jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
surface, l'auteur donne un procédé élégant pour déterminer les lignes asymptotiques des surfaces tétraèdrales t2 + um + v2 + wm = 0. Ces lignes sont algébriques, toutes les fois que m est commensurable. Dans le cas de la symétrie cuboctaédrique, on peut prendre pour éléments simples L = x2 + y2 + z2, M = x4 + y4 + z4, N= x2y2z2 ; les surfaces binaires ϕ(L, M) = 0 sont encore les trajectoires orthogonales des cônes ayant pour équation où a + b + c = 0. Les surfaces les plus simples admettant les neuf plans symétrie d'un cube sont par conséquent, après la sphère, les surfaces du quatrième ordre y2 + y2 z2 + z2x2 + A (x2 + y2 + z2)2 + 2 B(x3 + y2 + z2) + C = 0. Parmi les nombreuses questions que l'on peut se proposer sur ces surfaces, l'auteur étudie en détail les suivantes : génération par des biquadratiques gauches, disposition des plans tritangents, recherche de celles de ces surfaces qui ont des nœuds ou qui contiennent des droites. La détermination des surfaces qui admettent les mêmes plans de symétrie que l'icosaèdre régulier s'effectue sans difficulté en appliquant la méthode générale exposée dans la première Partie. Si, par le centre de l'icosaèdre, on mène des plans parallèles aux faces de ce solide, on forme évidemment un système de 10 plans admettant la symétrie demandée; il en est encore de même si l'on mène des plans parallèles aux faces du dodécaèdre, ce qui donne un système de six plans possédant la même propriété. Si M = 0, N = 0 sont les équations de ces deux systèmes de plans, on peut prendre pour éléments simples L = x2 + y2 + z2, M, N ; le produit des degrés de ces trois surfaces est, en effet, égal à 120, ce qui est précisément le nombre des points qui se déduisent d'un point quelconque de l'espace par la loi de symétrie. L'équation générale des surfaces demandées est donc ϕ(L, M, N) = 0 ; les surfaces les plus simples, abstraction faite de
générale exposée dans la première Partie. Si, par le centre de l'icosaèdre, on mène des plans parallèles aux faces de ce solide, on forme évidemment un système de 10 plans admettant la symétrie demandée; il en est encore de même si l'on mène des plans parallèles aux faces du dodécaèdre, ce qui donne un système de six plans possédant la même propriété. Si M = 0, N = 0 sont les équations de ces deux systèmes de plans, on peut prendre pour éléments simples L = x2 + y2 + z2, M, N ; le produit des degrés de ces trois surfaces est, en effet, égal à 120, ce qui est précisément le nombre des points qui se déduisent d'un point quelconque de l'espace par la loi de symétrie. L'équation générale des surfaces demandées est donc ϕ(L, M, N) = 0 ; les surfaces les plus simples, abstraction faite de la sphère, sont les surfaces du sixième ordre N + A (x2 + y2 + z2)3 + B (x2 + y2 + z2)2 + C (x2 + y2 + Z2) + D = 0. M. Lecornu détermine complètement les surfaces de cette famille qui ont des nœuds ou qui contiennent des droites. Parmi les surfaces obtenues, il y a lieu de citer particulièrement des surfaces passant par les arêtes de l'icosaèdre ou du dodécaèdre. Humbert (G.). — Sur les intégrales algébriques des différentielles algébriques. (281-298). Soient f(x,y) = 0 l'équation d'une courbe algébrique, ϕ(x,y) une fonction rationnelle de x et de y; dans quels cas l'intégrale 1 = y) dx est-elle une fonction algébrique de x? Abel a montré que, si l'intégrale 1 est une fonction algébrique de x, elle s'exprime rationnellement en x et y. Un grand nombre de géomètres, entre autres Liouville et Zeuthen, ont donné des méthodes permettant de reconnaître par des calculs algébriques s'il en est ainsi et de trouver la valeur de l'intégrale. M. Humbert se place, dans son Mémoire, à un tout autre point de vue. Il part des conditions données par Briot et Bouquet pour que l'intégrale I = ∫ϕ(x,y) dx soit algébrique.
