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Philosophy de MM. Tait et Thomson, et relatifs à la stabilité de l'équilibre relatif d'un système matériel rapporté à des axes mobiles. M. Poincaré donne sur un point des compléments qui lui sont utiles dans la suite et montre que les théorèmes établis dans les paragraphes précédents subsistent encore dans le cas de l'équilibre relatif. § 8. Fonctions de Lamé. — L'auteur arrive à l'objet principal de son travail. Il s'agit de déterminer la forme d'équilibre d'une masse fluide homogène dont toutes les molécules s'attirent d'après la loi de Newton et qui est animée d'un Mouvement de rotation uniforme autour de l'axe des z. Si on laisse de côté la gestion de stabilité, on peut traiter le problème comme s'il s'agissait de l'équilibre d'une masse fluide soumise seulement à l'attraction newtonienne et à la force centrifuge ordinaire. On connaît déjà plusieurs séries linéaires réelles de figures d'équilibre, ce sont les ellipsoïdes de Maclaurin et les ellipsoïdes de Jacobi. La figure de ces ellipsoïdes dépend de la vitesse angulaire de rotation w qui joue ici le même rôle que jouait le paramètre y dans les §§ 2, 3 et 4. Outre les ellipsoïdes, il existe des figures annulaires d'équilibre, dont il a été question dans le § 5. L'auteur se propose de rechercher s'il existe en outre des séries linéaires de figures convexes d'équilibre non ellipsoïdales. Pour cela, il cherche à reconnaître Parmi les ellipsoïdes de Maclaurin et ceux de Jacobi, il y a des formes de bifurcation. Pour arriver à ce résultat, il faut calculer les coefficients de stabilité de ces ellipsoïdes et rechercher dans quels cas ils s'annulent. Ces coefficients dépendant des fonctions de Lamé, on est amené à rappeler les résultats des travaux de Lamé et de Liouville au sujet de ces fonctions : c'est par là que se termine ce paragraphe. § 9. Détermination des coefficients de stabilité. — Pour que l'ellipsoïde x' y' z2 / p2 + p2 − b2 -1p2 − cl 1 Puisse être une forme de bifurcation, il faut que l'un des coefficients de stabilité annule; on trouve ainsi, par deux voies différentes,
a été question dans le § 5. L'auteur se propose de rechercher s'il existe en outre des séries linéaires de figures convexes d'équilibre non ellipsoïdales. Pour cela, il cherche à reconnaître Parmi les ellipsoïdes de Maclaurin et ceux de Jacobi, il y a des formes de bifurcation. Pour arriver à ce résultat, il faut calculer les coefficients de stabilité de ces ellipsoïdes et rechercher dans quels cas ils s'annulent. Ces coefficients dépendant des fonctions de Lamé, on est amené à rappeler les résultats des travaux de Lamé et de Liouville au sujet de ces fonctions : c'est par là que se termine ce paragraphe. § 9. Détermination des coefficients de stabilité. — Pour que l'ellipsoïde x' y' z2 / p2 + p2 − b2 -1p2 − cl 1 Puisse être une forme de bifurcation, il faut que l'un des coefficients de stabilité annule; on trouve ainsi, par deux voies différentes, la condition 1 étant Une fonction de Lamé de p et de degré n, et Si la fonction conjuguée définie par l'équation § 10. Discussion de l'équation fondamentale. — On a à rechercher si l'équation (i), où p2 est l'inconnue, admet des racines comprises entre + c2 et et l'on trouve les résultats suivants : Ri divisible par ~ pas de racine; Ri non divisible par ~ − c2, n > i; une racine; Ri non divisible par ~ c n − i; pas de racine. §§ 11 et 12. Ellipsoïdes de révolution et ellipsoïdes de Jacobi. — On établit que, parmi les ellipsoïdes de Maclaurin et de Jacobi qui sont des figures d'équilibre de la masse fluide, il y en a qui sont des figures de bifurcation. § 13. Petits mouvements d'un ellipsoïde. — On étudie successivement les petits mouvements absolus d'un ellipsoïde rapporté à des axes fixes et les petits mouvements relatifs d'un ellipsoïde fluide rapporté à un système d'axes mobiles tournant avec une vitesse uniforme w autour de l'axe des z. § 14. Stabilité des ellipsoïdes. — On reprend les considérations du § 7 et l'on en fait l'application aux ellipsoïdes. § 15. Conclusions. — L'auteur, après
