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facteurs linéaires communs (ces facteurs pouvant ne pas entrer au même degré dans la composition de ces deux polynômes). Saint-Loup. — Sur la représentation graphique des diviseurs des nombres. (24-26). Jensen. — Observations sur une Communication récente de M. Cesaro. (81-82). Lemoine. — De la mesure de la simplicité dans les constructions géométriques. (169-171). Bertrand. — Note sur le tir à la cible. (205-207). Dans une Note précédente, M. Bertrand a indiqué l'équation des ellipses de même probabilité dans une série de tirs dont le résultat est connu. L'équation des ellipses étant k2x2 + 2λxy + k'2y2 = H, il a donné, dans une seconde Note, neuf valeurs de la constante H, telles que la probabilité pour que la balle se place dans la plus petite des ellipses correspondantes, ou en dehors de la plus grande, ou entre deux ellipses consécutives, soit toujours M. Bertrand a pu appliquer les formules aux résultats fournis par 1000 épreuves faites à 200m avec dix fusils de même modèle, chaque tireur ayant tiré dix balles avec chaque fusil. L'accord de l'expérience avec la théorie s'est montré aussi satisfaisant que possible. De Jonquières. — Nouvelles recherches sur la construction, par deux faisceaux projectifs, de la surface générale du troisième ordre. (209-214). 1° Construire la surface du troisième ordre, connaissant trois de ses droites (qui ne se rencontrent pas deux à deux), une autre droite s'appuyant sur deux de celles-ci et cinq points. 2° Construire la surface du troisième ordre, connaissant une de ses droites, sept points que l'on sait être situés sur une même courbe gauche du quatrième ordre et de première espèce, et cinq autres points indépendants entre eux. Dans chacun de ces deux problèmes, qui sont en un certain sens corrélatifs l'un de l'autre, les données sont équivalentes à dix-neuf conditions. La solution de ces nouveaux cas porte à six le nombre des cas de construction de la surface générale du troisième ordre, traités par M. de Jonquières (voir Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. CVI, p. 526 et 527). L'auteur donne quelques indications utiles pour la solution des cas
surface générale du troisième ordre. (209-214). 1° Construire la surface du troisième ordre, connaissant trois de ses droites (qui ne se rencontrent pas deux à deux), une autre droite s'appuyant sur deux de celles-ci et cinq points. 2° Construire la surface du troisième ordre, connaissant une de ses droites, sept points que l'on sait être situés sur une même courbe gauche du quatrième ordre et de première espèce, et cinq autres points indépendants entre eux. Dans chacun de ces deux problèmes, qui sont en un certain sens corrélatifs l'un de l'autre, les données sont équivalentes à dix-neuf conditions. La solution de ces nouveaux cas porte à six le nombre des cas de construction de la surface générale du troisième ordre, traités par M. de Jonquières (voir Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. CVI, p. 526 et 527). L'auteur donne quelques indications utiles pour la solution des cas qui n'ont pas encore été abordés. Perrin. — Sur les critères des divers genres de solutions multiples communes à trois équations à deux variables. (219-221). Trois polynômes u, v, w entiers en x, y, de degrés m, n, p, et dont le résultant est R, sont liés, ainsi que leurs dérivées partielles, par relations, savoir et celles qu'on en déduit par differentiation. (Pour les notations, voir plus haut.) De là, M. Perrin déduit que toute courbe u qui passe par les points communs aux courbes v et w satisfait à une relation de la forme umnp = V + W, où V, W sont des polynômes en u, v, w au plus de degrés n (mp — r), p ( mn — r) en x et y. Si la relation (r) est décomposée en groupes homogènes par rapport à u, v, w, celui de ces groupes de moindre degré q dont tous les coefficients ne sont pas nuls est toujours décomposable en q facteurs linéaires, correspondant aux q points communs aux trois courbes, et les divers cas possibles d'égalité de ces facteurs correspondent aux cas possibles de coïncidence des q points entre eux. Painlevé. — Sur les équations différentielles du
