jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
capital par le second taux, et le second capital est double du premier. Soient 1 fr. et 2 fr. les capitaux placés. Dans ce cas, d'après la première condition de l'énoncé, la différence des bénéfices est Quand la différence des bénéfices est 0f,18, le premier capital placé est 1 fr. ; quand cette différence est 1 fr., ce capital est 2 fr. ; et quand cette différence est 5400 fr., ce capital est Par suite, les capitaux placés sont 30000 fr. et 60000 fr. K. FERRIER, Instituteur stagiaire à Limoges. Solution algébrique. — Soient x le capital placé d'abord à 5 p. 100, et y le capital placé d'abord à 12 p. 100. Les bénéfices qu'ils produisent sont 0,06x et 0,12y; comme la différence de ces bénéfices est 0,06, on trouve l'équation Lorsqu'on place le capital x à 12 p. 100 et le capital y à 6 p. 100, les bénéfices sont 0,12x et 0,06y; ces bénéfices étant égaux, on trouve En résolvant le système des équations, on obtient Donc les capitaux placés sont 30000 fr. et 60000 fr. P. CHEVILLARD, Élève de Troisième (E. moderne) au Collège de Libourne. Ont résolu la question 508 : MM. L. C. BRISSET; H. FILOCHE; DÉSIGAUD; MACÉ, L. d'Evremont; R. BERNARD; L. CHELLY, C. de Libourne; GUTAND-CHARVIN; C. de Beaumont-en-Vallée; L. CHANLIAL; J. CHARBONNIER, Pensionnat Sainte-Marie, à Chagny; DEIXONNE, C. de Beaumont-en-Vallée; M. CADET, C. d'Arnois; CHOLLET, C. de Parthenay. Instituteurs. — MM. J. L. PRÉTOT; A. GARDEUR; H. BAURY; J. ARMANET; DUCAMP, à Maroilles; FERAND, à Cognac; C. GALLOIS, à Bar-le-Duc; A. ANFROY, à Saint-Paul; G. GARDE; P. GUILLAUME, à Épinay. MM. E. LEGRAND, E. JODARD et G. PELTIER, Élèves-maîtres à l'École normale de Beauvais. Maîtres répétiteurs. — MM. F. PÉGOTIER; P. FLOURY, C. de Sessenno. MM. TILLIER; L. HUIN; LE BAGOUSSE; A. BEGNIER, à Beaurepaire; J. BRUNARD. Mlle M. DAMIEN, Institutrice-adjointe à Verdun; BOXAIX. 509. — On a décomposé un pyramide d'eau par le courant électrique. Calculer : 1° le volume d'hydrogène obtenu; 2° le volume d'oxygène. Ces deux volumes étant mesurés dans les conditions normales de température et de pression.
H. FILOCHE; DÉSIGAUD; MACÉ, L. d'Evremont; R. BERNARD; L. CHELLY, C. de Libourne; GUTAND-CHARVIN; C. de Beaumont-en-Vallée; L. CHANLIAL; J. CHARBONNIER, Pensionnat Sainte-Marie, à Chagny; DEIXONNE, C. de Beaumont-en-Vallée; M. CADET, C. d'Arnois; CHOLLET, C. de Parthenay. Instituteurs. — MM. J. L. PRÉTOT; A. GARDEUR; H. BAURY; J. ARMANET; DUCAMP, à Maroilles; FERAND, à Cognac; C. GALLOIS, à Bar-le-Duc; A. ANFROY, à Saint-Paul; G. GARDE; P. GUILLAUME, à Épinay. MM. E. LEGRAND, E. JODARD et G. PELTIER, Élèves-maîtres à l'École normale de Beauvais. Maîtres répétiteurs. — MM. F. PÉGOTIER; P. FLOURY, C. de Sessenno. MM. TILLIER; L. HUIN; LE BAGOUSSE; A. BEGNIER, à Beaurepaire; J. BRUNARD. Mlle M. DAMIEN, Institutrice-adjointe à Verdun; BOXAIX. 509. — On a décomposé un pyramide d'eau par le courant électrique. Calculer : 1° le volume d'hydrogène obtenu; 2° le volume d'oxygène. Ces deux volumes étant mesurés dans les conditions normales de température et de pression. Le poids de l'hydrogène obtenu est de gramme; son volume, mesuré dans les conditions normales de température et de pression, est Le volume de l'oxygène est deux fois moindre, c'est-à-dire 0,12,52. L. CHANLIAL, Élève à l'École libre de Chagny. Ont résolu la question 509 : MM. H. FILOCHE; E. BERNARD; J. CHARBONNIER; CHOLLET; DÉSIGAUD; CHEVILLARD; M. GABET; L. LEMAIRE. Instituteurs. — MM. H. BAURY; G. GARDE; A. GARDEUR; A. ANXIONNAZ; P. GUILLEMIN; J. ARMANET; E. BOURDON; MARCESCHE; DUCAMP; J. PHILIPPE; FERRAND; A. ANFROY; Z. RUSSIER; E. FERRIER. MM. E. JODARD; C. PELTIER; E. LEGRAND. Maîtres répétiteurs. — MM. FLOURY; F. PÉGOTIER. MM. L. HUIN; M. TILLIER; A. RÉGNIER; J. BRUNARD. Mme BOXAIX; M. DAMIEN. CLASSE DE SECONDE, E. MODERNE 510. — Démontrer que, si d'un point A (fig. 509), situé sur une circonférence, on trace différentes cordes AG, AD, AE, les volumes engendrés par les segments de cercle AMG, AMD, AME, tournant autour du diamètre AH, sont proportionnels aux carrés des zones engendrées par les arcs AG, AMD, AE. Tracer, d'après cela, trois cordes AG, AD, AE, telles qu'en faisant tourner autour du diamètre AH les figures AMG, AMD, ADE et AMH, les quatre volumes ainsi engendrés soient équivalents. (Concours
J. CHARBONNIER; CHOLLET; DÉSIGAUD; CHEVILLARD; M. GABET; L. LEMAIRE. Instituteurs. — MM. H. BAURY; G. GARDE; A. GARDEUR; A. ANXIONNAZ; P. GUILLEMIN; J. ARMANET; E. BOURDON; MARCESCHE; DUCAMP; J. PHILIPPE; FERRAND; A. ANFROY; Z. RUSSIER; E. FERRIER. MM. E. JODARD; C. PELTIER; E. LEGRAND. Maîtres répétiteurs. — MM. FLOURY; F. PÉGOTIER. MM. L. HUIN; M. TILLIER; A. RÉGNIER; J. BRUNARD. Mme BOXAIX; M. DAMIEN. CLASSE DE SECONDE, E. MODERNE 510. — Démontrer que, si d'un point A (fig. 509), situé sur une circonférence, on trace différentes cordes AG, AD, AE, les volumes engendrés par les segments de cercle AMG, AMD, AME, tournant autour du diamètre AH, sont proportionnels aux carrés des zones engendrées par les arcs AG, AMD, AE. Tracer, d'après cela, trois cordes AG, AD, AE, telles qu'en faisant tourner autour du diamètre AH les figures AMG, AMD, ADE et AMH, les quatre volumes ainsi engendrés soient équivalents. (Concours d'admission à l'École normale supérieure d'Enseignement primaire de Saint-Cloud, 29 juin 1891.) 1°. — Soient G', D', E' les projections de G, D, E sur le diamètre AH. D'après la formule qui donne le volume engendré par un segment de cercle tournant autour d'un diamètre qui ne le traverse pas, on a D'après la formule qui donne l'aire d'une zone, en appelant S, S', S" les trois zones considérées, on a 2°. — Les quatre volumes engendrés par AMC, ACD, ADE, AEB devant être équivalents, on a donc AC, AD', et AE' sont respectivement égaux au rayon du cercle donné et aux côtés du carré et du triangle équilatéral inscrits à ce cercle. Par suite, C est le milieu de AB : C est l'extrémité du rayon perpendiculaire en C à AH; on a AD' = AC : D est l'extrémité de la demi-corde perpendiculaire en D' à AB; en prenant la corde DJ égale au rayon, on a AE' = AJ : E est l'extrémité de la demi-corde perpendiculaire en E' à AJ. C. AUHELIN, Élève-maître à l'École normale de Nancy. — 49 — Ont résolu la question 510 : MM. L. C. BRISSET; E. BERNARD; H. FILOCHE; CHOLLET;
on a D'après la formule qui donne l'aire d'une zone, en appelant S, S', S" les trois zones considérées, on a 2°. — Les quatre volumes engendrés par AMC, ACD, ADE, AEB devant être équivalents, on a donc AC, AD', et AE' sont respectivement égaux au rayon du cercle donné et aux côtés du carré et du triangle équilatéral inscrits à ce cercle. Par suite, C est le milieu de AB : C est l'extrémité du rayon perpendiculaire en C à AH; on a AD' = AC : D est l'extrémité de la demi-corde perpendiculaire en D' à AB; en prenant la corde DJ égale au rayon, on a AE' = AJ : E est l'extrémité de la demi-corde perpendiculaire en E' à AJ. C. AUHELIN, Élève-maître à l'École normale de Nancy. — 49 — Ont résolu la question 510 : MM. L. C. BRISSET; E. BERNARD; H. FILOCHE; CHOLLET; CAZAMIA; M. GABET; GRAND-CHARVIN. Instituteurs. — MM. Z. RUSSIER; H. BAURY; E. BOURDON; J. ARMANET; DUCAMP; G. GARDE; A. GARDEUR; J.