trouve les résultats suivants : Ri divisible par ~ pas de racine; Ri non divisible par ~ − c2, n > i; une racine; Ri non divisible par ~ c n − i; pas de racine. §§ 11 et 12. Ellipsoïdes de révolution et ellipsoïdes de Jacobi. — On établit que, parmi les ellipsoïdes de Maclaurin et de Jacobi qui sont des figures d'équilibre de la masse fluide, il y en a qui sont des figures de bifurcation. § 13. Petits mouvements d'un ellipsoïde. — On étudie successivement les petits mouvements absolus d'un ellipsoïde rapporté à des axes fixes et les petits mouvements relatifs d'un ellipsoïde fluide rapporté à un système d'axes mobiles tournant avec une vitesse uniforme w autour de l'axe des z. § 14. Stabilité des ellipsoïdes. — On reprend les considérations du § 7 et l'on en fait l'application aux ellipsoïdes. § 15. Conclusions. — L'auteur, après avoir rappelé les principaux résultats de son important Mémoire, les résume sous une forme concrète en exposant ce qui arrive d'une masse fluide homogène animée originellement d'un mouvement de rotation et qui se contracte en se refroidissant lentement, mais de façon à rester toujours homogène; le refroidissement est supposé assez lent et le frottement intérieur du fluide assez fort pour que le mouvement de rotation reste le même dans les diverses portions du fluide. Pincherle (S.). — Note sur une intégrale définie. (381-386). Soient A (z), ϕ(z) deux séries de Laurent, la première convergente dans l'anneau circulaire (|p2|,1), la seconde convergente dans l'anneau circulaire (R, Rj . L'intégrale prise le long d'une circonférence concentrique et interne à l'anneau (R, R,) et de rayon p, représente aussi une série de Laurent. Si l'on fixe A~ tandis que ϕ(y) est une série de Laurent quelconque, on peut regarder l'expression (*) comme un algorithme appliqué à l'objet ϕ(y), et dont le résultat est de même espèce que l'objet, c'est-à-dire une série de Laurent. M. Pincherle considère en particulier le cas où l'on a La différence A f(x) = f(x) f(p2x) est une série de Laurent convergente dans l'anneau (R, et l'on trouve que
lent et le frottement intérieur du fluide assez fort pour que le mouvement de rotation reste le même dans les diverses portions du fluide. Pincherle (S.). — Note sur une intégrale définie. (381-386). Soient A (z), ϕ(z) deux séries de Laurent, la première convergente dans l'anneau circulaire (|p2|,1), la seconde convergente dans l'anneau circulaire (R, Rj . L'intégrale prise le long d'une circonférence concentrique et interne à l'anneau (R, R,) et de rayon p, représente aussi une série de Laurent. Si l'on fixe A~ tandis que ϕ(y) est une série de Laurent quelconque, on peut regarder l'expression (*) comme un algorithme appliqué à l'objet ϕ(y), et dont le résultat est de même espèce que l'objet, c'est-à-dire une série de Laurent. M. Pincherle considère en particulier le cas où l'on a La différence A f(x) = f(x) f(p2x) est une série de Laurent convergente dans l'anneau (R, et l'on trouve que Δf(x) = ϕ(x) c0. Ce résultat sert de point de départ à l'auteur. Runge (C.). — Sur la représentation des fonctions arbitraires. (387-392). Considérations simples sur la représentation d'une fonction arbitraire à l'aide de fonctions rationnelles. E. COSSERAT. Tome VIII; 1886. — Sur la partie du mouvement du périgée lunaire qui est fonction des moyens mouvements du Soleil et de la Lune. (1 -36). Mellin. — Sur la théorie de la fonction Γ. (37-81). Étude des fonctions de la forme où μ1, μ2, ..., μr; v1, v2, .. ., v, sont des nombres entiers positifs et a1, a2, .. ar; b2, b, des constantes indépendantes de z. L'auteur généralise, pour ces fonctions, les beaux théorèmes que M. Pryme a donnés pour la fonction Γ dans le tome 82 du Journal de Crelle. En outre, l'application du théorème de Mittag-Leffler le conduit à un grand nombre de transcendantes nouvelles, intimement liées à la fonction Γ et, d'un autre côté, avec les intégrales de certaines équations différentielles linéaires. La fonction F (z) vérifie évidemment la relation (2) F(s + 1)=Γ(z)F(z), où chaque fonction rationnelle Γ(z) correspond une fonction et, si l'on fait extraction d'un facteur e2kiπz, où k est un entier, une
