jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
pour toutes les autres. Donc, recherche des surfaces ainsi définies se ramène à celle des systèmes de courbes sphériques orthogonales comprenant une famille d'hélices tracées sur des cylindres quelconques. D'autre part, l'indicatrice sphérique d'une hélice est un petit cercle dont le plan est perpendiculaire aux génératrices du cylindre sur lequel est tracée cette hélice. Ou à d'ailleurs, pour revenir d'une courbe sphérique quelconque C' à la courbe sphérique C dont elle est l'indicatrice, la règle suivante : On exprime le rayon de courbure R, de C, en fonction de l'arc s, de cette courbe. Par le centre O de la sphère, on trace un rayon vecteur OM, de C1, la parallèle ON, au segment positif de la tangente en M, à C1, puis, dans le plan perpendiculaire en O à OM1, une droite OM faisant dans le sens positif avec ON, un angle w donné par la formule la trace M de cette dernière droite sur la sphère décrit la courbe cherchée. De là résulte une construction très simple de l'hélice sphérique. M. Petot donne. la règle à suivre pour obtenir sur la sphère le système de coordonnées u, v le plus général comprenant une famille d'hélices. Le problème dépend de l'intégration d'une équation linéaire du second ordre qui se ramène (comme l'a montré M. Darboux) à une équation de Laplace quand on sait intégrer l'équation des trajectoires orthogonales des hélices. Jensen. — Sur un théorème général de convergence. Réponse aux remarques de M. Cesaro. Poincaré. — Sur l'équilibre d'une masse hétérogène en rotation. Dans une thèse de date récente, M. Hamy a montré que, si une masse fluide, animée d'un mouvement de rotation, est composée de couches de densités différentes, les surfaces de séparation de deux couches consécutives ne peuvent être toutes des ellipsoïdes. Pour établir cette proposition, M. Hamy a commencé par démontrer le théorème suivant: « Si toutes les surfaces de séparation étaient des ellipsoïdes, tous ces ellipsoïdes seraient homofocaux ». Ce lemme, d'après M. Poincaré, est susceptible de la généralisation que voici : Que l'on imagine un noyau solide de densité p variable en chaque point,
de l'intégration d'une équation linéaire du second ordre qui se ramène (comme l'a montré M. Darboux) à une équation de Laplace quand on sait intégrer l'équation des trajectoires orthogonales des hélices. Jensen. — Sur un théorème général de convergence. Réponse aux remarques de M. Cesaro. Poincaré. — Sur l'équilibre d'une masse hétérogène en rotation. Dans une thèse de date récente, M. Hamy a montré que, si une masse fluide, animée d'un mouvement de rotation, est composée de couches de densités différentes, les surfaces de séparation de deux couches consécutives ne peuvent être toutes des ellipsoïdes. Pour établir cette proposition, M. Hamy a commencé par démontrer le théorème suivant: « Si toutes les surfaces de séparation étaient des ellipsoïdes, tous ces ellipsoïdes seraient homofocaux ». Ce lemme, d'après M. Poincaré, est susceptible de la généralisation que voici : Que l'on imagine un noyau solide de densité p variable en chaque point, recouvert entièrement de deux couches fluides de densités p, et p., la seconde enveloppant la première, et le tout animé d'un mouvement de rotation commun; si les surfaces extérieures des deux couches fluides sont des ellipsoïdes, ces ellipsoïdes seront homofocaux. Il est d'ailleurs possible d'imaginer à l'intérieur du noyau solide une distribution de la densité telle que les deux couches fluides prennent effectivement la forme de deux ellipsoïdes homofocaux. Le résultat qui précède s'étend au cas de n couches recouvrant un noyau solide et se recouvrant les unes les autres. La surface extérieure et les surfaces de séparation successives doivent être des ellipsoïdes homofocaux, si elles sont ellipsoïdales. Gylden. — Quelques remarques relativement à la représentation des nombres irrationnels. Si l'on développe un nombre incommensurable compris entre 0 et 1 en fraction continue, l'expérience montre qu'on trouve ordinairement pour les quotients incomplets successifs des valeurs entières. On est donc amené à se poser la question suivante : Quelle est la probabilité pour que, λ étant pris au hasard, on trouve parmi les quotients incomplets un entier donné à l'avance? ou encore : Existe-t-il une valeur probable de ces quotients incomplets? M. Gylden répond par l'affirmative et trouve pour cette valeur
