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de l'enveloppe, en supposant qu'elle ne se soit point dilatée. Le coefficient de dilatation du gaz à volume constant est 0,003; la densité du mercure à 0° est 13,0. (Baccalauréat de l'Enseignement classique, Nancy, juillet 1891.) Le corps, en arrivant sur l'enclume, possède une vitesse égale à 2m, et par suite une force vive qui a pour expression 2X-X(20^2 + 23). Après 100 chutes successives la force vive totale qui a été détruite par le choc est — X X (ioa + 2) et par suite le nombre de calories engendrées est Cette quantité de chaleur déterminera, dans le système, une élévation de température x, donnée par l'équation TI, c, c', c" étant respectivement les poids et les chaleurs spécifiques du mobile, du gaz contenu dans ce mobile et de l'enclume. Pour l'application numérique, il suffit de remplacer les lettres par les nombres de renommée, en prenant pour poids p le poids liquide du corps 2 x 1 293 x 3 qui tombe, augmenté du poids, Kg. du gaz contenu. 1 ° ' 1 -jOX 00 On trouve 20.6 pour valeur de x, ce qui donne 20.0 pour température finale. II. — La pression y du gaz intérieur, par centimètre carré, est donnée par la formule ARRÈRE, Élève de Première (E. moderne) au Lycée de Beaucaire. — 228 — Ont résolu la question 564 : MM. J. LA MON; II. TORCHET; J. FUSILLIER; J. HOUSSOU. Instituteurs. — MM. VENET; H. HAURY; FERRAND; E. LEVESQUE; K. DUSSAUX; C. GALLOIS; J. AUMANN. — MM. E. LEGRAND; V. JOUSSERAND; E. JOURD. MM. C. POUGNAULT; J. PELLISSIER; DL'CAMP; A. CASAUCHON, Professeur au Collège de Montagne; E. CHENU. — Mme M. DAMIEN. 565. — Un tube est disposé verticalement sur une cuve à mercure, renfermant de l'air sur une longueur de 0m,20. La hauteur du mercure dans le tube est de 0m,30. On laisse ce tube immobile, et on y introduit un liquide volatil en excès, dont la tension maximale est 0m,102. On demande quelle sera la hauteur du mercure au-dessus de la cuve, la pression extérieure étant de 0m,76. On néglige la variation du
carré, est donnée par la formule ARRÈRE, Élève de Première (E. moderne) au Lycée de Beaucaire. — 228 — Ont résolu la question 564 : MM. J. LA MON; II. TORCHET; J. FUSILLIER; J. HOUSSOU. Instituteurs. — MM. VENET; H. HAURY; FERRAND; E. LEVESQUE; K. DUSSAUX; C. GALLOIS; J. AUMANN. — MM. E. LEGRAND; V. JOUSSERAND; E. JOURD. MM. C. POUGNAULT; J. PELLISSIER; DL'CAMP; A. CASAUCHON, Professeur au Collège de Montagne; E. CHENU. — Mme M. DAMIEN. 565. — Un tube est disposé verticalement sur une cuve à mercure, renfermant de l'air sur une longueur de 0m,20. La hauteur du mercure dans le tube est de 0m,30. On laisse ce tube immobile, et on y introduit un liquide volatil en excès, dont la tension maximale est 0m,102. On demande quelle sera la hauteur du mercure au-dessus de la cuve, la pression extérieure étant de 0m,76. On néglige la variation du mercure dans la cuvette, et le poids de l'excès du liquide volatil. (Concours académique de l'Enseignement spécial, Paris, 1875.) Résolvons d'abord le problème général. Supposons le tube rigoureusement cylindrique, et désignons par a la base de la colonne d'air située au sommet du tube, par h la hauteur du mercure soulevé, par H la pression atmosphérique, par f la tension maximale de la vapeur du liquide introduit, et par x la hauteur du mercure soulevé après l'introduction du liquide. Au début, on a une masse d'air de volume a (en prenant pour unité la section du tube), et de pression H - h. À la fin, le volume occupé par la même masse d'air est a - (h - a*), et la pression individuelle de cet air dans le mélange est H - x - f. On a donc, d'après la loi de Mariotte, Cette équation peut être mise sous la forme Elle a ses racines réelles, car le déterminant peut être mis sous la forme suivante, d'une somme de quantités toutes positives, It étant nécessairement supérieur à h : Des deux racines, l'une est toujours positive et supérieure à h. En effet, la substitution de h dans le premier
