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à bases parallèles, à laquelle on parvient sur le champ, comme il le fait voir, en considérant ce tronc comme différence de deux pyramides ou de deux cônes. M. King avait publié, il y a deux ans, dans les Transactions de la Société philosophique de Cambridge, une démonstration du parallélogramme des forces que M. Gergonne, tout en la laissant connaître, avait signalée comme incomplète. Dans un troisième article, M. Vallès lui donne le complément qui lui manquait. Dans un quatrième article, M. Lenthérié modifie un peu le procédé par lequel on parvient à la limite supérieure des racines des équations, de manière à le rendre plus facilement accessible aux commençants. On sait que le point de l'intérieur d'un triangle rectiligne dont la somme des distances à ses trois sommets est la plus petite possible, est aussi celui duquel on verrait les trois côtés du triangle sous des angles égaux; et l'on a donné récemment, dans la Correspondance de Bruxelles, l'expression de cette plus petite somme, en fonction des trois côtés du triangle. Dans un cinquième article, M. Gergonne calcule ces distances elles-mêmes. ABC étant le triangle dont il s'agit et P le point en question; en posant BC=a, CA=b, AB=c, et en désignant par T l'aire du triangle, il trouve: M. Gergonne calcule aussi les longueurs de ces droites prolongées jusqu'à la rencontre des côtés respectivement opposés, ainsi que les segments qu'elles déterminent sur ces côtés; il signale le problème analogue, relatif au triangle sphérique, comme paraissant assez difficile. Dans l'article suivant, un anonyme démontre, fort simplement, qu'il n'est aucun nombre entier qui n'ait parmi ses multiples ou un nombre exprimé par l'unité suivie d'un ou de plusieurs zéros, ou un nombre exprimé par un ou plusieurs 9, ou enfin un nombre exprimé par un ou plusieurs 9, suivis d'un ou de plusieurs zéros. Enfin, dans un dernier article, MM. Vallès, Pagliani et Martinelli démontrent les propositions suivantes: I. L'enveloppe de l'espace parcouru par une droite qui se meut sur le plan de deux cercles fixes, de manière que ces cercles interceptent constamment sur elle des cordes de même longueur,
et en désignant par T l'aire du triangle, il trouve: M. Gergonne calcule aussi les longueurs de ces droites prolongées jusqu'à la rencontre des côtés respectivement opposés, ainsi que les segments qu'elles déterminent sur ces côtés; il signale le problème analogue, relatif au triangle sphérique, comme paraissant assez difficile. Dans l'article suivant, un anonyme démontre, fort simplement, qu'il n'est aucun nombre entier qui n'ait parmi ses multiples ou un nombre exprimé par l'unité suivie d'un ou de plusieurs zéros, ou un nombre exprimé par un ou plusieurs 9, ou enfin un nombre exprimé par un ou plusieurs 9, suivis d'un ou de plusieurs zéros. Enfin, dans un dernier article, MM. Vallès, Pagliani et Martinelli démontrent les propositions suivantes: I. L'enveloppe de l'espace parcouru par une droite qui se meut sur le plan de deux cercles fixes, de manière que ces cercles interceptent constamment sur elle des cordes de même longueur, est une parabole dont l'axe passe par les centres de ces deux cercles. Cette parabole a son foyer au milieu de la droite qui joint ces centres, et son sommet au point où cette droite est coupée par leur axe radical ou axe de symétrie. Toutes les droites communes aux deux cercles sont d'ailleurs tangentes à la parabole. II. Si, pour trois cercles, pris tour-à-tour deux à deux, on trace les paraboles (I); ces 3 paraboles auront 3 tangentes communes au plus; seules droites sur lesquelles les trois cercles puissent interrompre des cordes de même longueur. III. L'enveloppe de l'espace parcouru par un plan qui se meut de manière que deux sphères fixes interceptent constamment sur lui des cercles de même rayon, est un paraboloïde révolution dont l'axe passe par les centres des deux sphères. Ce paraboloïde a son foyer au milieu de la droite qui joint les centres, et son sommet au point où cette droite est coupée par leur plan radical. Les cônes circonscrits à la fois aux deux sphères sont d'ailleurs circonscrits à ce paraboloïde. IV. Si, pour trois sphères, prises tour-à-tour, on trace les paraboloïdes (III); ces 3 paraboloïdes auront 3 points communs au plus; seules
