jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
à Decize; H. BAURY, à Monteiguet ; A. ANXIONNAZ, à Celliers-de-Savoie; FERRAND, à Cognac; E. CHARGÉ, à Marigny; A. ANFROY, à Brienne; E. BOURDON, à Saint-Omer; H. ELPAIN, à Quimperlé; VILLALLOT, au Lille; VUILLERMOZ, à Chapelle-Vualon ; — MM. Y. JUSSSERAND et V. HARPEL, Élèves-maîtres(1° A.) à l'École normale primaire du Puy; E. JODAULT, Élève-nain(1° A.) à l'École normale primaire de Beauvais. MM. C. BERGMAN, L. Saint-Louis, à Paris ; C. ROUGSALT, à Parthenay ; J. HORAY, Maître interne à l'École nationale professionnelle d'Arles; J. PELINDANIES, à la Bouzaréah (Alger); L. HUIN, Maître interne à l'École nationale professionnelle de Vienne; J. DEBRY, à Vannes; DUCAMP, Soldat au 84e de Ligne, à Landrecies. — MM. BONAIN, Professeur aux Cours secondaires, à Montpellier; M. DAMIEN, Institutrice à Verdun. CLASSE DE TROISIÈME, E. MODERNE 539. — Une sécante coupe les côtés AB et AC d'un triangle en des points B' et C tels que BB' = CC. Déterminer le lieu des points milieux de la corde VC. On prouvera que ce lieu est une droite; et que, si l'on considère simultanément les deux cas où BB' et GC sont comptés dans le même sens ou en sens opposés par rapport au point A, le double lieu consiste en deux droites perpendiculaires passant par le milieu de BC. N. GOFFART. Après avoir fait les constructions (fig. 693) comme dans le problème précédent, de l'égalité des triangles BDB' et CDC on conclut l'égalité des angles BDB' et CDC ; donc l'angle B'DC' égale l'angle BDC ou égale l'angle A. Par suite, la circonférence circonscrite au triangle AB'C' passe par le point D. Alors soient b et c les milieux des droites telles que BC correspondant aux cas où BB' = CC devient égal à AG et à AB; les droites DO et DE sont alors des perpendiculaires à AB et à AC. Par suite, les deux droites CE et CI sont les droites de Simpson relatives au point D des circonférences circonscrites aux triangles Figt ABC et ABC'; comme ces droites ont deux points communs b et c, elles coïncident selon une seule droite. Par
le double lieu consiste en deux droites perpendiculaires passant par le milieu de BC. N. GOFFART. Après avoir fait les constructions (fig. 693) comme dans le problème précédent, de l'égalité des triangles BDB' et CDC on conclut l'égalité des angles BDB' et CDC ; donc l'angle B'DC' égale l'angle BDC ou égale l'angle A. Par suite, la circonférence circonscrite au triangle AB'C' passe par le point D. Alors soient b et c les milieux des droites telles que BC correspondant aux cas où BB' = CC devient égal à AG et à AB; les droites DO et DE sont alors des perpendiculaires à AB et à AC. Par suite, les deux droites CE et CI sont les droites de Simpson relatives au point D des circonférences circonscrites aux triangles Figt ABC et ABC'; comme ces droites ont deux points communs b et c, elles coïncident selon une seule droite. Par conséquent, le point I se trouve sur la droite de Simpson relative au point D de la circonférence circonscrite au triangle ABC. Réciproquement, tout point I de la droite de Simpson CE, relative au point D de la circonférence circonscrite au triangle ABC, est le milieu d'une droite qui détermine sur AB et AC des segments égaux à partir de B et C. En effet, menons