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COULEURS Catalogue GÉNÉRAL N* 81, FRANÇAIS SUR DEMANDE DRESSÉE A LA SOCIÉTÉ DES ÉTABLISSEMENTS GÉOMÉTRIE Etablisements Géométrique Anonyme au Capital de 4.000.000 de francs. 57-59, rue St-Roch (Avenue de l'Opéra). PARIS Louis-Marius LAURENT, professeur de physique au lycée de Mâcon, mobilisé au 10e d'Infanterie en qualité de sous-lieutenant a été tué à l'ennemi le 28 mai 1917. PAUGET (Frédéric), aide de laboratoire au lycée d'Avignon. = Citation. Lecoin, professeur au lycée de Chartres, maréchal des logis au 1er régiment d'artillerie « Adjoint à la section de repérage par le son qui, grâce à son zèle, à son dévouement et son ardeur au travail, a permis d'obtenir de la section son maximum de rendement. A occupé pendant un an un poste journellement bombardé. » (Ordre de la brigade.) Promotion. LECOIN, professeur au lycée de Chartres, promu adjudant d'artillerie. Des conditions de stigmatisme approché d'un point lumineux placé sur l'axe d'une lentille. Dans une précédente étude (Bulletin de l'Union des Physiciens, décembre 1917), nous avons déterminé à quelles conditions un point placé sur l'axe d'une lentille pouvait être rigoureusement stigmatique. Dans la pratique un stigmatisme rigoureux n'est pas toujours nécessaire à la parfaite netteté des images et on se contente très souvent d'un stigmatisme approché. Considérons un point lumineux placé sur l'axe d'une lentille ou d'un système centré. Soit u l'angle maximum que font avec l'axe les rayons issus de ce point. Le rayon marginal extrême coupera l'axe en un point dont l'abcisse a' sera en général une fonction de u. On pourra donc écrire a' = a'o + Au2 + Bu4 + Dans ce qui va suivre nous nous bornerons aux deux premiers termes du développement, approximation en général suffisante a'o est l'abcisse de l'image relative aux rayons centraux, Au2 sera l'aberration de sphéricité limitée aux termes du second ordre. Nous allons tout d'abord nous proposer de calculer A. Ce calcul n'est pas nouveau; on peut l'effectuer d'une façon relativement simple au moyen de l'invariant d'Abbe. Nous le reprendrons cependant par une nouvelle méthode, qui nous permettra de préciser la signification physique des termes qui entrent dans l'expression à laquelle nous
d'un stigmatisme approché. Considérons un point lumineux placé sur l'axe d'une lentille ou d'un système centré. Soit u l'angle maximum que font avec l'axe les rayons issus de ce point. Le rayon marginal extrême coupera l'axe en un point dont l'abcisse a' sera en général une fonction de u. On pourra donc écrire a' = a'o + Au2 + Bu4 + Dans ce qui va suivre nous nous bornerons aux deux premiers termes du développement, approximation en général suffisante a'o est l'abcisse de l'image relative aux rayons centraux, Au2 sera l'aberration de sphéricité limitée aux termes du second ordre. Nous allons tout d'abord nous proposer de calculer A. Ce calcul n'est pas nouveau; on peut l'effectuer d'une façon relativement simple au moyen de l'invariant d'Abbe. Nous le reprendrons cependant par une nouvelle méthode, qui nous permettra de préciser la signification physique des termes qui entrent dans l'expression à laquelle nous allons aboutir. Les données du problème sont les suivantes: les rayons lumineux issus d'un point P placé sur l'axe d'un système centré, après avoir traversé un certain nombre de surfaces réfringentes viennent rencontrer l'axe entre le point Qo foyer des rayons centraux et le point Qi foyer des rayons marginaux extrêmes. Nous connaissons l'abcisse CQo – x0 comptée à partir du centre C de la dernière surface réfringente, nous connaissons aussi l'abcisse CQi = x = x0 + c, ainsi que l'angle u que font avec l'axe les rayons qui passent par Qi. Nous ajoutons maintenant au système une nouvelle surface réfringente S, dont le centre O est sur l'axe du système précédent. Nous nous donnons le rayon OS = R de cette surface, la distance OC = d et l'indice m du milieu extrême par rapport à celui qui le précède. Nous cherchons les abcisses x' et x' des points où les rayons centraux et les rayons marginaux extrêmes viendront couper l'axe après cette nouvelle réfraction. Nous prendrons comme nouvelle origine le point O et nous poserons pour simplifier zo = 001= x. + d z = OqT = x + d = xo + d = z° -d
