jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
est adaptée à \((\mathcal{F}_T)\) et l'on a \(X_T = E(\mathcal{F}_T)(X(J) (a \leq T)\). Une suite adaptée \((X_n, \mathcal{F}_n)\) est un amart à valeurs dans \(\mathcal{F}^b(E)\) si la suite généralisée \((X_T)\) et \(X_T\) d\(P\) est la fermeture de l'ensemble \(X_T\) d\(P\) dans \(E\), converge pour la distance de Hausdorff \(h\) dans \(\mathcal{F}^b(E)\). Un tel amart \((X_n, \mathcal{F}_n)\) satisfait à la condition de Uhl ([7], [6]) si, pour tout \(s > 0\), il existe un convexe compact équilibré \(K\), tel que, pour tout \(\epsilon > 0\), il existe \(n(s, \epsilon) \in \mathbb{N}\) et \(A(s, \epsilon) \in \mathcal{F}_n(s)\) avec \(P(A(s, \epsilon)) \geq 1 - s\) et tel que, pour tout \(\omega \in A(s, \epsilon)\) et tout \(A \in \mathcal{F}\) avec \(A \subseteq A(s, \epsilon)\), on ait : \(h(E(X_n(\omega) | \mathcal{F}_n), M(\omega)) \leq \epsilon\). Une application \(M : \mathcal{F} \to \mathcal{F}^b(E)\) est finiment additive si \(M(\emptyset) = \{ 0 \}\) et si pour toute suite finie disjointe \((A_k)\) dans \(\mathcal{F}\), où le second membre désigne la fermeture dans \(E\) de l'ensemble \(M(A_1) + M(A_2) + \ldots + M(A_n)\). Une telle application est (a) \(\alpha\)-additive si l'on a pour toute suite disjointe \((A_k)\) dans \(\mathcal{F}\), (b) à variation bornée si \(\|M\|_{var} = sup \{ \sum_{k=1}^n \|M(A_k)\| | A_k \in \mathcal{F}, A_1 \cap \ldots \cap A_n = \emptyset, \ n \in \mathbb{N} \} < \infty\). Enfin, pour tout \(L \subseteq E\) et tout \(x^* \in E'\), on note \(8^*(x^*, L) = sup \{ < x^*, x > | x \in L \}\) la fonction d'appui de \(L\). 2 RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES. PROPOSITION 2.1 — Une suite \((X_n, \mathcal{F}_n)\) est un amart si et seulement si il existe une mesure finiment additive \(F_{\omega} : \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}^b(E)\) telle que chacune des \(F_{\omega}^b(E)\) soit absolument continue, finiment additive et telle que \(E(X_n | \mathcal{F}_n) = F_{\omega} (X_n) (n \leq m)\). La démonstration de ce résultat est élémentaire et résulte des techniques habituellement utilisées pour les amarts à valeurs vectorielles [1]. PROPOSITION 2.2 — Soit \(F : \mathcal{F} \to \mathcal{F}^b(E)\) une application finiment additive. Alors \(F\) admet une densité de Radon-Nikodym \(X : \Omega \to \mathcal{F}^b(E)\) à valeurs convexes fortement
\|M(A_k)\| | A_k \in \mathcal{F}, A_1 \cap \ldots \cap A_n = \emptyset, \ n \in \mathbb{N} \} < \infty\). Enfin, pour tout \(L \subseteq E\) et tout \(x^* \in E'\), on note \(8^*(x^*, L) = sup \{ < x^*, x > | x \in L \}\) la fonction d'appui de \(L\). 2 RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES. PROPOSITION 2.1 — Une suite \((X_n, \mathcal{F}_n)\) est un amart si et seulement si il existe une mesure finiment additive \(F_{\omega} : \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}^b(E)\) telle que chacune des \(F_{\omega}^b(E)\) soit absolument continue, finiment additive et telle que \(E(X_n | \mathcal{F}_n) = F_{\omega} (X_n) (n \leq m)\). La démonstration de ce résultat est élémentaire et résulte des techniques habituellement utilisées pour les amarts à valeurs vectorielles [1]. PROPOSITION 2.2 — Soit \(F : \mathcal{F} \to \mathcal{F}^b(E)\) une application finiment additive. Alors \(F\) admet une densité de Radon-Nikodym \(X : \Omega \to \mathcal{F}^b(E)\) à valeurs convexes fortement compactes si et seulement si \(F\) vérifie les conditions suivantes (1) \(F\) est absolument continue, (2) \(F\) est à variation bornée, (3) \(F\) satisfait à la condition de Uhl ([7], [6]), i.e. pour tout \(s > 0\), il existe un convexe compact équilibré \(K\), tel que, pour tout \(\epsilon > 0\), il existe \(n(s, \epsilon) \in \mathbb{N}\) et \(A(s, \epsilon) \in \mathcal{F}_n(s)\) avec \(P(A(s, \epsilon)) \geq 1 - s\) et tel que, pour