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entières de l'équation x2 + y2 = n, est égal à Où x parcourt tous les diviseurs positifs du nombre n. Cette proposition a été établie par Lejeune-Dirichlet au moyen du Calcul intégral. Dans un autre ordre d'idées, citons encore la proposition suivante : Si l'on désigne par Φ (z) une fonction bien déterminée pour toutes les valeurs positives impaires de la variable z, on aura la formule Où l'on a à observer que dans le premier membre x0 parcourt tous les nombres pairs, et x, tous les nombres impairs positifs, et que, dans le second membre, n parcourt tous les nombres impairs positifs et 8 tous les diviseurs positifs du Nombre n, pourvu que les séries dans les deux membres convergent indépendamment de l'ordre de leurs termes. L'auteur transforme cette formule de diverses façons et en tire des conséquences, connues pour la plupart, mais que l'on ne s'attendait pas à obtenir par cette voie. Poincaré (H.). — Sur les résidus des intégrales doubles. (321-380). L'important Mémoire de M. Poincaré contient l'extension aux intégrales doubles du théorème célèbre de Cauchy sur les intégrales d'une fonction analytique d'une variable, prises le long d'un contour fermé. Une des premières difficultés du problème consistait dans l'absence de représentation géométrique. On sait en effet de quel secours est, pour la théorie des fonctions d'une variable, la représentation employée par Gauss et Cauchy. Si l'on veut suivre la même méthode pour étudier les fonctions de deux variables imaginaires z = x + iy, η = z + it, on est conduit à regarder x, y, z, t comme les coordonnées d'un point de l'espace à quatre dimensions. Mais le langage seul a une apparence géométrique; l'image sensible fait toujours défaut. M. Poincaré n'emploie que rarement ce langage hypergéométrique; il lui emprunte cependant les termes suivants dont il paraît difficile de se passer. Un point est un système de valeurs réelles des quatre variables x, y, z, t; les hypersurfaces, les surfaces, les lignes sont constituées par les multiplicités à trois dimensions, à deux dimensions, à une dimension, c'est-à-dire par l'ensemble des points qui vérifient une,
consistait dans l'absence de représentation géométrique. On sait en effet de quel secours est, pour la théorie des fonctions d'une variable, la représentation employée par Gauss et Cauchy. Si l'on veut suivre la même méthode pour étudier les fonctions de deux variables imaginaires z = x + iy, η = z + it, on est conduit à regarder x, y, z, t comme les coordonnées d'un point de l'espace à quatre dimensions. Mais le langage seul a une apparence géométrique; l'image sensible fait toujours défaut. M. Poincaré n'emploie que rarement ce langage hypergéométrique; il lui emprunte cependant les termes suivants dont il paraît difficile de se passer. Un point est un système de valeurs réelles des quatre variables x, y, z, t; les hypersurfaces, les surfaces, les lignes sont constituées par les multiplicités à trois dimensions, à deux dimensions, à une dimension, c'est-à-dire par l'ensemble des points qui vérifient une, deux ou trois relations distinctes. Dans une intégrale double ∫∫ F(ξ,η) dξ dη, le champ d'intégration est défini par deux relations entre les variables x, z, t; il y a une surface d'intégration. De même, si F(ξ, η) est une fonction rationnelle, l'ensemble des points singuliers formera une surface qui ne devra avoir aucun point commun avec la surface d'intégration. Voici comment l'auteur évite dans beaucoup de cas l'emploi de considérations hypergéométriques. Soient A, μ, v les coordonnées d'un point dans l'espace ordinaire. Posons \(x = \phi_1 (\lambda, \mu, v), \quad y = \phi_2 (\lambda,\mu, \nu), \quad z = \phi_3 (\lambda, [\mu, v), \quad t = \phi_4 (\lambda, \mu, v),\) \(\phi_1, \phi_3, \phi_4\) désignant des fonctions rationnelles dont le dénominateur ne s'annule pour aucune valeur réelle des variables. Lorsque le point \((\lambda, \mu, v)\) décrit l'espace tout entier, le point \((x,y, z)\) décrit dans l'hyperespace une hypersurface unicursale. De même, si le point \((\lambda, \mu, v)\) décrit une surface \(S\), le point \((x, y, z, t)\) décrit dans l'hyperespace une surface \(S'\); si \(S\) est une surface fermée, \(S'\) sera dite aussi fermée. On suppose de plus que lorsque le point \((\lambda, \mu, v)\) décrit \(S\), le point \((x, y,
