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blanches (400 par exemple). Ce pourcentage est le plus grand de tous : nous dirons que l'écart 0 est l'écart le plus probable. Cependant sa probabilité est encore très petite ; dans notre exemple, le calcul donne F = 2,53% environ. b) La courbe a deux points d'inflexion, évidemment symétriques par rapport à l'axe des y. Soit cr la valeur absolue de l'abscisse de ces points. 3' est appelé « écart type». On démontre que l'écart-type est égal à l'écart quadratique moyen, c'est-à-dire à la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts. On démontre également que sa valeur est donnée par la formule suivante : Calculons la probabilité pour que, lorsque nous faisons une seule série, nous obtenons un écart compris entre — 0" et + 8. Il faut évaluer l'aire comprise entre la courbe de GAUSS et les deux verticales passant par les abcisses — ϭ et + ϭ. Le λ correspondant, c'est-à-dire l'écart-type réduit sera: L'écart-type réduit est donc une constante qui ne dépend pas de p q n. Il est égal à 0,707. La table des valeurs de 0 nous donne une valeur correspondante de 0,68, soit 2/3 environ. L'écart-type est donc l'écart que l'on a deux chances sur trois de ne pas dépasser en valeur absolue dans une série d'épreuves. Dans notre exemple, on trouve pour une valeur de 1,55 : Cela signifie que dans une série de 1.000 tirages dans une urne à 40 de boules blanches, nous avons 2 chances sur 3 pour sortir un nombre de boules blanches compris entre 385 et 415. Calculons l'écart probable : c'est l'écart qui a une chance sur deux de ne pas être dépassé. Cherchons quelle valeur donner à l'écart de fréquence pour obtenir e = 1/2. Le tableau des valeurs de e nous montre qu'il faut que A = 0,4769 Des calculs analogues nous donneraient les valeurs des ordonnées de la courbe correspondant aux abcisses cr et ep. On trouve respectivement 1,54 et 2,02%, cela veut dire que, sur nos 500 écarts, 1,54% X 500 = 7 auront la valeur de l'écart-type (1,55% de
a deux chances sur trois de ne pas dépasser en valeur absolue dans une série d'épreuves. Dans notre exemple, on trouve pour une valeur de 1,55 : Cela signifie que dans une série de 1.000 tirages dans une urne à 40 de boules blanches, nous avons 2 chances sur 3 pour sortir un nombre de boules blanches compris entre 385 et 415. Calculons l'écart probable : c'est l'écart qui a une chance sur deux de ne pas être dépassé. Cherchons quelle valeur donner à l'écart de fréquence pour obtenir e = 1/2. Le tableau des valeurs de e nous montre qu'il faut que A = 0,4769 Des calculs analogues nous donneraient les valeurs des ordonnées de la courbe correspondant aux abcisses cr et ep. On trouve respectivement 1,54 et 2,02%, cela veut dire que, sur nos 500 écarts, 1,54% X 500 = 7 auront la valeur de l'écart-type (1,55% de 1.000 = 15), et 2,02% X 500=10, auront la valeur de l'écart probable (1,04% de 1.000 = 10). Sur 500 épreuves, nous tirerons 7 fois 415 blanches et 10 fois 410. La courbe de GAUSS est ainsi déterminée par un certain nombre de points caractéristiques. Dans tout problème de probabilités nous devrions, pour être complets, calculer tous ces points qui définissent la « loi de probabilité » de la série d'épreuves étudiée. En fait, nous nous bornerons le plus souvent à calculer l'écart-type de la fréquence cr, qui nous donnera un bon ordre de grandeur des écarts à craindre. Loi des grands nombres. Considérons maintenant une seule série d'épreuves. Nous venons de voir que l'écart-type de fréquence est inversement proportionnel à la racine carrée de n : σ diminue quand n augmente ; cela revient à dire que la proportion effective de sortie des boules blanches se rapproche de plus en plus de la probabilité théorique p. Dans une série de 1.000 tirages, nous avons 2 chances sur 3 de sortir entre (40—σ) et (40 + σ) de boules blanches, soit entre 38,45 et 41,55 %. Dans une série de 100.000 tirages, nous aurions 2 chances sur 3 de sortir
nous devrions, pour être complets, calculer tous ces points qui définissent la « loi de probabilité » de la série d'épreuves étudiée. En fait, nous nous bornerons le plus souvent à calculer l'écart-type de la fréquence cr, qui nous donnera un bon ordre de grandeur des écarts à craindre. Loi des grands nombres. Considérons maintenant une seule série d'épreuves. Nous venons de voir que l'écart-type de fréquence est inversement proportionnel à la racine carrée de n : σ diminue quand n augmente ; cela revient à dire que la proportion effective de sortie des boules blanches se rapproche de plus en plus de la probabilité théorique p. Dans une série de 1.000 tirages, nous avons 2 chances sur 3 de sortir