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1913). Qui sono esposti in forma brillante e spesso nuova i fondamentali risultati sull’argomento conseguiti da Poincaré, da von Koch, da Hilbert e dai suoi scolari e dal Hiesz medesimo. Vi si trovano criteri di risolubilità degli indicati sistemi, interessanti casi di risolubilità, metodi di risoluzione, nonché utilissime indicazioni per gli ulteriori sviluppi di cui è suscettibile la bella teoria trattata. della successione (2) al modo che: 1° le infinite serie nei primi membri delle (5) siano convergenti; 2° esse abbiano per somma i secondi membri. Dimostriamo facilmente il TEOREMA. — Condizione sufficiente affinché la funzione f, di quadrato sommabile in E, sia ivi approssimabile per serie di funzioni del sistema [fk], supposto completo in E, è che il sistema di equazioni (5) ammetta una tale soluzione che la corrispondente serie (3) approssimi in E una funzione ivi di quadrato sommabile; in particolare, sia tale che la serie converga su E in media, si abbia cioè, uniformemente al variare di p per valori intieri e positivi, o 2 più particolarmente ancora, sia tale che la serie converga uniformemente al variare di p per valori interi e positivi, o 2 più particolarmente ancora, sia tale che la serie converga uniformemente al variare di p per valori interi e positivi, ciò che, per la completezza, in E, del sistema [fk], ha di conseguenza l'equivalenza ivi delle due funzioni j' e f, ha di conseguenza che proprio la serie (3) approssimi in E anche l'assegnata funzione f. 23. METODO DELLE RIDOTTE PER LA RISOLUZIONE DEL SISTEMA (5). — La condizione sufficiente ora data per l'approssimabilità di un'assegnata funzione f per serie di funzioni del sistema [fk], presuppone già la conoscenza di una soluzione del sistema di equazioni (5); noi daremo, in ciò che segue, altre condizioni sufficienti, le quali, al contrario, contengono nuovi criteri di risolubilità del sistema di equazioni (5). Vedremo anzi, ciò che è di un certo interesse, che in tali condizioni, per la risoluzione del sistema (5) è applicabile il metodo delle ridotte (cf. RIESZ, loc. cit., p. 376, capitoli I e II). Tale classico metodo consiste semplicemente in ciò:
variare di p per valori interi e positivi, ciò che, per la completezza, in E, del sistema [fk], ha di conseguenza l'equivalenza ivi delle due funzioni j' e f, ha di conseguenza che proprio la serie (3) approssimi in E anche l'assegnata funzione f. 23. METODO DELLE RIDOTTE PER LA RISOLUZIONE DEL SISTEMA (5). — La condizione sufficiente ora data per l'approssimabilità di un'assegnata funzione f per serie di funzioni del sistema [fk], presuppone già la conoscenza di una soluzione del sistema di equazioni (5); noi daremo, in ciò che segue, altre condizioni sufficienti, le quali, al contrario, contengono nuovi criteri di risolubilità del sistema di equazioni (5). Vedremo anzi, ciò che è di un certo interesse, che in tali condizioni, per la risoluzione del sistema (5) è applicabile il metodo delle ridotte (cf. RIESZ, loc. cit., p. 376, capitoli I e II). Tale classico metodo consiste semplicemente in ciò: Dalle equazioni (3) si conservano le sole prime n + 1 e delle incognite si cancellano tutte le successive alla n Si ottiene così un sistema di n + 1 equazioni lineari in n + 1 incognite — il così detto sistema ridotto d'ordine n + 1 — che coincide col sistema (3) del n° 20. Tale sistema di equazioni, per la supposta indipendenza lineare delle funzioni del sistema [fk], è a determinante positivo; ne sia (a"" 0 5 a 1) , ..., («") la soluzione. Si fa poi variare n e, per ogni fissato valore dell'indice k, si esamina se, al divergere di n, esiste, determinato e finito, il limite di a{,kl). Il metodo riesce se: 1° esiste, determinato e finito, tale limite; 2° se, posto le quantità ak così definite verificano il sistema (5). 26. UNA CONDIZIONE SUFFICIENTE D'APPROSSIMABILITÀ PER SERIE. — Ai casi osservati — nella teoria dei determinanti infiniti — da Poincaré e da von Koch in cui riesce il metodo, così esposto, delle ridotte, ne aggiungeremo due nuovi, specialmente interessanti per le nostre applicazioni. Un primo caso si verifica nelle condizioni espresse dal seguente TEOREMA. — Il sistema [fA]' di funzioni linearmente indipendenti in h,
