jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
x 0,0092. Dans ce cas l'équation (2) aurait pris la forme Cette seconde équation étant incompatible avec la première, le problème est impossible, ce qui indique que jamais 8g,03 de carbone, en brûlant, ne peuvent donner exactement 15 litres du mélange gazeux, mesuré dans les conditions normales de température et de pression. Si, dans l'énoncé, on avait mis 14m,99 de mélange, le problème aurait été indéterminé. Cette indétermination est réelle, comme il est facile de s'en rendre compte. L'oxyde de carbone et l'acide carbonique, ont même équivalent en volume, 2, et cet équivalent en volume contient le même poids de charbon dans l'un et l'autre gaz; par suite, le volume de mélange qui résulte de la combustion d'un poids donné de charbon est indépendant des proportions des deux gaz qui prennent naissance. En brûlant, 5,03 de carbone donneront toujours 14m,99 de mélange gazeux, qu'il se forme uniquement de l'oxyde de carbone, ou uniquement de l'acide carbonique, ou un mélange des deux gaz dans des proportions quelconques. CLÉMENT, soldat au 5° Bataillon d'Artillerie de Forteresse. Ont résolu la question 601 : MM. Z. RUSSIER; G. CHEVALIER; DEGUDE; L. GELLY (3e), C. de Libourne; J. ARMAND; E. JODART; GAY (1er); J. D'EXTRÉGYUES (4e), C. de Saint-Yrieux. 605. — Physique. — Une corde métallique est tendue sur un sonomètre et donne le la3 de l'échelle musicale, qui correspond à 435 vibrations par seconde. Calculer les nombres de vibrations correspondant aux 12 premiers sons de la série des harmoniques que cette corde peut rendre, et faire connaître ceux de ces harmoniques qui forment, avec le son fondamental et ses octaves, des intervalles consonants. Indiquer comment on peut constater leur existence et les produire séparément. (Concours général en Seconde, E. classique, en 1880.) 1. — Les nombres de vibrations des harmoniques que peut rendre la corde sont obtenus en multipliant successivement 435 par les nombres 2, 3, 4, ..., jusqu'à 13. Ces harmoniques correspondent aux notes suivantes de l'échelle musicale : 1° 435 x 2 la 2° 435 X 3 HI 3° 435 X 4 tab 4° 435 X 5 do 5° 435 X 6
(4e), C. de Saint-Yrieux. 605. — Physique. — Une corde métallique est tendue sur un sonomètre et donne le la3 de l'échelle musicale, qui correspond à 435 vibrations par seconde. Calculer les nombres de vibrations correspondant aux 12 premiers sons de la série des harmoniques que cette corde peut rendre, et faire connaître ceux de ces harmoniques qui forment, avec le son fondamental et ses octaves, des intervalles consonants. Indiquer comment on peut constater leur existence et les produire séparément. (Concours général en Seconde, E. classique, en 1880.) 1. — Les nombres de vibrations des harmoniques que peut rendre la corde sont obtenus en multipliant successivement 435 par les nombres 2, 3, 4, ..., jusqu'à 13. Ces harmoniques correspondent aux notes suivantes de l'échelle musicale : 1° 435 x 2 la 2° 435 X 3 HI 3° 435 X 4 tab 4° 435 X 5 do 5° 435 X 6 WJI 6° 435 X 7 un son compris entre fa et sol 7° 435 X 8 lat 8° 435 X 9 sit 9° 435 X 10 rfo 10° 435 X 11 un son compris entre ré et ré 11° 435 X 12 mi 12° 435 X 13 un son compris entre fa et fa. Les intervalles dits consonants sont ceux d'octave, de quinte et de tierce, qui correspondent aux rapports 2, et 7. Les intervalles consonants dans lesquels entrent le son fondamental et ses octaves sont ici : hii à las; las à la'; la6 à las; intervalles d'octave. mis à r; mib à la6; mib à hi6; intervalles de tierce. doff à las; do- à la6; intervalles de quinte. La corde, en vibrant, produira simultanément un certain nombre de ces harmoniques, comme on peut le constater à l'aide d'une série de résonateurs d'Helmholtz capables de renforcer las et ses divers harmoniques. On produirait ces harmoniques successivement en pinçant la corde, de façon à réduire sa partie vibrante à , , , , .., — de sa longueur primitive. RUSSIKR, Institut pour le Puy. Ont résolu la question 605 : MM. G. CHEVALIER; J. ARMANET, instituteur à Lyon. PRÉPARATION AU
