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PUBLIES CONFORMÉMENT À UNE DÉCISION DE L'ACADÉMIE EN DATE DU 13 JUILLET 1835 PAR MM. LES SECRÉTAIRES PERPÉTUELS AVEC LE CONCOURS DU CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE TOME DEUX CENT SOIXANTE-QUARANTE-QUATRIÈME SÉRIE A : SCIENCES MATHÉMATIQUES DEUXIÈME PARTIE : MARS-AVRIL 1972 PARIS GAUTHIER-VILLARS ÉDITEUR 1972 C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 813 NOTES DES Membres ET CORRESPONDANTS ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS THÉORIE DES MODÈLES. — Modèle universel d'une théorie n-complète : modèle préhomogène. Note (*) de M. MAURICE POUZET, présentée par M. André Lichnerowicz. On poursuit l'étude des théories n-complètes commencée en (2) et (3). On étend à ces théories la notion de modèle préhomogène introduite par J. F. Pabion. On obtient alors l'analogue du théorème de Svenonius-Vaught, qui en particulier, fournit un critère nécessaire et suffisant d'existence d'une relation préhomogène dans un âge de relations. On indique enfin que les propriétés des théories n-complètes (et donc celles des théories complètes avec les théorèmes de Vaught, Ryll-Nardjewski, Vaught-Svenonius) se déduisent des propriétés des théories 1-complètes (c'est-à-dire des âges de relations). Cette Note faisant suite à (2) et (3), nous utiliserons la même terminologie et poursuivrons la numérotation des différentes parties. B.5. MODÈLES PREMIERS. 5.1. Modèle n-premier. — 5.1.1. Nous dirons qu'un modèle d'une théorie T de est n-premier lorsque tout modèle de T est une n-extension de . 5.1.2. Pour n = 0 on retrouve la notion usuelle de modèle premier et pour n = celle de modèle élémentairement premier. 5.1.3. Lorsque T est dénombrable, un modèle n-premier est au plus dénombrable. Lorsqu'en plus T est n-complète, un modèle dénombrable de T dont les m-types en n+1 sont principaux, est n-premier (rappelons qu'un m-type en est principal lorsque toute formule du type est déduite, modulo T, d'une formule de n+1). Nous ignorons si la réciproque est vraie pour n > 1. 5.1.4. Noter que deux modèles premiers de T ne sont pas forcément isomorphes. Considérer la théorie de la chaîne dense, ses quatre modèles dénombrables Q, 1+Q, Q + 1 et 1 + Q + 1 sont premiers
différentes parties. B.5. MODÈLES PREMIERS. 5.1. Modèle n-premier. — 5.1.1. Nous dirons qu'un modèle d'une théorie T de est n-premier lorsque tout modèle de T est une n-extension de . 5.1.2. Pour n = 0 on retrouve la notion usuelle de modèle premier et pour n = celle de modèle élémentairement premier. 5.1.3. Lorsque T est dénombrable, un modèle n-premier est au plus dénombrable. Lorsqu'en plus T est n-complète, un modèle dénombrable de T dont les m-types en n+1 sont principaux, est n-premier (rappelons qu'un m-type en est principal lorsque toute formule du type est déduite, modulo T, d'une formule de n+1). Nous ignorons si la réciproque est vraie pour n > 1. 