deux cercles sont d'ailleurs tangentes à la parabole. II. Si, pour trois cercles, pris tour-à-tour deux à deux, on trace les paraboles (I); ces 3 paraboles auront 3 tangentes communes au plus; seules droites sur lesquelles les trois cercles puissent interrompre des cordes de même longueur. III. L'enveloppe de l'espace parcouru par un plan qui se meut de manière que deux sphères fixes interceptent constamment sur lui des cercles de même rayon, est un paraboloïde révolution dont l'axe passe par les centres des deux sphères. Ce paraboloïde a son foyer au milieu de la droite qui joint les centres, et son sommet au point où cette droite est coupée par leur plan radical. Les cônes circonscrits à la fois aux deux sphères sont d'ailleurs circonscrits à ce paraboloïde. IV. Si, pour trois sphères, prises tour-à-tour, on trace les paraboloïdes (III); ces 3 paraboloïdes auront 3 points communs au plus; seules droites sur lesquelles les trois sphères puissent interrompre des cordes de même rayon. à-tour deux à deux, il décrit les paraboloïdes; ces paraboloïdes seront tous inscriptibles à une seule et même surface développable en trois nappes, au plus; et les plans tangents à cette surface seront les seuls sur lesquels les trois sphères pourront intercepter des cercles de même rayon. Si, pour quatre sphères, prises tour-à-tour deux à deux, construit les paraboloïdes, puis les surfaces développables, ces surfaces pourront être touchées toutes quatre un un seul et même plan, lequel touchera aussi, à la fois, les quatre paraboloïdes; et les plans ainsi déterminés seront les seuls sur lesquels les quatre sphères puissent intercepter des cercles de même rayon. La livraison, pour le mois de mai, est totalement occupée par un mémoire de M. Gergonne, sur les maxima et minima des fonctions d'une ou plusieurs variables. M. Gergonne rappelle, en commençant, que, dans l'exposé qu'il a précédemment publié des principes du calcul différentiel, il trouve uniquement: 1° la définition d'une nouvelle opération du calcul; 2° les règles pratiques de cette opération, sur toutes les fonctions connues, rigoureusement déduites de sa définition; enfin, l'institution de quelques symboles généraux, propres à indiquer cette
les trois sphères pourront intercepter des cercles de même rayon. Si, pour quatre sphères, prises tour-à-tour deux à deux, construit les paraboloïdes, puis les surfaces développables, ces surfaces pourront être touchées toutes quatre un un seul et même plan, lequel touchera aussi, à la fois, les quatre paraboloïdes; et les plans ainsi déterminés seront les seuls sur lesquels les quatre sphères puissent intercepter des cercles de même rayon. La livraison, pour le mois de mai, est totalement occupée par un mémoire de M. Gergonne, sur les maxima et minima des fonctions d'une ou plusieurs variables. M. Gergonne rappelle, en commençant, que, dans l'exposé qu'il a précédemment publié des principes du calcul différentiel, il trouve uniquement: 1° la définition d'une nouvelle opération du calcul; 2° les règles pratiques de cette opération, sur toutes les fonctions connues, rigoureusement déduites de sa définition; enfin, l'institution de quelques symboles généraux, propres à indiquer cette opération, exécutée une ou plusieurs fois, sur des fonctions d'une ou plusieurs variables, dont on suppose la forme tout à fait indéterminée. Quand bien même ces produits et ces symboles, ajoute Gergonne, ne seraient susceptibles d'aucune application, qui en a été dit n'en demeurerait pas moins de la plus exacte vérité; de sorte qu'il n'est plus question que d'en prouver l'utilité par diverses sortes d'applications; et comme la théorie des maxima et minima, bien qu'elle joue un rôle important dans la géométrie et dans la mécanique, n'en est pas moins un domaine de la simple analyse, l'auteur pense devoir en traiter, en premier lieu. M. Gergonne considère d'abord une fonction explicite de la seule variable x. On a coutume de dire que la valeur x qui convient au maximum de f x, est celle qui, en représentant δx une très-petite quantité, on a <fx; mais cette manière de s'énoncer n'est pas correcte, et l'auteur a grand soin de l'éviter. Il se pourrait en effet que, pour une très-petite valeur de δx, on eût f(x+δx) < f x et pourtant la valeur que x n'était point celle qui convient au maximum de f x. Pour qu'il en soit ainsi, il faut
