jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
strictement plus petite que celle de B. (b) Soient K1<K2 et K1#K2 avec K2 vérifiant (4); alors la valeur propre principale de A1=T + K1 est strictement plus petite que celle de A2=T + K2. (c) Si o_1 (v) < o_2 (v) et a_1 (.) < a_2 (. avec K vérifiant (4), alors la valeur propre principale de A2 = T2 + K est strictement plus petite que celle de A = T + K dans LP(D x V). ■ Remarque 6. — On notera que (a) améliore le théorème 2. Ainsi si la valeur propre principale de B est nulle, alors A1 existe pour tout D borné. Ceci permet de résoudre de manière immédiate un problème (linéaire) de la cinétique des gaz qui a déjà été résolu à l'aide de techniques différentes (voir, par exemple, [7]). ■ Remarque 7. — Quoique strictement plus petite que la valeur propre principale de B, celle de A peut s'en approcher indéfiniment quand la taille de D augmente ([3], th. 1). ■ Remarque 8. — Lorsque a (A) n {ReA,>co} est fini pour tout co>r|, la valeur propre principale est strictement dominante [i.e. ReX< X0 pour tout A ea(A), X^=X0] en raison du caractère cyclique du spectre périphérique ([6], cor. 2.1, p. 304). Il est possible de montrer, à l'aide du résultat d'I. Marek [1], que X0 est strictement dominante sous (seulement) l'hypothèse (2) ([8], th. 5). ■ Remarque finale. — La convexité de D ainsi que le caractère homogène de l'opérateur de transport ne sont pas des hypothèses essentielles. Les démonstrations des résultats annoncés dans cette Note se trouvent dans [4] et [8]. Note reçue le 15 juin 1987, acceptée le 21 septembre 1987. On voudrait pouvoir imposer \(U_1 = U_2\) mais le problème serait alors mal posé. En fait, Dubois et Le Floch se ramènent au problème de Riemann avec comme données de Cauchy \(U_0\), en x positif, et \(U_2\), en x négatif, qui possède fréquemment une solution unique. Ils montrent alors que la condition aux limites obtenue s'écrit : "(1.5) \(J_1\) est tel qu'il existe une solution au problème de
caractère cyclique du spectre périphérique ([6], cor. 2.1, p. 304). Il est possible de montrer, à l'aide du résultat d'I. Marek [1], que X0 est strictement dominante sous (seulement) l'hypothèse (2) ([8], th. 5). ■ Remarque finale. — La convexité de D ainsi que le caractère homogène de l'opérateur de transport ne sont pas des hypothèses essentielles. Les démonstrations des résultats annoncés dans cette Note se trouvent dans [4] et [8]. Note reçue le 15 juin 1987, acceptée le 21 septembre 1987. On voudrait pouvoir imposer \(U_1 = U_2\) mais le problème serait alors mal posé. En fait, Dubois et Le Floch se ramènent au problème de Riemann avec comme données de Cauchy \(U_0\), en x positif, et \(U_2\), en x négatif, qui possède fréquemment une solution unique. Ils montrent alors que la condition aux limites obtenue s'écrit : "(1.5) \(J_1\) est tel qu'il existe une solution au problème de Riemann dans le quadrant \(\{x<0, t>0\}\) dont les données sont \(U(0,0) = U_1\); \(U(x,0) = U_2\)". THÉORÈME 1. — Si \(J_1\) vérifie (1.5), alors \(J_2\) vérifie (1.4). Démonstration. — Si \(U_1\) est relié à \(U_2\) par une solution auto-semblable, pour laquelle on a l'intégralité d'entropie : \(\int_{-\infty}^{+\infty}X(u) du = 0\), où \(X(u)\) est l'entropie du système. On intègre l'inégalité entre \(-L\) et \(0\), et on en déduit, \(r\) étant minimale en \(U_2\), \(r(J_2) \leq \int_{-\infty}^{+\infty}X(u) du \leq r(J_1)\). En fait, Dubois et Le Floch conjecturent l'équivalence des deux conditions aux limites, et la démontrent dans les cas scalaire, linéaire, et pour certains systèmes. Nous allons montrer cette équivalence sous une hypothèse restrictive, et l'infirmer dans le cas général par un contre-exemple. 