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n'excèdent pas le quatrième, il en prend occasion de remarquer qu'Euler a fait des superflus, en l'endroit cité, en traitant comme cas distincts des cas qui rentraient les uns dans les autres. Gergonne croit utile, en terminant sur ce sujet, de donner les conditions générales auxquelles doit satisfaire toute équation obtenue à l'aide des notations qu'il a choisies, afin de montrer autant de caractères propres à reconnaître les qui auraient pu se glisser dans les calculs. C'est un trop négligé, selon lui, par les auteurs d'éléments. Il dit tout ce qu'il dit sur ce sujet, sur la loi des homogènes, bien qu'elle semble méconnue par quelques géomètres, n'est pas moins, à ses yeux, une des lois fondamentales de la science. Squ'un a à éliminer une inconnue entre des équations au plus de deux, on a coutume d'éliminer tour-à-tour l'inconnue entre l'une d'elles et chacune des autres; et l'on s'observe aussitôt, que l'arbitraire et le défaut de symétrie de ce procédé est une source de complication dans les travaux. M. Gergonne montre que rien n'est plus facile que de corriger ce défaut de symétrie, par une extension fort simple de la méthode d'élimination d'Euler. Soient, par exemple, les équations A1x + Am-2,x2 + Am-l,x + m = 0 4B1x + B-1x + B0 = C, 4Ca4 + Ca3 + ... + Cm-2.x3 + Cm-1.x + Cm = 0 En prenant tour-à-tour la somme de leurs produits respectifs par B0C1 - B,C0, C0A1 + CA0, A0B1 + AB0, par B0C2 - B,C0, C0Am + CA0, ABm + AB,, et par BM + JB1 + BMCW, JB2 + JCA3 + CMB2, AM + IBM + 2 AM + IBM + 2 AM + IBN, divisant la seconde des équations résultantes par x et la sixième par x3, elles prendront aussitôt la forme D3 X2 + D4 X3 + ... + D2m-2X + D2m-1: -4 - H D3m-4, d'est-à-dire que leur degré sera diminué de deux unités et arrivera donc bientôt, par la répétition du même procédé, deux équations délivrées de x. Dans un second article, M. Vallès prouve : 1° Que si a,
Am-2,x2 + Am-l,x + m = 0 4B1x + B-1x + B0 = C, 4Ca4 + Ca3 + ... + Cm-2.x3 + Cm-1.x + Cm = 0 En prenant tour-à-tour la somme de leurs produits respectifs par B0C1 - B,C0, C0A1 + CA0, A0B1 + AB0, par B0C2 - B,C0, C0Am + CA0, ABm + AB,, et par BM + JB1 + BMCW, JB2 + JCA3 + CMB2, AM + IBM + 2 AM + IBM + 2 AM + IBN, divisant la seconde des équations résultantes par x et la sixième par x3, elles prendront aussitôt la forme D3 X2 + D4 X3 + ... + D2m-2X + D2m-1: -4 - H D3m-4, d'est-à-dire que leur degré sera diminué de deux unités et arrivera donc bientôt, par la répétition du même procédé, deux équations délivrées de x. Dans un second article, M. Vallès prouve : 1° Que si a, b, c sont les longueurs des droites qui joignent les trois sommets d'un triangle rectiligne au centre du cercle inscrit, le rayon r de ce cercle sera donné par l'équation du troisième degré, sans second terme 2° Que si a, b, c sont les longueurs des perpendiculaires abaissées sur les directions des trois côtés d'un triangle au centre du cercle circonscrit, le rayon R de ce cercle sera donné par l'équation du troisième degré, sans second terme R3( a2 + b2 + c2 ) 3° que si a, b, c sont les longueurs des arcs de grands cercles qui joignent les trois sommets d'un triangle sphérique au pôle du cercle inscrit, le rayon sphérique r de ce cercle est donné par l'équation du troisième degré sans second terme cot.3 r+(cot.2 a+cot.2 b+cot.2c)cot.r2 col. a col. b col.C: 4° Que si enfin, a, b, c sont les longueurs des arcs de grands cercles abaissés perpendiculairement sur les directions des côtés d'un triangle sphérique, au pôle du cercle circonscrit, le rayon sphérique R de ce cercle sera donné par l'équation du troisième degré, sans second terme, tang. 31 (tang. 2a+tang.2b+tang.2c) tang.R—1 tang. a tang. b, tang.c NOTE SUR UNE CONSTRUCTION GRAPHIQUE NOUVELLE
directions des trois côtés d'un triangle au centre du cercle circonscrit, le rayon R de ce cercle sera donné par l'équation du troisième degré, sans second terme R3( a2 + b2 + c2 ) 3° que si a, b, c sont les longueurs des arcs de grands cercles qui joignent les trois sommets d'un triangle sphérique au pôle du cercle inscrit, le rayon sphérique r de ce cercle est donné par l'équation du troisième degré sans second terme cot.3 r+(cot.2 a+cot.2 b+cot.2c)cot.r2 col. a col. b col.C: 4° Que si enfin, a, b, c sont les longueurs des arcs de grands cercles abaissés perpendiculairement sur les directions des côtés d'un triangle sphérique, au pôle du cercle circonscrit, le rayon sphérique R de ce cercle sera donné par l'équation du troisième degré, sans second terme, tang. 31 (tang. 2a+tang.2b+tang.2c) tang.R—1 tang. a