jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
les relations précédentes γkλ, y, cmn respectivement par αkλ, α, amn, puis par p, bmn. Si l'on fait (u, x, y, z étant des arguments et A, Â1; B, B. des fonctions quelconques) a1 = A, ϑ3 (w -tx, q2), A2 ϑ3 ( w — x, q2), K + x, q2), β1 = A, ϑ2 (w — x, q2), β21 = B2ϑ3(y-z,q2), ϑ2(y+z, q2); B22 = B2ϑ2(y-z; q2), et qu'on établisse entre les αkλ, βa, γkλ les relations γkλ = α1 α2 P( k, À = 1, 2 ), on arrive, en posant w + x — 2 u1, iv — x = 2u2, y+z — 2 V, y-z — 2V2, et par l'emploi des transformations du second degré, à cette expression des ya T = Ak BI ( uk + x-j ), (uk vλ). Alors le système orthogonal Cmn se trouve composé au moyen des systèmes amn, bmn de la manière suivante Cmn= am1bn1+am2bn2+ am3bn3 (m, n =1, 2, 3), et les cmn sont exprimés au moyen de la seule fonction impaire Goursat. — Sur les invariants des équations différentielles. Après avoir rappelé que, depuis les recherches de M. Halphen sur les invariants différentiels des équations linéaires, divers géomètres (MM. R. Liouville, Appell, etc.) ont étendu la notion d'invariants différentiels à certaines équations, pour des catégories spéciales de transformations, M. Goursat fait remarquer que l'existence de ces invariants peut être démontrée d'une manière générale. Les considérations, empruntées à M. Lie (Théorie des Transformations groupelles), par lesquelles il établit cette proposition pour toutes les équations différentielles ordinaires, peuvent être étendues aux systèmes de pareilles équations et même d'équations aux dérivées partielles, ainsi qu'à la théorie des formes de différentielles et des paramètres différentiels. Caspary. — Sur l'application des fonctions theta d'un seul argument aux problèmes de la rotation. (901-903 et 937-938). Cas d'un solide qui n'est sollicité par aucune force accélératrice.— Cas d'un solide pesant de révolution. Guccia. — Théorème concernant les courbes algébriques planes. (903-904) . Soit ƒ=0 l'équation d'une courbe algébrique plane dont le premier membre renferme linéairement des paramètres indéterminés .... Si l'on désigne par pƒ le
(MM. R. Liouville, Appell, etc.) ont étendu la notion d'invariants différentiels à certaines équations, pour des catégories spéciales de transformations, M. Goursat fait remarquer que l'existence de ces invariants peut être démontrée d'une manière générale. Les considérations, empruntées à M. Lie (Théorie des Transformations groupelles), par lesquelles il établit cette proposition pour toutes les équations différentielles ordinaires, peuvent être étendues aux systèmes de pareilles équations et même d'équations aux dérivées partielles, ainsi qu'à la théorie des formes de différentielles et des paramètres différentiels. Caspary. — Sur l'application des fonctions theta d'un seul argument aux problèmes de la rotation. (901-903 et 937-938). Cas d'un solide qui n'est sollicité par aucune force accélératrice.— Cas d'un solide pesant de révolution. Guccia. — Théorème concernant les courbes algébriques planes. (903-904) . Soit ƒ=0 l'équation d'une courbe algébrique plane dont le premier membre renferme linéairement des paramètres indéterminés .... Si l'on désigne par pƒ le genre d'une quelconque des courbes 1, par pƒƒ le genre de toute courbe ƒr ƒs + ƒt ƒu= 0, où ƒr, ƒs, ƒt, ƒu sont des polynômes f linéairement indépendants, déterminés par quatre systèmes des valeurs des paramètres, et, si l'on appelle D le nombre des intersections, variables avec les A, des deux courbes f = 0, on a D + 2p. — Pƒƒ=I. Picard. — Sur une proposition générale concernant les équations aux dérivées partielles de 2e ordre. (939-941). Étant donnée l'équation linéaire dont les coefficients sont des fonctions continues de Xi et y dans les portions du plan que l'on considère, et un système (x0, y0) de valeurs de x et y pour lequel b3-ac<0, si l'on trace dans un certain domaine autour de ce point une courbe fermée c, il ne pourra exister deux intégrales uniformes et continues dans l'aire limitée par c et prenant sur cette courbe les mêmes valeurs. En second lieu, il existe effectivement autour de (x0, y0) un certain domaine, tel qu'une intégrale de l'équation sera entièrement déterminée par ses valeurs le long d'une courbe fermée c appartenant à ce domaine. Ce second point, le plus intéressant des deux, est établi par M.
