jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
(mod ri), etc. L'ensemble des diviseurs premiers de x est appelé support de x et noté SUPP(x). Nous dirons /&gt;eSUPP(x) pour (PR(p) A n (plx)). Le théorème 1.1, dû à C. Stckmer (th. 9 de [15]) est ici essentiel; nous avons prouvé le théorème 1. 3 en [11] et son corollaire en [9] (preuves résumées en [8] et [9]). THÉORÈME 1.1.— Soit E un ensemble de n entiers premiers distincts. Le nombre des entiers x tels que SUPP(x(x+1)) &lt;= E est au plus 2". Par suite, pour un entier a fixé, l'ensemble ST(a) des entiers b tels que SUPP(a) = SUPP(b) et SUPP(a+1) = Supp(b+1) est lui aussi fini. THÉORÈME 1.2.— Soit un entier p premier fixé. Soient ®p et Qp les fonctions définies sur pNxp" par les identités p" ®ppb=pa+b et p" Qppb=pab. Les modèles &lt;N; ®p; Op&gt; et &lt;N; + ; •) de l'arithmétique sont isomorphes. COROLLAIRE 1.3. — Le langage (S, ±, x—&gt;5x) est synonyme du langage (+, •). THÉORÈME 1.4. — La restriction de toute relation ou fonction arithmétique à l'ensemble des primaires est (S, l)-définissable. 2. COPRIMARITÉ ET ADDITION. — La question de la synonymie de (+, J.) et de ( + , •) posée par J. Robinson (cf. [14]) a été résolue par elle-même (non publié), par A. Woods à l'aide du théorème de Schnirelmann (cf. [16]) et par l'auteur (cf. [13]). Notre preuve, obtenue par codage, indique dans quelle direction chercher les restrictions de l'addition utilisées au paragraphe 3. THÉORÈME 2. — Les langages (+, •) et (+, J.) sont synonymes. Preuve. — Dans (+, i. on définit x → px, puis codons xy par un produit de y entiers premiers qui sont fonctions de px, p2x, ... On a. On code d'abord l'ensemble D des couples (p, x) formés d'un premier p et d'un entier x tel que < x < p. Pour cela, à tout (p, x) de D, on associe le plus petit entier premier noté cp (p, x) congruent à x modulo p et à 1 modulo tous les premiers q < p : un tel cp (p, x)
par J. Robinson (cf. [14]) a été résolue par elle-même (non publié), par A. Woods à l'aide du théorème de Schnirelmann (cf. [16]) et par l'auteur (cf. [13]). Notre preuve, obtenue par codage, indique dans quelle direction chercher les restrictions de l'addition utilisées au paragraphe 3. THÉORÈME 2. — Les langages (+, •) et (+, J.) sont synonymes. Preuve. — Dans (+, i. on définit x → px, puis codons xy par un produit de y entiers premiers qui sont fonctions de px, p2x, ... On a. On code d'abord l'ensemble D des couples (p, x) formés d'un premier p et d'un entier x tel que < x < p. Pour cela, à tout (p, x) de D, on associe le plus petit entier premier noté cp (p, x) congruent à x modulo p et à 1 modulo tous les premiers q < p : un tel cp (p, x) existe en vertu du théorème des restes chinois et du théorème de Dirichlet sur les progressions u (ri) = an + b, avec a et b premiers entre eux. La fonction cp est à la fois injective et indéfinissable. b. On considère, pour x > 0, l'entier c(x) produit pour 0 < i < x + 1 des cp (pb i+1); l'entier c (x) est aussi le plus petit y divisible par cp (3, 2) et tel que, pour tout p premier et tout entier k < x + 1, si < cp (p, k) divise y alors cp (p, k + 1) divise aussi y. La relation y = c(x) est indéfinissable. Par suite, pour x > 0, la relation p = px est indéfinissable puisqu'équivalente à < p (p, x + 1) divise c(x). c. Pour définir finalement le produit xy cherché, on introduit le produit d (x, y) des cp (px, i + 1) pour 0 < i < j + 1. Alors d(x, y) est le plus petit entier t tel que < cp (px, 2) divise t, et pour tout premier pj et tout k < y + 1, si cp (pj, k) divise t
