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- 1). Cette formule représente le nombre des entiers inférieurs à N et premiers à la fois avec a et avec b. CORRECTION ### À l'intérieur d'un vase cylindrique en forme de cloche, fixé à sa partie supérieure, flotte un cylindre semblable dont le bord inférieur est relevé en forme de gouttière. L'espace entre les deux cylindres est rempli partie par de l'air, partie par du mercure, et le système se trouve ainsi en équilibre pour une pression atmosphérique donnée. Quel sera l'effet produit par une variation de la pression extérieure, et comment pourrait-on faire de l'appareil un baromètre inscripteur ? (Concours général en Mathématiques spéciales, en 1891.) Désignons par P le poids total de la partie mobile de l'appareil (mercure et réservoir), par i le volume occupé par l'air intérieur à l'origine, par s la section du fond de la gouttière, par o la section de la partie supérieure du vase mobile, par a, la section de la partie supérieure du cylindre fixe, par a la hauteur du mercure soulevé entre les deux cylindres, et partiellement la densité du mercure. Écrivons d'abord que, pour une pression extérieure donnée H, le cylindre mobile se tient en équilibre sous l'influence des diverses forces qui agissent sur lui. Ces forces sont constituées par : 1° le poids P; 2° la pression due au gaz intérieur, dirigée de haut en bas, a (H - a) d; 3° la pression atmosphérique sur la surface libre extérieure du mercure, dirigée de haut en bas, (s - a) (H - d); 4° la pression exercée de bas en haut par l'atmosphère sur la base s et sur la base a, (s + a) 1d. On a donc l'égalité, qui se réduit à la suivante : a est constant, et ne dépend pas de la pression extérieure, ni de sa variation. Cette hauteur du mercure soulevé ne dépend que de a, c'est-à-dire de la forme de l'appareil, et de P, c'est-à-dire du poids de la partie mobile. Nous pouvons dès lors appliquer aisément la loi de Mariotte à la masse gazeuse enfermée dans l'appareil. Si la pression
diverses forces qui agissent sur lui. Ces forces sont constituées par : 1° le poids P; 2° la pression due au gaz intérieur, dirigée de haut en bas, a (H - a) d; 3° la pression atmosphérique sur la surface libre extérieure du mercure, dirigée de haut en bas, (s - a) (H - d); 4° la pression exercée de bas en haut par l'atmosphère sur la base s et sur la base a, (s + a) 1d. On a donc l'égalité, qui se réduit à la suivante : a est constant, et ne dépend pas de la pression extérieure, ni de sa variation. Cette hauteur du mercure soulevé ne dépend que de a, c'est-à-dire de la forme de l'appareil, et de P, c'est-à-dire du poids de la partie mobile. Nous pouvons dès lors appliquer aisément la loi de Mariotte à la masse gazeuse enfermée dans l'appareil. Si la pression atmosphérique éprouve une variation h, la partie mobile monte ou descend, de façon que a reste constant, et la distance des bases supérieures des deux cylindres varie d'une quantité e. On a dès lors, d'après la loi de Mariotte, l'équation, d'où on tire. On voit que les déplacements du cylindre inférieur, dans le sens vertical, ne sont pas exactement proportionnels à h, c'est-à-dire aux variations de la pression extérieure. Cependant, si la partie mobile est assez légère pour que a soit petit, la quantité h est petite par rapport à H - a, et on a sensiblement. La sensibilité de l'instrument est proportionnelle à i, et inversement proportionnelle à a. Pour faire de l'appareil un baromètre enregistrateur, il suffirait de relier la gouttière mobile à un levier coudé qui amplifierait ses mouvements; la grande branche du levier se terminerait par un crayon qui inscrirait, sur un cylindre tournant, les déplacements amplifiés de la gouttière. L'échelle de la courbe serait donnée une fois pour toutes par comparaison avec un baromètre ordinaire. Les indications de l'appareil ne seraient exactes qu'à température constante. U. PELLISSIER, à Vorcy-sur-Marne, Ont résolu la question 587 : MM. E. JORDAN; E. LEGIUND; G. FUSILLIER (1er); J. CHAMAIT.
