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Compostella, 1984 [5] P MOLINO, Feuilletages transversalement complets et applications, Ann scient Ec Norm Sup, 10, 1977, p 289-307 [6] P MOLINO, Géométrie globale des feuilletages Riemanniens, Proc Kon Ned Akad van Wet, 185, n° 1, 1982, p 45-76 [7] J PRADINES, Théorie de Lie pour les groupoïdes différentiables, Calcul différentiel dans la catégorie des groupoïdes infinitésimaux, Comptes rendus, 264, série A, 1967, p 245-248 [8] J PRADINES, Troisième théorème de Lie pour les groupoïdes différentiables, Comptes rendus, 267, série A, 1968, p 21-23 [9] D SINHA et N WOODHOUSE, Lectures on Geometric Quantization, Lecture Notes in Physics, 53, 1976. Instituto de Matemática e Estatística, Universidade de Sao-Paulo, Brésil et Institut de Mathématiques, Université des Sciences et Techniques du Languedoc, 34000 Montpellier. C R, 1985, 1er Semestre (T 300) Série 1 — 2 C. R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 17 SYSTÈMES DYNAMIQUES. — Structure de bifurcations des familles à un paramètre de fonctions croissantes par morceaux possédant une seule discontinuité. Note de Marie-Hélène Acquier, Michel Cosnard et Christophe Masse, présentée par René Thom. Nous étudions la dynamique des suites itératives engendrées par une famille à un paramètre d'applications continues et croissantes par morceaux. Par une technique de codage, nous associons à cette dynamique un ensemble Cl de suites binaires dont nous montrons qu'il est à homothétie interne DYNAMICAL SYSTEMS — Bifurcations Structure for One Parameter Families of Continuously Increasing Maps with a Single Discontinuity. We study the dynamics of one parameter families fx, X e [0,1] of self-maps of the interval, piecewise increasing with a single discontinuity. Using Milnor and Thurston's theory of itinéraires, we show that — S is an admissible itinerary for fx if and only if VneN, o-^OJrSïf^S) where o(0) is the kneading sequence associated to f, — A is a kneading sequence if and only if A e { 1"} where îî = {Às{0, l}N/VneN, Agd"A} — The topological entropy H can be considered as a function of the set of parameters, H is a continuously decreasing function of [0,1] onto [0, Log 2] — f, is topologically semi-conjugated to
une technique de codage, nous associons à cette dynamique un ensemble Cl de suites binaires dont nous montrons qu'il est à homothétie interne DYNAMICAL SYSTEMS — Bifurcations Structure for One Parameter Families of Continuously Increasing Maps with a Single Discontinuity. We study the dynamics of one parameter families fx, X e [0,1] of self-maps of the interval, piecewise increasing with a single discontinuity. Using Milnor and Thurston's theory of itinéraires, we show that — S is an admissible itinerary for fx if and only if VneN, o-^OJrSïf^S) where o(0) is the kneading sequence associated to f, — A is a kneading sequence if and only if A e { 1"} where îî = {Às{0, l}N/VneN, Agd"A} — The topological entropy H can be considered as a function of the set of parameters, H is a continuously decreasing function of [0,1] onto [0, Log 2] — f, is topologically semi-conjugated to the piecewise linear family lx. We study in detail the set Cl of kneading sequences. We prove that — Cl