4. CAS DES SYSTÈMES où LES COURBES D'ONDES SONT DES DROITES. — On considère uniquement les systèmes 2x2, et on fait les hypothèses suivantes : (H1) Il existe un domaine convexe, positivement invariant, borné : \(A\). (H2) \(MU > 0\), \(\forall U \in A\), \(i=1, 2\). (H3) Les courbes de détente sont des droites. On sait que, dans ce cas, les courbes de détentes et de chocs coïncident [Serre [6]]. Outre le cas linéaire, on connaît des exemples vraiment
où \(X(u)\) est l'entropie du système. On intègre l'inégalité entre \(-L\) et \(0\), et on en déduit, \(r\) étant minimale en \(U_2\), \(r(J_2) \leq \int_{-\infty}^{+\infty}X(u) du \leq r(J_1)\). En fait, Dubois et Le Floch conjecturent l'équivalence des deux conditions aux limites, et la démontrent dans les cas scalaire, linéaire, et pour certains systèmes. Nous allons montrer cette équivalence sous une hypothèse restrictive, et l'infirmer dans le cas général par un contre-exemple. 4. CAS DES SYSTÈMES où LES COURBES D'ONDES SONT DES DROITES. — On considère uniquement les systèmes 2x2, et on fait les hypothèses suivantes : (H1) Il existe un domaine convexe, positivement invariant, borné : \(A\). (H2) \(MU > 0\), \(\forall U \in A\), \(i=1, 2\). (H3) Les courbes de détente sont des droites. On sait que, dans ce cas, les courbes de détentes et de chocs coïncident [Serre [6]]. Outre le cas linéaire, on connaît des exemples vraiment non linéaires de tels systèmes, en chromatographie. Le prototype de ce cas est le système de Leroux : Sous l'hypothèse (H3), on sait (Serre [6]), que les fonctions \(X(u)\) sont des entropies convexes du système lorsque la droite \(\{ U; n. U = a \}\) est une courbe de détente. Les flux associés sont : \(g_+(U)=n.(U)-(3 \sin.U-oc>0\), \(q_-(U) = 0 \sin.U-oc>0\), \(\beta n. F (U) sinon, et on a \(n. U-a=0=n. F (U)\). On vérifie alors que \(g_+(U) = A(U).~T|_+(U)\) où \(\inf_{A} X^*(U), U \in A\) et \(\sup_{A} X^*(U), U \in A\) de sorte qu'en appliquant l'inégalité sur les flux, on obtient, si \(r_+ (U_2)\) est nul : \(\int_{-\infty}^{+\infty} X^*(U) du \leq \inf_{A} X^*(U)\) et \(\sup_{A} X^*(U) \leq \int_{-\infty}^{+\infty} X^*(U) du\). Sous l'hypothèse (H2), \(A (U)\) est de signe constant sur \(A\). L'inégalité (1.6) est triviale pour les champs caractéristiques à vitesse négative, et donne \(r_+ (U_1) = 0\) pour les autres. On traduit donc la condition sur les flux par : « Pour chaque courbe de onde \(r_+(U_2)\), issue de \(U_2\), de vitesse \(X_+(U)\) positive, on a \(\int_{-\infty}^{+\infty} r_+(U_2)\) », ce qui est strictement équivalent au fait que \(U_2\) est lié à \(U_1\) par la résolution d'un demi-problème de
Les flux associés sont : \(g_+(U)=n.(U)-(3 \sin.U-oc>0\), \(q_-(U) = 0 \sin.U-oc>0\), \(\beta n. F (U) sinon, et on a \(n. U-a=0=n. F (U)\). On vérifie alors que \(g_+(U) = A(U).