jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
h à k. On pourrait alors écrire : 3° Si au contraire l'épaisseur de cette assise reste inchangée et égale à h, le débit Q' réellement obtenu avec le dispositif n° 1 bis sera supérieur à Q", c'est-à-dire à Q. En effet, la perte de charge en amont de la paroi du drain est alors inférieure à ce qu'elle est dans le cas ci-dessus, les sections de passage offertes au flux étant deux fois plus grandes, sauf à la paroi du drain où elle reste constante et égale, à 2dX2, pour chaque drain de hauteur réduite. 4° Nous ne pouvons pas exprimer directement Q' en fonction de Q" ou de Q. Nous savons seulement que pour h = h l'égalité Q' = Q est satisfaite et que Q' > Q" quel que soit h sauf pour h = 0 et h = h. La courbe représentative de Q' = f(h) est donc située au-dessus de la droite OA représentant la fonction. Pour faciliter l'établissement d'une relation entre Q' et Q, considérons l'écoulement plan, représenté par la figure n° 4. Il s'effectue sous les mêmes conditions de charge que celle affluente aux drains rayonnants considérés, mais son épaisseur, mesurée normalement au plan de la figure, est constante et égale à l'unité de longueur. La hauteur variable du drain captant est comme précédemment déterminée par h = . Soit q le débit recueilli pour h = h et q' le débit pour une valeur quelconque de h (Fig. 3). Par des considérations simples on peut montrer qu'au point de vue strictement théorique la courbe représentative de q' = f(h) est tangente en 0, à l'axe des débits, et en A à la droite, à l'axe des h menés par le point d'ordonnée q. De plus, comme PN et RM sont des équipotentielles et MN une ligne de courant, on peut, le cas échéant, par la méthode graphique évoquée précédemment, étudier complètement l'écoulement et définir ses caractères essentiels. En l'occurrence toutefois des considérations plus directes permettent d'obtenir un résultat suffisamment précis eu égard au but poursuivi qui est, nous le rappelons, d'établir une
plan de la figure, est constante et égale à l'unité de longueur. La hauteur variable du drain captant est comme précédemment déterminée par h = . Soit q le débit recueilli pour h = h et q' le débit pour une valeur quelconque de h (Fig. 3). Par des considérations simples on peut montrer qu'au point de vue strictement théorique la courbe représentative de q' = f(h) est tangente en 0, à l'axe des débits, et en A à la droite, à l'axe des h menés par le point d'ordonnée q. De plus, comme PN et RM sont des équipotentielles et MN une ligne de courant, on peut, le cas échéant, par la méthode graphique évoquée précédemment, étudier complètement l'écoulement et définir ses caractères essentiels. En l'occurrence toutefois des considérations plus directes permettent d'obtenir un résultat suffisamment précis eu égard au but poursuivi qui est, nous le rappelons, d'établir une comparaison entre les dispositifs n° I et n° II précédemment définis. Cette conclusion repose sur l'existence d'une vitesse infinie à la paroi du drain, lorsque \(\epsilon\) est infiniment petit. C'est une conception purement mathématique, sans réalité physique, à l'ensuite de la considération d'un potentiel de vitesses. En effet, pour \(\epsilon = h\), la perte de charge tout le long de l'écoulement de longueur L est constante et égale à \(j_{L}\). Le débit maximum \(q\) correspondant est alors égal à \(q = \dfrac{j_{L}}{L}\). Pour \(\epsilon = h\), la perte de charge est variable tout le long de L, allant constamment en croissant depuis la paroi extérieure \(PN\) du massif jusqu'à la paroi \(RM\) du drain. Le débit \(q'\) qui en résulte peut être calculé si l'on connaît la perte de charge à l'une ou l'autre de ces parois. Pour l'évaluer on peut considérer le volume réel intéressé par l'écoulement et qui est limité dans le plan de la fig. 4 par la ligne de courant inférieur \(MN\) et la ligne supérieure \(RS\). Le tracé de cette dernière, à défaut de l'étude graphique sus-visée, n'étant pas déterminé. À priori, nous ferons deux hypothèses consistant : 1° à remplacer la ligne réelle \(RS\)
