jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
la théorie des déversoirs en mince paroi qui s'étendent à toute la largeur du lit d'un cours d'eau; influence, sur le débit, des vitesses d'arrivée des filets fluides. Si l'on appelle q le débit par unité de longueur du déversoir; h la hauteur de charge; s le relèvement éprouvé par la face inférieure de la nappe déversante depuis l'arête du déversoir jusqu'à la section contractée; —ρg(h — s) l'excédent de la pression exercée sous la nappe déversante sur la pression atmosphérique; la hauteur de la section contractée; on trouve, pour la vitesse V du fluide en un point quelconque de la section contractée situé à une hauteur z au-dessus du seuil, et k étant donné en fonction de n par l'équation transcendante Ces résultats, indiqués par M. Boussinesq dans trois Communications antérieures, supposent négligeables les petites vitesses déjà acquises dans la section d'amont dont la surface est à la hauteur h au-dessus du seuil. Quand on tient compte de ces vitesses, les formules précédentes doivent subir des corrections que l'auteur fait connaître dans la Note actuelle. Cesaro. — Sur une récente Communication de M. M. Lévy. M. Cesaro signale, entre autres conséquences du théorème de Betti récemment retrouvé par M. M. Lévy, l'extension aux milieux à n dimensions de la formule de Laplace relative à la propagation du son. Bertrand. — Généralisation d'un théorème de Gauss. Quel que soit le corps attirant, la valeur moyenne du potentiel aux différents points d'une sphère, est égale au potentiel relatif au centre de cette sphère. Ce théorème de Gauss suppose la sphère extérieure au corps attirant. Si la sphère enveloppe le corps attirant, la valeur moyenne du potentiel est égale au quotient de la masse attirante par le rayon de la sphère. Si la sphère coupe le corps attirant, la valeur moyenne du potentiel est égale au potentiel, sur le centre, de la partie extérieure de la masse, plus la masse intérieure divisée par le rayon. Boussinesq. — Complément de la théorie des déversoirs en mince paroi : influence, sur le débit, des vitesses d'arrivée des filets fluides. Applications. Callandreau. — Énergie potentielle
M. Lévy, l'extension aux milieux à n dimensions de la formule de Laplace relative à la propagation du son. Bertrand. — Généralisation d'un théorème de Gauss. Quel que soit le corps attirant, la valeur moyenne du potentiel aux différents points d'une sphère, est égale au potentiel relatif au centre de cette sphère. Ce théorème de Gauss suppose la sphère extérieure au corps attirant. Si la sphère enveloppe le corps attirant, la valeur moyenne du potentiel est égale au quotient de la masse attirante par le rayon de la sphère. Si la sphère coupe le corps attirant, la valeur moyenne du potentiel est égale au potentiel, sur le centre, de la partie extérieure de la masse, plus la masse intérieure divisée par le rayon. Boussinesq. — Complément de la théorie des déversoirs en mince paroi : influence, sur le débit, des vitesses d'arrivée des filets fluides. Applications. Callandreau. — Énergie potentielle de la gravitation d'une planète. L'objet de cette Note est de démontrer que l'énergie potentielle de la gravitation d'une planète (c'est-à-dire le travail accompli par l'attraction pour amener les molécules de l'infini à leurs positions actuelles) peut être calculée à très peu près quand on connaît les dimensions de la planète, sa masse et la vitesse angulaire de rotation, sans faire intervenir la loi des densités internes. Avec les notations consacrées en Astronomie et en posant comme M. Radau M. Callandreau trouve, pour expression de cette énergie potentielle, = S Comme on admet que η décroit avec le rayon de la courbe, il est facile, connaissant sa valeur à la surface de la Terre η1 = 0,54, de constater que le terme de correction ne dépasse pas J3 On a donc approximativement Sur la transformation de Laplace et les équations linéaires aux dérivées partielles. (594.-597) La transformation de Laplace relative aux équations linéaires à une seule variable peut être étendue aux équations linéaires aux dérivées partielles. Le cas le plus intéressant est celui où A, B, ..., F sont linéaires en x et y. On doit chercher les solutions de la forme, en déterminant convenablement f et en choisissant, d'une
