jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
rapport à Jo et retranchant la première équation Lion (15) je trouve Comme rl2 a été calculé antérieurement, cette équation nous donnera Ç2. Avant d'aller plus loin montrons comment le même procédé permettra d'obtenir E, quand on connaîtra v)4 et Nous aurons — dG4 =fod4+godr.4+ 92 CI-ti 2, d'où Comme G.,, 4 et "'14 sont homogènes d'ordre 4 et rl2 homogène d'ordre 2 par rapport à e, on aura Si l'on différencie par rapport à f0 et qu'on élimine : ? il viendra ce qui donne et ainsi de suite. 7. ### CORRECTION ### Nous savons que S', doit contenir e en facteur; d'autre part rfX0 et dXo (ni par conséquent la différentielle totale dS) ne dépendent pas de de. Cela ne peut arriver que si S, est nul. Nous avons donc (g) xidXo-X1dxo=o. Pour mettre cette équation (9) sous la forme d'équations différentielles, je remarque que l'on a En remplaçant x, y, c, et C2 par leurs développements, et égalant les termes de même ordre, je trouve .8' avec des formules analogues pour les Yi. avec des formules analogues pour les Yi. Ces formules sont simplifiées, si nous supposons comme je l'ai dit plus haut fo = Ci, /»=/■4 = = OJ'introduire la notation suivante; je poserai Dx représente alors ce qui serait la dérivée de x par rapport au temps t, si l'on y remplaçait t et l par fort + E,, c rot + E2 (alliell de c, t + El' C2t+ E2)' Dans ces conditions, on a On trouve ainsi les équations suivantes : Les équations (10) sont deux équations différentielles linéaires qui définissent les deux fonctions inconnues xt et y, en fonctions de t (en supposant que T et l aient été remplacés par f, t + e,, go t + E2). Ces deux équations sont du premier ordre, de sorte que le système est du second ordre. Elles sont identiques aux équations (10) de mon article antérieur (Bull. Astr. 1900, p. 99). Toutefois, comme cette identité pourrait être dissimulée par la différence des notations, Avant de déterminer g2, voyons comment on pourra intégrer les
= = OJ'introduire la notation suivante; je poserai Dx représente alors ce qui serait la dérivée de x par rapport au temps t, si l'on y remplaçait t et l par fort + E,, c rot + E2 (alliell de c, t + El' C2t+ E2)' Dans ces conditions, on a On trouve ainsi les équations suivantes : Les équations (10) sont deux équations différentielles linéaires qui définissent les deux fonctions inconnues xt et y, en fonctions de t (en supposant que T et l aient été remplacés par f, t + e,, go t + E2). Ces deux équations sont du premier ordre, de sorte que le système est du second ordre. Elles sont identiques aux équations (10) de mon article antérieur (Bull. Astr. 1900, p. 99). Toutefois, comme cette identité pourrait être dissimulée par la différence des notations, Avant de déterminer g2, voyons comment on pourra intégrer les équations à second membre (12) et (13) et les équations de même forme par la méthode de la variation des constantes. Soient x et y nos deux fonctions inconnues et écrivons nos équations sous la forme ou l'on a posé X' = Dx - n'y, Y' = Dy + n'x. Les secondes membres P et Q sont regardés comme connus. Posons Nous connaissons la solution générale des équations sans second membre, x = jt1, y=yt1. Il est clair que les équations étant linéaires, la solution subsistante quelle que soit la constante t1, sera encore une solution. Soit il est aisé de voir que k est une constante. Posons alors Il s'agit de déterminer I et 2; or nos équations deviennent d'où L'application de ce procédé ne présente pas de difficulté, parce que A ne s'annule pas. 8. Par ce procédé, ou par tout autre, on verrait que si P et Q sont des fonctions périodiques de t et de /, la solution des équations (12) est de la forme yo et YI étant des fonctions périodiques de et /, CI et C2 des coefficients constants. Si de plus P est une fonction paire de T et 1, et Q une
