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a donc pour extrémité Ox; deux angles droits représentent l'angle que fait une droite avec elle-même (ou plutôt son prolongement). Nature de la circonférence. – Il est facile de rétablir les propositions usuelles de la Géométrie. Pour cela, on remarque que, lorsque deux droites OA et OB sont conjuguées harmoniques par rapport à deux droites rectangulaires Ox et Oy, les angles xOA et yOB sont égaux (définition ci-dessus). Par suite, si AB est parallèle à Oy, son point de rencontre C avec Ox est le milieu du segment AB. Or, l'expérience nous apprend qu'il existe dans la nature des corps dits « solides » susceptibles de se déplacer sans déformation, c'est-à-dire sans que les rapports de leurs éléments constituants soient modifiés. Que veut dire cela? Cela veut dire que, si trois points d'un corps solide coïncidant avec trois points A, B, C de l'espace viennent après déplacement coïncider avec A', B', C' et si nos conventions métriques sont convenablement choisies, on doit avoir AB = A'B', AC = A'C, BC=B'C', angle BAC = angle B'A'C, ceci quel que soit le corps solide utilisé. Définissons précisément comme longueures égales sur deux droites celles qui peuvent coïncider successivement avec un même élément de corps solide. Les relations AB = AB', AC = A'C', BC=B'C' seront satisfaites ipso facto. Mais les relations telles que angle BAC = angle B'A'C n'en résulteront pas, et nous serons conduits au résultat suivant « Deux triangles ayant les trois côtés égaux doivent aussi avoir les angles égaux chacun à chacun. » Tel est l'énoncé mathématique du principe de l'existence des corps solides, qui se réduirait à une tautologie, comme on voit, si l'on ne supposait pas préalablement acquises les notions de longueur et d'angle. On parvient aussitôt, cela est clair, aux énoncés des deux autres cas usuels d'égalité des triangles. Cela posé, revenons à nos triangles AOC et BOC; ils ont un angle égal (l'angle en C qui est droit) compris entre deux côtés égaux. Ils sont égaux et OB = OA ce qui conduit à la génération de la circonférence. Soit en effet A' le point
de corps solide. Les relations AB = AB', AC = A'C', BC=B'C' seront satisfaites ipso facto. Mais les relations telles que angle BAC = angle B'A'C n'en résulteront pas, et nous serons conduits au résultat suivant « Deux triangles ayant les trois côtés égaux doivent aussi avoir les angles égaux chacun à chacun. » Tel est l'énoncé mathématique du principe de l'existence des corps solides, qui se réduirait à une tautologie, comme on voit, si l'on ne supposait pas préalablement acquises les notions de longueur et d'angle. On parvient aussitôt, cela est clair, aux énoncés des deux autres cas usuels d'égalité des triangles. Cela posé, revenons à nos triangles AOC et BOC; ils ont un angle égal (l'angle en C qui est droit) compris entre deux côtés égaux. Ils sont égaux et OB = OA ce qui conduit à la génération de la circonférence. Soit en effet A' le point tel que OA' = OA en sens inverse; et joignons A'B cette droite est perpendiculaire à AB ce qui montre que AB et A'B se déterminent l'un l'autre d'une manière unique. Laissant fixes A et A.' et faisant varier B, il décrira la circonférence qui est obtenue comme intersection de deux faisceaux homographiques. La circonférence est donc une conique et elle coupe la droite de l'infini aux points cycliques. Plan euclidien. En résumé, les notions de longueur et d'angle, sur lesquelles repose en totalité la Géométrie métrique, s'introduisent 1° La notion de longueur sur une droite par la différenciation sur celle-ci du point à l'infini. 2° La comparaison de longueurs quelconques du plan, unie à la notion d'angle, par la différenciation de la droite de l'infini et des points cycliques. Ce mode d'exposition est très général et montre clairement l'insuffisance de la définition usuelle de l'égalité des longueurs et angles par superposition après déplacement « à la manière d'un solide invariable » Nous montrerons plus loin que ce dernier énoncé, pour avoir un sens, nécessite un grand nombre de postulats implicites, comme l'homogénéité et l'isotropie de l'espace matériel, non seulement au point de vue étendue, mais à tous les points
