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c = o coupant cette courbe en n' points en général distincts, et correspondant par suite à des valeurs de t distinctes, on a n' < n (2). Exemple (1) LUROTH, Math. Ann., t. IX, p. 16. (2) On a même n = vn, car à tout point de r correspond en général v valeurs distinctes de t. On en conclut qu'une courbe algébrique C indécomposable de degré d ne peut avoir plus de d2 points rationnels (dans un certain domaine de rationalité) sans avoir tous ses coefficients rationnels (dans le même domaine) à un facteur constant près. En effet, si C a d2 points rationnels, on peut faire passer par ces points, d'après le même raisonnement que tout à l'heure, une courbe ou une famille de courbes de degré d; il n'y a pas deux courbes de degré d, dont C, passant par ces points, puisque C est indécomposable car elles auraient plus de d? points d'intersection, sans coïncider ou avoir une branche commune; on aura donc k = 0, et l'équation de C est par suite a ses coefficients rationnels. Supposons d = n – 2, et que Crt_2 soit la plus générale passant par les points doubles de la courbe unicursale indécomposable (i). On a ce nombre est exactement n – 1, en sorte que k = 1 en effet, C,2 a, en dehors des points doubles de (i), n (n – 2) – (n – 1) (n – 1) = n – 2 points d'intersection communs avec (1); si l'on avait k<^l, on pourrait faire passer Cn_2 par n 1 points de (i) autres que les points doubles, ce qui est impossible. Mais alors, puisque k = 1, les coefficients des cp, sont des fonctions symétriques des coordonnées des points doubles, c'est-à-dire des fonctions rationnelles des coefficients de (i). Soit l'équation d'une courbe algébrique de degré n à coefficients rationnels (dans un certain domaine de rationalité) et dont on veut chercher les points rationnels, c'est-à-dire les points tels que x et y soient rationnels. On peut toujours supposer F (x, y) irréductible, c'est-à-dire que F n'est
de la courbe unicursale indécomposable (i). On a ce nombre est exactement n – 1, en sorte que k = 1 en effet, C,2 a, en dehors des points doubles de (i), n (n – 2) – (n – 1) (n – 1) = n – 2 points d'intersection communs avec (1); si l'on avait k<^l, on pourrait faire passer Cn_2 par n 1 points de (i) autres que les points doubles, ce qui est impossible. Mais alors, puisque k = 1, les coefficients des cp, sont des fonctions symétriques des coordonnées des points doubles, c'est-à-dire des fonctions rationnelles des coefficients de (i). Soit l'équation d'une courbe algébrique de degré n à coefficients rationnels (dans un certain domaine de rationalité) et dont on veut chercher les points rationnels, c'est-à-dire les points tels que x et y soient rationnels. On peut toujours supposer F (x, y) irréductible, c'est-à-dire que F n'est pas le produit de deux polynomes analogues de degré < n, coefficients rationnels, sans quoi on décomposerait F en un produit de facteurs irréductibles dont on étudierait les points rationnels. F étant irréductible, la courbe (7) peut néanmoins être décomposable, c'est-à-dire que F peut être le produit de q polynomes indécomposables, chacun de degré plus petit, et dont les coefficients ne sont pas tous rationnels (même après multiplication du polynome par un facteur constant) exemple dans le domaine des nombres naturels. Cette circonstance ne peut se présenter que quand la courbe (7) a moins de n2 points rationnels. En effet, si elle a lieu, soit Fi un des q polynomes F1, Fq, de degré n; F étant irréductible, Fi n'a pas plus de n points rationnels (III, a); F n'en a pas plus de n. En particulier, quand on veut étudier si la courbe (7) a une infinité de points rationnels, on peut toujours supposer que cette courbe est indécomposable, et, a fortiori, irréductible. V. Envisageons alors la courbe (i) ou C du n° I, qu'on admet être indécomposable et de genre 0, en supposant rationnels les coefficients, et n > 2. D'après (III, b), l'équation générale des adjoints C
