jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
de pression totale creuses définir un temps caractéristique de la solution de polymère utilisée grâce à la valeur de 0e/V au seuil. 3. VISUALISATION DE L'ÉCOULEMENT. Nous avons visualisé l'écoulement d'une solution de polymère au nez d'un tube de verre étiré de 2,2 mm de diamètre extérieur, placé dans la région d'entrée d'un autre tube de verre, hors des zones de paroi. On voit sur la planche 1 que les lignes de courant peuvent pénétrer dans le conduit intérieur des sondes sur plusieurs diamètres. En augmentant progressivement V on a constaté que cette pénétration commence exactement pour les conditions du seuil du paragraphe précédent. Pour les deux clichés à fond noir, on a envoyé un filet de solution additionnée de particules d'aluminium, sur l'axe du tube. On voit un tourbillon de forme torique avec pénétration du fluide sur l'axe. Sur le troisième cliché, toute la solution en écoulement a été additionnée de solution colorée. On voit sur fond clair que le colorant est emporté sur toute la longueur de pénétration des particules. Le phénomène étudié dans cette Note paraît donc lié à l'existence d'un conduit intérieur des sondes. D'ailleurs, lorsque 0i est petit ACp reste très faible; d'autre part, en utilisant des sondes où le conduit était remplacé par un capteur solide de diamètre 2,2 mm nous n'avons pas décelé l'existence d'un défaut de pression. Séance du 26 novembre 1973. J.-M. PIAU, Comptes rendus, 278, série A, 1974, p. 373 et Rapport final de la convention n° 71-611 entre le Laboratoire d'Aérodynamique et la Direction des Recherches et Moyens d'Essais. Polyoxyéthylène (CH2–CH2–O) n (produit commercialisé sous la dénomination polyox WSR 301). Laboratoire de Mécanique expérimentale des Fluides et Laboratoire d'Aérodynamique, Centre Universitaire, Bât. 502, 91405 Orsay. AUTOMATIQUE. Coordination des systèmes hiérarchiques à deux niveaux par coordination des hamiltoniens du niveau inférieur. Note de M. Guy Jumarie, transmise par M. Léopold Escande. La théorie classique de l'optimisation dégage une identité profonde entre la fonctionnelle de coût et l'hamiltonien en ce sens qu'on les optimise tous les deux simultanément. Nous avons approfondi cette similitude dans les problèmes d'optimisation de l'estimation d'état pour
utilisant des sondes où le conduit était remplacé par un capteur solide de diamètre 2,2 mm nous n'avons pas décelé l'existence d'un défaut de pression. Séance du 26 novembre 1973. J.-M. PIAU, Comptes rendus, 278, série A, 1974, p. 373 et Rapport final de la convention n° 71-611 entre le Laboratoire d'Aérodynamique et la Direction des Recherches et Moyens d'Essais. Polyoxyéthylène (CH2–CH2–O) n (produit commercialisé sous la dénomination polyox WSR 301). Laboratoire de Mécanique expérimentale des Fluides et Laboratoire d'Aérodynamique, Centre Universitaire, Bât. 502, 91405 Orsay. AUTOMATIQUE. Coordination des systèmes hiérarchiques à deux niveaux par coordination des hamiltoniens du niveau inférieur. Note de M. Guy Jumarie, transmise par M. Léopold Escande. La théorie classique de l'optimisation dégage une identité profonde entre la fonctionnelle de coût et l'hamiltonien en ce sens qu'on les optimise tous les deux simultanément. Nous avons approfondi cette similitude dans les problèmes d'optimisation de l'estimation d'état pour commande optimale où nous avons montré que le meilleur estimateur (filtre stochastique ou extrapolateur déterministe) est celui qui donne la meilleure estimation de l'hamiltonien du système. Ici nous poussons l'analogie plus loin et l'utilisons pour résoudre le problème de la coordination dans les systèmes hiérarchiques à deux niveaux. 