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Dirichlet \(KA(0, f) = KA(A, f) = 0.\) Fixons \(t\in]0, A[;\) la fonction est harmonique (sans singularité!), séparément en \(s, t\in[t0, A],\) On en déduit trivialement l'identité : Convenablement interprétées, ces formules traduisent la propriété de Markov du pont brownien. En dimension \(p \geq 2,\) la solution élémentaire du laplacien sur \(\mathbb{R}^p\) présente une singularité qui rend la construction d'un processus gaussien associé impossible. Cela étant, la distance Note présentée par Jean-Pierre KAHANE. 0249-6291/87/03050693 € 2.00 © Académie des Sciences 694 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 693-696, 1987 euclidienne \(||x-y, x, y\in\mathbb{R}^3,\) est, pour \(p\) pair et impair, une solution fondamentale du laplacien itéré \((p+1)/2\)-fois (noté \(A(p+1)/2\)). Une extension au cadre des espaces euclidiens, \(p=3\) et impair, semble donc, a priori, possible; c'est l'objet de la présente Note. Pour simplifier, nous ne traitons que le cas \(p = 3;\) cependant la même méthode conduit vers des résultats semblables dans le cas général. 2. LES RÉSULTATS. — Désignons par \(G_{2}(x, y)\) la fonction de Green du bilaplacien \(A^2,\) pour le problème de Lauricella (voir [7]) sur le demi-espace \(H^+, = \mathbb{R}^2 \times ]t, + \infty[,\) \(t > 0,\) c'est-à-dire la solution fondamentale de \(A^2\) vérifiant l'identité le vecteur unitaire \(n\) désignant la normale (intérieure) de \(H^+\) au point \(x\in H^+\). L'écriture explicite de cette fonction est connue. Elle s'obtient aisément à partir de la fonction de Green pour la boule euclidienne (voir [7] pour cela). Ainsi on a : Une application de la formule de Green permet d'obtenir : LEMME. — Pour tout choix \(x_1, \ldots, x_n\in H^+,\) \(x_i \neq x_j\) pour \(i \neq j,\) la forme quadratique \(Y^X_i X_j G_2(x_i, x_j), X_i, \ldots, X_n\in H^0,\) est définie positive. Ainsi \(G_2(x, y), x, y\in H^+,\) est une fonction de covariance. Désignons par \(V(x), V(x)=0\) pour \(x\in H^+,\) le processus gaussien associé. De notre point de vue le processus \(V(x)\) est une extension plus naturelle du mouvement brownien \(B(s), s\in\mathbb{R}^+,\) que celle donnée par P. Lévy; on trouvera dans [5] et [6] un exposé exhaustif (par P. Lévy lui-même) concernant le mouvement brownien à plusieurs paramètres, on
le vecteur unitaire \(n\) désignant la normale (intérieure) de \(H^+\) au point \(x\in H^+\). L'écriture explicite de cette fonction est connue. Elle s'obtient aisément à partir de la fonction de Green pour la boule euclidienne (voir [7] pour cela). Ainsi on a : Une application de la formule de Green permet d'obtenir : LEMME. — Pour tout choix \(x_1, \ldots, x_n\in H^+,\) \(x_i \neq x_j\) pour \(i \neq j,\) la forme quadratique \(Y^X_i X_j G_2(x_i, x_j), X_i, \ldots, X_n\in H^0,\) est définie positive. Ainsi \(G_2(x, y), x, y\in H^+,\) est une fonction de covariance. Désignons par \(V(x), V(x)=0\) pour \(x\in H^+,\) le processus gaussien associé. De notre point de vue le processus \(V(x)\) est une extension plus naturelle du mouvement brownien \(B(s), s\in\mathbb{R}^+,\) que celle donnée par P. Lévy; on trouvera dans [5] et [6] un exposé exhaustif (par P. Lévy lui-même) concernant le mouvement brownien à plusieurs paramètres, on pourra consulter [1], [2], [3] et [8] pour un aperçu de résultats plus récents. En fait, nous allons montrer que ces deux processus sont très proches l'un de l'autre. Rappelons auparavant que le mouvement brownien de P. Lévy \(B_p(x), x\in\mathbb{R}^p,\) \(p \geq 2,\) est défini par : On voit en particulier que la solution élémentaire \(H(x, y) = ||x-y||\) de l'opérateur \(A(p+1)/2\) intervient explicitement dans l'écriture de la covariance. Cette