jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
la détermination des primes pures en mettant en évidence l'intérêt qu'il y a à travailler sur de très grands nombres de cas. Pour résoudre le problème des primes pures, la compagnie doit d'abord déterminer la probabilité théorique d'arrivée de l'événement, ensuite se demander si elle peut admettre que la fréquence future des sinistres, parmi ses assurés, toutes choses égales d'ailleurs, se rapprochera de cette probabilité. En supposant ces accidents dus au hasard, nous les assimilerons à des tirages dans une urne de composition inconnue, contenant des boules marquées « accident » dans une certaine proportion. La compagnie devra d'abord faire une série de tirages qui déterminera une fréquence de sortie des boules « accident », donnant une valeur approchée de la composition vraie de l'urne. Cela correspond à l'étude des statistiques. Ensuite, la compagnie étudiera si, faisant dans cette urne de composition maintenant connue, une série de tirages de nombre égal à celui de ses assurés, elle a des chances que la fréquence de sortie des boules « accident » se rapproche de la probabilité théorique. Elle calculera, en somme, la précision de sa prévision brute. Cette précision sera d'autant meilleure que nous travaillerons sur de plus grandes séries de nombres. Considérons d'abord la fréquence théorique : nous nous sommes servis pour la calculer des statistiques des 10 dernières années portant sur 1.000 observations annuelles; les résultats oscillent entre 25 et 35, moyenne 30, qui pourra différer de la fréquence théorique, que nous cherchons d'une quantité de l'ordre de grandeur de l'écart-type, soit 2/1.000. Cette fréquence sera donc comprise entre 28 et 32. Par mesure de précaution, pour ne pas voir les années suivantes la moyenne des sinistres dépasser ses prévisions, la compagnie calculera ses primes pures sur la limite supérieure qui a très peu de chances d'être dépassée. Cela donnera une prime pure de 16 $. Si nous disposons de moyennes calculées sur 100.000 cas, l'écart-type sera 10 fois plus petit, soit 0,2 pour 1.000. Le maximum à craindre sera réduit à 30,2 pour 1.000 et la prime pure pourra être ramenée à 15 # 10. La précision de
nombres. Considérons d'abord la fréquence théorique : nous nous sommes servis pour la calculer des statistiques des 10 dernières années portant sur 1.000 observations annuelles; les résultats oscillent entre 25 et 35, moyenne 30, qui pourra différer de la fréquence théorique, que nous cherchons d'une quantité de l'ordre de grandeur de l'écart-type, soit 2/1.000. Cette fréquence sera donc comprise entre 28 et 32. Par mesure de précaution, pour ne pas voir les années suivantes la moyenne des sinistres dépasser ses prévisions, la compagnie calculera ses primes pures sur la limite supérieure qui a très peu de chances d'être dépassée. Cela donnera une prime pure de 16 $. Si nous disposons de moyennes calculées sur 100.000 cas, l'écart-type sera 10 fois plus petit, soit 0,2 pour 1.000. Le maximum à craindre sera réduit à 30,2 pour 1.000 et la prime pure pourra être ramenée à 15 # 10. La précision de la détermination des moyennes théoriques peut être particulièrement satisfaisante dans le cas des assurances sur la vie. Les compagnies disposent, en effet, de matériaux considérables pour élaborer leurs statistiques, l'événement contre lequel elles assurent étant bien le plus universel. Au contraire, une compagnie qui veut assurer contre des événements peu fréquents, ne dispose d'aucune base sûre et devra majorer ses primes en conséquence. Cette nécessité de travailler sur un grand nombre d'observations a conduit les compagnies françaises d'assurances sur la vie à mettre en commun leurs statistiques pour construire les « tables de survie » nécessaires à la détermination des primes pures. En second lieu, il y aura avantage, pour la compagnie, à posséder le plus grand nombre possible d'assurés, pour être sûre que, chez elle, la moyenne observée des événements se rapprochera de la moyenne théorique. La différence entre ces deux moyennes sera de l'ordre de l'écart-type, qui diminue quand le nombre d'épreuves augmente. Avec seulement un petit nombre d'assurés, la compagnie pourra craindre une série dépassant nettement la théorie, qui la mettrait en déficit dès le début de son existence. Avec un grand nombre d'assurés, une telle éventualité ne sera plus à craindre. De là encore un des
