jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
borélienne g de X X Y dans [0, + ∞] telle que pour presque tout x : l'application y -> g (x, y) est s. c. i. et g (x, y) = f (x, y) pour tout y € Y; (d) La multiapplication est mesurable à valeurs fermées (p. p. x), au sens de Castaing (4). Les intégrandes normales convexes de Rockafellar (10) sont, lorsqu'elles sont positives, des intégrandes positives normales. On trouvera aussi 840 — Série A G. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) des propriétés des fonctions d'épigraphes sousliniennes dans Ioffe-Tikhomirov (°) dans le cas où Y est un espace vectoriel topologique. Dans la suite X et Y sont des espaces localement compacts polonais et m (= dx) est une mesure de Radon positive sur X. DÉFINITION 1. — Nous appellerons mesure paramétrée sur X x Y une mesure de Radon positive sur X x Y qui se projette sur X selon m. On note M l'espace des mesures paramétrées muni de la topologie vague. Toute intégrande positive normale est u-mesurable pour tout u € M. Si f1, ..., fk sont des intégrandes positives normales sur X x Y on note M sousespaces de M : Pour toute mesure paramétrée [J € M il existe une application mesurable de X dans M| (Y) telle que unique modulo l'égalité m-presque partout [Bourbaki (2)]. DÉFINITION 2. — On note B l'ensemble des classes d'applications mesurables modulo l'égalité m-presque partout de X dans Y et a l'injection de B dans M définie par THÉORÈME 3. — Soient des intégrandes positives normales sur X x Y telles que quand y tend vers l'infini. (1) L'application [J. H[J(f) est affine s. c. i. de M dans [0, +]; (2) L'espace M (f1, ..., fk) est convexe compact métrisable; (3) Les points extrémaux de M (f1, ..., fk) sont des combinaisons convexes d'au plus (k - 1) mesures appartenant à a (B); (4) Si m est sans atomes, alors ..., fk) est dense dans M(fi,...,fk). La démonstration utilise un théorème de section [cf. Kuratowski (7), Castaing (4'), Valadier (12)], le théorème
: Pour toute mesure paramétrée [J € M il existe une application mesurable de X dans M| (Y) telle que unique modulo l'égalité m-presque partout [Bourbaki (2)]. DÉFINITION 2. — On note B l'ensemble des classes d'applications mesurables modulo l'égalité m-presque partout de X dans Y et a l'injection de B dans M définie par THÉORÈME 3. — Soient des intégrandes positives normales sur X x Y telles que quand y tend vers l'infini. (1) L'application [J. H[J(f) est affine s. c. i. de M dans [0, +]; (2) L'espace M (f1, ..., fk) est convexe compact métrisable; (3) Les points extrémaux de M (f1, ..., fk) sont des combinaisons convexes d'au plus (k - 1) mesures appartenant à a (B); (4) Si m est sans atomes, alors ..., fk) est dense dans M(fi,...,fk). La démonstration utilise un théorème de section [cf. Kuratowski (7), Castaing (4'), Valadier (12)], le théorème de Krein-Milman et le théorème de Lyapounov [Lyapounov (8)]. DÉFINITION 3. — Soient f et g deux applications de X x Y dans [−∞, +∞], on dit que g majore intégralement f et on écrit g > f si pour tout > 0 il existe (m) tel que PROPOSITION 2. — Soit f une fonction borélienne de X x Y dans [−∞, +∞] telle que l'application y f' (x, y) est s. c. s. pour presque tout x. Soit g une intégrande positive normale sur X x Y telle que f+ = Sup (0, f) g. Alors G. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A—841 pour tout, on a et l'application (f) est s. c. s. de M (g) dans PROPOSITION 3. — Soit f une intégrande positive normale sur X x Rk; Dans la suite, on suppose Y = Rk. COROLLARY. — Soit g une intégrande positive normale sur X x Rk telle que g > II, où Pour on peut définir R*) par L'application est continue de M (g) dans L1 (X, m, Rk) faible. Du théorème 3 et de la proposition 3 on déduit un résultat de relaxation : THÉORÈME 4. — On
