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des perturbations relatives des petites planètes. M. Charlier en fit l'essai pour le calcul des perturbations absolues de Thétis (Bulletin, IV, 207) dans un travail approfondi; mais il était intéressant de reprendre la question traitée par M. Charlier, l'argument Xm, qui varie par sauts ayant été introduit par celui-ci après l'intégration, tandis qu'il était tout indiqué de le faire intervenir avant l'intégration. M. Schultz-Steinheil est en train de faire les calculs pour 2(53 Dresde. Il n'y a pas là, on doit l'observer, une tentative pour faire disparaître les petits diviseurs qui se manifestent sous la forme de forts coefficients lorsqu'on détermine les constantes arbitraires. Le gain principal est une simplification dans la mise en tables, réduites à un seul argument, l'autre (ou les autres) restant constant pendant un intervalle plus ou moins étendu. Le Verrier s'est placé à un point de vue analogue dans le Ch. XII de ses Recherches astronomiques (Annales de l'Observatoire de Paris, t. III). N° 9. Charlier (C.V.-L.). — Sur les systèmes de lentilles achromatiques. L'auteur revient sur une communication antérieure (Bull. XVI, p. 251) pour la compléter. Il s'agit de combinaisons optiques de lentilles formées, soit avec le même verre, soit avec les verres d'indices très variés de la fabrique d'Iéna. M. Charlier examine les combinaisons achromatiques possibles et aussi celles qu'il nomme demi-achromatiques. Psilander (A.-A .). Tables pour le calcul du second terme de la précession. Ces Tables font partie de la collection des Mémoires (2e série in-4, n° 1). Leur objet est de fournir le second terme de la précession, en ascension droite et en déclinaison, au moyen d'une simple interpolation, au moins quand la déclinaison n'excède pas 60°, en valeur absolue. On connaissait déjà les Tables de M. Folie et celles récemment parues de M. Downing. L'auteur a réussi à abréger le calcul. Whittaker (E.-T.). — Rapport sur les progrès de la solution du problème des trois corps (Extrait du British Association Report, 1899, 38 pages). Ce rapport a pour objet, dans la pensée de l'auteur, de retracer l'histoire du problème des trois corps, envisagé sous la forme générale, abstraction faite des
très variés de la fabrique d'Iéna. M. Charlier examine les combinaisons achromatiques possibles et aussi celles qu'il nomme demi-achromatiques. Psilander (A.-A .). Tables pour le calcul du second terme de la précession. Ces Tables font partie de la collection des Mémoires (2e série in-4, n° 1). Leur objet est de fournir le second terme de la précession, en ascension droite et en déclinaison, au moyen d'une simple interpolation, au moins quand la déclinaison n'excède pas 60°, en valeur absolue. On connaissait déjà les Tables de M. Folie et celles récemment parues de M. Downing. L'auteur a réussi à abréger le calcul. Whittaker (E.-T.). — Rapport sur les progrès de la solution du problème des trois corps (Extrait du British Association Report, 1899, 38 pages). Ce rapport a pour objet, dans la pensée de l'auteur, de retracer l'histoire du problème des trois corps, envisagé sous la forme générale, abstraction faite des applications à la Lune et aux planètes, en laissant de côté aussi les différentes classes d'équations différentielles auxquelles beaucoup de travaux ont été consacrés. La période étudiée comprend une trentaine d'années; les deux termes sont représentés par le second volume de la Théorie de la Lune de Delaunay et l'achèvement de l'ouvrage de M. Poincaré : Les nouvelles méthodes de la Mécanique céleste. Les titres ci-dessous des sept Chapitres montrent le mode de groupement adopté par l'auteur. I. Les équations différentielles du problème. II. Solutions particulières de Lagrange. III. Mémoires, de 1868 à 1889, sur les solutions générales et particulières des équations différentielles et leurs expressions au moyen de séries infinies (la théorie de Gyldén mise à part). IV. — Mémoires, de 1868 à 1889, sur l'absence de termes d'une certaine classe dans les séries infinies qui représentent la solution. V. — Théories des orbites absolues de Gyldén. VI. — Progrès des théories comprises dans les §§ III et IV de 1890 à 1898. VII. — Impossibilité de certaines espèces d'intégrales. O. C. BRÉDIKHINE (Th.). — SUR LES RADIANTS COMPOSÉS, DITS STATIONNAIRES. DES ÉTOILES FILANTES (Extrait du Bulletin de l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, t. XII, n° 1, 25
