jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
obtenir tous les cas dans lesquels le problème de la représentation sphérique est susceptible d'une solution en termes finis; Toutes les fois que le problème de la représentation sphérique aura été résolu d'une manière quelconque pour un système de courbes orthogonales, on pourra déduire de la solution obtenue celle qui se rapporte à toute une suite illimitée de systèmes sphériques orthogonaux. M. Darboux montre, en terminant, le parti que l'on peut tirer pour le problème de la représentation sphérique, et aussi pour la recherche des surfaces applicables sur une surface donnée, de la considération de l'équation auxiliaire d'une équation aux dérivées partielles définissant une fonction ζ de plusieurs variables indépendantes : cette équation auxiliaire est l'équation linéaire obtenue en remplaçant dans la proposée z par z + εz', développant suivant les puissances de z et égalant à zéro le coefficient de ε. Kœnigs. — Détermination de toutes les surfaces plusieurs fois engendrées par des coniques. (177-192). Le plan et les quadriques sont les seules surfaces qui puissent contenir deux séries de droites. Dans le même ordre d'idées, on peut se proposer de chercher les surfaces par chaque point desquelles il passe deux ou plusieurs coniques tracées sur ces surfaces. Il y a lieu de distinguer deux cas : celui où la famille de coniques est simple, c'est-à-dire où une seule conique passe par un point de la surface, et celui où cette famille est multiple, c'est-à-dire où, par un point, passent plusieurs coniques de la famille. 1° Surfaces qui admettent au moins deux familles simples de génératrices du second degré. — Ce cas se divise en deux autres : (a) La rencontre de deux coniques de systèmes différents n'a lieu qu'en un seul point Variable avec ces coniques. Alors, si l'on désigne par A1, B1, C1, trois coniques du premier système, par A2, B2, C2 trois coniques du second, par p un point de A1, par q un point de A2, et si l'on représente par λ, μ les rapports anharmoniques suivants : A1, A2 étant le point de rencontre de A1, et de A2, la surface est déterminée en
y a lieu de distinguer deux cas : celui où la famille de coniques est simple, c'est-à-dire où une seule conique passe par un point de la surface, et celui où cette famille est multiple, c'est-à-dire où, par un point, passent plusieurs coniques de la famille. 1° Surfaces qui admettent au moins deux familles simples de génératrices du second degré. — Ce cas se divise en deux autres : (a) La rencontre de deux coniques de systèmes différents n'a lieu qu'en un seul point Variable avec ces coniques. Alors, si l'on désigne par A1, B1, C1, trois coniques du premier système, par A2, B2, C2 trois coniques du second, par p un point de A1, par q un point de A2, et si l'on représente par λ, μ les rapports anharmoniques suivants : A1, A2 étant le point de rencontre de A1, et de A2, la surface est déterminée en coordonnées homogènes x1, x2, x3, xi par les équations pxi = φ(λ, μ) (i = 1, 2, 3, 4), Où μ) est un polynôme du second degré en A et du second degré en μ. Cette surface, du huitième ordre, est représentable sur le plan. M. Kœnigs l'appelle conicoïde. Les coniques des deux systèmes se coupent en deux points variables. Soient X, une conique du premier système, et x, x' ses deux points de rencontre avec une conique X', du second système. La droite xx' passera par un point fixe ξ1 (pôle d'involution de X1). Les pôles d'involution du premier système sont en général situés sur une droite D1 (axes d'involution). Mais les coniques d'un système peuvent avoir un pôle d'involution fixe, et alors ce point est aussi un pôle d'involution fixe pour les coniques du second système. Dans le cas de deux axes d'involution, la surface cherchée ne peut être qu'une quadrique. Dans le cas d'un pôle d'involution unique, la surface est du quatrième ordre et possède une conique double. M. Kœnigs étend cette théorie aux surfaces engendrées par une famille simple de courbes unicursales. Si, en dehors de cette famille, il existe sur la surface une autre courbe
