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tandis qu'il faut – "2 – Ces fautes n'existaient point dans le manuscrit, et tous les calculs qui suivent ce passage du Mémoire ont été effectués sur la formule exacte. Elle a été reproduite et employée sous sa forme correcte, dans les Notes du tome 8er de mon Traité d'Astronomie, pages 262 et suivantes. TABLEAU A. Angle au centre α = 1030'. Hauteur de la station M" au-dessus du niveau sphérique de la station M' r. r, = 1846m,06o. STATION INFÉRIEURE M'. STATION SUPÉRIEURE M". SOMME DIFFÉRENCE DISTANCE DISTANCE DISTANCE des des zénithale apparente des zénithale Traîné zénithale apparente de M", réfraction zénithale apparente de M", en M". locales. T1 de M". vu de M". 2, Z|-|-O| 3, 2, z2-t-Oj 31 3|+03-2 5|, – 5 9 90" 9006'55",89 + 6' 55", 89 1°16'27",9° 91°23'4",11 -h 6' 36", 21 -t-13'32/7,10 -+• 19",68 Coefficient de la réfraction terrestre conclu de ces nombres C = 0,1503889. Résultats analogues déduits de la formule approximative, en évaluant les coefficients différentiels (ï£) (ï£) par la parabole la plus basse conclue de l'ascension de Gay-Lussac 6 = 0,1473852 v; (ï£ +03-2 = 1 3' 1 5" 56'. Erreur de l'approximation: 16",54. TABLEAU B. Angle au centre = 0°,30. Hauteur de la station M' au-dessus du niveau sphérique de la station M, rsr, = 204m,313. STATION SPÉCIALE M'. STATION SUPÉRIEURE M". – – – SOMME DIFFÉRENCE DISTANCE DISPARITÉ DISTANCE des différences DISTANCE DISTANCE DISTANCE zénithale apparente zénithale vraie zénithale apparente vraie des réfractions sans réfractions propre de M', réfraction propre de M", réfraction locale de M", réfraction locale de M'. réfraction locale en N'. de M'. -en M". locale en M". vu de M' vu de M'. ZI 2,1 0*, 5, 22 22 r 5. Si ^1+02 S, – o2 90° 90° 22'25",746 90° 27'38",454 +4'42",254 +0",658 » Connaissant, par cette étude préliminaire, les caractères géométriques des portions de trajectoires lumineuses qui ont pu se former entre des signaux terrestres situés à diverses distances, dans un état régulier des couches inférieures de l'atmosphère, qui a effectivement existé, cherchons quels sont ceux de ces caractères que l'on pourra constater
0°,30. Hauteur de la station M' au-dessus du niveau sphérique de la station M, rsr, = 204m,313. STATION SPÉCIALE M'. STATION SUPÉRIEURE M". – – – SOMME DIFFÉRENCE DISTANCE DISPARITÉ DISTANCE des différences DISTANCE DISTANCE DISTANCE zénithale apparente zénithale vraie zénithale apparente vraie des réfractions sans réfractions propre de M', réfraction propre de M", réfraction locale de M", réfraction locale de M'. réfraction locale en N'. de M'. -en M". locale en M". vu de M' vu de M'. ZI 2,1 0*, 5, 22 22 r 5. Si ^1+02 S, – o2 90° 90° 22'25",746 90° 27'38",454 +4'42",254 +0",658 » Connaissant, par cette étude préliminaire, les caractères géométriques des portions de trajectoires lumineuses qui ont pu se former entre des signaux terrestres situés à diverses distances, dans un état régulier des couches inférieures de l'atmosphère, qui a effectivement existé, cherchons quels sont ceux de ces caractères que l'on pourra constater et apprécier par des observations de distances zénithales, effectuées aux deux stations qui les terminent. » Si deux observateurs placés en ces points extrêmes prennent simultanément les distances apparentes Z1, Z2 de l'autre signal, séparé d'eux par l'angle au centre v, la considération du quadrilatère plan CM'IM", dont les angles internes doivent former en somme quatre angles droits, leur donnera immédiatement l'angle intérieur T"IM' ou d, lequel aura pour expression (5) e=2°+i°+(z1 + z1). » Mais cette relation ne s'appliquera à une même trajectoire lumineuse que sous la condition rigoureuse que les distances zénithales réciproques auront été observées simultanément. Car si elles étaient seulement réciproques sans être simultanées, elles appartiendraient généralement aux tangentes extrêmes de deux trajectoires différentes; et la valeur de 0, fournie par la même relation, exprimerait l'angle formé par ces tangentes, qui n'auraient entre elles aucune connexité physique dont on pût se prévaloir. » La valeur de 0 obtenue ainsi par des observations, même simultanées, représente seulement la somme ât +â2 des deux réfractions locales qui ont eu lieu à un même instant, aux deux extrémités d'une même trajectoire. Mais cette donnée est insuffisante pour que l'on puisse en conclure la différence de niveau des deux stations,
