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en parallèle avec les générateurs des algèbres de polynômes dont la liste est donnée aux propositions A, B et C. Cette correspondance généralise aux algèbres de Lie du titre certains aspects de la théorie de la transgression. Cette Note s'insère donc dans un projet plus étendu qui consiste à étudier l'algèbre de Weil d'une algèbre de Lie banachique complexe classique d'opérateurs nucléaires dans l'espace hilbertien. Nous poursuivrons ce projet dans d'autres Notes. Complément. — Dans un travail indépendant du nôtre, M. Didier Robert (Comptes rendus, 273, série A, 1971, p. 301) traite de problèmes voisins au sujet de certaines algèbres de Banach associatives; en particulier, son théorème 3.1 permet de retrouver immédiatement notre proposition A. WORK ### Esquisse de la preuve. — Considérons d'abord le cas p = 1. On peut écrire tout élément homogène de degré k en fonction de ses valeurs sur les k-uplets de vecteurs de la base canonique dans R. Modulo des manipulations de séries convergentes, la WA-invariance de l'élément choisi implique qu'il peut s'écrire comme un polynôme en les bn, avec n ∈ N, n ≤ k. Le cas général (p ≠ 1) découle immédiatement du cas particulier (p = 1) vu que les injections de R dans ZR sont denses. Remarquons que l'algèbre est réduite à ses éléments homogènes de degré zéro lorsque p=po. Le lemme 2 peut être considéré comme une variété du théorème de Newton sur les fonctions symétriques. Soit j : R → Z le morphisme défini plus haut et soit j* : Ic (T)N → Pc (ZR) l'application induite, qui est un morphisme injectif d'algèbres graduées. Considérons l'ensemble des opérateurs unitaires dans H qui permutent deux vecteurs de l'espace N et qui conservent les autres. Cet ensemble étant contenu dans le sous-groupe N de U, l'image de j* est, en fait, dans Pc (ZR)WA. Comme j* (Bk) = bk, la surjectivité de j* résulte du lemme 2. PROPOSITION A. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit U = U(H;LPC). L'algèbre graduée Ic (U) est une algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée
de R dans ZR sont denses. Remarquons que l'algèbre est réduite à ses éléments homogènes de degré zéro lorsque p=po. Le lemme 2 peut être considéré comme une variété du théorème de Newton sur les fonctions symétriques. Soit j : R → Z le morphisme défini plus haut et soit j* : Ic (T)N → Pc (ZR) l'application induite, qui est un morphisme injectif d'algèbres graduées. Considérons l'ensemble des opérateurs unitaires dans H qui permutent deux vecteurs de l'espace N et qui conservent les autres. Cet ensemble étant contenu dans le sous-groupe N de U, l'image de j* est, en fait, dans Pc (ZR)WA. Comme j* (Bk) = bk, la surjectivité de j* résulte du lemme 2. PROPOSITION A. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit U = U(H;LPC). L'algèbre graduée Ic (U) est une algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée par l'identité et la famille (Bk)kN,kp, où Bk est la fonction Si p = ∞, elle est isomorphe au corps des réels. Preuve. — Il suffit de montrer que l'application du lemme 1 est surjective, ce qui résulte trivialement du fait que cette application envoie B* sur Bk, pour tous les entiers k supérieurs à p. Remarque. — Si p = 1, il y a d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (U), qui sont les fonctions invariantes et les fonctions invariantes duales de Chern. Ces deux choix ne sont pas possibles si p > 1, ce qui est à rapprocher des conclusions d'une Note antérieure. Classes B et C. — Soit HR l'espace de Hilbert réel; fixons p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit O (HR; Lp C) le groupe classique correspondant à O (HR; Lp C). L'algèbre Ic (O (HR; Lp C)) se calcule essentiellement comme Ic (U). Il faut remplacer le groupe WA par l'un des groupes WB et WD, qui sont formés des permutations finies de l'ensemble des entiers naturels accompagnées des changements de signes convenables; ces deux groupes sont isomorphes aux groupes de Weyl de la L*-algèbre simple complexe de type B
