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expérimentale et d'un accord possible entre l'expérience et la théorie. Nous y sommes parvenu d'une façon assez complète pour les systèmes hyperboliques. Quant aux systèmes elliptiques, les difficultés de calcul ne nous ont permis de nous occuper que de la partie expérimentale et de poser des jalons pour l'époque où l'on pourra résoudre l'équation des lignes nodales elliptiques. Enfin M. Mathieu ayant démontré en 1869 que les plaques elliptiques libres ne pouvaient donner des ellipses et des hyperboles homofocales qu'à la condition de vibrer comme les membranes à contour fixe avec le seul changement de la condition au contour qui doit être un ventre au lieu d'un noeud, nous avons pu vérifier les résultats de M. Mathieu sur des plaques fixes au centre, ce qui rend l'expérience plus facile. PREMIÈRE PARTIE. § 1. — Calcul de l'angle que fait l'asymptote des hyperboles homofocales nodales avec le grand axe et des axes de ces hyperboles. On sait que l'équation générale du mouvement d'une membrane plane dont le contour est supposé fixe a été donnée par Euler et démontrée par Poisson. Celle équation aux différences partielles est la suivante : W est le déplacement du point x, y perpendiculairement à la membrane, c'est une fonction de x, y et du temps. ms= dans lequel F désigne la traction normale au cylindre contournant et constante, p la densité de la membrane. Dans le cas d'une membrane rectangulaire, on intègre aisément l'équation (1) en trouvant une fonction W=f(x, y, t) qui la vérifie identiquement, et telle que pour t=0, W et -f(t) se réduisent à des fonctions données de x et de y. Dans le cas de la membrane circulaire, traité par M. Bourget, il convient de remplacer x et y par des coordonnées polaires. Pour la membrane elliptique, il convient d'introduire les coordonnées elliptiques ; c'est ce qu'a fait M. Mathieu. On sait que par un point quelconque du plan de la membrane elliptique, passent une ellipse et une hyperbole ayant les mêmes foyers, soient : 2a et 2b les grands axes de ces deux courbes, 2c la distance focale de l'ellipse proposée
c'est une fonction de x, y et du temps. ms= dans lequel F désigne la traction normale au cylindre contournant et constante, p la densité de la membrane. Dans le cas d'une membrane rectangulaire, on intègre aisément l'équation (1) en trouvant une fonction W=f(x, y, t) qui la vérifie identiquement, et telle que pour t=0, W et -f(t) se réduisent à des fonctions données de x et de y. Dans le cas de la membrane circulaire, traité par M. Bourget, il convient de remplacer x et y par des coordonnées polaires. Pour la membrane elliptique, il convient d'introduire les coordonnées elliptiques ; c'est ce qu'a fait M. Mathieu. On sait que par un point quelconque du plan de la membrane elliptique, passent une ellipse et une hyperbole ayant les mêmes foyers, soient : 2a et 2b les grands axes de ces deux courbes, 2c la distance focale de l'ellipse proposée ; p et Y sont des fonctions de x et de y qui se déduisent des équations : Au lieu d'introduire dans le calcul les coordonnées elliptiques p et Y on pose : Ce sont les variables a et p qui sont ainsi substituées à x et à y par les formules : On remarquera que les équations p = const. et a = const. présenteront les ellipses et les hyperboles homofocales avec l'ellipse donnée et que a est le demi-angle des asymptotes de chacune des hyperboles. L'équation (1) devient par cette substitution : M. Mathieu arrive à trouver une solution particulière de cette équation en posant : A étant arbitraire, P étant une fonction de a, et Q une fonction de p, et ces deux fonctions devant vérifier les équations R désignant une constante. M. Mathieu distingue deux classes de fonctions P, qu'il désigne par P1 et P2. Voici les premiers termes d'un développement en série procédant suivant les puissances de c, qu'il donne pour P1, en posant h=c (*). g est un nombre entier positif quelconque, A, B, C, D sont définis par les formules suivantes : (*) Page 432, 433, 435 et 436, M. Mathieu donne encore
