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parfait, puisque \(g_1\) est irréductible, et si \(g_2\) est de même forme, \(g_1\) et \(g_2\) ne diffèrent que par un facteur constant rationnel quand les deux coniques \(g_1 = \pm B_1\), \(g_2 = \pm B_2\) ont une infinité de points entiers communs. Enfin il ne peut arriver que l'un des facteurs \(g_1\) soit du premier degré, et un autre \(g_2\) du deuxième et irréductible, car la droite \(g_1 = \pm B_1\) ferait partie de la conique \(g_2 = \pm B_2\), et \(g_2\) ne serait pas irréductible. En particulier, on voit que, lorsque \(C\) a une infinité de points entiers, \((x, y)\) est ou bien une constante, ou bien, à un facteur entier constant près, une puissance \(n^{ème}\) d'un polynôme du premier degré à coefficients entiers, On peut le vérifier de façon à réduire l'usage du théorème de Thue. Supposons que deux des polynômes \(g_1, g_2\), par exemple \(g_1, g_2\) soient distincts, même après multiplication de l'un d'eux par un facteur constant. Le plus grand commun diviseur de \(g_1\) et \(g_2\) a ses coefficients rationnels, et se réduit dès lors à une constante; les deux courbes \(g_1 = \pm B_1\), \(g_2 = \pm B_2\) n'ont donc qu'un nombre limité de points communs. Par suite, le nombre des solutions communes aux équations (13 bis), et, a fortiori, le nombre des solutions en entiers \(p, q\) de celles-ci et de (13), est fini lorsque \(\psi(x, y)\) n'est pas à un facteur constant près la puissance \(n^{ème}\) (\(p > 1\)) d'un polynôme irréductible à coefficients entiers, c'est-à-dire quand on n'a pas même dans ce cas, \(g_1 = \pm B_1\) a encore un nombre fini de solutions si cette courbe n'a que des asymptotes imaginaires, ou si une asymptote est réelle, d'après le théorème précité de Thue, et que le degré de \(g_1\) n'est pas 1 ou 2. Enfin, d'après le deuxième cas du n° VI, le nombre des solutions acceptables en entiers \(p, q\) de \(A' g_1^2 = \pm B_1\) est encore fini quand \(n < n\). Dans chaque cas particulier, la combinaison de toutes ces remarques permettra souvent d'abréger les opérations nécessaires pour
communs. Par suite, le nombre des solutions communes aux équations (13 bis), et, a fortiori, le nombre des solutions en entiers \(p, q\) de celles-ci et de (13), est fini lorsque \(\psi(x, y)\) n'est pas à un facteur constant près la puissance \(n^{ème}\) (\(p > 1\)) d'un polynôme irréductible à coefficients entiers, c'est-à-dire quand on n'a pas même dans ce cas, \(g_1 = \pm B_1\) a encore un nombre fini de solutions si cette courbe n'a que des asymptotes imaginaires, ou si une asymptote est réelle, d'après le théorème précité de Thue, et que le degré de \(g_1\) n'est pas 1 ou 2. Enfin, d'après le deuxième cas du n° VI, le nombre des solutions acceptables en entiers \(p, q\) de \(A' g_1^2 = \pm B_1\) est encore fini quand \(n < n\). Dans chaque cas particulier, la combinaison de toutes ces remarques permettra souvent d'abréger les opérations nécessaires pour trouver la solution complète de l'équation (1). les équations (2 bis) et (2 ter), avec la première forme de \(f(t)\), deviennent où \(J_2(m)\), \(J_3(u)\) sont des polynômes en \(u\) à coefficients entiers de degré \(n\) au plus, l'un étant de degré \(n\); ces équations sont du type de celles qui correspondent à la deuxième forme de \(t\). Inversement, avec cette deuxième forme, où l'on remplace \(t\) par \(u\), le même changement de variables ramène à la première forme d'ailleurs, à toute valeur rationnelle de \(t\) correspond une valeur rationnelle de \(u\), et réciproquement. On voit de même facilement, quand \(f(t)\) est de la forme (15), que les équations (2 bis) et (2 ter) deviennent On conclut ainsi, en particulier, que, si l'on choisit convenablement le paramètre \(t\), les équations (2 bis) des courbes unicursales indécomposables de degré \(n\) à coefficients entiers ayant une infinité de points entiers peuvent se mettre sous une forme telle que l'on ait ou bien le second cas, où l'entier \(n\) n'est pas carré parfait, n'étant possible que pour les valeurs paires de \(n\). Quand on se trouvera en présence d'une courbe unicursale (2 bis) ou (2 ter) remplissant les conditions du théorème précédent, une discussion
