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démontre aussi qu'il existe effectivement des classes de surfaces fuchsiennes. Baltaglini (G.). — Sur les points sextatiques d'une courbe quelconque. (238-246). La méthode suivie par l'auteur est fondée sur la théorie des réciprocants de Sylvester. Tacchini (P.). — Sur les observations des taches, facules et protubérances solaires faites à l'observatoire royal du Collège romain dans le deuxième trimestre de 1888. (275-276). Tacchini (P.). — Sur la distribution en latitude des phénomènes solaires observés à l'observatoire royal du Collège romain dans le deuxième trimestre de 1888. (276-277). Millosevich (E.). — Sur la nouvelle comète Barnard, 30 octobre. (278). Brioschi (F.). — Les équations différentielles pour les périodes des fonctions hyperelliptiques de deux variables. (341-347). Note II (429-436). Tacchini (P.). — Sur les observations des taches, facules et protubérances solaires faites à l'observatoire royal du Collège romain dans le troisième trimestre de 1888. (349-350). Volterra (V.). — Sur les fonctions analytiques polydromes. (355-361). L'auteur démontre les cinq théorèmes suivants : « I. Étant donnée une fonction analytique quelconque, prolongée d'après la méthode de Weierstrass, on pourra choisir un ensemble dénombrable de domaines de monodromie connexes entre eux, tels que tout point analytique où la fonction se comporte monodromiquement soit contenu à l'intérieur d'un de ces domaines, et que tout point régulier de divergence soit au contour de quelques-uns d'entre eux. » II. On peut choisir un ensemble dénombrable de cercles de convergence connexes entre eux, tels que tout point analytique, où la fonction se comporte régulièrement, soit à l'intérieur d'un au moins d'entre eux. » III. A chaque point du plan complexe correspond un système dénombrable de points analytiques coïncidents en ce point, ou n'en correspond aucun. » IV. En chaque partie du plan complexe, où l'on peut prolonger la fonction, existent des points tels que, en tous les points analytiques qui leur correspondent, la fonction se comporte régulièrement. » V. Les points réguliers de divergence forment un ensemble dénombrable. » Padova (E.). — Sur la théorie des coordonnées curvilignes. Note 1 (369-376), Note II (454-458). Cesaro (E.). — Mouvements rigides et déformations thermiques dans les espaces courbes. (376-384). Tonelli (A.). —
d'un de ces domaines, et que tout point régulier de divergence soit au contour de quelques-uns d'entre eux. » II. On peut choisir un ensemble dénombrable de cercles de convergence connexes entre eux, tels que tout point analytique, où la fonction se comporte régulièrement, soit à l'intérieur d'un au moins d'entre eux. » III. A chaque point du plan complexe correspond un système dénombrable de points analytiques coïncidents en ce point, ou n'en correspond aucun. » IV. En chaque partie du plan complexe, où l'on peut prolonger la fonction, existent des points tels que, en tous les points analytiques qui leur correspondent, la fonction se comporte régulièrement. » V. Les points réguliers de divergence forment un ensemble dénombrable. » Padova (E.). — Sur la théorie des coordonnées curvilignes. Note 1 (369-376), Note II (454-458). Cesaro (E.). — Mouvements rigides et déformations thermiques dans les espaces courbes. (376-384). Tonelli (A.). — Sur une certaine équation différentielle aux dérivées partielles du second ordre. (384-388). Ricco (A.). — Sur l'image déformée du Soleil réfléchi dans la mer, et sur sa dépendance de la sphéricité de la Terre. (450-454). Tonelli (A.). — Sur une certaine équation aux dérivées partielles du troisième ordre. (458-461). S. R. JOURNAL FÜR DIE REINE UND ANGEWANDTE MATHEMATIK, herausgegeben von L. KRONECKER und K. WEIERSTRASS. Tome XCIX; 1886 (J). Minkowski (Hermann). — Sur les formes quadratiques positives. (1-9). A. Le genre d'une forme / = ax^2xk se compose de toutes les formes g, qui ont le même module d'inertie que / et qui sont congrues à / suivant un module quelconque N. B. Une forme g appartient au genre d'une forme f sous la condition exclusive de posséder le même indice J et le même déterminant A que f, et encore d'être congrue à f suivant le module 2 A. Ces définitions servent de base aux recherches de M. Minkowski qui ont pour but de développer plusieurs formules simples pour la mesure d'un genre quelconque de formes quadratiques positives à n variables. Soient y(N) et D certains invariants du genre y, c une constante : alors la mesure M du
