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de Petrograd, 1916). É. P., 2e S. (C. n° 20.) s'inspirer de ses méthodes; malheureusement, beaucoup de questions intéressantes ont été laissées de côté par lui, et la plupart de ses formules semblent susceptibles de grandes simplifications. Notations. Fonctions de Lamé. L'usage de notations très différentes rend difficiles la lecture de ces divers travaux et la comparaison de ces résultats. Nous allons indiquer très brièvement les principales notations des différents auteurs, puis celles que nous comptons employer dans la suite de ce Mémoire, en insistant particulièrement sur la question, capitale dans la théorie qui nous occupe, des fonctions de Lamé 1° Poincaré rapporte les coordonnées elliptiques p, p., v à un ellipsoïde de référence dont les axes sont o, b et c; le Jacobien critique est défini par le paramètre p la surface infiniment voisine, par l'épaisseur Ç, positive ou négative, de la couche distribuée sur la surface du Jacobien critique. La fonction de Laplace est mise sous la forme d'un produit de Lamé, R(p) M([x) N(v); à côté de R on considère la fonction de Lamé de seconde espèce S. La fonction R(p) satisfait à l'équation différentielle 'Pour distinguer entre elles les fonctions de Lamé des différents types, Poincaré a recours à trois indices; une fonction s'écrira R*, avec la signification suivante des indices n est le degré de R; K a la valeur i si R est un polynome entier en p, Enfin i est choisi de telle sorte que Rn>, devienne, pour b = c, égal à un facteur constant près à en vertu de la relation qui lie les fonctions de Lamé aux fonctions sphériques générales. Ce mode de définition des fonctions de Lamé par trois indices (1) est théorique; pratiquement, il est un peu compliqué; et Poincaré l'abandonne aussitôt après l'avoir posé en principe; il désigne simplement les fonctions de Lamé par R,, R2, le choix des indices étant laissé au hasard. Il en résulte une grande complication; et un même symbole désigne parfois, dans les Acta, dans les Philosophical Transactions et dans les Figures d'équilibre, trois fonctions de Lamé différentes. A part cet inconvénient,
a recours à trois indices; une fonction s'écrira R*, avec la signification suivante des indices n est le degré de R; K a la valeur i si R est un polynome entier en p, Enfin i est choisi de telle sorte que Rn>, devienne, pour b = c, égal à un facteur constant près à en vertu de la relation qui lie les fonctions de Lamé aux fonctions sphériques générales. Ce mode de définition des fonctions de Lamé par trois indices (1) est théorique; pratiquement, il est un peu compliqué; et Poincaré l'abandonne aussitôt après l'avoir posé en principe; il désigne simplement les fonctions de Lamé par R,, R2, le choix des indices étant laissé au hasard. Il en résulte une grande complication; et un même symbole désigne parfois, dans les Acta, dans les Philosophical Transactions et dans les Figures d'équilibre, trois fonctions de Lamé différentes. A part cet inconvénient, les notations de Poincaré sont dans leur ensemble remarquablement simples et claires; elles sont d'une symétrie parfaite (1) et conformes à l'usage général. On peut leur adresser le reproche d'être un peu compliquées pour le calcul. 2° M. Liapounov, comme nous l'avons vu, met l'équation du Jacobien critique sous la forme avec q < i. Nous avons vu également de quelle façon il présente les équations de la surface de Poincaré. Les deux notations suivantes sont d'un usage courant dans tous ses Mémoires La fonction de Lamé est désignée par le symbole Em>(p); m en est l'ordre, et l'équation de Lamé s'écrit s, qui est inférieur à im, est défini comme il suit; on pose p = x1 Si E(x) est de la forme Polynôme en x, on aura 2 m – s = 0 (mod 4); T) Surtout dans le Mémoire des Philosophical Transactions, où les axes de l'ellipsoïde de référence sont désignés par a, b, c au lieu de o, b et c. PIERRE HUMBERT. Lorsque m est grand, il peut y avoir ambiguïté; mais on n'a guère alors à considérer qu'une seule fonction de Lamé de chaque ordre. Les fonctions de seconde espèce s'écrivent Fm,(p). Les coefficients