5.1.4. Noter que deux modèles premiers de T ne sont pas forcément isomorphes. Considérer la théorie de la chaîne dense, ses quatre modèles dénombrables Q, 1+Q, Q + 1 et 1 + Q + 1 sont premiers et non isomorphes. Autre exemple avec une théorie 1-saturée : Considérer la consécutivité C sur Z [définie par C(x, y) = + lorsque x + 1 = y] alors C consistant de la somme des classes de consécutivité finies et distinctes est 0-premier dans Th1(C) ainsi que tout autre C' déduit de C par suppression d'une classe quelconque. PROBLÈMES. — Nous ignorons si deux modèles (n + 1)-premiers d'une théorie (n + 2)-saturée sont isomorphes. Nous ignorons si, dès que est (n+1)-premier dans Th n+2', il est n'-premier dans Th n-+i (cl) pour n' > n. 816 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) 5.2. Structure n-prehomogène. — Généralisons une notion et des résultats de J. F. Pabion (1): 5.2.1. THÉORÈME. — Pour une réalisation dénombrable d'un langage dénombrable, il y a équivalence entre : (i) pour chaque m-uple a de il existe une formule F», de n+1 satisfaite en a tel que tout autre m-uple b satisfaisant F se déduise de a par un automorphisme de ; (ii) chaque m-type de Th réalisé dans est engendré par une formule de n+1; (iii) chaque m-type en réalisé dans est maximal dans Th et principal
déduit de C par suppression d'une classe quelconque. PROBLÈMES. — Nous ignorons si deux modèles (n + 1)-premiers d'une théorie (n + 2)-saturée sont isomorphes. Nous ignorons si, dès que est (n+1)-premier dans Th n+2', il est n'-premier dans Th n-+i (cl) pour n' > n. 816 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) 5.2. Structure n-prehomogène. — Généralisons une notion et des résultats de J. F. Pabion (1): 5.2.1. THÉORÈME. — Pour une réalisation dénombrable d'un langage dénombrable, il y a équivalence entre : (i) pour chaque m-uple a de il existe une formule F», de n+1 satisfaite en a tel que tout autre m-uple b satisfaisant F se déduise de a par un automorphisme de ; (ii) chaque m-type de Th réalisé dans est engendré par une formule de n+1; (iii) chaque m-type en réalisé dans est maximal dans Th et principal dans Thn+2. Preuve. — (i) -y (ii) et (ii) (iii) sont évidents. Quant à (iii) (i) on prouve ce qui suit : PROPOSITION. — Soit : un modèle dénombrable de T,; pour i = 1, 2. Supposons que pour i = 1, 2, les m-types en 2n+1 de ,; sont maximaux dans et principaux dans T,et que ; et 2 sont (n + l)-équivalents. Alors deux m-uples a1 et a2 pris respectivement dans CX4 et CX2 et ayant même m-type en 2n+1 sont transformés l'un en l'autre par un isomorphisme de CXt sur CX2. 5.2.2. Nous dirons qu'une réalisation dénombrable de est n-préhomogène lorsqu'elle vérifie l'une des trois propriétés ci-dessus. 5.2.3. Pour n = 0 et un langage n'ayant qu'un nombre fini de symboles non logiques on retrouve la multirelation préhomogène introduite par J. F. Pabion (1). Pour n = w, on retrouve le modèle élémentairement premier d'une théorie complète. 5.2.4. La proposition ci-dessus exprime que deux réalisations n-préhomogènes qui sont (n + 1)-équivalentes sont isomorphes. La condition (i) entraîne que la n-préhomogène est n + 1-homogène. On voit facilement que si CX est n-préhomogène, alors Thn+2(CX) est engendrée par des axiomes en 2n+2. Si CX est n-préhomogène, alors CX
maximaux dans et principaux dans T,et que ; et 2 sont (n + l)-équivalents. Alors deux m-uples a1 et a2 pris respectivement dans CX4 et CX2 et ayant même m-type en 2n+1 sont transformés l'un en l'autre par un isomorphisme de CXt sur CX2. 5.2.2. Nous dirons qu'une réalisation dénombrable de est n-préhomogène lorsqu'elle vérifie l'une des trois propriétés ci-dessus. 5.2.3. Pour n = 0 et un langage n'ayant qu'un nombre fini de symboles non logiques on retrouve la multirelation préhomogène introduite par J. F. Pabion (1). Pour n = w, on retrouve le modèle élémentairement premier d'une théorie complète. 