~T|_+(U)\) où \(\inf_{A} X^*(U), U \in A\) et \(\sup_{A} X^*(U), U \in A\) de sorte qu'en appliquant l'inégalité sur les flux, on obtient, si \(r_+ (U_2)\) est nul : \(\int_{-\infty}^{+\infty} X^*(U) du \leq \inf_{A} X^*(U)\) et \(\sup_{A} X^*(U) \leq \int_{-\infty}^{+\infty} X^*(U) du\). Sous l'hypothèse (H2), \(A (U)\) est de signe constant sur \(A\). L'inégalité (1.6) est triviale pour les champs caractéristiques à vitesse négative, et donne \(r_+ (U_1) = 0\) pour les autres. On traduit donc la condition sur les flux par : « Pour chaque courbe de onde \(r_+(U_2)\), issue de \(U_2\), de vitesse \(X_+(U)\) positive, on a \(\int_{-\infty}^{+\infty} r_+(U_2)\) », ce qui est strictement équivalent au fait que \(U_2\) est lié à \(U_1\) par la résolution d'un demi-problème de Riemann dans le quadrant de gauche \(\{x<0, t>0\}\). Remarque. — Il semble que la condition (H2) ne soit pas nécessaire, bien qu'elle simplifie grandement la démonstration. Pour le système de Leroux, elle peut être fausse pour certains choix de \(A\). En revanche, même dans ce cas, on a pu prouver l'équivalence de (1.4) et de (1.5). 5. LE « \(7-SYSTÈME ». — Nous considérons maintenant le système bien connu Les relations (1.4) et (1.5) seraient équivalentes dans ce cas si l'inégalité sur les flux impliquait : THÉORÈME 2. — On suppose que \(p'(u)>0, \forall u \in R\). Si \((v_1, u_1)\) vérifie les inégalités (1.4), alors \(u_2 = u_1\) et \(p(v_2) \geq p(v_1)\). Démonstration. — On utilise les entropies introduites par Lax [4] : \(X(a, b) = \begin{cases} \frac{p(v)-p(v_1)}{p'(v_1)} & \text{si } v \geq v_1 \\ \frac{p(v_2)-p(v)}{p'(v_2)} & \text{si } v \leq v_2, \end{cases}\) où \(cp (v, u)\) est un invariant de Riemann. Pour que \(X\) soit convexe, il suffit que \(k > 0\) soit assez grand. Selon ces hypothèses et en faisant tendre \(k\) vers \(+\infty\), on déduit de (1.4) : En supposant l'inégalité ci-dessus stricte, et en faisant de nouveau un passage à la limite sur \(k\), on obtient
l'équivalence de (1.4) et de (1.5). 5. LE « \(7-SYSTÈME ». — Nous considérons maintenant le système bien connu Les relations (1.4) et (1.5) seraient équivalentes dans ce cas si l'inégalité sur les flux impliquait : THÉORÈME 2. — On suppose que \(p'(u)>0, \forall u \in R\). Si \((v_1, u_1)\) vérifie les inégalités (1.4), alors \(u_2 = u_1\) et \(p(v_2) \geq p(v_1)\). Démonstration. — On utilise les entropies introduites par Lax [4] : \(X(a, b) = \begin{cases} \frac{p(v)-p(v_1)}{p'(v_1)} & \text{si } v \geq v_1 \\ \frac{p(v_2)-p(v)}{p'(v_2)} & \text{si } v \leq v_2, \end{cases}\) où \(cp (v, u)\) est un invariant de Riemann. Pour que \(X\) soit convexe, il suffit que \(k > 0\) soit assez grand. Selon ces hypothèses et en faisant tendre \(k\) vers \(+\infty\), on déduit de (1.4) : En supposant l'inégalité ci-dessus stricte, et en faisant de nouveau un passage à la limite sur \(k\), on obtient : \(u_2 = u_1 + (p(v_2) - p(v_1))\). 6. UN CONTRE-EXEMPLE. — Soit le système : On se place dans le domaine invariant \(A = \{(a, b); a > 0\}\). Les entropies sont de la forme \(X(a, b) = g(r) + rh(b)\) [5]. Une telle fonction est convexe si et seulement si : \(g'^+(0, g'^C, h + h"^ -C (où \(C\) est une constante de \(R\)). Le flux associé est : \(q (a, b) = G(r) + r cp(r) h(b)\), où \(G'(r) = (rf)' g'(r)\). On suppose : \(cp < 0\), avec \((cp)' > 0\); la condition de flux devient : pour des fonctions \(g\) et \(h\) vérifiant \(g'^0, g'^0, h + h"^0. Cette condition se découple en deux conditions qui font intervenir l'une \(g\), l'autre \(h\) : On trouve finalement que (1.7) \(\Leftrightarrow\) \((r_1 = r_2\) et \(r_2 cp(r_2) = cp(r_1) u_1 u_2)\). Compte tenu des conditions sur \(cp\), ce domaine n'est pas réduit à \(\{r_1=r_2\}\). Par ailleurs, l'inégalité (1.8) est triviale. Finalement l'inégalité sur les flux équivaut à (1.7), c'est-à-dire que l'ensemble des \(U_1\) admissibles par la relation (1.4) est plus grand que l'arc de cercle \(\{ r=r_2 \}\), auquel on est conduit par l'autre relation (1.5). Remarque.
