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de g [(4), p. 47], donc les A-modules A f et A g d'une part, f A et g A d'autre part sont isomorphes [résultats de M. Crestey, cf. (7)]. L'idempotent g est donc fortement primitif. Ainsi A g ∈ S et fa ∈ S. Remarquons que si (e_i) i ∈ I désigne la famille des idempotents fortement primitifs de A, il existe une partie J de I telle que S = 0 A e_j. PROPOSITION 4. — Soit A un anneau artinien à gauche, r (A) est un facteur direct de S. Si tout idempotent de A est central, S = r (A). Démonstration. — R = r (A) est lui-même artinien à gauche ; étant aussi semi-simple (au sens de Jacobson), il est unitaire et complètement C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 819 réductible à gauche. Son élément-unité f est un idempotent central de A et il existe n idempotents fortement primitifs f, dans R tels que et les f i sont fortement primitifs dans A. Ainsi R est contenu dans S et est, par suite, un facteur direct (comme idéal à gauche et à droite) de S [(2), § 3, n° 3]. Si tout idempotent de A est central, chaque A e_j est un corps et S est régulier d'où l'égalité S = r (A). COROLLAIRE. — Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un anneau artinien à gauche dont tout idempotent est central soit r-semi-simple est qu'aucun idempotent primitif ne soit fortement primitif. Ce qui équivaut à dire que tout idéal à gauche minimal est de carré nul ou que tout idéal à gauche non nul de A contient un idéal à gauche (non nul) de carré nul. Si A contient des idempotents non centraux, on a le résultat plus faible suivant : Si A est r-semi-simple et artinien à gauche, il contient des idéaux nilpotents non nuls. Ceci découle du fait que dans un tel anneau, le radical de Jacobson J (A) est non nul car, sinon, A serait régulier. 2 Partition des anneaux simples artiniens à gauche. —
n° 3]. Si tout idempotent de A est central, chaque A e_j est un corps et S est régulier d'où l'égalité S = r (A). COROLLAIRE. — Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un anneau artinien à gauche dont tout idempotent est central soit r-semi-simple est qu'aucun idempotent primitif ne soit fortement primitif. Ce qui équivaut à dire que tout idéal à gauche minimal est de carré nul ou que tout idéal à gauche non nul de A contient un idéal à gauche (non nul) de carré nul. Si A contient des idempotents non centraux, on a le résultat plus faible suivant : Si A est r-semi-simple et artinien à gauche, il contient des idéaux nilpotents non nuls. Ceci découle du fait que dans un tel anneau, le radical de Jacobson J (A) est non nul car, sinon, A serait régulier. 2 Partition des anneaux simples artiniens à gauche. — Pour toute propriété radicale #, il existe une partition de la classe des anneaux simples non nuls en deux classes disjointes ": C1 « la classe supérieure » qui est celle des an– semi-simples et C2 « la classe inférieure » celle des an– anneaux. Réciproquement, à toute partition de ce genre correspond au moins une propriété radicale [("), p. 13]. La partition de la classe C des anneaux simples artiniens à gauche correspondant à r est la suivante : G1 : Classe des anneaux r–semi-simples; C2 : Classe des anneaux de matrices sur un corps. Pour la propriété Nil [(5), p. 32], la partition de C est : C'1 : Classe des anneaux de matrices sur un corps; C'2 : Classe des anneaux de carré nul. Ainsi C2 = C'1, donc C1 = G'2. Les anneaux simples artiniens à gauche r–semi-simples sont donc les anneaux de carré nul. Remarquons enfin que les égalités C2 = C'1 et C1 = C'2 n'impliquent pas (dans les anneaux artiniens à gauche), pour les propriétés Nil et r, que les anneaux radicaux pour l'une sont les anneaux semi-simples pour l'autre. Plus précisément, PROPOSITION 5. — Soit A un anneau artinien à gauche. On