— Soit f une fonction borélienne de X x Y dans [−∞, +∞] telle que l'application y f' (x, y) est s. c. s. pour presque tout x. Soit g une intégrande positive normale sur X x Y telle que f+ = Sup (0, f) g. Alors G. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A—841 pour tout, on a et l'application (f) est s. c. s. de M (g) dans PROPOSITION 3. — Soit f une intégrande positive normale sur X x Rk; Dans la suite, on suppose Y = Rk. COROLLARY. — Soit g une intégrande positive normale sur X x Rk telle que g > II, où Pour on peut définir R*) par L'application est continue de M (g) dans L1 (X, m, Rk) faible. Du théorème 3 et de la proposition 3 on déduit un résultat de relaxation : THÉORÈME 4. — On suppose la mesure m (= dx) sans atomes. Soient f une fonction de Carathéodory de X x (R1 x Rk) dans R et g, g1, ..., gn, h des intégrandes positives normales sur X x Rk telles que : Soit une application continue de faible dans hp (X, R') fort, où On considère les problèmes : Le problème relaxé (PR) a une solution optimale et le minimum de (PR) est égal à la borne inférieure du problème original (PO). De toute suite minimisante de $(PO)$ on peut extraire une sous-suite qui converge vaguement (c'est-à-dire dont l'image par $a$ converge dans $M$) vers une solution optimale de $(PR)$. LEMME. — Soient $f$ une fonction de Carathéodory de $X \times (R' \times RA)$ à valeurs dans $R_+$, $g$ une intégrande positive normale sur $X \times R^k$ telle que $g > H$, et $f(x, z, y) \geq g(x, y)$ pour tout $(x, z, y) \in X \times R^1 \times R^k$. On note $f^{**}$ la convexifiée s.c.i. de $f$ par rapport à la troisième variable [Moreau (9)]; c'est une intégrande positive normale sur $X \times (R' \times R'')$. COROLLAIRE. — Soient $f, f^{**}$ et $g$ les fonctions introduites dans le lemme. On suppose de
où On considère les problèmes : Le problème relaxé (PR) a une solution optimale et le minimum de (PR) est égal à la borne inférieure du problème original (PO). De toute suite minimisante de $(PO)$ on peut extraire une sous-suite qui converge vaguement (c'est-à-dire dont l'image par $a$ converge dans $M$) vers une solution optimale de $(PR)$. LEMME. — Soient $f$ une fonction de Carathéodory de $X \times (R' \times RA)$ à valeurs dans $R_+$, $g$ une intégrande positive normale sur $X \times R^k$ telle que $g > H$, et $f(x, z, y) \geq g(x, y)$ pour tout $(x, z, y) \in X \times R^1 \times R^k$. On note $f^{**}$ la convexifiée s.c.i. de $f$ par rapport à la troisième variable [Moreau (9)]; c'est une intégrande positive normale sur $X \times (R' \times R'')$. COROLLAIRE. — Soient $f, f^{**}$ et $g$ les fonctions introduites dans le lemme. On suppose de plus, que : Soit $y - y z$ une application continue de $L^1 (X, RA)$ faible dans $(X, R')$ forte. On considère les problèmes : Le problème $(P^{**})$ a une solution optimale et le minimum de $(P^{**})$ est égal à la borne inférieure de $(P)$. De toute suite minimisante du problème $(P)$ on peut extraire une sous-suite convergeant faiblement vers une solution du problème $(P^{**})$. Le théorème 4 et son corollaire étendent les résultats obtenus par Ekeland (3) et par Berliozci-Lasry (1). Ils s'appliquent aux exemples donnés précédemment dans (1). (*) Séance du 28 février 1972. (1) BERLIOTCHI-LASRY, Comptes rendus, 273, série A, 1971, p. 1222. (2) BOURBAKI, Intégration, Hermann, Paris, chap. 4 et 5. (3) CASTAING, Comptes rendus, 271, série A, 1970, p. 396. (4) CASTAING, Thèse, Faculté des Sciences de Caen, 1967. (5) EKELAND, J. Funct. Analysis, 9, n° 1, 1972. (6) IOFFE-TIKHOMIROV, Russian Math. Rev., 23, n° 6, 1965, (7) KURATOWSKI et RYLL-NARDZEWSKI, Bull. Acad. Se. Polonaise, 13, 1965, p. 397-403. (8) LYAPUNOV, Bull Acad. Se. U. R. S. S., 4, 1940, p. 465-478. (9) MOREAU, Séminaire Leray, 1966-1967, Collège de France. (10) ROCKAFELLER, J. Math. Anal., 28, 1969, p. 43. (11) SCORZA-DRAGONI, Séminario Math. Universita di