tang. b, tang.c NOTE SUR UNE CONSTRUCTION GRAPHIQUE NOUVELLE DES TANGENTES et des rayons de courbure des courbes géométriques; communiquée à la Société philomathique, séance du 15 juillet 1830, par M. CHASLES, correspondant. Je présenterai prochainement à la Société philomathique un mémoire sur une solution purement géométrique du problème des tangentes et de celui des cercles osculateurs, pour toutes les courbes géométriques. Les constructions graphiques qui résolvent ces deux problèmes d'une manière générale, et la propriété fondamentale des courbes sur laquelle ces constructions reposent, peuvent être exposées en peu de mots. Voici d'abord quelle est cette propriété des courbes géométriques : Si par un point pris dans le plan d'une courbe géométrique, on mène deux transversales parallèles à deux axes fixes, et on multiplie les produits des segments compris entre ce point et la courbe sur les deux transversales, le rapport de ces deux produits sera toujours le même, quel que soit le point pris dans le plan de la courbe. Ce théorème, démontré dans la géométrie de position, est une généralisation d'une propriété des lignes du 3ème degré, énoncée par Newton dans son Énumération des tangentes. Pour déterminer la tangente en un point m d'une courbe géométrique, d'un degré quelconque, on mène par ce point deux transversales mA,
les courbes géométriques. Les constructions graphiques qui résolvent ces deux problèmes d'une manière générale, et la propriété fondamentale des courbes sur laquelle ces constructions reposent, peuvent être exposées en peu de mots. Voici d'abord quelle est cette propriété des courbes géométriques : Si par un point pris dans le plan d'une courbe géométrique, on mène deux transversales parallèles à deux axes fixes, et on multiplie les produits des segments compris entre ce point et la courbe sur les deux transversales, le rapport de ces deux produits sera toujours le même, quel que soit le point pris dans le plan de la courbe. Ce théorème, démontré dans la géométrie de position, est une généralisation d'une propriété des lignes du 3ème degré, énoncée par Newton dans son Énumération des tangentes. Pour déterminer la tangente en un point m d'une courbe géométrique, d'un degré quelconque, on mène par ce point deux transversales mA, mA', sous des inclinaisons arbitraires; on fait les produits des segments compris entre les droites entre le point m et les autres points où elles touchent la courbe; soient P, P' ces produits; on prend un point p, pris arbitrairement dans le plan de la courbe, on mène 2 transversales parallèles aux 2 droites mA, m A'; et on fait les produits des segments compris sur ces deux transversales entre le point p, et la courbe; soient T, T' ces 2 produits; ces 2 proportions sont proportionnelles aux rapports respectifs à partir du point m, les lignes proportionnelles aux rapports par les extrémités de ces lignes et par le point m, on fera passer un cercle; son centre sera sur la normale à la tangente au point m. On pourrait construire directement la normale. Pour cela, on porterait sur les 2 transversales issues du point m des lignes proportionnelles aux rapports par les extrémités de ces lignes et par le point m, on ferait passer un cercle; son centre sera sur la normale à la courbe au point m. Construction des cercles osculateurs. Pour déterminer le cercle osculateur en un point m d'une courbe géométrique, on mènera par ce point
parallèles aux 2 droites mA, m A'; et on fait les produits des segments compris sur ces deux transversales entre le point p, et la courbe; soient T, T' ces 2 produits; ces 2 proportions sont proportionnelles aux rapports respectifs à partir du point m, les lignes proportionnelles aux rapports par les extrémités de ces lignes et par le point m, on fera passer un cercle; son centre sera sur la normale à la tangente au point m. On pourrait construire directement la normale. Pour cela, on porterait sur les 2 transversales issues du point m des lignes proportionnelles aux rapports par les extrémités de ces lignes et par le point m, on ferait passer un cercle; son centre sera sur la normale à la courbe au point m. Construction des cercles osculateurs. Pour déterminer le cercle osculateur en un point m d'une courbe géométrique, on mènera par ce point la tangente à la courbe, et une transversale quelconque mA; on prendra les produits des segments compris sur ces 2 droites entre le point m et les autres branches de la courbe; soient T et P ces 2 produits. Par un point p, pris arbitrairement dans le plan de la courbe, on mènera deux parallèles à la tangente et