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projet présenté par M. Girard, consistant à utiliser le barrage de la Monnaie, et donnant 50,000 mètres cubes par 24 heures, fut déclaré excellent, mais écarté comme donnant trop peu d'eau, et surtout parce que l'établissement d'une usine hydraulique sur le terreplein du pont Neuf nuirait à l'effet monumental des quais. Dans les premiers rapports, on ne parlait d'amener à Paris que les eaux des vallées de la Champagne, c'est-à-dire les groupes des sources de la Somme-Soude, de la Dhuis, du Surmelin, etc. Le groupe de la Vanne avait été écarté, comme ne pouvant amener l'eau qu'à l'altitude de 70 mètres, jugée beaucoup trop basse. Mais les populations de la Champagne ne voulurent pas entendre parler de la dérivation des sources de la Somme-Soude : on ajourna donc ce projet. Il ne restait que le groupe de la Dhuis et le Surmelin qui ne devaient donner que 40,000 mètres cubes; or jusqu'à présent il n'en donnait que 20,000. Pour remplacer les 60,000 que devait fournir la Somme-Soude, on chercha ailleurs, et comme à tout prix on voulait un aqueduc, on se rejeta sur les sources de la Vanne, et pour remédier au défaut d'altitude on dut élever les eaux basses, c'est-à-dire la moitié, au moyen de machines. Ce sont ces machines qui font l'objet d'une adjudication. L'aqueduc de la Vanne est en partie terminé. Ce travail est assez avancé pour que l'on puisse comparer le prix de revient d'un mètre cube d'eau amenée à Paris par aqueduc à celui de l'eau montée par des machines à la même altitude. L'eau de la Vanne rendue à Paris revient à 0 fr. 07 le mètre cube, en comptant sur un débit de 100,000 mètres par 24 heures. L'intérêt du capital de 48 millions à 5 % donne 2,400,000 fr. L'entretien annuel faible, 200,000 fr. Ce qui donne un total de 2,600,000 fr. pour un volume annuel de 36,500,000 mètres cubes, soit 0 fr. 07 le mètre cube. Ce prix même est trop faible, car le débit des sources, d'après les rapports authentiques, n'est guère supérieur à 60,000 mètres cubes en 24 heures,
c'est-à-dire la moitié, au moyen de machines. Ce sont ces machines qui font l'objet d'une adjudication. L'aqueduc de la Vanne est en partie terminé. Ce travail est assez avancé pour que l'on puisse comparer le prix de revient d'un mètre cube d'eau amenée à Paris par aqueduc à celui de l'eau montée par des machines à la même altitude. L'eau de la Vanne rendue à Paris revient à 0 fr. 07 le mètre cube, en comptant sur un débit de 100,000 mètres par 24 heures. L'intérêt du capital de 48 millions à 5 % donne 2,400,000 fr. L'entretien annuel faible, 200,000 fr. Ce qui donne un total de 2,600,000 fr. pour un volume annuel de 36,500,000 mètres cubes, soit 0 fr. 07 le mètre cube. Ce prix même est trop faible, car le débit des sources, d'après les rapports authentiques, n'est guère supérieur à 60,000 mètres cubes en 24 heures, au maximum 80,000 ; en supposant ce dernier débit, le prix de revient sera de 0 fr. 0875 par mètre cube. Or, avec les moyens mécaniques actuels, la ville de Paris dépense annuellement 0 fr. 025 par mètre cube. Si nous tenons compte de l'intérêt du capital et de celui correspondant aux réservoirs et aux distributions, nous aurons en tout une dépense annuelle de 0 fr. 055, prix qui correspond aux machines actuelles déjà anciennes et éloignées les unes des autres. Un groupe de machines pouvant fournir 100,000 mètres donnerait un prix inférieur. M. Faure était arrivé au prix de 0 fr. 088 par aqueduc et de 0 fr. 0425 par machine élévatoire. Mais en supposant le prix de 0 fr. 07 et de 0 fr. 055, qui sont le premier un minimum et le second un maximum, on arrive à une différence minima de 0 fr. 015 par mètre cube en faveur des machines. Cette différence représente un capital de 4,500,000 fr. Cela laisserait une marge considérable pour le filtrage et le refroidissement des eaux, d'autant plus qu'une partie notable, ne servant pas à la consommation, pourrait ne pas être filtrée. Les eaux élevées par aqueduc reviennent donc beaucoup
