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Soit k le module d'une fonction elliptique pour un nombre premier donné > 3 ; pour que l'équation du degré p + 1 qui donne les divers modules des fonctions transformées relativement au nombre p, soit résoluble par radicaux, il faut de deux choses l'une, ou bien qu'une des racines soit rationnellement connue, ou bien que toutes soient des fonctions rationnelles les unes des autres. Il ne s'agit ici, bien entendu, que des valeurs particulières du module k. Il est évident que la chose n'a pas lieu en général. Cette règle n'a pas lieu pour p = 5. 3° Il est remarquable que l'équation modulaire générale du 6e degré, correspondant au nombre 5, peut s'abaisser à une du 5e degré dont elle est la réduite. Au contraire, pour des degrés supérieurs, les équations modulaires ne peuvent s'abaisser LES RACINES PRIMITIVES DES NOMBRES PREMIERS; par M. G. LIBRI. M. Cauchy a annoncé à l'Académie des Sciences de Paris dans sa séance du 9 novembre 1829, qu'il a découvert le moyen de déterminer les racines primitives des nombres, mais qu'il ne fera connaître sa méthode que plus tard. Depuis quelques mois j'ai trouvé deux solutions de ce problème qui diffèrent beaucoup entre elles. J'avais l'intention de les publier dans le prochain volume de mes Mémoires de Mathématiques et de Physique; mais l'annonce de M. Cauchy me force à dire sur-le-champ quelques mots de mes recherches, afin de ne pas être prévenu par lui. Je n'entrerai point dans de grands détails, je me bornerai à un cas particulier pour faire apprécier ma méthode. Je dirai plus tard la démonstration générale; la citation que vais faire trouvera naturellement sa place dans cette démonstration générale. Si l'on demande les racines primitives du nombre 7, on cherchera les racines communes aux deux congruences. x3 + 1 ≡ 0 (mod. 7.), x5 - x3 - x2 + 1 ≡ 0 (mod. 7.) L'on aura la congruence x - 6 ≡ 0 (mod. 7.) Ensuite en divisant x3 + 41 par x - 6, on aura le facteur x - 3 qui est le plus grand commun diviseur
elles. J'avais l'intention de les publier dans le prochain volume de mes Mémoires de Mathématiques et de Physique; mais l'annonce de M. Cauchy me force à dire sur-le-champ quelques mots de mes recherches, afin de ne pas être prévenu par lui. Je n'entrerai point dans de grands détails, je me bornerai à un cas particulier pour faire apprécier ma méthode. Je dirai plus tard la démonstration générale; la citation que vais faire trouvera naturellement sa place dans cette démonstration générale. Si l'on demande les racines primitives du nombre 7, on cherchera les racines communes aux deux congruences. x3 + 1 ≡ 0 (mod. 7.), x5 - x3 - x2 + 1 ≡ 0 (mod. 7.) L'on aura la congruence x - 6 ≡ 0 (mod. 7.) Ensuite en divisant x3 + 41 par x - 6, on aura le facteur x - 3 qui est le plus grand commun diviseur des deux congruences indicera que 3 est la racine primitive de 7. Une autre racine primitive du même nombre sera 35 ≡ 5 (mod. 7.) Les nombres 3 et 5 seront les racines primitives cherchées. La méthode dont je viens de faire une application, sert non seulement à la recherche directe des racines primitives, que l'on a tenté en vain par une foule de géomètres, mais conduit également à la résolution des congruences de tous les degrés. (Antologia; nov. et déc. 1829.) SUR L'INTÉGRATION D'UNE CERTAINE CLASSE D'ÉQUATIONS aux différences partielles; par M. Augustin Louis CAUCHY. La solution d'un grand nombre de questions de physique mathématique dépend de l'intégration d'équations aux différences partielles linéaires, et à coefficients constants, dans lesquelles sont dérivées de la variable principale sont toutes du même ordre. Elles sont en particulier les équations qui expriment les lois de la propagation des ondes à la surface d'un liquide renfermé dans un canal dont la profondeur est très-petite, et les lois de la propagation du son dans un gaz, dans un liquide, ou dans un corps solide élastique. Il était important d'obtenir les intégrales générales des équations de ce genre sous une forme telle qu'on pût en déduire
