jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
à un trièdre, il existe une construction mécanique très simple du plan d'orientation et du module. M. Humbert énonce un certain nombre de théorèmes analogues au précédent sur les aires découpées sur une sphère par une quadrique : " 1° La différence des deux aires découpées par la quadrique sur une sphère est proportionnelle, quelle que soit la position relative des deux surfaces, à la distance du centre de la sphère à l'un des plans principaux de la quadrique; ou il s'ensuit que cette différence ne varie pas quand on fait tourner la quadrique autour d'une parallèle à l'un de ses axes; 2° Les deux aires annulaires découpées sur une sphère par le solide compris entre deux quadriques homothétiques et concentriques sont égales; 3° La différence des deux aires que découpe sur une sphère un paraboloïde évolution reste constante quand le paraboloïde se déplace d'une manière quelconque dans l'espace. Bertrand. — Troisième Note sur la probabilité du tir à la cible. Sylvester. — Sur l'impossibilité de l'existence d'un nombre parfait impair qui ne contient pas au moins cinq diviseurs premiers distincts. De Jonquières. — Construction géométrique de la surface du troisième ordre. Réflexions sur la génération des surfaces algébriques à l'aide de deux faisceaux projectifs. Construire la surface du troisième ordre déterminée par un quadrilatère gauche et sept points donnés. Par le quadrilatère gauche et chacun des points on fera passer l'hyperboloïde à une nappe déterminée par ces conditions. On aura ainsi sept hyperboloïdes et, en les traversant par une droite arbitraire M, on y détachera sept segments en involution, d'où l'on conclura une série de rayons rectilignes ou de points correspondant anharmoniquement à ces segments, et, par suite, aux hyperboloïdes. Il ne s'agit plus que de déterminer une droite L, axe ou base commune d'un faisceau de plans, de façon que les sept plans passant par L et par chacun des sept points correspondent anharmoniquement avec sept hyperboloïdes passant par les mêmes points, ce qu'on sait faire. Painlevé. — Sur les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. (535-537). Pour qu'une équation différentielle linéaire et homogène s'intègre algébriquement, il faut
l'aide de deux faisceaux projectifs. Construire la surface du troisième ordre déterminée par un quadrilatère gauche et sept points donnés. Par le quadrilatère gauche et chacun des points on fera passer l'hyperboloïde à une nappe déterminée par ces conditions. On aura ainsi sept hyperboloïdes et, en les traversant par une droite arbitraire M, on y détachera sept segments en involution, d'où l'on conclura une série de rayons rectilignes ou de points correspondant anharmoniquement à ces segments, et, par suite, aux hyperboloïdes. Il ne s'agit plus que de déterminer une droite L, axe ou base commune d'un faisceau de plans, de façon que les sept plans passant par L et par chacun des sept points correspondent anharmoniquement avec sept hyperboloïdes passant par les mêmes points, ce qu'on sait faire. Painlevé. — Sur les équations différentielles linéaires à coefficients algébriques. (535-537). Pour qu'une équation différentielle linéaire et homogène s'intègre algébriquement, il faut d'abord que ses coefficients soient algébriques. Cette condition étant remplie, on peut toujours reconnaître, par des opérations purement algébriques, si l'intégrale est algébrique, ou ramener l'équation à une quadrature. Brillouin. — Déformations permanentes en Thermodynamique. (416-418, 482-485, 537-540, 589-592). On n'a étudié jusqu'ici en Thermodynamique que les corps qui, soumis à un cycle de transformations, à la même température et aux mêmes forces qu'au début, reprennent leur forme initiale. S'il n'y a qu'une variable géométrique x et une variable mécanique X, on suppose qu'il existe une relation finie f(x, X, T) = 0, entre ces éléments et la température. L'observation des faits (déformation résiduelle, déplacement du zéro du thermomètre, etc.) montre que cette hypothèse est inadmissible dans le cas des solides. M. Brillouin la remplace par la suivante qui rend compte de tous les faits connus. Il existe une équation linéaire entre x, X, T, dx = a dX + b dT, a, b étant deux fonctions de x, X, T que l'expérience fera connaître. De cette hypothèse résulte que, quelle que soit la série des transformations, il y a une infinité de manières de fermer le cycle sans déformation permanente, et aussi de manière à produire une déformation permanente
