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k0 aλ), et a obtenu s sous forme d'une série hypergéométrique. À propos du travail de Lipschitz, MM. Tisserand et Radau ont fait des remarques importantes sur la difficulté d'établir un accord satisfaisant entre la théorie de la fluidité et celle de la précession. M. Maurice Lévy revient sur cette question, en partant de la formule qui renferme quatre constantes arbitraires et se réduit à celle de Lipschitz pour μ = 1. Elle conduit, comme cette dernière, à une intégration par série hypergéométrique, et donne lieu à une discussion analogue. De cette discussion, il résulte qu'il est impossible de disposer de μ de façon à satisfaire à la condition de la précession, quoiqu'on soit parti d'une expression de la densité ayant le nombre de paramètres voulu pour y satisfaire a priori. Les formules antérieures n'y satisfaisaient pas; mais on pouvait attribuer le fait à ce qu'elles n'avaient pas le nombre nécessaire de coefficients. Le résultat obtenu par M. M. Lévy confirme donc les prévisions de M. Tisserand. Si l'on abandonne la condition relative à la précession comme impossible à réaliser dans l'hypothèse de la fluidité, on peut, en faisant varier satisfaire d'une infinité de manières aux trois premières conditions énoncées. On peut, en particulier, d'une infinité de manières, limiter la série hypergéométrique qui donne l'ellipticité. Sylvester. — Preuve élémentaire du théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques dans le cas où la raison est 8 ou 12. (1278-1281, .385-1386). Guyot. — Note relative à l'expression de l'erreur probable d'un système d'observations. (1282-1285). Bertrand. — Note sur l'introduction des probabilités moyennes dans l'interprétation des résultats de la statistique. (1311-1313). Lorsque des tirages se font dans une urne de composition invariable, contenant des boules blanches et des boules noires, non seulement dans une série d'épreuves le nombre des boules blanches doit prendre une valeur indiquée par le calcul; mais, l'accord ne pouvant être rigoureux, le calcul des probabilités assigne la valeur moyenne de l'écart. L'écart, pour chaque série d'épreuves, est un nombre donné par le hasard, dont les valeurs successives sont soumises à des lois régulières. Les écarts observés, dans les Tableaux
On peut, en particulier, d'une infinité de manières, limiter la série hypergéométrique qui donne l'ellipticité. Sylvester. — Preuve élémentaire du théorème de Dirichlet sur les progressions arithmétiques dans le cas où la raison est 8 ou 12. (1278-1281, .385-1386). Guyot. — Note relative à l'expression de l'erreur probable d'un système d'observations. (1282-1285). Bertrand. — Note sur l'introduction des probabilités moyennes dans l'interprétation des résultats de la statistique. (1311-1313). Lorsque des tirages se font dans une urne de composition invariable, contenant des boules blanches et des boules noires, non seulement dans une série d'épreuves le nombre des boules blanches doit prendre une valeur indiquée par le calcul; mais, l'accord ne pouvant être rigoureux, le calcul des probabilités assigne la valeur moyenne de l'écart. L'écart, pour chaque série d'épreuves, est un nombre donné par le hasard, dont les valeurs successives sont soumises à des lois régulières. Les écarts observés, dans les Tableaux statistiques, sont loin d'obéir à ces lois; le coefficient de divergence (rapport de l'écart observé à la moyenne calculée) peut s'élever jusqu'à 80 (Tables de mortalité). Ces Tables sortent-elles du domaine du Calcul des probabilités? La conclusion, répond M. Bertrand, serait trop précipitée. On peut consulter le hasard autrement que par des tirages au sort dans une urne de composition déterminée. Dans ce nouvel ordre d'idées, M. Bertrand énonce le théorème suivant : « Quels que soient le nombre et la composition des urnes, la loi des écarts est la même que pour une seule urne de composition déterminée; mais cette Urne n'est pas celle qui donne la probabilité moyenne; il faut donc, pour comparer les résultats de la statistique à ceux du calcul, supposer deux urnes différentes, les résultats moyens étant assimilés à des tirages faits dans la première et les écarts aux résultats donnés par la seconde. » Halphen. — Sur la convergence d'une fraction continue algébrique. (i 326-1329). La auteure étudie la fraction continue qui provient du développement de la fonction où F est un polynôme du troisième ou du quatrième degré, En supposant x et y donnés et considérant ξ comme une variable complexe, on démontre
