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symétriques de même ordre que l'on pourra calculer séparément en fonctions des coefficients de (1), en les faisant dépendre des fonctions symétriques du premier ordre, par les formules de Newton. On pourra encore calculer cette fonction symétrique, sans la séparer en plusieurs autres, par le procédé que Cauchy a fait connaître dans la quatrième année de ses Exercices de Mathématiques, et qui ne demande qu'une série de divisions. Mon but ne me permettant pas d'entrer dans ces développements, je vais seulement donner un exemple d'élimination par cette méthode. Proposons-nous d'éliminer x entre les deux équations. Je désigne par K et (3) les deux racines de la deuxième équation. Le résultat de l'élimination sera : J'effectue cette multiplication, je rapproche les termes qui forment des fonctions symétriques, et j'obtiens ainsi : Mais en substituant, on obtient, pour le résultat de l'élimination. DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. La méthode de Bezout nous conduirait à un résultat exprimé plus simplement au moyen de déterminants du deuxième ordre. On peut vérifier sur cette expression le théorème 2 du § 1er. 2. Méthode d'Euler et Bezout. Soient les équations entre lesquelles on veut éliminer x ? Ces équations sont supposées avoir une racine commune, et par conséquent un facteur du premier degré commun, soit : le produit des autres facteurs du premier membre de la première équation, et le produit des autres facteurs de la deuxième équation. Alors f(x) et f1(x) sont identiques. Ces expressions sont du degré (m-n-1), les premiers coefficients sont égaux à l'unité, donc les (m-n-1) autres coefficients sont égaux entre eux, ce qui donne (m+n-1) équations entre (m-n-2) inconnues ainsi. am et bn. Le nombre des équations est donc supérieur d'une unité à celui des inconnues et en outre ces équations sont linéaires, on pourra donc les éliminer par un déterminant, ce qui donnera l'éliminant. Un des avantages de cette méthode c'est qu'elle se prête avec la même facilité à la détermination des conditions pour que les équations aient plusieurs racines communes. Mais l'un des inconvénients, c'est qu'elle conduit à un déterminant de l'ordre (m-n-1) dont le développement est fort long, et
conséquent un facteur du premier degré commun, soit : le produit des autres facteurs du premier membre de la première équation, et le produit des autres facteurs de la deuxième équation. Alors f(x) et f1(x) sont identiques. Ces expressions sont du degré (m-n-1), les premiers coefficients sont égaux à l'unité, donc les (m-n-1) autres coefficients sont égaux entre eux, ce qui donne (m+n-1) équations entre (m-n-2) inconnues ainsi. am et bn. Le nombre des équations est donc supérieur d'une unité à celui des inconnues et en outre ces équations sont linéaires, on pourra donc les éliminer par un déterminant, ce qui donnera l'éliminant. Un des avantages de cette méthode c'est qu'elle se prête avec la même facilité à la détermination des conditions pour que les équations aient plusieurs racines communes. Mais l'un des inconvénients, c'est qu'elle conduit à un déterminant de l'ordre (m-n-1) dont le développement est fort long, et c'est son infériorité sur la méthode simplifiée de Bezout. 3. Méthode de Sylvester. Pour éliminer x entre les équations (31) et (32), on multiplie la première équation successivement par x, x1, x2... xm-1, et la deuxième par x, x1, x2... xm. On obtient ainsi les m-n équations suivantes. Ces (m-n) équations subsistent simultanément pour la racine commune en éliminant les (m-n-1) puissances de x entre ces équations, ce qui se fait par un déterminant, on obtient l'équation finale. Cette méthode n'introduce pas de facteurs étrangers. En effet les coefficients de la première équation n'entrent que dans les n premières lignes, de sorte que ce déterminant est du même degré par rapport aux coefficients de la deuxième équation. On voit de même qu'il est du même degré par rapport aux coefficients de la deuxième équation. C'est donc, d'après le théorème 1, le résultat sans introduction de facteurs étrangers. Les deux dernières méthodes au fond sont les mêmes. Cauchy l'a démontré de la manière suivante dans son mémoire déjà cité. La première méthode revient à éliminer les puissances de x entre les équations f(x)=0, f1(x)=0... xn-1, f(x)=0 par la méthode des multiplicateurs de Bezout. Sylvester effectue la même élimination directement par un