problème $(P)$ on peut extraire une sous-suite convergeant faiblement vers une solution du problème $(P^{**})$. Le théorème 4 et son corollaire étendent les résultats obtenus par Ekeland (3) et par Berliozci-Lasry (1). Ils s'appliquent aux exemples donnés précédemment dans (1). (*) Séance du 28 février 1972. (1) BERLIOTCHI-LASRY, Comptes rendus, 273, série A, 1971, p. 1222. (2) BOURBAKI, Intégration, Hermann, Paris, chap. 4 et 5. (3) CASTAING, Comptes rendus, 271, série A, 1970, p. 396. (4) CASTAING, Thèse, Faculté des Sciences de Caen, 1967. (5) EKELAND, J. Funct. Analysis, 9, n° 1, 1972. (6) IOFFE-TIKHOMIROV, Russian Math. Rev., 23, n° 6, 1965, (7) KURATOWSKI et RYLL-NARDZEWSKI, Bull. Acad. Se. Polonaise, 13, 1965, p. 397-403. (8) LYAPUNOV, Bull Acad. Se. U. R. S. S., 4, 1940, p. 465-478. (9) MOREAU, Séminaire Leray, 1966-1967, Collège de France. (10) ROCKAFELLER, J. Math. Anal., 28, 1969, p. 43. (11) SCORZA-DRAGONI, Séminario Math. Universita di Padova, 17, n° 1, 1948. (12) VALADIER, Thèse, Faculté des Sciences de Paris, 1970. H. B. : 174, rue Lecœurbé, 75-Paris, 15e (E. N. S., Saint-Cloud); J.-M. L. : 18, avenue de la Motte-Picquet, 75-Paris, 7e (C. N. R. S., ERA n° 249). ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES. Stabilité de solutions d'équations hyperboliques non linéaires. Application à l'espace-temps de Minkowski en Relativité générale. Note (*) de Mme YVONNE CHOQUET-BRUHAT, présentée par M. Jean Leray. Nous montrons que, pour une équation hyperbolique quasi-linéaire d'ordre m, sur R', admettant une solution globale (régulière) u0 correspondant à des données de Cauchy (hypersurface spatiale de R'), il existe, quel que soit T > 0, un voisinage de ces données de Cauchy tel que l'équation ait une solution (régulière) sur [−T, T] pour toutes les données de Cauchy. Ce théorème, joint au théorème précédemment démontré pour les équations des contraintes en Relativité générale, démontre l'existence sur toute bande R1 x [− T, T] de solutions voisines de la solution de Minkovski des équations d'Einstein. La démonstration utilise la théorie de Leray des équations hyperboliques dans les espaces de Sobolev Hp. et le théorème des fonctions implicites. 1. DÉFINITIONS. — On considère une équation aux dérivées partielles
d'équations hyperboliques non linéaires. Application à l'espace-temps de Minkowski en Relativité générale. Note (*) de Mme YVONNE CHOQUET-BRUHAT, présentée par M. Jean Leray. Nous montrons que, pour une équation hyperbolique quasi-linéaire d'ordre m, sur R', admettant une solution globale (régulière) u0 correspondant à des données de Cauchy (hypersurface spatiale de R'), il existe, quel que soit T > 0, un voisinage de ces données de Cauchy tel que l'équation ait une solution (régulière) sur [−T, T] pour toutes les données de Cauchy. Ce théorème, joint au théorème précédemment démontré pour les équations des contraintes en Relativité générale, démontre l'existence sur toute bande R1 x [− T, T] de solutions voisines de la solution de Minkovski des équations d'Einstein. La démonstration utilise la théorie de Leray des équations hyperboliques dans les espaces de Sobolev Hp. et le théorème des fonctions implicites. 1. DÉFINITIONS. — On considère une équation aux dérivées partielles quasi-linéaire, d'ordre m, sur R'. Dm désigne l'ensemble des dérivations d'ordre m, Dm celles d'ordre m. Nous supposons, pour simplifier l'exposé, que les variables ne figurent pas dans les coefficients, non plus que les dérivées d'ordre m − 1 dans les coefficients principaux. Les résultats peuvent être obtenus en supprimant ces hypothèses simplificatrices. Nous désignerons par XT la bande R/_1 x [−T, T], par LL. (XT) l'espace de Sobolev usuel sur XT. Nous supposerons toujours désormais 1/2 + m − 1. Nous ferons sur a et b l'hypothèse habituelle des théorèmes de Leray (1) précisés par Dionne (2): Hypothèse 1. — Si { (Dm1 u) (x) Y, ouvert de RN, a et b sont des fonctions C°~~ des (Dm2 u) (x) et (Dm1 u) (x), a est hyperbolique strict et x° = Cte régulièrement spatial. On sait que, puisque il existe un ouvert O dans EL. (XT) tel que eu entraîne { (Dm1 u) (x) }€ Y, pour tout €XT. Nous considérons pour (1) le problème de Cauchy sur S (x° = 0) de donnée = { tel que: Hypothèse 2. — Dx étant une dérivation d'ordre | A |, on a et, Y0 désignant un compact inclus dans Y:
ces hypothèses simplificatrices. Nous désignerons par XT la bande R/_1 x [−T, T], par LL. (XT) l'espace de Sobolev usuel sur XT. Nous supposerons toujours désormais 1/2 + m − 1. Nous ferons sur a et b l'hypothèse habituelle des théorèmes de Leray (1) précisés par Dionne (2): Hypothèse 1. — Si { (Dm1 u) (x) Y, ouvert de RN, a et b sont des fonctions C°~~ des (Dm2 u) (x) et (Dm1 u) (x), a est hyperbolique strict et x° = Cte régulièrement spatial. On sait que, puisque il existe un ouvert O dans EL. (XT) tel que eu entraîne { (Dm1 u) (x) }€ Y, pour tout €XT. Nous considérons pour (1) le problème de Cauchy sur S (x° = 0) de donnée = { tel que: Hypothèse 2. — Dx étant une dérivation d'ordre | A |, on a et, Y0 désignant un compact inclus dans Y: Nous supposerons, d'autre part: Hypothèse 3. — Le problème (1), (2) admet pour une solution 2. ÉQUATIONS DÉRIVÉES. — Dérivons (1) par rapport à x°. On obtient une équation d'ordre m + 1: Le problème de Cauchy pour (1), dérivé de (2) et (1) par des méthodes standard, sera encore désigné par f. Sous les hypothèses faites, on a Soit p (XT), remplaçons dans (1)' toute dérivée Da », | oc | ^ m − 1, par Da p; on obtient une équation hyperbolique, linéaire, d'ordre m +1, de la forme: dont les coefficients sont dans PROPOSITION 1. — La résolution du problème de Cauchy pour l'équation (3), avec définit une application C1 de dans (XT). Preuve. — Le théorème d'existence (global) de Leray-Dionne du cas linéaire assure la définition de cette application et le fait que On montre que cette application est différentiable et admet pour différentielle l'application linéaire continue: telle que [ci-dessous noté alors que est noté soit la solution, dans de l'équation linéaire hyperbolique d'ordre m + 1 à coefficients dans (XT) solution du problème de Cauchy dépend continuément de et C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 845 Désignons par
désigné par f. Sous les hypothèses faites, on a Soit p (XT), remplaçons dans (1)' toute dérivée Da », | oc | ^ m − 1, par Da p; on obtient une équation hyperbolique, linéaire, d'ordre m +1, de la forme: dont les coefficients sont dans PROPOSITION 1. — La résolution du problème de Cauchy pour l'équation (3), avec définit une application C1 de dans (XT). Preuve. — Le théorème d'existence (global) de Leray-Dionne du cas linéaire assure la définition de cette application et le fait que On montre que cette application est différentiable et admet pour différentielle l'application linéaire continue: telle que [ci-dessous noté alors que est noté soit la solution, dans de l'équation linéaire hyperbolique d'ordre m + 1 à coefficients dans (XT) solution du problème de Cauchy dépend continuément de et C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 845 Désignons par la dérivée partielle de par rapport à v, application linéaire continue de LL. (XT) dans lui-même. PROPOSITION 2. L'application id est un isomorphisme de (XT): Preuve. — h [avec AeH(l(XT)] est la solution, unique, continue en h, nulle pour h = 0, de l'équation linéaire (4), où l'on fait = u0, pour les données de Cauchy On vérifie que l'application linéaire continue injective est surjective en écrivant une équation déduite de (4) vérifiée par h = k. Nous pouvons, vu les propositions 1 et 2, appliquer le théorème des fonctions implicites à l'équation u = F(u, = 0, qui est équivalente au problème (1)', (2)', au voisinage de la solution Une solution du problème (1)', (2)', vérifiant aussi (1), (2) (théorème d'unicité de Leray-Dionne), on a : 3. THÉORÈME. — Sous les hypothèses 1, 2 et 3, il existe un voisinage tel que, pour tout problème de Cauchy l'équation (1) ait une solution où WT (u0) est un voisinage de u0 dans 4. APPLICATION A LA STABILITÉ DE L'ESPACE-TEMPS DE MINKOVSKI. — Le système d'Einstein en coordonnées harmoniques est essentiellement du type (1). On vérifie les hypothèses 1, 2, 3 en prenant u = r - g (avec métrique de