col sistema (3) del n° 20. Tale sistema di equazioni, per la supposta indipendenza lineare delle funzioni del sistema [fk], è a determinante positivo; ne sia (a"" 0 5 a 1) , ..., («") la soluzione. Si fa poi variare n e, per ogni fissato valore dell'indice k, si esamina se, al divergere di n, esiste, determinato e finito, il limite di a{,kl). Il metodo riesce se: 1° esiste, determinato e finito, tale limite; 2° se, posto le quantità ak così definite verificano il sistema (5). 26. UNA CONDIZIONE SUFFICIENTE D'APPROSSIMABILITÀ PER SERIE. — Ai casi osservati — nella teoria dei determinanti infiniti — da Poincaré e da von Koch in cui riesce il metodo, così esposto, delle ridotte, ne aggiungeremo due nuovi, specialmente interessanti per le nostre applicazioni. Un primo caso si verifica nelle condizioni espresse dal seguente TEOREMA. — Il sistema [fA]' di funzioni linearmente indipendenti in h, sia ivi completo. Sia (a"" 0 5 a 1" ..., <Xk" soluzione del sistema ridotto e si abbia uniformemente al variare di p per valori intieri e positivi. Allora, la serie (3), convergendo su E in media, approssima ivi la funzione f di quadrato sommabile, arbitrariamente data, ed in particolare, dunque, le ak verificano il sistema (5). Ed invero, posto al divergere di n, la Fn, come abbiamo visto al n° 20, converge su E in media verso la funzione f, e perciò, comunque si scelga la funzione g in E, ivi di quadrato sommabile, si avrà : La serie risulta convergente, in virtù della (8). Si ha infatti e quindi uniformemente al variare di p, Si trae poi dalla (9), allo stesso modo, che, uniformemente al variare di p, poichè Ma, valendo la (11), è facile dimostrare che e pertanto, segue dalla (ro), ciò che appunto si voleva dimostrare. La (8) esprime inoltre la convergenza su E in media della serie (3). 27. UNA SECONDA CONDIZIONE SUFFICIENTE D'APPROSSIMABILITÀ PER SERIE. — Un secondo caso in cui, per la risoluzione del sistema (5), è applicabile il metodo delle ridotte, si trova appoggiandosi sulla seguente proposizione della teoria delle limiti [cf.
dunque, le ak verificano il sistema (5). Ed invero, posto al divergere di n, la Fn, come abbiamo visto al n° 20, converge su E in media verso la funzione f, e perciò, comunque si scelga la funzione g in E, ivi di quadrato sommabile, si avrà : La serie risulta convergente, in virtù della (8). Si ha infatti e quindi uniformemente al variare di p, Si trae poi dalla (9), allo stesso modo, che, uniformemente al variare di p, poichè Ma, valendo la (11), è facile dimostrare che e pertanto, segue dalla (ro), ciò che appunto si voleva dimostrare. La (8) esprime inoltre la convergenza su E in media della serie (3). 27. UNA SECONDA CONDIZIONE SUFFICIENTE D'APPROSSIMABILITÀ PER SERIE. — Un secondo caso in cui, per la risoluzione del sistema (5), è applicabile il metodo delle ridotte, si trova appoggiandosi sulla seguente proposizione della teoria delle limiti [cf. RIESZ, loc. cit., n° 40] : I sistemi di quantità finite (reali o complesse) siano tali che esistano due numeri reali e positivi q e L, il primo maggiore di uno, per i quali le due serie convergano, mentre la somma della prima non supera, qualunque sia //, il numero L. Allora se esistono, determinati e finiti, i limiti Ii in a[kl) = a"(k = o, 1, 2, ...), Vi «P/vi risultando convergente l' ultima serie scritta. In base a questa proposizione è facile dimostrare il TEOREMA. — Il sistema [fA]' di funzioni linearmente indipendenti in h, sia ivi completo. Sia ((Il) ao , al (11) , ..., alt (Il) la soluzione del sistema ridotto (6) e si abbia : lo esiste un numero reale p maggiori di -' 2 per cui converge la serie III0 esiste un numero positivo L, tale che, qualunque sia ii, r -isulla : Allora la serie (3) approssima in E la funzione f di quadrato sommabile, arbitrariamente data, ed in particolare, dunque, le ak verificano il sistema (5). Si ha, invero, comunque si scelga la funzione g in E, ivi di quadrato sommabile, basterà perciò dimostrare che: In virtù delle ipotesi del teorema, ciò
