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à l'infini. On peut donner à y une autre forme en développant ϕ (z) de la manière suivante ϕ (z) = Q1 ez + Q2 ez + ... , 1, ... étant les zéros de ϕ(z), c1, c2, ... leurs ordres de multiplicité, Q1, Q2, ... des polynômes de degrés a — 1, p — 1, .... On trouve alors les coefficients a1, a2, ..., ax étant, dans la décomposition de —^— en fractions simples, les numérateurs des fractions répondant à la racine z, de ? (z). Lorsque ϕ(z) n'a que des zéros simples, cette dernière formule coïncide avec celle qu'on obtient par les méthodes classiques de Lagrange et de Cauchy. L'auteur signale des équations différentielles à coefficients variables, réductibles par changement de variable à des équations à coefficients constants, et dont l'intégrale générale peut, en conséquence, être obtenue par une intégration effectuée le long d'une courbe fermée. Dans deux Notes qui font suite à son Mémoire, M. Collet se propose de résoudre certains systèmes remarquables de n équations du premier degré à n inconnues. Le premier est le suivant où ? (z) = x1 + ax2 + a3x3 + ...+ an-1 xn. En deuxième lieu, en supposant que l'équation ϕ(x) = a0zm + ..+ am = o admette la racine z, avec l'ordre de multiplicité a, toutes les autres zα+1, 1 zm étant simples, on compose, à l'aide de ces racines, le système suivant : ( a = o, 1, 2, ..., m — 1). Si l'on désigne par ϕ0(z), ϕ1(z), ..., ϕm-1 (z) les coefficients des puissances successives de z dans le quotient de ϕ(ζ) par z — z et que l'on pose F (z) = bm-1 ϕ0 (z) + bm-2 ϕ1(z) +... + b0 ϕm-1(z), les valeurs des inconnues x1, x2, ..., xm sont les numérateurs des fractions F (z) simples résultant de la décomposition de ~ Demartres. — Mémoire sur les surfaces qui sont divisées en carrés par une suite de cercles et leurs trajectoires orthogonales. (145-158). M. Demartres expose la solution générale du problème suivant, qu'il avait déjà résolu dans deux cas particuliers assez étendus
ϕ(x) = a0zm + ..+ am = o admette la racine z, avec l'ordre de multiplicité a, toutes les autres zα+1, 1 zm étant simples, on compose, à l'aide de ces racines, le système suivant : ( a = o, 1, 2, ..., m — 1). Si l'on désigne par ϕ0(z), ϕ1(z), ..., ϕm-1 (z) les coefficients des puissances successives de z dans le quotient de ϕ(ζ) par z — z et que l'on pose F (z) = bm-1 ϕ0 (z) + bm-2 ϕ1(z) +... + b0 ϕm-1(z), les valeurs des inconnues x1, x2, ..., xm sont les numérateurs des fractions F (z) simples résultant de la décomposition de ~ Demartres. — Mémoire sur les surfaces qui sont divisées en carrés par une suite de cercles et leurs trajectoires orthogonales. (145-158). M. Demartres expose la solution générale du problème suivant, qu'il avait déjà résolu dans deux cas particuliers assez étendus : « Trouver toutes les surfaces réelles isocycliques, c'est-à-dire qui sont divisées en carrés par une suite de cercles et leurs trajectoires orthogonales. » Après avoir rappelé quelques-uns des résultats obtenus dans son précédent Mémoire (Annales de l'École Normale, 1885, p. 173) et montré comment le problème se ramène à l'intégration de cinq équations différentielles du premier ordre, l'auteur commence cette intégration en établissant que les surfaces isocycliques sont des anallagmatiques à différence réglée; il la complète en montrant que la focale, intersection de la directrice et de la différence, doit être une asymptotique de cette dernière; il obtient en même temps, pour chaque surface isocyclique, un facteur rendant intégrable l'équation des lignes de longueur nulle, ce qui permet, comme on sait, d'obtenir tous les réseaux isométriques. Goursat. — Étude sur les surfaces qui admettent tous les plans de symétrie d'un polyèdre régulier. (159-200, 241-312, 317-340). Ce Mémoire, dit l'auteur, est consacré à l'étude générale des surfaces qui admettent tous les plans de symétrie d'un des polyèdres réguliers, et plus particulièrement à l'étude de celles de ces surfaces qui sont en même temps des surfaces minima. Il est divisé en trois Parties. Dans la première Partie, je recherche d'abord les