u0, pour les données de Cauchy On vérifie que l'application linéaire continue injective est surjective en écrivant une équation déduite de (4) vérifiée par h = k. Nous pouvons, vu les propositions 1 et 2, appliquer le théorème des fonctions implicites à l'équation u = F(u, = 0, qui est équivalente au problème (1)', (2)', au voisinage de la solution Une solution du problème (1)', (2)', vérifiant aussi (1), (2) (théorème d'unicité de Leray-Dionne), on a : 3. THÉORÈME. — Sous les hypothèses 1, 2 et 3, il existe un voisinage tel que, pour tout problème de Cauchy l'équation (1) ait une solution où WT (u0) est un voisinage de u0 dans 4. APPLICATION A LA STABILITÉ DE L'ESPACE-TEMPS DE MINKOVSKI. — Le système d'Einstein en coordonnées harmoniques est essentiellement du type (1). On vérifie les hypothèses 1, 2, 3 en prenant u = r - g (avec métrique de Minkovski), on a la solution globale (dans le vide) Mo = 0 pour = 0. L'étude précédente, jointe aux résultats classiques concernant les coordonnées harmoniques et le problème de Cauchy donne le THÉORÈME. — Pour tout T > 0, il existe un voisinage VT des données initiales minkovskiennes sur R 3, et un voisinage WT de l'espace-temps de Minkovski sur T], tels que à toute donnée initiale compatible avec les contraintes, corresponde un espace-temps einsteinien du vide L'existence de telles données initiales (non minkovskiennes) résulte des travaux de H. Araki, D. Brill, A Vaillant. Leur étude fera l'objet d'un prochain travail. (*) Séance du 21 février 1972. (1) J. LERAY, Hyperbolic differential equations, Princeton, 1952, (2) P. DIONNE, J. Anal. Jérusalem, 1962. U. E. R. 49, Mécanique, Université Paris VI, 11, quai Saint-Bernard, 75-Paris. 5e. 846 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) ANALYSE NUMÉRIQUE. — Mise en œuvre de schémas A-stables du type de Runge-Kutta pour l'intégration des systèmes différentiels. Note (*) de MM. RENÉ ALT et FRANCIS CESCHINO, transmise par M. Léopold Escande. On propose deux schémas d'ordres 3 et 4, ayant la propriété très forte de A-stabilité au sens de Dahlquist
3, et un voisinage WT de l'espace-temps de Minkovski sur T], tels que à toute donnée initiale compatible avec les contraintes, corresponde un espace-temps einsteinien du vide L'existence de telles données initiales (non minkovskiennes) résulte des travaux de H. Araki, D. Brill, A Vaillant. Leur étude fera l'objet d'un prochain travail. (*) Séance du 21 février 1972. (1) J. LERAY, Hyperbolic differential equations, Princeton, 1952, (2) P. DIONNE, J. Anal. Jérusalem, 1962. U. E. R. 49, Mécanique, Université Paris VI, 11, quai Saint-Bernard, 75-Paris. 5e. 846 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) ANALYSE NUMÉRIQUE. — Mise en œuvre de schémas A-stables du type de Runge-Kutta pour l'intégration des systèmes différentiels. Note (*) de MM. RENÉ ALT et FRANCIS CESCHINO, transmise par M. Léopold Escande. On propose deux schémas d'ordres 3 et 4, ayant la propriété très forte de A-stabilité au sens de Dahlquist (3). On donne, en outre, pour chacun, un procédé de contrôle de l'erreur de discrétisation et de détermination du pas d'intégration. On désire résoudre numériquement l'équation : où p et où l'on suppose que la fonction f vérifie les conditions d'existence et d'unicité de la solution dans l'intervalle et que y admet des dérivées au sens de Fréchet jusqu'à l'ordre qui sera nécessaire. DÉFINITION 1. — Un schéma numérique à un pas : yn+1 est A-stable si, lorsque appliqué à toute équation scalaire de la forme DÉFINITION 2. — Un schéma du type de Runge-Kutta simplement implicite (2) de rang q est défini par . h désignant le pas d'intégration, les a et b des paramètres (non indépendants). Remarque. — À titre de comparaison, dans le cas où (1) est linéaire, un schéma totalement implicite (Vi = q, V i) nécessite à chaque pas le calcul de q2 éléments et de l'ordre de q3 p3j3 opérations arithmétiques (résolution de système linéaire), alors que pour un schéma simplement implicite, ces nombres sont ramenés à Les paramètres a et b étant choisis convenablement, les deux méthodes proposées, notées RKSI 3 et RKSI 4, sont respectivement d'ordre 3 et 4. Les coefficients an.