entre (40—σ) et (40 + σ) de boules blanches, soit entre 38,45 et 41,55 %. Dans une série de 100.000 tirages, nous aurions 2 chances sur 3 de sortir entre (40-0,155) = 39,845 et 40,155 puisque le nouvel écart-type est devenu 10 fois plus petit : n a été multiplié par 100, donc c est divisé par √100 = 10. Nous nous rapprochons donc beaucoup de 40. Nous pouvons alors énoncer LA LOI DES GRANDS NOMBRES. Dans une longue série d'épreuves, l'événement favorable a tendance à se produire avec une fréquence voisine de sa probabilité théorique; plus le nombre d'épreuves de la série augmente, plus les chances sont grandes de voir la fréquence réelle très voisine de la probabilité théorique. Cette loi peut également être mise sous la forme suivante: THÉORÈME DE BERNOULLI Dans une série de n épreuves, où l'événement favorable a une probabilité p, on peut choisir n de façon à ce que la différence entre la fréquence réelle d'arrivée de cet événement et la probabilité p, ait une probabilité p' aussi voisine de 1 que l'on voudra, d'être inférieure à un nombre aussi petit que l'on voudra, fixé à l'avance. Par exemple, dans notre urne à 40 de boules blanches, nous faisons une seule série de tirages, mais nous voulons déterminer le nombre n de ces tirages pour que le pourcentage des boules blanches extraites ait
série d'épreuves, l'événement favorable a tendance à se produire avec une fréquence voisine de sa probabilité théorique; plus le nombre d'épreuves de la série augmente, plus les chances sont grandes de voir la fréquence réelle très voisine de la probabilité théorique. Cette loi peut également être mise sous la forme suivante: THÉORÈME DE BERNOULLI Dans une série de n épreuves, où l'événement favorable a une probabilité p, on peut choisir n de façon à ce que la différence entre la fréquence réelle d'arrivée de cet événement et la probabilité p, ait une probabilité p' aussi voisine de 1 que l'on voudra, d'être inférieure à un nombre aussi petit que l'on voudra, fixé à l'avance. Par exemple, dans notre urne à 40 de boules blanches, nous faisons une seule série de tirages, mais nous voulons déterminer le nombre n de ces tirages pour que le pourcentage des boules blanches extraites ait 2 chances sur 3 de différer de 40 de moins de 0,1. Il faudra que <7 = 0,1/100 mais on sait que O = √n d'où n = p q X (100/0,1) 2 = 240.000 tirages. Il faut se garder de dire que dans une longue série d'épreuves le nombre expérimental des événements favorables se rapproche du nombre théorique : au contraire, il s'en éloigne: l'écart-type absolu (cyn) croît comme la racine carrée de n ; c'est l'écart-type relatif, l'écart-type de fréquence qui diminue et tend vers 0. Dans les exemples ci-dessus nous avons : 1.000 tirages: écart-type relatif = 1,55 absolu 1,55 x 1.000 = 15,5 100.000 — — 0,155% — 0,155 x 100.000= 155 240.000 — — 0,1 — 0,1 X 240.000 = 240 Importance de la loi des grands nombres. Le résultat auquel nous arrivons peut paraître décevant : la loi des grands nombres ne fait qu'exprimer, en langage précis il est vrai, une proposition dont tout le monde a la notion plus ou moins nette. Cependant nous verrons que cette loi, surtout mise sous la forme du théorème de BERNOULLI, présente une extrême importance. Elle exprime, en somme, ce phénomène fondamental que, dans une suite de
expérimental des événements favorables se rapproche du nombre théorique : au contraire, il s'en éloigne: l'écart-type absolu (cyn) croît comme la racine carrée de n ; c'est l'écart-type relatif, l'écart-type de fréquence qui diminue et tend vers 0. Dans les exemples ci-dessus nous avons : 1.000 tirages: écart-type relatif = 1,55 absolu 1,55 x 1.000 = 15,5 100.000 — — 0,155% — 0,155 x 100.000= 155 240.000 — — 0,1 — 0,1 X 240.000 = 240 Importance de la loi des grands nombres. Le résultat auquel nous arrivons peut paraître décevant : la loi des grands nombres ne fait qu'exprimer, en langage précis il est vrai, une proposition dont tout le monde a la notion plus ou moins nette. Cependant nous verrons que cette loi, surtout mise sous la forme du théorème de BERNOULLI, présente une extrême importance. Elle exprime, en somme, ce phénomène fondamental que, dans une suite de très nombreux événements dus au hasard, absolument indépendants les uns des autres, il y aura très probablement compensation entre les effets divergents du hasard à chaque coup. Cette compensation sera d'autant meilleure que le nombre d'événements sera plus grand. Il se dégagera de la série, des régularités, des moyennes constantes, bien que chaque événement pris isolément ne puisse être prévu. La loi des grands nombres constitue un pont entre la théorie des probabilités et