is uncountable and the periodic sequences of Cl are dense in Cl — S1; S2[n£î is either empty or uncountable — In this last case [S1; SJ (~Cl contains a subset isomorphic to Cl as an ordered set. Cl is self-similar. I INTRODUCTION — Dans une Note précédente [15], C Tresser a étudié la famille à deux paramètres {fx(e1, e2)} d'applications d'un intervalle réel dans lui-même qui sont régulières et croissantes sauf en un point. Plus précisément, il décrit l'ensemble des paires de paramètres correspondant à la transition vers une entropie topologique positive. C'est dans ce contexte que se situe notre travail. Nous étudions la structure de bifurcations de familles à un paramètre À. (t^sCte, |L2 = A) de fonctions de [0, 1] dans lui-même possédant une discontinuité et croissantes par morceaux. II LE PROBLÈME — Soit ce]0,1[; considérons les familles de fonctions (gx[e0,i] et Wx[e0,u] définies respectivement sur [0, c] et [c, 1] à valeurs dans [0,1] et vérifiant les propriétés suivantes : (i) \(g, h\) croissantes et continues, (ii) \(A.-\rightarrow gx\) et \(X^-\) sont continues au sens de
subset isomorphic to Cl as an ordered set. Cl is self-similar. I INTRODUCTION — Dans une Note précédente [15], C Tresser a étudié la famille à deux paramètres {fx(e1, e2)} d'applications d'un intervalle réel dans lui-même qui sont régulières et croissantes sauf en un point. Plus précisément, il décrit l'ensemble des paires de paramètres correspondant à la transition vers une entropie topologique positive. C'est dans ce contexte que se situe notre travail. Nous étudions la structure de bifurcations de familles à un paramètre À. (t^sCte, |L2 = A) de fonctions de [0, 1] dans lui-même possédant une discontinuité et croissantes par morceaux. II LE PROBLÈME — Soit ce]0,1[; considérons les familles de fonctions (gx[e0,i] et Wx[e0,u] définies respectivement sur [0, c] et [c, 1] à valeurs dans [0,1] et vérifiant les propriétés suivantes : (i) \(g, h\) croissantes et continues, (ii) \(A.-\rightarrow gx\) et \(X^-\) sont continues au sens de la norme infinie. Définissons à présent les deux familles \((0, xero, i]\) et \((f±, xero, i]\) de [0,1] dans lui-même par : Pour étudier le comportement dynamique des suites itératives engendrées par \(/.x\), nous utilisons la théorie des itinéraires de Milnor et Thurston [14] (voir Collet et Eckmann [2]). Celle-ci a aussi été utilisée par Derrida et coll. [6], Guckenheimer [7], Allouche et Cosnard [1] dans le cadre des fonctions unimodales et par Cosnard et Goles [5] dans un cas particulier de fonctions admettant une discontinuité. III. LA STRUCTURE DE BIFURCATIONS. — Nous utilisons la technique de codage suivante : à tout x de [0,1], nous associons deux suites de \(\{0,1\}^N=S\), appelées itinéraires de x pour \(/.x, /.t\), où \(y_0\) et \(y_1\) sont respectivement \(/\). Nous remarquons que, si 0 n'est pas antécédent de c pour \(/.x\) et \(/.t\), alors \(\circ(x(0)) = \circ(x(0))\), sinon si \(s > n\) où \(m\) est leur début commun de longueur \(n\). Si \(a, x(x)\) est l'itinéraire de x pour \(/.x, /.t\), alors \(d(a, x(x))\) est celui de \(/.x, /.t(x)\), où \(d\) est l'application décalage définie sur \(S\) par \(\circ(S_1...S_n)\). Nous munissons \(X\) de la relation d'ordre \(<\) induite par l'ordre lexicographique \((0<1)\). Nous dirons
