jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
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0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0. 0 CHEVREUL lit un second Mémoire sur le pendule dit explorateur et la baguette divinatoire. ANALYSE mathématique. – Sur l'induction en analyse, et sur l'emploi des formules symboliques; par M. AUGUSTIN Cauchy. « L'induction peut être utilement employée en analyse, comme un moyen de découvertes. Mais les formules générales ainsi obtenues doivent être ensuite vérifiées à l'aide de démonstrations rigoureuses et propres à faire connaître les conditions sous lesquelles subsistent ces mêmes formules. Donnons à cette réflexion quelques développements. » Parmi les fonctions qui reparaissent souvent dans le calcul, on doit surtout remarquer les exponentielles qui se reproduisent par différentiation, et dont les différences finies se déterminent encore avec la plus grande facilité. » On a, en effet, Dxe^ = e^, Or on pourra, par induction, étendre les formules (i) et (2) au cas où f(x) est une fonction quelconque de la variable x. Mais la formule de Taylor ainsi obtenue n'est pas toujours exacte elle subsiste seulement sous la condition que la fonction f(x) reste monodrome, monogène et finie, pour le module attribué à la variable x et pour un module plus petit. » Des observations semblables s'appliquent aux diverses formules générales qui peuvent se déduire par induction de l'équation (i), et parmi lesquelles on doit surtout remarquer celles que je vais indiquer. » Si, dans les deux membres de l'équation (1), on conserve seulement les Or il suffira de développer les seconds membres des équations (4), (5), (6) en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes des lettres caractéristiques Ax ou D^, puis d'appliquer les deux membres de chaque équation considérés comme facteurs symboliques à une fonction déterminée f(x), pour obtenir trois formules générales dont la première, déjà connue, fournira le développement de la fonction dérivée facteurs symboliques, en se dispensant d'y écrire la fonction f(x), on obtiendra la formule symbolique en une série de termes proportionnels aux différences finies des divers
fonction f(x) reste monodrome, monogène et finie, pour le module attribué à la variable x et pour un module plus petit. » Des observations semblables s'appliquent aux diverses formules générales qui peuvent se déduire par induction de l'équation (i), et parmi lesquelles on doit surtout remarquer celles que je vais indiquer. » Si, dans les deux membres de l'équation (1), on conserve seulement les Or il suffira de développer les seconds membres des équations (4), (5), (6) en séries ordonnées suivant les puissances ascendantes des lettres caractéristiques Ax ou D^, puis d'appliquer les deux membres de chaque équation considérés comme facteurs symboliques à une fonction déterminée f(x), pour obtenir trois formules générales dont la première, déjà connue, fournira le développement de la fonction dérivée facteurs symboliques, en se dispensant d'y écrire la fonction f(x), on obtiendra la formule symbolique en une série de termes proportionnels aux différences finies des divers ordres de la fonction f(x). Les deux autres formules générales fourniront deux développements distincts de la différence Le premier de ces développements, trouvé par Maclaurin, sera composé de termes proportionnels à la fonction f(x) et à ses dérivées des divers ordres. Mais, dans le second développement, les diverses dérivées de la fonction f(x) seront remplacées par ses différences finies. » Il importe d'observer que, si l'on nomme r le module de la variable z, le développement de la fonction Donc, pour que la formule de Maclaurin subsiste, il sera nécessaire que la fonction f(x) ne cesse jamais d'être monodrome, monogène et finie, ce qui arrivera, par exemple, si f(x) est une fonction entière de x, ou d'exponentielles réelles ou imaginaires de la forme eax » D'autre part, comme les développements des expressions D'autre part, en attribuant au module r de z des valeurs croissantes, on nomme la plus petite valeur de r pour laquelle la fonction f(x-h) cesse d'être monodrome, monogène et finie, le rapport sera le module de la série qui aura pour terme général l'expression Donc le terme général de la série de Maclaurin sera le produit de la quantité par le terme général d'une autre série dont
