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par les astronomes de toutes les nations, et il les remplace par des courbes elliptiques; comme résumé de ses immenses travaux, ce législateur de l'astronomie établit les trois lois qui règlent les mouvements des planètes, des satellites et des comètes. Newton, le plus grand de ses successeurs, découvre la loi de l'attraction des corps, en appliquant au cours de la lune les principes de Galilée sur la chute des graves. Partant de cette propriété de la matière, inconnue jusqu'à lui, il démontre dans l'immortel livre des Principes, avec une puissance synthétique qui n'a jamais été égalée, que les lois de Képler sont une conséquence immédiate de l'attraction à distance, ou, en d'autres termes, que toutes les lois qui régissent les mouvements des corps célestes ne sont que des rapports nécessaires qui dérivent de la nature des choses, en empruntant le langage du grand et spirituel Montesquieu. Les découvertes de Galilée, de Képler, d’Huygens, de Newton, qui constituent les principes de la philosophie naturelle, n'auraient pu être développées et appliquées aux innombrables problèmes de la mécanique, sans le secours d'une méthode d'investigation, supérieure à celle qu'ont employée les anciens géomètres, et notamment Archimède dans quelques-uns de ses admirables ouvrages. Le génie n'a pas manqué aux savants du XVIIe siècle, pour accomplir cet indispensable progrès. Viète, surnommé Apollonius Gallus, a étendu le domaine de l'arithmétique; il l'a rendue universelle et par conséquent plus abstraite, en représentant les nombres et toutes les quantités mesurables par les lettres de l'alphabet; le premier, il a indiqué les applications de la nouvelle science de l'algèbre aux spéculations géométriques, et il a ainsi préparé la voie que Descartes a parcourue avec tant de gloire; ce grand homme comprit toute la fécondité de l'idée de Viète, et les vices de ses notations trop compliquées; il débuta par la formation complète de la langue algébrique, dans laquelle il introduisit le signe exponentiel qui a donné une immense extension aux mathématiques pures. Ne considérant dans les figures géométriques que MÉMOIRES les dimensions qui servent à les mesurer, ou à fixer leur position dans l'espace, il a fait rentrer dans le
n'a pas manqué aux savants du XVIIe siècle, pour accomplir cet indispensable progrès. Viète, surnommé Apollonius Gallus, a étendu le domaine de l'arithmétique; il l'a rendue universelle et par conséquent plus abstraite, en représentant les nombres et toutes les quantités mesurables par les lettres de l'alphabet; le premier, il a indiqué les applications de la nouvelle science de l'algèbre aux spéculations géométriques, et il a ainsi préparé la voie que Descartes a parcourue avec tant de gloire; ce grand homme comprit toute la fécondité de l'idée de Viète, et les vices de ses notations trop compliquées; il débuta par la formation complète de la langue algébrique, dans laquelle il introduisit le signe exponentiel qui a donné une immense extension aux mathématiques pures. Ne considérant dans les figures géométriques que MÉMOIRES les dimensions qui servent à les mesurer, ou à fixer leur position dans l'espace, il a fait rentrer dans le calcul algébrique toute la géométrie ancienne et moderne, et il a constitué la géométrie analytique, science féconde et lumineuse, qui est aujourd'hui enseignée dans toutes les parties du monde. Presque à la même époque, Newton organisait la mécanique rationnelle qu'il appliquait à la solution des plus importants problèmes du système du monde. Pour l'accomplissement de son œuvre, l'analyse de Descartes lui était indispensable, mais il était nécessaire de lui donner une plus grande extension, en introduisant, à côté des lettres qui désignent des quantités finies, des symboles nouveaux représentant les rapports des quantités infinitésimales. Sa méthode des Fluxions avec sa notation originale a rempli cet objet. Leibnitz, qui avait aussi compris la nécessité du calcul infinitésimal, pour couronner l'œuvre de Descartes, a inventé la langue du calcul différentiel et intégral, et il a ouvert une voie féconde à ses successeurs. À ce sujet, nous ferons observer que, si Galilée, Képler, Newton, nous ont révélé les lois des grands phénomènes qui s'accomplissent sous nos yeux, dans le monde matériel, les deux plus illustres philosophes des temps modernes, Descartes et Leibnitz ont créé les méthodes analytiques, sans lesquelles il aurait été impossible de développer et de suivre dans toutes leurs conséquences les
