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laquelle on peut associer les conditions aux limites : (6) Le problème (3), (6) pour met en évidence trois classes de profils pour lesquelles la formulation du problème (4), (5) reste mathématiquement rigoureuse; ce sont les profils correspondant respectivement à (III) Cependant, une difficulté importante reste, étant donné que la condition à la limite sur le fond curviligne du canal h(x), (7) G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A — 471 est non linéaire et ne peut être linéarisée sans invoquer une hypothèse de petites perturbations; pour avoir la possibilité d'obtenir une solution analytique du problème (4), (5) formulé plus haut, nous adopterons un artifice dû à R. Long (1) et qui consiste à linéariser provisoirement la condition (7) en la remplaçant par la condition (8) La solution est alors : avec (9) et (10) Cette solution satisfait à l'équation (4) même si h (x) n'est pas infiniment petit. La fonction h(x) peut être arbitrairement choisie (2), pourvu qu'elle tende vers zéro à l'infini amont, et détermine le profil de la paroi inférieure du canal : tel que (11) Notons que seul le cas de donne un système d'ondes en aval de l'obstacle z = g(x), les valeurs étant critiques pour l'écoulement. Le nombre de modes d'ondes 91 (A), engendrés par le canal supérieur de hauteur H et ayant un fond curviligne z = g(x), indépendants les uns des autres est donné par la relation (12) Les écoulements représentés sur les figures 1 et 2 correspondent respectivement à Sur la figure 3 l'écoulement représenté correspond au cas de avec et (O.N.E.R.A., 99, avenue de la Division-Leclerc, 92-Châtillon-sous-Bagneux, Hauts-de-Seine.) C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 473 RHÉOLOGIE. — Influence de la concentration en eau sur la proportion d'air dans les bétons frais. Conséquence sur l'interprétation de l'apparition de la dilatance. Note de MM. CLAUDE LEGRAND et JACQUES INGLES, présentée par M. Léopold Escande. La quantité d'air entraînée dans un béton lors du malaxage augmente lorsque la concentration en eau diminue. Nous avons étudié la loi de variation de la concentration
g(x), les valeurs étant critiques pour l'écoulement. Le nombre de modes d'ondes 91 (A), engendrés par le canal supérieur de hauteur H et ayant un fond curviligne z = g(x), indépendants les uns des autres est donné par la relation (12) Les écoulements représentés sur les figures 1 et 2 correspondent respectivement à Sur la figure 3 l'écoulement représenté correspond au cas de avec et (O.N.E.R.A., 99, avenue de la Division-Leclerc, 92-Châtillon-sous-Bagneux, Hauts-de-Seine.) C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 473 RHÉOLOGIE. — Influence de la concentration en eau sur la proportion d'air dans les bétons frais. Conséquence sur l'interprétation de l'apparition de la dilatance. Note de MM. CLAUDE LEGRAND et JACQUES INGLES, présentée par M. Léopold Escande. La quantité d'air entraînée dans un béton lors du malaxage augmente lorsque la concentration en eau diminue. Nous avons étudié la loi de variation de la concentration air dans les bétons en fonction de la proportion d'eau; cette étude nous a permis de mieux comprendre les modifications de structure présentées par le béton frais lorsqu'il devient dilatant (1). 1. MÉTHODE EXPÉRIMENTALE ET RÉSULTATS. — a. Composition des mélanges. — L'expérience montre que, dans les bétons, ce sont le ciment et les sables les plus fins qui entraînent le plus d'air. Nous n'avons donc mené nos expériences que sur la fraction fine d'un béton (grains de dimensions comprises entre b. Mesures. — Après addition d'eau et malaxage, le mélange était déversé dans un récipient de volume Vr connu et mis en place suivant différents procédés. La détermination expérimentale du volume de solide Vs et du volume d'eau VE contenus dans le récipient nous a permis de déterminer le volume d'air Nous avons ainsi pu déterminer, pour chaque mélange : — la concentration en solide : — la concentration en eau : — la concentration en air : c. Mise en place. — Nous avons utilisé la vibration, le compactage manuel et le compactage Proctor (2). La gamme des concentrations en eau que nous avons réalisées allant de 0 à 1, il ne nous a pas été possible de