une distribution de la densité telle que les deux couches fluides prennent effectivement la forme de deux ellipsoïdes homofocaux. Le résultat qui précède s'étend au cas de n couches recouvrant un noyau solide et se recouvrant les unes les autres. La surface extérieure et les surfaces de séparation successives doivent être des ellipsoïdes homofocaux, si elles sont ellipsoïdales. Gylden. — Quelques remarques relativement à la représentation des nombres irrationnels. Si l'on développe un nombre incommensurable compris entre 0 et 1 en fraction continue, l'expérience montre qu'on trouve ordinairement pour les quotients incomplets successifs des valeurs entières. On est donc amené à se poser la question suivante : Quelle est la probabilité pour que, λ étant pris au hasard, on trouve parmi les quotients incomplets un entier donné à l'avance? ou encore : Existe-t-il une valeur probable de ces quotients incomplets? M. Gylden répond par l'affirmative et trouve pour cette valeur probable le nombre 2. Liouville (R.). — Sur certaines équations différentielles du premier ordre. L'équation différentielle y' + a1 y3 + 3 a2 y2 + 3 a3 y + 1a, = 0, Où les a sont des fonctions données de la variable indépendante, est réductible par la substitution Où s3, hl, h2, ba sont des fonctions convenables de x qu'on obtient par des calculs toujours possibles, à une équation linéaire du troisième ordre, dont les coefficients ne renferment aucun paramètre. Cesaro. — Sur les fondements du calcul asymptotique. Soit f(a) + f(b) + f(c) + ... = F(x), où a, b, c, ... sont les diviseurs de n. M. Cesaro montre que, si la série est absolument convergente, la fonction f est moyennement nulle et la fonction F égale en moyenne à la somme de la série. Par exemple, on sait que les fonctions de Mertens et de Gauss sont liées par la relation est absolument convergente. Donc ^ est, en moyenne, égale à — • Peut-on en conclure que ϕ (n) est asymptotique à — n? M. Cesaro fait voir que cette conclusion est légitime en démontrant le théorème suivant : « Si la fonction F'(n) est moyennement égale
hl, h2, ba sont des fonctions convenables de x qu'on obtient par des calculs toujours possibles, à une équation linéaire du troisième ordre, dont les coefficients ne renferment aucun paramètre. Cesaro. — Sur les fondements du calcul asymptotique. Soit f(a) + f(b) + f(c) + ... = F(x), où a, b, c, ... sont les diviseurs de n. M. Cesaro montre que, si la série est absolument convergente, la fonction f est moyennement nulle et la fonction F égale en moyenne à la somme de la série. Par exemple, on sait que les fonctions de Mertens et de Gauss sont liées par la relation est absolument convergente. Donc ^ est, en moyenne, égale à — • Peut-on en conclure que ϕ (n) est asymptotique à — n? M. Cesaro fait voir que cette conclusion est légitime en démontrant le théorème suivant : « Si la fonction F'(n) est moyennement égale à a, la fonction nr F(n) est asymptotique à ϭnr. » L'auteur indique même une proposition plus générale. On sait que, si la série à termes positifs est divergente, on a pourvu que la limite du second membre existe, tandis que la moyenne — ( u1 + u2 + ... + un) tendrait vers une limite À. Dans ce cas, et sous la condition on a, d'après M. Cesaro, Lecornu. — Sur les mouvements giratoires des fluides. Un liquide est dit animé d'un mouvement giratoire lorsque tout s'y passe symétriquement autour d'un axe Oz. M. Lecornu examine le cas où, le fluide étant incompressible, les tourbillons seraient représentés par les vitesses des divers points d'un solide tournant uniformément autour de l'axe. Si u, v, w désignent les composantes de la vitesse : 1° dans la direction opposée à la distance r à l'axe; 2° dans la direction de l'horizontale perpendiculaire à r; 3° dans la direction de la verticale Oz, on a, dans le cas en question, k étant une constante et cr une fonction assujettie à la condition M. Lecornu signale deux solutions simples de cette équation aux dérivées partielles où a et b désignent des fonctions quelconques du