à la droite Dr, par le point I, la perpendiculaire B'C, qui coupe AB et AC en B' et en C. La droite CI est la droite de Simpson relative au triangle AB'C; donc le point D appartient à la circonférence circonscrite au triangle AB'C; par suite, les angles B'DC et A sont égaux. Mais les angles BDC et A étant aussi égaux, les angles BDC et B'DC sont égaux. Alors, les triangles BDB' et CDC sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux, savoir : les côtés BD et CD sont égaux, les angles DBB' et DCC sont égaux, les angles BDB' et CDC sont égaux, comme restes obtenus en retranchant un même angle BDC des deux angles égaux BDC et B'DC. Donc DB' et DC sont égaux et
sur AB et AC des segments égaux à partir de B et C. En effet, menons à la droite Dr, par le point I, la perpendiculaire B'C, qui coupe AB et AC en B' et en C. La droite CI est la droite de Simpson relative au triangle AB'C; donc le point D appartient à la circonférence circonscrite au triangle AB'C; par suite, les angles B'DC et A sont égaux. Mais les angles BDC et A étant aussi égaux, les angles BDC et B'DC sont égaux. Alors, les triangles BDB' et CDC sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux, savoir : les côtés BD et CD sont égaux, les angles DBB' et DCC sont égaux, les angles BDB' et CDC sont égaux, comme restes obtenus en retranchant un même angle BDC des deux angles égaux BDC et B'DC. Donc DB' et DC sont égaux et I est le milieu de B'C; de plus BB' et CC sont égaux. Des deux parties de ce raisonnement, il résulte que la droite de Simpson CE, relative au point D de la circonférence circonscrite au triangle ABC, est le lieu cherché. Après avoir obtenu les points bi et ct, analogues aux points b et c, on reconnaît, d'une manière analogue à la précédente, que le lieu du point Ij est la droite de Simpson tiEci relative au point D|. Les côtés AB et AC du triangle ABC sont égaux, d'après la construction des points b et c ; donc ce triangle est isocèle, et la droite de Simpson cbE est parallèle à la bissectrice de l'angle A. Le triangle b,Ac étant isocèle, parce que b,Ac et b,Ac sont égaux, d'après la construction des points b| et c| la droite de Simpson b,Ec est parallèle à la bissectrice de l'angle supplémentaire de l'angle A. Par conséquent, les deux droites de Simpson, étant parallèles aux deux bissectrices de deux angles supplémentaires, sont rectangulaires. J.-L. PRÉTOT, Instituteur au Brèsieu. Ont résolu la question 539 : MM. A. BESNON; C. BERGMAN; H. BAURY; C. POUGNAULT; J. BOUYSSOU; D. COISSAC; L. HUIN; E. BOURDON;
analogues aux points b et c, on reconnaît, d'une manière analogue à la précédente, que le lieu du point Ij est la droite de Simpson tiEci relative au point D|. Les côtés AB et AC du triangle ABC sont égaux, d'après la construction des points b et c ; donc ce triangle est isocèle, et la droite de Simpson cbE est parallèle à la bissectrice de l'angle A. Le triangle b,Ac étant isocèle, parce que b,Ac et b,Ac sont égaux, d'après la construction des points b| et c| la droite de Simpson b,Ec est parallèle à la bissectrice de l'angle supplémentaire de l'angle A. Par conséquent, les deux droites de Simpson, étant parallèles aux deux bissectrices de deux angles supplémentaires, sont rectangulaires. J.