par des tirages au sort dans une urne de composition déterminée. Dans ce nouvel ordre d'idées, M. Bertrand énonce le théorème suivant : « Quels que soient le nombre et la composition des urnes, la loi des écarts est la même que pour une seule urne de composition déterminée; mais cette Urne n'est pas celle qui donne la probabilité moyenne; il faut donc, pour comparer les résultats de la statistique à ceux du calcul, supposer deux urnes différentes, les résultats moyens étant assimilés à des tirages faits dans la première et les écarts aux résultats donnés par la seconde. » Halphen. — Sur la convergence d'une fraction continue algébrique. (i 326-1329). La auteure étudie la fraction continue qui provient du développement de la fonction où F est un polynôme du troisième ou du quatrième degré, En supposant x et y donnés et considérant ξ comme une variable complexe, on démontre que, dans toute portion du plan, si petite qu'elle soit, il y a une infinité de points ξ pour lesquels la fraction continue converge et une infinité d'autres pour lesquels elle diverge. M. Halphen envisage, plus particulièrement, le cas où les points racines de F (x) sont situés sur un cercle (cercle fondamental) et où ξ est assujetti à rester sur ce cercle. En particulier, si les racines de F (x) sont réelles, ξ est réelle, car le cercle fondamental se réduit à une droite. La circonférence fondamentale est partagée en quatre arcs par les quatre racines. Les deux arcs contigus à celui sur lequel se trouve ξ constituent deux coupures interdites au point x. Or, quel que soit x, la fraction continue converge et représente, dans tout le plan, la fonction f (x) rendue uniforme par les coupures. Sur les coupures, l'action est divergente. La fonction (considérée comme fonction de x) converge uniformément dans tout le plan, excepté sur une ligne, et sur cette ligne (qui est algébrique), la convergence est non uniforme dans tout intervalle. Il existe une infinité de valeurs de ξ (indépendantes de y) pour lesquelles la fraction devient périodique; elle le devient quand les intégrales
cercle (cercle fondamental) et où ξ est assujetti à rester sur ce cercle. En particulier, si les racines de F (x) sont réelles, ξ est réelle, car le cercle fondamental se réduit à une droite. La circonférence fondamentale est partagée en quatre arcs par les quatre racines. Les deux arcs contigus à celui sur lequel se trouve ξ constituent deux coupures interdites au point x. Or, quel que soit x, la fraction continue converge et représente, dans tout le plan, la fonction f (x) rendue uniforme par les coupures. Sur les coupures, l'action est divergente. La fonction (considérée comme fonction de x) converge uniformément dans tout le plan, excepté sur une ligne, et sur cette ligne (qui est algébrique), la convergence est non uniforme dans tout intervalle. Il existe une infinité de valeurs de ξ (indépendantes de y) pour lesquelles la fraction devient périodique; elle le devient quand les intégrales de 1, . ~V/F(a;) pris depuis ξ jusqu'à l'une ou l'autre des extrémités de l'axe où se trouve £ sont commensurables entre elles. Quand la fraction est périodique, la ligne de convergence non uniforme perd son caractère; la convergence y devient uniforme, sauf en certains points où y a divergence par oscillation. Enfin M. Halphen fait observer que les quotients incomplets de cette fraction continue f(x) (sauf le premier) sont des invariants de F pour toute substitution linéaire et fractionnaire faite à la fois sur x, y, ç. Resal. — Mouvement dans un milieu, dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse, d'un point attiré par un centre fixe en raison inverse de la vitesse. (1329-1336). Si, après avoir fait subir à un pendule un petit écart, on lui imprime une vitesse horizontale du même ordre de petitesse, il décrira en projection horizontale une ellipse ayant pour centre le point de suspension et dont le grand axe se déplace dans le sens du mouvement avec une vitesse relativement petite et proportionnelle au produit des axes de l'ellipse. L'expérience montre, en outre, que le grand axe diminue graduellement, évidemment par le fait de la résistance de l'air. Cette résistance
par oscillation. Enfin M. Halphen fait observer que les quotients incomplets de cette fraction continue f(x) (sauf le premier) sont des invariants de F pour toute substitution linéaire et fractionnaire faite à la fois sur x, y, ç. Resal. — Mouvement dans un milieu, dont la résistance est proportionnelle au carré de la vitesse, d'un point attiré par un centre fixe en raison inverse de la vitesse. (1329-1336). Si, après avoir fait subir à un pendule un petit écart, on lui imprime une vitesse horizontale du même ordre de petitesse, il décrira en projection horizontale une ellipse ayant pour centre le point de suspension et dont le grand axe se déplace dans le sens du mouvement avec une vitesse relativement petite et proportionnelle au produit des axes de l'ellipse. L'expérience montre, en outre, que le grand axe diminue graduellement, évidemment par le fait de la résistance de l'air. Cette résistance a-t-elle une influence sensible sur le déplacement giratoire de l'ellipse? M. Resal, soumettant au calcul cette question qu'il avait abordée antérieurement par des procédés géométriques, montre que la résistance de l'air n'a d'autre effet que de réduire les axes de l'ellipse et d'augmenter l'aplatissement, mais qu'elle n'influe pas sur le déplacement du sommet. Cesaro. — Sur une fonction arithmétique. (1340-1343). M. Cesaro