dérivées partielles, par relations, savoir et celles qu'on en déduit par differentiation. (Pour les notations, voir plus haut.) De là, M. Perrin déduit que toute courbe u qui passe par les points communs aux courbes v et w satisfait à une relation de la forme umnp = V + W, où V, W sont des polynômes en u, v, w au plus de degrés n (mp — r), p ( mn — r) en x et y. Si la relation (r) est décomposée en groupes homogènes par rapport à u, v, w, celui de ces groupes de moindre degré q dont tous les coefficients ne sont pas nuls est toujours décomposable en q facteurs linéaires, correspondant aux q points communs aux trois courbes, et les divers cas possibles d'égalité de ces facteurs correspondent aux cas possibles de coïncidence des q points entre eux. Painlevé. — Sur les équations différentielles du premier ordre. (221-224). L'auteur étudie les équations du premier ordre dont l'intégrale générale ne prend dans le plan qu'un nombre fini n de valeurs ou, plus généralement, n'admet dans le plan que n déterminations se permutant autour des points critiques qui varient avec la constante d'intégration. Dans ce cas, l'intégrale générale peut se mettre sous la forme yn + A, (x, c)yn-1 + A2(x, c)yn—3 + ... + An(x, c) = 0, les A; étant des fonctions de x dont les points critiques sont fixes. M. Painlevé se borne au cas où l'équation proposée est algébrique en y et y' F (y, y', x) = 0. Quand les coefficients B ne présentent pas de coupure fermée, une intégrale qui, dans l'espace où elle est définie, ne prend que n valeurs se permutant autour des points critiques mobiles, est définie dans tout le plan. Quels que soient, d'ailleurs, les coefficients B, cette intégrale vérifie une équation de la forme f[y,y0, (x)] = 0, où y. représente une des n valeurs de y, f un polynôme de degré mn en y et ya respectivement. Étudiant de plus près les divers modes de représentation de l'intégrale, M. Painlevé montre qu'il est toujours possible,
générale peut se mettre sous la forme yn + A, (x, c)yn-1 + A2(x, c)yn—3 + ... + An(x, c) = 0, les A; étant des fonctions de x dont les points critiques sont fixes. M. Painlevé se borne au cas où l'équation proposée est algébrique en y et y' F (y, y', x) = 0. Quand les coefficients B ne présentent pas de coupure fermée, une intégrale qui, dans l'espace où elle est définie, ne prend que n valeurs se permutant autour des points critiques mobiles, est définie dans tout le plan. Quels que soient, d'ailleurs, les coefficients B, cette intégrale vérifie une équation de la forme f[y,y0, (x)] = 0, où y. représente une des n valeurs de y, f un polynôme de degré mn en y et ya respectivement. Étudiant de plus près les divers modes de représentation de l'intégrale, M. Painlevé montre qu'il est toujours possible, et cela d'une infinité de manières, de la mettre sous la forme (1) C = R[y, y', (x)], C désignant une constante, R une fonction rationnelle en y et y', dont les coefficients sont quelconques en x. Mais on peut toujours choisir deux formes de l'intégrale \(T = C[y, y, (x)]\), \(\gamma' = C'[y, y', (x)]\), telles qu'une intégrale quelconque se déduise de ces deux-là par une transformation birationnelle \(\phi(\gamma, \gamma')\). Entre \(y\) et \(y'\) il existe une relation algébrique, qui n'est définie qu'à une transformation birationnelle près. Les intégrales \(y\) et \(y'\) établissent une correspondance rationnelle entre les deux courbes algébriques \(h = 0\), \(F = 0\). Schlesinger. — Sur les courbes de genre 1. (224-227) Étant données deux fonctions doublement périodiques d'ordre \(n\) aux mêmes périodes et aux mêmes infinis, les équations \(x = X(u)\), \(y = Y(u)\) représentent une courbe elliptique d'ordre \(n\), à moins qu'à chaque point \((x, y)\) ne correspondent \(p\) valeurs de \(u\). M. Humbert (Comptes rendus des sessions de l'Académie des Sciences, p. 1137; 1883) a avancé que, dans ce dernier cas, la courbe devait être unicursale et de degré \(ce\) qui n'a pas lieu, d'après M. Schlesinger ; car les \(p\) valeurs