0 < i < x + 1 des cp (pb i+1); l'entier c (x) est aussi le plus petit y divisible par cp (3, 2) et tel que, pour tout p premier et tout entier k < x + 1, si < cp (p, k) divise y alors cp (p, k + 1) divise aussi y. La relation y = c(x) est indéfinissable. Par suite, pour x > 0, la relation p = px est indéfinissable puisqu'équivalente à < p (p, x + 1) divise c(x). c. Pour définir finalement le produit xy cherché, on introduit le produit d (x, y) des cp (px, i + 1) pour 0 < i < j + 1. Alors d(x, y) est le plus petit entier t tel que < cp (px, 2) divise t, et pour tout premier pj et tout k < y + 1, si cp (pj, k) divise t alors < cp (pj + 1, k + 1) divise aussi t). L'égalité xy = z équivaut, pour x > 0 et y > 0, à cp (pr, y + 1) divise d(x, y). On peut définir d (x, y) dans ( + , - ), et donc aussi la multiplication : la synonymie cherchée en résulte. D 3. COPRIMARITÉ, SUCCÈSSEUR ET UNE RESTRICTION DE L'ADDITION ou DE LA MULTIPLICATION. — Nous n'avons pas utilisé toute la relation d'addition au paragraphe 2, mais seulement sa restriction à PR × N et l'ordre naturel. Le théorème cité de C. Sčirmer permet de restreindre l'addition à S et à la relation ternaire A (x, p, y) qui signifie (p est premier et x + p = y) : Fait 3.1. — Le langage L = (S, ±, A) est synonyme de (S, •). Preuve. — On définit dans L et à partir de ST(x), la réunion F des supports des y-z, pour tous les y, z distincts de ST(x). Pour y et p, les égalités SUPP(x + t + p + 1) = SUPP(y + p + 1 - t) avec z = 1 et i = 2 entraînent les inclusions SUPP(x
multiplication : la synonymie cherchée en résulte. D 3. COPRIMARITÉ, SUCCÈSSEUR ET UNE RESTRICTION DE L'ADDITION ou DE LA MULTIPLICATION. — Nous n'avons pas utilisé toute la relation d'addition au paragraphe 2, mais seulement sa restriction à PR × N et l'ordre naturel. Le théorème cité de C. Sčirmer permet de restreindre l'addition à S et à la relation ternaire A (x, p, y) qui signifie (p est premier et x + p = y) : Fait 3.1. — Le langage L = (S, ±, A) est synonyme de (S, •). Preuve. — On définit dans L et à partir de ST(x), la réunion F des supports des y-z, pour tous les y, z distincts de ST(x). Pour y et p, les égalités SUPP(x + t + p + 1) = SUPP(y + p + 1 - t) avec z = 1 et i = 2 entraînent les inclusions SUPP(x + p + 1 + i) = Supp(y + p + 1 - i) c F pour les mêmes i. Comme ST(x) est borné d'après le théorème 1.1, alors F l'est aussi et x est le seul y de ST(x) tel que SUPP(y + p + 1 + i) = SUPP(x + p + 1 + i) pour i = 1 et i = 2, et pour p premier assez grand. Par suite, 5X est l'unique u de 5N tel que, pour tout p premier, SUPP(x + p + 1) = SUPP(u + p + 1 + log5M), pour i = 1 et i = 2. Le théorème 1.4 montre que la relation (u e 5N et p est premier et ge SUPP(u + p + 1 + log5M) est indéfinissable par une formule Qt(u, p, q). On peut dès lors conclure en utilisant le théorème 1.3 et la L-définition de la fonction x → y = 5x donnée par la formule : Le théorème 2 est corollaire de 3.1, mais la preuve donnée au paragraphe 2 n'utilise pas les théorèmes 1.1 et 1.3, et la dernière définition obtenue n'est pas récursive comme au paragraphe 2. Le prédicat PUIS est
SUPP(x + p + 1 + i) pour i = 1 et i = 2, et pour p premier assez grand. Par suite, 5X est l'unique u de 5N tel que, pour tout p premier, SUPP(x + p + 1) = SUPP(u + p + 1 + log5M), pour i = 1 et i = 2. Le théorème 1.4 montre que la relation (u e 5N et p est premier et ge SUPP(u + p + 1 + log5M) est indéfinissable par une formule Qt(u, p, q). On peut dès lors conclure en utilisant le théorème 1.3 et la L-définition de la fonction x → y = 5x donnée par la formule : Le théorème 2 est corollaire de 3.1, mais la preuve donnée au paragraphe 2 n'utilise pas les théorèmes 1.1 et 1.3, et la dernière définition obtenue n'est pas récursive comme au paragraphe 2. Le prédicat PUIS est une restriction suffisante de la multiplication assurant la synonymie cherchée (cf. [12]). La restriction du produit à PR × N, notée PMULT(x, y), constituée par (p est premier et px = y) complète elle aussi le langage ( + , •): Fait 3.2. — Le langage (S, ±, PMULT) est synonyme de celui de