jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
et si leur ensemble embrasse tous les cas possibles, la somme de leurs probabilités est égale à 1. La probabilité d'un événement est toujours plus petite que un. Dans le langage courant nous disons d'un événement très probable que sa probabilité est très grande : en langage mathématique ce fait se traduira par p très voisin de 1. A ce moment, c'est le rapport de la probabilité de l'événement favorable à la probabilité de l'événement défavorable qui sera très grand. Théorème des probabilités totales Si un événement peut se produire de plusieurs manières qui s'excluent, sa probabilité est la somme des probabilités de chacun des cas où il se produit. EXEMPLE : Quelle est la probabilité pour sortir un chiffre pair au jeu de dé ? L'événement peut se produire de trois façons différentes qui s'excluent : par l'arrivée du chiffre 2, du chiffre 4, du chiffre 6 ; chacun de ces événements a une probabilité de 1/6. La probabilité pour sortir un chiffre pair sera la somme des trois probabilités, c'est-à-dire 3/6 = 1/2. Théorème des probabilités composées Lorsque l'événement dont on cherche la probabilité consiste dans la production successive de deux événements, la probabilité cherchée est égale au produit de la probabilité du premier événement par la probabilité pour que le second se produise quand le premier s'est produit. EXEMPLE I: Quelle est la probabilité pour sortir un as deux fois au jeu de dé ? 1/6 x 1/6 = 1/36 Le nombre des cas favorables est 1, le nombre des cas possibles est 36. EXEMPLE II : Une urne contient 50 boules blanches et 50 boules noires. On tire une boule au hasard ; la probabilité pour qu'on tire une blanche est de 50/100. On remet la boule dans l'urne et on fait une deuxième épreuve ; la probabilité pour qu'on sorte une blanche est toujours 50/100. La probabilité pour que les deux fois on sorte une blanche est de : 50/100 x 50/100 = 1/4 Mais, si après la première épreuve nous ne remettons pas la boule blanche tirée dans l'urne, la probabilité du deuxième tirage
produit de la probabilité du premier événement par la probabilité pour que le second se produise quand le premier s'est produit. EXEMPLE I: Quelle est la probabilité pour sortir un as deux fois au jeu de dé ? 1/6 x 1/6 = 1/36 Le nombre des cas favorables est 1, le nombre des cas possibles est 36. EXEMPLE II : Une urne contient 50 boules blanches et 50 boules noires. On tire une boule au hasard ; la probabilité pour qu'on tire une blanche est de 50/100. On remet la boule dans l'urne et on fait une deuxième épreuve ; la probabilité pour qu'on sorte une blanche est toujours 50/100. La probabilité pour que les deux fois on sorte une blanche est de : 50/100 x 50/100 = 1/4 Mais, si après la première épreuve nous ne remettons pas la boule blanche tirée dans l'urne, la probabilité du deuxième tirage ne sera plus 50/100 mais 49/99 ; la probabilité totale sera : 50/100 x 49/99 = 49/198 Nous sommes maintenant suffisamment armés pour aborder le problème; objet de cet exposé, c'est-à-dire l'étude des régularités entraînées par la répétition d'une certaine épreuve un grand nombre de fois. Nous étudierons d'abord une série de coups de « pile ou face». B. — Problème des épreuves répétées. Courbe de Gauss. Loi des grands nombres. 1 °) Étude d'une série de coups de pile ou face Nous considérerons comme événement favorable l'arrivée de pile, par exemple. Au premier coup, la probabilité pour que nous sortions pile est de 1/2; supposons que ce soit précisément cette éventualité qui se produise. Au moment de jouer notre deuxième coup, la probabilité pour sortir encore pile sera toujours 1/2. La probabilité de l'événement favorable à chaque coup n'est pas influencée par le résultat des coups précédents : si les n premiers coups d'une partie nous donnent tous pile, (c'est très peu probable mais non impossible) au moment de jouer le (n + 1)ème coup nous n'aurons toujours que une chance sur deux de sortir face à ce coup. J. BERTRAND a exprimé ceci en une formule saisissante :
