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se trouve dans son cours à l'École des Hautes Études, publié sous le titre « Les théories de l'équilibre économique ». L. WALRAS et V. PARÉTO. La cause simple et dominante susceptible d'entraîner une discontinuité dans la courbe de la demande sociale d'un certain produit, serait l'existence d'un succédané qui, à partir d'un prix p deviendrait plus avantageux à employer. Rien ne permet de supposer que tout le monde n'abandonnera pas au même moment le produit primitif. La courbe de la demande serait alors discontinue au point d'abcisse p. L'argument n'est pas convaincant. Un succédané n'a jamais exactement les mêmes qualités que le produit qu'il vise à remplacer. Il ne faut d'ailleurs pas perdre de vue que cette cause si simple et si forte soit-elle, n'agit sur le phénomène économique observable que par l'intermédiaire de l'homme, et non directement, mécaniquement. Les très légères différences de qualités des deux produits seront diversement appréciées par chacun, et les prix de substitution ne seront donc pas identiques dans toutes les courbes individuelles de demande. C'est l'infinie variété des réactions humaines devant les mêmes faits, dans des conditions identiques, qui nous permet d'appliquer ici la loi des grands nombres. Il n'est évidemment pas impossible que tous les hommes réagissent absolument de la même façon devant un certain événement, mais c'est un fait extrêmement peu probable, que, d'ailleurs, la loi des grands nombres prévoit. S'il en était ainsi la courbe de la demande sociale serait discontinue en un point, mais on pourrait dire que c'est un hasard extraordinaire. M. PIROU prend l'exemple de deux combustibles, bois et charbon, et il suppose que la substitution de l'un à l'autre devient avantageuse quand le prix de l'un passe de 13 f à 13, 50. Il se peut très bien que si le bois augmente de 13 f à 13, 50, il soit intégralement remplacé par le charbon. Cela nous oblige à dire que de p = 13 à p = 13,50 la courbe de la demande de bois a une pente descendante très forte ; mais en aucun cas nous ne pouvons en déduire que la courbe
que tous les hommes réagissent absolument de la même façon devant un certain événement, mais c'est un fait extrêmement peu probable, que, d'ailleurs, la loi des grands nombres prévoit. S'il en était ainsi la courbe de la demande sociale serait discontinue en un point, mais on pourrait dire que c'est un hasard extraordinaire. M. PIROU prend l'exemple de deux combustibles, bois et charbon, et il suppose que la substitution de l'un à l'autre devient avantageuse quand le prix de l'un passe de 13 f à 13, 50. Il se peut très bien que si le bois augmente de 13 f à 13, 50, il soit intégralement remplacé par le charbon. Cela nous oblige à dire que de p = 13 à p = 13,50 la courbe de la demande de bois a une pente descendante très forte ; mais en aucun cas nous ne pouvons en déduire que la courbe sera discontinue pour p = 13, ce qui signifierait, au sens mathématique du terme, que, pour cette valeur de p, la demande présente deux valeurs distinctes d1 et d2 et que pour une très petite variation de p de 13 à 13 + e, la valeur de d passe de d1 à d2, s étant une quantité très petite également. Entre 13 et 13,50 la complexité des réactions humaines continuera à jouer et fera que les changements de combustible se feront, pour les divers utilisateurs, à des prix intermédiaires, également répartis entre 13 et 13,50. Il nous est interdit de penser qu'une modification importante d'un phénomène social peut résulter d'une variation très petite d'une des causes: ce qui est possible entre 13 et 13,50 ne le sera plus entre 13 et 13,05. Nous en arrivons à mettre à la base de la continuité des phénomènes sociaux la diversité des individus ou, suivant l'expression de M. DAURE, « l'incohérence des sociétés humaines ». Cette base n'est-elle pas ébranlée par l'évolution moderne ? Le point de vue de M. DAURE. M. P. DAURE a étudié ce problème dans un article paru dans les « Annales de droit et de Science sociale »
