jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
de droite O O'. 2° La branche d'hyperbole partage le plan en deux régions : celle qui contient le centre O renferme les points plus voisins de la circonférence O que de la circonférence O'. Quand H = R', la branche d'hyperbole se réduit à la tangente commune aux deux circonférences. 4e CAS : Les circonférences sont tangentes intérieurement (fig. 675). — On peut rattacher ce cas au second, en supposant que le centre O' se rapproche du centre O jusqu'à ce que les deux points G et C se confondent. L'ellipse existe toujours, puisque sa distance focale D = R - H' et est par suite inférieure à son grand axe R + H': Quant à la branche d'hyperbole, elle se réduit à la demi-droite O E, puisque la distance focale D devient égale à l'axe transverse R - R'. La région couverte de hachures et intérieure à l'ellipse disparaît, et il résulte que : 1° La ligne L se compose d'une ellipse de foyers O et O' et de grand axe R + H, et d'une demi-droite allant du centre O' vers le point de contact des deux circonférences. 2° Les points extérieurs à l'ellipse sont plus voisins de la circonférence O que de la circonférence O', et le contraire a lieu pour les points intérieurs à l'ellipse. 6e CAS : L'une des circonférences est intérieure à l'autre (fig. 676). — Considérons la région comprise entre les deux circonférences. Soit M un point du lieu, on a \(R + R' - D < R - IV\). On voit que les points tels que M appartiennent à une ellipse de foyers O et O' et de grand axe \(R + R' - D\). D'ailleurs, cette ellipse existe bien, puisque sa distance focale D < \(R - IV\), M, et, par suite, plus petite que le grand axe \(R - IV\). On démontrerait aisément que tous points de cette ellipse font partie du lieu. On montrerait, comme dans le second cas, que tous les points compris entre la circonférence O et l'ellipse sont plus voisins de la circonférence O que
de la circonférence O que de la circonférence O', et le contraire a lieu pour les points intérieurs à l'ellipse. 6e CAS : L'une des circonférences est intérieure à l'autre (fig. 676). — Considérons la région comprise entre les deux circonférences. Soit M un point du lieu, on a \(R + R' - D < R - IV\). On voit que les points tels que M appartiennent à une ellipse de foyers O et O' et de grand axe \(R + R' - D\). D'ailleurs, cette ellipse existe bien, puisque sa distance focale D < \(R - IV\), M, et, par suite, plus petite que le grand axe \(R - IV\). On démontrerait aisément que tous points de cette ellipse font partie du lieu. On montrerait, comme dans le second cas, que tous les points compris entre la circonférence O et l'ellipse sont plus voisins de la circonférence O que de la circonférence O', et que le contraire a lieu pour les points compris entre l'ellipse et la circonférence O'. D'autre part, aucun point extérieur à la circonférence O, ou intérieur à la circonférence O', n'appartient au lieu. On a \(OM + O'M = R - IV\), on verrait de même que les points intérieurs à la circonférence O' sont plus voisins de cette circonférence que de la circonférence O. Il résulte que : 1° La ligne L se compose d'une ellipse de foyers O et O' et de grand axe \(R + R' - D\), 2° Les points extérieurs à l'ellipse sont plus voisins de la circonféncia O que de la circonférence O', et le contraire a lieu pour les points intérieurs à l'ellipse. Quand R = R', les deux circonférences se confondent, et tout point du plan est équidistant des deux circonférences et fait partie du lieu. RÉMARQUE. — Le 1er et le 2e cas pourraient se déduire du 3e cas, considéré comme cas général ; les transitions s'opèrent quand les circonférences sont tangentes. En effet, dans le 1er cas D > R - H', et, par suite, D > R - IV, par conséquent, l'ellipse disparait et
même que les points intérieurs à la circonférence O' sont plus voisins de cette circonférence que de la circonférence O. Il résulte que : 1° La ligne L se compose d'une ellipse de foyers O et O' et de grand axe \(R + R' - D\), 2° Les points extérieurs à l'ellipse sont plus voisins de la circonféncia O que de la circonférence O', et le contraire a lieu pour les points intérieurs à l'ellipse. Quand R = R', les deux circonférences se confondent, et tout point du plan est équidistant des deux circonférences et fait partie du lieu. RÉMARQUE. — Le 1er et le 2e cas pourraient se déduire du 3e cas, considéré comme cas général ; les transitions s'opèrent quand les circonférences sont tangentes. En effet, dans le 1er cas D > R - H', et, par suite, D > R - IV, par conséquent, l'ellipse disparait et l'hyperbole reste; dans le 2e cas, D < R - H', et par suite D < R - R'; donc l'hyperbole disparait et