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les deux premières séries. Ainsi elle exige l'emploi de 12 poids pour peser tous les corps, depuis 1 gramme jusqu'à 1 kilogramme, tandis que les douze premiers termes de la première série : 1; 2, 2½, 3, 2¾, conduisent jusqu'à plus de 4 kilogrammes. Avec le même nombre de termes de la série 1, 3, 3½, 3¾, on peut peser jusqu'à près de 266 kilogrammes. Pour peser jusqu'à 10 kilogrammes, il faut, avec la série des poids du commerce, employer 16 poids, tandis qu'avec la première série il n'en faudrait que 14, et on irait alors au-delà de 16 kilogrammes. Avec la deuxième série, il suffirait de 10 poids qui conduiraient d'ailleurs au-delà de 29 kilogrammes. Enfin, 7 poids de cette dernière série suffiraient pour peser tous les corps depuis 1 gramme jusqu'à 1 kilogramme, et 14 poids conduiraient à 2,391 kilogrammes. Les avantages, si réels, que présentent les deux séries dont nous nous occupons, ne seraient pas cependant un motif suffisant pour faire substituer l'une ou l'autre à celle qui est adoptée dans le commerce. En effet, la série des poids usuels est formée d'une suite de groupes successifs, correspondant chacun à chacune des unités décimales des divers ordres, et les nombres d'unité de chaque ordre décimal, que chaque groupe peut fournir, ne peuvent s'élever que de là. Cette série offre donc un système entièrement calqué sur le système de numération décimale; d'où il suit que la traduction définitive d'un poids mesuré avec les termes de cette série se déduit immédiatement, sans calcul préalable, de l'inspection seule des poids employés. Il ne saurait en être ainsi avec l'une ou l'autre des deux premières séries, ce qui apporterait nécessairement des lenteurs, des embarras, dans la pratique des opérations. Quoi qu'il en soit, cette communication de M. Sornin n'en est pas moins très importante au point de vue de la théorie des nombres. La seconde communication du même auteur est un Mémoire sur les propriétés des polygones sphériques réguliers, et sur les analogies que ces propriétés peuvent avoir avec celles des polygones plans réguliers. Ce genre d'étude, en grand honneur aujourd'hui
et les nombres d'unité de chaque ordre décimal, que chaque groupe peut fournir, ne peuvent s'élever que de là. Cette série offre donc un système entièrement calqué sur le système de numération décimale; d'où il suit que la traduction définitive d'un poids mesuré avec les termes de cette série se déduit immédiatement, sans calcul préalable, de l'inspection seule des poids employés. Il ne saurait en être ainsi avec l'une ou l'autre des deux premières séries, ce qui apporterait nécessairement des lenteurs, des embarras, dans la pratique des opérations. Quoi qu'il en soit, cette communication de M. Sornin n'en est pas moins très importante au point de vue de la théorie des nombres. La seconde communication du même auteur est un Mémoire sur les propriétés des polygones sphériques réguliers, et sur les analogies que ces propriétés peuvent avoir avec celles des polygones plans réguliers. Ce genre d'étude, en grand honneur aujourd'hui chez les Allemands, a déjà été l'objet des recherches de plusieurs géomètres célèbres, au nombre desquels on compte Kepler, Legendre, Puissant, etc. Le Mémoire de M. Sornin renferme plus d'une proposition nouvelle, et vient se ranger honorablement parmi les divers travaux entrepris jusqu'à ce jour sur ce sujet, qu'il est loin toutefois d'avoir épuisé. Il n'embrasse encore que les polygones réguliers formés par des arcs de grands cercles, et il inspire le désir de voir l'auteur céder à l'invitation de ses collègues, en se livrant à l'étude des polygones sphériques construits au moyen des petits cercles de la sphère. Nous n'entreprendrons pas d'entrer ici dans des détails qui ne pourraient être que la reproduction d'un Mémoire, d'ailleurs assez court, et qui mérite d'être lu dans son entier. Nous nous bornerons à donner l'ensemble des résultats, en signalant surtout ceux qui présentent cette simplicité si pleine de charmes pour les esprits curieux des vérités géométriques. La définition des polygones réguliers sphériques est la même que celle des polygones plans réguliers. Ils sont, comme ces derniers, inscriptibles et circonscriptibles à un cercle. De là pour eux des propriétés qui sont identiquement les mêmes que celles des polygones réguliers plans. Les relations entre