la fonction f(x) seront remplacées par ses différences finies. » Il importe d'observer que, si l'on nomme r le module de la variable z, le développement de la fonction Donc, pour que la formule de Maclaurin subsiste, il sera nécessaire que la fonction f(x) ne cesse jamais d'être monodrome, monogène et finie, ce qui arrivera, par exemple, si f(x) est une fonction entière de x, ou d'exponentielles réelles ou imaginaires de la forme eax » D'autre part, comme les développements des expressions D'autre part, en attribuant au module r de z des valeurs croissantes, on nomme la plus petite valeur de r pour laquelle la fonction f(x-h) cesse d'être monodrome, monogène et finie, le rapport sera le module de la série qui aura pour terme général l'expression Donc le terme général de la série de Maclaurin sera le produit de la quantité par le terme général d'une autre série dont le module sera celui de Donc la série de Maclaurin, comme celle dont le terme général est le produit t. 2.3. z, offrira un module infini et sera divergente à moins que l'or n'ait 2. r suivant les puissances ascendantes de z fournissent deux séries dont tel module est l'unité les deux formules générales déduites des équations (4) et (6) ne subsisteront que si la série dont le terme général est à f(x), est convergente par conséquent si elle offre un module inférieur, ou tout au plus égal à l'unité. C'est ce qui arrivera, par exemple, si l'on suppose les intégrales qu'indiquent les signes 2, f étant prises à partir d'une même origine que nous désignerons par la lettre x, et t3(x) désignant une fonction périodique, mais arbitraire, dont la valeur ne changera pas quand x recevra pour accroissement un multiple de la quantité Ax < x. Si d'ailleurs on suppose la différence -x réduite à un multiple de π, on aura simplement 1 et par suite la formule (10), dans laquelle les intégrales sont prises à partir de l'origine x = x, donnera qui se réduit à l'équation (19) de la page 132, quand on y remplace x par
les deux formules générales déduites des équations (4) et (6) ne subsisteront que si la série dont le terme général est à f(x), est convergente par conséquent si elle offre un module inférieur, ou tout au plus égal à l'unité. C'est ce qui arrivera, par exemple, si l'on suppose les intégrales qu'indiquent les signes 2, f étant prises à partir d'une même origine que nous désignerons par la lettre x, et t3(x) désignant une fonction périodique, mais arbitraire, dont la valeur ne changera pas quand x recevra pour accroissement un multiple de la quantité Ax < x. Si d'ailleurs on suppose la différence -x réduite à un multiple de π, on aura simplement 1 et par suite la formule (10), dans laquelle les intégrales sont prises à partir de l'origine x = x, donnera qui se réduit à l'équation (19) de la page 132, quand on y remplace x par a(x). » Arrêtons-nous maintenant au développement de l'expression (7) en une série de termes proportionnels à la fonction f(x) et à ses différences finies des divers ordres. On aura et alors l'équation (4) reproduira, pour des valeurs positives du rapport -1, la formule connue x Or on peut établir très simplement cette équation et une multitude d'autres équations de même genre, en s'appuyant sur la théorie des intégrales singulières, comme on va le faire voir. » Soient u, v deux fonctions de t, qui, demeurant finies pour des valeurs finies et positives de t, s'évanouissent pour t = 0; soit encore f(z) une fonction qui devienne infinie pour z = 0, mais reste finie pour toute valeur finie et positive de z, et supposons que le produit zf(z) se réduise, pour z = 0, à une constante finie k, et, pour z = ∞ à zéro; soient enfin fu, fv les valeurs de Du u, Du v correspondantes à une valeur nulle de t. La théorie des intégrales singulières donnera on pourrait encore présenter l'équation (18) sous la forme » Les formules (20), (21), (22) s'accordent avec celles que j'ai données dans la précédente séance, et avec les formules données