le ciment et les sables les plus fins qui entraînent le plus d'air. Nous n'avons donc mené nos expériences que sur la fraction fine d'un béton (grains de dimensions comprises entre b. Mesures. — Après addition d'eau et malaxage, le mélange était déversé dans un récipient de volume Vr connu et mis en place suivant différents procédés. La détermination expérimentale du volume de solide Vs et du volume d'eau VE contenus dans le récipient nous a permis de déterminer le volume d'air Nous avons ainsi pu déterminer, pour chaque mélange : — la concentration en solide : — la concentration en eau : — la concentration en air : c. Mise en place. — Nous avons utilisé la vibration, le compactage manuel et le compactage Proctor (2). La gamme des concentrations en eau que nous avons réalisées allant de 0 à 1, il ne nous a pas été possible de tracer une courbe complète pour des mélanges mis en place suivant le même procédé. En adaptant chaque mode de mise en place à la consistance du matériau, nous avons pu réaliser, pour chaque concentration en eau, une mise en place optimale. Nous avons considéré que cette dernière était atteinte lorsque l'air ne quittait plus le mélange quel que soit le procédé de mise en place utilisé. d. Résultats. — Nous avons tracé sur la figure I la courbe correspondant à la mise en place optimale. 2. INTERPRÉTATION. — Des expériences antérieures nous ont permis de déterminer le point a de la courbe qui correspond à la concentration critique. Lorsqu'un mélange présente cette concentration, l'assemblage granulaire est compact et, théoriquement, la quantité d'eau est juste suffisante pour remplir les vides (3). 474 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). La portion de courbe limitée par les points et y est dans le domaine dilatant et se présente sous la forme d'une droite de pente — 1. On a donc et est constant, ce qui signifie que la phase solide présente toujours un assemblage compact de particules. La suppression d'un volume déterminé d'eau entraîne l'apparition du
l'air ne quittait plus le mélange quel que soit le procédé de mise en place utilisé. d. Résultats. — Nous avons tracé sur la figure I la courbe correspondant à la mise en place optimale. 2. INTERPRÉTATION. — Des expériences antérieures nous ont permis de déterminer le point a de la courbe qui correspond à la concentration critique. Lorsqu'un mélange présente cette concentration, l'assemblage granulaire est compact et, théoriquement, la quantité d'eau est juste suffisante pour remplir les vides (3). 474 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). La portion de courbe limitée par les points et y est dans le domaine dilatant et se présente sous la forme d'une droite de pente — 1. On a donc et est constant, ce qui signifie que la phase solide présente toujours un assemblage compact de particules. La suppression d'un volume déterminé d'eau entraîne l'apparition du même volume d'air. Nous avons schématisé, sur la figure 2, la structure du mélange correspondant à cette portion de courbe. Nous pensons qu'à cause de la faible dimension des vides intergranulaires dans un assemblage compact, cet air entraîne l'apparition de forces capillaires. Ces forces seraient responsables de l'étroitesse du domaine de concentration dans lequel on peut mesurer la contrainte de cisaillement en fonction du gradient de vitesse (4). Théoriquement le segment de droite devrait se prolonger jusqu'à son intersection avec l'axe des abscisses au point correspondant au seuil de dilatance. En fait, à partir de la courbe se situe au-dessus de la droite. Cela signifie qu'en plus de l'air responsable des forces capillaires (de concentration) il apparaît, dans le mélange, des bulles d'air (de concentration) qu'on ne parvient pas à chasser quel que soit le mode de mise en place utilisé; par exemple pour une concentration en eau de 0,32, on a donc Nous avons schématisé, sur la figure 3, la structure du mélange correspondant à un point de la courbe situé entre et Dans ce dernier cas et loin des bulles d'air, l'assemblage des particules est toujours compact. Par contre, au voisinage de ces bulles, il existe un effet
de concentration dans lequel on peut mesurer la contrainte de cisaillement en fonction du gradient de vitesse (4). Théoriquement le segment de droite devrait se prolonger jusqu'à son intersection avec l'axe des abscisses au point correspondant au seuil de dilatance. En fait, à partir de la courbe se situe au-dessus de la droite. Cela signifie qu'en plus de l'air responsable des forces capillaires (de concentration) il apparaît, dans le mélange, des bulles d'air (de concentration) qu'on ne parvient pas à chasser quel que soit le mode de mise en place utilisé; par exemple pour une concentration en eau de 0,32, on a donc Nous avons schématisé, sur la figure 3, la structure du mélange correspondant à un point de la courbe situé entre et Dans ce dernier cas et loin des bulles d'air, l'assemblage des particules est toujours compact. Par contre, au voisinage de ces bulles, il existe un effet de paroi, ce qui explique, qu'au seuil de dilatance, la concentration