ce genre correspond au moins une propriété radicale [("), p. 13]. La partition de la classe C des anneaux simples artiniens à gauche correspondant à r est la suivante : G1 : Classe des anneaux r–semi-simples; C2 : Classe des anneaux de matrices sur un corps. Pour la propriété Nil [(5), p. 32], la partition de C est : C'1 : Classe des anneaux de matrices sur un corps; C'2 : Classe des anneaux de carré nul. Ainsi C2 = C'1, donc C1 = G'2. Les anneaux simples artiniens à gauche r–semi-simples sont donc les anneaux de carré nul. Remarquons enfin que les égalités C2 = C'1 et C1 = C'2 n'impliquent pas (dans les anneaux artiniens à gauche), pour les propriétés Nil et r, que les anneaux radicaux pour l'une sont les anneaux semi-simples pour l'autre. Plus précisément, PROPOSITION 5. — Soit A un anneau artinien à gauche. On a La relation (2) n'est pas en général une équivalence. En effet, si A = Z/(4), r (A) = (0), J (A) = { 0, 2 }. (*) Séance du 14 février 1972. (1) Avec l'aide du C. N. R. S., Liban. (S)'N. BOURBAKI, Algèbre, chap. 8 : Modules et anneaux semi-simples, Hermann, Paris, 1958. (3) BROWN et McCOY, Proc. Amer. Math. Soc., 1, 1950, p. 165-171. (4) A. H. CLIFFORD et G. B. PRESTON, Amer. Math. Soc, 7, 1961. (5) N. DIVINSKY, Rings and radicals, Math. Expo., n° 14, Univ. of Toronto Press, 1965. (6) N. FARÈS, Thèse de 3e cycle, Paris, 1969. (7) N. FARÈS, Comptes rendus, 269, série A, 1969, p. 341. (8) T. L. JENKINS, Amer. Math. Monthly, 74, 1967, p. 1240. Faculté des Sciences, Université Libanaise, Hadeth-Beyrouth, Liban. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 821 ALGÈBRE COMMUTATIVE. — Gq-anneaux et condition (aq) de Samuel. Note (*) de M. MICHEL PAUGAM, transmise par M. Henri Cartan. Résultats sur la q-torsion et la condition (aq) généralisant un lemme de Auslander (8) et des propositions de (5) et (6). Une propriété de transfert pour les Gq-anneaux. Démonstration partielle d'une conjecture de
anneaux semi-simples, Hermann, Paris, 1958. (3) BROWN et McCOY, Proc. Amer. Math. Soc., 1, 1950, p. 165-171. (4) A. H. CLIFFORD et G. B. PRESTON, Amer. Math. Soc, 7, 1961. (5) N. DIVINSKY, Rings and radicals, Math. Expo., n° 14, Univ. of Toronto Press, 1965. (6) N. FARÈS, Thèse de 3e cycle, Paris, 1969. (7) N. FARÈS, Comptes rendus, 269, série A, 1969, p. 341. (8) T. L. JENKINS, Amer. Math. Monthly, 74, 1967, p. 1240. Faculté des Sciences, Université Libanaise, Hadeth-Beyrouth, Liban. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 821 ALGÈBRE COMMUTATIVE. — Gq-anneaux et condition (aq) de Samuel. Note (*) de M. MICHEL PAUGAM, transmise par M. Henri Cartan. Résultats sur la q-torsion et la condition (aq) généralisant un lemme de Auslander (8) et des propositions de (5) et (6). Une propriété de transfert pour les Gq-anneaux. Démonstration partielle d'une conjecture de (5). Tous les anneaux sont supposés commutatifs, noethériens, et possèdent un élément unité; tous les modules sont unitaires et de type fini. DÉFINITION [cf. (1), th. 3.15). — Soient A un anneau et q un entier naturel non nul. On dit que A est un Gq-anneau s'il vérifie l'une des assertions équivalentes suivantes : (i) Pour tout idéal premier de A, on a (a) profAP Ap ^ Min (q, ht p) ; (b) dans le cas où htp^q — 1, Ap est un anneau de Gorenstein. (ii) Pour tout module M de type fini, on a PROPOSITION 1. — Soit A un Gq-anneau (q ^ 1). Les propriétés suivantes sont équivalentes pour un A-module M : (i) M vérifie la condition (aq); (ii) M est un qième module de syzygie; (iii) M est sans q-torsion. (i) ==> (ii) d'après [O, (4.4) et (4.6)] et (ii) <=> (iii) d'après [(2), (4.21)]. Remarque. — De ce résultat, on déduit la proposition 3 de (3) puisque tout anneau local régulier est de Gorenstein. Les propositions suivantes généralisent (1.6) de (5) et (10') de (6) puisqu'un anneau quasi-normal est un G2-anneau. PROPOSITION 2. — Soit q un entier non nul. Si A est un
