jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
(ζ + 4K) = sin. A', quelque soit t; d'après cela nous mettrons s + 2K à la place de z dans les facteurs impairs de P et p', et nous changerons les signes des sinus qu'ils contiennent, puis nous augmenterons de 4K dans les facteurs pairs de P sans autre changement; cela fait, si l'on réunit les facteurs pairs de l'une des suites aux facteurs impairs de l'autre, on formera ces deux autres suites, de chacune p-1/2 facteurs, savoir : Sur P P' sera toujours le produit. Par conséquent la valeur précédente de 1 - y deviendra où l'on prendra toujours les signes supérieurs ou inférieurs selon que p sera de la forme 4n + 1 ou 4n - 1. Cette formule nous montre que la quantité 1 - y ne changera pas, si on y met zK à la place de z; car alors chaque facteur du numérateur se changera dans le suivant, et le dernier dans le premier. Il en résulte que 1 - y ne changera pas en y mettant z + 4m/pK à la place de z, m étant un nombre entier quelconque, positif ou négatif. Or, en faisant -o dans les premières expressions des facteurs de P et P', le produit devient P P' = cos.2 α2 cos.2 α4 .... cos.2 αp-1, parce que l'on a D'après la formule (7), on aura donc 1 - 1 = ou y=0, pour z = n, et par conséquent pour z =4m/pK. Maintenant l'équation (8) donne en prenant V=(1 - k2xsin2)(1 - k2x2sin2 α4)..... et désignant par U une fonction rationnelle et entière de x qui sera du degré p. Cette fonction sera nulle, ainsi que \(4m\) pour \(z - K\), c'est-à-dire, quand on y fait \(x = \sin.A(4m/pk)\), d'où il résulte que les racines de l'équation \(U = 0\), seront ou, ce qui est la même chose, Nous aurons donc \(µ\) désignant une quantité indépendante de \(x\) qui restera à déterminer. Par conséquent, la valeur de \(r\) aura pour expression Pour déterminer \(p\), j'observe qu'en faisant \(x = \pm 1\), selon que \((p)\) sera pair ou
facteurs de P et P', le produit devient P P' = cos.2 α2 cos.2 α4 .... cos.2 αp-1, parce que l'on a D'après la formule (7), on aura donc 1 - 1 = ou y=0, pour z = n, et par conséquent pour z =4m/pK. Maintenant l'équation (8) donne en prenant V=(1 - k2xsin2)(1 - k2x2sin2 α4)..... et désignant par U une fonction rationnelle et entière de x qui sera du degré p. Cette fonction sera nulle, ainsi que \(4m\) pour \(z - K\), c'est-à-dire, quand on y fait \(x = \sin.A(4m/pk)\), d'où il résulte que les racines de l'équation \(U = 0\), seront ou, ce qui est la même chose, Nous aurons donc \(µ\) désignant une quantité indépendante de \(x\) qui restera à déterminer. Par conséquent, la valeur de \(r\) aura pour expression Pour déterminer \(p\), j'observe qu'en faisant \(x = \pm 1\), selon que \((p)\) sera pair ou impair, l'équation (8) donnera \(y = 1\) dans les deux cas. Je fais donc à la fois \(x = \pm 1\) dans l'équation (9); le nombre des facteurs du second membre, le premier excepté, étant \((-f(?) - 1)\), il résultera D'ailleurs, à cause de on aura si donc on prend \(f = 1/2\), \(g = m\), \(h = \alpha - 2m\), la seconde équation (6) donnera 1. moyen de quoi la valeur précédente de \(^\) deviendra plus implement .. III. Il résulte de l'équation (9) que \(y\) change de signe avec \(x\); si l'on met \(-z\) et \(-y\) à la place de \(z\) et \(y\) dans l'équation (8), on aura la valeur de \(1 + y\); et, en la multipliant par celle de \(1 - y\), et prenant la racine carrée du produit, on en conclura Je \(x\) change donc de signe quand on y met \(y\) à la place Je \(x\); d'après les équations (10) et (11) on aura \(u = y k^2 \mu^2 \sin^2 \alpha_1 \cdots \sin^2 \alpha_p\), c'est-à-dire \(u\) est \(y\), en ayant égard à la valeur de \(p\), et faisant \(A = 1 + 4 \alpha m + \sin \alpha_p\); (13) où l'on conclut que \(x\)
