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se portera plus particulièrement mon attention. (À suivre.) AUDIENCE, Professeur d'Histoire naturelle (ENS modernes) au Lycée Charlemagne, Calculer la valeur de l'angle x lorsque A- atteint son maximum. (Lyon, juillet 1801.) 210. — Étant donnée l'équation, trouver entre quelles limites peut varier m pour que les racines soient réelles, positives et inférieures à 1. (Lyon, juillet 1801.) 211. — On traite 100 g de carbonate de chaux par une quantité suffisante d'acide sulfurique. Le gaz sec qui se dégage est recueilli en entier dans un récipient de 5 litres hermétiquement fermé, contenant 2 litres d'eau et au-dessus un — 244 — espace vide de 3 litres. Une partie du gaz se dissout, une autre partie se loge dans l'espace vide. On demande d'en déterminer la pression, Densité de l'acide carbonique 1,53; poids, du litre d'air normal 1,3; poids atomique du calcium 10; équivalent 20; poids atomique de l'oxygène 10; équivalents; poids atomique du carbone 12; équivalent 6; coefficient de solubilité de l'acide carbonique 1,25. (Lyon, juillet 1891.) 212. — Un tube barométrique contient une colonne de mercure de 60 cm, et, au-dessus de l'air humide à l'état hygrométrique 1/3; l'espace occupé par le gaz et la vapeur d'eau est de 15 cm. On enfonce le tube dans la cuvette jusqu'au moment précis où la vapeur qui s'y trouve devient saturante. On demande quels sont alors: 1° le volume occupé par l'air saturé; 2° la hauteur de la colonne de mercure. On donne: pression atmosphérique: 760 mm; tension maximale à la température à laquelle on opère: 12 mm. (Lyon, juillet 1891.) 213. — Un cercle de rayon 11 tourne autour d'un de ses diamètres AH. Mener une corde AC telle que la surface engendrée par cette corde soit égale à la surface engendrée par l'arête HC. On prendra pour inconnue la projection de la corde sur le diamètre. Puis on recommencera la question en prenant pour inconnue l'angle que la corde fait avec le diamètre, et on calculera cet angle aussi exactement que possible. (Marseille, juillet 1891.) 214. — Dans 1/2 litre d'eau mélangée de glace à 0°, on condense 100
15 cm. On enfonce le tube dans la cuvette jusqu'au moment précis où la vapeur qui s'y trouve devient saturante. On demande quels sont alors: 1° le volume occupé par l'air saturé; 2° la hauteur de la colonne de mercure. On donne: pression atmosphérique: 760 mm; tension maximale à la température à laquelle on opère: 12 mm. (Lyon, juillet 1891.) 213. — Un cercle de rayon 11 tourne autour d'un de ses diamètres AH. Mener une corde AC telle que la surface engendrée par cette corde soit égale à la surface engendrée par l'arête HC. On prendra pour inconnue la projection de la corde sur le diamètre. Puis on recommencera la question en prenant pour inconnue l'angle que la corde fait avec le diamètre, et on calculera cet angle aussi exactement que possible. (Marseille, juillet 1891.) 214. — Dans 1/2 litre d'eau mélangée de glace à 0°, on condense 100 g de vapeur d'eau à 100°. La température finale du mélange est 0,5°52. On demande le poids de la glace. On donne: la chaleur latente de vaporisation de l'eau à 100°: 537 cal; la chaleur latente de fusion de la glace 80 cal. (Marseille, juillet 1891.) 215. — Calculer les côtés d'un triangle rectangle connaissant sa surface et le volume qu'il engendre en tournant autour de l'hypoténuse. Dans quel cas le problème est-il possible? (Montpellier, juillet 1891.) 216. — Les latitudes de deux parallèles terrestres situés dans un même hémisphère sont a et b (on supposera a > b). Le rayon de la terre supposée sphérique est r. Évaluer la surface S de la zone comprise entre ces deux parallèles. On appliquera la formule trouvée au cas où a = 38° 12'-18'', b = 11° 57' 28.7 et l'on calculera S en myriamètres carrés. (Nancy, juillet 1891.) 217. — Deux sphères S et S' sont extérieures. La distance de leurs centres est a, leurs rayons sont r et r'. Un cône est circonscrit extérieurement à ces deux sphères: il touche la plus petite suivant un petit cercle AH. Trouver le rapport de la surface de la zone ACBD à la
