jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
R ; B, ..., B (resp. B|, ...,B) les boules fermées respectivement concentriques de rayon (resp. On pose M (resp. M', M, ..., B, U, ..., UB, B] U ..., U B ). On suppose que f : M → R ne présente de singularités qu'au centre des boules B. Série A G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Soit K un compact de R dont l'intérieur contient f(M). On pose, si : C(M) C-applications M → R; D(M) [resp. D(R)] =; C'-diffeomorphismes de R (resp. R) induisant l'identité sur M — M (resp. R — K). En identifiant comme d'habitude D(M) [resp. D(R)] avec un voisinage de 0 de T(M) [resp. T(R)] [qu'on note encore T(M) (resp. T(R)) pour simplifier], on obtient la définition suivante de : CONSTRUCTION D'UNE SECTION DE T; PREMIÈRE ÉTAPE. LEMME 1. — Il existe EN et un système projectif d'applications continues : Démonstration (première étape). — Il faut résoudre En se ramène facilement à C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A 455 DEUXIÈME ÉTAPE. — Soit l'espace des fonctions numériques continues de classe C1 en la première variable. LEMME 2. — Il existe et un système projectif d'applications linéaires continues : Démonstration. — On procède comme dans Fin de la démonstration du lemme 1. — La résolution de l'équation (2) revient à « diviser » par df df. On déduit le lemme 1 du lemme 2 comme dans DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 1. — On applique le théorème 1 de [voir aussi] L'existence d'opérateurs d'approximation résulte de [voir aussi]. Les assertions a, b, c, d, e, f ont déjà été démontrées. Pour montrer les inégalités g, h, on utilise la formule de Faà di Bruno [cf. p. 3] et les inégalités de convexité du paragraphe 4 de pour montrer le : LEMME 3. — Soient m, n, p, Il existe un réel C tel que si f, g : sont de classe C, bornées ainsi que leurs dérivées jusqu'à l'ordre alors (pour les normes habituelles). Les inégalités g, h du théorème 1 de résultent d'une application répétée
projectif d'applications linéaires continues : Démonstration. — On procède comme dans Fin de la démonstration du lemme 1. — La résolution de l'équation (2) revient à « diviser » par df df. On déduit le lemme 1 du lemme 2 comme dans DÉMONSTRATION DU THÉORÈME 1. — On applique le théorème 1 de [voir aussi] L'existence d'opérateurs d'approximation résulte de [voir aussi]. Les assertions a, b, c, d, e, f ont déjà été démontrées. Pour montrer les inégalités g, h, on utilise la formule de Faà di Bruno [cf. p. 3] et les inégalités de convexité du paragraphe 4 de pour montrer le : LEMME 3. — Soient m, n, p, Il existe un réel C tel que si f, g : sont de classe C, bornées ainsi que leurs dérivées jusqu'à l'ordre alors (pour les normes habituelles). Les inégalités g, h du théorème 1 de résultent d'une application répétée de ce lemme, car toutes les applications en cause sont bornées en La conclusion de ce théorème affirme précisément l'existence de la fonction du théorème 1. L'existence de se montre de la même façon. Séance du 17 août 1970. R. ABRAHAM et J. ROHRIN, Transversal mappings and flows, Benjamin, New York, 1967. G. LASSALLE, Une démonstration du théorème de division des fonctions différentiables (à paraître). B. MALGRANGE, Séminaire II. Cartan, Sec. Math, de l'I. H. P., Paris, 15, 1962-1963, exposé 11. J. MATHER, Ann. Math., 87, 1968, p. 89-104 MATHER, Stability of C mappings, III, Pub. Math, de l'I. H. E. S., 1969. J. NASH, Ann. Math., 63, 1956, p. 20-63. V. SERGEREART, Comptes rendus, 270, série A, 1970, p. 861. R. THOM, Bull. Amer. Math. Soc., 75, 1969, p. 240-684 J. G. TOUGERON, Séminaire Bourbaki, Sec. Math, de l'I. H. P., Paris, 20, 1967-1968, exposé 336. Département de Mathématiques, Bâtiment 425, Faculté des Sciences, 91-Orsay, Essonne. G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A — 457 ANALYSE FONCTIONNELLE. — Synthèse et extension de certaines théories variationnelles linéaires. Note de M. PAUL KRÉE, transmise par M. Jean Dieudonné. Introduction d'une équation fonctionnelle généralisant de nombreuses équations