A, des deux courbes f = 0, on a D + 2p. — Pƒƒ=I. Picard. — Sur une proposition générale concernant les équations aux dérivées partielles de 2e ordre. (939-941). Étant donnée l'équation linéaire dont les coefficients sont des fonctions continues de Xi et y dans les portions du plan que l'on considère, et un système (x0, y0) de valeurs de x et y pour lequel b3-ac<0, si l'on trace dans un certain domaine autour de ce point une courbe fermée c, il ne pourra exister deux intégrales uniformes et continues dans l'aire limitée par c et prenant sur cette courbe les mêmes valeurs. En second lieu, il existe effectivement autour de (x0, y0) un certain domaine, tel qu'une intégrale de l'équation sera entièrement déterminée par ses valeurs le long d'une courbe fermée c appartenant à ce domaine. Ce second point, le plus intéressant des deux, est établi par M. Picard à l'aide d'un développement en série de l'intégrale qui avait déjà servi à M. Schwarz pour démontrer la même proposition relativement à l'équation moins générale Du Bois-Reymond (P.). — Sur les caractères de convergence et de divergence des suites à termes positifs. (942-944). Le théorème de M. Jensen, savoir que « la suite à termes positifs ∑u est convergente (divergente) si, à partir d'une certaine valeur de n, on a an et μ étant positifs, et la suite ∑ divergente », est compris, quant à la convergence, dans un théorème de M. du Bois-Reymond (Journal de Celle, t. 76, p. 61). La forme que M. Jensen donne à son critère de divergence donne lieu à cette question : Existe-t-il une fonction λp, telle que pour la suite ∑, soit toujours convergente? M. du Bois-Reymond démontre qu'une telle fonction n'existe pas. Raffy. — Sur la rectification des cubiques planes unicursales. (944-946). L'arc d'une courbe unicursale s'exprime par une intégrale hyperelliptique dont le genre dépend de quatre sortes de singularités, dont M. Raffy détermine la nature et l'effet. La connaissance de ces singularités permet de caractériser toutes les cubiques unicursales dont l'arc est de genre inférieur à trois. I° Genre 2.
que « la suite à termes positifs ∑u est convergente (divergente) si, à partir d'une certaine valeur de n, on a an et μ étant positifs, et la suite ∑ divergente », est compris, quant à la convergence, dans un théorème de M. du Bois-Reymond (Journal de Celle, t. 76, p. 61). La forme que M. Jensen donne à son critère de divergence donne lieu à cette question : Existe-t-il une fonction λp, telle que pour la suite ∑, soit toujours convergente? M. du Bois-Reymond démontre qu'une telle fonction n'existe pas. Raffy. — Sur la rectification des cubiques planes unicursales. (944-946). L'arc d'une courbe unicursale s'exprime par une intégrale hyperelliptique dont le genre dépend de quatre sortes de singularités, dont M. Raffy détermine la nature et l'effet. La connaissance de ces singularités permet de caractériser toutes les cubiques unicursales dont l'arc est de genre inférieur à trois. I° Genre 2. — a. Rebroussement à distance finie. b. Contact avec la droite de l'infini, c. Asymptote double. 2e Genre 1. — a. Deux points d'inflexion à tangente isotrope, situés à distance finie. b. Rebroussement à distance finie et contact avec la droite de l'infini; c. Inflexion parabolique ou rebroussement parabolique à l'infini, d. Passage par les points cycliques. 3e Genre zéro. — a. Courbes représentées en coordonnées rectangulaires par le système b. Paraboles semi-cubiques, obliques ou droites. c. Cissoïdes, obliques ou droites. d. Lignes de courbure (E) de la surface minima d'Enneper. Ces lignes de courbure (E) sont les seules cubiques unicursales dont la courbure soit une fonction rationnelle des coordonnées. Les seules cubiques unicursales dont l'arc soit algébrique sont les courbes (E) et les développées des paraboles du second degré. De Saint-Germain. — Sur l'extension à certains points de l'une des propriétés mécaniques du centre de gravité. (946). Gilbert. — Sur les accélérations d'ordre quelconque d'un corps solide qui a un point fixe. (946-947) Soient • o l'axe instantané; λ1, n les accélérations angulaires des divers ordres d'un point du solide; p le rayon vecteur; v la vitesse de ce point; J1, J2, Jn les accélérations des divers ordres. On