correspondent à la deuxième forme de \(t\). Inversement, avec cette deuxième forme, où l'on remplace \(t\) par \(u\), le même changement de variables ramène à la première forme d'ailleurs, à toute valeur rationnelle de \(t\) correspond une valeur rationnelle de \(u\), et réciproquement. On voit de même facilement, quand \(f(t)\) est de la forme (15), que les équations (2 bis) et (2 ter) deviennent On conclut ainsi, en particulier, que, si l'on choisit convenablement le paramètre \(t\), les équations (2 bis) des courbes unicursales indécomposables de degré \(n\) à coefficients entiers ayant une infinité de points entiers peuvent se mettre sous une forme telle que l'on ait ou bien le second cas, où l'entier \(n\) n'est pas carré parfait, n'étant possible que pour les valeurs paires de \(n\). Quand on se trouvera en présence d'une courbe unicursale (2 bis) ou (2 ter) remplissant les conditions du théorème précédent, une discussion complémentaire restera nécessaire pour savoir si cette courbe a ou non une infinité de points entiers \(x\), \(y\). Dans un certain nombre de cas la réponse sera probablement assez facile, comme dans les exemples précités (n° VIII). Nous allons montrer ci-après comment on peut, par un nombre fini d'opérations, trouver les points entiers d'une courbe unicursale indécomposable \(C\) donnée, soit par son équation (1), soit par ses équations (2 bis) ou (2 ter), lorsque ces dernières sont applicables. X. D'après ce qu'on a vu au n° V, l'utilisation des formules (2 bis), à coefficients rationnels, est permise, pour la recherche des points entiers de à coefficients rationnels par rapport aux coefficients de l'équation (1) de la courbe \(C\) de genre \(o\) (supposés ici entiers), fait correspondre à \(C\) point par point une courbe d'équation à coefficients rationnels (et ici entiers si l'on veut), de façon que cette courbe soit une courbe unicursale indécomposable de degré \(n – 2\), au moins si la transformation (17) est convenablement choisie. Les points doubles rationnels de la courbe (1) annulent, comme tous les points doubles de cette courbe, les numérateurs et les dénominateurs des fractions (17); mais ils peuvent être obtenus directement par un
les points entiers d'une courbe unicursale indécomposable \(C\) donnée, soit par son équation (1), soit par ses équations (2 bis) ou (2 ter), lorsque ces dernières sont applicables. X. D'après ce qu'on a vu au n° V, l'utilisation des formules (2 bis), à coefficients rationnels, est permise, pour la recherche des points entiers de à coefficients rationnels par rapport aux coefficients de l'équation (1) de la courbe \(C\) de genre \(o\) (supposés ici entiers), fait correspondre à \(C\) point par point une courbe d'équation à coefficients rationnels (et ici entiers si l'on veut), de façon que cette courbe soit une courbe unicursale indécomposable de degré \(n – 2\), au moins si la transformation (17) est convenablement choisie. Les points doubles rationnels de la courbe (1) annulent, comme tous les points doubles de cette courbe, les numérateurs et les dénominateurs des fractions (17); mais ils peuvent être obtenus directement par un nombre fini d'opérations. Il en est de même des points rationnels de \(C\) qui annuleraient \(P_1\), \(P_2\) ou \(P_3\) en même temps que \(f(x, y)\). Tout autre point rationnel de \(C\) donnera un point rationnel à distance finie de \(F = 0\). On pourra maintenant opérer sur cette dernière courbe comme on l'a fait sur la courbe (1); et ainsi de suite. Chaque point simple rationnel de \(C\) correspond à, un point double ou à l'infini d'une des transformées successives d'ordre \(n – 2\), \(n – 1\), ou à un point rationnel de la courbe finale d'ordre \(3\) ou \(2\). Quand \(n\) est impair, cette courbe finale est d'ordre \(3\), et, son point double étant nécessairement rationnel, on peut exprimer les coordonnées de cette courbe sous la forme (2 ter) en fonction rationnelle à coefficients rationnels d'un paramètre \(t\). Quand \(n\) est pair, cette courbe finale est d'ordre \(4\) et est une véritable conique; a-t-elle, ou non, un point rationnel à distance finie ? Soit la courbe indécomposable \(C\), quand cette courbe a au moins \(n+3\) points simples rationnels on a alors besoin d'une méthode pour reconnaître si cette circonstance se présente; il en existe une, que nous allons rappeler