les formules : On remarquera que les équations p = const. et a = const. présenteront les ellipses et les hyperboles homofocales avec l'ellipse donnée et que a est le demi-angle des asymptotes de chacune des hyperboles. L'équation (1) devient par cette substitution : M. Mathieu arrive à trouver une solution particulière de cette équation en posant : A étant arbitraire, P étant une fonction de a, et Q une fonction de p, et ces deux fonctions devant vérifier les équations R désignant une constante. M. Mathieu distingue deux classes de fonctions P, qu'il désigne par P1 et P2. Voici les premiers termes d'un développement en série procédant suivant les puissances de c, qu'il donne pour P1, en posant h=c (*). g est un nombre entier positif quelconque, A, B, C, D sont définis par les formules suivantes : (*) Page 432, 433, 435 et 436, M. Mathieu donne encore un autre développement, page 444, plus conversent, mais beaucoup plus difficile à calculer. En donnant à g, les valeurs 1, 2, 3, 4, on aura autant de fonctions P1, on démontre que la fonction P2 se déduit généralement de P1, en y changeant a en -a et h2 en -h2, pour les valeurs impaires de g. M. Mathieu montre comment, à l'aide des solutions particulières (a), on peut composer l'intégrale générale de l'équation (2). Nous ne nous occuperons que des solutions particulières. En résumé, on a pour le mouvement vibratoire de la membrane elliptique deux genres de solutions simples données par les formules : et les lignes nodales ont pour équation dans le premier genre : et dans le second : c'est-à-dire des ellipses et des hyperboles homofocales. Nous allons nous occuper des hyperboles. DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 485 M. Mathieu a démontré que l'équation P=0 a 4 racines comprises entre zéro et 2π chacune de ces racines a correspond à une hyperbole. Il faut remarquer que si a=a1 est racine il en est de même de 0.5=a2. Ces deux racines donnent la même hyperbole. a=0 donne le grand axe de l'ellipse, a=1 le petit axe. Nous allons résoudre par
pour les valeurs impaires de g. M. Mathieu montre comment, à l'aide des solutions particulières (a), on peut composer l'intégrale générale de l'équation (2). Nous ne nous occuperons que des solutions particulières. En résumé, on a pour le mouvement vibratoire de la membrane elliptique deux genres de solutions simples données par les formules : et les lignes nodales ont pour équation dans le premier genre : et dans le second : c'est-à-dire des ellipses et des hyperboles homofocales. Nous allons nous occuper des hyperboles. DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 485 M. Mathieu a démontré que l'équation P=0 a 4 racines comprises entre zéro et 2π chacune de ces racines a correspond à une hyperbole. Il faut remarquer que si a=a1 est racine il en est de même de 0.5=a2. Ces deux racines donnent la même hyperbole. a=0 donne le grand axe de l'ellipse, a=1 le petit axe. Nous allons résoudre par approximation l'équation P=0 en supposant h suffisamment petit et négligeant seulement les termes en h6 que l'on pourrait, du reste, calculer sans difficulté. Comme on a h=kc on voit que le calcul sera, en effet, d'autant plus approché que C sera plus petit et que l'ellipse différera moins d'un cercle. Si h était nul, on aurait P=sin§f a et les racines de l'équation P=0 seraient comprises dans la formule a= — où k peut recevoir les valeurs 0, 1, 2, ... (§f — 1). Nous avons là les rayons nodaux de la membrane circulaire, et nous allons en déduire les lignes nodales hyperboliques de la membrane elliptique. Posons a=—+a1, a1 étant de l'ordre de h2 on pourra négliger a2, remplaçant dans Pd=0 et développant chaque terme par la formule de Taylor en nous arrêtant au terme en h nous obtenons finalement en résolvant par rapport k a et tenant compte des valeurs de A, B, C, D. Voici le détail de ce calcul : Posons a = -aL on voit par la valeur de P1 que ce, est de l'ordre de h2 nous pourrons donc négliger a3. La formule de Taylor nous donne : ces deux derniers termes sont, dans
