jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
co,,. x [0, T] = [0, | co | ] x [0, T]). Nous en déduisons (pour tous s e co^, et presque tout t dans (0, T)), Dans (1.7) à (1.9), si par exemple dQ/dn'est pas dans L1(a1), (dQ/dy)dydi est défini comme où cp est une fonction quelconque de H1(co) satisfaisant cp=g sur y [on montre que l'expression (1.10) est indépendante du choix de cp], et Dans le cas particulier du problème à une phase [avec A2=0 dans (1.2)], définissons l'instant où « la phase liquide atteint y0 (resp. ro) » par Nous montrons que pour toute fonction O concave, croissante. Ceci implique pour tout réel |3, et tout p dans [1, co], Remarque. — Les inégalités (1.13) à (1.17) confirment l'idée intuitive que, parmi toutes les couronnes co=co0co1, avec co0, cot de mesures données, et toutes les données initiales h0 équimétriques, « la glace fond le moins vite possible » dans le domaine symétrisé, avec h0 symétrisé (H0=H0 = h0). 2. IDÉE DES DÉMONSTRATIONS. — Nous montrons d'abord (1.7)t. A l'aide des techniques développées dans [7], nous montrons que le premier membre de (1.7)E, noté y, satisfait tandis que le deuxième membre de (1.7)E, noté Y, satisfait (2.1), obtenue à partir de (2.1) en remplaçant l'inégalité « SÏO » par « =0 ». Nous en déduisons y^Y, c'est-à-dire (1.7)E. Pour obtenir (1.7), nous intégrons (1.7)E sur (t1; t^ + 8), et divisons par 5. Le premier membre s'écrit alors où cp est comme dans (1.10). Les deux premiers termes passent alors aisément à la limite lorsque e -► 0, et, pour le dernier terme, on utilise la semi-continuité inférieure 'fj+8 fs faible sur L1(q) de l'application /i-» h*dadt. Au contraire, pour le problème Jri Jo fti+S Çs T'i + 8 fs symétrisé HE!t. (t) dodt-&gt; H# (t) do dt. On passe ensuite à la limite (8 0) dans l'inéquation obtenue [et le raisonnement précédent montre en même temps que l'expression (1.10) est indépendante du choix de cp]. En faisant s=0 dans (1.7), on obtient (1.8). En faisant s = |co| dans (1.7), et en utilisant (1.11), on obtient
obtenue à partir de (2.1) en remplaçant l'inégalité « SÏO » par « =0 ». Nous en déduisons y^Y, c'est-à-dire (1.7)E. Pour obtenir (1.7), nous intégrons (1.7)E sur (t1; t^ + 8), et divisons par 5. Le premier membre s'écrit alors où cp est comme dans (1.10). Les deux premiers termes passent alors aisément à la limite lorsque e -► 0, et, pour le dernier terme, on utilise la semi-continuité inférieure 'fj+8 fs faible sur L1(q) de l'application /i-» h*dadt. Au contraire, pour le problème Jri Jo fti+S Çs T'i + 8 fs symétrisé HE!t. (t) dodt-&gt; H# (t) do dt. On passe ensuite à la limite (8 0) dans l'inéquation obtenue [et le raisonnement précédent montre en même temps que l'expression (1.10) est indépendante du choix de cp]. En faisant s=0 dans (1.7), on obtient (1.8). En faisant s = |co| dans (1.7), et en utilisant (1.11), on obtient (1.9). Ensuite (1.13) est une conséquence immédiate de (1.9). Pour montrer (1.14), nous prouvons d'abord que et (1.14) s'en déduit par un lemme de convexité (cf. [1], p. 174). Enfin (1.15) se déduit immédiatement de (2.2), et (1.16), (1.17) sont des conséquences faciles de (1.14). Les démonstrations détaillées, ainsi que des compléments seront développés dans [3]. Note reçue le 16 septembre 1987, acceptée le 21 septembre 1987. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] C. BANDLE, Isoperimetric Inequalities and Applications, Pitman, Boston, London, Melbourne, 1980. [2] J. I. DIAZ, B. GUSTAFSSON et J. MOSSINO (en préparation). [3] A. FRIEDMAN, Variational Principles and Free Boundary Problems, Wiley, 1982, p. 82 et 684. [4] A. FRIEDMAN, The Stefan problem in several space variables, Trans. Amer. Math. Soc, 139, 1968, p. 51-87. [5] S. L. KAMENOMOSTSKAJA, On Stefan's problem, Mat. Sb., 53, (95), 1965. [6] J. MOSSINO, Inégalités Isopérimétriques et Applications en Physique, Hermann, 1984. [7] J. MOSSINO et J. M. RAKOTOSON, Isoperimetric inequalities in parabolic équations, Ann. della Scuola Norm. Sup. di Pisa, série IV, XIII, n° 1, 1986. [8] J. L. VASQUEZ, Symétrisation pour u, = A&lt;p(u) et applications, C.R. Acad. Sci. Paris, 295, série I, 1982, p. 71-74, et 296, série I, 1983, p.