comme on l'a fait sur la courbe (1); et ainsi de suite. Chaque point simple rationnel de \(C\) correspond à, un point double ou à l'infini d'une des transformées successives d'ordre \(n – 2\), \(n – 1\), ou à un point rationnel de la courbe finale d'ordre \(3\) ou \(2\). Quand \(n\) est impair, cette courbe finale est d'ordre \(3\), et, son point double étant nécessairement rationnel, on peut exprimer les coordonnées de cette courbe sous la forme (2 ter) en fonction rationnelle à coefficients rationnels d'un paramètre \(t\). Quand \(n\) est pair, cette courbe finale est d'ordre \(4\) et est une véritable conique; a-t-elle, ou non, un point rationnel à distance finie ? Soit la courbe indécomposable \(C\), quand cette courbe a au moins \(n+3\) points simples rationnels on a alors besoin d'une méthode pour reconnaître si cette circonstance se présente; il en existe une, que nous allons rappeler sommairement d'après MM. Nöther, Hilbert et Hurwitz, H. Poincaré, E. Picard (1), en la simplifiant et la précisant en vue de la détermination des points entiers de la courbe \(C\). On sait (notations de M. E. PICARD, Traité d'Analyse, t. II, 1893, 1re édition, p. 500, sauf le changement de \(m\) en \(n\)) qu'une transformation birationnelle son équation, où les coefficients sont entiers; posant on a à reconnaître si l'équation indéterminée a une solution en nombres entiers avec \(z^2 = 0\), et à en trouver une c'est un problème qu'on sait résoudre (1) par un nombre fini d'opérations. S'il y a une pareille solution, la courbe (18) a un point rationnel à distance finie; alors les coordonnées \(x\), \(y\) s'expriment en fonctions rationnelles (2 ter) du deuxième degré, à coefficients rationnels d'un paramètre \(t_n\) et (18) a une infinité de points rationnels correspondant aux valeurs rationnelles de \(t\), (et à \(t = ± \infty\)), et n'en a pas d'autres. On en conclut tous les points rationnels de la courbe \(C\). Si l'équation (19) n'a pas de solutions en entiers avec \(z_2 = 0\), les points rationnels de la courbe \(C\) sont en nombre fini et ont tous été obtenus. Bien
\(m\) en \(n\)) qu'une transformation birationnelle son équation, où les coefficients sont entiers; posant on a à reconnaître si l'équation indéterminée a une solution en nombres entiers avec \(z^2 = 0\), et à en trouver une c'est un problème qu'on sait résoudre (1) par un nombre fini d'opérations. S'il y a une pareille solution, la courbe (18) a un point rationnel à distance finie; alors les coordonnées \(x\), \(y\) s'expriment en fonctions rationnelles (2 ter) du deuxième degré, à coefficients rationnels d'un paramètre \(t_n\) et (18) a une infinité de points rationnels correspondant aux valeurs rationnelles de \(t\), (et à \(t = ± \infty\)), et n'en a pas d'autres. On en conclut tous les points rationnels de la courbe \(C\). Si l'équation (19) n'a pas de solutions en entiers avec \(z_2 = 0\), les points rationnels de la courbe \(C\) sont en nombre fini et ont tous été obtenus. Bien entendu, d'après le n° V, l'emploi de cette méthode est superflu si la courbe \(C\) est donnée a priori par les équations (2 bis) ou (2 ter) cette méthode permet encore, si la chose est possible, de trouver \(n+3\) points simples rationnels et de former les équations (2 bis) dans ces cas, nous allons voir qu'on peut trouver les points entiers par un nombre fini d'opérations. Si la chose est impossible, la méthode précédente fournit les points entiers, qui se trouvent parmi les points rationnels. XI. Cas où \(C\) a une infinité de points rationnels. Nous aurons à distinguer les mêmes cas qu'au n° VII, en cherchant les points entiers correspondant à une valeur rationnelle \(t = -1\); les autres (points doubles et points \(i = ± \infty\)) pouvant s'obtenir directement et simplement. Premier cas \(n = 0\). – \((t)\) se réduit à une constante \(K\) qu'on peut supposer positive. On a, d'après (2 bis) et le n° VI, les degrés \(n\), \(n^3\) de \(f_2(t)\), \(f_3(t)\), étant \(> 0\), l'un d'eux étant de plus égal à \(n\). (1) Diaphént, Vorlesungen über Zahlentheorie, 3e édition, 1879, p. 131. Lagrange. Sur la solution des problèmes indéterminés du deuxième degré (Œuvres, t. Si,