+ un) tendrait vers une limite À. Dans ce cas, et sous la condition on a, d'après M. Cesaro, Lecornu. — Sur les mouvements giratoires des fluides. Un liquide est dit animé d'un mouvement giratoire lorsque tout s'y passe symétriquement autour d'un axe Oz. M. Lecornu examine le cas où, le fluide étant incompressible, les tourbillons seraient représentés par les vitesses des divers points d'un solide tournant uniformément autour de l'axe. Si u, v, w désignent les composantes de la vitesse : 1° dans la direction opposée à la distance r à l'axe; 2° dans la direction de l'horizontale perpendiculaire à r; 3° dans la direction de la verticale Oz, on a, dans le cas en question, k étant une constante et cr une fonction assujettie à la condition M. Lecornu signale deux solutions simples de cette équation aux dérivées partielles où a et b désignent des fonctions quelconques du temps. En prenant la seconde solution et réduisant a et b à des constantes (mouvement permanent), on voit que les trajectoires sont situées sur des surfaces de révolution, algébriques et du huitième ordre; la région où le mouvement est ascendant est séparée de celle où il est descendant par la surface du sixième ordre Si k = 0, le mouvement giratoire est dépourvu de tourbillons (au sens d'Helmholtz). Les trajectoires se réduisent alors à des loxodromies tracées sur des sphères concentriques. Defforges. — Sur un point de l'histoire du pendule. Preuves du droit de priorité de Prony dans l'indication de la méthode à suivre pour déterminer la longueur du pendule simple en faisant osciller un pendule composé autour de deux ou de trois axes attachés à ce pendule. Wolf. — Remarques relatives à la Note de M. Defforges. Gylden. — Quelques remarques relatives à la représentation de nombres irrationnels au moyen des fractions continues. Goursat. — Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace. A toute substitution orthogonale à quatre variables on peut faire correspondre une substitution linéaire définie par les deux systèmes de formules La recherche des groupes d'ordre fini de substitutions linéaires orthogonales à quatre variables
surface du sixième ordre Si k = 0, le mouvement giratoire est dépourvu de tourbillons (au sens d'Helmholtz). Les trajectoires se réduisent alors à des loxodromies tracées sur des sphères concentriques. Defforges. — Sur un point de l'histoire du pendule. Preuves du droit de priorité de Prony dans l'indication de la méthode à suivre pour déterminer la longueur du pendule simple en faisant osciller un pendule composé autour de deux ou de trois axes attachés à ce pendule. Wolf. — Remarques relatives à la Note de M. Defforges. Gylden. — Quelques remarques relatives à la représentation de nombres irrationnels au moyen des fractions continues. Goursat. — Sur les substitutions orthogonales et les divisions régulières de l'espace. A toute substitution orthogonale à quatre variables on peut faire correspondre une substitution linéaire définie par les deux systèmes de formules La recherche des groupes d'ordre fini de substitutions linéaires orthogonales à quatre variables se trouve ainsi ramenée à la recherche des groupes d'ordre fini composés de substitutions de la forme (A) ou de la forme (B). Après avoir donné des règles pour former ces derniers groupes, M. Goursat remarque que, si l'on désigne par x, y, z les coordonnées rectangulaires d'un Point et que l'on pose toute substitution orthogonale effectuée sur les u définit un mode de transformation de l'espace qui conserve les angles. Une pareille transformation équivaut à un certain nombre d'inversions. On voit donc qu'à tout groupe fini de substitutions orthogonales