vérité; de sorte qu'il n'est plus question que d'en prouver l'utilité par diverses sortes d'applications; et comme la théorie des maxima et minima, bien qu'elle joue un rôle important dans la géométrie et dans la mécanique, n'en est pas moins un domaine de la simple analyse, l'auteur pense devoir en traiter, en premier lieu. M. Gergonne considère d'abord une fonction explicite de la seule variable x. On a coutume de dire que la valeur x qui convient au maximum de f x, est celle qui, en représentant δx une très-petite quantité, on a <fx; mais cette manière de s'énoncer n'est pas correcte, et l'auteur a grand soin de l'éviter. Il se pourrait en effet que, pour une très-petite valeur de δx, on eût f(x+δx) < f x et pourtant la valeur que x n'était point celle qui convient au maximum de f x. Pour qu'il en soit ainsi, il faut en outre que l'inégalité subsiste pour toutes les autres valeurs de δx depuis δx jusqu'à zéro; ce que la plupart des auteurs d'éléments négligent de faire formellement ressortir. Après avoir exposé les règles connues pour la détermination des maxima et minima des fonctions explicites d'une seule variable, et avoir enseigné à distinguer le maximum du minimum, M. Gergonne ramène d'une manière fort simple à ce qu'il a dit sur ce sujet, ce qui concerne les fonctions de plusieurs variables. Soit, dit-il, S = f(x,y) une fonction de deux variables x et y, tout-à-fait indépendantes l'une de l'autre, concevons qu'on établit deux équations tout-à-fait arbitraires, entre ces deux variables et une troisième variable z; alors s pourra être considérée comme connue étant uniquement fonction de cette dernière; d'où il suit que la condition commune au maximum et au minimum sera exprimée par l'équation et qu'il y aura l'un ou l'autre, selon que pour une valeur de z, tirée de cette équation, la fonction z sera négative ou positive. On convient de représenter simplement par la caractéristique et, la différentielle ou variation relative à z, on aura donc, parce que les relations supposées entre x, y et z sont arbitraires, δx et
à distinguer le maximum du minimum, M. Gergonne ramène d'une manière fort simple à ce qu'il a dit sur ce sujet, ce qui concerne les fonctions de plusieurs variables. Soit, dit-il, S = f(x,y) une fonction de deux variables x et y, tout-à-fait indépendantes l'une de l'autre, concevons qu'on établit deux équations tout-à-fait arbitraires, entre ces deux variables et une troisième variable z; alors s pourra être considérée comme connue étant uniquement fonction de cette dernière; d'où il suit que la condition commune au maximum et au minimum sera exprimée par l'équation et qu'il y aura l'un ou l'autre, selon que pour une valeur de z, tirée de cette équation, la fonction z sera négative ou positive. On convient de représenter simplement par la caractéristique et, la différentielle ou variation relative à z, on aura donc, parce que les relations supposées entre x, y et z sont arbitraires, δx et δy doivent demeurer indépendants, de sorte que, ne pourra être nul, qu'autant qu'on aura séparément telles seront conséquemment les équations qui donneront les systèmes de valeurs de x et y qui puissent répondre aux maxima et minima de la fonction S. Au moyen de ces équations on aura simplement, pour que cette fonction, conserve constamment le même ordre, quels que soient x et y, comme il le faut, soit pour maximum, soit pour le minimum, il faudra qu'on ait, addition omise par Euler et donnée par Lagrange. Mais M. Gergonne fait observer que, si Euler n'a point exigé cela, Lagrange, à son tour, a exigé un peu trop. Si, en effet, on avait, résulterait seulement que est de la forme M (Pδz + Q δy), que conséquemment, quelque valeur qu'on attribue à x et y, S ne prendra jamais un signe différent de M. Mais, si l'on prend x et y de telle sorte qu'on ait x + y = 0; comme, en général, en vertu de cette hypothèse, S ne deviendra pas identiquement nul, il s'ensuit qu'alors il aura, généralement parlant, ni maximum ni minimum, ce qui est conforme aux théories connues. Mais si y contient un facteur P
que cette fonction, conserve constamment le même ordre, quels que soient x et y, comme il le faut, soit pour maximum, soit pour le minimum, il faudra qu'on ait, addition omise par Euler et donnée par Lagrange. Mais M. Gergonne fait observer que, si Euler n'a point exigé cela, Lagrange, à son tour, a exigé un peu trop. Si, en effet, on avait, résulterait seulement que est de la forme M (Pδz + Q δy), que conséquemment, quelque valeur qu'on attribue à x et y, S ne prendra jamais un signe différent de M. Mais, si l'on prend x et y de telle sorte qu'on ait x + y = 0; comme, en général, en vertu de cette hypothèse, S ne deviendra pas identiquement nul, il s'ensuit qu'alors il aura, généralement parlant, ni maximum ni minimum, ce qui est conforme aux théories connues. Mais si y contient un facteur P x Q y, et que S garde invariablement le même signe que M, quelles que soient x et y; il y aura aussi maximum ou minimum, bien que la condition exigée par Lagrange ne soit pas satisfaite. M. Gergonne traite, dans la même forme et avec la même rigueur logique, ce qui concerne les maxima