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(Paul). — Démonstration que l'unité fait le second facteur du nombre des classes pour les nombres formés des onzième et treizième racines d'unité. (173-178). von Lilienthal. — Sur les surfaces minima représentables par des intégrales elliptiques. (179-194). L'auteur établit l'existence de deux faisceaux de surfaces minima qu'il avait déjà signalés dans un Mémoire inséré au t. XCIII du même Journal (Bulletin [2], IXa, p. 47). Nommons les fonctions U, V, W dont les parties réelles représentent les coordonnées des surfaces minima considérées fonctions génératrices : ces fonctions ne contiennent pour le premier faisceau que des intégrales elliptiques de troisième et de première espèce, pour l'autre faisceau que des intégrales de deuxième et de première espèce. En introduisant des restrictions convenables, on reconnaît que ces surfaces minima appartiennent à la classe de celles qui possèdent une courbe plane comme ligne géodésique ou à celles qui en possèdent une sur leurs surfaces applicables d'Ossian Bonnet. Schoenflies (A.). — Sur les surfaces de second degré qui sont engendrées par deux gerbes équiangles et réciproques de rayons. (195-204). Imaginons une gerbe S de plans et une gerbe S, de rayons réciproques, de telle sorte que deux plans a et β de S font entre eux le même angle que les rayons correspondants a, et b, de S, : alors le lieu des points de rencontre des éléments correspondants de S et S, est une surface quadrique de révolution; cependant il est remarquable qu'on ne parvienne ainsi qu'aux surfaces engendrées par la rotation d'une conique autour de l'axe mineur, c'est-à-dire à l'ellipsoïde aplati, à l'hyperboloïde à une nappe dont l'axe réel est plus grand que l'axe conjugué et à l'hyperboloïde à deux nappes dont l'axe conjugué est plus grand que l'axe réel. Reye (Th.). — Sur les complexes et congruences quadratiques de sphères, leurs cercles et leurs cyclides. (205-224). Dans son Livre : Synthetische Geometrie der Kugeln und linearen Kugelnsysteme (Leipzig, 1879, p. 89) M. Reye a exposé les idées fondamentales sur lesquelles reposent ses nouvelles recherches. Il explique le but de son travail dans ces mots : « Le complexe quadratique n de toutes
eux le même angle que les rayons correspondants a, et b, de S, : alors le lieu des points de rencontre des éléments correspondants de S et S, est une surface quadrique de révolution; cependant il est remarquable qu'on ne parvienne ainsi qu'aux surfaces engendrées par la rotation d'une conique autour de l'axe mineur, c'est-à-dire à l'ellipsoïde aplati, à l'hyperboloïde à une nappe dont l'axe réel est plus grand que l'axe conjugué et à l'hyperboloïde à deux nappes dont l'axe conjugué est plus grand que l'axe réel. Reye (Th.). — Sur les complexes et congruences quadratiques de sphères, leurs cercles et leurs cyclides. (205-224). Dans son Livre : Synthetische Geometrie der Kugeln und linearen Kugelnsysteme (Leipzig, 1879, p. 89) M. Reye a exposé les idées fondamentales sur lesquelles reposent ses nouvelles recherches. Il explique le but de son travail dans ces mots : « Le complexe quadratique n de toutes les sphères indéfiniment petites est intimement lié à la théorie de normales dans la géométrie de sphères. Car deux sphères (ou systèmes linéaires de sphères) sont normales l'une à l'autre, quand elles sont conjuguées par rapport au complexe II de sphères nulles; on buisson de sphères (Kugelngebüsche) ou complexe linéaire de sphères est donc, par rapport à n, polaire de sa sphère orthogonale, et celle-ci est le lieu des sphères nulles du buisson et normale à toutes ses sphères. » Mais c'est aussi pour les problèmes de contact de la géométrie de sphères que le complexe n de sphères nulles se montre de la dernière importance, ce qu'on reconnaît déjà par la proposition : « Deux sphères ne se touchent que lorsque le faisceau de sphères qui les joint contient deux sphères nulles coïncidentes, ou bien touche le complexe TI. » A l'aide du complexe II nous parvenons au complexe de toutes les sphères qui touchent une cyclide quelconque, aux congruences de sphères osculatrices de cette surface ou bien tangentes en deux de ses points, et enfin aux faisceaux de sphères triponctuellement osculatrices. En outre, on fera voir comment le problème des cercles et droites touchant doublement une cyclide peut
