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par exemple, pour le mouvement de la lune, celle-ci est le corps troublé, la terre est le corps central et le soleil est le corps troublant. Newton n'a abordé le problème des trois corps que par des considérations géométriques. Grâce aux progrès que l'analyse mathématique fit après lui, les géomètres ont pu soumettre ce problème au calcul et faire dépendre la détermination du mouvement d'une planète d'un système d'équations différentielles simultanées. Comme on ne sait pas intégrer ces équations, on est obligé de développer en séries les formules du mouvement et d'en calculer les termes les plus importants par des méthodes d'approximation. Certains termes du développement constituent les inégalités séculaires et d'autres les inégalités périodiques. À cause des perturbations déterminées par une planète sur la planète P, les 6 éléments elliptiques de celle-ci sont égaux aux valeurs résultant de la seule action du soleil, augmentées ou diminuées des inégalités. Cette modification que l'on fait subir aux éléments de la première approximation du mouvement d'une planète, constitue une seconde approximation donnant des résultats plus voisins de la réalité que la première. Les inégalités séculaires croissent très lentement, et n'amènent entre deux états du système solaire une différence sensible que si ces deux états sont séparés par plusieurs siècles. Les inégalités périodiques, qui dépendent de la configuration et de la position variable des corps troublants, font passer le système par des suites d'états identiques. On appelle moyen mouvement d'une planète le mouvement uniforme d'une planète fictive circulant sur une certaine ellipse autour du même centre que la planète réelle, de telle sorte que, dans le même temps, ces deux planètes reviennent au point commun de départ. Pour le problème des trois corps, Clairaut, D'Alembert et Euler ont fait de nombreux travaux analytiques ; Lagrange et Laplace ont imaginé des approximations qui, complétées par les calculs de Le Verrier, suffiront plusieurs siècles encore aux besoins de l'Astronomie. Claude Clairaut, né à Paris le 7 mai 1713, montra dès son enfance une aptitude très grande pour les mathématiques, qu'il étudia sous la direction de son père, professeur distingué. À l'âge de dix ans, il
deux états sont séparés par plusieurs siècles. Les inégalités périodiques, qui dépendent de la configuration et de la position variable des corps troublants, font passer le système par des suites d'états identiques. On appelle moyen mouvement d'une planète le mouvement uniforme d'une planète fictive circulant sur une certaine ellipse autour du même centre que la planète réelle, de telle sorte que, dans le même temps, ces deux planètes reviennent au point commun de départ. Pour le problème des trois corps, Clairaut, D'Alembert et Euler ont fait de nombreux travaux analytiques ; Lagrange et Laplace ont imaginé des approximations qui, complétées par les calculs de Le Verrier, suffiront plusieurs siècles encore aux besoins de l'Astronomie. Claude Clairaut, né à Paris le 7 mai 1713, montra dès son enfance une aptitude très grande pour les mathématiques, qu'il étudia sous la direction de son père, professeur distingué. À l'âge de dix ans, il comprenait les ouvrages du marquis de l'Hôpital sur les sections coniques et les infiniment petits. Dès l'âge de 12 ans et 8 mois, il composa un mémoire sur quatre courbes nouvelles; ce travail, présenté à l'Académie des Sciences, attira tellement son attention qu'elle soumit le jeune auteur à un sévère examen dont il sortit à son honneur, comme le constate un certificat élogieux signé par Fontenelle. Les Recherches sur les Courbes à double courbure qu'il écrivit à l'âge de 16 ans lui valurent la faveur d'être nommé par