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demande : 1° Quel poids peut enlever ce ballon en conservant une force ascensionnelle de 3 kg, s'il est gonflé : (a) de gaz d'éclairage dont la densité est 0,55 par rapport à l'air, (b) de gaz hydrogène pur, dont la densité est 0,009. 2° Quel prix coûtera l'ascension par kilogramme avec chacun des deux gaz? Le poids d'un litre d'air est 1,3. Le prix d'un mètre cube d'hydrogène pur est 1 fr, 20. Le prix du mètre cube de gaz est 0 fr. 25. (Concours d'admission à l'École de Physique et de Chimie industrielles de Paris, en 1890.) 1° — Le poids, en kilogrammes, de l'air déplacé par le ballon est : 33 x 1,3 ; le poids du gaz d'éclairage qu'il contient est 77 x 33 x 1,3 x 0,55; le poids du taffetas de l'enveloppe est 0,4 x 33 x 0,2. Ont résolu la question 525 : MM. DÉSIGAUD (1er); DEOGOZ; THÉVENIN; A. HUGONET (1er), L. de Lons-le-Saunier; L. GUARDIAU; H. TORCHET (1er); JAFFEUX (1er); M. HAUTRÉ (1er); M. HABIER: L.-C. BRISSET; E. BILLARD; VERGNON (1er); G. CHEVALIER (1er); L. LEMAIRE (1er); E. QUET; H. FILOLIE. Instituteurs. — MM. A. FARUEL; FERRAND; Z. RUSSIER; A. ANXIONNAZ; M. DUSSAUX; G. GALLOIS; J. ARMANET; A. GARDEUR; A. FONDER; E. BOURDON; A. ANGROY; J.-M. PHILIPPE; VENET; C. POUGNAULT; DUCAMP; H. BAURY; P. GUILLEMIN. — MM. E. JODART; E. LEGEND. Maîtres répétiteurs. — MM. C. BERNARD; E. CUENNU; F. PÉGORIE; P. FLOURY. MM. L. MONNOT, assistants J. BRUNARD; B. PELLISSIER; E. NEST; L. HUIN; B. DUFY; A. BRÉQUOND. — Mme BONAIN. Note sur la Question 489. FERMAT est né, non à Toulouse vers 1590, comme on l'a cru pendant longtemps, mais bien dans une petite ville du Tarn-et-Garonne, Beaumont-de-Lomagne, qui n'avait cessé de disputer à Toulouse la gloire d'avoir vu naître le grand mathématicien. Le différend a été tranché, il y a une dizaine d'années, par la découverte faite par un vicaire dans les vieux registres de l'église paroissiale, de l'acte de baptême de Fermat, d'où il résulte qu'il est né à Beaumont, en 1601. Feu M. DIOSCORIDES, professeur à la
DUSSAUX; G. GALLOIS; J. ARMANET; A. GARDEUR; A. FONDER; E. BOURDON; A. ANGROY; J.-M. PHILIPPE; VENET; C. POUGNAULT; DUCAMP; H. BAURY; P. GUILLEMIN. — MM. E. JODART; E. LEGEND. Maîtres répétiteurs. — MM. C. BERNARD; E. CUENNU; F. PÉGORIE; P. FLOURY. MM. L. MONNOT, assistants J. BRUNARD; B. PELLISSIER; E. NEST; L. HUIN; B. DUFY; A. BRÉQUOND. — Mme BONAIN. Note sur la Question 489. FERMAT est né, non à Toulouse vers 1590, comme on l'a cru pendant longtemps, mais bien dans une petite ville du Tarn-et-Garonne, Beaumont-de-Lomagne, qui n'avait cessé de disputer à Toulouse la gloire d'avoir vu naître le grand mathématicien. Le différend a été tranché, il y a une dizaine d'années, par la découverte faite par un vicaire dans les vieux registres de l'église paroissiale, de l'acte de baptême de Fermat, d'où il résulte qu'il est né à Beaumont, en 1601. Feu M. DIOSCORIDES, professeur à la Faculté des sciences de Toulouse, mais natif de Beaumont, fit élever à son illustre compatriote, sur une place de cette ville, appelée désormais square Fermat, une stèle en bronze, due à FALCONNET, dont l'inauguration solennelle a eu lieu en 1882. Le problème résolu géométriquement dans le numéro 10, 1890-91, du Bulletin scientifique a été proposé à l'examen du Baccalauréat des sciences, à Rouen, session de juillet 1880, sous la forme suivante : Étant donné un point dans le plan d'un triangle et ses distances à sa hauteur et à sa base, trouver la somme des distances de ce point aux trois sommets. — Minimum de cette somme. Cette question a été traitée par M. FITZ-PATRICK dans le Journal de Mathématiques élémentaires de M. HILBERT, 1881-82, n° 19. La somme est une fonction irrationnelle assez compliquée des coordonnées du point. Aussi, après avoir constaté que son minimum ne peut pas être obtenu, algébriquement, par des procédés élémentaires, l'auteur de la solution cherche ce minimum par un procédé géométrique. A. GOULAUD, Agrégé de Mathématiques, Professeur au Lycée de Marseille. Noté sur la Question 398. À la suite d'une solution géométrique de la question 398 (voir le numéro du 20 décembre 1890), j'ai