entre fa et fa. Les intervalles dits consonants sont ceux d'octave, de quinte et de tierce, qui correspondent aux rapports 2, et 7. Les intervalles consonants dans lesquels entrent le son fondamental et ses octaves sont ici : hii à las; las à la'; la6 à las; intervalles d'octave. mis à r; mib à la6; mib à hi6; intervalles de tierce. doff à las; do- à la6; intervalles de quinte. La corde, en vibrant, produira simultanément un certain nombre de ces harmoniques, comme on peut le constater à l'aide d'une série de résonateurs d'Helmholtz capables de renforcer las et ses divers harmoniques. On produirait ces harmoniques successivement en pinçant la corde, de façon à réduire sa partie vibrante à , , , , .., — de sa longueur primitive. RUSSIKR, Institut pour le Puy. Ont résolu la question 605 : MM. G. CHEVALIER; J. ARMANET, instituteur à Lyon. PRÉPARATION AU CERTIFICAT D'APTITUDE À L'ENSEIGNEMENT SPÉCIAL 588. — Une sphère de rayon 11 est tangente à un plan V en un point A.; dans le plan P il y a une droite D dont la distance au point A est AB = 2H. Parallèle à la droite D on mène Q qui coupe la sphère suivant un cercle m, lequel est la base d'un cône ayant le point A pour sommet. Étudier les variations du volume de ce cône quand le plan Q tourne autour de la droite D. — On déterminera le plan Q par sa distance au point A. (Certificat d'aptitude à l'Enseignement spécial, en juillet 1891.) Soit O (fig. 759) le centre de la sphère donnée. Considérons le plan R des droites OA et OW, et soit U le point de rencontre de ce plan avec la droite D. Le plan H, étant perpendiculaire au plan V et au plan Q, est perpendiculaire à leur intersection D; il en résulte que Ali est perpendiculaire à la droite D et que l'on a, d'après l'énoncé, AU = 2H. De plus, la perpendiculaire menée du point O sur le plan Q ne sortira pas du plan H et rencontrera le
qui coupe la sphère suivant un cercle m, lequel est la base d'un cône ayant le point A pour sommet. Étudier les variations du volume de ce cône quand le plan Q tourne autour de la droite D. — On déterminera le plan Q par sa distance au point A. (Certificat d'aptitude à l'Enseignement spécial, en juillet 1891.) Soit O (fig. 759) le centre de la sphère donnée. Considérons le plan R des droites OA et OW, et soit U le point de rencontre de ce plan avec la droite D. Le plan H, étant perpendiculaire au plan V et au plan Q, est perpendiculaire à leur intersection D; il en résulte que Ali est perpendiculaire à la droite D et que l'on a, d'après l'énoncé, AU = 2H. De plus, la perpendiculaire menée du point O sur le plan Q ne sortira pas du plan H et rencontrera le plan Q en un point situé sur m. La droite AG est la hauteur du cône de sommet A, de base m. Elle varie depuis 0 jusqu'à une valeur maximale h, qu'elle atteint lorsque le plan Q est tangent à la sphère. Maximum de x. La valeur maximale de x est facile à déterminer. Prenons le plan H comme plan de la figure et désignons par Ole demi-angle des tangentes BA et BW. On a En exprimant que V est positif, on retrouve la condition obtenue précédemment d'une façon directe. Variation du volume du cône. Pour étudier les variations du volume du cône, quand le plan Q tourne autour de la droite D, nous étudierons les variations de signe de la dérivée de V, ou ce qui revient au même, les variations de signe de la fonction trinôme. Lorsque x varie de 0 à x, la dérivée est positive, et le volume V va en croissant, mais lorsque x varie de x à h, la dérivée est négative, et le volume V décroît. Le volume du cône passe donc par un maximum, lorsque x est égal à la plus petite racine positive de l'équation On trouve pour cette racine En