internes doivent former en somme quatre angles droits, leur donnera immédiatement l'angle intérieur T"IM' ou d, lequel aura pour expression (5) e=2°+i°+(z1 + z1). » Mais cette relation ne s'appliquera à une même trajectoire lumineuse que sous la condition rigoureuse que les distances zénithales réciproques auront été observées simultanément. Car si elles étaient seulement réciproques sans être simultanées, elles appartiendraient généralement aux tangentes extrêmes de deux trajectoires différentes; et la valeur de 0, fournie par la même relation, exprimerait l'angle formé par ces tangentes, qui n'auraient entre elles aucune connexité physique dont on pût se prévaloir. » La valeur de 0 obtenue ainsi par des observations, même simultanées, représente seulement la somme ât +â2 des deux réfractions locales qui ont eu lieu à un même instant, aux deux extrémités d'une même trajectoire. Mais cette donnée est insuffisante pour que l'on puisse en conclure la différence de niveau des deux stations, ce qui est l'usage spécial auquel ce genre d'observations s'emploie dans les opérations géodésiques. Il devient alors nécessaire de connaître aussi la différence des ât des deux réfractions locales, afin d'avoir chacune d'elles individuellement. On y supplée en les supposant égales, ce que nos tableaux A et B montrent devoir être peu en erreur, aux distances restreintes où la convexité de la Terre oblige de placer les signaux géodésiques. Cela revient à considérer comme circulaire la portion de la trajectoire lumineuse, qui est comprise entre eux. Mais cette hypothèse, suffisante pour la pratique de l'ingénieur, n'est pas théoriquement acceptable comme réalité. » Ayant ainsi constaté l'excessive variabilité physique du coefficient lorsqu'on l'applique à des couches d'air minces, peu étendues, et peu élevées au-dessus de la surface terrestre, comme sont toujours celles qui se trouvent comprises entre deux signaux géodésiques, supposons que, par des observations de distances zénithales réciproques et simultanées, faites entre deux signaux pareils, on ait, à un certain jour, à un certain instant, déterminé sa valeur actuelle, sur la ligne d'air suivie par la trajectoire lumineuse qui va de l'un à l'autre, et qu'on l'ait trouvée égale à – m étant un nombre connu. On n'en pourra nullement
être peu en erreur, aux distances restreintes où la convexité de la Terre oblige de placer les signaux géodésiques. Cela revient à considérer comme circulaire la portion de la trajectoire lumineuse, qui est comprise entre eux. Mais cette hypothèse, suffisante pour la pratique de l'ingénieur, n'est pas théoriquement acceptable comme réalité. » Ayant ainsi constaté l'excessive variabilité physique du coefficient lorsqu'on l'applique à des couches d'air minces, peu étendues, et peu élevées au-dessus de la surface terrestre, comme sont toujours celles qui se trouvent comprises entre deux signaux géodésiques, supposons que, par des observations de distances zénithales réciproques et simultanées, faites entre deux signaux pareils, on ait, à un certain jour, à un certain instant, déterminé sa valeur actuelle, sur la ligne d'air suivie par la trajectoire lumineuse qui va de l'un à l'autre, et qu'on l'ait trouvée égale à – m étant un nombre connu. On n'en pourra nullement conclure qu'il aurait encore cette même valeur, à ce même instant, sur les trajectoires lumineuses qui parcourraient des portions de la même masse d'air, comprises entre des signaux moins ou plus distants; et nos tableaux A et B offrent des exemples du contraire. Toutefois, admettons hypothétiquement qu'il en soit ainsi. Alors, tous les éléments de l'intégrale 6, se trouvant constants, et égaux à – dv entre les limites d'amplitude qu'elle doit embrasser, on en conclura 2 m immédiatement, dans ces limites, de dv, dans l'expression différentielle Alors – sera ce que l'on appelle le coefficient de la réfraction terrestre dans les circonstances supposées; et il est remarquable qu'il sera essentiellement propre et spécial à ces circonstances. » Concevons maintenant que l'on demande quel mode de variation des densités il faudrait idéalement établir dans la masse d'air considérée, pour que le coefficient de dv eût précisément cette valeur constante 2 m dans l'amplitude d'épaisseur et d'étendue qu'elle embrasse? La condition à remplir s'exprimera en posant l'égalité Sous cette seconde forme, l'intégrale se présente immédiatement, et elle est » Si l'on a bien suivi les détails de cette déduction analytique, on doit reconnaître avec évidence que la formule (6), à laquelle nous