l'infini, d. Passage par les points cycliques. 3e Genre zéro. — a. Courbes représentées en coordonnées rectangulaires par le système b. Paraboles semi-cubiques, obliques ou droites. c. Cissoïdes, obliques ou droites. d. Lignes de courbure (E) de la surface minima d'Enneper. Ces lignes de courbure (E) sont les seules cubiques unicursales dont la courbure soit une fonction rationnelle des coordonnées. Les seules cubiques unicursales dont l'arc soit algébrique sont les courbes (E) et les développées des paraboles du second degré. De Saint-Germain. — Sur l'extension à certains points de l'une des propriétés mécaniques du centre de gravité. (946). Gilbert. — Sur les accélérations d'ordre quelconque d'un corps solide qui a un point fixe. (946-947) Soient • o l'axe instantané; λ1, n les accélérations angulaires des divers ordres d'un point du solide; p le rayon vecteur; v la vitesse de ce point; J1, J2, Jn les accélérations des divers ordres. On a, en désignant par un point un produit géométrique, la relation 1 qui, pour n = 1, se réduit à + À 1. v = 0. On a aussi égalité qui, pour It = 2, prend la forme remarquable mj2 = 3w.G, G étant l'axe du couple moteur. Dans le cas d'un seul point libre, l'auteur indique la relation qui, si l'on pose p = — r, + J0 = v, n= 2, donne le théorème du viriel. Poincaré, — Sur la théorie analytique de la chaleur. (967-971). En étudiant dans une Communication précédente (Comptes rendus, t. CIV, p. 1754) le problème du refroidissement d'un solide homogène et isotrope, M. Poincaré avait considéré un polyèdre dont toutes les faces sont parallèles aux plans coordonnés, en faisant observer que l'on peut toujours trouver un pareil polyèdre différant d'un solide quelconque aussi peu que l'on veut. Il revient actuellement sur le cas d'un solide convexe pour le traiter avec une entière rigueur. Picard. — Sur un théorème relatif à l'attraction. (984-985). Démonstration analytique d'un théorème énoncé par M. Bertrand et traité par lui au moyen de considérations géométriques. On a une famille de surfaces fermées, telles que, si l'on couvre l'une quelconque
cas d'un seul point libre, l'auteur indique la relation qui, si l'on pose p = — r, + J0 = v, n= 2, donne le théorème du viriel. Poincaré, — Sur la théorie analytique de la chaleur. (967-971). En étudiant dans une Communication précédente (Comptes rendus, t. CIV, p. 1754) le problème du refroidissement d'un solide homogène et isotrope, M. Poincaré avait considéré un polyèdre dont toutes les faces sont parallèles aux plans coordonnés, en faisant observer que l'on peut toujours trouver un pareil polyèdre différant d'un solide quelconque aussi peu que l'on veut. Il revient actuellement sur le cas d'un solide convexe pour le traiter avec une entière rigueur. Picard. — Sur un théorème relatif à l'attraction. (984-985). Démonstration analytique d'un théorème énoncé par M. Bertrand et traité par lui au moyen de considérations géométriques. On a une famille de surfaces fermées, telles que, si l'on couvre l'une quelconque d'entre elles d'une couche dont la densité soit en chaque point inversement proportionnelle à la distance à la surface infiniment voisine, l'attraction de cette couche sur tout point intérieur est nulle. Dans ces conditions, les surfaces extérieures à la couche seront pour elle des surfaces de niveau. Bertrand. — Remarques relatives à la Communication de M. Picard. (986-986). Démonstration