R. JOURNAL FÜR DIE REINE UND ANGEWANDTE MATHEMATIK, herausgegeben von L. KRONECKER und K. WEIERSTRASS. Tome XCIX; 1886 (J). Minkowski (Hermann). — Sur les formes quadratiques positives. (1-9). A. Le genre d'une forme / = ax^2xk se compose de toutes les formes g, qui ont le même module d'inertie que / et qui sont congrues à / suivant un module quelconque N. B. Une forme g appartient au genre d'une forme f sous la condition exclusive de posséder le même indice J et le même déterminant A que f, et encore d'être congrue à f suivant le module 2 A. Ces définitions servent de base aux recherches de M. Minkowski qui ont pour but de développer plusieurs formules simples pour la mesure d'un genre quelconque de formes quadratiques positives à n variables. Soient y(N) et D certains invariants du genre y, c une constante : alors la mesure M du genre s'exprime par le produit qu'il faut étendre à tous les nombres premiers 2, 3, 5, 7, .... En terminant, l'auteur développe encore quelques conditions nouvelles pour les formes réduites de M. Hermite dans les cas de n = 4 et n = 5. Königsberger (Léo). — Sur les propriétés des intégrales représentables par des quadratures de fonctions algébriques et appartenant à des équations linéaires non homogènes. (87). L'auteur se propose d'étudier la forme des intégrales d'équations différentielles linéaires non homogènes qui se prêtent à être représentées comme fonctions algébriques de logarithmes et d'intégrales abéliennes, les logarithmes et les limites d'intégration étant des fonctions algébriques de la variable indépendante. Le Mémoire est donc destiné à développer plus amplement la théorie générale des théorèmes établis, pour quelques cas spéciaux et sous certaines restrictions, dans le Livre de M. Königsberger intitulé : Allgemeine Untersuchungen aus der Theorie der Differentialgleichungen (voir Bulletin [2], VII, p. 5-14), et qui y figurent comme généralisations des propositions connues d'Abel. Les résultats de la première Partie du travail se résument par le théorème, p. 62 et 63 : Si une équation différentielle linéaire et non homogène (où Y1, Y2, ..., Ym, sont des fonctions algébriques de x)
des intégrales représentables par des quadratures de fonctions algébriques et appartenant à des équations linéaires non homogènes. (87). L'auteur se propose d'étudier la forme des intégrales d'équations différentielles linéaires non homogènes qui se prêtent à être représentées comme fonctions algébriques de logarithmes et d'intégrales abéliennes, les logarithmes et les limites d'intégration étant des fonctions algébriques de la variable indépendante. Le Mémoire est donc destiné à développer plus amplement la théorie générale des théorèmes établis, pour quelques cas spéciaux et sous certaines restrictions, dans le Livre de M. Königsberger intitulé : Allgemeine Untersuchungen aus der Theorie der Differentialgleichungen (voir Bulletin [2], VII, p. 5-14), et qui y figurent comme généralisations des propositions connues d'Abel. Les résultats de la première Partie du travail se résument par le théorème, p. 62 et 63 : Si une équation différentielle linéaire et non homogène (où Y1, Y2, ..., Ym, sont des fonctions algébriques de x) possède une intégrale composée algébriquement de x et de logarithmes de fonctions algébriques de x, cette intégrale pourra se mettre sous la forme S = u1 log v1 + u2 log v2 + ... + uq log vp, à moins que l'équation différentielle réduite ne possède une intégrale composée algébriquement de x et des logarithmes de branches