rappelle qu'il s'est occupé à diverses reprises de la remarquable fonction arithmétique considérée par M. Bougaïeff dans sa récente Communication Sur une intégrale numérique suivant les diviseurs. Cette fonction v (n), nulle en général, prend la valeur log p toutes les fois que n devient égal à une puissance d'un nombre premier quelconque p. M. Cesaro retrouve, par des considérations nouvelles, les divers résultats obtenus par M. Bougaïeff dans la Communication susdite, entre autres cette expression curieuse des nombres de Bernoulli Il démontre même un théorème plus général que celui d'où M. Bougaïeff a déduit cette formule, en s'appuyant sur la propriété essentielle de la fonction v exprimée par l'égalité v (a) + v (b) + v (c) +... = log n, a, b, c, ... désignant tous les diviseurs de n. Plus généralement, si l'on prend une
déplacement du sommet. Cesaro. — Sur une fonction arithmétique. (1340-1343). M. Cesaro rappelle qu'il s'est occupé à diverses reprises de la remarquable fonction arithmétique considérée par M. Bougaïeff dans sa récente Communication Sur une intégrale numérique suivant les diviseurs. Cette fonction v (n), nulle en général, prend la valeur log p toutes les fois que n devient égal à une puissance d'un nombre premier quelconque p. M. Cesaro retrouve, par des considérations nouvelles, les divers résultats obtenus par M. Bougaïeff dans la Communication susdite, entre autres cette expression curieuse des nombres de Bernoulli Il démontre même un théorème plus général que celui d'où M. Bougaïeff a déduit cette formule, en s'appuyant sur la propriété essentielle de la fonction v exprimée par l'égalité v (a) + v (b) + v (c) +... = log n, a, b, c, ... désignant tous les diviseurs de n. Plus généralement, si l'on prend une fonction ψ telle qu'on ait, pour toutes les valeurs entières de la variable, ψ(x) ψ (y) = ψ(xy), on peut écrire Cette relation est l'expression du théorème de M. Cesaro. Si l'on prend ψ (n) = sin π n, elle montre que la somme 2 est égale au quotient de d'où résulte, pour exprimer les nombres d'Euler, la formule Quiquet. — Sur la loi de Makeham. (1465-1466). Picard. — Sur la limite de convergence des séries représentant les intégrales des équations différentielles. (1466-1467) Soit f(x,y) une fonction holomorphe de x, y quand x et y restent dans leur plan à l'intérieur des cercles ayant respectivement pour centres x0, y0 et pour rayons a, b, et soit M le module maximum de f (x, y). Briot et Bouquet ont démontré que l'équation différentielle admet une intégrale développable en série de Taylor et prenant pour x — x0 la valeur y0. Ils donnent comme rayon du cercle où la série converge nécessairement l'expression M. Picard montre que la série de Taylor formée à l'aide de l'équation différentielle converge nécessairement à l'intérieur du cercle ayant pour rayon la plus petite des quantités a et M, ce qui donne une limite manifestement supérieure à
d'où résulte, pour exprimer les nombres d'Euler, la formule Quiquet. — Sur la loi de Makeham. (1465-1466). Picard. — Sur la limite de convergence des séries représentant les intégrales des équations différentielles. (1466-1467) Soit f(x,y) une fonction holomorphe de x, y quand x et y restent dans leur plan à l'intérieur des cercles ayant respectivement pour centres x0, y0 et pour rayons a, b, et soit M le module maximum de f (x, y). Briot et Bouquet ont démontré que l'équation différentielle admet une intégrale développable en série de Taylor et prenant pour x — x0 la valeur y0. Ils donnent comme rayon du cercle où la série converge nécessairement l'expression M. Picard montre que la série de Taylor formée à l'aide de l'équation différentielle converge nécessairement à l'intérieur du cercle ayant pour rayon la plus petite des quantités a et M, ce qui donne une limite manifestement supérieure à celle que trouvent Briot et Bouquet. Cosserat. — Sur l'emploi du complexe linéaire de droites dans l'étude des systèmes linéaires de cercles. (1467-1469). On sait que, si sont les équations de deux sphères en coordonnées sphériques, les dix quantités Pik=ai bk—ak bi, (pii= o, plk = — pki). sont les coordonnées du cercle intersection des deux sphères. Si l'on établit des relations linéaires entre les pik, on a (Kœnigs) des systèmes linéaires de cercles A., A2, A3, A4, A5, A6 dont l'indétermination est marquée par l'indice (la position d'un cercle dans l'espace dépendant de six paramètres). La théorie des systèmes linéaires de droites peut se déduire d'un seul théorème; il existe de même pour les systèmes linéaires de cercles un théorème fondamental que voici : Si l'on considère le système A le plus général, il existe une sphère K et un complexe linéaire de droites L tels que la droite qui joint les points d'intersection d'un quelconque des cercles du système avec la sphère K engendre un complexe, qui est L. Réciproquement, les cercles qui coupent une sphère fixe K en deux points tels que la droite qui les joint engendre un complexe linéaire de droites constituent un système A.
