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33 464 — Série A C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). le domaine G et devient nulle dans un voisinage D du point ; les moyennes de Riesz (2) du développement spectral de f(x) n'ont pas de limite dans le point lorsque COROLLAIRE 1. (Conditions ne donnant pas de localisation des moyennes de Riesz d'ordre s des classes ) N, G, et a ont le même sens que dans le théorème 1. Il existe alors une fonction f(x), satisfaisant aux conditions suivantes : i° la fonction f(x) est finie dans le G et devient nulle dans un certain voisinage D du point ; 20 dans G f(x) appartient à chacune des classes et pour tout les moyennes de Riesz (2) du développement spectral de f(x) n'ont pas de limite dans le point lorsque Ainsi, l'appartement de la fonction f(x) à une de ces cinq classes d'ordre de différenciation a inférieur à ne donne même pas de localisation des moyennes de Riesz (2) (indépendamment du degré de sommation p et dans le cas de la classe de Bessov pour Il est donc naturel qu'il se pose le problème de l'étude des moyennes de Riesz (2) pour les fonctions appartenant à une de ces cinq classes d'ordre de différenciation a. Puisque parmi les cinq classes, celle de Nikolsky est la plus générale et contient les autres classes et il est donc suffisant de déterminer les conditions de convergence uniforme des moyennes de Riesz (2) dans les termes des classes de Nikolsky. Désignons par le symbole Gh, le sous-ensemble des points du domaine G à distance de la frontière de G. THÉORÈME 2. (Conditions garantissant la convergence uniforme des moyennes de Riesz d'ordre s dans les classes de Nikolsky.) Soit N G un domaine arbitraire à N dimensions, L une extension autoadjointe arbitraire non négative de l'opérateur — A dans le domaine G, f(x) une fonction arbitraire satisfaisant aux conditions suivantes : i° f(x) devient nulle en dehors de l'ensemble pour un certain 2° f(x) appartient à la classe lorsque dans tout le domaine G; 3° dans un certain
fonctions appartenant à une de ces cinq classes d'ordre de différenciation a. Puisque parmi les cinq classes, celle de Nikolsky est la plus générale et contient les autres classes et il est donc suffisant de déterminer les conditions de convergence uniforme des moyennes de Riesz (2) dans les termes des classes de Nikolsky. Désignons par le symbole Gh, le sous-ensemble des points du domaine G à distance de la frontière de G. THÉORÈME 2. (Conditions garantissant la convergence uniforme des moyennes de Riesz d'ordre s dans les classes de Nikolsky.) Soit N G un domaine arbitraire à N dimensions, L une extension autoadjointe arbitraire non négative de l'opérateur — A dans le domaine G, f(x) une fonction arbitraire satisfaisant aux conditions suivantes : i° f(x) devient nulle en dehors de l'ensemble pour un certain 2° f(x) appartient à la classe lorsque dans tout le domaine G; 3° dans un certain domaine D contenu dans G, f(x) appartient à la classe pour certains a et p, satisfaisant aux conditions a Alors les moyennes de Riesz (2) du développement spectral de f(x) convergent vers f(x) lorsque dans tout point intérieur du domaine D et pour tout leur convergence est uniforme dans le domaine COROLLAIRE 2. — L'assertion du théorème 2 est aussi bien valable pour la classe de Nikolsky que pour chacune des classes de Bessov, de Liouville, de Sobolev et de Zigmund-Hölder du même ordre de différenciation a, du même degré de sommation p et (dans le cas de la classe de Bessov) pour n'importe quel C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A — 465 Ainsi dans chacune des cinq classes étudiées nous avons déterminé l'ordre de différenciation définitive donnant la convergence uniforme des moyennes de Riesz d'ordre S [lorsque on n'obtiendra même pas la localisation des moyennes de Riesz dans aucune de ces classes]. Aussi le degré de sommation p que nous avons déterminé satisfaisant à l'inégalité est également définitif, puisque quand et dans chacune des classes l'inégalité N admet l'existence d'une fonction non-bornée, pour laquelle les moyennes de Riesz (2) ne convergent pas uniformément.
