jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
que glisser le long de la surface près des lignes nodales. En un mot, les lignes nodales hyperboliques correspondent aux vibrations transversales et les lignes elliptiques aux vibrations longitudinales. L'hypothèse de Poisson pour les membranes circulaires revient à supposer qu'il existe seulement des vibrations longitudinales, et l'illustre mathématicien qui, pas plus que Lame, ne perdait pas de vue l'élément physique, le dit expressément dans son mémoire. En faisant dans le calcul l'hypothèse contraire à celle de Poisson, on trouverait seulement les lignes nodales diamétrales dont l'angle serait indépendant de la condition de fixité du contour. Il en serait probablement de même pour les plaques elliptiques seulement la valeur de l'angle occidentale contiendrait des termes en h=~kc. Il existe encore une différence essentielle entre les plaques ou les membranes elliptiques et les plaques circulaires. Ces dernières, en effet, doivent donner des courbes indépendantes des points attaqués. Il n'en est point de même des plaques elliptiques et l'expérience seule peut apprendre où l'on doit attaquer pour obtenir tel ou tel système. C'est là, sans doute, la constante arbitraire de Poisson. Ce qu'il importe surtout de bien établir, c'est que les plaques elliptiques libres sur leur contour peuvent remplacer les membranes dans les vérifications expérimentales des formules du mouvement vibratoire elliptique. Les plaques sont moins influencées par la résistance de l'air. Elles sont plus homogènes que les membranes et moins sujettes à ces caprices qui rendent si difficile le jeu des membranes vibrantes et dont les essais de vérification de M. Bourget présentent un exemple frappant. NOTA. — Dans ce qui précède, M. Mathieu s'appuie en partie sur les données de l'expérience, ce qui n'est pas, sans doute, complètement conforme à l'analyse mathématique. Mais nous rappellerons à ce sujet ce que dit Lame dans une circonstance semblable : "Tel est, suivant nous, le véritable rôle de l'analyse dans les questions de physique mathématique, elle doit s'éloigner le moins possible de la science des faits, marcher, pour ainsi dire, de concert avec elle, adopter son langage et ses lois; autrement elle ne tarde pas à perdre de vue le monde réel et ses recherches
vérifications expérimentales des formules du mouvement vibratoire elliptique. Les plaques sont moins influencées par la résistance de l'air. Elles sont plus homogènes que les membranes et moins sujettes à ces caprices qui rendent si difficile le jeu des membranes vibrantes et dont les essais de vérification de M. Bourget présentent un exemple frappant. NOTA. — Dans ce qui précède, M. Mathieu s'appuie en partie sur les données de l'expérience, ce qui n'est pas, sans doute, complètement conforme à l'analyse mathématique. Mais nous rappellerons à ce sujet ce que dit Lame dans une circonstance semblable : "Tel est, suivant nous, le véritable rôle de l'analyse dans les questions de physique mathématique, elle doit s'éloigner le moins possible de la science des faits, marcher, pour ainsi dire, de concert avec elle, adopter son langage et ses lois; autrement elle ne tarde pas à perdre de vue le monde réel et ses recherches sont sans applications." (Lame, page 150). § 3. Des moyens de vérification expérimentale et lois déduites du calcul. La première difficulté qui se présente, c'est de constater que les courbes nodales sont bien homofocales à l'ellipse, pour les ellipses nodales; si elles sont dessinées par le sable, la vérification se fait sans difficulté; quant aux hyperboles, nous nous sommes arrêté au moyen suivant : en représentant par r et r' les rayons vecteurs communs à l'ellipse de contour et à l'hyperbole, on doit avoir : r+r'=2A pour l'ellipse et r+r'=2A' pour l'hyperbole d'où r'=A-A' et r=A+r-A'. Il faut donc constater que la distance du sommet de l'ellipse au sommet de l'hyperbole est égale au rayon vecteur correspondant ; cela donne aussi l'axe de l'hyperbole car A' = A-r. Dans le cas où l'hyperbole est déformée vers le sommet, on pourra ainsi avoir le grand axe en mesurant r' et le retranchant du grand axe de l'ellipse. L'angle de l'asymptote avec le grand axe est aussi susceptible d'une mesure directe. Si l'on décrit, en effet, un cercle sur le grand axe de l'ellipse comme diamètre et si par le point où l'hyperbole coupe l'ellipse de contour, on mène l'ordonnée jusqu'à la
