jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
un tétraèdre, la somme des volumes de tous ces tétraèdres aura une valeur qui restera la même quand on substituera aux 2 systèmes de forces 2 autres systèmes qui leur soient équivalents respectivement. M. Ch. détermine le signe du volume de chaque tétraèdre de cette manière : Il faut voir dans quel sens l'une des 2 forces qui forment ce tétraèdre tend à tourner autour de l'autre force, l'œil étant situé à l'extrémité de cette seconde force, et la vue étant dirigée vers son point d'application; on donnera au volume du tétraèdre le signe + ou le signe — suivant que la rotation se fera dans un sens ou dans l'autre. De ce théorème M. Ch. en conclut plusieurs autres moins généraux, qu'il avait eu occasion d'énoncer ailleurs, et dont le Bulletin a déjà entretenu ses lecteurs à l'occasion des démonstrations que MM. Gergonne et Möbius ont données de ces théorèmes. (V. les cah. du Bulletin de sept. 1828 et sept. 1829.) M. Ch. annonce que M. Giorgini, de Florence, à qui il a aussi communiqué ces théorèmes et d'autres sur le même sujet, lui apprit qu'il était parvenu à des résultats semblables qui font partie d'un travail destiné à faire suite à sa Théorie analytique des projections, dont il a été rendu compte dans le T. IV du Bulletin, p. 129. Une des conséquences du théorème général de M. Ch. est que, de quelque manière qu'on remplace par 2 forces uniques un système de forces appliquées à un corps solide libre, le tétraèdre construit sur ces 2 forces, comme arêtes opposées, a toujours le même volume. M. Ch. fait voir que ce théorème résulte aussi de la propriété suivante des couples donnée par M. Dans la seconde partie de son mémoire, M. Ch. déduit des principes généraux exposés dans la première, plusieurs propriétés des polyèdres gauches, des polyèdres et des centres des moyennes distances. Quelques-unes de ces propriétés sont connues, d'autres sont nouvelles; mais toutes se présentent naturellement et une manière presque évidente. M. Ch. fait voir, d'ailleurs, que les propriétés des polyèdres sont des conséquences de celles des
faire suite à sa Théorie analytique des projections, dont il a été rendu compte dans le T. IV du Bulletin, p. 129. Une des conséquences du théorème général de M. Ch. est que, de quelque manière qu'on remplace par 2 forces uniques un système de forces appliquées à un corps solide libre, le tétraèdre construit sur ces 2 forces, comme arêtes opposées, a toujours le même volume. M. Ch. fait voir que ce théorème résulte aussi de la propriété suivante des couples donnée par M. Dans la seconde partie de son mémoire, M. Ch. déduit des principes généraux exposés dans la première, plusieurs propriétés des polyèdres gauches, des polyèdres et des centres des moyennes distances. Quelques-unes de ces propriétés sont connues, d'autres sont nouvelles; mais toutes se présentent naturellement et une manière presque évidente. M. Ch. fait voir, d'ailleurs, que les propriétés des polyèdres sont des conséquences de celles des polygones au moyen de cette proposition : Étant donné un polyèdre quelconque, on peut former, d'une infinité de manières, un polygone dont les côtés sont proportionnels aux aires des faces du polyèdre, et forment entre eux des angles égaux respectivement aux listes diédres que forment entre elles les faces du polyèdre. Il en résulte de là, entre autres théorèmes, le suivant : Si par des points respectivement sur les faces d'un polyèdre, on mène, du côté de leurs revers, des droites proportionnelles aux aires de ces faces et perpendiculaires à leurs plans, 1° la somme des volumes de ces tétraèdes construits par ces droites, prises 2 à 2, comme droites opposées, sera égale à zéro; 2° le centre des moyennes distances des extrémités de ces droites sera le même que le centre des moyennes distances des points pris sur les faces du polyèdre. M. RAPPORT SUR L'OUVRAGE DE M. JACOBI, intitulé : Fundamenta nova theoricae functionum ellipticarum, lu à l'Académie des Sciences, le 21 décembre 1829 ; par M. POISSON. Pour expliquer, autant qu'il sera possible sans le secours des algébriques, l'objet de cet ouvrage dont l'Académie m'a chargé de lui rendre compte, et surtout pour faire connaître l'extension nouvelle
