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de montrer que l'emploi de l'acier permettra d'aborder économiquement pour les ponts les grandes ouvertures. Le fer a été remplacé par l'acier doux dans la construction des rails, des chaudières, des coques de bateaux, des affûts de canons, il n'est plus guère employé que pour les ponts. Les pays producteurs d'acier comme l'Angleterre et les États-Unis construisent aujourd'hui leurs grands ponts en acier : le pont en construction sur le Forth, dont le poids doit dépasser 42 millions de kilogrammes, en est le plus grand exemple. De même que, d'après les idées du général Poncelet, on a admis que le fer, possédant une limite d'élasticité de 12 kg par millimètre carré, ne doit point travailler à plus de 6 kg, ainsi l'on a conseillé de ne point dépasser 12 kg pour le travail de l'acier, dont la limite d'élasticité atteint 24 kg. Dans la pratique, on se tient généralement au-dessous de la limite dont nous venons de parler; comme exemples, on peut citer les ponts en acier de Niagara, Bismarck, Plattsmuth, construits en Amérique, pour lesquels le travail adopté pour le métal a été de 10 kg, 8. Cette limite a été élevée à 11 kg, 8 au pont sur le Forth. Martin (J.). — Note sur la réduction du rayon des courbes et des alignements droits intermédiaires en pays accidenté. (141-178; 3 fig., 1 pl., 5 tabl.). Maurice Lévy. — Mémoire sur le calcul des ponts suspendus rigides. (179-247; 7 fig.). Ce travail intéressera les ingénieurs, au moment où l'État et les départements vont être chargés de pourvoir à l'entretien de près de cinq cents ponts suspendus, exploités jusqu'ici par voie de concession. Séjourné. — Construction des ponts du Castelet, de Lavaur et Antoinette. (409-549; 13 fig., 9 pl., 22 tabl.). Important Mémoire descriptif complété par un exposé méthodique de la recherche d'une formule simple de la pression normale maximale par unité sur la douelle d'un cintre pendant la construction. C'est là une des premières tentatives de détermination des dimensions à adopter pour les cintres, dans la construction desquels on procède habituellement d'instinct ou d'imitation. Lévy (M.). — Rapport
le Forth. Martin (J.). — Note sur la réduction du rayon des courbes et des alignements droits intermédiaires en pays accidenté. (141-178; 3 fig., 1 pl., 5 tabl.). Maurice Lévy. — Mémoire sur le calcul des ponts suspendus rigides. (179-247; 7 fig.). Ce travail intéressera les ingénieurs, au moment où l'État et les départements vont être chargés de pourvoir à l'entretien de près de cinq cents ponts suspendus, exploités jusqu'ici par voie de concession. Séjourné. — Construction des ponts du Castelet, de Lavaur et Antoinette. (409-549; 13 fig., 9 pl., 22 tabl.). Important Mémoire descriptif complété par un exposé méthodique de la recherche d'une formule simple de la pression normale maximale par unité sur la douelle d'un cintre pendant la construction. C'est là une des premières tentatives de détermination des dimensions à adopter pour les cintres, dans la construction desquels on procède habituellement d'instinct ou d'imitation. Lévy (M.). — Rapport sur les expériences de M. Marcel Deprez relatives au transport de la force entre Creil et Paris. (597-646; 8 fig.). Ce Rapport est identique, sauf l'addition de quelques nouvelles pièces annexes, à celui qui a été présenté par l'auteur à l'Académie des Sciences dans la séance du 2 août 1886. Gérard. — Note sur la marche des flotteurs dans les courants. (830-835, 1 fig.). À la suite d'une étude sur la marche des bateaux dans les courants rapides (Annales) t. XI, p. 199), dans laquelle M. du Boys a montré que les grands flotteurs marchent plus vite que le courant qui les porte et a tenté d'expliquer ce fait par l'action des forces moléculaires du liquide en mouvement, deux Notes paru successivement dans les Annales, pour mettre en relief l'explication jusque-là admise, et pour ainsi dire classique, du phénomène observé. La première (Annales) t. XI, p. 530) s'appuie sur l'autorité de Dubuat. La seconde (Annales, t. XI, p. 650) s'en réfère à celle de Dupuit. L'explication des deux auteurs est la même, en tout cas, au fond; mais, si l'on observe que la composante de la pesanteur suivant la pente a déjà exercé toute son action pour entraîner le flotteur