le roi Louis XV membre de l'Académie des Sciences, 2 ans avant l'âge réglementaire de 20 ans. En 1736, il fit partie de l'expédition en Laponie pour la mesure d'un degré du méridien terrestre. Les résultats de ses études particulières dans ce pays sont exposés dans l'ouvrage qu'il publia en 1740 sous le titre de Figure de la Terre tirée des lois de l'hydrostatique, et où, en supposant que la terre tourne autour de son axe et que ses particules sont soumises à la loi de l'attraction universelle, il parvient à trouver sa forme et une valeur numérique de son aplatissement. Cet ouvrage, où il emploie, comme Newton, la méthode synthétique, est
examen dont il sortit à son honneur, comme le constate un certificat élogieux signé par Fontenelle. Les Recherches sur les Courbes à double courbure qu'il écrivit à l'âge de 16 ans lui valurent la faveur d'être nommé par le roi Louis XV membre de l'Académie des Sciences, 2 ans avant l'âge réglementaire de 20 ans. En 1736, il fit partie de l'expédition en Laponie pour la mesure d'un degré du méridien terrestre. Les résultats de ses études particulières dans ce pays sont exposés dans l'ouvrage qu'il publia en 1740 sous le titre de Figure de la Terre tirée des lois de l'hydrostatique, et où, en supposant que la terre tourne autour de son axe et que ses particules sont soumises à la loi de l'attraction universelle, il parvient à trouver sa forme et une valeur numérique de son aplatissement. Cet ouvrage, où il emploie, comme Newton, la méthode synthétique, est un chef-d'œuvre de précision, égalé par M. Joseph Bertrand aux plus beaux chapitres du livre des Principes. Vers le milieu de 1747, Clairaut présenta à l'Académie des Sciences un mémoire sur le problème des trois corps, où le mouvement de la lune autour de la terre est étudié, en tenant compte de l'attraction du Soleil. Parmi les résultats qu'il obtint, citons l'explication de l'évection. Ce même jour, D'Alembert lui présentait aussi un mémoire sur le même sujet, et cette même année, Euler écrivait aussi sur ce problème : il convient de remarquer que ces trois grands géomètres se sont rencontrés sur le même terrain sans s'être concertés à l'avance. En novembre 1747, Clairaut lut à l'Académie des Sciences un mémoire sur la Théorie de la Lune dans lequel il déclare que la loi de Newton est insuffisante, attendu qu'elle l'a conduit à trouver, pour le mouvement de l'apogée de la lune, une vitesse qui n'est que la moitié de celle que donnent les observations. Mais Buffon s'étant montré contraire à l'idée d'abandonner la belle théorie de Newton sans avoir fait des recherches plus approfondies, Clairaut calcula plus de termes de la série relative au mouvement de la lune, et trouva
compte de l'attraction du Soleil. Parmi les résultats qu'il obtint, citons l'explication de l'évection. Ce même jour, D'Alembert lui présentait aussi un mémoire sur le même sujet, et cette même année, Euler écrivait aussi sur ce problème : il convient de remarquer que ces trois grands géomètres se sont rencontrés sur le même terrain sans s'être concertés à l'avance. En novembre 1747, Clairaut lut à l'Académie des Sciences un mémoire sur la Théorie de la Lune dans lequel il déclare que la loi de Newton est insuffisante, attendu qu'elle l'a conduit à trouver, pour le mouvement de l'apogée de la lune, une vitesse qui n'est que la moitié de celle que donnent les observations. Mais Buffon s'étant montré contraire à l'idée d'abandonner la belle théorie de Newton sans avoir fait des recherches plus approfondies, Clairaut calcula plus de termes de la série relative au mouvement de la lune, et trouva un résultat convenable. Clairaut, en avouant publiquement son erreur, mit fin à la joie que les adversaires de Newton s'étaient trop vite empressés de manifester. Ce mémoire, augmenté de