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a résolu, le premier, par des radicaux du second et du troisième degré, le problème de la tri-section d'une fonction elliptique dont le module et l'amplitude sont donnés. En rendant infini le nombre indéterminé que ses formules renferment, M. Jacobi parvient, dans la seconde partie de son ouvrage, à de nouvelles formules au moyen desquelles le sinus et d'autres fonctions trigonométriques de l'amplitude se trouvent exprimés, soit en produits d'une infinité de facteurs, soit en séries infinies (Note D). L'auteur fait voir comment ces séries peuvent servir à la démonstration des théorèmes de Fermat, ce qui établit un rapport singulier entre la décomposition des nombres en plusieurs carrés et la transformation des fonctions elliptiques, et donne lieu à une nouvelle application de l'analyse à la théorie des nombres, tout-à-fait semblable aux recherches d'Euler sur la partition des nombres. Enfin M. Jacobi s'est aussi occupé de la réduction des fonctions de seconde et de troisième espèce; et depuis la publication de l'ouvrage dont nous rendons compte, il a donné suite à ses recherches sur ce point, dans un mémoire qui fait partie de l'un des derniers numéros du journal de M. Crelle. Il nous serait impossible de donner aucune idée de cette partie de son travail; nous dirons seulement que l'auteur propose de remplacer les fonctions elliptiques par deux autres transcendantes dont il donne les développements en séries, et qui seraient plus simples que la fonction de troisième espèce, en ce qu'elles ne dépendent que de deux éléments, tandis que cette fonction contient trois quantités, l'amplitude, le module et le paramètre. Aucun de nous n'a oublié les éloges que M. Legendre a donnés aux travaux de M. Jacobi, en les annonçant à l'Académie à même que l'auteur les lui communiquait, ou qu'il les publiait dans les Journaux de M. Schumacher et de M. Crelle. L'importance que M. Legendre y attache est encore prouvée par l'empressement qu'il a mis à publier deux suppléments à son traité des fonctions elliptiques, où il expose les résultats de ses travaux, avec tous les développements nécessaires et des applications qui lui appartiennent. Le suffrage de M.
cette partie de son travail; nous dirons seulement que l'auteur propose de remplacer les fonctions elliptiques par deux autres transcendantes dont il donne les développements en séries, et qui seraient plus simples que la fonction de troisième espèce, en ce qu'elles ne dépendent que de deux éléments, tandis que cette fonction contient trois quantités, l'amplitude, le module et le paramètre. Aucun de nous n'a oublié les éloges que M. Legendre a donnés aux travaux de M. Jacobi, en les annonçant à l'Académie à même que l'auteur les lui communiquait, ou qu'il les publiait dans les Journaux de M. Schumacher et de M. Crelle. L'importance que M. Legendre y attache est encore prouvée par l'empressement qu'il a mis à publier deux suppléments à son traité des fonctions elliptiques, où il expose les résultats de ses travaux, avec tous les développements nécessaires et des applications qui lui appartiennent. Le suffrage de M. Legendre en cette matière suffisait seul pour fixer l'opinion des géomètres et la mienne en particulier. L'étude que je viens de faire de l'ouvrage de M. Jacobi n'a fait que confirmer l'idée que j'avais déjà du mérite de ses découvertes en analyse et de la haute capacité qu'elles supposent. Je partage également et je me suis à rappeler l'opinion émise par un de nos secrétaires, dans le compte rendu de 1828, en annonçant les travaux de M. Jacobi et d'un autre géomètre dont il me reste à parler: « les résultats de la philosophie naturelle, dit M. Fourier, qui ont pour but l'étude mathématique de tous les grands phénomènes, sont aussi un digne et principal objet des méditations des géomètres. On doit désirer que les personnes les plus proches à perfectionner la science du calcul, dirigent leurs travaux vers ces hautes applications, si nécessaires aux progrès de l'incertitude humaine. » Qu'il me soit permis, avant de terminer ce rapport, d'ajouter encore quelques mots concernant des recherches analogues à celles de M. Jacobi, faites à la même époque par M. Abel Christiania, dont la mort prématurée est une des plus grandes pertes que les sciences pouvaient éprouver. Par un singulier hasard,
