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modulus. Two examples enlighten the usefulness of this notion. 0. INTRODUCTION. — Cette Note est la suite de la Note [1]. Elle en reprend les concepts et les notations. Dans cette dernière Note, nous énoncions le théorème de Frostman pour les arbres munis d'un module. Il nous permettait d'étendre aux ensembles de Cantor réguliers un résultat classique ([2], p. 27). Nous traitons ici quelques applications de ce théorème selon le plan suivant: — À tout module strictement positif sur un arbre nous associons une distance ultramétrique sur l'ensemble limite. Il suit du théorème de Frostman que l'ordre d'un module peut toujours être interprété comme une dimension de Hausdorff. La classe des ensembles de Cantor ainsi obtenue joue un rôle particulier : du point de vue méthodologique, nous considérons les ensembles de Cantor ultramétriques comme des modèles. Ces modèles sont présentables par un arbre et un module, de la même façon qu'un groupe peut être présenté par générateurs et relations. La classe des ensembles de Cantor ultramétriques présentés par arbre et module tire une partie de son intérêt du théorème de Frostman. Comme il est clair qu'un ensemble de Cantor contenu dans U" ne peut être isométrique à un espace ultramétrique, on est conduit à admettre, comme isomorphisme de ce type de structure non pas les isométries, mais les quasi-isométries. La classe des ensembles de Cantor ultramétriques, étendue par quasi-isométrie, est la classe des ensembles de Cantor réguliers. Elle est assez vaste pour contenir des ensembles de Cantor plongeables dans W. Nous illustrons cette méthode d'étude des ensembles de Cantor par l'exemple des parfaits isotypiques : Trouver l'arbre et le module qui donnent un modèle quasi-isométrique à un parfait isotypique et calculer sur le modèle, à l'aide de la présentation, les invariants quasi-isométriques (la dimension, en l'occurrence). — Notre approche thermodynamique de la dimension est voisine de [5]. Notons que seule la structure métrique de l'ensemble de Cantor est concernée; le résultat obtenu n'est pas de nature dynamique. Dans ce paragraphe, nous mettons en évidence des ensembles de Cantor dont une puissance de l'ultramétrique est une quasi-mesure, dans un sens qu'on
on est conduit à admettre, comme isomorphisme de ce type de structure non pas les isométries, mais les quasi-isométries. La classe des ensembles de Cantor ultramétriques, étendue par quasi-isométrie, est la classe des ensembles de Cantor réguliers. Elle est assez vaste pour contenir des ensembles de Cantor plongeables dans W. Nous illustrons cette méthode d'étude des ensembles de Cantor par l'exemple des parfaits isotypiques : Trouver l'arbre et le module qui donnent un modèle quasi-isométrique à un parfait isotypique et calculer sur le modèle, à l'aide de la présentation, les invariants quasi-isométriques (la dimension, en l'occurrence). — Notre approche thermodynamique de la dimension est voisine de [5]. Notons que seule la structure métrique de l'ensemble de Cantor est concernée; le résultat obtenu n'est pas de nature dynamique. Dans ce paragraphe, nous mettons en évidence des ensembles de Cantor dont une puissance de l'ultramétrique est une quasi-mesure, dans un sens qu'on explicite. Les parfaits isotypiques et le deuxième exemple sont des paradigmes de cette situation. Note présentée par Jean-Pierre KAHANE. 