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à l'École nationale des arts et métiers; C. POUGNAULT, à l'archienay; L. CARMILLE, Professeur au C. de Grenoble.—M. J. LÉONARD, Élève à l'École nationale professionnelle de Vierzon. — Mme M. DVMIEN, Institutrice à Verdun. CLASSE DE TROISIÈME, E. MODERNE 550. — SOLUTION du Problème de Géométrie proposé au Concours d'admission à l'École normale supérieure de l'Enseignement secondaire des Jeunes Filles, à Sèvres, en 1891. (Voir l'énoncé, n° 1, 20 janvier 1892, page 113.) Menons le rayon CA, et la droite PC (fig. 714) coupant la circonférence D en K et en K. On peut avoir deux circonférences remplissant les conditions de l'énoncé : l'une tangente en K et l'autre en F au cercle C. Soit A' le point où le cercle D, qui est tangent en E au cercle C, est tangent à la droite PA. On a Donc l'égalité (1) devient successivement En appelant x le rayon du cercle Dt, qui est tangent en F au cercle C, on trouverait, par un calcul analogue au précédent, E. EYBOULET, Élève de Troisième (E. moderne) au Lycée de Tulle Construction de x. Voici plusieurs constructions de x; on trouvera facilement les constructions analogues (héraldique) 1° — On écrit. L. ADDÉ, Élève de Troisième (E. moderne) au Lycée Charlemagne, 2° — Comme L. SEMET, Élève au Pensionnat des Frères, à Marcillac. 3° — On mène à PC, par le point P', la perpendiculaire IL, qui coupe PA et PB en I et Hj puis, on mène la bissectrice HK de l'angle PIL, jusqu'à sa rencontre en H avec PC; on détermine ainsi DE = x. F. GRATRAUD, Élève de Troisième (K. moderne) au Lycée d'Angoulême, 4° — Menant le diamètre AAt et les droites EAt, EA', on forme les deux triangles EOAt et EOA', qui sont semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels. Donc les angles OEAj et DEA' sont égaux, et les droites EA, et EA' sont en prolongement l'une de l'autre. Par suite, les points E et A' étant connus, la droite A'IE détermine PA' = x. L. TARDIF, Élève de Première (E. moderne) à l'Institution Livet,
de Troisième (E. moderne) au Lycée Charlemagne, 2° — Comme L. SEMET, Élève au Pensionnat des Frères, à Marcillac. 3° — On mène à PC, par le point P', la perpendiculaire IL, qui coupe PA et PB en I et Hj puis, on mène la bissectrice HK de l'angle PIL, jusqu'à sa rencontre en H avec PC; on détermine ainsi DE = x. F. GRATRAUD, Élève de Troisième (K. moderne) au Lycée d'Angoulême, 4° — Menant le diamètre AAt et les droites EAt, EA', on forme les deux triangles EOAt et EOA', qui sont semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels. Donc les angles OEAj et DEA' sont égaux, et les droites EA, et EA' sont en prolongement l'une de l'autre. Par suite, les points E et A' étant connus, la droite A'IE détermine PA' = x. L. TARDIF, Élève de Première (E. moderne) à l'Institution Livet, à Nantes. La valeur de x peut s'écrire immédiatement ; en effet, remarquant que, dans le second cas, la figure n'est autre que la précédente dans laquelle le cercle D remplace le cercle donné G et le cercle C devient