jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
d'abord ces congruences avant les deux dernières congruences (22), en vue de réduire le nombre des opérations mais ce sont là des détails d'application, sur lesquels je n'insiste pas. En résumé, nous venons d'indiquer 1° Dans le n° X, une méthode, déjà connue dans sa marche générale, pour déterminer les solutions rationnelles d'une équation indéterminée (i) à coefficients entiers, indécomposable et de genre 0; on en conclut, corrélativement, les solutions en entiers, quand les solutions rationnelles sont en nombre fini. 2° Dans les n°s XI et XII, une méthode pour déterminer les solutions en entiers x, y d'un système indécomposable (2 bis) ou (2 ter) à coefficients rationnels, autrement dit les points entiers d'une courbe unicursale (2 bis) ou (2 ter) indécomposable et à coefficients rationnels. Ces méthodes, qui fournissent complètement la solution correspondante au bout d'un nombre fini d'opérations, donnent ainsi la solution complète en nombres entiers des équations indéterminées indécomposables de genre 0 à coefficients entiers. XIII. Observations. – 1° Nous avons donné incidemment les éléments pour résoudre la question suivante: trouver les points entiers du conoïde x = f(y, z), où f(y, z) sont des polynomes homogènes en x, y de même degré effectif n et premiers entre eux. En effet, on remarque que toute solution x, y, z est de la forme A kx, y, z, où A, p, q, z sont des entiers, et q, p, z une solution telle que p, q sont premiers entre eux. On a donc à chercher les valeurs des entiers p, q premiers entre eux qui rendent entier les deux polynomes Il est clair que f(y, z) sont premiers entre eux, et l'un d'eux est de degré n. Dans les formules (n) et (12), R2(0, Ra(p, q, ?) sont des constantes, 7/i2 = 2n – 1; prenant R2(p, q) = D, f(p, q) divise q2'1'1 D et f2(p, q). Le raisonnement se continue comme aux premiers et deuxième cas du n° VI, A q" étant remplacé par Dc2""1. Les méthodes des nos VII à XII (n° X exclu), simplifiées le cas échéant (/:i n'intervenant pas ici), s'appliquent ensuite, même
entre eux. En effet, on remarque que toute solution x, y, z est de la forme A kx, y, z, où A, p, q, z sont des entiers, et q, p, z une solution telle que p, q sont premiers entre eux. On a donc à chercher les valeurs des entiers p, q premiers entre eux qui rendent entier les deux polynomes Il est clair que f(y, z) sont premiers entre eux, et l'un d'eux est de degré n. Dans les formules (n) et (12), R2(0, Ra(p, q, ?) sont des constantes, 7/i2 = 2n – 1; prenant R2(p, q) = D, f(p, q) divise q2'1'1 D et f2(p, q). Le raisonnement se continue comme aux premiers et deuxième cas du n° VI, A q" étant remplacé par Dc2""1. Les méthodes des nos VII à XII (n° X exclu), simplifiées le cas échéant (/:i n'intervenant pas ici), s'appliquent ensuite, même si n= 1, pour obtenir la solution par un nombre fini d'opérations. Le nombre des solutions p, q (p, q premiers entre eux) est en général fini, c'est-à-dire que les points entiers de z = f(x, y) se trouvent sur un nombre fini de droites du conoïde. Il n'en peut être autrement que si f(y) a une des formes particulières indiquées au n° VII [/, = const., ou (14), ou (11)]; car si f(y) est de degré 0 et < n, f2(z) est de degré n, et le nombre des solutions est alors limité (n° VI, deuxième cas). Rien n'empêche d'appliquer la même méthode aux conoïdes x = f(y, z), où f(z) est un polynome entier en z à coefficients entiers. On cherche d'abord en coordonnées x, y, Z, les points entiers de Z = f(x, y); s'ils sont sur un nombre fini de droites (cas général), la solution s'achève après un nombre limité d'opérations, en cherchant les entiers z satisfaisant à une équation Z = f(z), où Z n'a qu'un nombre fini de valeurs. Il ne peut y avoir de points entiers sur un nombre infini de droites du conoïde que pour les formes très particulières de (y) déjà