Alors, tous les éléments de l'intégrale 6, se trouvant constants, et égaux à – dv entre les limites d'amplitude qu'elle doit embrasser, on en conclura 2 m immédiatement, dans ces limites, de dv, dans l'expression différentielle Alors – sera ce que l'on appelle le coefficient de la réfraction terrestre dans les circonstances supposées; et il est remarquable qu'il sera essentiellement propre et spécial à ces circonstances. » Concevons maintenant que l'on demande quel mode de variation des densités il faudrait idéalement établir dans la masse d'air considérée, pour que le coefficient de dv eût précisément cette valeur constante 2 m dans l'amplitude d'épaisseur et d'étendue qu'elle embrasse? La condition à remplir s'exprimera en posant l'égalité Sous cette seconde forme, l'intégrale se présente immédiatement, et elle est » Si l'on a bien suivi les détails de cette déduction analytique, on doit reconnaître avec évidence que la formule (6), à laquelle nous venons de parvenir, n'est légitimement applicable qu'à la masse restreinte d'air où l'on a déterminé par observation le coefficient m; et même, qu'elle ne s'étend à tous ses points intérieurs, qu'au moyen de la généralisation hypothétique sur laquelle l'intégration est fondée. Or, non-seulement M. Faye lui attribue virtuellement ce caractère d'application locale, mais, par une extension d'idées bien autrement hypothétique, et, je l'ose dire, contraire à toutes les notions de la physique, tant rationnelle qu'expérimentale, il en fait le type d'une loi de variation des densités, qui doit matériellement s'établir depuis la surface de la Terre jusqu'aux dernières régions de l'atmosphère, en conformité avec la valeur actuelle, que l'observation locale aurait donnée au coefficient m » Avant de revenir sur cette idée, je ferai remarquer que notre équation (6) est, dans sa composition analytique, et jusque dans sa notation littérale, identique à celle que Laplace donne au § 6 du livre X de la Mécanique céleste, comme une hypothèse mathématique dans laquelle l'équation différentielle de la réfraction devient rigoureusement intégrable, et conduit à la même expression que la loi de Bradley. Mais, pour que ce mode de décroissement des densités, ou tout autre que l'on voudrait imaginer, puisse, même hypothétiquement,
d'application locale, mais, par une extension d'idées bien autrement hypothétique, et, je l'ose dire, contraire à toutes les notions de la physique, tant rationnelle qu'expérimentale, il en fait le type d'une loi de variation des densités, qui doit matériellement s'établir depuis la surface de la Terre jusqu'aux dernières régions de l'atmosphère, en conformité avec la valeur actuelle, que l'observation locale aurait donnée au coefficient m » Avant de revenir sur cette idée, je ferai remarquer que notre équation (6) est, dans sa composition analytique, et jusque dans sa notation littérale, identique à celle que Laplace donne au § 6 du livre X de la Mécanique céleste, comme une hypothèse mathématique dans laquelle l'équation différentielle de la réfraction devient rigoureusement intégrable, et conduit à la même expression que la loi de Bradley. Mais, pour que ce mode de décroissement des densités, ou tout autre que l'on voudrait imaginer, puisse, même hypothétiquement, être appliqué à une atmosphère gazeuse, composée de couches pesantes et compressibles, il faut d'abord l'assujettir à une équation de condition, qui est toujours nécessaire pour assurer sa stabilité, dans un tel état; puis, si l'on veut qu'elle représente réellement l'atmosphère terrestre, il faudra disposer des constantes qui la définissent, de A étant une constante arbitraire. Cette constante se détermine par la condition que la densité py hath sa valeur vraie et observable pt, à la surface de la couche d'air d'où l'on compte les variables s. Pour qu'il en soit ainsi, il faut qu'on ait y ce qui donne, après l'élimination de A, ou, en remplaçant t – s par son expression équivalente -S même manière qu'elle s'y assime dans ses particularités physiques c'est-à-dire que les réfractions à toutes les distances zénithales y soient de même grandeur, et que le décroissement des températures à diverses hauteurs y soit tel qu'on le constate dans notre atmosphère par l'observation. Or, la constitution d'atmosphère représentée par l'équation (6), ne contenant de disponible que la seule constante m, ce serait un singulier hasard qu'elle pût se satisfaire à toutes ces conditions d'identité. Effectivement, la relation nécessaire à la stabilité de la masse gazeuse,
