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transforme en la suivante dont il fait quelques applications. Dans ces formules, \(p\) est le rayon de courbure ordinaire des lignes \(u = const.\) Bianchi (L.). — Recherches sur les surfaces hélicoïdales et sur les surfaces à courbure constante. (285-340). L'auteur appelle surfaces complémentaires les deux nappes de la développée d'une surface quelconque et donne, pour la complémentaire \(S'\) d'une surface \(S\) par rapport à un système de géodésiques donné par \(S\), la construction suivante : Sur chaque tangente aux géodésiques du système, on prend un segment égal au rayon de courbure géodésique de la trajectoire orthogonale des géodésiques au point considéré. Le lieu des extrémités de ces segments est \(S'\). Si une surface de révolution se déforme, la série des surfaces complémentaires des déformées est constituée de surfaces applicables sur une même surface de révolution, pourvu que les systèmes de géodésiques par rapport auxquels on prend les complémentaires soient le système des déformées des méridiens. La surface complémentaire d'une surface à courbure constante négative \(—\) par rapport à un système de géodésiques de première espèce est une surface à courbure constante négative \(—\); par rapport à un système de seconde espèce elle est une surface applicable sur la surface de rotation ayant pour méridien la courbe logarithmique; enfin, par rapport à un système de troisième espèce est une surface de rotation ayant pour méridien une tractrice raccourcie, c'est-à-dire une courbe que l'on obtient en projetant la tractrice sur un plan passant par l'asymptote. Particulièrement remarquable est le cas des géodésiques de seconde espèce. Dans ce cas, l'auteur obtient une surface applicable sur la surface logarithmique de rotation, et dont l'équation en coordonnées cylindriques est Quand on applique la surface logarithmique sur cette surface, les parallèles deviennent des chaînes égales, pliées sur des cylindres circulaires concentriques. Il démontre ensuite que cette dernière propriété n'appartient qu'à la chaîne. Après cela, M. Bianchi passe à traiter des surfaces hélicoïdales. La surface complémentaire d'un hélicoïde est un hélicoïde ayant même axe et même pas. L'hélicoïde complémentaire d'un hélicoïde réglé est aussi réglé et applicable sur lui. La développée d'un hélicoïde gauche minimum est
de rotation ayant pour méridien la courbe logarithmique; enfin, par rapport à un système de troisième espèce est une surface de rotation ayant pour méridien une tractrice raccourcie, c'est-à-dire une courbe que l'on obtient en projetant la tractrice sur un plan passant par l'asymptote. Particulièrement remarquable est le cas des géodésiques de seconde espèce. Dans ce cas, l'auteur obtient une surface applicable sur la surface logarithmique de rotation, et dont l'équation en coordonnées cylindriques est Quand on applique la surface logarithmique sur cette surface, les parallèles deviennent des chaînes égales, pliées sur des cylindres circulaires concentriques. Il démontre ensuite que cette dernière propriété n'appartient qu'à la chaîne. Après cela, M. Bianchi passe à traiter des surfaces hélicoïdales. La surface complémentaire d'un hélicoïde est un hélicoïde ayant même axe et même pas. L'hélicoïde complémentaire d'un hélicoïde réglé est aussi réglé et applicable sur lui. La développée d'un hélicoïde gauche minimum est un hélicoïde possédant un système de courbes gauches du quatrième ordre ayant un point double au point à l'infini de l'axe. L'hélicoïde complémentaire d'un autre qui ait un système de lignes de courbure planes est applicable sur la surface logarithmique de rotation. L'auteur retrouve aussi les hélicoïdes remarquables de M. Dini, et en déduit une classe de