critique expérimentale soit inférieure à la compacité de la phase solide seule, après que celle-ci ait subi une mise en place optimale. La partie de la courbe située à droite de a correspond à des mélanges qui ne sont plus dilatants. Lorsque augmente, diminue, l'assemblage des particules devient donc de plus en plus lâche jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de contacts entre grains. À partir du point il n'y a plus d'air dans le mélange. Lorsqu'on adopte une mise en place qui n'est pas optimale, on obtient des points représentatifs situés au-dessus de la courbe. Dans le domaine dilatant et pour le point N par exemple, on peut avoir un mélange qui renferme un volume d'air sous forme capillaire et un volume d'air MN sous forme de bulles. Nous pensons que l'assemblage des particules est toujours compact dans le mélange loin des bulles d'air. Ainsi une mise en place défectueuse contribue à donner une part plus importante à une structure telle que celle qui est schématisée sur la figure 3 aux dépens de celle schématisée sur la figure 2. CONCLUSION. — Les mélanges dilatants de particules solides et
plus dilatants. Lorsque augmente, diminue, l'assemblage des particules devient donc de plus en plus lâche jusqu'à ce qu'il n'y ait plus de contacts entre grains. À partir du point il n'y a plus d'air dans le mélange. Lorsqu'on adopte une mise en place qui n'est pas optimale, on obtient des points représentatifs situés au-dessus de la courbe. Dans le domaine dilatant et pour le point N par exemple, on peut avoir un mélange qui renferme un volume d'air sous forme capillaire et un volume d'air MN sous forme de bulles. Nous pensons que l'assemblage des particules est toujours compact dans le mélange loin des bulles d'air. Ainsi une mise en place défectueuse contribue à donner une part plus importante à une structure telle que celle qui est schématisée sur la figure 3 aux dépens de celle schématisée sur la figure 2. CONCLUSION. — Les mélanges dilatants de particules solides et d'eau — bétons par exemple — contiennent toujours de l'air. Celui-ci peut contribuer à la présence de forces capillaires entre les grains ; ces derniers présentent alors un assemblage compact. Suivant la qualité de la mise en place et la concentration en solide, une partie de l'air peut se trouver sous forme de bulles ; l'interface air-eau présentée par ces dernières donne naissance à un effet de paroi qui tend à réduire localement la concentration en solide. Séance du 20 juillet 1970. Essai Proctor, Modes opératoires du L. C. P. C, Dunod, Paris, 1966. WILKINSON, Non-Newtonian Fluids, Pergamon Press, Londres, 1960, p. 5. G. LEGRAND et J. C. MASO, Comptes rendus, 267, série A, 1969, p. 481. C. LEGRAND et J. C. MASO, Comptes rendus, 271, série A, 1970, p. 195. (Département de Génie civil de l'Institut National des Sciences appliquées, avenue de Rangueil, 31-Toulouse, Haute-Garonne.) HYDRODYNAMIQUE NAVALE. — Sur une transformation d'une équation donnant le potentiel d'un écoulement avec surface libre autour d'une carène flottante. Note de M. NGUYEN-TRIEU-DONG, présentée par M. Roger Brard. Cette Note présente une transformation de l'équation intégrodifférentielle donnant le potentiel des vagues d'accompagnement dues à une carène flottante, la carène étant en déplacement uniforme
sous forme de bulles ; l'interface air-eau présentée par ces dernières donne naissance à un effet de paroi qui tend à réduire localement la concentration en solide. Séance du 20 juillet 1970. Essai Proctor, Modes opératoires du L. C. P. C, Dunod, Paris, 1966. WILKINSON, Non-Newtonian Fluids, Pergamon Press, Londres, 1960, p. 5. G. LEGRAND et J. C. MASO, Comptes rendus, 267, série A, 1969, p. 481. C. LEGRAND et J. C. MASO, Comptes rendus, 271, série A, 1970, p. 195. (Département de Génie civil de l'Institut National des Sciences appliquées, avenue de Rangueil, 31-Toulouse, Haute-Garonne.) HYDRODYNAMIQUE NAVALE. — Sur une transformation d'une équation donnant le potentiel d'un écoulement avec surface libre autour d'une carène flottante. Note de M. NGUYEN-TRIEU-DONG, présentée par M. Roger Brard. Cette Note présente une transformation de l'équation intégrodifférentielle donnant le potentiel des vagues d'accompagnement dues à une carène flottante, la carène étant en déplacement uniforme dans un fluide non visqueux, pesant et incompressible. Dans cette équation intervient notamment une distribution superficielle de sources et de doublets. En considérant un certain écoulement défini à l'intérieur de la carène, on transforme cette équation en éliminant soit les doublets, soit les sources. Du point de vue application numérique, il est intéressant d'éliminer les