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Soient G0 le milieu de BG, et H0 l'orthocentre du triangle AC0. Je dis que le lieu A est une parabole ayant pour sommet H0 et pour axe C0 H0. En effet, soit H l'orthocentre du triangle quelconque ACB de la question; menons HP perpendiculaire à CH0, et démontrons que le rapport HP : H0P est constant. Les triangles BH0Q, GAQ étant semblables, on a Cette relation s'applique également au point H0 pour lequel a1 = 0, y = 0; donc Par conséquent II. — L'enveloppe de la hauteur BH (fig. 703) est une parabole dont l'axe est dirigé suivant BH perpendiculaire à AH. En effet, soient AC1, AG'B', deux triangles infiniment voisins, et BD, BD' leurs hauteurs se coupant en N ; menons les coordonnées NX = x, NY = y de l' Figure. Passons à la limite en faisant coïncider B'C avec BG ; les égalités (i) et (o) deviennent. G. Rius, Élève de Mathématiques élémentaires au Collège de Soissons, Solution géométrique de la première Partie. Lorsque la droite BC (fig. 762) tourne autour de M, elle engendre un faisceau homographique avec la division décrite par le point G sur C'C, et par suite avec le faisceau engendré par CH, et aussi avec celui engendré par AH. Donc le lieu est déterminé par l'intersection des rayons homologues de deux faisceaux homographiques dont les centres sont en A et à l'infini sur la direction perpendiculaire à AB. La courbe est donc une conique dont une direction asymptotique double est OM; par suite, c'est une parabole. On voit facilement que O et A sont deux points du lieu, et l'on trouve sans peine le point du lieu situé sur la perpendiculaire élevée au milieu de OA. De ces remarques, on conclut immédiatement le sommet et le paramètre de la courbe. J. N. Ont résolu la question 567 (ordre alphabétique) : MM. J. DAVID, instituteur à Cesson; P. FLOURY, Répétiteur au C. de Sézanne ; P. LONGEOT, B. PELLISSIER, à Yoreysur-Arzon. — M. J.-L. PITEOT, a donné une solution analytique peu différente de celle de M. C. BERGMAN. 608. — Trouver
par CH, et aussi avec celui engendré par AH. Donc le lieu est déterminé par l'intersection des rayons homologues de deux faisceaux homographiques dont les centres sont en A et à l'infini sur la direction perpendiculaire à AB. La courbe est donc une conique dont une direction asymptotique double est OM; par suite, c'est une parabole. On voit facilement que O et A sont deux points du lieu, et l'on trouve sans peine le point du lieu situé sur la perpendiculaire élevée au milieu de OA. De ces remarques, on conclut immédiatement le sommet et le paramètre de la courbe. J. N. Ont résolu la question 567 (ordre alphabétique) : MM. J. DAVID, instituteur à Cesson; P. FLOURY, Répétiteur au C. de Sézanne ; P. LONGEOT, B. PELLISSIER, à Yoreysur-Arzon. — M. J.-L. PITEOT, a donné une solution analytique peu différente de celle de M. C. BERGMAN. 608. — Trouver des valeurs constantes de A, B, C, telles que l'on ait identiquement J. NEUBERG. Cette égalité donne successivement Si l'on divise les deux membres de cette égalité par cos2α, le résultat est de la forme Pour que cette relation soit vérifiée par toutes les valeurs de α, on doit avoir M = 0, N = 0, P = 0, c'est-à-dire On a ainsi trois équations servant à déterminer A, B, C. Après avoir reconnu la possibilité de l'égalité proposée, on peut recourir au procédé suivant pour obtenir les valeurs de A, B, C. L'égalité (I) ayant lieu pour toutes les valeurs de α, faisons successivement x = − a, x = − b, x = − c; nous aurons Remarques. I. — Les valeurs qu'on vient de trouver pour A, B, C sont bien celles qui résulteraient des égalités M = 0, N = 0, P = 0; car, ayant exprimé que l'égalité (1), équivalente à l'égalité (2), est vérifiée par trois valeurs de x (ou de tanα), on a nécessairement M = 0, N = 0, P = 0. II. — On a car, si l'on retranche de la première colonne la seconde et la quatrième, les éléments de
