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termine par l'application de la théorie à la mécanique animale. On connaît les prétentions de M. Neil Arnott, et l'opposition de sa doctrine à celle de Bell. Le public français peut maintenant prendre connaissance des pièces du procès et en porter un jugement éclairé. En général, cet ouvrage est clairement écrit, bien traduit, et donne une idée juste de l'état de la science. Un grand nombre d'applications utiles à notre industrie, une foule d'exemples venant éclairer les propositions, et une grande variété de connaissances donnent à ce traité un intérêt qui nous fait croire que cet ouvrage aura en France le même succès qu'en Angleterre. Le traducteur n'est pas resté au-dessous de son entreprise; des notes judicieuses et des formules qui rendent facile l'application des théorèmes, ajoutent au mérite de cette publication. FRANCOEUR. I. 5. ANNALES DE MATHÉMATIQUES PURES ET APPLIQUÉES; par M. GERGONNE. Tom. XX, n° 6, décembre 1829. Dans un premier article de cette livraison, M. Bobillier s'occupe de la recherche des conditions d'équilibre d'une chaînette uniformément pesante, parfaitement flexible et inextensible, posée librement sur une surface courbe donnée quelconque, qui n'exerce sur elle aucun frottement, et fixée, par ses extrémités, en deux quelconques des points de cette surface. Pour parvenir à son but, l'auteur remarque que cette chaînette étant une fois en équilibre, son équilibre ne sera point troublé si elle vient tout-à-coup à se solidifier. Remplaçant ensuite les pressions exercées par la chaînette, en chaque point de la surface, par des forces normales équivalentes, il lui est permis alors de faire abstraction de cette surface, ce qui réduit la question à celle de l'équilibre d'un système solide libre, de forme invariable. Exprimant donc que les sommes des composantes parallèles aux axes des coordonnées sont séparément nulles, il obtient trois équations de relation entre la tension en un point quelconque, la pression normale au même point et les trois coordonnées de ce point. De deux de ces équations doivent donner la pression normale et la tension, en un point déterminé quelconque de la chaînette, et leurs valeurs, substituées dans la troisième, conduisent à une équation en x,
surface. Pour parvenir à son but, l'auteur remarque que cette chaînette étant une fois en équilibre, son équilibre ne sera point troublé si elle vient tout-à-coup à se solidifier. Remplaçant ensuite les pressions exercées par la chaînette, en chaque point de la surface, par des forces normales équivalentes, il lui est permis alors de faire abstraction de cette surface, ce qui réduit la question à celle de l'équilibre d'un système solide libre, de forme invariable. Exprimant donc que les sommes des composantes parallèles aux axes des coordonnées sont séparément nulles, il obtient trois équations de relation entre la tension en un point quelconque, la pression normale au même point et les trois coordonnées de ce point. De deux de ces équations doivent donner la pression normale et la tension, en un point déterminé quelconque de la chaînette, et leurs valeurs, substituées dans la troisième, conduisent à une équation en x, y, z, qui, combinée avec celle de la surface proposée, donne la courbe affectée par cette chaînette. Après avoir intégré ces équations, autant du moins qu'il est possible de le faire, sans statuer sur la nature de la surface proposée, M. Bobillier en déduit quelques conséquences générales dont la principale est la suivante: la tension, en un point quelconque de la chaînette, est tout-à-fait indépendante de la longueur de cette chaînette, depuis ce point jusqu'à son point le plus bas, ainsi que de la nature de la surface sur laquelle elle est posée; elle dépend uniquement de la distance verticale entre ces deux points. Si de plus la chaînette, en son point le plus bas, passe dans un anneau, et qu'on remplace la tension en ce point par le poids d'un prolongement vertical de cette même chaînette, la tension, en un autre point quelconque, sera équivalente au poids d'un autre prolongement de la chaînette qui, descendant verticalement de ce même point, viendrait se terminer sur le même plan horizontal avec l'autre prolongement dont il vient d'être question. Il est aisé d'en conclure que, plus généralement, en prenant une portion quelconque de la chaînette, les prolongements verticaux capables de faire équilibre