-L. PRÉTOT, Instituteur au Brèsieu. Ont résolu la question 539 : MM. A. BESNON; C. BERGMAN; H. BAURY; C. POUGNAULT; J. BOUYSSOU; D. COISSAC; L. HUIN; E. BOURDON; E. BROSSARD; E. JODART; FERRAND; E. DUCAMP; A. ANFREY; VUILLERMOZ; E. NEST, à Saubusse. 540. — Dans un tube de porcelaine chauffé au rouge, on fait passer un mélange de 2 litres de gaz ammoniac et 2 litres de bioxyde d'azote. Dire la composition et le volume (mesuré à 0° et sous la pression de 760 mm) du mélange résultant. À la température du rouge, l'ammoniaque et le bioxyde d'azote réagissent l'un sur l'autre pour donner de l'azote, de la vapeur d'eau, et un excès d'hydrogène. Les équivalents en volume des deux gaz étant les mêmes, et les volumes mis en présence étant égaux, la réaction est symbolisée par l'équation La vapeur d'eau se condense. Le gaz restant est constitué par un volume d'azote égal à celui de chacun des gaz primitifs (2 litres) et un volume d'hydrogène deux fois moindre (1 litre). L. GELLY, Élève de Troisième (E. moderne) au collège de Libourne. Ont résolu la question 540: MM. A. BESNON (3e) ; P. SEMET; E. BILLARD, Pensionnat Sainte-Marie, à Chagny, — Seconde: MM. L. AUBRIOT; DROGOZ, C. de Bourgoin; G. THÉVENIN, C. de Pont-de-Vaux ; C. LABERT, L. d'Orléans; L. BRISSET, L. de Chaumont. — Première: MM. DÉSIGAUD,
et sous la pression de 760 mm) du mélange résultant. À la température du rouge, l'ammoniaque et le bioxyde d'azote réagissent l'un sur l'autre pour donner de l'azote, de la vapeur d'eau, et un excès d'hydrogène. Les équivalents en volume des deux gaz étant les mêmes, et les volumes mis en présence étant égaux, la réaction est symbolisée par l'équation La vapeur d'eau se condense. Le gaz restant est constitué par un volume d'azote égal à celui de chacun des gaz primitifs (2 litres) et un volume d'hydrogène deux fois moindre (1 litre). L. GELLY, Élève de Troisième (E. moderne) au collège de Libourne. Ont résolu la question 540: MM. A. BESNON (3e) ; P. SEMET; E. BILLARD, Pensionnat Sainte-Marie, à Chagny, — Seconde: MM. L. AUBRIOT; DROGOZ, C. de Bourgoin; G. THÉVENIN, C. de Pont-de-Vaux ; C. LABERT, L. d'Orléans; L. BRISSET, L. de Chaumont. — Première: MM. DÉSIGAUD, C. de Bourgoin; J. BOUYSSOU. Instituteurs. — MM. A. ANXIONNAZ; J. ARMANT; VUILLERMOZ; E. BOURDON; E. CELEARGÉ; E. DUSSAUX; VENET; C. GALLOIS; FERRAND. — MM. E. JODART; E. LEGRAND. MM. J. PEINDARIES; L. HUIN; C. POUGNAULT; DUCAMP; A. LEVILLAIN, Élève ingénieur à l'Institut industriel de Lille; J. BOBAY; B. DUFÏ, Employé des Ponts et Chaussées, à Vire. — Mlle M. DAMIEN. CLASSE DE SECONDE, E. MODERNE 541. — Comment faut-il mener un plan sécant parallèle à deux arêtes opposées d'un tétraèdre pour que l'aire de la section obtenue soit maximale? E. CHENU, Maître répétiteur au Collège de Saumur. 1° Soit le tétraèdre SABG (fig. 696). D'un point quelconque M de l'arête SC on mène les droites MX et MP, respectivement parallèles aux arêtes BG et SA : le plan XMP est parallèle aux deux arêtes opposées BG et SA. Ce plan coupe la face BGA selon la parallèle PQ à MX, et la face ABS selon la parallèle NQ à MP, car tout plan passant par une droite parallèle à un autre plan coupe celui-ci selon une parallèle à la droite. Donc la section MXQP du tétraèdre par le plan NMP est un parallélogramme. Par la Géométrie. L'aire du parallélogramme
