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l'axe reçoit de l'inertie du corps tournant. Puis, le problème résolu, il écrit "Si tout à coup cet axe devenait libre." Bien que la phrase s'achève dans des considérations relatives à la conservation des quantités de mouvement, il me semble bien que c'est en ce point que l'on atteint le fond réel de sa pensée. Oui, si cet axe pouvait se mouvoir librement, il céderait aux sollicitations de l'inertie, c'est-à-dire à la force it et au couple X, et si, sans être tout à fait libre, il présentait seulement un point fixe, la fixité de ce point détruirait bien la force tc, mais sous l'effet du couple y^ l'axe s'inclinerait, et dès lors l'étude de ce déplacement se ramène à celle des effets de ce couple. Ainsi, l'axe de rotation considéré en quelque sorte comme matériel et se déplaçant sous l'effort des forces d'inertie, ces forces d'inertie se déterminant par leur action sur l'axe considéré comme fixe, voilà, il me semble, les traits essentiels auxquels on peut ramener la pensée de Poinsot. Que cette conception ne l'ait pas égaré, c'est l'effet d'une rencontre heureuse que j'ai tâché d'expliquer dans l'étude qui précède, mais qui, s'il s'en était tenu là, ne l'aurait conduit tout au plus qu'à une démonstration rapide et défectueuse des formules d'Euler. Mais il a découvert l'ellipsoïde d'inertie! Il a eu l'idée de chercher une représentation géométrique de la relation qui lie le couple d'impulsion à la rotation, et il a rencontré cet ellipsoïde qui lui a donné par surcroît la distribution des moments d'inertie du corps et la grandeur de la rotation pour les diverses directions des axes. Dès lors, il lui suffisait, pour réussir, d'arriver, par n'importe quelle voie, à cette propriété que le déplacement infiniment petit du pôle de rotation se fait dans le plan tangent à l'ellipsoïde, tant il est vrai qu'il y a dans certaines questions, peut-être dans toutes, une conception centrale qui ramasse et relie les lois et relations essentielles, et, conduisant invinciblement l'esprit, peut même le ramener au but, s'il s'égare. Dans un de ces aperçus d'un beau style scientifique qu'il
l'aurait conduit tout au plus qu'à une démonstration rapide et défectueuse des formules d'Euler. Mais il a découvert l'ellipsoïde d'inertie! Il a eu l'idée de chercher une représentation géométrique de la relation qui lie le couple d'impulsion à la rotation, et il a rencontré cet ellipsoïde qui lui a donné par surcroît la distribution des moments d'inertie du corps et la grandeur de la rotation pour les diverses directions des axes. Dès lors, il lui suffisait, pour réussir, d'arriver, par n'importe quelle voie, à cette propriété que le déplacement infiniment petit du pôle de rotation se fait dans le plan tangent à l'ellipsoïde, tant il est vrai qu'il y a dans certaines questions, peut-être dans toutes, une conception centrale qui ramasse et relie les lois et relations essentielles, et, conduisant invinciblement l'esprit, peut même le ramener au but, s'il s'égare. Dans un de ces aperçus d'un beau style scientifique qu'il aime à placer dans ses Mémoires comme des repos sur les divers sommets où sa pensée s'arrête un moment dans sa marche; Poinsot remarque que « la plupart des idées différentes ne sont que des transformations les plus heureuses et les plus fécondes sont pour nous celles qui font le mieux image ». On ne saurait mieux caractériser la belle découverte de son ellipsoïde, et, du même coup, définir le rôle et attester les droits et les titres de la doctrine qui excelle à donner aux idées ces formes sensibles « lumineuses et fécondes », c'est-à-dire de la Géométrie. DÉTERMINATION DES POINTS ENTIERES DES COURBES ALGÉBRIQUES UNICURSALES A COEFFICIENTS ENTIERS DANS L'ESPACE A k DIMENSIONS, PAR 31. Edmond MAILLET Introduction. Les équations indéterminées (A) /(.r,y)=0 (où est un polynôme entier à coefficients entiers en x, y de degré n) que l'on sait résoudre en nombres entiers par un nombre fini d'opérations, autrement dit les courbes (A) dont on sait trouver tous les points entiers, c'est-à-dire les points à coordonnées entières, forment actuellement des catégories assez générales, et peuvent être classées, sauf d'assez rares exceptions, comme il suit : 1° Les équations (A) de degré < 2; 2° Les équations (A),