a aussi été utilisée par Derrida et coll. [6], Guckenheimer [7], Allouche et Cosnard [1] dans le cadre des fonctions unimodales et par Cosnard et Goles [5] dans un cas particulier de fonctions admettant une discontinuité. III. LA STRUCTURE DE BIFURCATIONS. — Nous utilisons la technique de codage suivante : à tout x de [0,1], nous associons deux suites de \(\{0,1\}^N=S\), appelées itinéraires de x pour \(/.x, /.t\), où \(y_0\) et \(y_1\) sont respectivement \(/\). Nous remarquons que, si 0 n'est pas antécédent de c pour \(/.x\) et \(/.t\), alors \(\circ(x(0)) = \circ(x(0))\), sinon si \(s > n\) où \(m\) est leur début commun de longueur \(n\). Si \(a, x(x)\) est l'itinéraire de x pour \(/.x, /.t\), alors \(d(a, x(x))\) est celui de \(/.x, /.t(x)\), où \(d\) est l'application décalage définie sur \(S\) par \(\circ(S_1...S_n)\). Nous munissons \(X\) de la relation d'ordre \(<\) induite par l'ordre lexicographique \((0<1)\). Nous dirons que \(S\) est un itinéraire admissible pour \(/.x\) s'il existe \(i\) et \(x\) de [0,1] tels que \(S = \circ(x)\). THÉORÈME 1. — \(S\) est un itinéraire admissible si et seulement si, \(\forall n\in N\), \(\circ(x(0))\in d^n(S)\). Éléments de démonstration. — Posons \(A_0 = \circ(x(0)), A_1 = \circ(x(0))\). (a) Si \(S\) est une décalée de \(A_0\) ou de \(A_1\), le résultat est vérifié. (b) Si \(S = m_0m_1... m_q\circ(x)\), on construit \(x\) tel que \(\circ(x(x)) = S\) et pour cet \(x\), nous avons \(\circ(x(x)) = m_1A_1\). (c) Si \(S = m_1A_1\), alors \(S' = m_0\circ(x)\) vérifie aussi \(A_0\in d^n(S') \forall n\in N\) Il existe \(x\) tel que \(\circ(x(x_n)) \rightarrow S\) en croissant strictement, \(\circ(x'(x_n)) \rightarrow S\) en décroissant strictement. On vérifie que \(\circ(x(x)) = S = \circ(x(x))\). L'ensemble \(Q\) des itinéraires admissibles de \(/.x\) ne dépend donc que de l'itinéraire de \(0\) appelé suite de tricotage de \(/.x\). Notons \(S_0\) l'ensemble des suites de tricotage de \(/.x\) lorsque \(A\) parcourt [0, 1]. THÉORÈME 2 : Éléments de démonstration. — Le théorème 1 implique que \(S_0 \subseteq Q(\circ(x))\). Soit \(S\) un élément de \(Q(\circ(x))\), \(S = S_0 S_1 ... S_n ... ,\) on construit une suite d'intervalle fermés emboîtés \((A_n)_{n\in N}\)
\(S\) est une décalée de \(A_0\) ou de \(A_1\), le résultat est vérifié. (b) Si \(S = m_0m_1... m_q\circ(x)\), on construit \(x\) tel que \(\circ(x(x)) = S\) et pour cet \(x\), nous avons \(\circ(x(x)) = m_1A_1\). (c) Si \(S = m_1A_1\), alors \(S' = m_0\circ(x)\) vérifie aussi \(A_0\in d^n(S') \forall n\in N\) Il existe \(x\) tel que \(\circ(x(x_n)) \rightarrow S\) en croissant strictement, \(\circ(x'(x_n)) \rightarrow S\) en décroissant strictement. On vérifie que \(\circ(x(x)) = S = \circ(x(x))\). L'ensemble \(Q\) des itinéraires admissibles de \(/.x\) ne dépend donc que de l'itinéraire de \(0\) appelé suite de tricotage de \(/.x\). Notons \(S_0\) l'ensemble des suites de tricotage de \(/.x\) lorsque \(A\) parcourt [0, 1]. THÉORÈME 2 : Éléments de démonstration. — Le théorème 1 implique que \(S_0 \subseteq Q(\circ(x))\). Soit \(S\) un élément de \(Q(\circ(x))\), \(S = S_0 S_1 ... S_n ... ,\) on construit une suite d'intervalle