L. Allora se esistono, determinati e finiti, i limiti Ii in a[kl) = a"(k = o, 1, 2, ...), Vi «P/vi risultando convergente l' ultima serie scritta. In base a questa proposizione è facile dimostrare il TEOREMA. — Il sistema [fA]' di funzioni linearmente indipendenti in h, sia ivi completo. Sia ((Il) ao , al (11) , ..., alt (Il) la soluzione del sistema ridotto (6) e si abbia : lo esiste un numero reale p maggiori di -' 2 per cui converge la serie III0 esiste un numero positivo L, tale che, qualunque sia ii, r -isulla : Allora la serie (3) approssima in E la funzione f di quadrato sommabile, arbitrariamente data, ed in particolare, dunque, le ak verificano il sistema (5). Si ha, invero, comunque si scelga la funzione g in E, ivi di quadrato sommabile, basterà perciò dimostrare che: In virtù delle ipotesi del teorema, ciò è un' immediata conseguenza della proposizione di limite ultimamente enunciata, poiché, posto : si ha : e l'ultima diseguaglianza, in forza dell' ipotesi la, conduce alla convergenza della serie I Xk =0 VII. — Sui sistemi Schmidtiani. 28. PRELIMINARI. — Assegnate le quantità finite e reali ail" (i, k = o, 1, 2, ...). prendiamo a considerare il sistema di infinite equazioni lineari nelle infinite quantità reali incognite x, y, z, ... Schmidt (loc. cit., p. 359) ha studiato il sistema (r) nell'ipotesi che le serie convergano per ogni valore dell'indice i. In tale ipotesi noi diremo il sistema (I) un sistema schmidtiano. Diremo poi, con Schmidt, che il sistema di quantità [Xk] è una soluzione del sistema (I) se: 1° la serie xk è convergente, ciò che, per la convergenza delle serie (2), ha di conseguenza l'assoluta convergenza delle serie ai primi membri delle (i); 2° per il sistema di valori, le serie ai primi membri delle (I) hanno per somma i secondi membri. Questo paragrafo finale vogliamo brevemente trattare i sistemi schmidtiani e ciò allo scopo, principalmente, di conseguire una nuova interpretazione del difficile problema di vedere se un dato sistema di funzioni è completo o pur no,
o, 1, 2, ...). prendiamo a considerare il sistema di infinite equazioni lineari nelle infinite quantità reali incognite x, y, z, ... Schmidt (loc. cit., p. 359) ha studiato il sistema (r) nell'ipotesi che le serie convergano per ogni valore dell'indice i. In tale ipotesi noi diremo il sistema (I) un sistema schmidtiano. Diremo poi, con Schmidt, che il sistema di quantità [Xk] è una soluzione del sistema (I) se: 1° la serie xk è convergente, ciò che, per la convergenza delle serie (2), ha di conseguenza l'assoluta convergenza delle serie ai primi membri delle (i); 2° per il sistema di valori, le serie ai primi membri delle (I) hanno per somma i secondi membri. Questo paragrafo finale vogliamo brevemente trattare i sistemi schmidtiani e ciò allo scopo, principalmente, di conseguire una nuova interpretazione del difficile problema di vedere se un dato sistema di funzioni è completo o pur no, interpretazione che può talvolta giovare alla risoluzione di quel problema. Vedremo di più che, in alcuni risultati dei §§ IV et V sono contenuti i principali risultati di Schmidt (loc. cit.) concernenti i sistemi (i). CONNESSIONE FRA I SISTEMI SCHMIDTIANI E CERTI SISTEMI DI INFINITE EQUAZIONI INTEGRALI. — Dato il sistema [F(A(P))] di funzioni di quadrato sommabile in un insieme E, per decidere la completezza