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1483 1848 2213 2578 2944 3309 3674 4039 4405 2310 4770 5135 5500 5866 6231 6596 6961 7692 8057 2320 8422 8788 9153 9518 9883 0249 0614 0979 1344 1710 2330 257 2075 2440 2805 3171 3536 3901 4266 4632 4997 5362 2340 5727 6093 6458 6823 7188 7554 7919 8284 8649 9015 2350 9380 9745 0110 0476 0841 1206 1571 1937 2302 2667 2360 258 3032 3398 3763 4128 4493 4859 5224 5589 5954 6320 2370 6685 7050 7781 8146 8511 8876 9242 9607 9972 2380 259 0337 0703 1068 1433 1798 2164 2529 2894 3259 3625 2390 3990 4355 4720 5086 5451 5816 6181 6547 6912 7277 7742 8108 8473 8838 2240 9203 9569 9934 0299 0664 1030 1395 1760 2125 2491 2250 254 2856 3221 3586 3952 4317 4682 5047 5413 5778 6143 2260 6508 6874 7239 7604 7969 8335 8700 9065 2270 255 0161 0526 0891 1257 1622 1987 2352 2718 3083 3448 2280 3813 4179 4544 5009 5474 5640 6005 6370 6735 7101 2290 7466 7831 8196 8562 8927 9292 9657 0023 0388 0753 2300 256 1118 1483 1848 2213 2578 2944 3309 3674 4039 4405 2310 4770 5135 5500 5866 6231 6596 6961 7692 8057 2320 8422 8788 9153 9518 9883 0249 0614 0979 1344 1710 2330 257 2075 2440 2805 3171 3536 3901 4266 4632 4997 5362 2340 5727 6093 6458 6823 7188 7554 7919 8284 8649 9015 2350 9380 9745 0110 0476 0841 1206 1571 1937 2302 2667 2360 258 3032 3398 3763 4128 4493 4859 5224 5589 5954 6320 2370 6685 7050 7781 8146 8511 8876 9242 9607 9972 2380 259 0337 0703 1068 1433 1798 2164 2529 2894 3259 3625 2390 3990 4355 4720 5086 5451 5816 618 x-1, x2, x3 les arguments qui précèdent et suivent immédiatement x0. Formons le tableau suivant, qui s'explique de lui-même, chaque nombre étant la différence algébrique entre les deux nombres placés immédiatement à sa gauche au-dessous et au-dessus de lui. L'hypothèse faite sur les différences se traduira par l'identité, sinon rigoureuse, du moins très approchée, des différences troisièmes AJ et AIj. Appelons n
8057 2320 8422 8788 9153 9518 9883 0249 0614 0979 1344 1710 2330 257 2075 2440 2805 3171 3536 3901 4266 4632 4997 5362 2340 5727 6093 6458 6823 7188 7554 7919 8284 8649 9015 2350 9380 9745 0110 0476 0841 1206 1571 1937 2302 2667 2360 258 3032 3398 3763 4128 4493 4859 5224 5589 5954 6320 2370 6685 7050 7781 8146 8511 8876 9242 9607 9972 2380 259 0337 0703 1068 1433 1798 2164 2529 2894 3259 3625 2390 3990 4355 4720 5086 5451 5816 618 x-1, x2, x3 les arguments qui précèdent et suivent immédiatement x0. Formons le tableau suivant, qui s'explique de lui-même, chaque nombre étant la différence algébrique entre les deux nombres placés immédiatement à sa gauche au-dessous et au-dessus de lui. L'hypothèse faite sur les différences se traduira par l'identité, sinon rigoureuse, du moins très approchée, des différences troisièmes AJ et AIj. Appelons n le rapport c'est-à-dire la mesure de x rapportée à l'intervalle h comme unité. C'est un nombre compris entre 0 et 1. Si, au voisinage de x0, les différences secondes n'excèdent pas 4 unités du dernier ordre exprimé, l'interpolation linéaire du tableau est légitime, et l'on peut poser : /(®)=/o + n dt. Lorsque la différence seconde excède 4, il est nécessaire d'en tenir compte. Si les différences troisièmes sont inférieures à 8, on peut utiliser la formule d'interpolation de Newton (dite encore : aux différences descendantes), en la bornant à son troisième terme : qui peut s'écrire, à l'aide des différences premières seules, sous la forme suivante : Dans les mêmes conditions que ci-dessus, et au même degré d'approximation, on peut encore poser : formule que les calculateurs très exercés utilisent volontiers pour l'interpolation à vue. Lorsque la différence troisième dépasse 8, sans excéder 62, il faut avoir recours à la formule de Bessel (dite encore : aux différences centrales), en la bornant aussi au troisième terme : elle peut s'exprimer à l'aide des différences premières seules : La formule de Bessel ainsi limitée est plus approchée que les formules (b) et (d), parce qu'elle fait intervenir trois différences premières
n dt. Lorsque la différence seconde excède 4, il est nécessaire d'en tenir compte. Si les différences troisièmes sont inférieures à 8, on peut utiliser la formule d'interpolation de Newton (dite encore : aux différences descendantes), en la bornant à son troisième terme : qui peut s'écrire, à l'aide des différences premières seules, sous la forme suivante : Dans les mêmes conditions que ci-dessus, et au même degré d'approximation, on peut encore poser : formule que les calculateurs très exercés utilisent volontiers pour l'interpolation à vue. Lorsque la différence troisième dépasse 8, sans excéder 62, il faut avoir recours à la formule de Bessel (dite encore : aux différences centrales), en la bornant aussi au troisième terme : elle peut s'exprimer à l'aide des différences premières seules : La formule de Bessel ainsi limitée est plus approchée que les formules (b) et (d), parce qu'elle fait intervenir trois différences premières consécutives, au lieu de deux, soit encore quatre valeurs tabulaires de la fonction, au lieu de trois. Il va sans dire qu'on peut l'utiliser pour des valeurs de la différence troisième inférieures à 8. Enfin, dans les cas, assez rares, où la différence troisième dépasse 62, il convient de retenir le quatrième terme de la formule de Bessel : la différence quatrième ne devant pas excéder 21 unités du dernier ordre exprimé. On trouvera, page 539, des tables du facteur B1 des différences secondes, ainsi que du facteur B3 de la différence troisième, la formule de Bessel s'écrivant alors : On n'oubliera pas que le facteur Bs est toujours négatif; le facteur B3 étant positif lorsque n est compris entre 0 et 0,5, négatif lorsque n est compris entre 0,5 et 1. On notera encore que, dans la formule de Newton [formule (b)], la différence seconde est multipliée par le facteur 2B9. Dans bien des cas, la Connaissance des Temps fournit, en même temps que la table des valeurs de la fonction f(x), les variations premières V(x) correspondantes; ces variations se rapportent d'ailleurs non pas à l'intervalle h de la table, mais à la quantité —5 p étant un entier.