fermés emboîtés \((A_n)_{n\in N}\) où \(A_0 = [0,1]\). Par conséquent \(\bigcap_{n\in N} A_n = \{S_0\}\). Le théorème 2 implique que toutes les familles du type \(/.x\) vérifiant les propriétés (i), ... , (iv) admettent les mêmes suites de tricotage et donc, à toute suite \(A\) de \(S_0\) et à toute famille \(/.x\), on peut associer \(X(A, J)\) tel que \(A = a[X(A,J)(0)\). Ce résultat et le théorème 1 montrent que l'ensemble des itinéraires admissibles ne dépend pas de la famille considérée mais seulement de \(A_0\). Il est alors clair que deux applications admettant la même suite de tricotage ont la même entropie topologique \(H\). Ce résultat est identique à celui obtenu par Gillot [7] dans le cadre des fonctions unimodales. Pour chaque famille à un paramètre, \(H\) est donc une application de l'espace du paramètre dans \(R_+\). COROLLAIRE. — 1. \(H\) est une surjection continue décroissante de [0, 1] dans [0, Log2]. 2 Soit \(/.x\) une famille vérifiant les propriétés (i), ..., (iv). Quel que soit \(u\), il existe \(X\) tel que \(/.x\) est semi-conjuguée topologiquement à \(Z, x\), correspondant à \(gx\) et \(hx\) linéaires. La figure 1 (resp. 2) illustre ce résultat dans le cas de familles linéaires (resp paraboliques) par morceaux. La
associer \(X(A, J)\) tel que \(A = a[X(A,J)(0)\). Ce résultat et le théorème 1 montrent que l'ensemble des itinéraires admissibles ne dépend pas de la famille considérée mais seulement de \(A_0\). Il est alors clair que deux applications admettant la même suite de tricotage ont la même entropie topologique \(H\). Ce résultat est identique à celui obtenu par Gillot [7] dans le cadre des fonctions unimodales. Pour chaque famille à un paramètre, \(H\) est donc une application de l'espace du paramètre dans \(R_+\). COROLLAIRE. — 1. \(H\) est une surjection continue décroissante de [0, 1] dans [0, Log2]. 2 Soit \(/.x\) une famille vérifiant les propriétés (i), ..., (iv). Quel que soit \(u\), il existe \(X\) tel que \(/.x\) est semi-conjuguée topologiquement à \(Z, x\), correspondant à \(gx\) et \(hx\) linéaires. La figure 1 (resp. 2) illustre ce résultat dans le cas de familles linéaires (resp paraboliques) par morceaux. La structure de bifurcations des familles \(/.x\) est donc caractérisée par l'ensemble \(S_0\). IV ÉTUDE DE L'ENSEMBLE \(S_0\) — PROPRIÉTÉ O-l. — (i) \(S_0\) est non dénombrable (n) L'ensemble des suites périodiques de \(Q\) est dense dans \(S_0\) Démonstration — (i) Le sous-ensemble de \(O\) où \(n_1...n_l \in N^n\) est croissante et telle que \(\forall i, n_i-n_{i-1} \ge 1\) est en bijection avec [0,1] par \(x = \frac{1}{2^n-1}\). (ii) Soient \(S_1, S_2\) deux suites distinctes de \(S_0\) (\(S_1 < S_2\)), \(S_1 = m_0S_1\) et \(S_2 = m_1S_2\) (m est le début commun aux deux suites); alors \(S = (m_1)0\) est une suite périodique de \(S_0\) telle que \(S^3S^2S_1\). PROPRIÉTÉ S-2 — \(S_1\) et \(S_2\) étant deux suites distinctes de \(S_0\) (\(S_1 < S_2\)), on a l'une des deux propriétés suivantes (a) \([S_1, S_2]_Q = 0\) (b) \([S_1, S_2]_Q\) est non dénombrable. Dans le cas (b), on démontre un résultat plus fort : \([S_1, S_2]_Q\) contient un sous-ensemble en bijection croissante avec \(S_0\), ceci constitue le théorème suivant : THÉORÈME 3. — \(S_0\) est à homotélie interne. Éléments de démonstration — Les propriétés S-1 et S-2 assurent que, si \(S_1\) et \(S_2\) vérifient la propriété (b), il existe deux suites périodiques de