est facile à déterminer. Prenons le plan H comme plan de la figure et désignons par Ole demi-angle des tangentes BA et BW. On a En exprimant que V est positif, on retrouve la condition obtenue précédemment d'une façon directe. Variation du volume du cône. Pour étudier les variations du volume du cône, quand le plan Q tourne autour de la droite D, nous étudierons les variations de signe de la dérivée de V, ou ce qui revient au même, les variations de signe de la fonction trinôme. Lorsque x varie de 0 à x, la dérivée est positive, et le volume V va en croissant, mais lorsque x varie de x à h, la dérivée est négative, et le volume V décroît. Le volume du cône passe donc par un maximum, lorsque x est égal à la plus petite racine positive de l'équation On trouve pour cette racine En résumé, le volume du cône part de zéro, lorsque le plan Q est appliqué sur le plan P; il croît jusqu'à un maximum qui a lieu lorsque le plan Q est à 1,120 H du point A; puis il décroit pour revenir à zéro, lorsque le plan Q est devenu tangent à la sphère. On peut s'assurer que le maximum que l'on vient de trouver n'arrive pas, comme on pourrait le supposer, lorsque le plan Q passe par le centre de la sphère. P. LONGEOT, Professeur au Collège Stanislas. Ont résolu la question 588 : MM. V. P. DOUEZ, Préparateur de Physique au Lycée d'Angers; J. DAVID; J.-L. PRÉTOT. 598. — On considère deux axes rectangulaires Ox, Oy (fig. 700), et sur Ox un point A, des coordonnées (a, 0). On prend une droite D passant par le point A, et ayant pour équation : Trouver l'équation de la parabole ayant pour foyer l'origine et pour directrice la droite D. On fait varier l'angle α, et on demande: 1° le lieu des sommets des paraboles; 2° le lieu des points de rencontre de chaque parabole avec la parallèle à la droite D menée par le point O ; 3° le
tangent à la sphère. On peut s'assurer que le maximum que l'on vient de trouver n'arrive pas, comme on pourrait le supposer, lorsque le plan Q passe par le centre de la sphère. P. LONGEOT, Professeur au Collège Stanislas. Ont résolu la question 588 : MM. V. P. DOUEZ, Préparateur de Physique au Lycée d'Angers; J. DAVID; J.-L. PRÉTOT. 598. — On considère deux axes rectangulaires Ox, Oy (fig. 700), et sur Ox un point A, des coordonnées (a, 0). On prend une droite D passant par le point A, et ayant pour équation : Trouver l'équation de la parabole ayant pour foyer l'origine et pour directrice la droite D. On fait varier l'angle α, et on demande: 1° le lieu des sommets des paraboles; 2° le lieu des points de rencontre de chaque parabole avec la parallèle à la droite D menée par le point O ; 3° le lieu du point de rencontre de chaque parabole avec le diamètre passant par le point A ; 4° chaque parabole rencontre l'axe des y en deux points : lieu du point de rencontre des normales en ces points. — On vérifiera les résultats par la géométrie. A. MOUILLET, Agrégé de l'université, Professeur à l'École Lavoisier. L'équation d'une conique admettant l'origine pour foyer et la droite donnée pour directrice peut se mettre sous la forme suivante: Le facteur cos2o n'est nul que pour une valeur de θ; nous devons donc rejeter la solution cos2θ = 0, et nous ne nous occuperons dans la suite du problème que de la solution acceptable Remarque. — Toutes les fois que l'équation d'une parabole est mise sous cette forme, l'équation est celle d'un diamètre. Or, ici, ce diamètre passe par le foyer qui est l'origine, c'est donc l'axe de la parabole. 1° Le sommet de la parabole est à l'intersection de l'axe et de la tangente au sommet Pour avoir le lieu demandé, il suffit d'éliminer tgθ entre ces deux équations. Tirant tgθ de la première équation et portant sa valeur dans la seconde, on a les deux solutions suivantes : La première solution entraîne
