jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
et le calculateur fournit les bonnes sorties : les hauteurs d'eau. Ce modèle n'a pas de pouvoir explicatif, il a simplement un pouvoir prédictif. On parle de modèle comportemental. Les paramètres n'ont pas de sens concret, mais la simulation est aisée. Les modèles dits de connaissance sont construits à l'aide de grands principes de la physique, de la chimie, de la biologie ou de l'épidémiologie. Les paramètres ont tous une signification physique ou biologique. Le modèle peut être très complexe et le principe de parcimonie est difficile à appliquer. Dans la réalité, tout modèle est un compromis entre ces deux exigences. La modélisation commence normalement par l'énoncé des hypothèses sur le fonctionnement du processus modélisé. Ces hypothèses proviennent soit de connaissances biologiques et épidémiologiques, soit ce sont des hypothèses à tester et vérifier. L'énoncé des hypothèses permet de construire des modèles mathématiques ou informatiques. Ces modèles permettent ensuite de définir des paramètres chiffrés. Des données peuvent être utilisées pour ajuster les valeurs des paramètres et tenter de reproduire, par le calcul, les phénomènes observés. Une étape ultime consiste à faire des prédictions avec un autre jeu de données, indépendant de celui qui a permis la mise au point du modèle, et à vérifier si elles sont conformes aux observations. Les hypothèses initiales sont nécessairement simplificatrices. Un modèle aussi complexe que la réalité serait inutilisable : il ne sert à rien d'avoir une carte à l'échelle 1:1, elle est de la taille du territoire. On cherche à obtenir une caricature de la réalité dont les traits principaux restent reconnaissables. La justesse et la finesse du trait font la qualité du modèle. Le choix du trait retenu dans la caricature fait la pertinence du modèle par rapport à une question ou une utilisation. Il n'existe pas de modèle du paludisme mais seulement des modèles de certains de ses aspects. Un modèle est toujours associé à un objectif : comprendre, simuler, prédire, infirmer ou confirmer une hypothèse, estimer une intervention. LES DIFFÉRENTS MODÈLES ACTUELS La modélisation du paludisme a été envisagée à différents niveaux : les modélisations intra-hôttes, la modélisation de la dynamique
et à vérifier si elles sont conformes aux observations. Les hypothèses initiales sont nécessairement simplificatrices. Un modèle aussi complexe que la réalité serait inutilisable : il ne sert à rien d'avoir une carte à l'échelle 1:1, elle est de la taille du territoire. On cherche à obtenir une caricature de la réalité dont les traits principaux restent reconnaissables. La justesse et la finesse du trait font la qualité du modèle. Le choix du trait retenu dans la caricature fait la pertinence du modèle par rapport à une question ou une utilisation. Il n'existe pas de modèle du paludisme mais seulement des modèles de certains de ses aspects. Un modèle est toujours associé à un objectif : comprendre, simuler, prédire, infirmer ou confirmer une hypothèse, estimer une intervention. LES DIFFÉRENTS MODÈLES ACTUELS La modélisation du paludisme a été envisagée à différents niveaux : les modélisations intra-hôttes, la modélisation de la dynamique des populations plasmodiales et enfin la dynamique de la transmission. Modèles intra-hôttes Les modèles intra-hôttes concernent l'infection chez un individu. Louis Molineaux et Klaus Dietz en ont fait une revue récente. Ces modèles décrivent généralement la dynamique des stades sanguins du parasite et ses interactions avec les cellules de l'hôte, en particulier les hématies et les effecteurs du système immunitaire. Leur propos sont : d'expliquer des observations parasitologiques, par exemple sur le contrôle de la densité parasitaire, la multiplicité des infections ou la gamétocytogenèse, à l'aide d'hypothèses biologiquement plausibles ; de prédire l'impact de traitement et/ou ; d'estimer des paramètres cachés comme la taille de la population séquestrée