jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
extrémité et une Elle est représentée dans notre plan sphérique de tout à l'heure par une courbe gauche. Pour en découvrir la nature, envisageons les différents plans de section passant par un point M et son adjoint M', leur trace sur le plan polaire de A tourne autour du point m fixe. Soit uv la position qui correspond à une circonférence droite MN; joignons M'N qui coupe uv en p. Nous avons; en projetant de M', qui est fixe, (hdMN) = (uv)1/2, Ce rapport représente la longueur MN. S'il reste constant, p décrit dans le plan polaire une conique déduite du cercle S et N a pour lieu l'intersection de la sphère avec un cône du second degré; cette courbe gauche représente un horicycle. Notion d'angle. – Faisons une remarque intéressante dans le plan euclidien, la détermination de la circonférence est résultée pour nous à la fois de la notion de longueur et de la notion d'angle. Dans les plans de Riemann et de Lobatchewsky, nous l'avons définie par l'égalité des étalons de longueur propres à chaque droite. Qu'advient-il de la notion d'angle? Il faut convenir en chaque point d'une définition. Soient BC et BC' deux circonférences droites nous mesurerons l'angle BC, BC' par la longueur de la corde de l'arc qu'il découpe sur un horicycle, rapportée au rayon de celui-ci. Si l'on veut figurer le plan lobatchewskien par l'intérieur du cercle S, comme Cayley, on est amené à mesurer la longueur d'un segment mercé par une fonction de (hcMN), Or, projetant successivement de M', puis de N', on a (McMN) = (uvmp) = (ucpn) = (uvmn), car (uvvmn), compte avec la formule métrique usuelle, est le produit des deux rapports précédents. On peut donc prendre plus commodément longueur mn = (uv?nn). Si l'on ajoute deux segments mn et nq, on a (uvmq) = (uvmn) x (uvnq); comme la mesure choisie doit être telle que celle d'une somme de segments soit la somme des mesures des segments, il faut que soit un logarithme. C'est la théorie de Cayley. et lorsque ce rayon tend vers zéro), un cycle de rayon très
l'angle BC, BC' par la longueur de la corde de l'arc qu'il découpe sur un horicycle, rapportée au rayon de celui-ci. Si l'on veut figurer le plan lobatchewskien par l'intérieur du cercle S, comme Cayley, on est amené à mesurer la longueur d'un segment mercé par une fonction de (hcMN), Or, projetant successivement de M', puis de N', on a (McMN) = (uvmp) = (ucpn) = (uvmn), car (uvvmn), compte avec la formule métrique usuelle, est le produit des deux rapports précédents. On peut donc prendre plus commodément longueur mn = (uv?nn). Si l'on ajoute deux segments mn et nq, on a (uvmq) = (uvmn) x (uvnq); comme la mesure choisie doit être telle que celle d'une somme de segments soit la somme des mesures des segments, il faut que soit un logarithme. C'est la théorie de Cayley. et lorsque ce rayon tend vers zéro), un cycle de rayon très très petit se confond avec la circonférence indicatrice en B et ceci revient à prendre l'angle BC, BC' égal à l'angle euclidien des tangentes. Grâce à cette définition, la géométrie que nous ferions serait celle-là même que construiraient des êtres vivant dans l'espace non euclidien utilisant la notion de superposition pour définir l'égalité, à la condition seulement que dans cet espace, la répartition des températures et les coefficients de dilatation (des corps et des êtres eux-mêmes) soient tels qu'il rendent superposables des longueurs définies égales plus haut. Si dans un plan riemannien, on a placé l'apex au centre de la sphère, les longueurs riemaniiennes égales le sont aussi