jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
carré sommable sur C(N) pour la mesure et Hj(C(N)) l'adhérence de qf(C(N)) dans H1(C(N)). On pose enfin $C= {weH1(C(N))] AueL2(C(N))}. A admet alors une extension auto-adjointe (aussi notée A) de domaine @(A)=Jf nHj(C(N)) On considère également l'extension auto-adjointe de S, de domaine ®(Â) = H2(N) PlHj(N). Soient cpl5 cp2, les fonctions propres de Â, et 0&lt;u1&lt;u2&lt; ... les valeurs propres associées comptées avec leur multiplicité On considère enfin l'opérateur symétrique • l'espace de Sobolev et Hj&gt;(Xj(R+) l'adhérence de Co°(IR+) dans H^(IR+) Soit aussi ^= {ueL2(R+, rmdr)u€L2(R+, rmdr)} et AMj l'extension auto-adjointe de A^ de domaine ^(A(lj) = Hjj (lj(R+) O^. Une méthode de séparation des variables montre que • 0249-6321/85/3000001 $ 2 00 © Académie des Sciences C R, 1985, 1er Semestre (T 300) Série I — 1 2 C. R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 L'analyse spectrale de A se ramène alors à celle de A^ Soit vJ=(uJ + a2)1/2&gt;0, où oc=(l — m)/2 On rappelle ([6]) que la transformation de Hankel définie par pour/eC0°(IR+), où Jv désigne la fonction de Bessel de première espèce et d'ordre vj; se prolonge en un opérateur unitaire de L2(R+, rdr) dans lui-même. On a alors la. PROPOSITION 1.1. — L'application U:u-&gt;(HV (s+auJ))jSll est une représentation spectrale de L2(C(N); rm fgdrdx) sur © L2(R+, XàX) relativement à l'opérateur A. L'opérateur auto-adjoint U°A°U1 est l'opérateur de multiplication A (u,)Jèi-K^2fj)jèi de domaine Si F est une fonction boréeenne définie sur U+ on sait alors définir F(A) = U~1 ° F (A) ° U, où F (A) est la multiplication par F (À. 2) 2. LA SOLUTION FONDAMENTALE DE L'OPERATEUR DES ONDES SUR C (N) — Considérons en particulier F,(X2)=(sinA,t)A La proposition 1.1 montre que si ueS&gt;(A112), alors le système : admet une solution unique dans : donnée par v (t) — Ft (A) u. Il est clair aussi que v(t) vérifie l'équation des ondes au sens des distributions On a la : PROPOSITION 2.1. — Le noyau de distribution de l'opérateur F,(A) est donné par où la série converge faiblement dans ®'(C(N)xC(N)) et où k}(r1, r2, t) eSi'(U+x U+) est
1.1. — L'application U:u-&gt;(HV (s+auJ))jSll est une représentation spectrale de L2(C(N); rm fgdrdx) sur © L2(R+, XàX) relativement à l'opérateur A. L'opérateur auto-adjoint U°A°U1 est l'opérateur de multiplication A (u,)Jèi-K^2fj)jèi de domaine Si F est une fonction boréeenne définie sur U+ on sait alors définir F(A) = U~1 ° F (A) ° U, où F (A) est la multiplication par F (À. 2) 2. LA SOLUTION FONDAMENTALE DE L'OPERATEUR DES ONDES SUR C (N) — Considérons en particulier F,(X2)=(sinA,t)A La proposition 1.1 montre que si ueS&gt;(A112), alors le système : admet une solution unique dans : donnée par v (t) — Ft (A) u. Il est clair aussi que v(t) vérifie l'équation des ondes au sens des distributions On a la : PROPOSITION 2.1. — Le noyau de distribution de l'opérateur F,(A) est donné par où la série converge faiblement dans ®'(C(N)xC(N)) et où k}(r1, r2, t) eSi'(U+x U+) est défini comme intégrale oscillante. D'après [3] les représentations intégrales de k} ont la forme suivante C. R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 3 Pour t&gt;r2, nous voyons ainsi que C(N) est divisée en trois zones Une onde diffusée par le sommet, issue de (r2, x2) (masse de Dirac en £ = 0) s'est propagée dans la région 0&lt;rt&lt;t — r2 où nous nous proposons d'étudier l'analyticité du noyau. Notre argument repose essentiellement sur la convergence de K comme