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nœuds le long des fils D D est plus simple et plus nette lorsque le premier pont B, reste fixe et qu'il n'est apporté de modification au système qu'au delà de B. Ce n'est que de cette façon que l'on est sûr d'avoir affaire constamment avec les mêmes périodes (ondulations fondamentales et d'ordres supérieurs). C'est pourquoi précisément je m'en suis tenu à ce procédé. Leipzig, le 20 mars 1897. E. Cohn et F. Heerwagen. J. Ann., 1891. t. XLIII, p. 369. SUR LA DÉCHARGE PAR ÉTINCELLE ET LE FONCTIONNEMENT DE L'EXCITATEUR DE HERTZ PAR R. SWYTTEDAWC Maître de conférences à la Faculté des Sciences de Liège. Note originale communiquée par l'auteur. § 1. Conditions initiales de la décharge par étincelle. Considérons un condensateur, dont les armatures sont réunies par un fil conducteur présentant une interruption formée par le champ intrapolaire d'un excitateur I. Si l'on charge lentement le condensateur jusqu'au potentiel explosif de I, une étincelle éclate à l'interruption et le condensateur se décharge à travers le fil. Dans la théorie de la décharge du condensateur de Sir W. Thomson, on ne tient compte que de deux conditions initiales. 1° L'intensité initiale est nulle. 2° La charge du condensateur ou, ce qui revient au même, la différence de potentiel entre les armatures a une valeur déterminée. Il est aisé de voir que la condition suivante est également satisfaite. 3° Entre deux sections a, b du fil séparées par un segment conducteur continu, la différence de potentiel est nulle. Ces trois conditions expriment qu'à l'instant où la décharge commence le système est en équilibre électrostatique. Si l'on charge le condensateur avec une lenteur infinie par un courant infiniment petit, le système est à chaque instant infiniment voisin de l'équilibre avant l'étincelle. Si donc l'intensité initiale est nulle, l'équilibre est établi à l'instant où la décharge commence et les deux dernières conditions sont une conséquence de la première. Celle-ci est une conséquence de ce principe universellement admis: l'intensité d'un courant est une fonction continue du temps. Dans la charge lente d'un condensateur par une machine électrostatique, les trois conditions précédentes forment encore
ce qui revient au même, la différence de potentiel entre les armatures a une valeur déterminée. Il est aisé de voir que la condition suivante est également satisfaite. 3° Entre deux sections a, b du fil séparées par un segment conducteur continu, la différence de potentiel est nulle. Ces trois conditions expriment qu'à l'instant où la décharge commence le système est en équilibre électrostatique. Si l'on charge le condensateur avec une lenteur infinie par un courant infiniment petit, le système est à chaque instant infiniment voisin de l'équilibre avant l'étincelle. Si donc l'intensité initiale est nulle, l'équilibre est établi à l'instant où la décharge commence et les deux dernières conditions sont une conséquence de la première. Celle-ci est une conséquence de ce principe universellement admis: l'intensité d'un courant est une fonction continue du temps. Dans la charge lente d'un condensateur par une machine électrostatique, les trois conditions précédentes forment encore sensiblement les conditions initiales de la décharge. § 2. Application à l'équation de Thomson. La théorie de la décharge d'un condensateur de W. Thomson est résumée dans la formule suivante i représente l'intensité du courant supposé uniforme, V. la différence de potentiel à laquelle on a chargé le condensateur, e la base des logarithmes népériens, R la résistance et L le coefficient de self-induction de tout le circuit, C la capacité du condensateur, t le temps écoulé depuis l'instant où la décharge commence. Cette équation ne satisfait pas aux trois conditions initiales du problème, elle contredit la troisième. En effet entre deux sections de fil c et b séparées par un segment quelconque la différence de potentiel u est donnée à chaque instant par la relation r désignant la résistance du segment, 1 le coefficient d'induction de tout le circuit sur ce segment. Or à l'instant t = 0; d'après l'équation (1) donc d'après l'équation (2), au début de la décharge On pourra toujours choisir les deux points a et b sur le même fil conducteur de façon que r ne soit pas nul on aboutit alors à cette conclusion qu'entre deux sections a et b d'un même fil conducteur
