jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
puisse dans la pratique attribuer à la quantité mesurée a : cette plus grande erreur n'est pas rigoureusement impossible ; mais sa probabilité est extrêmement petite; elle tombe au-dessous d'un vingt-millième. Après avoir ainsi déterminé la limite de l'erreur de a et l'erreur moyenne de cette même quantité a, il faut en déduire, 1° la limite de l'erreur de l'inconnue x; 3° l'erreur moyenne de cette même inconnue x, qui est une certaine fonction F ( a, b, c..., etc. ) des grandeurs mesurées a, b, c, d, etc. Pour résoudre ces deux questions, on opérera comme il suit sur la fonction donnée F (a, b, c... etc. ): 1° On désigne par D a la limite de l'erreur de l'une des données a, et par D b, D c..., etc., les limites des erreurs des autres données b, c, etc.; ces petites quantités D a, D b, D c, etc., sont connues par l'application du procédé que l'on vient de rapporter. Cela posé, on substitue pour a, b, c, d..., etc., dans la fonction F (a, b, c... etc. ), les valeurs qui résultent immédiatement des mesures, ce qui donne un premier résultat F; ensuite on augmente une seule des grandeurs telles que a de cette petite quantité D a qui exprime la limite de l'erreur de a, et l'on calcule la nouvelle valeur F (a + Da, b, c... etc. ), c'est-à-dire que l'on recommence le calcul précédent en faisant varier la seule grandeur a de l'accroissement D a, et conservant à toutes les autres données leurs valeurs précédentes. On trouve aussi un second résultat F2, qui diffère très peu de F. Nous désignons par D F la différence F1-F, pour indiquer qu'elle provient de l'accroissement D a attribué à la seule donnée a dans la fonction F ( a, b, c, etc. ). On opère de la même manière pour une autre donnée b, et successivement pour toutes les autres c, d, e, etc., et l'on trouve les différences D F, D bF, D cF... etc. qui répondent aux variations D a, D b, D c... etc.
des grandeurs telles que a de cette petite quantité D a qui exprime la limite de l'erreur de a, et l'on calcule la nouvelle valeur F (a + Da, b, c... etc. ), c'est-à-dire que l'on recommence le calcul précédent en faisant varier la seule grandeur a de l'accroissement D a, et conservant à toutes les autres données leurs valeurs précédentes. On trouve aussi un second résultat F2, qui diffère très peu de F. Nous désignons par D F la différence F1-F, pour indiquer qu'elle provient de l'accroissement D a attribué à la seule donnée a dans la fonction F ( a, b, c, etc. ). On opère de la même manière pour une autre donnée b, et successivement pour toutes les autres c, d, e, etc., et l'on trouve les différences D F, D bF, D cF... etc. qui répondent aux variations D a, D b, D c... etc. Il ne reste plus qu'à prendre les carrés de ces différences; et la racine carrée de la somme de ces carrés. L'expression est celle de la limite D x de l'erreur de l'inconnue x : on est assuré que la valeur de x est comprise entre F ( a, c... etc. ), Dx et F ( a, b, c..., etc. ) + Dx. 2° Si maintenant on désigne par d a l'erreur moyenne de l'une des grandeurs connues a, et par d b, d c..., etc., l'erreur moyenne de chacune des autres données b, c, etc., ces erreurs moyennes seront données par l'application de la règle que l'on a rapportée plus haut, et qui consiste à multiplier g par le facteur 0,47708. On fera varier une seule des grandeurs, telles que a, de la petite différence da, et l'on obtiendra un résultat qui, étant comparé à F (a, b, c... donne une différence que nous désignons par ΔF. Ayant déterminé ces différences pour chacune des autres quantités b, c..., etc., on ajoute tous les carrés et l'on prend la racine carrée de la somme. L'expression est celle de l'erreur moyenne de l'inconnue x; la probabilité de cette erreur est il
etc. ), Dx et F ( a, b, c..., etc. ) + Dx. 2° Si maintenant on désigne par d a l'erreur moyenne de l'une des grandeurs connues a, et par d b, d c..., etc., l'erreur moyenne de chacune des autres données b, c, etc., ces erreurs moyennes seront données par l'application de la règle que l'on a rapportée plus haut, et qui consiste à multiplier g par le facteur 0,47708. On fera varier une seule des grandeurs, telles que a, de la petite différence da, et l'on obtiendra un résultat qui, étant comparé à F (a, b, c... donne une différence que nous désignons par ΔF. Ayant déterminé ces différences pour chacune des autres quantités b, c..., etc., on ajoute tous les carrés et l'on prend la racine carrée de la somme. L'expression est celle de l'erreur moyenne de l'inconnue x; la probabilité de cette erreur est il est précisément aussi possible que l'erreur commise en prenant x égale à F (a, b, c..., etc.) surpasse cette erreur moyenne dx, qu'il est possible que l'erreur commise soit au-dessous de cette même erreur moyenne. On peut aussi trouver, par le calcul différentiel, les petits accroissements que nous avons désignés par DQF, DbF, De