0249-6291/87/03050689 S 2.00 © Académie des Sciences C. R., 1987, 2e Semestre (T. 305) Série I C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 689-692, 1987 Ces résultats, joints à l'étude de la dimension capacitaire lorsque le potentiel est ultramétrique, feront l'objet d'une publication détaillée. 1. ULTRAMÉTRIQUE ASSOCIÉE À UN MODULE. — Soient (E0, E1, ...) un arbre et Ç : UE -> R^ un module. Si x et y sont des chemins différents qui se séparent en l'indice n^O, on définit une distance ultramétrique 8 sur l'espace compact E en posant 8(x, y)=Ç(xn). Les ultraboules sont ainsi faites : PROPOSITION. — Soient xE, e>0 et k le plus petit entier vérifiant Ç(xk)<s. Pour la métrique S, la boule ouverte de rayon e centrée en x est donnée par nk 1 nk x. L'arbre associé à cette ultramétrique [4] n'est pas l'arbre (E0, E1, ...) mais un nouvel arbre, formé des mêmes noeuds, disposés différemment et avec répétition éventuelle. On peut dire qu'un module réorganise l'arbre, grâce au système de temps d'arrêt (VE|E>0) donné par vε (x) = inf
à l'étude de la dimension capacitaire lorsque le potentiel est ultramétrique, feront l'objet d'une publication détaillée. 1. ULTRAMÉTRIQUE ASSOCIÉE À UN MODULE. — Soient (E0, E1, ...) un arbre et Ç : UE -> R^ un module. Si x et y sont des chemins différents qui se séparent en l'indice n^O, on définit une distance ultramétrique 8 sur l'espace compact E en posant 8(x, y)=Ç(xn). Les ultraboules sont ainsi faites : PROPOSITION. — Soient xE, e>0 et k le plus petit entier vérifiant Ç(xk)<s. Pour la métrique S, la boule ouverte de rayon e centrée en x est donnée par nk 1 nk x. L'arbre associé à cette ultramétrique [4] n'est pas l'arbre (E0, E1, ...) mais un nouvel arbre, formé des mêmes noeuds, disposés différemment et avec répétition éventuelle. On peut dire qu'un module réorganise l'arbre, grâce au système de temps d'arrêt (VE|E>0) donné par vε (x) = inf { n | Ç (xn) < 8}. Lorsque le module Ç est interprété comme un processus décroissant, ce nouveau système de temps d'arrêt correspond au changement de temps. On étend facilement la proposition 1 de [1] : PROPOSITION. — Soient un arbre (E0, E1, ...), un module Ç et 8 l'ultramétrique associée sur l'espace E. L'ordre du module Ç est la dimension de Hausdorff de l'ensemble de Cantor régulier (E, 8). Les ensembles de Cantor construits à l'aide d'un arbre et d'un module servent de structure de référence, de modèle. Le couple arbre, module est appelé une présentation du Cantor (E, 8). Si (E, 8) est un modèle et (X, d) un espace métrique, nous appelons quasi-isométrie une surjection / : E -> X pour laquelle existent deux constantes A, B > 0 telles que pour tous x, y E E, A 8 (x, y) < d (fx, fy) < B 8 (x, y). L'étude des propriétés de l'espace (X, d), invariantes par quasi-isométrie se fait alors via l'arbre (E0, E1, ...) et le module. Par sa définition même, tout ensemble de Cantor régulier est quasi-isométrique à un modèle, et réciproquement. 2. ENSEMBLES ISOTYPIQUES. — Illustrons notre méthode d'étude des
l'ultramétrique associée sur l'espace E. L'ordre du module Ç est la dimension de Hausdorff de l'ensemble de Cantor régulier (E, 8). Les ensembles de Cantor construits à l'aide d'un arbre et d'un module servent de structure de référence, de modèle. Le couple arbre, module est appelé une présentation du Cantor (E, 8). Si (E, 8) est un modèle et (X, d) un espace métrique, nous appelons quasi-isométrie une surjection / : E -> X pour laquelle existent deux constantes A, B > 0 telles que pour tous x, y E E, A 8 (x, y) < d (fx, fy) < B 8 (x, y). L'étude des propriétés de l'espace (X, d), invariantes par quasi-isométrie se fait alors via l'arbre (E0, E1, ...) et le module. Par sa définition même, tout ensemble de Cantor régulier est quasi-isométrique à un modèle, et réciproquement. 