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sens de cette structure • ad (C) C = [C, C] L'opérateur d est alors, au signe près, ad(P) et, par l'identité de Jacobi des algèbres graduées, si C est de degré q, Donc [ , ] induit une structure d'algèbre de Lie graduée sur H]oc (N) = H (Aloc (N), d), qui sera encore notée [ , ] Si ReAi-din>c(N), ad(R) a un comportement agréable vis-à-vis du produit extérieur . si R et T sont respectivement de degrés r et t, 0249-6321/85/03000009 $ 2 00 © Académie des Sciences 10 C. R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 Dans le cas où R n'est pas 1-différentiable et nc, la formule précédente se complique d'un terme qui met en jeu 80 R où : On notera u la multiplication extérieure|i(C) C' = C A C; enfin, si T : Aloc(N) -> Al0C(N) commute avec d, on notera T# l'opérateur qu'il induit en cohomologie. Le théorème suivant a été annoncé dans [2]. THÉORÈME 1. — On a Plus précisément, pour tout cocycle R de Ai<Mf>c(N), ad(R)t est nul dans Hlocnc(N). Preuve. — Nous appellerons espace différentiel local (X, d) un espace dont les éléments sont des opérateurs locaux sur M (entre des espaces de sections de fibres sur M), qui soit un N-module stable par sommes localement finies. Soit U,(ieN) un recouvrement ouvert de M, localement fini et tel que, pour toute partie (oc0, . . ., <xp) de N telle que UOE=Uao H • • • O UE #0, Ua soit contractile. On note ^(X) l'espace des applications qui, à chaque a tel que #a=/7 + 1 et UB^0, associe la restriction à U„ d'un élément de X L'espace "^(X) est la somme directe des ^(X). La différentielle S de Cech y est définie de la façon usuelle . Si (X, ô) est lui-même gradué : X= ©X«, l'espace 'g'(X) est bigradué par les <gp(Xq) et est un complexe double pour : Soit cp, une partition de l'unité localement finie et subordonnée aux U, Alors, si, pour p>0, on sait que k°t) + 5°k = id
locaux sur M (entre des espaces de sections de fibres sur M), qui soit un N-module stable par sommes localement finies. Soit U,(ieN) un recouvrement ouvert de M, localement fini et tel que, pour toute partie (oc0, . . ., <xp) de N telle que UOE=Uao H • • • O UE #0, Ua soit contractile. On note ^(X) l'espace des applications qui, à chaque a tel que #a=/7 + 1 et UB^0, associe la restriction à U„ d'un élément de X L'espace "^(X) est la somme directe des ^(X). La différentielle S de Cech y est définie de la façon usuelle . Si (X, ô) est lui-même gradué : X= ©X«, l'espace 'g'(X) est bigradué par les <gp(Xq) et est un complexe double pour : Soit cp, une partition de l'unité localement finie et subordonnée aux U, Alors, si, pour p>0, on sait que k°t) + 5°k = id et il en résulte que Hp(<g(X), d') = 0 si p>0 et que H°(<g(X), d') s'identifie à X par l'application . Il résulte d'un théorème classique [(3), th 4 8.1] que x X ->^(X) induit un îsomorphisme en cohomologie. Si X est le complexe de Rham, ou, ce qui revient au même, l'espace (Ai-diir,«c(N)), d), le même théorème, appliqué en permutant les rôles de ô et d, indique que l'application : définie par l'inclusion R c A°(M) =N induit un îsomorphisme C. R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 11 La combinaison de ces deux isomorphismes montre que, si C est un cocycle de Ai<Mf,„c(N), xC est cohomologue pour d à un élément de la forme aC, où Ce<g(U) est un cocycle pour 5 Ce que nous venons de décrire est une des façons d'établir l'isomorphisme entre les cohomologies de Cech et de Rham de M, exposée ici sans recourir aux faisceaux. Ce rappel était nécessaire, à cause du rôle joué par le complexe double (<g'(X), d) dans la suite de la démonstration. Soient à présent R un cocycle de Aidifr<NC> et S un cocycle de A]oc nc(N) On étend ad (S) de A,0C(N) à <g?(A]oc(N))