Bulletin scientifique a été proposé à l'examen du Baccalauréat des sciences, à Rouen, session de juillet 1880, sous la forme suivante : Étant donné un point dans le plan d'un triangle et ses distances à sa hauteur et à sa base, trouver la somme des distances de ce point aux trois sommets. — Minimum de cette somme. Cette question a été traitée par M. FITZ-PATRICK dans le Journal de Mathématiques élémentaires de M. HILBERT, 1881-82, n° 19. La somme est une fonction irrationnelle assez compliquée des coordonnées du point. Aussi, après avoir constaté que son minimum ne peut pas être obtenu, algébriquement, par des procédés élémentaires, l'auteur de la solution cherche ce minimum par un procédé géométrique. A. GOULAUD, Agrégé de Mathématiques, Professeur au Lycée de Marseille. Noté sur la Question 398. À la suite d'une solution géométrique de la question 398 (voir le numéro du 20 décembre 1890), j'ai donné, en Remarque, l'énoncé du théorème suivant : Si deux triangles ABC, A'B'C sont tels que les parallèles menées des sommets de l'un aux côtés correspondants de l'autre soient concourantes, cette propriété sera réciproque. Je publie les démonstrations suivantes de ce théorème pour satisfaire à plusieurs demandes qui ont été adressées au Rédacteur du Bulletin scientifique. Première démonstration. — Soient [fig. C67 et C68] : O le point de concours des parallèles menées des sommets du triangle ABC aux côtés correspondants du triangle A'B'C; a le point de rencontre des droites AO et BC; p, y les points analogues; a' le point où la parallèle à CB menée par A' coupe B'C; p', Y les points analogues. Si a est entre B et C, a' sera aussi entre B' et C, et réciproquement. Les deux triangles BOa et COa, sont respectivement semblables aux deux triangles A'CV et A'BV, comme ayant leurs côtés parallèles deux à deux; on a donc Les droites AY, Bp, CY étant concourantes, on a donc, en vertu des égalités (1) et (2), on a aussi par suite, les droites AV, B'p', CY sont concourantes. REMARQUE. Les égalités montrent que les droites concourantes analogues divisent dans les
adressées au Rédacteur du Bulletin scientifique. Première démonstration. — Soient [fig. C67 et C68] : O le point de concours des parallèles menées des sommets du triangle ABC aux côtés correspondants du triangle A'B'C; a le point de rencontre des droites AO et BC; p, y les points analogues; a' le point où la parallèle à CB menée par A' coupe B'C; p', Y les points analogues. Si a est entre B et C, a' sera aussi entre B' et C, et réciproquement. Les deux triangles BOa et COa, sont respectivement semblables aux deux triangles A'CV et A'BV, comme ayant leurs côtés parallèles deux à deux; on a donc Les droites AY, Bp, CY étant concourantes, on a donc, en vertu des égalités (1) et (2), on a aussi par suite, les droites AV, B'p', CY sont concourantes. REMARQUE. Les égalités montrent que les droites concourantes analogues divisent dans les deux triangles les côtés qu'elles rencontrent dans les mêmes rapports; il résulte de là ce théorème : Soit un triangle A'B'C ayant ses côtés parallèles aux médianes d'un triangle ABC, les médianes du triangle A'B'C seront aussi parallèles à celles du triangle ABC. Seconde démonstration. — Soient un triangle ABC (fig. 1) et trois droites issues de ses sommets et concourantes en O. Menons à OA la parallèle CD, qui rencontre en D le prolongement de BO. Le triangle OCD peut être considéré comme l'un des triangles aux côtés desquels les droites concourantes AO, BO, CO sont parallèles. Il suffit donc de faire voir que les parallèles OK, DV, menées par O à UC et par D à AB, coupent CA au même point. Or, ces parallèles déterminent sur les droites AC, BD qui se coupent en I des segments proportionnels, et on a donc les points K et K' se confondent. Le théorème, étant vrai pour les deux triangles ABC, OCD, l'est évidemment pour tout système de deux triangles ayant leurs côtés respectivement parallèles aux côtés de ces deux triangles. Troisième démonstration. — On sait que, si trois droites issues des sommets d'un triangle ABC (fig. 2) font avec
