jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
plus petite puissance de 10 qui, divisée par B', donne pour reste l'unité. Dans les deux cas, le nombre des chiffres de la période et le nombre des chiffres irréguliers, s'il y en a, ne dépendent que du dénominateur de la fraction ordinaire donnée et nullement de son numérateur: la première partie de la question est donc établie. Deuxième Partie. Soient x et y les deux fractions proposées: on donne A + A' = B. Appelons r le plus petit reste de la division qu'il faut effectuer pour convertir la fraction x en fraction décimale périodique, et q le nombre entier formé par les n chiffres décimaux alors écrits au quotient. On aura r représentant le plus petit reste de cette division et r/ le nombre entier formé par les n premiers chiffres décimaux du quotient. Additionnant membre à membre les égalités (1) et (2), on trouve — 163 — L'égalité (3) peut, par suite, s'écrire ainsi: Mais 10n - 1 est un nombre entier exclusivement formé de chiffres 9; donc la somme de deux chiffres quelconques de même rang dans q et q' est égale à 9; comme, d'ailleurs, les égalités (4) et (5) ont lieu quel que soit le nombre n, la seconde partie du problème est démontrée. E. BROSSARD, Instituteur-adjoint à l'École primaire supérieure de Decize. Ont résolu la question 536 : MM. J.-L. PRÉTOT; E. RENOUVIN, Professeur au C. de Carenville; H. FILOCHE; DUSSAUX; V. HEDOULEZ, Préparateur de physique au L. d'Angers; E. BOURDON; E. LEVESQUE, Instituteur à Rennes; B. PELISSIER, à Vorcy-sur-Arzon; Mme BOXAIN; MM. J. LETELLIER, Instituteur-adjoint à l'École primaire supérieure de Montivilliers; A. ANXIONNAZ; M. DAMIEN. COURANTS DÉRIVÉS Les circuits ne sont pas toujours constitués par des conducteurs placés bout à bout entre les pôles d'une pile. Il arrive souvent qu'on ait besoin d'établir un ou plusieurs fils auxiliaires entre deux points d'un circuit; ces fils auxiliaires portent le nom de dérivations. Ainsi, le fil V (fig. 700), jeté entre les points A et B du circuit PACB de la pile P, constitue une dérivation. En A le courant se partage, et les
le nombre n, la seconde partie du problème est démontrée. E. BROSSARD, Instituteur-adjoint à l'École primaire supérieure de Decize. Ont résolu la question 536 : MM. J.-L. PRÉTOT; E. RENOUVIN, Professeur au C. de Carenville; H. FILOCHE; DUSSAUX; V. HEDOULEZ, Préparateur de physique au L. d'Angers; E. BOURDON; E. LEVESQUE, Instituteur à Rennes; B. PELISSIER, à Vorcy-sur-Arzon; Mme BOXAIN; MM. J. LETELLIER, Instituteur-adjoint à l'École primaire supérieure de Montivilliers; A. ANXIONNAZ; M. DAMIEN. COURANTS DÉRIVÉS Les circuits ne sont pas toujours constitués par des conducteurs placés bout à bout entre les pôles d'une pile. Il arrive souvent qu'on ait besoin d'établir un ou plusieurs fils auxiliaires entre deux points d'un circuit; ces fils auxiliaires portent le nom de dérivations. Ainsi, le fil V (fig. 700), jeté entre les points A et B du circuit PACB de la pile P, constitue une dérivation. En A le courant se partage, et les intensités dans les deux branches F et C dépendent des résistances respectives de ces branches. Le savant allemand Kirchhoff a indiqué, pour résoudre les problèmes relatifs aux dérivations, des énoncés qui portent le nom de lois de Kirchhoff. Voici les deux règles fondamentales. 1° La somme algébrique des intensités des courants aboutissant en un même point est nulle. Cela signifie que toute l'électricité conduite en un point par un ou plusieurs fils doit s'en éloigner par d'autres fils ayant leur origine en ce point, ou, en d'autres termes, qu'il ne peut y avoir accumulation d'électricité en ce point. Pour appliquer la loi, on attribue un signe aux courants qui se dirigent vers le point considéré, et le signe contraire aux courants qui s'en éloignent. La loi se traduit alors par la formule où 2 signifie somme algébrique. Dans le cas de la figure 701, on écrirait On voit que si on mène une droite coupant tous les fils dans lesquels le courant a le même sens par rapport à l'origine des dérivations (MN, M'N', sont deux de ces lignes) la somme des quantités d'électricité traversant cette ligne par les divers fils qu'elle coupe est une constante, quel que soit le