partage également et je me suis à rappeler l'opinion émise par un de nos secrétaires, dans le compte rendu de 1828, en annonçant les travaux de M. Jacobi et d'un autre géomètre dont il me reste à parler: « les résultats de la philosophie naturelle, dit M. Fourier, qui ont pour but l'étude mathématique de tous les grands phénomènes, sont aussi un digne et principal objet des méditations des géomètres. On doit désirer que les personnes les plus proches à perfectionner la science du calcul, dirigent leurs travaux vers ces hautes applications, si nécessaires aux progrès de l'incertitude humaine. » Qu'il me soit permis, avant de terminer ce rapport, d'ajouter encore quelques mots concernant des recherches analogues à celles de M. Jacobi, faites à la même époque par M. Abel Christiania, dont la mort prématurée est une des plus grandes pertes que les sciences pouvaient éprouver. Par un singulier hasard, Abel et M. Jacobi, à peu près du même âge et inconnus l'un à l'autre, ont débuté en même temps dans la carrière des sciences, par de profondes investigations sur un même sujet, dont un seul géomètre s'occupait depuis longtemps; plusieurs fois, ils lui est arrivé de parvenir aux mêmes résultats, quoique les voies qu'ils ont suivies fussent très-différentes. Dans son premier Mémoire sur les fonctions elliptiques, publié en 1827 dans le journal de M. Crelle, Abel eut l'heureuse idée de renverser la question et de considérer l'amplitude comme une fonction de l'intégrale, contrairement à ce qu'il avait fait jusque-là. Il démontre que le sinus de l'amplitude est une fonction de l'intégrale qui a deux périodes distinctes, l'une réelle, comme le sinus d'un arc de cercle, et l'autre imaginaire, comme les fonctions exponentielles; ce qui est une découverte capitale, propre à jeter un jour sur la nature des fonctions elliptiques, et qui fait connaître la signification des racines réelles ou imaginaires des équations algébriques que l'on obtient en égalant à zéro ou à l'infini, le sinus et d'autres fonctions trigonométriques de l'amplitude. L'auteur en conclut diverses expressions de ces fonctions en produits et en séries infinies, que M. Jacobi a
résultats, quoique les voies qu'ils ont suivies fussent très-différentes. Dans son premier Mémoire sur les fonctions elliptiques, publié en 1827 dans le journal de M. Crelle, Abel eut l'heureuse idée de renverser la question et de considérer l'amplitude comme une fonction de l'intégrale, contrairement à ce qu'il avait fait jusque-là. Il démontre que le sinus de l'amplitude est une fonction de l'intégrale qui a deux périodes distinctes, l'une réelle, comme le sinus d'un arc de cercle, et l'autre imaginaire, comme les fonctions exponentielles; ce qui est une découverte capitale, propre à jeter un jour sur la nature des fonctions elliptiques, et qui fait connaître la signification des racines réelles ou imaginaires des équations algébriques que l'on obtient en égalant à zéro ou à l'infini, le sinus et d'autres fonctions trigonométriques de l'amplitude. L'auteur en conclut diverses expressions de ces fonctions en produits et en séries infinies, que M. Jacobi a obtenues ensuite par un moyen tout différent, ainsi que nous l'avons dit plus haut. Le même mémoire renferme aussi pour une amplitude quelconque, la solution complète de l'équation relative à la division d'une fonction elliptique, en supposant connue la solution de la même équation dans le cas où l'amplitude est égale à un angle droit. Quand à ce cas particulier, l'auteur a d'abord fait voir que l'équation qui s'y rapporte peut se décomposer en deux équations affirmatives d'un degré moins élevé, et que l'une de celles-ci est toujours résoluble par le procédé de M. Gauss, fondé sur la relation qui existe entre les racines et sur la considération des axes primitives des nombres. En revenant de nouveau sur le même sujet, il a montré que la seconde équation auxiliaire peut encore se résoudre par le même procédé, mais seulement dans quelques circonstances particulières, qui ont lieu, par exemple, relativement à la Lemniscate; d'où il conclut que la confidentialité entière de cette courbe se divisera en parties égales, par la règle et le compas, dans les mêmes cas que la confidentialité du cercle, c'est-à-dire lorsque le nombre des parties sera premier et égal à une puissance de deux augmentée d'une unité.