coniques des deux systèmes se coupent en deux points variables. Soient X, une conique du premier système, et x, x' ses deux points de rencontre avec une conique X', du second système. La droite xx' passera par un point fixe ξ1 (pôle d'involution de X1). Les pôles d'involution du premier système sont en général situés sur une droite D1 (axes d'involution). Mais les coniques d'un système peuvent avoir un pôle d'involution fixe, et alors ce point est aussi un pôle d'involution fixe pour les coniques du second système. Dans le cas de deux axes d'involution, la surface cherchée ne peut être qu'une quadrique. Dans le cas d'un pôle d'involution unique, la surface est du quatrième ordre et possède une conique double. M. Kœnigs étend cette théorie aux surfaces engendrées par une famille simple de courbes unicursales. Si, en dehors de cette famille, il existe sur la surface une autre courbe unicursale, la surface est représentable point par point sur le plan. Si l'on considère deux familles de courbes unicursales ne se coupant qu'en un point variable, les courbes génératrices étant du degré p d'un côté, et du degré q de l'autre, on arrive à cette expression générale d'une surface de degré 2 pq : pxi = (ai λP + a'i λp-1 + ...) μp + (bi λp + ...) μp-1 + ... 2° Surfaces recouvertes plusieurs fois par une même famille de coniques. — Si une famille de coniques recouvre n fois la surface, deux quelconques de ces coniques se coupent. Si la rencontre a lieu en deux points variables, la surface est une quadrique. Reste le seul cas intéressant, celui où les coniques n'ont qu'un point mobile commun. Lorsque n est égal à 2, les surfaces qui répondent à la question sont généralement des surfaces de Steiner, ou exceptionnellement des cubiques réglées, ou plus exceptionnellement encore des quadriques ou des plans. Elles sont toutes données par les formules pxi =ϕi (p, q) (i = 1, 2, 3, 4), où ϕi(p, q) est un polynôme du second degré des deux variables p et q, ces deux variables étant, l'une la
degré 2 pq : pxi = (ai λP + a'i λp-1 + ...) μp + (bi λp + ...) μp-1 + ... 2° Surfaces recouvertes plusieurs fois par une même famille de coniques. — Si une famille de coniques recouvre n fois la surface, deux quelconques de ces coniques se coupent. Si la rencontre a lieu en deux points variables, la surface est une quadrique. Reste le seul cas intéressant, celui où les coniques n'ont qu'un point mobile commun. Lorsque n est égal à 2, les surfaces qui répondent à la question sont généralement des surfaces de Steiner, ou exceptionnellement des cubiques réglées, ou plus exceptionnellement encore des quadriques ou des plans. Elles sont toutes données par les formules pxi =ϕi (p, q) (i = 1, 2, 3, 4), où ϕi(p, q) est un polynôme du second degré des deux variables p et q, ces deux variables étant, l'une la somme, l'autre le produit de deux valeurs, et [x, du paramètre qui correspond anharmoniquement aux points d'une conique de la famille considérée. M. Darboux a prouvé que les surfaces (D) sont les seules qui puissent contenir une double infinité de coniques. Ces surfaces rentrent dans le type des conicoïdes de M. Kœnigs. D'ailleurs, si l'on prend arbitrairement une surface (D) et si l'on considère une développable de la classe m circonscrite à la surface, les plans tangents à cette développable couperont chacun la surface (D), suivant deux coniques; or les coniques ainsi définies engendrent une famille qui recouvre m fois la surface. De là résulte qu'avec une surface (D) quelconque on peut réaliser le fait d'une surface recouverte autant de fois qu'on voudra par une famille de coniques. Reste à savoir si les surfaces (D) fournissent toutes les solutions du problème. M. Kœnigs se borne pour le moment au cas où la surface est représentable point par point sur le plan. Il trouve effectivement que la solution générale est donnée dans ce cas par une surface (D). Guichard. — Sur les intégrales ~ (1 92-210). AI. Guichard étudie les intégrales où G (x) représente une fonction holomorphe et R(x) un
M. Kœnigs. D'ailleurs, si l'on prend arbitrairement une surface (D) et si l'on considère une développable de la classe m circonscrite à la surface, les plans tangents à cette développable couperont chacun la surface (D), suivant deux coniques; or les coniques ainsi définies engendrent une famille qui recouvre m fois la surface. De là résulte qu'avec une surface (D) quelconque on peut réaliser le fait d'une surface recouverte autant de fois qu'on voudra par une famille de coniques. Reste à savoir si les surfaces (D) fournissent toutes les solutions du problème. M. Kœnigs se borne pour le moment au cas où la surface est représentable point par point sur le plan. Il trouve effectivement que la solution générale est donnée dans ce cas par une surface (D). Guichard. — Sur les intégrales ~ (1 92-210). AI. Guichard étudie les intégrales où G (x) représente une fonction