synthétique du théorème précédent. Pincherle. — Sur le développement d'une fonction analytique en série de polynômes. (986-989). Soit une équation différentielle linéaire dont les coefficients y sont des polynômes entiers de degré h en y et de degré k en x. Pour toute valeur finie de x, il existe un développement en série de l'intégrale. En faisant nuls les m premiers coefficients Po, ..., qui sont arbitraires, et en supposant que pour toute valeur de x, Rm(x, 0) soit égal à zéro, les fonctions p(x) seront des polynômes en x. Les fonctions p(n)(x) sont liées par une équation récurrente A0(n)Pn+m + A1(n, x)Pn+m-1 + ... + Am(n, x)pn = 0, où les Ah(n, x) sont des polynômes de la forme Ah(n, x) = ah0n + ah1x+ ... + ahkxk. À cette équation récurrente on peut adjoindre la suivante A0(n-m)qn-m+A1(n-m+1, z) qn-m+1
relatives à la Communication de M. Picard. (986-986). Démonstration synthétique du théorème précédent. Pincherle. — Sur le développement d'une fonction analytique en série de polynômes. (986-989). Soit une équation différentielle linéaire dont les coefficients y sont des polynômes entiers de degré h en y et de degré k en x. Pour toute valeur finie de x, il existe un développement en série de l'intégrale. En faisant nuls les m premiers coefficients Po, ..., qui sont arbitraires, et en supposant que pour toute valeur de x, Rm(x, 0) soit égal à zéro, les fonctions p(x) seront des polynômes en x. Les fonctions p(n)(x) sont liées par une équation récurrente A0(n)Pn+m + A1(n, x)Pn+m-1 + ... + Am(n, x)pn = 0, où les Ah(n, x) sont des polynômes de la forme Ah(n, x) = ah0n + ah1x+ ... + ahkxk. À cette équation récurrente on peut adjoindre la suivante A0(n-m)qn-m+A1(n-m+1, z) qn-m+1 + ... + Am(n, z) qn = M, dont le second membre est nul si m ≥ m, et qui définit un système de fonctions qn(z) adjointes à pn(x). Si maintenant on forme les séries 1 on aura cette expression de z x qui permettra, à l'aide de la formule de Cauchy, de développer dans un certain domaine, toute fonction analytique régulière en série de polynômes Pn(x), si l'équation (i) contient le paramètre x au premier degré. Si cette équation contient x au degré k > 1, la formule (2) fera connaître un développement de la forme ANNALI DELLA R. SCUOLA NORMALE SUPERIORE DI PISA. Scienze fisiche e matematiche. In-8°. T. II; 1879. Donati (L.). — Sur la mesure électrostatique des forces électromotrices d'induction. (1-82, 2 pl.). Tonelli (A.). — Sur le théorème d'addition des fonctions abéliennes. (83-120). L'auteur généralise la méthode suivie par Weber [Über das Additionstheorem der Abelschen Functionen (Journal de Crelle, t. 70, p. Ig3)] et résout la question suivante : étant donnés les r systèmes de quantités et, au moyen des relations étant déterminés par l'inversion, les r systèmes de points déterminer les p points z1, z2, ... 1 zp où l'on a Puis il étudie
de Cauchy, de développer dans un certain domaine, toute fonction analytique régulière en série de polynômes Pn(x), si l'équation (i) contient le paramètre x au premier degré. Si cette équation contient x au degré k > 1, la formule (2) fera connaître un développement de la forme ANNALI DELLA R. SCUOLA NORMALE SUPERIORE DI PISA. Scienze fisiche e matematiche. In-8°. T. II; 1879. Donati (L.). — Sur la mesure électrostatique des forces électromotrices d'induction. (1-82, 2 pl.). Tonelli (A.). — Sur le théorème d'addition des fonctions abéliennes. (83-120). L'auteur généralise la méthode suivie par Weber [Über das Additionstheorem der Abelschen Functionen (Journal de Crelle, t. 70, p. Ig3)] et résout la question suivante : étant donnés les r systèmes de quantités et, au moyen des relations étant déterminés par l'inversion, les r systèmes de points déterminer les p points z1, z2, ... 