directe des racines primitives, que l'on a tenté en vain par une foule de géomètres, mais conduit également à la résolution des congruences de tous les degrés. (Antologia; nov. et déc. 1829.) SUR L'INTÉGRATION D'UNE CERTAINE CLASSE D'ÉQUATIONS aux différences partielles; par M. Augustin Louis CAUCHY. La solution d'un grand nombre de questions de physique mathématique dépend de l'intégration d'équations aux différences partielles linéaires, et à coefficients constants, dans lesquelles sont dérivées de la variable principale sont toutes du même ordre. Elles sont en particulier les équations qui expriment les lois de la propagation des ondes à la surface d'un liquide renfermé dans un canal dont la profondeur est très-petite, et les lois de la propagation du son dans un gaz, dans un liquide, ou dans un corps solide élastique. Il était important d'obtenir les intégrales générales des équations de ce genre sous une forme telle qu'on pût en déduire aisément la connaissance des phénomènes que ces équations représentent. Tel est l'objet de divers mémoires que j'ai présentés dernièrement à l'Académie des sciences. vais donner en peu de mots une idée des résultats auxquels suis parvenu, et qui me paraissent dignes de fixer l'attention des géomètres. Soit \(f\) une fonction des variables indépendantes \(X, y, z,...\) servant-nous d'ailleurs, pour plus de simplicité, de la solution adoptée dans le 2e volume des Exercices de mathématiques, désignons en conséquence, par \(D^kD^kD^l...D^m\) la dérivée Une équation linéaire aux différences partielles et à coefficients constants, entre la variable principale \(\phi\), et les variables indépendantes \(x, y, z, ... / \), pourra s'écrire comme il suit \(F (Dx, Dy, Dz, ... Di) f = 0\), la fonction \(F\) \((u, v, w, s)\), étant ce qui devient le premier membre de l'équation, aux différences partielles quand on remplace les diverses valeurs de l'expression \((i)\) par les valeurs correspondantes du produit \(uv ... sm \). De plus, si, dans l'équation \((a)\), toutes les dérivées de \(\phi\) sont du même ordre, \(F (u, v, w, ... s)\) sera une fonction homogène de \(u, v, w, s\). Cela posé, en suivant le principe que j'ai indiqué dans les Mémoires
des variables indépendantes \(X, y, z,...\) servant-nous d'ailleurs, pour plus de simplicité, de la solution adoptée dans le 2e volume des Exercices de mathématiques, désignons en conséquence, par \(D^kD^kD^l...D^m\) la dérivée Une équation linéaire aux différences partielles et à coefficients constants, entre la variable principale \(\phi\), et les variables indépendantes \(x, y, z, ... / \), pourra s'écrire comme il suit \(F (Dx, Dy, Dz, ... Di) f = 0\), la fonction \(F\) \((u, v, w, s)\), étant ce qui devient le premier membre de l'équation, aux différences partielles quand on remplace les diverses valeurs de l'expression \((i)\) par les valeurs correspondantes du produit \(uv ... sm \). De plus, si, dans l'équation \((a)\), toutes les dérivées de \(\phi\) sont du même ordre, \(F (u, v, w, ... s)\) sera une fonction homogène de \(u, v, w, s\). Cela posé, en suivant le principe que j'ai indiqué dans les Mémoires ci-dessus mentionnés, on pourra intégrer l'équation \((2)\), de manière que les fonctions arbitraires introduites par l'intégration soient les valeurs de \(\phi\), correspondantes à \(t = 0\), et l'on arrive en particulier au