jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
SÉRIE A — 859 3. MOUVEMENTS AVEC UNE VITESSE FLUIDE HOLOMORPHE. — Si le profil présente une pointe dont l'image dans le plan \(Z\) est \(a\), la condition pour avoir une vitesse finie à la pointe, s'écrit : et tout ce qui a été dit pour le profil d'aire constante, s'étend sans changement au cas général. 4. LES EFFORTS AÉRODYNAMIQUES. — On note par \(\mathbf{F}\) le torseur des efforts du fluide sur le profil, par \(X\), \(Y\) les composantes sur \(0 x\) et \(0 y\) de sa résultante et par \(M\) son moment en \(0\); on a alors : où \(V\) est le torseur cinétique du repère \(0 xy\), le signe \(X\) désignant le produit de Lie des torseurs \(V\) et \(T\); ce dernier est défini par sa résultante \(R(T)\) et son moment en \(0\), \(m_{0}(T)\), soient où \(z_{0}\) (resp. \(Z\)) est l'affixe du centre du profil dans les axes fixes (resp. celle, dans \(0 xy\), du centre de gravité de l'aire homogène limitée par \((C)\)); de plus : 5. LA PUISSANCE DES EFFORTS AÉRODYNAMIQUES. — On suppose l'aire du profil constante et son mouvement tel qu'on ne soit jamais en présence de singularités tourbillonnaires, ce qui implique la relation (*) lorsque le profil présente une pointe. On a alors : d'où, toutes réductions faites, en choisissant des axes centrés tels que soit positif : (*) Séance du 28 février 1972. Place du Minervois, Mas de la Colline, 34-Lapaillade-Montpellier, Hérault. G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274(6 mars 1972) SÉRIE A — 861 MÉCANIQUE DES FLUIDES. — Sur le mouvement d'un profil rectiligne sous une ligne libre dans un fluide limité par une paroi rectiligne. Note (*) de M. PIERRE CAPODANNO, présentée par M. Henri Villat. 1. Dans une Note précédente (*) dont nous conservons les notations, nous avons étudié le cas où le fluide n'est limité que par une ligne libre; nous supposons maintenant qu'il est limité également par une paroi rectiligne \(X'\). Nous admettons qu'une ligne de courant venant de l'infini amont arrive sur le profil en un point \(P\), s'y divise en deux parties \(e_1\) et \(e_2\)
(*) lorsque le profil présente une pointe. On a alors : d'où, toutes réductions faites, en choisissant des axes centrés tels que soit positif : (*) Séance du 28 février 1972. Place du Minervois, Mas de la Colline, 34-Lapaillade-Montpellier, Hérault. G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274(6 mars 1972) SÉRIE A — 861 MÉCANIQUE DES FLUIDES. — Sur le mouvement d'un profil rectiligne sous une ligne libre dans un fluide limité par une paroi rectiligne. Note (*) de M. PIERRE CAPODANNO, présentée par M. Henri Villat. 1. Dans une Note précédente (*) dont nous conservons les notations, nous avons étudié le cas où le fluide n'est limité que par une ligne libre; nous supposons maintenant qu'il est limité également par une paroi rectiligne \(X'\). Nous admettons qu'une ligne de courant venant de l'infini amont arrive sur le profil en un point \(P\), s'y divise en deux parties \(e_1\) et \(e_2\) et s'en détache à la pointe \(Q\) pour aller vers l'infini aval. Soient \(X_1\) et \(X_2\) les lignes de courant issues de \(Q\). Nous supposons que sur \(X_1\) et \(X_2\) la pression est constante. 