-L. PRÉTOT; A. ANXIONNAZ; MARCESCHE; P. GUILLAUME; C.GALLOIS; J. PHILIPPE; FERRAND; E. FERRIER. M. E.JODARD. Maîtres répétiteurs. — MM. P. FLOURY; F. PÉGOTIER. MM. L. HUIN; M. TILLIER; LE BAGOUSSE. — Mme BONAIN. 511. — Un thermomètre, dont le réservoir seul est plongé dans un bain liquide, marque une température T; celle de l'air extérieur est 0°. On demande la vraie température du liquide. (Concours d'admission à l'École des Mines de Saint-Etienne, 1882.) Prenons pour unité de volume le volume d'une division de la tige, et soit n le nombre de degrés compris entre le zéro de la graduation et le bas de la tige. Le nombre total des divisions occupées par le mercure à 0° est n -1. Si l'on enfonçait toute la tige dans le bain liquide, dont la température est x, le mercure s'élèverait jusqu'à la division x, occupant dans la tige un volume apparent égal à n -x. D'autre part, l'expression du volume du mercure dilaté serait (n -1) (1 + £r), £ étant le coefficient de la dilatation apparente du mercure dans le verre du
— Mme BONAIN. 511. — Un thermomètre, dont le réservoir seul est plongé dans un bain liquide, marque une température T; celle de l'air extérieur est 0°. On demande la vraie température du liquide. (Concours d'admission à l'École des Mines de Saint-Etienne, 1882.) Prenons pour unité de volume le volume d'une division de la tige, et soit n le nombre de degrés compris entre le zéro de la graduation et le bas de la tige. Le nombre total des divisions occupées par le mercure à 0° est n -1. Si l'on enfonçait toute la tige dans le bain liquide, dont la température est x, le mercure s'élèverait jusqu'à la division x, occupant dans la tige un volume apparent égal à n -x. D'autre part, l'expression du volume du mercure dilaté serait (n -1) (1 + £r), £ étant le coefficient de la dilatation apparente du mercure dans le verre du thermomètre. On a donc l'équation qui donne pour x L.-C. BRISSET, Élève de Seconde (E. moderne) au Lycée de Chalon-sur-Saône. Ont résolu la question 511 : MM. CAZAMIA; CHOLLET; M. GABET; L. LEMAIRE. Instituteurs. — MM. J. ARMANET; A. ANXIONNAZ; MARCESCHI; A. GARDEUR; FERRAND; G. GARDE; E. BOURDON; J. PHILIPPE; C. GALLOIS; DUCAMP. MM. E. JODARD; E. LEGRAND. Maîtres répétiteurs. — M. P. FLOURY. MM. LE BAGOUSSE, Professeur à l'École d'agriculture du Grand-Île, à Saint-François; M. TILLIER, à Stafford (Angleterre). Mme DAMIEN; BONAIN. de ce système étant prises pour coefficients de l'équation, quelle valeur doit-on attribuer à m pour que l'une des racines soit double de l'autre ? Valeurs correspondantes de x, y, z et u. (Cconcours d'admission à l'École municipale de l'hydrologie et de l'hydrologie industrielles de Paris, 16 juillet 1891.) 1°. — Lorsque l'on retranche membre à membre l'équation (2) de l'équation (1), on trouve lin retranche membre à membre les équations (3) et (4), on obtient En vertu de cette valeur de x, les équations (2) et (1) deviennent de ce système de deux équations, on tire, après les avoir retranchées membre à membre, 2°. — quand u" = 2u', on tire lin éliminant u' entre ces