et minima des fonctions explicites de plus de deux variables indépendantes. Il passe ensuite au cas où ces variables sont liées entre elles par des relations plus ou moins nombreuses; et il termine en par la recherche des maxima et minima, dans les fonctions implicites d'un ou de plusieurs variables; de telle sorte que son mémoire, bien que d'une étendue assez bornée, peut être considéré comme un traité à peu près complet sur la matière. MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE PURE SUR LES SYSTÈMES DE FORCES et les systèmes d'aires planes ; et sur les polygones, les polyèdres et les centres des moyennes distances; par M. CHASLES. (Corresp. Mathémat. et Physiq., par M. Quetelet Tom. VI, 2e livraison.) Quand plusieurs forces sollicitent un corps solide libre, on peut les remplacer d'une infinité de manières par d'autres forces; on dit que le système de ces nouvelles forces est
ce qui concerne les maxima et minima des fonctions explicites de plus de deux variables indépendantes. Il passe ensuite au cas où ces variables sont liées entre elles par des relations plus ou moins nombreuses; et il termine en par la recherche des maxima et minima, dans les fonctions implicites d'un ou de plusieurs variables; de telle sorte que son mémoire, bien que d'une étendue assez bornée, peut être considéré comme un traité à peu près complet sur la matière. MÉMOIRE DE GÉOMÉTRIE PURE SUR LES SYSTÈMES DE FORCES et les systèmes d'aires planes ; et sur les polygones, les polyèdres et les centres des moyennes distances; par M. CHASLES. (Corresp. Mathémat. et Physiq., par M. Quetelet Tom. VI, 2e livraison.) Quand plusieurs forces sollicitent un corps solide libre, on peut les remplacer d'une infinité de manières par d'autres forces; on dit que le système de ces nouvelles forces est équivalent au système des forces proposées. Deux pareils systèmes ont entre eux certaines relations, dont plusieurs sont d'un usage continuel dans la mécanique, et qu'on a coutume de démontrer par l'analyse. M. Chasles s'est proposé dans cet écrit de démontrer quelques-unes de ces relations, et d'autres plus générales, ou nouvelles d'une manière purement rationnelle, et sans le secours des formules analytiques. Il lui suffit de démontrer le théorème suivant, dont tous les autres ne sont que des conséquences : Quand on a 2 systèmes de forces (tout-à-fait arbitraires l'un par rapport à l'autre), si l'on multiplie chaque force du premier système par chaque force du second système, et par le cosinus de l'angle de ces forces, la somme de tous ces produits sera la même que la somme des produits semblablement faits à l'égard de deux autres systèmes équivalents respectivement aux 2 proposés. En supposant que les deux systèmes proposés soient équivalents entre eux, on conclut de là l'expression connue de la rélative d'un système de forces appliquées à un même point, en fonction de ces forces et des cosinus des angles qu'elles font entre elles. Pour passer de ce premier théorème à d'autres, non moins généraux, M. Ch. démontre
d'une manière purement rationnelle, et sans le secours des formules analytiques. Il lui suffit de démontrer le théorème suivant, dont tous les autres ne sont que des conséquences : Quand on a 2 systèmes de forces (tout-à-fait arbitraires l'un par rapport à l'autre), si l'on multiplie chaque force du premier système par chaque force du second système, et par le cosinus de l'angle de ces forces, la somme de tous ces produits sera la même que la somme des produits semblablement faits à l'égard de deux autres systèmes équivalents respectivement aux 2 proposés. En supposant que les deux systèmes proposés soient équivalents entre eux, on conclut de là l'expression connue de la rélative d'un système de forces appliquées à un même point, en fonction de ces forces et des cosinus des angles qu'elles font entre elles. Pour passer de ce premier théorème à d'autres, non moins généraux, M. Ch. démontre le lemme suivant : Si l'on projette une aire plane sur 3 plans coordonnés quelconques, et si l'on décompose une force de grandeur donnée et perpendiculaire au plan de cette aire en 3 autres dirigées suivant 3 axes respectivement perpendiculaires aux 3 plans coordonnés, les composantes de cette force seront aux projections de l'aire plane, comme la force elle-même sera à cette aire. Ce lemme n'est au fond, ainsi que M. Ch. en fait lui-même la remarque, que le principe dont M. Poinsot s'est servi pour la composition et la décomposition des couples; envisagé d'une manière générale par rapport à des aires planes quelconques, il rend tout-à-fait évidentes des vérités qui ont été longtemps le sujet de beaux théorèmes sur la projection des aires planes et sur la composition des moments. Ces divers théorèmes, qu'on pourrait énoncer sur-le-champ comme traductions directes, en vertu du lemme, des propriétés des systèmes de forces, peuvent être tous représentés par un principe général semblable au théorème sur les systèmes de forces, que nous avons cité. Il suffit de substituer des aires planes aux forces, et les angles des plans de ces aires aux angles que les directions de ces forces font entre elles. Ce