loin toutefois d'avoir épuisé. Il n'embrasse encore que les polygones réguliers formés par des arcs de grands cercles, et il inspire le désir de voir l'auteur céder à l'invitation de ses collègues, en se livrant à l'étude des polygones sphériques construits au moyen des petits cercles de la sphère. Nous n'entreprendrons pas d'entrer ici dans des détails qui ne pourraient être que la reproduction d'un Mémoire, d'ailleurs assez court, et qui mérite d'être lu dans son entier. Nous nous bornerons à donner l'ensemble des résultats, en signalant surtout ceux qui présentent cette simplicité si pleine de charmes pour les esprits curieux des vérités géométriques. La définition des polygones réguliers sphériques est la même que celle des polygones plans réguliers. Ils sont, comme ces derniers, inscriptibles et circonscriptibles à un cercle. De là pour eux des propriétés qui sont identiquement les mêmes que celles des polygones réguliers plans. Les relations entre les côtés, ou les aires, et les rayons des cercles inscrits et circonscrits, présentent, sinon une complète identité, du moins une telle analogie avec celles qui ont été établies pour les polygones plans, qu'elles y conduisent nécessairement lorsque le rayon de la sphère croît indéfiniment. Du reste, le rappel du côté au rayon du cercle circonscrit est toujours plus petit, pour le polygone sphérique, que pour le polygone plan correspondant même nombre de côtés. (Il ne faut pas perdre de vue que, lorsqu'il est question de polygones sphériques, le rayon du cercle circonscrit, c'est la distance du pôle de ce cercle aux sommets du polygone, mesurée par un arc de grand cercle c'est ce qu'on peut appeler le rapport sphérique du polygone ! La distance du pôle de ce cercle aux côtés du polygone, comptée de la même manière.) L'angle d'un polygone sphérique régulier n'est pas déterminé, comme celui d'un polygone plan, par le nombre seul des côtés. Cet angle est toujours plus grand que l'angle du polygone plan correspondant, et tend à la limite vers l'infini il tend à mesure que le rayon de la sphère augmente. Pour déterminer un polygone sphérique régulier, il ne suffit donc pas d'exprimer
côté au rayon du cercle circonscrit est toujours plus petit, pour le polygone sphérique, que pour le polygone plan correspondant même nombre de côtés. (Il ne faut pas perdre de vue que, lorsqu'il est question de polygones sphériques, le rayon du cercle circonscrit, c'est la distance du pôle de ce cercle aux sommets du polygone, mesurée par un arc de grand cercle c'est ce qu'on peut appeler le rapport sphérique du polygone ! La distance du pôle de ce cercle aux côtés du polygone, comptée de la même manière.) L'angle d'un polygone sphérique régulier n'est pas déterminé, comme celui d'un polygone plan, par le nombre seul des côtés. Cet angle est toujours plus grand que l'angle du polygone plan correspondant, et tend à la limite vers l'infini il tend à mesure que le rayon de la sphère augmente. Pour déterminer un polygone sphérique régulier, il ne suffit donc pas d'exprimer le nombre de ses côtés, il faut y joindre une autre donnée comme par exemple le rapport du côté au rayon du cercle circonscrit. Ce rapport étant donné, on peut d'ailleurs se proposer de chercher les divers polygones réguliers qui satisfont à la condition qu'il fournit. Une question intéressante se présente alors à résoudre : existe-t-il un ou plusieurs polygones réguliers sphériques, dont le côté soit égal au rayon du cercle circonscrit, et qui correspondent sous ce rapport à l'hexagone plan régulier ? Ce problème est résolu avec une extrême simplicité par M. Sornin, qui trouve deux polygones réguliers sphériques jouissant de la propriété ci-dessus énoncée, savoir : 1° Parmi les polygones réguliers dont l'aire est plus petite que celle de la demi-sphère, le pentagone dont l'angle est égal à celui du dodecaèdre pyramidaire ; 2° Parmi les polygones réguliers dont l'aire est plus grande que celle de la demi-sphère, le triangle équilatéral dont l'angle est égal à celui de l'hexagone plan régulier. L'aire du premier de ces deux polygones réguliers sphériques est égale au quart de l'aire de la sphère, celle du second aux trois quarts de l'aire de la sphère; de sorte que la somme des aires de
