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peut en déduire le système entre des pressions ou tensions dans les différents sens. À la vérité, en appliquant ce principe, j'avais implicitement supposé dans le mémoire de 1822, que la nature du corps ou plutôt son élasticité était la même dans tous les sens. Mais rien n'empêche d'étendre le même principe au cas où cette condition n'est pas remplie, et dès lors les six pressions A, B, C, D, E, F ne peuvent être que des fonctions des quantités a, b, c, d, e, f; or, si après avoir développé ces fonctions suivant les puissances ascendantes des quantités dont il s'agit, on néglige les termes proportionnels aux carrés ou aux puissances supérieures des mêmes quantités, et si l'on suppose d'ailleurs les pressions nulles dans l'état naturel, on trouvera La2, a3, a4, a5, a6, b1, etc., désignant des coefficients qui seront déterminés pour chaque point, mais pourront varier avec x, y, z. Ces équations sont celles que M. Poisson a données dans son dernier mémoire, et qu'il a déduites d'une méthode peu différente de celle que nous venons d'indiquer. Pour établir les formules (6), qu'il regarde comme applicables aux corps solides élastiques, dont les molécules sont très-peu écartées des positions qu'elles occupaient dans l'état naturel, M. Poisson part de ce principe, que les pressions A, B, C, D, E, F, correspondant au point (x, y, z), dépendent uniquement des déplacements relatifs des molécules dans le voisinage de ce point, et par conséquent des neuf quantités Puis en considérant ces quantités comme infiniment petites du premier ordre, et négligeant les infiniment petits du second ordre, il réduit les valeurs de A, B, C, D, E, F, à des fonctions linéaires des quantités dont il s'agit. Enfin il ramène ces fonctions à la forme sous laquelle elles se présentent dans les équations (6), en admettant que les pressions s'évanouissent dans l'état naturel du corps, et en observant que cet état continue de subsister, quand on imprime à tous les points un mouvement commun de rotation autour de l'une des axes coordonnées. Chacune d'elles, prise à part, est de la même forme qu'une
qu'elles occupaient dans l'état naturel, M. Poisson part de ce principe, que les pressions A, B, C, D, E, F, correspondant au point (x, y, z), dépendent uniquement des déplacements relatifs des molécules dans le voisinage de ce point, et par conséquent des neuf quantités Puis en considérant ces quantités comme infiniment petites du premier ordre, et négligeant les infiniment petits du second ordre, il réduit les valeurs de A, B, C, D, E, F, à des fonctions linéaires des quantités dont il s'agit. Enfin il ramène ces fonctions à la forme sous laquelle elles se présentent dans les équations (6), en admettant que les pressions s'évanouissent dans l'état naturel du corps, et en observant que cet état continue de subsister, quand on imprime à tous les points un mouvement commun de rotation autour de l'une des axes coordonnées. Chacune d'elles, prise à part, est de la même forme qu'une des équations inscrites sous les numéros (5) et (6) à la page de la 37e livraison des Exercices de mathématiques; seule différence il n'arrive plus ici, comme dans les Exercices, que quelques-uns des coefficients qui servent à déterminer la pression A soient égaux à quelques-uns de ceux qui servent à déterminer chacune des autres pressions B, C, D, E, F; et les trente-six coefficients a1, b1, c1, d1, e1, f1; a2, b2, c2, etc., sont tous distincts les uns des autres. Si l'élasticité du corps est la même dans tous les sens, les axes suivant lesquels se mesurent les compressions ou dilatations principales doivent être perpendiculaires aux plans qui supporteront les pressions principales. De plus, ces pressions ne peuvent être que des fonctions de e', ε", ε", tellement choisies que, leurs valeurs ne soient pas altérées par un échange opéré entre les axes des xy. Pour remplir cette condition, en négligeant les puissances supérieures de ε", il faudra supposer p' = (7) ε"+k2(ε'+ε") + ε"'+k2(ε" + ε"), désignant des coefficients qui soient déterminés pour chaque point, mais puissent varier avec x, y, z. Si l'on fait pour abréger u, ainsi que je l'ai remarqué, représenter la dilatation ou compression de
