jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
spécial,-session, juillet 1891.) Solution géométrique. Supposons le problème résolu, et soit ABC(△A=△B=△C) le triangle cherché, dans lequel on connaît le côté AB = c, la hauteur CIL = h et la somme CA + CB = s. On construit le côté AB = c. Le sommet C est sur la parallèle PP' au côté AB, menée à la distance h. Des circonférences de centre B et C, de rayons égaux à r et CA, sont tangentes en un point M ; si l'on connaissait le point M, la droite BM couperait PP' au sommet cherché C. Or, la circonférence B est connue ; la circonférence C est tangente en M à la circonférence connue B, elle passe par le point A et par le point A' symétrique de A par rapport à PP'. Le problème est donc ramené à celui-ci : Construire une circonférence passant par deux points donnés A et A' et tangente à une circonférence donnée B. On sait que, pour résoudre ce problème, on décrit une circonférence passant par A et A' et coupant la circonférence B en deux points D et E ; la droite DE coupe la droite AA' en F ; une tangente menée de F à la circonférence B donne un point de contact cherché M. La droite MIl coupe PP' au sommet inconnu G. Il y a une seconde tangente qui donne un second point de contact M', et par suite un second sommet inconnu G'. Pour que le problème soit possible, il faut d'abord que s > c et ensuite que le point A' ne soit pas extérieur au cercle B ; en appelant G le point où AA' coupe la circonférence B, on doit donc avoir (Mais I et J étant les points où AD coupe la circonférence B, on a Par suite, la condition de possibilité du problème est Si s > c2 - 4h^2, le problème admet, de chaque côté de AB, deux solutions égales ; si s = c2 - 4h^2, le problème admet, de chaque côté de AB, une seule solution. On peut présenter ainsi la
de F à la circonférence B donne un point de contact cherché M. La droite MIl coupe PP' au sommet inconnu G. Il y a une seconde tangente qui donne un second point de contact M', et par suite un second sommet inconnu G'. Pour que le problème soit possible, il faut d'abord que s > c et ensuite que le point A' ne soit pas extérieur au cercle B ; en appelant G le point où AA' coupe la circonférence B, on doit donc avoir (Mais I et J étant les points où AD coupe la circonférence B, on a Par suite, la condition de possibilité du problème est Si s > c2 - 4h^2, le problème admet, de chaque côté de AB, deux solutions égales ; si s = c2 - 4h^2, le problème admet, de chaque côté de AB, une seule solution. On peut présenter ainsi la solution géométrique du problème. Supposant le problème résolu, et ABG étant le triangle cherché, on voit que le côté AB peut être construit, et que le sommet G est le point d'intersection de chacune des parallèles menées à AB à la distance h avec l'ellipse dont les foyers sont A et B et dont la somme constante de deux rayons vecteurs est s. La question revient à l'intersection d'une droite et d'une ellipse dont on connaît les foyers et la somme constante de deux rayons vecteurs ; on sait que l'on résout ce problème en faisant la construction indiquée précédemment. Pour la discussion, on peut dire que le problème est possible quand M' coupe l'ellipse précédente ou lui est tangente ; il faut donc que h ne soit pas supérieur au plus petit axe de l'ellipse, ou que l'on ait Solution algébrique. Désignant par a et b les côtés inconnus, et par 2p le périmètre du triangle ANC, on a Si l'on prend pour a l'une de ces valeurs, l'autre est celle de L. Comme / doit être supérieur à c, la condition de possibilité du problème est Le résultat de la discussion est conforme à celui de la solution