est la suivante: la tension, en un point quelconque de la chaînette, est tout-à-fait indépendante de la longueur de cette chaînette, depuis ce point jusqu'à son point le plus bas, ainsi que de la nature de la surface sur laquelle elle est posée; elle dépend uniquement de la distance verticale entre ces deux points. Si de plus la chaînette, en son point le plus bas, passe dans un anneau, et qu'on remplace la tension en ce point par le poids d'un prolongement vertical de cette même chaînette, la tension, en un autre point quelconque, sera équivalente au poids d'un autre prolongement de la chaînette qui, descendant verticalement de ce même point, viendrait se terminer sur le même plan horizontal avec l'autre prolongement dont il vient d'être question. Il est aisé d'en conclure que, plus généralement, en prenant une portion quelconque de la chaînette, les prolongements verticaux capables de faire équilibre aux tensions à ses deux extrémités devront se terminer sur un même plan horizontal; proposition qui avait déjà été établie dans les Annales (tom. XIX, pag. 347) pour la chaînette plane verticale. De ces généralités, M. Bobillier descend aux cas particuliers. Il s'occupe d'abord de la chaînette sur un plan incliné, et trouve pour son équation, comme on pouvait bien le prévoir, celle de la chaînette ordinaire, dans laquelle la pesanteur aurait été diminuée dans le rapport de l'unité au sinus de l'inclinaison du plan. M. Gergonne observe, dans une note, que ce cas particulier pouvant être établi à priori, on pourrait y rattacher le cas général, en considérant chacun des points de la chaînette située sur une surface courbe, comme posé sur son plan tangent en ce point. Il ajoute qu'on parviendrait aussi à l'équation de la chaînette, sur une surface courbe, en exprimant que son centre de gravité est le plus bas possible. M. Bobillier considère, en second lieu, la chaînette appuyée contre la surface convexe d'un cylindre quelconque à éléments rectilignes verticaux; et il prouve aisément qu'elle n'est que la chaînette ordinaire enveloppée sur ce cylindre. Supposant ensuite que le cylindre est de révolution, il prouve que
incliné, et trouve pour son équation, comme on pouvait bien le prévoir, celle de la chaînette ordinaire, dans laquelle la pesanteur aurait été diminuée dans le rapport de l'unité au sinus de l'inclinaison du plan. M. Gergonne observe, dans une note, que ce cas particulier pouvant être établi à priori, on pourrait y rattacher le cas général, en considérant chacun des points de la chaînette située sur une surface courbe, comme posé sur son plan tangent en ce point. Il ajoute qu'on parviendrait aussi à l'équation de la chaînette, sur une surface courbe, en exprimant que son centre de gravité est le plus bas possible. M. Bobillier considère, en second lieu, la chaînette appuyée contre la surface convexe d'un cylindre quelconque à éléments rectilignes verticaux; et il prouve aisément qu'elle n'est que la chaînette ordinaire enveloppée sur ce cylindre. Supposant ensuite que le cylindre est de révolution, il prouve que les pressions, d'autant plus grandes que son rayon sera moindre, croîtront comme les cubes des distances au plan horizontal où se terminerait le prolongement vertical de la chaînette, en son point le plus bas, qui ferait équilibre, par son poids, à sa tension en ce point. Pour troisième exemple, M. Bobillier considère la chaînette sur une surface conique de révolution, ayant son axe vertical. Lorsqu'elle est posée sur sa surface convexe, elle touche cette surface