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expose la méthode d'Euler et Bezout; dans un 2e, la méthode abrégée de Bezout, avec une légère modification dans la manière de calculer les équations de Bezout, ce qui a fait dire que Cauchy avait perfectionné la méthode de Bezout. Après avoir comparé les deux mémoires, je n'y ai trouvé aucun perfectionnement, et pour le point où ils diffèrent, je préfère le procédé de Bezout. Mais dans un 5e et dernier §, Cauchy, après avoir exposé la méthode d'Elimination par les fonctions symétriques à laquelle se rapportent d'autres travaux remarquables de ce savant, établit une série de théorèmes sur l'Eliminant, sur l'impossibilité de le décomposer en facteurs rationnels et entiers des coefficients, dont le but est de préciser le degré de l'Eliminant, afin de pouvoir juger des facteurs étrangers introduits par une méthode quelconque d'Élimination. Bien d'autres travaux ont encore été publiés sur cet important sujet. M. Liouville, dans son Journal de mathématiques, a donné une méthode fort élégante pour former l'équation adjointe. Abel a aussi résolu la même question : La méthode abrégée de Bezout comporte une solution très simple de cette question que j'ai développée. M. Poisson dans le 9e cahier de l'École polytechnique a étendu le théorème de Bezout sur le degré de l'équation finale, à plus de deux équations, par les fonctions symétriques. M. Sylvester, en 1840, dans le Philosophical Magazine, a donné une nouvelle méthode d'Élimination qui rentre dans celle d'Euler et Bezout, mais qui a l'avantage d'une plus grande symétrie de calcul. M. Cayley a aussi fait subir une modification à la même méthode d'Euler et Bezout. Tels sont les principaux travaux qui se rapportent au sujet que j'ai traité et que j'ai cru devoir rappeler. THEORÈMES SUR LE RÉSULTANT. Définitions. — Éliminer x entre deux équations f(x)=0 F(x)=0 c'est trouver la relation nécessaire et suffisante entre les coefficients de ces équations, pour qu'elles admettent une solution commune. Si p=0 est cette relation, la quantité f a été nommée l'Éliminant ou le Résultant. THÉORÈME I. — Le résultant des deux équations est une fonction entière des coefficients, du degré de la 2me équation par
de Bezout sur le degré de l'équation finale, à plus de deux équations, par les fonctions symétriques. M. Sylvester, en 1840, dans le Philosophical Magazine, a donné une nouvelle méthode d'Élimination qui rentre dans celle d'Euler et Bezout, mais qui a l'avantage d'une plus grande symétrie de calcul. M. Cayley a aussi fait subir une modification à la même méthode d'Euler et Bezout. Tels sont les principaux travaux qui se rapportent au sujet que j'ai traité et que j'ai cru devoir rappeler. THEORÈMES SUR LE RÉSULTANT. Définitions. — Éliminer x entre deux équations f(x)=0 F(x)=0 c'est trouver la relation nécessaire et suffisante entre les coefficients de ces équations, pour qu'elles admettent une solution commune. Si p=0 est cette relation, la quantité f a été nommée l'Éliminant ou le Résultant. THÉORÈME I. — Le résultant des deux équations est une fonction entière des coefficients, du degré de la 2me équation par rapport aux coefficients de la 1re, et du degré de la 1re équation par rapport aux coefficients de la 2me. Soient a, b, y les racines de la 1re équation, exprimées en fonction des coefficients p, q, r...; substituons-les dans F (x). Pour que les deux équations données aient une racine commune, il faut et il suffit que l'un des résultats F (a), F (b), F (y)... soit nul, et par conséquent que si donc les coefficients p, q, r... sont fonction d'une seconde inconnue y, l'équation (5) qui ne contient que cette inconnue en donnera toutes les valeurs. Le résultat des deux équations est le 1er membre de l'équation (3). On voit d'abord qu'il est une fonction entière et du degré m par rapport à g₁, g₂, g₃... Car, comme a, p, y... sont indépendants de g₁, g₂, g₃... , cette quantité est bien entière et du degré m par rapport à ces coefficients. Pour prouver qu'elle est aussi entière et du degré n par rapport à a, p, p₂p₃... , nous allons l'écrire d'une autre manière. Désignons par A, B, v... les racines de l'équation (2); le raisonnement que nous avons fait prouve que le résultat de l'élimination