l'arithmétique. L'analyse de 3.1 et 3.2 et le théorème 1.2 conduisent finalement au THÉORÈME 3.3. — Il existe des fonctions f et g de N dans PR, qui sont (S, ±)-définissables, et telles que si R(y, x) est la relation (y = x + f(x)) ou la relation (y = xg(x)), alors le langage (S, ±, R) est synonyme de ( + , •). Preuve. — Soit x fixé; considérons dans le modèle interne <5N; ®5; ©5> défini au théorème 1.2, son ordre naturel interne © et l'ensemble 5ST {x), qui sont (S, ±)-définissables d'après le théorème 1.4. Soit encore F l'ensemble défini dans la preuve de 3.1. On peut (S, ±)-définir les ensembles 5F, 5PA (x) et 5PM (x) les deux derniers étant constitués des 5S où s est premier et vérifie y + STM Q 5F d'une part, et, d'autre part, des 5r où
synonyme de celui de l'arithmétique. L'analyse de 3.1 et 3.2 et le théorème 1.2 conduisent finalement au THÉORÈME 3.3. — Il existe des fonctions f et g de N dans PR, qui sont (S, ±)-définissables, et telles que si R(y, x) est la relation (y = x + f(x)) ou la relation (y = xg(x)), alors le langage (S, ±, R) est synonyme de ( + , •). Preuve. — Soit x fixé; considérons dans le modèle interne <5N; ®5; ©5> défini au théorème 1.2, son ordre naturel interne © et l'ensemble 5ST {x), qui sont (S, ±)-définissables d'après le théorème 1.4. Soit encore F l'ensemble défini dans la preuve de 3.1. On peut (S, ±)-définir les ensembles 5F, 5PA (x) et 5PM (x) les deux derniers étant constitués des 5S où s est premier et vérifie y + STM Q 5F d'une part, et, d'autre part, des 5r où t est premier et vérifie 5r ST (x) © 5F. En vertu du théorème 1.4, les ensembles PA (x) et PM (x) sont (S, ±)-définissables. Les fonctions f et g définies par f(x) = Min(PA)(x) et g(x) = Min(PM(x)) conviennent. On conclut par des arguments similaires à ceux développés en 3.1. CONCLUSION. — Il suffit donc d'ajouter « très peu » d'addition ou « très peu » de multiplication à (S, _L) pour y définir toute l'arithmétique puisque pour chaque x, il suffit de connaître la somme x + p ou le produit px pour l'un des entiers p appartenant à un ensemble de premiers (S, _L)-définissable. Il suffit même de moins encore car dans les preuves proposées, seuls sont utiles les supports de cette somme ou de ce produit. Il suffit finalement de savoir si un entier premier donné divise ou non la somme x + p ou le produit px mentionnés. Au lieu du p premier précédent, on peut montrer que, pour tout premier q, il existe des entiers primaires qa qui sont (S, _L)-définissables à partir de x et conviennent aussi pour a assez grand. Note reçue le 11 mai 1987, acceptée le 21 septembre 1987. RÉFÉRENCES
3.1. CONCLUSION. — Il suffit donc d'ajouter « très peu » d'addition ou « très peu » de multiplication à (S, _L) pour y définir toute l'arithmétique puisque pour chaque x, il suffit de connaître la somme x + p ou le produit px pour l'un des entiers p appartenant à un ensemble de premiers (S, _L)-définissable. Il suffit même de moins encore car dans les preuves proposées, seuls sont utiles les supports de cette somme ou de ce produit. Il suffit finalement de savoir si un entier premier donné divise ou non la somme x + p ou le produit px mentionnés. Au lieu du p premier précédent, on peut montrer que, pour tout premier q, il existe des entiers primaires qa qui sont (S, _L)-définissables à partir de x et conviennent aussi pour a assez grand. Note reçue le 11 mai 1987, acceptée le 21 septembre 1987. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [I] R. BALASUBRAMANIAN, T. N. SHOREY et M. WALDSCHMIDT, On the maximal length of two sequences of consecutive integers with the same prime divisors, Preprint. [2] P. CEGIELSKI, Axiomatisation de l'arithmétique avec l'ordre naturel et la divisibilité, Communication personnelle. [3] M. DAVIS, Hilbert's tenth problem is unsolvable, Amer. Math. Monthly, 80, 1973, p. 233-269. [4] P. ERDŐS, How many pairs of products of consecutive integers have the same prime factors?, Amer. Math. Monthly, 87, 1982, p. 391-392. [5] R. K. GUY, Unsolved problems in number theory, Problem books in mathematics, 1, Springer-Verlag, 1981, p. 25-28. [6] D. JENSEN et A. EHRENFEUCHT, Some problems in elementary arithmetics, Fundamenta Mathematicae, XCII, 1976, p. 223-245. [7] M. LANGEVIN, Autour d'un problème d'Erdős et Woods, Preprint. [8] D. RICHARD, La théorie du successeur et de la coprimarité de N est indécidable, C.R. Acad. Sci. Paris, 294, série I, 1982, p. 143-145. [9] D. RICHARD, Les relations arithmétiques sur les primaires sont définissables par successeur et coprimarité, C.R. Acad. Sci. Paris, 299, série I, 1984, p. 795-798. [10] D. RICHARD, Answer to a problem raised by J. Robinson, The Journal of Symbolic Logic, 50, n° 4, décembre 1985, p. 135-143. [11] D. RICHARD, All
Monthly, 80, 1973, p. 233-269. [4] P. ERDŐS, How many pairs of products of consecutive integers have the same prime factors?, Amer. Math. Monthly, 87, 1982, p. 391-392. [5] R. K. GUY, Unsolved problems in number theory, Problem books in mathematics, 1, Springer-Verlag, 1981, p. 25-28. [6] D. JENSEN et A. EHRENFEUCHT, Some problems in elementary arithmetics, Fundamenta Mathematicae, XCII, 1976, p. 223-245. [7] M. LANGEVIN, Autour d'un problème d'Erdős et Woods, Preprint. [8] D. RICHARD, La théorie du successeur et de la coprimarité de N est indécidable, C.R. Acad. Sci. Paris, 294, série I, 1982, p. 143-145. [9] D. RICHARD, Les relations arithmétiques sur les primaires sont définissables par successeur et coprimarité, C.R. Acad. Sci. Paris, 299, série I, 1984, p. 795-798. [10] D. RICHARD, Answer to a problem raised by J. Robinson, The Journal of Symbolic Logic, 50, n° 4, décembre 1985, p. 135-143. [11] D. RICHARD, All arithmetical sets of powers of primes are first order definable in terms of the successor function and the coprimeness predicate, Journal of Discrète Mathematics, 53, 1985, p. 221-247. [12] D. RICHARD, Définissabilité de l'arithmétique par successeur, coprimarité et puissance, C.R. Acad. Sci. Paris, 300, série I, 1985, p. 415-418. [13] D. RICHARD, L'intuition-machine en codage logique, Actes du PRC Mathématiques et Informatique, 12-13 mars 1987 (Deuxièmes journées sur la logique et l'informatique, Bordeaux-1, U.E.R. de Math, et Info, et U.A. C.N.R.S. n° 226), B. Courcelles. [14] J. ROBINSON, Definability and decision problems in arithmetic, The Journal of Symbolic Logic, 14, n° 2, jun 1949, p. 98-114. [15] C. STORMER, Quelques théorèmes sur l'équation de Pell x^2 - dy^2 = + 1, Skrifter Videnskabs-selskabet (Christiana), I, Mat.-Naturv. Kl., 1887, n° 2, p. 3-48. [16] A. WOODS, Some problems in logic and number theory and their connections, Thesis, University of Manchester, 1981, p. 51-70 et 121-122. Institut de Mathématiques et Informatique, Bâtiment Doyen Jean-Braconnier, Université Claude-Bernard Lyon-I, 43, boulevard du 11-Novembre-1918, 69622 Villeurbanne Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 669-672, 1987 669 Analyse mathématique/Mat/iemattca/ Analysis Quelques inégalités isopérimétriques pour le problème de Stefan Björn GUSTAFSSON et Jacqueline
D. RICHARD, L'intuition-machine en codage logique, Actes du PRC Mathématiques et Informatique, 12-13 mars 1987 (Deuxièmes journées sur la logique et l'informatique, Bordeaux-1, U.E.R. de Math, et Info, et U.A. C.N.R.S. n° 226), B. Courcelles. [14] J. ROBINSON, Definability and decision problems in arithmetic, The Journal of Symbolic Logic, 14, n° 2, jun 1949, p. 98-114. [15] C. STORMER, Quelques théorèmes sur l'équation de Pell x^2 - dy^2 = + 1, Skrifter Videnskabs-selskabet (Christiana), I, Mat.