l'université, Professeur à l'École Lavoisier. L'équation d'une conique admettant l'origine pour foyer et la droite donnée pour directrice peut se mettre sous la forme suivante: Le facteur cos2o n'est nul que pour une valeur de θ; nous devons donc rejeter la solution cos2θ = 0, et nous ne nous occuperons dans la suite du problème que de la solution acceptable Remarque. — Toutes les fois que l'équation d'une parabole est mise sous cette forme, l'équation est celle d'un diamètre. Or, ici, ce diamètre passe par le foyer qui est l'origine, c'est donc l'axe de la parabole. 1° Le sommet de la parabole est à l'intersection de l'axe et de la tangente au sommet Pour avoir le lieu demandé, il suffit d'éliminer tgθ entre ces deux équations. Tirant tgθ de la première équation et portant sa valeur dans la seconde, on a les deux solutions suivantes : La première solution entraîne y = 0, d'après la première équation : donc l'origine est un point du lieu. La seconde solution est l'équation d'un cercle qui passe par l'origine et qui est tangent en ce point à l'axe des y; cela nous explique pourquoi nous trouvions l'origine comme point du lieu. Ce cercle passe aussi par le point y = 0, x = -, Son centre est sur l'axe des x et son rayon est -. Pour avoir l'équation du lieu cherché, nous éliminons tg entre l'équation de la droite et l'équation de la parabole, et nous obtenons . En portant cette valeur dans l'équation de la parabole, nous trouvons les deux solutions suivantes : La première solution entraîne a2 = 0, d'après la première équation, donc l'origine est un point du lieu. La seconde solution peut s'écrire, cette équation est satisfaite pour . Le lieu cherché est donc un système de deux cercles placés symétriquement par rapport à l'axe des x, tangents à cette droite à l'origine des coordonnées. Remarque. — Sachant que les coordonnées du point A sont a, 0, et que la polaire du point A est donc l'axe des y, ainsi, est une droite fixe. L'équation du diamètre considéré
passe aussi par le point y = 0, x = -, Son centre est sur l'axe des x et son rayon est -. Pour avoir l'équation du lieu cherché, nous éliminons tg entre l'équation de la droite et l'équation de la parabole, et nous obtenons . En portant cette valeur dans l'équation de la parabole, nous trouvons les deux solutions suivantes : La première solution entraîne a2 = 0, d'après la première équation, donc l'origine est un point du lieu. La seconde solution peut s'écrire, cette équation est satisfaite pour . Le lieu cherché est donc un système de deux cercles placés symétriquement par rapport à l'axe des x, tangents à cette droite à l'origine des coordonnées. Remarque. — Sachant que les coordonnées du point A sont a, 0, et que la polaire du point A est donc l'axe des y, ainsi, est une droite fixe. L'équation du diamètre considéré est . L'équation du lieu cherché est l'équation obtenue en remplaçant tg par sa valeur dans l'équation de la parabole; on obtient ainsi l'équation, qui peut s'écrire . Elle donne donc les deux solutions . La première équation n'est satisfaite que pour x = a, y = 0; le point A est un point du lieu. La seconde équation est celle d'une droite parallèle à Ox passant par le milieu de la droite OA. Le point A est un point isolé. Cherchons les coordonnées du point d'intersection. Son abscisse est x = et son ordonnée, étant racine de l'équation . Cette équation représente la droite parallèle à Oy et passant par le milieu de OA, c'est-à-dire la droite précédente. Vérifications géométriques. 1°. — Pour avoir le sommet P de l'une de ces paraboles, nous menons la perpendiculaire OU à la droite AM, et nous prenons le milieu de cette ligne. Or, par construction, les points O et A étant fixes, le lieu du point H est la circonférence décrite sur OA comme diamètre. Mais les points P sont tels que y = x = Cte. Le lieu du point P est donc une circonférence homothétique ; la circonférence OA décrite