d1 à d2, s étant une quantité très petite également. Entre 13 et 13,50 la complexité des réactions humaines continuera à jouer et fera que les changements de combustible se feront, pour les divers utilisateurs, à des prix intermédiaires, également répartis entre 13 et 13,50. Il nous est interdit de penser qu'une modification importante d'un phénomène social peut résulter d'une variation très petite d'une des causes: ce qui est possible entre 13 et 13,50 ne le sera plus entre 13 et 13,05. Nous en arrivons à mettre à la base de la continuité des phénomènes sociaux la diversité des individus ou, suivant l'expression de M. DAURE, « l'incohérence des sociétés humaines ». Cette base n'est-elle pas ébranlée par l'évolution moderne ? Le point de vue de M. DAURE. M. P. DAURE a étudié ce problème dans un article paru dans les « Annales de droit et de Science sociale » sous le titre : « Réflexions sur l'évolution monétaire et l'application de la loi des grands nombres aux phénomènes sociaux ». L'incohérence des phénomènes élémentaires est la condition de l'existence d'un phénomène de superposition, d'une « régularité statistique ». Cette incohérence peut être due au fait que les actes élémentaires sont indéterminés ou au fait qu'ils sont déterminés par des séries de causes indépendantes. Nous pourrions alors appliquer la loi des grands nombres aux phénomènes sociaux soit que nous admettions le libre arbitre de l'homme, soit que nous admettions la détermination des actes humains par des facteurs externes très compliqués. Mais M. DAURE se demande si cette application est encore admissible dans les sociétés modernes qui semblent évoluer de l'incohérence à la cohérence. Cette évolution est due à deux facteurs principaux : — le développement des moyens d'information et de propagande qui tendent à « solidariser le milieu » en uniformisant les réactions humaines devant des événements similaires. — l'influence grandissante des groupes dans le domaine économique (syndicat, trusts, etc.). Le premier de ces facteurs nous interdit d'appliquer la loi des grands nombres parce que les événements élémentaires ne sont plus indépendants les uns des autres ; le second nous
sont indéterminés ou au fait qu'ils sont déterminés par des séries de causes indépendantes. Nous pourrions alors appliquer la loi des grands nombres aux phénomènes sociaux soit que nous admettions le libre arbitre de l'homme, soit que nous admettions la détermination des actes humains par des facteurs externes très compliqués. Mais M. DAURE se demande si cette application est encore admissible dans les sociétés modernes qui semblent évoluer de l'incohérence à la cohérence. Cette évolution est due à deux facteurs principaux : — le développement des moyens d'information et de propagande qui tendent à « solidariser le milieu » en uniformisant les réactions humaines devant des événements similaires. — l'influence grandissante des groupes dans le domaine économique (syndicat, trusts, etc.). Le premier de ces facteurs nous interdit d'appliquer la loi des grands nombres parce que les événements élémentaires ne sont plus indépendants les uns des autres ; le second nous l'interdit parce que les événements élémentaires, indépendants les uns des autres, ne sont pas assez nombreux pour que la « compensation des effets du hasard » s'accomplisse avec assez de précision. La théorie de COURNOT s'appliquera donc dans une économie libérale, individualiste, où l'action de chacun des très nombreux individus pourra être considérée comme indépendante de celle des autres et d'influence négligeable par rapport à l'ensemble. Elle ne vaudra peut-être plus dans le cas d'une économie fortement cartellisée, comprenant de nombreux monopoles et dont les acteurs subissent aveuglément l'influence de quelques « directeurs de pensée ». COURNOT lui-même avait d'ailleurs expressément écarté l'application de sa théorie dans le cas où le nombre des consommateurs serait par trop réduit. CONCLUSION. Il semble, en définitive, que les facteurs de cohérence qui existent dans les sociétés humaines modernes auront des répercussions diverses sur la validité de l'application de la loi des grands nombres aux phénomènes sociaux. La tendance au monopole nous conduira à écarter franchement la théorie de COURNOT comme il l'a lui-même admis. La tendance à la « solidarisation du milieu » par le développement des moyens de communication aura, à notre avis, une action beaucoup plus nuancée. Elle ne nous permettra
pourra être considérée comme indépendante de celle des autres et d'influence négligeable par rapport à l'ensemble. Elle ne vaudra peut-être plus dans le cas d'une économie fortement cartellisée, comprenant de nombreux monopoles et dont les acteurs subissent aveuglément l'influence de quelques « directeurs de pensée ». COURNOT lui-même avait d'ailleurs expressément écarté l'application de sa théorie dans le cas où le nombre des consommateurs serait par trop réduit. CONCLUSION. Il semble, en définitive, que les facteurs de cohérence qui existent dans les sociétés humaines modernes auront des répercussions diverses sur la validité de l'application de la loi des grands nombres aux phénomènes sociaux. La tendance au monopole nous conduira à écarter franchement la théorie de COURNOT comme