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l'emploi de l'électricité pour ramener la résolution d'une équation du degré p, f(z) = 0, à celle d'équations de degrés inférieurs à p. On prendra la fonction primitive F(z) de f(z) sans terme constant, et, séparant les termes de degré pair des termes de degré impair, on obtiendra en égalant ces derniers à 0 une équation ψ(z2) = 0, degré p ou — suivant que p est pair ou impair. Soit λ2 une de ses racines; l'équation F(z)-ϕ(λ2) = 0 est du degré mais, connaissant déjà les deux racines + 1 et — 1, on est ramené à une équation du degré p — 1. Les points racines de l'équation proposée f(z) = 0 sont les points nodaux des courbes équipotentielles du système des p + 1 points racines de l'équation précédente. On pourra donc, comme l'a déjà indiqué l'auteur, les obtenir soit par la méthode d'exploration galvanométrique de Kirchhoff, soit par la méthode électrochimique de M. Guébhard. Après cette méthode, M. F. Lucas en expose une moins simple, qui repose sur l'intersection de deux lignes équipotentielles distinctes qui ne se coupent pas orthogonalement, et qui introduit des points parasites dont il faut faire le décompte. Tollmache. — Sur la durée du jeu. L'auteur indique une formule plus simple que celle qu'il a donnée dans sa communication précédente (Comptes rendus, p. 265) pour représenter la probabilité P que le jeu se termine par la ruine totale d'un des joueurs après une partie d'un rang assigné μ (chaque joueur possédant n francs avant d'entrer au jeu, et le perdant donnant chaque fois 1fr au gagnant). La nouvelle formule, proposée par M. Rouché, est Demartres. — Sur la surface engendrée par une conique doublement sécante à une conique fixe. Les propriétés projectives des surfaces séléniques s'étendent immédiatement aux surfaces engendrées par une conique doublement sécante à une conique fixe. Parmi ces propriétés, les unes appartiennent aux lignes conjuguées des génératrices, les autres aux lignes asymptotiques. Il existe trois sortes de surfaces dont les génératrices coniques sont divisées homographiquement par les lignes conjuguées. Ce sont : 1° L'enveloppe d'une quadrique passant par une
durée du jeu. L'auteur indique une formule plus simple que celle qu'il a donnée dans sa communication précédente (Comptes rendus, p. 265) pour représenter la probabilité P que le jeu se termine par la ruine totale d'un des joueurs après une partie d'un rang assigné μ (chaque joueur possédant n francs avant d'entrer au jeu, et le perdant donnant chaque fois 1fr au gagnant). La nouvelle formule, proposée par M. Rouché, est Demartres. — Sur la surface engendrée par une conique doublement sécante à une conique fixe. Les propriétés projectives des surfaces séléniques s'étendent immédiatement aux surfaces engendrées par une conique doublement sécante à une conique fixe. Parmi ces propriétés, les unes appartiennent aux lignes conjuguées des génératrices, les autres aux lignes asymptotiques. Il existe trois sortes de surfaces dont les génératrices coniques sont divisées homographiquement par les lignes conjuguées. Ce sont : 1° L'enveloppe d'une quadrique passant par une conique et assujettie à trois conditions complémentaires; 2° Les surfaces pour lesquelles la conique fixe se réduit à deux points (les lignes conjuguées s'obtiennent alors par une quadrature); 3° Celles dont la génératrice reste tangente à une courbe fixe dans le plan osculateur de cette courbe (les lignes conjuguées s'obtiennent sans intégration). Ces trois classes de surfaces comprennent toutes celles pour lesquelles les deux séries de lignes asymptotiques divisent homographiquement les génératrices. La recherche de ces lignes s'achève sans difficulté dans les trois cas. M. Demartres développe les calculs dans le deuxième cas et il démontre, en terminant ce théorème, qui donne comme cas particulier une propriété importante des