le quatrième terme de la formule de Bessel : la différence quatrième ne devant pas excéder 21 unités du dernier ordre exprimé. On trouvera, page 539, des tables du facteur B1 des différences secondes, ainsi que du facteur B3 de la différence troisième, la formule de Bessel s'écrivant alors : On n'oubliera pas que le facteur Bs est toujours négatif; le facteur B3 étant positif lorsque n est compris entre 0 et 0,5, négatif lorsque n est compris entre 0,5 et 1. On notera encore que, dans la formule de Newton [formule (b)], la différence seconde est multipliée par le facteur 2B9. Dans bien des cas, la Connaissance des Temps fournit, en même temps que la table des valeurs de la fonction f(x), les variations premières V(x) correspondantes; ces variations se rapportent d'ailleurs non pas à l'intervalle h de la table, mais à la quantité —5 p étant un entier. La variation est donc la dérivée de la fonction quand — est l'unité de la variable. Dans ces conditions, on obtiendra le même degré d'approximation qu'avec la formule (g), en employant seulement les différences secondes de la variation. Formant le tableau analogue au précédent on aura, en appelant m le rapport p (x ——> c'est-à-dire la mesure h HC 7 x — x0 rapportée à l'unité > Si l'on peut, en raison de l'approximation requise, négliger les différences secondes de la variation, on formera simplement Di ou D-h et l'on aura ce qui revient à dire qu'il suffit d'ajouter à f0 le produit de m par la variation interpolée linéairement pour le milieu de l'intervalle qui sépare la valeur donnée x de l'argument x0. Si l'on ne recherche pas une grande précision, on pourra négliger Dt et prendre f(x) = Jo+ mV(x). Les formules précédentes permettent de résoudre sans peine par approximations successives le problème inverse, c'est-à-dire de calculer x, connaissant f(x). Ainsi, dans le cas de la formule (b), par exemple, on écrit : et on fait d'abord n = 0 dans le second membre, d'où la première valeur approchée : laquelle, avec les hypothèses faites (différences troisièmes faibles),
rapport p (x ——> c'est-à-dire la mesure h HC 7 x — x0 rapportée à l'unité > Si l'on peut, en raison de l'approximation requise, négliger les différences secondes de la variation, on formera simplement Di ou D-h et l'on aura ce qui revient à dire qu'il suffit d'ajouter à f0 le produit de m par la variation interpolée linéairement pour le milieu de l'intervalle qui sépare la valeur donnée x de l'argument x0. Si l'on ne recherche pas une grande précision, on pourra négliger Dt et prendre f(x) = Jo+ mV(x). Les formules précédentes permettent de résoudre sans peine par approximations successives le problème inverse, c'est-à-dire de calculer x, connaissant f(x). Ainsi, dans le cas de la formule (b), par exemple, on écrit : et on fait d'abord n = 0 dans le second membre, d'où la première valeur approchée : laquelle, avec les hypothèses faites (différences troisièmes faibles), est peu différente de : puis la deuxième valeur : De même, dans le cas de la formule (i), on écrit : et on commence les approximations en faisant d'abord m = 0 dans le second membre. TEMPS. En vertu du mouvement diurne, l'angle horaire en un lieu donné d'un astre quelconque, réel ou fictif, varie toujours dans le même sens (à condition de l'astreindre à varier d'une façon continue); il est donc propre à déterminer le temps, c'est-à-dire à fixer les époques. Temps sidéral. A un instant donné, et dans un lieu donné, le temps sidéral est l'angle horaire du point vernal en ce lieu. Le jour sidéral commence au moment du passage supérieur du point vernal au méridien; sa durée est l'intervalle de temps qui sépare deux passages supérieurs consécutifs. Le jour sidéral n'est pas d'une durée constante. On ne compte pas en jours sidéraux, et l'on donne seulement, pour fixer une époque, le temps sidéral, compté de oh à avec la date ordinaire. A un instant quelconque, la somme de l'ascension droite et de l'angle horaire d'un astre est toujours égale au temps sidéral (à un multiple de 24h près). En particulier, au moment du passage supérieur