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de Poincaré montre que le Jacobien critique est beaucoup plus allongé qu'il ne le supposait, et que les points fondamentaux ne sont pas disposés de la même façon. Néanmoins l'allure générale de la section n'est pas trop inexacte, et en tout cas ce schéma se rapproche beaucoup plus de la réalité que celui de la surface d'ordre 3. CHAPITRE IV. LA SURFACE DE POINCARÉ D'ORDRE 5, M. Liapounov n'a appliqué sa méthode générale de calcul des éléments du Jacobien critique qu'aux deux cas n = 3 et n = 4. Nous allons dans ce chapitre calculer les éléments du Jacobien critique correspondant à la surface de Poincaré d'ordre 5. Ainsi que nous l'avons dit ailleurs, nous emploierons, pour la première partie du calcul (celle qui est relative à la première équation de Poincaré), le procédé de M. Liapounov, sans modification. Nous allons donc commencer par exposer brièvement cette méthode, dans ses parties essentielles. Le deuxième stade du calcul, relatif à la deuxième équation de Poincaré, sera traité avec les nouvelles formules que nous avons établies au Chapitre 1 de ce travail. Tout ce qui va suivre sera donc écrit avec les notations de M. Liapounov. La première équation de Poincaré. On calculera donc, p étant donné, les ae et b, jusqu'à un certain rang, puis on en déduira c et les li; on formera ensuite l'équation dont il s'agit de trouver la racine. Comme f(X) est une fonction croissante de X, si x0 est un nombre arbitraire inférieur à 1, la racine sera toujours comprise entre x0 et 1. On pourra ainsi resserrer les limites de la racine cherchée autant qu'on le voudra. Ce procédé simple donne de très bons résultats. Une fois connu, on en déduira q et A – Le problème sera entièrement résolu, et il n'y aura plus qu'à passer au calcul de la seconde équation. Conduite générale du calcul. Ceci posé, examinons la marche du calcul avec son application au cas qui nous occupe. Comme nous l'avons dit au Chapitre I, nous commençons par chercher une solution approximative, devant nous servir de point de départ pour
On calculera donc, p étant donné, les ae et b, jusqu'à un certain rang, puis on en déduira c et les li; on formera ensuite l'équation dont il s'agit de trouver la racine. Comme f(X) est une fonction croissante de X, si x0 est un nombre arbitraire inférieur à 1, la racine sera toujours comprise entre x0 et 1. On pourra ainsi resserrer les limites de la racine cherchée autant qu'on le voudra. Ce procédé simple donne de très bons résultats. Une fois connu, on en déduira q et A – Le problème sera entièrement résolu, et il n'y aura plus qu'à passer au calcul de la seconde équation. Conduite générale du calcul. Ceci posé, examinons la marche du calcul avec son application au cas qui nous occupe. Comme nous l'avons dit au Chapitre I, nous commençons par chercher une solution approximative, devant nous servir de point de départ pour les calculs de précision. Nous avons donc recours aux fonctions de Legendre. Pour n = 5, le polynôme de Legendre est Une fois ce calcul fait, on partira d'une nouvelle valeur de p convenablement choisie, de façon à trouver deux limites, aussi voisines que possible, entre lesquelles se trouve la valeur exacte. Indiquons à présent les résultats que cette méthode nous a donnés. Le calcul approché nous a montré que p devait être voisin de 0,02899. Nous avons été conduit ensuite à essayer la valeur 0,02900. Nous avons trouvé alors, pour p = 0,02900 ao= 0,47816; bo = 0,44709; Équations et forme de la surface. Nous passerons alors à nos notations ordinaires, par les formules que nous avons indiquées dans l'Introduction, et nous aurons En remarquant que p ne doit pas différer beaucoup de 0,02899, valeur obtenue par interpolation, nous adopterons pour les axes du Jacobien critique les valeurs A = 1.8016; qui peuvent être considérées comme exactes à une unité près de l'ordre du dernier chiffre écrit. Nous en déduisons Pour achever de déterminer la surface, calculons les coordonnées des points fondamentaux de ses sections par les deux plans de symétrie, comme nous l'avons fait pour la surface d'ordre