des droites. Parmi les surfaces obtenues, il y a lieu de citer particulièrement des surfaces passant par les arêtes de l'icosaèdre ou du dodécaèdre. Humbert (G.). — Sur les intégrales algébriques des différentielles algébriques. (281-298). Soient f(x,y) = 0 l'équation d'une courbe algébrique, ϕ(x,y) une fonction rationnelle de x et de y; dans quels cas l'intégrale 1 = y) dx est-elle une fonction algébrique de x? Abel a montré que, si l'intégrale 1 est une fonction algébrique de x, elle s'exprime rationnellement en x et y. Un grand nombre de géomètres, entre autres Liouville et Zeuthen, ont donné des méthodes permettant de reconnaître par des calculs algébriques s'il en est ainsi et de trouver la valeur de l'intégrale. M. Humbert se place, dans son Mémoire, à un tout autre point de vue. Il part des conditions données par Briot et Bouquet pour que l'intégrale I = ∫ϕ(x,y) dx soit algébrique. Ces conditions sont de deux sortes; il faut et il suffit: 1° que l'intégrale I n'ait pas de cycle polaire; 2° que ses périodes soient nulles. Les premières conditions peuvent toujours se vérifier sans difficulté; mais, sauf des cas simples, il n'en est pas de même des secondes. Ce sont ces conditions que M. Humbert s'est proposé de transformer. La méthode suivie repose sur l'emploi des fonctions fuchsiennes; si la relation proposée est de genre p, il résulte des travaux de M. Poincaré que x et y peuvent être exprimés par des fonctions fuchsiennes d'une variable t, le polygone générateur R0 du groupe ayant 4p côtés, tels que les côtés opposés sont conjugués deux à deux. La question proposée est alors ramenée à celle-ci : Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'intégrale I = ∫Θ(t) dt soit une fonction fuchsienne, Θ(t) étant une fonction thêtafuchsienne du premier degré, c'est-à-dire telle que l'on ait en désignant par (t, une des substitutions du groupe fuchsien. On voit d'abord que tous les résidus de 0(t) à l'intérieur du polygone R0 doivent être nuls; ces conditions sont équivalentes aux premières conditions de Briot et Bouquet. Soit, d'autre part, 0 (t) une fonction
ces conditions que M. Humbert s'est proposé de transformer. La méthode suivie repose sur l'emploi des fonctions fuchsiennes; si la relation proposée est de genre p, il résulte des travaux de M. Poincaré que x et y peuvent être exprimés par des fonctions fuchsiennes d'une variable t, le polygone générateur R0 du groupe ayant 4p côtés, tels que les côtés opposés sont conjugués deux à deux. La question proposée est alors ramenée à celle-ci : Trouver les conditions nécessaires et suffisantes pour que l'intégrale I = ∫Θ(t) dt soit une fonction fuchsienne, Θ(t) étant une fonction thêtafuchsienne du premier degré, c'est-à-dire telle que l'on ait en désignant par (t, une des substitutions du groupe fuchsien. On voit d'abord que tous les résidus de 0(t) à l'intérieur du polygone R0 doivent être nuls; ces conditions sont équivalentes aux premières conditions de Briot et Bouquet. Soit, d'autre part, 0 (t) une fonction thêtafuchsienne holomorphe de degré un; l'intégrale ∫ I(t) θ(t) prise le long du contour de R0 aura tous ses éléments égaux deux à deux et de signes contraires, si I(t) est une fonction fuchsienne, de sorte que la somme des résidus de I(t) θ(t) à l'intérieur de R0 devra être nulle. Comme il existe p fonctions thêtafuchsiennes holomorphes de degré un, on obtient ainsi p conditions nouvelles; ces conditions nécessaires ne sont pas suffisantes, mais il est aisé de démontrer que, si elles sont remplies, on peut mettre I(t) sous la forme I(t) = F(t) + λ1G1(t)+... + λpGp(t), où F (t) désigne une fonction fuchsienne, une constante et où l'on a posé Gi(t) = ∫θi(t) dt. Il suffira donc d'exprimer que l'on a 0: l'auteur considère, à cet effet, p fonctions thêtafuchsiennes du premier degré ζ1(t), ..., ζp(t) n'ayant chacune à l'intérieur du polygone R0 qu'un pôle double, les p pôles doubles P1, β2, ..., βp étant pris arbitrairement. En exprimant que les p intégrales sont nulles, on est conduit aux p équations ( βi) + ... + ( βi) = 0 (i = 1, 2, ..., p), qui n'admettent pas d'autres solutions que À1 = À2 =... =