C. GALLOIS; DUCAMP. MM. E. JODARD; E. LEGRAND. Maîtres répétiteurs. — M. P. FLOURY. MM. LE BAGOUSSE, Professeur à l'École d'agriculture du Grand-Île, à Saint-François; M. TILLIER, à Stafford (Angleterre). Mme DAMIEN; BONAIN. de ce système étant prises pour coefficients de l'équation, quelle valeur doit-on attribuer à m pour que l'une des racines soit double de l'autre ? Valeurs correspondantes de x, y, z et u. (Cconcours d'admission à l'École municipale de l'hydrologie et de l'hydrologie industrielles de Paris, 16 juillet 1891.) 1°. — Lorsque l'on retranche membre à membre l'équation (2) de l'équation (1), on trouve lin retranche membre à membre les équations (3) et (4), on obtient En vertu de cette valeur de x, les équations (2) et (1) deviennent de ce système de deux équations, on tire, après les avoir retranchées membre à membre, 2°. — quand u" = 2u', on tire lin éliminant u' entre ces deux équations, on obtient la relation 2y^ = Oxz entre les coefficients x, y, z de l'équation (4), lorsque u" = 2u'; et cette relation devient, en vertu des valeurs de x, y, z, DÉSIGNÉ, Élève de Seconde (E. moderne) au Collège de Bourgoin. 49 Ont résolu la question 512 : MM. H. FILCHE; M. GADET; L. C. DRISSE; L. LEMAIRE, C. de Leamais; URAXD-CUAVIX; CAZAMIAX; MACÉ; CIIOLLET; DEIXOXXE. Instituteurs. — MM. J. ARMANET; DICAMP; K. FERRIER; IV. DOURGAD; A. FAUDEUR; A. ANGIONNAZ; J. L. PRÉTOT; Z. HESSIER; MARCESCHE; J. PHILIPPE; FERRAND; II. DAL'RY; C. GALLOIS; P. CUILLEMONT. MM. ER. LAGRANGE; C. PETITIORY; K. JODARD. Maîtres répétiteurs. — MM. F. PÉGORIE; P. FLOURY. MM. J. BRUXARD; L. HUET. — Mme DOUSAIX; M. DAMIEN. 514. — Soit V un point lumineux placé sur l'axe principal d'un miroir sphérique concave M, de rayon H. On supposera que la distance p du point P au sommet du miroir est plus grande que H. — Les rayons lumineux qui viennent du point P, après s'être réfléchis sur le miroir, viendraient converger au point P', foyer conjugué de P. Avant d'arriver à ce point P', ils sont réfléchis de nouveau par un miroir sphérique convexe
: MM. H. FILCHE; M. GADET; L. C. DRISSE; L. LEMAIRE, C. de Leamais; URAXD-CUAVIX; CAZAMIAX; MACÉ; CIIOLLET; DEIXOXXE. Instituteurs. — MM. J. ARMANET; DICAMP; K. FERRIER; IV. DOURGAD; A. FAUDEUR; A. ANGIONNAZ; J. L. PRÉTOT; Z. HESSIER; MARCESCHE; J. PHILIPPE; FERRAND; II. DAL'RY; C. GALLOIS; P. CUILLEMONT. MM. ER. LAGRANGE; C. PETITIORY; K. JODARD. Maîtres répétiteurs. — MM. F. PÉGORIE; P. FLOURY. MM. J. BRUXARD; L. HUET. — Mme DOUSAIX; M. DAMIEN. 514. — Soit V un point lumineux placé sur l'axe principal d'un miroir sphérique concave M, de rayon H. On supposera que la distance p du point P au sommet du miroir est plus grande que H. — Les rayons lumineux qui viennent du point P, après s'être réfléchis sur le miroir, viendraient converger au point P', foyer conjugué de P. Avant d'arriver à ce point P', ils sont réfléchis de nouveau par un miroir sphérique convexe M', de rayon H', ayant même axe principal que le miroir M; soit P" le foyer conjugué par rapport à M'. Où faut-il placer ce miroir M' pour que P" coïncide avec P? Le problème est-il toujours possible? A-t-il plusieurs solutions? — On prendra pour inconnue x la distance du sommet du miroir M' au sommet du miroir M. — Exemple numérique; H = 2m; r = 0,78; p = 3,9,50. (Baccalauréat de l'Enseignement spécial, Caen, novembre 1890.) Soit PD (fig. 6C0) un rayon lumineux parti de P. Il est réfléchi dans la direction DP'. Ce rayon réfléchi, rencontrant le miroir convexe M', est réfléchi dans la direction D'P". Cette direction doit être telle que son prolongement D'P" passe par le point P. Fig. 600. La marche des rayons, indiquée par la figure 600, montre que tout se passe comme si, le miroir M' étant concave, il y avait en P' un point lumineux dont l'image serait en P. Il en résulte les deux relations suivantes : 1° Entre les points P et P', par rapport au miroir concave M : 2° Entre les points P' et P, par rapport au miroir M', considéré comme concave : En éliminant p'