fait sans difficulté; quant aux hyperboles, nous nous sommes arrêté au moyen suivant : en représentant par r et r' les rayons vecteurs communs à l'ellipse de contour et à l'hyperbole, on doit avoir : r+r'=2A pour l'ellipse et r+r'=2A' pour l'hyperbole d'où r'=A-A' et r=A+r-A'. Il faut donc constater que la distance du sommet de l'ellipse au sommet de l'hyperbole est égale au rayon vecteur correspondant ; cela donne aussi l'axe de l'hyperbole car A' = A-r. Dans le cas où l'hyperbole est déformée vers le sommet, on pourra ainsi avoir le grand axe en mesurant r' et le retranchant du grand axe de l'ellipse. L'angle de l'asymptote avec le grand axe est aussi susceptible d'une mesure directe. Si l'on décrit, en effet, un cercle sur le grand axe de l'ellipse comme diamètre et si par le point où l'hyperbole coupe l'ellipse de contour, on mène l'ordonnée jusqu'à la rencontre du cercle, la ligne OM qui joint le centre avec ce point de rencontre sera l'asymptote et l'angle que fait cette ligne avec le grand axe sera notre angle a. On aura facilement le point K connaissant la corde EF. Pour mesurer cet angle a on trace sur un carton le contour de la plaque avec sa vraie grandeur; on détermine avec une règle la corde EF telle que la dessine le sable et, le cercle ayant été tracé à l'avance, on a facilement le point M et par conséquent l'angle que l'on mesurera au rapporteur. Ainsi ces deux quantités EF et AB que nous donnerons toutement dans la partie expérimentale, suffiront à toutes les vérifications. Les quantités a et b déterminées chacune par l'expérience, pourront ainsi se contrôler l'une l'autre et donner les valeurs de h=c qu'il faudra rapporter au rayon du cercle, c'est-à-dire A. Lorsque plusieurs hyperboles feront partie d'un même système, h devra être le même pour toutes et dès lors il faudra vérifier que les équations ^ = φ(A), = φ'(A), = φ"(A) sont satisfaites par les mêmes valeurs de A; il en serait de même de Quant à la hauteur du son rendu elle
carton le contour de la plaque avec sa vraie grandeur; on détermine avec une règle la corde EF telle que la dessine le sable et, le cercle ayant été tracé à l'avance, on a facilement le point M et par conséquent l'angle que l'on mesurera au rapporteur. Ainsi ces deux quantités EF et AB que nous donnerons toutement dans la partie expérimentale, suffiront à toutes les vérifications. Les quantités a et b déterminées chacune par l'expérience, pourront ainsi se contrôler l'une l'autre et donner les valeurs de h=c qu'il faudra rapporter au rayon du cercle, c'est-à-dire A. Lorsque plusieurs hyperboles feront partie d'un même système, h devra être le même pour toutes et dès lors il faudra vérifier que les équations ^ = φ(A), = φ'(A), = φ"(A) sont satisfaites par les mêmes valeurs de A; il en serait de même de Quant à la hauteur du son rendu elle nous amènera à des conséquences expérimentales importantes que nous développerons plus tard; nous nous contenterons de faire remarquer que, le mouvement vibratoire étant représenté par W = PQsin2Amω, si l'on appelle N le nombre de vibrations dans l'unité du temps on aura : d ou : A = TUN y ce qui définit la constante A. Pour les plaques il faut changer F en k* dépendant des deux coefficients d'élasticité. On aura ainsi : A=wACN et par conséquent pour deux états vibratoires différents les constantes h et h' doivent être entre elles comme les hauteurs des sons rendus. On lit dans Poisson pour la membrane circulaire : pour le contour fixe et libre ce qui justifie l'introduction du grand axe (p. 506). La valeur de a et de nous fait voir encore que les lignes nodales sont indépendantes de la substance puisque la quantité m n'y entre pas. Elles sont également indépendantes de l'épaisseur pourvu qu'elle soit suffisamment petite. Il en résulte que pour deux plaques de mêmes dimensions mais de substances différentes on doit avoir : V et V étant les vitesses du son dans les deux substances. Telles sont les principales lois que la résolution de l'équation P1
ce qui définit la constante A. Pour les plaques il faut changer F en k* dépendant des deux coefficients d'élasticité. On aura ainsi : A=wACN et par conséquent pour deux états vibratoires différents les constantes h et h' doivent être entre elles comme les hauteurs des sons rendus. On lit dans Poisson pour la membrane circulaire : pour le contour fixe et libre ce qui justifie l'introduction du grand axe (p. 506). La valeur de a et de nous fait voir encore que les lignes nodales sont indépendantes de la substance puisque la quantité m n'y entre pas. Elles sont également indépendantes de l'épaisseur pourvu qu'elle soit suffisamment petite. Il en résulte que pour deux plaques de mêmes dimensions mais de substances différentes on doit avoir : V et V étant les vitesses du son dans les deux substances. Telles sont les principales lois que la résolution de l'équation P1 = 0, nous a permis d'établir et que nous allons chercher à vérifier par l'expérience. SECONDE PARTIE. ÉTUDE EXPÉRIMENTALE. 