simplement cette équation et une multitude d'autres équations de même genre, en s'appuyant sur la théorie des intégrales singulières, comme on va le faire voir. » Soient u, v deux fonctions de t, qui, demeurant finies pour des valeurs finies et positives de t, s'évanouissent pour t = 0; soit encore f(z) une fonction qui devienne infinie pour z = 0, mais reste finie pour toute valeur finie et positive de z, et supposons que le produit zf(z) se réduise, pour z = 0, à une constante finie k, et, pour z = ∞ à zéro; soient enfin fu, fv les valeurs de Du u, Du v correspondantes à une valeur nulle de t. La théorie des intégrales singulières donnera on pourrait encore présenter l'équation (18) sous la forme » Les formules (20), (21), (22) s'accordent avec celles que j'ai données dans la précédente séance, et avec les formules données par M. Binet, pour des valeurs spéciales de f(x), dans le Mémoire sur les intégrales Euleriennes. Pour établir ces formules en toute rigueur, et même pour déterminer la valeur de la constante 9(1) qu'elles renferment, on peut recourir à la transformation des fonctions en intégrales définies. Ainsi, par exemple, pour obtenir la valeur de la fonction telle que la donne la formule (17) jointe à l'équation (19), et même pour étendre la formule ainsi obtenue au cas où la variable x admet des valeurs positives quelconques, entières ou non, il suffit d'établir généralement l'équation. Si, pour fixer les idées, on pose pour retrouver immédiatement la formule. Au reste, l'équation (26) et les formules analogues qui serviraient à transformer la somme 2f(x) en intégrale définie, et, par suite, à établir rigoureusement les résultats qui se déduisent de l'équation (6), peuvent être fournies elles-mêmes par la méthode d'induction. Ainsi, en particulier, pour obtenir l'équation (20), il suffit de joindre à l'équation (19) les deux formules à laquelle on pourrait substituer encore les formules du même genre, dans lesquelles un des signes f est remplacé par le signe s. PHYSIQUE. Recherches sur l'induction électrostatique, Lettre de M. Melloni à M. Regnault. « Dans
obtenir la valeur de la fonction telle que la donne la formule (17) jointe à l'équation (19), et même pour étendre la formule ainsi obtenue au cas où la variable x admet des valeurs positives quelconques, entières ou non, il suffit d'établir généralement l'équation. Si, pour fixer les idées, on pose pour retrouver immédiatement la formule. Au reste, l'équation (26) et les formules analogues qui serviraient à transformer la somme 2f(x) en intégrale définie, et, par suite, à établir rigoureusement les résultats qui se déduisent de l'équation (6), peuvent être fournies elles-mêmes par la méthode d'induction. Ainsi, en particulier, pour obtenir l'équation (20), il suffit de joindre à l'équation (19) les deux formules à laquelle on pourrait substituer encore les formules du même genre, dans lesquelles un des signes f est remplacé par le signe s. PHYSIQUE. Recherches sur l'induction électrostatique, Lettre de M. Melloni à M. Regnault. « Dans une de mes dernières Lettres à M. Faraday, j'élevais quelques doutes à l'égard des conséquences que l'on a cru pouvoir déduire, jusqu'à présent, des expériences qui servent de base au théorème fondamental de l'induction électrostatique. Ces doutes ont passé dans mon esprit à l'état de certitude depuis qu'il m'a été permis de les soumettre à l'épreuve de l'analyse expérimentale et me voilà aujourd'hui bien convaincu que l'énoncé du théorème susdit doit être essentiellement modifié. Veuillez, de grâce, vérifier les faits que je vais décrire et si vous les trouvez exacts, comme je n'en doute point, ayez la bonté de les communiquer vous-même à l'Académie les expériences sont d'ailleurs très simples. » Lorsqu'on approche d'un corps électrisé A un conducteur isolé BC, le principe électrique contraire à celui de A se développe en B, l'homologue en C. En effet, si on place, d'après la méthode d'Oersted, un corps métallique isolé en contact avec l'une ou l'autre extrémité du conducteur, et si on l'approche ensuite d'un électroscope chargé d'une électricité connue, on obtient une action négative pour le contact B, et positive pour le contact C, lorsque A est électrisé positivement et l'on a, au contraire, une action positive pour B et