seulement si : \(g'^+(0, g'^C, h + h"^ -C (où \(C\) est une constante de \(R\)). Le flux associé est : \(q (a, b) = G(r) + r cp(r) h(b)\), où \(G'(r) = (rf)' g'(r)\). On suppose : \(cp < 0\), avec \((cp)' > 0\); la condition de flux devient : pour des fonctions \(g\) et \(h\) vérifiant \(g'^0, g'^0, h + h"^0. Cette condition se découple en deux conditions qui font intervenir l'une \(g\), l'autre \(h\) : On trouve finalement que (1.7) \(\Leftrightarrow\) \((r_1 = r_2\) et \(r_2 cp(r_2) = cp(r_1) u_1 u_2)\). Compte tenu des conditions sur \(cp\), ce domaine n'est pas réduit à \(\{r_1=r_2\}\). Par ailleurs, l'inégalité (1.8) est triviale. Finalement l'inégalité sur les flux équivaut à (1.7), c'est-à-dire que l'ensemble des \(U_1\) admissibles par la relation (1.4) est plus grand que l'arc de cercle \(\{ r=r_2 \}\), auquel on est conduit par l'autre relation (1.5). Remarque. — Dans ce cas, la région obtenue par l'inégalité (1.4) en utilisant toutes les entropies convexes coïncide avec celle que l'on obtient en n'utilisant que les entropies de Lax (la convexité de ces entropies est assurée par la positivité de \(cp'\)). SERRE, La compacité par compensation pour les systèmes hyperboliques non linéaires de deux équations à une dimension d'espace, J. Math. pures et appl., 65, 1986, p. 423-468. [6] D. SERRE, Domaines invariants pour les systèmes hyperboliques de lois de conservations, J.D.E., 68, 1987 (à paraître). [7] B. TEMPLE, Systems of conservation laws with invariant submanifolds, Trans A.M.S., 280, n° 2, 1983, p. 781-795. A. B. : C.M.A., E.N.S., 45, rue d'Ulm, 75005 Paris; D. S. : Université de Saint-Etienne, 42023, Saint-Etienne Cedex 2. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 681-684, 1987 681 Analyse fonctionnelle/Function Analysis Image numérique simultanée d'une famille d'opérateurs sur l'espace de Hilbert Gilles CASSIER Résumé — On établit des propriétés de convexité de l'image numérique d'une famille d'opérateurs sur l'espace de Hilbert se trouvant dans une algèbre duale uniforme. Simultaneous numerical range of an operator family on a Hilbert space Abstract — We establish some convexity properties of the numerical range for
non linéaires de deux équations à une dimension d'espace, J. Math. pures et appl., 65, 1986, p. 423-468. [6] D. SERRE, Domaines invariants pour les systèmes hyperboliques de lois de conservations, J.D.E., 68, 1987 (à paraître). [7] B. TEMPLE, Systems of conservation laws with invariant submanifolds, Trans A.M.S., 280, n° 2, 1983, p. 781-795. A. B. : C.M.A., E.N.S., 45, rue d'Ulm, 75005 Paris; D. S. : Université de Saint-Etienne, 42023, Saint-Etienne Cedex 2. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 681-684, 1987 681 Analyse fonctionnelle/Function Analysis Image numérique simultanée d'une famille d'opérateurs sur l'espace de Hilbert Gilles CASSIER Résumé — On établit des propriétés de convexité de l'image numérique d'une famille d'opérateurs sur l'espace de Hilbert se trouvant dans une algèbre duale uniforme. Simultaneous numerical range of an operator family on a Hilbert space Abstract — We establish some convexity properties of the numerical range for a family of operators on a Hilbert space lying in an uniform dual algebra. L'image numérique simultanée d'une famille infinie (R;)isI d'opérateurs sur l'espace de Hilbert est l'ensemble I (R1)ieI={«RIx|x»ieI; ||x|| = l}. Elle fut introduite