2. ENSEMBLES ISOTYPIQUES. — Illustrons notre méthode d'étude des ensembles de Cantor réguliers par un exemple simple qui modélise les parfaits isotypiques [3]. Fixons un entier p>2, une suite (X0, ..., Xp-1) d'éléments de ]0, 1[ et posons I = {0, 1, ..., p-1}. L'arbre qui nous importe ici est l'arbre p-aire (1°, I 1, I 2, ...). L'ensemble U lh est le monoïde libre sur I, usuellement noté I*. Le module Ç : I* -> R ngO est ainsi fait: à la suite finie a=(a0, ..., an-1) élément, il associe le scalaire Ça = Xa0 ... A. . Nous notons C(A, 0, ..., Xp-1) le modèle ainsi constitué: l'espace sous-jacent est IN. Si x et y sont différents — leur plus grand mot commun étant ael — l'ultramétrique est définie par 8(x, y) = Xa0 ... Xan-1. D'autre part, nous dirons que : DÉFINITION. — Un espace métrique compact K est un parfait isotypique de type (X0, ..., Xp-1) s'il existe une application o : K -> K et une partition K0, ...,Kp-1 telles que, pour chaque i = 0, ..., p - 1, d|K, : Kj -> K soit un homéomorphisme vérifiant : d(ax, ay) = Xa-1 d(x, y). On peut construire de tels espaces de la
U lh est le monoïde libre sur I, usuellement noté I*. Le module Ç : I* -> R ngO est ainsi fait: à la suite finie a=(a0, ..., an-1) élément, il associe le scalaire Ça = Xa0 ... A. . Nous notons C(A, 0, ..., Xp-1) le modèle ainsi constitué: l'espace sous-jacent est IN. Si x et y sont différents — leur plus grand mot commun étant ael — l'ultramétrique est définie par 8(x, y) = Xa0 ... Xan-1. D'autre part, nous dirons que : DÉFINITION. — Un espace métrique compact K est un parfait isotypique de type (X0, ..., Xp-1) s'il existe une application o : K -> K et une partition K0, ...,Kp-1 telles que, pour chaque i = 0, ..., p - 1, d|K, : Kj -> K soit un homéomorphisme vérifiant : d(ax, ay) = Xa-1 d(x, y). On peut construire de tels espaces de la façon suivante. Soient (E, d) un espace métrique compact et des applications φ0, ..., (φp-1 : E -> E vérifiant : (i) Pour chaque i = 0, ..., p-1, il existe Xk]0,1[ tel que d(φkx, φky) = Xk d(x, y). (ii) Im(φi) ∩ Im(φj) = 0 si i ≠ j. Un mot P = (p0, p1, ...) de IN étant donné, on envisage la suite décroissante de compacts qui suit : L'intersection des compacts de cette suite est réduite à un point noté /p. On réalise ainsi une application/: IN -> S et on montre facilement que Im /est un parfait isotypique, quasi-isométrique au modèle C(X0, ...,Xp-1). En adaptant cette méthode, on montre qu'à peu de choses près, la distance d'un parfait isotypique est en fait ultramétrique. Précisément : PROPOSITION. — Un parfait isotypique de type (X0, ..., Xp-1) est quasi-isométrique au modèle C(X0, ..., Xp-1). 3. ASPECT THERMODYNAMIQUE DE LA DIMENSION. — Un arbre et un module Ç : JE -> R^ étant donnés, considérons la fonction — Log Ç. Si aeE„ est un noeud de l'arbre, le scalaire — Log Ça est interprété comme une énergie (ou un coût). Ainsi, à un temps d'arrêt Te UE„ est associée
