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(E.). — Note sur le calcul des ponts métalliques. (137-172, 1 fig., 2 pl.). L'auteur a publié, en 1864, dans les Annales, une formule qui fait connaître le poids propre d'une poutre droite de hauteur uniforme, soumise à une surcharge donnée, également répartie. Depuis cette époque, les idées sur la résistance des matériaux se sont modifiées, et l'on admet généralement aujourd'hui que les résistances-limites, au lieu de rester fixes comme on les supposait autrefois, doivent varier suivant les efforts auxquels le métal est appelé à résister. Il est donc nécessaire de tenir compte de ces variations, et pour cela il parait avantageux d'adopter la formule proposée par M. Séjourné pour représenter les lois que Voigt a reconnues dans cette nouvelle théorie. Durand-Claye (L.). — Mémoire sur les procédés d'essai de la résistance des pierres, ciments et autres matériaux de construction. (173-211, 20 fig., 1 pl.). Trois procédés sont en usage pour réaliser ces essais : 1° la compression, ou l'écrasement; 2° la traction, ou l'arrachement; 3° la flexion. Ces trois modes d'essai fournissent des coefficients de résistance qui ne sont pas du tout les mêmes et, pour le même mode d'essai, les résultats varient suivant la forme des éprouvettes. La présente Note a pour objet d'indiquer la manière dont les forces agissent dans chaque cas, et les conclusions que l'on doit tirer des nombres constatés dans les expériences. Vicat a publié sur la même question, dans les Annales de 1833, un remarquable travail, qui peut encore être consulté avec fruit. Les progrès de la théorie sur la résistance des matériaux et les perfectionnements apportés aux appareils d'essai ont permis à l'auteur d'aborder ce même sujet, en y jetant peut-être quelque jour nouveau. Ocagne (M.). — Sur le tracé de l'intrados des voûtes elliptiques. (262-263, 1 fig.). Construction pratique, par des lignes droites seulement, des divers points d'une ellipse inscrite dans un rectangle donné. Bonhomme (P.f.). — Étude sur les câbles porteurs aériens employés aux usages agricoles. (364-387, 4 fig., 2 pl.). L'auteur a entrepris, pour les câbles qui fonctionnent sur plusieurs points de l'arrondissement de Barcelone, une description analogue à
présente Note a pour objet d'indiquer la manière dont les forces agissent dans chaque cas, et les conclusions que l'on doit tirer des nombres constatés dans les expériences. Vicat a publié sur la même question, dans les Annales de 1833, un remarquable travail, qui peut encore être consulté avec fruit. Les progrès de la théorie sur la résistance des matériaux et les perfectionnements apportés aux appareils d'essai ont permis à l'auteur d'aborder ce même sujet, en y jetant peut-être quelque jour nouveau. Ocagne (M.). — Sur le tracé de l'intrados des voûtes elliptiques. (262-263, 1 fig.). Construction pratique, par des lignes droites seulement, des divers points d'une ellipse inscrite dans un rectangle donné. Bonhomme (P.f.). — Étude sur les câbles porteurs aériens employés aux usages agricoles. (364-387, 4 fig., 2 pl.). L'auteur a entrepris, pour les câbles qui fonctionnent sur plusieurs points de l'arrondissement de Barcelone, une description analogue à celle que M. Gros a fait paraître dans le même Recueil (2e semestre 1887) pour les câbles transporteurs employés aux usages industriels. Collignon (E.). — Note sur la détermination d'une parabole qui englobe un certain nombre de points donnés. (388-392, 3 fig.). Ce problème se présente lorsqu'on évalue la charge continue équivalente, au point de vue des plus grands moments flexissants réalisés dans une poutre droite, à un ou plusieurs systèmes de forces discontinues données. Il consiste à faire passer par les points A et B, appuis de la poutre, la parabole de moindre montée qui laisse au-dessous d'elle des points donnés m1, m2, ..., mN situés au-dessus de la droite AB, et entre les perpendiculaires indéfinies Ae, Bb, élevées à ses extrémités; ces points forment les sommets d'un polygone convexe A1m1...mNB. L'axe de la parabole est d'ailleurs vertical. Bazin (H.). — Expériences nouvelles sur l'écoulement en déversoir. (393-448, 3 pl., 27 tabl.). La théorie des déversoirs est certainement la partie la moins avancée de toute l'Hydraulique; les coefficients dont on fait usage dans la pratique varient entre des limites très étendues, sans qu'on puisse le plus souvent faire un choix raisonné entre les nombreuses valeurs numériques qui leur ont
