jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
cp est differentiable sur L2(Ω, ℝN), son gradient étant localement Lipschitz continu et vérifiant : (H 3) l'opérateur A envoie Eh sur lui-même et la quantité : AIIL e (wh). e (w,) définit Jn une norme sur Yh uniformément équivalente en h à la norme H 1; (H 4) les espaces Yh, £,h, et Vh vérifient : La première hypothèse est toujours vérifiée en pratique; la seconde est satisfaite pour les matériaux de Maxwell linéaires hétérogènes, pour les fluides de Carreau et pour les matériaux de Bingham généralisés; la troisième requiert la convergence de la règle d'intégration numérique qui utilise les points de Gauss de 2.h pour intégrer l'opérateur d'élasticité sur Yh; enfin l'hypothèse H 4 correspond à la condition inf-sup rencontrée de manière classique dans l'approximation mixte des problèmes de Stokes [3]. Sous ces 4 hypothèses, on peut démontrer [4] : THÉORÈME 5.1. — Sous les hypothèses H1 à H4, l'erreur entre la solution (v, a) du problème continu (3.1)-(3.4) et la solution (vh, ah) de son approximation par éléments finis (4.3)-(4.6) est majorée par : où l'erreur d'interpolation eh (s) est donnée par : Note reçue le 10 août 1987, acceptée le 23 septembre 1987. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] D. BLANCHARD et P. LE TALLEC, Numerical analysis of the equations of small strains quasistatic elastoviscoplasticity, Numer. Math., 50, 1986, p. 147-169. [2] P. GERMAIN, Mécanique des milieux continus, Masson, Paris, 1973. [3] V. GIRAULT et P.-A. RAVIART, Finite element approximation of the Navier Stokes equations, Springer-Verlag, 1986. [4] P. LE TALLEC et M. RAVACHOL, Finite element approximation of progressively incompressible flows (à paraître). [5] J.-J. MOREAU, Fonctionnelles convexes, Cours au Collège de France, Paris, 1966. Service de Mathématiques, Laboratoire central des Ponts et Chaussées, 58, boulevard Lefebvre, 75732 Paris Cedex 15. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 701-704, 1987 701 Problèmes mathématiques de la mécanique/Mat/îematiques Problems in Mechanics Élargissement diphasique d'une nappe tourbillonnaire en dynamique du fluide parfait incompressible Jean DUCHON et Raoul ROBERT Résumé — On présente une version relaxée des équations d'Euler incompressibles autorisant des écoulements feuilletés à deux vitesses. Ces équations relaxées
D. BLANCHARD et P. LE TALLEC, Numerical analysis of the equations of small strains quasistatic elastoviscoplasticity, Numer. Math., 50, 1986, p. 147-169. [2] P. GERMAIN, Mécanique des milieux continus, Masson, Paris, 1973. [3] V. GIRAULT et P.-A. RAVIART, Finite element approximation of the Navier Stokes equations, Springer-Verlag, 1986. [4] P. LE TALLEC et M. RAVACHOL, Finite element approximation of progressively incompressible flows (à paraître). [5] J.-J. MOREAU, Fonctionnelles convexes, Cours au Collège de France, Paris, 1966. Service de Mathématiques, Laboratoire central des Ponts et Chaussées, 58, boulevard Lefebvre, 75732 Paris Cedex 15. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 701-704, 1987 701 Problèmes mathématiques de la mécanique/Mat/îematiques Problems in Mechanics Élargissement diphasique d'une nappe tourbillonnaire en dynamique du fluide parfait incompressible Jean DUCHON et Raoul ROBERT Résumé — On présente une version relaxée des équations d'Euler incompressibles autorisant des écoulements feuilletés à deux vitesses. Ces équations relaxées permettent une évolution diphasique de certaines nappes de tourbillon comme alternative à des solutions discontinues des équations d'Euler. Two-phase widening of a vortex sheet in incompressible perfect fluid dynamics Abstract — We présent a relaxed version of incompressible Euler equations, that permit foliated flows involving two velocities. Thèse relaxed equations allow a two-phase evolution of some vortex sheets, as an alternative to discontinuous solutions of Euler equations. 