côtés d'un triangle rectangle connaissant sa surface et le volume qu'il engendre en tournant autour de l'hypoténuse. Dans quel cas le problème est-il possible? (Montpellier, juillet 1891.) 216. — Les latitudes de deux parallèles terrestres situés dans un même hémisphère sont a et b (on supposera a > b). Le rayon de la terre supposée sphérique est r. Évaluer la surface S de la zone comprise entre ces deux parallèles. On appliquera la formule trouvée au cas où a = 38° 12'-18'', b = 11° 57' 28.7 et l'on calculera S en myriamètres carrés. (Nancy, juillet 1891.) 217. — Deux sphères S et S' sont extérieures. La distance de leurs centres est a, leurs rayons sont r et r'. Un cône est circonscrit extérieurement à ces deux sphères: il touche la plus petite suivant un petit cercle AH. Trouver le rapport de la surface de la zone ACBD à la surface totale de la petite sphère. Appliquer la formule trouvée au cas particulier où S serait la terre et S' le soleil. (Nancy, juillet 1891.) 218. — Devant une lentille convergente de distance focale principale f, on place une droite lumineuse normale à l'axe, située au-dessus de cet axe à une distance 2f de la lentille. Sa longueur est a. Construire l'image en grandeur et position. On fait suivre la lentille d'un miroir plan normal à l'axe situé à une distance 1/2 de la lentille. Construire la nouvelle image. Calculer sa grandeur et sa position. (Nancy, juillet 1891.) 219. — En avant d'une lentille convergente dont la distance focale principale est 10 cm, on place un objet lumineux linéaire, perpendiculaire à l'axe qu'il touche par une de ses extrémités, à une distance de la lentille égale à 20 cm. Derrière la lentille, on en place une autre convergente, ayant même axe que la première, dont elle est éloignée de 52 cm et dont la distance focale principale est 50 cm. On demande de déterminer: 1° La position de l'image donnée par la deuxième lentille; 2° Le rapport entre les dimensions de l'objet et de l'image; 3° La distance de la
une distance 2f de la lentille. Sa longueur est a. Construire l'image en grandeur et position. On fait suivre la lentille d'un miroir plan normal à l'axe situé à une distance 1/2 de la lentille. Construire la nouvelle image. Calculer sa grandeur et sa position. (Nancy, juillet 1891.) 219. — En avant d'une lentille convergente dont la distance focale principale est 10 cm, on place un objet lumineux linéaire, perpendiculaire à l'axe qu'il touche par une de ses extrémités, à une distance de la lentille égale à 20 cm. Derrière la lentille, on en place une autre convergente, ayant même axe que la première, dont elle est éloignée de 52 cm et dont la distance focale principale est 50 cm. On demande de déterminer: 1° La position de l'image donnée par la deuxième lentille; 2° Le rapport entre les dimensions de l'objet et de l'image; 3° La distance de la première lentille à laquelle il faudrait amener la seconde — 243 — pour que l'image se fasse à la distance de la vision distincte 25 cm pour un œil placé devant la seconde lentille. (Paris, juillet 1891.) 220. — On donne deux sphères: S, de centre O, de rayon r; S', de centre O', de rayon r'. La distance O'O' est égale à a. Chercher la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un tronc de cône circonscrit à S et inscrit dans S'. La condition étant supposée remplie, calculer la surface totale de ce tronc de cône. La sphère S étant fixe, chercher pour quelles valeurs de r' et de a la surface du tronc de cône est maximum ou minimum. (Poitiers, juillet 1891.) 221. — Discuter les racines de l'équation, où a est un paramètre variable de -1 à 1; a, b sont des nombres positifs constants. Condition pour que le produit de deux racines soit égal à la somme des deux autres. (Poitiers, juillet 1891.) 222. — Deux sphères conductrices, ayant respectivement pour rayons 2r et 3r, ont les charges Q et Q' d'électricités de même signe. Placées à une distance l'une de l'autre telle que les