qui est fonction des moyens mouvements du Soleil et de la Lune. (1 -36). Mellin. — Sur la théorie de la fonction Γ. (37-81). Étude des fonctions de la forme où μ1, μ2, ..., μr; v1, v2, .. ., v, sont des nombres entiers positifs et a1, a2, .. ar; b2, b, des constantes indépendantes de z. L'auteur généralise, pour ces fonctions, les beaux théorèmes que M. Pryme a donnés pour la fonction Γ dans le tome 82 du Journal de Crelle. En outre, l'application du théorème de Mittag-Leffler le conduit à un grand nombre de transcendantes nouvelles, intimement liées à la fonction Γ et, d'un autre côté, avec les intégrales de certaines équations différentielles linéaires. La fonction F (z) vérifie évidemment la relation (2) F(s + 1)=Γ(z)F(z), où chaque fonction rationnelle Γ(z) correspond une fonction et, si l'on fait extraction d'un facteur e2kiπz, où k est un entier, une seule fonction ayant la forme (Γ) satisfaisant à la relation (2 ). Toutes les autres fonctions qui satisfont à la même relation peuvent s'obtenir en multipliant cette fonction particulière par une fonction admettant une période égale à 1. Staude (O.). — Sur les intégrales hyperelliptiques de seconde et de troisième espèce. (61-92). La méthode de Riemann pour représenter les intégrales elliptiques de seconde et de troisième espèce au moyen des fonctions theta a souvent été employée, notamment par MM. Roch (Crelle, t. 65, 68), Weber (ibid., t. 82); Thomae (ibid., t. 93, 94). M. Staude emploie au contraire un procédé tout analogue à celui dont Jacobi s'est servi plus tard dans la théorie des fonctions elliptiques. (Œuvres éditées par Weierstrass, t. I, p. 526, 533). Cette application de la méthode de Jacobi aux intégrales hyperelliptiques de premier ordre permet aussi à l'auteur d'établir simplement une formule de Weierstrass, qui donne l'expression, au moyen des fonctions hyperelliptiques, de l'arc d'une ligne géodésique de l'ellipsoïde. Stern. — Sur un théorème de M. Hermite relatif à la fonction E(x). (93-95). Démonstration élémentaire de la relation Schubert. — Détermination de nombres pour les espaces linéaires à dimensions quelconques. (97-118). Ce Mémoire fait suite à
espèce. (61-92). La méthode de Riemann pour représenter les intégrales elliptiques de seconde et de troisième espèce au moyen des fonctions theta a souvent été employée, notamment par MM. Roch (Crelle, t. 65, 68), Weber (ibid., t. 82); Thomae (ibid., t. 93, 94). M. Staude emploie au contraire un procédé tout analogue à celui dont Jacobi s'est servi plus tard dans la théorie des fonctions elliptiques. (Œuvres éditées par Weierstrass, t. I, p. 526, 533). Cette application de la méthode de Jacobi aux intégrales hyperelliptiques de premier ordre permet aussi à l'auteur d'établir simplement une formule de Weierstrass, qui donne l'expression, au moyen des fonctions hyperelliptiques, de l'arc d'une ligne géodésique de l'ellipsoïde. Stern. — Sur un théorème de M. Hermite relatif à la fonction E(x). (93-95). Démonstration élémentaire de la relation Schubert. — Détermination de nombres pour les espaces linéaires à dimensions quelconques. (97-118). Ce Mémoire fait suite à celui du même auteur, inséré dans le vingt-sixième Volume des Mathematische Annalen, sous le titre : Die n-dimensionalen Verallgemeinerungen der fundamentalen Anzahlen unseres Raumes. Stenberg (A.). — Quelques propriétés des équations différentielles linéaires. (119-154). Le Mémoire de M. Stenberg se rapporte à une série d'identités qui contiennent comme cas particulier les théorèmes de Lagrange sur les équations différentielles linéaires adjointes. Holst. — Démonstration