jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
0 varie aussi, naissent des forces centrifuges qui agissent suivant les rayons r des cercles décrits. Réduisant au même point O le système de ces forces centrifuges, il obtient une résultante = 0P, et un couple d'axe y = OK, perpendiculaires tous deux à l'axe OZ. Les directions de 0 et de y forment respectivement, avec celles de P et de K, en arrière du mouvement des angles droits. On peut aussi écrire y = 0Gsin, en désignant par i l'angle de l'axe G et de l'axe de rotation OZ. Or, pour comprendre dans la suite comment cette analyse de Poinsot l'a conduit tout de même au résultat, il est capital d'observer dès à présent que ce vecteur Z est égal et opposé à la vitesse qu'aurait l'extrémité du vecteur G s'il était soumis à la rotation autour de OZ, et il est bon de montrer comment on pouvait le prévoir. Considérons pour cela un solide assujetti à tourner autour d'un axe fixe OZ, et qui n'est soumis à aucune force, si ce n'est aux réactions de l'axe, qui sont perpendiculaires à cet axe. Ce solide sera évidemment animé d'une rotation constante 0 autour OZ, et les forces d'inertie ne seront autres, dans ce cas, que les forces centrifuges considérées par Poinsot, qui donnent 0 et y comme éléments de réduction au point O. Mais, d'après le théorème de d'Alembert, le système de vecteurs formé par les réactions de l'axe d'une part, d'autre part par les forces d'inertie, est équivalent à zéro. Donc, par rapport au point O, le couple résultant du système formé par les réactions de l'axe et le couple résultant du système formé par les forces d'inertie (qui sont ici les forces centrifuges de Poinsot) sont égaux et opposés. On sait aussi par le théorème de Hélas que la vitesse de l'extrémité G du vecteur OG qui représente le couple résultant du système des quantités de mouvement est équipollent au couple résultant du système des forces agissant sur le solide, c'est-à-dire, dans le cas actuel, des réactions de l'axe. Nous arrivons ainsi à ce résultat que la
seront autres, dans ce cas, que les forces centrifuges considérées par Poinsot, qui donnent 0 et y comme éléments de réduction au point O. Mais, d'après le théorème de d'Alembert, le système de vecteurs formé par les réactions de l'axe d'une part, d'autre part par les forces d'inertie, est équivalent à zéro. Donc, par rapport au point O, le couple résultant du système formé par les réactions de l'axe et le couple résultant du système formé par les forces d'inertie (qui sont ici les forces centrifuges de Poinsot) sont égaux et opposés. On sait aussi par le théorème de Hélas que la vitesse de l'extrémité G du vecteur OG qui représente le couple résultant du système des quantités de mouvement est équipollent au couple résultant du système des forces agissant sur le solide, c'est-à-dire, dans le cas actuel, des réactions de l'axe. Nous arrivons ainsi à ce résultat que la vitesse du point G due à la rotation est égale et opposée au moment des forces centrifuges telles que les conçoit Poinsot. Mais alors, si au bout de l'élément de temps dt on composait le vecteur G dans la nouvelle position que lui aurait fait prendre la rotation avec le vecteur y du provenant des forces centrifuges, on retrouverait la position primitive de G. Cette observation a conduit Poinsot à penser que la considération des forces centrifuges, telles qu'il les entendait, devait donner une démonstration nouvelle (qui serait la confirmation de sa conception) de l'invariabilité de la résultante R et du couple résultant G du système des quantités de mouvement dans le cas où il n'y a pas de forces extérieures; et voici comment il s'exprime : « Il n'est pas inutile de montrer comment cette force 0dl et ce couple y dl, nés des forces centrifuges, ne peuvent jamais troubler ni la grandeur ni la position dans l'espace de la résultante R et du couple résultant G. Et cela même alors nous paraît d'autant plus curieux à examiner que, non seulement ces forces centrifuges ne troublent ni R ni G, mais qu'elles sont même nécessaires à leur conservation; de