et telle que \(\forall i, n_i-n_{i-1} \ge 1\) est en bijection avec [0,1] par \(x = \frac{1}{2^n-1}\). (ii) Soient \(S_1, S_2\) deux suites distinctes de \(S_0\) (\(S_1 < S_2\)), \(S_1 = m_0S_1\) et \(S_2 = m_1S_2\) (m est le début commun aux deux suites); alors \(S = (m_1)0\) est une suite périodique de \(S_0\) telle que \(S^3S^2S_1\). PROPRIÉTÉ S-2 — \(S_1\) et \(S_2\) étant deux suites distinctes de \(S_0\) (\(S_1 < S_2\)), on a l'une des deux propriétés suivantes (a) \([S_1, S_2]_Q = 0\) (b) \([S_1, S_2]_Q\) est non dénombrable. Dans le cas (b), on démontre un résultat plus fort : \([S_1, S_2]_Q\) contient un sous-ensemble en bijection croissante avec \(S_0\), ceci constitue le théorème suivant : THÉORÈME 3. — \(S_0\) est à homotélie interne. Éléments de démonstration — Les propriétés S-1 et S-2 assurent que, si \(S_1\) et \(S_2\) vérifient la propriété (b), il existe deux suites périodiques de \(S_0\) : \(C = (c_1... c_n)\) et \(D=(d_1...d_n)\) telles que : \(S_1 < C < D < S_2\). On peut définir l'application \(r\) associée à \(C\) et \(D\) par \(x = \frac{1}{2^n-1}\), où \(x\) est un homéomorphisme croissant de \(S_0\) sur \(T(S_0)\), nous avons donc \(r(S_0)\) est en bijection croissante avec \(S_0\) par \(x_1\) croissante d'où le résultat. V CONCLUSION. — L'ensemble \(S_0\) caractérisant entièrement les suites de Tricotage associé à \(fmJ\), \(Xe[0,1]\), on peut affirmer que cette dynamique a une structure à homothétie interne. Ce résultat est à rapprocher de celui de Allouche et Cosnard [1] qui montrent que la structure de bifurcations d'une famille de fonctions unimodales de \([0,1]\) dans \([0,1]\) caractérisée par l'ensemble \(\) est aussi à homothétie interne. Remise le 29 octobre 1984 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] J.-P. Allouche et M. Cosnard, Comptes rendus, 296, série I, 1983, p. 159-162 [2] P. Collet et J. P. Eckmann, Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems, Birkhäuser Basel, 1980 [3] A. Chenciner, J.-M. Gambardo et C. Tresser, Comptes rendus, 299, série I, 1984, p. 145-148 [4] M. Cosnard, Thèse, Grenoble, 1983 [5] M. Cosnard et E. Goles, Comptes rendus, 299, série I, 1984, p. 459-461 [6] B. Derrida,
avec \(S_0\) par \(x_1\) croissante d'où le résultat. V CONCLUSION. — L'ensemble \(S_0\) caractérisant entièrement les suites de Tricotage associé à \(fmJ\), \(Xe[0,1]\), on peut affirmer que cette dynamique a une structure à homothétie interne. Ce résultat est à rapprocher de celui de Allouche et Cosnard [1] qui montrent que la structure de bifurcations d'une famille de fonctions unimodales de \([0,1]\) dans \([0,1]\) caractérisée par l'ensemble \(\) est aussi à homothétie interne. Remise le 29 octobre 1984 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] J.-P. Allouche et M. Cosnard, Comptes rendus, 296, série I, 1983, p. 159-162 [2] P. Collet et J. P. Eckmann, Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems, Birkhäuser Basel, 1980 [3] A. Chenciner, J.