Employé des Ponts et Chaussées, à Vire. — Mlle M. DAMIEN. CLASSE DE SECONDE, E. MODERNE 541. — Comment faut-il mener un plan sécant parallèle à deux arêtes opposées d'un tétraèdre pour que l'aire de la section obtenue soit maximale? E. CHENU, Maître répétiteur au Collège de Saumur. 1° Soit le tétraèdre SABG (fig. 696). D'un point quelconque M de l'arête SC on mène les droites MX et MP, respectivement parallèles aux arêtes BG et SA : le plan XMP est parallèle aux deux arêtes opposées BG et SA. Ce plan coupe la face BGA selon la parallèle PQ à MX, et la face ABS selon la parallèle NQ à MP, car tout plan passant par une droite parallèle à un autre plan coupe celui-ci selon une parallèle à la droite. Donc la section MXQP du tétraèdre par le plan NMP est un parallélogramme. Par la Géométrie. L'aire du parallélogramme MXQP est le double de l'aire du triangle MNQ, dont l'angle MXQ est constant, car cet angle est le supplément de l'angle XMP ou de l'angle constant des deux arêtes opposées BG et SA. Si l'on considère un second parallélogramme M'N'Q'P' analogue au parallélogramme MXQP, on a deux triangles MNQ et M'N'Q' qui ont un angle égal ; donc on peut écrire, en désignant leurs aires par s et s', par conséquent, le rapport de s à MN.MP est constant; en désignant par k la valeur de ce rapport, on a $ — k. MN.MP. Par suite, A étant constant, le maximum de s a lieu quand le produit MN.MP est maximum. Cherchons une autre valeur de ce produit. Les triangles SCB et SMN étant semblables, ainsi que les triangles CSA et CMP, on a BC SA Comme la quantité 13 est constante, le maximum du produit ou MN. MP a lieu en même temps que le maximum du produit SM.MC. Comme la somme SC des deux facteurs de ce dernier produit est constante, le produit SM.MC est maximum quand SM = MC. Donc le plan parallèle aux arêtes opposées BC et SA détermine dans le tétraèdre une aire maxima
et M'N'Q' qui ont un angle égal ; donc on peut écrire, en désignant leurs aires par s et s', par conséquent, le rapport de s à MN.MP est constant; en désignant par k la valeur de ce rapport, on a $ — k. MN.MP. Par suite, A étant constant, le maximum de s a lieu quand le produit MN.MP est maximum. Cherchons une autre valeur de ce produit. Les triangles SCB et SMN étant semblables, ainsi que les triangles CSA et CMP, on a BC SA Comme la quantité 13 est constante, le maximum du produit ou MN. MP a lieu en même temps que le maximum du produit SM.MC. Comme la somme SC des deux facteurs de ce dernier produit est constante, le produit SM.MC est maximum quand SM = MC. Donc le plan parallèle aux arêtes opposées BC et SA détermine dans le tétraèdre une aire maxima quand il passe par le milieu de l'arête SC, et, par suite, par les milieux des trois autres arêtes qu'il coupe. H. BIARD, Élève de Seconde (E. moderne) au Lycée de Dijon. Par la Trigonométrie. L'aire S du parallélogramme MNQP est le double de l'aire du triangle MNP. En désignant par a l'angle MNP, on a Or l'angle a est constant, car il est le supplément de l'angle NMP ou de l'angle constant des deux arêtes opposées BC et SA ; donc le maximum S a lieu en même temps que le maximum de MN.MP. En considérant les triangles semblables SCB et SMN, puis