jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
un liquide pesant d'une profondeur et d'une étendue indéfinies, par l'immersion d'un corps solide d'une forme arbitraire. L'auteur du mémoire que nous annonçons a considéré le mouvement des ondes dans un bassin ayant la forme d'un parallélepipède rectangle ou celle d'un cylindre droit à base circulaire. En supposant la surface initiale du liquide arbitraire (dans ses deux dimensions), ces deux problèmes sont compris dans la classe de ceux qui se résolvent à l'aide des méthodes que M. Fourier a données dans sa Théorie de la chaleur. L'usage habile que M. Merian a fait de ces méthodes, prouve qu'il est versé dans cette analyse nouvelle. D'après la date de son mémoire, important pour l'explication des phénomènes physiques, il ne peut pas avoir eu connaissance des solutions que MM. Corancez et Poisson ont données pour le cas du bassin cylindrique ; le travail de M. Corancez n'ayant pas été publié, et celui de M. Poisson ayant été inséré dans le n° de février 1829 des Annales de mathématiques. C. S. 45. EXERCICES DE MATHÉMATIQUES; par M. CAUCHY. 43e et 44 livraisons. Paris; de Bure. Les deux livraisons que nous annonçons, formant un seul cahier, renferment des recherches d'analyse importantes. Le 1er article a pour objet la détermination du résidu intégral de quelques fonctions. M. Cauchy a donné, dans le tom. II de ses exercices, une formule à l'aide de laquelle on peut déterminer, dans un très-grand nombre de cas, le résidu intégral d'une fonction. Il en a déduit, comme conséquence, la sommation d'une multitude de séries plus ou moins remarquables, parmi lesquelles sont comprises comme cas très-particuliers, presque toutes celles dont Euler s'est occupé dans son Introduction à l'analyse des infinis. M. Cauchy, dans son nouvel article, complète sa théorie, en examinant un cas qu'il n'avait pas considéré jusqu'ici, celui où la fonction proposée devient infinie pour une infinité de valeurs de la variable, dont les modules diffèrent très-peu de zéro. Il fait voir comment il faut, dans ce cas, modifier sa formule générale. En appliquant ses remarques à des fonctions particulières, il obtient plusieurs formules nouvelles, parmi lesquelles nous citerons la
a pour objet la détermination du résidu intégral de quelques fonctions. M. Cauchy a donné, dans le tom. II de ses exercices, une formule à l'aide de laquelle on peut déterminer, dans un très-grand nombre de cas, le résidu intégral d'une fonction. Il en a déduit, comme conséquence, la sommation d'une multitude de séries plus ou moins remarquables, parmi lesquelles sont comprises comme cas très-particuliers, presque toutes celles dont Euler s'est occupé dans son Introduction à l'analyse des infinis. M. Cauchy, dans son nouvel article, complète sa théorie, en examinant un cas qu'il n'avait pas considéré jusqu'ici, celui où la fonction proposée devient infinie pour une infinité de valeurs de la variable, dont les modules diffèrent très-peu de zéro. Il fait voir comment il faut, dans ce cas, modifier sa formule générale. En appliquant ses remarques à des fonctions particulières, il obtient plusieurs formules nouvelles, parmi lesquelles nous citerons la suivante : Cet article est suivi d'un mémoire de 40 pages, sur l'usage du calcul des résidus par l'évaluation ou la transformation des produits composés d'un nombre fini ou infini de facteurs. Un court extrait de ce mémoire a paru dans le Bulletin de septembre dernier. Nous n'essaierons pas d'en donner une plus ample analyse, les formules générales de l'auteur ayant besoin, pour être bien comprises, d'être accompagnées de leur démonstration. Ce travail est une belle application des méthodes qui constituent le calcul des résidus; il roule sur l'un des points les plus difficiles et les plus intéressants de l'analyse; savoir, la décomposition d'une fonction transcendante en facteurs binômes linéaires, correspondant aux diverses valeurs réelles ou imaginaires de la variable, qui réduisent la fonction à zéro. Le dernier article de ce cahier est relatif aux corps solides ou fluides, dans lesquels la condensation ou dilatation linéaire est la même en tous sens. Concevons qu'un corps solide vienne à changer de forme, et que par l'effet d'une cause quelconque, il passe d'un premier état naturel ou artificiel à un second état distinct du premier. Supposons que le point matériel correspondant aux coordonnées x, y, z, dans le second état du corps,