Gérard. — Note sur la marche des flotteurs dans les courants. (830-835, 1 fig.). À la suite d'une étude sur la marche des bateaux dans les courants rapides (Annales) t. XI, p. 199), dans laquelle M. du Boys a montré que les grands flotteurs marchent plus vite que le courant qui les porte et a tenté d'expliquer ce fait par l'action des forces moléculaires du liquide en mouvement, deux Notes paru successivement dans les Annales, pour mettre en relief l'explication jusque-là admise, et pour ainsi dire classique, du phénomène observé. La première (Annales) t. XI, p. 530) s'appuie sur l'autorité de Dubuat. La seconde (Annales, t. XI, p. 650) s'en réfère à celle de Dupuit. L'explication des deux auteurs est la même, en tout cas, au fond; mais, si l'on observe que la composante de la pesanteur suivant la pente a déjà exercé toute son action pour entraîner le flotteur avec la même vitesse que l'eau où il est plongé, il n'est pas permis d'isoler une partie quelconque du système en mouvement pour lui appliquer une force qui a déjà agi. Bien que ce raisonnement parût fort concluant à l'auteur de cette nouvelle Note, celui-ci a tenu à le confirmer par une expérience directe. Eiffel (G.). Note sur les piles et pylônes de grande hauteur. (836-845; 3 fig.). Critique des idées exposées à ce sujet dans le Mémoire de M. Leygue (Annales, t. XI, p. 871). L'auteur signale aussi des anomalies dans les résultats numériques relatifs aux piles en maçonnerie et il répond à différentes objections présentées par M. Leygue à un système de pylônes sans étrésillons qu'il avait proposé. Tome XIII; 1er semestre 1887. Collignon (E.). — Méthode graphique de quadrature. (9-30; 16 fig.). Le problème de la quadrature des courbes planes est un de ceux qui se rencontrent le plus fréquemment dans les applications des Mathématiques. De nombreuses méthodes servent à le résoudre, les unes analytiques, les autres géométriques, d'autres enfin exigeant l'emploi de certains appareils spéciaux; tels que la roulette de Dupuit, les planimètres et les autres intégrateurs. La nouvelle méthode graphique proposée consiste essentiellement à ramener
par une expérience directe. Eiffel (G.). Note sur les piles et pylônes de grande hauteur. (836-845; 3 fig.). Critique des idées exposées à ce sujet dans le Mémoire de M. Leygue (Annales, t. XI, p. 871). L'auteur signale aussi des anomalies dans les résultats numériques relatifs aux piles en maçonnerie et il répond à différentes objections présentées par M. Leygue à un système de pylônes sans étrésillons qu'il avait proposé. Tome XIII; 1er semestre 1887. Collignon (E.). — Méthode graphique de quadrature. (9-30; 16 fig.). Le problème de la quadrature des courbes planes est un de ceux qui se rencontrent le plus fréquemment dans les applications des Mathématiques. De nombreuses méthodes servent à le résoudre, les unes analytiques, les autres géométriques, d'autres enfin exigeant l'emploi de certains appareils spéciaux; tels que la roulette de Dupuit, les planimètres et les autres intégrateurs. La nouvelle méthode graphique proposée consiste essentiellement à ramener les quadratures à la recherche des centres de gravité de certains systèmes. À un point de vue tout à fait général, l'aire fy dx représente la somme des moments, par rapport à l'axe des abscisses, d'éléments horizontaux dx, éloignés à la distance y de cet axe, et l'ordonnée y, du centre de gravité de ces éléments horizontaux est la seconde dimension du rectangle de base (b — a), qui equivaut à l'aire de la courbe. L'auteur développe sa méthode en l'appliquant à un trapèze rectangle, à deux rectangles contigus, à plusieurs trapèzes