correspondant aux réservoirs et aux distributions, nous aurons en tout une dépense annuelle de 0 fr. 055, prix qui correspond aux machines actuelles déjà anciennes et éloignées les unes des autres. Un groupe de machines pouvant fournir 100,000 mètres donnerait un prix inférieur. M. Faure était arrivé au prix de 0 fr. 088 par aqueduc et de 0 fr. 0425 par machine élévatoire. Mais en supposant le prix de 0 fr. 07 et de 0 fr. 055, qui sont le premier un minimum et le second un maximum, on arrive à une différence minima de 0 fr. 015 par mètre cube en faveur des machines. Cette différence représente un capital de 4,500,000 fr. Cela laisserait une marge considérable pour le filtrage et le refroidissement des eaux, d'autant plus qu'une partie notable, ne servant pas à la consommation, pourrait ne pas être filtrée. Les eaux élevées par aqueduc reviennent donc beaucoup plus cher que celles élevées par machines. A. DARET-DERVILLE. 423 ANNALES INDUSTRIELLES. — QUATRIÈME ANNÉE. — 6 OCTOBRE 1872. 454 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX SURFACES RÉDUITES. MÉTHODE GRAPHIQUE APPLICABLE A LA RECHERCHE DES CENTRES DE GRAVITÉ, CENTRES D'INERTIE, RAYONS DE GIRATION, MOMENTS, MOMENTS D'INERTIE. MOMENTS FLÉCHISSANTS, ETC.; EN UN MOT, A TOUTE SOMMATION DE LA FORME Q =_S (x'"y»dx) (i). Planches 77 et 78. (2e article 1.) 15. — A défaut de planimètre, on peut avoir recours à la pesée. Supposons qu'on dispose d'une feuille de papier homogène et d'égale épaisseur, en en pesant une fraction de surface connue, on aura son poids p par unité de surface. Traçant alors, sur ce même papier, la courbe, quelle qu'elle soit, dont il s'agit d'obtenir l'aire fi; puis découpant la feuille suivant le contour obtenu, et prenant le poids P qui se rapporte à l'aire cherchée, on a évidemment : 16. — A défaut de papier homogène et de balance de précision, on peut encore recourir au moyen qui va être indiqué. La formule connue de Simpson est : y0,y1,y2,y3, etc., étant les ordonnées de la courbe; S l'intervalle constant entre deux ordonnées successives; n le nombre des intervalles, supposé pair. Dans la
TOUTE SOMMATION DE LA FORME Q =_S (x'"y»dx) (i). Planches 77 et 78. (2e article 1.) 15. — A défaut de planimètre, on peut avoir recours à la pesée. Supposons qu'on dispose d'une feuille de papier homogène et d'égale épaisseur, en en pesant une fraction de surface connue, on aura son poids p par unité de surface. Traçant alors, sur ce même papier, la courbe, quelle qu'elle soit, dont il s'agit d'obtenir l'aire fi; puis découpant la feuille suivant le contour obtenu, et prenant le poids P qui se rapporte à l'aire cherchée, on a évidemment : 16. — A défaut de papier homogène et de balance de précision, on peut encore recourir au moyen qui va être indiqué. La formule connue de Simpson est : y0,y1,y2,y3, etc., étant les ordonnées de la courbe; S l'intervalle constant entre deux ordonnées successives; n le nombre des intervalles, supposé pair. Dans la construction des surfaces réduites (fig. 1 et 2), le choix de la quantité v est arbitraire, comme il a déjà été dit; rien n'empêche donc d'attribuer à v la plus grande valeur de x; de diviser cette distance v en un nombre v de n d'intervalles S = —, et de tracer les ordonnées équidistantes. Si l'on compare alors l'ordonnée de rang quelconque ym, appartenant à la courbe primitive, avec celle de même rang ym (1), appartenant à la courbe réduite première on a, par définition même : Par suite, en donnant à m toutes les valeurs entières