jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
a ou b est divisible par 5, P est divisible par 5. Si a et b ne sont pas divisibles par 5, ils ont les formes multiples de 5 ± 1 ou multiples de 5 ± 2. Or, le produit des facteurs (a + b^) (a - b) égale (a^ + b^). Lorsque a et b ont les formes précédentes, leurs carrés ont les formes multiples de 5 ·+ 1 et multiples de 5 - 4, et leurs quatrièmes puissances ont la forme multiples de 11 + 1. Par suite, a^ - b^ est un multiple de 5. Donc P est toujours divisible par 5. Par conséquent, le produit ab [(a + b)(a - b)] est divisible par 30. T. COOLLET, Élève de Mathématiques élémentaires au Collège de Clairay. Ont résolu la question 544 : MM. J. LEFÈVRE (2e) ; M. CHAMELLE (1er) ; J. ROUYSSOU (1er) ; CAZAMIAN (1er) ; J. CHARBONNIER, École libre de Chalons ; A. BESSON (3e) ; L. CLANUALU, École libre de Chalons; VERGNON (ité), L. d'Angoulême. Instituteurs,— MM. J.-L. PRÉTOT; H. EMPAIN ; E. BROSSARD; J. ARMANET; Z. RUSSEIL; A. QUÊLET; E. DUSSAUX; VENET, à Vaux-sous-Laon; E. BOURDON ; VUILLERMOZ; C. GALLOIS; YILFAILLOT. — MM. E. JODART; V. RAPATEL; E. LEGRAND, Élève-raconteur (1er A.) à l'École normale primaire de Béarnais. MM. C. POUGNAULT; L. HUIN; J. BOBAY; J. PEINDARIES; DUCAMP; J. DEBRY. — MM. BONAIN; M. DAMIEN. 545. — Cosmographie. — Une tige de hauteur h est dirigée suivant la verticale d'un lieu dont la latitude est ; et exposée aux rayons du soleil. On demande de trouver les longueurs 1 et 1' de l'ombre portée par la tige à midi vrai aux jours des solstices d'été et d'hiver. On suppose connue l'obliquité de l'écliptique . (Baccalauréat en sciences de l'Enseignement classique, Paris, 10 juillet 1891). Soient M (fig. 697) un lieu de la terre, MT l'intersection du méridien du lieu et du plan tangent en M à la terre, MA la tige verticale, MH1 et MLt les ombres portées par la tige quand le soleil passe au méridien le jour du solstice d'été
MM. E. JODART; V. RAPATEL; E. LEGRAND, Élève-raconteur (1er A.) à l'École normale primaire de Béarnais. MM. C. POUGNAULT; L. HUIN; J. BOBAY; J. PEINDARIES; DUCAMP; J. DEBRY. — MM. BONAIN; M. DAMIEN. 545. — Cosmographie. — Une tige de hauteur h est dirigée suivant la verticale d'un lieu dont la latitude est ; et exposée aux rayons du soleil. On demande de trouver les longueurs 1 et 1' de l'ombre portée par la tige à midi vrai aux jours des solstices d'été et d'hiver. On suppose connue l'obliquité de l'écliptique . (Baccalauréat en sciences de l'Enseignement classique, Paris, 10 juillet 1891). Soient M (fig. 697) un lieu de la terre, MT l'intersection du méridien du lieu et du plan tangent en M à la terre, MA la tige verticale, MH1 et MLt les ombres portées par la tige quand le soleil passe au méridien le jour du solstice d'été et le jour du solstice d'hiver. Les angles MAL et MAL, sont respectivement égaux aux distances zénithales du soleil aux solstices d'été et d'hiver. En désignant ces distances par Z et Z', par h la hauteur de la tige, par l et 1' les ombres ML et ML' aux solstices d'été et d'hiver, on a — 157 — Soient ZEZ' (fig. 698), le méridien céleste d'un lieu situé dans l'hémisphère boréale, Z le zénith de ce lieu, KK' l'intersection du méridien et du plan de l'équateur. La latitude de ce lieu est l'arc ZE. Les parallèles SS' et S^'j sont les traces des tropiques du Cancer et du Capricorne sur le méridien. Les distances zénithales Z et Z' du soleil aux solstices d'été et d'hiver ont pour mesure les arcs SZ et StZ. La trace de l'écliptique sur le méridien est la droite SS'lt L'obliquité ta de l'écliptique a pour mesure l'un ou l'autre des arcs élevés SE ou S^. On a Fig. 697. Fig. 698. En vertu des valeurs de Z et de Z' données par les formules (2), les formules (1) deviennent J. BOUÏSSOU, Élève de Première (E. moderne) au Lycée de Tulle. Remarque. — Lorsqu'on connaît A,
