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que \(A[X]_q\) est isomorphe à un localisé de \(A[X]\), On termine en utilisant [(10), th. 1] et le lemme 2. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 823 PROPOSITION 6. — Soit \(q\) un entier non nul. Soit \(A[[X]]\) l'anneau des séries formelles à une indéterminée \(X\). Si \(A\) est un Gq-anneau, alors: (i) \(A[[X]]\) vérifie la condition (Sq); (ii) Pour tout idéal maximal \(m\) de \(A[[X]]\) de hauteur inférieure ou égale à \(q - 1\), le localisé \(A[[X]]_m\) est de Gorenstein. Utiliser d'abord [(11), (7.6.2)] et [(10), th. 4]. Cette proposition démontre partiellement la conjecture de [(5), p. 1350]. (*) Séance du 21 février 1972. (1) ISCHEBECK, J. Algebra, 11, 1969, p. 510-531. (2) AUSLANDER et BRIDGER, Memoirs Amer. Math. Soc, n° 94, Stable module theory, 1969. (3) M.-P. MALLIAVIN, Bull. Soc. Math. Fr., 96, 1968, p. 193-196. (4) J. DIEUDONNÉ, Topics in local algebra, Notre Dame, Indiana, 1967. (5) W. V. VASCONCELOS, Proc. Amer. Math. Soc, 19, 1968, p. 1349-1355. (6) R. FOSSUM, Math. Scand., 26, 1970, p. 165-176. (7) H. BASS, Math. Z., 82, 1963, p. 8-28. (8) AUSLANDER, Nagoya J. Math., 27, 1966, p. 361-369. (9) WATANABE, ISHIKAWA, TACHIBANA et OTSUKA, J. Math. Kyoto Univ., 9-3, 1969, p. 413-423. (10) T. MILLEVOI, Seminario. Math. Univ. Padova, 41, 1968, p. 319-325. (11) I. H. E. S., E. G. A., n° 4, 1960. Université de Caen, Esplanade de la Paix, 14-Caen, Calvados. 824 — Série A C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) ALGÈBRES DE LIE. — Polynômes invariants sur les algèbres de Lie banachiques complexes classiques d'opérateurs compacts dans l'espace hilbertien. Note (*) de M. PIERRE DE LA HARPE et ROALD RAMER, présentée par M. André Lichnerowicz. Soit \(G\) un groupe de Lie banachique complexe d'opérateurs compacts dans un espace de Hilbert, \(g\) son algèbre de Lie, \(u\) la forme compacte de \(g\), et \(U\) le groupe réel classique qui correspond à \(u\). Soit \(Ic(G)\) [resp. \(Ic(U)\)] l'algèbre graduée des fonctions polynômes continues de \(g\) dans \(G\) [resp. de \(u\) dans \(\mathbb{R}\)] qui sont invariantes par l'action adjointe
OTSUKA, J. Math. Kyoto Univ., 9-3, 1969, p. 413-423. (10) T. MILLEVOI, Seminario. Math. Univ. Padova, 41, 1968, p. 319-325. (11) I. H. E. S., E. G. A., n° 4, 1960. Université de Caen, Esplanade de la Paix, 14-Caen, Calvados. 824 — Série A C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) ALGÈBRES DE LIE. — Polynômes invariants sur les algèbres de Lie banachiques complexes classiques d'opérateurs compacts dans l'espace hilbertien. Note (*) de M. PIERRE DE LA HARPE et ROALD RAMER, présentée par M. André Lichnerowicz. Soit \(G\) un groupe de Lie banachique complexe d'opérateurs compacts dans un espace de Hilbert, \(g\) son algèbre de Lie, \(u\) la forme compacte de \(g\), et \(U\) le groupe réel classique qui correspond à \(u\). Soit \(Ic(G)\) [resp. \(Ic(U)\)] l'algèbre graduée des fonctions polynômes continues de \(g\) dans \(G\) [resp. de \(u\) dans \(\mathbb{R}\)] qui sont invariantes par l'action adjointe du groupe \(G\) [resp. \(U\)]. De même qu'en dimensions finies, la relation \(Ic(G) = Ic(U) \otimes_\mathbb{R} G\) est banalement vraie. Nous nous proposons ici de calculer \(Ic(G)\), en vue d'applications aux espaces classifiants des fibres vectoriels de dimension finie, et selon le projet esquissé dans une Note récente (G). Selon les notations que nous avons déjà