à un cycle de transformations, à la même température et aux mêmes forces qu'au début, reprennent leur forme initiale. S'il n'y a qu'une variable géométrique x et une variable mécanique X, on suppose qu'il existe une relation finie f(x, X, T) = 0, entre ces éléments et la température. L'observation des faits (déformation résiduelle, déplacement du zéro du thermomètre, etc.) montre que cette hypothèse est inadmissible dans le cas des solides. M. Brillouin la remplace par la suivante qui rend compte de tous les faits connus. Il existe une équation linéaire entre x, X, T, dx = a dX + b dT, a, b étant deux fonctions de x, X, T que l'expérience fera connaître. De cette hypothèse résulte que, quelle que soit la série des transformations, il y a une infinité de manières de fermer le cycle sans déformation permanente, et aussi de manière à produire une déformation permanente donnée. La loi de M. Brillouin modifie et complique les équations de la Thermodynamique : si l'on désigne par J dQ la quantité de chaleur absorbée par le corps et X dx le travail des forces extérieures pendant la transformation dx, dX, dT, le principe de l'équivalence s'exprime par la relation dQ = T dS, dS où l'on déduit facilement les expressions des chaleurs spécifiques Cx, C, et des chaleurs latentes. Par l'élimination de U, on obtiendra entre les deux chaleurs spécifiques et les deux coefficients de dilatation et d'élasticité, deux équations aux dérivées partielles du deuxième ordre par rapport à x, X, T. Le cycle de Carnot le plus simple est formé de trois isothermiques et de trois adiabatiques. En le comparant à un cycle parcouru par un gaz parfait et lui appliquant le second principe, M. Brillouin trouvé qu'on peut donner à la chaleur élémentaire l'expression dQ = TR dS, ® R étant deux fonctions de x, X, T, liées entre elles ainsi qu'à l'énergie. Par l'équation aux dérivées partielles dS Bertrand. — Sur la rigueur d'une démonstration de Gauss. (563-565). Par un exemple particulier, où il calcule directement la probabilité de sortie d'une boule blanche donnée par
relation dQ = T dS, dS où l'on déduit facilement les expressions des chaleurs spécifiques Cx, C, et des chaleurs latentes. Par l'élimination de U, on obtiendra entre les deux chaleurs spécifiques et les deux coefficients de dilatation et d'élasticité, deux équations aux dérivées partielles du deuxième ordre par rapport à x, X, T. Le cycle de Carnot le plus simple est formé de trois isothermiques et de trois adiabatiques. En le comparant à un cycle parcouru par un gaz parfait et lui appliquant le second principe, M. Brillouin trouvé qu'on peut donner à la chaleur élémentaire l'expression dQ = TR dS, ® R étant deux fonctions de x, X, T, liées entre elles ainsi qu'à l'énergie. Par l'équation aux dérivées partielles dS Bertrand. — Sur la rigueur d'une démonstration de Gauss. (563-565). Par un exemple particulier, où il calcule directement la probabilité de sortie d'une boule blanche donnée par une urne qui contient des boules noires et des boules blanches en nombre inconnu, mais qui a déjà donné m boules blanches sur tirages, M. Bertrand met en défaut la fameuse loi de probabilité de Gauss, * , Vit Bertrand estime que cette grave objection, sans nul doute aperçue par Gauss, a été la cause de ses efforts pour substituer une théorie nouvelle à celle qu'il avait d'abord établie. Lucas (F.). — Détermination électrique des lignes isodynamiques d'un polynôme quelconque. (587-589). Les points racines d'un polynôme F (Z) = X + iY du degré p étant assimilés à des points matériels de masse 1 qui repoussent un point quelconque N de masse en raison inverse de la distance, l'auteur a nommé lignes isodynaques les lieux géométriques du point N pour chacun desquels l'intensité de l'effet électrique total reste constante. Ces lignes algébriques et du degré 2p ont pour équation M. Lucas indique comment on peut se servir de l'électricité pour tracer les lignes isodynamiques d'un polynôme dont on connaît les points racines. Bertrand. — Sur l'indétermination d'un problème résolu par Poisson. (636-638). Pour traiter expérimentalement le problème de Saint-Pétersbourg, Buffon a jeté une pièce de monnaie en l'air 4040 fois;
