jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
= Û'F est premier à t – t. Dès lors, à chaque valeur de r ne correspond qu'une valeur possible de [u2. Excluons ces valeurs de f/.2 la fraction A est irréductible. On peut en outre trouver p.2 tel qu'à deux points distincts de C,A en correspondent deux distincts de T'u, et inversement, au moins en général, de façon que T'ik soit indécomposable. En effet, soient t1, t2, deux points distincts (simples) de C,k, pour lesquels les coordonnées de C sont Pour une valeur donnée de t1, le nombre des valeurs de t2 satisfaisant à cette égalité est limité et indépendant de [i.2, comme ces valeurs elles-mêmes. Soit £2 une de ces valeurs; l'égalité (29 bis) correspondante, où x=f^x, ne peut être satisfaite que pour une valeur de f^2, que nous exclurons encore, quelle que soit cette valeur. Ceci posé, envisageons le résultant (après réductions et suppression des facteurs t2 – t, ) des deux équations (29) en t., c'est une certaine fonction $(fou.2). D'après ce qui précède, on peut trouver, pour la valeur de t, considérée, une, et, même, une infinité de valeurs de [x2 telles que <É>(£4,p.2) soit =/= o, en prenant pour x2 une quelconque des valeurs non exclues. La fonction $(£, [x2) correspondante n'est pas identiquement nulle. Cette fonction ne peut donc s'annuler que pour un nombre limité de valeurs de t, quand x2 est donné comme on vient de le dire. En excluant ces valeurs de t, on voit que, si l'on prend pour t, une quelconque des autres, (29) n'a pas lieu, c'est-à-dire que les deux points t1, t2 (supposés simples sur Ck) sont, quel que soit t2=£ t1, distincts sur T'llr, qui est alors une courbe indécomposable du plan des X1, xk (au sens du n° II); ces deux points sont aussi deux points distincts de Y' Nous avons ainsi établi une correspondance point par point entre les courbes C et Y', de façon qu'à chaque point entier de C corresponde un point entier de Y', et réciproquement. Mais la courbe Y' est telle que le dénominateur F12 de X', est le plus
non exclues. La fonction $(£, [x2) correspondante n'est pas identiquement nulle. Cette fonction ne peut donc s'annuler que pour un nombre limité de valeurs de t, quand x2 est donné comme on vient de le dire. En excluant ces valeurs de t, on voit que, si l'on prend pour t, une quelconque des autres, (29) n'a pas lieu, c'est-à-dire que les deux points t1, t2 (supposés simples sur Ck) sont, quel que soit t2=£ t1, distincts sur T'llr, qui est alors une courbe indécomposable du plan des X1, xk (au sens du n° II); ces deux points sont aussi deux points distincts de Y' Nous avons ainsi établi une correspondance point par point entre les courbes C et Y', de façon qu'à chaque point entier de C corresponde un point entier de Y', et réciproquement. Mais la courbe Y' est telle que le dénominateur F12 de X', est le plus petit commun multiple de F1, F2. Nous pourrons continuer de la sorte. Nous prendrons la courbe Y2, de l'espace X*, x2, xh, p., étant un entier. En vertu du même raisonnement, nous pourrons opérer sur Y' et Y'1 comme nous l'avons fait sur C et Y', X* étant alors une fraction irréductible -¥où F,2S est le plus petit commun multiple F,~a de F, et F,, c'est-à-dire celui de F,, F2, F3; et ainsi de suite. L'énoncé du lemme ci-dessus se trouve ainsi complètement établi; C étant r*~a, et Ck étant F*7!. À deux points distincts de C1k et C correspond (à un nombre limité d'exceptions près), deux points distincts de C* et C; et inversement. c. Q. F. D. XVI. Si donc C a une infinité de points entiers, il en résulte de même de C' et C1k; le plus petit commun multiple F de F1, F2, Fk, ou de F, et Fk, doit se réduire à une constante ou être d'une des formes (i4) ou (15) du n° VII, n étant le plus grand des degrés de H, hk et F, si l'on met l'équation de la courbe C sous la forme On peut même alors préciser un peu