utilisées dans le même contexte (5), les algèbres de Lie banachiques complexes classiques d'opérateurs compacts dans l'espace de Hilbert se répartissent en trois classes: Chacune de ces algèbres possède une unique forme compacte, définie explicite dans (4) pour le cas \(p = 2\): où \(H\) [resp. \(HR\), \(HQ\)] est un espace de Hilbert complexe [resp. réel, quaternionien], séparable et de dimension infinie. Classe 'A. — Fixons \(p \in \mathbb{R}\), \(1 < p < \infty\), et soit \(U = U(H; L^p C)\) le groupe unitaire d'algèbre de Lie \(u(H; L^p C)\). À toute base orthonormale \((e_n)_{n \in \mathbb{N}}\) de \(H\) correspond un tore maximal \(T\) dans \(U\), formé des opérateurs de \(U\) dont la représentation matricielle relativement à \((e_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est diagonale. Soit \(t\) l'algèbre de Lie de \(T\). En tant qu'espace de Banach, \(t\) est isomorphe à l'espace de suites si \(p <
les notations que nous avons déjà utilisées dans le même contexte (5), les algèbres de Lie banachiques complexes classiques d'opérateurs compacts dans l'espace de Hilbert se répartissent en trois classes: Chacune de ces algèbres possède une unique forme compacte, définie explicite dans (4) pour le cas \(p = 2\): où \(H\) [resp. \(HR\), \(HQ\)] est un espace de Hilbert complexe [resp. réel, quaternionien], séparable et de dimension infinie. Classe 'A. — Fixons \(p \in \mathbb{R}\), \(1 < p < \infty\), et soit \(U = U(H; L^p C)\) le groupe unitaire d'algèbre de Lie \(u(H; L^p C)\). À toute base orthonormale \((e_n)_{n \in \mathbb{N}}\) de \(H\) correspond un tore maximal \(T\) dans \(U\), formé des opérateurs de \(U\) dont la représentation matricielle relativement à \((e_n)_{n \in \mathbb{N}}\) est diagonale. Soit \(t\) l'algèbre de Lie de \(T\). En tant qu'espace de Banach, \(t\) est isomorphe à l'espace de suites si \(p < \infty\), et à l'espace \(c_\mathbb{R}\) si \(p = \infty\); la base \((e_n)_{n \in \mathbb{N}}\) définit l'isomorphisme \(j\) de \(c_\mathbb{R}\) sur \(t\) qui envoie la suite \((x_n)_{n \in \mathbb{N}}\) sur l'opérateur de matrice Diag \((e_nx_n)_{n \in \mathbb{N}}\). De même qu'en dimensions finies [voir, par exemple, (8)], on va ramener le calcul de \(Ic(G)\), c'est-à-dire de \(Ic(U)\), à un problème facile concernant \(c_\mathbb{R}\). Définissons encore \(N = \{ X \in U | X t X^{-1} \in t\}\), qui est un sous-groupe de \(U\), et l'espace \(Ic(T)_N\) des fonctions invariantes par l'action adjointe de \(N\) sur \(t\), qui est une sous-algèbre graduée de \(Ic(T)\). C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 825 LEMME 1. — L'application de restriction \(Ic(U) \to Ic(T)_N\) est un morphisme injectif. Preuve. — La seule chose à prouver est l'injectivité. Vu le théorème spectral pour les dimensions finies, tout opérateur de rang fini dans \(u\) est conjugué à un élément de \(t\) par un automorphisme intérieur de \(U\). Comme les éléments de rang fini sont denses dans \(u\), l'injectivité en résulte. Nous verrons plus bas que le morphisme est aussi surjectif. Soit \(Pc(Zg)\) l'algèbre graduée des fonctions polynômes sur \(\mathbb{Z}\), continues et à
