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entiers, en prenant le logarithme discontinu des deux produits, on obtient une nouvelle loi numérique avec une fonction arbitraire ϕ (n). En donnant à cette fonction différentes formes, on obtient des lois numériques particulières. e. Bougaief donne divers exemples de cette transformation. Loir. — Caractères de la divisibilité d’un nombre par un nombre Premier quelconque (7, 11, 13, 17, ...). (1070-1071). Tucas (F.). — Résolution des équations par l’électricité. (1072-1074) Pour résoudre électriquement une équation algébrique de degré p, F (z) = 0, à coefficients réels donnés numériquement, on prendra arbitrairement, sur l’axe des x, p 2 points L, dont les abscisses λ permettront de former le polynôme f (z) = (z-λ), ainsi que la fraction rationnelle En prenant pour plan de la figure une plaque conductrice et faisant arriver aux points L des extrémités d’électrodes déversant des quantités d’électricité (positives ou négatives) proportionnelles aux correspondants, on obtiendra un régime électrique dont les lignes équipotentielles auront pour points nodaux les points racines de l’équation proposée. Cette solution dispense de l’emploi d’une électrode supplémentaire à placer sur la périphérie de la plaque de rayon infini, qui s’introduisait dans la solution donnée par l’auteur dans une précédente Communication. Bertrand. — Sur la méthode des moindres carrés. (1115-1117) La démonstration proposée par Gauss en 1809 pour la méthode des moindres carrés supposait, pour la probabilité des erreurs, une loi très particulière, dans laquelle ne figure qu’une seule constante; celle qu’il donna en 1821 est affranchie de toute hypothèse. Comment se fait-il que l’on puisse, d’une loi qui reste inconnue, déduire une loi précise? L’explication est simple, répond M. Bertrand. Gauss a fait implicitement l’hypothèse qui précise la forme de la fonction; elle consiste à supposer les erreurs infiniment petites. L’identité de tous les problèmes n’est pas dès lors plus étrange que celle de la loi des courbures, la même sur toutes les surfaces pour toutes les courbes issues d’un même point. M. Bertrand montre, en effet, que cette hypothèse revient à attribuer à la probabilité d’une erreur r la forme 2. Boussinesq. — Equilibre d’élasticité d’un solide sans pesanteur, homogène et isotrope, dont
méthode des moindres carrés. (1115-1117) La démonstration proposée par Gauss en 1809 pour la méthode des moindres carrés supposait, pour la probabilité des erreurs, une loi très particulière, dans laquelle ne figure qu’une seule constante; celle qu’il donna en 1821 est affranchie de toute hypothèse. Comment se fait-il que l’on puisse, d’une loi qui reste inconnue, déduire une loi précise? L’explication est simple, répond M. Bertrand. Gauss a fait implicitement l’hypothèse qui précise la forme de la fonction; elle consiste à supposer les erreurs infiniment petites. L’identité de tous les problèmes n’est pas dès lors plus étrange que celle de la loi des courbures, la même sur toutes les surfaces pour toutes les courbes issues d’un même point. M. Bertrand montre, en effet, que cette hypothèse revient à attribuer à la probabilité d’une erreur r la forme 2. Boussinesq. — Equilibre d’élasticité d’un solide sans pesanteur, homogène et isotrope, dont les parties sont maintenues fixes pendant que sa surface éprouve des pressions ou des déplacements connus, s’annulant hors d’une région restreinte où ils sont arbitraires. Cas où les données sont mixtes, c’est-à-dire relatives en partie aux pressions et en partie aux déplacements. (i 119 1123). Après avoir traité (voir plus haut) les deux cas où l’on donne : 1° les déplacements u0, v0, w0 à la surface; 2° les pressions Px, Py, Pz à la surface, M. Boussinesq donne la solution des cas mixtes. 