quadriques : Lorsqu'une surface est le lieu d'une conique passant par deux points fixes; si ces deux points sont des points ordinaires de la surface, les coniques génératrices sont divisées homographiquement par leurs lignes conjuguées et par chaque série de lignes asymptotiques. Fouret. — Sur quelques propriétés géométriques des stelloïdes. L'auteur énonce un grand nombre de propriétés des courbes que M. F. Lucas (Comptes rendus, t. CVI, p. 195) a appelées stelloïdes et qui sont les trajectoires orthogonales des cassinoïdes homofocales les plus générales. Les stelloïdes du premier degré sont des
sans intégration). Ces trois classes de surfaces comprennent toutes celles pour lesquelles les deux séries de lignes asymptotiques divisent homographiquement les génératrices. La recherche de ces lignes s'achève sans difficulté dans les trois cas. M. Demartres développe les calculs dans le deuxième cas et il démontre, en terminant ce théorème, qui donne comme cas particulier une propriété importante des quadriques : Lorsqu'une surface est le lieu d'une conique passant par deux points fixes; si ces deux points sont des points ordinaires de la surface, les coniques génératrices sont divisées homographiquement par leurs lignes conjuguées et par chaque série de lignes asymptotiques. Fouret. — Sur quelques propriétés géométriques des stelloïdes. L'auteur énonce un grand nombre de propriétés des courbes que M. F. Lucas (Comptes rendus, t. CVI, p. 195) a appelées stelloïdes et qui sont les trajectoires orthogonales des cassinoïdes homofocales les plus générales. Les stelloïdes du premier degré sont des droites, celles du deuxième degré sont des hyperboles équilatères ; celles du degré p ont p asymptotes réelles formant une rose des vents. La plupart des théorèmes énoncés par M. Fouret au sujet de ces stelloïdes sont des généralisations des propriétés bien connues de l'hyperbole équilatère. Carvallo. — Formules d'interpolation. (346-349). Quand on veut déterminer les coefficients a, b, c, ... de la formule y = ax + bv + cw + ... dans laquelle des systèmes de valeurs simultanées des variables x, y, v, ... Peuvent être déterminés expérimentalement, on emploie habituellement la Méthode de Cauchy ou celle des moindres carrés. La seconde est seule d'accord avec le Calcul des probabilités; cependant la première est souvent préférée Pour certains avantages pratiques. M. Carvallo montre comment on peut conserver tous ces avantages en adoptant la même marche de calcul pour la méthode des moindres carrés. Bertrand. — Seconde Note sur la probabilité du tir à la cible. (388-389). Après avoir cité divers auteurs, entre autres Bravais, qui déjà avaient signalé l'impossibilité d'accepter l'indépendance (admise par Poisson) des écarts horizontaux et verticaux, et après avoir critiqué les démonstrations de ces auteurs, M. Bertrand retrouve la formule de Bravais en partant de
(346-349). Quand on veut déterminer les coefficients a, b, c, ... de la formule y = ax + bv + cw + ... dans laquelle des systèmes de valeurs simultanées des variables x, y, v, ... Peuvent être déterminés expérimentalement, on emploie habituellement la Méthode de Cauchy ou celle des moindres carrés. La seconde est seule d'accord avec le Calcul des probabilités; cependant la première est souvent préférée Pour certains avantages pratiques. M. Carvallo montre comment on peut conserver tous ces avantages en adoptant la même marche de calcul pour la méthode des moindres carrés. Bertrand. — Seconde Note sur la probabilité du tir à la cible. (388-389). Après avoir cité divers auteurs, entre autres Bravais, qui déjà avaient signalé l'impossibilité d'accepter l'indépendance (admise par Poisson) des écarts horizontaux et verticaux, et après avoir critiqué les démonstrations de ces auteurs, M. Bertrand retrouve la formule de Bravais en partant de cette hypothèse très plausible de Cotes : Si l'on connaît