ne devra avoir aucun point commun avec la surface d'intégration. Voici comment l'auteur évite dans beaucoup de cas l'emploi de considérations hypergéométriques. Soient A, μ, v les coordonnées d'un point dans l'espace ordinaire. Posons \(x = \phi_1 (\lambda, \mu, v), \quad y = \phi_2 (\lambda,\mu, \nu), \quad z = \phi_3 (\lambda, [\mu, v), \quad t = \phi_4 (\lambda, \mu, v),\) \(\phi_1, \phi_3, \phi_4\) désignant des fonctions rationnelles dont le dénominateur ne s'annule pour aucune valeur réelle des variables. Lorsque le point \((\lambda, \mu, v)\) décrit l'espace tout entier, le point \((x,y, z)\) décrit dans l'hyperespace une hypersurface unicursale. De même, si le point \((\lambda, \mu, v)\) décrit une surface \(S\), le point \((x, y, z, t)\) décrit dans l'hyperespace une surface \(S'\); si \(S\) est une surface fermée, \(S'\) sera dite aussi fermée. On suppose de plus que lorsque le point \((\lambda, \mu, v)\) décrit \(S\), le point \((x, y, z, t)\) décrit une seule fois \(S'\). Par suite, toutes les fois que le point \((x, y, z, t)\) reste sur une même hypersurface unicursale, on peut le représenter par un point \(\hat{x}\) de l'espace ordinaire, et de même toute surface d'intégration sera représentée par une surface ordinaire de l'espace \((\lambda, \mu, v)\). En posant simplement \(x = \phi_1 = \lambda, \quad y = \phi_2 = \mu, \quad z = \phi_3 = \nu,\) \(t = \phi_4 (\lambda, \mu, \nu) = \phi_4 (x,y,z),\) la surface d'intégration sera définie par une surface \(S\) de l'espace ordinaire et une fonction rationnelle \(P\) et \(Q\) étant deux polynômes entiers tels que \(Q (x, y, z)\) ne soit nul pour aucun point réel. Il est aisé de voir que toute surface d'intégration, non susceptible de ce mode de représentation, peut être décomposée en plusieurs autres qui diffèrent très peu de surfaces algébriques susceptibles de ce mode de représentation. D'ailleurs, les théorèmes de l'auteur n'exigent pas que \(\phi_1, \phi_2,\) soient des fonctions rationnelles. Il suffit qu'elles restent uniformes et bien déterminées dans une portion de l'espace contenant la surface \(S\) qui sert d'image à la surface d'intégration. Dans le paragraphe suivant, l'auteur définit d'une façon précise
\((\lambda, \mu, v)\). En posant simplement \(x = \phi_1 = \lambda, \quad y = \phi_2 = \mu, \quad z = \phi_3 = \nu,\) \(t = \phi_4 (\lambda, \mu, \nu) = \phi_4 (x,y,z),\) la surface d'intégration sera définie par une surface \(S\) de l'espace ordinaire et une fonction rationnelle \(P\) et \(Q\) étant deux polynômes entiers tels que \(Q (x, y, z)\) ne soit nul pour aucun point réel. Il est aisé de voir que toute surface d'intégration, non susceptible de ce mode de représentation, peut être décomposée en plusieurs autres qui diffèrent très peu de surfaces algébriques susceptibles de ce mode de représentation. D'ailleurs, les théorèmes de l'auteur n'exigent pas que \(\phi_1, \phi_2,\) soient des fonctions rationnelles. Il suffit qu'elles restent uniformes et bien déterminées dans une portion de l'espace contenant la surface \(S\) qui sert d'image à la surface d'intégration. Dans le paragraphe suivant, l'auteur définit d'une façon précise les conditions d'intégrabilité des expressions de la forme \(\int \int \sum (X_i, X_k) d\hat{x} d\hat{k},\) \(X_i, X_k\) désignant des fonctions des \(n\) variables \(x_1, ..., x_n\) telles que \(X_i, X_j = O, \quad X_i, X_k = -(X_k, X_i),\) Si l'on pose dans cette expression \(dx_i = \phi_i (u, v),\) elle devient \(\int \int f(u, v) du dv,\) et elle offre un sens bien déterminé, si l'on convient de donner à \(u\) et à \(v\) toutes valeurs qui satisfont à une certaine inégalité \(v \geq 0.