rectangles contigus, puis, par l'intervention d'aires nulles, il arrive à ajouter deux rectangles non contigus, aboutissant au même axe rectiligne. Le segment de cet axe intercepté forme le trait d'union entre les deux surfaces à ajouter et représente l'aire nulle considérée. Une aire polygonale fermée s'évaluera en la rapportant à sa plus grande diagonale. La méthode s'applique aisément à la quadrature des profils en travers; elle se prête aussi fort bien à l'emploi de la règle de Thomas Simpson pour la quadrature des courbes. Comme vérification, l'auteur a pris la cycloïde engendrée par une circonférence de 28 mm de diamètre. La base ayant été divisée en seize parties
centre de gravité de ces éléments horizontaux est la seconde dimension du rectangle de base (b — a), qui equivaut à l'aire de la courbe. L'auteur développe sa méthode en l'appliquant à un trapèze rectangle, à deux rectangles contigus, à plusieurs trapèzes rectangles contigus, puis, par l'intervention d'aires nulles, il arrive à ajouter deux rectangles non contigus, aboutissant au même axe rectiligne. Le segment de cet axe intercepté forme le trait d'union entre les deux surfaces à ajouter et représente l'aire nulle considérée. Une aire polygonale fermée s'évaluera en la rapportant à sa plus grande diagonale. La méthode s'applique aisément à la quadrature des profils en travers; elle se prête aussi fort bien à l'emploi de la règle de Thomas Simpson pour la quadrature des courbes. Comme vérification, l'auteur a pris la cycloïde engendrée par une circonférence de 28 mm de diamètre. La base ayant été divisée en seize parties égales, la détermination graphique de l'ordonnée finale a conduit à une longueur de 21 mm, c'est-à-dire 7 du diamètre du cercle générateur. La base étant 2ΠR et la hauteur ~R, on retrouve le résultat connu : 3ΠR2. Il est intéressant de signaler, à propos de ce travail, la monographie de M. P. Mansion Sur l'évaluation approchée des aires planes (Annales de la Société scientifique de Bruxelles, t. V, 1881. Bulletin, VI., p. 193 et IX., p. 212). Elle renferme une étude très complète de ce genre de recherches. Gerstner (Franz von). — Théorie des vagues, suivie d'un essai sur la théorie des profils des digues. (31-86; 1 pl.). Traduction de la Theorie der Wellen, publiée à Prague et insérée en 1804 au tome Ier des Mémoires de l'Académie royale de Bohême. Le traducteur, M. de Saint-Venant, ajoute que ce Mémoire est resté ignoré en France jusqu'en 1869, époque où M. Bertin l'a cité dans une Étude sur la houle et le roulis: M. Bertin s'en est depuis procuré une copie qu'il a communiquée en 1871 à M. de Saint-Venant. Si cet écrit de Gerstner eût été connu de Poisson, de Cauchy, de Fourier, ils l'auraient cité et pris en sérieuse
M. P. Mansion Sur l'évaluation approchée des aires planes (Annales de la Société scientifique de Bruxelles, t. V, 1881. Bulletin, VI., p. 193 et IX., p. 212). Elle renferme une étude très complète de ce genre de recherches. Gerstner (Franz von). — Théorie des vagues, suivie d'un essai sur la théorie des profils des digues. (31-86; 1 pl.). Traduction de la Theorie der Wellen, publiée à Prague et insérée en 1804 au tome Ier des Mémoires de l'Académie royale de Bohême. Le traducteur, M. de Saint-Venant, ajoute que ce Mémoire est resté ignoré en France jusqu'en 1869, époque où M. Bertin l'a cité dans une Étude sur la houle et le roulis: M. Bertin s'en est depuis procuré une copie qu'il a communiquée en 1871 à M. de Saint-Venant. Si cet écrit de Gerstner eût été connu de Poisson, de Cauchy, de Fourier, ils l'auraient cité et pris en sérieuse considération dans leurs grands travaux de 1816 à 1818 sur les ondes. S'il était venu, dit également le traducteur, à la connaissance du colonel Emy et de l'ingénieur Vril, leur discussion sur ce sujet (Annales de 1835 et de 1837) n'aurait certainement pas été engagée. Dans ce Mémoire, Gerstner fait usage, pour la première fois, de l'ingénieuse considération