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de ses travaux, jusque-là ignorée, a été publiée dans le Journal des Savants de 1836. J'en extrairai seulement les deux hypothèses d'atmosphères qu'il a soumises à ses calculs, et qui, réunies, ont servi de fondement aux théories plus parfaites de ses successeurs. Pour se rendre un compte exact de la tâche qu'il avait à remplir, il faut envisager le problème, à son point de vue mathématique complet, comme nous pouvons le faire aujourd'hui, et voir quels moyens il avait de le résoudre. On y reconnaît alors deux parties distinctes la première consiste à définir la constitution de l'atmosphère sphérique sur laquelle on veut opérer; la seconde, à calculer les réfractions qu'elle doit produire, pour un observateur placé dans une de ses couches, dont on se donne conventionnellement le rayon r, la densité p, la température t, et la pression p, qu'elle supporte. Alors l'atmosphère choisie sera complètement définie, si, en une quelconque de ses couches concentriques ayant pour rayon r, on peut assigner la densité p, la température t et la pression p, ces trois dernières variables étant considérées comme des fonctions de la première, qui, seule, reste indépendante. Or, pour que ces quatre quantités puissent être associées dans une même atmosphère gazeuse, supposée en repos, leur ensemble doit toujours être assujetti à deux équations de condition générales l'une, qui s'écrit en termes différentiels, exprime que le système est dans un état de stratification permanent l'autre, qui s'écrit en termes finis, signifie que les lois de la dilatabilité des gaz y sont observées. Si donc on se donne arbitrairement, hypothétiquement, une troisième relation entre les quatre variables p, p, t, r, les trois premières se trouveront analytiquement déterminées en fonction de la dernière, et le système atmosphérique, auquel elles appartiendront, sera complètement défini. Je montrerai plus loin que, dans notre atmosphère terrestre, la nature propre de cette troisième relation est très-nettement indiquée par l'expérience, et que les Tables qui représentent le mieux les réfractions réelles, ont été fondées, insciemment, sur les hypothèses qui approchent le plus d'y ressembler. L'atmosphère hypothétique étant constituée, on y approprie l'expression générale de l'élément différentiel
même atmosphère gazeuse, supposée en repos, leur ensemble doit toujours être assujetti à deux équations de condition générales l'une, qui s'écrit en termes différentiels, exprime que le système est dans un état de stratification permanent l'autre, qui s'écrit en termes finis, signifie que les lois de la dilatabilité des gaz y sont observées. Si donc on se donne arbitrairement, hypothétiquement, une troisième relation entre les quatre variables p, p, t, r, les trois premières se trouveront analytiquement déterminées en fonction de la dernière, et le système atmosphérique, auquel elles appartiendront, sera complètement défini. Je montrerai plus loin que, dans notre atmosphère terrestre, la nature propre de cette troisième relation est très-nettement indiquée par l'expérience, et que les Tables qui représentent le mieux les réfractions réelles, ont été fondées, insciemment, sur les hypothèses qui approchent le plus d'y ressembler. L'atmosphère hypothétique étant constituée, on y approprie l'expression générale de l'élément différentiel de la réfraction, et il ne reste qu'à l'intégrer pour avoir la réfraction même en nombres. Newton ne possédait pas l'ensemble de données qui lui auraient été nécessaires pour reconnaître complètement les propriétés physiques des atmosphères qu'il établissait. J'y suppléerai pour lui. L'analyse mathématique de son temps, ne lui fournissait pas des méthodes suffisamment puissantes pour les intégrations qu'il eut souvent à effectuer. Il y suppléa par des procédés équivalents, mais beaucoup plus pénibles. Le manque de données physiques le força de plier ses résultats aux observations imparfaites que lui fournissait Flamsteed, ce qui en altère l'exactitude numérique. Mais, ces ombres dissipées, on voit reparaître son génie dans toute sa puissance. C'est ce que j'ai tâché de mettre en lumière dans les articles du Journal des Savants que j'ai déjà cités; et je ne reprends les deux cas qu'il a traités que pour achever de prouver l'identité presque parfaite des réfractions qui se produisent jusqu'à 80 degrés de distance zénithale, dans ces systèmes d'atmosphères sphériques, comme dans tous les autres. Il considéra d'abord une atmosphère où, depuis la base jusqu'au sommet, des différences égales de hauteur correspondent à des diminutions égales de la densité. Si l'on suppose, qu'à cette base,