être autrement que si f(y) a une des formes particulières indiquées au n° VII [/, = const., ou (14), ou (11)]; car si f(y) est de degré 0 et < n, f2(z) est de degré n, et le nombre des solutions est alors limité (n° VI, deuxième cas). Rien n'empêche d'appliquer la même méthode aux conoïdes x = f(y, z), où f(z) est un polynome entier en z à coefficients entiers. On cherche d'abord en coordonnées x, y, Z, les points entiers de Z = f(x, y); s'ils sont sur un nombre fini de droites (cas général), la solution s'achève après un nombre limité d'opérations, en cherchant les entiers z satisfaisant à une équation Z = f(z), où Z n'a qu'un nombre fini de valeurs. Il ne peut y avoir de points entiers sur un nombre infini de droites du conoïde que pour les formes très particulières de (y) déjà mentionnées. Voici encore une application à des courbes planes de genre 0. Soit une courbe algébrique x = f(y), où f(y) est un polynome irréductible à coefficients entiers, et t = y(x, y), où t est une fonction rationnelle de x et y à coefficients entiers; à tout point rationnel x, y de (1), correspond une valeur rationnelle t = – à un nombre limité d'exceptions près, en supposant que ni le numérateur ni le dénominateur de cp ne sont divisibles par f(x, y) et que f(x, y) ne se réduit pas à une constante pour les points de (1). Envisageons alors les points entiers de (1), et supposons que l'on puisse trouver un polynome V(x, y) à coefficients entiers, non divisible par et tel que ( ) Dès lors, les points de (1) qui correspondent à une valeur rationnelle donnée de t sont en nombre fini. où sont des polynomes en t, premiers entre eux et à coefficients entiers. À un nombre limité d'exceptions près, que l'on sait déterminer par un nombre fini d'opérations, tout point entier de (1) donne, pour une valeur rationnelle de t, une valeur entière de F. Les valeurs de t qui correspondent à un
x, y de (1), correspond une valeur rationnelle t = – à un nombre limité d'exceptions près, en supposant que ni le numérateur ni le dénominateur de cp ne sont divisibles par f(x, y) et que f(x, y) ne se réduit pas à une constante pour les points de (1). Envisageons alors les points entiers de (1), et supposons que l'on puisse trouver un polynome V(x, y) à coefficients entiers, non divisible par et tel que ( ) Dès lors, les points de (1) qui correspondent à une valeur rationnelle donnée de t sont en nombre fini. où sont des polynomes en t, premiers entre eux et à coefficients entiers. À un nombre limité d'exceptions près, que l'on sait déterminer par un nombre fini d'opérations, tout point entier de (1) donne, pour une valeur rationnelle de t, une valeur entière de F. Les valeurs de t qui correspondent à un point entier de (1) sont donc comprises parmi les valeurs rationnelles de t qui rendent entier (à quelques exceptions près). Soit n le plus grand des degrés des polynomes f. On est conduit à chercher les systèmes de valeurs des entiers p, q, premiers entre eux et tels que soit entier. D'après ce qu'on a dit tout à l'heure [équation (24)], ces systèmes se déterminent par un nombre fini d'opérations. La courbe (1) ne pourra avoir une infinité de points entiers que si (y) a des formes particulières connues. Ce procédé réussira notamment quand i = 1, l'équation x de la courbe étant de la forme 1 La même méthode s'applique à la recherche des points x, y de (1), tel que Y soit entier et on a en effet où A est un entier et F, un polynome en x, y à coefficients entiers. Nous allons, à titre d'exemple, utiliser ces remarques pour la courbe z=k, z= sont des polynômes homogènes de degrés k et n respectivement, sans diviseur commun. Posant y = tx, on a, pour les valeurs de x différentes de 0, les polynômes pA(i, t), on(i, t) étant premiers entre eux. En posant, on peut utiliser
