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l'équation [4) peut être écrit ainsi: x (x + p) (x p) + 2p*r, on voit qu'il reste positif quand x varie de p à + &lt;»; donc les deux racines positives de l'équation (4) ne sont pas supérieures à]). Par conséquent, quand p > 3 v/3 r, les deux racines positives de l'équation (4) sont comprises entre 2r et p, et le problème admet pour solutions deux triangles isocèles différents. Remarques. 1. — Si le cercle de rayon r est inscrit au triangle BAC et opposé à l'angle A, l'équation (2) devient et on trouve Les racines de cette équation du second degré sont toujours réelles et de signes contraires. La racine positive est seule acceptable et convient toujours, car elle est toujours inférieure à p. 2. — Si le cercle de rayon r est inscrit au triangle BAC et opposé à l'angle B, l'équation (2) devient La racine x'" seule convient. III. — E. PERTOT, Institutrice aux Bruay. Ont résolu la question 579 : MM. J. BUOCA, Répétiteur au L. de Raymont; C. BERGMAN, L. Saint-Louis; L. BLANC, L. de Lyon; FERRAND, Instituteur à Cognac; M. FERRARY, G. de Sisteron. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIOPTRIQUES 1. — Un système dioptrique est constitué par une suite de surfaces réfringentes sphériques, ayant leurs centres sur un même axe, qui est l'axe du système. Un tel système produit des images par réfraction comme une surface réfringente unique. 2. — La relation générale entre les abscisses de deux points conjugués situés sur l'axe est x, x' étant les abscisses du point objet et de son image, comptées à partir d'une origine quelconque. Le terme tout connu D est égal à zéro, si l'on prend un système de points conjugués P0, P'0 (fig. 748) comme origines, P0 origine des x, P' origine des x' — 301 — On justifie cette relation en faisant voir qu'elle s'applique au cas d'une surface sphérique, et, qu'étant supposée vraie pour k surfaces, elle est vraie pour k-1. 3. — On aura les foyers principaux en faisant tendre a; ou a/ vers l'infini. Premier foyer : Second foyer
système dioptrique est constitué par une suite de surfaces réfringentes sphériques, ayant leurs centres sur un même axe, qui est l'axe du système. Un tel système produit des images par réfraction comme une surface réfringente unique. 2. — La relation générale entre les abscisses de deux points conjugués situés sur l'axe est x, x' étant les abscisses du point objet et de son image, comptées à partir d'une origine quelconque. Le terme tout connu D est égal à zéro, si l'on prend un système de points conjugués P0, P'0 (fig. 748) comme origines, P0 origine des x, P' origine des x' — 301 — On justifie cette relation en faisant voir qu'elle s'applique au cas d'une surface sphérique, et, qu'étant supposée vraie pour k surfaces, elle est vraie pour k-1. 3. — On aura les foyers principaux en faisant tendre a; ou a/ vers l'infini. Premier foyer : Second foyer : Fig. 748. Si A = 0, les foyers sont rejetés à l'infini et la relation entre les abscisses devient linéaire. 4. — Le théorème de Lagrange s'exprime par la relation n, «», indices des milieux extrêmes; II, H' grandeurs de l'objet et de l'image comptées à partir de l'axe, positivement vers le haut; a, amplitude d'un rayon incident passant par le point axial de l'objet; a', amplitude du rayon émergent correspondant. L'amplitude d'un rayon est sa déviation purement par rapport au rayon axial, déviation comptée positivement à partir de ce dernier vers le haut. Ce théorème se démontre facilement pour 1, 2, 3,... surfaces réfringentes. 5. — Expression du grossissement linéaire. — Soient: P0, P'0, les deux points conjugués origines des abscisses; P, P', deux points conjugués quelconques; H, H', les grandeurs algébriques d'un objet en l'endroit de son image en P'; oc, l'abscisse de P par rapport à l'origine P0; o', l'abscisse de P' par rapport à l'origine P'0; a, l'amplitude algébrique d'un rayon incident PT; a', l'amplitude algébrique du rayon émergent P'T' correspondant. Les points T et T' sont conjugués ainsi que les droites P0 T, P'o'P. Le grossissement répondant aux origines conjuguées P0, P'0 est un