continue équivalente, au point de vue des plus grands moments flexissants réalisés dans une poutre droite, à un ou plusieurs systèmes de forces discontinues données. Il consiste à faire passer par les points A et B, appuis de la poutre, la parabole de moindre montée qui laisse au-dessous d'elle des points donnés m1, m2, ..., mN situés au-dessus de la droite AB, et entre les perpendiculaires indéfinies Ae, Bb, élevées à ses extrémités; ces points forment les sommets d'un polygone convexe A1m1...mNB. L'axe de la parabole est d'ailleurs vertical. Bazin (H.). — Expériences nouvelles sur l'écoulement en déversoir. (393-448, 3 pl., 27 tabl.). La théorie des déversoirs est certainement la partie la moins avancée de toute l'Hydraulique; les coefficients dont on fait usage dans la pratique varient entre des limites très étendues, sans qu'on puisse le plus souvent faire un choix raisonné entre les nombreuses valeurs numériques qui leur ont été assignées. Les expériences que l'on possède ont presque toujours été exécutées sur une très petite échelle et dans des conditions peu comparables. Les influences perturbatrices s'y trouvent mélangées et combinées de telle sorte que la discussion de ces éléments disparates est extrêmement difficile. L'auteur a entrepris, en 1886, avec l'appui du Ministère des Travaux publics, un travail de coordination de nouvelles expériences faites avec plusieurs déversoirs successifs, établis sur un même canal de largeur constante. Ce premier Mémoire résume seulement l'étude du déversoir type sans contraction latérale, auquel seront rapportés tous les autres. Heude (H.). — Note sur le tracé des joints dans les voûtes elliptiques. (498-500, 2 fig.). Comme suite à des Notes publiées par M. d'Ocagne (Annales, 1er 1886 et 2e 1888). Le procédé en question repose sur cette propriété géométrique : L'abscisse du pied N, de la normale MN en un point M est une fraction constante de l'abscisse du point M de l'ellipse : ce rapport est D'Ocagne (M.). — Remarque au sujet de la Note de M. Heude sur le tracé des joints dans les voûtes elliptiques. (782-783). L'auteur fait observer que son procédé est une transformation de celui de M. Heude, et qu'il
l'appui du Ministère des Travaux publics, un travail de coordination de nouvelles expériences faites avec plusieurs déversoirs successifs, établis sur un même canal de largeur constante. Ce premier Mémoire résume seulement l'étude du déversoir type sans contraction latérale, auquel seront rapportés tous les autres. Heude (H.). — Note sur le tracé des joints dans les voûtes elliptiques. (498-500, 2 fig.). Comme suite à des Notes publiées par M. d'Ocagne (Annales, 1er 1886 et 2e 1888). Le procédé en question repose sur cette propriété géométrique : L'abscisse du pied N, de la normale MN en un point M est une fraction constante de l'abscisse du point M de l'ellipse : ce rapport est D'Ocagne (M.). — Remarque au sujet de la Note de M. Heude sur le tracé des joints dans les voûtes elliptiques. (782-783). L'auteur fait observer que son procédé est une transformation de celui de M. Heude, et qu'il parait assez difficile de décider d'une façon générale que l'une des manières de procéder est plus simple que l'autre. Toutes dérivent de propriétés tout à fait classiques de l'ellipse. H. B. JOURNAL FÜR DIE REINE UND ANGEWANDTE MATHEMATIK, herausgegeben von L. KRONECKER und K. WEIERSTRASS. Tome XCVIII; 1885 (i). Killing (W.). — La Mécanique dans les formes