tout \(\omega \in A(s, \epsilon)\) et tout \(A \in \mathcal{F}\) avec \(A \subseteq A(s, \epsilon)\), on ait : \(h(E(X_n(\omega) | \mathcal{F}_n), M(\omega)) \leq \epsilon\). Ce résultat a été obtenu par l'auteur dans [6] et intervient dans la convergence des amarts. PROPOSITION 2.3 3. — Avec les notations de la proposition 2.1, un amart (Xn, 3Fn) satisfait à la condition de Uhl si et seulement si la mesure de la fonction 3Fn -» g?cfb (E), associée à (Xn, 3Fn) satisfait la condition de Uhl de la proposition 2.2 sur U 3Fn. Le résultat suivant a un intérêt propre dans l'étude des martingales multivoques. PROPOSITION 2.4 — Soient X et Y deux applications 3F-mesurables de fi dans 3Pcfh(P) et P-intégrables. Alors C. R. Acad. Sci. Paris, t. 300, Série
0\), il existe \(n(s, \epsilon) \in \mathbb{N}\) et \(A(s, \epsilon) \in \mathcal{F}_n(s)\) avec \(P(A(s, \epsilon)) \geq 1 - s\) et tel que, pour tout \(\omega \in A(s, \epsilon)\) et tout \(A \in \mathcal{F}\) avec \(A \subseteq A(s, \epsilon)\), on ait : \(h(E(X_n(\omega) | \mathcal{F}_n), M(\omega)) \leq \epsilon\). Ce résultat a été obtenu par l'auteur dans [6] et intervient dans la convergence des amarts. PROPOSITION 2.3 3. — Avec les notations de la proposition 2.1, un amart (Xn, 3Fn) satisfait à la condition de Uhl si et seulement si la mesure de la fonction 3Fn -» g?cfb (E), associée à (Xn, 3Fn) satisfait la condition de Uhl de la proposition 2.2 sur U 3Fn. Le résultat suivant a un intérêt propre dans l'étude des martingales multivoques. PROPOSITION 2.4 — Soient X et Y deux applications 3F-mesurables de fi dans 3Pcfh(P) et P-intégrables. Alors C. R. Acad. Sci. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 Par suite, si (Xn, 3Fn) et (Yn, 3Fn) sont deux martingales, alors la suite (h (Xn, Yn), 3Fn) est une sous-martingale réelle. RÉSULTATS DE CONVERGENCE. THÉORÈME 3.1. — On suppose que E a la propriété de Radon-Nikodym et que E' est fortement séparable. Soit (Xn, #"n) un amart. (1) Si lim inf | Xn | dP + ∞, alors il existe une martingale unique (Mn, 3Fn) telle que (2) Si de plus, sup |XT|^P + ∞, alors il existe une application Xoe 3F-mesurable de TST Jn fi dans 3PCfh (E) et P-intégrable telle que (Xn) converge faiblement presque sûrement vers Xoe, c'est-à-dire, il existe un fi0 dans 3F tel que P(fi0) = 1 et pour tout (oo, x*) e fi0 x E'. Principe de la démonstration — (1) L'existence de la martingale (Mn, 3Fn) résulte de la proposition 2.1 et de l'hypothèse (1) et d'un théorème de Radon-Nikodym pour chacune des applications a-additives, absolument continues et à variation bornée Fn. J%-*^c/t(E)[3] (2) La condition sup | XT | dP implique que la martingale (Mn) converge faiblement TST Jn presque sûrement vers l'élément XOT de l'énoncé, en vertu d'un résultat de Coste [2] On termine la démonstration
un amart. (1) Si lim inf | Xn | dP + ∞, alors il existe une martingale unique (Mn, 3Fn) telle que (2) Si de plus, sup |XT|^P + ∞, alors il existe une application Xoe 3F-mesurable de TST Jn fi dans 3PCfh (E) et P-intégrable telle que (Xn) converge faiblement presque sûrement vers Xoe, c'est-à-dire, il existe un fi0 dans 3F tel que P(fi0) = 1 et pour tout (oo, x*) e fi0 x E'. Principe de la démonstration — (1) L'existence de la martingale (Mn, 3Fn) résulte de la proposition 2.1 et de l'hypothèse (1) et d'un théorème de Radon-Nikodym pour chacune des applications a-additives, absolument continues et à variation bornée Fn. J%-*^c/t(E)[3] (2) La condition sup | XT | dP implique que la martingale (Mn) converge faiblement TST Jn presque sûrement vers l'élément XOT de l'énoncé, en vertu d'un résultat de Coste [2] On termine la démonstration en utilisant le lemme maximal pour les amarts réels et le fait que tout amart réel borné converge presque sûrement. THÉORÈME 3.2 — On suppose E' fortement séparable (1) Soit (Xn, 3Fn) une martingale telle que sup |Xn|dP +∞ et