1 zp où l'on a Puis il étudie le problème de la multiplication en supposant les systèmes des égaux entre eux. Pennacchiotti (G.). — Sur les intégrales communes à plusieurs problèmes de Dynamique. (121-178). L'auteur donne une extension de la méthode de Korkine [Stiles intégrales des équations du mouvement d'un point matériel (Math. Ann., Bd. II; 1870) au cas du mouvement d'un point dans l'espace et lorsque les forces dépendent des coordonnées et des composantes de la vitesse. Puis, il étudie le cas où les forces sont des fonctions des seules coordonnées et donne des généralisations des résultats de Bertrand. Bianchi (L.). — Sur les surfaces applicables. (179-236). Soient C, C' deux courbes; si, pour chacune d'elles, on construit la surface gauche engendrée par une droite perpendiculaire à la normale principale, s'appuyant à la courbe et faisant avec elle l'angle constant 0, les deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre lorsque l'on a R, T étant les rayons de courbure et de torsion de C, et R', T' de C'. Si, dans l'expression de l'élément linéaire d'une surface N ds = E du2 + 2 F du dv + G dv2 les E, F, G sont des fonctions d'une seule des variables, la surface est applicable sur une
cas du mouvement d'un point dans l'espace et lorsque les forces dépendent des coordonnées et des composantes de la vitesse. Puis, il étudie le cas où les forces sont des fonctions des seules coordonnées et donne des généralisations des résultats de Bertrand. Bianchi (L.). — Sur les surfaces applicables. (179-236). Soient C, C' deux courbes; si, pour chacune d'elles, on construit la surface gauche engendrée par une droite perpendiculaire à la normale principale, s'appuyant à la courbe et faisant avec elle l'angle constant 0, les deux surfaces sont applicables l'une sur l'autre lorsque l'on a R, T étant les rayons de courbure et de torsion de C, et R', T' de C'. Si, dans l'expression de l'élément linéaire d'une surface N ds = E du2 + 2 F du dv + G dv2 les E, F, G sont des fonctions d'une seule des variables, la surface est applicable sur une surface de révolution, et les lignes qui correspondent à cette variable sont les transformées des parallèles. Les surfaces de révolution engendrées par la rotation de cycloïdes quelconques autour de leurs tangentes aux sommets sont toutes applicables les unes sur les autres. L'auteur donne aussi d'autres résultats importants qui se rapportent aux héliçoïdes, et leur applicabilité sur les surfaces de révolution aux surfaces ayant un système de lignes de courbure en des plans parallèles. Il démontre, par exemple, que si l'on a sur une surface un système de lignes géodésiquement parallèles, et telles que sur chacune le rapport entre la courbure de la surface et la courbure géodésique de la ligne soit constant, la surface est applicable sur une moulure et les trajectoires orthogonales de ces lignes sont les transformées des profils. Il démontre aussi qu'entre les surfaces moulures, ayant pour profil une tractrice, il n'y a que celles trouvées par M. Dini qui soient applicables sur des surfaces de révolution. Enfin, il résout le problème suivant : « Chercher s'il est possible de déformer une surface donnée, de manière qu'un système de lignes tracé sur elle devienne un système de lignes de courbure pour la déformée » ; problème dont