1° Les données sont u0, v0, w0. Si l’on pose 2° Les données sont px, py et w0. La solution est donnée par les formules Perrin. — Sur quelques familles d’opérateurs différentiels. ( 13 1 II 35) Parmi les opérateurs différentiels, en nombre indéfini, qu’on peut concevoir appliqués à des fonctions homogènes et isobariques de quelques séries de quantités formées, par exemple, de coefficients de μ formes binaires simultanées, quelques-uns peuvent être rattachés à un petit nombre de familles dont tous les membres jouissent de propriétés offrant quelque intérêt au point de vue de la théorie des formes. Soit d’abord la famille (Ç) définie par la formule L’alternant de deux opérateurs Ç quelconques est nul, c’est-à-dire
haut) les deux cas où l’on donne : 1° les déplacements u0, v0, w0 à la surface; 2° les pressions Px, Py, Pz à la surface, M. Boussinesq donne la solution des cas mixtes. 1° Les données sont u0, v0, w0. Si l’on pose 2° Les données sont px, py et w0. La solution est donnée par les formules Perrin. — Sur quelques familles d’opérateurs différentiels. ( 13 1 II 35) Parmi les opérateurs différentiels, en nombre indéfini, qu’on peut concevoir appliqués à des fonctions homogènes et isobariques de quelques séries de quantités formées, par exemple, de coefficients de μ formes binaires simultanées, quelques-uns peuvent être rattachés à un petit nombre de familles dont tous les membres jouissent de propriétés offrant quelque intérêt au point de vue de la théorie des formes. Soit d’abord la famille (Ç) définie par la formule L’alternant de deux opérateurs Ç quelconques est nul, c’est-à-dire que ξp Cette relation, pour q = 1, montre que tout opérateur ξ appliqué à un péninvariant fournit un autre péninvariant. Elle montre encore que l’opérateur appliqué à un covariant ou à un semi-covariant de la forme (a0 a1... an x, γ)", fournit un semi-covariant en général du même ordre. Une seconde famille (w) est définie par la formule L’alternant de deux opérateurs de la famille (w) appartient à la même famille d ou l’on conclut que les seuls opérateurs w réellement distincts sont les quatre Premiers. L'alternant d'un opérateur Ç et d'un opérateur w appartient à la famille (Ç) ; on conclut : 10 Que Ç et w, appliqués, une seule fois chacun, à un péninvariant, sont commutatifs ; 20 Que Ç peut s'exprimer ainsi en fonction de w, et de ç, Que, pour un péninvariant de degré 0, on a 31 0 o 7 4° Que, pour une fonction quelconque, on a xr − ωp, m % ξ~ Donc ωp, appliqué au coefficient du dernier terme d'un covariant ou semi-covariant d'ordre m − 1, fournit le coefficient du dernier terme d'un semi-covariant en général d'ordre m. M. Perrin montre enfin que l'opérateur appliqué à un péninvariant, donne un
Une seconde famille (w) est définie par la formule L’alternant de deux opérateurs de la famille (w) appartient à la même famille d ou l’on conclut que les seuls opérateurs w réellement distincts sont les quatre Premiers. L'alternant d'un opérateur Ç et d'un opérateur w appartient à la famille (Ç) ; on conclut : 10 Que Ç et w, appliqués, une seule fois chacun, à un péninvariant, sont commutatifs ; 20 Que Ç peut s'exprimer ainsi en fonction de w, et de ç, Que, pour un péninvariant de degré 0, on a 31 0 o 7 4° Que, pour une fonction quelconque, on a xr − ωp, m % ξ~ Donc ωp, appliqué au coefficient du dernier terme d'un covariant ou semi-covariant d'ordre m − 1, fournit le coefficient du dernier terme d'un semi-covariant en général d'ordre m. M. Perrin montre enfin que l'opérateur appliqué à un péninvariant, donne un péninvariant; par où l'on peut, si v est un péninvariant d'étendue n, de degré 0 et de poids π, former autant de relations entre les coefficients numériques de v qu'il existe de manières de former π − 1 avec 0 entiers au plus égaux à n. Four et. — Sur une source d'équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles, (i 13G-I 138). Si l'équation F(x) = a0 x^n + a1 x^(n-1) + ...