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avait déjà remarqué que la construction de l'ellipsoïde représenté par l'équation (10) fournit le moyen de déterminer les vitesses de propagation des ondes planes et les plans de polarisation des rayons lumineux. Seulement ces plans, que l'on croyait perpendiculaires aux directions des vitesses des molécules éthérées, renferment au contraire ces mêmes directions. Nous ajouterons qu'à l'équation (10) on pourrait substituer la suivante 2 (Px² + Qy² + Rz²) = 1. En effet, les deux sections faites par un même plan dans les trois ellipsoïdes que représentent les équations (10) et (12), ont pour axes parallèles, et ceux de la seconde section sont respectivement égaux aux quotients que l'on obtient en divisant l'unité par les axes de la première. SUR LA THÉORIE DES NOMBRES; par M. GALOIS. (Ce mémoire fait partie des recherches de M. Galois sur la théorie des permutations et des équations algébriques). Quand on convient de regarder comme nulles toutes les quantités qui, dans les calculs algébriques, se trouvent multipliées par un nombre premier donné p, et qu'on cherche dans cette convention les solutions d'une équation algébrique, ce que M. Gauss désigne par la notation F(x)=0, on n'a coutume de considérer que les solutions entières de ces sortes de questions. Ayant été conduit par des recherches particulières à considérer les solutions incommensurables, je suis parvenu à quelques résultats que je crois nouveaux. Soit une pareille équation ou congruence, F(x)=0, et le module. Supposons d'abord, pour plus de simplicité, que la congruence en question n'admette aucun facteur commensurable, c'est-à-dire qu'on ne puisse pas trouver 3 fonctions ϕ(x), ψ(x) et x, telles que ϕ(x) ψ(x) - F(x) = 1 + χ(x). Dans ce cas, la congruence n'admettra donc aucune racine entière, ni même aucune racine incommensurable du degré inférieur. Il faut donc regarder les racines de cette congruence comme des espèces de symboles imaginaires, puisqu'elles ne satisfont pas aux questions de nombres entiers, symboles dont l'emploi dans le calcul sera souvent aussi utile que celui de l'imaginaire i dans l'analyse ordinaire. C'est la classification de ces imaginaires et leur réduction au plus petit nombre possible, qui va nous occuper. Appelons
de questions. Ayant été conduit par des recherches particulières à considérer les solutions incommensurables, je suis parvenu à quelques résultats que je crois nouveaux. Soit une pareille équation ou congruence, F(x)=0, et le module. Supposons d'abord, pour plus de simplicité, que la congruence en question n'admette aucun facteur commensurable, c'est-à-dire qu'on ne puisse pas trouver 3 fonctions ϕ(x), ψ(x) et x, telles que ϕ(x) ψ(x) - F(x) = 1 + χ(x). Dans ce cas, la congruence n'admettra donc aucune racine entière, ni même aucune racine incommensurable du degré inférieur. Il faut donc regarder les racines de cette congruence comme des espèces de symboles imaginaires, puisqu'elles ne satisfont pas aux questions de nombres entiers, symboles dont l'emploi dans le calcul sera souvent aussi utile que celui de l'imaginaire i dans l'analyse ordinaire. C'est la classification de ces imaginaires et leur réduction au plus petit nombre possible, qui va nous occuper. Appelons l'une des racines de la congruence F(x)=0, que nous supposerons du degré v. Considérons l'expression générale a1 + a2 + a3 + ... + av-1 + iv-1 (A) où a1, a2, av, représentent des nombres entiers. En donnant à ces nombres toutes les valeurs, l'expression (A) en acquiert pν, qui jouissent, ainsi que je vais le faire voir, des mêmes propriétés que les nombres naturels dans la théorie des résidus des puissances. Ne prenons des expressions (A) que les pν premières valeurs où a2, ... aν-1 ne sont pas toutes nulles : soit a une de ces expressions. Si l'on élève successivement à les puissances 2e, 3e, on a une suite de quantités de même forme (car toute citation de i peut se réduire au v-1ème degré). Donc on devra avoir 1 = n, étant un certain nombre, soit n le plus petit multiple qui soit tel que l'on ait ∝n=1. On aura un ensemble de expressions toutes différentes entr'elles. i g ∝2 a3 ... ∝n-1 Multiplions ces n quantités par une autre expression g de la même forme. Nous obtiendrons encore un nouveau groupe de quantités toutes différentes des premières et différentes entre elles. Si les quantités (A) ne
