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on a probablement préféré prendre les moellons tout prêts que l'on avait sous la main. La hauteur totale de cette maçonnerie est de 1m57, ce qui assure à la colonnade une fondation solide. Le même système a été appliqué au temple d'Isis; mais pour le « Lit de Pharaon », il a fallu recourir à des mesures spéciales. La résistance que pouvaient offrir les fondations n'a pas, en effet, été jugée suffisante pour permettre un travail continu de reprise en sous-œuvre. On a donc dû, à partir de la cote 100m60, jusqu'à la cote 97 mètres, procéder à la construction d'un mur nouveau au-dessous de l'ancien. Le puits d'attaque était foncé à l'intérieur avec un diamètre de 1m 20 et une profondeur de 7m 45, et fortement étayé, puis prolongé par une galerie percée sous l'ancien mur. Celui-ci était temporairement supporté par des chandelles en pin de 0m 30 X 0m 20 solidement coincées et reliées à la voûte par des madriers de 0m 25 X 0m 175. La maçonnerie est en pierres brutes et a été poussée jusqu'à 3m 40, sur 4 mètres d'épaisseur. On a procédé de même pour la colonnade de l'est et son mur. Mais les puits étaient foncés entre les colonnes et le mur d'arrière, et servaient de départ à des galeries poussées de chaque côté. La maçonnerie qui supporte les colonnes a 2m50 d'épaisseur, et celle qui est en arrière du mur, 1m 50. L'intervalle de 2 mètres qui s'étendait entre les colonnes et le mur a été comblé avec un mélange de terre et de pierrailles soigneusement pilonné. Les autres monuments repris en sous-œuvre sont le Mansinium, dont les puits d'accès ont été foncés au dehors pour ne pas détériorer le pavage encore existant à l'intérieur, le temple de Hathor, et la colonnade et les chambres de la cour antérieure du temple d'Isis : pour chacun de ces bâtiments, on a poussé la maçonnerie jusqu'à la cote 97 mètres. Puissent ces travaux, qui assurent à ces magnifiques ruines des fondations incontestablement supérieures aux anciennes, leur permettre de résister aux remous inévitables qu'entraînera la
puits étaient foncés entre les colonnes et le mur d'arrière, et servaient de départ à des galeries poussées de chaque côté. La maçonnerie qui supporte les colonnes a 2m50 d'épaisseur, et celle qui est en arrière du mur, 1m 50. L'intervalle de 2 mètres qui s'étendait entre les colonnes et le mur a été comblé avec un mélange de terre et de pierrailles soigneusement pilonné. Les autres monuments repris en sous-œuvre sont le Mansinium, dont les puits d'accès ont été foncés au dehors pour ne pas détériorer le pavage encore existant à l'intérieur, le temple de Hathor, et la colonnade et les chambres de la cour antérieure du temple d'Isis : pour chacun de ces bâtiments, on a poussé la maçonnerie jusqu'à la cote 97 mètres. Puissent ces travaux, qui assurent à ces magnifiques ruines des fondations incontestablement supérieures aux anciennes, leur permettre de résister aux remous inévitables qu'entraînera la mise en eau et la décharge du réservoir, et à l'action intermittente de la sécheresse et de l'humidité que nécessitera son fonctionnement ! G. RICHOU, Ingénieur des Arts et Manufactures. AUTOMOBILES ÉTUDE DU DÉRAPAGE DES AUTOMOBILES La Commission technique de l'Automobile Club de France, appelée à rédiger le programme d'un Concours international d'Antidérapants, a tenu à bien connaître les conditions théoriques dans lesquelles pouvait se produire le dérapage. M. Carlo BOURLET, docteur ès sciences, et M. J. RÉSAL, professeur de mécanique appliquée à l'École des Ponts et Chaussées, ont bien voulu étudier cette question. Le travail de M. Bourlet a été lu au Congrès international de l'Automobile, tenu au mois de juin dernier. Nous sommes heureux de pouvoir offrir aujourd'hui, aux lecteurs du Génie Civil, la théorie de M. J. Résal dont le nom est attaché, comme on le sait, à la construction du pont Mirabeau et du pont Alexandre III. (N. D. I R.) INONCÉ DU PROBLÈME. — Considérons un véhicule automobile en marche. Il est sollicité par un certain nombre de forces extérieures, savoir: La pesanteur; Les réactions du sol sur ses quatre roues; La résistance de l'air et la pression du vent; Les impulsions de toute nature