Gauss, a été la cause de ses efforts pour substituer une théorie nouvelle à celle qu'il avait d'abord établie. Lucas (F.). — Détermination électrique des lignes isodynamiques d'un polynôme quelconque. (587-589). Les points racines d'un polynôme F (Z) = X + iY du degré p étant assimilés à des points matériels de masse 1 qui repoussent un point quelconque N de masse en raison inverse de la distance, l'auteur a nommé lignes isodynaques les lieux géométriques du point N pour chacun desquels l'intensité de l'effet électrique total reste constante. Ces lignes algébriques et du degré 2p ont pour équation M. Lucas indique comment on peut se servir de l'électricité pour tracer les lignes isodynamiques d'un polynôme dont on connaît les points racines. Bertrand. — Sur l'indétermination d'un problème résolu par Poisson. (636-638). Pour traiter expérimentalement le problème de Saint-Pétersbourg, Buffon a jeté une pièce de monnaie en l'air 4040 fois; il a obtenu 2048 fois le côté face. Poisson a cherché la probabilité pour que la pièce présentât quelque défaut. Il a assimilé ce problème au suivant : On a préparé un nombre immense d'urnes semblables contenant des boules blanches et des boules noires en proportion inconnue, tous les rapports entre les deux nombres étant représentés également. On choisit au hasard une de ces urnes; on y fait 4040 tirages, on obtient 2048 boules blanches et 1992 noires. Quelle est la probabilité que l'urne choisie contienne plus de blanches que de noires? M. Bertrand montre que l'assimilation des deux problèmes n'est pas permise. Sylvester. — Sur les nombres parfaits. (641-642). Lucas (F.). — Résolution immédiate des équations au moyen de l'électricité. (645-648). L'auteur indique comment l'électricité permet de résoudre immédiatement et sans calculs une équation algébrique F (z) = 0 de degré quelconque p à coefficients numériques réels. On prendra arbitrairement p + 1 quantités réelles ..., et l'on décomposera en éléments simples la fraction. Connaissant les points 1 et les paramètres p, on fera arriver sur ces points les extrémités d'électrodes déversant sur le plan (conducteur) des z des quantités d'électricité proportionnelles aux μ. Les points nodaux des lignes
entre les deux nombres étant représentés également. On choisit au hasard une de ces urnes; on y fait 4040 tirages, on obtient 2048 boules blanches et 1992 noires. Quelle est la probabilité que l'urne choisie contienne plus de blanches que de noires? M. Bertrand montre que l'assimilation des deux problèmes n'est pas permise. Sylvester. — Sur les nombres parfaits. (641-642). Lucas (F.). — Résolution immédiate des équations au moyen de l'électricité. (645-648). L'auteur indique comment l'électricité permet de résoudre immédiatement et sans calculs une équation algébrique F (z) = 0 de degré quelconque p à coefficients numériques réels. On prendra arbitrairement p + 1 quantités réelles ..., et l'on décomposera en éléments simples la fraction. Connaissant les points 1 et les paramètres p, on fera arriver sur ces points les extrémités d'électrodes déversant sur le plan (conducteur) des z des quantités d'électricité proportionnelles aux μ. Les points nodaux des lignes équipotentielles seront les points racines de l'équation F (z) = 0. La détermination des lignes équipotentielles et des points nodaux se fera soit au moyen du galvanomètre (méthode de Kirchhoff), soit par l'électrochimie (méthode de Guébhard). Jéray. — Sur les systèmes d'équations aux dérivées partielles qui sont dépourvus d'intégrales, contrairement à toute prévision (648-651). On admet habituellement qu'un système d'équations différentielles possède des intégrales dans tous les cas où il est possible d'en construire les développements par la série de Taylor. Mais cette proposition souffre de nombreuses exceptions. Par exemple, si l'on cherche les fonctions u, v de x, y qui satisfont au système Ii désignant une constante réelle positive, et aux conditions initiales (2) u = y (pour x = 0), v = x (pour y = 0), On reconnaît que, si ces fonctions existent, les équations (i) et (2) différentiées de toutes manières fournissent, en y faisant x = y = 0, les valeurs correspondantes de toutes les dérivées de u, v, et permettent ainsi de développer u, v en séries de Maclaurin. Pour Il = 1, ces fonctions existent et ont les expressions développables en séries convergentes. Elles existent a fortiori pour H < 1. Mais pour
à toute prévision (648-651). On admet habituellement qu'un système d'équations différentielles possède des intégrales dans tous les cas où il est possible d'en construire les développements par la série de Taylor. Mais cette proposition souffre de nombreuses exceptions. Par exemple, si l'on cherche les fonctions u, v de x, y qui satisfont au système Ii désignant une constante réelle positive, et aux conditions initiales (2) u = y (pour x = 0), v = x (pour y = 0), On reconnaît que, si ces fonctions existent, les équations (i) et (2) différentiées de toutes manières fournissent, en y faisant x = y = 0, les valeurs correspondantes de toutes les dérivées de u, v, et permettent ainsi de développer u, v en séries de Maclaurin. Pour Il = 1, ces