le cercle cherché L, dans la formule qui donne x, il suffît de remplacer x par R et R par x, et de tirer la valeur de x ; et on obtient après avoir multiplié les deux termes de la première valeur de x par 3+2v^2. — 191 — 5° — La droite PC coupe la circonférence G en E et en F. Les deux triangles ACF et A'DE sont semblables comme ayant un angle égal l'ompris entre côtés proportionnels. Donc les angles CFA et DEA' sont égaux et les droites FA et EA' sont parallèles. Par suite, les points E et A étant connus, la parallèle EA' à FA détermine PA' = a On a aussi la construction précédente lorsque l'on prend H pour unité, et que l'on construit x comme quatrième proportionnelle aux trois nombres 1, 2, et 3, représentés par CA, PE, PF. P. FLOURY, Maître répétiteur au Collège de Sébastopol. Ont résolu la question 550 :
il suffît de remplacer x par R et R par x, et de tirer la valeur de x ; et on obtient après avoir multiplié les deux termes de la première valeur de x par 3+2v^2. — 191 — 5° — La droite PC coupe la circonférence G en E et en F. Les deux triangles ACF et A'DE sont semblables comme ayant un angle égal l'ompris entre côtés proportionnels. Donc les angles CFA et DEA' sont égaux et les droites FA et EA' sont parallèles. Par suite, les points E et A étant connus, la parallèle EA' à FA détermine PA' = a On a aussi la construction précédente lorsque l'on prend H pour unité, et que l'on construit x comme quatrième proportionnelle aux trois nombres 1, 2, et 3, représentés par CA, PE, PF. P. FLOURY, Maître répétiteur au Collège de Sébastopol. Ont résolu la question 550 : MM. A. BESSON (3e), C. de Riom : G. COUTURIER (3e); A. BRACHET, École Vaucanson, à Grenoble; ULLAULT (3e) et ROBINE (3e), L. Charlemagne; K. BOURDET, C. de Fiers; A. ROMAIN (3e), L. Charlemagne; J.-B. GUÉGO, Pensionnat Sainte-Marie, à Chagny; L. TISSIER (3e), L. Charlemagne; C. MERCIER, École primaire supérieure de Mézières; J. CHARBONNIER et J.-B. PERRICAUDET, Pensionnat Sainte-Marie, à Chagny; M. PELLETIER (3e), L. Charlemagne; D. BARBEAU (3e), C. de Beaufort-en-Vallée; L. CHANLIAU, E. BILLARD et P. POTIER, Pensionnat des Frères, à Chagny. — Seconde: MM. G. GARCIN, L. de Montpellier; MOUZIN, L. d'Alger; L. BRISSET; E. GALIBERT, L. de Montpellier; E. BERNARD et L. AUBRIOT, L. de Chaumont; H. FLOCHE; THÉVENIN, C. de Pont-de-Vaux. — Première: MM. G. FUSILLIER, L. de Saint-Omer; P. YANCKLE; J. BOUYSSE; G. CHEVALIER, Pensionnat des Frères, à Reims; FANET et C. POTTIER, C. de Melun; J. FROIS; G. NICOLAS, C. de Morlaix; A. MADELMONT; BARRÈRE; COURRIADES; J. LAMON, L. de Tarbes; A. CAZAMIAN; F. BENQUET, L. de Rayonné; G. BUFFARD. — Math. élém. : MM. 0. BONGARD; C. PAQUETTE, Instituteurs. — MM. A. ALIPHAT, École primaire supérieure de Saint-Just-en-Luxembourg; C. CREMIER; J.-L. PRÉTOT; J. PEINDARIES, à Alger; FERRAND, à Cognac; A. FARUEL, à