\) On est ainsi amené à se poser la question suivante : Que faut-il pour que cette intégrale \(J\) ne dépende pas de la surface d'intégration, mais seulement de la courbe qui limite cette surface? En termes plus précis, imaginons que l'on fasse dans l'expression (2) un autre changement de variables \(x_i = \phi_i (u, v),\) la fonction \(\phi_i\) étant en général différente de \(Pi\) mais telle que l'on ait \(\phi_i = \phi_i,\) lorsque \(\psi (u, v) = 0,\) et conservons la même inégalité (4) pour définir l'intégrale double. Si dans ces conditions l'intégrale n'a pas changé, l'expression sous le signe \(\int\) est dite intégrable. Pour trouver les conditions d'intégrabilité, M. Poincaré fait un changement de
devient \(\int \int f(u, v) du dv,\) et elle offre un sens bien déterminé, si l'on convient de donner à \(u\) et à \(v\) toutes valeurs qui satisfont à une certaine inégalité \(v \geq 0.\) On est ainsi amené à se poser la question suivante : Que faut-il pour que cette intégrale \(J\) ne dépende pas de la surface d'intégration, mais seulement de la courbe qui limite cette surface? En termes plus précis, imaginons que l'on fasse dans l'expression (2) un autre changement de variables \(x_i = \phi_i (u, v),\) la fonction \(\phi_i\) étant en général différente de \(Pi\) mais telle que l'on ait \(\phi_i = \phi_i,\) lorsque \(\psi (u, v) = 0,\) et conservons la même inégalité (4) pour définir l'intégrale double. Si dans ces conditions l'intégrale n'a pas changé, l'expression sous le signe \(\int\) est dite intégrable. Pour trouver les conditions d'intégrabilité, M. Poincaré fait un changement de variables plus général, \(x_i = \phi_i (u, v, w)\) dépendant d'un paramètre arbitraire \(w\), les fonctions \(\phi_i\) étant telles que, lorsque \(\psi (u, v) = 0,\) ces fonctions sont indépendantes de \(w\). Alors la surface d'intégration variera avec \(w\), mais non la courbe qui limite cette surface. Il faut écrire que l'intégrale \(J\) ne dépend pas de \(w\), c'est-à-dire que l'on a \(\frac{dJ}{dw} = 0.\) De la formule qui donne \(J\) on tire \(\frac{dJ}{dw} =\) et quelques transformations faciles reposant sur le théorème de Green permettent de ramener cette intégrale à la forme \(J =\) le signe \(\sum\) portant sur toutes les combinaisons \((i, k, h)\), où l'on ne considère pas comme différentes deux combinaisons qui ne diffèrent que par l'ordre des lettres. L'expression doit être nulle quelles que soient les fonctions \(\phi_i\), il faudra que l'on ait \(\frac{dJ}{dw} = 0,\) \(\frac{d(n-2)}{2}\) Ainsi ce sont les conditions d'intégrabilité, au nombre \((n-1)\), pour l'intégrale double \(\int [(X, Y) dx dy + (X, Z) dx dz + (X, T) dx dt + (Y, Z) dy dz + (Y, T) dy dt + (Z, T) dz dt]\) \(J\) on aura quatre conditions d'intégrabilité. Ces conditions d'intégrabilité s'appliquent immédiatement aux intégrales doubles des fonctions
que l'intégrale \(J\) ne dépend pas de \(w\), c'est-à-dire que l'on a \(\frac{dJ}{dw} = 0.\) De la formule qui donne \(J\) on tire \(\frac{dJ}{dw} =\) et quelques transformations faciles reposant sur le théorème de Green permettent de ramener cette intégrale à la forme \(J =\) le signe \(\sum\) portant sur toutes les combinaisons \((i, k, h)\), où l'on ne considère pas comme différentes deux combinaisons qui ne diffèrent que par l'ordre des lettres. L'expression doit être nulle quelles que soient les fonctions \(\phi_i\), il faudra que l'on ait \(\frac{dJ}{dw} = 0,\) \(\frac{d(n-2)}{2}\) Ainsi ce sont les conditions d'intégrabilité, au nombre \((n-1)\), pour l'intégrale double \(\int [(X, Y) dx dy + (X, Z) dx dz + (X, T) dx dt + (Y, Z) dy dz + (Y, T) dy dt + (Z, T) dz dt]\) \(J\) on aura