= h\), la perte de charge tout le long de l'écoulement de longueur L est constante et égale à \(j_{L}\). Le débit maximum \(q\) correspondant est alors égal à \(q = \dfrac{j_{L}}{L}\). Pour \(\epsilon = h\), la perte de charge est variable tout le long de L, allant constamment en croissant depuis la paroi extérieure \(PN\) du massif jusqu'à la paroi \(RM\) du drain. Le débit \(q'\) qui en résulte peut être calculé si l'on connaît la perte de charge à l'une ou l'autre de ces parois. Pour l'évaluer on peut considérer le volume réel intéressé par l'écoulement et qui est limité dans le plan de la fig. 4 par la ligne de courant inférieur \(MN\) et la ligne supérieure \(RS\). Le tracé de cette dernière, à défaut de l'étude graphique sus-visée, n'étant pas déterminé. À priori, nous ferons deux hypothèses consistant : 1° à remplacer la ligne réelle \(RS\) par la droite \(RP\). Ceci revient à admettre que la hauteur \(y\) d'une section quelconque d'abscisse \(x\) a pour valeur : \(y = m + (h - L x)\) où \(j = IX.L\) est un coefficient précédemment défini, et dépendant de la nature du terrain. 2° en s'inspirant de l'hypothèse de Dupuit, à remplacer la ligne \(RS\) par une parabole du deuxième degré, telle que la hauteur \(y\) d'une section quelconque d'abscisse \(x\) a pour valeur \(y = mx + (h - L x)^2\). La première hypothèse permet d'établir aisément la relation \(q' = q X (h + \epsilon)\) qui donne \(q' = 0\) pour \(\epsilon = 0\) et \(q' = q\) pour \(\epsilon = h\), conditions aux limites satisfaisantes, sauf en ce qui concerne la valeur de \(dq'/dn\) qui pour \(n = h\) est différente de zéro. En revanche, du fait de l'erreur systématique, par défaut, commise sur la hauteur de toutes les sections intermédiaires de l'écoulement, cette hypothèse conduit, quel que soit \(\epsilon\), à une valeur de \(q'\) inférieure à la valeur réelle. La seconde hypothèse, par un calcul analogue au précédent, donne la relation : \(q' = \dfrac{q}{2 (1 + \epsilon)}\) de laquelle on déduit : \(q'
de Dupuit, à remplacer la ligne \(RS\) par une parabole du deuxième degré, telle que la hauteur \(y\) d'une section quelconque d'abscisse \(x\) a pour valeur \(y = mx + (h - L x)^2\). La première hypothèse permet d'établir aisément la relation \(q' = q X (h + \epsilon)\) qui donne \(q' = 0\) pour \(\epsilon = 0\) et \(q' = q\) pour \(\epsilon = h\), conditions aux limites satisfaisantes, sauf en ce qui concerne la valeur de \(dq'/dn\) qui pour \(n = h\) est différente de zéro. En revanche, du fait de l'erreur systématique, par défaut, commise sur la hauteur de toutes les sections intermédiaires de l'écoulement, cette hypothèse conduit, quel que soit \(\epsilon\), à une valeur de \(q'\) inférieure à la valeur réelle. La seconde hypothèse, par un calcul analogue au précédent, donne la relation : \(q' = \dfrac{q}{2 (1 + \epsilon)}\) de laquelle on déduit : \(q' = q\) pour \(\epsilon = 0\), et \(q' = q\) pour \(\epsilon = h\), une seule des conditions aux limites est donc satisfaite. Pour \(\epsilon = 0\), il n'en est plus de même, l'erreur commise sur la valeur de \(q'\) étant importante et égale à \(q/2\). On peut donc en inférer que pour les petites valeurs relatives de \(\epsilon\), les seules qui interviennent dans la comparaison poursuivie, la courbe réelle \(q' = f (q)\) est comprise entre la droite \(AC\) et la courbe \(AMO\) (fig. 5). En prenant pour \(q'\) la moyenne quadratique des deux valeurs sus-indiquées, soit : \(q' = \dfrac{q}{2 (1 + \epsilon)} + \dfrac{q}{2 (1 + 2 \epsilon)}\) on obtient une relation satisfaisant aux conditions aux limites soit : \(q' = 0\) pour \(\epsilon = 0\) et \(q' = q\) pour \(\epsilon = h\) et de plus, donnant, pour \(q\), dans toute la région utile de la courbe \(DMO\), une valeur approchée par excès de \(q' = f (q)\). Un raisonnement analogue fait sur le drain rayonnant lui-même, en considérant l'écoulement total comme la somme des écoulements élémentaires comprises entre deux lignes de courant consécutives (Fig. 2) conduit au même résultat et permet d'écrire, en conséquence, en
