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en mouvement sur une parabole, met pour passer d'une position à une autre. M. Joseph Bertrand, en terminant une étude sur D'Alembert, donne l'appréciation suivante de ses travaux : « D'Alembert s'exerça dans les genres les plus divers, et sans avoir produit dans tous d'immortels chefs-d'œuvre, il fut placé par l'opinion au premier rang des savants, des littérateurs et des philosophes. » Leonard Euler, né à Bâle le 15 avril 1707, après avoir suivi d'une manière distinguée les cours de l'Université de Bâle, obtint en 1733 les fonctions de professeur à Saint-Pétersbourg. Puis il fut nommé, par Frédéric II, président de l'Académie de Berlin, et exerça cette fonction de 1759 à 1765. Acceptant les offres de Catherine II, il retourna en 1766 à Saint-Pétersbourg, malgré les efforts que fit pour le retenir Frédéric II, conseillé par D'Alembert. Condorcet, dans l'Éloge d'Euler, dit que la mort a frappé subitement ce savant le 7 septembre 1783, dans la suite d'un dîner en famille, presque immédiatement après avoir parlé de la planète qu'Herschel venait de découvrir et des calculs qui en déterminent l'orbite. Toute la vie d'Euler a été consacrée à de nombreux travaux de mathématiques, notamment sur le calcul différentiel où il suivit la voie ouverte par D'Alembert. Euler, qui avait d'abord adopté l'hypothèse des tourbillons, l'abandonna bientôt pour appliquer les théories de Newton. Il s'est occupé en 1747 de la solution du problème des trois corps, en même temps que Clairaut et D'Alembert. Il fut couronné, en 1748 et en 1752, par l'Académie des Sciences de Paris pour ses deux mémoires sur l'étude, proposée comme sujet de prix, des perturbations de Jupiter et de Saturne. On doit à Euler un théorème remarquable, attribué par tort à Lambert, pour exprimer le temps qu'une comète, supposée en mouvement sur une parabole, met pour passer d'une position à une autre. M. Joseph Bertrand, en terminant une étude sur D'Alembert, donne l'appréciation suivante de ses travaux : « D'Alembert s'exerça dans les genres les plus divers, et sans avoir produit dans tous d'immortels chefs-d'œuvre, il fut placé par l'opinion au premier rang des savants, des
suivit la voie ouverte par D'Alembert. Euler, qui avait d'abord adopté l'hypothèse des tourbillons, l'abandonna bientôt pour appliquer les théories de Newton. Il s'est occupé en 1747 de la solution du problème des trois corps, en même temps que Clairaut et D'Alembert. Il fut couronné, en 1748 et en 1752, par l'Académie des Sciences de Paris pour ses deux mémoires sur l'étude, proposée comme sujet de prix, des perturbations de Jupiter et de Saturne. On doit à Euler un théorème remarquable, attribué par tort à Lambert, pour exprimer le temps qu'une comète, supposée en mouvement sur une parabole, met pour passer d'une position à une autre. M. Joseph Bertrand, en terminant une étude sur D'Alembert, donne l'appréciation suivante de ses travaux : « D'Alembert s'exerça dans les genres les plus divers, et sans avoir produit dans tous d'immortels chefs-d'œuvre, il fut placé par l'opinion au premier rang des savants, des littérateurs et des philosophes. » Ses écrits de membre de l'Académie des Sciences sont remarquables. On cite encore son essai sur l'application de l'analyse à la Probabilité des décisions rendues à la pluralité des voix (1785). Il s'empoisonna pour ne pas mourir sur l'échafaud révolutionnaire. 2. Oeuvres de D'Alembert, 11, Paris, A. Belin, 1821. p. 3. 3. D'Alembert, Paris, Hachette, 1889, p. 185. Problèmes proposés à l'examen écrit du Baccalauréat de l'Enseignement secondaire spécial. 266. — Soit la fraction x, où m et n sont deux nombres indéfinis terminés. On demande de les choisir de façon que cette fraction passe par un maximum pour a= a, et que de plus la valeur de ce maximum soit 6, a et b étant des nombres donnés. — En supposant a = 2 et b = 1, effectuer la détermination de m et n et étudier les variations de la fraction ainsi obtenue. (La construction de la courbe figurative n'est pas exigée). (Poitiers, novembre 1891.) 267. — Déterminer les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dans lequel on connaît l'hypoténuse et le rayon du cercle inscrit. Discuter le problème. (Poitiers, novembre 1891.) 268. — On applique aux trois sommets d'un triangle