l'ellipse reste. Troisième Partie. Pour que plus de deux points du lieu se projettent au même point d'une droite, il faut qu'une droite puisse rencontrer ce lieu en plus de deux points, c'est-à-dire qu'il se compose au moins d'une courbe convexe et d'une droite ou de deux courbes convexes. Par conséquent, dans le 1er cas et le 2e cas, plus de deux points ne se projeteront jamais en un même point. Cas où les circonférences sont sécantes (fig. 677). — Soit X'X, une droite passant par C, milieu de OO', et faisant avec CO' l'angle α positif et inférieur à 90°, sur laquelle se font les projections du mobile parcourant la ligne L. Ménons perpendiculairement à X'X des tangentes à l'ellipse. En appliquant la construction connue, on mène par le foyer O', par exemple, une parallèle à X'X qui rencontre le cercle directeur de l'ellipse, relatif au foyer O en A et A'; les perpendiculaires élevées à O'A et O'A' en leurs milieux B, B' nous donnent les deux tangentes BD, B'D'; les points de contact se
en plus de deux points, c'est-à-dire qu'il se compose au moins d'une courbe convexe et d'une droite ou de deux courbes convexes. Par conséquent, dans le 1er cas et le 2e cas, plus de deux points ne se projeteront jamais en un même point. Cas où les circonférences sont sécantes (fig. 677). — Soit X'X, une droite passant par C, milieu de OO', et faisant avec CO' l'angle α positif et inférieur à 90°, sur laquelle se font les projections du mobile parcourant la ligne L. Ménons perpendiculairement à X'X des tangentes à l'ellipse. En appliquant la construction connue, on mène par le foyer O', par exemple, une parallèle à X'X qui rencontre le cercle directeur de l'ellipse, relatif au foyer O en A et A'; les perpendiculaires élevées à O'A et O'A' en leurs milieux B, B' nous donnent les deux tangentes BD, B'D'; les points de contact se trouvent sur les rayons OA et OA'; d'ailleurs, le problème admet toujours deux solutions. Lorsque le mobile décrira l'ellipse, la projection du mobile sur X'X décrira deux fois la portion DD. De même, ménons à l'hyperbole des tangentes perpendiculaires à X'X. Pour cela, on prend les points de rencontre E et K' de O'A' parallèle à X'X avec le cercle directeur de l'hyperbole relatif au foyer O; les perpendiculaires élevées à O'E et O'E' en leurs milieux nous donnent les tangentes à l'hyperbole. Ici le problème admet 2 ou 0 solution selon que O'E' coupe le cercle directeur, lui est tangente ou ne le coupe pas. Comme on ne considère qu'une branche de l'hyperbole, nous ne construisons que la tangente FG relative à cette branche; le point de contact N est situé sur le rayon OE. Nous distinguerons 3 cas, suivant que l'angle α est inférieur, égal ou supérieur à l'angle OO'H', que fait la tangente menée par le foyer O' au cercle directeur avec l'axe OO'. Les asymptotes étant perpendiculaires aux tangentes O'tl et O'II' en leurs milieux, l'angle OOH' est égal à l'angle 2α des asymptotes. premier cas : α < p. — Nous avons une tangente à
et K' de O'A' parallèle à X'X avec le cercle directeur de l'hyperbole relatif au foyer O; les perpendiculaires élevées à O'E et O'E' en leurs milieux nous donnent les tangentes à l'hyperbole. Ici le problème admet 2 ou 0 solution selon que O'E' coupe le cercle directeur, lui est tangente ou ne le coupe pas. Comme on ne considère qu'une branche de l'hyperbole, nous ne construisons que la tangente FG relative à cette branche; le point de contact N est situé sur le rayon OE. Nous distinguerons 3 cas, suivant que l'angle α est inférieur, égal ou supérieur à l'angle OO'H', que fait la tangente menée par le foyer O' au cercle directeur avec l'axe OO'. Les asymptotes étant perpendiculaires aux tangentes O'tl et O'II' en leurs milieux, l'angle OOH' est égal à l'angle 2α des asymptotes. premier cas : α < p. — Nous avons une tangente à la branche d'hyperbole, et lorsque le mobile parcourt cette branche d'hyperbole, le mobile projection décrit la demi-droite GX. Donc, dans ce cas, lorsque le mobile parcourt la ligne L, entière, le mobile projection décrira plus de deux fois la portion GD de X'X. Calculons GD, on a \(GD = \frac{b^2 + c^2}{2b}\). PRÉPARATION A L'AGRÉGATION DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE SPÉCIAL 526. — Géométrie descriptive. — Dans le plan vertical de projection est tracée une verticale D (fig. 680) qui occupe le milieu de l'épure; autour de cette droite tourne un cercle C de rayon c, tangent au plan horizontal de projection, situé dans un plan parallèle au plan vertical de projection, à une distance b en avant de ce plan; de plus le centre de ce cercle est à droite du plan vertical de profil mené par D, et à une distance a de ce plan. 1° Mettre cette surface en projection; 2° Prouver que par chaque point M de cette surface il passe deux cercles C, C, (racés sur elle, dont les plans sont verticaux. En conclure que toute sphère menée par un cercle générateur G est tangente en deux points à la surface; 3° Prouver que sur chaque cercle