les entiers k supérieurs à p. Remarque. — Si p = 1, il y a d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (U), qui sont les fonctions invariantes et les fonctions invariantes duales de Chern. Ces deux choix ne sont pas possibles si p > 1, ce qui est à rapprocher des conclusions d'une Note antérieure. Classes B et C. — Soit HR l'espace de Hilbert réel; fixons p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit O (HR; Lp C) le groupe classique correspondant à O (HR; Lp C). L'algèbre Ic (O (HR; Lp C)) se calcule essentiellement comme Ic (U). Il faut remplacer le groupe WA par l'un des groupes WB et WD, qui sont formés des permutations finies de l'ensemble des entiers naturels accompagnées des changements de signes convenables; ces deux groupes sont isomorphes aux groupes de Weyl de la L*-algèbre simple complexe de type B [on obtient l'un ou l'autre selon le type de l'a sous-algèbre de Cartan choisie dans la L*-algèbre]. PROPOSITION B. — Soit p ∈ R, 1 < p < ∞ et soit O = O (HR; Lp C). L'algèbre graduée Ic (O) est une algèbre de polynômes. Si p < ∞, elle est engendrée par l'identité et la famille (K2k)kN,2k p, où K2k est la fonction Si p = ∞, elle est isomorphe au corps des réels. Remarque. — Si p ≠ 2, on peut de nouveau remplacer (Ksj)k6Hifel par d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (O), qui sont les fonctions invariantes et MURAKAMI, Osaka Math. J., 8, 1956, p. 187-224. (10) H. OMORI et P. DE LA HARPE, About interactions between Banach-Lie groups and finite dimensional manifolds (à paraître). Voir aussi Comptes rendus, 273, série A, 1971, p. 395. Mathematics Institute, University of Warwick, Coventry, Grande-Bretagne. 828 — Série A C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE. — Extension de théories d'homologie. Note (*) de M. RENZO A. PICCININI, présentée par M. André Lichnerowicz. Soit Top0 la catégorie des espaces topologiques pointés (le point base sera toujours supposé non dégénéré) ayant comme morphismes les
elle est engendrée par l'identité et la famille (K2k)kN,2k p, où K2k est la fonction Si p = ∞, elle est isomorphe au corps des réels. Remarque. — Si p ≠ 2, on peut de nouveau remplacer (Ksj)k6Hifel par d'autres systèmes classiques de générateurs dans Ic (O), qui sont les fonctions invariantes et MURAKAMI, Osaka Math. J., 8, 1956, p. 187-224. (10) H. OMORI et P. DE LA HARPE, About interactions between Banach-Lie groups and finite dimensional manifolds (à paraître). Voir aussi Comptes rendus, 273, série A, 1971, p. 395. Mathematics Institute, University of Warwick, Coventry, Grande-Bretagne. 828 — Série A C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) TOPOLOGIE ALGÉBRIQUE. — Extension de théories d'homologie. Note (*) de M. RENZO A. PICCININI, présentée par M. André Lichnerowicz. Soit Top0 la catégorie des espaces topologiques pointés (le point base sera toujours supposé non dégénéré) ayant comme morphismes les fonctions continues que préservent les points de base. On dit qu'une sous-catégorie T de Top0 est admissible si elle est non vide, pleine, fermée sous la construction des cônes de fonctions et enfin, si elle contient tous les espaces pointés qui ont le même type d'homotopie d'objets de T. On vérifie aisément qu'une telle catégorie contient points et qu'elle est fermée sous suspension; cet endofoncteur sera indiqué ici par S. Soit az la catégorie des groupes abéliens gradués et des homomorphismes de degré zéro. On appelle p : az -> az l'automorphisme qui change le degré de -1. Une théorie d'homologie sur T est un foncteur covariant h : T -> az (où T est la catégorie d'homotopie associée à T) avec les propriétés suivantes : (A 1) ph et hS sont naturellement équivalentes; (A 2) si on se donne une f ' P f suite A -> X -> Cf dans T, OÙ Cf est le cône de f, alors la suite de groupes gradués h (A) -> h (Cf) -> h (Cf) est exacte. Soient maintenant données deux catégories admissibles T0 et T1 et supposons que T0 soit une sous-catégorie pleine de T1. Pour chaque objet X€ T1