deux faisceaux homographiques. La circonférence est donc une conique et elle coupe la droite de l'infini aux points cycliques. Plan euclidien. En résumé, les notions de longueur et d'angle, sur lesquelles repose en totalité la Géométrie métrique, s'introduisent 1° La notion de longueur sur une droite par la différenciation sur celle-ci du point à l'infini. 2° La comparaison de longueurs quelconques du plan, unie à la notion d'angle, par la différenciation de la droite de l'infini et des points cycliques. Ce mode d'exposition est très général et montre clairement l'insuffisance de la définition usuelle de l'égalité des longueurs et angles par superposition après déplacement « à la manière d'un solide invariable » Nous montrerons plus loin que ce dernier énoncé, pour avoir un sens, nécessite un grand nombre de postulats implicites, comme l'homogénéité et l'isotropie de l'espace matériel, non seulement au point de vue étendue, mais à tous les points de vue physique, chimique, magnétique, etc. Cet exposé montre en outre clairement que la Géométrie métrique aussi bien que projective est l'étude du plan « ensemble continu de points de deuxième grandeur à colligeants binaires » ayant pour singularités cette fois (c'est sa définition euclidienne) une droite et deux points remarquables à l'infini. Toutefois, pour passer d'une droite à l'autre dans le plan en comparant des longueurs, il faut définir en plus la « nature de la circonférence » et nous avons vu qu'elle découle de la possibilité des déplacements sans déformation. Nous avons indiqué aussi qu'il est suffisant pour déterminer la métrique de toutes les droites du plan, de donner une circonférence étalon, ou encore, puisque celle-ci est une conique dont deux points sont connus, deux segments égaux sur deux droites non parallèles. Nous ne parlerons pas ici de l'utilisation comme nouveau colligeant de la circonférence la plus générale (tracée au compas). Enfin nous voyons aussitôt comment les théories géométriques sont indépendantes de la forme « absolue » des ensembles étudiés. Pour le faire sentir mieux encore, revenons à notre représentation du plan sur la sphère au moyen d'un apex A. Des vecteurs « égaux » sur une «
remarquables à l'infini. Toutefois, pour passer d'une droite à l'autre dans le plan en comparant des longueurs, il faut définir en plus la « nature de la circonférence » et nous avons vu qu'elle découle de la possibilité des déplacements sans déformation. Nous avons indiqué aussi qu'il est suffisant pour déterminer la métrique de toutes les droites du plan, de donner une circonférence étalon, ou encore, puisque celle-ci est une conique dont deux points sont connus, deux segments égaux sur deux droites non parallèles. Nous ne parlerons pas ici de l'utilisation comme nouveau colligeant de la circonférence la plus générale (tracée au compas). Enfin nous voyons aussitôt comment les théories géométriques sont indépendantes de la forme « absolue » des ensembles étudiés. Pour le faire sentir mieux encore, revenons à notre représentation du plan sur la sphère au moyen d'un apex A. Des vecteurs « égaux » sur une « droite » quelconque sont tels que l'origine et l'extrémité décrivent une homographie dont les points doubles sont confondus en A. Dans le plan de la circonférence-droite, ceci signifie que, vues de deux points convenables O, et O2, les extrémités et les origines de segments MN et PQ de longueur égale doivent se projeter en un même point de la tangente en A à la circonférence. A notre sens à nous, ces segments décroissent tout en se déplaçant vers A, de sorte que, répétant sans cesse la même longueur, on se rapproche indéfiniment de ce point sans jamais l'atteindre. Mais toutes les apparences que nous rencontrons dans notre monde propre se retrouveraient pour des êtres vivants sur cette sphère avec des conditions de température et de coefficient de dilatation telles que les deux longueurs que nous venons de définir « égales » soient effectivement superposables pour eux après transport de l'une d'elles. Nous n'insisterons pas sur la nature de tels êtres, pour lesquels le point A aurait toutes les propriétés de l'infini. Ils sont les parents euclidiens d'autres que nous rencontrerons bientôt et que l'on reconnaîtra aussitôt : ils font partie de la faune de M. Henri Poincaré. Les « directions