aux projections de l'aire plane, comme la force elle-même sera à cette aire. Ce lemme n'est au fond, ainsi que M. Ch. en fait lui-même la remarque, que le principe dont M. Poinsot s'est servi pour la composition et la décomposition des couples; envisagé d'une manière générale par rapport à des aires planes quelconques, il rend tout-à-fait évidentes des vérités qui ont été longtemps le sujet de beaux théorèmes sur la projection des aires planes et sur la composition des moments. Ces divers théorèmes, qu'on pourrait énoncer sur-le-champ comme traductions directes, en vertu du lemme, des propriétés des systèmes de forces, peuvent être tous représentés par un principe général semblable au théorème sur les systèmes de forces, que nous avons cité. Il suffit de substituer des aires planes aux forces, et les angles des plans de ces aires aux angles que les directions de ces forces font entre elles. Ce principe s'applique à 2 systèmes de couples, et aux moments de 2 systèmes de forces; de sorte que : Quand on a 2 systèmes de forces et qu'on prend les moments des forces du premier système par rapport à un point fixe, et les moments des forces du second système par rapport à un second point fixe, puis qu'on multiplie chaque moment du premier système par chaque moment du second et par le cosinus de l'angle compris entre les plans des 2 moments, la somme de tous ces produits conservera la même valeur si on substitue aux 2 systèmes de forces 2 autres systèmes équivalents, dont on prendra les moments par rapport aux 2 mêmes points fixes. En supposant que l'un des 2 systèmes (qui sont tout-à-fait arbitraires l'un à l'égard de l'autre), se réduise à une seule force; ou bien que les deux systèmes soient équivalents entre eux, on en conclut immédiatement l'expression et les propriétés du moment principal d'un système de forces relatif à un point, ainsi que plusieurs autres propositions. Au lieu de remplacer dans le premier théorème cité les 2 systèmes de forces par les 2 systèmes d'aires planes, si on ne remplace qu'un de ces
par rapport à un second point fixe, puis qu'on multiplie chaque moment du premier système par chaque moment du second et par le cosinus de l'angle compris entre les plans des 2 moments, la somme de tous ces produits conservera la même valeur si on substitue aux 2 systèmes de forces 2 autres systèmes équivalents, dont on prendra les moments par rapport aux 2 mêmes points fixes. En supposant que l'un des 2 systèmes (qui sont tout-à-fait arbitraires l'un à l'égard de l'autre), se réduise à une seule force; ou bien que les deux systèmes soient équivalents entre eux, on en conclut immédiatement l'expression et les propriétés du moment principal d'un système de forces relatif à un point, ainsi que plusieurs autres propositions. Au lieu de remplacer dans le premier théorème cité les 2 systèmes de forces par les 2 systèmes d'aires planes, si on ne remplace qu'un de ces systèmes de forces par un système d'aires planes, on obtient un 3ème principe général qui conduit à plusieurs théorèmes intéressants. Nous citerons le suivant : Quand on a 2 systèmes de forces, si sur chaque force du premier système et chaque force du second système, comme arêtes opposées, on construit un tétraèdre, la somme des volumes de tous ces tétraèdres aura une valeur qui restera la même quand on substituera aux 2 systèmes de forces 2 autres systèmes qui leur soient équivalents respectivement. M. Ch. détermine le signe du volume de chaque tétraèdre de cette manière : Il faut voir dans quel sens l'une des 2 forces qui forment ce tétraèdre tend à tourner autour de l'autre force, l'œil étant situé à l'extrémité de cette seconde force, et la vue étant dirigée vers son point d'application; on donnera au volume du tétraèdre le signe + ou le signe — suivant que la rotation se fera dans un sens ou dans l'autre. De ce théorème M. Ch. en conclut plusieurs autres moins généraux, qu'il avait eu occasion d'énoncer ailleurs, et dont le Bulletin a déjà entretenu ses lecteurs à l'occasion des démonstrations que MM. Gergonne et Möbius ont données de ces