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Y. RAPATIEL; FERRAND; J. ARMANET. MM. A. BERGER, à Béarnais; B. PELLISSIER. — Mme BONAIN; M. DAMIEN. CLASSE DE PREMIÈRE, É. MODÉRNE 574. — Mécanique. — Un corps de poids P est placé sur un plan faisant un angle α avec le plan horizontal. 1° Calculer la pression qu'il exerce sur le plan; la force qui tend à le faire descendre le long du plan en tenant compte du frottement (le coefficient de frottement k étant connu), ainsi que l'accélération du mouvement. 2° Ce corps étant lancé du haut A le plus haut du plan avec une vitesse vo parallèle au plan, dirigée de haut en bas, quelle est la nature du mouvement de ce corps? Dans le cas où le corps s'arrête, à quelle distance du point A s'arrêtera-t-il? Montrer qu'à ce moment la force vive initiale est égale au double du travail total des forces. Baccalauréat. Science physique, Alsot, juillet 1892. Soient AHO (fig. 740) un plan incliné faisant un angle α avec le plan horizontal; O le centre de gravité du corps, et P son poids. Décomposons P en deux forces, l'une normale au plan incliné, représentant la pression exercée par le corps sur le plan; l'autre T parallèle à la ligne de plus grande pente AHO. La force V qui tend à faire descendre le corps le long du plan incliné est égale à la différence entre la force P et la force de frottement f. Or, Désignant par \(y\) l'accélération du mouvement dû à la force \(F\), ou \(a\) et, par suite, Le signe de \(y\) dépend du signe de \(\sin a - k \cos a\) ou de \(\tan a - A_j\). Lorsque \(A < \tan a\), le corps descend le long du plan incliné; lorsque \(A > \tan a\), le corps est en repos sur le plan incliné. 2° — Lorsque le corps est lancé du point \(A\) avec une vitesse \(V_a\) parallèle à la ligne de plus grande pente \(AD\), il prend un mouvement uniformément varié, dont l'accélération est \(y\). Les formules de ce mouvement sont 3° — Si le corps s'arrête, on
T parallèle à la ligne de plus grande pente AHO. La force V qui tend à faire descendre le corps le long du plan incliné est égale à la différence entre la force P et la force de frottement f. Or, Désignant par \(y\) l'accélération du mouvement dû à la force \(F\), ou \(a\) et, par suite, Le signe de \(y\) dépend du signe de \(\sin a - k \cos a\) ou de \(\tan a - A_j\). Lorsque \(A < \tan a\), le corps descend le long du plan incliné; lorsque \(A > \tan a\), le corps est en repos sur le plan incliné. 2° — Lorsque le corps est lancé du point \(A\) avec une vitesse \(V_a\) parallèle à la ligne de plus grande pente \(AD\), il prend un mouvement uniformément varié, dont l'accélération est \(y\). Les formules de ce mouvement sont 3° — Si le corps s'arrête, on a \(v = 0\); le temps \(t_i\) au bout duquel le corps s'arrête est donné par la formule Remplaçant \(t\) par cette valeur dans la formule qui donne \(x\), on trouve que le corps s'arrête à une distance \(ct\) de \(A\) donnée par la formule Le travail total des forces, étant le produit de \(V_a\) par \(e\), égale \(p\). Le travail effectué par la force vivante est \(//nt-//cu_2\) ou \(rl-a_u\), car \(ct = 0\). Donc, au moment où le corps s'arrête, la force vivante initiale est donc égale au double du travail total des forces. G. FISLLIKR, élève de Première [classique] au Lycée de Saint-Omer. Ont résolu la question 574 : MM J. LAMON [!]; L. de Tarent; A. GAZAMEIX (tre). L. de Pau; G. HODIX; THÉVEXIX (2e): M. de l'ont-de-Vaux; L. LAGRAND (tre), L. d'Arcis; VERET, Instituteur à Vau-sous-Laon; J. GOLRIAUX (tre), L. de Paris; K. FERKNEZ, Instituteur à Hennés; F. PELLISSIER. 575. — Un tube gradué, placé sur une cuvette à mercuriel, contient un mélange air et d'acide carbonique occupant 75cm de \(A\) en 15 de haut. La colonne \(HC\) de mercure soulevée est de 60cm et le baromètre marque 70". Le gaz carbonique ayant été absorbé, le