Concours international d'Antidérapants, a tenu à bien connaître les conditions théoriques dans lesquelles pouvait se produire le dérapage. M. Carlo BOURLET, docteur ès sciences, et M. J. RÉSAL, professeur de mécanique appliquée à l'École des Ponts et Chaussées, ont bien voulu étudier cette question. Le travail de M. Bourlet a été lu au Congrès international de l'Automobile, tenu au mois de juin dernier. Nous sommes heureux de pouvoir offrir aujourd'hui, aux lecteurs du Génie Civil, la théorie de M. J. Résal dont le nom est attaché, comme on le sait, à la construction du pont Mirabeau et du pont Alexandre III. (N. D. I R.) INONCÉ DU PROBLÈME. — Considérons un véhicule automobile en marche. Il est sollicité par un certain nombre de forces extérieures, savoir: La pesanteur; Les réactions du sol sur ses quatre roues; La résistance de l'air et la pression du vent; Les impulsions de toute nature résultant des chocs accidentels, dont les effets sont assimilables à ceux de forces agissant avec une grande puissance pendant un temps très court. Ces forces extérieures font équilibre: Aux forces d'inertie relatives au mouvement général du véhicule, considéré comme un solide invariable; Aux forces d'inertie correspondant aux mouvements relatifs des différentes parties de la voiture, dont les positions mutuelles se modifient pendant la marche: déplacement de la caisse par rapport au châssis, en raison de la flexibilité des ressorts qui peuvent être intercalés entre eux; rotation des roues porteuses, des roues et poulies du moteur; mouvements alternatifs des pièces du mécanisme, etc. Il faut également faire entrer en ligne de compte les modifications que peut subir le chargement de l'automobile: soubresauts des voyageurs, chute de l'un d'eux, et, d'une manière générale, tous les incidents susceptibles de provoquer un déplacement instantané ou rapide du centre de gravité de la masse totale; À la force correspondant à la résistance passive du véhicule au roulement. Cette force, qui fait équilibre aux forces extérieures quand l'automobile est à l'arrêt, varie avec l'état de la chaussée, la propreté du véhicule et de son mécanisme, la vitesse de marche, la position du mécanisme moteur et des
différentes parties de la voiture, dont les positions mutuelles se modifient pendant la marche: déplacement de la caisse par rapport au châssis, en raison de la flexibilité des ressorts qui peuvent être intercalés entre eux; rotation des roues porteuses, des roues et poulies du moteur; mouvements alternatifs des pièces du mécanisme, etc. Il faut également faire entrer en ligne de compte les modifications que peut subir le chargement de l'automobile: soubresauts des voyageurs, chute de l'un d'eux, et, d'une manière générale, tous les incidents susceptibles de provoquer un déplacement instantané ou rapide du centre de gravité de la masse totale; À la force correspondant à la résistance passive du véhicule au roulement. Cette force, qui fait équilibre aux forces extérieures quand l'automobile est à l'arrêt, varie avec l'état de la chaussée, la propreté du véhicule et de son mécanisme, la vitesse de marche, la position du mécanisme moteur et des freins, etc. On peut la considérer, avec une exactitude suffisante, comme une force retardatrice dirigée suivant la tangente à la courbe décrite par le centre de gravité du véhicule en marche. Elle n'a pas d'influence sensible sur le dérapage. Nous la laisserons donc de côté, en signalant simplement qu'elle doit être retranchée de la résultante des forces extérieures, dont il sera parlé ci-après. Nous laisserons également de côté les forces d'inertie relatives aux