égale à un angle droit. Quand à ce cas particulier, l'auteur a d'abord fait voir que l'équation qui s'y rapporte peut se décomposer en deux équations affirmatives d'un degré moins élevé, et que l'une de celles-ci est toujours résoluble par le procédé de M. Gauss, fondé sur la relation qui existe entre les racines et sur la considération des axes primitives des nombres. En revenant de nouveau sur le même sujet, il a montré que la seconde équation auxiliaire peut encore se résoudre par le même procédé, mais seulement dans quelques circonstances particulières, qui ont lieu, par exemple, relativement à la Lemniscate; d'où il conclut que la confidentialité entière de cette courbe se divisera en parties égales, par la règle et le compas, dans les mêmes cas que la confidentialité du cercle, c'est-à-dire lorsque le nombre des parties sera premier et égal à une puissance de deux augmentée d'une unité. Le second Mémoire du géomètre norvégien est postérieur aux premiers extraits publiés par M. Jacobi. L'auteur est conduit par ses propres idées à la transformation générale des fonctions de la première espèce que son digne émule avait trouvée. Il termine son Mémoire en disant qu'il était achevé, lorsqu'il a eu connaissance du théorème de M. Jacobi; ce qu'on ne doit sans doute pas révoquer en doute, sans que cela change rien aux droits de M. Jacobi à l'antériorité. Les recherches qu'il a publiées en moins de deux ans dans les journaux de M. Crelle et de M. Schumacher, prouvent par leur nombre considérable, l'activité de son esprit et l'ardeur avec laquelle il mettait à cultiver les sciences. Elles sont toutes remarquables par la généralité des considérations que l'auteur y expose, et par les vues nouvelles qu'il se proposait de développer. La mort a interrompu ses travaux avant qu'il eût achevé sa vingt-septième année; mais pendant une vie si courte, il est placé au premier rang parmi les géomètres; et dans ce qu'il a fait, la postérité saura reconnaître tout ce qu'il aurait fait s'il eût vécu davantage. Note A. La démonstration du théorème de M. Jacobi peut se diviser en
connaissance du théorème de M. Jacobi; ce qu'on ne doit sans doute pas révoquer en doute, sans que cela change rien aux droits de M. Jacobi à l'antériorité. Les recherches qu'il a publiées en moins de deux ans dans les journaux de M. Crelle et de M. Schumacher, prouvent par leur nombre considérable, l'activité de son esprit et l'ardeur avec laquelle il mettait à cultiver les sciences. Elles sont toutes remarquables par la généralité des considérations que l'auteur y expose, et par les vues nouvelles qu'il se proposait de développer. La mort a interrompu ses travaux avant qu'il eût achevé sa vingt-septième année; mais pendant une vie si courte, il est placé au premier rang parmi les géomètres; et dans ce qu'il a fait, la postérité saura reconnaître tout ce qu'il aurait fait s'il eût vécu davantage. Note A. La démonstration du théorème de M. Jacobi peut se diviser en trois parties que je vais successivement exposer. I. Considérons d'abord la différentielle en laquelle a, d, a", a''' sont des constantes données; proposons nous d'y ramener une autre différentielle de même forme, savoir: en prenant pour y une fonction rationnelle de x, et determinant convenablement, µ, ν, β', β", β"", en fonctions de a, a" d". On suppose ces quatre constantes inégales, ainsi que β β', β", β"", de manière que cette différentielle ne soit pas intégrable sous forme finie. Désignons par U et V deux fonctions rationnelles et entières de x, et par la valeur cherchée de y. Pour que la seconde différentielle coïncide avec la première, il faudra qu'on ait Or, si l'on trouve par un moyen quelconque, des valeurs U et V, et d'un troisième polynôme T, qui rendent identiquement l'équation : (V-βU) (V -β' U) (V-β" U) (V -β'" U) = (1-ax) (1-a' x) (1-a" x) (1-a'" x) T, je dis qu'on aura nécessairement en donnant à la constante p une valeur convenable. En effet, les deux polynômes U et V étant premiers entre eux, et les coefficients β, β', β", β'", inégaux, les polynômes V - β U, V-β' U, V - β" U, V