équations subsistent simultanément pour la racine commune en éliminant les (m-n-1) puissances de x entre ces équations, ce qui se fait par un déterminant, on obtient l'équation finale. Cette méthode n'introduce pas de facteurs étrangers. En effet les coefficients de la première équation n'entrent que dans les n premières lignes, de sorte que ce déterminant est du même degré par rapport aux coefficients de la deuxième équation. On voit de même qu'il est du même degré par rapport aux coefficients de la deuxième équation. C'est donc, d'après le théorème 1, le résultat sans introduction de facteurs étrangers. Les deux dernières méthodes au fond sont les mêmes. Cauchy l'a démontré de la manière suivante dans son mémoire déjà cité. La première méthode revient à éliminer les puissances de x entre les équations f(x)=0, f1(x)=0... xn-1, f(x)=0 par la méthode des multiplicateurs de Bezout. Sylvester effectue la même élimination directement par un déterminant. LES CAPITOULS DE TOULOUSE TENANT LE SCEAU VERT Par M. VICTOR FONS. MESSIEURS, Voici encore une de ces dépenses faites autrefois, souvent sans trop de nécessité, par les anciens administrateurs de la ville de Toulouse. Elle avait lieu à l'occasion de ce que l'on appelait LE SCEAU VERT. Qu'était-ce que le Sceau vert ? Dans le langage toulousain, on entendait par ces mots la répartition d'une somme que les règlements accordaient pour gratifier ceux des employés de la maison commune qui avaient bien mérité par les services rendus à la ville dans l'année, pendant l'administration de Messieurs les Capitouls. Anciennement, en effet, et jusque, paraît-il, vers le milieu de la première moitié du XVIIIe siècle, on voit les Capitouls de Toulouse, à la fin de leur exercice et la veille de Sainte-Lucie, c'est-à-dire le 13 décembre de chaque année, distribuer aux officiers de l'Hôtel de ville, à titre de récompense, une somme ordinairement de 7,000 livres, qui était mise à ce but à leur disposition. Toutefois, il est à remarquer que, quoique le fonds du Sceau vert fût destiné à récompenser ceux qui avaient bien servi la ville, une partie de ce fonds était distribuée soit aux maisons religieuses
que le Sceau vert ? Dans le langage toulousain, on entendait par ces mots la répartition d'une somme que les règlements accordaient pour gratifier ceux des employés de la maison commune qui avaient bien mérité par les services rendus à la ville dans l'année, pendant l'administration de Messieurs les Capitouls. Anciennement, en effet, et jusque, paraît-il, vers le milieu de la première moitié du XVIIIe siècle, on voit les Capitouls de Toulouse, à la fin de leur exercice et la veille de Sainte-Lucie, c'est-à-dire le 13 décembre de chaque année, distribuer aux officiers de l'Hôtel de ville, à titre de récompense, une somme ordinairement de 7,000 livres, qui était mise à ce but à leur disposition. Toutefois, il est à remarquer que, quoique le fonds du Sceau vert fût destiné à récompenser ceux qui avaient bien servi la ville, une partie de ce fonds était distribuée soit aux maisons religieuses pauvres de la ville, soit à quelques nécessiteux. De là, le grand nombre de demandes qui étaient adressées aux Capitouls, la veille de Sainte-Lucie. D'où venait, à la distribution qui se faisait ce jour-là, le nom de Sceau vert? On ne trouve pas précisément de pièces qui le