mieux image ». On ne saurait mieux caractériser la belle découverte de son ellipsoïde, et, du même coup, définir le rôle et attester les droits et les titres de la doctrine qui excelle à donner aux idées ces formes sensibles « lumineuses et fécondes », c'est-à-dire de la Géométrie. DÉTERMINATION DES POINTS ENTIERES DES COURBES ALGÉBRIQUES UNICURSALES A COEFFICIENTS ENTIERS DANS L'ESPACE A k DIMENSIONS, PAR 31. Edmond MAILLET Introduction. Les équations indéterminées (A) /(.r,y)=0 (où est un polynôme entier à coefficients entiers en x, y de degré n) que l'on sait résoudre en nombres entiers par un nombre fini d'opérations, autrement dit les courbes (A) dont on sait trouver tous les points entiers, c'est-à-dire les points à coordonnées entières, forment actuellement des catégories assez générales, et peuvent être classées, sauf d'assez rares exceptions, comme il suit : 1° Les équations (A) de degré < 2; 2° Les équations (A), de degré n pair, ayant toutes leurs asymptotes imaginaires et, par suite, tous leurs points réels à distance finie ces équations n'ont qu'un nombre fini de points entiers, et l'on peut trouver une limite supérieure des valeurs absolues des solutions; 3° Il en est de même des équations (A) ayant k asymptotes réelles, à distance finie, et de coefficients angulaires distincts et rationnels, et n – A: asymptotes imaginaires; pour les équations plus générales du type étudié par M. Runge, celui-ci a bien montré qu'elles n'ont qu'un nombre fini de solutions en nombres entiers; mais cet auteur n'a pas indiqué explicitement de limite supérieure des valeurs absolues des solutions; Voir mon Mémoire du Journal de Mathématiques (Jordan), 5e série, t. VI, 1900, p. 261, et Nouvelles Annales de Mathématiques, 4e série, t. XVIII, août 1918. Le résultat subsiste s'il y a une asymptote parallèle à un des axes ou à chacun des axes. 3° Journal für Mathematik (Crelle), t. 100, p. 434. 4° Les équations (A) du type très étendu que j'ai signalé récemment en généralisant un résultat établi d'une manière incomplète par M. Thue, des limites supérieures des modules des solutions, qui sont en nombre fini, peuvent se déterminer
k asymptotes réelles, à distance finie, et de coefficients angulaires distincts et rationnels, et n – A: asymptotes imaginaires; pour les équations plus générales du type étudié par M. Runge, celui-ci a bien montré qu'elles n'ont qu'un nombre fini de solutions en nombres entiers; mais cet auteur n'a pas indiqué explicitement de limite supérieure des valeurs absolues des solutions; Voir mon Mémoire du Journal de Mathématiques (Jordan), 5e série, t. VI, 1900, p. 261, et Nouvelles Annales de Mathématiques, 4e série, t. XVIII, août 1918. Le résultat subsiste s'il y a une asymptote parallèle à un des axes ou à chacun des axes. 3° Journal für Mathematik (Crelle), t. 100, p. 434. 4° Les équations (A) du type très étendu que j'ai signalé récemment en généralisant un résultat établi d'une manière incomplète par M. Thue, des limites supérieures des modules des solutions, qui sont en nombre fini, peuvent se déterminer grâce au théorème fondamental de M. Thue complété comme je l'ai montré; 5° Les équations (A) indécomposables, de degré n pair > 2, et de genre zéro, qui n'ont qu'un nombre fini de points rationnels (voir ci-dessous). A ces cinq catégories nous allons en ajouter une sixième englobant la cinquième, en faisant voir que l'on peut, grâce à un nombre fini d'opérations, résoudre en nombres entiers les équations (A), indécomposables, de degré n^> 2, et de genre zéro, c'est-à-dire trouver les points entiers des courbes unicursales qu'elles représentent. On savait trouver les points rationnels de ces courbes, d'après MM. Hilbert, Hurwitz et H. Poincaré, mais sans pouvoir distinguer en général parmi eux les points entiers, ni distinguer si ceux-ci sont en nombre fini quand les points rationnels sont en nombre infini si ces derniers sont en nombre fini (ce qui exige n pair), il en est de même des premiers, qui en font partie; dans le cas contraire, voici comment nous opérons pour arriver à la connaissance des points entiers. On peut alors exprimer x et y en fonctions rationnelles à coefficients rationnels d'un paramètre t, où les polynomes f3 sont de degré < n, et sans facteur commun, l'un
