jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
|up|2 = 1 tel que Soit R= X + iY avec X=X* et Y = Y*. On déduit de la relation précédente P que Xx=ax avec |a| ≤ Y ||R.||. On définit alors pour x ∈ K, le compact K de i I I *-^ Il 11 X 684 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 681-684, 1987 F x R par La famille (Kx)xs^ possède la propriété d'intersection finie et par compacité, on peut choisir un point (ul, ..., up, t) dans f) Kr Comme, pour SeS1, x*y le (S) = conv{x (S); teS1} et OeF on obtient finalement ce qui est contradictoire avec la définition de F. Considérons maintenant un point x où cp est une submersion. On construit un espace E de dimension finie contenant x tel qu'il existe un voisinage ouvert U de x dans E pour lequel cp(U) contient une boule ouverte BF(cp(x), r], r>0. Si ce (B, ..., Rp) et te[0, 1] on note vt = tq > (x) + (1 - t)v. On peut trouver On désigne par D (resp. D') la droite contenant cp (x) et v [resp. v, et cp (y)]. On note cp (x)' la projection orthogonale de cp (x) sur D' et v' la projection orthogonale de v sur D'. On a ||cp (x) - cp (x)'|| = r, il existe donc x'eE/{0} tel que cp (x') = cp (x)'. Alors vt[cp (x'), cp (y)][ qui est contenu dans le (R1; ...,Rp). Il en résulte que int (le (R1; ...,Rp)) ⊂ le (Rt, ..., Rp), ce qui achève la preuve. Note reçue le 22 juin 1987, acceptée le 26 juin 1987. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] P. R. HALMOS, A Hilbert space problem book, D. Van Nostrand Company, Inc., 1967. [2] B. Sz.-NAGY et C. FOIAS, Analyse harmonique des opérateurs de l'espace de Hilbert, Masson, Paris, 1967. Équipe d'Analyse, Unité associée du C.N.R.S. n° 754, Université de Paris-VI, 4, place Jussieu, 75230 Paris Cedex 05. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 685-688, 1987 685 Géométrie différentielle/Differential Geometry Deux connexions linéaires sur les hypersurfaces d'un
de cp (x) sur D' et v' la projection orthogonale de v sur D'. On a ||cp (x) - cp (x)'|| = r, il existe donc x'eE/{0} tel que cp (x') = cp (x)'. Alors vt[cp (x'), cp (y)][ qui est contenu dans le (R1; ...,Rp). Il en résulte que int (le (R1; ...,Rp)) ⊂ le (Rt, ..., Rp), ce qui achève la preuve. Note reçue le 22 juin 1987, acceptée le 26 juin 1987. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] P. R. HALMOS, A Hilbert space problem book, D. Van Nostrand Company, Inc., 1967. [2] B. Sz.-NAGY et C. FOIAS, Analyse harmonique des opérateurs de l'espace de Hilbert, Masson, Paris, 1967. Équipe d'Analyse, Unité associée du C.N.R.S. n° 754, Université de Paris-VI, 4, place Jussieu, 75230 Paris Cedex 05. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 685-688, 1987 685 Géométrie différentielle/Differential Geometry Deux connexions linéaires sur les hypersurfaces d'un espace de Banach ou de Minkowski Heikki HAAHTI et Seppo KINNUNEN Résumé — Deux connexions linéaires sans torsion, V et D, sont naturellement données sur certaines hypersurfaces McE différentiables d'un espace réflexif de Banach ou Minkowski E. La définition de ces connexions est basée sur l'existence d'un champ P: M→L(E;E) de « projections de la distance minimale » ainsi que sur le champ associé N de « normales unités de Birkhoff-James », avec Two linear connections on hypersurfaces in a Banach space Abstract — Two linear torsionless connections V and D are naturally given on certain differentiable hypersurfaces McE of a reflexive Banach space E. The definition of these connections is based on the existence of a field P: M→L(E; E) of "projections of minimal distance" as well as on the associated field N of "unit normals of Birkhoff-James". with 1. Soit McE une sous-variété de classe (1) C sur un espace de Banach (x) réel E = (E, |.|) (p^l, dira E^oo). Un champ de projections P de classe C, (O^r^p), sera dans la suite une application M → L(E; E) de classe C, dont la valeur P(x) = P(x)P(x) est pour chaque xeM une projection sur l'espace tangent