de sphères est donc, par rapport à n, polaire de sa sphère orthogonale, et celle-ci est le lieu des sphères nulles du buisson et normale à toutes ses sphères. » Mais c'est aussi pour les problèmes de contact de la géométrie de sphères que le complexe n de sphères nulles se montre de la dernière importance, ce qu'on reconnaît déjà par la proposition : « Deux sphères ne se touchent que lorsque le faisceau de sphères qui les joint contient deux sphères nulles coïncidentes, ou bien touche le complexe TI. » A l'aide du complexe II nous parvenons au complexe de toutes les sphères qui touchent une cyclide quelconque, aux congruences de sphères osculatrices de cette surface ou bien tangentes en deux de ses points, et enfin aux faisceaux de sphères triponctuellement osculatrices. En outre, on fera voir comment le problème des cercles et droites touchant doublement une cyclide peut être complètement résolu au moyen du complexe TI. Mais, avant tout, on s'attachera à étudier les faisceaux de sphères et de cercles que contiennent des complexes et des congruences quadratiques de sphères, et à en rechercher la position mutuelle et la distribution dans l'espace. § 1. Complexes, congruences et faisceaux quadratiques de sphères. § 2. Les cercles d'un complexe quadratique de sphères. § 3. Complexes quadratiques concycliques et confocaux de sphères et les cercles et cyclides qu'ils contiennent. § 4. Le complexe des sphères touchantes et la congruence des sphères de courbure d'une cyclide. Picquet (H.). — Sur trois problèmes fondamentaux relatifs aux surfaces du second degré. (225-232). Dans un article inséré au t. LXXIII du même Journal [voir Bulletin [1], III, p. 244], l'auteur s'était proposé de résoudre linéairement les trois problèmes : « Construire par points la surface du second degré déterminée par neuf points distincts; 2° Construire par points la biquadratique gauche qui passe par huit points distincts; 3° Construire le huitième point d'intersection de trois surfaces du second degré dont on connaît les sept autres points communs. » Il prouve maintenant que ses constructions sont en effet linéaires (contrairement à une Note de Borchardt), et, en
quadratiques de sphères. § 2. Les cercles d'un complexe quadratique de sphères. § 3. Complexes quadratiques concycliques et confocaux de sphères et les cercles et cyclides qu'ils contiennent. § 4. Le complexe des sphères touchantes et la congruence des sphères de courbure d'une cyclide. Picquet (H.). — Sur trois problèmes fondamentaux relatifs aux surfaces du second degré. (225-232). Dans un article inséré au t. LXXIII du même Journal [voir Bulletin [1], III, p. 244], l'auteur s'était proposé de résoudre linéairement les trois problèmes : « Construire par points la surface du second degré déterminée par neuf points distincts; 2° Construire par points la biquadratique gauche qui passe par huit points distincts; 3° Construire le huitième point d'intersection de trois surfaces du second degré dont on connaît les sept autres points communs. » Il prouve maintenant que ses constructions sont en effet linéaires (contrairement à une Note de Borchardt), et, en donnant les détails de l'achèvement, il signale quelques simplifications. Schroeter (H.). — Remarque sur la Note de M. Franke à Dessau Sur certaines lignes dans le triangle (p. 161 du même Tome). (233-235). Les propositions de M. Franke avaient été déjà publiées par M. Schroeter, dans le Mémoire : Erweiterung einiger bekannten Eigenschaften des ebenen Dreiecks (t. LVIII, p. 219 du même Journal), et elles ne sont que des cas spéciaux d'un théorème beaucoup plus général qu'on y trouve énoncé. Wiltheiss (Ed.). — Sur les équations différentielles partielles entre les dérivées des fonctions theta hyperelliptiques suivant les paramètres et les arguments. (236-257). Dans la théorie des fonctions elliptiques on a l'équation différentielle partielle d'après les notations de Jacobi, ou bien d'après les notations de M. Weierstrass. M. Wiltheiss déduit les formules analogues pour les fonctions theta hyperelliptiques dans la forme introduite par M. Weierstrass. Les équations différentielles qu'il obtient sont une autre forme des relations établies par Riemann (Œuvres, p. 131) (Voir aussi FORSYTH, Transactions of the Royal Society, t. 185, III.) Rados (Gustav). — Pour la théorie des congruences de degré supérieur. (258-260). Démonstration de deux théorèmes de M. J. König. Busche (E.). — Démonstration arithmétique de la loi
einiger bekannten Eigenschaften des ebenen Dreiecks (t. LVIII, p. 219 du même Journal), et elles ne sont que des cas spéciaux d'un théorème beaucoup plus général qu'on y trouve énoncé. Wiltheiss (Ed.). — Sur les équations différentielles partielles entre les dérivées des fonctions theta hyperelliptiques suivant les paramètres et les arguments. (236-257). Dans la théorie des fonctions elliptiques on a l'équation différentielle partielle d'après les notations de Jacobi, ou bien d'après les notations de M. Weierstrass. M. Wiltheiss déduit les formules analogues pour les fonctions theta hyperelliptiques dans la forme introduite par M. Weierstrass. Les équations différentielles qu'il obtient sont une autre forme des relations établies par Riemann (Œuvres, p. 131) (Voir aussi FORSYTH, Transactions of the Royal Society, t. 185, III.) Rados (Gustav). — Pour la théorie des congruences de degré supérieur. (258-260). Démonstration de deux théorèmes de M. J. König. Busche (E.). — Démonstration arithmétique de la loi de réciprocité pour les restes biquadratiques. (261-274). M. Kronecker a déterminé le symbole de Legendre en l'associant au signe de certains produits (voir Bulletin [a], XII5, p. 13). M. Busche s'aide de la représentation géométrique des nombres de Jacobi et applique le raisonnement de M. Kronecker au symbole de Jacobi pour développer une relation entre x et x où n et ln sont deux nombres complexes dont m impair. Des spécialisations convenables l'amènent alors aisément aux différents cas de la loi de réciprocité. L'auteur croit que sa démonstration s'approche de celle que Gauss avait en vue en ébauchant le Nachlass I, parce que Gauss n'y a pas cherché une expression calculatoire du décident. Frobenius (G.). — Sur les relations entre les vingt-huit tangentes doubles d'une courbe plane de quatrième ordre. (275-314). L'auteur fait une comparaison des résultats connus jusqu'à présent et de la portée des développements analytiques et synthétiques; en y suppléant par des considérations nouvelles et particulières, il établit un ensemble bien ordonné et facile à saisir d'un coup d'œil, et il fait voir que les recherches qu'on a entreprises en divers sens, correspondent à autant de parties de la théorie des fonctions abéliennes du genre 3. Les centres
pour développer une relation entre x et x où n et ln sont deux nombres complexes dont m impair. Des spécialisations convenables l'amènent alors aisément aux différents cas de la loi de réciprocité. L'auteur croit que sa démonstration s'approche de celle que Gauss avait en vue en ébauchant le Nachlass I, parce que Gauss n'y a pas cherché une expression calculatoire du décident. Frobenius (G.). — Sur les relations entre les vingt-huit tangentes doubles d'une courbe plane de quatrième ordre. (275-314). L'auteur fait une comparaison des résultats connus jusqu'à présent et de la portée des développements analytiques et synthétiques; en y suppléant par des considérations nouvelles et particulières, il établit un ensemble bien ordonné et facile à saisir d'un coup d'œil, et il fait voir que les recherches qu'on a entreprises en divers sens, correspondent à autant de parties de la théorie des fonctions