assertions équivalentes suivantes : (i) Pour tout idéal premier de A, on a (a) profAP Ap ^ Min (q, ht p) ; (b) dans le cas où htp^q — 1, Ap est un anneau de Gorenstein. (ii) Pour tout module M de type fini, on a PROPOSITION 1. — Soit A un Gq-anneau (q ^ 1). Les propriétés suivantes sont équivalentes pour un A-module M : (i) M vérifie la condition (aq); (ii) M est un qième module de syzygie; (iii) M est sans q-torsion. (i) ==> (ii) d'après [O, (4.4) et (4.6)] et (ii) <=> (iii) d'après [(2), (4.21)]. Remarque. — De ce résultat, on déduit la proposition 3 de (3) puisque tout anneau local régulier est de Gorenstein. Les propositions suivantes généralisent (1.6) de (5) et (10') de (6) puisqu'un anneau quasi-normal est un G2-anneau. PROPOSITION 2. — Soit q un entier non nul. Si A est un Gq-anneau et si est une suite exacte de A-modules, où M' et M" sont sans q-torsion, alors M est sans q-torsion. La démonstration se fait par récurrence en utilisant la proposition 1 et le lemme suivant : LEMME 1. — Soit q un entier, q ^ 2. Soient A un Gq-anneau et (a) une A-suite alors A/a A est un Gq-1-anneau. PROPOSITION 3. — Soit q un entier, q^2, et soit A un Gq-anneau. Soit 0-->M-->N--> Q --> 0 une suite exacte de A-modules, où N est sans (q — 1)-torsion et Q de dimension injective supérieure ou égale à q — 2. Soit une résolution injective minimale de.Q. Alors on a les propriétés suivantes : (a) Si M est sans q-torsion, p e Ass (Qq-1) implique htA p^q — 1; (b) Dans le cas où M et Q sont sans (q — 2)-torsion, si N est sans q-torsion et si p e Ass (Qq2) implique ht A p^q — 1, alors M est sans q-torsion. Démonstration. — (a) Soit p e Ass (Qq-2) = 0;. si ht p^q, soit k (p) le corps résiduel de Ap. La suite exacte des Ext (k (p), .) appliquée à et la propriété
Gq-anneau et (a) une A-suite alors A/a A est un Gq-1-anneau. PROPOSITION 3. — Soit q un entier, q^2, et soit A un Gq-anneau. Soit 0-->M-->N--> Q --> 0 une suite exacte de A-modules, où N est sans (q — 1)-torsion et Q de dimension injective supérieure ou égale à q — 2. Soit une résolution injective minimale de.Q. Alors on a les propriétés suivantes : (a) Si M est sans q-torsion, p e Ass (Qq-1) implique htA p^q — 1; (b) Dans le cas où M et Q sont sans (q — 2)-torsion, si N est sans q-torsion et si p e Ass (Qq2) implique ht A p^q — 1, alors M est sans q-torsion. Démonstration. — (a) Soit p e Ass (Qq-2) = 0;. si ht p^q, soit k (p) le corps résiduel de Ap. La suite exacte des Ext (k (p), .) appliquée à et la propriété (2.7) des pi de Bass (7), donnent une contradiction. (b) Se montre par récurrence en utilisant (2.6) de (7). PROPOSITION 4 [Généralisation du lemme 2 de (8)]. — Soit A un anneau commutatif noethérien unitaire. Soit q un entier non nul; un A-module M est sans q-torsion si et seulement s'il satisfait aux conditions suivantes ; (a) Pour tout idéal premier p de A tel que prof Ap ^ q — 1, le Ap-module Mp est sans q-torsion; (b) Pour tout idéal premier p de A tel que prof Ap ~^.q, on a prof Mp ^ q. Preuve. — Si M satisfait (a) et (b), on montre que M est sans q-torsion par récurrence. La réciproque provient du fait que si Mp est sans q-torsion, Mp vérifie (aq). DÉFINITION. — Soit q un entier non nul. On dit que le spectre d'un anneau A vérifie la condition (Gq) si A est un Gq-anneau. LEMME 2. ### CORRECTION ### 2 Partition des anneaux simples artiniens à gauche. — Pour toute propriété radicale #, il existe une partition de la classe des anneaux simples non nuls en deux classes disjointes ": C1 « la classe supérieure » qui est celle des an–
