jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
décrit une circonférence de rayon \(p_0\) ayant pour centre le point \(\Psi_3 + i\Psi_4\). L'intégrale simple \(I = \int F(\xi, \eta)\, d\nu\) est alors égale au produit de \(2 i\pi\) par le résidu de la fonction \(F(\xi, \eta)\) (re gardée comme fonction de \(\eta\) seulement) par rapport au point \(\Psi_3 + i\Psi_4\). Si l'on a par exemple, \(Q(\Psi_1 + \eta = 0,\) le résidu en question se calcule aisément, et l'on trouve pour valeur de l'intégrale simple \(I = \Psi_1 + i\Psi_2, \quad \nu = \Psi_3 + i\Psi_4.\) Si l'on fait ensuite varier \(w\) de \(0\) à \(2\pi\), on décrit dans son plan une courbe fermée et l'on est ramené à chercher l'intégrale simple prise le long d'une courbe fermée, \(\eta\) et \(\nu\) étant liés par la relation \(Q(\xi, \eta) = 0\). C'est donc une intégrale abélienne relative à la courbe \(Q = 0\). Une discussion assez délicate permet de déterminer ensuite le signe. En résumé, les périodes de l'intégrale double sont les mêmes que celles des intégrales simples abéliennes relatives respectivement aux deux courbes \(Q = 0\), \(R = 0\). Ces périodes sont de deux sortes; si les courbes \(Q = 0\), \(R = 0\) sont de genres \(q\) et \(r\), l'intégrale double aura \(2q + 2r\) périodes cycliques. Les périodes polaires de \(J\) proviendront des points d'intersection des deux courbes \(R = 0\), \(Q = 0\) et des points doubles de la courbe \(Q = 0\). Pour les premiers, la période est égale à pour les seconds à . Où ? et sont remplacées par les coordonnées du point d'intersection ou du point double. On traite de la même façon les cas plus généraux où l'intégrale, double est de la forme . Par exemple, les périodes de l'intégrale double sont les mêmes que celles de l'intégrale simple abélienne relative à la courbe Q = 0. Dans les deux paragraphes suivants, M. Poincaré considère une surface d'intégration définie comme il suit: ξ et n décrivent respectivement dans leurs plans deux cercles concentriques à l'origine. Les équations de cette surface sont par conséquent . Si l'on pose où 1 k2
et \(r\), l'intégrale double aura \(2q + 2r\) périodes cycliques. Les périodes polaires de \(J\) proviendront des points d'intersection des deux courbes \(R = 0\), \(Q = 0\) et des points doubles de la courbe \(Q = 0\). Pour les premiers, la période est égale à pour les seconds à . Où ? et sont remplacées par les coordonnées du point d'intersection ou du point double. On traite de la même façon les cas plus généraux où l'intégrale, double est de la forme . Par exemple, les périodes de l'intégrale double sont les mêmes que celles de l'intégrale simple abélienne relative à la courbe Q = 0. Dans les deux paragraphes suivants, M. Poincaré considère une surface d'intégration définie comme il suit: ξ et n décrivent respectivement dans leurs plans deux cercles concentriques à l'origine. Les équations de cette surface sont par conséquent . Si l'on pose où 1 k2 = v2, la surface précédente appartient à l'espace (A, µ, v), pourvu que l'on ait ~p|-4-p| = p2, et elle est représentée dans cet espace par le tore qui a pour équation . De cette façon, toute intégrale double où la surface d'intégration est définie par les équations se ramène à une intégrale double ordinaire étendue à la surface d'un tore. Prenons en particulier l'intégrale double où f, g, F sont trois polynômes quelconques. Si h et k sont nuls, les surfaces singulières ont pour équations = 0, = 0 et fournissent dans l'espace (A, [1, v) deux lignes singulières, l'axe des A et cercle x = 0, µ2 + v2 = 1). Si h et k sont très petits, les équations Q = 0, R = 0 donneront dans l'espace (A, µ, v) deux lignes singulières voisines respectivement des précédentes et dont une seule (celle qui est voisine du cercle) sera comprise à l'intérieur du tore. L'intégrale cherchée aura donc une valeur finie et sera égale à une période d'une intégrale abélienne. L'application de la méthode générale montre que c'est une période polaire qui a pour valeur 4π2F(ξ0, n0), ξ0 et n0 étant les valeurs de % et de
