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pompe centrifuge. On peut citer encore une innovation qui peut avoir un grand succès pour la navigation; c'est une hélice de bateau à vapeur d'une seule pièce en acier de M. Dalifol. Les ruptures d'ailes sont des accidents encore très fréquents, et il est certain que l'emploi d'hélices en acier forgé et étiré donnerait une sécurité qui fait défaut aujourd'hui. Tel est à peu près ce que la galerie des machines renferme de plus saillant. Comme progrès industriel, tout se réduit, comme on le voit, à quelques perfectionnements dans les moteurs ou dans la fabrication. La galerie suivante est occupée par des métiers, en petit nombre, et une profusion de machines à coudre. Puis viennent les produits fabriqués d'industries diverses. Les expositions de tissus occupent naturellement une large place et plusieurs galeries. En résumé, l'exposition de Lyon est conçue sur un plan grandiose, et si l'on tient compte de l'absence de l'élément étranger et de plusieurs grandes industries, la navigation et les chemins de fer, on peut dire que le résultat dépasse ce que l'on pouvait attendre dans les circonstances actuelles, et en raison des difficultés que les promoteurs ont eu à vaincre. Il a été beaucoup question, dans ces derniers temps, d'un fait sans précédent dans notre histoire industrielle, de fournitures de charbons faites à l'Angleterre par les bassins du Nord et du Pas-de-Calais. On commençait même à s'émouvoir de marchés considérables qui venaient, dit-on, d'être passés pour des quantités importantes. Le fait de l'expédition de charbons français en Angleterre est constant, mais celui de la commande des 250,000 tonnes, dont on parlait, est démenti par la lettre suivante adressée au journal le Temps, et que nous nous empressons de reproduire. " Douai, le 23 septembre. » La presse française annonce que les houillères du Pas-de-Calais ont conclu, avec des maisons anglaises, des marchés pour la fourniture de 250,000 tonnes de charbon. » Le comité s'est ému de cette nouvelle qui, renseignements pris auprès de toutes les houillères, a été reconnue inexacte. » Il importe donc de la démentir au plus tôt, et de rassurer les industriels français qui
derniers temps, d'un fait sans précédent dans notre histoire industrielle, de fournitures de charbons faites à l'Angleterre par les bassins du Nord et du Pas-de-Calais. On commençait même à s'émouvoir de marchés considérables qui venaient, dit-on, d'être passés pour des quantités importantes. Le fait de l'expédition de charbons français en Angleterre est constant, mais celui de la commande des 250,000 tonnes, dont on parlait, est démenti par la lettre suivante adressée au journal le Temps, et que nous nous empressons de reproduire. " Douai, le 23 septembre. » La presse française annonce que les houillères du Pas-de-Calais ont conclu, avec des maisons anglaises, des marchés pour la fourniture de 250,000 tonnes de charbon. » Le comité s'est ému de cette nouvelle qui, renseignements pris auprès de toutes les houillères, a été reconnue inexacte. » Il importe donc de la démentir au plus tôt, et de rassurer les industriels français qui auraient pu la considérer comme véritable. » Je viens donc vous prier, monsieur le directeur, de vouloir bien démentir, dans un de vos prochains numéros, ces prétendus marchés faits avec l'Angleterre par les compagnies houillères du Pas-de-Calais. » Veuillez agréer, etc. » C. MATHIEU, » Secrétaire du Comité des houillères du Nord et du Pas-de-Calais. » RESISTANCE DES MATÉRIAUX SUR FACES RÉDUITES. MÉTHODE GRAPHIQUE APPLICABLE À LA RECHERCHE DES CENTRES DE GRAVITÉ, CENTRES D'INERTIE, RAYONS DE GIRATION, MOMENTS, MOMENTS D'INERTIE, MOMENTS FLÉCHISSANTS, ETC.; EN UN MOT, À TOUSÉS SOMMATION DE LA FORME Q = 2 (xmydx) (i). Planches 77 et 78. 1. — Toute expression de la forme Q = 2(a.™.-i/da.) (2), dans laquelle y et x sont des variables reliées l'une à l'autre par une loi quelconque, continue ou discontinue, m et n des exposants entiers arbitraires, peut être considérée comme représentant : 1. Les lecteurs des Annales Industrielles connaissent un instrument très ingénieux, l' Intégromètre (v. colonne 238), dû à M. Marcel Deprez, qui résout le même problème ou à peu près. Toutefois la méthode des surfaces réduites, déjà exposée d'ailleurs, bien que sous une autre forme, dans le Bulletin de la Société amicale des anciens élèves de