nulle. Comme il existe p fonctions thêtafuchsiennes holomorphes de degré un, on obtient ainsi p conditions nouvelles; ces conditions nécessaires ne sont pas suffisantes, mais il est aisé de démontrer que, si elles sont remplies, on peut mettre I(t) sous la forme I(t) = F(t) + λ1G1(t)+... + λpGp(t), où F (t) désigne une fonction fuchsienne, une constante et où l'on a posé Gi(t) = ∫θi(t) dt. Il suffira donc d'exprimer que l'on a 0: l'auteur considère, à cet effet, p fonctions thêtafuchsiennes du premier degré ζ1(t), ..., ζp(t) n'ayant chacune à l'intérieur du polygone R0 qu'un pôle double, les p pôles doubles P1, β2, ..., βp étant pris arbitrairement. En exprimant que les p intégrales sont nulles, on est conduit aux p équations ( βi) + ... + ( βi) = 0 (i = 1, 2, ..., p), qui n'admettent pas d'autres solutions que À1 = À2 =... = λp = 0, si l'on choisit les p quantités arbitraires βi de façon à ne pas annuler le déterminant de ces p équations. En revenant aux variables primitives x, y, M. Humbert énonce le théorème suivant, qui est la conclusion de son travail : « Soient f(x, y) = 0 l'équation d'une courbe algébrique de genre p; ϕ(x,y) une fonction rationnelle quelconque de x et de y; G1, G2, ..., Gp, p intégrales abéliennes de première espèce distinctes; H1, H2, ..., Hp, p intégrales de deuxième espèce appartenant à la courbe f= 0. Pour que l'intégrale ∫ϕ(x, y) dx se réduise à une fonction rationnelle de x et de y, il faut et il suffît : 1° Que cette intégrale n'ait pas de période polaire; 2° Que la somme des périodes polaires de chacune des intégrales ∫Gj(x) dx soit nulle; 3° Que la somme des périodes polaires de chacune des intégrales ∫Hi(x) dx soit nulle. » Une Note du Rédacteur nous apprend que les résultats de M. Humbert avaient déjà été obtenus depuis longtemps par M. Weierstrass comme corollaire du théorème sur la réduction d'intégrales abéliennes à une somme d'intégrales normales des trois espèces. D'ailleurs, on s'aperçoit aisément que les
l'équation d'une courbe algébrique de genre p; ϕ(x,y) une fonction rationnelle quelconque de x et de y; G1, G2, ..., Gp, p intégrales abéliennes de première espèce distinctes; H1, H2, ..., Hp, p intégrales de deuxième espèce appartenant à la courbe f= 0. Pour que l'intégrale ∫ϕ(x, y) dx se réduise à une fonction rationnelle de x et de y, il faut et il suffît : 1° Que cette intégrale n'ait pas de période polaire; 2° Que la somme des périodes polaires de chacune des intégrales ∫Gj(x) dx soit nulle; 3° Que la somme des périodes polaires de chacune des intégrales ∫Hi(x) dx soit nulle. » Une Note du Rédacteur nous apprend que les résultats de M. Humbert avaient déjà été obtenus depuis longtemps par M. Weierstrass comme corollaire du théorème sur la réduction d'intégrales abéliennes à une somme d'intégrales normales des trois espèces. D'ailleurs, on s'aperçoit aisément que les fonctions fuchsiennes ne jouent qu'un rôle secondaire dans le Mémoire de M. Humbert, et que leur emploi ne constitue au fond qu'un changement de notations. Ce qui caractérise, en effet, cette méthode, c'est qu'au lieu de considérer la surface T de Riemann et d'intégrer le long des coupures qui la transforment en une surface simplement connexe, on commence par appliquer cette surface sur un polygone fuchsien et l'on intègre ensuite le long du contour de ce polygone. De même, si l'on considère une courbe gauche dépendant de n + 1 paramètres, il existe une forme des différentielles qui, égalée à zéro, exprime la condition nécessaire et suffisante pour que cette courbe rencontre la courbe infiniment voisine. Cette forme M(M du), dont l'évanouissement exprime la condition de contact dans le cas des surfaces et la condition de rencontre dans le cas des courbes, peut être appelée forme fondamentale pour le système d'éléments considérés. L'objet principal du Mémoire de M. Kœnigs est l'étude des deux problèmes suivants, qu'il résout complètement : 1° Sous quelles conditions nécessaires et suffisantes une forme de différentielles peut-elle être la forme fondamentale considérée? Construire le type général de ces formes. 2° Sachant qu'une forme M(u du) peut