inférer que pour les petites valeurs relatives de \(\epsilon\), les seules qui interviennent dans la comparaison poursuivie, la courbe réelle \(q' = f (q)\) est comprise entre la droite \(AC\) et la courbe \(AMO\) (fig. 5). En prenant pour \(q'\) la moyenne quadratique des deux valeurs sus-indiquées, soit : \(q' = \dfrac{q}{2 (1 + \epsilon)} + \dfrac{q}{2 (1 + 2 \epsilon)}\) on obtient une relation satisfaisant aux conditions aux limites soit : \(q' = 0\) pour \(\epsilon = 0\) et \(q' = q\) pour \(\epsilon = h\) et de plus, donnant, pour \(q\), dans toute la région utile de la courbe \(DMO\), une valeur approchée par excès de \(q' = f (q)\). Un raisonnement analogue fait sur le drain rayonnant lui-même, en considérant l'écoulement total comme la somme des écoulements élémentaires comprises entre deux lignes de courant consécutives (Fig. 2) conduit au même résultat et permet d'écrire, en conséquence, en revenant aux débits considérés précédemment : \(A\) titre d'exemple pour concrétiser ce résultat intéressant si l'on fait \(h = 8\) mètres \(d = 0,30\) mètres soit \(j_{L} = 0,50\) on obtient \(q = 2.8\). Relation qui montre que dans le cas théorique envisagé il faudrait quatre dispositifs 1 bis (drains rayonnants de hauteur réelle) pour obtenir un débit égal à celui fourni par le dispositif n° II (puits classiques) ou, réciproquement, que 2 puits de ce dernier donneraient un débit égal à celui du dispositif n° II bis. Dans ces conditions il ne paraît pas utile d'entrer dans le détail d'un devis pour émettre une conclusion, ne serait-ce que provisoire, en ce qui concerne l'économie relative des procédés comparés. Ce nouvel élément d'appréciation présente un intérêt capital si l'on tient compte qu'il résulte de considérations interprétées dans un sens systématiquement favorable au puits à drains rayonnants. On peut objecter, cependant, à la comparaison qui précède, de s'appuyer sur un cas spécial : celui d'une nappe, en charge au lieu d'une nappe libre alluvionnaire; analogue à celles que l'on rencontre généralement dans les vallées des fleuves et rivières. Mais le reproche ne serait guère fondé. Pour passer du cas étudié au
rayonnants de hauteur réelle) pour obtenir un débit égal à celui fourni par le dispositif n° II (puits classiques) ou, réciproquement, que 2 puits de ce dernier donneraient un débit égal à celui du dispositif n° II bis. Dans ces conditions il ne paraît pas utile d'entrer dans le détail d'un devis pour émettre une conclusion, ne serait-ce que provisoire, en ce qui concerne l'économie relative des procédés comparés. Ce nouvel élément d'appréciation présente un intérêt capital si l'on tient compte qu'il résulte de considérations interprétées dans un sens systématiquement favorable au puits à drains rayonnants. On peut objecter, cependant, à la comparaison qui précède, de s'appuyer sur un cas spécial : celui d'une nappe, en charge au lieu d'une nappe libre alluvionnaire; analogue à celles que l'on rencontre généralement dans les vallées des fleuves et rivières. Mais le reproche ne serait guère fondé. Pour passer du cas étudié au dernier cas visé, il suffit de faire (Fig." 6) H1 + h et H2 + H1 + h. Certes, en pareille occurrence l'écoulement plan, résultat des hypothèses