+ a_n= 0 a toutes ses racines réelles, l'équation φ(x) = a0 F(x) + a1 F'(x) +...+ a_n F("(x) = 0, dans laquelle f(x) représente un polynôme d'un degré égal ou supérieur à a au moins autant de racines réelles que l'équation f(x) = 0, et, si elle en a davantage, l'excédent est un nombre pair. De là suit que, si les équations F(x) = 0 et f(x) = 0 ont toutes leurs racines réelles, il en est de même de l'équation φ(x) = 0. En particulisant soit F(x), soit f(x), M. Fouret obtient des types remarquables d'équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles. On peut citer celle qui correspond à F(x) = (x + 1)^2, savoir qui a fait l'objet d'importantes recherches de la part d'Abel, Tchebichev,
une source d'équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles, (i 13G-I 138). Si l'équation F(x) = a0 x^n + a1 x^(n-1) + ...+ a_n= 0 a toutes ses racines réelles, l'équation φ(x) = a0 F(x) + a1 F'(x) +...+ a_n F("(x) = 0, dans laquelle f(x) représente un polynôme d'un degré égal ou supérieur à a au moins autant de racines réelles que l'équation f(x) = 0, et, si elle en a davantage, l'excédent est un nombre pair. De là suit que, si les équations F(x) = 0 et f(x) = 0 ont toutes leurs racines réelles, il en est de même de l'équation φ(x) = 0. En particulisant soit F(x), soit f(x), M. Fouret obtient des types remarquables d'équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles. On peut citer celle qui correspond à F(x) = (x + 1)^2, savoir qui a fait l'objet d'importantes recherches de la part d'Abel, Tchebichev, Laguerre et Halphen. Pieraf. — Sur deux théorèmes de Jacobi relatifs aux lignes géodésiques. (i 139 114 I). La ligne géodésique qui joint deux points d'une surface n'est pas nécessairement la ligne la plus courte et n'est même pas toujours minima par rapport aux courbes infiniment voisines. Jacobi a énoncé à ce sujet (Journal de Crelle, t. 17) deux théorèmes qu'il ne démontre pas, mais dont M. Paraf donne actuellement la démonstration : 1° L'arc géodésique AB est véritablement un minimum si la géodésique voisine AM ne va pas couper AB entre A et B. 2° Sur toute surface à courbures opposées, les lignes géodésiques sont véritablement les plus courtes. A la suite de la Communication de M. Paraf, M. O. Bonnet fait observer qu'il a publié (Comptes rendus, t. XL et XLI) deux Notes renfermant les résultats précédents. On trouve même dans la première Note plusieurs propriétés que Jacobi n'avait pas signalées, entre autres celle-ci : si dans une surface convexe la courbure totale est toujours positive et supérieure à la constante a1 toute géodésique ne pourra être minima dans une étendue supérieure ou égale à ica. Césaro. — Sur deux récentes Communications de M. Jensen. (1142-1143). M. Césaro