au cours des premières études de l'espace de Hilbert. Toeplitz (1918) prouva que la frontière dl (R) de l'image numérique d'un opérateur R est une courbe convexe puis Hausdorff donna en 1919 son théorème devenu classique sur la convexité de I (R). Malheureusement pour une famille finie {R1; . . ., Rp} d'opérateurs, I (R1; .. ., Rp) n'est pas convexe en général même si les p opérateurs R1; . . ., Rp sont hermitiens et agissent sur un espace de dimension deux. Pour obtenir plus de détails on pourra consulter [1]. Néanmoins lorsque les opérateurs sont choisis dans une sous-algèbre ultrafaiblement fermée de L(H) sur laquelle la transformée de Gelfand est une isométrie, c'est-à-dire une algèbre duale uniforme, on obtient les résultats suivants : THÉORÈME 1. — Si (Rk)k>0 est une famille d'opérateurs appartenant à une algèbre duale uniforme, le sous-ensemble I (R*)k>0 de Cm est convexe. Si F est une partie de Cp, p > 0, on note int (F) l'intérieur de
frontière dl (R) de l'image numérique d'un opérateur R est une courbe convexe puis Hausdorff donna en 1919 son théorème devenu classique sur la convexité de I (R). Malheureusement pour une famille finie {R1; . . ., Rp} d'opérateurs, I (R1; .. ., Rp) n'est pas convexe en général même si les p opérateurs R1; . . ., Rp sont hermitiens et agissent sur un espace de dimension deux. Pour obtenir plus de détails on pourra consulter [1]. Néanmoins lorsque les opérateurs sont choisis dans une sous-algèbre ultrafaiblement fermée de L(H) sur laquelle la transformée de Gelfand est une isométrie, c'est-à-dire une algèbre duale uniforme, on obtient les résultats suivants : THÉORÈME 1. — Si (Rk)k>0 est une famille d'opérateurs appartenant à une algèbre duale uniforme, le sous-ensemble I (R*)k>0 de Cm est convexe. Si F est une partie de Cp, p > 0, on note int (F) l'intérieur de F relativement au sous-espace affine qu'elle engendre. THÉORÈME 2. — Pour toute famille finie {R1; . . ., Rp} d'opérateurs sur H se trouvant dans une algèbre duale uniforme, l'ensemble int (I (R1, . . ., Rp)) est convexe. Remarque. — Si la famille d'opérateurs est prise dans une algèbre duale qui n'est pas uniforme, les énoncés précédents peuvent être en défaut. En particulier, la commutation des opérateurs (Rt)k>0 n'est Pas suffisante. Preuve du théorème 1. — On note se l'algèbre duale uniforme contenant la famille (Rk)k>0 On commence par remarquer que si a est une valeur du spectre périphérique, F (S) = T (S) n (0, ||S||), d'un élément S de se, la projection orthogonale sur le sous-espace propre associé à oc appartient à se. Ceci permet de décomposer se comme somme directe d'algèbres uniformes sur des espaces de dimension finie et d'une algèbre duale uniforme Qi vérifiant la propriété suivante : (1) pour tout S de 3) les valeurs du spectre périphérique de S appartiennent au spectre essentiel à gauche de S. Note présentée par Laurent SCHWARTZ. 0249-6291/87/03050681 $ 2.00 © Académie des Sciences 682 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 681-684, 1987 Comme