série de fonctions holomorphes 3 PROLONGEMENT DES FONCTIONS PROPRES cp, DANS LE DOMAINE COMPLEXE. — On pourra comparer les résultats de ce paragraphe avec ceux de Baouendi-Goulaouic [1] et Boutet de Monvel [2]. Nous établirons tout d'abord des estimations locales. L'estimation globale résultera d'une partition de l'unité et de la compacité de la variété N On pose THÉORÈME 3.1. — Soit P(x,T)x) un opérateur différentiel elliptique d'ordre 2, à coefficients réels et analytiques sur un voisinage Q de M"+ de 0. Alors il existe un voisinage complexe W de C"" 1 de 0 avec W f R"" 1 ccûf] K"1 et deux constantes C± et C2 tels que si ueL2(Q) vérifie uXn=o = 0 et (E— X2)u
(masse de Dirac en £ = 0) s'est propagée dans la région 0&lt;rt&lt;t — r2 où nous nous proposons d'étudier l'analyticité du noyau. Notre argument repose essentiellement sur la convergence de K comme série de fonctions holomorphes 3 PROLONGEMENT DES FONCTIONS PROPRES cp, DANS LE DOMAINE COMPLEXE. — On pourra comparer les résultats de ce paragraphe avec ceux de Baouendi-Goulaouic [1] et Boutet de Monvel [2]. Nous établirons tout d'abord des estimations locales. L'estimation globale résultera d'une partition de l'unité et de la compacité de la variété N On pose THÉORÈME 3.1. — Soit P(x,T)x) un opérateur différentiel elliptique d'ordre 2, à coefficients réels et analytiques sur un voisinage Q de M"+ de 0. Alors il existe un voisinage complexe W de C"" 1 de 0 avec W f R"" 1 ccûf] K"1 et deux constantes C± et C2 tels que si ueL2(Q) vérifie uXn=o = 0 et (E— X2)u = 0 dans Q, alors du/dx„(x', 0) admet un prolongement analytique dans W, et pour X^l On démontre ce théorème en construisant, grâce au calcul pseudo-différentiel analytique développé dans [5] une solution oscillante d'un problème aux limites adjoint. On précise ensuite ce résultat en donnant des estimations uniformes des traces de u sur une famille d'hypersurfaces de C{x„ = s} pour 0^s^so Par une application de la méthode d'Ovcyanmkov on montre alors le THÉORÈME 3 2 — Sous les hypothèses du théorème 3.1, il existe un voisinage V de 0 tel que où l'on a noté, pour t réel, t+ =sup(0, i). On en déduit facilement le COROLLAIRE 3.3. — Soit N une variété compacte analytique, à bord analytique, et P un opérateur différentiel elliptique du second ordre, à coefficients réels analytiques, défini sur N. Alors il existe un système fini de cartes locales analytiques ( Jtf, Q.^) et des constantes Cx et C2 tels que pour tout J^, il existe un voisinage W^ dans C de Qx = 'f'(Qx) c c ^+. vérifiant. si MSL2(N) est tel que udti = 0 et (P—A.2)U = 0, alors u° 3^ _1 admet un prolongement analytique dans W*, et pour 'k^l on
de u sur une famille d'hypersurfaces de C{x„ = s} pour 0^s^so Par une application de la méthode d'Ovcyanmkov on montre alors le THÉORÈME 3 2 — Sous les hypothèses du théorème 3.1, il existe un voisinage V de 0 tel que où l'on a noté, pour t réel, t+ =sup(0, i). On en déduit facilement le COROLLAIRE 3.3. — Soit N une variété compacte analytique, à bord analytique, et P un opérateur différentiel elliptique du second ordre, à coefficients réels analytiques, défini sur N. Alors il existe un système fini de cartes locales analytiques ( Jtf, Q.