déplacements mutuels des éléments de la voiture, que l'on s'attache, d'ailleurs, à atténuer le plus possible. Nous signalerons, toutefois, qu'elles sont nuisibles à la stabilité, surtout celles qui correspondent à des mouvements alternatifs de pièces lourdes. Si elles ne sont pas susceptibles de déterminer, à elles seules, un dérapage, elles peuvent le déclencher, quand la voiture est en état d'équilibre strict, et que la moindre impulsion peut provoquer le patinage des roues. En définitive, nous traiterons le problème comme si l'automobile était un solide invariable. Cette convention posée, on se rend compte qu'il suffira de connaître les forces extérieures appliquées au véhicule en marche pour en déduire, par la résolution pure et simple d'équations d'équilibre, les forces d'inertie, et, par conséquent, pour déterminer les conditions cinématiques du
être retranchée de la résultante des forces extérieures, dont il sera parlé ci-après. Nous laisserons également de côté les forces d'inertie relatives aux déplacements mutuels des éléments de la voiture, que l'on s'attache, d'ailleurs, à atténuer le plus possible. Nous signalerons, toutefois, qu'elles sont nuisibles à la stabilité, surtout celles qui correspondent à des mouvements alternatifs de pièces lourdes. Si elles ne sont pas susceptibles de déterminer, à elles seules, un dérapage, elles peuvent le déclencher, quand la voiture est en état d'équilibre strict, et que la moindre impulsion peut provoquer le patinage des roues. En définitive, nous traiterons le problème comme si l'automobile était un solide invariable. Cette convention posée, on se rend compte qu'il suffira de connaître les forces extérieures appliquées au véhicule en marche pour en déduire, par la résolution pure et simple d'équations d'équilibre, les forces d'inertie, et, par conséquent, pour déterminer les conditions cinématiques du mouvement. RÉSULTANTES DES FORCES EXTÉRIEURES. — Les forces extérieures appliquées au véhicule peuvent être remplacées par trois résultantes passant par son centre de gravité G, et par trois couples résultants situés dans des plans également menés par le point G (fig. 1). Les trois résultantes A, B et C seront dirigées suivant: La perpendiculaire au plan d'appui, renfermant les quatre points de contact des roues et du sol; si la route est horizontale, la force A est verticale; L'axe longitudinal de l'automobile, parallèle au plan d'appui et tangent à la trajectoire du centre de gravité, en tant que le véhicule roule sans déplacement latéral de ses roues par glissement; L'axe transversal parallèle au plan d'appui et passant par le centre de courbure de la trajectoire. Ces trois directions sont rectangulaires entre elles. FIG. 1. Les trois couples X, Y et Z seront respectivement dans des plans perpendiculaires aux directions A, B, C précédemment définies, qui sont leurs axes. Les forces d'inertie, équilibrant ces six résultantes des forces extérieures, correspondent aux mouvements suivants: Force A. — Soulèvement par translation du véhicule. Si cette force est positive, le véhicule s'élève au-dessus du sol, les quatre roues cessant simultanément de porter sur la
dirigées suivant: La perpendiculaire au plan d'appui, renfermant les quatre points de contact des roues et du sol; si la route est horizontale, la force A est verticale; L'axe longitudinal de l'automobile, parallèle au plan d'appui et tangent à la trajectoire du centre de gravité, en tant que le véhicule roule sans déplacement latéral de ses roues par glissement; L'axe transversal parallèle au plan d'appui et passant par le centre de courbure de la trajectoire. Ces trois directions sont rectangulaires entre elles. FIG. 1. Les trois couples X, Y et Z seront respectivement dans des plans perpendiculaires aux directions A, B, C précédemment définies, qui sont leurs axes. Les forces d'inertie, équilibrant ces six résultantes des forces extérieures, correspondent