entier. D'après ce qu'on a dit tout à l'heure [équation (24)], ces systèmes se déterminent par un nombre fini d'opérations. La courbe (1) ne pourra avoir une infinité de points entiers que si (y) a des formes particulières connues. Ce procédé réussira notamment quand i = 1, l'équation x de la courbe étant de la forme 1 La même méthode s'applique à la recherche des points x, y de (1), tel que Y soit entier et on a en effet où A est un entier et F, un polynome en x, y à coefficients entiers. Nous allons, à titre d'exemple, utiliser ces remarques pour la courbe z=k, z= sont des polynômes homogènes de degrés k et n respectivement, sans diviseur commun. Posant y = tx, on a, pour les valeurs de x différentes de 0, les polynômes pA(i, t), on(i, t) étant premiers entre eux. En posant, on peut utiliser la méthode indiquée ci-dessus (XIII, 1° et 2°) pour l'équation (i,) à la recherche des points entiers x, y. Soit v le plus grand des degrés de et f.2, qui sont premiers entre eux si v < n, Il est de degré n; si v est > n et est le degré de /v, <zn(x,y) a x en facteur, /2 est de degré k^v<n. Les valeurs de t sont en général en nombre fini, par suite aussi celles de x et de y; il n'en peut être autrement que si cp(k t) a une des formes particulières qui résultent du n° VII = const., ou = a (Mf + N)1, ou, v étant pair, on verra même plus loin (4°) que, dans ces deux derniers cas, il faut = n. Une fois trouvées les valeurs rationnelles de t qui rendent x-k entier, il y aura à déterminer parmi elles celles qui donnent pour x et y des entiers. Lorsque k = n – 1, on retrouve des courbes unicursales dont on sait obtenir les points entiers (nos VI à XII). Nous allons étudier en détail, à titre d'exemple, le cas où n = 3, k = 1. Alors f., étant
le degré de /v, <zn(x,y) a x en facteur, /2 est de degré k^v<n. Les valeurs de t sont en général en nombre fini, par suite aussi celles de x et de y; il n'en peut être autrement que si cp(k t) a une des formes particulières qui résultent du n° VII = const., ou = a (Mf + N)1, ou, v étant pair, on verra même plus loin (4°) que, dans ces deux derniers cas, il faut = n. Une fois trouvées les valeurs rationnelles de t qui rendent x-k entier, il y aura à déterminer parmi elles celles qui donnent pour x et y des entiers. Lorsque k = n – 1, on retrouve des courbes unicursales dont on sait obtenir les points entiers (nos VI à XII). Nous allons étudier en détail, à titre d'exemple, le cas où n = 3, k = 1. Alors f., étant du premier degré, et du troisième au plus si les points entiers sont en nombre infini, Il est d'une des formes connues Dans les deux premiers cas, on trouve facilement des exemples où il y a une infinité de points entiers (sauf quand i = 1 ou 2). a. = 1. La courbe a pour équation z3 + ay + bx = 0; elle est unicursale; il peut y avoir (n° VIII et XI) une infinité de points entiers. b. Soit z = a (Mf + N)1, t = –, où p, q sont premiers entre eux; on aura q (comme au n° VII), M, N étant premiers entre eux, où (3 est un entier positif ou négatif qui n'a qu'un nombre limité de valeurs possibles. Alors cette égalité n'est possible que pour un nombre limité de valeurs de q. et par suite de | X car elle fournit de suite une limite supérieure de q, supposé positif, par suite de | X | x et y n'ont qu'un nombre fini de valeurs. Enfin, quand i = 2, égalité de la forme a est 0, puisque la courbe étudiée est du troisième degré q divise a et est limité ainsi
1. La courbe a pour équation z3 + ay + bx = 0; elle est unicursale; il peut y avoir (n° VIII et XI) une infinité de points entiers. b. Soit z = a (Mf + N)1, t = –, où p, q sont premiers entre eux; on aura q (comme au n° VII), M, N étant premiers entre eux, où (3 est un entier positif ou négatif qui n'a qu'un nombre limité de valeurs possibles. Alors cette égalité n'est possible que pour un nombre limité de valeurs de q. et par suite de | X car elle fournit de suite une limite supérieure de q, supposé positif, par suite de | X | x et y n'ont qu'un nombre fini de valeurs. Enfin, quand i = 2, égalité de la forme a est 0, puisque la courbe étudiée est du troisième degré q divise a et est limité ainsi que |X|, par suite p = x = q, y = Xp n'ont qu'un nombre fini de valeurs, et il n'y a qu'un nombre limité de points entiers. c. Soit M, N étant des entiers, dont l'un peut être nul. Dans ces cas, on peut trouver des exemples où il y a une infinité de points entiers. Les points entiers de cette courbe peuvent toujours s'obtenir par un nombre fini d'opérations. Exemple soit où A, A2, B, B2 sont entiers, avec A et A2 ≠ 0; cette courbe n'a qu'un nombre fini de points entiers. 