1. SYSTÈME A DEUX NIVEAUX. Le « système global » (S) est composé de deux soussystèmes (SS 1) et (SS 2) gouvernés par les équations vectorielles respectives (x, y) est le vecteur état de (S) et (u, a) est la commande globale déterminée par un contrôleur P de façon à Les hypothèses mathématiques continuité et dérivabilité sont suffisantes pour permettre l'utilisation du calcul des variations, ce qui nous suffit ici. Le « système à deux niveaux » est défini comme suit. (i) P ne contrôle pas directement u et a, mais seulement a qui est la « variable de coordination ». (ii) u est décomposé en deux vecteurs Ul et U2 : U = (Ul u2). Ul est déterminé par Pl qui contrôle (SS 1) de façon à { min Gi (Uh a) M1 e f t } où Gl est De façon analogue, U2 est déterminé par P2 qui contrôle (SS
A DEUX NIVEAUX. Le « système global » (S) est composé de deux soussystèmes (SS 1) et (SS 2) gouvernés par les équations vectorielles respectives (x, y) est le vecteur état de (S) et (u, a) est la commande globale déterminée par un contrôleur P de façon à Les hypothèses mathématiques continuité et dérivabilité sont suffisantes pour permettre l'utilisation du calcul des variations, ce qui nous suffit ici. Le « système à deux niveaux » est défini comme suit. (i) P ne contrôle pas directement u et a, mais seulement a qui est la « variable de coordination ». (ii) u est décomposé en deux vecteurs Ul et U2 : U = (Ul u2). Ul est déterminé par Pl qui contrôle (SS 1) de façon à { min Gi (Uh a) M1 e f t } où Gl est De façon analogue, U2 est déterminé par P2 qui contrôle (SS 2) pour où G2 a une définition semblable à celle de Gl, l'indice 1 étant remplacé par 2, avec = t1·x·f2. Le problème de la coordination est le suivant : si on suppose que l'optimisation globale a une solution optimale, comment P doit-il sélectionner a (t ) pour que le coût optimal G (Ul, U2, a) résultant des commandes de Pl et P2 soit aussi voisin que possible de cette solution optimale de référence? 2. DÉFINITIONS ET HYPOTHÈSES. On note ao la coordination de référence qui définit le contexte normal du point de vue de P : a prend normalement la valeur ao lorsque Pl et P2 n'interviennent pas. Par exemple, ao peut être le a optimal de . (i) Dans ces conditions on notera u* (ao), x* (ao), f* (ao), g* (ao) et G* (ao) les quantités optimales du problème global, valeurs qui seraient atteintes si P contrôlait directement u. Ces données induisent sur le problème à deux niveaux des quantités que nous désignerons par f* (ao), G* (ao) (i = 1, 2). (ii) Soit ux (a) et u2 (a) les commandes optimales de Pl et P2 pour un a E d arbitraire. Les quantités optimales associées seront respectivement
coût optimal G (Ul, U2, a) résultant des commandes de Pl et P2 soit aussi voisin que possible de cette solution optimale de référence? 2. DÉFINITIONS ET HYPOTHÈSES. On note ao la coordination de référence qui définit le contexte normal du point de vue de P : a prend normalement la valeur ao lorsque Pl et P2 n'interviennent pas. Par exemple, ao peut être le a optimal de . (i) Dans ces conditions on notera u* (ao), x* (ao), f* (ao), g* (ao) et G* (ao) les quantités optimales du problème global, valeurs qui seraient atteintes si P contrôlait directement u. Ces données induisent sur le problème à deux niveaux des quantités que nous désignerons par f* (ao), G* (ao) (i = 1, 2). (ii) Soit ux (a) et u2 (a) les commandes optimales de Pl et P2 pour un a E d arbitraire. Les quantités optimales associées seront respectivement désignées par fi (a), gt (a), Gi (a) (i = 1,2). Les grandeurs correspondantes du problème global sont f(a), g(a) et O(a). On suppose que : (H 1) M*(a0) existe et est unique. (H 2) Le diagramme suivant est exact. (H 3) Pi et P2 utilisent leurs commandes optimales Ûi(a) et u2(a) pour tout a E d. (H 4) Pour a donné, la paire (Û1, u2) est unique, et on