sommet du miroir M' au sommet du miroir M. — Exemple numérique; H = 2m; r = 0,78; p = 3,9,50. (Baccalauréat de l'Enseignement spécial, Caen, novembre 1890.) Soit PD (fig. 6C0) un rayon lumineux parti de P. Il est réfléchi dans la direction DP'. Ce rayon réfléchi, rencontrant le miroir convexe M', est réfléchi dans la direction D'P". Cette direction doit être telle que son prolongement D'P" passe par le point P. Fig. 600. La marche des rayons, indiquée par la figure 600, montre que tout se passe comme si, le miroir M' étant concave, il y avait en P' un point lumineux dont l'image serait en P. Il en résulte les deux relations suivantes : 1° Entre les points P et P', par rapport au miroir concave M : 2° Entre les points P' et P, par rapport au miroir M', considéré comme concave : En éliminant p' entre ces deux équations, et ordonnant par rapport à x, on trouve Cette quantité étant toujours positive, les racines sont toujours réelles. D'après l'énoncé, on a p > H, c'est-à-dire p > 2H, Si on a, en outre, H > r, le produit des racines est négatif; le problème, alors, n'admet qu'une solution, car la racine négative ne saurait convenir. Si, au contraire, H est inférieur à H, le produit des racines est positif, de même que la somme, et les deux racines sont positives. Les solutions conviennent toutes les deux. La plus petite, inférieure à H, correspond à une position du miroir M' comprise entre M et P'; les rayons lumineux réfléchis par le miroir M rencontrent le second miroir avant de s'être concentrés en P'. La plus grande, comprise entre H et p, correspond à une position du miroir M' comprise entre P' et P; les rayons lumineux réfléchis par le miroir M se rencontrent d'abord en P'; puis, continuant leur route, vont se réfléchir sur le miroir M', de telle manière que le foyer conjugué soit en P. Avec les nombres donnés dans l'énoncé, on trouve les deux racines positives x' = 3m,2 et x" = 0m,91,
n'admet qu'une solution, car la racine négative ne saurait convenir. Si, au contraire, H est inférieur à H, le produit des racines est positif, de même que la somme, et les deux racines sont positives. Les solutions conviennent toutes les deux. La plus petite, inférieure à H, correspond à une position du miroir M' comprise entre M et P'; les rayons lumineux réfléchis par le miroir M rencontrent le second miroir avant de s'être concentrés en P'. La plus grande, comprise entre H et p, correspond à une position du miroir M' comprise entre P' et P; les rayons lumineux réfléchis par le miroir M se rencontrent d'abord en P'; puis, continuant leur route, vont se réfléchir sur le miroir M', de telle manière que le foyer conjugué soit en P. Avec les nombres donnés dans l'énoncé, on trouve les deux racines positives x' = 3m,2 et x" = 0m,91, qui conviennent toutes les deux. Mme BONNAIN, Professeur aux Cours secondaires, à Morlaix. Ont résolu la question 514 : MM. G. DESVAUX, Pensionnat des Frères, à Reims; M. GALET; C. BERGMANN (Math. élém.), L. Saint-Louis; GRAND-CHAVIN. Instituteurs. — MM. DICAMP; E. FERNIE; FERRAND; J. ARMANET. Maîtres répétiteurs. — M. P. FLOURY. M. L. HUET. — Mlle DAMIEN. 