^) et des constantes Cx et C2 tels que pour tout J^, il existe un voisinage W^ dans C de Qx = 'f'(Qx) c c ^+. vérifiant. si MSL2(N) est tel que udti = 0 et (P—A.2)U = 0, alors u° 3^ _1 admet un prolongement analytique dans W*, et pour 'k^l on a C. R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 4 APPLICATION A L'ÉTUDE DE LA DIFFRACTION PAR LE SOMMET DU CÔNE C(N) — Une analyse de la série (*) montre que K est analytique « derrière le front d'onde diffusé », î. e dans la région 0&lt;r1&lt;t—r2, xl5 x2eN On a en fait le THÉORÈME 4 1. — Si Q c C est un ouvert on note par RU(Q) le revêtement universel de Q Soient t&gt;r2&gt;0, x2eN, I = [t — r2, t + r2] Alors la fonction (rl5 x1)-^-K(r1, xl, r2, x2, t) définie pour 0&lt;r1&lt;t — r2, admet un prolongement holomorphe à un voisinage V de RU(C( — IlJIU{0})) xN dans RU(C( -IUIU { 0 })) x Nc, où Nc désigne un complexifié de N. De plus, si 8&gt;0 et D(£ —r2 —e) est le disque ouvert pointé de rayon t — r2—e, alors il existe un voisinage UdeN dans Nc tel que la fonction (rl5 xj -&gt;K(r1, x1, r2, x2, t) se prolonge à RU(D(£ — r2 — e)) x U. Pour cette dernière extension nous avons De là, et du théorème de propagation des singularités analytiques, on montre facilement que le front
0&lt;r1&lt;t—r2, xl5 x2eN On a en fait le THÉORÈME 4 1. — Si Q c C est un ouvert on note par RU(Q) le revêtement universel de Q Soient t&gt;r2&gt;0, x2eN, I = [t — r2, t + r2] Alors la fonction (rl5 x1)-^-K(r1, xl, r2, x2, t) définie pour 0&lt;r1&lt;t — r2, admet un prolongement holomorphe à un voisinage V de RU(C( — IlJIU{0})) xN dans RU(C( -IUIU { 0 })) x Nc, où Nc désigne un complexifié de N. De plus, si 8&gt;0 et D(£ —r2 —e) est le disque ouvert pointé de rayon t — r2—e, alors il existe un voisinage UdeN dans Nc tel que la fonction (rl5 xj -&gt;K(r1, x1, r2, x2, t) se prolonge à RU(D(£ — r2 — e)) x U. Pour cette dernière extension nous avons De là, et du théorème de propagation des singularités analytiques, on montre facilement que le front d'onde analytique WF6a (c/ [4]) de la distribution K( , .,r2,x2,t) est contenu dans la réunion des extrémités au temps t de tous les rayons analytiques qui partent de (r2, x2) à l'instant 0 et évitent le sommet, et du fibre conormal à l'hypersurface \(t = r^+ + r^2\). On vérifie aussi que, si \(y \in T^*(R \times C(N))\) est un rayon analytique paramétré par la longueur d'arc et passant par \((r_0, p_0, x_0, \xi_0) \in T^*(C(N))\) en \(t = 0\), avec \(\xi_0 = \xi_0\), alors le long de \(y\), pour tous \(t, t' \in \mathbb{R}\), on a \(\xi(t) = \xi(0)\) et \(t^{-1} (\xi(t) + \xi(t'))\). On obtient aussi le résultat suivant sur la régularité analytique de la solution du système \((S)\). Pour \(e > 0\), on note \(C_0 > S(N)\) le cône tronqué \((r^5 \times 1) \in C(N)\), \(0 < r < e\). THEORÈME 4.2 — Soient \(R_1 > 0\) et \(R_2 > R_1\). Alors si \(u \in L^2(C(N))\) est à support dans \(C_0 < R_1(N)\), la fonction \(v(r^+, x^1) = F_A(u(r^1, x^1))\), est analytique dans \(C_0 R_1(N)\). Plus généralement, soit \(I = [R_1; 2r_2 - R_1]\). Alors la fonction \(v\) se prolonge holomorphiquement à un voisinage complexe de
vérifie aussi que, si \(y \in T^*(R \times C(N))\) est un rayon analytique paramétré par la longueur d'arc et passant par \((r_0, p_0, x_0, \xi_0) \in T^*(C(N))\) en \(t = 0\), avec \(\xi_0 = \xi_0\), alors le long de \(y\), pour tous \(t, t' \in \mathbb{R}\), on a \(\xi(t) = \xi(0)\) et \(t^{-1} (\xi(t) + \xi(t'))\). On obtient aussi le résultat suivant sur la régularité analytique de la solution du système \((S)\). Pour \(e > 0\), on note \(C_0 > S(N)\) le cône tronqué \((r^5 \times 1) \in C(N)\), \(0 < r < e\). THEORÈME 4.2 — Soient \(R_1 > 0\) et \(R_2 > R_1\). Alors si \(u \in L^2(C(N))\) est à support dans \(C_0 < R_1(N)\), la fonction \(v(r^+, x^1) = F_A(u(r^1, x^1))\), est analytique dans \(C_0 R_1(N)\). Plus généralement, soit \(I = [R_1; 2r_2 - R_1]\). Alors la fonction \(v\) se prolonge holomorphiquement à un voisinage complexe de \(RU(C(-I) \setminus {0}) \times N\) dans \(RU(C(-I) \setminus {0}) \times N\). De plus, pour tout \(e > 0\), il existe un voisinage complexe \(U\) de \(N\) tel que \(v\) se prolonge holomorphiquement à \(RU(D(R_1 - e)) \times U\) et vérifie \(|v(ru, x^1)| \leq r^1 0\). Remise le 19 novembre 1984. REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] M. S. BAOUENDI et C. GOULAOUIC, Intères d'opérateurs elliptiques et prolongements de fonctions propres, Revue Roumaine de Mathématiques pures et appliquées, XVIII, n° 10, Bucarest, 1973, p. 1495-1501. [2] L. BOUTET DE MONVEL, Convergence dans le domaine complexe des séries de fonctions propres, Comptes rendus, 287, année A, 1978, p. 855-856. [3] J. CHEEGER et M. TAYLOR, Diffraction by Convex Singularities, Part I, CPAM, XXXV, 1982, p. 275-331. [4] J. RAUCH et J. SJOSTRAND, Propagation of Analytic Singularities Along Diffraction Rays, Indiana University Math. J., 30, n° 3, 1981, p. 389-401. [5] J. SJOSTRAND, Singularités analytiques microlocales, Astérisque, n° 95. [6] E. C. TITSCHMARSCHE, Hankel Transform, Proc. Camb. Phil. Soc., 21, 1923, p. 463-473. Université de Paris-Sud, Département de Mathématiques, Bâtiment n° 425, 91405 Orsay Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985. GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE. — Sommes de carrés et anneaux de
REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] M. S. BAOUENDI et C. GOULAOUIC, Intères d'opérateurs elliptiques et prolongements de fonctions propres, Revue Roumaine de Mathématiques pures et appliquées, XVIII, n° 10, Bucarest, 1973, p. 1495-1501. [2] L. BOUTET DE MONVEL, Convergence dans le domaine complexe des séries de fonctions propres, Comptes rendus, 287, année A, 1978, p. 855-856. [3] J. CHEEGER et M. TAYLOR, Diffraction by Convex Singularities, Part I, CPAM, XXXV, 1982, p. 275-331. [4] J. RAUCH et J. SJOSTRAND, Propagation of Analytic Singularities Along Diffraction Rays, Indiana University Math. J., 30, n° 3, 1981, p. 389-401. [5] J. SJOSTRAND, Singularités analytiques microlocales, Astérisque, n° 95. [6] E. C. TITSCHMARSCHE, Hankel Transform, Proc. Camb. Phil. Soc., 21, 1923, p. 463-473. Université de Paris-Sud, Département de Mathématiques, Bâtiment n° 425, 91405 Orsay Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985. GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE. — Sommes de carrés et anneaux de Witt réduits. Note de Louis Mahés présentée par Jean-Pierre Serre. On démontre que le niveau d'une variété affine \(V\) de dimension \(n\) définie sur un corps réel clos, sans point réel, est borné en fonction de \(n\). Utilisant les résultats de L. Brocker sur la présentation des semi-algèbres, on sait alors borner la torsion du conoyau de l'application "signature globale" \(A_W(R [V]) \to Cont(V(R), \mathbb{Z})\) par un entier ne dépendant que de \(n\). n(d—1)| = 0 dans A/fg, et Xfg = l + n(d—1) dans A. Élevant au carré, on trouve X² fg² = l+l+n(d−1) et donc 1+4[iH-fg-1) + 2d) =0 dans A. D'où l'on déduit que n(d) = 1 + n(d−1) + 2d(n(d−1) + 2d+1. COROLLAIRE. — (Positivstellensatz quantitatif). — Soit V une variété affine de dimension d, définie sur R réel clos, et soit f ∈ R[V] non diviseur de 0 tel que f(V(R)) > 0. Alors il existe une équation dans R[V]. RÉSULTATS QUANTITATIFS SUR LES SEMI-ALGÉBRIQUES. DÉFINITION. — Soit V une variété réelle définie sur R réel clos (V réelle signifie que V(R) est dense dans V). Un semi-algébrique de V(R) (resp. un constructible de Spec R R[V]) est une partie définie par un nombre fini