en fonctions de a, a" d". On suppose ces quatre constantes inégales, ainsi que β β', β", β"", de manière que cette différentielle ne soit pas intégrable sous forme finie. Désignons par U et V deux fonctions rationnelles et entières de x, et par la valeur cherchée de y. Pour que la seconde différentielle coïncide avec la première, il faudra qu'on ait Or, si l'on trouve par un moyen quelconque, des valeurs U et V, et d'un troisième polynôme T, qui rendent identiquement l'équation : (V-βU) (V -β' U) (V-β" U) (V -β'" U) = (1-ax) (1-a' x) (1-a" x) (1-a'" x) T, je dis qu'on aura nécessairement en donnant à la constante p une valeur convenable. En effet, les deux polynômes U et V étant premiers entre eux, et les coefficients β, β', β", β'", inégaux, les polynômes V - β U, V-β' U, V - β" U, V - β'" U, seront aussi premiers; par conséquent, les facteurs de T2 ne pourront être que des facteurs doubles d'un ou de plusieurs de ces quatre polynômes. Réciproquement, les coefficients a, a', a", a'", étant aussi inégaux, tous les facteurs doubles de ces polynômes seront facteurs de T5; donc T2 est égal au produit de tous les facteurs doubles de V - βU, V- β' U, V - β" U, V - β'" U, multiplié par un coefficient constant. Observons, de plus, que, si p est le degré de U et V, ou du plus élevé de ces deux polynômes, le premier membre de l'équation (s) sera du degré p, et T, du degré a p - a; en sorte que ce nombre aera celui des facteurs doubles de V - βU, V - β' U, V - β" U, V - β'" U. D'un autre côté, on a identiquement c'est ce qui montre que tout facteur double de V - β U est un facteur simple de V. Il en sera de même à l'égard de tous les facteurs doubles des trois autres polynômes V-β' U, V-β"U, V - β'" U; par conséquent, le carré de V / U(dV/dx)
est égal au produit de tous les facteurs doubles de V - βU, V- β' U, V - β" U, V - β'" U, multiplié par un coefficient constant. Observons, de plus, que, si p est le degré de U et V, ou du plus élevé de ces deux polynômes, le premier membre de l'équation (s) sera du degré p, et T, du degré a p - a; en sorte que ce nombre aera celui des facteurs doubles de V - βU, V - β' U, V - β" U, V - β'" U. D'un autre côté, on a identiquement c'est ce qui montre que tout facteur double de V - β U est un facteur simple de V. Il en sera de même à l'égard de tous les facteurs doubles des trois autres polynômes V-β' U, V-β"U, V - β'" U; par conséquent, le carré de V / U(dV/dx) contiendra le produit de tous les facteurs doubles des quatre polynômes; ce qui exige que ce polynôme V / U(dV/dx) ne soit en aucun cas du degré a p - 2. Or, si p et p' sont les degrés de U et V, celui du polynôme dont il s'agit ne pourra surpasser — 1: il sera égal à ce nombre, si p et p' sont égaux, et abaissera d'une unité, ou sera simplement égal à a p 2, dans le cas de p' = p; il faudra donc qu'on ait p'=p ou p' - p - 1; et dans ces deux cas, le polynôme V / U(dV/dx) sera du degré p - a. Par conséquent, son carré ne pourra être que le produit de tous les facteurs doubles de V - β U, V - β' U, V - β" U, V - β'" U, multiplié par un coefficient constant; donc, à un coefficient près, ce polynôme sera le même que T; ce qu'il était de démontrer. Ainsi, l'équation (1) sera une conséquence nécessaire de l'équation (2); et la transformation que nous voulons effectuer, se réduit à remplir la condition exprimée par cette dernière équation. Or, si l'on prend pour