forme avec q < i. Nous avons vu également de quelle façon il présente les équations de la surface de Poincaré. Les deux notations suivantes sont d'un usage courant dans tous ses Mémoires La fonction de Lamé est désignée par le symbole Em>(p); m en est l'ordre, et l'équation de Lamé s'écrit s, qui est inférieur à im, est défini comme il suit; on pose p = x1 Si E(x) est de la forme Polynôme en x, on aura 2 m – s = 0 (mod 4); T) Surtout dans le Mémoire des Philosophical Transactions, où les axes de l'ellipsoïde de référence sont désignés par a, b, c au lieu de o, b et c. PIERRE HUMBERT. Lorsque m est grand, il peut y avoir ambiguïté; mais on n'a guère alors à considérer qu'une seule fonction de Lamé de chaque ordre. Les fonctions de seconde espèce s'écrivent Fm,(p). Les coefficients de stabilité, qui sont sont désignés par le symbole Tmi. La fonction Em qui y figure est de la forme Les notations de M. Liapounov ont l'avantage de se prêter aux calculs numériques avec une grande souplesse; elles ont l'inconvénient de détruire complètement la symétrie et, ce qui est plus grave, l'homogénéité des formules. 3° La symétrie est également abandonnée de parti pris par Darwin, qui considère même la forme habituelle des produits de Lamé comme impropre au calcul. Le cas d'un ellipsoïde de révolution conduisant à une fonction de Laplace de la forme les P étant les fonctions sphériques générales, de degré i et d'ordre s, Darwin cherche à mettre le produit de Laplace pour l'ellipsoïde à trois axes inégaux sous une forme analogue. Partant d'un ellipsoïde de référence dont il désigne les axes par k, l – 1, k, 0, il introduit trois coordonnées v, p, ç et considère les fonctions suivantes a. Des fonctions de p. et v, désignées soit par || soit par P*, suivant que ce sont des polynomes en (3, ou de tels polynomes multipliés par le radical ou le même radical en jj. Les coefficients de ces polynomes sont des fonctions sphériques ordinaires
grave, l'homogénéité des formules. 3° La symétrie est également abandonnée de parti pris par Darwin, qui considère même la forme habituelle des produits de Lamé comme impropre au calcul. Le cas d'un ellipsoïde de révolution conduisant à une fonction de Laplace de la forme les P étant les fonctions sphériques générales, de degré i et d'ordre s, Darwin cherche à mettre le produit de Laplace pour l'ellipsoïde à trois axes inégaux sous une forme analogue. Partant d'un ellipsoïde de référence dont il désigne les axes par k, l – 1, k, 0, il introduit trois coordonnées v, p, ç et considère les fonctions suivantes a. Des fonctions de p. et v, désignées soit par || soit par P*, suivant que ce sont des polynomes en (3, ou de tels polynomes multipliés par le radical ou le même radical en jj. Les coefficients de ces polynomes sont des fonctions sphériques ordinaires de f/. ou v. Ainsi la fonction |ll3, qui définit la surface parabolique, s'écrira b. Des fonctions de ç désignées par <é; ou S; si i et s sont de même parité, et exprimées par des polynomes en (3 où le coefficient de (3* est cos(s + ik) <p ou sin(s + 2/ir)cp. Si i et s sont de parités différentes, on est conduit à des polynomes analogues, mais multipliés par 1 – (i cos2<ç, et les fonctions résultantes sont désignées par Qi ou S/. La fonction de Laplace sera le produit de deux fonctions semblables de jjl et v, et de l'une quelconque des fonctions de <ç donc en tout huit solutions. De plus, à côté des fonctions |J et P s'introduisent des fonctions de seconde espèce, <i* et Q/, que l'on met sous la forme de séries infinies en (3, dont les coefficients sont les fonctions sphériques de seconde espèce. On a peine à reconnaître sous cette forme les fonctions de Lamé, et il est bien difficile de s'assimiler cette méthode, malgré les avantages qu'elle présente peut-être pour les calculs ultérieurs. Remarquons qu'elle conduit à l'introduction des intégrales elliptiques de Legendre. Dans ses deux derniers Mémoires, Darwin change