inférieur, dans le sens vertical, ne sont pas exactement proportionnels à h, c'est-à-dire aux variations de la pression extérieure. Cependant, si la partie mobile est assez légère pour que a soit petit, la quantité h est petite par rapport à H - a, et on a sensiblement. La sensibilité de l'instrument est proportionnelle à i, et inversement proportionnelle à a. Pour faire de l'appareil un baromètre enregistrateur, il suffirait de relier la gouttière mobile à un levier coudé qui amplifierait ses mouvements; la grande branche du levier se terminerait par un crayon qui inscrirait, sur un cylindre tournant, les déplacements amplifiés de la gouttière. L'échelle de la courbe serait donnée une fois pour toutes par comparaison avec un baromètre ordinaire. Les indications de l'appareil ne seraient exactes qu'à température constante. U. PELLISSIER, à Vorcy-sur-Marne, Ont résolu la question 587 : MM. E. JORDAN; E. LEGIUND; G. FUSILLIER (1er); J. CHAMAIT. PRÉPARATION AU CERTIFICAT D'APLITUDE À L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE SPÉCIAL 566. — Établir les formules permettant de calculer 1° le nombre; 2° la somme; et 3° la somme des nombres des nombres entiers inférieurs à un nombre entier donné, N, et premiers avec lui, (Certificat d'aptitude à l'enseignement secondaire spécial, session, Octobre 1891). Première Partie : Soit un nombre entier N décomposé en ses facteurs premiers : Écrivons la suite des nombres entiers jusqu'à N. Effaçons dans cette suite tous les nombres non premiers avec a, c'est-à-dire tous les multiples de a; nous aurons une deuxième suite de nombres dans laquelle nous effacerons tous les multiples de b qu'elle contient ; ce qui donnera une troisième suite de nombres de laquelle nous supprimerons tous les multiples de c qu'elle contient, et ainsi de suite jusqu'au facteur final. Les nombres qui resteront seront les nombres inférieurs à N et premiers avec lui; pour avoir leur nombre, il suffira de retrancher du nombre N des termes de la première suite le nombre des multiples de a, de b, de c,..., de finalité successivement effacés. Dans la suite : 1, 2, 3, 4,..., N, qui renferme N nombres, les multiples de a sont : a,
1891). Première Partie : Soit un nombre entier N décomposé en ses facteurs premiers : Écrivons la suite des nombres entiers jusqu'à N. Effaçons dans cette suite tous les nombres non premiers avec a, c'est-à-dire tous les multiples de a; nous aurons une deuxième suite de nombres dans laquelle nous effacerons tous les multiples de b qu'elle contient ; ce qui donnera une troisième suite de nombres de laquelle nous supprimerons tous les multiples de c qu'elle contient, et ainsi de suite jusqu'au facteur final. Les nombres qui resteront seront les nombres inférieurs à N et premiers avec lui; pour avoir leur nombre, il suffira de retrancher du nombre N des termes de la première suite le nombre des multiples de a, de b, de c,..., de finalité successivement effacés. Dans la suite : 1, 2, 3, 4,..., N, qui renferme N nombres, les multiples de a sont : a, 2a, 3a, 4a,..., Na; ils sont au nombre de N, et après leur suppression il restera un nombre de termes égal à N - (N - 1) = 1. Donc, dans la suite 1, 2, 3,..., N, il y a N (1 - 1/2) nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a. Dans cette seconde suite de N (N - 1) termes, il faut supprimer les multiples de b. Voyons combien il y en a. Dans la suite primitive, les multiples de b étaient: b, 2b, 3b, 4b,..., Nb; mais, dans ces n multiples de b, ceux qui sont multiples de a ont déjà été supprimés tout à l'heure; il ne faut donc supprimer cette seconde fois que les multiples de b qui sont premiers avec a, c'est-à-dire ceux dont le coefficient de b est premier avec a; or, les coefficients de b forment la suite : 1, 2, 3,..., N; le nombre des termes de cette suite premiers avec a est donné par la formule, dans laquelle il suffit de remplacer N par N. Il est donc de N (1 - 1/2). Par conséquent, après avoir supprimé dans la suite des nombres inférieurs à N et premiers avec