5.2.4. La proposition ci-dessus exprime que deux réalisations n-préhomogènes qui sont (n + 1)-équivalentes sont isomorphes. La condition (i) entraîne que la n-préhomogène est n + 1-homogène. On voit facilement que si CX est n-préhomogène, alors Thn+2(CX) est engendrée par des axiomes en 2n+2. Si CX est n-préhomogène, alors CX est (n' + 2)-premier dans Thn'+2(CX) pour n' > n [en particulier CX est élémentairement premier dans Th(CX)]. Nous ignorons si la réciproque est exacte. Notons qu'une réalisation radicalement préhomogène est n-préhomogène [et (n + 1)-universelle dans sa théorie (n + 1)-saturée] ; plus généralement, nous allons donner un critère d'existence d'une n-préhomogène montrant que lorsqu'une théorie (n + 1)-complète possède un modèle (n + 1)-universel elle possède une n-préhomogène. 5.3. Théorie (n + 1)-atomique. 5.3.1. (n + 1)-atome. Soit T une théorie de ; nous dirons qu'une formule F (x1, ..., xm) de 2n+1 est un n + 1-atome de T lorsque : 1° F est consistante avec T; 2° pour toutes les formules G1 (x1, ...,xm), et G2 (x1, ...,xm) de Thn+1 telle que FG et F / G2 sont consistantes avec T, alors G1 / G2 est consistante avec T. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 817 xm de 2n+1 consistants avec F dans T est un m-type en 2n+1 maximal dans T. Il s'ensuit que ce m-type maximal contient tous les m-types en 2n+1 contenant F et donc ce m-type n'est pas contenu dans la réunion des autres m-types
d'existence d'une n-préhomogène montrant que lorsqu'une théorie (n + 1)-complète possède un modèle (n + 1)-universel elle possède une n-préhomogène. 5.3. Théorie (n + 1)-atomique. 5.3.1. (n + 1)-atome. Soit T une théorie de ; nous dirons qu'une formule F (x1, ..., xm) de 2n+1 est un n + 1-atome de T lorsque : 1° F est consistante avec T; 2° pour toutes les formules G1 (x1, ...,xm), et G2 (x1, ...,xm) de Thn+1 telle que FG et F / G2 sont consistantes avec T, alors G1 / G2 est consistante avec T. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 817 xm de 2n+1 consistants avec F dans T est un m-type en 2n+1 maximal dans T. Il s'ensuit que ce m-type maximal contient tous les m-types en 2n+1 contenant F et donc ce m-type n'est pas contenu dans la réunion des autres m-types en 2n+1 maximaux dans T. Réciproquement si un m-type en 2n+1 maximal dans T n'est pas contenu dans la réunion des autres m-types en maximaux dans T, il contient un n + 1-atome (nécessairement non contenu dans les autres m-types maximaux). Nous dirons qu'un m-type en est atomique lorsqu'il contient un (n + 1)-atome. Nous dirons qu'une théorie est (n + 1)-atomique lorsque chaque formule de consistante avec T est contenue dans un type atomique. Nous dirons enfin qu'un modèle de T est (n + 1)-atomique lorsque tous ses m-types en 2n+1 sont atomiques. Pour n = 1 on retrouve les notions classiques de types, théorie et modèle atomiques. Pour une théorie T quelconque; un modèle dénombrable, (n + 1)-atomique et ayant ses m-types en 2n+1 maximaux dans T est n-préhomogène. Réciproquement si T est n-filtrante, alors un modèle n-préhomogène ayant son 0-type en 2n+1 maximum dans T est (n + 1)-atomique. En particulier, pour une théorie n-filtrante dire qu'un modèle ayant ses m-types en 2n+1 maximaux dans T est (n + 1)-atomique revient à dire qu'il est n-préhomogène. On voit facilement qu'une théorie (n + 1) complète ayant un modèle n-préhomogène [ou même seulement (n + 1)-atomique] est (n