soulevé, par H la pression atmosphérique, par f la tension maximale de la vapeur du liquide introduit, et par x la hauteur du mercure soulevé après l'introduction du liquide. Au début, on a une masse d'air de volume a (en prenant pour unité la section du tube), et de pression H - h. À la fin, le volume occupé par la même masse d'air est a - (h - a*), et la pression individuelle de cet air dans le mélange est H - x - f. On a donc, d'après la loi de Mariotte, Cette équation peut être mise sous la forme Elle a ses racines réelles, car le déterminant peut être mis sous la forme suivante, d'une somme de quantités toutes positives, It étant nécessairement supérieur à h : Des deux racines, l'une est toujours positive et supérieure à h. En effet, la substitution de h dans le premier membre de l'équation donne pour résultat - af, quantité négative, tandis que la substitution de x donne un résultat positif. Cette racine ne convient jamais au problème. La seconde racine, inférieure à h, convient toujours. Elle est positive si l'on a f < H, et négative dans le cas contraire. En particulier, si l'on a h = H, c'est-à-dire si le tube est un baromètre sans air, la racine est nulle pour f = H; elle est positive pour f > H et négative pour f < H, ce qui était évident a priori. De même si h = 0, cas où le tube renferme, au début, de l'air à la pression atmosphérique, la racine est toujours négative, c'est-à-dire que l'introduction d'un liquide quelconque fait baisser le niveau du mercure dans le tube au-dessous du niveau dans la cuvette, ce qui était encore évident a priori. Par l'application numérique, avec les données de l'énoncé, on a l'équation La valeur de x qui convient est 20cm,0. G. CHEVALIER, Élève de la Première Classe au Pensionnat des Frères, à Reims. Ont résolu la question 565 : MM. L. TUONIN, Pensionnat des Frères, à Reims; J. HOUSSOU; J. LAMON; P. REBOUILLAT; H. TORCHET;
En particulier, si l'on a h = H, c'est-à-dire si le tube est un baromètre sans air, la racine est nulle pour f = H; elle est positive pour f > H et négative pour f < H, ce qui était évident a priori. De même si h = 0, cas où le tube renferme, au début, de l'air à la pression atmosphérique, la racine est toujours négative, c'est-à-dire que l'introduction d'un liquide quelconque fait baisser le niveau du mercure dans le tube au-dessous du niveau dans la cuvette, ce qui était encore évident a priori. Par l'application numérique, avec les données de l'énoncé, on a l'équation La valeur de x qui convient est 20cm,0. G. CHEVALIER, Élève de la Première Classe au Pensionnat des Frères, à Reims. Ont résolu la question 565 : MM. L. TUONIN, Pensionnat des Frères, à Reims; J. HOUSSOU; J. LAMON; P. REBOUILLAT; H. TORCHET; A. CASAMIAN; NARRÈRE; G. FUSILLIER; P. SFEMET; THÉVENIN. Instituteurs. — MM. VENET; E. LEVESQUE; E. DUSSAUX; FERRAND; J. AURANET; II. BAURY; C GALLOIS. — V. JOUSSERAND; E. JOURD; E. LEGRAND. MM. E. CHENU; DL'CAMP; C. POUGNAULT; A. RÉGNIER, E. NEST; B. PELLISSIER. — Mme M. DELAMARE. — Mme M. DAMIEN. PRÉPARATION A L'AGRÉGATION DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE SPÉCIAL 557. — SOLUTION de la Composition de Mécanique du Concours d'Agrégation de l'Enseignement secondaire spécial, en 1891. (Voir l'énoncé n°4, 20 janvier 1892, page 114.) Première Méthode. Les triangles rectangles ABE et CBE (fig. 728) donnent Soit E' la nouvelle position du point E après qu'on y a suspendu le poids P. Si on compte positivement les valeurs de a, b, y dans le cas de l'allongement des tiges, négativement dans le cas du raccourcissement, on aura Le théorème de Stewart, appliqué au triangle AE'C, donne Effectuant et négligeant les infiniment petits du second ordre — 230 — dans cette équation, on obtient la suivante : (A) v'2 = a2 + b2 + c2 + 3 p. Désignons par R, S, T les tensions respectives, évaluées en dynamique, des tiges AE', BE', CE', leurs valeurs négatives correspondant à des compressions. Si l'on suppose