l'expérience: nous avons construit notre théorie en partant de la notion abstraite de « probabilité mathématique » ; la loi des grands nombres nous donne l'assurance que cette théorie n'est pas uniquement spéculative mais correspond à la réalité des choses puisque, pour un nombre assez grand d'épreuves, nos définitions théoriques correspondent aux résultats de l'expérience : ainsi, la fréquence de sortie des boules blanches (résultat expérimental) sera égale, à très peu près, à la probabilité mathématique de sortie (définition abstraite). On pourra ainsi déterminer expérimentalement la probabilité théorique inconnue d'un événement, en faisant un nombre d'épreuves suffisamment grand. De plus — résultat capital — la loi des grands nombres nous donnera, par la valeur de l'écart-type, une idée de la précision du résultat obtenu. Ce caractère
bien que chaque événement pris isolément ne puisse être prévu. La loi des grands nombres constitue un pont entre la théorie des probabilités et l'expérience: nous avons construit notre théorie en partant de la notion abstraite de « probabilité mathématique » ; la loi des grands nombres nous donne l'assurance que cette théorie n'est pas uniquement spéculative mais correspond à la réalité des choses puisque, pour un nombre assez grand d'épreuves, nos définitions théoriques correspondent aux résultats de l'expérience : ainsi, la fréquence de sortie des boules blanches (résultat expérimental) sera égale, à très peu près, à la probabilité mathématique de sortie (définition abstraite). On pourra ainsi déterminer expérimentalement la probabilité théorique inconnue d'un événement, en faisant un nombre d'épreuves suffisamment grand. De plus — résultat capital — la loi des grands nombres nous donnera, par la valeur de l'écart-type, une idée de la précision du résultat obtenu. Ce caractère de pont entre la théorie et l'expérience est mis en évidence par le double point de vue duquel on peut envisager la loi des grands nombres : on peut d'abord la considérer comme un théorème de la théorie des probabilités: dans ce cas, c'est une proposition abstraite qui exprime des relations entre des probabilités d'événements définies elles-mêmes de façon abstraite. On peut également la considérer comme une loi purement expérimentale, comme la « loi de la stabilité des fréquences ». On la présente alors sous la forme suivante : « Si on fait un grand nombre de tirages dans une urne contenant 40 de boules blanches, on constate que la proportion des boules blanches tirées se rapproche de plus en plus de 40 ». C'est d'ailleurs un peu de cette dernière façon qu'elle a été présentée ici, en raison de la complication de l'appareil mathématique qui eût été nécessaire à un exposé théorique complet. Nous allons maintenant aborder l'étude des applications de la loi des grands nombres. En un sens, on peut dire que toute application de la statistique a pour base les résultats du calcul des probabilités, résultats que l'on ne peut appliquer à la réalité que grâce à
relations entre des probabilités d'événements définies elles-mêmes de façon abstraite. On peut également la considérer comme une loi purement expérimentale, comme la « loi de la stabilité des fréquences ». On la présente alors sous la forme suivante : « Si on fait un grand nombre de tirages dans une urne contenant 40 de boules blanches, on constate que la proportion des boules blanches tirées se rapproche de plus en plus de 40 ». C'est d'ailleurs un peu de cette dernière façon qu'elle a été présentée ici, en raison de la complication de l'appareil mathématique qui eût été nécessaire à un exposé théorique complet. Nous allons maintenant aborder l'étude des applications de la loi des grands nombres. En un sens, on peut dire que toute application de la statistique a pour base les résultats du calcul des probabilités, résultats que l'on ne peut appliquer à la réalité que grâce à la loi des grands nombres. Nous nous limiterons à quelques exemples typiques choisis dans les domaines les plus divers. II. APPLICATIONS DE LA LOI DES GRANDS NOMBRES A. — Applications d'ordre général à la statistique. Notion de loi statistique La science statistique nous fournit un ensemble de méthodes pour traiter les séries de nombres, en général grandes, que nous fournit l'observation. Elle se propose trois buts principaux: 1°) classer et présenter ses observations; 2°) les réduire à quelques caractéristiques simples; 3°) mettre en évidence, décrire et expliquer les régularités statistiques. Dans la première partie, il s'agira d'une mise en ordre matérielle où le calcul des probabilités n'interviendra pas. Dans la deuxième, on aura recours aux notions de fréquence, écart, écart-type, etc. et aux méthodes de calcul dont nous nous sommes servis. Si les phénomènes observés semblent s'ordonner suivant une loi de GAUSS, il faudra préciser cette loi comme nous l'avons fait pour un cas théorique. Ce sera, par exemple, le cas de la mesure d'une longueur : on obtiendra en général une série de résultats qui s'ordonneront plus ou moins bien autour d'une moyenne suivant une loi de GAUSS ; il faudra déterminer cette moyenne et la précision de la