planète, sa masse et la vitesse angulaire de rotation, sans faire intervenir la loi des densités internes. Avec les notations consacrées en Astronomie et en posant comme M. Radau M. Callandreau trouve, pour expression de cette énergie potentielle, = S Comme on admet que η décroit avec le rayon de la courbe, il est facile, connaissant sa valeur à la surface de la Terre η1 = 0,54, de constater que le terme de correction ne dépasse pas J3 On a donc approximativement Sur la transformation de Laplace et les équations linéaires aux dérivées partielles. (594.-597) La transformation de Laplace relative aux équations linéaires à une seule variable peut être étendue aux équations linéaires aux dérivées partielles. Le cas le plus intéressant est celui où A, B, ..., F sont linéaires en x et y. On doit chercher les solutions de la forme, en déterminant convenablement f et en choisissant, d'une manière appropriée, le domaine de l'intégration. On transforme, en intégrant par parties, chacune des dérivées et leurs produits par x et y, en supposant que zα z'β ezx ez'y f (z, z') (α, β = 1, 2) s'annule le long du contour, qui doit être choisi ad hoc. On est ainsi conduit, pour déterminer f, à l'équation linéaire du premier ordre, où P, Q, R sont des fonctions quadratiques de z et z', et dont l'intégration revient à celle de l'équation ordinaire complètement étudiée dans des cas assez nombreux. Un exemple très général du cas où la méthode de Laplace aboutit est fourni par l'équation. Cette méthode conduit alors à deux types distincts d'intégrales renfermant chacune une fonction arbitraire. M. Picard montre comment le calcul doit être conduit pour l'équation d'Euler et de Poisson, qui est un cas particulier de la précédente. Un autre exemple où la transformation s'applique encore avec succès correspond au cas où les coefficients A, B, C sont des constantes. Stieltjes. — Sur l'équation d'Euler. (617-618). L'auteur fait connaître une nouvelle manière de représenter l'intégrale de l'équation d'Euler. Sous cette forme, on voit directement que, si l'on détermine C par l'équation, le premier membre de l'intégrale
ainsi conduit, pour déterminer f, à l'équation linéaire du premier ordre, où P, Q, R sont des fonctions quadratiques de z et z', et dont l'intégration revient à celle de l'équation ordinaire complètement étudiée dans des cas assez nombreux. Un exemple très général du cas où la méthode de Laplace aboutit est fourni par l'équation. Cette méthode conduit alors à deux types distincts d'intégrales renfermant chacune une fonction arbitraire. M. Picard montre comment le calcul doit être conduit pour l'équation d'Euler et de Poisson, qui est un cas particulier de la précédente. Un autre exemple où la transformation s'applique encore avec succès correspond au cas où les coefficients A, B, C sont des constantes. Stieltjes. — Sur l'équation d'Euler. (617-618). L'auteur fait connaître une nouvelle manière de représenter l'intégrale de l'équation d'Euler. Sous cette forme, on voit directement que, si l'on détermine C par l'équation, le premier membre de l'intégrale devient un carré parfait, et que cette intégrale peut s'écrire. On obtient ainsi les trois substitutions linéaires qui changent en elle-même la différentielle elliptique. Si l'on fait x = y, le premier membre de l'équation précédente devient un polynôme du second degré en x, qui ne diffère que par un facteur constant de y/H + CX, H étant le hessien de X. Réciproquement, si l'on connaît un polynôme ax2 + 2 βx + y proportionnel à y/H + CX, αxy + β(x+y) + y = 0 sera l'une des substitutions qui changent en elle-même. Stieltjes. — Sur la réduction de la différentielle elliptique à la forme normale. (651-653). La réduction de la différentielle elliptique à l'aide d'une substitution linéaire, peut être représentée comme il suit. L'intégrale générale de l'équation, C étant la constante arbitraire. Si l'on détermine C par l'équation a0 C4 + b1 a, G + 6 a2 C2 + 8 a3 C + a = 0, le premier membre de l'intégrale est un carré parfait, et cette intégrale se réduit à. On obtient ainsi les quatre substitutions linéaires correspondant aux quatre valeurs de C. Cosserat. — Sur les surfaces de singularités des systèmes de courbes construits avec un