la base des logarithmes népériens, R la résistance et L le coefficient de self-induction de tout le circuit, C la capacité du condensateur, t le temps écoulé depuis l'instant où la décharge commence. Cette équation ne satisfait pas aux trois conditions initiales du problème, elle contredit la troisième. En effet entre deux sections de fil c et b séparées par un segment quelconque la différence de potentiel u est donnée à chaque instant par la relation r désignant la résistance du segment, 1 le coefficient d'induction de tout le circuit sur ce segment. Or à l'instant t = 0; d'après l'équation (1) donc d'après l'équation (2), au début de la décharge On pourra toujours choisir les deux points a et b sur le même fil conducteur de façon que r ne soit pas nul on aboutit alors à cette conclusion qu'entre deux sections a et b d'un même fil conducteur la différence de potentiel est 0 à l'instant t = 0, ce qui contredit la troisième condition initiale. Donc, au moins dans les premiers instants de la décharge, l'équation de Thomson ne représente pas le phénomène. Ce désaccord provient de ce que pour établir l'équation de Thomson, on suppose que les armatures du condensateur sont réunies par un fil de résistance constante. Cette hypothèse est évidemment loin de la réalité dans les premiers instants de la décharge. En effet, dans la décharge d'un condensateur par étincelle, le circuit du condensateur est formé d'un fil conducteur interrompu par un milieu diélectrique à travers lequel l'étincelle. Si on fait abstraction de l'existence possible d'une force électromotrice dans l'étincelle qui est peut-être négligeable, la résistance de la couche diélectrique peut être considérée comme infinie quand la décharge commence à passer. Cette résistance diminue par suite de l'échauffement et dans certains cas devient rapidement très petite par rapport à une résistance de quelques ohms. Les expériences de Riess montrent en effet que le dégagement de chaleur dans l'étincelle est petit par rapport à la résistance du fil thermométrique; la résistance moyenne de l'étincelle est donc petite par rapport à la résistance du fil; comme
les armatures du condensateur sont réunies par un fil de résistance constante. Cette hypothèse est évidemment loin de la réalité dans les premiers instants de la décharge. En effet, dans la décharge d'un condensateur par étincelle, le circuit du condensateur est formé d'un fil conducteur interrompu par un milieu diélectrique à travers lequel l'étincelle. Si on fait abstraction de l'existence possible d'une force électromotrice dans l'étincelle qui est peut-être négligeable, la résistance de la couche diélectrique peut être considérée comme infinie quand la décharge commence à passer. Cette résistance diminue par suite de l'échauffement et dans certains cas devient rapidement très petite par rapport à une résistance de quelques ohms. Les expériences de Riess montrent en effet que le dégagement de chaleur dans l'étincelle est petit par rapport à la résistance du fil thermométrique; la résistance moyenne de l'étincelle est donc petite par rapport à la résistance du fil; comme cette résistance de l'étincelle a été extrêmement grande au début, il faut supposer qu'elle devient rapidement négligeable par rapport à la résistance du circuit métallique. Dans les premiers instants de la décharge, la résistance n'étant pas une constante, on a trois fonctions du temps à déterminer par leurs variations. Les équations du problème ne seront plus linéaires. La solution générale renfermera trois constantes arbitraires qu'on ne pourra déterminer que par un nombre égal de conditions initiales. Lorsque par suite de l'échauffement, les variations de la résistance deviennent négligeables par rapport à la résistance totale, l'équation différentielle des décharges se réduit à une équation linéaire de second ordre à coefficients constants. La solution générale est de la forme DÉCHARGE PAR ÉTINCELLE ET formule dans laquelle A et B représentent des constantes et les autres lettres ont les mêmes significations que dans la formule (1). 3. forme de la décharge au début. a) Intensité. Les conditions initiales nous donnent des indications sur la loi du phénomène dans les premiers instants de la décharge. Considérons la formule (2) qm donne la différence de potentiel entre deux sections a et b du fil de décharge; supposons que ces sections soient les extrémités d'un segment
équations du problème ne seront plus linéaires. La solution générale renfermera trois constantes arbitraires qu'on ne pourra déterminer que par un nombre égal de conditions initiales. Lorsque par suite de l'échauffement, les variations de la résistance deviennent négligeables par rapport à la résistance totale, l'équation différentielle des décharges se réduit à une équation linéaire de second ordre à coefficients constants. La solution générale est de la forme DÉCHARGE PAR ÉTINCELLE ET formule dans laquelle A et B représentent des constantes et les autres lettres ont les mêmes significations que dans la formule (1). 