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de morceaux contournés, qui pèsent de gros à agrandi, et est beaucoup plus incolore et plus transparente que le copal ou le mastic. Son poids spécifique est de 1,060 ; sa cassure est brillante, vitreuse ; sa poudre est d'un très beau blanc, dépourvue de toute saveur et de toute odeur, elle fond facilement et ne répand, même alors, qu'une odeur à peine appréciable. L'alcool absolu en dissout la moitié; l'alcool à 80° centésimaux en dissout le cinquième, et le quart par le moyen de la chaleur. L'huile de térébenthine, ainsi que les huiles grasses, la dissolvent complètement. L'éther la dissout excepté à une très petite partie, qui se comporte de la même manière que les résines molles. La dissolution alcoolique rougit le papier de tournesol. Insoluble dans les acides acétique et nitrique fumants, la résine Dammar se dissout dans l'acide sulfurique sans dégagement de calorique. L'ammoniaque caustique ne la change pas. 30 Parties de résine, qu'on fit bouillir avec de la potasse caustique, augmentèrent de cinq parties en poids; la dissolution alcaline ne contenait aucune trace de résine; la masse, ainsi augmentée, ne se dissolvait qu'extrêmement peu dans l'eau. Cependant, lorsqu'on fait bouillir avec de la potasse une dissolution de résine Dammar dans la térébenthine, on obtient, après l'évaporation de cette dernière, un savon résineux, parfaitement soluble dans l'eau et l'alcool, et susceptible d'être décomposée par les sels métalliques, de telle sorte que la résine se combine avec les oxides des métaux. La distillation sèche fournit 1) de l'acide acétique, 2) une huile volatile, qui rougit fortement le papier de tournesol; 3) une résine jaunâtre, qui s'attache au col de la cornue; 4) un résidu charbonné. Deux parties de Dammar, dissoutes dans deux parties d'huile de térébenthine, donnent un excellent vernis. K. exprimé par −1, au plus; et que si il s'agit d'une surface courbe, on pourra, en général, l'assujettir à passer par m+1 points au plus. Mais, dans chaque degré, les courbes et les surfaces ont plusieurs variétés; et le nombre des points par lesquels ces variétés peuvent être assujetties à passer varie de l'une à l'autre. Ainsi,
de résine Dammar dans la térébenthine, on obtient, après l'évaporation de cette dernière, un savon résineux, parfaitement soluble dans l'eau et l'alcool, et susceptible d'être décomposée par les sels métalliques, de telle sorte que la résine se combine avec les oxides des métaux. La distillation sèche fournit 1) de l'acide acétique, 2) une huile volatile, qui rougit fortement le papier de tournesol; 3) une résine jaunâtre, qui s'attache au col de la cornue; 4) un résidu charbonné. Deux parties de Dammar, dissoutes dans deux parties d'huile de térébenthine, donnent un excellent vernis. K. exprimé par −1, au plus; et que si il s'agit d'une surface courbe, on pourra, en général, l'assujettir à passer par m+1 points au plus. Mais, dans chaque degré, les courbes et les surfaces ont plusieurs variétés; et le nombre des points par lesquels ces variétés peuvent être assujetties à passer varie de l'une à l'autre. Ainsi, par exemple, bien qu'en général une ligne du second ordre puisse être assujettie à passer par 5 points donnés sur un plan, si néanmoins cette ligne est un cercle, elle ne pourra plus être assujettie qu'à passer par 3 points seulement. De même, bien qu'en général une surface du second ordre puisse être assujettie à passer par neuf points donnés dans l'espace, si néanmoins cette surface est une sphère, elle ne pourra plus être assujettie qu'à passer par quatre points seulement. On est donc conduit, par ces considérations, à se proposer la question suivante : une des variétés d'une courbe ou d'une surface d'un degré quelconque étant caractérisée par sa définition géométrique, déterminer le nombre de points par lesquels elle peut être assujettie à passer. M. Pagani, professeur à Louvain, dans le IV. volume de la Correspondance de M. Quetelet, page 226, a proposé ce problème, pour les surfaces du second ordre; et c'est à le résoudre à la fois pour les lignes et les surfaces de cet ordre qu'un anonyme a consacré le premier article de la livraison que nous annonçons. Montrons, par deux exemples, de quelle manière il parvient à son but. « Pour déterminer en grandeur une