de P.falciparum. Des travaux se sont attachés récemment à tirer parti des données et des enseignements de la malariothérapie pour mieux comprendre l'histoire naturelle des infections chez l'hôte humain et le rôle des différentes composantes de sa réponse immune. Dynamique de la population parasitaire La modélisation des populations plasmodiales a souvent visé à mieux comprendre les déterminants de la sélection, de l'extension et de la diffusion des souches résistantes aux antipaludiques. Ces modèles traitent essentiellement des aspects génétiques de la dynamique des populations plasmodiales avec des composantes hôte humaines et vectorielles (par
en particulier les hématies et les effecteurs du système immunitaire. Leur propos sont : d'expliquer des observations parasitologiques, par exemple sur le contrôle de la densité parasitaire, la multiplicité des infections ou la gamétocytogenèse, à l'aide d'hypothèses biologiquement plausibles ; de prédire l'impact de traitement et/ou ; d'estimer des paramètres cachés comme la taille de la population séquestrée de P.falciparum. Des travaux se sont attachés récemment à tirer parti des données et des enseignements de la malariothérapie pour mieux comprendre l'histoire naturelle des infections chez l'hôte humain et le rôle des différentes composantes de sa réponse immune. Dynamique de la population parasitaire La modélisation des populations plasmodiales a souvent visé à mieux comprendre les déterminants de la sélection, de l'extension et de la diffusion des souches résistantes aux antipaludiques. Ces modèles traitent essentiellement des aspects génétiques de la dynamique des populations plasmodiales avec des composantes hôte humaines et vectorielles (par ex. la pharmacocinétique des médicaments) et/ou une composante épidémiologique (par ex. le niveau de la transmission). La difficulté pour ces modèles est la difficulté à disposer de données de terrain. Dynamique de la transmission La modélisation de la transmission du paludisme concerne les variations de la fréquence des infections chez les hôtes humains et les vecteurs. Elle est la première à avoir été développée, depuis maintenant plus de 90 ans et plus particulièrement à l'époque du programme mondial d'éradication. L'histoire de l'approche mathématique du paludisme est presque aussi vieille que la découverte de sa transmission. Si Sir Ronald Ross a découvert la transmission par les anophèles en 1898, confirmant les hypothèses de Laveran et Manson, il a aussi publié le premier modèle compartimental, en 1911, de la transmission du paludisme. On peut dire que l'épidémiologie mathématique est née avec Ross. Dans les stratégies de contrôle actuelles où l'objectif n'est plus tant de faire disparaître le parasite que de limiter son impact sur la morbidité et la mortalité (17-19), ces modèles historiques ont souvent un intérêt limité, excepté dans les régions où une éradication locale reste envisageable, par exemple dans certaines grandes villes africaines (20), et dans les zones où le
les hôtes humains et les vecteurs. Elle est la première à avoir été développée, depuis maintenant plus de 90 ans et plus particulièrement à l'époque du programme mondial d'éradication. L'histoire de l'approche mathématique du paludisme est presque aussi vieille que la découverte de sa transmission. Si Sir Ronald Ross a découvert la transmission par les anophèles en 1898, confirmant les hypothèses de Laveran et Manson, il a aussi publié le premier modèle compartimental, en 1911, de la transmission du paludisme. On peut dire que l'épidémiologie mathématique est née avec Ross. Dans les stratégies de contrôle actuelles où l'objectif n'est plus tant de faire disparaître le parasite que de limiter son impact sur la morbidité et la mortalité (17-19), ces modèles historiques ont souvent un intérêt limité, excepté dans les régions où une éradication locale reste envisageable, par exemple dans certaines grandes villes africaines (20), et dans les zones où le paludisme est épidémique. Les