surfaces ayant une différence constante entre les rayons de courbure, et dont la développée est formée par deux hélicoïdes de Dini qui ne différent que par une translation suivant l'axe. Puis il démontre que la surface des centres géodésiques des lignes de courbure d'un hélicoïde est un hélicoïde ayant même axe et même pas. Cet hélicoïde, si le premier est de ceux de Dini à courbure constante négative, peut être engendré comme les hélicoïdes minima par une hélice d'un cylindre ayant pour base une chaîne, le pas de l'hélice et le sens étant seuls différents dans les deux cas. L'auteur détermine aussi la surface de révolution applicable sur cet hélicoïde. Enfin, il trouve une classe d'hélicoïdes applicables sur la surface de révolution à courbure moyenne constante. De cette classe de surfaces, il donne la construction suivante très remarquable ; On prend une sphère
Dini, et en déduit une classe de surfaces ayant une différence constante entre les rayons de courbure, et dont la développée est formée par deux hélicoïdes de Dini qui ne différent que par une translation suivant l'axe. Puis il démontre que la surface des centres géodésiques des lignes de courbure d'un hélicoïde est un hélicoïde ayant même axe et même pas. Cet hélicoïde, si le premier est de ceux de Dini à courbure constante négative, peut être engendré comme les hélicoïdes minima par une hélice d'un cylindre ayant pour base une chaîne, le pas de l'hélice et le sens étant seuls différents dans les deux cas. L'auteur détermine aussi la surface de révolution applicable sur cet hélicoïde. Enfin, il trouve une classe d'hélicoïdes applicables sur la surface de révolution à courbure moyenne constante. De cette classe de surfaces, il donne la construction suivante très remarquable ; On prend une sphère de rayon \(R\) et l'on en coupe un fuseau, dont l'angle soit \(\alpha\); puis, on referme la surface (qui est supposée flexible et inextensible). Si l'on donne au méridien de la nouvelle surface de révolution un mouvement hélicoïdal qui ait pour paramètre on obtient un hélicoïde applicable sur une surface de révolution à courbure moyenne constante, et cette courbure moyenne \(~\) est donnée par la formule Tome III; 1883. Venturi (A.). — Sur le mouvement perturbé des comètes. (1-67). L'auteur apporte des modifications à la méthode de Hansen principalement dans le but d'avoir des séries plus rapidement convergentes. Il se rapporte aux équations relatives aux coordonnées polaires, données par Hansen et les transforme par des développements en séries et puis par l'introduction d'une nouvelle variable qu'il appelle anomalie partielle. Antonelli (G.-B.). — Sur les relations indépendantes entre les coordonnées d'une forme fondamentale dans un espace d'un nombre quelconque de dimensions et sur la forme normale d'une fonction homogène de ces coordonnées. (71-77). L'auteur trouve ces relations, qui sont, comme on sait, au nombre de pour les coordonnées d'une forme fondamentale (\(k — r, l, y\). La forme normale d'une fonction des coordonnées en question est donnée par Lazzeri (G.). —
de révolution à courbure moyenne constante, et cette courbure moyenne \(~\) est donnée par la formule Tome III; 1883. Venturi (A.). — Sur le mouvement perturbé des comètes. (1-67). L'auteur apporte des modifications à la méthode de Hansen principalement dans le but d'avoir des séries plus rapidement convergentes. Il se rapporte aux équations relatives aux coordonnées polaires, données par Hansen et les transforme par des développements en séries et puis par l'introduction d'une nouvelle variable qu'il appelle anomalie partielle. Antonelli (G.