présente alors à résoudre : existe-t-il un ou plusieurs polygones réguliers sphériques, dont le côté soit égal au rayon du cercle circonscrit, et qui correspondent sous ce rapport à l'hexagone plan régulier ? Ce problème est résolu avec une extrême simplicité par M. Sornin, qui trouve deux polygones réguliers sphériques jouissant de la propriété ci-dessus énoncée, savoir : 1° Parmi les polygones réguliers dont l'aire est plus petite que celle de la demi-sphère, le pentagone dont l'angle est égal à celui du dodecaèdre pyramidaire ; 2° Parmi les polygones réguliers dont l'aire est plus grande que celle de la demi-sphère, le triangle équilatéral dont l'angle est égal à celui de l'hexagone plan régulier. L'aire du premier de ces deux polygones réguliers sphériques est égale au quart de l'aire de la sphère, celle du second aux trois quarts de l'aire de la sphère; de sorte que la somme des aires de ces deux polygones est égale à l'aire de la sphère, et que chacun d'eux divise la surface de la sphère dans le rapport de 1 à 3. Ces résultats ne font-ils pas désirer vivement que M. Sornin poursuive des recherches si bien dirigées, et dont il sait tirer un aussi heureux parti ? Le Mémoire de M. Molins, dont nous allons rendre compte, ne saurait manquer d'inspirer à un haut degré les sentiments que nous venons d'exprimer. On sait que, pour un point quelconque du plan de deux forces concourantes, le moment de la résultante est égal à la différence ou à la somme des moments des deux forces, suivant que le point est pris dans l'angle même, ou en dehors de l'angle des deux forces. On sait aussi que le lieu géométrique des points pour lesquels les moments des forces sont égaux, est formé des deux lignes droites indéfinies, menées par le point de concours des forces, l'une suivant la direction de la résultante, l'autre suivant la direction de la résultante qu'on obtiendrait en prenant l'une des forces en sens contraire de celui où elle agit. M. Molins s'est demandé quels sont les points de l'espace où le carré
heureux parti ? Le Mémoire de M. Molins, dont nous allons rendre compte, ne saurait manquer d'inspirer à un haut degré les sentiments que nous venons d'exprimer. On sait que, pour un point quelconque du plan de deux forces concourantes, le moment de la résultante est égal à la différence ou à la somme des moments des deux forces, suivant que le point est pris dans l'angle même, ou en dehors de l'angle des deux forces. On sait aussi que le lieu géométrique des points pour lesquels les moments des forces sont égaux, est formé des deux lignes droites indéfinies, menées par le point de concours des forces, l'une suivant la direction de la résultante, l'autre suivant la direction de la résultante qu'on obtiendrait en prenant l'une des forces en sens contraire de celui où elle agit. M. Molins s'est demandé quels sont les points de l'espace où le carré du moment de la résultante est égal, soit à la somme, soit à la différence des carrés des moments de deux forces concurrentes; quels sont les points, non plus seulement du plan des forces, mais de l'espace, pour lesquels les moments des deux forces sont égaux ? Pour résoudre ces diverses questions, dont les solutions découlent d'ailleurs, comme nous allons le voir, l'une de l'autre, il lui a suffi de s'appuyer sur les principes les plus élémentaires de la composition de deux forces, sans employer d'autres relations que celle qui lie le moment de la résultante aux moments des composantes, et celle qui lie le carré de la résultante à la somme des carrés des composantes. Il est arrivé aux résultats suivants, aussi remarquables par leur simplicité que par leur élegance. Le lieu géométrique des points pour lesquels le carré du moment de la résultante est égal à la somme des carrés des moments des composantes, est la surface d'un cône du second ordre, construit sur l'angle aigu des deux droites indéfinies menées suivant les directions des forces, passant par conséquent par ces lignes, ayant pour sommet le point de concours des deux forces dont le plan forme un plan
diverses questions, dont les solutions découlent d'ailleurs, comme nous allons le voir, l'une de l'autre, il lui a suffi de s'appuyer sur les principes les plus élémentaires de la composition de deux forces, sans employer d'autres relations que celle qui lie le moment de la résultante aux moments des composantes, et celle qui lie le carré de la résultante à la somme des carrés des composantes. Il est arrivé aux résultats suivants, aussi remarquables par leur simplicité que par leur élegance. Le lieu géométrique des points pour lesquels le carré du moment de la résultante est égal à la somme des carrés des moments des composantes, est la surface d'un cône du second ordre, construit sur l'angle aigu des deux droites indéfinies menées suivant les directions des forces, passant par conséquent par ces lignes, ayant pour sommet le point de concours des deux forces dont le plan forme un plan diamétral principal, ayant enfin deux systèmes de sections circulaires dont les plans sont respectivement perpendiculaires aux deux forces. Ainsi, si dans l'angle aigu des deux droites indéfinies menées suivant les directions des forces, on mettez-peu à peu, en un même