jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
d'énoncer des lois fonctionnelles. Inversement, on a vu récemment la notion de loi statistique étendre considérablement son champ d'application aux dépens de la notion de loi fonctionnelle : la plupart des lois de la physique atomique sont maintenant considérées comme des lois statistiques dont la probabilité, en raison du nombre très élevé des atomes, est pratiquement, à notre échelle, égale à 1, mais qui, à l'échelle atomique, reprennent intégralement leur caractère incertain. B. — Applications à quelques problèmes particuliers 1°) Méthode générale Dans une série de nombreuses observations, nous pourrons, en général, mettre en évidence des grandeurs ou des rapports de grandeurs qui se groupent autour d'une moyenne. Nous étudierons tout à l'heure le rapport du nombre de naissances masculines au nombre total des naissances et nous verrons que ce rapport est remarquablement constant. La valeur de tels rapports a reçu le nom de « probabilité statistique» par analogie avec la probabilité mathématique définie plus haut : ces deux notions diffèrent l'une de l'autre comme les objets réels diffèrent de leur représentation en géométrie pure. La méthode générale consistera à rechercher s'il n'est pas possible de reconstituer le tableau de nos observations en assimilant les événements étudiés à des tirages de boules de diverses couleurs dans des urnes. C'est le problème du « schéma des urnes», évidemment toujours possible si nous prenons un nombre d'urnes suffisamment grand. Nous chercherons à réduire ce nombre au minimum, et si nous arrivons à constituer notre schéma avec une seule urne, la série d'observations sera appelée « série statistique normale » ; la probabilité statistique aura alors les mêmes propriétés que la probabilité mathématique. Nous verrons dans les exemples qui vont suivre que le seul fait pour une série d'être normale ou non, c'est-à-dire d'être ou non soumise à une loi de GAUSS, pourra entraîner des conséquences remarquables et suggérer des théories intéressantes. 2°) Application aux lois de l'hérédité — Théories de Mendel J. MENDEL a étudié vers le milieu du XIXe siècle les descendances des familles d'hybrides. Plus tard, ces études furent reprises et complétées par T. MORGAN. Nous étudierons seulement ici les
de boules de diverses couleurs dans des urnes. C'est le problème du « schéma des urnes», évidemment toujours possible si nous prenons un nombre d'urnes suffisamment grand. Nous chercherons à réduire ce nombre au minimum, et si nous arrivons à constituer notre schéma avec une seule urne, la série d'observations sera appelée « série statistique normale » ; la probabilité statistique aura alors les mêmes propriétés que la probabilité mathématique. Nous verrons dans les exemples qui vont suivre que le seul fait pour une série d'être normale ou non, c'est-à-dire d'être ou non soumise à une loi de GAUSS, pourra entraîner des conséquences remarquables et suggérer des théories intéressantes. 2°) Application aux lois de l'hérédité — Théories de Mendel J. MENDEL a étudié vers le milieu du XIXe siècle les descendances des familles d'hybrides. Plus tard, ces études furent reprises et complétées par T. MORGAN. Nous étudierons seulement ici les résultats les plus simples, excellents exemples de l'aide que la loi des grands nombres peut apporter à une théorie biologique. On a fait croiser deux types de mouches de l'espèce dite « drosophile » : un type à ailes longues (A) et un type à ailes réduites à l'état de moignons (B). La première génération d'hybrides (F1) ne donne que des types à ailes longues. La deuxième génération obtenue par croisement de ces hybrides F1 entre eux donne environ 3/4 de A et 1/4 de B. Le problème est le suivant: peut-on assimiler cette deuxième génération F2 aux résultats de tirages dans une urne contenant 75 de boules « A» et 25 de boules « B » ? Sur une génération de 7.324 produits, on a trouvé 5.474 A et 1.850 B; la proportion de A est de : 0,7474, celle de B : 0,2526. Peut-on assimiler ces rapports à 3/4 et 1/4? Dans un tirage dans une urne, une série de 7.324 épreuves aurait un écart-type relatif de 0,5 environ. La différence entre la proportion de A et 0,75 est 0,0026, soit 0,26 %, la moitié environ de l'écart-type relatif. Notre série est assimilable à une série de tirages