donner une plus ample analyse, les formules générales de l'auteur ayant besoin, pour être bien comprises, d'être accompagnées de leur démonstration. Ce travail est une belle application des méthodes qui constituent le calcul des résidus; il roule sur l'un des points les plus difficiles et les plus intéressants de l'analyse; savoir, la décomposition d'une fonction transcendante en facteurs binômes linéaires, correspondant aux diverses valeurs réelles ou imaginaires de la variable, qui réduisent la fonction à zéro. Le dernier article de ce cahier est relatif aux corps solides ou fluides, dans lesquels la condensation ou dilatation linéaire est la même en tous sens. Concevons qu'un corps solide vienne à changer de forme, et que par l'effet d'une cause quelconque, il passe d'un premier état naturel ou artificiel à un second état distinct du premier. Supposons que le point matériel correspondant aux coordonnées x, y, z, dans le second état du corps, soit celui qui, dans le premier état, avait pour coordonnées x-ξ, y-ζ, z-η. Si l'on prend x, y, z pour variables indépendantes, Z, m, η, seront des fonctions de x, y, z qui mesureront les déplacements du point que l'on considère parallèlement aux axes. Soit encore r le rayon vecteur mené dans le second état du corps de la molécule m qui a pour coordonnées x, y, z à une autre molécule très-voisine m' et a, β, y, les angles formés par la ligne r avec les axes. Si l'on désigne par l* la distance primitive des deux molécules m, η, la valeur de l, positive ou négative, sera la mesure de la dilatation ou de la condensation linéaire du corps, suivant la direction du rayon r. Cela posé, en admettant que les déplacements ξ, η soient très-petits, on aura (d'après le Bulletin de mars 1829, page 177) -dz dt -cos a + 'dz dt -cos e+ZCOS' t + (dη dz +; COS 6. cosy T+(sin+α)CM y. COS + dz dx a. cos 6. (1) Or, on peut demander quelles conditions doivent remplir ξ, η, considérées comme fonctions de x, y, z, pour que la condensation ou dilatation linéaire du
mené dans le second état du corps de la molécule m qui a pour coordonnées x, y, z à une autre molécule très-voisine m' et a, β, y, les angles formés par la ligne r avec les axes. Si l'on désigne par l* la distance primitive des deux molécules m, η, la valeur de l, positive ou négative, sera la mesure de la dilatation ou de la condensation linéaire du corps, suivant la direction du rayon r. Cela posé, en admettant que les déplacements ξ, η soient très-petits, on aura (d'après le Bulletin de mars 1829, page 177) -dz dt -cos a + 'dz dt -cos e+ZCOS' t + (dη dz +; COS 6. cosy T+(sin+α)CM y. COS + dz dx a. cos 6. (1) Or, on peut demander quelles conditions doivent remplir ξ, η, considérées comme fonctions de x, y, z, pour que la condensation ou dilatation linéaire du corps reste la même en tous sens autour de chaque point, c'est-à-dire, pour que la valeur numérique de s donnée par la formule qui précède, soit indépendante des angles α, β, γ. M. Cauchy trouve, par une analyse élégante, que α doit être alors une fonction linéaire de x, γ, z, de la forme α = ax + by + cz + k, a, b, c, k étant des quantités constantes, et qu'on doit avoir en même temps η = ax+bγ + cz + k) x— + a (x2 +y2 + z2) + hy—gz 1 η = (ax + by + cz + k) γ — + b(x2 +γ2 + z2)+fz hx + m η = (ax + by + cz + k) z — + c(x2+y2+z2)+gx fγ + * f, g, h, l, m, n étant aussi des constantes. C. S. 46. SECOND MÉMOIRE SUR LES RÉSULTATS MOYENS, ET SUR LES ERREURS DES MESURES; par M. FOURIER (Recherches statistiques sur la ville de Paris et le département de la Seine. Paris, 1829; Imprim. roy.). La précieuse collection dont fait partie le mémoire que nous annonçons, se publie depuis plusieurs années. Il en paraît chaque année un volume qui contient,