jouissent, ainsi que je vais le faire voir, des mêmes propriétés que les nombres naturels dans la théorie des résidus des puissances. Ne prenons des expressions (A) que les pν premières valeurs où a2, ... aν-1 ne sont pas toutes nulles : soit a une de ces expressions. Si l'on élève successivement à les puissances 2e, 3e, on a une suite de quantités de même forme (car toute citation de i peut se réduire au v-1ème degré). Donc on devra avoir 1 = n, étant un certain nombre, soit n le plus petit multiple qui soit tel que l'on ait ∝n=1. On aura un ensemble de expressions toutes différentes entr'elles. i g ∝2 a3 ... ∝n-1 Multiplions ces n quantités par une autre expression g de la même forme. Nous obtiendrons encore un nouveau groupe de quantités toutes différentes des premières et différentes entre elles. Si les quantités (A) ne sont pas épuisées, on multipliera encore les puissances de a par une nouvelle expression y, et si de suite. On voit donc que le nombre n divisera nécessairement le nombre total des quantités (A). Ce nombre étant — 1, on voit que n divise pν— 1. De là, suit encore que l'on a 1 = 1 ou bien - a. Ensuite on prouvera, comme dans la théorie des nombres, qu'il y a des racines primitives a pour lesquelles on ait précisément p — 1 = n, et qui reproduisent par conséquent, par élévation aux puissances, toute la suite des autres racines. Qu'elle l'une quelconque de ces racines primitives ne dépendra d'une congruence du degré v, congruence irréductible, si quoi l'équation en x ne le serait pas non plus, parce que racines de la congruence en x sont toutes des puissances de la même primitive. On voit ici cette conséquence remarquable, que toutes les quantités algébriques qui peuvent se présenter dans la théorie, ont racines d'équations de la forme px2 x — x. Cette proposition énoncée algébriquement, est celle-ci. Étant donnée une fonction F(x), et un nombre premier p, on peut oser trouver fx. F(x) = x + r, et x
que l'on a 1 = 1 ou bien - a. Ensuite on prouvera, comme dans la théorie des nombres, qu'il y a des racines primitives a pour lesquelles on ait précisément p — 1 = n, et qui reproduisent par conséquent, par élévation aux puissances, toute la suite des autres racines. Qu'elle l'une quelconque de ces racines primitives ne dépendra d'une congruence du degré v, congruence irréductible, si quoi l'équation en x ne le serait pas non plus, parce que racines de la congruence en x sont toutes des puissances de la même primitive. On voit ici cette conséquence remarquable, que toutes les quantités algébriques qui peuvent se présenter dans la théorie, ont racines d'équations de la forme px2 x — x. Cette proposition énoncée algébriquement, est celle-ci. Étant donnée une fonction F(x), et un nombre premier p, on peut oser trouver fx. F(x) = x + r, et x étant des fonctions entières, toutes les fois que la congruence F(x)=0 (mod. p) sera irréductible. Si l'on veut avoir toutes les racines d'une pareille congruence au moyen d'une seule, il suffit d'observer que l'on a généralement (Fx)Pn = F(xPn) et que par conséquent l'une des racines étant x, les autres seront xP p2 Pν-1 x x .... x (I) Il s'agit maintenant de faire voir que, réciproquement à ce que nous venons de dire, les racines de l'équation ou de la congruence xP = x dépendront toutes d'une seule congruence du degré v. Soit en effet k une racine d'une congruence irréductible, telle que toutes les racines de la congruence xPv = x soient fonctions rationnelles de k. (Il est clair qu'ici, comme dans les équations ordinaires, cette propriété a lieu). Il est d'abord évident que le degré µ de la congruence en question doit être au plus v. Si le degré de la congruence irréductible de degré y, F(x) = 0, s'était de conclure que les racines soient toujours de quantités exprimables par radicaux. Voici un exemple du contraire: La congruence irréductible donne x2 + x + 1 = 0 (mod. 2), qui se réduit à 0 = 0