Si h était nul, on aurait P=sin§f a et les racines de l'équation P=0 seraient comprises dans la formule a= — où k peut recevoir les valeurs 0, 1, 2, ... (§f — 1). Nous avons là les rayons nodaux de la membrane circulaire, et nous allons en déduire les lignes nodales hyperboliques de la membrane elliptique. Posons a=—+a1, a1 étant de l'ordre de h2 on pourra négliger a2, remplaçant dans Pd=0 et développant chaque terme par la formule de Taylor en nous arrêtant au terme en h nous obtenons finalement en résolvant par rapport k a et tenant compte des valeurs de A, B, C, D. Voici le détail de ce calcul : Posons a = -aL on voit par la valeur de P1 que ce, est de l'ordre de h2 nous pourrons donc négliger a3. La formule de Taylor nous donne : ces deux derniers termes sont, dans la valeur de P2, multipliés par h2 on peut donc négliger a4. On aura encore ces termes étant multipliés par h4 on peut négliger les termes en a5. Nous avons d'autre part remplaçant ces quantités par leurs valeurs nous avons une équation de la forme nous arrêtant au terme i + H/i2 un terme en h6. On trouvera ainsi finalement Il est évident que pour une plus grande approximation on pourrait calculer le terme en h6, mais l'expérience nous a démontré que cette formule donne les degrés, ce qui est une approximation suffisante dans la nature de la question. Les axes des hyperboles se déduisent de la formule précédente par la relation A/C=cos a pour le grand axe; et B/C sin a pour le petit axe. On développe cos a et sin a en s'en tenant toujours aux termes en h2 et en h4 s'arrêtant ainsi au terme en h6. On trouvera : Pour le grand axe, 2 A étant l'axe traverse = = cos a MÉMOIRES Il faudra dans ces deux formules donner à g et k les valeurs suivantes : g = 3 g = 4 g = 5 g = 6 g = 7 g = 8
+ H/i2 un terme en h6. On trouvera ainsi finalement Il est évident que pour une plus grande approximation on pourrait calculer le terme en h6, mais l'expérience nous a démontré que cette formule donne les degrés, ce qui est une approximation suffisante dans la nature de la question. Les axes des hyperboles se déduisent de la formule précédente par la relation A/C=cos a pour le grand axe; et B/C sin a pour le petit axe. On développe cos a et sin a en s'en tenant toujours aux termes en h2 et en h4 s'arrêtant ainsi au terme en h6. On trouvera : Pour le grand axe, 2 A étant l'axe traverse = = cos a MÉMOIRES Il faudra dans ces deux formules donner à g et k les valeurs suivantes : g = 3 g = 4 g = 5 g = 6 g = 7 g = 8 k=1 k=2 k=3 k=4 et a = 2 et a = 3 et a = 4 et a = 5 Pour les lignes nodales qui correspondent à P2, il faudra prendre pour demi-grand axe la valeur correspondante de B où on aura changé h2 en —h2, et pour demi-petit axe la valeur correspondante de A dans laquelle on aura fait le même changement. Du reste, le demi-petit axe de ces hyperboles n'étant point susceptible de mesure directe, c'est surtout sur le grand axe que nous devons porter notre attention. § 2. — Des diverses valeurs de a pour les lignes nodales hyperboliques données par : P1 = 0 et P2 = 0. Et des systèmes hyperboliques qui en découlent. D'après ce qui précède les valeurs de a se déduiront de l'équation : On donnera à g les valeurs 0,1,2, 3... et pour chaque valeur de g, k devra prendre les valeurs 0, 1, 2, 5... Il faut remarquer, pour la mise en nombre, que tous les termes qui suivent doivent être multipliés par . .,. = 206 265 si on veut les termes en secondes ou par -1/n si on les veut en minutes et que le rayon est supposé