et positives qu'il peut prendre de 0 à n, il est permis de poser : par conséquent l'expression de l'aire A, de la courbe réduite première, d'autant plus approchée que n sera plus grand généralement, devient : Par la même méthode, on peut établir une expression de la surface A, doublement réduite. En effet, chacune des ordonnées de o.1 est égale à l'ordonnée correspondante de n2 multipliée par le rapport = ; ou à celle de n multiplié par ( −1 ), c'est-à-dire qu'il est permis de poser : de manière que la formule de Simpson donne encore pour l'aire approchée de
de tracer les ordonnées équidistantes. Si l'on compare alors l'ordonnée de rang quelconque ym, appartenant à la courbe primitive, avec celle de même rang ym (1), appartenant à la courbe réduite première on a, par définition même : Par suite, en donnant à m toutes les valeurs entières et positives qu'il peut prendre de 0 à n, il est permis de poser : par conséquent l'expression de l'aire A, de la courbe réduite première, d'autant plus approchée que n sera plus grand généralement, devient : Par la même méthode, on peut établir une expression de la surface A, doublement réduite. En effet, chacune des ordonnées de o.1 est égale à l'ordonnée correspondante de n2 multipliée par le rapport = ; ou à celle de n multiplié par ( −1 ), c'est-à-dire qu'il est permis de poser : de manière que la formule de Simpson donne encore pour l'aire approchée de 2 Enfin, si l'on voulait la surface réduite troisième on aurait de la même manière : S'il y avait à chercher la surface d'une courbe réduite inverse troisième, c'est-à-dire dont les ordonnées sont obtenues par la réduction des ordonnées de la courbe primitive, non plus dans le rapport (−1) = ( −1 ), mais dans le rapport (1 − 1) = (A − 1) il est aisé de se rendre compte qu'il n'y aurait rien à changer dans la formule, si ce n'est le signe de l'exposant k. ANNALES INDUSTRIELLES. — QUATRIÈME ANNÉE. — 6 OCTOBRE 1872. Il n'y a rien de particulier à dire en ce qui concerne la recherche du centre de gravité d'une surface réduite, d'ordre quelconque; les procédés connus y suffisent; d'ailleurs cette recherche n'est pas indispensable. — Voir formule. En vue des applications, il est commode d'avoir, sous la main, la série des formules dont la démonstration vient d'être faite, lesquelles montrent que, par l'emploi des surfaces réduites directes ou inverses, on peut estimer graphiquement toute sommation de la forme quel que soit le signe des exposants m et n, pourvu qu'ils soient entiers; et quelle que soit la loi, continue ou discontinue, qui relie
( −1 ), mais dans le rapport (1 − 1) = (A − 1) il est aisé de se rendre compte qu'il n'y aurait rien à changer dans la formule, si ce n'est le signe de l'exposant k. ANNALES INDUSTRIELLES. — QUATRIÈME ANNÉE. — 6 OCTOBRE 1872. Il n'y a rien de particulier à dire en ce qui concerne la recherche du centre de gravité d'une surface réduite, d'ordre quelconque; les procédés connus y suffisent; d'ailleurs cette recherche n'est pas indispensable. — Voir formule. En vue des applications, il est commode d'avoir, sous la main, la série des formules dont la démonstration vient d'être faite, lesquelles montrent que, par l'emploi des surfaces réduites directes ou inverses, on peut estimer graphiquement toute sommation de la forme quel que soit le signe des exposants m et n, pourvu qu'ils soient entiers; et quelle que soit la loi, continue ou discontinue, qui relie les variables y et x, pourvu qu'elle soit traduite par une ligne. Ces formules et la signification des symboles qui y entrent sont groupés ci-après : c'est le cas d'une poutre prismatique, fléchie sous l'action de forces parallèles entre elles, et normales à la fibre moyenne de la poutre qui est alors la fibre neutre. m et n