au même, l'espace (Ai-diir,«c(N)), d), le même théorème, appliqué en permutant les rôles de ô et d, indique que l'application : définie par l'inclusion R c A°(M) =N induit un îsomorphisme C. R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 11 La combinaison de ces deux isomorphismes montre que, si C est un cocycle de Ai<Mf,„c(N), xC est cohomologue pour d à un élément de la forme aC, où Ce<g(U) est un cocycle pour 5 Ce que nous venons de décrire est une des façons d'établir l'isomorphisme entre les cohomologies de Cech et de Rham de M, exposée ici sans recourir aux faisceaux. Ce rappel était nécessaire, à cause du rôle joué par le complexe double (<g'(X), d) dans la suite de la démonstration. Soient à présent R un cocycle de Aidifr<NC> et S un cocycle de A]oc nc(N) On étend ad (S) de A,0C(N) à <g?(A]oc(N)) en posant : H est trivial que ad (S) commute avec d" (parce que S est cocycle) et avec d! et que x°ad (S) = ad (S) ° T. Cela étant, x [S, R]=ad (S) x R est cohomologue à ad (S) a R' pour un R'e<#(IR). Comme S est nul sur les constantes, il est trivial que [S|Uct, R^] = 0 pour tout a, donc x [S, R] et, de là, [S, R] sont cohomologues à zéro dans Aloc nc (N) Pour déterminer le comportement de ad(R)t (R cocycle 1-diff, ne) dans H(Aioc(N), d), il est utile de rappeler la description de Aloc (N) à partir de Aloc „c (N) si C e Aloc (N), il se décompose de façon unique en : C, C" e Aloc nc(N), où 1 est l'application identique de N dans lui-même. En fait, PROPOSITION 2. — Si R est un cocycle 1-différentiable et nc de degré r et S un cocycle local de degré s, [R, S] est cohomologue à (— 1)S+1)R A i(l)S Preuve Soit S = S' + 1 A S", où S' et S" = i(l)S sont nc. Soit TeA]oc(N) Posons U'(T)C = CAT dans Aloc(N). On peut étendre u'(T)
nul sur les constantes, il est trivial que [S|Uct, R^] = 0 pour tout a, donc x [S, R] et, de là, [S, R] sont cohomologues à zéro dans Aloc nc (N) Pour déterminer le comportement de ad(R)t (R cocycle 1-diff, ne) dans H(Aioc(N), d), il est utile de rappeler la description de Aloc (N) à partir de Aloc „c (N) si C e Aloc (N), il se décompose de façon unique en : C, C" e Aloc nc(N), où 1 est l'application identique de N dans lui-même. En fait, PROPOSITION 2. — Si R est un cocycle 1-différentiable et nc de degré r et S un cocycle local de degré s, [R, S] est cohomologue à (— 1)S+1)R A i(l)S Preuve Soit S = S' + 1 A S", où S' et S" = i(l)S sont nc. Soit TeA]oc(N) Posons U'(T)C = CAT dans Aloc(N). On peut étendre u'(T) à <g>(Aloc(N)) par (Li'(T)C)a = COE A T|Uo. Il est clair que u'(T) commute avec d' et si 6T=0, qu'il commute avec d". Reprenons les notations de la preuve précédente et notons ~ pour « cohomologue à ». Soit xR ~ aR', où R'e<#(R) est un cocycle pour 5. On a . Puisque [aR', S'] et [aR', S"] sont nuls, il résulte de (*) que . Clairement, [aR', 1]= -aR'. Donc : d'où la thèse Il peut être intéressant de noter les deux formules suivantes, dont la première découle trivialement de (*). Pour la deuxième, nous ne connaissons pas d'analogue de (*). PROPOSITION 3. — Si R et S sont des cocycles de degré r et s de Aloc(N). 12 C. R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 (i) Si R est 1-différentiable nc et S nc, on a dans Hloc(N, 9) (ii) Si R est 1-différentiable nc, on a, dans Hloc(N, d) Preuve de (i). — Si T est un cocycle et si xR ~ aR', R' cocycle de <#(R), Comme ad (S) est IR-lméaire et a R' à valeurs dans U, on a . Remise le 29 octobre 1984 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A NIJENHUIS
a . Puisque [aR', S'] et [aR', S"] sont nuls, il résulte de (*) que . Clairement, [aR', 1]= -aR'. Donc : d'où la thèse Il peut être intéressant de noter les deux formules suivantes, dont la première découle trivialement de (*). Pour la deuxième, nous ne connaissons pas d'analogue de (*). PROPOSITION 3. — Si R et S sont des cocycles de degré r et s de Aloc(N). 