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semblables? Et, je le demande aussi, ne faudrait-il pas renoncer entièrement, ou pour longtemps encore, à toute tentative d'appliquer la mécanique aux questions usuelles, si l'on admettait une telle façon de juger le résultat des recherches ? Il paraît donc bien évident, en particulier, que l'auteur dont il vient d'être parlé n'a pas mieux que M. Th. Barrois de Lille, compris l'état véritable des questions sur la solution desquelles il a cherché à élever des doutes. PONCELET. CORRESPONDANCE MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE, par M. QUÉTELET. 5e livraison, Tome V. Bruxelles, 1829; Bayez. Paris, Bachelier. Un premier mémoire de M. Chasles sur la transformation des relations métriques des figures forme la partie principale de cette livraison. La nouveauté et la fécondité de la méthode exposée dans ce mémoire le rendent digne de toute l'attention de ceux qui cultivent la géométrie pure. M. Poncelet, auteur de l'ingénieuse théorie des polaires réciproques, en a fait voir l'usage pour transformer, soit les propriétés descriptives des figures, soit les relations métriques d'angles et de longueurs, de la nature de celles qui se présentent dans la théorie des transversales. M. Chasles est parvenu à un principe de transformation plus général, applicable non-seulement aux relations qui appartiennent à la théorie des transversales, mais encore à un genre de relations métriques beaucoup plus étendu. M. Chasles avait déjà observé ailleurs que la théorie des polaires réciproques ne jouit pas exclusivement de la propriété de servir à la transformation des figures, et qu'on peut employer d'autres modes de transformation d'une assez grande simplicité. Mais dans le mémoire que nous annonçons, il s'en tient à la théorie dont il s'agit, en prenant pour conique auxiliaire ou directrice dans la transformation des figures planes une parabole, et pour surface auxiliaire ou directrice dans la transformation des figures à 3 dimensions un paraboloïde; c'est pourquoi il appelle ce genre de transformation parabolique. La transformation parabolique des relations métriques dans les figures planes repose sur le théorème suivant, dont la démonstration est facile : les polaires de deux points quelconques, prises par rapport à une parabole, interceptent sur l'axe de cette courbe un segment
la théorie des transversales, mais encore à un genre de relations métriques beaucoup plus étendu. M. Chasles avait déjà observé ailleurs que la théorie des polaires réciproques ne jouit pas exclusivement de la propriété de servir à la transformation des figures, et qu'on peut employer d'autres modes de transformation d'une assez grande simplicité. Mais dans le mémoire que nous annonçons, il s'en tient à la théorie dont il s'agit, en prenant pour conique auxiliaire ou directrice dans la transformation des figures planes une parabole, et pour surface auxiliaire ou directrice dans la transformation des figures à 3 dimensions un paraboloïde; c'est pourquoi il appelle ce genre de transformation parabolique. La transformation parabolique des relations métriques dans les figures planes repose sur le théorème suivant, dont la démonstration est facile : les polaires de deux points quelconques, prises par rapport à une parabole, interceptent sur l'axe de cette courbe un segment qui est égal en longueur à la projection orthogonale sur cet axe de la droite qui joint les deux points. Cela posé, soient A, B, C, D, E, etc., différents points d'une figure plane, (AB, CD, EF, etc.) = 0 une relation entre les distances de plusieurs de ces points. En faisant la transformation parabolique, on aura une seconde figure; soient dans cette seconde figure a, b, c, d, e...., les droites polaires des points A, B, C, D, E, et soient α, β, γ, δ, ε.... les points où ces droites rencontrent l'axe de la parabole auxiliaire. On aura, en désignant cet axe par x d'après le théorème qui vient d'être énoncé, α + β = AB.cos (AB, x), = CD.cos (BC, x) etc. de sorte que la relation donnée entre les distances AB, CD, etc. deviendra Si cette équation est telle que les cosinus disparaissent d'eux-mêmes, il restera une relation qui sera relative à la 2e figure seulement, et qui exprimera une propriété générale de cette 2e figure, correspondante à la propriété de la première figure qu'exprime la relation donnée entre les distances de ses points. Ce mode de transformation s'applique à un genre de relations métriques fort