vérifiant la condition de Uhl. Alors il existe une application unique mesurable XB à valeurs convexes fortement compactes de E et P-intégrable telle que (2) Si (Xn, J^J est un amart avec sup |XT|dP+∞ et vérifiant la condition de Uhl, alors il existe une application unique mesurable Xoe à valeurs convexes fortement compactes et P-intégrable telle que (Xn) converge faiblement presque sûrement vers Xoe. Principe de la démonstration — (1) En appliquant le théorème de décomposition de Lebesgue pour Foe dont l'existence est assurée par la proposition 2.1, on démontre que la partie absolument continue de Foe admet une densité unique Xoe (proposition 2.2) et que la suite (Yn=E^»(Xa,)) converge presque sûrement pour la distance de Hausdorff h vers Xoe [4] La propriété 2.4 et l'hypothèse (1) impliquent que la sous-martingale (h(Xn, Yn), 3Fn) converge presque sûrement. On termine la démonstration en vérifiant que (h(Xn, Yn)) converge vers 0 en probabilité. (2) se démontre en combinant la démonstration du point
unique mesurable XB à valeurs convexes fortement compactes de E et P-intégrable telle que (2) Si (Xn, J^J est un amart avec sup |XT|dP+∞ et vérifiant la condition de Uhl, alors il existe une application unique mesurable Xoe à valeurs convexes fortement compactes et P-intégrable telle que (Xn) converge faiblement presque sûrement vers Xoe. Principe de la démonstration — (1) En appliquant le théorème de décomposition de Lebesgue pour Foe dont l'existence est assurée par la proposition 2.1, on démontre que la partie absolument continue de Foe admet une densité unique Xoe (proposition 2.2) et que la suite (Yn=E^»(Xa,)) converge presque sûrement pour la distance de Hausdorff h vers Xoe [4] La propriété 2.4 et l'hypothèse (1) impliquent que la sous-martingale (h(Xn, Yn), 3Fn) converge presque sûrement. On termine la démonstration en vérifiant que (h(Xn, Yn)) converge vers 0 en probabilité. (2) se démontre en combinant la démonstration du point (1) du théorème 3.2 et du point (2) du théorème 3.1. Remarques. — (1) Les théorèmes 3.1 et 3.2 ne résultent pas directement des résultats connus pour les amarts vectoriels (2) Dans le point (1) du théorème 3.2, on ne peut pas supprimer la condition de Uhl, même dans le cas E = l2. Ceci explique la différence entre les martingales multivoques et celles à valeurs vectorielles. (3) Dans les points (2) des théorèmes 3.1 et 3.2, on ne peut remplacer le mot « faiblement » par « fortement », même pour les amarts vectoriels dans l2. Les démonstrations détaillées figurent dans l'exposé n° 5 du Séminaire d'Analyse Convexe, Montpellier, 1984 L'auteur a bénéficié de suggestions utiles de C Castaing pour ce travail. Remise le 19 novembre 1984. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] R V CHACON et L SUCHESTON, Z Wahrsch Verw, 33, 1975, p 55-59 [2] A COSTE, Comptes rendus, 290, série A, 1980, p 953-956 [3] F HIAI, J Multiv Anal, 8, 1978, p 96-118 [4] F HIAI et H UMEGAKI, J Multiv Anal, 7, 1977, p 149-182 [5] D Q Luu, Acta Math Vietnam, 6, n° 2, 1981, p 29-41 [6] D Q Luu, Math Scand, 54, 1984, p
cas E = l2. Ceci explique la différence entre les martingales multivoques et celles à valeurs vectorielles. (3) Dans les points (2) des théorèmes 3.1 et 3.2, on ne peut remplacer le mot « faiblement » par « fortement », même pour les amarts vectoriels dans l2. Les démonstrations détaillées figurent dans l'exposé n° 5 du Séminaire d'Analyse Convexe, Montpellier, 1984 L'auteur a bénéficié de suggestions utiles de C Castaing pour ce travail. Remise le 19 novembre 1984. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] R V CHACON et L SUCHESTON, Z Wahrsch Verw, 33, 1975, p 55-59 [2] A COSTE, Comptes rendus, 290, série A, 1980, p 953-956 [3] F HIAI, J Multiv Anal, 8, 1978, p 96-118 [4] F HIAI et H UMEGAKI, J Multiv Anal, 7, 1977, p 149-182 [5] D Q Luu, Acta Math Vietnam, 6, n° 2, 1981, p 29-41 [6] D Q Luu, Math Scand, 54, 1984, p 101-113 [7] J J UHL, Trans AMS, 175, 1969, p 271-285. Département de Mathématiques, Université des Sciences et Techniques du Languedoc, place Eugène-Bataillon, 34060 Montpellier Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 PROBLÈMES MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE — Influence de l'anisotropie sur l'apparition de singularités de bord dans les problèmes aux limites relatifs aux matériaux composites. Note de Enrique Sanchez-Palencia, présentée par Maurice Roseau. On considère le problème du type Neumann pour une équation elliptique en les variables xl, x2 avec coefficients a (x) constants par morceaux. En prenant l'origine de coordonnées dans un point du bord et r, θ les coordonnées polaires correspondantes, on sait que la solution sera singulière en général s'il existe des solutions non nulles de la forme V(x±, x2)=r^u(θ) avec 0&lt;Re a&lt;1 (le gradient tendra vers l'infini comme r"^1). Soit x2=0 le bord, nous démontrons que si x1 &gt; 0 sont deux régions à coefficients différents, il existe des valeurs de ces coefficients (avec a12 discontinu sur X1=0) pour lesquelles, il y a une singularité à l'origine. Nous énonçons une conjecture (non démontrée) donnant l'existence ou la non-existence de singularité dans le cas général. Nous donnons une application à
singularités de bord dans les problèmes aux limites relatifs aux matériaux composites. Note de Enrique Sanchez-Palencia, présentée par Maurice Roseau. On considère le problème du type Neumann pour une équation elliptique en les variables xl, x2 avec coefficients a (x) constants par morceaux. En prenant l'origine de coordonnées dans un point du bord et r, θ les coordonnées polaires correspondantes, on sait que la solution sera singulière en général s'il existe des solutions non nulles de la forme V(x±, x2)=r^u(θ) avec 0&lt;Re a&lt;1 (le gradient tendra vers l'infini comme r"^1). Soit x2=0 le bord, nous démontrons que si x1 &gt; 0 sont deux régions à coefficients différents, il existe des valeurs de ces coefficients (avec a12 discontinu sur X1=0) pour lesquelles, il y a une singularité à l'origine. Nous énonçons une conjecture (non démontrée) donnant l'existence ou la non-existence de singularité dans le cas général. Nous donnons une application à un problème d'élasticité. MATHEMATICAL PROBLEMS IN MECHANICS — Influence of Anisotropy on the Appearance of Singularities in the Boundary Value Problems for Composite Materials. We consider the Neumann problem for an elliptic equation in the variables xl, x2 with coefficients a,j(x) which are piecewise constant. Taking the origin at a point of the boundary and r, θ the corresponding polar coordinates, it is known that the solution will be singular in general if there exist non zero solutions of the form U(x1, x2)=r^u(θ) with 0&lt;Re a&lt;1. 1 (then the gradient would tend to infinity as r→1) Let x2 = 0 be the boundary of the domain, we prove that if x1, x2 are two regions with different coefficients, there exist values of these coefficients (with a12 discontinuous on x1 = 0) such that there is a singularity at the origin. We state a conjecture (without proof) giving the existence (or non-existence) of singularities in the general case. An application to elasticity is given. INTRODUCTION — Considérons l'équation elliptique du second ordre à coefficients réels symétriques (ajj=a_{j}) dans un domaine du plan (x, y) Dans le cas de coefficients constants, il est connu [1] que l'apparition de singularités au bord du