domaine COROLLAIRE 2. — L'assertion du théorème 2 est aussi bien valable pour la classe de Nikolsky que pour chacune des classes de Bessov, de Liouville, de Sobolev et de Zigmund-Hölder du même ordre de différenciation a, du même degré de sommation p et (dans le cas de la classe de Bessov) pour n'importe quel C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A — 465 Ainsi dans chacune des cinq classes étudiées nous avons déterminé l'ordre de différenciation définitive donnant la convergence uniforme des moyennes de Riesz d'ordre S [lorsque on n'obtiendra même pas la localisation des moyennes de Riesz dans aucune de ces classes]. Aussi le degré de sommation p que nous avons déterminé satisfaisant à l'inégalité est également définitif, puisque quand et dans chacune des classes l'inégalité N admet l'existence d'une fonction non-bornée, pour laquelle les moyennes de Riesz (2) ne convergent pas uniformément. Les conditions de convergence uniforme des moyennes de Riesz d'ordre que nous avons déterminées (ayant une forme définitive pour chacune des cinq classes de fonctions indiquées) sont nouvelles même dans le cas de l'intégrale de Fourier multiple. Quelques remarques au sujet de la démonstration des résultats formulés. L'idée principale consiste en l'unification des méthodes développées pour le cas du spectre ponctuel dans les ouvrages avec le théorème remarquable de Gårding (1). Désignons par U une représentation ordonnée, de l'espace L2(G) relatif à une extension autoadjointe L avec la mesure et avec les ensembles de multiplicité de noyau et de multiplicité. Les moyennes de Riesz (2) d'une fonction arbitraire prennent alors la forme suivante : où la transformation de Fourier est déterminée par l'égalité En se basant uniquement sur ce que les noyaux sont des solutions régulières de l'équation et sur ce que l'égalité de Parseval est vérifiée pour deux fonctions arbitraires f(x) et g(x) de la classe L2(G) pour démontrer les théorèmes 1 et 2 on emploie un schéma semblable à celui exposé dans (7) et (8). Séance du 6 juillet 1970. (1) C. M. "Hayka", Mokba, 1969. (2) Le domaine G peut être, soit illimité, soit coïncidant avec tout
en l'unification des méthodes développées pour le cas du spectre ponctuel dans les ouvrages avec le théorème remarquable de Gårding (1). Désignons par U une représentation ordonnée, de l'espace L2(G) relatif à une extension autoadjointe L avec la mesure et avec les ensembles de multiplicité de noyau et de multiplicité. Les moyennes de Riesz (2) d'une fonction arbitraire prennent alors la forme suivante : où la transformation de Fourier est déterminée par l'égalité En se basant uniquement sur ce que les noyaux sont des solutions régulières de l'équation et sur ce que l'égalité de Parseval est vérifiée pour deux fonctions arbitraires f(x) et g(x) de la classe L2(G) pour démontrer les théorèmes 1 et 2 on emploie un schéma semblable à celui exposé dans (7) et (8). Séance du 6 juillet 1970. (1) C. M. "Hayka", Mokba, 1969. (2) Le domaine G peut être, soit illimité, soit coïncidant avec tout l'espace E. (3) On comprendra par extension autoadjointe d'un opérateur elliptique A, l'extension autoadjointe de sa restriction A dont le domaine de définition A. L. Gårding, Lund Förhandliger, 24, 1954, p. 21. Lorsque le domaine G coïncide avec EN, l'ensemble Gh, coïncide avec G. Dans ce cas, il existe une extension autoadjointe non négative unique de l'opérateur A, amenant à un développement en intégrale de Fourier multiple. B. A. 13, n° 1, 1958, p. 87-180. B. A. 23, n° 2, 1968, p. 61-120. L. Gårding, Inst. for Fluid Dynamics and Applied Math., Lecture Séries No. 11, University of Maryland. (L'Université à Moscou, Moscou V-234, U.S.S.R.) G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 465 MÉCANIQUE DES FLUIDES. — Étude de frontières d'écoulements turbulents. Note (*) de MM. Michel Sunyach, Luc Baumont et Jean Mathieu, présentée par M. Edmond Brun. La méthode de mesure de l'intermittence décrite par ailleurs (1) a été améliorée pour ces essais en superposant deux signaux identiques décalés d'un intervalle de temps en relation avec les fréquences élevées du champ turbulent; ce procédé de "lissage" ne diminuant pas par ailleurs la netteté des fronts de passage. Fig. I. 468 — Série A G.