l'intégration de cinq équations différentielles du premier ordre, l'auteur commence cette intégration en établissant que les surfaces isocycliques sont des anallagmatiques à différence réglée; il la complète en montrant que la focale, intersection de la directrice et de la différence, doit être une asymptotique de cette dernière; il obtient en même temps, pour chaque surface isocyclique, un facteur rendant intégrable l'équation des lignes de longueur nulle, ce qui permet, comme on sait, d'obtenir tous les réseaux isométriques. Goursat. — Étude sur les surfaces qui admettent tous les plans de symétrie d'un polyèdre régulier. (159-200, 241-312, 317-340). Ce Mémoire, dit l'auteur, est consacré à l'étude générale des surfaces qui admettent tous les plans de symétrie d'un des polyèdres réguliers, et plus particulièrement à l'étude de celles de ces surfaces qui sont en même temps des surfaces minima. Il est divisé en trois Parties. Dans la première Partie, je recherche d'abord les équations propres à représenter en coordonnées cartésiennes toutes les surfaces ayant la symétrie demandée : ces équations sont obtenues par l'application d'un procédé uniforme qui n'exige que des calculs tout à fait élémentaires, Viennent ensuite une étude sommaire des surfaces du troisième ordre Admettant les plans de symétrie du tétraèdre régulier, et des surfaces du quatrième ordre admettant les plans de symétrie du tétraèdre et de l'octaèdre. Cette étude est faite surtout au point de vue du nombre des points singuliers. Ce nombre, qui est nul pour la surface générale du quatrième ordre, peut atteindre sa valeur maximum 16 pour certaines de ces surfaces et peut prendre, sauf deux exceptions, toutes les valeurs inférieures. On rencontre, en particulier, un faisceau remarquable de surfaces de Kummer, déjà obtenu par Kummer lui-même en 1866. Ces surfaces jouissent d'une propriété curieuse qui les distingue nettement de la surface générale à 16 points singuliers. Je signale aussi quelques surfaces remarquables du sixième ordre admettant tous les plans de symétrie de l'icosaèdre. La deuxième Partie est consacrée à une recherche toute différente. Je me suis proposé de trouver des formules générales représentant toutes les surfaces minima qui ont les symétries d'un polyèdre régulier. Les équations
régulier, et des surfaces du quatrième ordre admettant les plans de symétrie du tétraèdre et de l'octaèdre. Cette étude est faite surtout au point de vue du nombre des points singuliers. Ce nombre, qui est nul pour la surface générale du quatrième ordre, peut atteindre sa valeur maximum 16 pour certaines de ces surfaces et peut prendre, sauf deux exceptions, toutes les valeurs inférieures. On rencontre, en particulier, un faisceau remarquable de surfaces de Kummer, déjà obtenu par Kummer lui-même en 1866. Ces surfaces jouissent d'une propriété curieuse qui les distingue nettement de la surface générale à 16 points singuliers. Je signale aussi quelques surfaces remarquables du sixième ordre admettant tous les plans de symétrie de l'icosaèdre. La deuxième Partie est consacrée à une recherche toute différente. Je me suis proposé de trouver des formules générales représentant toutes les surfaces minima qui ont les symétries d'un polyèdre régulier. Les équations générales de Weierstrass et de M. Sophus Lie, qui donnent toutes les surfaces minima, Approchées des belles recherches de M. Klein sur les formes binaires, qui se reproduisent par des substitutions