valeur exacte. Indiquons à présent les résultats que cette méthode nous a donnés. Le calcul approché nous a montré que p devait être voisin de 0,02899. Nous avons été conduit ensuite à essayer la valeur 0,02900. Nous avons trouvé alors, pour p = 0,02900 ao= 0,47816; bo = 0,44709; Équations et forme de la surface. Nous passerons alors à nos notations ordinaires, par les formules que nous avons indiquées dans l'Introduction, et nous aurons En remarquant que p ne doit pas différer beaucoup de 0,02899, valeur obtenue par interpolation, nous adopterons pour les axes du Jacobien critique les valeurs A = 1.8016; qui peuvent être considérées comme exactes à une unité près de l'ordre du dernier chiffre écrit. Nous en déduisons Pour achever de déterminer la surface, calculons les coordonnées des points fondamentaux de ses sections par les deux plans de symétrie, comme nous l'avons fait pour la surface d'ordre 4. Nous trouvons Section par le plan des xz. – Premier point fondamental Deuxième point fondamental Section par le plan des yz. – Premier point fondamental Deuxième point fondamental Il faut y ajouter, outre les symétriques de chacun de ces points par rapport aux axes du Jacobien, les sommets du petit axe de l'ellipse principale. L'intersection de la surface avec le Jacobien critique se compose en effet de la petite ellipse principale, z = 0, et des quatre lignes de courbure définies par v = ± y/ô1, La section par le plan des yz est donc fort peu différente de la section par le plan des zx, ce qui n'est pas étonnant, puisque, à mesure que n grandit, on obtient des surfaces qui se rapprochent de plus en plus de la forme de révolution. Ces sections sont représentées (fig. 6), avec la même échelle que pour les surfaces d'ordres 3 et 4. On voit que le Jacobien critique est très allongé; et il semble probable qu'il y ait des inflexions, même pour de très petites valeurs de E. Signalons les propriétés géométriques suivantes, extensions de celles que nous avons données pour la surface de Poincaré d'ordre 3 1° En deux
petit axe de l'ellipse principale. L'intersection de la surface avec le Jacobien critique se compose en effet de la petite ellipse principale, z = 0, et des quatre lignes de courbure définies par v = ± y/ô1, La section par le plan des yz est donc fort peu différente de la section par le plan des zx, ce qui n'est pas étonnant, puisque, à mesure que n grandit, on obtient des surfaces qui se rapprochent de plus en plus de la forme de révolution. Ces sections sont représentées (fig. 6), avec la même échelle que pour les surfaces d'ordres 3 et 4. On voit que le Jacobien critique est très allongé; et il semble probable qu'il y ait des inflexions, même pour de très petites valeurs de E. Signalons les propriétés géométriques suivantes, extensions de celles que nous avons données pour la surface de Poincaré d'ordre 3 1° En deux points fondamentaux symétriques par rapport au petit axe de l'ellipse, les tangentes à la section font entre elles, quel que soit e, un angle constant, égal à l'angle des tangentes à l'ellipse en ces points. Ce résultat s'étend d'ailleurs à toute surface de Poincaré d'ordre impair; 2° La construction, donnée pour n = 3, du centre de courbure en un sommet, subsiste sans modification pour le cas n = 5, et d'ailleurs pour n impair quelconque. CHAPITRE V. LES SURFACES DE POINCARÉ D'ORDRE 6. Afin de voir de quelle