modèles de la transmission du paludisme ont fait l'objet de différentes revues (21-24). Le modèle le plus ancien et le plus simple de la transmission du paludisme est présenté dans la figure 1. C'est le modèle proposé par Ross (25). Modélisation du paludisme Humains Anophèles femelles Figure 1 Le modèle compartimental de Ross. Le modèle de Ross Les flèches horizontales montrent les mouvements entre compartiments, avec comme coefficient la vitesse de transfert. Les flèches obliques indiquent l'effet d'un compartiment sur ce coefficient. C'est ainsi que le nombre des anophèles femelles conditionne le passage des susceptibles humains vers les infectieux (flèche montante oblique), et que le nombre des humains infectieux agit sur la vitesse de transfert des anophèles femelles sains vers les anophèles infectieux (flèche oblique descendante). Pour montrer le procédé de modélisation, celui qui a guidé Ross à l'époque, nous allons détailler ce modèle qui pédagogiquement est très intéressant. On verra aussi que même très simple, il permet de formuler des conclusions, non évidentes (surtout en 1911). L'objectif de Ross était d'établir, dans la communauté épidémiologique (ce qui lui paraissait évident mais était alors un objet d'incrédulité), qu'il n'était pas nécessaire d'éradiquer totalement la population anophélienne
Figure 1 Le modèle compartimental de Ross. Le modèle de Ross Les flèches horizontales montrent les mouvements entre compartiments, avec comme coefficient la vitesse de transfert. Les flèches obliques indiquent l'effet d'un compartiment sur ce coefficient. C'est ainsi que le nombre des anophèles femelles conditionne le passage des susceptibles humains vers les infectieux (flèche montante oblique), et que le nombre des humains infectieux agit sur la vitesse de transfert des anophèles femelles sains vers les anophèles infectieux (flèche oblique descendante). Pour montrer le procédé de modélisation, celui qui a guidé Ross à l'époque, nous allons détailler ce modèle qui pédagogiquement est très intéressant. On verra aussi que même très simple, il permet de formuler des conclusions, non évidentes (surtout en 1911). L'objectif de Ross était d'établir, dans la communauté épidémiologique (ce qui lui paraissait évident mais était alors un objet d'incrédulité), qu'il n'était pas nécessaire d'éradiquer totalement la population anophélienne pour éliminer le paludisme, mais que la faire baisser au-dessous d'un certain seuil était suffisant. Il a donc introduit ce modèle en 1911 (25). Il fait l'hypothèse implicite de l'absence de surinfection. En d'autres termes, un individu infecté ne peut plus déclencher une deuxième infection. Il n'a que deux possibilités : rester infecté ou guérir. Il n'y a pas d'immunité. Le modèle est un modèle dit « compartimental », maintenant classique en biologie (26). On distingue dans les deux populations, deux compartiments (virtuels) : les infectieux (qui transmettent) et les susceptibles (qui peuvent être infectés). Les deux populations totales (moustiques et hommes) sont supposées constantes. Plus exactement, on suppose que sur l'intervalle de temps considéré, cette hypothèse est acceptable. La démographie, la différence entre les naissances et les décès, est considérée comme négligeable sur la période étudiée. De même, on estime que le moustique n'a pas le temps de guérir et reste infectieux le reste de sa vie (cette hypothèse est raisonnable d'après les données entomologiques). Un humain susceptible quittera le compartiment susceptible, quand il sera piqué par un moustique infectieux et développera une infection. Il quitte le compartiment infectieux, quand il guérit, à la vitesse r, autrement dit cela
