jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
plaque que l'on attaque et suivant aussi l'énergie du coup d'archet. J'ai obtenu de bons résultats de plaques dont les dimensions étaient de 50 centimètres pour le grand diamètre, sur 15 pour le petit. J'avais toujours soin de relever la corde des arcs d'hyperbole, pour pouvoir mesurer l'angle des asymptotes et procéder aux comparaisons avec l'expérience. J'ajoute que quelques systèmes difficiles à obtenir avec les plaques se produisent bien avec les membranes qui nous permettront ainsi de compléter l'étude expérimentale et géométrique des lignes nodales hyperboliques. Je n'ai point pu obtenir avec les plaques, soit le grand, soit le petit axe seul, c'est-à-dire: P, ou Ps et g=1. En attaquant au milieu du quadrant elliptique, on obtient un son pur et les deux axes comme lignes nodales (P, et g(=2) (Planche 1 fig. 8). On remarque de petits tas de sable près des foyers et une surface nodale au centre qui prouve que ce point est le siège de mouvements analogues à ceux que nous avons décrits dans les liquides. L'attaque de la plaque sur les axes, qui se présente naturellement à l'esprit, donne d'abord, mais assez difficilement, une hyperbole avec un tas de sable au centre qui s'élargit en forme de surface elliptique prouvant ainsi que le mouvement se réfléchit au centre. Nous n'avons pu obtenir celle-ci seulement avec une plaque 30 sur 15. Les deux angles asymptotiques mesurés sont: 54° et 51°. On produit au contraire très facilement deux hyperboles dont la seconde se modifie beaucoup près du centre en une surface nodale. Les extrémités des deux axes présentent la même aptitude à produire ce système et le son qui y correspond est pur (Pl. 1 fig. 6). Lorsque l'excentricité augmente, cette figure peut se modifier beaucoup (Pl. 2 fig. 4). Une attaque plus énergique à l'extrémité du grand axe nous donne trois hyperboles (Pl. 1 fig. 3) que l'on peut obtenir, mais plus difficilement sur le petit axe, à moins qu'on n'ait préalablement amorqué la plaque en faisant vibrer sur le grand axe. Le petit axe fortement attaqué donne un son plus aigu et une figure plus
forme de surface elliptique prouvant ainsi que le mouvement se réfléchit au centre. Nous n'avons pu obtenir celle-ci seulement avec une plaque 30 sur 15. Les deux angles asymptotiques mesurés sont: 54° et 51°. On produit au contraire très facilement deux hyperboles dont la seconde se modifie beaucoup près du centre en une surface nodale. Les extrémités des deux axes présentent la même aptitude à produire ce système et le son qui y correspond est pur (Pl. 1 fig. 6). Lorsque l'excentricité augmente, cette figure peut se modifier beaucoup (Pl. 2 fig. 4). Une attaque plus énergique à l'extrémité du grand axe nous donne trois hyperboles (Pl. 1 fig. 3) que l'on peut obtenir, mais plus difficilement sur le petit axe, à moins qu'on n'ait préalablement amorqué la plaque en faisant vibrer sur le grand axe. Le petit axe fortement attaqué donne un son plus aigu et une figure plus complexe (Pl. 1 fig. 4) où l'on peut reconnaître 4 hyperboles se modifiant de plus en plus vers le centre, en sorte que les deux arcs de la quatrième se raccordent en une espèce de parabole. Il est à remarquer, lorsque les hyperboles se modifient ainsi, que leurs cordes conservent leur valeur théorique et que la valeur de l'angle asymptotique mesurée concorde avec la valeur théorique. Nous pouvons conclure que l'attaque sur les axes donne des hyperboles sans les axes, c'est-à-dire les lignes nodales de Ps pour les valeurs paires de g. En attaquant près du grand axe on obtient très facilement les deux axes et une hyperbole. P, et g=1 (Pl. 1 fig. 5 et 2 fig. 9) cette figure est une de celles que l'on peut le mieux observer quelles que soient les axes et l'on remarquera aussi que c'est celle pour laquelle le calcul est le plus simple, puisque l'angle a de l'asymptote est: -|-ÔÂ le terme en h4 étant nul. On obtient ensuite en faisant varier le point d'attaque le grand axe et une hyperbole que je n'ai pu observer qu'avec une plaque 20 sur 15 (a=|66) et avec une autre 24 sur 15 (a=76 ?)