disent d'une manière formelle. Mais il est très-probable que la distribution dont il s'agit empruntait ce nom à cette circonstance que les Capitouls marquaient les ordonnances qu'ils rendaient, à cette occasion, d'un sceau vert que l'on peut voir aux archives de l'Hôtel de ville : S. (sigillum) VIRIDE NOBILIS CAPITOLII THLAMI pour THOLOSANI. Quoi qu'il en soit de l'origine de cette dénomination, on peut diviser en deux groupes ceux que l'on admettait à participer à la répartition du Sceau vert. Dans l'un on voit figurer tous les officiers, grands et petits, de la maison commune : entre autres, les assesseurs des Capitouls, le syndic de la ville, le trésorier municipal, le capitaine et le lieutenant du guet, les différents greffiers : greffier criminel, greffier du domaine ou du contrôle, greffier de la police, et leurs substituts; le juge au fait de la police, le capitaine au fait de la santé, le verguier
manière formelle. Mais il est très-probable que la distribution dont il s'agit empruntait ce nom à cette circonstance que les Capitouls marquaient les ordonnances qu'ils rendaient, à cette occasion, d'un sceau vert que l'on peut voir aux archives de l'Hôtel de ville : S. (sigillum) VIRIDE NOBILIS CAPITOLII THLAMI pour THOLOSANI. Quoi qu'il en soit de l'origine de cette dénomination, on peut diviser en deux groupes ceux que l'on admettait à participer à la répartition du Sceau vert. Dans l'un on voit figurer tous les officiers, grands et petits, de la maison commune : entre autres, les assesseurs des Capitouls, le syndic de la ville, le trésorier municipal, le capitaine et le lieutenant du guet, les différents greffiers : greffier criminel, greffier du domaine ou du contrôle, greffier de la police, et leurs substituts; le juge au fait de la police, le capitaine au fait de la santé, le verguier ou bedeau des Capitouls, etc., etc. Ceux-là absorbaient, on le comprendra sans peine, une très-grande partie de la somme en distribution. Dans l'autre groupe, on trouve les maisons religieuses pauvres de la ville en tête desquelles figuraient constamment le couvent des Clarisses de la porte de Saint-Cyprien, les RR. PP. Capucins, les PP. Récollets, ceux de la Grande observance, les PP. Tierçaires; et par temps, comme je l'ai déjà dit, quelques particuliers nécessiteux. À ce dernier groupe, la distribution se faisait à titre d'aumône pie; aux gens de l'autre, à titre de gratification, pour de prétendus services rendus à la ville. Au fait, ce n'était tout simplement qu'une augmentation déguisée de leurs gages ordinaires. Pour l'établir, je n'aurais qu'à mettre sous vos yeux le texte des mandements délivrés à ce sujet par les Capitouls sur le trésorier municipal. Mais comme les actes de ce genre sont très-nombreux aux archives de l'hôtel de ville, je n'en indiquerai que quelques-uns. Les documents que je vais citer, pris dans la foule, parleront au nom de tous. On y verra que ceux qui prétendaient à une gratification ne cherchaient point à faire sonner bien haut leur zèle par de grandes phrases. Ils savaient que
Capucins, les PP. Récollets, ceux de la Grande observance, les PP. Tierçaires; et par temps, comme je l'ai déjà dit, quelques particuliers nécessiteux. À ce dernier groupe, la distribution se faisait à titre d'aumône pie; aux gens de l'autre, à titre de gratification, pour de prétendus services rendus à la ville. Au fait, ce n'était tout simplement qu'une augmentation déguisée de leurs gages ordinaires. Pour l'établir, je n'aurais qu'à mettre sous vos yeux le texte des mandements délivrés à ce sujet par les Capitouls sur le trésorier municipal. Mais comme les actes de ce genre sont très-nombreux aux archives de l'hôtel de ville, je n'en indiquerai que quelques-uns. Les documents que je vais citer, pris dans la foule, parleront au nom de tous. On y verra que ceux qui prétendaient à une gratification ne cherchaient point à faire sonner bien