Les secondes membres P et Q sont regardés comme connus. Posons Nous connaissons la solution générale des équations sans second membre, x = jt1, y=yt1. Il est clair que les équations étant linéaires, la solution subsistante quelle que soit la constante t1, sera encore une solution. Soit il est aisé de voir que k est une constante. Posons alors Il s'agit de déterminer I et 2; or nos équations deviennent d'où L'application de ce procédé ne présente pas de difficulté, parce que A ne s'annule pas. 8. Par ce procédé, ou par tout autre, on verrait que si P et Q sont des fonctions périodiques de t et de /, la solution des équations (12) est de la forme yo et YI étant des fonctions périodiques de et /, CI et C2 des coefficients constants. Si de plus P est une fonction paire de T et 1, et Q une fonction impaire, x devra être une fonction paire de t, et y une fonction impaire. Donc la constante G, devra être nulle. Si dans les premiers membres des équations (16) on substitue à la place de x et y, soit x, et rt, soit -l et -1, on trouve zéro; mais si l'on substitue mais si l'on substitue on trouve Cela posé, cherchons à déterminer g2 et pour cela écrivons les équations (14) sous la forme Comme la constante a été déterminée plus haut, P et Q sont des fonctions entièrement connues. Ces fonctions sont périodiques, la première paire et la seconde impaire. Si g2 était nul, ces équations nous donneraient 90 et 91 étant périodiques. Si au contraire g2 n'est pas nul, ces mêmes équations donnent Comme x, et y, doivent être périodiques, on devra prendre g2 = C2, ce qui détermine C2. 9. Le calcul des termes d'ordre supérieur se ferait de la même manière. En égalant les termes du quatrième ordre, nous aurons l'expression de dS" et par conséquent celle de dS', où S' = Sx1X' + S1y1. Dans cette expression on regardera et y1 comme des constantes, on obtiendra une équation analogue à l'équation (11) qui
mais si l'on substitue mais si l'on substitue on trouve Cela posé, cherchons à déterminer g2 et pour cela écrivons les équations (14) sous la forme Comme la constante a été déterminée plus haut, P et Q sont des fonctions entièrement connues. Ces fonctions sont périodiques, la première paire et la seconde impaire. Si g2 était nul, ces équations nous donneraient 90 et 91 étant périodiques. Si au contraire g2 n'est pas nul, ces mêmes équations donnent Comme x, et y, doivent être périodiques, on devra prendre g2 = C2, ce qui détermine C2. 9. Le calcul des termes d'ordre supérieur se ferait de la même manière. En égalant les termes du quatrième ordre, nous aurons l'expression de dS" et par conséquent celle de dS', où S' = Sx1X' + S1y1. Dans cette expression on regardera et y1 comme des constantes, on obtiendra une équation analogue à l'équation (11) qui déterminera S ; on choisira A3, de façon que S' soit périodique, c'est-à-dire de façon que le terme indépendant de 1 dans dS' disparaisse. Connaissant I et g2 on calculera I par le procédé du n° 6. On formera ensuite des équations analogues aux équations (12) qui détermineront X1, et y". On calculera ensuite S' à l'aide d'une équation analogue à (11), ou plutôt à (11 bis); le terme constant de dS' disparaîtra de lui-même. On formera ensuite des équations analogues à (13) dont l'intégration déterminera xi et y3; on choisira g3, par le procédé du n° 8 de telle façon que Xi et y3 soient périodiques. Et ainsi de suite. 10. J'attirerai l'attention sur une circonstance bien digne de remarque et qui semble d'abord tout à fait paradoxale. Mon but était d'intégrer les équations (2) et, dans tout le cours de cette analyse, je ne me suis pas servi une seule fois de ces équations. Il faut donc que je les aie introduites implicitement; mais où et comment l'ai-je fait? J'ai supposé d'abord que les équations étaient de forme canonique. Je me suis servi ensuite des conditions X = x - n'y, Y = y + n'x. Cela revenait