z, de la forme α = ax + by + cz + k, a, b, c, k étant des quantités constantes, et qu'on doit avoir en même temps η = ax+bγ + cz + k) x— + a (x2 +y2 + z2) + hy—gz 1 η = (ax + by + cz + k) γ — + b(x2 +γ2 + z2)+fz hx + m η = (ax + by + cz + k) z — + c(x2+y2+z2)+gx fγ + * f, g, h, l, m, n étant aussi des constantes. C. S. 46. SECOND MÉMOIRE SUR LES RÉSULTATS MOYENS, ET SUR LES ERREURS DES MESURES; par M. FOURIER (Recherches statistiques sur la ville de Paris et le département de la Seine. Paris, 1829; Imprim. roy.). La précieuse collection dont fait partie le mémoire que nous annonçons, se publie depuis plusieurs années. Il en paraît chaque année un volume qui contient, outre les tableaux et les descriptions statistiques, des mémoires destinés à l'exposition des théories nécessaires pour éclaircir et diriger les recherches, et pour soumettre les faits à une juste appréciation. M. Fourier concourt au succès de ce recueil, par le secours de ses lumières et la part qu'il prend à la rédaction. On lui est redevable de plusieurs mémoires dans lesquels il s'est proposé de faire connaître certains principes généraux que fournit l'analyse mathématique appliquée à plusieurs questions qui ont rapport à la statistique. M. Fourier a porté dans l'exposition de ces principes, la clarté et la profondeur qu'on admire dans toutes ses productions. Les géomètres doivent regretter que la nature du recueil dont ces mémoires font partie n'ait pas permis au savant auteur de donner les démonstrations des propositions qu'il ne fait qu'énoncer ; mais ces démonstrations, malgré la simplicité des théorèmes, exigent l'emploi de la plus haute analyse, et dès lors elles ne pouvaient trouver place dans ce recueil qui s'adresse à toutes les classes de lecteurs. C'est pour mettre ses théories à la portée de tous, que M. Fourier les a développées avec plus de détails qu'il ne l'eût fait sans doute, s'il n'eût écrit que pour
la rédaction. On lui est redevable de plusieurs mémoires dans lesquels il s'est proposé de faire connaître certains principes généraux que fournit l'analyse mathématique appliquée à plusieurs questions qui ont rapport à la statistique. M. Fourier a porté dans l'exposition de ces principes, la clarté et la profondeur qu'on admire dans toutes ses productions. Les géomètres doivent regretter que la nature du recueil dont ces mémoires font partie n'ait pas permis au savant auteur de donner les démonstrations des propositions qu'il ne fait qu'énoncer ; mais ces démonstrations, malgré la simplicité des théorèmes, exigent l'emploi de la plus haute analyse, et dès lors elles ne pouvaient trouver place dans ce recueil qui s'adresse à toutes les classes de lecteurs. C'est pour mettre ses théories à la portée de tous, que M. Fourier les a développées avec plus de détails qu'il ne l'eût fait sans doute, s'il n'eût écrit que pour les géomètres. Le tome III contient un mémoire où M. Fourier a donné une règle qui sert à estimer la précision des résultats moyens réduits d'un grand nombre d'observations. On a fait des applications remarquables de cette règle ; on peut citer comme exemple un travail dû à M. Puissant, qui, dans un supplément à son traité de géodésie, a présenté les conséquences d'un très grand nombre d'observations de latitude. On a aussi appliqué la même méthode à la détermination de la durée des générations humaines dans un pays et dans un siècle donné, question dont on avait remarqué depuis longtemps l'importance, mais qui toutefois n'avait point encore été soumise au calcul. Après avoir exactement défini les éléments de cette question, on a pu faire usage de la règle dont il s'agit, et l'on a reconnu que le nombre de faits qu'il était nécessaire de recueillir, n'excède pas celui que l'on peut déduire des registres publics conservés à l'hôtel de la ville de Paris. Ce travail dont M. Villot est l'auteur, a fait connaître, avec une précision suffisante, la durée des générations viriles à Paris, durant le XVIIIe siècle et ce qui est remarquable, on a pu déterminer les limites