doivent se projeter en un même point de la tangente en A à la circonférence. A notre sens à nous, ces segments décroissent tout en se déplaçant vers A, de sorte que, répétant sans cesse la même longueur, on se rapproche indéfiniment de ce point sans jamais l'atteindre. Mais toutes les apparences que nous rencontrons dans notre monde propre se retrouveraient pour des êtres vivants sur cette sphère avec des conditions de température et de coefficient de dilatation telles que les deux longueurs que nous venons de définir « égales » soient effectivement superposables pour eux après transport de l'une d'elles. Nous n'insisterons pas sur la nature de tels êtres, pour lesquels le point A aurait toutes les propriétés de l'infini. Ils sont les parents euclidiens d'autres que nous rencontrerons bientôt et que l'on reconnaîtra aussitôt : ils font partie de la faune de M. Henri Poincaré. Les « directions » des circonférences-droites sont définies par leur point infiniment voisin de A, c'est-à-dire par leur tangente en ce point, et l'« angle » de deux directions est lié à l'angle de ces tangentes. S'ils sont pris égaux, la correspondance univoque, qu'il est toujours possible d'établir entre l'ensemble des plansphériques et un plan ordinaire, peut être encore, avec un choix convenable du dernier, une inversion. Cette transformation, dont on sait en effet qu'elle conserve les angles, s'étend sans difficulté à l'espace entier. Nous avons dû tout à l'heure, pour asseoir les bases de la théorie de l'homographie, et par elle, de la géométrie entière du plan entendu comme « ensemble de points », compléter la définition du plan par cet axiome que deux droites quelconques y ont un point commun et d'ailleurs un seul. Telle quelle, cette proposition n'est pas vérifiable. Tout ce que nous savons, ce qui est vraiment nécessaire, et qu'il n'est venu à l'idée de personne de nier, c'est que dans l'espace où nous vivons, accessible à nos perceptions, deux droites quelconques n'ont jamais plus d'un point commun, et cette circonstance est celle même qui nous a permis de définir la droite comme colligeant binaire. Le passage de
un plan ordinaire, peut être encore, avec un choix convenable du dernier, une inversion. Cette transformation, dont on sait en effet qu'elle conserve les angles, s'étend sans difficulté à l'espace entier. Nous avons dû tout à l'heure, pour asseoir les bases de la théorie de l'homographie, et par elle, de la géométrie entière du plan entendu comme « ensemble de points », compléter la définition du plan par cet axiome que deux droites quelconques y ont un point commun et d'ailleurs un seul. Telle quelle, cette proposition n'est pas vérifiable. Tout ce que nous savons, ce qui est vraiment nécessaire, et qu'il n'est venu à l'idée de personne de nier, c'est que dans l'espace où nous vivons, accessible à nos perceptions, deux droites quelconques n'ont jamais plus d'un point commun, et cette circonstance est celle même qui nous a permis de définir la droite comme colligeant binaire. Le passage de cette donnée à l'axiome que nous avons énoncé exige qu'il soit adjoint au plan accessible, pour les besoins du raisonnement, des éléments qui ne peuvent résulter, bien entendu, d'une abstraction, mais d'une définition a priori qui les crée. Le système euclidien alloue à toute droite un point et un seul hors l'espace accessible, à toute plan une droite et une seule « à l'infini ». Rien n'empêcherait au point de vue logique de compléter autrement notre espace, à la condition que la zone accessible soit renfermée dans ce que l'on nomme une région normale c'est-à-dire n'en voie pas ses propriétés altérées. « Question de définition, de commodité », disent certains géomètres. Rejeter le postulat d'Euclide, ce sera attribuer à chaque droite à l'infini, non plus un point seul, mais une infinité. Les limites 1 et J de tout à l'heure ne viendront plus se confondre, et le complément de la droite sera devenu un segment. En langage élémentaire, d'un point extérieur pourra être mené à une droite, non plus une parallèle unique, mais un secteur parallèle, limité par les droites 01 et OJ. Le plan possédra à l'infini, non plus une droite, mais une aire c'est la géométrie de Lobatchewsky.