F..., etc., en différenciant la fonction donnée F (a, b, c...) par rapport aux quantités a, b, c, etc.; mais l'opération pratique qui vient d'être indiquée supplée à ce calcul; et si l'on excepte des cas très-simples où la différenciation exige peu de calcul, où trouvera que la règle usuelle qui vient d'être donnée conduit beaucoup plus promptement à la connaissance des valeurs de ΔF, ΔbF... ΔaF, ΔbF, etc. Au reste, pour la facilité de l'application, on doit faire les remarques suivantes. Dans la fonction donnée F (a, b, c...), il s'agit de faire varier une seule des grandes valeurs, par exemple a, d'une très-petite quantité Δa que l'on vient de déterminer par la règle des résultats moyens. On fera d'abord varier a d'un petit accroissement exprimé par un nombre simple, par exemple, d'une minute ou d'une seconde, si a est un angle, ou d'un centimètre
par DQF, DbF, De F..., etc., en différenciant la fonction donnée F (a, b, c...) par rapport aux quantités a, b, c, etc.; mais l'opération pratique qui vient d'être indiquée supplée à ce calcul; et si l'on excepte des cas très-simples où la différenciation exige peu de calcul, où trouvera que la règle usuelle qui vient d'être donnée conduit beaucoup plus promptement à la connaissance des valeurs de ΔF, ΔbF... ΔaF, ΔbF, etc. Au reste, pour la facilité de l'application, on doit faire les remarques suivantes. Dans la fonction donnée F (a, b, c...), il s'agit de faire varier une seule des grandes valeurs, par exemple a, d'une très-petite quantité Δa que l'on vient de déterminer par la règle des résultats moyens. On fera d'abord varier a d'un petit accroissement exprimé par un nombre simple, par exemple, d'une minute ou d'une seconde, si a est un angle, ou d'un centimètre ou d'un millimètre, si a est une longueur. On fera donc, dans la valeur précédente de x = F (a, b, c..., etc.) qui vient d'être calculée, la petite correction que doit produire cet accroissement d'une seconde ou d'un millimètre. Il ne restera plus qu'à multiplier cette correction par la valeur trouvée pour Δa, etc. En opérant de cette manière pour toutes les autres variations Δd, Δc... Δb,Δc..., on obtiendra facilement les accroissements ΔaF, ΔbF, ΔaF, ΔbF..., qui entrent sous le signe radical dans l'expression de la limite Δx ou de l'erreur moyenne dx. Le calcul numérique que cette règle exige est beaucoup plus prompt que celui qui proviendrait des différenciations presque toujours compliquées des formules trigonométriques. Les règles précédentes déterminent donc, 1° l'expression de la limite de l'erreur d'une inconnue x qui est une fonction donnée F (a, b, c... etc.) de grandeurs mesurées a, b, c...; 2° l'erreur moyenne de cette même inconnue, c'est-à-dire, l'erreur dont la probabilité est la plus grande. Ces deux résultats complètent la connaissance que fournit le calcul, et l'on se forme ainsi une juste idée de l'erreur à laquelle on est exposé dans chaque application. L'expression analytique de la limite de l'erreur de
valeur trouvée pour Δa, etc. En opérant de cette manière pour toutes les autres variations Δd, Δc... Δb,Δc..., on obtiendra facilement les accroissements ΔaF, ΔbF, ΔaF, ΔbF..., qui entrent sous le signe radical dans l'expression de la limite Δx ou de l'erreur moyenne dx. Le calcul numérique que cette règle exige est beaucoup plus prompt que celui qui proviendrait des différenciations presque toujours compliquées des formules trigonométriques. Les règles précédentes déterminent donc, 1° l'expression de la limite de l'erreur d'une inconnue x qui est une fonction donnée F (a, b, c... etc.) de grandeurs mesurées a, b, c...; 2° l'erreur moyenne de cette même inconnue, c'est-à-dire, l'erreur dont la probabilité est la plus grande. Ces deux résultats complètent la connaissance que fournit le calcul, et l'on se forme ainsi une juste idée de l'erreur à laquelle on est exposé dans chaque application. L'expression analytique de la limite de l'erreur de l'inconnue ou de l'erreur moyenne conduit à une autre conséquence remarquable; elle fait connaître comment les grandeurs mesurées concourent à déterminer soit la limite Δx, soit l'erreur moyenne dx, et par conséquent elle sert à résoudre cette question : Quelles sont les valeurs des données a, b, c... les plus favorables à la précision du résultat du calcul? Ces valeurs sont celles qui donneraient la moindre valeur possible à la limite Δx de l'erreur de l'inconnue, et par conséquent à l'erreur moyenne dx. Ainsi, dans les opérations trigonométriques dont l'objet est de déduire de certaines grandeurs qui peuvent être mesurées, d'autres grandeurs que l'on ne pourrait point mesurer immédiatement, il est important de connaître quelles sont, parmi les conditions dont on peut disposer, celles qui rendraient le résultat plus précis. Il est facile de les distinguer quand l'expression trigonométrique est très-simple, par exemple lorsqu'on veut conclure une hauteur verticale de la mesure d'une base horizontale et de l'angle à la base; mais dans des cas un peu plus composés, la solution régulière de la question doit être fondée sur les théorèmes énoncés dans le présent mémoire. Non seulement on parvient ainsi à connaître les conditions de figure qui doivent être