-B.). — Sur les relations indépendantes entre les coordonnées d'une forme fondamentale dans un espace d'un nombre quelconque de dimensions et sur la forme normale d'une fonction homogène de ces coordonnées. (71-77). L'auteur trouve ces relations, qui sont, comme on sait, au nombre de pour les coordonnées d'une forme fondamentale (\(k — r, l, y\). La forme normale d'une fonction des coordonnées en question est donnée par Lazzeri (G.). — Sur la représentation plane des surfaces développables rationnelles. (81-170). Après avoir établi des formules analogues à celles de Cayley-Salmon pour exprimer les singularités ordinaires d'une surface développable en fonction de son ordre, de celui de son arête de rebroussement et des singularités extraordinaires, l'auteur étudie la représentation plane des développables rationnelles. La correspondance entre les points \(x_1, x_2, x_3\) de la surface et les points \(\xi, y\), \(z\) du plan est donnée par la relation les \(O_1, O_2, O_3\) étant des fonctions homogènes des variables \(x, y, z\), dont l'ordre est égal à celui de l'arête de rebroussement; l'auteur expose les propriétés générales de cette représentation et puis il s'applique aux développables des sept premiers ordres. Dans un Tableau ajouté à ce Mémoire, l'auteur a réuni les valeurs des singularités de ces surfaces pour le cas où elles n'ont pas de singularités extraordinaires. Rindi (S.). — Sur les surfaces polaires inclinées. (175-206); Ce sont les surfaces lieux des points dont les plans polaires (par rapport à une surface générale donnée de l'ordre \(n\)) font un angle donné avec les rayons vecteurs joignant leurs pôles à un point fixe. Ce travail est une extension des recherches faites par M. le général
rationnelles. La correspondance entre les points \(x_1, x_2, x_3\) de la surface et les points \(\xi, y\), \(z\) du plan est donnée par la relation les \(O_1, O_2, O_3\) étant des fonctions homogènes des variables \(x, y, z\), dont l'ordre est égal à celui de l'arête de rebroussement; l'auteur expose les propriétés générales de cette représentation et puis il s'applique aux développables des sept premiers ordres. Dans un Tableau ajouté à ce Mémoire, l'auteur a réuni les valeurs des singularités de ces surfaces pour le cas où elles n'ont pas de singularités extraordinaires. Rindi (S.). — Sur les surfaces polaires inclinées. (175-206); Ce sont les surfaces lieux des points dont les plans polaires (par rapport à une surface générale donnée de l'ordre \(n\)) font un angle donné avec les rayons vecteurs joignant leurs pôles à un point fixe. Ce travail est une extension des recherches faites par M. le général Ed. Dewulf sur les courbes planes dans son Mémoire : Essai d'une théorie géométrique des polaires inclinées, publié dans ce Recueil, 2e série, t. II; 1888. Le Mémoire de M. Rindi a été aussi publié dans ce Bulletin (2e série, t. IX, Ire Partie, p. 32; 1885), et c'est pourquoi nous nous dispensons d'en rendre compte avec plus de détail. Volterra (V.). — Sur quelques problèmes de la théorie du potentiel. (209-270). L'auteur commence par étudier les fonctions associées, correspondantes aux potentiels indépendants d'une coordonnée, et introduit des fonctions analogues à celles de Green. Ensuite, il s'occupe de la détermination de ces fonctions. Puis, en appliquant les résultats trouvés, il étudie la distribution de l'électricité en des surfaces conductrices non homogènes. Enfin, par l'emploi des potentiels dans les espaces de plusieurs dimensions, il résout quelques problèmes relatifs à la distribution de l'électricité dans des corps conducteurs non homogènes, lorsque les potentiels sont indépendants d'une ou de plusieurs coordonnées. Tome IV ; 1887. Liste des élèves sortis de l'École Normale impériale depuis 1847 à 1862. (VII-XI). Liste des élèves sortis de l'École Normale royale de Pise depuis 1862 à 1886. (XII-XXX). Sadun (E.). — Sur la théorie des fonctions implicites. (3-52).