série de coups de « pile ou face». B. — Problème des épreuves répétées. Courbe de Gauss. Loi des grands nombres. 1 °) Étude d'une série de coups de pile ou face Nous considérerons comme événement favorable l'arrivée de pile, par exemple. Au premier coup, la probabilité pour que nous sortions pile est de 1/2; supposons que ce soit précisément cette éventualité qui se produise. Au moment de jouer notre deuxième coup, la probabilité pour sortir encore pile sera toujours 1/2. La probabilité de l'événement favorable à chaque coup n'est pas influencée par le résultat des coups précédents : si les n premiers coups d'une partie nous donnent tous pile, (c'est très peu probable mais non impossible) au moment de jouer le (n + 1)ème coup nous n'aurons toujours que une chance sur deux de sortir face à ce coup. J. BERTRAND a exprimé ceci en une formule saisissante : « La pièce de monnaie n'a ni conscience ni mémoire». Tout cela paraît évident: cependant il est souvent fort difficile de le faire admettre à certains joueurs: quand, à la roulette par exemple, une couleur sort 6 ou 7 fois de suite, tout le monde se met à jouer sur l'autre ! Cela ne se justifie par aucun argument théorique. Considérons au contraire l'ensemble de la série, avant de commencer à jouer, et fixons-nous le nombre de coups qu'elle comprendra. La probabilité pour que la série ne comprenne que des piles diminuera très vite à mesure que le nombre de coups augmentera : pour une série de 2 coups p = 1/2 X 1/2 = 1/4 — de n coups p = (1/2) n. Étudions en détail la série de nos résultats possibles : La première partie donnera P ou F. L'ensemble des deux premières parties donnera l'une des combinaisons suivantes : ( P soit PP. probabilité 1/4 F — PF — 1/4 F P FP 1/4 F. F FF 1/4 Si nous groupons les cas où nous avons obtenu une pile et une face, sans tenir compte de l'ordre dans lequel ces résultats sont obtenus, PF et FP seront
l'autre ! Cela ne se justifie par aucun argument théorique. Considérons au contraire l'ensemble de la série, avant de commencer à jouer, et fixons-nous le nombre de coups qu'elle comprendra. La probabilité pour que la série ne comprenne que des piles diminuera très vite à mesure que le nombre de coups augmentera : pour une série de 2 coups p = 1/2 X 1/2 = 1/4 — de n coups p = (1/2) n. Étudions en détail la série de nos résultats possibles : La première partie donnera P ou F. L'ensemble des deux premières parties donnera l'une des combinaisons suivantes : ( P soit PP. probabilité 1/4 F — PF — 1/4 F P FP 1/4 F. F FF 1/4 Si nous groupons les cas où nous avons obtenu une pile et une face, sans tenir compte de l'ordre dans lequel ces résultats sont obtenus, PF et FP seront équivalents; d'après le théorème des probabilités totales, la probabilité pour obtenir une fois pile et une fois face sera donc : 1/4 + 1/4 = 1/2 Nous pouvons alors dresser le tableau des probabilités des différents résultats possibles d'une série de deux coups : 2 piles (PP) probabilité 1/4 1 pile 1 face (PF FP) — 1/2 2 faces (FF) — 1/4 Une série de trois coups donnerait de même le tableau suivant : 3 piles (PP) probabilité 1/8 2 — 1 face (PF) (FP) (F) — 3/8 1 — 2 face (PrF) (FP) (FF) — 3/8 o FFF — 1/8 De même pour quatre coups : 4 piles (PP) probabilité 1/16 3 — 1 face — 4/16 2 — 2 faces — 6/16 1 3 — 4/16 o — 4 — 1/16 Chacune des éventualités possibles dans notre série de quatre coups a une probabilité différente : la plus probable est celle qui donne 2 piles et 2 faces, c'est-à-dire celle qui donne un pourcentage de piles égal à la probabilité théorique de sortir pile à chaque coup ; la probabilité des autres éventualités diminue à mesure que la différence croît entre le nombre des piles et le nombre
