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en un point de la parabole. Occigne (M. d'). — Solution de la question 1572. (442-443). Propriété de la parabole. Beyens (I.). — Solution de la même question. (443-444). Bernard (J.). — Solution de la même question. (444-447). QUESTIONS PROPOSÉES : 1584 à 1588. (447-448). Occigne (M. d'). — Solution de la question de Mathématiques élémentaires proposée au Concours général de 1887. (449-456)L'énoncé, publié Nouv. Ann., 1887, p. 426, tient de la Géométrie de position et de l'Algèbre, et concerne la détermination de l'ordre de certains objets. Marchand. — Développement de l'accroissement d'un polynôme entier suivant les puissances des accroissements des variables. (456-461). L'auteur a cherché une méthode élémentaire, dégagée de la formule générale de Taylor; et il l'a trouvée dans l'emploi de la notation symbolique représentant une forme binaire. Joffroy. — Nouveau théorème relatif aux circonférences tangentes. (461-464). Propriétés des faisceaux formés par les lignes des centres. Cesaro (E.). — Calcul de sous-invariants. (464-467). Application de l'algorithme isobarique de l'auteur à une remarque de M. d'Ocagne. Dolbnia (J.). — Sur le critère de Galois concernant la résolubilité des équations algébriques par radicaux. (467-485). Indication d'une proposition d'Abel; étude des fonctions ~ ..., qui entrent dans la solution d'une équation résoluble par radicaux. Ce Mémoire, dont la lecture demande une grande attention à cause de la nature même du sujet, tend à éclaircir cependant beaucoup les théories si brillantes, mais si difficiles de Galois. C'est donc un service des plus importants que M. Dolbnia a rendu à la Science par cette publication. Pirondini (G.). — Sur les surfaces de révolution. (486-502). Étude des loxodromies d'une surface de révolution quelconque. Remarque sur les travaux de l'abbé Aoust relatifs au même sujet. Propriétés des lignes géodésiques. QUESTION PROPOSÉE : 1589. (502). Sarrau. — Notions sur la théorie de l'élasticité. (503-552). Bien que cet article, qui forme un véritable Traité de l'élasticité, en cinquante pages, soit extrait des leçons professées par l'auteur à l'École Polytechnique, il forme un tout qui présente une unité parfaite. L'intention que l'auteur a eue de ne présenter que les parties strictement essentielles d'une théorie dont les éléments sont
résoluble par radicaux. Ce Mémoire, dont la lecture demande une grande attention à cause de la nature même du sujet, tend à éclaircir cependant beaucoup les théories si brillantes, mais si difficiles de Galois. C'est donc un service des plus importants que M. Dolbnia a rendu à la Science par cette publication. Pirondini (G.). — Sur les surfaces de révolution. (486-502). Étude des loxodromies d'une surface de révolution quelconque. Remarque sur les travaux de l'abbé Aoust relatifs au même sujet. Propriétés des lignes géodésiques. QUESTION PROPOSÉE : 1589. (502). Sarrau. — Notions sur la théorie de l'élasticité. (503-552). Bien que cet article, qui forme un véritable Traité de l'élasticité, en cinquante pages, soit extrait des leçons professées par l'auteur à l'École Polytechnique, il forme un tout qui présente une unité parfaite. L'intention que l'auteur a eue de ne présenter que les parties strictement essentielles d'une théorie dont les éléments sont épars dans un grand nombre de Traités et de Mémoires originaux. Il est arrivé à les présenter avec une clarté d'exposition et une sûreté de méthode bien dignes de servir de modèles. Ne pouvant nous livrer à une analyse approfondie, nous reproduirons simplement ici les divisions principales. I. Théorie des tensions intérieures. — Définition. Équilibre du parallélépipède élémentaire. Introduction des N, T. Équilibre du tétraèdre élémentaire. Composante de la tension suivant une direction quelconque. Surface directrice. Tensions principales. Ellipsoïdes des tensions. Formules de transformation des tensions. II. Déplacement général d'un système de points. — Formules fondamentales. Décomposition du déplacement. Dilatation linéaire. Dilatation angulaire. dilatations et glissements. Surface des dilatations. Dilatations principales. Formules de transformation des déformations élémentaires. Dilatation cubique. III. Expressions des tensions dans un système élastique déformé. — Expressions des (N, T) en fonction des (a, b). Principe de la réduction. Plan de symétrie. Trois plans de symétrie. Isotropie. Expressions des (N, T) en fonction des déplacements u, v, w. IV. Équations de l'équilibre et du mouvement intérieur pour les systèmes isotropes. Équations indéfinies. Équations définies. Équilibre d'élasticité. Cas particulier. V. Exemples d'équilibre. — a. Compression normale et uniforme. b. Extension longitudinale d'un prisme. c. Équilibre d'une couche sphérique.