il l'a lui-même admis. La tendance à la « solidarisation du milieu » par le développement des moyens de communication aura, à notre avis, une action beaucoup plus nuancée. Elle ne nous permettra en aucun cas d'admettre l'existence dans la courbe de demande sociale de discontinuités au sens mathématique du mot, mais elle tendra à favoriser de plus en plus l'existence de fortes modifications des phénomènes sociaux pour de très faibles variations du facteur causal. La valeur de la demande sociale représentée par une courbe toujours continue sera sujette à d'amples et rapides modifications pour de très légères augmentations ou diminutions du prix du produit. C'est là le point important. Il est parfaitement oiseux de discuter du point de vue économique si la courbe pourra comprendre des parties rigoureusement verticales ou seulement « très inclinées ». Il doit suffire d'avoir mis en évidence que l'existence de mouvements de psychologie collective peut remplacer par de rapides bouleversements les lentes évolutions des équilibres qui peuvent théoriquement exister dans une économie où les individus agissent indépendamment les uns des autres, suivant ce qu'ils croient être leur intérêt personnel et sans être soumis à aucune contrainte extérieure d'ordre social. Nous voilà peut-être bien loin de la théorie de COURNOT: après lui avoir accordé une approbation de principe, ne venons-nous pas de lui ôter toute valeur économique ? Il ne semble pas. Comme toute théorie d'économie pure, elle
une courbe toujours continue sera sujette à d'amples et rapides modifications pour de très légères augmentations ou diminutions du prix du produit. C'est là le point important. Il est parfaitement oiseux de discuter du point de vue économique si la courbe pourra comprendre des parties rigoureusement verticales ou seulement « très inclinées ». Il doit suffire d'avoir mis en évidence que l'existence de mouvements de psychologie collective peut remplacer par de rapides bouleversements les lentes évolutions des équilibres qui peuvent théoriquement exister dans une économie où les individus agissent indépendamment les uns des autres, suivant ce qu'ils croient être leur intérêt personnel et sans être soumis à aucune contrainte extérieure d'ordre social. Nous voilà peut-être bien loin de la théorie de COURNOT: après lui avoir accordé une approbation de principe, ne venons-nous pas de lui ôter toute valeur économique ? Il ne semble pas. Comme toute théorie d'économie pure, elle nous fournit un schéma très simplifié pour guider nos raisonnements, et, dans son imperfection même, elle sert encore la science en nous incitant à étudier plus à fond l'écart qui la sépare de la réalité. Applications dans le domaine monétaire et financier Les questions monétaires et financières soulèvent de multiples problèmes dans la solution desquels la loi des grands nombres intervient. Nous nous bornerons à énumérer les principaux : — émission de billets gagés sur l'or au-delà de la valeur du stock de garantie ; — amplification du stock monétaire par la création de monnaie scripturale ; — répartition des fonds des banques entre les emplois à court terme et les investissements à long terme ; — en particulier, emploi par l'État à des fins budgétaires (couverture du déficit), des sommes empruntées à court terme par des moyens dits « de trésorerie ». Schéma général Toutes ces questions peuvent se ramener à un schéma général qui est basé sur la théorie des ensembles renouvelables et la loi des grands nombres. Soit un stock S alimenté par un flux d'entrée d'intensité e et alimentant un flux de sortie d'intensité s. Les molécules qui composent e entrent dans le stock, y restent
problèmes dans la solution desquels la loi des grands nombres intervient. Nous nous bornerons à énumérer les principaux : — émission de billets gagés sur l'or au-delà de la valeur du stock de garantie ; — amplification du stock monétaire par la création de monnaie scripturale ; — répartition des fonds des banques entre les emplois à court terme et les investissements à long terme ; — en particulier, emploi par l'État à des fins budgétaires (couverture du déficit), des sommes empruntées à court terme par des moyens dits « de trésorerie ». Schéma général Toutes ces questions peuvent se ramener à un schéma général qui est basé sur la théorie des ensembles renouvelables et la loi des grands nombres. Soit un stock S alimenté par un flux d'entrée d'intensité e et alimentant un flux de sortie d'intensité s. Les molécules qui composent e entrent dans le stock, y restent un temps t, puis en sortent pour former le flux de sortie s. Soit t0 le temps moyen de séjour des