déterminer chacune des autres pressions B, C, D, E, F; et les trente-six coefficients a1, b1, c1, d1, e1, f1; a2, b2, c2, etc., sont tous distincts les uns des autres. Si l'élasticité du corps est la même dans tous les sens, les axes suivant lesquels se mesurent les compressions ou dilatations principales doivent être perpendiculaires aux plans qui supporteront les pressions principales. De plus, ces pressions ne peuvent être que des fonctions de e', ε", ε", tellement choisies que, leurs valeurs ne soient pas altérées par un échange opéré entre les axes des xy. Pour remplir cette condition, en négligeant les puissances supérieures de ε", il faudra supposer p' = (7) ε"+k2(ε'+ε") + ε"'+k2(ε" + ε"), désignant des coefficients qui soient déterminés pour chaque point, mais puissent varier avec x, y, z. Si l'on fait pour abréger u, ainsi que je l'ai remarqué, représenter la dilatation ou compression de volume au point (x, y, z), et en écrivant k, K, au lieu de k1, k2 on réduira les formules (7) à u = k"'+Ku; puis, en raisonnant comme dans le tome 3 des Exercices de mathématiques (pages 167 et suiv.), on en conclura Enfin, si l'on substitue les valeurs précédentes de A, B, C, D, E, F, dans les formules (8) ou (9), on obtiendra précisément les équations que j'ai données dans le tome 3 des Exercices de mathématiques page 179, comme représentant l'équilibre ou le mouvement d'un corps élastique dont l'élasticité reste la même dans tous les sens. Ces équations, qui renferment deux coefficients dépendants de la nature du corps, comprennent, comme cas particulier, d'autres équations qui n'en renferment qu'un seul, savoir celles auxquelles MM. Navier et Poisson étaient parvenus dans des mémoires présentés à l'Académie, le 14 mai 1821 et le 1er septembre 1827, par des méthodes très-différentes de celle que je viens d'indiquer, et les équations que j'avais données dans le mémoire déjà cité de 1822. On peut se proposer de trouver les équations qui devraient remplacer les formules (6), si l'on considérait un corps élastique passant d'un premier état dans lequel les pressions ne seraient
précédentes de A, B, C, D, E, F, dans les formules (8) ou (9), on obtiendra précisément les équations que j'ai données dans le tome 3 des Exercices de mathématiques page 179, comme représentant l'équilibre ou le mouvement d'un corps élastique dont l'élasticité reste la même dans tous les sens. Ces équations, qui renferment deux coefficients dépendants de la nature du corps, comprennent, comme cas particulier, d'autres équations qui n'en renferment qu'un seul, savoir celles auxquelles MM. Navier et Poisson étaient parvenus dans des mémoires présentés à l'Académie, le 14 mai 1821 et le 1er septembre 1827, par des méthodes très-différentes de celle que je viens d'indiquer, et les équations que j'avais données dans le mémoire déjà cité de 1822. On peut se proposer de trouver les équations qui devraient remplacer les formules (6), si l'on considérait un corps élastique passant d'un premier état dans lequel les pressions ne seraient pas nulles à un second état distinct du premier. Or, en se servant de la méthode par laquelle M. Poisson a établi les équations (6), et des formules que j'ai données dans le premier volume des Exercices de mathématiques, page. 33, on obtient, au lieu des équations (6), celles qui suivent : Les 42 coefficients que renferment ces dernières savoir : a0, b0, C0, d0, e0, f0 ; a1, b1, etc. doivent être considérés en général comme représentant de fonctions de x, y, z. Ajoutons que les formules (11), (12) donnent, comme cas particulier, les formules qui sont inscrites sous les numéros (36), (37), à la page 138 du 4e volume des Exercices, et qui renferment seulement 21 coefficients distincts. Dans un second article j'examinerai en particulier les équations auxquelles on parvient quand on considère les corps comme des systèmes de points matériels. 