transforment en une surface simplement connexe, on commence par appliquer cette surface sur un polygone fuchsien et l'on intègre ensuite le long du contour de ce polygone. De même, si l'on considère une courbe gauche dépendant de n + 1 paramètres, il existe une forme des différentielles qui, égalée à zéro, exprime la condition nécessaire et suffisante pour que cette courbe rencontre la courbe infiniment voisine. Cette forme M(M du), dont l'évanouissement exprime la condition de contact dans le cas des surfaces et la condition de rencontre dans le cas des courbes, peut être appelée forme fondamentale pour le système d'éléments considérés. L'objet principal du Mémoire de M. Kœnigs est l'étude des deux problèmes suivants, qu'il résout complètement : 1° Sous quelles conditions nécessaires et suffisantes une forme de différentielles peut-elle être la forme fondamentale considérée? Construire le type général de ces formes. 2° Sachant qu'une forme M(u du) peut jouer le rôle de forme fondamentale, trouver tous les systèmes d'éléments qui l'admettent en effet pour forme fondamentale. Considérons d'abord une surface s = ϕ (x, y, u); la forme fondamentale M(u, du) est le résultat de l'élimination de x et y entre les trois équations ϕ, du = 0, p, du = 0, q, du = 0, où l'on pose, pour abréger, si, dans cette forme, on remplace du par t et qu'on y regarde les u comme des constantes données, on a une relation homogène entre n + 1 variables, t1, t2, tn+, qu'on peut regarder comme l'équation d'une surface dans un espace à n dimensions. Si l'on convient d'employer le langage de la Géométrie à n dimensions, les propriétés caractéristiques de la forme M(u, t) se présentent de la manière la plus nette. En effet, l'équation M(u, t) = 0 résulte évidemment de l'élimination de x et y entre les trois équations dont la première représente un espace linéaire à n - 1 dimensions ou plan, dépendant de deux paramètres variables x et y. Il suit de là que : « Dans l'espace à n dimensions dont les t sont les coordonnées ponctuelles, l'équation M(M t) =
p, du = 0, q, du = 0, où l'on pose, pour abréger, si, dans cette forme, on remplace du par t et qu'on y regarde les u comme des constantes données, on a une relation homogène entre n + 1 variables, t1, t2, tn+, qu'on peut regarder comme l'équation d'une surface dans un espace à n dimensions. Si l'on convient d'employer le langage de la Géométrie à n dimensions, les propriétés caractéristiques de la forme M(u, t) se présentent de la manière la plus nette. En effet, l'équation M(u, t) = 0 résulte évidemment de l'élimination de x et y entre les trois équations dont la première représente un espace linéaire à n - 1 dimensions ou plan, dépendant de deux paramètres variables x et y. Il suit de là que : « Dans l'espace à n dimensions dont les t sont les coordonnées ponctuelles, l'équation M(M t) = 0, où les u sont regardés comme constants, représente une surface En-1, 2, dont les plans tangents sont seulement deux fois indéterminés. » Si le plan tangent à cette surface a pour équation T, tl + T2 + ... + 1 tn+1 = 0, les T, ne dépendant que de deux variables, devront vérifier un système de n - 2 relations homogènes M1 (u T) = 0, ..., (u T) = 0, de sorte que la forme M(u, t) possède un système adjoint de n - 2 formes. Si n+1 = 4, les propriétés précédentes ne constituent aucune singularité, mais il n'en est plus de même si n+1 > 4; les formes fondamentales M(u, du) ne peuvent être prises que parmi celles qui possèdent un système adjoint de n - 2 formes simultanées. Ce caractère purement algébrique n'est pas suffisant pour définir la forme M(u, du); mais nous savons que l'équation du plan tangent à la surface M(u, t) = 0 peut être mise sous la forme Par conséquent, le système des n - 2 équations doit admettre une intégrale y = u) z contenant trois constantes arbitraires x, y, z dont l'une z est nécessairement additive. Inversement, si ces