et B et dont la somme constante de deux rayons vecteurs est s. La question revient à l'intersection d'une droite et d'une ellipse dont on connaît les foyers et la somme constante de deux rayons vecteurs ; on sait que l'on résout ce problème en faisant la construction indiquée précédemment. Pour la discussion, on peut dire que le problème est possible quand M' coupe l'ellipse précédente ou lui est tangente ; il faut donc que h ne soit pas supérieur au plus petit axe de l'ellipse, ou que l'on ait Solution algébrique. Désignant par a et b les côtés inconnus, et par 2p le périmètre du triangle ANC, on a Si l'on prend pour a l'une de ces valeurs, l'autre est celle de L. Comme / doit être supérieur à c, la condition de possibilité du problème est Le résultat de la discussion est conforme à celui de la solution géométrique. Solution trigonométrique. On a les équations Comme, d'après les équations (1) et (2), on connaît la somme et le produit de deux nombres a et b, ces deux nombres sont les racines de l'équation on trouve pour valeur de X les valeurs obtenues dans la solution précédente, et, par suite, pour la discussion les mêmes résultats que précédemment. E. BLAZIN, Élève de Première (E. moderne) au Collège de Riom. Ont résolu la question 604 : MM. J. COURRIADES (2e) ; J.-L. PHELÉTOT; E. JODART; H. GAY (1er). 696. — Quel est le meilleur mode de montage d'une pile de 8 éléments Daniell (E = 1 volt, r = 0 ohms) pour actionner une sonnerie électrique dont la résistance est de 10 ohms, placée sur une ligne dont la résistance est de 2 ohms ? Quelle sera, dans ces conditions, l'intensité exprimée en ampères ? Que deviendrait l'intensité si les 8 éléments étaient mis en tension ? en batterie ? E. TRAUARD, Professeur agrégé au Lycée d'Orléans. La formule générale relative au mode mixte d'association est n étant le nombre des éléments, m le nombre des séries, H la résistance intérieure de la pile, r la résistance extérieure du circuit,
suite, pour la discussion les mêmes résultats que précédemment. E. BLAZIN, Élève de Première (E. moderne) au Collège de Riom. Ont résolu la question 604 : MM. J. COURRIADES (2e) ; J.-L. PHELÉTOT; E. JODART; H. GAY (1er). 696. — Quel est le meilleur mode de montage d'une pile de 8 éléments Daniell (E = 1 volt, r = 0 ohms) pour actionner une sonnerie électrique dont la résistance est de 10 ohms, placée sur une ligne dont la résistance est de 2 ohms ? Quelle sera, dans ces conditions, l'intensité exprimée en ampères ? Que deviendrait l'intensité si les 8 éléments étaient mis en tension ? en batterie ? E. TRAUARD, Professeur agrégé au Lycée d'Orléans. La formule générale relative au mode mixte d'association est n étant le nombre des éléments, m le nombre des séries, H la résistance intérieure de la pile, r la résistance extérieure du circuit, E la force électromotrice d'un élément. Pour que I soit maximum, il faut que le dénominateur de la fraction soit minimum, ce qui a lieu pour Dans l'exemple actuel, on trouve m = 2 ; on devra donc associer les éléments en deux séries, qui seront ensuite réunies en batterie. L'intensité du courant est, dans ce cas, Si les 8 éléments étaient montés en série, on aurait S'ils étaient associés en batterie, on aurait F. GUILLOT, Élève de Première (E. moderne) au Lycée d'Alger. Ont résolu la question 696 : MM. J. COURRIADES (2e) ; L. LEMAIRE (1er); G. FUSILLIER (2e); E. BILLARD. Instituteurs : M. FERAND. — Élèves-maîtres d'Écoles normales primaires: MM. JODART, V. JOUSSEUAND; V. HALATIAN; E. LEGRAND. MM. E. CUENU ; B. PELLISSIER. 597. Une pompe aspirante et foulante, de capacité G, est reliée par le tube d'aspiration à un réservoir de volume A, contenant un gaz sous pression H0, et, par le tube de refoulement, à un réservoir de capacité B, contenant le même gaz sous pression P0; le piston est au début au bas de sa course, et la machine ne possède pas d'espace initial. Calculer les pressions successives H1, H2, H3... dans ces deux