vecteur y du provenant des forces centrifuges, on retrouverait la position primitive de G. Cette observation a conduit Poinsot à penser que la considération des forces centrifuges, telles qu'il les entendait, devait donner une démonstration nouvelle (qui serait la confirmation de sa conception) de l'invariabilité de la résultante R et du couple résultant G du système des quantités de mouvement dans le cas où il n'y a pas de forces extérieures; et voici comment il s'exprime : « Il n'est pas inutile de montrer comment cette force 0dl et ce couple y dl, nés des forces centrifuges, ne peuvent jamais troubler ni la grandeur ni la position dans l'espace de la résultante R et du couple résultant G. Et cela même alors nous paraît d'autant plus curieux à examiner que, non seulement ces forces centrifuges ne troublent ni R ni G, mais qu'elles sont même nécessaires à leur conservation; de sorte que si, à chaque instant, on venait à détruire la force Tid/dl et le couple ydl, R et G ne se conserveraient plus de position dans l'espace absolu. Ce qui est curieux, il me semble, c'est la démonstration qui suit cette remarque. Poinsot prend un solide libre et qui n'est soumis à aucune force extérieure; il choisit pour centre de réduction des quantités de mouvement la projection O du centre de gravité g sur l'axe spontané glissant, c'est-à-dire sur l'axe du mouvement hélicoïdal instantané; il admet qu'après l'élément de temps dl, les éléments de réduction ont été entraînés comme le corps dans ce mouvement hélicoïdal, et il les remet dans leur place primitive grâce aux forces centrifuges qui naissent de ce mouvement. Or ces forces centrifuges, qui sont évidement dans son esprit les forces d'inertie, il les détermine comme s'il s'agissait d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe invariable et d'un mouvement de translation uniforme le long du même axe. La démonstration réussit parce qu'en effet des forces d'inertie ainsi conçues doivent donner des éléments de réduction qui ne sont autres que des vecteurs égaux et opposés aux vitesses des extrémités des vecteurs résultants du système de quantités
n'est soumis à aucune force extérieure; il choisit pour centre de réduction des quantités de mouvement la projection O du centre de gravité g sur l'axe spontané glissant, c'est-à-dire sur l'axe du mouvement hélicoïdal instantané; il admet qu'après l'élément de temps dl, les éléments de réduction ont été entraînés comme le corps dans ce mouvement hélicoïdal, et il les remet dans leur place primitive grâce aux forces centrifuges qui naissent de ce mouvement. Or ces forces centrifuges, qui sont évidement dans son esprit les forces d'inertie, il les détermine comme s'il s'agissait d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe invariable et d'un mouvement de translation uniforme le long du même axe. La démonstration réussit parce qu'en effet des forces d'inertie ainsi conçues doivent donner des éléments de réduction qui ne sont autres que des vecteurs égaux et opposés aux vitesses des extrémités des vecteurs résultants du système de quantités de mouvement dues à la rotation et au glissement. C'est de quoi il est facile de se rendre compte en étudiant le cas où cette manière d'évaluer les forces d'inertie est légitime. Ce cas n'est autre que celui d'un solide assujetti à tourner autour et à glisser le long d'un axe fixe, sans frottement et sans forces extérieures. Le solide n'étant soumis qu'aux réactions de l'axe qui sont normales à l'axe, le mouvement de translation et le mouvement de rotation sont uniformes, et les forces d'inertie sont bien ici les forces centrifuges sur lesquelles raisonne Poinsot. En appliquant ici, comme dans le paragraphe I, le théorème de d'Alembert et le théorème de Résal, on voit que l'extrémité de la résultante R et celle du résultant G qui ont leur origine en un point fixe O de l'axe, ont des vitesses respectivement égales et opposées aux vecteurs t : et y. C'est pourquoi Poinsot, dans sa démonstration, par les déplacements élémentaires ndl et ydl, peut remettre R et G à la place qu'ils occupaient au début de l'intervalle élémentaire dl. La véritable découverte de Poinsot, à laquelle il doit, malgré sa conception "inexacte" des forces d'inertie, d'être arrivé à sa célèbre