alors borner la torsion du conoyau de l'application "signature globale" \(A_W(R [V]) \to Cont(V(R), \mathbb{Z})\) par un entier ne dépendant que de \(n\). n(d—1)| = 0 dans A/fg, et Xfg = l + n(d—1) dans A. Élevant au carré, on trouve X² fg² = l+l+n(d−1) et donc 1+4[iH-fg-1) + 2d) =0 dans A. D'où l'on déduit que n(d) = 1 + n(d−1) + 2d(n(d−1) + 2d+1. COROLLAIRE. — (Positivstellensatz quantitatif). — Soit V une variété affine de dimension d, définie sur R réel clos, et soit f ∈ R[V] non diviseur de 0 tel que f(V(R)) > 0. Alors il existe une équation dans R[V]. RÉSULTATS QUANTITATIFS SUR LES SEMI-ALGÉBRIQUES. DÉFINITION. — Soit V une variété réelle définie sur R réel clos (V réelle signifie que V(R) est dense dans V). Un semi-algébrique de V(R) (resp. un constructible de Spec R R[V]) est une partie définie par un nombre fini d'inégalités polynômiales. On appellera ouvert de base un semi-algébrique (resp constructible) ouvert de la forme • Tout semi-algébrique ouvert pour la topologie euclidienne est unión d'un nombre fini d'ouverts de base (théorème de finitude [5]). Dans deux papiers récents ([1] et [2]), L. Bröcker démontre les résultats suivants : THÉORÈME ([1], [2]). — Pour S un ouvert de base, notons t(S) = Inf{/|S = S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Ss, ouvert de base}, t(V) = Sup {t(S) | S ouvert semi-algébrique de V(R)}, alors t(d) est fini. ANNEAUX DE WITT RÉDUITS — On rappelle que si A est un anneau unitaire, on dispose d'une application « signature globale » de l'anneau de Witt W(A) [6] dans l'anneau des fonctions continues Cont(Spec A, Z), dont l'image est l'anneau de Witt réduit de A, Wred(A). Dans un papier intitulé « Signatures et composantes connexes » ([7], [8]), l'auteur a montré que pour toute fonction Cont(Spec A, Z), on peut trouver n tel que 2^n soit dans Wred(A). Reprenant la démonstration de ce théorème et utilisant 1.6 et 2.2, on peut montrer : THÉORÈME. — Pour tout entier d et toute variété affine V de dimension d sur un corps réel clos
([1], [2]). — Pour S un ouvert de base, notons t(S) = Inf{/|S = S1 ∪ S2 ∪ ... ∪ Ss, ouvert de base}, t(V) = Sup {t(S) | S ouvert semi-algébrique de V(R)}, alors t(d) est fini. ANNEAUX DE WITT RÉDUITS — On rappelle que si A est un anneau unitaire, on dispose d'une application « signature globale » de l'anneau de Witt W(A) [6] dans l'anneau des fonctions continues Cont(Spec A, Z), dont l'image est l'anneau de Witt réduit de A, Wred(A). Dans un papier intitulé « Signatures et composantes connexes » ([7], [8]), l'auteur a montré que pour toute fonction Cont(Spec A, Z), on peut trouver n tel que 2^n soit dans Wred(A). Reprenant la démonstration de ce théorème et utilisant 1.6 et 2.2, on peut montrer : THÉORÈME. — Pour tout entier d et toute variété affine V de dimension d sur un corps réel clos R, on a avec w(d) = s(d).t(d) + 2n(d−1) + 1. Le principe de la démonstration est le suivant • si C est une composante de V(R), le théorème de séparation [8] nous donne un élément cp dans une extension B de R[V], tel que 1+sign cp = 2^nc où Xc est la fonction caractéristique de C; cette extension B est définie par D'après 1.6, cp divise un terme 1 + | n(d−1) | dans B on peut alors trouver une forme quadratique q₁ sur B telle que q₁ = 2"id~ 1) sign cp On montre que le nombre k de X, intervenant dans B est k = s(d)t(d) et qu'on peut trouver une forme q₂ sur R[V] telle que q₂=2s(d)tmq₁. On recommence avec R[V]S et on trouve g∈W(R[V]) telle que g = 2w(d)~1op • on peut donc trouver q' telle que q' = 2wid)%c. Le groupe Cont (V(R), Z) étant engendré additivement par les Xc, pour chaque composante connexe, on a fini. Remise le 19 novembre 1984 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] L. BRÖCKER, Minimale Erzeugung von Positivbereichen, Preprint, Münster, 1984 [2] L. BRÖCKER, Spaces of Orderings and Semi-Algebraic sets, Preprint, Münster, 1984 [3] J.-L. COLLIOT-THIBON, Variantes du Nullstellensatz réel et