99. RECHERCHES RELATIVES A L'INONDATION DE PÉTERSBOURG; par le colonel RAUCOURT DE CHARLEVILLE, ingénieur des ponts et chaussées de France; lues à l'Acad. roy. des sciences en 1829. (Extrait communiqué.) Premier Mémoire. — Expériences faites sur la Néva pendant l'hiver. Appelé au service de Russie en 1820, j'étais chargé, en 1824, comme colonel des voies de communication,
suivent : Les 42 coefficients que renferment ces dernières savoir : a0, b0, C0, d0, e0, f0 ; a1, b1, etc. doivent être considérés en général comme représentant de fonctions de x, y, z. Ajoutons que les formules (11), (12) donnent, comme cas particulier, les formules qui sont inscrites sous les numéros (36), (37), à la page 138 du 4e volume des Exercices, et qui renferment seulement 21 coefficients distincts. Dans un second article j'examinerai en particulier les équations auxquelles on parvient quand on considère les corps comme des systèmes de points matériels. 99. RECHERCHES RELATIVES A L'INONDATION DE PÉTERSBOURG; par le colonel RAUCOURT DE CHARLEVILLE, ingénieur des ponts et chaussées de France; lues à l'Acad. roy. des sciences en 1829. (Extrait communiqué.) Premier Mémoire. — Expériences faites sur la Néva pendant l'hiver. Appelé au service de Russie en 1820, j'étais chargé, en 1824, comme colonel des voies de communication, d'un travail sur les bords du golfe de Finlande, aux portes de St.-Pétersbourg, lorsque eut lieu la funeste inondation du 7 novembre de la même année. Le lendemain, je proposai au directeur général des voies de communication de faire des recherches sur les causes de l'inondation et sur les moyens d'en préserver Pétersbourg ; je fus aussitôt spécialement commissionné pour cet objet, et je remis quelques mois après un avant-projet, afin de satisfaire à l'impatience où l'on était de savoir comment je pouvais imaginer qu'il était possible de mettre la capitale à l'abri de ces désastreuses élévations de la mer. Pour confectionner le projet définitif, les renseignements les plus indispensables étaient ceux qui pouvaient servir à évaluer le débit de la Néva. Or, il me fut impossible de rien trouver sur ce sujet, bien que tous les ministères et tous les instituts aient reçu l'ordre de me communiquer tout ce qui était à leur disposition. En conséquence, je fis exécuter sur le champ, par quatre officiers qui étaient sous mes ordres, des nivellements, des sondes, prendre des profils en travers, etc.; et comme nous étions dans le froid de l'hiver de 1825, que la Néva et tout le pays étaient
d'en préserver Pétersbourg ; je fus aussitôt spécialement commissionné pour cet objet, et je remis quelques mois après un avant-projet, afin de satisfaire à l'impatience où l'on était de savoir comment je pouvais imaginer qu'il était possible de mettre la capitale à l'abri de ces désastreuses élévations de la mer. Pour confectionner le projet définitif, les renseignements les plus indispensables étaient ceux qui pouvaient servir à évaluer le débit de la Néva. Or, il me fut impossible de rien trouver sur ce sujet, bien que tous les ministères et tous les instituts aient reçu l'ordre de me communiquer tout ce qui était à leur disposition. En conséquence, je fis exécuter sur le champ, par quatre officiers qui étaient sous mes ordres, des nivellements, des sondes, prendre des profils en travers, etc.; et comme nous étions dans le froid de l'hiver de 1825, que la Néva et tout le pays étaient couverts de glace, pour échapper aux erreurs qui pouvaient résulter d'opérations délicates exécutées par un temps aussi rigoureux, je résolus de mesurer moi-même les vitesses de la Néva, ainsi que quelques profils en travers, afin d'obtenir directement son débouché. Ne connaissant pas d'instrument qui puisse