au sens euclidien avons-nous vu; il en est encore de même des angles. On pourra donc passer de la géométrie riemannienne à la géométrie sphérique ordinaire et vice versa par une véritable traduction dualistique (voir Science et Hypothèse, p. 57). Choix d'une géométrie – Les seules données que la constitution de notre esprit impose comme inéluctables aux géomètres sont que, dans une zone d'espace très étendue par rapport à nos dimensions propres, deux droites n'ont jamais plus d'un point commun, et aussi qu'il existe des corps dits solides susceptibles d'être déplacés sans
pour définir l'égalité, à la condition seulement que dans cet espace, la répartition des températures et les coefficients de dilatation (des corps et des êtres eux-mêmes) soient tels qu'il rendent superposables des longueurs définies égales plus haut. Si dans un plan riemannien, on a placé l'apex au centre de la sphère, les longueurs riemaniiennes égales le sont aussi au sens euclidien avons-nous vu; il en est encore de même des angles. On pourra donc passer de la géométrie riemannienne à la géométrie sphérique ordinaire et vice versa par une véritable traduction dualistique (voir Science et Hypothèse, p. 57). Choix d'une géométrie – Les seules données que la constitution de notre esprit impose comme inéluctables aux géomètres sont que, dans une zone d'espace très étendue par rapport à nos dimensions propres, deux droites n'ont jamais plus d'un point commun, et aussi qu'il existe des corps dits solides susceptibles d'être déplacés sans se déformer, c'est-à-dire sans que les rapports existant entre leurs éléments (relations de position et rapports métriques) soient modifiés. La géométrie euclidienne est conciliable avec ces données et a répondu jusqu'ici à tous nos besoins. Pourra-t-elle se trouver en défaut un jour, alors que nos moyens d'investigation perfectionnés permettront de plier aux mesures de nos instruments des longueurs jusqu'ici insoupçonnées? Des mesures de longueurs et d'angles faites « avec une exactitude suffisante, donneront-elles un jour le moyen de savoir si notre monde physique est riemannien ou lobatchewskyen, en calculant le signe de son paramètre, et même, dans le cas où ce paramètre serait assez petit, sa grandeur approchée? Telle est la question que posent les métagéomètres, mais qu'il y a lieu de préciser. Il est bien entendu que l'espace dans lequel nous vivons et sur lequel est modelé notre cerveau, existe indépendamment de nos conventions et de nos postulats. Il est en fait euclidien ou autre chose, mais non les deux; du moins il est tel relativement aux perceptions que nous en avons, c'est-à-dire dans la seule réalité qui ait vis-à-vis de nous un sens. Or, les géométries lobatchewskyenne et riemannienne, appliquées à un espace de paramètre très grand par
plier aux mesures de nos instruments des longueurs jusqu'ici insoupçonnées? Des mesures de longueurs et d'angles faites « avec une exactitude suffisante, donneront-elles un jour le moyen de savoir si notre monde physique est riemannien ou lobatchewskyen, en calculant le signe de son paramètre, et même, dans le cas où ce paramètre serait assez petit, sa grandeur approchée? Telle est la question que posent les métagéomètres, mais qu'il y a lieu de préciser. Il est bien entendu que l'espace dans lequel nous vivons et sur lequel est modelé notre cerveau, existe indépendamment de nos conventions et de nos postulats. Il est en fait euclidien ou autre chose, mais non les deux; du moins il est tel relativement aux perceptions que nous en avons, c'est-à-dire dans la seule réalité