moignons (B). La première génération d'hybrides (F1) ne donne que des types à ailes longues. La deuxième génération obtenue par croisement de ces hybrides F1 entre eux donne environ 3/4 de A et 1/4 de B. Le problème est le suivant: peut-on assimiler cette deuxième génération F2 aux résultats de tirages dans une urne contenant 75 de boules « A» et 25 de boules « B » ? Sur une génération de 7.324 produits, on a trouvé 5.474 A et 1.850 B; la proportion de A est de : 0,7474, celle de B : 0,2526. Peut-on assimiler ces rapports à 3/4 et 1/4? Dans un tirage dans une urne, une série de 7.324 épreuves aurait un écart-type relatif de 0,5 environ. La différence entre la proportion de A et 0,75 est 0,0026, soit 0,26 %, la moitié environ de l'écart-type relatif. Notre série est assimilable à une série de tirages dans une seule urne de composition 3/4 et 1/4. C'est une série normale. Nous avons donc réalisé notre schéma des urnes avec une seule urne, et, ce qui est capital, avec une urne de composition très simple. Ces résultats ont suggéré à MENDEL la théorie suivante qu'il a appelée « loi de disjonction » : Un hybride est formé de cellules somatiques où chacun des parents a apporté une part égale. Un des caractères est dominant et apparaît seul quand il se retrouve lié à l'autre dans une cellule somatique. Au moment où l'hybride forme ses cellules sexuelles, les apports des parents se séparent. Soit A le caractère dominant ; une mouche A est croisée avec une mouche B. Les cellules sexuelles A et B donneront une génération F1, à cellules somatiques AB où seul le caractère A apparaîtra. Au moment de la formation des cellules sexuelles, les hybrides F1 de cellules somatiques AB donneront des cellules sexuelles A et B séparées. Au moment de la formation des cellules somatiques de la deuxième génération F2, nous aurons en présence les cellules sexuelles A et B de l'un des parents et les cellules A et B de l'autre. Elles se combineront
loi de disjonction » : Un hybride est formé de cellules somatiques où chacun des parents a apporté une part égale. Un des caractères est dominant et apparaît seul quand il se retrouve lié à l'autre dans une cellule somatique. Au moment où l'hybride forme ses cellules sexuelles, les apports des parents se séparent. Soit A le caractère dominant ; une mouche A est croisée avec une mouche B. Les cellules sexuelles A et B donneront une génération F1, à cellules somatiques AB où seul le caractère A apparaîtra. Au moment de la formation des cellules sexuelles, les hybrides F1 de cellules somatiques AB donneront des cellules sexuelles A et B séparées. Au moment de la formation des cellules somatiques de la deuxième génération F2, nous aurons en présence les cellules sexuelles A et B de l'un des parents et les cellules A et B de l'autre. Elles se combineront suivant les lois du hasard, d'où 4 combinaisons possibles : AA, AB, BA, BB. Comme toutes les fois que A se trouve dans une cellule somatique, son caractère apparaît seul, nous devrons avoir 3/4 des individus du type A et 1/4 du type B, ce qui correspond bien à nos observations initiales. Dans certains cas, il n'y a pas de caractère dominant : si nous croisons des belles de nuit à fleurs rouges avec des belles de nuit à fleurs blanches, les produits de 2e génération seront rouges pour 1/4 (AA), blancs pour 1/4 (BB) et roses pour 1/2 (AB ou BA). Nous modifierons un peu notre schéma des urnes en remplaçant l'urne 75/25 par une urne 50/50 où nous ferons 2 tirages simultanés : la probabilité d'avoir 2B ou 2A sera 25 %, celle d'avoir au moins 1A = 75 %, celle d'avoir 1A et 1B = 50%. La théorie que vient de suggérer le schéma des urnes a été confirmée par d'autres expériences : Si on croise des hybrides AB avec des produits purs B, les combinaisons suivantes seront possibles : AB, AB, BB, BB On obtient effectivement 50 de A et 50 de B. Nous avons ainsi
observations initiales. Dans certains cas, il n'y a pas de caractère dominant : si nous croisons des belles de nuit à fleurs rouges avec des belles de nuit à fleurs blanches, les produits de 2e génération seront rouges pour 1/4 (AA), blancs pour 1/4 (BB) et roses pour 1/2 (AB ou BA). Nous modifierons un peu notre schéma des urnes en remplaçant l'urne 75/25 par une urne 50/50 où nous ferons 2 tirages simultanés : la probabilité d'avoir 2B ou 2A sera 25 %, celle d'avoir au moins 1A = 75 %, celle d'avoir 1A et 1B = 50%. La théorie que vient de suggérer le schéma des urnes a été confirmée par d'autres expériences : Si on croise des hybrides AB avec des produits purs B, les combinaisons suivantes seront possibles : AB, AB, BB, BB On obtient effectivement 50 de A et 50 de B. Nous avons ainsi réalisé le schéma classique suivant des sciences d'observation : Observation — Rapport statistique constant — Schéma des urnes très simple — Théorie — Confirmation de la théorie par d'autres observations. 