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dernière page de préférence, titre complet de l'article pour les Notes de la série I (et si possible aussi pour les Notes des autres séries) ; 10. l'adresse postale et le numéro de téléphone de l'auteur ou du Laboratoire ; 11. le nom, l'adresse et le numéro de téléphone de la personne qui doit corriger les épreuves. Le français est la langue normalement utilisée dans les Comptes rendus. La Note rédigée en français doit tenir dans quatre pages imprimées (figures et tableaux compris). Toutefois les Notes contenant une version abrégée en anglais d'une page imprimée au moins, de deux pages au plus, et faisant appel aux figures, tableaux et références bibliographiques, peuvent atteindre une longueur maximale de 6 pages (figures et tableaux compris). Les auteurs étrangers peuvent présenter une Note rédigée dans une langue usant des caractères latins (de préférence en anglais) à condition de l'accompagner d'une version abrégée en français : par exemple 1 page imprimée (faisant appel aux figures, tableaux et références bibliographiques). Les Notes répondant à cette règle peuvent atteindre une longueur totale de 6 pages (figures et tableaux compris). En cas de nécessité, et avec l'autorisation d'un des Secrétaires perpétuels, une ou deux pages de figures hors texte peuvent être ajoutées à la Note. Ces planches sont à la charge des auteurs, qui doivent soumettre une mise en page prête à l'impression. Caractéristiques techniques Les Notes sont obligatoirement dactylographiées en double interligne (texte, résumés, légendes, etc.) et adressées en deux exemplaires. Une page imprimée des Comptes rendus compte 47 lignes de 83 caractères ou signes, une ligne imprimée en petits caractères comporte 95 caractères ou espaces. Les titres, résumés, tableaux, figures et bibliographie doivent tenir dans le nombre de pages indiqué. — Utiliser les unités internationales. — Présenter clairement les équations mathématiques (dactylographiées si possible) en particulier les exposants et les indices. — Indiquer dans la marge ou dans une liste les symboles non usuels. — Signaler les caractères autres que ceux usuellement employés (lettres grecques, italiques, capitales...). — Ne pas commencer une phrase par une formule mathématique. — Consigner les directives et explications pour l'Imprimeur
hors texte peuvent être ajoutées à la Note. Ces planches sont à la charge des auteurs, qui doivent soumettre une mise en page prête à l'impression. Caractéristiques techniques Les Notes sont obligatoirement dactylographiées en double interligne (texte, résumés, légendes, etc.) et adressées en deux exemplaires. Une page imprimée des Comptes rendus compte 47 lignes de 83 caractères ou signes, une ligne imprimée en petits caractères comporte 95 caractères ou espaces. Les titres, résumés, tableaux, figures et bibliographie doivent tenir dans le nombre de pages indiqué. — Utiliser les unités internationales. — Présenter clairement les équations mathématiques (dactylographiées si possible) en particulier les exposants et les indices. — Indiquer dans la marge ou dans une liste les symboles non usuels. — Signaler les caractères autres que ceux usuellement employés (lettres grecques, italiques, capitales...). — Ne pas commencer une phrase par une formule mathématique. — Consigner les directives et explications pour l'Imprimeur sur un feuillet séparé, attaché au manuscrit. Se conformer autant que possible aux signes conventionnels en usage dans l'imprimerie. — Les notes de « bas de page » sont à éviter dans la mesure du possible ; elles seront numérotées séparément des références et figureront à la fin du texte avant la bibliographie. (*) Pour plus de détails, voir le règlement complet des Comptes rendus de l'Académie des Sciences qui paraît dans le premier numéro de chaque tome. (**) La liste des rubriques est donnée dans le premier numéro de chaque