indécomposables, chacun de degré plus petit, et dont les coefficients ne sont pas tous rationnels (même après multiplication du polynome par un facteur constant) exemple dans le domaine des nombres naturels. Cette circonstance ne peut se présenter que quand la courbe (7) a moins de n2 points rationnels. En effet, si elle a lieu, soit Fi un des q polynomes F1, Fq, de degré n; F étant irréductible, Fi n'a pas plus de n points rationnels (III, a); F n'en a pas plus de n. En particulier, quand on veut étudier si la courbe (7) a une infinité de points rationnels, on peut toujours supposer que cette courbe est indécomposable, et, a fortiori, irréductible. V. Envisageons alors la courbe (i) ou C du n° I, qu'on admet être indécomposable et de genre 0, en supposant rationnels les coefficients, et n > 2. D'après (III, b), l'équation générale des adjoints C de degré n – 2 de C2 est de la forme où les α sont des polynomes en x, y de degré n – 2 à coefficients rationnels, linéairement indépendants. Si la courbe C a n 3 points simples rationnels (c'est-à-dire à coordonnées rationnelles), et si nous assujettissons la courbe Cn_2 à passer par eux, les points d'intersection de C et Cn_2 autres que les pivots, c'est-à-dire que ces n 3 points simples et les points doubles sont au nombre de La courbe Cn_2 ne devra plus renfermer, d'une manière homogène et linéaire, que deux paramètres; par suite la condition que la courbe (8) passe par les n 3 points simples rationnels précités détermine n 3 des coefficients a, an_, en fonction linéaire homogène à coefficients rationnels des deux autres, et l'équation de Cn_2 devient où Ao, X2 sont des paramètres, α, β des polynomes en x, y, de degré n – 2, à coefficients rationnels. Posant les coordonnées x et y d'un point quelconque de (i) s'expriment en fonction rationnelle de t sous la forme ces équations sont du type des équations (2), mais les polynomes f, f3, qui n'ont pas de diviseur commun, ont leurs coefficients rationnels; on
Cn_2 à passer par eux, les points d'intersection de C et Cn_2 autres que les pivots, c'est-à-dire que ces n 3 points simples et les points doubles sont au nombre de La courbe Cn_2 ne devra plus renfermer, d'une manière homogène et linéaire, que deux paramètres; par suite la condition que la courbe (8) passe par les n 3 points simples rationnels précités détermine n 3 des coefficients a, an_, en fonction linéaire homogène à coefficients rationnels des deux autres, et l'équation de Cn_2 devient où Ao, X2 sont des paramètres, α, β des polynomes en x, y, de degré n – 2, à coefficients rationnels. Posant les coordonnées x et y d'un point quelconque de (i) s'expriment en fonction rationnelle de t sous la forme ces équations sont du type des équations (2), mais les polynomes f, f3, qui n'ont pas de diviseur commun, ont leurs coefficients rationnels; on va de plus vérifier que ces polynomes sont de degré n, l'un au moins étant de degré n. En effet, la droite ax + by + c = 0 coupe en général la courbe indécomposable (i) en n points distincts; les valeurs de t correspondant aux points d'intersection sont données par l'équation un des trois polynomes f, f3 au moins est donc de degré > n. Si l'un d'eux était de degré n' > n, la courbe (2 bis), qui coïncide alors avec C, se trouverait dans le second des cas examinés au n° II il y aurait, sur C une infinité continue de points x, y à chacun desquels correspondraient deux valeurs distinctes de t, contrairement à la formule (10); par suite aucun des polynomes f2, n'est de degré > n, et l'un au moins est de degré n. D'après les relations (10) et (2 bis), à tout point simple rationnel de la courbe (1) (à distance finie) correspond une valeur rationnelle de t (ou t = ± ao ), et, inversement, à toute valeur rationnelle de t autre que celles qui annulent f2(t) correspond un point rationnel de la courbe (1) (à distance finie). Par conséquent, dans le