515. — Une cloche cylindrique de volume v, dont la hauteur est égale au diamètre, repose sur la cuvette à eau; la cloche est pleine d'air, dont la pression H est égale à la pression extérieure. On enlève l'oxygène par le phosphore. De combien l'eau s'élève dans la cloche? On suppose que la température demeure invariablement égale à 0° pendant la durée de l'expérience. — Application numérique ; v = 21,180,658; H = 1000 mètre; densité du mercure ρ = 13,6. E. CHÉNUE, Maître répétiteur à Rongé. Désignons par r le rayon de la cloche, par 2r sa hauteur, par H, la pression atmosphérique exprimée en colonne d'eau, par m la fraction 0,79 qui représente la proportion d'azote contenue dans l'air, et enfin par δ la quantité dont s'élève l'eau dans la cloche, après l'absorption de l'oxygène par le phosphore. Avant l'absorption, l'azote
FLOURY. M. L. HUET. — Mlle DAMIEN. 515. — Une cloche cylindrique de volume v, dont la hauteur est égale au diamètre, repose sur la cuvette à eau; la cloche est pleine d'air, dont la pression H est égale à la pression extérieure. On enlève l'oxygène par le phosphore. De combien l'eau s'élève dans la cloche? On suppose que la température demeure invariablement égale à 0° pendant la durée de l'expérience. — Application numérique ; v = 21,180,658; H = 1000 mètre; densité du mercure ρ = 13,6. E. CHÉNUE, Maître répétiteur à Rongé. Désignons par r le rayon de la cloche, par 2r sa hauteur, par H, la pression atmosphérique exprimée en colonne d'eau, par m la fraction 0,79 qui représente la proportion d'azote contenue dans l'air, et enfin par δ la quantité dont s'élève l'eau dans la cloche, après l'absorption de l'oxygène par le phosphore. Avant l'absorption, l'azote occupe un volume 4πr3, égal au volume de la cloche, et sa pression est Hm. Après l'absorption, le volume occupé par l'azote est 4πr3(2r-x), et la pression est H(1-x). D'après la loi de Mariotte, on a, entre ces quantités, la relation 4πr3H, = 4πrt(2r-x)(1 - x). Ordonnée par rapport à x, cette équation prend la forme a2 - (Ht + 2r)x + 2rH(1 - m) = 0. Il est aisé de voir que les valeurs de x sont toujours réelles et positives. L'une, supérieure à la hauteur 2c de la cloche, ne peut convenir, la plus petite racine convient seule. L'application numérique conduit à r=15m; II=1020m; a2=6cr16. E. BOURDON, Instituteur en congé, à Les din. Ont résolu la question 514 : MM. L. CHANLIAU; DEIXONNE; G. NAUDIN. Instituteurs. — MM. J. ARMANET; A. ANXIONNAZ; A. GARDEUR; DUCASIP; FERRANO; MARCESCHE. MM. ER. LEGRAND; E. JODARD. M. L. HUIN. M"e.Bov.uw PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE SPÉCIAL 517. — Algèbre et Trigonométrie. — On connaît la surface S d'un triangle ainsi que les rayons R et r des cercles circonscrit et inscrit. 1° Former l'équation qui donne les tangentes des demi-angles aux sommets de ce triangle. On trouvera, en désignant par x