un nombre quelconque de points où la cible a été frappée, la Position la plus probable du point visé est le centre de gravité du système des points atteints. La probabilité que la balle frappe un élément dx dy est alors Les trois constantes caractéristiques d'une série d'épreuves k, k', ... X peuvent déduire des coordonnées x, y, x', y', ... des points atteints par rapport à eux axes arbitraires à l'aide des équations Les courbes d'égale probabilité sont les ellipses k2 x2 + 2xy + k2y2= const. La quantité — 1 proportionnelle à la surface de l'ellipse dans laquelle a Probabilité donnée pour que la balle vienne se loger peut servir de mesure à la précision d'une arme supposée sans défaut. Entre deux coups, le plus probable est celui pour lequel la somme k2 x2 + 2xy + k2y2 a Plus petite valeur. Sylvester. — Sur les nombres parfaits. (403-505). On ignore s'il existe des nombres parfaits impairs. M. Servais a montré (Mémoires de l'Académie, 1887) qu'un nombre parfait (s'il en existe) qui ne contient que trois facteurs premiers distincts est divisible par 3 et par 5. M. Sylvester
alors Les trois constantes caractéristiques d'une série d'épreuves k, k', ... X peuvent déduire des coordonnées x, y, x', y', ... des points atteints par rapport à eux axes arbitraires à l'aide des équations Les courbes d'égale probabilité sont les ellipses k2 x2 + 2xy + k2y2= const. La quantité — 1 proportionnelle à la surface de l'ellipse dans laquelle a Probabilité donnée pour que la balle vienne se loger peut servir de mesure à la précision d'une arme supposée sans défaut. Entre deux coups, le plus probable est celui pour lequel la somme k2 x2 + 2xy + k2y2 a Plus petite valeur. Sylvester. — Sur les nombres parfaits. (403-505). On ignore s'il existe des nombres parfaits impairs. M. Servais a montré (Mémoires de l'Académie, 1887) qu'un nombre parfait (s'il en existe) qui ne contient que trois facteurs premiers distincts est divisible par 3 et par 5. M. Sylvester démontre qu'un pareil nombre ne peut exister, au moyen d'un raisonnement analogue à celui qui lui a fourni la démonstration de ce théorème, qu'il n'existe pas de nombre parfait qui contienne moins de six facteurs premiers distincts. En ce qui concerne les nombres parfaits pairs, M. Sylvester rappelle qu'Euclide a fait voir que 2n(2n+1 — 1), où 2n+1 — 1 est premier, est un nombre parfait, et qu'Euler a donné la seule preuve actuellement connue de la proposition réciproque : il n'existe pas d'autres nombres parfaits pairs que ceux d'Euclide. Robin. — Distribution de l'électricité induite par des charges fixes sur une surface fermée convexe. (413-416). Si l'on répartit sur une surface fermée convexe une couche simple de densité finie quelconque f, et qu'on forme les intégrales où r désigne le rayon vecteur qui va d'un point de la surface aux divers éléments dcr, et cp l'angle de ce rayon vecteur avec la normale intérieure de ce point, ces intégrales tendent vers la valeur de la densité de la couche électrique en équilibre d'elle-même sur elle. Si maintenant le conducteur cr est soumis à l'influence de charges fixes extérieures (dont la somme algébrique est nulle) et si f désigne la
fait voir que 2n(2n+1 — 1), où 2n+1 — 1 est premier, est un nombre parfait, et qu'Euler a donné la seule preuve actuellement connue de la proposition réciproque : il n'existe pas d'autres nombres parfaits pairs que ceux d'Euclide. Robin. — Distribution de l'électricité induite par des charges fixes sur une surface fermée convexe. (413-416). Si l'on répartit sur une surface fermée convexe une couche simple de densité finie quelconque f, et qu'on forme les intégrales où r désigne le rayon vecteur qui va d'un point de la surface aux divers éléments dcr, et cp l'angle de ce rayon vecteur avec la normale intérieure de ce point, ces intégrales tendent vers la valeur de la densité de la couche électrique en équilibre d'elle-même