leur valeur théorique et que la valeur de l'angle asymptotique mesurée concorde avec la valeur théorique. Nous pouvons conclure que l'attaque sur les axes donne des hyperboles sans les axes, c'est-à-dire les lignes nodales de Ps pour les valeurs paires de g. En attaquant près du grand axe on obtient très facilement les deux axes et une hyperbole. P, et g=1 (Pl. 1 fig. 5 et 2 fig. 9) cette figure est une de celles que l'on peut le mieux observer quelles que soient les axes et l'on remarquera aussi que c'est celle pour laquelle le calcul est le plus simple, puisque l'angle a de l'asymptote est: -|-ÔÂ le terme en h4 étant nul. On obtient ensuite en faisant varier le point d'attaque le grand axe et une hyperbole que je n'ai pu observer qu'avec une plaque 20 sur 15 (a=|66) et avec une autre 24 sur 15 (a=76 ?) Le grand axe ne se produit bien que dans la partie externe; la région comprise entre les deux arcs de l'hyperbole présentant une surface nodale considérable. Nous produisons ensuite le grand axe et 2 hyperboles (Pl. 2 fig. 2) Px et g=5. Le grand axe et 8 hyperboles (Pl. 1 fig. 9 et 2 fig. 7). Puis les deux axes et 2 hyperboles (Pl. 1 fig. 6 et 2 fig. 6) Px et g=6. Les axes et 3 hyperboles (Pl. 2 fig. 3)Px et g=8. Nous avons ainsi réalisé la plupart des systèmes hyperboliques nodaux. Les membranes nous permettront d'en observer quelques-uns de ceux qui nous ont échappé, principalement ceux qui sont formés par les systèmes impairs de Ps dans lesquels entre le petit axe. On trouvera, de plus, dans le tableau des valeurs de l'angle asymptotique et dans l'explication des figures, les mesures que nous n'avons pas pu donner ici. Je dois attirer l'attention sur certains faits qui se sont présentés dans cette étude; c'est ainsi que nous avons obtenu (Pl. 1 fig. 9) une figure complexe en apparence et insymétrique au grand axe. Néanmoins les cordes sont les mêmes de chaque côté du petit axe et la vérification
fig. 9 et 2 fig. 7). Puis les deux axes et 2 hyperboles (Pl. 1 fig. 6 et 2 fig. 6) Px et g=6. Les axes et 3 hyperboles (Pl. 2 fig. 3)Px et g=8. Nous avons ainsi réalisé la plupart des systèmes hyperboliques nodaux. Les membranes nous permettront d'en observer quelques-uns de ceux qui nous ont échappé, principalement ceux qui sont formés par les systèmes impairs de Ps dans lesquels entre le petit axe. On trouvera, de plus, dans le tableau des valeurs de l'angle asymptotique et dans l'explication des figures, les mesures que nous n'avons pas pu donner ici. Je dois attirer l'attention sur certains faits qui se sont présentés dans cette étude; c'est ainsi que nous avons obtenu (Pl. 1 fig. 9) une figure complexe en apparence et insymétrique au grand axe. Néanmoins les cordes sont les mêmes de chaque côté du petit axe et la vérification théorique faite sur ces cordes a été aussi satisfaisante que possible. Nous avons voulu aussi connaître l'effet d'un point fixe sur les courbes obtenues. On trouvera (Pl. 2 fig. 1) le résultat que nous avons obtenu sans chercher à l'analyser. Enfin en expérimentant sur des plaques 2a=30, 2b=15 et 2a=20, 2b=10 ou BT =2 nous avons obtenu en attaquant près du petit axe une figure remarquable. C'est une courbe fermée qui figure la projection d'un secteur hélicoïdal; ou encore un noeud de cravate (Pl. 1 fig. 1). Cette courbe se soude en son milieu aux deux parties extrêmes du petit axe et présente au centre une figure nodale très-nette. Les parties latérales sont des arcs de cercle concentriques à la plaque et dont le rayon est de 141 m.m. pour la plaque 30 sur 15. Cette courbe n'est pas un accident et nous la retrouverons maintes fois dans la suite. J'ai été amené à la considérer comme une combinaison d'une ellipse nodale et du petit axe. Nous verrons en effet, plus tard, en étudiant les cadres elliptiques, des ellipses simples se transformer en courbes déprimées aux environs du petit axe, lorsque celui-ci fait partie du mode de division et donner