M = 0, N = 0, P = 0, c'est-à-dire On a ainsi trois équations servant à déterminer A, B, C. Après avoir reconnu la possibilité de l'égalité proposée, on peut recourir au procédé suivant pour obtenir les valeurs de A, B, C. L'égalité (I) ayant lieu pour toutes les valeurs de α, faisons successivement x = − a, x = − b, x = − c; nous aurons Remarques. I. — Les valeurs qu'on vient de trouver pour A, B, C sont bien celles qui résulteraient des égalités M = 0, N = 0, P = 0; car, ayant exprimé que l'égalité (1), équivalente à l'égalité (2), est vérifiée par trois valeurs de x (ou de tanα), on a nécessairement M = 0, N = 0, P = 0. II. — On a car, si l'on retranche de la première colonne la seconde et la quatrième, les éléments de la première colonne se réduisent à zéro. Si l'on développe le déterminant suivant les éléments de la première colonne, les mineurs correspondants sont: d'où l'on conclut l'égalité (3) en changeant x en − x. J.-L. PITELOT, Instituteur aux Bruays. Le soufre se présente ordinairement dans les plantes à l'état de combinaisons, principalement sous forme d'albuminoïdes, de glucosides et de sulfates ; mais il peut aussi se rencontrer en nature, et même dans ce cas en très forte proportion. Sous la forme albuminique, on le trouve plus particulièrement accumulé dans les tissus de réserve, par exemple, dans les graines ; il fait alors partie du grain d'aleurone, lequel peut être extrait sous la forme d'une poudre blanche, insoluble dans l'eau, connue sous les noms de légumine (Pois, Fève, Lentille), de conglutine (Lupin), de gluten (Nié), etc. La conglutine, par exemple, renferme, indépendamment de ses quatre éléments fondamentaux, carbone, hydrogène, oxygène et azote, environ un centième de soufre, plus une petite quantité d'acide phosphorique en combinaison lâche avec les éléments précédents ; la légumine contient seulement 0,40 pour cent de soufre. À côté de ces composés sulfurés organiques, on rencontre toujours des sulfates dissous dans le suc cellulaire, principalement du sulfate de
combinaisons, principalement sous forme d'albuminoïdes, de glucosides et de sulfates ; mais il peut aussi se rencontrer en nature, et même dans ce cas en très forte proportion. Sous la forme albuminique, on le trouve plus particulièrement accumulé dans les tissus de réserve, par exemple, dans les graines ; il fait alors partie du grain d'aleurone, lequel peut être extrait sous la forme d'une poudre blanche, insoluble dans l'eau, connue sous les noms de légumine (Pois, Fève, Lentille), de conglutine (Lupin), de gluten (Nié), etc. La conglutine, par exemple, renferme, indépendamment de ses quatre éléments fondamentaux, carbone, hydrogène, oxygène et azote, environ un centième de soufre, plus une petite quantité d'acide phosphorique en combinaison lâche avec les éléments précédents ; la légumine contient seulement 0,40 pour cent de soufre. À côté de ces composés sulfurés organiques, on rencontre toujours des sulfates dissous dans le suc cellulaire, principalement du sulfate de calcium ou de potassium, et d'ordinaire en quantité d'autant plus grande que le soufre albuminique est plus rare. C'est ainsi que des analyses récentes ont montré que l'Avoine contient surtout du soufre organique et peu de sulfates ; tandis que les Lupins emmagasinent surtout du soufre minéral (90 p. 100 environ du soufre total). On peut, du reste, extraire des graines mures de ce dernier genre une assez notable quantité de gypse. Il est remarquable que certaines plantes accumulent en elles le gypse en proportion telle que le suc cellulaire en est saturé, et que sa cristallisation peut dès lors s'effectuer au sein même de la cellule. Cette circonstance est réalisée dans une petite famille d'Algues vertes, la plupart microscopiques, qui vivent dans les eaux stagnantes où abondent les matières organiques en voie de décomposition (tourbières,...) savoir, les Desmidiées. Les Closterium, par exemple, un des genres les plus communs, revêtent la forme d'un petit fuseau arqué (fig. 705, A), pouvant atteindre quelques millimètres de longueur. Au-dessous de la membrane limitante, on distingue un certain nombre de bandes chlorophylliennes parallèles (b), puis, à chaque extrémité du corps, une vésicule remplie d'un suc aqueux (a): C'est précisément en elle que s'opère la