d'été et d'hiver, on a — 157 — Soient ZEZ' (fig. 698), le méridien céleste d'un lieu situé dans l'hémisphère boréale, Z le zénith de ce lieu, KK' l'intersection du méridien et du plan de l'équateur. La latitude de ce lieu est l'arc ZE. Les parallèles SS' et S^'j sont les traces des tropiques du Cancer et du Capricorne sur le méridien. Les distances zénithales Z et Z' du soleil aux solstices d'été et d'hiver ont pour mesure les arcs SZ et StZ. La trace de l'écliptique sur le méridien est la droite SS'lt L'obliquité ta de l'écliptique a pour mesure l'un ou l'autre des arcs élevés SE ou S^. On a Fig. 697. Fig. 698. En vertu des valeurs de Z et de Z' données par les formules (2), les formules (1) deviennent J. BOUÏSSOU, Élève de Première (E. moderne) au Lycée de Tulle. Remarque. — Lorsqu'on connaît A, l, V, les quatre formules (1) et (2) donnent X et ". En effet, les formules (1) permettent de calculer Z et Z', et des formules (2) on tire On appelle gnomon une tige verticale établie en un lieu de manière à être éclairée par le soleil. Sous le nom de méthode du gnomon, les anciens astronomes employaient les formules (l) et (3) pour déterminer la latitude d'un lieu et l'obliquité de l'écliptique. Ont résolu la question 545: MM. G. RIUS; FERRAND; J.-L. PRÉTOT; P. REBOUILLON P. REBOUILLON C. de Louhans ; J. ARMANET; C. ALACÈ (21), L. d'Evreux; A. ANXIONNAZ. PRÉPARATION AUX CONCOURS GÉNÉRAUX 521. — SOLUTION du Problème de Géométrie proposé au Concours général de la Classe de Troisième, E. classique, en juin 1891. (Voir l'énoncé, n° 1, 20 octobre 1891, p. 21.) — 159 — à deux droites AC et AR, se coupant en A, égale est formé de deux droites passant par A. Pour obtenir un second point de chacune de ces droites, on mène à AC les deux parallèles à la distance p, à AB les deux parallèles à la distance y; ces quatre parallèles déterminent un parallélogramme DKDG, de centre A : les diagonales
de méthode du gnomon, les anciens astronomes employaient les formules (l) et (3) pour déterminer la latitude d'un lieu et l'obliquité de l'écliptique. Ont résolu la question 545: MM. G. RIUS; FERRAND; J.-L. PRÉTOT; P. REBOUILLON P. REBOUILLON C. de Louhans ; J. ARMANET; C. ALACÈ (21), L. d'Evreux; A. ANXIONNAZ. PRÉPARATION AUX CONCOURS GÉNÉRAUX 521. — SOLUTION du Problème de Géométrie proposé au Concours général de la Classe de Troisième, E. classique, en juin 1891. (Voir l'énoncé, n° 1, 20 octobre 1891, p. 21.) — 159 — à deux droites AC et AR, se coupant en A, égale est formé de deux droites passant par A. Pour obtenir un second point de chacune de ces droites, on mène à AC les deux parallèles à la distance p, à AB les deux parallèles à la distance y; ces quatre parallèles déterminent un parallélogramme DKDG, de centre A : les diagonales AD et AE de ce parallélogramme forment le lieu cherché. Le lieu des points tels que le rapport de leurs distances à deux droites BA et BG, se coupant en B, égale est formé par les deux diagonales BF et BG d'un parallélogramme, déterminé en prenant les deux parallèles déjà menées à BA à la distance y, et en menant à BG les deux parallèles à la distance a. Enfin, le lieu des points tels que le rapport de leurs distances aux deux droites CB et CA, se coupant en C, égale est fermé des deux diagonales CI et CJ d'un parallélogramme, déterminé par les deux parallèles menées à CB à la distance a, et par les deux parallèles menées à CA à la distance p. Le premier lieu, formé de AD et AE, est coupé par le second, formé de WG et BG, en quatre points M, M1, M2, M3. Menant de M les perpendiculaires MA', MB', MC sur les droites BC, CA, AB, on a donc le point M appartient au lieu des points tels que les rapports de leurs distances à CB et à CA égal, et, par suite, se trouve sur la droite CI. On démontrerait