aux mouvements suivants: Force A. — Soulèvement par translation du véhicule. Si cette force est positive, le véhicule s'élève au-dessus du sol, les quatre roues cessant simultanément de porter sur la chaussée. Si cette force est négative, le véhicule tombe; Force B. — Force de progression. Suivant que cette force est positive, nulle ou négative, la vitesse de l'automobile s'accélère (par la propulsion du moteur), demeure constante (sauf la perte due aux résistances passives), ou se ralentit (par l'effet du freinage); Force C. — Déplacement transversal. Cette force équilibre la force centrifuge, si le centre de gravité de l'automobile décrit une trajectoire courbe. Quand il n'y a pas égalité entre cette résultante C et la force centrifuge, la différence détermine un déplacement transversal du véhicule par glissement simultané et égal des quatre roues; Couple X. Couple de lacet, ou de dérapage. Il fait tourner le véhicule autour de l'axe A, perpendiculaire à la base d'appui, et, par conséquent, dirigé sensiblement suivant la verticale; Couple Y. — Couple de roulis, ou de renversement sur le côté. Ce couple fait verser le véhicule par rotation autour des points de contact avec le sol de deux roues consécutives; Couple Z. — Couple de galop, ou de renversement par l'avant ou l'arrière. La voiture fait panache en pivotant autour des points d'appui de deux roues fixées sur le même essieu, soit à l'avant, soit à
Force C. — Déplacement transversal. Cette force équilibre la force centrifuge, si le centre de gravité de l'automobile décrit une trajectoire courbe. Quand il n'y a pas égalité entre cette résultante C et la force centrifuge, la différence détermine un déplacement transversal du véhicule par glissement simultané et égal des quatre roues; Couple X. Couple de lacet, ou de dérapage. Il fait tourner le véhicule autour de l'axe A, perpendiculaire à la base d'appui, et, par conséquent, dirigé sensiblement suivant la verticale; Couple Y. — Couple de roulis, ou de renversement sur le côté. Ce couple fait verser le véhicule par rotation autour des points de contact avec le sol de deux roues consécutives; Couple Z. — Couple de galop, ou de renversement par l'avant ou l'arrière. La voiture fait panache en pivotant autour des points d'appui de deux roues fixées sur le même essieu, soit à l'avant, soit à l'arrière. RÉACTIONS DU SOL SUR LES ROUES. — La réaction exercée par le sol sur une roue est une force qui passe par son point de contact avec la chaussée. Nous la décomposerons en trois autres, p, r et s, respectivement parallèles aux directions A, B et C. Force p. — Cette force, normale au plan d'appui, a une direction sensiblement verticale. Soit P le poids du véhicule. La force p ne peut être négative, et sa valeur est susceptible de varier entre zéro, quand la roue se soulève de terre, et P quand elle appuie seule sur la chaussée, les trois autres étant en l'air. La valeur moyenne de p est 1; Force r. Cette force, parallèle à B, est généralement nulle ou négligeable pour les roues libres, que n'actionne ni le moteur, ni le frein. Pour une roue motrice, elle est positive quand le moteur est embrayé, et négative quand le frein est serré. Force s. — Cette force est parallèle à C. Elle s'oppose au glissement transversal de la roue. Si nous désignons par f le coefficient de frottement de glissement de la roue sur la chaussée, les deux réactions tangentielles r et s sont liées à