hors l'espace accessible, à toute plan une droite et une seule « à l'infini ». Rien n'empêcherait au point de vue logique de compléter autrement notre espace, à la condition que la zone accessible soit renfermée dans ce que l'on nomme une région normale c'est-à-dire n'en voie pas ses propriétés altérées. « Question de définition, de commodité », disent certains géomètres. Rejeter le postulat d'Euclide, ce sera attribuer à chaque droite à l'infini, non plus un point seul, mais une infinité. Les limites 1 et J de tout à l'heure ne viendront plus se confondre, et le complément de la droite sera devenu un segment. En langage élémentaire, d'un point extérieur pourra être mené à une droite, non plus une parallèle unique, mais un secteur parallèle, limité par les droites 01 et OJ. Le plan possédra à l'infini, non plus une droite, mais une aire c'est la géométrie de Lobatchewsky. La complexité de l'hypothèse (toujours la commodité) s'oppose seule évidemment à la pensée de faire retrouver aux droites des intersections matérielles dans une ou plusieurs parties de IOJ, c'est-à-dire à supposer à la droite des tronçons successifs accessibles et à l'infini, à attribuer à l'aire à l'infini d'un plan un ordre quelconque et non plus la nature d'une section conique. Plan lobatchewskyen. Examinons la géométrie du plan avec cette nouvelle définition ensemble de points de deuxième grandeur, complété à l'infini par une aire qui découpe sur toute droite un segment unique. Il est facile de constituer dans l'espace euclidien des ensembles répondant à la même définition et que nous appellerons, malgré l'apparente contradiction des termes, des plans lobatchewskyens. Faire de la géométrie non euclidienne sera identiquement la même chose qu'étudier au sens ordinaire ces ensembles nouveaux. Les éléments en colligeants binaires d'un tel ensemble conduiront à des rapports et propositions identiques à celles qu'établiraient dans un espace lobatchewskyen des êtres appropriés, ou plutôt des êtres qui, vivant dans cet espace, auraient un esprit fait comme le nôtre hypothèse au moins étrange sur laquelle nous reviendrons. Cherchons à définir sur une sphère (euclidienne) un « plan lobatchewskyen ». Nous serons amenés
ordre quelconque et non plus la nature d'une section conique. Plan lobatchewskyen. Examinons la géométrie du plan avec cette nouvelle définition ensemble de points de deuxième grandeur, complété à l'infini par une aire qui découpe sur toute droite un segment unique. Il est facile de constituer dans l'espace euclidien des ensembles répondant à la même définition et que nous appellerons, malgré l'apparente contradiction des termes, des plans lobatchewskyens. Faire de la géométrie non euclidienne sera identiquement la même chose qu'étudier au sens ordinaire ces ensembles nouveaux. Les éléments en colligeants binaires d'un tel ensemble conduiront à des rapports et propositions identiques à celles qu'établiraient dans un espace lobatchewskyen des êtres appropriés, ou plutôt des êtres qui, vivant dans cet espace, auraient un esprit fait comme le nôtre hypothèse au moins étrange sur laquelle nous reviendrons. Cherchons à définir sur une sphère (euclidienne) un « plan lobatchewskyen ». Nous serons amenés à choisir un apex cette fois à l'extérieur de la sphère. Les colligeants binaires ou « droites lobatchewskyennes », définies par deux points quelconques B et C de la sphère, sont des circonférences, sections par les plans ABC. Voici ce qui se produit alors: Les circonférences définies par deux points B et C (plus l'apex A) et par deux autres points 1) et E peuvent être sécantes ou non, suivant que l'intersection des plans qui les définissent, qui est une droite passant par A, coupe ou ne coupe pas la sphère ou encore suivant que les traces bc et xy sur le plan polaire de A se coupent à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle S de contact du cône circonscrit. Si BC tourne autour de B et par suite sa trace autour de b, on voit qu'il n'y a sécance que dans le secteur xby. Les droites lobatchewskyennes B, y et By sont les deux parallèles limites à DE. Si BC et DE sont sécantes, les deux points de rencontre sont toujours l'un sur une des calottes sphériques délimitées par le cercle S, l'autre sur l'autre face. Là. calotte. Toute aire dont la courbe de délimitation ne rencontre pas
B et C (plus l'apex A) et par deux autres points 1) et E peuvent être sécantes ou non, suivant que l'intersection des plans qui les définissent, qui est une droite passant par A, coupe ou ne coupe pas la sphère ou encore suivant que les traces bc et xy sur le plan polaire de A se coupent à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle S de contact du cône circonscrit. Si BC tourne autour de B et par suite sa trace autour de b, on voit qu'il n'y a sécance que dans le secteur xby. Les droites lobatchewskyennes B, y et By sont les deux parallèles limites à DE. Si BC et DE sont sécantes, les deux points de rencontre sont toujours l'un sur une des calottes sphériques délimitées par le cercle S, l'autre sur l'autre face. Là. calotte. Toute aire dont la courbe de délimitation ne rencontre pas le cercle S est donc une région normale; chacune des calottes sphériques peut être appelée « un plan lobatchewskyen », l'autre représentant l'aire « à l'infini de cette face ». Si nous envisageons le plan