de \(Ic(G)\), c'est-à-dire de \(Ic(U)\), à un problème facile concernant \(c_\mathbb{R}\). Définissons encore \(N = \{ X \in U | X t X^{-1} \in t\}\), qui est un sous-groupe de \(U\), et l'espace \(Ic(T)_N\) des fonctions invariantes par l'action adjointe de \(N\) sur \(t\), qui est une sous-algèbre graduée de \(Ic(T)\). C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 825 LEMME 1. — L'application de restriction \(Ic(U) \to Ic(T)_N\) est un morphisme injectif. Preuve. — La seule chose à prouver est l'injectivité. Vu le théorème spectral pour les dimensions finies, tout opérateur de rang fini dans \(u\) est conjugué à un élément de \(t\) par un automorphisme intérieur de \(U\). Comme les éléments de rang fini sont denses dans \(u\), l'injectivité en résulte. Nous verrons plus bas que le morphisme est aussi surjectif. Soit \(Pc(Zg)\) l'algèbre graduée des fonctions polynômes sur \(\mathbb{Z}\), continues et à valeurs réelles (modifications évidentes lorsque \(p = \infty\)). Soit \(WA\) le groupe des permutations finies de l'ensemble des entiers naturels. [Remarquons que \(WA\) est le groupe de Weyl (1) de la \(L^*\)-algèbre \(gl(H; L^2 C)\).] Le groupe \(WA\) agit de façon naturelle dans \(Pc(Zg)\) et les éléments \(WA\)-invariants forment une sous-algèbre graduée notée \(Pc(\mathbb{Z})_{WA}\). Pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à \(p\), soit \(b_k\) la fonction réelle sur \(\mathbb{Z}\) définie par LEMME 2. — L'algèbre \(Pc(\mathbb{Z})_{WA}\) est une algèbre de polynômes dont \((b_k)_{k \in \mathbb{N},\,k \geq p}\) est un système de générateurs. Esquisse de la preuve. — Considérons d'abord le cas p = 1. On peut écrire tout élément homogène de degré k en fonction de ses valeurs sur les k-uplets de vecteurs de la base canonique dans R. Modulo des manipulations de séries convergentes, la WA-invariance de l'élément choisi implique qu'il peut s'écrire comme un polynôme en les bn, avec n ∈ N, n ≤ k. Le cas général (p ≠ 1) découle immédiatement du cas particulier (p = 1) vu que les injections de R dans ZR sont denses. Remarquons que l'algèbre est réduite à ses éléments homogènes de degré zéro lorsque p=po. Le lemme 2 peut
sous-algèbre graduée notée \(Pc(\mathbb{Z})_{WA}\). Pour tout entier \(k\) supérieur ou égal à \(p\), soit \(b_k\) la fonction réelle sur \(\mathbb{Z}\) définie par LEMME 2. — L'algèbre \(Pc(\mathbb{Z})_{WA}\) est une algèbre de polynômes dont \((b_k)_{k \in \mathbb{N},\,k \geq p}\) est un système de générateurs. Esquisse de la preuve. — Considérons d'abord le cas p = 1. On peut écrire tout élément homogène de degré k en fonction de ses valeurs sur les k-uplets de vecteurs de la base canonique dans R. Modulo des manipulations de séries convergentes, la WA-invariance de l'élément choisi implique qu'il peut s'écrire comme un polynôme en les bn, avec n ∈ N, n ≤ k. Le cas général (p ≠ 1) découle immédiatement du cas particulier (p = 1) vu que les injections de R dans ZR sont denses. Remarquons que l'algèbre est réduite à ses éléments homogènes de degré zéro lorsque p=po. Le lemme 2 peut être considéré comme une variété du théorème de Newton sur les fonctions symétriques. Soit j : R → Z le morphisme défini plus haut et soit j* : Ic (T)N → Pc (ZR) l'application induite, qui est un morphisme injectif d'algèbres graduées. Considérons l'ensemble des opérateurs unitaires dans H qui permutent deux vecteurs de l'espace N et qui conservent les autres. Cet ensemble étant contenu dans le sous-groupe N de U, l'image de j* est, en fait, dans Pc (ZR)WA. Comme j* (Bk) = bk, la surjectivité de j* résulte du lemme 2. PROPOSITION A. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit U = U(H;LPC). L'algèbre graduée Ic (U) est une algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée par l'identité et la famille (Bk)kN,kp, où Bk est la fonction Si p = ∞, elle est isomorphe au corps des réels. Preuve. — Il suffit de montrer que l'application du lemme 1 est surjective, ce qui résulte trivialement du fait que cette application envoie B* sur Bk, pour tous les entiers k supérieurs à p. Remarque. — Si p = 1, il y a d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (U), qui