— Cette force, normale au plan d'appui, a une direction sensiblement verticale. Soit P le poids du véhicule. La force p ne peut être négative, et sa valeur est susceptible de varier entre zéro, quand la roue se soulève de terre, et P quand elle appuie seule sur la chaussée, les trois autres étant en l'air. La valeur moyenne de p est 1; Force r. Cette force, parallèle à B, est généralement nulle ou négligeable pour les roues libres, que n'actionne ni le moteur, ni le frein. Pour une roue motrice, elle est positive quand le moteur est embrayé, et négative quand le frein est serré. Force s. — Cette force est parallèle à C. Elle s'oppose au glissement transversal de la roue. Si nous désignons par f le coefficient de frottement de glissement de la roue sur la chaussée, les deux réactions tangentielles r et s sont liées à la réaction normale p par la relation de condition : M. Carlo Bourlet a constaté que, sur un sol uni et sec, le coefficient f est, pour les bandages pneumatiques, toujours supérieur à 0,3. Nous ne connaissons aucun résultat d'expérience relatif aux valeurs extrêmes, minimum et maximum, qu'il peut atteindre. Nous supposerons, pour fixer les idées, que, sur un sol uni et gras, il peut s'abaisser jusqu'à 0,10, tandis que dans les circonstances les plus favorables, il peut s'élever, pour un sol sec et raboteux, jusqu'à 0,60. C'est là une simple conjecture dont nous ne garantissons nullement le bien fondé. Ces données numériques sont relatives au coefficient de frottement au départ, c'est-à-dire au moment où il n'y a pas encore déplacement mutuel des surfaces en contact. Dès que le glissement se manifeste, on sait, par expérience, que le coefficient f diminue immédiatement d'une manière très sensible. Sa valeur, qui est d'autant plus petite que la vitesse relative des surfaces en contact est plus grande, peut descendre à la moitié, et peut-être même à une fraction moindre de sa valeur initiale. De sorte que lorsqu'on a réussi, en exerçant l'effort nécessaire, à faire glisser un corps sur sa base d'appui, on
Nous supposerons, pour fixer les idées, que, sur un sol uni et gras, il peut s'abaisser jusqu'à 0,10, tandis que dans les circonstances les plus favorables, il peut s'élever, pour un sol sec et raboteux, jusqu'à 0,60. C'est là une simple conjecture dont nous ne garantissons nullement le bien fondé. Ces données numériques sont relatives au coefficient de frottement au départ, c'est-à-dire au moment où il n'y a pas encore déplacement mutuel des surfaces en contact. Dès que le glissement se manifeste, on sait, par expérience, que le coefficient f diminue immédiatement d'une manière très sensible. Sa valeur, qui est d'autant plus petite que la vitesse relative des surfaces en contact est plus grande, peut descendre à la moitié, et peut-être même à une fraction moindre de sa valeur initiale. De sorte que lorsqu'on a réussi, en exerçant l'effort nécessaire, à faire glisser un corps sur sa base d'appui, on peut le maintenir en mouvement, et même augmenter la vitesse de son déplacement, avec un effort moindre, qui est d'autant plus réduit que la vitesse imprimée est plus grande. ÉTUDE DU PATINAGE OU DU DÉRAPAGE D'UNE ROUE. — Considérons, tout d'abord, une roue libre. La réaction tangentielle r, située dans le plan de la roue, est nulle ou insignifiante. Le glissement de la roue ne peut donc avoir lieu que si la réaction tangentielle s, perpendiculaire au plan de la jante, atteint et tend à dépasser la limite fp. C'est ce qui arrive si, f et p restant constants, la réaction s éprouve un accroissement suffisant; si, f et s demeurant invariables, la charge p portée par la roue vient à diminuer de façon notable, en se rapprochant de zéro; si enfin, p et s étant invariables, le coefficient f s'abaisse, parce que le sol, primitivement sec, devient gras et glissant. Si la force s est voisine de sa limite fp, l'incident peut être provoqué par un choc léger, par une manœuvre du chauffeur (changement de vitesse, freinage, virage), par un déplacement brusque du chargement de l'automobile, qui modifie la répartition du poids entre les roues, etc. Les forces d'inertie