sin(s + 2/ir)cp. Si i et s sont de parités différentes, on est conduit à des polynomes analogues, mais multipliés par 1 – (i cos2<ç, et les fonctions résultantes sont désignées par Qi ou S/. La fonction de Laplace sera le produit de deux fonctions semblables de jjl et v, et de l'une quelconque des fonctions de <ç donc en tout huit solutions. De plus, à côté des fonctions |J et P s'introduisent des fonctions de seconde espèce, <i* et Q/, que l'on met sous la forme de séries infinies en (3, dont les coefficients sont les fonctions sphériques de seconde espèce. On a peine à reconnaître sous cette forme les fonctions de Lamé, et il est bien difficile de s'assimiler cette méthode, malgré les avantages qu'elle présente peut-être pour les calculs ultérieurs. Remarquons qu'elle conduit à l'introduction des intégrales elliptiques de Legendre. Dans ses deux derniers Mémoires, Darwin change un peu ses notations initiales il désigne les axes de l'ellipsoïde de référence par cosy, k sin6 et k, et les coordonnées u, et v par ; – – et sinç. Avec ces notations, on a r Arsinq; q étant une fonction de k, d'ailleurs très compliquée. Ajoutons que les coefficients de stabilité sont désignés par M", ou K, Enfin Darwin, dans ses calculs numériques, fait toujours le volume des Jacobiens égal à 4 ?• Les axes A, B, C d'un Jacobien sont alors donnés, en fonction des éléments p et q de M. Liapounov, par les formules 4° Nous emploierons, dans ce Mémoire, les notations de Poincaré, en les modifiant légèrement. a. L'axe de rotation sera pris pour axe des x. b. Les axes de l'ellipsoïde de référence seront a, b, o. c. Le Jacobien critique sera défini par le paramètre p; ses axes seront Ajoutons que nous traiterons certaines questions avec les notations de M. Liapounov, sans les modifier. Afin d'illustrer ce que nous venons de dire sur les fonctions de Lamé, nous donnons un Tableau indiquant les diverses notations pour les fonctions des ordres 0, 1, 2 et pour les plus importantes des ordres 3 et 4.
coefficients de stabilité sont désignés par M", ou K, Enfin Darwin, dans ses calculs numériques, fait toujours le volume des Jacobiens égal à 4 ?• Les axes A, B, C d'un Jacobien sont alors donnés, en fonction des éléments p et q de M. Liapounov, par les formules 4° Nous emploierons, dans ce Mémoire, les notations de Poincaré, en les modifiant légèrement. a. L'axe de rotation sera pris pour axe des x. b. Les axes de l'ellipsoïde de référence seront a, b, o. c. Le Jacobien critique sera défini par le paramètre p; ses axes seront Ajoutons que nous traiterons certaines questions avec les notations de M. Liapounov, sans les modifier. Afin d'illustrer ce que nous venons de dire sur les fonctions de Lamé, nous donnons un Tableau indiquant les diverses notations pour les fonctions des ordres 0, 1, 2 et pour les plus importantes des ordres 3 et 4. La première colonne donne la valeur de ces fonctions; les trois suivantes, les symboles employés par Poincaré dans les Acta, les Figures d'équilibre et les Philosophical Transactions; enfin les trois dernières indiquent les notations de Darwin, de M. Liapounov, et celles dont il sera fait usage dans ce travail. Présenté Valeur des fonctions. Acta. Fig. équil. Ph. Tr. Darwin. Liapounov. travail. Ro Ri Vo EOiO R0)0 R, R, P; E,,o RM r2 »j e, rm R3 », Ell5 RM R7 R4 n E^ R2,&gt; R8 R3 î&gt;2 E2,o R2i0 R6 Pr E, R2,3 Ri l&gt;î E, R, Rô Pi E2%2 Rj.î R9 Pi R3,3 R»,3 Rs », R3,o R0,4 Vl, R4,0 avec, comme troisième condition, la valeur donnée du volume. Darwin a résolu ces équations pour n = 3; M. Liapounov a donné une méthode générale pour leur résolution et l'a appliquée à la surface de Poincaré d'ordre 4. C'est cette méthode que nous nous proposons de reprendre, de compléter et de simplifier. Traduite avec nos notations, voici de quelle façon elle se présente 1. a. On commence par s'affranchir de la condition de volume, en fixant a, par exemple en faisant a = 1 on reviendra ensuite par une