Paris, A. Belin, 1821. p. 3. 3. D'Alembert, Paris, Hachette, 1889, p. 185. Problèmes proposés à l'examen écrit du Baccalauréat de l'Enseignement secondaire spécial. 266. — Soit la fraction x, où m et n sont deux nombres indéfinis terminés. On demande de les choisir de façon que cette fraction passe par un maximum pour a= a, et que de plus la valeur de ce maximum soit 6, a et b étant des nombres donnés. — En supposant a = 2 et b = 1, effectuer la détermination de m et n et étudier les variations de la fraction ainsi obtenue. (La construction de la courbe figurative n'est pas exigée). (Poitiers, novembre 1891.) 267. — Déterminer les deux côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dans lequel on connaît l'hypoténuse et le rayon du cercle inscrit. Discuter le problème. (Poitiers, novembre 1891.) 268. — On applique aux trois sommets d'un triangle des forces parallèles entre elles et respectivement proportionnelles aux côtés opposés. Trouver la résultante et son point d'application. (Poitiers, novembre 1891.) 269. — Établir les expressions de sin x et cos x en fonction de tg; cela fait, étant donnée l'équation x on demande de la résoudre en prenant comme inconnue tg. On discutera l'équation du second degré en tg que l'on obtient ainsi, et on établira les formules qui donnent les diverses séries d'arcs qui vérifient l'équation (1). Enfin on montrera qu'on parvient ainsi aux mêmes résultats qu'en résolvant l'équation (1) par le procédé connu. (Poitiers, novembre 1891.) 270. — On donne l'équation où m est une quantité arbitraire. Pour quelles valeurs de m cette équation admet-elle des racines réelles? La quantité x étant supposée ne prendre que de telles valeurs, comment varient avec elle les signes des racines de l'équation (1)? Déterminer m de façon que l'une des racines de l'équation (1) soit égale au carré de l'autre. (Poitiers, novembre 1891.) 271. — L'extrémité libre du cordon d'une poulie mobile est fixée à l'extrémité A (fig. 170) d'un levier, dont le point d'appui C est au tiers de sa longueur à partir de A. Quelle force faut-il appliquer
inconnue tg. On discutera l'équation du second degré en tg que l'on obtient ainsi, et on établira les formules qui donnent les diverses séries d'arcs qui vérifient l'équation (1). Enfin on montrera qu'on parvient ainsi aux mêmes résultats qu'en résolvant l'équation (1) par le procédé connu. (Poitiers, novembre 1891.) 270. — On donne l'équation où m est une quantité arbitraire. Pour quelles valeurs de m cette équation admet-elle des racines réelles? La quantité x étant supposée ne prendre que de telles valeurs, comment varient avec elle les signes des racines de l'équation (1)? Déterminer m de façon que l'une des racines de l'équation (1) soit égale au carré de l'autre. (Poitiers, novembre 1891.) 271. — L'extrémité libre du cordon d'une poulie mobile est fixée à l'extrémité A (fig. 170) d'un levier, dont le point d'appui C est au tiers de sa longueur à partir de A. Quelle force faut-il appliquer en B pour faire équilibre à un poids Q attaché à la chape de la poulie? (Poitiers, novembre 1891.) 272. — Une barre rectiligne AB (fig. 768), solide, homogène et de poids P, peut tourner librement autour d'un de ses points O qui est fixe. Un fil attaché à l'extrémité B passe sur une petite poulie H de dimensions négligeables, située sur la verticale du point O, et supporte à son extrémité libre un poids Q. Déterminer la position d'équilibre et discuter. On supposera que OA = a, OB = 2a, OH = 4a. (Rennes, novembre 1891.) 