\(f = 1/2\), \(g = m\), \(h = \alpha - 2m\), la seconde équation (6) donnera 1. moyen de quoi la valeur précédente de \(^\) deviendra plus implement .. III. Il résulte de l'équation (9) que \(y\) change de signe avec \(x\); si l'on met \(-z\) et \(-y\) à la place de \(z\) et \(y\) dans l'équation (8), on aura la valeur de \(1 + y\); et, en la multipliant par celle de \(1 - y\), et prenant la racine carrée du produit, on en conclura Je \(x\) change donc de signe quand on y met \(y\) à la place Je \(x\); d'après les équations (10) et (11) on aura \(u = y k^2 \mu^2 \sin^2 \alpha_1 \cdots \sin^2 \alpha_p\), c'est-à-dire \(u\) est \(y\), en ayant égard à la valeur de \(p\), et faisant \(A = 1 + 4 \alpha m + \sin \alpha_p\); (13) où l'on conclut que \(x\) et \(y\) se changent simultanément en ~et \(+\). J'effectue ce double changement dans l'équation (12); en divisant ses deux membres par \(1\), il vient où l'on a fait pour abréger, \(4p \sin^2 \alpha_1 \sin^2 \alpha_3 \cdots, \sin^2 \alpha_p - 1 = 6\) le multiplie l'équation précédente par \(hy\) et je substitue ensuite dans son second membre, la valeur de \(y\) donnée par l'équation (9): en tenant compte des valeurs de \(µ\), \(h\), \(g\), on obtient Au moyen des formules (12) et (14), nous aurons en faisant, pour abréger, et prenant pour \(V\) la même valeur que précédemment. Si on met \(-y\) à la place de \(y\), on aura \((V^2 - U^2)(V^2 - h^2 U^2) = (1 + x)^2\), ce qui montre qu'on remplit la condition exprimée par l'équation (4), au moyen des valeurs précédentes de \(V\), \(U\), \(h\), en prenant \(QQ'\) pour \(T\); par conséquent, en vertu de la première partie de cette démonstration, la valeur de \(r\), ou la formule (9) satisfera à l'équation différentielle (3); et \(h\) étant déterminé en fonction de \(k\) par les formules (11) et (13). C'est en cela que consiste le théorème de M. Jacobi, qu'il s'agissait de démontrer. L'équation (9) sera une intégrale
substitue ensuite dans son second membre, la valeur de \(y\) donnée par l'équation (9): en tenant compte des valeurs de \(µ\), \(h\), \(g\), on obtient Au moyen des formules (12) et (14), nous aurons en faisant, pour abréger, et prenant pour \(V\) la même valeur que précédemment. Si on met \(-y\) à la place de \(y\), on aura \((V^2 - U^2)(V^2 - h^2 U^2) = (1 + x)^2\), ce qui montre qu'on remplit la condition exprimée par l'équation (4), au moyen des valeurs précédentes de \(V\), \(U\), \(h\), en prenant \(QQ'\) pour \(T\); par conséquent, en vertu de la première partie de cette démonstration, la valeur de \(r\), ou la formule (9) satisfera à l'équation différentielle (3); et \(h\) étant déterminé en fonction de \(k\) par les formules (11) et (13). C'est en cela que consiste le théorème de M. Jacobi, qu'il s'agissait de démontrer. L'équation (9) sera une intégrale particulière de cette équation différentielle; on en déduira l'intégrale complète, en désignant par \(c\) une constante arbitraire, et remplaçant \(r\) par dans les deux équations; substitution qui ne changera rien au second membre de l'équation différentielle. Les expressions du multiplicateur \(µ\) et du module \(h\) peuvent être présentées sous différentes formes, équivalentes aux formules (11) et (13). Les trois équations (9), (12) et (14), sont aussi équivalentes: elles font connaître les valeurs de \(\sin 4 \cos\), et \(h^2 \sin^2\), relatives à l'amplitude de la fonction cherchée, au moyen du sinus de l'amplitude de la fonction donnée et de son module \(k\). Si l'on voulait avoir immédiatement l'amplitude \(Ψ\), on emploierait la formule dans laquelle est déterminé par l'équation 137. NOTE SUR LA probabilité DU RÉSULTAT MOYEN DES OBSERVATIONS; par M. Poisson. C'est à Laplace que l'on doit la formule d'après laquelle on détermine cette probabilité dans le cas où les observations ont en très-grand nombre, et quelle que soit la loi de possibilité des erreurs dont elle est indépendante, pourvu seulement que les erreurs égales et de signes contraires soient également possibles. Elle ne suppose pas que cette loi reste la même dans toute la série des observations, ainsi que