nous nous dispensons d'en rendre compte avec plus de détail. Volterra (V.). — Sur quelques problèmes de la théorie du potentiel. (209-270). L'auteur commence par étudier les fonctions associées, correspondantes aux potentiels indépendants d'une coordonnée, et introduit des fonctions analogues à celles de Green. Ensuite, il s'occupe de la détermination de ces fonctions. Puis, en appliquant les résultats trouvés, il étudie la distribution de l'électricité en des surfaces conductrices non homogènes. Enfin, par l'emploi des potentiels dans les espaces de plusieurs dimensions, il résout quelques problèmes relatifs à la distribution de l'électricité dans des corps conducteurs non homogènes, lorsque les potentiels sont indépendants d'une ou de plusieurs coordonnées. Tome IV ; 1887. Liste des élèves sortis de l'École Normale impériale depuis 1847 à 1862. (VII-XI). Liste des élèves sortis de l'École Normale royale de Pise depuis 1862 à 1886. (XII-XXX). Sadun (E.). — Sur la théorie des fonctions implicites. (3-52). M. Sadun apporte des simplifications à la méthode rigoureuse de M. Bini (Cours autographié d'Analyse infinitésimale), et traite contemporanément, autant qu'il est possible, les deux cas, celui des variables réelles et celui des variables complexes. Nous citerons le théorème suivant : « Si le système ; ...,xn; y1,y2, =0, ƒ2 (x1, x3, ...,xn, y1,y2, ... ,ym) = 0, de m équations entre n+m variables est satisfait par les valeurs ~ ~ ~ ~ ~ et si dans un champ à n + m dimensions, dont le point ~ .. •, ~ ; ~ ~ est un point intérieur, les sont des fonctions à une valeur finies et continues, ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre, et le déterminant fonctionnel relatif aux yc est différent de zéro, ces équations définissent les y, comme autant de fonctions des x1, x2, ..., xn, à une valeur, finies et continues ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre, et ces dérivées peuvent être obtenues par le théorème de la dérivation des fonctions composées. » Boggio-Lera (E.). — Sur la cinématique des milieux continus. (55-99). L'auteur étudie les déformations définies par des déplacements donnés par des fonctions homogènes du second degré des coordonnées, déformations
(x1, x3, ...,xn, y1,y2, ... ,ym) = 0, de m équations entre n+m variables est satisfait par les valeurs ~ ~ ~ ~ ~ et si dans un champ à n + m dimensions, dont le point ~ .. •, ~ ; ~ ~ est un point intérieur, les sont des fonctions à une valeur finies et continues, ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre, et le déterminant fonctionnel relatif aux yc est différent de zéro, ces équations définissent les y, comme autant de fonctions des x1, x2, ..., xn, à une valeur, finies et continues ainsi que leurs dérivées partielles du premier ordre, et ces dérivées peuvent être obtenues par le théorème de la dérivation des fonctions composées. » Boggio-Lera (E.). — Sur la cinématique des milieux continus. (55-99). L'auteur étudie les déformations définies par des déplacements donnés par des fonctions homogènes du second degré des coordonnées, déformations qu'il appelle homogènes et du deuxième degré. Une telle déformation peut être décomposée en trois autres plus simples : 1° Une déformation à potentiel de mouvement; 2° La résultante de trois torsions autour de trois droites orthogonales passant par l'origine; 3° Une flexion autour d'une droite passant par l'origine. L'auteur entend par flexion autour d'une droite (axe) une déformation dans laquelle les droites qui rencontrent l'axe et lui sont perpendiculaires se réduisent à des arcs de parabole en restant chacune dans un même plan avec l'axe qui reste fixe. Ensuite, il définit la vitesse de flexion d'un point, qui est le rapport entre sa vitesse dans la direction de l'axe et le carré de sa distance de l'axe. Si u, v, w sont les composantes de la vitesse d'un point, les composantes de sa vitesse de flexion sont Puis l'auteur démontre que les molécules liquides, pour lesquelles les torsions sont stationnaires, ont aussi la flexion stationnaire. Dans les parties du liquide où les molécules n'ont pas de flexion, et dans ces parties seules, existe toujours une certaine fonction que l'auteur définit et qu'il appelle potentiel de rotation. La fonction est appelée par l'auteur vorticosité de la courbe s, et les