premiers avec a. Dans cette seconde suite de N (N - 1) termes, il faut supprimer les multiples de b. Voyons combien il y en a. Dans la suite primitive, les multiples de b étaient: b, 2b, 3b, 4b,..., Nb; mais, dans ces n multiples de b, ceux qui sont multiples de a ont déjà été supprimés tout à l'heure; il ne faut donc supprimer cette seconde fois que les multiples de b qui sont premiers avec a, c'est-à-dire ceux dont le coefficient de b est premier avec a; or, les coefficients de b forment la suite : 1, 2, 3,..., N; le nombre des termes de cette suite premiers avec a est donné par la formule, dans laquelle il suffit de remplacer N par N. Il est donc de N (1 - 1/2). Par conséquent, après avoir supprimé dans la suite des nombres inférieurs à N et premiers avec a les dix multiples de b qui y figuraient, il restera un nombre de termes égal à N - 2 (N - 1). Cette formule représente le nombre des entiers inférieurs à N et premiers à la fois avec a et avec b. Supposons écrits ces deux premiers suites de nombres. Il faut y supprimer tous les multiples de chacune d'elles ; or, les multiples de a depuis 1 jusqu'à N sont : a, 2a, 3a, 4a,.., N-a. Il faut supprimer seulement ceux qui sont premiers avec a, c'est-à-dire ceux dont les coefficients de a sont premiers avec a ; mais ces coefficients forment la suite : 1, 2, 3, 4,.., ; le nombre des multiples de a à supprimer est donc égal au nombre des entiers de la suite précédente inférieurs à a et premiers avec a ; ce nombre est donné par la formule (1), dans laquelle il suffit de remplacer N par a ; il est par conséquent égal à (1) (1 - y). Cette suppression faite, il restera un nombre de termes égal à N-a. Cette formule représente le nombre des entiers inférieurs à N et premiers à la fois avec a, avec b et avec
nombres. Il faut y supprimer tous les multiples de chacune d'elles ; or, les multiples de a depuis 1 jusqu'à N sont : a, 2a, 3a, 4a,.., N-a. Il faut supprimer seulement ceux qui sont premiers avec a, c'est-à-dire ceux dont les coefficients de a sont premiers avec a ; mais ces coefficients forment la suite : 1, 2, 3, 4,.., ; le nombre des multiples de a à supprimer est donc égal au nombre des entiers de la suite précédente inférieurs à a et premiers avec a ; ce nombre est donné par la formule (1), dans laquelle il suffit de remplacer N par a ; il est par conséquent égal à (1) (1 - y). Cette suppression faite, il restera un nombre de termes égal à N-a. Cette formule représente le nombre des entiers inférieurs à N et premiers à la fois avec a, avec b et avec c. Le raisonnement précédent est général ; par suite, le nombre des entiers inférieurs à N et premiers avec lui, que l'on représente généralement par ?(N), ou par X est donné par la formule. Deuxième Partie. La méthode à suivre est la même ; seulement, au lieu de considérer le nombre des termes dans les diverses suites dont il a été question précédemment, il faut considérer leur somme. — 294 — La somme des termes de la première suite : 1,2,3,.., N est ———• On a supprimé les termes a, 2a, 3a,.., a dont la somme est égale à La somme des nombres qui restent est donc égale à Telle est la somme des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a. De cette suite de nombres entiers, on supprime, non pas 6, 26, 36,.., 6, mais seulement ceux des multiples de 6 dont le coefficient de 6 est premier avec a ; la somme de ces multiples de 6 supprimés est donc égale au produit de 6 par la somme des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, laquelle est donnée par la formule (2) en y remplaçant N par a ; la somme des multiples
nombre des termes dans les diverses suites dont il a été question précédemment, il faut considérer leur somme. — 294 — La somme des termes de la première suite : 1,2,3,.., N est ———• On a supprimé les termes a, 2a, 3a,.., a dont la somme est égale à La somme des nombres qui restent est donc égale à Telle est la somme des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a. De cette suite de nombres entiers, on supprime, non pas 6, 26, 36,.., 6, mais seulement ceux des multiples de 6 dont le coefficient de 6 est premier avec a ; la somme de ces multiples de 6 supprimés est donc égale au produit de 6 par la somme des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, laquelle est donnée par la formule (2) en y remplaçant N par a ; la somme des multiples supprimés est donc égale à La somme des nombres qui restent, est par suite égale à Telle est la somme des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a et avec 6. De cette suite de nombres entiers, on supprime, non pas c, 2c, 3c, 4c,.., c, mais seulement ceux des multiples de c dont le coefficient de c est premier avec a et 6 ; la somme des multiples de c ainsi supprimés est donc égale au produit de c par la somme des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a et avec 6, laquelle est donnée par la formule (2) en y remplaçant N par a. La somme des multiples de c supprimés est donc égale à La somme des nombres qui restent est donc égale à Telle est la somme des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, avec b et avec c. En continuant ainsi on trouvera la formule générale. Troisième Partie. La marche à suivre est absolument la même que dans la deuxième partie, seulement au lieu de considérer la somme des termes des suites précédentes il faut considérer la somme des carrés de ces termés. Rappelons d'abord la formule