polyèdre. Il en résulte de là, entre autres théorèmes, le suivant : Si par des points respectivement sur les faces d'un polyèdre, on mène, du côté de leurs revers, des droites proportionnelles aux aires de ces faces et perpendiculaires à leurs plans, 1° la somme des volumes de ces tétraèdes construits par ces droites, prises 2 à 2, comme droites opposées, sera égale à zéro; 2° le centre des moyennes distances des extrémités de ces droites sera le même que le centre des moyennes distances des points pris sur les faces du polyèdre. M. RAPPORT SUR L'OUVRAGE DE M. JACOBI, intitulé : Fundamenta nova theoricae functionum ellipticarum, lu à l'Académie des Sciences, le 21 décembre 1829 ; par M. POISSON. Pour expliquer, autant qu'il sera possible sans le secours des algébriques, l'objet de cet ouvrage dont l'Académie m'a chargé de lui rendre compte, et surtout pour faire connaître l'extension nouvelle et inattendue que l'auteur a donnée à cette théorie, je rappellerai d'abord les travaux de ses prédécesseurs dans la même matière. Les fractions rationnelles et quelques formules qui s'y trouvent immédiatement ou par une transformation très-simple sont les seules différentielles dont on sache trouver les intégrales indéfinies. Relativement aux intégrales définies, le nombre de celles que l'on sait déterminer par différents moyens est beaucoup plus considérable; mais ce nombre est encore très-moderne, eu égard à celui des intégrales qui peuvent rencontrer dans les diverses applications de l'analyse; et plus souvent on est obligé de calculer leurs valeurs approchées soit par la réduction en séries convergentes, soit par la méthode des quadratures. Il y a lieu de penser que la plupart des intégrales qui ont résisté jusqu'à présent aux efforts si souverains et répétés des géomètres, et qui échappent à des méthodes où l'on a mis en œuvre toutes les ressources de l'analyse, sont impossibles sous forme finie, quoique cette impossibilité n'ait encore été démontrée pour aucune d'elles. Cela étant, on cherche à diminuer le nombre de ces quantités transcendantes, en les faisant dépendre les unes des autres, ce qui a donné naissance à une branche d'analyse, très-étendue et d'une grande
définies, le nombre de celles que l'on sait déterminer par différents moyens est beaucoup plus considérable; mais ce nombre est encore très-moderne, eu égard à celui des intégrales qui peuvent rencontrer dans les diverses applications de l'analyse; et plus souvent on est obligé de calculer leurs valeurs approchées soit par la réduction en séries convergentes, soit par la méthode des quadratures. Il y a lieu de penser que la plupart des intégrales qui ont résisté jusqu'à présent aux efforts si souverains et répétés des géomètres, et qui échappent à des méthodes où l'on a mis en œuvre toutes les ressources de l'analyse, sont impossibles sous forme finie, quoique cette impossibilité n'ait encore été démontrée pour aucune d'elles. Cela étant, on cherche à diminuer le nombre de ces quantités transcendantes, en les faisant dépendre les unes des autres, ce qui a donné naissance à une branche d'analyse, très-étendue et d'une grande importance, qui a pour objet la comparaison et la réduction des intégrales. Les principales classes d'intégrales que l'on ait comparées entre elles, se réduisent à trois. Les unes sont les intégrales définies que M. Legendre a nommées intégrales Euleriennes de première et de seconde espèce, et dont il a exposé la théorie avec tous les développements que l'on peut désirer. Les autres constituent les fonctions elliptiques qui doivent être l'objet spécial de ce rapport. Ces fonctions sont susceptibles de trois formes distinctes, et se divisent, en conséquence, en fonctions elliptiques de première, de seconde et de troisième espèce; chacune des fonctions des deux premiers ordres