à la transversale; on fera les produits des segments compris sur ces 2 parallèles entre le point p, et la courbe; soient t et T' ces 2 produits. On porterait sur la transversale mA une ligne égale à l'extrémité de cette ligne sera sur le cercle osculateur cherché. Il suit de cette construction que si l'on désigne par 6 l'angle que la transversale mA fait avec la tangente, le rayon de courbure sera égal à R = 2 sin. 6 Quand la courbe sera tracée, ces facteurs seront des lignes comprises sur les transversales; et quand la courbe sera définie par son équation, on connaîtra immédiatement, au moyen de cette équation, les valeurs des quatre produits P, T, ce qui résulte, comme on sait, de la théorie générale des équations. Quand la courbe est tracée, il faut qu'elle le soit complètement,
courbe, on mènera deux parallèles à la tangente et à la transversale; on fera les produits des segments compris sur ces 2 parallèles entre le point p, et la courbe; soient t et T' ces 2 produits. On porterait sur la transversale mA une ligne égale à l'extrémité de cette ligne sera sur le cercle osculateur cherché. Il suit de cette construction que si l'on désigne par 6 l'angle que la transversale mA fait avec la tangente, le rayon de courbure sera égal à R = 2 sin. 6 Quand la courbe sera tracée, ces facteurs seront des lignes comprises sur les transversales; et quand la courbe sera définie par son équation, on connaîtra immédiatement, au moyen de cette équation, les valeurs des quatre produits P, T, ce qui résulte, comme on sait, de la théorie générale des équations. Quand la courbe est tracée, il faut qu'elle le soit complètement, c'est-à-dire que toutes ses branches soient décrites, puisque les transversales la rencontrent en autant de points indiqués par le degré de la courbe. Par exemple, si la courbe est une des courbes du quatrième degré, appelées Ovales Descartes, il faut connaître sa compagne, qui est une seconde ovale, jouissant des mêmes propriétés que la première, qui n'est point indiquée par la construction géométrique que Descartes et d'autres géomètres ont donnée de ces courbes, mais qui est contenue dans la même équation. Quand on ne connaîtra point l'équation d'une courbe, ni sa description complète, on aura recours à une méthode graphique dont on a décrit sur la théorie des surfaces réglées, que M. Hachette a exposée dans ses Éléments de géométrie à trois dimensions, et dont un extrait se trouve dans le Bulletin de la Société, année 1826. Cette méthode graphique s'applique aussi, comme on a dit, à la construction des plans osculateurs des lignes à double courbure, et même à la détermination de leurs centres de courbure sphérique. Les constructions que je viens d'exposer s'appliquent aux rayons de courbure des sections planes des surfaces géométriques; elles conduisent à quelques propriétés nouvelles de ces surfaces, relatives particulièrement aux courbes que M.
mêmes propriétés que la première, qui n'est point indiquée par la construction géométrique que Descartes et d'autres géomètres ont donnée de ces courbes, mais qui est contenue dans la même équation. Quand on ne connaîtra point l'équation d'une courbe, ni sa description complète, on aura recours à une méthode graphique dont on a décrit sur la théorie des surfaces réglées, que M. Hachette a exposée dans ses Éléments de géométrie à trois dimensions, et dont un extrait se trouve dans le Bulletin de la Société, année 1826. Cette méthode graphique s'applique aussi, comme on a dit, à la construction des plans osculateurs des lignes à double courbure, et même à la détermination de leurs centres de courbure sphérique. Les constructions que je viens d'exposer s'appliquent aux rayons de courbure des sections planes des surfaces géométriques; elles conduisent à quelques propriétés nouvelles de ces surfaces, relatives particulièrement aux courbes que M. Ch. Dupin a appelées indifférente, dans sa théorie de la courbure des surfaces. (Voyez l'ouvrage publié par ce dernier, sous ce titre: Développements de géométrie, in-4°). Faisons observer, en terminant cette note, que nos constructions, ci-dessus énoncées, peuvent être simplifiées, parce qu'au lieu de quatre transversales parallèles on peut en mettre que trois, dont une issues du point de la courbe et la 3e tout-à-fait arbitraire; cette modification des solutions ci-dessus repose sur une propriété générale des courbes géométriques due à Carnot, et dont celle que nous avons citée n'est qu'un corollaire. 214. SUR LE CALCUL DES ANNUITÉS, et sur quelques questions de la théorie des probabilités; par J. W. LUBBOCK. (Transactions of the Cambridge philos. Society; Tom. III, 1re part.) On sait que le calcul de la valeur mathématique ou moyenne des annuités est fondé sur l'usage des tables de mortalité. Nommant généralement yx le nombre de personnes vivantes de l'âge x que l'on trouverait en faisant le dénombrement d'un pays, la probabilité qu'une personne de l'âge a vive au moins jusqu'à l'âge x est exprimée par ~X. Les nombres yx peuvent même s'obtenir par le dépouillement des registres des décès. Cette expression de la probabilité dont il s'agit