3. forme de la décharge au début. a) Intensité. Les conditions initiales nous donnent des indications sur la loi du phénomène dans les premiers instants de la décharge. Considérons la formule (2) qm donne la différence de potentiel entre deux sections a et b du fil de décharge; supposons que ces sections soient les extrémités d'un segment conducteur homogène et continu, prenons pour ab un sens tel que l'intensité soit positive au début. L'intensité et sa dérivée étant nulles quand la décharge commence, elles sont toutes les deux des fonctions croissantes du temps pendant les premiers instants de la décharge. Si on porte le temps en abscisses et les intensités en ordonnées, la courbe des intensités en fonction du temps est tangente à l'origine à l'axe des temps et commence par tourner sa concavité vers l'axe des intensités positives, mais comme l'intensité ne peut croître indéfiniment, il arrive un moment où la courbe tourne sa concavité vers l'axe des intensités négatives; la courbe présente donc un point d'inflexion avant d'avoir atteint son premier maximum (courbe 1, fig. t). Cette courbe est très différente de la courbe des intensités d'après la formule de Thomson (courbe 2); elle ne prend l'allure de cette dernière qu'au-delà du point d'inflexion. b) Différence de potentiel aux extrémités d'une bobine. – Considérons une bobine traversée par la décharge du condensateur, la différence de potentiel aux extrémités de la bobine est encore donnée par la formule (2) de plus le coefficient k qui y figure est nécessairement positif si l'induction mutuelle des autres parties
et les intensités en ordonnées, la courbe des intensités en fonction du temps est tangente à l'origine à l'axe des temps et commence par tourner sa concavité vers l'axe des intensités positives, mais comme l'intensité ne peut croître indéfiniment, il arrive un moment où la courbe tourne sa concavité vers l'axe des intensités négatives; la courbe présente donc un point d'inflexion avant d'avoir atteint son premier maximum (courbe 1, fig. t). Cette courbe est très différente de la courbe des intensités d'après la formule de Thomson (courbe 2); elle ne prend l'allure de cette dernière qu'au-delà du point d'inflexion. b) Différence de potentiel aux extrémités d'une bobine. – Considérons une bobine traversée par la décharge du condensateur, la différence de potentiel aux extrémités de la bobine est encore donnée par la formule (2) de plus le coefficient k qui y figure est nécessairement positif si l'induction mutuelle des autres parties du circuit est négligeable devant l'induction propre de la bobine. ou agit dans le même sens que cette dernière. Il est facile de voir que dans ce cas, la différence de potentiel entre les extrémités de la bobine nulle au début de la décharge est une fonction croissante du temps dans les premiers instants de la décharge. Dans la formule (2) v est donnée l'expression générale du potentiel entre deux points, r et s sont tous deux positifs dans le cas actuel et t et s sont deux fonctions croissantes, v étant la somme de deux fonctions croissantes est elle-même une fonction croissante du temps, nulle à l'instant t = 0, du début de la décharge puisque i et – sont nuls en cet instant. De plus, v ne pouvant croître indéfiniment atteint un premier maximum. Il est facile de voir que ce premier maximum du potentiel entre les extrémités de la bobine est compris entre le premier point d'inflexion et le premier maximum de la courbe des intensités; pour cela, prenons la dérivée de l'expression (2), on obtient Ainsi la différence de potentiel croît jusqu'au-delà du premier maximum de di et décroît au premier maximum de l'intensité. D'une façon
dans les premiers instants de la décharge. Dans la formule (2) v est donnée l'expression générale du potentiel entre deux points, r et s sont tous deux positifs dans le cas actuel et t et s sont deux fonctions croissantes, v étant la somme de deux fonctions croissantes est elle-même une fonction croissante du temps, nulle à l'instant t = 0, du début de la décharge puisque i et – sont nuls en cet instant. De plus, v ne pouvant croître indéfiniment atteint un premier maximum. Il est facile de voir que ce premier maximum du potentiel entre les extrémités de la bobine est compris entre le premier point d'inflexion et le premier maximum de la courbe des intensités; pour cela, prenons la dérivée de l'expression (2), on obtient Ainsi la différence de potentiel croît jusqu'au-delà du premier maximum de di et décroît au premier maximum de l'intensité. D'une façon générale considérons la différence de potentiel maximum entre deux points a et b quelconques d'un fil conducteur, comprenant un segment de résistance r et de coefficient d'induction l. Si la résistance tend vers 0, l' restant fini, ainsi que l, v se réduit au terme l par conséquent la différence de potentiel entre les extrémités d'un circuit très bon conducteur est maximum en même temps que c'est-à-dire