3° On peut se proposer de chercher les points entiers de la courbe correspondant à des valeurs rationnelles de t (/ /2, étant des polynômes entiers en t à coefficients entiers sans diviseur commun, dont n est le plus grand des degrés). On est conduit aux mêmes calculs et aux mêmes conclusions que dans les nos VI à IX et XI à XII, sans qu'on ait à se préoccuper si la courbe (26) est ou non décomposable au sens du n° Il. C'est là une remarque très importante. Mais on voit de suite que, si cette courbe est décomposable, elle peut avoir des points entiers
y a une infinité de points entiers. Les points entiers de cette courbe peuvent toujours s'obtenir par un nombre fini d'opérations. Exemple soit où A, A2, B, B2 sont entiers, avec A et A2 ≠ 0; cette courbe n'a qu'un nombre fini de points entiers. 3° On peut se proposer de chercher les points entiers de la courbe correspondant à des valeurs rationnelles de t (/ /2, étant des polynômes entiers en t à coefficients entiers sans diviseur commun, dont n est le plus grand des degrés). On est conduit aux mêmes calculs et aux mêmes conclusions que dans les nos VI à IX et XI à XII, sans qu'on ait à se préoccuper si la courbe (26) est ou non décomposable au sens du n° Il. C'est là une remarque très importante. Mais on voit de suite que, si cette courbe est décomposable, elle peut avoir des points entiers réels correspondant à des valeurs irrationnelles ou imaginaires de t. 4° On peut dès lors abréger les raisonnements de l'observation 2° ci-dessus par la remarque suivante applicable à toutes les équations où t est rationnel. On a d'abord à trouver les valeurs rationnelles de t qui rendent X et Y entiers. Soit v, le degré de qui est > n; si v < n, il faut que le degré de f2 soit k, puisque cpA et on sont premiers entre eux le degré de tnkf., est alors n^vt; étant de plus irréductible, on peut, quel que soit t>1, appliquer l'observation 3° ci-dessus. En particulier, il ne peut y avoir une infinité de valeurs rationnelles de t rendant X et Y entiers que si v = 0, ou si Il (t) est d'une des formes (14) ou (15) (n° VII), v, étant alors égal à n. Le résultat final de l'observation 2° n'est qu'un cas particulier de ce résultat. Si le nombre de ces valeurs de t est fini, on obtient la solution complète par un nombre limité d'opérations. 5° Les procédés ci-dessus (XIII, 2°, à XIII, 4°) permettent encore d'aborder l'étude des points entiers des cubiques de genre 1 dans
entiers. Soit v, le degré de qui est > n; si v < n, il faut que le degré de f2 soit k, puisque cpA et on sont premiers entre eux le degré de tnkf., est alors n^vt; étant de plus irréductible, on peut, quel que soit t>1, appliquer l'observation 3° ci-dessus. En particulier, il ne peut y avoir une infinité de valeurs rationnelles de t rendant X et Y entiers que si v = 0, ou si Il (t) est d'une des formes (14) ou (15) (n° VII), v, étant alors égal à n. Le résultat final de l'observation 2° n'est qu'un cas particulier de ce résultat. Si le nombre de ces valeurs de t est fini, on obtient la solution complète par un nombre limité d'opérations. 5° Les procédés ci-dessus (XIII, 2°, à XIII, 4°) permettent encore d'aborder l'étude des points entiers des cubiques de genre 1 dans quelques autres cas relativement particuliers. Dans ces conditions, à tout point P(x1, xk) de Ck correspond en général une valeur unique de t, rationnelle si le point P, k est rationnel, et un point unique P de C, rationnel avec P, k; réciproquement, à tout point P(t, xk) de C correspond un point unique P|A de C*, et, en général, une seule valeur de t, P |* et, en général, t étant rationnels si P l'est. Certains de ces polynomes peuvent se réduire à une constante, mais il n'en est pas ainsi à la fois pour F1, F2, ou k, en sorte que x1, x2, xk sont de véritables fonctions de t. On peut vérifier au fur et à mesure que les raisonnements et les résultats des nos XIV à XVII subsistent, avec des simplifications le cas échéant, quand C,k est, dans l'espace xt, x2, une droite (avec n1/n2 = 1) ou une conique (avec n1/n2 = 2). Les exceptions visées par l'expression «en général», ne peuvent provenir que des points doubles de C ou des points à l'infini de C et C, et des valeurs de t infinies; elles ne correspondent qu'à un nombre fini de valeurs de t,
