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y) uniforme et continue à l'intérieur de l'aire S, admettant des dérivées partielles des deux premiers ordres uniformes et continues, et satisfaisant à l'équation Le problème de Dirichlet classique consiste à déterminer une fonction harmonique par la succession de ses valeurs tout le long du contour, ces valeurs étant supposées fonctions continues de l'arc du contour. Ce problème est intimement lié à la théorie de la représentation conforme, dont l'auteur établit les principes fondamentaux avec toute la précision possible. Mais le problème de Dirichlet est susceptible d'une généralisation importante : les valeurs données sur le contour peuvent éprouver en certains points singuliers des discontinuités connues, sans toutefois s'éroigner indéfiniment dans le voisinage de ces points. M. Riemann ramène ce problème, que M. Schwarz, d'ailleurs, ne s'est pas posé, au problème classique. Appelant à l'affixe d'un point singulier A, ∝ l'angle (généralement égal à π) des deux tangentes aux deux branches du contour issues de A, 6 la discontinuité que la fonction cherchée U éprouve en A, u le coefficient de ~ dans log(z — a), w(x, y) une fonction harmonique continue sur le contour qui prend aux points non singuliers du contour les mêmes valeurs que U (fonction que l'on sait déterminer par hypothèse si, comme on l'admet, elle a des valeurs déterminées aux points singuliers), la fonction U aura pour expression Cette formule suppose que l'aire S est simplement connexe, ou du moins, si elle ne l'est pas, qu'il n'existe pas de points singuliers sur les contours intérieurs. Dans le cas contraire, on rendra l'aire S simplement connexe au moyen de coupures. On choisira, à l'intérieur d'un des contours intérieurs L, doué des points singuliers a1, a2, a3, ..., un point b1, et l'on formera le coefficient v1 de y/x dans log(z — b1). Cela posé, l'expression de la fonction cherchée sera le signe S s'appliquant à tous les contours intérieurs. La deuxième Partie du travail de M. Riemann est consacrée exclusivement à la discussion du Mémoire de M. Schlafli sur la représentation conforme. M. Schlafli a essayé de résoudre directement le problème de la représentation conforme d'un polygone
sait déterminer par hypothèse si, comme on l'admet, elle a des valeurs déterminées aux points singuliers), la fonction U aura pour expression Cette formule suppose que l'aire S est simplement connexe, ou du moins, si elle ne l'est pas, qu'il n'existe pas de points singuliers sur les contours intérieurs. Dans le cas contraire, on rendra l'aire S simplement connexe au moyen de coupures. On choisira, à l'intérieur d'un des contours intérieurs L, doué des points singuliers a1, a2, a3, ..., un point b1, et l'on formera le coefficient v1 de y/x dans log(z — b1). Cela posé, l'expression de la fonction cherchée sera le signe S s'appliquant à tous les contours intérieurs. La deuxième Partie du travail de M. Riemann est consacrée exclusivement à la discussion du Mémoire de M. Schlafli sur la représentation conforme. M. Schlafli a essayé de résoudre directement le problème de la représentation conforme d'un polygone sur un demi-plan : partant de la formule déjà trouvée par M. Schwarz et par M. Christoffel, il cherche à y déterminer les constantes de manière à obtenir la représentation demandée. Les calculs de M. Schlafli ne démontrent pas d'une manière suffisante la possibilité de cette représentation ; cherchant à les compléter, M. Riemann s'est trouvé arrêté par une difficulté sérieuse. Néanmoins, ils ne sont pas dépourvus d'intérêt; car, si l'on admet cette possibilité, qui n'est plus douteuse après les théories générales de M. Schwarz, la difficulté disparaît, et l'on se trouve en possession d'un procédé pratique pour déterminer les constantes. Aussi M. Riemann a-t-il jugé utile d'exposer la méthode de M. Schläfli, ainsi que les remarques qu'elle lui a suggérées. Dans la troisième Partie, l'auteur commence par définir les arcs réguliers de lignes analytiques et il en étudie les propriétés les plus importantes. Il expose ensuite la méthode de combinaison de M. Schwarz qui permet, si l'on sait résoudre le problème de Dirichlet séparément pour deux aires empiétant l'une sur l'autre, de le résoudre pour la partie commune. M. Schwarz avait ajouté cette condition que les contours des deux aires devaient être formés de lignes analytiques. M. Riemann montre