du Nord et du Pas-de-Calais. » RESISTANCE DES MATÉRIAUX SUR FACES RÉDUITES. MÉTHODE GRAPHIQUE APPLICABLE À LA RECHERCHE DES CENTRES DE GRAVITÉ, CENTRES D'INERTIE, RAYONS DE GIRATION, MOMENTS, MOMENTS D'INERTIE, MOMENTS FLÉCHISSANTS, ETC.; EN UN MOT, À TOUSÉS SOMMATION DE LA FORME Q = 2 (xmydx) (i). Planches 77 et 78. 1. — Toute expression de la forme Q = 2(a.™.-i/da.) (2), dans laquelle y et x sont des variables reliées l'une à l'autre par une loi quelconque, continue ou discontinue, m et n des exposants entiers arbitraires, peut être considérée comme représentant : 1. Les lecteurs des Annales Industrielles connaissent un instrument très ingénieux, l' Intégromètre (v. colonne 238), dû à M. Marcel Deprez, qui résout le même problème ou à peu près. Toutefois la méthode des surfaces réduites, déjà exposée d'ailleurs, bien que sous une autre forme, dans le Bulletin de la Société amicale des anciens élèves de l'École Centrale de Paris (v. mars 1872, mérite d'être connue, parce qu'elle porte en elle un principe qui peut être appliqué fructueusement en bien des circonstances. Pour la signification des symboles, voir au n° 20. QUATRIÈME ANNÉE. 29 SEPTEMBRE 1872. y et x peuvent d'ailleurs représenter une ligne, une surface, un volume, etc. Il n'y a pas d'intérêt à chercher de nouvelles méthodes pour évaluer c'est-à-dire des quantités représentables par une ligne ou une surface. Les mesures directes par les moyens géométriques connus ou par le planimètre et la pesée y suffisent; et l'on devrait s'estimer heureux si l'on disposait de procédés aussi simples et aussi exacts pour trouver la somme des exposants m + n étant égale ou supérieure à 2. C'est le but qui est proposé par l'emploi de ce que j'appelle les surfaces réduites. Je considérerai la fonction en donnant d'abord à m les valeurs successives 1 et 2; et à n la valeur 1; en supposant, pour fixer les idées, que y et x représentent des quantités simplement linéaires, reliées entre elles par une loi quelconque. SOIT AB (fig. 1) la courbe traduisant géométriquement la loi qui lie y à x. Le produit y dx est
un volume, etc. Il n'y a pas d'intérêt à chercher de nouvelles méthodes pour évaluer c'est-à-dire des quantités représentables par une ligne ou une surface. Les mesures directes par les moyens géométriques connus ou par le planimètre et la pesée y suffisent; et l'on devrait s'estimer heureux si l'on disposait de procédés aussi simples et aussi exacts pour trouver la somme des exposants m + n étant égale ou supérieure à 2. C'est le but qui est proposé par l'emploi de ce que j'appelle les surfaces réduites. Je considérerai la fonction en donnant d'abord à m les valeurs successives 1 et 2; et à n la valeur 1; en supposant, pour fixer les idées, que y et x représentent des quantités simplement linéaires, reliées entre elles par une loi quelconque. SOIT AB (fig. 1) la courbe traduisant géométriquement la loi qui lie y à x. Le produit y dx est un élément ah de l'aire de la courbe; le produit x dy est le moment de cet élément par rapport à l'axe OY. La somme est donc le moment de l'aire tout entière; et l'on sait que si a représente la distance à l'axe OY du centre de gravité de cette aire, on est en droit d'écrire c'est la définition même du centre de gravité. Soit maintenant v une longueur constante quelconque, il est permis de poser: Si à une distance v de O on trace une parallèle CB, à l'axe des y, qu'on mène ae, puis Oc, on a, par suite de la similitude des triangles Oah, OBC, et de l'égalité "C= ah: par conséquent La surface dai - a'hdx est ce que j'appelle la surface réduite de l'élément ah = ydx = dw. La même construction pouvant se faire pour tous les éléments de l'aire n de la courbe AB, on aura, en somme, une nouvelle courbe A'B, et une nouvelle aire r^ de cette courbe. L'expression établie plus haut, reviendra donc à: d'où l'on pourra conclure c'est-à-dire la distance à l'axe OY du centre de gravité de la surface fi; dès que l'on connaîtra la valeur de