S', de centre O', de rayon r'. La distance O'O' est égale à a. Chercher la condition nécessaire et suffisante pour qu'il existe un tronc de cône circonscrit à S et inscrit dans S'. La condition étant supposée remplie, calculer la surface totale de ce tronc de cône. La sphère S étant fixe, chercher pour quelles valeurs de r' et de a la surface du tronc de cône est maximum ou minimum. (Poitiers, juillet 1891.) 221. — Discuter les racines de l'équation, où a est un paramètre variable de -1 à 1; a, b sont des nombres positifs constants. Condition pour que le produit de deux racines soit égal à la somme des deux autres. (Poitiers, juillet 1891.) 222. — Deux sphères conductrices, ayant respectivement pour rayons 2r et 3r, ont les charges Q et Q' d'électricités de même signe. Placées à une distance l'une de l'autre telle que les rayons des deux sphères soient très petits par rapport à cette distance, on observe une répulsion égale à 21. On amène les deux sphères en contact, puis on les éloigne à une distance double de la première, la répulsion est alors égale à 41. Calculer le rapport des charges primitives des deux sphères. (Poitiers, juillet 1891.) 223. — Dans un microscope la distance focale de l'objectif est de 2 mètres celle de l'oculaire de 3 mètres. Un objet est placé à 20 mètres de l'objectif. Quelle doit être la distance qui sépare les deux lentilles pour un observateur dont la distance minimum de la vision distincte est normale? On calculera aussi le grossissement de chacune des lentilles et le grossissement total de l'instrument. Poitiers, juillet 1891. Compositions scientifiques du Concours d'admission à l'École navale, en 1891. ANTOMÉTIE ET ALGÉBRE (Calcul, 3 heures, 12 questions. I. — En mesurant l'hypoténuse a et le côté b d'un triangle rectangle ABC, on a trouvé : On demande l'approximation avec laquelle on pourra obtenir l'angle B avec ces données. II. — En tenant donné un angle AOK = ? Figure. 732, ou partage cet angle en n parties égales: sur l'un des côtés on
des deux sphères. (Poitiers, juillet 1891.) 223. — Dans un microscope la distance focale de l'objectif est de 2 mètres celle de l'oculaire de 3 mètres. Un objet est placé à 20 mètres de l'objectif. Quelle doit être la distance qui sépare les deux lentilles pour un observateur dont la distance minimum de la vision distincte est normale? On calculera aussi le grossissement de chacune des lentilles et le grossissement total de l'instrument. Poitiers, juillet 1891. Compositions scientifiques du Concours d'admission à l'École navale, en 1891. ANTOMÉTIE ET ALGÉBRE (Calcul, 3 heures, 12 questions. I. — En mesurant l'hypoténuse a et le côté b d'un triangle rectangle ABC, on a trouvé : On demande l'approximation avec laquelle on pourra obtenir l'angle B avec ces données. II. — En tenant donné un angle AOK = ? Figure. 