jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
On peut supprimer le terme qui ne contient pas les éléments du satellite, et écrire : Il faut trouver les termes séculaires de cette expression : soit NM0 l'orbite de Saturne, NM celle du satellite, P le périsaturne, y l'inclinaison mutuelle des deux orbites; on a : MEMOIRES l'excentricité e est très-petite; on a e0,05 e2< 0,001; on peut donc négliger e2 sans inconvénient, et se borner à il convient de remarquer que ce développement trouvé pour R0 ne suppose en aucune façon que y soit petit; il peut être quelconque. § III. — Développement de R1. En considérant Saturne comme un ellipsoïde de révolution, désignant par m sa masse, on a y2, y4 sont les polynômes de Legendre, savoir : DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. [/. étant le sinus de l'angle que forme le rayon vecteur mené du centre de Saturne au satellite, avec le plan de l'équateur. Les expressions de K1, K2,... sont les suivantes : a' désigne le demi-grand axe, e' l'excentricité, 8' la densité de l'une quelconque des couches elliptiques dont le corps de Saturne est formé; les intégrales qui figurent dans les expressions de K1 K2 s'étendent à toute la masse de Saturne; a' varie de zéro jusqu'à la valeur qui convient à la surface, a' et e' sont des fonctions inconnues de a'. Soit QP l'équateur de Saturne, QM l'orbite du satellite, y' l'inclinaison l'inclinaison de ces deux plans, QM=u, on a On aura donc, en omettant dans R, le terme —'— qui produit le mouvement elliptique : 8 MEMOIRES Il faut trouver la partie séculaire de R2. On a d'abord sin2u= 1 - (cos2u); le terme cos2u est périodique; quant au terme en -5, on trouvera facilement son terme séculaire en remarquant que le terme séculaire de — est r. , 1 , cos2w0 sin2u0 On s'assurera aisément que les termes en -5—, ou —r— n r3 3 r0 3 sont périodiques; nous pouvons donc prendre et par suite, soient U0 et V0 les termes séculaires de — et de —; cos2w0, £0 et r03 r03 , £0 les anomalies moyennes du satellite et
zéro jusqu'à la valeur qui convient à la surface, a' et e' sont des fonctions inconnues de a'. Soit QP l'équateur de Saturne, QM l'orbite du satellite, y' l'inclinaison l'inclinaison de ces deux plans, QM=u, on a On aura donc, en omettant dans R, le terme —'— qui produit le mouvement elliptique : 8 MEMOIRES Il faut trouver la partie séculaire de R2. On a d'abord sin2u= 1 - (cos2u); le terme cos2u est périodique; quant au terme en -5, on trouvera facilement son terme séculaire en remarquant que le terme séculaire de — est r. , 1 , cos2w0 sin2u0 On s'assurera aisément que les termes en -5—, ou —r— n r3 3 r0 3 sont périodiques; nous pouvons donc prendre et par suite, soient U0 et V0 les termes séculaires de — et de —; cos2w0, £0 et r03 r03 , £0 les anomalies moyennes du satellite et de Saturne, on a DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. mais, si h0 désigne la distance du périhélie de Saturne au point N, on a En nommant e l'anomalie excentrique du satellite, on a 12 MÉMOIRES Si donc, on appelle U'0 le terme indépendant de e dans le développement de r3 suivant les sinus et cosinus des multiples de e, et de même V'0 pour le développement de r3cos2u, on aura : on trouve sans peine Pour trouver la partie séculaire dans les termes multipliés par K2, il nous sera évidemment permis de supposer e=0, r=a; nous trouverons ainsi pour parties séculaires des termes K Nous aurons donc finalement, en supprimant le terme g-1, qui ne contient pas y', nous pouvons, comme précédemment, négliger e 2, omettre aussi le terme 1, et nous aurons ainsi ; DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. Evaluons, au moins d'une manière approchée, les deux termes qui suivent l'unité dans la parenthèse; nous pourrons ici supposer le corps de Saturne homogène, ou bien h' constant; on a alors : d'après Bessel, les axes du sphéroïde de Saturne sont entre eux dans le rapport de 9 à 10; on en conclut e/ 2 = 0,19; on a du reste, en