de « projections de la distance minimale » ainsi que sur le champ associé N de « normales unités de Birkhoff-James », avec Two linear connections on hypersurfaces in a Banach space Abstract — Two linear torsionless connections V and D are naturally given on certain differentiable hypersurfaces McE of a reflexive Banach space E. The definition of these connections is based on the existence of a field P: M→L(E; E) of "projections of minimal distance" as well as on the associated field N of "unit normals of Birkhoff-James". with 1. Soit McE une sous-variété de classe (1) C sur un espace de Banach (x) réel E = (E, |.|) (p^l, dira E^oo). Un champ de projections P de classe C, (O^r^p), sera dans la suite une application M → L(E; E) de classe C, dont la valeur P(x) = P(x)P(x) est pour chaque xeM une projection sur l'espace tangent Mx de M, ce dernier étant considéré comme un sous-espace vectoriel de E. Un champ de projections détermine sur M une connexion linéaire V, telle que pour x e M, X e M^ on a avec un champ Y de vecteurs tangents à M au point x e M ici on a dxY=Y'(x)X, Y'(x)=dY étant la dérivée de Fréchet en x d'une extension differentiable locale de Y, restreinte à M^, et d est ainsi la « connexion linéaire canonique » de E. La torsion de la connexion V est nulle et le tenseur de courbure R est donné par Si, en particulier, E est un espace de Hilbert et si P(x) est pour tout xeM une projection orthonormale, c'est-à-dire, la seule projection sur Mx ayant la «propriété de la distance minimale » [3], alors il est bien connu que la connexion (1) détermine la géométrie riemannienne induite sur M de E, cette connexion étant celle de Levi-Civita. 2. Le problème se pose, [4], de savoir si l'on peut trouver dans le cas d'un espace de Banach E, des champs de projections de la distance minimale P sur les sous-variétés McE, c'est-à-dire, des champs de projections satisfaisant à (3) en chaque
on a dxY=Y'(x)X, Y'(x)=dY étant la dérivée de Fréchet en x d'une extension differentiable locale de Y, restreinte à M^, et d est ainsi la « connexion linéaire canonique » de E. La torsion de la connexion V est nulle et le tenseur de courbure R est donné par Si, en particulier, E est un espace de Hilbert et si P(x) est pour tout xeM une projection orthonormale, c'est-à-dire, la seule projection sur Mx ayant la «propriété de la distance minimale » [3], alors il est bien connu que la connexion (1) détermine la géométrie riemannienne induite sur M de E, cette connexion étant celle de Levi-Civita. 2. Le problème se pose, [4], de savoir si l'on peut trouver dans le cas d'un espace de Banach E, des champs de projections de la distance minimale P sur les sous-variétés McE, c'est-à-dire, des champs de projections satisfaisant à (3) en chaque xeM. La réponse est dans le cas codimension M = 1 d'une hypersurface affine comme suit, tandis que pour codimension M > 1 le lemme ci-dessous n'est pas vrai en général. Posons avec la norme |x| de l'espace de Banach E : 2g(x) = |x|^2 et soit g'(x) = (dg)(x) la dérivée de g en x. Note présentée par André LICHNEROWICZ. 0249-6291/87/03050685 S 2.00 © Académie des Sciences 686 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 685-688, 1987 LEMME 1. — Supposons que la norme de E soit de classe C^1 sur E — {0} et que la sphère unité S = {x|xeE, |x| = 1} de E soit strictement convexe (c'est-à-dire, que x, y e S, x^y, 0 < A. < 1 entraînent Xx + (1—X)y < 1). Alors, sur chaque hypersurface McE de classe C, (p^2l), il existe un champ P de projections de la distance minimale et un seul. De plus, à chaque point xeM est associée une paire (N(x), — N(x)} unique de vecteurs unité N(x), — N(x)eE, les deux « normales unité de M en x », satisfaisant pour tout XeM les conditions d'orthogonalité de Birkhoff-James, [5], et l'on a pour tout