de A étant une constante arbitraire. Cette constante se détermine par la condition que la densité py hath sa valeur vraie et observable pt, à la surface de la couche d'air d'où l'on compte les variables s. Pour qu'il en soit ainsi, il faut qu'on ait y ce qui donne, après l'élimination de A, ou, en remplaçant t – s par son expression équivalente -S même manière qu'elle s'y assime dans ses particularités physiques c'est-à-dire que les réfractions à toutes les distances zénithales y soient de même grandeur, et que le décroissement des températures à diverses hauteurs y soit tel qu'on le constate dans notre atmosphère par l'observation. Or, la constitution d'atmosphère représentée par l'équation (6), ne contenant de disponible que la seule constante m, ce serait un singulier hasard qu'elle pût se satisfaire à toutes ces conditions d'identité. Effectivement, la relation nécessaire à la stabilité de la masse gazeuse, détermine immédiatement cette constante; et, à la température de o degré, sous la pression de om, 76, elle lui assigne pour valeur numérique "• m = 4: 25970; d'où .– = o, 1 1738; ̃ï– est le coefficient de la réfraction terrestre, qui se trouve ainsi notablement moindre que l'observation ne le donne, en moyenne, dans notre atmosphère. m étant ainsi déterminé, il en résulte pour la grandeur de la réfraction horizontale, à o degré de température, et sous la pression totale de om, 76, 30' ;¿4", 1 2, 30' 24", 12 valeur pareillement beaucoup trop faible, comme moyenne. Enfin le décroissement moyen des températures, près de la surface terrestre, conclu de ce même m, dans les mêmes circonstances météorologiques, serait de 1 degré centigrade pour G3m, 8 d'accroissement de hauteur, progression environ trois fois plus rapide qu'on ne l'observe réellement. Tous ces résultats ont été établis par Laplace au § 6 du livre X de la Mécanique céleste, comme autant de conséquences mathématiquement inhérentes à la constitution d'atmosphère représentée par notre équation (6). Je n'ai fait que lui emprunter ses nombres, et je les ai rapportés avec tout ce détail, pour montrer que la valeur occasionnelle du coefficient m,
ne le donne, en moyenne, dans notre atmosphère. m étant ainsi déterminé, il en résulte pour la grandeur de la réfraction horizontale, à o degré de température, et sous la pression totale de om, 76, 30' ;¿4", 1 2, 30' 24", 12 valeur pareillement beaucoup trop faible, comme moyenne. Enfin le décroissement moyen des températures, près de la surface terrestre, conclu de ce même m, dans les mêmes circonstances météorologiques, serait de 1 degré centigrade pour G3m, 8 d'accroissement de hauteur, progression environ trois fois plus rapide qu'on ne l'observe réellement. Tous ces résultats ont été établis par Laplace au § 6 du livre X de la Mécanique céleste, comme autant de conséquences mathématiquement inhérentes à la constitution d'atmosphère représentée par notre équation (6). Je n'ai fait que lui emprunter ses nombres, et je les ai rapportés avec tout ce détail, pour montrer que la valeur occasionnelle du coefficient m, déterminée par des observations géodésiques faites à travers des couches d'air d'une épaisseur restreinte, et à de petites hauteurs, ne peut pas, sans contradiction mathématique, être employée dans l'équation (6), comme caractérisant un mode de variation des densités applicable à toute hauteur dans notre atmosphère. Car une atmosphère ainsi constituée artificiellement, non-seulement n'aurait pas les qualités physiques de la nôtre, mais ne satisferait pas même à la condition de stabilité nécessaire à son existence. Voilà pourtant ce que M. Faye fait, ou prétend faire. Car il demande qu'on emploie les réfractions calculées dans cette atmosphère fictive, pour corriger les irrégularités de celles que l'atmosphère réelle nous présente habituellement, près de l'horizon. Or ces irrégularités ne peuvent être assujetties à aucune théorie générale, parce qu'elles résultent de perturbations opérées dans les couches basses et lointaines de notre atmosphère, par des accidents météorologiques locaux, dont les caprices échappent à toute prévision, et se réalisent même soudainement à notre insu. On ne saurait se débarrasser de leurs effets que par compensation; et le procédé que M. Faye propose pour y remédier ne ferait que vicier les résultats moyens qui peuvent être obtenus à la longue. » Supposons, dit M. Faye, qu'une mire éloignée,