deux variables, devront vérifier un système de n - 2 relations homogènes M1 (u T) = 0, ..., (u T) = 0, de sorte que la forme M(u, t) possède un système adjoint de n - 2 formes. Si n+1 = 4, les propriétés précédentes ne constituent aucune singularité, mais il n'en est plus de même si n+1 > 4; les formes fondamentales M(u, du) ne peuvent être prises que parmi celles qui possèdent un système adjoint de n - 2 formes simultanées. Ce caractère purement algébrique n'est pas suffisant pour définir la forme M(u, du); mais nous savons que l'équation du plan tangent à la surface M(u, t) = 0 peut être mise sous la forme Par conséquent, le système des n - 2 équations doit admettre une intégrale y = u) z contenant trois constantes arbitraires x, y, z dont l'une z est nécessairement additive. Inversement, si ces conditions sont remplies, la forme M(u, du) est la forme fondamentale pour le système de surfaces z = y, u) = 0, et la première question posée par M. Kœnigs se trouve ainsi complètement résolue. On voit en même temps que la recherche des systèmes de surfaces admettant la forme fondamentale M(u, du) est ramenée à la recherche des intégrales complètes du système (E). Si l'on part d'une première intégrale complète supposée connue, l'intégrale générale s'obtiendra par le procédé usité dans la théorie des équations aux dérivées partielles, et la discussion de ce système conduit l'auteur à la conclusion suivante : "Si deux éléments, surfaces donnent lieu à la même forme fondamentale, on peut passer de l'un à l'autre par une transformation de contact." Il résulte aussi de cette recherche que, si la fonction θ(u) vérifie les équations (E) soit identiquement, soit en vertu de la relation θ(u) = 0, cette dernière équation exprime que les surfaces (u) qui la vérifient touchent une courbe ou une surface fixe ou bien passent par un point fixe. Le cas où l'élément est une courbe se ramène immédiatement au cas où l'élément est une surface par une transformation de contact et les conclusions
fondamentale M(u, du) est ramenée à la recherche des intégrales complètes du système (E). Si l'on part d'une première intégrale complète supposée connue, l'intégrale générale s'obtiendra par le procédé usité dans la théorie des équations aux dérivées partielles, et la discussion de ce système conduit l'auteur à la conclusion suivante : "Si deux éléments, surfaces donnent lieu à la même forme fondamentale, on peut passer de l'un à l'autre par une transformation de contact." Il résulte aussi de cette recherche que, si la fonction θ(u) vérifie les équations (E) soit identiquement, soit en vertu de la relation θ(u) = 0, cette dernière équation exprime que les surfaces (u) qui la vérifient touchent une courbe ou une surface fixe ou bien passent par un point fixe. Le cas où l'élément est une courbe se ramène immédiatement au cas où l'élément est une surface par une transformation de contact et les conclusions précédentes s'appliquent encore. Si l'on appelle formes équivalentes les formes qui se transforment les unes dans les autres par un changement de variables, et si l'on convient de dire que les systèmes d'éléments transformables les uns dans les autres par des transformations de contact forment un groupe, deux systèmes d'éléments qui donnent lieu à deux formes fondamentales équivalentes appartiennent à un même groupe. Ainsi, quand on prend pour forme fondamentale la sphère ou la droite, on sait qu'on peut ramener la forme fondamentale à la forme il doit donc exister une transformation de contact qui change la sphère en droite. Cette transformation est, comme on sait, une des belles découvertes de M. Sophus Lie. Il suit de là que le cas d'un élément courbe ne diffère pas essentiellement du cas d'un élément surface. Cependant un système de surfaces ne peut pas, en général, se transformer en un système de courbes par une transformation de contact. M. Kœnigs est ainsi conduit à diviser les formes fondamentales en deux classes, les formes de la seconde classe pouvant seules convenir à un système de courbes. Les formes de cette classe se distinguent par deux caractères : 1° Un caractère algébrique; la surface S