les séries de nombres, en général grandes, que nous fournit l'observation. Elle se propose trois buts principaux: 1°) classer et présenter ses observations; 2°) les réduire à quelques caractéristiques simples; 3°) mettre en évidence, décrire et expliquer les régularités statistiques. Dans la première partie, il s'agira d'une mise en ordre matérielle où le calcul des probabilités n'interviendra pas. Dans la deuxième, on aura recours aux notions de fréquence, écart, écart-type, etc. et aux méthodes de calcul dont nous nous sommes servis. Si les phénomènes observés semblent s'ordonner suivant une loi de GAUSS, il faudra préciser cette loi comme nous l'avons fait pour un cas théorique. Ce sera, par exemple, le cas de la mesure d'une longueur : on obtiendra en général une série de résultats qui s'ordonneront plus ou moins bien autour d'une moyenne suivant une loi de GAUSS ; il faudra déterminer cette moyenne et la précision de la mesure qui sera donnée par l'écart quadratique moyen. Dans la troisième partie, dans tous les cas où les événements semblent pouvoir être assimilés à des tirages dans une urne, le calcul des probabilités sera indispensable au statisticien qui voudra donner un sens aux régularités qui apparaîtront dans la suite de ses observations. Il utilisera alors la notion de « loi statistique ». Notion de loi statistique La loi des grands nombres nous apprend que dans un ensemble d'événements dus au hasard, peuvent apparaître des régularités, des rapports constants entre certaines grandeurs. Si ces constantes ont pu être calculées théoriquement ou déterminées expérimentalement par une première série d'épreuves, nous aurons le droit d'extrapoler et d'appliquer au futur les résultats du passé. En statistique, en économie en particulier, nous étudierons des suites d'événements dont nous ignorons a priori s'ils sont dus ou non au hasard, mais qui ont ce caractère commun de ne pouvoir être prévus, soit qu'ils soient vraiment dus au hasard, soit que nous ignorions leurs multiples causes dont les effets très complexes s'enchevrent inextricablement. En tout état de cause, quand nous constaterons des régularités dans une grande série d'épreuves, nous en induirons une « loi statistique» basée sur un
ses observations. Il utilisera alors la notion de « loi statistique ». Notion de loi statistique La loi des grands nombres nous apprend que dans un ensemble d'événements dus au hasard, peuvent apparaître des régularités, des rapports constants entre certaines grandeurs. Si ces constantes ont pu être calculées théoriquement ou déterminées expérimentalement par une première série d'épreuves, nous aurons le droit d'extrapoler et d'appliquer au futur les résultats du passé. En statistique, en économie en particulier, nous étudierons des suites d'événements dont nous ignorons a priori s'ils sont dus ou non au hasard, mais qui ont ce caractère commun de ne pouvoir être prévus, soit qu'ils soient vraiment dus au hasard, soit que nous ignorions leurs multiples causes dont les effets très complexes s'enchevrent inextricablement. En tout état de cause, quand nous constaterons des régularités dans une grande série d'épreuves, nous en induirons une « loi statistique» basée sur un déterminisme « global » qui sera soit la résultante d'une série de déterminismes partiels inconnus, soit la résultante statistique de phénomènes individuellement dus au hasard. Un premier exemple de loi statistique est donné par la loi des grands nombres elle-même : si nous faisons un grand nombre de tirages dans une urne, nous savons que la fréquence de sortie des boules blanches sera voisine de la probabilité théorique. Il y a une relation statistique entre deux grandeurs: la probabilité théorique et la fréquence de sortie, l'une étant donnée, on en déduira l'autre. Le degré de précision que l'on peut obtenir avec une loi statistique est excellent : nous pourrons être humainement certains que notre relation statistique se vérifiera à très peu près. Cependant, nous ne pourrons jamais avoir la certitude absolue que l'on donne les relations fonctionnelles des sciences exactes. Nous ne pourrons jamais parler que de « probabilité aussi voisine de 1 que l'on veut », et nous ne serons jamais à l'abri de l'événement extraordinaire, celui qui n'a qu'une chance sur 1.000.000 de se produire. Cependant, dans beaucoup de cas, la certitude obtenue sera aussi bonne — humainement — que la certitude mathématique. M. Emile BOREL donne un