du monde. Pour l'accomplissement de son œuvre, l'analyse de Descartes lui était indispensable, mais il était nécessaire de lui donner une plus grande extension, en introduisant, à côté des lettres qui désignent des quantités finies, des symboles nouveaux représentant les rapports des quantités infinitésimales. Sa méthode des Fluxions avec sa notation originale a rempli cet objet. Leibnitz, qui avait aussi compris la nécessité du calcul infinitésimal, pour couronner l'œuvre de Descartes, a inventé la langue du calcul différentiel et intégral, et il a ouvert une voie féconde à ses successeurs. À ce sujet, nous ferons observer que, si Galilée, Képler, Newton, nous ont révélé les lois des grands phénomènes qui s'accomplissent sous nos yeux, dans le monde matériel, les deux plus illustres philosophes des temps modernes, Descartes et Leibnitz ont créé les méthodes analytiques, sans lesquelles il aurait été impossible de développer et de suivre dans toutes leurs conséquences les principes de la philosophie naturelle. Il nous reste à examiner la part que Fermat a prise à ce mouvement de rénovation de toutes les branches de la science. Il était en relation avec les plus illustres savants de l'Europe, tels que Descartes, Pascal, Roberval, Mersenne, etc., et en parcourant ses Opera varia, édités par son fils qui malheureusement n'était pas géomètre, on voit qu'il s'occupait avec une grande supériorité des questions mathématiques qui avaient cours à son époque; il nous suffit de mentionner la restitution de deux livres d'Apollonius, l'Ingénieux essai sur les porismes, le beau Mémoire sur les contacts sphériques, reproduit de nos jours dans le Journal de l'École polytechnique; l'introduction aux lieux plans, dans laquelle Fermat fait usage des principes employés par Descartes, pour organiser la géométrie analytique; mais notre grand géomètre ne paraît pas avoir arrêté ses pensées sur la nécessité d'une langue algébrique, sans laquelle la science nouvelle ne pouvait être constituée. Nous citerons encore quelques fragments d'algèbre relatifs à l'élimination des expressions irrationnelles qui sont restés à l'enseignement. Enfin, dans une lettre adressée à Fermat, en 1654, Pascal le félicite de sa solution du problème des partis, problème dans lequel on se propose de partager
Opera varia, édités par son fils qui malheureusement n'était pas géomètre, on voit qu'il s'occupait avec une grande supériorité des questions mathématiques qui avaient cours à son époque; il nous suffit de mentionner la restitution de deux livres d'Apollonius, l'Ingénieux essai sur les porismes, le beau Mémoire sur les contacts sphériques, reproduit de nos jours dans le Journal de l'École polytechnique; l'introduction aux lieux plans, dans laquelle Fermat fait usage des principes employés par Descartes, pour organiser la géométrie analytique; mais notre grand géomètre ne paraît pas avoir arrêté ses pensées sur la nécessité d'une langue algébrique, sans laquelle la science nouvelle ne pouvait être constituée. Nous citerons encore quelques fragments d'algèbre relatifs à l'élimination des expressions irrationnelles qui sont restés à l'enseignement. Enfin, dans une lettre adressée à Fermat, en 1654, Pascal le félicite de sa solution du problème des partis, problème dans lequel on se propose de partager les enjeux entre deux joueurs qui n'ont pas fait le même nombre de points, lorsque la partie est interrompue. Cette question difficile, qui a mis en défaut la sagacité de d'Alembert, a donné naissance au calcul des probabilités. « Votre dernière lettre, écrit Pascal, m'a parfaitement satisfait; j'admire votre