1° Des plaques liquides elliptiques. La constitution des liquides permet de mettre en évidence les formes simples des plaques vibrantes : si le vase qui les renferme subit des mouvements, la surface du liquide qui tend à rester horizontale est soumise à des variations de grandeur représentant des forces dirigées suivant la surface, forces qui se combinent avec l'action verticale imprimée aux vases. Il suit de là que si le vase a une forme déterminée on se trouvera dans des conditions semblables à celles des plaques ou des membranes. Pour réaliser simplement des surfaces elliptiques de mercure, on n'a qu'à se servir des vases en segment d'ellipsoïde qu'emploient aujourd'hui les encadreurs pour enfermer dans des cadres elliptiques des objets en relief. Ces vases étant remplis de mercure reposent sur la table par un point qui correspond au centre de gravité de la masse liquide et par conséquent au centre de l'ellipse de surface. Si l'on frappe sur la table des coups équidistants, ou si on la touche avec un diapason on peut voir à l'oeil nu les plissements de la surface.
surface du liquide qui tend à rester horizontale est soumise à des variations de grandeur représentant des forces dirigées suivant la surface, forces qui se combinent avec l'action verticale imprimée aux vases. Il suit de là que si le vase a une forme déterminée on se trouvera dans des conditions semblables à celles des plaques ou des membranes. Pour réaliser simplement des surfaces elliptiques de mercure, on n'a qu'à se servir des vases en segment d'ellipsoïde qu'emploient aujourd'hui les encadreurs pour enfermer dans des cadres elliptiques des objets en relief. Ces vases étant remplis de mercure reposent sur la table par un point qui correspond au centre de gravité de la masse liquide et par conséquent au centre de l'ellipse de surface. Si l'on frappe sur la table des coups équidistants, ou si on la touche avec un diapason on peut voir à l'oeil nu les plissements de la surface. On peut appliquer la méthode de projection que j'ai déjà indiquée en plaçant le vase sur la caisse d'un diapason que l'on attaque à l'archet. La sensibilité de ce mode d'ébranlement est telle que la surface paraît plissée longtemps après que tout son est éteint. Par des vibrations rapides mais peu énergiques la surface présente des plissements elliptiques interrompus aux deux axes. On aperçoit, de plus, autour du centre, une région comprise entre les deux foyers où la vibration est toute différente, et qui constitue ce que j'appellerai désormais une surface nodale particulière ; là ce sont des arcs d'hyperbole et d'ellipse perpendiculaires et limités par des plissements de la surface qui sont analogues à la développée de l'ellipse. Les particules de poussière de la surface se déplacent dans chaque cadran et viennent s'engager dans des courants dirigés suivant les axes. Si le mouvement devient plus énergique, la surface change d'aspect et ne présente plus que des rectangles formés d'ellipses et d'hyperboles, la surface nodale du centre a disparu. Comme on obtient un effet semblable en faisant osciller le vase à la main, ce changement dans l'état vibratoire paraît provenir de ce que le centre de gravité se déplace dans
peu énergiques la surface présente des plissements elliptiques interrompus aux deux axes. On aperçoit, de plus, autour du centre, une région comprise entre les deux foyers où la vibration est toute différente, et qui constitue ce que j'appellerai désormais une surface nodale particulière ; là ce sont des arcs d'hyperbole et d'ellipse perpendiculaires et limités par des plissements de la surface qui sont analogues à la développée de l'ellipse. Les particules de poussière de la surface se déplacent dans chaque cadran et viennent s'engager dans des courants dirigés suivant les axes. Si le mouvement devient plus énergique, la surface change d'aspect et ne présente plus que des rectangles formés d'ellipses et d'hyperboles, la surface nodale du centre a disparu. Comme on obtient un effet semblable en faisant osciller le vase à la main, ce changement dans l'état vibratoire paraît provenir de ce que le centre de gravité se déplace dans le sens horizontal et que dès lors le contour qui dans le premier cas pouvait être considéré comme fixe, subit des variations considérables. Les sommets de ces rectangles curvilignes forment, encore des surfaces saillantes où se produisent des vibrations secondaires, on obtient encore le même plissement en circonvolution sur une plaque elliptique en verre, fixée