aux héliçoïdes, et leur applicabilité sur les surfaces de révolution aux surfaces ayant un système de lignes de courbure en des plans parallèles. Il démontre, par exemple, que si l'on a sur une surface un système de lignes géodésiquement parallèles, et telles que sur chacune le rapport entre la courbure de la surface et la courbure géodésique de la ligne soit constant, la surface est applicable sur une moulure et les trajectoires orthogonales de ces lignes sont les transformées des profils. Il démontre aussi qu'entre les surfaces moulures, ayant pour profil une tractrice, il n'y a que celles trouvées par M. Dini qui soient applicables sur des surfaces de révolution. Enfin, il résout le problème suivant : « Chercher s'il est possible de déformer une surface donnée, de manière qu'un système de lignes tracé sur elle devienne un système de lignes de courbure pour la déformée » ; problème dont un cas particulier (celui où les lignes sont des lignes de courbure de la surface donnée) a été traité par Codazzi (Ann. de Bologna, 1856). Les expressions des coordonnées x, y, z de la surface déformée sont les suivantes : X, Y, Z étant les coordonnées des points de la sphère représentative exprimées par u, v et r2 les rayons de courbure de la déformée, relatifs à u et v respectivement. Après les avoir trouvées, l'auteur en fait l'application aux surfaces gauches, aux surfaces moulures et aux surfaces de révolution. Gremigni (M.). — Sur la théorie des lignes de courbure. (237-284). Le travail est divisé en quatre Parties. Dans les deux premières, l'auteur démontre l'existence des lignes de courbure, la propriété de leurs développées et autres propriétés, entre lesquelles nous signalerons la notion de surface des centres géodésiques des lignes de courbure d'un système. Dans la troisième, il rassemble les propositions principales de la théorie, et les démontre au moyen de la représentation sphérique. Dans la quatrième, il établit les deux formules suivantes rgu et / étant les rayons de courbure géodésique et principale correspondant à une ligne (quelconque) de courbure du système u; rgv et r2 les quantités analogues
sphère représentative exprimées par u, v et r2 les rayons de courbure de la déformée, relatifs à u et v respectivement. Après les avoir trouvées, l'auteur en fait l'application aux surfaces gauches, aux surfaces moulures et aux surfaces de révolution. Gremigni (M.). — Sur la théorie des lignes de courbure. (237-284). Le travail est divisé en quatre Parties. Dans les deux premières, l'auteur démontre l'existence des lignes de courbure, la propriété de leurs développées et autres propriétés, entre lesquelles nous signalerons la notion de surface des centres géodésiques des lignes de courbure d'un système. Dans la troisième, il rassemble les propositions principales de la théorie, et les démontre au moyen de la représentation sphérique. Dans la quatrième, il établit les deux formules suivantes rgu et / étant les rayons de courbure géodésique et principale correspondant à une ligne (quelconque) de courbure du système u; rgv et r2 les quantités analogues pour le système v; r'gu' r'gv les rayons de courbure géodésique des lignes sphériques correspondantes. De ces formules, il déduit ensuite les formules de M. Dini enfin, il trouve l'élément linéaire de la surface des centres géodésiques de courbure, expression que, en substituant à u une certaine variable α, il transforme en la suivante dont il fait quelques applications. Dans ces formules, \(p\) est le rayon de courbure ordinaire des lignes \(u = const.\) Bianchi (L.). — Recherches sur les surfaces hélicoïdales et sur les surfaces à courbure constante. (285-340). L'auteur appelle surfaces complémentaires les deux nappes de la développée d'une surface quelconque et donne, pour la complémentaire \(S'\) d'une surface \(S\) par rapport à un système de géodésiques donné par \(S\), la construction suivante : Sur chaque tangente aux géodésiques du système, on prend un segment égal au rayon de courbure géodésique de la trajectoire orthogonale des géodésiques au point considéré. Le lieu des extrémités de ces segments est \(S'\). Si une surface de révolution se déforme, la série des surfaces complémentaires des déformées est constituée de surfaces applicables sur une même surface de révolution, pourvu que les systèmes de géodésiques par rapport auxquels on prend les complémentaires soient