haut leur zèle par de grandes phrases. Ils savaient que cela était inutile. Il y avait une formule fort simple que l'on retrouve à peu près dans toutes les requêtes. Ils se contentaient de l'employer, assurés qu'ils étaient de voir accueillir leur demande. Il était rare, en effet, qu'elle fût rejetée. Voici de quelle manière les requêtes étaient généralement formulées et accueillies. Le 24 décembre 4665, un mandement de la somme de 300 livres fut délivré à MM. Vidal Dutil, Georges et Guillaume de Pradines, assesseurs de Messieurs les Capitouls. Il y avait cent livres pour chacun, en récompense et pour les causes exprimées dans leur requête. Ils disaient aux Capitouls dans cet acte, c'était à peu près leur langage de tous les ans, « qu'ils avaient, pendant leur bonne et heureuse administration, vacqué, de nuit et de jour, au service du public et fait des procédures qui leur avaient été infructueuses : lesquels, d'ailleurs, ajoutaient-ils, ne gagnaient que fort peu dans l'exercice de leurs charges. » Pourquoi les avaient-ils sollicitées, et tenaient-ils tant à les conserver? Après les assesseurs, le procureur du roi : il est triste de retrouver parmi les mendiants du Sceau vert un personnage de cet ordre. Les officiers du guet, le capitaine de la santé,
et accueillies. Le 24 décembre 4665, un mandement de la somme de 300 livres fut délivré à MM. Vidal Dutil, Georges et Guillaume de Pradines, assesseurs de Messieurs les Capitouls. Il y avait cent livres pour chacun, en récompense et pour les causes exprimées dans leur requête. Ils disaient aux Capitouls dans cet acte, c'était à peu près leur langage de tous les ans, « qu'ils avaient, pendant leur bonne et heureuse administration, vacqué, de nuit et de jour, au service du public et fait des procédures qui leur avaient été infructueuses : lesquels, d'ailleurs, ajoutaient-ils, ne gagnaient que fort peu dans l'exercice de leurs charges. » Pourquoi les avaient-ils sollicitées, et tenaient-ils tant à les conserver? Après les assesseurs, le procureur du roi : il est triste de retrouver parmi les mendiants du Sceau vert un personnage de cet ordre. Les officiers du guet, le capitaine de la santé, le commis au fait de la police, le verguier des Capitouls, n'invoquaient aussi tout simplement, comme les assesseurs, comme le procureur du roi, pour justifier leur droit au Sceau vert, que leur zèle à remplir les fonctions de leurs charges. Le syndic des visites, dont les fonctions étaient réellement des plus utiles, se présentait naturellement, comme les autres officiers de l'Hôtel de ville, à la distribution du Sceau vert. Mais quel était au fait le rôle de cet officier ? Il va lui-même nous l'apprendre dans une requête qu'il présentait, à cette occasion, aux Capitouls de l'année 4648. Guillaume Lafaige, c'était alors le nom du syndic, exposait aux administrateurs de la commune « que pendant leur administration il se serait peiné à l'exercice de sa charge, et pour le devoir d'icelle, il aurait fait, tant de jour que de nuit, les visites par les fours ainsi que par les boutiques des maîtres boulangers ; soigné à ce que les bouchers ne fissent faux poids, dressé plusieurs verbaux de contraventions dont la ville en aurait retiré plusieurs amendes; et pour tout ce dessus, fourni des chandelles pour courir de nuit avec les peseurs, sans que pour raison de ce il en