plan, les directions d'elles une série de croissantes et si l'on met à chacune de ces croissantes comme diamètre, on décrit une circonférence dans un plan perpendiculaire à celui des forces, la surface conique, engendrée par toutes ces circonférences, sera le lieu géométrique cherché. Ce lieu géométrique ne dépend nullement du rapport de l'intensité des forces, il ne dépend que de leur angle. Il sera identiquement le même pour tous les systèmes de forces qui feront entre elles un même angle, ou le supplément de cet angle. Seulement, si l'angle des deux forces est aigu, le cône comprendra la résultante dans son intérieur, tandis que la résultante sera en dehors du cône, si l'angle des deux forces est obtus. Si l'angle des forces est droit, le cône se transforme en un système de deux plans menés, chacun par chacune des deux forces, perpendiculairement à l'autre. De ce que la surface conique, qui constitue le lieu géométrique cherché, est la même
l'on met à chacune de ces croissantes comme diamètre, on décrit une circonférence dans un plan perpendiculaire à celui des forces, la surface conique, engendrée par toutes ces circonférences, sera le lieu géométrique cherché. Ce lieu géométrique ne dépend nullement du rapport de l'intensité des forces, il ne dépend que de leur angle. Il sera identiquement le même pour tous les systèmes de forces qui feront entre elles un même angle, ou le supplément de cet angle. Seulement, si l'angle des deux forces est aigu, le cône comprendra la résultante dans son intérieur, tandis que la résultante sera en dehors du cône, si l'angle des deux forces est obtus. Si l'angle des forces est droit, le cône se transforme en un système de deux plans menés, chacun par chacune des deux forces, perpendiculairement à l'autre. De ce que la surface conique, qui constitue le lieu géométrique cherché, est la même pour deux systèmes de forces dont les angles sont supplémentaires l'un de l'autre, on conclut facilement que cette surface conique est telle, que, par rapport à un quelconque de ses points, le moment de la résultante des deux forces pour laquelle elle a été construite et celui de la résultante qu'on obtiendrait en prenant l'une de ces forces en sens contraire, sont égaux entre eux. Or, deux forces concourantes quelconques peuvent toujours être regardées comme remplissant les conditions des deux résultantes dont nous venons de parler. Les directions suivant lesquelles agiraient les nouvelles forces, dont elles seraient ainsi les résultats, ne sont autres que les deux lignes droites indéfinies suivant lesquelles sont dirigées et la résultante même des deux forces données et celle que fournit le renversement de l'une d'entre elles. Le cône du deuxième degré, construit d'après les règles que nous avons énoncées, sera donc tel, que, pour chacun de ses points, les moments des deux forces données seront égaux entre eux. Cette condition se vérifie parfaitement pour les traces du cône sur le plan des deux forces, puisque ces traces sont précisément, comme on le savait déjà, le lieu géométrique des points du plan qui jouissent de la
qu'on obtiendrait en prenant l'une de ces forces en sens contraire, sont égaux entre eux. Or, deux forces concourantes quelconques peuvent toujours être regardées comme remplissant les conditions des deux résultantes dont nous venons de parler. Les directions suivant lesquelles agiraient les nouvelles forces, dont elles seraient ainsi les résultats, ne sont autres que les deux lignes droites indéfinies suivant lesquelles sont dirigées et la résultante même des deux forces données et celle que fournit le renversement de l'une d'entre elles. Le cône du deuxième degré, construit d'après les règles que nous avons énoncées, sera donc tel, que, pour chacun de ses points, les moments des deux forces données seront égaux entre eux. Cette condition se vérifie parfaitement pour les traces du cône sur le plan des deux forces, puisque ces traces sont précisément, comme on le savait déjà, le lieu géométrique des points du plan qui jouissent de la propriété dont il s'agit. La détermination du lieu géométrique des points pour lesquels le carré du moment de la résultante est égal, non plus à la somme, mais à la différence des carrés des moments des composantes, n'est plus qu'un corollaire du premier théorème. En effet, étant données deux forces, P et Q, et leur résultante R, de grandeur et de position, l'une quelconque de ces deux forces, Q, prise en sens contraire, peut être considérée comme la résultante de la résultante R, prise elle-même en sens contraire de celui dans lequel elle agit, et de l'autre force P conservée dans son véritable sens. Si donc nous construisons notre cône du second degré sur l'angle aigu formé par la direction de la force P et par la direction de la résultante, la surface de ce cône sera le lieu géométrique des points pour lesquels le carré du moment de Q sera égal à la somme des carrés des moments de R et de P, ou pour lesquels le carré du moment de la résultante R est égal à la différence des carrés des moments des deux forces Q et P. Le cône construit sur l'angle aigu de la direction de