la valeur correspondante de A dans laquelle on aura fait le même changement. Du reste, le demi-petit axe de ces hyperboles n'étant point susceptible de mesure directe, c'est surtout sur le grand axe que nous devons porter notre attention. § 2. — Des diverses valeurs de a pour les lignes nodales hyperboliques données par : P1 = 0 et P2 = 0. Et des systèmes hyperboliques qui en découlent. D'après ce qui précède les valeurs de a se déduiront de l'équation : On donnera à g les valeurs 0,1,2, 3... et pour chaque valeur de g, k devra prendre les valeurs 0, 1, 2, 5... Il faut remarquer, pour la mise en nombre, que tous les termes qui suivent doivent être multipliés par . .,. = 206 265 si on veut les termes en secondes ou par -1/n si on les veut en minutes et que le rayon est supposé égal à l'unité. Il faut remarquer aussi que ces formules ne peuvent convenir pour a=0 g=1 et a=2. Mais on peut voir directement que a=0 ne donne rien, a=1 donne le grand axe dans le premier genre, et dans le second genre le petit axe; et enfin a=2 dans le premier genre le petit et le grand axe et dans le second une hyperbole. On obtiendra pour P, le grand axe et une hyperbole; les deux axes et une hyperbole; le grand axe et deux hyperboles; les deux axes et deux hyperboles; le grand axe et trois hyperboles; les deux axes et trois hyperboles. CALCUL DE P2. On distingue le cas où g est pair et celui où g est impair. 1° g. Pair. M. Mathieu donne les développements suivants : en appliquant la méthode de calcul qui nous a donné l'angle a pour P1 = 0 on trouve : pas de termes en A4, une hyperbole sans les axes. d'où je tire : deux hyperboles sans les axes. MÉMOIRES d'où je tire : trois hyperboles sans les axes. 2° g. Impair. Dans ce cas il suffit de changer, dans P2, a en | — a et A4, le petit
premier genre le petit et le grand axe et dans le second une hyperbole. On obtiendra pour P, le grand axe et une hyperbole; les deux axes et une hyperbole; le grand axe et deux hyperboles; les deux axes et deux hyperboles; le grand axe et trois hyperboles; les deux axes et trois hyperboles. CALCUL DE P2. On distingue le cas où g est pair et celui où g est impair. 1° g. Pair. M. Mathieu donne les développements suivants : en appliquant la méthode de calcul qui nous a donné l'angle a pour P1 = 0 on trouve : pas de termes en A4, une hyperbole sans les axes. d'où je tire : deux hyperboles sans les axes. MÉMOIRES d'où je tire : trois hyperboles sans les axes. 2° g. Impair. Dans ce cas il suffit de changer, dans P2, a en | — a et A4, le petit axe et une hyperbole. DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 490 le petit axe et deux hyperboles; le petit axe et trois hyperboles. En résumé, on trouve les systèmes nodaux hyperboliques suivants : 1° Le grand axe avec P1 et P7 = 1 2° Le grand axe et le petit axe avec P1etgr - 2 3° Le petit axe avec P1etg = 1 4° Le grand axe et une hyperbole P1et# = 3 5° Le petit axe et une hyperbole P2etg = 3 6° Le grand axe, le petit axe et une hyperbole P1etgr = 1 7° Le grand axe et deux hyperboles P1et# = 5 8° Le petit axe et deux hyperboles P2etg = 5 9° Le grand axe, le petit axe et deux hyperboles P1etgr = 2 10° Le grand axe et trois hyperboles P1etgr = 7 11° Le petit axe et trois hyperboles P2etg = 1 12° Le grand axe, le petit axe et trois hyperboles P1etgr = 8 Puis : Une hyperbole sans les axes P2etg = 2 Deux hyperboles sans les axes P2etg = 4 Trois hyperboles sans les axes P1et# = 6 Les systèmes impairs de P1 donnent le grand axe et k hyperboles, les systèmes