point of the boundary and r, θ the corresponding polar coordinates, it is known that the solution will be singular in general if there exist non zero solutions of the form U(x1, x2)=r^u(θ) with 0&lt;Re a&lt;1. 1 (then the gradient would tend to infinity as r→1) Let x2 = 0 be the boundary of the domain, we prove that if x1, x2 are two regions with different coefficients, there exist values of these coefficients (with a12 discontinuous on x1 = 0) such that there is a singularity at the origin. We state a conjecture (without proof) giving the existence (or non-existence) of singularities in the general case. An application to elasticity is given. INTRODUCTION — Considérons l'équation elliptique du second ordre à coefficients réels symétriques (ajj=a_{j}) dans un domaine du plan (x, y) Dans le cas de coefficients constants, il est connu [1] que l'apparition de singularités au bord du domaine est liée à la convexité ou concavité des points anguleux de la frontière du domaine Une situation différente apparaît lorsque les coefficients sont constants par morceaux, même si la frontière est régulière, il peut apparaître des singularités. Nous étudions ici les conditions aux limites du type Neumann, qui correspondent en élasticité à des « bords libres »; on peut voir [2] pour le cas de Dirichlet. Considérons dans le plan des coordonnées cartésiennes x, y ou polaires r, θ des solutions de (1) dans le demi-plan y>0 lorsque les coefficients a_{j} sont des fonctions de θ, en particulier des fonctions constantes par morceaux prenant des valeurs constantes dans les régions x>0 et x<0. Les conditions aux limites sont de Neumann. On cherche des solutions appartenant localement à l'espace H1 de Sobolev, l'équation (1) étant interprétée au sens des distributions, ce qui implique, si les a_{j} sont constants dans x±>0 et x<0, les conditions de transmission : [a_{j}] désigne le saut à travers x1=0. En accord avec la théorie générale [1], nous cherchons des solutions de la forme : avec Rea>0 (dû à l'appartenance à H1) et Rea<1 (qui implique que le gradient, en r^{-1}, tend vers l'infini à l'origine).
en élasticité à des « bords libres »; on peut voir [2] pour le cas de Dirichlet. Considérons dans le plan des coordonnées cartésiennes x, y ou polaires r, θ des solutions de (1) dans le demi-plan y>0 lorsque les coefficients a_{j} sont des fonctions de θ, en particulier des fonctions constantes par morceaux prenant des valeurs constantes dans les régions x>0 et x<0. Les conditions aux limites sont de Neumann. On cherche des solutions appartenant localement à l'espace H1 de Sobolev, l'équation (1) étant interprétée au sens des distributions, ce qui implique, si les a_{j} sont constants dans x±>0 et x<0, les conditions de transmission : [a_{j}] désigne le saut à travers x1=0. En accord avec la théorie générale [1], nous cherchons des solutions de la forme : avec Rea>0 (dû à l'appartenance à H1) et Rea<1 (qui implique que le gradient, en r^{-1}, tend vers l'infini à l'origine). Si de telles solutions existent, on est assuré de l'existence en général d'une singularité à l'origine. Pour obtenir la forme sesquilinéaire associée à l'opérateur correspondant à (1), (2), (3) par le changement (4), il suffit de noter que est la forme associée au problème de Neumann dans le domaine fi, en prenant pour fi le demi-plan supérieur et : avec M, uEH1(0, 2π) et cpe^(-π, π) dans (5), il vient pour u, v : si bien que, en désignant par a (a; u, v) le second membre de (6), qui est une forme sesquilinéaire sur H1(0, 2π), le problème revient à la recherche des valeurs de a pour lesquelles le problème aux valeurs propres possède la valeur propre X = 0. UN RÉSULTAT ASYMPTOTIQUE. — Considérons les coefficients : où s est une constante qui sera prise comme paramètre. PROPOSITION — Pour s réel positif suffisamment petit, le problème proposé au n° 1 avec les coefficients (8) possède une solution a avec 0<Rea<1. Donnons une idée de la démonstration. — Avec les coefficients (8), la forme a dépend de s et sera désignée par a(s, a; u, v). Pour E=0, le problème aux valeurs propres avec A=0 possède une solution