tables de la lune, fut couronné en 1752 par l'Académie de Saint-Pétersbourg. En 1765, Clairaut en publia une édition définitive, plus complète sous le rapport théorique, avec des tables lunaires plus exactes. En appliquant les méthodes qu'il avait employées pour la théorie de la lune, il a écrit, en 1757, un mémoire sur l'orbite apparente du soleil, en tenant compte des perturbations produites par la lune et par les principales planètes. Clairaut commença à la fin de 1757 les longs calculs relatifs à la comète de 1782, dont Halley avait prédit le retour en 1758 à 1/5e; il tint compte, non seulement de l'attraction de Jupiter, avec Halley, mais encore de celle de Saturne. Grâce à l'aide de plusieurs calculateurs, il fut en mesure d'annoncer, dans la séance de l'Académie des Sciences du 14 novembre 1758, que la comète de Halley paraîtrait au commencement de janvier 1759 et passerait à son périhélie vers le 13 avril de la même année. Comme ces deux prédictions furent en conformité parfaite avec les phénomènes
complète sous le rapport théorique, avec des tables lunaires plus exactes. En appliquant les méthodes qu'il avait employées pour la théorie de la lune, il a écrit, en 1757, un mémoire sur l'orbite apparente du soleil, en tenant compte des perturbations produites par la lune et par les principales planètes. Clairaut commença à la fin de 1757 les longs calculs relatifs à la comète de 1782, dont Halley avait prédit le retour en 1758 à 1/5e; il tint compte, non seulement de l'attraction de Jupiter, avec Halley, mais encore de celle de Saturne. Grâce à l'aide de plusieurs calculateurs, il fut en mesure d'annoncer, dans la séance de l'Académie des Sciences du 14 novembre 1758, que la comète de Halley paraîtrait au commencement de janvier 1759 et passerait à son périhélie vers le 13 avril de la même année. Comme ces deux prédictions furent en conformité parfaite avec les phénomènes annoncés, Clairaut fut grandement loué et admiré dans toute l'Europe. De 1759 à 1761, une polémique au sujet de la théorie du mouvement des comètes s'engagea entre Clairaut et D'Alembert dans le Journal des Savants : le public se rangea du côté du premier et les géomètres, sur plusieurs points, furent d'accord avec le second. Désirant une célébrité étendue, Clairaut tourna ses travaux plutôt du côté des applications que des théories abstraites. Il apportait le plus grand soin à la rédaction de ses écrits. Ses Éléments de géométrie et d'algèbre sont des chefs-d'œuvre de simplicité et de clarté. Clairaut, fatigué par ses travaux, mourut à Paris le 17 mai 1765. (À suivre.) E. L. EXAMENS ET CONCOURS Problèmes proposés à l'examen écrit du Baccalauréat de l'Enseignement secondaire spécial. 249. — Un employé, entré à l'âge de 20 ans au service d'une société, lui abandonne à la fin de chaque année — de son traitement, qui est de 1800 fr., à la condition que la Compagnie s'acquittera envers lui en lui servant, après 10 ans révolus de services, et pendant 15 ans, une pension à la fin de chaque année. Quel est le montant de cette pension annuelle, si le taux
furent d'accord avec le second. Désirant une célébrité étendue, Clairaut tourna ses travaux plutôt du côté des applications que des théories abstraites. Il apportait le plus grand soin à la rédaction de ses écrits. Ses Éléments de géométrie et d'algèbre sont des chefs-d'œuvre de simplicité et de clarté. Clairaut, fatigué par ses travaux, mourut à Paris le 17 mai 1765. (À suivre.) E. L. EXAMENS ET CONCOURS Problèmes proposés à l'examen écrit du Baccalauréat de l'Enseignement secondaire spécial. 249. — Un employé, entré à l'âge de 20 ans au service d'une société, lui abandonne à la fin de chaque année — de son traitement, qui est de 1800 fr., à la condition que la Compagnie s'acquittera envers lui en lui servant, après 10 ans révolus de services, et pendant 15 ans, une pension à la fin de chaque année. Quel est le montant de cette pension annuelle, si le taux des intérêts composés est de 6 p. 100 par an? (Lille, novembre 1891.) 