de Mézières; J. CHARBONNIER et J.-B. PERRICAUDET, Pensionnat Sainte-Marie, à Chagny; M. PELLETIER (3e), L. Charlemagne; D. BARBEAU (3e), C. de Beaufort-en-Vallée; L. CHANLIAU, E. BILLARD et P. POTIER, Pensionnat des Frères, à Chagny. — Seconde: MM. G. GARCIN, L. de Montpellier; MOUZIN, L. d'Alger; L. BRISSET; E. GALIBERT, L. de Montpellier; E. BERNARD et L. AUBRIOT, L. de Chaumont; H. FLOCHE; THÉVENIN, C. de Pont-de-Vaux. — Première: MM. G. FUSILLIER, L. de Saint-Omer; P. YANCKLE; J. BOUYSSE; G. CHEVALIER, Pensionnat des Frères, à Reims; FANET et C. POTTIER, C. de Melun; J. FROIS; G. NICOLAS, C. de Morlaix; A. MADELMONT; BARRÈRE; COURRIADES; J. LAMON, L. de Tarbes; A. CAZAMIAN; F. BENQUET, L. de Rayonné; G. BUFFARD. — Math. élém. : MM. 0. BONGARD; C. PAQUETTE, Instituteurs. — MM. A. ALIPHAT, École primaire supérieure de Saint-Just-en-Luxembourg; C. CREMIER; J.-L. PRÉTOT; J. PEINDARIES, à Alger; FERRAND, à Cognac; A. FARUEL, à Plérin: E. DUSSAUX; H. BAURY, à Montpellier; J. ARMANET; J. LETELLIER, École primaire supérieure de Montivilliers; VILLEFAILLOT, aux Lilas; LEVESQUE; FONDER, à Longwy-Bas; A. ANXIONNAZ; C. GALLOIS, à Bar-le-Duc; DEGUDE, à Bellac; Z. RUSSIER; A. ANFREY; H. EMPAIN; YUILLERMOZ; A. LEKIEFFRE, à Bachy; VENET, à Vaux-sous-Laon; R. FIGAROL, à Prades. — MM. E. JODART, K. LEGRAND et C. PETITHORY, Élèves maîtres (1er.) à l'École normale primaire de Beauvais; V. RAPATEL; V. JOUSSERAND. MM. DUCAMP, Soldat au 81e de Ligne, à Avesnes; L. LE BAGOUSSE, Professeur à l'École d'agriculture du Grand-Réto; G. HODIN, à Reims; J. BOBAY; L. CAMILLER; A. RÉGNIER, à Beauvais; E. CHENUT; L. HUIN; GUÉRIN, Cannonnier au 5e d'Artillerie à Saint-Mihiel; C. POUGNAULT; H. BROTELANDE; C. BERGMAN; E. N'EST, à Saubisc. — MM. J. LENA, L. DELAMARE, Élève en Pharmacie, à Caen. — Mmes M. DAMIEN; BONAIN, Professeurs aux Cours secondaires, à Morlaix. 581. — Un aréomètre dont la tige est divisée en parties d'égal volumeaffleure à la division 0 dans l'eau pure, et à la division 50 dans un liquide de densité 0,8. — On demande la densité du liquide dans lequel l'aréomètre affleure à la division 20. (Première question du concours d'admission à l'Institut agronomique, en
— MM. E. JODART, K. LEGRAND et C. PETITHORY, Élèves maîtres (1er.) à l'École normale primaire de Beauvais; V. RAPATEL; V. JOUSSERAND. MM. DUCAMP, Soldat au 81e de Ligne, à Avesnes; L. LE BAGOUSSE, Professeur à l'École d'agriculture du Grand-Réto; G. HODIN, à Reims; J. BOBAY; L. CAMILLER; A. RÉGNIER, à Beauvais; E. CHENUT; L. HUIN; GUÉRIN, Cannonnier au 5e d'Artillerie à Saint-Mihiel; C. POUGNAULT; H. BROTELANDE; C. BERGMAN; E. N'EST, à Saubisc. — MM. J. LENA, L. DELAMARE, Élève en Pharmacie, à Caen. — Mmes M. DAMIEN; BONAIN, Professeurs aux Cours secondaires, à Morlaix. 581. — Un aréomètre dont la tige est divisée en parties d'égal volumeaffleure à la division 0 dans l'eau pure, et à la division 50 dans un liquide de densité 0,8. — On demande la densité du liquide dans lequel l'aréomètre affleure à la division 20. (Première question du concours d'admission à l'Institut agronomique, en 1890.) Prenons pour unité le volume d'une division de la tige, et désignons par N le volume de l'appareil jusqu'à la division 0. Écrivons que, dans chacun des affleurements, le poids du liquide déplacé est égal au poids de l'appareil. On a ainsi les deux équations d'où l'on tire L. CHANLIAU, Élève au Pensionnat des Frères, à Chagny. Ont résolu la question 551 : MM. D. BARBEAU (3e); E. FRANC (3e); A. BESSON (3e); J.