des compléments seront développés dans [3]. Note reçue le 16 septembre 1987, acceptée le 21 septembre 1987. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] C. BANDLE, Isoperimetric Inequalities and Applications, Pitman, Boston, London, Melbourne, 1980. [2] J. I. DIAZ, B. GUSTAFSSON et J. MOSSINO (en préparation). [3] A. FRIEDMAN, Variational Principles and Free Boundary Problems, Wiley, 1982, p. 82 et 684. [4] A. FRIEDMAN, The Stefan problem in several space variables, Trans. Amer. Math. Soc, 139, 1968, p. 51-87. [5] S. L. KAMENOMOSTSKAJA, On Stefan's problem, Mat. Sb., 53, (95), 1965. [6] J. MOSSINO, Inégalités Isopérimétriques et Applications en Physique, Hermann, 1984. [7] J. MOSSINO et J. M. RAKOTOSON, Isoperimetric inequalities in parabolic équations, Ann. della Scuola Norm. Sup. di Pisa, série IV, XIII, n° 1, 1986. [8] J. L. VASQUEZ, Symétrisation pour u, = A&lt;p(u) et applications, C.R. Acad. Sci. Paris, 295, série I, 1982, p. 71-74, et 296, série I, 1983, p. 455-458. B. G. : Department of Mathematics, Kungl. Tekniska Hôgskolan, Royal Institute of Technology, S-100 44 Stockholm 70, Suède; J. M. : C.N.R.S. et Université Paris-Sud, Bât. 425, 91405 Orsay Cedex. Si K est borné et si dK gl, alors o(A)n{XX>-*} est vide. Introduisons la partie bornée B de l'opérateur de transport. Note présentée par Henri CABANNES. 0249-6291/87/03050673 $ 2.00 © Académie des Sciences C. R., 1987, 2ème Semestre (T. 305) Série 1-56 674 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 673-676, 1987 Nous avons alors le THÉORÈME 2. — Si a(A) H {XX > — X*} n'est pas vide alors cr(B) H {XX > — X*} ne l'est pas. De plus, la plus grande valeur propre réelle de A est majorée par celle de B, laquelle est majorée par —X* + ra(K). Ce théorème admet deux corollaires immédiats : COROLLAIRE 1. — Si a(B) n {XX > — X*} est vide, alors a(A) H {XX > — X*} est vide quelle que soit la taille de D. COROLLAIRE 2. — Si le spectre de B est inclus dans le demi-plan {ReA.<0} il en est de même pour A quel que soit D. Remarque 1. — Le
de transport. Note présentée par Henri CABANNES. 0249-6291/87/03050673 $ 2.00 © Académie des Sciences C. R., 1987, 2ème Semestre (T. 305) Série 1-56 674 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 673-676, 1987 Nous avons alors le THÉORÈME 2. — Si a(A) H {XX > — X*} n'est pas vide alors cr(B) H {XX > — X*} ne l'est pas. De plus, la plus grande valeur propre réelle de A est majorée par celle de B, laquelle est majorée par —X* + ra(K). Ce théorème admet deux corollaires immédiats : COROLLAIRE 1. — Si a(B) n {XX > — X*} est vide, alors a(A) H {XX > — X*} est vide quelle que soit la taille de D. COROLLAIRE 2. — Si le spectre de B est inclus dans le demi-plan {ReA.<0} il en est de même pour A quel que soit D. Remarque 1. — Le corollaire 2 sera amélioré dans le théorème 6 ci-dessous. THÉORÈME 3. — Si V est contenu dans un demi-espace dont l'intérieur ne contient pas zéro (par exemple si V est une demi-boule centrée en zéro), alors cr(A) O { A. j X. > — X*} est vide indépendamment de D, a( ) et K (., . ). Remarque 2. — Il est clair que la géométrie de V n'a pas d'impact sur le spectre de B. Si, par exemple, p = 2, a(v) = a et K(v, v') = K(v', v), alors —(CT+ ||K|| est une valeur propre de B quelle que soit la forme de V. Ainsi le théorème 3 montre que la réciproque du corollaire 1 est généralement fausse. Cependant si V est symétrique par rapport à zéro, a(u) = a( — v), K(v, v') = K( — v, v') et K est positif dans L2 (au sens du produit scalaire) alors les réciproques des corollaires précédents sont vraies ([3], th. 1). On vérifie que cr(A) H { X>r} n'est pas vide si et seulement si Pour montrer l'existence effective d'une valeur propre il faudra donc estimer inférieurement la fonction continue / (X) = r a [(X—T) "-1
a( ) et K (., . ). Remarque 2. — Il est clair que la géométrie de V n'a pas d'impact sur le spectre de B. Si, par exemple, p = 2, a(v) = a et K(v, v') = K(v', v), alors —(CT+ ||K|| est une valeur propre de B quelle que soit la forme de V. Ainsi le théorème 3 montre que la réciproque du corollaire 1 est généralement fausse. Cependant si V est symétrique par rapport à zéro, a(u) = a( — v), K(v, v') = K( — v, v') et K est positif dans L2 (au sens du produit scalaire) alors les réciproques des corollaires précédents sont vraies ([3], th. 1). On vérifie que cr(A) H { X>r} n'est pas vide si et seulement si Pour montrer l'existence effective d'une valeur propre il faudra donc estimer inférieurement la fonction continue / (X) = r a [(X—T) "-1 K] au voisinage de r. Soit <x(x, v, X)= e-ik+amsds où s(x, v) = mî{s>0x-sv£D}. Jo Soit K(x, X) l'opérateur intégral dans LP(V) [dépendant du paramètre (x, X)] de noyau K (v, v') a (x, v', X). Introduisons alors l'ensemble non vide X(X)= {y^0|3cpeLp(V), cp^O, cp#0, K(x,A.)cp^ycppourtoutxeD}. Posons ensuite x (X)=sup { y | y e X (A.) }. Nous établissons alors le théorème 4. THÉORÈME 4. r(CTp-T)-1K] = ra[K(À-T)-1]^x(&gt;,)(X.&gt;Ti). L'intérêt de ce théorème réside dans le fait que x (A.) est facile à estimer. Nous allons illustrer cela dans le cas dégénéré Soient ht j (v') =gt (v') f (v') et m;} (X) — inf ht ô (v') a (x, v', X) dv'. xeD Jv Introduisons la matrice M (X) = { mu j (X)}. On a alors le COROLLAIRE 3. — Sous l'hypothèse (3), x (X) ^ r a [M (X)]. Remarque 3. — On a ainsi minoré le rayon spectral de (X—T)_1K par celui d'une matrice! Il est aisé de donner des conditions suffisantes pratiques pour que lim r rj [M (A,)] > 1 (on omet les détails). Remarque 4. — Si l'on recourt à des techniques de comparaison, on peut obtenir des résultats d'existence de valeurs
(X)=sup { y | y e X (A.) }. Nous établissons alors le théorème 4. THÉORÈME 4. r(CTp-T)-1K] = ra[K(À-T)-1]^x(&gt;,)(X.&gt;Ti). L'intérêt de ce théorème réside dans le fait que x (A.) est facile à estimer. Nous allons illustrer cela dans le cas dégénéré Soient ht j (v') =gt (v') f (v') et m;} (X) — inf ht ô (v') a (x, v', X) dv'. xeD Jv Introduisons la matrice M (X) = { mu j (X)}. On a alors le COROLLAIRE 3. — Sous l'hypothèse (3), x (X) ^ r a [M (X)]. Remarque 3. — On a ainsi minoré le rayon spectral de (X—T)_1K par celui d'une matrice! Il est aisé de donner des conditions suffisantes pratiques pour que lim r rj [M (A,)] > 1 (on omet les détails). Remarque 4. — Si l'on recourt à des techniques de comparaison, on peut obtenir des résultats d'existence de valeurs propres beaucoup