peuvent être positifs ou négatifs, mais doivent être entiers k peut être positif ou négatif mais non fractionnaire. Moyent de l'aire d'une courbe, autour de l'axe des y de cette courbe. x, y, coordonnées rectangulaires généralement (elles pourraient être obliques) de la courbe primitive. v, v', longueur arbitraire, qui, dans le cas d'une poutre fléchie, devient la distance, à l'axe des moments, du point le plus éloigné dans la section considérée. L, IG, moment d'inertie de l'aire d'une courbe, autour de l'axe des y de cette courbe et autour d'un axe parallèle au précédent passant par le centre de gravité de l'aire. r, rayon de circonférence de l'aire d'une courbe. a, n', portions d'aire d'une courbe placées l'une à droite, l'autre à gauche de l'axe des y. n1, n2, ..., nk, surface réduite première, seconde, kième des aires n, n'. a, a2,
est alors la fibre neutre. m et n peuvent être positifs ou négatifs, mais doivent être entiers k peut être positif ou négatif mais non fractionnaire. Moyent de l'aire d'une courbe, autour de l'axe des y de cette courbe. x, y, coordonnées rectangulaires généralement (elles pourraient être obliques) de la courbe primitive. v, v', longueur arbitraire, qui, dans le cas d'une poutre fléchie, devient la distance, à l'axe des moments, du point le plus éloigné dans la section considérée. L, IG, moment d'inertie de l'aire d'une courbe, autour de l'axe des y de cette courbe et autour d'un axe parallèle au précédent passant par le centre de gravité de l'aire. r, rayon de circonférence de l'aire d'une courbe. a, n', portions d'aire d'une courbe placées l'une à droite, l'autre à gauche de l'axe des y. n1, n2, ..., nk, surface réduite première, seconde, kième des aires n, n'. a, a2, ..., at, Om−1, am−n − 1..., a', a2, ..., a't, distances des centres de gravité des aires à l'axe des moments. Vi, V2, V3, ..., Vy1, ordonnées équidistantes de la courbe primitive, d'aire n, prises à des distances 2, −3, ..., m − 1, de l'axe des moments, ou de l'axe des y, quel qu'il soit. — Ceci s'applique seulement à la formule, et alors on doit prendre v égale à la plus grande valeur de x, et diviser v en un nombre n pair d'intervalles entre les ordonnées. u, moment fléchissant d'une poutre prismatique, soumise à des forces parallèles entre elles et rencontrant normalement sa fibre moyenne. Ce moment est pris autour d'un axe perpendiculaire au plan de flexion, axe passant par le centre de gravité de la section considérée. R, effort maximum par unité de surface que doit supporter la fibre la plus fatiguée de la section considérée, sous l'action du moment fléchissant. Le moyen de trouver la courbe réduite directe d'ordre quelconque, correspondante au cas où l'exposant de y est égal à l'unité, et l'exposant de x est entier et positif, dans la formule générale, est indiqué figure 1, nos 3 et 8. Le moyen de trouver
l'axe des y, quel qu'il soit. — Ceci s'applique seulement à la formule, et alors on doit prendre v égale à la plus grande valeur de x, et diviser v en un nombre n pair d'intervalles entre les ordonnées. u, moment fléchissant d'une poutre prismatique, soumise à des forces parallèles entre elles et rencontrant normalement sa fibre moyenne. Ce moment est pris autour d'un axe perpendiculaire au plan de flexion, axe passant par le centre de gravité de la section considérée. R, effort maximum par unité de surface que doit supporter la fibre la plus fatiguée de la section considérée, sous l'action du moment fléchissant. Le moyen de trouver la courbe réduite directe d'ordre quelconque, correspondante au cas où l'exposant de y est égal à l'unité, et l'exposant de x est entier et positif, dans la formule générale, est indiqué figure 1, nos 3 et 8. Le moyen de trouver la courbe réduite inverse, d'ordre