positivement vers le haut; a, amplitude d'un rayon incident passant par le point axial de l'objet; a', amplitude du rayon émergent correspondant. L'amplitude d'un rayon est sa déviation purement par rapport au rayon axial, déviation comptée positivement à partir de ce dernier vers le haut. Ce théorème se démontre facilement pour 1, 2, 3,... surfaces réfringentes. 5. — Expression du grossissement linéaire. — Soient: P0, P'0, les deux points conjugués origines des abscisses; P, P', deux points conjugués quelconques; H, H', les grandeurs algébriques d'un objet en l'endroit de son image en P'; oc, l'abscisse de P par rapport à l'origine P0; o', l'abscisse de P' par rapport à l'origine P'0; a, l'amplitude algébrique d'un rayon incident PT; a', l'amplitude algébrique du rayon émergent P'T' correspondant. Les points T et T' sont conjugués ainsi que les droites P0 T, P'o'P. Le grossissement répondant aux origines conjuguées P0, P'0 est un supposant a, a' petit. D'autre part, le théorème de l'Évangeile («ail = n'a.' II) donne la relation entre les abscisses de deux points conjugués. Il vient dans cette relation G est différent de 0, car P0 n'est pas le premier foyer, puisqu'on suppose implicitement P'0 à distance finie en le prenant comme origine. Quand x prend des valeurs de plus en plus petites, la formule est toujours vraie ; or, a priori, G tend vers G0, donc le second membre, qui est constamment égal au premier, et qui est continu pour x = 0, doit tendre aussi vers (ï„; en un moment, la formule est applicable pour x = 0, et l'on a comme condition relative aux origines: U est à remarquer que et dans le cas particulier où les plans principaux sont pris comme origines, on a c'est une propriété connue. 6. — Conditions nécessaires pour déterminer un système dioptrique. — Un système dioptrique est déterminé quand on sait trouver en grandeur et en position l'image d'un objet. Les relations les plus générales d'un système dioptrique sont, en supposant qu'on prenne une paire de points conjugués comme origines, avec l'équation de condition et on voit que pour que le
prenant comme origine. Quand x prend des valeurs de plus en plus petites, la formule est toujours vraie ; or, a priori, G tend vers G0, donc le second membre, qui est constamment égal au premier, et qui est continu pour x = 0, doit tendre aussi vers (ï„; en un moment, la formule est applicable pour x = 0, et l'on a comme condition relative aux origines: U est à remarquer que et dans le cas particulier où les plans principaux sont pris comme origines, on a c'est une propriété connue. 6. — Conditions nécessaires pour déterminer un système dioptrique. — Un système dioptrique est déterminé quand on sait trouver en grandeur et en position l'image d'un objet. Les relations les plus générales d'un système dioptrique sont, en supposant qu'on prenne une paire de points conjugués comme origines, avec l'équation de condition et on voit que pour que le système soit déterminé, il faut que les données soient telles qu'elles fassent connaître le rapport de deux des coefficients A, B, G au troisième, et la valeur de G0. Si l'on ne tient d'abord pas compte de la condition (3), on voit qu'il faut ou trois paires de points conjugués et le grossissement de l'une d'elles; ou deux paires de points conjugués avec les deux grossissements correspondants. Avec ces données, la condition (3) permettra de calculer —; mais, l'inversement, la connaissance de —, peut remplacer celle de G0, à la condition cependant que l'on donne en plus le signe du grossissement qui ne peut être déduit de la relation (3). Dans le cas d'un système afocal A = 0, le grossissement est constant et les relations se réduisent à Pour qu'un tel système soit déterminé, il faut connaître deux paires de points conjugués, ce qui permettra de trouver k, et, ou la valeur constante du grossissement, ou le rapport —. Dans ce dernier cas, on obtient Le problème serait donc indéterminé si on ne donnait pas, en plus, le signe du grossissement. CHATELET, Agrégé de Physique, Professeur au Lycée Château-Rouleau. NOTE SUR LE PRINCIPE DE WATT Malgré le soin que
et le grossissement de l'une d'elles; ou deux paires de points conjugués avec les deux grossissements correspondants. Avec ces données, la condition (3) permettra de calculer —; mais, l'inversement, la connaissance de —, peut remplacer celle de G0, à la condition cependant que l'on donne en plus le signe du grossissement qui ne peut être déduit de la relation (3). Dans le cas d'un système afocal A = 0, le grossissement est constant et les relations se réduisent à Pour qu'un tel système soit déterminé, il faut connaître deux paires de points conjugués, ce qui permettra de trouver k, et, ou la valeur constante du grossissement, ou le rapport —. Dans ce dernier cas, on obtient Le problème serait donc indéterminé si on ne donnait pas, en plus, le signe du grossissement. CHATELET, Agrégé de Physique, Professeur au Lycée Château-Rouleau. NOTE SUR LE PRINCIPE DE WATT Malgré le soin que l'on prend dans les cours d'indiquer aux élèves le sens précis du principe de Watt, ceux-ci le comprennent imparfaitement, et l'exposent souvent mal dans les compositions et les