entend par flexion autour d'une droite (axe) une déformation dans laquelle les droites qui rencontrent l'axe et lui sont perpendiculaires se réduisent à des arcs de parabole en restant chacune dans un même plan avec l'axe qui reste fixe. Ensuite, il définit la vitesse de flexion d'un point, qui est le rapport entre sa vitesse dans la direction de l'axe et le carré de sa distance de l'axe. Si u, v, w sont les composantes de la vitesse d'un point, les composantes de sa vitesse de flexion sont Puis l'auteur démontre que les molécules liquides, pour lesquelles les torsions sont stationnaires, ont aussi la flexion stationnaire. Dans les parties du liquide où les molécules n'ont pas de flexion, et dans ces parties seules, existe toujours une certaine fonction que l'auteur définit et qu'il appelle potentiel de rotation. La fonction est appelée par l'auteur vorticosité de la courbe s, et les courbes lignes de flexion. Il considère ces courbes et les surfaces engendrées par les lignes de flexion passant par les points d'une directrice quelconque. Les vorticosités des courbes tracées sur ces surfaces (surfaces de flexion) ont des propriétés analogues à celles des circulations sur les vorticoïdes de M. Beltrami. Dans une masse liquide indéfinie et en repos à l'infini, le mouvement a lieu comme si chaque molécule ayant flexion induisait instantanément en chaque autre point, dans la direction de l'axe de flexion, une vitesse proportionnelle à son volume et à sa vitesse de flexion et inversement proportionnelle à la distance. Le travail se termine par l'examen de deux cas particuliers; ceux où les lignes de flexions sont des droites parallèles, ou des cercles disposés symétriquement autour d'un axe. Somigliana (Ch.). — Sur l'équilibre d'un corps élastique isotrope limité par une ou deux surfaces sphériques. (103-172). L'auteur résout le problème de l'équilibre d'une sphère isotrope sans employer les développements en série, en supposant connues les forces agissant sur les points du corps et supposant connus les déplacements à la surface, ou bien les forces externes. Puis il applique la transformation par rayons vecteurs réciproques au cas d'un corps limité par deux
une masse liquide indéfinie et en repos à l'infini, le mouvement a lieu comme si chaque molécule ayant flexion induisait instantanément en chaque autre point, dans la direction de l'axe de flexion, une vitesse proportionnelle à son volume et à sa vitesse de flexion et inversement proportionnelle à la distance. Le travail se termine par l'examen de deux cas particuliers; ceux où les lignes de flexions sont des droites parallèles, ou des cercles disposés symétriquement autour d'un axe. Somigliana (Ch.). — Sur l'équilibre d'un corps élastique isotrope limité par une ou deux surfaces sphériques. (103-172). L'auteur résout le problème de l'équilibre d'une sphère isotrope sans employer les développements en série, en supposant connues les forces agissant sur les points du corps et supposant connus les déplacements à la surface, ou bien les forces externes. Puis il applique la transformation par rayons vecteurs réciproques au cas d'un corps limité par deux surfaces sphériques concentriques. Tome V ; 1888. Bettazzi (?). — Sur la représentation analytique des fonctions de plusieurs variables réelles. (3-47). En étendant au cas des fonctions de plusieurs variables réelles la méthode donnée par M. Dini pour les fonctions d'une seule variable (Serie di Fourier ed altre rappresentazioni analitiche delle funzioni di una variabile reale, Pisa, Nistri), l'auteur démontre qu'une fonction finie et continue de n variables réelles, définie dans un champ fini, a dans ce champ un nombre infini de représentations analytiques. Bazzi (E.). — Sur le déplacement des lignes de niveau que l'on observe dans un disque métallique tournant traversé par des courants voltaïques. (51-75). Les lignes de niveau se déplacent dans le sens opposé au mouvement de rotation, et le déplacement est proportionnel à la vitesse de rotation. Fibbi (C.). — Sur les surfaces contenant un système de géodésiques à torsion constante. (77-164, 1 pl.). Soit la torsion constante des lignes v = const., T, étant une fonction de V seulement. On a alors étant une fonction de u et v qui satisfait à l'équation. L'auteur étudie aussi une transformation de ces surfaces, qu'il appelle transformation de Bäcklund par son analogie avec la transformation connue des