a 3. COORDINATION. Le but de la coordination est de choisir a de façon que les deux diagrammes (H 2) et (H 4) ci-dessus soient superposés autant que possible. Comme ces diagrammes sont commutatifs, il suffit de rendre à (a0) voisin de u*(a); par exemple en faisant où N(.) est une norme donnée. L'inconvénient d'une telle coordination est que celle-ci ne dépend explicitement ni des commandes choisies par les niveaux inférieurs, ni de l'état du système, ce qui est bien utile en présence de perturbation. Cette difficulté peut être contournée en remarquant que l'on peut superposer les diagrammes (H 2) et (H 4) en superposant leurs sommets (f1, f2) et (Ch, f2) d'une part, (#i, S*) et (gl, g2) d'autre part. La coïncidence simultanée de ces deux sommets étant généralement
et u2(a) pour tout a E d. (H 4) Pour a donné, la paire (Û1, u2) est unique, et on a 3. COORDINATION. Le but de la coordination est de choisir a de façon que les deux diagrammes (H 2) et (H 4) ci-dessus soient superposés autant que possible. Comme ces diagrammes sont commutatifs, il suffit de rendre à (a0) voisin de u*(a); par exemple en faisant où N(.) est une norme donnée. L'inconvénient d'une telle coordination est que celle-ci ne dépend explicitement ni des commandes choisies par les niveaux inférieurs, ni de l'état du système, ce qui est bien utile en présence de perturbation. Cette difficulté peut être contournée en remarquant que l'on peut superposer les diagrammes (H 2) et (H 4) en superposant leurs sommets (f1, f2) et (Ch, f2) d'une part, (#i, S*) et (gl, g2) d'autre part. La coïncidence simultanée de ces deux sommets étant généralement impossible, un compromis est nécessaire. À cette fin, nous introduisons les quantités K*(lh a0) et H*(li, a) (i = 1, 2), définies par où les Xi sont les vecteurs adjoints optimaux associés aux optimisations du niveau inférieur. Nous définissons aussi : où À* est le vecteur adjoint optimal associé à l'optimisation globale ou supérieure conduite par P. Soient (H 2') et (H 4') les diagrammes PROPOSITION. On a les équivalences (H2) o (H2') (H 4) o (H 4'). En effet, l'implication (H 2), (H 4) => (H 2'), (H 4') est évidente. Par ailleurs, en vertu de l'unicité des commandes optimales u* et (u1, u2), les chaînes H* => u* => (f*, g*) et (H1, H2) => (u1, u2) => (f, g) assurent la réciprocité du résultat. C. R., 1974, 1er Semestre. (T. 278, N° 11) Série B 36 4. PRINCIPE DE COORDINATION. On est ainsi conduit au mode suivant de coordination. (i) Résoudre le problème d'optimisation global, ce qui donne f*(a0) et g*(a0) (i = 1, 2). (ii) Résoudre les problèmes d'optimisation du niveau inférieur, pour obtenir A li (a) (i = 1, 2). (iii) Définir les quantités (iv) Choisir une norme N(K* Kl, K* 2 K2) définissant l'approximation
l'optimisation globale ou supérieure conduite par P. Soient (H 2') et (H 4') les diagrammes PROPOSITION. On a les équivalences (H2) o (H2') (H 4) o (H 4'). En effet, l'implication (H 2), (H 4) => (H 2'), (H 4') est évidente. Par ailleurs, en vertu de l'unicité des commandes optimales u* et (u1, u2), les chaînes H* => u* => (f*, g*) et (H1, H2) => (u1, u2) => (f, g) assurent la réciprocité du résultat. C. R., 1974, 1er Semestre. (T. 278, N° 11) Série B 36 4. PRINCIPE DE COORDINATION. On est ainsi conduit au mode suivant de coordination. (i) Résoudre le problème d'optimisation global, ce qui donne f*(a0) et g*(a0) (i = 1, 2). (ii) Résoudre les problèmes d'optimisation du niveau inférieur, pour obtenir A li (a) (i = 1, 2). (iii) Définir les quantités (iv) Choisir une norme N(K* Kl, K* 2 K2) définissant l'approximation de la coordination. (v) La meilleure coordination en boucle ouverte a (u, x, t) est donnée par l'opération (*) Séance du 21 janvier 1974. (1) L. S. PONTRJAGIN, BOLTJANSKI, GAMKREIDLZE