doublets dont les axes ont des directions variables. Soit Oxyz un repère lié à la carène, xOy étant le plan de la flottaison statique, et zOx le plan longitudinal de symétrie, l'axe Ox étant dirigé vers l'avant de la carène et Oz ascendant. Soient la surface immergée de la carène au repos, la surface (plane) de la flottaison, C le contour (plan) de la flottaison, le domaine intérieur limité par et Soit la vitesse uniforme d'avancement de la carène dans le domaine fluide. Soit g l'accélération de la pesanteur. Dans Oxyz, le mouvement du fluide est permanent. On suppose les vagues de faible amplitude. Pour tout M (x, y, z) de , le potentiel des vagues d'accompagnement satisfait à la condition de continuité. Aux frontières de satisfait aux conditions : a. à la surface libre, la condition de Poisson : b. M sur la condition
il est intéressant d'éliminer les doublets dont les axes ont des directions variables. Soit Oxyz un repère lié à la carène, xOy étant le plan de la flottaison statique, et zOx le plan longitudinal de symétrie, l'axe Ox étant dirigé vers l'avant de la carène et Oz ascendant. Soient la surface immergée de la carène au repos, la surface (plane) de la flottaison, C le contour (plan) de la flottaison, le domaine intérieur limité par et Soit la vitesse uniforme d'avancement de la carène dans le domaine fluide. Soit g l'accélération de la pesanteur. Dans Oxyz, le mouvement du fluide est permanent. On suppose les vagues de faible amplitude. Pour tout M (x, y, z) de , le potentiel des vagues d'accompagnement satisfait à la condition de continuité. Aux frontières de satisfait aux conditions : a. à la surface libre, la condition de Poisson : b. M sur la condition de glissement n(M) étant la normale à X en M dirigée vers et c. pour ou la condition grad. Soit une source ponctuelle d'intensité unité placée en. En M (x, y, z), le potentiel 9 (S, M) des vagues d'accompagnement dues à la seule présence de la source est donné par la formule de Havelock : dans laquelle un coefficient de viscosité qu'on fera tendre vers zéro après détermination de la valeur principale de l'intégrale en k, et S' un point symétrique de S par rapport à étant le domaine intérieur à une petite sphère de centre M, on a pour tout S du domaine. Pour mais non sur ni sur xOy, Vossers et Breslin ont démontré que; L'intégrale double ci-dessus représente une distribution superficielle sur I de sources de densité et de doublets, d'axe normal à de densité. Quant à l'intégrale curviligne, elle représente une distribution linéaire sur C de sources de densité et de doublets, d'axe longitudinal, de densité. Soit un point de l'introduit une fonction définie dans harmonique dans la formule de Green, appliquée à et, donne. Si étant dirigée vers l'extérieur de. En deux points et infiniment voisins, situés sur une même normale à on a.
par la formule de Havelock : dans laquelle un coefficient de viscosité qu'on fera tendre vers zéro après détermination de la valeur principale de l'intégrale en k, et S' un point symétrique de S par rapport à étant le domaine intérieur à une petite sphère de centre M, on a pour tout S du domaine. Pour mais non sur ni sur xOy, Vossers et Breslin ont démontré que; L'intégrale double ci-dessus représente une distribution superficielle sur I de sources de densité et de doublets, d'axe normal à de densité. Quant à l'intégrale curviligne, elle représente une distribution linéaire sur C de sources de densité et de doublets, d'axe longitudinal, de densité. Soit un point de l'introduit une fonction définie dans harmonique dans la formule de Green, appliquée à et, donne. Si étant dirigée vers l'extérieur de. En deux points et infiniment voisins, situés sur une même normale à on a. Ajoutons l'intégrale double sur et au deuxième membre de (1). On a. A. Élimination de la distribution superficielle de doublets. On peut toujours trouver une fonction et une seule, harmonique dans vérifiant aux frontières et les conditions : sur est la solution du problème bidimensionnel de Dirichlet intérieur, problème déterminé par la condition sur (2) devient. (M) est engendré par une distribution superficielle de sources seulement, une distribution superficielle de sources et de doublets d'axe vertical, et une distribution linéaire sur C de sources et de doublets. B. Élimination de la distribution superficielle de sources. — On peut toujours trouver une fonction et une seule, harmonique dans satisfaisant aux frontières les conditions :. (M) est engendré par une distribution superficielle et Z„ de doublets seulement, et une distribution linéaire sur C de sources et de doublets. Lorsque M vient sur 2 (mais non sur C) dans la formule donne l'équation intégrodifférentielle dont l'inconnue est :. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série B - 501 NOTES DES MEMBRES ET CORRESPONDANTS ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS PHYSIQUE THÉORIQUE ATOMIQUE ET MOLECULAIRE. — Calcul des facteurs de diffusion en Rayons X en approximation gaussienne. Note
