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le mètre carré, et nous aurons, c'est-à-dire qu'avec les unités adoptées, le nombre donnant l'aire d'un rectangle serait égal au résultat obtenu en divisant par * le produit des nombres mesurant ses deux dimensions. M. G AU ET, Élève au Collège d'Arbois. Ont résolu la question 499 : MM. L.-C. BLUSSEAU, de Chaumont; DKSIGAUD, de Bourgogne; PF. TITHONORY, École primaire supérieure de M. Mésenguy, à Crève-Cœur-le-Grand ; C.-H. VINALIAU ; G. VSC, L. Charlemagne ; CHARBONNIER; BLAD VULT ; POULET DE POUPARD. — Math. élém. : JIM. P. VVIK, C. de Saintes; BERGMAN, L. Saint-Louis, à Paris. Instituteurs. — MM. J.-L. PRÉTOT ; ARMANET ; ANXIONNAZ ; DUCAMP ; GALLOIS ; FERRAND. M. GODQUIN, Maître adjoint au C. de Carenne. 504. — Un mélange de cyanogène, d'oxyde de carbone, d'acide carbonique et d'oxygène occupe un litre à 0° et 760 mm. On y fait passer une étincelle électrique et, après la détonation, le volume n'est plus que de 800cc. On agite le nouveau mélange gazeux avec une solution de potasse, et il reste seulement 200cc de gaz. Ce résidu, mis en contact avec du phosphore, ne laisse que 100cc. Conclure de ces données : 1° les volumes des différents gaz composant le mélange primitif; 2° la densité de ce mélange ; 3° les poids de cyanure de mercure, d'acide oxalique cristallisé, de carbonate de chaux et de chlorate de potasse qu'il faudrait employer pour préparer le mélange, en supposant que le cyanure de mercure ne donne pas de paracyanogène. — Les calculs seront effectués en employant les densités théoriques des gaz. Il serait possible de déterminer les volumes respectifs des quatre gaz par des raisonnements directs. Mais, dans les problèmes de ce genre, la méthode algébrique est toujours la plus sûre et la plus simple. Nous noterons p, y, z, u les volumes des quatre gaz. On a d'abord (1) D'autre part, les équations de combustion montrent que le volume total de l'acide carbonique, 800 — 200 ou 600cc, est égal à z + y + 2x; on a donc (2) Le volume M de l'oxygène primitif est donné par
composant le mélange primitif; 2° la densité de ce mélange ; 3° les poids de cyanure de mercure, d'acide oxalique cristallisé, de carbonate de chaux et de chlorate de potasse qu'il faudrait employer pour préparer le mélange, en supposant que le cyanure de mercure ne donne pas de paracyanogène. — Les calculs seront effectués en employant les densités théoriques des gaz. Il serait possible de déterminer les volumes respectifs des quatre gaz par des raisonnements directs. Mais, dans les problèmes de ce genre, la méthode algébrique est toujours la plus sûre et la plus simple. Nous noterons p, y, z, u les volumes des quatre gaz. On a d'abord (1) D'autre part, les équations de combustion montrent que le volume total de l'acide carbonique, 800 — 200 ou 600cc, est égal à z + y + 2x; on a donc (2) Le volume M de l'oxygène primitif est donné par l'équation (3). Enfin, le résidu final d'azote a le même volume que le cyanogène primitif (4) De ces équations, on tire II. — Les densités théoriques des gaz contenus dans le mélange, prises par rapport à l'hydrogène, sont respectivement égales à 26, 14, 22, 16. Par conséquent, la densité de ce mélange par rapport à l'hydrogène est 2,6 + 1,4 x 3 + 2,2 + 1,6 x 5 ou 17 ; par rapport à l'air, cette densité est 0,0692 x 17 ou 1,1764. III. — On calcule, par les méthodes connues, les poids des diverses substances employées dans la préparation