+ c^2}{2b}\). PRÉPARATION A L'AGRÉGATION DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE SPÉCIAL 526. — Géométrie descriptive. — Dans le plan vertical de projection est tracée une verticale D (fig. 680) qui occupe le milieu de l'épure; autour de cette droite tourne un cercle C de rayon c, tangent au plan horizontal de projection, situé dans un plan parallèle au plan vertical de projection, à une distance b en avant de ce plan; de plus le centre de ce cercle est à droite du plan vertical de profil mené par D, et à une distance a de ce plan. 1° Mettre cette surface en projection; 2° Prouver que par chaque point M de cette surface il passe deux cercles C, C, (racés sur elle, dont les plans sont verticaux. En conclure que toute sphère menée par un cercle générateur G est tangente en deux points à la surface; 3° Prouver que sur chaque cercle générateur G il existe un couple de points réels P, P' situés sur une même verticale, et qui sont tels que le plan tangent en chacun d'eux à la surface va passer au centre de la surface. En conclure que les plans tangents réels issus de ce centre à la surface enveloppent un cône de révolution; 4° On demande de construire l'intersection de la surface avec un des plans tangents à ce cône, perpendiculaire au plan vertical de projection. Rabattre cette intersection sur un plan horizontal. Données en centimètres : a = 5, b = 6, c = 3. Une rédaction détaillée doit accompagner l'épure; toutes les méthodes sont admises. (Concours d'agrégation de l'Enseignement secondaire spécial, en 1891.) 1. — Nous ne représentons que le quart de la surface situé dans le premier dièdre, à droite du plan de profil de l'axe (fig. 678). Les points (a, a'), (b, b') de la génératrice qui sont le plus rapproché et le plus éloigné de l'axe décrivent les parallèles de rayon minimum et maximum, et formant par suite le contour apparent horizontal. Les points le plus haut (c, c') et le plus bas (c, c") décrivent les parallèles supérieur et inférieur, qui
surface enveloppent un cône de révolution; 4° On demande de construire l'intersection de la surface avec un des plans tangents à ce cône, perpendiculaire au plan vertical de projection. Rabattre cette intersection sur un plan horizontal. Données en centimètres : a = 5, b = 6, c = 3. Une rédaction détaillée doit accompagner l'épure; toutes les méthodes sont admises. (Concours d'agrégation de l'Enseignement secondaire spécial, en 1891.) 1. — Nous ne représentons que le quart de la surface situé dans le premier dièdre, à droite du plan de profil de l'axe (fig. 678). Les points (a, a'), (b, b') de la génératrice qui sont le plus rapproché et le plus éloigné de l'axe décrivent les parallèles de rayon minimum et maximum, et formant par suite le contour apparent horizontal. Les points le plus haut (c, c') et le plus bas (c, c") décrivent les parallèles supérieur et inférieur, qui font partie du contour apparent vertical. Ces quatre parallèles fournissent les points de la méridienne pour lesquels la tangente est parallèle ou perpendiculaire à l'axe : cette courbe n'offre pas d'autres points remarquables réels. Elle est symétrique par rapport à la droite o'p, trace verticale du plan horizontal mené par le centre du cercle générateur; le point de rencontre de ce plan avec l'axe est le centre (o, o') de la surface. On obtient un point quelconque M' de la méridienne en amenant, par une rotation autour de l'axe, un point quelconque (m, m') de la circonférence génératrice dans le plan vertical de projection. Pour obtenir la tangente en ce point, nous remarquons que le plan de bout m' f est le plan normal en (m, m') à la génératrice, et par suite que son point de rencontre (o, z) avec l'axe est le sommet du cône des normales relatif au parallèle du point (M, m'), z M' est donc la normale à la méridienne; on en déduit la tangente M'. Le point (r, r'') du cercle qui est diamétralement opposé à (m, m') fournit le point H" en lequel la normale passe aussi par r. On voit, d'après cela,