de ce théorème : Toute équation algébrique admet une racine. (155-160). Cette démonstration se tire de l'étude de la courbe telle que le produit des distances d'un de ses points à des points fixes soit constant. Nöether. — Sur les courbes algébriques réductibles. (161-192). On sait que, si l'équation F(s, z) = 0 représente une courbe algébrique irréductible d'ordre n et d'espèce p, il y a quelques théorèmes fondamentaux d'intersection concernant la relation de cette courbe avec ses adjointes. Ces théorèmes expriment géométriquement comment se comportent les fonctions algébriques relatives à F = 0, en particulier pour ce qui est de leur nombre de constantes, et avant tout du nombre p des intégrales de première espèce, dans lesquelles les formes cp figurent comme numérateurs des expressions à intégrer. Les démonstrations purement algébriques, qui se trouvent dans le
les théorèmes de Lagrange sur les équations différentielles linéaires adjointes. Holst. — Démonstration de ce théorème : Toute équation algébrique admet une racine. (155-160). Cette démonstration se tire de l'étude de la courbe telle que le produit des distances d'un de ses points à des points fixes soit constant. Nöether. — Sur les courbes algébriques réductibles. (161-192). On sait que, si l'équation F(s, z) = 0 représente une courbe algébrique irréductible d'ordre n et d'espèce p, il y a quelques théorèmes fondamentaux d'intersection concernant la relation de cette courbe avec ses adjointes. Ces théorèmes expriment géométriquement comment se comportent les fonctions algébriques relatives à F = 0, en particulier pour ce qui est de leur nombre de constantes, et avant tout du nombre p des intégrales de première espèce, dans lesquelles les formes cp figurent comme numérateurs des expressions à intégrer. Les démonstrations purement algébriques, qui se trouvent dans le Mémoire Über die algebraischen Functionen und ihre Anwendung in der Geometrie de MM. Brill et Nöther (Mathematische Annalen, t. VII), subsistent quels que soient les points singuliers de F = 0; elles supposent seulement que cette courbe est irréductible. Si l'on supprime cette condition, ces théorèmes ne sont modifiés que légèrement, ainsi que le montre M. Nöther dans la première Partie de son travail : on obtient ainsi des extensions intéressantes des propositions antérieurement connues. En outre, il étudie le système d'équations linéaires auquel on est conduit en exprimant que les formes cp sont adjointes; il montre en particulier que le nombre p de ces formes constitue un critère pour l'irréductibilité de l'équation F = 0; c'est là un important résultat sur lequel M. Valentiner avait déjà appelé l'attention. M. Nöther étudie aussi les théorèmes généraux concernant l'intersection des courbes gauches réductibles : il donne la condition nécessaire et suffisante pour que l'ensemble de deux courbes tracées sur une même surface, en ce qui concerne les relations d'intersection des courbes gauches, puisse être traité comme un cas particulier d'une courbe gauche irréductible. Dans son Mémoire Zur Theorie der Raumkurven (Acta, t. II), M. Valentiner avait déjà donné un des théorèmes
légèrement, ainsi que le montre M. Nöther dans la première Partie de son travail : on obtient ainsi des extensions intéressantes des propositions antérieurement connues. En outre, il étudie le système d'équations linéaires auquel on est conduit en exprimant que les formes cp sont adjointes; il montre en particulier que le nombre p de ces formes constitue un critère pour l'irréductibilité de l'équation F = 0; c'est là un important résultat sur lequel M. Valentiner avait déjà appelé l'attention. M. Nöther étudie aussi les théorèmes généraux concernant l'intersection des courbes gauches réductibles : il donne la condition nécessaire et suffisante pour que l'ensemble de deux courbes tracées sur une même surface, en ce qui concerne les relations d'intersection des courbes gauches, puisse