Valeur des fonctions. Acta. Fig. équil. Ph. Tr. Darwin. Liapounov. travail. Ro Ri Vo EOiO R0)0 R, R, P; E,,o RM r2 »j e, rm R3 », Ell5 RM R7 R4 n E^ R2,&gt; R8 R3 î&gt;2 E2,o R2i0 R6 Pr E, R2,3 Ri l&gt;î E, R, Rô Pi E2%2 Rj.î R9 Pi R3,3 R»,3 Rs », R3,o R0,4 Vl, R4,0 avec, comme troisième condition, la valeur donnée du volume. Darwin a résolu ces équations pour n = 3; M. Liapounov a donné une méthode générale pour leur résolution et l'a appliquée à la surface de Poincaré d'ordre 4. C'est cette méthode que nous nous proposons de reprendre, de compléter et de simplifier. Traduite avec nos notations, voici de quelle façon elle se présente 1. a. On commence par s'affranchir de la condition de volume, en fixant a, par exemple en faisant a = 1 on reviendra ensuite par une simple proportion aux axes du Jacobien ayant le volume. b. À toute valeur approchée p0 de p correspond une valeur approchée b0 de b qu'on peut calculer au moyen de l'équation (r). On cherche alors, par des essais successifs, quel doit être p0 pour que l'équation (2) soit satisfaite par p0 et b0. Si deux valeurs p1 et p2 donnent à l'expression des signes différents, la vraie valeur p sera comprise entre p1 et p2, et b entre b1 et b2. L'application de la méthode comporte donc trois stades : 1° La recherche d'une solution approchée pour p. Sur ce point, que nous étudierons tout à l'heure, M. Liapounov n'a donné aucun renseignement. 2° Le calcul de b par l'équation (i), p étant donné. Ici la méthode de M. Liapounov est remarquablement pratique nous ne la modifierons pas et n'en parlerons même pas dans ce Chapitre; nous l'exposerons plus tard, en l'appliquant à la recherche des éléments de la surface de Poincaré d'ordre 5. 3° Le calcul de l'expression (3). Observons que la deuxième partie du calcul a déjà donné la valeur de -7 ̃J R)2S, 2 il suffit donc de calculer 2/2. – |– I Rn0S,,0. La formule de
p0 et b0. Si deux valeurs p1 et p2 donnent à l'expression des signes différents, la vraie valeur p sera comprise entre p1 et p2, et b entre b1 et b2. L'application de la méthode comporte donc trois stades : 1° La recherche d'une solution approchée pour p. Sur ce point, que nous étudierons tout à l'heure, M. Liapounov n'a donné aucun renseignement. 2° Le calcul de b par l'équation (i), p étant donné. Ici la méthode de M. Liapounov est remarquablement pratique nous ne la modifierons pas et n'en parlerons même pas dans ce Chapitre; nous l'exposerons plus tard, en l'appliquant à la recherche des éléments de la surface de Poincaré d'ordre 5. 3° Le calcul de l'expression (3). Observons que la deuxième partie du calcul a déjà donné la valeur de -7 ̃J R)2S, 2 il suffit donc de calculer 2/2. – |– I Rn0S,,0. La formule de réduction qu'a donnée M. Liapounov est d'une grande complication et conduit à des calculs très ardus. Nous allons donner une formule de réduction beaucoup plus simple, et nous la traduirons ensuite avec les notations de M. Liapounov. Recherche d'une solution approchée. À mesure qu'on avance dans la série des valeurs de n, le Jacobien tend de plus en plus à s'approcher de la forme de révolution; si l'on consulte le Tableau, dressé par Darwin, donnant les axes de divers Jacobiens, on constate qu'à partir de C = 3, les axes A et B sont égaux à 0, à une précision de l'ordre de 1, ce qui est équivalent à faire A et B, ou a et b égaux, c'est-à-dire en assimilant le Jacobien à un ellipsoïde de révolution. Cela revient, avec les notations de M. Liapounov, à faire q = 0. Des deux équations de Poincaré il ne subsiste que la seconde; voyons ce qu'elle devient. À la fonction de Lamé Rn, se substitue la fonction adjointe de Legendre, PJ = v/r2– 1; à la fonction de seconde espèce se substitue la fonction adjointe de deuxième espèce Cas où n est très grand. Lorsque n est très grand, le calcul