fonctions existent et ont les expressions développables en séries convergentes. Elles existent a fortiori pour H < 1. Mais pour H > 1, elles cessent d'exister, ce que M. Méray montre en faisant voir que leur développement conduirait à des séries entières dont le rayon de convergence ne peut surpasser zéro. Darboux. — Remarque sur la Communication précédente (651-652). Mme de Kowalevsky a déjà signalé (journal de Crelle, t. 80) un exemple analogue à celui qu'indique M. Méray. Si l'on cherche à déterminer la fonction qui satisfait à l'équation et qui se réduit à —— pour x = 0, on obtiendra la série i y divergente Quelque petits que soient x et y. M. Darboux lui-même a étudié (Cours de 1888) les solutions de l'équation qui se réduisent à i(x) pour y = y0, et à cp(y) pour x = X0; La solution existe sous certaines conditions de continuité. Bougaief. — Sur une intégrale numérique suivant les diviseurs. (652-653). Si l'on désigne par d un diviseur de n, la fonction l'(n), qui satisfait à l'égalité S l'(d) = log n, Se réduit à 0 pour toutes les valeurs de n non premières et non égales aux puissances d'un nombre premier p; pour ces dernières, au contraire, l'(p) = = l'(p3) = ... = log a. Cela posé, si l'on désigne
un exemple analogue à celui qu'indique M. Méray. Si l'on cherche à déterminer la fonction qui satisfait à l'équation et qui se réduit à —— pour x = 0, on obtiendra la série i y divergente Quelque petits que soient x et y. M. Darboux lui-même a étudié (Cours de 1888) les solutions de l'équation qui se réduisent à i(x) pour y = y0, et à cp(y) pour x = X0; La solution existe sous certaines conditions de continuité. Bougaief. — Sur une intégrale numérique suivant les diviseurs. (652-653). Si l'on désigne par d un diviseur de n, la fonction l'(n), qui satisfait à l'égalité S l'(d) = log n, Se réduit à 0 pour toutes les valeurs de n non premières et non égales aux puissances d'un nombre premier p; pour ces dernières, au contraire, l'(p) = = l'(p3) = ... = log a. Cela posé, si l'on désigne par q(n) la fonction numérique bien connue qui se réduit à zéro pour tous les nombres divisibles par un carré et à ±1 pour les autres, on a Σq (d) log(d) = l'(n). De cette identité résultent trois formules remarquables : 1° Pour tout nombre premier p, on a le signe S s'étendant à tous les nombres premiers autres que p. 2° θ [n] désignant le nombre des nombres premiers non supérieurs à n, on a S s'étendant à tous les nombres premiers a, b, c, ... ; 3° B désignant un nombre de Bernoulli, on a Pellet. — Sur les surfaces réglées applicables sur une surface de révolution. (654). Par chaque point d'une courbe C on mène une droite faisant avec la tangente la normale et la binormale des angles dont les cosinus x, β, y sont donnés. Cette droite engendre une surface réglée dont l'élément linéaire est p et r étant les rayons de courbure et de torsion de l'arc dϭ. Si la courbe C est telle que p = 0 et ~ y = const. (courbe dont les normales principales sont normales principales d'une deuxième courbe), la surface réglée aura C pour ligne de striction et ses
signe S s'étendant à tous les nombres premiers autres que p. 2° θ [n] désignant le nombre des nombres premiers non supérieurs à n, on a S s'étendant à tous les nombres premiers a, b, c, ... ; 3° B désignant un nombre de Bernoulli, on a Pellet. — Sur les surfaces réglées applicables sur une surface de révolution. (654). Par chaque point d'une courbe C on mène une droite faisant avec la tangente la normale et la binormale des angles dont les cosinus x, β, y sont donnés. Cette droite engendre une surface réglée dont l'élément linéaire est p et r étant les rayons de courbure et de torsion de l'arc dϭ. Si la courbe C est telle que p = 0 et ~ y = const. (courbe dont les normales principales sont normales principales d'une deuxième courbe), la surface réglée aura C pour ligne de striction et ses génératrices auront un paramètre de distribution constant. La recherche des lignes géodésiques peut être ramenée aux quadratures. Bertrand. — Sur la combinaison des mesures d'une même grandeur. (701-704). Jensen. — Sur un théorème général de convergence. (729-731). La série à termes positifs Σun sera convergente si, à partir d'une certaine valeur du nombre entier et positif n, an étant une fonction positive de n et μ, une constante positive. Ce critérium comprend comme cas particuliers celui de Cauchy (an = 1), celui de Duhamel (an = n), ceux de Bertrand an = n log n, n log n log log n, .... En général, on pourra toujours prendre an de façon que S− soit divergente; an suffira de faire a " = −1, restant fini et bₚ croissant constamment indéfiniment avec n. est choisi de la sorte, la série Zun sera divergente si, à partir d'une certaine valeur de n, on a Ducange. — Sur les équations algébriques à racines toutes réelles. (731-732). Si z = 0 est une équation algébrique de degré n à racines toutes réelles, réelles aussi sont les racines de l'équation de degré μ + m les km+1 étant des nombres définis par la formule récurrente