(fig. 1) et trois droites issues de ses sommets et concourantes en O. Menons à OA la parallèle CD, qui rencontre en D le prolongement de BO. Le triangle OCD peut être considéré comme l'un des triangles aux côtés desquels les droites concourantes AO, BO, CO sont parallèles. Il suffit donc de faire voir que les parallèles OK, DV, menées par O à UC et par D à AB, coupent CA au même point. Or, ces parallèles déterminent sur les droites AC, BD qui se coupent en I des segments proportionnels, et on a donc les points K et K' se confondent. Le théorème, étant vrai pour les deux triangles ABC, OCD, l'est évidemment pour tout système de deux triangles ayant leurs côtés respectivement parallèles aux côtés de ces deux triangles. Troisième démonstration. — On sait que, si trois droites issues des sommets d'un triangle ABC (fig. 2) font avec les côtés de ce triangle des angles respectivement égaux à α et a', β et b', γ et y', comme l'indique la figure, la condition nécessaire et suffisante pour que ces droites concourent est que l'on ait Sin α. Sin β. Sin γ = Sin a'. Sin b'. Sin γ'. À présent, soient ABC et A'B'C (fig. 3 et 4) deux triangles, tels que les parallèles menées des sommets de ABC aux côtés du triangle A'B'C concourent en O. En désignant par a et a', β et b', γ et γ' les angles formés par ces droites avec les côtés du triangle ABC, entre ces angles nous avons la relation (1). Si, par les sommets A',B',C, nous menons des parallèles aux côtés correspondants de ABC, ces droites forment avec les côtés du triangle A'B'C les angles γ' et β, α' et γ' comme, en vertu de la relation (1), satisfont à l'égalité Sin β. Sin γ. Sin α = Sin γ'. Sin α'. Sin β'; donc ces parallèles sont concourantes. ÉNONCIATION. — En comparant les angles des deux dernières figures, et en généralisant, on peut énoncer ce théorème : Si un triangle A'B'C a ses côtés parallèles aux droites de
À présent, soient ABC et A'B'C (fig. 3 et 4) deux triangles, tels que les parallèles menées des sommets de ABC aux côtés du triangle A'B'C concourent en O. En désignant par a et a', β et b', γ et γ' les angles formés par ces droites avec les côtés du triangle ABC, entre ces angles nous avons la relation (1). Si, par les sommets A',B',C, nous menons des parallèles aux côtés correspondants de ABC, ces droites forment avec les côtés du triangle A'B'C les angles γ' et β, α' et γ' comme, en vertu de la relation (1), satisfont à l'égalité Sin β. Sin γ. Sin α = Sin γ'. Sin α'. Sin β'; donc ces parallèles sont concourantes. ÉNONCIATION. — En comparant les angles des deux dernières figures, et en généralisant, on peut énoncer ce théorème : Si un triangle A'B'C a ses côtés parallèles aux droites de l'un des quatre systèmes de bissectrices concourantes d'un triangle ABC, les parallèles menées par les sommets de ce triangle A'B'C aux côtés correspondants de ABC passent par le centre de la circonférence circonscrite au triangle A'B'C. BRISSET, Professeur agrégé au Lycée Charlemagne. PRÉPARATION AUX CONCOURS GÉNÉRAUX 513. — La distance d'un point M à une circonférence de centre O et de rayon R étant, par définition, la valeur absolue de la différence MO - R, on considère dans un même plan P deux circonférences dont les centres O et O' sont à une distance D et dont les rayons R et R' (R > R') sont donnés. Un point M se déplace dans le plan P en restant toujours à la même distance des deux circonférences. 1° Discute la ligne L parcourue par le point M. 2° Indique les régions du plan P pour lesquelles les points sont plus voisins de la circonférence O que de la circonférence O'. 3° On suppose un mobile parcourant la ligne L de sorte qu'un même arc ne soit jamais parcouru qu'une seule fois, et on considère les projections de ce mobile sur une droite X'X passant par le milieu C de OO' et