les compléter, M. Riemann s'est trouvé arrêté par une difficulté sérieuse. Néanmoins, ils ne sont pas dépourvus d'intérêt; car, si l'on admet cette possibilité, qui n'est plus douteuse après les théories générales de M. Schwarz, la difficulté disparaît, et l'on se trouve en possession d'un procédé pratique pour déterminer les constantes. Aussi M. Riemann a-t-il jugé utile d'exposer la méthode de M. Schläfli, ainsi que les remarques qu'elle lui a suggérées. Dans la troisième Partie, l'auteur commence par définir les arcs réguliers de lignes analytiques et il en étudie les propriétés les plus importantes. Il expose ensuite la méthode de combinaison de M. Schwarz qui permet, si l'on sait résoudre le problème de Dirichlet séparément pour deux aires empiétant l'une sur l'autre, de le résoudre pour la partie commune. M. Schwarz avait ajouté cette condition que les contours des deux aires devaient être formés de lignes analytiques. M. Riemann montre que l'on peut s'affranchir de cette restriction, puis il se sert du procédé alterné pour résoudre le problème de Dirichlet dans le cas très étendu d'une aire limitée par des arcs réguliers de lignes analytiques. L'auteur résume, dans la quatrième Partie de son Mémoire, les travaux récents de M. Harnack (Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales, 1887). Il expose, en la simplifiant, la méthode par laquelle ce géomètre construit, pour une aire quelconque, la fonction de Green. Il indique ensuite très sobrement, et en se bornant à faire ressortir la suite générale des idées, comment, en s'appuyant sur ce premier résultat, M. Harnack résout le problème de Dirichlet dans toute sa généralité et démontre en outre que le problème généralisé ne peut avoir qu'une solution. Petot. — Sur une extension du théorème de Pascal à la géométrie de l'espace. (Supplément, 3-65). Quand on se propose d'étendre le théorème de Pascal à la géométrie de l'espace, on est tenté d'abord de chercher une propriété générale de dix points d'une quadrique analogue à la relation constante qui existe entre six points d'une conique. Ce serait faire fausse route, comme l'a montré M. Serret ; car la propriété en question n'aurait pas
(Die Grundlagen der Theorie des logarithmischen Potentiales, 1887). Il expose, en la simplifiant, la méthode par laquelle ce géomètre construit, pour une aire quelconque, la fonction de Green. Il indique ensuite très sobrement, et en se bornant à faire ressortir la suite générale des idées, comment, en s'appuyant sur ce premier résultat, M. Harnack résout le problème de Dirichlet dans toute sa généralité et démontre en outre que le problème généralisé ne peut avoir qu'une solution. Petot. — Sur une extension du théorème de Pascal à la géométrie de l'espace. (Supplément, 3-65). Quand on se propose d'étendre le théorème de Pascal à la géométrie de l'espace, on est tenté d'abord de chercher une propriété générale de dix points d'une quadrique analogue à la relation constante qui existe entre six points d'une conique. Ce serait faire fausse route, comme l'a montré M. Serret ; car la propriété en question n'aurait pas pour la construction des quadriques les mêmes conséquences que le théorème de Pascal pour celle des courbes du second ordre. Ces considérations ont conduit M. Petot à rechercher, au lieu de la relation entre dix points d'une quadrique, l'expression géométrique de la relation qui existe entre trois droites non concourantes et huit points appartenant à une même surface du troisième ordre. Toute droite, qui s'appuie sur deux droites données de la surface, ne rencontre plus cette surface qu'en un point; la relation cherchée devra, pour être comparable au théorème de Pascal, fournir une détermination géométrique du troisième point n'exigeant que l'emploi de la règle. L'auteur expose, dans l'introduction de son Mémoire, les inductions qui l'ont guidé. Dans le théorème de Pascal, on fait correspondre à un point décrivant une conique, soit une droite enveloppant un point, soit un point décrivant une droite. De même, on peut faire correspondre linéairement à un point M qui se déplace sur une surface cubique S3 un certain élément ω engendrant une forme géométrique S. Lorsque M décrit une droite L s'appuyant sur deux des droites données pour déterminer S3, l'élément correspondant ω engendre une deuxième forme ϭ. La détermination de la troisième trace de
et huit points appartenant à une même surface du troisième ordre. Toute droite, qui s'appuie sur deux droites données de la surface, ne rencontre plus cette surface qu'en un point; la relation cherchée devra, pour être comparable au théorème de Pascal, fournir une détermination géométrique du troisième point n'exigeant que l'emploi de la règle. L'auteur expose, dans l'introduction de son Mémoire, les inductions qui l'ont guidé. Dans le théorème de Pascal, on fait correspondre à un point décrivant une conique, soit une droite enveloppant un point, soit un point décrivant une droite. De même, on peut faire correspondre linéairement à un point M qui se déplace sur une surface cubique S3 un certain élément ω engendrant une forme