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funzione g" del sistema [g,,], completo in E, è approssimabile per serie di funzioni del sistema ortogonale [q-;k], precisamente, dalla serie anzi la (18) esprime che questa serie converge su E in media verso la g V' Quest'ultimo teorema (in modo speciale) si suole considerare come un criterio di completezza per il sistema ortogonale [?k] Si osserva che (cf. n° 2) la serie nel secondo membro della (i5) converge unanimemente (in ogni caso) al variare in E dell' insieme A. Essa converge anche assolutamente [c/. nota ('), p. 362]. jormementelente (in ogni caso) al variare in E dell' insieme A. Essa converge anche assolutamente [c/. nota ('), p. 362]. Approssimazione per combinazioni lineari di funzioni del più generale sistema completo. 19. PRIMA SOLUZIONE DEL PROBLEMA GENERALE D'APPROSSIMAZIONE. — Ritorniamo ora al problema generale dell' approssimazione in E di una funzione ivi assegnata, di quadrato sommabile, mediante combinazioni lineari di funzioni di un sistema (') /"(P), Il (P), In (p), per il quale si suppone soltanto l'indipendenza lineare e la completezza in E. Al problema si può dare immediatamente una prima soluzione. Ortogonalizziamo, invero, il sistema (i) e sia [&lt;p*J il sistema, ortogonale e completo, che se ne deduce, risultando 9k = I CkifiPer quanto si è ottenuto al n° 15, posto i=o la combinazione lineare al divergere di ti, approssima in E l'assegnata funzione f(P), anzi, essa converge su E in media verso quella funzione, ed in maniera che l'integrale infinitesimo con TI divergente, non cresce mai al crescere di n. Si ha dunque il TEOREMA. — La completezza in E del sistema [fk], di funzioni linearmente indipendenti, è non soltanto condizione necessaria ma anche sufficiente affinché si possa, mediante combinazioni lineari dei suoi termini, approssimare in E ogni funzione f ivi di quadrato sommabile. Si può anzi trovare una combinazione lineare @e N &lt;I&gt;n = V In1 fk che, al divergere di n, converge su E in media verso la funzione f, ed in maniera che l'integrale (2) non cresca mai al crescere di n. Per modo che, se, ad esempio, per la successione di indici [ns], il detto
= I CkifiPer quanto si è ottenuto al n° 15, posto i=o la combinazione lineare al divergere di ti, approssima in E l'assegnata funzione f(P), anzi, essa converge su E in media verso quella funzione, ed in maniera che l'integrale infinitesimo con TI divergente, non cresce mai al crescere di n. Si ha dunque il TEOREMA. — La completezza in E del sistema [fk], di funzioni linearmente indipendenti, è non soltanto condizione necessaria ma anche sufficiente affinché si possa, mediante combinazioni lineari dei suoi termini, approssimare in E ogni funzione f ivi di quadrato sommabile. Si può anzi trovare una combinazione lineare @e N &lt;I&gt;n = V In1 fk che, al divergere di n, converge su E in media verso la funzione f, ed in maniera che l'integrale (2) non cresca mai al crescere di n. Per modo che, se, ad esempio, per la successione di indici [ns], il detto integrale non saprà la frazione I :s2, la successione converge sia E uniformemente in generale e vi rappresenta la f. Si deduce adunque immediatamente dalla successione [&lt;I&gt;n] una successione [&lt;I&gt;n,] di combinazioni lineari delle f" che converge, quasi ovunque in E, verso la funzione f. 20. METODO D'APPROSSIMAZIONE DEI MINIMI QUADRATI. Passiamo ora ad esporre un più pratico metodo d'approssimazione, per combinazioni lineari di funzioni del sistema completo (i), che — pur potendo coincidere, nel risultato, col precedente — non richiede la preliminare orthogonalizzazione del sistema e che, inoltre (e sta in ciò il suo principale vantaggio), per ogni fissato numero n di funzioni del sistema, partecipanti alla combinazione, fornisce la migliore approssimazione possibile. Fissato un valore di ii, si consideri l'integrale e si diano alle costanti a,, a,, ..., quei valori per i quali l'integrale assume il suo minimo valore. Questi valori sono determinati univocamente dal seguente sistema di equazioni lineari al quale devono soddisfare il cui determinante risulta positivo per la supposta indipendenza lineare delle funzioni del sistema [fk]. Indichiamo con i valori in discorso e poniamo Facciamo ora variare n. In ogni caso, la quantità Ijn, evidentemente, non crescerà mai al crescere di n, sia o no