ivi, occorre considerare il seguente sistema di infinite equazioni integrali lineari ed omogenee: nella funzione incognita g(P), supposta pur essa di quadrato sommabile in E. Il sistema (3) rientra, come caso particolare, nel seguente ove le βi sono quantità reali, arbitrariamente assegnate. Diremo, brevemente, che la g(P) è una soluzione del sistema (4) se: 1° essa è in E di quadrato sommabile; 2° essa soddisfa alle equazioni del sistema. Un teorema di risolubilità del sistema (4) è già contenuto nei risultati del n° 15. Ortogonalizzando, invero, il sistema [fki], supposto di funzioni linearmente indipendenti — al quale caso si può sempre ridurre — si avrà ?k = V [ sistema (4), poiché Cij = 1 = o, equivalente a V = 0 c, y, z, ... vale al seguente onde (cf. n° 15), in virtù
sistema [F(A(P))] di funzioni di quadrato sommabile in un insieme E, per decidere la completezza ivi, occorre considerare il seguente sistema di infinite equazioni integrali lineari ed omogenee: nella funzione incognita g(P), supposta pur essa di quadrato sommabile in E. Il sistema (3) rientra, come caso particolare, nel seguente ove le βi sono quantità reali, arbitrariamente assegnate. Diremo, brevemente, che la g(P) è una soluzione del sistema (4) se: 1° essa è in E di quadrato sommabile; 2° essa soddisfa alle equazioni del sistema. Un teorema di risolubilità del sistema (4) è già contenuto nei risultati del n° 15. Ortogonalizzando, invero, il sistema [fki], supposto di funzioni linearmente indipendenti — al quale caso si può sempre ridurre — si avrà ?k = V [ sistema (4), poiché Cij = 1 = o, equivalente a V = 0 c, y, z, ... vale al seguente onde (cf. n° 15), in virtù dell'ortogonalità del sistema [SDi(P)] si ha: TEOREMA RIESZ-FISCHER. — Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema (4) possieda una soluzione è che risulti convergente la serie soddisfatta questa condizione, una soluzione del sistema è data da: Ora noi vogliamo mostrare che la ricerca di tutte le soluzioni del sistema (4) equivale alla ricerca di tutte le soluzioni del più generale sistema schmidtiano. Sia [f,(P)] un particolare sistema di funzioni, ortogonale e completo in E, che riteniamo fissato una volta per tutte. Ponendo si avrà (cf. n° 15, 16, 18) e pertanto, il sistema (i) di infinite equazioni lineari, i cui coefficienti sono dati dalle (5) è un sistema schmidtiano. Esso si dirà il sistema schmidtiano associato al sistema (4) di equazioni integrali. Viceversa dato il sistema schmidtiano (i), ponendo il sistema di equazioni integrali (4), per il quale le f(P) sono date dalle (6), si dirà il sistema di equazioni integrali associato al dato sistema schmidtiano. Evidentemente: Si il sistema (4) di equazioni integrali è associato al sistema schmidtiano (i), reciprocamente, questo sistema è associato a quello. I due sistemi (i) e (4) siano associati l'uno all'altro. Sia g(P) una soluzione del sistema (4) di equazioni integrali, ponendo: si avrà
equivale alla ricerca di tutte le soluzioni del più generale sistema schmidtiano. Sia [f,(P)] un particolare sistema di funzioni, ortogonale e completo in E, che riteniamo fissato una volta per tutte. Ponendo si avrà (cf. n° 15, 16, 18) e pertanto, il sistema (i) di infinite equazioni lineari, i cui coefficienti sono dati dalle (5) è un sistema schmidtiano. Esso si dirà il sistema schmidtiano associato al sistema (4) di equazioni integrali. Viceversa dato il sistema schmidtiano (i), ponendo il sistema di equazioni integrali (4), per il quale le f(P) sono date dalle (6), si dirà il sistema di equazioni integrali associato al dato sistema schmidtiano. Evidentemente: Si il sistema (4) di equazioni integrali è associato al sistema schmidtiano (i), reciprocamente, questo sistema è associato a quello. I due sistemi (i) e (4) siano associati l'uno all'altro. Sia g(P) una soluzione del sistema (4) di equazioni integrali, ponendo: si