dans tous ses points, tandis que, lorsqu'au contraire elle est située dans son intérieur, elle peut se détacher de la surface dans sa partie inférieure, qui devient alors une chaînette ordinaire. L'auteur détermine les conditions nécessaires pour qu'il en soit ainsi; il enseigne aussi à déterminer le développement de la chaînette sur le cône développé, et prouve que ce développement est une courbe ayant pour asymptotes deux génératrices rectilignes du cône, il montre en outre dans quel cas cette courbe est une hyperbole ordinaire. M. Bobillier traite enfin de la chaînette posée sur une sphère, ce qui le conduit à quelques résultats curieux. Dans un second article, M. Le Barbier suppose un vase dont la surface intérieure est une surface de révolution autour d'un axe
Bobillier considère la chaînette sur une surface conique de révolution, ayant son axe vertical. Lorsqu'elle est posée sur sa surface convexe, elle touche cette surface dans tous ses points, tandis que, lorsqu'au contraire elle est située dans son intérieur, elle peut se détacher de la surface dans sa partie inférieure, qui devient alors une chaînette ordinaire. L'auteur détermine les conditions nécessaires pour qu'il en soit ainsi; il enseigne aussi à déterminer le développement de la chaînette sur le cône développé, et prouve que ce développement est une courbe ayant pour asymptotes deux génératrices rectilignes du cône, il montre en outre dans quel cas cette courbe est une hyperbole ordinaire. M. Bobillier traite enfin de la chaînette posée sur une sphère, ce qui le conduit à quelques résultats curieux. Dans un second article, M. Le Barbier suppose un vase dont la surface intérieure est une surface de révolution autour d'un axe vertical; il suppose ce vase rempli, jusqu'à une certaine hauteur, par un liquide pesant et incompressible; il suppose encore que, dans ce liquide, se trouve un flotteur, terminé aussi par une surface de révolution, dont l'axe coïncide avec celui du vase; il suppose enfin qu'après avoir enfoncé ce flotteur, d'une quantité déterminée, au-dessous de la situation naturelle d'équilibre, on l'abandonne subitement à lui-même; et il se propose d'assigner les lois de son mouvement. Après avoir établi les équations générales du problème, M. Le Barbier, pour en faire une application simple, suppose que le vase et le flotteur sont tous deux cylindriques, ce qui le conduit aux conclusions suivantes: 1° Le flotteur doit osciller perpétuellement au-dessus et au-dessous de sa situation naturelle d'équilibre; 2° il doit alternativement s'élever autant au-dessus de cette situation qu'il s'enfonce au-dessous; 3° il emploie pour s'élever au-dessus le même temps qu'il emploie à s'abaisser au-dessous; 4° ce temps est d'autant plus court, toutes choses égales d'ailleurs, que le liquide est plus dense et les rayons des deux cylindres moins inégaux; 5° enfin si le flotteur plonge dans un liquide indéfini, la durée de ses oscillations sera tout-à-fait indépendante de son plus ou moins d'enfoncement; de sorte
quantité déterminée, au-dessous de la situation naturelle d'équilibre, on l'abandonne subitement à lui-même; et il se propose d'assigner les lois de son mouvement. Après avoir établi les équations générales du problème, M. Le Barbier, pour en faire une application simple, suppose que le vase et le flotteur sont tous deux cylindriques, ce qui le conduit aux conclusions suivantes: 1° Le flotteur doit osciller perpétuellement au-dessus et au-dessous de sa situation naturelle d'équilibre; 2° il doit alternativement s'élever autant au-dessus de cette situation qu'il s'enfonce au-dessous; 3° il emploie pour s'élever au-dessus le même temps qu'il emploie à s'abaisser au-dessous; 4° ce temps est d'autant plus court, toutes choses égales d'ailleurs, que le liquide est plus dense et les rayons des deux cylindres moins inégaux; 5° enfin si le flotteur plonge dans un liquide indéfini, la durée de ses oscillations sera tout-à-fait indépendante de son plus ou moins