jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
la série n'est pas convergente, M. Bendixon se borne au cas Où les av sont tous réels et positifs et où la série ^ — est divergente. L'étude du produit infini (3) le conduit à cette conclusion que la série (3) est convergente si R(α − x) < 0, et divergente dans le cas où R(a − x) > 0, R désignant la partie réelle d'une quantité imaginaire; dans la région comprise dans le domaine de convergence, la série (2) est absolument et uniformément convergente. On arrive encore à des conclusions très nettes relativement aux séries de la forme où r1, r2, ..., rv, ... sont des quantités positives telles que lim rv = 00 et que la série ^ — est divergente. En général, pour une série de cette espèce, il existe un nombre p tel que la série est convergente si R (x) > ρ et divergente si R(x) < p. Dans toute région prise dans ce domaine, la série est uniformément convergente, mais il y a en général un domaine de convergence absolue différent du premier. Il existe, en effet, un autre nombre ϭ≧ρ tel que la série est absolument convergente, si R (x) > ϖ et seulement dans ce cas. Le plan se trouve ainsi divisé en trois régions distinctes au point de vue de la convergence. Les résultats précédents s'étendent immédiatement aux séries de la forme ∑Bv(x..(x— où r1, ..., rv, ... sont réels et positifs, la série ^ — étant divergente. Les séries où la série ^ — est convergente, possèdent des propriétés toutes différentes. Pour assurer leur convergence ou leur convergence absolue dans tout le plan, il suffit qu'elle ait lieu pour une valeur particulière a ≠ av de la variable; de plus, il suffit qu'elles soient simplement convergentes en un point a pour qu'elles soient uniformément convergentes dans toute région finie du plan. M. Bendixon reprend ensuite l'étude de la série en faisant quelques hypothèses plus générales sur les a: 1° Tous les av sont est convergents ainsi que mais a V] — est divergent. La série est convergente pour toute valeur
seulement dans ce cas. Le plan se trouve ainsi divisé en trois régions distinctes au point de vue de la convergence. Les résultats précédents s'étendent immédiatement aux séries de la forme ∑Bv(x..(x— où r1, ..., rv, ... sont réels et positifs, la série ^ — étant divergente. Les séries où la série ^ — est convergente, possèdent des propriétés toutes différentes. Pour assurer leur convergence ou leur convergence absolue dans tout le plan, il suffit qu'elle ait lieu pour une valeur particulière a ≠ av de la variable; de plus, il suffit qu'elles soient simplement convergentes en un point a pour qu'elles soient uniformément convergentes dans toute région finie du plan. M. Bendixon reprend ensuite l'étude de la série en faisant quelques hypothèses plus générales sur les a: 1° Tous les av sont est convergents ainsi que mais a V] — est divergent. La série est convergente pour toute valeur de x, et uniformément convergente dans toute région finie du plan, mais la convergence absolue n'a lieu en aucun point. 2° On conserve les hypothèses précédentes, sauf que ^ — est supposé divergent. Le domaine de convergence de la série se compose de la partie du plan des x située entre les deux branches de l'hyperbole — η2= R(α2); dans toute région prise dans ce domaine, la série est uniformément convergente, mais la convergence absolue n'a lieu en aucun point. Le Mémoire se termine par quelques exemples et en particulier par un développement en série de log(1 + x + r). Tchebycheff (P.). — Sur la représentation des valeurs limites des intégrales par des résidus intégraux. (35-56). Dans un Mémoire Sur les valeurs limites des intégrales, publié en 1874, dans le Journal de Liouville, l'auteur a communiqué quelques résultats sur les valeurs limites des intégrales, qu'il commence par rappeler. Soit f(x) une fonction toujours positive entre les limites a et b, et soient Au, Ai, ... A2m-1 les valeurs des 2m intégrales si l'on développe en série ordonnée suivant les puissances de z1 l'intégrale ! ~f ( x) dx, on aura, en négligeant les termes de degré supérieur à 2m,