s'il satisfait aux conditions suivantes ; (a) Pour tout idéal premier p de A tel que prof Ap ^ q — 1, le Ap-module Mp est sans q-torsion; (b) Pour tout idéal premier p de A tel que prof Ap ~^.q, on a prof Mp ^ q. Preuve. — Si M satisfait (a) et (b), on montre que M est sans q-torsion par récurrence. La réciproque provient du fait que si Mp est sans q-torsion, Mp vérifie (aq). DÉFINITION. — Soit q un entier non nul. On dit que le spectre d'un anneau A vérifie la condition (Gq) si A est un Gq-anneau. LEMME 2. ### CORRECTION ### 2 Partition des anneaux simples artiniens à gauche. — Pour toute propriété radicale #, il existe une partition de la classe des anneaux simples non nuls en deux classes disjointes ": C1 « la classe supérieure » qui est celle des an– semi-simples et C2 « la classe inférieure » celle des an– anneaux. Réciproquement, à toute partition de ce genre correspond au moins une propriété radicale [("), p. 13]. La partition de la classe C des anneaux simples artiniens à gauche correspondant à r est la suivante : G1 : Classe des anneaux r–semi-simples; C2 : Classe des anneaux de matrices sur un corps. Pour la propriété Nil [(5), p. 32], la partition de C est : C'1 : Classe des anneaux de matrices sur un corps; C'2 : Classe des anneaux de carré nul. Ainsi C2 = C'1, donc C1 = G'2. Les anneaux simples artiniens à gauche r–semi-simples sont donc les anneaux de carré nul. Remarquons enfin que les égalités C2 = C'1 et C1 = C'2 n'impliquent pas (dans les anneaux artiniens à gauche), pour les propriétés Nil et r, que les anneaux radicaux pour l'une sont les anneaux semi-simples pour l'autre. Plus précisément, PROPOSITION 5. — Soit A un anneau artinien à gauche. On a La relation (2) n'est pas en général une équivalence. En effet, si A = Z/(4), r (A) = (0), J (A) = { 0, 2 }. (*) Séance du 14 février 1972.
des anneaux r–semi-simples; C2 : Classe des anneaux de matrices sur un corps. Pour la propriété Nil [(5), p. 32], la partition de C est : C'1 : Classe des anneaux de matrices sur un corps; C'2 : Classe des anneaux de carré nul. Ainsi C2 = C'1, donc C1 = G'2. Les anneaux simples artiniens à gauche r–semi-simples sont donc les anneaux de carré nul. Remarquons enfin que les égalités C2 = C'1 et C1 = C'2 n'impliquent pas (dans les anneaux artiniens à gauche), pour les propriétés Nil et r, que les anneaux radicaux pour l'une sont les anneaux semi-simples pour l'autre. Plus précisément, PROPOSITION 5. — Soit A un anneau artinien à gauche. On a La relation (2) n'est pas en général une équivalence. En effet, si A = Z/(4), r (A) = (0), J (A) = { 0, 2 }. (*) Séance du 14 février 1972. (1) Avec l'aide du C. N. R. S., Liban. (S)'N. BOURBAKI, Algèbre, chap. 8 : Modules et anneaux semi-simples, Hermann, Paris, 1958. (3) BROWN et McCOY, Proc. Amer. Math. Soc., 1, 1950, p. 165-171. (4) A. H. CLIFFORD et G. B. PRESTON, Amer. Math. Soc, 7, 1961. (5) N. DIVINSKY, Rings and radicals, Math. Expo., n° 14, Univ. of Toronto Press, 1965. (6) N. FARÈS, Thèse de 3e cycle, Paris, 1969. (7) N. FARÈS, Comptes rendus, 269, série A, 1969, p. 341. (8) T. L. JENKINS, Amer. Math. Monthly, 74, 1967, p. 1240. Faculté des Sciences, Université Libanaise, Hadeth-Beyrouth, Liban. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 821 ALGÈBRE COMMUTATIVE. — Gq-anneaux et condition (aq) de Samuel. Note (*) de M. MICHEL PAUGAM, transmise par M. Henri Cartan. Résultats sur la q-torsion et la condition (aq) généralisant un lemme de Auslander (8) et des propositions de (5) et (6). Une propriété de transfert pour les Gq-anneaux. Démonstration partielle d'une conjecture de (5). Tous les anneaux sont supposés commutatifs, noethériens, et possèdent un élément unité; tous les modules sont unitaires et de type fini. DÉFINITION [cf. (1), th. 3.15). — Soient A un anneau et