étant le produit de \(V_a\) par \(e\), égale \(p\). Le travail effectué par la force vivante est \(//nt-//cu_2\) ou \(rl-a_u\), car \(ct = 0\). Donc, au moment où le corps s'arrête, la force vivante initiale est donc égale au double du travail total des forces. G. FISLLIKR, élève de Première [classique] au Lycée de Saint-Omer. Ont résolu la question 574 : MM J. LAMON [!]; L. de Tarent; A. GAZAMEIX (tre). L. de Pau; G. HODIX; THÉVEXIX (2e): M. de l'ont-de-Vaux; L. LAGRAND (tre), L. d'Arcis; VERET, Instituteur à Vau-sous-Laon; J. GOLRIAUX (tre), L. de Paris; K. FERKNEZ, Instituteur à Hennés; F. PELLISSIER. 575. — Un tube gradué, placé sur une cuvette à mercuriel, contient un mélange air et d'acide carbonique occupant 75cm de \(A\) en 15 de haut. La colonne \(HC\) de mercure soulevée est de 60cm et le baromètre marque 70". Le gaz carbonique ayant été absorbé, le mercure monte en \(D\). Le volume \(AD\) est de 30cm et la colonne \(CD\) soulevée est de 23cm. On demande d'évaluer en centièmes la proportion de gaz carbonique contenue dans le mélange (la température et la pression extérieure n'ont pas varié pendant les observations). (Baccalauréat de mathématiques classiques, Lille, avril 1876.) Soit \(x\) la proportion en centièmes de l'air dans le mélange. À l'origine, le volume individuel occupé par l'air était 73 \(x\), sous la pression 70 — 1 de mélange. À la fin, le nouveau volume occupé par l'air est 30, sous la pression 70 — 23. On a donc, d'après la loi de Mariotte, De cette équation on tire \(x = 0.32\). Par suite, la proportion d'acide carbonique sera 100 — \(0.68\). Remarque. — Nous avons résolu la question avec les nombres fournis par l'énoncé. Mais ces nombres comportent une erreur. Lorsque le gaz restant n'occupe plus dans l'éprouvette qu'une longueur de 50cm, l'ascension du mercure dans l'éprouvette est de 25" en partir de \(H\), et non pas, comme l'indique l'énoncé, à partir de \(C\). Dans l'équation précédente, il faudrait donc mettre 30 au lieu de 25, ce qui conduirait à une proportion d'air un peu plus faible.
1876.) Soit \(x\) la proportion en centièmes de l'air dans le mélange. À l'origine, le volume individuel occupé par l'air était 73 \(x\), sous la pression 70 — 1 de mélange. À la fin, le nouveau volume occupé par l'air est 30, sous la pression 70 — 23. On a donc, d'après la loi de Mariotte, De cette équation on tire \(x = 0.32\). Par suite, la proportion d'acide carbonique sera 100 — \(0.68\). Remarque. — Nous avons résolu la question avec les nombres fournis par l'énoncé. Mais ces nombres comportent une erreur. Lorsque le gaz restant n'occupe plus dans l'éprouvette qu'une longueur de 50cm, l'ascension du mercure dans l'éprouvette est de 25" en partir de \(H\), et non pas, comme l'indique l'énoncé, à partir de \(C\). Dans l'équation précédente, il faudrait donc mettre 30 au lieu de 