précédentes, disparaît et l'on se trouve alors devant le problème général, avec les difficultés théoriques qu'il comporte et auxquelles nous avons fait allusion ci-dessus. Mais un examen approfondi de la question n'en montre pas moins que toutes les conclusions émises ci-avant gardent leur valeur. Si l'on se reporte à la figure (6), en effet, il apparaît que pour toute la partie de la tranche d'eau d'épaisseur H2 en écoulement vers le puits du dispositif n° II ou le drain, du n° I, la considération de l'écoulement plan est encore justifiée, la différence de charge entre les extrémités d'une ligne de courant quelconque étant encore constante et égale (H1-H2)... . Pour la partie située au-dessus de cette épaisseur, c'est-à-dire dans la tranche comprise entre H2 et H1, il n'en est plus de même, car, si la charge est toujours constante et égale à H1 sur la paroi extérieure du massif filtrant, à la surface intérieure des puits captants P, P2, Pg, P8 et des drains du dispositif n° I, elle est variable et égale
ci-dessus. Mais un examen approfondi de la question n'en montre pas moins que toutes les conclusions émises ci-avant gardent leur valeur. Si l'on se reporte à la figure (6), en effet, il apparaît que pour toute la partie de la tranche d'eau d'épaisseur H2 en écoulement vers le puits du dispositif n° II ou le drain, du n° I, la considération de l'écoulement plan est encore justifiée, la différence de charge entre les extrémités d'une ligne de courant quelconque étant encore constante et égale (H1-H2)... . Pour la partie située au-dessus de cette épaisseur, c'est-à-dire dans la tranche comprise entre H2 et H1, il n'en est plus de même, car, si la charge est toujours constante et égale à H1 sur la paroi extérieure du massif filtrant, à la surface intérieure des puits captants P, P2, Pg, P8 et des drains du dispositif n° I, elle est variable et égale pour un point considéré, à la hauteur y de ce point au-dessus du substratum de la nappe. Du fait de l'action des drains et des puits, suivant le dispositif, la surface libre de la nappe en écoulement, qui était nécessairement horizontale, dans le cas de la nappe captive, présente alors la forme d'une surface topographique avec des « creux », des « nœuds », constitués par les zones de dépression créées autour des puits et au-dessus des drains par l'écoulement du flux. Toutefois si l'on veut bien se rappeler que les auteurs sont d'accord pour admettre, aussi bien dans le cas du puits que dans celui du drain, que l'erreur commise en intégrant ces zones de dépression dans l'écoulement est pratiquement négligeable, il apparaît que le problème de l'écoulement dans la partie du massif filtrant située au-dessus du plan horizontal de cote H2 peut être convenablement traité par la considération d'un écoulement moyen afférent à un plan // au substratum et ayant pour cote. Sans allonger démesurément la présente étude, on arrive en additionnant les résultats pratiques aux deux parties ainsi définies, dans les écoulements auxquels donnent lieu les deux dispositifs théoriques n° I et n° II, à des conclusions
la forme d'une surface topographique avec des « creux », des « nœuds », constitués par les zones de dépression créées autour des puits et au-dessus des drains par l'écoulement du flux. Toutefois si l'on veut bien se rappeler que les auteurs sont d'accord pour admettre, aussi bien dans le cas du puits que dans celui du drain, que l'erreur commise en intégrant ces zones de dépression dans l'écoulement est pratiquement négligeable, il apparaît que le problème de l'écoulement dans la partie du massif filtrant située au-dessus du plan horizontal de cote H2 peut être convenablement traité par la considération d'un écoulement moyen afférent à un plan // au substratum et ayant pour cote. Sans allonger démesurément