L'intensité du courant est, dans ce cas, Si les 8 éléments étaient montés en série, on aurait S'ils étaient associés en batterie, on aurait F. GUILLOT, Élève de Première (E. moderne) au Lycée d'Alger. Ont résolu la question 696 : MM. J. COURRIADES (2e) ; L. LEMAIRE (1er); G. FUSILLIER (2e); E. BILLARD. Instituteurs : M. FERAND. — Élèves-maîtres d'Écoles normales primaires: MM. JODART, V. JOUSSEUAND; V. HALATIAN; E. LEGRAND. MM. E. CUENU ; B. PELLISSIER. 597. Une pompe aspirante et foulante, de capacité G, est reliée par le tube d'aspiration à un réservoir de volume A, contenant un gaz sous pression H0, et, par le tube de refoulement, à un réservoir de capacité B, contenant le même gaz sous pression P0; le piston est au début au bas de sa course, et la machine ne possède pas d'espace initial. Calculer les pressions successives H1, H2, H3... dans ces deux récipients, lorsqu'on fait fonctionner la pompe. Le réservoir A se trouve, par rapport à la pompe, exactement dans les mêmes conditions que le récipient d'une machine pneumatique ordinaire. On aura donc successivement Après un nombre infini de coups de piston, le vide serait parfait dans le réservoir A. Lorsque le piston est pour la première fois en haut de sa course, la pompe renferme un volume G d'air à la pression H1 ; à la descente, cette masse d'air pénètre dans le réservoir H, et augmente la pression de X en ligne droite conformément au principe du mélange des gaz. On a donc On aurait de même En remplaçant H1, H2,... par les valeurs correspondantes, il vient lin faisant la somme des termes de la progression géométrique décroissante comprise entre les crochets et simplifiant, on trouve Pour un nombre infini de coups de piston, la pression finale serait expression à laquelle on arrive immédiatement en écrivant qu'à ce moment tout l'air précédemment contenu dans le réservoir A a été refoulé dans le réservoir B. H. DESGUADE, Élève de Première (C. moderne) au Collège de Dourgoin. Ont résolu la question 597 : MM. G. FUSILIER (1er); G. CLARK (2e); Pensionnat des
piston est pour la première fois en haut de sa course, la pompe renferme un volume G d'air à la pression H1 ; à la descente, cette masse d'air pénètre dans le réservoir H, et augmente la pression de X en ligne droite conformément au principe du mélange des gaz. On a donc On aurait de même En remplaçant H1, H2,... par les valeurs correspondantes, il vient lin faisant la somme des termes de la progression géométrique décroissante comprise entre les crochets et simplifiant, on trouve Pour un nombre infini de coups de piston, la pression finale serait expression à laquelle on arrive immédiatement en écrivant qu'à ce moment tout l'air précédemment contenu dans le réservoir A a été refoulé dans le réservoir B. H. DESGUADE, Élève de Première (C. moderne) au Collège de Dourgoin. Ont résolu la question 597 : MM. G. FUSILIER (1er); G. CLARK (2e); Pensionnat des Frères, à Reims; L. TAILLARD (3e); F. GUATHIER (4e); J. CORNUADES (5e); E. HILAIRE (6e); E. FURENT (7e); L. d'INGLIS; H. GAV (8e). Instituteurs: MM. DEGUIDEFKER; G. GUIMONT.— Élèves-maîtres d'Écoles normales primaires : MM. V. JOURDAIN; E. JODAINT; E. LAGRANGE. MM. E. CUIEU: H. PHELIMSKER: A. ROGNON. 606. — Dans un litre de eau, tenant en dissolution 10g de chlorure de potassium, on fait passer un courant de chlore jusqu'à refus. Dire: 1° quelles réactions se produiront ; 2° quels aspects prendra successivement le liquide; 3° quel volume de chlore, mesuré dans les conditions normales de température et de pression, aura été absorbé; 4° quel sera le poids des diverses substances contenues dans le liquide à la fin de l'opération. 1. — Le chlore réduit d'abord l'iodure avec formation de chlorure de potassium, et met l'iode en liberté, Quand tout l'iodure de potassium est réduit, l'eau est décomposée par l'action combinée du chlore et de l'iode; il se forme de l'acide chlorhydrique et de l'acide iodique. 2. — Au début la liquide, d'abord incolore, se colore en brun par suite de la dissolution de l'iode libre dans l'excès d'iodure de potassium. Puis, quand augmente la quantité d'iode libre, et que
