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cercle où la fonction peut avoir une infinité de points singuliers essentiels distribués d'une manière quelconque. Dautheville démontre très simplement la convergence du produit des facteurs primaires donnés par M. E. Picard. Brocard (H.). — Propriétés d'un groupe de trois paraboles. Ces paraboles sont tangentes aux deux bissectrices de chaque angle d'un triangle, et aux deux hauteurs correspondant aux côtés qui forment cet angle. Les trois paraboles admettent deux tangentes communes rectangulaires. Ce groupe de trois paraboles a des propriétés qu'on peut rapprocher de celles de deux groupes de trois paraboles liées au même triangle. Ces deux autres groupes sont formés : 1° par les paraboles tangentes à deux côtés du triangle, aux extrémités du troisième; 2° par les paraboles tangentes aux deux bissectrices de chaque angle, et aux perpendiculaires au milieu des côtés qui comprennent cet angle. Combescure (Ed.). — Sur quelques théories élémentaires de Calcul intégral. Il s'agit de l'intégration des différentielles totales lorsque les variables indépendantes sont réelles ou imaginaires. Ce Mémoire est très intéressant et montre jusqu'à quel point le regretté Combescure avait le sentiment de l'analyse. Brocard (H.). — Remarques sur l'analyse indéterminée du premier degré. Ces remarques, formant un véritable Mémoire de près de 100 pages, sont des exposés de méthodes particulières, destinées à remplacer avantageusement la méthode du plus grand commun diviseur. Le nombre des applications numériques est considérable. Le travail se termine par l'historique très complet de la question d'analyse indéterminée qui fait l'objet des Remarques de M. Brocard. Cet historique, qui fait remonter la question aux temps antiques des Chinois, des Hindous et des Grecs, s'arrête à l'année 1884. ANALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, PUBLIÉES SOUS LES AUSPICES DU MINISTRE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE, PAR UN COMITÉ DE RÉDACTION COMPOSÉ DE MM. LES MAÎTRES DE CONFÉRENCES DE L'ÉCOLE. Troisième série, t. V, 1888. Sauvage. — Sur les solutions régulières d'un système d'équations différentielles. (9-22). Dans un Mémoire précédent, M. Sauvage a montré que le système admet, dans le domaine du point xa, où les coefficients a sont supposés holomorphes, un système fondamental de solutions régulières, c'est-à-dire de la forme ∑(x —
100 pages, sont des exposés de méthodes particulières, destinées à remplacer avantageusement la méthode du plus grand commun diviseur. Le nombre des applications numériques est considérable. Le travail se termine par l'historique très complet de la question d'analyse indéterminée qui fait l'objet des Remarques de M. Brocard. Cet historique, qui fait remonter la question aux temps antiques des Chinois, des Hindous et des Grecs, s'arrête à l'année 1884. ANALES SCIENTIFIQUES DE L'ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE, PUBLIÉES SOUS LES AUSPICES DU MINISTRE DE L'INSTRUCTION PUBLIQUE, PAR UN COMITÉ DE RÉDACTION COMPOSÉ DE MM. LES MAÎTRES DE CONFÉRENCES DE L'ÉCOLE. Troisième série, t. V, 1888. Sauvage. — Sur les solutions régulières d'un système d'équations différentielles. (9-22). Dans un Mémoire précédent, M. Sauvage a montré que le système admet, dans le domaine du point xa, où les coefficients a sont supposés holomorphes, un système fondamental de solutions régulières, c'est-à-dire de la forme ∑(x — x0)r ϕ (x — xo), où r est un nombre quelconque et ϕ(x — xa) un polynôme entier en log (x — x0) dont les coefficients admettent le point x0 comme point ordinaire ou comme pôle. Il démontre actuellement la réciproque de cette proposition. L'ensemble des deux Mémoires de M. Sauvage concourt ainsi à l'établissement du théorème suivant : Étant donné un système d'équations différentielles linéaires, homogènes et à coefficients uniformes dans le domaine du point x0, pour que ce système ait dans ce domaine toutes ses