qui, dans un supplément à son traité de géodésie, a présenté les conséquences d'un très grand nombre d'observations de latitude. On a aussi appliqué la même méthode à la détermination de la durée des générations humaines dans un pays et dans un siècle donné, question dont on avait remarqué depuis longtemps l'importance, mais qui toutefois n'avait point encore été soumise au calcul. Après avoir exactement défini les éléments de cette question, on a pu faire usage de la règle dont il s'agit, et l'on a reconnu que le nombre de faits qu'il était nécessaire de recueillir, n'excède pas celui que l'on peut déduire des registres publics conservés à l'hôtel de la ville de Paris. Ce travail dont M. Villot est l'auteur, a fait connaître, avec une précision suffisante, la durée des générations viriles à Paris, durant le XVIIIe siècle et ce qui est remarquable, on a pu déterminer les limites de l'erreur, en sorte que l'on connaît deux nombres assez peu différents, entre lesquels la valeur exacte est certainement comprise. Les résultats de cette recherche nouvelle se trouvent dans les séries des tableaux du volume qui renferme le mémoire que nous annonçons. Dans ce nouveau mémoire, M. Fourier s'est proposé de compléter l'usage de la règle qu'il a donnée dans celui du tome III, en y ajoutant un procédé du même genre, pour découvrir suivant quelle loi l'erreur d'un résultat dépend des erreurs partielles des mesures. L'auteur ayant donné lui-même le résumé de son travail à la fin du mémoire, nous ne pouvons mieux faire que de reproduire ce résumé, dans le Bulletin. Plusieurs quantités a, b, c, etc., sont regardées comme connues, parce que la valeur de chacune d'elles est mesurée au moyen d'un instrument dont l'application peut être répétée. Une quantité inconnue x est exprimée par une certaine fonction des données a, b, c, etc. ; la nature de cette fonction est connue, c'est-à-dire que l'on sait de quelle manière il faut opérer sur les données a, b, c... etc., pour que le résultat de la dernière opération soit l'inconnue x ; chacune des données a, b, c....
de compléter l'usage de la règle qu'il a donnée dans celui du tome III, en y ajoutant un procédé du même genre, pour découvrir suivant quelle loi l'erreur d'un résultat dépend des erreurs partielles des mesures. L'auteur ayant donné lui-même le résumé de son travail à la fin du mémoire, nous ne pouvons mieux faire que de reproduire ce résumé, dans le Bulletin. Plusieurs quantités a, b, c, etc., sont regardées comme connues, parce que la valeur de chacune d'elles est mesurée au moyen d'un instrument dont l'application peut être répétée. Une quantité inconnue x est exprimée par une certaine fonction des données a, b, c, etc. ; la nature de cette fonction est connue, c'est-à-dire que l'on sait de quelle manière il faut opérer sur les données a, b, c... etc., pour que le résultat de la dernière opération soit l'inconnue x ; chacune des données a, b, c.... est sujette à une certaine erreur de mesure que l'on doit regarder comme inévitable, mais qui ne peut excéder certaines limites. Il est évident que les erreurs de toutes ces mesures influent sur l'erreur de l'inconnue x. La question consiste à déterminer exactement les limites entre lesquelles l'inconnue x est comprise, lorsque l'on connaît les limites de chacune des données a, b, c, etc. Tant que ce dernier problème n'est point résolu, on ne se forme qu'une idée imparfaite de l'erreur du résultat x. Pour résoudre la question précédente, il faut premièrement déterminer pour chacune des grandeurs a, b, c., les limites entre lesquelles leur valeur est comprise. On trouve ces limites en répétant plusieurs fois l'application de l'instrument et en faisant usage de la règle générale énoncée dans le mémoire précédent, inséré au tome III de ce Recueil. Cette règle consiste à déduire les limites cherchées des différentes valeurs que l'on a obtenues en mesurant plusieurs fois une même quantité telle que a. On calcule d'abord la valeur moyenne de ces diverses quantités a1, a2, a3 ... aM en divisant leur somme a1 + a2 + a3 ...+ aM par leur nombre m. On prend ensuite le carré de