732, ou partage cet angle en n parties égales: sur l'un des côtés on prend une longueur OA égale à l'unité et l'on mène ÂB faisant avec OA un autre angle donné a. Au point B, on mène B( faisant avec OB le même angle. On demande la limite vers laquelle tend b segment OK, quand a croît indéfiniment. GÉOMÉTRIE CONIQUE (3 Juin, 1 heure et 1/2), XX' (fin. 733) est la trace horizontale d'un plan P qui fait un angle de 10° avec le plan horizontal; O' est la projection horizontale d'un point O dont la cote verticale est de 62"", la distance O'X de O' à XX' étant de 48": 1° Tracer la projection cotée d'une droite (D) passant par le point (O, parallèle au plan P et faisant un angle de 20° avec le plan horizontal; mener parallèlement à droite une plan Q perpendiculaire au plan P. construire les traces du plan Q sur le plan horizontal et sur le plan P. 2° Tracer la projection cotée d'un tétraèdre régulier OA11G (fig. 731) dont le point O est un sommet, dont la droite (D) est un axe, dont un des côtés I5C est situé dans le plan P, et dont par conséquent le plan Q est un plan de symétrie. CALCUL
heure et 1/2), XX' (fin. 733) est la trace horizontale d'un plan P qui fait un angle de 10° avec le plan horizontal; O' est la projection horizontale d'un point O dont la cote verticale est de 62"", la distance O'X de O' à XX' étant de 48": 1° Tracer la projection cotée d'une droite (D) passant par le point (O, parallèle au plan P et faisant un angle de 20° avec le plan horizontal; mener parallèlement à droite une plan Q perpendiculaire au plan P. construire les traces du plan Q sur le plan horizontal et sur le plan P. 2° Tracer la projection cotée d'un tétraèdre régulier OA11G (fig. 731) dont le point O est un sommet, dont la droite (D) est un axe, dont un des côtés I5C est situé dans le plan P, et dont par conséquent le plan Q est un plan de symétrie. CALCUL TRIGONOMÉTRIQUE (2 juin, 1 heure). Ecart donné l'équation trouver x; x étant compris entre 0° et 360°. GÉOMÉTRIE ET GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE (3 Juin, 2 heures). Géométrie. — Triangles sphériques polaires. Condition nécessaire et suffisante pour qu'on puisse construire un triangle sphérique avec trois angles donnés. Géométrie analytique. — Étant donné un cercle rapporté à des axes rectangulaires ox, oy et qui coupe l'axe des x en deux points A et A' (fig. 735), on considère un point quelconque A1 de ce cercle défini par l'angle ? que le rayon CM fait avec l'axe des x : Trouver l'équation générale des coniques passant par les points A et A' et tangentes en M à la circonférence C ; démontrer que toutes ces coniques ont leurs axes parallèles; trouver la direction de ces axes. Parmi ces coniques on considérera : 1° Celle pour laquelle la direction de la tangente MT et la direction de l'axe des y sont conjuguées. Déterminer géométriquement son centre et ses axes en grandeur et direction. — Lieu du centre quand le point A1 parcourt la circonférence C; 2° Celle pour laquelle la direction de la tangente A1T et la direction de l'axe des y sont conjuguées. Mêmes
un cercle rapporté à des axes rectangulaires ox, oy et qui coupe l'axe des x en deux points A et A' (fig. 735), on considère un point quelconque A1 de ce cercle défini par l'angle ? que le rayon CM fait avec l'axe des x : Trouver l'équation générale des coniques passant par les points A et A' et tangentes en M à la circonférence C ; démontrer que toutes ces coniques ont leurs axes parallèles; trouver la direction de ces axes. Parmi ces coniques on considérera : 1° Celle pour laquelle la direction de la tangente MT et la direction de l'axe des y sont conjuguées. Déterminer géométriquement son centre et ses axes en grandeur et direction. — Lieu du centre quand le point A1 parcourt la circonférence C; 2° Celle pour laquelle la direction de la tangente A1T et la direction de l'axe des y sont conjuguées. Mêmes questions que pour la précédente. On exprimera en coordonnées polaires le lieu du centre. DESSIN (3 Juin, 2 heures). Les candidats ont eu à dessiner d'après la bosse une Tête de lion avec sa aigle. N° 2778 de la collection des Beaux-Arts. MOUVEMENT SCIENTIFIQUE Exploitation des mines en France. — Nous empruntons au livre des Progressions et Mines