plus utiles, se présentait naturellement, comme les autres officiers de l'Hôtel de ville, à la distribution du Sceau vert. Mais quel était au fait le rôle de cet officier ? Il va lui-même nous l'apprendre dans une requête qu'il présentait, à cette occasion, aux Capitouls de l'année 4648. Guillaume Lafaige, c'était alors le nom du syndic, exposait aux administrateurs de la commune « que pendant leur administration il se serait peiné à l'exercice de sa charge, et pour le devoir d'icelle, il aurait fait, tant de jour que de nuit, les visites par les fours ainsi que par les boutiques des maîtres boulangers ; soigné à ce que les bouchers ne fissent faux poids, dressé plusieurs verbaux de contraventions dont la ville en aurait retiré plusieurs amendes; et pour tout ce dessus, fourni des chandelles pour courir de nuit avec les peseurs, sans que pour raison de ce il en ait retiré aucune reconnaissance que les seuls gaiges qui ne sont suffisants pour l'entretien. À cette cause, plaira à vos grâces, ayant égard à ce dessus, vous ordonner telles sommes de deniers qu'il vous paraîtra convenable, et le suppliant priera Dieu pour votre prospérité, et ferez bien. » Les Capitouls ne se montraient pas toujours fort généreux, il faut en convenir, envers un auxiliaire aussi utile. En 4618, ils n'accordèrent au syndic du fait des visites, sur sa requête, que la modique somme de cinq livres. C'est de la sorte, comme je viens de le rappeler, que nos anciens Capitouls se plaisaient à gratifier les officiers de l'Hôtel de ville; et parmi ces officiers, il en était surtout deux envers lesquels ils se montraient d'une libéralité merveilleuse : c'étaient le trésorier et le syndic de la ville. Pourquoi faut-il rencontrer ce dernier dans la liste de ceux qui recevaient des gratifications ? À raison de sa haute position dans la maison commune, il aurait dû n'y figurer jamais. Sans doute, ses fonctions étaient multiples. Il était, à proprement parler, le gérant des affaires de la ville. C'est lui qui poursuivait à sa requête, devant le tribunal des Capitouls, les retardataires
ne se montraient pas toujours fort généreux, il faut en convenir, envers un auxiliaire aussi utile. En 4618, ils n'accordèrent au syndic du fait des visites, sur sa requête, que la modique somme de cinq livres. C'est de la sorte, comme je viens de le rappeler, que nos anciens Capitouls se plaisaient à gratifier les officiers de l'Hôtel de ville; et parmi ces officiers, il en était surtout deux envers lesquels ils se montraient d'une libéralité merveilleuse : c'étaient le trésorier et le syndic de la ville. Pourquoi faut-il rencontrer ce dernier dans la liste de ceux qui recevaient des gratifications ? À raison de sa haute position dans la maison commune, il aurait dû n'y figurer jamais. Sans doute, ses fonctions étaient multiples. Il était, à proprement parler, le gérant des affaires de la ville. C'est lui qui poursuivait à sa requête, devant le tribunal des Capitouls, les retardataires en fait d'impositions ; qui représentait la ville devant les juridictions supérieures, soit en demandant, soit en défendant dans les procès divers où elle était intéressée ; qui comparaissait et contractait en son nom dans la plupart des actes où elle avait aussi un intérêt quelconque à défendre ou à faire constater, etc., etc. -— Précisément, à cause de ces honorables fonctions pour lesquelles d'ailleurs il recevait annuellement de beaux gages fixes, sa place n'était pas parmi les gratifiés du Sceau vert. Et cependant, cela est pénible à dire, il n'était pas moins ardent que les autres auxiliaires de l'administration municipale à la curée. Voici, entre beaucoup d'autres, un document qui le prouve. Le syndic de la ville dont il y est question n'est autre que l'auteur des Annales de la ville de Toulouse. Le 42 décembre 4684, mandement au trésorier municipal de payer à Me Germain de Lafaille, « avocat en la cour, ancien Capitoul et syndic de la ville, la somme de 400 livres, à lui ordonnée pour les causes contenues en sa requête, » conçue tout simplement en ces termes : « À vous messieurs les Capitouls, Supplie humblement Me. Germain de Lafaille, disant que pendant l'année