et MISHENKO, The mathematical theory of optimal processes, John Wiley, 1962 (Moscou, 1959). (2) G. JUMARIE, Comptes rendus, 272, série A, 1971, p. 927. (3) G. JUMARIE, Intern. J. Game Theory, 2, n° 1, 1973, p. 39-52. (4) G. JUMARIE, A new approach to optimum state estimation in optimum systems control (J. optimization theory and application, à paraître). Département de Mathématiques, Université du Québec à Montréal, P. O. Box 8888, Montréal, P. Q., H 3 C-3 P 8, Canada. PHYSIQUE THÉORIQUE. Le théorème de Bertrand à cent ans de sa formulation. Note (*) de MM. Manuel Berrondo, Jorge Flores et Octavio Novaro, présentée par M. Louis de Broglie. Malgré le fait que la Physique ait tellement changé pendant ce dernier siècle, il est toujours vrai que le théorème de M. Bertrand n'a rien perdu de son intérêt actuel. Son importance est surtout due à sa liaison profonde avec les problèmes de symétrie et de dégénérescence (2). Bertrand montra que le potentiel coulombien et l'oscillateur harmonique ont des orbites qui "gardent
A, 1971, p. 927. (3) G. JUMARIE, Intern. J. Game Theory, 2, n° 1, 1973, p. 39-52. (4) G. JUMARIE, A new approach to optimum state estimation in optimum systems control (J. optimization theory and application, à paraître). Département de Mathématiques, Université du Québec à Montréal, P. O. Box 8888, Montréal, P. Q., H 3 C-3 P 8, Canada. PHYSIQUE THÉORIQUE. Le théorème de Bertrand à cent ans de sa formulation. Note (*) de MM. Manuel Berrondo, Jorge Flores et Octavio Novaro, présentée par M. Louis de Broglie. Malgré le fait que la Physique ait tellement changé pendant ce dernier siècle, il est toujours vrai que le théorème de M. Bertrand n'a rien perdu de son intérêt actuel. Son importance est surtout due à sa liaison profonde avec les problèmes de symétrie et de dégénérescence (2). Bertrand montra que le potentiel coulombien et l'oscillateur harmonique ont des orbites qui "gardent toujours leur commensurabilité, pour des conditions initiales arbitraires. Il démontra, en fait, que ce sont les deux seuls potentiels centraux avec cette propriété. Dans ces deux cas nous pouvons reconnaître la loi d'attraction simplement par la position relative des points de rebroussement. Toutes les orbites du potentiel harmonique sont des ellipses avec deux axes de symétrie; elles présentent leurs points d'éloignement maximal opposés par rapport au centre d'attraction. Toutes les orbites bornées du potentiel coulombien sont elliptiques, avec le maximum radial opposé au minimum; or, dans ce cas-ci il y a un seul axe de symétrie. La circonférence, par contre, a un nombre infini d'axes de symétrie. L'orbite circulaire, peut donc être perturbée pour devenir une courbe fermée de n'importe quelle commensurabilité vr/vr = n. Dans le voisinage du cercle r = ro, nous évaluons le potentiel effectif par une parabole. La coordonnée r oscille avec une fréquence vr donnée par D'autre part, la fréquence angulaire est La condition de commensurabilité vr/vr = n, mène à la solution La famille (4) fut obtenue par Bertrand (1) à l'aide du développement de V (1/r) en série de Taylor, et de la condition pour que l'orbite soit fermée : Nous pouvons pousser
ellipses avec deux axes de symétrie; elles présentent leurs points d'éloignement maximal opposés par rapport au centre d'attraction. Toutes les orbites bornées du potentiel coulombien sont elliptiques, avec le maximum radial opposé au minimum; or, dans ce cas-ci il y a un seul axe de symétrie. La circonférence, par contre, a un nombre infini d'axes de symétrie. L'orbite circulaire, peut donc être perturbée pour devenir une courbe fermée de n'importe quelle commensurabilité vr/vr = n. Dans le voisinage du cercle r = ro, nous évaluons le potentiel effectif par une parabole. La