2b=10 ou BT =2 nous avons obtenu en attaquant près du petit axe une figure remarquable. C'est une courbe fermée qui figure la projection d'un secteur hélicoïdal; ou encore un noeud de cravate (Pl. 1 fig. 1). Cette courbe se soude en son milieu aux deux parties extrêmes du petit axe et présente au centre une figure nodale très-nette. Les parties latérales sont des arcs de cercle concentriques à la plaque et dont le rayon est de 141 m.m. pour la plaque 30 sur 15. Cette courbe n'est pas un accident et nous la retrouverons maintes fois dans la suite. J'ai été amené à la considérer comme une combinaison d'une ellipse nodale et du petit axe. Nous verrons en effet, plus tard, en étudiant les cadres elliptiques, des ellipses simples se transformer en courbes déprimées aux environs du petit axe, lorsque celui-ci fait partie du mode de division et donner une figure plus déformée encore lorsqu'elle s'associe avec les 2 axes. On peut voir aussi avec une plaque 50 sur 10 (Pl. 1 fig. 8) une combinaison probable d'une ellipse nodale et d'une hyperbole, et (Pl. 1 fig. 5) une figure plus complexe encore. Les figures hyperboliques et les axes s'influencent d'ordinaire de telle sorte que chaque moitié d'arc hyperbolique se raccorde à une partie de l'axe et produit des surfaces nodales que j'ai cherché à reproduire par le dessin. En produisant des figures similaires sur plusieurs plaques, nous avons pu mesurer directement les angles et les diamètres des hyperboles et établir ainsi les éléments d'une vérification entre la théorie et l'expérience. Nous avons aussi établi le passage avec les plaques circulaires où ces lignes nodales deviennent des rayons. Avec une plaque circulaire de 20 centimètres de diamètre et de deux millimètres d'épaisseur on obtient, en attaquant librement à l'archet, l'hexagone et l'octogone; la surface nodale du centre est très-grande et les rayons nodaux ne peuvent être suivis jusqu'au centre. On sait que Savart avait reconnu le déplacement facile des lignes nodales dans les plaques circulaires. Dans les plaques elliptiques à grande excentricité les hyperboles se forment, au contraire, très-nettement,
s'influencent d'ordinaire de telle sorte que chaque moitié d'arc hyperbolique se raccorde à une partie de l'axe et produit des surfaces nodales que j'ai cherché à reproduire par le dessin. En produisant des figures similaires sur plusieurs plaques, nous avons pu mesurer directement les angles et les diamètres des hyperboles et établir ainsi les éléments d'une vérification entre la théorie et l'expérience. Nous avons aussi établi le passage avec les plaques circulaires où ces lignes nodales deviennent des rayons. Avec une plaque circulaire de 20 centimètres de diamètre et de deux millimètres d'épaisseur on obtient, en attaquant librement à l'archet, l'hexagone et l'octogone; la surface nodale du centre est très-grande et les rayons nodaux ne peuvent être suivis jusqu'au centre. On sait que Savart avait reconnu le déplacement facile des lignes nodales dans les plaques circulaires. Dans les plaques elliptiques à grande excentricité les hyperboles se forment, au contraire, très-nettement, fixes et sans oscillations, elles peuvent donner lieu à des mesures aussi exactes que possible; à mesure que l'excentricité diminue, les lignes nodales oscillent de plus en plus, malgré la netteté du coup d'archet. 