abéliennes du genre 3. Les centres des cônes compris dans une gerbe de surfaces de second ordre passant par sept points de l'espace (et par conséquent aussi par un huitième) remplissent une courbe gauche C. de sixième ordre du genre 3. Interprétons les paramètres de la gerbe comme coordonnées d'un point dans un plan : les points correspondants aux centres des cônes parcourront une courbe générale de quatrième ordre F4, qui se trouve ainsi mise en correspondance uniforme avec les points de C. (théorie de Hesse relative à une F4 et à ses tangentes doubles). Cette relation purement analytique entre les théories de l'espace et du plan se réalise par la Géométrie pure quand on remplace la figure de l'espace par celle qui lui correspond en vertu du principe de dualité, c'est-à-dire par un tissu de surfaces de seconde classe (touchant sept plans, et par suite encore un huitième) et qu'on le coupe par un plan P quelconque (théorie de R. Sturm). Faisons coïncider le plan sécant avec l'un des huit plans fondamentaux du tissu : il naîtra tout d'un coup la figure (d'Aronhold) du tissu de courbes de troisième classe qui touchent sept droites, à savoir les traces des autres sept plans fondamentaux. Une huitième
points correspondants aux centres des cônes parcourront une courbe générale de quatrième ordre F4, qui se trouve ainsi mise en correspondance uniforme avec les points de C. (théorie de Hesse relative à une F4 et à ses tangentes doubles). Cette relation purement analytique entre les théories de l'espace et du plan se réalise par la Géométrie pure quand on remplace la figure de l'espace par celle qui lui correspond en vertu du principe de dualité, c'est-à-dire par un tissu de surfaces de seconde classe (touchant sept plans, et par suite encore un huitième) et qu'on le coupe par un plan P quelconque (théorie de R. Sturm). Faisons coïncider le plan sécant avec l'un des huit plans fondamentaux du tissu : il naîtra tout d'un coup la figure (d'Aronhold) du tissu de courbes de troisième classe qui touchent sept droites, à savoir les traces des autres sept plans fondamentaux. Une huitième droite quelconque de P déterminera un faisceau de courbes de troisième classe qui ont une neuvième tangente en commun. À toute courbe K du tissu Aronhold fait correspondre une droite T comme lieu des sommets des derniers couples de tangentes touchant les courbes K. Or M. Godt (voir CLEBSCH-LINDEMANN, Leçons de Géométrie), observant que chaque point du plan n'est le sommet que d'un seul couple de ces tangentes, a établi une correspondance uniforme entre les derniers couples de tangentes et leurs sommets, d'où il a tiré une simplification importante des recherches de M. Aronhold. M. Frobenius montre qu'une simplification analogue s'applique à la méthode de Hesse-Sturm quand on a recours au lemme : en général une surface de seconde classe est complètement déterminée, si l'on s'en donne sept plans tangents et le point de contact de l'un d'eux. Le détail des recherches exige un ample usage et une combinaison habile d'une foule de formules qu'il n'est pas possible de transcrire. § 1. Développement géométrique des relations entre les vingt-huit tangentes doubles. § 2. Sur le dernier couple de tangentes dont un point donné quelconque fait le sommet. § 3. Tout point est le sommet d'un dernier couple de tangentes. §
de Géométrie), observant que chaque point du plan n'est le sommet que d'un seul couple de ces tangentes, a établi une correspondance uniforme entre les derniers couples de tangentes et leurs sommets, d'où il a tiré une simplification importante des recherches de M. Aronhold. M. Frobenius montre qu'une simplification analogue s'applique à la méthode de Hesse-Sturm quand on a recours au lemme : en général une surface de seconde classe est complètement déterminée, si l'on s'en donne sept plans tangents et le point de contact de l'un d'eux. Le détail des recherches exige un ample usage et une combinaison habile d'une foule de formules qu'il n'est pas possible de