York, 1967. G. LASSALLE, Une démonstration du théorème de division des fonctions différentiables (à paraître). B. MALGRANGE, Séminaire II. Cartan, Sec. Math, de l'I. H. P., Paris, 15, 1962-1963, exposé 11. J. MATHER, Ann. Math., 87, 1968, p. 89-104 MATHER, Stability of C mappings, III, Pub. Math, de l'I. H. E. S., 1969. J. NASH, Ann. Math., 63, 1956, p. 20-63. V. SERGEREART, Comptes rendus, 270, série A, 1970, p. 861. R. THOM, Bull. Amer. Math. Soc., 75, 1969, p. 240-684 J. G. TOUGERON, Séminaire Bourbaki, Sec. Math, de l'I. H. P., Paris, 20, 1967-1968, exposé 336. Département de Mathématiques, Bâtiment 425, Faculté des Sciences, 91-Orsay, Essonne. G. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A — 457 ANALYSE FONCTIONNELLE. — Synthèse et extension de certaines théories variationnelles linéaires. Note de M. PAUL KRÉE, transmise par M. Jean Dieudonné. Introduction d'une équation fonctionnelle généralisant de nombreuses équations variationnelles connues et ayant de nouvelles applications. Étude de l'existence et de l'unicité de la solution de l'équation transposée, de l'approximation numérique et du contrôle. Les résultats feront l'objet d'une publication ultérieure. Dans tout ce qui suit, les espaces vectoriels considérés sont supposés réels (la transposition des résultats est possible si ces espaces sont complexes). Dans la théorie des problèmes aux limites relatifs aux équations aux dérivées partielles, on connaît et on utilise de nombreuses équations fonctionnelles (dites abstraites) : a. équation Au = f, où A est un opérateur coercif défini sur l'espace de Hilbert V, à valeurs dans son dual topologique V' (avec utilisation du lemme de Visik-Lax-Milgram) ; b. équation différentielle opérationnelle du premier ordre de J. L. Lions (7) ; c. équation différentielle opérationnelle du deuxième ordre de J. L. Lions : d. équation « positive » Au = f, où A est un opérateur non borné de l'espace de Hilbert H, vérifiant les hypothèses précisées au point 1 de [voir aussi] e. équation d'évolution « positive » associée au problème stationnaire (i.d). Vus (2) et (3) l'adjectif « positive » nous semble préférable à l'adjectif « dissipative » que nous avions utilisé dans Chacune de
si ces espaces sont complexes). Dans la théorie des problèmes aux limites relatifs aux équations aux dérivées partielles, on connaît et on utilise de nombreuses équations fonctionnelles (dites abstraites) : a. équation Au = f, où A est un opérateur coercif défini sur l'espace de Hilbert V, à valeurs dans son dual topologique V' (avec utilisation du lemme de Visik-Lax-Milgram) ; b. équation différentielle opérationnelle du premier ordre de J. L. Lions (7) ; c. équation différentielle opérationnelle du deuxième ordre de J. L. Lions : d. équation « positive » Au = f, où A est un opérateur non borné de l'espace de Hilbert H, vérifiant les hypothèses précisées au point 1 de [voir aussi] e. équation d'évolution « positive » associée au problème stationnaire (i.d). Vus (2) et (3) l'adjectif « positive » nous semble préférable à l'adjectif « dissipative » que nous avions utilisé dans Chacune de ces équations peut donner lieu à une étude générale (existence, unicité et régularité de la solution, transposition, approximation, contrôle, identification, etc.). Les résultats ainsi obtenus peuvent être ensuite appliqués à tout problème physique ou théorique [problème aux limites ou autres problèmes : voir (3)] gouverné par l'une des équations (i.a) à (i.e). Ainsi l'équation (i.d) s'applique aux problèmes décrits dans (2). Signalons que les résultats relatifs à (i.d) et (i.e), annoncés dans la Note, sont détaillés dans [sauf les résultats relatifs aux inéquations]. Une caractéristique générale des études des équations fonctionnelles (i.a) à (i.e), est que chacune de ces études utilise des méthodes particulières, et que les résultats ainsi obtenus s'appliquent à des classes particulières de problèmes concrets. On se propose d'étudier ci-après une équation fonctionnelle qui contient comme cas particuliers tous les modèles ci-dessus. Signalons que cette théorie s'applique au problème aux limites canoniques associé à l'équation aux dérivées partielles (définie sur ℝ²) : Série A C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). alors qu'aucun des modèles antérieurs ne s'applique à cette équation. De la même manière, notre théorie s'applique à certaines équations du contrôle optimal sans contrainte. 2. EXISTENCE ET UNICITÉ DE LA SOLUTION; TRANSPOSITION