Un mot P = (p0, p1, ...) de IN étant donné, on envisage la suite décroissante de compacts qui suit : L'intersection des compacts de cette suite est réduite à un point noté /p. On réalise ainsi une application/: IN -> S et on montre facilement que Im /est un parfait isotypique, quasi-isométrique au modèle C(X0, ...,Xp-1). En adaptant cette méthode, on montre qu'à peu de choses près, la distance d'un parfait isotypique est en fait ultramétrique. Précisément : PROPOSITION. — Un parfait isotypique de type (X0, ..., Xp-1) est quasi-isométrique au modèle C(X0, ..., Xp-1). 3. ASPECT THERMODYNAMIQUE DE LA DIMENSION. — Un arbre et un module Ç : JE -> R^ étant donnés, considérons la fonction — Log Ç. Si aeE„ est un noeud de l'arbre, le scalaire — Log Ça est interprété comme une énergie (ou un coût). Ainsi, à un temps d'arrêt Te UE„ est associée par restriction la fonction énergie —Log Ç : T->R. À partir de ces données, suivant le formalisme thermodynamique fini, nous introduisons les définitions suivantes : (i) Un état statistique sur le temps d'arrêt T est une probabilité p sur l'ensemble fini T. Remarquons que toute probabilité p sur E induit un état pT sur T, défini par uT (a) = u (nj a) si a e Ek. (ii) L'entropie de l'état p sur T est S(p)= — ∑ pa Log pa. a e T (iii) L'énergie de l'état p sur T est E(p)= — ∑ pa Log pa. a e T Ainsi, si une probabilité u est donnée sur l'ensemble de Cantor E, pour chaque temps d'arrêt T, le scalaire S(I_T)/E(U_T) mesure le taux d'information par unité d'énergie (ou de coût) que donne l'approximation finie T de l'arbre, dans l'état p. De tels quotients sont envisagés par H. Furstenberg [5]. Parmi les états p de T, celui qui maximise le quotient S(p)/E(p) est donné par la probabilité (C,a)T(a)eT), le scalaire sT étant tel que ∑ aTs = 1. En outre, le quotient est alors précisément sT. Ces scalaires définissent une famille (sT|E_T) indexée par le filtre 9~ des temps d'arrêt.
un état pT sur T, défini par uT (a) = u (nj a) si a e Ek. (ii) L'entropie de l'état p sur T est S(p)= — ∑ pa Log pa. a e T (iii) L'énergie de l'état p sur T est E(p)= — ∑ pa Log pa. a e T Ainsi, si une probabilité u est donnée sur l'ensemble de Cantor E, pour chaque temps d'arrêt T, le scalaire S(I_T)/E(U_T) mesure le taux d'information par unité d'énergie (ou de coût) que donne l'approximation finie T de l'arbre, dans l'état p. De tels quotients sont envisagés par H. Furstenberg [5]. Parmi les états p de T, celui qui maximise le quotient S(p)/E(p) est donné par la probabilité (C,a)T(a)eT), le scalaire sT étant tel que ∑ aTs = 1. En outre, le quotient est alors précisément sT. Ces scalaires définissent une famille (sT|E_T) indexée par le filtre 9~ des temps d'arrêt. La proposition qui suit est un corollaire du théorème de Frostman. PROPOSITION. — hm sT est la dimension de Hausdorff de T ensemble de Cantor (E, S). TësEn TësEn si le module vient d'une mesure positive p sur E, les scalaires sT qui précèdent sont tous égaux à 1 si bien que la dimension de Hausdorff du modèle correspondant est 1. Il suit de cela un théorème qui généralise à notre contexte un résultat classique sur la dimension de Hausdorff : THÉORÈME. — Soit Ç un module sur un arbre (E0, Et, . . .) pour lequel existent a>0, une mesure positive p en E et des constantes A, B>0 telles que Ap <^ Bp. Alors : (i) La dimension de Hausdorff de (E, 8) est égale à a. (ii) lim(S(uT)/E(uT)|Te,r) = a. Un exemple de cette situation est donné par le modèle C(X0, . . ., Xp_1) défini plus haut. Soit a le scalaire strictement positif vérifiant X0 + . . . + Xp_1 = 1. La suite C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 689-692, 1987 (Àℓ, . . ., Xp_1) est une probabilité sur I = {0, ..., p- 1} qui s'étend en une