P1etgr - 2 3° Le petit axe avec P1etg = 1 4° Le grand axe et une hyperbole P1et# = 3 5° Le petit axe et une hyperbole P2etg = 3 6° Le grand axe, le petit axe et une hyperbole P1etgr = 1 7° Le grand axe et deux hyperboles P1et# = 5 8° Le petit axe et deux hyperboles P2etg = 5 9° Le grand axe, le petit axe et deux hyperboles P1etgr = 2 10° Le grand axe et trois hyperboles P1etgr = 7 11° Le petit axe et trois hyperboles P2etg = 1 12° Le grand axe, le petit axe et trois hyperboles P1etgr = 8 Puis : Une hyperbole sans les axes P2etg = 2 Deux hyperboles sans les axes P2etg = 4 Trois hyperboles sans les axes P1et# = 6 Les systèmes impairs de P1 donnent le grand axe et k hyperboles, les systèmes impairs de P2 le petit axe et k hyperboles. Les systèmes pairs de P1 les deux axes et k hyperboles. Les systèmes pairs de P2 k hyperboles sans les axes. DES PLAQUES ELLIPTIQUES. L'équation générale du mouvement d'une plaque ou d'une lame a été donnée par Poisson, puis par Cauchy, cette équation est W désigne ici le déplacement transversal d'un point (a, y) de la surface médiane, t le temps, les axes coordonnés étant pris rectangulairement et dans le plan de cette surface médiane, de plus ar - (h) épaisseur, p densité et k* constante dépendant des deux coefficients d'élasticité. Fourier a donné l'intégrale générale de l'équation (a), Cauchy et Poisson ont cherché à donner les conditions aux limites dans deux cas : celui où les bords sont encastrés, et celui où les bords sont libres. M. Kirchhoff, remarquant que lorsque les bords sont libres il existe trois conditions provenant des trois composantes de la pression et qu'il n'est pas possible de satisfaire à tant de conditions, M. Kirchhoff, dis-je, est parti de deux hypothèses particulières qui ne donnent plus que deux conditions aux limites. M. E. Mathieu a repris plus récemment cette question et il arrive à cette solution
cette équation est W désigne ici le déplacement transversal d'un point (a, y) de la surface médiane, t le temps, les axes coordonnés étant pris rectangulairement et dans le plan de cette surface médiane, de plus ar - (h) épaisseur, p densité et k* constante dépendant des deux coefficients d'élasticité. Fourier a donné l'intégrale générale de l'équation (a), Cauchy et Poisson ont cherché à donner les conditions aux limites dans deux cas : celui où les bords sont encastrés, et celui où les bords sont libres. M. Kirchhoff, remarquant que lorsque les bords sont libres il existe trois conditions provenant des trois composantes de la pression et qu'il n'est pas possible de satisfaire à tant de conditions, M. Kirchhoff, dis-je, est parti de deux hypothèses particulières qui ne donnent plus que deux conditions aux limites. M. E. Mathieu a repris plus récemment cette question et il arrive à cette solution importante que les plaques elliptiques vibrent comme des membranes quand leurs bords sont libres. Il remarque d'abord que l'équation aux différences partielles du quatrième ordre, n'est pas un empêchement, pourvu que l'on choisisse convenablement les équations relatives aux bords qui doivent être au nombre de deux. Il fait voir qu'une plaque elliptique encastrée produirait des courbes fort compliquées et qu'une plaque elliptique libre, qui rend un son simple ne peut donner des ellipses et des hyperboles homofocales qu'à la condition de vibrer comme une membrane, avec cette seule différence que le bord au lieu d'être une ligne nodale comme dans la membrane, soit au contraire un ventre de vibration, ce qui est conforme à l'expérience. Autrement dit la condition du contour Q=0 sera remplacée par cette autre ~ = 0. Si le contour est une ellipse, dit M. Mathieu en terminant, la valeur de u sera de la forme u = f (a)F((3) comme celle que nous avons trouvée pour la membrane elliptique, et les lignes nodales sont des ellipses et des hyperboles homofocales, de plus le contour est un ventre de vibration, ce qui est assez conforme à l'expérience. Avec ces conditions aux limites, la théorie de la plaque
