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quand on s'en approche dans le sens négatif. Elle conserve une valeur finie dans le voisinage d'un point singulier A. Il resterait à prouver qu'il n'existe qu'une seule fonction possédant ces trois propriétés. Riemann se borne à faire observer que cette proposition cesse d'être vraie quand on fait abstraction de la troisième propriété. Bertrand. — Sur la loi de probabilité des erreurs d'observation. (153-156). Gauss a proposé, pour représenter la probabilité d'une erreur fortuite comprise entre z et z + dz, la formule. Cette formule est liée à la règle qui prescrit de prendre la moyenne. Si l'on admettait une autre loi pour les erreurs, il faudrait adopter une autre règle pour déduire d'une série de mesures la valeur la plus probable de la grandeur inconnue. La réciproque n'est pas vraie. Si l'on se donne a priori la formule qui lie la valeur la plus probable à les mesures directes, on trouvera dans la plupart des cas qu'aucune loi de probabilité des erreurs ne peut la justifier. Soient x1, x2, ..., xn, les valeurs observées d'une certaine grandeur; si l'on suppose que la probabilité d'une erreur est proportionnelle à une fonction de cette erreur, et que la valeur la plus probable z est une fonction déterminée de x1, ..., xn, on trouve. A chaque valeur de la fonction ψ correspondra une loi pour la probabilité des erreurs. Le choix de ψ se trouvera très restreint, si l'on ajoute la condition que ψ soit symétrique par rapport à x1, x2, x3. De Jonquières. — Sur un trait caractéristique de dissemblance entre les surfaces et les courbes algébriques, d'où dépendent les limites respectives des nombres de points doubles (ou, plus généralement, de points multiples d'ordre r) qu'il est permis de leur attribuer arbitrairement, (156-162). Dans une Note précédente, l'auteur avait admis que, pour une surface algébrique (comme pour une courbe), le degré de l'adjointe ne pouvait être que 1 ou 2. Ayant reconnu que ce degré peut recevoir toutes les valeurs supérieures positives, M. Jonquières remarque qu'il en résulte pour les surfaces un avantage sur les courbes : c'est qu'on obtient le
probable z est une fonction déterminée de x1, ..., xn, on trouve. A chaque valeur de la fonction ψ correspondra une loi pour la probabilité des erreurs. Le choix de ψ se trouvera très restreint, si l'on ajoute la condition que ψ soit symétrique par rapport à x1, x2, x3. De Jonquières. — Sur un trait caractéristique de dissemblance entre les surfaces et les courbes algébriques, d'où dépendent les limites respectives des nombres de points doubles (ou, plus généralement, de points multiples d'ordre r) qu'il est permis de leur attribuer arbitrairement, (156-162). Dans une Note précédente, l'auteur avait admis que, pour une surface algébrique (comme pour une courbe), le degré de l'adjointe ne pouvait être que 1 ou 2. Ayant reconnu que ce degré peut recevoir toutes les valeurs supérieures positives, M. Jonquières remarque qu'il en résulte pour les surfaces un avantage sur les courbes : c'est qu'on obtient le nombre maximum des points doubles qu'on peut leur attribuer arbitrairement par une formule très simple qui dérive immédiatement des seules données du problème. Il est amené à rectifier sur ce point de la manière suivante les conclusions de la Note précitée. Le nombre maximum des points doubles qu'il est permis d'attribuer arbitrairement à une surface algébrique de degré m > 4, dont la détermination est complétée par des points simples donnés, est égal à la partie entière du nombre. Plus généralement, le nombre maximum des points multiples d'ordre r qu'il est permis d'attribuer arbitrairement à une surface d'ordre m, est égal à la partie entière du nombre. Lelieuvre. — Sur les lignes de courbure et les lignes asymptotiques des surfaces. (183-186). M. Fuchs a fait connaître les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation différentielle du premier ordre F (y, y', x) = 0, dans laquelle F est un polynôme entier en y et y', admette une intégrale générale n'ayant que des points critiques fixes; et M. Poincaré a montré que l'intégration revient, en général, à des opérations purement algébriques (à des quadratures, si le genre de la relation entre y et y' est un ; à une équation de