bien que la dimension de Hausdorff du modèle correspondant est 1. Il suit de cela un théorème qui généralise à notre contexte un résultat classique sur la dimension de Hausdorff : THÉORÈME. — Soit Ç un module sur un arbre (E0, Et, . . .) pour lequel existent a>0, une mesure positive p en E et des constantes A, B>0 telles que Ap <^ Bp. Alors : (i) La dimension de Hausdorff de (E, 8) est égale à a. (ii) lim(S(uT)/E(uT)|Te,r) = a. Un exemple de cette situation est donné par le modèle C(X0, . . ., Xp_1) défini plus haut. Soit a le scalaire strictement positif vérifiant X0 + . . . + Xp_1 = 1. La suite C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 689-692, 1987 (Àℓ, . . ., Xp_1) est une probabilité sur I = {0, ..., p- 1} qui s'étend en une probabilité p sur IN. Dans ce cas, on a précisément p = Ça. Ceci prouve que oc est la dimension du modèle C(X0, . . ., Xp_1) et plus généralement, de tout parfait isotypique de type (X0, . . ., Xp_1). On retrouve ainsi un résultat de J. Marion[3]. 4. DEUX CALCULS DE DIMENSION. — Appliquons le théorème précédent au calcul des dimensions de deux exemples. Chacun d'eux, dans sa manière, est nettement plus élaboré que les parfaits isotypiques. Exemple 1. — Soient deux suites de scalaires strictement positifs (Xn | n ³ 0) et (pn | n ³ 0), telles que Xn + pn < 1. On construit un sous-ensemble de Cantor du segment [0, 1] : À la première étape, on ne conserve du segment [0, 1] que [0, X0] et [1 - p0, 1]. À la seconde étape, on effectue sur chaque segment obtenu un découpage similaire, dans le rapport X1 pour les côtés gauches et p1 pour les côtés droits. En itérant cette construction, il ne reste finalement du segment [0, 1] qu'un ensemble de Cantor dont on sait calculer la dimension de Hausdorff dans le cas suivant. PROPOSITION. — On suppose que les suites (Xn|n
DEUX CALCULS DE DIMENSION. — Appliquons le théorème précédent au calcul des dimensions de deux exemples. Chacun d'eux, dans sa manière, est nettement plus élaboré que les parfaits isotypiques. Exemple 1. — Soient deux suites de scalaires strictement positifs (Xn | n ³ 0) et (pn | n ³ 0), telles que Xn + pn < 1. On construit un sous-ensemble de Cantor du segment [0, 1] : À la première étape, on ne conserve du segment [0, 1] que [0, X0] et [1 - p0, 1]. À la seconde étape, on effectue sur chaque segment obtenu un découpage similaire, dans le rapport X1 pour les côtés gauches et p1 pour les côtés droits. En itérant cette construction, il ne reste finalement du segment [0, 1] qu'un ensemble de Cantor dont on sait calculer la dimension de Hausdorff dans le cas suivant. PROPOSITION. — On suppose que les suites (Xn|n ³ 0) et (pn|n ³ 0) convergent vers des scalaires X et u, tels que : (ii) Les séries Yn = Xn - X | et Yn = | pn - p | convergent. Alors l'ensemble de Cantor construit ci-dessus est quasi-isométrique à C(X, p). Sa dimension de Hausdorff est le scalaire oc, vérifiant X + p = 1. Exemple 2. — Soit une matrice pxp irréductible T = (tij), telle que 0 < tij < 1. Si s > 0, notons Ts la matrice dont l'entrée (i, j) est donnée par 0 si îj = 0, 1 sinon. Chaque matrice de la famille (Ts|s > 0) est irréductible et, de ce fait possède une plus grande valeur propre rs. On montre facilement qu'il existe un scalaire a > 0 unique tel que ra = 1. Nous construisons ci-dessous, par son arbre et son module, un modèle dont la dimension de Hausdorff est précisément oc. Arbre. Posons I = {0, . . ., p- 1} et E0 = {a = (a0, . . ., a_p_1) | a_i e R}. L'arbre (E0, E1, . . .) a pour limite le compact E donné par les suites x = (x0, x1, .