du mélange. On trouve Cyanure de mercure 169,127, Acide oxalique 169,691, Carbonate de chaux 0,447, Chlorate de potasse 179,827. M. FILHOCK, Élève au Lycée de Nieder. Ont résolu la question 504 : MM. GABET; POULET; DÉSIGAUD. Instituteurs. — MM. ANXIONNAZ ; DUCAMP ; RUSSIER; ARMANET; FERRAND. Maître répétiteur. — M. PÉGORIEU. MM. FEUILLET ; POUGNAULT. CLASSE SECONDE, E. MODERNE 497. — Un commerçant se sert d'une balance dont les bras de levier sont inégaux et gagne ainsi 11 pour 100 de plus que s'il employait une balance exacte. En changeant de plateau la marchandise et les poids, son gain est
ce mélange par rapport à l'hydrogène est 2,6 + 1,4 x 3 + 2,2 + 1,6 x 5 ou 17 ; par rapport à l'air, cette densité est 0,0692 x 17 ou 1,1764. III. — On calcule, par les méthodes connues, les poids des diverses substances employées dans la préparation du mélange. On trouve Cyanure de mercure 169,127, Acide oxalique 169,691, Carbonate de chaux 0,447, Chlorate de potasse 179,827. M. FILHOCK, Élève au Lycée de Nieder. Ont résolu la question 504 : MM. GABET; POULET; DÉSIGAUD. Instituteurs. — MM. ANXIONNAZ ; DUCAMP ; RUSSIER; ARMANET; FERRAND. Maître répétiteur. — M. PÉGORIEU. MM. FEUILLET ; POUGNAULT. CLASSE SECONDE, E. MODERNE 497. — Un commerçant se sert d'une balance dont les bras de levier sont inégaux et gagne ainsi 11 pour 100 de plus que s'il employait une balance exacte. En changeant de plateau la marchandise et les poids, son gain est nul. Quel serait son gain pour 100 s'il employait une balance exacte ? CRENICK, Instituteur adjoint à Bougival. On sait que le poids d'un corps est moyen proportionnel entre les poids qui lui font équilibre, quand on place le corps successivement dans chacun des plateaux d'une balance. Or, la valeur d'une marchandise est proportionnelle au poids marqué quand on la pèse. Donc le prix de vente d'une marchandise, quand on la pèse avec une balance exacte, est moyen proportionnel entre les prix de vente qui correspondent aux poids obtenus, quand on la pèse en la plaçant successivement dans les deux plateaux de la balance. Soit x le gain pour 100 quand on emploie une balance exacte. Un poids de marchandise qui a coûté a francs est vendu : 1° quand il est pesé avec une balance exacte ; 2° quand il est pesé avec une balance inexacte et placé dans le plateau qui correspond au plus long bras de levier ; 3° fl, quand il est pesé avec la même balance et placé dans le plateau qui correspond au plus petit bras de levier. Par conséquent, on a l'équation qui devient de cette équation, on tire La première racine seule
d'une marchandise est proportionnelle au poids marqué quand on la pèse. Donc le prix de vente d'une marchandise, quand on la pèse avec une balance exacte, est moyen proportionnel entre les prix de vente qui correspondent aux poids obtenus, quand on la pèse en la plaçant successivement dans les deux plateaux de la balance. Soit x le gain pour 100 quand on emploie une balance exacte. Un poids de marchandise qui a coûté a francs est vendu : 1° quand il est pesé avec une balance exacte ; 2° quand il est pesé avec une balance inexacte et placé dans le plateau qui correspond au plus long bras de levier ; 3° fl, quand il est pesé avec la même balance et placé dans le plateau qui correspond au plus petit bras de levier. Par conséquent, on a l'équation qui devient de cette équation, on tire La première racine seule est acceptable ; le gain cherché est 10 pour 100. J.