ordre puisse être assujettie à passer par neuf points donnés dans l'espace, si néanmoins cette surface est une sphère, elle ne pourra plus être assujettie qu'à passer par quatre points seulement. On est donc conduit, par ces considérations, à se proposer la question suivante : une des variétés d'une courbe ou d'une surface d'un degré quelconque étant caractérisée par sa définition géométrique, déterminer le nombre de points par lesquels elle peut être assujettie à passer. M. Pagani, professeur à Louvain, dans le IV. volume de la Correspondance de M. Quetelet, page 226, a proposé ce problème, pour les surfaces du second ordre; et c'est à le résoudre à la fois pour les lignes et les surfaces de cet ordre qu'un anonyme a consacré le premier article de la livraison que nous annonçons. Montrons, par deux exemples, de quelle manière il parvient à son but. « Pour déterminer en grandeur une hyperbole équilatère, il est nécessaire et il suffit de donner la longueur de son axe transverse. Pour la déterminer ensuite de situation, sur un plan, il faut en outre donner les deux coordonnées de son centre et l'angle que fait son axe transverse avec l'un des axes des coordonnées; donc quatre conditions distinctes sont nécessaires et suffisantes pour déterminer complètement de grandeur et de situation sur un plan une hyperbole équilatère; donc l'équation d'une telle courbe ne doit contenir que quatre coéfficients arbitraires; et, comme l'équation générale des lignes du second ordre en contient cinq, il s'ensuit que, pour que cette équation exprime une hyperbole équilatère, il faut qu'il existe entre ses coéfficients une seule équation de relation. Il restera donc quatre coéfficients indépendants, au moyen desquels on pourra assujettir la courbe à passer par un même nombre de points. » « Pour déterminer de grandeur une surface conique de révolution, il est nécessaire et il suffit de donner son angle générateur. Pour la déterminer ensuite de situation dans l'espace, il faut donner en outre les trois coordonnées de son sommet et les angles que fait son axe avec deux des axes des coordonnées; donc six conditions distinctes sont nécessaires
quatre conditions distinctes sont nécessaires et suffisantes pour déterminer complètement de grandeur et de situation sur un plan une hyperbole équilatère; donc l'équation d'une telle courbe ne doit contenir que quatre coéfficients arbitraires; et, comme l'équation générale des lignes du second ordre en contient cinq, il s'ensuit que, pour que cette équation exprime une hyperbole équilatère, il faut qu'il existe entre ses coéfficients une seule équation de relation. Il restera donc quatre coéfficients indépendants, au moyen desquels on pourra assujettir la courbe à passer par un même nombre de points. » « Pour déterminer de grandeur une surface conique de révolution, il est nécessaire et il suffit de donner son angle générateur. Pour la déterminer ensuite de situation dans l'espace, il faut donner en outre les trois coordonnées de son sommet et les angles que fait son axe avec deux des axes des coordonnées; donc six conditions distinctes sont nécessaires et suffisantes pour déterminer complètement de grandeur et de situation dans l'espace une surface conique de révolution; donc l'équation d'une telle surface ne doit contenir que six coéfficients arbitraires; et, comme l'équation générale des surfaces du second ordre en contient neuf, il s'ensuit que, pour que cette équation exprime une surface