fraction irréductible -¥où F,2S est le plus petit commun multiple F,~a de F, et F,, c'est-à-dire celui de F,, F2, F3; et ainsi de suite. L'énoncé du lemme ci-dessus se trouve ainsi complètement établi; C étant r*~a, et Ck étant F*7!. À deux points distincts de C1k et C correspond (à un nombre limité d'exceptions près), deux points distincts de C* et C; et inversement. c. Q. F. D. XVI. Si donc C a une infinité de points entiers, il en résulte de même de C' et C1k; le plus petit commun multiple F de F1, F2, Fk, ou de F, et Fk, doit se réduire à une constante ou être d'une des formes (i4) ou (15) du n° VII, n étant le plus grand des degrés de H, hk et F, si l'on met l'équation de la courbe C sous la forme On peut même alors préciser un peu plus quand F n'est pas une constante. Supposons d'abord que F, plus petit commun multiple de F1, F2, ne soit pas une constante. La courbe C,k étant indécomposable et ayant une infinité de points entiers, le degré de Fti est au moins égal à celui de <p', et celui de F, à celui de <p', donc à celui de <p. Le degré de F, est donc au moins égal à celui de <p', et ainsi de suite. Soit maintenant F,*= const. Je dis que ce cas est impossible. En effet, F2, F3, FA_, n'étant pas tous constants, on peut, en opérant au besoin un changement de notations, supposer que F2 ne soit pas constant. Alors le degré commun de F, et F2 est au moins égal à celui de mais il n'y a qu'une valeur au plus de <p2 telle que le plus grand des degrés de <p', et <p'2 soit supérieur à celui de f donc, si nous l'excluons (ce que nous pouvons faire, puisque <p.2 est susceptible d'une infinité de valeurs), le degré de F2 et F,2 est au moins égal à celui de <p'2 et <p'= <F(2; F, étant une constante, devrait aussi en être une, cas
F, à celui de <p', donc à celui de <p. Le degré de F, est donc au moins égal à celui de <p', et ainsi de suite. Soit maintenant F,*= const. Je dis que ce cas est impossible. En effet, F2, F3, FA_, n'étant pas tous constants, on peut, en opérant au besoin un changement de notations, supposer que F2 ne soit pas constant. Alors le degré commun de F, et F2 est au moins égal à celui de mais il n'y a qu'une valeur au plus de <p2 telle que le plus grand des degrés de <p', et <p'2 soit supérieur à celui de f donc, si nous l'excluons (ce que nous pouvons faire, puisque <p.2 est susceptible d'une infinité de valeurs), le degré de F2 et F,2 est au moins égal à celui de <p'2 et <p'= <F(2; F, étant une constante, devrait aussi en être une, cas que nous devons laisser de côté car on aurait x, = const. Nous pouvons résumer dans l'énoncé suivant la plupart des résultats que nous avons obtenus au sujet de celles des courbes (27) (indécomposables au sens du n° XIV) qui ont une infinité de points entiers. Théorème. – Soit la courbe C de l'espace à k dimensions où t est un paramètre variable, et où F1, h1, F sont des polynomes entiers à coefficients entiers, et Fi étant premiers entre eux, et F étant le plus petit commun multiple de F1, Fa. Supposons de plus que la courbe plane C,* du plan des xt, x/ où F,* est le plus petit commun multiple de F, et Fk, soit indécomposable au sens du n° II, autrement dit qu'elle soit coupée en n, points distincts par une droite convenable ax + bxk = o, les polynomes l1, lk, F,* étant de degré sn(, et l'un de degré n, (2° Les points rationnels (c'est-à-dire à coordonnées rationnelles) de C correspondent, sauf peut-être un nombre limité, aux valeurs rationnelles de t, et sont en nombre infini. Les points entiers (c'est-à-dire dont les coordonnées sont des entiers) {*) Ce théorème et le n° XVII subsistent