environ du soufre total). On peut, du reste, extraire des graines mures de ce dernier genre une assez notable quantité de gypse. Il est remarquable que certaines plantes accumulent en elles le gypse en proportion telle que le suc cellulaire en est saturé, et que sa cristallisation peut dès lors s'effectuer au sein même de la cellule. Cette circonstance est réalisée dans une petite famille d'Algues vertes, la plupart microscopiques, qui vivent dans les eaux stagnantes où abondent les matières organiques en voie de décomposition (tourbières,...) savoir, les Desmidiées. Les Closterium, par exemple, un des genres les plus communs, revêtent la forme d'un petit fuseau arqué (fig. 705, A), pouvant atteindre quelques millimètres de longueur. Au-dessous de la membrane limitante, on distingue un certain nombre de bandes chlorophylliennes parallèles (b), puis, à chaque extrémité du corps, une vésicule remplie d'un suc aqueux (a): C'est précisément en elle que s'opère la cristallisation du gypse, qui se présente soit sous forme de petites tablettes (fig. 704, B), soit sous forme de cristaux composés d'aiguilles groupées autour d'un centre commun (fig. 705, G). On ignore encore si ce gypse est absorbé tel qu'il est par la plante, ou s'il a pour origine des réactions internes. Quelques Desmidiées manquent totalement de cristaux, mais renferment néanmoins du gypse en dissolution dans le suc des deux vésicules. D'autres espèces peuvent en présenter dans certaines conditions, en manquer dans d'autres. Certaines plantes incorporent le soufre qu'elles tirent du milieu ambiant, non plus dans des combinaisons de la complexité des albuminoïdes, mais dans des substances organiques d'ordre plus simple, comme les glucosides. On désigne sous ce nom des principes canailles de se dédoubler par hydratation en glucose et en d'autres corps, ces derniers variant avec l'espèce de glucoside considérée. Des glucosides sulfurés se rencontrent notamment chez les Crucifères. La Moutarde noire (Brassica niger) et le Raifort (Cochlearium amnicum), par exemple, contiennent en abondance la sinigrine ou myronate de potassium (C6H11,8N2KSiO10), sorte de glucoside salin, qui se déouble en présence de l'eau, sous l'influence d'une diastase spéciale, la myrosine, en sulfocyanate d'allyle ou essence de moutarde (C3H5,2NCS), en glucose
réactions internes. Quelques Desmidiées manquent totalement de cristaux, mais renferment néanmoins du gypse en dissolution dans le suc des deux vésicules. D'autres espèces peuvent en présenter dans certaines conditions, en manquer dans d'autres. Certaines plantes incorporent le soufre qu'elles tirent du milieu ambiant, non plus dans des combinaisons de la complexité des albuminoïdes, mais dans des substances organiques d'ordre plus simple, comme les glucosides. On désigne sous ce nom des principes canailles de se dédoubler par hydratation en glucose et en d'autres corps, ces derniers variant avec l'espèce de glucoside considérée. Des glucosides sulfurés se rencontrent notamment chez les Crucifères. La Moutarde noire (Brassica niger) et le Raifort (Cochlearium amnicum), par exemple, contiennent en abondance la sinigrine ou myronate de potassium (C6H11,8N2KSiO10), sorte de glucoside salin, qui se déouble en présence de l'eau, sous l'influence d'une diastase spéciale, la myrosine, en sulfocyanate d'allyle ou essence de moutarde (C3H5,2NCS), en glucose (C6H12O6) et en sulfate acide de potassium (Na2SO4). La Moutarde blanche (Brassica alba) donne dans les mêmes conditions, mais aux dépens d'un autre glucoside, la sinulbine, un sulfocyanate tout différent. C'est dans les graines surtout que le ferment soluble, la myrosine, est abondant, et comme les cellules qui se consacrent spécialement à sa production n'élaborent pas le glucoside, il en résulte que l'essence caractéristique de ces plantes n'existe pas toute formée dans la graine ou dans la plante adulte intactes; mais il suffit de râper une racine de Raifort ou