PRÉPARATION A L'AGRÉGATION DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE SPÉCIAL 557. — SOLUTION de la Composition de Mécanique du Concours d'Agrégation de l'Enseignement secondaire spécial, en 1891. (Voir l'énoncé n°4, 20 janvier 1892, page 114.) Première Méthode. Les triangles rectangles ABE et CBE (fig. 728) donnent Soit E' la nouvelle position du point E après qu'on y a suspendu le poids P. Si on compte positivement les valeurs de a, b, y dans le cas de l'allongement des tiges, négativement dans le cas du raccourcissement, on aura Le théorème de Stewart, appliqué au triangle AE'C, donne Effectuant et négligeant les infiniment petits du second ordre — 230 — dans cette équation, on obtient la suivante : (A) v'2 = a2 + b2 + c2 + 3 p. Désignons par R, S, T les tensions respectives, évaluées en dynamique, des tiges AE', BE', CE', leurs valeurs négatives correspondant à des compressions. Si l'on suppose les allongements a, b, c exprimés en mètres, on a d'où l'on tire : La force P étant la résultante de H, S et T, le théorème des projections donne Cherchons les valeurs des sinus et des cosinus contenus dans ces équations. Nous avons ou Cette équation, en négligeant les infiniment petits du second ordre, donne après avoir multiplié les deux termes de la première fraction par et la dernière équation on déduit nous obtenons ainsi ce résultat : après avoir trouvé sous le radical le numérateur nous ajoutons à ce numérateur la quantité pour former le développement du carré de il est permis, dans ce problème, d'ajouter cette quantité, parce qu'elle n'est formée que d'infiniment petits du second ordre. On a aussi remplaçant les lignes par leurs valeurs, négligeant les infiniment petits du second ordre, et multipliant les deux termes de la fraction trouvée pour cos E'BC par la quantité conjuguée du dénominateur, on obtient Le cosinus est un infiniment petit du premier ordre; donc Enfin, en opérant de la même façon sur l'équation on trouve et de cette équation on déduit La substitution des valeurs des sinus et des cosinus dans le système (2) donne : Un remplaçant,
infiniment petits du second ordre, donne après avoir multiplié les deux termes de la première fraction par et la dernière équation on déduit nous obtenons ainsi ce résultat : après avoir trouvé sous le radical le numérateur nous ajoutons à ce numérateur la quantité pour former le développement du carré de il est permis, dans ce problème, d'ajouter cette quantité, parce qu'elle n'est formée que d'infiniment petits du second ordre. On a aussi remplaçant les lignes par leurs valeurs, négligeant les infiniment petits du second ordre, et multipliant les deux termes de la fraction trouvée pour cos E'BC par la quantité conjuguée du dénominateur, on obtient Le cosinus est un infiniment petit du premier ordre; donc Enfin, en opérant de la même façon sur l'équation on trouve et de cette équation on déduit La substitution des valeurs des sinus et des cosinus dans le système (2) donne : Un remplaçant, dans l'égalité (A), a, p, f par leurs valeurs données par les relations (1), on obtient: En opérant de même pour leurs égalités (3), on obtient deux équations qui, en tenant compte de la relation (i), peuvent s'écrire : La première de ces deux égalités peut se simplifier. En effet, les relations (t) montrent que K est du même ordre de grandeur que les allongements a, b, c ; on a donc, au degré d'approximation convenu : Par conséquent le système à résoudre pour obtenir H, S, T est le suivant: Seconde Méthode. On peut arriver au système précédent en suivant une autre méthode. Posons Prenons pour axes de coordonnées HE du point E et la verticale BG; appelons x et y les coordonnées de la position primitive du point E (y = 0). Nous aurons: d'où, par différentiation, c'est-à-dire, en remplaçant a, b, c, f, m, j, y par leurs valeurs respectives 2, 2, te; 2, t, 2, 0, Éliminant dx et dy entre ces trois relations, il vient : C'est la relation (A) de la solution précédente. On a d'ailleurs: II, S, T, K ayant la même signification que tout à l'heure M = 100'000'000, de sorte que