comprise, lorsque l'on connaît les limites de chacune des données a, b, c, etc. Tant que ce dernier problème n'est point résolu, on ne se forme qu'une idée imparfaite de l'erreur du résultat x. Pour résoudre la question précédente, il faut premièrement déterminer pour chacune des grandeurs a, b, c., les limites entre lesquelles leur valeur est comprise. On trouve ces limites en répétant plusieurs fois l'application de l'instrument et en faisant usage de la règle générale énoncée dans le mémoire précédent, inséré au tome III de ce Recueil. Cette règle consiste à déduire les limites cherchées des différentes valeurs que l'on a obtenues en mesurant plusieurs fois une même quantité telle que a. On calcule d'abord la valeur moyenne de ces diverses quantités a1, a2, a3 ... aM en divisant leur somme a1 + a2 + a3 ...+ aM par leur nombre m. On prend ensuite le carré de ces différentes valeurs, et l'on divise la somme a1 + a2 + ...+ am par leur nombre m, ce qui donne la valeur moyenne de ces carrés, savoir : On compare cette valeur moyenne des carrés au carré de la valeur moyenne, savoir : On retranche de la valeur moyenne des carrés le carré de la valeur moyenne. Le reste est ainsi exprimé : On divise le double de ce reste par le nombre m, et l'on extrait la racine carrée du quotient, désignant par g cette racine carrée, on a C'est ce nombre g qui fait connaître la limite de l'erreur de la quantité mesurée a; il suffit de prendre le triple du nombre g; on doit regarder comme certain dans la pratique que la valeur exacte de a est comprise entre a — 3 g et a+ 3 g. L'erreur positive ou négative de la valeur a donnée par la mesure est donc inférieure que ± 3 g. Pour connaître le sens exact de cette proposition, il faut considérer que si l'on pouvait répéter un nombre infini de fois la mesure de la quantité a, et si l'on prenait la valeur moyenne de ce nombre infini de valeurs
des carrés le carré de la valeur moyenne. Le reste est ainsi exprimé : On divise le double de ce reste par le nombre m, et l'on extrait la racine carrée du quotient, désignant par g cette racine carrée, on a C'est ce nombre g qui fait connaître la limite de l'erreur de la quantité mesurée a; il suffit de prendre le triple du nombre g; on doit regarder comme certain dans la pratique que la valeur exacte de a est comprise entre a — 3 g et a+ 3 g. L'erreur positive ou négative de la valeur a donnée par la mesure est donc inférieure que ± 3 g. Pour connaître le sens exact de cette proposition, il faut considérer que si l'on pouvait répéter un nombre infini de fois la mesure de la quantité a, et si l'on prenait la valeur moyenne de ce nombre infini de valeurs différentes qu'on aurait obtenues, cette moyenne serait une quantité entièrement fixe, c'est-à-dire qu'en mesurant de nouveau une infinité de fois cette même grandeur, la moyenne que l'on obtiendrait par cette nouvelle opération ne différerait aucunement de celle que l'on aurait obtenue par l'opération précédente. La valeur moyenne d'une infinité de résultats donnés par la mesure d'une même grandeur est invariable ; on la trouverait toujours la même. Cette dernière proposition est démontrée depuis longtemps; elle dérive d'un principe fondamental de l'analyse des probabilités. Nous désignons par A ce résultat moyen et invariable d'un nombre infini de mesures d'une certaine grandeur a. Si cette grandeur n'a pas été mesurée un nombre infini de fois, mais seulement un nombre de fois fini et désigné par m, la valeur moyenne de ces m mesures diffère en général de la quantité fixe A, et c'est la différence de cette valeur moyenne à la grandeur fixe A que nous appelons l'erreur de a : or cette erreur de a est comprise entre a - 3 g et a + 3 g. Il est nécessaire de remarquer que cette conséquence s'applique aux erreurs fortuites dont la valeur a peut être affectée soit en plus, soit en