facteur constant de y/H + CX, H étant le hessien de X. Réciproquement, si l'on connaît un polynôme ax2 + 2 βx + y proportionnel à y/H + CX, αxy + β(x+y) + y = 0 sera l'une des substitutions qui changent en elle-même. Stieltjes. — Sur la réduction de la différentielle elliptique à la forme normale. (651-653). La réduction de la différentielle elliptique à l'aide d'une substitution linéaire, peut être représentée comme il suit. L'intégrale générale de l'équation, C étant la constante arbitraire. Si l'on détermine C par l'équation a0 C4 + b1 a, G + 6 a2 C2 + 8 a3 C + a = 0, le premier membre de l'intégrale est un carré parfait, et cette intégrale se réduit à. On obtient ainsi les quatre substitutions linéaires correspondant aux quatre valeurs de C. Cosserat. — Sur les surfaces de singularités des systèmes de courbes construits avec un élément donné. (653-656). On sait qu'à tout complexe de droites est attachée une surface de singularités dont l'étude est du plus haut intérêt. On peut de même associer à chacun des systèmes de courbes construits avec un élément donné une surface de singularités. Cette surface, que M. Cosserat définit analytiquement, jouit d'une propriété géométrique qui peut lui servir de définition : Si l'on considère un complexe de courbes, les courbes de ce complexe, passant par un point P de l'espace, forment une surface à point conique S; le lieu du point P, tel que l'une des courbes soit une ligne double de S, est la surface de singularités; la courbe qui forme la ligne double est une courbe singulière. Au lieu de considérer un complexe S3 ou système triplement indéterminé de courbes, on peut considérer des systèmes Sn d'indétermination quelconque. La définition précédente s'étend à tous les systèmes. Les surfaces de singularités des différents systèmes présentent entre elles une liaison indiquée par les théorèmes suivants : "1° La surface de singularités d'un système Sn contenu dans le système Sn+1 est circonscrite à la surface de singularités de Sn+1. "2° La surface de singularités d'un système S, contenu dans le système
jouit d'une propriété géométrique qui peut lui servir de définition : Si l'on considère un complexe de courbes, les courbes de ce complexe, passant par un point P de l'espace, forment une surface à point conique S; le lieu du point P, tel que l'une des courbes soit une ligne double de S, est la surface de singularités; la courbe qui forme la ligne double est une courbe singulière. Au lieu de considérer un complexe S3 ou système triplement indéterminé de courbes, on peut considérer des systèmes Sn d'indétermination quelconque. La définition précédente s'étend à tous les systèmes. Les surfaces de singularités des différents systèmes présentent entre elles une liaison indiquée par les théorèmes suivants : "1° La surface de singularités d'un système Sn contenu dans le système Sn+1 est circonscrite à la surface de singularités de Sn+1. "2° La surface de singularités d'un système S, contenu dans le système Sn+2 est tangente en un nombre limité de points à la surface de singularités de Sn+2." Ces théorèmes peuvent servir à la recherche des surfaces de singularités, comme l'auteur le montre en considérant les systèmes linéaires de cercles. Guccia. — Sur l'intersection de deux courbes algébriques en un point singulier. (656-658). Expression générale du nombre des intersections de deux courbes algébriques confondues en un point singulier. Resal. — Essai sur la théorie du ressort Belleville. (713-718). Painlevé. — Sur les équations différentielles du premier ordre. (724-726). M. Painlevé revient, en la posant dans des termes un peu différents, sur la question qu'il a déjà traitée dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences de juillet 1888 : Reconnaître si l'intégrale de l'équation F[y, y', (x)] = 0 n'admet qu'un nombre donné n de déterminations se permutant autour de points critiques mobiles. On peut, par des opérations purement algébriques, reconnaître si l'intégrale d'une telle équation ne prend que n valeurs autour des points critiques mobiles; l'équation s'intègre alors algébriquement, ou par quadrature, ou se ramène à une équation de Riccati. Le genre de la relation entre les constantes intégrales est plus grand que 1 dans le premier cas, égal
(656-658). Expression générale du nombre des intersections de deux courbes algébriques confondues en un point singulier. Resal. — Essai sur la théorie du ressort Belleville. (713-718). Painlevé. — Sur les équations différentielles du premier ordre. (724-726). M. Painlevé revient, en la posant dans des termes un peu différents, sur la question qu'il a déjà traitée dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences de juillet 1888 : Reconnaître si l'intégrale de l'équation F[y, y', (x)] = 0 n'admet qu'un nombre donné n de déterminations se permutant autour de points critiques mobiles. On peut, par des opérations purement algébriques, reconnaître si l'intégrale d'une telle équation ne prend que n valeurs autour des points critiques mobiles; l'équation s'intègre alors algébriquement, ou par quadrature, ou se ramène à une équation de Riccati. Le genre de la relation entre les constantes