extension autoadjointe non négative unique de l'opérateur A, amenant à un développement en intégrale de Fourier multiple. B. A. 13, n° 1, 1958, p. 87-180. B. A. 23, n° 2, 1968, p. 61-120. L. Gårding, Inst. for Fluid Dynamics and Applied Math., Lecture Séries No. 11, University of Maryland. (L'Université à Moscou, Moscou V-234, U.S.S.R.) G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 465 MÉCANIQUE DES FLUIDES. — Étude de frontières d'écoulements turbulents. Note (*) de MM. Michel Sunyach, Luc Baumont et Jean Mathieu, présentée par M. Edmond Brun. La méthode de mesure de l'intermittence décrite par ailleurs (1) a été améliorée pour ces essais en superposant deux signaux identiques décalés d'un intervalle de temps en relation avec les fréquences élevées du champ turbulent; ce procédé de "lissage" ne diminuant pas par ailleurs la netteté des fronts de passage. Fig. I. 468 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A — 469 Pour un modèle donné, l'équilibre des profils de vitesses moyennes et la constante évolution des courbes en fonction de conduisent à admettre une évolution également continue du champ de vitesses à l'intérieur des bouffées turbulentes. La relation simple entre les trois vitesses Fig. 5 moyennes à l'intérieur des bouffées et à l'extérieur : est vérifiée par échantillonnage jusqu'à Une certaine vitesse résiduelle détectée hors des bouffées correspond du point de vue ordre de grandeur aux vitesses induites par le jet. Si est gaussien, l'utilisation d'un système de variables y, où regroupe l'ensemble des résultats et corrobore les mesures de Corrsin et Kistler (2). On peut encore voir comment semblent apparemment liées, quel que soit le type de jet, l'évolution du débit entraîné et 470 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). A la précision des mesures, des résultats relevés sur une couche limite plane n'accusent aucune évolution de y en fonction de Jusqu'aux abscisses étudiées, un résultat analogue est observé pour une couche limite préalablement épaissie par soufflage; mais l'écoulement extérieur pénètre beaucoup plus profondément. Séance du 24 août 1970. (1)
simple entre les trois vitesses Fig. 5 moyennes à l'intérieur des bouffées et à l'extérieur : est vérifiée par échantillonnage jusqu'à Une certaine vitesse résiduelle détectée hors des bouffées correspond du point de vue ordre de grandeur aux vitesses induites par le jet. Si est gaussien, l'utilisation d'un système de variables y, où regroupe l'ensemble des résultats et corrobore les mesures de Corrsin et Kistler (2). On peut encore voir comment semblent apparemment liées, quel que soit le type de jet, l'évolution du débit entraîné et 470 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). A la précision des mesures, des résultats relevés sur une couche limite plane n'accusent aucune évolution de y en fonction de Jusqu'aux abscisses étudiées, un résultat analogue est observé pour une couche limite préalablement épaissie par soufflage; mais l'écoulement extérieur pénètre beaucoup plus profondément. Séance du 24 août 1970. (1) M. Sunyach et J. Mathieu, J. Heat and Mass transfer, 12, 1969, p. 1679-1697. (2) S. Corrsin et A. Kistler, Free-stream boundaries of turbulent flows, N. A. C. A., Report 1244. (Laboratoire de Mécanique des Fluides, École Centrale de Lyon, 36, rue de Dardilly, 69-Ecully, Rhône.) C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 471 HYDRODYNAMIQUE. — Sur certains types d'écoulements stationnaires bidimensionnels rotationnels d'un fluide parfait incompressible. Note (*) de MM. Jean-Jacques Lalande et Badvadouh Zeytounian, présentée par M. Robert Legendre. Pour mettre en évidence les particularités des écoulements cisaillés une classe de solutions satisfaisant à l'équation d'Helmholtz est établie. 1. La fonction de courant de l'écoulement stationnaire d'un fluide parfait incompressible dans le plan (x, z) satisfait à l'équation Pour un écoulement dans un canal la distribution de vitesse à l'infini amont détermine la fonction (2) 2. Parmi les solutions de l'équation (i), celles qui satisfont à l'équation d'Helmholtz sont faciles à calculer et fournissent des modèles d'écoulements intéressants; dans ce cas avec A, constante arbitraire. La distribution de vitesse à l'infini amont satisfait alors à l'équation (3) 3. Considérons l'écoulement dans un canal ayant un fond curviligne : et une paroi supérieure fixe
Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 471 HYDRODYNAMIQUE. — Sur certains types d'écoulements stationnaires bidimensionnels rotationnels d'un fluide parfait incompressible. Note (*) de MM. Jean-Jacques Lalande et Badvadouh Zeytounian, présentée par M. Robert Legendre. Pour mettre en évidence les particularités des écoulements cisaillés une classe de solutions satisfaisant à l'équation d'Helmholtz est établie. 1. La fonction de courant de l'écoulement stationnaire d'un fluide parfait incompressible dans le plan (x, z) satisfait à l'équation Pour un écoulement dans un canal la distribution de vitesse à l'infini amont détermine la fonction (2) 2. Parmi les solutions de l'équation (i), celles qui satisfont à l'équation d'Helmholtz sont faciles à calculer et fournissent des modèles d'écoulements intéressants; dans ce cas avec A, constante arbitraire. La distribution de vitesse à l'infini amont satisfait alors à l'équation (3) 3. Considérons l'écoulement dans un canal ayant un fond curviligne : et une paroi supérieure fixe rigide : dans ce cas, les conditions à associer à l'équation d'Helmholtz : sont : uniformément bornée ; étant le débit à l'infini amont ### CORRECTION ### Quelques remarques au sujet de la démonstration des résultats formulés. L'idée principale consiste en l'unification des méthodes développées pour le cas du spectre ponctuel dans les ouvrages avec le théorème remarquable de Gårding (1). Désignons par U une représentation ordonnée, de l'espace L2(G) relatif à une extension autoadjointe L avec la mesure et avec les ensembles de multiplicité de noyau et de multiplicité. Les moyennes de Riesz (2) d'une fonction arbitraire prennent alors la forme suivante : où la transformation de Fourier est déterminée par l'égalité En se basant uniquement sur ce que les noyaux sont des solutions régulières de l'équation et sur ce que l'égalité de Parseval est vérifiée pour deux fonctions arbitraires f(x) et g(x) de la classe L2(G) pour démontrer les théorèmes 1 et 2 on emploie un schéma semblable à celui exposé dans (7) et (8). Séance du 6 juillet 1970. (1) C. M. "Hayka", Mokba, 1969. (2) Le domaine G peut être, soit illimité, soit coïncidant avec tout l'espace E. (3) On comprendra par extension autoadjointe d'un opérateur
ponctuel dans les ouvrages avec le théorème remarquable de Gårding (1). Désignons par U une représentation ordonnée, de l'espace L2(G) relatif à une extension autoadjointe L avec la mesure et avec les ensembles de multiplicité de noyau et de multiplicité. Les moyennes de Riesz (2) d'une fonction arbitraire prennent alors la forme suivante : où la transformation de Fourier est déterminée par l'égalité En se basant uniquement sur ce que les noyaux sont des solutions régulières de l'équation et sur ce que l'égalité de Parseval est vérifiée pour deux fonctions arbitraires f(x) et g(x) de la classe L2(G) pour démontrer les théorèmes 1 et 2 on emploie un schéma semblable à celui exposé dans (7) et (8). Séance du 6 juillet 1970. (1) C. M. "Hayka", Mokba, 1969. (2) Le domaine G peut être, soit illimité, soit coïncidant avec tout l'espace E. (3) On comprendra par extension autoadjointe d'un opérateur elliptique A, l'extension autoadjointe de sa restriction A dont le domaine de définition A. L. Gårding, Lund