un litre de eau, tenant en dissolution 10g de chlorure de potassium, on fait passer un courant de chlore jusqu'à refus. Dire: 1° quelles réactions se produiront ; 2° quels aspects prendra successivement le liquide; 3° quel volume de chlore, mesuré dans les conditions normales de température et de pression, aura été absorbé; 4° quel sera le poids des diverses substances contenues dans le liquide à la fin de l'opération. 1. — Le chlore réduit d'abord l'iodure avec formation de chlorure de potassium, et met l'iode en liberté, Quand tout l'iodure de potassium est réduit, l'eau est décomposée par l'action combinée du chlore et de l'iode; il se forme de l'acide chlorhydrique et de l'acide iodique. 2. — Au début la liquide, d'abord incolore, se colore en brun par suite de la dissolution de l'iode libre dans l'excès d'iodure de potassium. Puis, quand augmente la quantité d'iode libre, et que diminue le résidu d'iodure de potassium, l'iode forme un précipité gris, qui se redissout progressivement quand l'oxydation a lieu. À la fin, la dissolution redevient complètement incolore. 3. — Un équivalent, ou 16g de chlorure de potassium, exige, pour que les réactions soient complètes, 0 équivalents, ou 213g de chlore. Pour 10g d'iodure de potassium, il faut 6g de chlore, dont le volume est 4. — À la fin de l'opération, la dissolution renferme: 71g chlorure de potassium = 71g,18; acide chlorhydrique = 2g,27; acide iodique = 10g,00. DEGUDE, Instituteur à Arles. A résolu la question 606 : M. L. DESBOULETS (3e) L. de Tullo. PRÉPARATION AUX CONCOURS GÉNÉRAUX 594. — Physique. — Étant donné un prisme de verre dont l'angle réfringent est A, et l'indice de réfraction n, déterminer quel est le plus grand angle que peut faire le rayon lumineux incident avec la face d'entrée, pour que ce rayon, après avoir pénétré dans le même, puisse émerger par la seconde face, (Concours général, Mathématiques élémentaires, en 1884). Soit la valeur de l'angle d'incidence correspondant à un rayon qui émerge du prisme en rayant la face de sortie. Si on désigne par r et r' les angles que fait
Pour 10g d'iodure de potassium, il faut 6g de chlore, dont le volume est 4. — À la fin de l'opération, la dissolution renferme: 71g chlorure de potassium = 71g,18; acide chlorhydrique = 2g,27; acide iodique = 10g,00. DEGUDE, Instituteur à Arles. A résolu la question 606 : M. L. DESBOULETS (3e) L. de Tullo. PRÉPARATION AUX CONCOURS GÉNÉRAUX 594. — Physique. — Étant donné un prisme de verre dont l'angle réfringent est A, et l'indice de réfraction n, déterminer quel est le plus grand angle que peut faire le rayon lumineux incident avec la face d'entrée, pour que ce rayon, après avoir pénétré dans le même, puisse émerger par la seconde face, (Concours général, Mathématiques élémentaires, en 1884). Soit la valeur de l'angle d'incidence correspondant à un rayon qui émerge du prisme en rayant la face de sortie. Si on désigne par r et r' les angles que fait la portion du rayon intérieure au prisme avec les normales aux deux faces, on a les relations connues Entre ces trois équations on peut éliminer r et r', et déterminer i en fonction de n et de A. L'équation (3) donne A toute valeur de i inférieure à celle donnée par cette équation, correspondrait une valeur de r plus petite également, et, par suite, en vertu de l'équation (3), une valeur de r' plus grande; le rayon n'émergerait pas. Notre valeur de i est donc la plus petite possible; son complément, que nous nommerons a, est la valeur du plus grand angle que peut faire le rayon incident avec la face d'entrée, pour que ce rayon puisse émerger par la seconde face. La solution de la question est, par suite, fournie par la valeur de a, qui satisfait à l'équation Nous pouvons discuter cette équation en supposant n constant, et d'ailleurs supérieur à 1, et faisant varier l'angle A du prisme. 1°. — Pour A = 0, il vient cos a = -1, d'où a = 2. Tous les rayons incidents, faisant avec la face d'entrée des angles compris entre 0 et 7r, peuvent donc émerger. On sait, en effet,