à quatre variables correspond une division régulière de l'espace en un nombre fini de régions dont chacune se déduit de la première par une suite d'inversions. Parmi les divisions ainsi obtenues, il y a lieu de considérer celles où les régions sont des tétraèdres à faces planes ou sphériques, deux tétraèdres qui ont une face commune étant symétriques par rapport à cette face; tous ces tétraèdres se déduisent de l'un d'entre eux en prenant le symétrique du premier par rapport à une de ses faces, puis le symétrique du nouveau tétraèdre et ainsi de suite. Les divisions précédentes de l'espace peuvent être rattachées aux figures régulières de l'espace à quatre
que l'on pose toute substitution orthogonale effectuée sur les u définit un mode de transformation de l'espace qui conserve les angles. Une pareille transformation équivaut à un certain nombre d'inversions. On voit donc qu'à tout groupe fini de substitutions orthogonales à quatre variables correspond une division régulière de l'espace en un nombre fini de régions dont chacune se déduit de la première par une suite d'inversions. Parmi les divisions ainsi obtenues, il y a lieu de considérer celles où les régions sont des tétraèdres à faces planes ou sphériques, deux tétraèdres qui ont une face commune étant symétriques par rapport à cette face; tous ces tétraèdres se déduisent de l'un d'entre eux en prenant le symétrique du premier par rapport à une de ses faces, puis le symétrique du nouveau tétraèdre et ainsi de suite. Les divisions précédentes de l'espace peuvent être rattachées aux figures régulières de l'espace à quatre dimensions. Perrin. — Sur la relation qui existe entre p fonctions entières de p variables. (1789-1791). Soient il, v, w, ..., p fonctions entières quelconques de p variables (non homogènes) x, y, z.... Le résultant Il de ces fonctions peut être mis sous la forme où R désigne la dérivée partielle ~-r aa'i dbr n— Cette formule établit entre ~àc... les p fonctions il, v, w, ... une relation qui est de degré μ = mnp... par rapport à x, y, z, ... et de degrés — > -, —, ... par rapport aux coefficients m n p de il, v, IV, La relation précédente n'est autre que celle sur l'existence de laquelle est fondée la méthode d'élimination de Bézout. Il est donc toujours possible de donner aux polynômes multiplicateurs de Bézout (et cela de plusieurs manières) la forme de fonctions entières des fonctions données elles-mêmes. Quand on ne s'astreint pas à leur donner cette forme, la relation (1) montre entre quelles limites ils deviennent indéterminés. En la différentiant, on obtient de nouvelles relations qui peuvent s'écrire abréviativement et qui permettent de préciser les conditions d'existence des divers genres de solutions multiples d'un système (u, V, w, ...). Cesaro. —
partielle ~-r aa'i dbr n— Cette formule établit entre ~àc... les p fonctions il, v, w, ... une relation qui est de degré μ = mnp... par rapport à x, y, z, ... et de degrés — > -, —, ... par rapport aux coefficients m n p de il, v, IV, La relation précédente n'est autre que celle sur l'existence de laquelle est fondée la méthode d'élimination de Bézout. Il est donc toujours possible de donner aux polynômes multiplicateurs de Bézout (et cela de plusieurs manières) la forme de fonctions entières des fonctions données elles-mêmes. Quand on ne s'astreint pas à leur donner cette forme, la relation (1) montre entre quelles limites ils deviennent indéterminés. En la différentiant, on obtient de nouvelles relations qui peuvent s'écrire abréviativement et qui permettent de préciser les conditions d'existence des divers genres de solutions multiples d'un système (u, V, w, ...). Cesaro. — Sur un théorème de Kummer. (1791-1794). Réponse à la dernière Note de M. Jensen. ACTA MATHEMATICA Tome IX; 1886. Bendixon. — Sur une extension à l'infini de la formule d'interpolation de Gauss. (134) La formule d'interpolation de Gauss donne l'expression d'une fonction entière f (x) de degré n — 1 vérifiant les n relations f (av) = A v (v = 1, 2, ..., n) sous la forme où