en faisant voir que l'on peut, grâce à un nombre fini d'opérations, résoudre en nombres entiers les équations (A), indécomposables, de degré n^> 2, et de genre zéro, c'est-à-dire trouver les points entiers des courbes unicursales qu'elles représentent. On savait trouver les points rationnels de ces courbes, d'après MM. Hilbert, Hurwitz et H. Poincaré, mais sans pouvoir distinguer en général parmi eux les points entiers, ni distinguer si ceux-ci sont en nombre fini quand les points rationnels sont en nombre infini si ces derniers sont en nombre fini (ce qui exige n pair), il en est de même des premiers, qui en font partie; dans le cas contraire, voici comment nous opérons pour arriver à la connaissance des points entiers. On peut alors exprimer x et y en fonctions rationnelles à coefficients rationnels d'un paramètre t, où les polynomes f3 sont de degré < n, et sans facteur commun, l'un de ces polynomes étant effectivement de degré n. Les points rationnels correspondent en général aux valeurs rationnelles de t=(p, q entiers premiers entre eux). Le cas où les points entiers sont en nombre infini est exceptionnel, et ne peut se présenter que si F(t) est une constante, une puissance nème d'un polynôme du premier degré, ou une puissance (n pair) d'un polynôme du deuxième degré à racines réelles et non rationnelles. Nous indiquons dans ces équations on peut adjoindre les équations en xu yt qu'on en déduit par une substitution linéaire à coefficients entiers x–Xxx-yx-{-y, = a,r1H-|317i-Hy1 avec «|3, – (3«, = ±i. (*) Hilbert et Hurwitz, Acta Math., t. XIV, p. 217-224. H. Poincaré, Journal de Mathématiques (Jordan), 5e série, t. VII, 1901, p. 166. tous les cas assez nombreux à examiner le moyen de déterminer tous les points entiers le nombre d'opérations à effectuer est limité, que les points rationnels soient en nombre fini ou infini; certains de ces cas n'ont pu être entièrement traités sans l'aide d'un théorème de Thue susmentionné. Au début de notre Mémoire nous rappelons diverses propriétés des courbes unicursales que l'on trouve, un peu éparses peut-être, dans les Traités ou Mémoires classiques, en
d'un polynôme du premier degré, ou une puissance (n pair) d'un polynôme du deuxième degré à racines réelles et non rationnelles. Nous indiquons dans ces équations on peut adjoindre les équations en xu yt qu'on en déduit par une substitution linéaire à coefficients entiers x–Xxx-yx-{-y, = a,r1H-|317i-Hy1 avec «|3, – (3«, = ±i. (*) Hilbert et Hurwitz, Acta Math., t. XIV, p. 217-224. H. Poincaré, Journal de Mathématiques (Jordan), 5e série, t. VII, 1901, p. 166. tous les cas assez nombreux à examiner le moyen de déterminer tous les points entiers le nombre d'opérations à effectuer est limité, que les points rationnels soient en nombre fini ou infini; certains de ces cas n'ont pu être entièrement traités sans l'aide d'un théorème de Thue susmentionné. Au début de notre Mémoire nous rappelons diverses propriétés des courbes unicursales que l'on trouve, un peu éparses peut-être, dans les Traités ou Mémoires classiques, en les complétant ou les précisant au besoin en vue de ce qui suit cette exposition résumée nous a paru indispensable à la clarté et à l'exactitude. Comme nous le montrons dans une deuxième Partie, les résultats obtenus s'étendent aux courbes de l'espace à k dimensions où les Fi sont des polynomes en t à coefficients entiers, en permettant de trouver, par un nombre fini d'opérations, même si k = 1, les systèmes d'entiers x1, xk qui correspondent aux valeurs rationnelles de t, et corrélativement, dans des cas assez généraux, les points entiers des courbes de l'espace à k dimensions x1, xk définies par des relations algébriques à coefficients entiers entre x1, xk. Les mêmes méthodes nous donnent en outre la solution en entiers, de quelques autres équations. Elles permettent notamment de trouver 1° Les points entiers des conoïdes z = cp (x, y), où cp est une fonction rationnelle à coefficients entiers de (cas où l'on a ci-dessus k = 1); x 2° En général, les points entiers de où cpA, rn sont des polynomes entiers homogènes à coefficients entiers de degrés k, ri respectivement. 