axe fixe, sans frottement et sans forces extérieures. Le solide n'étant soumis qu'aux réactions de l'axe qui sont normales à l'axe, le mouvement de translation et le mouvement de rotation sont uniformes, et les forces d'inertie sont bien ici les forces centrifuges sur lesquelles raisonne Poinsot. En appliquant ici, comme dans le paragraphe I, le théorème de d'Alembert et le théorème de Résal, on voit que l'extrémité de la résultante R et celle du résultant G qui ont leur origine en un point fixe O de l'axe, ont des vitesses respectivement égales et opposées aux vecteurs t : et y. C'est pourquoi Poinsot, dans sa démonstration, par les déplacements élémentaires ndl et ydl, peut remettre R et G à la place qu'ils occupaient au début de l'intervalle élémentaire dl. La véritable découverte de Poinsot, à laquelle il doit, malgré sa conception "inexacte" des forces d'inertie, d'être arrivé à sa célèbre solution, c'est celle de l'ellipsoïde d'inertie, qu'il appelle l'ellipsoïde central. Il explique lui-même, dans le Chapitre I de la deuxième Partie de son Mémoire, qu'il a été conduit à cette originale et féconde conception en cherchant à donner une interprétation géométrique, une représentation sensible de la correspondance qui existe entre l'axe de la rotation instantanée et l'axe du couple résultant des quantités de mouvement ou, comme il dit aussi, l'axe du couple d'impulsion. Et quand il énonce que « si un corps est frappé par un couple dirigé dans un plan quelconque tangent à l'ellipsoïde central, le pôle instantané de la rotation à laquelle ce couple donne naissance est précisément le point de contact », et que réciproquement « si un corps tourne, on peut dire que le couple actuel qui l'anime est dans le plan tangent au pôle », il a bien raison d'ajouter que « c'est là un des théorèmes les plus simples et les plus élégants qu'on puisse offrir en Dynamique sur la théorie si difficile et si obscure de la rotation des corps ». Mais continuons et montrons comment il se sert de ce beau théorème et de la considération de ses forces centrifuges pour avancer
l'axe de la rotation instantanée et l'axe du couple résultant des quantités de mouvement ou, comme il dit aussi, l'axe du couple d'impulsion. Et quand il énonce que « si un corps est frappé par un couple dirigé dans un plan quelconque tangent à l'ellipsoïde central, le pôle instantané de la rotation à laquelle ce couple donne naissance est précisément le point de contact », et que réciproquement « si un corps tourne, on peut dire que le couple actuel qui l'anime est dans le plan tangent au pôle », il a bien raison d'ajouter que « c'est là un des théorèmes les plus simples et les plus élégants qu'on puisse offrir en Dynamique sur la théorie si difficile et si obscure de la rotation des corps ». Mais continuons et montrons comment il se sert de ce beau théorème et de la considération de ses forces centrifuges pour avancer dans cette théorie difficile et obscure. L'ellipsoïde d'inertie relatif au point fixe O a permis de déterminer l'axe instantané de rotation O1 correspondant au couple d'impulsion actuel; mais, dit Poinsot, cet axe va changer par l'effet des forces centrifuges nées de la rotation elle-même. En réduisant au point O ce système de forces centrifuges, on obtient une résultante II qui est détruite par la fixité de ce point, et un couple y (Poinsot l'appelle ici g) dont « l'effort gdl pour un instant dt imprime au corps une rotation infiniment petite ydt, laquelle se compose avec la rotation actuelle θ et fait varier l'axe et la grandeur de cette rotation ». Nous avons vu et expliqué que l'axe de ce couple g est égal et opposé à la vitesse, qu'aurait l'extrémité du vecteur OG si cette extrémité OG était soumise à la rotation θ autour de O1, ce qui revient à énoncer avec Poinsot que « si l'on prend deux lignes dont l'une représente l'axe et la grandeur du couple d'impulsion et l'autre l'axe et la grandeur de la rotation instantanée, le couple accélérateur dû aux forces centrifuges est toujours représenté, et pour son plan, et pour sa quantité, par