par l'équation un des trois polynomes f, f3 au moins est donc de degré > n. Si l'un d'eux était de degré n' > n, la courbe (2 bis), qui coïncide alors avec C, se trouverait dans le second des cas examinés au n° II il y aurait, sur C une infinité continue de points x, y à chacun desquels correspondraient deux valeurs distinctes de t, contrairement à la formule (10); par suite aucun des polynomes f2, n'est de degré > n, et l'un au moins est de degré n. D'après les relations (10) et (2 bis), à tout point simple rationnel de la courbe (1) (à distance finie) correspond une valeur rationnelle de t (ou t = ± ao ), et, inversement, à toute valeur rationnelle de t autre que celles qui annulent f2(t) correspond un point rationnel de la courbe (1) (à distance finie). Par conséquent, dans le cas ici traité RÈGLE. A un nombre limité d'exceptions près dues, le cas échéant, aux points doubles, on obtient tous les points rationnels, à distance finie, de la courbe (1) en donnant à t dans les équations (2 bis) toutes les valeurs rationnelles possibles, et, éventuellement, la valeur t = ±∞. Nous avons supposé a priori que la courbe (i) avait n-3 points simples rationnels mais cette hypothèse est, comme on sait, toujours vérifiée quand n est impair (x) les formules (2 bis) s'appliquent donc toujours dans ce cas. Dès lors, la courbe C du n° V, ou bien a une infinité de points rationnels, ou bien, ce qui exige n pair, en a au plus n – 4 en dehors des points doubles. Il peut arriver que la courbe unicursale C soit donnée directement par des équations, que nous appellerons (2 ter), pour abréger, de la forme (2), avec les conditions du début du n° II, C étant supposée coupée en n points distincts par une droite convenable ax + by + c = 0, et les coefficients des fi étant rationnels à tout point simple de C correspond une valeur unique de t que les équations (2 ter)
±∞. Nous avons supposé a priori que la courbe (i) avait n-3 points simples rationnels mais cette hypothèse est, comme on sait, toujours vérifiée quand n est impair (x) les formules (2 bis) s'appliquent donc toujours dans ce cas. Dès lors, la courbe C du n° V, ou bien a une infinité de points rationnels, ou bien, ce qui exige n pair, en a au plus n – 4 en dehors des points doubles. Il peut arriver que la courbe unicursale C soit donnée directement par des équations, que nous appellerons (2 ter), pour abréger, de la forme (2), avec les conditions du début du n° II, C étant supposée coupée en n points distincts par une droite convenable ax + by + c = 0, et les coefficients des fi étant rationnels à tout point simple de C correspond une valeur unique de t que les équations (2 ter) permettent de calculer en fonction rationnelle de x et y (2). Les points rationnels de C s'obtiennent alors par la même règle que ci-dessus, où les équations (2 bis) sont remplacées par les équations (2 ter) ils sont nécessairement en nombre infini. VI. Tout étant posé comme au n° V, et le domaine de rationalité étant à l'avenir celui des nombres ordinaires ou naturels, nous allons examiner maintenant comment on pourrait trouver les points entiers de C, c'est-à-dire résoudre en nombres entiers x, y l'équation (1) de C, les formules (2 bis) ou (2 ter) étant supposées applicables (3). D'après la règle précédente, chacun des points entiers de (1) autres que les points doubles, et, éventuellement, les points t = ±∞, correspondra à une valeur rationnelle de t, t_1-, où p et q sont des nombres entiers premiers entre eux, avec q > 0. On aura, pour une pareille valeur de t, où /,(/), q est une fonction homogène et de degré n de p et q; une des fonctions /;(p, q) au moins est effectivement de degré n en p, et une aussi de degré n en q; car un des polynomes f,(t) est effectivement de degré n, et