plus précis [4]. III. UNE NOUVELLE APPROCHE DE L'IRRÉDUCTIBILITÉ DE éA. DÉFINITION 1. — Un opérateur positif sera dit strictement positif si l'image, par cet opérateur, d'une fonction positive et non nulle est strictement positive presque partout. L'intérêt de l'irrédutibilité de éA réside dans le fait qu'elle implique que la valeur propre principale (lorsqu'elle existe!) est algébriquement simple et le projecteur spectral associé strictement positif. On dispose du critère de J. Voigt ([5], th. 3.2) suivant : si V contient une couronne V0= {t>0|0<a<t<b< + oo } et si alors éA est strictement positif pour t>d/b (où d est le diamètre de D) et donc est irréductible. Voici une autre approche du problème : THÉORÈME 5. — On suppose que cr(A) f) {A->rl} n'est pas vide; s'il existe un entier q tel que [(A.—T) ~1 K]_q est strictement positive, alors éA est irréductible. Preuve. — éA est irréductible si (X—A)1 est strictement positif pour X>X0 (X0 étant la valeur propre principale de A) ([6], p. 306) (X-A)1 = [I-(X-T)^1(X-T)1 lorsque A^o-(A)etReA>r|. et donc (X A) "-1 est strictement positif si [(X T) ~1 K]_q l'est. Remarque 5. — Si (4) est satisfaite alors q—2 répond aux conditions du
que la valeur propre principale (lorsqu'elle existe!) est algébriquement simple et le projecteur spectral associé strictement positif. On dispose du critère de J. Voigt ([5], th. 3.2) suivant : si V contient une couronne V0= {t>0|0<a<t<b< + oo } et si alors éA est strictement positif pour t>d/b (où d est le diamètre de D) et donc est irréductible. Voici une autre approche du problème : THÉORÈME 5. — On suppose que cr(A) f) {A->rl} n'est pas vide; s'il existe un entier q tel que [(A.—T) ~1 K]_q est strictement positive, alors éA est irréductible. Preuve. — éA est irréductible si (X—A)1 est strictement positif pour X>X0 (X0 étant la valeur propre principale de A) ([6], p. 306) (X-A)1 = [I-(X-T)^1(X-T)1 lorsque A^o-(A)etReA>r|. et donc (X A) "-1 est strictement positif si [(X T) ~1 K]_q l'est. Remarque 5. — Si (4) est satisfaite alors q—2 répond aux conditions du théorème 5, car K(A.—T)_1K est alors strictement positif. On retrouve ainsi la condition pratique de J. Voigt par une approche différente. IV. APPLICATION D'UN RÉSULTAT DI. MAREK EN NEUTRONIQUE. — Nous allons utiliser un cas particulier d'un théorème de comparaison stricte de rayons spectraux d'opérateurs positifs dû à I. Marek ([1], th. 4.3) : soient Q1 et Q2 deux opérateurs positifs admettant une itération compacte et tels que : Q1 < Q2 et Qj < Q2; si une itération de Q2 est strictement positive alors ro(Q1)<r(o(Q2). Ce résultat est à la base du théorème 6. THÉORÈME 6. — (a) Si une itération de K est strictement positive, alors la valeur propre principale de A est strictement plus petite que celle de B. (b) Soient K1<K2 et K1#K2 avec K2 vérifiant (4); alors la valeur propre principale de A1=T + K1 est strictement plus petite que celle de A2=T + K2. (c) Si o_1 (v) < o_2 (v) et a_1 (.) < a_2 (. ### CORRECTION ### Si K est borné et si dK gl, alors o(A)n{XX>-*} est vide. Introduisons la partie bornée B de l'opérateur de transport. Note présentée par Henri CABANNES. 0249-6291/87/03050673 $ 2.00 © Académie des Sciences C.