extrêmes. Nous connaissons l'abcisse CQo – x0 comptée à partir du centre C de la dernière surface réfringente, nous connaissons aussi l'abcisse CQi = x = x0 + c, ainsi que l'angle u que font avec l'axe les rayons qui passent par Qi. Nous ajoutons maintenant au système une nouvelle surface réfringente S, dont le centre O est sur l'axe du système précédent. Nous nous donnons le rayon OS = R de cette surface, la distance OC = d et l'indice m du milieu extrême par rapport à celui qui le précède. Nous cherchons les abcisses x' et x' des points où les rayons centraux et les rayons marginaux extrêmes viendront couper l'axe après cette nouvelle réfraction. Nous prendrons comme nouvelle origine le point O et nous poserons pour simplifier zo = 001= x. + d z = OqT = x + d = xo + d = z° -d + BULLETIN DE l'UNION DES PHYSICIENS ̃ Dans ces conditions, l'abcisse x' est donnée en fonction de z par la formule précédemment établie et cette formule est entièrement générale lorsque R et Z représentent les valeurs algébriques du rayon et de l'abcisse du point Qt. En négligeant toutes les puissances de u supérieures à la seconde et toutes les puissances de s supérieures à la première, l'expression précédente devient Mais le terme m ( – V n'est pas autre chose que le grossissement axial pour les rayons centraux qui partent de Qo traversent le dioptre S. Représentons par la lettre g la valeur de ce grossissement. Posons d'autre part 1 7. est une grandeur indépendante du choix de l'origine des abcisses que nous pourrons appeler le coefficient d'aberration, relativement à l'angle u. Il viendra alors L'aberration s est donc la somme algébrique de deux termes le premier gz est l'image donnée par les rayons centraux à travers le dioptre S de la droite d'aberration <QoQi = z; le second est l'aberration que fournirait le dioptre S, s'il était éclairé par un faisceau de rayons partis du point Q° et faisant avec l'axe le même angle maximum u que font en
de u supérieures à la seconde et toutes les puissances de s supérieures à la première, l'expression précédente devient Mais le terme m ( – V n'est pas autre chose que le grossissement axial pour les rayons centraux qui partent de Qo traversent le dioptre S. Représentons par la lettre g la valeur de ce grossissement. Posons d'autre part 1 7. est une grandeur indépendante du choix de l'origine des abcisses que nous pourrons appeler le coefficient d'aberration, relativement à l'angle u. Il viendra alors L'aberration s est donc la somme algébrique de deux termes le premier gz est l'image donnée par les rayons centraux à travers le dioptre S de la droite d'aberration <QoQi = z; le second est l'aberration que fournirait le dioptre S, s'il était éclairé par un faisceau de rayons partis du point Q° et faisant avec l'axe le même angle maximum u que font en réalité les rayons issus du point Qt. On peut se servir de la relation (l) pour calculer l'aberration relative à un point P placé sur l'axe d'un système centré quelconque. Nous supposerons que ce système comprend q surfaces sphériques réfringentes les milieux transparents limités par ces surfaces ont respectivement pour indices de réfraction n0, n, n, les rayons des surfaces sphériques sont Ri, R2, Rq Considérons la surface réfringente de rang k elle sépare deux milieux d'indices nk -1 et nk. Si eu est l'aberration relative au k-1 premières surfaces, on aura d'après (1) Nous appelons u0, ut les angles maxima des rayons lumineux avec l'axe; gk, est le grossissement pour le dioptre de rang k et -k, le coefficient d'aberration pour ce même dioptre. Remarquons que d'après la formule de Lagrange-Helmholtz, on a n0 Ou. = nu Ik-i Uk-i 0 étant la grandeur de l'objet, Ik-i la grandeur de son image dans les k-1 premiers dioptres. Donc Dans la première relation nous avons écrit Go par raison de symétrie il est bien évident qu'on devra prendre Go égal à l'unité. Eliminons entre ces q équations i,, ^2 – sq. Il suffira de multiplier chacune de ces équations par un
indices de réfraction n0, n, n, les rayons des surfaces sphériques sont Ri, R2, Rq Considérons la surface réfringente de rang k elle sépare deux milieux d'indices nk -1 et nk. Si eu est l'aberration relative au k-1 premières surfaces, on aura d'après (1) Nous appelons u0, ut les angles maxima des rayons lumineux avec l'axe; gk, est le grossissement pour le dioptre de rang k et -k, le coefficient d'aberration pour ce même dioptre. Remarquons que d'après la formule de Lagrange-Helmholtz, on a n0 Ou. = nu Ik-i Uk-i 0 étant la grandeur de l'objet, Ik-i la grandeur de son image dans les k-1 premiers dioptres. Donc Dans la première relation nous avons écrit Go par raison de symétrie il est bien évident qu'on devra prendre Go égal à l'unité. Eliminons entre ces q équations i,, ^2 – sq. Il suffira