jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
ces mêmes coordonnées. Les fluides jouissant de la propriété de se contracter ou de dilater également en tous sens autour de chacun de leurs points, il s'ensuit que la pression est aussi la même sur tous les plans passant par un même point intérieur, et normale à chacun de ces plans, du moins quand on néglige la variation de nature du fluide et de l'intervalle moyen de ses molécules, et l'étendue de leur sphère d'activité. Ainsi qu'on vient de le voir, ces deux propriétés sont liées intimement l'une à l'autre; la seconde ne peut s'observer, sans que la première ait lieu également. Le principe de l'égalité de pression en tous sens étant regardé comme un fait d'expérience, que l'on a pris depuis longtemps pour base de l'hydrostatique, nous pourrions, si l'on voulait, considérer la propriété des fluides, de se reconstituer autour de chaque point, comme une donnée ou une conséquence nécessaire de l'observation; mais il est bon de se rendre raison, à priori, de cette propriété fondamentale des fluides qui les distingue essentiellement des corps solides. La propriété dont il s'agit peut être attribuée à la parfaite sphéricité des molécules, résultant de ce qu'elles sont sphériques, assez éloignées les unes des autres pour que leur forme n'ait aucune influence sensible sur leur action mutuelle, ni par conséquent sur leur arrangement dans l'étendue de la sphère d'activité moléculaire. Dans les corps solides cristallisés ou non, la cause principale qui retient les molécules sur les directions où elles se trouvent plus ou moins resserrées ne peut être que la partie de leur interaction qui dépend de leur forme et de leur situation relatives, et qu'on écarte les molécules par une addition de calorique, ce second terme diminue en général plus rapidement que l'autre partie de leur action mutuelle : son effet peut devenir insensible, et le corps passe alors à l'état fluide. Dans les corps qui ne sont pas élastiques, c'est sans doute cette même force secondaire qui maintient les molécules dans les positions dans lesquelles les forces étrangères les ont amenées, et chaque corps sous la forme qu'elles lui ont fait
des autres pour que leur forme n'ait aucune influence sensible sur leur action mutuelle, ni par conséquent sur leur arrangement dans l'étendue de la sphère d'activité moléculaire. Dans les corps solides cristallisés ou non, la cause principale qui retient les molécules sur les directions où elles se trouvent plus ou moins resserrées ne peut être que la partie de leur interaction qui dépend de leur forme et de leur situation relatives, et qu'on écarte les molécules par une addition de calorique, ce second terme diminue en général plus rapidement que l'autre partie de leur action mutuelle : son effet peut devenir insensible, et le corps passe alors à l'état fluide. Dans les corps qui ne sont pas élastiques, c'est sans doute cette même force secondaire qui maintient les molécules dans les positions dans lesquelles les forces étrangères les ont amenées, et chaque corps sous la forme qu'elles lui ont fait prendre, après même que ces forces ont cessé d'agir. Quoiqu'il en soit, la force secondaire dont est question, est nécessaire à la stabilité de l'équilibre des molécules dans les corps solides; ce qui n'empêche pas qu'on ne puisse faire abstraction dans le cas des corps non cristallisés, lorsqu'il s'agit de calculer l'action mutuelle de deux parties de grandeurs insensibles, qui comprennent cependant des nombres extrêmement grands de molécules. Si un fluide est en contact avec un corps solide, susceptible d'agir sur ses molécules, cette action produira une compression particulière qui peut se transmettre de proche en proche, jusqu'à une distance extrêmement petite, mais sensible de la surface du solide, quoique l'action immédiate de ce corps n'ait lieu qu'à une distance insensible. Il se peut que dans l'épaisseur de cette couche, ainsi comprimée, le fluide perde fluidité, ou, autrement dit, il est possible que ses molécules soient assez rapprochées les unes des autres, pour que leur forme influence sur leur action mutuelle, comme dans les corps solides. Dans cette hypothèse, la contraction linéaire, et par suite, la pression moléculaire, n'y seront plus égales en tous sens autour de chaque point; et c'est sans doute ce qui a lieu dans la couche