faire constater, etc., etc. -— Précisément, à cause de ces honorables fonctions pour lesquelles d'ailleurs il recevait annuellement de beaux gages fixes, sa place n'était pas parmi les gratifiés du Sceau vert. Et cependant, cela est pénible à dire, il n'était pas moins ardent que les autres auxiliaires de l'administration municipale à la curée. Voici, entre beaucoup d'autres, un document qui le prouve. Le syndic de la ville dont il y est question n'est autre que l'auteur des Annales de la ville de Toulouse. Le 42 décembre 4684, mandement au trésorier municipal de payer à Me Germain de Lafaille, « avocat en la cour, ancien Capitoul et syndic de la ville, la somme de 400 livres, à lui ordonnée pour les causes contenues en sa requête, » conçue tout simplement en ces termes : « À vous messieurs les Capitouls, Supplie humblement Me. Germain de Lafaille, disant que pendant l'année de votre administration, il aura porté tous ses soins imaginables aux affaires qui regardent la ville. C'est pourquoi il vous plaira, Messieurs, procédant au département de votre Sceau vert, lui accorder telles sommes que vous jugerez convenables en reconnaissance de ses soins et peines ; et ferez bien. » Les Capitouls firent si bien, quoique le suppliant ne donnât pas de bien grandes raisons à l'appui de sa demande, qu'ils lui accordèrent la somme portée dans le mandement précité. —Jean Palaprat, chef du Consistoire, est l'un des Capitouls qui signèrent cette ordonnance. Les Capitouls ne s'étaient pas toujours montrés aussi généreux envers M. de Lafaille. En 4662 et en 4665, ils ne lui avaient donné qu'une somme de 300 livres; et en 4698, ils ne donnèrent qu'une somme semblable à Pierre Baylot, son neveu et son successeur dans la charge du syndicat de la ville. Après les officiers de la maison commune, venaient, comme je l'ai annoncé, les couvents ; mais ce que les Capitouls accordaient ici, à titre d'aumône pie, était nécessairement peu de chose, par cette raison que les sommes données, à titre de gratification, aux employés de la ville absorbaient en très grande partie celle qui faisait
Capitouls firent si bien, quoique le suppliant ne donnât pas de bien grandes raisons à l'appui de sa demande, qu'ils lui accordèrent la somme portée dans le mandement précité. —Jean Palaprat, chef du Consistoire, est l'un des Capitouls qui signèrent cette ordonnance. Les Capitouls ne s'étaient pas toujours montrés aussi généreux envers M. de Lafaille. En 4662 et en 4665, ils ne lui avaient donné qu'une somme de 300 livres; et en 4698, ils ne donnèrent qu'une somme semblable à Pierre Baylot, son neveu et son successeur dans la charge du syndicat de la ville. Après les officiers de la maison commune, venaient, comme je l'ai annoncé, les couvents ; mais ce que les Capitouls accordaient ici, à titre d'aumône pie, était nécessairement peu de chose, par cette raison que les sommes données, à titre de gratification, aux employés de la ville absorbaient en très grande partie celle qui faisait l'objet de la distribution. Une somme de cinq livres est celle qu'indiquent, en général, les mandements. Ainsi, en 4698, un mandement de cette somme fut délivré « à cause de leur extrême pauvreté, » aux religieuses de Notre-Dame de la porte du faubourg Saint-Cyprien; — aux religieux du grand couvent de l'observation Saint-François, « à cause de leur grande misère; » — aux religieux pénitents du tiers-ordre de Saint-François du couvent de Notre-Dame de la Paix de cette ville, « comme ne pouvant point subvenir aux nécessités indispensables de leur communauté. » Il y avait pourtant des époques où les Capitouls donnaient davantage. En voici la preuve : Le 4 décembre 4593, ils firent expédier un mandement d'une somme de quatre écus sol au profit du syndic des religieux du couvent de l'ordre de Saint-Augustin pour les causes exprimées en sa requête, où il disait « qu'à cause de l'injure et calamité du temps, la charité est si refroidie en leur endroit, que ledit couvent est réduit en telle extrême pauvreté qu'il n'y a moyen de nourrir et entretenir les prêtres et religieux d'icelui, et qu'on est contraint de les congédier; et par ce moyen, le service divin demeure diminué,