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L'auteur débute par quelques considérations relatives aux séries divergentes qui, comme la série de Stirling, peuvent représenter asymptotiquement une fonction. D'une façon précise, M. Poincaré dit qu'une série divergente où la somme des n + 1 premiers termes est Sn, représente asymptotiquement Une fonction F (x), si, x croissant indéfiniment (par valeurs réelles), tend vers zéro. On peut multiplier deux séries asymptotiques par la règle ordinaire, on peut substituer une série asymptotique à la place de z dans une série convergente F (z) = B0 + B1 z + B2 z2, et ordonner ensuite suivant les puissances de z on obtient ainsi une série qui représente asymptotiquement F[J(x)]; on peut intégrer une série asymptotique. Tout ceci subsiste quand, au lieu de faire croître x par des valeurs réelles, on fait augmenter indéfiniment son module en conservant le même argument, mais il est essentiel de remarquer alors qu'une série divergente ne peut pas représenter une même fonction F quel que soit l'argument de x, quand on fait augmenter indéfiniment le module. M. Poincaré rappelle ensuite les principaux résultats dus à MM. Fuchs et Thomé sur l'intégration par des séries des équations différentielles linéaires où les P sont des polynômes entiers en x : sauf des exceptions, qui se rapportent au cas où l'équation déterminante du point 00 a des racines dont les différences sont des entiers, ou à des cas plus particuliers étudiés par M. Fabry dans sa thèse, il y a n séries de la forme où Q est un polynôme entier en x, qui satisfont formellement à l'équation différentielle : une pareille série est dite série normale d'ordre p, en désignant par cette lettre le degré du polynôme Q : p est d'ailleurs au plus égal au nombre entier immédiatement supérieur au plus grand des nombres où Mi désigne le degré de P,. M. Poincaré étudie d'abord avec détail le cas où P = 1, en utilisant les résultats de son Mémoire Sur les équations aux différences finies, inséré dans le tome VII de l'American Journal, il montre qu'une série normale du premier ordre, alors même qu'elle est divergente,
x : sauf des exceptions, qui se rapportent au cas où l'équation déterminante du point 00 a des racines dont les différences sont des entiers, ou à des cas plus particuliers étudiés par M. Fabry dans sa thèse, il y a n séries de la forme où Q est un polynôme entier en x, qui satisfont formellement à l'équation différentielle : une pareille série est dite série normale d'ordre p, en désignant par cette lettre le degré du polynôme Q : p est d'ailleurs au plus égal au nombre entier immédiatement supérieur au plus grand des nombres où Mi désigne le degré de P,. M. Poincaré étudie d'abord avec détail le cas où P = 1, en utilisant les résultats de son Mémoire Sur les équations aux différences finies, inséré dans le tome VII de l'American Journal, il montre qu'une série normale du premier ordre, alors même qu'elle est divergente, représente asymptotiquement une des intégrales de l'équation à laquelle elle satisfait formellement. D'ailleurs l'intégrale représentée par une même série normale ne reste pas en général la même, quel que soit l'argument avec lequel x croît indéfiniment. L'auteur donne ensuite une condition nécessaire et suffisante pour qu'une série normale soit convergente et constitue ainsi ce qu'il appelle intégrale normale. Quelques exemples particuliers sont traités de façon à bien éclaircir la matière. Enfin, M. Poincaré s'occupe du cas où p = 2 et généralise les résultats précédents, de manière à arriver à la conclusion suivante : l'intégrale la plus générale d'une équation de rang quelconque est représentée asymptotiquement par une des séries normales qui satisfont formellement à cette équation. Toutefois, il peut y avoir exception dans le cas auquel on a fait allusion plus haut, où l'équation admet des séries anormales. Casorati. — Les fonctions d'une seule variable à un nombre quelconque de périodes. (345-386). M. Casorati consacre deux Mémoires à étudier en détail quelques équations différentielles très simples, de manière à bien mettre en lumière l'existence (qui nous parait d'ailleurs incontestable) de fonctions ayant le caractère analytique, c'est-à-dire susceptibles d'être représentées, dans un certain domaine, par des séries de puissances qui