P et Q, et leur résultante R, de grandeur et de position, l'une quelconque de ces deux forces, Q, prise en sens contraire, peut être considérée comme la résultante de la résultante R, prise elle-même en sens contraire de celui dans lequel elle agit, et de l'autre force P conservée dans son véritable sens. Si donc nous construisons notre cône du second degré sur l'angle aigu formé par la direction de la force P et par la direction de la résultante, la surface de ce cône sera le lieu géométrique des points pour lesquels le carré du moment de Q sera égal à la somme des carrés des moments de R et de P, ou pour lesquels le carré du moment de la résultante R est égal à la différence des carrés des moments des deux forces Q et P. Le cône construit sur l'angle aigu de la direction de la résultante R et de la force Q, satisfait à la condition de l'égalité du carré du moment de la résultante R et de la différence des carrés des moments des forces P et (). Ainsi, en résumé, si l'on construit sur chacun des trois angles aigus formés par les directions de deux forces concourantes et de leur résultante, un cône du second degré tel que nous l'avons défini, les surfaces des trois cônes fourniront, simultanément, tous les points de l'espace pour lesquels le carré du moment de la résultante est égal, soit à la somme, soit à la différence des carrés des moments des deux forces. Or, d'après une remarque ingénieuse de M. Molins, fondée sur ce que les moitiés des moments des deux forces et de leur résultante, par rapport à un point, représentent les surfaces de trois triangles ayant pour base commune la distance de ce point au point de concours des forces, ce théorème peut recevoir un nouvel énoncé d'une remarquable simplicité. Les surfaces de nos trois cônes constituent le lieu géométrique des points de l'espace tels, que les trois perpendiculaires, abaissées des extrémités des deux forces et de la résultante sur la ligne qui joint
directions de deux forces concourantes et de leur résultante, un cône du second degré tel que nous l'avons défini, les surfaces des trois cônes fourniront, simultanément, tous les points de l'espace pour lesquels le carré du moment de la résultante est égal, soit à la somme, soit à la différence des carrés des moments des deux forces. Or, d'après une remarque ingénieuse de M. Molins, fondée sur ce que les moitiés des moments des deux forces et de leur résultante, par rapport à un point, représentent les surfaces de trois triangles ayant pour base commune la distance de ce point au point de concours des forces, ce théorème peut recevoir un nouvel énoncé d'une remarquable simplicité. Les surfaces de nos trois cônes constituent le lieu géométrique des points de l'espace tels, que les trois perpendiculaires, abaissées des extrémités des deux forces et de la résultante sur la ligne qui joint l'un quelconque d'entre eux au point de concours des forces, peuvent former un triangle rectangle. Nous serions heureux que le compte rendu de ces travaux pût exciter l'émulation de la plupart des sociétés savantes de province, qui attachent en général trop peu d'importance à ces sortes de recherches. On aurait grand tort de regarder ces questions, ces théorèmes, comme de simples curiosités, comme des spéculations théoriques sans utilité réelle. Il n'est pas une seule vérité mathématique qui, en outre de ce qu'elle offre déjà, comme vérité, un caractère d'utilité générale, en agrandissant la somme de nos ressources intellectuelles, ne puisse devenir tôt ou tard le principe d'une application utile dont on n'aurait su prévoir, au premier abord, toutes les conséquences. Il y a là une mine féconde, inépuisable, à exploiter; une mine, dont les richesses semblent se multiplier, et naître pour ainsi dire les unes des autres, à mesure qu'on les découvre. Associons donc tous nos efforts pour grossir le plus possible le faisceau de ces connaissances, et les Sociétés savantes de province peuvent y contribuer largement en excitant, en encourageant des recherches du genre de celles que nous venons d'analyser. Ces trois communications sont loin, toutefois, d'être les seuls