de multiplier chacune de ces équations par un facteur convenable et d'ajouter ensuite membre à membre de façon à faire disparaître les termes en t. L'équation de rang k devra être multipliée par le facteur: gqgq-i. gk-i. Or et elle est comme on le voit indépendante de l'origine des abcisses. Stigmatisme approché d'un point placé sur l'axe d'une lentille dont les deux faces plongent dans un même milieu. Appliquons l'une des formules (1) ou (3) à la recherche des points stigmatiques disposés sur l'axe d'une lentille dont les deux faces plongent dans un même milieu. Nous emploierons les notations suivantes: n sera l'indice de la lentille par rapport au milieu extérieur; S et S' seront les points de rencontre avec l'axe des faces d'entrée et de sortie de la lumière; O et O' seront les centres de ces deux faces; O'S = R, O'S' = R' seront les valeurs algébriques de leurs rayons; e = S'S sera l'épaisseur de la lentille; d = O'O sera la valeur algébrique de la distance des centres; x sera l'abcisse comptée à partir du point O de l'image du point lumineux à travers le dioptre S; enfin nous poserons x'=x+d. Avec ces notations l'équation qui exprime la condition pour que l'aberration soit
lentille dont les deux faces plongent dans un même milieu. Appliquons l'une des formules (1) ou (3) à la recherche des points stigmatiques disposés sur l'axe d'une lentille dont les deux faces plongent dans un même milieu. Nous emploierons les notations suivantes: n sera l'indice de la lentille par rapport au milieu extérieur; S et S' seront les points de rencontre avec l'axe des faces d'entrée et de sortie de la lumière; O et O' seront les centres de ces deux faces; O'S = R, O'S' = R' seront les valeurs algébriques de leurs rayons; e = S'S sera l'épaisseur de la lentille; d = O'O sera la valeur algébrique de la distance des centres; x sera l'abcisse comptée à partir du point O de l'image du point lumineux à travers le dioptre S; enfin nous poserons x'=x+d. Avec ces notations l'équation qui exprime la condition pour que l'aberration soit nulle est x*(x – R)(nx + R) x'2(x'– R') (nx' + R) R3 R" W C'est une équation du 4° degré il y a donc en général quatre points de l'axe d'une lentille pour lesquels l'aberration s'annule. Ces points sont appelés points de Lister. Proposons-nous de les rechercher. L'équation définit une courbe C représentée dans la figure. Elle couvre l'axe des x aux points A et B d'abcisses R et –R, en ces points les coefficients angulaires des tangentes sont respectivement n -1 et n -1. La courbe est tangente à l'axe des x à l'origine O des abcisses elle présente deux minima d'inégale importance et deux branches paraboliques. L'équation définit une courbe G' entièrement analogue à la précédente; mais si on prend pour la construire le même axe des x que plus haut, l'origine des coordonnées est reportée à un point O' tel que O'S'=R'. Les points d'intersection de C et C' nous donneront les points de Lister. Nous avons dessiné sur une même figure les courbes C et C', nous avons supposé pour la première le rayon R positif, pour la seconde le rayon R' négatif. Lentilles épaisses quelconques. - Appliquons cette méthode générale à la recherche des
une courbe C représentée dans la figure. Elle couvre l'axe des x aux points A et B d'abcisses R et –R, en ces points les coefficients angulaires des tangentes sont respectivement n -1 et n -1. La courbe est tangente à l'axe des x à l'origine O des abcisses elle présente deux minima d'inégale importance et deux branches paraboliques. L'équation définit une courbe G' entièrement analogue à la précédente; mais si on prend pour la construire le même axe des x que plus haut, l'origine des coordonnées est reportée à un point O' tel que O'S'=R'. Les points d'intersection de C et C' nous donneront les points de Lister. Nous avons dessiné sur une même figure les courbes C et C', nous avons supposé pour la première le rayon R positif, pour la seconde le rayon R' négatif. Lentilles épaisses quelconques. - Appliquons cette méthode générale à la recherche des points de Lister dans une lentille d'épaisseur finie. 1° Lentilles biconcaves. On a ici R' < R. Les deux courbes C et C' ne peuvent jamais se rencontrer aucun point de Lister. 2° Lentilles biconvexes. On a R' > R. Il y aura toujours deux points de Lister si la condition > est satisfaite il n'y en aura aucun dans le cas contraire. 3° Ménisques. Dans ce cas la discussion est beaucoup plus compliquée. Suivant les valeurs de R, R' et d, il pourra y avoir: zéro, deux ou quatre points de Lister. Nous n'entrerons pas dans le détail de la discussion purement algébrique. Pour chaque cas particulier la construction à l'échelle des courbes C et C' permettra de déterminer le nombre des points de Lister. Examinons maintenant quelques cas particuliers importants. Lentilles planaires sphériques tournant leur face plane vers la lumière incidente. Posons et parallèle à la tangente en A' à la courbe C' On voit alors que 1° Si la lentille est plan concave, il n'y a jamais de points de Lister. 2° Si la lentille est plan convexe, il y a toujours deux points de Lister. L'un de ces points correspond toujours à une valeur négative de