mettre que trois, dont une issues du point de la courbe et la 3e tout-à-fait arbitraire; cette modification des solutions ci-dessus repose sur une propriété générale des courbes géométriques due à Carnot, et dont celle que nous avons citée n'est qu'un corollaire. 214. SUR LE CALCUL DES ANNUITÉS, et sur quelques questions de la théorie des probabilités; par J. W. LUBBOCK. (Transactions of the Cambridge philos. Society; Tom. III, 1re part.) On sait que le calcul de la valeur mathématique ou moyenne des annuités est fondé sur l'usage des tables de mortalité. Nommant généralement yx le nombre de personnes vivantes de l'âge x que l'on trouverait en faisant le dénombrement d'un pays, la probabilité qu'une personne de l'âge a vive au moins jusqu'à l'âge x est exprimée par ~X. Les nombres yx peuvent même s'obtenir par le dépouillement des registres des décès. Cette expression de la probabilité dont il s'agit devrait effectivement être considérée comme la véritable, si le nombre des observations ou les nombres inscrits dans la table de mortalité étaient très grands. Le nombre des observations étant assez petit, dans plusieurs des tables qui sont en usage, cette circonstance donne lieu à appliquer ici les considérations d'après lesquelles les probabilités des événements futurs se déduisent des événements observés. On peut voir sur ce sujet le chapitre 6 du 2e livre de la Théorie analytique des probabilités. M. Lubbock trouve, d'après ces considérations, que la probabilité qu'une personne qui vient de naître vive au-delà de l'âge x, au lieu d'être exprimée par ~^-, doit l'être par k désignant le dernier des âges marqués dans la table, 100 par exemple, si la table est portée jusqu'à ce nombre. Cette considération apporte un léger changement au résultat du calcul des annuités, des assurances sur la vie, etc. D'après les tables données par l'auteur, la valeur d'une annuité de 1 fr. pour une personne de 20 ans, calculée d'après les tables de Chester 011/04=1927, est de 19 fr. 43, à 3 pour 100; tandis qu'elle serait, d'après le calcul ordinaire, de 19 fr. 29. Les calculs relatifs aux rentes viagères, fondés sur
les probabilités des événements futurs se déduisent des événements observés. On peut voir sur ce sujet le chapitre 6 du 2e livre de la Théorie analytique des probabilités. M. Lubbock trouve, d'après ces considérations, que la probabilité qu'une personne qui vient de naître vive au-delà de l'âge x, au lieu d'être exprimée par ~^-, doit l'être par k désignant le dernier des âges marqués dans la table, 100 par exemple, si la table est portée jusqu'à ce nombre. Cette considération apporte un léger changement au résultat du calcul des annuités, des assurances sur la vie, etc. D'après les tables données par l'auteur, la valeur d'une annuité de 1 fr. pour une personne de 20 ans, calculée d'après les tables de Chester 011/04=1927, est de 19 fr. 43, à 3 pour 100; tandis qu'elle serait, d'après le calcul ordinaire, de 19 fr. 29. Les calculs relatifs aux rentes viagères, fondés sur les tables de Deparcieux, où le nombre des observations est moindre que le précédent, comporteraient des corrections plus importantes. Mais il est essentiel de remarquer que les lois exprimées par les tables de Deparcieux ayant été confirmées par des observations beaucoup plus nombreuses faites en Angleterre, il ne peut y avoir aucune erreur sensible à regarder les nombres contenus dans ces tables comme étant très grands, et à négliger les nombres x et h de l'expression précédente. 215. MEMOIRE SUR LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE L'ÉQUILIBRE et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides, lu à l'Académie roy. des sciences, le 12 octobre 1829, par M. Poisson. Ce Mémoire fait partie du 20e cahier du Journal de l'École polytechnique, qui ne tardera pas à paraître. M. Poisson a pris les questions qu'il avait déjà traitées dans deux mémoires précédents; il s'est proposé dans son nouveau travail d'établir avec toute la simplicité et la rigueur désirables les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides et fluides; ses recherches ne l'ont point conduit à des résultats différents de ceux qu'il avait obtenus dans ses deux premiers mémoires, quoiqu'il ait modifié sa théorie sur quelques points essentiels. Après une