à une intégrale double ordinaire étendue à la surface d'un tore. Prenons en particulier l'intégrale double où f, g, F sont trois polynômes quelconques. Si h et k sont nuls, les surfaces singulières ont pour équations = 0, = 0 et fournissent dans l'espace (A, [1, v) deux lignes singulières, l'axe des A et cercle x = 0, µ2 + v2 = 1). Si h et k sont très petits, les équations Q = 0, R = 0 donneront dans l'espace (A, µ, v) deux lignes singulières voisines respectivement des précédentes et dont une seule (celle qui est voisine du cercle) sera comprise à l'intérieur du tore. L'intégrale cherchée aura donc une valeur finie et sera égale à une période d'une intégrale abélienne. L'application de la méthode générale montre que c'est une période polaire qui a pour valeur 4π2F(ξ0, n0), ξ0 et n0 étant les valeurs de % et de n très voisines de 0 qui satisfont aux deux équations ç - hf, n - k ϕ. De là on déduit sans peine une démonstration rigoureuse d'une remarquable généralisation de la formule de Lagrange, due à M. Stieltjes. M. Poincaré se sert du même tore pour l'étude d'une question tout à fait différente. Étant donnée une fonction entière de deux variables F(ξ, n), posons ξ = (α + iβ)ρ, n = (v + iδ)ρ, avec la condition α2 + β2 + γ2 + δ2 = 1; X, P, Y, S restant constants et p croissant indéfiniment, s'il arrive que F(ξ, n) tende toujours vers une limite finie et déterminée, on peut affirmer, d'après les théories anciennes, que F(£, n) est une constante. Grâce à la théorie actuelle, on peut faire un pas de plus. En effet, si l'on reprend les formules, à tout système de valeurs de α, P, y, 8 vérifiant la relation correspond un point de l'espace (A, [i, v), et inversement. On peut donc dire que tout point v) représente une manière particulière pour ç et n de tendre vers l'infini. Si pour certaines régions de l'espace, dont la définition est assez compliquée, on sait démontrer que
à fait différente. Étant donnée une fonction entière de deux variables F(ξ, n), posons ξ = (α + iβ)ρ, n = (v + iδ)ρ, avec la condition α2 + β2 + γ2 + δ2 = 1; X, P, Y, S restant constants et p croissant indéfiniment, s'il arrive que F(ξ, n) tende toujours vers une limite finie et déterminée, on peut affirmer, d'après les théories anciennes, que F(£, n) est une constante. Grâce à la théorie actuelle, on peut faire un pas de plus. En effet, si l'on reprend les formules, à tout système de valeurs de α, P, y, 8 vérifiant la relation correspond un point de l'espace (A, [i, v), et inversement. On peut donc dire que tout point v) représente une manière particulière pour ç et n de tendre vers l'infini. Si pour certaines régions de l'espace, dont la définition est assez compliquée, on sait démontrer que F tend vers une limite finie, on pourra affirmer que F est une constante. Cette proposition est évidemment plus générale que le théorème déjà connu. Les périodes considérées jusqu'ici sont des constantes. Mais il existe des intégrales doubles étendues à des surfaces fermées dont la valeur est essentiellement variable. Imaginons, par exemple, dans l'espace (1, µ, v) une surface fermée S traversée en deux points par une courbe singulière C. Si la fonction F (ξ, n) devient infinie du premier ordre en ces points, l'intégrale double conserve une valeur finie et est égale à une intégrale simple abélienne prise le long d'une portion seulement de la courbe C. Il est clair que ces intégrales doubles ne conservent pas la même valeur quand on déforme d'une manière continue la surface d'intégration. Ce sont des périodes variables. Le dernier Paragraphe contient diverses applications aux fonctions de deux variables. Lindstedt. — Sur un théorème de M. Tisserand relatif à la théorie des perturbations. (38 1-884). Stieltjes.— Sur les racines de l'équation X2 = 0. (385-400). L'auteur établit d'abord la proposition d'Algèbre que voici : Soit Σaikxixk une forme quadratique positive dans laquelle les coefficients aik(ik) sont tous négatifs ou nuls; si les quantités