par cette équation, correspondrait une valeur de r plus petite également, et, par suite, en vertu de l'équation (3), une valeur de r' plus grande; le rayon n'émergerait pas. Notre valeur de i est donc la plus petite possible; son complément, que nous nommerons a, est la valeur du plus grand angle que peut faire le rayon incident avec la face d'entrée, pour que ce rayon puisse émerger par la seconde face. La solution de la question est, par suite, fournie par la valeur de a, qui satisfait à l'équation Nous pouvons discuter cette équation en supposant n constant, et d'ailleurs supérieur à 1, et faisant varier l'angle A du prisme. 1°. — Pour A = 0, il vient cos a = -1, d'où a = 2. Tous les rayons incidents, faisant avec la face d'entrée des angles compris entre 0 et 7r, peuvent donc émerger. On sait, en effet, que la réfraction à travers une lame à faces parallèles (cas de A = 0) est toujours possible. 2°. — Si A augmente à partir de 0, cos a augmente tout en restant d'abord négatif, a diminue et devient inférieur à n tout en restant d'abord supérieur à 1. 3°. — Lorsque A atteint la valeur de A, les rayons incidents qui peuvent ensuite émerger sont contenus dans l'angle droit compris entre la normale et la partie inférieure de la face d'entrée. 4°. — Si A continue à croître, a devient inférieur à 1. La plus grande valeur possible de A sera obtenue en écrivant que a est nul, c'est-à-dire que son cosinus est égal à 1. Cette plus grande valeur de A est donc fournie par l'équation. Si A augmente de part de la valeur 2c, l'équation ne donne plus de valeur pour a, puisque le second membre devient supérieur à 1 ; c'est-à-dire qu'aucun des rayons qui est entré dans le prisme n'en peut ressortir par la seconde face. On a un prisme à réflexion totale. Une construction géométrique bien connue permet d'arriver à cette dernière conclusion. Considérons une section droite du prisme (fig. 758). Tous les rayons
— Lorsque A atteint la valeur de A, les rayons incidents qui peuvent ensuite émerger sont contenus dans l'angle droit compris entre la normale et la partie inférieure de la face d'entrée. 4°. — Si A continue à croître, a devient inférieur à 1. La plus grande valeur possible de A sera obtenue en écrivant que a est nul, c'est-à-dire que son cosinus est égal à 1. Cette plus grande valeur de A est donc fournie par l'équation. Si A augmente de part de la valeur 2c, l'équation ne donne plus de valeur pour a, puisque le second membre devient supérieur à 1 ; c'est-à-dire qu'aucun des rayons qui est entré dans le prisme n'en peut ressortir par la seconde face. On a un prisme à réflexion totale. Une construction géométrique bien connue permet d'arriver à cette dernière conclusion. Considérons une section droite du prisme (fig. 758). Tous les rayons lumineux contenus dans cette section droite et convergeant au point I pénètrent dans le prisme, et se réfractent de manière à sortir dans un angle ayant pour bissectrice la normale IN à la face d'entrée, et pour mesure le double de l'angle limite (fig. 738). D'autre part, pour qu'un des rayons contenus dans cet angle puisse émerger, il faut qu'il rencontre la face de sortie sous un angle inférieur à : il faut donc qu'il soit contenu dans un angle ayant encore I pour sommet, pour bissectrice la normale IN' à la face de sortie, et pour mesure le double de l'angle limite r'. Les rayons qui émergeront sont donc les rayons contenus à la fois dans les deux angles considérés, c'est-à-dire les rayons compris dans l'angle HIC. La figure montre immédiatement que si A = 2r', l'angle HIC se réduit à 0; un seul rayon peut sortir. Si A est supérieur à 2r, le point C passe au-dessus de H, et aucun rayon ne peut plus émerger : on a un prisme à réflexion totale. LLÉVRE, Élève de Prennuc (élève) au lycée Henri IV. Où résolu la question 594 : M.M. II. FAY (1er), J. JOUANNAU (1er) et G.