courants aboutissant en un même point est nulle. Cela signifie que toute l'électricité conduite en un point par un ou plusieurs fils doit s'en éloigner par d'autres fils ayant leur origine en ce point, ou, en d'autres termes, qu'il ne peut y avoir accumulation d'électricité en ce point. Pour appliquer la loi, on attribue un signe aux courants qui se dirigent vers le point considéré, et le signe contraire aux courants qui s'en éloignent. La loi se traduit alors par la formule où 2 signifie somme algébrique. Dans le cas de la figure 701, on écrirait On voit que si on mène une droite coupant tous les fils dans lesquels le courant a le même sens par rapport à l'origine des dérivations (MN, M'N', sont deux de ces lignes) la somme des quantités d'électricité traversant cette ligne par les divers fils qu'elle coupe est une constante, quel que soit le nombre de ces fils; s'il n'y en a qu'un d'un côté de l'origine des dériva. tions, la valeur de la constante est justement la valeur de l'intensité dans ce fil. 2° Soit un polygone fermé ABCDE (fig. 702), concave ou convexe, dont les côtés sont parcourus par des courants i, ii, iii, les résistances correspondantes étant r, n, r2... et ces divers côtés comprenant des forces électromotrices c, ci, e2)... On a Pour effectuer ces sommes algébriques, on fixe le sens dans lequel on parcourt le polygone, puis on prend avec le signe + toutes les forces électromotrices et toutes les intensités qui correspondent à des mouvements d'électricité s'effectuant dans ce sens, les autres forces électromotrices et les autres intensités étant affectées du signe -. Considérons le cas simple de la figure 700. Le circuit AKLB donne, en prenant comme sens de parcours celui que définit l'ordre des lettres, Si on établit une dérivation entre deux points d'un circuit, les intensités partielles dans les deux branches sont en raison inverse des résistances de ces branches. D'ailleurs, on a, d'après la première loi, Les équations (1) et (2) définissent les intensités i et i', si on connaît les résistances et l'intensité
ii, iii, les résistances correspondantes étant r, n, r2... et ces divers côtés comprenant des forces électromotrices c, ci, e2)... On a Pour effectuer ces sommes algébriques, on fixe le sens dans lequel on parcourt le polygone, puis on prend avec le signe + toutes les forces électromotrices et toutes les intensités qui correspondent à des mouvements d'électricité s'effectuant dans ce sens, les autres forces électromotrices et les autres intensités étant affectées du signe -. Considérons le cas simple de la figure 700. Le circuit AKLB donne, en prenant comme sens de parcours celui que définit l'ordre des lettres, Si on établit une dérivation entre deux points d'un circuit, les intensités partielles dans les deux branches sont en raison inverse des résistances de ces branches. D'ailleurs, on a, d'après la première loi, Les équations (1) et (2) définissent les intensités i et i', si on connaît les résistances et l'intensité I. Le circuit PAFB donnerait de même, en désignant par e la force électromotrice de la pile P, et par II la résistance totale comprise entre A et B, Cette équation n'est pas distincte des précédentes, car en retranchant membre à membre les équations (3) et (4), on retrouve On démontre qu'en général l'application des lois de Kirchhoff fournit toutes les équations nécessaires pour la détermination des intensités dans les diverses branches du circuit, et n'en fournit pas d'autres. Supposons maintenant que la dérivation F (fig. 703) contienne une pile P', dont le courant aille de B vers A par exemple. Ce courant s'ajoutera dans la branche C au celui qu'y envoie la pile P, mais il s'en retranchera dans la branche F. Suivant les valeurs des forces électromotrices c et e', et des résistances des diverses parties du circuit, il pourra se faire qu'aucun courant ne circule dans F, ou que cette branche soit parcourue par un courant allant de A vers B, ou de B vers A. Les lois de Kirchhoff permettent de traiter complètement la question. Conservons les mêmes notations, désignant la résistance totale (pile comprise) entre A et B. Supposons que le courant soit dirigé de