racine commune, il faut et il suffit que l'un des résultats F (a), F (b), F (y)... soit nul, et par conséquent que si donc les coefficients p, q, r... sont fonction d'une seconde inconnue y, l'équation (5) qui ne contient que cette inconnue en donnera toutes les valeurs. Le résultat des deux équations est le 1er membre de l'équation (3). On voit d'abord qu'il est une fonction entière et du degré m par rapport à g₁, g₂, g₃... Car, comme a, p, y... sont indépendants de g₁, g₂, g₃... , cette quantité est bien entière et du degré m par rapport à ces coefficients. Pour prouver qu'elle est aussi entière et du degré n par rapport à a, p, p₂p₃... , nous allons l'écrire d'une autre manière. Désignons par A, B, v... les racines de l'équation (2); le raisonnement que nous avons fait prouve que le résultat de l'élimination est aussi Le résultat se présente ici sous une forme différente en apparence mais la même en réalité, au signe près. En effet, comme F(a) = (a−X)(a−Y)(a−Z)... il en résulte. D'autre côté, comme f(x) = (x−a)(x−b)(x−c)..., on a aussi Dans l'une comme dans l'autre expression, nous y trouvons le produit des différences de toutes les racines de la 1ère équation avec celles de la 2e. Ces différences dans la 2e sont de signe contraire à celles de la 1ère, ces deux quantités sont donc égales, ou égales et de signe contraire, suivant que le nombre des facteurs m est pair ou impair. En prenant le résultat sous la forme (4), nous avons. nous y trouvons une fonction entière et de degré n des coefficients P1, P2, P3... Observation. — Le résultat sous la forme (5) a été donné par Euler dans un mémoire sur l'Elimination, Académie de Berlin, 1748. THÉORÈME II. — Dans le résultat des deux équations (1) et (2) (lequel est un polynôme entier des coefficients p, p2... q, q1, q2... d'après le théorème précédent) la somme des indices des facteurs de chaque terme est égal au produit des degrés des deux équations par rapport à x, c'est-à-dire
des différences de toutes les racines de la 1ère équation avec celles de la 2e. Ces différences dans la 2e sont de signe contraire à celles de la 1ère, ces deux quantités sont donc égales, ou égales et de signe contraire, suivant que le nombre des facteurs m est pair ou impair. En prenant le résultat sous la forme (4), nous avons. nous y trouvons une fonction entière et de degré n des coefficients P1, P2, P3... Observation. — Le résultat sous la forme (5) a été donné par Euler dans un mémoire sur l'Elimination, Académie de Berlin, 1748. THÉORÈME II. — Dans le résultat des deux équations (1) et (2) (lequel est un polynôme entier des coefficients p, p2... q, q1, q2... d'après le théorème précédent) la somme des indices des facteurs de chaque terme est égal au produit des degrés des deux équations par rapport à x, c'est-à-dire à mn. Soit en effet c[p, p1, p2, qt, q2... ] ce résultat. Nous avons: multiplions les racines des équations (1) et (2) par K, en posant x= les équations en a seront, et le résultat de ces nouvelles équations sera Mais il sera aussi, d'après la forme que lui a donné Euler, et comme le nombre des facteurs binômes est mn, et que K est facteur dans chacun, il devient ou bien Donc si l'on changeait les indices de p et de q en exposants dans le résultat cp(p1)2, ql, q2... , celle quantité, qui est entière, deviendrait une fonction homogène et du degré mn. C'est bien ce qu'il fallait démontrer. THÉORÈME III. — Le résultat des équations est un polynôme entier par rapport aux coefficients des deux équations, homogène et du degré n par rapport à ceux de la première équation, homogène et du degré m par rapport à ceux de la deuxième, et la somme des indices de A et B dans chaque terme est mn. On ramène ces équations à la forme (1) et (2), en divisant la 1ère par A0 et la 2e par B0 et le résultat sera Il sera homogène et du degré