-B. PERRICAUDET; L. GELLY(3e); J. CHARBONNIER; E. BILLARD; G. COUTURIER (3e); P. POTIER; A. PÉRÉ; F. GRATRAUD (3e); A. BRACHET; H. TROLLÉ, L. d'Oran; L. ADDE (3e); ROBINE (3e); P. SEIET; M. GALLAND OR FÉHET, École supérieure de Crèvecoeur-le-grand. Crèvecoeur-le-grand : MM. THÉVENIN; L. BAISSET; H. FLOCHE; MOUZIN; G. GARCIN. — Première: MM. L. THONIN, Pensionnat des Frères, à Reims; G. CHEVALIER; A. CAZAMIAN; J. BOUYSSOU; A. MADELMONT; P. YANELLE; G. FUSILLIER; COURRIADES; FANET; 0. POTTIER; H. TORCHET; J. LAMON; J. FROIS; F. BENQUET; BARRÈRE; G. BUFFARD; G. NICOLAS; L. TARDIF. — Math. élém. : MM. 0. BONGARD; C. PAQUETTE. Instituteurs. — C. GALLOIS; R. FIGAROL; A. ANXIONNAZ; A. ALIPHAT; VENET; J. PEINDARIES; C. CREMIER; H. EMPAIN; VUILLERMOZ; MARCESCHE; J. ARMANET; VILLEFAILLOT; A. FARUEL; Z. RUSSIER;
CHANLIAU, Élève au Pensionnat des Frères, à Chagny. Ont résolu la question 551 : MM. D. BARBEAU (3e); E. FRANC (3e); A. BESSON (3e); J.-B. PERRICAUDET; L. GELLY(3e); J. CHARBONNIER; E. BILLARD; G. COUTURIER (3e); P. POTIER; A. PÉRÉ; F. GRATRAUD (3e); A. BRACHET; H. TROLLÉ, L. d'Oran; L. ADDE (3e); ROBINE (3e); P. SEIET; M. GALLAND OR FÉHET, École supérieure de Crèvecoeur-le-grand. Crèvecoeur-le-grand : MM. THÉVENIN; L. BAISSET; H. FLOCHE; MOUZIN; G. GARCIN. — Première: MM. L. THONIN, Pensionnat des Frères, à Reims; G. CHEVALIER; A. CAZAMIAN; J. BOUYSSOU; A. MADELMONT; P. YANELLE; G. FUSILLIER; COURRIADES; FANET; 0. POTTIER; H. TORCHET; J. LAMON; J. FROIS; F. BENQUET; BARRÈRE; G. BUFFARD; G. NICOLAS; L. TARDIF. — Math. élém. : MM. 0. BONGARD; C. PAQUETTE. Instituteurs. — C. GALLOIS; R. FIGAROL; A. ANXIONNAZ; A. ALIPHAT; VENET; J. PEINDARIES; C. CREMIER; H. EMPAIN; VUILLERMOZ; MARCESCHE; J. ARMANET; VILLEFAILLOT; A. FARUEL; Z. RUSSIER; LEVESQUE; FERRAND; E. DUSSAUX; H. BAURY. — MM. E. JODART; Y. RAPATEL; V. JOUSSERAND; E. LEGRAND; C. PETITHORY. MM. L. HUIN; DUCAMP; A. RÉGNIER; L. LE BAGOUSSE; J. BOBAY; GUÉRIN; L. CAMILLER; P. FLOURY; E. CHENU; C. POUGNAULT; E. NEST. — Mme L. DELAMARE. — Mmes M. DAMIEN; BONAIN. CLASSE DE SECONDE, E. MODERNE 552 — SOLUTION de la question de Géométrie (3°) proposée à l'Examen du Certificat d'aptitude au Professorat des Écoles normales primaires, en 1891. (Voir l'énoncé, n° I, octobre 1891, page 28.) D'après l'énoncé, on doit avoir (fig. 71b) — 193 — Pour qu'une racine de l'équation du second degré en x soit acceptable, il faut qu'elle soit réelle et positive. La condition de réalité des racines de cette équation est ou, comme a et h sont positifs, I. — Supposons que l'on ait k2 = 2 ah. L'équation (2) donne x2 = a2 + h2 ; par suite, il faut alors que a > h. De plus, le triangle AMB est alors rectangle en M, car le produit des côtés MA et MB est égal au produit de AB par la hauteur relative à AB. Alors, on obtient pour x deux valeurs égales et de signes
