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système premier de modules, la variété n-uple des grandeurs X est restreinte à une variété exactement (n-r)-uple, si r désigne le rang du système par rapport au système de modules (M, M', M", ... ). » La troisième Section expose la représentation du plus grand diviseur commun de deux fonctions entières de x pour un système premier de modules quelconques du domaine de leurs coefficients, et, dans la quatrième Section, on trouve la résolution d'un système spécial de congruences. ACTA MATHEMATICA. Tome X; 1887 (1). Hacks. — Sur les sommes des parties entières des valeurs de certaines fonctions. (I-52). Le Mémoire de M. Hacks se rapporte à des évaluations de sommes, telles que E[f(μ+ 2)] + ... + ϕ (s) E [f(s)] + ϕ (p)E [f(p)], où E désigne la partie entière de la quantité entre crochets, où ϕ(s) est une fonction quelconque de s, et f(s) une fonction croissante, ou une fonction décroissante de la variable. A ces deux cas correspondent deux divisions du Mémoire. Celui-ci contient la généralisation de beaucoup de résultats, en particulier de la célèbre identité d'où Gauss a déduit la troisième de ses démonstrations de la loi de réciprocité. Stern. — Sur la valeur de quelques séries qui dépendent de la fonction E (x). (53-56). Outre cette fonction, M. Stern introduit aussi la fonction qu'a considérée M. Hermite. Signalons, par exemple, les relations dont la dernière est due à M. Hermite: La méthode de déduction est élémentaire. (Voir Acta, t. V, p. 315; t. VIII, p. 93.) Schwering. — Sur certains nombres complexes trinômes. (57-86). L'auteur étudie les normes de nombres complexes de la forme X + a - αv+1, où a est une racine imaginaire de l'équation α2 = 0, et où v est un des nombres 1, 2, 3, ... 1 - 2. Ces recherches se rattachent à celles de M. Kronecker sur les équations abéliennes (Journal de Crelle, t. 93, p. 338, etc.). Lerch. — Un théorème de la théorie des séries. (87-88). Un cas très particulier de la proposition de M. Lerch est le suivant : La fonction f(x) = ∑x1.2.3...n
quelques séries qui dépendent de la fonction E (x). (53-56). Outre cette fonction, M. Stern introduit aussi la fonction qu'a considérée M. Hermite. Signalons, par exemple, les relations dont la dernière est due à M. Hermite: La méthode de déduction est élémentaire. (Voir Acta, t. V, p. 315; t. VIII, p. 93.) Schwering. — Sur certains nombres complexes trinômes. (57-86). L'auteur étudie les normes de nombres complexes de la forme X + a - αv+1, où a est une racine imaginaire de l'équation α2 = 0, et où v est un des nombres 1, 2, 3, ... 1 - 2. Ces recherches se rattachent à celles de M. Kronecker sur les équations abéliennes (Journal de Crelle, t. 93, p. 338, etc.). Lerch. — Un théorème de la théorie des séries. (87-88). Un cas très particulier de la proposition de M. Lerch est le suivant : La fonction f(x) = ∑x1.2.3...n n'existe qu'à l'intérieur du cercle de rayon 1; car, si l'on s'approche du cercle de convergence le long d'un rayon faisant avec l'axe des quantités réelles un angle commensurable avec π, f(x) augmente indéfiniment. Kobb (Gustaf ). — Sur le mouvement d'un point matériel sur une surface de révolution. (89-102). Un point matériel assujetti à se mouvoir sur une surface de révolution f(y'+ z2,x) = 0 est soumis à l'action de forces admettant un potentiel U = R (y2+ z2, x ); la relation donnée / = 0 étant supposée algébrique, et la fonction U rationnelle, on est ramené à des quadratures abéliennes. L'auteur de ce travail s'est proposé de rechercher des conditions nécessaires pour que ces intégrales se réduisent à des intégrales elliptiques, quelles que soient les conditions initiales du mouvement. Il arrive à cette conclusion qu'il ne peut en être ainsi que si la relation f(r', x) = 0, considérée comme une équation entre x et r2, est de genre zéro. Dans le cours de son Mémoire, M. Kobb est amené à traiter la question suivante : Étant donnée une courbe algébrique f(x, y) = 0 de genre p, quel est le genre p' de la relation entre