des logarithmes algébriques. Les fonctions a1, a2, ..., sont des intégrales particulières algébriques de l'équation différentielle réduite; de plus, elles satisfont à des équations algébriques irréductibles (les coefficients de l'équation différentielle étant adjoints de telle sorte qu'il existe, autour de chacun de leurs points de ramification, entre p + 1 éléments d'un cycle, une relation homogène et linéaire où c1, c2, c3, sont des nombres entiers. Les quantités v1, v2, ... peuvent être exprimées comme fonctions rationnelles de u1, u2, ... et des coefficients de l'équation différentielle. Dans la seconde Partie du Mémoire on trouve des propositions analogues concernant la relation la plus générale entre des intégrales abéliennes. Thomé (L.-W.). — Remarque sur le Mémoire de M. Grünfeld contenue dans le Tome XCVIII de ce Journal : Pour la théorie des équations différentielles linéaires. (88). Runge (C.). — Sur la décomposition en facteurs
de x et des logarithmes de branches des logarithmes algébriques. Les fonctions a1, a2, ..., sont des intégrales particulières algébriques de l'équation différentielle réduite; de plus, elles satisfont à des équations algébriques irréductibles (les coefficients de l'équation différentielle étant adjoints de telle sorte qu'il existe, autour de chacun de leurs points de ramification, entre p + 1 éléments d'un cycle, une relation homogène et linéaire où c1, c2, c3, sont des nombres entiers. Les quantités v1, v2, ... peuvent être exprimées comme fonctions rationnelles de u1, u2, ... et des coefficients de l'équation différentielle. Dans la seconde Partie du Mémoire on trouve des propositions analogues concernant la relation la plus générale entre des intégrales abéliennes. Thomé (L.-W.). — Remarque sur le Mémoire de M. Grünfeld contenue dans le Tome XCVIII de ce Journal : Pour la théorie des équations différentielles linéaires. (88). Runge (C.). — Sur la décomposition en facteurs irréductibles, des fonctions entières à coefficients entiers. (89-97). Dans le § 4 de sa Festschrift (voir Bulletin [2], VIII, p. 145) M. Kronecker a signalé une méthode dont on peut se servir pour décider sur l'irréductibilité d'une fonction entière d'une variable, à coefficients entiers. Cette méthode, qui se complique par le nombre énorme des systèmes de valeurs à considérer, subit déjà des simplifications quand on profite de plusieurs observations de M. Kronecker, communiquées à ses élèves dans son Cours d'Algèbre. En y ajoutant encore quelques corollaires, M. Runge réussit à la perfectionner à un tel point que ce procédé puisse être mis très avantageusement en usage. Schoute (P.-H.). — Remarque sur le Mémoire de M. O. Hermès : Sur une certaine courbe du troisième degré. (98-109). Nous avons rendu compte du Mémoire de M. Hermes dans le Bulletin [2], XII2, p. 123. L'énoncé du problème se trouve déjà dans un Mémoire de Steiner de 1852 (Journal de Crelle, 45, p. 375, et Œuvres de Steiner, t. II, p. 487). « Soient AB et CD deux segments droits d'un même plan, donnés dans une position fixe quelconque; le lieu du point d'où AB et CD se présentent sous le même angle
le nombre énorme des systèmes de valeurs à considérer, subit déjà des simplifications quand on profite de plusieurs observations de M. Kronecker, communiquées à ses élèves dans son Cours d'Algèbre. En y ajoutant encore quelques corollaires, M. Runge réussit à la perfectionner à un tel point que ce procédé puisse être mis très avantageusement en usage. Schoute (P.