par exemple, dans l'espace (1, µ, v) une surface fermée S traversée en deux points par une courbe singulière C. Si la fonction F (ξ, n) devient infinie du premier ordre en ces points, l'intégrale double conserve une valeur finie et est égale à une intégrale simple abélienne prise le long d'une portion seulement de la courbe C. Il est clair que ces intégrales doubles ne conservent pas la même valeur quand on déforme d'une manière continue la surface d'intégration. Ce sont des périodes variables. Le dernier Paragraphe contient diverses applications aux fonctions de deux variables. Lindstedt. — Sur un théorème de M. Tisserand relatif à la théorie des perturbations. (38 1-884). Stieltjes.— Sur les racines de l'équation X2 = 0. (385-400). L'auteur établit d'abord la proposition d'Algèbre que voici : Soit Σaikxixk une forme quadratique positive dans laquelle les coefficients aik(ik) sont tous négatifs ou nuls; si les quantités sont toutes positives ou nulles, aucune des valeurs de x, x2, ..., xn tirées des équations ai1x1 + ai2x2 + ...+ ainxn= (i = 1, 2, ..., n) ne peut être négative, et si toutes les quantités sont positives, il en est de même des x. Il déduit de là des limitations pour les racines d'un polynôme de degré n, vérifiant l'équation différentielle (1 x2) ϕ" + 2 [α ϕ' + ( a + [3) x] ϕ' + n(n + 2 a + 2 p 1) ϕ = 0, où α, β sont des constantes positives; dans le cas particulier où cette équation se réduit à celle que vérifient les polynômes de Legendre, il retrouve les limites des racines de ces polynômes obtenues par M. Bruns, et d'autres plus précises et aussi élégantes. Dans un post-scriptum, M. Stieltjes signale le fait que les mêmes formules, relatives aux polynômes Xn, avaient été trouvées, antérieurement, par M. Markoff dans un travail insertié dans le Tome XXVII des Mathematische Annalen, dont il n'avait point eu connaissance. M. Stieltjes donne une autre application, relative à un problème qui se présente dans l'étude de la distribution de l'électricité sur un système de conducteurs, de la
des limitations pour les racines d'un polynôme de degré n, vérifiant l'équation différentielle (1 x2) ϕ" + 2 [α ϕ' + ( a + [3) x] ϕ' + n(n + 2 a + 2 p 1) ϕ = 0, où α, β sont des constantes positives; dans le cas particulier où cette équation se réduit à celle que vérifient les polynômes de Legendre, il retrouve les limites des racines de ces polynômes obtenues par M. Bruns, et d'autres plus précises et aussi élégantes. Dans un post-scriptum, M. Stieltjes signale le fait que les mêmes formules, relatives aux polynômes Xn, avaient été trouvées, antérieurement, par M. Markoff dans un travail insertié dans le Tome XXVII des Mathematische Annalen, dont il n'avait point eu connaissance. M. Stieltjes donne une autre application, relative à un problème qui se présente dans l'étude de la distribution de l'électricité sur un système de conducteurs, de la proposition d'Algèbre que nous avons signalée tout d'abord. E. G. NOUVELLES ANNALES DE MATHÉMATIQUES, rédigées par MM. Cu. BRISSE et E. ROUCHÉ (1). — 3e série. Tome VII; 2e semestre 1888. B. (ÇA.). — Solution de la question proposée au Concours d'admission à l'École Polytechnique en 1888. (305-314). Propriétés diverses de deux séries de paraboles. B. (Ch.). Solution de la question d'Algèbre proposée pour l'admission à l'École Normale supérieure en 1888. (314-317). Sur le polynôme f(x) de degré n, vérifiant l'identité : nf(x) = (x-a)f'(x) + bf"(x). Malo (E.). — Solution géométrique de la question proposée au Concours général de 1885. (317-325). Sur les propriétés de deux demi-diamètres rectangulaires d'une surface du second ordre. Payet (P.). — Solution géométrique de la question proposée pour l'admission à l'École Centrale en 1887. (325-331). Sur un système de coniques ayant un foyer donné et passant par deux points donnés. Moret-Blanc. — Solutions des questions proposées au Concours d'agrégation en 1883. (332-341). Mathématiques élémentaires : problème relatif à un trapèze rectangle. Mathématiques spéciales : sur les normales menées d'un point à un ellipsoïde. Jaggi (E.). — Solution de la question proposée au Concours d'agrégation en 1884. (341-344). Sur une ellipse et une hyperbole situées