273. — On donne une lentille convergente dont la distance focale est 0,33 m. Un écran est placé à 0,50 m de la lentille. A quelle distance devra-t-on placer un objet en avant de la lentille pour que son image se forme sur l'écran? Si l'objet est une ligne droite perpendiculaire à l'axe principal et d'une longueur de 0,055 m, quelle sera la longueur de l'image obtenue? Sera-t-elle droite ou renversée, réelle ou non? (Rennes, novembre 1891.) 274. — Résoudre l'équation dans laquelle a désigne un nombre positif ou négatif donné et x un arc inconnu compris entre 0° et 360°. A cet
B passe sur une petite poulie H de dimensions négligeables, située sur la verticale du point O, et supporte à son extrémité libre un poids Q. Déterminer la position d'équilibre et discuter. On supposera que OA = a, OB = 2a, OH = 4a. (Rennes, novembre 1891.) 273. — On donne une lentille convergente dont la distance focale est 0,33 m. Un écran est placé à 0,50 m de la lentille. A quelle distance devra-t-on placer un objet en avant de la lentille pour que son image se forme sur l'écran? Si l'objet est une ligne droite perpendiculaire à l'axe principal et d'une longueur de 0,055 m, quelle sera la longueur de l'image obtenue? Sera-t-elle droite ou renversée, réelle ou non? (Rennes, novembre 1891.) 274. — Résoudre l'équation dans laquelle a désigne un nombre positif ou négatif donné et x un arc inconnu compris entre 0° et 360°. A cet effet on démontrera les propositions suivantes : 1. Quel que soit l'arc x, si l'on pose l'existence de x entraîne celle de y; en vertu de l'équation (2), l'équation (3) se transforme en celle-ci : Ces propositions établies, on déduira y de l'équation (3), puis x de l'équation (2). On montrera que la seule condition de possibilité du problème est que la valeur absolue de a soit au plus égale à l'unité. Si cette condition est remplie, l'inconnue y admet, entre 0° et 360°, deux ou quatre valeurs. (Toulouse, novembre 1891.) 275. — On donne, dans le plan horizontal, une droite ub rencontrant en b la ligne de terre xy. Déterminer la projection verticale bc' d'une droite menée par b dans le plan vertical, et faisant avec ab un angle donné 0. Construire ensuite les traces du plan bissecteur de l'angle formé par le plan de ces deux droites avec le plan horizontal. (Lille, juillet 1891.) 276. — On donne un point S dont la cote est double de l'éloignement et deux points a, a' et b, b' dans le plan horizontal de projection. Construire le tétraèdre SABC dont la face ABC est dans le plan horizontal, sachant que l'arête
montrera que la seule condition de possibilité du problème est que la valeur absolue de a soit au plus égale à l'unité. Si cette condition est remplie, l'inconnue y admet, entre 0° et 360°, deux ou quatre valeurs. (Toulouse, novembre 1891.) 275. — On donne, dans le plan horizontal, une droite ub rencontrant en b la ligne de terre xy. Déterminer la projection verticale bc' d'une droite menée par b dans le plan vertical, et faisant avec ab un angle donné 0. Construire ensuite les traces du plan bissecteur de l'angle formé par le plan de ces deux droites avec le plan horizontal. (Lille, juillet 1891.) 276. — On donne un point S dont la cote est double de l'éloignement et deux points a, a' et b, b' dans le plan horizontal de projection. Construire le tétraèdre SABC dont la face ABC est dans le plan horizontal, sachant que l'arête SC est perpendiculaire au plan SAB. Déterminer la section de ce tétraèdre par le plan bissecteur du premier dièdre et trouver la vraie grandeur de cette section. (Lyon, juillet 1891.) 