formes, équivalentes aux formules (11) et (13). Les trois équations (9), (12) et (14), sont aussi équivalentes: elles font connaître les valeurs de \(\sin 4 \cos\), et \(h^2 \sin^2\), relatives à l'amplitude de la fonction cherchée, au moyen du sinus de l'amplitude de la fonction donnée et de son module \(k\). Si l'on voulait avoir immédiatement l'amplitude \(Ψ\), on emploierait la formule dans laquelle est déterminé par l'équation 137. NOTE SUR LA probabilité DU RÉSULTAT MOYEN DES OBSERVATIONS; par M. Poisson. C'est à Laplace que l'on doit la formule d'après laquelle on détermine cette probabilité dans le cas où les observations ont en très-grand nombre, et quelle que soit la loi de possibilité des erreurs dont elle est indépendante, pourvu seulement que les erreurs égales et de signes contraires soient également possibles. Elle ne suppose pas que cette loi reste la même dans toute la série des observations, ainsi que je l'ai déjà fait voir dans mon dernier Mémoire sur ce sujet; et cela permet de s'appliquer à des expériences faites par des observateurs et avec des instruments différents. Voici en quoi consiste cette formule que son illustre auteur a donnée, dont il a fait les applications les plus intéressantes, dans la Théorie Analytique des Probabilités. Appelons \(A\) la chose quelconque que l'on a mesurée, et \(x\) sa valeur inconnue. Soit \(n\) le nombre des mesures que l'on a faites. Désignons par \(a_1\), \(a_2\), ..., \(a_n\), les valeurs égales ou négatives qu'elles ont données pour \(A\). Soit \(1\) leur somme et \(m\) la moyenne de toutes ces valeurs, en sorte qu'on ait Si l'on retranche successivement \(m\), des valeurs particulières \(a_1\), \(a_2\) ..., \(a_n\), on aura leurs écarts de part et d'autre de la moyenne, qui seront, en général, de très-petites quantités par lesquelles on a coutume de juger de la bonté des observations. Appelons \(h\) la demi-somme de leurs carrés, et faisons \(h = \frac{1}{2} \sum (a_i - m)^2\). Il y aura une certaine probabilité, que l'erreur à craindre, en prenant m pour la valeur de A, sera comprise entre les limites; autrement dit, pour que la différence x
dans la Théorie Analytique des Probabilités. Appelons \(A\) la chose quelconque que l'on a mesurée, et \(x\) sa valeur inconnue. Soit \(n\) le nombre des mesures que l'on a faites. Désignons par \(a_1\), \(a_2\), ..., \(a_n\), les valeurs égales ou négatives qu'elles ont données pour \(A\). Soit \(1\) leur somme et \(m\) la moyenne de toutes ces valeurs, en sorte qu'on ait Si l'on retranche successivement \(m\), des valeurs particulières \(a_1\), \(a_2\) ..., \(a_n\), on aura leurs écarts de part et d'autre de la moyenne, qui seront, en général, de très-petites quantités par lesquelles on a coutume de juger de la bonté des observations. Appelons \(h\) la demi-somme de leurs carrés, et faisons \(h = \frac{1}{2} \sum (a_i - m)^2\). Il y aura une certaine probabilité, que l'erreur à craindre, en prenant m pour la valeur de A, sera comprise entre les limites; autrement dit, pour que la différence x - m n'excède abstraction faite du signe; a étant un coefficient arbitraire que l'on prendra à volonté et d'où dépendra la candeur de p. Or, si n est un grand nombre, et qu'on néglige les quantités de l'ordre de la fraction 1, la valeur de p ne s'exprime pas autrement que par la formule : Dans laquelle c'est la base des logarithmes népériens, et le rapport de la circonférence au diamètre. On trouve à la fin des Réfractions Astronomiques de Kran une table des valeurs numériques de cette intégrale, d'où résulte que la probabilité p approche rapidement de la certitude à mesure que a augmente, et qu'elle n'en diffère pas, à l'exception d'un demi-millième, pour une valeur peu considérable de 2 et, telle que a = 5. Si l'on veut avoir p, il faudra prendre a = 0, 476 à très-peu près; Ainsi, il y aura un contre un à parier, que l'erreur à craindre sur le résultat moyen d'un grand nombre d'observations. tombera entre les limites : la valeur de v étant déduite de leur écarts, au moyen de la équation (1), que l'on peut aussi écrire sous cette forme équivalente : en désignant par σ la somme des