conclusions suivantes. Concevons, pour fixer les idées, que les variables indépendantes se réduisent à quatre, \(x, y, z, t\). Soit \(n\) l'ordre de l'équation \((a)\) réduite à la forme \(F (Dx, Dy, Dz, Dt) = 0\), présentons par \(d_a / da / ... d_n\) les valeurs de \(D\) correspondantes à \(t = 0\). L'inégrale générale de l'équation \((3)\) sera \(p\) signe \(E\) du calcul des résidus étant rotatif à la variable \(s\) qui, à vertu de la formule \((5)\) \(F(M, v, w, r ) = 0\) étant fonction de \(u, v, w, r\), et les valeurs de \(u, v, w, r\), étant déterminées par les formules \((6)\) \(u = cos.\ p, v = sin.\ p cos.\ q, w = sin.\ p sin.\ q\), \((7)\) \(cos.\ 1 = u cos.\ \alpha + v sin.\ p cos.\ q + w sin.\ p sin.\ q\), joutons \(1°\), qu'après avoir développé la fonction en tant que les puissances ascendantes de \(f(\lambda, u, v)\), on devra remplacer dans le développement les exposants de
t\). Soit \(n\) l'ordre de l'équation \((a)\) réduite à la forme \(F (Dx, Dy, Dz, Dt) = 0\), présentons par \(d_a / da / ... d_n\) les valeurs de \(D\) correspondantes à \(t = 0\). L'inégrale générale de l'équation \((3)\) sera \(p\) signe \(E\) du calcul des résidus étant rotatif à la variable \(s\) qui, à vertu de la formule \((5)\) \(F(M, v, w, r ) = 0\) étant fonction de \(u, v, w, r\), et les valeurs de \(u, v, w, r\), étant déterminées par les formules \((6)\) \(u = cos.\ p, v = sin.\ p cos.\ q, w = sin.\ p sin.\ q\), \((7)\) \(cos.\ 1 = u cos.\ \alpha + v sin.\ p cos.\ q + w sin.\ p sin.\ q\), joutons \(1°\), qu'après avoir développé la fonction en tant que les puissances ascendantes de \(f(\lambda, u, v)\), on devra remplacer dans le développement les exposants de \(f(\lambda, u, v)\) par les indices, en écrivant, par exemple, que, \(T\) désignant une fonction quelconque de \(t\), on devra, dans le second membre de l'équation \((4)\), considérer les notations comme propres à représenter les quantités Si, pour plus de simplicité, on suppose que les fonctions \(f(z)\), \(fr(x, y, z)\), ... \(fn-1(x, y, z)\) s'évanouissent toutes à l'exception de la première; la valeur de \(\phi\), fournie par l'équation \((6)\), deviendra le signe \(2\) indiquant une somme de termes semblables aux autres et relatifs aux diverses valeurs de \(s\) que fournit l'équation \((5)\). Dans le cas particulier où l'on suppose \((11)\) \(F (u, v, w, s) = s^2 - a^2 (u^2 + v^2 + w^2)\), l'équation \((3)\) devient et la formule \((10)\) peut être réduite à les valeurs de \(A, u, y\) étant \((14)\) \(\lambda = x + at cos.\ p, \mu=y+at sin.\ p cos.q, v=z+at sin.p\) On se trouve ainsi ramené à l'intégrale que M. Poisson a donnée de l'équation \((12)\). Concevons maintenant que l'équation \((3)\) se rapporte à une question de physique mathématique, dans laquelle \(t\) représente le temps, et \(x, y, z\) des coordonnées rectilignes. Supposons d'ailleurs que les valeurs initiales de \(f(x, z)\), \(y, z\), ... \(fn-1(x,y,
... \(fn-1(x, y, z)\) s'évanouissent toutes à l'exception de la première; la valeur de \(\phi\), fournie par l'équation \((6)\), deviendra le signe \(2\) indiquant une somme de termes semblables aux autres et relatifs aux diverses valeurs de \(s\) que fournit l'équation \((5)\). Dans le cas particulier où l'on suppose \((11)\) \(F (u, v, w, s) = s^2 - a^2 (u^2 + v^2 + w^2)\), l'équation \((3)\) devient et la formule \((10)\) peut être réduite à les valeurs de \(A, u, y\) étant \((14)\) \(\lambda = x + at cos.\ p, \mu=y+at sin.