conique de révolution, il faut qu'il existe entre ses coéfficients trois équations de relations. Il restera donc six coéfficients indépendants, au moyen desquels on pourra assujettir la surface à passer par un même nombre de points. » L'auteur, passant ainsi successivement en revue tous les cas particuliers que peut offrir l'équation générale, soit des lignes, soit des surfaces du second ordre, parvient finalement aux conclusions suivantes : 1° Sur un plan, on peut faire passer 10 points donnés, une ellipse ou une hyperbole quelconque; 2° par 4 points donnés, une hyperbole équilatère, une parabole ou le système de deux points; 3° par 3 points donnés, une circonférence ou le système de deux parallèles; 4° enfin, par 2 points donnés, le système de deux droites qui se confondent. 2° Dans l'espace, on peut faire passer 1° par 9 points donnés, une ellipsoïde ou un hyperboloïde quelconque; 2° par 8 points
surface conique de révolution, il faut qu'il existe entre ses coéfficients trois équations de relations. Il restera donc six coéfficients indépendants, au moyen desquels on pourra assujettir la surface à passer par un même nombre de points. » L'auteur, passant ainsi successivement en revue tous les cas particuliers que peut offrir l'équation générale, soit des lignes, soit des surfaces du second ordre, parvient finalement aux conclusions suivantes : 1° Sur un plan, on peut faire passer 10 points donnés, une ellipse ou une hyperbole quelconque; 2° par 4 points donnés, une hyperbole équilatère, une parabole ou le système de deux points; 3° par 3 points donnés, une circonférence ou le système de deux parallèles; 4° enfin, par 2 points donnés, le système de deux droites qui se confondent. 2° Dans l'espace, on peut faire passer 1° par 9 points donnés, une ellipsoïde ou un hyperboloïde quelconque; 2° par 8 points donnés, une surface conique quelconque ou un paraboloïde quelconque; 3° par 7 points donnés, un ellipsoïde ou un hyperboloïde de révolution, ou bien encore un cylindre elliptique ou hyperbolique; 4° par 6 points donnés, un paraboloïde ou un cône de révolution, un cylindre parabolique ou le système de deux plans; 5° par 5 points donnés, une sphère ou deux plans parallèles; 7° enfin par 3 points donnés, le système de deux plans parallèles. Dans un second article, M. Gergonne appelle l'attention de ses lecteurs sur la méthode donnée par Newton pour l'approximation des racines incommensurables des équations numériques; méthode la plus commode et la plus expéditive de toutes, mais de laquelle on ne saurait toujours se promettre un plein succès; et qui n'a pas été examinée d'assez près pour qu'on sache bien quels sont les cas où elle doit infailliblement réussir, et quels sont ceux où au contraire elle peut être en défaut. On donne communément comme condition de succès de cette méthode celle de prendre pour valeur de départ une valeur très-approchée de celle dont on veut poursuivre l'approximation; mais M. Gergonne prouve que cette condition n'est ni nécessaire ni suffisante; de telle sorte qu'on peut quelquefois parvenir au
5° par 5 points donnés, une sphère ou deux plans parallèles; 7° enfin par 3 points donnés, le système de deux plans parallèles. Dans un second article, M. Gergonne appelle l'attention de ses lecteurs sur la méthode donnée par Newton pour l'approximation des racines incommensurables des équations numériques; méthode la plus commode et la plus expéditive de toutes, mais de laquelle on ne saurait toujours se promettre un plein succès; et qui n'a pas été examinée d'assez près pour qu'on sache bien quels sont les cas où elle doit infailliblement réussir, et quels sont ceux où au contraire elle peut être en défaut. On donne communément comme condition de succès de cette méthode celle de prendre pour valeur de départ une valeur très-approchée de celle dont on veut poursuivre l'approximation; mais M. Gergonne prouve que