calculer l'action mutuelle de deux parties de grandeurs insensibles, qui comprennent cependant des nombres extrêmement grands de molécules. Si un fluide est en contact avec un corps solide, susceptible d'agir sur ses molécules, cette action produira une compression particulière qui peut se transmettre de proche en proche, jusqu'à une distance extrêmement petite, mais sensible de la surface du solide, quoique l'action immédiate de ce corps n'ait lieu qu'à une distance insensible. Il se peut que dans l'épaisseur de cette couche, ainsi comprimée, le fluide perde fluidité, ou, autrement dit, il est possible que ses molécules soient assez rapprochées les unes des autres, pour que leur forme influence sur leur action mutuelle, comme dans les corps solides. Dans cette hypothèse, la contraction linéaire, et par suite, la pression moléculaire, n'y seront plus égales en tous sens autour de chaque point; et c'est sans doute ce qui a lieu dans la couche extrêmement mince qui s'attache à un corps mouillé par un liquide et ne coule plus le long de sa surface ce qui est un effet distinct de l'adhésion apparente, due à la même cause que les phénomènes de la capillarité. D'après les différences essentielles entre les solides et les fluides que nous venons de signaler, on conçoit que le problème de l'équilibre ne sera pas le même pour ces deux espèces de corps. Dans le cas des solides, il y a trois inconnues sont les déplacements de chaque point intérieur suivant les directions rectangulaires, et que nous avons précédemment représentées par u, ν, w; et au moyen de ces inconnues, on peut satisfaire aux trois équations de l'équilibre communes à tous les points intérieurs, quelles que soient les forces dont elles lui sont appliquées. Les valeurs de a, v, w, en fonctions des coordonnées primitives du point M auquel elles résident, feront connaître la position subséquente de ce même point M considéré isolément. Mais dans le cas des fluides, on se, par ce qui précède, qu'il n'y aura pas lieu de déterminer le changement de position de chaque molécule isolée : il n'y a qu'une seule inconnue, savoir, l'intervalle moyen
que nous venons de signaler, on conçoit que le problème de l'équilibre ne sera pas le même pour ces deux espèces de corps. Dans le cas des solides, il y a trois inconnues sont les déplacements de chaque point intérieur suivant les directions rectangulaires, et que nous avons précédemment représentées par u, ν, w; et au moyen de ces inconnues, on peut satisfaire aux trois équations de l'équilibre communes à tous les points intérieurs, quelles que soient les forces dont elles lui sont appliquées. Les valeurs de a, v, w, en fonctions des coordonnées primitives du point M auquel elles résident, feront connaître la position subséquente de ce même point M considéré isolément. Mais dans le cas des fluides, on se, par ce qui précède, qu'il n'y aura pas lieu de déterminer le changement de position de chaque molécule isolée : il n'y a qu'une seule inconnue, savoir, l'intervalle moyen des mouvements, pour satisfaire aux trois équations d'équilibre relatives à l'intérieur d'un fluide ; et, pour cette raison, l'équilibre n'est pas possible, à moins que les forces données, en fonctions des coordonnées d'un point quelconque, ne soient telles que trois équations se réduisent à une seule ; ce qui restreint la nécessité de ces fonctions. Le problème du mouvement est aussi très-différent dans les deux cas. Lorsqu'il s'agit d'un corps solide, les équations différentielles du mouvement de ses molécules se déduisent immédiatement de celles de l'équilibre, par le principe général de la dynamique. Mais, relativement aux fluides, il faut avoir égard à une circonstance qui ne peut influer que sur le mouvement, et nullement sur l'équilibre. En effet, lorsque les molécules d'un fluide se déplacent, elles emploient un certain temps, quelque petit qu'on le suppose, pour parvenir, autour de chaque point, à une disposition semblable à leur arrangement primitif, et pour exercer de nouveau une pression égale en tous sens. Pendant ce temps court, qui peut être néanmoins très-différent pour les divers fluides, la pression n'est pas nécessairement la même dans toutes les directions ; toutefois, il serait impossible de n'apercevoir dans l'état d'équilibre qui ne s'observe qu'après cet intervalle