qui ait vis-à-vis de nous un sens. Or, les géométries lobatchewskyenne et riemannienne, appliquées à un espace de paramètre très grand par rapport aux dimensions d'une zone d'étude, donnent dans celle-ci des résultats presque identiques à ceux d'Euclide et qui en diffèrent d'autant moins que le paramètre est plus grand. Serons-nous amenés un jour à déceler l'existence d'un paramètre, et à reconnaître que notre ancienne géométrie, bonne seulement pour notre horizon, n'avait que le mérite d'y être « la plus commode », ainsi que le déclare Henri Poincaré? Pour le nier « géométriquement », il faudrait donner une démonstration logique du postulat d'Euclide, et c'est ce que personne ne tente plus. N'ont-nous pas vu qu'il était possible de construire des espaces euclidiens, mais dotés de propriétés physiques particulières, et dans lesquels des habitants pensant comme nous, quoique modelés sur ce monde différent, seraient des géomètres lobatchewskyens ou riemanniens ou bien plus compliqués encore? C'est dire qu'entre ces conceptions de l'espace et nos concepts géométriques obligés il n'y a pas contradiction. Certes, mais nous allons montrer que des êtres vivant dans un monde non euclidien ne sauraient penser comme nous, et que l'indécision des métagéomètres est interdite aux analystes. Caractère euclidien de l'espace. Si l'on excepte la géométrie pure et l'algèbre, toutes les sciences mathématiques (Astronomie, Mécanique, etc.) font un emploi permanent et
que le mérite d'y être « la plus commode », ainsi que le déclare Henri Poincaré? Pour le nier « géométriquement », il faudrait donner une démonstration logique du postulat d'Euclide, et c'est ce que personne ne tente plus. N'ont-nous pas vu qu'il était possible de construire des espaces euclidiens, mais dotés de propriétés physiques particulières, et dans lesquels des habitants pensant comme nous, quoique modelés sur ce monde différent, seraient des géomètres lobatchewskyens ou riemanniens ou bien plus compliqués encore? C'est dire qu'entre ces conceptions de l'espace et nos concepts géométriques obligés il n'y a pas contradiction. Certes, mais nous allons montrer que des êtres vivant dans un monde non euclidien ne sauraient penser comme nous, et que l'indécision des métagéomètres est interdite aux analystes. Caractère euclidien de l'espace. Si l'on excepte la géométrie pure et l'algèbre, toutes les sciences mathématiques (Astronomie, Mécanique, etc.) font un emploi permanent et essentiel de la géométrie analytique. Or, quel est le fondement de cette science? Son principe est de mettre en correspondance la série des nombres naturels avec les points d'une droite au moyen de la notion de longueur. Partant d'un point initial 0 noté zéro sur une droite L, tout point M est affecté d'un nombre et d'un signe qui caractérisent en grandeur et sens le vecteur OM. Jusqu'ici, rien que de facile sur une droite de tout système. Supposons que, par un procédé géométrique quelconque (si l'on veut par une projection), on ait réalisé entre les points de deux droites L et L' une correspondance biunivouque. Les abscisses x et x' de deux points correspondants A et A' devront être liées également par une relation biunivoque, c'est-à-dire de la forme axx' + yx' + 0 = 0 qui peut s'écrire ax + b a' x + b' Faisons croître c indéfiniment avec un signe puis avec l'autre. La valeur de x' tendra dans l'un et l'autre cas vers la limite unique et bien déterminée – Mais, faire croître x indéfiniment revient à éloigner le point A sur L de chaque côté jusqu'aux limites de la partie accessible de cette droite.