25, ce qui conduirait à une proportion d'air un peu plus faible. DLCAMP, Soldat au 81e de Ligne, à Avouges. Ont résolu la question 575 : MM. THÉVEXIX (2e); M. CHEVALIER, L. GODFROI (lre), L. TORCHELINE (tre), Pensionnat des Frères à Reims; J. LAMON (lre); A. GAZAMEIX (lre), L. de Pau; G. FISLLIKER(lre); K. FRANC (3e) et F. GRANDVAL (3e), L. d'Angoulême; L. CHANLIAU; J. CARBONNIER; M. HAUTIEU (lre), L. d'Angoulême. — Math. élémentaire : T. CAILLOUX, Élève de Civray; F. SERRIER, L. d'Orléans. Instituteurs. — MM. J. ARMANT; VENET; K. LEVESQUE. — Étudiants-maîtres d'Écoles normales primaires : MM. V. JOSSERAND; K. LECRAND; V. HAPATEE. MM. G. HOMN; H. PELLISSIER; A. ROGNIER; E. CHENU. — MMf M. DAMIEN; HONORÉ. 576. — Sur un liquide lourd, de densité \(D\), est une couche de hauteur \(li\) d'un liquide léger, dont la densité est \(d\). Un corps pesant, dont la densité \(S\) est comprise entre \(d\) et \(D\), est abandonné à lui-même à la surface du liquide supérieur; dire quel mouvement il prend, et à quelle profondeur \(x\) il s'enfonce dans le liquide inférieur. On négligera la résistance due à la viscosité des liquides. 1. — Soit \(V\) le volume du corps pesant. Son poids dans le vide est \(Vg\), son poids apparent dans le
L. CHANLIAU; J. CARBONNIER; M. HAUTIEU (lre), L. d'Angoulême. — Math. élémentaire : T. CAILLOUX, Élève de Civray; F. SERRIER, L. d'Orléans. Instituteurs. — MM. J. ARMANT; VENET; K. LEVESQUE. — Étudiants-maîtres d'Écoles normales primaires : MM. V. JOSSERAND; K. LECRAND; V. HAPATEE. MM. G. HOMN; H. PELLISSIER; A. ROGNIER; E. CHENU. — MMf M. DAMIEN; HONORÉ. 576. — Sur un liquide lourd, de densité \(D\), est une couche de hauteur \(li\) d'un liquide léger, dont la densité est \(d\). Un corps pesant, dont la densité \(S\) est comprise entre \(d\) et \(D\), est abandonné à lui-même à la surface du liquide supérieur; dire quel mouvement il prend, et à quelle profondeur \(x\) il s'enfonce dans le liquide inférieur. On négligera la résistance due à la viscosité des liquides. 1. — Soit \(V\) le volume du corps pesant. Son poids dans le vide est \(Vg\), son poids apparent dans le liquide supérieur est \(V(d - g)\), et son poids apparent dans le liquide inférieur est \(V(d - g)\), quantité négative. Le corps pesant va donc tomber dans le liquide supérieur, avec un mouvement uniformément accéléré dont l'accélération sera \(y = (d - g)g\). Il arrivera à la surface de séparation des deux liquides avec une vitesse \(v = \sqrt{2y x} = \sqrt{2(d - g)gx}\) et s'enfoncera dans le liquide inférieur, en vertu de cette vitesse initiale. Dans ce liquide, il prendra un mouvement uniformément retardé dont l'accélération sera \(y = -(d - g)g\) et s'arrêtera quand sa vitesse sera devenue nulle. À partir de ce moment, le corps pesant va remonter, d'abord uniformément accéléré (dans le liquide inférieur), puis uniformément retardé (dans le liquide supérieur), pour revenir à son point de départ avec une vitesse nulle. Ce même mouvement d'oscillation se reproduira indéfiniment. On sait, en réalité, ce mouvement ne se produit pas avec une aussi grande amplitude, et qu'il prend fin très rapidement, à cause de la viscosité des liquides. Alors le mobile s'arrête à la surface de séparation des deux liquides, dans une position telle que la somme des poids des liquides déplacés soit égale à \(Vg\). 2.