QUADRATI. Passiamo ora ad esporre un più pratico metodo d'approssimazione, per combinazioni lineari di funzioni del sistema completo (i), che — pur potendo coincidere, nel risultato, col precedente — non richiede la preliminare orthogonalizzazione del sistema e che, inoltre (e sta in ciò il suo principale vantaggio), per ogni fissato numero n di funzioni del sistema, partecipanti alla combinazione, fornisce la migliore approssimazione possibile. Fissato un valore di ii, si consideri l'integrale e si diano alle costanti a,, a,, ..., quei valori per i quali l'integrale assume il suo minimo valore. Questi valori sono determinati univocamente dal seguente sistema di equazioni lineari al quale devono soddisfare il cui determinante risulta positivo per la supposta indipendenza lineare delle funzioni del sistema [fk]. Indichiamo con i valori in discorso e poniamo Facciamo ora variare n. In ogni caso, la quantità Ijn, evidentemente, non crescerà mai al crescere di n, sia o no completo il sistema [/kJ. Esisterà pertanto, in ogni caso, determinato e finito e non negativo il limite a di al divergere di n. Se il sistema [fk] è completo, poiché non supera certo il valore dell'integrale (2), che riesce allora, come abbiamo visto, infinitesimo con n divergente, si avrà <r = lim en = o. Si ha dunque il seguente. METODO GENERALE D'APPROSSIMAZIONE (DEI MINIMI QUADRATI). Dato il sistema completo [fk] di funzioni linearmente indipendenti, volendo, mediante combinazioni lineari di queste funzioni, approssimare in E una assegnata funzione f, ivi di quadrato sommabile, si determinino, per ogni valore dell'indice n, le costanti a (n, 1, d;), ..., soluzioni del sistema (3) di equazioni lineari; la combinazione lineare Fn(P) = V a fk(P), al divergere di n, approssima allora k=, in E l'assegnata funzione f(P). Anzi, al divergere di n, l'indicata combinazione converge su E in media verso la f, ed in maniera che l'integrale (5) non cresce mai al crescere di n. Inoltre, per ogni prefissato valore di n, la stessa combinazione, fra tutte quelle delle medesime funzioni fk, f2, approssima, in tutto E, la f nel miglior modo possibile, cioè col minimo errore quadratico medio possibile. Nel caso particolare
= lim en = o. Si ha dunque il seguente. METODO GENERALE D'APPROSSIMAZIONE (DEI MINIMI QUADRATI). Dato il sistema completo [fk] di funzioni linearmente indipendenti, volendo, mediante combinazioni lineari di queste funzioni, approssimare in E una assegnata funzione f, ivi di quadrato sommabile, si determinino, per ogni valore dell'indice n, le costanti a (n, 1, d;), ..., soluzioni del sistema (3) di equazioni lineari; la combinazione lineare Fn(P) = V a fk(P), al divergere di n, approssima allora k=, in E l'assegnata funzione f(P). Anzi, al divergere di n, l'indicata combinazione converge su E in media verso la f, ed in maniera che l'integrale (5) non cresce mai al crescere di n. Inoltre, per ogni prefissato valore di n, la stessa combinazione, fra tutte quelle delle medesime funzioni fk, f2, approssima, in tutto E, la f nel miglior modo possibile, cioè col minimo errore quadratico medio possibile. Nel caso particolare che il sistema [fk] sia ortogonale, le (3) si scrivono e l'esposto metodo d'approssimazione si riduce a quello già dato al n° 15. CRITERIO DI COMPLETEZZA PER IL PIÙ GENERALE SISTEMA DI FUNZIONI. — Siamo ora in condizione di stabilire un semplice criterio di completezza per il più generale sistema di funzioni linearmente indipendenti. Siano [lk] un sistema di funzioni, di quadrato sommabile in E, ivi linearmente indipendenti, e [gv] un particolare sistema di funzioni, completo in E. Per ogni funzione g' del sistema [gv] e per ogni valore dell'indice n si determinino le costanti a v (A = o, 1, 2, ..., n) soluzioni del sistema (3) di equazioni lineari, ove si è sostituita la f con la gv; indi si calcoli l'integrale Esiste, in ogni caso, il limite di tale integrale al divergere di n, al quale esso integrale tende non crescendo mai; orbene, condizione necessaria e sufficiente per la completezza in E del sistema [fk] è che per ogni valore dell'indice v, si abbia La condizione è già stata dimostrata necessaria. La sua sufficienza deriva dal teorema del n° 20, poiché il verificarsi di essa esprime che ogni funzione g' del sistema [g'] è ivi approssimabile per