M est affecté d'un nombre et d'un signe qui caractérisent en grandeur et sens le vecteur OM. Jusqu'ici, rien que de facile sur une droite de tout système. Supposons que, par un procédé géométrique quelconque (si l'on veut par une projection), on ait réalisé entre les points de deux droites L et L' une correspondance biunivouque. Les abscisses x et x' de deux points correspondants A et A' devront être liées également par une relation biunivoque, c'est-à-dire de la forme axx' + yx' + 0 = 0 qui peut s'écrire ax + b a' x + b' Faisons croître c indéfiniment avec un signe puis avec l'autre. La valeur de x' tendra dans l'un et l'autre cas vers la limite unique et bien déterminée – Mais, faire croître x indéfiniment revient à éloigner le point A sur L de chaque côté jusqu'aux limites de la partie accessible de cette droite. On voit qu'algébriquement, la zone à l'infini d'une droite correspond d'une manière univoque à une valeur unique du paramètre sur l'autre, c'est-à-dire que, géométriquement, elle a les propriétés d'un point. L'application de l'analyse à la géométrie, c'est-à-dire la mise en parallèle des propriétés des nombres et de celles de l'espace, exige qu'il soit attribué à chaque droite un point et non un segment « à l'infini ». Or, la nature « point » de la partie à l'infini d'une droite est précisément ce qu'exprime le postulat euclidien. Un géomètre non euclidien exigerait une solution de continuité entre la série des nombres positifs et celle des nombres négatifs. Cette idée est analytiquement inconcevable. Elle nous heurte dans nos concepts les plus fondamentaux, dans une de ces notions qui ne sont que « la puissance de notre esprit qui s'affirme ». Ainsi donc, la notation ponctuelle du zéro n'est compatible qu'avec le caractère euclidien de l'espace. Dira-t-on qu'il ne s'agit que d'approximation ? Impossible, sans renoncer à toute rigueur dans l'analyse pour laquelle le zéro est, non une longueur très petite, mais strictement un point. Mais il n'y a pas un espace spécial pour les géomètres et un autre pour les analystes.
exige qu'il soit attribué à chaque droite un point et non un segment « à l'infini ». Or, la nature « point » de la partie à l'infini d'une droite est précisément ce qu'exprime le postulat euclidien. Un géomètre non euclidien exigerait une solution de continuité entre la série des nombres positifs et celle des nombres négatifs. Cette idée est analytiquement inconcevable. Elle nous heurte dans nos concepts les plus fondamentaux, dans une de ces notions qui ne sont que « la puissance de notre esprit qui s'affirme ». Ainsi donc, la notation ponctuelle du zéro n'est compatible qu'avec le caractère euclidien de l'espace. Dira-t-on qu'il ne s'agit que d'approximation ? Impossible, sans renoncer à toute rigueur dans l'analyse pour laquelle le zéro est, non une longueur très petite, mais strictement un point. Mais il n'y a pas un espace spécial pour les géomètres et un autre pour les analystes. Il n'y en a qu'un seul le nôtre. Il ne peut donc être qu'euclidien. Résumons-nous : un géomètre qui ne serait que géomètre ne pourrait trouver dans son art le moyen de décider logiquement entre plusieurs caractères d'espace, c'est-à-dire entre plusieurs définitions du plan également utilisables par lui, à la commodité près. « Il n'y a pas de géométries plus ou moins vraies, il y a seulement des géométries plus ou moins commodes. » (Poincaré, Revue générale des Sciences, 1891.) Cependant, beaucoup de géomètres, qui croient à la réalité du caractère euclidien de l'espace, donnent à cette affirmation, ainsi qu'à l'interrogation plus haut citée de M. Barbarin une réponse de valeur pratique expérimentale « On peut évaluer avec toute la précision dont sont capables nos instruments d'observation les angles d'un triangle pour rechercher si leur somme est égale à deux droits. En opérant ainsi, on constate que l'égalité est bien vérifiée (ou du moins que l'écart est inférieur aux erreurs d'observation). « Nous sommes donc autorisés à dire que la géométrie qui représente le plus fidèlement la réalité est la géométrie euclidienne ou, du moins, en diffère très peu. « En un mot, non seulement nous avons théoriquement le droit