des deux liquides avec une vitesse \(v = \sqrt{2y x} = \sqrt{2(d - g)gx}\) et s'enfoncera dans le liquide inférieur, en vertu de cette vitesse initiale. Dans ce liquide, il prendra un mouvement uniformément retardé dont l'accélération sera \(y = -(d - g)g\) et s'arrêtera quand sa vitesse sera devenue nulle. À partir de ce moment, le corps pesant va remonter, d'abord uniformément accéléré (dans le liquide inférieur), puis uniformément retardé (dans le liquide supérieur), pour revenir à son point de départ avec une vitesse nulle. Ce même mouvement d'oscillation se reproduira indéfiniment. On sait, en réalité, ce mouvement ne se produit pas avec une aussi grande amplitude, et qu'il prend fin très rapidement, à cause de la viscosité des liquides. Alors le mobile s'arrête à la surface de séparation des deux liquides, dans une position telle que la somme des poids des liquides déplacés soit égale à \(Vg\). 2. Dans son mouvement de descente, le corps pesant s'arrête quand sa vitesse est devenue nulle, c'est-à-dire quand on a la profondeur x à laquelle il s'est enfoncé dans le liquide inférieur est alors donnée par l'équation \(Kn\) éliminant \(x\) entre ces deux équations, on obtient \(Ku\) remplaçant \(v\) et \(y'\) par leurs valeurs, on trouve On peut se proposer de calculer la durée d'une demi-oscillation, c'est-à-dire le temps employé par le mobile pour aller du point le plus haut au point le plus bas de sa course. On trouve \(lt\). L'ÉLLISET, à Vorey-sur-Aare. Ont résolu la question 576 : MM. G. KUSNIKOV ; A. GAZAMIAN ; J. CHARBONNIER ; J. COUARDIN (1er); L. CHANLIAU ; K. BIRLAHU. — Math. élémentaires : T. CHOLLET ; C. PAQUOTTE. Instituteurs : MM. J. ARMANT; RENAI; VERET. — Élèves-maîtres d'Écoles normales primaires : MM. Y. JOSSAINT; K. JODALIN; K. LEHIBAR. MM. A. BURNIKOV ; DECAMP. — MM. " M. DAMIEUX; HONAIN. PRÉPARATION AUX CONCOURS GÉNÉRAUX 869. — Arithmétique. — calculez le nombre des multiples du nombre entier B contenus dans la suite \(n\) sont des nombres entiers donnés. Appliquez un cas où \(c\). — 259 — \(260\) — Je considère la termière A (\(H
par leurs valeurs, on trouve On peut se proposer de calculer la durée d'une demi-oscillation, c'est-à-dire le temps employé par le mobile pour aller du point le plus haut au point le plus bas de sa course. On trouve \(lt\). L'ÉLLISET, à Vorey-sur-Aare. Ont résolu la question 576 : MM. G. KUSNIKOV ; A. GAZAMIAN ; J. CHARBONNIER ; J. COUARDIN (1er); L. CHANLIAU ; K. BIRLAHU. — Math. élémentaires : T. CHOLLET ; C. PAQUOTTE. Instituteurs : MM. J. ARMANT; RENAI; VERET. — Élèves-maîtres d'Écoles normales primaires : MM. Y. JOSSAINT; K. JODALIN; K. LEHIBAR. MM. A. BURNIKOV ; DECAMP. — MM. " M. DAMIEUX; HONAIN. PRÉPARATION AUX CONCOURS GÉNÉRAUX 869. — Arithmétique. — calculez le nombre des multiples du nombre entier B contenus dans la suite \(n\) sont des nombres entiers donnés. Appliquez un cas où \(c\). — 259 — \(260\) — Je considère la termière A (\(H - p\)) et je l'écris comme il suit \(AU\). La première partie est divisible par H; il est donc nécessaire et suffisant que la seconde soit divisible par H, ou que \(j\) soit un nombre entier. Soit \(\phi\) le plus grand commun diviseur des nombres A et B, soient \(A'\) et \(B'\) les quotients de A et