plaque elliptique encastrée produirait des courbes fort compliquées et qu'une plaque elliptique libre, qui rend un son simple ne peut donner des ellipses et des hyperboles homofocales qu'à la condition de vibrer comme une membrane, avec cette seule différence que le bord au lieu d'être une ligne nodale comme dans la membrane, soit au contraire un ventre de vibration, ce qui est conforme à l'expérience. Autrement dit la condition du contour Q=0 sera remplacée par cette autre ~ = 0. Si le contour est une ellipse, dit M. Mathieu en terminant, la valeur de u sera de la forme u = f (a)F((3) comme celle que nous avons trouvée pour la membrane elliptique, et les lignes nodales sont des ellipses et des hyperboles homofocales, de plus le contour est un ventre de vibration, ce qui est assez conforme à l'expérience. Avec ces conditions aux limites, la théorie de la plaque elliptique à bords libres se déduit immédiatement de celle que nous avons donnée pour la membrane de même forme. En ce qui concerne les lignes nodales hyperboliques que l'on peut produire seules, comme nous le verrons par la suite, il est évident, d'après ce qui précède, qu'elles constituent une solution commune aux plaques et aux membranes, comme cela a lieu pour les plaques circulaires. Dans la pratique cette complication a lieu même pour les membranes. Les figures simples, ellipses ou hyperboles, ne viennent bien que lorsqu'elles se produisent seules. Cela a lieu aussi pour les membranes circulaires, sur lesquelles M. Bourget n'a pu produire que deux cercles au plus, pour un plus grand nombre les figures se déforment complètement. La conclusion de M. Mathieu simplifie beaucoup l'étude expérimentale des plaques elliptiques et des membranes de même forme et nous devons ajouter que, sans connaître le travail de M. Mathieu, nous étions arrivés au même résultat par une étude expérimentale des plaques libres fixées au centre et des membranes de même dimension fixées sur leur contour. Au point de vue physique l'archet attaquant verticalement la plaque sur son épaisseur, détermine des plissements de la surface de chaque côté des lignes nodales
commune aux plaques et aux membranes, comme cela a lieu pour les plaques circulaires. Dans la pratique cette complication a lieu même pour les membranes. Les figures simples, ellipses ou hyperboles, ne viennent bien que lorsqu'elles se produisent seules. Cela a lieu aussi pour les membranes circulaires, sur lesquelles M. Bourget n'a pu produire que deux cercles au plus, pour un plus grand nombre les figures se déforment complètement. La conclusion de M. Mathieu simplifie beaucoup l'étude expérimentale des plaques elliptiques et des membranes de même forme et nous devons ajouter que, sans connaître le travail de M. Mathieu, nous étions arrivés au même résultat par une étude expérimentale des plaques libres fixées au centre et des membranes de même dimension fixées sur leur contour. Au point de vue physique l'archet attaquant verticalement la plaque sur son épaisseur, détermine des plissements de la surface de chaque côté des lignes nodales hyperboliques et l'effet des forces élastiques est de rendre le mouvement des molécules, d'abord vertical au milieu de chaque concavité, de plus en plus oblique latéralement, de façon à devenir horizontal près des lignes nodales. C'est ce que démontre bien le sable qui saute verticalement au milieu et ne fait que glisser le long de la surface près des lignes nodales. En un mot, les lignes nodales hyperboliques correspondent aux vibrations transversales et les lignes elliptiques aux vibrations longitudinales. L'hypothèse de Poisson pour les membranes circulaires revient à supposer qu'il existe seulement des vibrations longitudinales, et l'illustre mathématicien qui, pas plus que Lame, ne perdait pas de vue l'élément physique, le dit expressément dans son mémoire. En faisant dans le calcul l'hypothèse contraire à celle de Poisson, on trouverait seulement les lignes nodales diamétrales dont l'angle serait indépendant de la condition de fixité du contour. Il en serait probablement de même pour les plaques elliptiques seulement la valeur de l'angle occidentale contiendrait des termes en h=~kc. Il existe encore une différence essentielle entre les plaques ou les membranes elliptiques et les plaques circulaires. Ces dernières, en effet, doivent donner des courbes indépendantes des points attaqués. Il n'en est point de