à ce sujet (Journal de Crelle, t. 17) deux théorèmes qu'il ne démontre pas, mais dont M. Paraf donne actuellement la démonstration : 1° L'arc géodésique AB est véritablement un minimum si la géodésique voisine AM ne va pas couper AB entre A et B. 2° Sur toute surface à courbures opposées, les lignes géodésiques sont véritablement les plus courtes. A la suite de la Communication de M. Paraf, M. O. Bonnet fait observer qu'il a publié (Comptes rendus, t. XL et XLI) deux Notes renfermant les résultats précédents. On trouve même dans la première Note plusieurs propriétés que Jacobi n'avait pas signalées, entre autres celle-ci : si dans une surface convexe la courbure totale est toujours positive et supérieure à la constante a1 toute géodésique ne pourra être minima dans une étendue supérieure ou égale à ica. Césaro. — Sur deux récentes Communications de M. Jensen. (1142-1143). M. Césaro revendique pour M. Kummer la priorité de la règle de convergence des séries à termes positifs, à savoir que, si le produit an un du terme général un par une fonction positive a" supérieur toujours le produit suivant an+1 un+1 d'une quantité supérieure à kun+, k étant un nombre positif, la série est convergente. D'ailleurs, M. Dini a montré qu'il existe une infinité de séries pour lesquelles il est impossible de trouver une fonction an, telle que la règle de Kummer soit décisive à leur égard. Cuoyau. — Sur une solution élémentaire du problème du gyroscope de Foucault. (1143-1146). Bertrand. — Sur la précision d'un système de mesures. (1195-1208). Fouret. — Sur certains types d'équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles. (1220-1222). Après avoir reconnu que le théorème démontré dans sa dernière Communication avait déjà été indiqué par M. Hermite, M. Fouret fait connaître une nouvelle source d'équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles : Si ϕ(x) est un polynôme entier de degré n dont les facteurs linéaires sont tous réels, f(x) un polynôme entier d'un degré égal ou supérieur à n, et a un nombre quelconque, mais non compris entre −1 et − (2 n + 1), l'équation a
la série est convergente. D'ailleurs, M. Dini a montré qu'il existe une infinité de séries pour lesquelles il est impossible de trouver une fonction an, telle que la règle de Kummer soit décisive à leur égard. Cuoyau. — Sur une solution élémentaire du problème du gyroscope de Foucault. (1143-1146). Bertrand. — Sur la précision d'un système de mesures. (1195-1208). Fouret. — Sur certains types d'équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles. (1220-1222). Après avoir reconnu que le théorème démontré dans sa dernière Communication avait déjà été indiqué par M. Hermite, M. Fouret fait connaître une nouvelle source d'équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles : Si ϕ(x) est un polynôme entier de degré n dont les facteurs linéaires sont tous réels, f(x) un polynôme entier d'un degré égal ou supérieur à n, et a un nombre quelconque, mais non compris entre −1 et − (2 n + 1), l'équation a au moins autant de racines réelles que l'équation f(x) = 0, et, si elle en a davantage, l'excédent est un nombre pair. En particulier, l'équation F(x) = 0 a toutes ses racines réelles, si f(x) = 0 a elle-même toutes ses racines réelles. Bertrand. — Sur les conséquences de l'égalité acceptée entre la valeur vraie d'un polynôme et sa valeur moyenne. (1259-1263). M. Bertrand montre, par un exemple, que la règle de Gauss qui donne a posteriori la précision d'un système d'observations n'est pas justifiée. « Le théorème de Gauss sur la somme des carrés des erreurs indiquées par la méthode des moindres carrés, dit à la fin de sa Note M. Bertrand, n'en reste pas moins un admirable résultat algébrique, et c'est avec plaisir que je Présente à l'Académie, pour être insérée dans ce numéro de nos Comptes rendus, une élégante démonstration de M. Guyou. » Halphen. — Sur les intégrales pseudo-elliptiques. (1263-1270). Abel s'est posé le problème suivant : « Trouver toutes les différentielles de la forme = ? où L et X sont des fonctions, l'une rationnelle et l'autre entière de x, et dont les intégrales puissent s'exprimer par une fonction de la forme r étant rationnelle.