a donné Euler, et comme le nombre des facteurs binômes est mn, et que K est facteur dans chacun, il devient ou bien Donc si l'on changeait les indices de p et de q en exposants dans le résultat cp(p1)2, ql, q2... , celle quantité, qui est entière, deviendrait une fonction homogène et du degré mn. C'est bien ce qu'il fallait démontrer. THÉORÈME III. — Le résultat des équations est un polynôme entier par rapport aux coefficients des deux équations, homogène et du degré n par rapport à ceux de la première équation, homogène et du degré m par rapport à ceux de la deuxième, et la somme des indices de A et B dans chaque terme est mn. On ramène ces équations à la forme (1) et (2), en divisant la 1ère par A0 et la 2e par B0 et le résultat sera Il sera homogène et du degré 0 par rapport aux coefficients des équations (8) et (9), mais il sera fractionnaire par rapport à ces coefficients et contiendra en dénominateur des puissances de A0 et B0. Pour le ramener à la forme entière il faudra le multiplier par A0B0m, et en posant la quantité, qui sera le résultat, sera non seulement entière mais encore homogène et de degré n par rapport à A0, A1, ..., Am, homogène aussi et de degré m par rapport à B0, B1, ..., Bm, et en outre la somme des indices de A et B dans chaque terme sera mn THÉORÈME IV. Le résultat de deux équations complètes à deux inconnues de degré m et n respectivement, sera du degré mn par rapport à la 2e inconnue, et ces deux équations admettront mn systèmes de solutions. Supposons que les équations (8) et (9) soient à deux inconnues et complètes, alors A0, A1, A2, ... B0, B1, B2... dépendront de y et seront par rapport à cette inconnue du degré marqué par l'indice. Le résultat de l'élimination de x sera, est entier par rapport aux coefficients, et d'un degré, relativement à y, marqué par la somme des indices dans chaque terme, il sera
résultat, sera non seulement entière mais encore homogène et de degré n par rapport à A0, A1, ..., Am, homogène aussi et de degré m par rapport à B0, B1, ..., Bm, et en outre la somme des indices de A et B dans chaque terme sera mn THÉORÈME IV. Le résultat de deux équations complètes à deux inconnues de degré m et n respectivement, sera du degré mn par rapport à la 2e inconnue, et ces deux équations admettront mn systèmes de solutions. Supposons que les équations (8) et (9) soient à deux inconnues et complètes, alors A0, A1, A2, ... B0, B1, B2... dépendront de y et seront par rapport à cette inconnue du degré marqué par l'indice. Le résultat de l'élimination de x sera, est entier par rapport aux coefficients, et d'un degré, relativement à y, marqué par la somme des indices dans chaque terme, il sera donc du degré mn d'après le théorème 3. Cette équation fournira donc mn valeurs pour y, à chacune desquelles il correspondra une valeur pour x, qui sera la solution commune aux deux équations (8) et (9). Le nombre des systèmes de solution sera donc mn. THÉORÈME V. — Supposons que dans les équations (8) et (9) les coefficients A0, A1, ..., A2m soient respectivement de degré p, p-1, p-2, ..., p-m, par rapport à y, et B0, B1, ..., Bn sont de degré q, q-1, ..., (q-n), de sorte que le degré de la 1ère équation par rapport à x et y est m-p, et celui de la 2e, n-q, mais ces équations sont incomplètes, le résultat sera dans ce cas d'un degré inférieur au produit des degrés, qui est (m-p)(n-q), du produit pq, il sera donc (m-p)(n-q)−pq = mn−np−mq. En effet, dans le résultat [k0k1ka, B0BiBa...] la somme des indices dans chaque terme est mn, mais il y a n facteurs en A et le degré de chacun est supérieur de p à son indice, ce qui augmente le degré par rapport à y de np; il y a aussi m facteurs en B dont le degré par rapport