y". On calculera ensuite S' à l'aide d'une équation analogue à (11), ou plutôt à (11 bis); le terme constant de dS' disparaîtra de lui-même. On formera ensuite des équations analogues à (13) dont l'intégration déterminera xi et y3; on choisira g3, par le procédé du n° 8 de telle façon que Xi et y3 soient périodiques. Et ainsi de suite. 10. J'attirerai l'attention sur une circonstance bien digne de remarque et qui semble d'abord tout à fait paradoxale. Mon but était d'intégrer les équations (2) et, dans tout le cours de cette analyse, je ne me suis pas servi une seule fois de ces équations. Il faut donc que je les aie introduites implicitement; mais où et comment l'ai-je fait? J'ai supposé d'abord que les équations étaient de forme canonique. Je me suis servi ensuite des conditions X = x - n'y, Y = y + n'x. Cela revenait à supposer que la fonction F était de la forme suivante Comme e' est supposé nul, nous pouvons supposer L = 0 et F se réduit à T - VI; la fonction T(x, y) n'est autre chose que -VI. Mais il semble que nous n'avons fait aucune hypothèse sur la fonction cp (x, y). Bien entendu, ce n'est là qu'une apparence. Nous avons au début regardé x0 et y0 comme des fonctions connues de et de yo. Or il se trouve que si l'on se donne x0 et y0 en fonctions de T et de lo, cela suffit pour déterminer la fonction T(x, y). Si nous connaissons en effet x0 et y0 en fonctions de t et de lo, nous connaîtrons également et par conséquent D'après l'équation des forces vives, F = T + cp(x0, y0) devra se réduire à une constante qui ne pourra dépendre que de lo. Je puis donc écrire On voit ensuite que 'est une constante, dépendant seulement de lo, soit (lo)' Cette fonction cp(lo) peut être regardée comme connue puisque x0 et y0 le sont. Nous trouvons ensuite d'où v v ° =yMlo, ce qui détermine 9 (à une constante près qui ne joue aucun
fonction cp (x, y). Bien entendu, ce n'est là qu'une apparence. Nous avons au début regardé x0 et y0 comme des fonctions connues de et de yo. Or il se trouve que si l'on se donne x0 et y0 en fonctions de T et de lo, cela suffit pour déterminer la fonction T(x, y). Si nous connaissons en effet x0 et y0 en fonctions de t et de lo, nous connaîtrons également et par conséquent D'après l'équation des forces vives, F = T + cp(x0, y0) devra se réduire à une constante qui ne pourra dépendre que de lo. Je puis donc écrire On voit ensuite que 'est une constante, dépendant seulement de lo, soit (lo)' Cette fonction cp(lo) peut être regardée comme connue puisque x0 et y0 le sont. Nous trouvons ensuite d'où v v ° =yMlo, ce qui détermine 9 (à une constante près qui ne joue aucun rôle). Comme T et cp sont maintenant des fonctions connues, co sera une fonction connue de T et de lo; comme x0 et y0 sont aussi des fonctions connues de T et de lo, on peut regarder T comme une fonction connue de x0 et y0 et le paradoxe se trouve expliqué. 11. Supposons maintenant e = a = e' = 0 et cherchons à développer suivant les puissances de y. Comme e' est nul, nous pouvons encore supposer l = 0, F = T - VI, Soient T = E, Y = Y, X = X, y = Y, Z = Z, S = S, F = F, A1 = A1, A2 = A2, A3 = A3, G = G; C1 = C1, C2 = C2, ca = 1, nos développements procédant suivant les puissances des Y. Observons : i° Que x, y, X, Y, S, F, A1, A2, ne contiennent dans leurs développements que des termes d'ordre pair, tandis que Z ne contient que des termes d'ordre impair. 2° Que A2 = 0. 3° Que le développement de A:, commence par le terme 1. Nous poserons S = Si - X,-. La considération de àS0 ne nous apprend
trouve expliqué. 11. Supposons maintenant e = a = e' = 0 et cherchons à développer suivant les puissances de y. Comme e' est nul, nous pouvons encore supposer l = 0, F = T - VI, Soient T = E, Y = Y, X = X, y = Y, Z = Z, S = S, F = F, A1 = A1, A2 = A2, A3 = A3, G = G; C1 = C1, C2 = C2, ca = 1, nos développements procédant suivant les puissances des Y. Observons : i° Que x, y, X, Y, S, F, A1, A2, ne contiennent dans leurs développements que des termes d'ordre pair, tandis que Z ne contient que des termes d'ordre impair. 2° Que A2 = 0. 