méthode d'autant mieux que je l'entends très-bien; elle est entièrement vôtre, et n'a rien de commun avec la mienne. Mais, Monsieur, si j'ai concouru avec vous en cela, cherchez ailleurs qui vous suive dans vos inventions numériques, cela me passe de bien loin, et je ne suis capable que de les admirer. » Fermat, comme on le voit par ce rapide exposé, tenait un rang éminent parmi les plus illustres savants de son époque; mais les travaux que nous avons énumérés ne sont que la plus faible partie de sa gloire, et il nous reste à vous faire connaître les découvertes originales qui le mettent au nombre des initiateurs de la nouvelle science, et qui le placent dans la postérité au rang même de Descartes. Nous avons dit que l'organisation de l'analyse infinitésimale était due à Newton et à Leibnitz; mais il fallait des principes nouveaux pour édifier cette algèbre transcendante,
d'autant mieux que je l'entends très-bien; elle est entièrement vôtre, et n'a rien de commun avec la mienne. Mais, Monsieur, si j'ai concouru avec vous en cela, cherchez ailleurs qui vous suive dans vos inventions numériques, cela me passe de bien loin, et je ne suis capable que de les admirer. » Fermat, comme on le voit par ce rapide exposé, tenait un rang éminent parmi les plus illustres savants de son époque; mais les travaux que nous avons énumérés ne sont que la plus faible partie de sa gloire, et il nous reste à vous faire connaître les découvertes originales qui le mettent au nombre des initiateurs de la nouvelle science, et qui le placent dans la postérité au rang même de Descartes. Nous avons dit que l'organisation de l'analyse infinitésimale était due à Newton et à Leibnitz; mais il fallait des principes nouveaux pour édifier cette algèbre transcendante, et ces principes sont dus au génie original de Fermat. Si quelques savants contemporains n'ont pas reconnu sur cette importante question tous les titres de notre compatriote, nous pouvons leur opposer l'autorité des deux plus grands géomètres de ce siècle: « On peut, dit Lagrange, regarder Fermat comme le premier inventeur des nouveaux calculs; il est facile de voir, au premier coup d'œil, que la règle déduite du calcul différentiel est au fond la même que celle de Fermat. Sa méthode des tangentes dépend du même principe. Il a ouvert la carrière par une idée très-originale, dont ses contemporains ne saisirent pas l'esprit. Il est à remarquer que l'écrit de Leibnitz qui contient la découverte du calcul différentiel (imprimé dans les actes de Leipzig, 1864), sous le titre de: Nova methodus pro maximis et minimis (titre adopté par Fermat, dix ans auparavant), a une forme analytique qui se rapproche de celle de Fermat. Descartes lui-même, qui n'avait pas d'abord admis la rigueur de la méthode des tangentes, convenait, après une longue discussion, que cette méthode était exacte, mais peu ingénieuse; il mêlait d'ailleurs l'aigreur à sa polémique; dans une lettre, il appelle Fermat le conseiller de minimis, et il ajoute:
inventeur des nouveaux calculs; il est facile de voir, au premier coup d'œil, que la règle déduite du calcul différentiel est au fond la même que celle de Fermat. Sa méthode des tangentes dépend du même principe. Il a ouvert la carrière par une idée très-originale, dont ses contemporains ne saisirent pas l'esprit. Il est à remarquer que l'écrit de Leibnitz qui contient la découverte du calcul différentiel (imprimé dans les actes de Leipzig, 1864), sous le titre de: Nova methodus pro maximis et minimis (titre adopté par Fermat, dix ans auparavant), a une forme analytique qui se rapproche de celle de Fermat. Descartes lui-même, qui n'avait pas d'abord admis la rigueur de la méthode des tangentes, convenait, après une longue discussion, que cette méthode était exacte, mais peu ingénieuse; il mêlait d'ailleurs l'aigreur à sa polémique; dans une lettre, il appelle Fermat le conseiller de minimis, et il ajoute: Son maximis m'est venu en forme de cartel... L'illustre Laplace s'exprime ainsi dans le calcul des probabilités: Fermat est le véritable inventeur du calcul différentiel, Leibnitz