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10 XLVIIIe à LIXe. 14 LXe à LXIIe. 12 LXIIIe. 12 LXIVe. 12 LIVe. 9 XIe Série. XIe Cahier. 11 fr. XIIe Cahier. 11 fr. XIIIe Cahier. 11 fr. XlVe Cahier. 15 fr. XIVe Cahier. 11 fr. XVIe Cahier. 12 fr. XVIIIe Cahier. 11 fr. XIXe Cahier. 12 fr. XXe Cahier. 3° La figure infiniment voisine d'un Jacobien critique défini par la fonction RB de la coordonnée elliptique p s'obtient en portant sur la normale au Jacobien, en chaque point défini par les deux autres coordonnées elliptiques u et v, une longueur Ç, dont la valeur, en première approximation, est M,, et Nn étant les fonctions de Lamé associées à R, et t une constante arbitraire très petite, dont on néglige le carré. 4° Le premier Jacobien critique donnant naissance à une série de figures d'équilibre non ellipsoïdales correspond à la valeur n = 3 du paramètre de l'équation de Lamé; la surface d'équilibre infiniment voisine coupe le Jacobien suivant la petite ellipse principale, et suivant deux lignes de courbure de cet ellipsoïde. C'est cette surface qu'on a appelée depuis piriforme. 5° Les surfaces ont rigoureusement, c'est-à-dire même si l'on cesse de s'en tenir à la première approximation, trois plans de symétrie si n est pair ce sont les trois plans principaux du Jacobien. Si n est impair, il n'y a que deux plans de symétrie, les deux plans principaux passant par le grand axe. L'axe de rotation n'est donc pas alors un axe de symétrie. Ajoutons que l'expression a reçu de Poincaré le nom de coefficient de stabilité d'ordre n. La fin du Mémoire des Acta est consacrée à l'exposition de la remarquable théorie de l'échange des stabilités; l'auteur croit pouvoir en déduire que la figure piriforme est stable. En 1900, Poincaré prit pour sujet de son cours de Physique mathématique à la Faculté des Sciences les fluides en rotation; ses leçons ont été rédigées par M. L. Dreyfus et publiées en Volume sous le titre Figures d'équilibre d'une masse fluide (1). Les Chapitres VI et VII de cet Ouvrage se rapportent au sujet qui nous occupe ils présentent
de symétrie si n est pair ce sont les trois plans principaux du Jacobien. Si n est impair, il n'y a que deux plans de symétrie, les deux plans principaux passant par le grand axe. L'axe de rotation n'est donc pas alors un axe de symétrie. Ajoutons que l'expression a reçu de Poincaré le nom de coefficient de stabilité d'ordre n. La fin du Mémoire des Acta est consacrée à l'exposition de la remarquable théorie de l'échange des stabilités; l'auteur croit pouvoir en déduire que la figure piriforme est stable. En 1900, Poincaré prit pour sujet de son cours de Physique mathématique à la Faculté des Sciences les fluides en rotation; ses leçons ont été rédigées par M. L. Dreyfus et publiées en Volume sous le titre Figures d'équilibre d'une masse fluide (1). Les Chapitres VI et VII de cet Ouvrage se rapportent au sujet qui nous occupe ils présentent un bon résumé des points essentiels du Mémoire des Acta et sont d'une lecture plus facile. A la suite d'une remarque de Schwarzschild (2), faisant observer que le principe de l'échange des stabilités ne pouvait pas être appliqué sans modification au cas de la figure piriforme, Poincaré reprit la question de la stabilité dans un important Mémoire (3) publié dans les Philosophical Transactions, de Londres. Par une méthode remarquable, basée sur l'expression de l'énergie d'une double couche, il va jusqu'à la deuxième approximation pour la forme de la surface et en déduit la condition nécessaire et suffisante pour que la stabilité ait lieu. Il s'agit de reconnaître quel est le signe d'une quantité se composant d'un nombre infini de termes, tous positifs, sauf deux. Si elle est négative, il y aura instabilité, et il suffira pour le constater de calculer un nombre fini de termes; s'il y a stabilité, il faudra calculer la somme des termes positifs ou une limite supérieure de cette somme. Poincaré n'aborde pas ce calcul, mais il en indique tous les éléments. Les travaux de Darwin et de M. Bénès. Les divers Mémoires de G.-H. Darwin sur la question, tous réunis au Tome III de ses
