jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
un seul pas. En faisant coïncider certaines des abscisses intermédiaires Té de RKE 4 ou 5 avec des il est possible de ramener le nombre, par pas, d'évaluations de f dans le schéma complet (nombre qui caractérise numériquement le coût d'une méthode) à celui de la méthode RKE 4 ou 5 — non compris, évidemment, la résolution du système (2). Ce choix 848 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) fournit en outre une initialisation pour la résolution itérative des équations implicites dans le cas non linéaire. On dispose alors d'un certain nombre de paramètres arbitraires, à savoir : Si q = 2, G (à choisir > 1) et l'abscisse T1 du schéma RKE 4. Si q (à choisir > 1) et les abscisses T2 et T3 du schéma RKE 5 (en réalité, la façon dont a été mené le calcul des coefficients nous a conduits, à définir T2 en fonction de G4 et 92). Le but est d'obtenir (par exemple en minimisant la somme des valeurs absolues des coefficients des différents termes de l'erreur) une erreur sur la méthode explicite suffisamment petite par rapport à l'erreur sur la méthode implicite de façon à évaluer correctement cette dernière, et simultanément une méthode implicite elle-même suffisamment précise. Dans le cas du couple (RKSI 3, RKE 4), l'étude a pu être réalisée analytiquement, tandis que le second couple a dû être traité numériquement. Les valeurs retenues pour les paramètres (a, b) et (c, d) correspondant respectivement aux schémas RKSI et RKE sont les suivantes: Remarque. — Les coefficients de chaque ligne du tableau ont pour dénominateur commun le nombre placé à la fin de cette ligne. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 274(6 mars 1972) Série A — 849 Les méthodes A-stables se prêtent bien à l'étude des solutions de systèmes mal conditionnés, spécialement dans leur partie asymptotique, où la A-stabilité permet de déterminer le pas d'intégration uniquement en fonction de l'erreur de discrétisation. Les schémas proposés offrent l'avantage d'être complets (stabilité et évaluation de l'erreur) et de ne nécessiter aucune dérivation ou renseignement particulier sur
évaluer correctement cette dernière, et simultanément une méthode implicite elle-même suffisamment précise. Dans le cas du couple (RKSI 3, RKE 4), l'étude a pu être réalisée analytiquement, tandis que le second couple a dû être traité numériquement. Les valeurs retenues pour les paramètres (a, b) et (c, d) correspondant respectivement aux schémas RKSI et RKE sont les suivantes: Remarque. — Les coefficients de chaque ligne du tableau ont pour dénominateur commun le nombre placé à la fin de cette ligne. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 274(6 mars 1972) Série A — 849 Les méthodes A-stables se prêtent bien à l'étude des solutions de systèmes mal conditionnés, spécialement dans leur partie asymptotique, où la A-stabilité permet de déterminer le pas d'intégration uniquement en fonction de l'erreur de discrétisation. Les schémas proposés offrent l'avantage d'être complets (stabilité et évaluation de l'erreur) et de ne nécessiter aucune dérivation ou renseignement particulier sur le système à intégrer. Séance du 21 février 1972. (1) R. ALT, Méthodes A-stables pour l'intégration de systèmes différentiels mal conditionnés (Thèse 3e cycle, Paris, 1971). (2) F. CESCHINO et J. KUNTZMANN, Problèmes différentiels de conditions initiales, Dunod, Paris, 1963. (3) G. DAHLQUIST, Math. Scand., 4, 1956, p. 33. (4) C. LEMARÉCHAL, Comptes rendus, 272, série A, 1971, p. 397. R. A.: Institut de Programmation, Tour 55, place Jussieu, 75-Paris, 5e; F. C.: 36, place Jules-Ferry, 92-Montrouge, Hauts-de-Seine. 850 — Série A G. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) OPTIMISATION. — Localisation d'un objet de forme convexe donnée. Note (*) de MM. JEAN-PAUL ZOLESIO et MICHEL KOENIG, présentée par M. Jean Leray. On présente une méthode pour localiser un objet de forme convexe donnée; que l'on explique sur un exemple simple: disque de rayon donné. Ce problème se pose de façon naturelle, lorsqu'on recherche le minimum d'une fonctionnelle sur l'ensemble des fonctions caractéristiques de disques de rayon donné. On construit un repérage de cet ensemble et une approximation de la solution d'un tel problème. 1. ÉTUDE DU REPÉRAGE. — 1° Définitions et notations. — O ouvert relativement compact et convexe de R2, K un compact convexe inclus
C. LEMARÉCHAL, Comptes rendus, 272, série A, 1971, p. 397. R. A.: Institut de Programmation, Tour 55, place Jussieu, 75-Paris, 5e; F. C.: 36, place Jules-Ferry, 92-Montrouge, Hauts-de-Seine. 850 — Série A G. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) OPTIMISATION. — Localisation d'un objet de forme convexe donnée. Note (*) de MM. JEAN-PAUL ZOLESIO et MICHEL KOENIG, présentée par M. Jean Leray. On présente une méthode pour localiser un objet de forme convexe donnée; que l'on explique sur un exemple simple: disque de rayon donné. Ce problème se pose de façon naturelle, lorsqu'on recherche le minimum d'une fonctionnelle sur l'ensemble des fonctions caractéristiques de disques de rayon donné. On construit un repérage de cet ensemble et une approximation de la solution d'un tel problème. 1. ÉTUDE DU REPÉRAGE. — 1° Définitions et notations. — O ouvert relativement compact et convexe de R2, K un compact convexe inclus dans O, vérifiant la propriété suivante: Si u" est la prolongée de u à R2, on note fonction u est continue pour tout u de L1 (Q) et strictement convexe pour tout u de U; elle atteint son minimum sur K en un point que l'on note a*; on pose On définit, en outre Il est facile de voir que si On note sup 2° Repérage de C. — Soit Si il existe un k positif tel que (u) '= 0, alors, u appartient à C. Réciproquement, si u appartient à C, alors, pour tout k positif, on a Les pour t dans forment une base du filtre des voisinages de C, dans L2 (Q). Plus précisément on a, On voit que est une approximation de d(u, C), ce qui justifie le rôle privilégié joué par G. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 851 Les u de U possèdent de plus la propriété suivante: 2. APPLICATION: APPROXIMATION DE LA SOLUTION DU PROBLÈME: J est une fonctionnelle définie sur U, faiblement semi-continue intérieurement telle que; on suppose que possède une solution unique u. THÉORÈME 1. — Pour tout k &gt; 1, le problème admet au
On définit, en outre Il est facile de voir que si On note sup 2° Repérage de C. — Soit Si il existe un k positif tel que (u) '= 0, alors, u appartient à C. Réciproquement, si u appartient à C, alors, pour tout k positif, on a Les pour t dans forment une base du filtre des voisinages de C, dans L2 (Q). Plus précisément on a, On voit que est une approximation de d(u, C), ce qui justifie le rôle privilégié joué par G. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 851 Les u de U possèdent de plus la propriété suivante: 2. APPLICATION: APPROXIMATION DE LA SOLUTION DU PROBLÈME: J est une fonctionnelle définie sur U, faiblement semi-continue intérieurement telle que; on suppose que possède une solution unique u. THÉORÈME 1. — Pour tout k &gt; 1, le problème admet au moins une solution. Pour tout E &gt; 0, il existe tel que toute solution uk de soit dans et on a La démonstration de ce théorème utilise en particulier le résultat suivant: Un calcul aisé montre qu'un bon choix de k est le suivant: Les solutions du problème possèdent de plus, la propriété suivante: On récupère donc une approximation interne de la solution du problème 3. ÉTUDE DU PROBLÈME — s'écrit encore inf Q (x) où Le convexe U possède la propriété de régularité introduite dans (2) et, Q et Q* ont la même valeur. Dans la pratique, la contrainte p. n'étant pas gênante, on préfère à la dualité Q* la dualité partielle Q*: Soit U est l'intersection de V et d'un hyperplan affine, dans ce cas la méthode de dualité par Hahn-Banach [voir (4)] conduit au problème qui a la même valeur que Q (x). (*) Séance du 7 février 1972. CEA, Optimisation, Théorie et algorithmes, Dunod, Paris, 1971. (2) CL. RAFFIN, Thèse, Institut Fourier, 1971. U.E.R.M.S.T., Parc Valrose, OQ-Nice, Alpes-Maritimes. G. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 853 MÉCANIQUE DES FLUIDES. — Sur l'étude expérimentale de l'écoulement engendré par une sphère qui
plus, la propriété suivante: On récupère donc une approximation interne de la solution du problème 3. ÉTUDE DU PROBLÈME — s'écrit encore inf Q (x) où Le convexe U possède la propriété de régularité introduite dans (2) et, Q et Q* ont la même valeur. Dans la pratique, la contrainte p. n'étant pas gênante, on préfère à la dualité Q* la dualité partielle Q*: Soit U est l'intersection de V et d'un hyperplan affine, dans ce cas la méthode de dualité par Hahn-Banach [voir (4)] conduit au problème qui a la même valeur que Q (x). (*) Séance du 7 février 1972. CEA, Optimisation, Théorie et algorithmes, Dunod, Paris, 1971. (2) CL. RAFFIN, Thèse, Institut Fourier, 1971. U.E.R.M.S.T., Parc Valrose, OQ-Nice, Alpes-Maritimes. G. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 853 MÉCANIQUE DES FLUIDES. — Sur l'étude expérimentale de l'écoulement engendré par une sphère qui se déplace dans l'axe d'un cylindre au-delà du régime de Stokes. Note (*) de Mme MADELEINE COUTANCEAU, présentée par M. Henri Villat. On étudie expérimentalement, en fonction du rapport X des diamètres de la sphère et du cylindre, les limites de validité de l'hypothèse de Stokes, ainsi que la naissance du « sillage attaché ». On propose des relations empiriques qui fournissent, pour les valeurs de X inférieures à 0,8, les nombres de Reynolds caractéristiques des différentes phases de l'évolution de l'écoulement de l'écoulement. Dans une Note précédente (1), nous avons décrit les dispositifs que nous utilisons pour visualiser le champ hydrodynamique engendré par une sphère qui se déplace, à très faible vitesse, dans l'axe d'un cylindre de révolution empli d'un liquide visqueux. Sur nos clichés, nous avions constaté (2) qu'à la précision des mesures près la symétrie équatoriale des lignes de courant est assurée, donc le régime de Stokes réalisé, pour des nombres de Reynolds relatifs au diamètre de la sphère) inférieurs à 0,10. Il restait à déterminer les. valeurs « limites » ReL (X) du nombre de Reynolds, au-delà desquelles l'approximation de Stokes cesse d'être légitime, en regard d'une certaine norme fixée a priori, et à poursuivre l'étude
du « sillage attaché ». On propose des relations empiriques qui fournissent, pour les valeurs de X inférieures à 0,8, les nombres de Reynolds caractéristiques des différentes phases de l'évolution de l'écoulement de l'écoulement. Dans une Note précédente (1), nous avons décrit les dispositifs que nous utilisons pour visualiser le champ hydrodynamique engendré par une sphère qui se déplace, à très faible vitesse, dans l'axe d'un cylindre de révolution empli d'un liquide visqueux. Sur nos clichés, nous avions constaté (2) qu'à la précision des mesures près la symétrie équatoriale des lignes de courant est assurée, donc le régime de Stokes réalisé, pour des nombres de Reynolds relatifs au diamètre de la sphère) inférieurs à 0,10. Il restait à déterminer les. valeurs « limites » ReL (X) du nombre de Reynolds, au-delà desquelles l'approximation de Stokes cesse d'être légitime, en regard d'une certaine norme fixée a priori, et à poursuivre l'étude au-delà de ces valeurs en observant, en particulier, la naissance du « sillage attaché ». A cette fin, nous avons augmenté progressivement le nombre de Reynolds en utilisant, des huiles de silicone de viscosités décroissantes. D'autre part, nous avons apporté certaines améliorations au montage initial: — la rigidité du dispositif de prise de vue est accrue en isolant l'appareil photographique de la tige du piston qui assure son déplacement parallèlement à celui de la sphère; — les sphères, dont les poids apparents ne doivent pas dépasser quelques milligrammes pour l'expérimentation avec les huiles peu visqueuses, sont réalisées par moulage et centrifugation d'une quantité rigoureusement pesée de matière polymérisable; — la température du fluide est uniformisée pour éviter les courants de convection. Nous avons obtenu les clichés de visualisation, pour les nombres de Reynolds compris entre 0,10 et 45, les diamètres de la sphère valant respectivement le quart, la moitié et les trois quarts de celui du cylindre. Nous présentons, à titre d'exemple, les clichés concernant les écoulements absolus (le repère est fixe) pour A = 0,25 et Re = 6,9 (fig. 1) et pour X = 0,50 et Re = 6,5 (fig. 2): on voit que la dissymétrie des lignes
de prise de vue est accrue en isolant l'appareil photographique de la tige du piston qui assure son déplacement parallèlement à celui de la sphère; — les sphères, dont les poids apparents ne doivent pas dépasser quelques milligrammes pour l'expérimentation avec les huiles peu visqueuses, sont réalisées par moulage et centrifugation d'une quantité rigoureusement pesée de matière polymérisable; — la température du fluide est uniformisée pour éviter les courants de convection. Nous avons obtenu les clichés de visualisation, pour les nombres de Reynolds compris entre 0,10 et 45, les diamètres de la sphère valant respectivement le quart, la moitié et les trois quarts de celui du cylindre. Nous présentons, à titre d'exemple, les clichés concernant les écoulements absolus (le repère est fixe) pour A = 0,25 et Re = 6,9 (fig. 1) et pour X = 0,50 et Re = 6,5 (fig. 2): on voit que la dissymétrie des lignes de courant est plus accentuée pour les plus petits X. La figure 3 montre l'écoulement relatif (l'appareil photographique se déplace à la même vitesse que la sphère) pour X = 0,50 et Re = 39; on y distingue la présence d'un « sillage attaché ». Ces clichés ont permis de restituer le champ des vitesses avec une précision satisfaisante (meilleure que 4%), notamment sur l'axe du côté de l'amont (YAM) et du côté de l'aval (VAV). La figure 4 donne les courbes correspondantes pour X = 0,5; à titre de courbes limites, nous avons tracé les répartissements théoriques précédemment calculées, pour le régime de Stokes (2) et pour l'écoulement irrotationnel (4). L'étude des vitesses axiales fournit les nombres de Reynolds caractéristiques des différentes phases de l'évolution de l'écoulement. Ainsi, la mesure de la différence VAM - VAV au point de l'axe où la vitesse vaut, en régime de Stokes, la moitié de la vitesse de la sphère, permet d'évaluer le rapport om = (VAM - VAV) / (1/2) (VAH + VAV) que nous G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 855 avons choisi pour mesurer le « taux moyen de dissymétrie ». Si l'on
restituer le champ des vitesses avec une précision satisfaisante (meilleure que 4%), notamment sur l'axe du côté de l'amont (YAM) et du côté de l'aval (VAV). La figure 4 donne les courbes correspondantes pour X = 0,5; à titre de courbes limites, nous avons tracé les répartissements théoriques précédemment calculées, pour le régime de Stokes (2) et pour l'écoulement irrotationnel (4). L'étude des vitesses axiales fournit les nombres de Reynolds caractéristiques des différentes phases de l'évolution de l'écoulement. Ainsi, la mesure de la différence VAM - VAV au point de l'axe où la vitesse vaut, en régime de Stokes, la