interrogations. Il n'est donc pas inutile d'y insister ici. Supposons qu'un liquide se vaporise dans une enceinte dont toutes les parties ne possèdent pas la même température, et admettons, pour fixer les idées, que le liquide contenu dans cette enceinte soit maintenu à une température constante T, tandis qu'une partie de la paroi est maintenue à une température également constante, mais plus basse t. Le liquide émet des vapeurs qui, si elles ne se condensaient pas, atteindraient presque immédiatement la tension maximale F, qui correspond à la température T. Mais ces vapeurs, au contact de la paroi froide, reprennent en partie l'état liquide, et la pression tend à baisser jusqu'à la valeur f de la tension maximale qui correspond à la température f. Dans ces circonstances, il ne saurait y avoir équilibre, et il s'établit dans l'enceinte une pression intermédiaire entre F et f, généralement plus voisine de f que de F, surtout si la surface de la paroi froide a une assez grande étendue. Il peut alors se présenter deux cas.
possèdent pas la même température, et admettons, pour fixer les idées, que le liquide contenu dans cette enceinte soit maintenu à une température constante T, tandis qu'une partie de la paroi est maintenue à une température également constante, mais plus basse t. Le liquide émet des vapeurs qui, si elles ne se condensaient pas, atteindraient presque immédiatement la tension maximale F, qui correspond à la température T. Mais ces vapeurs, au contact de la paroi froide, reprennent en partie l'état liquide, et la pression tend à baisser jusqu'à la valeur f de la tension maximale qui correspond à la température f. Dans ces circonstances, il ne saurait y avoir équilibre, et il s'établit dans l'enceinte une pression intermédiaire entre F et f, généralement plus voisine de f que de F, surtout si la surface de la paroi froide a une assez grande étendue. Il peut alors se présenter deux cas. Ou bien la forme du vase est telle que le liquide, provenant de la condensation sur la paroi froide, retombe constamment dans la région éloignée : dans ce cas, l'équilibre ne s'établit jamais, et la pression reste indéfiniment comprise entre F et f. Ou bien le liquide provenant de la condensation reste, par suite de la forme du vase, dans la région froide : alors il arrive un moment où la distillation prend fin, la totalité de l'excès liquide étant venue se réunir dans cette région froide; à partir de ce moment, mais à partir de ce moment seulement, la pression qui s'établit dans toute l'enceinte est égale à f. De là le principe de Watt, ou de la paroi froide, qu'on peut énoncer dans les termes suivants: Quand les différentes parties d'une enceinte occupée par la vapeur en présence d'un excès de liquide sont à des températures différentes, la tension maximale qui finit par s'établir est celle qui correspond à la partie la plus froide, pourvu que tout l'excès de liquide puisse venir se condenser et demeurer en cette partie la plus froide. Les applications du principe ainsi compris sont nombreuses. 1° Dans l'appareil imaginé par Gay-Lussac, pour la
condensation reste, par suite de la forme du vase, dans la région froide : alors il arrive un moment où la distillation prend fin, la totalité de l'excès liquide étant venue se réunir dans cette région froide; à partir de ce moment, mais à partir de ce moment seulement, la pression qui s'établit dans toute l'enceinte est égale à f. De là le principe de Watt, ou de la paroi froide, qu'on peut énoncer dans les termes suivants: Quand les différentes parties d'une enceinte occupée par la vapeur en présence d'un excès de liquide sont à des températures différentes, la tension maximale qui finit par s'établir est celle qui correspond à la partie la plus froide, pourvu que tout l'excès de liquide puisse venir se condenser et demeurer en cette partie la plus froide. Les applications du principe ainsi compris sont nombreuses. 1° Dans l'appareil imaginé par Gay-Lussac, pour la détermination des forces élastiques maximales des vapeurs aux températures inférieures à zéro, on ne commence à mesurer la différence de niveau des deux colonnes de mercure qu'à partir du moment où tout l'excès de liquide est venu se condenser dans la portion refroidie du tube. Cette portion refroidie doit être recourbée de telle manière que le liquide provenant de la condensation ne puisse retomber vers le mercure. Si le liquide est de l'eau, la forme du tube peut être quelconque, car l'eau, au-dessous de zéro, se condense à l'état de glace, qui s'attache aux parois, et ne peut ruisseler. 2° Dans l'expérience de Franklin, destinée à montrer l'ébullition de l'eau dans le vide, il s'établit au-dessus du liquide une pression de vapeur F sensiblement égale à la tension maximale qui correspond à la température T de ce liquide: on est sur la limite de l'ébullition. Lorsqu'on vient à refroidir une portion de la paroi du ballon, jusqu'à une température f, il se produit une condensation qui abaisse la pression, non pas jusqu'à f, mais jusqu'à une valeur très notablement inférieure à F; l'ébullition devient possible et se produit aussitôt. Les phénomènes sont un peu plus complexes dans l'appareil imaginé par