holomorphe et R(x) un polynôme du degré 2p + 2. Il montre que G (x) est décomposable, et cela d'une seule manière, en une somme de la forme ϕ (x) étant une fonction holomorphe, et X1, ... des constantes qui peuvent être calculées au moyen de la formule générale les λi, n sont fournis par la relation récurrente les A" sont les coefficients du polynôme R(x), et les Bn les coefficients de la série de Maclaurin qui représente G(x). De cette décomposition de G(x) résulte immédiatement celle de l'intégrale u en deux parties : l'une immédiatement intégrable et qui n'a pas de périodes l'autre qui est l'intégrale d'une différentielle algébrique On peut disposer de la fonction G (x) de façon que les 2p + 1 périodes de cette intégrale aient des valeurs arbitraires. Après avoir effectué cette réduction, l'auteur s'occupe de la formation des intégrales qui n'ont qu'une période. On peut choisir les X de manière à former 2p + 1 intégrales particulières v1 .... v2p+1' ayant une période égale à 2πi. La forme générale des intégrales jouissant de la même propriété sera v = m1v1 + m2 v2 + ...+ m2p + 1 v2p + 1' m1, m2, ..., m2p + 1 étant
par la relation récurrente les A" sont les coefficients du polynôme R(x), et les Bn les coefficients de la série de Maclaurin qui représente G(x). De cette décomposition de G(x) résulte immédiatement celle de l'intégrale u en deux parties : l'une immédiatement intégrable et qui n'a pas de périodes l'autre qui est l'intégrale d'une différentielle algébrique On peut disposer de la fonction G (x) de façon que les 2p + 1 périodes de cette intégrale aient des valeurs arbitraires. Après avoir effectué cette réduction, l'auteur s'occupe de la formation des intégrales qui n'ont qu'une période. On peut choisir les X de manière à former 2p + 1 intégrales particulières v1 .... v2p+1' ayant une période égale à 2πi. La forme générale des intégrales jouissant de la même propriété sera v = m1v1 + m2 v2 + ...+ m2p + 1 v2p + 1' m1, m2, ..., m2p + 1 étant des entiers premiers entre eux dans leur ensemble. La connaissance de ces intégrales à une seule période conduit à la solution de ce problème : « Trouver toutes les fonctions uniformes d'un point de la courbe y2 = x (x), qui n'ont que des points singuliers à l'infini et qui ne s'annulent jamais. » Un premier type de pareilles fonctions est donné par la formule TT = ϕ et ψ étant des fonctions entières; un autre type particulier a pour expression sauf dans le cas exceptionnel où l'intégrale v; devient infinie comme un logarithme. M. Guichard établit que toutes les fonctions cherchées s'obtiennent en multipliant ou divisant les fonctions du type it par les fonctions du type πi. La résolution de ce problème établit une différence entre les fonctions uniformes sur un plan et les fonctions uniformes sur une sphère de Riemann. Dans le premier cas, une fonction qui a un seul point singulier et pas de zéros a son logarithme uniforme. Il n'en est pas de même dans le second cas. Ce problème se rattache directement à la question suivante : « Trouver tous les couples de fonctions entières X et Y qui satisfont à l'équation Xs + Y*
ne s'annulent jamais. » Un premier type de pareilles fonctions est donné par la formule TT = ϕ et ψ étant des fonctions entières; un autre type particulier a pour expression sauf dans le cas exceptionnel où l'intégrale v; devient infinie comme un logarithme. M. Guichard établit que toutes les fonctions cherchées s'obtiennent en multipliant ou divisant les fonctions du type it par les fonctions du type πi. La résolution de ce problème établit une différence entre les fonctions uniformes sur un plan et les fonctions uniformes sur une sphère de Riemann. Dans le premier cas, une fonction qui a un seul point singulier et pas de zéros a son logarithme uniforme. Il n'en est pas de même dans le second cas. Ce problème se rattache directement à la question suivante : « Trouver tous les couples de fonctions entières X et Y qui satisfont à l'équation Xs + Y* − 1 = 0 ; autrement dit, trouver toutes les transformations entières d'un cercle en une courbe algébrique. » Pour certaines courbes particulières, il peut se faire que X et Y soient des polynômes; les modules de périodicité des intégrales de première et de troisième espèce satisfont à des relations qui sont indiquées par M. Guichard. Enfin les intégrales qui ont deux périodes 2πα, 2πβ sont comprises dans la formule Elles permettent de trouver les transformations uniformes de la courbe Y2 = (1 − X2)(1 − k2X2). Appell. — Sur les équations linéaires intégrables à l'aide de la fonction ζ. (211-218). L'auteur indique une équation différentielle linéaire avec second membre, dont les coefficients sont composés avec des fonctions 0 et leurs dérivées et dont l'intégrale générale s'exprime à l'aide de fonctions 0 et de la fonction ζ, qui joue un rôle fondamental dans la décomposition des fonctions doublement périodiques de troisième espèce en éléments simples. Si l'on prend d'abord la fonction X1 (α, z) définie par la série l'équation qu'a en vue M. Appell est Elle a pour intégrale générale 7c zi u = X1 (α, z) + e2K H1 (a), À désignant une constante arbitraire. Si l'on passe maintenant