permutent deux vecteurs de l'espace N et qui conservent les autres. Cet ensemble étant contenu dans le sous-groupe N de U, l'image de j* est, en fait, dans Pc (ZR)WA. Comme j* (Bk) = bk, la surjectivité de j* résulte du lemme 2. PROPOSITION A. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit U = U(H;LPC). L'algèbre graduée Ic (U) est une algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée par l'identité et la famille (Bk)kN,kp, où Bk est la fonction Si p = ∞, elle est isomorphe au corps des réels. Preuve. — Il suffit de montrer que l'application du lemme 1 est surjective, ce qui résulte trivialement du fait que cette application envoie B* sur Bk, pour tous les entiers k supérieurs à p. Remarque. — Si p = 1, il y a d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (U), qui sont les fonctions invariantes et les fonctions invariantes duales de Chern. Ces deux choix ne sont pas possibles si p > 1, ce qui est à rapprocher des conclusions d'une Note antérieure. Classes B et C. — Soit HR l'espace de Hilbert réel; fixons p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit O (HR; Lp C) le groupe classique correspondant à O (HR; Lp C). L'algèbre Ic (O (HR; Lp C)) se calcule essentiellement comme Ic (U). Il faut remplacer le groupe WA par l'un des groupes WB et WD, qui sont formés des permutations finies de l'ensemble des entiers naturels accompagnées des changements de signes convenables; ces deux groupes sont isomorphes aux groupes de Weyl de la L*-algèbre simple complexe de type B [on obtient l'un ou l'autre selon le type de l'a sous-algèbre de Cartan choisie dans la L*-algèbre]. PROPOSITION B. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit O = O (HR; Lp C). L'algèbre graduée Ic (O) est une algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée par l'identité et la famille (K2k)kN,2k p, où K2k est la fonction Si p = ∞, elle est isomorphe au corps
< ∞ et soit O (HR; Lp C) le groupe classique correspondant à O (HR; Lp C). L'algèbre Ic (O (HR; Lp C)) se calcule essentiellement comme Ic (U). Il faut remplacer le groupe WA par l'un des groupes WB et WD, qui sont formés des permutations finies de l'ensemble des entiers naturels accompagnées des changements de signes convenables; ces deux groupes sont isomorphes aux groupes de Weyl de la L*-algèbre simple complexe de type B [on obtient l'un ou l'autre selon le type de l'a sous-algèbre de Cartan choisie dans la L*-algèbre]. PROPOSITION B. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit O = O (HR; Lp C). L'algèbre graduée Ic (O) est une algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée par l'identité et la famille (K2k)kN,2k p, où K2k est la fonction Si p = ∞, elle est isomorphe au corps des réels. Remarque. — Si p ≠ 2, on peut de nouveau remplacer (Ksj)k6Hifel par d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (O), qui sont les fonctions invariantes et les fonctions invariantes duales de Pontrjagin. PROPOSITION C. — Soit p comme dans la proposition B et soit L'algèbre Ic (Sp) est isomorphe