courbe C de l'espace à k dimensions où t est un paramètre variable, et où F1, h1, F sont des polynomes entiers à coefficients entiers, et Fi étant premiers entre eux, et F étant le plus petit commun multiple de F1, Fa. Supposons de plus que la courbe plane C,* du plan des xt, x/ où F,* est le plus petit commun multiple de F, et Fk, soit indécomposable au sens du n° II, autrement dit qu'elle soit coupée en n, points distincts par une droite convenable ax + bxk = o, les polynomes l1, lk, F,* étant de degré sn(, et l'un de degré n, (2° Les points rationnels (c'est-à-dire à coordonnées rationnelles) de C correspondent, sauf peut-être un nombre limité, aux valeurs rationnelles de t, et sont en nombre infini. Les points entiers (c'est-à-dire dont les coordonnées sont des entiers) {*) Ce théorème et le n° XVII subsistent quand C^. est une droite (avec ni = 1) ou une conique (avec n:= 2). F est d'une des formes (14) ou (15), n étant le degré de F, et aucun des polynômes h,, hh n'est de degré > n; dans chacun de ces deux derniers cas, les valeurs rationnelles t = – qui fournissent des points entiers donnent, chacune une solution en entiers d'une des équations (14 bis) (n° VII). XVII. On peut maintenant montrer, en s'aidant des nos X à XII, comment on peut, par un nombre fini d'opérations, déterminer tous les points entiers, en nombre fini ou non, de la courbe (27) ces opérations seront en même temps indiquées avec précision. En effet, on saura reconnaître à l'aide d'un nombre fini d'opérations, détaillées dans les nos X à XII, si la courbe C1A (n° XIV) n'a qu'un nombre fini de points entiers, et, s'il en est ainsi, les trouver. S'il n'en est pas ainsi, on opérera de même sur C1k (n° XV). Lorsque C1h ou C1u n'a qu'un nombre fini de points entiers, il suffit de chercher si les valeurs correspondantes de t donnent des points entiers de C. Quand C1k et C1A ont une infinité de
t = – qui fournissent des points entiers donnent, chacune une solution en entiers d'une des équations (14 bis) (n° VII). XVII. On peut maintenant montrer, en s'aidant des nos X à XII, comment on peut, par un nombre fini d'opérations, déterminer tous les points entiers, en nombre fini ou non, de la courbe (27) ces opérations seront en même temps indiquées avec précision. En effet, on saura reconnaître à l'aide d'un nombre fini d'opérations, détaillées dans les nos X à XII, si la courbe C1A (n° XIV) n'a qu'un nombre fini de points entiers, et, s'il en est ainsi, les trouver. S'il n'en est pas ainsi, on opérera de même sur C1k (n° XV). Lorsque C1h ou C1u n'a qu'un nombre fini de points entiers, il suffit de chercher si les valeurs correspondantes de t donnent des points entiers de C. Quand C1k et C1A ont une infinité de points entiers, il nous suffit d'envisager ceux des points entiers de C1k et C qui correspondent à une valeur rationnelle t = – les autres pouvant être (nos V, X et XI) déterminés par un nombre fini d'opérations connues pour C1k, par suite pour C. Posons [formules (27)], n étant alors le plus grand des degrés des polynômes H(f), hi(t), F(t), nous distinguerons deux cas 1° Y(t) = K = const. Les équations de C, où t = –, donnent On procède comme au n° XI, où k = 2, on a qu'il n'a qu'un nombre limité de valeurs possibles divisant les coefficients de la plus haute puissance de p dans chacun des polynômes ht(p, q). À chacune de ces valeurs possibles q, de q correspondra un système de congruences simultanées analogues à (20), et dont on aura à chercher les solutions premières à q, et communes. Il n'y a pas de solutions, ou il y en a une infinité. 2° F(t) est d'une des formes (14) ou (15). On doit supposer (n° XVI) que H(t) et les hi(t) sont de degré n, degré de F(t). Les équations de C, pour t = – donnent équations analogues aux équations (21)