la nécessité de ces fonctions. Le problème du mouvement est aussi très-différent dans les deux cas. Lorsqu'il s'agit d'un corps solide, les équations différentielles du mouvement de ses molécules se déduisent immédiatement de celles de l'équilibre, par le principe général de la dynamique. Mais, relativement aux fluides, il faut avoir égard à une circonstance qui ne peut influer que sur le mouvement, et nullement sur l'équilibre. En effet, lorsque les molécules d'un fluide se déplacent, elles emploient un certain temps, quelque petit qu'on le suppose, pour parvenir, autour de chaque point, à une disposition semblable à leur arrangement primitif, et pour exercer de nouveau une pression égale en tous sens. Pendant ce temps court, qui peut être néanmoins très-différent pour les divers fluides, la pression n'est pas nécessairement la même dans toutes les directions ; toutefois, il serait impossible de n'apercevoir dans l'état d'équilibre qui ne s'observe qu'après cet intervalle de temps est écoulé. Mais, dans le cas du mouvement, la position respective des molécules changeant constamment, on comprend que la considération du temps dont ilagit peut donner lieu à une modification dans le principe de l'égalité de pression en tous sens et dans la forme des équations différentielles qui s'en déduisent. Ce sera ce que nous expliciterons, lorsqu'il sera question du mouvement des fluides en attendant, il convient d'observer qu'on ne doit pas considérer l'effet que nous ne faisons maintenant qu'indiquer, avec la viscosité des fluides imparfaits. L'effet dont il est question peut avoir lieu dans les liquides qui n'ont aucune viscosité sensible et même dans les fluides aériformes, où il est surtout nécessaire d'y avoir égard, lorsque leurs vibrations deviennent extrêmement rapides. La viscosité est ce qui empêche les liquides où elle existe d'exercer, après un intervalle de temps plus ou moins court, une pression égale en tous sens ; on peut l'attribuer à une influence de la forme des molécules sur leur action mutuelle, et considérer les liquides visqueux comme une sorte d'intermédiaire entre les corps solides et les fluides parfaits, auxquels nous nous occuperons dans la suite de ce mémoire. L'auteur calcule la pression due à
s'en déduisent. Ce sera ce que nous expliciterons, lorsqu'il sera question du mouvement des fluides en attendant, il convient d'observer qu'on ne doit pas considérer l'effet que nous ne faisons maintenant qu'indiquer, avec la viscosité des fluides imparfaits. L'effet dont il est question peut avoir lieu dans les liquides qui n'ont aucune viscosité sensible et même dans les fluides aériformes, où il est surtout nécessaire d'y avoir égard, lorsque leurs vibrations deviennent extrêmement rapides. La viscosité est ce qui empêche les liquides où elle existe d'exercer, après un intervalle de temps plus ou moins court, une pression égale en tous sens ; on peut l'attribuer à une influence de la forme des molécules sur leur action mutuelle, et considérer les liquides visqueux comme une sorte d'intermédiaire entre les corps solides et les fluides parfaits, auxquels nous nous occuperons dans la suite de ce mémoire. L'auteur calcule la pression due à l'action moléculaire dans un fluide en ayant égard aux variations soit de la densité du fluide soit de l'intervalle moyen de ses molécules, parce que les termes qui en résultent ne sont point insensibles, étant même d'ordre de grandeur que la partie de la pression qui dépend de la courbure des surfaces, et à laquelle sont dus, comme on sait, les phénomènes de la capillarité. En tenant compte de ces variations et de la forme de la surface, la pression dans le fluide en équilibre se compose de deux parties, l'une normale à la surface pressée et égale en tous sens autour d'un même point, l'autre qui n'est ni normale à cette figure ni indépendante de direction. On prouve par une analyse délicate que les composantes de la seconde partie, agissant sur une portion du fluidum de forme quelconque, se détruisent sans le secours d'aucune autre force ; en sorte que pour obtenir les équations d'équilibre relatives à l'intérieur d'un fluide, il suffit de considérer ainsi qu'on le fait ordinairement, la pression normale et égale en tous sens, et les forces données qui agissent sur les molécules. Dans le § 6 du mémoire, M. Poisson donne les équations relatives à
des surfaces, et à laquelle sont dus, comme on sait, les phénomènes de la capillarité. En tenant compte de ces variations et de la forme de la surface, la pression dans le fluide en équilibre se compose de deux parties, l'une normale à la surface pressée et égale en tous sens autour d'un même point, l'autre qui n'est ni normale à cette figure ni indépendante de direction. On prouve par une analyse délicate que les composantes de la seconde partie, agissant sur une portion du fluidum de forme quelconque, se détruisent sans le secours d'aucune autre force ; en sorte que pour obtenir les équations d'équilibre relatives à l'intérieur d'un fluide, il suffit de considérer ainsi qu'on le fait ordinairement, la pression normale et égale en tous sens, et les forces données qui agissent