géométrique S. Lorsque M décrit une droite L s'appuyant sur deux des droites données pour déterminer S3, l'élément correspondant ω engendre une deuxième forme ϭ. La détermination de la troisième trace de L sur S3 sera ramenée à celle de l'élément ω commun aux deux formes S et ϭ. Après divers essais, M. Petot s'est trouvé amené à choisir pour ω une droite, pour Sun complexe du premier ordre et pour ϭ un faisceau du premier ordre. Le premier problème à résoudre était alors le suivant : Trouver la relation homographique à établir entre un point M et une droite ω de l'espace, pour que, M décrivant une droite quelconque qui s'appuie sur deux droites données de la surface, ω engendre un faisceau du premier ordre. Après avoir obtenu ce mode de correspondance, M. Petit a cherché le lieu de M quand w appartient à un complexe du premier ordre : ce lieu est une surface du troisième ordre, se dédoublant, dans un cas particulier, en un plan et une quadrique. La situation, sur S, de huit points et de trois droites non concourantes (et, en particulier, la situation de dix points sur une quadrique) se trouve dès lors réduite à dépendre de la situation, sur un même complexe du premier ordre, de six droites déduites linéairement des points considérés. D'ailleurs, le même mode de correspondance donne les propriétés de neuf points
était alors le suivant : Trouver la relation homographique à établir entre un point M et une droite ω de l'espace, pour que, M décrivant une droite quelconque qui s'appuie sur deux droites données de la surface, ω engendre un faisceau du premier ordre. Après avoir obtenu ce mode de correspondance, M. Petit a cherché le lieu de M quand w appartient à un complexe du premier ordre : ce lieu est une surface du troisième ordre, se dédoublant, dans un cas particulier, en un plan et une quadrique. La situation, sur S, de huit points et de trois droites non concourantes (et, en particulier, la situation de dix points sur une quadrique) se trouve dès lors réduite à dépendre de la situation, sur un même complexe du premier ordre, de six droites déduites linéairement des points considérés. D'ailleurs, le même mode de correspondance donne les propriétés de neuf points d'une courbe gauche du quatrième ordre et de huit points associés, et, plus généralement, les propriétés analogues relatives à la courbe gauche du sixième ordre et au groupe de droites et de points associés. On obtient, comme conclusion, pour les courbes gauches, cinq droites appartenant à une même congruence du premier ordre; pour les groupes d'éléments associés, quatre droites appartenant à un même système de génératrices d'un hyperboloïde. Ces différents théorèmes ont pour la construction des surfaces cubiques et quadriques les mêmes conséquences pratiques que celui de Pascal pour les coniques. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE (1). Tome XVI, 1888. Kœnigs. — Lieu des pôles d'un plan fixe par rapport aux coniques tracées sur une surface de Steiner. (15-18). Ce lieu est une autre surface de Steiner. Issaly (l'abbé).— Nouveaux principes de la théorie des congruences de droites. (19-81). Par une voie nouvelle et très simple, l'auteur fait dériver les propriétés des surfaces et des lignes qu'on y peut tracer de celles des congruences de droites. Il est remarquable que, dans tous les calculs relatifs au sujet traité par l'auteur, cette méthode dispense de faire intervenir les paramètres différentiels F, G de Gauss. M. l'abbé Issaly prend pour
premier ordre; pour les groupes d'éléments associés, quatre droites appartenant à un même système de génératrices d'un hyperboloïde. Ces différents théorèmes ont pour la construction des surfaces cubiques et quadriques les mêmes conséquences pratiques que celui de Pascal pour les coniques. BULLETIN DE LA SOCIÉTÉ MATHÉMATIQUE DE FRANCE (1). Tome XVI, 1888. Kœnigs. — Lieu des pôles d'un plan fixe par rapport aux coniques tracées sur une surface de Steiner. (15-18). Ce lieu est une autre surface de Steiner. Issaly (l'abbé).— Nouveaux principes de la théorie des congruences de droites. (19-81). Par une voie nouvelle et très simple, l'auteur fait dériver les propriétés des surfaces et des lignes qu'on y peut tracer de celles des congruences de droites. Il est remarquable que, dans tous les calculs relatifs au sujet traité par l'auteur, cette méthode dispense de faire intervenir les paramètres différentiels F, G de Gauss. M. l'abbé Issaly prend pour coordonnées une double série de courbes fonction du temps ne se coupant entre elles qu'aux infiniment petits du second ordre près. De tels réseaux peuvent néanmoins, par la variation arbitraire du rapport de leurs arcs infinitésimaux, engendrer des lignes ou trajectoires de toute nature. Après avoir établi trois catégories de formules