et constitue ainsi ce qu'il appelle intégrale normale. Quelques exemples particuliers sont traités de façon à bien éclaircir la matière. Enfin, M. Poincaré s'occupe du cas où p = 2 et généralise les résultats précédents, de manière à arriver à la conclusion suivante : l'intégrale la plus générale d'une équation de rang quelconque est représentée asymptotiquement par une des séries normales qui satisfont formellement à cette équation. Toutefois, il peut y avoir exception dans le cas auquel on a fait allusion plus haut, où l'équation admet des séries anormales. Casorati. — Les fonctions d'une seule variable à un nombre quelconque de périodes. (345-386). M. Casorati consacre deux Mémoires à étudier en détail quelques équations différentielles très simples, de manière à bien mettre en lumière l'existence (qui nous parait d'ailleurs incontestable) de fonctions ayant le caractère analytique, c'est-à-dire susceptibles d'être représentées, dans un certain domaine, par des séries de puissances qui peuvent être continuées sans obstacle, qui admettent une infinité de valeurs et qui ont un nombre de périodes supérieur à deux. M. Casorati avait déjà insisté sur ce point dans deux Communications insérées aux Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences (décembre 1863, janvier 1864). La question nous paraît être au fond une question de mots: Quel sens faut-il attribuer au mot fonction? Doit-on, ou ne doit-on pas regarder Z, défini par l'égalité comme une fonction de z, ou non, si, comme il n'est pas douteux, Z admet une infinité de valeurs? M. Casorati estime que, peut-être, Jacobi n'a pas soupçonné l'existence de cette infinité de valeurs. Bertrand (J.). — Sur les unités électriques. (387-392). Des deux systèmes électrostatique et électrodynamique, le premier « n'est acceptable qu'en vertu de ce principe : toute unité bien définie est légitime. Mais il ne satisfait pas à la condition principale imposée à tout système d'unités, celle de permettre des formules applicables à toutes les hypothèses et laissant indépendantes les trois unités de longueur, de temps et de masse. » J. T. COMPTES RENDUS HEBDOMADAIRES DES SÉANCES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. Tome CVI; 1888 (i). Bertrand. — Sur l'association des électeurs par le
être au fond une question de mots: Quel sens faut-il attribuer au mot fonction? Doit-on, ou ne doit-on pas regarder Z, défini par l'égalité comme une fonction de z, ou non, si, comme il n'est pas douteux, Z admet une infinité de valeurs? M. Casorati estime que, peut-être, Jacobi n'a pas soupçonné l'existence de cette infinité de valeurs. Bertrand (J.). — Sur les unités électriques. (387-392). Des deux systèmes électrostatique et électrodynamique, le premier « n'est acceptable qu'en vertu de ce principe : toute unité bien définie est légitime. Mais il ne satisfait pas à la condition principale imposée à tout système d'unités, celle de permettre des formules applicables à toutes les hypothèses et laissant indépendantes les trois unités de longueur, de temps et de masse. » J. T. COMPTES RENDUS HEBDOMADAIRES DES SÉANCES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. Tome CVI; 1888 (i). Bertrand. — Sur l'association des électeurs par le sort. (17-19). Étant donnés 10000000 d'électeurs, parmi lesquels 4500000 sont d'une opinion et 5500000 de l'opinion opposée, si l'on charge le hasard de former 1000000 de groupes de 10 électeurs, de réunir ensuite ces groupes dix par dix pour former 100000 groupes de 100, puis les groupes de 100 dix par dix pour former 10 000 groupes de 1000, et enfin les groupes de 1000 dix par dix pour former 1000 groupes de 10000, voici les nombres les plus probables des groupes dans lesquels les électeurs de la première opinion seront en majorité : 261540 groupes de 10 15 766 » 100 8 » 1 000 0 » 10000. La probabilité pour que, sur 500 députés élus par cette méthode, la minorité obtienne un seul représentant est plus petite que celle de gagner deux fois six e suite à la loterie. De Conquoy. — Détermination du nombre maximum des Points doubles proprement dits qu'il est permis d'attribuer arbitrairement à une surface algébrique de degré donné n, dont la détermination est complétée par d'autres points simples donnés. (19-26). Dans une Communication précédente, l'auteur a montré qu'une surface de degré m, déterminée par 3 (m2 + 6 m + 11) points simples