de deux séries de paraboles. B. (Ch.). Solution de la question d'Algèbre proposée pour l'admission à l'École Normale supérieure en 1888. (314-317). Sur le polynôme f(x) de degré n, vérifiant l'identité : nf(x) = (x-a)f'(x) + bf"(x). Malo (E.). — Solution géométrique de la question proposée au Concours général de 1885. (317-325). Sur les propriétés de deux demi-diamètres rectangulaires d'une surface du second ordre. Payet (P.). — Solution géométrique de la question proposée pour l'admission à l'École Centrale en 1887. (325-331). Sur un système de coniques ayant un foyer donné et passant par deux points donnés. Moret-Blanc. — Solutions des questions proposées au Concours d'agrégation en 1883. (332-341). Mathématiques élémentaires : problème relatif à un trapèze rectangle. Mathématiques spéciales : sur les normales menées d'un point à un ellipsoïde. Jaggi (E.). — Solution de la question proposée au Concours d'agrégation en 1884. (341-344). Sur une ellipse et une hyperbole situées dans deux plans rectangulaires. Roussel (L.). — Solution de la question proposée au Concours général en 1883. (344-347) Sur les normales menées d'un point à un paraboloïde elliptique. Farjon (F.). — Solution d'une question proposée pour l'admission à l'École Normale en 1885. (348-350). Sur un quadrilatère circonscrit à une ellipse et inscrit dans un cercle ayant pour centre l'un des foyers. Genty. — Note de Géométrie. (350-352). Sur le déplacement d'une droite de longueur constante dont les extrémités s'appuient sur deux surfaces, de telle sorte que les normales se rencontrent. M. — Théorème réciproque d'un théorème de M. E. Cesaro, application. Il s'agit d'une proposition relative à un article de M. Cesaro, Sur deux classes régnantes de lignes planes, publié antérieurement dans le même Recueil (1888, p. 171), et concernant les rayons de courbure et les développées. Antomari (X.). — Recherche des points doubles dans les courbes unicursales. (356-359). Exposition d'un procédé plus simple que celui qu'on suit habituellement; même coup, on évite l'introduction de solutions étrangères. Application à deux exemples. Re (A.). — Sur une question de Géométrie liée à la théorie des normales à une quadrique. (359-362). Soient : quadrique; Σc la surface des centres; P • Un
et inscrit dans un cercle ayant pour centre l'un des foyers. Genty. — Note de Géométrie. (350-352). Sur le déplacement d'une droite de longueur constante dont les extrémités s'appuient sur deux surfaces, de telle sorte que les normales se rencontrent. M. — Théorème réciproque d'un théorème de M. E. Cesaro, application. Il s'agit d'une proposition relative à un article de M. Cesaro, Sur deux classes régnantes de lignes planes, publié antérieurement dans le même Recueil (1888, p. 171), et concernant les rayons de courbure et les développées. Antomari (X.). — Recherche des points doubles dans les courbes unicursales. (356-359). Exposition d'un procédé plus simple que celui qu'on suit habituellement; même coup, on évite l'introduction de solutions étrangères. Application à deux exemples. Re (A.). — Sur une question de Géométrie liée à la théorie des normales à une quadrique. (359-362). Soient : quadrique; Σc la surface des centres; P • Un point quelconque. Un cône (P) de sommet P, circonscrit à Σc, présentera, dans chaque plan l'onglet, une seule normale à S; lieu des pieds des normales ainsi obtenues. Worontzoff. — Sur le développement en séries des fonctions implicites. (362-365). L'auteur établit une formule propre à résoudre le problème, et en fait ensuite application à un exemple simple. Gilbert (Ph.). — Remarques sur l'intégration par partie. (365-368). L'auteur fait observer que les cas où l'intégration par partie s'applique avantageusement sont moins généraux qu'on ne le croît d'ordinaire; et il appuie cette opinion sur des considérations qui paraissent irréfutables. Servais (Cl.). — Sur la courbure dans les coniques. (369-374). Propriétés déduites d'un cas particulier de la transformation de Hirst. Le auteur énonce une suite de propositions qui semblent nouvelles pour la plupart, et dont quelques-unes fournissent des constructions simples. Cesaro (E.). — Sur les transformations de la série de Lambert. (374-382). Comparaison de la convergence de deux séries. Examen des transformées de la série de Lambert —- | +..., données par Schlömilch et par 1 q ~1 ql Clausen. L'auteur rappelle aussi une transformée qu'il a indiquée dans Mathesis (1886, p. 126) Gomes Teixeira (F.). — Démonstration d'une formule de Waring. (382-384).