B par \(\phi\); il faut et il suffit que le nombre \(A'D\) soit un nombre entier; pour cela, puisque \(A'\) et \(B'\) sont premiers entre eux, il faut et il suffisant que \(p\) soit un multiple de \(B'\). Je remarque que \(p\) prend alors toutes les valeurs entières comprises entre 1 et \((n-1)B\), c'est-à-dire entre 1 et \((n-1)\phi B'\). Les valeurs qu'il faut prendre sont les produits de \(B'\) par les nombres 1, 2,... jusqu'à \((n-1)\). Donc le nombre des multiples de B compris dans la série des nombres entiers considérés est \((n-1)\phi\). Application. — Si A = 700, B = 1200, nous obtenons S = 2200. Comme n = 80, nous trouvons, pour le nombre des multiples de B, 79 × 120 ou 11880. Ces nombres reviennent périodiquement de 8 en 8; le nombre 8 est égal à B'. A. MOMOR, Agrégé
et \(B'\) les quotients de A et B par \(\phi\); il faut et il suffit que le nombre \(A'D\) soit un nombre entier; pour cela, puisque \(A'\) et \(B'\) sont premiers entre eux, il faut et il suffisant que \(p\) soit un multiple de \(B'\). Je remarque que \(p\) prend alors toutes les valeurs entières comprises entre 1 et \((n-1)B\), c'est-à-dire entre 1 et \((n-1)\phi B'\). Les valeurs qu'il faut prendre sont les produits de \(B'\) par les nombres 1, 2,... jusqu'à \((n-1)\). Donc le nombre des multiples de B compris dans la série des nombres entiers considérés est \((n-1)\phi\). Application. — Si A = 700, B = 1200, nous obtenons S = 2200. Comme n = 80, nous trouvons, pour le nombre des multiples de B, 79 × 120 ou 11880. Ces nombres reviennent périodiquement de 8 en 8; le nombre 8 est égal à B'. A. MOMOR, Agrégé de l'Université, Professeur à l'École Lavoisier. Ont résolu la question 669 : MM. J. GUARONNIER; FERRAND, instituteur à Cognac; J.-U. PRÉTOT; Y. JOSSAINT; L. CHANLIAU. — Mme DONAIN, Professeur aux Cours secondaires, à Niort. 577. — Géométrie. — Sur les côtés AB, AC (fig, 700) d'un triangle rectangle donné ABC, et en dehors de ce triangle, on construit des triangles rectangles isocèles DAB, DAC : 1° Démontrer que les points D, A, K sont en ligne droite. 2° Trouvez les expressions de la surface latérale S et du volume V du tronc de cône qu'engendre l'hypoténuse BC du triangle ABC en tournant autour de la droite DAK. Trouvez le volume V engendré par le triangle ABC en tournant autour de la même droite DAK. 3° On exprimera la surface S et les volumes V, V en fonction de l'hypoténuse BC = a et de la hauteur correspondante AH = h du triangle ABC, et l'on indiquera comment varient la surface S, le volume V, et le rapport \(rp\), quand, l'hypoténuse BC restant fixe, le sommet A du triangle ABC se déplace sur la demi-circonférence de cercle décrite sur BC comme diamètre. (Concours général en Mathématique, le 22 juillet 1891.) 1°
et en dehors de ce triangle, on construit des triangles rectangles isocèles DAB, DAC : 1° Démontrer que les points D, A, K sont en ligne droite. 2° Trouvez les expressions de la surface latérale S et du volume V du tronc de cône qu'engendre l'hypoténuse BC du triangle ABC en tournant autour de la droite DAK. Trouvez le volume V engendré par le triangle ABC en tournant autour de la même droite DAK. 3° On exprimera la surface S et les volumes V, V en fonction de l'hypoténuse BC = a et de la hauteur correspondante AH = h du triangle ABC, et l'on indiquera comment varient la surface S, le volume V, et le rapport \(rp\), quand, l'hypoténuse BC restant fixe, le sommet A du triangle ABC se déplace sur la demi-circonférence de cercle décrite sur BC comme diamètre. (Concours général en Mathématique, le 22 juillet 1891.) 