cette condition n'est ni nécessaire ni suffisante; de telle sorte qu'on peut quelquefois parvenir au but, quelque loin que soit la valeur de départ de celle à laquelle on veut parvenir, tandis qu'au contraire on peut le manquer, quelque peu différentes que soient ces deux valeurs. M. Gergonne pense que le moyen le plus propre à jeter du jour sur cette méthode est de la traduire en procédé graphique. Il remarque d'abord, que déterminer une racine de l'équation F(r) = 0, c'est, comme l'on sait, déterminer la distance r de l'origine à l'une des intersections de l'axe des x avec la courbe parabolique donnée par l'équation y = F(x). Or, si p est une longueur plus grande que r, la méthode d'approximation de Newton consiste à poser successivement et il faut, pour son succès, que les grandeurs, p1, p2, p3 ... finissent par converger vers la valeur cherchée r. Or cette suite d'équations revient au procédé graphique que voici : soit O l'origine des coordonnées, soit R l'une des intersections de l'axe des x avec la courbe parabolique, et soit enfin OR la racine dont on poursuit l'approximation. Soit prise sur l'axe des x une longueur OP > OR; soient menées l'ordonnée PM, et la tangente MP1, coupant l'axe des x en P1; soient menées
traduire en procédé graphique. Il remarque d'abord, que déterminer une racine de l'équation F(r) = 0, c'est, comme l'on sait, déterminer la distance r de l'origine à l'une des intersections de l'axe des x avec la courbe parabolique donnée par l'équation y = F(x). Or, si p est une longueur plus grande que r, la méthode d'approximation de Newton consiste à poser successivement et il faut, pour son succès, que les grandeurs, p1, p2, p3 ... finissent par converger vers la valeur cherchée r. Or cette suite d'équations revient au procédé graphique que voici : soit O l'origine des coordonnées, soit R l'une des intersections de l'axe des x avec la courbe parabolique, et soit enfin OR la racine dont on poursuit l'approximation. Soit prise sur l'axe des x une longueur OP > OR; soient menées l'ordonnée PM, et la tangente MP1, coupant l'axe des x en P1; soient menées l'ordonnée P1M1, et la tangente M1P, coupant l'axe des x en P2; soient menées l'ordonnée P2M2, et la tangente M2P3, coupant l'axe des x en P3, et ainsi de suite; OP, OP1, OP2, OP3,... seront les valeurs de p, P1, P2, P3 de sorte que le succès de la méthode tiendra à ce que ces longueurs, constamment décroissantes, aient OR pour limite. Or il est aisé de voir qu'il en sera nécessairement ainsi, toutes les fois que, dans toute l'étendue de l'axe MR, la courbe parabolique ne présentera ni sommets ni points d'inflection, ou, ce qui revient au même, toutes les fois que, dans l'intervalle de r à p, les trois fonctions F(x), F'(x), F"(x), conserveront leurs signes, et que les deux premières, abstraction faite de ces signes, seront constamment croissantes; pourvu toutefois qu'on prenne p plus grand ou plus petit que r, suivant qu'entre ces mêmes limites F(x) et F'(x) seront de mêmes signes ou de signes contraires. Telles seront donc aussi les conditions suffisantes pour le succès de la méthode d'approximation de Newton. Nous disons suffisantes, car cette méthode pourrait fort bien réussir dans le cas même où ces conditions ne seraient pas satisfaites; mais alors son succès
tiendra à ce que ces longueurs, constamment décroissantes, aient OR pour limite. Or il est aisé de voir qu'il en sera nécessairement ainsi, toutes les fois que, dans toute l'étendue de l'axe MR, la courbe parabolique ne présentera ni sommets ni points d'inflection, ou, ce qui revient au même, toutes les fois que, dans l'intervalle de r à p, les trois fonctions F(x), F'(x), F"(x), conserveront leurs signes, et que les deux premières, abstraction faite de ces signes, seront constamment croissantes; pourvu toutefois qu'on prenne p plus grand ou plus petit que r, suivant qu'entre ces mêmes limites F(x) et