quelconque, correspondante au cas où l'exposant de y est égal à l'unité, et l'exposant de x est entier et négatif, dans la formule générale, déjà écrite, est indiqué figure 2, n° 9. Le moyen de trouver la courbe réduite directe ou inverse, d'ordre quelconque, correspondante au cas où les exposants de x et de y ont à la fois une valeur entière supérieure à l'unité, positive ou négative, dans la formule générale, est indiqué figure 3, n° 10. La figure 4, n° 12, indique un instrument propre à tracer automatiquement la courbe réduite directe ou inverse, d'ordre quelconque, en suivant, avec une pointe, la courbe primitive. Il paraît bon de faire, en terminant, quelques applications des méthodes ci-dessus exposées. La figure 5, planches 77 et 78, donne un spécimen de l'épreuve à faire, pour obtenir la distance du centre de gravité de la section d'un fer d'angle, par rapport à l'axe OY, par la construction de la surface réduite première de la section. La construction est identiquement la même que celle exposée figure 1, n° 3. Pour déterminer le centre de gravité même, il suffirait de faire une construction semblable par rapport à l'axe OX.
au cas où les exposants de x et de y ont à la fois une valeur entière supérieure à l'unité, positive ou négative, dans la formule générale, est indiqué figure 3, n° 10. La figure 4, n° 12, indique un instrument propre à tracer automatiquement la courbe réduite directe ou inverse, d'ordre quelconque, en suivant, avec une pointe, la courbe primitive. Il paraît bon de faire, en terminant, quelques applications des méthodes ci-dessus exposées. La figure 5, planches 77 et 78, donne un spécimen de l'épreuve à faire, pour obtenir la distance du centre de gravité de la section d'un fer d'angle, par rapport à l'axe OY, par la construction de la surface réduite première de la section. La construction est identiquement la même que celle exposée figure 1, n° 3. Pour déterminer le centre de gravité même, il suffirait de faire une construction semblable par rapport à l'axe OX. La figure 6, planches 77 et 78, donne un spécimen de l'épure à faire, pour obtenir le moment d'inertie d'une section non symétrique, analogue à celle des grues pivotantes. Ici, le centre de gravité G, de la section, est supposé déterminé d'avance; et il l'a été, en effet, figure 7, par une méthode autre que celle des surfaces réduites: c'est la méthode connue, et très élégante d'ailleurs, du polygone des forces parallèles. Chaque portion simple de la section peut en effet être évaluée en surface et assimilée à un poids représenté, en grandeur et en direction, par une des flèches marquées à partir de l'axe GX. La composition de tous ces poids donne un poids résultant qui passe par le centre de gravité G. L'axe GY, autour duquel le moment d'inertie est cherché, passe donc par le centre de gravité de la section. La construction des portions de surfaces réduites premières a1a'v et secondes n2n'2, à gauche et à droite de l'axe GY, est encore identiquement la même que celle exposée figure 1, n° 3. Chaque trait de l'épure est nécessaire et suffisant. Les surfaces réduites premières sont distinguées par une hachure simple. Les surfaces réduites secondes sont distinguées par