fondamentales d'une grande généralité, l'auteur étudie en détail les courbures de divers ordres de ces trajectoires. En s'annulant, les plus simples de ces courbures produisent les lignes remarquables qu'il appelle par analogie géodésiques, asymptotiques, en attribuant à ces dénominations un sens plus large que s'il s'agissait des lignes de même nom situées sur une surface. Après une exposition sommaire des principales propriétés de ces lignes, l'auteur étudie les propriétés des pinceaux de droites, qu'il fait dépendre de théorèmes très généraux, non encore signalés. Les résultats obtenus par M. Kummer dans sa première Théorie générale de droites découlent très directement des formules de M. l'abbé Issaly. Perrin. — Sur l'identité des péninvariants des formes binaires avec certaines fonctions des dérivées unilatérales de ces formes. (82-100). M. Hilbert a établi que tout covariant ou invariant d'une forme binaire, écrite avec une seule variable non homogène, peut s'exprimer, en fonction de cette
formules fondamentales d'une grande généralité, l'auteur étudie en détail les courbures de divers ordres de ces trajectoires. En s'annulant, les plus simples de ces courbures produisent les lignes remarquables qu'il appelle par analogie géodésiques, asymptotiques, en attribuant à ces dénominations un sens plus large que s'il s'agissait des lignes de même nom situées sur une surface. Après une exposition sommaire des principales propriétés de ces lignes, l'auteur étudie les propriétés des pinceaux de droites, qu'il fait dépendre de théorèmes très généraux, non encore signalés. Les résultats obtenus par M. Kummer dans sa première Théorie générale de droites découlent très directement des formules de M. l'abbé Issaly. Perrin. — Sur l'identité des péninvariants des formes binaires avec certaines fonctions des dérivées unilatérales de ces formes. (82-100). M. Hilbert a établi que tout covariant ou invariant d'une forme binaire, écrite avec une seule variable non homogène, peut s'exprimer, en fonction de cette forme et de ses dérivées unilatérales (c'est-à-dire prises par rapport à cette variable unique), et que réciproquement toute fonction homogène et isobarique de la forme et de ses dérivées unilatérales est un invariant ou un covariant de la forme, pourvu qu'elle satisfasse à une certaine équation différentielle. Les péninvariants, tant des formes binaires que des formes à un nombre quelconque de variables et des systèmes de formes, jouissent, comme le montre M. Perrin, de propriétés tout à fait semblables. L'auteur met à profit ces propriétés pour la démonstration d'un théorème relatif à l'intégration sous forme parabolique des équations différentielles où la variable ne figure pas implicitement: Si une pareille équation F(y, y', y", ..., y(n)) = 0 admet l'intégrale générale y = A0 + A1x + ... + A"x", la relation qui lie les n arbitraires est F(A0, A1, 2! A2, 3! A3, ...,n! An) = 0. Réciproquement, si dans la forme binaire générale d'ordre n, écrite avec une seule variable non homogène, on suppose donnée une relation entre les coefficients et qu'on forme l'équation différentielle du nième ordre à laquelle satisfait la forme après élimination de tous ses coefficients, la condition nécessaire et suffisante pour que cette équation ne
des formes binaires que des formes à un nombre quelconque de variables et des systèmes de formes, jouissent, comme le montre M. Perrin, de propriétés tout à fait semblables. L'auteur met à profit ces propriétés pour la démonstration d'un théorème relatif à l'intégration sous forme parabolique des équations différentielles où la variable ne figure pas implicitement: Si une pareille équation F(y, y', y", ..., y(n)) = 0 admet l'intégrale générale y = A0 + A1x + ... + A"x", la relation qui lie les n arbitraires est F(A0, A1, 2! A2, 3! A3, ...,n! An) = 0. Réciproquement, si dans la forme binaire générale d'ordre n, écrite avec une seule variable non homogène, on suppose donnée une relation entre les coefficients et qu'on forme l'équation différentielle du nième ordre à laquelle satisfait la forme après élimination de tous ses coefficients, la condition nécessaire et suffisante pour que cette équation ne contienne pas explicitement la variable est que la relation donnée entre les coefficients se réduise à une relation entre des péninvariants ou invariants de la forme. Outre les covariants, invariants et péninvariants, il existe encore d'autres fonctions des coefficients et de la variable d'une forme binaire qui présentent ce caractère d'être identiques à une fonction de la forme et de ses dérivées unilatérales, sans que la variable apparaisse explicitement: ce sont les semi-covariants, définis comme satisfaisant à l'une seulement des deux équations qui vérifient les