A est un point du lieu. La seconde équation est celle d'une droite parallèle à Ox passant par le milieu de la droite OA. Le point A est un point isolé. Cherchons les coordonnées du point d'intersection. Son abscisse est x = et son ordonnée, étant racine de l'équation . Cette équation représente la droite parallèle à Oy et passant par le milieu de OA, c'est-à-dire la droite précédente. Vérifications géométriques. 1°. — Pour avoir le sommet P de l'une de ces paraboles, nous menons la perpendiculaire OU à la droite AM, et nous prenons le milieu de cette ligne. Or, par construction, les points O et A étant fixes, le lieu du point H est la circonférence décrite sur OA comme diamètre. Mais les points P sont tels que y = x = Cte. Le lieu du point P est donc une circonférence homothétique ; la circonférence OA décrite sur OA comme diamètre, OA' étant égal à -. 2°. — Pour avoir un point de la parabole, nous menons par le point O, foyer de cette courbe, une parallèle OK à la directrice AM, et nous prenons sur OK une longueur égale à la distance OH du foyer à la directrice. Menons KI perpendiculaire à KO. Les triangles OKU et OAU sont semblables, car ils ont leurs côtés perpendiculaires; ils sont égaux, car, d'après la construction, ils ont deux côtés égaux : OK = OA = O. Par conséquent, l'angle OKU est droit, et tel que ses côtés passent par deux points fixes; le lieu du point K, sommet de l'angle, est une circonférence décrite sur OK comme diamètre. Une construction analogue nous donnerait le point Ki, symétrique de K par rapport au point O. Le lieu cherché se compose donc de deux circonférences. Le point A étant sur la directrice, la polaire passe par le foyer, et est perpendiculaire à OA; c'est donc l'axe des y lui-même, quelle que soit la parabole; la polaire de A est donc fixe. 3°. — On sait que, dans une parabole, si A est un point du plan, la polaire et AS
la directrice. Menons KI perpendiculaire à KO. Les triangles OKU et OAU sont semblables, car ils ont leurs côtés perpendiculaires; ils sont égaux, car, d'après la construction, ils ont deux côtés égaux : OK = OA = O. Par conséquent, l'angle OKU est droit, et tel que ses côtés passent par deux points fixes; le lieu du point K, sommet de l'angle, est une circonférence décrite sur OK comme diamètre. Une construction analogue nous donnerait le point Ki, symétrique de K par rapport au point O. Le lieu cherché se compose donc de deux circonférences. Le point A étant sur la directrice, la polaire passe par le foyer, et est perpendiculaire à OA; c'est donc l'axe des y lui-même, quelle que soit la parabole; la polaire de A est donc fixe. 3°. — On sait que, dans une parabole, si A est un point du plan, la polaire et AS un diamètre mené par le point A, la courbe rencontre la polaire au milieu T de AS. Donc, pour avoir le lieu cherché, nous prendrons une série de droites passant par A, coupant l'axe des y en S par exemple : la ligne décrite par le milieu T de AS est une droite parallèle à Oy et passant par le milieu A' de OA. La tangente en ces points est parallèle à la polaire; c'est la droite du lieu elle-même. 4°. — Le dernier lieu est une parallèle à Oy distante de Oy d'une longueur OA = OA. Ce fait s'explique facilement, car, dans le cas considéré, les deux tangentes sont rectangulaires, et par conséquent les deux normales; ainsi la figure formée par ces quatre droites est un rectangle. Nous cherchons le lieu du sommet; pour cela, il suffit de mener par A des droites telles que AS, de prendre au-delà de Oy sur ces droites la longueur SA = AS. Le lieu de A est donc bien une parallèle à Oy telle qu'elle passe par A2, si OA = OA. PUTHOMME, Élève du Cours préparatoire à l'École centrale à l'École Lavoisier. A résolu la question 598 : MM. J.-L.