solutions régulières, il faut et il suffit qu'on puisse le ramener à la forme par une substitution de la forme y, = ~ = i, 2, où les exposants Pi sont des entiers tels que les coefficients b soient holomorphes dans le domaine de x0. L'auteur termine par quelques considérations sur l'équation différentielle du nème ordre qu'on obtient en éliminant n — 1 inconnues v entre les n équations du système ci-dessus. Nazimov. Sur quelques applications de la théorie des fonctions elliptiques à la théorie des nombres. (23-48, 147-176). Ce Mémoire est une analyse du Traité Sur les applications de la théorie des fonctions elliptiques à la théorie des nombres, que M. Nazimov
Sauvage concourt ainsi à l'établissement du théorème suivant : Étant donné un système d'équations différentielles linéaires, homogènes et à coefficients uniformes dans le domaine du point x0, pour que ce système ait dans ce domaine toutes ses solutions régulières, il faut et il suffit qu'on puisse le ramener à la forme par une substitution de la forme y, = ~ = i, 2, où les exposants Pi sont des entiers tels que les coefficients b soient holomorphes dans le domaine de x0. L'auteur termine par quelques considérations sur l'équation différentielle du nème ordre qu'on obtient en éliminant n — 1 inconnues v entre les n équations du système ci-dessus. Nazimov. Sur quelques applications de la théorie des fonctions elliptiques à la théorie des nombres. (23-48, 147-176). Ce Mémoire est une analyse du Traité Sur les applications de la théorie des fonctions elliptiques à la théorie des nombres, que M. Nazimov a publié en langue russe au commencement de 1885. Laissant de côté les Chapitres de cet Ouvrage qui ont pour objet des théories suffisamment connues, l'auteur se borne à résumer les parties de son Livre qui se rapportent à des sujets moins généralement étudiés. L'auteur a divisé le travail qu'il publie dans les Annales de l'École Normale en quatre Chapitres, qui correspondent à quatre Chapitres de son Traité. Dans le premier Chapitre, il développe la première des méthodes par lesquelles Jacobi obtient des théorèmes arithmétiques. Pour obtenir des théorèmes de cette nature, on peut employer de deux manières différentes les séries trigonométriques qui se présentent dans la théorie des fonctions elliptiques. La première manière consiste à prendre ces séries sous leurs formes générales et à en déduire des théorèmes où figurent des fonctions arbitraires; en spécialisant ces fonctions, on obtient autant de théorèmes particuliers. La seconde manière, dont le principe a été indiqué aussi par Jacobi, consiste à déduire des théorèmes particuliers par cette méthode directe que M. Bougaïeff a nommée la méthode des constantes elliptiques. Dans ce premier Chapitre, M. Nazimov s'occupe uniquement d'une classe toute spéciale de théorèmes arithmétiques, ceux qui concernent le nombre des solutions de certaines
publie dans les Annales de l'École Normale en quatre Chapitres, qui correspondent à quatre Chapitres de son Traité. Dans le premier Chapitre, il développe la première des méthodes par lesquelles Jacobi obtient des théorèmes arithmétiques. Pour obtenir des théorèmes de cette nature, on peut employer de deux manières différentes les séries trigonométriques qui se présentent dans la théorie des fonctions elliptiques. La première manière consiste à prendre ces séries sous leurs formes générales et à en déduire des théorèmes où figurent des fonctions arbitraires; en spécialisant ces fonctions, on obtient autant de théorèmes particuliers. La seconde manière, dont le principe a été indiqué aussi par Jacobi, consiste à déduire des théorèmes particuliers par cette méthode directe que M. Bougaïeff a nommée la méthode des constantes elliptiques. Dans ce premier Chapitre, M. Nazimov s'occupe uniquement d'une classe toute spéciale de théorèmes arithmétiques, ceux qui concernent le nombre des solutions de certaines équations indéterminées du second degré, théorèmes identiques ou