les sinus et cosinus des multiples de e, et de même V'0 pour le développement de r3cos2u, on aura : on trouve sans peine Pour trouver la partie séculaire dans les termes multipliés par K2, il nous sera évidemment permis de supposer e=0, r=a; nous trouverons ainsi pour parties séculaires des termes K Nous aurons donc finalement, en supprimant le terme g-1, qui ne contient pas y', nous pouvons, comme précédemment, négliger e 2, omettre aussi le terme 1, et nous aurons ainsi ; DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. Evaluons, au moins d'une manière approchée, les deux termes qui suivent l'unité dans la parenthèse; nous pourrons ici supposer le corps de Saturne homogène, ou bien h' constant; on a alors : d'après Bessel, les axes du sphéroïde de Saturne sont entre eux dans le rapport de 9 à 10; on en conclut e/ 2 = 0,19; on a du reste, en chiffres ronds, a=.60a'; on en déduit : Donc, les termes dont il s'agit sont entièrement négligeables, et nous pouvons nous borner à Je ferai remarquer qu'ici encore, nous n'avons pas supposé y' petit. § IV. — Développement de R2. Je suppose que toutes les parties de l'anneau soient dans un même plan, et comprises entre deux circonférences ayant pour centre commun le centre de Saturne; soit m' la masse de l'anneau; on a : 14 MÉMOIRES ya, yi... ont la même signification que dans le paragraphe précédent; e" est la densité le long de la couche de rayon r'; dans les intégrales précédentes, r' varie entre deux limites déterminées, et e" est une fonction inconnue de r'. On aura comme précédemment pour la partie séculaire de R, : Pour nous rendre compte de l'influence des termes qui suivent l'unité dans la parenthèse, nous supposerons l'anneau homogène, et compris entre deux circonférences de rayons a" et a"'; nous aurons alors : D'après Bessel, à la distance moyenne de Saturne au soleil. DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. tandis que le diamètre équatorial de Saturne est On conclut de là aisément Nous pouvons donc encore négliger les termes qui contiennent R'r, et nous aurons
même plan, et comprises entre deux circonférences ayant pour centre commun le centre de Saturne; soit m' la masse de l'anneau; on a : 14 MÉMOIRES ya, yi... ont la même signification que dans le paragraphe précédent; e" est la densité le long de la couche de rayon r'; dans les intégrales précédentes, r' varie entre deux limites déterminées, et e" est une fonction inconnue de r'. On aura comme précédemment pour la partie séculaire de R, : Pour nous rendre compte de l'influence des termes qui suivent l'unité dans la parenthèse, nous supposerons l'anneau homogène, et compris entre deux circonférences de rayons a" et a"'; nous aurons alors : D'après Bessel, à la distance moyenne de Saturne au soleil. DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. tandis que le diamètre équatorial de Saturne est On conclut de là aisément Nous pouvons donc encore négliger les termes qui contiennent R'r, et nous aurons : § V. — Développement de R3. Considérons l'un quelconque des sept premiers satellites; soit m" sa masse, A" la distance à Japhet, r" le rapport de son demi-grand axe à celui de Japhet; nous pouvons, dans le cas des inégalités séculaires, nous borner à : en négligeant de suite les exentricités. v désignant l'angle des rayons vecteurs menés du centre de Saturne au satellite m" et à Japhet; or, on a : par suite : 4 4 MÉMOIRES on peut développer cette expression suivant les puissances de 2K sin u sins 2. et écrire : Or, on a, en adoptant les notations de la Mécanique Céleste : En partant de là, et remarquant qu'on a : on trouvera, en considérant seulement la partie séculaire de DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 45 4 . ,. . — , en négligeant de suite ce qui ne contient |/4_j_«s__2KCosv b ° ^ pas y' : Je remplace sinE ^ par : le terme qui suit l'unité dans la parenthèse peut être simplifié (D (0) (2) un peu si l'on exprime 6 ^ à l'aide de b et h ; je trouve qu'on peut l'écrire : Je calcule les valeurs de cette expression, en