propriété (remarquée par H. P. McKean [4]) n'a jamais été, jusqu'à présent, véritablement exploitée. La liaison entre ces deux processus est décrite par l'énoncé suivant : THÉORÈME 1. (Principe de réflexion). — Considérons quatre processus gaussiens indépendants : \(B_3(x), X\in H^0;\) \(Z(X), V(X), V'(X), X\in H^0,\) définis par : (a) \(B_3 (x), x \in H^0,\) est la restriction au plan \(H^0\) d'un mouvement brownien indexé sur \(\mathbb{R}^3;\) (b) \(V(x), V'(x), X\in H^0,\) sont deux processus identiquement distribués de covariance \(G_0(x, y), x, y\in H^0;\) (c) \(Z(x), x\in H^0,\) a pour fonction de covariance : C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 693-696, 1987 695 où est le noyau de Cauchy du demi-espace \(H^0.\) Notons finalement : et posons : Alors le processus \(B_3(x), x\in\mathbb{R}^3,\) est un mouvement
particulier que la solution élémentaire \(H(x, y) = ||x-y||\) de l'opérateur \(A(p+1)/2\) intervient explicitement dans l'écriture de la covariance. Cette propriété (remarquée par H. P. McKean [4]) n'a jamais été, jusqu'à présent, véritablement exploitée. La liaison entre ces deux processus est décrite par l'énoncé suivant : THÉORÈME 1. (Principe de réflexion). — Considérons quatre processus gaussiens indépendants : \(B_3(x), X\in H^0;\) \(Z(X), V(X), V'(X), X\in H^0,\) définis par : (a) \(B_3 (x), x \in H^0,\) est la restriction au plan \(H^0\) d'un mouvement brownien indexé sur \(\mathbb{R}^3;\) (b) \(V(x), V'(x), X\in H^0,\) sont deux processus identiquement distribués de covariance \(G_0(x, y), x, y\in H^0;\) (c) \(Z(x), x\in H^0,\) a pour fonction de covariance : C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 693-696, 1987 695 où est le noyau de Cauchy du demi-espace \(H^0.\) Notons finalement : et posons : Alors le processus \(B_3(x), x\in\mathbb{R}^3,\) est un mouvement brownien de P. Lévy indexé sur \(\mathbb{R}^3.\) Indiquons quelques conséquences intéressantes de ce théorème. À cet effet, désignons par \(L(H^+), L(H^-),\) les sous-espaces vectoriels fermés de \(L^2\) engendrés respectivement par les familles de variables aléatoires \((B_3 (x); x\in H^0),\) et On obtient : THÉORÈME 2. — (a) Les trajectoires du processus \(Z(x), x\in H^0,\) sont presque sûrement des fonctions harmoniques, celles du processus \(Y (x), x\in H^0,\) sont biharmoniques. (b) Le point \(x = (u, x_1)\in H^0\) étant fixé, la variable aléatoire \(Y (x) - x_1 Z(u, x_1)\) appartient à \(L(H^+)\cap L(H^-)\) et coïncide avec la projection de \(B_3'(x)\) sur le sous-espace \(L(H^-).\) Symétriquement, \(Y (u, - x_1) + x_1 Z(u, - x_1)\in L(H^+)\cap L(H^-)\) est la projection de \(B_3(x), x=(u, x_1)\in H^0,\) sur \(L(H^+).\) (c) Conditionnellement à \(L(H^+)\cap L(H^-),\) les processus \(B_3(x), X\in H^0,\) et \(B_3'(y), y\in H^0,\) sont indépendants. (d) La distance du vecteur \(B_3(x), x\in H^0,\) au sous-espace \(L(H^-)\) vaut exactement : \(d(B_3(x), L(H^-)) = \int G_0(x, x) = \int x.\) Remarque. On pourra comparer l'évaluation du point (d) aux estimations obtenues en [1]. Terminons en signalant que de nombreuses questions restent ouvertes. Des formules analogues à (M) peuvent être facilement obtenues; il serait intéressant de savoir