-H.). — Remarque sur le Mémoire de M. O. Hermès : Sur une certaine courbe du troisième degré. (98-109). Nous avons rendu compte du Mémoire de M. Hermes dans le Bulletin [2], XII2, p. 123. L'énoncé du problème se trouve déjà dans un Mémoire de Steiner de 1852 (Journal de Crelle, 45, p. 375, et Œuvres de Steiner, t. II, p. 487). « Soient AB et CD deux segments droits d'un même plan, donnés dans une position fixe quelconque; le lieu du point d'où AB et CD se présentent sous le même angle visuel (ou bien sous des angles supplémentaires) se compose de deux courbes du troisième degré. Ces deux courbes passent par les quatre extrémités des deux segments et par le point de rencontre des deux droites; de plus, elles ont en commun les deux points d'où les deux segments se voient sous un angle droit. Les deux autres points communs aux deux courbes sont imaginaires et appartiennent à la droite à l'infini. La proposition comprend beaucoup de cas spéciaux dont quelques-uns sont très intéressants et qui se présentent quand on fait des suppositions spéciales sur la position et la grandeur des segments. » Le problème général, qui se trouve être en liaison intime avec la théorie des courbes du troisième ordre, a été l'objet de plusieurs travaux synthétiques, entre autres de M. Küpper et de M. Schoute. L'auteur cite en particulier : C. PELZ, Ueber das Problem der Glanzpunkte (Comptes rendus de l'Ac. de Vienne, LXIV, p. 730; 1864). H. SCHROETER, Ueber eine besondere Kurve dritter Ordnung und eine einfache Erzeugungsart der allgemeinen Kurve dritter Ordnung [Math. Ann., V, p. 50, voir Bulletin [2], VIII, p. 79]. Hesse (Gusto). — Sur les substitutions linéaires et homogènes par lesquelles la somme des
sous un angle droit. Les deux autres points communs aux deux courbes sont imaginaires et appartiennent à la droite à l'infini. La proposition comprend beaucoup de cas spéciaux dont quelques-uns sont très intéressants et qui se présentent quand on fait des suppositions spéciales sur la position et la grandeur des segments. » Le problème général, qui se trouve être en liaison intime avec la théorie des courbes du troisième ordre, a été l'objet de plusieurs travaux synthétiques, entre autres de M. Küpper et de M. Schoute. L'auteur cite en particulier : C. PELZ, Ueber das Problem der Glanzpunkte (Comptes rendus de l'Ac. de Vienne, LXIV, p. 730; 1864). H. SCHROETER, Ueber eine besondere Kurve dritter Ordnung und eine einfache Erzeugungsart der allgemeinen Kurve dritter Ordnung [Math. Ann., V, p. 50, voir Bulletin [2], VIII, p. 79]. Hesse (Gusto). — Sur les substitutions linéaires et homogènes par lesquelles la somme des carrés de quatre variables se transforme en somme des carrés des quatre variables substituées. (110-127). (Communiqué par M. F. Caspary comme travail posthume de Hesse.) On a étudié, à différentes reprises, les propriétés des substitutions linéaires et homogènes par lesquelles la somme des carrés de n variables se transforme en somme des carrés des n variables substituées. Dans les cas de n = 2 et n = 3 où ces substitutions servent à effectuer les transformations des coordonnées dans le plan et dans l'espace, il s'agit non seulement d'étudier les propriétés générales des substitutions linéaires et homogènes, mais encore et en premier lieu d'approfondir celles qui sont propres à chaque cas individuel. Une discussion semblable pour n = 4, qui n'a pas été achevée jusqu'à présent, conduit à la résolution du problème fondamental de la théorie des surfaces de second ordre: « Trouver le huitième point d'intersection de trois surfaces du second ordre quand on s'en donne sept. » Le théorème qui résume les recherches de Hesse s'énonce comme suit : « Considérons six points quelconques d'entre les huit points d'intersection de trois surfaces de second ordre comme les sommets d'un hexagone gauche U ; menons par le septième point
somme des carrés des n variables substituées. Dans les cas de n = 2 et n = 3 où ces substitutions servent à effectuer les transformations des coordonnées dans le plan et dans l'espace, il s'agit non seulement d'étudier les propriétés générales des substitutions linéaires et homogènes, mais encore et en premier lieu d'approfondir celles qui sont propres à chaque cas individuel. Une discussion semblable pour n = 4, qui n'a pas été achevée jusqu'à présent, conduit à la résolution du problème fondamental de la théorie des surfaces de second ordre: « Trouver le huitième point d'intersection de trois surfaces du second ordre quand on s'en donne sept. » Le théorème qui