Un point matériel assujetti à se mouvoir sur une surface de révolution f(y'+ z2,x) = 0 est soumis à l'action de forces admettant un potentiel U = R (y2+ z2, x ); la relation donnée / = 0 étant supposée algébrique, et la fonction U rationnelle, on est ramené à des quadratures abéliennes. L'auteur de ce travail s'est proposé de rechercher des conditions nécessaires pour que ces intégrales se réduisent à des intégrales elliptiques, quelles que soient les conditions initiales du mouvement. Il arrive à cette conclusion qu'il ne peut en être ainsi que si la relation f(r', x) = 0, considérée comme une équation entre x et r2, est de genre zéro. Dans le cours de son Mémoire, M. Kobb est amené à traiter la question suivante : Étant donnée une courbe algébrique f(x, y) = 0 de genre p, quel est le genre p' de la relation entre x et z, f(x, z2) = 0? Si A désigne le nombre total des systèmes circulaires de la forme où μ est un nombre impair, on déduit aisément, de la formule générale de Riemann, la relation 2 p = 4 p + A - . L'auteur essaye ensuite de prouver qu'on ne peut avoir p' = 1 que si p = 0, A = 4. Ce théorème est inexact si la relation entre x et z se décompose. Que l'on prenne, par exemple, la relation y3 = (x2 - 1)2 = 0, qui est du premier genre; si l'on y remplace y par z2, elle se déouble en deux relations distinctes z = ± x2 - 1 = 0, qui sont également du premier genre. Les conclusions de l'auteur ne peuvent évidemment être admises que sous le bénéfice de l'observation précédente. Bohling. — Sur le rôle du principe des forces vives dans les questions de stabilité des systèmes dynamiques. (106-130). L'un des principaux cas examinés par M. Bohling est le cas d'un point attiré suivant la loi de Newton par deux points, dont l'un est fixe et l'autre décrit autour de celui-là un cercle, d'un mouvement uniforme. Tout se passe
qu'on ne peut avoir p' = 1 que si p = 0, A = 4. Ce théorème est inexact si la relation entre x et z se décompose. Que l'on prenne, par exemple, la relation y3 = (x2 - 1)2 = 0, qui est du premier genre; si l'on y remplace y par z2, elle se déouble en deux relations distinctes z = ± x2 - 1 = 0, qui sont également du premier genre. Les conclusions de l'auteur ne peuvent évidemment être admises que sous le bénéfice de l'observation précédente. Bohling. — Sur le rôle du principe des forces vives dans les questions de stabilité des systèmes dynamiques. (106-130). L'un des principaux cas examinés par M. Bohling est le cas d'un point attiré suivant la loi de Newton par deux points, dont l'un est fixe et l'autre décrit autour de celui-là un cercle, d'un mouvement uniforme. Tout se passe dans un plan. On a alors une intégrale (signalée par Jacobi) de la forme où r, p sont les distances du point attiré aux deux points attirants. Cette équation permet, dans une certaine mesure, de discuter la stabilité du mouvement du point mobile à peu près comme l'intégrale des forces vives dans le cas du mouvement d'un point attiré par un centre fixe. Enfin, l'auteur applique des considérations de la même nature à la question de l'existence de la libration en longitude pour une planète. Lipschitz. — Sur la théorie des surfaces (131 — 136). L'auteur rappelle d'abord les formules qu'il a publiées dans plusieurs Mémoires des Sitzungsberichte der Berliner Akademie (1882 et 1883) relatifs à la théorie des surfaces. Soient x, y, z les coordonnées rectangulaires d'un point d'une surface non développable, η, Ç les cosinus directeurs de la normale à la surface; P1, P2 les rayons de courbure principaux, c l'angle que fait la projection de l'axe des x sur le plan tangent avec la direction correspondant au rayon de courbure principal p1. Pour une surface donnée, P1, P2, σ sont trois fonctions des deux variables indépendantes x et y vérifiant la relation suivante. Inversement, si trois fonctions