vérifie aisément qu'une telle catégorie contient points et qu'elle est fermée sous suspension; cet endofoncteur sera indiqué ici par S. Soit az la catégorie des groupes abéliens gradués et des homomorphismes de degré zéro. On appelle p : az -> az l'automorphisme qui change le degré de -1. Une théorie d'homologie sur T est un foncteur covariant h : T -> az (où T est la catégorie d'homotopie associée à T) avec les propriétés suivantes : (A 1) ph et hS sont naturellement équivalentes; (A 2) si on se donne une f ' P f suite A -> X -> Cf dans T, OÙ Cf est le cône de f, alors la suite de groupes gradués h (A) -> h (Cf) -> h (Cf) est exacte. Soient maintenant données deux catégories admissibles T0 et T1 et supposons que T0 soit une sous-catégorie pleine de T1. Pour chaque objet X€ T1 on forme la catégorie T01 (X) qui a pour objets les morphismes f : Y -> X dans T1 avec Y € T0, et pour morphismes u : f1 -> f2, les morphismes u : Y1 -> Y2 dans T0, de façon que f1 = f2 u. On dit que T0 est T1-petite si, pour chaque X € T1, T01 (X) est petite. Par exemple, la catégorie des espaces pointés avec type d'homotopie des espaces CW finis (dénombrables) est Top0-petite; elle est bien sûr T1-petite pour toute catégorie admissible T1. THÉORÈME. — Soient T0 CT1 deux catégories admissibles et supposons que T0 soit T1-petite. Soit ho une théorie d'homologie sur T0. Alors, il existe une théorie d'homologie hi sur T1 qui restreinte à T0 coïncide avec h0. L'esquisse de la démonstration est la suivante. En premier lieu on prend les catégories stables s0 et s1 associées à T0 et T1 respectivement. Soit h0 l'extension canonique de h0 à s0. On associe à chaque objet X de S, l'ensemble P (X) = {(a, f) | a e h0 (Y), f : Y -> X, Y.€|s0 | } modulo la relation d'équivalence (a, f) ~ (a', f ') si, et seulement si,
T0 est T1-petite si, pour chaque X € T1, T01 (X) est petite. Par exemple, la catégorie des espaces pointés avec type d'homotopie des espaces CW finis (dénombrables) est Top0-petite; elle est bien sûr T1-petite pour toute catégorie admissible T1. THÉORÈME. — Soient T0 CT1 deux catégories admissibles et supposons que T0 soit T1-petite. Soit ho une théorie d'homologie sur T0. Alors, il existe une théorie d'homologie hi sur T1 qui restreinte à T0 coïncide avec h0. L'esquisse de la démonstration est la suivante. En premier lieu on prend les catégories stables s0 et s1 associées à T0 et T1 respectivement. Soit h0 l'extension canonique de h0 à s0. On associe à chaque objet X de S, l'ensemble P (X) = {(a, f) | a e h0 (Y), f : Y -> X, Y.€|s0 | } modulo la relation d'équivalence (a, f) ~ (a', f ') si, et seulement si, il existe un C. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 829 diagramme commutatif avec Y, Y', Y0 € | S0 | et tel que hS0 (u) = hso (u') a'. On remarque ici que seulement la transitivité présente des difficultés; elle est démontrée comme conséquence du fait que toute catégorie admissible stable est fermée sous « pushouts » de cofibrations. D'autre part, on peut donner à hs1 (X) = P (X)/~ une structure de groupe abélien gradué en prenant où <( f 1, f 2 est le coproduit de f 1 : Y 1 -> X, f 2 : Y2 -> X et i1, î2 sont les inclusions de Y4, Y2 dans Y1 V Y2. Incidemment, on note que hsl (X) est naturellement équivalent à l'extension de Kan du foncteur h : Soi (X) -> az tel que h (f) = hso (Y), f : Y -> X, Y € | s0 |, par rapport au foncteur trivial de S01 (X) dans la catégorie x. qui a pour unique objet X; en effet, hs1, est naturellement équivalent au Jusqu'ici on a hl comme extension de hs0 en tant que foncteur covariant; pour montrer que