résume les recherches de Hesse s'énonce comme suit : « Considérons six points quelconques d'entre les huit points d'intersection de trois surfaces de second ordre comme les sommets d'un hexagone gauche U ; menons par le septième point d'intersection des trois surfaces les trois droites qui rencontrent chacun des trois couples de côtés opposés de l'hexagone; prenons les six points de rencontre, dans le même ordre que les côtés de l'hexagone U, comme les sommets d'un hexagone gauche V, inscrit à l'hexagone U; construissons tout de même un autre hexagone V, à l'aide du huitième point d'intersection : alors les deux hexagones V1 et Vi seront situés sur un même hyperboloïde H. » Caspary (F.). — Pour la construction du huitième point d'intersection de trois surfaces du second ordre. (128-130). Tandis que Hesse s'était contenté d'indiquer le chemin qu'il fallait prendre pour résoudre le problème en question, M. Caspary achève la construction et trouve le point cherché comme intersection de trois plans. Schroeter (H.). — Construction du huitième point d'intersection de trois surfaces de second ordre dont on se donne sept points quelconques et indépendants l'un de l'autre. (141-140). M. Schroeter revient à la première solution de Hesse, insérée au t. 20 du Journal de Crelle, pour la simplifier, de telle sorte qu'il est aisé d'achever la construction. Ce procédé a l'avantage d'opérer presque exclusivement dans un même plan. Dans des notes, MM. Caspary et Schroeter donnent la
autre hexagone V, à l'aide du huitième point d'intersection : alors les deux hexagones V1 et Vi seront situés sur un même hyperboloïde H. » Caspary (F.). — Pour la construction du huitième point d'intersection de trois surfaces du second ordre. (128-130). Tandis que Hesse s'était contenté d'indiquer le chemin qu'il fallait prendre pour résoudre le problème en question, M. Caspary achève la construction et trouve le point cherché comme intersection de trois plans. Schroeter (H.). — Construction du huitième point d'intersection de trois surfaces de second ordre dont on se donne sept points quelconques et indépendants l'un de l'autre. (141-140). M. Schroeter revient à la première solution de Hesse, insérée au t. 20 du Journal de Crelle, pour la simplifier, de telle sorte qu'il est aisé d'achever la construction. Ce procédé a l'avantage d'opérer presque exclusivement dans un même plan. Dans des notes, MM. Caspary et Schroeter donnent la bibliographie de ce problème, où l'on rencontre les noms de Lamé, Hesse, von Staudt, H. Müller, R. Sturm, P. Serret, Picquet, Reye, Zeuthen, Schroter. Perott (G.). — Démonstration du théorème fondamental de l'Algèbre. (141-146) « Telle est la fécondité des idées disséminées dans la mémorable Thèse du grand géomètre (Gauss), qu'en les recueillant avec soin, on parvient facilement à reconstituer une autre démonstration du théorème fondamental, différente de la première de Gauss. » La démonstration de l'auteur repose sur l'hypothèse de continuité géométrique et de l'existence d'un maximum d'une fonction algébrique. Gundeljinger (S.). — Pour la théorie des substitutions orthogonales. (147-153). Si deux fonctions quelconques entières et homogènes ϕ(ξ0, ..., ξn) et ψ(ξ0, ..., ξn) se transforment par une substitution ξk = ~ + +...+ ~ en φ(x0, x1, ..., xn) et T (x0, x1, ..., xn), on aura en même temps pour des sommations triples, quadruples, etc. Application à la théorie des coordonnées curvilignes. Stehl (Wilhelm). — Sur un certain genre de courbes gauches. (154-160). Ces courbes gauches ont la propriété d'être placées sur une première surface du second ordre et de posséder des plans osculateurs qui touchent une autre surface de seconde classe. Elles donnent lieu à une