entre les deux branches de l'hyperbole — η2= R(α2); dans toute région prise dans ce domaine, la série est uniformément convergente, mais la convergence absolue n'a lieu en aucun point. Le Mémoire se termine par quelques exemples et en particulier par un développement en série de log(1 + x + r). Tchebycheff (P.). — Sur la représentation des valeurs limites des intégrales par des résidus intégraux. (35-56). Dans un Mémoire Sur les valeurs limites des intégrales, publié en 1874, dans le Journal de Liouville, l'auteur a communiqué quelques résultats sur les valeurs limites des intégrales, qu'il commence par rappeler. Soit f(x) une fonction toujours positive entre les limites a et b, et soient Au, Ai, ... A2m-1 les valeurs des 2m intégrales si l'on développe en série ordonnée suivant les puissances de z1 l'intégrale ! ~f ( x) dx, on aura, en négligeant les termes de degré supérieur à 2m, ~'a -S — X La fraction rationnelle du second membre étant réduite en fraction continue, on aura, avec le même degré d'approximation, Cela posé, soit ^ la mième réduite et soient s1, s2, ..., s2m-1, s2m les 2m racines de l'équation — 0 rangées par ordre de grandeur croissante; le résultat rappelé par M. Tchebycheff peut s'énoncer ainsi : L'intégrale est comprise entre les deux limites k où ω est une quantité positive infiniment petite et où le symbole ~[F(z) représente le résidu intégral de F(z) entre les limites h et k. Dans le Mémoire actuel, l'éminent géomètre indique un résultat plus général relatif aux intégrales de la forme Où la limite supérieure v reste arbitraire. Dans ce cas, les valeurs limites de l'intégrale sont données par les inégalités. F(z) désigne une fonction rationnelle qui peut être représentée par une fonction continue dont les m premiers dénominateurs sont les mêmes que ceux du développement en fraction continue de l'intégrale et ne dépendent par conséquent que des intégrales supposées connues. Z est une fonction linéaire de z qui dépend de a, b, v, des intégrales A0, A1, A2m-1 et dont l'expression est différente suivant qu'on connaît ou non l'intégrale M. Tchebycheff
résultat rappelé par M. Tchebycheff peut s'énoncer ainsi : L'intégrale est comprise entre les deux limites k où ω est une quantité positive infiniment petite et où le symbole ~[F(z) représente le résidu intégral de F(z) entre les limites h et k. Dans le Mémoire actuel, l'éminent géomètre indique un résultat plus général relatif aux intégrales de la forme Où la limite supérieure v reste arbitraire. Dans ce cas, les valeurs limites de l'intégrale sont données par les inégalités. F(z) désigne une fonction rationnelle qui peut être représentée par une fonction continue dont les m premiers dénominateurs sont les mêmes que ceux du développement en fraction continue de l'intégrale et ne dépendent par conséquent que des intégrales supposées connues. Z est une fonction linéaire de z qui dépend de a, b, v, des intégrales A0, A1, A2m-1 et dont l'expression est différente suivant qu'on connaît ou non l'intégrale M. Tchebycheff montre comment cette formule conduit aux résultats énoncés dans le Mémoire du Journal de Liouville, et termine par l'application au problème suivant : Trouver les valeurs limites de l'intégrale où la fonction inconnue f(x) ne devient jamais négative entre 0 et v, connaissant les trois quantités. Les quantités p, e1, k déterminent évidemment les trois intégrales de sorte qu'on a tous les éléments nécessaires pour former la fraction rationnelle F(a). Markoff (A.). — Sur une question de