avoir aucune erreur sensible à regarder les nombres contenus dans ces tables comme étant très grands, et à négliger les nombres x et h de l'expression précédente. 215. MEMOIRE SUR LES ÉQUATIONS GÉNÉRALES DE L'ÉQUILIBRE et du mouvement des corps solides élastiques et des fluides, lu à l'Académie roy. des sciences, le 12 octobre 1829, par M. Poisson. Ce Mémoire fait partie du 20e cahier du Journal de l'École polytechnique, qui ne tardera pas à paraître. M. Poisson a pris les questions qu'il avait déjà traitées dans deux mémoires précédents; il s'est proposé dans son nouveau travail d'établir avec toute la simplicité et la rigueur désirables les équations générales de l'équilibre et du mouvement des corps solides et fluides; ses recherches ne l'ont point conduit à des résultats différents de ceux qu'il avait obtenus dans ses deux premiers mémoires, quoiqu'il ait modifié sa théorie sur quelques points essentiels. Après une courte introduction, l'auteur expose dans le premier § les notions physiques sur la constitution intime des corps, qu'il a prises pour bases de ses calculs. Cette partie du mémoire étant d'un intérêt très général, nous croyons devoir la reproduire ici. « Toutes les parties de la matière sont soumises à deux sortes d'actions mutuelles. L'une est attractive indépendante de la nature des corps, proportionnelle au produit des masses, et en raison inverse du carré des distances : elle s'étend indéfiniment dans l'espace, et produit la pesanteur universelle et tous les phénomènes d'équilibre et de mouvement qui sont du ressort de la mécanique céleste. L'autre est attractive ou répulsive : elle dépend de la nature des particules et de leur quantité de chaleur ; son intensité décroît très-rapidement quand la distance augmente, et devient insensible, dès que la distance a acquis une grandeur sensible. Le calcul des effets mécaniques de cette seconde force sera l'objet général de ce nouveau mémoire. Les corps sont formés de molécules disjointes, c'est-à-dire, de portions de matière pondérable, d'une grandeur insensible, séparées par des espaces vides, ou des pores, dont les dimensions sont aussi imperceptibles à nos sens. Les molécules sont si petites et si rapprochées
deux sortes d'actions mutuelles. L'une est attractive indépendante de la nature des corps, proportionnelle au produit des masses, et en raison inverse du carré des distances : elle s'étend indéfiniment dans l'espace, et produit la pesanteur universelle et tous les phénomènes d'équilibre et de mouvement qui sont du ressort de la mécanique céleste. L'autre est attractive ou répulsive : elle dépend de la nature des particules et de leur quantité de chaleur ; son intensité décroît très-rapidement quand la distance augmente, et devient insensible, dès que la distance a acquis une grandeur sensible. Le calcul des effets mécaniques de cette seconde force sera l'objet général de ce nouveau mémoire. Les corps sont formés de molécules disjointes, c'est-à-dire, de portions de matière pondérable, d'une grandeur insensible, séparées par des espaces vides, ou des pores, dont les dimensions sont aussi imperceptibles à nos sens. Les molécules sont si petites et si rapprochées les unes des autres, qu'une portion d'un corps, qui en renferme un nombre extrêmement grand, peut encore être supposée extrêmement petite, et la grandeur de son volume insensible. Cela étant, si d'un point M comme centre et d'un rayon insensible, on décrit une sphère dans l'intérieur d'un corps, qui comprenne un nombre extrêmement grand de ses molécules ; si l'on désigne par m la somme de leurs masses, par v le volume de la sphère, et qu'on fasse ce rapport p est ce qu'on appelle la densité du corps au point M, quelles que soient d'ailleurs l'inégalité de masses des molécules et leur distribution régulière ou irrégulière dans l'ensemble de v. De même, en désignant par n le nombre de molécules que v renferme, et faisant cette ligne 1, de grandeur insensible, sera ce que nous appellerons l'intervalle moyen des molécules qui répond au point M. Indépendamment de la matière pondérable dont elle est formée, chaque molécule renferme en outre une certaine quantité de la substance impondérable, à laquelle on attribue les phénomènes de la chaleur. Cette substance est retenue plus ou moins fortement dans la molécule par l'attraction de la matière pondérable. Une partie s'en échappe à chaque instant