en prenant pour fi le demi-plan supérieur et : avec M, uEH1(0, 2π) et cpe^(-π, π) dans (5), il vient pour u, v : si bien que, en désignant par a (a; u, v) le second membre de (6), qui est une forme sesquilinéaire sur H1(0, 2π), le problème revient à la recherche des valeurs de a pour lesquelles le problème aux valeurs propres possède la valeur propre X = 0. UN RÉSULTAT ASYMPTOTIQUE. — Considérons les coefficients : où s est une constante qui sera prise comme paramètre. PROPOSITION — Pour s réel positif suffisamment petit, le problème proposé au n° 1 avec les coefficients (8) possède une solution a avec 0<Rea<1. Donnons une idée de la démonstration. — Avec les coefficients (8), la forme a dépend de s et sera désignée par a(s, a; u, v). Pour E=0, le problème aux valeurs propres avec A=0 possède une solution pour a=1, le vecteur propre étant • qui correspond à U = (2/7)^{-1/2}x_{1}^{3} solution de gradient constant tangentiel au bord du domaine; en effet, pour E=0, a=1, la forme devient • d'où l'on déduit que X = 0 est valeur propre simple, le problème aux limites correspondant étant auto-adjoint. D'après la théorie des perturbations ([3], [4]), il existe une branche holomorphe X(E, a) de valeurs propres simples pour |E|, |a-1| suffisamment petits, prenant la valeur 0 pour E = 0, a=1. Le problème revient alors à trouver OC(E) solution de l'équation implicite X(E, a)=0. En explicitant les premiers termes du développement de Taylor de X(s, a), on voit que X=0 définit bien OC(E) avec dérivée négative à l'origine, et la conclusion en découle. CONJECTURE SUR LE CAS GÉNÉRAL. — On remarque dans la proposition de la section précédente que la singularité apparaît pour s>0 et non pas pour E<0. Il est facile d'interpréter ce résultat en terme de convexité ou concavité du domaine par rapport à la ligne formée par les rayons réfractés, ce qui suggère un critère pour des cas plus généreux. En se référant aux figures 1 et 2, soit O un point éventuellement anguleux de la frontière
la théorie des perturbations ([3], [4]), il existe une branche holomorphe X(E, a) de valeurs propres simples pour |E|, |a-1| suffisamment petits, prenant la valeur 0 pour E = 0, a=1. Le problème revient alors à trouver OC(E) solution de l'équation implicite X(E, a)=0. En explicitant les premiers termes du développement de Taylor de X(s, a), on voit que X=0 définit bien OC(E) avec dérivée négative à l'origine, et la conclusion en découle. CONJECTURE SUR LE CAS GÉNÉRAL. — On remarque dans la proposition de la section précédente que la singularité apparaît pour s>0 et non pas pour E<0. Il est facile d'interpréter ce résultat en terme de convexité ou concavité du domaine par rapport à la ligne formée par les rayons réfractés, ce qui suggère un critère pour des cas plus généreux. En se référant aux figures 1 et 2, soit O un point éventuellement anguleux de la frontière du domaine, qui sera désigné par 1,=L1\U1,2. Nous considérons l'équation (1) avec coefficients constants dans les deux sous-domaines fij et fi2 d'interface T. En définissant les vecteurs q et p de composantes : Fig 1 Fig 2 Fig 1 — Cas singulier Fig 2 — Cas non singulier 30 C. R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1,1985 les conditions aux limites de Neumann sur E et de transmission sur T s'expriment par : où les indices t, n désignent les composantes tangentielle et normale. Par analogie avec le cas de l'équation de Laplace, nous énonçons CRITÈRE (conjecture non démontrée) — On considère les deux milieux fixe, fi2 (fig 1 et 2) On en choisit un dont l'ouverture soit >Lx; désignons-le par Qx. On construit un vecteur (constant) p1 parallèle-à [c'est-à-dire, satisfaisant à (12) sur E]. On construit alors, à l'aide de (12) sur £2 et de (13) sur T les trois vecteurs q 1, q 2, p2 et l'on considère la ligne formée par les vecteurs p 1, p2 (fig 1 et 2) Alors, il y aura (resp. il n'y aura pas) singularité si l'angle des bords S1, S2 est plus ouvert (resp. moins ouvert) que la