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l'usine de Saindres, la plus importante encore il y a quelques années, n'a produit dans toute l'année de 1887, que 2 tonnes d'aluminium, à l'état de bronze d'aluminium. Les usines se multiplent également dans le Nouveau-Monde. On annonçait récemment que M. Cawley, fabricant de produits chimiques aux États-Unis, allait être en mesure de livrer l'aluminium presque pur au prix de 0 francs le kilo. On doit donc s'attendre à voir, d'ici un très petit nombre d'années, l'aluminium recevoir une foule d'emplois nouveaux. M. DUNAUK, Agrégé de Physique, Professeur au Collège Trolly. INTERSECTION D'UNE DROITE ET D'UNE CONIQUE I. Trouver les points d'intersection d'une droite A et d'une parabole définie par son foyer V et sa directrice D. De un point quelconque A de A (fig. 741) comme centre, je décris une circonférence qui s'enceinte la tangente à D. Soient D son point de contact et G, C les points où elle coupe la droite FI qui joint le foyer F au point de rencontre I de D et A: les parallèles à AC, A'G', menées par F, coupent A aux points cherchés C M, M'. Soit, en effet, MM' perpendiculaire à D, par suite, parallèle à AD. On aura, c'est-à-dire, parce que le point M est sur la parabole ayant pour foyer F et pour directrice D. On raisonnerait de même pour le point M'. Le problème n'est possible que si la circonférence tracée coupe la droite IF ou lui est tangente. Il y a donc deux solutions en général; il y a une seule solution dans le dernier cas : alors A est la bissectrice de l'angle FIF. Remarque.— La construction précédente s'applique même quand A et D sont parallèles. La droite FI leur est alors parallèle. II. Intersection d'une droite A et d'une conique définie par un foyer F, une directrice D et une excentricité e. De un point quelconque A de A (fig. 742) connue centre, je décris une circonférence ayant pour rayon la longueur de la perpendiculaire AU à D, multipliée par l'excentricité donnée. Cette circonférence coupe en C et C la droite IF, qui joint
parce que le point M est sur la parabole ayant pour foyer F et pour directrice D. On raisonnerait de même pour le point M'. Le problème n'est possible que si la circonférence tracée coupe la droite IF ou lui est tangente. Il y a donc deux solutions en général; il y a une seule solution dans le dernier cas : alors A est la bissectrice de l'angle FIF. Remarque.— La construction précédente s'applique même quand A et D sont parallèles. La droite FI leur est alors parallèle. II. Intersection d'une droite A et d'une conique définie par un foyer F, une directrice D et une excentricité e. De un point quelconque A de A (fig. 742) connue centre, je décris une circonférence ayant pour rayon la longueur de la perpendiculaire AU à D, multipliée par l'excentricité donnée. Cette circonférence coupe en C et C la droite IF, qui joint le foyer F au point d'intersection I de D et A. Par le point F je mène des parallèles aux droites AG, AC; elles rencontrent A aux points cherchés M, M'. Soit, en effet, MP la perpendiculaire à D menée par M; elle est parallèle à AH, et par suite on a. Or, d'après la construction, Il en résulte que, c'est-à-dire que le point M appartient à la conique considérée. On raisonnerait de même pour le point M'. Le problème n'est possible que si la circonférence décrite rencontre \(IF\). Il y a alors deux solutions en général; il y a une seule solution, lorsque cette circonférence est tangente à \(IF\). Remarque. — La construction précédente s'applique encore lorsque \(ID\) et \(AB\) sont parallèles. Elle se simplifie dans le cas où la conique est une parabole, car alors \(AG = AU\). H. MAUQUR, Répétiteur au Lycée de Tulle. NOTIONS SUR L'HISTOIRE DE L'ASTRONOMIE Articles pour les numéros 31 à 37. (Voir le numéro C, 20 mais 1834. Euclide, géomètre grec qui vivait du temps de Ptolémée II (293-217 av. J.-C), a réuni dans ses Éléments toutes ses découvertes à celles qui avaient été faites avant lui. Jean Wallis (1616-1703), professeur de