ne renferme qu'une seule constante qu'on nomme le module; la fonction de seconde espèce est l'arc d'ellipse; celle de troisième espèce est plus compliquée, et contient deux quantités constantes. La variable d'où dépend chaque fonction s'appelle l'amplitude. On compare les fonctions elliptiques sous deux points de vue différents : par rapport aux grandeurs de l'amplitude d'une même fonction, et relativement aux grandeurs du module de deux fonctions de même espèce, ou de deux fonctions d'espèce différente. Le théorème de Fagnani par lequel on assigne, sur une même ellipse, deux arcs dont la différence est une
la théorie avec tous les développements que l'on peut désirer. Les autres constituent les fonctions elliptiques qui doivent être l'objet spécial de ce rapport. Ces fonctions sont susceptibles de trois formes distinctes, et se divisent, en conséquence, en fonctions elliptiques de première, de seconde et de troisième espèce; chacune des fonctions des deux premiers ordres ne renferme qu'une seule constante qu'on nomme le module; la fonction de seconde espèce est l'arc d'ellipse; celle de troisième espèce est plus compliquée, et contient deux quantités constantes. La variable d'où dépend chaque fonction s'appelle l'amplitude. On compare les fonctions elliptiques sous deux points de vue différents : par rapport aux grandeurs de l'amplitude d'une même fonction, et relativement aux grandeurs du module de deux fonctions de même espèce, ou de deux fonctions d'espèce différente. Le théorème de Fagnani par lequel on assigne, sur une même ellipse, deux arcs dont la différence est une quantité donnée, et la division de la Lémniscate en parties égales, que ce géomètre a fait dépendre d'équations algébriques, se rapporte au premier mode de comparaison. Ce sont les premières questions de ce genre, dont les géomètres se soient occupés: elles datent de 1750; et on les citera toujours dans l'histoire du calcul intégral, comme le germe et l'origine de la théorie des fonctions elliptiques. Vient ensuite (en 1761) une des plus belles découvertes d'Euler, l'intégration sous forme finie, d'une équation à deux termes dont aucun ne peut s'intégrer séparément. L'intégrale qu'Euler a obtenue, fait connaître les sinus et cosinus de la somme et de la différence des amplitudes de deux fonctions données; elle comprend les résultats particuliers que Fagnani avait donnés, et tout ce qui concerne le premier mode de comparaison des fonctions elliptiques et leur division en parties égales. Sur ce premier point, Euler n'a rien laissé à faire à ses successeurs, si ce n'est la résolution même des équations algébriques, d'où dépend la division d'une fonction donnée; résolution qui a été trouvée quatre-vingts ans plus tard, ainsi que nous le dirons à la fin de ce rapport. Mais M. Legendre remarque comme une chose singulière, qu'Euler ne
l'histoire du calcul intégral, comme le germe et l'origine de la théorie des fonctions elliptiques. Vient ensuite (en 1761) une des plus belles découvertes d'Euler, l'intégration sous forme finie, d'une équation à deux termes dont aucun ne peut s'intégrer séparément. L'intégrale qu'Euler a obtenue, fait connaître les sinus et cosinus de la somme et de la différence des amplitudes de deux fonctions données; elle comprend les résultats particuliers que Fagnani avait donnés, et tout ce qui concerne le premier mode de comparaison des fonctions elliptiques et leur division en parties égales. Sur ce premier point, Euler n'a rien laissé à faire à ses successeurs, si ce n'est la résolution même des équations algébriques, d'où dépend la division d'une fonction donnée; résolution qui a été trouvée quatre-vingts ans plus tard, ainsi que nous le dirons à la fin de ce rapport. Mais M. Legendre remarque comme une chose singulière, qu'Euler ne se soit jamais occupé de l'autre mode de comparaison et de réduction des fonctions elliptiques. Le premier pas qu'on a fait dans cette seconde partie, est le théorème de Landen, sur la réduction de l'arc d'hyperbole aux arcs d'ellipse. Quelque