condition > est satisfaite il n'y en aura aucun dans le cas contraire. 3° Ménisques. Dans ce cas la discussion est beaucoup plus compliquée. Suivant les valeurs de R, R' et d, il pourra y avoir: zéro, deux ou quatre points de Lister. Nous n'entrerons pas dans le détail de la discussion purement algébrique. Pour chaque cas particulier la construction à l'échelle des courbes C et C' permettra de déterminer le nombre des points de Lister. Examinons maintenant quelques cas particuliers importants. Lentilles planaires sphériques tournant leur face plane vers la lumière incidente. Posons et parallèle à la tangente en A' à la courbe C' On voit alors que 1° Si la lentille est plan concave, il n'y a jamais de points de Lister. 2° Si la lentille est plan convexe, il y a toujours deux points de Lister. L'un de ces points correspond toujours à une valeur négative de q, il est donc virtuel; le second ne peut être réel que si l'épaisseur de la lentille est inférieure à C'est maintenant la courbe G' qui se réduit à une droite de coefficient angulaire n -1. Un discours identique à la précédente montre que 1° Si la lentille est plan concave, elle n'admet jamais de points de Lister. 2° Si elle est plan convexe il y a toujours deux points de Lister dont l'un au moins est toujours réel et pour les épaisseurs usuelles est placé entre la lentille et le foyer objet. Lentilles dont les deux faces ont le même centre. Dans ce cas on a Deux points de Lister sont confondus avec le centre commun aux deux faces ce sont des points rigoureusement aplanis. Les deux autres points de Lister sont donnés par l'équation qui a toujours ses racines réelles; Lentilles infiniment minces. – Il est commode dans ce cas de prendre comme seule origine le point de rencontre S de la lentille avec l'axe. Posons Le centre optique d'une lentille infiniment mince est donc toujours un point de Lister. Il y en aura deux autres si les racines de l'équation sont réelles. Ceci se produira si l'on
concave, elle n'admet jamais de points de Lister. 2° Si elle est plan convexe il y a toujours deux points de Lister dont l'un au moins est toujours réel et pour les épaisseurs usuelles est placé entre la lentille et le foyer objet. Lentilles dont les deux faces ont le même centre. Dans ce cas on a Deux points de Lister sont confondus avec le centre commun aux deux faces ce sont des points rigoureusement aplanis. Les deux autres points de Lister sont donnés par l'équation qui a toujours ses racines réelles; Lentilles infiniment minces. – Il est commode dans ce cas de prendre comme seule origine le point de rencontre S de la lentille avec l'axe. Posons Le centre optique d'une lentille infiniment mince est donc toujours un point de Lister. Il y en aura deux autres si les racines de l'équation sont réelles. Ceci se produira si l'on a Cette inégalité montre que seule certains ménisques peuvent avoir en dehors du centre optique deux points de Lister. Lorsque la lentille tourne sa concavité vers la lumière incidente les points de Lister sont réels et placés entre la lentille et le foyer antérieur dans le cas contraire ces points sont virtuels et placés entre la lentille et le foyer postérieur. Stigmatisme pour l'infini. Lorsqu'un point de Lister est rejeté à l'infini, la valeur de x dans l'équation devient x– R. Reciproquement si nous écrivons que l'équation est vérifiée, lorsqu'on remplace par nous obtiendrons la condition de stigmatisme pour l'infini. Posons pour simplifier Deux cas sont à distinguer 1° R < 0 La lentille tourne sa concavité vers la lumière incidente. Dans ce cas les équations et n'ont qu'une racine réelle, toujours négative. La lentille stigmatique pour l'infini est donc toujours un ménisque divergent. 2° R > 0 Il ne peut y avoir trois racines réelles que si l'on a Plaçons-nous donc dans le cas où l'épaisseur est inférieure à cette valeur. Les équations et n'ont qu'une racine réelle. L'épaisseur partant de zéro et augmentant constamment, R' part de R et décroît, f part de 0 et croît. La lentille