([1], th. 4.3) : soient Q1 et Q2 deux opérateurs positifs admettant une itération compacte et tels que : Q1 < Q2 et Qj < Q2; si une itération de Q2 est strictement positive alors ro(Q1)<r(o(Q2). Ce résultat est à la base du théorème 6. THÉORÈME 6. — (a) Si une itération de K est strictement positive, alors la valeur propre principale de A est strictement plus petite que celle de B. (b) Soient K1<K2 et K1#K2 avec K2 vérifiant (4); alors la valeur propre principale de A1=T + K1 est strictement plus petite que celle de A2=T + K2. (c) Si o_1 (v) < o_2 (v) et a_1 (.) < a_2 (. ### CORRECTION ### Si K est borné et si dK gl, alors o(A)n{XX>-*} est vide. Introduisons la partie bornée B de l'opérateur de transport. Note présentée par Henri CABANNES. 0249-6291/87/03050673 $ 2.00 © Académie des Sciences C. R., 1987, 2ème Semestre (T. 305) Série 1-56 674 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 673-676, 1987 Nous avons alors le THÉORÈME 2. — Si a(A) H {XX > — X*} n'est pas vide alors cr(B) H {XX > — X*} ne l'est pas. De plus, la plus grande valeur propre réelle de A est majorée par celle de B, laquelle est majorée par —X* + ra(K). Ce théorème admet deux corollaires immédiats : COROLLAIRE 1. — Si a(B) n {XX > — X*} est vide, alors a(A) H {XX > — X*} est vide quelle que soit la taille de D. COROLLAIRE 2. — Si le spectre de B est inclus dans le demi-plan {ReA.<0} il en est de même pour A quel que soit D. Remarque 1. — Le corollaire 2 sera amélioré dans le théorème 6 ci-dessous. THÉORÈME 3. — Si V est contenu dans un demi-espace dont l'intérieur ne contient pas zéro (par exemple si V est une demi-boule centrée en zéro), alors cr(A) O { A. j X. > — X*} est vide indépendamment de D, a( ) et K (., . ). Remarque 2. — Il est clair que la
la plus grande valeur propre réelle de A est majorée par celle de B, laquelle est majorée par —X* + ra(K). Ce théorème admet deux corollaires immédiats : COROLLAIRE 1. — Si a(B) n {XX > — X*} est vide, alors a(A) H {XX > — X*} est vide quelle que soit la taille de D. COROLLAIRE 2. — Si le spectre de B est inclus dans le demi-plan {ReA.<0} il en est de même pour A quel que soit D. Remarque 1. — Le corollaire 2 sera amélioré dans le théorème 6 ci-dessous. THÉORÈME 3. — Si V est contenu dans un demi-espace dont l'intérieur ne contient pas zéro (par exemple si V est une demi-boule centrée en zéro), alors cr(A) O { A. j X. > — X*} est vide indépendamment de D, a( ) et K (., . ). Remarque 2. — Il est clair que la géométrie de V n'a pas d'impact sur le spectre de B. Si, par exemple, p = 2, a(v) = a et K(v, v') = K(v', v), alors —(CT+ ||K|| est une valeur propre de B quelle que soit la forme de V. Ainsi le théorème 3 montre que la réciproque du corollaire 1 est généralement fausse. Cependant si V est symétrique par rapport à zéro, a(u) = a( — v), K(v, v') = K( — v, v') et K est positif dans L2 (au sens du produit scalaire) alors les réciproques des corollaires précédents sont vraies ([3], th. 1). On vérifie que cr(A) H { X>r} n'est pas vide si et seulement si Pour montrer l'existence effective d'une valeur propre il faudra donc estimer inférieurement la fonction continue / (X) = r a [(X—T) "-1 K] au voisinage de r. Soit <x(x, v, X)= e-ik+amsds où s(x, v) = mî{s>0x-sv£D}. Jo Soit K(x, X) l'opérateur intégral dans LP(V) [dépendant du paramètre (x, X)] de noyau K (v, v') a (x, v', X). Introduisons alors l'ensemble non vide X(X)= {y^0|3cpeLp(V), cp^O, cp#0, K(x,A.)cp^ycppourtoutxeD}. Posons ensuite x (X)=sup { y | y e X (A.) }. Nous établissons alors le théorème 4.