(x)]\), \(\gamma' = C'[y, y', (x)]\), telles qu'une intégrale quelconque se déduise de ces deux-là par une transformation birationnelle \(\phi(\gamma, \gamma')\). Entre \(y\) et \(y'\) il existe une relation algébrique, qui n'est définie qu'à une transformation birationnelle près. Les intégrales \(y\) et \(y'\) établissent une correspondance rationnelle entre les deux courbes algébriques \(h = 0\), \(F = 0\). Schlesinger. — Sur les courbes de genre 1. (224-227) Étant données deux fonctions doublement périodiques d'ordre \(n\) aux mêmes périodes et aux mêmes infinis, les équations \(x = X(u)\), \(y = Y(u)\) représentent une courbe elliptique d'ordre \(n\), à moins qu'à chaque point \((x, y)\) ne correspondent \(p\) valeurs de \(u\). M. Humbert (Comptes rendus des sessions de l'Académie des Sciences, p. 1137; 1883) a avancé que, dans ce dernier cas, la courbe devait être unicursale et de degré \(ce\) qui n'a pas lieu, d'après M. Schlesinger ; car les \(p\) valeurs de \(u\) devraient alors avoir une somme constante (à des multiples près des périodes), et l'auteur donne un exemple du contraire. Il annonce d'ailleurs que les Annales de Leipzig publieront un Mémoire sur ce sujet, où sera complètement élucidée la question posée par M. Humbert. Painlevé. — Sur les équations différentielles du premier ordre. (320-323). L'auteur se pose ce problème préliminaire : « Trouver toutes les courbes algébriques \((\alpha)\) qui correspondent rationnellement à une courbe algébrique donnée \((p)\) ». On reconnaît, par des opérations purement algébriques, s'il existe de telles courbes \((\alpha)\) de genre plus grand que 1, et on les obtient algébriquement. Pour qu'il existe des courbes \((\alpha)\) de genre 1, il faut et il suffit qu'une intégrale de première espèce de \((p)\) se ramène aux intégrales elliptiques. Ces propositions suffisent pour résoudre la question que M. Painlevé avait en vue : Reconnaître si l'intégrale d'une équation différentielle du premier ordre n'admet qu'un nombre fini (d'ailleurs inconnu) de déterminations se permutant autour des points critiques mobiles. On vérifie algébriquement que l'intégrale satisfait à ces conditions lorsque la relation \(A(y, y') = 0\) (voir plus haut) est du genre \(\pi\) plus grand que 1, et l'intégrale s'obtient elle-même algébriquement. Le
différentielles du premier ordre. (320-323). L'auteur se pose ce problème préliminaire : « Trouver toutes les courbes algébriques \((\alpha)\) qui correspondent rationnellement à une courbe algébrique donnée \((p)\) ». On reconnaît, par des opérations purement algébriques, s'il existe de telles courbes \((\alpha)\) de genre plus grand que 1, et on les obtient algébriquement. Pour qu'il existe des courbes \((\alpha)\) de genre 1, il faut et il suffit qu'une intégrale de première espèce de \((p)\) se ramène aux intégrales elliptiques. Ces propositions suffisent pour résoudre la question que M. Painlevé avait en vue : Reconnaître si l'intégrale d'une équation différentielle du premier ordre n'admet qu'un nombre fini (d'ailleurs inconnu) de déterminations se permutant autour des points critiques mobiles. On vérifie algébriquement que l'intégrale satisfait à ces conditions lorsque la relation \(A(y, y') = 0\) (voir plus haut) est du genre \(\pi\) plus grand que 1, et l'intégrale s'obtient elle-même algébriquement. Le même problème, quand on suppose \(\pi = 1\), est plus compliqué. On reconnaît algébriquement si les conditions sont vérifiées, et l'équation s'intègre alors par quadrature, ou bien se ramène à une équation