a enrichi ce calcul d'une notation très-heureuse qui s'est adaptée d'elle-même à l'extension qu'il a reçue. Après vous avoir fait connaître les titres de notre grand géomètre à l'invention de l'analyse de l'infini, nous avons à vous entretenir de sa création, aussi profonde qu'originale, de la science des nombres qui est aujourd'hui cultivée dans toutes les écoles. L'arithmétique de Diophante, un des plus beaux monuments du génie des Grecs, n'a été connue en Europe que dans le commencement du XVe siècle. Fermat avait porté son attention sur ce grand ouvrage, et il écrivait sur l'exemplaire qui était entre ses mains, exemplaire malheureusement égaré, des notes marginales, que son fils a recueillies et publiées. Ces notes examinées avec soin forment deux classes distinctes. Nous comprendrons dans la première celles dans lesquelles les solutions de Diophante sont étendues et généralisées par la méthode des doubles et des triples égalités; elles ont été réunies et commentées par le Père Billy, de la Société de Jésus, dans un traité publié sous le nom d'Inventum novum. Les notes de
notre grand géomètre à l'invention de l'analyse de l'infini, nous avons à vous entretenir de sa création, aussi profonde qu'originale, de la science des nombres qui est aujourd'hui cultivée dans toutes les écoles. L'arithmétique de Diophante, un des plus beaux monuments du génie des Grecs, n'a été connue en Europe que dans le commencement du XVe siècle. Fermat avait porté son attention sur ce grand ouvrage, et il écrivait sur l'exemplaire qui était entre ses mains, exemplaire malheureusement égaré, des notes marginales, que son fils a recueillies et publiées. Ces notes examinées avec soin forment deux classes distinctes. Nous comprendrons dans la première celles dans lesquelles les solutions de Diophante sont étendues et généralisées par la méthode des doubles et des triples égalités; elles ont été réunies et commentées par le Père Billy, de la Société de Jésus, dans un traité publié sous le nom d'Inventum novum. Les notes de la deuxième classe répondent à un ordre de questions que le géomètre grec n'a pas considérées, et qui constituent les principes fondamentaux de la nouvelle science des nombres. Essayons de donner une idée de cette création originale. On distingue dans la suite des nombres ceux qui peuvent se décomposer en facteurs et ceux qui ne peuvent être subdivisés, et qu'on appelle nombres premiers. Le crible d'Eratosthène donne un moyen facile de choisir tous les nombres premiers, qui par leur multiplication produisent les nombres composés, et qui sont en quelque sorte comme les atomes des corps simples, dont les groupements constituent les molécules des corps matériels. Fermat porte d'abord ses investigations sur les nombres premiers, et il découvre une loi à laquelle ils sont tous assujettis, et qui tient à leur essence. Cette loi ou ce théorème universel, qui a conservé le nom de son inventeur, est le principe nécessaire de la théorie des nombres, et il a, dans cette nouvelle branche des mathématiques, l'importance du carré de l'hypothénuse en géométrie. Entré dans cette voie, Fermat découvre une loi originale qui convient à tous les nombres premiers qui sont égaux à un multiple de 4, augmenté de l'unité. Ces nombres, tels
facteurs et ceux qui ne peuvent être subdivisés, et qu'on appelle nombres premiers. Le crible d'Eratosthène donne un moyen facile de choisir tous les nombres premiers, qui par leur multiplication produisent les nombres composés, et qui sont en quelque sorte comme les atomes des corps simples, dont les groupements constituent les molécules des corps matériels. Fermat porte d'abord ses investigations sur les nombres premiers, et il découvre une loi à laquelle ils sont tous assujettis, et qui tient à leur essence. Cette loi ou ce théorème universel, qui a conservé le nom de son inventeur, est le principe nécessaire de la théorie des nombres, et il a, dans cette nouvelle branche des mathématiques, l'importance du carré de l'hypothénuse en géométrie. Entré dans cette voie, Fermat découvre une loi originale qui convient