covariants. Tous les résultats obtenus dans cet ordre d'idées par M. Perrin sont contenus dans l'énoncé suivant: Toute formation (invariant, covariant, péninvariant, semi-covariant) déduite d'une forme binaire d'ordre n, et qui possède le caractère d'invariance par rapport à l'une x, des deux variables, est identique à une fonction de la forme et de ses dérivées successives par rapport à cette variable seule, divisée par une certaine puissance de la seconde variable x2. Cette fonction satisfait à la condition 1 representing the result of the operation répétée r times sur la forme f and its derivatives unilatérales ... and /-being the order of the formation considered. On obtains it by replacing, in the coefficient of xP
d'être identiques à une fonction de la forme et de ses dérivées unilatérales, sans que la variable apparaisse explicitement: ce sont les semi-covariants, définis comme satisfaisant à l'une seulement des deux équations qui vérifient les covariants. Tous les résultats obtenus dans cet ordre d'idées par M. Perrin sont contenus dans l'énoncé suivant: Toute formation (invariant, covariant, péninvariant, semi-covariant) déduite d'une forme binaire d'ordre n, et qui possède le caractère d'invariance par rapport à l'une x, des deux variables, est identique à une fonction de la forme et de ses dérivées successives par rapport à cette variable seule, divisée par une certaine puissance de la seconde variable x2. Cette fonction satisfait à la condition 1 representing the result of the operation répétée r times sur la forme f and its derivatives unilatérales ... and /-being the order of the formation considered. On obtains it by replacing, in the coefficient of xP in the binary form, by fn-p in the coefficient of the last term of the formation considered. Réciproquement, toute fonction homogène et isobarique de la forme et de ses dérivées unilatérales (par rapport à la variable x1), si elle satisfait à la condition (i), est identique (à une certaine puissance près de x2) à une formation d'ordre r possédant le caractère d'invariance par rapport à x1. Stieltjes. — Sur une généralisation de la formule des accroissements finis. (100-113). Soient f(u), g(u), h(u), k(u) quatre fonctions réelles de la variable u, finies et continues ainsi que leurs dérivées des deux premiers ordres, et admettant des dérivées troisièmes qui ne sont plus nécessairement continues. Si x, y, z, t sont quatre nombres inégaux x < y < z < t et si A désigne le rapport des deux déterminants, le rapport A n'est pas plus grand que 1, et pas plus petit que 2. M désignant la plus grande et m la plus petite valeur du déterminant sous les conditions u = x, u ≤ y, u ≤ u' ≤ z, u' ≤ u" ≤ t. Si l'on suppose en outre les dérivées troisièmes g", h", k" continues et qu'on fasse tendre
près de x2) à une formation d'ordre r possédant le caractère d'invariance par rapport à x1. Stieltjes. — Sur une généralisation de la formule des accroissements finis. (100-113). Soient f(u), g(u), h(u), k(u) quatre fonctions réelles de la variable u, finies et continues ainsi que leurs dérivées des deux premiers ordres, et admettant des dérivées troisièmes qui ne sont plus nécessairement continues. Si x, y, z, t sont quatre nombres inégaux x < y < z < t et si A désigne le rapport des deux déterminants, le rapport A n'est pas plus grand que 1, et pas plus petit que 2. M désignant la plus grande et m la plus petite valeur du déterminant sous les conditions u = x, u ≤ y, u ≤ u' ≤ z, u' ≤ u" ≤ t. Si l'on suppose en outre les dérivées troisièmes g", h", k" continues et qu'on fasse tendre x, y, z, t vers une même limite a, il vient M = Stieltjes montre que cette expression subsiste dans le cas bien plus général où l'on n'admet l'existence des dérivées troisièmes que pour l'unique valeur u = a, pourvu que a ne soit jamais en dehors de l'intervalle x, t. Pellet. — Division approximative d'un arc de cercle dans un rapport donné à l'aide de la règle et du compas, (113-119). Buche. — Sur les lignes de courbure de certaines surfaces gauches. (119-124). On sait que, si la ligne de striction d'une surface gauche est ligne de courbure et si le paramètre de distribution des plans tangents est constant, le système des lignes de courbure auquel appartient la ligne de striction divise les génératrices en segments de longueur constante, et l'autre système détermine sur les génératrices des divisions homographiques. M. Buche fait voir que ces surfaces sont les seules dont les lignes de courbure divisent les génératrices en segments égaux et plus généralement en segments homographiques. Il démontre que toute surface gauche qui n'est pas une surface de binormales ou un conoïde droit peut être appliquée sur une surface gauche dont la ligne de striction est ligne de courbure;