façon s'appliquent nos formules lorsque n est pair, nous allons examiner le cas n = 6 et chercher à calculer les éléments du Jacobien critique. Nous nous contenterons d'ailleurs d'une précision beaucoup moindre que dans le cas précédent. Comme au Chapitre IV, nous emploierons les notations de M. Liapounov. La première partie du calcul, c'est-à-dire la détermination des quantités q et A, ne présente rien de nouveau elle se fait en effet exactement de la même manière, que n soit pair ou impair. Passons à la deuxième partie, le calcul de J. Il faut commencer par former les polynomes E et B. Posons E(p) = (p + 1)(p + 2)(p +
pour n = 3, du centre de courbure en un sommet, subsiste sans modification pour le cas n = 5, et d'ailleurs pour n impair quelconque. CHAPITRE V. LES SURFACES DE POINCARÉ D'ORDRE 6. Afin de voir de quelle façon s'appliquent nos formules lorsque n est pair, nous allons examiner le cas n = 6 et chercher à calculer les éléments du Jacobien critique. Nous nous contenterons d'ailleurs d'une précision beaucoup moindre que dans le cas précédent. Comme au Chapitre IV, nous emploierons les notations de M. Liapounov. La première partie du calcul, c'est-à-dire la détermination des quantités q et A, ne présente rien de nouveau elle se fait en effet exactement de la même manière, que n soit pair ou impair. Passons à la deuxième partie, le calcul de J. Il faut commencer par former les polynomes E et B. Posons E(p) = (p + 1)(p + 2)(p + 3) = p^3 + sp^2 + hp + r. Cherchons à en exprimer les coefficients. Les équations de condition, déduites de l'équation de Lamé, s'écriront Revenant aux équations(I), et multipliant la première par h, (h, k)(k, - g), les deux autres par les quantités analogues et ajoutant, nous obtenons (2) 18bt = 16s2 + id(q - 1)s + gq. Enfin, multipliant la première des équations par h, – g, la deuxième par h2 – q, la troisième par h3 – g et ajoutant, nous arrivons à l'équation (3) 2hirsch – 2ghrs – 2o rrs – 18h– zqrsr – q m s + w2 q + r o q + 2 qsr – 3gr = 0. En éliminant r et gr entre ces trois dernières équations, on obtiendrait une équation du sixième degré à laquelle doit satisfaire s; mais ce calcul serait très complexe. Nous procéderons de la façon suivante, cherchons à développer s, xâs et r suivant les puissances croissantes de q. Comme q est certainement très petit, nous négligerons les termes en ya, et nous écrirons S = s1 + s2q, tn = TS1 T32 q, r= r1 + r2q. Remarquons alors que, si l'on fait q = 0,
18bt = 16s2 + id(q - 1)s + gq. Enfin, multipliant la première des équations par h, – g, la deuxième par h2 – q, la troisième par h3 – g et ajoutant, nous arrivons à l'équation (3) 2hirsch – 2ghrs – 2o rrs – 18h– zqrsr – q m s + w2 q + r o q + 2 qsr – 3gr = 0. En éliminant r et gr entre ces trois dernières équations, on obtiendrait une équation du sixième degré à laquelle doit satisfaire s; mais ce calcul serait très complexe. Nous procéderons de la façon suivante, cherchons à développer s, xâs et r suivant les puissances croissantes de q. Comme q est certainement très petit, nous négligerons les termes en ya, et nous écrirons S = s1 + s2q, tn = TS1 T32 q, r= r1 + r2q. Remarquons alors que, si l'on fait q = 0, le polynôme de Lamé E se confond avec le polynôme de Legendre d'ordre 6. Avec les notations ordinaires, ce polynôme s'écrit Cette formule donne le moyen de calculer s connaissant q. On en déduira ensuite o par l'équation (2), où l'on continuera à négliger q2; puis on aura r par (1), qui s'écrira plus simplement 2t3 21 · Une fois le polynôme E formé, il ne reste plus qu'à former B. On y arrivera soit par les opérations du plus grand commun diviseur entre E et E', soit en écrivant l'identité fondamentale sous la forme (3p + a2) (p3 + b3 + r) + (pop2 + ?i ? + ?2~) (3p2 + 2sb Hcj) = i et égalant les coefficients des mêmes puissances de p dans les deux membres. En éliminant les a, on obtiendra les équations Forme des surfaces d'ordre 6. Nous avons effectué le calcul ci-dessus; sans entrer dans les détails de l'opération, indiquons seulement les conclusions que nous en avons tirées p, certainement compris entre 0,01g et 0,0201) est extrêmement voisin de 0,020. C'est cette valeur que nous adopterons. Nous donnons, dessinées à la même échelle que dans les Chapitres précédents, les sections par le plan des