permis de les soumettre à l'épreuve de l'analyse expérimentale et me voilà aujourd'hui bien convaincu que l'énoncé du théorème susdit doit être essentiellement modifié. Veuillez, de grâce, vérifier les faits que je vais décrire et si vous les trouvez exacts, comme je n'en doute point, ayez la bonté de les communiquer vous-même à l'Académie les expériences sont d'ailleurs très simples. » Lorsqu'on approche d'un corps électrisé A un conducteur isolé BC, le principe électrique contraire à celui de A se développe en B, l'homologue en C. En effet, si on place, d'après la méthode d'Oersted, un corps métallique isolé en contact avec l'une ou l'autre extrémité du conducteur, et si on l'approche ensuite d'un électroscope chargé d'une électricité connue, on obtient une action négative pour le contact B, et positive pour le contact C, lorsque A est électrisé positivement et l'on a, au contraire, une action positive pour B et négative pour C lorsque A est électrisé négativement. Généralement, pour obtenir ainsi des formules analogues à l'équation (20), il suffira de transformer la fonction f(a?) en une intégrale définie simple ou double qui offre sous le signe la variable x dans un seul facteur de la forme e^tx ou e^1. On y parviendra, par exemple, à l'aide de la formule. Pour abréger l'expérience, et la rendre peut-être encore plus significative, il suffit d'avoir recours à la méthode de Wiedemann, qui consiste à composer le conducteur BC de deux pièces détachées, que l'on met en contact et que l'on sépare, sans les toucher, sous l'influence électrique pour les éloigner ensuite de A et les présenter successivement à l'électroscope car alors on trouve constamment les deux pièces électrisées en sens opposé, l'antérieure possédant toujours l'état électrique contraire à celui de A. Enfin, si on ne sépare les deux pièces qu'après l'éloignement de A, on n'y observe plus aucune trace d'électricité, chacune d'elles se montrant alors à l'état naturel preuve évidente qu'il n'y a eu, pendant l'expérience, aucune transfusion électrique de A en BC, et que les phénomènes présentés par ce dernier corps proviennent uniquement de l'électricité naturelle de BC troublée dans son
On y parviendra, par exemple, à l'aide de la formule. Pour abréger l'expérience, et la rendre peut-être encore plus significative, il suffit d'avoir recours à la méthode de Wiedemann, qui consiste à composer le conducteur BC de deux pièces détachées, que l'on met en contact et que l'on sépare, sans les toucher, sous l'influence électrique pour les éloigner ensuite de A et les présenter successivement à l'électroscope car alors on trouve constamment les deux pièces électrisées en sens opposé, l'antérieure possédant toujours l'état électrique contraire à celui de A. Enfin, si on ne sépare les deux pièces qu'après l'éloignement de A, on n'y observe plus aucune trace d'électricité, chacune d'elles se montrant alors à l'état naturel preuve évidente qu'il n'y a eu, pendant l'expérience, aucune transfusion électrique de A en BC, et que les phénomènes présentés par ce dernier corps proviennent uniquement de l'électricité naturelle de BC troublée dans son état d'équilibre par la présence de A. Le développement des deux principes électriques dans un conducteur isolé, par la simple action d'un corps électrisé placé à une certaine distance, est donc un fait incontesté et incontestable. Cependant, les preuves expérimentales que je viens de citer ne démontrent cette vérité qu'APRÈS l'action de A et non PENDANT que cette action est en train de s'exercer, comme on le suppose dans tous les Traités de Physique. Vous pouvez vous convaincre, dit-on, de l'existence réelle des deux électricités en présence du corps inducteur, soit en approchant successivement de B et de C le même électroscope électrisé, soit en suspendant le long de BC une série de pendules à fil de lin car les signes électroscopiques sont contraires aux deux extrémités du cylindre et les pendules correspondants se meuvent en sens opposé lorsque vous en approchez un corps chargé d'une électricité connue. Je réponds que ces expériences ne sont guère concluantes, puisque les appareils pour explorer l'état électrique des deux bouts du cylindre sont soumis eux-mêmes à l'influence de A, et subissent en B une perturbation électrique bien autrement intense que celle qu'ils éprouvent en C. Ne serait-il pas possible que le changement des