d'un point M à une circonférence de centre O et de rayon R étant, par définition, la valeur absolue de la différence MO - R, on considère dans un même plan P deux circonférences dont les centres O et O' sont à une distance D et dont les rayons R et R' (R > R') sont donnés. Un point M se déplace dans le plan P en restant toujours à la même distance des deux circonférences. 1° Discute la ligne L parcourue par le point M. 2° Indique les régions du plan P pour lesquelles les points sont plus voisins de la circonférence O que de la circonférence O'. 3° On suppose un mobile parcourant la ligne L de sorte qu'un même arc ne soit jamais parcouru qu'une seule fois, et on considère les projections de ce mobile sur une droite X'X passant par le milieu C de OO' et faisant avec CO' l'angle α, dont la valeur positive ne dépasse pas 90°. — Construire les limites des portions de X'X qui sont parcourues plus de deux fois par la projection. En supposant les deux circonférences sécantes, on calculera, en fonction des données R, R', D, α, les portions de X'X ainsi limitées. (Concours général de l'Enseignement spécial, pour la Classe de 3e Année, en juillet 1891.) Première Partie et seconde Partie. Nous distinguerons les cas, suivant que les deux circonférences occupent l'une des 5 positions relatives distinguées en géométrie pour deux circonférences. 1° CAS : Les deux circonférences sont extérieures (fig. 5). — Considérons d'abord les points du plan P situés dans la région extérieure aux deux circonférences. Soit M un point équidistant des deux circonférences; on a et on voit que les points tels que M appartiennent à celle des branches L d'une hyperbole, de foyers O et O' et d'axe transverse R - IV, qui enveloppe le foyer O'; d'ailleurs, cette hyperbole existe, puisque sa distance focale D est supérieure à R + R' et par suite supérieure à l'axe transverse R - R'. Réciproquement, tout point M de cette branche de l'hyperbole est équidistant de deux
X'X ainsi limitées. (Concours général de l'Enseignement spécial, pour la Classe de 3e Année, en juillet 1891.) Première Partie et seconde Partie. Nous distinguerons les cas, suivant que les deux circonférences occupent l'une des 5 positions relatives distinguées en géométrie pour deux circonférences. 1° CAS : Les deux circonférences sont extérieures (fig. 5). — Considérons d'abord les points du plan P situés dans la région extérieure aux deux circonférences. Soit M un point équidistant des deux circonférences; on a et on voit que les points tels que M appartiennent à celle des branches L d'une hyperbole, de foyers O et O' et d'axe transverse R - IV, qui enveloppe le foyer O'; d'ailleurs, cette hyperbole existe, puisque sa distance focale D est supérieure à R + R' et par suite supérieure à l'axe transverse R - R'. Réciproquement, tout point M de cette branche de l'hyperbole est équidistant de deux circonférences, car on a Montrons maintenant que les autres points de la région considérée n'appartiennent pas au lieu cherché. Pour un point M, intérieur à la branche L, on a Pour un point M, situé dans la région extérieure de l'hyperbole, mais entre la branche L et l'axe non transverse, on a Enfin, pour le point M3, situé du même côté de l'axe non transverse que le foyer O, on a D'autre part, aucun point intérieur à l'une des circonférences n'appartient au lieu; en effet, on a M4A < M4A4 < M4H4. De même, un point intérieur à la circonférence O' serait plus près de la circonférence O. De la discussion précédente, il résulte que : 1° La ligne L se compose de celle des branches d'une hyperbole de foyers O, O' et d'axe transverse R - R' qui enveloppe le foyer O'. 2° Cette branche d'hyperbole partage le plan en deux régions : celle qui contient le centre O renferme les points plus voisins de la circonférence O que de la circonférence O', le contraire a lieu pour les points de l'autre région. Quand R = R', le lieu se réduit à la perpendiculaire à OO' en son milieu.