acceptée entre la valeur vraie d'un polynôme et sa valeur moyenne. (1259-1263). M. Bertrand montre, par un exemple, que la règle de Gauss qui donne a posteriori la précision d'un système d'observations n'est pas justifiée. « Le théorème de Gauss sur la somme des carrés des erreurs indiquées par la méthode des moindres carrés, dit à la fin de sa Note M. Bertrand, n'en reste pas moins un admirable résultat algébrique, et c'est avec plaisir que je Présente à l'Académie, pour être insérée dans ce numéro de nos Comptes rendus, une élégante démonstration de M. Guyou. » Halphen. — Sur les intégrales pseudo-elliptiques. (1263-1270). Abel s'est posé le problème suivant : « Trouver toutes les différentielles de la forme = ? où L et X sont des fonctions, l'une rationnelle et l'autre entière de x, et dont les intégrales puissent s'exprimer par une fonction de la forme r étant rationnelle. » Il l'a résolu comme il suit dans le cas où X est de degré pair. Pour l'existence de la différentielle cherchée, il faut et il suffit que soit développable en une fraction continue périodique; alors P est la dernière réduite de la première période. C'est en se laissant guider par les idées d'Abel que M. Halphen aborde le problème général des intégrales pseudo-elliptiques, c'est-à-dire des intégrales \( \int dx \) —— (X étant du troisième ou du quatrième degré) qui s'expriment par des fonctions algébriques et logarithmiques. (Les raisonnements de M. Halphen pourraient d'ailleurs s'étendre au cas où le degré de X est quelconque.) L'auteur commence par ramener le cas général au cas où la fraction rationnelle L n'a, en dénominateur, que des racines simples et différentes de celles de X et où le degré de son numérateur surpasse de deux unités au plus le degré de son dénominateur. \( \int L dx \) —— soit pseudo-elliptique, il faut que le degré du numérateur de L surpasse d'une unité au plus celui du dénominateur et que L, décomposée en fractions simples, soit une somme d'expressions telles que \( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \cdots + \frac{1}{n} \) où n₁, n₂,
par les idées d'Abel que M. Halphen aborde le problème général des intégrales pseudo-elliptiques, c'est-à-dire des intégrales \( \int dx \) —— (X étant du troisième ou du quatrième degré) qui s'expriment par des fonctions algébriques et logarithmiques. (Les raisonnements de M. Halphen pourraient d'ailleurs s'étendre au cas où le degré de X est quelconque.) L'auteur commence par ramener le cas général au cas où la fraction rationnelle L n'a, en dénominateur, que des racines simples et différentes de celles de X et où le degré de son numérateur surpasse de deux unités au plus le degré de son dénominateur. \( \int L dx \) —— soit pseudo-elliptique, il faut que le degré du numérateur de L surpasse d'une unité au plus celui du dénominateur et que L, décomposée en fractions simples, soit une somme d'expressions telles que \( \frac{1}{n_1} + \frac{1}{n_2} + \cdots + \frac{1}{n} \) où n₁, n₂, ... n sont des entiers, K une constante, a₀ le coefficient du premier terme de X (X = a₀x⁴ + 4a₁x³ + ...), enfin X₁, X₂, ... ce que devient X quand on y remplace x par x₁, x₂, .... Ces conditions ne suffisent pas. Il faut encore et il suffit que les quantités x₁, x₂, ... satisfassent à deux conditions que M. Halphen exprime de la manière suivante : Désignant par Y ce que devient X quand on y remplace x par une constante quelconque y, il développe en fraction continue, procédant suivant les puissances ascendantes de x - 1, la fonction Dans ce développement, % est une constante quelconque, les β sont des constantes, les a des fonctions linéaires de x. Si l'on s'arrête au mème quotient am le reste a la forme A étant un polynôme du deuxième degré qui devient égal à √x pour x = γm+1 ce qui permet de calculer ym+1° Enfin, appelant ~ la réduite de rang m, M. Halphen développe suivant les puissances décroissantes de x la quantité Cela fait, dans le développement (2), il remplace % successivement par x₁, x₂, ... et, enfin, par 0, et s'arrêtant respectivement aux réduites de