l'action de A et non PENDANT que cette action est en train de s'exercer, comme on le suppose dans tous les Traités de Physique. Vous pouvez vous convaincre, dit-on, de l'existence réelle des deux électricités en présence du corps inducteur, soit en approchant successivement de B et de C le même électroscope électrisé, soit en suspendant le long de BC une série de pendules à fil de lin car les signes électroscopiques sont contraires aux deux extrémités du cylindre et les pendules correspondants se meuvent en sens opposé lorsque vous en approchez un corps chargé d'une électricité connue. Je réponds que ces expériences ne sont guère concluantes, puisque les appareils pour explorer l'état électrique des deux bouts du cylindre sont soumis eux-mêmes à l'influence de A, et subissent en B une perturbation électrique bien autrement intense que celle qu'ils éprouvent en C. Ne serait-il pas possible que le changement des actions attractives en répulsives, ou vice versa, dérivât tout simplement de cette perturbation électrique de l'analyseur et non pas de la qualité différente des électricités qui dominent en B et C ? Pour résoudre la question, il faudrait donc trouver le moyen de soustraire les instruments à l'action perturbatrice du corps inducteur. Or, ceci ne présente aucune difficulté. Prenez une lame métallique, et fixez-la verticalement dans le voisinage du conducteur de la machine électrique, après l'avoir mise en communication avec le sol approchez du côté opposé une petite balle de moelle de sureau suspendue à un long fil de lin, et vous pourrez tourner tant qu'il vous plaira le plateau de la machine sans que le petit pendule dévie le moins du monde de la direction verticale. Les choses ne se passent pas tout à fait de même lorsque le pendule est isolé et électrisé car alors celui-ci éprouve une certaine tendance à se rapprocher de la lame mais cette tendance dérive uniquement d'une réaction développée par l'électricité du pendule, et n'a rien à faire avec la force électrique provoquée de l'autre côté de la lame, comme on peut s'en convaincre, soit en supprimant l'électricité du conducteur, soit en lui
corps inducteur. Or, ceci ne présente aucune difficulté. Prenez une lame métallique, et fixez-la verticalement dans le voisinage du conducteur de la machine électrique, après l'avoir mise en communication avec le sol approchez du côté opposé une petite balle de moelle de sureau suspendue à un long fil de lin, et vous pourrez tourner tant qu'il vous plaira le plateau de la machine sans que le petit pendule dévie le moins du monde de la direction verticale. Les choses ne se passent pas tout à fait de même lorsque le pendule est isolé et électrisé car alors celui-ci éprouve une certaine tendance à se rapprocher de la lame mais cette tendance dérive uniquement d'une réaction développée par l'électricité du pendule, et n'a rien à faire avec la force électrique provoquée de l'autre côté de la lame, comme on peut s'en convaincre, soit en supprimant l'électricité du conducteur, soit en lui communiquant successivement les deux principes électriques; car, dans l'un et l'autre cas, l'inclinaison du pendule ne subit pas la moindre variation. Au reste, l'attraction de réaction que la lame métallique en communication avec le sol exerce sur le pendule électrisé, diminue rapidement comme toutes les forces de ce genre, lorsque la distance augmente, en sorte qu'elle devient sensiblement nulle à un fort petit éloignement de la lame. Maintenant, si l'on tient d'une main un électroscope chargé d'une électricité connue et, de l'autre, une lame métallique, et que l'on approche l'instrument tantôt de B et tantôt de C, en le préservant soigneusement de l'influence de A au moyen de la lame maintenue à une certaine distance, on voit ces extrémités du cylindre BC exercer toutes les deux la même espèce d'action électrique sur l'instrument, C étant toutefois doué d'une action plus puissante que B. Autrement, si l'on attache le long du cylindre BC la série connue des pendules accouplés et qu'on les soustrait à l'induction directe de A par des lames métalliques convenablement placées, une baguette électrisée de verre, transportée successivement au-dessus de chaque couple normalement à l'axe de BC et soigneusement abritée de l'action de A par une lame métallique