mesurer les vitesses d'un fleuve à toutes profondeurs, et la vitesse à la surface étant nécessairement un minimum, je fus obligé d'en composer un, que j'ai nommé hydrotachymètre. Il est formé d'un cône sur lequel on dévide par tours contigus un petit cordon, qui peut se développer en tirant suivant l'axe du cône sans frottement sensible. Ce cône, contenu dans une cage, est descendu dans l'eau, suspendu sur deux cordes, de manière que son axe reste horizontal et dans la direction du courant, sa pointe étant tournée vers l'aval, un flotteur de même densité que l'eau est attaché au cordon qui tend à se dévider; mais, maîtrisé par l'armature, il est libre ou arrêté, selon que l'instrument reste suspendu sur l'une ou l'autre des deux cordes, qui servent à le descendre à la profondeur désirée, tellement qu'en comptant les secondes écoulées pendant le temps de sa mise en liberté, la longueur du cordon dévidé donne
à toutes profondeurs, et la vitesse à la surface étant nécessairement un minimum, je fus obligé d'en composer un, que j'ai nommé hydrotachymètre. Il est formé d'un cône sur lequel on dévide par tours contigus un petit cordon, qui peut se développer en tirant suivant l'axe du cône sans frottement sensible. Ce cône, contenu dans une cage, est descendu dans l'eau, suspendu sur deux cordes, de manière que son axe reste horizontal et dans la direction du courant, sa pointe étant tournée vers l'aval, un flotteur de même densité que l'eau est attaché au cordon qui tend à se dévider; mais, maîtrisé par l'armature, il est libre ou arrêté, selon que l'instrument reste suspendu sur l'une ou l'autre des deux cordes, qui servent à le descendre à la profondeur désirée, tellement qu'en comptant les secondes écoulées pendant le temps de sa mise en liberté, la longueur du cordon dévidé donne l'espace parcouru par le plongeur et par suite la vitesse de la tranche d'eau dans laquelle l'instrument était plongé. Des observations ont été faites avec cet Instrument, sur la vitesse du courant de la Néva à toutes les profondeurs, dans un lieu où la section du fleuve avait 900 pieds de large et 60 de profondeur. Il en résulte que la plus grande des vitesses, prises dans une même verticale, est au centre de la masse d'eau et de 2 pieds, 70 centièmes par seconde. Que la vitesse moyenne pour cette même verticale est de deux pieds et demi. Que la courbe des vitesses d'hiver, est une ellipse dont le grand axe est vertical, qu'il suffit de faire deux observations pour la déterminer et connaître rigoureusement la vitesse moyenne. La vitesse moyenne générale de toutes les vitesses de la section dans laquelle les observations ont été faites était de deux pieds. Second Mémoire. — Expériences faites sur la loi de décroissement des vitesses de la Néva pendant l'été. Désirant profiter de la grande profondeur de la Néva, sur laquelle je venais d'obtenir le décroissement des vitesses pendant l'hiver et lorsqu'elle était couverte de glace, j'ai fait par intéérêt pour la
de large et 60 de profondeur. Il en résulte que la plus grande des vitesses, prises dans une même verticale, est au centre de la masse d'eau et de 2 pieds, 70 centièmes par seconde. Que la vitesse moyenne pour cette même verticale est de deux pieds et demi. Que la courbe des vitesses d'hiver, est une ellipse dont le grand axe est vertical, qu'il suffit de faire deux observations pour la déterminer et connaître rigoureusement la vitesse moyenne. La vitesse moyenne générale de toutes les vitesses de la section dans laquelle les observations ont été faites était de deux pieds. Second Mémoire. — Expériences faites sur la loi de décroissement des vitesses de la Néva pendant l'été. Désirant profiter de la grande profondeur de la Néva, sur laquelle je venais d'obtenir le décroissement des vitesses pendant l'hiver et lorsqu'elle était couverte de glace, j'ai fait par intéérêt pour la science, des observations analogues pour déterminer les vitesses et la loi de