2. Soit \((a)\) le domaine simplement connexe limité par les courbes \(X\). Le domaine \((a)\) linéarisé est la bande \((-\pi, \pi,\) constantes positives données) fendue suivant la demi-droite \(y = 0, x = l\). Nous le représentons conformément sur une demi-couronne circulaire du plan \((Z)\), de rayons \(1\) et \(q (0 < q < 1)\) de façon que les transformés de \(X, X_4, X_2\) se trouvent sur l'axe réel. Nous obtenons [(2), (3)] : \(W_1\) et \(W_2\) sont racines de l'équation : la fonction \(p\) de Weierstrass est construite à l'aide des demi-périodes qui sont des fonctions de \(W_1\) et \(W_2\). 3. Posons \(u(Z)\) est une fonction holomorphe dans la demi-couronne, nulle pour \(Z = 1\), réelle sur les portions de diamètre situées sur l'axe réel et sa partie réelle est connue sur les demi-circonférences. Si nous la prolongeons analytiquement dans la demi-couronne symétrique, nous sommes ramenés à un problème connu. 4. La formule de M. Villat (2) donne \(o(Z)\) et, par suite, en nous limitant
est la bande \((-\pi, \pi,\) constantes positives données) fendue suivant la demi-droite \(y = 0, x = l\). Nous le représentons conformément sur une demi-couronne circulaire du plan \((Z)\), de rayons \(1\) et \(q (0 < q < 1)\) de façon que les transformés de \(X, X_4, X_2\) se trouvent sur l'axe réel. Nous obtenons [(2), (3)] : \(W_1\) et \(W_2\) sont racines de l'équation : la fonction \(p\) de Weierstrass est construite à l'aide des demi-périodes qui sont des fonctions de \(W_1\) et \(W_2\). 3. Posons \(u(Z)\) est une fonction holomorphe dans la demi-couronne, nulle pour \(Z = 1\), réelle sur les portions de diamètre situées sur l'axe réel et sa partie réelle est connue sur les demi-circonférences. Si nous la prolongeons analytiquement dans la demi-couronne symétrique, nous sommes ramenés à un problème connu. 4. La formule de M. Villat (2) donne \(o(Z)\) et, par suite, en nous limitant aux termes du premier ordre en : où \(s_0\) est l'argument du transformé de \(P_0\). 5. L'intégrale \(\int df\) prise le long du profil fournit la circulation \(T\). Nous vérifions que la partie imaginaire de cette intégrale est nulle. La détermination de sa partie réelle donne lieu à un calcul compliqué. Nous obtenons finalement : où \(X\) et \(u_0\) sont des constantes calculables en fonction de \(W_1\) et \(W_2\) et où l'on a posé intégrale qui se calcule aisément par la méthode des résidus. 5. Les formules de Blasius permettent de déterminer le torseur des efforts aérodynamiques. La résultante complexe est de sorte qu'à l'approximation considérée, le théorème de Joukowski est valable. L'évaluation du moment par rapport à l'origine est difficile. Des calculs qui ne sauraient trouver place ici donnent : où Jn est une intégrale qui se calcule à partir de Kn. Séance du 28 février 1972. P. CAPODANNO, Comptes rendus, 274, série A, 1972, p. 508. H. VILLAT, Leçons sur l'hydrodynamique, Gauthier-Villars, Paris. H. KOBER, Dictionary of conformal representations, Dover Publications. Laboratoire de Mécanique théorique, Faculté des Sciences, route de Gray, 25-Besançon, Doubs. G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 863 AÉRODYNAMIQUE.