pile 1 face (PF FP) — 1/2 2 faces (FF) — 1/4 Une série de trois coups donnerait de même le tableau suivant : 3 piles (PP) probabilité 1/8 2 — 1 face (PF) (FP) (F) — 3/8 1 — 2 face (PrF) (FP) (FF) — 3/8 o FFF — 1/8 De même pour quatre coups : 4 piles (PP) probabilité 1/16 3 — 1 face — 4/16 2 — 2 faces — 6/16 1 3 — 4/16 o — 4 — 1/16 Chacune des éventualités possibles dans notre série de quatre coups a une probabilité différente : la plus probable est celle qui donne 2 piles et 2 faces, c'est-à-dire celle qui donne un pourcentage de piles égal à la probabilité théorique de sortir pile à chaque coup ; la probabilité des autres éventualités diminue à mesure que la différence croît entre le nombre des piles et le nombre des faces. Nous pouvons déjà nous rendre compte de ce que, sur une très longue série d'épreuves nous aurons de grandes chances de sortir à peu près autant de fois pile que face. Il y aura, sur l'ensemble, compensation entre les effets du hasard sur chaque coup. Nous pouvons représenter graphiquement ces résultats en portant en abcisse le nombre d'arrivées de pile, et, en regard, en ordonnée, la probabilité de l'événement. Nous obtenons ainsi cinq points que l'on peut joindre par une courbe en forme de cloche qui nous donne une première idée de la courbe de GAUSS. (fig. I). Il faut bien remarquer que la sortie d'un nombre égal de piles et de faces (deux, dans notre exemple) est plus probable que les autres éventualités, uniquement parce que nous ne tenons pas compte de l'ordre de sortie des piles et des faces. Dans ces conditions, l'événement (2 P + 2 F) se réalise chaque fois qu'apparaît une des combinaisons de PP avec FF. Il y a six combinaisons possibles : PFFP PFPF PPFF FPPF FPFP FFPP L'événement (3 P + 1 F) ne peut se réaliser que dans quatre cas : PPPF PPFP PFPP FPPP Si nous tenons compte
graphiquement ces résultats en portant en abcisse le nombre d'arrivées de pile, et, en regard, en ordonnée, la probabilité de l'événement. Nous obtenons ainsi cinq points que l'on peut joindre par une courbe en forme de cloche qui nous donne une première idée de la courbe de GAUSS. (fig. I). Il faut bien remarquer que la sortie d'un nombre égal de piles et de faces (deux, dans notre exemple) est plus probable que les autres éventualités, uniquement parce que nous ne tenons pas compte de l'ordre de sortie des piles et des faces. Dans ces conditions, l'événement (2 P + 2 F) se réalise chaque fois qu'apparaît une des combinaisons de PP avec FF. Il y a six combinaisons possibles : PFFP PFPF PPFF FPPF FPFP FFPP L'événement (3 P + 1 F) ne peut se réaliser que dans quatre cas : PPPF PPFP PFPP FPPP Si nous tenons compte de l'ordre dans lequel les P et les F apparaissent, nous retombons sur 16 événements indépendants ayant chacun une probabilité de 1/16. A ce propos, on a remarqué que beaucoup de personnes, achetant des billets de loterie, évitaient les billets dont le numéro comportait plusieurs fois le même chiffre. Par exemple, le billet 00000 est beaucoup plus difficile à vendre que le billet 26845. Pourtant leurs chances de gain sont exactement les mêmes. Mais l'acheteur n'a pas fait notre raisonnement et il ne se rend pas compte que dans la composition d'un numéro, l'ordre de sortie des chiffres intervient ! Il a simplement remarqué que les billets gagnants étaient le plus souvent composés de chiffres différents : le billet 26845 représentera très bien à ses yeux cette catégorie de « billets à chiffres différents », la catégorie « des billets qui gagnent »!.. Il est évident que la probabilité de sortie d'un numéro comprenant un 2, un 6, un 8, un 4 et un 5, si l'on ne tient pas compte de l'ordre des chiffres, est beaucoup plus grande que la probabilité de sortie du billet 00000. Ce sera réalisé par l'arrivée de 26845, 28645, 26854, 24865, etc. mais parmi