à tous les nombres premiers qui sont égaux à un multiple de 4, augmenté de l'unité. Ces nombres, tels que 43, 29, 61, etc., peuvent être formés d'une seule manière par l'addition de deux nombres carrés. Il existe enfin un théorème universel pour tous les nombres simples ou composés, savoir: qu'un nombre quelconque peut être formé par l'addition de quatre carrés au plus. Si on réfléchit un instant aux énoncés qui précèdent, on se demandera comment il est possible de prouver qu'un nombre immense écrit avec un million de chiffres peut être formé, s'il n'est pas carré, par l'addition de deux, de trois ou au plus de quatre carrés. Le calcul est impossible, et d'ailleurs il ne vérifie qu'un cas particulier; le géomètre est en regard de la série numérique infinie, et les vérités qu'il découvre doivent avoir une démonstration indépendante du calcul et qui s'applique à toutes les grandeurs possibles. Ainsi, le fondateur de l'analyse infinitésimale, entrant dans la voie des recherches numériques, trouve encore l'infini dans les propositions qu'il découvre; mais ce profond investigateur ne s'arrête pas là. Il généralise sa méthode, et il ramène ce beau théorème à n'être qu'un cas particulier de la plus admirable des harmonies numériques. Pour en faire comprendre le sens, nous remarquerons qu'on peut varier à l'infini les groupements d'unités. Dans
énoncés qui précèdent, on se demandera comment il est possible de prouver qu'un nombre immense écrit avec un million de chiffres peut être formé, s'il n'est pas carré, par l'addition de deux, de trois ou au plus de quatre carrés. Le calcul est impossible, et d'ailleurs il ne vérifie qu'un cas particulier; le géomètre est en regard de la série numérique infinie, et les vérités qu'il découvre doivent avoir une démonstration indépendante du calcul et qui s'applique à toutes les grandeurs possibles. Ainsi, le fondateur de l'analyse infinitésimale, entrant dans la voie des recherches numériques, trouve encore l'infini dans les propositions qu'il découvre; mais ce profond investigateur ne s'arrête pas là. Il généralise sa méthode, et il ramène ce beau théorème à n'être qu'un cas particulier de la plus admirable des harmonies numériques. Pour en faire comprendre le sens, nous remarquerons qu'on peut varier à l'infini les groupements d'unités. Dans la chimie, par exemple, les atomes, par leurs agrégations diverses, produisent les formes variées qu'affectent les corps matériels et qui modifient leurs propriétés physiques; mais, pour ne pas sortir du domaine de la géométrie, supposons qu'avec des petites boules ou sphères égales juxtaposées, on s'applique à former sur un plan des triangles équilatéraux, on verra que, pour ces figures de grandeurs croissantes, il faudra employer, 3, 6, 10, 13... boules; ces nombres sont pour cette raison appelés triangulaires. Avec 4, 9, 16... sphères, on formera des carrés, et avec d'autres modes de groupement on fera des pentagones, des hexagones, etc. Ces nombres sont appelés par Fermat polygonaux, et, en étudiant leur composition, il parvient à cette admirable proposition qu'il énonce avec l'enthousiasme de Képler: "J'ai découvert le premier une proposition très-belle et très générale, savoir: Qu'un nombre quelconque est triangulaire, ou composé par l'addition de deux ou de trois triangulaires, qu'il est carré ou composé de deux, de trois ou de quatre carrés, pentagone ou composé de deux, trois, quatre ou cinq pentagones, et ainsi de suite, on peut appliquer cette merveilleuse proposition aux hexagones, aux heptagones et généralement aux polygones quelconques." Nous ne multiplierons pas les citations des nombreux