3° Dans des cas assez étendus, les valeurs rationnelles de t, u qui rendent entières
polynomes en t à coefficients entiers, en permettant de trouver, par un nombre fini d'opérations, même si k = 1, les systèmes d'entiers x1, xk qui correspondent aux valeurs rationnelles de t, et corrélativement, dans des cas assez généraux, les points entiers des courbes de l'espace à k dimensions x1, xk définies par des relations algébriques à coefficients entiers entre x1, xk. Les mêmes méthodes nous donnent en outre la solution en entiers, de quelques autres équations. Elles permettent notamment de trouver 1° Les points entiers des conoïdes z = cp (x, y), où cp est une fonction rationnelle à coefficients entiers de (cas où l'on a ci-dessus k = 1); x 2° En général, les points entiers de où cpA, rn sont des polynomes entiers homogènes à coefficients entiers de degrés k, ri respectivement. 3° Dans des cas assez étendus, les valeurs rationnelles de t, u qui rendent entières les quantités où les fi sont des fonctions rationnelles de t, u à coefficients entiers (ces multiplicités Xi = fi comprennent les surfaces unicursales quand k = 3). On trouvera sous une forme différente un résumé de mon Mémoire dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences du 27 janvier 1918 peut-être le lecteur aura-t-il intérêt à s'y reporter. PREMIÈRE PARTIE. COURBES PLANCHE. 1. Soit l'équation d'une courbe algébrique de degré n > 2 indécomposable, c'est-à-dire que le polynôme ne peut être décomposé en un produit de deux facteurs de degré inférieur à n. Supposons en outre que la courbe (1) soit de genre 0 elle a alors – – ') n 2) points doubles (ou de rebroussement), dont certains peuvent être confondus en un point multiple. La courbe (i) rentre dans la catégorie des courbes dont les coordonnées x, y peuvent s'exprimer en fonctions rationnelles d'un paramètre t; mais on peut choisir ici t de façon que, inversement, t soit une fonction rationnelle de x et y. La courbe est coupée en général en n points distincts par une droite ax + by + c = 0 quelconque; /2 sont des polynomes en t, de degré au plus égal
1918 peut-être le lecteur aura-t-il intérêt à s'y reporter. PREMIÈRE PARTIE. COURBES PLANCHE. 1. Soit l'équation d'une courbe algébrique de degré n > 2 indécomposable, c'est-à-dire que le polynôme ne peut être décomposé en un produit de deux facteurs de degré inférieur à n. Supposons en outre que la courbe (1) soit de genre 0 elle a alors – – ') n 2) points doubles (ou de rebroussement), dont certains peuvent être confondus en un point multiple. La courbe (i) rentre dans la catégorie des courbes dont les coordonnées x, y peuvent s'exprimer en fonctions rationnelles d'un paramètre t; mais on peut choisir ici t de façon que, inversement, t soit une fonction rationnelle de x et y. La courbe est coupée en général en n points distincts par une droite ax + by + c = 0 quelconque; /2 sont des polynomes en t, de degré au plus égal à n, dont l'un au moins est de degré n, et qui n'ont pas de diviseur commun. II. Donnons-nous les équations d'une courbe C sous la forme (2), où nous savons seulement que f1, f3 sont des polynomes en t de degré au plus égal à n, qui n'ont pas de diviseur commun, et dont l'un au moins est de degré n. À chaque valeur de t correspond un point unique de C; mais il n'y a forcément réciprocité, c'est-à-dire à chaque point de C il ne correspond en général qu'une valeur unique de t, que si C est coupé en n points distincts par une droite convenable ax + by + c = 0. Car, quand on suppose que cette dernière propriété a lieu, on peut montrer que l'équation cartésienne f(x, y) = 0 de C est de degré n, indécomposable, et de genre 0, et que t est une fonction rationnelle de x et y. En effet, soit C, la perspective de C, prise d'un point de vue M (en dehors du plan de C), sur un plan P donné; C et C, sont simultanément indécomposables ou décomposables, ont le même nombre de points doubles, et sont de