processus \(Z(x), x\in H^0,\) sont presque sûrement des fonctions harmoniques, celles du processus \(Y (x), x\in H^0,\) sont biharmoniques. (b) Le point \(x = (u, x_1)\in H^0\) étant fixé, la variable aléatoire \(Y (x) - x_1 Z(u, x_1)\) appartient à \(L(H^+)\cap L(H^-)\) et coïncide avec la projection de \(B_3'(x)\) sur le sous-espace \(L(H^-).\) Symétriquement, \(Y (u, - x_1) + x_1 Z(u, - x_1)\in L(H^+)\cap L(H^-)\) est la projection de \(B_3(x), x=(u, x_1)\in H^0,\) sur \(L(H^+).\) (c) Conditionnellement à \(L(H^+)\cap L(H^-),\) les processus \(B_3(x), X\in H^0,\) et \(B_3'(y), y\in H^0,\) sont indépendants. (d) La distance du vecteur \(B_3(x), x\in H^0,\) au sous-espace \(L(H^-)\) vaut exactement : \(d(B_3(x), L(H^-)) = \int G_0(x, x) = \int x.\) Remarque. On pourra comparer l'évaluation du point (d) aux estimations obtenues en [1]. Terminons en signalant que de nombreuses questions restent ouvertes. Des formules analogues à (M) peuvent être facilement obtenues; il serait intéressant de savoir si elles permettent d'accéder aux probabilités de visites du processus \(V(x). On pourrait également envisager de faire appel au principe de réflexion pour établir plus « naturellement » le résultat suivant (démontré par une technique très élaborée en [2]) : THÉORÈME 3. — Pour tout p^2, il existe deux constantes a(p)>0, b(p)>0, telles que Vnn nit • pour tout 8, 0<8<1. Note reçue le 21 septembre 1987. 696 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 693-696, 1987 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A. GOLDMAN, C.R. Acad. Sci. Paris, 300, série I, 1985, p. 643-645. [2] A. GOLDMAN, The distribution of the absolute maximum for a Levy's p-parameters Brownian motion restricted to a small cylinder, proposé pour publication. [3] J.-P. KAHANE, Récent progress in Fourier analysis, I. PERAL et J. L. RUBIN DE FRANCIA éd., North Holland, 1985, p. 65-121. [4] H. P. MCKEAN, Th. Prob. Appl. VIII, 4, 1963, p. 335-354. [5] P. LEVY, Rendiconti di Mat., 22, 1962, p. 24-101. [6] P. LEVY, Festschrift for J. Neymann, London, Wiley and Sons, 1966, p. 189-223. [7] M. NICOLESCO, Les fonctions polyharmoniques, 1936, Hermann. [8] F. TESTARD, Publ. Lab. Stat. Prob. Univ. P.-Sabatier, Toulouse, 01, 1986, p. 1-45. Laboratoire d'Analyse
a(p)>0, b(p)>0, telles que Vnn nit • pour tout 8, 0<8<1. Note reçue le 21 septembre 1987. 696 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 693-696, 1987 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A. GOLDMAN, C.R. Acad. Sci. Paris, 300, série I, 1985, p. 643-645. [2] A. GOLDMAN, The distribution of the absolute maximum for a Levy's p-parameters Brownian motion restricted to a small cylinder, proposé pour publication. [3] J.-P. KAHANE, Récent progress in Fourier analysis, I. PERAL et J. L. RUBIN DE FRANCIA éd., North Holland, 1985, p. 65-121. [4] H. P. MCKEAN, Th. Prob. Appl. VIII, 4, 1963, p. 335-354. [5] P. LEVY, Rendiconti di Mat., 22, 1962, p. 24-101. [6] P. LEVY, Festschrift for J. Neymann, London, Wiley and Sons, 1966, p. 189-223. [7] M. NICOLESCO, Les fonctions polyharmoniques, 1936, Hermann. [8] F. TESTARD, Publ. Lab. Stat. Prob. Univ. P.-Sabatier, Toulouse, 01, 1986, p. 1-45. Laboratoire d'Analyse fonctionnelle et Probabilités, Université Claude-Bernard Lyon-I, Institut de Mathématiques et d'informatique, 43, boulevard du 11-Novembre-1918, 69622 Villeurbanne Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 697-700, 1987 697 Analyse numérique/A/wmerica/ Analysis Approximation par éléments finis d’écoulements progressivement incompressibles Patrick LE TALLEC et Michel RAVACHOL Résumé — Pour éviter tout blocage numérique dans l'approximation des problèmes d’écoulements viscoélastiques de type Maxwell, nous en introduisons une approximation par éléments finis mixtes à trois champs. Cette approximation qui fait intervenir vitesses, contraintes et pressions converge pour tout l’intervalle de temps [0, oo]. Finite element approximation of progressively incompressible flows Abstract — To avoid any numerical locking in the finite element approximation of viscoelastic flow problems, we propose a three-field finite element approximation of this problem. This approximation, which involves velocities, stresses, and pressures is proved to converge for all times. 1. INTRODUCTION. — En viscoélasticité, de type Maxwell linéaire par exemple, de nombreux écoulements sont initialement compressibles et instationnaires et deviennent progressivement stationnaires et incompressibles. De plus, contrairement à la mécanique des fluides classique, les termes d'évolution ne portent pas sur les vitesses mais sur les contraintes. De tels problèmes sont bien posés (cf. [1]) mais leur approximation par éléments