F'(x) seront de mêmes signes ou de signes contraires. Telles seront donc aussi les conditions suffisantes pour le succès de la méthode d'approximation de Newton. Nous disons suffisantes, car cette méthode pourrait fort bien réussir dans le cas même où ces conditions ne seraient pas satisfaites; mais alors son succès ne serait dû qu'à un heureux hasard. Quand cette méthode réussit, elle donne des valeurs de plus en plus approchantes de la véritable, mais toutes plus grandes ou toutes plus petites qu'elle ; on sait donc qu'on en approche de plus en plus, sans pouvoir assigner la limite de l'erreur dont chaque approximation est affectée ; ce qui n'est point tolérable dans l'état actuel de l'analyse. La méthode d'approximation de Newton réclame donc un complément au défaut duquel elle ne pourrait vraisemblablement être employée; et c'est encore à la géométrie que M. Gergonne demande ce complément. Soit toujours supposé p = 0, P plus grand que la racine r = OR; soit pris OQ < OR; soient menées l'ordonnée QN, et la parallèle NQ1 à MP2, coupant l'axe des x en Q1; soient menées l'ordonnée Q2N, et la parallèle N, Q2 à M1P2, coupant l'axe des x en Q2; soient menées l'ordonnée Q3N, et la parallèle N, Q3 à M, P3, coupant l'axe des x en Q3, et ainsi de suite; il est visible que, si l'arc RN ne présente ni sommets ni point d'inflection, les longueurs OQ, OQ1, OQ2 toujours croissantes, tendront constamment vers la racine OR. On aura
dont chaque approximation est affectée ; ce qui n'est point tolérable dans l'état actuel de l'analyse. La méthode d'approximation de Newton réclame donc un complément au défaut duquel elle ne pourrait vraisemblablement être employée; et c'est encore à la géométrie que M. Gergonne demande ce complément. Soit toujours supposé p = 0, P plus grand que la racine r = OR; soit pris OQ < OR; soient menées l'ordonnée QN, et la parallèle NQ1 à MP2, coupant l'axe des x en Q1; soient menées l'ordonnée Q2N, et la parallèle N, Q2 à M1P2, coupant l'axe des x en Q2; soient menées l'ordonnée Q3N, et la parallèle N, Q3 à M, P3, coupant l'axe des x en Q3, et ainsi de suite; il est visible que, si l'arc RN ne présente ni sommets ni point d'inflection, les longueurs OQ, OQ1, OQ2 toujours croissantes, tendront constamment vers la racine OR. On aura de sorte qu'à chaque approximation on aura une limite de l'erreur commise. Ce procédé, traduit en analyse, revient à ce qui suit : soit q un nombre < r, soit posé successivement les valeurs q, q1, q2, ... toujours croissantes, tendront sans cesse vers la racine r, qui se trouvera ainsi successivement comprise entre les limites p et q, p1 et q1, p2 et q2 M. Gergonne fait observer, en terminant, qu'un des principaux avantages de la méthode d'approximation de Newton est de s'appliquer tout aussi bien à plusieurs équations entre un égal nombre d'inconnues qu'à une équation qui n'en renferme qu'une seule. Il s'étonne d'autant plus de ne voir cette remarque consignée dans aucun traité élémentaire qu'elle est d'une application continuelle en astronomie. ARITHMÉTIQUE DE BEZOUT, avec des notes nombreuses ; par M. PRINCE, professeur de mathématiques. 3ème édition, revue, corrigée et beaucoup augmentée. In-8° de VIII-386 p. ; prix, 2 fr. 50 c. Paris 1829; Bachelier. L'arithmétique de Bezout est encore une des meilleures que l'on possède, surtout à cause de sa clarté ; c'est avec raison qu'on l'a mis au nombre des ouvrages classiques. M. Prince y a fait des additions qui la rendent plus complète. Il