on a Enfin, pour le point M3, situé du même côté de l'axe non transverse que le foyer O, on a D'autre part, aucun point intérieur à l'une des circonférences n'appartient au lieu; en effet, on a M4A < M4A4 < M4H4. De même, un point intérieur à la circonférence O' serait plus près de la circonférence O. De la discussion précédente, il résulte que : 1° La ligne L se compose de celle des branches d'une hyperbole de foyers O, O' et d'axe transverse R - R' qui enveloppe le foyer O'. 2° Cette branche d'hyperbole partage le plan en deux régions : celle qui contient le centre O renferme les points plus voisins de la circonférence O que de la circonférence O', le contraire a lieu pour les points de l'autre région. Quand R = R', le lieu se réduit à la perpendiculaire à OO' en son milieu. 2° CAS : Les circonférences sont sécantes (fig. 073). — On démontrerait, comme dans le cas précédent, que les points du plan de la région extérieure aux deux circonférences, et faisant partie du lieu, appartiennent à celle des branches d'une hyperbole de foyers O et O' et d'axe transverse R - R' qui enveloppe le foyer O'. La distance focale de cette hyperbole est bien encore supérieure à l'axe focal, et par suite l'hyperbole existe toujours. Cette branche d'hyperbole passe par les points C, G' pour lesquels on a évidemment On démontrerait, comme précédemment, que tout point de la branche d'hyperbole et extérieur aux deux circonférences fait partie du lieu. D'ailleurs, tout point M de l'arc d'hyperbole CC fait partie du lieu, car on a On prouverait d'une manière analogue à celle qui est employée dans le premier cas, que les points de la région CDC sont plus voisins de la circonférence O que de la circonférence O', et que le contraire a lieu pour les points de la région CDC'. Considérons maintenant un point M du lieu appartenant à la région CKC', ou à la région CE'C'U; on a M, A = M, B ou M - O =
- R' qui enveloppe le foyer O'. La distance focale de cette hyperbole est bien encore supérieure à l'axe focal, et par suite l'hyperbole existe toujours. Cette branche d'hyperbole passe par les points C, G' pour lesquels on a évidemment On démontrerait, comme précédemment, que tout point de la branche d'hyperbole et extérieur aux deux circonférences fait partie du lieu. D'ailleurs, tout point M de l'arc d'hyperbole CC fait partie du lieu, car on a On prouverait d'une manière analogue à celle qui est employée dans le premier cas, que les points de la région CDC sont plus voisins de la circonférence O que de la circonférence O', et que le contraire a lieu pour les points de la région CDC'. Considérons maintenant un point M du lieu appartenant à la région CKC', ou à la région CE'C'U; on a M, A = M, B ou M - O = M, O' IV ou M, O + M, O' = H - R'. On voit que tous les points tels que M appartennent à une ellipse de foyers O et O' et d'axe transverse H + R'. D'ailleurs, cette ellipse existe bien, car sa distance focale D est inférieure à son grand axe H + R'. Elle coupe l'hyperbole à angle droit aux points C et C' Réciproquement, tout point M, de cette ellipse appartient au lieu, car on a A1 O + M, O' = H + H', d'où M, O = M, O' H' ou M, A = M, B'. Les autres points de la région CKG'D' n'appartiennent pas au lieu. Pour un point M, de cette région et extérieur à l'ellipse, on a A1 O + M, O' > H + K' ou H - M, O < M, O' H' ou M, A < M, B'. Pour un point M3 de la même région, et intérieur à l'ellipse, on a M, O' + M, O < H + R' ou H M, O > M, O' H' ou M, A > M, B'. On verrait de même que les points de la région CE'G'D et intérieurs