de l'ouvrage de M. Poincaré : Les nouvelles méthodes de la Mécanique céleste. Les titres ci-dessous des sept Chapitres montrent le mode de groupement adopté par l'auteur. I. Les équations différentielles du problème. II. Solutions particulières de Lagrange. III. Mémoires, de 1868 à 1889, sur les solutions générales et particulières des équations différentielles et leurs expressions au moyen de séries infinies (la théorie de Gyldén mise à part). IV. — Mémoires, de 1868 à 1889, sur l'absence de termes d'une certaine classe dans les séries infinies qui représentent la solution. V. — Théories des orbites absolues de Gyldén. VI. — Progrès des théories comprises dans les §§ III et IV de 1890 à 1898. VII. — Impossibilité de certaines espèces d'intégrales. O. C. BRÉDIKHINE (Th.). — SUR LES RADIANTS COMPOSÉS, DITS STATIONNAIRES. DES ÉTOILES FILANTES (Extrait du Bulletin de l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, t. XII, n° 1, 25 pages). M. Brédikhine fait d'abord un examen critique des motifs qui ont conduit M. Denning à admettre l'existence d'une activité prolongée pour certains points radiants. Il n'y a pas de doute pour lui que les radiants de longue durée ne soient formés par plusieurs radiants individuels. Pour lui, la différence des éléments des orbites répondant à un même radiant écarte toute idée d'une dépendance mutuelle ou de famille. À cela M. Denning a répondu avec insistance que, comme observateur, il se préoccupait uniquement de constater les faits et qu'il ne lui paraissait pas possible de nier l'activité prolongée de certains points radiants. Quoi qu'il en soit, divers auteurs, MM. Turner et Herschel en particulier (voir aussi les Comptes rendus du 6 mars 1899), ont essayé de donner des explications théoriques de ces points radiants stationnaires en leur supposant une existence réelle. Le Professeur A.-S. Herschel en donne une explication tirée de certaines hypothèses cosmogoniques qui peuvent, provisoirement tout au moins, être admises de la même manière que la réalité de l'interprétation de M. Denning demande encore à être critiquée et vérifiée. M. Brédikhine s'attache surtout à la théorie proposée par le Professeur Turner, où se trouve un essai d'explication mathématique
des éléments des orbites répondant à un même radiant écarte toute idée d'une dépendance mutuelle ou de famille. À cela M. Denning a répondu avec insistance que, comme observateur, il se préoccupait uniquement de constater les faits et qu'il ne lui paraissait pas possible de nier l'activité prolongée de certains points radiants. Quoi qu'il en soit, divers auteurs, MM. Turner et Herschel en particulier (voir aussi les Comptes rendus du 6 mars 1899), ont essayé de donner des explications théoriques de ces points radiants stationnaires en leur supposant une existence réelle. Le Professeur A.-S. Herschel en donne une explication tirée de certaines hypothèses cosmogoniques qui peuvent, provisoirement tout au moins, être admises de la même manière que la réalité de l'interprétation de M. Denning demande encore à être critiquée et vérifiée. M. Brédikhine s'attache surtout à la théorie proposée par le Professeur Turner, où se trouve un essai d'explication mathématique des radiants stationnaires d'après les actions perturbatrices de la Terre sur les météores, qui, dans leurs passages près d'elle, coupent l'orbite tantôt en avant, tantôt en arrière. M. Brédikhine, en calculant ces actions perturbatrices à l'aide des formules des perturbations spéciales, montre que les conclusions du Professeur Turner sont inadmissibles, sauf dans l'hypothèse inacceptable d'un mouvement rectiligne et uniforme de la Terre. Là où la fixité du point radiant ne peut être mise en douté, M. Brédikhine est disposé à admettre que la dispersion des orbites est plutôt le fait des perturbations planétaires, comme dans le cas des Orionides. En somme, l'Astronomie météorique en est à ses débuts. C'est faire une œuvre des plus utiles que d'assurer et de soumettre à un examen critique les matériaux d'observation et les théories sommaires que nous possédons jusqu'ici. Il serait fort désirable que des observateurs exercés imitassent l'exemple de M. Denning. HERSCHEL (A.-S.). — ESSAIS CONTEMPORAINS DES LÉONIDES ET DES BIÉLIDES (Nature, numéros des 4 et 18 janvier 1899). Documents concernant les observations de ces deux essaims, accompagnés de remarques nombreuses. O. G. COCULESCO (N.). — TEORIA REFRACTIEI ASTRONOMICE. Bucuresci, 1899, 1 vol. in-8, 82 pages. Le Volume que vient de publier M.