d'attribuer arbitrairement à une surface algébrique de degré m > 4, dont la détermination est complétée par des points simples donnés, est égal à la partie entière du nombre. Plus généralement, le nombre maximum des points multiples d'ordre r qu'il est permis d'attribuer arbitrairement à une surface d'ordre m, est égal à la partie entière du nombre. Lelieuvre. — Sur les lignes de courbure et les lignes asymptotiques des surfaces. (183-186). M. Fuchs a fait connaître les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'une équation différentielle du premier ordre F (y, y', x) = 0, dans laquelle F est un polynôme entier en y et y', admette une intégrale générale n'ayant que des points critiques fixes; et M. Poincaré a montré que l'intégration revient, en général, à des opérations purement algébriques (à des quadratures, si le genre de la relation entre y et y' est un ; à une équation de Riccati, si ce genre est zéro). M. Lelieuvre applique ces résultats à la recherche des lignes asymptotiques et des lignes de courbure des surfaces. Étant donné sur une surface un système de coordonnées x, y, z, il indique, dans des cas fort étendus, les conditions pour que l'équation différentielle en α, β des lignes de courbure et des lignes asymptotiques satisfasse aux conditions trouvées par M. Fuchs. Comme on connaît alors une de ces lignes sans intégration, on pourra généralement obtenir l'intégrale par des quadratures ou des opérations algébriques. Par exemple, si p est fonction rationnelle de x, y, z, il faut et il suffit que les points de rebroussement des lignes étudiées et leurs points de contact avec des lignes a = const. soient distribués le long de certaines lignes a = const. Dans le cas particulier des surfaces réglées non développables, les conditions cherchées sont les suivantes : 1° Ou bien le cône des tangentes asymptotiques le long des génératrices de révolution. 2° Ou bien le cône est tangent au cône isotrope et la surface admet deux génératrices rectilignes isotropes, ou une directrice isotrope et une trajectoire orthogonale minima de génératrices, ou deux de ces trajectoires. Les surfaces
α, β des lignes de courbure et des lignes asymptotiques satisfasse aux conditions trouvées par M. Fuchs. Comme on connaît alors une de ces lignes sans intégration, on pourra généralement obtenir l'intégrale par des quadratures ou des opérations algébriques. Par exemple, si p est fonction rationnelle de x, y, z, il faut et il suffit que les points de rebroussement des lignes étudiées et leurs points de contact avec des lignes a = const. soient distribués le long de certaines lignes a = const. Dans le cas particulier des surfaces réglées non développables, les conditions cherchées sont les suivantes : 1° Ou bien le cône des tangentes asymptotiques le long des génératrices de révolution. 2° Ou bien le cône est tangent au cône isotrope et la surface admet deux génératrices rectilignes isotropes, ou une directrice isotrope et une trajectoire orthogonale minima de génératrices, ou deux de ces trajectoires. Les surfaces contenues dans ce groupe sont imaginaires, sauf les quadriques. 3° Ou bien la surface admet quatre directrices isotropes, ou trois directrices rectilignes isotropes et une trajectoire minima, ou deux droites isotropes et deux trajectoires. Ce groupe ne contient que les surfaces du second degré. Lerch. — Sur une formule d'Arithmétique. (186-187). Si l'on désigne par ψ(p, q) le nombre des diviseurs de p supérieurs à q, on a la formule La première ne diffère que par la forme d'une formule de M. Catalan. Goursat. — Sur les systèmes d'équations linéaires qui sont identiques à leur adjoint. (187-190). Pour qu'un système d'équations linéaires du premier ordre où les A sont des fonctions quelconques de x, soit identique à son adjoint Il faut et il suffit que l'on ait, Aji = 0 et Aik + Aki = 0. Les propriétés d'un pareil système, déjà étudiées par M. Darboux (théorie des surfaces) dans le cas de n = 3, appartiennent au cas où n est quelconque. D'abord entre deux solutions quelconques a1, a2, ..., an et β1, β2, ..., βn du système (T) on a la relation α1 β1 + α2 β2 + ... + αn βn = constant. Particulièrement cette dernière propriété
(186-187). Si l'on désigne par ψ(p, q) le nombre des diviseurs de p supérieurs à q, on a la formule La première ne diffère que par la forme d'une formule de M. Catalan. Goursat. — Sur les systèmes d'équations linéaires qui sont identiques à leur adjoint. (187-190). Pour qu'un système d'équations linéaires du premier ordre où les A sont des fonctions quelconques de x, soit identique à son adjoint Il faut et il suffit que l'on ait, Aji = 0 et Aik + Aki = 0. Les propriétés d'un pareil système, déjà étudiées par M. Darboux (théorie des surfaces) dans le cas de n = 3, appartiennent au cas où n est quelconque. D'abord entre deux solutions quelconques a1, a2, ..., an et β1, β2, ..., βn du système (T) on a la relation α1 β1 + α2 β2 + ... + αn βn = constant. Particulièrement cette dernière propriété caractérise les systèmes en question. De là résulte que, connaissant n solutions linéairement indépendantes, on en conclut immédiatement l'intégrale générale. Si l'on connaît une solution du système (1), on pourra transformer ce système en un autre encore identique à son adjoint, mais d'ordre inférieur d'une unité. A partir de ces principes généraux l'auteur déduit que, dans le cas de n = 4, l'intégrale du système (i) peut toujours se ramener à celle de deux équations de Riccati. D'Ocagne. — Sur la détermination du chiffre qui, dans la suite naturelle des nombres, occupe un rang donné. (190-191). Si l'on pose (1|1) = 1, (2|1) = 2, (3|1) = 3, (n|1) = n ... 