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l'extrémité de la grande plaine du nord-ouest de l'Europe qui va de l'Oural à la mer du Nord ; c'est un lieu de passage et de transit entre la France et les pays du Nord et elle a souvent servi de champ de bataille au cours des grandes guerres européennes. Elle fait partie du bassin de Londres, limité de ce côté par la partie de la chaîne hercynienne représentée aujourd'hui par l'Ardenne, réduite à l'état de plateau par l'érosion ; au pied de cette barrière se sont accumulés les dépôts bouillons et divers sédiments plus ou moins fertiles. La Belgique possède environ la moitié du riche bassin houiller franco-belge qui s'allonge du pied de l'Artois jusqu'à Liège. Les bassins du Borinage, de Mons, de Charleroi, de Liège et du Limbourg s'étendent sur une longueur de 170 km. et sur 33 à 35 km. de large ; ils fournissent, chaque année, près de 28 millions de tonnes de charbon. De plus, dans la Campine, près de la frontière hollandaise, on a découvert de nouvelles couches situées à une grande profondeur, mais très riches. Grâce à sa richesse en charbon, la Belgique peut entretenir une grande activité industrielle et exporter le précieux combustible chez les nations qui en manquent. Le SUEZ-SOUMASS providing, encore à l'industrie des minerais de fer et de zinc. De Mons à Liège, le long de la Sambre et de la Meuse, se succèdent les usines aux cheminées fumantes, les collines artificielles qui sont les tas de débris des mines. 290 L'ECOLE ET LA FAMILLE Les hauts fourneaux y produisent annuellement 40 millions de tonnes de fonte ; les ateliers métallurgiques y construisent des locomotives, des wagons, des navires, des ponts et aussi des moteurs électriques ; d'importantes verreries y occupent près de 40 000 ouvriers. Plus ancienne est l'industrie du textile, que la population de la Flandre, trop nombreuse pour pouvoir vivre seulement du sol, a pratiquée dès le moyen âge. Une main-d'œuvre spécialisée s'y livre au tissage de la laine, encore le plus important ; du lin et du chanvre, dont le travail est favorisé par le
combustible chez les nations qui en manquent. Le SUEZ-SOUMASS providing, encore à l'industrie des minerais de fer et de zinc. De Mons à Liège, le long de la Sambre et de la Meuse, se succèdent les usines aux cheminées fumantes, les collines artificielles qui sont les tas de débris des mines. 290 L'ECOLE ET LA FAMILLE Les hauts fourneaux y produisent annuellement 40 millions de tonnes de fonte ; les ateliers métallurgiques y construisent des locomotives, des wagons, des navires, des ponts et aussi des moteurs électriques ; d'importantes verreries y occupent près de 40 000 ouvriers. Plus ancienne est l'industrie du textile, que la population de la Flandre, trop nombreuse pour pouvoir vivre seulement du sol, a pratiquée dès le moyen âge. Une main-d'œuvre spécialisée s'y livre au tissage de la laine, encore le plus important ; du lin et du chanvre, dont le travail est favorisé par le climat humide ; du coton et du jute à Gand et dans les environs. Tapisseries, tapis et dentelle occupent aussi de nombreux ouvriers. Bien que la Belgique soit avant tout un pays industriel, la production agricole y est en progrès constant, alors que le sol naturellement fertile ne représente guère que le tiers du territoire. Le gouvernement s'est efforcé d'accroître le rendement par la diffusion des meilleures méthodes de culture et d'élevage : instituts et écoles d'agriculture, laboratoires d'analyse, conférenciers tiennent au courant des progrès de la science le paysan d'ailleurs intelligent et tenace, qui sait faire un emploi judicieux des engrais artificiels, connaît les avantages des graines sélectionnées et supplée au manque de main-d'œuvre par les machines agricoles. Sur les plateaux froids et humides de l'Ardenne, la lande et les marécages, qui alternaient avec la forêt, amendés et asséchés, ont été convertis en prairies. Les plaines de la Moyenne Belgique, en général très fertiles, constituent une grande région agricole productrice de blé et de betterave sucrière et centre d'élevage. Dans la Basse Belgique, si l'infertile Campine n'est couverte que de landes et de maigres pâturages, la Flandre intérieure, outre des cultures maraîchères destinées aux grandes villes, produit du seigle,