1. INTRODUCTION. — Le problème de Cauchy pour les équations d'Euler régissant l'évolution d'un fluide parfait incompressible s'écrit : u(t, x) est le champ des vitesses du fluide, x∈ℝ 3. On s'intéresse plus particulièrement à la dynamique des nappes tourbillonnaires, c'est-à-dire au cas où la partie singulière de rot u0 est concentrée sur une surface régulière. Dans le cas particulier où la partie régulière de rot u0 est nulle, si l'on déduit de (E) le système d'équations donnant l'évolution de la nappe de tourbillon ([1], [2], [5], [6]), on s'aperçoit que le problème de Cauchy est mal posé au sens de Hadamard (linéairement et non linéairement, voir [6]), les termes de fréquence dans la donnée initiale se trouvant amplifiés par un facteur e1 c '. Le caractère mal posé du système est couramment
allow a two-phase evolution of some vortex sheets, as an alternative to discontinuous solutions of Euler equations. 1. INTRODUCTION. — Le problème de Cauchy pour les équations d'Euler régissant l'évolution d'un fluide parfait incompressible s'écrit : u(t, x) est le champ des vitesses du fluide, x∈ℝ 3. On s'intéresse plus particulièrement à la dynamique des nappes tourbillonnaires, c'est-à-dire au cas où la partie singulière de rot u0 est concentrée sur une surface régulière. Dans le cas particulier où la partie régulière de rot u0 est nulle, si l'on déduit de (E) le système d'équations donnant l'évolution de la nappe de tourbillon ([1], [2], [5], [6]), on s'aperçoit que le problème de Cauchy est mal posé au sens de Hadamard (linéairement et non linéairement, voir [6]), les termes de fréquence dans la donnée initiale se trouvant amplifiés par un facteur e1 c '. Le caractère mal posé du système est couramment relié à un phénomène physique bien connu sous le nom d'instabilité de Kelvin-Helmholtz. On peut bien sûr, en utilisant les techniques d'échelles de fonctions analytiques à la Ovsjannikov, montrer par des estimations ad hoc l'existence locale en temps d'une solution analytique ([1], [2]). Mais cette démarche conduit à notre avis à des solutions inacceptables, car « non entropiques », bien avant qu'il y ait apparition de singularité. Cette assertion se trouve éclairée par l'étude d'un exemple voisin, techniquement plus simple. Si l'on considère l'évolution de l'interface de deux fluides non miscibles de densités différentes dans un milieu poreux, on s'aperçoit (et ce n'est pas surprenant!) que lorsque le liquide le plus pesant est situé au-dessus, le problème de Cauchy pour l'interface est mal posé (il peut également se résoudre en analytique ([3], [7]); on peut alors montrer que la solution particulière nulle, correspondant à l'interface initiale plane, est non entropique en un sens naturel [8]. Si l'on modélise de façon raisonnable un phénomène physique, on s'attend à obtenir un système d'équations aux dérivées partielles bien posé. Dans le cas des nappes de tourbillon, il semble que la contrainte incorrecte soit l'assertion qu'il existe une surface régulière qui porte à chaque
à des solutions inacceptables, car « non entropiques », bien avant qu'il y ait apparition de singularité. Cette assertion se trouve éclairée par l'étude d'un exemple voisin, techniquement plus simple. Si l'on considère l'évolution de l'interface de deux fluides non miscibles de densités différentes dans un milieu poreux, on s'aperçoit (et ce n'est pas surprenant!) que lorsque le liquide le plus pesant est situé au-dessus, le problème de Cauchy pour l'interface est mal posé (il peut également se résoudre en analytique ([3], [7]); on peut alors montrer que la solution particulière nulle, correspondant à l'interface initiale plane, est non entropique en un sens naturel [8]. Si l'on modélise de façon raisonnable un phénomène physique, on s'attend à obtenir un système d'équations aux dérivées partielles bien posé. Dans le cas des nappes de tourbillon, il semble que la contrainte incorrecte soit l'assertion qu'il existe une surface régulière qui porte à chaque instant le tourbillon. Une manière d'enlever cette contrainte consiste à chercher la solution de (E) sous forme d'un champ u(t, x) irrégulier, par exemple de carré sommable, en écrivant le terme convectif (u.V)u sous la forme conservative 3t(utu). Malheureusement cette démarche naturelle n'a pas abouti. Note présentée par Jean LERAY. 