avrà e quindi le (7) forniscono una soluzione del sistema schmidtiano (I). Viceversa, sia [xk] una soluzione del sistema schmidtiano (i), ponendo allora si avrà una soluzione del sistema (4) di equazioni integrali. Onde il TEOREMA. — Dato il sistema (4) di equazioni integrali, ad esso, mediante le formule (5), è associato un sistema schmidtiano (i). Viceversa, dato il sistema schmidtiano (I), ad esso, mediante le formule (6), è associato un sistema (4) di equazioni integrali. Vi è corrispondenza biunivoca fra le soluzioni di due sistemi associati. Le (8) fanno passare da una soluzione del sistema (4) di equazioni integrali ad una soluzione dell'associato sistema schmidtiano; viceversa, la (8) fa passare da una soluzione del sistema schmidtiano (i) ad una soluzione dell'associato sistema di equazioni integrali. Al sistema (3) di equazioni integrali è associato il sistema schmidtiano omogeneo e dal teorema ora enunciato si deduce il COROLLARIO. — Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema di funzioni [fd sia completo in E, è che il sistema schmidtiano omogeneo (9), associato al sistema (3) di equazioni integrali, non abbia che la soluzione nulla, cioè la soluzione Xk = o (k = o, 1, 2, ...). UN ESEMPIO. — Con questa ultima proposizione
associato un sistema schmidtiano (i). Viceversa, dato il sistema schmidtiano (I), ad esso, mediante le formule (6), è associato un sistema (4) di equazioni integrali. Vi è corrispondenza biunivoca fra le soluzioni di due sistemi associati. Le (8) fanno passare da una soluzione del sistema (4) di equazioni integrali ad una soluzione dell'associato sistema schmidtiano; viceversa, la (8) fa passare da una soluzione del sistema schmidtiano (i) ad una soluzione dell'associato sistema di equazioni integrali. Al sistema (3) di equazioni integrali è associato il sistema schmidtiano omogeneo e dal teorema ora enunciato si deduce il COROLLARIO. — Condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema di funzioni [fd sia completo in E, è che il sistema schmidtiano omogeneo (9), associato al sistema (3) di equazioni integrali, non abbia che la soluzione nulla, cioè la soluzione Xk = o (k = o, 1, 2, ...). UN ESEMPIO. — Con questa ultima proposizione il problema di decidere se un dato sistema di funzioni è o no completo, viene trasformato in quello di vedere se il sistema schmidtiano omogeneo corrispondente possiede soltanto la soluzione nulla o ne possiede altre. Ora tale trasformazione può talvolta riuscire utile per la risoluzione di quel problema. Convinciamocene con un esempio. Sia x una costante reale, si tratta di vedere se il sistema di funzioni della variabile x: è, nell'intervallo (0, 2 π), completo o pur no. Come sistema [fA.], ortogonale e completo in (0, 2 π), prendiamo quello definito dalle uguaglianze Il sistema schmidtiano associato al sistema (3) di equazioni integrali, si scrive, nel caso attuale, dopo facili trasformazioni, Se x > 2, una soluzione evidente di tale sistema si ottiene ponendo Pertanto, per x > 2, il sistema di funzioni (10) non è completo in (0, 2 π), ed una funzione g(x) che verifica simultaneamente le (3) è data da, RISULTATI DI SCHMIDT. — Nella citata memoria (loc. cit., p. 35 9) Lo Schmidt ha formulato vari criteri di risolubilità per i sistemi schmidtiani e ha dato inoltre una condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema schmidtiano omogeneo non abbia che la soluzione nulla. L'interesse per questo