au point d'inflexion. Si la résistance tend vers 0, restant fini, ou si la résistance reste constante l tendant vers 0, v tend à se réduire au terme ri. Si le circuit a b est formé d'une colonne suffisamment longue d'un liquide électrolytique de faible induction négligeable la différence de potentiel entre les extrémités est maximum en même temps que la résistance. Le maximum de la différence de potentiel entre deux points a et b du circuit est d'autant plus grand que la résistance et le coefficient d'induction l du segment ab sont plus considérables toutefois le potentiel maximum est inférieur au potentiel initial auquel on a chargé le condensateur. En effet au potentiel maximum, les deux termes qui jouent un rôle dans la formation du potentiel, ri et l, agissent dans le
de potentiel entre les extrémités d'un circuit très bon conducteur est maximum en même temps que c'est-à-dire au point d'inflexion. Si la résistance tend vers 0, restant fini, ou si la résistance reste constante l tendant vers 0, v tend à se réduire au terme ri. Si le circuit a b est formé d'une colonne suffisamment longue d'un liquide électrolytique de faible induction négligeable la différence de potentiel entre les extrémités est maximum en même temps que la résistance. Le maximum de la différence de potentiel entre deux points a et b du circuit est d'autant plus grand que la résistance et le coefficient d'induction l du segment ab sont plus considérables toutefois le potentiel maximum est inférieur au potentiel initial auquel on a chargé le condensateur. En effet au potentiel maximum, les deux termes qui jouent un rôle dans la formation du potentiel, ri et l, agissent dans le même sens. Le long des conducteurs qui joignent les armatures des condensateurs aux extrémités des bobines, il y a chute de potentiel, donc le potentiel maximum est inférieur au potentiel des armatures au même instant. En cet instant le condensateur s'est déjà partiellement déchargé par suite son potentiel est inférieur au potentiel initial. § 4. Résistance de l'étincelle. Si on considère l'étincelle comme n'introduisant aucune force électromotrice et présentant une résistance de même nature que celle d'un conducteur on peut écrire F, L, se rapportant au circuit total compris entre les deux armatures, v, r, l, se rapportant à la bobine étudiée. Si les extrémités de la bobine sont retirées aux armatures par des conducteurs sensiblement rectilignes et courts. Rr se réduit à la résistance de l'étincelle p L-< sera négligeable par rapport à L. Dans les premiers instants du va constamment en décroissant, puisque V décroît et v croît si on néglige le terme dû à la self-induction dans les premiers instants du va en décroissant donc la résistance de l'étincelle p diminue très rapidement dans les premiers instants de la décharge. Si on remarque que la température de l'étincelle va en croissant dans les premiers instants de la
au potentiel initial. § 4. Résistance de l'étincelle. Si on considère l'étincelle comme n'introduisant aucune force électromotrice et présentant une résistance de même nature que celle d'un conducteur on peut écrire F, L, se rapportant au circuit total compris entre les deux armatures, v, r, l, se rapportant à la bobine étudiée. Si les extrémités de la bobine sont retirées aux armatures par des conducteurs sensiblement rectilignes et courts. Rr se réduit à la résistance de l'étincelle p L-< sera négligeable par rapport à L. Dans les premiers instants du va constamment en décroissant, puisque V décroît et v croît si on néglige le terme dû à la self-induction dans les premiers instants du va en décroissant donc la résistance de l'étincelle p diminue très rapidement dans les premiers instants de la décharge. Si on remarque que la température de l'étincelle va en croissant dans les premiers instants de la décharge, par suite du passage du courant on obtient cette proposition la résistance de l'étincelle diminue quand la température croît; cette proposition est conforme avec ce que nous savons de la variation de la résistance d'un corps mauvais conducteur avec la température. V. Période d'oscillation. Fonctionnement de résonance de Hertz. 1° Considérons la courbe des intensités dans le cas d'une décharge oscillatoire supposons que la résistance devienne constante à partir d'un instant compris entre le premier point d'inflexion et le premier maximum de l'intensité, ce qui est très probable pour les condensateurs de grande capacité. A partir de cet instant, la courbe des intensités prend une allure conforme à l'équation de Thomson. Entre le début de la décharge et cet instant, si la résistance du circuit avait toujours eu la valeur constante qu'elle a acquise par l'échauffement de l'électrode, la courbe des intensités aurait la forme O'ABC, différente de sa forme réelle OABC, fig. 2. Si donc on appelle période de la décharge oscillatoire, la durée comprise entre deux zéros de l'intensité, on arrive immédiatement à cette proposition que dans une décharge par étincelle, la première période est plus grande que les suivantes. 2° Nous avons vu que la résistance