ceux des multiples de c dont le coefficient de c est premier avec a et 6 ; la somme des multiples de c ainsi supprimés est donc égale au produit de c par la somme des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a et avec 6, laquelle est donnée par la formule (2) en y remplaçant N par a. La somme des multiples de c supprimés est donc égale à La somme des nombres qui restent est donc égale à Telle est la somme des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, avec b et avec c. En continuant ainsi on trouvera la formule générale. Troisième Partie. La marche à suivre est absolument la même que dans la deuxième partie, seulement au lieu de considérer la somme des termes des suites précédentes il faut considérer la somme des carrés de ces termés. Rappelons d'abord la formule Il suffira de donner sommairement la suite des calculs. La somme des carrés des termes de la suite: 1, 2, 3,.., N est On a supprimé les termes a, 2a, 3a,.., a, dont la somme des carrés est La somme des carrés des nombres qui restent est donc égale à Telle est la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a. De cette suite de nombres on a supprimé les multiples de b dont le coefficient de b est premier avec a ; la somme des carrés des multiples de b supprimés est donc égale au produit de b² par la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, laquelle est donnée par la formule (1) en y remplaçant N par a ; les sommes des carrés des nombres qui restent est donc égale à Telle est la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a et avec b. Un raisonnement analogue conduira à la formule pour la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, avec b et avec c. On voit la loi de formation de la formule
Telle est la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a. De cette suite de nombres on a supprimé les multiples de b dont le coefficient de b est premier avec a ; la somme des carrés des multiples de b supprimés est donc égale au produit de b² par la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, laquelle est donnée par la formule (1) en y remplaçant N par a ; les sommes des carrés des nombres qui restent est donc égale à Telle est la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a et avec b. Un raisonnement analogue conduira à la formule pour la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, avec b et avec c. On voit la loi de formation de la formule cherchée. Démontrons que cette formule est générale. Pour cela, supposons-la établie pour les facteurs premiers a, b, c, d,.., k d'un nombre entier N ; je dis qu'elle est vraie pour le cas où l'on prendrait un facteur premier de plus, par exemple. En effet. On a pour la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, b, c, k. De ces nombres il faut supprimer les multiples de k dont le coefficient de k est premier avec a, b, c,.., k ; ces coefficients particuliers sont les nombres de la suite : 1, 2, 3, 4,.., qui sont premiers avec a, b, c,.., k ; donc la somme des carrés des multiples de k supprimés sera égale au produit de k² par la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, b, c,.., k, laquelle est donnée par la formule (1) en y remplaçant N par a ; par conséquent, la somme des carrés des multiples de k supprimés est la formule obtenue est donc générale. Remarque. On peut trouver très rapidement, de la manière suivante. Supposons N > 2. Soit n un nombre inférieur à N et premier
des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, b, c, k. De ces nombres il faut supprimer les multiples de k dont le coefficient de k est premier avec a, b, c,.., k ; ces coefficients particuliers sont les nombres de la suite : 1, 2, 3, 4,.., qui sont premiers avec a, b, c,.., k ; donc la somme des carrés des multiples de k supprimés sera égale au produit de k² par la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, b, c,.., k, laquelle est donnée par la formule (1) en y remplaçant N par a ; par conséquent, la somme des carrés des multiples de k supprimés est la formule obtenue est donc générale. Remarque. On peut trouver très rapidement, de la manière suivante. Supposons N > 2. Soit n un nombre inférieur à N et premier avec lui; N - n sera aussi un nombre inférieur à N et premier avec lui; la somme de ces deux nombres est n + (N - n) = N; on voit, donc, que les nombres inférieurs à N et premiers avec lui peuvent se placer par groupes de deux nombres dont la somme est égale à N; donc, si l'on imagine les nombres inférieurs à N et premiers avec lui écrits sur