sont virtuels et placés entre la lentille et le foyer postérieur. Stigmatisme pour l'infini. Lorsqu'un point de Lister est rejeté à l'infini, la valeur de x dans l'équation devient x– R. Reciproquement si nous écrivons que l'équation est vérifiée, lorsqu'on remplace par nous obtiendrons la condition de stigmatisme pour l'infini. Posons pour simplifier Deux cas sont à distinguer 1° R < 0 La lentille tourne sa concavité vers la lumière incidente. Dans ce cas les équations et n'ont qu'une racine réelle, toujours négative. La lentille stigmatique pour l'infini est donc toujours un ménisque divergent. 2° R > 0 Il ne peut y avoir trois racines réelles que si l'on a Plaçons-nous donc dans le cas où l'épaisseur est inférieure à cette valeur. Les équations et n'ont qu'une racine réelle. L'épaisseur partant de zéro et augmentant constamment, R' part de R et décroît, f part de 0 et croît. La lentille est un ménisque divergent tant que l'on a Pour e=0 R' = 0, f = 0. L'épaisseur continuant à augmenter R' augmente tout en restant positif, f également la lentille est maintenant un ménisque convergent. Pour R' devient infini la lentille est plan convexe. Enfin l'épaisseur augmentant toujours la lentille devient biconvexe. Remarquons que pour e = 0 les équations et n' ont quatre racines La lentille infiniment mince stigmatique pour l'infini est donc une lentille évanouissante. Mais il n'existe pas de lentilles dont l'épaisseur soit rigoureusement nulle. Les lentilles mêmes usuelles peuvent donc être stigmatiques pour l'infini. Ce seront des ménisques divergents dont la distance focale sera d'autant plus grande que l'épaisseur sera plus faible. G. Chibrac. Au sujet de la nature des rayons X La nature du rayonnement étudié pour la première fois par Roentgen a été longtemps indéterminée et c'est à cette incertitude qu'il doit, encore aujourd'hui, le nom énigmatique de rayons X, bien que des études récentes nous aient renseignés à ce sujet aussi complètement que possible. Néanmoins, une difficulté subsiste dans l'enseignement élémentaire de cette question, difficulté sur laquelle je désire attirer l'attention de nos collègues; la plupart certainement y ont déjà pensé comme moi.
devient biconvexe. Remarquons que pour e = 0 les équations et n' ont quatre racines La lentille infiniment mince stigmatique pour l'infini est donc une lentille évanouissante. Mais il n'existe pas de lentilles dont l'épaisseur soit rigoureusement nulle. Les lentilles mêmes usuelles peuvent donc être stigmatiques pour l'infini. Ce seront des ménisques divergents dont la distance focale sera d'autant plus grande que l'épaisseur sera plus faible. G. Chibrac. Au sujet de la nature des rayons X La nature du rayonnement étudié pour la première fois par Roentgen a été longtemps indéterminée et c'est à cette incertitude qu'il doit, encore aujourd'hui, le nom énigmatique de rayons X, bien que des études récentes nous aient renseignés à ce sujet aussi complètement que possible. Néanmoins, une difficulté subsiste dans l'enseignement élémentaire de cette question, difficulté sur laquelle je désire attirer l'attention de nos collègues; la plupart certainement y ont déjà pensé comme moi. On trouve dans un grand nombre d'ouvrages et on dit dans beaucoup de cours au sujet des rayons X ce qui suit. Ils diffèrent des rayons cathodiques en ce qu'ils ne transportent pas d'électricité (action de l'aimant, etc.) Ils diffèrent des radiations lumineuses (ultra-violettes par exemple) en ce qu'ils ne subissent ni réflexion, ni réfraction, ni diffraction ils ne peuvent interférer. Et un peu plus loin, parlant de la nature des rayons X (si on en parle), on ajoute : Ils sont dus à un mouvement vibratoire qui se propage dans l'éther avec la même vitesse que les oscillations électromagnétiques connues, lumineuses ou hertziennes. Quelques auteurs, dans le but de faire mieux comprendre la production des rayons X par suite du choc des électrons sur l'antichambre rapprochent ce phénomène du mouvement vibratoire sonore produit par un choc de deux corps matériels. Mais un élève sérieux, qui réfléchit à ce qu'il étudie (il y en a quelques uns) peut relever là une grave contradiction; car, se reportant à l'étude générale des mouvements vibratoires qu'il a vus précédemment, il y trouve démontré le principe fondamental suivant : Tout mouvement vibratoire donne des phénomènes d'interférence, et par conséquent de diffraction l'étude de l'acoustique