ces cas, nous allons voir qu'on peut trouver les points entiers par un nombre fini d'opérations. Si la chose est impossible, la méthode précédente fournit les points entiers, qui se trouvent parmi les points rationnels. XI. Cas où \(C\) a une infinité de points rationnels. Nous aurons à distinguer les mêmes cas qu'au n° VII, en cherchant les points entiers correspondant à une valeur rationnelle \(t = -1\); les autres (points doubles et points \(i = ± \infty\)) pouvant s'obtenir directement et simplement. Premier cas \(n = 0\). – \((t)\) se réduit à une constante \(K\) qu'on peut supposer positive. On a, d'après (2 bis) et le n° VI, les degrés \(n\), \(n^3\) de \(f_2(t)\), \(f_3(t)\), étant \(> 0\), l'un d'eux étant de plus égal à \(n\). (1) Diaphént, Vorlesungen über Zahlentheorie, 3e édition, 1879, p. 131. Lagrange. Sur la solution des problèmes indéterminés du deuxième degré (Œuvres, t. Si, en 1868, Soit, par exemple, n1 = n2, n3 = n-1, avec i < n, et V"Æ. V ~l' ..Æ. Il q doit diviser bg et ch par suite leur plus grand commun diviseur (3, et ne peut avoir qu'un nombre fini de valeurs distinctes. Soit q1, avec i5y,5[3, un diviseur quelconque de 3 on envisagera alors les deux congruences simultanées on déterminera celles des solutions premières à q1, de la deuxième comprises entre 0 et Kq1 – 1 inclus, et l'on verra s'il y a parmi elles des solutions de la première; s'il n'y en a pas, le facteur q1 ne fournit aucun point entier de la courbe (i); s'il y en a, chacune d'elles fournit une infinité de points entiers correspondant à des valeurs de p qui sont en progression arithmétique de raison K q1~l. Les facteurs y compris l'unité, étant en nombre fini il suffit d'un nombre fini d'opérations pour trouver tous les systèmes de valeurs p, q, qui rendent x, y entiers; s'il y en a, il y en a une infinité. Deuxième cas n1 étant > 0, f1(t) est irréductible. D'après le n° VI, p, q est une solution en entiers d'une équation de la
diviseur quelconque de 3 on envisagera alors les deux congruences simultanées on déterminera celles des solutions premières à q1, de la deuxième comprises entre 0 et Kq1 – 1 inclus, et l'on verra s'il y a parmi elles des solutions de la première; s'il n'y en a pas, le facteur q1 ne fournit aucun point entier de la courbe (i); s'il y en a, chacune d'elles fournit une infinité de points entiers correspondant à des valeurs de p qui sont en progression arithmétique de raison K q1~l. Les facteurs y compris l'unité, étant en nombre fini il suffit d'un nombre fini d'opérations pour trouver tous les systèmes de valeurs p, q, qui rendent x, y entiers; s'il y en a, il y en a une infinité. Deuxième cas n1 étant > 0, f1(t) est irréductible. D'après le n° VI, p, q est une solution en entiers d'une équation de la forme (i3) ou tl n a qu'un nombre fini de valeurs distinctes. Lorsque n1 < n2, le n° VI (deuxième cas) montre que les solutions sont en nombre limité et s'obtiennent par un nombre fini d'opérations. Il en est de même quand n1 = n2 et que f1(t) n'a que des racines imaginaires on calculera une limite inférieure A de |f1(t)| pour les valeurs de t réelles; on a, par exemple et une inégalité analogue pour p Enfin, quand n1 = n2, et que (t) a une ou des racines réelles, on obtiendra une limite supérieure des valeurs absolues des solutions p, q en utilisant les théorèmes de Thue (complétés comme je l'ai indiqué ailleurs), et leur démonstration le nombre d'opérations à effectuer est encore limité. Troisième cas n1 étant > 0, f1(t) est réductible. – Lorsque n1<n2, d'après le n° VI (deuxième cas), les solutions, en nombre limité, s'obtiennent encore par un nombre fini d'opérations. Soit donc n1 = n2. p, q est solution en entiers d'une équation de la forme (i3) où B n'a qu'un nombre fini de valeurs distinctes, d'après le n° VI (premier cas). On décompose f1(p, q) en un produit de facteurs irréductibles à coefficients