à Ic (O). Remarques. — Soit g l'une des algèbres gl(H; L1 C), O(H, JR; Lp C), sp (H, JR; Lp C), avec p ∈ R, 1 < p < ∞; soit G le groupe classique correspondant. En comparant les résultats de cette Note avec ceux d'un autre travail [voir (3), muni de son errata], on voit que l'algèbre Ic (G) est isomorphe à l'algèbre de cohomologie réelle de la grassmannienne ad hoc, c'est-à-dire d'un espace classifiant pour les fibres vectoriels. L'isomorphisme n'a pas lieu pour des valeurs arbitraires de p. Soit g comme immédiatement ci-dessus. Soit J*(g) l'algèbre des cocycles continus invariants sur g, à valeurs scalaires. À chacun des cocycles primitifs calculés, par Dynkin pour le cas des dimensions finies [voir références dans (7)], on peut associer dans J*c (g) un cocycle défini formellement de la même manière. L'algèbre J*(g) est alors isomorphe à l'algèbre extérieure
est isomorphe à Ic (O). Remarques. — Soit g l'une des algèbres gl(H; L1 C), O(H, JR; Lp C), sp (H, JR; Lp C), avec p ∈ R, 1 < p < ∞; soit G le groupe classique correspondant. En comparant les résultats de cette Note avec ceux d'un autre travail [voir (3), muni de son errata], on voit que l'algèbre Ic (G) est isomorphe à l'algèbre de cohomologie réelle de la grassmannienne ad hoc, c'est-à-dire d'un espace classifiant pour les fibres vectoriels. L'isomorphisme n'a pas lieu pour des valeurs arbitraires de p. Soit g comme immédiatement ci-dessus. Soit J*(g) l'algèbre des cocycles continus invariants sur g, à valeurs scalaires. À chacun des cocycles primitifs calculés, par Dynkin pour le cas des dimensions finies [voir références dans (7)], on peut associer dans J*c (g) un cocycle défini formellement de la même manière. L'algèbre J*(g) est alors isomorphe à l'algèbre extérieure engendrée par ces cocycles « primitifs ». Chacun d'entre eux peut être mis en parallèle avec les générateurs des algèbres de polynômes dont la liste est donnée aux propositions A, B et C. Cette correspondance généralise aux algèbres de Lie du titre certains aspects de la théorie de la transgression. Cette Note s'insère donc dans un projet plus étendu qui consiste à étudier l'algèbre de Weil d'une algèbre de Lie banachique complexe classique d'opérateurs nucléaires dans l'espace hilbertien. Nous poursuivrons ce projet dans d'autres Notes. Complément. — Dans un travail indépendant du nôtre, M. Didier Robert (Comptes rendus, 273, série A, 1971, p. 301) traite de problèmes voisins au sujet de certaines algèbres de Banach associatives; en particulier, son théorème 3.1 permet de retrouver immédiatement notre proposition A. WORK ### Esquisse de la preuve. — Considérons d'abord le cas p = 1. On peut écrire tout élément homogène de degré k en fonction de ses valeurs sur les k-uplets de vecteurs de la base canonique dans R. Modulo des manipulations de séries convergentes, la WA-invariance de l'élément choisi implique qu'il peut s'écrire comme un polynôme en les bn, avec n ∈ N, n ≤ k. Le cas général (p ≠