tome. COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES Série I : Mathématique Série II : Mécanique, Physique, Chimie, Sciences de l'Univers, Sciences de la Terre Série III : Sciences de la vie Tarif d'abonnements. France 1987 Vol. 304+305-40 numéros Une série 2 210 F Pour l'Étranger les tarifs postaux par voie normale sont inclus. Sur demande, Deux séries 3960 F l'envoi par avion sera facturé en sus. En 1987, le service de la Série générale « La Trois séries (I, II, III) 4 980 F Vie des Sciences » est assuré gracieusement à tous les abonnés. La Vie des Sciences : Institution 440 F/Particulier 264 F Adresser les commandes à
avant la bibliographie. (*) Pour plus de détails, voir le règlement complet des Comptes rendus de l'Académie des Sciences qui paraît dans le premier numéro de chaque tome. (**) La liste des rubriques est donnée dans le premier numéro de chaque tome. COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES Série I : Mathématique Série II : Mécanique, Physique, Chimie, Sciences de l'Univers, Sciences de la Terre Série III : Sciences de la vie Tarif d'abonnements. France 1987 Vol. 304+305-40 numéros Une série 2 210 F Pour l'Étranger les tarifs postaux par voie normale sont inclus. Sur demande, Deux séries 3960 F l'envoi par avion sera facturé en sus. En 1987, le service de la Série générale « La Trois séries (I, II, III) 4 980 F Vie des Sciences » est assuré gracieusement à tous les abonnés. La Vie des Sciences : Institution 440 F/Particulier 264 F Adresser les commandes à : C.D.R., Centrale des Revues, 11, rue Gossin, 92543 Montrouge Cedex France Envoi de spécimen sur demande English text on inside back cover The appearance of the code at the bottom of the first page of an article in this journal indicates the copyright owner's consent that copies of the article may be made for personal or internal use, or for the personal or internal use of specific clients. This consent is given on the condition, however, that the copier pay the stated per-copy fee through the Copyright Clearance Center, Inc., 21 Congress St., Salem, Mass, 01970 (U.S.A.) for copying beyond that permitted by Sections 107 or 108 of the U.S. Copyright Law. This consent does not extend to other kinds of copying, such as copying for general distribution, for advertising or promotional purposes, for creating new collective works, or for resale. © Académie des Sciences, Paris, 1987 Les Comptes Rendus de l'Académie des Sciences sont une publication imprimée et diffusée par GAUTHIER-VILLARS, 1, boulevard Ney, 75018 Paris, Société anonyme, constituée pour 99 ans, au capital de 3089600 F. Siège social : 17, rue Rémy-Dumoncel, Paris. P.D.G. : J.-M. BOURGOIS. Actionnaire : BORDAS S.A. (99,8% des parts). Directeurs de la
article may be made for personal or internal use, or for the personal or internal use of specific clients. This consent is given on the condition, however, that the copier pay the stated per-copy fee through the Copyright Clearance Center, Inc., 21 Congress St., Salem, Mass, 01970 (U.S.A.) for copying beyond that permitted by Sections 107 or 108 of the U.S. Copyright Law. This consent does not extend to other kinds of copying, such as copying for general distribution, for advertising or promotional purposes, for creating new collective works, or for resale. © Académie des Sciences, Paris, 1987 Les Comptes Rendus de l'Académie des Sciences sont une publication imprimée et diffusée par GAUTHIER-VILLARS, 1, boulevard Ney, 75018 Paris, Société anonyme, constituée pour 99 ans, au capital de 3089600 F. Siège social : 17, rue Rémy-Dumoncel, Paris. P.D.G. : J.