le plan de la roue, est nulle ou insignifiante. Le glissement de la roue ne peut donc avoir lieu que si la réaction tangentielle s, perpendiculaire au plan de la jante, atteint et tend à dépasser la limite fp. C'est ce qui arrive si, f et p restant constants, la réaction s éprouve un accroissement suffisant; si, f et s demeurant invariables, la charge p portée par la roue vient à diminuer de façon notable, en se rapprochant de zéro; si enfin, p et s étant invariables, le coefficient f s'abaisse, parce que le sol, primitivement sec, devient gras et glissant. Si la force s est voisine de sa limite fp, l'incident peut être provoqué par un choc léger, par une manœuvre du chauffeur (changement de vitesse, freinage, virage), par un déplacement brusque du chargement de l'automobile, qui modifie la répartition du poids entre les roues, etc. Les forces d'inertie dues aux mouvements alternatifs des pièces du mécanisme, qui donnent lieu à des oscillations verticales, longitudinales et transversales du centre de gravité du véhicule, peuvent, malgré leur faible importance, amener un déclenchement en déterminant, pendant un temps très court, un accroissement suffisant de la force s, ou une réduction équivalente de la réaction verticale p. Dès que la roue commence à glisser sur sa base d'appui, le coefficient de frottement f éprouve une diminution instantanée, qui s'accentue au fur et à mesure que la vitesse du glissement devient plus grande. Ainsi, le dérapage ne s'arrête de lui-même que si l'action transversale, qui en a été la cause, cesse d'agir immédiatement (comme dans le cas d'un choc) ou s'atténue très rapidement, en se réduisant, par exemple, à la moitié de la valeur maximum qui correspondait au début du glissement. Si cette force demeure constante, ou si elle ne décroît que lentement, le déplacement transversal de la roue se poursuivra avec une vitesse croissante, puisque la résistance au dérapage fp ira elle-même en s'abaissant. Considérons maintenant une roue actionnée par le moteur ou par le frein. La force r n'est plus négligeable. Elle varie entre une limite positive fn, correspondant à la
de la réaction verticale p. Dès que la roue commence à glisser sur sa base d'appui, le coefficient de frottement f éprouve une diminution instantanée, qui s'accentue au fur et à mesure que la vitesse du glissement devient plus grande. Ainsi, le dérapage ne s'arrête de lui-même que si l'action transversale, qui en a été la cause, cesse d'agir immédiatement (comme dans le cas d'un choc) ou s'atténue très rapidement, en se réduisant, par exemple, à la moitié de la valeur maximum qui correspondait au début du glissement. Si cette force demeure constante, ou si elle ne décroît que lentement, le déplacement transversal de la roue se poursuivra avec une vitesse croissante, puisque la résistance au dérapage fp ira elle-même en s'abaissant. Considérons maintenant une roue actionnée par le moteur ou par le frein. La force r n'est plus négligeable. Elle varie entre une limite positive fn, correspondant à la poussée maximum que le moteur, agissant avec toute sa puissance, peut exercer sur le sol, et une limite négative fn, correspondant à l'effort retardateur maximum que peut fournir le frein serré à fond. Chacune de ces valeurs extrêmes de r doit être inférieure à la résistance au glissement fp, sans quoi la roue patinerait, c'est-à-dire tournerait sans avancer, dans le cas de marche accélérée, ou bien se calerait sur le frein et glisserait sur le sol, dans la seconde hypothèse. Admettons, en conséquence, que, r étant compris entre les limites + fp et - fp, la réaction transversale s soit nulle : il est bien évident qu'il ne pourra y avoir glissement de la roue dans la direction perpendiculaire à son plan. Mais si cette réaction s croît à partir de zéro, positivement ou négativement, la valeur limite qu'elle pourra atteindre avant le dérapage ne sera plus + fp, comme dans le cas de la roue libre, mais bien 2 fp. Si l'action longitudinale r est très voisine de fp, il suffira d'une très légère action transversale pour faire glisser la roue. Nous en concluons que, dans un véhicule en marche, le dérapage peut se produire indifféremment sur l'essieu libre