compliqué. Nous obtenons finalement : où \(X\) et \(u_0\) sont des constantes calculables en fonction de \(W_1\) et \(W_2\) et où l'on a posé intégrale qui se calcule aisément par la méthode des résidus. 5. Les formules de Blasius permettent de déterminer le torseur des efforts aérodynamiques. La résultante complexe est de sorte qu'à l'approximation considérée, le théorème de Joukowski est valable. L'évaluation du moment par rapport à l'origine est difficile. Des calculs qui ne sauraient trouver place ici donnent : où Jn est une intégrale qui se calcule à partir de Kn. Séance du 28 février 1972. P. CAPODANNO, Comptes rendus, 274, série A, 1972, p. 508. H. VILLAT, Leçons sur l'hydrodynamique, Gauthier-Villars, Paris. H. KOBER, Dictionary of conformal representations, Dover Publications. Laboratoire de Mécanique théorique, Faculté des Sciences, route de Gray, 25-Besançon, Doubs. G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 863 AÉRODYNAMIQUE. — Pressions aérodynamiques instationnaires subsoniques sur les ailettes de compresseurs. Note de MM. JACQUES LECLERC et PIERRE SALAUN, présentée par M. Robert Legendre. Le problème du calcul des pressions est ramené à la résolution d'une équation intégrale dont le noyau est décomposé en série double de produits de fonctions d'une seule variable. 1. La roue schématisée sur les ailettes de laquelle on étudie les pressions est supposée isolée, c'est-à-dire que l'influence des roues voisines est négligée; les deux cylindres, intérieur et extérieur, sont étendus à l'infini amont et à l'infini aval pour rendre le calcul possible. La roue est supposée tourner librement dans ce courant d'air, qui n'est donc pas dévié. Les mouvements des ailettes sont les mêmes, à un déphasage près égal à 2K d'une ailette à l'autre. N désigne le nombre d'ailettes et K un entier pouvant prendre les valeurs 1, 2, ..., N. 2. Les équations du problème sont linéarisées et écrites dans un système d'axes liés à la roue et en coordonnées polaires r, θ, z (z est le sens du vent non perturbé). Les ailettes étant des portions d'hélicoïdes d'équations où Voe est la vitesse du vent non perturbé et Q la vitesse de rotation
seule variable. 1. La roue schématisée sur les ailettes de laquelle on étudie les pressions est supposée isolée, c'est-à-dire que l'influence des roues voisines est négligée; les deux cylindres, intérieur et extérieur, sont étendus à l'infini amont et à l'infini aval pour rendre le calcul possible. La roue est supposée tourner librement dans ce courant d'air, qui n'est donc pas dévié. Les mouvements des ailettes sont les mêmes, à un déphasage près égal à 2K d'une ailette à l'autre. N désigne le nombre d'ailettes et K un entier pouvant prendre les valeurs 1, 2, ..., N. 2. Les équations du problème sont linéarisées et écrites dans un système d'axes liés à la roue et en coordonnées polaires r, θ, z (z est le sens du vent non perturbé). Les ailettes étant des portions d'hélicoïdes d'équations où Voe est la vitesse du vent non perturbé et Q la vitesse de rotation de la roue, il est commode d'introduire le changement de variable : L'équation du potentiel des vitesses de perturbation est alors : où an est la célérité du son, la pulsation des phénomènes considérés et 2 = 1 — M2 (M est le nombre de Mach); la pression p est Les conditions aux limites sur les deux cylindres de rayons r1, et r2 sont : Comme dans la théorie de l'aile, les ailettes vont être remplacées par une répartition de doublets de pression, ce qui nécessite d'abord la 864 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) recherche du potentiel dû aux sources ; le prochain paragraphe est consacré à la recherche du potentiel dû à N sources isolées régulièrement réparties; sur le cercle r = r', z = z', déphasées de 2K N; (ces sources sont sur les ailettes et tiennent compte du déphasage entre les mouvements) ; en procédant ainsi, la périodicité en ressort immédiatement. 3. Le potentiel dû aux N sources isolées va être calculé en tenant compte des conditions aux limites sur les deux cylindres; il peut s'obtenir en résolvant l'équation du potentiel munie d'un second membre convenable, c'est-à-dire de fonctions