1, M(1) = 1, M(2) = 9, M(3) = 89, M(p) = p 88...89, on pourra formuler la règle suivante pour déterminer le chiffre qui occupe le rang k dans la suite naturelle des nombres : On détermine le nombre n tel que M(n − 2) &lt; k − 1, puis on effectue la division de k + (n|1) par n. Soient Q le quotient, R le reste. Si R n'est pas nul, le chiffre cherché est le Rème, à partir de la gauche, du nombre k. Si
principes généraux l'auteur déduit que, dans le cas de n = 4, l'intégrale du système (i) peut toujours se ramener à celle de deux équations de Riccati. D'Ocagne. — Sur la détermination du chiffre qui, dans la suite naturelle des nombres, occupe un rang donné. (190-191). Si l'on pose (1|1) = 1, (2|1) = 2, (3|1) = 3, (n|1) = n ... 1, M(1) = 1, M(2) = 9, M(3) = 89, M(p) = p 88...89, on pourra formuler la règle suivante pour déterminer le chiffre qui occupe le rang k dans la suite naturelle des nombres : On détermine le nombre n tel que M(n − 2) &lt; k − 1, puis on effectue la division de k + (n|1) par n. Soient Q le quotient, R le reste. Si R n'est pas nul, le chiffre cherché est le Rème, à partir de la gauche, du nombre k. Si R est nul, le chiffre cherché est le premier (à partir de la droite) du nombre ϕ 1. Tisserand. — Remarque à l'occasion d'une Communication de M. J. Bertrand. (231-232). Dans une Note relative à la loi de probabilité des erreurs, M. Bertrand a indiqué la question suivante : « Déterminer la fonction x2, x1 − xn), de manière que cette fonction soit symétrique par rapport à x, x2, ..., xn. » M. Tisserand donne la réponse à cette question. Si f est une fonction quelconque de x1, x2, ..., xn, on aura symétriquement Dans le cas où f est rationnelle, cette formule se réduit à f = Φ(Σy1y2, Σy1y2y3, Σy1y2...yn), y1, y2, ... désignant les écarts avec la moyenne x1, x2, ..., xn. Bertrand. — Probabilité du tir à la cible. (232-234). On a toujours admis, en étudiant la probabilité du tir à la cible, le principe suivant : Si par le centre de la cible on fait passer deux axes, l'un horizontal et l'autre vertical, la probabilité pour que l'abscisse du point frappé soit comprise entre x et x + dx étant désignée par f(x) dx et celle pour que l'ordonnée soit comprise entre y et y +
Déterminer la fonction x2, x1 − xn), de manière que cette fonction soit symétrique par rapport à x, x2, ..., xn. » M. Tisserand donne la réponse à cette question. Si f est une fonction quelconque de x1, x2, ..., xn, on aura symétriquement Dans le cas où f est rationnelle, cette formule se réduit à f = Φ(Σy1y2, Σy1y2y3, Σy1y2...yn), y1, y2, ... désignant les écarts avec la moyenne x1, x2, ..., xn. Bertrand. — Probabilité du tir à la cible. (232-234). On a toujours admis, en étudiant la probabilité du tir à la cible, le principe suivant : Si par le centre de la cible on fait passer deux axes, l'un horizontal et l'autre vertical, la probabilité pour que l'abscisse du point frappé soit comprise entre x et x + dx étant désignée par f(x) dx et celle pour que l'ordonnée soit comprise entre y et y + dy, par ψ(y) dy, on représente par f(x) ψ(y) dx dy la probabilité pour que le point frappé se trouve dans le rectangle dx dy de coordonnées x et y. Ce principe est fort contestable, et M. Bertrand indique quelques expériences à faire pour en vérifier l'exactitude. Au cas où ces expériences donneraient tort au principe admis jusqu'ici, M. Bertrand en propose un autre : La probabilité pour que la balle frappe dans un élément de surface dp dω serait, en désignant par k une fonction de w, Si donc on trace la série des courbes semblables G = const., le nombre des balles ayant frappé la cible au dehors de l'une de ces courbes devra décroître en progression géométrique quand la surface augmentera en progression arithmétique. De Jonquières. — Sur quelques notions, principes et formules, qui interviennent dans plusieurs questions concernant les courbes et les surfaces algébriques. (234-241) Rouché. Sur la durée du jeu. (253-256). « Pierre et Paul jouent l'un contre l'autre avec des probabilités égales. Ils possèdent chacun n francs avant d'entrer au jeu; à chaque partie le perdant donne 1 franc au gagnant et le jeu ne cesse que lorsque l'un quelconque des joueurs est ruiné.