la dérivée de g en x. Note présentée par André LICHNEROWICZ. 0249-6291/87/03050685 S 2.00 © Académie des Sciences 686 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 685-688, 1987 LEMME 1. — Supposons que la norme de E soit de classe C^1 sur E — {0} et que la sphère unité S = {x|xeE, |x| = 1} de E soit strictement convexe (c'est-à-dire, que x, y e S, x^y, 0 < A. < 1 entraînent Xx + (1—X)y < 1). Alors, sur chaque hypersurface McE de classe C, (p^2l), il existe un champ P de projections de la distance minimale et un seul. De plus, à chaque point xeM est associée une paire (N(x), — N(x)} unique de vecteurs unité N(x), — N(x)eE, les deux « normales unité de M en x », satisfaisant pour tout XeM les conditions d'orthogonalité de Birkhoff-James, [5], et l'on a pour tout Z e E donc en particulier Ce lemme peut être prouvé (voir [8]) au moyen d'une représentation locale et régulière de M. En effet, une normale unité est donnée, en accord avec le cas euclidien, par le « gradient » _y(x) = |_y(x)|N(x) : /' (x) N (x) = sup /' (x) h, (heE, |/z| = 1), de f en xeM. Le lemme 1 implique en particulier l'existence d'une unique connexion linéaire, « la connexion canonique » V donnée sur chaque hypersurface McE de classe C par la formule (1) quand P est le champ des projections de la distance minimale. La translation naturelle M s x → x + x0 e V = M + x0 est pour chaque x0 e E compatible avec les connexions canoniques sur M et V, c'est-à-dire, la translation donne une application affine [11], entre M et V. 3. Pour pouvoir appliquer le calcul différentiel, nous introduirons la DÉFINITION. — Supposons que la norme de l'espace de Banach E soit de classe C^1 sur E — {0} et que la sphère unité S soit strictement convexe, et soient p^1, q^2 des entiers. Alors nous dirons qu'une hypersurface McE de classe C possède une C^2-position
/' (x) h, (heE, |/z| = 1), de f en xeM. Le lemme 1 implique en particulier l'existence d'une unique connexion linéaire, « la connexion canonique » V donnée sur chaque hypersurface McE de classe C par la formule (1) quand P est le champ des projections de la distance minimale. La translation naturelle M s x → x + x0 e V = M + x0 est pour chaque x0 e E compatible avec les connexions canoniques sur M et V, c'est-à-dire, la translation donne une application affine [11], entre M et V. 3. Pour pouvoir appliquer le calcul différentiel, nous introduirons la DÉFINITION. — Supposons que la norme de l'espace de Banach E soit de classe C^1 sur E — {0} et que la sphère unité S soit strictement convexe, et soient p^1, q^2 des entiers. Alors nous dirons qu'une hypersurface McE de classe C possède une C^2-position dans E si l'on a de plus pour chaque xeM: 1° La norme de E, et donc aussi la fonction g(z) = 2~1z^2, est de classe C dans un voisinage du point z = N(x)eE déterminé par une normale unité N(x) de M en x. 2° La dérivée seconde g"(z) en z = N(x) (considérée comme une forme bilinéaire symétrique E x E → R) est strictement définie positive : inf g"(z) ZZ > 0 (Z e E). |Z| = 1 Notons que par les conditions g (X z) = X^2 g (z), g"(Xx)=g"(z)(0^=XeR), de l'homogénéité les hypothèses, 1° et 2° sont indépendantes du choix entre les deux normales N(x) et -N(x). L'existence d'une hypersurface M possédant une C^2-position dans E est dans les cas dim E= 2, q=2 une restriction forte pour l'espace de Banach E, et dans [8] on considère la condition plus faible d'une C^1-position de M avec q=1. Dans notre cas g=2 une conséquence particulière de l'hypothèse 2° est, que pour z = N(x) fixé, (E, g"(z)) est un espace de Hilbert, dont la norme (donnée pour tout ZeE par ||Z|| = {g"(z)ZZ}^{1/2}), est équivalente à la norme |. | banachique donnée de E. Si 2°
en z = N(x) (considérée comme une forme bilinéaire symétrique E x E → R) est strictement définie positive : inf g"(z) ZZ > 0 (Z e E). |Z| = 1 Notons que par les conditions g (X z) = X^2 g (z), g"(Xx)=g"(z)(0^=XeR), de l'homogénéité les hypothèses, 1° et 2° sont indépendantes du choix entre les deux normales N(x) et -N(x). L'existence d'une hypersurface M possédant une C^2-position dans E est dans les cas dim E= 2, q=2 une restriction forte pour l'espace de Banach E, et dans [8] on considère la condition plus faible d'une C^1-position de M avec q=1. Dans notre cas g=2 une conséquence particulière de l'hypothèse 2° est, que pour z = N(x) fixé, (E, g"(z)) est un espace de Hilbert, dont la norme (donnée pour tout ZeE par ||Z|| = {g"(z)ZZ}^{1/2}), est équivalente à la norme |. | banachique donnée de E. Si 2° est valable pour chaque vecteur unité zeE et donc — par homogénéité —, pour chaque zeE — {0}, alors (E — {0}, g") est l'espace de Riemann considéré par E. R. Lorch et D. Laugwitz, [13], [10] (voir aussi [16], [6] et [7]). Il est manifeste que si M possède une exposition dans E, il en est ainsi pour V=M + x0 pour tout x0 e E. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 685-688, 1987 687 4. Soit pour i=1, 2, ...,m, H_i un espace de Hilbert avec ||x_i|| la norme de x_i e H_i, et posons E=H_1x...xH_m, ||x||_p = ||(x_1, ...,x_m)||_p, pour Alors (E, ||.||_p) est un espace de Banach et un calcul direct montre qu'une C^1 hypersurface McE possède dans E une C^2-position avec q=oo si pour tout xeM, z = N(x)eE. En particulier S est une telle hypersurface (2). D'autre part, si m = ∞ la condition 1° n'est valable pour aucune hypersurface, même dans le cas H_i=R d'un espace F. 5. Dans [8] on montre: PROPOSITION 1. — Soit M une hypersurface de classe C possédant une C^2-position dans l'espace de Banach E et soit r+1 = min{p, q}^2. Alors, dans un
une exposition dans E, il en est ainsi pour V=M + x0 pour tout x0 e E. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 685-688, 1987 687 4. Soit pour i=1, 2, ...,m, H_i un espace de Hilbert avec ||x_i|| la norme de x_i e H_i, et posons E=H_1x...xH_m, ||x||_p = ||(x_1, ...,x_m)||_p, pour Alors (E, ||.||_p) est un espace de Banach et un calcul direct montre qu'une C^1 hypersurface McE possède dans E une C^2-position avec q=oo si pour tout xeM, z = N(x)eE. En particulier S est une telle hypersurface (2). D'autre part, si m = ∞ la condition 1° n'est valable pour aucune hypersurface, même dans le cas H_i=R d'un espace F. 5. Dans [8] on montre: PROPOSITION 1. — Soit M une hypersurface de classe C possédant une C^2-position dans l'espace de Banach E et soit r+1 = min{p, q}^2. Alors, dans un voisinage de chaque xeM on peut définir pour M un champ N de normales unités de classe C, le champ P des projections de la distance minimale étant, lui aussi, de classe C sur M. 6. On suppose les hypothèses de la proposition 1 vérifiées. Comme nous l'avons indiqué au numéro 3, pour tout xeM fixé, la forme nous donne dans E=(E, |.|), et donc aussi dans Mx E, un produit scalaire hilbertien. Il est facile de voir [8], que la dérivée N'(x)=dN de N est une application linéaire M → M, qui est symétrique par rapport à G(x), et qu'on a [en désignant, pour abréger, N'=N'(x)], l'expression pour le tenseur de courbure R = R (x) de V, (X, Y, Z e M). 7. La géométrie donnée sur les hypersurfaces par la connexion canonique V possède quelques propriétés de la géométrie classique des surfaces, [8]. Par exemple, les chemins V-autoparallèles sont donnés sur la sphère M = S^r (x_0) par les « grands cercles » (x_0 + L) DM, (L e E désignant un sous-espace vectoriel de dimension deux quelconque). D'autre part, on peut montrer que la connexion canonique V est — contrairement au cas classique —, fortement non
numéro 3, pour tout xeM fixé, la forme nous donne dans E=(E, |.|), et donc aussi dans Mx E, un produit scalaire hilbertien. Il est facile de voir [8], que la dérivée N'(x)=dN de N est une application linéaire M → M, qui est symétrique par rapport à G(x), et qu'on a [en désignant, pour abréger, N'=N'(x)], l'expression pour le tenseur de courbure R = R (x) de V, (X, Y, Z e M). 