Xc est la fonction caractéristique de C; cette extension B est définie par D'après 1.6, cp divise un terme 1 + | n(d−1) | dans B on peut alors trouver une forme quadratique q₁ sur B telle que q₁ = 2"id~ 1) sign cp On montre que le nombre k de X, intervenant dans B est k = s(d)t(d) et qu'on peut trouver une forme q₂ sur R[V] telle que q₂=2s(d)tmq₁. On recommence avec R[V]S et on trouve g∈W(R[V]) telle que g = 2w(d)~1op • on peut donc trouver q' telle que q' = 2wid)%c. Le groupe Cont (V(R), Z) étant engendré additivement par les Xc, pour chaque composante connexe, on a fini. Remise le 19 novembre 1984 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] L. BRÖCKER, Minimale Erzeugung von Positivbereichen, Preprint, Münster, 1984 [2] L. BRÖCKER, Spaces of Orderings and Semi-Algebraic sets, Preprint, Münster, 1984 [3] J.-L. COLLIOT-THIBON, Variantes du Nullstellensatz réel et anneaux formellement réels, in Géométrie algébrique réelle et formes quadratiques, Lecture Notes in Math n° 959, Springer, 1982, p 98-108 [4] M. COSTE et M-F. COSTE-ROY, Spectre réel, in Sem sur la Géom alg réelle, Pub Math de l'Univ Paris-VII, 1981, p 103-117 [5] M-F. COSTE-ROY, Spectre réel d'un anneau et topos étale réel, Thèse, Univ Paris-Nord, 1980 [6] M. KNEBUSCH, Symmetric bilinear forms over algebraic varieties, in Conf on Quadratic Forms, Queen's Papers Pure Appl Math, 46, 1977, p 103-282 [7] L. MAHE, Séparation des composantes réelles par les signatures d'espaces quadratiques, Comptes rendus, 292, série I, 1981, p 769-771 [8] L. MAHE, Signatures et composantes connexes, Math Ann, 260, 1982, p 191-210 [9] A. PFISTER, Zur Darstellung definiter Funktionen als Summe von Quadraten, Inv Math, 4, 1967, p 229-237 Université de Rennes-I, U.E.R Mathématiques et Informatique, Campus de Beaumont, 35042 Rennes Cedex. GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. — Crochet de Nijenhuis-Richardson et cohomologie de l'algèbre de Poisson Note de Marc De Wilde et Pierre B. A. Lecomte, présentée par André Lichnerowicz Le crochet de Nijenhuis-Richardson induit dans l'espace de cohomologie de Chevalley associée à la représentation adjointe de l'algèbre de Poisson d'une variété symplectique, une structure d'algèbre de Lie graduée On
et topos étale réel, Thèse, Univ Paris-Nord, 1980 [6] M. KNEBUSCH, Symmetric bilinear forms over algebraic varieties, in Conf on Quadratic Forms, Queen's Papers Pure Appl Math, 46, 1977, p 103-282 [7] L. MAHE, Séparation des composantes réelles par les signatures d'espaces quadratiques, Comptes rendus, 292, série I, 1981, p 769-771 [8] L. MAHE, Signatures et composantes connexes, Math Ann, 260, 1982, p 191-210 [9] A. PFISTER, Zur Darstellung definiter Funktionen als Summe von Quadraten, Inv Math, 4, 1967, p 229-237 Université de Rennes-I, U.E.R Mathématiques et Informatique, Campus de Beaumont, 35042 Rennes Cedex. GÉOMÉTRIE DIFFÉRENTIELLE. — Crochet de Nijenhuis-Richardson et cohomologie de l'algèbre de Poisson Note de Marc De Wilde et Pierre B. A. Lecomte, présentée