fréquents, ne dispose d'aucune base sûre et devra majorer ses primes en conséquence. Cette nécessité de travailler sur un grand nombre d'observations a conduit les compagnies françaises d'assurances sur la vie à mettre en commun leurs statistiques pour construire les « tables de survie » nécessaires à la détermination des primes pures. En second lieu, il y aura avantage, pour la compagnie, à posséder le plus grand nombre possible d'assurés, pour être sûre que, chez elle, la moyenne observée des événements se rapprochera de la moyenne théorique. La différence entre ces deux moyennes sera de l'ordre de l'écart-type, qui diminue quand le nombre d'épreuves augmente. Avec seulement un petit nombre d'assurés, la compagnie pourra craindre une série dépassant nettement la théorie, qui la mettrait en déficit dès le début de son existence. Avec un grand nombre d'assurés, une telle éventualité ne sera plus à craindre. De là encore un des éléments de la supériorité des assurances sur la vie. On pourrait voir d'une façon analogue qu'une compagnie a plus d'intérêt à avoir un grand nombre de petites assurances qu'un petit nombre de grosses affaires, le chiffre d'affaire étant le même dans les deux cas : c'est le principe bien connu de la division des risques. Par exemple, une compagnie d'assurances maritimes refusera en général de prendre pour elle seule l'assurance d'un très gros paquebot dont l'incendie fausserait complètement les résultats financiers de l'année où il se produirait : une telle assurance est le plus souvent répartie entre plusieurs compagnies. Applications aux problèmes économiques 1°) La continuité de la demande sociale en fonction du prix chez A. Cournot. Auguste COURNOT fut probablement le premier économiste qui essaya d'appliquer la loi des grands nombres à des problèmes sociaux. Avant d'aborder les études économiques, il avait acquis une forte culture mathématique : ancien élève de l'École normale supérieure, section des sciences, ses premières publications ont trait à la théorie mathématique des fonctions et à la théorie des chances. Il essaya ensuite d'introduire l'usage des mathématiques dans les études économiques. En 1838 paraissent ses « Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des
de la division des risques. Par exemple, une compagnie d'assurances maritimes refusera en général de prendre pour elle seule l'assurance d'un très gros paquebot dont l'incendie fausserait complètement les résultats financiers de l'année où il se produirait : une telle assurance est le plus souvent répartie entre plusieurs compagnies. Applications aux problèmes économiques 1°) La continuité de la demande sociale en fonction du prix chez A. Cournot. Auguste COURNOT fut probablement le premier économiste qui essaya d'appliquer la loi des grands nombres à des problèmes sociaux. Avant d'aborder les études économiques, il avait acquis une forte culture mathématique : ancien élève de l'École normale supérieure, section des sciences, ses premières publications ont trait à la théorie mathématique des fonctions et à la théorie des chances. Il essaya ensuite d'introduire l'usage des mathématiques dans les études économiques. En 1838 paraissent ses « Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses ». Dans cet ouvrage, il utilise d'abord les mathématiques comme un langage, le langage par excellence de tout travail scientifique (sans grand succès auprès du public d'ailleurs). Il essaie ensuite d'introduire dans l'étude du mécanisme économique la notion de fonction dont les mathématiques font un si grand usage et qu'il a précédemment étudiée. Enfin, à propos du problème des prix, il signale une application de la théorie des chances et de la loi des grands nombres. C'est cette question que nous étudierons, nous arrêtant particulièrement aux critiques que l'argumentation de COURNOT a pu soulever. L'ARGUMENTATION DE COURNOT. La partie de son œuvre à laquelle COURNOT tenait le plus, est probablement sa théorie des prix. Elle constitue un notable progrès sur les théories du début du XIXe siècle, en particulier, en ce qui concerne les prix de monopole. Une première originalité de COURNOT réside dans l'introduction de la notion de fonction dans l'étude des rapports de la demande et des prix. La demande d'un produit est fonction de son prix: à un moment donné, à chaque prix correspond dans l'esprit de chaque individu une Fig. 6 certaine quantité du produit qu'il voudra et pourra acheter. En général, la demande croît