favorables à la précision du résultat du calcul? Ces valeurs sont celles qui donneraient la moindre valeur possible à la limite Δx de l'erreur de l'inconnue, et par conséquent à l'erreur moyenne dx. Ainsi, dans les opérations trigonométriques dont l'objet est de déduire de certaines grandeurs qui peuvent être mesurées, d'autres grandeurs que l'on ne pourrait point mesurer immédiatement, il est important de connaître quelles sont, parmi les conditions dont on peut disposer, celles qui rendraient le résultat plus précis. Il est facile de les distinguer quand l'expression trigonométrique est très-simple, par exemple lorsqu'on veut conclure une hauteur verticale de la mesure d'une base horizontale et de l'angle à la base; mais dans des cas un peu plus composés, la solution régulière de la question doit être fondée sur les théorèmes énoncés dans le présent mémoire. Non seulement on parvient ainsi à connaître les conditions de figure qui doivent être préférées, ou dont il faut se rapprocher le plus qu'il est possible, mais on distingue quelles sont les quantités qu'il importe le plus de mesurer avec précision. On peut estimer par cette théorie le degré de précision du résultat, et comparer numériquement celle qui résulte de certaines conditions de figures avec celle qu'on obtiendrait si ces conditions étaient différentes. Nous avons, dans notre premier mémoire sur les résultats moyens, donné une règle générale facile pour estimer le degré d'exactitude de ces résultats. Nous étendons maintenant l'usage de cette règle à tous les cas où l'on déduit par le calcul une valeur inconnue de diverses quantités qui peuvent être mesurées immédiatement, mais dont la détermination est sujette à des erreurs inévitables. Il en résulte que la valeur calculée est elle-même sujette à une erreur correspondante. Nous déterminons les limites de cette erreur. L'emploi du calcul devient ainsi comparable à celui d'un instrument dont on connaît exactement la précision. Ces formules ont été obtenues au moyen de ce qu'on nomme l'hypothèse du parallélisme des tranches, établie par Daniel Bernoulli et dont ce célèbre géomètre a fait, aussi bien que D'Alembert, de nombreuses applications. En employant convenablement cette hypothèse, on parvient à des
avec celle qu'on obtiendrait si ces conditions étaient différentes. Nous avons, dans notre premier mémoire sur les résultats moyens, donné une règle générale facile pour estimer le degré d'exactitude de ces résultats. Nous étendons maintenant l'usage de cette règle à tous les cas où l'on déduit par le calcul une valeur inconnue de diverses quantités qui peuvent être mesurées immédiatement, mais dont la détermination est sujette à des erreurs inévitables. Il en résulte que la valeur calculée est elle-même sujette à une erreur correspondante. Nous déterminons les limites de cette erreur. L'emploi du calcul devient ainsi comparable à celui d'un instrument dont on connaît exactement la précision. Ces formules ont été obtenues au moyen de ce qu'on nomme l'hypothèse du parallélisme des tranches, établie par Daniel Bernoulli et dont ce célèbre géomètre a fait, aussi bien que D'Alembert, de nombreuses applications. En employant convenablement cette hypothèse, on parvient à des résultats sensiblement conformes à l'expérience, soit par l'évaluation des quantités de fluides écoulées dans des temps donnés, soit pour celle des retentions qui ont lieu dans les diverses parties du fluide, toutes les fois que la longueur des vases, n'étant pas très-grande par rapport à la largeur, l'adhésion du fluide aux parois influe peu sur la nature du mouvement. Lagrange a d'ailleurs remarqué que l'hypothèse dont il s'agit donnait une première approximation, et que l'emploi qu'on en faisait supposait que l'on négligeât seulement les quantités très-petites du second ordre, les largeurs du vase étant regardées comme très-petites du premier ordre. La connaissance des lois du mouvement des fluides élastiques quoique moins importante et d'une application moins fréquente que celle des lois du mouvement des liquides, est toutefois très-digne d'intérêt. Elle pourrait surtout devenir fort utile pour guider l'établissement des conduites des gaz servant à l'éclairage ou de l'air compressé par les machines soufflantes dans les travaux d'exploitation des mines. Il n'existe encore sur ce sujet que des notions très-imparfaites, auxquelles les travaux récents de plusieurs habiles ingénieurs permettent d'en substituer de plus exactes. M. Navier a pensé qu'il pouvait être utile d'appliquer à ces questions l'hypothèse du parallélisme des tranches.