pas des méthodes suffisamment puissantes pour les intégrations qu'il eut souvent à effectuer. Il y suppléa par des procédés équivalents, mais beaucoup plus pénibles. Le manque de données physiques le força de plier ses résultats aux observations imparfaites que lui fournissait Flamsteed, ce qui en altère l'exactitude numérique. Mais, ces ombres dissipées, on voit reparaître son génie dans toute sa puissance. C'est ce que j'ai tâché de mettre en lumière dans les articles du Journal des Savants que j'ai déjà cités; et je ne reprends les deux cas qu'il a traités que pour achever de prouver l'identité presque parfaite des réfractions qui se produisent jusqu'à 80 degrés de distance zénithale, dans ces systèmes d'atmosphères sphériques, comme dans tous les autres. Il considéra d'abord une atmosphère où, depuis la base jusqu'au sommet, des différences égales de hauteur correspondent à des diminutions égales de la densité. Si l'on suppose, qu'à cette base, la température soit celle de la glace fondante, et la pression d'om,76 de mercure, la hauteur totale de l'atmosphère sera de 150,48 mètres, exactement double de celle de Cassini. La température n'y est plus constante. À mesure qu'on s'élève, elle s'abaisse de quantités égales pour des différences égales de hauteur, comme cela s'observe aussi approximativement dans l'atmosphère terrestre; mais ce décroissement mathématique est environ trois fois plus rapide que dans celle-ci. La réfraction à l'horizon est 30° 17, plus faible encore que la réelle, beaucoup moins toutefois que dans l'atmosphère de Cassini. Malgré toutes ces dissemblances, la réfraction à 80 degrés de distance zénithale se trouve être 5' 32", 16, plus forte seulement de ce qu'elle ne l'était alors, et elle diffère à peine de celle de Laplace. Le procédé d'intégration approximatif que Newton a dû employer pour calculer les réfractions dans cette première hypothèse est exposé en détail dans le volume du Journal des Savants pour l'année 1836, pages 135 et suivantes. En désignant par R la réfraction correspondante à la distance zénithale apparente et quelconque 0,, on est immédiatement conduit à la formule suivante, rapportée page 143, tang/R = (m~1 tang(9, – nR); tangnR = 1 tang(9, nR);
comme cela s'observe aussi approximativement dans l'atmosphère terrestre; mais ce décroissement mathématique est environ trois fois plus rapide que dans celle-ci. La réfraction à l'horizon est 30° 17, plus faible encore que la réelle, beaucoup moins toutefois que dans l'atmosphère de Cassini. Malgré toutes ces dissemblances, la réfraction à 80 degrés de distance zénithale se trouve être 5' 32", 16, plus forte seulement de ce qu'elle ne l'était alors, et elle diffère à peine de celle de Laplace. Le procédé d'intégration approximatif que Newton a dû employer pour calculer les réfractions dans cette première hypothèse est exposé en détail dans le volume du Journal des Savants pour l'année 1836, pages 135 et suivantes. En désignant par R la réfraction correspondante à la distance zénithale apparente et quelconque 0,, on est immédiatement conduit à la formule suivante, rapportée page 143, tang/R = (m~1 tang(9, – nR); tangnR = 1 tang(9, nR); m-h 1/ n et m sont deux coefficients, fonctions des éléments météorologiques de la couche f. Dans ce premier système atmosphérique de Newton, les pressions à diverses hauteurs sont proportionnelles au carré des densités. Trouvant peut-être que l'étendue de l'atmosphère y était trop restreinte, il en choisit un autre, qu'il avait déjà présenté dans le livre des Principes, et qui a pour caractère que les pressions soient simplement proportionnelles aux densités. Alors la température est constante à toute hauteur, et l'atmosphère s'étend indéfiniment. Si l'on astreint la couche inférieure aux mêmes circonstances météorologiques tout à l'heure admises, la température 0° et la pression 0m,76, la réfraction à l'horizon est 39' 54", 6, beaucoup plus forte que la moyenne véritable. Toutefois, à 80 degrés du zénith elle se trouve être 5' 34", surpassant seulement de 2 secondes celle que nous avions tout à l'heure trouvée. L'évaluation exacte de cet élément ne peut alors s'obtenir que par des procédés d'analyse très-élevés, qui étaient inconnus à Newton. Mais il y a suppléé par des successions de quadratures paraboliques, dont l'application à l'atmosphère réelle est rendue toujours légitime, par la lenteur du décroissement des densités à mesure qu'on s'élève. C'est même là le seul