sauf dans l'hypothèse inacceptable d'un mouvement rectiligne et uniforme de la Terre. Là où la fixité du point radiant ne peut être mise en douté, M. Brédikhine est disposé à admettre que la dispersion des orbites est plutôt le fait des perturbations planétaires, comme dans le cas des Orionides. En somme, l'Astronomie météorique en est à ses débuts. C'est faire une œuvre des plus utiles que d'assurer et de soumettre à un examen critique les matériaux d'observation et les théories sommaires que nous possédons jusqu'ici. Il serait fort désirable que des observateurs exercés imitassent l'exemple de M. Denning. HERSCHEL (A.-S.). — ESSAIS CONTEMPORAINS DES LÉONIDES ET DES BIÉLIDES (Nature, numéros des 4 et 18 janvier 1899). Documents concernant les observations de ces deux essaims, accompagnés de remarques nombreuses. O. G. COCULESCO (N.). — TEORIA REFRACTIEI ASTRONOMICE. Bucuresci, 1899, 1 vol. in-8, 82 pages. Le Volume que vient de publier M. Coculesco sur la Théorie de la réfraction astronomique contient les leçons qu'il a professées sur cette matière dans son cours d'Astronomie à la Faculté des Sciences de Bucarest. L'Auteur commence par établir les lois fondamentales de la réfraction atmosphérique en partant du principe de Fermat (I). Il expose ensuite la théorie de la réfraction dans quelques-unes des hypothèses les plus connues sur la constitution de l'atmosphère : hypothèse de Newton (p. 24), de Bouguer (p. 37), de Laplace (p. 47-73). La ) Sur le principe de Fermat, on peut consulter : Cartesii Epistolae, III, 5i, (1667); Leibniz, Acta Erud., 1682; Maupertuis, Mém. de l'Ac. de Prusse, 1746; Laplace, Mém. sur le mouvement de la lumière (Mém. de l'Institut, t. X, 18,0; Œuvres, t. XII); Kummer, Atmosph. Strahlenbrechung (Berl. Ber., 1860); Reimbold, Optique physiologique (1867); Radau, Recherches (1881). et Essai (1889); Ossian Bonnet, Théorie de la réfraction astr. (Nouv. Ann., 1888); Kirchhoff, Optik (1891, p. 64); Bruns, Zur Theorie der astr. Strahlenbrechung (Leipzig, 1891); Boussinesq (Comptes rendus, 4 décembre 1899). théorie de Laplace est exposée en détail, parce qu'elle sert de base aux Tables de réfraction de la Connaissance des Temps. Un dernier Chapitre est consacré à l'influence de la réfraction
théorie de la réfraction dans quelques-unes des hypothèses les plus connues sur la constitution de l'atmosphère : hypothèse de Newton (p. 24), de Bouguer (p. 37), de Laplace (p. 47-73). La ) Sur le principe de Fermat, on peut consulter : Cartesii Epistolae, III, 5i, (1667); Leibniz, Acta Erud., 1682; Maupertuis, Mém. de l'Ac. de Prusse, 1746; Laplace, Mém. sur le mouvement de la lumière (Mém. de l'Institut, t. X, 18,0; Œuvres, t. XII); Kummer, Atmosph. Strahlenbrechung (Berl. Ber., 1860); Reimbold, Optique physiologique (1867); Radau, Recherches (1881). et Essai (1889); Ossian Bonnet, Théorie de la réfraction astr. (Nouv. Ann., 1888); Kirchhoff, Optik (1891, p. 64); Bruns, Zur Theorie der astr. Strahlenbrechung (Leipzig, 1891); Boussinesq (Comptes rendus, 4 décembre 1899). théorie de Laplace est exposée en détail, parce qu'elle sert de base aux Tables de réfraction de la Connaissance des Temps. Un dernier Chapitre est consacré à l'influence de la réfraction sur le lever et le coucher des astres, et sur la mesure des diamètres apparents. Le livre de M. Coculesco pourra servir utilement de préparation à la lecture des Mémoires originaux où la question est traitée d'une manière plus approfondie. PUBLICATIONEN DER V. KUFFNER'SCHE STERNWARTE IN WIEN. Herausgegeben von Dr Leo de Bail. V Band, Wien, 1900. W. Frick, in-4. Nous avons signalé successivement l'apparition du tome III et du tome IV des belles Publications de l'observatoire Kuffner, dirigé actuellement, avec tant d'énergie et de zèle, par M. L. de Bail. Le tome V, qui vient de paraître, contient, en premier lieu, la suite des zones