DE SECONDE, E. MODERNE 552 — SOLUTION de la question de Géométrie (3°) proposée à l'Examen du Certificat d'aptitude au Professorat des Écoles normales primaires, en 1891. (Voir l'énoncé, n° I, octobre 1891, page 28.) D'après l'énoncé, on doit avoir (fig. 71b) — 193 — Pour qu'une racine de l'équation du second degré en x soit acceptable, il faut qu'elle soit réelle et positive. La condition de réalité des racines de cette équation est ou, comme a et h sont positifs, I. — Supposons que l'on ait k2 = 2 ah. L'équation (2) donne x2 = a2 + h2 ; par suite, il faut alors que a > h. De plus, le triangle AMB est alors rectangle en M, car le produit des côtés MA et MB est égal au produit de AB par la hauteur relative à AB. Alors, on obtient pour x deux valeurs égales et de signes contraires, et le problème admet pour solutions deux triangles rectangles symétriques par rapport à la perpendiculaire OY en 0 à AB. II. — Supposons que l'on ait k2 > 2 ah. 1° Si l'on a en outre le produit des racines de l'équation du second degré en x est négatif ; cette équation n'admet qu'une racine positive, quel que soit le signe de a2 + h2. Alors, on obtient pour x seulement deux valeurs réelles égales et de signes contraires, et le problème admet pour solutions deux triangles symétriques par rapport à OY. 2° Si l'on a en outre le produit des racines de l'équation du second degré en x est positif ; pour que x1 soit réelle et positive, il faut de plus que l'on ait Alors, on obtient pour x quatre valeurs réelles deux à deux égales et de signes contraires, et le problème admet pour solutions quatre triangles symétriques par rapport à OY. Si k2 = a2 + h2, deux racines x sont nulles, et le problème admet d'abord pour solution double un triangle isocèle ; si a > h, il admet en outre pour solutions deux autres triangles symétriques par rapport à OY. L'angle M du
; cette équation n'admet qu'une racine positive, quel que soit le signe de a2 + h2. Alors, on obtient pour x seulement deux valeurs réelles égales et de signes contraires, et le problème admet pour solutions deux triangles symétriques par rapport à OY. 2° Si l'on a en outre le produit des racines de l'équation du second degré en x est positif ; pour que x1 soit réelle et positive, il faut de plus que l'on ait Alors, on obtient pour x quatre valeurs réelles deux à deux égales et de signes contraires, et le problème admet pour solutions quatre triangles symétriques par rapport à OY. Si k2 = a2 + h2, deux racines x sont nulles, et le problème admet d'abord pour solution double un triangle isocèle ; si a > h, il admet en outre pour solutions deux autres triangles symétriques par rapport à OY. L'angle M du triangle AMB est droit, aigu ou obtus, selon que l'on a D'après la relation de la condition (3), le signe de (a2 - h2) est nul ou négatif. Lorsqu'il est nul, l'angle M est droit. Considérons le cas où il est négatif. Si l'équation du