tensions intérieures. — Définition. Équilibre du parallélépipède élémentaire. Introduction des N, T. Équilibre du tétraèdre élémentaire. Composante de la tension suivant une direction quelconque. Surface directrice. Tensions principales. Ellipsoïdes des tensions. Formules de transformation des tensions. II. Déplacement général d'un système de points. — Formules fondamentales. Décomposition du déplacement. Dilatation linéaire. Dilatation angulaire. dilatations et glissements. Surface des dilatations. Dilatations principales. Formules de transformation des déformations élémentaires. Dilatation cubique. III. Expressions des tensions dans un système élastique déformé. — Expressions des (N, T) en fonction des (a, b). Principe de la réduction. Plan de symétrie. Trois plans de symétrie. Isotropie. Expressions des (N, T) en fonction des déplacements u, v, w. IV. Équations de l'équilibre et du mouvement intérieur pour les systèmes isotropes. Équations indéfinies. Équations définies. Équilibre d'élasticité. Cas particulier. V. Exemples d'équilibre. — a. Compression normale et uniforme. b. Extension longitudinale d'un prisme. c. Équilibre d'une couche sphérique. d. Équilibre d'une couche cylindrique. VI. Mouvements intérieurs des systèmes isotropes. — Équations des mouvements intérieurs. Mouvements simples. Mouvements simples compatibles. Vibrations longitudinales. Vibrations transversales. Propagation de la lumière dans un milieu isotrope. Propagation de la lumière dans un milieu cristallisé. QUESTION PROPOSÉE : 1590. (552). Rouché (E.) — La théorie des chances. (553-588). Sous l'apparence d'une analyse du Livre de M. J. Bertrand : Calcul des probabilités, Paris, 1889, M. Rouché donne ici à son tour, sous une forme concise, un véritable Traité, et un excellent Traité, de probabilités. En voici les grandes divisions : I. L'énumération des chances. Il. La probabilité totale et la probabilité composée. III. L'espérance mathématique. IV. Les épreuves répétées et le théorème de Bernoulli. V. La ruine des joueurs. VI. La probabilité a posteriori. VII. La loi de probabilité des erreurs fortuites. VIII. Le tir à la cible. IX. La méthode des moindres carrés. X. Les fausses applications du calcul des probabilités. Conclusions. AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES (CONCOURS DE 1888). — Énoncés des compositions : Mathématiques élémentaires, Mathématiques spéciales; Analyse et ses applications géométriques; Mécanique rationnelle. (589-^91). Tome VIII; 1889. Picard (E.). — Sur le nombre des racines communes à plusieurs équations simultanées. (5-13).