des surfaces de niveau dans l'état de mouvement des liquides, c'est-à-dire des surfaces d'égale pression déterminées en combinant, avec la Pesanteur des particules, leur inertie, dont il n'y a le plus souvent à faire entrer dans le calcul que la composante centrifuge, ou normale aux surfaces où elles glissent; ce qui se rattache à une méthode ancienne aujourd'hui trop oubliée, propre à simplifier les solutions, et qui, par exemple dans la question présente, permet de se passer des équations différentielles générales de l'Hydrodynamique en réduisant à peu près ce qui s'y rattache à des questions d'Hydrostatique. L'écrit sur les profils des digues, occupant les §§ 38 à 85 de son Mémoire, et donné par lui comme une conséquence et une application de la théorie des vagues, a été aussi traduit; mais le traducteur n'en a donné qu'une analyse qui suffit, suppose-t-il, pour
usage, pour la première fois, de l'ingénieuse considération des surfaces de niveau dans l'état de mouvement des liquides, c'est-à-dire des surfaces d'égale pression déterminées en combinant, avec la Pesanteur des particules, leur inertie, dont il n'y a le plus souvent à faire entrer dans le calcul que la composante centrifuge, ou normale aux surfaces où elles glissent; ce qui se rattache à une méthode ancienne aujourd'hui trop oubliée, propre à simplifier les solutions, et qui, par exemple dans la question présente, permet de se passer des équations différentielles générales de l'Hydrodynamique en réduisant à peu près ce qui s'y rattache à des questions d'Hydrostatique. L'écrit sur les profils des digues, occupant les §§ 38 à 85 de son Mémoire, et donné par lui comme une conséquence et une application de la théorie des vagues, a été aussi traduit; mais le traducteur n'en a donné qu'une analyse qui suffit, suppose-t-il, pour faire comprendre la pensée de l'auteur et pour permettre de l'appliquer au besoin. M. de Saint-Venant annonçait encore un autre travail où le problème de la forme et de la propagation de la houle se trouve résolu analytiquement et d'une manière plus générale. Il y montrait que les formules relatives à une profondeur finie des eaux, dues à M. Boussinesq, se réduisent à celles de Gerstner et d'autres plus récents, quand la profondeur de la masse fluide agitée est supposée infinie, et que, lorsque cette profondeur totale de la masse d'eau est supposée au contraire très petite, elles se réduisent à la formule simple et connue de la propagation d'une onde solitaire, due à Lagrange, et confirmée par les expériences de M. Scott Russell comme par celles de M. Bazin. Malheureusement, le travail dont il est ici question n'a pas été retrouvé. Avant Gerstner et ainsi qu'il le rapporte, le problème avait été entrepris par divers géomètres. Newton a essayé le premier de donner une théorie des vagues (Principes, prop. 45 et 46) ; il comparait les mouvements de leurs parties aux oscillations de l'eau dans des tuyaux recourbés. Lagrange remarque (Mémoires de Berlin, 1786, et Mécanique analytique, 1798) que
à une profondeur finie des eaux, dues à M. Boussinesq, se réduisent à celles de Gerstner et d'autres plus récents, quand la profondeur de la masse fluide agitée est supposée infinie, et que, lorsque cette profondeur totale de la masse d'eau est supposée au contraire très petite, elles se réduisent à la formule simple et connue de la propagation d'une onde solitaire, due à Lagrange, et confirmée par les expériences de M. Scott Russell comme par celles de M. Bazin. Malheureusement, le travail dont il est ici question n'a pas été retrouvé. Avant Gerstner et ainsi qu'il le rapporte, le problème avait été entrepris par divers géomètres. Newton a essayé le premier de donner une théorie des vagues (Principes, prop. 45 et 46) ; il comparait les mouvements de leurs parties aux oscillations de l'eau dans des tuyaux recourbés. Lagrange remarque (Mémoires de Berlin, 1786, et Mécanique analytique, 1798) que cette comparaison offre plusieurs