qui sont indiquées par M. Guichard. Enfin les intégrales qui ont deux périodes 2πα, 2πβ sont comprises dans la formule Elles permettent de trouver les transformations uniformes de la courbe Y2 = (1 − X2)(1 − k2X2). Appell. — Sur les équations linéaires intégrables à l'aide de la fonction ζ. (211-218). L'auteur indique une équation différentielle linéaire avec second membre, dont les coefficients sont composés avec des fonctions 0 et leurs dérivées et dont l'intégrale générale s'exprime à l'aide de fonctions 0 et de la fonction ζ, qui joue un rôle fondamental dans la décomposition des fonctions doublement périodiques de troisième espèce en éléments simples. Si l'on prend d'abord la fonction X1 (α, z) définie par la série l'équation qu'a en vue M. Appell est Elle a pour intégrale générale 7c zi u = X1 (α, z) + e2K H1 (a), À désignant une constante arbitraire. Si l'on passe maintenant à la fonction Xm (a, z) définie par la série et que l'on introduise la fonction entière on pourra au moyen de ces fonctions intégrer l'équation où B désigne une constante. L'intégrale générale est U = Xm(a, z+ go (z) + λm-1 S m-1 (z), ..., λm-1 étant les n constantes arbitraires. Stouff. — Sur la transformation des fonctions fuchsiennes (21-326). Le travail de M. Stouff a son point de départ dans les Mémoires de M. Poincaré sur les fonctions fuchsiennes. Il se divise en deux Parties, précédées d'une introduction dans laquelle l'auteur rend compte de certaines définitions et propositions empruntées à la Géométrie non euclidienne. La première Partie débute par l'établissement d'une formule de correspondance entre deux surfaces de Riemann S et T, respectivement de genre p et q, sur lesquelles on fait les deux hypothèses que voici : 1° Entre les points de ces deux surfaces il existe une correspondance analytique, c'est-à-dire laissant les angles inaltérés, de telle sorte qu'à un point M de S répondent m points de T et à un point N de T n points de S. 2° Les points N cessent d'être fonctions uniformes du point M lorsque M vient coïncider avec un
constantes arbitraires. Stouff. — Sur la transformation des fonctions fuchsiennes (21-326). Le travail de M. Stouff a son point de départ dans les Mémoires de M. Poincaré sur les fonctions fuchsiennes. Il se divise en deux Parties, précédées d'une introduction dans laquelle l'auteur rend compte de certaines définitions et propositions empruntées à la Géométrie non euclidienne. La première Partie débute par l'établissement d'une formule de correspondance entre deux surfaces de Riemann S et T, respectivement de genre p et q, sur lesquelles on fait les deux hypothèses que voici : 1° Entre les points de ces deux surfaces il existe une correspondance analytique, c'est-à-dire laissant les angles inaltérés, de telle sorte qu'à un point M de S répondent m points de T et à un point N de T n points de S. 2° Les points N cessent d'être fonctions uniformes du point M lorsque M vient coïncider avec un nombre fini de points de S, A1, A2, ..., An. Alors, lorsque M vient successivement en A1, A2, An, il y a sur S m1, m2, ..., mn points N qui se réunissent en un seul ; et inversement sur T il y a k points β1, ..., βk pour lesquels v1, v2, ..., vk points M se réunissent. Cela posé, on a entre toutes ces quantités la relation (2p − 2) n + (m1 − 1) + (m2 − 1) + ... + (mn − 1) = (2q − 2)n + (v1 − 1) + (v2 − 1) + ... + (vk − 1). Telle est la formule que M. Stouff se proposait d'établir et dont il donne l'interprétation dans la théorie des fonctions fuchsiennes. Deux problèmes se présentent : 1° Déterminer les sous-groupes d'un groupe fuchsien. On obtient les polygones générateurs des sous-groupes en réunissant plusieurs polygones du réseau du groupe primitif et en conjuguant convenablement les côtés restés libres. 2° Étant donné un groupe fuchsien G qui dépend des paramètres variables, pour quelles valeurs de ces paramètres est-il contenu dans un autre groupe R ? Il est intéressant de chercher quand cette circonstance se présente, parce que