non euclidiennes de l'espace. (i-48). On sait que les équations du mouvement qui ont lieu dans l'espace euclidien à trois dimensions permettent d'être étendues à un nombre quelconque de dimensions. Cela étant, l'auteur se propose de déduire des principes de Mécanique celles d'entre les équations du mouvement qui résultent quand on fait abstraction aussi bien du nombre trois des dimensions que de l'axiome des parallèles. Le résultat qu'on obtient admet d'être mis sous cette forme : Déterminons, dans une forme euclidienne de l'espace à n+1 dimensions, les équations du mouvement pour des points qui appartiennent, dès le commencement du mouvement, à une figure sphérique de n dimensions et qui sont astreints à y rester pendant le mouvement : les équations ainsi obtenues auront lieu pour une forme non euclidienne de l'espace à n dimensions. Pour un espace fini, le rayon et toutes les
(W.). — La Mécanique dans les formes non euclidiennes de l'espace. (i-48). On sait que les équations du mouvement qui ont lieu dans l'espace euclidien à trois dimensions permettent d'être étendues à un nombre quelconque de dimensions. Cela étant, l'auteur se propose de déduire des principes de Mécanique celles d'entre les équations du mouvement qui résultent quand on fait abstraction aussi bien du nombre trois des dimensions que de l'axiome des parallèles. Le résultat qu'on obtient admet d'être mis sous cette forme : Déterminons, dans une forme euclidienne de l'espace à n+1 dimensions, les équations du mouvement pour des points qui appartiennent, dès le commencement du mouvement, à une figure sphérique de n dimensions et qui sont astreints à y rester pendant le mouvement : les équations ainsi obtenues auront lieu pour une forme non euclidienne de l'espace à n dimensions. Pour un espace fini, le rayon et toutes les coordonnées doivent être réels; pour la forme de l'espace, selon Lobatschewsky, le rayon et l'une des coordonnées doivent être imaginaires, les autres coordonnées réelles. Le Mémoire comprend sept paragraphes. Le premier sert à discuter le mouvement d'un point libre dans un espace non euclidien à trois dimensions. Les notions de masse, densité, vitesse et force ne dépendent pas de la longueur infinie d'une droite ni, pour des droites infinies, de l'axiome des parallèles; elles ne subissent donc aucune modification dans les formes non euclidiennes de l'espace. Tout de même, celle d'inertie reste inaltérée et l'unité de force peut se réduire, d'après les méthodes connues, aux unités de temps et de masse; aussi la mesure de la force ne présente-t-elle pas de difficultés. Enfin, le principe du parallélogramme des mouvements et des forces subsiste pour un domaine indéfiniment petit. Après avoir développé, pour les coordonnées de M. Weierstrass, les équations différentielles du mouvement d'un point libre, l'auteur les applique au mouvement planétaire appartenant à la loi newtonienne dûment modifiée pour cet espace. La loi de Kepler sur la forme de l'orbite n'a pas besoin d'être modifiée; la deuxième subsiste sous cette forme : Prolongeons le rayon vecteur au-delà de la planète
masse, densité, vitesse et force ne dépendent pas de la longueur infinie d'une droite ni, pour des droites infinies, de l'axiome des parallèles; elles ne subissent donc aucune modification dans les formes non euclidiennes de l'espace. Tout de même, celle d'inertie reste inaltérée et l'unité de force peut se réduire, d'après les méthodes connues, aux unités de temps et de masse; aussi la mesure de la force ne présente-t-elle pas de difficultés. Enfin, le principe du parallélogramme des mouvements et des forces subsiste pour un domaine indéfiniment petit. Après avoir développé, pour les coordonnées de M. Weierstrass, les équations différentielles du mouvement d'un point libre, l'auteur les applique au mouvement planétaire appartenant à la loi newtonienne dûment modifiée pour cet espace. La loi de Kepler sur la forme de l'orbite n'a pas besoin d'être