théorie des chances. (553-588). Sous l'apparence d'une analyse du Livre de M. J. Bertrand : Calcul des probabilités, Paris, 1889, M. Rouché donne ici à son tour, sous une forme concise, un véritable Traité, et un excellent Traité, de probabilités. En voici les grandes divisions : I. L'énumération des chances. Il. La probabilité totale et la probabilité composée. III. L'espérance mathématique. IV. Les épreuves répétées et le théorème de Bernoulli. V. La ruine des joueurs. VI. La probabilité a posteriori. VII. La loi de probabilité des erreurs fortuites. VIII. Le tir à la cible. IX. La méthode des moindres carrés. X. Les fausses applications du calcul des probabilités. Conclusions. AGRÉGATION DES SCIENCES MATHÉMATIQUES (CONCOURS DE 1888). — Énoncés des compositions : Mathématiques élémentaires, Mathématiques spéciales; Analyse et ses applications géométriques; Mécanique rationnelle. (589-^91). Tome VIII; 1889. Picard (E.). — Sur le nombre des racines communes à plusieurs équations simultanées. (5-13). Cette question a fait l'objet de travaux de Cauchy, Liouville, Sturm et de M. Kronecker. Le présent article est un résumé de la Leçon faite par l'auteur sur ce sujet à la Faculté des Sciences. Application très intéressante des déterminants fonctionnels. De Saint-Germain. — Note sur la question de Mécanique proposée au Concours d'agrégation en 1887. (13-22). Mouvement d'un cône homogène dont le sommet est fixe. Bien que l'article soit simplement extrait d'une lettre à M. Rouché, il n'en constitue pas moins une analyse très complète, en même temps que très habile, de toutes les circonstances du problème. Gutzmer (A.). — Notes sur un point de la théorie des séries. (22-27). À propos d'un article de M. Césaro, publié dans le tome précédent (p. 401), concernant des séries où le terme dominant peut devenir aussi grand que l'on voudra, bien que les séries soient convergentes. Indication des travaux de M. Catalan et de M. Lerch sur ce sujet. De Comberousse (Ch.). — Sur les équations réciproques. (27-33). Étude sommaire et complète de la question. L'auteur ramène toutes les équations réciproques de seconde espèce à celles qui sont de degré pair. Fouret (G.). — Sur quelques problèmes de Géométrie descriptive concernant
proposée au Concours d'agrégation en 1887. (13-22). Mouvement d'un cône homogène dont le sommet est fixe. Bien que l'article soit simplement extrait d'une lettre à M. Rouché, il n'en constitue pas moins une analyse très complète, en même temps que très habile, de toutes les circonstances du problème. Gutzmer (A.). — Notes sur un point de la théorie des séries. (22-27). À propos d'un article de M. Césaro, publié dans le tome précédent (p. 401), concernant des séries où le terme dominant peut devenir aussi grand que l'on voudra, bien que les séries soient convergentes. Indication des travaux de M. Catalan et de M. Lerch sur ce sujet. De Comberousse (Ch.). — Sur les équations réciproques. (27-33). Étude sommaire et complète de la question. L'auteur ramène toutes les équations réciproques de seconde espèce à celles qui sont de degré pair. Fouret (G.). — Sur quelques problèmes de Géométrie descriptive concernant les surfaces gauches du second degré. (34-48). Solutions simples et élégantes d'un certain nombre de problèmes touchant l'intersection d'une droite avec une surface gauche du second degré. Emploi de notions élémentaires de Géométrie projective. Application à la construction des normales à certaines surfaces. Appell (P.). — Sur les points d'intersection d'une conique fixe avec une conique mobile passant par deux points fixes. (48-56). Application des méthodes indiquées par Clebsch pour l'étude des groupes de points sur une courbe unicursale. L'article contient plusieurs problèmes intéressants sur les coniques osculatrices. Fabry (Ch.). — Étude géométrique d'une famille de coniques. (56-76). La perspective d'une cubique gauche sur un plan, le point de vue étant sur la courbe, est une conique. En faisant varier le point de vue sur la courbe, on a la famille de coniques étudiée par l'auteur. Il débute par établir sur ces courbes un certain nombre de propositions, concernant leurs intersections et leur enveloppe. Dans une seconde Partie, il étudie les coniques, droites et points correspondants par rapport à un triangle. Comme corollaire, il obtient le théorème de Poncelet sur les coniques inscrites et circonscrites à un triangle. L'article se termine par l'examen de quelques cas particuliers, et par la