menées à BA à la distance y, et en menant à BG les deux parallèles à la distance a. Enfin, le lieu des points tels que le rapport de leurs distances aux deux droites CB et CA, se coupant en C, égale est fermé des deux diagonales CI et CJ d'un parallélogramme, déterminé par les deux parallèles menées à CB à la distance a, et par les deux parallèles menées à CA à la distance p. Le premier lieu, formé de AD et AE, est coupé par le second, formé de WG et BG, en quatre points M, M1, M2, M3. Menant de M les perpendiculaires MA', MB', MC sur les droites BC, CA, AB, on a donc le point M appartient au lieu des points tels que les rapports de leurs distances à CB et à CA égal, et, par suite, se trouve sur la droite CI. On démontrerait de même que le point M, se trouve sur la droite CI, et que les points M, et M, se trouvent sur la droite CJ. Par suite, il y a quatre points, M, M2, M3, et seulement quatre, qui satisfont aux conditions de l'énoncé. REMARQUE. — Soient R et S les points où les droites CM et CM3 forment le lieu passant par le sommet C, coupent le côté AB opposé à ce sommet. Menons de R et de S les perpendiculaires RA" et SA" à CB, ainsi que les perpendiculaires RB" et SB" à CA. Les triangles semblables BRA" et BSA", d’une part, et les triangles semblables ARB" et ASB", d’autre part, donnent respectivement PAR SUITE, R et S sont conjugués harmoniques de A et B. On peut démontrer plus rapidement cette propriété comme il suit. Soit H le point où BM coupe AG; Menons de M et de M2 les distances de M et de M2 aux côtés BG et AG. On a En divisant ces deux égalités membre à membre et en donnant à MB' son signe, qui est négatif, on obtient DONC les quatre points B, H, M, M2 forment une division harmonique. Par suite, le
les points où les droites CM et CM3 forment le lieu passant par le sommet C, coupent le côté AB opposé à ce sommet. Menons de R et de S les perpendiculaires RA" et SA" à CB, ainsi que les perpendiculaires RB" et SB" à CA. Les triangles semblables BRA" et BSA", d’une part, et les triangles semblables ARB" et ASB", d’autre part, donnent respectivement PAR SUITE, R et S sont conjugués harmoniques de A et B. On peut démontrer plus rapidement cette propriété comme il suit. Soit H le point où BM coupe AG; Menons de M et de M2 les distances de M et de M2 aux côtés BG et AG. On a En divisant ces deux égalités membre à membre et en donnant à MB' son signe, qui est négatif, on obtient DONC les quatre points B, H, M, M2 forment une division harmonique. Par suite, le faisceau (C, BHM M2) est harmonique, et il détermine sur la transversale BA une division harmonique (BARS). PREMIER CAS PARTICULIER. — Lorsque l’on a a = b = c, les trois lieux que l’on vient d’obtenir sont formés des bissectrices intérieures et extérieures des trois angles A, B, C, et les quatre points M, M2, M3, M4 sont les centres du cercle inscrit et des trois cercles ex-inscrits au triangle ABC. SECOND CAS PARTICULIER. — Supposons que les nombres a, b, c sont inversement proportionnels aux longueurs des côtés correspondants a, b, c. En considérant le point R où CM coupe AB et les perpendiculaires RA" et RB" , on a cette égalité montre que les deux triangles CRA et CRB sont équivalents. Mais ils ont même sommet C, et leurs bases RA et RB en prolongement l’une de l’autre ; donc leurs hauteurs issues de C sont égales; par suite, leurs bases RA et RB sont égales. Il en résulte que la droite CR est une médiane du triangle ABC. Par suite, le point M est le point de concours des trois médianes du triangle ABC. Chacune de ces trois médianes passe par l’un des points M2, M3, M4.