modifiée; la deuxième subsiste sous cette forme : Prolongeons le rayon vecteur au-delà de la planète jusqu'au double de sa longueur; ce rayon double décrira des aires égales dans des intervalles de temps égaux. La troisième loi concernant la durée de révolution subit une légère modification. Dans le deuxième paragraphe, l'auteur étudie le mouvement d'un point assujetti à rester sur une surface, et l'exemple du pendule montre que l'isoéhronisme des petites oscillations existe aussi dans les formes non euclidiennes de l'espace. Pour un nombre quelconque de points dans l'espace non euclidien, les équations différentielles du mouvement s'obtiennent aussi bien dans la première forme de Lagrange que dans celle qui constitue le principe de d'Alembert, et enfin l'on en tire le principe de Hamilton. On conclut de là que le principe des forces vives subsiste sans aucune modification, mais que le principe du mouvement du centre de gravité n'a plus de sens. En dernier lieu, on a six propositions des aires. Les conditions d'équilibre découlent immédiatement des équations qu'on vient d'établir. Les notions qu'on a mises en usage dans les trois premiers paragraphes étant indépendantes du nombre des dimensions, leurs résultats peuvent être étendus à un nombre quelconque de dimensions. Les méthodes de Hamilton et de Jacobi se prêtent en outre sans difficulté à être appliquées aux
montre que l'isoéhronisme des petites oscillations existe aussi dans les formes non euclidiennes de l'espace. Pour un nombre quelconque de points dans l'espace non euclidien, les équations différentielles du mouvement s'obtiennent aussi bien dans la première forme de Lagrange que dans celle qui constitue le principe de d'Alembert, et enfin l'on en tire le principe de Hamilton. On conclut de là que le principe des forces vives subsiste sans aucune modification, mais que le principe du mouvement du centre de gravité n'a plus de sens. En dernier lieu, on a six propositions des aires. Les conditions d'équilibre découlent immédiatement des équations qu'on vient d'établir. Les notions qu'on a mises en usage dans les trois premiers paragraphes étant indépendantes du nombre des dimensions, leurs résultats peuvent être étendus à un nombre quelconque de dimensions. Les méthodes de Hamilton et de Jacobi se prêtent en outre sans difficulté à être appliquées aux formes non euclidiennes de l'espace; ce qu'il faut étudier, c'est la relation qu'elles ont avec les coordonnées de M. Weierstrass. Pour faire voir la souplesse de ces méthodes, l'auteur entre dans le détail de la solution de plusieurs Problèmes : 1° Trouver la ligne géodésique sur une figure à un nombre quelconque de dimensions; 2° Mouvement d'un point libre attiré par un point fixe selon une fonction arbitraire de la distance; 3° Dans une forme de l'espace à n dimensions un point mobile est sollicité par deux forces dirigées vers deux centres fixes et inversement proportionnelles au carré du sinus de la distance divisée par k. Extension de la loi newtonienne. La recherche du potentiel dans les espaces à n dimensions, devancée par un Mémoire de M. Schering (Bulletin, t. XI, p. 273) de 1873, montre que les propriétés du potentiel subsistent, elles aussi, et diffèrent très peu de celles de l'espace euclidien à trois dimensions. Mouvement infiniment petit d'un corps solide. — L'étude de ce mouvement repose sur les propriétés d'un déterminant A et conduit à plusieurs théorèmes dont quelques-uns ont été déjà énoncés par d'autres géomètres, notamment par MM. Jordan et Beltrami. Les considérations sur le mouvement fini