artificiellement, non-seulement n'aurait pas les qualités physiques de la nôtre, mais ne satisferait pas même à la condition de stabilité nécessaire à son existence. Voilà pourtant ce que M. Faye fait, ou prétend faire. Car il demande qu'on emploie les réfractions calculées dans cette atmosphère fictive, pour corriger les irrégularités de celles que l'atmosphère réelle nous présente habituellement, près de l'horizon. Or ces irrégularités ne peuvent être assujetties à aucune théorie générale, parce qu'elles résultent de perturbations opérées dans les couches basses et lointaines de notre atmosphère, par des accidents météorologiques locaux, dont les caprices échappent à toute prévision, et se réalisent même soudainement à notre insu. On ne saurait se débarrasser de leurs effets que par compensation; et le procédé que M. Faye propose pour y remédier ne ferait que vicier les résultats moyens qui peuvent être obtenus à la longue. » Supposons, dit M. Faye, qu'une mire éloignée, visible de jour et de nuit, soit placée dans la direction du méridien de l'observateur à une grande hauteur au-dessus du sol, et que l'on ait déterminé sa distance ainsi que son altitude relative, à l'aide d'un nivellement ordinaire à petites portées. On en déduira la distance zénithale vraie de cette mire. L'observation donnera la distance zénithale apparente. La différence sera l'effet de la réfraction (locale); et, comme on connaît l'angle au centre, on aura la valeur actuelle du coefficient de la réfraction terrestre (sur la portion de la trajectoire lumineuse propagée du signal à l'observateur). Ce coefficient, introduit dans l'équation (6) de Laplace, donnera la réfraction astronomique actuelle, sous la forme que lui assigne la loi de Bradley, dont tous les éléments se trouveront ainsi déterminés pour l'application. » J'ai présenté ici l'esprit de la méthode aussi fidèlement que j'ai pu le saisir dans la nouvelle notation que M. Faye a substituée à celle de Laplace. Je regrette, pour mon compte, ces changements de formes symboliques, qui rendent plus pénibles à lire, à retrouver, des théories déjà exposées avec un entier développement, dans des ouvrages célèbres, que tout le monde a étudiés. » Je ne reviendrai pas sur la
cette mire. L'observation donnera la distance zénithale apparente. La différence sera l'effet de la réfraction (locale); et, comme on connaît l'angle au centre, on aura la valeur actuelle du coefficient de la réfraction terrestre (sur la portion de la trajectoire lumineuse propagée du signal à l'observateur). Ce coefficient, introduit dans l'équation (6) de Laplace, donnera la réfraction astronomique actuelle, sous la forme que lui assigne la loi de Bradley, dont tous les éléments se trouveront ainsi déterminés pour l'application. » J'ai présenté ici l'esprit de la méthode aussi fidèlement que j'ai pu le saisir dans la nouvelle notation que M. Faye a substituée à celle de Laplace. Je regrette, pour mon compte, ces changements de formes symboliques, qui rendent plus pénibles à lire, à retrouver, des théories déjà exposées avec un entier développement, dans des ouvrages célèbres, que tout le monde a étudiés. » Je ne reviendrai pas sur la difficulté mécanique, toute grave qu'elle est. Je veux considérer ici la méthode, uniquement au point de vue de l'application physique et astronomique. Elle se résume, pour moi, en ce point: que, d'après la quantité de la réfraction observée à l'une des extrémités d'un petit arc de trajectoire lumineuse, réfraction qui n'excédera jamais quelques minutes de degré, M. Faye veut conclure la totalité de la réfraction qui se produira pour des distances zénithales de même ordre, sur toute la longueur des trajectoires lumineuses, qui se seront propagées depuis les extrémités de l'atmosphère jusqu'à l'observateur, en traversant des régions aériennes immensément distantes, dont la stratification pourra n'avoir aucun rapport avec l'état actuel de la même couche d'air comprise entre l'observateur et le signal observé. Croire que l'état accidentel de celle-ci pourra, devra, se propager ainsi, instantanément, à tout le reste de la masse aérienne, c'est une concession que la vieille physique, je dirai aussi la vieille logique de mon temps, ne me permet pas de faire, et pourtant elle semble indispensable pour que l'application ait lieu. Mais alors, si le même observateur établissait autour de sa station trois ou quatre signaux terrestres, sur diverses directions azimutales, au nord, au sud, à l'est,