transcrire. § 1. Développement géométrique des relations entre les vingt-huit tangentes doubles. § 2. Sur le dernier couple de tangentes dont un point donné quelconque fait le sommet. § 3. Tout point est le sommet d'un dernier couple de tangentes. § 4. Représentation analytique des vingt-huit tangentes doubles au moyen de sept d'entre elles. § 5. Le déterminant de trois tangentes doubles azygétiques. § 6. Le déterminant de trois tangentes doubles syzygétiques. § 7. Le tissu de surfaces de seconde classe. § 8. Les fonctions radicales de deuxième et troisième ordre. § 9. Détermination d'une section conique par cinq de ses tangentes. § 10. Seconde définition des fonctions radicales. Genocchi (Angelo). — Sur les nombres de Bernoulli. (31-32). Extrait d'une lettre à M. Kronecker contenant une réclamation de priorité. Voir le compte rendu sur un article de M. Lipschitz, Bulletin [2], XI2, p. 69. Sturm (n.). — Sur le huitième point d'intersection de trois surfaces de second ordre. (317-319) Extrait d'une lettre à M. Schroeter : « Votre article sur le huitième point d'intersection de trois surfaces de second ordre (p. 131) m'a engagé à revenir à mes recherches antérieures sur ce sujet et à en tirer, moi aussi, une construction du point mentionné. Sans doute il vous intéressera d'apprendre que, tout en partant de considérations différentes, je suis parvenu précisément à la même construction que vous. » Zeuthen (H.-G.). — Constructions du huitième point commun aux surfaces du second ordre,
§ 9. Détermination d'une section conique par cinq de ses tangentes. § 10. Seconde définition des fonctions radicales. Genocchi (Angelo). — Sur les nombres de Bernoulli. (31-32). Extrait d'une lettre à M. Kronecker contenant une réclamation de priorité. Voir le compte rendu sur un article de M. Lipschitz, Bulletin [2], XI2, p. 69. Sturm (n.). — Sur le huitième point d'intersection de trois surfaces de second ordre. (317-319) Extrait d'une lettre à M. Schroeter : « Votre article sur le huitième point d'intersection de trois surfaces de second ordre (p. 131) m'a engagé à revenir à mes recherches antérieures sur ce sujet et à en tirer, moi aussi, une construction du point mentionné. Sans doute il vous intéressera d'apprendre que, tout en partant de considérations différentes, je suis parvenu précisément à la même construction que vous. » Zeuthen (H.-G.). — Constructions du huitième point commun aux surfaces du second ordre, qui passent par sept points donnés. (320-323). Réimpression du résumé en français, joint à la Note de l'auteur, publié en danois dans le Bulletin de l'Académie danoise de 1880, où M. Zeuthen avait donné une déduction directe et indépendante pour cette construction. Maintenant il la fait précéder de quelques observations littéraires et y ajoute une simplification des opérations. Hermite (Ch.). — Sur les valeurs asymptotiques de quelques fonctions numériques. (324-328). Extrait d'une lettre à M. Fuchs. Pour donner une idée des questions résolues, soit f(M) = Σ (-1)2 la somme se rapportant à tous les diviseurs de M. On aura comme valeur asymptotique f(1)+f(5)+f(9)+...+f(M) = ~Mπ, relation qui se déduit de la formule empruntée à la théorie des transcendantes elliptiques ~ =Σ/(M)√qM. Le même procédé permet de tirer de l'équation la valeur asymptotique de la somme en désignant par C la constante d'Euler. On trouve encore deux autres sommes de même nature. Kronecker (L.). — Sur quelques applications des systèmes des modules à des questions algébriques élémentaires. (329-371). Dans la première Section du Mémoire intitulé : Remarques préalables sur les congruences suivant des systèmes de modules, l'auteur montre que l'introduction des systèmes de modules fait une extension naturelle de la