-L. PRETOT, Instituteur aux Brébant. On résolu la question 497 : MM. CHARBONNIER, Pensionnat Sainte-Marie, à Chagny; FLOCHE; POULET et CHANLIAU, École libre de Chagny; L.-G. BRISSET; GABET; BADAULT, L. Charlemagne. Instituteurs. — MM. ANXIONNAZ, à Celliers; GALLOIS, à Bar-le-Duc; ARMANET, à Tarare; FERRAND, à Cogne. Maîtres répétiteurs. — MM. PÉGORIE; CARRÉ, C. d'Emarcy; M. POUGNAULT, à Parthenay. 501. — On donne une droite MN, un cercle de centre C et un point A sur sa circonférence. 1° On connaît le rayon r du cercle C, la distance CC1 = c de son centre à la droite MN, la distance AA1 = a du point A à la droite MN. 2° On connaît le rayon r du cercle G, la distance AA1 = a du point A à la droite MN, l'angle α de la droite AAT au rayon AC. Trouver, en fonction des données, dans chaque cas, les rayons x et y des deux circonférences tangentes à la droite MN et à la circonférence G et dont leurs centres sont à la distance c. E. L. Soient O et O' (fig. 048) les centres des cercles cherchés, x et
ARMANET, à Tarare; FERRAND, à Cogne. Maîtres répétiteurs. — MM. PÉGORIE; CARRÉ, C. d'Emarcy; M. POUGNAULT, à Parthenay. 501. — On donne une droite MN, un cercle de centre C et un point A sur sa circonférence. 1° On connaît le rayon r du cercle C, la distance CC1 = c de son centre à la droite MN, la distance AA1 = a du point A à la droite MN. 2° On connaît le rayon r du cercle G, la distance AA1 = a du point A à la droite MN, l'angle α de la droite AAT au rayon AC. Trouver, en fonction des données, dans chaque cas, les rayons x et y des deux circonférences tangentes à la droite MN et à la circonférence G et dont leurs centres sont à la distance c. E. L. Soient O et O' (fig. 048) les centres des cercles cherchés, x et y leurs rayons OA et O'A. 1° — Menons les parallèles AF, OG, O'H à MN jusqu'à leurs intersections avec la droite GGi. Les triangles semblables CAF et COG d'une part, CAF et CO'II d'autre part, donnent d'après les notations, ces proportions deviennent de ces équations on tire les formules 2° — L'angle donné α est ACC. Dans le triangle rectangle CAF, on a Par suite, les formules (1) deviennent (2) Remarquons que ces valeurs de x et de y sont indépendantes du rayon r. POUGARD, Élève au Collège de Saintes. Remarque I. — Des formules (2) on tire donc a est moyenne harmonique entre x et y. (PÉGORIE; POUGARD). Remarque II. — Des formules (2) on tire aussi Ont résolu la question 501 : MM. DÉSIGAUD; DARDART, École primaire supérieure de Crève-Cœur-le-Grand; GABET; -Math. élém. : M. PAVIE. Instituteurs. —MM. DUCAMP; ANXIONNAZ; J. L. PRÉTOT; GALLOIS; FERRAND; ARMANET. Maîtres répétiteurs. — MM. BOHN; PÉGORIE; CARRÉ. MM. POUGNAULT; FEUILLET. 498. — Un courant d'un ampère décompose 0,02616 d'eau à la seconde. Quel sera le nombre de centimètres cubes de gaz mesurés à la température de 0° et sous la pression de 760,000 um de mercure, dégagés par un courant d'un
2° — L'angle donné α est ACC. Dans le triangle rectangle CAF, on a Par suite, les formules (1) deviennent (2) Remarquons que ces valeurs de x et de y sont indépendantes du rayon r. POUGARD, Élève au Collège de Saintes. Remarque I. — Des formules (2) on tire donc a est moyenne harmonique entre x et y. (PÉGORIE; POUGARD). Remarque II. — Des formules (2) on tire aussi Ont résolu la question 501 : MM. DÉSIGAUD; DARDART, École primaire supérieure de Crève-Cœur-le-Grand; GABET; -Math. élém. : M. PAVIE. Instituteurs. —MM. DUCAMP; ANXIONNAZ; J. L. PRÉTOT; GALLOIS; FERRAND; ARMANET. Maîtres répétiteurs. — MM. BOHN; PÉGORIE; CARRÉ. MM. POUGNAULT; FEUILLET. 