temps après (en 1784), Lagrange donna une méthode applicable à toutes les fonctions elliptiques, dont le but est d'en faciliter le calcul numérique, en augmentant ou diminuant de plus en plus la grandeur du module. Et, en effet, après qu'on a rendu, par ce procédé, le module d'une fonction très-peu différent de zéro ou de l'unité, on achève ensuite, sans difficulté, le calcul de sa valeur approchée. En la considérant comme une méthode d'approximation, celle que l'on doit à Lagrange ne laisse donc rien à désirer; mais indépendamment de leurs valeurs numériques, il existe entre les fonctions elliptiques, des relations nombreuses qu'il est intéressant de connaître, et qu'on doit regarder comme autant de théorèmes d'analyse, ou bien encore, comme autant d'intégrales particulières d'une équation à deux termes, d'où il est facile de conclure son intégrale complète. Or, à cet égard, Lagrange est loin d'avoir épuisé la matière; et il ne paraît pas même qu'il ait envisagé la question sous ce
toutes les fonctions elliptiques, dont le but est d'en faciliter le calcul numérique, en augmentant ou diminuant de plus en plus la grandeur du module. Et, en effet, après qu'on a rendu, par ce procédé, le module d'une fonction très-peu différent de zéro ou de l'unité, on achève ensuite, sans difficulté, le calcul de sa valeur approchée. En la considérant comme une méthode d'approximation, celle que l'on doit à Lagrange ne laisse donc rien à désirer; mais indépendamment de leurs valeurs numériques, il existe entre les fonctions elliptiques, des relations nombreuses qu'il est intéressant de connaître, et qu'on doit regarder comme autant de théorèmes d'analyse, ou bien encore, comme autant d'intégrales particulières d'une équation à deux termes, d'où il est facile de conclure son intégrale complète. Or, à cet égard, Lagrange est loin d'avoir épuisé la matière; et il ne paraît pas même qu'il ait envisagé la question sous ce point de vue. Quoiqu'il en soit, par sa méthode on établit entre deux fonctions de première espèce, un rapport constant ou indépendant des amplitudes. Leurs modules se déduisent très simplement l'un de l'autre; et en répétant indéfiniment la même opération, on obtient une suite de fonctions équivalentes dont le rapport change continuellement d'un terme à l'autre, et l'on forme en même temps la série de leurs modules, ascendante dans un sens et descendante dans le sens opposé. Cette série est ce qu'on appelle une échelle de modules : celle qui se déduit de la méthode de Lagrange était la seule que l'on connût jusqu'à ces derniers temps. Tel était l'état de cette partie de la science en 1786, lorsque M. Legendre donna un premier mémoire sur la comparaison des arcs d'ellipse. Depuis cette époque, jusqu'à la publication de son Traité des fonctions elliptiques, en 1825, M. Legendre est à peu près le seul géomètre qui se soit occupé de cette théorie. Après en avoir perfectionné successivement toutes les parties notre illustre confrère les a réunies en un corps de doctrine qui contient un grand nombre de réductions et de propriétés des fonctions elliptiques que l'auteur a le premier fait connaître,
change continuellement d'un terme à l'autre, et l'on forme en même temps la série de leurs modules, ascendante dans un sens et descendante dans le sens opposé. Cette série est ce qu'on appelle une échelle de modules : celle qui se déduit de la méthode de Lagrange était la seule que l'on connût jusqu'à ces derniers temps. Tel était l'état de cette partie de la science en 1786, lorsque M. Legendre donna un premier mémoire sur la comparaison des arcs d'ellipse. Depuis cette époque, jusqu'à la publication de son Traité des fonctions elliptiques, en 1825, M. Legendre est à peu près le seul géomètre qui se soit occupé de cette théorie. Après en avoir perfectionné successivement toutes les parties notre illustre confrère les a réunies en un corps de doctrine qui contient un grand nombre de réductions et de propriétés des fonctions elliptiques que l'auteur a le premier fait