qu'il a précédemment étudiée. Enfin, à propos du problème des prix, il signale une application de la théorie des chances et de la loi des grands nombres. C'est cette question que nous étudierons, nous arrêtant particulièrement aux critiques que l'argumentation de COURNOT a pu soulever. L'ARGUMENTATION DE COURNOT. La partie de son œuvre à laquelle COURNOT tenait le plus, est probablement sa théorie des prix. Elle constitue un notable progrès sur les théories du début du XIXe siècle, en particulier, en ce qui concerne les prix de monopole. Une première originalité de COURNOT réside dans l'introduction de la notion de fonction dans l'étude des rapports de la demande et des prix. La demande d'un produit est fonction de son prix: à un moment donné, à chaque prix correspond dans l'esprit de chaque individu une Fig. 6 certaine quantité du produit qu'il voudra et pourra acheter. En général, la demande croît quand le prix baisse. Cette fonction D = F (p) est représentée par la courbe de demande individuelle du produit à l'instant considéré. Elle variera d'un moment à l'autre pour une multitude de raisons : c'est pourquoi il nous est impossible de la déterminer par l'observation et de lui donner une forme numérique. En effet, les résultats obtenus D1, D2, D3, correspondant à des prix p1, p2, p3, n'appartiennent pas à la même courbe, celle du temps t1, mais à différentes courbes, celles des temps t1, t2, t3. La représentation graphique de ces résultats dans un système d'axes ODpt donne une surface S (Dpt) = 0 sur laquelle se répartissent les points A de coordonnées Dpt. La courbe de demande à un moment t1 sera la section de la surface S par un plan parallèle à ODp et coupant l'axe des temps au point t1. Cela donnera la courbe D1 = F1 (p). On aurait de même aux temps t2 et t3 des courbes D2 et D3. Nos trois points A1, A2, A3, de coordonnées (D1, p1, t1) (D2, p2, t2) et (D3, p3, t3) seront : le premier sur la courbe t1, le deuxième sur la courbe t2 etc.
une forme numérique. En effet, les résultats obtenus D1, D2, D3, correspondant à des prix p1, p2, p3, n'appartiennent pas à la même courbe, celle du temps t1, mais à différentes courbes, celles des temps t1, t2, t3. La représentation graphique de ces résultats dans un système d'axes ODpt donne une surface S (Dpt) = 0 sur laquelle se répartissent les points A de coordonnées Dpt. La courbe de demande à un moment t1 sera la section de la surface S par un plan parallèle à ODp et coupant l'axe des temps au point t1. Cela donnera la courbe D1 = F1 (p). On aurait de même aux temps t2 et t3 des courbes D2 et D3. Nos trois points A1, A2, A3, de coordonnées (D1, p1, t1) (D2, p2, t2) et (D3, p3, t3) seront : le premier sur la courbe t1, le deuxième sur la courbe t2 etc. Leur ensemble dessinera une courbe gauche d'équations : D = G1 (p) et S (Dpt) = 0. Nous pouvons déterminer par l'observation la projection de cette courbe gauche sur un des plans de référence, mais la projection sur le plan Dp (soit G1) ne donnera une courbe identique à D1 que si la surface S est un cylindre parallèle à l'axe des t, c'est-à-dire si l'on suppose que les courbes D1, D2, D3, ne se modifient pas dans le temps — ce que nous n'avons pas le droit de supposer. Nous ne pouvons pas déterminer une forme algébrique de D = F (p) qui nous permettrait de faire des applications numériques, mais les mathématiques nous donnent de nombreux exemples de fonctions de ce genre, pour lesquelles nous devons nous contenter de déterminer un certain nombre de propriétés générales. Une des premières questions que l'on se pose est d'habitude de savoir si la courbe est continue. COURNOT va étudier le problème de la continuité de la courbe de la demande en fonction du prix; c'est là qu'il va faire intervenir la loi des grands nombres. La continuité de la courbe de la demande. Demandes individuelle et sociale. Jusqu'à présent, nous n'avons
que si la surface S est un cylindre parallèle à l'axe des t, c'est-à-dire si l'on suppose que les courbes D1, D2, D3, ne se modifient pas dans le temps — ce que nous n'avons pas le droit de supposer. Nous ne pouvons pas déterminer une forme algébrique de D = F (p) qui nous permettrait de faire des applications numériques, mais les mathématiques nous donnent de nombreux exemples de fonctions de ce genre, pour lesquelles nous devons nous contenter de déterminer un certain nombre de propriétés générales. Une des premières questions que l'on se pose est d'habitude de savoir si la courbe est continue. COURNOT va étudier le problème de la continuité de la courbe de la demande en fonction du prix; c'est là qu'il va faire intervenir la loi des grands nombres. La continuité de la courbe de la demande. Demandes individuelle et sociale. Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que la courbe de demande individuelle. Rien ne nous autorise à affirmer que cette courbe est continue. Au contraire, l'analyse psychologique, seul moyen dont nous disposons pour nous faire une idée de sa forme, nous apprend qu'il y a de fortes chances pour qu'elle soit « en escalier », présentant une succession de paliers AA' BB' et des discontinuités A'B, B'C. Cela traduit le fait que nous ne réagissons pas à de très petites variations de prix : il faut au moins que ces variations atteignent la plus petite division monétaire courante; en fait, il faut qu'elles soient beaucoup plus grandes et nous ne modifions la quantité que nous désirons acheter que lorsque les prix ont subi une variation suffisamment importante. La variation correspondante de la demande est alors brusque. Les causes de ces brusques modifications Fig. 7 sont très complexes ; elles agissent par l'intermédiaire de nos appréciations et leurs effets sont imprévisibles à l'échelle individuelle « microscopique ». Courbe de demande sociale. — La courbe de la demande sociale à un instant donné va résulter de la combinaison d'un très grand nombre de courbes individuelles. La représentation graphique à trois dimensions 6) est valable pour la courbe
présentant une succession de paliers AA' BB' et des discontinuités A'B, B'C. Cela traduit le fait que nous ne réagissons pas à de très petites variations de prix : il faut au moins que ces variations atteignent la plus petite division monétaire courante; en fait, il faut qu'elles soient beaucoup plus grandes et nous ne modifions la quantité que nous désirons acheter que lorsque les prix ont subi une variation suffisamment importante. La variation correspondante de la demande est alors brusque. Les causes de ces brusques modifications Fig. 7 sont très complexes ; elles agissent par l'intermédiaire de nos appréciations et leurs effets sont imprévisibles à l'échelle individuelle « microscopique ». Courbe de demande sociale. — La courbe de la demande sociale à un instant donné va résulter de la combinaison d'un très grand nombre de courbes individuelles. La représentation graphique à trois dimensions 6) est valable pour la courbe sociale comme pour la courbe individuelle car nous n'avons jamais fait intervenir dans notre exposé le caractère social ou individuel du phénomène étudié. La loi des grands nombres va nous permettre d'affirmer que la courbe représentant la demande sociale en fonction du prix est une courbe continue. Nous avons vu, en effet, que les courbes individuelles présentent des paliers et des discontinuités imprévisibles dont les causes, à l'échelle microscopique, sont impossibles à analyser. Nous pouvons alors admettre que les résultats à l'échelle macroscopique seront les mêmes que si la répartition des discontinuités le long de la courbe était due au hasard. Nous ne faisons là rien d'autre que le physicien qui applique la loi des grands nombres dans la théorie cinétique des gaz : chaque molécule est soumise à des forces mécaniques dont nous connaissons les principes mais dont nous ne pouvons prévoir les effets en raison de l'extrême complexité du problème. La loi des grands nombres nous permet de dire que les discontinuités des courbes individuelles se répartiront régulièrement le long de la courbe sociale et qu'il est extrêmement peu probable qu'un nombre suffisant d'entre elles coïncident en un point p pour que leur action combinée ait un effet
en effet, que les courbes individuelles présentent des paliers et des discontinuités imprévisibles dont les causes, à l'échelle microscopique, sont impossibles à analyser. Nous pouvons alors admettre que les résultats à l'échelle macroscopique seront les mêmes que si la répartition des discontinuités le long de la courbe était due au hasard. Nous ne faisons là rien d'autre que le physicien qui applique la loi des grands nombres dans la théorie cinétique des gaz : chaque molécule est soumise à des forces mécaniques dont nous connaissons les principes mais dont nous ne pouvons prévoir les effets en raison de l'extrême complexité du problème. La loi des grands nombres nous permet de dire que les discontinuités des courbes individuelles se répartiront régulièrement le long de la courbe sociale et qu'il est extrêmement peu probable qu'un nombre suffisant d'entre elles coïncident en un point p pour que leur action combinée ait un effet non négligeable par rapport à celui de l'infinité des autres courbes qui ne présentent pas de discontinuités en ce point. Nous pouvons même aller plus loin. Les discontinuités seront réparties uniformément le long de la courbe, avons-nous dit. Cela signifie que la courbe ne présentera pas de paliers : elle décroîtra régulièrement, si nous admettons qu'est infime le nombre de ceux qui recherchent un produit en raison même de sa rareté et dont, en conséquence, la courbe de demande croît avec le prix. Cette deuxième propriété de la courbe sociale est d'ailleurs indépendante de la question de la continuité ; elle peut trouver une confirmation expérimentale dans l'étude des variations des cours de bourses, qui sont les marchés se rapprochant le plus du type du marché idéal. Sur ces marchés, en effet, nous voyons une très légère différence de prix entraîner immédiatement des variations dans le volume des demandes. On peut objecter que ces variations ont lieu dans le temps et que le point représentatif que nous fournit l'observation décrit la courbe gauche G et non la courbe D1 (fig. 6). Cependant, comme les variations de p et de D ont lieu dans un très court espace de temps, les