un esempio. Sia x una costante reale, si tratta di vedere se il sistema di funzioni della variabile x: è, nell'intervallo (0, 2 π), completo o pur no. Come sistema [fA.], ortogonale e completo in (0, 2 π), prendiamo quello definito dalle uguaglianze Il sistema schmidtiano associato al sistema (3) di equazioni integrali, si scrive, nel caso attuale, dopo facili trasformazioni, Se x > 2, una soluzione evidente di tale sistema si ottiene ponendo Pertanto, per x > 2, il sistema di funzioni (10) non è completo in (0, 2 π), ed una funzione g(x) che verifica simultaneamente le (3) è data da, RISULTATI DI SCHMIDT. — Nella citata memoria (loc. cit., p. 35 9) Lo Schmidt ha formulato vari criteri di risolubilità per i sistemi schmidtiani e ha dato inoltre una condizione necessaria e sufficiente affinché un sistema schmidtiano omogeneo non abbia che la soluzione nulla. L'interesse per questo esempio è suscitato vieppiù dal fatto che il considerato sistema di funzioni è, al contrario, completo in (0, 27r) se I < o < 1: per o < 0 il sistema si riduce a quello solito di Fourier. L'asserita completezza, per C < 1, del sistema (io) si troverà dimostrata, come caso particolare, nella memoria a questa successiva trattante il problema di Dirichlet; annunziata nella Prefazione. (L'indicato sistema si presenta appunto nel problema esterno di Dirichlet per l'ellisse.) Ne seguirà che il sistema schmidtiano omogeneo al quale ponendo x = P., X2 = CV, ovvero xV4 = 1 = v — si riduce quello ottenuto nel testo, non possiede, per 3 < 1, che la soluzione nulla. Di ciò non sono riuscito a dare una dimostrazione diretta, per quanto, a prima vista, essa sembri facilmente conseguibile. Il criterio, enunciato al n° 29, di risolubilità per il sistema di equazioni integrali (4), associato al sistema schmidtiano (i), dà per questo ultimo un criterio che coincide con quello dato dallo Schmidt al § 14 della sua memoria. Il criterio di completezza, enunciato al n° 21, applicato al sistema Lfk di funzioni definite dalle (6), dà una condizione necessaria e sufficiente affinché il
come caso particolare, nella memoria a questa successiva trattante il problema di Dirichlet; annunziata nella Prefazione. (L'indicato sistema si presenta appunto nel problema esterno di Dirichlet per l'ellisse.) Ne seguirà che il sistema schmidtiano omogeneo al quale ponendo x = P., X2 = CV, ovvero xV4 = 1 = v — si riduce quello ottenuto nel testo, non possiede, per 3 < 1, che la soluzione nulla. Di ciò non sono riuscito a dare una dimostrazione diretta, per quanto, a prima vista, essa sembri facilmente conseguibile. Il criterio, enunciato al n° 29, di risolubilità per il sistema di equazioni integrali (4), associato al sistema schmidtiano (i), dà per questo ultimo un criterio che coincide con quello dato dallo Schmidt al § 14 della sua memoria. Il criterio di completezza, enunciato al n° 21, applicato al sistema Lfk di funzioni definite dalle (6), dà una condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema schmidtiano omogeneo (9) non abbia che la soluzione nulla. Tale condizione contiene come caso particolare quella trovata dallo Schmidt al § 11 della sua memoria. Per avere il preciso enunciato di Schmidt, premettiamo la seguente osservazione: Indicando con u.0, u., ..., dei parametri indeterminati, condizione necessaria e sufficiente affinché, qualunque sia n, i primi membri delle prime n + 1 equazioni del sistema schmidtiano (9), siano linearmente indipendenti è che la seguente forma quadratica negli indicati parametri, sia definita positiva. Adunque, osservando che supposta l'indipendenza lineare delle funzioni ne segne l'indipendenza lineare, qualunque sia n, dei primi membri delle prime n + 1 equazioni del sistema schmidtiano (9), associato al sistema (3) di equazioni integrali, e viceversa. Poniamo ora e, per enunciare il criterio di completezza del n° 21, usiamo, in particolare, in luogo del sistema completo arbitrario [gv], il sistema ortogonale e completo del n° 29, allora, con le attuali notazioni, si ha precisamente il TEOREMA DI SCHMIDT. — Dato il sistema schmidtiano omogeneo (9), tale che, qualunque sia n, i primi membri delle prime n + 1 equazioni siano linearmente indipendenti, condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema non possieda che la soluzione nulla, è che, per