éviter tout blocage numérique dans l'approximation des problèmes d’écoulements viscoélastiques de type Maxwell, nous en introduisons une approximation par éléments finis mixtes à trois champs. Cette approximation qui fait intervenir vitesses, contraintes et pressions converge pour tout l’intervalle de temps [0, oo]. Finite element approximation of progressively incompressible flows Abstract — To avoid any numerical locking in the finite element approximation of viscoelastic flow problems, we propose a three-field finite element approximation of this problem. This approximation, which involves velocities, stresses, and pressures is proved to converge for all times. 1. INTRODUCTION. — En viscoélasticité, de type Maxwell linéaire par exemple, de nombreux écoulements sont initialement compressibles et instationnaires et deviennent progressivement stationnaires et incompressibles. De plus, contrairement à la mécanique des fluides classique, les termes d'évolution ne portent pas sur les vitesses mais sur les contraintes. De tels problèmes sont bien posés (cf. [1]) mais leur approximation par éléments finis dégénère au bout d'un certain temps : il y a blocage numérique. La stratégie que nous proposons pour éviter un tel blocage approche séparément vitesses, contraintes, et pressions par des éléments finis mixtes. On montre alors que l’approximation ainsi obtenue reste précise sur tout l'intervalle de temps et ne dégénère pas à la limite incompressible. 2. LOIS DE COMPORTEMENT. — Dans notre étude, nous considérons des matériaux viscoélastiques de Maxwell, éventuellement non linéaires. Pour une température donnée, la théorie des matériaux standard généralisés [2] écrit les lois de comportement des matériaux de Maxwell sous la forme : (2.1) A-1σ + σσ=0, (2.2) σσ=σσ, le potentiel de dissipation mécanique S étant donné par (2.3) S = S(P) si TrP= 0, ( +∞ sinon. Ci-dessus, σ désigne le tenseur des déformations linéarisé, σp le tenseur des déformations plastiques, A le tenseur d'élasticité linéaire, qui est supposé symétrique et défini positif, et φ une fonction convexe positive donnée. Rappelons que, par construction, le sous-gradient de S est donné par [5] : ∂S/∂σp = {aeΣ3×M3,3pσpΣ avec (G+pl)σp(φ(σp)} si Tr(σp)=0, = 0 sinon. 3. LE PROBLÈME CONTINU. — Nous considérons maintenant un milieu continu, constitué d'un des matériaux viscoélastiques décrits au paragraphe 2, qui
dégénère pas à la limite incompressible. 2. LOIS DE COMPORTEMENT. — Dans notre étude, nous considérons des matériaux viscoélastiques de Maxwell, éventuellement non linéaires. Pour une température donnée, la théorie des matériaux standard généralisés [2] écrit les lois de comportement des matériaux de Maxwell sous la forme : (2.1) A-1σ + σσ=0, (2.2) σσ=σσ, le potentiel de dissipation mécanique S étant donné par (2.3) S = S(P) si TrP= 0, ( +∞ sinon. Ci-dessus, σ désigne le tenseur des déformations linéarisé, σp le tenseur des déformations plastiques, A le tenseur d'élasticité linéaire, qui est supposé symétrique et défini positif, et φ une fonction convexe positive donnée. Rappelons que, par construction, le sous-gradient de S est donné par [5] : ∂S/∂σp = {aeΣ3×M3,3pσpΣ avec (G+pl)σp(φ(σp)} si Tr(σp)=0, = 0 sinon. 