les quatre points M, M2, M3, M4 sont les centres du cercle inscrit et des trois cercles ex-inscrits au triangle ABC. SECOND CAS PARTICULIER. — Supposons que les nombres a, b, c sont inversement proportionnels aux longueurs des côtés correspondants a, b, c. En considérant le point R où CM coupe AB et les perpendiculaires RA" et RB" , on a cette égalité montre que les deux triangles CRA et CRB sont équivalents. Mais ils ont même sommet C, et leurs bases RA et RB en prolongement l’une de l’autre ; donc leurs hauteurs issues de C sont égales; par suite, leurs bases RA et RB sont égales. Il en résulte que la droite CR est une médiane du triangle ABC. Par suite, le point M est le point de concours des trois médianes du triangle ABC. Chacune de ces trois médianes passe par l’un des points M2, M3, M4. Le point M3 se trouve sur la droite issue de C et qui coupe AB au point S, conjugué harmonique de R ; comme R est au milieu de AB, S est à l’infini ; par suite, la droite CMS est parallèle à AB. Donc les trois points M2, M3, M4 sont les intersections des parallèles menées par les sommets du triangle ABC aux côtés opposés. 2° Supposons que l’on donne les quatre points M, M2, M3, M4 ayant la propriété énoncée. D’après ce qui précède, les sommets du triangle cherché ABC sont les trois points, autres que les quatre points donnés, où se coupent les six droites obtenues en joignant deux à deux les quatre points donnés. 3° Supposons que, dans le plan du triangle donné ABC, on donne un point M, et que l’on veuille trouver les points tels que leurs distances aux trois côtés du triangle soient proportionnelles aux distances du point M à ces mêmes côtés. Ce cas n’est autre que le premier dans lequel les trois nombres a, b, c sont les distances MA', MB', MC du point donné M aux trois côtés BC, CA, AB. On fera la construction en menant à chacun de
M4 sont les intersections des parallèles menées par les sommets du triangle ABC aux côtés opposés. 2° Supposons que l’on donne les quatre points M, M2, M3, M4 ayant la propriété énoncée. D’après ce qui précède, les sommets du triangle cherché ABC sont les trois points, autres que les quatre points donnés, où se coupent les six droites obtenues en joignant deux à deux les quatre points donnés. 3° Supposons que, dans le plan du triangle donné ABC, on donne un point M, et que l’on veuille trouver les points tels que leurs distances aux trois côtés du triangle soient proportionnelles aux distances du point M à ces mêmes côtés. Ce cas n’est autre que le premier dans lequel les trois nombres a, b, c sont les distances MA', MB', MC du point donné M aux trois côtés BC, CA, AB. On fera la construction en menant à chacun de ces côtés deux parallèles respectivement aux distances MA', MB', MC. On trouve le point M et les trois points M2, M3, M4; donc le problème admet en général trois solutions. Si M est donné sur un côté AB du triangle, le problème admet pour seule solution le conjugué harmonique de M par rapport à A et B. Voici une autre construction qui n’exige que l’emploi de la règle. On prend les points de rencontre H, S, T des couples de droites CA et MB, AB et MC, BC et MA. Alors, le point V étant l’intersection des droites BC et ST, le point M est l’intersection de MB et AV. Comme vérification, HT et CM se coupent en R sur AB. Le point M2 est l’intersection de AV et de MC, et le point M3 est l’intersection de CR et de MA. Comme vérification, BM3 passe par M1. L’aire du triangle ABC est égale à la somme des aires des trois triangles MBC, MCA, MAB. En exprimant ces aires, on a Pour obtenir MB', on remplacera a par b dans le numérateur de la formule (2); pour obtenir MC, on y remplacera a par c. L’aire du triangle ABC est