En faisant la transformation parabolique, on aura une seconde figure; soient dans cette seconde figure a, b, c, d, e...., les droites polaires des points A, B, C, D, E, et soient α, β, γ, δ, ε.... les points où ces droites rencontrent l'axe de la parabole auxiliaire. On aura, en désignant cet axe par x d'après le théorème qui vient d'être énoncé, α + β = AB.cos (AB, x), = CD.cos (BC, x) etc. de sorte que la relation donnée entre les distances AB, CD, etc. deviendra Si cette équation est telle que les cosinus disparaissent d'eux-mêmes, il restera une relation qui sera relative à la 2e figure seulement, et qui exprimera une propriété générale de cette 2e figure, correspondante à la propriété de la première figure qu'exprime la relation donnée entre les distances de ses points. Ce mode de transformation s'applique à un genre de relations métriques fort étendu. Il comprend d'abord toutes les relations qui se rencontrent dans la théorie des transversales où une distance est toujours divisée par une autre distance comptée sur la même direction, ce qui fait que les cosinus disparaissent toujours. Pour mieux faire saisir l'esprit et l'usage de sa méthode, M. Chasles en fait des applications variées qui le conduisent à de nouvelles propriétés des coniques et des lignes courbes de degrés quelconques. Nous croyons devoir rapporter l'une de ses démonstrations, qui suffira pour donner une idée de toutes les autres. Trois coniques étant circonscrites à un quadrilatère, si par chaque point M de la première on mène une transversale parallèle à un axe fixe, on sait que les produits des segments interceptés entre ce point et chacune des deux autres courbes, seront entre eux dans un rapport constant, quelque soit le point M pris sur la première conique. Ainsi, soient A, A' et B, B les points où la transversale rencontre les deux courbes respectivement; on aura quelque soit le point M sur la première conique. En faisant la transformation parabolique, on aura trois coniques inscrites dans un même quadrilatère; à chaque transversale correspondra un point, et tous ces points seront
en fait des applications variées qui le conduisent à de nouvelles propriétés des coniques et des lignes courbes de degrés quelconques. Nous croyons devoir rapporter l'une de ses démonstrations, qui suffira pour donner une idée de toutes les autres. Trois coniques étant circonscrites à un quadrilatère, si par chaque point M de la première on mène une transversale parallèle à un axe fixe, on sait que les produits des segments interceptés entre ce point et chacune des deux autres courbes, seront entre eux dans un rapport constant, quelque soit le point M pris sur la première conique. Ainsi, soient A, A' et B, B les points où la transversale rencontre les deux courbes respectivement; on aura quelque soit le point M sur la première conique. En faisant la transformation parabolique, on aura trois coniques inscrites dans un même quadrilatère; à chaque transversale correspondra un point, et tous ces points seront sur une même droite parallèle à l'axe de la parabole, puisque toutes les transversales sont parallèles entre elles; à chaque point M correspond une tangente m à la première des trois coniques, et aux points A, A', et B, B', correspondent des tangentes a, a' et b, b aux deux autres coniques, toutes ces tangentes étant menées du point correspondant à la transversale. Soient p, a, a, et les points où ces cinq droites rencontrent l'axe de la parabole, on aura et l'équation (1) donnera ce qui prouve que, quand trois coniques sont inscrites dans un même quadrilatère, si par un point pris arbitrairement sur une droite fixe on mène une tangente à la première conique et deux tangentes à chacune des deux autres, et qu'on fasse les produits des segments interceptés sur une seconde droite fixe parallèle à la première, entre la tangente et la première courbe, et les tangentes à chacune des deux autres, le rapport de ces produits sera constant, quelque soit le point de la première droite fixe par lequel on aura mené les tangentes. M. Chasles tire quelques conséquences de ce théorème, et observe qu'il peut s'étendre à trois courbes géométriques qui auraient deux à
autres coniques, toutes ces tangentes étant menées du point correspondant à la transversale. Soient p, a, a, et les points où ces cinq droites rencontrent l'axe de la parabole, on aura et l'équation (1) donnera ce qui prouve que, quand trois coniques sont inscrites dans un même quadrilatère, si par un point pris arbitrairement sur une droite fixe on mène une tangente à la première conique et deux tangentes à chacune des deux autres, et qu'on fasse les produits des segments interceptés sur une seconde droite fixe parallèle à la première, entre la tangente et la première courbe, et les tangentes à chacune des deux autres, le rapport de ces produits sera constant, quelque soit le point de la première droite fixe par lequel on aura mené les tangentes. M. Chasles tire quelques