maximum et de minimum Proposée par M. Tchebycheff. (57-70). L'énoncé du problème est le suivant. Soient λ1(z), X2(z), ..., Xn(z), C1(z) des fonctions données de z; a et b des nombres donnés; mv des nombres positifs et indéterminés; y1, y2, des nombres indéterminés compris entre a et b; v un nombre indéterminé; il faut trouver les nombres v, mv, y1, Y2, y3, tels que les sommes ∑m2 λ2(yi), ..., (i = 1, 2, ..., v) aient des valeurs données à l'avance α1, ..., αn+1 et en même temps tels que la somme (yi), Rendue aux valeurs de yi, qui ne dépassent pas une certaine limite v (a < v < b), soit maximum ou minimum. On suppose que certains déterminants formés avec les
k déterminent évidemment les trois intégrales de sorte qu'on a tous les éléments nécessaires pour former la fraction rationnelle F(a). Markoff (A.). — Sur une question de maximum et de minimum Proposée par M. Tchebycheff. (57-70). L'énoncé du problème est le suivant. Soient λ1(z), X2(z), ..., Xn(z), C1(z) des fonctions données de z; a et b des nombres donnés; mv des nombres positifs et indéterminés; y1, y2, des nombres indéterminés compris entre a et b; v un nombre indéterminé; il faut trouver les nombres v, mv, y1, Y2, y3, tels que les sommes ∑m2 λ2(yi), ..., (i = 1, 2, ..., v) aient des valeurs données à l'avance α1, ..., αn+1 et en même temps tels que la somme (yi), Rendue aux valeurs de yi, qui ne dépassent pas une certaine limite v (a < v < b), soit maximum ou minimum. On suppose que certains déterminants formés avec les fonctions Ω et leurs dérivées sont positifs pour toutes les valeurs de z comprises entre a et b. C. E. Lorentz. — Sur une démonstration du théorème fondamental de la théorie des équations algébriques. (71 -72). Remarque sur une démonstration donnée par M. Holst dans le tome VIII des Acta (p. 155). Dobriner (H.). — Les surfaces à courbure constante avec un système de lignes de courbure sphérique représentées au moyen des fonctions theta à deux variables. (73-102). Les surfaces à courbure constante admettant un système de lignes de courbure sphériques ont été étudiées par M. Enneper (Nachrichten der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, p. 421-443; 1868). L'auteur a montré que leur représentation dépendait de trois fonctions p, q, ϕ d'une variable u, fonctions qu'il s'agit d'obtenir par l'intégration d'équations différentielles ordinaires. Les fonctions p, q satisfont à deux équations différentielles du second ordre pour lesquelles les deux intégrales premières sont connues. La fonction ϕ est une intégrale particulière de l'équation différentielle M. Dobriner avait reconnu depuis longtemps que les fonctions p, q étaient des quotients de fonctions theta à deux variables; d'un autre côté, ses études sur la théorie générale des surfaces qui admettent des lignes de courbure
(p. 155). Dobriner (H.). — Les surfaces à courbure constante avec un système de lignes de courbure sphérique représentées au moyen des fonctions theta à deux variables. (73-102). Les surfaces à courbure constante admettant un système de lignes de courbure sphériques ont été étudiées par M. Enneper (Nachrichten der k. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, p. 421-443; 1868). L'auteur a montré que leur représentation dépendait de trois fonctions p, q, ϕ d'une variable u, fonctions qu'il s'agit d'obtenir par l'intégration d'équations différentielles ordinaires. Les fonctions p, q satisfont à deux équations différentielles du second ordre pour lesquelles les deux intégrales premières sont connues. La fonction ϕ est une intégrale particulière de l'équation différentielle M. Dobriner avait reconnu depuis longtemps que les fonctions p, q étaient des quotients de fonctions theta à deux variables; d'un autre côté, ses études sur la théorie générale des surfaces qui admettent