de diviseur commun, et dont l'un au moins est de degré n. À chaque valeur de t correspond un point unique de C; mais il n'y a forcément réciprocité, c'est-à-dire à chaque point de C il ne correspond en général qu'une valeur unique de t, que si C est coupé en n points distincts par une droite convenable ax + by + c = 0. Car, quand on suppose que cette dernière propriété a lieu, on peut montrer que l'équation cartésienne f(x, y) = 0 de C est de degré n, indécomposable, et de genre 0, et que t est une fonction rationnelle de x et y. En effet, soit C, la perspective de C, prise d'un point de vue M (en dehors du plan de C), sur un plan P donné; C et C, sont simultanément indécomposables ou décomposables, ont le même nombre de points doubles, et sont de même degré; les coordonnées x, y, de C, dans son plan ont des expressions de la forme (2) avec le même degré maximum n. Soit D une droite coupant C en n points distincts, et P parallèle au plan de M et de D C, aura n asymptotes distinctes; si de plus l'origine des coordonnées pour C, correspond à t = 0, en ce qui concerne C, le polynôme est de degré n, les polynomes f1, f3 sont de degrés plus petits (1). Dans ces conditions, on peut vérifier i° Que C, est indécomposable; en effet, supposons que C, comprenne une partie au moins d'une courbe algébrique F, indécomposable, d'équation F2 = 0; cette dernière contient une infinité de points de C, pour ceux-ci, cette dernière relation a donc lieu identiquement, d'après les propriétés des polynomes entiers, en sorte que F, contient C, et, par suite, étant indécomposable, coïncide avec C. r, ayant n asymptotes distinctes est de degré n; toute droite a, X, -fb, y, + c, = o, quelle qu'elle soit, coupe F, en n points, en général distincts, correspondant aux valeurs de t racines de o, /2 -f&amp;&lt;,+ c, = o. La courbe C, est donc indécomposable
de plus l'origine des coordonnées pour C, correspond à t = 0, en ce qui concerne C, le polynôme est de degré n, les polynomes f1, f3 sont de degrés plus petits (1). Dans ces conditions, on peut vérifier i° Que C, est indécomposable; en effet, supposons que C, comprenne une partie au moins d'une courbe algébrique F, indécomposable, d'équation F2 = 0; cette dernière contient une infinité de points de C, pour ceux-ci, cette dernière relation a donc lieu identiquement, d'après les propriétés des polynomes entiers, en sorte que F, contient C, et, par suite, étant indécomposable, coïncide avec C. r, ayant n asymptotes distinctes est de degré n; toute droite a, X, -fb, y, + c, = o, quelle qu'elle soit, coupe F, en n points, en général distincts, correspondant aux valeurs de t racines de o, /2 -f&amp;&lt;,+ c, = o. La courbe C, est donc indécomposable et de degré n. 2° Que C, a effectivement n points doubles (y compris les rebroussements). L'équation cartésienne F (x, y) = o de C, est donc de degré n, indécomposable et de genre o; t est de plus une fonction rationnelle de X, y, par suite de x, y, fonction que l'on calcule, d'après les expressions du type (2) de x, y, par les méthodes de l'élimination. La courbe C jouit évidemment des mêmes propriétés, car à chaque point de C correspond un point de C,, et réciproquement. Supposons au contraire que C ne soit coupée en n points distincts par aucune droite ax + by + c = o une droite ayant cette équation coupe C en q points distincts, avec q < n; il nous suffira pour la suite de montrer que chaque branche de la courbe est multiple, et au moins double. On peut l'établir de plusieurs manières; en voici une l'équation aux paramètres des points d'intersection est de degré n et a en général n racines finies; deux au moins d'entre elles t, u devront donner le même point x, y; je dis que t, u sont en général distincts. Sinon, en effet, on aurait