quatre conditions d'intégrabilité. Ces conditions d'intégrabilité s'appliquent immédiatement aux intégrales doubles des fonctions de deux variables complexes. Soit \(\xi = x + iy\), \(t = x + it\), ces deux variables et une fonction que l'on peut aussi écrire \(P + iQ\), en séparant la partie réelle et la partie imaginaire; \(P\) et \(Q\) vérifient les relations connues. Imaginons dans l'hyperespace une surface d'intégration définie par une surface \(S\) de l'espace \((\lambda, \mu, v)\) et par les équations fondamentales (1). Il importe d'abord de définir avec précision ce qu'on doit entendre par l'intégrale double \(\int \int F(\xi, \eta) d\xi d\eta\), étendue à toute cette surface. Le produit sous le signe \(\int \int\) étant effectué d'après les règles ordinaires du calcul, cette expression devient \(\int [(P + iQ) dx + (iP - Q) dz + (iPQ) dy] \int [(P + iQ) dx + (iP - Q) dz + (iPQ) dy] + \int [(P + iQ) dy + (iP - Q) dz + (iPQ) dt] + \int [(P + iQ) dz + (iP - Q) dx + (iPQ) dt]\) Soient maintenant \(u\) et \(v\) deux variables auxiliaires telles que \(1, \mu, v\) soient des fonctions holomorphes de \(u\) et de \(v\) pour tous les points de la surface \(S\); l'intégrale cherchée sera l'intégrale double ordinaire
d'intégration définie par une surface \(S\) de l'espace \((\lambda, \mu, v)\) et par les équations fondamentales (1). Il importe d'abord de définir avec précision ce qu'on doit entendre par l'intégrale double \(\int \int F(\xi, \eta) d\xi d\eta\), étendue à toute cette surface. Le produit sous le signe \(\int \int\) étant effectué d'après les règles ordinaires du calcul, cette expression devient \(\int [(P + iQ) dx + (iP - Q) dz + (iPQ) dy] \int [(P + iQ) dx + (iP - Q) dz + (iPQ) dy] + \int [(P + iQ) dy + (iP - Q) dz + (iPQ) dt] + \int [(P + iQ) dz + (iP - Q) dx + (iPQ) dt]\) Soient maintenant \(u\) et \(v\) deux variables auxiliaires telles que \(1, \mu, v\) soient des fonctions holomorphes de \(u\) et de \(v\) pour tous les points de la surface \(S\); l'intégrale cherchée sera l'intégrale double ordinaire \(\int \int f(u, v) du dv\), étendue à tous les systèmes de valeurs de \(u\) et de \(v\) qui correspondent aux différents points de la surface \(S\). Si l'on ne pouvait trouver deux variables \(u\) et \(v\) satisfaisant à cette condition, on décomposerait la surface \(S\) en plusieurs régions assez petites pour que, dans chacune d'elles, on puisse exprimer \(\mu, v\) par des fonctions holomorphes de \(u\) et de \(v\). L'ordre des variables \(u\) et \(v\) n'est pas indifférent, puisque l'intégrale change de signe quand on permute ces deux variables. Pour ne rien laisser d'indéterminé dans l'intégrale, l'auteur convient de distinguer sur une surface fermée les deux directions qui vont vers l'intérieur et vers l'extérieur; sur une surface non fermée, on peut toujours convenir de regarder un des côtés comme l'extérieur et l'autre comme l'intérieur. Cela étant, imaginons un observateur ayant les pieds en un point \(0\) de la surface \(S\) et la tête dirigée vers l'extérieur, et un contour fermé très petit \(C\) décrit sur la surface autour du point \(0\). Si le point \((A, \mu, v)\) décrit ce contour dans le sens contraire à celui des aiguilles d'une montre par rapport à l'observateur, le point de coordonnées \((u,
petites pour que, dans chacune d'elles, on puisse exprimer \(\mu, v\) par des fonctions holomorphes de \(u\) et de \(v\). L'ordre des variables \(u\) et \(v\) n'est pas indifférent, puisque l'intégrale change de signe quand on permute ces deux variables. Pour ne rien laisser d'indéterminé dans l'intégrale, l'auteur convient de distinguer sur une surface fermée les deux directions qui vont vers l'intérieur et vers l'extérieur; sur une surface non fermée, on peut toujours convenir de regarder un des côtés comme l'extérieur et l'autre comme l'intérieur. Cela étant, imaginons un observateur ayant les pieds en un