277. — On prend un certain poids d'un alliage de cuivre et d'argent que l'on chauffe dans de l'acide sulfurique concentré. Le produit est dissous dans l'eau et on plonge dans la dissolution une lame de cuivre du poids de 26 g; lorsque la réaction est terminée, on trouve que la lame de cuivre avec ce qui y est déposé pèse 32 g. Le liquide surnageant est additionné de potasse caustique, le précipité est lavé et séché, son poids est de 45 g. Calculer: 1° le poids de l'alliage ; 2° sa composition. Cu = 31,75, Ag = 108. (Poitiers, juillet 1891.) Les principales applications du nickel.—Les mines du Canada et de la Nouvelle-Calédonie produisent depuis quelques années une quantité relativement considérable de nickel. Aussi les usages de ce métal ont-ils pris une certaine importance. La production annuelle du nickel est voisine de 10000 tonnes, et elle s'accroîtra sans doute assez rapidement ; le prix du métal pur ne dépasse pas beaucoup de francs le kilogramme. À l'état pur, le
concentré. Le produit est dissous dans l'eau et on plonge dans la dissolution une lame de cuivre du poids de 26 g; lorsque la réaction est terminée, on trouve que la lame de cuivre avec ce qui y est déposé pèse 32 g. Le liquide surnageant est additionné de potasse caustique, le précipité est lavé et séché, son poids est de 45 g. Calculer: 1° le poids de l'alliage ; 2° sa composition. Cu = 31,75, Ag = 108. (Poitiers, juillet 1891.) Les principales applications du nickel.—Les mines du Canada et de la Nouvelle-Calédonie produisent depuis quelques années une quantité relativement considérable de nickel. Aussi les usages de ce métal ont-ils pris une certaine importance. La production annuelle du nickel est voisine de 10000 tonnes, et elle s'accroîtra sans doute assez rapidement ; le prix du métal pur ne dépasse pas beaucoup de francs le kilogramme. À l'état pur, le nickel est employé à confectionner des fils dont on se sert beaucoup en passementerie ; il sert surtout au nickelage galvanique du fer ; le placage mécanique du nickel en plaque mince sur le fer est aussi usité quand on veut obtenir une couche plus résistante. Mais le nickel entre surtout dans la composition d'alliages fort importants, dont le cuivre est toujours l'élément dominant. Ces alliages sont généralement blancs, surtout quand ils contiennent une proportion de nickel supérieure à dix pour cent ; ils sont susceptibles d'un beau poli, qui se conserve assez longtemps à l'air. L'alliage binaire le plus important renferme 20 pour 100 de nickel et 80 pour 100 de cuivre ; il peut se laminer et s'emboutir à froid avec un simple recuit, sans réchauffement intermédiaire. On en consomme de grandes quantités pour la fabrication des enveloppes des balles destinées aux nouveaux fusils de guerre de petit calibre, comme aussi pour la construction des foyers de locomotives, et des plaques titrantes de fourneau. Le maillechort (cuivre 11%, zinc 21%, nickel 25) est encore un métal blanc dont l'usage principal est de servir à la confection de divers ustensiles de cuisine, et particulièrement de fourchettes et de cuillères,
surtout dans la composition d'alliages fort importants, dont le cuivre est toujours l'élément dominant. Ces alliages sont généralement blancs, surtout quand ils contiennent une proportion de nickel supérieure à dix pour cent ; ils sont susceptibles d'un beau poli, qui se conserve assez longtemps à l'air. L'alliage binaire le plus important renferme 20 pour 100 de nickel et 80 pour 100 de cuivre ; il peut se laminer et s'emboutir à froid avec un simple recuit, sans réchauffement intermédiaire. On en consomme de grandes quantités pour la fabrication des enveloppes des balles destinées aux nouveaux fusils de guerre de petit calibre, comme aussi pour la construction des foyers de locomotives, et des plaques titrantes de fourneau. Le maillechort (cuivre 11%, zinc 21%, nickel 25) est encore un métal blanc dont l'usage principal est de servir à la confection de divers ustensiles de cuisine, et particulièrement de fourchettes et de cuillères, qui sont