Förhandliger, 24, 1954, p. 21. Lorsque le domaine G coïncide avec EN, l'ensemble Gh, coïncide avec G. Dans ce cas, il existe une extension autoadjointe non négative unique de l'opérateur A, amenant à un développement en intégrale de Fourier multiple. B. A. 13, n° 1, 1958, p. 87-180. B. A. 23, n° 2, 1968, p. 61-120. L. Gårding, Inst. for Fluid Dynamics and Applied Math., Lecture Séries No. 11, University of Maryland. (L'Université à Moscou, Moscou V-234, U.S.S.R.) G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 465 MÉCANIQUE DES FLUIDES. — Étude de frontières d'écoulements turbulents. Note (*) de MM. Michel Sunyach, Luc Baumont et Jean Mathieu, présentée par M. Edmond Brun. La méthode de mesure de l'intermittence décrite par ailleurs (1) a été améliorée pour ces essais en superposant deux signaux identiques décalés d'un intervalle de temps en relation avec les fréquences élevées du champ turbulent; ce procédé de "lissage" ne diminuant pas par ailleurs la netteté des fronts de passage. Fig. I. 468 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série
un développement en intégrale de Fourier multiple. B. A. 13, n° 1, 1958, p. 87-180. B. A. 23, n° 2, 1968, p. 61-120. L. Gårding, Inst. for Fluid Dynamics and Applied Math., Lecture Séries No. 11, University of Maryland. (L'Université à Moscou, Moscou V-234, U.S.S.R.) G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 465 MÉCANIQUE DES FLUIDES. — Étude de frontières d'écoulements turbulents. Note (*) de MM. Michel Sunyach, Luc Baumont et Jean Mathieu, présentée par M. Edmond Brun. La méthode de mesure de l'intermittence décrite par ailleurs (1) a été améliorée pour ces essais en superposant deux signaux identiques décalés d'un intervalle de temps en relation avec les fréquences élevées du champ turbulent; ce procédé de "lissage" ne diminuant pas par ailleurs la netteté des fronts de passage. Fig. I. 468 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A — 469 Pour un modèle donné, l'équilibre des profils de vitesses moyennes et la constante évolution des courbes en fonction de conduisent à admettre une évolution également continue du champ de vitesses à l'intérieur des bouffées turbulentes. La relation simple entre les trois vitesses Fig. 5 moyennes à l'intérieur des bouffées et à l'extérieur : est vérifiée par échantillonnage jusqu'à Une certaine vitesse résiduelle détectée hors des bouffées correspond du point de vue ordre de grandeur aux vitesses induites par le jet. Si est gaussien, l'utilisation d'un système de variables y, où regroupe l'ensemble des résultats et corrobore les mesures de Corrsin et Kistler (2). On peut encore voir comment semblent apparemment liées, quel que soit le type de jet, l'évolution du débit entraîné et 470 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). A la précision des mesures, des résultats relevés sur une couche limite plane n'accusent aucune évolution de y en fonction de Jusqu'aux abscisses étudiées, un résultat analogue est observé pour une couche limite préalablement épaissie par soufflage; mais l'écoulement extérieur pénètre beaucoup plus profondément. Séance du 24 août 1970. (1) M. Sunyach et J. Mathieu, J. Heat and Mass transfer,
des bouffées et à l'extérieur : est vérifiée par échantillonnage jusqu'à Une certaine vitesse résiduelle détectée hors des bouffées correspond du point de vue ordre de grandeur aux vitesses induites par le jet. Si est gaussien, l'utilisation d'un système de variables y, où regroupe l'ensemble des résultats et corrobore les mesures de Corrsin et Kistler (2). On peut encore voir comment semblent apparemment liées, quel que soit le type de jet, l'évolution du débit entraîné et 470 — Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). A la précision des mesures, des résultats relevés sur une couche limite plane n'accusent aucune évolution de y