analogues à ceux dont Liouville a fait connaître un si grand nombre dans les premiers volumes de la seconde série de son journal. Le deuxième Chapitre est consacré à l'exposition de la méthode que M. Hermite a fait usage pour démontrer les huit formules fondamentales, publiées par M. Kronecker dans le t. LVII du Journal de Crelle. C'est encore la méthode de M. Hermite que M. Nazimov applique à la démonstration des formules nouvelles de M. Gierster (Mathematische Annalen). Le troisième Chapitre se rapporte aux théorèmes arithmétiques généraux concernant les fonctions arbitraires. Il s'agit de ces identités qui ont eu lieu entre des sommes contenant des fonctions arbitraires à arguments variables; ces arguments dépendent linéairement des solutions entières de certaines équations indéterminées du second degré. Liouville a publié un grand nombre de ces théorèmes dans les premiers Volumes de la 2e série de son Journal. M. Hermite a indiqué une méthode pour obtenir des théorèmes de cette nature où intervient des fonctions à un seul argument (Journal de Liouville, 2e série, t. VII). Enfin, dans le quatrième Chapitre, M. Nazimov démontre une formule due à Dirichlet (Journal de Crelle, t. 24) et
huit formules fondamentales, publiées par M. Kronecker dans le t. LVII du Journal de Crelle. C'est encore la méthode de M. Hermite que M. Nazimov applique à la démonstration des formules nouvelles de M. Gierster (Mathematische Annalen). Le troisième Chapitre se rapporte aux théorèmes arithmétiques généraux concernant les fonctions arbitraires. Il s'agit de ces identités qui ont eu lieu entre des sommes contenant des fonctions arbitraires à arguments variables; ces arguments dépendent linéairement des solutions entières de certaines équations indéterminées du second degré. Liouville a publié un grand nombre de ces théorèmes dans les premiers Volumes de la 2e série de son Journal. M. Hermite a indiqué une méthode pour obtenir des théorèmes de cette nature où intervient des fonctions à un seul argument (Journal de Liouville, 2e série, t. VII). Enfin, dans le quatrième Chapitre, M. Nazimov démontre une formule due à Dirichlet (Journal de Crelle, t. 24) et qui donne le nombre des classes des formes quadratiques binaires proprement primitives qui ont un déterminant donné. Combescure. — Sur le déplacement tangentiel de deux surfaces rigides. (49-78). Les coordonnées rectangulaires X, Y, Z d'une surface rigide S, rapportée à trois axes fixes OXYZ, sont supposées des fonctions de deux paramètres indépendants α, p. Les coordonnées rectangulaires x, y, z d'une autre surface rigide S, liée à des axes mobiles O, xyz, sont supposées aussi fonctions de α, p. Même supposition pour les neuf cosinus directeurs a, a', c" du système d'axes fixes par rapport au système d'axes mobiles. La courbe cα (où a varie seul) de la surface mobile doit être constamment tangente à la courbe cα de la surface fixe. Même condition pour les courbes Cp, cβ. Enfin, les éléments correspondants des deux courbes Cα, ca doivent être dans le rapport donné G (α, p), et les éléments correspondants de C3, dans le rapport donné G1 (α, p). Si G et G1 sont tous deux égaux à l'unité, les deux surfaces ne font que rouler sans glisser l'une sur l'autre. C'est ce dernier cas, le plus simple et le plus important, qui occupe surtout M. Combescure. Deux problèmes
paramètres indépendants α, p. Les coordonnées rectangulaires x, y, z d'une autre surface rigide S, liée à des axes mobiles O, xyz, sont supposées aussi fonctions de α, p. Même supposition pour les neuf cosinus directeurs a, a', c" du système d'axes fixes par rapport au système d'axes mobiles. La courbe cα (où a varie seul) de la surface mobile doit être constamment tangente à la courbe cα de la surface fixe. Même condition pour les courbes Cp, cβ. Enfin, les éléments correspondants des deux courbes Cα, ca doivent être dans le rapport donné G (α, p), et les éléments correspondants de C3, dans le rapport donné G1 (α, p). Si G et