un (n + 1)-atome. Nous dirons qu'une théorie est (n + 1)-atomique lorsque chaque formule de consistante avec T est contenue dans un type atomique. Nous dirons enfin qu'un modèle de T est (n + 1)-atomique lorsque tous ses m-types en 2n+1 sont atomiques. Pour n = 1 on retrouve les notions classiques de types, théorie et modèle atomiques. Pour une théorie T quelconque; un modèle dénombrable, (n + 1)-atomique et ayant ses m-types en 2n+1 maximaux dans T est n-préhomogène. Réciproquement si T est n-filtrante, alors un modèle n-préhomogène ayant son 0-type en 2n+1 maximum dans T est (n + 1)-atomique. En particulier, pour une théorie n-filtrante dire qu'un modèle ayant ses m-types en 2n+1 maximaux dans T est (n + 1)-atomique revient à dire qu'il est n-préhomogène. On voit facilement qu'une théorie (n + 1) complète ayant un modèle n-préhomogène [ou même seulement (n + 1)-atomique] est (n + 1)-atomique. Nous allons établir la réciproque. LE THÉORÈME DE SVENONIUS-VAUGHT POUR LES THÉORIES N + 1-COMPLÈTES. Il y a équivalence entre : (i) T est (n + 1)-atomique; (ii) T possède un modèle n-préhomogène dont tous les m-types en 2n+1 sont maximaux dans T; (iii) T possède un modèle dénombrable (n + 1)-atomique et ayant son 0-type en 2n+1 maximum dans T. Pour n = w on retrouve le théorème de Svenonius-Vaught. Mais alors que sa preuve utilise le théorème d'Ershenfeucht, nous ne savons pas ici l'appliquer, aussi nous emploierons une méthode d'amalgamation semblable à celle appliquée à notre généralisation du théorème de Vaught. Preuve. — Les implications (ii) → (iii) et (iii) → (i) sont évidentes. Quant à (i) → (ii), la « propriété d'amalgamation des types » lemme 1 de permet de construire au moyen de limites inductives de modèles une partie dénombrable d'un modèle B de T possédant les propriétés suivantes : 1° Pour tout m-uple a1, ..., am extrait de CX, alors le m-type en 2n+1, T, de a1, ..., am est maximal et atomique dans T. 2° Pour tout autre (m + 1)-type en 2n+1, T', atomique dans T et contenant T il existe
dénombrable (n + 1)-atomique et ayant son 0-type en 2n+1 maximum dans T. Pour n = w on retrouve le théorème de Svenonius-Vaught. Mais alors que sa preuve utilise le théorème d'Ershenfeucht, nous ne savons pas ici l'appliquer, aussi nous emploierons une méthode d'amalgamation semblable à celle appliquée à notre généralisation du théorème de Vaught. Preuve. — Les implications (ii) → (iii) et (iii) → (i) sont évidentes. Quant à (i) → (ii), la « propriété d'amalgamation des types » lemme 1 de permet de construire au moyen de limites inductives de modèles une partie dénombrable d'un modèle B de T possédant les propriétés suivantes : 1° Pour tout m-uple a1, ..., am extrait de CX, alors le m-type en 2n+1, T, de a1, ..., am est maximal et atomique dans T. 2° Pour tout autre (m + 1)-type en 2n+1, T', atomique dans T et contenant T il existe un am+1 dans tel que le m-type en 2n+1 de a1, ..., an+1 (dans B) contienne T'. On montre alors par récurrence sur le nombre d'alternance des quantificateurs des formules que B est une (n + 1)-extension de T. Comme T est n-inductive il s'ensuit que B est un modèle de T, et puisqu'il est (n + 1)-atomique il est n-préhomogène. Applications. Une théorie dénombrable ayant pour chaque m un nombre au plus dénombrable de m-types en 2m+1 maximaux, est (n + 1)-atomique. COROLLAIRE. — Si une théorie dénombrable