le centre du cercle générateur; le point de rencontre de ce plan avec l'axe est le centre (o, o') de la surface. On obtient un point quelconque M' de la méridienne en amenant, par une rotation autour de l'axe, un point quelconque (m, m') de la circonférence génératrice dans le plan vertical de projection. Pour obtenir la tangente en ce point, nous remarquons que le plan de bout m' f est le plan normal en (m, m') à la génératrice, et par suite que son point de rencontre (o, z) avec l'axe est le sommet du cône des normales relatif au parallèle du point (M, m'), z M' est donc la normale à la méridienne; on en déduit la tangente M'. Le point (r, r'') du cercle qui est diamétralement opposé à (m, m') fournit le point H" en lequel la normale passe aussi par r. On voit, d'après cela, que la circonférence génératrice en projection verticale et la demi-méridienne de la surface se correspondent, point par point, de manière que deux points homologues m' et M' sont sur une même perpendiculaire à l'axe et que les normales en ces points se coupent sur l'axe. En d'autres termes, les deux courbes ont même sous-normale relativement à l'axe. Cette remarque s'applique à toute surface de révolution engendrée par une courbe située dans un plan parallèle à l'axe, et fournit le moyen de mener d'un point z de l'axe une normale à la méridienne. 2. — Le plan mené par l'axe perpendiculairement au plan vertical ab du cercle générateur, coupe ce dernier suivant la verticale oz) : le symétrique du cercle générateur par rapport à cette verticale est situé sur la surface. Lorsque le cercle (c, c) décrit la surface, son plan enveloppe un cylindre vertical s ayant pour directrice, dans le plan horizontal, le cercle de centre o et de rayon ot = b. Donc tout plan tangent à ce cylindre coupe la surface suivant deux cercles, et est par suite bitangent aux points de rencontre de ces cercles : les points de contact sont réels ou imaginaires suivant que la
courbes ont même sous-normale relativement à l'axe. Cette remarque s'applique à toute surface de révolution engendrée par une courbe située dans un plan parallèle à l'axe, et fournit le moyen de mener d'un point z de l'axe une normale à la méridienne. 2. — Le plan mené par l'axe perpendiculairement au plan vertical ab du cercle générateur, coupe ce dernier suivant la verticale oz) : le symétrique du cercle générateur par rapport à cette verticale est situé sur la surface. Lorsque le cercle (c, c) décrit la surface, son plan enveloppe un cylindre vertical s ayant pour directrice, dans le plan horizontal, le cercle de centre o et de rayon ot = b. Donc tout plan tangent à ce cylindre coupe la surface suivant deux cercles, et est par suite bitangent aux points de rencontre de ces cercles : les points de contact sont réels ou imaginaires suivant que la projection verticale du cercle générateur rencontre ou ne rencontre pas l'axe. On en conclut que le cylindre s est doublement circonscrit à la surface; les parallèles de contact sont de part et d'autre du plan horizontal de symétrie o' à la distance commune s. Par un point quelconque M de la surface on peut mener au cylindre s deux plans tangents; chacun d'eux coupe la surface suivant deux cercles verticaux; deux de ces quatre cercles passent par le point M. Considérons maintenant une sphère passant par un cercle générateur C : le symétrique Ci du cercle C, par rapport au plan méridien du centre de la sphère, est situé à la fois sur la surface et sur la sphère. Donc celle-ci coupe la surface suivant un deuxième cercle vertical et est tangente à la surface aux points de rencontre des deux cercles ; les points de contact, situés sur une même verticale, sont réels ou imaginaires selon que la distance du centre de la sphère au centre du cercle C est inférieure ou supérieure à a. 3. — La trace du plan tangent à la surface au point (m, m') du cercle générateur, sur le plan horizontal de symétrie o',
la surface on peut mener au cylindre s deux plans tangents; chacun d'eux coupe la surface suivant deux cercles verticaux; deux de ces quatre cercles passent par le point M. Considérons maintenant une sphère passant par un cercle générateur C : le symétrique Ci du cercle C, par rapport au plan méridien du centre de la sphère, est situé à la fois sur la surface et sur la sphère. Donc celle-ci coupe la surface suivant un deuxième cercle vertical et est tangente à la surface aux points de rencontre des deux cercles ; les points de contact, situés sur une même verticale, sont réels ou imaginaires selon que la distance du centre de la sphère au centre du cercle C est inférieure ou supérieure à a. 3. — La trace du plan tangent à la surface au point (m, m') du cercle générateur, sur le plan horizontal de symétrie o', est la perpendiculaire w abaissée de la trace n de la tangente au cercle sur le rayon om. Le plan tangent au point (m, m") a aussi pour trace n o. Il faut chercher la position de la courbe verticale (m, m' m") pour laquelle w passe par le point o. A cet effet, il suffit de remarquer que, les quatre