-M. Gambardo et C. Tresser, Comptes rendus, 299, série I, 1984, p. 145-148 [4] M. Cosnard, Thèse, Grenoble, 1983 [5] M. Cosnard et E. Goles, Comptes rendus, 299, série I, 1984, p. 459-461 [6] B. Derrida, A. Gervois et Y. Pomeau, Ann. Inst. Poincaré, 29, n° 3, 1978, p. 305-356 [7] C. Gillet, Thèse, Toulouse, 1984 [8] J. Guckenheimer, Comm. Math. Phys., 70, 1969, p. 133-160 [9] I. Gumowski et C. Mira, Dynamique chaotique, Cédédès, Toulouse, 1980 [10] B. Mandelbrot, Physica, 7D, 1983, p. 224-239 [11] B. Mandelbrot, Ann. New York Acad. Sci., 35, 1980 [12] R. May, Nature, 261, 1976, p. 459-467 [13] N. Metropolis, M. L. Stein et P. R. Stein, J. Comb. Theory, 15, 1973, p. 25-44 [14] J. Milnor et P. Thurston, Preprint Princeton, 1977 [15] C. Tresser, Comptes rendus, 296, série I, 1983, p. 729-732 MAG, Laboratoire TIM 3, B. P. n° 68, 38402 Saint-Martin-d'Hères Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 PROBABILITÉS. — Quelques résultats de convergence des amarts multivoques dans les espaces de Banach. Note de Dinh Quan Luu, présentée par Laurent Schwartz. On présente dans cette Note quelques résultats de convergence des amarts multivoques à valeurs convexes fermées, bornées non vides dans les espaces de Banach. PROBABILITY THEORY — Some convergence results for multi-valued Amarts in Banach Spaces. Some convergence results for multi-valued amarts with nonempty convex closed bounded values in Banach
B. Mandelbrot, Ann. New York Acad. Sci., 35, 1980 [12] R. May, Nature, 261, 1976, p. 459-467 [13] N. Metropolis, M. L. Stein et P. R. Stein, J. Comb. Theory, 15, 1973, p. 25-44 [14] J. Milnor et P. Thurston, Preprint Princeton, 1977 [15] C. Tresser, Comptes rendus, 296, série I, 1983, p. 729-732 MAG, Laboratoire TIM 3, B. P. n° 68, 38402 Saint-Martin-d'Hères Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 PROBABILITÉS. — Quelques résultats de convergence des amarts multivoques dans les espaces de Banach. Note de Dinh Quan Luu, présentée par Laurent Schwartz. On présente dans cette Note quelques résultats de convergence des amarts multivoques à valeurs convexes fermées, bornées non vides dans les espaces de Banach. PROBABILITY THEORY — Some convergence results for multi-valued Amarts in Banach Spaces. Some convergence results for multi-valued amarts with nonempty convex closed bounded values in Banach spaces are presented. 1 NOTATIONS, DÉFINITIONS ET PRÉLIMINAIRES. — Soit \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) un espace probabilisé, \(E\) un espace de Banach séparable, \(\mathcal{F}^b(E)\) l'ensemble des convexes fermés bornés non vides de \(E\) muni de la distance de Hausdorff \(h\), \((\mathcal{F}_n)\) une suite croissante de sous-algèbres de \(\mathcal{F}\) telle que \(\mathcal{F} = \bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{F}_n\). Une suite d'applications \((X_n)\) définies sur \(\Omega\) à valeurs dans \(\mathcal{F}^b(E)\) est adaptée à \((\mathcal{F}_n)\) si chacune des \(X_n\) est \(\mathcal{F}\)-mesurable (i.e., pour tout ouvert \(O\) dans \(E\), l'ensemble \(X_n(O) = \{ \omega \in \Omega | X_n(\omega) \in O \} \) appartient à \(\mathcal{F}_n\)) et chacune des fonctions réelles \(|X_n| \circ h-\sup{|x| | x \in X_n(\omega)}\) est \(P\)-intégrable. Dans ce qui suit, \((X_n)\) est une suite adaptée à \((\mathcal{F}_n)\) et à valeurs