498. — Un courant d'un ampère décompose 0,02616 d'eau à la seconde. Quel sera le nombre de centimètres cubes de gaz mesurés à la température de 0° et sous la pression de 760,000 um de mercure, dégagés par un courant d'un ampère pendant une minute? (Concours d'admission à l'École centrale, octobre 1883.) Le poids d'eau décomposée en une minute est il donne un volume d'hydrogène égal à et, par suite, un volume total deux fois et demie plus grand: F. PÉGORIE, Maître répétiteur au Collège de Saint-Jean-d'Angély. Ont résolu la question 498 : MM. POULET; L. C. BRISSET; DOISNEAU, L. de Laval; DARDART; GABET; CHEVALIER et TORCHON, Pensionnat des Frères, à Reims; GILLON, École libre de Chagny; CHARBONNIER; GASC; DÉSIGAUD; DROGOZ; BIMOAT, C. de Saumur; E. LEGRAND, École primaire supérieure de Crève-Cœur-le-Grand; FLOCHE; PETITHORY; BADAULT. Instituteurs. — MM. ARMANET; ANXIONNAZ; GALLOIS; FERRAND; RUSSIER, au Puy; DUCAMP. MM. FEUILLET, surnuméraire des Contributions indirectes, à Alençon; POUGNAULT. 500. — Une dissolution, ayant une réaction basique au papier de tournesol, est acidulée par de l'acide chlorhydrique. On observe un précipité. Ce précipité lavé, séché et calciné au rouge, ne laisse aucun résidu. On demande quels sont les corps qui peuvent donner lieu à ces phénomènes, et comment il faudrait traiter le précipité pour en déterminer exactement la nature. (Concours d'admission à l'École des Mines de Saint-Étienne, en 1883.) I. — Le précipité peut provenir de la formation d'un chlorure insoluble: chlorure d'argent, sous-chlorure de
498 : MM. POULET; L. C. BRISSET; DOISNEAU, L. de Laval; DARDART; GABET; CHEVALIER et TORCHON, Pensionnat des Frères, à Reims; GILLON, École libre de Chagny; CHARBONNIER; GASC; DÉSIGAUD; DROGOZ; BIMOAT, C. de Saumur; E. LEGRAND, École primaire supérieure de Crève-Cœur-le-Grand; FLOCHE; PETITHORY; BADAULT. Instituteurs. — MM. ARMANET; ANXIONNAZ; GALLOIS; FERRAND; RUSSIER, au Puy; DUCAMP. MM. FEUILLET, surnuméraire des Contributions indirectes, à Alençon; POUGNAULT. 500. — Une dissolution, ayant une réaction basique au papier de tournesol, est acidulée par de l'acide chlorhydrique. On observe un précipité. Ce précipité lavé, séché et calciné au rouge, ne laisse aucun résidu. On demande quels sont les corps qui peuvent donner lieu à ces phénomènes, et comment il faudrait traiter le précipité pour en déterminer exactement la nature. (Concours d'admission à l'École des Mines de Saint-Étienne, en 1883.) I. — Le précipité peut provenir de la formation d'un chlorure insoluble: chlorure d'argent, sous-chlorure de mercure, chlorure de plomb. De ces trois chlorures, les deux derniers sont volatils et, par suite, susceptibles de disparaître au rouge, sans laisser de résidu. Le précipité peut aussi provenir de la précipitation de l'acide silicique d'un silicate alcalin, ou de la précipitation de l'alumine d'un aluminate, mais aucun de ces deux dépôts ne disparaîtrait par calcination. Enfin, il peut provenir de la décomposition d'un hyposulfite, avec précipitation de soufre, volatil et combustible au-dessous du rouge. II. — Le sous-chlorure de mercure se reconnaît à ce qu'il est complètement insoluble dans un grand excès d'eau froide; il se décompose très lentement et noircit sous l'influence de la lumière; il se dissout aisément dans l'eau régale et l'eau de chlore. La