3° Que le développement de A:, commence par le terme 1. Nous poserons S = Si - X,-. La considération de àS0 ne nous apprend rien; nous trouvons ensuite (X2 dXo + -r0 t/2) -t-i CLL'I — ç-2 c/T 2 r/À = dS, DX« — X,rf.r0) -+r/Z, — t, dÇ, r/X = dS. Faisons varier d'abord y, les autres variables demeurant constantes; comme dXo = dxo = ch = d). = o, il vient Comme S' 1 est homogène d'ordre 2 et ZI (ordre 1 par rapport à y, on en conclut En tenant compte de cette relation et en égalant les deux valeurs de ainsi que celles de ?, on trouve (A Considérons ensuite le développement de F suivant les puissances de ; et de Z; le premier terme indépendant de =. et de Z, c'est FI); le second terme (d'ordre 2 en r et Z) sera de la forme II) étant une fonction de x et de y. On trouve alors D'autre part, cr étant nul, S ne doit pas dépendre de , donc riS rlX > * * • sont nuls. Donc (Il cil T-V, = G, et comme nous avons déjà F = T — VI, il vient F = G, F2 = G2. Si nous tenons compte des équations nous pouvons donc écrire Nous poserons, par une notation analogue à
S' 1 est homogène d'ordre 2 et ZI (ordre 1 par rapport à y, on en conclut En tenant compte de cette relation et en égalant les deux valeurs de ainsi que celles de ?, on trouve (A Considérons ensuite le développement de F suivant les puissances de ; et de Z; le premier terme indépendant de =. et de Z, c'est FI); le second terme (d'ordre 2 en r et Z) sera de la forme II) étant une fonction de x et de y. On trouve alors D'autre part, cr étant nul, S ne doit pas dépendre de , donc riS rlX > * * • sont nuls. Donc (Il cil T-V, = G, et comme nous avons déjà F = T — VI, il vient F = G, F2 = G2. Si nous tenons compte des équations nous pouvons donc écrire Nous poserons, par une notation analogue à celle des numéros précédents de telle façon que Dx est la dérivée de x par rapport à t, si l'on suppose que t, /, A et l' y ont été remplacés par J0t + E t0 2 1 Ao< -}sg, 11,1 E,, (au lieu de ci si, ). Comme ici e et e' sont supposés nuls, nos fonctions ne dépendent ni de /, ni de t, de sorte que nous avons simplement dx d.r D,r =fo 7k + ho -l' Nous aurons donc Nous aurons d'ailleurs évidemment Multiplions donc les deux équations (17) par lu et ho et ajoutons les entre elles et à l'équation (18), il viendra Mais l'équation (8) devient ici d'où, en égalant les termes d'ordre ':>,' et Comme Go, £ 2 et 7j2 sont homogènes d'ordre 2 par rapport à y, on en déduit — — foK v2, de sorte que le second membre de l'équation (20) est nul. Le premier membre se réduit si l'on tient compte des relations (19), de sorte que l'équation (20) ainsi réduite s'écrit (3,^.5,-+*5?) =0 ou (21) D2 z, z, = o. On retombe ainsi sur l'équation linéaire du second ordre bien connue, à laquelle satisfait la fonction z, et
e et e' sont supposés nuls, nos fonctions ne dépendent ni de /, ni de t, de sorte que nous avons simplement dx d.r D,r =fo 7k + ho -l' Nous aurons donc Nous aurons d'ailleurs évidemment Multiplions donc les deux équations (17) par lu et ho et ajoutons les entre elles et à l'équation (18), il viendra Mais l'équation (8) devient ici d'où, en égalant les termes d'ordre ':>,' et Comme Go, £ 2 et 7j2 sont homogènes d'ordre 2 par rapport à y, on en déduit — — foK v2, de sorte que le second membre de l'équation (20) est nul. Le premier membre se réduit si l'on tient compte des relations (19), de sorte que l'équation (20) ainsi réduite s'écrit (3,^.5,-+*5?) =0 ou (21) D2 z, z, = o. On retombe ainsi sur l'équation linéaire du second ordre bien connue, à laquelle satisfait la fonction z, et que l'on peut obtenir par des procédés beaucoup plus simples. 12. Les fonctions c, et Z, étant ainsi connues, on calculera 2 par la seconde équation (17). On calculera £ 2 par un procédé tout à fait pareil à celui du n° 6, qui conduira à l'équation Nous trouvons ensuite La première de ces équations n'est autre chose que la première des équations (17) et la seconde s'obtiendrait de la même manière. Les seconds membres des équations (22) sont entièrement connus. On a d'ailleurs X2 = DX2 n'y2, Y2 = D^2-tn' Les équations (22) sont donc de même forme que les équations (12) et elles s'intégreraient de la même manière. 13. Nous trouvons ensuite ^^0 — -^4 0 ) ~2 oc2 6?X.2 *~H 23$Li H— z 1 dZ*à% — ;" el," It d), = dS, d'où Comme Z,, X2, Z3 et S' sont homogènes en v d'ordre 1, 2, 3 et 4, j'en déduis .1 (23) 4S=Z3Z1+3zlZ3+2X2X2. Nous pourrions former l'équation différentielle à laquelle z, satisfait par le procédé du n° 11. Mais il est plus simple de la former directement, ainsi que je l'ai déjà fait remarquer; elle est de la forme où P est une fonction connue, périodique