point \(0\) de la surface \(S\) et la tête dirigée vers l'extérieur, et un contour fermé très petit \(C\) décrit sur la surface autour du point \(0\). Si le point \((A, \mu, v)\) décrit ce contour dans le sens contraire à celui des aiguilles d'une montre par rapport à l'observateur, le point de coordonnées \((u, v)\) décrira dans son plan un autre contour fermé \(C'\). Il faudra que ce contour soit décrit dans le même sens que le premier, les axes des \(u\) et des \(v\) étant disposés comme lé sont d'ordinaire les axes des \(x\) et des \(y\) positifs. L'intégrale double est ainsi complètement définie et elle rentre dans la catégorie considérée plus haut; on a en effet ici \((X, Y) = (Z, T) = 0, \quad (X, Z) = (T, Y) = P + iQ, \quad (X, T) = (Y, Z) = iPQ,\) et les conditions d'intégrabilité sont remplies identiquement d'après les relations \((5)\). Il en résulte d'après cela que, conservant les mêmes relations fondamentales \((t)\), on fasse varier la surface \(S\) de l'espace \((A, \mu, v)\). Si l'on a d'abord deux surfaces \(S\) et \(S'\) limitées par un même contour \(C\) et telles que l'on puisse, par une déformation continue, passer de \(S\) à \(S'\) sans rencontrer aucun point pour lequel \(P + iQ\) devienne infinie ou discontinue, il résulte aussitôt du théorème démontré plus haut que l'intégrale prise le long de \(S'\) est égale à l'intégrale prise le long de \(S\); proposition absolument analogue au théorème de Cauchy dont il est
définie et elle rentre dans la catégorie considérée plus haut; on a en effet ici \((X, Y) = (Z, T) = 0, \quad (X, Z) = (T, Y) = P + iQ, \quad (X, T) = (Y, Z) = iPQ,\) et les conditions d'intégrabilité sont remplies identiquement d'après les relations \((5)\). Il en résulte d'après cela que, conservant les mêmes relations fondamentales \((t)\), on fasse varier la surface \(S\) de l'espace \((A, \mu, v)\). Si l'on a d'abord deux surfaces \(S\) et \(S'\) limitées par un même contour \(C\) et telles que l'on puisse, par une déformation continue, passer de \(S\) à \(S'\) sans rencontrer aucun point pour lequel \(P + iQ\) devienne infinie ou discontinue, il résulte aussitôt du théorème démontré plus haut que l'intégrale prise le long de \(S'\) est égale à l'intégrale prise le long de \(S\); proposition absolument analogue au théorème de Cauchy dont il est aisé de déduire de nombreuses conséquences. Dans l'hyperespace, les surfaces singulières sont définies par les deux équations \(0 = 0, \quad y, z, t\) étant remplacées dans ces équations par \(\phi_1, \phi_2, \phi_3, \phi_4\), les deux équations des surfaces singulières se réduisent à \(dw\)\(w\) relations \(f_1(\lambda, \mu, v) = f_2(\lambda, v) = 0,\) définissant dans l'espace \((A, \lambda, v)\) certaines courbes singulières. Les résultats précédents pourront alors s'énoncer comme il suit : étant données deux surfaces \(S\) et \(S'\) limitées à un même contour \(C\), si dans l'espace compris entre \(S\) et \(S'\) il n'y a aucune courbe singulière, l'intégrale prise le long de \(S\) est égale à l'intégrale prise le long de \(S'\). Plus généralement, si deux surfaces \(S\) et \(S\) de l'espace \((X, \mu, v)\) contiennent à leur intérieur les mêmes courbes singulières, les deux intégrales sont encore les mêmes. En résumé, l'intégrale prise le long d'une surface fermée de l'espace \((A, \lambda, v)\) ne dépend que des courbes singulières comprises à l'intérieur de cette surface. M. Poincaré applique d'abord cette théorie générale au calcul des résidus des fonctions rationnelles de deux variables, c'est-à-dire des intégrales doubles \(\int\int F(\xi, \eta)\, d\mu\, d\nu,\) prises sur une surface fermée. La