alors le plus grand des degrés des polynômes H(f), hi(t), F(t), nous distinguerons deux cas 1° Y(t) = K = const. Les équations de C, où t = –, donnent On procède comme au n° XI, où k = 2, on a qu'il n'a qu'un nombre limité de valeurs possibles divisant les coefficients de la plus haute puissance de p dans chacun des polynômes ht(p, q). À chacune de ces valeurs possibles q, de q correspondra un système de congruences simultanées analogues à (20), et dont on aura à chercher les solutions premières à q, et communes. Il n'y a pas de solutions, ou il y en a une infinité. 2° F(t) est d'une des formes (14) ou (15). On doit supposer (n° XVI) que H(t) et les hi(t) sont de degré n, degré de F(t). Les équations de C, pour t = – donnent équations analogues aux équations (21) du n° XII; F(p, q) est d'une des formes (14 ter) ou (15 ter) du même numéro; on aura de même où B est un entier > 0 qui n'a qu'un nombre limité de valeurs possibles; la considération de C1k permet de trouver ces valeurs. On envisagera chacune d'elles, et les relations analogues à (22) le raisonnement se continue à peu près comme au n° XII. Le résultat annoncé au début du n° XVII se trouve ainsi entièrement établi. Remarquons, comme au n° IX, que le cas où le nombre des points entiers étant fini ou non, et le cas où F(t) = K = const. ne sont pas essentiellement distincts; on ramène l'un d'eux à l'autre par un changement linéaire de variables. De même, lorsque Observation encore, comme au n° VIII dans le cas où k = 2, que les divers cas considérés au théorème du n° XVI peuvent être effectivement réalisés. Des exemples étendus de courbes C ayant une infinité de points entiers se trouvent immédiatement pour chaque degré en prenant successivement, comme au no VIII, F(t) égal à 1, (at– b)n, (f2– af. XVIII. Les résultats des nos XVI et XVII peuvent se retrouver, avec extension, par
les relations analogues à (22) le raisonnement se continue à peu près comme au n° XII. Le résultat annoncé au début du n° XVII se trouve ainsi entièrement établi. Remarquons, comme au n° IX, que le cas où le nombre des points entiers étant fini ou non, et le cas où F(t) = K = const. ne sont pas essentiellement distincts; on ramène l'un d'eux à l'autre par un changement linéaire de variables. De même, lorsque Observation encore, comme au n° VIII dans le cas où k = 2, que les divers cas considérés au théorème du n° XVI peuvent être effectivement réalisés. Des exemples étendus de courbes C ayant une infinité de points entiers se trouvent immédiatement pour chaque degré en prenant successivement, comme au no VIII, F(t) égal à 1, (at– b)n, (f2– af. XVIII. Les résultats des nos XVI et XVII peuvent se retrouver, avec extension, par une autre voie, en généralisant directement les méthodes des nos VI à IX et l'observation 3° du n° XIII. Envisageons la courbe de l'espace x1, xk, où h1, hk, F sont des polynômes à coefficients entiers n'ayant aucun diviseur commun, sans nous poser d'autre condition, k pouvant même être égal à 1. Ajoutons que tous les polynômes considérés ci-après sont supposés avoir aussi leurs coefficients entiers. Soit n le plus grand des degrés de ces polynômes h, hk, F, et, t étant égal à – (p, q premiers entre eux, positifs ou négatifs), On désignera par A2(t) le plus grand commun diviseur algébrique de hi et F, et par n, le plus grand des degrés de ces polynômes A2(n, t). Soit si l'on suppose les xi entiers, le nombre F(p, q) divise les nombres hi(p, q), par suite les premiers membres de (34). On opérera sur les k polynômes kt comme on l'a fait sur les k + 1 polynômes hi et F. On considérera le plus grand commun diviseur de h1 et hk soit n., le plus grand des degrés des h2(n,). On aura encore des identités analogues à (33), les A2, B; étant de degré n, – 1,