lesquels v1, v2, ..., vk points M se réunissent. Cela posé, on a entre toutes ces quantités la relation (2p − 2) n + (m1 − 1) + (m2 − 1) + ... + (mn − 1) = (2q − 2)n + (v1 − 1) + (v2 − 1) + ... + (vk − 1). Telle est la formule que M. Stouff se proposait d'établir et dont il donne l'interprétation dans la théorie des fonctions fuchsiennes. Deux problèmes se présentent : 1° Déterminer les sous-groupes d'un groupe fuchsien. On obtient les polygones générateurs des sous-groupes en réunissant plusieurs polygones du réseau du groupe primitif et en conjuguant convenablement les côtés restés libres. 2° Étant donné un groupe fuchsien G qui dépend des paramètres variables, pour quelles valeurs de ces paramètres est-il contenu dans un autre groupe R ? Il est intéressant de chercher quand cette circonstance se présente, parce que ces groupes particuliers sont plus simples que les autres et que le calcul des équations fuchsiennes correspondantes peut même se faire algébriquement dans certains cas. Or, soient p le genre du groupe G; —, —, ..., — les sommes d'angles des cycles; r le genre du groupe R ; —, les sommes d'angles des cycles; la condition pour que G soit contenu dans r est N étant un entier. Cette formule, malgré la différence de forme, n'est autre que la formule de correspondance indiquée ci-dessus. M. Stouff fait diverses applications de cette formule, puis il passe à l'étude des sous-groupes distingués, et ensuite à celle des substitutions directes et inverses. Ces deux questions, outre l'intérêt qu'elles offrent par elles-mêmes, conduisent à des résultats fort utiles quand on étudie les opérations qui transforment un polygone en un polygone équivalent, c'est-à-dire engendrant le même groupe fuchsien. La deuxième Partie du Mémoire commence par des théorèmes généraux établissant une liaison entre cette Partie et la précédente. Elle se continue et se termine par des applications de ces théorèmes aux genres 2 et 3. Riemann (J.). — Le problème de Dirichlet. (327-410). L'objet principal de ce travail est de développer la solution du problème
les sommes d'angles des cycles; la condition pour que G soit contenu dans r est N étant un entier. Cette formule, malgré la différence de forme, n'est autre que la formule de correspondance indiquée ci-dessus. M. Stouff fait diverses applications de cette formule, puis il passe à l'étude des sous-groupes distingués, et ensuite à celle des substitutions directes et inverses. Ces deux questions, outre l'intérêt qu'elles offrent par elles-mêmes, conduisent à des résultats fort utiles quand on étudie les opérations qui transforment un polygone en un polygone équivalent, c'est-à-dire engendrant le même groupe fuchsien. La deuxième Partie du Mémoire commence par des théorèmes généraux établissant une liaison entre cette Partie et la précédente. Elle se continue et se termine par des applications de ces théorèmes aux genres 2 et 3. Riemann (J.). — Le problème de Dirichlet. (327-410). L'objet principal de ce travail est de développer la solution du problème de Dirichlet que M. Schwarz a esquissée à grands traits dans les Monatsberichte de 1870. M. Riemann a divisé son travail en quatre Parties. Dans la première, il s'occupe des fonctions harmoniques dans une aire S et continues sur son contour. On entend par là, comme on sait, une fonction y) uniforme et continue à l'intérieur de l'aire S, admettant des dérivées partielles des deux premiers ordres uniformes et continues, et satisfaisant à l'équation Le problème de Dirichlet classique consiste à déterminer une fonction harmonique par la succession de ses valeurs tout le long du contour, ces valeurs étant supposées fonctions continues de l'arc du contour. Ce problème est intimement lié à la théorie de la représentation conforme, dont l'auteur établit les principes fondamentaux avec toute la précision possible. Mais le problème de Dirichlet est susceptible d'une généralisation importante : les valeurs données sur le contour peuvent éprouver en certains points singuliers des discontinuités connues, sans toutefois s'éroigner indéfiniment dans le voisinage de ces points. M. Riemann ramène ce problème, que M. Schwarz, d'ailleurs, ne s'est pas posé, au problème classique. Appelant à l'affixe d'un point singulier A, ∝ l'angle (généralement égal à π) des deux tangentes aux deux branches