fait ensuite application à un exemple simple. Gilbert (Ph.). — Remarques sur l'intégration par partie. (365-368). L'auteur fait observer que les cas où l'intégration par partie s'applique avantageusement sont moins généraux qu'on ne le croît d'ordinaire; et il appuie cette opinion sur des considérations qui paraissent irréfutables. Servais (Cl.). — Sur la courbure dans les coniques. (369-374). Propriétés déduites d'un cas particulier de la transformation de Hirst. Le auteur énonce une suite de propositions qui semblent nouvelles pour la plupart, et dont quelques-unes fournissent des constructions simples. Cesaro (E.). — Sur les transformations de la série de Lambert. (374-382). Comparaison de la convergence de deux séries. Examen des transformées de la série de Lambert —- | +..., données par Schlömilch et par 1 q ~1 ql Clausen. L'auteur rappelle aussi une transformée qu'il a indiquée dans Mathesis (1886, p. 126) Gomes Teixeira (F.). — Démonstration d'une formule de Waring. (382-384). Application d'une méthode indiquée par M. d'Ocagne pour le calcul de certaines fonctions symétriques. Roux (M.). — Solution géométrique de la question proposée pour l'admission à l'École Polytechnique en 1888. (384-391). Sur les propriétés de deux paraboles variables, qui restent tangentes entre elles. Niewenglowski (B.). — Solution de la question d'Analyse proposée au Concours d'agrégation des Sciences mathématiques en 1888. (391-400). Propriétés de la surface minima réelle qui admet pour ligne géodésique une cycloïde, dont on donne les équations. CORRESPONDANCE. — M. J. Monchel : Communication des énoncés de deux théorèmes sur les déterminants. (400). QUESTION PROPOSÉE : 1583. (400). Cesaro (E.). — Remarques sur divers articles, concernant la théorie des séries. (401-407). Considérations sur des séries indiquées par M. Lerch, dans lesquelles x dépasse toute limite pour certaines valeurs de x, et qui sont cependant convergentes. L'article se termine par une remarque sur le théorème de convergence publié par M. Jensen (N. A., 1888, p. 196). Pomey (Et.). — Sur le plus grand commun diviseur de deux polynômes entiers. (407-427). Le but de ce travail est la recherche des conditions nécessaires et suffisantes pour que deux polynômes entiers, de degré m et n, aient un plus grand commun diviseur
d'Analyse proposée au Concours d'agrégation des Sciences mathématiques en 1888. (391-400). Propriétés de la surface minima réelle qui admet pour ligne géodésique une cycloïde, dont on donne les équations. CORRESPONDANCE. — M. J. Monchel : Communication des énoncés de deux théorèmes sur les déterminants. (400). QUESTION PROPOSÉE : 1583. (400). Cesaro (E.). — Remarques sur divers articles, concernant la théorie des séries. (401-407). Considérations sur des séries indiquées par M. Lerch, dans lesquelles x dépasse toute limite pour certaines valeurs de x, et qui sont cependant convergentes. L'article se termine par une remarque sur le théorème de convergence publié par M. Jensen (N. A., 1888, p. 196). Pomey (Et.). — Sur le plus grand commun diviseur de deux polynômes entiers. (407-427). Le but de ce travail est la recherche des conditions nécessaires et suffisantes pour que deux polynômes entiers, de degré m et n, aient un plus grand commun diviseur de degré p. Après avoir établi quelques lemmes préliminaires, l'auteur rattache successivement le plus grand commun diviseur, soit au résultant