ces expériences donneraient tort au principe admis jusqu'ici, M. Bertrand en propose un autre : La probabilité pour que la balle frappe dans un élément de surface dp dω serait, en désignant par k une fonction de w, Si donc on trace la série des courbes semblables G = const., le nombre des balles ayant frappé la cible au dehors de l'une de ces courbes devra décroître en progression géométrique quand la surface augmentera en progression arithmétique. De Jonquières. — Sur quelques notions, principes et formules, qui interviennent dans plusieurs questions concernant les courbes et les surfaces algébriques. (234-241) Rouché. Sur la durée du jeu. (253-256). « Pierre et Paul jouent l'un contre l'autre avec des probabilités égales. Ils possèdent chacun n francs avant d'entrer au jeu; à chaque partie le perdant donne 1 franc au gagnant et le jeu ne cesse que lorsque l'un quelconque des joueurs est ruiné. Quelle est la probabilité P pour que le jeu se termine juste à la fin d'une partie du rang assigné? » Réponse : r désignant le plus grand nombre premier entier contenu dans n. Voyer. — Sur un problème du Calcul des probabilités. (256-257). « Dans une urne contient a boules blanches, et b boules noires. Un joueur tire boules une à une jusqu'à ce qu'il ait amené p boules blanches. Il reçoit par boule tirée; quelle est son espérance mathématique? » Réponse : Humbert. -Sur les lignes de courbure des cyclides. (257-259). Darboux a montré qu'on peut déterminer les lignes de courbure de toute surface du quatrième degré, à conique double, quand on prend pour absolu lequel des quadriques inscrites dans cette surface. M. Humbert établit que les lignes de courbure considérées restent les mêmes, quelle que soit la quadrique inscrite prise pour absolu. En particulier, les lignes de courbure d'une cyclide par rapport à une quadrique inscrite quelconque coïncideront avec les lignes de courbure ordinaires. Le théorème s'applique aux surfaces du troisième ordre. Leurs lignes de courbure ne changent pas quand on prend successivement pour absolu chacune des coniques de l'un des vingt-sept systèmes situés sur la surface.
boules blanches, et b boules noires. Un joueur tire boules une à une jusqu'à ce qu'il ait amené p boules blanches. Il reçoit par boule tirée; quelle est son espérance mathématique? » Réponse : Humbert. -Sur les lignes de courbure des cyclides. (257-259). Darboux a montré qu'on peut déterminer les lignes de courbure de toute surface du quatrième degré, à conique double, quand on prend pour absolu lequel des quadriques inscrites dans cette surface. M. Humbert établit que les lignes de courbure considérées restent les mêmes, quelle que soit la quadrique inscrite prise pour absolu. En particulier, les lignes de courbure d'une cyclide par rapport à une quadrique inscrite quelconque coïncideront avec les lignes de courbure ordinaires. Le théorème s'applique aux surfaces du troisième ordre. Leurs lignes de courbure ne changent pas quand on prend successivement pour absolu chacune des coniques de l'un des vingt-sept systèmes situés sur la surface. La méthode des polaires réciproques conduit à cette transformation du premier théorème : la surface de quatrième classe et de douzième ordre, doublement inscrite dans un cône du deuxième degré, est coupée par toute quadrique inscrite suivant la courbe de contact, qui est du quatrième ordre, et suivant une autre courbe du seizième. Ces courbes du seizième ordre constituent le système des lignes de courbure de la surface quand on prend pour absolu une quadrique inscrite quelconque. En particulier, si la surface de quatrième classe admet le cercle à l'infini comme ligne double, les lignes précédentes deviennent des lignes de courbure ordinaires, dont on a ainsi une détermination géométrique très simple. Hadamard. — Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable. Étant donnée une série entière a0 + Ha1 + ... + am xm + ..., on demande de déterminer son cercle de convergence, si elle en a un. Dans le cas où le module de z ou de Hvam a une limite, le rayon de convergence est égal à l'inverse de cette limite (Lecornu). M. Hadamard résout le problème dans tous les cas. Il montre ensuite, plus rigoureusement que ne l'avait fait M. Lecornu