d'une conique fixe avec une conique mobile passant par deux points fixes. (48-56). Application des méthodes indiquées par Clebsch pour l'étude des groupes de points sur une courbe unicursale. L'article contient plusieurs problèmes intéressants sur les coniques osculatrices. Fabry (Ch.). — Étude géométrique d'une famille de coniques. (56-76). La perspective d'une cubique gauche sur un plan, le point de vue étant sur la courbe, est une conique. En faisant varier le point de vue sur la courbe, on a la famille de coniques étudiée par l'auteur. Il débute par établir sur ces courbes un certain nombre de propositions, concernant leurs intersections et leur enveloppe. Dans une seconde Partie, il étudie les coniques, droites et points correspondants par rapport à un triangle. Comme corollaire, il obtient le théorème de Poncelet sur les coniques inscrites et circonscrites à un triangle. L'article se termine par l'examen de quelques cas particuliers, et par la transformation par polaires réciproques des principales propriétés précédemment établies. Amigues (E.). — Équation générale des surfaces réglées dont la ligne de striction satisfait à certaines conditions. (77-82). L'auteure examine successivement les cas suivants : la ligne de striction est donnée; la ligne de striction est plane. Il examine spécialement les propriétés paramétriques de distribution. Fouret (G.). — Sur deux déterminants numériques. (82-85). De ces deux déterminants, le premier est toujours égal à l'unité; l'autre est égal à 0 ou à 1, suivant que son ordre n'est impair ou pair. Voir aussi l'article de l'auteur (Bull. de la Soc. mathématique de France, t. XIV, p. 146). Joffroy (J.). — Nouveau théorème sur les progressions arithmétiques. (85-88). Propriété élémentaire très curieuse des progressions à termes entiers, dont le premier terme est l'unité, ou dont la raison égale le premier terme. Pomey (Et.). — Longueur des axes d'une section plane d'une quadrique en coordonnées obliques. (88-98). Au moyen de notations particulières, et par un emploi judicieux du calcul des déterminants, l'auteur, par plusieurs méthodes différentes, arrive à une solution, remarquablement simple quant à la forme, de cette question compliquée et assez difficile à première vue. Faure (H.). — Sur le lieu des foyers
propriétés paramétriques de distribution. Fouret (G.). — Sur deux déterminants numériques. (82-85). De ces deux déterminants, le premier est toujours égal à l'unité; l'autre est égal à 0 ou à 1, suivant que son ordre n'est impair ou pair. Voir aussi l'article de l'auteur (Bull. de la Soc. mathématique de France, t. XIV, p. 146). Joffroy (J.). — Nouveau théorème sur les progressions arithmétiques. (85-88). Propriété élémentaire très curieuse des progressions à termes entiers, dont le premier terme est l'unité, ou dont la raison égale le premier terme. Pomey (Et.). — Longueur des axes d'une section plane d'une quadrique en coordonnées obliques. (88-98). Au moyen de notations particulières, et par un emploi judicieux du calcul des déterminants, l'auteur, par plusieurs méthodes différentes, arrive à une solution, remarquablement simple quant à la forme, de cette question compliquée et assez difficile à première vue. Faure (H.). — Sur le lieu des foyers des coniques qui passent par quatre points d'un cercle. (98-100). Ce lieu se décompose en deux cubiques circulaires, étudiées par le Dr Hart, mais dont il ne semble pas qu'on eût remarqué cette propriété. Gutzmer (A.). — Sur certaines