ainsi successivement comprise entre les limites p et q, p1 et q1, p2 et q2 M. Gergonne fait observer, en terminant, qu'un des principaux avantages de la méthode d'approximation de Newton est de s'appliquer tout aussi bien à plusieurs équations entre un égal nombre d'inconnues qu'à une équation qui n'en renferme qu'une seule. Il s'étonne d'autant plus de ne voir cette remarque consignée dans aucun traité élémentaire qu'elle est d'une application continuelle en astronomie. ARITHMÉTIQUE DE BEZOUT, avec des notes nombreuses ; par M. PRINCE, professeur de mathématiques. 3ème édition, revue, corrigée et beaucoup augmentée. In-8° de VIII-386 p. ; prix, 2 fr. 50 c. Paris 1829; Bachelier. L'arithmétique de Bezout est encore une des meilleures que l'on possède, surtout à cause de sa clarté ; c'est avec raison qu'on l'a mis au nombre des ouvrages classiques. M. Prince y a fait des additions qui la rendent plus complète. Il a jugé convenable de placer ses notes au bas des pages et non à la suite de l'ouvrage, afin que le lecteur eût en même temps sous les yeux le texte et les notes. La plupart de ces additions sont relatives à des principes ou à des démonstrations qui manquent dans le livre de Bezout. LA GÉOMÉTRIE DES GENS DU MONDE, renfermant, à côté d'une théorie facile, un grand nombre d'applications et de considérations utiles. Cours élémentaire ; par M. MARÉCHAL-DU-PLISSÉ, directeur du collège de Vendôme. 80 p. in-4°, avec 18 pl. ; prix, 6 fr. Paris, 1829; Nyon. Cet ouvrage remplit parfaitement le dessein que l'auteur s'est proposé. Il mérite d'être recommandé comme étant propre à inspirer le goût de la géométrie, et à faire connaître les usages principaux de cette science, aux personnes qui n'ont pas l'intention ou le loisir de l'étudier par les principes, et qui veulent en prendre une idée générale. Les vérités géométriques y sont présentées de la manière la plus simple, débarrassées de l'appareil des démonstrations et accompagnées d'une multitude d'applications intéressantes, telles que la mesure des distances et des hauteurs, le levé des plans, la construction des cartes, la fortification, la perspective, etc.
dans le livre de Bezout. LA GÉOMÉTRIE DES GENS DU MONDE, renfermant, à côté d'une théorie facile, un grand nombre d'applications et de considérations utiles. Cours élémentaire ; par M. MARÉCHAL-DU-PLISSÉ, directeur du collège de Vendôme. 80 p. in-4°, avec 18 pl. ; prix, 6 fr. Paris, 1829; Nyon. Cet ouvrage remplit parfaitement le dessein que l'auteur s'est proposé. Il mérite d'être recommandé comme étant propre à inspirer le goût de la géométrie, et à faire connaître les usages principaux de cette science, aux personnes qui n'ont pas l'intention ou le loisir de l'étudier par les principes, et qui veulent en prendre une idée générale. Les vérités géométriques y sont présentées de la manière la plus simple, débarrassées de l'appareil des démonstrations et accompagnées d'une multitude d'applications intéressantes, telles que la mesure des distances et des hauteurs, le levé des plans, la construction des cartes, la fortification, la perspective, etc. Les figures sont faites avec beaucoup de soin. UEBER DIE BEWEGUNG, etc. — Mémoire sur le mouvement des liquides dans les vases; par le Dr J. R. MÉRIAN. 53 p, in-4°. Bâle, 1828; Schweighauser. MM. Cauchy et Poisson ont les premiers déterminé les lois du mouvement des ondes produites dans un liquide pesant d'une profondeur et d'une étendue indéfinies, par l'immersion d'un corps solide d'une forme arbitraire. L'auteur du mémoire que nous annonçons a considéré le mouvement des ondes dans un bassin ayant la forme d'un parallélepipède rectangle ou celle d'un cylindre droit à base circulaire. En supposant la surface initiale du liquide arbitraire (dans ses deux dimensions), ces deux problèmes sont compris dans la classe de ceux qui se résolvent à l'aide des méthodes que M. Fourier a données dans sa Théorie de la chaleur. L'usage habile que M. Merian a fait de ces méthodes, prouve qu'il est versé dans cette analyse nouvelle. D'après la date de son mémoire, important pour l'explication des phénomènes physiques, il ne peut pas avoir eu connaissance des solutions que MM. Corancez et Poisson ont données pour le cas du bassin cylindrique ; le travail de M. Corancez n'ayant pas été publié, et celui