que par la formule : Dans laquelle c'est la base des logarithmes népériens, et le rapport de la circonférence au diamètre. On trouve à la fin des Réfractions Astronomiques de Kran une table des valeurs numériques de cette intégrale, d'où résulte que la probabilité p approche rapidement de la certitude à mesure que a augmente, et qu'elle n'en diffère pas, à l'exception d'un demi-millième, pour une valeur peu considérable de 2 et, telle que a = 5. Si l'on veut avoir p, il faudra prendre a = 0, 476 à très-peu près; Ainsi, il y aura un contre un à parier, que l'erreur à craindre sur le résultat moyen d'un grand nombre d'observations. tombera entre les limites : la valeur de v étant déduite de leur écarts, au moyen de la équation (1), que l'on peut aussi écrire sous cette forme équivalente : en désignant par σ la somme des carrés, des n quantités α1, α2, ... , αn, et appelant toujours la somme de ces mêmes quantités. La démonstration de l'équation (a) est fondée sur la méthode que Laplace a donnée pour réduire en séries convergentes, les intégrales relatives à des quantités affectées de très-grands exposants. Quand elle est démontrée pour le cas d'une seule inconnue mesurée directement, on peut l'étendre, sans recourir de nouveau à cette méthode, à une fonction linéaire de deux qui possèdent chacune été mesurée, un très grand nombre de fois; car alors la loi de possibilité des erreurs de chaque inconnue, a une expression connue, de laquelle on peut déduire immédiatement la loi relative aux erreurs de la fonction. Pour le faire voir, soient A, A', C, trois choses quelconques dont les valeurs inconnues seront x, x', z. Supposons que ces trois quantités doivent être liées entre elles par l'équation : z k x k' x' y dans laquelle k et k' sont des coefficients donnés. On a mesuré directement A et A', des nombres de fois très-grand et représentés par n et n'; on désigne par m et m', les moyennes de toutes les valeurs qu'on a trouvées, et par h et h',
démontrée pour le cas d'une seule inconnue mesurée directement, on peut l'étendre, sans recourir de nouveau à cette méthode, à une fonction linéaire de deux qui possèdent chacune été mesurée, un très grand nombre de fois; car alors la loi de possibilité des erreurs de chaque inconnue, a une expression connue, de laquelle on peut déduire immédiatement la loi relative aux erreurs de la fonction. Pour le faire voir, soient A, A', C, trois choses quelconques dont les valeurs inconnues seront x, x', z. Supposons que ces trois quantités doivent être liées entre elles par l'équation : z k x k' x' y dans laquelle k et k' sont des coefficients donnés. On a mesuré directement A et A', des nombres de fois très-grand et représentés par n et n'; on désigne par m et m', les moyennes de toutes les valeurs qu'on a trouvées, et par h et h', les demi-sommes des écarts de leurs écarts : si l'on fait, pour abréger y aura la probabilité p, donnée par la formule (1), que la différence x-m sera comprise entre les limites ±σ, et la même probabilité p que la différence z - m' aura pour limites 1 C. Or, en prenant V k s + S", y aura encore la probabilité p que l'erreur à craindre sur la valeur k m + k' m' de C, sera comprise entre ± y, ou que la différence z - k m k' m', n'exédera pas y, abstraction faite du signe. En effet, faisons x = m + v, x' = m' + r'; les probabilités infiniment petites des erreurs représentées par v et v', seront, comme on sait à négliger les termes de l'ordre de 1 ou; et supprimant avancés les termes de l'ordre de −r= ou − lesquels ne renverraient que de puissances impaires de v ou r et disparaissaient, pour cette raison, dans le résultat final qui sera exact aux quantités près de l'ordre des carrés et des produits de ces mêmes fractions. La probabilité que les deux erreurs v et v' auront lieu simultanément, sera le produit des