sur elle. Si maintenant le conducteur cr est soumis à l'influence de charges fixes extérieures (dont la somme algébrique est nulle) et si f désigne la composante normale des actions que ces charges exercent en un point de la surface, la densité électrique induite en ce point est donnée par la série Cette formule donne la solution immédiate de ce problème : « Déterminer une fonction V continue, ainsi que ses dérivées premières, à l'intérieur de D', satisfaisant à l'équation AV = 0, et dont la dérivée suivant la normale intérieure est assujettie à prendre en chaque point de σ une valeur donnée. » Bertrand. — Sur la détermination de la précision d'un système de mesures. (440-443). Si l'on accepte la formule qui suppose la probabilité d'une erreur z proportionnelle à e−k2z2, la constante k mesure la précision. En égalant, lorsque les erreurs sont connues, la valeur calculée à celle que donne le hasard, on obtient une équation qui détermine k. Au lieu de choisir, comme l'a fait Gauss, entre toutes les équations ainsi obtenues directement celle qui laisse craindre la plus petite erreur, M. Bertrand détermine l'équation elle-même par la condition que cette erreur soit rendue minima. Il est alors conduit à substituer aux formules classiques Où n désigne le nombre des observations, S, la somme des erreurs, S2 la somme de leurs carrés. Ces
D', satisfaisant à l'équation AV = 0, et dont la dérivée suivant la normale intérieure est assujettie à prendre en chaque point de σ une valeur donnée. » Bertrand. — Sur la détermination de la précision d'un système de mesures. (440-443). Si l'on accepte la formule qui suppose la probabilité d'une erreur z proportionnelle à e−k2z2, la constante k mesure la précision. En égalant, lorsque les erreurs sont connues, la valeur calculée à celle que donne le hasard, on obtient une équation qui détermine k. Au lieu de choisir, comme l'a fait Gauss, entre toutes les équations ainsi obtenues directement celle qui laisse craindre la plus petite erreur, M. Bertrand détermine l'équation elle-même par la condition que cette erreur soit rendue minima. Il est alors conduit à substituer aux formules classiques Où n désigne le nombre des observations, S, la somme des erreurs, S2 la somme de leurs carrés. Ces formules supposent les erreurs encore inconnues. Lorsqu'elles sont connues, les valeurs moyennes de k et de k2 sont Sylvester. — Sur une classe spéciale de diviseurs de la somme d'une série géométrique. (446-450). En l'honneur de Fermat, M. Sylvester appelle fermatien de base 0 et d'indice m fonction θm — 1, où m est un entier positif et 0 un entier quelconque, et fermatien réduit la fonction 0 1 Il montre qu'un fermatien réduit à indice impair, dont le dénominateur est divisible par chaque facteur premier de son indice, est lui-même divisible par cet indice, et que le quotient de la division de ces deux quantités est premier relativement à l'indice. C'est dans les recherches sur la possibilité de l'existence de nombres parfaits autres que ceux d'Euclide que se rencontre la théorie des fermatiens réduits. Comme application de cette théorie, M. Sylvester fait voir qu'il ne peut exister de nombre parfait de la forme 3N ± 1 et composé de sept facteurs premiers. Vicaire. Sur les propriétés communes à toutes les courbes qui remplissent une certaine condition de minimum ou de maximum. Br unel. — Sur les racines des matrices zéroïdales. La matrice devient la matrice zéroïdale (0) lorsque tous