démontre qu'en général l'application des lois de Kirchhoff fournit toutes les équations nécessaires pour la détermination des intensités dans les diverses branches du circuit, et n'en fournit pas d'autres. Supposons maintenant que la dérivation F (fig. 703) contienne une pile P', dont le courant aille de B vers A par exemple. Ce courant s'ajoutera dans la branche C au celui qu'y envoie la pile P, mais il s'en retranchera dans la branche F. Suivant les valeurs des forces électromotrices c et e', et des résistances des diverses parties du circuit, il pourra se faire qu'aucun courant ne circule dans F, ou que cette branche soit parcourue par un courant allant de A vers B, ou de B vers A. Les lois de Kirchhoff permettent de traiter complètement la question. Conservons les mêmes notations, désignant la résistance totale (pile comprise) entre A et B. Supposons que le courant soit dirigé de A vers B dans F. S'il était dirigé en sens contraire, on n'aurait qu'à changer dans les équations le signe de t. Les lois de Kirchhoff donnent En résolvant ce système de trois équations à trois inconnues i, i', I, on trouve On voit facilement que i' ne peut jamais s'annuler, et que, dans la branche C, le courant est toujours dirigé de A vers B; I ou i, au contraire, pourront s'annuler suivant que l'on aura c— e' < 0 ou e — e' > 0, ce qui signifie que pour des valeurs particulières convenables des forces électromotrices et des résistances, la branche contenant la pile la plus faible ne sera traversée par aucun courant. Supposons, pour fixer les idées, que l'on ait e' > 0. Le signe du numérateur de i fait connaître le sens du courant dans la branche F, en supposant que l'on connaisse les valeurs de c', c — c', r' et II. Le cas le plus intéressant à considérer est celui où Alors, aucun courant ne passe dans la branche F, et on a Si on connaît r et R, ou simplement leur rapport, et e, l'équation (5) fournit e'. On applique cette formule
s'annuler, et que, dans la branche C, le courant est toujours dirigé de A vers B; I ou i, au contraire, pourront s'annuler suivant que l'on aura c— e' < 0 ou e — e' > 0, ce qui signifie que pour des valeurs particulières convenables des forces électromotrices et des résistances, la branche contenant la pile la plus faible ne sera traversée par aucun courant. Supposons, pour fixer les idées, que l'on ait e' > 0. Le signe du numérateur de i fait connaître le sens du courant dans la branche F, en supposant que l'on connaisse les valeurs de c', c — c', r' et II. Le cas le plus intéressant à considérer est celui où Alors, aucun courant ne passe dans la branche F, et on a Si on connaît r et R, ou simplement leur rapport, et e, l'équation (5) fournit e'. On applique cette formule pour mesurer la force électromotrice d'une pile, au moyen de la disposition connue sous le nom de méthode d'opposition de Poggendorf. La pile à étudier P' est placée en dérivation sur le circuit d'une pile plus puissante V et en opposition avec elle (fig. 703). On intercale un galvanomètre sur la dérivation, entre A et B ; la résistance r' est variable, et on la règle de manière à maintenir au zéro l'aiguille du galvanomètre. Le courant est alors nul dans la branche F, et on n'a qu'à appliquer la formule (b) un peu modifiée. On en déduit en effet la relation qui donne directement le rapport des deux forces électromotrices. Voici une des meilleures manières d'appliquer la méthode. On compare la pile P' à une pile P" de force électromotrice connue, en les mettant successivement en opposition avec la pile plus puissante P. Soient R1 et R2 les nouvelles valeurs des résistances qui annulent le courant dans la branche F quand on a remplacé la pile P' par la pile P"; on aura, en désignant par e0,11 la force électromotrice de la pile de comparaison P", Oit dispose l'expérience de manière que R1 + R2 = R + r"