et le domaine de rationalité étant à l'avenir celui des nombres ordinaires ou naturels, nous allons examiner maintenant comment on pourrait trouver les points entiers de C, c'est-à-dire résoudre en nombres entiers x, y l'équation (1) de C, les formules (2 bis) ou (2 ter) étant supposées applicables (3). D'après la règle précédente, chacun des points entiers de (1) autres que les points doubles, et, éventuellement, les points t = ±∞, correspondra à une valeur rationnelle de t, t_1-, où p et q sont des nombres entiers premiers entre eux, avec q > 0. On aura, pour une pareille valeur de t, où /,(/), q est une fonction homogène et de degré n de p et q; une des fonctions /;(p, q) au moins est effectivement de degré n en p, et une aussi de degré n en q; car un des polynomes f,(t) est effectivement de degré n, et un aussi a un terme indépendant de t, puisque les /,(t) n'ont pas de facteur commun. Formons les plus grands communs diviseurs algébriques H(a(f)) de f2(t), /3(t), l.(t) de f1(t), f2(t), en supposant entiers, ce qui est permis, les coefficients. Picard, Traité d'Analyse, t. II, 1893, p. 000. – Hilbert et Hunyuku, Journal für Mathematik (Crelle), loc. cit. Poincaré, Journal de Mathématiques (Jordan), loc. cit. Voir aussi plus loin, n° X. Les paramètres de (2 bis) et (2 ter) sont liés par une relation homographique. On pourra vérifier au fur et à mesure que les considérations des nos I à XI sont valables, avec des simplifications, quand le degré de C est n = 2, les formules (2 bis), (2 ter) et leurs conséquences s'appliquant si la conique correspondant à ce cas a un point rationnel. On pourra écrire, où A1(t), A2(t), B1(t), B2(t) sont des polynômes à coefficients entiers de degré ni au plus (n). Si on suppose R1(p, q) homogène en p, q et de même degré que R2(f), avec R2(0) et R3(f) sont premiers entre eux, en sorte que l'un d'eux a un terme A indépendant de t. On a, d'après (2 bis) ou (2 ter), ces
et Hunyuku, Journal für Mathematik (Crelle), loc. cit. Poincaré, Journal de Mathématiques (Jordan), loc. cit. Voir aussi plus loin, n° X. Les paramètres de (2 bis) et (2 ter) sont liés par une relation homographique. On pourra vérifier au fur et à mesure que les considérations des nos I à XI sont valables, avec des simplifications, quand le degré de C est n = 2, les formules (2 bis), (2 ter) et leurs conséquences s'appliquant si la conique correspondant à ce cas a un point rationnel. On pourra écrire, où A1(t), A2(t), B1(t), B2(t) sont des polynômes à coefficients entiers de degré ni au plus (n). Si on suppose R1(p, q) homogène en p, q et de même degré que R2(f), avec R2(0) et R3(f) sont premiers entre eux, en sorte que l'un d'eux a un terme A indépendant de t. On a, d'après (2 bis) ou (2 ter), ces valeurs de x, y sont rationnelles; pour qu'elles soient entières, il faudra et il suffira que l1(p, q) divise les f1(p, q), f2(p, q) (i = 1, 2, 3) donc aussi il faudra que f1(p, q) divise les seconds membres des équations (12) et leur pgcd. Soit alors D le pgcd des nombres R2(p, q) et R3(p, q) f1(p, q) divise D, où m1 est le plus grand des nombres m2, m3. Ceci posé, on peut déterminer deux polynômes C1(t), C2(f) à coefficients entiers et de degrés respectifs au plus égaux à d1, d2, d3 tels que 1 j (1) Les raisonnements restent identiquement les mêmes, que le degré de ces polynômes soit exactement n – 1, ou que les coefficients de t1n dans certains d'entre eux soient nuls. Les calculs se simplifient quand f1(t) est premier à un des polynômes f2(t), f3(t). A est un entier, fonction rationnelle des coefficients entiers des Ci et Ri, c'est-à-dire des coefficients des D divise par suite Agn, et f1(p, q) divise A qn, où Nous distinguerons deux cas. Premier cas a0 n'est pas nul. Le plus grand commun diviseur des nombres f1(p, q) et q divise a0, donc ao, car p est