de la stabilité dans un important Mémoire (3) publié dans les Philosophical Transactions, de Londres. Par une méthode remarquable, basée sur l'expression de l'énergie d'une double couche, il va jusqu'à la deuxième approximation pour la forme de la surface et en déduit la condition nécessaire et suffisante pour que la stabilité ait lieu. Il s'agit de reconnaître quel est le signe d'une quantité se composant d'un nombre infini de termes, tous positifs, sauf deux. Si elle est négative, il y aura instabilité, et il suffira pour le constater de calculer un nombre fini de termes; s'il y a stabilité, il faudra calculer la somme des termes positifs ou une limite supérieure de cette somme. Poincaré n'aborde pas ce calcul, mais il en indique tous les éléments. Les travaux de Darwin et de M. Bénès. Les divers Mémoires de G.-H. Darwin sur la question, tous réunis au Tome III de ses Scientific Papers (4), ne sont, comme il le dit lui-même dans la Préface de ce Volume, que des traductions numériques des résultats théoriques de Poincaré. L'emploi de notations inaccoutumées, et d'une méthode assez différente, au moins pour la forme, de celle de Poincaré, rend la lecture de ces travaux un peu déconcertante. Un excellent sommaire, joint à chacun de ces Mémoires, facilite heureusement beaucoup la compréhension du texte. Darwin a abordé la question en 1887, par un travail sur les ellipsoïdes de Jacobi (5), qui, quoique en dehors du problème dont nous parlons, est d'une lecture utile pour connaître la méthode de calcul que l'auteur reprendra plus tard dans le cas du Jacobien critique. Les trois Mémoires les plus importants sont de 1901-1902 et ont été écrits sur l'invitation de Poincaré, dans le but d'étudier la stabilité de la surface (6) Paris, C. Naud (Gauthier-Villars), 1902. (5) Die Poincaresche Theorie des Gleichgewichts (Annalen der K. Sternwarte, München, Bd III, 1898). (3) Sur la stabilité de l'équilibre des figures pyriformes affectées par une masse fluide en rotation (Phil. Trans. of the Royal Soc. of London, vol. 198, 1901). (*) Scienti fie Papers, by Sir George Howard Darwin. Cambridge University Press, 1910.
peu déconcertante. Un excellent sommaire, joint à chacun de ces Mémoires, facilite heureusement beaucoup la compréhension du texte. Darwin a abordé la question en 1887, par un travail sur les ellipsoïdes de Jacobi (5), qui, quoique en dehors du problème dont nous parlons, est d'une lecture utile pour connaître la méthode de calcul que l'auteur reprendra plus tard dans le cas du Jacobien critique. Les trois Mémoires les plus importants sont de 1901-1902 et ont été écrits sur l'invitation de Poincaré, dans le but d'étudier la stabilité de la surface (6) Paris, C. Naud (Gauthier-Villars), 1902. (5) Die Poincaresche Theorie des Gleichgewichts (Annalen der K. Sternwarte, München, Bd III, 1898). (3) Sur la stabilité de l'équilibre des figures pyriformes affectées par une masse fluide en rotation (Phil. Trans. of the Royal Soc. of London, vol. 198, 1901). (*) Scienti fie Papers, by Sir George Howard Darwin. Cambridge University Press, 1910. (5) On Jacobi's figure of equilibrium for a rotating mass of liquid (Proc. Roy. Soc., t. XLI, 1887 Sc. Pap., t. III, n° 8). (1) Figures d'équilibre d'une masse fluide, par Henri Poincaré. Paris, C. Naud (Gauthier-Villars), 1902. (2) The figure of equilibrium for a rotating mass of liquid, by G.-H. Darwin (Philosophical Transactions, 1902). (3) The stability of the figure of equilibrium of a rotating mass of liquid, by G.-H. Darwin (Philosophical Transactions, 1903). (4) Instability of the figure of equilibrium of a rotating mass of liquid, by G.-H. Darwin (Philosophical Transactions, 1908). Au groupe de Poincaré se rattache le Mémoire déjà cité de Schwarzschild qui d'ailleurs, sauf le point que nous avons signalé et une intéressante discussion des propriétés des coefficients de stabilité, n'apporte rien de très nouveau sur les figures dont nous parlons, et s'étend plutôt sur les problèmes d'Edouard Roche. Le travail de M. Globa-Mikhaïlenko, quoique en dehors de la question, est intimement lié par l'emploi qu'y fait l'auteur de la méthode de Poincaré. Son objet est la recherche des figures d'équilibre infiniment voisines d'un cylindre elliptique les résultats obtenus avaient déjà été établis, en suivant une autre voie, par M. J.-H. Jeans. Les travaux de