-M. BOURGOIS. Actionnaire : BORDAS S.A. (99,8% des parts). Directeurs de la publication et responsables de la rédaction : MM. les Secrétaires Perpétuels de l'Académie des Sciences, P. GERMAIN et A. JOST. CONTENTS 1987 — VOLUME 305 — SECTION I — N° 15 Logic Arithmetical definability from coprimeness and restrictions of addition or multiplication, Denis RICHARD. We denote L the binary predicate of coprimeness (xLy meaning that x and y are coprime), and S the successor function (S(x)=x + 1). We show that there are (S, ±)-definable functions f and g from N into the set of primes, such that if it is possible to (S, L)-define for one among the f's or the g's, and for every positive integer x the sum x+f(x) or the product xg(x), then the first order arithmetic is (S, ±)-definable. Mathematical Analysis Some isoperimetric inequalities for the Stefan problem, Björn GUSTAFSSON and Jacqueline MOSSINO We compare the weak solution (h, k) of the Stefan problem in some annular domain to x (0, T), with the weak solution (0, H) of the "symmetrized" problem, in £x(0, T), where £1 is a symmetrical annulus having the same measure as £2. For the one-phase Stefan problem —8=h(−a, 0) when h=0 — we show, in particular, that the "volume of
of coprimeness (xLy meaning that x and y are coprime), and S the successor function (S(x)=x + 1). We show that there are (S, ±)-definable functions f and g from N into the set of primes, such that if it is possible to (S, L)-define for one among the f's or the g's, and for every positive integer x the sum x+f(x) or the product xg(x), then the first order arithmetic is (S, ±)-definable. Mathematical Analysis Some isoperimetric inequalities for the Stefan problem, Björn GUSTAFSSON and Jacqueline MOSSINO We compare the weak solution (h, k) of the Stefan problem in some annular domain to x (0, T), with the weak solution (0, H) of the "symmetrized" problem, in £x(0, T), where £1 is a symmetrical annulus having the same measure as £2. For the one-phase Stefan problem —8=h(−a, 0) when h=0 — we show, in particular, that the "volume of ice" (mes {h(t)= −a}) remains greatest in spherical symmetry (with initial data decreasing along the radii). The positivity in neutron transport theory, Mustapha MOKHTAR-KHAROUBI We give a course of spectral results related to the positiveness of the transport semigroup. Necessary conditions and sufficient ones for the existence of eigenvalues are given. We present a new approach to the irreducibility of the transport semigroup. We exploit a result by I. Marek [1] to obtain strict monotonicity properties of the principal eigenvalue with respect to the different parameters of the transport equation. Partial Differential Equations Boundary conditions for nonlinear 2x2 hyperbolic Systems of conservation laws, Assia BENABDALLAH and Denis SERRE We study two types of boundary conditions for hyperbolic Systems of conservation laws. The first one comes from the viscosity method, the second from the resolution of the Riemann problem. Functional Analysis Simultaneous numerical range of an operator family on a Hilbert space, Gilles CASSIER We establish some convexity properties of the numerical range for a family of operators on a Hilbert space lying in a uniform dual algebra. Differential Geometry Two linear connections on hypersurfaces in a Banach space, Heikki HAAHTI and Seppo KINNUNEN Two linear torsionless connections V and D
given. We present a new approach to the irreducibility of the transport semigroup. We exploit a result by I. Marek [1] to obtain strict monotonicity properties of the principal eigenvalue with respect to the different parameters of the transport equation. Partial Differential Equations Boundary conditions for nonlinear 2x2 hyperbolic Systems of conservation laws, Assia BENABDALLAH and Denis SERRE We study two types of boundary conditions for hyperbolic Systems of conservation laws. The first one comes from the viscosity method, the second from the resolution of the Riemann problem. Functional Analysis Simultaneous numerical range of an operator family on a Hilbert space, Gilles CASSIER We establish some convexity properties of the numerical range for a family of operators on a Hilbert space lying in a uniform dual algebra. Differential Geometry Two linear connections on hypersurfaces in a Banach space, Heikki HAAHTI and Seppo KINNUNEN Two linear torsionless connections V and D are naturally given on certain differentiable hypersurfaces M of a reflexive Banach space E. The definition of these connections is based on the existence of a field P : M → L(E; E) of "projections of minimal distance" as well as on the associated field N of unit normals of Birkhoff-James, with Ker P(x) = {XN(x)|A.