dans \(\mathcal{F}^b(E)\). On note par \(T\) l'ensemble des temps d'arrêt bornés et pour tout \(x \in T\), \(E(X_n(x)) = \bigcap_{k=1}^\infty \sigma(X_k)\). Pour toute sous-algèbre \(\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}\) et toute application \(\mathcal{F}\)-mesurable \(X : \Omega \to \mathcal{F}^b(E)\), on pose \(E(X | \mathcal{G})\) la fermeture dans \(L^1(\Omega, \mathcal{F}, P)\) de l'ensemble \(E(X | \mathcal{G})\). Rappelons [4] que l'espérance conditionnelle d'une application \(X : \Omega \to \mathcal{F}^b(E)\), \(\mathcal{F}\)-mesurable et \(P\)-intégrable (i.e., \(|X| \in L^1(\Omega, \mathcal{F}, P)\)) par rapport
= \bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{F}_n\). Une suite d'applications \((X_n)\) définies sur \(\Omega\) à valeurs dans \(\mathcal{F}^b(E)\) est adaptée à \((\mathcal{F}_n)\) si chacune des \(X_n\) est \(\mathcal{F}\)-mesurable (i.e., pour tout ouvert \(O\) dans \(E\), l'ensemble \(X_n(O) = \{ \omega \in \Omega | X_n(\omega) \in O \} \) appartient à \(\mathcal{F}_n\)) et chacune des fonctions réelles \(|X_n| \circ h-\sup{|x| | x \in X_n(\omega)}\) est \(P\)-intégrable. Dans ce qui suit, \((X_n)\) est une suite adaptée à \((\mathcal{F}_n)\) et à valeurs dans \(\mathcal{F}^b(E)\). On note par \(T\) l'ensemble des temps d'arrêt bornés et pour tout \(x \in T\), \(E(X_n(x)) = \bigcap_{k=1}^\infty \sigma(X_k)\). Pour toute sous-algèbre \(\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}\) et toute application \(\mathcal{F}\)-mesurable \(X : \Omega \to \mathcal{F}^b(E)\), on pose \(E(X | \mathcal{G})\) la fermeture dans \(L^1(\Omega, \mathcal{F}, P)\) de l'ensemble \(E(X | \mathcal{G})\). Rappelons [4] que l'espérance conditionnelle d'une application \(X : \Omega \to \mathcal{F}^b(E)\), \(\mathcal{F}\)-mesurable et \(P\)-intégrable (i.e., \(|X| \in L^1(\Omega, \mathcal{F}, P)\)) par rapport à une sous-algèbre \(\mathcal{G}\) est une application \(E^1(E)\) : \(\Omega \to \mathcal{F}^b(E)\), \(\mathcal{F}\)-mesurable et telle que : \(E(X | \mathcal{G}) = E(E(X | \mathcal{F}_\omega) | \mathcal{G})\). Une suite adaptée \((X_n, \mathcal{F}_n)\) est une martingale si \(X_n = E(\mathcal{F}_n)(X_m) (n \leq m)\). Il résulte de [5] que la suite généralisée \((X_T)\) est adaptée à \((\mathcal{F}_T)\) et l'on a \(X_T = E(\mathcal{F}_T)(X(J) (a \leq T)\). Une suite adaptée \((X_n, \mathcal{F}_n)\) est un amart à valeurs dans \(\mathcal{F}^b(E)\) si la suite généralisée \((X_T)\) et \(X_T\) d\(P\) est la fermeture de l'ensemble \(X_T\) d\(P\) dans \(E\), converge pour la distance de Hausdorff \(h\) dans \(\mathcal{F}^b(E)\). Un tel amart \((X_n, \mathcal{F}_n)\) satisfait à la condition de Uhl ([7], [6]) si, pour tout \(s > 0\), il existe un convexe compact équilibré \(K\), tel que, pour tout \(\epsilon > 0\), il existe \(n(s, \epsilon) \in \mathbb{N}\) et \(A(s, \epsilon) \in \mathcal{F}_n(s)\) avec \(P(A(s, \epsilon)) \geq 1 - s\) et tel que, pour tout \(\omega \in A(s, \epsilon)\) et tout \(A \in \mathcal{F}\) avec \(A \subseteq A(s, \epsilon)\), on ait : \(h(E(X_n(\omega) | \mathcal{F}_n), M(\omega)) \leq \epsilon\). Une application \(M : \mathcal{F} \to \mathcal{F}^b(E)\) est finiment additive si \(M(\emptyset) = \{ 0 \}\) et si pour toute