molécules dans le stock ; du temps o au temps t0 le flux de sortie sera nul ; le stock S part de o et croît jusqu'à So = e to. Ce stock aura ensuite pour valeur : Au moment t', il sortira du stock autant de molécules qu'il en est entré au moment (t' -to)' (en supposant pour simplifier l'exposé, que chaque molécule reste exactement le temps t0 dans le stock). Si alors nous supposons que e est constant, s sera également constant ; si e oscille autour d'une valeur moyenne, s fera de même autour de la même valeur moyenne. Les valeurs de la seconde intégrale qui compose S oscilleront alors autour de o et S oscillera autour de S0. Ce sera en particulier le cas si nous supposons que les entrées et sorties des molécules sont soumises au hasard. Au bout d'un certain temps, l'observation nous aura permis de déterminer une valeur moyenne de e égale à em et une valeur moyenne de s = sm = em. La loi des grands nombres nous apprend que
e to. Ce stock aura ensuite pour valeur : Au moment t', il sortira du stock autant de molécules qu'il en est entré au moment (t' -to)' (en supposant pour simplifier l'exposé, que chaque molécule reste exactement le temps t0 dans le stock). Si alors nous supposons que e est constant, s sera également constant ; si e oscille autour d'une valeur moyenne, s fera de même autour de la même valeur moyenne. Les valeurs de la seconde intégrale qui compose S oscilleront alors autour de o et S oscillera autour de S0. Ce sera en particulier le cas si nous supposons que les entrées et sorties des molécules sont soumises au hasard. Au bout d'un certain temps, l'observation nous aura permis de déterminer une valeur moyenne de e égale à em et une valeur moyenne de s = sm = em. La loi des grands nombres nous apprend que ces moyennes continueront à se réaliser si les entrées et sorties continuent à être soumises au hasard (nous dirons, dans le cas qui nous occupe, si les conditions économiques générales ne changent pas). Dans cet état de régime, le stock S oscillerait autour de So entre SodS et S0 + dS, en appelant dS l'écart qui a beaucoup de chances de ne pas être dépassé (99/100 par exemple) ; dS dépendra de l'écart maximum dont e et s peuvent s'écarter de leur valeur moyenne em. Si la seule condition imposée est que le courant de sortie ne doit pas s'arrêter, il suffira de conserver dS en réserve, et tout le reste du stock, soit (S0—dS) pourra être distrait et employé à d'autres fins ; on aura alors une chance sur cent seulement de voir à un moment donné le flux de sortie entravé par l'épuisement du stock. Le pourcentage à conserver = dS/S0 est appelé la couverture; il sera déterminé expérimentalement ; il dépend des conditions générales de l'économie (par exemple : nombre de participants au flux d'entrée) et des habitudes du lieu et de l'époque. Quelles sont les conditions pour que ce schéma ne soit pas trop éloigné de
dS, en appelant dS l'écart qui a beaucoup de chances de ne pas être dépassé (99/100 par exemple) ; dS dépendra de l'écart maximum dont e et s peuvent s'écarter de leur valeur moyenne em. Si la seule condition imposée est que le courant de sortie ne doit pas s'arrêter, il suffira de conserver dS en réserve, et tout le reste du stock, soit (S0—dS) pourra être distrait et employé à d'autres fins ; on aura alors une chance sur cent seulement de voir à un moment donné le flux de sortie entravé par l'épuisement du stock. Le pourcentage à conserver = dS/S0 est appelé la couverture; il sera déterminé expérimentalement ; il dépend des conditions générales de l'économie (par exemple : nombre de participants au flux d'entrée) et des habitudes du lieu et de l'époque. Quelles sont les conditions pour que ce schéma ne soit pas trop éloigné de la réalité ? Il faut que les flux d'entrée et de sortie soient soumis aux lois du hasard ; nous pourrons l'admettre quand ils seront composés d'un grand nombre de faits élémentaires indépendants les uns des autres. Soit, par exemple, la question de l'emploi de la dette à court terme de l'Etat : la souscription directe de bons de la Défense nationale de faible valeur par la multitude des petits épargnants, se rapproche davantage des conditions théoriques que la souscription de Bons du Trésor de grosse valeur individuelle par les banques. L'émission de bons de faible valeur en temps de guerre favorise le fonctionnement du « circuit de l'épargne H. Les conditions réelles seront suffisamment proches des conditions théoriques en période normale où les mobiles des souscripteurs de bons ou des déposants dépendent uniquement de l'état de leurs disponibilités et où aucune question de défiance envers le gouvernement ou la banque ne vient entraver les souscriptions. Les phénomènes de psychologie collective exercent une influence considérable dans ce domaine. La « solidarisation du milieu » jouera à plein ; elle entraînera l'arrêt du courant d'entrée et le grossissement démesuré du courant de sortie. Très souvent, la couverture ne sera pas assez