€R} (xeM). Topology Applications of a theorem of Frostman to the dimension of regular Cantor sets, Gérard MICHON Frostman's theorem for trees and modulus [1] is applied to ultrametric Cantor sets and in general to regular Cantor sets. We get, for these sets, equality for the different dimensions usually considered. In this context we introduce the notion of presentation of a Cantor set. It is given by a tree and a modulus. Two examples enlighten the usefulness of this notion. Probability Theory A reflection principle for the Levy Brownian motion depending of three parameters, André GOLDMAN Let B(x), xeR 3, be a three parameters Levy Brownian motion. Denote by L(H+) and L(H−) the closed subspaces of L 2 spanned respectively by We prove that conditional on L(H+)nL(H−) the processes B(x), XEH and B(y), yeH− are independent and identical in law, moreover the associated covariance function
Birkhoff-James, with Ker P(x) = {XN(x)|A.€R} (xeM). Topology Applications of a theorem of Frostman to the dimension of regular Cantor sets, Gérard MICHON Frostman's theorem for trees and modulus [1] is applied to ultrametric Cantor sets and in general to regular Cantor sets. We get, for these sets, equality for the different dimensions usually considered. In this context we introduce the notion of presentation of a Cantor set. It is given by a tree and a modulus. Two examples enlighten the usefulness of this notion. Probability Theory A reflection principle for the Levy Brownian motion depending of three parameters, André GOLDMAN Let B(x), xeR 3, be a three parameters Levy Brownian motion. Denote by L(H+) and L(H−) the closed subspaces of L 2 spanned respectively by We prove that conditional on L(H+)nL(H−) the processes B(x), XEH and B(y), yeH− are independent and identical in law, moreover the associated covariance function coincides with the Green function of the second kind for the bi-laplacian A1 defined on Hn. Some consequences of this result are mentioned. Numerical Analysis Finite element approximation of progressively incompressible flows, Patrick LE TALLEC and Michel RAVACHOL To avoid any numerical locking in the finite element approximation of viscoelastic flow problems, we propose a three-field finite element approximation of this problem. This approximation, which involves velocities, stresses, and pressures, is proved to converge for all times. Mathematical Problems in Mécaniques Two-phase widening of a vortex sheet in incompressible perfect fluid dynamics, Jean DUCHON and Raoul ROBERT We present a relaxed version of incompressible Euler equations, that permit foliated flows involving two velocities. These relaxed equations allow a two-phase evolution of some vortex sheets, as an alternative to discontinuous solutions of Euler equations. Nous montrons l'existence de fonctions f et g, de N dans l'ensemble des entiers premiers, qui sont (S, J)-définissables et telles que si, pour une seule fonction / ou g, et pour tout entier x, on sait définir dans le langage (S, J) la somme x + (/x) ou le produit xg(x), alors on sait y définir toute l'arithmétique du premier ordre. Arithmetical definability from coprimeness and