suffit que les quantités x₁, x₂, ... satisfassent à deux conditions que M. Halphen exprime de la manière suivante : Désignant par Y ce que devient X quand on y remplace x par une constante quelconque y, il développe en fraction continue, procédant suivant les puissances ascendantes de x - 1, la fonction Dans ce développement, % est une constante quelconque, les β sont des constantes, les a des fonctions linéaires de x. Si l'on s'arrête au mème quotient am le reste a la forme A étant un polynôme du deuxième degré qui devient égal à √x pour x = γm+1 ce qui permet de calculer ym+1° Enfin, appelant ~ la réduite de rang m, M. Halphen développe suivant les puissances décroissantes de x la quantité Cela fait, dans le développement (2), il remplace % successivement par x₁, x₂, ... et, enfin, par 0, et s'arrêtant respectivement aux réduites de rang n₁, n₂, ..., n, il calcule les constantes correspondantes Cn₁, Cn₂, Cn₃, et, dans le dernier cas = 0, la quantité yn+1, qu'il désigne par z. Les deux conditions cherchées s'expriment alors par z = y et Cn₁ + Cn₂ + ... + Cnₕ = 0. Lévy (M.). — Sur la théorie de la figure de la Terre. (1270-1276, 1314-1319, 1375-1381). En parlant de l'hypothèse de la fluidité de la Terre, Clairaut a montré que les surfaces d'égale densité sont sensiblement des ellipsoïdes de révolution et qu'en appelant a le rayon d'une de ces surfaces (celui de la Terre étant pris égal à 1), E son ellipticité, p sa densité, on a, en désignant par ε', E" les dérivées de E par rapport à a, l'équation différentielle cr étant le rapport de la force centrifuge à l'équateur à l'attraction correspondante de la Terre. Si l'on se donne arbitrairement la loi de la densité p, ces deux équations déterminent complètement s. Il faut donc que la loi admise, pour la densité, Reproduise : 1° l'ellipticité e, connue à la surface; 2° la densité moyenne de la terre, également connue; 3° la densité à la surface, supposée aussi connue, et enfin
Sur la théorie de la figure de la Terre. (1270-1276, 1314-1319, 1375-1381). En parlant de l'hypothèse de la fluidité de la Terre, Clairaut a montré que les surfaces d'égale densité sont sensiblement des ellipsoïdes de révolution et qu'en appelant a le rayon d'une de ces surfaces (celui de la Terre étant pris égal à 1), E son ellipticité, p sa densité, on a, en désignant par ε', E" les dérivées de E par rapport à a, l'équation différentielle cr étant le rapport de la force centrifuge à l'équateur à l'attraction correspondante de la Terre. Si l'on se donne arbitrairement la loi de la densité p, ces deux équations déterminent complètement s. Il faut donc que la loi admise, pour la densité, Reproduise : 1° l'ellipticité e, connue à la surface; 2° la densité moyenne de la terre, également connue; 3° la densité à la surface, supposée aussi connue, et enfin satisfasse à une quatrième condition fournie par la précession des équinoxes. Il faut, en conséquence, adopter une expression de la densité contenant quatre constantes arbitraires. Legendre a intégré l'équation de Clairaut, en termes finis, dans l'hypothèse Lipschitz est parti de l'expression à trois constantes arbitraires P = Po (1 - k0 aλ), et a obtenu s sous forme d'une série hypergéométrique. À propos du travail de Lipschitz, MM. Tisserand et Radau ont fait des remarques importantes sur la difficulté d'établir un accord satisfaisant entre la théorie de la fluidité et celle de la précession. M. Maurice Lévy revient sur cette question, en partant de la formule qui renferme quatre constantes arbitraires et se réduit à celle de Lipschitz pour μ = 1. Elle conduit, comme cette dernière, à une intégration par série hypergéométrique, et donne lieu à une discussion analogue. De cette discussion, il résulte qu'il est impossible de disposer de μ de façon à satisfaire à la condition de la précession, quoiqu'on soit parti d'une expression de la densité ayant le nombre de paramètres voulu pour y satisfaire a priori. Les formules antérieures n'y satisfaisaient pas; mais on pouvait attribuer le fait à ce qu'elles n'avaient pas le nombre