rayons contenus dans cet angle puisse émerger, il faut qu'il rencontre la face de sortie sous un angle inférieur à : il faut donc qu'il soit contenu dans un angle ayant encore I pour sommet, pour bissectrice la normale IN' à la face de sortie, et pour mesure le double de l'angle limite r'. Les rayons qui émergeront sont donc les rayons contenus à la fois dans les deux angles considérés, c'est-à-dire les rayons compris dans l'angle HIC. La figure montre immédiatement que si A = 2r', l'angle HIC se réduit à 0; un seul rayon peut sortir. Si A est supérieur à 2r, le point C passe au-dessus de H, et aucun rayon ne peut plus émerger : on a un prisme à réflexion totale. LLÉVRE, Élève de Prennuc (élève) au lycée Henri IV. Où résolu la question 594 : M.M. II. FAY (1er), J. JOUANNAU (1er) et G. TILLIEZ, Pensionnats des Frères, à Reims; G. FUSILLIER (1er), L. de Saint-Orcar; P. SÉRMIET; J. COMBADIEU (1er). Instituteurs : M. FRÉMONT. — Élèves-maîtres d'Écoles normales primaires : MM. Y. JOUGLASSON; K. JOUANNE; E. LAGRANGE. M.M. E. CHENNU; L. PELISSIER. 601. — Chimie. — 5,03 de charbon ont donné, en brûlant, 15 litres d'un mélange d'oxyde de carbone et d'acide carbonique. Le volume du mélange a été mesuré à 0° et sous la pression de 760mm. On demande quelle est la proportion de chacun des gaz dans le mélange. La densité de l'oxyde de carbone est 0,907, et celle de l'acide carbonique 1,29. L'équivalent du carbone est 0, et celui de l'oxygène 8. (Concours général en Philosophie, en 1885). 1. — Appelons x et y les volumes de l'oxyde de carbone et de l'acide carbonique. On a d'abord En écrivant ensuite que la somme des poids du carbone contenu dans l'oxyde de carbone et dans l'acide carbonique est égale à 8g,03, on obtient la seconde équation suivante : qui, calculs effectués, devient 2. — En examinant l'équation (2), on remarque immédiatement que les coefficients de x et de y sont presque égaux entre eux. S'ils avaient été rigoureusement égaux le problème
15 litres d'un mélange d'oxyde de carbone et d'acide carbonique. Le volume du mélange a été mesuré à 0° et sous la pression de 760mm. On demande quelle est la proportion de chacun des gaz dans le mélange. La densité de l'oxyde de carbone est 0,907, et celle de l'acide carbonique 1,29. L'équivalent du carbone est 0, et celui de l'oxygène 8. (Concours général en Philosophie, en 1885). 1. — Appelons x et y les volumes de l'oxyde de carbone et de l'acide carbonique. On a d'abord En écrivant ensuite que la somme des poids du carbone contenu dans l'oxyde de carbone et dans l'acide carbonique est égale à 8g,03, on obtient la seconde équation suivante : qui, calculs effectués, devient 2. — En examinant l'équation (2), on remarque immédiatement que les coefficients de x et de y sont presque égaux entre eux. S'ils avaient été rigoureusement égaux le problème aurait été indéterminé ou impossible, car l'équation (2) aurait été identique à la première, ou incompatible avec elle. C'est ce serait arrivé si, au lieu d'introduire dans l'équation (2) les densités expérimentales de l'oxyde de carbone et de l'acide carbonique, on y avait introduit les densités théoriques 0,0692 et 22 x 0,0092. Dans ce cas l'équation (2) aurait pris la forme Cette seconde équation étant incompatible avec la première, le problème est impossible, ce qui indique que jamais 8g,03 de carbone, en brûlant, ne peuvent donner exactement 15 litres du mélange gazeux, mesuré dans les conditions normales de température et de pression. Si, dans l'énoncé, on avait mis 14m,99 de mélange, le problème aurait été indéterminé. Cette indétermination est réelle, comme il est facile de s'en rendre compte. L'oxyde de carbone et l'acide carbonique, ont même équivalent en volume, 2, et cet équivalent en volume contient le même poids de charbon dans l'un et l'autre gaz; par suite, le volume de mélange qui résulte de la combustion d'un poids donné de charbon est indépendant des proportions des deux gaz qui prennent naissance. En brûlant, 5,03 de carbone donneront toujours 14m,99 de mélange gazeux, qu'il se forme uniquement de l'oxyde de