est une droite parallèle à Oy et passant par le milieu A' de OA. La tangente en ces points est parallèle à la polaire; c'est la droite du lieu elle-même. 4°. — Le dernier lieu est une parallèle à Oy distante de Oy d'une longueur OA = OA. Ce fait s'explique facilement, car, dans le cas considéré, les deux tangentes sont rectangulaires, et par conséquent les deux normales; ainsi la figure formée par ces quatre droites est un rectangle. Nous cherchons le lieu du sommet; pour cela, il suffit de mener par A des droites telles que AS, de prendre au-delà de Oy sur ces droites la longueur SA = AS. Le lieu de A est donc bien une parallèle à Oy telle qu'elle passe par A2, si OA = OA. PUTHOMME, Élève du Cours préparatoire à l'École centrale à l'École Lavoisier. A résolu la question 598 : MM. J.-L. PRÉVOST; J. DAVID; CARRÉ, Répétiteur au C. de Boulogne-sur-Mer; P. LONGEOT, C. HERRMANN; THÉVENIN; L. ESPINAT; B. MARQUE, Répétiteur au L. de Tulle. Le coefficient angulaire de AC étant -5-7— > on trouve, pour les équations des hauteurs RH, CH, ce qui revient à transporter l'origine au point (rji -5) ; l'équation (1) devient Le lieu cherché est donc une parabole ayant pour sommet la nouvelle origine, pour axe une parallèle à MO, pour paramètre b. II. — Écrivons l'équation de BH ainsi : Pour avoir l'enveloppe, nous exprimons que l'équation (2) a une Figure. — 348 — racine double; il vient ou, en transportant l'origine au point (0, — a), L'enveloppe cherchée est donc une parabole ayant pour paramètre S1, pour sommet le point (0, — a), pour axe une parallèle à OM. On arrive facilement au même résultat par la géométrie pure, en effet, construisons le parallélogramme GABF (fig. 7CI); le sommet F, symétrique de A par rapport à M, est fixe et BU est perpendiculaire à HF. Donc BU enveloppe une parabole ayant pour foyer le point F, pour tangente au sommet la droite AB. C. BERGMAN, Élève au Lycée Saint-Louis, à Paris, Seconde Solution. I. —
; l'équation (1) devient Le lieu cherché est donc une parabole ayant pour sommet la nouvelle origine, pour axe une parallèle à MO, pour paramètre b. II. — Écrivons l'équation de BH ainsi : Pour avoir l'enveloppe, nous exprimons que l'équation (2) a une Figure. — 348 — racine double; il vient ou, en transportant l'origine au point (0, — a), L'enveloppe cherchée est donc une parabole ayant pour paramètre S1, pour sommet le point (0, — a), pour axe une parallèle à OM. On arrive facilement au même résultat par la géométrie pure, en effet, construisons le parallélogramme GABF (fig. 7CI); le sommet F, symétrique de A par rapport à M, est fixe et BU est perpendiculaire à HF. Donc BU enveloppe une parabole ayant pour foyer le point F, pour tangente au sommet la droite AB. C. BERGMAN, Élève au Lycée Saint-Louis, à Paris, Seconde Solution. I. — Le milieu M (fig. 7C2) du côté BG étant fixe, le sommet G décrit une parallèle à AB. Menons AG, BH, MG, perpendiculaires à AB ; les points A2, B2 sont les orthocentres de deux triangles rectangles AG, BH, B2 Cs A, et par suite font partie du lieu cherché. Soient G0 le milieu de BG, et H0 l'orthocentre du triangle AC0. Je dis que le lieu A est une parabole ayant pour sommet H0 et pour axe C0 H0. En effet, soit H l'orthocentre du triangle quelconque ACB de la question; menons HP perpendiculaire à CH0, et démontrons que le rapport HP : H0P est constant. Les triangles BH0Q, GAQ étant semblables, on a Cette relation s'applique également au point H0 pour lequel a1 = 0, y = 0; donc Par conséquent II. — L'enveloppe de la hauteur BH (fig. 703) est une parabole dont l'axe est dirigé suivant BH perpendiculaire à AH. En effet, soient AC1, AG'B', deux triangles infiniment voisins, et BD, BD' leurs hauteurs se coupant en N ; menons les coordonnées NX = x, NY = y de l' Figure. Passons à la limite en faisant coïncider B'C avec BG ; les égalités (i) et