aux parois influe peu sur la nature du mouvement. Lagrange a d'ailleurs remarqué que l'hypothèse dont il s'agit donnait une première approximation, et que l'emploi qu'on en faisait supposait que l'on négligeât seulement les quantités très-petites du second ordre, les largeurs du vase étant regardées comme très-petites du premier ordre. La connaissance des lois du mouvement des fluides élastiques quoique moins importante et d'une application moins fréquente que celle des lois du mouvement des liquides, est toutefois très-digne d'intérêt. Elle pourrait surtout devenir fort utile pour guider l'établissement des conduites des gaz servant à l'éclairage ou de l'air compressé par les machines soufflantes dans les travaux d'exploitation des mines. Il n'existe encore sur ce sujet que des notions très-imparfaites, auxquelles les travaux récents de plusieurs habiles ingénieurs permettent d'en substituer de plus exactes. M. Navier a pensé qu'il pouvait être utile d'appliquer à ces questions l'hypothèse du parallélisme des tranches. Avant d'exposer les résultats auxquels il est parvenu, il rappelle brièvement les formules dues à D. Bernoulli et reproduites dans plusieurs ouvrages, par le moyen desquelles on évalue communément le produit de l'écoulement des fluides élastiques. Il fait voir que les hypothèses qui ont servi à établir ces formules ne peuvent point être regardées comme exactes. Pour écarter les principales difficultés de cette recherche, M. Navier admet que le fluide s'écoule hors d'un réservoir ou gazomètre dans lequel la pression est maintenue constante, et que le mouvement de ce fluide est parvenu à l'état uniforme qui peut être regardé comme un fait établi par l'observation, et qui consiste en ce que la vitesse et la pression demeurent constamment les mêmes dans chaque partie du vase. On suppose un vase ABCD où la grandeur des sections transversales ne varie d'un point à un autre que par degrés insensibles, dont l'axe MN est horizontal (ce qui permet de négliger l'influence de la pesanteur), et que l'on peut regarder comme un prolongement du gazomètre. On admet que par la manière dont le fluide se renouvelle, ou dont le volume du gazomètre est diminué, la pression est maintenue constante dans la première section AB
peuvent point être regardées comme exactes. Pour écarter les principales difficultés de cette recherche, M. Navier admet que le fluide s'écoule hors d'un réservoir ou gazomètre dans lequel la pression est maintenue constante, et que le mouvement de ce fluide est parvenu à l'état uniforme qui peut être regardé comme un fait établi par l'observation, et qui consiste en ce que la vitesse et la pression demeurent constamment les mêmes dans chaque partie du vase. On suppose un vase ABCD où la grandeur des sections transversales ne varie d'un point à un autre que par degrés insensibles, dont l'axe MN est horizontal (ce qui permet de négliger l'influence de la pesanteur), et que l'on peut regarder comme un prolongement du gazomètre. On admet que par la manière dont le fluide se renouvelle, ou dont le volume du gazomètre est diminué, la pression est maintenue constante dans la première section AB du vase. La section CD forme l'autre extrémité du tuyau, et la pression est aussi supposée constante à cette dernière section. L'écoulement du fluide qui s'opère dans le sens MN est le résultat de l'excès de la pression intérieure qui a lieu dans la section AB sur la pression extérieure qui a lieu dans la section CD. On nomme S l'aire de la section AB, S' l'aire de la section CD qui est l'orifice d'écoulement, S' l'aire d'une section quelconque à faite dans le vase perpendiculairement à l'axe MN, x la distance de la section à la section AB, u la vitesse de la tranche de fluide placée en la vitesse de celle qui franchit CD, P, P', P, les pressions qui ont lieu respectivement dans les sections AB, CD et aê, p la masse de l'unité de volume ou la densité du fluide qui se trouve dans la section S', k un nombre constant lorsquée la température est constante. Cela posé l'hypothèse du parallélisme des tranches consiste, comme on sait, en ce que le fluide contenu dans le vase est supposé partagé en tranches infiniment minces par des plans perpendiculaires à l'axe MN, toutes les molécules contenues dans chaque