correspond un point unique P|A de C*, et, en général, une seule valeur de t, P |* et, en général, t étant rationnels si P l'est. Certains de ces polynomes peuvent se réduire à une constante, mais il n'en est pas ainsi à la fois pour F1, F2, ou k, en sorte que x1, x2, xk sont de véritables fonctions de t. On peut vérifier au fur et à mesure que les raisonnements et les résultats des nos XIV à XVII subsistent, avec des simplifications le cas échéant, quand C,k est, dans l'espace xt, x2, une droite (avec n1/n2 = 1) ou une conique (avec n1/n2 = 2). Les exceptions visées par l'expression «en général», ne peuvent provenir que des points doubles de C ou des points à l'infini de C et C, et des valeurs de t infinies; elles ne correspondent qu'à un nombre fini de valeurs de t, donc à un nombre fini de points de C, et C. La courbe C est, en un certain sens, indécomposable. En effet, supposons que C comprenne au moins une partie d'une courbe algébrique F, d'équations où h1, hk–1 sont des polynomes entiers en a; xk. Les points communs à C et F correspondent, par hypothèse à une infinité de valeurs de t, et satisfont à ces k équations, qui ont dès lors lieu identiquement quel que soit t, quand on y remplace xt, xk par leurs valeurs. Donc F contient C; c'est-à-dire que si la courbe G a une partie commune avec une courbe F quelconque dont les équations sont de la forme, elle lui appartient entièrement. D'après ce qui précède, tout point rationnel de C à distance finie, s'il n'est point tel que (x1, xk) soit point double de C, k, correspond à une valeur rationnelle de t (ou à t = ±ac), puisque t est fonction rationnelle de xt, xk à coefficients rationnels; réciproquement, toute valeur rationnelle de t donne un point rationnel de C; ces derniers points sont donc en nombre infini. A ceux des points doubles de Ck qui sont rationnels correspond un nombre fini de
et F correspondent, par hypothèse à une infinité de valeurs de t, et satisfont à ces k équations, qui ont dès lors lieu identiquement quel que soit t, quand on y remplace xt, xk par leurs valeurs. Donc F contient C; c'est-à-dire que si la courbe G a une partie commune avec une courbe F quelconque dont les équations sont de la forme, elle lui appartient entièrement. D'après ce qui précède, tout point rationnel de C à distance finie, s'il n'est point tel que (x1, xk) soit point double de C, k, correspond à une valeur rationnelle de t (ou à t = ±ac), puisque t est fonction rationnelle de xt, xk à coefficients rationnels; réciproquement, toute valeur rationnelle de t donne un point rationnel de C; ces derniers points sont donc en nombre infini. A ceux des points doubles de Ck qui sont rationnels correspond un nombre fini de valeurs de t et de points de C; mais il subsiste un doute sur la question de savoir si ces valeurs de t et ces points de C sont rationnels; on peut toutefois le décider par un nombre fini d'opérations. Nous allons examiner maintenant dans quelles conditions la courbe F peut avoir une infinité de points entiers, c'est-à-dire de points dont les coordonnées sont des nombres entiers. Supposant que cela ait lieu, chacun de ces points correspondra en général à une valeur rationnelle de t, et Ck aura aussi une infinité de points entiers correspondants, en sorte que les conditions du théorème du n° VII sont applicables à Ck. Cela permet déjà de spécifier que F(A a une forme très particulière. Mais il est possible d'arriver à une conclusion analogue pour le plus petit commun multiple F de F1, F2, Fk en envisageant les diverses courbes C,y (i = 1, 2, k, i = j) et utilisant le n° XIII (3°); une remarque de même nature pourrait être faite à propos des recherches du n° XVIII. Géométriquement, tout point de C a, en général, une projection sur le plan des a; xk un point simple de C,k; et, inversement, tout