1, où m est un entier positif et 0 un entier quelconque, et fermatien réduit la fonction 0 1 Il montre qu'un fermatien réduit à indice impair, dont le dénominateur est divisible par chaque facteur premier de son indice, est lui-même divisible par cet indice, et que le quotient de la division de ces deux quantités est premier relativement à l'indice. C'est dans les recherches sur la possibilité de l'existence de nombres parfaits autres que ceux d'Euclide que se rencontre la théorie des fermatiens réduits. Comme application de cette théorie, M. Sylvester fait voir qu'il ne peut exister de nombre parfait de la forme 3N ± 1 et composé de sept facteurs premiers. Vicaire. Sur les propriétés communes à toutes les courbes qui remplissent une certaine condition de minimum ou de maximum. Br unel. — Sur les racines des matrices zéroïdales. La matrice devient la matrice zéroïdale (0) lorsque tous les éléments a sont égaux à zéro. Si l'on appelle racine nème de la matrice zéroïdale la matrice qui satisfait à l'équation les éléments a de cette matrice doivent seulement remplir les n conditions obtenues en égalant à zéro les coefficients des puissances (n), (n 2), ... de la matrice (M) dans l'équation identique bien connue à laquelle satisfait cette dernière. On peut exprimer les n2 quantités a, assujetties aux conditions prescrites au moyen de n (n - 1) quantités c par des formules que donne M. Brunel. La substitution dans la matrice cherchée des valeurs des éléments a ainsi déterminés conduit à une expression de cette matrice, d'où résulte cette conséquence : La racine nème de la matrice zéroïdale peut être considérée comme fonction linéaire de n (n - 1) matrices dont les éléments contiennent n(n - 1) quantités c que M. Brunel appelle constantes intérieures ; les autres quantités c (constantes extérieures) se présentent comme coefficients de la fonction linéaire. Les matrices constituantes jouissent de propriétés remarquables : Elles sont linéairement indépendantes. n2 (n - 1)2 n(n - 1) Des 4 produits deux à deux de ces matrices, il n'y en a que — qui différent de la
(M) dans l'équation identique bien connue à laquelle satisfait cette dernière. On peut exprimer les n2 quantités a, assujetties aux conditions prescrites au moyen de n (n - 1) quantités c par des formules que donne M. Brunel. La substitution dans la matrice cherchée des valeurs des éléments a ainsi déterminés conduit à une expression de cette matrice, d'où résulte cette conséquence : La racine nème de la matrice zéroïdale peut être considérée comme fonction linéaire de n (n - 1) matrices dont les éléments contiennent n(n - 1) quantités c que M. Brunel appelle constantes intérieures ; les autres quantités c (constantes extérieures) se présentent comme coefficients de la fonction linéaire. Les matrices constituantes jouissent de propriétés remarquables : Elles sont linéairement indépendantes. n2 (n - 1)2 n(n - 1) Des 4 produits deux à deux de ces matrices, il n'y en a que — qui différent de la matrice zéroïdale: On peut enfin déterminer les conditions que doivent remplir les constantes extérieures, pour que ce soit une puissance de (M) inférieure à n qui produise la matrice zéroïdale. Poulain. — Théorème sur les équations algébriques et les fonctions quadratiques. Newton (ou plutôt Campbell) a énoncé cette règle pour reconnaître l'existence des racines imaginaires dans les équations algébriques : Étant donnée l'équation numérique A x m + A1 x m-1 + ... + A, x r + ... + Am = 0, si l'on pose r' = m - r, et si l'on écrit la suite des signes que prend la fonction quadratique B n, pour r = 0, 1, 2, ..., m, l'équation a au moins autant de racines imaginaires qu'il y a de variations dans cette suite. M. Poulain fait remarquer que cette règle subsiste : la même dans les fonctions quadratiques on supprime les et, plus généralement, si l'on divise chaque facteur par on; ou 2° si l'on multiplie les A successifs par 1+1; ou 3° si l'on multiplie tous les A par un même facteur arbitraire K positif et supérieur à 1. L'auteur énonce encore deux théorèmes indépendants de la loi de Newton : Le