250. — On demande les poids d'air sec et de vapeur d'eau contenus dans une salle qui a 8 de largeur, 15' de longueur et 4' de hauteur, sachant que le thermomètre marque 20°; le baromètre 757"""; l'état hygrométrique est 0,72; la tension maximale de la vapeur d'eau à 20° est 176"",39; la densité de la vapeur d'eau est 0,022; le poids du litre d'air normal est 0,082,29; le coefficient de dilatation des gaz est 0, (Lille, novembre 1891.) 273. — On introduit dans un éudiomètre 200 gr de mélange de protocarbure et de bicarbure d'hydrogène et 60 gr d'oxygène. On fait passer l'étincelle et il reste 400 gr de gaz, dont 280 sont absorbés par la potasse. On demande la composition du mélange. (Lille, novembre 1891.) 252. — Étudier le mouvement d'un mobile lancé de bas en haut, avec une vitesse v, le long de la ligne de plus grande pente d'un plan incliné, de longueur l, et faisant un angle α avec le plan horizontal. (Lyon, novembre 1891.) 253. — Trouver sur une droite donnée A, de longueur AB= c, un point B tel que
l'état hygrométrique est 0,72; la tension maximale de la vapeur d'eau à 20° est 176"",39; la densité de la vapeur d'eau est 0,022; le poids du litre d'air normal est 0,082,29; le coefficient de dilatation des gaz est 0, (Lille, novembre 1891.) 273. — On introduit dans un éudiomètre 200 gr de mélange de protocarbure et de bicarbure d'hydrogène et 60 gr d'oxygène. On fait passer l'étincelle et il reste 400 gr de gaz, dont 280 sont absorbés par la potasse. On demande la composition du mélange. (Lille, novembre 1891.) 252. — Étudier le mouvement d'un mobile lancé de bas en haut, avec une vitesse v, le long de la ligne de plus grande pente d'un plan incliné, de longueur l, et faisant un angle α avec le plan horizontal. (Lyon, novembre 1891.) 253. — Trouver sur une droite donnée A, de longueur AB= c, un point B tel que si l'on construit les triangles équilatéraux ACD et CBE sur AC et BE comme côtés, la surface engendrée par la ligne brisée ACD.BE tournant autour de AB soit égale à une quantité donnée 2nm. (Lyon, novembre 1891.) 254. — On prépare du bioxyde d'azote avec du cuivre et de l'acide azotique. On emploie 37,17 gr de cuivre. On recueille le gaz saturé d'humidité dans une éprouvette sur la cuve à mercure, à la température de 10° et à la pression de l'extérieur de 75 cm. On demande le volume occupé par le gaz. — On introduit ensuite dans l'éprouvette où le gaz a été recueilli quelques fragments de pierre ponce imbibée d'acide sulfurique pour absorber la vapeur d'eau. On demande : 1° l'augmentation du poids de cette pierre ponce; 2° le nouveau volume occupé par le gaz sec. (Le niveau du mercure est, dans toutes ces opérations, le même dans l'éprouvette et la cuve.) Équivalents : Cu = 31,7; Az = 14, O2 = 8. Poids du litre d'air normal : 1,3 gr. Densité du bioxyde d'azote : 1,01. Coefficient de dilatation des gaz : 0,00367. Tension maximale de la vapeur d'eau à 10° : 9 mm. Densité de la
azotique. On emploie 37,17 gr de cuivre. On recueille le gaz saturé d'humidité dans une éprouvette sur la cuve à mercure, à la température de 10° et à la pression de l'extérieur de 75 cm. On demande le volume occupé par le gaz. — On introduit ensuite dans l'éprouvette où le gaz a été recueilli quelques fragments de pierre ponce imbibée d'acide sulfurique pour absorber la vapeur d'eau. On demande : 1° l'augmentation du poids de cette pierre ponce; 2° le nouveau volume occupé par le gaz sec. (Le niveau du mercure est, dans toutes ces opérations, le même dans l'éprouvette et la cuve.) Équivalents : Cu = 31,7; Az = 14, O2 = 8. Poids du litre d'air normal : 1,3 gr. Densité du bioxyde d'azote : 1,01. Coefficient de dilatation des gaz : 0,00367. Tension maximale de la vapeur d'eau à 10° : 9 mm. Densité de la vapeur d'eau : 0,622. (Lyon, novembre 1891.) 