3°) Application à l'étude du taux de masculinité On peut rapprocher de l'étude précédente celle des taux des naissances masculines dans diverses conditions. Ces taux apparaissent remarquablement stables pour des régions, des races, des époques très diverses. Ils sont voisins de 0,520. On peut assimiler leur détermination à des séries de tirages dans une urne contenant 520 boules marquées « garçon » et 480 marquées « fille ». Nous avons ainsi parcouru une partie du chemin qui va des observations à la théorie : une série d'observations a fait apparaître un rapport statistique constant, et nous avons pu bâtir un schéma des urnes. Mais nous nous arrêtons là !.. Notre schéma ne comprend qu'une seule urne mais elle n'a pas une composition simple qui puisse suggérer une théorie. Il eût été très séduisant de pouvoir assimiler les naissances à des tirages dans une urne de composition 1/2 — 1/2, malheureusement cela ne correspond pas à la réalité. L'écart-type relatif de tels tirages est très faible et il est absolument improbable
dans diverses conditions. Ces taux apparaissent remarquablement stables pour des régions, des races, des époques très diverses. Ils sont voisins de 0,520. On peut assimiler leur détermination à des séries de tirages dans une urne contenant 520 boules marquées « garçon » et 480 marquées « fille ». Nous avons ainsi parcouru une partie du chemin qui va des observations à la théorie : une série d'observations a fait apparaître un rapport statistique constant, et nous avons pu bâtir un schéma des urnes. Mais nous nous arrêtons là !.. Notre schéma ne comprend qu'une seule urne mais elle n'a pas une composition simple qui puisse suggérer une théorie. Il eût été très séduisant de pouvoir assimiler les naissances à des tirages dans une urne de composition 1/2 — 1/2, malheureusement cela ne correspond pas à la réalité. L'écart-type relatif de tels tirages est très faible et il est absolument improbable d'obtenir des moyennes groupées autour de 52 avec le grand nombre d'observations dont nous disposons. Jusqu'ici, aucune théorie n'a expliqué d'une façon satisfaisante cette légère supériorité du pourcentage des garçons sur le pourcentage des filles. Il n'empêche qu'il y a là une régularité statistique très bien établie, dont nous continuerons à nous servir pour prévoir le nombre de garçons à naître dans le proche avenir. Mais nous ne ferons plus alors de la prévision rationnelle, basée sur une théorie confirmée, mais seulement de la prévision brute, basée sur une simple extrapolation d'une constance statistique non expliquée théoriquement. Les résultats de la prévision n'en seront d'ailleurs pas forcément moins bons pour cela. Nous pourrons même parler de « pourcentage théorique », étant entendu qu'il s'agit là d'une simple abstraction, centre autour duquel se rassemblent les moyennes effectives, seules réalités statistiques. 4°) Application à la biométrie La biométrie étudie les séries de mesures d'un même caractère faites sur les sujets d'une certaine famille. Par exemple, on mesurera la taille de tous les conscrits d'une région une certaine année, ou le poids de tous les grains de blé d'un certain lot. Prenons l'exemple de la mesure de la taille d'une certaine population d'hommes
à nous servir pour prévoir le nombre de garçons à naître dans le proche avenir. Mais nous ne ferons plus alors de la prévision rationnelle, basée sur une théorie confirmée, mais seulement de la prévision brute, basée sur une simple extrapolation d'une constance statistique non expliquée théoriquement. Les résultats de la prévision n'en seront d'ailleurs pas forcément moins bons pour cela. Nous pourrons même parler de « pourcentage théorique », étant entendu qu'il s'agit là d'une simple abstraction, centre autour duquel se rassemblent les moyennes effectives, seules réalités statistiques. 