du corollaire 1 est généralement fausse. Cependant si V est symétrique par rapport à zéro, a(u) = a( — v), K(v, v') = K( — v, v') et K est positif dans L2 (au sens du produit scalaire) alors les réciproques des corollaires précédents sont vraies ([3], th. 1). On vérifie que cr(A) H { X>r} n'est pas vide si et seulement si Pour montrer l'existence effective d'une valeur propre il faudra donc estimer inférieurement la fonction continue / (X) = r a [(X—T) "-1 K] au voisinage de r. Soit <x(x, v, X)= e-ik+amsds où s(x, v) = mî{s>0x-sv£D}. Jo Soit K(x, X) l'opérateur intégral dans LP(V) [dépendant du paramètre (x, X)] de noyau K (v, v') a (x, v', X). Introduisons alors l'ensemble non vide X(X)= {y^0|3cpeLp(V), cp^O, cp#0, K(x,A.)cp^ycppourtoutxeD}. Posons ensuite x (X)=sup { y | y e X (A.) }. Nous établissons alors le théorème 4. THÉORÈME 4. r(CTp-T)-1K] = ra[K(À-T)-1]^x(&gt;,)(X.&gt;Ti). L'intérêt de ce théorème réside dans le fait que x (A.) est facile à estimer. Nous allons illustrer cela dans le cas dégénéré Soient ht j (v') =gt (v') f (v') et m;} (X) — inf ht ô (v') a (x, v', X) dv'. xeD Jv Introduisons la matrice M (X) = { mu j (X)}. On a alors le COROLLAIRE 3. — Sous l'hypothèse (3), x (X) ^ r a [M (X)]. Remarque 3. — On a ainsi minoré le rayon spectral de (X—T)_1K par celui d'une matrice! Il est aisé de donner des conditions suffisantes pratiques pour que lim r rj [M (A,)] > 1 (on omet les détails). Remarque 4. — Si l'on recourt à des techniques de comparaison, on peut obtenir des résultats d'existence de valeurs propres beaucoup plus précis [4]. III. UNE NOUVELLE APPROCHE DE L'IRRÉDUCTIBILITÉ DE éA. DÉFINITION 1. — Un opérateur positif sera dit strictement positif si l'image, par cet opérateur, d'une fonction positive et non nulle est strictement positive presque partout. L'intérêt de l'irrédutibilité de éA réside dans le fait qu'elle implique que la valeur propre principale (lorsqu'elle existe!) est algébriquement simple et le projecteur spectral associé
Jv Introduisons la matrice M (X) = { mu j (X)}. On a alors le COROLLAIRE 3. — Sous l'hypothèse (3), x (X) ^ r a [M (X)]. Remarque 3. — On a ainsi minoré le rayon spectral de (X—T)_1K par celui d'une matrice! Il est aisé de donner des conditions suffisantes pratiques pour que lim r rj [M (A,)] > 1 (on omet les détails). Remarque 4. — Si l'on recourt à des techniques de comparaison, on peut obtenir des résultats d'existence de valeurs propres beaucoup plus précis [4]. III. UNE NOUVELLE APPROCHE DE L'IRRÉDUCTIBILITÉ DE éA. DÉFINITION 1. — Un opérateur positif sera dit strictement positif si l'image, par cet opérateur, d'une fonction positive et non nulle est strictement positive presque partout. L'intérêt de l'irrédutibilité de éA réside dans le fait qu'elle implique que la valeur propre principale (lorsqu'elle existe!) est algébriquement simple et le projecteur spectral associé strictement positif. On dispose du critère de J. Voigt ([5], th. 3.2) suivant : si V contient une couronne V0= {t>0|0<a<t<b< + oo } et si alors éA est strictement positif pour t>d/b (où d est le diamètre de D) et donc est irréductible. Voici une autre approche du problème : THÉORÈME 5. — On suppose que cr(A) f) {A->rl} n'est pas vide; s'il existe un entier q tel que [(A.