à 1. Ajoutons que tous les polynômes considérés ci-après sont supposés avoir aussi leurs coefficients entiers. Soit n le plus grand des degrés de ces polynômes h, hk, F, et, t étant égal à – (p, q premiers entre eux, positifs ou négatifs), On désignera par A2(t) le plus grand commun diviseur algébrique de hi et F, et par n, le plus grand des degrés de ces polynômes A2(n, t). Soit si l'on suppose les xi entiers, le nombre F(p, q) divise les nombres hi(p, q), par suite les premiers membres de (34). On opérera sur les k polynômes kt comme on l'a fait sur les k + 1 polynômes hi et F. On considérera le plus grand commun diviseur de h1 et hk soit n., le plus grand des degrés des h2(n,). On aura encore des identités analogues à (33), les A2, B; étant de degré n, – 1, et, corrélativement, avec une signification évidente d'après ce qui précède, les égalités, analogues à (34), F(p, q) divise les premiers membres de ces équations multipliés par q3, d'après (34), c'est-à-dire On considérera de même le plus grand commun diviseur de h1 et h2l, etc. Les degrés maxima des suites c'est-à-dire n, n2, n3, ne vont pas en augmentant. Le nombre des hi est plus faible d'une unité que celui des hf1. En continuant de la sorte, on finira par n'avoir qu'une pareille quantité, savoir hi, et F(p, q) divise qlh(p,q), où hi = = hk(p, q) (nk degré de h), et où X est limité supérieurement en fonction de k et n. D'autre part, hi(t) divise algébriquement A2(t) et hk1(t), les h2(t), enfin les hi(t) et F(t); par conséquent, d'après l'hypothèse, hi(t) se réduit à une constante A, et F(p,q) divise Aq1. On arrive donc ainsi à déterminer tous les points entiers de (32) qui correspondent à une valeur rationnelle de t, et ceci par un nombre fini d'opérations, pour toute valeur de k. Dans le cas où la courbe du plan des xt, xk est indécomposable (au sens du n° II), on retrouve le théorème du n° XVI et
n, n2, n3, ne vont pas en augmentant. Le nombre des hi est plus faible d'une unité que celui des hf1. En continuant de la sorte, on finira par n'avoir qu'une pareille quantité, savoir hi, et F(p, q) divise qlh(p,q), où hi = = hk(p, q) (nk degré de h), et où X est limité supérieurement en fonction de k et n. D'autre part, hi(t) divise algébriquement A2(t) et hk1(t), les h2(t), enfin les hi(t) et F(t); par conséquent, d'après l'hypothèse, hi(t) se réduit à une constante A, et F(p,q) divise Aq1. On arrive donc ainsi à déterminer tous les points entiers de (32) qui correspondent à une valeur rationnelle de t, et ceci par un nombre fini d'opérations, pour toute valeur de k. Dans le cas où la courbe du plan des xt, xk est indécomposable (au sens du n° II), on retrouve le théorème du n° XVI et l'énoncé du début du n° XVII. XIX. Dans les applications de ce qui précède à l'Analyse indéterminée, autrement dit aux propriétés arithmétiques des courbes algébriques dont les équations ne renferment que des polynômes à coefficients entiers, la question de la recherche des points entiers, ou encore des points rationnels se posera en général sous une forme différente, comme aux n° X et XIII. On aura à trouver les points entiers ou rationnels d'une courbe algébrique gauche donnée, dans l'espace à k dimensions X1, Xk par les équations où les h( sont des polynômes à coefficients entiers. Nous allons indiquer des cas étendus où le problème peut être plus ou moins complètement résolu d'après les nos XIV à XVIII. 1° Soit la courbe G' d'équations où h., /tA2, sont des fractions rationnelles et /t, est un polynôme à coefficients entiers. Observons que la courbe (36) comprendra des points, réels et à distance finie de deux espèces. On a ht = où ç, Ç/() sont des polynômes entiers en x1, x2 premiers entre eux et à coefficients entiers; soit x1, x2 un point de la courbe C12 ou h2(x1, x2) = 0 du plan des x1, x2, si ce point annule en