être traité comme un cas particulier d'une courbe gauche irréductible. Dans son Mémoire Zur Theorie der Raumkurven (Acta, t. II), M. Valentiner avait déjà donné un des théorèmes de M. Nöther. Weber. — Des corps numériques abéliens. (193-263). On sait qu'on désigne sous le nom de corps numérique algébrique l'ensemble R(x) des expressions rationnelles à coefficients entiers en x, x étant racine d'une équation entière irréductible du degré n à coefficients entiers. Dans le Monatsberichte der Berliner Akademie du 20 juin 1853, M. Kronecker a donné la proposition capitale que voici : Les racines de toutes les équations abéliennes peuvent s'exprimer rationnellement au moyen des racines de l'unité ; en d'autres termes, tous les corps abéliens sont identiques avec les corps circulaires, c'est-à-dire formés avec les racines de l'unité. Toutefois la démonstration présente des difficultés dans le cas où le degré de l'équation est une puissance de deux. À la vérité, la décomposition de certains nombres complexes qui se présentent dans la théorie de la division du cercle en leurs facteurs premiers idéaux peut alors être utilisée [KRONECKER, Monatsberichte, 14 avril 1856, 16 avril 1877, 7 décembre 1882; KUMMER, Theorie der idealen Primfactoren. (Abhandlungen, 1856)]. Le Mémoire de M. Weber contient une exposition d'ensemble relative au théorème de M. Kronecker; il est divisé en trois Parties, dont chacune forme un tout distinct: la première se rapporte à la
du 20 juin 1853, M. Kronecker a donné la proposition capitale que voici : Les racines de toutes les équations abéliennes peuvent s'exprimer rationnellement au moyen des racines de l'unité ; en d'autres termes, tous les corps abéliens sont identiques avec les corps circulaires, c'est-à-dire formés avec les racines de l'unité. Toutefois la démonstration présente des difficultés dans le cas où le degré de l'équation est une puissance de deux. À la vérité, la décomposition de certains nombres complexes qui se présentent dans la théorie de la division du cercle en leurs facteurs premiers idéaux peut alors être utilisée [KRONECKER, Monatsberichte, 14 avril 1856, 16 avril 1877, 7 décembre 1882; KUMMER, Theorie der idealen Primfactoren. (Abhandlungen, 1856)]. Le Mémoire de M. Weber contient une exposition d'ensemble relative au théorème de M. Kronecker; il est divisé en trois Parties, dont chacune forme un tout distinct: la première se rapporte à la théorie générale des corps abéliens et des corps circulaires, et, en particulier, à leur représentation. Il y établit, en particulier, que, en généralisant les périodes de Gauss, on parvient à représenter tous les corps circulaires et chacun d'eux seulement une fois. Kronecker, dans l'une des Communications précédemment citées, avait touché ce point; mais sa démonstration ne regardait que le cas des corps circulaires réguliers. Dans la deuxième Partie, M. Weber s'occupe du cas où le degré du corps abélien est une puissance de deux, cas qui exige une étude propre particulière. Dans la troisième Partie enfin, il donne la démonstration complète du théorème de M. Kronecker. Sujet de prix de l'Académie du prince Jablonowski pour l'année 1889. (264). Appell. — Sur quelques applications de la fonction Z(x,y,z) à la Physique mathématique. (265-294). La fonction Z(x,y,z) introduite par l'auteur dans un précédent Mémoire des Acta est définie comme il suit: Soient a, b, c; a', b', c'; a", b", c" les coordonnées rectangulaires de trois points non situés dans un même plan avec l'origine; soient ensuite a_ = ma + m'a' + m" a", by = mb + m'b' + m" b", cv = mc + m'c' + m"c", où m,