seront xP p2 Pν-1 x x .... x (I) Il s'agit maintenant de faire voir que, réciproquement à ce que nous venons de dire, les racines de l'équation ou de la congruence xP = x dépendront toutes d'une seule congruence du degré v. Soit en effet k une racine d'une congruence irréductible, telle que toutes les racines de la congruence xPv = x soient fonctions rationnelles de k. (Il est clair qu'ici, comme dans les équations ordinaires, cette propriété a lieu). Il est d'abord évident que le degré µ de la congruence en question doit être au plus v. Si le degré de la congruence irréductible de degré y, F(x) = 0, s'était de conclure que les racines soient toujours de quantités exprimables par radicaux. Voici un exemple du contraire: La congruence irréductible donne x2 + x + 1 = 0 (mod. 2), qui se réduit à 0 = 0 (mod. p), formule qui n'apprend rien. La proposition générale dont il étant donné une équation algébrique, on sait ici rationnelle de s, pourra trouver une fonction rationnelle de t toutes ses racines, de telle que chaque racine soit rationnelle en que réciproquement connue d'Able, ainsi s'exprime le théorème. Ce théorème était peut-être que ce célèbre géomètre a laissé sur les fonctions elliptiques. Saurait être plus petit que v, sans quoi la congruence Pv - 1 x - 1 = 0. (v) Lit toutes ses racines communes avec la congruence pu! x — 1 = C, ni est absurde, puisque la congruence (v) n'a pas de racines, comme on le voit en prenant la dérivée du premier ordre. Je dis maintenant que µ ne peut non plus être > y. En effet, s'il en était ainsi, toutes les racines de la congruence xpµ ~ x auraient dépendu rationnellement de celles de la congruence. Pv x = x, il est aisé de voir que si l'on a i = i, toute fonction rationnelle h = f (i) donnera encore µ, on compte toutes les racines de la congruence xp = x qui sont communes avec l'équation xp = x. Ce qui est
était peut-être que ce célèbre géomètre a laissé sur les fonctions elliptiques. Saurait être plus petit que v, sans quoi la congruence Pv - 1 x - 1 = 0. (v) Lit toutes ses racines communes avec la congruence pu! x — 1 = C, ni est absurde, puisque la congruence (v) n'a pas de racines, comme on le voit en prenant la dérivée du premier ordre. Je dis maintenant que µ ne peut non plus être > y. En effet, s'il en était ainsi, toutes les racines de la congruence xpµ ~ x auraient dépendu rationnellement de celles de la congruence. Pv x = x, il est aisé de voir que si l'on a i = i, toute fonction rationnelle h = f (i) donnera encore µ, on compte toutes les racines de la congruence xp = x qui sont communes avec l'équation xp = x. Ce qui est absurde. Ainsi, nous savons donc enfin que toutes les racines de l'équation congruence xp = x dépendent nécessairement d'une seule équation irréductible de degré v. Maintenant, pour avoir cette congruence irréductible d'où découlent les racines de la congruence xP = x, la méthode la plus générale sera de délivrer d'abord cette congruence de tous les facteurs communs qu'elle pourrait avoir avec des congruences de degré inférieur et de la forme Pµ x — x, on obtiendra ainsi une congruence qui devra se partager en congruences irréductibles de degré v. Et comme on sait exprimer toutes les racines de chacune de ces congruences irréductibles au moyen d'une seule, il sera aisé de les obtenir toutes à la méthode de M. Gauss. Le plus souvent, cependant, il sera aisé de trouver par le même moyen une congruence irréductible d'un degré donné on doit en déduire toutes les autres. Soit pour exemple p = 7, v = 3. Cherchons les racines de la congruence (mod. 7). J'observe que la congruence 13 = 2 (mod. 7) étant irréductible et du degré 3, toutes les racines de la congruence ont dépendu rationnellement de celle de la congruence, en sorte que toutes les racines de (1)