4°) Application à la biométrie La biométrie étudie les séries de mesures d'un même caractère faites sur les sujets d'une certaine famille. Par exemple, on mesurera la taille de tous les conscrits d'une région une certaine année, ou le poids de tous les grains de blé d'un certain lot. Prenons l'exemple de la mesure de la taille d'une certaine population d'hommes adultes. Nous allons étudier la répartition statistique de cette population en fonction de la taille de ses membres. Représentons graphiquement le résultat en portant en abscisse les tailles et en ordonnée le nombre d'individus ayant chacune des tailles successives. Il est évident que nous obtiendrons une courbe en cloche : très peu d'individus ont une taille inférieure à 1 m 40 et très peu une taille supérieure à 1 m 90. La forme de la courbe rappelle celle de la courbe de GAUSS. On constate, en effet, que si on fait un assez grand nombre d'expériences, le graphique obtenu est une courbe de GAUSS. Nous dirons dans ce cas que les tailles de la population étudiée constituent une « série statistique normale » et que la population est homogène par rapport à la taille de ses membres (fig. 4-a). « Au point de vue biométrique, l'homogénéité d'une population est caractérisée par l'obtention de séries normales pour les divers « caractères fluctuants » observés sur les individus de cette population » (DARMOIS). Il est des cas où notre répartition statistique ne sera visiblement pas conforme à une loi de GAUSS. Mesurons par exemple les tailles de tous les hommes adultes de
très peu d'individus ont une taille inférieure à 1 m 40 et très peu une taille supérieure à 1 m 90. La forme de la courbe rappelle celle de la courbe de GAUSS. On constate, en effet, que si on fait un assez grand nombre d'expériences, le graphique obtenu est une courbe de GAUSS. Nous dirons dans ce cas que les tailles de la population étudiée constituent une « série statistique normale » et que la population est homogène par rapport à la taille de ses membres (fig. 4-a). « Au point de vue biométrique, l'homogénéité d'une population est caractérisée par l'obtention de séries normales pour les divers « caractères fluctuants » observés sur les individus de cette population » (DARMOIS). Il est des cas où notre répartition statistique ne sera visiblement pas conforme à une loi de GAUSS. Mesurons par exemple les tailles de tous les hommes adultes de Hanoi. Nous obtiendrons vraisemblablement une courbe présentant 2 sommets (fig. 4). L'explication vient tout de suite à l'esprit: le premier sommet correspond à la population annamite, et le deuxième à la population française, de taille plus élevée (abcisse plus grande) mais moins nombreuse (ordonnée plus petite). La courbe est la résultante de deux courbes normales (fig. 4-b). La population de la ville de Hanoi n'est pas homogène par rapport à la taille de ses habitants. D'autres cas analogues se sont présentés, où l'explication était moins immédiate : BERTILLON a étudié les tailles des conscrits du département du Doubs de 1851 à 1860. Au lieu de trouver une série statistique normale comme il pouvait s'y attendre, il trouva une répartition à deux sommets, le premier correspondant à la taille de 5 pieds 1/2 pouce, le deuxième à la taille de 5 pieds 3 pouces. Il émit alors l'hypothèse que ce phénomène était dû au mélange dans la population franc-comtoise des deux races, celte et burgonde, qui ont occupé le pays dans les premiers siècles de l'ère chrétienne. Dans de très nombreux cas, qui ne se limitent pas à la biométrie, les courbes traduisant les séries d'observations sont extrêmement voisines de la
résultante de deux courbes normales (fig. 4-b). La population de la ville de Hanoi n'est pas homogène par rapport à la taille de ses habitants. D'autres cas analogues se sont présentés, où l'explication était moins immédiate : BERTILLON a étudié les tailles des conscrits du département du Doubs de 1851 à 1860. Au lieu de trouver une série statistique normale comme il pouvait s'y attendre, il trouva une répartition à deux sommets, le premier correspondant à la taille de 5 pieds 1/2 pouce, le deuxième à la taille de 5 pieds 3 pouces. Il émit alors l'hypothèse que ce phénomène était dû au mélange dans la population franc-comtoise des deux races, celte et burgonde, qui ont occupé le pays dans les premiers siècles de l'ère chrétienne. Dans de très nombreux cas, qui ne se limitent pas à la biométrie, les courbes traduisant les séries d'observations sont extrêmement voisines de la courbe de GAUSS, si bien que des discordances de détail sont considérées comme révélatrices de certains phénomènes ; signalons un cas bien Fig. connu des statisticiens, l'attirance des cotes rondes : en face de l'abscisse 10 par exemple, la courbe présentera une espèce de renflement dû au fait qu'un certain nombre d'unités qui correspondent en réalité à la mesure 9 ou 11, ont été affectées à la cote 10 (fig. 5). Notons enfin que ces études sont loin d'avoir un caractère strictement théorique : la théorie de l'homogénéité mise en évidence par l'étude des séries biométriques, appliquée à la sélection des produits agricoles a donné de remarquables résultats. 5°) Application aux assurances. Notions sommaires Les compagnies d'assurances sont des sociétés qui ont pour but de remédier aux effets d'événements désastreux en répartissant les charges entre un ensemble de personnes. Par exemple, 1.000 assurés paient chacun une « prime » de 10 $ par an, et en échange chacun a droit, s'il est atteint par l'événement prévu au contrat, au remboursement du prix des dégâts, 500 par exemple. Avec une prime de 10 $, la compagnie peut faire face dans l'année à 20 sinistres de 500 $. Les primes sont calculées