on a. Or, d'après la construction, Il en résulte que, c'est-à-dire que le point M appartient à la conique considérée. On raisonnerait de même pour le point M'. Le problème n'est possible que si la circonférence décrite rencontre \(IF\). Il y a alors deux solutions en général; il y a une seule solution, lorsque cette circonférence est tangente à \(IF\). Remarque. — La construction précédente s'applique encore lorsque \(ID\) et \(AB\) sont parallèles. Elle se simplifie dans le cas où la conique est une parabole, car alors \(AG = AU\). H. MAUQUR, Répétiteur au Lycée de Tulle. NOTIONS SUR L'HISTOIRE DE L'ASTRONOMIE Articles pour les numéros 31 à 37. (Voir le numéro C, 20 mais 1834. Euclide, géomètre grec qui vivait du temps de Ptolémée II (293-217 av. J.-C), a réuni dans ses Éléments toutes ses découvertes à celles qui avaient été faites avant lui. Jean Wallis (1616-1703), professeur de géométrie à l'Université d'Oxford, est considéré à juste titre comme étant un grand mathématicien. La Société royale de Londres fut créée en 1660 par le roi Charles II. La première édition du livre des Principes est écrite en latin, ainsi que deux autres, revues par Newton et publiées, l'une par Cotes en 1723 et l'autre par Pemberton en 1726. Voltaire fit paraître à Amsterdam en 1738 des éléments de la Philosophie de Newton. La traduction française que la marquise du Châtelier avait faite, sur l'édition de 1720, du livre des Principes fut publiée en 1759, après avoir été revue par Clairaut. L'anglais Roger Coates (1682-1716) s'est distingué par des travaux en physique et en mathématiques. Le docteur en médecine Pemberton (1695-1771) fut un ami intime de Newton. Gabrielle-Emilie Le Tonnelier de Breteuil, marquise du Châtelier, née à Paris le 17 décembre 1706, a d'abord publié une explication de la Philosophie de Leibniz, sous le titre d'Institutions de Physique. Elle s'est rendue célèbre en traduisant le livre des Principes de Newton, et en rédigeant à la suite d'une Exposition abrégée du Système du Monde d'après Newton, un Commentaire analytique des principaux théorèmes contenus dans ce livre ; ce travail, qui montre
Cotes en 1723 et l'autre par Pemberton en 1726. Voltaire fit paraître à Amsterdam en 1738 des éléments de la Philosophie de Newton. La traduction française que la marquise du Châtelier avait faite, sur l'édition de 1720, du livre des Principes fut publiée en 1759, après avoir été revue par Clairaut. L'anglais Roger Coates (1682-1716) s'est distingué par des travaux en physique et en mathématiques. Le docteur en médecine Pemberton (1695-1771) fut un ami intime de Newton. Gabrielle-Emilie Le Tonnelier de Breteuil, marquise du Châtelier, née à Paris le 17 décembre 1706, a d'abord publié une explication de la Philosophie de Leibniz, sous le titre d'Institutions de Physique. Elle s'est rendue célèbre en traduisant le livre des Principes de Newton, et en rédigeant à la suite d'une Exposition abrégée du Système du Monde d'après Newton, un Commentaire analytique des principaux théorèmes contenus dans ce livre ; ce travail, qui montre que son Auteur pratiquait habilement le calcul différentiel et intégral, a été revu très soigneusement par Clairaut, chapitre par chapitre, lors même de sa composition. La marquise du Châtelier mourut à Lunéville, le 10 septembre 1759. Newton, qui inventa le calcul des fluxions, analogue au calcul différentiel, inventé par Leibniz, appelle fluxion la vitesse avec laquelle une chique partie d'une étendue est décrite par une autre étendue qui l'engendre. David Gregory (1659-1702), neveu du célèbre géomètre Jacques Gregory (1638-1675), fut un géomètre distingué qui, dans son cours d'Astronomie à l'université d'Oxford, exposa, parmi les premiers, les théories de Newton. Colin Mac-Laurin (1698-1746) est un géomètre écossais qui a publié des théorèmes nouveaux sur la description des courbes d'ordre élevé, et une théorie du calcul différentiel qui a été traduite en français. Blaise Pascal (1623-1662), né à Clermont en Auvergne, auteur des Provinciales et des Pensées, s'est distingué par des travaux de physique, d'arithmétique et de géométrie, notamment en inventant le triangle arithmétique, l'un des fondements du calcul des probabilités, et en proposant et résolvant des problèmes importants sur la cycloïde. Gilles Perrin (1612-1675) s'est rendu célèbre en donnant une nouvelle méthode pour mener des tangentes aux courbes, et en inventant