0249-6291/87/03050701 S 2.00 © Académie des Sciences 702 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 701-704, 1987 Nous présentons ici une autre approche du problème. Supposons qu'on ait à l'instant initial deux masses fluides séparées par une nappe de tourbillon. Si l'on supprime la contrainte cinématique que les deux masses fluides demeurent séparées par une interface régulière, on admet qu'elles peuvent s'interpénétrer intimement; on remplace en quelque sorte un modèle « interface » par un modèle « diphasique ». En d'autres termes, dans une démarche inspirée de l'homogénéisation, on va résumer les phénomènes haute fréquence qui font que le problème d'interface est mal posé par un modèle à deux phases qui est en fait une version relaxée canonique des équations d'Euler. Nous appellerons équations d'Euler feuilletées le système relaxé. Ce système est canonique à partir du moment où on admet que l'écoulement a une structure « microscopique
0249-6291/87/03050701 S 2.00 © Académie des Sciences 702 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 701-704, 1987 Nous présentons ici une autre approche du problème. Supposons qu'on ait à l'instant initial deux masses fluides séparées par une nappe de tourbillon. Si l'on supprime la contrainte cinématique que les deux masses fluides demeurent séparées par une interface régulière, on admet qu'elles peuvent s'interpénétrer intimement; on remplace en quelque sorte un modèle « interface » par un modèle « diphasique ». En d'autres termes, dans une démarche inspirée de l'homogénéisation, on va résumer les phénomènes haute fréquence qui font que le problème d'interface est mal posé par un modèle à deux phases qui est en fait une version relaxée canonique des équations d'Euler. Nous appellerons équations d'Euler feuilletées le système relaxé. Ce système est canonique à partir du moment où on admet que l'écoulement a une structure « microscopique » qui s'organise en des feuillets qui glissent les uns sur les autres de façon régulière. Notre but est d'une part d'introduire le système des équations feuilletées, d'autre part de montrer que ce système admet des solutions particulières remarquables. Nous exhiberons une solution stationnaire discontinue des équations d'Euler ordinaires telle qu'il existe une solution diphasique non triviale du système feuilleté, continue pour tout t > 0 et admettant cette solution stationnaire comme condition initiale. Nous conjecturons que la linéarisation du système feuilleté autour de cette solution diphasique conduit à un problème bien posé. Notre démarche est à rapprocher de la définition de solutions mesures pour les systèmes hyperboliques ([4], [11]); mais on travaille ici avec des solutions mesures particulièrement simples, ce qui permet d'expliciter les conditions découlant de la structure microscopique de l'écoulement. On notera que l'incompressibilité ne joue pas un rôle essentiel et qu'on peut établir un modèle diphasique analogue dans le cas des fluides compressibles. 2. LES ÉQUATIONS D'EULER FEUILLETÉES. — Nous introduisons dans ce paragraphe les équations régissant l'évolution d'un écoulement feuilleté incompressible de fluide parfait. On peut se représenter microscopiquement un tel écoulement comme un empilement de feuilles minces formées de deux sortes de fluides F+