dissolution primitive doit présenter les caractères des sels de sous-oxyde de mercure. Le chlorure de plomb se dissout dans un grand excès d'eau ou d'acide chlorhydrique. La dissolution primitive présente les caractères des sels de plomb. Enfin, le précipité de soufre provenant d'un hyposulfite se reconnaît à l'odeur d'acide sulfureux qu'il dégage par grillage à l'air. L. DROGOZ, Élève au Collège de Bourgoin. Ont résolu la question 500 : MM. DÉSIGAUD; DARDART; POULET; TORCHON; GABET; FLOCHE. Instituteurs. — MM. FERRAND;
ces deux dépôts ne disparaîtrait par calcination. Enfin, il peut provenir de la décomposition d'un hyposulfite, avec précipitation de soufre, volatil et combustible au-dessous du rouge. II. — Le sous-chlorure de mercure se reconnaît à ce qu'il est complètement insoluble dans un grand excès d'eau froide; il se décompose très lentement et noircit sous l'influence de la lumière; il se dissout aisément dans l'eau régale et l'eau de chlore. La dissolution primitive doit présenter les caractères des sels de sous-oxyde de mercure. Le chlorure de plomb se dissout dans un grand excès d'eau ou d'acide chlorhydrique. La dissolution primitive présente les caractères des sels de plomb. Enfin, le précipité de soufre provenant d'un hyposulfite se reconnaît à l'odeur d'acide sulfureux qu'il dégage par grillage à l'air. L. DROGOZ, Élève au Collège de Bourgoin. Ont résolu la question 500 : MM. DÉSIGAUD; DARDART; POULET; TORCHON; GABET; FLOCHE. Instituteurs. — MM. FERRAND; DUCAMP; ANXIONNAZ; ARMANET. M. POUGNAULT. D'autre part, d'après une propriété du cercle principal, on a Mp = b. Ainsi, la droite ap est la droite mobile de longueur constante a−b, dont les extrémités glissent sur les axes et dont les divers points décrivent des ellipses. Le point I est le point nommé, en cinématique, entre instantané de rotation; cette propriété aurait pu servir à tracer la normale dans ce mode de génération de l'ellipse. — 10 — et aussi, d'après l'hypothèse, L'angle AOB étant droit, OA et OB sont les bissectrices de l'angle MOMi. Donc le symétrique de Mp par rapport au grand axe, est situé sur le rayon OM. Des deux dernières relations, on tire d'autre part Donc aussi, d'après une propriété de la bissectrice d'un angle d'un triangle, on a C. Q. F. D. L'aire comprise entre les deux ellipses a pour valeur N. G. Seconde solution. — Menons les droites OM et OM{fig. 649). Les quatre points A, B, M, M formant une division harmonique, les droites qui vont du centre de l'ellipse à ces quatre points forment un faisceau harmonique. Le rayon OB étant bissectrice de l'angle MOMi, la droite OM{ rencontre l'ellipse au point M'
point nommé, en cinématique, entre instantané de rotation; cette propriété aurait pu servir à tracer la normale dans ce mode de génération de l'ellipse. — 10 — et aussi, d'après l'hypothèse, L'angle AOB étant droit, OA et OB sont les bissectrices de l'angle MOMi. Donc le symétrique de Mp par rapport au grand axe, est situé sur le rayon OM. Des deux dernières relations, on tire d'autre part Donc aussi, d'après une propriété de la bissectrice d'un angle d'un triangle, on a C. Q. F. D. L'aire comprise entre les deux ellipses a pour valeur N. G. Seconde solution. — Menons les droites OM et OM{fig. 649). Les quatre points A, B, M, M formant une division harmonique, les droites qui vont du centre de l'ellipse à ces quatre points forment un faisceau harmonique. Le rayon OB étant bissectrice de l'angle