leur décroissement dans la verticale, pendant l'été. Comme je prévoyais qu'il faudrait élever des constructions dans le fleuve et dans le golfe de Finlande; que je voulais faire manœuvrer une cloche à plonger, d'une grande dimension à laquelle j'ai donné le nom de loge sous-marine, et dont description fait partie de la collection des mémoires que je présenterai à l'Académie, il m'était indispensable de reconnaître directement, non-seulement les vitesses d'un fleuve, mais encore la nature des pressions que je pourrais avoir à subir. Ainsi, je fus conduit à composer des instruments qui fussent propres à mesurer les pressions des tranches d'eau à toutes les profondeurs, et si toutefois ces pressions étaient proportionnelles aux vitesses, ainsi que l'indique la théorie, elles me donneraient un moyen de vérification des vitesses prises avec l'hydrotachymètre en la déduisant une seconde fois des pressions simultanément observées. J'ai passé les premiers mois de l'été de 1825 à composer quatre instruments différents des hydrotachymètres, pour mesurer les pressions d'une eau courante, tranche par tranche et à toutes les profondeurs. Forcé de me rendre à Sévastopol, dans la presqu’île de Crimée, au moment où l’empereur Alexandre
j'ai donné le nom de loge sous-marine, et dont description fait partie de la collection des mémoires que je présenterai à l'Académie, il m'était indispensable de reconnaître directement, non-seulement les vitesses d'un fleuve, mais encore la nature des pressions que je pourrais avoir à subir. Ainsi, je fus conduit à composer des instruments qui fussent propres à mesurer les pressions des tranches d'eau à toutes les profondeurs, et si toutefois ces pressions étaient proportionnelles aux vitesses, ainsi que l'indique la théorie, elles me donneraient un moyen de vérification des vitesses prises avec l'hydrotachymètre en la déduisant une seconde fois des pressions simultanément observées. J'ai passé les premiers mois de l'été de 1825 à composer quatre instruments différents des hydrotachymètres, pour mesurer les pressions d'une eau courante, tranche par tranche et à toutes les profondeurs. Forcé de me rendre à Sévastopol, dans la presqu’île de Crimée, au moment où l’empereur Alexandre allait en visiter l’amirauté, qui devait être véritablement créé sur ceux de mes projets que S. M. venait d’approuver, ce ne fut qu’après la mort inopinée de ce prince que je fus capable de revenir à St.-Pétersbourg et de me livrer aux expériences d’été; enfin ce n’est que depuis 1827, époque à laquelle j’ai mis un terme à la mission que j’avais acceptée près du gouvernement russe, qu’il m’a été possible de les rédiger. Les hydrotachymètres dont nous avons fait usage, se composent d’un flotteur de même densité que l’eau, retenu par un fil, et présentant toujours une surface mince à son action; cette surface, poussée à quatre ou cinq pieds en avant de l’instrument, par l’action du courant, communique la pression qu’il en reçoit sur un ressort excessivement sensible. L’instrument et son plongeur sont descendus dans le fleuve au moyen de deux cordes, ainsi qu’il a été dit pour l’hydrotachymètre; ces cordes servent également à ouvrir et à fermer l’instrument, en supportant tout son poids alternativement sur une ou sur l’autre; à chaque observation, des indicateurs particuliers rapportent à la surface de l’eau, les pressions en poids exercées par les filets fluides du courant sur la surface pressée. D’après