pgcd des nombres R2(p, q) et R3(p, q) f1(p, q) divise D, où m1 est le plus grand des nombres m2, m3. Ceci posé, on peut déterminer deux polynômes C1(t), C2(f) à coefficients entiers et de degrés respectifs au plus égaux à d1, d2, d3 tels que 1 j (1) Les raisonnements restent identiquement les mêmes, que le degré de ces polynômes soit exactement n – 1, ou que les coefficients de t1n dans certains d'entre eux soient nuls. Les calculs se simplifient quand f1(t) est premier à un des polynômes f2(t), f3(t). A est un entier, fonction rationnelle des coefficients entiers des Ci et Ri, c'est-à-dire des coefficients des D divise par suite Agn, et f1(p, q) divise A qn, où Nous distinguerons deux cas. Premier cas a0 n'est pas nul. Le plus grand commun diviseur des nombres f1(p, q) et q divise a0, donc ao, car p est premier à q; soit a0 ce diviseur, q = aoq1, a0 = aon. q1 et q2 sont premiers entre eux; on a 0 = ao et ce nombre divise – – =Agn a; l' par suite A agn f1(p,q) divise a0 et A agn, où m3 = n – 3. Finalement, p, q est une solution en entiers d'une équation indéterminée où B divise Ao2, c'est-à-dire est limité supérieurement en fonction de n et des coefficients des Les nombres B et les équations (13) sont en nombre fini pour la courbe C; en particulier, celle-ci ne pourra avoir une infinité de points entiers que si l'une au moins de ces équations (13) a une infinité de solutions en entiers c'est là un résultat essentiel. Deuxième cas a0 est nul. f2(t) ou f3(t) est effectivement de degré n; soit par exemple e0 = 0. On a q divise (p, q), par suite f2 (p, q), b0p et b0; q n'a qu'un nombre limité de valeurs possibles et (p, q) divise A qn et A bn p, q est encore solution en entiers d'une équation indéterminée de la forme (13), où B = B'q divise A bn les équations sont en nombre
Finalement, p, q est une solution en entiers d'une équation indéterminée où B divise Ao2, c'est-à-dire est limité supérieurement en fonction de n et des coefficients des Les nombres B et les équations (13) sont en nombre fini pour la courbe C; en particulier, celle-ci ne pourra avoir une infinité de points entiers que si l'une au moins de ces équations (13) a une infinité de solutions en entiers c'est là un résultat essentiel. Deuxième cas a0 est nul. f2(t) ou f3(t) est effectivement de degré n; soit par exemple e0 = 0. On a q divise (p, q), par suite f2 (p, q), b0p et b0; q n'a qu'un nombre limité de valeurs possibles et (p, q) divise A qn et A bn p, q est encore solution en entiers d'une équation indéterminée de la forme (13), où B = B'q divise A bn les équations sont en nombre limité; mais ici, pour chacune d'elles, q n'a qu'un nombre limité de valeurs possibles, et il en est de même de p lorsque a1, an, ne sont pas tous nuls, c'est-à-dire quand n1 > 0, n2 étant le degré de (t). On voit en particulier que, lorsque 0 < n1 < n2, c'est-à-dire quand les points t = ±1 sont à l'infini et que n2 > 0, la courbe C n'a qu'un nombre fini de points entiers. Remarque. En posant on peut encore distinguer les deux cas où an=0 et où an=0. Si an=0, p n'a qu'un nombre limité de valeurs, car il divise bn et cn. Dès lors, quand a0 = an=0, c'est-à-dire quand f1(t) est de degré n et contient t en facteur, on peut trouver simplement, même sans intervention de l'équation f1(p, q) =±B, des limites supérieures de |p| et q la détermination des points entiers se fait rapidement. Nous distinguerons maintenant trois cas. Premier cas n1 = 0. f1(t) se réduit à une constante; dans ce cas il peut arriver que C ait une infinité de points entiers (voir plus loin nos VIII et XI). Deuxième cas n1 étant > 0, f1(t) est irréductible. L'équation (13)