La première de ces équations n'est autre chose que la première des équations (17) et la seconde s'obtiendrait de la même manière. Les seconds membres des équations (22) sont entièrement connus. On a d'ailleurs X2 = DX2 n'y2, Y2 = D^2-tn' Les équations (22) sont donc de même forme que les équations (12) et elles s'intégreraient de la même manière. 13. Nous trouvons ensuite ^^0 — -^4 0 ) ~2 oc2 6?X.2 *~H 23$Li H— z 1 dZ*à% — ;" el," It d), = dS, d'où Comme Z,, X2, Z3 et S' sont homogènes en v d'ordre 1, 2, 3 et 4, j'en déduis .1 (23) 4S=Z3Z1+3zlZ3+2X2X2. Nous pourrions former l'équation différentielle à laquelle z, satisfait par le procédé du n° 11. Mais il est plus simple de la former directement, ainsi que je l'ai déjà fait remarquer; elle est de la forme où P est une fonction connue, périodique et impaire de t et de X. On en déduira z3, après avoir choisi la constante h2 de telle sorte que la valeur de s3 soit périodique. Nous pouvons donc regarder désormais z3 et Z3 comme connus; il en sera de même de S en vertu de la relation (23). 2° De Ç, en vertu de la relation 3° De ç, par le procédé du n° 6. Nous pouvons alors poser P et Q étant des fonctions connues. Si nous posons X'= Drt — n Y' = Dy..+ n'x.., nous aurons et nous trouvons les équations dont les seconds membres sont connus et qui s'intègrent comme les équations (12) et (aa ) En résumé, je m'en tiens aux procédés usuels en ce qui concerne la latitude, tandis que pour les termes de la longitude qui dépendent de l'inclinaison, j'ai recours à un procédé analogue à celui des 11"' -1 à 9. 14. Supposons maintenant e = e' = y = 0 et développons suivant les puissances de x. Nous emploierons toujours nos mêmes notations pour nos développements, bien qu'ils procèdent suivant les puissances d'une autre variable; nous définirons S de la même manière; enfin nous pourrons toujours supposer L=o, F
2° De Ç, en vertu de la relation 3° De ç, par le procédé du n° 6. Nous pouvons alors poser P et Q étant des fonctions connues. Si nous posons X'= Drt — n Y' = Dy..+ n'x.., nous aurons et nous trouvons les équations dont les seconds membres sont connus et qui s'intègrent comme les équations (12) et (aa ) En résumé, je m'en tiens aux procédés usuels en ce qui concerne la latitude, tandis que pour les termes de la longitude qui dépendent de l'inclinaison, j'ai recours à un procédé analogue à celui des 11"' -1 à 9. 14. Supposons maintenant e = e' = y = 0 et développons suivant les puissances de x. Nous emploierons toujours nos mêmes notations pour nos développements, bien qu'ils procèdent suivant les puissances d'une autre variable; nous définirons S de la même manière; enfin nous pourrons toujours supposer L=o, F = T — Yj. Nous aurons z = Z = 0, parce que y est nul. Supposons que l'on ait calculé x1, x2, x3, ..., xn, ce qu'on se propose de calculer xi en regardant que nos xi ne dépendent que d'un seul argument, à savoir de t. On a donc .r dXi DI DI X/ = f0~ — n'yx = xi-nyj, Y< = »'*'■ Nous pourrons écrire, en considérant les termes d'ordre 1, N-(xi(IXOXidxc,) -jEit dv — ç¡d," = cIS', les il et les v étant des fonctions antérieurement calculées. On en déduit Nous remarquerons ensuite que, fêtant nul, on doit avoir F = T —V, = G et, par conséquent, Fi= Gi; or on trouve P dépendant des fonctions antérieurement calculées. Si l'on observe que on conclura Le premier membre est connu, c'est une série trigonométrique en t; comme i est tldevra pas contenir de terme constant. Nous prendrons donc Gi+fo;i égal au terme constant du premier membre. De cette façon est déterminé en fonction de 0 et -1 en fonction de f, et t. Donc S' est déterminé à une constante près qui ne dépend que de 0. L'équation (8) me donne ensuite ce qui peut s'écrire