3° Lignes nodales dans les plaques de même épaisseur et dont les surfaces sont des ellipses similaires. Avec une plaque de dix sur vingt formant par conséquent une ellipse semblable mais de même épaisseur, j'ai obtenu des divisions analogues en attaquant à des points correspondants; j'ai constaté de plus que les nouvelles figures étaient semblables aux premières. Ainsi le noeud de cravate a pour rayon latéral 81 millimètres, ce qui est sensiblement les ⅔ de 121. Quant aux hyperboles correspondant à une même division, ce sont des hyperboles semblables; on peut vérifier, en effet, que les cordes sous-tendues par les arcs d'hyperboles sont entre elles comme 2:5 ou que les diamètres qui joignent le centre aux extrémités d'une même hyperbole sont égaux. Ces vérifications peuvent se faire directement sur la plaque même, si l'on construit, par le procédé que nous avons indiqué, l'angle des asymptotes, on les trouve identiques à ceux de la plaque 15 sur 50. Cette identité des angles nous amènera à des conséquences
similaires. Avec une plaque de dix sur vingt formant par conséquent une ellipse semblable mais de même épaisseur, j'ai obtenu des divisions analogues en attaquant à des points correspondants; j'ai constaté de plus que les nouvelles figures étaient semblables aux premières. Ainsi le noeud de cravate a pour rayon latéral 81 millimètres, ce qui est sensiblement les ⅔ de 121. Quant aux hyperboles correspondant à une même division, ce sont des hyperboles semblables; on peut vérifier, en effet, que les cordes sous-tendues par les arcs d'hyperboles sont entre elles comme 2:5 ou que les diamètres qui joignent le centre aux extrémités d'une même hyperbole sont égaux. Ces vérifications peuvent se faire directement sur la plaque même, si l'on construit, par le procédé que nous avons indiqué, l'angle des asymptotes, on les trouve identiques à ceux de la plaque 15 sur 50. Cette identité des angles nous amènera à des conséquences importantes quant aux sons rendus. Il faut remarquer que certaines figures sont des plus difficiles à obtenir quand les axes sont plus petits; ainsi avec la petite plaque je n'ai pu toutefois obtenir qu'une seule fois le mode de division qu'on obtient facilement sur le grand axe de la première. Je l'ai, d'ailleurs, trouvé absolument semblable, de sorte qu'il n'y a là qu'une difficulté physique. 4° Influence de la densité, de la nature et de l'épaisseur des plaques sur les lignes nodales. En faisant varier l'épaisseur de la plaque, le son se modifie pour un même mode de division, suivant la loi connue, mais les lignes nodales restent les mêmes et les figures obtenues en attaquant les mêmes points ont les mêmes dimensions. Je me suis convaincu de ce résultat avec des plaques du même cuivre de 2a=15, 2b=50 mais dont l'épaisseur était de 2 millimètres et demi, 1 millimètre et un demi-millimètre; les figures nodales données par ces plaques ont toutes sous-tendu les mêmes cordes et correspondent aux mêmes angles. La vérification peut d'ailleurs être obtenue sur la plaque même: il suffit de tracer à l'avance 2 diamètres symétriques par rapport au grand axe et formant entre eux un
Je l'ai, d'ailleurs, trouvé absolument semblable, de sorte qu'il n'y a là qu'une difficulté physique. 4° Influence de la densité, de la nature et de l'épaisseur des plaques sur les lignes nodales. En faisant varier l'épaisseur de la plaque, le son se modifie pour un même mode de division, suivant la loi connue, mais les lignes nodales restent les mêmes et les figures obtenues en attaquant les mêmes points ont les mêmes dimensions. Je me suis convaincu de ce résultat avec des plaques du même cuivre de 2a=15, 2b=50 mais dont l'épaisseur était de 2 millimètres et demi, 1 millimètre et un demi-millimètre; les figures nodales données par ces plaques ont toutes sous-tendu les