sur les molécules. Dans le § 6 du mémoire, M. Poisson donne les équations relatives à la surface de séparation de deux fluides superposés. Enfin, dans le § 7, il détermine les pressions dans les fluides en mouvement, et donne les équations différentielles de ce mouvement, en se fondant sur les principes exposés plus haut. NOTE SUR LA RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES, par M. E. GALOIS. M. Legendre a le premier remarqué que, lorsqu'une équation algébrique était mise sous la forme y = x, y est une fonction de x qui croît constamment en même temps que x, il était facile de trouver la racine de cette équation immédiatement plus petite qu'un nombre donné a, si < a, et la racine immédiatement plus grande que a, si > a > a. Pour le démontrer, on construit la courbe y = 9 x et la droite y=x. Soit prise une abscisse = a, et supposons, pour fixer les idées, < p a > a, je dis qu'il sera aisé d'obtenir la racine immédiate supérieure à a. En effet, les racines de l'équation = x ne sont que les abscisses des points d'intersection de droite et de la courbe, et il est clair que l'on s'approchera du point le plus voisin d'intersection, en substituant à l'abscisse a une
M. Legendre a le premier remarqué que, lorsqu'une équation algébrique était mise sous la forme y = x, y est une fonction de x qui croît constamment en même temps que x, il était facile de trouver la racine de cette équation immédiatement plus petite qu'un nombre donné a, si < a, et la racine immédiatement plus grande que a, si > a > a. Pour le démontrer, on construit la courbe y = 9 x et la droite y=x. Soit prise une abscisse = a, et supposons, pour fixer les idées, < p a > a, je dis qu'il sera aisé d'obtenir la racine immédiate supérieure à a. En effet, les racines de l'équation = x ne sont que les abscisses des points d'intersection de droite et de la courbe, et il est clair que l'on s'approchera du point le plus voisin d'intersection, en substituant à l'abscisse a une abscisse ϕ a. On aura une valeur plus approchée encore en prenant pça, puis ϕϕϕ a, et ainsi de suite. Soit F x=0 une équation donnée du degré n, et F(x,Y) = X-Y, et Y n'ayant que des termes positifs. M. Legendre met expressivement l'équation sous ces deux formes y = 9 x et x = y, et Y sont toujours, comme on voit, plus grande, l'autre plus petite que x. Ainsi, à l'aide de deux fonctions, on pourra avoir les deux racines de l'équation les plus approchées d'un nombre donné a, l'une en plus et l'autre en moins. Mais cette méthode a l'inconvénient d'exiger à chaque opération l'extraction d'une racine nème. Voici deux formes plus modestes. Cherchons un nombre k tel, que la fonction lisse avec x, quand x > 1. (Il suffit, en effet, de savoir trouver les racines d'une équation qui sont plus grandes que l'unité.) Nous aurons pour la condition proposée 1. 1. Car on a identiquement n X - x X' > 0, Y - x Y' > 0, il suffit donc de pesser n X - X' x < y pour x > 1 et il suffit pour cela de prendre pour A la
= 9 x et x = y, et Y sont toujours, comme on voit, plus grande, l'autre plus petite que x. Ainsi, à l'aide de deux fonctions, on pourra avoir les deux racines de l'équation les plus approchées d'un nombre donné a, l'une en plus et l'autre en moins. Mais cette méthode a l'inconvénient d'exiger à chaque opération l'extraction d'une racine nème. Voici deux formes plus modestes. Cherchons un nombre k tel, que la fonction lisse avec x, quand x > 1. (Il suffit, en effet, de savoir trouver les racines d'une équation qui sont plus grandes que l'unité.) Nous aurons pour la condition proposée 1. 1. Car on a identiquement n X - x X' > 0, Y - x Y' > 0, il suffit donc de pesser n X - X' x < y pour x > 1 et il suffit pour cela de prendre pour A la valeur de la fonction n X - X' x relative à x = 1. On trouvera de même un nombre h tel que la fonction croît avec x quand x sera > 1, en changeant Y en X. Ainsi l'équation donnée pourra se mettre sous l'une des formes qui sont toutes deux rationnelles, et donnent pour la résolution une méthode facile. 217. MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DE LA LUMIÈRE; par M. Augustin-Louis CAUCHY, Lu à l'Académie des sciences le 1er mai et le 7 et le 14 juin 1830. J'ai donné le premier, dans les exercices de mathématique (3e et 4e volume), les "équations générales d'équilibre ou de mouvement d'un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, en admettant que ces forces fussent représentées par des fonctions des distances entre les molécules; et j'ai prouvé que ces équations, qui renferment un grand nombre de coefficients dépendants de la nature du système, se réduisaient, dans le cas où l'élasticité redevenait la même en tous sens, à d'autres formules qui ne renferment qu'un seul coefficient, et qui avaient été primitivement obtenues par M. Navier. J'ai de plus déduit de ces équations celle qui détermine les mouvements des