observées par M. de Bail au cercle méridien, entre 5°50' et 10°10' de déclinaison australe. Ce sont, cette fois, les zones -245-357, observées dans le cours des années 1895-1896, avec les positions moyennes, pour 1900,0, de 4664 étoiles (p. A. 1-235). On y trouve ensuite deux Mémoires de M. K. Schwarzschild, sur la détermination de l'éclat des étoiles par des photographies extrafocales, et sur la photométrie photographique des astres, ce dernier suivi de Notes complémentaires par MM. Schwarzschild et de Bail. Ce Mémoire renferme d'importantes recherches théoriques et expérimentales sur les lois de la
Leo de Bail. V Band, Wien, 1900. W. Frick, in-4. Nous avons signalé successivement l'apparition du tome III et du tome IV des belles Publications de l'observatoire Kuffner, dirigé actuellement, avec tant d'énergie et de zèle, par M. L. de Bail. Le tome V, qui vient de paraître, contient, en premier lieu, la suite des zones observées par M. de Bail au cercle méridien, entre 5°50' et 10°10' de déclinaison australe. Ce sont, cette fois, les zones -245-357, observées dans le cours des années 1895-1896, avec les positions moyennes, pour 1900,0, de 4664 étoiles (p. A. 1-235). On y trouve ensuite deux Mémoires de M. K. Schwarzschild, sur la détermination de l'éclat des étoiles par des photographies extrafocales, et sur la photométrie photographique des astres, ce dernier suivi de Notes complémentaires par MM. Schwarzschild et de Bail. Ce Mémoire renferme d'importantes recherches théoriques et expérimentales sur les lois de la photométrie photographique, avec application aux Pléiades, à l'amas de Persée, à la Crèche, et à deux variables (Lyre et 7e Aigle), dont l'auteur a déterminé les courbes par la photographie. Le volume se termine par des Recherches de M. L. de Bail sur les erreurs de division des échelles de l'héliomètre. Ce travail, déjà complété maintenant par des recherches sur les autres éléments de réduction, était la préparation nécessaire aux recherches que M. de Bail a commencées l'été dernier sur la détermination de la constante de la réfraction par des mesures héliométriques. On voit que l'activité déployée par les astronomes de l'observatoire Kuffner est de plus en plus féconde, et mérite d'être encouragée. R. Voir Bull., t. XII, p. 35, et t. XV, p. 425. MÉMOIRES ET OBSERVATIONS. SUR LES POINTS SINGULIERS DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES DES PETITES PLANÈTES; PAR C.-Y.-L. CHARLIER. Les singularités analytiques qui se présentent dans l'étude des perturbations séculaires des petites planètes se distinguent des singularités correspondantes pour les grandes planètes en ce qu'elles sont des singularités fixes, c'est-à-dire qu'elles se présentent seulement à des distances déterminées du Soleil. Quelles sont ces distances? Et quelle est la nature de ces singularités? Considérons, pour fixer les idées, les
l'héliomètre. Ce travail, déjà complété maintenant par des recherches sur les autres éléments de réduction, était la préparation nécessaire aux recherches que M. de Bail a commencées l'été dernier sur la détermination de la constante de la réfraction par des mesures héliométriques. On voit que l'activité déployée par les astronomes de l'observatoire Kuffner est de plus en plus féconde, et mérite d'être encouragée. R. Voir Bull., t. XII, p. 35, et t. XV, p. 425. MÉMOIRES ET OBSERVATIONS. SUR LES POINTS SINGULIERS DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES DES PETITES PLANÈTES; PAR C.-Y.