la dérivation, entre A et B ; la résistance r' est variable, et on la règle de manière à maintenir au zéro l'aiguille du galvanomètre. Le courant est alors nul dans la branche F, et on n'a qu'à appliquer la formule (b) un peu modifiée. On en déduit en effet la relation qui donne directement le rapport des deux forces électromotrices. Voici une des meilleures manières d'appliquer la méthode. On compare la pile P' à une pile P" de force électromotrice connue, en les mettant successivement en opposition avec la pile plus puissante P. Soient R1 et R2 les nouvelles valeurs des résistances qui annulent le courant dans la branche F quand on a remplacé la pile P' par la pile P"; on aura, en désignant par e0,11 la force électromotrice de la pile de comparaison P", Oit dispose l'expérience de manière que R1 + R2 = R + r" el on a alors en divisant membre à membre On emploie un appareil nommé rhéostat à cordes (fig. 704), el dont la partie essentielle est un fil de maillechort (ou de platine) bien calibré, tendu entre deux bornes A et G. D est une petite boite en ébonite que traverse le fil, et contenant une petite tige métallique horizontale, maintenue constamment pressée contre le fil par un petit ressort; cette tige communique avec une borne fixée à la boite. Un curseur fixé à la boite peut courir le long d'une graduation en millimètres mm' parallèle au fil; un trait placé sur le curseur et tracé juste en face de la petite tige métallique indique la position de cette dernière sur le fil; le déplacement de la boite le long du fil permet de faire varier le rapport des longueurs AB et BG du fil; la graduation permet de connaître ce rapport. Le tout est fixé sur une planchette. La pile I" est attachée d'une part à A, d'autre part à une des bornes du galvanomètre G, dont la seconde borne est reliée à B; la pile P est attachée en A et C. On reconnaît la disposition de la figure
le fil, et contenant une petite tige métallique horizontale, maintenue constamment pressée contre le fil par un petit ressort; cette tige communique avec une borne fixée à la boite. Un curseur fixé à la boite peut courir le long d'une graduation en millimètres mm' parallèle au fil; un trait placé sur le curseur et tracé juste en face de la petite tige métallique indique la position de cette dernière sur le fil; le déplacement de la boite le long du fil permet de faire varier le rapport des longueurs AB et BG du fil; la graduation permet de connaître ce rapport. Le tout est fixé sur une planchette. La pile I" est attachée d'une part à A, d'autre part à une des bornes du galvanomètre G, dont la seconde borne est reliée à B; la pile P est attachée en A et C. On reconnaît la disposition de la figure 703; la partie AB du fil est la branche ACB (résistance R1) de cette figure; AP'GB est la branche F; BCPA est la branche de résistance R. On commencera par déplacer la boite B le long du fil de manière à ramener au zéro l'aiguille du galvanomètre G; on lira la longueur AB sur la graduation, soit l cette longueur; on remplacera alors la pile P' par la pile de comparaison P"; le galvanomètre va dévier; on ramènera l'aiguille au zéro en faisant varier la résistance r', c'est-à-dire en déplaçant B le long du fil; soit /0 la longueur comprise entre A et la boîte quand le courant est de nouveau annulé dans la branche F. La résistance que nous avons appelée R + r", étant celle des rhéostats de la pile P et de cette pile elle-même, augmentée de la résistance du fil AC, reste constante dans les deux cas; le fil étant bien calibré, le rapport des longueurs AB /0 est le même que celui des résistances r' et r offertes par ces longueurs; on a donc Il n'y a d'autre limite à l'exactitude de la méthode que la perfection du contact établi en B entre le fil