255. — D'un point donné S on abaisse la perpendiculaire sur un plan Pαl donné, et on construit le carré situé dans ce plan qui a pour centre le pied de cette perpendiculaire et dont une diagonale donnée est de front. Construire la pyramide qui a pour sommet S et pour base ce carré. Déterminer la section de cette pyramide par le plan horizontal passant par le milieu de sa hauteur. (Lyon, novembre 1891.) 256. — Couper une sphère par un plan de manière que la différence des volumes ainsi formés soit égale au volume du cercle de section multiplié par un nombre m. Montrer que le problème a toujours une solution et une seule; et faire voir qu'on pouvait prévoir cette circonstance a priori. (Marseille, novembre 1891.) 257. — Une bougie est placée à l'écart d'un écran fixe: entre la bougie et l'écran on place une lentille dont la distance focale est 0,50 m. À quelle distance de la bougie faut-il placer la lentille pour obtenir sur l'écran des images nettes de la flamme, et quelles seront leurs grandeurs sachant que la hauteur de la flamme est 5 cm? (Marseille, novembre 1891.)
pyramide qui a pour sommet S et pour base ce carré. Déterminer la section de cette pyramide par le plan horizontal passant par le milieu de sa hauteur. (Lyon, novembre 1891.) 256. — Couper une sphère par un plan de manière que la différence des volumes ainsi formés soit égale au volume du cercle de section multiplié par un nombre m. Montrer que le problème a toujours une solution et une seule; et faire voir qu'on pouvait prévoir cette circonstance a priori. (Marseille, novembre 1891.) 257. — Une bougie est placée à l'écart d'un écran fixe: entre la bougie et l'écran on place une lentille dont la distance focale est 0,50 m. À quelle distance de la bougie faut-il placer la lentille pour obtenir sur l'écran des images nettes de la flamme, et quelles seront leurs grandeurs sachant que la hauteur de la flamme est 5 cm? (Marseille, novembre 1891.) 258. — Résoudre le système d'équations 259. — On donne les projections m, m'd'un point M et les traces d'une droite 1) située dans un plan de profil. On demande de déterminer une droite passant par SI qui coupe la droite 1) de façon à former un angle donné. (Montpellier, novembre 1891.) 260. — Calculer sin.r et cos x sachant que Discuter le problème. (Montpellier, novembre 1891.) 261. — On donne les projections d'une droite et les traces d'un plan parallèle à la ligne de terre. On demande de construire l'angle de la droite et du plan. (Montpellier, novembre 1891.) 262. — On connaît le périmètre 2α d'un triangle rectangle et le rayon r du cercle inscrit dans ce triangle. Trouver l'hypoténuse x et les côtés y et z de l'angle droit. — Discussion par rapport à p. (Nancy, novembre 1891.) 263. — Un corps de pompe vertical (/?//. 749) de section S, de longueur L, contient un piston plein. Il est prolongé intérieurement par un tuyau d'aspiration vertical de longueur h et de section s. Celui-ci plonge dans un liquide de densité ρ qui s'élève, quand le piston est au bas du corps de pompe, à une hauteur verticale