T possède un modèle (n + 1)-universel, alors elle est (n + 1)-atomique. Si de plus elle est n-filtrante et n-inductive alors elle possède un modèle n-préhomogène. CONCLUSION. Nous ignorons si ce modèle est saturé (au sens usuel) dans sa théorie complète; s'il l'est, alors en appliquant les résultats classiques à ce modèle, on retrouve tous les nôtres. Pour retrouver les résultats concernant les théories n-complètes à partir de ceux des théories 1-complètes, on agrandit le langage en lui rajoutant un prédicat rF de poids m pour chaque formule F (x1, ..., xm) de 2n+1 et on agrandit une théorie T de ? en rajoutant les définitions des rF. On s'aperçoit
de T, et puisqu'il est (n + 1)-atomique il est n-préhomogène. Applications. Une théorie dénombrable ayant pour chaque m un nombre au plus dénombrable de m-types en 2m+1 maximaux, est (n + 1)-atomique. COROLLAIRE. — Si une théorie dénombrable T possède un modèle (n + 1)-universel, alors elle est (n + 1)-atomique. Si de plus elle est n-filtrante et n-inductive alors elle possède un modèle n-préhomogène. CONCLUSION. Nous ignorons si ce modèle est saturé (au sens usuel) dans sa théorie complète; s'il l'est, alors en appliquant les résultats classiques à ce modèle, on retrouve tous les nôtres. Pour retrouver les résultats concernant les théories n-complètes à partir de ceux des théories 1-complètes, on agrandit le langage en lui rajoutant un prédicat rF de poids m pour chaque formule F (x1, ..., xm) de 2n+1 et on agrandit une théorie T de ? en rajoutant les définitions des rF. On s'aperçoit que les notions définies pour n + p + 1 sont transformées en celles définies pour p + 1 [sauf celle de théorie (n + p + 1)-saturée] et donc les résultats obtenus pour n + p + 1 se déduisent de ceux obtenus pour p + 1. Le cas le plus intéressant est celui des théories 1-complètes, il sera étudié dans une prochaine publication. SÉANCE DU 21 FÉVRIER 1972. J. F. PABION, Comptes rendus, 274, série A, 1972, p. 529. M. POUZET, Comptes rendus, 274, série A, 1972, p. 433. M. POUZET, Comptes rendus, 274, série A, 1972, p. 695. Département de Mathématiques, Université Claude Bernard, 43, boulevard du Onze-Novembre 1918, 69-Villeurbanne, Rhône. ALGÈBRE. — Sur une classe d'anneaux semi-simples et un type d'idempotents. Note de MM. NICOLAS FARÈS et IBRAHIM HAGE, présentée par M. René Garnier. Nous allons voir certaines propriétés des anneaux r-semi-simples (semi-simples relativement à la propriété radicale r de régularité au sens de von Neumann [cf. (5), p. 1, (8), (3)] notamment en ce qui concerne les idempotents et le cas d'anneaux artiniens à gauche. INTRODUCTION ET PRÉLIMINAIRES. — La classe des anneaux réguliers n'est pas une classe d'anneaux semi-simples. C'est-à-dire, étant donné un anneau
le plus intéressant est celui des théories 1-complètes, il sera étudié dans une prochaine publication. SÉANCE DU 21 FÉVRIER 1972. J. F. PABION, Comptes rendus, 274, série A, 1972, p. 529. M. POUZET, Comptes rendus, 274, série A, 1972, p. 433. M. POUZET, Comptes rendus, 274, série A, 1972, p. 695. Département de Mathématiques, Université Claude Bernard, 43, boulevard du Onze-Novembre 1918, 69-Villeurbanne, Rhône. ALGÈBRE. — Sur une classe d'anneaux semi-simples et un type d'idempotents. Note de MM. NICOLAS FARÈS et IBRAHIM HAGE, présentée par M. René Garnier. Nous allons voir certaines propriétés des anneaux r-semi-simples (semi-simples