une ligne horizontale, par exemple dans l'ordre numérique croissant, puisqu'on les écrit au-dessous par ordre décroissant et qu'on additionne ces deux lignes, on aura Ce résultat est d'ailleurs bien d'accord avec celui qu'on déduit des formules (1) et (2). Dans la question proposée il était préférable, à cause de la troisième partie, de suivre la méthode que nous avons indiquée. LONGÉOT et P. KLOURY. Ont résolu la question 566. — MM. J. A. RAVINET, Institutrice à Lyon : M. HUSSIER, instituteur au Puy; M. LEVESQUE, instituteur à Hennés; FERRAND, instituteur à Cognac, B. PERLISIER, à Yorey-sur-Avre. Cette solution a été composée avec celle de M. LONGÉOT, Professeur au Collège de Pont-de-Vaux, et de M. P. KOURNAY, Répétiteur au Collège de Sézanne. PRÉPARATION AU CERTIFICAT D'APTITUDE ET À
nombres dont la somme est égale à N; donc, si l'on imagine les nombres inférieurs à N et premiers avec lui écrits sur une ligne horizontale, par exemple dans l'ordre numérique croissant, puisqu'on les écrit au-dessous par ordre décroissant et qu'on additionne ces deux lignes, on aura Ce résultat est d'ailleurs bien d'accord avec celui qu'on déduit des formules (1) et (2). Dans la question proposée il était préférable, à cause de la troisième partie, de suivre la méthode que nous avons indiquée. LONGÉOT et P. KLOURY. Ont résolu la question 566. — MM. J. A. RAVINET, Institutrice à Lyon : M. HUSSIER, instituteur au Puy; M. LEVESQUE, instituteur à Hennés; FERRAND, instituteur à Cognac, B. PERLISIER, à Yorey-sur-Avre. Cette solution a été composée avec celle de M. LONGÉOT, Professeur au Collège de Pont-de-Vaux, et de M. P. KOURNAY, Répétiteur au Collège de Sézanne. PRÉPARATION AU CERTIFICAT D'APTITUDE ET À L'AGRÉGATION DE L'ENSEIGNEMENT SPÉCIAL 579. — Circonscrire à un cercle donné, de rayon r, un triangle isocèle de périmètre donné 2p. Discussion. K. I. Soit le triangle isocèle HAG dans lequel AH = AG = l; M. = it. D'après l'énoncé, on a Prenant pour inconnue x la hauteur AI de du triangle HAG, on a Éliminant a entre les équations (1) et (2), puis h entre l'équation obtenue et l'équation (3), on trouve Cette équation du troisième degré admet toujours une racine négative qui ne convient pas à la question. Les deux autres racines, quand elles sont réelles, sont positives, car l'équation présente deux variations. On trouve immédiatement que la condition de réalité des racines est &gt; 3v3 r. Si p < 3 /;j», le problème n'a pas de solution. Si p = 3 /3 r, l'équation (4) admet la racine positive double x' = 3 r; alors h = 2 ^3 r et a = 2 &gt;3 r; le problème admet pour solution double un triangle équilatéral de côté 2 j~ô r. Si p > 3 j^ r, l'équation (4) admet deux racines positives. Pour qu'une racine positive convienne, il faut qu'elle soit comprise entre 2r et p.
de du triangle HAG, on a Éliminant a entre les équations (1) et (2), puis h entre l'équation obtenue et l'équation (3), on trouve Cette équation du troisième degré admet toujours une racine négative qui ne convient pas à la question. Les deux autres racines, quand elles sont réelles, sont positives, car l'équation présente deux variations. On trouve immédiatement que la condition de réalité des racines est &gt; 3v3 r. Si p < 3 /;j», le problème n'a pas de solution. Si p = 3 /3 r, l'équation (4) admet la racine positive double x' = 3 r; alors h = 2 ^3 r et a = 2 &gt;3 r; le problème admet pour solution double un triangle équilatéral de côté 2 j~ô r. Si p > 3 j^ r, l'équation (4) admet deux racines positives. Pour qu'une racine positive convienne, il faut qu'elle soit comprise entre 2r et p. Le premier membre de l'équation (4) pouvant être écrit ainsi: x» + p* (0,. _ X), on voit qu'il reste positif quand a? varie de 0 à 2r; donc les deux racines positives de l'équation (4) ne sont pas inférieures à 2 r. D'autre part, comme le premier membre de l'équation [4) peut être écrit ainsi: x (x + p) (x p) + 2p*r, on voit qu'il reste positif quand x varie de p à + &lt;»; donc les deux racines positives de l'équation (4) ne sont pas supérieures à]). Par conséquent, quand p > 3 v/3 r, les deux racines positives de l'équation (4) sont comprises entre 2r et p, et le problème admet pour solutions deux triangles isocèles différents. Remarques. 1. — Si le cercle de rayon r est inscrit au triangle BAC et opposé à l'angle A, l'équation (2) devient et on trouve Les racines de cette équation du second degré sont toujours réelles et de signes contraires. La racine positive est seule acceptable et convient toujours, car elle est toujours inférieure à p. 2. — Si le cercle de rayon r est inscrit au triangle BAC et opposé à l'angle B, l'équation (2) devient La racine