une urne, nous savons que la fréquence de sortie des boules blanches sera voisine de la probabilité théorique. Il y a une relation statistique entre deux grandeurs: la probabilité théorique et la fréquence de sortie, l'une étant donnée, on en déduira l'autre. Le degré de précision que l'on peut obtenir avec une loi statistique est excellent : nous pourrons être humainement certains que notre relation statistique se vérifiera à très peu près. Cependant, nous ne pourrons jamais avoir la certitude absolue que l'on donne les relations fonctionnelles des sciences exactes. Nous ne pourrons jamais parler que de « probabilité aussi voisine de 1 que l'on veut », et nous ne serons jamais à l'abri de l'événement extraordinaire, celui qui n'a qu'une chance sur 1.000.000 de se produire. Cependant, dans beaucoup de cas, la certitude obtenue sera aussi bonne — humainement — que la certitude mathématique. M. Emile BOREL donne un exemple amusant d'un fait « humainement certain » bien que soumis aux lois du hasard : supposons qu'une tribu de singes, tapant au hasard sur les touches de 1 million de machines à écrire, essaie de reconstituer le texte de tous les volumes de la Bibliothèque nationale !.. L'échec d'une pareille tentative est bien « humainement certain ». Dans la plupart des cas, nos lois statistiques seront naturellement infiniment moins absolues. Remarquons enfin qu'elles ne nous donneront jamais que des valeurs probables de moyennes prises sur un grand nombre d'événements; et ne nous permettront pas de prévoir un événement précis de la série, comme des lois fonctionnelles nous le permettraient : l'arrivée de 10 piles ne nous permet pas de prévoir l'arrivée de face au 11e coup, nous savons seulement que sur un grand nombre de coups, il y aura probablement autant de piles que de faces. Nous dirons : « Une loi statistique est une relation de probabilité entre des moyennes». Cette notion de loi statistique est très importante: appliquée aux sciences sociales et, en particulier, à l'économique, nous verrons qu'elle se concilie parfaitement avec la théorie du libre arbitre de l'homme et ne nous oblige pas à admettre
pareille tentative est bien « humainement certain ». Dans la plupart des cas, nos lois statistiques seront naturellement infiniment moins absolues. Remarquons enfin qu'elles ne nous donneront jamais que des valeurs probables de moyennes prises sur un grand nombre d'événements; et ne nous permettront pas de prévoir un événement précis de la série, comme des lois fonctionnelles nous le permettraient : l'arrivée de 10 piles ne nous permet pas de prévoir l'arrivée de face au 11e coup, nous savons seulement que sur un grand nombre de coups, il y aura probablement autant de piles que de faces. Nous dirons : « Une loi statistique est une relation de probabilité entre des moyennes». Cette notion de loi statistique est très importante: appliquée aux sciences sociales et, en particulier, à l'économique, nous verrons qu'elle se concilie parfaitement avec la théorie du libre arbitre de l'homme et ne nous oblige pas à admettre le déterminisme des actions humaines si nous voulons introduire la notion de loi dans ces disciplines. Signalons enfin que les notions de relations fonctionnelles et de relations statistiques sont quelquefois très près l'une de l'autre. Une relation statistique peut mettre sur la voie d'une théorie qui, confirmée par l'expérience, permettra d'énoncer des lois fonctionnelles. Inversement, on a vu récemment la notion de loi statistique étendre considérablement son champ d'application aux dépens de la notion de loi fonctionnelle : la plupart des lois de la physique atomique sont maintenant considérées comme des lois statistiques dont la probabilité, en raison du nombre très élevé des atomes, est pratiquement, à notre échelle, égale à 1, mais qui, à l'échelle atomique, reprennent intégralement leur caractère incertain. B. — Applications à quelques problèmes particuliers 1°) Méthode générale Dans une série de nombreuses observations, nous pourrons, en général, mettre en évidence des grandeurs ou des rapports de grandeurs qui se groupent autour d'une moyenne. Nous étudierons tout à l'heure le rapport du nombre de naissances masculines au nombre total des naissances et nous verrons que ce rapport est remarquablement constant. La valeur de tels rapports a reçu le nom de « probabilité statistique» par analogie avec