les relations (t) montrent que K est du même ordre de grandeur que les allongements a, b, c ; on a donc, au degré d'approximation convenu : Par conséquent le système à résoudre pour obtenir H, S, T est le suivant: Seconde Méthode. On peut arriver au système précédent en suivant une autre méthode. Posons Prenons pour axes de coordonnées HE du point E et la verticale BG; appelons x et y les coordonnées de la position primitive du point E (y = 0). Nous aurons: d'où, par différentiation, c'est-à-dire, en remplaçant a, b, c, f, m, j, y par leurs valeurs respectives 2, 2, te; 2, t, 2, 0, Éliminant dx et dy entre ces trois relations, il vient : C'est la relation (A) de la solution précédente. On a d'ailleurs: II, S, T, K ayant la même signification que tout à l'heure M = 100'000'000, de sorte que la relation précédente (A') se transforme en celle-ci: Cette première relation entre II, S, T est déduite de considérations géométriques et de la loi conventionnelle de l'élasticité; la mécanique nous donnera entre ces trois quantités deux autres équations que l'on obtiendra en projetant sur les axes de coordonnées les forces qui agissent sur le point E quand l'équilibre est établi. Désignons par a, b, y les angles que font alors avec HE, CE, les directions AH, HE, CE; nous aurons: En projetant les forces sur HE, en négligeant les infiniment petits du second ordre et en remplaçant a, b, c par leurs valeurs K, KS, KT, on trouve : Mais les relations (6) prouvent que dx et dy sont du même ordre de grandeur que les allongements a, b, c. On a donc, au degré d'approximation indiqué : et l'équation précédente devient: ou bien, en remarquant que dx - db = K6S =: K2S, on a bien, pour déterminer les inconnues R, S, T, les trois équations du système (a). Résolution numérique. Si dans ce système on fait K = 0, on trouve le système : qui est celui qu'on aurait obtenu en supposant que dans la déformation du système
qui agissent sur le point E quand l'équilibre est établi. Désignons par a, b, y les angles que font alors avec HE, CE, les directions AH, HE, CE; nous aurons: En projetant les forces sur HE, en négligeant les infiniment petits du second ordre et en remplaçant a, b, c par leurs valeurs K, KS, KT, on trouve : Mais les relations (6) prouvent que dx et dy sont du même ordre de grandeur que les allongements a, b, c. On a donc, au degré d'approximation indiqué : et l'équation précédente devient: ou bien, en remarquant que dx - db = K6S =: K2S, on a bien, pour déterminer les inconnues R, S, T, les trois équations du système (a). Résolution numérique. Si dans ce système on fait K = 0, on trouve le système : qui est celui qu'on aurait obtenu en supposant que dans la déformation du système la direction des lignes n'a pas changé; or, le déplacement du point K est très faible, par suite les valeurs données pour S, T par le système (a') seront très peu différentes de celles que donnerait le système (a), ce qui conduit à résoudre ce dernier système par la méthode des approximations successives. On résoudra d'abord le système (a), qui donnera pour les inconnues les valeurs approchées U1, S1, T1 ; on portera ces valeurs dans les seconds membres des équations (a), et on aura le système : duquel on déduira des valeurs H2, S2, T2 plus approchées que les précédentes, et on continuera ainsi tant que les valeurs trouvées différeront par les kilogrammes. En effectuant les calculs, on trouve d'abord puis le troisième calcul d'approximation ne change pas les valeurs précédentes. On a donc : Déplacement du point E. Cherchons les projections horizontale et verticale du déplacement du point E. Soit K la projection de E' sur HE. Le déplacement horizontal est EK. En le comptant positivement vers la droite, on a Le point E dévie donc horizontalement vers la droite d'une quantité égale à [û. Sa valeur est La déviation verticale vers le bas est KE'; on a