des lignes de courbure sphériques (Crelle, t. 94, p. 153-155) l'avaient amené à cette conclusion que la considération de la fonction ϕ n'était pas indispensable et que la représentation de la surface dépendait essentiellement de la détermination de deux systèmes de coefficients de substitutions orthogonales, ou, au point de vue géométrique, de deux courbes imaginaires pour chacune desquelles la tangente, la normale principale et la binormale constituent un de ces systèmes orthogonaux. Or l'expression de p, q comme quotients de fonctions theta donne lieu de penser que l'un des systèmes orthogonaux cherché pouvait bien être identique avec le système orthogonal bien connu formé avec les neuf quotients de fonctions theta paires : c'est en effet ce qui arrive, et c'est un des points principaux du présent Mémoire de M. Dobriner. Les éléments de la seconde courbe auxiliaire s'obtiennent ensuite au moyen de fonctions theta d'une seule variable, comme on pouvait le prévoir d'après le travail de M. Enneper. Weber (H.). — Théorie des corps numériques abéliens. (105-130). Dans ce Mémoire, qui fait suite à celui qui a paru sous le même titre dans le t. VII des Acta, M. Weber montre que la constitution d'un groupe abélien peut être entièrement caractérisée par une certaine
imaginaires pour chacune desquelles la tangente, la normale principale et la binormale constituent un de ces systèmes orthogonaux. Or l'expression de p, q comme quotients de fonctions theta donne lieu de penser que l'un des systèmes orthogonaux cherché pouvait bien être identique avec le système orthogonal bien connu formé avec les neuf quotients de fonctions theta paires : c'est en effet ce qui arrive, et c'est un des points principaux du présent Mémoire de M. Dobriner. Les éléments de la seconde courbe auxiliaire s'obtiennent ensuite au moyen de fonctions theta d'une seule variable, comme on pouvait le prévoir d'après le travail de M. Enneper. Weber (H.). — Théorie des corps numériques abéliens. (105-130). Dans ce Mémoire, qui fait suite à celui qui a paru sous le même titre dans le t. VII des Acta, M. Weber montre que la constitution d'un groupe abélien peut être entièrement caractérisée par une certaine suite de nombres entiers, les invariants du groupe; d'où le problème suivant : Déterminer tous les corps abéliens d'un groupe donné. D'après le précédent Mémoire, on a seulement pour cela à former les périodes de la division du cercle avec certaines propriétés prescrites. Mais on a montré, dans ce même travail, qu'un même corps abélien est contenu dans plusieurs corps circulaires complets, c'est-à-dire qu'ils peuvent être représentés au moyen de racines de l'unité de différents degrés; en conséquence, le précédent problème doit être complété comme il suit : Représenter les corps abéliens d'un groupe donné par les racines de l'unité de moindre degré. C'est à l'étude de ces deux problèmes qu'est consacré le présent travail M. Weber. Zeller (Ch.). — Formules pour le calendrier. (131-136). Mellin. — Sur la connexion entre certaines équations différentielles linéaires et certaines équations aux différences. (137-166). Le Mémoire de M. Mellin fait suite à un travail sur la théorie de la fonction T inséré dans le tome VIII des Acta, et qui a été signalé dans le Bulletin (t. XIV, p. 369). Il concerne les propriétés des intégrales d'équations linéaires de la forme (a^2x + b0) xn y(n) + (a1 - b1, x) x"-1 y(n-1)