polaire de A, il y a correspondance entre chaque point b de ce plan et le couple de points de la sphère situé sur la droite bk. Ce couple est celui de points conjugués dans une involution sur la sphère. Une telle correspondance constitue une transformation simplement rationnelle de genre 1. Elle peut être étendue à tout l'espace en remplaçant chaque plan par la sphère qui lui correspond dans une inversion, la sphère S de points doubles de celle-ci étant le lieu des cercles frontières de l'infini (). Il est à remarquer que dans cette correspondance établie entre un espace euclidien et un espace lobatchewskyen la totalité du dernier est obtenue (pour sa partie réelle du moins) en partant d'une fraction seulement du premier l'intérieur de la sphère H. Plan r letnannien. – Envisageons encore une sphère, mais munie cette fois d'un apex à l'intérieur. Deux sections planes menées par l'apex, réalisant encore des colligeants binaires, se coupent en deux points opposés par rapport à
le couple de points de la sphère situé sur la droite bk. Ce couple est celui de points conjugués dans une involution sur la sphère. Une telle correspondance constitue une transformation simplement rationnelle de genre 1. Elle peut être étendue à tout l'espace en remplaçant chaque plan par la sphère qui lui correspond dans une inversion, la sphère S de points doubles de celle-ci étant le lieu des cercles frontières de l'infini (). Il est à remarquer que dans cette correspondance établie entre un espace euclidien et un espace lobatchewskyen la totalité du dernier est obtenue (pour sa partie réelle du moins) en partant d'une fraction seulement du premier l'intérieur de la sphère H. Plan r letnannien. – Envisageons encore une sphère, mais munie cette fois d'un apex à l'intérieur. Deux sections planes menées par l'apex, réalisant encore des colligeants binaires, se coupent en deux points opposés par rapport à A. Si l'on sépare la sphère en deux par un plan arbitraire P passant par l'apex, les deux intersections sont toujours l'une sur une calotte, l'autre sur la deuxième. Toute aire contenue dans une de ces calottes constitue une région normale et peut être appelée un plan c'est la géométrie de Riemann. Cette fois, la limitation du plan a un caractère absolument arbitraire; le plan Riemannien ne comporte plus d'éléments inaccessibles de fait; son aire à l'infini est irréelle, ou pour dire exactement, « imaginaire » au sens des euclidiens. Comme tout à l'heure, il y a correspondance entre un point M d'un plan, par exemple du plan polaire de A par rapport à la sphère, et le couple de points où celle-ci coupe la droite AM. Cette transformation peut encore être étendue à tout l'espace en transformant tous les plans par une inversion dont la sphère de points doubles est cette fois imaginaire. Tandis que nous obtenions la totalité des éléments réels d'un espace lobatchewskyen en transformant seulement l'intérieur de la sphère définissant l'inversion, il faut cette fois pour le plan riemannien transformer l'espace euclidien entier. De semblables représentations des plans lobatchewskyens et riemanniens pourraient être faites sans difficulté
de Riemann. Cette fois, la limitation du plan a un caractère absolument arbitraire; le plan Riemannien ne comporte plus d'éléments inaccessibles de fait; son aire à l'infini est irréelle, ou pour dire exactement, « imaginaire » au sens des euclidiens. Comme tout à l'heure, il y a correspondance entre un point M d'un plan, par exemple du plan polaire de A par rapport à la sphère, et le couple de points où celle-ci coupe la droite AM. Cette transformation peut encore être étendue à tout l'espace en transformant tous les plans par une inversion dont la sphère de points doubles est cette fois imaginaire. Tandis que nous obtenions la totalité des éléments réels d'un espace lobatchewskyen en transformant seulement l'intérieur de la sphère définissant l'inversion, il faut cette fois pour le plan riemannien transformer l'espace euclidien entier. De semblables représentations des plans lobatchewskyens et riemanniens pourraient être faites sans difficulté sur une infinité d'autres surfaces, au moyen de Cayley a donné une représentation du plan lobatchewskyen qui consiste à envisager comme tel, non la sphère comme nous le faisons ici, mais l'intérieur du cercle S dans le plan polaire de A, ce qui en est en quelque sorte la projection doublée. Il nomme le cercle S l'absolu. Les droites lobatchewskyennes sont alors les segments de droites limités par le cercle S ce sont, si l'on veut, nos circonférences droites vues de profil. Nous indiquerons plus loin comment Cayley définit la mesure des longueurs. Les surfaces utilisables pourraient être 1° Des surfaces euclidiennes simplement connexes (genre o avec emploi d'apex extérieurs. 2° Des surfaces de connexion double (genre 1) avec apex leur appartenant. En effet, les espaces de Lobatchewsky et de Riemann dont les colligants binaires définissent un couple variable et non plus un seul point, doivent être considérés par rapport à l'espace euclidien de genre o, comme des espaces de genre 1. Longueurs non euclidiennes. Que peut devenir la notion de longueur dans un plan non euclidien? Beaucoup d'auteurs la posent comme une donnée a priori par l'idée de superposition, et cela paraît vraiment bien illégitime en raison des multiples