posera en général sous une forme différente, comme aux n° X et XIII. On aura à trouver les points entiers ou rationnels d'une courbe algébrique gauche donnée, dans l'espace à k dimensions X1, Xk par les équations où les h( sont des polynômes à coefficients entiers. Nous allons indiquer des cas étendus où le problème peut être plus ou moins complètement résolu d'après les nos XIV à XVIII. 1° Soit la courbe G' d'équations où h., /tA2, sont des fractions rationnelles et /t, est un polynôme à coefficients entiers. Observons que la courbe (36) comprendra des points, réels et à distance finie de deux espèces. On a ht = où ç, Ç/() sont des polynômes entiers en x1, x2 premiers entre eux et à coefficients entiers; soit x1, x2 un point de la courbe C12 ou h2(x1, x2) = 0 du plan des x1, x2, si ce point annule en même temps z, et cp1, pour une valeur de i, on pourra considérer, pour cette valeur, xi+i comme indéterminé; donc, à un pareil point x1, x2 de C12 correspondent une infinité de points de C, lesquels seront les points de première espèce. On les obtiendra par un nombre fini d'opérations connues en cherchant pour chaque valeur de i les solutions communes, en nombre fini, à h1 = 0, h2=0, h3 = 0; les seuls rationnels sont ceux pour lesquels x1, x2, sont rationnels et l'on donnera des valeurs rationnelles arbitraires à ceux des xi+i()i, i) dont la valeur a été considérée comme indéterminée; on en conclura facilement ceux qui sont entiers s'il y en a, ils sont en nombre infini. Les points de deuxième espèce de (36), c'est-à-dire les points de C pour lesquels h1, h2, h3 ne s'annulent pas à la fois, de quelque manière qu'on choisisse i > 1 (h3() étant aussi 0, car nous n'envisageons que les points à distance finie), correspondent chacun à un point unique de C', et réciproquement mais à un pareil point entier de C' peut ne correspondre qu'un point rationnel de C'. On peut toujours supposer C12 irréductible, sans quoi la courbe
connues en cherchant pour chaque valeur de i les solutions communes, en nombre fini, à h1 = 0, h2=0, h3 = 0; les seuls rationnels sont ceux pour lesquels x1, x2, sont rationnels et l'on donnera des valeurs rationnelles arbitraires à ceux des xi+i()i, i) dont la valeur a été considérée comme indéterminée; on en conclura facilement ceux qui sont entiers s'il y en a, ils sont en nombre infini. Les points de deuxième espèce de (36), c'est-à-dire les points de C pour lesquels h1, h2, h3 ne s'annulent pas à la fois, de quelque manière qu'on choisisse i > 1 (h3() étant aussi 0, car nous n'envisageons que les points à distance finie), correspondent chacun à un point unique de C', et réciproquement mais à un pareil point entier de C' peut ne correspondre qu'un point rationnel de C'. On peut toujours supposer C12 irréductible, sans quoi la courbe (36) se décomposerait en deux ou plusieurs autres analogues que l'on étudierait séparément. Dans cette hypothèse, si la courbe C18 est décomposable, elle n'a qu'un nombre limité de points x1, x2 rationnels (n° IV), à chacun desquels correspondra au plus un point rationnel de deuxième espèce, ou une infinité de points rationnels de première espèce de C, parmi lesquels on trouvera les points entiers par un nombre fini d'opérations. Admettons alors dans la suite que C12 est indécomposable si l'on sait trouver ses points rationnels, on saura trouver ceux de C'. En particulier, soit C15 unicursale dans ce cas, si les points rationnels de C' sont en nombre fini, on a immédiatement tous les points rationnels de C', et aussi les points entiers de deuxième ou de première espèce; si les points rationnels de C' sont en nombre infini, x1, xk s'expriment en fonction rationnelle à coefficients entiers d'un paramètre t, lui-même fonction rationnelle à coefficients entiers de x1, x2; en mettant à part les points entiers de C' qui pourraient correspondre aux points doubles entiers de C15, et les points entiers de première espèce, que l'on sait trouver, les autres points entiers se détermineront par les méthodes des nos