1° Considérons la courbe des intensités dans le cas d'une décharge oscillatoire supposons que la résistance devienne constante à partir d'un instant compris entre le premier point d'inflexion et le premier maximum de l'intensité, ce qui est très probable pour les condensateurs de grande capacité. A partir de cet instant, la courbe des intensités prend une allure conforme à l'équation de Thomson. Entre le début de la décharge et cet instant, si la résistance du circuit avait toujours eu la valeur constante qu'elle a acquise par l'échauffement de l'électrode, la courbe des intensités aurait la forme O'ABC, différente de sa forme réelle OABC, fig. 2. Si donc on appelle période de la décharge oscillatoire, la durée comprise entre deux zéros de l'intensité, on arrive immédiatement à cette proposition que dans une décharge par étincelle, la première période est plus grande que les suivantes. 2° Nous avons vu que la résistance de l'étincelle dépend de sa température dont elle est fonction décroissante, elle dépend de sa longueur et de sa section et aussi de la nature du conducteur lumineux qui constitue l'étincelle. Dans la décharge du condensateur dans un circuit métallique déterminé, interrompu par une étincelle pour que la résistance totale du circuit atteigne la valeur critique au-dessous de laquelle les oscillations deviennent possibles, il faudra dépenser une quantité d'énergie bien déterminée pour élever l'étincelle à la température correspondante à la résistance critique. Cette quantité w peut être supérieure ou inférieure à l'énergie potentielle initiale du condensateur W. 1" Si w < W les oscillations sont possibles. 2" Si w > W les oscillations sont impossibles. L'énergie potentielle d'un condensateur est donnée par la formule W = ½ CV2, C étant la capacité du condensateur et V le potentiel auquel on l'a chargé. On conçoit que, si laissant C constant on diminue d'une façon continue la capacité du condensateur, il arrive un moment où l'énergie totale du condensateur W sera inférieure à w; de sorte que si on considère la décharge d'un condensateur dans un circuit déterminé, cette décharge oscillatoire pour les grandes capacités deviendra possible pour les capacités suffisamment petites.
du circuit atteigne la valeur critique au-dessous de laquelle les oscillations deviennent possibles, il faudra dépenser une quantité d'énergie bien déterminée pour élever l'étincelle à la température correspondante à la résistance critique. Cette quantité w peut être supérieure ou inférieure à l'énergie potentielle initiale du condensateur W. 1" Si w < W les oscillations sont possibles. 2" Si w > W les oscillations sont impossibles. L'énergie potentielle d'un condensateur est donnée par la formule W = ½ CV2, C étant la capacité du condensateur et V le potentiel auquel on l'a chargé. On conçoit que, si laissant C constant on diminue d'une façon continue la capacité du condensateur, il arrive un moment où l'énergie totale du condensateur W sera inférieure à w; de sorte que si on considère la décharge d'un condensateur dans un circuit déterminé, cette décharge oscillatoire pour les grandes capacités deviendra possible pour les capacités suffisamment petites. C'est une conséquence contraire à celle que l'on déduit de la théorie de Thomson, où l'on suppose la résistance constante. L'excitateur de Hertz est un condensateur de faible capacité, les considérations précédentes lui sont applicables. Une décharge isolée de l'excitateur de Hertz ne présente pas de caractère oscillatoire. Pour que les décharges de l'excitateur exercent une action sensible sur un résonateur, il faut qu'elles se succèdent avec une certaine fréquence et que l'appareil soit en activité depuis un certain temps. Ces faits se conçoivent très bien si on admet que la température de l'étincelle doit dépasser une certaine valeur β pour que les oscillations soient possibles. Cette température β qui n'est pas atteinte dans une décharge isolée lorsque la température initiale de l'étincelle est la température ordinaire, pourra être dépassée, si l'appareil fonctionne avec une fréquence d'étincelles et un temps suffisants pour amener le milieu traversé par l'étincelle à une température telle que par réchauffement dû à chaque étincelle, la température de cette dernière dépasse β. Dans le même ordre d'idées on comprend très bien certaines expériences de M. Töpler dans lesquelles on constate qu'un courant d'air lancé à travers l'étincelle de l'excitateur fait cesser le caractère oscillatoire de la