le scalaire oc, vérifiant X + p = 1. Exemple 2. — Soit une matrice pxp irréductible T = (tij), telle que 0 < tij < 1. Si s > 0, notons Ts la matrice dont l'entrée (i, j) est donnée par 0 si îj = 0, 1 sinon. Chaque matrice de la famille (Ts|s > 0) est irréductible et, de ce fait possède une plus grande valeur propre rs. On montre facilement qu'il existe un scalaire a > 0 unique tel que ra = 1. Nous construisons ci-dessous, par son arbre et son module, un modèle dont la dimension de Hausdorff est précisément oc. Arbre. Posons I = {0, . . ., p- 1} et E0 = {a = (a0, . . ., a_p_1) | a_i e R}. L'arbre (E0, E1, . . .) a pour limite le compact E donné par les suites x = (x0, x1, . . .) telles que x_i + 1 > 0 pour i = 0 (E est le sous-shift de type fini défini par la matrice d'incidence associée à T). Module. — Si aeE0, on pose Ç,a = t0a1t2 ... tan_2. Le module Ç ainsi construit est strictement positif. (On construit facilement et naturellement des sous-ensembles de Cantor de U quasi-isométriques à ces modèles.) Note reçue le 21 septembre 1987. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] G. MICHON, Le théorème de Frostman pour les ensembles de Cantor réguliers, C. R. Acad. Sci. Paris, 305, série I, 1987, p. 265-268. [2] J.-P. KAHANE et R. SALEM, Ensembles parfaits et séries trigonométriques, Act. sci. ind., fasc. 1301, Hermann, Paris, 1963. [3] J. MARION, Le calcul de la dimension de Hausdorff des sous-ensembles parfaits isotypiques de Rn, C. R. Acad. Sci. Paris, 289, série A, 1979, p. 67-68. [4] G. MICHON, Les Cantors réguliers, C. R. Acad. Sci. Paris, 300, série I, 1985, p. 673-675. [5] H. FURSTENBERG, Intersection of Cantor sets and transversality of semigroups, in: Problems in Analysis R. C. GUNNING éd., Princeton University Press, Princeton, 1970. Laboratoire de Topologie, U.A. n° 755, Département de Mathématiques, Université de Dijon, B.P. n° 138, 21004 Dijon Cedex. C.
et naturellement des sous-ensembles de Cantor de U quasi-isométriques à ces modèles.) Note reçue le 21 septembre 1987. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] G. MICHON, Le théorème de Frostman pour les ensembles de Cantor réguliers, C. R. Acad. Sci. Paris, 305, série I, 1987, p. 265-268. [2] J.-P. KAHANE et R. SALEM, Ensembles parfaits et séries trigonométriques, Act. sci. ind., fasc. 1301, Hermann, Paris, 1963. [3] J. MARION, Le calcul de la dimension de Hausdorff des sous-ensembles parfaits isotypiques de Rn, C. R. Acad. Sci. Paris, 289, série A, 1979, p. 67-68. [4] G. MICHON, Les Cantors réguliers, C. R. Acad. Sci. Paris, 300, série I, 1985, p. 673-675. [5] H. FURSTENBERG, Intersection of Cantor sets and transversality of semigroups, in: Problems in Analysis R. C. GUNNING éd., Princeton University Press, Princeton, 1970. Laboratoire de Topologie, U.A. n° 755, Département de Mathématiques, Université de Dijon, B.P. n° 138, 21004 Dijon Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 693-696, 1987 On démontre que conditionnellement à \(L(H^+)\cap L(H^-)\) les processus \(B(x), x\in H^2,\) et \(B(y), y\in H^2,\) sont indépendants et identiquement distribués avec pour fonction de covariance la fonction de Green de seconde espèce du bilaplacien \(A^2\) défini sur \(H^0.