appelle fluxion la vitesse avec laquelle une chique partie d'une étendue est décrite par une autre étendue qui l'engendre. David Gregory (1659-1702), neveu du célèbre géomètre Jacques Gregory (1638-1675), fut un géomètre distingué qui, dans son cours d'Astronomie à l'université d'Oxford, exposa, parmi les premiers, les théories de Newton. Colin Mac-Laurin (1698-1746) est un géomètre écossais qui a publié des théorèmes nouveaux sur la description des courbes d'ordre élevé, et une théorie du calcul différentiel qui a été traduite en français. Blaise Pascal (1623-1662), né à Clermont en Auvergne, auteur des Provinciales et des Pensées, s'est distingué par des travaux de physique, d'arithmétique et de géométrie, notamment en inventant le triangle arithmétique, l'un des fondements du calcul des probabilités, et en proposant et résolvant des problèmes importants sur la cycloïde. Gilles Perrin (1612-1675) s'est rendu célèbre en donnant une nouvelle méthode pour mener des tangentes aux courbes, et en inventant une « nouvelle manière de balance ». Pierre Fermat (1601-1665) est un grand géomètre français, qui s'est distingué surtout par sa méthode des Maxima et Minima, qu'il appliqua au tracé des tangentes aux courbes, à la recherche des centres de gravité, à la solution de questions sur les nombres. Godfried-Wilhelm Leibniz (1646-1716), né à Leipzig, est regardé comme un génie universel; en mathématiques, il a généralisé les découvertes de ses devanciers et il a inventé le calcul différentiel. L'observatoire de Greenwich fut constitué en 1671 par le roi Charles II L'observatoire de Paris a été fondé en 1667 par le roi Louis XIV. L'observatoire de Göttingen fut fondé en 1731. 38. — Des mesures de la terre effectuées par Picard et par les Cassini, on conclut qu'elle était un sphéroïde allongée dans le sens de la droite des pôles; au contraire, les théories d'Huygens et de Newton, en supposant que la terre était primitivement molle, lui donnaient un diamètre équatorial plus grand que la droite des pôles. Aussi, pendant longtemps, les savants, même au sein de l'Académie des Sciences, formèrent-ils deux camps. L'idée de trouver la vraie forme de la terre par des mesures précises effectuées à l'équateur et le
Leibniz (1646-1716), né à Leipzig, est regardé comme un génie universel; en mathématiques, il a généralisé les découvertes de ses devanciers et il a inventé le calcul différentiel. L'observatoire de Greenwich fut constitué en 1671 par le roi Charles II L'observatoire de Paris a été fondé en 1667 par le roi Louis XIV. L'observatoire de Göttingen fut fondé en 1731. 38. — Des mesures de la terre effectuées par Picard et par les Cassini, on conclut qu'elle était un sphéroïde allongée dans le sens de la droite des pôles; au contraire, les théories d'Huygens et de Newton, en supposant que la terre était primitivement molle, lui donnaient un diamètre équatorial plus grand que la droite des pôles. Aussi, pendant longtemps, les savants, même au sein de l'Académie des Sciences, formèrent-ils deux camps. L'idée de trouver la vraie forme de la terre par des mesures précises effectuées à l'équateur et le plus près possible des pôles, mise en avant par des géomètres et par le géographe d'Anville, fut enfin approuvée par le roi Louis XV, qui consentit à couvrir les dépenses nécessaires. 1. Proposition d'une Mesure de la Terre, par M. d'Anville, Paris, Chaubert, 1735. 39. — Pierre-Louis Moreau de Maupertuis, né à Saint-Malo en 1699, mort à Bâle en 1759, fut nommé en 1725 membre de l'Académie des Sciences. Il s'est montré partisan des théories de Newton. En sa qualité de chef de l'expédition du Nord, il en a rendu compte en 1738 dans un ouvrage intitulé : La Figure de la Terre. On lui reproche de s'être attribué tout le mérite de travaux effectués en commun. Le succès de cette expédition mit tellement en relief de Maupertuis que Frédéric II lui offrit la présidence de son Académie. De Maupertuis accepta cette présidence et la conserva jusqu'en 1752. C'est pendant son séjour à Berlin qu'il augmenta sa réputation, en proposant le principe de la moindre quantité d'action. 40. — Pierre Bouguer (1678-1758), né au Croisic, et Charles-Marie de La Condamine (1701-1774), né à Paris, ont attaché leurs noms à l'expédition de l'Équateur qui, par suite de diverses difficultés, dura 7