reconnaître l'existence des racines imaginaires dans les équations algébriques : Étant donnée l'équation numérique A x m + A1 x m-1 + ... + A, x r + ... + Am = 0, si l'on pose r' = m - r, et si l'on écrit la suite des signes que prend la fonction quadratique B n, pour r = 0, 1, 2, ..., m, l'équation a au moins autant de racines imaginaires qu'il y a de variations dans cette suite. M. Poulain fait remarquer que cette règle subsiste : la même dans les fonctions quadratiques on supprime les et, plus généralement, si l'on divise chaque facteur par on; ou 2° si l'on multiplie les A successifs par 1+1; ou 3° si l'on multiplie tous les A par un même facteur arbitraire K positif et supérieur à 1. L'auteur énonce encore deux théorèmes indépendants de la loi de Newton : Le nombre des racines positives d'une équation et celui des racines négatives n'augmentent pas quand on multiplie respectivement les coefficients par 1, P p (p + 1) q, q (q + 1) ; ces nombres ne diminuent pas en général si l'on divise ces coefficients par 1, P p (p + 1) q ' q (q + 1). Painlevé — Sur la représentation conforme des polygones. Tous les polygones dont la représentation conforme sur le demi-plan s'effectue algébriquement se déduisent par une substitution linéaire des polygones obtenus en associant d'une manière quelconque les demi-faces sphériques des Polyèdres réguliers inscrites dans la sphère. On peut former tous ces polygones et, inversement, reconnaître si un polygone donné rentre dans la classe en question. Humbert. — Sur quelques propriétés des aires sphériques. Dans une Note précédente, M. Humbert a fait connaître une formule simple pour la différence de deux aires découpées sur une sphère de rayon R par un cône Cette formule, comme l'a fait remarquer à l'auteur M. Darboux, est susceptible d'une interprétation géométrique remarquable : la différence en question est égale au produit du diamètre de la sphère par la distance de son centre au plan mené par le sommet du cône
1) q ' q (q + 1). Painlevé — Sur la représentation conforme des polygones. Tous les polygones dont la représentation conforme sur le demi-plan s'effectue algébriquement se déduisent par une substitution linéaire des polygones obtenus en associant d'une manière quelconque les demi-faces sphériques des Polyèdres réguliers inscrites dans la sphère. On peut former tous ces polygones et, inversement, reconnaître si un polygone donné rentre dans la classe en question. Humbert. — Sur quelques propriétés des aires sphériques. Dans une Note précédente, M. Humbert a fait connaître une formule simple pour la différence de deux aires découpées sur une sphère de rayon R par un cône Cette formule, comme l'a fait remarquer à l'auteur M. Darboux, est susceptible d'une interprétation géométrique remarquable : la différence en question est égale au produit du diamètre de la sphère par la distance de son centre au plan mené par le sommet du cône perpendiculairement à la droite qui joint les centres de gravité des deux aires que le cône découpe sur une sphère concentrique de rayon (plan d'orientation), et par le produit de l'angle conique Multiplié par la distance de ces deux centres de gravité (module du cône). Quand le cône se réduit à un trièdre, il existe une construction mécanique très simple du plan d'orientation et du module. M. Humbert énonce un certain nombre de théorèmes analogues au précédent sur les aires découpées sur une sphère par une quadrique : " 1° La différence des deux aires découpées par la quadrique sur une sphère est proportionnelle, quelle que soit la position relative des deux surfaces, à la distance du centre de la sphère à l'un des plans principaux de la quadrique; ou il s'ensuit que cette différence ne varie pas quand on fait tourner la quadrique autour d'une parallèle à l'un de ses axes; 2° Les deux aires annulaires découpées sur une sphère par le solide compris entre deux quadriques homothétiques et concentriques sont égales; 3° La différence des deux aires que découpe sur une sphère un paraboloïde évolution reste constante quand le paraboloïde se déplace d'une manière quelconque dans l'espace. Bertrand.