avait déjà présenté dans le livre des Principes, et qui a pour caractère que les pressions soient simplement proportionnelles aux densités. Alors la température est constante à toute hauteur, et l'atmosphère s'étend indéfiniment. Si l'on astreint la couche inférieure aux mêmes circonstances météorologiques tout à l'heure admises, la température 0° et la pression 0m,76, la réfraction à l'horizon est 39' 54", 6, beaucoup plus forte que la moyenne véritable. Toutefois, à 80 degrés du zénith elle se trouve être 5' 34", surpassant seulement de 2 secondes celle que nous avions tout à l'heure trouvée. L'évaluation exacte de cet élément ne peut alors s'obtenir que par des procédés d'analyse très-élevés, qui étaient inconnus à Newton. Mais il y a suppléé par des successions de quadratures paraboliques, dont l'application à l'atmosphère réelle est rendue toujours légitime, par la lenteur du décroissement des densités à mesure qu'on s'élève. C'est même là le seul moyen d'établir le calcul des réfractions sur les vérités lois de décroissement que l'expérience peut fournir, sans être arrêté par les difficultés d'intégrations qu'elles présenteraient. L'extension indéfinie que cette seconde hypothèse de Newton donnerait à l'atmosphère terrestre, est contraire au fait de sa persistance. Elle l'est aussi à un grand nombre d'indications physiques. Sa limitation peut se conclure de ce que, depuis la surface terrestre jusqu'aux plus grandes hauteurs aériennes dans lesquelles l'observateur se trouve placé, en continuant d'employer la notation de Laplace, telle que je l'ai spécifiée, dans la Note précédente, on a La règle de Bradley n'est autre que la formule précédente dans laquelle les deux coefficients – A et B, sont remplacés par des valeurs empiriques, qui se déterminent par la condition de satisfaire à deux réfractions observées, l'une loin de l'horizon, l'autre à l'horizon même, comme l'a fait Newton. Mais il est présumable que Bradley n'y a été conduit qu'en cherchant à modifier analytiquement la règle approximative R = A tan 9, donnée par Halley pour les observations faites à peu de distance du zénith, de manière qu'elle pût s'étendre à toutes les valeurs de 9. Auxquelles Gay-Lussac s'est élevé, le décroissement de la température a
nombre d'indications physiques. Sa limitation peut se conclure de ce que, depuis la surface terrestre jusqu'aux plus grandes hauteurs aériennes dans lesquelles l'observateur se trouve placé, en continuant d'employer la notation de Laplace, telle que je l'ai spécifiée, dans la Note précédente, on a La règle de Bradley n'est autre que la formule précédente dans laquelle les deux coefficients – A et B, sont remplacés par des valeurs empiriques, qui se déterminent par la condition de satisfaire à deux réfractions observées, l'une loin de l'horizon, l'autre à l'horizon même, comme l'a fait Newton. Mais il est présumable que Bradley n'y a été conduit qu'en cherchant à modifier analytiquement la règle approximative R = A tan 9, donnée par Halley pour les observations faites à peu de distance du zénith, de manière qu'elle pût s'étendre à toutes les valeurs de 9. Auxquelles Gay-Lussac s'est élevé, le décroissement de la température a été en s'accélérant, sans qu'il soit possible d'imaginer une cause physique par laquelle il pût être ralenti dans les régions supérieures à celles où il est parvenu. Car, en supposant même, contre toute vraisemblance, qu'il conservât ultérieurement la même valeur qu'il avait à sa station la plus haute, les lois de l'équilibre ne permettraient pas que l'épaisseur totale de l'atmosphère atteignît 48000 mètres, et par conséquent, il est présumable qu'elle est encore moindre. Si donc, les hypothèses qui lui attribueraient une extension plus grande, et même indéfinie, conduisent, par le calcul, à des réfractions peu différentes entre elles, et qui ne s'écartent pas excessivement de la réalité, cela tient à ce que, au-delà d'un certain degré de raréfaction de l'air, tout le reste de l'atmosphère fictive ne contribue à la réfraction totale que pour une part insensible ou à peine appréciable, qui, en outre, devient indépendante du mode de stratification que l'hypothèse employée lui attribue. Si l'on veut comprendre toute la puissance mathématique dont Newton a fait preuve dans son travail sur les réfractions, il n'y a qu'à voir combien d'efforts ses plus illustres successeurs ont dû faire avant de le rejoindre. Euler, en 1754, attaque le même problème, avec