Les conditions aux limites sur les deux cylindres de rayons r1, et r2 sont : Comme dans la théorie de l'aile, les ailettes vont être remplacées par une répartition de doublets de pression, ce qui nécessite d'abord la 864 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 274 (6 mars 1972) recherche du potentiel dû aux sources ; le prochain paragraphe est consacré à la recherche du potentiel dû à N sources isolées régulièrement réparties; sur le cercle r = r', z = z', déphasées de 2K N; (ces sources sont sur les ailettes et tiennent compte du déphasage entre les mouvements) ; en procédant ainsi, la périodicité en ressort immédiatement. 3. Le potentiel dû aux N sources isolées va être calculé en tenant compte des conditions aux limites sur les deux cylindres; il peut s'obtenir en résolvant l'équation du potentiel munie d'un second membre convenable, c'est-à-dire de fonctions de Dirac représentant les sources en coordonnées r, θ, z, à savoir : expression qui peut aussi s'écrire sous la forme p est développé, en série de Fourier de la forme et z) en série des fonctions propres de l'équation associée aux conditions aux limites : Ces fonctions propres sont : où A est un coefficient de normalisation, et les fonctions de Bessel classiques et Xm les valeurs propres, solutions de l'équation Ces fonctions propres sont orthogonales par rapport au poids r. Le potentiel des N sources peut alors s'écrire : 4. Les calculs seront développés dans une publication de l'O.N.E.R.A. Le potentiel des N doublets déphasés est facilement déduit du potentiel des N sources. Le potentiel de l'écoulement est obtenu par intégration sur la surface d'une ailette de référence de doublets d'intensité proportionnelle à la différence de pression locale op (r', z') entre les deux côtés de l'ailette. La condition de glissement est que la dérivée normale de ce potentiel soit une fonctionnelle de la déformation de l'ailette. L'équation intégrale du problème prend la forme E est la fonction échelon unité. L'équation intégrale linéaire ci-dessus est résoluble par représentation de la pression dans une base convenable. 5. Il y
: où A est un coefficient de normalisation, et les fonctions de Bessel classiques et Xm les valeurs propres, solutions de l'équation Ces fonctions propres sont orthogonales par rapport au poids r. Le potentiel des N sources peut alors s'écrire : 4. Les calculs seront développés dans une publication de l'O.N.E.R.A. Le potentiel des N doublets déphasés est facilement déduit du potentiel des N sources. Le potentiel de l'écoulement est obtenu par intégration sur la surface d'une ailette de référence de doublets d'intensité proportionnelle à la différence de pression locale op (r', z') entre les deux côtés de l'ailette. La condition de glissement est que la dérivée normale de ce potentiel soit une fonctionnelle de la déformation de l'ailette. L'équation intégrale du problème prend la forme E est la fonction échelon unité. L'équation intégrale linéaire ci-dessus est résoluble par représentation de la pression dans une base convenable. 5. Il y a une analogie complète avec le cas de la grille d'aubes droite située entre deux parois, qui est en cours d'études à l'O.N.E.R.A., et qui se ramène lui-même à une succession de problèmes où les aubes sont bidimensionnelles. Dans ce cas plus simple, il y a des fonctions circulaires au lieu de fonctions de Bessel, et les noyaux K4 et K2 sont tout à fait analogues et constitués par des exponentielles. Les intégrales en r' ne dépendent ni de la fréquence, ni du nombre de Mach; leur calcul sera simplifié pour presque toutes les valeurs de n', qui sont très grandes à cause du nombre élevé d'ailettes, ce qui permet de remplacer les fonctions r) par leurs développements asymptotiques. On se rend compte que la partie principale de ces intégrales provient de la zone de transition, où la fonction se transforme d'une fonction, pratiquement nulle, en une fonction oscillant rapidement et non négligeable. Pour les premières valeurs de m, la zone de transition est comprise entre r1 et r2; elle se déplace vers la gauche lorsque m croît; lorsqu'elle se trouve à gauche de r1, les intégrales des fonctions oscillant rapidement entre r1 et r2 sont complètement négligeables. 6. Les