exemple, le billet 00000 est beaucoup plus difficile à vendre que le billet 26845. Pourtant leurs chances de gain sont exactement les mêmes. Mais l'acheteur n'a pas fait notre raisonnement et il ne se rend pas compte que dans la composition d'un numéro, l'ordre de sortie des chiffres intervient ! Il a simplement remarqué que les billets gagnants étaient le plus souvent composés de chiffres différents : le billet 26845 représentera très bien à ses yeux cette catégorie de « billets à chiffres différents », la catégorie « des billets qui gagnent »!.. Il est évident que la probabilité de sortie d'un numéro comprenant un 2, un 6, un 8, un 4 et un 5, si l'on ne tient pas compte de l'ordre des chiffres, est beaucoup plus grande que la probabilité de sortie du billet 00000. Ce sera réalisé par l'arrivée de 26845, 28645, 26854, 24865, etc. mais parmi tous ces cas, il y en aura un seul où le billet 26845 gagnera. L'étude de nos séries d'épreuves de pile ou face vient de nous donner une première idée de la courbe de GAUSS. C'est cette courbe, fondamentale en calcul des probabilités que nous allons étudier maintenant. 2°) Loi des écarts. Courbe de Laplace-Gauss Nous pourrions continuer à étudier le jeu de pile ou face en augmentant chaque fois de un le nombre des coups ; mais cela deviendrait vite inextricable. Le problème a été étudié d'une façon générale ; nous en passerons simplement en revue les résultats principaux, simple généralisation des résultats précédents. Soit un événement de probabilité p, l'événement contraire ayant une probabilité q. Dans une série de n épreuves, nous obtiendrons un nombre k d'événements favorables. L'écart absolu de la série sera, par définition, e = k - pn On considère, en somme, comme normal le cas où le pourcentage d'arrivée de l'événement favorable est égal à p. Dans notre série de 4 épreuves à pile ou face, p = 1/2, n = 4, pn = 2, on considère comme normale l'arrivée de deux piles. Si pile sort 3 fois, l'écart sera de 1. Soit une
des écarts. Courbe de Laplace-Gauss Nous pourrions continuer à étudier le jeu de pile ou face en augmentant chaque fois de un le nombre des coups ; mais cela deviendrait vite inextricable. Le problème a été étudié d'une façon générale ; nous en passerons simplement en revue les résultats principaux, simple généralisation des résultats précédents. Soit un événement de probabilité p, l'événement contraire ayant une probabilité q. Dans une série de n épreuves, nous obtiendrons un nombre k d'événements favorables. L'écart absolu de la série sera, par définition, e = k - pn On considère, en somme, comme normal le cas où le pourcentage d'arrivée de l'événement favorable est égal à p. Dans notre série de 4 épreuves à pile ou face, p = 1/2, n = 4, pn = 2, on considère comme normale l'arrivée de deux piles. Si pile sort 3 fois, l'écart sera de 1. Soit une urne contenant 40 boules blanches et 50 boules noires. La probabilité pour qu'un tirage effectué au hasard donne une boule blanche est de 40/100 = 2/5. Pour 10 tirages, pn = 2/5 x 10 = 4; si nous tirons 5 blanches, e = 1. Pour 1.000 tirages, pn = 2/5 x 1000 = 400; si nous tirons 423 blanches, e = 23. L'écart de fréquence est le rapport de l'écart absolu au nombre de coups de la série : 2 = e/n = k/n - p. Nous l'exprimerons en pourcentage du nombre de coups de la série : 2 = 23/1000 = 2,3. Courbe de Laplace-Gauss. Faisons maintenant un grand nombre de séries de n coups. Notons, après chaque série, son écart absolu et son écart de fréquence. Reprenons, par exemple, notre urne à 40 de boules blanches et faisons 500 séries de 1.000 tirages. Nous avons, a priori, "le sentiment" que les résultats de beaucoup des 500 séries ne seront pas très différents de 400, et que les écarts seront en général relativement faibles, tantôt positifs et tantôt négatifs. On démontre, ici comme au jeu de pile ou face, et l'expérience confirme, qu'il en est bien ainsi en fait.