de n, le Jacobien tend de plus en plus à s'approcher de la forme de révolution; si l'on consulte le Tableau, dressé par Darwin, donnant les axes de divers Jacobiens, on constate qu'à partir de C = 3, les axes A et B sont égaux à 0, à une précision de l'ordre de 1, ce qui est équivalent à faire A et B, ou a et b égaux, c'est-à-dire en assimilant le Jacobien à un ellipsoïde de révolution. Cela revient, avec les notations de M. Liapounov, à faire q = 0. Des deux équations de Poincaré il ne subsiste que la seconde; voyons ce qu'elle devient. À la fonction de Lamé Rn, se substitue la fonction adjointe de Legendre, PJ = v/r2– 1; à la fonction de seconde espèce se substitue la fonction adjointe de deuxième espèce Cas où n est très grand. Lorsque n est très grand, le calcul devient très compliqué, par suite de la forme de moins en moins simple que prennent Pn et Qn. Comme il ne s'agit toujours que de rechercher une solution approchée, on simplifiera beaucoup le calcul en remplaçant Pn et Qn par des expressions approchées pour n grand. On connaît la valeur approchée de Pn, lorsque n est très grand, donnée par Laplace, La résolution de cette équation ne sera plus bien compliquée; on se servira utilement des Tables de fonctions hyperboliques publiées par l'Institut Smithsonien de Washington. Expression de la fonction de Legendre de seconde espèce. Revenons au cas ordinaire. L'équation que nous avons à résoudre pour obtenir une solution approchée contient la fonction de seconde espèce Qn, qui, SUR LES SURFACES DE POINCARÉ. Le premier membre est justement l'expression entre crochets dans l'intégrale figurant dans la formule (3), et par conséquent nous obtenons en intégrant, C'est là une expression très simple de Qn, et nous voyons que En utilisant la formule de récurrence que nous avons établie pour la fonction B, nous trouvons la formule de récurrence pour f Au moyen de cette formule, il sera possible de donner à f“ la forme suivante le déterminant contenant n lignes. En
approchée de Pn, lorsque n est très grand, donnée par Laplace, La résolution de cette équation ne sera plus bien compliquée; on se servira utilement des Tables de fonctions hyperboliques publiées par l'Institut Smithsonien de Washington. Expression de la fonction de Legendre de seconde espèce. Revenons au cas ordinaire. L'équation que nous avons à résoudre pour obtenir une solution approchée contient la fonction de seconde espèce Qn, qui, SUR LES SURFACES DE POINCARÉ. Le premier membre est justement l'expression entre crochets dans l'intégrale figurant dans la formule (3), et par conséquent nous obtenons en intégrant, C'est là une expression très simple de Qn, et nous voyons que En utilisant la formule de récurrence que nous avons établie pour la fonction B, nous trouvons la formule de récurrence pour f Au moyen de cette formule, il sera possible de donner à f“ la forme suivante le déterminant contenant n lignes. En le simplifiant à l'aide de la formule de récurrence liant trois polynomes de Legendre consécutifs, nous obtiendrons f“ Le calcul des éléments approchés des Jacobiens critiques sera beaucoup simplifié par l'emploi de ces formules. Réduction de la fonction de Lamé de seconde espèce. Nous avons vu que, pour le calcul des éléments exacts, il faut calculer, entre autres termes, l'expression et par conséquent la fonction de Lamé de seconde espèce, d'ordre n, liée à Rn. La seconde de ces expressions nous a été communiquée par M. Whittaker, professeur à l'Université d'Edimbourg, à la suite d'un échange de vues sur la question. par la formule Les fonctions Rn0 que nous avons à considérer étant des polynomes en P, nous pouvons chercher à appliquer à la fonction Sn0 le procédé de réduction qui nous a réussi pour la fonction de Legendre de seconde espèce. D'une façon générale, considérons une fonction de Lamé du type Rn>4,, c'est-à-dire un polynome en p, et la fonction de seconde espèce correspondante. Nous les désignerons par R et S, supprimant momentanément les indices pour simplifier l'écriture. Soient a1, a2, a3, les racines de R, o compris s'il y a lieu. Nous poserons L'application de cette formule nécessite