vives dans le cas du mouvement d'un point attiré par un centre fixe. Enfin, l'auteur applique des considérations de la même nature à la question de l'existence de la libration en longitude pour une planète. Lipschitz. — Sur la théorie des surfaces (131 — 136). L'auteur rappelle d'abord les formules qu'il a publiées dans plusieurs Mémoires des Sitzungsberichte der Berliner Akademie (1882 et 1883) relatifs à la théorie des surfaces. Soient x, y, z les coordonnées rectangulaires d'un point d'une surface non développable, η, Ç les cosinus directeurs de la normale à la surface; P1, P2 les rayons de courbure principaux, c l'angle que fait la projection de l'axe des x sur le plan tangent avec la direction correspondant au rayon de courbure principal p1. Pour une surface donnée, P1, P2, σ sont trois fonctions des deux variables indépendantes x et y vérifiant la relation suivante. Inversement, si trois fonctions x, y, z vérifient cette relation, il leur correspond une surface dont on obtiendra les coordonnées par des quadratures. On peut satisfaire à l'équation de condition (1) en supposant que P1, P2 est constant et que σ est fonction de la seule variable x. On trouve ainsi qu'il faut prendre F (cos θ) = sin x – (L + M cos θ)-, L et M étant deux constantes arbitraires, La surface correspondante est représentée par les équations x = 2 P2 [( 2 P + My) cos θ – 2 Q ], y = [L y ], Si l'on suppose L = M = 0, la surface est de révolution. Lipschitz. — Démonstration d'un théorème de la théorie des substitutions. (137-144). Il s'agit, de la condition pour qu'une substitution x = a1y1 + a2y2 + ... + ainyn (i = 1, 2, ... n), répétée μ fois, engendre la substitution identique. Dobriner. — Sur les surfaces minima qui admettent un système de lignes de courbures sphériques. (145-152). L'auteur montre comment on parvient à ces surfaces en utilisant les résultats de son Mémoire antérieur (Acta, t. IX) sur les surfaces à courbure constante, ainsi que les formules de M. Weierstrass relatives
F (cos θ) = sin x – (L + M cos θ)-, L et M étant deux constantes arbitraires, La surface correspondante est représentée par les équations x = 2 P2 [( 2 P + My) cos θ – 2 Q ], y = [L y ], Si l'on suppose L = M = 0, la surface est de révolution. Lipschitz. — Démonstration d'un théorème de la théorie des substitutions. (137-144). Il s'agit, de la condition pour qu'une substitution x = a1y1 + a2y2 + ... + ainyn (i = 1, 2, ... n), répétée μ fois, engendre la substitution identique. Dobriner. — Sur les surfaces minima qui admettent un système de lignes de courbures sphériques. (145-152). L'auteur montre comment on parvient à ces surfaces en utilisant les résultats de son Mémoire antérieur (Acta, t. IX) sur les surfaces à courbure constante, ainsi que les formules de M. Weierstrass relatives aux surfaces minima. Pincherle, — Sur certaines opérations fonctionnelles représentées par des intégrales définies. (153-182). Ce travail a pour objet d'esquisser quelques points de la théorie des expressions propres à représenter des fonctions analytiques et données sous forme d'intégrales définies. L'auteur se borne aux expressions de la forme ∫A(x,y)ϕ(y)dy, où l'intégrale est prise le long d'une ligne quelconque du plan y; il considère l'expression ci-dessus comme un algorithme appliqué au sujet variable y et dont les propriétés essentielles dépendent de la fonction A (x, y). Ces propriétés sont de deux sortes, formelles et effectives, et elles sont traitées séparément dans les deux Parties du Mémoire. Dans la première Partie, M. Pincherle précise d'abord les hypothèses qu'il fait sur les fonctions A (x, y) et y; A(x,y) est une fonction analytique régulière lorsque y se déplace sur la ligne d'intégration L et que x reste compris dans un certain domaine connexe Tx du plan des x; enfin, y est une fonction analytique continue le long de L. Dans ces conditions, à toute fonction y(y) correspond une fonction f(x) régulière dans Tr représentée par l'intégrale définie f(x) = ∫A(x,y)ϕ(y)dy; la dépendance entre les deux fonctions f(x), y(y) peut être représentée par la