cette congruence de tous les facteurs communs qu'elle pourrait avoir avec des congruences de degré inférieur et de la forme Pµ x — x, on obtiendra ainsi une congruence qui devra se partager en congruences irréductibles de degré v. Et comme on sait exprimer toutes les racines de chacune de ces congruences irréductibles au moyen d'une seule, il sera aisé de les obtenir toutes à la méthode de M. Gauss. Le plus souvent, cependant, il sera aisé de trouver par le même moyen une congruence irréductible d'un degré donné on doit en déduire toutes les autres. Soit pour exemple p = 7, v = 3. Cherchons les racines de la congruence (mod. 7). J'observe que la congruence 13 = 2 (mod. 7) étant irréductible et du degré 3, toutes les racines de la congruence ont dépendu rationnellement de celle de la congruence, en sorte que toutes les racines de (1) sont de forme Il faut maintenant trouver une racine primitive, c'est-à-dire une forme de l'expression (3) qui, élevée à toutes les puissances, donne toutes les racines de la congruence 73-1. 21.32.19, x — 1 savoir x = 1, (mod. 7), et nous n'avons besoin pour cela que d'avoir une racine primitive de chaque congruence. La racine primitive de la première est — 1; celles de x1 = 2 sont données par les équations X3 = 2, X3 = 4, en sorte que i est une racine primitive de X3 = 1. Il ne reste qu'à trouver une racine de x19 = 1, ou plutôt de et essayons pour cela si l'on ne peut pas satisfaire à la question en posant simplement x=a+ a, i, au lieu de a + a, i2 nous devrons avoir (a + a, i)'9 = 1, ce qui, en développant par la formule de Newton et réduisant les puissances de a, de a, et de i par les formules a(p-1) = x, i3=2, se réduit à 3 1 a4 a2 + 3 (a5 a: + a* as), qui, en séparant les deux dernières équations, sont satisfaites en posant a = 1, a2 = — 1. Donc
primitive de chaque congruence. La racine primitive de la première est — 1; celles de x1 = 2 sont données par les équations X3 = 2, X3 = 4, en sorte que i est une racine primitive de X3 = 1. Il ne reste qu'à trouver une racine de x19 = 1, ou plutôt de et essayons pour cela si l'on ne peut pas satisfaire à la question en posant simplement x=a+ a, i, au lieu de a + a, i2 nous devrons avoir (a + a, i)'9 = 1, ce qui, en développant par la formule de Newton et réduisant les puissances de a, de a, et de i par les formules a(p-1) = x, i3=2, se réduit à 3 1 a4 a2 + 3 (a5 a: + a* as), qui, en séparant les deux dernières équations, sont satisfaites en posant a = 1, a2 = — 1. Donc — 1, 1, une racine primitive de x19 = 1. Nous avons trouvé de plus it pour racines primitives de i et de x32=1 les valeurs i et i, il ne reste plus qu'à multiplier entre elles les 3 quantités ' i, ' ~ I, ce produit i -ri 2 sera une racine primitive de la congruence 73-1 x — 1. Donc ici l'expression i + i3 jouit de la propriété, qu'en l'élevant à toutes les puissances, on obtient 73-1 expressions différentes et de la forme i2. Si nous voulons avoir la congruence de moindre degré d'où dépend notre racine primitive, il faut éliminer i entre les deux égalités P = a, α = 1 + i2, on obtient ainsi α3 = α, Hi = 0. Il sera convenable de prendre pour base des imaginaires, et représenter par i la racine de cette équation, en sorte que P 3 i i = 0, on aura toutes les imaginaires de la forme a + fa, i + a2 il élevant i à toutes les puissances, et réduisant par l'équation (i). Le principal avantage de la nouvelle théorie que nous venons d'exposer, est de ramener les congruences à la propriété utile d'avoir