de l'équilibre ne permettraient pas que l'épaisseur totale de l'atmosphère atteignît 48000 mètres, et par conséquent, il est présumable qu'elle est encore moindre. Si donc, les hypothèses qui lui attribueraient une extension plus grande, et même indéfinie, conduisent, par le calcul, à des réfractions peu différentes entre elles, et qui ne s'écartent pas excessivement de la réalité, cela tient à ce que, au-delà d'un certain degré de raréfaction de l'air, tout le reste de l'atmosphère fictive ne contribue à la réfraction totale que pour une part insensible ou à peine appréciable, qui, en outre, devient indépendante du mode de stratification que l'hypothèse employée lui attribue. Si l'on veut comprendre toute la puissance mathématique dont Newton a fait preuve dans son travail sur les réfractions, il n'y a qu'à voir combien d'efforts ses plus illustres successeurs ont dû faire avant de le rejoindre. Euler, en 1754, attaque le même problème, avec le même dénombrement de données physiques. Il obtient l'équation différentielle de la trajectoire lumineuse et lui associe l'équation qui assure l'équilibre. Mais le second membre de la solution, je veux dire l'expression différentielle de l'élément de la réfraction, lui manque; ou s'il l'a connue, il n'en fait aucun usage; de sorte qu'il se borne à discuter les propriétés géométriques de la trajectoire, sans obtenir la réfraction elle-même. Lagrange reprend la question en 1772, espérant que la règle empirique de Deluc pour la mesure des hauteurs par le baromètre, pourra lui fournir un type véritable de constitution atmosphérique, sur lequel il assura le calcul. Il obtient en effet, pour cette loi particulière, des formules exactes, quoique embarrassées de la complication inhérente à l'expression empirique sous laquelle Deluc l'avait présentée. Mais comme, au fond, elle ne comprend que l'hypothèse d'un décroissement de densités en progression arithmétique, Lagrange n'en déduit et n'en pouvait déduire, qu'une expression de la réfraction analogue à la règle de Bradley; sans indiquer aucunement la nécessité, encore moins la nature, des expériences qu'il faudrait entreprendre pour fonder une théorie plus sûre et plus générale de ces phénomènes. C'est ce que Laplace a fait le premier trente-trois ans plus tard,
sorte qu'il se borne à discuter les propriétés géométriques de la trajectoire, sans obtenir la réfraction elle-même. Lagrange reprend la question en 1772, espérant que la règle empirique de Deluc pour la mesure des hauteurs par le baromètre, pourra lui fournir un type véritable de constitution atmosphérique, sur lequel il assura le calcul. Il obtient en effet, pour cette loi particulière, des formules exactes, quoique embarrassées de la complication inhérente à l'expression empirique sous laquelle Deluc l'avait présentée. Mais comme, au fond, elle ne comprend que l'hypothèse d'un décroissement de densités en progression arithmétique, Lagrange n'en déduit et n'en pouvait déduire, qu'une expression de la réfraction analogue à la règle de Bradley; sans indiquer aucunement la nécessité, encore moins la nature, des expériences qu'il faudrait entreprendre pour fonder une théorie plus sûre et plus générale de ces phénomènes. C'est ce que Laplace a fait le premier trente-trois ans plus tard, en 1805, dans le livre X de la Mécanique céleste, en concentrant sur ce problème toutes les forces de l'analyse mathématique réunies à une intelligence complète des données expérimentales devenues, avec le temps, plus précises, et que son influence protectrice avait puissamment contribué à propager, à étendre, à perfectionner. Cette faculté d'application que lui donnait le sentiment intime des vérités physiques allié à l'esprit géométrique, alliance qui avait manqué à Euler et à Lagrange, se voit dans le choix même de la conception abstraite sur laquelle il établit ses calculs. Trouvant que le décroissement des densités par progression arithmétique faisait la réfraction horizontale trop faible, et par progression géométrique la faisait trop forte, il en prit une mêléé des deux, qui renfermât un nombre suffisant d'arbitraires pour s'adapter aussi approximativement que possible aux effets réels. Son instinct le conduisait ainsi, sans qu'il le sût, à la relation même entre les pressions et les densités, qui a matériellement lieu dans notre atmosphère. De là, il tira une Table de réfractions, complètement calculée par théorie, laquelle s'identifie pour ainsi dire avec la vérité physique, dans tous les cas réguliers du phénomène, en fournissant les évaluations moyennes les plus sûres, dans ceux où