\) Des conséquences de ce résultat sont indiquées. A reflection principle for the Levy Brownian motion depending of three parameters Abstract — Let \(B(x), x\in \mathbb{R}^3,\) be a three parameters Levy Brownian motion. Denote by \(L(H^+)\) and \(L(H^-)\) the closed subspaces of \(L^2\) spanned respectively by \((B(x); X\in H^0 = \mathbb{R}^2 \times ]0, +\infty[\) and \((B(X); X\in H^0 = \mathbb{R}^2 \times [-\infty, 0[\). We prove that conditional on \(L(H^+)\cap L(H^-)\) the processes \(B(x), X\in H^0\) and \(B(y), y\in H^0,\) are independent and identical in law, moreover the associated covariance function coincides with the Green function of the second kind for the bilaplacian \(A^2\) defined on \(H^0.\) Some consequences of this result are mentioned. 1. INTRODUCTION. — On peut voir facilement que la propriété de Markov du mouvement brownien linéaire \(B(t), t\in \mathbb{R}^+, \) comme celle du pont brownien \(PA(t), t\in[0, A], A>0, \) \(PA(0) = PA(A) = 0,\) se déduit directement
Des conséquences de ce résultat sont indiquées. A reflection principle for the Levy Brownian motion depending of three parameters Abstract — Let \(B(x), x\in \mathbb{R}^3,\) be a three parameters Levy Brownian motion. Denote by \(L(H^+)\) and \(L(H^-)\) the closed subspaces of \(L^2\) spanned respectively by \((B(x); X\in H^0 = \mathbb{R}^2 \times ]0, +\infty[\) and \((B(X); X\in H^0 = \mathbb{R}^2 \times [-\infty, 0[\). We prove that conditional on \(L(H^+)\cap L(H^-)\) the processes \(B(x), X\in H^0\) and \(B(y), y\in H^0,\) are independent and identical in law, moreover the associated covariance function coincides with the Green function of the second kind for the bilaplacian \(A^2\) defined on \(H^0.\) Some consequences of this result are mentioned. 1. INTRODUCTION. — On peut voir facilement que la propriété de Markov du mouvement brownien linéaire \(B(t), t\in \mathbb{R}^+, \) comme celle du pont brownien \(PA(t), t\in[0, A], A>0, \) \(PA(0) = PA(A) = 0,\) se déduit directement du fait que la fonction de covariance associée coincide avec une fonction de Green de l'opérateur différentiel \(d^2/dx^2\) (le laplacien sur \(\mathbb{R}\)). Ainsi par exemple la fonction de covariance du pont brownien \(PA(r), t\in[0, A],\) qui s'écrit : est la fonction de Green de l'opérateur \(d^2/dx^2,\) vérifiant la condition de Dirichlet \(KA(0, f) = KA(A, f) = 0.\) Fixons \(t\in]0, A[;\) la fonction est harmonique (sans singularité!), séparément en \(s, t\in[t0, A],\) On en déduit trivialement l'identité : Convenablement interprétées, ces formules traduisent la propriété de Markov du pont brownien. En dimension \(p \geq 2,\) la solution élémentaire du laplacien sur \(\mathbb{R}^p\) présente une singularité qui rend la construction d'un processus gaussien associé impossible. Cela étant, la distance Note présentée par Jean-Pierre KAHANE. 0249-6291/87/03050693 € 2.00 © Académie des Sciences 694 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 693-696, 1987 euclidienne \(||x-y, x, y\in\mathbb{R}^3,\) est, pour \(p\) pair et impair, une solution fondamentale du laplacien itéré \((p+1)/2\)-fois (noté \(A(p+1)/2\)). Une extension au cadre des espaces euclidiens, \(p=3\) et impair, semble donc, a priori, possible; c'est l'objet de la présente Note. Pour simplifier, nous ne traitons que le cas \(p = 3;\) cependant la même méthode conduit vers