conséquence du fait que toute catégorie admissible stable est fermée sous « pushouts » de cofibrations. D'autre part, on peut donner à hs1 (X) = P (X)/~ une structure de groupe abélien gradué en prenant où <( f 1, f 2 est le coproduit de f 1 : Y 1 -> X, f 2 : Y2 -> X et i1, î2 sont les inclusions de Y4, Y2 dans Y1 V Y2. Incidemment, on note que hsl (X) est naturellement équivalent à l'extension de Kan du foncteur h : Soi (X) -> az tel que h (f) = hso (Y), f : Y -> X, Y € | s0 |, par rapport au foncteur trivial de S01 (X) dans la catégorie x. qui a pour unique objet X; en effet, hs1, est naturellement équivalent au Jusqu'ici on a hl comme extension de hs0 en tant que foncteur covariant; pour montrer que hs1 est une théorie d'homologie on se sert du fait que la suspension S dans s1 a un adjoint à gauche S' dont la restriction à S0 donne un endofoncteur de S0. Enfin, on remonte à T1 en prenant pour h1 le composé de hs1 avec le foncteur canonique T1 -> s1. L'extension hi ne peut pas être considérée comme une extension de Kan de h0. Ces résultats peuvent être comparés avec ceux obtenus par MM. Deleanu et Hilton en cohomologie dans (1) et (2). (*) Séance du 21 février 1972. (1) A. DELEANU et P. J. HILTON, Math. Scand., 22, 1968, p. 227-240. (2) A. DELEANU et P. J. HILTON, Battelle Institute Report n° 28, Genève, 1969. Forschungsinstitut für Mathematik, Eidgenössische Technische Hochschule, Zürich, Suisse. 830—Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) ANALYSE ULTRAMÉTRIQUE. — Prolongement analytique en analyse ultramétrique. Note (*) de M. PHILIPPE ROBBA, transmise par M. Henri Cartan. On établit des conditions nécessaires pour que la somme d'une série de Taylor se prolonge en dehors de son disque de convergence. On indique une méthode pour trouver le prolongement d'une telle fonction. 1. INTRODUCTION. — Nous conservons les notations de notre Note
-> s1. L'extension hi ne peut pas être considérée comme une extension de Kan de h0. Ces résultats peuvent être comparés avec ceux obtenus par MM. Deleanu et Hilton en cohomologie dans (1) et (2). (*) Séance du 21 février 1972. (1) A. DELEANU et P. J. HILTON, Math. Scand., 22, 1968, p. 227-240. (2) A. DELEANU et P. J. HILTON, Battelle Institute Report n° 28, Genève, 1969. Forschungsinstitut für Mathematik, Eidgenössische Technische Hochschule, Zürich, Suisse. 830—Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) ANALYSE ULTRAMÉTRIQUE. — Prolongement analytique en analyse ultramétrique. Note (*) de M. PHILIPPE ROBBA, transmise par M. Henri Cartan. On établit des conditions nécessaires pour que la somme d'une série de Taylor se prolonge en dehors de son disque de convergence. On indique une méthode pour trouver le prolongement d'une telle fonction. 1. INTRODUCTION. — Nous conservons les notations de notre Note précédente (1). L'ensemble ouvert A contenu dans le corps valeur K est dit analytique si tout élément analytique sur A, nul au voisinage d'un point de A est nul dans A. On trouvera dans (2) une caractérisation géométrique des ensembles analytiques et quelques propriétés de ceux-ci. Les ensembles analytiques sont semi-connexes, on peut donc leur appliquer les résultats de (1). Enfin les quasi-connexes sont analytiques (3). Soit une fonction analytique f définie au voisinage d'un point de K qu'on supposera être 0 pour simplifier. On dira que \(f\) se prolonge analytiquement au point \(y\) s'il existe un ensemble analytique \(A\) contenant \(0\) et \(y\) et un élément analytique \(g\) sur \(A\) coïncidant avec \(f\) au voisinage de \(0\). \(A\) étant choisi, \(g\), s'il existe, est entièrement déterminé par la donnée de \(f\). Le prolongement \(g(y)\), obtenu en \(y\), peut dépendre de l'ensemble analytique choisi ; par contre, si \(A\) est pris quasi-connexe, \(g(y)\) ne dépendra pas du quasi-connexe choisi (principe du prolongement analytique uniforme). Au voisinage de \(0\), \(f\) se développe en série de Taylor. La somme de cette série définit un prolongement de \(f\) dans son disque de convergence \(D\). Le problème est donc de savoir si \(f\) se