né à Saint-Malo en 1699, mort à Bâle en 1759, fut nommé en 1725 membre de l'Académie des Sciences. Il s'est montré partisan des théories de Newton. En sa qualité de chef de l'expédition du Nord, il en a rendu compte en 1738 dans un ouvrage intitulé : La Figure de la Terre. On lui reproche de s'être attribué tout le mérite de travaux effectués en commun. Le succès de cette expédition mit tellement en relief de Maupertuis que Frédéric II lui offrit la présidence de son Académie. De Maupertuis accepta cette présidence et la conserva jusqu'en 1752. C'est pendant son séjour à Berlin qu'il augmenta sa réputation, en proposant le principe de la moindre quantité d'action. 40. — Pierre Bouguer (1678-1758), né au Croisic, et Charles-Marie de La Condamine (1701-1774), né à Paris, ont attaché leurs noms à l'expédition de l'Équateur qui, par suite de diverses difficultés, dura 7 années. Bouguer eut exposé les résultats dans un ouvrage qu'il publia en 1749 sous le titre de Théorie de la Figure de la Terre. Bouguer a inventé en 1748 un instrument, l'héliomètre, pour mesurer les diamètres apparents du soleil et des planètes. 41. — L'abbé Nicolas-Louis de La Caille (1713-1762), né à Rumigny-Thiérache, élu membre de l'Académie des Sciences en 1741, fut, en 1746, mis en possession d'un observatoire annexé au collège Mazarin, où il professait les mathématiques depuis 7 ans. Il détermina la position, dans les deux hémisphères, d'un grand nombre d'étoiles des quatre premières grandeurs. De 1746 à 1750 et de 1754 jusqu'à sa mort, il catalogua les constellations qui se trouvent au-dessus de l'horizon de Paris. Pendant 4 ans, il observa plus de 10000 étoiles au Cap de Bonne-Espérance, où, sur sa demande, l'Académie des Sciences et le Gouvernement l'avaient délégué en 1750. Les observations qu'il fit au Cap, comparées à celles que l'on avait faites en Europe, notamment à celles de Lalande à Berlin, permirent de déterminer d'une façon plus exacte la distance de la terre à la lune. Lalande, qui fut l'élève de l'abbé de La Caille, et Delambre, qui se servit des manuscrits de
né à Rumigny-Thiérache, élu membre de l'Académie des Sciences en 1741, fut, en 1746, mis en possession d'un observatoire annexé au collège Mazarin, où il professait les mathématiques depuis 7 ans. Il détermina la position, dans les deux hémisphères, d'un grand nombre d'étoiles des quatre premières grandeurs. De 1746 à 1750 et de 1754 jusqu'à sa mort, il catalogua les constellations qui se trouvent au-dessus de l'horizon de Paris. Pendant 4 ans, il observa plus de 10000 étoiles au Cap de Bonne-Espérance, où, sur sa demande, l'Académie des Sciences et le Gouvernement l'avaient délégué en 1750. Les observations qu'il fit au Cap, comparées à celles que l'on avait faites en Europe, notamment à celles de Lalande à Berlin, permirent de déterminer d'une façon plus exacte la distance de la terre à la lune. Lalande, qui fut l'élève de l'abbé de La Caille, et Delambre, qui se servit des manuscrits de cet astronome, s'accordent à dire que de La Caille doit être rangé parmi les observateurs et les calculateurs qui ont le plus travaillé et le plus produit. À suivre. K. L. i. Le Collège des Quatre-Vingt-Quinze-Études fut fondé au moyen de legs laissés, en 1611, par le cardinal Mazarin pour la fondation d'un collège où seraient élevés de jeunes nobles de l'Auvergne, l'Alsace, le Hainaut et le Piémont. Il fut achevé en 1681. A présent, les bâtiments de ce collège, qui n'existe plus, font partie du Palais de l'Institut. Le corps étant abandonné à lui-même sans vitesse initiale, ou – 275 – demande d'étudier son mouvement : 1° au-dessus du liquide; 2° dans le liquide. On discutera la question. L'intensité de la pesanteur est g. On supposera les frottements nuls et le volume du corps très petit. (Nancy, juillet 1891.) 232. — Sur un prisme dont la section droite est un triangle isocèle ABC d'angle au sommet 2a, on fait tomber un faisceau de rayons lumineux parallèles à la base BC; les rayons sortent du prisme en rasant la face AC. Calculer l'indice de réfraction n de la substance dont est formé le prisme. On appliquera la formule trouvée au