les exentricités. v désignant l'angle des rayons vecteurs menés du centre de Saturne au satellite m" et à Japhet; or, on a : par suite : 4 4 MÉMOIRES on peut développer cette expression suivant les puissances de 2K sin u sins 2. et écrire : Or, on a, en adoptant les notations de la Mécanique Céleste : En partant de là, et remarquant qu'on a : on trouvera, en considérant seulement la partie séculaire de DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 45 4 . ,. . — , en négligeant de suite ce qui ne contient |/4_j_«s__2KCosv b ° ^ pas y' : Je remplace sinE ^ par : le terme qui suit l'unité dans la parenthèse peut être simplifié (D (0) (2) un peu si l'on exprime 6 ^ à l'aide de b et h ; je trouve qu'on peut l'écrire : Je calcule les valeurs de cette expression, en admettant que le satellite m" soit Titan ; on a dans ce cas 4 6 MÉMOIRES on verra plus loin que y'=13°,7 j'en conclus que le terme en question est égal à —0,014'; les satellites de Saturne ont paru jusqu'ici avoir des masses très faibles; ils ne contribuent que pour une faible part dans le phénomène qui nous occupe; aussi, pourrons-nous négliger un terme qui, dans le cas de Titan, n'est guère que la 70e partie de celui que nous conservons. Nous prendrons donc : Les six autres satellites produiront des termes semblables, et nous aurons pour représenter l'action de tous les satellites : Réunissons enfin les parties R0, R15, R2, R3, et omettons dans R0 la partie qui ne contient pas y, et nous trouverons : je i appelle les expressions de K et de K' DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 47 Nous poserons, pour abréger l'écriture : et nous aurons enfin Je rappellerai, avant d'aller plus loin, que pour arriver à cette expression de R, nous n'avons pas supposé que y et y' soient petits ; ils peuvent être quelconques. § VI. — Étude de la courbe décrite sur la sphère céleste, par le pôle de l'orbite Nous partirons
une faible part dans le phénomène qui nous occupe; aussi, pourrons-nous négliger un terme qui, dans le cas de Titan, n'est guère que la 70e partie de celui que nous conservons. Nous prendrons donc : Les six autres satellites produiront des termes semblables, et nous aurons pour représenter l'action de tous les satellites : Réunissons enfin les parties R0, R15, R2, R3, et omettons dans R0 la partie qui ne contient pas y, et nous trouverons : je i appelle les expressions de K et de K' DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 47 Nous poserons, pour abréger l'écriture : et nous aurons enfin Je rappellerai, avant d'aller plus loin, que pour arriver à cette expression de R, nous n'avons pas supposé que y et y' soient petits ; ils peuvent être quelconques. § VI. — Étude de la courbe décrite sur la sphère céleste, par le pôle de l'orbite Nous partirons de l'équation (1) R=constante ou, en mettant pour R sa valeur (7) nous pouvons changer cette équation dans la suivante qui exprime, comme on voit, une relation très simple entre les angles y et y' que fait le plan de l'orbite de Japhet avec l'orbite de Saturne, et le plan de l'anneau. Je vais déduire immédiatement 7e SÉRIE. — TOME IX. 2 4 8 MÉMOIRES de cette relation que le pôle de l'orbite de Japhet décrit une ellipse sphérique sur la sphère céleste. Soient en effet D le pôle boréal de l'orbite de Saturne, D' celui de l'anneau, M celui de l'orbite du satellite ; on a Â représentant l'angle du plan de l'anneau avec l'orbite de Saturne; soient x, y, z les coordonnées rectangulaires du point M rapportées à trois axes se coupant au centre de la sphère, X0, Y0, Z0 les coordonnées du point D ; X'0, Y'0, Z'0 celles du point D' ; on aura et l'équation (8) deviendra : ce qui est l'équation d'un cylindre elliptique qui, par son intersection avec la sphère donnera la courbe cherchée, qui se trouve bien être ainsi une ellipse sphérique. — Mais, je ne garderai pas les coordonnées rectangulaires pour