qu'il existe une solution diphasique non triviale du système feuilleté, continue pour tout t > 0 et admettant cette solution stationnaire comme condition initiale. Nous conjecturons que la linéarisation du système feuilleté autour de cette solution diphasique conduit à un problème bien posé. Notre démarche est à rapprocher de la définition de solutions mesures pour les systèmes hyperboliques ([4], [11]); mais on travaille ici avec des solutions mesures particulièrement simples, ce qui permet d'expliciter les conditions découlant de la structure microscopique de l'écoulement. On notera que l'incompressibilité ne joue pas un rôle essentiel et qu'on peut établir un modèle diphasique analogue dans le cas des fluides compressibles. 2. LES ÉQUATIONS D'EULER FEUILLETÉES. — Nous introduisons dans ce paragraphe les équations régissant l'évolution d'un écoulement feuilleté incompressible de fluide parfait. On peut se représenter microscopiquement un tel écoulement comme un empilement de feuilles minces formées de deux sortes de fluides F+ et F- de même densité, feuilles qui glissent librement les unes sur les autres de telle sorte que les particules de F+ et F- puissent avoir des vitesses différentes u+ et u-. fi désigne un ouvert de R3, T un réel strictement positif. Les fonctions et champs seront supposés définis et suffisamment réguliers sur [0, T] x fi. Outre u+ et u- on introduit les inconnues : n(t, x) champ de vecteurs unitaires donnant la direction normale aux feuilles, v(t, x) vitesse normale (scalaire) de déplacement des feuilles, e(t, x) concentration locale en fluide F+, p(t, x) pression du fluide. On montre [9] que ces inconnues doivent vérifier le système suivant : — (0) est la condition nécessaire et suffisante de Frobenius qui exprime que, pour tout r, n (t, x) est au voisinage de tout point x le champ des normales à une famille de surfaces (feuilles). — (1), (2), (3) sont des conditions cinématiques qui expriment que la vitesse normale des particules de F+ et F- est la même et est égale à la vitesse normale de déplacement des feuilles. On note P, la projection orthogonale sur le plan normal à n. (1), (2), (3) impliquent que si
et suffisamment réguliers sur [0, T] x fi. Outre u+ et u- on introduit les inconnues : n(t, x) champ de vecteurs unitaires donnant la direction normale aux feuilles, v(t, x) vitesse normale (scalaire) de déplacement des feuilles, e(t, x) concentration locale en fluide F+, p(t, x) pression du fluide. On montre [9] que ces inconnues doivent vérifier le système suivant : — (0) est la condition nécessaire et suffisante de Frobenius qui exprime que, pour tout r, n (t, x) est au voisinage de tout point x le champ des normales à une famille de surfaces (feuilles). — (1), (2), (3) sont des conditions cinématiques qui expriment que la vitesse normale des particules de F+ et F- est la même et est égale à la vitesse normale de déplacement des feuilles. On note P, la projection orthogonale sur le plan normal à n. (1), (2), (3) impliquent que si (0) est satisfaite à l'instant initial elle reste satisfaite à chaque instant. — (4) traduit la conservation du fluide F+ et (5) l'incompressibilité globale du mélange. — (6) est l'équation dynamique portant sur la vitesse moyenne u = eu++(1—e)u-, elle fait apparaître le tenseur de Reynolds e(1 — e)[u]t[u];, où [u] = u+ — u-. — Dans (7), y* désigne l'accélération des particules de F-, y±=wI±-(-(u*. V)u±. L'équation (7) exprime une condition de « feuilletage dynamique » qu'on peut se représenter microscopiquement comme la continuité de la pression à la traversée des feuilles. En oubliant (0), qu'on suppose vérifiée à l'instant initial, et en tenant compte du fait que |n| = 1, on obtient avec (1)...(7) un système de 11 équations à 11 inconnues (scalaires), qu'on appellera système des équations d'Euler feuilletées. On peut vérifier que (S) implique la conservation de l'énergie cinétique totale au cours du mouvement, en prenant comme conditions aux limites des vitesses normales nulles pour F+ et F- sur le bord de fi. À l'interface entre une zone diphasique régie par (S) et une zone monophasique régie par les équations d'Euler on demandera que e, u, p soient continues (en remarquant que u s'étend de façon