courbe du seizième. Ces courbes du seizième ordre constituent le système des lignes de courbure de la surface quand on prend pour absolu une quadrique inscrite quelconque. En particulier, si la surface de quatrième classe admet le cercle à l'infini comme ligne double, les lignes précédentes deviennent des lignes de courbure ordinaires, dont on a ainsi une détermination géométrique très simple. Hadamard. — Sur le rayon de convergence des séries ordonnées suivant les puissances d'une variable. Étant donnée une série entière a0 + Ha1 + ... + am xm + ..., on demande de déterminer son cercle de convergence, si elle en a un. Dans le cas où le module de z ou de Hvam a une limite, le rayon de convergence est égal à l'inverse de cette limite (Lecornu). M. Hadamard résout le problème dans tous les cas. Il montre ensuite, plus rigoureusement que ne l'avait fait M. Lecornu et en faisant une hypothèse sur la manière dont le rapport tend vers sa limite quand il en a une, que cette limite est l'affixe du point singulier de la fonction ϕ(x) représentée par la série entière. Autonne. — Sur l'application des substitutions quadratiques crémoniennes à l'intégration de l'équation différentielle du premier ordre. M. Autonne développe la méthode fondée sur l'emploi des substitutions quadratiques crémoniennes, qu'il a indiquée pour l'intégration de l'équation différentielle du premier ordre dans les Comptes rendus de l'année précédente, et il applique cette méthode à quelques cas très étendus. Pincherle. — Sur une généralisation des fonctions crémoniennes. Si l'on pose ct qu'on désigne par α1, α2, ..., am m constantes ayant leur partie réelle positive, l'intégrale représente une fonction analytique (-1)zϕ(z)(x) pour toute valeur de z dont la partie réelle est égale ou supérieure à m et pour toute valeur de x dont la partie réelle est plus grande que le rayon de convergence de la série Σknxn. M. Pincherle fait connaître les principales propriétés de cette fonction qui a la plus grande analogie avec la fonction 0 qu'a étudiée M. Appell dans son Mémoire Sur une classe de fonctions analogues aux fonctions elliptiques (Math. Annalen,
du premier ordre. M. Autonne développe la méthode fondée sur l'emploi des substitutions quadratiques crémoniennes, qu'il a indiquée pour l'intégration de l'équation différentielle du premier ordre dans les Comptes rendus de l'année précédente, et il applique cette méthode à quelques cas très étendus. Pincherle. — Sur une généralisation des fonctions crémoniennes. Si l'on pose ct qu'on désigne par α1, α2, ..., am m constantes ayant leur partie réelle positive, l'intégrale représente une fonction analytique (-1)zϕ(z)(x) pour toute valeur de z dont la partie réelle est égale ou supérieure à m et pour toute valeur de x dont la partie réelle est plus grande que le rayon de convergence de la série Σknxn. M. Pincherle fait connaître les principales propriétés de cette fonction qui a la plus grande analogie avec la fonction 0 qu'a étudiée M. Appell dans son Mémoire Sur une classe de fonctions analogues aux fonctions elliptiques (Math. Annalen, t. XIX). Le cas particulier le plus intéressant s'obtient en faisant χ(t) = 1. Les fonctions générales ϕ(z)(x) peuvent être développées en séries suivant les dérivées successives de la fonction qui correspond à ce cas particulier. Lucas (F.). — Résolution électrique des équations algébriques. L'auteur indique deux méthodes fondées sur l'emploi de l'électricité pour ramener la résolution d'une équation du degré p, f(z) = 0, à celle d'équations de degrés inférieurs à p. On prendra la fonction primitive F(z) de f(z) sans terme constant, et, séparant les termes de degré pair des termes de degré impair, on obtiendra en égalant ces derniers à 0 une équation ψ(z2) = 0, degré p ou — suivant que p est pair ou impair. Soit λ2 une de ses racines; l'équation F(z)-ϕ(λ2) = 0 est du degré mais, connaissant déjà les deux racines + 1 et — 1, on est ramené à une équation du degré p — 1. Les points racines de l'équation proposée f(z) = 0 sont les points nodaux des courbes équipotentielles du système des p + 1 points racines de l'équation précédente. On pourra donc, comme l'a déjà indiqué l'auteur, les obtenir soit par la méthode d'exploration galvanométrique de Kirchhoff,