la fondation d'un collège où seraient élevés de jeunes nobles de l'Auvergne, l'Alsace, le Hainaut et le Piémont. Il fut achevé en 1681. A présent, les bâtiments de ce collège, qui n'existe plus, font partie du Palais de l'Institut. Le corps étant abandonné à lui-même sans vitesse initiale, ou – 275 – demande d'étudier son mouvement : 1° au-dessus du liquide; 2° dans le liquide. On discutera la question. L'intensité de la pesanteur est g. On supposera les frottements nuls et le volume du corps très petit. (Nancy, juillet 1891.) 232. — Sur un prisme dont la section droite est un triangle isocèle ABC d'angle au sommet 2a, on fait tomber un faisceau de rayons lumineux parallèles à la base BC; les rayons sortent du prisme en rasant la face AC. Calculer l'indice de réfraction n de la substance dont est formé le prisme. On appliquera la formule trouvée au cas particulier où ABC est un triangle équilatéral, c'est-à-dire où a = 30°. (Caen, avril 1891.) 233. — Si l'on considère une circonférence faite avec un fil de fer ayant pour longueur à 0° la longueur approchée du méridien terrestre, 100001'', on demande de combien s'accroîtra le rayon de la circonférence si l'on élève la température de 0° à 50°. Le coefficient de dilatation cubique du fer est 0,000030. (Lille, avril 1891.) 231. — Un objet, AH fig. 712, est à une distance de d mètres d'un écran EE'. A quelle distance x de AB faut-il interposer une lentille LL', de distance focale f mètres, pour que l'image de AB produite par la lentille soit au point sur l'écran? Discussion. Clermont, 1891.) 235. — Au milieu d'une enceinte dont la température constante est 12° centigrades, on veut maintenir à 20° centigrades un grand récipient (hauteur 2 m, diamètre 2 m) en y amenant un courant de vapeur d'eau à 109°. Un trop-plein permet d'éliminer, pendant le même temps, un poids égal d'eau à 20°. On demande quel devra être le poids de vapeur condensée pendant chaque minute, sachant que le récipient perd deux grandes calories par minute, pour chaque mètre
circonférence si l'on élève la température de 0° à 50°. Le coefficient de dilatation cubique du fer est 0,000030. (Lille, avril 1891.) 231. — Un objet, AH fig. 712, est à une distance de d mètres d'un écran EE'. A quelle distance x de AB faut-il interposer une lentille LL', de distance focale f mètres, pour que l'image de AB produite par la lentille soit au point sur l'écran? Discussion. Clermont, 1891.) 235. — Au milieu d'une enceinte dont la température constante est 12° centigrades, on veut maintenir à 20° centigrades un grand récipient (hauteur 2 m, diamètre 2 m) en y amenant un courant de vapeur d'eau à 109°. Un trop-plein permet d'éliminer, pendant le même temps, un poids égal d'eau à 20°. On demande quel devra être le poids de vapeur condensée pendant chaque minute, sachant que le récipient perd deux grandes calories par minute, pour chaque mètre carré de sa surface et pour chaque degré d'excès de sa température sur celle de l'enceinte. (Rouen, juillet 1891.) 230. — Dans un triangle ABC, on connaît l'angle A, la somme m des deux côtés qui comprennent cet angle et le rayon R du cercle circonscrit. Résoudre le triangle. — Discuter. — Application : m = 2'~3, A = 60°, H = 1. (Alger novembre 1891.) 237. — On donne deux droites OA, OA' faisant entre elles un angle a, et un cercle de rayon r, dont le centre A est à la distance OA = 2r du point O. Par un point M de la seconde droite, on mène une tangente MT au cercle. Étudier comment varie le rapport '— lorsqu le point M décrit la droite OA', et voir si ce rapport est susceptible d'un maximum ou d'un minimum. — Il existe sur la droite OA' deux points tels que le rapport '— soit égal à une constante donnée k. Montrer que le lien de ces points, quand la droite OA' tourne autour du point O, est un cercle dont le centre est un point convenablement choisi de la droite OA. — Examiner en particulier l'hypothèse k =