3. LE PROBLÈME CONTINU. — Nous considérons maintenant un milieu continu, constitué d'un des matériaux viscoélastiques décrits au paragraphe 2, qui occupe un domaine S(x, t) = (N = 2 ou 3) en configuration de référence, qui est fixé sur une partie r de la frontière T de S, et qui est soumis à des forces de volume f et à des forces de traction g s'exerçant sur r2 = r — r1. Le problème consiste à déterminer l'histoire v(. , t) et σ(. , t) des vitesses et des contraintes de Cauchy dans le corps. Négligeant les effets d'inertie qui sont en général très faibles dans ce type de problème, supposant que déformations et déplacements restent petits au cours du temps et que le champ de températures est connu, les équations qui gouvernent ce problème sont les équations d'équilibre et les lois de comportement (2.1)-(2.2). Écrites sous forme faible, ces équations sont (3.4) CT(X, t) donné. Ci-dessus, s(v), V et E sont définis respectivement par : Il est facile d'observer [1] que ces équations se réduisent à un problème parabolique en contraintes, bien posé et du premier ordre par rapport au temps. Le champ de contraintes convergera donc en général vers un état stationnaire (CT = 0) OÙ, d'après la loi de comportement (2.2), nous aurons: div t; = Tr
— r1. Le problème consiste à déterminer l'histoire v(. , t) et σ(. , t) des vitesses et des contraintes de Cauchy dans le corps. Négligeant les effets d'inertie qui sont en général très faibles dans ce type de problème, supposant que déformations et déplacements restent petits au cours du temps et que le champ de températures est connu, les équations qui gouvernent ce problème sont les équations d'équilibre et les lois de comportement (2.1)-(2.2). Écrites sous forme faible, ces équations sont (3.4) CT(X, t) donné. Ci-dessus, s(v), V et E sont définis respectivement par : Il est facile d'observer [1] que ces équations se réduisent à un problème parabolique en contraintes, bien posé et du premier ordre par rapport au temps. Le champ de contraintes convergera donc en général vers un état stationnaire (CT = 0) OÙ, d'après la loi de comportement (2.2), nous aurons: div t; = Tr σ = 0. Autrement dit, le champ de vitesses tend vers un champ stationnaire incompressible. 4. APPROXIMATION SPATIALE. —4.1 Position du problème. — L'approximation naturelle du système variationnel (3.1)-(3.4) consiste à remplacer les espaces E et V par des espaces d'éléments finis T,h et Vh,. Malheureusement, pour h donné, une telle approximation n'est précise que sur un intervalle de temps [0, t (h)], avec t (h) éventuellement très petit. En effet, nous avons vu que quand t est grand, les solutions v et vh tendent vers des états stationnaires à divergence nulle. En fait, ces états stationnaires sont les solutions continue et discrète d'un problème de Stokes non linéaire. Or, il est très souvent impossible d'approcher un champ à divergence nulle de l'espace V, en l'occipant v (∞), par un champ à divergence nulle appartenant à l'espace d'éléments finis Vh. En conséquence, l'erreur v — vh croît sans contrôle avec le temps : il y a blocage numérique. Pour contrôler l'erreur v — vh sur tout l'intervalle de temps, il faut changer de technique d'approximation. Ici, nous allons employer les techniques utilisées pour l'approximation du problème de Stokes. 4.2. Approximation par éléments finis mixtes à 3 champs. — En plus