G1 sont tous deux égaux à l'unité, les deux surfaces ne font que rouler sans glisser l'une sur l'autre. C'est ce dernier cas, le plus simple et le plus important, qui occupe surtout M. Combescure. Deux problèmes principaux se posent alors : 1° On regarde x, y, z comme des fonctions données de α, p et il s'agit d'en déduire toutes les autres quantités, les six composantes de rotation, les neuf cosinus directeurs, les coordonnées X, Y, Z; 2° On se donne le déplacement angulaire, c'est-à-dire les rotations ou bien les cosinus, et l'on cherche à en déduire x, y, z et par suite X, Y, Z. Premier problème. — M. Combescure ramène ce problème à l'intégration du système avec les deux autres équations analogues, système où les seules inconnues sont les trois indéterminées A, ja, p., de M. Darboux (voir Théorie des surfaces). Ces trois quantités une fois connues, on en déduit les six composantes de rotation par les formules (Darboux) Des rotations on conclut les cosinus directeurs par intégration d'un système bien connu aux différences totales, puis X, Y, Z par des quadratures. L'auteur montre que l'intégration du système (i) peut être ramenée à celle d'une équation unique du second ordre où les dérivées partielles du second ordre ne figurent que sous forme linéaire. Deuxième problème. — M. Combescure le résout par l'introduction de trois nouvelles indéterminées p, ϕ, ϕ1 définies par les formules et
rotations ou bien les cosinus, et l'on cherche à en déduire x, y, z et par suite X, Y, Z. Premier problème. — M. Combescure ramène ce problème à l'intégration du système avec les deux autres équations analogues, système où les seules inconnues sont les trois indéterminées A, ja, p., de M. Darboux (voir Théorie des surfaces). Ces trois quantités une fois connues, on en déduit les six composantes de rotation par les formules (Darboux) Des rotations on conclut les cosinus directeurs par intégration d'un système bien connu aux différences totales, puis X, Y, Z par des quadratures. L'auteur montre que l'intégration du système (i) peut être ramenée à celle d'une équation unique du second ordre où les dérivées partielles du second ordre ne figurent que sous forme linéaire. Deuxième problème. — M. Combescure le résout par l'introduction de trois nouvelles indéterminées p, ϕ, ϕ1 définies par les formules et qui, en conséquence, sont liées à celles de M. Darboux par les relations Actuellement, les six composantes de rotation étant données, on en déduira les trois inconnues p, ϕ, a, par l'intégration du système linéaire avec les deux autres équations analogues. Cette intégration se ramène à celle d'une seule équation linéaire du second ordre. Ayant obtenu p, a, ϕ1, on aura x, y, z par des quadratures et X, Y, Z par d'autres quadratures. À chaque solution particulière de l'équation du deuxième ordre dont il a été question correspond un couple de surfaces bien déterminées susceptibles de roulement réciproque l'une sur l'autre. Si l'on connaît deux surfaces particulières (x, y, z), (X, Y, Z) applicables l'une sur l'autre, on pourra en déduire les cosinus directeurs a, b, ... et par suite les rotations (p, q, r) (p0 q1, r1). On sera donc en mesure de construire le système (2). L'intégration fournira les quantités p, a, a, qui conduiront à la série complète des couples de surfaces à roulement réciproque répondant au mouvement angulaire donné. L'auteur fait connaître les formules qui doivent être substituées aux relations (22) quand on introduit des rotations imaginaires. Il revient, en terminant, sur le cas général