par une méthode autre que celle des surfaces réduites: c'est la méthode connue, et très élégante d'ailleurs, du polygone des forces parallèles. Chaque portion simple de la section peut en effet être évaluée en surface et assimilée à un poids représenté, en grandeur et en direction, par une des flèches marquées à partir de l'axe GX. La composition de tous ces poids donne un poids résultant qui passe par le centre de gravité G. L'axe GY, autour duquel le moment d'inertie est cherché, passe donc par le centre de gravité de la section. La construction des portions de surfaces réduites premières a1a'v et secondes n2n'2, à gauche et à droite de l'axe GY, est encore identiquement la même que celle exposée figure 1, n° 3. Chaque trait de l'épure est nécessaire et suffisant. Les surfaces réduites premières sont distinguées par une hachure simple. Les surfaces réduites secondes sont distinguées par une hachure double. L'épure montre bien aux yeux quelles sont les parties de la section qui agissent le mieux, pour la résistance à la flexion, et dans quelle proportion elles agissent. La figure 8, planches 77 et 78, donne un spécimen des opérations à faire, quand on veut déterminer le centre de gravité et le moment d'inertie d'une section, par la formule de Simpson modifiée, combinée avec celles de la théorie des surfaces réduites. La recherche s'applique à un rail, du type Vignole, supposé chargé, non suivant son axe de symétrie, mais suivant une certaine direction OX, oblique par rapport à cet axe. C'est le cas qui se présente habituellement pour les voies ferrées, dans lesquelles le rail est toujours incliné plus ou moins, suivant la conicité admise pour les bandages des roues. On reconnaîtra que cette méthode est assez expéditive. La formule [F], dans laquelle les ordonnées de la surface réduite d'ordre quelconque fik sont réellement réduites avec toute l'exactitude des calculs chiffrés, et non plus des constructions graphiques successives, donne, pour l'évaluation de cette surface, une exactitude toujours égale, quelle que soit la valeur de K; et d'autant plus grande que le nombre des ordonnées est plus grand.
centre de gravité et le moment d'inertie d'une section, par la formule de Simpson modifiée, combinée avec celles de la théorie des surfaces réduites. La recherche s'applique à un rail, du type Vignole, supposé chargé, non suivant son axe de symétrie, mais suivant une certaine direction OX, oblique par rapport à cet axe. C'est le cas qui se présente habituellement pour les voies ferrées, dans lesquelles le rail est toujours incliné plus ou moins, suivant la conicité admise pour les bandages des roues. On reconnaîtra que cette méthode est assez expéditive. La formule [F], dans laquelle les ordonnées de la surface réduite d'ordre quelconque fik sont réellement réduites avec toute l'exactitude des calculs chiffrés, et non plus des constructions graphiques successives, donne, pour l'évaluation de cette surface, une exactitude toujours égale, quelle que soit la valeur de K; et d'autant plus grande que le nombre des ordonnées est plus grand. Son emploi est donc à conseiller dès que K prend une valeur supérieure à 2. S. PICHAULT. (Fin.) MINES MATERIEL NOTE SUR LES MACHINES D'ÉPUISEMENT EMPLOYÉES DANS LES MINES EN ANGLETERRE. La fosse Ruhr und Rhein de la compagnie des mines du Rhin à Ruhrort ayant besoin de nouvelles machines d'épuisement et de nouvelles pompes capables d'élever à une hauteur de 200 mètres 2,500 litres d'eau par minute, l'étude des détails du projet montra que l'adoption du système ordinaire comprenant une puissante machine au jour et des pompes de forte section, amènerait des difficultés de toute espèce. Le puits circulaire d'un diamètre minimum de 3m,76 est tellement encombré par les machines et par les pompes existantes que le passage eût été obstrué par la tige de la nouvelle pompe, dont le piston n'aurait néanmoins pas pu avoir un diamètre de plus de 495 millimètres. Au jour les difficultés n'étaient pas moindres; partout on tombait dans des installations existantes, et l'exécution du projet touchait les limites de l'impossible. En considérant en outre les frais énormes qu'eût entraînés la nouvelle installation, plus de 80,000 thalers (300,000 francs) et le temps nécessaire à la construction et à la mise en place des machines