points M, n, a, b formant une division harmonique, le faisceau des quatre droites w m, w n, u a, u b est harmonique, et comme les deux rayons o M, w n sont rectangulaires, ils sont les bissectrices des angles supplémentaires formés par les deux autres. Nous obtiendrons donc la corde cherchée, en menant la bissectrice op de l'angle aob, ce qui fournit le couple de points toujours réel (p, p'), (p, p''), en chacun desquels le plan tangent passe par le centre (o, o') de la surface. Ces points fournissent les joints P' et P'' de la méridienne pour lesquels les tangentes passent par le centre. Ces tangentes o'V,o'P", forment la méridienne d'un cône de révolution doublement circonscrit à la surface le long des parallèles décrites par (ptp') et (p, p"). Ce cône est l'enveloppe des plans
o. A cet effet, il suffit de remarquer que, les quatre points M, n, a, b formant une division harmonique, le faisceau des quatre droites w m, w n, u a, u b est harmonique, et comme les deux rayons o M, w n sont rectangulaires, ils sont les bissectrices des angles supplémentaires formés par les deux autres. Nous obtiendrons donc la corde cherchée, en menant la bissectrice op de l'angle aob, ce qui fournit le couple de points toujours réel (p, p'), (p, p''), en chacun desquels le plan tangent passe par le centre (o, o') de la surface. Ces points fournissent les joints P' et P'' de la méridienne pour lesquels les tangentes passent par le centre. Ces tangentes o'V,o'P", forment la méridienne d'un cône de révolution doublement circonscrit à la surface le long des parallèles décrites par (ptp') et (p, p"). Ce cône est l'enveloppe des plans tangents réels issus du centre. Nous allons montrer maintenant que la surface admet un parallèle double à l'infini. Pour que deux points A. et H. de la génératrice décrivent le même parallèle, il faut et il suffit que ces deux points soient, dans un même plan horizontal, à égales distances de l'axe ; autrement, que le pied de la perpendiculaire commune à l'axe et à la droite AU tombe au milieu de la corde AH. Or, le lieu des milieux des cordes horizontales du cercle générateur est le diamètre vertical de ce cercle, et le lieu des pieds des perpendiculaires communes à l'axe et à ces cordes est la verticale du point. Ces deux droites parallèles se rencontrent en un point qui décrit un parallèle double imaginaire de la surface. Le cône qui a pour base ce parallèle et pour sommet le centre (o, o') de la surface est un cône asymptote double. Ainsi les plans tangents à la surface issus du centre enveloppent deux cônes : un cône simple réel K et un cône asymptote double imaginaire. Tout plan tangent au cône réel K est bilangent à la surface aux points où la génératrice de contact rencontre les parallèles
de l'axe ; autrement, que le pied de la perpendiculaire commune à l'axe et à la droite AU tombe au milieu de la corde AH. Or, le lieu des milieux des cordes horizontales du cercle générateur est le diamètre vertical de ce cercle, et le lieu des pieds des perpendiculaires communes à l'axe et à ces cordes est la verticale du point. Ces deux droites parallèles se rencontrent en un point qui décrit un parallèle double imaginaire de la surface. Le cône qui a pour base ce parallèle et pour sommet le centre (o, o') de la surface est un cône asymptote double. Ainsi les plans tangents à la surface issus du centre enveloppent deux cônes : un cône simple réel K et un cône asymptote double imaginaire. Tout plan tangent au cône réel K est bilangent à la surface aux points où la génératrice de contact rencontre les parallèles de contact du cône et de la surface : ces points sont des points doubles de la section. Celle-ci admet en outre deux points doubles à l'infini, qui sont les points de rencontre du plan sécant avec le parallèle double. Or, toute surface de révolution engendrée par une conique est du 4e ordre, à moins que l'intersection du plan sécant et du plan méridien qui lui est perpendiculaire, ne soit un axe de cette conique, ce qui n'a pas lieu ici. La section est donc du 4e ordre, et comme elle présente quatre points doubles, elle se décompose en deux coniques, lesquelles passant par les points cycliques sont des cercles. Ainsi la section demandée se compose de deux cercles, évidemment égaux. En prenant comme plan sécant le plan de bout o' 1" et en désignant par u et v les longueurs oa et ob, on reconnaît très aisément que les centres (o, o') (o, o') de ces cercles sont à égales distances du centre de la surface, sur la perpendiculaire menée de ce centre au plan méridien perpendiculaire au plan sécant, savoir oi = oj + v, et que la longueur commune des diamètres est v + u. En projection