travail, qu'un même corps abélien est contenu dans plusieurs corps circulaires complets, c'est-à-dire qu'ils peuvent être représentés au moyen de racines de l'unité de différents degrés; en conséquence, le précédent problème doit être complété comme il suit : Représenter les corps abéliens d'un groupe donné par les racines de l'unité de moindre degré. C'est à l'étude de ces deux problèmes qu'est consacré le présent travail M. Weber. Zeller (Ch.). — Formules pour le calendrier. (131-136). Mellin. — Sur la connexion entre certaines équations différentielles linéaires et certaines équations aux différences. (137-166). Le Mémoire de M. Mellin fait suite à un travail sur la théorie de la fonction T inséré dans le tome VIII des Acta, et qui a été signalé dans le Bulletin (t. XIV, p. 369). Il concerne les propriétés des intégrales d'équations linéaires de la forme (a^2x + b0) xn y(n) + (a1 - b1, x) x"-1 y(n-1) + ... + (an - bn)x)y — o. On y trouvera, en particulier, une formule qui contient comme cas très spécial la relation classique Stieltjes (T.-J.). — Note sur un développement de l'intégrale ∫ e^' dx. (167-176). Soit ∫ e^αx dx = ϕ(a) on trouve facilement le développement ∞ = a, ϕ(a) = 1 - (α^2/2^2) + (α^4/4^4) - ... La série est divergente, mais l'égalité exprime que l'on a, pour a → ∞, lim ϕ(a) = 1. La formule peut être remplacée par une formule plus précise a1, ..., an étant certaines constantes positives parfaitement déterminées. En effet, les deux fonctions qui figurent aux deux membres de (2) ont même dérivée, et l'on démontre facilement qu'on peut toujours choisir an de façon que ces deux fonctions soient égales pour une valeur très petite de a. Si ces constantes a1, ... sont connues, et si a tombe entre an-1 et an, on aura les deux inégalités ϕ (a) > T1 + T2 + ... + Tn-1, ϕ (a) < T1 + T2 + ... + Tn-1 + Tn, qui permettront de renfermer f(a) entre deux limites dont la différence est Tn. Objet principal du travail de M. Stieltjes est précisément
a, ϕ(a) = 1 - (α^2/2^2) + (α^4/4^4) - ... La série est divergente, mais l'égalité exprime que l'on a, pour a → ∞, lim ϕ(a) = 1. La formule peut être remplacée par une formule plus précise a1, ..., an étant certaines constantes positives parfaitement déterminées. En effet, les deux fonctions qui figurent aux deux membres de (2) ont même dérivée, et l'on démontre facilement qu'on peut toujours choisir an de façon que ces deux fonctions soient égales pour une valeur très petite de a. Si ces constantes a1, ... sont connues, et si a tombe entre an-1 et an, on aura les deux inégalités ϕ (a) > T1 + T2 + ... + Tn-1, ϕ (a) < T1 + T2 + ... + Tn-1 + Tn, qui permettront de renfermer f(a) entre deux limites dont la différence est Tn. Objet principal du travail de M. Stieltjes est précisément de donner une Méthode rapide de calcul pour ces constantes. La formule (2) ne se prête pas facilement au calcul de a2; l'auteur la remplace par une autre où figure la valeur principale d'une intégrale De cette relation, qui se démontre aisément, on tire J Si l'on pose a2 = n + η, on peut développer Rn suivant les puissances de η en employant une méthode donnée par l'auteur dans un Mémoire publié dans les Annales de l'École Normale, t. III; 1886. De ce développement on conclut que Rn s'annule pour une valeur finie de η, dont on peut trouver le développement, et l'on a ainsi Si l'on a pris n de telle façon que an-1 < a < an, l'erreur commise dans le calcul de ϕ(a) sera moindre que Tn; si a est grand, ce terme est à peu près ~°'^°^ • Dans les derniers paragraphes, M. Stieltjes montre comment on peut pousser encore plus loin l'approximation et obtenir une valeur très approchée du terme complémentaire Rn,. Hacks. — Quelques théorèmes sur des sommes de diviseurs(177-181). Ces théorèmes se rapportent à diverses fonctions numériques introduites par M. Lipschitz; la plus simple est la somme F(m) = f(1) + f(2)