recourbée de telle manière que le liquide provenant de la condensation ne puisse retomber vers le mercure. Si le liquide est de l'eau, la forme du tube peut être quelconque, car l'eau, au-dessous de zéro, se condense à l'état de glace, qui s'attache aux parois, et ne peut ruisseler. 2° Dans l'expérience de Franklin, destinée à montrer l'ébullition de l'eau dans le vide, il s'établit au-dessus du liquide une pression de vapeur F sensiblement égale à la tension maximale qui correspond à la température T de ce liquide: on est sur la limite de l'ébullition. Lorsqu'on vient à refroidir une portion de la paroi du ballon, jusqu'à une température f, il se produit une condensation qui abaisse la pression, non pas jusqu'à f, mais jusqu'à une valeur très notablement inférieure à F; l'ébullition devient possible et se produit aussitôt. Les phénomènes sont un peu plus complexes dans l'appareil imaginé par Regnault, pour la détermination des tensions maxima aux températures supérieures à 60 degrés. On sait que l'appareil, entièrement clos, est constitué par une petite chaudière qui contient le liquide, et un réfrigérant refroidi, disposé de telle manière que le liquide provenant de la condensation des vapeurs retombe constamment dans la chaudière chauffée. D'après cette disposition, il ne saurait jamais y avoir équilibre dans l'enceinte. La pression de la vapeur y est toujours notablement supérieure à la tension maxima F correspondant à la température T du réfrigérant. Mais comme la surface du réfrigérant est considérable, cette pression est de beaucoup inférieure à la tension maxima F correspondant à la température T de la chaudière. Si donc la température s'élève progressivement dans la chaudière, il arrivera un moment où la tension maxima F, qui croît en même temps que la température, égalera à la somme des pressions exercées par l'air et la vapeur non condensée, et l'ébullition se produira. NOTIONS SUR L'HISTOIRE DE L'ASTRONOMIE (Suite) 42. — La découverte de la loi de l'attraction universelle par Newton a été le point de départ d'un nouveau et difficile problème astronomique : la détermination mathématique des mouvements des astres du système planétaire. Plusieurs grands
chaudière chauffée. D'après cette disposition, il ne saurait jamais y avoir équilibre dans l'enceinte. La pression de la vapeur y est toujours notablement supérieure à la tension maxima F correspondant à la température T du réfrigérant. Mais comme la surface du réfrigérant est considérable, cette pression est de beaucoup inférieure à la tension maxima F correspondant à la température T de la chaudière. Si donc la température s'élève progressivement dans la chaudière, il arrivera un moment où la tension maxima F, qui croît en même temps que la température, égalera à la somme des pressions exercées par l'air et la vapeur non condensée, et l'ébullition se produira. NOTIONS SUR L'HISTOIRE DE L'ASTRONOMIE (Suite) 42. — La découverte de la loi de l'attraction universelle par Newton a été le point de départ d'un nouveau et difficile problème astronomique : la détermination mathématique des mouvements des astres du système planétaire. Plusieurs grands géomètres, 50 ans après Newton, s'occupèrent de ce problème qui est le principal en Astronomie théorique. Voici sur ce problème quelques explications qui nous permettront de parler plus clairement des travaux de ces géomètres, et de donner une idée, bien faible cependant, des difficultés qu'ils ont eu à surmonter. D'après les lois de Kepler, on calcule à l'avance la position d'une planète au moyen des 6 quantités suivantes, appelées éléments elliptiques de la planète : l'intersection du plan de l'orbite elliptique de la planète avec un plan fixe, l'angle de ces deux plans, la direction du grand axe de l'orbite, l'excentricité de l'orbite, la longueur du grand axe, l'époque où la planète est en un point de son orbite. Quand Newton eut donné la loi de la gravitation universelle, on remarqua que les lois de Kepler existaient seulement dans le cas du problème des deux corps, qui consiste à déterminer, d'après la loi de l'attraction universelle, le mouvement d'une planète, ou d'une comète, soumise seulement à l'action du soleil. Newton a complètement résolu ce problème, et a trouvé que le mouvement de la planète est elliptique. Mais il résulte de cette loi qu'une planète est soumise à l'action simultanée du