Rings and radicals, Math. Expo., n° 14, Univ. of Toronto Press, 1965. (6) N. FARÈS, Thèse de 3e cycle, Paris, 1969. (7) N. FARÈS, Comptes rendus, 269, série A, 1969, p. 341. (8) T. L. JENKINS, Amer. Math. Monthly, 74, 1967, p. 1240. Faculté des Sciences, Université Libanaise, Hadeth-Beyrouth, Liban. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 821 ALGÈBRE COMMUTATIVE. — Gq-anneaux et condition (aq) de Samuel. Note (*) de M. MICHEL PAUGAM, transmise par M. Henri Cartan. Résultats sur la q-torsion et la condition (aq) généralisant un lemme de Auslander (8) et des propositions de (5) et (6). Une propriété de transfert pour les Gq-anneaux. Démonstration partielle d'une conjecture de (5). Tous les anneaux sont supposés commutatifs, noethériens, et possèdent un élément unité; tous les modules sont unitaires et de type fini. DÉFINITION [cf. (1), th. 3.15). — Soient A un anneau et q un entier naturel non nul. On dit que A est un Gq-anneau s'il vérifie l'une des assertions équivalentes suivantes : (i) Pour tout idéal premier de A, on a (a) profAP Ap ^ Min (q, ht p) ; (b) dans le cas où htp^q — 1, Ap est un anneau de Gorenstein. (ii) Pour tout module M de type fini, on a PROPOSITION 1. — Soit A un Gq-anneau (q ^ 1). Les propriétés suivantes sont équivalentes pour un A-module M : (i) M vérifie la condition (aq); (ii) M est un qième module de syzygie; (iii) M est sans q-torsion. (i) ==> (ii) d'après [O, (4.4) et (4.6)] et (ii) <=> (iii) d'après [(2), (4.21)]. Remarque. — De ce résultat, on déduit la proposition 3 de (3) puisque tout anneau local régulier est de Gorenstein. Les propositions suivantes généralisent (1.6) de (5) et (10') de (6) puisqu'un anneau quasi-normal est un G2-anneau. PROPOSITION 2. — Soit q un entier non nul. Si A est un Gq-anneau et si est une suite exacte de A-modules, où M' et M" sont sans q-torsion, alors M est sans q-torsion. La démonstration se fait par récurrence en utilisant la proposition 1 et
anneau de Gorenstein. (ii) Pour tout module M de type fini, on a PROPOSITION 1. — Soit A un Gq-anneau (q ^ 1). Les propriétés suivantes sont équivalentes pour un A-module M : (i) M vérifie la condition (aq); (ii) M est un qième module de syzygie; (iii) M est sans q-torsion. (i) ==> (ii) d'après [O, (4.4) et (4.6)] et (ii) <=> (iii) d'après [(2), (4.21)]. Remarque. — De ce résultat, on déduit la proposition 3 de (3) puisque tout anneau local régulier est de Gorenstein. Les propositions suivantes généralisent (1.6) de (5) et (10') de (6) puisqu'un anneau quasi-normal est un G2-anneau. PROPOSITION 2. — Soit q un entier non nul. Si A est un Gq-anneau et si est une suite exacte de A-modules, où M' et M" sont sans q-torsion, alors M est sans q-torsion. La démonstration se fait par récurrence en utilisant la proposition 1 et le lemme suivant : LEMME 1. — Soit q un entier, q ^ 2. Soient A un Gq-anneau et (a) une A-suite alors A/a A est un Gq-1-anneau. PROPOSITION 3. — Soit q un entier, q^2, et soit A un Gq-anneau. Soit 0-->M-->N--> Q --> 0 une suite exacte de A-modules, où N est sans (q — 1)-torsion et Q de dimension injective supérieure ou égale à q — 2. Soit une résolution injective minimale de.Q. Alors on a les propriétés suivantes : (a) Si M est sans q-torsion, p e Ass (Qq-1) implique htA p^q — 1; (b) Dans le cas où M et Q sont sans (q — 2)-torsion, si N est sans q-torsion et si p e Ass (Qq2) implique ht A p^q — 1, alors M est sans q-torsion. Démonstration. — (a) Soit p e Ass (Qq-2) = 0;. si ht p^q, soit k (p) le corps résiduel de Ap. La suite exacte des Ext (k (p), .) appliquée à et la propriété (2.7) des pi de Bass (7), donnent une contradiction. (b) Se montre par récurrence en utilisant (2.6) de (7). PROPOSITION 4 [Généralisation du lemme 2 de (8)]. — Soit A un anneau commutatif