époque à laquelle j’ai mis un terme à la mission que j’avais acceptée près du gouvernement russe, qu’il m’a été possible de les rédiger. Les hydrotachymètres dont nous avons fait usage, se composent d’un flotteur de même densité que l’eau, retenu par un fil, et présentant toujours une surface mince à son action; cette surface, poussée à quatre ou cinq pieds en avant de l’instrument, par l’action du courant, communique la pression qu’il en reçoit sur un ressort excessivement sensible. L’instrument et son plongeur sont descendus dans le fleuve au moyen de deux cordes, ainsi qu’il a été dit pour l’hydrotachymètre; ces cordes servent également à ouvrir et à fermer l’instrument, en supportant tout son poids alternativement sur une ou sur l’autre; à chaque observation, des indicateurs particuliers rapportent à la surface de l’eau, les pressions en poids exercées par les filets fluides du courant sur la surface pressée. D’après ces données des quatre instruments analogues que nous avons exécutés et fait fonctionner, le premier est composé d’un ressort en spirale, le second d’un ressort en arc double, le troisième d’un pendule; par conséquent ce dernier est tout-à-fait indépendant des variations et des accidents inhérents à l’emploi des ressorts; enfin le quatrième n’est autre que l’hydrotachymètre à spirale, modifié au point que l’on peut faire douze observations successives à toutes les profondeurs, sans être obligé de le remonter à la surface; situation inévitables avec les trois premiers. Ces quatre instruments terminés, on s’en est servi pour un grand nombre d’expériences sur la Néva, en les employant soit isolément, soit ensemble, et dans toutes les verticales où nous observions les pressions dues à la vitesse des filets fluides; nous mesurions directement ces vitesses avec l’hydrotachymètre; enfin parlant des expériences de Dumas et de la formule qu’il a donnée pour déduire la vitesse des pressions observées, nous avons obtenu la vitesse des mêmes filets d’eau, par deux voies essentiellement diverses; et nous avons acquis la preuve matérielle de l’exactitude suffisante de tous nos instruments, et par suite de la vérité de nos observations en les voyant concorder. Ceci posé, voici nos principaux
le quatrième n’est autre que l’hydrotachymètre à spirale, modifié au point que l’on peut faire douze observations successives à toutes les profondeurs, sans être obligé de le remonter à la surface; situation inévitables avec les trois premiers. Ces quatre instruments terminés, on s’en est servi pour un grand nombre d’expériences sur la Néva, en les employant soit isolément, soit ensemble, et dans toutes les verticales où nous observions les pressions dues à la vitesse des filets fluides; nous mesurions directement ces vitesses avec l’hydrotachymètre; enfin parlant des expériences de Dumas et de la formule qu’il a donnée pour déduire la vitesse des pressions observées, nous avons obtenu la vitesse des mêmes filets d’eau, par deux voies essentiellement diverses; et nous avons acquis la preuve matérielle de l’exactitude suffisante de tous nos instruments, et par suite de la vérité de nos observations en les voyant concorder. Ceci posé, voici nos principaux résultats. Dans tous les lieux où la profondeur de l’eau avait moins de trente pieds de profondeur, les vitesses étaient décroissantes en allant du fond à la surface; la courbe du lieu de toutes ces vitesses était encore une portion d’ellipse, mais cette portion d’ellipse différait essentiellement de celle trouvée comme lieu des vitesses d’hiver; la plus grande ordonnée était à la surface du fleuve. Lorsque la profondeur de l’eau avait plus de 50 pieds, la courbe du lieu des vitesses n’était plus une courbe unique; une portion d’ellipse pouvait toujours passer par l’extrémité des vitesses, prises pour ordonnées, à 30 pieds au-dessus du fond mais au-delà et jusqu’à la surface de l’eau, la courbe prenait des formes excessivement variables, si bien que dans le même lieu, elle offrait tantôt une ligne droite, tantôt une courbe convexe ou concave, sans qu’aucun effet apparent ici que des causes de changements aussi étranges. Ne pouvant attribuer qu’à l’action du vent insensible, ces altérations des vitesses de la surface du courant, qui contradictait entièrement avec la marche régulière et constante des vitesses du fond, nous prîmes le parti de nous entourer d’anémètres qui évaluaient jusqu’aux moindres mouvements de l’air et nous reconnûmes :