linéaires, permettent de résoudre ce problème. Dans les applications, il y a lieu d'employer de préférence les formules de Sophus Lie ou celles de M. Weierstrass, suivant qu'il s'agit de surfaces algébriques ou transcendantes. Le développement de ces recherches conduit à distinguer deux espèces de symétrie; avec les méthodes de M. Lie, cette distinction est susceptible d'une interprétation géométrique intéressante qui en montre la Nécessité. Parmi les surfaces obtenues, je signalerai en particulier une surface double de treizième classe admettant tous les plans de symétrie du tétraèdre. La troisième Partie contient plusieurs recherches distinctes. Revenant à la théorie générale, je donne d'abord les équations générales des surfaces qui admettent tous les plans de symétrie d'un polyèdre régulier dans le système de représentation sphérique de Gauss. C'est surtout afin de mettre en évidence les différentes espèces de symétrie que j'ai repris la question à ce point de vue général. Je m'occupe ensuite d'une extension de ces recherches à l'espace à n dimensions et des applications que l'on peut en faire
Sophus Lie ou celles de M. Weierstrass, suivant qu'il s'agit de surfaces algébriques ou transcendantes. Le développement de ces recherches conduit à distinguer deux espèces de symétrie; avec les méthodes de M. Lie, cette distinction est susceptible d'une interprétation géométrique intéressante qui en montre la Nécessité. Parmi les surfaces obtenues, je signalerai en particulier une surface double de treizième classe admettant tous les plans de symétrie du tétraèdre. La troisième Partie contient plusieurs recherches distinctes. Revenant à la théorie générale, je donne d'abord les équations générales des surfaces qui admettent tous les plans de symétrie d'un polyèdre régulier dans le système de représentation sphérique de Gauss. C'est surtout afin de mettre en évidence les différentes espèces de symétrie que j'ai repris la question à ce point de vue général. Je m'occupe ensuite d'une extension de ces recherches à l'espace à n dimensions et des applications que l'on peut en faire à l'espace à trois dimensions. D'Ocagne. — Sur la relation entre les rayons de courbure de deux courbes polaires réciproques. (313-316). Soient C et C' deux courbes polaires réciproques par rapport à une conique Centre O; soient w et ω' les angles de deux rayons vecteurs correspondants OM et OM' avec l'axe focal de la conique; 6 et 0' les angles des tangentes à C et C' en M et M' avec le même axe; R et R' les rayons de courbure en M et en M': N et N' les normales en M et M' limitées aux perpendiculaires élevées en O sur OM et OM'. On a la relation RR'= NN'. Dans le cas où la conique directrice est un cercle, se réduit à RR'= NN'. Dans le cas de la transformation parabolique, la relation devient p étant le paramètre de la parabole directrice. Méray. — Sur le sens qu'il convient d'attacher à l'expression nombre incommensurable et sur le critère d'une limite pour une quantité variable de nature donnée. (341-360). Guichard. — Sur la résolution de l'équation aux différences finies G(x + i) G(x) = H(x). (377-380). M. Guichard résout cette question au moyen d'une intégrale définie contenant un