par André Lichnerowicz Le crochet de Nijenhuis-Richardson induit dans l'espace de cohomologie de Chevalley associée à la représentation adjointe de l'algèbre de Poisson d'une variété symplectique, une structure d'algèbre de Lie graduée On établit que les classes de cohomologie de cocycles 1-differentiables et nuls sur les constantes sont centrales dans cette algèbre DIFFERENTIAL GEOMETRY — Nijenhuis-Richardson Bracket and Cohomology of the Poisson Algebra The cohomology space related to the adjoint representation of the Poisson Lie algebra of a symplectic manifold is a graded Lie algebra, when equipped with the bracket induced by the Nijenhuis-Richardson bracket We prove that the classes of the cocycles of order exactly one in each argument belong to the center of this graded Lie algebra On désigne par M une variété connexe, séparée et à base dénombrable, munie d'une structure symplectique F; N est son algèbre de Poisson, c'est-à-dire l'espace C^∞(M) muni du crochet de Poisson P(H, V)= {U, v}. On désigne par A^∞(N) l'espace des applications multilinéaires antisymétriques et locales sur N, à valeurs dans N, A^1-diff(N) est le sous-espace des applications 1-différentiables, (soit de degré 1 en chaque argument) et l'indice nc indique qu'on se restreint aux applications nulles sur les constantes [i.e. telles que i(l)C = 0] Il est bien connu que A^∞(N) est isomorphe à l'espace des formes sur M. Dans [1], Nijenhuis et Richardson munissent l'espace des applications multilinéaires alternées d'un espace vectoriel dans
Lie algebra, when equipped with the bracket induced by the Nijenhuis-Richardson bracket We prove that the classes of the cocycles of order exactly one in each argument belong to the center of this graded Lie algebra On désigne par M une variété connexe, séparée et à base dénombrable, munie d'une structure symplectique F; N est son algèbre de Poisson, c'est-à-dire l'espace C^∞(M) muni du crochet de Poisson P(H, V)= {U, v}. On désigne par A^∞(N) l'espace des applications multilinéaires antisymétriques et locales sur N, à valeurs dans N, A^1-diff(N) est le sous-espace des applications 1-différentiables, (soit de degré 1 en chaque argument) et l'indice nc indique qu'on se restreint aux applications nulles sur les constantes [i.e. telles que i(l)C = 0] Il est bien connu que A^∞(N) est isomorphe à l'espace des formes sur M. Dans [1], Nijenhuis et Richardson munissent l'espace des applications multilinéaires alternées d'un espace vectoriel dans lui-même d'une structure d'algèbre de Lie graduée Le crochet qu'ils introduisent est ainsi défini le degré d'une /j-cochaîne est p — 1 et, si R et S sont respectivement de degré r et s, on pose : et : où a est l'opérateur d'antisymétrisation. On notera ad l'action adjointe au sens de cette structure • ad (C) C = [C, C] L'opérateur d est alors, au signe près, ad(P) et, par l'identité de Jacobi des algèbres graduées, si C est de degré q, Donc [ , ] induit une structure d'algèbre de Lie graduée sur H]oc (N) = H (Aloc (N), d), qui sera encore notée [ , ] Si ReAi-din>c(N), ad(R) a un comportement agréable vis-à-vis du produit extérieur . si R et T sont respectivement de degrés r et t, 0249-6321/85/03000009 $ 2 00 © Académie des Sciences 10 C. R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 Dans le cas où R n'est pas 1-différentiable et nc, la formule précédente se complique d'un terme qui met en jeu 80 R où : On notera u la multiplication extérieure|i(C) C' = C A C; enfin, si T : Aloc(N) -> Al0C(N) commute avec d, on