résultats donnés par la mesure d'une même grandeur est invariable ; on la trouverait toujours la même. Cette dernière proposition est démontrée depuis longtemps; elle dérive d'un principe fondamental de l'analyse des probabilités. Nous désignons par A ce résultat moyen et invariable d'un nombre infini de mesures d'une certaine grandeur a. Si cette grandeur n'a pas été mesurée un nombre infini de fois, mais seulement un nombre de fois fini et désigné par m, la valeur moyenne de ces m mesures diffère en général de la quantité fixe A, et c'est la différence de cette valeur moyenne à la grandeur fixe A que nous appelons l'erreur de a : or cette erreur de a est comprise entre a - 3 g et a + 3 g. Il est nécessaire de remarquer que cette conséquence s'applique aux erreurs fortuites dont la valeur a peut être affectée soit en plus, soit en moins. Si l'instrument de mesure était sujet à une erreur constante qui se reproduirait toujours, et autant de fois qu'on appliquerait l'instrument, il est manifeste que cette erreur uniforme subsisterait aussi dans la valeur moyenne, quelque grand que puisse être le nombre des applications du même instrument. Quant aux erreurs fortuites, elles disparaissent de plus en plus à mesure que le nombre des opérations devient plus grand. On peut toujours, en répétant indéfiniment le nombre des mesures, faire disparaître toutes les erreurs fortuites, c'est-à-dire que la différence de la valeur moyenne à la grandeur fixe A, devient de plus en plus petite, lorsqu'on augmente le nombre des mesures; et cette erreur peut devenir moindre que toute quantité donnée. On détermine par un calcul semblable l'erreur moyenne de la grandeur mesurée a; pour cela on ne multiplie point par 3 le nombre précédent g; on multiplie ce nombre par le facteur 0,47708. Ce produit est l'erreur moyenne de a, et la probabilité de cette erreur est un demi, c'est-à-dire qu'on est aussi fondé à croire que l'erreur de a surpasse le produit, que l'on est fondé à croire que cette erreur de a est au-dessous du même produit. Ainsi la limite
fortuites, elles disparaissent de plus en plus à mesure que le nombre des opérations devient plus grand. On peut toujours, en répétant indéfiniment le nombre des mesures, faire disparaître toutes les erreurs fortuites, c'est-à-dire que la différence de la valeur moyenne à la grandeur fixe A, devient de plus en plus petite, lorsqu'on augmente le nombre des mesures; et cette erreur peut devenir moindre que toute quantité donnée. On détermine par un calcul semblable l'erreur moyenne de la grandeur mesurée a; pour cela on ne multiplie point par 3 le nombre précédent g; on multiplie ce nombre par le facteur 0,47708. Ce produit est l'erreur moyenne de a, et la probabilité de cette erreur est un demi, c'est-à-dire qu'on est aussi fondé à croire que l'erreur de a surpasse le produit, que l'on est fondé à croire que cette erreur de a est au-dessous du même produit. Ainsi la limite de l'erreur positive ou négative dont la valeur a peut être affectée, est + 3 g, et l'erreur de a qui a pour probabilité un demi est (0,47708) 9: c'est cette dernière erreur que nous appelons moyenne. Quand au produit 3 g, il exprime la plus grande erreur que l'on puisse dans la pratique attribuer à la quantité mesurée a : cette plus grande erreur n'est pas rigoureusement impossible ; mais sa probabilité est extrêmement petite; elle tombe au-dessous d'un vingt-millième. Après avoir ainsi déterminé la limite de l'erreur de a et l'erreur moyenne de cette même quantité a, il faut en déduire, 1° la limite de l'erreur de l'inconnue x; 3° l'erreur moyenne de cette même inconnue x, qui est une certaine fonction F ( a, b, c..., etc. ) des grandeurs mesurées a, b, c, d, etc. Pour résoudre ces deux questions, on opérera comme il suit sur la fonction donnée F (a, b, c... etc. ): 1° On désigne par D a la limite de l'erreur de l'une des données a, et par D b, D c..., etc., les limites des erreurs des autres données b, c, etc.; ces petites quantités D a, D b, D c,