-Naturv. Kl., 1887, n° 2, p. 3-48. [16] A. WOODS, Some problems in logic and number theory and their connections, Thesis, University of Manchester, 1981, p. 51-70 et 121-122. Institut de Mathématiques et Informatique, Bâtiment Doyen Jean-Braconnier, Université Claude-Bernard Lyon-I, 43, boulevard du 11-Novembre-1918, 69622 Villeurbanne Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 669-672, 1987 669 Analyse mathématique/Mat/iemattca/ Analysis Quelques inégalités isopérimétriques pour le problème de Stefan Björn GUSTAFSSON et Jacqueline MOSSINO Résumé — Nous comparons la solution faible (8, h) du problème de Stefan dans un domaine a x (0, T) (où m est une couronne) avec celle du problème « symétrisé » (©, H) dans n x (0, T), où £î est une couronne symétrique de même mesure que co. Pour le problème de Stefan à une phase —8^0, he(—ex, 0) là où 8 = 0— nous montrons en particulier que le « volume de glace » (mes {h(t)= —a}) est maximal en symétrie de révolution (avec donnée initiale décroissante le long . du rayon). Some isoperimetric inequalities for the Stefan problem Abstract — We compare the weak solution (8, h) of the Stefan problem in some annular domain CD x (0, T), with the weak solution (©, H) of the "symmetrized" problem, in il x (0, T), where Q is a symmetrical annulus having the same measure as to. For the one-phase Stefan problem —82:0, he(—a, 0) when 8=0 — we show, in particular, that the "volume of ice" (mes {h(t)=— a}) remains greatest in spherical symmetry (with initial data decreasing along the radii). 1. INTRODUCTION ET PRINCIPAUX RÉSULTATS. — Le problème de Stefan considéré ici consiste à
co. Pour le problème de Stefan à une phase —8^0, he(—ex, 0) là où 8 = 0— nous montrons en particulier que le « volume de glace » (mes {h(t)= —a}) est maximal en symétrie de révolution (avec donnée initiale décroissante le long . du rayon). Some isoperimetric inequalities for the Stefan problem Abstract — We compare the weak solution (8, h) of the Stefan problem in some annular domain CD x (0, T), with the weak solution (©, H) of the "symmetrized" problem, in il x (0, T), where Q is a symmetrical annulus having the same measure as to. For the one-phase Stefan problem —82:0, he(—a, 0) when 8=0 — we show, in particular, that the "volume of ice" (mes {h(t)=— a}) remains greatest in spherical symmetry (with initial data decreasing along the radii). 1. INTRODUCTION ET PRINCIPAUX RÉSULTATS. — Le problème de Stefan considéré ici consiste à trouver un couple (8, h) de fonctions définies sur q = co x (0, T), qui vérifient (dans un sens faible) où: CO=CO0CD1; co0, CÛJ ouverts connexes, bornés, réguliers de RN, «^ccoo, y0 = 3co0, où al5 oc2, a sont des constantes positives, Xe[0, 1] [X=0 (ou 1) pour le problème de Stefan à une phase, 0&lt;&gt;,&lt;1 pour le problème à deux phases]; h0ea(Q0) pour une fonction 0O de &lt;£° (co) n H1 (co), Ce problème modélise la fonte d'un solide : 9 représente la température, l'ensemble {/i^0} représente la région occupée par le liquide, et l'ensemble {h^—a} représente la région occupée par le solide ({ — &lt;x &lt;h&lt;0} correspond à un « nuage » séparant les états solide et liquide). L'existence et l'unicité de la solution faible (pour N^l) a été prouvée par A. Friedman ([3], [4]), qui généralisait un résultat de S. L. Kamenomostskaja [5] : (0, h) est la solution faible de (1.1) si et seulement si Note présentée par Jacques-Louis LIONS. 0249-6291/87/03050669 S 2.00 © Académie des Sciences 670 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 669-672, 1987 pour toute « fonction test » cp telle que cp, &lt;px., cp^., cp, sont continues