G.-H. Darwin (Philosophical Transactions, 1902). (3) The stability of the figure of equilibrium of a rotating mass of liquid, by G.-H. Darwin (Philosophical Transactions, 1903). (4) Instability of the figure of equilibrium of a rotating mass of liquid, by G.-H. Darwin (Philosophical Transactions, 1908). Au groupe de Poincaré se rattache le Mémoire déjà cité de Schwarzschild qui d'ailleurs, sauf le point que nous avons signalé et une intéressante discussion des propriétés des coefficients de stabilité, n'apporte rien de très nouveau sur les figures dont nous parlons, et s'étend plutôt sur les problèmes d'Edouard Roche. Le travail de M. Globa-Mikhaïlenko, quoique en dehors de la question, est intimement lié par l'emploi qu'y fait l'auteur de la méthode de Poincaré. Son objet est la recherche des figures d'équilibre infiniment voisines d'un cylindre elliptique les résultats obtenus avaient déjà été établis, en suivant une autre voie, par M. J.-H. Jeans. Les travaux de M. Liapounov ont publié sur la question un grand nombre de Mémoires qui, malgré leur intérêt, sont encore peu connus en France. On nous excusera donc de nous y arrêter quelque peu. Ainsi que M. Liapounov le dit lui-même, c'est vers 1883 que, sur l'invitation de Tchebychev, il a commencé à étudier les figures ellipsoïdales d'équilibre d'un fluide en rotation. La question suivante avait été proposée par Tchebychev à divers savants russes « Étant donné qu'on peut passer, pour certaines valeurs de la vitesse angulaire, de la série des figures d'équilibre représentées par les ellipsoïdes de Maclaurin à la série représentée par les ellipsoïdes de Jacobi, existe-t-il d'autres séries de figures d'équilibre auxquelles on pourrait passer à partir des figures ellipsoïdales ? » Les études que M. Liapounov entraprit sur la question le conduisirent à publier, en 1884, un important Mémoire, constituant ce que nous nommerions la thèse de l'auteur, et que les universités russes appellent dissertation. Il ne semble pas que ce travail, intitulé Sur la stabilité des figures ellipsoïdales d'un liquide animé d'un mouvement de rotation, et écrit en langue russe, ait été connu hors de Russie, autrement que par une courte Notice de Hadau dans le Bulletin
à étudier les figures ellipsoïdales d'équilibre d'un fluide en rotation. La question suivante avait été proposée par Tchebychev à divers savants russes « Étant donné qu'on peut passer, pour certaines valeurs de la vitesse angulaire, de la série des figures d'équilibre représentées par les ellipsoïdes de Maclaurin à la série représentée par les ellipsoïdes de Jacobi, existe-t-il d'autres séries de figures d'équilibre auxquelles on pourrait passer à partir des figures ellipsoïdales ? » Les études que M. Liapounov entraprit sur la question le conduisirent à publier, en 1884, un important Mémoire, constituant ce que nous nommerions la thèse de l'auteur, et que les universités russes appellent dissertation. Il ne semble pas que ce travail, intitulé Sur la stabilité des figures ellipsoïdales d'un liquide animé d'un mouvement de rotation, et écrit en langue russe, ait été connu hors de Russie, autrement que par une courte Notice de Hadau dans le Bulletin astronomique, jusqu'à ce que M. Davaux en ait donné une traduction française, parue en 1904, avec des notes et quelques corrections de l'auteur. Ni Poincaré ni Darwin n'en ont eu connaissance; et ce travail contient cependant quelques-unes