12 C. R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 (i) Si R est 1-différentiable nc et S nc, on a dans Hloc(N, 9) (ii) Si R est 1-différentiable nc, on a, dans Hloc(N, d) Preuve de (i). — Si T est un cocycle et si xR ~ aR', R' cocycle de <#(R), Comme ad (S) est IR-lméaire et a R' à valeurs dans U, on a . Remise le 29 octobre 1984 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A NIJENHUIS et R RICHARDSON, J Math and Mech, 17, 1967, p 89 [2] M DE WILDE et P B A LECOMTE, Lett Math Phys, 7, 1983, p 487 3] R. GODEMENT, Théorie des faisceaux, Hermann, Paris, 1958. Université de Liège, Institut de Mathématiques, avenue des Tilleuls, 15, 4000 Liège, Belgique. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985. DIFFÉRENTEIELLE GEOMÉTRIE - Suites d'Atiyah et feuilletages transversalement complèts. Note de Rui Almeida et Pierre Molino, présentée par André Lichnerowicz. On considère les suites d'Atiyah abstraites (ou algebroids de Lie transitifs). Une telle suite d'Atiyah peut être associée à un fibré principal, mais aussi à un feuilletage transversalement complet (ou, plus généralement à un « fibre en feuilletages de Lie »). On relie la développabilité du feuilletage à la possibilité de réaliser sa suite d'Atiyah comme suite d'Atiyah d'un fibré principal. DIFFÉRENTEIELLE GEOMÉTRIE - Atiyah Séquences and Transversally Complete Foliation. We consider abstract Atiyah séquences (or transitive Lie algebroids). Such a séquence is associated not only with a principal fiber bundle, but also with a transversally complete foliation (more generally with a fiber bundle with a Lie foliation as typical fiber). In this case, the foliation is developpable if
R. Acad. Sci. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985. DIFFÉRENTEIELLE GEOMÉTRIE - Suites d'Atiyah et feuilletages transversalement complèts. Note de Rui Almeida et Pierre Molino, présentée par André Lichnerowicz. On considère les suites d'Atiyah abstraites (ou algebroids de Lie transitifs). Une telle suite d'Atiyah peut être associée à un fibré principal, mais aussi à un feuilletage transversalement complet (ou, plus généralement à un « fibre en feuilletages de Lie »). On relie la développabilité du feuilletage à la possibilité de réaliser sa suite d'Atiyah comme suite d'Atiyah d'un fibré principal. DIFFÉRENTEIELLE GEOMÉTRIE - Atiyah Séquences and Transversally Complete Foliation. We consider abstract Atiyah séquences (or transitive Lie algebroids). Such a séquence is associated not only with a principal fiber bundle, but also with a transversally complete foliation (more generally with a fiber bundle with a Lie foliation as typical fiber). In this case, the foliation is developpable if and only if its Atiyah séquence may be realized as the Atiyah séquence of a principal fiber bundle. La différentiabilité est entendue au sens C^1. Dans la suite, W sera une variété connexe, TW son fibre tangent et A^0(W) l'anneau de ses fonctions différentiables. Si L est un fibré vectoriel sur W, on note L le module A^0(W)-modules de ses sections différentiables. I SUITES D'ATIYAH ABSTRAITES ET PROBLÈME DE RÉALISATION - Considérons une suite p exacte de fibres vectoriels sur W, 0 -* I -* L -* TW -* 0, et notons p L -> TW l'homomorphisme A^0(W)-modules défini par p. Supposons que L est muni d'un crochet d'algèbre de Lie de manière que On aura alors une suite exacte de A^0(W)-modules et d'algèbres de Lie, qui sera dite suite d'Atiyah (SA) abstraite de base W. Cette notion est équivalente à la notion d'algèbre de Lie transitif, voir J. Pradines [7]. On observera que le crochet induit sur I munit (W étant connexe) le fibre vectoriel I d'une structure de fibre en algèbres de Lie dont la fibre-type g sera dite algèbre de Lie structurale de la SA. Si B(W,p, G) est un G-fibré principal, L(E)=TE/G, le crochet des champs