mêmes cordes et correspondent aux mêmes angles. La vérification peut d'ailleurs être obtenue sur la plaque même: il suffit de tracer à l'avance 2 diamètres symétriques par rapport au grand axe et formant entre eux un angle de 45° qui est celui qui sous-tend la corde de l'hyperbole extrême dans la plaque 15 sur 50 attaquée sur l'axe; en attaquant la plaque mince à l'archet sur l'axe on voit le sable s'inscrire de lui-même dans cet angle; le noeud de cravate m'a offert aussi le même rayon. Il est évident que les plaques minces sont plus sensibles et obéissent mieux à l'archet que les plaques épaisses, aussi peut-on obtenir des divisions supérieures à celles qui leur sont communes avec les plaques épaisses, mais ces lignes se modifiant les unes les autres, n'offrent plus que des arabesques sans intérêt. L'indépendance entre les dimensions des lignes nodales et l'épaisseur se conçoit facilement, puisque ces lignes correspondent aux points où W est nul dans la théorie, c'est-à-dire où le déplacement perpendiculaire à la surface n'existe pas et où le sable est en équilibre sous l'influence des forces dirigées suivant la surface. Quant à la densité et à la nature de la plaque, j'ai commencé par constater que la plaque, chauffée et attaquée avec un archet métallique donne un son plus élevé mais les mêmes lignes nodales. J'ai expérimenté ensuite avec des plaques de verre variant d'épaisseur depuis deux millimètres
rayon. Il est évident que les plaques minces sont plus sensibles et obéissent mieux à l'archet que les plaques épaisses, aussi peut-on obtenir des divisions supérieures à celles qui leur sont communes avec les plaques épaisses, mais ces lignes se modifiant les unes les autres, n'offrent plus que des arabesques sans intérêt. L'indépendance entre les dimensions des lignes nodales et l'épaisseur se conçoit facilement, puisque ces lignes correspondent aux points où W est nul dans la théorie, c'est-à-dire où le déplacement perpendiculaire à la surface n'existe pas et où le sable est en équilibre sous l'influence des forces dirigées suivant la surface. Quant à la densité et à la nature de la plaque, j'ai commencé par constater que la plaque, chauffée et attaquée avec un archet métallique donne un son plus élevé mais les mêmes lignes nodales. J'ai expérimenté ensuite avec des plaques de verre variant d'épaisseur depuis deux millimètres jusqu'à un demi-millimètre et j'ai pu constater l'invariabilité des lignes nodales, sauf des variations peu importantes dues au défaut d'homogénéité. Ce résultat pouvait encore se prévoir puisque des divisions analogues doivent correspondre à des mouvements semblables suivant la surface et que la vitesse de ces mouvements peut varier dans un rapport déterminé sans que l'équilibre des lignes nodales soit changé ; nous essayerons plus loin de tirer de cette loi des conséquences importantes sur la vitesse du son dans les solides. Il est à remarquer que le sable saute vers le milieu de l'espace qui sépare deux lignes nodales, mais qu'à une petite distance des noeuds il ne fait più que glisser le long de la surface son poids détruisant probablement la composante verticale devenue très faible près des noeuds. J'ai voulu essayer des plaques en bois, mais je n'ai obtenu que des résultats peu précis, soit à cause du défaut d'homogénéité de la plaque, quelque soin que l'on mette à sa construction, soit à cause de la résistance qu'oppose la surface au glissement du sable. § 5. — Accord entre la théorie et l'expérience. Nous avons déjà vérifié par l'expérience que les lignes nodales hyperboliques d'un même système appartenant