second degré en x admet deux racines positives, la quantité a3 - (h2) est comprise entre ces deux racines ; donc, à la plus grande, correspondent deux angles aigus égaux M, et à la plus petite, deux angles obtus égaux M. Si l'équation du second degré en x n'admet qu'une racine positive, la quantité a2 - (h2) est inférieure à cette racine ; on obtient alors toujours deux angles aigus égaux M. Z. Ilussier, Instituteur au Puy. Remarque. — Si l'on désigne par H le rayon du cercle circonscrit au triangle AMB, ou a Lorsque l'on aura construit R, il sera facile de construire le triangle considéré. Ce dernier problème a été résolu dans le Bulletin scientifique. (Voir l'année, 1889-90, pages 109 et 181.) J. Aitmanet, Instituteur-adjoint à Lyon. Ont résolu la question 552 : MM. C. Mercier, École primaire supérieure de Mézières; J. Charbonnier; D. Barbeau (3e); P. Semet, Pensionnat des Frères Maristes, à
deux racines positives, la quantité a3 - (h2) est comprise entre ces deux racines ; donc, à la plus grande, correspondent deux angles aigus égaux M, et à la plus petite, deux angles obtus égaux M. Si l'équation du second degré en x n'admet qu'une racine positive, la quantité a2 - (h2) est inférieure à cette racine ; on obtient alors toujours deux angles aigus égaux M. Z. Ilussier, Instituteur au Puy. Remarque. — Si l'on désigne par H le rayon du cercle circonscrit au triangle AMB, ou a Lorsque l'on aura construit R, il sera facile de construire le triangle considéré. Ce dernier problème a été résolu dans le Bulletin scientifique. (Voir l'année, 1889-90, pages 109 et 181.) J. Aitmanet, Instituteur-adjoint à Lyon. Ont résolu la question 552 : MM. C. Mercier, École primaire supérieure de Mézières; J. Charbonnier; D. Barbeau (3e); P. Semet, Pensionnat des Frères Maristes, à Marcigny; E. Billard; L. Ghanniau. — Seconde : MM. G. Maillet, L. de Laou; L. Aubriot; G. Garcin; Mouzin; Thévenin; E. Bernard; L. Brisset; H. Filoché. — Première: MM. Yanelle; A. Hardy, n. de Soissons; A. Maurelmont; Courriades; G. Fusillier; G. Nicolas; A. Cazamian; J. Bouvssou; L. Barrère; L. Tardif; J. Frois. — Math. élém. : MM. G. Ritz, c. de Soissons; O. Bongard. Instituteurs. — MM. J.-L. Prétot; A. Faruel; C. Crenier; H. Empain; Levêque; J. Armant; E. Dussaux; Léger; H. Baury; J. Prindaries; Fonder; Vuillermoz; A. Quelet, Ûclém.; A. Aliphant; C. Gallois; Degude; Feruand; J. Letellier; A. Anxionnaz; Villafallo. — MM. E. Jodart; V. Jousserand. MM. Ducamp; P. Floury, C. de Suzanne; H. Thiriot; E. Chenu; J. Bobay; L. Huin; G. Bergman; L. Le Bagousse; Gérin; C. Pougnault. — M. L. Delamarck. Delamarck, Mlle Bonain. 553. — Sur le circuit d'une pile se trouve un voltamètre à sulfate de cuivre. La force électromotrice de la pile est de 30 volts, la résistance totale est de 120 ohms. On demande le poids de cuivre déposé par minute dans le voltamètre, quand on fait passer le courant, sachant que le courant d'un ampère dépose 0,067 d'argent par minute. — Équivalents