la présente étude, on arrive en additionnant les résultats pratiques aux deux parties ainsi définies, dans les écoulements auxquels donnent lieu les deux dispositifs théoriques n° I et n° II, à des conclusions analogues, pour ne pas dire identiques, à celles précédemment indiquées, de sorte que le débit commun aux deux systèmes peut encore être représenté par un même symbole, soit Q. Pour passer au dispositif n° I bis, le problème est un peu plus délicat que précédemment, du fait de la complexité du phénomène par rapport à celui auquel donnait lieu la nappe artésienne précédemment considérée. Le drain de hauteur réduite remplaçant le « collecteur » réel étant placé au voisinage du substratum, c'est-à-dire dans les meilleures conditions pour utiliser la charge maximum disponible (H1 - H2), bénéficiera d'un débit Q1' relativement plus grand par rapport à Qi' que ne l'était Q' par rapport à Q. Autrement dit, alors que dans le cas de la nappe en charge nous avons obtenu dans le cas présent l'on doit nécessairement avoir. On peut obtenir une valeur très approchée de k par un raisonnement simple, du fait que dans tous les écoulements envisagés la loi de Darcy reste applicable. En effet, avec la nappe en charge, la perte de charge était constante dans tous les plans de l'écoulement et égale à (H1 - H2) = H.. Dans le cas de la nappe alluvionnaire libre ceci
du phénomène par rapport à celui auquel donnait lieu la nappe artésienne précédemment considérée. Le drain de hauteur réduite remplaçant le « collecteur » réel étant placé au voisinage du substratum, c'est-à-dire dans les meilleures conditions pour utiliser la charge maximum disponible (H1 - H2), bénéficiera d'un débit Q1' relativement plus grand par rapport à Qi' que ne l'était Q' par rapport à Q. Autrement dit, alors que dans le cas de la nappe en charge nous avons obtenu dans le cas présent l'on doit nécessairement avoir. On peut obtenir une valeur très approchée de k par un raisonnement simple, du fait que dans tous les écoulements envisagés la loi de Darcy reste applicable. En effet, avec la nappe en charge, la perte de charge était constante dans tous les plans de l'écoulement et égale à (H1 - H2) = H.. Dans le cas de la nappe alluvionnaire libre ceci n'est vrai que pour les plans // au substratum ayant une cote inférieure à H2. Pour ceux de cote comprise entre et H2 la charge qui préside à l'écoulement dans le plan moyen n'est plus que de dans ces conditions l'on peut poser. Or le drain de hauteur réduite fl = d/2 du dispositif n° I bis fonctionne dans les mêmes conditions de charge que dans le cas précédent, c'est-à-dire sous une charge constante égale à (H1 - H2), dans ces conditions son débit Q1', par rapport au nouveau débit Q' des dispositifs n° 1 et n° II dans le cas d'une nappe alluvionnaire devient: Relation qui confirme ce que nous avancions ci-avant, savoir que dans le cas de la nappe libre le dispositif à drains rayonnants a un meilleur rendement relatif que dans le cas de la nappe en charge. (1) Dans ce cas la hauteur de la nappe en écoulement est Hi, que l'on doit substituer à h, dans la formule précédemment établie. C'est ainsi que si, reprenant l'exemple numérique déjà considéré, dans le cas de la nappe en charge, on fait H1 = 8 mètres et H2 = 2 m 00 par exemple, correspondant à une dépression