linéaire d'ordre \(p\) (\(p\) étant le genre de l'équation différentielle proposée en \(y\) et \(y'\)). Dans les deux cas, si \(\pi = p\) (\(\pi\) n'est jamais supérieur à \(p\)), l'intégrale n'a que des points critiques fixes. L'hypothèse \(\pi = 0\), qui seule échappe à la méthode, est réservée par l'auteur. De Fonteniolant. — Sur les déformations élastiques dans les pièces à fibres moyennes. (383-385). Cette Note, extraite d'un Mémoire étendu, contient une généralisation du principe de réciprocité des déplacements dû à M. Krohn. Étant donné un système formé d'une pièce élastique unique ayant pour ligne moyenne une courbe plane ou gauche, ou d'un nombre quelconque de pièces de cette espèce, arbitrairement disposées dans l'espace et assemblées ou articulées entre elles, ce système pouvant d'ailleurs être ou non assujetti à des liaisons surabondantes : 1° Si une force égale à l'unité et de direction \(A_1\), appliquée à un point \((1)\) d'une pièce, imprime à un point \((2)\) un déplacement \(l_2\) estimé suivant une direction \(A_2\), réciproquement une force \(J_1\),
cas, si \(\pi = p\) (\(\pi\) n'est jamais supérieur à \(p\)), l'intégrale n'a que des points critiques fixes. L'hypothèse \(\pi = 0\), qui seule échappe à la méthode, est réservée par l'auteur. De Fonteniolant. — Sur les déformations élastiques dans les pièces à fibres moyennes. (383-385). Cette Note, extraite d'un Mémoire étendu, contient une généralisation du principe de réciprocité des déplacements dû à M. Krohn. Étant donné un système formé d'une pièce élastique unique ayant pour ligne moyenne une courbe plane ou gauche, ou d'un nombre quelconque de pièces de cette espèce, arbitrairement disposées dans l'espace et assemblées ou articulées entre elles, ce système pouvant d'ailleurs être ou non assujetti à des liaisons surabondantes : 1° Si une force égale à l'unité et de direction \(A_1\), appliquée à un point \((1)\) d'une pièce, imprime à un point \((2)\) un déplacement \(l_2\) estimé suivant une direction \(A_2\), réciproquement une force \(J_1\), appliquée au point \((2)\) suivant \(A_3\), imprime au point \((1)\) un déplacement dont la projection sur \(A_1\) a pour valeur \(l_2\). 2° Si un couple égal à l'unité et dont l'axe a une direction \(A_1\), appliquée à une section \(D_1\), imprime à un point \((2)\) une translation \(l_2\) (estimée suivant \(A_2\)), réciproquement une force \(J_1\), appliquée en \((2)\) suivant \(A_2\), imprime à \(D_1\), une rotation qui, reportée sur l'axe représentatif, a une projection sur \(A_1\), égale à \(l_2\). 3° Si un couple unité d'axe \(A_1\), appliqué à une section \(A_1\), imprime à une section \(D_1\), une rotation qui, reportée sur l'axe représentatif, a sur \(A_1\) une projection \(l_2\), réciproquement un couple unité, appliqué à \(D_1\), et d'axe \(A_2\), imprime à \(D_1\) une rotation qui, reportée sur l'axe représentatif, a pour projection sur \(A_1\) la même valeur \(l_2\). Lévy (M.). — Sur une propriété générale des corps solides élastiques. (414-416). M. M. Lévy énonce et démontre un remarquable théorème qui joue, dans la théorie de l'élasticité, le même rôle que celui de Green dans la théorie du potentiel, mais dont la paternité, comme l'auteur l'a reconnu lui-même dans une séance ultérieure, appartient à M. Betti : « Si à un corps
\(A_2\)), réciproquement une force \(J_1\), appliquée en \((2)\) suivant \(A_2\), imprime à \(D_1\), une rotation qui, reportée sur l'axe représentatif, a une projection sur \(A_1\), égale à \(l_2\). 