sera une racine primitive de la congruence 73-1 x — 1. Donc ici l'expression i + i3 jouit de la propriété, qu'en l'élevant à toutes les puissances, on obtient 73-1 expressions différentes et de la forme i2. Si nous voulons avoir la congruence de moindre degré d'où dépend notre racine primitive, il faut éliminer i entre les deux égalités P = a, α = 1 + i2, on obtient ainsi α3 = α, Hi = 0. Il sera convenable de prendre pour base des imaginaires, et représenter par i la racine de cette équation, en sorte que P 3 i i = 0, on aura toutes les imaginaires de la forme a + fa, i + a2 il élevant i à toutes les puissances, et réduisant par l'équation (i). Le principal avantage de la nouvelle théorie que nous venons d'exposer, est de ramener les congruences à la propriété utile d'avoir précisément autant de racines qu'il y a d'unités dans l'ordre de leur grade. La méthode pour avoir toutes ces racines sera très simple. En premier lieu, on pourra toujours préparer la congruence donnée Fx = 0, de manière à ce qu'elle n'ait plus de racines égales, ou en d'autres termes, à ce qu'elle n'ait plus de facteur commun avec F' x = 0, et le moyen de le faire est évident, le même que pour les équations ordinaires. Ensuite pour avoir les solutions entières, il suffira, ainsi M. Libri paraît en avoir fait le premier la remarque, de chercher le plus grand facteur commun à F x =0 et à xP—1 = 0, et en général, les solutions de l'ordre seront données par le plus grand commun diviseur à F x=0 et à xP — 1 = 0. C'est surtout dans la théorie des permutations, où l'on a sa constante besoin de varier la forme des indices, que la considération des racines imaginaires des congruences paraît indispensable. Elle donne un moyen simple et facile de reconnaître dans quel cas une équation primitive est soluble par radicaux comme je vais essayer d'en donner en deux mots une idée. Soit une équation
à ce qu'elle n'ait plus de facteur commun avec F' x = 0, et le moyen de le faire est évident, le même que pour les équations ordinaires. Ensuite pour avoir les solutions entières, il suffira, ainsi M. Libri paraît en avoir fait le premier la remarque, de chercher le plus grand facteur commun à F x =0 et à xP—1 = 0, et en général, les solutions de l'ordre seront données par le plus grand commun diviseur à F x=0 et à xP — 1 = 0. C'est surtout dans la théorie des permutations, où l'on a sa constante besoin de varier la forme des indices, que la considération des racines imaginaires des congruences paraît indispensable. Elle donne un moyen simple et facile de reconnaître dans quel cas une équation primitive est soluble par radicaux comme je vais essayer d'en donner en deux mots une idée. Soit une équation algébrique \(x=0\) de degré \(p\), supposée que les \(p\) racines soient désignées par \(x_k\), en donnant à l'indice \(k\) les \(p\) valeurs déterminées par la congruence \(kp = 1\) (mod. \(p\)). Prenons une fonction quelconque rationnelle \(V\) des \(p\) racines \(x_k\). Transformons cette fonction en substituant partout à l'indice \(k\) l'indice \((a+h)+b\), \(a\), \(b\), \(r\) étant des constantes arbitraires satisfaisant aux conditions de \(a^p - 1 = 1\) (mod.\(p\)) et de \(r\) entiers. En donnant aux constantes \(a\), \(b\), \(r\) toutes les valeurs dont elles sont susceptibles, on obtiendra en tout \(p^v(p-1)\) manières de permuter les racines entre elles par des substitutions de la forme \((a,h)\), et la fonction \(V\) admettra en général par ces substitutions \(p^v(p-1)\) formes différentes. Admettons maintenant que l'équation proposée \(x=0\) soit telle, que toute fonction des racines invariante par les \(p\) permutations que nous venons de construire, ait pour cela même une valeur numérique rationnelle. On remarque que dans ces circonstances, l'équation \(x=0\) a une solution par radicaux, et pour parvenir à cette conclusion, il suffit d'observer que la valeur substituée à \(k\) dans l'indice peut se mettre sous les trois formes \(k, p-k, 2p-k\). Les personnes habituées à la théorie des équations le verront