commodité près. « Il n'y a pas de géométries plus ou moins vraies, il y a seulement des géométries plus ou moins commodes. » (Poincaré, Revue générale des Sciences, 1891.) Cependant, beaucoup de géomètres, qui croient à la réalité du caractère euclidien de l'espace, donnent à cette affirmation, ainsi qu'à l'interrogation plus haut citée de M. Barbarin une réponse de valeur pratique expérimentale « On peut évaluer avec toute la précision dont sont capables nos instruments d'observation les angles d'un triangle pour rechercher si leur somme est égale à deux droits. En opérant ainsi, on constate que l'égalité est bien vérifiée (ou du moins que l'écart est inférieur aux erreurs d'observation). « Nous sommes donc autorisés à dire que la géométrie qui représente le plus fidèlement la réalité est la géométrie euclidienne ou, du moins, en diffère très peu. « En un mot, non seulement nous avons théoriquement le droit d'adopter la géométrie euclidienne, mais encore cette géométrie est physiquement vraie. » Hadamard, Leçons de Géométrie élémentaire. Nous montrons ici qu'elle est mieux que cela mathématiquement vraie. Il y a donc contradiction dans le titre même d'un ouvrage comme Essai de géométrie analytique générale, où « général » signifie non tributaire du postulatum d'Euclide (de Tilly). Poincaré a présenté à l'Académie des Sciences, dans sa séance du 19 mai 1834, une « analyse rapide » de sa solution du mouvement d'un solide autour d'un point fixe, qu'il a ensuite développée dans un Mémoire sur une Théorie nouvelle de la rotation des corps, qui a été publié dans le Journal de Liouville, et qui a paru plus tard comme Addition dans la Connaissance des Temps de 1854. On peut résumer sa méthode en quelques lignes. 1° Il introduit la notion d'ellipsoïde d'inertie par rapport au point fixe, et montre que l'axe instantané de rotation est le diamètre conjugué du plan qui contient le couple obtenu en réduisant à ce point fixe le système de vecteurs formé par les quantités de mouvement nées de la rotation. 2° Il détermine le système des forces centrifuges dues à cette rotation. Il naît de ces
tributaire du postulatum d'Euclide (de Tilly). Poincaré a présenté à l'Académie des Sciences, dans sa séance du 19 mai 1834, une « analyse rapide » de sa solution du mouvement d'un solide autour d'un point fixe, qu'il a ensuite développée dans un Mémoire sur une Théorie nouvelle de la rotation des corps, qui a été publié dans le Journal de Liouville, et qui a paru plus tard comme Addition dans la Connaissance des Temps de 1854. On peut résumer sa méthode en quelques lignes. 1° Il introduit la notion d'ellipsoïde d'inertie par rapport au point fixe, et montre que l'axe instantané de rotation est le diamètre conjugué du plan qui contient le couple obtenu en réduisant à ce point fixe le système de vecteurs formé par les quantités de mouvement nées de la rotation. 2° Il détermine le système des forces centrifuges dues à cette rotation. Il naît de ces forces une rotation élémentaire qui se détermine par le paragraphe 1° au moyen de l'ellipsoïde d'inertie, et qui, se composant avec la rotation instantanée actuelle, produit la rotation à l'instant suivant. 3° Il remarque que cette rotation composante est parallèle au plan du couple des quantités de mouvement, et en déduit sans effort ses conclusions relatives à la représentation du mouvement par le roulement de l'ellipsoïde d'inertie sur un plan fixe. Les forces centrifuges dont la considération a conduit Poinsot à sa célèbre solution, sont évidemment dans son esprit les forces d'inertie nées du mouvement du solide. Or il est remarquable que la manière dont il les conçoit et les évalue procède d'une idée qui était peut-être admise au temps de Poinsot, mais qui serait aujourd'hui universellement rejetée. Tandis que la notion de l'axe instantané de rotation ne doit servir qu'à figurer la distribution à un instant donné des vitesses dans le solide, Poinsot raisonne comme s'il y avait une rotation effective qui ferait décrire des cercles aux molécules, et même comme si cette rotation était uniforme. Dès lors il voit naître, de la rotation instantanée un système de forces centrifuges rencontrant cet axe auquel elles sont normales et proportionnelles