n + η, on peut développer Rn suivant les puissances de η en employant une méthode donnée par l'auteur dans un Mémoire publié dans les Annales de l'École Normale, t. III; 1886. De ce développement on conclut que Rn s'annule pour une valeur finie de η, dont on peut trouver le développement, et l'on a ainsi Si l'on a pris n de telle façon que an-1 < a < an, l'erreur commise dans le calcul de ϕ(a) sera moindre que Tn; si a est grand, ce terme est à peu près ~°'^°^ • Dans les derniers paragraphes, M. Stieltjes montre comment on peut pousser encore plus loin l'approximation et obtenir une valeur très approchée du terme complémentaire Rn,. Hacks. — Quelques théorèmes sur des sommes de diviseurs(177-181). Ces théorèmes se rapportent à diverses fonctions numériques introduites par M. Lipschitz; la plus simple est la somme F(m) = f(1) + f(2) + ... + f(m), où f(x) désigne le nombre des diviseurs de l'entier x. On a où [x] désigne l'entier contenu dans x. Des théorèmes de cette nature, dus à M. Lipschitz et rappelés par M. Hacks, ont été donnés dans le tome C des Comptes rendus (Bulletin, XI2, p. 160) M. Hacks donne ensuite, divers résultats intéressants concernant la parité de ces fonctions; par exemple, on a Tchebycheff. — Sur les sommes composées des coefficients des séries à termes positifs. (182-184). Intéressante application des recherches de l'auteur, dont il a été rendu compte plus haut, sur les valeurs limites des intégrales. Gyldén. — Recherches sur la convergence des séries qui servent à la représentation des coordonnées des planètes. (185-294). Netto. — Sur les substitutions orthogonales. (295-300). Réponse à une question posée par M. Stieltjes dans le tome VI des Acta. Si an, (k, 1 = 1, 2, n) sont les coefficients de deux substitutions orthogonales, on peut choisir 6k = + 1, ou = — 1, de façon que le déterminant akλ + δk Akλ puisse s'annuler, si n est pair, sans que tous ses éléments s'annulent, et si n est impair sans que tous les sous-déterminants du second
160) M. Hacks donne ensuite, divers résultats intéressants concernant la parité de ces fonctions; par exemple, on a Tchebycheff. — Sur les sommes composées des coefficients des séries à termes positifs. (182-184). Intéressante application des recherches de l'auteur, dont il a été rendu compte plus haut, sur les valeurs limites des intégrales. Gyldén. — Recherches sur la convergence des séries qui servent à la représentation des coordonnées des planètes. (185-294). Netto. — Sur les substitutions orthogonales. (295-300). Réponse à une question posée par M. Stieltjes dans le tome VI des Acta. Si an, (k, 1 = 1, 2, n) sont les coefficients de deux substitutions orthogonales, on peut choisir 6k = + 1, ou = — 1, de façon que le déterminant akλ + δk Akλ puisse s'annuler, si n est pair, sans que tous ses éléments s'annulent, et si n est impair sans que tous les sous-déterminants du second ordre soient nuls. Berger. — Déduction de quelques formules analytiques d'un théorème élémentaire de la théorie des nombres. (301-320). Signalons parmi les résultats obtenus par M. Berger d'une façon tout élémentaire la proposition suivante : Si l'on désigne par n un nombre positif impair, le nombre de toutes les solutions entières de l'équation x2 + y2 = n, est égal à Où x parcourt tous les diviseurs positifs du nombre n. Cette proposition a été établie par Lejeune-Dirichlet au moyen du Calcul intégral. Dans un autre ordre d'idées, citons encore la proposition suivante : Si l'on désigne par Φ (z) une fonction bien déterminée pour toutes les valeurs positives impaires de la variable z, on aura la formule Où l'on a à observer que dans le premier membre x0 parcourt tous les nombres pairs, et x, tous les nombres impairs positifs, et que, dans le second membre, n parcourt tous les nombres impairs positifs et 8 tous les diviseurs positifs du Nombre n, pourvu que les séries dans les deux membres convergent indépendamment de l'ordre de leurs termes. L'auteur transforme cette formule de diverses façons et en tire des conséquences, connues pour la plupart, mais que l'on ne s'attendait pas