\ p cos.q, v=z+at sin.p\) On se trouve ainsi ramené à l'intégrale que M. Poisson a donnée de l'équation \((12)\). Concevons maintenant que l'équation \((3)\) se rapporte à une question de physique mathématique, dans laquelle \(t\) représente le temps, et \(x, y, z\) des coordonnées rectilignes. Supposons d'ailleurs que les valeurs initiales de \(f(x, z)\), \(y, z\), ... \(fn-1(x,y, z)\) soient sensiblement nulles pour tous les points situés à une distance sensible de l'origine des coordonnées. Au bout du temps \(t\), les valeurs de \(f(\lambda, \mu, v)\), \(f1(x, \mu, v)\) ... \(fn-1(x, \mu, v)\), ne cesseront d'être nulles pour que les différences de \(\lambda, \mu, v\), très-peu différentes de celles qui vérifient les conditions \(X = 0, \mu = 0, v = 0\) ailleurs on tire des formules \((15)\) \(t\) par conséquent \(16)\) \(+ + wz+st = 0\). Donc au bout du temps \(t\) la variable \(f\) n'aura de valeur sensible que dans les points de l'espace qui appartiendront à l'un des plans que peut représenter l'équation \((16)\), lorsqu'on y regarde \(l, v, w\) comme des paramètres variables. Or ces points sont tous situés en dehors de la surface enveloppe, que touche dans ses diverses positions le plan mobile représenté par l'équation \((16)\). Cela posé, soit \((17)\) \(\psi(x,y, z, t) = 0\) l'équation de la surface dont il s'agit. Le phénomène sonore, ou lumineux, etc., qui dépendait de la valeur de \(p\), et qui dans le premier instant, n'était sensible que tout près de l'origine, ne sera sensible au bout du temps \(t\), que dans le voisinage de la
celles qui vérifient les conditions \(X = 0, \mu = 0, v = 0\) ailleurs on tire des formules \((15)\) \(t\) par conséquent \(16)\) \(+ + wz+st = 0\). Donc au bout du temps \(t\) la variable \(f\) n'aura de valeur sensible que dans les points de l'espace qui appartiendront à l'un des plans que peut représenter l'équation \((16)\), lorsqu'on y regarde \(l, v, w\) comme des paramètres variables. Or ces points sont tous situés en dehors de la surface enveloppe, que touche dans ses diverses positions le plan mobile représenté par l'équation \((16)\). Cela posé, soit \((17)\) \(\psi(x,y, z, t) = 0\) l'équation de la surface dont il s'agit. Le phénomène sonore, ou lumineux, etc., qui dépendait de la valeur de \(p\), et qui dans le premier instant, n'était sensible que tout près de l'origine, ne sera sensible au bout du temps \(t\), que dans le voisinage de la surface à laquelle appartiendra l'équation \((17)\), de sorte qu'à cette époque il cessera de se produire en-deçà de la surface. Donc la propagation de ce phénomène dans l'espace, donnera naissance à une onde sonore ou lumineuse qui ne laissera pas de traces de son passage, et dont la surface sera précisément celle que représente la formule \((17)\). Ajoutons que, pour obtenir cette formule, il suffira d'éliminer les paramètres variables \(u, v, w\), entre l'équation \((16)\) et ses dérivées relatives à \(u, v, w\), ou, ce qui revient au même, d'éliminer le variable entre les trois équations, attendu que \(s, u, v, w\) sont, en vertu de la formule \((5)\), quatre fonctions homogènes de \(u, v, w\), la première du premier degré, les trois dernières d'un degré nul. Donc \(\psi (x,y, z, t)\) sera une fonction des seuls rapports \(t\). Donc, le temps venant à croître, la surface de l'onde restera semblable à elle-même la vitesse de l'onde, suivant une droite quelconque menée de l'origine, c'est-à-dire la vitesse avec laquelle un point de la face se déplacera sur cette droite, sera une quantité constante. Il est bon d'observer que la méthode par laquelle on établit l'équation, s'applique au cas même où