que le tiers du territoire. Le gouvernement s'est efforcé d'accroître le rendement par la diffusion des meilleures méthodes de culture et d'élevage : instituts et écoles d'agriculture, laboratoires d'analyse, conférenciers tiennent au courant des progrès de la science le paysan d'ailleurs intelligent et tenace, qui sait faire un emploi judicieux des engrais artificiels, connaît les avantages des graines sélectionnées et supplée au manque de main-d'œuvre par les machines agricoles. Sur les plateaux froids et humides de l'Ardenne, la lande et les marécages, qui alternaient avec la forêt, amendés et asséchés, ont été convertis en prairies. Les plaines de la Moyenne Belgique, en général très fertiles, constituent une grande région agricole productrice de blé et de betterave sucrière et centre d'élevage. Dans la Basse Belgique, si l'infertile Campine n'est couverte que de landes et de maigres pâturages, la Flandre intérieure, outre des cultures maraîchères destinées aux grandes villes, produit du seigle, de l'avoine, du lin et du chanvre, de la betterave, du tabac, du houblon : la Flandre maritime, conquise en partie sur la mer, est surtout un pays d'élevage. Le commerce de la Belgique, favorisé par ses mines et par sa situation au milieu des plus grands Etats industriels de l'Europe, est facilité par un réseau serré de voies navigables et surtout de voies ferrées qui assurent un commerce de transit considérable ; à l'importation figurent des matières premières (coton, laine, jute, caoutchouc) et des matières alimentaires ; à l'exportation, de la houille et des objets manufacturés. Le grand port d'Anvers sert non seulement au commerce du pays, mais encore aux importations anglaises sur le continent ; son trafic considérable (14 millions de tonneaux) le classe le troisième des ports européens. Ainsi, grâce à sa position, à ses richesses naturelles, à son industrie, à l'activité intelligente de ses habitants, la Belgique est une puissance économique dont l'importance offre un saisissant contraste avec le peu d'étendue de son territoire. MATHEMATIQUES 1. — On veut planter 324 arbustes sur un terrain rectangulaire ABCD de longueur 140 m. et de largeur 32 m. Ces arbustes doivent former des rangées équidistantes, parallèles à AB,
l'Europe, est facilité par un réseau serré de voies navigables et surtout de voies ferrées qui assurent un commerce de transit considérable ; à l'importation figurent des matières premières (coton, laine, jute, caoutchouc) et des matières alimentaires ; à l'exportation, de la houille et des objets manufacturés. Le grand port d'Anvers sert non seulement au commerce du pays, mais encore aux importations anglaises sur le continent ; son trafic considérable (14 millions de tonneaux) le classe le troisième des ports européens. Ainsi, grâce à sa position, à ses richesses naturelles, à son industrie, à l'activité intelligente de ses habitants, la Belgique est une puissance économique dont l'importance offre un saisissant contraste avec le peu d'étendue de son territoire. MATHEMATIQUES 1. — On veut planter 324 arbustes sur un terrain rectangulaire ABCD de longueur 140 m. et de largeur 32 m. Ces arbustes doivent former des rangées équidistantes, parallèles à AB, la première étant sur AB et la dernière sur CD. Ils doivent aussi former des rangées équidistantes parallèles à BC, la première étant sur BC et la dernière sur AD. Trouver quelle doit être la distance de deux rangées consécutives, sachant que cette distance est la même pour les rangées parallèles à AB que pour les rangées parallèles à BC. Solution. — Soit x l'intervalle entre deux arbustes consécutifs d'une même rangée. Dans la longueur AB, il y aura intervalles 2R. La racine positive convient seule à renoncer et la distance demandée est 4R. 2. — On donne deux cercles O et O' de rayons R et R' tangents extérieurement. On mène la tangente commune extérieure AB. En C, point de contact des deux cercles, on mène la tangente commune intérieure qui coupe AB en M. 1° Calculer AB en fonction de R et R'. 2° Montrer que M est le milieu de AB. 3° Donner la valeur de l'angle OMO'. 4° Dire la nature du quadrilatère ABO'O et en donner la surface. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles
parallèles à AB que pour les rangées parallèles à BC. Solution. — Soit x l'intervalle entre deux arbustes consécutifs d'une même rangée. Dans la longueur AB, il y aura intervalles 2R. La racine positive convient seule à renoncer et la distance demandée est 4R. 2. — On donne deux cercles O et O' de rayons R et R' tangents extérieurement. On mène la tangente commune extérieure AB. En C, point de contact des deux cercles, on mène la tangente commune intérieure qui coupe AB en M. 1° Calculer AB en fonction de R et R'. 2° Montrer que M est le milieu de AB. 3° Donner la valeur de l'angle OMO'. 4° Dire la nature du quadrilatère ABO'O et en donner la surface. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' = R + R'. Le triangle ONO', rectangle en N, donne : O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB = 4 RR' = 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a : MA = MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices MO et MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et O'B et pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB.