des éléments exacts, il faut calculer, entre autres termes, l'expression et par conséquent la fonction de Lamé de seconde espèce, d'ordre n, liée à Rn. La seconde de ces expressions nous a été communiquée par M. Whittaker, professeur à l'Université d'Edimbourg, à la suite d'un échange de vues sur la question. par la formule Les fonctions Rn0 que nous avons à considérer étant des polynomes en P, nous pouvons chercher à appliquer à la fonction Sn0 le procédé de réduction qui nous a réussi pour la fonction de Legendre de seconde espèce. D'une façon générale, considérons une fonction de Lamé du type Rn>4,, c'est-à-dire un polynome en p, et la fonction de seconde espèce correspondante. Nous les désignerons par R et S, supprimant momentanément les indices pour simplifier l'écriture. Soient a1, a2, a3, les racines de R, o compris s'il y a lieu. Nous poserons L'application de cette formule nécessite donc le calcul de SM et S2. Or, dans le cas qui nous occupe, nous avons vu qu'avant de passer à la deuxième équation de Poincaré on avait dû considérer la première équation, et par conséquent calculer les fonctions S1 et S2. Ce qui serait utile actuellement, ce serait donc une formule de réduction donnant Sn0 en fonction de S1,2 et S2 nous allons la rechercher tout à l'heure. La formule que nous venons d'établir n'est donc d'aucune utilité pratique pour nous; nous l'avons donnée néanmoins, d'abord à cause de sa simplicité; ensuite parce qu'elle est valable, que n soit pair ou impair, à l'inverse des formules que nous établirons ultérieurement enfin parce qu'elle sera peut-être utile dans d'autres théories. Avant d'abandonner cette expression, signalons l'élégante formule qu'on en tire en faisant n = 1 Afin de faire connaître quelque peu les méthodes de Darwin, nous allons transcrire cette formule avec ses notations, et la démontrer directement en utilisant les expressions qu'il a données pour les fonctions de Lamé. En nous reportant au Tableau de concordance de l'Introduction, et en nous souvenant que les fonctions de seconde espèce introduites par Darwin diffèrent des fonctions S par le facteur 2 n
une formule de réduction donnant Sn0 en fonction de S1,2 et S2 nous allons la rechercher tout à l'heure. La formule que nous venons d'établir n'est donc d'aucune utilité pratique pour nous; nous l'avons donnée néanmoins, d'abord à cause de sa simplicité; ensuite parce qu'elle est valable, que n soit pair ou impair, à l'inverse des formules que nous établirons ultérieurement enfin parce qu'elle sera peut-être utile dans d'autres théories. Avant d'abandonner cette expression, signalons l'élégante formule qu'on en tire en faisant n = 1 Afin de faire connaître quelque peu les méthodes de Darwin, nous allons transcrire cette formule avec ses notations, et la démontrer directement en utilisant les expressions qu'il a données pour les fonctions de Lamé. En nous reportant au Tableau de concordance de l'Introduction, et en nous souvenant que les fonctions de seconde espèce introduites par Darwin diffèrent des fonctions S par le facteur 2 n + 1, nous écrirons notre formule 211-F. PIERRE HUMBERT. Ajoutons, sans insister davantage, que l'on peut obtenir ainsi des formules de réduction pour les fonctions des divers autres types. La fonction S associée à, par exemple, se traitera de la même façon, en introduisant des fractions rationnelles ayant deux racines doubles au dénominateur. Passage aux notations de M. Liapounov. Nous avons supposé dans tout ce qui précède que la première équation de Poincaré avait été préalablement résolue par la méthode de M. Liapounov. Cette méthode donne le moyen de calculer la quantité A, étant posé, comme nous l'avons déjà signalé, A est par conséquent ce que nous avons appelé F, et R n'est autre chose que ce que nous avons désigné par M. Nos résultats s'écrivent alors de la façon suivante 1° Cas de n pair. – Le coefficient de stabilité pourra être mis sous la forme T = -5.1 Pi [2 RA(p) Il'(P) + II(p)], La même expression que dans le cas n pair. Il est inutile de faire remarquer à quel point ces formules sont plus compliquées que celles que nous avons indiquées. Même pour le cas le plus simple, n = 4, M. Liapounov est conduit à