< n2, c'est-à-dire quand les points t = ±1 sont à l'infini et que n2 > 0, la courbe C n'a qu'un nombre fini de points entiers. Remarque. En posant on peut encore distinguer les deux cas où an=0 et où an=0. Si an=0, p n'a qu'un nombre limité de valeurs, car il divise bn et cn. Dès lors, quand a0 = an=0, c'est-à-dire quand f1(t) est de degré n et contient t en facteur, on peut trouver simplement, même sans intervention de l'équation f1(p, q) =±B, des limites supérieures de |p| et q la détermination des points entiers se fait rapidement. Nous distinguerons maintenant trois cas. Premier cas n1 = 0. f1(t) se réduit à une constante; dans ce cas il peut arriver que C ait une infinité de points entiers (voir plus loin nos VIII et XI). Deuxième cas n1 étant > 0, f1(t) est irréductible. L'équation (13) n'a, pour chaque valeur de B, qu'un nombre fini de solutions acceptables en entiers, soit pour n1 < n d'après ce qui précède, soit pour n2 = n3=1, comme on le voit de suite, si les racines de f1(t) sont imaginaires, ou d'après un théorème connu, si l'une d'elles est réelle et n1 = n32. Troisième cas n1 étant > 0, (t) est réductible. – f1(x, y) est un produit de facteurs irréductibles, distincts ou non, à coefficients entiers, chacune des équations (13) peut être remplacée par un nombre limité de systèmes où Bp, Bq sont des entiers positifs assujettis à la seule condition que leur produit soit égal à B. Nous allons voir qu'en général le nombre des solutions acceptables p, q en nombres entiers des équations (13 bis) est fini. En effet, on sait que, si \(n, < n\), les équations (13) et (13 bis) n'ont qu'un nombre limité de solutions acceptables en entiers. Quand \(n, = n\), il en sera de même, d'après le théorème précité (Thue), sauf peut-être si \(g_1, g_2\) sont de degrés 1 ou 2 encore dans ce cas ne peut-il y avoir une infinité de points entiers sur \(C\) que si \(g_1, g_2\)
réelle et n1 = n32. Troisième cas n1 étant > 0, (t) est réductible. – f1(x, y) est un produit de facteurs irréductibles, distincts ou non, à coefficients entiers, chacune des équations (13) peut être remplacée par un nombre limité de systèmes où Bp, Bq sont des entiers positifs assujettis à la seule condition que leur produit soit égal à B. Nous allons voir qu'en général le nombre des solutions acceptables p, q en nombres entiers des équations (13 bis) est fini. En effet, on sait que, si \(n, < n\), les équations (13) et (13 bis) n'ont qu'un nombre limité de solutions acceptables en entiers. Quand \(n, = n\), il en sera de même, d'après le théorème précité (Thue), sauf peut-être si \(g_1, g_2\) sont de degrés 1 ou 2 encore dans ce cas ne peut-il y avoir une infinité de points entiers sur \(C\) que si \(g_1, g_2\) coïncident à un facteur rationnel près, comme on va le montrer. Soit en effet si ces deux droites ont une infinité de points entiers communs, elles coïncident, et De même, si \(g_1 = M_1 x + N_2 xy + P_3 y^2\), où \(N^2 - 4 M P\) n'est pas carré parfait, puisque \(g_1\) est irréductible, et si \(g_2\) est de même forme, \(g_1\) et \(g_2\) ne diffèrent que par un facteur constant rationnel quand les deux coniques \(g_1 = \pm B_1\), \(g_2 = \pm B_2\) ont une infinité de points entiers communs. Enfin il ne peut arriver que l'un des facteurs \(g_1\) soit du premier degré, et un autre \(g_2\) du deuxième et irréductible, car la droite \(g_1 = \pm B_1\) ferait partie de la conique \(g_2 = \pm B_2\), et \(g_2\) ne serait pas irréductible. En particulier, on voit que, lorsque \(C\) a une infinité de points entiers, \((x, y)\) est ou bien une constante, ou bien, à un facteur entier constant près, une puissance \(n^{ème}\) d'un polynôme du premier degré à coefficients entiers, On peut le vérifier de façon à réduire l'usage du théorème de Thue. Supposons que deux des polynômes \(g_1, g_2\), par exemple \(g_1, g_2\) soient