de broyer des graines de Moutarde en présence d'une petite quantité d'eau pour lui donner immédiatement naissance par l'action du ferment sur la sinigrine ou la sinulbine. Il est à remarquer que la graine des Crucifères renferme beaucoup plus de ferment qu'il n'en faut pour décomposer entièrement la réserve de glucoside. Les cellules à myrosine (fig. 706, cm) sont de même grandeur que les cellules avoisinantes; mais elles s'en distinguent nettement par leur contenu albuminoïde abondant, toujours dépourvu d'huile ou d'amidon. On peut les reconnaître, dans une simple coupe microscopique, au moyen de l'acide chlorhydrique qui leur communique à chaud une teinte violette. Pendant la germination de la graine, l'essence
spécialement à sa production n'élaborent pas le glucoside, il en résulte que l'essence caractéristique de ces plantes n'existe pas toute formée dans la graine ou dans la plante adulte intactes; mais il suffit de râper une racine de Raifort ou de broyer des graines de Moutarde en présence d'une petite quantité d'eau pour lui donner immédiatement naissance par l'action du ferment sur la sinigrine ou la sinulbine. Il est à remarquer que la graine des Crucifères renferme beaucoup plus de ferment qu'il n'en faut pour décomposer entièrement la réserve de glucoside. Les cellules à myrosine (fig. 706, cm) sont de même grandeur que les cellules avoisinantes; mais elles s'en distinguent nettement par leur contenu albuminoïde abondant, toujours dépourvu d'huile ou d'amidon. On peut les reconnaître, dans une simple coupe microscopique, au moyen de l'acide chlorhydrique qui leur communique à chaud une teinte violette. Pendant la germination de la graine, l'essence sulfurée se développe par un mécanisme analogue à celui dont il a été parlé plus haut, pour être plus tard utilisée par la plante, au moins en partie; il suffit, pour se rendre compte de cette formation, de s'approcher d'une germination récente de Cresson ailénois (Lepidium sativum). Le soufre peut enfin se présenter dans les plantes, non plus en combinaison avec d'autres éléments, mais à l'état libre, sous la forme de granules arrondis ou irréguliers, jamais nettement cristallisés. C'est le caractère de tout un groupe de Bactéries sulfurées ou Sulfobactéries (fig. 766). Il en sera question plus loin, à propos de l'origine du soufre si remarquablement emmagasiné par ces plantes. Influence du soufre et de ses composés sur la nutrition. — Quelques observations ont été faites relativement à l'action du soufre et de quelques-unes de ses combinaisons minérales sur la germination. La fleur de soufre pure, complètement privée d'acide sulfureux et d'acide sulfurique, n'exerce aucun effet sensible sur le développement ; la solution d'acide sulfureux la relève, la suspend ou l'arrête définitivement, selon sa concentration; quant à l'acide sulfurique, son action sur la germination est au contraire nettement stimulante, mais à condition que la solution n'en renferme pas plus de
enfin se présenter dans les plantes, non plus en combinaison avec d'autres éléments, mais à l'état libre, sous la forme de granules arrondis ou irréguliers, jamais nettement cristallisés. C'est le caractère de tout un groupe de Bactéries sulfurées ou Sulfobactéries (fig. 766). Il en sera question plus loin, à propos de l'origine du soufre si remarquablement emmagasiné par ces plantes. Influence du soufre et de ses composés sur la nutrition. — Quelques observations ont été faites relativement à l'action du soufre et de quelques-unes de ses combinaisons minérales sur la germination. La fleur de soufre pure, complètement privée d'acide sulfureux et d'acide sulfurique, n'exerce aucun effet sensible sur le développement ; la solution d'acide sulfureux la relève, la suspend ou l'arrête définitivement, selon sa concentration; quant à l'acide sulfurique, son action sur la germination est au contraire nettement stimulante, mais à condition que la solution n'en renferme pas plus de deux millièmes. Sulfobactéries. — A : Jeune filament de Thiobacter, fixé à la paroi du vase de culture (gross. 