dans les équations (8) et (9) les coefficients A0, A1, ..., A2m soient respectivement de degré p, p-1, p-2, ..., p-m, par rapport à y, et B0, B1, ..., Bn sont de degré q, q-1, ..., (q-n), de sorte que le degré de la 1ère équation par rapport à x et y est m-p, et celui de la 2e, n-q, mais ces équations sont incomplètes, le résultat sera dans ce cas d'un degré inférieur au produit des degrés, qui est (m-p)(n-q), du produit pq, il sera donc (m-p)(n-q)−pq = mn−np−mq. En effet, dans le résultat [k0k1ka, B0BiBa...] la somme des indices dans chaque terme est mn, mais il y a n facteurs en A et le degré de chacun est supérieur de p à son indice, ce qui augmente le degré par rapport à y de np; il y a aussi m facteurs en B dont le degré par rapport à y est supérieur de q à son indice, ce qui augmente le degré de mq; le degré de chaque terme par rapport à y est donc mn−np−mq qui est égal à (m-p)(n-q)−pq. Ce qu'il fallait démontrer. Entre ces deux équations on peut éliminer par réduction les deux groupes de terme car ces groupes contiennent le facteur xmp et peuvent s'écrire de sorte qu'il suffit de multiplier la première équation par B0ep + B1ep-1 + ... + Bp, la deuxième par A0ep + A1ep-1 + ... + Ap, et de retrancher membre à membre : on a ainsi. Cette nouvelle équation sera du degré (m—1) en x, Les coefficients C0, C1, C2, ..., Cm, seront du premier degré par rapport aux coefficients de chacune des équations données, et du deuxième degré par rapport aux coefficients des deux équations simultanément. En prenant p successivement égal à 0, 1, 2,...(m—1) nous aurons m équations du degré (m—1), qui devront exister en même temps pour la racine commune, lorsque les deux équations en auront une. Supposons que ces équations soient. DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 453 Entre ces m équations on élimine, par un déterminant, les (m—1) puissances de x, et l'on obtient ainsi
terme car ces groupes contiennent le facteur xmp et peuvent s'écrire de sorte qu'il suffit de multiplier la première équation par B0ep + B1ep-1 + ... + Bp, la deuxième par A0ep + A1ep-1 + ... + Ap, et de retrancher membre à membre : on a ainsi. Cette nouvelle équation sera du degré (m—1) en x, Les coefficients C0, C1, C2, ..., Cm, seront du premier degré par rapport aux coefficients de chacune des équations données, et du deuxième degré par rapport aux coefficients des deux équations simultanément. En prenant p successivement égal à 0, 1, 2,...(m—1) nous aurons m équations du degré (m—1), qui devront exister en même temps pour la racine commune, lorsque les deux équations en auront une. Supposons que ces équations soient. DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 453 Entre ces m équations on élimine, par un déterminant, les (m—1) puissances de x, et l'on obtient ainsi : qui devra subsister entre les coefficients des deux équations pour qu'elles aient une racine commune, c'est le résultat de l'élimination, et l'on voit presque immédiatement que le premier membre est le résultant des deux équations, sans introduction de facteurs étrangers, car ce déterminant du même ordre est un polynôme entier et du même degré de ses éléments. Ces éléments sont eux-mêmes entiers et du premier degré par rapport aux coefficients de chacune des équations, donc ce déterminant sera entier et du même degré par rapport aux coefficients de chacune des équations. Nous avons supposé que les deux équations données étaient du même degré. Le cas où la deuxième est d'un degré inférieur à celui de la première, rentre dans le cas général en supposant Bo=0 B1=0 etc. Mais il est préférable alors de procéder de la manière suivante. Soient les équations données MÉMOIRES On multiplie la deuxième successivement par x jusqu'à ce que son degré s'élève à (m — 1). On obtient ainsi une suite de (m—n) équations qui ne contiennent pas x à un degré supérieur à (m—1). On multiplie une nouvelle fois par x, le degré s'élève à m et entre les deux équations du même degré.