CSA et CMP, on achèverait la solution comme précédemment. La section maxima égale SA.BC.sin a. J. LEFÈVRE, Élève de Seconde (E. moderne) au Lycée de Laon. Ont résolu la question 541 : MM. CAZAMIAN (1°), L. de Pau; M. GRAMELLE (1°), L. de Roanne; COURRIADES (1°), L. de Pau; P. SEMET, Élève au Pensionnat des Frères Maristes, à Marcigny; L. AUBRIOT; J. BOUYSSOU; MADELMONT, L. de Tulle; G. FUSILLIER. — Math, élém. : MM. 0. BÜNGARD, Institution Saint-Cyr, à Nevers; G. RUS, C. de Soissons. Instituteurs. — MM. E. DUSSAUX, à Reuil ; J.-L. PRÉTOT ;
par a l'angle MNP, on a Or l'angle a est constant, car il est le supplément de l'angle NMP ou de l'angle constant des deux arêtes opposées BC et SA ; donc le maximum S a lieu en même temps que le maximum de MN.MP. En considérant les triangles semblables SCB et SMN, puis CSA et CMP, on achèverait la solution comme précédemment. La section maxima égale SA.BC.sin a. J. LEFÈVRE, Élève de Seconde (E. moderne) au Lycée de Laon. Ont résolu la question 541 : MM. CAZAMIAN (1°), L. de Pau; M. GRAMELLE (1°), L. de Roanne; COURRIADES (1°), L. de Pau; P. SEMET, Élève au Pensionnat des Frères Maristes, à Marcigny; L. AUBRIOT; J. BOUYSSOU; MADELMONT, L. de Tulle; G. FUSILLIER. — Math, élém. : MM. 0. BÜNGARD, Institution Saint-Cyr, à Nevers; G. RUS, C. de Soissons. Instituteurs. — MM. E. DUSSAUX, à Reuil ; J.-L. PRÉTOT ; C. GALLOIS; H. EMPAIN; Z. RUSSIER, au Puy ; A. QUELET, à Geuilly ; J. ARMANET, à Lyon; A. ANXIONNAZ; FERRAND. —M. E. JODART. MM. C. POUGNAULT, L. de Bourg ; DUCAMP, Soldat au 15e de ligne, à Landrecies; J. BOBAY ; J. DEBRY. 542. — Deux sphères métalliques sont chargées d'électricité positive ; l'une de la quantité -fM, l'autre de la quantité -f ni ; la distance de leurs centres est de afm. Une petite balle en sureau suspendue par un fil de soie dans la ligne des centres est placée de telle sorte qu'elle ne s'approche ni de l'une ni de l'autre des deux sphères. À quelle place se trouve-t-elle ? ROBERT WEBER (Problèmes sur l'Électricité). Supposons M inférieure à m; soit a? la distance de la balle de sureau à la sphère M, au moment de l'équilibre. La loi de Coulomb fournit l'équation Après avoir extrait la racine carrée des deux membres de cette équation, ce qui est possible, puisque m et M sont deux quantités positives, on trouve Cette valeur de x est comprise entre 5 et a, ce qu'on devait prévoir. L. HAMEL, Élève de Seconde (E. moderne) au Collège de Vire. Ont résolu la
chargées d'électricité positive ; l'une de la quantité -fM, l'autre de la quantité -f ni ; la distance de leurs centres est de afm. Une petite balle en sureau suspendue par un fil de soie dans la ligne des centres est placée de telle sorte qu'elle ne s'approche ni de l'une ni de l'autre des deux sphères. À quelle place se trouve-t-elle ? ROBERT WEBER (Problèmes sur l'Électricité). Supposons M inférieure à m; soit a? la distance de la balle de sureau à la sphère M, au moment de l'équilibre. La loi de Coulomb fournit l'équation Après avoir extrait la racine carrée des deux membres de cette équation, ce qui est possible, puisque m et M sont deux quantités positives, on trouve Cette valeur de x est comprise entre 5 et a, ce qu'on devait prévoir. L. HAMEL, Élève de Seconde (E. moderne) au Collège de