difficultés, qui tiennent à ce que Newton a étudié seulement le mouvement vertical, à l'exclusion du mouvement horizontal. Il avoue du reste ne pouvoir pas encore donner une théorie exacte des vagues ou des ondes liquides, et il cherche à y arriver par la voie de l'approximation pour des hauteurs d'ondes extrêmement petites. Laplace (Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, 1776) établit sa théorie en supposant qu'un corps cylindrique horizontal, de longueur indéfinie, enfoncé dans l'eau et au repos, en ait été subitement retiré, ce qui détermine successivement une formation de vagues. Le désaccord de ces résultats entre eux et avec l'expérience montre la difficulté de l'étude entreprise. Nous ne suivrons pas ici des développements qui nous feraient dépasser les limites habituelles d'un résumé; nous croyons cependant devoir appeler l'attention du lecteur sur quelques remarques. La persistance du mouvement par vagues ne pourrait avoir lieu que dans une eau profonde et infinie. Dans des eaux d'une profondeur très petite, il ne peut y avoir de vagues élevées. Tout mouvement irrégulier communiqué à l'eau se transforme finalement en un mouvement par vagues, naturel à tout fluide. Les fluides visqueux ne sont pas plus capables, au même
l'approximation pour des hauteurs d'ondes extrêmement petites. Laplace (Mémoires de l'Académie des Sciences de Paris, 1776) établit sa théorie en supposant qu'un corps cylindrique horizontal, de longueur indéfinie, enfoncé dans l'eau et au repos, en ait été subitement retiré, ce qui détermine successivement une formation de vagues. Le désaccord de ces résultats entre eux et avec l'expérience montre la difficulté de l'étude entreprise. Nous ne suivrons pas ici des développements qui nous feraient dépasser les limites habituelles d'un résumé; nous croyons cependant devoir appeler l'attention du lecteur sur quelques remarques. La persistance du mouvement par vagues ne pourrait avoir lieu que dans une eau profonde et infinie. Dans des eaux d'une profondeur très petite, il ne peut y avoir de vagues élevées. Tout mouvement irrégulier communiqué à l'eau se transforme finalement en un mouvement par vagues, naturel à tout fluide. Les fluides visqueux ne sont pas plus capables, au même degré, de se mouvoir par vagues que les fluides jouissant de plus de fluidité. Cela peut expliquer l'expérience de Franklin et d'autres physiciens qui ont reconnu que les vagues sont diminuées et apaisées lorsqu'on verse de l'huile sur leur surface [voir l'Essai sur les moyens de diminuer les dangers de la mer au moyen d'une effusion d'huile, par M. de Lelyveld, Amsterdam, 1776; Das Oil, etc. L'huile comme moyen d'apaiser les vagues, par M. J.-F. Otto (2e Volume des Éphémérides géographiques)]. Leygue (L.). — Notice sur les grands murs de soutènement de la ligne de Mazamet à Bédarieux. (98-114 ? 2 pl.). L'auteur fait remarquer les conditions économiques de la construction de ces murs et les avantages qu'a procurés l'adoption des profils en surplomb avec contreforts et remplissants intérieurs, décrits dans un autre Mémoire (Annales) t. X, p. 788). Saint-Venant (B. de). — Des diverses manières de poser les équations du mouvement varié des eaux courantes. (148-228) L'auteur s'est proposé de donner d'une manière simple, et toutefois assez développée, l'établissement rapide des équations du mouvement permanent ou non permanent graduellement varié des eaux courantes, suivant des principes nouveaux, basés sur l'observation des faits, et qui se trouvent présentés surtout dans