employées argentées ou non. — Enfin dans un grand nombre de pays (presque tous les États de l'Amérique, Allemagne, Suisse, Serbie, Bulgarie, Hollande, Japon), on a remplacé l'ancienne monnaie de billon en bronze par une monnaie plus légère et plus propre en nickel pur ou en alliage blanc. Allié au fer et à l'acier, le nickel communique à ces métaux une grande résistance à la rupture, tout en augmentant l'élasticité. Les plaques de blindage en acier-nickel construites au Creusot résistent d'une façon merveilleuse au choc des projectiles les plus puissants. Coloration artificielle des fleurs. — MM. W. Hrookbank et W. Dorrington ont fait, en Angleterre, d'intéressantes recherches sur la coloration artificielle des fleurs. Voici le résumé de ces recherches, d'après la Revue générale des sciences. — Les auteurs se sont servis surtout de matières colorantes dérivées de l'aniline. Au bout de 6 à 12 heures, des fleurs coupées, placées dans une dissolution étendue — 305 — de la matière colorante, ayant à peu près la teinte du vin de Bordeaux, se colorent, soit d'une manière uniforme, soit en bandes. Les auteurs croient que cette manière de teindre les plantes aura une importance considérable pour la physiologie végétale. Ils
Allié au fer et à l'acier, le nickel communique à ces métaux une grande résistance à la rupture, tout en augmentant l'élasticité. Les plaques de blindage en acier-nickel construites au Creusot résistent d'une façon merveilleuse au choc des projectiles les plus puissants. Coloration artificielle des fleurs. — MM. W. Hrookbank et W. Dorrington ont fait, en Angleterre, d'intéressantes recherches sur la coloration artificielle des fleurs. Voici le résumé de ces recherches, d'après la Revue générale des sciences. — Les auteurs se sont servis surtout de matières colorantes dérivées de l'aniline. Au bout de 6 à 12 heures, des fleurs coupées, placées dans une dissolution étendue — 305 — de la matière colorante, ayant à peu près la teinte du vin de Bordeaux, se colorent, soit d'une manière uniforme, soit en bandes. Les auteurs croient que cette manière de teindre les plantes aura une importance considérable pour la physiologie végétale. Ils affirment que les résultats démontrent que la circulation de la sève de cellule en cellule est inexacte et qu'il y a un système complet de veines dans les plantes. On voit sous le microscope le mouvement de la matière colorante dans ces veines. On constate que ces veines débouchent dans les racines en plaçant les fibres de la racine d'une jacinthe dans une dissolution de la matière colorante; en douze heures les pétales des fleurs commencent à se teinter, et finalement la plante entière. Les veines paraissent sous le microscope comme des tubes à parois unies qui se ramifient de plus en plus à mesure qu'elles s'approchent des bords des feuilles ; c'est pour cela que ceux-ci sont en général colorés d'une manière plus intense que les autres parties de la feuille. Ce phénomène a été observé avec les pétales des narcisses et du lilas, et avec les feuilles de lierre et d'aucuba détachées de leur lige. Les pistils des fleurs se colorent toujours. On a prétendu que les vignes traitées par le sulfate de cuivre donnent du vin contenant du cuivre ; les expériences que nous venons d'indiquer expliqueraient ce fait. Extraction du pétrole aux États-Unis. — Il n'y