avec l'axe focal de la conique; 6 et 0' les angles des tangentes à C et C' en M et M' avec le même axe; R et R' les rayons de courbure en M et en M': N et N' les normales en M et M' limitées aux perpendiculaires élevées en O sur OM et OM'. On a la relation RR'= NN'. Dans le cas où la conique directrice est un cercle, se réduit à RR'= NN'. Dans le cas de la transformation parabolique, la relation devient p étant le paramètre de la parabole directrice. Méray. — Sur le sens qu'il convient d'attacher à l'expression nombre incommensurable et sur le critère d'une limite pour une quantité variable de nature donnée. (341-360). Guichard. — Sur la résolution de l'équation aux différences finies G(x + i) G(x) = H(x). (377-380). M. Guichard résout cette question au moyen d'une intégrale définie contenant un paramètre variable H (z) étant uniforme entre les deux droites y = A et y = B. La fonction A admet pour coupures dans le plan des z une infinité de droites parallèles à l'axe des y et passant par les points dont l'abscisse est n. La différence des valeurs de H sur le bord gauche et sur le bord droit de la coupure est égale à H(z). Cela posé, on forme une fonction qui, aux points x, x + 1, x + 2, ... prend les valeurs G(x) — H(x — 1), G(x), G(x) + H (x + 1), G(x) + H(x+1) + H(x + 2), Cette fonction G(x) n'a plus de lignes de discontinuité et vérifie l'équation G(x + i) — G(x) = H(x). On obtient toutes les autres solutions en ajoutant à G une fonction uniforme ayant pour période i. L'intégrale H cesse d'avoir un sens lorsque les droites y = A et y = B s'éloignent à l'infini. On peut, dans le cas où H est holomorphe, remédier à cet inconvénient en remplaçant H par des intégrales analogues. Les autres questions que l'auteur aborde ensuite ne sont que des applications de celle-là. Tout d'abord vient la
de H sur le bord gauche et sur le bord droit de la coupure est égale à H(z). Cela posé, on forme une fonction qui, aux points x, x + 1, x + 2, ... prend les valeurs G(x) — H(x — 1), G(x), G(x) + H (x + 1), G(x) + H(x+1) + H(x + 2), Cette fonction G(x) n'a plus de lignes de discontinuité et vérifie l'équation G(x + i) — G(x) = H(x). On obtient toutes les autres solutions en ajoutant à G une fonction uniforme ayant pour période i. L'intégrale H cesse d'avoir un sens lorsque les droites y = A et y = B s'éloignent à l'infini. On peut, dans le cas où H est holomorphe, remédier à cet inconvénient en remplaçant H par des intégrales analogues. Les autres questions que l'auteur aborde ensuite ne sont que des applications de celle-là. Tout d'abord vient la résolution de l'équation a0 G (x + n) + a1 G (x + n — 1) + ...+ an G (x) = H (x), où les a sont des constantes. Cette équation a été déjà résolue, dans le cas où le second membre est nul, par M. Picard et par M. Floquet. M. Guichard considère ensuite le groupe d'équations a0 G ( x + nω) + a1 G [x + (n 1)ω] +... + an G ( x) = H(x), b0 G (x + mω') + b1 G [ x + ( m — 1) ω'] + ...+ bm G(X) = H1(x). On trouve immédiatement la relation qui doit exister entre les deux fonctions entières H et H1. Cette relation étant vérifiée, les équations précédentes n'admettent en général qu'une solution entière. Il y a en outre des solutions méromorphes qu'on obtient en ajoutant à la fonction entière les solutions des équations privées de second membre. L'auteur termine par la résolution de l'équation du groupe d'équations H. ACTA MATHEMATICA. Tome VII; 1885-1886 (i). Poincaré (H.). — Sur un théorème de M. Fuchs. (1-32). Dans un Mémoire intitulé : Über Differentialgleichungen deren Integrale Verzweigungspunkte besitzen et inséré aux Sitzungsberichte de l'Académie de
M. Floquet. M. Guichard considère ensuite le groupe d'équations a0 G ( x + nω) + a1 G [x + (n 1)ω] +... + an G ( x) = H(x), b0 G (x + mω') + b1 G [ x + ( m — 1) ω'] + ...