telle approximation n'est précise que sur un intervalle de temps [0, t (h)], avec t (h) éventuellement très petit. En effet, nous avons vu que quand t est grand, les solutions v et vh tendent vers des états stationnaires à divergence nulle. En fait, ces états stationnaires sont les solutions continue et discrète d'un problème de Stokes non linéaire. Or, il est très souvent impossible d'approcher un champ à divergence nulle de l'espace V, en l'occipant v (∞), par un champ à divergence nulle appartenant à l'espace d'éléments finis Vh. En conséquence, l'erreur v — vh croît sans contrôle avec le temps : il y a blocage numérique. Pour contrôler l'erreur v — vh sur tout l'intervalle de temps, il faut changer de technique d'approximation. Ici, nous allons employer les techniques utilisées pour l'approximation du problème de Stokes. 4.2. Approximation par éléments finis mixtes à 3 champs. — En plus des approximations par éléments finis Yh et Hh de V et X, nous allons introduire un espace de pressions « discret » Ph=L2(Ω). Par exemple, dans le cadre d'une triangulation régulière Ω = UQ, de Q, on peut prendre : C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 697-700, 1987 699 * DEGRÉS de LIBERTÉ VITESSES de DEGRÉS de LIBERTÉ CONTRAINTES n DEGRÉS DE LIBERTÉ PRESSIONS Exemple d'éléments finis à trois champs. Example of three field finite elements. où les Qj sont les 4 triangles (respectivement 8 tétraèdres si N = 3) inclus dans Ω, qui sont obtenus en joignant entre eux les milieux des arêtes de φ. Définissons maintenant (4.1) et remplaçons le potentiel de dissipation 3i1 par la fonction 2h définie par Autrement dit, nous remplaçons la condition d'incompressibilité plastique qui apparaît dans la définition de 2i1 par une condition d'incompressibilité faible. Dès lors, la formulation discrète du système variationnel (3.1)-(3.4) devient (4.6) csh (x, 0) = L2 projection de a(x, 0) sur 2,h. Remarque 4.1. — Si tp est differentiable, l'équation (4.5) peut s'écrire sous la forme variationnelle (de type Stokes) 700 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 697-700, 1987 5.
697-700, 1987 699 * DEGRÉS de LIBERTÉ VITESSES de DEGRÉS de LIBERTÉ CONTRAINTES n DEGRÉS DE LIBERTÉ PRESSIONS Exemple d'éléments finis à trois champs. Example of three field finite elements. où les Qj sont les 4 triangles (respectivement 8 tétraèdres si N = 3) inclus dans Ω, qui sont obtenus en joignant entre eux les milieux des arêtes de φ. Définissons maintenant (4.1) et remplaçons le potentiel de dissipation 3i1 par la fonction 2h définie par Autrement dit, nous remplaçons la condition d'incompressibilité plastique qui apparaît dans la définition de 2i1 par une condition d'incompressibilité faible. Dès lors, la formulation discrète du système variationnel (3.1)-(3.4) devient (4.6) csh (x, 0) = L2 projection de a(x, 0) sur 2,h. Remarque 4.1. — Si tp est differentiable, l'équation (4.5) peut s'écrire sous la forme variationnelle (de type Stokes) 700 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 697-700, 1987 5. RÉSULTATS DE CONVERGENCE. — Désignant par a et C diverses constantes positives, par nL la projection sur 2.h au sens L 2, nous allons supposer : (H 1) les coefficients du tenseur d'élasticité A et de son inverse A-1 sont bornés sur Ω; (H 2) le potentiel de dissipation convexe cp est differentiable sur L2(Ω, ℝN), son gradient étant localement Lipschitz continu et vérifiant : (H 3) l'opérateur A envoie Eh sur lui-même et la quantité : AIIL e (wh). e (w,) définit Jn une norme sur Yh uniformément équivalente en h à la norme H 1; (H 4) les espaces Yh, £,h, et Vh vérifient : La première hypothèse est toujours vérifiée en pratique; la seconde est satisfaite pour les matériaux de Maxwell linéaires hétérogènes, pour les fluides de Carreau et pour les matériaux de Bingham généralisés; la troisième requiert la convergence de la règle d'intégration numérique qui utilise les points de Gauss de 2.h pour intégrer l'opérateur d'élasticité sur Yh; enfin l'hypothèse H 4 correspond à la condition inf-sup rencontrée de manière classique dans l'approximation mixte des problèmes de Stokes [3]. Sous ces 4 hypothèses, on peut démontrer [4] : THÉORÈME 5.1. — Sous les hypothèses H1 à