Discuter. — Application : m = 2'~3, A = 60°, H = 1. (Alger novembre 1891.) 237. — On donne deux droites OA, OA' faisant entre elles un angle a, et un cercle de rayon r, dont le centre A est à la distance OA = 2r du point O. Par un point M de la seconde droite, on mène une tangente MT au cercle. Étudier comment varie le rapport '— lorsqu le point M décrit la droite OA', et voir si ce rapport est susceptible d'un maximum ou d'un minimum. — Il existe sur la droite OA' deux points tels que le rapport '— soit égal à une constante donnée k. Montrer que le lien de ces points, quand la droite OA' tourne autour du point O, est un cercle dont le centre est un point convenablement choisi de la droite OA. — Examiner en particulier l'hypothèse k = 1. (Besançon, nov. 1891.) 238. — Calculer les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse est donnée et égale à d, sachant que l'un des côtés de l'angle droit est moyen arithmétique entre l'hypoténuse et l'autre côté. — Trouvez, en outre, l'expression du volume engendré par le triangle tournant autour de son hypoténuse. (Bordeaux, novembre 1891.) 239. — Étudier la variation de la fraction lors que x varie de -1 à 1. (Caen, novembre 1891.) 240. — Un quart de cercle AOB tourne autour d'un diamètre X'X situé dans son plan et faisant avec le rayon OA un angle i. Déterminer la valeur de i de telle sorte que le rapport des volumes engendrés par le quart de cercle et le trapèze AaBO soit égal à un nombre donné k (n et b sont les projections des points A et B sur X'X). (Caen, novembre 1891.) 241. — Une lentille convergente L donne une image réelle d'un objet sur un écran placé à une distance d de la lentille. Montrer qu'on peut mettre la lentille dans une deuxième position L', telle que l'image réelle se forme de nouveau nette sur l'écran. On donne la distance d de h
tournant autour de son hypoténuse. (Bordeaux, novembre 1891.) 239. — Étudier la variation de la fraction lors que x varie de -1 à 1. (Caen, novembre 1891.) 240. — Un quart de cercle AOB tourne autour d'un diamètre X'X situé dans son plan et faisant avec le rayon OA un angle i. Déterminer la valeur de i de telle sorte que le rapport des volumes engendrés par le quart de cercle et le trapèze AaBO soit égal à un nombre donné k (n et b sont les projections des points A et B sur X'X). (Caen, novembre 1891.) 241. — Une lentille convergente L donne une image réelle d'un objet sur un écran placé à une distance d de la lentille. Montrer qu'on peut mettre la lentille dans une deuxième position L', telle que l'image réelle se forme de nouveau nette sur l'écran. On donne la distance d de h à L', et on demande de calculer la distance focale de la lentille. (Caen, novembre 1891.) 242. — Construire les angles d'une droite avec le plan horizontal, avec le plan vertical, avec la ligne de terre. — Déduire de ces constructions la formule A, désignant l'angle avec le plan horizontal; r, avec le plan vertical; v, avec la ligne de terre. (Clermont, novembre 1891.) 243. — Un réservoir muni d'un robinet contenant de l'air à 0° et à 760mm a été taré. On le porte à 100°, le robinet étant ouvert et la pression extérieure étant 760"; puis, quand l'équilibre est établi, on le referme. Rapporté sur le plateau de la balance, on constate qu'il a perdu un poids de p grammes. On demande le volume du réservoir. — a est le coefficient de dilatation des gaz; a est le poids du litre d'air à 0° et à 760mm. On considérera la dilatation du réservoir comme négligeable. (Clermont, novembre 1891.) 245. — Dans un quadrilatère AUCD, on donne trois côtés : AU = a, AD = b, BG = c, et les angles en A et en B (qu'on désignera par a et b). Calculer h; côté CD) et les