par la condition sur (2) devient. (M) est engendré par une distribution superficielle de sources seulement, une distribution superficielle de sources et de doublets d'axe vertical, et une distribution linéaire sur C de sources et de doublets. B. Élimination de la distribution superficielle de sources. — On peut toujours trouver une fonction et une seule, harmonique dans satisfaisant aux frontières les conditions :. (M) est engendré par une distribution superficielle et Z„ de doublets seulement, et une distribution linéaire sur C de sources et de doublets. Lorsque M vient sur 2 (mais non sur C) dans la formule donne l'équation intégrodifférentielle dont l'inconnue est :. C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série B - 501 NOTES DES MEMBRES ET CORRESPONDANTS ET NOTES PRÉSENTÉES OU TRANSMISES PAR LEURS SOINS PHYSIQUE THÉORIQUE ATOMIQUE ET MOLECULAIRE. — Calcul des facteurs de diffusion en Rayons X en approximation gaussienne. Note de Mmes MICHÈLE BREDIMAS et MARGUERITE CORNILLE, transmise par M. Alfred Kastler. Après avoir déterminé les expressions analytiques des facteurs de diffusion en Rayons X de Li à Ne, calculés à partir de fonctions d'onde développées sur des orbitales de base gaussienne, nous avons écrit un programme pour obtenir des résultats numériques et les comparer à ceux obtenus par C. Tavard. Nous avons utilisé les fonctions d'onde Hartree-Fock développées sur des orbitales de base gaussienne 6-10 d’Huzinaga pour calculer les facteurs de structure en Rayons X de Li à Ne. La forme générale des facteurs de structure atomique est la suivante : où est le vecteur de diffusion et égal à étant la longueur d'onde du rayon incident et 0 l'angle de diffusion, où les étant les coefficients de minimisation de l'énergie totale. Dans le cas présent la fonction d'onde de l'orbitale étant une combinaison linéaire des fonctions d'onde de l'orbitale s, les expressions analytiques des facteurs de structure f(s) et f (2s) sont les mêmes. Nous avons montré dans que le seul type d'intégrale qui apparaît dans le calcul des facteurs de diffusion est le suivant : et F sont respectivement les fonctions gamma et hypergéométrique confluente de 2e
résultats numériques et les comparer à ceux obtenus par C. Tavard. Nous avons utilisé les fonctions d'onde Hartree-Fock développées sur des orbitales de base gaussienne 6-10 d’Huzinaga pour calculer les facteurs de structure en Rayons X de Li à Ne. La forme générale des facteurs de structure atomique est la suivante : où est le vecteur de diffusion et égal à étant la longueur d'onde du rayon incident et 0 l'angle de diffusion, où les étant les coefficients de minimisation de l'énergie totale. Dans le cas présent la fonction d'onde de l'orbitale étant une combinaison linéaire des fonctions d'onde de l'orbitale s, les expressions analytiques des facteurs de structure f(s) et f (2s) sont les mêmes. Nous avons montré dans que le seul type d'intégrale qui apparaît dans le calcul des facteurs de diffusion est le suivant : et F sont respectivement les fonctions gamma et hypergéométrique confluente de 2e ordre. En posant nombre entier égal à — on trouve que est le polynôme d'Hermite d'ordre La valeur finale de J sera. Nous avons écrit un programme permettant de calculer. Les facteurs de structure atomique ainsi calculés se superposent exactement à ceux déterminés par C. Tavard à l'aide des fonctions d'onde Hartree-Fock de Clementi développées sur des orbitales de base de Slater et de même énergie totale que. Dans nous avons montré que le calcul des facteurs de diffusion moléculaire est beaucoup plus simple en utilisant des fonctions d'onde de type plutôt que celles de types car le produit de deux gaussiennes est égal à une gaussienne donc les intégrales à quatre centres se réduisent à des intégrales à deux centres. Les facteurs de diffusion atomique calculés à l'aide des fonctions d'onde de type et de même énergie totale sont identiques. On peut donc supposer que les facteurs de diffusion moléculaire calculés avec une fonction d'onde moléculaire développée sur des orbitales de base gaussienne et d'énergie totale voisine de l'énergie Hartree-Fock donnera une bonne intensité moléculaire totale théorique, puisque celle-ci fonction des facteurs de diffusion moléculaire, est reliée directement à l'énergie totale. Enfin, nous devons signaler un travail voisin du