l'intégrale est prise le long d'une ligne quelconque du plan y; il considère l'expression ci-dessus comme un algorithme appliqué au sujet variable y et dont les propriétés essentielles dépendent de la fonction A (x, y). Ces propriétés sont de deux sortes, formelles et effectives, et elles sont traitées séparément dans les deux Parties du Mémoire. Dans la première Partie, M. Pincherle précise d'abord les hypothèses qu'il fait sur les fonctions A (x, y) et y; A(x,y) est une fonction analytique régulière lorsque y se déplace sur la ligne d'intégration L et que x reste compris dans un certain domaine connexe Tx du plan des x; enfin, y est une fonction analytique continue le long de L. Dans ces conditions, à toute fonction y(y) correspond une fonction f(x) régulière dans Tr représentée par l'intégrale définie f(x) = ∫A(x,y)ϕ(y)dy; la dépendance entre les deux fonctions f(x), y(y) peut être représentée par la notation abrégée f = A(ϕ), et l'étude de cette nature d'opérations fonctionnelles conduit l'auteur à se poser la question suivante : Existe-t-il une autre fonction B (y, t) et une ligne d'intégration λ, telles que l'on puisse conclure de la relation écrite plus haut 9 = f (y, t)f(t) dt, et, si elle existe, comment peut-on l'obtenir? Ce problème, d'une si haute généralité, est ramené par lui à la recherche d'une intégrale d'une équation linéaire aux dérivées partielles dépendant de fonctions arbitraires et devant satisfaire en outre à certaines conditions aux limites. Dans la seconde Partie de son travail, M. Pincherle étudie les propriétés de la fonction f(x) = ∫A(x,y)ϕ(y) dy, lors que le contour d'intégration se réduit à une circonférence, en particularisant convenablement les fonctions A(x,y) et ϕ(y). Staude (Otto). — Sur un système de coordonnées transcendantes. (183-200). Soient x, y, z les coordonnées rectangulaires d'un point, λ, μ, v ses coordonnées elliptiques; on passe du premier système au second par les formules suivantes. L'auteur indique trois méthodes permettant d'exprimer les radicaux qui figurent dans les formules (i) par des fonctions uniformes de trois paramètres u1, u2, u3. Dans la première, on prend pour u1, u2, u3 les sommes
et, si elle existe, comment peut-on l'obtenir? Ce problème, d'une si haute généralité, est ramené par lui à la recherche d'une intégrale d'une équation linéaire aux dérivées partielles dépendant de fonctions arbitraires et devant satisfaire en outre à certaines conditions aux limites. Dans la seconde Partie de son travail, M. Pincherle étudie les propriétés de la fonction f(x) = ∫A(x,y)ϕ(y) dy, lors que le contour d'intégration se réduit à une circonférence, en particularisant convenablement les fonctions A(x,y) et ϕ(y). Staude (Otto). — Sur un système de coordonnées transcendantes. (183-200). Soient x, y, z les coordonnées rectangulaires d'un point, λ, μ, v ses coordonnées elliptiques; on passe du premier système au second par les formules suivantes. L'auteur indique trois méthodes permettant d'exprimer les radicaux qui figurent dans les formules (i) par des fonctions uniformes de trois paramètres u1, u2, u3. Dans la première, on prend pour u1, u2, u3 les sommes de trois intégrales de seconde espèce relatives à la relation de genre 2 v2= r(ρ) = (a - p) (P - P) (γ - P) (μ0 - ρ) (λ0 ρ) ; en appliquant les résultats de Clebsch et Gordan relatifs au problème de l'inversion généralisé (Theorie der Abelschen Functionen, p. 150), M. Staude obtient des expressions de x, y, z où figurent des fonctions 0 des deux variables u1, u2, et où m3 entre linéairement. Si l'on attribue à u1 et u2 des valeurs constantes a, et a2, le point x, y, z décrit une tangente commune aux deux surfaces du second degré A = λ0, μ = μ0. On retrouve aisément les formules de Jacobi relatives au mouvement d'un point matériel libre en coordonnées elliptiques et les formules de M. Weierstrass donnant les lignes géodésiques de l'ellipsoïde. Dans le deuxième système, on prend pour u1, u2, u3 les sommes de trois intégrales de troisième espèce relatives à la courbe v2 = r(ρ) =— (a - p) (p - p) (y - p) (μ0 - p) (λ0 ρ) ( λ1 p) ; parmi les résultats qui se déduisent des formules obtenues, je citerai les formules donnant le mouvement d'un point