di funzioni linearmente indipendenti. Siano [lk] un sistema di funzioni, di quadrato sommabile in E, ivi linearmente indipendenti, e [gv] un particolare sistema di funzioni, completo in E. Per ogni funzione g' del sistema [gv] e per ogni valore dell'indice n si determinino le costanti a v (A = o, 1, 2, ..., n) soluzioni del sistema (3) di equazioni lineari, ove si è sostituita la f con la gv; indi si calcoli l'integrale Esiste, in ogni caso, il limite di tale integrale al divergere di n, al quale esso integrale tende non crescendo mai; orbene, condizione necessaria e sufficiente per la completezza in E del sistema [fk] è che per ogni valore dell'indice v, si abbia La condizione è già stata dimostrata necessaria. La sua sufficienza deriva dal teorema del n° 20, poiché il verificarsi di essa esprime che ogni funzione g' del sistema [g'] è ivi approssimabile per combinazioni lineari di funzioni del sistema [fk]. Per il calcolo di detta quantità poniamo indichiamo con An il determinante d'ordine n che ha l'elemento fij per elemento della riga orizzontale i-ma e della colonna j-ma ed indichiamo con il complemento algebrico di fj in An. Il sistema di equazioni (3) si scrive allora Ciò posto, si ha Enunceremo pertanto al modo seguente il CRITERIO DI COMPLETEZZA PER UN SISTEMA DI FUNZIONI. — Dato il sistema [fk] di funzioni, di quadrato sommabile in E ed ivi linearmente indipendenti, condizione necessaria e sufficiente per la completezza in E del sistema è che, per qualunque valore dell'indice v, si abbia lim (jvn = o, arVB essendo dato dal membro finale delle eguaglianze (8), col concorso delle (7), mentre [gv(P)] è un particolare sistema di funzioni, completo in E. In ogni caso, la quantità <rVa non è mai negativa, ed essendo sempre positivo il determinante a denominatore, non sarà mai negativo il determinante a numeratore ('), per ogni fissato valore di v, al crescere di n, essa non cresce mai. (') Ciò che segue del resto anche dalla considerazione che tale determinante è il discriminante della seguente forma quadratica nei parametri À, ûo, p1,
si scrive allora Ciò posto, si ha Enunceremo pertanto al modo seguente il CRITERIO DI COMPLETEZZA PER UN SISTEMA DI FUNZIONI. — Dato il sistema [fk] di funzioni, di quadrato sommabile in E ed ivi linearmente indipendenti, condizione necessaria e sufficiente per la completezza in E del sistema è che, per qualunque valore dell'indice v, si abbia lim (jvn = o, arVB essendo dato dal membro finale delle eguaglianze (8), col concorso delle (7), mentre [gv(P)] è un particolare sistema di funzioni, completo in E. In ogni caso, la quantità <rVa non è mai negativa, ed essendo sempre positivo il determinante a denominatore, non sarà mai negativo il determinante a numeratore ('), per ogni fissato valore di v, al crescere di n, essa non cresce mai. (') Ciò che segue del resto anche dalla considerazione che tale determinante è il discriminante della seguente forma quadratica nei parametri À, ûo, p1, ..., /J-n: In particolare, nell'ipotesi che il sistema [fk] sia ortogonale in E, si ritrova il criterio Lauricella-Severini dato al n° 18: Se il sistema [fk] non è completo in E, non tutte le funzioni possono ivi essere approssimate per combinazioni lineari delle fk. In proposito, è facile dimostrare il teorema seguente. Supposto che le funzioni del sistema [fk], non completo in E, siano ivi linearmente indipendenti, tutte e sole le funzioni f, di quadrato sommabile in E, che ivi non possono essere approssimate per combinazioni lineari delle fk, sono quelle per le quali, calcolata la quantità fJn mediante le (3) e (5) del n° precedente, si ha Per ciascuna di tali funzioni, l'errore quadratico medio che si commette nel sostituire con una qualsiasi combinazione lineare delle fk, non è mai inferiore a 0", e quindie (cf. n° 6), posto B = sjv : mE, l'approssimazione di f per combinazione lineare delle fk, non può scendere al di sotto di o, cioè comunque si prenda una combinazione lineare G, delle Ik, vi è sempre una porzione di E, di misura non nulla, nei punti della quale riesce |G| > B. dei Lincei, seduta del 2 gennaio 1921). In questa elegante