qu'en les recueillant avec soin, on parvient facilement à reconstituer une autre démonstration du théorème fondamental, différente de la première de Gauss. » La démonstration de l'auteur repose sur l'hypothèse de continuité géométrique et de l'existence d'un maximum d'une fonction algébrique. Gundeljinger (S.). — Pour la théorie des substitutions orthogonales. (147-153). Si deux fonctions quelconques entières et homogènes ϕ(ξ0, ..., ξn) et ψ(ξ0, ..., ξn) se transforment par une substitution ξk = ~ + +...+ ~ en φ(x0, x1, ..., xn) et T (x0, x1, ..., xn), on aura en même temps pour des sommations triples, quadruples, etc. Application à la théorie des coordonnées curvilignes. Stehl (Wilhelm). — Sur un certain genre de courbes gauches. (154-160). Ces courbes gauches ont la propriété d'être placées sur une première surface du second ordre et de posséder des plans osculateurs qui touchent une autre surface de seconde classe. Elles donnent lieu à une suite de courbes qui sont alternativement collinéaires, c'est-à-dire que la première, troisième, cinquième, etc., sont collinéaires entre elles, de même que la deuxième, quatrième, sixième, etc. La courbe gauche du quatrième ordre et de seconde espèce en donne un bel exemple. Franke. -— Sur certaines lignes dans le triangle. (161-164). Hurwitz (Adolf). — Sur le nombre des classes de formes quadratiques à déterminant négatif. (165-168). Extrait d'une lettre adressée à M. Kronecker. L'auteur a obtenu plusieurs relations nouvelles en combinant deux formules empruntées à la théorie des fonctions thêta avec les relations plus anciennes découvertes par M. Kronecker. Segre (Corrado). — Sur une expression nouvelle du moment mutuel de deux complexes linéaires. (169-172). En représentant par k et k' les paramètres principaux de deux complexes linéaires c et c', par x et x' leurs axes et par A et cp la distance et l'angle de ces axes, M. Klein a nommé moment mutuel de c et c' l'expression (k + k') cosϕ — Δsinϕ. On peut donner à ce moment une forme plus simple en introduisant la conséquence de l'angle de c, c' dans le sens de M. Cayley, en prenant pour absolu de l'espace de complexes linéaires la variété
Hurwitz (Adolf). — Sur le nombre des classes de formes quadratiques à déterminant négatif. (165-168). Extrait d'une lettre adressée à M. Kronecker. L'auteur a obtenu plusieurs relations nouvelles en combinant deux formules empruntées à la théorie des fonctions thêta avec les relations plus anciennes découvertes par M. Kronecker. Segre (Corrado). — Sur une expression nouvelle du moment mutuel de deux complexes linéaires. (169-172). En représentant par k et k' les paramètres principaux de deux complexes linéaires c et c', par x et x' leurs axes et par A et cp la distance et l'angle de ces axes, M. Klein a nommé moment mutuel de c et c' l'expression (k + k') cosϕ — Δsinϕ. On peut donner à ce moment une forme plus simple en introduisant la conséquence de l'angle de c, c' dans le sens de M. Cayley, en prenant pour absolu de l'espace de complexes linéaires la variété quadratique des complexes spéciaux; car il existe alors la relation 2 √kk' cos (cc') = (k - ik') cosϕ — A sinϕ. M. Segre a démontré cette formule dans un Mémoire publié dans le t. XIX des Atti di Torino; il expose maintenant une nouvelle démonstration synthétique fort simple. Wolfskehl (Paul). — Démonstration que l'unité fait le second facteur du nombre des classes pour les nombres formés des onzième et treizième racines d'unité. (173-178). von Lilienthal. — Sur les surfaces minima représentables par des intégrales elliptiques. (179-194). L'auteur établit l'existence de deux faisceaux de surfaces minima qu'il avait déjà signalés dans un Mémoire inséré au t. XCIII du même Journal (Bulletin [2], IXa, p. 47). Nommons les fonctions U, V, W dont les parties réelles représentent les coordonnées des surfaces minima considérées fonctions génératrices : ces fonctions ne contiennent pour le premier faisceau que des intégrales elliptiques de troisième et de première espèce, pour l'autre faisceau que des intégrales de deuxième et de première espèce. En introduisant des restrictions convenables, on reconnaît que ces surfaces minima appartiennent à la classe de celles qui possèdent une courbe plane comme ligne géodésique ou à celles qui en possèdent une sur leurs surfaces