1° Les angles DAB et DAC étant égaux chacun à 45° et l'angle BAC étant égal à 90°, la somme des trois angles formés autour du point A est égale à 180°; donc la ligne DAUK est droite. 2° Le quadrilatère BCED est un trapèze rectangle en D et en E; en tournant autour de la droite DE, il engendre un tronc de cône. On a \(Le\) triangle BAC, en tournant autour de DE, engendre un corps dont le volume V est exprimé par la formule En vertu des égalités précédentes, les formules (1), (2), (3) deviennent Lorsque le point A se meut sur la demi-circonférence, de B vers C, la seule variable de S et de V est h. Le facteur \(sj\) de S, les facteurs \(ta\) et \((a - h)\) de V augmentent quand h augmente. Donc S et V croissent quand h croît, c'est-à-dire quand le point A se meut du point B jusqu'au milieu de la demi-circonférence BC. Le maximum de S et celui de V ont lieu en même temps que le maximum de h, et ont pour valeurs Quand le point A est en B ou en C, S et V prennent leurs valeurs minimales;
en tournant autour de la droite DE, il engendre un tronc de cône. On a \(Le\) triangle BAC, en tournant autour de DE, engendre un corps dont le volume V est exprimé par la formule En vertu des égalités précédentes, les formules (1), (2), (3) deviennent Lorsque le point A se meut sur la demi-circonférence, de B vers C, la seule variable de S et de V est h. Le facteur \(sj\) de S, les facteurs \(ta\) et \((a - h)\) de V augmentent quand h augmente. Donc S et V croissent quand h croît, c'est-à-dire quand le point A se meut du point B jusqu'au milieu de la demi-circonférence BC. Le maximum de S et celui de V ont lieu en même temps que le maximum de h, et ont pour valeurs Quand le point A est en B ou en C, S et V prennent leurs valeurs minimales; ces valeurs sont Lorsque le point A se meut sur la demi-circonférence, de B vers C, la seule variable du rapport \(rp\) est h; comme h entre seulement au dénominateur de la valeur du rapport \(rp\), ce rapport décroît quand h croît; donc la valeur minimale du rapport \(rp\) a lieu pour la valeur maximale de h, et elle égale \(\frac{1}{2}\). Quand le point A tend vers B ou vers C, h tend vers 0; donc la valeur du rapport \(rp\) tend vers l'infini. Par suite, le point A se mouvant sur la demi-circonférence, de B vers C, le rapport \(rp\) décroît de \(\frac{1}{2}\) à \(\frac{1}{2}\), puis croît de \(\frac{1}{2}\) à \(\frac{1}{2}\). AUGUSTE HERMER, à Fleurus. Ont résolu la question 577 : MM. M. AUURIOT (2ème), M. FLOCHE (2ème), L. de Laval; G. FUSILLIER (1er), M. KIEHN (2ème), C. de Pont-de-Voire : J. COUNTRY (1er), L. de Pau; A. GAUZAMIAN (2ème), L. d'Angoulême; J. CHARBONNIER. — Math. élémentaires : Mlle C. JAQUETTE, C. de Poullailler; T. CHOLLET, C. de Civray. Instituteurs : MM. J.-L. PRÉTOT, aux fleurs; J. ARMANET, Armand; FERRAND, Cognac! VENET, à Valenciennes-Laon. — Élèves-maîtres d'Écoles normales primaires: AIMÉ. JODAHT, à Béarnais; V. HARTEL, au Puy. MM. K.