flow problems, we propose a three-field finite element approximation of this problem. This approximation, which involves velocities, stresses, and pressures, is proved to converge for all times. Mathematical Problems in Mécaniques Two-phase widening of a vortex sheet in incompressible perfect fluid dynamics, Jean DUCHON and Raoul ROBERT We present a relaxed version of incompressible Euler equations, that permit foliated flows involving two velocities. These relaxed equations allow a two-phase evolution of some vortex sheets, as an alternative to discontinuous solutions of Euler equations. Nous montrons l'existence de fonctions f et g, de N dans l'ensemble des entiers premiers, qui sont (S, J)-définissables et telles que si, pour une seule fonction / ou g, et pour tout entier x, on sait définir dans le langage (S, J) la somme x + (/x) ou le produit xg(x), alors on sait y définir toute l'arithmétique du premier ordre. Arithmetical definability from coprimeness and restrictions of addition or multiplication Abstract — We dénotons J_ le binary predicate of coprimeness (x±y signifie que x et y sont coprimaires), et S la successor function (S(x)=x+1). Nous montrons que il existe des fonctions f et g de N dans le set des premiers, qui sont (S, J)-définissables et telles que si, pour une seule fonction / ou g, et pour tout entier x, on sait définir dans le langage de (S, J) la somme x + (/x) ou le produit xg(x), alors on sait y définir toute l'arithmétique du premier ordre. INTRODUCTION. — Toute relation arithmétique est définissable par une formule du langage de l'addition et de la multiplication (K. Godel). Il est alors naturel de déterminer des familles de relations et fonctions arithmétiques à partir desquelles l'addition et la multiplication sont définissables au premier ordre. Une telle famille constituera un langage dit synonyme à celui de l'arithmétique, ou synonyme au langage (+, •). La définissabilité a conduit M. Davis, H. Putnam, Y. Matiiassevitch et J. Robinson à la solution du 10ème problème de Hilbert (cf. [3]). Les premiers exemples de langages synonymes sont dus à A. Tarski (pour (S, •)) et J. Robinson (pour S, |),
et telles que si, pour une seule fonction / ou g, et pour tout entier x, on sait définir dans le langage de (S, J) la somme x + (/x) ou le produit xg(x), alors on sait y définir toute l'arithmétique du premier ordre. INTRODUCTION. — Toute relation arithmétique est définissable par une formule du langage de l'addition et de la multiplication (K. Godel). Il est alors naturel de déterminer des familles de relations et fonctions arithmétiques à partir desquelles l'addition et la multiplication sont définissables au premier ordre. Une telle famille constituera un langage dit synonyme à celui de l'arithmétique, ou synonyme au langage (+, •). La définissabilité a conduit M. Davis, H. Putnam, Y. Matiiassevitch et J. Robinson à la solution du 10ème problème de Hilbert (cf. [3]). Les premiers exemples de langages synonymes sont dus à A. Tarski (pour (S, •)) et J. Robinson (pour S, |), où | désigne le prédicat de divisibilité (cf. [14]). La recherche de tels langages est une préoccupation des théoriciens des modèles comme A. Ehrenfeucht et D. Jensen (cf. [6]). Les bons langages synonymes peuvent fournir de nouvelles axiomatisations de l'arithmétique du premier ordre : ainsi, on peut axiomatiser l'arithmétique comme théorie de deux ordres, < et | (cf. [2]). En [14], J. Robinson pose la question toujours ouverte de la définissabilité de l'arithmétique avec S et L. Par ailleurs A. Woods a montré (cf. [16]) que cette question est équivalente à la conjecture suivante (dite de Erdős-Woods) de théorie des nombres : il existe k_:2 tel que, pour tout x et tout y de N, l'égalité x=y est vraie si et seulement si x + 1 et y + 1 ont les mêmes diviseurs premiers pour tout i vérifiant Ggi^fe (cf. [16], [4], Problems B29 et B 35 de [5]). Cette double formulation d'une même question en logique et en théorie des nombres, permet de l'aborder avec les méthodes de chacune des disciplines : en [1], on trouvera des développements récents de la conjecture par R. Balasubramanian, T. N. Shorey et M. Waldschmidt ; en [7], M. Langevin fournit plusieurs