en fonction de Jusqu'aux abscisses étudiées, un résultat analogue est observé pour une couche limite préalablement épaissie par soufflage; mais l'écoulement extérieur pénètre beaucoup plus profondément. Séance du 24 août 1970. (1) M. Sunyach et J. Mathieu, J. Heat and Mass transfer, 12, 1969, p. 1679-1697. (2) S. Corrsin et A. Kistler, Free-stream boundaries of turbulent flows, N. A. C. A., Report 1244. (Laboratoire de Mécanique des Fluides, École Centrale de Lyon, 36, rue de Dardilly, 69-Ecully, Rhône.) C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 471 HYDRODYNAMIQUE. — Sur certains types d'écoulements stationnaires bidimensionnels rotationnels d'un fluide parfait incompressible. Note (*) de MM. Jean-Jacques Lalande et Badvadouh Zeytounian, présentée par M. Robert Legendre. Pour mettre en évidence les particularités des écoulements cisaillés une classe de solutions satisfaisant à l'équation d'Helmholtz est établie. 1. La fonction de courant de l'écoulement stationnaire d'un fluide parfait incompressible dans le plan (x, z) satisfait à l'équation Pour un écoulement dans un canal la distribution de vitesse à l'infini amont détermine la fonction (2) 2. Parmi les solutions de l'équation (i), celles qui satisfont à l'équation d'Helmholtz sont faciles à calculer et fournissent des modèles d'écoulements intéressants; dans ce cas avec A, constante arbitraire. La distribution de vitesse à l'infini amont satisfait alors à l'équation (3) 3. Considérons l'écoulement dans un canal ayant un fond curviligne : et une paroi supérieure fixe rigide : dans ce cas, les conditions à associer à
— Sur certains types d'écoulements stationnaires bidimensionnels rotationnels d'un fluide parfait incompressible. Note (*) de MM. Jean-Jacques Lalande et Badvadouh Zeytounian, présentée par M. Robert Legendre. Pour mettre en évidence les particularités des écoulements cisaillés une classe de solutions satisfaisant à l'équation d'Helmholtz est établie. 1. La fonction de courant de l'écoulement stationnaire d'un fluide parfait incompressible dans le plan (x, z) satisfait à l'équation Pour un écoulement dans un canal la distribution de vitesse à l'infini amont détermine la fonction (2) 2. Parmi les solutions de l'équation (i), celles qui satisfont à l'équation d'Helmholtz sont faciles à calculer et fournissent des modèles d'écoulements intéressants; dans ce cas avec A, constante arbitraire. La distribution de vitesse à l'infini amont satisfait alors à l'équation (3) 3. Considérons l'écoulement dans un canal ayant un fond curviligne : et une paroi supérieure fixe rigide : dans ce cas, les conditions à associer à l'équation d'Helmholtz : sont : uniformément bornée ; étant le débit à l'infini amont Écoulement comprenant deux modes d'ondes La linéarité de l'équation (4) n'est pas liée à une quelconque hypothèse de petites perturbations mais uniquement au choix judicieux de la vitesse amont qui doit satisfaire à l'équation (3) à laquelle on peut associer les conditions aux limites : (6) Le problème (3), (6) pour met en évidence trois classes de profils pour lesquelles la formulation du problème (4), (5) reste mathématiquement rigoureuse; ce sont les profils correspondant respectivement à (III) Cependant, une difficulté importante reste, étant donné que la condition à la limite sur le fond curviligne du canal h(x), (7) G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A — 471 est non linéaire et ne peut être linéarisée sans invoquer une hypothèse de petites perturbations; pour avoir la possibilité d'obtenir une solution analytique du problème (4), (5) formulé plus haut, nous adopterons un artifice dû à R. Long (1) et qui consiste à linéariser provisoirement la condition (7) en la remplaçant par la condition (8) La solution est alors : avec (9) et (10) Cette solution satisfait à l'équation (4) même si h (x)