des racines imaginaires on calculera une limite inférieure A de |f1(t)| pour les valeurs de t réelles; on a, par exemple et une inégalité analogue pour p Enfin, quand n1 = n2, et que (t) a une ou des racines réelles, on obtiendra une limite supérieure des valeurs absolues des solutions p, q en utilisant les théorèmes de Thue (complétés comme je l'ai indiqué ailleurs), et leur démonstration le nombre d'opérations à effectuer est encore limité. Troisième cas n1 étant > 0, f1(t) est réductible. – Lorsque n1<n2, d'après le n° VI (deuxième cas), les solutions, en nombre limité, s'obtiennent encore par un nombre fini d'opérations. Soit donc n1 = n2. p, q est solution en entiers d'une équation de la forme (i3) où B n'a qu'un nombre fini de valeurs distinctes, d'après le n° VI (premier cas). On décompose f1(p, q) en un produit de facteurs irréductibles à coefficients entiers g1 (p, q), g2, gp, distincts ou non p, q sera à la fois solution en entiers des p équations avec B, Bp = B, où B1, Bp sont des entiers positifs; ces systèmes de p équations sont en nombre limité. Si ces polynomes ne coïncident pas tous à un facteur constant près, le plus simple sera pour chaque système de valeurs de B1, Bp de rechercher les points entiers communs aux courbes (i3 bis) en coordonnées cartésiennes p, q. S'ils coïncident à un facteur constant près, on peut supposer ce dernier égal à 1 (ce qui ne peut que modifier les Bs) soit si alors gt(t) n'a que des racines imaginaires, soit X une limite inférieure de 1 |g1'(t)| pour les valeurs de t réelles on a ce qui donne une limite supérieure de q, et l'on a de même une limite supérieure de p; si g1(t) a au moins une racine réelle et est de degré > 2, les théorèmes de Thue et leur démonstration donnent des limites supérieures des valeurs absolues des solutions. Dans tous ces cas, la solution complète s'obtient par un nombre fini d'opérations. Il ne nous reste plus à envisager que les cas
un facteur constant près, le plus simple sera pour chaque système de valeurs de B1, Bp de rechercher les points entiers communs aux courbes (i3 bis) en coordonnées cartésiennes p, q. S'ils coïncident à un facteur constant près, on peut supposer ce dernier égal à 1 (ce qui ne peut que modifier les Bs) soit si alors gt(t) n'a que des racines imaginaires, soit X une limite inférieure de 1 |g1'(t)| pour les valeurs de t réelles on a ce qui donne une limite supérieure de q, et l'on a de même une limite supérieure de p; si g1(t) a au moins une racine réelle et est de degré > 2, les théorèmes de Thue et leur démonstration donnent des limites supérieures des valeurs absolues des solutions. Dans tous ces cas, la solution complète s'obtient par un nombre fini d'opérations. Il ne nous reste plus à envisager que les cas où (t) est d'une des formes (i4) ou (i5). XII. Troisième cas (suite). – Si (t) est de la forme (1/4), un changement de paramètre ramène, d'après le n° IX, le problème à celui qu'on a résolu au n° XI (premier cas) mais on peut aussi opérer directement. f1(t) étant d'une des formes (14) ou (i5), on aura à chercher les valeurs entières de où (p, q) est d'une des deux formes avec, dans le cas de la deuxième, M, N, P sans facteur commun, N2 – 4 MP non carré parfait, mais > 0, n pair. Ou alors f1(p, q) = ± B, où B>0 n'a qu'un nombre limité de valeurs qu'on sait déterminer (n° VI, premier cas). On mettra chacune d'elles sous la forme aCn pour (i3 ter), aC2 pour (15 ter) de toutes les façons possibles, C étant un entier positif > 1. On aura à satisfaire aux conditions simultanées Envisageons la deuxième condition donnons à q une valeur entière Q, arbitraire (mod B), où Q1 est un des nombres 0, 1,2, B, en sorte que q = Q1 + B2, et résolvons la congruence correspondante on en tire un nombre limité de valeurs P, de p