nombre quelconque de dimensions; 2° Mouvement d'un point libre attiré par un point fixe selon une fonction arbitraire de la distance; 3° Dans une forme de l'espace à n dimensions un point mobile est sollicité par deux forces dirigées vers deux centres fixes et inversement proportionnelles au carré du sinus de la distance divisée par k. Extension de la loi newtonienne. La recherche du potentiel dans les espaces à n dimensions, devancée par un Mémoire de M. Schering (Bulletin, t. XI, p. 273) de 1873, montre que les propriétés du potentiel subsistent, elles aussi, et diffèrent très peu de celles de l'espace euclidien à trois dimensions. Mouvement infiniment petit d'un corps solide. — L'étude de ce mouvement repose sur les propriétés d'un déterminant A et conduit à plusieurs théorèmes dont quelques-uns ont été déjà énoncés par d'autres géomètres, notamment par MM. Jordan et Beltrami. Les considérations sur le mouvement fini d'un corps solide (§8) sont précédées de la théorie des moments d'inertie (§7). Les équations de ce mouvement se trouvent déjà dans le Mémoire de Clifford : « On the free motion under no forces of a rigid system in an n-fold homaloid » [Bulletin, (2), 12 p. 201], mais son observation sur la possibilité de les intégrer en toute généralité n'est pas juste, parce qu'elle suppose des conditions initiales toutes particulières. Hazzidakis (J.-N.). — Génération de surfaces par des lignes de courbure. (49-67). Voici la question proposée par l'auteur : Quelles sont les conditions pour qu'une courbe de forme invariable engendre, en se mouvant, une surface dont elle soit, en toute position, une ligne de courbure? I. La courbe est gauche, mais non sphérique. Alors la surface engendrée est l'hélicoïde x = u COS v, y = u sin v, z = kv + f(u). Réciproquement, toute ligne de courbure de l'hélicoïde remplit cette condition. (Toute courbe sphérique est ligne de courbure de la sphère à laquelle elle appartient, et se maintient comme telle pendant un mouvement quelconque sur la sphère.) II. La courbe est plane. Il y a plusieurs solutions : 1° La courbe plane est une ligne
son observation sur la possibilité de les intégrer en toute généralité n'est pas juste, parce qu'elle suppose des conditions initiales toutes particulières. Hazzidakis (J.-N.). — Génération de surfaces par des lignes de courbure. (49-67). Voici la question proposée par l'auteur : Quelles sont les conditions pour qu'une courbe de forme invariable engendre, en se mouvant, une surface dont elle soit, en toute position, une ligne de courbure? I. La courbe est gauche, mais non sphérique. Alors la surface engendrée est l'hélicoïde x = u COS v, y = u sin v, z = kv + f(u). Réciproquement, toute ligne de courbure de l'hélicoïde remplit cette condition. (Toute courbe sphérique est ligne de courbure de la sphère à laquelle elle appartient, et se maintient comme telle pendant un mouvement quelconque sur la sphère.) II. La courbe est plane. Il y a plusieurs solutions : 1° La courbe plane est une ligne de courbure de la surface engendrée par elle, lorsque son plan se meut de telle sorte que l'axe des x soit normale principale, l'axe des y tangente d'une courbe directrice à première courbure constante (mais à torsion quelconque). La surface en question a pour équations x = ds, y = ds, z = ds. 2° La courbe engendre une surface sur laquelle elle reste toujours ligne de courbure, quand elle se meut, de telle sorte que le plan passant par l'axe des y et perpendiculaire au plan de la courbe touche sans cesse une surface cylindrique arbitraire, la ligne de contact et l'axe des y étant parallèles. La vitesse angulaire relative à la ligne de contact et la vitesse de glissement ont le rapport dw / b N -, où R désigne la distance de la ligne de contact à l'axe des y. 3° Toute courbe plane est ligne de courbure de la surface que canal engendrée par elle lorsque son plan roule sur une surface quelconque développable. 4° La circonférence jouit encore de la propriété en question quand un plan passant par l'un de ses diamètres, et perpendiculaire au plan du cercle, roule sur une surface quelconque développable. Boltzmann