(1), qui s'écrira plus simplement 2t3 21 · Une fois le polynôme E formé, il ne reste plus qu'à former B. On y arrivera soit par les opérations du plus grand commun diviseur entre E et E', soit en écrivant l'identité fondamentale sous la forme (3p + a2) (p3 + b3 + r) + (pop2 + ?i ? + ?2~) (3p2 + 2sb Hcj) = i et égalant les coefficients des mêmes puissances de p dans les deux membres. En éliminant les a, on obtiendra les équations Forme des surfaces d'ordre 6. Nous avons effectué le calcul ci-dessus; sans entrer dans les détails de l'opération, indiquons seulement les conclusions que nous en avons tirées p, certainement compris entre 0,01g et 0,0201) est extrêmement voisin de 0,020. C'est cette valeur que nous adopterons. Nous donnons, dessinées à la même échelle que dans les Chapitres précédents, les sections par le plan des xz des deux surfaces de Poincaré d'ordre 6, positive et négative. CHAPITRE VI. LES SURFACES DE POINCARÉ AU POINT DE VUE GÉOMÉTRIQUE. Une théorie complète des surfaces de Poincaré considérées au point de vue géométrique serait très ardue, en raison de la complication des équations de ces surfaces. Comme nous l'avons vu, en effet, les coordonnées de la surface d'ordre 3, qui est la plus simple, ont, écrites en fonction des coordonnées elliptiques sur l'ellipsoïde, la forme suivante Il ne faut pas oublier que, dans ces formules, a, b et C ne sont pas arbitraires; ces trois quantités sont liées par les équations de Poincaré. Quant à a, il ne dépend que de a et b c'est la plus petite racine de l'équation 5a2– 4a(a2+62)+3a262 = 0. E est une constante arbitraire; nous pouvons, en nous affranchissant un peu du strict point de vue mécanique, supposer qu'elle est quelconque et non plus seulement petite; nous définirons ainsi une infinité de piroïdes formant une famille. Ombilics des surfaces de Poincaré. La représentation de la figure piriforme au moyen des fonctions de Weierstrass est celle qui permet le mieux de rechercher les propriétés géométriques générales de cette surface. Malheureusement, même sous cette
l'avons vu, en effet, les coordonnées de la surface d'ordre 3, qui est la plus simple, ont, écrites en fonction des coordonnées elliptiques sur l'ellipsoïde, la forme suivante Il ne faut pas oublier que, dans ces formules, a, b et C ne sont pas arbitraires; ces trois quantités sont liées par les équations de Poincaré. Quant à a, il ne dépend que de a et b c'est la plus petite racine de l'équation 5a2– 4a(a2+62)+3a262 = 0. E est une constante arbitraire; nous pouvons, en nous affranchissant un peu du strict point de vue mécanique, supposer qu'elle est quelconque et non plus seulement petite; nous définirons ainsi une infinité de piroïdes formant une famille. Ombilics des surfaces de Poincaré. La représentation de la figure piriforme au moyen des fonctions de Weierstrass est celle qui permet le mieux de rechercher les propriétés géométriques générales de cette surface. Malheureusement, même sous cette forme, l'expression des coordonnées est encore bien peu simple; et il ne faut pas espérer obtenir beaucoup de résultats intéressants. Les fonctions les plus élémentaires des coordonnées, par exemple les coefficients du plan tangent