entier et du même degré de ses éléments. Ces éléments sont eux-mêmes entiers et du premier degré par rapport aux coefficients de chacune des équations, donc ce déterminant sera entier et du même degré par rapport aux coefficients de chacune des équations. Nous avons supposé que les deux équations données étaient du même degré. Le cas où la deuxième est d'un degré inférieur à celui de la première, rentre dans le cas général en supposant Bo=0 B1=0 etc. Mais il est préférable alors de procéder de la manière suivante. Soient les équations données MÉMOIRES On multiplie la deuxième successivement par x jusqu'à ce que son degré s'élève à (m — 1). On obtient ainsi une suite de (m—n) équations qui ne contiennent pas x à un degré supérieur à (m—1). On multiplie une nouvelle fois par x, le degré s'élève à m et entre les deux équations du même degré. on forme, comme dans le cas général, n nouvelles équations du degré (m — 1) en x, et on élimine les (m—1) puissances entre ces m équations, par un déterminant. Soient ces n équations Le résultat de l'élimination sera Le premier membre sera le résultant des deux équations sans introduction de facteurs étrangers, car tous les éléments de ce déterminant dépendent de B0, B1, ..., Bn sont du premier degré par rapport à ces coefficients, donc ce déterminant sera du même degré par rapport à ces coefficients. Mais les coefficients A0, A1, ..., Am de la première équation n'entrent que dans les éléments des n dernières lignes, de sorte que ce déterminant sera seulement du même degré par rapport à ces coefficients; donc, d'après le théorème 1, ce sera le résultant sans introduction de facteurs étrangers. Équation adjointe. — Si le but de l'élimination entre les équations (11) et (12) est de trouver les systèmes de solutions communes à ces deux équations, on forme une équation du premier degré en oe donnant la valeur de cette inconnue en fonction de y dont les valeurs sont fournies par l'équation (14). Pour chacune des racines de cette équation, les m équations (15)
de facteurs étrangers, car tous les éléments de ce déterminant dépendent de B0, B1, ..., Bn sont du premier degré par rapport à ces coefficients, donc ce déterminant sera du même degré par rapport à ces coefficients. Mais les coefficients A0, A1, ..., Am de la première équation n'entrent que dans les éléments des n dernières lignes, de sorte que ce déterminant sera seulement du même degré par rapport à ces coefficients; donc, d'après le théorème 1, ce sera le résultant sans introduction de facteurs étrangers. Équation adjointe. — Si le but de l'élimination entre les équations (11) et (12) est de trouver les systèmes de solutions communes à ces deux équations, on forme une équation du premier degré en oe donnant la valeur de cette inconnue en fonction de y dont les valeurs sont fournies par l'équation (14). Pour chacune des racines de cette équation, les m équations (15) se réduisent à (m—1) distinctes; l'une d'elles, la dernière par exemple, est une conséquence des autres. Entre ces (m—1) équations on élimine les (m—2) puissances de x, et on ne conserve que la première. Le résultat de cette élimination s'exprime par le déterminant suivant. Pour résoudre cette équation du premier degré en x on sépare ce déterminant en deux autres, et l'on met x en facteur commun. d'où l'on tire APPLICATION À DEUX ÉQUATIONS DU DEUXIÈME DEGRÉ, ET À DEUX ÉQUATIONS DU TROISIÈME DEGRÉ. 1° Eliminer x entre les deux équations On multiplie la première équation par b0, la deuxième par a0 et on retranche la première de la deuxième: x est éliminé, le coefficient de x devient a0 b0 - b0 a1, c'est le déterminant. Le terme indépendant est. On obtient ainsi : On multiplie ensuite la première équation des équations (22) par bg + bt, et la deuxième par a0x + at, on retranche la première de la deuxième, la partie (b0x + bx)(a0x + al) - (ax2 + alx) (ay + bt) du premier membre de l'équation résiduelle se réduit à zéro. C'est le but qu'on se proposait par cette opération, et l'on obtient : Le résultat