900); B : Amoebobacter rose, petite colonie (gross. 1000) ; C : Anarculifus granuleux, forme jeune ; D, le même après la formation du soufre (gross. 900) ; E : a, deux cellules isolées du genre Chromatium ; b, une cellule au moment de la division ; c, Âge plus avancé : l'une des cellules est pourvue d'un cil. Cette espèce est rose. — Les granulations internes représentent le soufre. (D'après Winogradsky.) En règle générale, c'est sous la forme de sulfates que les plantes puisent le soufre dans le sol naturel, et nombres d'espèces peuvent végéter dans des solutions presque saturées de ce sel. Jamais il ne pénètre dans l'économie végétale sous forme d'allobatninoïdes, débris d'êtres préexistants, ces matières même solubles n'étant pas osmotiques; ce qui ne veut pas dire que le soufre qu'elles renferment soit délié immédiatement de la plante : bien au contraire, il peut être oxydé dans le sol par l'effet d'une fermentation de nature bactérienne, et être ainsi ramené à la forme d'acide sulfurique, puis de gypse, c'est-à-dire à la forme absorbable ordinaire. Fermentations thioniques. — On
deux cellules isolées du genre Chromatium ; b, une cellule au moment de la division ; c, Âge plus avancé : l'une des cellules est pourvue d'un cil. Cette espèce est rose. — Les granulations internes représentent le soufre. (D'après Winogradsky.) En règle générale, c'est sous la forme de sulfates que les plantes puisent le soufre dans le sol naturel, et nombres d'espèces peuvent végéter dans des solutions presque saturées de ce sel. Jamais il ne pénètre dans l'économie végétale sous forme d'allobatninoïdes, débris d'êtres préexistants, ces matières même solubles n'étant pas osmotiques; ce qui ne veut pas dire que le soufre qu'elles renferment soit délié immédiatement de la plante : bien au contraire, il peut être oxydé dans le sol par l'effet d'une fermentation de nature bactérienne, et être ainsi ramené à la forme d'acide sulfurique, puis de gypse, c'est-à-dire à la forme absorbable ordinaire. Fermentations thioniques. — On appelle ainsi les transformations rapides que peuvent éprouver divers composés sulfurés, minéraux ou organiques, sous l'influence d'un groupe spécial de Bactéries, les Sulfobactéries ou Thiobactéries. Ces transformations chimiques constituant la marque particulière du groupe, il va de soi qu'on se trouve amené à y réunir des organismes morphologiquement très différents; qu'en d'autres termes, les Sulfobactéries constituent uniquement un groupe physiologique. Les Sulfobactéries ont la remarquable propriété de décomposer par oxydation l'hydrogène sulfuré, d'accumuler le soufre ainsi mis en liberté dans leur corps sous forme de granules opaques (fig. 700) et de le transformer petit à petit ultérieurement en acide sulfurique, qui est exsudé dans le milieu extérieur sous forme de sulfates, ordinairement de gypse. Le soufre se trouve de la sorte restitué au monde ambiant, après une courte période d'isolement dans l'organisme. On trouve les Sulfobactéries dans les eaux stagnantes, renfermant des matières végétales en voie de décomposition. Artificiellement, on peut provoquer leur développement en abandonnant dans l'eau des fragments de rhizome de Butomus ombellus, additionnés de deux grammes de gypse environ par litre, ou encore au moyen de la poudre de lupin blanc, qui renferme comme l'on sait des sulfates tout constitués. Des fermentations accessoires qui prennent naissance dans