teorema seguente. Supposto che le funzioni del sistema [fk], non completo in E, siano ivi linearmente indipendenti, tutte e sole le funzioni f, di quadrato sommabile in E, che ivi non possono essere approssimate per combinazioni lineari delle fk, sono quelle per le quali, calcolata la quantità fJn mediante le (3) e (5) del n° precedente, si ha Per ciascuna di tali funzioni, l'errore quadratico medio che si commette nel sostituire con una qualsiasi combinazione lineare delle fk, non è mai inferiore a 0", e quindie (cf. n° 6), posto B = sjv : mE, l'approssimazione di f per combinazione lineare delle fk, non può scendere al di sotto di o, cioè comunque si prenda una combinazione lineare G, delle Ik, vi è sempre una porzione di E, di misura non nulla, nei punti della quale riesce |G| > B. dei Lincei, seduta del 2 gennaio 1921). In questa elegante nota il Severini dà una semplicissima dimostrazione della completezza del sistema in un intervallo (a, b) qualsiasi dell’asse delle x. Se ne deduce J (cf. n° 9 del testo) la completezza dello stesso sistema in un qualsiasi insieme limitato e misurabile di Sj. La dimostrazione del S. è divisa in due parti. Nella Ia parte, semplificando assai un procedimento già seguito dallo Stieltjes, si dimostra che, fra le funzioni continue in (a, b), solamente lo zero può simultaneamente soddisfare alle equazioni. Dopo ciò, nella IIa parte, si fa il seguente ragionamento : Se per una funzione O(x) sommabile in (a, b) [veramente, l'a suppone anche la sommabilità del quadrato di O(x), ma ciò non è necessario] riescono soddisfatte le (a), ponendo O(x) =: O(x) dx, si trova, integrando per parti, che la funzione continua, anzi assolutamente continua, O(x) soddisfa alle stesse (a), e quindi, per quanto si è ottenuto con la Ia parte della dimostrazione, si deduce che O(x) è identicamente nulla in (a, b) e pertanto che è ivi O(x) = o. Con la dimostrazione del S., non soltanto si prova la completezza del sistema non soltanto cioè, supposta e(x) di quadrato sommabile, dal simultaneo verificarsi delle (a) si
due parti. Nella Ia parte, semplificando assai un procedimento già seguito dallo Stieltjes, si dimostra che, fra le funzioni continue in (a, b), solamente lo zero può simultaneamente soddisfare alle equazioni. Dopo ciò, nella IIa parte, si fa il seguente ragionamento : Se per una funzione O(x) sommabile in (a, b) [veramente, l'a suppone anche la sommabilità del quadrato di O(x), ma ciò non è necessario] riescono soddisfatte le (a), ponendo O(x) =: O(x) dx, si trova, integrando per parti, che la funzione continua, anzi assolutamente continua, O(x) soddisfa alle stesse (a), e quindi, per quanto si è ottenuto con la Ia parte della dimostrazione, si deduce che O(x) è identicamente nulla in (a, b) e pertanto che è ivi O(x) = o. Con la dimostrazione del S., non soltanto si prova la completezza del sistema non soltanto cioè, supposta e(x) di quadrato sommabile, dal simultaneo verificarsi delle (a) si deduce 6(x) = o, ma, di più, supposta semplicemente O(x) sommabile, dal simultaneo verificarsi delle (a) si deduce ancora 0(x) = o. L'elegante artificio — che rammenta quello di Du Bois-Reymond per il calcolo della variazione prima di un integrale (nel calcolo delle variazioni) — escogitato dal S. nella IIa parte della sua dimostrazione, parmi assai fecondo ; esso è stato da me ripetuto con successo in una dimostrazione di completezza per un sistema di funzioni, particolarmente interessante, che si presenta nel nuovo metodo nato di un punto di un Sr, il sistema è completo fondamentale dello spazio S,. Così pure il sistema [coskx, senkx] è completo fondamentale di S, (cf. nota, p. 373), e pertanto, il sistema è completo fondamentale dello spazio Sr. Ma c’è da osservare che, considerando bene la IIa parte della dimostrazione del S., si vede che essa permette di enunciare il seguente TEOREMA. — Sia O(x), g(x), ... una successione di funzioni sommabili in (a, b), tale che, fra le funzioni O(x), assolutamente continue in (a, b), verificanti simultaneamente le equazioni e nulle in a e in b, non esista che lo zero; allora, indicando con O1(x), o2(x), o3(x), ... una successione arbitraria di costanti,