relativement à la propriété radicale r de régularité au sens de von Neumann [cf. (5), p. 1, (8), (3)] notamment en ce qui concerne les idempotents et le cas d'anneaux artiniens à gauche. INTRODUCTION ET PRÉLIMINAIRES. — La classe des anneaux réguliers n'est pas une classe d'anneaux semi-simples. C'est-à-dire, étant donné un anneau A, il n'existe pas un radical p (A) de A tel que A/p(A) soit régulier. En effet, 61 ne vérifie pas la condition (F) : (F) Si tout idéal non nul d'un anneau A admet une image homomorphe non nulle dans , alors A est dans . qui est une condition nécessaire pour que soit la classe des anneaux semisimples relativement à une certaine propriété radicale [(5), p. 5]. Il suffit, pour le voir, de remarquer que tout idéal n Z de Z admet une image homomorphe non nulle qui est un anneau régulier (pour n = 2 considérer 2 Z/(6), pour n>2 considérer nZ/(npi p2 ... pk), où pi, p2, ..., pk sont les facteurs premiers de n — 1). Pourtant est une classe radicale [cf. (8), (3)]. Nous allons désigner par r (A) le radical d'un anneau A relativement à la propriété r de régularité. r (A) est le plus grand idéal (bilatère) régulier de A ; A/r (A) est un anneau r-semi-simple, c'est-à-dire n'admet aucun idéal (bilatère) régulier non nul. Loin de faire une étude de structure des anneaux r-semi-simples [une étude qui serait favorisée par d'autres caractérisations de r (A)], les résultats qui suivent permettent d'avoir
condition nécessaire pour que soit la classe des anneaux semisimples relativement à une certaine propriété radicale [(5), p. 5]. Il suffit, pour le voir, de remarquer que tout idéal n Z de Z admet une image homomorphe non nulle qui est un anneau régulier (pour n = 2 considérer 2 Z/(6), pour n>2 considérer nZ/(npi p2 ... pk), où pi, p2, ..., pk sont les facteurs premiers de n — 1). Pourtant est une classe radicale [cf. (8), (3)]. Nous allons désigner par r (A) le radical d'un anneau A relativement à la propriété r de régularité. r (A) est le plus grand idéal (bilatère) régulier de A ; A/r (A) est un anneau r-semi-simple, c'est-à-dire n'admet aucun idéal (bilatère) régulier non nul. Loin de faire une étude de structure des anneaux r-semi-simples [une étude qui serait favorisée par d'autres caractérisations de r (A)], les résultats qui suivent permettent d'avoir d'autres idées sur ce genre d'anneaux. PROPOSITION 1. — Si A est un anneau ayant 0 et 1 comme seuls idempotents, il est soit r-semi-simple, soit un corps. La réciproque n'est pas vraie même dans un anneau commutatif fini. Soit, en effet, D le demi-groupe multiplicatif { 0, e, a, b, c } défini comme suit : 1° e est l'élément neutre, 0 est le zéro de D ; 2° ab = ba = b, bc = cb = ac = ca = b2 = c2 = 0, a2 = a, et soit A l'algèbre de D sur le corps Z/(2) = {0, 1}. On vérifie que A est r-semi-simple et admet deux idempotents distincts à la fois de 0 et de e (a, e + a). PROPOSITION 2. — Soit A un anneau r-semi-simple et soit e un idempotent central de A. L'idéal A e = e A n'est pas minimal en tant qu'idéal à gauche ou à droite. COROLLAIRE. — Dans un anneau commutatif r-semi-simple tout idéal minimal est de carré nul. PROPOSITION 2'. — Si A est un anneau commutatif artinien et si aucun idempotent primitif de A n'engendre un idéal minimal, alors A est r-semi-simple. Ces
b, c } défini comme suit : 1° e est l'élément neutre, 0 est le zéro de D ; 2° ab = ba = b, bc = cb = ac = ca = b2 = c2 = 0, a2 = a, et soit A l'algèbre de D sur le corps Z/(2) = {0, 1}. On vérifie que A est r-semi-simple et admet deux idempotents distincts à la fois de 0 et de e (a, e + a). PROPOSITION 2. — Soit A un anneau r-semi-simple et soit e un idempotent central de A. L'idéal A e = e A n'est pas minimal en tant qu'idéal à gauche ou à droite. COROLLAIRE. — Dans un anneau commutatif r-semi-simple tout idéal minimal est de carré nul. PROPOSITION 2'. — Si A est un anneau commutatif artinien et si aucun idempotent primitif de A n'engendre un idéal minimal, alors A est r-semi-simple. Ces deux dernières propositions donnent une condition nécessaire et suffisante pour qu'un anneau commutatif artinien soit r-semi-simple. La proposition 2' est une conséquence d'un résultat plus général sur les anneaux artiniens à gauche; elle permet de penser à un type particulier d'idempotents primitifs. 2. IDEMPOTENTS FORTEMENT PRIMITIFS. ANNEAUX ARTINIENS À GAUCHE, 2.1. DÉFINITION. — Dans un anneau régulier, l'idéal d'un côté engendré par un idempotent primitif et minimal [(4), p. 84]. Dans un anneau quelconque, même unitaire et fini, l'idéal d'un côté engendré par un idempotent peut être minimal sans que celui de l'autre côté le soit [cf. (1), p. 15]. Nous dirons qu'un idempotent e de A est fortement primitif si l'idéal à gauche A e et l'idéal à droite e A sont minimaux. Dans ce cas, A e est un A-module simple ((x . o, x A e) => (A x = A e)) et tout élément de A e est régulier. PROPOSITION 3. — La somme S de tous les idéaux A f, où f est un idempotent fortement primitif, est un idéal, bilatère de A. Démonstration. — Il suffit de montrer que pour tout idempotent fortement primitif f et pour tout a ∈ A, fa ∈ S.
2.1. DÉFINITION. — Dans un anneau régulier, l'idéal d'un côté engendré par un idempotent primitif et minimal [(4), p. 84]. Dans un anneau quelconque, même unitaire et fini, l'idéal d'un côté engendré par un idempotent peut être minimal sans que celui de l'autre côté le soit [cf. (1), p. 15]. Nous dirons qu'un idempotent e de A est fortement primitif si l'idéal à gauche A e et l'idéal à droite e A sont minimaux. Dans ce cas, A e est un A-module simple ((x . o, x A e) => (A x = A e)) et tout élément de A e est régulier. PROPOSITION 3. — La somme S de tous les idéaux A f, où f est un idempotent fortement primitif, est un idéal, bilatère de A. Démonstration. — Il suffit de montrer que pour tout idempotent fortement primitif f et pour tout a ∈ A, fa ∈ S. Si Fa ≠ 0, fa . A = f . A. L'élément fa est donc régulier et il existe un idempotent g de A tel que A f a = A g. Les idempotents f et g sont dans la même classe étant l'équivalence de Green borne supérieure de et de g [(4), p. 47], donc les A-modules A f et A g d'une part, f A et g A d'autre part sont isomorphes [résultats de M. Crestey, cf. (7)]. L'idempotent g est donc fortement primitif. Ainsi A g ∈ S et fa ∈ S. Remarquons que si (e_i) i ∈ I désigne la famille des idempotents fortement primitifs de A, il existe une partie J de I telle que S = 0 A e_j. PROPOSITION 4. — Soit A un anneau artinien à gauche, r (A) est un facteur direct de S. Si tout idempotent de A est central, S = r (A). Démonstration. — R = r (A) est lui-même artinien à gauche ; étant aussi semi-simple (au sens de Jacobson), il est unitaire et complètement C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 819 réductible à gauche. Son élément-unité f est un