7. La géométrie donnée sur les hypersurfaces par la connexion canonique V possède quelques propriétés de la géométrie classique des surfaces, [8]. Par exemple, les chemins V-autoparallèles sont donnés sur la sphère M = S^r (x_0) par les « grands cercles » (x_0 + L) DM, (L e E désignant un sous-espace vectoriel de dimension deux quelconque). D'autre part, on peut montrer que la connexion canonique V est — contrairement au cas classique —, fortement non métrique, n'admettant pas en général une métrique (des courbes) parallèle, soit riemannienne soit finslerienne. Cependant, une structure riemannienne G/M de classe Cs, (s=1, q = 2), avec la connexion métrique de Levi-Civita D, est donnée par (7) sur chaque C-hypersurface possédant une C'-position dans E, (p^2, cj^3). En effet, il est facile de montrer que pour x e M la projection P(x) de la distance minimale sur Mx est orthogonale par rapport à G (x). PROPOSITION 2. — Supposons que la partie ouverte McS, (x0) de la sphère Sr (x0) de E possède une C-position dans E avec q^3. Alors les chemins V-autoparallèles donnés sur M par (x0 + L) O M sont aussi D-autoparallèles si et seulement si le sous-espace vectoriel L de dimension deux admet une projection Q : E -> L sur lui-même, telle que Dans la suite, la différentiabilité est toujours au sens de Fréchet et les espaces de Banach envisagés sont toujours réflexifs. 688 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 685-688, 1987 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] E. CARTAN, La géométrie de Finsler, Hermann, Paris, 1934. [2] J. DIESTEL, Geometry of Banach spaces, Selected topics, Lecture Notes in Math., n° 485, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New
est facile de montrer que pour x e M la projection P(x) de la distance minimale sur Mx est orthogonale par rapport à G (x). PROPOSITION 2. — Supposons que la partie ouverte McS, (x0) de la sphère Sr (x0) de E possède une C-position dans E avec q^3. Alors les chemins V-autoparallèles donnés sur M par (x0 + L) O M sont aussi D-autoparallèles si et seulement si le sous-espace vectoriel L de dimension deux admet une projection Q : E -> L sur lui-même, telle que Dans la suite, la différentiabilité est toujours au sens de Fréchet et les espaces de Banach envisagés sont toujours réflexifs. 688 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 685-688, 1987 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] E. CARTAN, La géométrie de Finsler, Hermann, Paris, 1934. [2] J. DIESTEL, Geometry of Banach spaces, Selected topics, Lecture Notes in Math., n° 485, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1975. [3] R. FORTET, Remarques sur les espaces uniformément convexes, Bull. Soc. Math. Fr., 69, 1941, p. 23-46. [4] H. HAAHTI et S. HEIKKILA, On generalized parallel translations, Acta Univ. Oui, A 70, 1978. [5] R. C. JAMES, Inner products in normed linear spaces, Bull. Amer. Math. Soc, 53, 1947, p. 559-566. [6] A. KAWAGUCHI, On the theory of non-linear connections II. Theory of Minkowski spaces and on non-linear connections in a Finsler space, Tensor, N.S. 6, 1956, p. 165-199. [7] S. KIKUCHI, Theory of Minkowski space and on non-linear connections in a Finsler space, Tensor, N.S. 12, 1962, p. 47-60. [8] S. KINNUNEN, Linear connections on hypersurfaces of a Banach space, Ann. Acad. Sci Fenn., Ser. A., Mathematica Dissertationes (à paraître). [9] S. KINNUNEN, On Projections and Birkhoff-James Orthogonality in Banach Spaces, Nieuw Archief voor Wiskunde, (4), 2, 1984, p. 235-255. [10] D. LAUGWITZ et E. R. LORCH, Riemannian metrics associated with convex bodies and normed spaces, Amer. J. Math., 78, 1956, p. 889-894. [11] A. LICHNEROWICZ, Géométrie des groupes de transformations, Dunod, Paris, 1958. [12] J. LOUDENSTRAUSS et L. TZAFRIRI, Classical Banach spaces 1, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1977. [13] E. R. LORCH, A curvature study of convex
1947, p. 559-566. [6] A. KAWAGUCHI, On the theory of non-linear connections II. Theory of Minkowski spaces and on non-linear connections in a Finsler space, Tensor, N.S. 6, 1956, p. 165-199. [7] S. KIKUCHI, Theory of Minkowski space and on non-linear connections in a Finsler space, Tensor, N.S. 12, 1962, p. 47-60. [8] S. KINNUNEN, Linear connections on hypersurfaces of a Banach space, Ann. Acad. Sci Fenn., Ser. A., Mathematica Dissertationes (à paraître). [9] S. KINNUNEN, On Projections and Birkhoff-James Orthogonality in Banach Spaces, Nieuw Archief voor Wiskunde, (4), 2, 1984, p. 235-255. [10] D. LAUGWITZ et E. R. LORCH, Riemannian metrics associated with convex bodies and normed spaces, Amer. J. Math., 78, 1956, p. 889-894. [11] A. LICHNEROWICZ, Géométrie des groupes de transformations, Dunod, Paris, 1958. [12] J. LOUDENSTRAUSS et L. TZAFRIRI, Classical Banach spaces 1, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1977. [13] E. R. LORCH, A curvature study of convex bodies in Banach spaces, Ann. mat. pura appl, (4), 34, 1953, p. 105-112. [14] F. NEVANLINNA et R. NEVANLINNA, Absolute analysis, Grundlehren math. Wiss., 102, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York, 1973. [15] M. A. G. WALKER, Distributions and global connections, Colloque de géométrie différentielle globale, Gauthier-Villars, Paris, 1959. [16] O. VARGA, Die Krümmung der Eichfläche des Minkowskischen Raumes und die geometrische Deutung des einen Krümmungstensors des Finslerschen Raumes, Abhandlungen aus dem Math. Sem. der Universität Hamburg, 20, 1955, p. 41-51. Department of Mathematics, University ofOulu, Linnanmaa, 90570 Oulu, Finland. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 689-692, 1987 689 Topologie/ Topology Applications du théorème de Frostman à la dimension des ensembles de Cantor réguliers Gérard MICHON Résumé — Nous appliquons aux ensembles de Cantor ultramétriques (et plus généralement réguliers) le théorème de Frostman, énoncé pour les arbres et les modules dans la Note [1]. Il permet d'établir, pour ces ensembles, l'égalité de diverses dimensions usuelles. En rapport avec ce théorème, nous dégageons la notion de présentation d'un ensemble de Cantor par arbre et modules. Deux exemples illustrent l'intérêt de cette notion. Applications of a theorem of Frostman to the dimension of regular Cantor sets Abstract — Frostman's theorem for
Krümmung der Eichfläche des Minkowskischen Raumes und die geometrische Deutung des einen Krümmungstensors des Finslerschen Raumes, Abhandlungen aus dem Math. Sem. der Universität Hamburg, 20, 1955, p. 41-51. Department of Mathematics, University ofOulu, Linnanmaa, 90570 Oulu, Finland. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 689-692, 1987 689 Topologie/ Topology Applications du théorème de Frostman à la dimension des ensembles de Cantor réguliers Gérard MICHON Résumé — Nous appliquons aux ensembles de Cantor ultramétriques (et plus généralement réguliers) le théorème de Frostman, énoncé pour les arbres et les modules dans la Note [1]. Il permet d'établir, pour ces ensembles, l'égalité de diverses dimensions usuelles. En rapport avec ce théorème, nous dégageons la notion de présentation d'un ensemble de Cantor par arbre et modules. Deux exemples illustrent l'intérêt de cette notion. Applications of a theorem of Frostman to the dimension of regular Cantor sets Abstract — Frostman's theorem for trees and modulus [1] is applied to ultrametric Cantor sets and in général to regular Cantor sets. We get, for these sets, equality for the different dimensions usually considered. In this context we introduce the notion of presentation of a Cantor set. It is given by a tree and a modulus. Two examples enlighten the usefulness of this notion. 0. INTRODUCTION. — Cette Note est la suite de la Note [1]. Elle en reprend les concepts et les notations. Dans cette dernière Note, nous énoncions le théorème de Frostman pour les arbres munis d'un module. Il nous permettait d'étendre aux ensembles de Cantor réguliers un résultat classique ([2], p. 27). Nous traitons ici quelques applications de ce théorème selon le plan suivant: — À tout module strictement positif sur un arbre nous associons une distance ultramétrique sur l'ensemble limite. Il suit du théorème de Frostman que l'ordre d'un module peut toujours être interprété comme une dimension de Hausdorff. La classe des ensembles de Cantor ainsi obtenue joue un rôle particulier : du point de vue méthodologique, nous considérons les ensembles de Cantor ultramétriques comme des modèles. Ces modèles sont présentables par un arbre et un module, de la même façon