à (i.e). Ainsi l'équation (i.d) s'applique aux problèmes décrits dans (2). Signalons que les résultats relatifs à (i.d) et (i.e), annoncés dans la Note, sont détaillés dans [sauf les résultats relatifs aux inéquations]. Une caractéristique générale des études des équations fonctionnelles (i.a) à (i.e), est que chacune de ces études utilise des méthodes particulières, et que les résultats ainsi obtenus s'appliquent à des classes particulières de problèmes concrets. On se propose d'étudier ci-après une équation fonctionnelle qui contient comme cas particuliers tous les modèles ci-dessus. Signalons que cette théorie s'applique au problème aux limites canoniques associé à l'équation aux dérivées partielles (définie sur ℝ²) : Série A C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). alors qu'aucun des modèles antérieurs ne s'applique à cette équation. De la même manière, notre théorie s'applique à certaines équations du contrôle optimal sans contrainte. 2. EXISTENCE ET UNICITÉ DE LA SOLUTION; TRANSPOSITION DE L'ÉQUATION. (i) Définition, théorème d'existence et d'unicité, transposition. Soit V un espace de Banach réflexif et soit V son dual topologique. Soit A un opérateur fermé non (forcément) borné de V dans V, à domaine dense. Soit A' le transposé de (A), au sens de la théorie des opérateurs non bornés. alors A est une application surjective de D sur V. b. D étant muni de la norme du graphe, A est un opérateur continu de D dans V. Soit A' la transposée de cette application. étant un autre opérateur non borné fermé, à domaine dense, de V dans V, on suppose que (B) vérifie une relation analogue, et que la restriction de A' à DB coïncide avec B. Alors B est un isomorphisme de DR sur V. c. Si l'on a et si (A) vérifie une relation analogue, alors A (et resp. A') est un isomorphisme de et resp. DA sur V. Notons que si DA est muni de la norme du graphe, le transposé de l'opérateur borné A de DA sur V est un opérateur défini sur V, qui prolonge A. Notons que dans le cas relativement à l'équation où f est donné dans V, il y
non bornés. alors A est une application surjective de D sur V. b. D étant muni de la norme du graphe, A est un opérateur continu de D dans V. Soit A' la transposée de cette application. étant un autre opérateur non borné fermé, à domaine dense, de V dans V, on suppose que (B) vérifie une relation analogue, et que la restriction de A' à DB coïncide avec B. Alors B est un isomorphisme de DR sur V. c. Si l'on a et si (A) vérifie une relation analogue, alors A (et resp. A') est un isomorphisme de et resp. DA sur V. Notons que si DA est muni de la norme du graphe, le transposé de l'opérateur borné A de DA sur V est un opérateur défini sur V, qui prolonge A. Notons que dans le cas relativement à l'équation où f est donné dans V, il y a identité entre les notions de solutions faibles et fortes. Quelques exemples relatifs au cas particulier où V est un espace de Hilbert. a. Si (A) est un opérateur borné coercif de V dans V, alors les hypothèses de (3.c) sont vérifiées; donc A est un isomorphisme : on retrouve le théorème de Visik-Lax-Milgram. b. Si (A) est un opérateur non borné (fermé, domaine dense) de l'espace de Hilbert « positif » ainsi que son transposé: alors les hypothèses du point (3.c) sont vérifiées. Donc A est un isomorphisme : on retrouve les résultats du point 1 de (4). c. Si l'on suppose encore que coïncide avec le lemme variationnel d'existence utilisé dans (2) par Friedrichs. Noter aussi que (3.c) est une variante (énoncé différent, applications pratiquement identiques) du lemme variationnel énoncé au chapitre 3 de (6). d. Utilisons les notations et les hypothèses habituellement associées à l'équation « parabolique » (i.b). Posons Définissons les opérateurs non bornés et de dans par Par application de (3.b), on retrouve les résultats connus relatifs à (i.b). e. Pour retrouver les résultats relatifs à (i.c), on utilise la remarque suivante. Soit V un espace de Banach réflexif. Soit [et resp.] un opérateur non