au point u, v, sont d'une grande complication. On peut néanmoins les former aisément pour les points où C = 0, c'est-à-dire le long des lignes d'intersection avec l'ellipsoïde, ce qui introduit une grande simplification dans les calculs. On constate alors que, ni le long de la petite ellipse principale, ni le long de la ligne v = ± y/a, le piroïde et l'ellipsoïde ne se coupent sous un angle constant. Ces lignes, qui sont des lignes de courbure pour l'ellipsoïde, n'en sont donc pas pour le piroïde. L'examen de l'expression des coordonnées nous conduit néanmoins à un résultat intéressant. Si nous formons les dérivées partielles, par rapport à u et v, de X, Y et Z, en nous souvenant que nous constaterons que chacune de ces six dérivées partielles contient en facteur soit a,0 u, soit a1^ v. Elles s'annulent donc toutes ensemble pour rf^a = tf2(lv = 0, et les points ainsi définis sont dès lors des ombilics pour la surface piriforme. Or ces
points où C = 0, c'est-à-dire le long des lignes d'intersection avec l'ellipsoïde, ce qui introduit une grande simplification dans les calculs. On constate alors que, ni le long de la petite ellipse principale, ni le long de la ligne v = ± y/a, le piroïde et l'ellipsoïde ne se coupent sous un angle constant. Ces lignes, qui sont des lignes de courbure pour l'ellipsoïde, n'en sont donc pas pour le piroïde. L'examen de l'expression des coordonnées nous conduit néanmoins à un résultat intéressant. Si nous formons les dérivées partielles, par rapport à u et v, de X, Y et Z, en nous souvenant que nous constaterons que chacune de ces six dérivées partielles contient en facteur soit a,0 u, soit a1^ v. Elles s'annulent donc toutes ensemble pour rf^a = tf2(lv = 0, et les points ainsi définis sont dès lors des ombilics pour la surface piriforme. Or ces points, qui sont définis également, sur l'ellipsoïde, par f/.2 = v2 – b2, sont les ombilics de l'ellipsoïde. D'où le théorème Les points correspondant aux ombilics de l'ellipsoïde sont des ombilics pour le piroïde. Nous ferons remarquer que ce théorème est vrai pour toute surface de Poincaré, quel que soit son ordre. Une surface de Poincaré quelconque est en effet représentée au moyen des fonctions a1 par les formules Les six dérivées partielles contiennent encore en facteur soit c* u, soit -jî0 v, et les points correspondant aux ombilics de l'ellipsoïde sont donc encore des ombilics pour toutes ces surfaces. Si donc l'on considère la famille de piroïdes obtenue en donnant à E des valeurs quelconques, le lieu des ombilics de ces surfaces se compose des normales au Jacobien critique en ses ombilics. Ces droites ne sont pas normales à tous les piroïdes, ce qui prouve (en vertu d'un théorème de Maurice Levy) que ces surfaces ne font pas partie d'un système triple orthogonal. MÉMOIRES SUR LES ÉLÉMENTS ET LES NOTIONS GÉOMÉTRIQUES, PAR M. Henri MALET. La Géométrie, ou Science de l'espace, applique ses raisonnements à des objets appelés figures que l'esprit humain construit par abstraction en empruntant aux corps
son ordre. Une surface de Poincaré quelconque est en effet représentée au moyen des fonctions a1 par les formules Les six dérivées partielles contiennent encore en facteur soit c* u, soit -jî0 v, et les points correspondant aux ombilics de l'ellipsoïde sont donc encore des ombilics pour toutes ces surfaces. Si donc l'on considère la famille de piroïdes obtenue en donnant à E des valeurs quelconques, le lieu des ombilics de ces surfaces se compose des normales au Jacobien critique en ses ombilics. Ces droites ne sont pas normales à tous les piroïdes, ce qui prouve (en vertu d'un théorème de Maurice Levy) que ces surfaces ne font pas partie d'un système triple orthogonal. MÉMOIRES SUR LES ÉLÉMENTS ET LES NOTIONS