sur W, on note L le module A^0(W)-modules de ses sections différentiables. I SUITES D'ATIYAH ABSTRAITES ET PROBLÈME DE RÉALISATION - Considérons une suite p exacte de fibres vectoriels sur W, 0 -* I -* L -* TW -* 0, et notons p L -> TW l'homomorphisme A^0(W)-modules défini par p. Supposons que L est muni d'un crochet d'algèbre de Lie de manière que On aura alors une suite exacte de A^0(W)-modules et d'algèbres de Lie, qui sera dite suite d'Atiyah (SA) abstraite de base W. Cette notion est équivalente à la notion d'algèbre de Lie transitif, voir J. Pradines [7]. On observera que le crochet induit sur I munit (W étant connexe) le fibre vectoriel I d'une structure de fibre en algèbres de Lie dont la fibre-type g sera dite algèbre de Lie structurale de la SA. Si B(W,p, G) est un G-fibré principal, L(E)=TE/G, le crochet des champs invariants à droite définit la SA du fibre principal, introduite par Atiyah [1]: Une telle SA sera dite principale. On notera que son algèbre de Lie structurale est l'algèbre de Lie à droite g~ du groupe G. Étant donné une SA abstraite, une réalisation principale de cette suite sera un isomorphisme sur une SA principale. Un résultat de J. Pradines [8] sur la théorie de Lie pour les groupoides différentiables, traduit dans le langage précédent, assure l'existence d'une telle réalisation pour toute SA abstraite. En fait nous donnerons par la suite, en utilisant la théorie des feuilletages transversalement complets, un contre-exemple à cette assertion. IL RÉALISATIONS FEUILLETÉES DES SUITES D'ATIYAH - Soient (V, EF) un feuilletage transversalement complet [5], TV -> W la fibration basique et /(V, EF) l'algèbre de Lie des champs transverses, on a une suite exacte d'algèbres de Lie et de A^0(W)-modules (voir [2] pour le cas transversalement parallélisable, et [5] pour le cas général) : que nous appellerons suite d'Atiyah du feuilletage. Son algèbre de Lie structurale coïncide avec celle de (V, EF), telle qu'elle a été définie dans [5] On peut élargir l'exemple précédent de manière à généraliser à la fois (2) et (3). Nous
isomorphisme sur une SA principale. Un résultat de J. Pradines [8] sur la théorie de Lie pour les groupoides différentiables, traduit dans le langage précédent, assure l'existence d'une telle réalisation pour toute SA abstraite. En fait nous donnerons par la suite, en utilisant la théorie des feuilletages transversalement complets, un contre-exemple à cette assertion. IL RÉALISATIONS FEUILLETÉES DES SUITES D'ATIYAH - Soient (V, EF) un feuilletage transversalement complet [5], TV -> W la fibration basique et /(V, EF) l'algèbre de Lie des champs transverses, on a une suite exacte d'algèbres de Lie et de A^0(W)-modules (voir [2] pour le cas transversalement parallélisable, et [5] pour le cas général) : que nous appellerons suite d'Atiyah du feuilletage. Son algèbre de Lie structurale coïncide avec celle de (V, EF), telle qu'elle a été définie dans [5] On peut élargir l'exemple précédent de manière à généraliser à la fois (2) et (3). Nous appellerons g-feuilletage de Lie un triple (F, #, g), où g est une sous-algèbre de Lie de / (F, EF) de dimension égale à la codimension du feuilletage, et dont les éléments engendrent en chaque point l'espace transverse aux feuilles. Nous noterons <F, #, g>, et nous appellerons faisceau fondamental (ou, dans la terminologie de [6], faisceau transverse central) du feuilletage de Lie, le faisceau des germes de champs transverses qui commutent avec g. C'est un faisceau transitif, localement trivial, de fibre-type g~, opposée à g. Soit maintenant p : E -> W une fibration localement triviale de fibre-type F. On se donne (i) un feuilletage EF-vertical transversalement complet sur E; (ii) une algèbre de Lie se =< I (E, EF) de champs transverses p-projetables, dont la projection sur W détermine une SA de base W. On suppose en outre que se est (transversalement) transitive sur (E, EF), que tout champ complet de W se relève dans se en un champ transverse provenant d'un champ feuilleté complet et que le faisceau <E>(E) des germes de champs transverses commutant avec se est transitif sur les fibres. Dans ces conditions, si g est l'algèbre de Lie structurale de la SA, les champs