lieu de fonctions de Bessel, et les noyaux K4 et K2 sont tout à fait analogues et constitués par des exponentielles. Les intégrales en r' ne dépendent ni de la fréquence, ni du nombre de Mach; leur calcul sera simplifié pour presque toutes les valeurs de n', qui sont très grandes à cause du nombre élevé d'ailettes, ce qui permet de remplacer les fonctions r) par leurs développements asymptotiques. On se rend compte que la partie principale de ces intégrales provient de la zone de transition, où la fonction se transforme d'une fonction, pratiquement nulle, en une fonction oscillant rapidement et non négligeable. Pour les premières valeurs de m, la zone de transition est comprise entre r1 et r2; elle se déplace vers la gauche lorsque m croît; lorsqu'elle se trouve à gauche de r1, les intégrales des fonctions oscillant rapidement entre r1 et r2 sont complètement négligeables. 6. Les calculs vont être programmés prochainement en vue d'une confrontation avec l'expérience sur une roue de compresseur; le but visé est une meilleure prévision des amortissements aérodynamiques par un schéma plus perfectionné que celui de qui ne tient pas compte du vrillage et des conditions pariétales. Séance du 21 février 1972. J. LECLERC, Théorie linéarisée de l'écoulement subsonique instationnaire dans une grille droite bidimensionnelle [La Recherche aérospatiale, n° 1971-3 (mai-juin)]. Office National d'Études et de Recherches Aérospatiales (O.N.E.R.A.). 29, avenue de la Division Leclerc, 92-Châtillon-sous-Bagneux, Hauts-de-Seine. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A—867 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX. Sur la relation entre l'écartement à fond de fissure et la vitesse de propagation d'une fissure par fatigue. Note de MM. CLAUDE BATHIAS, JACQUES DE FOUQUET et HENRI DE LEIRIS, présentée par M. Paul Bastien. Dans des aciers de deux catégories distinctes, nous montrons comment la vitesse de propagation d'une fissure de fatigue est liée au rayon de la zone plastifiée à fond de fissure. Nous en déduisons que la vitesse de propagation est une fonction linéaire de l'écartement à fond de fissure, les coefficients de cette fonction dépendant du mode de déformation dans la zone plastifiée. On sait que
J. LECLERC, Théorie linéarisée de l'écoulement subsonique instationnaire dans une grille droite bidimensionnelle [La Recherche aérospatiale, n° 1971-3 (mai-juin)]. Office National d'Études et de Recherches Aérospatiales (O.N.E.R.A.). 29, avenue de la Division Leclerc, 92-Châtillon-sous-Bagneux, Hauts-de-Seine. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A—867 RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX. Sur la relation entre l'écartement à fond de fissure et la vitesse de propagation d'une fissure par fatigue. Note de MM. CLAUDE BATHIAS, JACQUES DE FOUQUET et HENRI DE LEIRIS, présentée par M. Paul Bastien. Dans des aciers de deux catégories distinctes, nous montrons comment la vitesse de propagation d'une fissure de fatigue est liée au rayon de la zone plastifiée à fond de fissure. Nous en déduisons que la vitesse de propagation est une fonction linéaire de l'écartement à fond de fissure, les coefficients de cette fonction dépendant du mode de déformation dans la zone plastifiée. On sait que la propagation d'une fissure par fatigue est liée à la formation d'une zone plastifiée à fond de fissure. On peut donc supposer ou bien que la fissuration est liée au dommage cumulé produit à fond de fissure, ou bien que l'écartement à fond de fissure (COD) règle l'avance de la fissure à chaque cycle (1). Pour prendre en compte l'écartement COD, nous nous appuyons sur le calcul de Burdekin et Stone, d'après lequel, en contrainte plane : (Rn, limite d'élasticité; E, module d'Young; r, rayon de la zone plastifiée). L'écartement COD apparaît ainsi proportionnel au rayon r, et ceci reste vrai, à un coefficient près, en déformation plane. La mesure de r fournit donc un moyen simple pour relier la vitesse de propagation à l'écartement à fond de fissure. L'étude porte sur des aciers ferritiques au carbone et sur des aciers inoxydables austénitiques du type chrome-nickel 18-10 et 25-20. Plates et entaillées latéralement, les éprouvettes sont essayées, à environ 10 Hz, sous une charge constante de traction ondulée. La vitesse microscopique de propagation de la fissure dN est évaluée par décompte des stries sur la surface de cassure. Les résultats, portés (fig. 1) en fonction de la variation du facteur