M par rapport à A et B. Voici une autre construction qui n’exige que l’emploi de la règle. On prend les points de rencontre H, S, T des couples de droites CA et MB, AB et MC, BC et MA. Alors, le point V étant l’intersection des droites BC et ST, le point M est l’intersection de MB et AV. Comme vérification, HT et CM se coupent en R sur AB. Le point M2 est l’intersection de AV et de MC, et le point M3 est l’intersection de CR et de MA. Comme vérification, BM3 passe par M1. L’aire du triangle ABC est égale à la somme des aires des trois triangles MBC, MCA, MAB. En exprimant ces aires, on a Pour obtenir MB', on remplacera a par b dans le numérateur de la formule (2); pour obtenir MC, on y remplacera a par c. L’aire du triangle ABC est égale à la somme des aires des deux triangles MAC et MAB, diminuée de l’aire du triangle MBC. En exprimant ces aires, on a En vertu des valeurs de AH, MB', et M3C' de l’égalité (3) on a Pour obtenir MB', on remplacera a par b dans le numérateur de la formule (4), puis on échangera a et b dans son dénominateur; pour obtenir M3C', on remplacera a par c dans le numérateur de la formule (4), puis on échangera a et c dans son dénominateur. Convenons de compter comme positive ou négative l'aire du triangle formé en joignant l'un des points M aux extrémités de l'un des côtés BC, CA, AB, suivant que ce point M et le sommet opposé A, B, C sont ou non du même côté par rapport à BC, CA, AB; alors, la formule (2) est générale, et s'applique en donnant dans le dénominateur le signe + ou le signe — au produit proportionnel à l'aire positive ou négative. Dans le cas où a = b = c, on obtient Cette première formule représente MB' et MC; et cette seconde formule représente M'B' et M/C' Dans le cas où a = b = c, on
la formule (4), puis on échangera a et b dans son dénominateur; pour obtenir M3C', on remplacera a par c dans le numérateur de la formule (4), puis on échangera a et c dans son dénominateur. Convenons de compter comme positive ou négative l'aire du triangle formé en joignant l'un des points M aux extrémités de l'un des côtés BC, CA, AB, suivant que ce point M et le sommet opposé A, B, C sont ou non du même côté par rapport à BC, CA, AB; alors, la formule (2) est générale, et s'applique en donnant dans le dénominateur le signe + ou le signe — au produit proportionnel à l'aire positive ou négative. Dans le cas où a = b = c, on obtient Cette première formule représente MB' et MC; et cette seconde formule représente M'B' et M/C' Dans le cas où a = b = c, on obtient Ces formules donnent MB' et M'B', en remplaçant a par b dans leurs dénominateurs, et elles donnent MC et M/C en remplaçant a par c dans leurs dénominateurs. Élève au Lycée Saint-Louis, à Paris. Ont résolu la question 521 (ordre alphabétique) : M. A. ANKRY; M. DONAIRE; MM. J. DAUNAURA; M. DUSSAUX; M. FILOCHET; L. HASCOET, Professeur au Cours professionnel, à Brest; L. HUIN; E. JODART; B. PELISSIER; J.-M. PHILIPPE: J.-L. PREOT. 546. — Dans une machine pneumatique ordinaire, le rapport de la capacité du corps de pompe à celle du récipient est 0,1. On constate qu'après le troisième coup de piston, la pression dans le récipient est devenue les 0,76 de ce qu'elle était au début. On demande de déduire de ce résultat la valeur du rapport du volume de l'espace nuisible au volume du corps de pompe, (Concours général en Mathématiques élémentaires, en 1886.) Si H désigne la pression atmosphérique, qui est en même temps la pression initiale dans le récipient, V la capacité du récipient, v celle du corps de pompe, n celle de l'espace nuisible, et hn la pression après n coups de piston, on a, d'après une formule connue, On voit que le rapport