(ou, dans la terminologie de [6], faisceau transverse central) du feuilletage de Lie, le faisceau des germes de champs transverses qui commutent avec g. C'est un faisceau transitif, localement trivial, de fibre-type g~, opposée à g. Soit maintenant p : E -> W une fibration localement triviale de fibre-type F. On se donne (i) un feuilletage EF-vertical transversalement complet sur E; (ii) une algèbre de Lie se =< I (E, EF) de champs transverses p-projetables, dont la projection sur W détermine une SA de base W. On suppose en outre que se est (transversalement) transitive sur (E, EF), que tout champ complet de W se relève dans se en un champ transverse provenant d'un champ feuilleté complet et que le faisceau <E>(E) des germes de champs transverses commutant avec se est transitif sur les fibres. Dans ces conditions, si g est l'algèbre de Lie structurale de la SA, les champs transverses de se verticaux au-dessus d'un point y de W définissent sur la fibre en y une structure de g-feuilletage de Lie. D'autre part, le faisceau <E>(E) est un faisceau localement trivial de fibre-type g~, qui induit sur chaque fibre le faisceau fondamental de cette fibre. On dira que E(W,p, EF, se) est un fibre en feuilletages de Lie dont g est l'algèbre de Lie structurale et <E>(E) le faisceau fondamental. La SA est dite suite d'Atiyah du fibre E. Une telle SA est dite feuilletée. Étant donnée la SA abstraite, une réalisation feuilletée de cette suite sera un isomorphisme sur une SA feuilletée. Étant donné un fibre en feuilletages de Lie E(W,p, EF, se), il est naturel de se demander à quelle condition sa SA (4) admet une réalisation principale, le résultat suivant, dont le lien avec les idées de A. Haefliger [4] serait à préciser, relie cette propriété à la développabilité du feuilletage EF. Rappelons que EF est développable si son pull-back sur le revêtement universel Ê de E est un feuilletage simple. THÉORÈME. - Soit E(W,p, EF, se) un fibre en feuilletages de Lie. Sa SA admet une réalisation principale si, et seulement si, le feuilletage F
EF, se) est un fibre en feuilletages de Lie dont g est l'algèbre de Lie structurale et <E>(E) le faisceau fondamental. La SA est dite suite d'Atiyah du fibre E. Une telle SA est dite feuilletée. Étant donnée la SA abstraite, une réalisation feuilletée de cette suite sera un isomorphisme sur une SA feuilletée. Étant donné un fibre en feuilletages de Lie E(W,p, EF, se), il est naturel de se demander à quelle condition sa SA (4) admet une réalisation principale, le résultat suivant, dont le lien avec les idées de A. Haefliger [4] serait à préciser, relie cette propriété à la développabilité du feuilletage EF. Rappelons que EF est développable si son pull-back sur le revêtement universel Ê de E est un feuilletage simple. THÉORÈME. - Soit E(W,p, EF, se) un fibre en feuilletages de Lie. Sa SA admet une réalisation principale si, et seulement si, le feuilletage F est développable. L'idée de la preuve est la suivante : si (4) admet une réalisation principale à l'aide d'un fibre principal E'(W,p', G'), les champs feuilletés sur E correspondant à l'algèbre de champs transverses se relèvent dans le produit fibre E [xi] E' en une algèbre de Lie w de champs de vecteurs qui définit une connexion intégrable pour la fibration. Le pull-back de J 5" sur une nappe d'holonomie de cette connexion est alors w un feuilletage simple, défini par la projection sur E'. Réciproquement, si le pull-back à Ê du feuilletage #" est un feuilletage simple #, celui-ci sera, compte tenu de l'existence de champs complets feuilletés, défini par une fibration Ê -» P. La relevée se détermine par projection sur P une algèbre de Lie se de champs de vecteurs projetables sur W. P étant simplement connexe, l'algèbre de Lie commutante de se est transitive sur les composantes connexes des fibres de P^W En utilisant une scission de la SA, on définit une « connexion » sur P qui permet de munir P d'une structure de fibre principal de base W, la loi de groupe sur la fibre-type se définissant par composition des relevés horizontaux de lacets.