les quantités sont formées d'après des lois très simples au moyen des quantités Av. L'auteur s'est proposé d'étendre cette formule à une fonction analytique quelconque f(x) vérifiant une infinité de relations f (av) = Av. Il est amené dans ce but à étudier d'abord les propriétés des séries de la forme Où les B v sont des constantes indépendantes de x; ces propriétés sont différentes suivant que la quantité av a une limite finie a pour v infini, ou que le module de a augmente indéfiniment avec v. Si lim av = a pour v = ∞, les séries précédentes présentent la plus grande analogie avec les séries ordonnées suivant les puissances entières de x — a, comme cela résulte de la proposition fondamentale suivante : Si une série de la
vérifiant les n relations f (av) = A v (v = 1, 2, ..., n) sous la forme où les quantités sont formées d'après des lois très simples au moyen des quantités Av. L'auteur s'est proposé d'étendre cette formule à une fonction analytique quelconque f(x) vérifiant une infinité de relations f (av) = Av. Il est amené dans ce but à étudier d'abord les propriétés des séries de la forme Où les B v sont des constantes indépendantes de x; ces propriétés sont différentes suivant que la quantité av a une limite finie a pour v infini, ou que le module de a augmente indéfiniment avec v. Si lim av = a pour v = ∞, les séries précédentes présentent la plus grande analogie avec les séries ordonnées suivant les puissances entières de x — a, comme cela résulte de la proposition fondamentale suivante : Si une série de la forme B ( x — a 1 ) ... ( x — av ) ou lim a— a est convergente pour x = x 1, elle est absolument convergente pour chaque valeur de x telle que x a < x 1 a. Pour le démontrer, il suffit de remarquer que, si l'on a choisi un nombre entier m assez grand pour que le module du terme général de la série peut s'écrire et l'on voit immédiatement que ce module est inférieur à k v, k désignant un nombre fixe. De ce théorème on déduit une suite de théorèmes correspondant aux propositions connues d'Abel sur les séries ordonnées suivant les puissances entières et positives d'une variable. Ainsi toute série (i) ou lim a, = a est absolument convergente à l'intérieur d'un cercle de rayon ayant son centre au Point a et divergente à l'extérieur; la convergence est uniforme à l'intérieur de tout cercle concentrique au premier et de rayon plus petit. Sur le cercle de convergence lui-même, la série peut être convergente ou divergente, mais, si elle est convergente en un point a de ce cercle, on a l'égalité E étant réel et positif. Il suit de là que, si une
si l'on a choisi un nombre entier m assez grand pour que le module du terme général de la série peut s'écrire et l'on voit immédiatement que ce module est inférieur à k v, k désignant un nombre fixe. De ce théorème on déduit une suite de théorèmes correspondant aux propositions connues d'Abel sur les séries ordonnées suivant les puissances entières et positives d'une variable. Ainsi toute série (i) ou lim a, = a est absolument convergente à l'intérieur d'un cercle de rayon ayant son centre au Point a et divergente à l'extérieur; la convergence est uniforme à l'intérieur de tout cercle concentrique au premier et de rayon plus petit. Sur le cercle de convergence lui-même, la série peut être convergente ou divergente, mais, si elle est convergente en un point a de ce cercle, on a l'égalité E étant réel et positif. Il suit de là que, si une fonction f(x) peut être représentée dans le domaine du point a par une série convergente de la forme (i), cette fonction f(x) est égale dans ce domaine à une fonction analytique de x et peut par conséquent être représentée par une série P(x — a). Inversement, étant donnée une fonction analytique régulière dans le domaine du point a, si cette fonction peut être développée en série B v (x — a 1 ) ... (x — av ), les coefficients B v se déterminent aisément des valeurs A v que prend la fonction aux points a 1, a 2, av. On a, par exemple Pour que la série ainsi obtenue représente la fonction f(x), il faut évidemment qu'elle soit convergente; cette condition est d'ailleurs suffisante, car, si l'on pose les coefficients B v étant calculés au moyen des égalités précédentes, l'égalité ϕ (x) = f(x) subsiste pour une infinité de valeurs dans le voisinage du point a. En appliquant cette méthode à la fonction f(x) = 1 / (a + x), on parvient à une série qui est convergente tant que x < a, et l'on a pour toutes ces valeurs de x et, en remplaçant x par α −