cette aire, on est en droit d'écrire c'est la définition même du centre de gravité. Soit maintenant v une longueur constante quelconque, il est permis de poser: Si à une distance v de O on trace une parallèle CB, à l'axe des y, qu'on mène ae, puis Oc, on a, par suite de la similitude des triangles Oah, OBC, et de l'égalité "C= ah: par conséquent La surface dai - a'hdx est ce que j'appelle la surface réduite de l'élément ah = ydx = dw. La même construction pouvant se faire pour tous les éléments de l'aire n de la courbe AB, on aura, en somme, une nouvelle courbe A'B, et une nouvelle aire r^ de cette courbe. L'expression établie plus haut, reviendra donc à: d'où l'on pourra conclure c'est-à-dire la distance à l'axe OY du centre de gravité de la surface fi; dès que l'on connaîtra la valeur de cette surface, et celle de sa surface réduite, dans un rapport qui dépend du choix de la quantité arbitraire v. On comprend, sans peine, que la construction qui vient d'être faite pour la recherche de la distance a, à l'axe des y, du centre de gravité de l'aire de la courbe AB, c'est-à-dire de la surface ABCD, pourrait se répéter identiquement, pour la recherche de la distance h, du centre de gravité de la même surface, à un autre axe quelconque, oblique par rapport au premier, par exemple par rapport à l'axe OX. On aurait ainsi deux coordonnées du centre de gravité cherché, ce qui déterminerait sa position. SOIT AB (fig. 1) la courbe traduisant géométriquement la loi qui lie y à x. Le produit y dx est un élément ah de l'aire de la courbe; le produit x dy est le moment de cet élément par rapport à l'axe OY. La somme est donc le moment de l'aire tout entière; et l'on sait que si a représente la distance à l'axe OY du centre de gravité de cette aire, on est en droit d'écrire c'est la définition même du centre de gravité. Soit maintenant v une longueur constante quelconque,
courbe AB, c'est-à-dire de la surface ABCD, pourrait se répéter identiquement, pour la recherche de la distance h, du centre de gravité de la même surface, à un autre axe quelconque, oblique par rapport au premier, par exemple par rapport à l'axe OX. On aurait ainsi deux coordonnées du centre de gravité cherché, ce qui déterminerait sa position. SOIT AB (fig. 1) la courbe traduisant géométriquement la loi qui lie y à x. Le produit y dx est un élément ah de l'aire de la courbe; le produit x dy est le moment de cet élément par rapport à l'axe OY. La somme est donc le moment de l'aire tout entière; et l'on sait que si a représente la distance à l'axe OY du centre de gravité de cette aire, on est en droit d'écrire c'est la définition même du centre de gravité. Soit maintenant v une longueur constante quelconque, il est permis de poser: Si à une distance v de O on trace une parallèle CB, à l'axe des y, qu'on mène ae, puis Oc, on a, par suite de la similitude des triangles Oah, OBC, et de l'égalité "C= ah: par conséquent La surface dai - a'hdx est ce que j'appelle la surface réduite de l'élément ah = ydx = dw. La même construction pouvant se faire pour tous les éléments de l'aire n de la courbe AB, on aura, en somme, une nouvelle courbe A'B, et une nouvelle aire r^ de cette courbe. L'expression établie plus haut, reviendra donc à: d'où l'on pourra conclure c'est-à-dire la distance à l'axe OY du centre de gravité de la surface fi; dès que l'on connaîtra la valeur de cette surface, et celle de sa surface réduite, dans un rapport qui dépend du choix de la quantité arbitraire v. On comprend, sans peine, que la construction qui vient d'être faite pour la recherche de la distance a, à l'axe des y, du centre de gravité de l'aire de la courbe AB, c'est-à-dire de la surface ABCD, pourrait se répéter identiquement, pour la recherche de la distance h, du centre de gravité