par dix pour former 10 000 groupes de 1000, et enfin les groupes de 1000 dix par dix pour former 1000 groupes de 10000, voici les nombres les plus probables des groupes dans lesquels les électeurs de la première opinion seront en majorité : 261540 groupes de 10 15 766 » 100 8 » 1 000 0 » 10000. La probabilité pour que, sur 500 députés élus par cette méthode, la minorité obtienne un seul représentant est plus petite que celle de gagner deux fois six e suite à la loterie. De Conquoy. — Détermination du nombre maximum des Points doubles proprement dits qu'il est permis d'attribuer arbitrairement à une surface algébrique de degré donné n, dont la détermination est complétée par d'autres points simples donnés. (19-26). Dans une Communication précédente, l'auteur a montré qu'une surface de degré m, déterminée par 3 (m2 + 6 m + 11) points simples donnés, peut toujours être engendrée par deux faisceaux projectifs de surfaces dont la somme des degrés n + n' soit égale à m si m = 1, 2, 3 (mod. 4), ou à m + 1 si m est multiple de 4, en excluant ceux des systèmes (n, n') où l'un des nombres n et n' est de la même forme que m par rapport au module 4. e même, toute surface de degré m, déterminée par 6 points doubles pouvant être pris arbitrairement et par ( m2 + 6 m + 11 ) 4δ autres points simples donnés, peut être engendrée au moins d'une manière à l'aide de faisceaux projectifs d'ordres n et n', tels que la somme n + n' soit égale à m (ou à m + 1, si m est multiple de 4), quelques-unes des combinaisons (n, n') devant être exclues comme impropres si n ou n' est de la même forme que m par rapport au module 4. M. de Jonquières donne le détail des opérations qu'il faut faire pour trouver le plus grand nombre 6 que comporte le système (n, n') adopté pour la génération de la surface considérée. Appliquant sa méthode à la
l'un des nombres n et n' est de la même forme que m par rapport au module 4. e même, toute surface de degré m, déterminée par 6 points doubles pouvant être pris arbitrairement et par ( m2 + 6 m + 11 ) 4δ autres points simples donnés, peut être engendrée au moins d'une manière à l'aide de faisceaux projectifs d'ordres n et n', tels que la somme n + n' soit égale à m (ou à m + 1, si m est multiple de 4), quelques-unes des combinaisons (n, n') devant être exclues comme impropres si n ou n' est de la même forme que m par rapport au module 4. M. de Jonquières donne le détail des opérations qu'il faut faire pour trouver le plus grand nombre 6 que comporte le système (n, n') adopté pour la génération de la surface considérée. Appliquant sa méthode à la surface du dixseptième ordre, il trouve que le maximum absolu de nombre des points doubles qu'il est permis de lui attribuer arbitrairement est 82. Bouché. — Sur un problème relatif à la durée du jeu. (47 49). Pierre et Paul jouent l'un contre l'autre, jusqu'à ce que l'un d'eux soit ruiné. A et B sont leurs fortunes primitives, a et b leurs mises à chaque partie, p et q = 1—p leurs probabilités respectives de gagner une quelconque des parties. On promet à Jean, qui ne joue pas, 1 franc par partie jouée. Quelle est la valeur vénale V de la promesse qui lui est faite? M. Bertrand a montré que si le jeu est équitable, on a V = AB, a et b étant supposées égales à 1. Si le jeu n'est point équitable, on appellera avantage de Pierre à chaque partie la quantité ( a + b )p — a, et avantage total de Pierre la quantité (A + B) P — A, P désignant la probabilité pour que Pierre ruine Paul. Alors la valeur vénale de la promesse faite à Jean est égale au rapport de l'avantage total de l'un quelconque des joueurs à l'avantage du même
ruiné. A et B sont leurs fortunes primitives, a et b leurs mises à chaque partie, p et q = 1—p leurs probabilités respectives de gagner une quelconque des parties. On promet à Jean, qui ne joue pas, 1 franc par partie jouée. Quelle est la valeur vénale V de la promesse qui lui est faite? M. Bertrand a montré que si le jeu est équitable, on a V = AB, a et b étant supposées égales à 1. Si le jeu n'est point équitable, on appellera avantage de Pierre à chaque partie la quantité ( a + b )p — a, et avantage total de Pierre la quantité (A + B) P — A, P désignant la probabilité pour que Pierre ruine Paul. Alors la valeur vénale de la promesse faite à Jean est égale au rapport de l'avantage total de l'un quelconque des joueurs à l'avantage du même joueur dans chaque partie. Bertrand. — Démonstration du théorème précédent. (49-51). Kœnigs. — Détermination sous forme explicite de toute surface réglée rapportée à ses lignes asymptotiques et, en particulier, de toutes les surfaces réglées à lignes asymptotiques algébriques. (51-54). Toute surface réglée peut être représentée par des équations de la forme ρxi= gi(λ) + ( "X ) μ (i = 1,2,3,4), les courbes μ = const. étant les lignes asymptotiques de la surface. Les fonctions git hi sont liées par certaines relations nécessaires et suffisantes que M. Kœnigs établit et qui le conduisent à cette représentation générale des surfaces réglées rapportées à leurs lignes asymptotiques : Dans ces formules, h1, h2, h3, h4 et u sont des fonctions arbitraires de leurs dérivées par rapport à ce paramètre sont désignées par des accents. Les quatre fonctions h1, h3, h4 vérifient une équation du quatrième ordre facile à former quand on connaît ces fonctions, h'v+ 4 P, h'" + 6 P, h" + 4 P3 h' + P4h 0, et qui fait connaître les coefficients P1, P3, P2, P4. Enfin V est l'invariant de M. Halphen La formule est en défaut quand V = 0; elle doit alors être remplacée par celle-ci