d'Euler-Bézout-Sylvester, dans une première Partie du Mémoire, soit au résultant de Bézout-Cauchy dans la seconde Partie. Dans l'un et l'autre cas, on obtient le plus grand commun diviseur cherché par un calcul de déterminants. Weill. — Sur une forme du déterminant de Vandermonde. (427-429). Les éléments, dans les lignes successives du déterminant, se trouvent remplacés par les sommes n — i à n — 1 dans la première ligne, par des sommes de produits deux à deux dans la deuxième ligne, etc. Weill. — Applications des propriétés projectives des coniques. (429-430). Démonstrations très simples de trois propriétés de paraboles ou d'hyperboles. Marchand.— Discussion de l'équation en s. (431-435). Il s'agit de l'équation en s de degré n quelconque; examen spécial du cas Une racine multiple, par l'emploi de la méthode de Sylvester. Genty — Note de Géométrie. (436-438). La très élégante démonstration d'une propriété du paramètre de distribution un hyperboloïde, que donne ici l'auteur, nous montre qu'il a su profiter des excellentes leçons paternelles, et qu'il saura, lui aussi, apporter son tribut à la Science sous une forme pleine d'intérêt.
un calcul de déterminants. Weill. — Sur une forme du déterminant de Vandermonde. (427-429). Les éléments, dans les lignes successives du déterminant, se trouvent remplacés par les sommes n — i à n — 1 dans la première ligne, par des sommes de produits deux à deux dans la deuxième ligne, etc. Weill. — Applications des propriétés projectives des coniques. (429-430). Démonstrations très simples de trois propriétés de paraboles ou d'hyperboles. Marchand.— Discussion de l'équation en s. (431-435). Il s'agit de l'équation en s de degré n quelconque; examen spécial du cas Une racine multiple, par l'emploi de la méthode de Sylvester. Genty — Note de Géométrie. (436-438). La très élégante démonstration d'une propriété du paramètre de distribution un hyperboloïde, que donne ici l'auteur, nous montre qu'il a su profiter des excellentes leçons paternelles, et qu'il saura, lui aussi, apporter son tribut à la Science sous une forme pleine d'intérêt. Ocagne (M. d'). — Détermination du rayon de courbure de la courbe intégrale. (438-442). y = J ϕ(x) dx + C est l'équation de la courbe intégrale de la courbe donnée y = ϕ(x) (coordonnées rectangulaires). Construction géométrique du centre de courbure; comme conséquence, théorème sur le centre de courbure en un point de la parabole. Occigne (M. d'). — Solution de la question 1572. (442-443). Propriété de la parabole. Beyens (I.). — Solution de la même question. (443-444). Bernard (J.). — Solution de la même question. (444-447). QUESTIONS PROPOSÉES : 1584 à 1588. (447-448). Occigne (M. d'). — Solution de la question de Mathématiques élémentaires proposée au Concours général de 1887. (449-456)L'énoncé, publié Nouv. Ann., 1887, p. 426, tient de la Géométrie de position et de l'Algèbre, et concerne la détermination de l'ordre de certains objets. Marchand. — Développement de l'accroissement d'un polynôme entier suivant les puissances des accroissements des variables. (456-461). L'auteur a cherché une méthode élémentaire, dégagée de la formule générale de Taylor; et il l'a trouvée dans l'emploi de la notation symbolique représentant une forme binaire. Joffroy. — Nouveau théorème relatif aux circonférences tangentes. (461-464). Propriétés des faisceaux formés par les lignes des centres. Cesaro (E.).