ce que j'appelle la surface réduite de l'élément ah = ydx = dw. La même construction pouvant se faire pour tous les éléments de l'aire n de la courbe AB, on aura, en somme, une nouvelle courbe A'B, et une nouvelle aire r^ de cette courbe. L'expression établie plus haut, reviendra donc à: d'où l'on pourra conclure c'est-à-dire la distance à l'axe OY du centre de gravité de la surface fi; dès que l'on connaîtra la valeur de cette surface, et celle de sa surface réduite, dans un rapport qui dépend du choix de la quantité arbitraire v. On comprend, sans peine, que la construction qui vient d'être faite pour la recherche de la distance a, à l'axe des y, du centre de gravité de l'aire de la courbe AB, c'est-à-dire de la surface ABCD, pourrait se répéter identiquement, pour la recherche de la distance h, du centre de gravité de la même surface, à un autre axe quelconque, oblique par rapport au premier, par exemple par rapport à l'axe OX. On aurait ainsi deux coordonnées du centre de gravité cherché, ce qui déterminerait sa position. La relation permet d'écrire évidemment : Soit étant la surface réduite première de et par conséquent la surface réduite seconde de , comme l'expriment les indices; donc l'expression du moment d'inertie peut encore se mettre sous la forme On eût pu arriver directement à cette dernière expression; en effet il n'y a qu'à poser : car réduire l'élément de surface dydx, dans le rapport-, c'est le réduire, une première fois, dans le rapport-; puis une deuxième fois, dans le rapport -, c'est-à-dire prendre sa surface réduite seconde. Connaissant le moment d'inertie Iu, d'une figure plane, par rapport à un axe quelconque OY, il est très facile d'obtenir le moment d'inertie Ig, par rapport à un axe parallèle au premier, passant par son centre de gravité, dès que l'on connaît l'aire fi de la figure, et la distance a, à l'axe OY, du centre de gravité de cette aire. En effet il y a entre les deux moments d'inertie la relation connue : laquelle, en
par conséquent la surface réduite seconde de , comme l'expriment les indices; donc l'expression du moment d'inertie peut encore se mettre sous la forme On eût pu arriver directement à cette dernière expression; en effet il n'y a qu'à poser : car réduire l'élément de surface dydx, dans le rapport-, c'est le réduire, une première fois, dans le rapport-; puis une deuxième fois, dans le rapport -, c'est-à-dire prendre sa surface réduite seconde. Connaissant le moment d'inertie Iu, d'une figure plane, par rapport à un axe quelconque OY, il est très facile d'obtenir le moment d'inertie Ig, par rapport à un axe parallèle au premier, passant par son centre de gravité, dès que l'on connaît l'aire fi de la figure, et la distance a, à l'axe OY, du centre de gravité de cette aire. En effet il y a entre les deux moments d'inertie la relation connue : laquelle, en vertu de et de , peut s'écrire Les formules et sont commodes, dans la flexion plane des solides, parce qu'elles permettent de faire la construction des surfaces réduites, pour la recherche du moment d'inertie, par rapport à un axe qui ne passe pas nécessairement par le centre de gravité, lequel n'est pas déterminé au début le plus souvent. 7. — Dans la flexion plane d'une poutre prismatique, sous l'action de forces perpendiculaires à son axe, la théorie de la résistance des matériaux apprend qu'il y a entre le moment fléchissant M des forces extérieures, qui font ployer la poutre, et les dimensions de la section transversale dans laquelle on considère l'effet de la flexion, la relation : dans laquelle R est l'effort maximum par unité de surface auquel doit être soumis l'élément de la section le plus fatigué; v la distance de cet élément à l'axe d'inertie; I le moment d'inertie de la section considérée. Dans la construction indiquée n° 3 la distance v est arbitraire ; rien n'empêche donc de la prendre égale à la distance à l'axe OY, de la fibre la plus fatiguée, dont il vient d'être parlé; d'autre part, R est une constante connue d'avance; et