3° Si un couple unité d'axe \(A_1\), appliqué à une section \(A_1\), imprime à une section \(D_1\), une rotation qui, reportée sur l'axe représentatif, a sur \(A_1\) une projection \(l_2\), réciproquement un couple unité, appliqué à \(D_1\), et d'axe \(A_2\), imprime à \(D_1\) une rotation qui, reportée sur l'axe représentatif, a pour projection sur \(A_1\) la même valeur \(l_2\). Lévy (M.). — Sur une propriété générale des corps solides élastiques. (414-416). M. M. Lévy énonce et démontre un remarquable théorème qui joue, dans la théorie de l'élasticité, le même rôle que celui de Green dans la théorie du potentiel, mais dont la paternité, comme l'auteur l'a reconnu lui-même dans une séance ultérieure, appartient à M. Betti : « Si à un corps ou à un système de corps élastiques on applique successivement deux systèmes de forces en équilibre, la somme des travaux des forces de l'un de ces systèmes pour les déplacements élastiques dus à l'autre est égale à la somme des travaux des forces de ce dernier pour les déplacements dus au premier. » De Jonquières. — Construction géométrique d'une surface du quatrième ordre à points doubles. (430-431). Les méthodes employées par M. de Jonquières dans ses précédentes Communications peuvent être appliquées à la construction de quelques surfaces du quatrième ordre. Comme exemple, l'auteur résout le problème suivant : Construire, à l'aide de deux faisceaux projectifs, la surface, du quatrième ordre qui est déterminée par sept points doubles et six points simples, tous donnés de position. Kœnigs. — Sur le volume engendré par un contour lié invariablement au trièdre d'une courbe et, en particulier, sur une propriété des courbes de M. Bertrand. (474-476). Le mouvement d'un contour fermé est supposé dirigé par une courbe, c'est-à-dire que le contour est lié invariablement au trièdre \(Ox, Oy, Oz\), formé par la tangente, la normale principale et la binormale de cette courbe. Si l'on désigne par A l'aire de la projection du contour fermé
au premier. » De Jonquières. — Construction géométrique d'une surface du quatrième ordre à points doubles. (430-431). Les méthodes employées par M. de Jonquières dans ses précédentes Communications peuvent être appliquées à la construction de quelques surfaces du quatrième ordre. Comme exemple, l'auteur résout le problème suivant : Construire, à l'aide de deux faisceaux projectifs, la surface, du quatrième ordre qui est déterminée par sept points doubles et six points simples, tous donnés de position. Kœnigs. — Sur le volume engendré par un contour lié invariablement au trièdre d'une courbe et, en particulier, sur une propriété des courbes de M. Bertrand. (474-476). Le mouvement d'un contour fermé est supposé dirigé par une courbe, c'est-à-dire que le contour est lié invariablement au trièdre \(Ox, Oy, Oz\), formé par la tangente, la normale principale et la binormale de cette courbe. Si l'on désigne par A l'aire de la projection du contour fermé sur le plan yOz, par L et N les secteurs de révolution engendrés par le contour tournant d'un angle unité autour de Ox et Oz, par s l'arc parcouru sur la courbe directrice, par a, t les arcs correspondants de l'indicatrice sphérique des tangentes et de celle des binormales, on aura, pour expression du volume engendré par le contour, V = As + Lu + Nσ. En particulier, si l'on cherche à déterminer la courbe directrice de telle manière que le volume engendré soit proportionnel à l'arc de cette courbe, on trouve une courbe de M. Bertrand. Picard. — Sur une classe d'équations linéaires aux dérivées partielles. Soit V une fonction de deux variables x et y. Si l'on pose eL = AV + A' V; -iA" V = + 2 BV, V2, + 2 B' VV, + 2 B" VV,, et que l'on considère l'intégrale double // (V,V,, l'équation exprimant que la variation première de cette intégrale est nulle quand V a des valeurs données sur le contour est c'est une équation aux dérivées partielles du second ordre à laquelle on ne peut identifier l'équation linéaire générale que sous certaines conditions imposées aux coefficients a, b, c, ...,f. Cette