toutes deux rationnelles, et donnent pour la résolution une méthode facile. 217. MÉMOIRE SUR LA THÉORIE DE LA LUMIÈRE; par M. Augustin-Louis CAUCHY, Lu à l'Académie des sciences le 1er mai et le 7 et le 14 juin 1830. J'ai donné le premier, dans les exercices de mathématique (3e et 4e volume), les "équations générales d'équilibre ou de mouvement d'un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, en admettant que ces forces fussent représentées par des fonctions des distances entre les molécules; et j'ai prouvé que ces équations, qui renferment un grand nombre de coefficients dépendants de la nature du système, se réduisaient, dans le cas où l'élasticité redevenait la même en tous sens, à d'autres formules qui ne renferment qu'un seul coefficient, et qui avaient été primitivement obtenues par M. Navier. J'ai de plus déduit de ces équations celle qui détermine les mouvements des plaques et des verges élastiques, quand on suppose que l'élasticité n'est pas la même en tous sens; et j'ai ainsi obtenu des formules qui comprennent comme cas particulier, celles que M. Poisson et d'autres géomètres avaient trouvées dans la supposition contraire. L'attention remarquable de ces diverses formules, et des lois qui s'en suivent, avec les observations des physiciens, et spécialement avec les belles expériences de M. Savart, devait m'inciter à suivre les conseils de quelques personnes qui m'auraient à faire des équations générales que j'avais données application nouvelle à la théorie de la lumière. Ayant suivi ce conseil, j'ai été assez heureux pour arriver aux résultats que je vais exposer dans ce mémoire, et qui me paraissent être de fixer un moment l'attention des physiciens et des mathématiciens. Les 3 équations aux différences partielles qui représentent le mouvement d'un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, renferment, avec temps t, et les coordonnées rectangulaires x, y, z d'un point quelconque de l'espace, les déplacements x, y, z de la molécule qui coïncide, au bout du temps t, avec le point dont agit; ces déplacements étant mesurés parallèlement aux axes des x, y, z. Les mêmes
qui s'en suivent, avec les observations des physiciens, et spécialement avec les belles expériences de M. Savart, devait m'inciter à suivre les conseils de quelques personnes qui m'auraient à faire des équations générales que j'avais données application nouvelle à la théorie de la lumière. Ayant suivi ce conseil, j'ai été assez heureux pour arriver aux résultats que je vais exposer dans ce mémoire, et qui me paraissent être de fixer un moment l'attention des physiciens et des mathématiciens. Les 3 équations aux différences partielles qui représentent le mouvement d'un système de molécules sollicitées par des forces d'attraction ou de répulsion mutuelle, renferment, avec temps t, et les coordonnées rectangulaires x, y, z d'un point quelconque de l'espace, les déplacements x, y, z de la molécule qui coïncide, au bout du temps t, avec le point dont agit; ces déplacements étant mesurés parallèlement aux axes des x, y, z. Les mêmes équations offriront 21 coefficients différents de la nature du système, si l'on fait abstraction des coefficients qui s'évanouissent, lorsque les masses m, m', m", de diverses molécules sont deux à deux égales entre elles et réparties symétriquement de part et d'autre de la molécule n des droites menées par le point avec lequel cette molécule coïncide. Enfin ces équations seront du second ordre, c'est-à-dire qu'elles ne contiendront que des dérivées du second ordre des variables principales x, y, z, et l'on pourra, en considérant chaque coefficient comme une quantité constante, faire leur intégration à celle d'une équation du sixième ordre ne renfermera plus qu'une seule variable principale. Or : cette dernière pourra être facilement intégrée à l'aide des méthodes générales que j'ai données dans le 19e cahier du journal de l'École Polytechnique, et dans le mémoire sur l'application calculée des résidus aux questions de physique mathématique. En appliquant ces méthodes au cas où l'élasticité du système reste la même en tous sens, et réduisant la valeur de la variable principale à la forme la plus simple, à l'aide d'un théorème établi depuis longtemps par M. Poisson, on obtient justement les intégrales qu'a données ce géomètre dans les mémoires de l'Académie.