d'enfoncement; de sorte qu'on aura ici un isochronisme parfaitement analogue à celui des oscillations dans la cycloïde. Il est bien entendu d'ailleurs que dans tout cela on fait abstraction de la résistance opposée par le liquide et par l'air au mouvement du flotteur. Dans un dernier article, M. Lenthéric démontre que, de tous les cylindres inscrits à une même sphère, 1° celui dont la hauteur est égale au côté du carré inscrit à un grand cercle a la plus grande surface latérale, qui est double de celle de ce grand cercle; 2° celui dont la hauteur est les deux tiers du côté du triangle équilatéral inscrit à un grand cercle a le plus grand volume, triple de celui de la sphère qui aurait cette même hauteur pour diamètre. M. Lenthérieur prouve, en outre, que, pour des cylindres inscrits à une même sphère, il n'y a point proprement de maximum de surface totale. RECLAMATION DE M. PORCELET. Le cahier d'août 1829 du Bulletin des sciences mathématiques contient un passage (voy. p. 101, art. 67), où, à propos d'une erreur signalée par M. Ampère, dans la solution d'un problème de mécanique rationnelle, insérée aux Annales de mathématiques, on s'exprime en ces termes: « L'erreur de
les cylindres inscrits à une même sphère, 1° celui dont la hauteur est égale au côté du carré inscrit à un grand cercle a la plus grande surface latérale, qui est double de celle de ce grand cercle; 2° celui dont la hauteur est les deux tiers du côté du triangle équilatéral inscrit à un grand cercle a le plus grand volume, triple de celui de la sphère qui aurait cette même hauteur pour diamètre. M. Lenthérieur prouve, en outre, que, pour des cylindres inscrits à une même sphère, il n'y a point proprement de maximum de surface totale. RECLAMATION DE M. PORCELET. Le cahier d'août 1829 du Bulletin des sciences mathématiques contient un passage (voy. p. 101, art. 67), où, à propos d'une erreur signalée par M. Ampère, dans la solution d'un problème de mécanique rationnelle, insérée aux Annales de mathématiques, on s'exprime en ces termes: « L'erreur de cette solution consiste en ce que l'auteur y a complètement négligé l'effet de la force centrifuge. M. Gergonne annonce, dans une note, que cette erreur lui a été également signalée par M. Th. Barrois de Lille, qui pense que M. Poncelet a commis une erreur du même genre dans la théorie de la roue hydraulique à aubes courbes.» J'ai déjà eu occasion de me défendre d'un reproche semblable qui m'a été adressé, dans l'un des Bulletins des sciences de l'année 1826, par un auteur anonyme; j'ai dit à cette époque, et je le répète aujourd'hui, qu'il n'est pas nécessaire de considérer, dans la théorie de ma roue telle que j'ai prétendu l'envisager dans mon mémoire, l'influence de la force centrifuge dont sont animées les molécules fluides pendant leur contact avec les aubes, parce que cette influence est nulle, ou du moins insensible sous le rapport de la vitesse de sortie de ces molécules ou de l'effet utile de la roue. En effet, le calcul démontre que si la force centrifuge agit lors du mouvement ascensionnel de l'eau dans les aubes, pour ralentir la vitesse acquise des molécules et pour diminuer par conséquent la hauteur finale de leur élévation, cette même
théorie de la roue hydraulique à aubes courbes.» J'ai déjà eu occasion de me défendre d'un reproche semblable qui m'a été adressé, dans l'un des Bulletins des sciences de l'année 1826, par un auteur anonyme; j'ai dit à cette époque, et je le répète aujourd'hui, qu'il n'est pas nécessaire de considérer, dans la théorie de ma roue telle que j'ai prétendu l'envisager dans mon mémoire, l'influence de la force centrifuge dont sont animées les molécules fluides pendant leur contact avec les aubes, parce que cette influence est nulle, ou du moins insensible sous le rapport de la vitesse de sortie de ces molécules ou de l'effet utile de la roue. En effet, le calcul démontre que si la force centrifuge agit lors du mouvement ascensionnel de l'eau dans les aubes, pour ralentir