J. Frois. — Math. élém. : MM. G. Ritz, c. de Soissons; O. Bongard. Instituteurs. — MM. J.-L. Prétot; A. Faruel; C. Crenier; H. Empain; Levêque; J. Armant; E. Dussaux; Léger; H. Baury; J. Prindaries; Fonder; Vuillermoz; A. Quelet, Ûclém.; A. Aliphant; C. Gallois; Degude; Feruand; J. Letellier; A. Anxionnaz; Villafallo. — MM. E. Jodart; V. Jousserand. MM. Ducamp; P. Floury, C. de Suzanne; H. Thiriot; E. Chenu; J. Bobay; L. Huin; G. Bergman; L. Le Bagousse; Gérin; C. Pougnault. — M. L. Delamarck. Delamarck, Mlle Bonain. 553. — Sur le circuit d'une pile se trouve un voltamètre à sulfate de cuivre. La force électromotrice de la pile est de 30 volts, la résistance totale est de 120 ohms. On demande le poids de cuivre déposé par minute dans le voltamètre, quand on fait passer le courant, sachant que le courant d'un ampère dépose 0,067 d'argent par minute. — Équivalents : cuivre, 31 ; argent, 108. (Baccalauréat de l'Enseignement spécial, Clermont, 1891.) L'intensité du courant est donnée, en ampères, par la formule dans laquelle K représente la force électromotrice de la pile, en volts, et R la résistance totale du circuit, en ohms. Cette formule donne ici 5 ampères. Les quantités de métaux déposées étant, d'après la loi de Faraday, proportionnelles à leurs équivalents chimiques, et proportionnelles à l'intensité du courant, on aura un poids de cuivre égal à Mouzin, Élève de Seconde (E. moderne) au Lycée d'Alger. Ont résolu la question 553 : MM. J. Charbonnier; E. Billard; L. Ghanniau; H. Filoché(2e); A. Bessonn Bessonn L. Desmante (3e), L. Janson-de-Sailly; M. Pelletier (3e); D. Barbeau (3e); Monine (3e); L. Adde (3e). — Première: G. Nicolas; H. Torchet; G. Chevalier; Courriades; F. Bréquet; J. Frois; J. Bouvssou; G. Fusillier; A. Maurelmont; P. Yanelle; Barrère; G. Buffard; J. Lamon; A. Cazamian; L. Thonin. Instituteurs. — MM. Fonder; C. Gallois; J. Armant; E. Dussaux; J. Prindaries; A. Aliphant; A. Anxionnaz; Russier; Marcesche; H. Baury; Levêque; C. Crenier; Venet; Ferrand; Vuillermoz. — MM. V. Jousserand; V. Hapateux; E. Legrand; E. Jodart. MM. J. Bobay; L. Le Bagousse; C. Pougnault; E. Xest; P. Floury;
quantités de métaux déposées étant, d'après la loi de Faraday, proportionnelles à leurs équivalents chimiques, et proportionnelles à l'intensité du courant, on aura un poids de cuivre égal à Mouzin, Élève de Seconde (E. moderne) au Lycée d'Alger. Ont résolu la question 553 : MM. J. Charbonnier; E. Billard; L. Ghanniau; H. Filoché(2e); A. Bessonn Bessonn L. Desmante (3e), L. Janson-de-Sailly; M. Pelletier (3e); D. Barbeau (3e); Monine (3e); L. Adde (3e). — Première: G. Nicolas; H. Torchet; G. Chevalier; Courriades; F. Bréquet; J. Frois; J. Bouvssou; G. Fusillier; A. Maurelmont; P. Yanelle; Barrère; G. Buffard; J. Lamon; A. Cazamian; L. Thonin. Instituteurs. — MM. Fonder; C. Gallois; J. Armant; E. Dussaux; J. Prindaries; A. Aliphant; A. Anxionnaz; Russier; Marcesche; H. Baury; Levêque; C. Crenier; Venet; Ferrand; Vuillermoz. — MM. V. Jousserand; V. Hapateux; E. Legrand; E. Jodart. MM. J. Bobay; L. Le