-L. CHARLIER. Les singularités analytiques qui se présentent dans l'étude des perturbations séculaires des petites planètes se distinguent des singularités correspondantes pour les grandes planètes en ce qu'elles sont des singularités fixes, c'est-à-dire qu'elles se présentent seulement à des distances déterminées du Soleil. Quelles sont ces distances? Et quelle est la nature de ces singularités? Considérons, pour fixer les idées, les perturbations séculaires des nœuds et des inclinaisons que nous supposons par la suite être rapportés au plan invariable du système planétaire comme plan de référence. En employant des désignations habituelles et en nous restreignant d'abord aux termes du premier degré, on a, pour les perturbations séculaires dans le nœud et l'inclinaison d'une petite planète, les équations différentielles suivantes où p = tangco sin6, q = tangcp cosQ, et ? = l'inclinaison, 0 = la longitude du nœud de l'orbite de la petite planète sur le plan invariable. Par la théorie des grandes planètes, les pi et qi sont connues en fonction du temps. Ces fonctions sont de la forme où s prend les valeurs 1,2, ..., 7. Ayant substitué les pi et qi dans (i), ces équations prennent la forme où Désignant par C et D deux constantes arbitraires, les intégrales de ces équations sont Les coefficients F, deviennent infinis pour les valeurs de la distance de la petite planète au Soleil pour lesquelles b = a-. On pourrait s'attendre à ce que ces coefficients s'agrandissent aussi infiniment, si Fs prend une valeur infinie. Cependant, il n'en est pas ainsi. En effet, on a pour le coefficient (o. i) l'expression
l'inclinaison d'une petite planète, les équations différentielles suivantes où p = tangco sin6, q = tangcp cosQ, et ? = l'inclinaison, 0 = la longitude du nœud de l'orbite de la petite planète sur le plan invariable. Par la théorie des grandes planètes, les pi et qi sont connues en fonction du temps. Ces fonctions sont de la forme où s prend les valeurs 1,2, ..., 7. Ayant substitué les pi et qi dans (i), ces équations prennent la forme où Désignant par C et D deux constantes arbitraires, les intégrales de ces équations sont Les coefficients F, deviennent infinis pour les valeurs de la distance de la petite planète au Soleil pour lesquelles b = a-. On pourrait s'attendre à ce que ces coefficients s'agrandissent aussi infiniment, si Fs prend une valeur infinie. Cependant, il n'en est pas ainsi. En effet, on a pour le coefficient (o. i) l'expression connue et cette intégrale a une valeur finie et positive pour toutes les valeurs de a avec la seule exception a = ai. Pour ces distances, les (o.i) et, par conséquent, aussi les F* deviennent infinis. Mais d'après la formule (4), il est évident que b devient aussi infini en même temps que F, et qu'à la limite on a À mesure que l'on s'approche de la même distance du Soleil où se trouve une des grandes masses planétaires, les expressions de p et de q (6) tendent asymptotiquement vers les valeurs lesquelles expressions selon (2) se confondent, au terme arbitraire près, avec les expressions qui sont valables pour cette même planète. Quoique les coefficients dans les expressions analytiques des inégalités séculaires des petites planètes soient ainsi tous finis pour les distances qui coïncident avec les distances des grandes planètes du Soleil, il n'en est pas ainsi, nous l'avons vu, de la grandeur b qui exprime dans la plupart des cas le mouvement moyen du nœud de la petite planète. C'est ainsi qu'on peut dire que les perturbations séculaires des inclinaisons des orbites des petites planètes dans le voisinage d'une des grandes planètes sont finies, en même temps que le
même temps que F, et qu'à la limite on a À mesure que l'on s'approche de la même distance du Soleil où se trouve une des grandes masses planétaires, les expressions de p et de q (6) tendent asymptotiquement vers les valeurs lesquelles expressions selon (2) se confondent, au terme arbitraire près, avec les expressions qui sont valables pour cette même planète. Quoique les coefficients dans les expressions analytiques des inégalités séculaires des petites planètes soient ainsi tous finis pour les distances qui coïncident avec les distances des grandes planètes du Soleil, il n'en