conséquences de ce théorème, et observe qu'il peut s'étendre à trois courbes géométriques qui auraient deux à deux les mêmes tangentes communes. Il démontre d'une manière analogue un grand nombre d'autres propositions non moins remarquables, parmi lesquelles nous ne citerons que les suivantes, dont l'énoncé est le plus court. Un polygone d'un nombre pair de côtés étant circonscrit à une conique, le produit des distances d'une tangente à cette courbe aux sommets de rang pair, est au produit des distances de cette même tangente aux sommets de rang impair dans un rapport toujours constant, quelle que soit la tangente à la courbe. Si les droites menées d'un point d'une conique à 4 points de cette courbe forment un faisceau harmonique, les 4 droites menées de tout autre point de la courbe aux 4 mêmes points formeront aussi un faisceau harmonique. Étant données 4 droites fixes quelconques, si une cinquième droite variable de position les coupe en 4 points harmoniques, cette 5ème droite enveloppera une conique tangente aux 4 droites fixes. La transformation parabolique appliquée au principe si connu de la proportionnalité des côtés dans les triangles équilatéraux donne ce théorème : Quand deux triangles ont leurs sommets deux à deux sur trois droites parallèles entre elles, les segments compris sur cette transversale quelconque parallèle à ces droites
à cette courbe aux sommets de rang pair, est au produit des distances de cette même tangente aux sommets de rang impair dans un rapport toujours constant, quelle que soit la tangente à la courbe. Si les droites menées d'un point d'une conique à 4 points de cette courbe forment un faisceau harmonique, les 4 droites menées de tout autre point de la courbe aux 4 mêmes points formeront aussi un faisceau harmonique. Étant données 4 droites fixes quelconques, si une cinquième droite variable de position les coupe en 4 points harmoniques, cette 5ème droite enveloppera une conique tangente aux 4 droites fixes. La transformation parabolique appliquée au principe si connu de la proportionnalité des côtés dans les triangles équilatéraux donne ce théorème : Quand deux triangles ont leurs sommets deux à deux sur trois droites parallèles entre elles, les segments compris sur cette transversale quelconque parallèle à ces droites entre les angles du 1er triangle sont proportionnels aux segments compris entre les angles du second triangle. M. Chasles arrive par la même marche à un théorème que M. Poncelet a donné le premier dans son mémoire sur les centres des moyennes harmoniques. La seconde partie du mémoire de M. Chasles a pour objet la transformation parabolique des figures à trois dimensions qui est fondée sur le théorème suivant : Les plans polaires de deux points pris par rapport à un paraboloïde (elliptique ou hyperbolique) interceptent sur l'axe de ce paraboloïde un segment égal en longueur à la projection orthogonale sur cet axe de la droite qui joint les deux points. La transformation des relations métriques, qui se déduit de ce principe pour les figures dans l'espace, est d'ailleurs analogue à celle qui a été expliquée ci-dessus pour les figures planes. En l'appliquant d'abord aux principales propositions connues de la théorie des transversales, M. Chasles a obtenu des théorèmes nouveaux tels que les suivants : Si par un point fixe et par les côtés d'un polygone gauche on mène des plans, et qu'on tire une transversale arbitraire, les segments interceptés entre chacun de ces plans et les deux faces de
Chasles a pour objet la transformation parabolique des figures à trois dimensions qui est fondée sur le théorème suivant : Les plans polaires de deux points pris par rapport à un paraboloïde (elliptique ou hyperbolique) interceptent sur l'axe de ce paraboloïde un segment égal en longueur à la projection orthogonale sur cet axe de la droite qui joint les deux points. La transformation des relations métriques, qui se déduit de ce principe pour les figures dans l'espace, est d'ailleurs analogue à celle qui a été expliquée ci-dessus pour les figures planes. En l'appliquant d'abord aux principales propositions connues de la théorie des transversales, M. Chasles a obtenu des théorèmes nouveaux tels que les suivants : Si par un point fixe et par les côtés d'un polygone gauche on mène des plans, et qu'on tire une transversale arbitraire, les segments interceptés entre chacun de ces plans et les deux faces de l'angle dièdre du polygone, qui a pour arête le côté par lequel est mené ce plan, seront tels que le produit de tous ces segments qui n'auront pas d'extrémité commune sera égal au produit de tous les autres. On peut encore substituer à ces segments les sinus des angles des plans qui comprennent ces segments. Les