y admet des dérivées au sens de Fréchet jusqu'à l'ordre qui sera nécessaire. DÉFINITION 1. — Un schéma numérique à un pas : yn+1 est A-stable si, lorsque appliqué à toute équation scalaire de la forme DÉFINITION 2. — Un schéma du type de Runge-Kutta simplement implicite (2) de rang q est défini par . h désignant le pas d'intégration, les a et b des paramètres (non indépendants). Remarque. — À titre de comparaison, dans le cas où (1) est linéaire, un schéma totalement implicite (Vi = q, V i) nécessite à chaque pas le calcul de q2 éléments et de l'ordre de q3 p3j3 opérations arithmétiques (résolution de système linéaire), alors que pour un schéma simplement implicite, ces nombres sont ramenés à Les paramètres a et b étant choisis convenablement, les deux méthodes proposées, notées RKSI 3 et RKSI 4, sont respectivement d'ordre 3 et 4. Les coefficients an. s'expriment en fonction des (L soit : C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 847 C. Lemaréchal (4) a démontré que pour que ces méthodes soient A-stables, il est suffisant que l'on ait : pour q pour 1. On peut montrer que ces conditions sont aussi nécessaires. En effet, lorsqu'on applique l'un ou l'autre schéma à l'équation y' = -y, et qu'on remplace les ay par les expressions ci-dessus, on obtient où R (A) est une fraction rationnelle en A dont les coefficients sont des polynômes en 9. Pour que RKSI 3 et RKSI 4 soient A-stables, il faut et il suffit que pour soit, d'après le principe du maximum : (a) | pour die = 0; (P) 'R.(A) holomorphe dans le demi-plan La condition ((3) conduit à prendre les au strictement positifs. La condition (a) s'exprime simplement en fonction de G si q = 2 ; pour q = 3, l'expression de R est nettement plus compliquée, et l'on est conduit à l'étude assez laborieuse du signe d'un polynôme de degré 8 à deux variables. Pour plus de précision, voir Alt (1). On trouve que (a) et ((3) sont équivalentes à : L'évaluation
sont aussi nécessaires. En effet, lorsqu'on applique l'un ou l'autre schéma à l'équation y' = -y, et qu'on remplace les ay par les expressions ci-dessus, on obtient où R (A) est une fraction rationnelle en A dont les coefficients sont des polynômes en 9. Pour que RKSI 3 et RKSI 4 soient A-stables, il faut et il suffit que pour soit, d'après le principe du maximum : (a) | pour die = 0; (P) 'R.(A) holomorphe dans le demi-plan La condition ((3) conduit à prendre les au strictement positifs. La condition (a) s'exprime simplement en fonction de G si q = 2 ; pour q = 3, l'expression de R est nettement plus compliquée, et l'on est conduit à l'étude assez laborieuse du signe d'un polynôme de degré 8 à deux variables. Pour plus de précision, voir Alt (1). On trouve que (a) et ((3) sont équivalentes à : L'évaluation de l'erreur de discrétisation est faite par différence (sur un pas) entre les résultats donnés par RKSI 3 (ou RKSI 4) et par une méthode de Runge-Kutta explicite notée RKE 4 (ou RKE 5), d'ordre immédiatement supérieur. La méthode explicite n'est pas A-stable, mais l'instabilité ne se déclare pas sur un seul pas. En faisant coïncider certaines des abscisses intermédiaires Té de RKE 4 ou 5 avec des il est possible de ramener le nombre, par pas, d'évaluations de f dans le schéma complet (nombre qui caractérise numériquement le coût d'une méthode) à celui de la méthode RKE 4 ou 5 — non compris, évidemment, la résolution du système (2). Ce choix 848 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) fournit en outre une initialisation pour la résolution itérative des équations implicites dans le cas non linéaire. On dispose alors d'un certain nombre de paramètres arbitraires, à savoir : Si q = 2, G (à choisir > 1) et l'abscisse T1 du schéma RKE 4. Si q (à choisir > 1) et les abscisses T2 et T3 du schéma RKE 5 (en réalité, la façon dont a été mené le calcul des coefficients nous