lieu pour la valeur maximale de h, et elle égale \(\frac{1}{2}\). Quand le point A tend vers B ou vers C, h tend vers 0; donc la valeur du rapport \(rp\) tend vers l'infini. Par suite, le point A se mouvant sur la demi-circonférence, de B vers C, le rapport \(rp\) décroît de \(\frac{1}{2}\) à \(\frac{1}{2}\), puis croît de \(\frac{1}{2}\) à \(\frac{1}{2}\). AUGUSTE HERMER, à Fleurus. Ont résolu la question 577 : MM. M. AUURIOT (2ème), M. FLOCHE (2ème), L. de Laval; G. FUSILLIER (1er), M. KIEHN (2ème), C. de Pont-de-Voire : J. COUNTRY (1er), L. de Pau; A. GAUZAMIAN (2ème), L. d'Angoulême; J. CHARBONNIER. — Math. élémentaires : Mlle C. JAQUETTE, C. de Poullailler; T. CHOLLET, C. de Civray. Instituteurs : MM. J.-L. PRÉTOT, aux fleurs; J. ARMANET, Armand; FERRAND, Cognac! VENET, à Valenciennes-Laon. — Élèves-maîtres d'Écoles normales primaires: AIMÉ. JODAHT, à Béarnais; V. HARTEL, au Puy. MM. K. CHENU; H. PELLISSIER; DUCAMP. — AU DONNEAU — 263 573. — Physique. — Quels sont les accords parfaits majeurs et parfaits mineurs qui peuvent être formés avec les sons de la gamme diatonique et leurs octaves ? (Concours général en Seconde, K. classique, en 1889.) Les sons de la gamme diatonique et leurs octaves sont donnés par le tableau suivant, qui indique en même temps la valeur de l'intervalle compris entre chaque note et la précédente (T représentant un ton, et ½ un demi-ton majeur), 1. — Un accord parfait majeur est constitué par trois notes résonnant successivement ou simultanément : un son fondamental, sa tierce majeure et sa quinte. On trouve trois accords parfaits majeurs ayant leur son fondamental dans la gamme diatonique : 2. — Dans l'accord parfait mineur, on a un son fondamental, sa tierce mineure et sa quinte. On trouve trois accords parfaits mineurs ayant leur son fondamental dans la gamme diatonique: E. CUIEU, Répétiteur au Collège de Saumur. Ont résolu la question 673 : MM. V. JOUSSKINE; H. FLOCOUB (2e), L. de Lavandais; H. PELLISSIER Mme M. DAMIEN; MM. L. CHANLIAU, J. ARMANET. PRÉPARATION AU CERTIFICAT D'APTIHUDÉ ET À L'AGRÉGATION DE L'ENSEIGNEMENT SPÉCIAL 578. —
diatonique et leurs octaves sont donnés par le tableau suivant, qui indique en même temps la valeur de l'intervalle compris entre chaque note et la précédente (T représentant un ton, et ½ un demi-ton majeur), 1. — Un accord parfait majeur est constitué par trois notes résonnant successivement ou simultanément : un son fondamental, sa tierce majeure et sa quinte. On trouve trois accords parfaits majeurs ayant leur son fondamental dans la gamme diatonique : 2. — Dans l'accord parfait mineur, on a un son fondamental, sa tierce mineure et sa quinte. On trouve trois accords parfaits mineurs ayant leur son fondamental dans la gamme diatonique: E. CUIEU, Répétiteur au Collège de Saumur. Ont résolu la question 673 : MM. V. JOUSSKINE; H. FLOCOUB (2e), L. de Lavandais; H. PELLISSIER Mme M. DAMIEN; MM. L. CHANLIAU, J. ARMANET. PRÉPARATION AU CERTIFICAT D'APTIHUDÉ ET À L'AGRÉGATION DE L'ENSEIGNEMENT SPÉCIAL 578. — SOLUTION par la Géométrie analytique de la question 571 proposée par M. K. JABLONSKI. (Voir l'énoncé, page 205.) Rapportons le cercle donné (C) au diamètre passant par le point donné A et à la tangente à ce cercle en ce point. Son équation est (C) x^2 + (y - a)^2 = 0. — 264 — Soient (C) et (C") deux cercles dont les équations sont L'axe radical de (C) et de (C"), qui a pour équation se confond avec la tangente en A à (C), dont l'équation est De même, l'axe radical de (C) et de (C"), qui a pour équation se confond avec la tangente en A à (C"), dont l'équation est On doit donc avoir Par suite, les équations (C) et (C") deviennent Les équations de ces deux cercles mobiles contiennent deux paramètres variables X et y, et il semble qu'il n'y ait pas de règle pour leur intersection ; mais il arrive ici qu'en ajoutant membre à membre ces deux équations, on fait disparaître à la fois les deux paramètres ; c'est comme s'il n'y avait qu'un seul paramètre Z = x^2 - y^2 Le lieu cherché a donc pour équation C'est le cercle décrit sur AO