pourra surpasser — 1: il sera égal à ce nombre, si p et p' sont égaux, et abaissera d'une unité, ou sera simplement égal à a p 2, dans le cas de p' = p; il faudra donc qu'on ait p'=p ou p' - p - 1; et dans ces deux cas, le polynôme V / U(dV/dx) sera du degré p - a. Par conséquent, son carré ne pourra être que le produit de tous les facteurs doubles de V - β U, V - β' U, V - β" U, V - β'" U, multiplié par un coefficient constant; donc, à un coefficient près, ce polynôme sera le même que T; ce qu'il était de démontrer. Ainsi, l'équation (1) sera une conséquence nécessaire de l'équation (2); et la transformation que nous voulons effectuer, se réduit à remplir la condition exprimée par cette dernière équation. Or, si l'on prend pour chacune des quantités U et V et le polynôme le plus général du degré p, et pour T le polynôme le plus général du degré 2p - 2, ces trois quantités prendront 4p + 1 coefficients indéterminés ; on pourra en éduire le nombre à 4p, en divisant le numérateur et le dénominateur de y ou de la fraction E par un de ces coefficients, ou, ce qui revient au même, en le faisant égal à l'unité; en ajoutant à ces quantités les quatre constantes b, b', b", b'", c aura donc 4p + 4 coefficients indéterminés : le nombre des équations que l'on obtiendra en égalant les coefficients de chaque puissance de dans les deux membres de l'équation, sans égal à 4p + 1, sera donc inférieur de trois unités à celui des coefficients dont on pourra disposer, et trois d'entre eux resteront indéterminés. Mais cette énumération des inconnus, et des équations de condition ne suffit pas pour établir à priori la possibilité de l'équation; car il pourrait arriver que les équations de condition fussent incompatibles, et qu'on n'pût satisfaire, ni par des valeurs réelles, ni par des valeurs imaginaires des inconnues, quoique le nombre de celles-ci soit plus
et le dénominateur de y ou de la fraction E par un de ces coefficients, ou, ce qui revient au même, en le faisant égal à l'unité; en ajoutant à ces quantités les quatre constantes b, b', b", b'", c aura donc 4p + 4 coefficients indéterminés : le nombre des équations que l'on obtiendra en égalant les coefficients de chaque puissance de dans les deux membres de l'équation, sans égal à 4p + 1, sera donc inférieur de trois unités à celui des coefficients dont on pourra disposer, et trois d'entre eux resteront indéterminés. Mais cette énumération des inconnus, et des équations de condition ne suffit pas pour établir à priori la possibilité de l'équation; car il pourrait arriver que les équations de condition fussent incompatibles, et qu'on n'pût satisfaire, ni par des valeurs réelles, ni par des valeurs imaginaires des inconnues, quoique le nombre de celles-ci soit plus grand que celui des équations. D'ailleurs la méthode des coefficients indéterminés ne pourrait conduire à aucun résultat général, et c'est par d'autres moyens qu'il faudra satisfaire à l'équation. Toutefois, comme on peut toujours faire disparaître les puissances impaires de la variable, dans les différentielles de la nature de celles que nous considérons, nous nous occuperons simplement de la transformation exprimée par cette équation : dans laquelle k est une constante donnée, et µ et A sont des constantes inconnues. L'équation sera alors remplacée par ceci : (V^2 + U2) (V2 - h2 U2) = (1 - x2) (1 - x2) Ta. (4) II. Si nous faisons x = sin. θ, y = sin. φ, l'équation (3) deviendra En prenant les intégrales de ses deux membres, de manière qu'elles s'évanouissent avec les variables θ et φ, nous aurons F(k, ϕ) = µF (h, ψ), ensorte que la transformation demandée sera celle d'une fonction elliptique de première espèce en une autre; k et ψ le module et l'amplitude de la fonction donnée, h et Ψ le module et l'amplitude de la fonction cherchée, et µ le rapport le l'une à l'autre. Représentons par K la fonction complète dont le module est k,