le théorème de Visik-Lax-Milgram. b. Si (A) est un opérateur non borné (fermé, domaine dense) de l'espace de Hilbert « positif » ainsi que son transposé: alors les hypothèses du point (3.c) sont vérifiées. Donc A est un isomorphisme : on retrouve les résultats du point 1 de (4). c. Si l'on suppose encore que coïncide avec le lemme variationnel d'existence utilisé dans (2) par Friedrichs. Noter aussi que (3.c) est une variante (énoncé différent, applications pratiquement identiques) du lemme variationnel énoncé au chapitre 3 de (6). d. Utilisons les notations et les hypothèses habituellement associées à l'équation « parabolique » (i.b). Posons Définissons les opérateurs non bornés et de dans par Par application de (3.b), on retrouve les résultats connus relatifs à (i.b). e. Pour retrouver les résultats relatifs à (i.c), on utilise la remarque suivante. Soit V un espace de Banach réflexif. Soit [et resp.] un opérateur non borné de V dans V, à domaine dense. On suppose qu'il existe tel que l'on ait, quel que soit u dans (et resp. v dans ), : On suppose aussi que toute solution faible de l'équation est quelconque dans V) est une solution forte. Alors la plus petite extension fermée (B) de (B) et resp. (C) de (C)] coïncide avec le transposé de (C) [et resp. (B)]. De plus, (B) vérifie les hypothèses (3.c). f. On retrouve de la même façon les résultats de (7) relatifs à (i.c). D'ailleurs, (i.c) est une variante d'un cas particulier de (i.e); voir. 3. APPROXIMATION NUMÉRIQUE. Méthode de Galerkin. Soit un sous-espace vectoriel de D. On suppose qu'il existe un seul un dans Vn tel que (Noter que ceci a toujours lieu si Vn est de dimension finie;.) Soit une application linéaire de DA dans Vn telle que Alors un tend vers u quand n tend vers l'infini et l'on a la majoration suivante de l'erreur : et que les un appartiennent à un borné de V (noter que ceci a toujours lieu si Wn est de dimension finie et si les an sont uniformément positives). Soit un sous-espace de dense dans V. On
(B) de (B) et resp. (C) de (C)] coïncide avec le transposé de (C) [et resp. (B)]. De plus, (B) vérifie les hypothèses (3.c). f. On retrouve de la même façon les résultats de (7) relatifs à (i.c). D'ailleurs, (i.c) est une variante d'un cas particulier de (i.e); voir. 3. APPROXIMATION NUMÉRIQUE. Méthode de Galerkin. Soit un sous-espace vectoriel de D. On suppose qu'il existe un seul un dans Vn tel que (Noter que ceci a toujours lieu si Vn est de dimension finie;.) Soit une application linéaire de DA dans Vn telle que Alors un tend vers u quand n tend vers l'infini et l'on a la majoration suivante de l'erreur : et que les un appartiennent à un borné de V (noter que ceci a toujours lieu si Wn est de dimension finie et si les an sont uniformément positives). Soit un sous-espace de dense dans V. On suppose 4. CONTRÔLE OPTIMAL (SYNTHÈSE ET EXTENSION DES RÉSULTATS DE (8)]. — Soient U, F, Y (et resp. Z) des espaces de Banach réflexifs (resp. un espace de Hilbert). Soit C (resp. B) une application linéaire continue de l'espace des états Y (resp. de l'espace des contrôles U) à valeurs dans l'espace des observations Z (resp. des données F). Soit A un isomorphisme linéaire entre Y et F. Soit N un opérateur borné symétrique de U dans U' (définissant le coût). On se donne une observation désirée dans Z, une donnée f dans F, un convexe fermé K de U. yn étant défini par il existe un seul u dans K qui minimise le coût u est caractérisé par le système : où Az est l'isomorphisme canonique de Z sur Z'. On a des résultats analogues, en ce qui concerne l'identification. Séance du 3 août 1970 (1) J. CEA, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 14, 1964, p. (2) K. O. FRIEDRICHS, Comm. Pure Appl. Math., 2, 1958, (3) P. KREÉ, Comptes rendus, 268, série A, 1969, p. 1196. (4) P. KREÉ, Comptes rendus, 270, série A, 1970, p. 1583. (5) P. KREÉ, Technical Report n° 70-74, Department of System science, U.