semi-connexes, on peut donc leur appliquer les résultats de (1). Enfin les quasi-connexes sont analytiques (3). Soit une fonction analytique f définie au voisinage d'un point de K qu'on supposera être 0 pour simplifier. On dira que \(f\) se prolonge analytiquement au point \(y\) s'il existe un ensemble analytique \(A\) contenant \(0\) et \(y\) et un élément analytique \(g\) sur \(A\) coïncidant avec \(f\) au voisinage de \(0\). \(A\) étant choisi, \(g\), s'il existe, est entièrement déterminé par la donnée de \(f\). Le prolongement \(g(y)\), obtenu en \(y\), peut dépendre de l'ensemble analytique choisi ; par contre, si \(A\) est pris quasi-connexe, \(g(y)\) ne dépendra pas du quasi-connexe choisi (principe du prolongement analytique uniforme). Au voisinage de \(0\), \(f\) se développe en série de Taylor. La somme de cette série définit un prolongement de \(f\) dans son disque de convergence \(D\). Le problème est donc de savoir si \(f\) se prolonge en dehors de \(D\). 2. CRITÈRES DE NON-PROLONGEMENT. PROPOSITION 1. — Si \(f\) se prolonge analytiquement en dehors de son disque de convergence \(D\), \(f\) est un élément analytique sur \(D\). Dans le cas où on s'intéresse à un prolongement sur un quasi-connexe, ce théorème est dû à M. Krasner. Cette série entière. On établit des conditions nécessaires que doivent vérifier les coefficients \(a_n\) d'un élément analytique sur \(D\), ce qui, par application de la proposition 1, nous donne des critères de non-prolongement. G. R. Acad. Se. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 831 Trois cas se présentent : 1. \(f\) est un élément analytique sur \(D\). On sait qu'il n'existe alors pas de prolongement de \(f\) sur un quasi-connexe \(A\) (3). Mais la situation est différente lorsqu'on cherche à prolonger \(f\) sur un ensemble analytique. Exemple. — Soient \(a_n \in \mathbb{K}\) tels que \(|a_n|\rightarrow 0\) en décroissant strictement. Soient \(p_n \in \mathbb{R}\) tels que \(p_n = 0\) produit infini \(I \{x-n\}(x-a_n)\) converge uniformément sur \(A\) vers un élément analytique \(f\). On vérifie que \(r\) est le rayon de convergence de la série de Taylor de \(f\) en \(0\), et que \(lim |a_n|^n = 0\). Alors
Krasner. Cette série entière. On établit des conditions nécessaires que doivent vérifier les coefficients \(a_n\) d'un élément analytique sur \(D\), ce qui, par application de la proposition 1, nous donne des critères de non-prolongement. G. R. Acad. Se. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 831 Trois cas se présentent : 1. \(f\) est un élément analytique sur \(D\). On sait qu'il n'existe alors pas de prolongement de \(f\) sur un quasi-connexe \(A\) (3). Mais la situation est différente lorsqu'on cherche à prolonger \(f\) sur un ensemble analytique. Exemple. — Soient \(a_n \in \mathbb{K}\) tels que \(|a_n|\rightarrow 0\) en décroissant strictement. Soient \(p_n \in \mathbb{R}\) tels que \(p_n = 0\) produit infini \(I \{x-n\}(x-a_n)\) converge uniformément sur \(A\) vers un élément analytique \(f\). On vérifie que \(r\) est le rayon de convergence de la série de Taylor de \(f\) en \(0\), et que \(lim |a_n|^n = 0\). Alors \(f(x)\) n'est pas bornée sur \(D\) et n'est donc pas un élément analytique sur \(D\). tricement en dehors de \(D\). DÉFINITION. — Le sous-ensemble \(J\) de \(\mathbb{N}\) est dit lacunaire si, quel que soit \(T \in \mathbb{N}\), il existe \(N \in \mathbb{N}\) tel que \(J_n [N, N + T) = 0\). THÉORÈME 2. — Supposons que \(lim |a_n|^n = 0\). Soit \(J\) (resp. \(I\)) l'ensemble des \(n\) tels que \(a_n r^n = 0\) (resp. \(|a_n|^n > 0\)). Si \(J\) est lacunaire ou si \(I\) n'est pas borné, \(f\) ne se prolonge pas analytiquement en dehors de \(D\). C'est en particulier le cas si \(r\) n'appartient pas au groupe des valeurs. prolongent pas analytiquement en dehors de \(D = \{ x : |x| < 1\}\). 832 — Série A C. R. Acad. Se. Paris, t. 274 (6 mars 1972) 2° Soit \(K\) de caractéristique nulle avec un corps de restes \(k\) de caractéristique \(p\). Soit \(f(x) = e^x = 2^n/n!\). On trouve \(J\) est lacunaire. \(f(x)\) ne se prolonge pas analytiquement en dehors de \(D\). On peut améliorer ces résultats lorsqu'on fait des hypothèses supplémentaires sur \(K\). On suppose que le corps de restes \(k\) est de caractéristique \(p\) et que,