en prenant V k s + S", y aura encore la probabilité p que l'erreur à craindre sur la valeur k m + k' m' de C, sera comprise entre ± y, ou que la différence z - k m k' m', n'exédera pas y, abstraction faite du signe. En effet, faisons x = m + v, x' = m' + r'; les probabilités infiniment petites des erreurs représentées par v et v', seront, comme on sait à négliger les termes de l'ordre de 1 ou; et supprimant avancés les termes de l'ordre de −r= ou − lesquels ne renverraient que de puissances impaires de v ou r et disparaissaient, pour cette raison, dans le résultat final qui sera exact aux quantités près de l'ordre des carrés et des produits de ces mêmes fractions. La probabilité que les deux erreurs v et v' auront lieu simultanément, sera le produit des deux probabilités précédentes, ou, ce qui est la même chose, a ayant égard aux valeurs de s et s'. Si donc on fait k v + k' v = u, ne l'on intègre la formule précédente, et qu'on étende l'intégrale à toutes les valeurs de v et v', qui satisfont à cette équation, on aura la probabilité infiniment petite qu'en prenant km + k' m' pour la valeur de C, l'erreur sera précisément égale à u. Or, soit - on aura k v + k' v' = u, quelle que soit la variable s. Il faut donc étendre l'intégrale relative à s, depuis s =−∞ jusqu'à s = ∞; d'ailleurs en substituant les variables u et s à v et v', on aura, d'après la règle connue pour la transformation des intégrales doubles, dvd v' = du de; on aura donc pour la probabilité de l'erreur u, en désignant par y la même quantité que plus haut. Mais d'après une formule connue l'intégrale relative à s a pour valeur, ce qui réduit cette probabilité à Par conséquent, si nous appelons q la probabilité que l'erreur à craindre sur la valeur k m k' m' de C, sera comprise entre les
à cette équation, on aura la probabilité infiniment petite qu'en prenant km + k' m' pour la valeur de C, l'erreur sera précisément égale à u. Or, soit - on aura k v + k' v' = u, quelle que soit la variable s. Il faut donc étendre l'intégrale relative à s, depuis s =−∞ jusqu'à s = ∞; d'ailleurs en substituant les variables u et s à v et v', on aura, d'après la règle connue pour la transformation des intégrales doubles, dvd v' = du de; on aura donc pour la probabilité de l'erreur u, en désignant par y la même quantité que plus haut. Mais d'après une formule connue l'intégrale relative à s a pour valeur, ce qui réduit cette probabilité à Par conséquent, si nous appelons q la probabilité que l'erreur à craindre sur la valeur k m k' m' de C, sera comprise entre les limites ± y, nous aurons et en faisant il en résultera finalement c'est-à-dire q = p; ce qu'il s'agissait de démontrer. Ce résultat s'étend à une fonction linéaire de trois ou d'un plus grand nombre d'inconnues. x, z', x", etc. Il s'accorde avec la régle énoncée sans démonstration pour une fonction quelconque, dans le tome IVe des Recherches statistiques sur la vie de Paris. Quoique la formule soit généralement indépendante de la loi de possibilité des erreurs, j'ai cependant eu déjà l'occasion de remarquer qu'il y a un cas singulier où elle n'a pas lieu, et où les limites de l'erreur à craindre sur le résultat moyen, avec une probabilité déterminée, n'approchent pas de plus en plus de la vraie valeur de l'inconnue, à mesure qu'on augmenterait le nombre des observations. Dans ce cas d'exception, dont on peut faire abstraction dans la pratique, la règle relative à une fonction de plusieurs inconnues cesserait également d'avoir lieu. ANALYSE D'UN MÉMOIRE SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS; par M. E. GALOIS. On appelle équations non-primitives les équations qui étant, par exemple, du degré mn, se décomposent en m facteurs du degré n, au moyen d'une seule équation du degré m. Ce sont