linéaire du second ordre. Ayant obtenu p, a, ϕ1, on aura x, y, z par des quadratures et X, Y, Z par d'autres quadratures. À chaque solution particulière de l'équation du deuxième ordre dont il a été question correspond un couple de surfaces bien déterminées susceptibles de roulement réciproque l'une sur l'autre. Si l'on connaît deux surfaces particulières (x, y, z), (X, Y, Z) applicables l'une sur l'autre, on pourra en déduire les cosinus directeurs a, b, ... et par suite les rotations (p, q, r) (p0 q1, r1). On sera donc en mesure de construire le système (2). L'intégration fournira les quantités p, a, a, qui conduiront à la série complète des couples de surfaces à roulement réciproque répondant au mouvement angulaire donné. L'auteur fait connaître les formules qui doivent être substituées aux relations (22) quand on introduit des rotations imaginaires. Il revient, en terminant, sur le cas général du roulement accompagné de glissement. Il étudie le roulement et le glissement d'un plan. Il montre qu'une surface quelconque (x, y, z) étant donnée, la détermination de la surface (X, Y, Z) revient à chercher, par la théorie de l'application, toutes les surfaces dont les trois paramètres différentiels Σ Σ ont des valeurs données. Darboux. — Sur la représentation sphérique des surfaces. (79-96). M. Darboux démontre un théorème qui permet de déterminer, dans un nombre illimité de cas nouveaux, toutes les surfaces ayant une représentation sphérique donnée. Si l'on connaît quatre solutions particulières de l'équation aux dérivées partielles où A, B, C sont des fonctions quelconques de p, p,, ces solutions étant liées par une relation homogène du second degré, on pourra toujours, en combinant linéairement ces solutions, ramener cette relation à la forme (2) u2 + V2 + w2 = Ps. Cela posé, les équations définissent toujours un système orthogonal (A) formé des lignes p = C, p,= C,. En outre, si O désigne une solution nouvelle quelconque de l'équation (i), le plan u X + v Y + w Z = O enveloppera, quand p et p, prendront toutes les valeurs possibles, une surface dont les lignes de
ont des valeurs données. Darboux. — Sur la représentation sphérique des surfaces. (79-96). M. Darboux démontre un théorème qui permet de déterminer, dans un nombre illimité de cas nouveaux, toutes les surfaces ayant une représentation sphérique donnée. Si l'on connaît quatre solutions particulières de l'équation aux dérivées partielles où A, B, C sont des fonctions quelconques de p, p,, ces solutions étant liées par une relation homogène du second degré, on pourra toujours, en combinant linéairement ces solutions, ramener cette relation à la forme (2) u2 + V2 + w2 = Ps. Cela posé, les équations définissent toujours un système orthogonal (A) formé des lignes p = C, p,= C,. En outre, si O désigne une solution nouvelle quelconque de l'équation (i), le plan u X + v Y + w Z = O enveloppera, quand p et p, prendront toutes les valeurs possibles, une surface dont les lignes de courbure auront pour image sphérique les courbes du système (A). Si, en particulier, on considère l'équation, elle admet les quatre solutions u = P1 Q2 + PaQ, w = P1Q1 P2Q2, v = i (P2Q1 − P,Q.) P = P,Q,+ P2Q2, qui satisfont à la relation (2), P1, P2 et Qn, Q1, étant respectivement les intégrales des équations P"= P[f(α + iβ) + m], Q"= Q [ϕ (α — iβ) + m], Où m désigne une constante. Si / et cD sont imaginaires conjugués et si Qn, Q1 sont respectivement conjugués de P1, P2, ce système qui, comme dit M. Darboux, correspond à l'équation linéaire y" = y[J(x) + m], sera réel et isotherme. L'application de cette théorie à l'équation d'Euler qui se ramène à la forme (3), conduit à la conclusion suivante : On saura trouver toutes les surfaces ayant pour représentation sphérique les systèmes isothermes correspondant aux trois équations y" = y [ m ( m + I) k2 sn2x + h ], dont la dernière est l'équation de Lamé. Les formules d'intégration définissant la surface ne contiendront les fonctions arbitraires sous aucun signe d'intégration définie, tant que m sera entier. Cette proposition comprend tout ce que l'on