des renseignements statistiques pleins d'intérêt sur l'état actuel de l'exploitation des mines en France. — Il existe actuellement en France et en Algérie 471 concessions minières exploitées, parmi lesquelles 285 de combustibles, 65 de minerais de fer, 56 d'autres minerais métalliques et 28 de sel gemme. — La production houillère, y compris l'anthracite et le lignite, est de 21430000 tonnes, dont la valeur est 233 millions de francs. Les principaux départements producteurs sont le Pas-de-Calais (8 614 000 tonnes), le Nord, la Loire, le Gard, Saône-et-Loire, Allier, Aveyron, qui ont fourni les neuf dixièmes de l'extraction totale. Le nombre des ouvriers (hommes, femmes et enfants) employés dans les charbonnages est de 111 000. Le montant des salaires s'élève à 124 380 000 francs, d'où il résulte que le salaire moyen d'une année de travail (y compris le travail des femmes et des
Nous empruntons au livre des Progressions et Mines des renseignements statistiques pleins d'intérêt sur l'état actuel de l'exploitation des mines en France. — Il existe actuellement en France et en Algérie 471 concessions minières exploitées, parmi lesquelles 285 de combustibles, 65 de minerais de fer, 56 d'autres minerais métalliques et 28 de sel gemme. — La production houillère, y compris l'anthracite et le lignite, est de 21430000 tonnes, dont la valeur est 233 millions de francs. Les principaux départements producteurs sont le Pas-de-Calais (8 614 000 tonnes), le Nord, la Loire, le Gard, Saône-et-Loire, Allier, Aveyron, qui ont fourni les neuf dixièmes de l'extraction totale. Le nombre des ouvriers (hommes, femmes et enfants) employés dans les charbonnages est de 111 000. Le montant des salaires s'élève à 124 380 000 francs, d'où il résulte que le salaire moyen d'une année de travail (y compris le travail des femmes et des enfants) est de 1120 francs, ce qui correspond à 3 fr. 37 par jour. La consommation de la France est de 33 511 000 tonnes de houille. On y importe 9 981 000 tonnes venant surtout de Belgique, et on en exporte 943 tonnes, allant surtout aussi en Belgique.— La production en houille du monde entier dépasse 450 millions de tonnes, ainsi répartis : Angleterre, 179 000000; États-Unis, 150 000000; Allemagne, 84000000; Autriche-Hongrie, 24000000; Belgique, 10 000 000. — Les mines de fer françaises fournissent 2 407 000 tonnes de minerais divers et occupent 5500 ouvriers; les trois quarts de cette quantité proviennent du département de Meurthe-et-Moselle; l'Algérie extrait 352 tonnes. — Les autres mines métalliques emploient en France 11 000 ouvriers. Ils ont donné les produits suivants: minerais de plomb argentifère (Ille-et-Vilaine, Puy-de-Dôme, Aveyron, Pyrénées) 21 400 tonnes; calamine et blende, 37 200 tonnes, dont la moitié environ vient du département du Gard; minerais de cuivre (Savoie, Hautes-Pyrénées), 10 tonnes; pyrite brute (Lorraine), 181000 tonnes; minerais de manganèse, 9 000 tonnes, dont les trois quarts du Grand Filon et de Bornée; antimoine sulfuré (Corse, Haute-Loire), 2229 tonnes; étain, quelques exploitations dans le Morbihan et dans la Creuse; bitume et
production en houille du monde entier dépasse 450 millions de tonnes, ainsi répartis : Angleterre, 179 000000; États-Unis, 150 000000; Allemagne, 84000000; Autriche-Hongrie, 24000000; Belgique, 10 000 000. — Les mines de fer françaises fournissent 2 407 000 tonnes de minerais divers et occupent 5500 ouvriers; les trois quarts de cette quantité proviennent du département de Meurthe-et-Moselle; l'Algérie extrait 352 tonnes. — Les autres mines métalliques emploient en France 11 000 ouvriers. Ils ont donné les produits suivants: minerais de plomb argentifère (Ille-et-Vilaine, Puy-de-Dôme, Aveyron, Pyrénées) 21 400 tonnes; calamine et blende, 37 200 tonnes, dont