des propositions du Mémoire des Acta, quelquefois même traitées d'une façon plus complète. À la fin de l'Œuvre l'auteur, suivant l'usage russe, énonce quelques résultats sans démonstration. Or l'un de ces résultats est formulé de la façon suivante « Étant donné un entier n quelconque, surpassant 2, on peut trouver des surfaces algébriques infiniment voisines de celles des figures ellipsoïdales d'équilibre, et vérifiant, à une première approximation, la condition d'équilibre. Parmi les figures délimitées par ces surfaces, une est infiniment voisine d'un ellipsoïde de Jacobi, et les autres sont infiniment voisines des ellipsoïdes de Maclaurin. » M. Liapounov a donc connu dès cette époque l'existence des figures infiniment voisines des ellipsoïdes d'équilibre mais il n'a pas cherché à tirer parti du résultat qu'il avait entrevu, et a même complètement abandonné le problème après avoir donné ce simple énoncé. Vingt ans plus tard, à la suite des travaux de Poincaré, il a repris la question, en cherchant à la résoudre sans s'arrêter à la
À la fin de l'Œuvre l'auteur, suivant l'usage russe, énonce quelques résultats sans démonstration. Or l'un de ces résultats est formulé de la façon suivante « Étant donné un entier n quelconque, surpassant 2, on peut trouver des surfaces algébriques infiniment voisines de celles des figures ellipsoïdales d'équilibre, et vérifiant, à une première approximation, la condition d'équilibre. Parmi les figures délimitées par ces surfaces, une est infiniment voisine d'un ellipsoïde de Jacobi, et les autres sont infiniment voisines des ellipsoïdes de Maclaurin. » M. Liapounov a donc connu dès cette époque l'existence des figures infiniment voisines des ellipsoïdes d'équilibre mais il n'a pas cherché à tirer parti du résultat qu'il avait entrevu, et a même complètement abandonné le problème après avoir donné ce simple énoncé. Vingt ans plus tard, à la suite des travaux de Poincaré, il a repris la question, en cherchant à la résoudre sans s'arrêter à la première ou à la deuxième approximation; les résultats qu'il a obtenus sont exposés dans un grand travail, composé de quatre Parties publiées à des dates différentes, et que nous analyserons plus loin. Mais auparavant, l'auteur a publié un sommaire de ses recherches, qui est d'une importance capitale, en ce qu'il expose la méthode suivie et les notations employées, indique les principaux résultats et permet d'aborder avec plus de facilité la lecture un peu ardue du grand Mémoire. La méthode de M. Liapounov se présente de la façon suivante L'axe des z étant l'axe de rotation, l'équation du problème s'écrit U + U(xy) = const., U et V étant, à des facteurs constants près, le potentiel et le carré de la vitesse angulaire. L'ellipsoïde à partir duquel on veut chercher de nouvelles figures d'équilibre a pour équation où l'on suppose g "Si, le cas q = 1 correspondant aux ellipsoïdes de Maclaurin. ou Les coordonnées de la figure infiniment voisine sont mises sous la forme M. Liapounov développe alors la fonction inconnue en série procédant suivant les puissances entières de Y) ou de v^y], YJ étant la différence entre les valeurs de û, correspondant à l'ellipsoïde et à la figure infiniment
expose la méthode suivie et les notations employées, indique les principaux résultats et permet d'aborder avec plus de facilité la lecture un peu ardue du grand Mémoire. La méthode de M. Liapounov se présente de la façon suivante L'axe des z étant l'axe de rotation, l'équation du problème s'écrit U + U(xy) = const., U et V étant, à des facteurs constants près, le potentiel et le carré de la vitesse angulaire. L'ellipsoïde à partir duquel on veut chercher de nouvelles figures d'équilibre a pour équation où l'on suppose g "Si, le cas q = 1 correspondant aux ellipsoïdes de Maclaurin. ou Les coordonnées de la figure infiniment voisine sont mises sous la forme M. Liapounov développe alors la fonction inconnue en série procédant suivant les puissances entières