problème de Stefan à une phase, 0&lt;&gt;,&lt;1 pour le problème à deux phases]; h0ea(Q0) pour une fonction 0O de &lt;£° (co) n H1 (co), Ce problème modélise la fonte d'un solide : 9 représente la température, l'ensemble {/i^0} représente la région occupée par le liquide, et l'ensemble {h^—a} représente la région occupée par le solide ({ — &lt;x &lt;h&lt;0} correspond à un « nuage » séparant les états solide et liquide). L'existence et l'unicité de la solution faible (pour N^l) a été prouvée par A. Friedman ([3], [4]), qui généralisait un résultat de S. L. Kamenomostskaja [5] : (0, h) est la solution faible de (1.1) si et seulement si Note présentée par Jacques-Louis LIONS. 0249-6291/87/03050669 S 2.00 © Académie des Sciences 670 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 669-672, 1987 pour toute « fonction test » cp telle que cp, &lt;px., cp^., cp, sont continues dans q, et cp=0 sur { T} x co U o La solution faible est obtenue comme limite (e-&gt;0) des solutions (0e, he), hs=as(Q^), de où htQ est « régulier », hZQ -+ h0 dans L1 (co) quand 8 -* 0, et où ae est univoque, continue, et strictement croissante, bE=a~ 1 converge uniformément vers b=a~1, b'£^c, constante indépendante de s. Dans cette Note, nous donnons des inégalités isopérimétriques pour la solution faible (0, h) de (1.1). Elles se déduisent toutes d'une inégalité isopérimétrique [(1.7)e ci-dessous] satisfaite par (0£, he) solution de (1.1)£. Pour l'équation des milieux poreux, qui est similaire à (1.1)„ avec y connexe, 0 constante sur y, une inégalité isopérimétrique du même type a été obtenue par J. L. Vazquez [8], au moyen d'une approche elliptique. Notre démonstration est fondée sur les techniques paraboliques développées dans [7]. Plus précisément, considérons les problèmes « symétrisés » (1.1), (1-1)E, qui sont obtenus à partir de (1.1), (1.1)E en remplaçant q par Q=Qx(0, T), co est remplacé par Q=n0Ql5 où Qj (/ = 0,1) sont des boules de RN centrées à l'origine, de mêmes mesures que (ÙJ, rj=dQ. j, h0 est remplacée par son réarrangement h0 défini sur Q, qui
bE=a~ 1 converge uniformément vers b=a~1, b'£^c, constante indépendante de s. Dans cette Note, nous donnons des inégalités isopérimétriques pour la solution faible (0, h) de (1.1). Elles se déduisent toutes d'une inégalité isopérimétrique [(1.7)e ci-dessous] satisfaite par (0£, he) solution de (1.1)£. Pour l'équation des milieux poreux, qui est similaire à (1.1)„ avec y connexe, 0 constante sur y, une inégalité isopérimétrique du même type a été obtenue par J. L. Vazquez [8], au moyen d'une approche elliptique. Notre démonstration est fondée sur les techniques paraboliques développées dans [7]. Plus précisément, considérons les problèmes « symétrisés » (1.1), (1-1)E, qui sont obtenus à partir de (1.1), (1.1)E en remplaçant q par Q=Qx(0, T), co est remplacé par Q=n0Ql5 où Qj (/ = 0,1) sont des boules de RN centrées à l'origine, de mêmes mesures que (ÙJ, rj=dQ. j, h0 est remplacée par son réarrangement h0 défini sur Q, qui décroît selon les longues des rayons (pN est la mesure de la boule unité de RN, | E| la mesure de E), Soit (0, H) la solution (faible) de (1.1), et soit (0E, HE) la solution de (1.1)E. Nous montrons d'abord l'inégalité isopérimétrique (pour tous (s, t) dans q^ = co,,. x [0, T] = [0, | co | ] x [0, T]). Nous en déduisons (pour tous s e co^, et presque tout t dans (0, T)), Dans (1.7) à (1.9), si par exemple dQ/dn'est pas dans L1(a1), (dQ/dy)dydi est défini comme où cp est une fonction quelconque de H1(co) satisfaisant cp=g sur y [on montre que l'expression (1.10) est indépendante du choix de cp], et Dans le cas particulier du problème à une phase [avec A2=0 dans (1.2)], définissons l'instant où « la phase liquide atteint y0 (resp. ro) » par Nous montrons que pour toute fonction O concave, croissante. Ceci implique pour tout réel |3, et tout p dans [1, co], Remarque. — Les inégalités (1.13) à (1.17) confirment l'idée intuitive que, parmi toutes les couronnes co=co0co1, avec co0, cot de mesures données, et toutes les données initiales h0 équimétriques, « la glace fond le moins vite