n'est pas déterminé au début le plus souvent. 7. — Dans la flexion plane d'une poutre prismatique, sous l'action de forces perpendiculaires à son axe, la théorie de la résistance des matériaux apprend qu'il y a entre le moment fléchissant M des forces extérieures, qui font ployer la poutre, et les dimensions de la section transversale dans laquelle on considère l'effet de la flexion, la relation : dans laquelle R est l'effort maximum par unité de surface auquel doit être soumis l'élément de la section le plus fatigué; v la distance de cet élément à l'axe d'inertie; I le moment d'inertie de la section considérée. Dans la construction indiquée n° 3 la distance v est arbitraire ; rien n'empêche donc de la prendre égale à la distance à l'axe OY, de la fibre la plus fatiguée, dont il vient d'être parlé; d'autre part, R est une constante connue d'avance; et si l'on observe que, dans le cas dont s'agit, l'axe d'inertie OY, qui doit rencontrer la fibre neutre, passe justement par le centre de gravité de la section, on reconnaît qu'il la coupe en deux portions n et n' telles que la condition dont il a été parlé au n° 4 se trouve remplie, savoir : enfin le moment d'inertie de la section est la somme des moments d'inertie de chacune des portions o et a' de cette section, c'est-à-dire qu'on a dans : Il résulte de là que la formule peut s'écrire : III. — SOMMATION DES FONCTIONS DE LA FORME 8. — Ce qui précède suffit à la recherche des centres de gravité, centres d'inertie, rayons de circonférence, moments, moments d'inertie, moments fléchissants; mais on peut pousser plus loin l'application de la méthode des surfaces réduites, et lui donner un caractère de généralité. La marche à suivre est toujours la même. Si, par exemple : m = 3, n = 1, on pourra toujours poser : et réduire l'élément de surface ydx, c'est-à-dire l'ordonnée y de la courbe représentant la loi, continue ou discontinue, qui relie y à x, dans le rapport —, par la construction de la
4 se trouve remplie, savoir : enfin le moment d'inertie de la section est la somme des moments d'inertie de chacune des portions o et a' de cette section, c'est-à-dire qu'on a dans : Il résulte de là que la formule peut s'écrire : III. — SOMMATION DES FONCTIONS DE LA FORME 8. — Ce qui précède suffit à la recherche des centres de gravité, centres d'inertie, rayons de circonférence, moments, moments d'inertie, moments fléchissants; mais on peut pousser plus loin l'application de la méthode des surfaces réduites, et lui donner un caractère de généralité. La marche à suivre est toujours la même. Si, par exemple : m = 3, n = 1, on pourra toujours poser : et réduire l'élément de surface ydx, c'est-à-dire l'ordonnée y de la courbe représentant la loi, continue ou discontinue, qui relie y à x, dans le rapport —, par la construction de la longueur réduite, répétée trois fois. On aura ainsi la surface réduite troisième de l'aire de la courbe donnée y = F (x). Et ainsi de suite tant que n = 1. Quelle que soit la valeur de l'exposant m pourvu qu'elle soit entière et positive, on aurait par le même procédé une surface réduite mième et par suite : 9. — Au lieu de prendre la surface réduite mième on pourrait encore prendre la surface réduite (m — 1)ième et poser : Il y aurait à chercher, cette fois, outre la surface réduite (m — 1)ième, la distance am-i de son centre de gravité à l'axe OY; ce que l'on peut faire. Si l'exposant m avait une valeur entière, mais négative, la méthode serait encore applicable, seulement la construction se ferait d'une manière un peu différente. Soit par exemple à trouver la sommation : on peut écrire, suivant la même marche que précédemment : Soit figure 2 comme plus haut, n° 2, AB la courbe traduisant géométriquement la loi qui lie y à x : il s'agit de réduire l'élément de surface ah, non plus dans le rapport déjà dans le rapport de —-, c'est-à-dire, dans le rapport de -.