de Y) ou de v^y], YJ étant la différence entre les valeurs de û, correspondant à l'ellipsoïde et à la figure infiniment voisine. Il annonce avoir prouvé la convergence de ces séries et avoir obtenu, relativement à la question de la stabilité de la figure piriforme, un résultat en contradiction avec celui de Darwin. Les hypothèses faites sur la fonction sont au nombre de deux : a. reste inférieur à un nombre fixe suffisamment petit, S b. Si C est la valeur de la fonction au point 6', 'h'} et si l'on pose cos9 cos6'-(sin9 sinô'cosd' – ty) = cosœ, la valeur absolue du rapport reste inférieure à un nombre fixe suffisamment petit S. Voici à présent, brièvement analysé, le contenu du Mémoire fondamental (' ) La première Partie, portant le sous-titre Élude générale du problème, n'est que le développement des principes dont le Problème de Tchebychev est le résumé, avec cependant de notables améliorations. L'auteur y expose en particulier la théorie des fonctions de Lamé. Nous ne nous occuperons pas de la deuxième Partie (Figures dérivées des ellipsoïdes de Maclaurin), puisque complètement en dehors de notre sujet. Disons seulement que le problème y est résolu dans toute sa généralité, y compris la question de la stabilité pour toute figure de ce type, quel que soit son ordre. La troisième Partie (Figures
fixe suffisamment petit, S b. Si C est la valeur de la fonction au point 6', 'h'} et si l'on pose cos9 cos6'-(sin9 sinô'cosd' – ty) = cosœ, la valeur absolue du rapport reste inférieure à un nombre fixe suffisamment petit S. Voici à présent, brièvement analysé, le contenu du Mémoire fondamental (' ) La première Partie, portant le sous-titre Élude générale du problème, n'est que le développement des principes dont le Problème de Tchebychev est le résumé, avec cependant de notables améliorations. L'auteur y expose en particulier la théorie des fonctions de Lamé. Nous ne nous occuperons pas de la deuxième Partie (Figures dérivées des ellipsoïdes de Maclaurin), puisque complètement en dehors de notre sujet. Disons seulement que le problème y est résolu dans toute sa généralité, y compris la question de la stabilité pour toute figure de ce type, quel que soit son ordre. La troisième Partie (Figures dérivées des ellipsoïdes de Jacobi) est d'un (') Sur les figures d'équilibre peu différentes des ellipsoïdes d'une masse liquide homogène douée d'un mouvement de rotation (Saint-Pétersbourg, imprimerie de l'Académie impériale des Sciences) 1e Partie, 1906; 2e Partie, 1909; 3e Partie, 1912; 4° Partie, 1914. grand intérêt, bien que l'auteur s'excuse de n'y apporter de conclusions générales. Elle débute par une étude des équations qui définissent les ellipsoïdes de bifurcation, avec une méthode de résolution numérique de ces équations, sur laquelle nous insisterons particulièrement dans le cours de ce travail. L'existence et la stabilité des figures sont ensuite discutées, mais la complication des formules est telle que l'auteur a dû se borner à l'examen des cas particuliers les plus simples, les figures définies par n = 3 et n = 4, ainsi que les surfaces très allongées à trois plans de symétrie, pour lesquelles les fonctions de Lamé peuvent être remplacées par des fonctions de Bessel. Les calculs de M. Liapounov, comme nous l'avons déjà dit, concluent à l'instabilité de la figure piriforme, mais à la stabilité de l'une des deux figures correspondant à n = 4. Dans la quatrième Partie (Nouvelles formules pour la recherche des figures d'équilibre), l'auteur reprend