150), M. Staude obtient des expressions de x, y, z où figurent des fonctions 0 des deux variables u1, u2, et où m3 entre linéairement. Si l'on attribue à u1 et u2 des valeurs constantes a, et a2, le point x, y, z décrit une tangente commune aux deux surfaces du second degré A = λ0, μ = μ0. On retrouve aisément les formules de Jacobi relatives au mouvement d'un point matériel libre en coordonnées elliptiques et les formules de M. Weierstrass donnant les lignes géodésiques de l'ellipsoïde. Dans le deuxième système, on prend pour u1, u2, u3 les sommes de trois intégrales de troisième espèce relatives à la courbe v2 = r(ρ) =— (a - p) (p - p) (y - p) (μ0 - p) (λ0 ρ) ( λ1 p) ; parmi les résultats qui se déduisent des formules obtenues, je citerai les formules donnant le mouvement d'un point matériel sur un ellipsoïde, attiré par le centre proportionnellement à la distance. Dans le troisième système, u1, u2, u3 sont les sommes de trois intégrales de première espèce relatives à la courbe de genre 3 v2 = r(ρ) = (a - p) (p - p) (y - ρ) (μ0 - p) p) (λ1 p) (λ2 - ρ) ; x, y, z sont données par des quotients de deux fonctions 0 d'indices différents des trois variables u1, u2, u3 et prennent des valeurs réelles lorsque les arguments u1, u2, u3 sont eux-mêmes réels. Si l'on pose u = a, u2 = b, u3 = c + gt, les formules obtenues représentent la trajectoire d'un point matériel soumis à l'action de forces pour lesquelles il existe un potentiel U = — — g2 [ L (a+μ + v ) — ( λ2 + μ2 + v, ) — ( μν + νλ + λμ )]. Les sept quantités a, b, c, μn, λ2, qui doivent vérifier la relation μ0 + A2 + = L, peuvent être considérées comme les six constantes d'intégration. L'auteur donne en terminant les conditions que doivent remplir ces constantes pour que le mouvement soit périodique. Lecornu. — Sur
p) p) (λ1 p) (λ2 - ρ) ; x, y, z sont données par des quotients de deux fonctions 0 d'indices différents des trois variables u1, u2, u3 et prennent des valeurs réelles lorsque les arguments u1, u2, u3 sont eux-mêmes réels. Si l'on pose u = a, u2 = b, u3 = c + gt, les formules obtenues représentent la trajectoire d'un point matériel soumis à l'action de forces pour lesquelles il existe un potentiel U = — — g2 [ L (a+μ + v ) — ( λ2 + μ2 + v, ) — ( μν + νλ + λμ )]. Les sept quantités a, b, c, μn, λ2, qui doivent vérifier la relation μ0 + A2 + = L, peuvent être considérées comme les six constantes d'intégration. L'auteur donne en terminant les conditions que doivent remplir ces constantes pour que le mouvement soit périodique. Lecornu. — Sur les surfaces possédant les mêmes plans de symétrie que l'un des polyèdres réguliers. (200-280). La première Partie de ce Mémoire contient d'abord l'exposition d'une méthode synthétique pour former l'équation générale des surfaces possédant une certaine symétrie. Si L = 0, M = 0, N = 0 sont les équations de trois surfaces possédant la symétrie demandée, il est clair que toute surface représentée par une équation de la forme cp(L, M, N) =0 jouira de la même symétrie; de plus, et c'est là le point essentiel de la méthode, l'équation générale précédente sera l'équation générale des surfaces cherchées pourvu que le produit des degrés des surfaces L = 0, M = 0, N = 0 soit égal à l'ordre du groupe qui correspond à la loi de symétrie. Si donc on peut trouver trois éléments simples L, M, N satisfaisant à la condition précédente, on aura immédiatement l'équation générale demandée. Dans le cas de la symétrie polyédrique, ces éléments simples s'obtiennent sans difficulté; on a d'abord l'élément L = x2 + y2 + z2, fourni par la sphère : les deux autres s'obtiennent en prenant pour chaque polyèdre les deux systèmes de plans les plus simples possédant la symétrie de