à son centre et bien horizontale, un contour elliptique semblable avec du mastic de vitrier, ce qui produit une cuve elliptique que l'on remplit de mercure, et attaquant ensuite la plaque à l'archet. Si nous insistons sur ces effets, c'est que nous les retrouverons plus tard dans les plaques et membranes. Le mode d'ébranlement adopté ici est analogue à celui qu'adoptait Savart pour les plaques et les membranes lorsqu'il fixait au centre une tige qu'il faisait vibrer dans sa longueur et dont les vibrations se transmettaient à la plaque. Ce mode de vibration ne donne que les lignes nodales concentriques. Pour produire les lignes hyperboliques et les rayons nodaux, il faut toucher le vase avec un diapason ou l'attaquer à l'archet s'il est en cristal. Il m'a été impossible de me procurer des vases elliptiques en cristal, mais il est facile de réaliser une surface
plaque elliptique en verre, fixée à son centre et bien horizontale, un contour elliptique semblable avec du mastic de vitrier, ce qui produit une cuve elliptique que l'on remplit de mercure, et attaquant ensuite la plaque à l'archet. Si nous insistons sur ces effets, c'est que nous les retrouverons plus tard dans les plaques et membranes. Le mode d'ébranlement adopté ici est analogue à celui qu'adoptait Savart pour les plaques et les membranes lorsqu'il fixait au centre une tige qu'il faisait vibrer dans sa longueur et dont les vibrations se transmettaient à la plaque. Ce mode de vibration ne donne que les lignes nodales concentriques. Pour produire les lignes hyperboliques et les rayons nodaux, il faut toucher le vase avec un diapason ou l'attaquer à l'archet s'il est en cristal. Il m'a été impossible de me procurer des vases elliptiques en cristal, mais il est facile de réaliser une surface liquide elliptique avec un verre à précipité contenant du mercure et que l'on incline plus ou moins. La surface restant horizontale prendra une excentricité plus ou moins grande; on pourra ainsi transformer les vases circulaires en vases elliptiques et observer le passage des rayons nodaux en lignes hyperboliques sur lesquelles s'est appuyé notre calcul. Pour les vases circulaires une capsule de verre suffit. On peut voir la surface nodale se transformer en une petite croix dont le centre est en ombilic et qui s'arrête au premier cercle nodal, les ellipses et les hyperboles se transforment en cercles et en rayons ; les rayons se produisent par des mouvements plus intimes ou quand on attaque le vase à l'archet. La vérification géométrique des résultats obtenus par M. Bourget peut se faire ici d'une manière beaucoup plus complète qu'avec les membranes circulaires, puisque avec celle-ci, M. Bourget n'a pu aller au-delà de deux cercles. On a, aussi, l'occasion de constater que, dans un même vase et pour la même hauteur, deux liquides différents ne donnent pas le même son pour le même mode de division de la surface, ce qui doit tenir à une différence de vitesse de son dans les deux
s'est appuyé notre calcul. Pour les vases circulaires une capsule de verre suffit. On peut voir la surface nodale se transformer en une petite croix dont le centre est en ombilic et qui s'arrête au premier cercle nodal, les ellipses et les hyperboles se transforment en cercles et en rayons ; les rayons se produisent par des mouvements plus intimes ou quand on attaque le vase à l'archet. La vérification géométrique des résultats obtenus par M. Bourget peut se faire ici d'une manière beaucoup plus complète qu'avec les membranes circulaires, puisque avec celle-ci, M. Bourget n'a pu aller au-delà de deux cercles. On a, aussi, l'occasion de constater que, dans un même vase et pour la même hauteur, deux liquides différents ne donnent pas le même son pour le même mode de division de la surface, ce qui doit tenir à une différence de vitesse de son dans les deux liquides ; enfin, comme l'avait reconnu Savart, le son baisse à mesure que la surface du liquide s'élève, ce qui est d'accord avec les lois des plaques vibrantes. Des lignes nodales hyperboliques dans les plaques solides elliptiques fixées au centre. Les lignes nodales hyperbolides étant indépendantes de la condition de fixité du contour, ainsi que nous l'avons établi, et la théorie des plaques elliptiques à bords libres étant la même que celle des membranes fixées sur le contour, nous pouvons nous adresser pour vérifier cette partie de la théorie à des plaques solides attaquées sur leur contour à l'archet. Les résultats obtenus diffèrent notablement suivant le mode de fixation adopté. L'expérience nous a démontré après de nombreux essais que les plaques de laiton d'un à deux millimètres d'épaisseur, fixées par leur centre, donnent très bien les noeuds hyperboliques seuls, lorsqu'on les ébranle par le contour ; les plaques plus minces également fixées au centre et qu'on ébranle par une tige centrale à laquelle on imprime des vibrations longitudinales donnent des noeuds elliptiques ; et enfin les plaques fixées suivant un diamètre donnent les combinaisons entre les noeuds elliptiques et hyperboliques. Comme nous poursuivons surtout la réalisation des systèmes hyperboliques, c'est