Cette Note s'insère donc dans un projet plus étendu qui consiste à étudier l'algèbre de Weil d'une algèbre de Lie banachique complexe classique d'opérateurs nucléaires dans l'espace hilbertien. Nous poursuivrons ce projet dans d'autres Notes. Complément. — Dans un travail indépendant du nôtre, M. Didier Robert (Comptes rendus, 273, série A, 1971, p. 301) traite de problèmes voisins au sujet de certaines algèbres de Banach associatives; en particulier, son théorème 3.1 permet de retrouver immédiatement notre proposition A. WORK ### Esquisse de la preuve. — Considérons d'abord le cas p = 1. On peut écrire tout élément homogène de degré k en fonction de ses valeurs sur les k-uplets de vecteurs de la base canonique dans R. Modulo des manipulations de séries convergentes, la WA-invariance de l'élément choisi implique qu'il peut s'écrire comme un polynôme en les bn, avec n ∈ N, n ≤ k. Le cas général (p ≠ 1) découle immédiatement du cas particulier (p = 1) vu que les injections de R dans ZR sont denses. Remarquons que l'algèbre est réduite à ses éléments homogènes de degré zéro lorsque p=po. Le lemme 2 peut être considéré comme une variété du théorème de Newton sur les fonctions symétriques. Soit j : R → Z le morphisme défini plus haut et soit j* : Ic (T)N → Pc (ZR) l'application induite, qui est un morphisme injectif d'algèbres graduées. Considérons l'ensemble des opérateurs unitaires dans H qui permutent deux vecteurs de l'espace N et qui conservent les autres. Cet ensemble étant contenu dans le sous-groupe N de U, l'image de j* est, en fait, dans Pc (ZR)WA. Comme j* (Bk) = bk, la surjectivité de j* résulte du lemme 2. PROPOSITION A. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit U = U(H;LPC). L'algèbre graduée Ic (U) est une algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée par l'identité et la famille (Bk)kN,kp, où Bk est la fonction Si p = ∞, elle est isomorphe au corps des réels. Preuve. — Il suffit de montrer que l'application du lemme 1 est surjective, ce qui
Soit j : R → Z le morphisme défini plus haut et soit j* : Ic (T)N → Pc (ZR) l'application induite, qui est un morphisme injectif d'algèbres graduées. Considérons l'ensemble des opérateurs unitaires dans H qui permutent deux vecteurs de l'espace N et qui conservent les autres. Cet ensemble étant contenu dans le sous-groupe N de U, l'image de j* est, en fait, dans Pc (ZR)WA. Comme j* (Bk) = bk, la surjectivité de j* résulte du lemme 2. PROPOSITION A. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit U = U(H;LPC). L'algèbre graduée Ic (U) est une algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée par l'identité et la famille (Bk)kN,kp, où Bk est la fonction Si p = ∞, elle est isomorphe au corps des réels. Preuve. — Il suffit de montrer que l'application du lemme 1 est surjective, ce qui résulte trivialement du fait que cette application envoie B* sur Bk, pour tous les entiers k supérieurs à p. Remarque. — Si p = 1, il y a d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (U), qui sont les fonctions invariantes et les fonctions invariantes duales de Chern. Ces deux choix ne sont pas possibles si p > 1, ce qui est à rapprocher des conclusions d'une Note antérieure. Classes B et C. — Soit HR l'espace de Hilbert réel; fixons p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit O (HR; Lp C) le groupe classique correspondant à O (HR; Lp C). L'algèbre Ic (O (HR; Lp C)) se calcule essentiellement comme Ic (U). Il faut remplacer le groupe WA par l'un des groupes WB et WD, qui sont formés des permutations finies de l'ensemble des entiers naturels accompagnées des changements de signes convenables; ces deux groupes sont isomorphes aux groupes de Weyl de la L*-algèbre simple complexe de type B [on obtient l'un ou l'autre selon le type de l'a sous-algèbre de Cartan choisie dans la L*-algèbre]. PROPOSITION B. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit O = O (HR; Lp C).