nous considérons, nous nous occuperons simplement de la transformation exprimée par cette équation : dans laquelle k est une constante donnée, et µ et A sont des constantes inconnues. L'équation sera alors remplacée par ceci : (V^2 + U2) (V2 - h2 U2) = (1 - x2) (1 - x2) Ta. (4) II. Si nous faisons x = sin. θ, y = sin. φ, l'équation (3) deviendra En prenant les intégrales de ses deux membres, de manière qu'elles s'évanouissent avec les variables θ et φ, nous aurons F(k, ϕ) = µF (h, ψ), ensorte que la transformation demandée sera celle d'une fonction elliptique de première espèce en une autre; k et ψ le module et l'amplitude de la fonction donnée, h et Ψ le module et l'amplitude de la fonction cherchée, et µ le rapport le l'une à l'autre. Représentons par K la fonction complète dont le module est k, de sorte qu'on ait F(k, 1/2π) = K; T désignant à l'ordinaire le rapport de la circonférence au diamètre. Soit p un nombre impair quelconque; divisons K en un nombre p de parties égales; prenons un nombre m de ces parties, et représentons par l'amplitude de mK, ou, autrement dit, faisons Cela posé, nous allons considérer l'équation dans laquelle on prendra les signes supérieurs, ou inférieurs selon que p sera de la forme 4n + 1 ou 4n - 1. Pour transformer cette équation en une autre, soit en général F(k, ϕ) + F(k, 0) = F (k, α), F(k, ϕ) - F(k, 0) = F(k, δ). D'après les formules connues d'Euler, on aura et en faisant K F(k, θ) = F(k, θ'), on en conclura sans difficulté Si l'on prend ϕ = φm, on aura θ' = α-m, et en même temps Soit, pour abréger, F(k, ϕ) = z; l'angle θ sera l'amplitude de z; on pourra écrire x = sin. θ = sin. A z, Et par la même raison, À cause que le signe de l'amplitude change avec celui de la fonction, on pourra mettre -x et -z à la place de x et z; on aura,
faisons Cela posé, nous allons considérer l'équation dans laquelle on prendra les signes supérieurs, ou inférieurs selon que p sera de la forme 4n + 1 ou 4n - 1. Pour transformer cette équation en une autre, soit en général F(k, ϕ) + F(k, 0) = F (k, α), F(k, ϕ) - F(k, 0) = F(k, δ). D'après les formules connues d'Euler, on aura et en faisant K F(k, θ) = F(k, θ'), on en conclura sans difficulté Si l'on prend ϕ = φm, on aura θ' = α-m, et en même temps Soit, pour abréger, F(k, ϕ) = z; l'angle θ sera l'amplitude de z; on pourra écrire x = sin. θ = sin. A z, Et par la même raison, À cause que le signe de l'amplitude change avec celui de la fonction, on pourra mettre -x et -z à la place de x et z; on aura, par conséquent, cette double expression : au moyen de laquelle la formule (5) deviendra P désignant le produit des p-1/2 facteurs : et P' celui des facteurs : Les amplitudes de aK et 4K étant α et αw, on a sin. A(ζ + aK) = m. A t, sin. A (ζ + 4K) = sin. A', quelque soit t; d'après cela nous mettrons s + 2K à la place de z dans les facteurs impairs de P et p', et nous changerons les signes des sinus qu'ils contiennent, puis nous augmenterons de 4K dans les facteurs pairs de P sans autre changement; cela fait, si l'on réunit les facteurs pairs de l'une des suites aux facteurs impairs de l'autre, on formera ces deux autres suites, de chacune p-1/2 facteurs, savoir : Sur P P' sera toujours le produit. Par conséquent la valeur précédente de 1 - y deviendra où l'on prendra toujours les signes supérieurs ou inférieurs selon que p sera de la forme 4n + 1 ou 4n - 1. Cette formule nous montre que la quantité 1 - y ne changera pas, si on y met zK à la place de z; car alors chaque facteur du numérateur