: rester infecté ou guérir. Il n'y a pas d'immunité. Le modèle est un modèle dit « compartimental », maintenant classique en biologie (26). On distingue dans les deux populations, deux compartiments (virtuels) : les infectieux (qui transmettent) et les susceptibles (qui peuvent être infectés). Les deux populations totales (moustiques et hommes) sont supposées constantes. Plus exactement, on suppose que sur l'intervalle de temps considéré, cette hypothèse est acceptable. La démographie, la différence entre les naissances et les décès, est considérée comme négligeable sur la période étudiée. De même, on estime que le moustique n'a pas le temps de guérir et reste infectieux le reste de sa vie (cette hypothèse est raisonnable d'après les données entomologiques). Un humain susceptible quittera le compartiment susceptible, quand il sera piqué par un moustique infectieux et développera une infection. Il quitte le compartiment infectieux, quand il guérit, à la vitesse r, autrement dit cela signifie que la durée de séjour dans le compartiment infectieux est exponentiellement distribuée avec un temps de séjour moyen de 1/r. Le taux de survie, dans le compartiment, au jour n est donc: Avec cette hypothèse, si l'on estime à 6 mois le temps de guérison (n'être plus transmetteur), comparé à une espérance de vie de, par exemple, 50 années, on voit que le principe de négliger la mortalité revient à négliger (unité de temps la journée) : 1/(360 x 50) devant 1/180 (différence d'ordre 100). Si on désigne par a le nombre moyen de piqûres sur les humains par unité de temps (le biting rate de Macdonald), b" la probabilité qu'une piqûre infectée donne une infection, s'il y a L moustiques infectés, un humain recevra, pendant le temps At, At piqûres donnant une infection. Il y a là une hypothèse d'homogénéité. On suppose que les moustiques piquent de façon homogène les humains. L'ensemble des moustiques donnent à l'homme At piqûres, il faut diviser par la population humaine NH pour obtenir le nombre de piqûres par humain. Pour obtenir une nouvelle infection, seuls les susceptibles sont concernés (pas de surinfection). S'il y a L (t) infectieux, il y a (NH
à une espérance de vie de, par exemple, 50 années, on voit que le principe de négliger la mortalité revient à négliger (unité de temps la journée) : 1/(360 x 50) devant 1/180 (différence d'ordre 100). Si on désigne par a le nombre moyen de piqûres sur les humains par unité de temps (le biting rate de Macdonald), b" la probabilité qu'une piqûre infectée donne une infection, s'il y a L moustiques infectés, un humain recevra, pendant le temps At, At piqûres donnant une infection. Il y a là une hypothèse d'homogénéité. On suppose que les moustiques piquent de façon homogène les humains. L'ensemble des moustiques donnent à l'homme At piqûres, il faut diviser par la population humaine NH pour obtenir le nombre de piqûres par humain. Pour obtenir une nouvelle infection, seuls les susceptibles sont concernés (pas de surinfection). S'il y a L (t) infectieux, il y a (NH - L) susceptibles. En effet comme la population est constante, il suffit de connaître l'effectif d'un seul compartiment. On fait le bilan de « matières », c'est-à-dire on cherche à exprimer le nombre I, (t +At) d'humains au temps t+At dans le compartiment des infectieux. Pour cela on ajoute ceux qui rentrent par contamination et on retranche ceux qui sortent par guérison à la vitesse r : En divisant par At, puis en faisant tendre At vers zéro, on voit que la fonction du temps I (t) vérifie l'équation différentielle Un raisonnement identique donne pour la population vectorielle Y (t) infectieuse donne : La quantité m est la densité vectorielle. C. Rogier et Collaborateurs On obtient, : la relation C'est la fameuse équation de Ross. L'étude mathématique en a été faite par Ross (25) et Lotka (27). Nous allons en donner rapidement le cheminement mathématique et les conclusions qui en découlent : Cette équation peut s'écrire matriciellement Chaque terme de la matrice 2 x 2 est majoré par le terme correspondant de la matrice : Cela vient du fait que les quantités 1 -x et 1 -y sont des proportions, elles sont donc positives. Cette matrice est la matrice Jacobienne