système de forces centrifuges, on obtient une résultante II qui est détruite par la fixité de ce point, et un couple y (Poinsot l'appelle ici g) dont « l'effort gdl pour un instant dt imprime au corps une rotation infiniment petite ydt, laquelle se compose avec la rotation actuelle θ et fait varier l'axe et la grandeur de cette rotation ». Nous avons vu et expliqué que l'axe de ce couple g est égal et opposé à la vitesse, qu'aurait l'extrémité du vecteur OG si cette extrémité OG était soumise à la rotation θ autour de O1, ce qui revient à énoncer avec Poinsot que « si l'on prend deux lignes dont l'une représente l'axe et la grandeur du couple d'impulsion et l'autre l'axe et la grandeur de la rotation instantanée, le couple accélérateur dû aux forces centrifuges est toujours représenté, et pour son plan, et pour sa quantité, par la surface du parallélogramme construit sur deux lignes que l'on considère ». Mais alors pour avoir la rotation à l'instant suivant, il faut composer la rotation θ dont l'axe est O1 avec la rotation ydt produite par le couple gdt et qui, d'après la règle de Poinsot, a son axe dirigé suivant le diamètre conjugué du plan qui contient le couple g, c'est-à-dire du plan GOI qui contient l'axe de rotation O1 et l'axe du couple d'impulsion OG. Ce diamètre est donc, en particulier, « conjugué à l'axe O1, et de cela seul il résulte que le diamètre qu'apporte ydt est situé dans le plan même du couple d'impulsion G, car ce plan étant conjugué à l'axe instantané O1; il est le lieu de toutes les droites qui peuvent être conjuguées à O1 ». Donc l'axe de la rotation due au couple accélérateur g qui provient des forces centrifuges, est toujours situé dans le plan même du couple d'impulsion G dont le corps est actuellement animé. Par conséquent, si l'on compose la rotation 0 avec cette rotation élémentaire y dt dont l'axe est parallèle au couple d'impulsion, l'extrémité de l'axe de la nouvelle rotation se trouve à la même distance
dirigé suivant le diamètre conjugué du plan qui contient le couple g, c'est-à-dire du plan GOI qui contient l'axe de rotation O1 et l'axe du couple d'impulsion OG. Ce diamètre est donc, en particulier, « conjugué à l'axe O1, et de cela seul il résulte que le diamètre qu'apporte ydt est situé dans le plan même du couple d'impulsion G, car ce plan étant conjugué à l'axe instantané O1; il est le lieu de toutes les droites qui peuvent être conjuguées à O1 ». Donc l'axe de la rotation due au couple accélérateur g qui provient des forces centrifuges, est toujours situé dans le plan même du couple d'impulsion G dont le corps est actuellement animé. Par conséquent, si l'on compose la rotation 0 avec cette rotation élémentaire y dt dont l'axe est parallèle au couple d'impulsion, l'extrémité de l'axe de la nouvelle rotation se trouve à la même distance du plan du couple G mené par 0 que l'extrémité de l'axe de la rotation primitive, et, puisque nous avons appelé i l'angle de 0l avec l'axe de G, on peut écrire 0 cos i = const. Dès lors la solution de Poinsot est trouvée, car le principe des forces vives montre immédiatement que le rayon 0l = u de l'ellipsoïde central est proportionnel à la rotation 0. Donc, comme on a trouvé que 9 cos i est constante, on peut conclure que u cos i est aussi constante et que, par conséquent, la hauteur h = u cos i du pôle 1 au-dessus du plan diamétral du couple G est constante dans tout le cours de la rotation; ou bien, si l'on prend, comme il est permis, pour plan du couple G, le plan parallèle tangent au pôle, on peut dire que le plan du couple d'impulsion reste toujours à la même distance h du centre O de l'ellipsoïde. Mais ce centre est immobile dans l'espace absolu, et le plan du couple reste toujours parallèle à lui-même donc ce plan, qui touche sans cesse l'ellipsoïde central au pôle instantané de rotation, est toujours un seul et même plan fixe