littéraires et y ajoute une simplification des opérations. Hermite (Ch.). — Sur les valeurs asymptotiques de quelques fonctions numériques. (324-328). Extrait d'une lettre à M. Fuchs. Pour donner une idée des questions résolues, soit f(M) = Σ (-1)2 la somme se rapportant à tous les diviseurs de M. On aura comme valeur asymptotique f(1)+f(5)+f(9)+...+f(M) = ~Mπ, relation qui se déduit de la formule empruntée à la théorie des transcendantes elliptiques ~ =Σ/(M)√qM. Le même procédé permet de tirer de l'équation la valeur asymptotique de la somme en désignant par C la constante d'Euler. On trouve encore deux autres sommes de même nature. Kronecker (L.). — Sur quelques applications des systèmes des modules à des questions algébriques élémentaires. (329-371). Dans la première Section du Mémoire intitulé : Remarques préalables sur les congruences suivant des systèmes de modules, l'auteur montre que l'introduction des systèmes de modules fait une extension naturelle de la notion gaussienne de congruence, et qu'il est non seulement utile, mais même nécessaire de procéder ainsi, en partant de la théorie des nombres, au traitement arithmétique des fonctions à coefficients entiers, de variables indéterminées. L'auteur expose la notion de systèmes de modules contenant d'autres et explique comment des systèmes de module à un nombre infini de variables peuvent être remplacés par d'autres à un nombre fini de variables. Après avoir rappelé les significations de degré et de rang (voir sa Festschrift), il définit les systèmes premiers de modules ou formes premières comme les systèmes ou formes qui ne sont pas seulement non décomposables, mais encore qui ne contiennent pas d'autres systèmes de modules ou de formes de même degré. C'est pour ces systèmes qu'on a le théorème : « Un produit ne peut être congru à zéro, à moins qu'un de ses facteurs ne le soit en même temps. Les autres Sections sont vouées à l'étude de plusieurs questions algébriques et servent à montrer quelle est l'importance de la théorie des systèmes de modules : les méthodes deviennent plus lucides, les résultats de l'investigation mathématique se mettent sous une forme plus précise et plus générale c'est ce qui résulte de
module à un nombre infini de variables peuvent être remplacés par d'autres à un nombre fini de variables. Après avoir rappelé les significations de degré et de rang (voir sa Festschrift), il définit les systèmes premiers de modules ou formes premières comme les systèmes ou formes qui ne sont pas seulement non décomposables, mais encore qui ne contiennent pas d'autres systèmes de modules ou de formes de même degré. C'est pour ces systèmes qu'on a le théorème : « Un produit ne peut être congru à zéro, à moins qu'un de ses facteurs ne le soit en même temps. Les autres Sections sont vouées à l'étude de plusieurs questions algébriques et servent à montrer quelle est l'importance de la théorie des systèmes de modules : les méthodes deviennent plus lucides, les résultats de l'investigation mathématique se mettent sous une forme plus précise et plus générale c'est ce qui résulte de ces exemples bien intéressants en eux-mêmes. La seconde Section s'occupe de congruences linéaires pour des systèmes premiers de modules. Citons le théorème, p. 343 : « Par un système de congruences où M, M', M", ... dénotent des grandeurs quelconques d'un domaine naturel de rationalité, et les dernières forment un système premier de modules, la variété n-uple des grandeurs X est restreinte à une variété exactement (n-r)-uple, si r désigne le rang du système par rapport au système de modules (M, M', M", ... ). » La troisième Section expose la représentation du plus grand diviseur commun de deux fonctions entières de x pour un système premier de modules quelconques du domaine de leurs coefficients, et, dans la quatrième Section, on trouve la résolution d'un système spécial de congruences. ACTA MATHEMATICA. Tome X; 1887 (1). Hacks. — Sur les sommes des parties entières des valeurs de certaines fonctions. (I-52). Le Mémoire de M. Hacks se rapporte à des évaluations de sommes, telles que E[f(μ+ 2)] + ... + ϕ (s) E [f(s)] + ϕ (p)E [f(p)], où E désigne la partie entière de la quantité entre crochets, où ϕ(s) est une fonction quelconque de s, et f(s) une fonction croissante,