théorie de deux ordres, < et | (cf. [2]). En [14], J. Robinson pose la question toujours ouverte de la définissabilité de l'arithmétique avec S et L. Par ailleurs A. Woods a montré (cf. [16]) que cette question est équivalente à la conjecture suivante (dite de Erdős-Woods) de théorie des nombres : il existe k_:2 tel que, pour tout x et tout y de N, l'égalité x=y est vraie si et seulement si x + 1 et y + 1 ont les mêmes diviseurs premiers pour tout i vérifiant Ggi^fe (cf. [16], [4], Problems B29 et B 35 de [5]). Cette double formulation d'une même question en logique et en théorie des nombres, permet de l'aborder avec les méthodes de chacune des disciplines : en [1], on trouvera des développements récents de la conjecture par R. Balasubramanian, T. N. Shorey et M. Waldschmidt ; en [7], M. Langevin fournit plusieurs méthodes d'approche du problème en théorie de nombres. L'investigation logique consiste à ajouter au langage constitué par S et L, les prédicats les plus faibles possibles tels que leur adjonction suffise à assurer la synonymie avec tout le langage de l'arithmétique. Actuellement, on sait déjà que cette définissabilité est obtenue en ajoutant l'un quelconque des symboles de fonction ou relation suivants : x&lt;y (cf. [16]); C. R., 1987, 2e Semestre (T. 305) Série I 55 666 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 665-668, 1987 x+y=z (cf. [16] ou [13]); xy (cf. [14] ou [10]); y=mx, où m est un entier premier (cf. [11]); RES(x, p) qui signifie que (x est résidu quadratique modulo le premier/?), ou enfin PUIS (y, x) qui signifie que (y est puissance de x) (cf. [12]). Nous allons montrer que l'adjonction de restrictions très limitées de l'addition ou de la multiplication suffit à compléter (S, L) en un langage synonyme de (+, •). 1. RÉSULTATS UTILISÉS. — Soient N l'ensemble des entiers naturels et PR celui des entiers premiers. Les fonctions et les relations habituelles de l'arithmétique sont désignées par les symboles usuels. Les symboles (syntaxe) de prédicats sont confondus avec ceux
en ajoutant l'un quelconque des symboles de fonction ou relation suivants : x&lt;y (cf. [16]); C. R., 1987, 2e Semestre (T. 305) Série I 55 666 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 665-668, 1987 x+y=z (cf. [16] ou [13]); xy (cf. [14] ou [10]); y=mx, où m est un entier premier (cf. [11]); RES(x, p) qui signifie que (x est résidu quadratique modulo le premier/?), ou enfin PUIS (y, x) qui signifie que (y est puissance de x) (cf. [12]). Nous allons montrer que l'adjonction de restrictions très limitées de l'addition ou de la multiplication suffit à compléter (S, L) en un langage synonyme de (+, •). 1. RÉSULTATS UTILISÉS. — Soient N l'ensemble des entiers naturels et PR celui des entiers premiers. Les fonctions et les relations habituelles de l'arithmétique sont désignées par les symboles usuels. Les symboles (syntaxe) de prédicats sont confondus avec ceux des relations (sémantique de N) qu'ils représentent. Ainsi, nous utiliserons PR(x) pour (x est premier), px pour désigner le x-ième entier premier avec p0 = 2 et p1 = 3, la notation p' pour nommer le plus petit nombre premier strictement plus grand que p, la relation a = b (mod ri), etc. L'ensemble des diviseurs premiers de x est appelé support de x et noté SUPP(x). Nous dirons /&gt;eSUPP(x) pour (PR(p) A n (plx)). Le théorème 1.1, dû à C. Stckmer (th. 9 de [15]) est ici essentiel; nous avons prouvé le théorème 1. 3 en [11] et son corollaire en [9] (preuves résumées en [8] et [9]). THÉORÈME 1.1.— Soit E un ensemble de n entiers premiers distincts. Le nombre des entiers x tels que SUPP(x(x+1)) &lt;= E est au plus 2". Par suite, pour un entier a fixé, l'ensemble ST(a) des entiers b tels que SUPP(a) = SUPP(b) et SUPP(a+1) = Supp(b+1) est lui aussi fini. THÉORÈME 1.2.— Soit un entier p premier fixé. Soient ®p et Qp les fonctions définies sur pNxp" par les identités p" ®ppb=pa+b et p" Qppb=pab. Les modèles &lt;N; ®p; Op&gt; et &lt;N; + ; •) de l'arithmétique sont isomorphes. COROLLAIRE 1.3.