de l'anneau. Je vais déduire immédiatement 7e SÉRIE. — TOME IX. 2 4 8 MÉMOIRES de cette relation que le pôle de l'orbite de Japhet décrit une ellipse sphérique sur la sphère céleste. Soient en effet D le pôle boréal de l'orbite de Saturne, D' celui de l'anneau, M celui de l'orbite du satellite ; on a Â représentant l'angle du plan de l'anneau avec l'orbite de Saturne; soient x, y, z les coordonnées rectangulaires du point M rapportées à trois axes se coupant au centre de la sphère, X0, Y0, Z0 les coordonnées du point D ; X'0, Y'0, Z'0 celles du point D' ; on aura et l'équation (8) deviendra : ce qui est l'équation d'un cylindre elliptique qui, par son intersection avec la sphère donnera la courbe cherchée, qui se trouve bien être ainsi une ellipse sphérique. — Mais, je ne garderai pas les coordonnées rectangulaires pour étudier cette courbe ; je vais chercher son centre C qui est évidemment situé sur l'arc DD' ; soient GD=zi, DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 49 GD'=t 7 , GM=p , D'CM=ç,on aura évidemment t + t'=A. La considération des triangles MCD, MCD' nous donnera : et l'équation de notre courbe, avec les coordonnées sphériques p et <p, sera : K(cos i cos p—sin i sin p cos ç^-fK' cos i' cos p-j-sin i' sin p cos ç^G Disposons de i et i' de manière à annuler le coefficient de sin p cos p cos <p; posons donc : relation qui, combinée avec i'-i'=2Â, nous donnera : l'équation de la courbe deviendra ensuite : cos5p(Kcos0'i-fK'cos°i/)-|-sin2pcos-(p(Ksin!'i-|-K'sinsî7)=G elle est bien rapportée à son centre, remplaçons les sinus et cosinus de i et i' par leurs valeurs tirées des relations (10), et il viendra : 20 MÉMOIRES Nous allons introduire des quantités auxiliaires ; posons d'abord Remarquons qu'on peut écrire et nous serons conduits à poser, en appelant B un angle auxiliaires relation qui, en remplaçant K' par K tan ^, devient : sin2B==sin Asin2« soient y0 et y'0 les valeurs initiales de y et y', on aura d'autre part, la formule (11) devient
avec les coordonnées sphériques p et <p, sera : K(cos i cos p—sin i sin p cos ç^-fK' cos i' cos p-j-sin i' sin p cos ç^G Disposons de i et i' de manière à annuler le coefficient de sin p cos p cos <p; posons donc : relation qui, combinée avec i'-i'=2Â, nous donnera : l'équation de la courbe deviendra ensuite : cos5p(Kcos0'i-fK'cos°i/)-|-sin2pcos-(p(Ksin!'i-|-K'sinsî7)=G elle est bien rapportée à son centre, remplaçons les sinus et cosinus de i et i' par leurs valeurs tirées des relations (10), et il viendra : 20 MÉMOIRES Nous allons introduire des quantités auxiliaires ; posons d'abord Remarquons qu'on peut écrire et nous serons conduits à poser, en appelant B un angle auxiliaires relation qui, en remplaçant K' par K tan ^, devient : sin2B==sin Asin2« soient y0 et y'0 les valeurs initiales de y et y', on aura d'autre part, la formule (11) devient maintenant : appelant N un angle auxiliaire, je poserai : et j'aurai enfin les formules suivantes que je réunis : DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 21 dont la dernière est l'équation de la courbe; les premières font connaître les quantités auxiliaires N, B, « en fonction des constantes K, R', A, y0, y'0, y'D. Cherchons les axes de notre ellipse sphérique; soit 2p' celui qui est dirigé suivant l'arc de grand cercle DD', 2p" l'axe perpendiculaire; nous obtiendrons p'et p" en faisant successivement dans l'équation de la courbe <p=o et <p= | ; on trouvera ainsi : expression très symétrique, quand on la compare à celle de cosp". Ces valeurs, pour être admissibles, exigent que l'on ait cosN < cosB, cos2N < cos2B ; il est aisé de le vérifier. Remarquons d'abord que par les définitions de N et B, B est toujours plus petit que y , et N est compris entre y0 et y'0 ; on verra plus loin que A=26°.49',5, y0=1625',0; y'0=150.41' ; on en conclut que 2N et 2B sont des angles aigus; si nous montrons que cosN est plus petit que cosB, nous aurons montré en même temps que cos2N est plus petit que cos2B. L'inégalité