connaître, et particulièrement une nouvelle échelle de module dont la découverte lui est également due. L'ouvrage de M. Legendre renferme les méthodes les plus simples pour réduire en tables, les valeurs numériques des trois espèces de fonctions elliptiques; et joignant l'exemple aux préceptes, l'auteur a formé effectivement des tables de ces valeurs, calculées à un très-grand degré d'approximation. Elle contient aussi des tables analytiques, comprenant un grand nombre d'intégrales qui se réduisent aux fonctions elliptiques; réduction dont Maclaurin et d'Alembert avaient autrefois donné quelques exemples. M. Legendre a mis à son ouvrage les solutions de plusieurs problèmes de géométrie et de mécanique, propres à montrer l'usage des fonctions elliptiques et des tables de leurs valeurs numériques. Je tâcherai maintenant de donner à l'Académie une idée générale de l'ouvrage qui lui a été adressé par M. Jacobi, professeur à l'Université de Kœnigsberg. L'auteur prouve que l'on peut transformer une fonction donnée de première espèce, en une autre, et établir entre elles un rapport constant, en prenant pour le sinus de l'amplitude de l'une, une fonction rationnelle du sinus de l'amplitude de l'autre, qui contient un nombre pair quelconque, et dont il assigne tous les coefficients pour chaque valeur de ce nombre (note
valeurs, calculées à un très-grand degré d'approximation. Elle contient aussi des tables analytiques, comprenant un grand nombre d'intégrales qui se réduisent aux fonctions elliptiques; réduction dont Maclaurin et d'Alembert avaient autrefois donné quelques exemples. M. Legendre a mis à son ouvrage les solutions de plusieurs problèmes de géométrie et de mécanique, propres à montrer l'usage des fonctions elliptiques et des tables de leurs valeurs numériques. Je tâcherai maintenant de donner à l'Académie une idée générale de l'ouvrage qui lui a été adressé par M. Jacobi, professeur à l'Université de Kœnigsberg. L'auteur prouve que l'on peut transformer une fonction donnée de première espèce, en une autre, et établir entre elles un rapport constant, en prenant pour le sinus de l'amplitude de l'une, une fonction rationnelle du sinus de l'amplitude de l'autre, qui contient un nombre pair quelconque, et dont il assigne tous les coefficients pour chaque valeur de ce nombre (note A). Ces coefficients renferment les racines de l'équation algébrique, relative à la division de ce même nombre de parties égales, de la fonction donnée, dans le cas où son amplitude est égale à un angle droit. M. Jacobi donne aussi, au moyen des mêmes racines, l'expression du rapport des deux fonctions et la relation de leurs modules. En répétant indéfiniment cette réduction d'une fonction à une autre, il en résultera donc une échelle de modules, qui équivaudra à un nombre illimité d'échelles différentes, à raison du nombre indéterminé dont elle dépend, et qui sera même une échelle multiple pour chaque valeur particulière de ce nombre, car chaque module se déduit du précédent par la résolution d'une équation de degré élevé (note B). Ainsi la découverte principale de M. Jacobi consiste en ce qu'il a résolu l'une infinie de manières différentes, et par des formules très remarquables en elles-mêmes, un problème d'analyse dont on se connaissait auparavant que deux solutions particulières. L'échelle de modules que M. Legendre a trouvée et qui n'était pas encore connue de M. Jacobi, est renfermée dans la solution générale et répond au nombre trois. L'ancienne échelle n'y est pas comprise explicite; mais elle a avec l'échelle