précisément celle que représente la formule \((17)\). Ajoutons que, pour obtenir cette formule, il suffira d'éliminer les paramètres variables \(u, v, w\), entre l'équation \((16)\) et ses dérivées relatives à \(u, v, w\), ou, ce qui revient au même, d'éliminer le variable entre les trois équations, attendu que \(s, u, v, w\) sont, en vertu de la formule \((5)\), quatre fonctions homogènes de \(u, v, w\), la première du premier degré, les trois dernières d'un degré nul. Donc \(\psi (x,y, z, t)\) sera une fonction des seuls rapports \(t\). Donc, le temps venant à croître, la surface de l'onde restera semblable à elle-même la vitesse de l'onde, suivant une droite quelconque menée de l'origine, c'est-à-dire la vitesse avec laquelle un point de la face se déplacera sur cette droite, sera une quantité constante. Il est bon d'observer que la méthode par laquelle on établit l'équation, s'applique au cas même où l'équation acquerrait un second membre équivalent à une fonction donnée de x, y, z, t, et se présenterait sous la forme F (Dz, ... t) Si l'équation (3) devient ... D == f (x, y, z, ... t) A, B, C, D, E, F désignant des coefficients constants, la fonction (10) pourra être réduite à les valeurs de s, S étant déterminées par les formules (21) s2=Au2 + Bv2 + Cw2 + 2 Dvw+2Ewu+2Fuv, et les valeurs de u, v, w par les formules Alors aussi la surface de l'onde pourra être facilement déterminée par la méthode suivante. On construira d'abord l'ellipsoïde dont les coordonnées vérifient, au bout du temps t, l'équation (24) A + Bn2 + C ζ2 + 2 D n ζ + 2 F ζn=t2 puis on déterminera les coordonnées en fonctions de coordonnées l, n, l > à l'aide des formules (25) Aξ+Fn+Eζ=x, Fξ+Bn+Dζ=y, Cela posé, l'équation (24) pourra s'écrire comme il suit, (26) x ξ + Yn + zζ = t2. Or, si, dans cette dernière équation on substitue aux coordonnées l, n, t, leurs valeurs en x, y, z, tirées des formules (25), l'équation que l'on obtiendra, savoir, présentera un second ellipsoïde dont la
(10) pourra être réduite à les valeurs de s, S étant déterminées par les formules (21) s2=Au2 + Bv2 + Cw2 + 2 Dvw+2Ewu+2Fuv, et les valeurs de u, v, w par les formules Alors aussi la surface de l'onde pourra être facilement déterminée par la méthode suivante. On construira d'abord l'ellipsoïde dont les coordonnées vérifient, au bout du temps t, l'équation (24) A + Bn2 + C ζ2 + 2 D n ζ + 2 F ζn=t2 puis on déterminera les coordonnées en fonctions de coordonnées l, n, l > à l'aide des formules (25) Aξ+Fn+Eζ=x, Fξ+Bn+Dζ=y, Cela posé, l'équation (24) pourra s'écrire comme il suit, (26) x ξ + Yn + zζ = t2. Or, si, dans cette dernière équation on substitue aux coordonnées l, n, t, leurs valeurs en x, y, z, tirées des formules (25), l'équation que l'on obtiendra, savoir, présentera un second ellipsoïde dont la surface sera celle de l'onde cherchée. Si l'on nomme p, r, les rayons vecteurs menés de l'origine à deux points correspondants (l, n, t) (x, y, z) les deux ellipsoïdes, et l'angle compris entre ces rayons vecteurs, la formule (26) donnera 28) p pr cos.δ = t2. Donc, au bout du temps t, le produit du premier rayon vecteur, par la projection du second sur le premier, sera constamment égal à t2. Dans un second article, je montrerai comment, étant donnée la surface de l'onde, on peut retrouver l'équation aux différences partielles qui correspond à cette surface. En résolvant ce dernier problème, et considérant une onde lumineuse représentée par le système d'une sphère et d'un ellipsoïde de révolution dont l'axe coïncide avec le diamètre de la sphère, on se trouve ramené à une équation que j'ai déjà considérée dans un autre mémoire, et qui est renfermée, comme cas particulier, dans les formules propres à déterminer les vibrations de molécules qui s'attirent ou se repoussent à de très-petites distances. (Voyez le Bulletin de février 1829, page 112.) ASTRONOMIE. ASTRONOMIE PRATIQUE. USAGE ET COMPOSITION DE LA CONNAISSANCE DES TEMPS. Ouvrage destiné aux astronomes, aux marins et aux ingénieurs; par L. B. FRANCOEUR.