l'indice \((a+h)+b\), \(a\), \(b\), \(r\) étant des constantes arbitraires satisfaisant aux conditions de \(a^p - 1 = 1\) (mod.\(p\)) et de \(r\) entiers. En donnant aux constantes \(a\), \(b\), \(r\) toutes les valeurs dont elles sont susceptibles, on obtiendra en tout \(p^v(p-1)\) manières de permuter les racines entre elles par des substitutions de la forme \((a,h)\), et la fonction \(V\) admettra en général par ces substitutions \(p^v(p-1)\) formes différentes. Admettons maintenant que l'équation proposée \(x=0\) soit telle, que toute fonction des racines invariante par les \(p\) permutations que nous venons de construire, ait pour cela même une valeur numérique rationnelle. On remarque que dans ces circonstances, l'équation \(x=0\) a une solution par radicaux, et pour parvenir à cette conclusion, il suffit d'observer que la valeur substituée à \(k\) dans l'indice peut se mettre sous les trois formes \(k, p-k, 2p-k\). Les personnes habituées à la théorie des équations le verront spontanément. Cette remarque aurait peu d'importance, si je n'étais parvenu à démontrer que réciproquement une équation primitive ne peut être soluble par radicaux, à moins de satisfaire aux conditions que je viens d'énoncer. (J'excepte les équations du 9e et 25e degré). Ainsi, pour chaque nombre de la forme \(pv\), on pourra former un groupe de permutations tel que toute fonction des racines invariante par ces permutations devra admettre une valeur rationnelle quand l'équation de degré \(pv\) sera primitive et soluble par radicaux. D'ailleurs, il n'y a que les équations d'un pareil degré \(pv\) soient à la fois primitives et solubles par radicaux. Le théorème général que je viens d'énoncer précise et développe les conditions que j'avais données dans le Bulletin du 18 d'avril. Il indique le moyen de former une fonction des indices dont la valeur sera rationnelle, toutes les fois que l'équation primitive de degré \(pv\) sera soluble par radicaux, et qui par conséquent exprime les caractères de résolubilité de ces équations, par des calculs sinon praticables, du moins qui sont accessibles en théorie. Il est à remarquer que dans le cas où \(v=1\), les diverses valeurs de \(k\) ne sont autre chose que la suite des nombres entiers.
pourra former un groupe de permutations tel que toute fonction des racines invariante par ces permutations devra admettre une valeur rationnelle quand l'équation de degré \(pv\) sera primitive et soluble par radicaux. D'ailleurs, il n'y a que les équations d'un pareil degré \(pv\) soient à la fois primitives et solubles par radicaux. Le théorème général que je viens d'énoncer précise et développe les conditions que j'avais données dans le Bulletin du 18 d'avril. Il indique le moyen de former une fonction des indices dont la valeur sera rationnelle, toutes les fois que l'équation primitive de degré \(pv\) sera soluble par radicaux, et qui par conséquent exprime les caractères de résolubilité de ces équations, par des calculs sinon praticables, du moins qui sont accessibles en théorie. Il est à remarquer que dans le cas où \(v=1\), les diverses valeurs de \(k\) ne sont autre chose que la suite des nombres entiers. Les substitutions de la forme \(1\ k 1\) seront alors \(p(p-1)\). La fonction qui, dans le cas des équations solubles par radicaux, doit avoir une valeur rationnelle, dépendra en général d'une équation de degré \(1.2.3(p-2)\), à laquelle il faudra par conséquent appliquer la méthode des racines rationelles. ASTRONOMIE. 219. NOTES EXTRAITES D'UN VOYAGE SCIENTIFIQUE FAIT EN ALLEMAGNE en 1829; par M. QUETELET. In-8°. Bruxelles, 1830, Hayez. M. Quetelet a visité successivement la plupart des observatoires de l'Allemagne dans l'intention de se mettre au courant de l'état de l'astronomie dans ce pays; mais il n'a pu se rendre à Munich, à Vienne et à Röögersberg. M. Quetelet visita d'abord Altona dont l'observatoire a été bâti sous la direction de M. Schumacher. Les massifs pour le pendule et l'instrument méridien sont en briques; on y a pratiqué des ouvertures pour faciliter les desséchements ainsi que dans le cône en maçonnerie établi dans la tourelle; les murs sont doubles et recouverts d'une serge verte. Les pieds des massifs sont entièrement libres, on peut les inspecter très facilement, et les fondations ne s'avancent en terre que de 2 à 3 pieds. Le principal instrument est une lunette méridienne de Reichenbach, de 5 pieds de