Vire. Ont résolu la question 542 : MM. G. THÉVENIN (2°); L. BRISSET(2°); P. SEMET ; L. AUBRIOT (2°); E. BERNARD(2°); L. CHANLIAU; J. CHARBONNIER; H. BIARD (2e); C. MACÉ(2°); E. BILLARD; DROGOZ (2°). — Première: MM. M. HAUTIER, L. d'Angoulême ; CAZAMIAN ; COULLIARES ; G. CHEVALIER et L. THONIN, Pensionnat des Frères, à Reims ; G. FUSILLIER; VERGNON; M. GRAMELLE; BARRÈRE, L. de Bayonne; L. TARDIF, Institution Livet, à Nantes; DÉSIGAUD ; J. LAMON, L. de Brest; H. TORCHET, Pensionnat des Frères, à Reims; J. BOUYSSOU. — Math. élém. : MM. 0. BONGARD ; T. CHOLLET. Instituteurs. — C. GALLOIS ; E. BROSSARD ; A. ANXIONNAZ ; DUSSAUX ; J. ARMANET; H. BAURY; H. EMPAIN; E. CHARGÉ; VENET; VUILLERMOZ; FERRAND ; E. BOURDON. — MM. E. LEGRAND ; E. JODART. MM. L. HUIN; J. PEINDERIES;E. NEST; J. DEBRY; DUCAMP. — M. DAUVIN; M. DAIMEN. 543. — Dans un excès d'acide azotique on fait dissoudre une pièce de 5 francs neuve, pesant exactement 20 grammes. Dans la dissolution on verse du chlorure de sodium ; il se forme un précipité blanc caillebotis de chlorure d'argent qui, recueilli et séché, pèse 266,574. On demande combien il manquait d'argent à la pièce, et quel était
à Reims ; G. FUSILLIER; VERGNON; M. GRAMELLE; BARRÈRE, L. de Bayonne; L. TARDIF, Institution Livet, à Nantes; DÉSIGAUD ; J. LAMON, L. de Brest; H. TORCHET, Pensionnat des Frères, à Reims; J. BOUYSSOU. — Math. élém. : MM. 0. BONGARD ; T. CHOLLET. Instituteurs. — C. GALLOIS ; E. BROSSARD ; A. ANXIONNAZ ; DUSSAUX ; J. ARMANET; H. BAURY; H. EMPAIN; E. CHARGÉ; VENET; VUILLERMOZ; FERRAND ; E. BOURDON. — MM. E. LEGRAND ; E. JODART. MM. L. HUIN; J. PEINDERIES;E. NEST; J. DEBRY; DUCAMP. — M. DAUVIN; M. DAIMEN. 543. — Dans un excès d'acide azotique on fait dissoudre une pièce de 5 francs neuve, pesant exactement 20 grammes. Dans la dissolution on verse du chlorure de sodium ; il se forme un précipité blanc caillebotis de chlorure d'argent qui, recueilli et séché, pèse 266,574. On demande combien il manquait d'argent à la pièce, et quel était son titre ? FRÉD. BLANCO GARIN, Maître répétiteur à l'École Rocroy, Paris. L'acide azotique fait passer l'argent à l'état d'azotate d'argent, et le cuivre à l'état d'azotate de cuivre. Puis, le chlorure de sodium précipite l'argent à l'état de chlorure d'argent, tandis que le cuivre reste dans la dissolution. Or, le poids d'argent contenu dans 26,574g de chlorure d'argent ,26,574x108g , .. , ,. est -266,574g ou -20 grammes. La pièce de 5 francs contenait donc 20 grammes d'argent ; son titre était = ou 0,8. C. GALLOIS, Instituteur-adjoint à Bar-le-Duc. Ont résolu la question 543 : MM. CHARBONNIER; L. BRISSET (2e); G. THÉVENIN (2°) ; VERDIER, L. d'Als; E. BILLARD; A. BESSON(3°); E. BERNARD (2°); L. CHANLIAU; C. MACÉ(2°); H. BIARD(2°); H. GAUCHER, L. d'Orléans; P. SEMET; G. HABERT, L. de Orléans; DROGOZ(2°); L. AUBRIOT(2°). —Première : MM.G. FUSILLIER; P. REBOUILLAT; J. BOUYSSOU; H. HENRY, M. TAILLIEET et J. JOUANNEAU, Pensionnat des Frères, à Reims; J. LAMON; BARRÈRE; VERGNON; L. TARDIF; DÉSIGAUD. — Math. élém.: MM. T. CHOLLET; H. NAFRAICHEUR, C. de Saint-Maurice. Instituteurs. —MM. H. EMPAIN; E. DUSSAUX; A. ANXIONNAZ; E. BOURDON; VUILLERMOZ; Z. RUSSIER; E. BROSSARD; VERNET; H. BAURY; FILMAILLOT; 0. FROMENT, à Veniss; J. ARMANET; E.