côtés d'un polygone gauche étant tous tangents à une surface du second degré, si l'on mène par leurs points de contact des plans tangents à la surface, chaque plan divisera en deux l'angle dièdre du polygone qui a pour arête le côté par lequel ce plan tangent est mené, de sorte qu'on aura de nouveaux angles dièdres en nombre double de celui des angles du polygone; ces nouveaux angles dièdres intercepteront sur une transversale quelconque des segments tels, que le produit de tous ceux qui n'auront pas d'extrémité commune sera égal au produit de tous les autres. Ces segments peuvent aussi être remplacés par les sinus des angles dièdres qui les comprennent. Si l'on a un polygone gauche et qu'on tire une transversale quelconque, la somme algébrique des segments compris sur cette transversale entre les angles dièdres du polygone sera égale à zéro. En
plans qui comprennent ces segments. Les côtés d'un polygone gauche étant tous tangents à une surface du second degré, si l'on mène par leurs points de contact des plans tangents à la surface, chaque plan divisera en deux l'angle dièdre du polygone qui a pour arête le côté par lequel ce plan tangent est mené, de sorte qu'on aura de nouveaux angles dièdres en nombre double de celui des angles du polygone; ces nouveaux angles dièdres intercepteront sur une transversale quelconque des segments tels, que le produit de tous ceux qui n'auront pas d'extrémité commune sera égal au produit de tous les autres. Ces segments peuvent aussi être remplacés par les sinus des angles dièdres qui les comprennent. Si l'on a un polygone gauche et qu'on tire une transversale quelconque, la somme algébrique des segments compris sur cette transversale entre les angles dièdres du polygone sera égale à zéro. En considérant trois surfaces du second degré inscrites dans une même développable, M. Chasles prouve que si, par une droite prise arbitrairement dans un plan fixe, on mène un plan tangent à la première surface et deux plans tangents à chacune des deux autres, et si l'on fait les produits des segments compris sur une transversale fixe parallèle au plan donné entre le plan tangent à la première surface, et les plans tangents à chacune des deux autres surfaces, le rapport de ces produits sera constant, quelle que soit dans le plan donné la droite par laquelle on mène les plans tangents. Trois surfaces du second degré étant inscrites dans la même développable, si, par une droite quelconque, on leur mène six plans tangents, toute transversale rencontrera ces six plans en six points qui seront en involution. La même relation a lieu, entre les sinus des angles des plans tangents. Au surplus, M. Chasles annonce que la plupart des théorèmes qu'il a démontrés sont eux-mêmes des cas particuliers de théorèmes plus généraux qu'il obtient par une autre méthode pour la transformation des relations métriques, et qu'il fera bientôt connaître. Le mémoire de M. Chasles est suivi de quelques théorèmes de M.
segments compris sur une transversale fixe parallèle au plan donné entre le plan tangent à la première surface, et les plans tangents à chacune des deux autres surfaces, le rapport de ces produits sera constant, quelle que soit dans le plan donné la droite par laquelle on mène les plans tangents. Trois surfaces du second degré étant inscrites dans la même développable, si, par une droite quelconque, on leur mène six plans tangents, toute transversale rencontrera ces six plans en six points qui seront en involution. La même relation a lieu, entre les sinus des angles des plans tangents. Au surplus, M. Chasles annonce que la plupart des théorèmes qu'il a démontrés sont eux-mêmes des cas particuliers de théorèmes plus généraux qu'il obtient par une autre méthode pour la transformation des relations métriques, et qu'il fera bientôt connaître. Le mémoire de M. Chasles est suivi de quelques théorèmes de M. Olivier sur la division des surfaces et des corps. Voici le premier de ces théorèmes qui peut donner une idée des autres : Si l'on divise le diamètre d'un cercle en n parties arbitraires, et si, sur chacune de ces parties comme diamètre, on décrit un cercle, la surface du grand cercle sera égale au carré de la somme des racines carrées des surfaces de tous les petits cercles. M. Verhulst donne ensuite quelques développements sur la manière d'intégrer les équations différentielles pour le mouvement du pendule simple dans un milieu résistant, problème dont M. Poisson a donné une solution très satisfaisante dans son Traité de mécanique. M. Thilo fait ensuite connaître un procédé pour mesurer par approximation la hauteur des montagnes au moyen du pendule. Enfin, dans un dernier article, on trouve quelques formules relatives à la détermination du nombre de boulets qui entrent dans une pile dont la base a la forme d'un hexagone régulier. C.S. 8. RECHERCHES DE GÉOMÉTRIE PURE SUR LES LIGNES ET LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ; par M. CHASLES. Paris; Bachelier. Ce mémoire fera partie du Tome cinquième des Mémoires de Bruxelles, qui ne tardera pas à paraître. Voici l'analyse que l'auteur en a