qui donnent lieu à deux formes fondamentales équivalentes appartiennent à un même groupe. Ainsi, quand on prend pour forme fondamentale la sphère ou la droite, on sait qu'on peut ramener la forme fondamentale à la forme il doit donc exister une transformation de contact qui change la sphère en droite. Cette transformation est, comme on sait, une des belles découvertes de M. Sophus Lie. Il suit de là que le cas d'un élément courbe ne diffère pas essentiellement du cas d'un élément surface. Cependant un système de surfaces ne peut pas, en général, se transformer en un système de courbes par une transformation de contact. M. Kœnigs est ainsi conduit à diviser les formes fondamentales en deux classes, les formes de la seconde classe pouvant seules convenir à un système de courbes. Les formes de cette classe se distinguent par deux caractères : 1° Un caractère algébrique; la surface S est le lieu d'un espace linéaire S et tout plan mené par l'un de ces espaces générateurs touche la surface en tous les points d'un espace linéaire à trois dimensions. 2° Un caractère transcendant; les équations (E) forment un système complet semi-linéaire, c'est-à-dire admettent une solution de la forme x ϕ(α u) + p + (α. u) — γ, où a, β, y sont trois constantes. Les courbes x = ϕ(z u), y = ψ(z u), prises pour éléments, donnent la forme fondamentale M(u du). Les derniers paragraphes du Mémoire sont consacrés à l'étude des cas où quelques-unes des équations du système adjoint sont linéaires, et du cas où la forme fondamentale est quadratique. On arrive, en particulier, à cette conclusion intéressante que les systèmes d'éléments qui donnent lieu à une forme quadratique ne peuvent contenir plus de quatre paramètres. Stenberg (E.-A.). — Sur un cas spécial de l'équation différentielle de Lamé. (339-348). Étude du cas spécial où l'équation de Lamé admet pour intégrales des fonctions doublement périodiques de seconde espèce, appartenant à la catégorie particulière signalée par M. Mittag-Leffler. La méthode générale donnée par M. Hermite exige alors quelques modifications. COMPTES RENDUS HEBDOMENAIRE DES SÉANCES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES.
ϕ(α u) + p + (α. u) — γ, où a, β, y sont trois constantes. Les courbes x = ϕ(z u), y = ψ(z u), prises pour éléments, donnent la forme fondamentale M(u du). Les derniers paragraphes du Mémoire sont consacrés à l'étude des cas où quelques-unes des équations du système adjoint sont linéaires, et du cas où la forme fondamentale est quadratique. On arrive, en particulier, à cette conclusion intéressante que les systèmes d'éléments qui donnent lieu à une forme quadratique ne peuvent contenir plus de quatre paramètres. Stenberg (E.-A.). — Sur un cas spécial de l'équation différentielle de Lamé. (339-348). Étude du cas spécial où l'équation de Lamé admet pour intégrales des fonctions doublement périodiques de seconde espèce, appartenant à la catégorie particulière signalée par M. Mittag-Leffler. La méthode générale donnée par M. Hermite exige alors quelques modifications. COMPTES RENDUS HEBDOMENAIRE DES SÉANCES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. Tome CVII; 1888 (i). Perrin. — Sur les critères des divers groupes de solutions multiples communes à deux équations. (22-24). En s'appuyant sur le théorème général qu'il a établi dans sa précédente Communication, l'auteur calcule les critères qui permettent de reconnaître si deux polynômes ont un, deux, trois ou quatre facteurs linéaires communs (ces facteurs pouvant ne pas entrer au même degré dans la composition de ces deux polynômes). Saint-Loup. — Sur la représentation graphique des diviseurs des nombres. (24-26). Jensen. — Observations sur une Communication récente de M. Cesaro. (81-82). Lemoine. — De la mesure de la simplicité dans les constructions géométriques. (169-171). Bertrand. — Note sur le tir à la cible. (205-207). Dans une Note précédente, M. Bertrand a indiqué l'équation des ellipses de même probabilité dans une série de tirs dont le résultat est connu. L'équation des ellipses étant k2x2 + 2λxy + k'2y2 = H, il a donné, dans une seconde Note, neuf valeurs de la constante H, telles que la probabilité pour que la balle se place dans la plus petite des ellipses correspondantes, ou en dehors de la plus grande, ou entre deux ellipses consécutives, soit toujours M. Bertrand a pu appliquer les formules