de n'y apporter de conclusions générales. Elle débute par une étude des équations qui définissent les ellipsoïdes de bifurcation, avec une méthode de résolution numérique de ces équations, sur laquelle nous insisterons particulièrement dans le cours de ce travail. L'existence et la stabilité des figures sont ensuite discutées, mais la complication des formules est telle que l'auteur a dû se borner à l'examen des cas particuliers les plus simples, les figures définies par n = 3 et n = 4, ainsi que les surfaces très allongées à trois plans de symétrie, pour lesquelles les fonctions de Lamé peuvent être remplacées par des fonctions de Bessel. Les calculs de M. Liapounov, comme nous l'avons déjà dit, concluent à l'instabilité de la figure piriforme, mais à la stabilité de l'une des deux figures correspondant à n = 4. Dans la quatrième Partie (Nouvelles formules pour la recherche des figures d'équilibre), l'auteur reprend sa théorie dès le début, en adoptant pour les coordonnées de la surface la forme ce qui lui permet de parfaire certains résultats de la deuxième Partie. En même temps qu'il publiait cet Ouvrage, M. Liapounov donnait divers travaux connexes en 1908, un Mémoire (1) dans lequel il reprend, avec de nouvelles méthodes, quelques points de sa thèse, et obtient des résultats déjà donnés par Poincaré dans les Philosophical Transactions; en 1909, une Note (2) où, revenant aux hypothèses que nous avons indiquées ci-dessus, il démontre qu'il n'existe pas de figures d'équilibre vérifiant l'hypothèse a, mais non l'hypothèse b, et que par conséquent les conclusions de ses premiers travaux sont valables sans aucune réserve. Enfin une Note (3), parue en 1916 et où les équations de la surface sont présentées sous diverses formes, contenant toujours une série, prouve que M. Liapounov n'a pas cessé de s'intéresser à la question. On voit par cet exposé l'importance des travaux du géomètre russe sur le sujet; toute étude nouvelle sur les figures d'équilibre des fluides ne peut que Problème de minimum dans une question de stabilité des figures d'équilibre d'une masse fluide en rotation (Mémoires de l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, vol.
de nouvelles méthodes, quelques points de sa thèse, et obtient des résultats déjà donnés par Poincaré dans les Philosophical Transactions; en 1909, une Note (2) où, revenant aux hypothèses que nous avons indiquées ci-dessus, il démontre qu'il n'existe pas de figures d'équilibre vérifiant l'hypothèse a, mais non l'hypothèse b, et que par conséquent les conclusions de ses premiers travaux sont valables sans aucune réserve. Enfin une Note (3), parue en 1916 et où les équations de la surface sont présentées sous diverses formes, contenant toujours une série, prouve que M. Liapounov n'a pas cessé de s'intéresser à la question. On voit par cet exposé l'importance des travaux du géomètre russe sur le sujet; toute étude nouvelle sur les figures d'équilibre des fluides ne peut que Problème de minimum dans une question de stabilité des figures d'équilibre d'une masse fluide en rotation (Mémoires de l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, vol. XXII, n° 5, 1908). (2) Sur une classe de figures d'équilibre d'un liquide en rotation (Annales de l'École Normale supérieure, 3e série, t. XXVI, 1909). (3) Sur les équations qui appartiennent aux surfaces des figures d'équilibre dérivées des ellipsoïdes d'un liquide homogène en rotation (Bulletin de l'Académie impériale des Sciences de Petrograd, 1916). É. P., 2e S. (C. n° 20.) s'inspirer de ses méthodes; malheureusement, beaucoup de questions intéressantes ont été laissées de côté par lui, et la plupart de ses formules semblent susceptibles de grandes simplifications. Notations. Fonctions de Lamé. L'usage de notations très différentes rend difficiles la lecture de ces divers travaux et la comparaison de ces résultats. Nous allons indiquer très brièvement les principales notations des différents auteurs, puis celles que nous comptons employer dans la suite de ce Mémoire, en insistant particulièrement sur la question, capitale dans la théorie qui nous occupe, des fonctions de Lamé 1° Poincaré rapporte les coordonnées elliptiques p, p., v à un ellipsoïde de référence dont les axes sont o, b et c; le Jacobien critique est défini par le paramètre p la surface infiniment voisine, par l'épaisseur Ç, positive ou négative, de la couche distribuée sur la surface du Jacobien