coordonnée r oscille avec une fréquence vr donnée par D'autre part, la fréquence angulaire est La condition de commensurabilité vr/vr = n, mène à la solution La famille (4) fut obtenue par Bertrand (1) à l'aide du développement de V (1/r) en série de Taylor, et de la condition pour que l'orbite soit fermée : Nous pouvons pousser le développement de V (p) et V (u) autour de V (ot) à un ordre supérieur, pour obtenir la condition La prime sur V indique dérivée par rapport à u = l/r. Il est remarquable que pour tous les potentiels (4) le coefficient de 5 dans (6) soit nul. Il faut, donc, aller jusqu'au deuxième ordre en ô pour trouver un résultat différent. En effet, le terme en 02 n'est zéro que pour n = 1 et 2. De fait, dans ces deux cas, la condition (5) est satisfaite pour toutes les valeurs de a et P qui permettent des orbites bornées. Pour n = 1, nous évaluons l'intégrale à l'aide de la méthode de Sommerfeld (3). Lorsque n = 2 nous effectuons d'abord une transformation conforme z= u2, ce qui donne un facteur 1/2, c'est-à-dire Bertrand fut amené à cette conclusion directement de (5). Il posa les valeurs limites a = 0, p = 1 pour n2 2 < 0, c'est-à-dire E = 0, et a = 1, p = 0 pour n2 2 > 0, ce qui correspond à E -> oo. Du point de vue de la dégénérescence, il est bien connu que l'on peut exprimer l'énergie
faut, donc, aller jusqu'au deuxième ordre en ô pour trouver un résultat différent. En effet, le terme en 02 n'est zéro que pour n = 1 et 2. De fait, dans ces deux cas, la condition (5) est satisfaite pour toutes les valeurs de a et P qui permettent des orbites bornées. Pour n = 1, nous évaluons l'intégrale à l'aide de la méthode de Sommerfeld (3). Lorsque n = 2 nous effectuons d'abord une transformation conforme z= u2, ce qui donne un facteur 1/2, c'est-à-dire Bertrand fut amené à cette conclusion directement de (5). Il posa les valeurs limites a = 0, p = 1 pour n2 2 < 0, c'est-à-dire E = 0, et a = 1, p = 0 pour n2 2 > 0, ce qui correspond à E -> oo. Du point de vue de la dégénérescence, il est bien connu que l'on peut exprimer l'énergie en fonction des variables d'action J1, J2, J. comme pour le potentiel harmonique. Or, v1 = v2 = vp pour (9), tandis que vr = 2 ve = 2 v pour (10). Les résultats coïncident évidemment avec (7) et (8). Le théorème de Bertrand empêche l'existence de relations commensurables arbitraires p J1 + q J2. Pourtant, nous pouvons les imposer, si nous ajoutons un terme centrifuge additionnel au potentiel, avec le coefficient approprié. Cela donne des orbites fermées qui font p tours en r pour chaque q cycles angulaires. Il existe d'autres potentiels centraux avec orbites fermées pour une variation arbitraire du moment cinétique, pourvu que le potentiel effectif présente deux points de rebroussement. Il apparaît toutefois une condition sur la valeur de l'énergie : E = 0. Pour une commensurabilité n > 2, la famille de potentiels a comme solution pour E = 0, l'équation de l'orbite suivante : un = B + A cos ne, B > A. Remarquons que les cas n = 1 et n = 2 ne sont autres que les deux potentiels privilégiés, à savoir, le coulombien et l'harmonique. La restriction E = 0 n'est évidemment pas valable pour eux. Un autre ensemble de