la vitesse acquise des molécules et pour diminuer par conséquent la hauteur finale de leur élévation, cette même force agit aussi, et avec une intensité égale, lors du mouvement rétrograde du fluide, pour accélérer la vitesse des molécules; de sorte que la vitesse et la force vive de sortie restent les mêmes, soit qu'on tienne ou ne tienne pas compte des effets de la force centrifuge. Les auditeurs de mon cours de machines à l'École d'application de Metz, me rendront, j'espère, cette justice de dire que je sais, quand cela est nécessaire, apprécier et calculer les effets de la force centrifuge dans la théorie des roues hydrauliques à aubes courbes, ce qui m'est d'autant moins difficile, que M. Navier a donné, dans ses savantes notes sur l'architecture hydraulique de Bélidor, des exemples de la manière élégante et simple dont on pouvait traiter de semblables questions de mécanique. Dans un travail sur les roues hydrauliques à aubettes, qui est presque entièrement terminé, et que j'ai entrepris à la sollicitation de M. Daubuisson, ingénieur en chef des mines, dont les utiles recherches de mécanique pratique sont généralement connues et appréciées, je me suis spécialement occupé des effets de la force centrifuge sur l'eau contenue dans les aubettes, parce qu'elle y exerce une grande influence quand la vitesse de rotation devient
de mon cours de machines à l'École d'application de Metz, me rendront, j'espère, cette justice de dire que je sais, quand cela est nécessaire, apprécier et calculer les effets de la force centrifuge dans la théorie des roues hydrauliques à aubes courbes, ce qui m'est d'autant moins difficile, que M. Navier a donné, dans ses savantes notes sur l'architecture hydraulique de Bélidor, des exemples de la manière élégante et simple dont on pouvait traiter de semblables questions de mécanique. Dans un travail sur les roues hydrauliques à aubettes, qui est presque entièrement terminé, et que j'ai entrepris à la sollicitation de M. Daubuisson, ingénieur en chef des mines, dont les utiles recherches de mécanique pratique sont généralement connues et appréciées, je me suis spécialement occupé des effets de la force centrifuge sur l'eau contenue dans les aubettes, parce qu'elle y exerce une grande influence quand la vitesse de rotation devient considérable, ainsi que l'exigent plusieurs circonstances de l'application de ces roues : les résultats particuliers et remarquables auxquels je suis parvenu dans ce travail me feront, j'espère, pardonner de n'avoir pas eu égard à cette même influence pour les roues à aubes courbes, mues par dessous, où elle peut, je le répète, être négligée sans aucun inconvénient, ni pour la pratique, ni pour la théorie. En terminant cette note, je crois encore devoir remarquer que les personnes qui n'ont pas l'habitude d'appliquer la mécanique à des questions usuelles se méprennent souvent sur la nature de cette application, en ce qu'elles ne distinguent pas d'une manière convenable les effets qui sont à négliger pour la simplification des formules et pour leur peu d'influence, de ceux dont il faut essentiellement tenir compte afin d'arriver à des solutions véritablement utiles pour la pratique. Souvent aussi elles oublient que les solutions et les conséquences déduites de cette application ne peuvent avoir toute la généralité, l'extension et la rigueur qui appartiennent en propre aux conceptions des sciences positives ou purement rationnelles, et que la condition de leur existence ou de leur emploi dans la pratique est presque toujours subordonnée à des restrictions particulières qui tiennent