grand cercle sera égale au carré de la somme des racines carrées des surfaces de tous les petits cercles. M. Verhulst donne ensuite quelques développements sur la manière d'intégrer les équations différentielles pour le mouvement du pendule simple dans un milieu résistant, problème dont M. Poisson a donné une solution très satisfaisante dans son Traité de mécanique. M. Thilo fait ensuite connaître un procédé pour mesurer par approximation la hauteur des montagnes au moyen du pendule. Enfin, dans un dernier article, on trouve quelques formules relatives à la détermination du nombre de boulets qui entrent dans une pile dont la base a la forme d'un hexagone régulier. C.S. 8. RECHERCHES DE GÉOMÉTRIE PURE SUR LES LIGNES ET LES SURFACES DU SECOND DEGRÉ; par M. CHASLES. Paris; Bachelier. Ce mémoire fera partie du Tome cinquième des Mémoires de Bruxelles, qui ne tardera pas à paraître. Voici l'analyse que l'auteur en a donnée dans le n° a du Tome V de la Correspondance mathématique. Première PARTIE. — Transformations polaires d'une conique et d'un cone du second degré. On est conduit dans cette première partie du mémoire à la propriété générale suivante des cônes du second degré : Dans tout cône du second degré il existe deux droites fixes passant par son sommet, telles que tout plan perpendiculaire à l'une d'elles, coupe le cône suivant une conique dont un des foyers est le point où le plan rencontre cette droite. Ces deux droites sont appelées lignes focales du cône. Elles jouissent de plusieurs propriétés remarquables qui se trouvent exposées dans la seconde partie du mémoire, comme conséquences de certaines propriétés des surfaces du second degré de révolution. Parmi les principes généraux des transformations polaires d'un cône du second degré et d'une conique, on remarque le suivant, dont plusieurs des autres sont des conséquences : La surface polaire d'une conique, par rapport à une sphère, est un cône dont les sections circulaires sont dans des plans perpendiculaires respectivement aux deux lignes focales du cône qui a pour base la conique et pour sommet le centre de la sphère; et dont les lignes focales sont
degré il existe deux droites fixes passant par son sommet, telles que tout plan perpendiculaire à l'une d'elles, coupe le cône suivant une conique dont un des foyers est le point où le plan rencontre cette droite. Ces deux droites sont appelées lignes focales du cône. Elles jouissent de plusieurs propriétés remarquables qui se trouvent exposées dans la seconde partie du mémoire, comme conséquences de certaines propriétés des surfaces du second degré de révolution. Parmi les principes généraux des transformations polaires d'un cône du second degré et d'une conique, on remarque le suivant, dont plusieurs des autres sont des conséquences : La surface polaire d'une conique, par rapport à une sphère, est un cône dont les sections circulaires sont dans des plans perpendiculaires respectivement aux deux lignes focales du cône qui a pour base la conique et pour sommet le centre de la sphère; et dont les lignes focales sont perpendiculaires aux plans des sections circulaires de ce second cône. Deuxième PARTIE. — Propriétés générales des surfaces du second degré de révolution. Cette seconde partie du mémoire est divisée en 8 paragraphes. Dans le premier paragraphe intitulé : Préliminaires, on établit que la surface polaire d'une sphère, par rapport à une seconde sphère, est une surface de révolution dont un des foyers est au centre de la seconde sphère. On donne la construction du plan directeur de cette surface de révolution, de son centre et de son cône asymptotique; et la discussion des différentes formes que peut prendre la surface. Le second paragraphe intitulé : Rayons vecteurs et plans vecteurs menés d'un foyer de la surface, contient dix théorèmes différents qui sont des conséquences immédiates des propriétés les plus simples de la sphère; ils sont tous faciles à exprimer; nous ne citerons que celui-ci : Les rayons vecteurs menés d'un foyer aux extrémités d'une corde d'une surface de révolution, sont également inclinés sur le rayon vecteur mené au point où cette corde rencontre le plan directeur. Le troisième paragraphe, intitulé : Propriétés de deux droites polaires réciproques par rapport à une surface de révolution, contient six théorèmes, dont le principal