x 1000 = 400; si nous tirons 423 blanches, e = 23. L'écart de fréquence est le rapport de l'écart absolu au nombre de coups de la série : 2 = e/n = k/n - p. Nous l'exprimerons en pourcentage du nombre de coups de la série : 2 = 23/1000 = 2,3. Courbe de Laplace-Gauss. Faisons maintenant un grand nombre de séries de n coups. Notons, après chaque série, son écart absolu et son écart de fréquence. Reprenons, par exemple, notre urne à 40 de boules blanches et faisons 500 séries de 1.000 tirages. Nous avons, a priori, "le sentiment" que les résultats de beaucoup des 500 séries ne seront pas très différents de 400, et que les écarts seront en général relativement faibles, tantôt positifs et tantôt négatifs. On démontre, ici comme au jeu de pile ou face, et l'expérience confirme, qu'il en est bien ainsi en fait. La courbe de GAUSS va nous permettre de préciser les caractéristiques de l'ensemble de nos résultats en donnant une représentation graphique. Nous avons une série de 500 valeurs de l'écart de fréquence. Portons sur un graphique, en abscisse, une échelle des valeurs de ces écarts en %, de 0,1 en 0,1. Un certain nombre d'écarts est compris entre 0 et 0,1% : soit m ce nombre et f = m/500 la fréquence par rapport au nombre total. Sur les abscisses 0 et 0,1, avec f pour hauteur, on construit un petit rectangle ; on fait de même entre 0,1 et 0,2% etc. Fig. 2 Nous obtenons ainsi une suite de petits rectangles dont chacun a une surface proportionnelle au nombre d'écarts dont la valeur est comprise entre les abscisses de ses côtés. En passant à la limite, pour un très grand nombre de séries et en diminuant progressivement la base des rectangles, on obtient une courbe continue qui est la courbe de LAPLACE-GAUSS (fig. 2). Propriétés de la courbe de GAUSS. — Nous allons retrouver et préciser les notions que nous avons entrevues tout à l'heure concernant le groupement des résultats autour d'une valeur moyenne. 1° C'est une courbe en
0,1. Un certain nombre d'écarts est compris entre 0 et 0,1% : soit m ce nombre et f = m/500 la fréquence par rapport au nombre total. Sur les abscisses 0 et 0,1, avec f pour hauteur, on construit un petit rectangle ; on fait de même entre 0,1 et 0,2% etc. Fig. 2 Nous obtenons ainsi une suite de petits rectangles dont chacun a une surface proportionnelle au nombre d'écarts dont la valeur est comprise entre les abscisses de ses côtés. En passant à la limite, pour un très grand nombre de séries et en diminuant progressivement la base des rectangles, on obtient une courbe continue qui est la courbe de LAPLACE-GAUSS (fig. 2). Propriétés de la courbe de GAUSS. — Nous allons retrouver et préciser les notions que nous avons entrevues tout à l'heure concernant le groupement des résultats autour d'une valeur moyenne. 1° C'est une courbe en cloche, symétrique par rapport à la verticale passant par l'écart 0. Autrement dit, les écarts se groupent autour de 0, les plus petits étant les plus fréquents. Dans notre exemple, nous tirerons environ 250 fois moins et 250 fois plus de 400 boules blanches et les résultats proches de 400 seront plus fréquents que les résultats éloignés. 2° La surface comprise entre deux abscisses a et b, est égale au nombre d'écarts compris entre a et b. Cela découle de la façon dont nous avons construit les petits rectangles (fig. 2). Supposons que, entre 2 et 3 %, la surface soit égale à 0,02, cela signifie que 2 de nos 500 écarts, soit 10 seront compris entre 2 et 3 du nombre de coups de la série (1.000), c'est-à-dire entre 20 et 30. Il nous arrivera donc 10 fois sur 500 de tirer de l'urne un nombre de boules blanches compris entre 420 et 430, et également 10 fois un nombre compris entre 370 et 380. 3° On calcule des formules donnant, en fonction de l'abscisse, les valeurs de l'ordonnée de la courbe et de la surface comprise entre elle et les axes de coordonnées. Ces formules ne sont pas