qu'en d'autres termes, les Sulfobactéries constituent uniquement un groupe physiologique. Les Sulfobactéries ont la remarquable propriété de décomposer par oxydation l'hydrogène sulfuré, d'accumuler le soufre ainsi mis en liberté dans leur corps sous forme de granules opaques (fig. 700) et de le transformer petit à petit ultérieurement en acide sulfurique, qui est exsudé dans le milieu extérieur sous forme de sulfates, ordinairement de gypse. Le soufre se trouve de la sorte restitué au monde ambiant, après une courte période d'isolement dans l'organisme. On trouve les Sulfobactéries dans les eaux stagnantes, renfermant des matières végétales en voie de décomposition. Artificiellement, on peut provoquer leur développement en abandonnant dans l'eau des fragments de rhizome de Butomus ombellus, additionnés de deux grammes de gypse environ par litre, ou encore au moyen de la poudre de lupin blanc, qui renferme comme l'on sait des sulfates tout constitués. Des fermentations accessoires qui prennent naissance dans ces matières organiques résulte la réduction du sulfate en hydrogène sulfuré, et c'est ce dernier composé qui seul peut alimenter les Sulfobactéries. Il est reconnu, en effet, que dès que ce gaz vient à manquer dans le liquide de culture, les organismes en question ne tardent pas à périr. Les Sulfobactéries sont toutes microscopiques. Les unes sont incolores, filamenteuses, et abondent dans les eaux sulfureuses naturelles (Harzegs,...) où elles forment des colonies gélatineuses, connues sous le nom de Butyne; telles sont les Lythiidae et les Thioplectus (fig. 100, A). Les autres, d'ordinaire colorées en rose plus ou moins intense, se présentent fréquemment en cellules arrondies ou ovales, agglomérées dans une matière gélatineuse (fig. 700, B). La coloration rose n'est souvent apparente que dans des colonies bien développées, tandis qu'elle échappe à l'observation lorsqu'on examine au microscope des individus isolés. Dans l'état jeune (fig. 700, A), l'Achromobacter rhizosphera, l'espèce la plus petite et aussi la plus commune, se compose de cellules arrondies ou ovales, mesurant à peine un demi-millième de millimètre, et tout à fait incolores. Un peu plus tard (B), si toutefois les conditions d'existence sont favorables, c'est-à-dire si le milieu ambiant renferme de l'hydrogène sulfuré, on voit apparaître dans
Sulfobactéries sont toutes microscopiques. Les unes sont incolores, filamenteuses, et abondent dans les eaux sulfureuses naturelles (Harzegs,...) où elles forment des colonies gélatineuses, connues sous le nom de Butyne; telles sont les Lythiidae et les Thioplectus (fig. 100, A). Les autres, d'ordinaire colorées en rose plus ou moins intense, se présentent fréquemment en cellules arrondies ou ovales, agglomérées dans une matière gélatineuse (fig. 700, B). La coloration rose n'est souvent apparente que dans des colonies bien développées, tandis qu'elle échappe à l'observation lorsqu'on examine au microscope des individus isolés. Dans l'état jeune (fig. 700, A), l'Achromobacter rhizosphera, l'espèce la plus petite et aussi la plus commune, se compose de cellules arrondies ou ovales, mesurant à peine un demi-millième de millimètre, et tout à fait incolores. Un peu plus tard (B), si toutefois les conditions d'existence sont favorables, c'est-à-dire si le milieu ambiant renferme de l'hydrogène sulfuré, on voit apparaître dans chacune d'elles un ou deux petits granules opaques de soufre, solubles dans le sulfure de carbone, qui ne tardent pas à envahir presque complètement leur cavité, si bien qu'à un examen microscopique un peu rapide, on croit avoir affaire à de simples granules de soufre, çà et là groupés en petits amas, et dispersés dans toute la culture, tant leur revêtement protoplasmique est hyalin et délicat. Le genre Chromatium est une espèce rose et ciliée (fig. 700, C). Enfin, le soufre des matières alluminoïdes peut être l'objet d'une oxydation, sous l'influence d'une autre acide, qui l'amène à l'état d'acide sulfurique, lequel en présence de la chaux se convertit au fur et à mesure en gypse. Celle transformation n'est pas sans analogue dans la plante vivante. Ainsi, diverses Légumineuses s'enrichissent tellement en sulfates pendant la germination, aux dépens de l'aleurone, que le suc cellulaire peut en être saturé, ce qui permet à ces sels d'y cristalliser spontanément. Dans le Lupin jaune, par exemple, on trouve pendant les premières semaines de la germination des cristaux de gypse tout constitués dans le parenchyme des cotylédons, sous la forme d'aiguilles très serrées les unes contre les autres et constituant un ensemble plus ou moins