champs de vecteurs qui définit une connexion intégrable pour la fibration. Le pull-back de J 5" sur une nappe d'holonomie de cette connexion est alors w un feuilletage simple, défini par la projection sur E'. Réciproquement, si le pull-back à Ê du feuilletage #" est un feuilletage simple #, celui-ci sera, compte tenu de l'existence de champs complets feuilletés, défini par une fibration Ê -» P. La relevée se détermine par projection sur P une algèbre de Lie se de champs de vecteurs projetables sur W. P étant simplement connexe, l'algèbre de Lie commutante de se est transitive sur les composantes connexes des fibres de P^W En utilisant une scission de la SA, on définit une « connexion » sur P qui permet de munir P d'une structure de fibre principal de base W, la loi de groupe sur la fibre-type se définissant par composition des relevés horizontaux de lacets. REMARQUE — Le théorème précédent donne en particulier une caractérisation des feuilletages transversalement complets qui sont développables. Il n'est pas difficile, à partir du résultat précédent, de construire une SA qui n'admette pas de réalisation principale : il suffit de considérer sur un groupe de Lie compact et simplement connexe G un sous-groupe de Lie H connexe non fermé. Les classes à gauche de H définissent un feuilletage transversalement complet sur G dont la SA ne peut admettre de réalisation principale. REMARQUE. — Supposons W compacte, et soit (1) une SA de base W et d'algèbre de Lie structurale R. Supposons pour simplifier le fibre en droites I trivial. La donnée d'une scission de (1) définit une 2-forme scalaire sur W, à savoir la « courbure » Q de la connexion correspondante. Le problème de réalisation principale de (1) est alors essentiellement résolu par le théorème d'intégrabilité de Weil (voir la théorie classique de la préquantification [9]). On observe que la classe de cohomologie de Q pouvant s'exprimer comme combinaison de p classes entières, (1) admet une réalisation feuilletée sur un fibre en tores T de base W. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] M ATIYAH, Complex Analytic Connections on Fibre Bundles, Trans
G un sous-groupe de Lie H connexe non fermé. Les classes à gauche de H définissent un feuilletage transversalement complet sur G dont la SA ne peut admettre de réalisation principale. REMARQUE. — Supposons W compacte, et soit (1) une SA de base W et d'algèbre de Lie structurale R. Supposons pour simplifier le fibre en droites I trivial. La donnée d'une scission de (1) définit une 2-forme scalaire sur W, à savoir la « courbure » Q de la connexion correspondante. Le problème de réalisation principale de (1) est alors essentiellement résolu par le théorème d'intégrabilité de Weil (voir la théorie classique de la préquantification [9]). On observe que la classe de cohomologie de Q pouvant s'exprimer comme combinaison de p classes entières, (1) admet une réalisation feuilletée sur un fibre en tores T de base W. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] M ATIYAH, Complex Analytic Connections on Fibre Bundles, Trans Amer Math Soc, 85, 1957, p 181-207 [2] H DRIESSEN, Cohomologie basique des feuilletages de Lie, Thèse 3e cycle, Montpellier, 1976 [3] E FEDIDA, Sur les feuilletages de Lie, Comptes rendus, 272, série A, 1971, p 999-1002 [4] A HAEFLIGER, Pseudogroups of Local Isometries, Conférence au Colloque de Santiago de Compostella, 1984 [5] P MOLINO, Feuilletages transversalement complets et applications, Ann scient Ec Norm Sup, 10, 1977, p 289-307 [6] P MOLINO, Géométrie globale des feuilletages Riemanniens, Proc Kon Ned Akad van Wet, 185, n° 1, 1982, p 45-76 [7] J PRADINES, Théorie de Lie pour les groupoïdes différentiables, Calcul différentiel dans la catégorie des groupoïdes infinitésimaux, Comptes rendus, 264, série A, 1967, p 245-248 [8] J PRADINES, Troisième théorème de Lie pour les groupoïdes différentiables, Comptes rendus, 267, série A, 1968, p 21-23 [9] D SINHA et N WOODHOUSE, Lectures on Geometric Quantization, Lecture Notes in Physics, 53, 1976. Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de Sao-Paulo, Brésil et Institut de Mathématiques, Université des Sciences et Techniques du Languedoc, 34000 Montpellier. C R, 1985, 1er Semestre (T 300) Série 1 — 2 C. R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 17 SYSTÈMES DYNAMIQUES. — Structure