Bagousse; C. Pougnault; E. Xest; P. Floury; L. Huin; Ducamp; Thiriot, à l'École de l'Agry, J. Chenu; G. Hodin. — Mlle M. Damien; Bonain. — Mlle E. Cordeiro da Silva (5e A.), F. Faore, H. Boudey (5e A.), M. Dlda (5e A.), Élèves de l'École Olivier au Collège des Jeunes Filles d'Agen. CLASSE DE PREMIÈRE, E. MODERNE 554. — On donne un cercle O (Çi. 716) et une tangente XY en un point A de ce cercle. On mène une corde CD parallèle à XY et l'on construit le triangle ACD, puis le triangle A'C'D' symétrique du premier par rapport au diamètre MN parallèle à la tangente. On demande à quelle distance x de XY doit être menée la corde CI) pour que, dans la révolution autour de XY, les deux triangles ACD et A'C'D' engendrent deux volumes qui soient entre eux dans un rapport donné k. — Limite entre lesquelles peut varier k. — Cas où ce rapport est égal à 1. (Baccalauréat de l'Enseignement spécial, question obligatoire, Paris, 19 octobre 1891.) Désignant par r le rayon du cercle donné, par G et G' les centres de gravité des triangles ACD et A'C'D', et, appliquant un théorème de — 196 — Fuldin (ou simplement un problème
554. — On donne un cercle O (Çi. 716) et une tangente XY en un point A de ce cercle. On mène une corde CD parallèle à XY et l'on construit le triangle ACD, puis le triangle A'C'D' symétrique du premier par rapport au diamètre MN parallèle à la tangente. On demande à quelle distance x de XY doit être menée la corde CI) pour que, dans la révolution autour de XY, les deux triangles ACD et A'C'D' engendrent deux volumes qui soient entre eux dans un rapport donné k. — Limite entre lesquelles peut varier k. — Cas où ce rapport est égal à 1. (Baccalauréat de l'Enseignement spécial, question obligatoire, Paris, 19 octobre 1891.) Désignant par r le rayon du cercle donné, par G et G' les centres de gravité des triangles ACD et A'C'D', et, appliquant un théorème de — 196 — Fuldin (ou simplement un problème que l'on résout dans tous les Cours), on a Comme aire ACD = aire A'C'D', ou obtient, après réductions En supposant que k est positif, ce devant être positive et inférieure à 2r, on doit avoir Lorsque k = 1, on a x = -^-; le triangle ACD est équilatéral. Lorsque k = 2, on a x = 2r; le triangle ACD se réduit à la droite AA P. YANELLE, Élève de Première (Ancienne série) au Lycée de Nancy, Ont résolu la question 554 : MM. MOUZIN (2e); THÉVENIN (2e); L. AUBRIOT (2e); J. CHARBONNIER; L. CHANLIAU; J. FOUIS; L. BRISSET (2e); G. HODIN, à Reims; E. GALIBERT. — Première: MM. G. CHEVALIER; G. FUSILLIER; CAZAMIA; R. NICOLAS; A. HARDY; A. MADELMONT; COURRIADES; A. CUSMIN; J. BOUYSSOU; L. BARRÈRE; F. BENQUET; G. BUFFARD; C. POTTIER; L. TARDIF; P. SEMET; H. TORCHET, Pensionnat des Frères, à Reims; J. LAMON. — Math. élêm. : M. G. RIEUS. Instituteurs. — MM. FONDER; A. FARUEL; J. PEINDARIES; J. LETELLIER; YKNET; E. DUSSAUX; A. ALIPHAT; C. CRENIER; J.-L. PRÉTOT; A. ANXIONNAZ; DEGUDE; LEVESQUE; FERRAND; Z. RUSSIER; YUILLERMOZ; H. EMPAIN; H. BAURY. — M. V. JOUSSERAND. MM. C. BERGMAN; A. RÉGNIER; P. FLOURY; J. BOBAY; C.