novembre 1891.) 260. — Calculer sin.r et cos x sachant que Discuter le problème. (Montpellier, novembre 1891.) 261. — On donne les projections d'une droite et les traces d'un plan parallèle à la ligne de terre. On demande de construire l'angle de la droite et du plan. (Montpellier, novembre 1891.) 262. — On connaît le périmètre 2α d'un triangle rectangle et le rayon r du cercle inscrit dans ce triangle. Trouver l'hypoténuse x et les côtés y et z de l'angle droit. — Discussion par rapport à p. (Nancy, novembre 1891.) 263. — Un corps de pompe vertical (/?//. 749) de section S, de longueur L, contient un piston plein. Il est prolongé intérieurement par un tuyau d'aspiration vertical de longueur h et de section s. Celui-ci plonge dans un liquide de densité ρ qui s'élève, quand le piston est au bas du corps de pompe, à une hauteur verticale h audessus du niveau extérieur. On fait monter le piston au haut du corps de pompe et on demande la hauteur verticale dont le liquide s'élèvera. On supposera le niveau extérieur fixe. La pression atmosphérique au moment de l'expérience est représentée par une hauteur h de mercure de densité ρ. Enfin le liquide émet des vapeurs qui, à la température de l'expérience, ont une pression élastique équivalente à une hauteur h' de mercure de densité ρ. (Nancy, novembre 1891.) Fig. 719. MOVEMENT SCIENTIFIQUE La photographie des couleurs. — M. Lippmann continue ses magnifiques recherches sur la photographie des couleurs. Voici le texte de sa dernière communication sur ce sujet à l'Académie des Sciences. Dans la première communication que j'ai eu l'honneur de faire à l'Académie sur ce sujet, je disais que la couche sensible que j'employais alors manquait de sensibilité et d'isochromalisme, et que ces défauts étaient le principal obstacle à l'application de la méthode que j'avais imaginée. Depuis lors j'ai réussi à améliorer la couche sensible; et, bien qu'il reste encore beaucoup à faire, les nouveaux résultats sont assez encourageants pour que je me permette d'en faire part à l'Académie. — Sur des couches d'albumino-bromure d'argent rendues orthochromatiques par
Enfin le liquide émet des vapeurs qui, à la température de l'expérience, ont une pression élastique équivalente à une hauteur h' de mercure de densité ρ. (Nancy, novembre 1891.) Fig. 719. MOVEMENT SCIENTIFIQUE La photographie des couleurs. — M. Lippmann continue ses magnifiques recherches sur la photographie des couleurs. Voici le texte de sa dernière communication sur ce sujet à l'Académie des Sciences. Dans la première communication que j'ai eu l'honneur de faire à l'Académie sur ce sujet, je disais que la couche sensible que j'employais alors manquait de sensibilité et d'isochromalisme, et que ces défauts étaient le principal obstacle à l'application de la méthode que j'avais imaginée. Depuis lors j'ai réussi à améliorer la couche sensible; et, bien qu'il reste encore beaucoup à faire, les nouveaux résultats sont assez encourageants pour que je me permette d'en faire part à l'Académie. — Sur des couches d'albumino-bromure d'argent rendues orthochromatiques par l'azotate et la glycerine, j'obtiens des photographies très brillantes du spectre. Toutes les couleurs viennent à la fois, même le rouge, sans interposition d'écrans colorés, et après une pose comprise entre 5 et 30 secondes. Sur deux des clichés présentés à l'Académie, on remarque que les couleurs vues par transparence sont très nettement complémentaires de celles qu'on aperçoit par réflexion. — La théorie indique que les couleurs composées que revêtent les objets naturels devaient venir en photographie au même titre que les lumières simples du spectre. Il n'en était pas moins nécessaire de vérifier le fait expérimentalement. Les nouveaux clichés que j'ai l'honneur de soumettre à l'Académie représentent fidèlement des objets assez divers: un vitrail à quatre couleurs, un groupe de drapeaux, un plat d'oranges surmontées d'un pavot rouge, un perroquet multicolore. Ils montrent que le modelé est rendu en même temps que les couleurs. Les drapeaux et l'oiseau ont exigé de 5 à 10 minutes de pose à la lumière électrique ou au soleil. Les autres objets ont été faits après de nombreuses heures de pose à la lumière diffuse. Il reste donc encore beaucoup à faire avant de rendre le procédé pratique. Le bleu du ciel. — La