seront plus fréquents que les résultats éloignés. 2° La surface comprise entre deux abscisses a et b, est égale au nombre d'écarts compris entre a et b. Cela découle de la façon dont nous avons construit les petits rectangles (fig. 2). Supposons que, entre 2 et 3 %, la surface soit égale à 0,02, cela signifie que 2 de nos 500 écarts, soit 10 seront compris entre 2 et 3 du nombre de coups de la série (1.000), c'est-à-dire entre 20 et 30. Il nous arrivera donc 10 fois sur 500 de tirer de l'urne un nombre de boules blanches compris entre 420 et 430, et également 10 fois un nombre compris entre 370 et 380. 3° On calcule des formules donnant, en fonction de l'abscisse, les valeurs de l'ordonnée de la courbe et de la surface comprise entre elle et les axes de coordonnées. Ces formules ne sont pas simples : on a dressé des tableaux de leurs valeurs successives en fonction d'une variable A appelée écart réduit : Soient alors F l'ordonnée correspondant à une abscisse et e la surface comprise entre la courbe, l'axe des x et deux parallèles à l'axe des y menées par des points d'abscisse -A et +A. On a: avec : n = nombre de coups de la série (1.000) p = probabilité de l'événement favorable q = probabilité de l'événement défavorable π = 3,1416 e = 2,71828 (base des logarithmes népériens) Si on se donne un certain écart de fréquence, il faudra donc commencer par calculer l'écart réduit correspondant, puis lire dans les tableaux calculés la valeur de F ou de 0. Cette fonction 0 nous donne le nombre d'écarts sur 100 qui auront une valeur inférieure à un nombre donné e; c'est aussi la probabilité pour que, lorsque nous faisons une seule série, l'écart trouvé soit inférieur à cette valeur e; en effet, dire que 10 écarts sur 100 seront inférieurs à e, revient à dire que, si nous faisons une seule épreuve, nous aurons 10 chances sur 100 d'avoir un écart inférieur à e. Cela découle de la définition même
d'abscisse -A et +A. On a: avec : n = nombre de coups de la série (1.000) p = probabilité de l'événement favorable q = probabilité de l'événement défavorable π = 3,1416 e = 2,71828 (base des logarithmes népériens) Si on se donne un certain écart de fréquence, il faudra donc commencer par calculer l'écart réduit correspondant, puis lire dans les tableaux calculés la valeur de F ou de 0. Cette fonction 0 nous donne le nombre d'écarts sur 100 qui auront une valeur inférieure à un nombre donné e; c'est aussi la probabilité pour que, lorsque nous faisons une seule série, l'écart trouvé soit inférieur à cette valeur e; en effet, dire que 10 écarts sur 100 seront inférieurs à e, revient à dire que, si nous faisons une seule épreuve, nous aurons 10 chances sur 100 d'avoir un écart inférieur à e. Cela découle de la définition même de la probabilité, rapport du nombre d'événements favorables au nombre d'événements possibles. Points caractéristiques de la courbe (fig. 3). a) Le sommet de la courbe, situé sur l'axe des y, a pour ordonnée le pourcentage d'écarts 0, c'est-à-dire le nombre de fois sur 100 où nous tirerons exactement pn boules blanches (400 par exemple). Ce pourcentage est le plus grand de tous : nous dirons que l'écart 0 est l'écart le plus probable. Cependant sa probabilité est encore très petite ; dans notre exemple, le calcul donne F = 2,53% environ. b) La courbe a deux points d'inflexion, évidemment symétriques par rapport à l'axe des y. Soit cr la valeur absolue de l'abscisse de ces points. 3' est appelé « écart type». On démontre que l'écart-type est égal à l'écart quadratique moyen, c'est-à-dire à la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts. On démontre également que sa valeur est donnée par la formule suivante : Calculons la probabilité pour que, lorsque nous faisons une seule série, nous obtenons un écart compris entre — 0" et + 8. Il faut évaluer l'aire comprise entre la courbe de GAUSS et les deux verticales passant par les abcisses — ϭ et