fonction que l'on calcule, d'après les expressions du type (2) de x, y, par les méthodes de l'élimination. La courbe C jouit évidemment des mêmes propriétés, car à chaque point de C correspond un point de C,, et réciproquement. Supposons au contraire que C ne soit coupée en n points distincts par aucune droite ax + by + c = o une droite ayant cette équation coupe C en q points distincts, avec q < n; il nous suffira pour la suite de montrer que chaque branche de la courbe est multiple, et au moins double. On peut l'établir de plusieurs manières; en voici une l'équation aux paramètres des points d'intersection est de degré n et a en général n racines finies; deux au moins d'entre elles t, u devront donner le même point x, y; je dis que t, u sont en général distincts. Sinon, en effet, on aurait pour une infinité continue de valeurs de t, quels que soient corrélativement a, b, c, satisfaisant à (3), et en même temps que (3), (1) HUMBERT, Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, Ire année. On voit aussitôt que, pour une quelconque de ces valeurs de t, tout système a, b, c satisfaisant à la première équation vérifie en général la deuxième; donc avec À, [jl constants, ce qui est absurde. Si alors on envisage l'équation algébrique È de degré minimum en t qu'on peut déduire de (2) par les méthodes de l'élimination, et qui donne les valeurs de t correspondant à un même point x, y, cette équation est de degré v > 1, et ses racines sont en général distinctes; par conséquent, à chaque point de la courbe C correspondent plusieurs valeurs distinctes de t chaque branche de la courbe est donc multiple. On sait (1) que, dans ce cas, on peut introduire un nouveau paramètre 0 fonction rationnelle de t de degré v, à chaque valeur duquel correspondent v valeurs de t, et tel que x et y s'expriment en fonction rationnelle de 6, et réciproquement. Supposons que C comprenne une partie au moins d'une courbe algébrique F indécomposable,
satisfaisant à la première équation vérifie en général la deuxième; donc avec À, [jl constants, ce qui est absurde. Si alors on envisage l'équation algébrique È de degré minimum en t qu'on peut déduire de (2) par les méthodes de l'élimination, et qui donne les valeurs de t correspondant à un même point x, y, cette équation est de degré v > 1, et ses racines sont en général distinctes; par conséquent, à chaque point de la courbe C correspondent plusieurs valeurs distinctes de t chaque branche de la courbe est donc multiple. On sait (1) que, dans ce cas, on peut introduire un nouveau paramètre 0 fonction rationnelle de t de degré v, à chaque valeur duquel correspondent v valeurs de t, et tel que x et y s'expriment en fonction rationnelle de 6, et réciproquement. Supposons que C comprenne une partie au moins d'une courbe algébrique F indécomposable, et d'équation F, = o; on a encore pour les points correspondants et cette relation a, dès lors, lieu identiquement; c'est-à-dire que C coïncide avec F, en ce sens que tout point de C est sur F, et réciproquement. Soit n' le degré de l; la droite ax by + c = o coupant cette courbe en n' points en général distincts, et correspondant par suite à des valeurs de t distinctes, on a n' < n (2). Exemple (1) LUROTH, Math. Ann., t. IX, p. 16. (2) On a même n = vn, car à tout point de r correspond en général v valeurs distinctes de t. On en conclut qu'une courbe algébrique C indécomposable de degré d ne peut avoir plus de d2 points rationnels (dans un certain domaine de rationalité) sans avoir tous ses coefficients rationnels (dans le même domaine) à un facteur constant près. En effet, si C a d2 points rationnels, on peut faire passer par ces points, d'après le même raisonnement que tout à l'heure, une courbe ou une famille de courbes de degré d; il n'y a pas deux courbes de degré d, dont C, passant par ces points, puisque C est indécomposable