v) = 0,\) définissant dans l'espace \((A, \lambda, v)\) certaines courbes singulières. Les résultats précédents pourront alors s'énoncer comme il suit : étant données deux surfaces \(S\) et \(S'\) limitées à un même contour \(C\), si dans l'espace compris entre \(S\) et \(S'\) il n'y a aucune courbe singulière, l'intégrale prise le long de \(S\) est égale à l'intégrale prise le long de \(S'\). Plus généralement, si deux surfaces \(S\) et \(S\) de l'espace \((X, \mu, v)\) contiennent à leur intérieur les mêmes courbes singulières, les deux intégrales sont encore les mêmes. En résumé, l'intégrale prise le long d'une surface fermée de l'espace \((A, \lambda, v)\) ne dépend que des courbes singulières comprises à l'intérieur de cette surface. M. Poincaré applique d'abord cette théorie générale au calcul des résidus des fonctions rationnelles de deux variables, c'est-à-dire des intégrales doubles \(\int\int F(\xi, \eta)\, d\mu\, d\nu,\) prises sur une surface fermée. La fonction \(F(\xi, \eta)\) étant de la forme où \(P, Q, R\) sont trois polynômes entiers dont les deux derniers sont irréductibles, les courbes singulières sont de deux sortes: les unes sont définies par l'équation \(Q[\phi_1 + i\phi_2, \phi_3 + \phi_4] = 0,\) et les autres par l'équation \(R[ \phi_1 + i\phi_2, \phi_3 + i\nu] = 0.\) Considérons une de ces courbes fermées \(C\) \(x = \Psi_1(w), \quad y = \Psi_2(w), \quad z = t = \Psi_4(w),\) les \(\Psi\) étant des fonctions périodiques du paramètre \(w\), dont on peut supposer la période égale à \(2 \pi\), et la surface d'intégration définie par les formules \(S = \Psi_1(\omega) + i\nu = \rho_0 e^{i\phi},\) où l'on fait varier \(w\) et \(\phi\) de \(0\) à \(2\pi\). Si l'on pose \(\lambda' = \cos \omega + p \cos \phi, \quad \mu' = \sin \omega + p \sin \phi, \quad v' = \rho \sin \phi,\) \(x = \Psi_1(w), \quad y = \Psi_2(w), \quad z = \Psi_3(\omega) + p \cos \phi, \quad t = \Psi_4(\omega) + p \sin \phi,\) la surface d'intégration précédente appartient à l'espace \((\lambda', \mu', v')\) et a pour image dans cet espace le tore dont l'équation est \(\rho = \rho_0 (\rho_0 < 1)\), tandis
i\phi_2, \phi_3 + i\nu] = 0.\) Considérons une de ces courbes fermées \(C\) \(x = \Psi_1(w), \quad y = \Psi_2(w), \quad z = t = \Psi_4(w),\) les \(\Psi\) étant des fonctions périodiques du paramètre \(w\), dont on peut supposer la période égale à \(2 \pi\), et la surface d'intégration définie par les formules \(S = \Psi_1(\omega) + i\nu = \rho_0 e^{i\phi},\) où l'on fait varier \(w\) et \(\phi\) de \(0\) à \(2\pi\). Si l'on pose \(\lambda' = \cos \omega + p \cos \phi, \quad \mu' = \sin \omega + p \sin \phi, \quad v' = \rho \sin \phi,\) \(x = \Psi_1(w), \quad y = \Psi_2(w), \quad z = \Psi_3(\omega) + p \cos \phi, \quad t = \Psi_4(\omega) + p \sin \phi,\) la surface d'intégration précédente appartient à l'espace \((\lambda', \mu', v')\) et a pour image dans cet espace le tore dont l'équation est \(\rho = \rho_0 (\rho_0 < 1)\), tandis que la courbe singulière est représentée par le cercle \(\lambda'^2 + \mu'^2 = 1, \quad v' = 0,\) qui est évidemment à l'intérieur du tore. D'ailleurs, il est facile d'évaluer directement l'intégrale double. Si on laisse \(w\) et \(\xi\) constants et qu'on fasse varier \(\phi\) de \(0\) à \(2\pi\), on décrit une circonférence de rayon \(p_0\) ayant pour centre le point \(\Psi_3 + i\Psi_4\). L'intégrale simple \(I = \int F(\xi, \eta)\, d\nu\) est alors égale au produit de \(2 i\pi\) par le résidu de la fonction \(F(\xi, \eta)\) (re gardée comme fonction de \(\eta\) seulement) par rapport au point \(\Psi_3 + i\Psi_4\). Si l'on a par exemple, \(Q(\Psi_1 + \eta = 0,\) le résidu en question se calcule aisément, et l'on trouve pour valeur de l'intégrale simple \(I = \Psi_1 + i\Psi_2, \quad \nu = \Psi_3 + i\Psi_4.\) Si l'on fait ensuite varier \(w\) de \(0\) à \(2\pi\), on décrit dans son plan une courbe fermée et l'on est ramené à chercher l'intégrale simple prise le long d'une courbe fermée, \(\eta\) et \(\nu\) étant liés par la relation \(Q(\xi, \eta) = 0\). C'est donc une intégrale abélienne relative à la courbe \(Q = 0\). Une discussion assez délicate permet de