son grand axe H + R'. Elle coupe l'hyperbole à angle droit aux points C et C' Réciproquement, tout point M, de cette ellipse appartient au lieu, car on a A1 O + M, O' = H + H', d'où M, O = M, O' H' ou M, A = M, B'. Les autres points de la région CKG'D' n'appartiennent pas au lieu. Pour un point M, de cette région et extérieur à l'ellipse, on a A1 O + M, O' > H + K' ou H - M, O < M, O' H' ou M, A < M, B'. Pour un point M3 de la même région, et intérieur à l'ellipse, on a M, O' + M, O < H + R' ou H M, O > M, O' H' ou M, A > M, B'. On verrait de même que les points de la région CE'G'D et intérieurs à cette ellipse sont plus voisins de la circonférence O que de la circonférence O' et que le contraire a lieu pour les points de la même région, mais extérieurs à l'ellipse. De cette discussion, il résulte que: 1° La ligne L se compose de celle des branches d'une hyperbole de foyers O et O' et d'axe transverse H - R' qui enveloppe le foyer O', et d'une ellipse homofocale de grand axe H + R'. 2° Que les régions couvertes de hachures sont celles pour lesquelles les points du plan sont plus voisins de la circonférence O que de la circonférence O'. Quand R = R', la branche d'hyperbole se réduit évidemment à la sécante commune GG'. 3e CAS : Les circonférences sont tangentes extérieurement (fig. 674). — On peut rattacher ce cas au second en regardant les deux circonférences comme les positions limites des deux circonférences sécantes, quand les deux points G et G' viennent se confondre, O' s'éloignant de O. La branche d'hyperbole existe toujours car D = H + R' et par suite D > R - R'; quant à l'ellipse, elle se réduit à la portion de droite O O', puisque sa distance focale D
de foyers O et O' et d'axe transverse H - R' qui enveloppe le foyer O', et d'une ellipse homofocale de grand axe H + R'. 2° Que les régions couvertes de hachures sont celles pour lesquelles les points du plan sont plus voisins de la circonférence O que de la circonférence O'. Quand R = R', la branche d'hyperbole se réduit évidemment à la sécante commune GG'. 3e CAS : Les circonférences sont tangentes extérieurement (fig. 674). — On peut rattacher ce cas au second en regardant les deux circonférences comme les positions limites des deux circonférences sécantes, quand les deux points G et G' viennent se confondre, O' s'éloignant de O. La branche d'hyperbole existe toujours car D = H + R' et par suite D > R - R'; quant à l'ellipse, elle se réduit à la portion de droite O O', puisque sa distance focale D égale son grand axe R + H: la région intérieure à l'ellipse disparaît et il résulte que : 1° La ligne L se compose de celle des branches d'une hyperbole de foyers O et O' et d'axe transverse R - H qui enveloppe le foyer O', et de la portion de droite O O'. 2° La branche d'hyperbole partage le plan en deux régions : celle qui contient le centre O renferme les points plus voisins de la circonférence O que de la circonférence O'. Quand H = R', la branche d'hyperbole se réduit à la tangente commune aux deux circonférences. 4e CAS : Les circonférences sont tangentes intérieurement (fig. 675). — On peut rattacher ce cas au second, en supposant que le centre O' se rapproche du centre O jusqu'à ce que les deux points G et C se confondent. L'ellipse existe toujours, puisque sa distance focale D = R - H' et est par suite inférieure à son grand axe R + H': Quant à la branche d'hyperbole, elle se réduit à la demi-droite O E, puisque la distance focale D devient égale à l'axe transverse R - R'. La région couverte de hachures et intérieure à l'ellipse