forme ρxi= gi(λ) + ( "X ) μ (i = 1,2,3,4), les courbes μ = const. étant les lignes asymptotiques de la surface. Les fonctions git hi sont liées par certaines relations nécessaires et suffisantes que M. Kœnigs établit et qui le conduisent à cette représentation générale des surfaces réglées rapportées à leurs lignes asymptotiques : Dans ces formules, h1, h2, h3, h4 et u sont des fonctions arbitraires de leurs dérivées par rapport à ce paramètre sont désignées par des accents. Les quatre fonctions h1, h3, h4 vérifient une équation du quatrième ordre facile à former quand on connaît ces fonctions, h'v+ 4 P, h'" + 6 P, h" + 4 P3 h' + P4h 0, et qui fait connaître les coefficients P1, P3, P2, P4. Enfin V est l'invariant de M. Halphen La formule est en défaut quand V = 0; elle doit alors être remplacée par celle-ci étant une constante. Pour h1, h2, h3, h4 et u, on prend des fonctions algébriques quelconques, les formules précédentes font connaître sous forme explicite toutes les surfaces réglées dont les asymptotiques sont algébriques. Elles fournissent aussi, sans exiger d'intégration, la solution générale de ce problème : Une courbe (h) étant donnée, trouver une courbe (g) correspondant point par point à (h), de sorte que le plan oscillateur en un point M de (h) passe au point correspondant M' de (g) et que le plan osculateur de (g) en passe aussi par M. Demartres. — Sur les systèmes de courbes qui divisent homographiquement une suite de cercles. (54-57). L'auteur fait connaître l'équation de tous les systèmes de courbes qui, sur une surface circlée, divisent homographiquement les génératrices circulaires. Il existe une infinité de pareils systèmes dont la détermination dépend de trois fonctions arbitraires d'un paramètre. Sur toute surface circlée, il existe trois (et seulement trois) systèmes doubles de courbes orthogonales, telles que les lignes de chaque famille divisent homographiquement les génératrices circulaires. Chacun de ces systèmes correspond à un couple de sécantes focales opposées. Ce théorème, M. Demartres en ajoute quelques autres : 1) Pour que les lignes de distance nulle
donnée, trouver une courbe (g) correspondant point par point à (h), de sorte que le plan oscillateur en un point M de (h) passe au point correspondant M' de (g) et que le plan osculateur de (g) en passe aussi par M. Demartres. — Sur les systèmes de courbes qui divisent homographiquement une suite de cercles. (54-57). L'auteur fait connaître l'équation de tous les systèmes de courbes qui, sur une surface circlée, divisent homographiquement les génératrices circulaires. Il existe une infinité de pareils systèmes dont la détermination dépend de trois fonctions arbitraires d'un paramètre. Sur toute surface circlée, il existe trois (et seulement trois) systèmes doubles de courbes orthogonales, telles que les lignes de chaque famille divisent homographiquement les génératrices circulaires. Chacun de ces systèmes correspond à un couple de sécantes focales opposées. Ce théorème, M. Demartres en ajoute quelques autres : 1) Pour que les lignes de distance nulle divisent homographiquement les génératrices circulées, il faut et il suffit que la surface soit enveloppe de sphères ou à focale isotrope. 2) Sur les surfaces à focale isotrope et sur les enveloppes de sphères, les génératrices sont divisées homographiquement par toute famille de courbes tels que l'inclinaison sur la génératrice reste constante le long de celle-ci, l'inclinaison pouvant d'ailleurs varier suivant une loi quelconque d'une génératrice à une autre. 3) Qu'une surface à focale isotrope soit divisée homographiquement par ses deux systèmes de lignes de courbure, il faut et il suffit que cette surface soit anallagmatique. Picard. — Remarques sur les groupes de transformations relatives à certaines équations différentielles. (118-120). Soit une équation différentielle y" = f(y, y'), où ne figure pas la variable indépendante, et dont l'intégrale générale soit y = f(x, C). Désignant par Y une intégrale obtenue en remplaçant x par x + h et C par C + k, on pourra mettre Y et Y' sous la forme Relativement à y et y', les équations (E) définissent un groupe continu de transformations à deux paramètres h et k; la transformation infinitésimale relativement à l'accroissement δh de h est Cela posé, on suppose que l'équation différentielle proposée