moitié de la vitesse de la sphère, permet d'évaluer le rapport om = (VAM - VAV) / (1/2) (VAH + VAV) que nous G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 855 avons choisi pour mesurer le « taux moyen de dissymétrie ». Si l'on désigne maintenant par S_LH la valeur prise par ce paramètre dans le cas de l'écoulement illimité (X = 0) lorsque le nombre de Reynolds atteint la valeur 0,10 habituellement retenue comme limite de validité de l'approximation de Stokes, on obtient les nombres de « Reynolds limites » ReL qui entraînent ce même taux de dissymétrie; on trouve que ces ReL sont respectivement voisins de 0,6, 1,5 et 3,5 lorsque le rapport X prend les valeurs 0,25, 0,50 et 0,75. D'autre part, les « nombres de Reynolds de séparation » Res, pour lesquels un sillage attaché prend naissance à l'arrière de la sphère, valent respectivement 23, 30 et 43; une interpolation graphique donne ReSo = 20 pour X = 0. Ces résultats montrent l'importance de l'influence des parois sur l'évolution des effets dus à l'inertie du fluide. En particulier, l'apparition d'une dissymétrie mesurable des lignes de courant est retardée, ainsi que celle du tourbillon attaché. 856 — Série A G. R. Acad. Se. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Ecoulement Sphère Cylindre-uniforme A =0.50 Ecoulement irrotationnel En régime de Stokes, RE = 0 » RE 3.5 » » 6.5 » 16.6 23 » 38.8 Fig. 4. — Vitesses sur l'axe. Courbes
ce même taux de dissymétrie; on trouve que ces ReL sont respectivement voisins de 0,6, 1,5 et 3,5 lorsque le rapport X prend les valeurs 0,25, 0,50 et 0,75. D'autre part, les « nombres de Reynolds de séparation » Res, pour lesquels un sillage attaché prend naissance à l'arrière de la sphère, valent respectivement 23, 30 et 43; une interpolation graphique donne ReSo = 20 pour X = 0. Ces résultats montrent l'importance de l'influence des parois sur l'évolution des effets dus à l'inertie du fluide. En particulier, l'apparition d'une dissymétrie mesurable des lignes de courant est retardée, ainsi que celle du tourbillon attaché. 856 — Série A G. R. Acad. Se. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Ecoulement Sphère Cylindre-uniforme A =0.50 Ecoulement irrotationnel En régime de Stokes, RE = 0 » RE 3.5 » » 6.5 » 16.6 23 » 38.8 Fig. 4. — Vitesses sur l'axe. Courbes expérimentales. Pour rendre compte de cet effet de paroi, nous proposons des relations empiriques qui fournissent avec une bonne approximation, pour X < 0,8, les nombres de Reynolds Res et ReL; il vient (*) Séance du 7 février 1972. (1) J.-M. BOUROT et M. GOUTANCEAU, Comptes rendus, 263, série A, 1966, p. 802. (2) M. GOUTANCEAU, Journal de Mécanique, 1, n° 1, 1968, p. 49. (3) M. GOUTANCEAU, Thèse de Doctorat d'État, 1971. (4) J.-M. BOUROT et M. GOUTANCEAU, Comptes rendus, 267, série A, 1968, p. 707. Laboratoire de Mécanique des Fluides, 40, avenue du Recteur-Pineau, 86-Poitiers, Vienne. G. R. Acad. Se. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 857 MÉCANIQUE DES FLUIDES. — Détermination du mouvement plan irrotationnel d'un fluide parfait incompressible animé par le déplacement et la déformation d'un profil déformable quelconque. Puissance des efforts aérodynamiques. Note (*) de M. ROLAND LAPORTE, présentée par M. Henri Villat. Dans une Note précédente (*), nous avons mis en évidence des mouvements d'un profil déformable, dans un fluide parfait incompressible, n'entraînant aucun échappement tourbillonnaire à la pointe dans le cas où l'aire du profil restait constante. Dans la même Note, nous avons signalé que les formules donnant les efforts,