degré en x on sépare ce déterminant en deux autres, et l'on met x en facteur commun. d'où l'on tire APPLICATION À DEUX ÉQUATIONS DU DEUXIÈME DEGRÉ, ET À DEUX ÉQUATIONS DU TROISIÈME DEGRÉ. 1° Eliminer x entre les deux équations On multiplie la première équation par b0, la deuxième par a0 et on retranche la première de la deuxième: x est éliminé, le coefficient de x devient a0 b0 - b0 a1, c'est le déterminant. Le terme indépendant est. On obtient ainsi : On multiplie ensuite la première équation des équations (22) par bg + bt, et la deuxième par a0x + at, on retranche la première de la deuxième, la partie (b0x + bx)(a0x + al) - (ax2 + alx) (ay + bt) du premier membre de l'équation résiduelle se réduit à zéro. C'est le but qu'on se proposait par cette opération, et l'on obtient : Le résultat de l'élimination de x entre ces deux équations est : C'est ce que devient l'équation (14) dans ce cas particulier. En développant ce déterminant on obtient : Cette formule générale est très-simple et d'une application commode. 2° Eliminer x entre les deux équations. Les trois équations du deuxième degré que l'on doit calculer pour l'application de la méthode de Bezout, calculées d'après la manière indiquée, sont : et le déterminant provenant de l'élimination de x2 et x entre ces 5 équations, est : C'est la Formule (14) pour ce cas particulier. Ce déterminant est symétrique, ce qui facilitera le calcul. Il est facile de saisir la loi de formation des termes de la formule (14) ; elle se manifeste déjà sur la formule (28) ; on la mettra en évidence en effectuant les calculs qui conduisent à la formule (14), au lieu de représenter les résultats par les lettres D0, D1, D2... E0, E1, E2... Mais je ne m'arrête pas à cette question. § 5. ÉLIMINATION PAR LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES ; MÉTHODE D'EULER ET BEZOUT; MÉTHODE DE SYLVESTER. 1. Elimination par les fonctions symétriques. Nous avons trouvé au § 1er que l'éliminant des équations était, en désignant par x, (y,
l'on doit calculer pour l'application de la méthode de Bezout, calculées d'après la manière indiquée, sont : et le déterminant provenant de l'élimination de x2 et x entre ces 5 équations, est : C'est la Formule (14) pour ce cas particulier. Ce déterminant est symétrique, ce qui facilitera le calcul. Il est facile de saisir la loi de formation des termes de la formule (14) ; elle se manifeste déjà sur la formule (28) ; on la mettra en évidence en effectuant les calculs qui conduisent à la formule (14), au lieu de représenter les résultats par les lettres D0, D1, D2... E0, E1, E2... Mais je ne m'arrête pas à cette question. § 5. ÉLIMINATION PAR LES FONCTIONS SYMÉTRIQUES ; MÉTHODE D'EULER ET BEZOUT; MÉTHODE DE SYLVESTER. 1. Elimination par les fonctions symétriques. Nous avons trouvé au § 1er que l'éliminant des équations était, en désignant par x, (y, z, ..., n) les racines de la première équation Cet éliminant est une fonction symétrique des racines de l'équation. n-(l); car permutant deux quelconques de ces lettres, l'expression (5) ne change pas. En effectuant les multiplications indiquées, et en groupant convenablement les termes, on arrivera à une somme de fonctions symétriques de même ordre que l'on pourra calculer séparément en fonctions des coefficients de (1), en les faisant dépendre des fonctions symétriques du premier ordre, par les formules de Newton. On pourra encore calculer cette fonction symétrique, sans la séparer en plusieurs autres, par le procédé que Cauchy a fait connaître dans la quatrième année de ses Exercices de Mathématiques, et qui ne demande qu'une série de divisions. Mon but ne me permettant pas d'entrer dans ces développements, je vais seulement donner un exemple d'élimination par cette méthode. Proposons-nous d'éliminer x entre les deux équations. Je désigne par K et (3) les deux racines de la deuxième équation. Le résultat de l'élimination sera : J'effectue cette multiplication, je rapproche les termes qui forment des fonctions symétriques, et j'obtiens ainsi : Mais en substituant, on obtient, pour le résultat de l'élimination. DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. La méthode de Bezout nous conduirait