nombre d'unités qui correspondent en réalité à la mesure 9 ou 11, ont été affectées à la cote 10 (fig. 5). Notons enfin que ces études sont loin d'avoir un caractère strictement théorique : la théorie de l'homogénéité mise en évidence par l'étude des séries biométriques, appliquée à la sélection des produits agricoles a donné de remarquables résultats. 5°) Application aux assurances. Notions sommaires Les compagnies d'assurances sont des sociétés qui ont pour but de remédier aux effets d'événements désastreux en répartissant les charges entre un ensemble de personnes. Par exemple, 1.000 assurés paient chacun une « prime » de 10 $ par an, et en échange chacun a droit, s'il est atteint par l'événement prévu au contrat, au remboursement du prix des dégâts, 500 par exemple. Avec une prime de 10 $, la compagnie peut faire face dans l'année à 20 sinistres de 500 $. Les primes sont calculées de façon à ce que le total des recettes annuelles suffise pour couvrir le montant des sinistres probables de l'année. Si les statistiques montrent qu'il y a en moyenne 30 sinistres d'une valeur moyenne de 500 par an pour 1.000 personnes susceptibles d'être frappées, la prime devra se monter à: Chaque assuré devra payer sa prime régulièrement tous les ans, même s'il ne lui arrive aucun accident : il paie ainsi la tranquillité d'esprit que lui procure l'assurance d'être remboursé de ses pertes en cas de sinistre. Nous sommes dans un cas tout à fait assimilable à un jeu de hasard où la mise serait de 15# et où chaque joueur aurait 30 chances sur 1.000 de gagner 500 $. La valeur de la mise est égale à la valeur du gain multipliée par sa probabilité : 15 = 500 X 30/1.000. On dit d'une façon générale dans ce cas, que le jeu est équitable. Mais les compagnies d'assurances ont des frais généraux à couvrir ; de plus, ce ne sont pas en général des sociétés philanthropiques, mais bien des sociétés commerciales qui veulent faire des bénéfices: si 15 $ est la prime qui permettrait de couvrir exactement le total
Chaque assuré devra payer sa prime régulièrement tous les ans, même s'il ne lui arrive aucun accident : il paie ainsi la tranquillité d'esprit que lui procure l'assurance d'être remboursé de ses pertes en cas de sinistre. Nous sommes dans un cas tout à fait assimilable à un jeu de hasard où la mise serait de 15# et où chaque joueur aurait 30 chances sur 1.000 de gagner 500 $. La valeur de la mise est égale à la valeur du gain multipliée par sa probabilité : 15 = 500 X 30/1.000. On dit d'une façon générale dans ce cas, que le jeu est équitable. Mais les compagnies d'assurances ont des frais généraux à couvrir ; de plus, ce ne sont pas en général des sociétés philanthropiques, mais bien des sociétés commerciales qui veulent faire des bénéfices: si 15 $ est la prime qui permettrait de couvrir exactement le total des sinistres (jeu équitable) les compagnies feront payer 15 + c = 17 par exemple. c = 2 $ est le chargement; 15 est la prime pure, 17 la prime chargée: le jeu n'est plus équitable. Nous laisserons de côté les questions relatives au chargement pour nous occuper uniquement de la détermination des primes pures en mettant en évidence l'intérêt qu'il y a à travailler sur de très grands nombres de cas. Pour résoudre le problème des primes pures, la compagnie doit d'abord déterminer la probabilité théorique d'arrivée de l'événement, ensuite se demander si elle peut admettre que la fréquence future des sinistres, parmi ses assurés, toutes choses égales d'ailleurs, se rapprochera de cette probabilité. En supposant ces accidents dus au hasard, nous les assimilerons à des tirages dans une urne de composition inconnue, contenant des boules marquées « accident » dans une certaine proportion. La compagnie devra d'abord faire une série de tirages qui déterminera une fréquence de sortie des boules « accident », donnant une valeur approchée de la composition vraie de l'urne. Cela correspond à l'étude des statistiques. Ensuite, la compagnie étudiera si, faisant dans cette urne de composition maintenant connue, une série de tirages de nombre