MOMi, la droite OM{ rencontre l'ellipse au point M' symétrique de M par rapport à OB. Si nous prouvons que O) il en résultera que le point Mt décrit une ellipse homothétique de la première par rapport à son centre. Soient P et Pt les projections des points M et Mi sur OB. Nous avons cherchons la valeur de ce dernier rapport. Les quatre points 0, Pi, B, P, projections de quatre points en division harmonique, forment aussi une division harmonique. Par suite, on a Désignons par o l'angle NOP sous lequel du centre 0 on voit l'ordonnée du point N du cercle principal qui correspond au point M de l'ellipse ; cet angle s'appelle l'anomalie excentrique du point M. Nous avons La relation (2) devient donc d'où et par suite, l'égalité (1) est démontrée, et on a bien le lieu demandé. J. LEGRAND, Maître répétiteur au Lycée de Rouen. Ont résolu la question 503 : MM. POULET, École libre de chagrin ; BERGMAN; PRÉTOT ; ARMANET. 502. — Une balle de plomb tombe verticalement d'une hauteur de 5 000 mètres. Elle rencontre une plaque d'acier placée sur le sol, et s'arrête brusquement. On demande la température à laquelle sera portée cette balle, en supposant qu'il n'y ait pas
ce dernier rapport. Les quatre points 0, Pi, B, P, projections de quatre points en division harmonique, forment aussi une division harmonique. Par suite, on a Désignons par o l'angle NOP sous lequel du centre 0 on voit l'ordonnée du point N du cercle principal qui correspond au point M de l'ellipse ; cet angle s'appelle l'anomalie excentrique du point M. Nous avons La relation (2) devient donc d'où et par suite, l'égalité (1) est démontrée, et on a bien le lieu demandé. J. LEGRAND, Maître répétiteur au Lycée de Rouen. Ont résolu la question 503 : MM. POULET, École libre de chagrin ; BERGMAN; PRÉTOT ; ARMANET. 502. — Une balle de plomb tombe verticalement d'une hauteur de 5 000 mètres. Elle rencontre une plaque d'acier placée sur le sol, et s'arrête brusquement. On demande la température à laquelle sera portée cette balle, en supposant qu'il n'y ait pas de déformation, et que toute la chaleur produite se dégagera sur elle. On négligera l'élément dû au réchauffement dû à la résistance de l'air. — On donne la chaleur spécifique du plomb 0,03; l'équivalent mécanique de la calorie 423, et l'intensité de la pesanteur g = 9,81. La force vive que possède la balle de poids p, en arrivant en bas, est égale, en kilogrammètres, à p X 5 000. La quantité de chaleur dégagée par le choc est, par suite, égale à Cette quantité de chaleur déterminera dans la masse de plomb une élévation de température α, donnée par l'équation D'où l'on tire x = 392°. Cette température étant supérieure au point de fusion du plomb, la balle éprouvera un commencement de fusion. DARDART, Élève du Pensionnat des Frères, à Reims. Ont résolu la question 502: MM. POULET; DÉSIGAUD; TUOURET; E. LEGRAND; DJOUAT. Instituteurs. — Mmes FERRAND; RUSSIER; ARMANET; DUCAMP; GALLOIS. Maîtres répétiteurs. — MM. PARGOIR; CARROT. M. POUGNAULT. PRÉPARATION AU CERTIFICAT D'APTITUDE ET À L'AGRÉGATION DE RENSEIGNEMENT SPÉCIAL 505. — Deux sommets A et B d'un triangle sont fixes, et le troisième G se meut sur une perpendiculaire à AB. Démontrer que la droite qui joint l'orthocentre au