du temps t, le produit du premier rayon vecteur, par la projection du second sur le premier, sera constamment égal à t2. Dans un second article, je montrerai comment, étant donnée la surface de l'onde, on peut retrouver l'équation aux différences partielles qui correspond à cette surface. En résolvant ce dernier problème, et considérant une onde lumineuse représentée par le système d'une sphère et d'un ellipsoïde de révolution dont l'axe coïncide avec le diamètre de la sphère, on se trouve ramené à une équation que j'ai déjà considérée dans un autre mémoire, et qui est renfermée, comme cas particulier, dans les formules propres à déterminer les vibrations de molécules qui s'attirent ou se repoussent à de très-petites distances. (Voyez le Bulletin de février 1829, page 112.) ASTRONOMIE. ASTRONOMIE PRATIQUE. USAGE ET COMPOSITION DE LA CONNAISSANCE DES TEMPS. Ouvrage destiné aux astronomes, aux marins et aux ingénieurs; par L. B. FRANCOEUR. In-8 de 550 p.; prix, 7 fr. 50 c. Paris, 1830; Bachelier. On désirait depuis longtemps la publication d'un traité qui eût pour objet spécial l'astronomie pratique, c'est-à-dire, qui offrait l'application la plus développée des formules et des éphémérides aux problèmes d'une science dont les calculs longs et compliqués présentent souvent beaucoup de difficultés. Le besoin d'un ouvrage à l'aide duquel on peut être initié promptement aux calculs astronomiques se faisait sentir particulièrement chez les personnes que la nature de leurs fonctions amène, par intervalles, à s'occuper des observations célestes, que d'autres soins détournent de cette application suivie que prescrivent assez souvent les calculs qu'il faut déduire de même observations. La nouvelle production de M. Francœur répond à ce besoin et remplit sous tous les rapports les conditions désirables d'un ouvrage destiné aux astronomes, aux marins, aux ingénieurs, et même, nous ajouterons, aux voyageurs instruits qui veulent rendre leurs explorations utiles au perfectionnement de la géographie: elle offre dans un seul volume, d'un format commode et portatif, l'ensemble de toutes les questions relatives à l'astronomie usuelle, avec des exemples de calcul présentés, pour tous les cas, sous des formes qui en rendent l'exécution très-facile. Cet ouvrage est divisé en trois
souvent beaucoup de difficultés. Le besoin d'un ouvrage à l'aide duquel on peut être initié promptement aux calculs astronomiques se faisait sentir particulièrement chez les personnes que la nature de leurs fonctions amène, par intervalles, à s'occuper des observations célestes, que d'autres soins détournent de cette application suivie que prescrivent assez souvent les calculs qu'il faut déduire de même observations. La nouvelle production de M. Francœur répond à ce besoin et remplit sous tous les rapports les conditions désirables d'un ouvrage destiné aux astronomes, aux marins, aux ingénieurs, et même, nous ajouterons, aux voyageurs instruits qui veulent rendre leurs explorations utiles au perfectionnement de la géographie: elle offre dans un seul volume, d'un format commode et portatif, l'ensemble de toutes les questions relatives à l'astronomie usuelle, avec des exemples de calcul présentés, pour tous les cas, sous des formes qui en rendent l'exécution très-facile. Cet ouvrage est divisé en trois parties que précède une courte introduction dans laquelle l'auteur récapitule toutes les formules des deux trigonométries, donne des notions succinctes sur les constellations et sur les moyens de les reconnaître, et conclut par quelques développements sur les opérations numériques qui tendent à abréger les calculs. La première partie a pour objet de faire connaître l'usage et la composition de la Connaissance des Temps, ouvrage dans lequel le calculateur prend ordinairement une partie des données des problèmes astronomiques. Cet annuaire renferme à la vérité une explication très-claire de l'usage qu'on en peut faire mais il a semblé à l'auteur « que cette partie, suffisante pour les hommes exercés à l'astronomie, n'était pas assez développée pour ceux qui n'en font, pour ainsi dire, qu'un usage accidentel; qu'il pouvait être avantageux à ces derniers de voir ces nombres combinés entre eux, selon les règles de la science, et introduits dans des problèmes du genre de ceux qu'ils rencontrent le plus souvent, afin qu'ils aient sous les yeux des types de calcul qui, imités sur les exemples qu'ils doivent traiter, ne laissent place à aucune erreur vraisemblable. » Cette première partie contient donc la signification des termes usités dans la Connaissance des Temps, le