y0, y'0, y'D. Cherchons les axes de notre ellipse sphérique; soit 2p' celui qui est dirigé suivant l'arc de grand cercle DD', 2p" l'axe perpendiculaire; nous obtiendrons p'et p" en faisant successivement dans l'équation de la courbe <p=o et <p= | ; on trouvera ainsi : expression très symétrique, quand on la compare à celle de cosp". Ces valeurs, pour être admissibles, exigent que l'on ait cosN < cosB, cos2N < cos2B ; il est aisé de le vérifier. Remarquons d'abord que par les définitions de N et B, B est toujours plus petit que y , et N est compris entre y0 et y'0 ; on verra plus loin que A=26°.49',5, y0=1625',0; y'0=150.41' ; on en conclut que 2N et 2B sont des angles aigus; si nous montrons que cosN est plus petit que cosB, nous aurons montré en même temps que cos2N est plus petit que cos2B. L'inégalité cos2N < cos2B revient à 22 MEMOIRES ou bien, en élevant au carré et simplifiant : remplaçant sin2N et cos2N par leurs valeurs, je trouve il suffit de montrer que le critérium V*-kac de ce trinôme est négatif, car alors le trinôme restera toujours positif; on trouve que cette quantité peut s'écrire : or, A, y0, y'0 sont les trois côtés du triangle BD'M, pour t=0; on a donc : et on voit que ô2—4ac est négatif. En second lieu, je dis que p' est plus grand que p"; il suffit de montrer qu'on a chassant les dénominateurs, remplaçant cos 2N et cos 2B par leurs valeurs en fonction de cosN et cosB, cette inégalité revient à ce qui a déjà été démontré. DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 23 Ainsi, 2p; est le grand axe, 2p" le petit axe. — Cherchons les foyers de l'ellipse; soient F et F' ces deux points. d'où,on lire en ajoutant et retranchant : Identifiant cette équation avec celle déjà trouvée pour la même courbe, on obtient : MEMOIRES en tenant compte de la valeur de sinV, ces deux équations se Soient à G et AB l'orbite de Saturne, et le plan de l'anneau; considérons les
peut s'écrire : or, A, y0, y'0 sont les trois côtés du triangle BD'M, pour t=0; on a donc : et on voit que ô2—4ac est négatif. En second lieu, je dis que p' est plus grand que p"; il suffit de montrer qu'on a chassant les dénominateurs, remplaçant cos 2N et cos 2B par leurs valeurs en fonction de cosN et cosB, cette inégalité revient à ce qui a déjà été démontré. DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 23 Ainsi, 2p; est le grand axe, 2p" le petit axe. — Cherchons les foyers de l'ellipse; soient F et F' ces deux points. d'où,on lire en ajoutant et retranchant : Identifiant cette équation avec celle déjà trouvée pour la même courbe, on obtient : MEMOIRES en tenant compte de la valeur de sinV, ces deux équations se Soient à G et AB l'orbite de Saturne, et le plan de l'anneau; considérons les plans qui ont pour pôles F et F'; ces plans passent par le point A; soient ces plans AH et AH'; le plan de l'orbite du satellite les rencontre aux points N et N', et on a l'angle N égal au rayon recteur MF de l'ellipse sphérique, et de même N'=MF'. Donc, la somme des angles N et N' est constante, puisque la somme des rayons recteurs MF et MF'est constante ; comme l'angle A du triangle sphérique est constante, on voit que la somme des trois angles, et par suite, la surface du triangle sphérique est constante. De là ce théorème : Le plan de l'orbite de Japhet forme un triangle sphérique de surface constante avec deux plans fixes menés par la commune intersection de l'orbite de Saturne et de l'anneau, et situés entre ces deux derniers plans. Le plan fixe considéré par Laplace est celui qui a pour pôle le point C ; c'est le plan bissecteur de l'angle formé par nos deux plans AH et AH'. Laplace dit que le plan de l'orbite du satellite se meut en gardant sur le plan fixe une inclinaison à peu près constante; c'est dire que M G est à peu