fonctions et la relation de leurs modules. En répétant indéfiniment cette réduction d'une fonction à une autre, il en résultera donc une échelle de modules, qui équivaudra à un nombre illimité d'échelles différentes, à raison du nombre indéterminé dont elle dépend, et qui sera même une échelle multiple pour chaque valeur particulière de ce nombre, car chaque module se déduit du précédent par la résolution d'une équation de degré élevé (note B). Ainsi la découverte principale de M. Jacobi consiste en ce qu'il a résolu l'une infinie de manières différentes, et par des formules très remarquables en elles-mêmes, un problème d'analyse dont on se connaissait auparavant que deux solutions particulières. L'échelle de modules que M. Legendre a trouvée et qui n'était pas encore connue de M. Jacobi, est renfermée dans la solution générale et répond au nombre trois. L'ancienne échelle n'y est pas comprise explicite; mais elle a avec l'échelle indéterminée de M. Jacobi, une très-grande analogie et peut-être censée appartenir au nombre deux. L'équation algébrique entre les modules des deux fonctions qu'on veut réduire l'une à l'autre, étant très-difficile à former, quand le nombre auquel ils répondent est un peu considérable on y substitue avec avantage une équation transcendante, très importante dans cette théorie, et dont M. Legendre a montré l'usage pour calculer la valeur approchée d'un terme quelconque de l'échelle des modules. M. Jacobi a aussi exprimé la relation entre deux modules consécutifs, par une équation différentielle du troisième ordre, qu'il a intégrée complètement au moyen des fonctions elliptiques. Des tables numériques de ces fonctions ayant été calculées, on peut maintenant admettre ce mode d'intégration dans l'analyse, aussi bien que l'intégration par arcs de cercle et par logarithmes. M. Legendre en avait déjà donné l'exemple, à l'égard de deux équations différentielles du second ordre et d'une équation du premier ordre, analogue à l'équation de Riccati. Par une combinaison très-simple des formules de M. Jacobi, on obtient une solution nouvelle du problème de la multiplication et de la division des fonctions elliptiques dans le cas d'une amplitude quelconque, en supposant le problème résolu lorsque l'amplitude est un angle droit
très importante dans cette théorie, et dont M. Legendre a montré l'usage pour calculer la valeur approchée d'un terme quelconque de l'échelle des modules. M. Jacobi a aussi exprimé la relation entre deux modules consécutifs, par une équation différentielle du troisième ordre, qu'il a intégrée complètement au moyen des fonctions elliptiques. Des tables numériques de ces fonctions ayant été calculées, on peut maintenant admettre ce mode d'intégration dans l'analyse, aussi bien que l'intégration par arcs de cercle et par logarithmes. M. Legendre en avait déjà donné l'exemple, à l'égard de deux équations différentielles du second ordre et d'une équation du premier ordre, analogue à l'équation de Riccati. Par une combinaison très-simple des formules de M. Jacobi, on obtient une solution nouvelle du problème de la multiplication et de la division des fonctions elliptiques dans le cas d'une amplitude quelconque, en supposant le problème résolu lorsque l'amplitude est un angle droit (note C). On en conclut immédiatement que l'équation relative à la division en un nombre impair de parties égales, dont le degré est marqué par le carré de ce nombre, peut se décomposer en deux autres, d'un degré seulement égal au même nombre. C'est de cette manière que M. Jacobi a résolu, le premier, par des radicaux du second et du troisième degré, le problème de la tri-section d'une fonction elliptique dont le module et l'amplitude sont donnés. En rendant infini le nombre indéterminé que ses formules renferment, M. Jacobi parvient, dans la seconde partie de son ouvrage, à de nouvelles formules au moyen desquelles le sinus et d'autres fonctions trigonométriques de l'amplitude se trouvent exprimés, soit en produits d'une infinité de facteurs, soit en séries infinies (Note D). L'auteur fait voir comment ces séries peuvent servir à la démonstration des théorèmes de Fermat, ce qui établit un rapport singulier entre la décomposition des nombres en plusieurs carrés et la transformation des fonctions elliptiques, et donne lieu à une nouvelle application de l'analyse à la théorie des nombres, tout-à-fait semblable aux recherches d'Euler sur la partition des nombres. Enfin M. Jacobi s'est aussi occupé de la réduction des fonctions de