intégrales est plus grand que 1 dans le premier cas, égal à 1 dans le deuxième, nul dans le troisième. Plusieurs des résultats, obtenus par M. Painlevé pour les équations du premier ordre, s'étendent aux équations d'ordre supérieur. Étant donnée, par exemple, l'équation du deuxième ordre (entière en y, y', y"), F[y", y', y, (x)] = 0, l'intégrale générale, supposée ne prendre que n valeurs autour des points critiques mobiles, satisfait à une équation R1[y"0, y'0, y01 (x0), ... + Rn[y"0, y'0, y0, (x0), (x)] = 0, où les R; sont uniformes en y"0, y'0, y0. Elle vérifie également des relations de la forme r [y", y', y, (x)] = const., r étant uniforme en y", y', y. On peut choisir trois relations particulières r' = y', r" = y", r"'= y'" liées par une équation algébrique M y', y", y") = 0 et telles que r soit fonction uniforme de r', r", Gilbert. — Groupement et construction géométrique des accélérations dans un solide tournant autour d'un point fixe. On sait que le lieu des points d'égale accélération est un ellipsoïde ayant pour centre le point fixe O. Tous ces ellipsoïdes étant homothétiques, il suffit de considérer l'ellipsoïde E correspondant à l'accélération I. Voici comment on utilisera cet ellipsoïde pour construire
prendre que n valeurs autour des points critiques mobiles, satisfait à une équation R1[y"0, y'0, y01 (x0), ... + Rn[y"0, y'0, y0, (x0), (x)] = 0, où les R; sont uniformes en y"0, y'0, y0. Elle vérifie également des relations de la forme r [y", y', y, (x)] = const., r étant uniforme en y", y', y. On peut choisir trois relations particulières r' = y', r" = y", r"'= y'" liées par une équation algébrique M y', y", y") = 0 et telles que r soit fonction uniforme de r', r", Gilbert. — Groupement et construction géométrique des accélérations dans un solide tournant autour d'un point fixe. On sait que le lieu des points d'égale accélération est un ellipsoïde ayant pour centre le point fixe O. Tous ces ellipsoïdes étant homothétiques, il suffit de considérer l'ellipsoïde E correspondant à l'accélération I. Voici comment on utilisera cet ellipsoïde pour construire l'accélération d'un point M de sa surface. On mènera le plan tangent en M à l'ellipsoïde, et l'on considérera le système de trois demi-diamètres conjugués OL, 01, OH dont les deux premiers OL et 01 sont l'accélération angulaire et l'axe instantané. On projettera ces trois demi-diamètres sur la perpendiculaire abaissée de 0 sur le plan tangent, et l'on portera ces projections à partir de 0 respectivement sur les trois directions principales. La résultante prise en sens contraire donne la direction de l'accélération de M. Appell. — Sur une classe d'équations différentielles réductibles aux équations linéaires. Pour qu'une équation différentielle d'ordre r à ψ(y, y', y", ..., y(n) ) = 0, algébrique et entière par rapport à une fonction y de x et à ses dérivées, admette une intégrale générale de la forme y = c1 y1 + c2 y2 + ... + Cn+1 yn+1, où y1, y", yn+1 désignent n+1 fonctions de x linéairement indépendantes et c1, c2, Cn+1 autant de constantes liées par une relation algébrique entière ϕ(c1, c2, Cn+1) = 0, il faut et il suffit qu'il existe une fonction λ de x, telle que l'expression se décompose en deux facteurs dont l'un soit linéaire et homogène en
de 0 sur le plan tangent, et l'on portera ces projections à partir de 0 respectivement sur les trois directions principales. La résultante prise en sens contraire donne la direction de l'accélération de M. Appell. — Sur une classe d'équations différentielles réductibles aux équations linéaires. Pour qu'une équation différentielle d'ordre r à ψ(y, y', y", ..., y(n) ) = 0, algébrique et entière par rapport à une fonction y de x et à ses dérivées, admette une intégrale générale de la forme y = c1 y1 + c2 y2 + ... + Cn+1 yn+1, où y1, y", yn+1 désignent n+1 fonctions de x linéairement indépendantes et c1, c2, Cn+1 autant de constantes liées par une relation algébrique entière ϕ(c1, c2, Cn+1) = 0, il faut et il suffit qu'il existe une fonction λ de x, telle que l'expression se décompose en deux facteurs dont l'un soit linéaire et homogène en y, y', y", Gilbert. — Sur les accélérations des points d'un solide tournant autour d'un point fixe et sur les centres de courbure des trajectoires. La composante tangentielle de l'accélération du point M s'obtient en multipliant le rayon vecteur de ce point par la projection de l'accélération angulaire sur la normale au cône que décrit ce rayon. De là résulte que le lieu des points du corps dont l'accélération tangentielle est nulle est un cône du second