N'=MF'. Donc, la somme des angles N et N' est constante, puisque la somme des rayons recteurs MF et MF'est constante ; comme l'angle A du triangle sphérique est constante, on voit que la somme des trois angles, et par suite, la surface du triangle sphérique est constante. De là ce théorème : Le plan de l'orbite de Japhet forme un triangle sphérique de surface constante avec deux plans fixes menés par la commune intersection de l'orbite de Saturne et de l'anneau, et situés entre ces deux derniers plans. Le plan fixe considéré par Laplace est celui qui a pour pôle le point C ; c'est le plan bissecteur de l'angle formé par nos deux plans AH et AH'. Laplace dit que le plan de l'orbite du satellite se meut en gardant sur le plan fixe une inclinaison à peu près constante; c'est dire que M G est à peu près constant, ou que le pôle décrit un petit cercle de la sphère ; nous avons montré que c'est une ellipse ; il est vrai que cette ellipse ne diffère pas beaucoup d'un petit cercle ; nous allons donner la raison de ce fait. On a pour déterminer les axes de l'ellipse sphérique, les formules L'angle B n'est pas très-grand; il est au plus égal à 13° ou 14°; si B était nul, on aurait Dans tous les cas, cosB et cos2B ne diffèrent pas beaucoup de l'unité, et la différence p'—p" sera assez petite ; nous verrons plus tard qu'elle est d'environ 14', quantité petite, mais qui n'est pas négligeable. Si l'anneau de Saturne faisait un angle plus considérable avec l'orbite de la planète, la différence entre l'ellipse sphérique et un petit cercle serait beaucoup plus sensible. — Soit AA' le grand axe de notre ellipse; on voit que la valeur de MD, ou de y sera comprise entre DA et DA'; la valeur de MD' ou y' le sera entre D'A' et D'A ; nous voyons donc que jamais l'orbite de Japhet ne pourra coïncider ni avec l'orbite de Saturne, ni avec le plan de l'anneau, et nous
de l'ellipse sphérique, les formules L'angle B n'est pas très-grand; il est au plus égal à 13° ou 14°; si B était nul, on aurait Dans tous les cas, cosB et cos2B ne diffèrent pas beaucoup de l'unité, et la différence p'—p" sera assez petite ; nous verrons plus tard qu'elle est d'environ 14', quantité petite, mais qui n'est pas négligeable. Si l'anneau de Saturne faisait un angle plus considérable avec l'orbite de la planète, la différence entre l'ellipse sphérique et un petit cercle serait beaucoup plus sensible. — Soit AA' le grand axe de notre ellipse; on voit que la valeur de MD, ou de y sera comprise entre DA et DA'; la valeur de MD' ou y' le sera entre D'A' et D'A ; nous voyons donc que jamais l'orbite de Japhet ne pourra coïncider ni avec l'orbite de Saturne, ni avec le plan de l'anneau, et nous pouvons déterminer le plus grand rapprochement et le plus grand éloignement de ces deux plans. 26 MEMOIRES § VII — Loi du mouvement du pôle sur son ellipse. Soient AG l'orbite de Saturne, AB le plan de l'anneau, AK le plan fixe de Laplace, dont le pôle est le centre de l'ellipse l'ellipse RB l'orbite de Japhet; le point R est le pôle de l'arc MG, A est le pôle de CD'; donc AR est égal à l'angle <p que font entre eux les arcs CM et CD'. Je vais appliquer les formules (2), en prenant pour plan fondamental le plan RR, et pour origine des longitudes le point A, alors, la quantité désignée par I dans les formules (2), devra être remplacée par p, et 6 par -AR, ou ep; enfin le terme dR -j— est nul. Nous aurons donc : on a du reste, ou, bien, en remplaçant cos y et cos y' par leurs valeurs (9), et introduisant les quantités auxiliaires a et B, et alors, l'équation (15) devient : DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES. 27 nous allons éliminer 9' à l'aide de l'équation de l'ellipse, qu'on peut écrire, en introduisant p' et p": on en tire sans