la longueur AB sur la graduation, soit l cette longueur; on remplacera alors la pile P' par la pile de comparaison P"; le galvanomètre va dévier; on ramènera l'aiguille au zéro en faisant varier la résistance r', c'est-à-dire en déplaçant B le long du fil; soit /0 la longueur comprise entre A et la boîte quand le courant est de nouveau annulé dans la branche F. La résistance que nous avons appelée R + r", étant celle des rhéostats de la pile P et de cette pile elle-même, augmentée de la résistance du fil AC, reste constante dans les deux cas; le fil étant bien calibré, le rapport des longueurs AB /0 est le même que celui des résistances r' et r offertes par ces longueurs; on a donc Il n'y a d'autre limite à l'exactitude de la méthode que la perfection du contact établi en B entre le fil AG et la languette métallique, l'appréciation exacte de la position de la languette et de la valeur du rapport AB /0, et la sensibilité du galvanomètre. Il faut remarquer que, puisqu'aucun courant ne passe dans la branche F, les points A et B sont au même potentiel; on ne modifiera donc rien en rompant le circuit AP'B en un point, ou, ce qui revient au même, en substituant un électromètre au galvanomètre; le réglage consistera alors à ramener en A et B l'égalité des potentiels, c'est-à-dire à ramener au zéro l'aiguille de l'électroimètre. Cette disposition présente même l'avantage très sérieux d'empêcher toute polarisation dans les piles étudiées, puisqu'elles restent constamment en circuit ouvert. Avec le galvanomètre, la pile P' est forcément parcourue par un courant pendant le réglage, ce qui suffit à produire un commencement de polarisation, et par conséquent une variation de la force électromotrice. Pont de Wheatstone. — Considérons une pile P. Établissons une dérivation ADG entre deux points A et C du circuit, et une seconde entre les points D et G des deux branches ABC et ADG (fig. 705). Nous avons ainsi un circuit complexe dont la branche BD porte le nom de pont. Le sens
donc rien en rompant le circuit AP'B en un point, ou, ce qui revient au même, en substituant un électromètre au galvanomètre; le réglage consistera alors à ramener en A et B l'égalité des potentiels, c'est-à-dire à ramener au zéro l'aiguille de l'électroimètre. Cette disposition présente même l'avantage très sérieux d'empêcher toute polarisation dans les piles étudiées, puisqu'elles restent constamment en circuit ouvert. Avec le galvanomètre, la pile P' est forcément parcourue par un courant pendant le réglage, ce qui suffit à produire un commencement de polarisation, et par conséquent une variation de la force électromotrice. Pont de Wheatstone. — Considérons une pile P. Établissons une dérivation ADG entre deux points A et C du circuit, et une seconde entre les points D et G des deux branches ABC et ADG (fig. 705). Nous avons ainsi un circuit complexe dont la branche BD porte le nom de pont. Le sens du courant dans le pont dépendra des résistances des conducteurs aboutissant à ces extrémités. Soient I, I', I", I'", j, les intensités dans les diverses branches, branches, il est indiqué dans la figure 705, et soient R, r, r", r'", ?, les résistances correspondantes. L'application des lois de Kirchhoff nous donne les Fig. 705. six équations distinctes : Nous avons supposé, pour fixer les idées, que le courant dans le pont va de B en D. Toutes les équations que pourrait fournir la considération d'autres circuits ne sont que des combinaisons des six que nous avons écrites, et qui déterminent les six intensités. Nous pouvons trouver facilement une relation entre I et j; les deux dernières équations, combinées avec les deux premières, donnent Si on porte dans la troisième équation ces valeurs de i et i' on a y est donc connu en fonction de I et de toutes les résistances autres que R. Si, dans un cas déterminé, cette équation donnait pour y une valeur négative, il faudrait en conclure que dans le pont le courant va de D en B. Mais il y a un cas intéressant à examiner, c'est celui où le courant est nul dans le