+ bm G(X) = H1(x). On trouve immédiatement la relation qui doit exister entre les deux fonctions entières H et H1. Cette relation étant vérifiée, les équations précédentes n'admettent en général qu'une solution entière. Il y a en outre des solutions méromorphes qu'on obtient en ajoutant à la fonction entière les solutions des équations privées de second membre. L'auteur termine par la résolution de l'équation du groupe d'équations H. ACTA MATHEMATICA. Tome VII; 1885-1886 (i). Poincaré (H.). — Sur un théorème de M. Fuchs. (1-32). Dans un Mémoire intitulé : Über Differentialgleichungen deren Integrale Verzweigungspunkte besitzen et inséré aux Sitzungsberichte de l'Académie de Berlin (séance du 26 juin 1884), M. Fuchs a donné les conditions pour que toutes les intégrales particulières d'une équation différentielle du premier ordre F(z, y, y') = b (où z est la variable indépendante, y' la dérivée et dont le premier membre est un polynôme entier en y et en y', ayant pour coefficients des fonctions quelconques de z) aient les mêmes points singuliers. J'ai conçu l'intérêt qui s'attache à cette question; si l'on suppose, en effet, que F soit un polynôme entier, non seulement par rapport à y et à y', mais par rapport à z, et que les conditions énoncées par M. Fuchs soient remplies, méthode d'intégration des équations linéaires par les fonctions fuchsiennes est applicable et l'on pourrait ainsi concevoir l'espoir de découvrir une classe nouvelle d'équations différentielles intégrables par ces transcendantes. Soit p le genre de la relation algébrique établie entre y et y' par l'équation F (z, y, y') = 0, où l'on considère z comme une constante. M. Poincaré, après avoir tiré des conclusions définitives de l'étude faite par M. Fuchs des cas ou p = 0 et p = 1, montre comment on peut parvenir directement aux mêmes résultats et poursuivre la
en y', ayant pour coefficients des fonctions quelconques de z) aient les mêmes points singuliers. J'ai conçu l'intérêt qui s'attache à cette question; si l'on suppose, en effet, que F soit un polynôme entier, non seulement par rapport à y et à y', mais par rapport à z, et que les conditions énoncées par M. Fuchs soient remplies, méthode d'intégration des équations linéaires par les fonctions fuchsiennes est applicable et l'on pourrait ainsi concevoir l'espoir de découvrir une classe nouvelle d'équations différentielles intégrables par ces transcendantes. Soit p le genre de la relation algébrique établie entre y et y' par l'équation F (z, y, y') = 0, où l'on considère z comme une constante. M. Poincaré, après avoir tiré des conclusions définitives de l'étude faite par M. Fuchs des cas ou p = 0 et p = 1, montre comment on peut parvenir directement aux mêmes résultats et poursuivre la discussion pour le cas de p > 1. A cet effet, on considère l'équation différentielle comme représentant une surface de Riemann S, variable avec z. Les modules de cette surface S sont constants et indépendants de z. Soient S0, S1, les surfaces de Riemann qui correspondent aux valeurs z0, z1, de z. Des propositions relatives aux transformations birationnelles des surfaces de Riemann en elles-mêmes, résultent les conclusions suivantes: si jo = 0, on peut passer de S0 à S, par une triple infinité de transformations birationnelles; si p = 1, on peut passer de S0 à S, par une simple infinité de transformations birationnelles; si p>1, il n'y a, en général, qu'une seule transformation birationnelle qui permette de passer de S0 à S1, et il n'y en a jamais qu'un nombre fini. Ces propositions conduisent aisément à la conclusion du Mémoire de M. Poincaré, qui est la suivante : « Les équations du premier ordre qui satisfont aux conditions de M. Fuchs ne constituent pas des classes réellement nouvelles d'équations différentielles. Dans le cas de p = 0, elles se ramènent aux équations linéaires. Dans le cas de p = 1, elles s'intègrent par une simple quadrature. Enfin, dans le