donc .r dXi DI DI X/ = f0~ — n'yx = xi-nyj, Y< = »'*'■ Nous pourrons écrire, en considérant les termes d'ordre 1, N-(xi(IXOXidxc,) -jEit dv — ç¡d," = cIS', les il et les v étant des fonctions antérieurement calculées. On en déduit Nous remarquerons ensuite que, fêtant nul, on doit avoir F = T —V, = G et, par conséquent, Fi= Gi; or on trouve P dépendant des fonctions antérieurement calculées. Si l'on observe que on conclura Le premier membre est connu, c'est une série trigonométrique en t; comme i est tldevra pas contenir de terme constant. Nous prendrons donc Gi+fo;i égal au terme constant du premier membre. De cette façon est déterminé en fonction de 0 et -1 en fonction de f, et t. Donc S' est déterminé à une constante près qui ne dépend que de 0. L'équation (8) me donne ensuite ce qui peut s'écrire comme Gest déterminé, cette équation détermine ç/ et par conséquent G/. J'ai dit plus haut que S' était déterminé à une constante près, mais comme S doit être une fonction impaire de 7, on voit de suite que cette constante doit être nulle. Alors S, ç, et v étant connues, les équations (20) sont de même forme que les équations (12) et (22) et s'intègrent de la même manière. Nous allons enfin supposer e = a = y = 0 et développer suivant les puissances de e'; nous n'avons plus alors L = 0, F = TV, mais nous aurons toujours z = Z = 0. Nous supposerons que l'on connaisse déjà x0, y0, xt, yt, jusqu'à Xi, yi_K et que l'on se propose de calculer Xi et Yi, à l'aide de la relation où II représente l'ensemble des termes d'ordre i de l'expansion et I2 représente l'ensemble des termes d'ordre i + 1. Nous retrouverons d'abord les équations (a5) avec cette différence que l'indice i s'applique aux termes d'ordre i par rapport à e' et non plus aux termes d'ordre i par rapport à Y. Il vient ensuite Or P ne dépendant que des fonctions déjà calculées. Si nous
les équations (20) sont de même forme que les équations (12) et (22) et s'intègrent de la même manière. Nous allons enfin supposer e = a = y = 0 et développer suivant les puissances de e'; nous n'avons plus alors L = 0, F = TV, mais nous aurons toujours z = Z = 0. Nous supposerons que l'on connaisse déjà x0, y0, xt, yt, jusqu'à Xi, yi_K et que l'on se propose de calculer Xi et Yi, à l'aide de la relation où II représente l'ensemble des termes d'ordre i de l'expansion et I2 représente l'ensemble des termes d'ordre i + 1. Nous retrouverons d'abord les équations (a5) avec cette différence que l'indice i s'applique aux termes d'ordre i par rapport à e' et non plus aux termes d'ordre i par rapport à Y. Il vient ensuite Or P ne dépendant que des fonctions déjà calculées. Si nous multiplions la première équation par 10 et (29) par Il', puis que nous ajoutions en tenant compte de la relation (26), nous aurons Le premier membre est connu et cette équation se traitera comme l'équation (27). Nous égalerons G/ + /0 £ , au terme constant du premier membre ; alors sera déterminé; donc S; sera déterminé à une constante près; comme S; doit être une fonction impaire, cette constante doit être nulle et S peut être regardé comme entièrement connu. On déterminera ensuite i par l'équation (29) qui reste vraie et l'on n'aura plus qu'à intégrer les équations (25), toujours par le même procédé. Chaque terme de nos développements contient, en facteur, un monôme de la forme fJ— a/fi e'^4. C'est ce monôme u. que M. Brown appelle la caractéristique du terme. Jusqu'ici nous ne nous sommes occupés que des termes dont la caractéristique est une puissance d'une seule des quantités a, e, Y, e'; mais il est aisé de concevoir que la combinaison de ces divers procédés permette de traiter le cas général. Nous désignerons dans la suite par '&lt; J~~t X[j.; Y~, Sj,, Sja, IJJL, 7)p,, !.) Gjj,, l'ensemble des termes des développements de dont la caractéristique