DAUNAURA; M. DUSSAUX; M. FILOCHET; L. HASCOET, Professeur au Cours professionnel, à Brest; L. HUIN; E. JODART; B. PELISSIER; J.-M. PHILIPPE: J.-L. PREOT. 546. — Dans une machine pneumatique ordinaire, le rapport de la capacité du corps de pompe à celle du récipient est 0,1. On constate qu'après le troisième coup de piston, la pression dans le récipient est devenue les 0,76 de ce qu'elle était au début. On demande de déduire de ce résultat la valeur du rapport du volume de l'espace nuisible au volume du corps de pompe, (Concours général en Mathématiques élémentaires, en 1886.) Si H désigne la pression atmosphérique, qui est en même temps la pression initiale dans le récipient, V la capacité du récipient, v celle du corps de pompe, n celle de l'espace nuisible, et hn la pression après n coups de piston, on a, d'après une formule connue, On voit que le rapport cherché est donné par une équation du premier degré; on peut donc résoudre la question et effectuer le calcul numérique quel que soit le nombre des coups de piston. Si, en effet, on désigne par k le rapport donné, de l'équation précédente on tire PRÉPARATION AU CERTIFICAT D'APTITUDE À L'ENSEIGNEMENT SPÉCIAL 536. — SOLUTION de la question d'Arithmétique proposée à l'Examen du Certificat d'aptitude à l'Enseignement secondaire spécial, en juillet 1891. (Voir l'énoncé, n° 2, 20 novembre 1891, page 42.) Première Partie. La Première Partie est la conséquence immédiate de théorèmes démontrés dans les Traités d'Arithmétique et dont il suffira de rappeler ici les énoncés. Soit une fraction ordinaire irréductible x, telle qu'en la conversant en fraction décimale avec une approximation indéfinie, on obtienne un quotient périodique. Deux cas seulement peuvent se présenter: 1er cas: le dénominateur 13 est premier avec 10; 2° cas: le dénominateur B, non premier avec 10, contient d'autres facteurs premiers que 2 et 5. Dans le premier cas, on est conduit à une fraction décimale périodique simple: le nombre des chiffres de la période est égal à l'exposant de la plus petite puissance de 10 qui, divisée par 13, donne pour reste l'unité. Dans le
SPÉCIAL 536. — SOLUTION de la question d'Arithmétique proposée à l'Examen du Certificat d'aptitude à l'Enseignement secondaire spécial, en juillet 1891. (Voir l'énoncé, n° 2, 20 novembre 1891, page 42.) Première Partie. La Première Partie est la conséquence immédiate de théorèmes démontrés dans les Traités d'Arithmétique et dont il suffira de rappeler ici les énoncés. Soit une fraction ordinaire irréductible x, telle qu'en la conversant en fraction décimale avec une approximation indéfinie, on obtienne un quotient périodique. Deux cas seulement peuvent se présenter: 1er cas: le dénominateur 13 est premier avec 10; 2° cas: le dénominateur B, non premier avec 10, contient d'autres facteurs premiers que 2 et 5. Dans le premier cas, on est conduit à une fraction décimale périodique simple: le nombre des chiffres de la période est égal à l'exposant de la plus petite puissance de 10 qui, divisée par 13, donne pour reste l'unité. Dans le deuxième cas, on est conduit à une fraction décimale périodique mixte; soit B = 2a 5b (B' étant premier avec 10); le nombre des chiffres irréguliers est égal au plus grand des deux exposants a ou b; le nombre des chiffres de la période est égal à l'exposant de la plus petite puissance de 10 qui, divisée par B', donne pour reste l'unité. Dans les deux cas, le nombre des chiffres de la période et le nombre des chiffres irréguliers, s'il y en a, ne dépendent que du dénominateur de la fraction ordinaire donnée et nullement de son numérateur: la première partie de la question est donc établie. Deuxième Partie. Soient x et y les deux fractions proposées: on donne A + A' = B. Appelons r le plus petit reste de la division qu'il faut effectuer pour convertir la fraction x en fraction décimale périodique, et q le nombre entier formé par les n chiffres décimaux alors écrits au quotient. On aura r représentant le plus petit reste de cette division et r/ le nombre entier formé par les n premiers chiffres décimaux du quotient. Additionnant membre à membre les égalités (1) et (2), on trouve — 163 —