p J1 + q J2. Pourtant, nous pouvons les imposer, si nous ajoutons un terme centrifuge additionnel au potentiel, avec le coefficient approprié. Cela donne des orbites fermées qui font p tours en r pour chaque q cycles angulaires. Il existe d'autres potentiels centraux avec orbites fermées pour une variation arbitraire du moment cinétique, pourvu que le potentiel effectif présente deux points de rebroussement. Il apparaît toutefois une condition sur la valeur de l'énergie : E = 0. Pour une commensurabilité n > 2, la famille de potentiels a comme solution pour E = 0, l'équation de l'orbite suivante : un = B + A cos ne, B > A. Remarquons que les cas n = 1 et n = 2 ne sont autres que les deux potentiels privilégiés, à savoir, le coulombien et l'harmonique. La restriction E = 0 n'est évidemment pas valable pour eux. Un autre ensemble de potentiels est donné par V (r) = kr-2n-2_k' r-n-2 et les orbites associées sont du type r" = B + A cos no, B > A. Les valeurs n = 1, 2 et 1/2 correspondent au limaçon, à une lemniscate et à un escargot à deux boucles. En tout cas, toutes les orbites sont déformables à partir d'un cercle particulier, celui compatible avec E = 0. L'existence de ce phénomène ne contredit point le théorème de Bertrand : en faisant une petite variation de l'énergie les orbites s'ouvrent, sauf pour le cas des orbites elliptiques. Nous pourrions dire que toutes ces courbes, l'ellipse exceptée, sont « fragiles ». Inversement, si nous partons d'une trajectoire elliptique arbitraire, les seuls potentiels centraux qui en résultent (4) sont k/r et kr2. L'ellipse ne peut avoir qu'un ou deux axes de symétrie. Il faut que la commensurabilité ne change pas quand on varie les conditions initiales, pour qu'il y ait dégénérescence. Dans ce sens-là, les deux dit potentiels sont uniques. Ils sont les deux seuls à admettre un groupe de symétrie occulte. (*) J. BERTRAND, Comptes rendus, 77, 1873, p. 110. H. V. MELLISH, Symmetry and Degeneracy dans Group Theory and Applications, II, (E.
toutes les orbites sont déformables à partir d'un cercle particulier, celui compatible avec E = 0. L'existence de ce phénomène ne contredit point le théorème de Bertrand : en faisant une petite variation de l'énergie les orbites s'ouvrent, sauf pour le cas des orbites elliptiques. Nous pourrions dire que toutes ces courbes, l'ellipse exceptée, sont « fragiles ». Inversement, si nous partons d'une trajectoire elliptique arbitraire, les seuls potentiels centraux qui en résultent (4) sont k/r et kr2. L'ellipse ne peut avoir qu'un ou deux axes de symétrie. Il faut que la commensurabilité ne change pas quand on varie les conditions initiales, pour qu'il y ait dégénérescence. Dans ce sens-là, les deux dit potentiels sont uniques. Ils sont les deux seuls à admettre un groupe de symétrie occulte. (*) J. BERTRAND, Comptes rendus, 77, 1873, p. 110. H. V. MELLISH, Symmetry and Degeneracy dans Group Theory and Applications, II, (E. M. Loebl, Ed., Academic Press, New York, 1971), p. 75. A. SOMMERFELD, Atomic Structure and Spectral Lines (E. P. Dutton and Company, Inc., Publ. New York, 1923), App. 4. M. G. DARBOUX, Comptes rendus, 84, 1877, p. 100. Instituto de Física, U. N. A. M., I. N. E. N. et L M. P., Mexico 20, Mexique. ÉLECTRONIQUE. Détermination des conditions d'adaptation pour un coupleur directionnel en technique microbande, tenant compte des vitesses de propagation différentes pour chaque mode. Note (*) de MM. Robert Daumas, Dominique Pompei, Édouard Rivier et Alain Ros, transmise par M. Léopold Escande. L'écriture matricielle des équations de propagation dans un système de n lignes microbandes permet la détermination des conditions d'adaptation, en tenant compte des différentes vitesses de propagation. L'introduction de la matrice des nombres d'ondes, des matrices impédance caractéristique et impédance ramenée permet d'étudier la variation de l'impédance de charge, à l'adaptation, en fonction de la fréquence, pour des coupleurs directionnels de géométrie quelconque. INTRODUCTION. La réalisation de coupleurs directionnels en technique microbande est passée dans le domaine de l'application industrielle. Cependant les problèmes, de grand intérêt par leurs applications, tels que la réalisation de coupleurs large bande, l'utilisation de structures dissymétriques, l'obtention de conditions