que possède la balle de poids p, en arrivant en bas, est égale, en kilogrammètres, à p X 5 000. La quantité de chaleur dégagée par le choc est, par suite, égale à Cette quantité de chaleur déterminera dans la masse de plomb une élévation de température α, donnée par l'équation D'où l'on tire x = 392°. Cette température étant supérieure au point de fusion du plomb, la balle éprouvera un commencement de fusion. DARDART, Élève du Pensionnat des Frères, à Reims. Ont résolu la question 502: MM. POULET; DÉSIGAUD; TUOURET; E. LEGRAND; DJOUAT. Instituteurs. — Mmes FERRAND; RUSSIER; ARMANET; DUCAMP; GALLOIS. Maîtres répétiteurs. — MM. PARGOIR; CARROT. M. POUGNAULT. PRÉPARATION AU CERTIFICAT D'APTITUDE ET À L'AGRÉGATION DE RENSEIGNEMENT SPÉCIAL 505. — Deux sommets A et B d'un triangle sont fixes, et le troisième G se meut sur une perpendiculaire à AB. Démontrer que la droite qui joint l'orthocentre au centre de gravité est tangente à une conique fixe. J. NEUBERG, Professeur à l'Université de Liège, Rédacteur de Mathesis. Solution géométrique. Soit CD (fig. 650) la droite décrite par le sommet G. Le centre de gravité G est sur la droite CO, qui joint G au milieu 0 de AB, en un point tel que OG = —. Ménage la perpendiculaire GF sur AB, on a L'orthocentre H est le point de concours des hauteurs. Les triangles semblables et ACD donnent Ainsi, lorsque le point G décrit la droite CD, le point G décrit la droite GF, et de plus GH est telle que Or, on sait que, dans ces conditions, la droite GH reste tangente à une conique ayant pour sommets réels F et D, et pour tangentes en ces points GF et HD. Si G et H sont de même côté de l'axe FD, c'est-à-dire si la droite CD passe entre A et B, la conique est une ellipse; c'est le cas de la figure; le point D se trouve sur AB. Si G et H sont de côtés différents de l'axe FD, ou D extérieur à AB, la conique est une hyperbole; alors D est sur le
en un point tel que OG = —. Ménage la perpendiculaire GF sur AB, on a L'orthocentre H est le point de concours des hauteurs. Les triangles semblables et ACD donnent Ainsi, lorsque le point G décrit la droite CD, le point G décrit la droite GF, et de plus GH est telle que Or, on sait que, dans ces conditions, la droite GH reste tangente à une conique ayant pour sommets réels F et D, et pour tangentes en ces points GF et HD. Si G et H sont de même côté de l'axe FD, c'est-à-dire si la droite CD passe entre A et B, la conique est une ellipse; c'est le cas de la figure; le point D se trouve sur AB. Si G et H sont de côtés différents de l'axe FD, ou D extérieur à AB, la conique est une hyperbole; alors D est sur le prolongement de AB. Cas particuliers. — 1° D est en A ou en B. On voit immédiatement que l'enveloppe se réduit à l'un des points A ou B. 2° D est en 0. L'enveloppe se réduit à la perpendiculaire à AB menée par 0. Solution analytique. Effectuons les mêmes constructions que précédemment. Nous allons démontrer que la droite GH reste tangente à une conique, lorsque G décrit CD. Rapportons le triangle aux deux axes des coordonnées Ox, Oy ; désignons par 2o le côté AU, par (6, y) l'abscisse fixe et l'ordonnée variable du point G. Les coordonnées du point G sont (-, y); celles du point H sont ou, toutes réductions faites, et après avoir ordonné par rapport à y, L'équation de l'enveloppe s'obtient en écrivant que cette équation en y a une racine double. Donc nous obtenons pour l'équation de l'enveloppe L'enveloppe de GH est, par suite, une conique dont les axes sont 26 parallèles à Ox et Oy; le centre est sur Ox et a pour abscisse —. 26 Soit T la projection de G sur Oj? : FI) = — est un des axes; l'autre axe a pour longueur 11 est réel, si a > 6