1966, p. 802. (2) M. GOUTANCEAU, Journal de Mécanique, 1, n° 1, 1968, p. 49. (3) M. GOUTANCEAU, Thèse de Doctorat d'État, 1971. (4) J.-M. BOUROT et M. GOUTANCEAU, Comptes rendus, 267, série A, 1968, p. 707. Laboratoire de Mécanique des Fluides, 40, avenue du Recteur-Pineau, 86-Poitiers, Vienne. G. R. Acad. Se. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 857 MÉCANIQUE DES FLUIDES. — Détermination du mouvement plan irrotationnel d'un fluide parfait incompressible animé par le déplacement et la déformation d'un profil déformable quelconque. Puissance des efforts aérodynamiques. Note (*) de M. ROLAND LAPORTE, présentée par M. Henri Villat. Dans une Note précédente (*), nous avons mis en évidence des mouvements d'un profil déformable, dans un fluide parfait incompressible, n'entraînant aucun échappement tourbillonnaire à la pointe dans le cas où l'aire du profil restait constante. Dans la même Note, nous avons signalé que les formules donnant les efforts, gardaient la forme obtenue par M. Gouchet dans le cas du profil rigide. Nous donnons aujourd'hui les expressions de ces efforts, en les étendant au cas où l'aire du profil est variable et nous caractérisons les mouvements et déformations du profil qui n'entraînent aucun échappement tourbillonnaire à la pointe. Nous donnons en outre l'expression de la puissance des efforts aéro dynamiques dans le cas où l'aire du profil reste constante. 1. MOUVEMENT ET DÉFORMATION DU PROFIL. — Les déformations du profil sont définies par la fonction Z H (Z, t) = z, donnant la représentation conforme de l'extérieur du cercle Z = a sur celui du profil (cl), rapporté à un certain repère 0 xy. Le mouvement du repère \(0 xy\) est caractérisé par sa rotation instantanée \(w\) et par les projections \(l\), \(m\) de la vitesse de \(0\) sur \(0 x\) et \(0 y\). Ce repère est dit centré si Dans un tel repère, le développement de la fonction \(H\) autour du point \(a\) à l'infini, s'écrit : En notant par \(o\) la différentiation à \(t\) constant, l'aire du profil est donnée par LE POTENTIEL. — On note \(f\) le potentiel complexe des vitesses absolues; on traduit les conditions
donnons en outre l'expression de la puissance des efforts aéro dynamiques dans le cas où l'aire du profil reste constante. 1. MOUVEMENT ET DÉFORMATION DU PROFIL. — Les déformations du profil sont définies par la fonction Z H (Z, t) = z, donnant la représentation conforme de l'extérieur du cercle Z = a sur celui du profil (cl), rapporté à un certain repère 0 xy. Le mouvement du repère \(0 xy\) est caractérisé par sa rotation instantanée \(w\) et par les projections \(l\), \(m\) de la vitesse de \(0\) sur \(0 x\) et \(0 y\). Ce repère est dit centré si Dans un tel repère, le développement de la fonction \(H\) autour du point \(a\) à l'infini, s'écrit : En notant par \(o\) la différentiation à \(t\) constant, l'aire du profil est donnée par LE POTENTIEL. — On note \(f\) le potentiel complexe des vitesses absolues; on traduit les conditions aux limites en exprimant qu'en un point \(zc\) du contour \((C)\): \(C. R., 1972, 1er Semestre. (T. 274, N° 10.) Série A — 55 SÉRIE A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) \(858\) — SÉRIE A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) SÉRIE A — 859 3. MOUVEMENTS AVEC UNE VITESSE FLUIDE HOLOMORPHE. — Si le profil présente une pointe dont l'image dans le plan \(Z\) est \(a\), la condition pour avoir une vitesse finie à la pointe, s'écrit : et tout ce qui a été dit pour le profil d'aire constante, s'étend sans changement au cas général. 4. LES EFFORTS AÉRODYNAMIQUES. — On note par \(\mathbf{F}\) le torseur des efforts du fluide sur le profil, par \(X\), \(Y\) les composantes sur \(0 x\) et \(0 y\) de sa résultante et par \(M\) son moment en \(0\); on a alors : où \(V\) est le torseur cinétique du repère \(0 xy\), le signe \(X\) désignant le produit de Lie des torseurs \(V\) et \(T\); ce dernier est défini par sa résultante \(R(T)\) et son moment en \(0\), \(m_{0}(T)\), soient où \(z_{0}\) (resp. \(Z\)) est l'affixe du centre du profil dans les axes