décroîtra régulièrement, si nous admettons qu'est infime le nombre de ceux qui recherchent un produit en raison même de sa rareté et dont, en conséquence, la courbe de demande croît avec le prix. Cette deuxième propriété de la courbe sociale est d'ailleurs indépendante de la question de la continuité ; elle peut trouver une confirmation expérimentale dans l'étude des variations des cours de bourses, qui sont les marchés se rapprochant le plus du type du marché idéal. Sur ces marchés, en effet, nous voyons une très légère différence de prix entraîner immédiatement des variations dans le volume des demandes. On peut objecter que ces variations ont lieu dans le temps et que le point représentatif que nous fournit l'observation décrit la courbe gauche G et non la courbe D1 (fig. 6). Cependant, comme les variations de p et de D ont lieu dans un très court espace de temps, les plans des courbes D. et D2 sont très voisins et on ne commettra qu'une erreur de l'ordre infinitésimal supérieur en admettant que dans ce cas, la projection de la courbe G sur le plan ODp se confond avec la courbe D = F (p) à l'instant considéré. Nous voyons donc que l'application de la loi des grands nombres au problème de la combinaison des courbes individuelles en courbe de demande sociale nous permet de déterminer un certain nombre de propriétés de cette courbe et en particulier, nous permet d'affirmer qu'elle est continue. Remarquons d'ailleurs que le même raisonnement pourrait être fait pour n'importe quel phénomène social résultant d'un grand nombre de phénomènes individuels. Nous pouvons admettre que nous traitons en ce moment le problème général de la continuité des phénomènes sociaux. b) LA CRITIQUE DE COURNOT Il est évident que le point faible de la théorie réside dans le fait d'admettre que la loi des grands nombres peut être appliquée aux phénomènes sociaux. Dans quelle mesure pouvons-nous assimiler les résultats de la combinaison entre elles des actions économiques des hommes aux résultats d'un jeu de hasard? Quelque complexe que soient les antécédents de ces actions, ne peut-on penser qu'il existe
que l'application de la loi des grands nombres au problème de la combinaison des courbes individuelles en courbe de demande sociale nous permet de déterminer un certain nombre de propriétés de cette courbe et en particulier, nous permet d'affirmer qu'elle est continue. Remarquons d'ailleurs que le même raisonnement pourrait être fait pour n'importe quel phénomène social résultant d'un grand nombre de phénomènes individuels. Nous pouvons admettre que nous traitons en ce moment le problème général de la continuité des phénomènes sociaux. b) LA CRITIQUE DE COURNOT Il est évident que le point faible de la théorie réside dans le fait d'admettre que la loi des grands nombres peut être appliquée aux phénomènes sociaux. Dans quelle mesure pouvons-nous assimiler les résultats de la combinaison entre elles des actions économiques des hommes aux résultats d'un jeu de hasard? Quelque complexe que soient les antécédents de ces actions, ne peut-on penser qu'il existe des cas particuliers où une cause simple exercera une action dominante, quasi mécanique, sur tous les individus à la fois, et entraînera ainsi, en un point, la coïncidence des discontinuités des courbes individuelles ? C'est une objection de ce genre que le professeur Gaëtan PIROU adresse à COURNOT. Sa critique se trouve dans son cours à l'École des Hautes Études, publié sous le titre « Les théories de l'équilibre économique ». L. WALRAS et V. PARÉTO. La cause simple et dominante susceptible d'entraîner une discontinuité dans la courbe de la demande sociale d'un certain produit, serait l'existence d'un succédané qui, à partir d'un prix p deviendrait plus avantageux à employer. Rien ne permet de supposer que tout le monde n'abandonnera pas au même moment le produit primitif. La courbe de la demande serait alors discontinue au point d'abcisse p. L'argument n'est pas convaincant. Un succédané n'a jamais exactement les mêmes qualités que le produit qu'il vise à remplacer. Il ne faut d'ailleurs pas perdre de vue que cette cause si simple et si forte soit-elle, n'agit sur le phénomène économique observable que par l'intermédiaire de l'homme, et non directement, mécaniquement. Les très légères différences de qualités des deux produits seront