les racines en plaçant les fibres de la racine d'une jacinthe dans une dissolution de la matière colorante; en douze heures les pétales des fleurs commencent à se teinter, et finalement la plante entière. Les veines paraissent sous le microscope comme des tubes à parois unies qui se ramifient de plus en plus à mesure qu'elles s'approchent des bords des feuilles ; c'est pour cela que ceux-ci sont en général colorés d'une manière plus intense que les autres parties de la feuille. Ce phénomène a été observé avec les pétales des narcisses et du lilas, et avec les feuilles de lierre et d'aucuba détachées de leur lige. Les pistils des fleurs se colorent toujours. On a prétendu que les vignes traitées par le sulfate de cuivre donnent du vin contenant du cuivre ; les expériences que nous venons d'indiquer expliqueraient ce fait. Extraction du pétrole aux États-Unis. — Il n'y a guère plus de 30 ans que le pétrole est entré dans la consommation courante ; depuis cette époque, les usages de ce combustible dans le chauffage, et surtout dans l'éclairage domestique, n'ont cessé de prendre une importance sans cesse croissante. — En 1859, les mines de pétrole de New-York et de la Pennsylvanie ont fourni 380 mètres cubes de liquide ; en 1891, la production a atteint 2000000 de mètres cubes. — Ajoutons que le pétrole du Caucase a suivi une marche ascendante au moins aussi rapide que celui des États-Unis. Conductibilité des gaz pour l'électricité. — M. Ed. Hranly a étudié les propriétés électriques d'une couche d'air comprise entre une plaque métallique froide et une surface chauffée au rouge. Cette couche gazeuse est conductrice : un courant de pile peut passer entre deux surfaces métalliques distantes de quelques millimètres, dont l'une est froide et l'autre incandescente. En second lieu, la conductibilité dépend dans certaines conditions du sens du courant ; mais, comme ces conditions varient avec la nature physique et chimique des surfaces, il convient de diviser l'étude. — L'emploi d'un électroscope est particulièrement commode pour les observations. La boule de l'électroscope est remplacée par un disque métallique
et de la Pennsylvanie ont fourni 380 mètres cubes de liquide ; en 1891, la production a atteint 2000000 de mètres cubes. — Ajoutons que le pétrole du Caucase a suivi une marche ascendante au moins aussi rapide que celui des États-Unis. Conductibilité des gaz pour l'électricité. — M. Ed. Hranly a étudié les propriétés électriques d'une couche d'air comprise entre une plaque métallique froide et une surface chauffée au rouge. Cette couche gazeuse est conductrice : un courant de pile peut passer entre deux surfaces métalliques distantes de quelques millimètres, dont l'une est froide et l'autre incandescente. En second lieu, la conductibilité dépend dans certaines conditions du sens du courant ; mais, comme ces conditions varient avec la nature physique et chimique des surfaces, il convient de diviser l'étude. — L'emploi d'un électroscope est particulièrement commode pour les observations. La boule de l'électroscope est remplacée par un disque métallique horizontal, on dispose au-dessus, à une distance de quelques centimètres, une spirale de platine portée au rouge par un courant électrique. La couche d'air comprise entre la spirale et le disque devient conductrice. Pour une très vive incandescence de la spirale, l'électroscope chargé positivement ou négativement se décharge rapidement ; au rouge sombre, la décharge est encore rapide si l'électroscope est négatif, elle est nulle ou presque nulle s'il est positif. Parallèlement au disque, on peut encore disposer une lame de platine chauffée par un petit chalumeau ; la déperdition de l'électroscope chargé négativement se produit dès que la lame commence à présenter une petite surface rouge. — La disposition la plus simple consiste à remplacer le verre d'un bec de gaz par un cylindre de platine qu'on approche à quelques centimètres d'un disque métallique vertical relié à un électroscope. Les expériences devront être faites dans un gaz inerte pour pouvoir indiquer comment se comportent les surfaces métalliques non oxydées. Un tube de laiton substitué au cylindre de platine sur le bec de gaz se comporte comme le platine: déperdition rapide quand l'électroscope est négatif, déperdition positive insignifiante. Au contraire, avec un tube de nickel placé sur le bec de