moyennes arithmétiques des fonctions d'une variable complexe. (101-111). Analogue d'un théorème de M. Rouché. Moyenne arithmétique des carrés des modules des valeurs de f(x) = ~-1: le long d'un cercle autour de v = 0 de l'origine. Cette moyenne est égale à la somme des carrés des modules des termes de la série. Nouvelle démonstration du théorème de M. Rouché auquel il est fait allusion plus haut. Lévy (L.). — Démonstration d'une formule relative à la capillarité. (111-115). Rectification d'une démonstration incorrecte de la formule de Laplace d'après une méthode dont le principe est dû à M. Lippmann. Cescido (E.). — Sur la transformation orthotangentielle. (119-121). Généralisation d'une transformation antérieurement étudiée par MM. d'Ocagne et de Longchamps. Application des méthodes intrinsèques de l'auteur. Gomes Teixeira (F.). — Sur l'intégrale J cot(#— α) dx. (122-124). Détermination de l'intégrale par un calcul qui la fait dépendre de Marchand (E.). — Étude du complexe proposé au Concours général de 1885. (124-137, 401-421). Application des
de M. Rouché. Moyenne arithmétique des carrés des modules des valeurs de f(x) = ~-1: le long d'un cercle autour de v = 0 de l'origine. Cette moyenne est égale à la somme des carrés des modules des termes de la série. Nouvelle démonstration du théorème de M. Rouché auquel il est fait allusion plus haut. Lévy (L.). — Démonstration d'une formule relative à la capillarité. (111-115). Rectification d'une démonstration incorrecte de la formule de Laplace d'après une méthode dont le principe est dû à M. Lippmann. Cescido (E.). — Sur la transformation orthotangentielle. (119-121). Généralisation d'une transformation antérieurement étudiée par MM. d'Ocagne et de Longchamps. Application des méthodes intrinsèques de l'auteur. Gomes Teixeira (F.). — Sur l'intégrale J cot(#— α) dx. (122-124). Détermination de l'intégrale par un calcul qui la fait dépendre de Marchand (E.). — Étude du complexe proposé au Concours général de 1885. (124-137, 401-421). Application des coordonnées homogènes de la ligne droite. Voici les principales divisions de l'étude de M. Marchand : Complexe spécial. Complexe tangent. Droites singulières. Congruence des droites singulières. Point et plan singuliers. Surface régulière. Conséquences géométriques. Rectifications. Propriétés des droites singulières. Forme canonique. Tangentes de la surface singulière. Surface singulière. Faisceau de complexes. Cas particulier. Théorème final. De Saint-Germain (A.). — Lieu des points d'un solide qui partagent avec le centre de gravité l'une de ses propriétés dynamiques. (138-140). Reprise d'une question traitée par l'auteur dans une Note publiée dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences (17 décembre 1888). La solution est obtenue ici par un calcul simple et direct. Worontzoff. — Sur le développement en séries des fonctions implicites. (140-143). En posant f(x) = m, f(xJ = ma, l'auteur développe / F(x) dx suivant les puissances croissantes de m — ma. Application à un exemple. Worontzoff. — Solution de la question 1570, proposée par Rouché. (143-149). On a sin (x —y) = m sin (x + y ), avec — i < m < + I. Développement de y suivant les puissances croissantes de m. L'article se termine par une Note de M. Rouché, donnant une solution simple
complexes. Cas particulier. Théorème final. De Saint-Germain (A.). — Lieu des points d'un solide qui partagent avec le centre de gravité l'une de ses propriétés dynamiques. (138-140). Reprise d'une question traitée par l'auteur dans une Note publiée dans les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences (17 décembre 1888). La solution est obtenue ici par un calcul simple et direct. Worontzoff. — Sur le développement en séries des fonctions implicites. (140-143). En posant f(x) = m, f(xJ = ma, l'auteur développe / F(x) dx suivant les puissances croissantes de m — ma. Application à un exemple. Worontzoff. — Solution de la question 1570, proposée par Rouché. (143-149). On