reste constante le long de celle-ci, l'inclinaison pouvant d'ailleurs varier suivant une loi quelconque d'une génératrice à une autre. 3) Qu'une surface à focale isotrope soit divisée homographiquement par ses deux systèmes de lignes de courbure, il faut et il suffit que cette surface soit anallagmatique. Picard. — Remarques sur les groupes de transformations relatives à certaines équations différentielles. (118-120). Soit une équation différentielle y" = f(y, y'), où ne figure pas la variable indépendante, et dont l'intégrale générale soit y = f(x, C). Désignant par Y une intégrale obtenue en remplaçant x par x + h et C par C + k, on pourra mettre Y et Y' sous la forme Relativement à y et y', les équations (E) définissent un groupe continu de transformations à deux paramètres h et k; la transformation infinitésimale relativement à l'accroissement δh de h est Cela posé, on suppose que l'équation différentielle proposée admette un groupe (E) de transformations avec les deux paramètres h et k, et que la transformation infinitésimale correspondant à h soit précisément (S,). Soit δy = x (y, y') SA-, fy' = Y (y, y') l'autre transformation infinitésimale. On conclut de là que le groupe de transformations considéré est permutable ; X et Y sont assujettis seulement à vérifier les équations. Si l'on connaît un système de fonctions X, Y de y, y' satisfaisant à ces deux équations (et différent de y', ?), on pourra exprimer x et C par des intégrales de différentielles totales en y, y'. Lucas (F.). — Généralisation du théorème de Rolle. (121-122). Riemann (J.). — Sur une généralisation du principe de Dirichlet. (123-125). Soit S une aire plane dont le contour s'est formé extérieurement par une ligne fermée simple et intérieurement par n - 1 lignes fermées simples. On marque sur s un nombre limité de points A (points singuliers du contour). Cela posé, il existe une fonction U (x, y) possédant les trois propriétés suivantes : Elle est harmonique dans S (c'est-à-dire uniforme, continue, douée de dérivées partielles des deux premiers ordres également uniformes et continues, vérifiant l'équation ∆U = 0). Elle prend
permutable ; X et Y sont assujettis seulement à vérifier les équations. Si l'on connaît un système de fonctions X, Y de y, y' satisfaisant à ces deux équations (et différent de y', ?), on pourra exprimer x et C par des intégrales de différentielles totales en y, y'. Lucas (F.). — Généralisation du théorème de Rolle. (121-122). Riemann (J.). — Sur une généralisation du principe de Dirichlet. (123-125). Soit S une aire plane dont le contour s'est formé extérieurement par une ligne fermée simple et intérieurement par n - 1 lignes fermées simples. On marque sur s un nombre limité de points A (points singuliers du contour). Cela posé, il existe une fonction U (x, y) possédant les trois propriétés suivantes : Elle est harmonique dans S (c'est-à-dire uniforme, continue, douée de dérivées partielles des deux premiers ordres également uniformes et continues, vérifiant l'équation ∆U = 0). Elle prend en chaque point non singulier de s une valeur donnée, mais assujettie à varier d'une manière continue tant qu'on ne rencontre aucun point singulier; en outre, cette valeur tend vers une limite quand on s'approche d'un point singulier A en marchant dans le sens positif, et vers une autre limite quand on s'en approche dans le sens négatif. Elle conserve une valeur finie dans le voisinage d'un point singulier A. Il resterait à prouver qu'il n'existe qu'une seule fonction possédant ces trois propriétés. Riemann se borne à faire observer que cette proposition cesse d'être vraie quand on fait abstraction de la troisième propriété. Bertrand. — Sur la loi de probabilité des erreurs d'observation. (153-156). Gauss a proposé, pour représenter la probabilité d'une erreur fortuite comprise entre z et z + dz, la formule. Cette formule est liée à la règle qui prescrit de prendre la moyenne. Si l'on admettait une autre loi pour les erreurs, il faudrait adopter une autre règle pour déduire d'une série de mesures la valeur la plus probable de la grandeur inconnue. La réciproque n'est pas vraie. Si l'on se donne a priori la formule qui lie la valeur la plus probable à les mesures directes,