coordonnées du cercle intersection des deux sphères. Si l'on établit des relations linéaires entre les pik, on a (Kœnigs) des systèmes linéaires de cercles A., A2, A3, A4, A5, A6 dont l'indétermination est marquée par l'indice (la position d'un cercle dans l'espace dépendant de six paramètres). La théorie des systèmes linéaires de droites peut se déduire d'un seul théorème; il existe de même pour les systèmes linéaires de cercles un théorème fondamental que voici : Si l'on considère le système A le plus général, il existe une sphère K et un complexe linéaire de droites L tels que la droite qui joint les points d'intersection d'un quelconque des cercles du système avec la sphère K engendre un complexe, qui est L. Réciproquement, les cercles qui coupent une sphère fixe K en deux points tels que la droite qui les joint engendre un complexe linéaire de droites constituent un système A. de cercles. Lorsqu'on établit des relations entre les coefficients de As2, il peut se produire des cas singuliers dont l'auteur signale les plus importants. Citons notamment le cas où le complexe qui, associé à une sphère, définit As2, est un complexe spécial; alors il existera une infinité de sphères pouvant servir à définir A5. M. Cosserat indique quelques-unes des conséquences les plus essentielles qu'on peut déduire du théorème ci-dessus. Kœnigs. — Sur les volumes engendrés par un contour fermé dans un mouvement quelconque. (1512-1514). Le volume engendré par un contour fermé, qui se déplace dans l'espace d'une manière quelconque, a pour expression AU + BV + CW + LP + MQ + NR, où A, B, C, L, M, N sont les coordonnées d'un système de segments qui dépend uniquement du contour fermé, et U, V, W, P, Q, R les coordonnées d'un autre système de segments qui dépend uniquement du déplacement considéré. En considérant sept contours fermés liés invariablement les uns aux autres; on est conduit à ce théorème : Entre les volumes engendrés par sept contours fermés d'une figure invariable, il y a une relation linéaire homogène, indépendante du mouvement. De même, entre les volumes engendrés par un
servir à définir A5. M. Cosserat indique quelques-unes des conséquences les plus essentielles qu'on peut déduire du théorème ci-dessus. Kœnigs. — Sur les volumes engendrés par un contour fermé dans un mouvement quelconque. (1512-1514). Le volume engendré par un contour fermé, qui se déplace dans l'espace d'une manière quelconque, a pour expression AU + BV + CW + LP + MQ + NR, où A, B, C, L, M, N sont les coordonnées d'un système de segments qui dépend uniquement du contour fermé, et U, V, W, P, Q, R les coordonnées d'un autre système de segments qui dépend uniquement du déplacement considéré. En considérant sept contours fermés liés invariablement les uns aux autres; on est conduit à ce théorème : Entre les volumes engendrés par sept contours fermés d'une figure invariable, il y a une relation linéaire homogène, indépendante du mouvement. De même, entre les volumes engendrés par un même contour dans sept mouvements donnés, il y a une relation linéaire et homogène, indépendante du contour. Ces propositions sont susceptibles d'un grand nombre d'applications, parmi lesquelles on peut citer la suivante : Si l'on considère une courbe gauche à courbure constante, son cercle osculatoire, de rayon constant n, engendre un volume égal à π R3 α, α étant l'arc correspondant de l'indicatrice sphérique des binormales. Cosserat. — Sur les propriétés infinitésimales de l'espace cerclé. (1514-1517 ). L'auteur considère comme élément de l'espace l'ensemble de deux points (double-point). Il nomme couple le système formé par une sphère et un double Point situé sur cette sphère, et il dit qu'un couple est situé sur un cercle, si le cercle est sur la sphère et passe par le double point du couple. Si l'on considère huit points d'un cercle C, deux à deux situés sur des droites concourantes en un point P, on aura quatre doubles points, dont le rapport anharmonique sera le rapport des quatre droites concourantes. Si l'on appelle corrélation une correspondance entre les doubles points d'un cercle C relatifs à un point P et les sphères passant par ce cercle, la corrélation enharmonique sera la corrélation du premier ordre