= d/2 du dispositif n° I bis fonctionne dans les mêmes conditions de charge que dans le cas précédent, c'est-à-dire sous une charge constante égale à (H1 - H2), dans ces conditions son débit Q1', par rapport au nouveau débit Q' des dispositifs n° 1 et n° II dans le cas d'une nappe alluvionnaire devient: Relation qui confirme ce que nous avancions ci-avant, savoir que dans le cas de la nappe libre le dispositif à drains rayonnants a un meilleur rendement relatif que dans le cas de la nappe en charge. (1) Dans ce cas la hauteur de la nappe en écoulement est Hi, que l'on doit substituer à h, dans la formule précédemment établie. C'est ainsi que si, reprenant l'exemple numérique déjà considéré, dans le cas de la nappe en charge, on fait H1 = 8 mètres et H2 = 2 m 00 par exemple, correspondant à une dépression de pompage de 6 mètres, on obtient : Ce dernier résultat montre que dans l'exemple considéré le dispositif no II (puits classiques) donne encore un débit deux fois et demie supérieur à celui des drains rayonnants et que 3 puits captants au maximum suffiraient pour remplacer ce dernier. Dans de telles conditions, il n'apparaît pas plus nécessaire que précédemment d'entrer dans les détails d'un devis pour montrer le caractère plus économique du dispositif no II (puits classiques). Les conclusions qui précèdent, déduites de l'étude du cas particulier où le nombre de rayons est égal à huit, doivent évidemment être quelque peu nuancées pour des nombres de drains différents. Huit drains nous ont paru constituer un nombre optimum, au-dessous duquel on peut considérer que le principe même sur lequel est fondée l'utilisation de ce dispositif, qui, essentiellement, consiste à « augmenter la surface captante par la multiplication des drains », n'est utilisé que d'une façon médiocre. Quoi qu'il en soit des études graphiques sommaires, analogues à celle développée ci-avant, conduisant aux conclusions suivantes : Lorsque le nombre de drains diminue, passant successivement à 6 et à 4, par exemple, la longueur de la partie active de chaque drain augmente et, dans
telles conditions, il n'apparaît pas plus nécessaire que précédemment d'entrer dans les détails d'un devis pour montrer le caractère plus économique du dispositif no II (puits classiques). Les conclusions qui précèdent, déduites de l'étude du cas particulier où le nombre de rayons est égal à huit, doivent évidemment être quelque peu nuancées pour des nombres de drains différents. Huit drains nous ont paru constituer un nombre optimum, au-dessous duquel on peut considérer que le principe même sur lequel est fondée l'utilisation de ce dispositif, qui, essentiellement, consiste à « augmenter la surface captante par la multiplication des drains », n'est utilisé que d'une façon médiocre. Quoi qu'il en soit des études graphiques sommaires, analogues à celle développée ci-avant, conduisant aux conclusions suivantes : Lorsque le nombre de drains diminue, passant successivement à 6 et à 4, par exemple, la longueur de la partie active de chaque drain augmente et, dans les conditions sus-visées, devient égale approximativement à 0,38 m, 0,43 m. Lorsque, le nombre de drains augmente, le phénomène s'inverse et la longueur utile du drain diminue. C'est ainsi que pour 12 drains, elle serait de l'ordre de 0,25 m. Autrement dit l'utilisation du dispositif à drains rayonnants est d'autant meilleure que le nombre de drains diminue, ce qui est en opposition de fait avec le principe susévoqué. En ce qui concerne les débits, les conclusions précédentes subsistent. Quel que soit le nombre de drains, les débits fournis par les dispositifs no 1 et no II (nappe en charge) envisagés sont comparables, et ceux fournis par les dispositifs no 1 bis et no II dans le cas de la nappe libre dans le même rapport qu'indiqué précédemment. Pour terminer il y a lieu de faire remarquer, toutefois, que ces conclusions ne sont valables dans leur généralité, que dans le cas où il s'agit d'une nappe alluvionnaire de profondeur limitée pouvant se satisfaire d'une batterie de puits classiques susceptibles d'être exploitée par un réseau d'aspiration unique. Toutes les nappes alluvionnaires dont la profondeur de substratum ne dépasse pas 10 à 12 mètres ainsi que les nappes plus importantes mais dont on