rapport déterminé sans que l'équilibre des lignes nodales soit changé ; nous essayerons plus loin de tirer de cette loi des conséquences importantes sur la vitesse du son dans les solides. Il est à remarquer que le sable saute vers le milieu de l'espace qui sépare deux lignes nodales, mais qu'à une petite distance des noeuds il ne fait più que glisser le long de la surface son poids détruisant probablement la composante verticale devenue très faible près des noeuds. J'ai voulu essayer des plaques en bois, mais je n'ai obtenu que des résultats peu précis, soit à cause du défaut d'homogénéité de la plaque, quelque soin que l'on mette à sa construction, soit à cause de la résistance qu'oppose la surface au glissement du sable. § 5. — Accord entre la théorie et l'expérience. Nous avons déjà vérifié par l'expérience que les lignes nodales hyperboliques d'un même système appartenant à deux plaques semblables, sont des hyperboles similaires c'est-à-dire qui ont la même asymptote et qui ont des axes proportionnels à ceux des plaques. Nous pouvons encore de la mesure de l'angle α chercher à déduire l'axe et comparer avec l'expérience, c'est-à-dire la mesure directe, ou bien ces deux mesures étant prises à déduire les valeurs de h* des deux formules qui donnent a et b pour ce système et voir si ces valeurs sont identiques ou de combien elles se rapprochent. 1° Le système P1 et g = 4 formé des deux axes et d'une hyperbole se prête très bien à ces vérifications; en effet il est très facile à obtenir sur les plaques et de plus dans la valeur de a le terme en U est nul, ce qui réduit l'expression de l'angle à deux termes. a=7 + 077 d'où a^=a—or l'expérience directe me donne de 7,8 à 8 ce qui est un accord, pour ainsi dire inattendu, en levant compte des moyens de mesure et des termes que nous avons négligés. 2° Sur une plaque à plus petite excentricité et dont les axes sont 15 sur 20 nous trouvons : a = 48 L'expérience me donne 41.
étant prises à déduire les valeurs de h* des deux formules qui donnent a et b pour ce système et voir si ces valeurs sont identiques ou de combien elles se rapprochent. 1° Le système P1 et g = 4 formé des deux axes et d'une hyperbole se prête très bien à ces vérifications; en effet il est très facile à obtenir sur les plaques et de plus dans la valeur de a le terme en U est nul, ce qui réduit l'expression de l'angle à deux termes. a=7 + 077 d'où a^=a—or l'expérience directe me donne de 7,8 à 8 ce qui est un accord, pour ainsi dire inattendu, en levant compte des moyens de mesure et des termes que nous avons négligés. 2° Sur une plaque à plus petite excentricité et dont les axes sont 15 sur 20 nous trouvons : a = 48 L'expérience me donne 41. Ces vérifications justifient en même temps la formule qui nous a permis de déduire h2 de la valeur de a et montrent que les termes en h6 étaient, en effet, négligeables. Il faut remarquer aussi que l'angle α augmente avec l'excentricité et peut alors être mesuré avec plus d'approximation, de sorte que les deux approximations se compensent suffisamment. 3° Nous allons procéder encore à une autre vérification que nous déduirons du cas P1, et g=8 qui donne les deux axes et trois hyperboles. Les angles des asymptotes sont : (Plaques 15 sur 30) Nous allons tirer la valeur de h2 de la seconde et nous vérifierons qu'elle satisfait aux deux autres. Portant dans la valeur de a, nous avons : Or nous avons trouvé par la mesure directe a=27,5 à se vérifier aussi facilement avec les mêmes calculs. En effet, la mesure directe nous a donné 71° à 72°. L'accord pour ces modes de divisions simples est donc très complet entre la théorie et l'expérience. 4° La plaque 15 sur 20 nous ayant donné le système P1 et g=3 avec AB=7, EF = 15,5 nous avons calculé la valeur de h' en partant de la valeur de a et de