un volume égal à π R3 α, α étant l'arc correspondant de l'indicatrice sphérique des binormales. Cosserat. — Sur les propriétés infinitésimales de l'espace cerclé. (1514-1517 ). L'auteur considère comme élément de l'espace l'ensemble de deux points (double-point). Il nomme couple le système formé par une sphère et un double Point situé sur cette sphère, et il dit qu'un couple est situé sur un cercle, si le cercle est sur la sphère et passe par le double point du couple. Si l'on considère huit points d'un cercle C, deux à deux situés sur des droites concourantes en un point P, on aura quatre doubles points, dont le rapport anharmonique sera le rapport des quatre droites concourantes. Si l'on appelle corrélation une correspondance entre les doubles points d'un cercle C relatifs à un point P et les sphères passant par ce cercle, la corrélation enharmonique sera la corrélation du premier ordre et de la première classe, on aura ce théorème (qui complète une proposition de M. Demartres) : Les couples formés par un double point d'une surface et la sphère tangente en ce double point, et qui sont situés sur une même génératrice circulaire, engendrent une corrélation harmonique. Dans l'espace cerclé, un cercle infiniment voisin d'un cercle définit sur lui une corrélation anharmonique dont l'usage peut être, habituellement, substitué à celui du cercle infiniment voisin. La rencontre de deux cercles infiniment voisins s'exprime par l'évanouissement d'une forme biquadratique des différentielles des coordonnées du cercle. Cette forme admet trois formes adjointes (Kœnigs) dont la considération, jointe à l'étude des corrélations anharmoniques, conduit à la classification des surfaces cerclées due à Enneper. L'étude des corrélations anharmoniques conduit également, à l'égard des congruences de cercles, à considérer des foyers et des sphères focales. Considérant les complexes de cercles, on parvient à définir des cercles singuliers et une surface de singularités. À l'égal du système quintuplement indéterminé de cercles, on a également des cercles singuliers et une surface de singularités. Petot. — Sur les surfaces qui ont pour lignes de courbure d'un système des hélices tracées sur des cylindres quelconques. (1517-1520). Aux points correspondants de
un cercle infiniment voisin d'un cercle définit sur lui une corrélation anharmonique dont l'usage peut être, habituellement, substitué à celui du cercle infiniment voisin. La rencontre de deux cercles infiniment voisins s'exprime par l'évanouissement d'une forme biquadratique des différentielles des coordonnées du cercle. Cette forme admet trois formes adjointes (Kœnigs) dont la considération, jointe à l'étude des corrélations anharmoniques, conduit à la classification des surfaces cerclées due à Enneper. L'étude des corrélations anharmoniques conduit également, à l'égard des congruences de cercles, à considérer des foyers et des sphères focales. Considérant les complexes de cercles, on parvient à définir des cercles singuliers et une surface de singularités. À l'égal du système quintuplement indéterminé de cercles, on a également des cercles singuliers et une surface de singularités. Petot. — Sur les surfaces qui ont pour lignes de courbure d'un système des hélices tracées sur des cylindres quelconques. (1517-1520). Aux points correspondants de toutes les surfaces dont les lignes de courbure admettent la même représentation sphérique, le rapport des deux courbures d'une ligne de courbure d'un système a la même valeur. Si ces lignes de courbure sont, pour l'une des surfaces, des hélices tracées sur des cylindres quelconques, il en est de même pour toutes les autres. Donc, recherche des surfaces ainsi définies se ramène à celle des systèmes de courbes sphériques orthogonales comprenant une famille d'hélices tracées sur des cylindres quelconques. D'autre part, l'indicatrice sphérique d'une hélice est un petit cercle dont le plan est perpendiculaire aux génératrices du cylindre sur lequel est tracée cette hélice. Ou à d'ailleurs, pour revenir d'une courbe sphérique quelconque C' à la courbe sphérique C dont elle est l'indicatrice, la règle suivante : On exprime le rayon de courbure R, de C, en fonction de l'arc s, de cette courbe. Par le centre O de la sphère, on trace un rayon vecteur OM, de C1, la parallèle ON, au segment positif de la tangente en M, à C1, puis, dans le plan perpendiculaire en O à OM1, une droite OM faisant dans le sens positif avec ON, un angle w donné par la formule la trace