—T) ~1 K]_q est strictement positive, alors éA est irréductible. Preuve. — éA est irréductible si (X—A)1 est strictement positif pour X>X0 (X0 étant la valeur propre principale de A) ([6], p. 306) (X-A)1 = [I-(X-T)^1(X-T)1 lorsque A^o-(A)etReA>r|. et donc (X A) "-1 est strictement positif si [(X T) ~1 K]_q l'est. Remarque 5. — Si (4) est satisfaite alors q—2 répond aux conditions du théorème 5, car K(A.—T)_1K est alors strictement positif. On retrouve ainsi la condition pratique de J. Voigt par une approche différente. IV. APPLICATION D'UN RÉSULTAT DI. MAREK EN NEUTRONIQUE. — Nous allons utiliser un cas particulier d'un théorème de comparaison stricte de rayons spectraux d'opérateurs positifs dû à I. Marek ([1], th. 4.3) : soient Q1 et Q2 deux opérateurs positifs admettant une itération compacte
: THÉORÈME 5. — On suppose que cr(A) f) {A->rl} n'est pas vide; s'il existe un entier q tel que [(A.—T) ~1 K]_q est strictement positive, alors éA est irréductible. Preuve. — éA est irréductible si (X—A)1 est strictement positif pour X>X0 (X0 étant la valeur propre principale de A) ([6], p. 306) (X-A)1 = [I-(X-T)^1(X-T)1 lorsque A^o-(A)etReA>r|. et donc (X A) "-1 est strictement positif si [(X T) ~1 K]_q l'est. Remarque 5. — Si (4) est satisfaite alors q—2 répond aux conditions du théorème 5, car K(A.—T)_1K est alors strictement positif. On retrouve ainsi la condition pratique de J. Voigt par une approche différente. IV. APPLICATION D'UN RÉSULTAT DI. MAREK EN NEUTRONIQUE. — Nous allons utiliser un cas particulier d'un théorème de comparaison stricte de rayons spectraux d'opérateurs positifs dû à I. Marek ([1], th. 4.3) : soient Q1 et Q2 deux opérateurs positifs admettant une itération compacte et tels que : Q1 < Q2 et Qj < Q2; si une itération de Q2 est strictement positive alors ro(Q1)<r(o(Q2). Ce résultat est à la base du théorème 6. THÉORÈME 6. — (a) Si une itération de K est strictement positive, alors la valeur propre principale de A est strictement plus petite que celle de B. (b) Soient K1<K2 et K1#K2 avec K2 vérifiant (4); alors la valeur propre principale de A1=T + K1 est strictement plus petite que celle de A2=T + K2. (c) Si o_1 (v) < o_2 (v) et a_1 (.) < a_2 (. avec K vérifiant (4), alors la valeur propre principale de A2 = T2 + K est strictement plus petite que celle de A = T + K dans LP(D x V). ■ Remarque 6. — On notera que (a) améliore le théorème 2. Ainsi si la valeur propre principale de B est nulle, alors A1 existe pour tout D borné. Ceci permet de résoudre de manière immédiate un problème (linéaire) de la cinétique des gaz qui a déjà été résolu à l'aide de techniques différentes (voir, par exemple, [7]). ■ Remarque 7. — Quoique strictement plus petite que la valeur propre principale