aura, pour expression du volume engendré par le contour, V = As + Lu + Nσ. En particulier, si l'on cherche à déterminer la courbe directrice de telle manière que le volume engendré soit proportionnel à l'arc de cette courbe, on trouve une courbe de M. Bertrand. Picard. — Sur une classe d'équations linéaires aux dérivées partielles. Soit V une fonction de deux variables x et y. Si l'on pose eL = AV + A' V; -iA" V = + 2 BV, V2, + 2 B' VV, + 2 B" VV,, et que l'on considère l'intégrale double // (V,V,, l'équation exprimant que la variation première de cette intégrale est nulle quand V a des valeurs données sur le contour est c'est une équation aux dérivées partielles du second ordre à laquelle on ne peut identifier l'équation linéaire générale que sous certaines conditions imposées aux coefficients a, b, c, ...,f. Cette condition consiste dans l'évanouissement d'un certain polynôme F entier par rapport aux coefficients de l'équation (r) et à leurs dérivées partielles jusqu'au deuxième ordre. La relation F = 0 est manifestement invariante pour un changement quelconque des variables x et y. Quand la condition F = 0 est vérifiée, les coefficients A', B, A" de la forme quadratique sont déterminés; B", B' et A doivent seulement satisfaire à une équation aux dérivées partielles; la forme f reste donc arbitraire dans une certaine mesure. Les équations linéaires (I) jouissent alors de la propriété remarquable qui appartient à l'équation potentielle. Dans toute région du plan à contour simple où la forme est définie, il existe une seule fonction V(x, y), uniforme et continue à l'intérieur d'un contour c et prenant sur ce contour une succession donnée de valeurs. M. Picard montre, sur quelques exemples, comment on peut profiter de la latitude relative laissée à la forme f pour étendre le domaine où cette forme reste définie. Il examine, en particulier, le cas où l'équation (I) se réduit à m étant une constante positive. Il montre qu'une intégrale de cette équation est déterminée par ses valeurs le long d'un contour c, si elle
coefficients A', B, A" de la forme quadratique sont déterminés; B", B' et A doivent seulement satisfaire à une équation aux dérivées partielles; la forme f reste donc arbitraire dans une certaine mesure. Les équations linéaires (I) jouissent alors de la propriété remarquable qui appartient à l'équation potentielle. Dans toute région du plan à contour simple où la forme est définie, il existe une seule fonction V(x, y), uniforme et continue à l'intérieur d'un contour c et prenant sur ce contour une succession donnée de valeurs. M. Picard montre, sur quelques exemples, comment on peut profiter de la latitude relative laissée à la forme f pour étendre le domaine où cette forme reste définie. Il examine, en particulier, le cas où l'équation (I) se réduit à m étant une constante positive. Il montre qu'une intégrale de cette équation est déterminée par ses valeurs le long d'un contour c, si elle reste uniforme et continue à l'intérieur de ce contour et si, pour cette courbe fermée c, la distance minimale de deux tangentes extrêmes parallèles à une direction donnée est moindre que m'7c (le cas le plus simple est celui d'un cercle de rayon moindre que ). Boussinesq. — Complément à la théorie des déversoirs en mince paroi qui s'étendent à toute la largeur du lit d'un cours d'eau; influence, sur le débit, des vitesses d'arrivée des filets fluides. Si l'on appelle q le débit par unité de longueur du déversoir; h la hauteur de charge; s le relèvement éprouvé par la face inférieure de la nappe déversante depuis l'arête du déversoir jusqu'à la section contractée; —ρg(h — s) l'excédent de la pression exercée sous la nappe déversante sur la pression atmosphérique; la hauteur de la section contractée; on trouve, pour la vitesse V du fluide en un point quelconque de la section contractée situé à une hauteur z au-dessus du seuil, et k étant donné en fonction de n par l'équation transcendante Ces résultats, indiqués par M. Boussinesq dans trois Communications antérieures, supposent négligeables les petites vitesses déjà acquises dans la section d'amont dont la surface est à la hauteur