procédé une surface réduite mième et par suite : 9. — Au lieu de prendre la surface réduite mième on pourrait encore prendre la surface réduite (m — 1)ième et poser : Il y aurait à chercher, cette fois, outre la surface réduite (m — 1)ième, la distance am-i de son centre de gravité à l'axe OY; ce que l'on peut faire. Si l'exposant m avait une valeur entière, mais négative, la méthode serait encore applicable, seulement la construction se ferait d'une manière un peu différente. Soit par exemple à trouver la sommation : on peut écrire, suivant la même marche que précédemment : Soit figure 2 comme plus haut, n° 2, AB la courbe traduisant géométriquement la loi qui lie y à x : il s'agit de réduire l'élément de surface ah, non plus dans le rapport déjà dans le rapport de —-, c'est-à-dire, dans le rapport de -. Cela est bien facile. En effet, si, à une distance v de O, on trace une parallèle CB, à l'axe des y; que l'on mène Oa prolongé jusqu'en e; puis a' en e; on a, par suite de la similitude des triangles O e C, Oah; et de l'égalité e C = a'h: la surface da-i est ce que l'on peut appeler la surface réduite inverse de l'élément ah = da. On obtient ainsi la courbe A' B, etc. Tout ce qui vient d'être dit concernant les valeurs entières et positives de l'exposant m s'applique donc également à des valeurs entières et négatives. Si, au lieu d'avoir la valeur 1, l'exposant de y avait une valeur entière quelconque positive ou négative; c'est-à-dire, si l'on avait réellement à faire une sommation de la forme : on pourrait toujours poser : On commencerait alors par réduire l'élément de surface ydx, c'est-à-dire, tout simplement l'ordonnée y, dans le rapport —, par la construction de la surface réduite mentionnée figures 1 et 2, suivant que m est positif ou négatif; puis on réduirait de nouveau cette ordonnée réduite même, dans le rapport ~. Par une construction très-analogue indiquée dans la figure 3. Soit amh
C = a'h: la surface da-i est ce que l'on peut appeler la surface réduite inverse de l'élément ah = da. On obtient ainsi la courbe A' B, etc. Tout ce qui vient d'être dit concernant les valeurs entières et positives de l'exposant m s'applique donc également à des valeurs entières et négatives. Si, au lieu d'avoir la valeur 1, l'exposant de y avait une valeur entière quelconque positive ou négative; c'est-à-dire, si l'on avait réellement à faire une sommation de la forme : on pourrait toujours poser : On commencerait alors par réduire l'élément de surface ydx, c'est-à-dire, tout simplement l'ordonnée y, dans le rapport —, par la construction de la surface réduite mentionnée figures 1 et 2, suivant que m est positif ou négatif; puis on réduirait de nouveau cette ordonnée réduite même, dans le rapport ~. Par une construction très-analogue indiquée dans la figure 3. Soit amh l'ordonnée réduite même, d'une courbe AB, yn-1 qu'il s'agit de réduire encore dans le rapport '——. Si n est positif, on prendra a1 h = ah puis axC = v; on mènera amen = i, puis en i a2; an-h sera l'ordonnée a2,h, réduite dans le rapport -. En effet, par suite de la similitude des triangles axan = h, axen = C; et des égalités en = C = amh, axh = ah, on peut écrire : Si n est négatif, on prendra encore aLh = ah, fftG = D; on mènera alam prolongé jusqu'en e'n-; puis e'n-i a'n-i, et l'on aura : Une deuxième construction semblable donnerait amh, réduite dans le rapport —;, et une (n — 1)ème construction la valeur cherchée. On peut donc dire, d'une manière générale, que toute sommation de la forme : dans laquelle les deux variables x et y sont affectées d'exposants entiers, positifs ou négatifs, et reliées par une loi quelconque, continue ou discontinue, peut, dès que cette loi est traduite par une courbe, s'effectuer par la méthode ici présentée, sous le nom de surfaces réduites directes ou inverses, suivant le signe des exposants — ce qui s'exprime par la notation :