des triangles équilatéraux, on verra que, pour ces figures de grandeurs croissantes, il faudra employer, 3, 6, 10, 13... boules; ces nombres sont pour cette raison appelés triangulaires. Avec 4, 9, 16... sphères, on formera des carrés, et avec d'autres modes de groupement on fera des pentagones, des hexagones, etc. Ces nombres sont appelés par Fermat polygonaux, et, en étudiant leur composition, il parvient à cette admirable proposition qu'il énonce avec l'enthousiasme de Képler: "J'ai découvert le premier une proposition très-belle et très générale, savoir: Qu'un nombre quelconque est triangulaire, ou composé par l'addition de deux ou de trois triangulaires, qu'il est carré ou composé de deux, de trois ou de quatre carrés, pentagone ou composé de deux, trois, quatre ou cinq pentagones, et ainsi de suite, on peut appliquer cette merveilleuse proposition aux hexagones, aux heptagones et généralement aux polygones quelconques." Nous ne multiplierons pas les citations des nombreux théorèmes que Fermat énonce et qu'il propose souvent, comme défi aux savants étrangers. "J'attends, dit-il, leurs solutions; si l'Angleterre et la Gaule belge ou celtique ne les donnent pas, la Gaule narbonaise les donnera." Terminons en mentionnant les célèbres propositions négatives de notre grand géomètre, qui sont encore un sujet de recherche pour les savants. Il est aisé de trouver dans la série numérique deux nombres carrés, tels que 9 et 16, qui par leur addition donnent un carré 25. La chose est impossible pour les puissances supérieures à la seconde. Empruntons les expressions de l'inventeur : « Décomposer un cube en deux autres cubes, » une quatrième puissance, et généralement une puissance « quelconque en deux de même nom, est une chose impossible, » et j'en ai certainement trouvé l'admirable démonstration, et « certe miram inveni demonstrationem. » Cette merveilleuse démonstration est restée dans l'écrin de son génie, et elle est encore l'objet des recherches des géomètres. DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. Mais, dira-t-on, quel est le but utile de ces conceptions abstraites, dont la difficulté a fatigué les puissantes intelligences des géomètres tels que Euler, Lagrange, Gauss, Cauchy... À cela nous répondrons qu'une science est un ensemble de vérités
de recherche pour les savants. Il est aisé de trouver dans la série numérique deux nombres carrés, tels que 9 et 16, qui par leur addition donnent un carré 25. La chose est impossible pour les puissances supérieures à la seconde. Empruntons les expressions de l'inventeur : « Décomposer un cube en deux autres cubes, » une quatrième puissance, et généralement une puissance « quelconque en deux de même nom, est une chose impossible, » et j'en ai certainement trouvé l'admirable démonstration, et « certe miram inveni demonstrationem. » Cette merveilleuse démonstration est restée dans l'écrin de son génie, et elle est encore l'objet des recherches des géomètres. DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. Mais, dira-t-on, quel est le but utile de ces conceptions abstraites, dont la difficulté a fatigué les puissantes intelligences des géomètres tels que Euler, Lagrange, Gauss, Cauchy... À cela nous répondrons qu'une science est un ensemble de vérités abstraites, alors même qu'elle a en vue l'étude des phénomènes naturels. Nous concevons, dans l'espace, des prismes, des pyramides, des sphères rigoureusement définies, et la géométrie étudie dans ses recherches ces types idéaux qui n'existent pas dans la nature. La mécanique ne considère pas les corps matériels tels qu'ils sont en réalité; elle les suppose par abstraction absolument rigides ou élastiques, sans tenir compte des actions et réactions moléculaires qui échappent au calcul. Descartes supprime les figures, et il réduit toute la géométrie à une suite de transformations algébriques. L'illustre Lagrange, en suivant la même voie, organise la mécanique analytique, et on pourrait étudier la suite des calculs de son admirable ouvrage, sans parler de la vitesse, du temps, de la masse, bien que ces combinaisons des concepts de la raison pure donnent l'explication des mouvements qui s'opèrent sur la terre ou dans les cieux. Bien plus, ces calculs s'appliquent à des forces et des actions qui n'existent pas dans la nature, ou, comme dit Leibnitz, à tous les mondes possibles; de telle sorte que notre monde réel et inerte n'est qu'une des formes infiniment variées des conceptions de notre intelligence, et on est involontairement ramené à cette pensée évangélique