dans l'espace des observations Z (resp. des données F). Soit A un isomorphisme linéaire entre Y et F. Soit N un opérateur borné symétrique de U dans U' (définissant le coût). On se donne une observation désirée dans Z, une donnée f dans F, un convexe fermé K de U. yn étant défini par il existe un seul u dans K qui minimise le coût u est caractérisé par le système : où Az est l'isomorphisme canonique de Z sur Z'. On a des résultats analogues, en ce qui concerne l'identification. Séance du 3 août 1970 (1) J. CEA, Ann. Inst. Fourier (Grenoble), 14, 1964, p. (2) K. O. FRIEDRICHS, Comm. Pure Appl. Math., 2, 1958, (3) P. KREÉ, Comptes rendus, 268, série A, 1969, p. 1196. (4) P. KREÉ, Comptes rendus, 270, série A, 1970, p. 1583. (5) P. KREÉ, Technical Report n° 70-74, Department of System science, U. C. L. A. (Los Angeles), juillet 1970 et article à paraître. (6) J. L. LIONS, Equations différentielles opérationnelles..., Grundlehren B III, Springer, Berlin, 1961. (7) J. L. LIONS et E. MAGENÈS, Problèmes aux limites non homogènes et applications, Dunod, Paris, 1968. (8) J. L. LIONS Contrôle optimal de systèmes gouvernés par des équations aux dérivées partielles, Dunod, Paris, 1968. (9) G. I. MARCHOUK et N. N. KUZNETSOV, Dokl. Akad. Nauk. S. S. S. R., 181, 1968, p. (10) K. A. RAVIARD, J. Math. pures et appl., 16, 1967, p. 111-188. (Section d'Informatique, Faculté des Sciences, parc Valrose, avenue Valrose, 06-Nice, Alpes-Maritimes.) C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A — 461 ANALYSE FONCTIONNELLE. — Conditions exactes de convergence uniforme des développements spectraux et de leurs moyennes de Riesz pour une extension autoadjointe arbitraire non-négative de l'opérateur de Laplace. Note de MM. VLADIMIR IL'INE et CHAVKATE ALIMOV, transmise par M. Serge Sobolev. Dans cette Note on étudie les développements spectraux répondant à une extension autoadjointe arbitraire non négative de l'opérateur de Laplace dans un domaine arbitraire à N-dimensions et on détermine les conditions de convergence uniforme de ces développements et de leurs moyennes de Riesz. Ces conditions
par des équations aux dérivées partielles, Dunod, Paris, 1968. (9) G. I. MARCHOUK et N. N. KUZNETSOV, Dokl. Akad. Nauk. S. S. S. R., 181, 1968, p. (10) K. A. RAVIARD, J. Math. pures et appl., 16, 1967, p. 111-188. (Section d'Informatique, Faculté des Sciences, parc Valrose, avenue Valrose, 06-Nice, Alpes-Maritimes.) C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). Série A — 461 ANALYSE FONCTIONNELLE. — Conditions exactes de convergence uniforme des développements spectraux et de leurs moyennes de Riesz pour une extension autoadjointe arbitraire non-négative de l'opérateur de Laplace. Note de MM. VLADIMIR IL'INE et CHAVKATE ALIMOV, transmise par M. Serge Sobolev. Dans cette Note on étudie les développements spectraux répondant à une extension autoadjointe arbitraire non négative de l'opérateur de Laplace dans un domaine arbitraire à N-dimensions et on détermine les conditions de convergence uniforme de ces développements et de leurs moyennes de Riesz. Ces conditions ont une forme définitive dans chacune des classes de fonctions de Sobolev de Nikolsky de Bessov de