0\). THÉORÈME 2. — Supposons que \(lim |a_n|^n = 0\). Soit \(J\) (resp. \(I\)) l'ensemble des \(n\) tels que \(a_n r^n = 0\) (resp. \(|a_n|^n > 0\)). Si \(J\) est lacunaire ou si \(I\) n'est pas borné, \(f\) ne se prolonge pas analytiquement en dehors de \(D\). C'est en particulier le cas si \(r\) n'appartient pas au groupe des valeurs. prolongent pas analytiquement en dehors de \(D = \{ x : |x| < 1\}\). 832 — Série A C. R. Acad. Se. Paris, t. 274 (6 mars 1972) 2° Soit \(K\) de caractéristique nulle avec un corps de restes \(k\) de caractéristique \(p\). Soit \(f(x) = e^x = 2^n/n!\). On trouve \(J\) est lacunaire. \(f(x)\) ne se prolonge pas analytiquement en dehors de \(D\). On peut améliorer ces résultats lorsqu'on fait des hypothèses supplémentaires sur \(K\). On suppose que le corps de restes \(k\) est de caractéristique \(p\) et que, dans \(k\), tout élément est une racine de l'unité. Ces conditions sont réalisées dans le cas de clôture algébrique de \(\mathbb{Q}_p\), complété de \(\mathbb{Q}\) pour la valuation \(p\)-adique. THÉORÈME 3. — Soient \(K = \mathbb{K}\) un élément analytique sur \(D = \{ x : |x| < 1 \}\) et un nombre réel positif. Il existe \(n_0\) et \(m\) tels que pour \(n > n_0\), on ait \(|a_{n+m} - a_n| < X\). Ce dernier résultat est à rapprocher d'un résultat de F. Bertrandias sur les coefficients de Taylor d'une fraction rationnelle ("). 3. MÉTHODE DE PROLONGEMENT. — Nous dirons que le domaine de convergence est fermé si \(lim |a_n|^n = 0\), et sinon nous dirons qu'il est ouvert. Les cas suivants se présentent : a. Le disque de convergence \(D\) est fermé [c'est le cas vu en 2 (i)]. Il n'existe alors pas de prolongement de \(f\) sur un quasi-connexe. Nous ne connaissons pas de critère assurant si \(f\) se prolonge en dehors de \(D\), ni de méthode permettant d'en obtenir le prolongement éventuel. b. Le disque de convergence \(D\) est ouvert. (i) \(f\) n'est pas un élément analytique sur \(D\). Alors \(f\) ne se prolonge pas en dehors de \(D\)
nombre réel positif. Il existe \(n_0\) et \(m\) tels que pour \(n > n_0\), on ait \(|a_{n+m} - a_n| < X\). Ce dernier résultat est à rapprocher d'un résultat de F. Bertrandias sur les coefficients de Taylor d'une fraction rationnelle ("). 3. MÉTHODE DE PROLONGEMENT. — Nous dirons que le domaine de convergence est fermé si \(lim |a_n|^n = 0\), et sinon nous dirons qu'il est ouvert. Les cas suivants se présentent : a. Le disque de convergence \(D\) est fermé [c'est le cas vu en 2 (i)]. Il n'existe alors pas de prolongement de \(f\) sur un quasi-connexe. Nous ne connaissons pas de critère assurant si \(f\) se prolonge en dehors de \(D\), ni de méthode permettant d'en obtenir le prolongement éventuel. b. Le disque de convergence \(D\) est ouvert. (i) \(f\) n'est pas un élément analytique sur \(D\). Alors \(f\) ne se prolonge pas en dehors de \(D\) (proposition 1). Le paragraphe 2 donne des conditions suffisantes pour que cette situation se produise. (ii) \(f\) est un élément analytique sur \(D\). Alors \(r\) appartient au groupe des valeurs (théorème 2) ; les trous de \(D\) sont donc, d'une part le trou de centre \(T_M = \{ x : |x| > r \}\), d'autre part les trous \(T_i = \{x : x - a_i < r\}\) avec \(a_i = r\), \(j = a_j = r\) pour \(i \ne j\). D'après le théorème de Mittag-Leffler ('), on a pour \((D)\) la somme étant effectuée sur les \(T\). \(T\) est un élément analytique sur \(D\); \(f\) se prolonge donc dans \(T\) si et seulement si \(f_T\) se prolonge dans \(T\). Prolongement de \(fr\) dans \(T\). — On développe \(fr\) en série de Taylor autour de \(0\) si \(T = T_M\), et en série de Laurent autour de \(a_i\) si \(T = T_i\). (Dans le cas où le corps de restes de \(K\) est dénombrable, on a un procédé pour calculer les coefficients du développement en série de \(fr\) à partir de ceux de \(f\).) Lorsque le domaine de convergence de la série de Taylor (resp. de Laurent) de \(fr\) est \(T\),