qui rentrent par contamination et on retranche ceux qui sortent par guérison à la vitesse r : En divisant par At, puis en faisant tendre At vers zéro, on voit que la fonction du temps I (t) vérifie l'équation différentielle Un raisonnement identique donne pour la population vectorielle Y (t) infectieuse donne : La quantité m est la densité vectorielle. C. Rogier et Collaborateurs On obtient, : la relation C'est la fameuse équation de Ross. L'étude mathématique en a été faite par Ross (25) et Lotka (27). Nous allons en donner rapidement le cheminement mathématique et les conclusions qui en découlent : Cette équation peut s'écrire matriciellement Chaque terme de la matrice 2 x 2 est majoré par le terme correspondant de la matrice : Cela vient du fait que les quantités 1 -x et 1 -y sont des proportions, elles sont donc positives. Cette matrice est la matrice Jacobienne du système à l'origine (généralisation de la dérivée pour des espaces à plusieurs variables). Des théories mathématiques récentes montrent facilement (techniques de Lyapounov-Lasalle) que le point d'équilibre (0,0), l'équilibre sans maladie, est globalement asymptotiquement stable si et seulement si le déterminant de la matrice J est positif ou nul. Soit J1 r m a b i b > 0 Dans le cas contraire l'équilibre sans maladie est instable, il existe un équilibre endémique (xe, ye), avec xe > 0 et ye > 0, et cet équilibre endémique est globalement asymptotiquement stable sur le quadrant ouvert x > 0 et y > 0. En posant, de façon équivalente On obtient le théorème du seuil : Ru < 1 alors l'épidémie disparaît. Ro > 1 dans ce cas la maladie est endémique. Si m qui est le nombre de moustique par humain est suffisamment petit alors Rn < 1 et le paludisme disparaît. C'est la prédiction de Ross. Cette expression Rn s'appelle le taux de reproduction de base, il a une interprétation biologique simple. Il s'agit du nombre moyen de cas secondaires produits par un individu infectieux pendant sa période d'infectiosité, quand il est introduit dans une population constituée totalement de susceptibles.
J1 r m a b i b > 0 Dans le cas contraire l'équilibre sans maladie est instable, il existe un équilibre endémique (xe, ye), avec xe > 0 et ye > 0, et cet équilibre endémique est globalement asymptotiquement stable sur le quadrant ouvert x > 0 et y > 0. En posant, de façon équivalente On obtient le théorème du seuil : Ru < 1 alors l'épidémie disparaît. Ro > 1 dans ce cas la maladie est endémique. Si m qui est le nombre de moustique par humain est suffisamment petit alors Rn < 1 et le paludisme disparaît. C'est la prédiction de Ross. Cette expression Rn s'appelle le taux de reproduction de base, il a une interprétation biologique simple. Il s'agit du nombre moyen de cas secondaires produits par un individu infectieux pendant sa période d'infectiosité, quand il est introduit dans une population constituée totalement de susceptibles. On peut le voir facilement : Soit un humain infectieux. Sa durée d'infectiosité est 1/r, il reçoit m bitures par unité de temps, de celle-ci une proportion b, contamine les moustiques. Cet humain crée donc Moustiques infectieux. Ces moustiques vivront pendant 1/rp, et piqueront à humains par unité de temps, sur ces piqûres une proportion b2 sera infectante. En tout, on obtient comme humains infectieux secondaires, à partir du premier cas : Ce qui est bien Ro. On comprend de façon heuristique que si Ro > 1 alors la maladie peut s'établir. Dans la littérature paludologique, à partir de Macdonald (28) Ro est noté Zo. On peut l'écrire autrement : comme la durée de survie moyenne d'un moustique est 1/rp, la probabilité de survivre au temps t est e'. Si on note p la probabilité de survie d'un moustique pour un jour, on peut exprimer à l'aide du logarithme népérien : M = -ln (p) Dans le même ouvrage, section (27), Ross propose, au lieu d'un système de deux équations différentielles, une seule équation qui décrit l'évolution au cours du temps de la proportion x des humains infectieux. On peut prouver par les techniques mathématiques, dites de perturbations singulières, que