: O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB = 4 RR' = 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a : MA = MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices MO et MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et O'B et pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' = R + R'. Le triangle ONO', rectangle en N, donne : O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB = 4 RR' = 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a : MA = MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices MO et MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et O'B et pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' = R + R'. Le triangle ONO', rectangle en
= 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a : MA = MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices MO et MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et O'B et pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' = R + R'. Le triangle ONO', rectangle en N, donne : O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB = 4 RR' = 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a : MA = MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices MO et MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et O'B et pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' = R + R'. Le triangle ONO', rectangle en N, donne : O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB =
MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices MO et MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et O'B et pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' = R + R'. Le triangle ONO', rectangle en N, donne : O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB = 4 RR' = 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a : MA = MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices MO et MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et O'B et pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' = R + R'. Le triangle ONO', rectangle en N, donne : O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB = 4 RR' = 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a :
MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et O'B et pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' = R + R'. Le triangle ONO', rectangle en N, donne : O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB = 4 RR' = 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a : MA = MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices MO et MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et O'B et pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' = R + R'. Le triangle ONO', rectangle en N, donne : O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB = 4 RR' = 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a : MA = MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices
pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' = R + R'. Le triangle ONO', rectangle en N, donne : O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB = 4 RR' = 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a : MA = MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices MO et MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et O'B et pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' = R + R'. Le triangle ONO', rectangle en N, donne : O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB = 4 RR' = 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a : MA = MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices MO et MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et
rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' = R + R'. Le triangle ONO', rectangle en N, donne : O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB = 4 RR' = 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a : MA = MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices MO et MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et O'B et pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' = R + R'. Le triangle ONO', rectangle en N, donne : O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB = 4 RR' = 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a : MA = MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices MO et MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et O'B et pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. —
un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' = R + R'. Le triangle ONO', rectangle en N, donne : O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB = 4 RR' = 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a : MA = MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices MO et MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et O'B et pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' = R + R'. Le triangle ONO', rectangle en N, donne : O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB = 4 RR' = 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a : MA = MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices MO et MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et O'B et pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère
R'. Le triangle ONO', rectangle en N, donne : O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB = 4 RR' = 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a : MA = MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices MO et MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et O'B et pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' = R + R'. Le triangle ONO', rectangle en N, donne : O'N2 = AB2 = OO2 — ON2 = (R + R')2 — (R — R')2 = 4 RR' d'où AB = 4 RR' = 2 RR. 2° On sait que les tangentes à une même circonférence issues d'un même point sont égales. On a : MA = MC = MB et le point M est le milieu de AB. 3° Les angles AMC et BMC sont supplémentaires, leurs bissectrices MO et MO' sont donc perpendiculaires et l'angle OMO' est droit. 4° Le quadrilatère ABO'O est un trapèze qui a pour bases OA et O'B et pour hauteur AB. 5° Dans le cas particulier où l'on a : R=3 R', calculer l'aire du triangle curviligne AOB. Solution. — 1° Les rayons OA et O'B sont parallèles comme perpendiculaires à la même tangente AB. Si l'on mène O'N parallèle à AB, le quadrilatère ABO'N est un parallélogramme et O'N = AB. On a AN = O'B = R', d'où ON = R — R'. D'ailleurs OO' =