d'une des formes (14) ou (i5), on aura à chercher les valeurs entières de où (p, q) est d'une des deux formes avec, dans le cas de la deuxième, M, N, P sans facteur commun, N2 – 4 MP non carré parfait, mais > 0, n pair. Ou alors f1(p, q) = ± B, où B>0 n'a qu'un nombre limité de valeurs qu'on sait déterminer (n° VI, premier cas). On mettra chacune d'elles sous la forme aCn pour (i3 ter), aC2 pour (15 ter) de toutes les façons possibles, C étant un entier positif > 1. On aura à satisfaire aux conditions simultanées Envisageons la deuxième condition donnons à q une valeur entière Q, arbitraire (mod B), où Q1 est un des nombres 0, 1,2, B, en sorte que q = Q1 + B2, et résolvons la congruence correspondante on en tire un nombre limité de valeurs P, de p (mod B), P étant un des nombres 0, 1, 2, B – 1, et p=P,-B2,. On cherchera alors quels sont les systèmes de valeurs P, Q, qui satisfont à la troisième condition. S'il n'y en a pas, la courbe C n'a pas de points entiers (en dehors, éventuellement, des points doubles et du point t = ∞). S'il y en a, soit P1, Q1 l'un d'eux il y aura à vérifier si satisfait à la première des conditions (22), pour certaines valeurs de z, et de z, est-à-dire, suivant les cas, à Ces équations donnent en z, et z des équations indéterminées connues que l'on sait résoudre par un nombre fini d'opérations. Le nombre des systèmes (23) à envisager est d'ailleurs limité; par conséquent, on pourra trouver toutes les valeurs entières x, y correspondant aux équations (21) par un nombre fini d'opérations. Le résultat annoncé à la fin du n° IX est ainsi complètement établi. Remarques. Dans le cas de l'équation (15 ter), conformément au n° IX, on peut au préalable, grâce à un changement de paramètre, remplacer cette équation par une équation réduite où M = 1, N = 0, P = – S. D'autre part, dans l'étude des
doubles et du point t = ∞). S'il y en a, soit P1, Q1 l'un d'eux il y aura à vérifier si satisfait à la première des conditions (22), pour certaines valeurs de z, et de z, est-à-dire, suivant les cas, à Ces équations donnent en z, et z des équations indéterminées connues que l'on sait résoudre par un nombre fini d'opérations. Le nombre des systèmes (23) à envisager est d'ailleurs limité; par conséquent, on pourra trouver toutes les valeurs entières x, y correspondant aux équations (21) par un nombre fini d'opérations. Le résultat annoncé à la fin du n° IX est ainsi complètement établi. Remarques. Dans le cas de l'équation (15 ter), conformément au n° IX, on peut au préalable, grâce à un changement de paramètre, remplacer cette équation par une équation réduite où M = 1, N = 0, P = – S. D'autre part, dans l'étude des conditions (22), on pourrait commencer par déterminer les solutions de f(p, q) = ± B, c'est-à-dire de l'équation (23 bis) correspondante, et chercher, parmi elles, celles qui peuvent satisfaire à la fois aux deux dernières conditions (22); ou encore, P, Q, satisfaisant alors à il pourra aussi être avantageux d'envisager d'abord ces congruences avant les deux dernières congruences (22), en vue de réduire le nombre des opérations mais ce sont là des détails d'application, sur lesquels je n'insiste pas. En résumé, nous venons d'indiquer 1° Dans le n° X, une méthode, déjà connue dans sa marche générale, pour déterminer les solutions rationnelles d'une équation indéterminée (i) à coefficients entiers, indécomposable et de genre 0; on en conclut, corrélativement, les solutions en entiers, quand les solutions rationnelles sont en nombre fini. 2° Dans les n°s XI et XII, une méthode pour déterminer les solutions en entiers x, y d'un système indécomposable (2 bis) ou (2 ter) à coefficients rationnels, autrement dit les points entiers d'une courbe unicursale (2 bis) ou (2 ter) indécomposable et à coefficients rationnels. Ces méthodes, qui fournissent complètement la solution correspondante au bout d'un nombre fini d'opérations, donnent ainsi la solution complète en nombres entiers des équations