la mer au moyen d'une effusion d'huile, par M. de Lelyveld, Amsterdam, 1776; Das Oil, etc. L'huile comme moyen d'apaiser les vagues, par M. J.-F. Otto (2e Volume des Éphémérides géographiques)]. Leygue (L.). — Notice sur les grands murs de soutènement de la ligne de Mazamet à Bédarieux. (98-114 ? 2 pl.). L'auteur fait remarquer les conditions économiques de la construction de ces murs et les avantages qu'a procurés l'adoption des profils en surplomb avec contreforts et remplissants intérieurs, décrits dans un autre Mémoire (Annales) t. X, p. 788). Saint-Venant (B. de). — Des diverses manières de poser les équations du mouvement varié des eaux courantes. (148-228) L'auteur s'est proposé de donner d'une manière simple, et toutefois assez développée, l'établissement rapide des équations du mouvement permanent ou non permanent graduellement varié des eaux courantes, suivant des principes nouveaux, basés sur l'observation des faits, et qui se trouvent présentés surtout dans un Mémoire récemment approuvé par l'Académie. Ceci était écrit en 1872. Il s'agit de l'Essai sur la théorie des eaux courantes, de M. Boussinesq. La première tentative dans cette voie paraît due à Navier en 1822, mais il en reconnut lui-même l'insuffisance. En 1823, Belanger entreprenait des recherches plus fructueuses, qui le conduisirent, en 1828, à la mise en équation du mouvement permanent. En 1836, Vauthier lui apporta une modification, et la même année, Coriolis la rendit plus rigoureuse en lui appliquant le théorème des forces vives. Cette méthode, bientôt adoptée par Navier, par Poncelet, et par Belanger lui-même, est encore suivie dans la plupart des cours. Cependant, une discussion plus approfondie de cette équation fait voir la nécessité d'y renoncer et de donner la préférence à la méthode de M. Boussinesq. Ce géomètre emploie, au lieu des forces vives, les quantités de mouvement, ou, ce qui revient au même, il pose les équations d'équilibre dynamique d'un élément fluide dans la direction de deux ou trois coordonnées, à la manière d'Euler et comme avait fait Belanger primitivement ou en 1828, mais sans y faire les omissions signalées, et en mettant avec Cauchy, dans les premiers membres, au lieu des dérivées
qui le conduisirent, en 1828, à la mise en équation du mouvement permanent. En 1836, Vauthier lui apporta une modification, et la même année, Coriolis la rendit plus rigoureuse en lui appliquant le théorème des forces vives. Cette méthode, bientôt adoptée par Navier, par Poncelet, et par Belanger lui-même, est encore suivie dans la plupart des cours. Cependant, une discussion plus approfondie de cette équation fait voir la nécessité d'y renoncer et de donner la préférence à la méthode de M. Boussinesq. Ce géomètre emploie, au lieu des forces vives, les quantités de mouvement, ou, ce qui revient au même, il pose les équations d'équilibre dynamique d'un élément fluide dans la direction de deux ou trois coordonnées, à la manière d'Euler et comme avait fait Belanger primitivement ou en 1828, mais sans y faire les omissions signalées, et en mettant avec Cauchy, dans les premiers membres, au lieu des dérivées d'une même pression p, que d'Alembert et Euler regardent comme normale aux faces où elle s'exerce, les dérivées, par rapport à chacune des coordonnées rectangles, des composantes, tant normales que tangentielles des pressions, généralement obliques, ces composantes étant prises dans la direction d'une des coordonnées pour chaque équation. Thurninger. — Note sur le jaugeage des bateaux et des navires. (229-265; 2 fig., 1 pl., 3 tabl.). La jauge d'un appareil de transport par eau s'évalue d'après des principes différents, suivant qu'il s'agit d'un bateau d'intérieur ou d'un navire de mer. Dans le premier cas, cette quantité est exprimée en poids, et la jauge représente, en tonnes de mille kilogrammes, le poids maximum de chargement du bateau. Dans le second, elle est exprimée en volume, et la jauge représente le volume maximum de chargement, c'est-à-dire le volume de l'espace intérieur du navire, disponible pour la cargaison; l'unité employée est alors une mesure spéciale de capacité, le tonneau de jauge, qui vaut 2,83 ou 100 pieds cubes anglais. Dans les deux cas, cependant, le résultat de l'opération du jaugeage porte le même nom tonnage du bateau ou du navire, et il s'exprime en unités désignées aussi par le même mot tonneau, bien