peut avoir une infinité de points entiers, c'est-à-dire de points dont les coordonnées sont des nombres entiers. Supposant que cela ait lieu, chacun de ces points correspondra en général à une valeur rationnelle de t, et Ck aura aussi une infinité de points entiers correspondants, en sorte que les conditions du théorème du n° VII sont applicables à Ck. Cela permet déjà de spécifier que F(A a une forme très particulière. Mais il est possible d'arriver à une conclusion analogue pour le plus petit commun multiple F de F1, F2, Fk en envisageant les diverses courbes C,y (i = 1, 2, k, i = j) et utilisant le n° XIII (3°); une remarque de même nature pourrait être faite à propos des recherches du n° XVIII. Géométriquement, tout point de C a, en général, une projection sur le plan des a; xk un point simple de C,k; et, inversement, tout point simple de Ck est la projection sur ce plan d'un point unique de C. En exceptant, le cas échéant, les valeurs rationnelles de t, en nombre fini, qui pourraient annuler un des polynomes F1, F2, Fk. Toutefois, comme nous avons aussi en vue la détermination systématique des points entiers par un nombre fini d'opérations, nous préférons développer les considérations ci-après. Nous allons établir le lemme suivant, qui est vrai pour toutes les courbes C ayant, ou non, une infinité de points entiers. LEMME I. Si x1, x2, sont des entiers, et si l'on pose g, et G, étant des polynomes entiers en t à coefficients entiers, G, le plus petit commun multiple de F1, F2 on peut, grâce à un nombre fini d'opérations, déterminer les entiers u1, de façon que 1° g, et G, soient premiers entre eux; 2° La courbe C' d'équations en coordonnées cartésiennes X, xk, soit indécomposable (n° II), par suite aussi, au sens indiqué plus haut, dans l'espace X, x2, xk, la courbe C, d'équations en coordonnées cartésiennes X, xk, soit indécomposable. Le nombre des entiers f/.2 satisfaisant à cette condition, quand i prend toutes les valeurs des racines de F, 2, ne peut être
par un nombre fini d'opérations, nous préférons développer les considérations ci-après. Nous allons établir le lemme suivant, qui est vrai pour toutes les courbes C ayant, ou non, une infinité de points entiers. LEMME I. Si x1, x2, sont des entiers, et si l'on pose g, et G, étant des polynomes entiers en t à coefficients entiers, G, le plus petit commun multiple de F1, F2 on peut, grâce à un nombre fini d'opérations, déterminer les entiers u1, de façon que 1° g, et G, soient premiers entre eux; 2° La courbe C' d'équations en coordonnées cartésiennes X, xk, soit indécomposable (n° II), par suite aussi, au sens indiqué plus haut, dans l'espace X, x2, xk, la courbe C, d'équations en coordonnées cartésiennes X, xk, soit indécomposable. Le nombre des entiers f/.2 satisfaisant à cette condition, quand i prend toutes les valeurs des racines de F, 2, ne peut être illimité. En effet, on n'a pas à la fois car si (t – t)2 est la plus haute puissance de t – qui divise F,2(t), un des deux polynomes F1, F2 est divisible par (t – t)2, aucun ne l'étant par une puissance supérieure; si c'est F1, par exemple, (f = Û'F est premier à t – t. Dès lors, à chaque valeur de r ne correspond qu'une valeur possible de [u2. Excluons ces valeurs de f/.2 la fraction A est irréductible. On peut en outre trouver p.2 tel qu'à deux points distincts de C,A en correspondent deux distincts de T'u, et inversement, au moins en général, de façon que T'ik soit indécomposable. En effet, soient t1, t2, deux points distincts (simples) de C,k, pour lesquels les coordonnées de C sont Pour une valeur donnée de t1, le nombre des valeurs de t2 satisfaisant à cette égalité est limité et indépendant de [i.2, comme ces valeurs elles-mêmes. Soit £2 une de ces valeurs; l'égalité (29 bis) correspondante, où x=f^x, ne peut être satisfaite que pour une valeur de f^2, que nous exclurons encore, quelle que soit cette valeur. Ceci posé, envisageons le résultant (après réductions et suppression des facteurs t2