Qn, Q1, étant respectivement les intégrales des équations P"= P[f(α + iβ) + m], Q"= Q [ϕ (α — iβ) + m], Où m désigne une constante. Si / et cD sont imaginaires conjugués et si Qn, Q1 sont respectivement conjugués de P1, P2, ce système qui, comme dit M. Darboux, correspond à l'équation linéaire y" = y[J(x) + m], sera réel et isotherme. L'application de cette théorie à l'équation d'Euler qui se ramène à la forme (3), conduit à la conclusion suivante : On saura trouver toutes les surfaces ayant pour représentation sphérique les systèmes isothermes correspondant aux trois équations y" = y [ m ( m + I) k2 sn2x + h ], dont la dernière est l'équation de Lamé. Les formules d'intégration définissant la surface ne contiendront les fonctions arbitraires sous aucun signe d'intégration définie, tant que m sera entier. Cette proposition comprend tout ce que l'on sait relativement aux surfaces à lignes de courbures planes, aux surfaces à représentation sphérique elliptique, etc. Elle fournit une infinité de surfaces algébriques à lignes de courbure algébriques. Voici maintenant comment on peut étendre les résultats précédents à des systèmes isothermes contenant des constantes dont le nombre croîtra indéfiniment : Toutes les fois qu'on saura résoudre le problème de la représentation sphérique pour les systèmes orthogonaux correspondant à l'équation y" = yf(x), on saura le résoudre pour les systèmes correspondant à l'équation où O désigne une solution de l'équation précédente. D'ailleurs, la dernière équation s'intègre immédiatement par la formule dès que l'on connaît l'intégrale générale u de l'équation y" = y[f(x) + m]. La méthode suivie par M. Darboux, dans le cas des systèmes orthogonaux et isothermes, s'applique aux systèmes orthogonaux les plus généraux. Toute surface, en effet, peut être considérée comme l'enveloppe du plan (x + y) X + (1 — xy) Y + i(1 + xy) Z = P, où x, y sont les variables de M. Bonnet. La représentation sphérique de la surface étant donnée, x, y doivent être considérés comme des fonctions données des paramètres α, β. Alors les dérivées partielles ∂P, ∂y de P, par
Toutes les fois qu'on saura résoudre le problème de la représentation sphérique pour les systèmes orthogonaux correspondant à l'équation y" = yf(x), on saura le résoudre pour les systèmes correspondant à l'équation où O désigne une solution de l'équation précédente. D'ailleurs, la dernière équation s'intègre immédiatement par la formule dès que l'on connaît l'intégrale générale u de l'équation y" = y[f(x) + m]. La méthode suivie par M. Darboux, dans le cas des systèmes orthogonaux et isothermes, s'applique aux systèmes orthogonaux les plus généraux. Toute surface, en effet, peut être considérée comme l'enveloppe du plan (x + y) X + (1 — xy) Y + i(1 + xy) Z = P, où x, y sont les variables de M. Bonnet. La représentation sphérique de la surface étant donnée, x, y doivent être considérés comme des fonctions données des paramètres α, β. Alors les dérivées partielles ∂P, ∂y de P, par rapport à x, y, s'obtiendront par l'intégration du système X étant fourni par les équations concordantes. L'intégration du système précédent se ramène immédiatement à celle de l'équation aux dérivées partielles et l'étude que M. Moutard a faite des équations de cette forme conduit à la conclusion suivante : On peut obtenir tous les cas dans lesquels le problème de la représentation sphérique est susceptible d'une solution en termes finis; Toutes les fois que le problème de la représentation sphérique aura été résolu d'une manière quelconque pour un système de courbes orthogonales, on pourra déduire de la solution obtenue celle qui se rapporte à toute une suite illimitée de systèmes sphériques orthogonaux. M. Darboux montre, en terminant, le parti que l'on peut tirer pour le problème de la représentation sphérique, et aussi pour la recherche des surfaces applicables sur une surface donnée, de la considération de l'équation auxiliaire d'une équation aux dérivées partielles définissant une fonction ζ de plusieurs variables indépendantes : cette équation auxiliaire est l'équation linéaire obtenue en remplaçant dans la proposée z par z + εz', développant suivant les puissances de z et égalant à zéro le coefficient de ε. Kœnigs. — Détermination de toutes les surfaces plusieurs