sur ces piqûres une proportion b2 sera infectante. En tout, on obtient comme humains infectieux secondaires, à partir du premier cas : Ce qui est bien Ro. On comprend de façon heuristique que si Ro > 1 alors la maladie peut s'établir. Dans la littérature paludologique, à partir de Macdonald (28) Ro est noté Zo. On peut l'écrire autrement : comme la durée de survie moyenne d'un moustique est 1/rp, la probabilité de survivre au temps t est e'. Si on note p la probabilité de survie d'un moustique pour un jour, on peut exprimer à l'aide du logarithme népérien : M = -ln (p) Dans le même ouvrage, section (27), Ross propose, au lieu d'un système de deux équations différentielles, une seule équation qui décrit l'évolution au cours du temps de la proportion x des humains infectieux. On peut prouver par les techniques mathématiques, dites de perturbations singulières, que cette équation se déduit du système. L'idée est de considérer que l'équation qui gouverne la prévalence chez les moustiques évolue beaucoup plus rapidement que la prévalence chez les humains. Autrement dit v décroit beaucoup plus vite que x. Géométriquement cela signifie que dans le plan de coordonnées xy les trajectoires se précipitent vers la courbe du plan xy où la dérivée de y s'annule. Sur cette courbe x évolue plus lentement. On parle de « courbe lente ». Pour trouver l'équation de cette courbe on résout : V = ab, x (1-y)-] Ay = 0 Ce qui donne pour équation de cette courbe dans le plan xy Si on a Modélisation du paludisme Les trajectoires atteignent rapidement cette courbe où la dynamique est plus lente. La dynamique s'obtient en remplaçant y par cette valeur dans la première équation du modèle de Ross. La dynamique de x est donnée par : Ce terme est la capacité vectorielle définie par Garrett-Jones (29) avec bib = 1 Cette deuxième équation de Ross exprime que le taux d'infection x peut être exprimé comme le produit de la proportion d'infectés dans la population humaine et de la capacité vectorielle C des anophèles (30). Si l'on
se précipitent vers la courbe du plan xy où la dérivée de y s'annule. Sur cette courbe x évolue plus lentement. On parle de « courbe lente ». Pour trouver l'équation de cette courbe on résout : V = ab, x (1-y)-] Ay = 0 Ce qui donne pour équation de cette courbe dans le plan xy Si on a Modélisation du paludisme Les trajectoires atteignent rapidement cette courbe où la dynamique est plus lente. La dynamique s'obtient en remplaçant y par cette valeur dans la première équation du modèle de Ross. La dynamique de x est donnée par : Ce terme est la capacité vectorielle définie par Garrett-Jones (29) avec bib = 1 Cette deuxième équation de Ross exprime que le taux d'infection x peut être exprimé comme le produit de la proportion d'infectés dans la population humaine et de la capacité vectorielle C des anophèles (30). Si l'on réécrit cette équation sous la forme on s'aperçoit qu'il s'agit d'une équation logistique, dont toutes les trajectoires convergent vers l'équilibre x": r = 1C Pour que cet équilibre ait un sens, il faut évidemment que x > 0, soit C > r Très vite la population est proche de l'équilibre, et à l'équilibre la prévalence dans la population humaine sera alors proche de x". Si l'on trace la prévalence à l'équilibre en fonction de C, on voit que cette simple relation implique : qu'il existe un niveau non nul, r de capacité vectorielle en dessous duquel le paludisme ne pourrait se maintenir; que plus la durée de l'infection est courte (durée moyenne 1/r) plus cette capacité vectorielle critique est élevée (cela pourrait expliquer l'endémicité de P. vivax dans des zones où P. falciparum n'est pas endémique); la relation est fortement non linéaire : proche de ce niveau critique une légère augmentation de la capacité vectorielle s'accompagne d'une augmentation importante du taux de prévalence des infectés qui est initialement rapide puis plus lente (relation non linéaire) jusqu'à ce qu'il atteigne un plateau proche de 100%, où même de grands changements de la capacité vectorielle produisent peu de changements. Les deux figures