déduit sans effort ses conclusions relatives à la représentation du mouvement par le roulement de l'ellipsoïde d'inertie sur un plan fixe. Les forces centrifuges dont la considération a conduit Poinsot à sa célèbre solution, sont évidemment dans son esprit les forces d'inertie nées du mouvement du solide. Or il est remarquable que la manière dont il les conçoit et les évalue procède d'une idée qui était peut-être admise au temps de Poinsot, mais qui serait aujourd'hui universellement rejetée. Tandis que la notion de l'axe instantané de rotation ne doit servir qu'à figurer la distribution à un instant donné des vitesses dans le solide, Poinsot raisonne comme s'il y avait une rotation effective qui ferait décrire des cercles aux molécules, et même comme si cette rotation était uniforme. Dès lors il voit naître, de la rotation instantanée un système de forces centrifuges rencontrant cet axe auquel elles sont normales et proportionnelles à la distance à l'axe ainsi qu'au carré de la rotation; et c'est en étudiant la modification que ce système, si singulièrement conçu, introduit dans le mouvement, que Poinsot est conduit à cette solution célèbre à laquelle son nom est resté attaché. Ainsi d'illustres géomètres avaient appliqué à ce problème du mouvement d'un solide autour d'un point fixe une analyse rigoureuse, et en avaient donné une solution complète en développant toutes les conséquences des formules élégantes et symétriques auxquelles ils l'avaient ramené; mais ils n'avaient pas aperçu cette représentation du mouvement si simple, si claire, figurée aux yeux d'une façon si saisissante, à laquelle Poinsot est conduit par une erreur de Mécanique. Il vaut la peine d'étudier de près ce fait singulier qui n'est pas isolé dans l'histoire des découvertes et dont il y a même, avant Poinsot, d'autres illustres exemples. C'est ce qui est l'objet de l'étude qui va suivre. Considérons un solide animé d'une rotation instantanée 0 autour d'un axe OZ. En prenant pour centre de réduction un point quelconque O de l'axe, le système de vecteurs formé par les quantités de mouvement de toutes les molécules donne une résultante générale P perpendiculaire à l'axe, et un couple
du mouvement d'un solide autour d'un point fixe une analyse rigoureuse, et en avaient donné une solution complète en développant toutes les conséquences des formules élégantes et symétriques auxquelles ils l'avaient ramené; mais ils n'avaient pas aperçu cette représentation du mouvement si simple, si claire, figurée aux yeux d'une façon si saisissante, à laquelle Poinsot est conduit par une erreur de Mécanique. Il vaut la peine d'étudier de près ce fait singulier qui n'est pas isolé dans l'histoire des découvertes et dont il y a même, avant Poinsot, d'autres illustres exemples. C'est ce qui est l'objet de l'étude qui va suivre. Considérons un solide animé d'une rotation instantanée 0 autour d'un axe OZ. En prenant pour centre de réduction un point quelconque O de l'axe, le système de vecteurs formé par les quantités de mouvement de toutes les molécules donne une résultante générale P perpendiculaire à l'axe, et un couple résultant dont l'axe G se décompose en un vecteur N porté par l'axe OZ, et un vecteur K qui lui est perpendiculaire. Poinsot admet que cette rotation 0, même si elle est instantanée, c'est-à-dire si la direction de cet axe varie d'un instant à l'autre, même si la grandeur de 0 varie aussi, naissent des forces centrifuges qui agissent suivant les rayons r des cercles décrits. Réduisant au même point O le système de ces forces centrifuges, il obtient une résultante = 0P, et un couple d'axe y = OK, perpendiculaires tous deux à l'axe OZ. Les directions de 0 et de y forment respectivement, avec celles de P et de K, en arrière du mouvement des angles droits. On peut aussi écrire y = 0Gsin, en désignant par i l'angle de l'axe G et de l'axe de rotation OZ. Or, pour comprendre dans la suite comment cette analyse de Poinsot l'a conduit tout de même au résultat, il est capital d'observer dès à présent que ce vecteur Z est égal et opposé à la vitesse qu'aurait l'extrémité du vecteur G s'il était soumis à la rotation autour de OZ, et il est bon de montrer comment on pouvait le