Liouville et de Zigmund-Hölder [pour la définition de ces classes, voir dans (1)]. Soit G un domaine arbitraire dans l'espace une extension autoadjointe arbitraire non négative de l'opérateur la famille spectrale de cette extension et le noyau de E,,. Pour toute fonction on a (1) D'après l'ouvrage de Gårding (4), le noyau nommé fonction spectrale de l'extension autoadjointe L, est un noyau ayant la forme de Carleman appartenant à l'espace et pour chacun des ensembles bornés de Borel du demi-axe une variation par À qui est bornée dans les sous-ensembles compacts de Examinons pour une fonction arbitraire les moyennes de Riesz de l'ordre du développement spectral de Par la suite on supposera que [Pour s = 0, les moyennes de Riesz (2) coïncident avec les développements spectraux (1).] Déterminons d'abord les conditions ne permettant pas d'affirmer non seulement la convergence uniforme des moyennes de Riesz d'ordre mais non plus leur localisation. THÉORÈME 1. (Conditions ne donnant pas de localisation des moyennes de Riesz d'ordre s des classes Zigmund-Hölder.) Soit un domaine arbitraire à N dimensions, L une extension autoadjointe arbitraire non négative de
extension et le noyau de E,,. Pour toute fonction on a (1) D'après l'ouvrage de Gårding (4), le noyau nommé fonction spectrale de l'extension autoadjointe L, est un noyau ayant la forme de Carleman appartenant à l'espace et pour chacun des ensembles bornés de Borel du demi-axe une variation par À qui est bornée dans les sous-ensembles compacts de Examinons pour une fonction arbitraire les moyennes de Riesz de l'ordre du développement spectral de Par la suite on supposera que [Pour s = 0, les moyennes de Riesz (2) coïncident avec les développements spectraux (1).] Déterminons d'abord les conditions ne permettant pas d'affirmer non seulement la convergence uniforme des moyennes de Riesz d'ordre mais non plus leur localisation. THÉORÈME 1. (Conditions ne donnant pas de localisation des moyennes de Riesz d'ordre s des classes Zigmund-Hölder.) Soit un domaine arbitraire à N dimensions, L une extension autoadjointe arbitraire non négative de l'opérateur — A dans G, point arbitraire à l'intérieur de G, a est un nombre arbitraire fixe satisfaisant à l'inégalité. Il existe alors une fonction f(x) satisfaisant aux conditions suivantes : i° f(x) est une fonction finie dans C. R., 1970, 2e Semestre. (T. 271, N° 10.) Série A — 33 464 — Série A C. R. Acad. Sc. Paris, t. 271 (7 septembre 1970). le domaine G et devient nulle dans un voisinage D du point ; les moyennes de Riesz (2) du développement spectral de f(x) n'ont pas de limite dans le point lorsque COROLLAIRE 1. (Conditions ne donnant pas de localisation des moyennes de Riesz d'ordre s des classes ) N, G, et a ont le même sens que dans le théorème 1. Il existe alors une fonction f(x), satisfaisant aux conditions suivantes : i° la fonction f(x) est finie dans le G et devient nulle dans un certain voisinage D du point ; 20 dans G f(x) appartient à chacune des classes et pour tout les moyennes de Riesz (2) du développement spectral de f(x) n'ont pas de limite dans le point lorsque Ainsi, l'appartement de la fonction f(x) à une de ces cinq classes d'ordre