les lois de Kepler, on calcule à l'avance la position d'une planète au moyen des 6 quantités suivantes, appelées éléments elliptiques de la planète : l'intersection du plan de l'orbite elliptique de la planète avec un plan fixe, l'angle de ces deux plans, la direction du grand axe de l'orbite, l'excentricité de l'orbite, la longueur du grand axe, l'époque où la planète est en un point de son orbite. Quand Newton eut donné la loi de la gravitation universelle, on remarqua que les lois de Kepler existaient seulement dans le cas du problème des deux corps, qui consiste à déterminer, d'après la loi de l'attraction universelle, le mouvement d'une planète, ou d'une comète, soumise seulement à l'action du soleil. Newton a complètement résolu ce problème, et a trouvé que le mouvement de la planète est elliptique. Mais il résulte de cette loi qu'une planète est soumise à l'action simultanée du soleil et des autres planètes, de sorte que son mouvement est très compliqué. En ne considérant que le soleil et les 8 planètes principales, le problème général à résoudre est le suivant : étant données les masses de 9 points matériels, leurs positions et leurs vitesses, en grandeur et en direction, à un moment déterminé, trouver les positions que ces points occuperont à un autre moment donné, en les supposant soumis à la loi de l'attraction universelle. Comme l'attraction du soleil sur une planète P est beaucoup plus considérable que celle de toutes les autres planètes, on est conduit à prendre pour première approximation du mouvement de la planète P, l'ellipse que donne la solution du problème des deux corps. Les forces dues aux attractions mutuelles entre la planète P et les autres planètes sont dites forces perturbatrices; elles font éprouver au mouvement précédent de la planète P des variations appelées perturbations. La théorie des perturbations des planètes, de leurs satellites, des comètes, constitue la partie principale de la Mécanique céleste. On a cherché à résoudre le problème du mouvement d'une planète en considérant seulement le soleil et deux planètes. On a ainsi le problème des trois corps qui consiste
direction, à un moment déterminé, trouver les positions que ces points occuperont à un autre moment donné, en les supposant soumis à la loi de l'attraction universelle. Comme l'attraction du soleil sur une planète P est beaucoup plus considérable que celle de toutes les autres planètes, on est conduit à prendre pour première approximation du mouvement de la planète P, l'ellipse que donne la solution du problème des deux corps. Les forces dues aux attractions mutuelles entre la planète P et les autres planètes sont dites forces perturbatrices; elles font éprouver au mouvement précédent de la planète P des variations appelées perturbations. La théorie des perturbations des planètes, de leurs satellites, des comètes, constitue la partie principale de la Mécanique céleste. On a cherché à résoudre le problème du mouvement d'une planète en considérant seulement le soleil et deux planètes. On a ainsi le problème des trois corps qui consiste à déterminer à chaque instant les distances mutuelles de trois corps soumis à la loi de l'attraction universelle; l'un, dit corps central, est supposé fixe; un autre, dit corps troublé, est en mouvement autour du corps central; le troisième, dit corps troublant, est la cause des perturbations du corps troublé: par exemple, pour le mouvement de la lune, celle-ci est le corps troublé, la terre est le corps central et le soleil est le corps troublant. Newton n'a abordé le problème des trois corps que par des considérations géométriques. Grâce aux progrès que l'analyse mathématique fit après lui, les géomètres ont pu soumettre ce problème au calcul et faire dépendre la détermination du mouvement d'une planète d'un système d'équations différentielles simultanées. Comme on ne sait pas intégrer ces équations, on est obligé de développer en séries les formules du mouvement et d'en calculer les termes les plus importants par des méthodes d'approximation. Certains termes du développement constituent les inégalités séculaires et d'autres les inégalités périodiques. À cause des perturbations déterminées par une planète sur la planète P, les 6 éléments elliptiques de celle-ci sont égaux aux valeurs résultant de la seule action du soleil, augmentées ou diminuées des inégalités. Cette