trois surfaces possédant la symétrie demandée, il est clair que toute surface représentée par une équation de la forme cp(L, M, N) =0 jouira de la même symétrie; de plus, et c'est là le point essentiel de la méthode, l'équation générale précédente sera l'équation générale des surfaces cherchées pourvu que le produit des degrés des surfaces L = 0, M = 0, N = 0 soit égal à l'ordre du groupe qui correspond à la loi de symétrie. Si donc on peut trouver trois éléments simples L, M, N satisfaisant à la condition précédente, on aura immédiatement l'équation générale demandée. Dans le cas de la symétrie polyédrique, ces éléments simples s'obtiennent sans difficulté; on a d'abord l'élément L = x2 + y2 + z2, fourni par la sphère : les deux autres s'obtiennent en prenant pour chaque polyèdre les deux systèmes de plans les plus simples possédant la symétrie de ce polyèdre. L'auteur indique ensuite quelques propriétés générales des surfaces élémentaires ou linéaires, c'est-à-dire dont l'équation ne contient qu'un ou deux des éléments simples, y compris l'élément sphérique, et des courbes qu'il appelle sphérosymétriques, qui résultent de l'intersection des surfaces élémentaires avec les sphères centrales. Dans les trois autres Parties de son travail, M. Lecornu examine séparément les trois types de symétrie. Pour la symétrie tétraèdrique, on peut prendre comme éléments simples u = x2 + y2 + z2, v = x2y2 + y2z2 + zzx2, w = xyz, de sorte que l'équation générale des surfaces ayant les mêmes plans de symétrie que le tétraèdre régulier est de la forme (u2 + v2 + w2) = 0 ; parmi ces surfaces, il y a lieu de distinguer les surfaces binaires ϕ(x2 + y2 + z2, xyz) = 0, engendrées par des sphérosymétriques du sixième ordre, surfaces qui coupent orthogonalement tous les cônes du second ordre circonscrits aux axes ternaires. Les plus simples sont les cubiques représentées par l'équation xyz + A(x2 + y2 + z2) + B = 0, qui dépendent de deux paramètres. La disposition des 27 droites de la surface, l'intersection avec des sphères concentriques sont étudiées en
de son travail, M. Lecornu examine séparément les trois types de symétrie. Pour la symétrie tétraèdrique, on peut prendre comme éléments simples u = x2 + y2 + z2, v = x2y2 + y2z2 + zzx2, w = xyz, de sorte que l'équation générale des surfaces ayant les mêmes plans de symétrie que le tétraèdre régulier est de la forme (u2 + v2 + w2) = 0 ; parmi ces surfaces, il y a lieu de distinguer les surfaces binaires ϕ(x2 + y2 + z2, xyz) = 0, engendrées par des sphérosymétriques du sixième ordre, surfaces qui coupent orthogonalement tous les cônes du second ordre circonscrits aux axes ternaires. Les plus simples sont les cubiques représentées par l'équation xyz + A(x2 + y2 + z2) + B = 0, qui dépendent de deux paramètres. La disposition des 27 droites de la surface, l'intersection avec des sphères concentriques sont étudiées en détail; chemin faisant, on rencontre quelques surfaces remarquables déjà étudiées, telles que la surface simple xyz = const., la surface réciproque de la surface de Steiner et la surface tétraédrale symétrique qui a pour équation t2 + u3 + v3 + w3 = 0 ; à propos de cette dernière surface, l'auteur donne un procédé élégant pour déterminer les lignes asymptotiques des surfaces tétraèdrales t2 + um + v2 + wm = 0. Ces lignes sont algébriques, toutes les fois que m est commensurable. Dans le cas de la symétrie cuboctaédrique, on peut prendre pour éléments simples L = x2 + y2 + z2, M = x4 + y4 + z4, N= x2y2z2 ; les surfaces binaires ϕ(L, M) = 0 sont encore les trajectoires orthogonales des cônes ayant pour équation où a + b + c = 0. Les surfaces les plus simples admettant les neuf plans symétrie d'un cube sont par conséquent, après la sphère, les surfaces du quatrième ordre y2 + y2 z2 + z2x2 + A (x2 + y2 + z2)2 + 2 B(x3 + y2 + z2) + C = 0. Parmi les nombreuses questions que l'on peut se proposer sur ces surfaces, l'auteur étudie