qui a lieu dans la section CD. On nomme S l'aire de la section AB, S' l'aire de la section CD qui est l'orifice d'écoulement, S' l'aire d'une section quelconque à faite dans le vase perpendiculairement à l'axe MN, x la distance de la section à la section AB, u la vitesse de la tranche de fluide placée en la vitesse de celle qui franchit CD, P, P', P, les pressions qui ont lieu respectivement dans les sections AB, CD et aê, p la masse de l'unité de volume ou la densité du fluide qui se trouve dans la section S', k un nombre constant lorsquée la température est constante. Cela posé l'hypothèse du parallélisme des tranches consiste, comme on sait, en ce que le fluide contenu dans le vase est supposé partagé en tranches infiniment minces par des plans perpendiculaires à l'axe MN, toutes les molécules contenues dans chaque tranche sont supposées animées de vitesses égales et supporter des pressions égales. On admet de plus que toutes ces tranches contiennent des masses égales de fluide, telle sorte que la même masse de fluide qui a formé la première tranche en AB formera successivement toutes les autres tranches, quand elle passera de la section AB à la section extrême CD. On obtiendra l'équation du mouvement de la tranche quelconque placée en à en remettant que la masse de cette tranche est ρωdx, que la force à laquelle est dû son mouvement est du p. ωdx, et que, la force à laquelle elle est soumise par l'effet des actions mutuelles des tranches est -ωdp. On a donc Pour intégrer cette équation, il faut remarquer que le mouvement dit fluide étant supposé uniforme, la même masse doit passer en même temps dans toutes les sections transversales, telle sorte que la quantité pωu et par conséquent pωu conserve pour toutes les sections une valeur constante. On a donc puisque U est constante et que p et ω varient seules par le changement de position de la tranche. En substituant cette valeur dans l'équation (i) où l'on remplacera par ou cette équation deviendra. L'intégration
passera de la section AB à la section extrême CD. On obtiendra l'équation du mouvement de la tranche quelconque placée en à en remettant que la masse de cette tranche est ρωdx, que la force à laquelle est dû son mouvement est du p. ωdx, et que, la force à laquelle elle est soumise par l'effet des actions mutuelles des tranches est -ωdp. On a donc Pour intégrer cette équation, il faut remarquer que le mouvement dit fluide étant supposé uniforme, la même masse doit passer en même temps dans toutes les sections transversales, telle sorte que la quantité pωu et par conséquent pωu conserve pour toutes les sections une valeur constante. On a donc puisque U est constante et que p et ω varient seules par le changement de position de la tranche. En substituant cette valeur dans l'équation (i) où l'on remplacera par ou cette équation deviendra. L'intégration peut maintenant être effectuée et donne à k log. p = — U2 p (u a + constante). On détermine la constante en remarquant que, dans la première section AB, on a, ω = Ω, p = P, ce qui donne Pour la dernière section CD, cette équation devient d'où l'on déduit pour la vitesse à l'orifice d'écoulement CD Si la figure de l'orifice est telle que tous les filets de fluide qui franchissent la section CD aient des directions parallèles à l'axe MN, on aura le volume du fluide qui sort du vase dans l'unité de temps, en multipliant la valeur précédente de U par l'aire Ω' de l'orifice; ce volume étant pris sous la pression P qui a lieu dans la section CD. Mais si, comme on le fait ordinairement, on veut estimer le volume de fluide qui s'écoule dans l'unité de temps en considérant ce fluide sous la pression P qui le résultat des formules (3) et (4) que l'existence d'un écoulement uniforme tel qu'on l'a supposé exige la condition n' < • Si l'orifice CD est supposé très-petit par rapport à la section AB du gazomètre, l'expression (3) de la vitesse d'écoulement se réduit à et