la moitié environ vient du département du Gard; minerais de cuivre (Savoie, Hautes-Pyrénées), 10 tonnes; pyrite brute (Lorraine), 181000 tonnes; minerais de manganèse, 9 000 tonnes, dont les trois quarts du Grand Filon et de Bornée; antimoine sulfuré (Corse, Haute-Loire), 2229 tonnes; étain, quelques exploitations dans le Morbihan et dans la Creuse; bitume et asphalte, 213 000 tonnes provenant principalement de Saône-et-Loire et de l'Allier; soufre (Vaucluse), 3 800 tonnes; bauxite (Hérault et Var), 19 000 tonnes; sel gemme brut et raffiné (Meurthe-et-Moselle, Doubs et Jura), 348 tonnes; sel marin (Bouches-du-Rhône, Gard, Hérault, Var, Loire-Inférieure, Charente-Inférieure), 202 000 tonnes. Dans ces dernières années, l'exploitation des gisements de phosphate de chaux a pris une grande importance ; on évalue à 32 000 000 tonnes la richesse totale de ces gisements, ayant une valeur supérieure à un milliard de francs. — Aux colonies, l'industrie minière est peu développée. A la Nouvelle-Calédonie, 131 concessions ont été octroyées; un millier d'ouvriers y sont employés à l'extraction des minerais de cobalt, de nickel, cuivre, plomb et chrome, représentant un total de 15 000 tonnes environ. A la Guyane, les gisements aurifères occupent 12 000 hommes, dont le salaire moyen est de 4 francs par jour, et qui ont extrait 180 kilogrammes d'or. La Tunisie montre des traces de lignite. Elle comprend 9 concessions métalliques, dont 7 de minerais de fer, et 2 de galène et de calamine. La plus grande profondeur connue de la Méditerranée. — Pendant l'été de 1891, le Polir (commandant Morthe), a fait une campagne dans
des gisements de phosphate de chaux a pris une grande importance ; on évalue à 32 000 000 tonnes la richesse totale de ces gisements, ayant une valeur supérieure à un milliard de francs. — Aux colonies, l'industrie minière est peu développée. A la Nouvelle-Calédonie, 131 concessions ont été octroyées; un millier d'ouvriers y sont employés à l'extraction des minerais de cobalt, de nickel, cuivre, plomb et chrome, représentant un total de 15 000 tonnes environ. A la Guyane, les gisements aurifères occupent 12 000 hommes, dont le salaire moyen est de 4 francs par jour, et qui ont extrait 180 kilogrammes d'or. La Tunisie montre des traces de lignite. Elle comprend 9 concessions métalliques, dont 7 de minerais de fer, et 2 de galène et de calamine. La plus grande profondeur connue de la Méditerranée. — Pendant l'été de 1891, le Polir (commandant Morthe), a fait une campagne dans la Méditerranée orientale. Les sondages ont relevé l'existence de fonds encore inconnus jusqu'ici. On a mesuré 4 400 mètres, par 31° 41' 20'' de latitude et 21° 30" de longitude est de Greenwich, au sud-ouest de Cérigo. La plus grande profondeur mesurée précédemment avait été signalée par le capitaine italien Magnaghi, commandant le Washington, à peu près à la même latitude, mais beaucoup plus à l'ouest; elle ne dépassait pas 4 000 mètres. BIBLIOGRAPHIE Cours de Chimie, par M. L. DURRIX-COURT, Professeur agrégé au collège Rollin ; un vol. in-8° de 1000 pages, avec 141 figures (A. Colin et Cie, éditeurs, Paris, 1892.) Prix 10 fr. Ce nouveau Cours de chimie, à l'usage des élèves de la classe de mathématiques élémentaires et des candidats à l'École centrale, renferme des innovations importantes. En premier lieu, il contient dans toute sa étendue, les notations des réactions en équivalents et en poids atomiques; c'est un premier acheminement vers l'abandon, aujourd'hui nécessaire, des notations en équivalents. Un mémento de 25 pages termine le volume; il rendra de grands services aux candidats, à la veille de l'examen. Enfin une centaine d'énoncés de problèmes, et un tableau de données numériques relatives aux quantités de chaleur dégagées