delle funzioni di una variabile reale, Pisa, Nistri), l'auteur démontre qu'une fonction finie et continue de n variables réelles, définie dans un champ fini, a dans ce champ un nombre infini de représentations analytiques. Bazzi (E.). — Sur le déplacement des lignes de niveau que l'on observe dans un disque métallique tournant traversé par des courants voltaïques. (51-75). Les lignes de niveau se déplacent dans le sens opposé au mouvement de rotation, et le déplacement est proportionnel à la vitesse de rotation. Fibbi (C.). — Sur les surfaces contenant un système de géodésiques à torsion constante. (77-164, 1 pl.). Soit la torsion constante des lignes v = const., T, étant une fonction de V seulement. On a alors étant une fonction de u et v qui satisfait à l'équation. L'auteur étudie aussi une transformation de ces surfaces, qu'il appelle transformation de Bäcklund par son analogie avec la transformation connue des systèmes de Weingarten. Ensuite il traite le cas de Ta= 1. Les surfaces sont alors appelées par l'auteur surfaces asymptotiques des systèmes de Weingarten. Il les appelle asymptotiques cycliques lorsque les trajectoires orthogonales des géodésiques à torsion constante sont des cercles de même rayon, asymptotiques hyper cycliques lorsque ces trajectoires sont des courbes ayant même flexion constante. Ces surfaces se changent par une transformation de Backlund en d'autres qui sont respectivement de la même espèce. L'auteur donne une interprétation géométrique de la transformation de Backlund pour le cas où elle se réduit à la transformation complémentaire, et puis, il démontre que les surfaces asymptotiques sont les plus générales possibles qui contiennent un système de géodésiques à torsion constante. Paladini (B.). — Sur le mouvement de rotation d'un corps rigide autour d'un point fixe. (67-226). La position des axes principaux d'inertie O (ξ, n, Ç) relatifs au point fixe O, par rapport à trois axes orthogonaux passant par ce point et fixes dans l'espace, est donnée par les neuf quantités α1, ..., α3, qui entrent dans les relations X = x1ξ + α2η + α3 ζ, y = y1ξ + α2η + α3 ζ, z = γ1ξ + γ2η + γ3ζ,
sont des courbes ayant même flexion constante. Ces surfaces se changent par une transformation de Backlund en d'autres qui sont respectivement de la même espèce. L'auteur donne une interprétation géométrique de la transformation de Backlund pour le cas où elle se réduit à la transformation complémentaire, et puis, il démontre que les surfaces asymptotiques sont les plus générales possibles qui contiennent un système de géodésiques à torsion constante. Paladini (B.). — Sur le mouvement de rotation d'un corps rigide autour d'un point fixe. (67-226). La position des axes principaux d'inertie O (ξ, n, Ç) relatifs au point fixe O, par rapport à trois axes orthogonaux passant par ce point et fixes dans l'espace, est donnée par les neuf quantités α1, ..., α3, qui entrent dans les relations X = x1ξ + α2η + α3 ζ, y = y1ξ + α2η + α3 ζ, z = γ1ξ + γ2η + γ3ζ, et l'on peut exprimer α1, ..., α3, par les angles éulériens θ, ϕ, ψ. L'auteur suppose que le potentiel V des forces agissant sur le corps ait la forme H1ω2 + H3ω, H1, H2, étant des constantes et ω = cos θ, et que le corps soit symétrique par rapport à l'axe ç. Les intégrales du mouvement sont alors A, A2, C étant les trois moments d'inertie, g la constante de l'intégrale des aires relatif à l'axe z, ωla composante de la vitesse angulaire de rotation dans la direction de l'axe de symétrie, et ou h est la constante des forces vives. L'auteur réduit la seconde et la troisième de ces quadratures aux suivantes et distingue deux cas : 1° L'équation F(w) = 0 a toutes ses racines réelles; 2° Elle a deux racines réelles et deux imaginaires. Dans le premier cas, si α1, α2, α3, α4 sont les racines et si l'on a α1 < w < α2, et − 2 AH3 = L < 0, posons supposons aussi (puisque nous nous bornons ici à ce cas) que les racines α1 et α2 soient entre 1 et − 1 et les α3, α4 entre 1 et + ∞, et