de l'Etat : la souscription directe de bons de la Défense nationale de faible valeur par la multitude des petits épargnants, se rapproche davantage des conditions théoriques que la souscription de Bons du Trésor de grosse valeur individuelle par les banques. L'émission de bons de faible valeur en temps de guerre favorise le fonctionnement du « circuit de l'épargne H. Les conditions réelles seront suffisamment proches des conditions théoriques en période normale où les mobiles des souscripteurs de bons ou des déposants dépendent uniquement de l'état de leurs disponibilités et où aucune question de défiance envers le gouvernement ou la banque ne vient entraver les souscriptions. Les phénomènes de psychologie collective exercent une influence considérable dans ce domaine. La « solidarisation du milieu » jouera à plein ; elle entraînera l'arrêt du courant d'entrée et le grossissement démesuré du courant de sortie. Très souvent, la couverture ne sera pas assez forte pour parer au déséquilibre ainsi créé. Remarque. — Remarquons que la libération d'une grosse fraction du stock pour d'autres usages, est favorisée par l'amplification du courant d'entrée et par l'augmentation du nombre des agents qui contribuent à former ce courant. Le stock disponible So dS peut s'écrire S0 dS Le stock disponible S. dS peut s'écrire S,,, (i So Il augmente si on augmente So qui lui-même croît avec e et to' Il augmente également si l'on diminue dS/S0 (donc de/e). Or la loi des grands nombres nous apprend que de/e diminue quand le nombre des composants de e augmente : les moyennes réellement observées se rapprochent davantage de la moyenne théorique, donc on peut diminuer la réserve destinée à parer aux à-coups. En fait, la réserve sera bien supérieure à la valeur théoriquement suffisante : elle aura pour but de parer, non aux différences d'entrées et de sorties des périodes normales (dues au jeu de la loi des grands nombres) mais aux commencements de mouvements de grande amplitude (fuite devant la monnaie) accordant ainsi aux institutions en danger un certain délai pour organiser leur défense. Citons en terminant, quelques autres applications qu'il pourrait être intéressant d'étudier : application
Le stock disponible S. dS peut s'écrire S,,, (i So Il augmente si on augmente So qui lui-même croît avec e et to' Il augmente également si l'on diminue dS/S0 (donc de/e). Or la loi des grands nombres nous apprend que de/e diminue quand le nombre des composants de e augmente : les moyennes réellement observées se rapprochent davantage de la moyenne théorique, donc on peut diminuer la réserve destinée à parer aux à-coups. En fait, la réserve sera bien supérieure à la valeur théoriquement suffisante : elle aura pour but de parer, non aux différences d'entrées et de sorties des périodes normales (dues au jeu de la loi des grands nombres) mais aux commencements de mouvements de grande amplitude (fuite devant la monnaie) accordant ainsi aux institutions en danger un certain délai pour organiser leur défense. Citons en terminant, quelques autres applications qu'il pourrait être intéressant d'étudier : application aux lois de la physique atomique, considérées comme lois statistiques, en particulier, application à la radioactivité ; application à la théorie des erreurs dont les résultats sont analogues à ceux de la loi de GAUSS : la précision d'une moyenne de mesures croît comme la racine carrée du nombre de mesures; application à l'artillerie où l'on se sert plus spécialement de la notion d'écart probable ; enfin, application aux jeux de hasard : roulette, baquet, loterie, etc. Dans tous ces domaines, nous retrouverions des notions et des résultats analogues à ceux que nous venons de développer. Conclusion Voici esquissées la théorie des probabilités, la loi des grands nombres et quelques applications ; il convient de souligner en terminant, l'importance de ces notions pour l'économiste. La loi des grands nombres est la grande loi du hasard. Elle nous apprend que des relations constantes peuvent apparaître dans des séries de grandeurs dont chacune est due au hasard. Elle nous donne, de plus, une idée nette de la confiance à accorder à ces relations en chiffrant la valeur de l'écart que nous pouvons craindre de voir apparaître entre nos observations et les résultats théoriques. A ce double point de vue, elle a une