analytique régulière dans le domaine du point a, si cette fonction peut être développée en série B v (x — a 1 ) ... (x — av ), les coefficients B v se déterminent aisément des valeurs A v que prend la fonction aux points a 1, a 2, av. On a, par exemple Pour que la série ainsi obtenue représente la fonction f(x), il faut évidemment qu'elle soit convergente; cette condition est d'ailleurs suffisante, car, si l'on pose les coefficients B v étant calculés au moyen des égalités précédentes, l'égalité ϕ (x) = f(x) subsiste pour une infinité de valeurs dans le voisinage du point a. En appliquant cette méthode à la fonction f(x) = 1 / (a + x), on parvient à une série qui est convergente tant que x < a, et l'on a pour toutes ces valeurs de x et, en remplaçant x par α − x, ou a, on obtient la nouvelle formule qui a lieu pour x < α − a. Soit maintenant F(x) une fonction analytique régulière dans le domaine du point a; les points a1, a2, ..., av et x étant pris à l'intérieur du cercle de convergence C, on a la relation l'intégrale étant prise le long d'une circonférence concentrique et intérieure à la première et comprenant toutes les quantités x, a1, a2, ..., av, .... Si l'on y remplace a1, x par le développement précédent, F(x) se présente sous la forme, suivi d'un reste tendant vers zéro lorsque v augmente indéfiniment, on en conclut que F(x) peut être développée à l'intérieur de C en une série de la forme (i) et les coefficients ont nécessairement les valeurs qui se calculent directement au moyen des valeurs A, de F(x) pour les valeurs av de x. L'auteur passe ensuite aux séries de la forme (i) où l'on a lim av= 00 pour v = ∞, et il prend d'abord un cas particulier très simple ~( 2 ) 1 + x~ + (x ^2 )... (x ^4 ) oc a, ( 0( a, ) (aa. ) ( 0( — ai )... ( 0(
relation l'intégrale étant prise le long d'une circonférence concentrique et intérieure à la première et comprenant toutes les quantités x, a1, a2, ..., av, .... Si l'on y remplace a1, x par le développement précédent, F(x) se présente sous la forme, suivi d'un reste tendant vers zéro lorsque v augmente indéfiniment, on en conclut que F(x) peut être développée à l'intérieur de C en une série de la forme (i) et les coefficients ont nécessairement les valeurs qui se calculent directement au moyen des valeurs A, de F(x) pour les valeurs av de x. L'auteur passe ensuite aux séries de la forme (i) où l'on a lim av= 00 pour v = ∞, et il prend d'abord un cas particulier très simple ~( 2 ) 1 + x~ + (x ^2 )... (x ^4 ) oc a, ( 0( a, ) (aa. ) ( 0( — ai )... ( 0( -av+1 ) dont l'étude conduit à des conclusions intéressantes. La relation nous ramène à l'étude du produit infini si la série ^ — est convergente, on voit que ce produit est convergent pour toute valeur de x, et par conséquent la série (2) sera convergente dans tout le plan. Si la série n'est pas convergente, M. Bendixon se borne au cas Où les av sont tous réels et positifs et où la série ^ — est divergente. L'étude du produit infini (3) le conduit à cette conclusion que la série (3) est convergente si R(α − x) < 0, et divergente dans le cas où R(a − x) > 0, R désignant la partie réelle d'une quantité imaginaire; dans la région comprise dans le domaine de convergence, la série (2) est absolument et uniformément convergente. On arrive encore à des conclusions très nettes relativement aux séries de la forme où r1, r2, ..., rv, ... sont des quantités positives telles que lim rv = 00 et que la série ^ — est divergente. En général, pour une série de cette espèce, il existe un nombre p tel que la série est convergente si R (x) > ρ et divergente si