a sin (x —y) = m sin (x + y ), avec — i < m < + I. Développement de y suivant les puissances croissantes de m. L'article se termine par une Note de M. Rouché, donnant une solution simple et directe. Andrade (J.). — Sur l'invariant différentiel des figures congruentes. (150-158). Origine géométrique de cet invariant, utilisé par M. Poincaré dans sa théorie des fonctions fuchsiennes. Orfèvre (L.). Problème donné au Concours général en 1874. (158-164) Forme la plus générale du polynôme entier F(x) tel que F(1— x) = F(x), et F(-x) = F(x). Guyon. — Sur les approximations numériques. (165-186). L'auteur croit, avec raison à notre avis, qu'il y aurait avantage à restituer à cette question sa véritable place, en Algèbre, pour les élèves ayant acquis les Premières notions sur les dérivées. Ce serait une sorte d'introduction à la théorie générale des erreurs. L'article se divise de la manière suivante : Classification des erreurs; objet et division du problème des approximations numériques; formule générale des erreurs. Première Partie du problème des approximations numériques. Deuxième Partie du problème des approximations. De nombreux exemples sont de nature à donner à cette étude un caractère absolument pratique. Farjon (F.). — Solution géométrique des questions données au Concours pour l'École Polytechnique en 1882. (187-197). Propriétés d'une conique variable tangente à deux cercles et passant par leurs points d'intersection. Servais (Cl.). — Sur les cubiques nodales circulaires. (197-203). L'auteur démontre plusieurs propriétés intéressantes
F(x), et F(-x) = F(x). Guyon. — Sur les approximations numériques. (165-186). L'auteur croit, avec raison à notre avis, qu'il y aurait avantage à restituer à cette question sa véritable place, en Algèbre, pour les élèves ayant acquis les Premières notions sur les dérivées. Ce serait une sorte d'introduction à la théorie générale des erreurs. L'article se divise de la manière suivante : Classification des erreurs; objet et division du problème des approximations numériques; formule générale des erreurs. Première Partie du problème des approximations numériques. Deuxième Partie du problème des approximations. De nombreux exemples sont de nature à donner à cette étude un caractère absolument pratique. Farjon (F.). — Solution géométrique des questions données au Concours pour l'École Polytechnique en 1882. (187-197). Propriétés d'une conique variable tangente à deux cercles et passant par leurs points d'intersection. Servais (Cl.). — Sur les cubiques nodales circulaires. (197-203). L'auteur démontre plusieurs propriétés intéressantes des cubiques nodales circulaires. Voir aussi une Note sur la courbure dans les coniques, à laquelle se réfère le présent article (Nouv. Ann., août 1888). Dolbnia. Sur l'addition des intégrales elliptiques de première, deuxième et troisième espèce. Application d'un célèbre théorème d'Abel, publié dans son Précis d'une théorie des fonctions elliptiques. Quoique la question soit à peu près épuisée, dit l'auteur, néanmoins, une façon nouvelle de la poser mérite peut-être quelque attention. Sa méthode semble en effet se recommander par une grande simplicité. Salvert (VIe de). — Sur les lignes de courbure de l'ellipsoïde et les systèmes orthogonaux du second ordre. L'auteur s'est proposé de diriger l'application de la méthode générale, c'est-à-dire l'intégration des équations classiques, en vue du double résultat que voici : 1° formation d'un système de coordonnées orthogonales sur la surface; 2° recherche d'un système triple orthogonal dont la surface donnée fasse partie. Il recommande la méthode employée aux géomètres qui voudraient l'appliquer à d'autres surfaces que celles du second ordre, et pourraient ainsi obtenir des résultats nouveaux. Jamet (V.). — Sur la décomposition des fractions rationnelles en fractions simples. Méthode nouvelle et rapide, reposant sur une proposition préliminaire donnant les conditions d'identité de deux polynômes. Astor