fonction quelconque, dans le tome IVe des Recherches statistiques sur la vie de Paris. Quoique la formule soit généralement indépendante de la loi de possibilité des erreurs, j'ai cependant eu déjà l'occasion de remarquer qu'il y a un cas singulier où elle n'a pas lieu, et où les limites de l'erreur à craindre sur le résultat moyen, avec une probabilité déterminée, n'approchent pas de plus en plus de la vraie valeur de l'inconnue, à mesure qu'on augmenterait le nombre des observations. Dans ce cas d'exception, dont on peut faire abstraction dans la pratique, la règle relative à une fonction de plusieurs inconnues cesserait également d'avoir lieu. ANALYSE D'UN MÉMOIRE SUR LA RÉSOLUTION ALGÉBRIQUE DES ÉQUATIONS; par M. E. GALOIS. On appelle équations non-primitives les équations qui étant, par exemple, du degré mn, se décomposent en m facteurs du degré n, au moyen d'une seule équation du degré m. Ce sont équations de M. Gauss. Les équations primitives sont celles qui ne jouissent pas d'une pareille simplification. Je suis, à partir des équations primitives, parvenu aux résultats suivants. 1° Pour qu'une équation de degré premier soit résoluble par radicaux, il faut et il suffit que deux quelconques de ses racines soient connues, les autres s'en déduisent rationnellement. Pour qu'une équation primitive du degré m soit résoluble par radicaux, il faut que m = pv, p étant un nombre premier. À part les cas mentionnés ci-dessus, pour qu'une équation primitive du degré pv soit résoluble par radicaux, il faut que deux quelconques de ses racines étant connues, les autres s'en déduisent rationnellement. À la règle précédente échappent les cas très-particuliers qui viennent : 1° le cas de m = pv = 9, p = 3. 2° le cas de m = pv = 4, et généralement celui où a est un diviseur de y, et où on aurait, par premier et Ces cas s'écartent toutefois fort peu de la règle générale. Quand m= 9, 5, l'équation devra être du genre de celles qui déterminent la trisection et la quintisection des fonctions elliptiques. Dans le second cas, il faudra toujours que deux des
connues, les autres s'en déduisent rationnellement. Pour qu'une équation primitive du degré m soit résoluble par radicaux, il faut que m = pv, p étant un nombre premier. À part les cas mentionnés ci-dessus, pour qu'une équation primitive du degré pv soit résoluble par radicaux, il faut que deux quelconques de ses racines étant connues, les autres s'en déduisent rationnellement. À la règle précédente échappent les cas très-particuliers qui viennent : 1° le cas de m = pv = 9, p = 3. 2° le cas de m = pv = 4, et généralement celui où a est un diviseur de y, et où on aurait, par premier et Ces cas s'écartent toutefois fort peu de la règle générale. Quand m= 9, 5, l'équation devra être du genre de celles qui déterminent la trisection et la quintisection des fonctions elliptiques. Dans le second cas, il faudra toujours que deux des racines étant connues, les autres s'en déduisent, du moins au moyen d'un nombre de radicaux du degré p, égal au nombre des diviseurs a de y qui sont tels que Toutes ces propositions ont été déduites de la théorie des permutations. Voici d'autres résultats qui découlent de ma théorie. 1° Soit k le module d'une fonction elliptique pour un nombre premier donné > 3 ; pour que l'équation du degré p + 1 qui donne les divers modules des fonctions transformées relativement au nombre p, soit résoluble par radicaux, il faut de deux choses l'une, ou bien qu'une des racines soit rationnellement connue, ou bien que toutes soient des fonctions rationnelles les unes des autres. Il ne s'agit ici, bien entendu, que des valeurs particulières du module k. Il est évident que la chose n'a pas lieu en général. Cette règle n'a pas lieu pour p = 5. 3° Il est remarquable que l'équation modulaire générale du 6e degré, correspondant au nombre 5, peut s'abaisser à une du 5e degré dont elle est la réduite. Au contraire, pour des degrés supérieurs, les équations modulaires ne peuvent s'abaisser LES RACINES PRIMITIVES DES NOMBRES PREMIERS; par M. G. LIBRI. M. Cauchy a