des approximations successives. On résoudra d'abord le système (a), qui donnera pour les inconnues les valeurs approchées U1, S1, T1 ; on portera ces valeurs dans les seconds membres des équations (a), et on aura le système : duquel on déduira des valeurs H2, S2, T2 plus approchées que les précédentes, et on continuera ainsi tant que les valeurs trouvées différeront par les kilogrammes. En effectuant les calculs, on trouve d'abord puis le troisième calcul d'approximation ne change pas les valeurs précédentes. On a donc : Déplacement du point E. Cherchons les projections horizontale et verticale du déplacement du point E. Soit K la projection de E' sur HE. Le déplacement horizontal est EK. En le comptant positivement vers la droite, on a Le point E dévie donc horizontalement vers la droite d'une quantité égale à [û. Sa valeur est La déviation verticale vers le bas est KE'; on a successivement Les signes de P et f prouvent du reste que, si on décrit de H et C comme centres des circonférences avant pour rayons respectifs HE et CE, le point E' sera placé dans la portion du plan comprise entre ces deux lignes, à l'intérieur de la circonférence CE et à l'extérieur de la circonférence HE. G. DUMONT et L. DELMAS. Nous avons résolu la question 557 (ordre alphabétique) : MM. J. D. VID, Instituteur ; Connu ; G. DUMONT, Élève libre à l'École préparatoire à l'Inspection supérieure des Sciences de Marseille. NOTA Cette solution est envoyée par MM. G. DUMONT, Professeur agrégé au Collège de Sedan et L. DELMAS, répétiteur général au Lycée de Marseille. M. G. DUMONT a été reçu au concours d'agrégation de l'enseignement secondaire spécial en 1891 ; M. L. DELMAS était admissible On peut d'ailleurs démontrer, a priori, que si l'on considère les variations de longueur des tiges comme des infiniment petits du premier ordre, et que l'on convienne de négliger les infiniment petits du second ordre, on n'a pas le droit, théoriquement, à ce degré près d'approximation, d'écrire les équations d'équilibre comme si la direction de chaque tige n'avait pas été altérée par
et à l'extérieur de la circonférence HE. G. DUMONT et L. DELMAS. Nous avons résolu la question 557 (ordre alphabétique) : MM. J. D. VID, Instituteur ; Connu ; G. DUMONT, Élève libre à l'École préparatoire à l'Inspection supérieure des Sciences de Marseille. NOTA Cette solution est envoyée par MM. G. DUMONT, Professeur agrégé au Collège de Sedan et L. DELMAS, répétiteur général au Lycée de Marseille. M. G. DUMONT a été reçu au concours d'agrégation de l'enseignement secondaire spécial en 1891 ; M. L. DELMAS était admissible On peut d'ailleurs démontrer, a priori, que si l'on considère les variations de longueur des tiges comme des infiniment petits du premier ordre, et que l'on convienne de négliger les infiniment petits du second ordre, on n'a pas le droit, théoriquement, à ce degré près d'approximation, d'écrire les équations d'équilibre comme si la direction de chaque tige n'avait pas été altérée par la déformation du système. En effet, soit un triangle ARC; appelons la, ïi, ïe les variations des côtés a, b, c, supposées infiniment petites du premier ordre, et SA, SH, SG les variations correspondantes des angles; ces dernières seront aussi des infiniment petites du premier ordre. Donc, si nous nous reportons à la figure 738, on voit que, si l'on appelle A l'angle EAB, l'angle E'Ali pourra être représenté par A + SA, SA étant un infiniment petit du premier ordre. Mais, dans les équations d'équilibre, l'angle E'AH figure seulement par son sinus et son cosinus; or on a: et comme on a, en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier: De plus, si l'on remarque que les valeurs de sin (A + SA) et cos (A + SA) sont multipliées par H, qui est une quantité finie, on conclut (en tenant compte des infiniment petits du premier ordre) qu'on ne peut pas remplacer H cos (A + SA) par H cos A, ni H sin (A + SA) par H sin A. Il en est de même évidemment pour les angles E'HC et E'CA. La simplification que nous avons indiquée n'est donc pas permise, au degré près