x, cette équation prend la forme a2 - (Ht + 2r)x + 2rH(1 - m) = 0. Il est aisé de voir que les valeurs de x sont toujours réelles et positives. L'une, supérieure à la hauteur 2c de la cloche, ne peut convenir, la plus petite racine convient seule. L'application numérique conduit à r=15m; II=1020m; a2=6cr16. E. BOURDON, Instituteur en congé, à Les din. Ont résolu la question 514 : MM. L. CHANLIAU; DEIXONNE; G. NAUDIN. Instituteurs. — MM. J. ARMANET; A. ANXIONNAZ; A. GARDEUR; DUCASIP; FERRANO; MARCESCHE. MM. ER. LEGRAND; E. JODARD. M. L. HUIN. M"e.Bov.uw PRÉPARATION À L'AGRÉGATION DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE SPÉCIAL 517. — Algèbre et Trigonométrie. — On connaît la surface S d'un triangle ainsi que les rayons R et r des cercles circonscrit et inscrit. 1° Former l'équation qui donne les tangentes des demi-angles aux sommets de ce triangle. On trouvera, en désignant par x l'une de ces tangentes, SA 3 r (4 R + r) x^2 + Sx — r^2 = 0. 2° R et r étant donnés, entre quelles limites doit être compris S pour que le triangle soit possible ? 3° On donne R = 8 et r = 3, trouver les côtés du triangle de surface minimum et aussi ceux du triangle de surface maximum. (Concours d'Agrégation de l'Enseignement secondaire spécial, en 1891.) Si l'on considère l'angle B, ou l'angle C, on a encore l'égalité (1) et des égalités qui ne diffèrent des égalités (2) et (3) qu'en ce que B et b, ou C et c, y remplacent A et a; donc les deux nouveaux systèmes d'équations (1), (2), (3) conduiront à l'équation (4), en représentant B par 1/tg Ô- soit 1/tg -. Par suite, les trois racines de l'équation (4) sont les valeurs des tangentes des demi-angles d'un triangle dont on connaît la surface S, le rayon R du cercle circonscrit et le rayon r du cercle inscrit. Pour que le triangle cherché soit possible, il faut et il suffit que l'équation (4) admette trois racines réelles et positives. Comme l'équation (4) présente trois variations, ses trois racines sont
côtés du triangle de surface minimum et aussi ceux du triangle de surface maximum. (Concours d'Agrégation de l'Enseignement secondaire spécial, en 1891.) Si l'on considère l'angle B, ou l'angle C, on a encore l'égalité (1) et des égalités qui ne diffèrent des égalités (2) et (3) qu'en ce que B et b, ou C et c, y remplacent A et a; donc les deux nouveaux systèmes d'équations (1), (2), (3) conduiront à l'équation (4), en représentant B par 1/tg Ô- soit 1/tg -. Par suite, les trois racines de l'équation (4) sont les valeurs des tangentes des demi-angles d'un triangle dont on connaît la surface S, le rayon R du cercle circonscrit et le rayon r du cercle inscrit. Pour que le triangle cherché soit possible, il faut et il suffit que l'équation (4) admette trois racines réelles et positives. Comme l'équation (4) présente trois variations, ses trois racines sont positives quand elles sont réelles. Il suffit donc d'exprimer que les trois racines de l'équation (4) sont réelles. On sait que, quand l'équation du troisième degré a la forme pour que ses trois racines soient réelles, il faut et il suffit que l'on ait, entre les coefficients, la relation Considérons le trinôme du second degré en S8 représenté par le premier membre de la relation (fi); si ses racines (S2)' et (S2)"" sont réelles, la relation (fi) existera quand S2 sera compris entre (S2)' et (S2)", La quantité sous radical des valeurs des racines (S2)' et (S2)"" devient, après réductions, 4R^2 (R - 2r)^3; les racines (S2)' et (S2)"" seront réelles quand on aura : R^2 &gt;r. En tenant compte de la relation donnée D2 = R (R - 2 r), on a le premier membre de cette relation devient nul; donc l'équation (4) admet deux racines égales lorsque S a les valeurs Si et Sj. Par suite, le triangle de surface maxima et le triangle de surface minima sont des triangles isocèles. En tenant compte des valeurs numériques de R et de r, on trouve et l'équation (i) devient En annulant le plus grand commun diviseur entre le premier