fixité du contour, ainsi que nous l'avons établi, et la théorie des plaques elliptiques à bords libres étant la même que celle des membranes fixées sur le contour, nous pouvons nous adresser pour vérifier cette partie de la théorie à des plaques solides attaquées sur leur contour à l'archet. Les résultats obtenus diffèrent notablement suivant le mode de fixation adopté. L'expérience nous a démontré après de nombreux essais que les plaques de laiton d'un à deux millimètres d'épaisseur, fixées par leur centre, donnent très bien les noeuds hyperboliques seuls, lorsqu'on les ébranle par le contour ; les plaques plus minces également fixées au centre et qu'on ébranle par une tige centrale à laquelle on imprime des vibrations longitudinales donnent des noeuds elliptiques ; et enfin les plaques fixées suivant un diamètre donnent les combinaisons entre les noeuds elliptiques et hyperboliques. Comme nous poursuivons surtout la réalisation des systèmes hyperboliques, c'est par les premières que nous allons commencer. Le procédé habituel, qui consiste à perforer la plaque à son centre pour y faire passer une vis destinée à fixer la plaque sur un support, est des plus défectueux et altère trop profondément la constitution de la plaque. Je me sers de plaques entières au centre desquelles je soude par la face inférieure, soit à l'étain, soit au mastic, une vis qui permet de la fixer par un support très lourd. J'attaque le bord à l'archet dans toute sa largeur et je produit à l'avance un point fixe après avoir répandu à la surface un sable coloré en bleu ou en vert, que l'on vend comme pulvérin et qui est en même temps fin et lourd; on peut obtenir ainsi des lignes d'une extrême finesse. Pour les membranes, je mélange le sable avec un peu de poussière de Lycopode qui s'accumule au milieu des parties vibrantes. Il faut avoir soin de renouveler le sable à chaque figure nouvelle que l'on veut obtenir, ou au moins, de détruire la figure précédente; sans quoi l'inertie du sable accumulé sur les anciennes lignes nodales produirait des figures de passage que Savart avait cru observer et
plaques entières au centre desquelles je soude par la face inférieure, soit à l'étain, soit au mastic, une vis qui permet de la fixer par un support très lourd. J'attaque le bord à l'archet dans toute sa largeur et je produit à l'avance un point fixe après avoir répandu à la surface un sable coloré en bleu ou en vert, que l'on vend comme pulvérin et qui est en même temps fin et lourd; on peut obtenir ainsi des lignes d'une extrême finesse. Pour les membranes, je mélange le sable avec un peu de poussière de Lycopode qui s'accumule au milieu des parties vibrantes. Il faut avoir soin de renouveler le sable à chaque figure nouvelle que l'on veut obtenir, ou au moins, de détruire la figure précédente; sans quoi l'inertie du sable accumulé sur les anciennes lignes nodales produirait des figures de passage que Savart avait cru observer et que MM. Bourgel et Bernard n'ont point pu produire pour les plaques carrées. Il faut aussi attendre que la vibration précédente soit bien éteinte, sans quoi on pourrait avoir les deux sons superposés, ce dont on serait facilement averti par l'oreille. Les résultats obtenus varient suivant le point de la plaque que l'on attaque et suivant aussi l'énergie du coup d'archet. J'ai obtenu de bons résultats de plaques dont les dimensions étaient de 50 centimètres pour le grand diamètre, sur 15 pour le petit. J'avais toujours soin de relever la corde des arcs d'hyperbole, pour pouvoir mesurer l'angle des asymptotes et procéder aux comparaisons avec l'expérience. J'ajoute que quelques systèmes difficiles à obtenir avec les plaques se produisent bien avec les membranes qui nous permettront ainsi de compléter l'étude expérimentale et géométrique des lignes nodales hyperboliques. Je n'ai point pu obtenir avec les plaques, soit le grand, soit le petit axe seul, c'est-à-dire: P, ou Ps et g=1. En attaquant au milieu du quadrant elliptique, on obtient un son pur et les deux axes comme lignes nodales (P, et g(=2) (Planche 1 fig. 8). On remarque de petits tas de sable près des foyers et une surface nodale au centre