degré. Si un angle droit, ayant son sommet au point fixe, se déplace de façon que son plan passe toujours par l'axe instantané et que l'un de ses côtés décrive le plan normal à l'accélération angulaire, l'autre côté décrira le cône en question. L'auteur donne ensuite le moyen de construire le centre de courbure de la trajectoire décrite par un point du corps, en s'appuyant sur ce théorème : « Tous les points du corps situés sur une droite passant par le point fixe ont les centres de courbure de leurs trajectoires sur une même droite. » Frolov. — Sur les égalités à deux degrés. Cette Communication a trait aux propriétés des groupes de n nombres, dont les premières et les secondes puissances
normale au cône que décrit ce rayon. De là résulte que le lieu des points du corps dont l'accélération tangentielle est nulle est un cône du second degré. Si un angle droit, ayant son sommet au point fixe, se déplace de façon que son plan passe toujours par l'axe instantané et que l'un de ses côtés décrive le plan normal à l'accélération angulaire, l'autre côté décrira le cône en question. L'auteur donne ensuite le moyen de construire le centre de courbure de la trajectoire décrite par un point du corps, en s'appuyant sur ce théorème : « Tous les points du corps situés sur une droite passant par le point fixe ont les centres de courbure de leurs trajectoires sur une même droite. » Frolov. — Sur les égalités à deux degrés. Cette Communication a trait aux propriétés des groupes de n nombres, dont les premières et les secondes puissances donnent des sommes respectivement égales L'auteur annonce qu'il est en possession d'une méthode pour former de pareilles égalités au moyen de simples identités ou par combinaisons données, et d'une règle pour répartir 2n nombres consécutifs d'une progression arithmétique quelconque. Caspary. — Sur une manière d'exprimer, au moyen des fonctions thêta d'un seul argument, les coefficients de trois systèmes orthogonaux dont un est composé des deux autres. Dans son Mémoire sur la rotation d'un corps, Jacobi a exprimé les neuf coefficients d'un système orthogonal au moyen des fonctions thêta d'un seul argument : c'est de ces expressions qu'il a déduit la solution du problème de la rotation d'un solide qui n'est sollicité par aucune force. M. Caspary, dans ses recherches générales sur les fonctions thêta, a reconnu que le résultat obtenu par Jacobi peut se déduire des identités absolues. En appliquant à ces identités les transformations du second degré relatives aux fonctions thêta, il est arrivé au théorème suivant sur les coefficients de trois systèmes orthogonaux dont l'un est composé au moyen des deux autres. Si l'on pose iγ c31 = γ11 + γ12 γ22; γ c32 = -γ11γ21 + γ12γ22; iγ c13 = + γ11γ12+γ21γ22, γ c23 = — γ11γ12+
d'un seul argument, les coefficients de trois systèmes orthogonaux dont un est composé des deux autres. Dans son Mémoire sur la rotation d'un corps, Jacobi a exprimé les neuf coefficients d'un système orthogonal au moyen des fonctions thêta d'un seul argument : c'est de ces expressions qu'il a déduit la solution du problème de la rotation d'un solide qui n'est sollicité par aucune force. M. Caspary, dans ses recherches générales sur les fonctions thêta, a reconnu que le résultat obtenu par Jacobi peut se déduire des identités absolues. En appliquant à ces identités les transformations du second degré relatives aux fonctions thêta, il est arrivé au théorème suivant sur les coefficients de trois systèmes orthogonaux dont l'un est composé au moyen des deux autres. Si l'on pose iγ c31 = γ11 + γ12 γ22; γ c32 = -γ11γ21 + γ12γ22; iγ c13 = + γ11γ12+γ21γ22, γ c23 = — γ11γ12+ γ21γ22, Y = γ11 γ12 γ12γ21, y Cn = — γ11γ22 — γ12γ21; on voit aisément que les neuf coefficients cmn (m, n = 1, 2, 3) représentent les coefficients d'un système orthogonal. Il en sera de même des neuf coefficients amn et des neuf bmn obtenus en remplaçant dans les relations précédentes γkλ, y, cmn respectivement par αkλ, α, amn, puis par p, bmn. Si l'on fait (u, x, y, z étant des arguments et A, Â1; B, B. des fonctions quelconques) a1 = A, ϑ3 (w -tx, q2), A2 ϑ3 ( w — x, q2), K + x, q2), β1 = A, ϑ2 (w — x, q2), β21 = B2ϑ3(y-z,q2), ϑ2(y+z, q2); B22 = B2ϑ2(y-z; q2), et qu'on établisse entre les αkλ, βa, γkλ les relations γkλ = α1 α2 P( k, À = 1, 2 ), on arrive, en posant w + x — 2 u1, iv — x = 2u2, y+z — 2 V, y-z — 2V2, et par l'emploi des transformations du second degré, à cette expression des ya T = Ak BI ( uk + x-j ), (uk vλ). Alors le système orthogonal Cmn se trouve composé au moyen des systèmes amn, bmn de