le répète, être négligée sans aucun inconvénient, ni pour la pratique, ni pour la théorie. En terminant cette note, je crois encore devoir remarquer que les personnes qui n'ont pas l'habitude d'appliquer la mécanique à des questions usuelles se méprennent souvent sur la nature de cette application, en ce qu'elles ne distinguent pas d'une manière convenable les effets qui sont à négliger pour la simplification des formules et pour leur peu d'influence, de ceux dont il faut essentiellement tenir compte afin d'arriver à des solutions véritablement utiles pour la pratique. Souvent aussi elles oublient que les solutions et les conséquences déduites de cette application ne peuvent avoir toute la généralité, l'extension et la rigueur qui appartiennent en propre aux conceptions des sciences positives ou purement rationnelles, et que la condition de leur existence ou de leur emploi dans la pratique est presque toujours subordonnée à des restrictions particulières qui tiennent aux circonstances physiques de la question, et à l'étendue dans laquelle on peut considérer comme exactes les hypothèses d'où l'on est parti. C'est ainsi, par exemple, que le principe des forces vives ou de la transmission de l'action conduisant immédiatement à cette loi expérimentale, découverte par Hutton, que « les vitesses initiales des projectiles sont sensiblement proportionnelles aux racines carrées des charges de poudre et inverses des poids des boulets, » on est en droit de dire que les résultats de la théorie sont parfaitement d'accord avec ceux de l'expérience, quoiqu'à le bien prendre cette loi ne puisse, en toute rigueur, s'appliquer que dans des limites déterminées et pour les cas où les circonstances de l'inflammation de la poudre sont, pour ainsi dire, identiques. Or, je le demande, l'auteur des deux articles insérés récemment sur ce sujet dans le Journal des Sciences militaires et dans celui du Génie civil, a-t-il été en droit de nous attaquer sur la légitimité de cette déduction de nos principes, en mettant en parallèle, dans un même tableau, les vitesses initiales relatives à des calibres et à des poids de boulets, à des charges de poudre et à des longueurs d'âme dont les proportions diffèrent
vitesses initiales des projectiles sont sensiblement proportionnelles aux racines carrées des charges de poudre et inverses des poids des boulets, » on est en droit de dire que les résultats de la théorie sont parfaitement d'accord avec ceux de l'expérience, quoiqu'à le bien prendre cette loi ne puisse, en toute rigueur, s'appliquer que dans des limites déterminées et pour les cas où les circonstances de l'inflammation de la poudre sont, pour ainsi dire, identiques. Or, je le demande, l'auteur des deux articles insérés récemment sur ce sujet dans le Journal des Sciences militaires et dans celui du Génie civil, a-t-il été en droit de nous attaquer sur la légitimité de cette déduction de nos principes, en mettant en parallèle, dans un même tableau, les vitesses initiales relatives à des calibres et à des poids de boulets, à des charges de poudre et à des longueurs d'âme dont les proportions diffèrent tellement les unes des autres, ou de celles qu'on emploie ordinairement dans la pratique, que ni les circonstances de la combustion de la poudre, ni celles de la détente et du refroidissement du gaz, etc., ne peuvent être considérées ne dis-je pas comme parfaitement identiques, mais comme à peu près semblables? Et, je le demande aussi, ne faudrait-il pas renoncer entièrement, ou pour longtemps encore, à toute tentative d'appliquer la mécanique aux questions usuelles, si l'on admettait une telle façon de juger le résultat des recherches ? Il paraît donc bien évident, en particulier, que l'auteur dont il vient d'être parlé n'a pas mieux que M. Th. Barrois de Lille, compris l'état véritable des questions sur la solution desquelles il a cherché à élever des doutes. PONCELET. CORRESPONDANCE MATHÉMATIQUE ET PHYSIQUE, par M. QUÉTELET. 5e livraison, Tome V. Bruxelles, 1829; Bayez. Paris, Bachelier. Un premier mémoire de M. Chasles sur la transformation des relations métriques des figures forme la partie principale de cette livraison. La nouveauté et la fécondité de la méthode exposée dans ce mémoire le rendent digne de toute l'attention de ceux qui cultivent la géométrie pure. M. Poncelet, auteur de l'ingénieuse théorie des polaires réciproques, en a