fissure à chaque cycle (1). Pour prendre en compte l'écartement COD, nous nous appuyons sur le calcul de Burdekin et Stone, d'après lequel, en contrainte plane : (Rn, limite d'élasticité; E, module d'Young; r, rayon de la zone plastifiée). L'écartement COD apparaît ainsi proportionnel au rayon r, et ceci reste vrai, à un coefficient près, en déformation plane. La mesure de r fournit donc un moyen simple pour relier la vitesse de propagation à l'écartement à fond de fissure. L'étude porte sur des aciers ferritiques au carbone et sur des aciers inoxydables austénitiques du type chrome-nickel 18-10 et 25-20. Plates et entaillées latéralement, les éprouvettes sont essayées, à environ 10 Hz, sous une charge constante de traction ondulée. La vitesse microscopique de propagation de la fissure dN est évaluée par décompte des stries sur la surface de cassure. Les résultats, portés (fig. 1) en fonction de la variation du facteur d'intensité de contrainte AK, se répartissent en deux groupes, pour chacun desquels on peut écrire : L'exposant m, qui correspond à la pente de la droite représentative en coordonnées logarithmiques, varie d'un type d'acier à l'autre. Cette différence de comportement paraît à mettre en relation avec la nature de l'écrouissage à fond de fissure, lequel ne se fait pas de la même manière dans les deux types d'acier. On sait en effet que la configuration 868 — Série A C. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Fig. 1 Fig. 2 Fig. 1. — Vitesse de fissuration microscopique en fonction de la variation du facteur d'intensité de contrainte. Fig. 2. — Rayon de la zone plastifiée en fonction de la variation du facteur d'intensité de contrainte. Fig. 3. — Vitesse de fissuration microscopique en fonction du rayon de la zone plastifiée (ensemble des aciers étudiés). N. B. : Les trois courbes PAS 3, PAS 2 et PA 7 sont reprises à une échelle mieux appropriée dans la figure 4. des stries à la surface d'une cassure de fatigue est liée au mode de déformation plastique des couches de métal sous-jacentes à cette cassure [(2), (3)]. G. R. Acad.
à fond de fissure, lequel ne se fait pas de la même manière dans les deux types d'acier. On sait en effet que la configuration 868 — Série A C. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Fig. 1 Fig. 2 Fig. 1. — Vitesse de fissuration microscopique en fonction de la variation du facteur d'intensité de contrainte. Fig. 2. — Rayon de la zone plastifiée en fonction de la variation du facteur d'intensité de contrainte. Fig. 3. — Vitesse de fissuration microscopique en fonction du rayon de la zone plastifiée (ensemble des aciers étudiés). N. B. : Les trois courbes PAS 3, PAS 2 et PA 7 sont reprises à une échelle mieux appropriée dans la figure 4. des stries à la surface d'une cassure de fatigue est liée au mode de déformation plastique des couches de métal sous-jacentes à cette cassure [(2), (3)]. G. R. Acad. Sci. Paris, t. 274 (6 mars 1972) Série A — 869 On voit aussi (fig. 1) que, le mode de déformation plastique étant le même, la limite d'élasticité est pratiquement sans influence sur la vitesse de propagation. Pour une valeur donnée de AK, la vitesse da/dN prend en effet sensiblement la même valeur dans l'acier extra-doux PE (limite d'élasticité à 0,2 % Re = 13,5 hbar) et dans l'acier doux PD (Re = 27 hbar). Il en est de même pour l'acier 25-20 PAS (Rn = 22 hbar) et l'acier 18-10 PA (Re = 17 hbar). Des mesures de microdureté dans les couches sous-jacentes aux cassures des éprouvettes ont été utilisées pour évaluer le rayon de la zone plastifiée. Sans revenir sur le détail des techniques mises en œuvre (4), rappelons que la zone plastifiée comprend une zone interne, dite cyclique, formée lors de la fermeture de la fissure, et dont le rayon rc est environ le quart du rayon r de la zone externe, due à l'ouverture de la fissure. Ainsi, en déformation plane : La figure 2 donne le rayon r à mi-épaisseur des éprouvettes, suivant une normale à la cassure, en fonction des valeurs correspondantes de AK.