[u] = u+ — u-. — Dans (7), y* désigne l'accélération des particules de F-, y±=wI±-(-(u*. V)u±. L'équation (7) exprime une condition de « feuilletage dynamique » qu'on peut se représenter microscopiquement comme la continuité de la pression à la traversée des feuilles. En oubliant (0), qu'on suppose vérifiée à l'instant initial, et en tenant compte du fait que |n| = 1, on obtient avec (1)...(7) un système de 11 équations à 11 inconnues (scalaires), qu'on appellera système des équations d'Euler feuilletées. On peut vérifier que (S) implique la conservation de l'énergie cinétique totale au cours du mouvement, en prenant comme conditions aux limites des vitesses normales nulles pour F+ et F- sur le bord de fi. À l'interface entre une zone diphasique régie par (S) et une zone monophasique régie par les équations d'Euler on demandera que e, u, p soient continues (en remarquant que u s'étend de façon naturelle par u+ ou u- dans les zones monophasiques). 3. EXEMPLE. — Dans le plan de coordonnées (x, y) nous cherchons un écoulement dans une bande B* = {(x, y) | | y | <= p*}, formé d'une solution de (S) dans une bande diphasique B(r) = {(x, y) | |y| <= p(t)} Qui s'élargit progressivement [à partir de u(0)=0]. Cette solution se prolongeant de façon continue pour u (t) <= |y| <= p* par un champ de vitesses u0 (y) parallèle à ox. La vitesse u0 qui est la condition initiale de cet écoulement est une solution stationnaire des équations d'Euler ordinaires. Pour ce faire, on particularise le système (S) (on remarquera qu'en dimension deux la condition (0) est toujours vérifiée) au cas d'une solution invariante en x et dont les lignes de croisement (courbes normales à n) sont des droites. Du fait de l'invariance en x toutes les lignes de croisement se déduisent par translation suivant ox de celle qui passe par l'origine, que nous supposerons donnée par la représentation paramétrique : où u(r) > 0, a est la concentration en fluide F+, i.e. 0 < a < 1 et e(t, y(t, a)) = a. On montre qu'alors
|y| <= p(t)} Qui s'élargit progressivement [à partir de u(0)=0]. Cette solution se prolongeant de façon continue pour u (t) <= |y| <= p* par un champ de vitesses u0 (y) parallèle à ox. La vitesse u0 qui est la condition initiale de cet écoulement est une solution stationnaire des équations d'Euler ordinaires. Pour ce faire, on particularise le système (S) (on remarquera qu'en dimension deux la condition (0) est toujours vérifiée) au cas d'une solution invariante en x et dont les lignes de croisement (courbes normales à n) sont des droites. Du fait de l'invariance en x toutes les lignes de croisement se déduisent par translation suivant ox de celle qui passe par l'origine, que nous supposerons donnée par la représentation paramétrique : où u(r) > 0, a est la concentration en fluide F+, i.e. 0 < a < 1 et e(t, y(t, a)) = a. On montre qu'alors (S) se ramène au système différentiel ordinaire du second ordre : où m = X/u. En introduisant l'angle cp (t) tel que m (t) = cotg cp (t), on montre qu'il existe une solution du système (I) telle que : (*) cp(t) ~ t et p(f) ~ t2 lorsque t -> 0, (**) cp(r), p(î) sont des fonctions strictement croissantes et La vitesse initiale u0 (y) est déterminée par la relation U0(M-(0) = U+(A H(0)> pour tout t. Dans cet exemple u+ (t, p(r)) est parallèle à ox et u0 (y) étendue en une fonction impaire pour y < 0 est discontinue en y=0. 4. COMMENTAIRES. — Une question naturelle soulevée par cet exemple est : « en quoi la solution diphasique est-elle préférable à la solution stationnaire qui lui sert de condition initiale ? ». On peut avancer deux arguments. Le premier est que cette solution est continue pour t > 0. Le second est la conjecture que si on linéarise le système (S) autour de cette solution diphasique on aboutit à un problème linéaire bien posé. Il est naturel également de débattre de la condition d'entropie à rajouter au système pour sélectionner « la bonne » solution. Ici
