'-(2ml + 1)2 -P2 = (P'-P'+Q', ) ( l + J) l' - ( ml + r) l 2 = (y2 - ( n' - Ry) 7. Il s'agit de déterminer F(T) et pour cela il faut chercher une solution particulière des équations (5), assujettie aux conditions initiales Cette solution particulière dépendra évidemment des coefficients P', Q', R.. Un théorème général relatif aux équations linéaires nous apprend que notre solution peut se développer suivant les puissances des Pj, Qy, Rj; et que le développement ainsi obtenu converge, quelles que soient les valeurs attribuées à ces coefficients. En autres termes, notre solution est une fonction entière de ces coefficients. Je veux dire que c'est une fonction entière par rapport aux coefficients p, q, R, p, R, R, R, ... Re, R Pour cela je prendrai les équations (5) et j'attribuerai d'abord dans le second membre les valeurs 0 à p et à t; et je chercherai à satisfaire aux équations (5, 1) ainsi obtenues et aux conditions initiales (6); j'aurai ainsi une
- ( n' - Ry) 7. Il s'agit de déterminer F(T) et pour cela il faut chercher une solution particulière des équations (5), assujettie aux conditions initiales Cette solution particulière dépendra évidemment des coefficients P', Q', R.. Un théorème général relatif aux équations linéaires nous apprend que notre solution peut se développer suivant les puissances des Pj, Qy, Rj; et que le développement ainsi obtenu converge, quelles que soient les valeurs attribuées à ces coefficients. En autres termes, notre solution est une fonction entière de ces coefficients. Je veux dire que c'est une fonction entière par rapport aux coefficients p, q, R, p, R, R, R, ... Re, R Pour cela je prendrai les équations (5) et j'attribuerai d'abord dans le second membre les valeurs 0 à p et à t; et je chercherai à satisfaire aux équations (5, 1) ainsi obtenues et aux conditions initiales (6); j'aurai ainsi une première approximation pour p et t. J'attribuerai ces valeurs approchées dans le second membre; J aurai ainsi des équations (5, 2) dont les premiers membres seront ceux des équations (5) et dont les seconds membres seront des fonctions connues; je chercherai à satisfaire à ces équations (5, 2) aux conditions initiales (6), ce qui me donnera une seconde approximation pour p et t, et ainsi de suite. La première approximation nous fera connaître exactement les termes des premiers ordres du développement suivant les puissances des P' Q', R'. D'ailleurs l'intégration des équations (5, 1), (5, 2), etc., ne présentera aucune difficulté, car ce sont des équations linéaires à second membre, et les premiers membres sont à coefficients constants. On aura ainsi le développement de p, de 7 et, par conséquent, ceux de F(-;) , F(n) et cosc suivant les puissances des Pj, Qj, Ry ; ces développements convergeront très rapidement, car la convergence a lieu quelles que soient les valeurs attribuées à ces coefficients. Il pourra néanmoins être avantageux de procéder autrement. Soient des équations de même forme que les équations (5); mais où les coefficients Py, Qy, Ry, au lieu d'avoir les valeurs particulières qu'elles ont dans les équations
initiales (6), ce qui me donnera une seconde approximation pour p et t, et ainsi de suite. La première approximation nous fera connaître exactement les termes des premiers ordres du développement suivant les puissances des P' Q', R'. D'ailleurs l'intégration des équations (5, 1), (5, 2), etc., ne présentera aucune difficulté, car ce sont des équations linéaires à second membre, et les premiers membres sont à coefficients constants. On aura ainsi le développement de p, de 7 et, par conséquent, ceux de F(-;) , F(n) et cosc suivant les puissances des Pj, Qj, Ry ; ces développements convergeront très rapidement, car la convergence a lieu quelles que soient les valeurs attribuées à ces coefficients. Il pourra néanmoins être avantageux de procéder autrement. Soient des équations de même forme que les équations (5); mais où les coefficients Py, Qy, Ry, au lieu d'avoir les valeurs particulières qu'elles ont dans les équations (5), ont des valeurs quelconques arbitraires. Le système (5 bis) étant du quatrième ordre admettra quatre solutions linéairement indépendantes. Parmi ces quatre solutions, j'en distinguerai deux qui seront telles que p se change en p et 7 en — 7 quand z se change en — 7. D'après les propriétés générales des équations linéaires à coefficients périodiques, ces deux solutions seront de la forme suivante p = cajfT) = 2aycos(ay + q)y, 1 = 'M~) = sin(ay -h q p = ©2(x ) = 'f.'l.jcos('l.j + q' )x, t = 'h(,,:) = -3} sin ( •&gt;.] -fq' )x, où q et q' sont des constantes. Quand les coefficients Pj, prenant des valeurs particulières, les équations (5 bis) se réduisent aux équations (5), q se réduit à c et q' à zéro ; et l'on a o,(T) = F(T) COS-LKI (T) sin-RR, 'h(,,:) = F(,,:) sinx — F,(X) ces-; o2(~) = x'cos,,; + y' sin ";, th(,,:) = a?'sinx — Y, Co s Le procédé que nous avons développé plus haut consistait à chercher une solution des équations (5 bis) de la forme suivante A A à déterminer les coefficients constants A et B de façon à satisfaire aux conditions initiales
générales des équations linéaires à coefficients périodiques, ces deux solutions seront de la forme suivante p = cajfT) = 2aycos(ay + q)y, 1 = 'M~) = sin(ay -h q p = ©2(x ) = 'f.'l.jcos('l.j + q' )x, t = 'h(,,:) = -3} sin ( •&gt;.] -fq' )x, où q et q' sont des constantes. Quand les coefficients Pj, prenant des valeurs particulières, les équations (5 bis) se réduisent aux équations (5), q se réduit à c et q' à zéro ; et l'on a o,(T) = F(T) COS-LKI (T) sin-RR, 'h(,,:) = F(,,:) sinx — F,(X) ces-; o2(~) = x'cos,,; + y' sin ";, th(,,:) = a?'sinx — Y, Co s Le procédé que nous avons développé plus haut consistait à chercher une solution des équations (5 bis) de la forme suivante A A à déterminer les coefficients constants A et B de façon à satisfaire aux conditions initiales (6) et à développer la solution ainsi définie suivant les puissances des Py, Nous pouvons aussi envisager la solution et déterminer le coefficient A de telle façon que (6 bis) A es i ( o ) — y'0, la condition unique (6 bis) remplaçant les conditions (6). Les deux solutions (7) et (7 bis) sont identiques quand, les coefficients Py, ., prenant des valeurs particulières, les équations (5 bis) se réduisent aux équations (5); mais l'identité ne subsiste plus pour les autres valeurs des Pj, Nous pouvons alors nous proposer de développer suivant les puissances des Pj, ., non plus la solution (7), mais la solution (7 bis); ce développement représentera encore y cos CT:, quand on y fera 7 = T: et qu'on donnera aux Pi, ., les valeurs particulières qui correspondent aux équations (5). Cherchons à nous rendre compte de la forme du développement; Supposons qu'on ait développé les Aay et q suivant les puissances des Pj, .; soient q0 et q les valeurs des nombres q et q' pour P'1 = P'= Q'1 = Q =. = 1 2 o. On voit que le développement de cos(aj + q)-; pourra s'écrire de sorte que le développement de