vives montre immédiatement que le rayon 0l = u de l'ellipsoïde central est proportionnel à la rotation 0. Donc, comme on a trouvé que 9 cos i est constante, on peut conclure que u cos i est aussi constante et que, par conséquent, la hauteur h = u cos i du pôle 1 au-dessus du plan diamétral du couple G est constante dans tout le cours de la rotation; ou bien, si l'on prend, comme il est permis, pour plan du couple G, le plan parallèle tangent au pôle, on peut dire que le plan du couple d'impulsion reste toujours à la même distance h du centre O de l'ellipsoïde. Mais ce centre est immobile dans l'espace absolu, et le plan du couple reste toujours parallèle à lui-même donc ce plan, qui touche sans cesse l'ellipsoïde central au pôle instantané de rotation, est toujours un seul et même plan fixe dans l'espace absolu. Ainsi Poinsot est parvenu à sa belle solution parce qu'il a été conduit à prendre, pour le déplacement élémentaire du pôle de rotation, une direction conjuguée du plan formé par OG et 0l; il a été amené à envisager cette direction parce qu'il pensait que ce qui faisait changer la rotation, c'était l'action du couple des forces centrifuges, et nous avons vu comment sa conception de ces forces devait le conduire à trouver que le plan de ce couple n'était autre que ce plan QG, 0l. Et il est à remarquer que, quand même cette rotation élémentaire y dt, due à ce couple, n'aurait pas été du tout l'élément de rotation qui modifie effectivement la rotation 0 (ce qui, avec un peu moins de bonheur, aurait bien pu arriver), il aurait suffi que y dt fût parallèle, comme elle l'est, au plan du couple des quantités de mouvement pour que Poinsot arrivât à sa solution. Mais il se trouve justement que le vecteur élémentaire y dt trouvé par Poinsot est exactement celui qui modifie la rotation 0. C'est ce que nous allons montrer. Rappelons-nous en effet que l'axe du couple g n'est autre que la vitesse qu'aurait
faisait changer la rotation, c'était l'action du couple des forces centrifuges, et nous avons vu comment sa conception de ces forces devait le conduire à trouver que le plan de ce couple n'était autre que ce plan QG, 0l. Et il est à remarquer que, quand même cette rotation élémentaire y dt, due à ce couple, n'aurait pas été du tout l'élément de rotation qui modifie effectivement la rotation 0 (ce qui, avec un peu moins de bonheur, aurait bien pu arriver), il aurait suffi que y dt fût parallèle, comme elle l'est, au plan du couple des quantités de mouvement pour que Poinsot arrivât à sa solution. Mais il se trouve justement que le vecteur élémentaire y dt trouvé par Poinsot est exactement celui qui modifie la rotation 0. C'est ce que nous allons montrer. Rappelons-nous en effet que l'axe du couple g n'est autre que la vitesse qu'aurait l'extrémité G de OG si elle était soumise à la rotation 0. En rapportant les coordonnées aux axes principaux d'inertie, les moments principaux d'inertie étant A, B, C; les composantes de 0 suivant les axes étant p, q, r, les projections sur ces axes de la vitesse de G sont q Cr – r Bq – q r (C – B); rp (A – C); pq (B – A). Les projections de la rotation y due à ce couple s'obtiennent en divisant ces expressions respectivement par A, B, C; de même que p, g, r s'obtiennent en divisant par A, B, C les projections Ap, Bq, Cr, de l'axe du couple d'impulsion correspondant. On trouve ainsi pour les projections de y sur les axes qr; i – r; – r i – n; pq. D'autre part, les projections de la vitesse absolue de l'extrémité du vecteur qui représente la rotation 6 sont -j -; -j-; car l'extrémité étant sur l'axe de rotation, sa vitesse d'entraînement est nulle, et la vitesse absolue de ce point est égale à sa vitesse relative par rapport au solide. Et les équations d'Euler établissent l'égalité entre -j -; -p, -j d'une part et, d'autre part,