faculté d'application que lui donnait le sentiment intime des vérités physiques allié à l'esprit géométrique, alliance qui avait manqué à Euler et à Lagrange, se voit dans le choix même de la conception abstraite sur laquelle il établit ses calculs. Trouvant que le décroissement des densités par progression arithmétique faisait la réfraction horizontale trop faible, et par progression géométrique la faisait trop forte, il en prit une mêléé des deux, qui renfermât un nombre suffisant d'arbitraires pour s'adapter aussi approximativement que possible aux effets réels. Son instinct le conduisait ainsi, sans qu'il le sût, à la relation même entre les pressions et les densités, qui a matériellement lieu dans notre atmosphère. De là, il tira une Table de réfractions, complètement calculée par théorie, laquelle s'identifie pour ainsi dire avec la vérité physique, dans tous les cas réguliers du phénomène, en fournissant les évaluations moyennes les plus sûres, dans ceux où ses caprices sont impossibles à prévoir. Ce travail n'a pas été surpassé. Ivory l'a refait depuis, avec des formes analytiques plus simples, mais équivalentes pour le fond et les résultats. J'ai à peine besoin de dire que, jusqu'à 80 degrés de distance zénithale, ces Tables, d'accord entre elles, donnent des réfractions très-peu différentes de celles qui se déduisent de toutes les autres hypothèses si variées que nous avons parcourues. Cette singulière parité de résultats, se soutient, dans ces limites de distance zénithale, à travers des modifications analytiques, qui par la suppression de quelques termes, changent complètement la constitution de l'atmosphère fictive à laquelle le calcul s'appliquait. Par exemple, dans les prolégomènes des Fundamenta astronomiae, Bessel a voulu abréger ainsi l'expression symbolique du décroissement des densités adoptée par Laplace, afin de rendre les intégrations plus aisément exécutables. En résumant l'atmosphère qui n'a plus que 28370 mètres de hauteur, en conservant à son sommet, où la pression devient nulle, une densité finale qui est la densité à sa base. Or, malgré tout cela, si la température à cette base est 0 degré, et la pression 0,762, la réfraction à 80 degrés de distance du zénith, pour un observateur qui y serait placé,
réfractions très-peu différentes de celles qui se déduisent de toutes les autres hypothèses si variées que nous avons parcourues. Cette singulière parité de résultats, se soutient, dans ces limites de distance zénithale, à travers des modifications analytiques, qui par la suppression de quelques termes, changent complètement la constitution de l'atmosphère fictive à laquelle le calcul s'appliquait. Par exemple, dans les prolégomènes des Fundamenta astronomiae, Bessel a voulu abréger ainsi l'expression symbolique du décroissement des densités adoptée par Laplace, afin de rendre les intégrations plus aisément exécutables. En résumant l'atmosphère qui n'a plus que 28370 mètres de hauteur, en conservant à son sommet, où la pression devient nulle, une densité finale qui est la densité à sa base. Or, malgré tout cela, si la température à cette base est 0 degré, et la pression 0,762, la réfraction à 80 degrés de distance du zénith, pour un observateur qui y serait placé, se trouvera être 5'31", 14, moindre seulement de 1" f que dans les atmosphères de Laplace ou d'Ivory. La remarquable concordance de nombres que j'avais annoncée au commencement de cette communication, se trouvant ainsi matériellement constatée dans les cas les plus divers, il reste à en chercher la cause mathématique. On la découvre avec autant de généralité que d'évidence par le théorème suivant. Concevez une atmosphère sphérique dans laquelle les pressions, les densités, les températures, soient réparties à diverses hauteurs suivant des lois quelconques, compatibles avec les conditions de l'équilibre et de la dilatabilité des gaz; prenez seulement pour données les valeurs absolues de ces trois éléments météorologiques, dans celle des couches sphériques où vous voudrez placer l'observateur, et dont vous fixerez à volonté la distance au centre. Alors, sans avoir aucun besoin de connaître la constitution intérieure de votre atmosphère fictive, sachant seulement que la lumière y pénètre en sortant du vide, et se transmet de là jusqu'à l'observateur par des trajectoires non rentrantes sur elles-mêmes, comme cela a lieu dans l'atmosphère terrestre, vous pourrez, pour toute distance zénithale apparente qu'il vous plaira de choisir, former deux expressions analytiques de la réfraction, en termes finis, et numériquement calculables, dont