le poids d'argent contenu dans 26,574g de chlorure d'argent ,26,574x108g , .. , ,. est -266,574g ou -20 grammes. La pièce de 5 francs contenait donc 20 grammes d'argent ; son titre était = ou 0,8. C. GALLOIS, Instituteur-adjoint à Bar-le-Duc. Ont résolu la question 543 : MM. CHARBONNIER; L. BRISSET (2e); G. THÉVENIN (2°) ; VERDIER, L. d'Als; E. BILLARD; A. BESSON(3°); E. BERNARD (2°); L. CHANLIAU; C. MACÉ(2°); H. BIARD(2°); H. GAUCHER, L. d'Orléans; P. SEMET; G. HABERT, L. de Orléans; DROGOZ(2°); L. AUBRIOT(2°). —Première : MM.G. FUSILLIER; P. REBOUILLAT; J. BOUYSSOU; H. HENRY, M. TAILLIEET et J. JOUANNEAU, Pensionnat des Frères, à Reims; J. LAMON; BARRÈRE; VERGNON; L. TARDIF; DÉSIGAUD. — Math. élém.: MM. T. CHOLLET; H. NAFRAICHEUR, C. de Saint-Maurice. Instituteurs. —MM. H. EMPAIN; E. DUSSAUX; A. ANXIONNAZ; E. BOURDON; VUILLERMOZ; Z. RUSSIER; E. BROSSARD; VERNET; H. BAURY; FILMAILLOT; 0. FROMENT, à Veniss; J. ARMANET; E. CHARGÉ ; FERRAND. — MM. E. LEGRAND; E. JODART; V. RAPATEL; Y. JOUSSERAND. MM. L. HUIN; E. NEST; J. BOBAY; B. DUFY; DUCAMP; A. LEVILLAIN; E. CHÉRIEU, Maître répétiteur au C. de Saint-Denis; L. DELAMARE, Élève en pharmacie, à Caen. — MM. M. DAIMEN; BONAIN. CLASSE DE PREMIÈRE, E. MODERNE 544. — Arithmétique. — Démontrer que le produit ab (a^ -fb^) (a^ - b 2) est divisible par 30, a et b désignant deux nombres entiers. Désignons le produit par P. Comme 30 est le produit des nombres 2, 3 et 5, qui sont premiers entre eux deux à deux, il suffit de démontrer que P est divisible par 2, par 3 et par 5. Si les nombres 2, 3 et 5 divisent a ou b, ou le produit ab, P est divisible par 30. Examinons le cas contraire. 1° Si a ou b est pair, le produit P est divisible par 2 ; si a et b sont impairs, le somme a^ + b^ est paire. Donc P est toujours divisible par 2. 2° Si a ou b est divisible par 3, P est divisible par 3. Si a et b ne sont pas divisibles par 3, ils ont
544. — Arithmétique. — Démontrer que le produit ab (a^ -fb^) (a^ - b 2) est divisible par 30, a et b désignant deux nombres entiers. Désignons le produit par P. Comme 30 est le produit des nombres 2, 3 et 5, qui sont premiers entre eux deux à deux, il suffit de démontrer que P est divisible par 2, par 3 et par 5. Si les nombres 2, 3 et 5 divisent a ou b, ou le produit ab, P est divisible par 30. Examinons le cas contraire. 1° Si a ou b est pair, le produit P est divisible par 2 ; si a et b sont impairs, le somme a^ + b^ est paire. Donc P est toujours divisible par 2. 2° Si a ou b est divisible par 3, P est divisible par 3. Si a et b ne sont pas divisibles par 3, ils ont les formes multiples de 3 = ± 1 ; comme le facteur (a^ - b^) égale (a - b) (a + b), il est divisible par 3, car, pour chacune de ces formes, a - b est un multiple de 3. Donc P est toujours divisible par 3. 3° Si a ou b est divisible par 5, P est divisible par 5. Si a et b ne sont pas divisibles par 5, ils ont les formes multiples de 5 ± 1 ou multiples de 5 ± 2. Or, le produit des facteurs (a + b^) (a - b) égale (a^ + b^). Lorsque a et b ont les formes précédentes, leurs carrés ont les formes multiples de 5 ·+ 1 et multiples de 5 - 4, et leurs quatrièmes puissances ont la forme multiples de 11 + 1. Par suite, a^ - b^ est un multiple de 5. Donc P est toujours divisible par 5. Par conséquent, le produit ab [(a + b)(a - b)] est divisible par 30. T. COOLLET, Élève de Mathématiques élémentaires au Collège de Clairay. Ont résolu la question 544 : MM. J. LEFÈVRE (2e) ; M. CHAMELLE (1er) ; J. ROUYSSOU (1er) ; CAZAMIAN (1er)