valeur du nombre entier et positif n, an étant une fonction positive de n et μ, une constante positive. Ce critérium comprend comme cas particuliers celui de Cauchy (an = 1), celui de Duhamel (an = n), ceux de Bertrand an = n log n, n log n log log n, .... En général, on pourra toujours prendre an de façon que S− soit divergente; an suffira de faire a " = −1, restant fini et bₚ croissant constamment indéfiniment avec n. est choisi de la sorte, la série Zun sera divergente si, à partir d'une certaine valeur de n, on a Ducange. — Sur les équations algébriques à racines toutes réelles. (731-732). Si z = 0 est une équation algébrique de degré n à racines toutes réelles, réelles aussi sont les racines de l'équation de degré μ + m les km+1 étant des nombres définis par la formule récurrente Fabry. — Réductibilité des équations différentielles linéaires. (732-734). Étant donnée une équation différentielle linéaire d'ordre m dont les coefficients sont des fractions rationnelles par rapport à la variable indépendante, Fabry se pose et résout ce problème : « Trouver une équation d'ordre n et de même forme dont toutes les intégrales ent rel'équation proposée, et trouver dans quel cas le problème est possible. » aye— Sur certains points de la théorie des erreurs accidentelles..(783-786). Trand Sur la valeur probable des erreurs les plus petites dans une série d'observations. (786-788). Mannheim. — Sur certains points de la théorie des conoïdes et en particulier sur le conoïde de Plücker. (820-823). Tout conoïde droit, dont la courbe directrice se projette sur le plan suivant une circonférence qui contient le pied de la directrice rectiligne, peut être engendré au moyen du déplacement continu de cette courbe directrice. Par exemple, un hélicoïde gauche à plan directeur peut être engendré au moyen du déplacement continu d'une hélice de grandeur invariable (d'une m finie d'hélices). Le conoïde de Plücker jouit d'une propriété analogue; il peut être engendré au moyen du déplacement d'une ellipse invariable de grandeur, et pour cela on peut employer une infinité d'ellipses. Par exemple,
intégrales ent rel'équation proposée, et trouver dans quel cas le problème est possible. » aye— Sur certains points de la théorie des erreurs accidentelles..(783-786). Trand Sur la valeur probable des erreurs les plus petites dans une série d'observations. (786-788). Mannheim. — Sur certains points de la théorie des conoïdes et en particulier sur le conoïde de Plücker. (820-823). Tout conoïde droit, dont la courbe directrice se projette sur le plan suivant une circonférence qui contient le pied de la directrice rectiligne, peut être engendré au moyen du déplacement continu de cette courbe directrice. Par exemple, un hélicoïde gauche à plan directeur peut être engendré au moyen du déplacement continu d'une hélice de grandeur invariable (d'une m finie d'hélices). Le conoïde de Plücker jouit d'une propriété analogue; il peut être engendré au moyen du déplacement d'une ellipse invariable de grandeur, et pour cela on peut employer une infinité d'ellipses. Par exemple, une ellipse de grandeur invariable assujettie à avoir les extrémités de son petit axe sur deux des arêtes d'un trièdre trirectangle fixe et à rencontrer la troisième arête engendre un Conoïde de Plücker. Bortniker (Mlle). — Sur la théorie des cyclides. (824-829). Étant donnés une sphère et un point, l'auteur appelle distance moyenne du point à la sphère la puissance de ce point par rapport à la sphère, divisée par le rayon. Le moment du point par rapport à la sphère est le produit de la masse de ce point par le carré de sa distance moyenne à la sphère. Cela posé, un système de points matériels de masses m, m' étant donné, quelle est l'enveloppe des sphères pour lesquelles le moment du système est constant et qui coupent orthogonalement une sphère fixe? On trouve, en considérant la valeur du moment comme un paramètre, un système de cyclides homofocales générales. On peut disposer de la sphère directrice de façon qu'on ait des cyclides plans de symétrie. Pour une valeur donnée du rayon, le centre aura alors sept positions possibles. Quand le rayon variera, le centre décrira une cubique gauche. Enfin, si l'on cherche le lieu des points d'où l'on peut