donne les Fig. 705. six équations distinctes : Nous avons supposé, pour fixer les idées, que le courant dans le pont va de B en D. Toutes les équations que pourrait fournir la considération d'autres circuits ne sont que des combinaisons des six que nous avons écrites, et qui déterminent les six intensités. Nous pouvons trouver facilement une relation entre I et j; les deux dernières équations, combinées avec les deux premières, donnent Si on porte dans la troisième équation ces valeurs de i et i' on a y est donc connu en fonction de I et de toutes les résistances autres que R. Si, dans un cas déterminé, cette équation donnait pour y une valeur négative, il faudrait en conclure que dans le pont le courant va de D en B. Mais il y a un cas intéressant à examiner, c'est celui où le courant est nul dans le pont. Pour que cela ait lieu, il faut que Le rapport des résistances de deux branches du quadrilatère ABCD ayant un point commun est égal au rapport des deux autres; on doit prendre les rapports de telle sorte que les résistances en numérateurs soient celles de deux branches contiguës. Cette disposition est due à Wheatstone. On peut l'employer pour mesurer la résistance d'un galvanomètre, ou celle d'une pile. Dans le premier cas, on placera le galvanomètre sur un des côtés du quadrilatère, par exemple, et on mettra entre A et B une résistance connue; en BC et DG on mettra deux résistances variables, dont on disposera de manière à annuler le courant dans le pont. On reconnaîtra que le résultat est atteint lorsqu'aucune modification ne sera apportée dans la déviation du galvanomètre par la rupture du circuit entre B et D; en effet, dans ce cas, l'introduction ou la suppression de BU ne modifiant pas l'intensité du courant dans IA, le pont BU doit être considéré comme n'appartenant pas au circuit, ce qui revient à dire qu'aucun courant ne le traverse. On n'a plus qu'à écrire l'équation, dans laquelle on substituera à r la résistance connue, à r le rapport
disposition est due à Wheatstone. On peut l'employer pour mesurer la résistance d'un galvanomètre, ou celle d'une pile. Dans le premier cas, on placera le galvanomètre sur un des côtés du quadrilatère, par exemple, et on mettra entre A et B une résistance connue; en BC et DG on mettra deux résistances variables, dont on disposera de manière à annuler le courant dans le pont. On reconnaîtra que le résultat est atteint lorsqu'aucune modification ne sera apportée dans la déviation du galvanomètre par la rupture du circuit entre B et D; en effet, dans ce cas, l'introduction ou la suppression de BU ne modifiant pas l'intensité du courant dans IA, le pont BU doit être considéré comme n'appartenant pas au circuit, ce qui revient à dire qu'aucun courant ne le traverse. On n'a plus qu'à écrire l'équation, dans laquelle on substituera à r la résistance connue, à r le rapport des deux résistances variables; il n'y a plus d'inconnue que la résistance r du galvanomètre. (A suivre.) P. LUGOL, Professeur agrégé au Lycée de Pau. NOTIONS SUR L'HISTOIRE DE L'ASTRONOMIE {Suite.} 24. — Jean Kepler (Keppler) est né le 27 décembre 1571 à Weil, dans le Wurtemberg, de parents nobles, mais pauvres, et il eut lui-même toujours à lutter avec les difficultés de la vie matérielle. Après avoir fait ses études grâce à des protecteurs séduits par la vivacité de son intelligence, il fut nommé, en 1593, professeur de mathématiques et de morale à Grastz, en Styrie. Son maître Moeslin l'ayant engagé à cultiver l'Astronomie, et Tycho Brahé à faire beaucoup d'observations astronomiques, il suivit leurs conseils, et alla à Prague où il obtint le titre, presque honorifique, de mathématicien impérial. En 1613, il accepta à Linz une chaire de mathématiques, qu'il conserva jusqu'à l'époque où il devint, en 1629, astronome, ou mieux astrologue de Wallenstein, duc de Mecklenbourg. Mais il ne tarda pas à perdre cette situation; peu après, il fut obligé d'aller à la diète de Ratisbonne pour solliciter le paiement des arrérages de sa pension, et il mourut dans cette ville, le 15 novembre 1630, par suite