reportons à la figure 738, on voit que, si l'on appelle A l'angle EAB, l'angle E'Ali pourra être représenté par A + SA, SA étant un infiniment petit du premier ordre. Mais, dans les équations d'équilibre, l'angle E'AH figure seulement par son sinus et son cosinus; or on a: et comme on a, en négligeant les infiniment petits d'un ordre supérieur au premier: De plus, si l'on remarque que les valeurs de sin (A + SA) et cos (A + SA) sont multipliées par H, qui est une quantité finie, on conclut (en tenant compte des infiniment petits du premier ordre) qu'on ne peut pas remplacer H cos (A + SA) par H cos A, ni H sin (A + SA) par H sin A. Il en est de même évidemment pour les angles E'HC et E'CA. La simplification que nous avons indiquée n'est donc pas permise, au degré près d'approximation demandé. Néanmoins, comme cette simplification facilite et abrège beaucoup la solution de ce genre de question, on l'adopte dans la pratique, et on voit, par l'exemple précédent, que les résultats obtenus sont bien suffisamment exacts au point de vue des applications. Supposons qu'il y ait quatre tiges AE, BE, CE, DE, articulées en E. La géométrie donnera d'abord deux relations, analogues à l'égalité (A), entre les variations a, ïi, y, s des longueurs de ces quatre tiges. En effet, les longueurs AE' = a + a et BE' = b + b déterminent la position du point E'; en écrivant que les lignes CE' et DE', dont les longueurs sont déterminées, puisque le point E' est lui-même déterminé, sont respectivement égales à c + c et d + d, on aura bien deux relations entre a, b, c, d. On obtient facilement ces deux relations en appliquant, par exemple, le théorème de Stewart à deux des triangles formés par les quatre tiges et la verticale ABCD, soit aux deux triangles AE'C et BE'D, et en négligeant les infiniment petits du second ordre (ne pas oublier la vérification qui résulte de ce que l'on peut prendre de plusieurs manières les
CE, DE, articulées en E. La géométrie donnera d'abord deux relations, analogues à l'égalité (A), entre les variations a, ïi, y, s des longueurs de ces quatre tiges. En effet, les longueurs AE' = a + a et BE' = b + b déterminent la position du point E'; en écrivant que les lignes CE' et DE', dont les longueurs sont déterminées, puisque le point E' est lui-même déterminé, sont respectivement égales à c + c et d + d, on aura bien deux relations entre a, b, c, d. On obtient facilement ces deux relations en appliquant, par exemple, le théorème de Stewart à deux des triangles formés par les quatre tiges et la verticale ABCD, soit aux deux triangles AE'C et BE'D, et en négligeant les infiniment petits du second ordre (ne pas oublier la vérification qui résulte de ce que l'on peut prendre de plusieurs manières les deux triangles auxquels on applique le théorème de Stewart). Les équations d'équilibre donneront deux nouvelles relations. On aura donc quatre équations dans lesquelles on remplacera a, b, c, d par leurs expressions en fonction des tensions ou compressions, et qui détermineront ces dernières. Les coordonnées du déplacement du point E s'en déduiront facilement. On voit donc que la méthode suivie est générale : si l'on avait n ligues articulées en E, la géométrie donnerait n - 2 relations entre les n variations de leurs longueurs; la mécanique donnerait deux autres relations (deux équations de projection), soit en tout n équations pour les n inconnues, les n tensions ou compressions des ligues. Après avoir résolu ce système, on aura les tensions ou compressions de chacune des tiges et on en déduira les coordonnées du déplacement du point E. A. COMBE, Professeur agrégé au Lycée Charlemagne. QUELQUES MOTS SUR LA STRUCTURE ET LA NUTRITION DU PROTOPLASME La découverte du microscope et les perfectionnements incessants apportés à la construction de cet appareil ont jeté un jour tout nouveau sur la structure des êtres vivants. Le nouvel instrument révéla, dans les coupes des végétaux, d'abord l'existence d'un certain nombre de loges remplies d'une substance