duale qui n'est pas uniforme, les énoncés précédents peuvent être en défaut. En particulier, la commutation des opérateurs (Rt)k>0 n'est Pas suffisante. Preuve du théorème 1. — On note se l'algèbre duale uniforme contenant la famille (Rk)k>0 On commence par remarquer que si a est une valeur du spectre périphérique, F (S) = T (S) n (0, ||S||), d'un élément S de se, la projection orthogonale sur le sous-espace propre associé à oc appartient à se. Ceci permet de décomposer se comme somme directe d'algèbres uniformes sur des espaces de dimension finie et d'une algèbre duale uniforme Qi vérifiant la propriété suivante : (1) pour tout S de 3) les valeurs du spectre périphérique de S appartiennent au spectre essentiel à gauche de S. Note présentée par Laurent SCHWARTZ. 0249-6291/87/03050681 $ 2.00 © Académie des Sciences 682 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 681-684, 1987 Comme chaque sép est une algèbre uniforme sur un espace de dimension finie, elle est nécessairement une C*-algèbre commutative. La coïncidence de ces deux types d'algèbres n'est évidemment plus vraie en dimension infinie puisque n'importe quelle contraction dont le calcul fonctionnel de Nagy-Foias [2] est isométrique engendre une algèbre duale uniforme, en particulier toute contraction dont le spectre est riche. Chaque Rk se décompose sous la forme Rk= ® Rk ; © R avec Rk séparé et Rk disjoint, Tous les I (RK i)k > 0 sont convexes, on peut donc se ramener au cas où se = 3). On désigne par se l'image de se dans l'algèbre de Calkin "^(H) et par ê l'ensemble des états sur se. L'image numérique essentielle est l'ensemble On prouve l'inclusion (i) nR(A)0£le(R*W Pour cela on montre la propriété suivante : (ii) se est isométrique à se avec l'application canonique qui, à Sestf, fait correspondre S. Si XËH, I x || = 1, (ii) permet de définir l'état lx sur se par lx (S) = <Sx|x>, ce qui suffit pour obtenir l'inclusion ci-dessus. Quant à la preuve de (ii) elle se fait de la manière suivante : soit Se se que l'on peut supposer de
en particulier toute contraction dont le spectre est riche. Chaque Rk se décompose sous la forme Rk= ® Rk ; © R avec Rk séparé et Rk disjoint, Tous les I (RK i)k > 0 sont convexes, on peut donc se ramener au cas où se = 3). On désigne par se l'image de se dans l'algèbre de Calkin "^(H) et par ê l'ensemble des états sur se. L'image numérique essentielle est l'ensemble On prouve l'inclusion (i) nR(A)0£le(R*W Pour cela on montre la propriété suivante : (ii) se est isométrique à se avec l'application canonique qui, à Sestf, fait correspondre S. Si XËH, I x || = 1, (ii) permet de définir l'état lx sur se par lx (S) = <Sx|x>, ce qui suffit pour obtenir l'inclusion ci-dessus. Quant à la preuve de (ii) elle se fait de la manière suivante : soit Se se que l'on peut supposer de norme 1; il existe un caractère % dans le spectre y de se tel que | % (S) | = 1. L'opérateur S + % (S) I a pour norme 2. On considère une suite x„ de vecteurs unitaires telle que Nécessairement || (S—% (S) I) x„ || * 0 et x (S) est un point du spectre essentiel à gauche n -> + ∞ de S d'après (1), d'où ||S|| = 1 = ||S||. On désigne par Jf (H) l'ensemble des opérateurs compacts sur H ! et on introduit l'ensemble On vérifie que ce dernier est convexe et contenu dans Ie(Rt)k>0La convexité se prouve en construisant pour deux points (txk)k > 0 et ($k)k > 0 de I*(Rk)k>0 des suites (ep)p > 0 et (fq)q > 0 mutuellement orthonormales telles que Ife_0 Si te[0,1] on choisit s de sorte que r=s2/(l + 2s2-2s) et on considère les vecteurs unitaires wp_ q=(s ep + (1 —s)fq) /l + 2 s2-2 s. On a Pour avoir l'inclusion dans Ie (Rj>0 il suffit en prenant par exemple le point (a.k)k > 0 d'utiliser l'état défini par Z (A)=lim < A e e > où °U est un ultrafiltre non trivial sur N.