GÉOMÉTRIQUES, PAR M. Henri MALET. La Géométrie, ou Science de l'espace, applique ses raisonnements à des objets appelés figures que l'esprit humain construit par abstraction en empruntant aux corps matériels certaines propriétés (qui ressortissent à la notion d' « étendue ». Pour les soumettre à leur étude, les géomètres considèrent les figures comme constituées par la juxtaposition ou la succession d'éléments se ramenant à un petit nombre de types abstraits fondamentaux. Elles reçoivent alors une définition qui exprime certaines relations entre leurs éléments constituants. La Géométrie en fait connaître de nouvelles, ainsi que les rapports de figures différentes entre elles. En sens inverse, une relation étant démontrée entre des éléments ou des figures définies, le géomètre en poursuit la réalisation pratique par l'emploi d'instruments qui matérialisent les éléments fondamentaux. Cette réalisation ou construction se présente comme le but dernier de toute spéculation géométrique. Nous allons, dans ce qui va suivre, étudier la genèse des notions fondamentales de la Géométrie; nous prions le lecteur, pour éviter toute confusion, de vouloir bien oublier un moment tout son bagage analytique et de n'établir provisoirement à nos raisonnements aucune connexion avec les notions habituelles de longueur et de mesure. Éléments fondamentaux. – Le premier des êtres abstraits ou éléments fondamentaux de la Géométrie est le point abstraction d'un objet lumineux éloigné, de l'impression produite sur un objet matériel quelconque par une pointe (d'où
relations entre leurs éléments constituants. La Géométrie en fait connaître de nouvelles, ainsi que les rapports de figures différentes entre elles. En sens inverse, une relation étant démontrée entre des éléments ou des figures définies, le géomètre en poursuit la réalisation pratique par l'emploi d'instruments qui matérialisent les éléments fondamentaux. Cette réalisation ou construction se présente comme le but dernier de toute spéculation géométrique. Nous allons, dans ce qui va suivre, étudier la genèse des notions fondamentales de la Géométrie; nous prions le lecteur, pour éviter toute confusion, de vouloir bien oublier un moment tout son bagage analytique et de n'établir provisoirement à nos raisonnements aucune connexion avec les notions habituelles de longueur et de mesure. Éléments fondamentaux. – Le premier des êtres abstraits ou éléments fondamentaux de la Géométrie est le point abstraction d'un objet lumineux éloigné, de l'impression produite sur un objet matériel quelconque par une pointe (d'où son nom), de la notion de carrefour, etc. Le point n'a "pas d'étendue, Euclide dit qu'il est « ce qui n'a pas de parties ». Un autre élément est la droite abstraction d'un fil tendu, d'un rayon lumineux isolé, etc. Une droite, et plus généralement une ligne (abstraction d'un fil ou trait de forme quelconque, de la séparation de deux plages différemment colorées) possède une étendue avec une seule dimension elle est « une longueur sans largeur ». Enfin, un autre élément est le plan abstraction de la surface d'un lac, etc. Le plan et plus généralement toute surface a « longueur et largeur sans épaisseur » (1). Le plan se matérialise de mille manières. L'étude des figures qui y sont contenues constitue la Géométrie plane. Dans le plan, un point se construit directement avec un style, une droite avec une règle et un outil à tracer. Ensembles. – Ceci posé, toute figure géométrique sera constituée par des points, droites et plans, ceux-ci pouvant être, soit en quantité « numérable » ou, comme l'on dit, « finie », soit en quantité supérieure à tout nombre donné à l'avance constituant des ensembles continus. Nous laisserons de côté toutes les questions relatives