ce point; mais sa démonstration ne regardait que le cas des corps circulaires réguliers. Dans la deuxième Partie, M. Weber s'occupe du cas où le degré du corps abélien est une puissance de deux, cas qui exige une étude propre particulière. Dans la troisième Partie enfin, il donne la démonstration complète du théorème de M. Kronecker. Sujet de prix de l'Académie du prince Jablonowski pour l'année 1889. (264). Appell. — Sur quelques applications de la fonction Z(x,y,z) à la Physique mathématique. (265-294). La fonction Z(x,y,z) introduite par l'auteur dans un précédent Mémoire des Acta est définie comme il suit: Soient a, b, c; a', b', c'; a", b", c" les coordonnées rectangulaires de trois points non situés dans un même plan avec l'origine; soient ensuite a_ = ma + m'a' + m" a", by = mb + m'b' + m" b", cv = mc + m'c' + m"c", où m, m', m" sont des nombres entiers quelconques positifs, nuls ou négatifs; puis, où P_1, P_2 sont les deux premiers polynômes de Legendre, et où la sommation s'étend à toutes les combinaisons (v) des entiers m, m', m", sauf la combinaison 0, 0, 0. Cette fonction vérifie l'équation AZ = 0 et joue le rôle d'élément simple pour les fonctions de variables réelles qui vérifient cette équation et reprennent les mêmes valeurs aux sommets d'un réseau de parallélépipèdes déterminés par l'origine et les trois points a, b, c; a', b', c'; a", b", c". Cette fonction, représentée, comme on voit, par une série toujours convergente, permet à l'auteur de résoudre une série de problèmes de Physique mathématique, parmi lesquels la détermination de la fonction de Green pour le parallélépipède rectangle, obtenue par Riemann, et la détermination des vitesses d'écoulement des liquides par le fond d'un vase prismatique (1). M. Appell détermine la fonction de Green pour tout polyèdre possédant la propriété suivante: si l'on prend les symétriques du polyèdre par rapport à chacune de ses faces, puis les symétriques des nouveaux polyèdres par rapport à chacune de leurs faces, et ainsi de suite indéfiniment, les polyèdres en nombre infini ainsi obtenus
et joue le rôle d'élément simple pour les fonctions de variables réelles qui vérifient cette équation et reprennent les mêmes valeurs aux sommets d'un réseau de parallélépipèdes déterminés par l'origine et les trois points a, b, c; a', b', c'; a", b", c". Cette fonction, représentée, comme on voit, par une série toujours convergente, permet à l'auteur de résoudre une série de problèmes de Physique mathématique, parmi lesquels la détermination de la fonction de Green pour le parallélépipède rectangle, obtenue par Riemann, et la détermination des vitesses d'écoulement des liquides par le fond d'un vase prismatique (1). M. Appell détermine la fonction de Green pour tout polyèdre possédant la propriété suivante: si l'on prend les symétriques du polyèdre par rapport à chacune de ses faces, puis les symétriques des nouveaux polyèdres par rapport à chacune de leurs faces, et ainsi de suite indéfiniment, les polyèdres en nombre infini ainsi obtenus ne pénètrent pas les uns dans les autres. Ces résultats s'étendent même, au moyen du principe des images (THOMSON, Journal de Liouville, t. XII), à certains volumes limités par des surfaces sphériques, sur lesquels M. Appell se réserve de revenir. Poincaré. — Sur les intégrales irrégulières des équations linéaires. (295-344). L'auteur débute par quelques considérations relatives aux séries divergentes qui, comme la série de Stirling, peuvent représenter asymptotiquement une fonction. D'une façon précise, M. Poincaré dit qu'une série divergente où la somme des n + 1 premiers termes est Sn, représente asymptotiquement Une fonction F (x), si, x croissant indéfiniment (par valeurs réelles), tend vers zéro. On peut multiplier deux séries asymptotiques par la règle ordinaire, on peut substituer une série asymptotique à la place de z dans une série convergente F (z) = B0 + B1 z + B2 z2, et ordonner ensuite suivant les puissances de z on obtient ainsi une série qui représente asymptotiquement F[J(x)]; on peut intégrer une série asymptotique. Tout ceci subsiste quand, au lieu de faire croître x par des valeurs réelles, on fait augmenter indéfiniment son module en conservant le même argument, mais il est essentiel de remarquer alors qu'une série divergente ne