et x (S) est un point du spectre essentiel à gauche n -> + ∞ de S d'après (1), d'où ||S|| = 1 = ||S||. On désigne par Jf (H) l'ensemble des opérateurs compacts sur H ! et on introduit l'ensemble On vérifie que ce dernier est convexe et contenu dans Ie(Rt)k>0La convexité se prouve en construisant pour deux points (txk)k > 0 et ($k)k > 0 de I*(Rk)k>0 des suites (ep)p > 0 et (fq)q > 0 mutuellement orthonormales telles que Ife_0 Si te[0,1] on choisit s de sorte que r=s2/(l + 2s2-2s) et on considère les vecteurs unitaires wp_ q=(s ep + (1 —s)fq) /l + 2 s2-2 s. On a Pour avoir l'inclusion dans Ie (Rj>0 il suffit en prenant par exemple le point (a.k)k > 0 d'utiliser l'état défini par Z (A)=lim < A e e > où °U est un ultrafiltre non trivial sur N. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 681-684, 1987 683 On montre ensuite l'égalité entre le (R^so et le (R^goEn effet, supposons qu'il existe un point (x, y) = 0 de le (R^k), qui n'appartient pas à le (R^ft)aD'après le théorème de Hahn-Banach, il existe u, v, w ∈, tel que Pour exploiter (2), on établit la propriété suivante : (iii) Si A ∈ L(H), est tel que v ∈ le (A), R^r>0, alors A est inversible dans le (H) et ||(A)-1| = 1/r et on vérifie que pour r>0 On obtient donc : Soit le S tel que (ak)k ≥ 0 = G (R)* alors on a : ou encore En faisant tendre t vers 0, on aboutit à m [u1+a1 + ... + Mpap + w] = 0 ce qui est contradictoire. En récapitulant ce qui précède, on arrive à l'égalité ce qui achève la preuve du théorème 1. Preuve du théorème 2. — On décompose les opérateurs R1, ..., Rp comme au début de la preuve du théorème 1 et on définit la fonction dont l'image est exactement le (R, ...,Rp). On peut supposer que 0 appartient à le (S1, ..., Rp), i et
w ∈, tel que Pour exploiter (2), on établit la propriété suivante : (iii) Si A ∈ L(H), est tel que v ∈ le (A), R^r>0, alors A est inversible dans le (H) et ||(A)-1| = 1/r et on vérifie que pour r>0 On obtient donc : Soit le S tel que (ak)k ≥ 0 = G (R)* alors on a : ou encore En faisant tendre t vers 0, on aboutit à m [u1+a1 + ... + Mpap + w] = 0 ce qui est contradictoire. En récapitulant ce qui précède, on arrive à l'égalité ce qui achève la preuve du théorème 1. Preuve du théorème 2. — On décompose les opérateurs R1, ..., Rp comme au début de la preuve du théorème 1 et on définit la fonction dont l'image est exactement le (R, ...,Rp). On peut supposer que 0 appartient à le (S1, ..., Rp), i et en notant F le IR-espace vectoriel qu'elle engendre, considérer que cp est à valeurs dans F. (iv) Il existe un point x de H/{0} tel que cp soit une submersion en x. Sinon, pour tout x de O, il existe (u1, ..., up) dans F avec |u1|2 + ... + |up|2 = 1 tel que Soit R= X + iY avec X=X* et Y = Y*. On déduit de la relation précédente P que Xx=ax avec |a| ≤ Y ||R.||. On définit alors pour x ∈ K, le compact K de i I I *-^ Il 11 X 684 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 681-684, 1987 F x R par La famille (Kx)xs^ possède la propriété d'intersection finie et par compacité, on peut choisir un point (ul, ..., up, t) dans f) Kr Comme, pour SeS1, x*y le (S) = conv{x (S); teS1} et OeF on obtient finalement ce qui est contradictoire avec la définition de F. Considérons maintenant un point x où cp est une submersion. On construit un espace E de dimension finie contenant x tel qu'il existe un voisinage ouvert U de x dans E pour lequel cp(U) contient une boule ouverte