ds, z = ds. 2° La courbe engendre une surface sur laquelle elle reste toujours ligne de courbure, quand elle se meut, de telle sorte que le plan passant par l'axe des y et perpendiculaire au plan de la courbe touche sans cesse une surface cylindrique arbitraire, la ligne de contact et l'axe des y étant parallèles. La vitesse angulaire relative à la ligne de contact et la vitesse de glissement ont le rapport dw / b N -, où R désigne la distance de la ligne de contact à l'axe des y. 3° Toute courbe plane est ligne de courbure de la surface que canal engendrée par elle lorsque son plan roule sur une surface quelconque développable. 4° La circonférence jouit encore de la propriété en question quand un plan passant par l'un de ses diamètres, et perpendiculaire au plan du cercle, roule sur une surface quelconque développable. Boltzmann (Ludwig). — Sur les propriétés des systèmes monocycliques et d'autres systèmes analogues. (68-94). La deuxième loi de la théorie mécanique de la chaleur pourrait sans doute trouver la démonstration la plus complète dans la Mécanique analytique si l'on parvenait à prouver qu'il existe, pour un procédé quelconque de Mécanique, des équations qui sont analogues à celles de la Thermodynamique. Or, il semble que la proposition, prise dans cette généralité, ne soit pas juste, et que nous ignorons la nature de ce que nous appelons atomes, à tel point que nous ne sommes pas à même d'indiquer les conditions exactes qui président au mouvement de la chaleur; donc nous voilà vis-à-vis de la question : dans quel cas et dans quelle étendue les équations de la Mécanique sont-elles l'analogue de celles de la théorie mécanique de la chaleur? C'est M. H. von Helmholtz qui a posé le premier la question sous cette forme (voir Bulletin XII, P. 121), et, en considérant quelques systèmes intimement liés aux systèmes monocycliques, M. Boltzmann tâche de pousser plus loin l'analogie que son illustre prédécesseur a découverte entre les systèmes monocycliques et les lois de la théorie mécanique de la chaleur. Ayant discuté plusieurs exemples où
équations qui sont analogues à celles de la Thermodynamique. Or, il semble que la proposition, prise dans cette généralité, ne soit pas juste, et que nous ignorons la nature de ce que nous appelons atomes, à tel point que nous ne sommes pas à même d'indiquer les conditions exactes qui président au mouvement de la chaleur; donc nous voilà vis-à-vis de la question : dans quel cas et dans quelle étendue les équations de la Mécanique sont-elles l'analogue de celles de la théorie mécanique de la chaleur? C'est M. H. von Helmholtz qui a posé le premier la question sous cette forme (voir Bulletin XII, P. 121), et, en considérant quelques systèmes intimement liés aux systèmes monocycliques, M. Boltzmann tâche de pousser plus loin l'analogie que son illustre prédécesseur a découverte entre les systèmes monocycliques et les lois de la théorie mécanique de la chaleur. Ayant discuté plusieurs exemples où la force vive se transforme en travail, comme dans la Thermodynamique, l'auteur parvient au point où il n'est plus d'accord avec M. von Helmholtz. Il trouve qu'il existe des systèmes isokinétiques (expression introduite par M. von Helmholtz) où la force vive n'est plus dénominateur intégrant, et il soupçonne que, dans l'équation de ce géomètre dQ = 2L dlog(Lt), la quantité Lt ne dépend pas seulement de l'état actuel, mais encore de la voie par laquelle le système a dû passer pour entrer dans cet état; il croit donc qu'on n'est pas en droit de conclure de cette équation que L soit toujours denominateur intégrant de dQ. Cayley (A.). — Note en connexion avec les intégrales hyperelliptiques de première espèce. (95-96, anglais). Démonstration d'une équation de M. Weierstrass contenue dans un Mémoire de 1858 et identique à une formule de M. Hermite dans une Note de 1855. Königsberger (L.). — Sur les intégrales de fonctions transcendantes. (97-125). On sait qu'Abel a établi le théorème fondamental « Si l'intégrale f(y)d(x), où y désigne une fonction algébrique de x, est, elle aussi, une fonction algébrique, cette dernière fonction permet d'être mise sous la forme de fonction rationnelle de x et y. » Dans