est pas ainsi, nous l'avons vu, de la grandeur b qui exprime dans la plupart des cas le mouvement moyen du nœud de la petite planète. C'est ainsi qu'on peut dire que les perturbations séculaires des inclinaisons des orbites des petites planètes dans le voisinage d'une des grandes planètes sont finies, en même temps que le mouvement moyen du nœud croît au-dessus de toute limite. On est donc, bien entendu, ici en présence d'une position instable des petites planètes, quoique ce soit par le moyen des perturbations périodiques, et non pas par les perturbations séculaires, que s'opère la distinction de l'orbite. Revenons au cas où b = gsJe veux appeler distances critiques les distances du Soleil pour lesquelles est remplie cette égalité. Elles ne coïncident pas nécessairement avec les points singuliers des intégrales séculaires des petites planètes. Les termes d'ordre troisième et supérieur dans les équations différentielles pour p et q, qui sont négligés dans l'équation (1), pourront changer plus ou moins essentiellement le résultat. Je veux chercher à déterminer l'influence des termes négligés du troisième ordre. Les expressions analytiques de ces termes sont données par Le Verrier dans les Additions à la Connaissance des Temps pour 1844 (et dans les Annales de l'Observatoire de Paris). Il serait assez difficile de les considérer tous et, d'ailleurs, ce n'est pas nécessaire pour le but actuel. En effet, on peut négliger, en considérant les perturbations des inclinaisons et des nœuds, tous les termes qui sont multipliés par l'excentricité de l'orbite des planètes perturbatrices ou de celle de la
= gsJe veux appeler distances critiques les distances du Soleil pour lesquelles est remplie cette égalité. Elles ne coïncident pas nécessairement avec les points singuliers des intégrales séculaires des petites planètes. Les termes d'ordre troisième et supérieur dans les équations différentielles pour p et q, qui sont négligés dans l'équation (1), pourront changer plus ou moins essentiellement le résultat. Je veux chercher à déterminer l'influence des termes négligés du troisième ordre. Les expressions analytiques de ces termes sont données par Le Verrier dans les Additions à la Connaissance des Temps pour 1844 (et dans les Annales de l'Observatoire de Paris). Il serait assez difficile de les considérer tous et, d'ailleurs, ce n'est pas nécessaire pour le but actuel. En effet, on peut négliger, en considérant les perturbations des inclinaisons et des nœuds, tous les termes qui sont multipliés par l'excentricité de l'orbite des planètes perturbatrices ou de celle de la petite planète. Il n'est pas nécessaire non plus de considérer, à la première approximation du moins, les termes du troisième ordre qui sont multipliés par les inclinaisons des grandes planètes sur le plan invariable, ces inclinaisons étant, dans le cas qui nous intéresse actuellement, très petites par rapport à l'inclinaison de la petite planète. Ces restrictions faites, les équations pour déterminer l'inclinaison et le nœud de l'orbite d'une petite planète seront les suivantes : où b a le même sens qu'auparavant et, d'après Le Verrier, Les bs ont la signification usuelle, c'est-à-dire qu'on a Posons et observons que, d'après la définition que nous avons donnée auparavant des coefficients (o. i), on a les équations différentielles prennent donc la forme Peut-être que l'on pourrait intégrer ces équations exactement. Je ne le sais pas, mais il n'est cependant pas nécessaire de faire ici une telle recherche. Notre but actuel est d'étudier la nature des intégrales dans le voisinage d'un point critique. Il suffit donc de considérer une intégrale particulière qui, pour c = 0, coïncide avec l'intégrale (6). Soit le coefficient du temps qui peut donner naissance à un terme critique dans l'intégrale, il suffit donc de considérer les équations qui ont