-> 0, (**) cp(r), p(î) sont des fonctions strictement croissantes et La vitesse initiale u0 (y) est déterminée par la relation U0(M-(0) = U+(A H(0)> pour tout t. Dans cet exemple u+ (t, p(r)) est parallèle à ox et u0 (y) étendue en une fonction impaire pour y < 0 est discontinue en y=0. 4. COMMENTAIRES. — Une question naturelle soulevée par cet exemple est : « en quoi la solution diphasique est-elle préférable à la solution stationnaire qui lui sert de condition initiale ? ». On peut avancer deux arguments. Le premier est que cette solution est continue pour t > 0. Le second est la conjecture que si on linéarise le système (S) autour de cette solution diphasique on aboutit à un problème linéaire bien posé. Il est naturel également de débattre de la condition d'entropie à rajouter au système pour sélectionner « la bonne » solution. Ici la discontinuité initiale engendre du « désordre diphasique » qui peut se quantifier en faisant intervenir une entropie de mélange de densité -eLog(e)-(1-e)Log(1-e). — Les équations feuilletées constituent un modèle décrivant une situation turbulente très particulière dans les équations d'Euler (sans doute la situation la plus simple où l'on peut décrire complètement l'effet d'une structure microscopique particulière sur les équations macroscopiques). En examinant l'équation donnant l'évolution de la vitesse moyenne, on s'aperçoit que le tenseur de Reynolds (terme supplémentaire induit par la turbulence) dépend globalement de l'écoulement et ne peut pas s'exprimer en fonction de quantités moyennées. Autrement dit, ce cas particulier souligne le caractère problématique des relations de fermeture turbulentes (pour une vision homogénéisée de ces relations voir [10]). — On renvoie à [9] pour une présentation détaillée des faits résumés dans cette Note. Résumé d'un texte qui sera conservé 5 ans par les Archives de l'Académie et dont copie peut être obtenue. Note reçue le 15 septembre 1987, acceptée le 21 septembre 1987. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] C. BARDOS, U. FRISCH, C. SULEM et P. L. SULEM, Comm. Math. Phys., 80, 1981, p. 485-516. [2] R. CAFLISCH et O. ORELLANA, Long time existence for slightly perturbed vortex sheets, Preprint,
décrire complètement l'effet d'une structure microscopique particulière sur les équations macroscopiques). En examinant l'équation donnant l'évolution de la vitesse moyenne, on s'aperçoit que le tenseur de Reynolds (terme supplémentaire induit par la turbulence) dépend globalement de l'écoulement et ne peut pas s'exprimer en fonction de quantités moyennées. Autrement dit, ce cas particulier souligne le caractère problématique des relations de fermeture turbulentes (pour une vision homogénéisée de ces relations voir [10]). — On renvoie à [9] pour une présentation détaillée des faits résumés dans cette Note. Résumé d'un texte qui sera conservé 5 ans par les Archives de l'Académie et dont copie peut être obtenue. Note reçue le 15 septembre 1987, acceptée le 21 septembre 1987. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] C. BARDOS, U. FRISCH, C. SULEM et P. L. SULEM, Comm. Math. Phys., 80, 1981, p. 485-516. [2] R. CAFLISCH et O. ORELLANA, Long time existence for slightly perturbed vortex sheets, Preprint, Courant Institute, New York, 1986. [3] J. R. CHAN-HONG, Thèse, Lyon, 1987. [4] R. Di PERNA, Arch. Rat. Mech. Anal, 88, 1985, p. 223-270. [5] J. DUCHON et R. ROBERT, C.R. Acad. Sci. Paris, 302, série I, 1986, p. 183-186. [6] J. DUCHON et R. ROBERT, Global vortex sheet solutions of Euler equations in the plane, J. Diff. Eq. (à paraître). [7] J. DUCHON et R. ROBERT, Annales de l'Institut Fourier, XXXVI, fasc. I, 1986. [8] J. DUCHON et R. ROBERT, Article (à paraître). [9] J. DUCHON et R. ROBERT, Article (à paraître). [10] D. W. Mc LAUGHLIN, G. C PAPANICOLAOU et O. R. PIRONNEAU, S.I.A.M. J. Appl. Math., 45, n° 5, 1985, p. 780-797. [11] D. SERRE, Large oscillations in hyperbolic Systems of conservation laws, Prépublication, Université de Saint-Étienne, 1987. J. D. : La-plaine-Saint-Sauveur, 38160 Saint-Marcellin; R. R. : 21, avenue Plaine-Fleurie, 38240 Meylan. COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES (New Rules as of June 1,1987) INSTRUCTIONS TO AUTHORS (*) In order to be published in the Comptes rendus, a "Note" must represent the first publication of an important discovery or significant new result. It must be communicated by a Member, Foreign Associate or Corresponding Member of the Academy.