q Cr – r Bq – q r (C – B); rp (A – C); pq (B – A). Les projections de la rotation y due à ce couple s'obtiennent en divisant ces expressions respectivement par A, B, C; de même que p, g, r s'obtiennent en divisant par A, B, C les projections Ap, Bq, Cr, de l'axe du couple d'impulsion correspondant. On trouve ainsi pour les projections de y sur les axes qr; i – r; – r i – n; pq. D'autre part, les projections de la vitesse absolue de l'extrémité du vecteur qui représente la rotation 6 sont -j -; -j-; car l'extrémité étant sur l'axe de rotation, sa vitesse d'entraînement est nulle, et la vitesse absolue de ce point est égale à sa vitesse relative par rapport au solide. Et les équations d'Euler établissent l'égalité entre -j -; -p, -j d'une part et, d'autre part, les projections de y dont nous avons trouvé les expressions. En suivant pas à pas les démarches de l'esprit de Poinsot à travers "les difficultés et les obscurités de ce problème", nous avons signalé ses découvertes et ses erreurs, et essayé de montrer comment il a pu, à travers tout, arriver à cette solution qui donne du mouvement du solide "une idée claire que les géomètres n'ont pu tirer des formules de l'analyse". Mais quand il s'agit d'un géomètre si remarquable, il n'est pas indifférent de chercher comment il a été amené à perdre de vue la nature de la rotation instantanée, et, alors qu'elle ne peut donner que les vitesses, à lui demander les accélérations et ces forces centrifuges qui, effets de cette rotation, deviendraient immédiatement des causes. C'est ce que l'on arrive à discerner avec assez de vraisemblance quand, par la lecture attentive de son Mémoire, on remarque avec soin l'ordre que suit le mouvement de sa pensée. Car avant d'attaquer la question du mouvement d'un solide autour d'un point fixe, il étudie la rotation d'un corps autour d'un axe fixe et, le corps étant mis en mouvement puis soustrait à toute force extérieure, il se propose de
arriver à cette solution qui donne du mouvement du solide "une idée claire que les géomètres n'ont pu tirer des formules de l'analyse". Mais quand il s'agit d'un géomètre si remarquable, il n'est pas indifférent de chercher comment il a été amené à perdre de vue la nature de la rotation instantanée, et, alors qu'elle ne peut donner que les vitesses, à lui demander les accélérations et ces forces centrifuges qui, effets de cette rotation, deviendraient immédiatement des causes. C'est ce que l'on arrive à discerner avec assez de vraisemblance quand, par la lecture attentive de son Mémoire, on remarque avec soin l'ordre que suit le mouvement de sa pensée. Car avant d'attaquer la question du mouvement d'un solide autour d'un point fixe, il étudie la rotation d'un corps autour d'un axe fixe et, le corps étant mis en mouvement puis soustrait à toute force extérieure, il se propose de déterminer "la pression continuelle qu'il aura à supporter, dans le cours du mouvement, en vertu des forces centrifuges qui naissent de la rotation". C'est ici que, ses forces centrifuges se confondant avec les formes d'inertie réelles, il détermine exactement la force et le couple auxquels se réduisent les pressions que l'axe reçoit de l'inertie du corps tournant. Puis, le problème résolu, il écrit "Si tout à coup cet axe devenait libre." Bien que la phrase s'achève dans des considérations relatives à la conservation des quantités de mouvement, il me semble bien que c'est en ce point que l'on atteint le fond réel de sa pensée. Oui, si cet axe pouvait se mouvoir librement, il céderait aux sollicitations de l'inertie, c'est-à-dire à la force it et au couple X, et si, sans être tout à fait libre, il présentait seulement un point fixe, la fixité de ce point détruirait bien la force tc, mais sous l'effet du couple y^ l'axe s'inclinerait, et dès lors l'étude de ce déplacement se ramène à celle des effets de ce couple. Ainsi, l'axe de rotation considéré en quelque sorte comme matériel et se déplaçant sous l'effort des forces d'inertie, ces forces d'inertie se déterminant par