de z. Des propositions relatives aux transformations birationnelles des surfaces de Riemann en elles-mêmes, résultent les conclusions suivantes: si jo = 0, on peut passer de S0 à S, par une triple infinité de transformations birationnelles; si p = 1, on peut passer de S0 à S, par une simple infinité de transformations birationnelles; si p>1, il n'y a, en général, qu'une seule transformation birationnelle qui permette de passer de S0 à S1, et il n'y en a jamais qu'un nombre fini. Ces propositions conduisent aisément à la conclusion du Mémoire de M. Poincaré, qui est la suivante : « Les équations du premier ordre qui satisfont aux conditions de M. Fuchs ne constituent pas des classes réellement nouvelles d'équations différentielles. Dans le cas de p = 0, elles se ramènent aux équations linéaires. Dans le cas de p = 1, elles s'intègrent par une simple quadrature. Enfin, dans le cas de p > 1, elles s'intègrent par des procédés purement algébriques. » M. Poincaré a ultérieurement montré que, dans le cas des équations d'ordre supérieur, on arrive à des théorèmes analogues. Phragmén (E.). — Sur un théorème concernant les fonctions elliptiques. (33-42). Il s'agit du théorème suivant : « Toute fonction analytique ϕ(u) possédant un théorème d'addition ou, en d'autres termes, telle qu'il existe une relation algébrique entre les valeurs de la fonction correspondant aux valeurs de l'argument u, v, u + v, est : » 1° Ou une fonction algébrique de u; ou bien, » 2° Si to désigne une constante convenablement choisie, une fonction algébrique de la fonction e to; ou enfin, » 3° Si w, w' sont deux constantes convenablement choisies, une fonction algébrique de la fonction ( μ, μ' = 0, 1, 2, ... , sauf la combinaison μ = 0, μ' = 0 ). » M. Weierstrass a donné, de ce théorème, une démonstration qui peut être généralisée de manière à embrasser le cas des fonctions abéliennes. M. Phragmén, renonçant à cette généralisation, donne une démonstration plus simple que celle de M. Weierstrass. Phragmén (E.). — Sur les limitations de continua. L'auteur établit la
Toute fonction analytique ϕ(u) possédant un théorème d'addition ou, en d'autres termes, telle qu'il existe une relation algébrique entre les valeurs de la fonction correspondant aux valeurs de l'argument u, v, u + v, est : » 1° Ou une fonction algébrique de u; ou bien, » 2° Si to désigne une constante convenablement choisie, une fonction algébrique de la fonction e to; ou enfin, » 3° Si w, w' sont deux constantes convenablement choisies, une fonction algébrique de la fonction ( μ, μ' = 0, 1, 2, ... , sauf la combinaison μ = 0, μ' = 0 ). » M. Weierstrass a donné, de ce théorème, une démonstration qui peut être généralisée de manière à embrasser le cas des fonctions abéliennes. M. Phragmén, renonçant à cette généralisation, donne une démonstration plus simple que celle de M. Weierstrass. Phragmén (E.). — Sur les limitations de continua. L'auteur établit la proposition suivante : « Si l'ensemble de points P constitue la limitation d'un continuum (au sens de M. Weierstrass) A et s'il existe dans le plan des points en dehors de A, une partie quelconque de P doit être parfaitement enchaînée. » Le procédé de démonstration conduit immédiatement à l'extension à l'espace à n dimensions du théorème précédent. Krey (H.). — Sur les systèmes de courbes planes. (49-94). Le Bulletin a publié (Première série, t. VII, p. 97) un compte rendu par l'auteur du Mémoire de M. Zeuthen relatif aux systèmes de courbes planes. M. Krey, Prenant pour point de départ les formules de M. Zeuthen applicables aux systèmes où il n'existe pas de courbes à branches multiples, montre dans la Première Partie de son Mémoire que l'on peut déterminer tous les nombres à considérer. La seconde Partie contient l'extension des résultats obtenus aux systèmes de courbes planes dans l'espace, en ayant égard aux formules données par M. Schubert (Math. Annalen, t. XIII, p. 445). Lipschitz (R.). — Démonstration arithmétique d'une relation due à Jacobi. (95-100). Démonstration arithmétique de la relation de Jacobi. Netto (E). — Sur la théorie de l'élimination. (101-104). Démonstration du théorème suivant : « Si une