choix ne sont pas possibles si p > 1, ce qui est à rapprocher des conclusions d'une Note antérieure. Classes B et C. — Soit HR l'espace de Hilbert réel; fixons p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit O (HR; Lp C) le groupe classique correspondant à O (HR; Lp C). L'algèbre Ic (O (HR; Lp C)) se calcule essentiellement comme Ic (U). Il faut remplacer le groupe WA par l'un des groupes WB et WD, qui sont formés des permutations finies de l'ensemble des entiers naturels accompagnées des changements de signes convenables; ces deux groupes sont isomorphes aux groupes de Weyl de la L*-algèbre simple complexe de type B [on obtient l'un ou l'autre selon le type de l'a sous-algèbre de Cartan choisie dans la L*-algèbre]. PROPOSITION B. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit O = O (HR; Lp C). L'algèbre graduée Ic (O) est une algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée par l'identité et la famille (K2k)kN,2k p, où K2k est la fonction Si p = ∞, elle est isomorphe au corps des réels. Remarque. — Si p ≠ 2, on peut de nouveau remplacer (Ksj)k6Hifel par d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (O), qui sont les fonctions invariantes et les fonctions invariantes duales de Pontrjagin. PROPOSITION C. — Soit p comme dans la proposition B et soit L'algèbre Ic (Sp) est isomorphe à Ic (O). Remarques. — Soit g l'une des algèbres gl(H; L1 C), O(H, JR; Lp C), sp (H, JR; Lp C), avec p ∈ R, 1 < p < ∞; soit G le groupe classique correspondant. En comparant les résultats de cette Note avec ceux d'un autre travail [voir (3), muni de son errata], on voit que l'algèbre Ic (G) est isomorphe à l'algèbre de cohomologie réelle de la grassmannienne ad hoc, c'est-à-dire d'un espace classifiant pour les fibres vectoriels. L'isomorphisme n'a pas lieu pour des valeurs arbitraires de p. Soit g comme immédiatement ci-dessus. Soit J*(g) l'algèbre des cocycles continus invariants sur g, à valeurs scalaires. À chacun des
(Ksj)k6Hifel par d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (O), qui sont les fonctions invariantes et les fonctions invariantes duales de Pontrjagin. PROPOSITION C. — Soit p comme dans la proposition B et soit L'algèbre Ic (Sp) est isomorphe à Ic (O). Remarques. — Soit g l'une des algèbres gl(H; L1 C), O(H, JR; Lp C), sp (H, JR; Lp C), avec p ∈ R, 1 < p < ∞; soit G le groupe classique correspondant. En comparant les résultats de cette Note avec ceux d'un autre travail [voir (3), muni de son errata], on voit que l'algèbre Ic (G) est isomorphe à l'algèbre de cohomologie réelle de la grassmannienne ad hoc, c'est-à-dire d'un espace classifiant pour les fibres vectoriels. L'isomorphisme n'a pas lieu pour des valeurs arbitraires de p. Soit g comme immédiatement ci-dessus. Soit J*(g) l'algèbre des cocycles continus invariants sur g, à valeurs scalaires. À chacun des cocycles primitifs calculés, par Dynkin pour le cas des dimensions finies [voir références dans (7)], on peut associer dans J*c (g) un cocycle défini formellement de la même manière. L'algèbre J*(g) est alors isomorphe à l'algèbre extérieure engendrée par ces cocycles « primitifs ». Chacun d'entre eux peut être mis en parallèle avec les générateurs des algèbres de polynômes dont la liste est donnée aux propositions A, B et C. Cette correspondance généralise aux algèbres de Lie du titre certains aspects de la théorie de la transgression. Cette Note s'insère donc dans un projet plus étendu qui consiste à étudier l'algèbre de Weil d'une algèbre de Lie banachique complexe classique d'opérateurs nucléaires dans l'espace hilbertien. Nous poursuivrons ce projet dans d'autres Notes. Complément. — Dans un travail indépendant du nôtre, M. Didier Robert (Comptes rendus, 273, série A, 1971, p. 301) traite de problèmes voisins au sujet de certaines algèbres de Banach associatives; en particulier, son théorème 3.1 permet de retrouver immédiatement notre proposition A. WORK ### Esquisse de la preuve. — Considérons d'abord le cas p = 1. On peut écrire tout élément homogène de degré k en fonction de ses valeurs sur les k-uplets de vecteurs de la