A-modules, où N est sans (q — 1)-torsion et Q de dimension injective supérieure ou égale à q — 2. Soit une résolution injective minimale de.Q. Alors on a les propriétés suivantes : (a) Si M est sans q-torsion, p e Ass (Qq-1) implique htA p^q — 1; (b) Dans le cas où M et Q sont sans (q — 2)-torsion, si N est sans q-torsion et si p e Ass (Qq2) implique ht A p^q — 1, alors M est sans q-torsion. Démonstration. — (a) Soit p e Ass (Qq-2) = 0;. si ht p^q, soit k (p) le corps résiduel de Ap. La suite exacte des Ext (k (p), .) appliquée à et la propriété (2.7) des pi de Bass (7), donnent une contradiction. (b) Se montre par récurrence en utilisant (2.6) de (7). PROPOSITION 4 [Généralisation du lemme 2 de (8)]. — Soit A un anneau commutatif noethérien unitaire. Soit q un entier non nul; un A-module M est sans q-torsion si et seulement s'il satisfait aux conditions suivantes ; (a) Pour tout idéal premier p de A tel que prof Ap ^ q — 1, le Ap-module Mp est sans q-torsion; (b) Pour tout idéal premier p de A tel que prof Ap ~^.q, on a prof Mp ^ q. Preuve. — Si M satisfait (a) et (b), on montre que M est sans q-torsion par récurrence. La réciproque provient du fait que si Mp est sans q-torsion, Mp vérifie (aq). DÉFINITION. — Soit q un entier non nul. On dit que le spectre d'un anneau A vérifie la condition (Gq) si A est un Gq-anneau. LEMME 2. Soit \(cp : A \to B\) un homomorphisme d'anneaux tels que \(B\) soit muni d'une structure de \(A\)-module plat par \(\phi\). Soit \(X = Spec(B)\), \(Y = Spec(A)\). Si \(Y\) satisfait à la condition (Gq) et si toute fibre de \(X\) au-dessus de \(Y\) est de Gorenstein, alors \(X\) satisfait à (Gq). Preuve. — On sait que \(X\) satisfait à (Sq) d'après [(4), (5.4)]. L'autre condition résulte de [(9), Déf. 1.7 et th. 1]. PROPOSITION 5. — Soient
p de A tel que prof Ap ~^.q, on a prof Mp ^ q. Preuve. — Si M satisfait (a) et (b), on montre que M est sans q-torsion par récurrence. La réciproque provient du fait que si Mp est sans q-torsion, Mp vérifie (aq). DÉFINITION. — Soit q un entier non nul. On dit que le spectre d'un anneau A vérifie la condition (Gq) si A est un Gq-anneau. LEMME 2. Soit \(cp : A \to B\) un homomorphisme d'anneaux tels que \(B\) soit muni d'une structure de \(A\)-module plat par \(\phi\). Soit \(X = Spec(B)\), \(Y = Spec(A)\). Si \(Y\) satisfait à la condition (Gq) et si toute fibre de \(X\) au-dessus de \(Y\) est de Gorenstein, alors \(X\) satisfait à (Gq). Preuve. — On sait que \(X\) satisfait à (Sq) d'après [(4), (5.4)]. L'autre condition résulte de [(9), Déf. 1.7 et th. 1]. PROPOSITION 5. — Soient \(q\) et \(n\) deux entiers non nuls. Soient \(X_1, X_2, ..., X_n\) indéterminées. Si \(A.\) est un Gq-anneau, alors l'anneau des polynômes \(A[X_1, X_2, ..., X_n]\) est un Gq-anneau. Il suffit de faire la démonstration pour \(n=1\). Soit \(\mathfrak{p}\) un idéal premier de \(A[X]\) et \(p = A^nq\); on remarque que \(A[X]_q\) est isomorphe à un localisé de \(A[X]\), On termine en utilisant [(10), th. 1] et le lemme 2. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 823 PROPOSITION 6. — Soit \(q\) un entier non nul. Soit \(A[[X]]\) l'anneau des séries formelles à une indéterminée \(X\). Si \(A\) est un Gq-anneau, alors: (i) \(A[[X]]\) vérifie la condition (Sq); (ii) Pour tout idéal maximal \(m\) de \(A[[X]]\) de hauteur inférieure ou égale à \(q - 1\), le localisé \(A[[X]]_m\) est de Gorenstein. Utiliser d'abord [(11), (7.6.2)] et [(10), th. 4]. Cette proposition démontre partiellement la conjecture de [(5), p. 1350]. (*) Séance du 21 février 1972. (1) ISCHEBECK, J. Algebra, 11, 1969, p. 510-531. (2) AUSLANDER et BRIDGER, Memoirs Amer. Math. Soc, n° 94, Stable module theory, 1969. (3) M.-P. MALLIAVIN, Bull. Soc. Math. Fr., 96, 1968, p. 193-196. (4) J. DIEUDONNÉ, Topics in