parte della sua dimostrazione, parmi assai fecondo ; esso è stato da me ripetuto con successo in una dimostrazione di completezza per un sistema di funzioni, particolarmente interessante, che si presenta nel nuovo metodo nato di un punto di un Sr, il sistema è completo fondamentale dello spazio S,. Così pure il sistema [coskx, senkx] è completo fondamentale di S, (cf. nota, p. 373), e pertanto, il sistema è completo fondamentale dello spazio Sr. Ma c’è da osservare che, considerando bene la IIa parte della dimostrazione del S., si vede che essa permette di enunciare il seguente TEOREMA. — Sia O(x), g(x), ... una successione di funzioni sommabili in (a, b), tale che, fra le funzioni O(x), assolutamente continue in (a, b), verificanti simultaneamente le equazioni e nulle in a e in b, non esista che lo zero; allora, indicando con O1(x), o2(x), o3(x), ... una successione arbitraria di costanti, delle quali la prima non nulla, il sistema di funzioni : è non soltanto completo in (a, b), ma, di più, è tale che, supposta e(x), semplicemente, sommabile, dal simultaneo verificarsi delle equazioni si deduce l’equivalenza a zero di e(x) in (a, b). ESEMPIO. — Dalla teoria elementare (Jordan) delle serie trigonometriche si deduce subito che, fra le funzioni O(x), continue e a variazione limitata in un I. — Approssimazione per serie. CONNESSIONE FRA IL PROBLEMA D'APPROSSIMAZIONE PER SERIE E QUELLO DELLA RISOLUZIONE DEI SISTEMI DI INFINITE EQUAZIONI LINEARI IN INFINITE QUANTITÀ INCOGNITE. — Come abbiamo rilevato nella Prefazione, le approssimazioni per serie, hanno in generale — dal pratico punto di vista colà accennato — un interesse prevalentemente teorico, però, l'esame, che ci accingiamo a fare, della loro possibilità si riconnette a questioni d’analisi assai interessanti da parecchi lati. Assegnato il sistema completo in E, di funzioni ivi linearmente indipendenti, si tratta di determinare un’infinità numerabile di costanti, in modo che la serie intervallo (a, b) fra le quali si trovano le funzioni assolutamente continue in (a, b) — verificanti simultaneamente le equazioni e nulle in non esiste che lo zero. Da ciò segue allora, in virtù del teorema ora
serie trigonometriche si deduce subito che, fra le funzioni O(x), continue e a variazione limitata in un I. — Approssimazione per serie. CONNESSIONE FRA IL PROBLEMA D'APPROSSIMAZIONE PER SERIE E QUELLO DELLA RISOLUZIONE DEI SISTEMI DI INFINITE EQUAZIONI LINEARI IN INFINITE QUANTITÀ INCOGNITE. — Come abbiamo rilevato nella Prefazione, le approssimazioni per serie, hanno in generale — dal pratico punto di vista colà accennato — un interesse prevalentemente teorico, però, l'esame, che ci accingiamo a fare, della loro possibilità si riconnette a questioni d’analisi assai interessanti da parecchi lati. Assegnato il sistema completo in E, di funzioni ivi linearmente indipendenti, si tratta di determinare un’infinità numerabile di costanti, in modo che la serie intervallo (a, b) fra le quali si trovano le funzioni assolutamente continue in (a, b) — verificanti simultaneamente le equazioni e nulle in non esiste che lo zero. Da ciò segue allora, in virtù del teorema ora enunciato, che il sistema di funzioni sen kx, cos kx, (k = 0,1,2,...), è tale che, supposta la sommabilità di e(x) in (a, b), il simultaneo verificarsi delle equazioni ha di conseguenza che in (a, b) è e(x) = o. In particolare, segue la completezza in (a, b) del sistema [sen kx, cos kx]. approssimi in E la funzione f(x), ivi di quadrato sommabile, arbitrariamente data; in modo cioè che, comunque si scelga una funzione g(x) di quadrato sommabile in E, risulti sempre : Ponendo nella (4), in luogo di g, successivamente, le funzioni della successione (r), troviamo allora che le costanti (2) dovranno simultaneamente soddisfare alla seguente infinità numerabile di equazioni lineari : Adunque : Il problema della approssimazione di una funzione f, di quadrato sommabile, per serie di funzioni pur esse di quadrato sommabile, di un sistema [fA], si riconnette al problema della risoluzione del sistema di un’infinità numerabile di equazioni lineari e ad un’infinità numerabile di quantità incognite (a). PRIME CONDIZIONI D’APPROSSIMAZIONE PER SERIE. — Per quanto precede, si ha intanto : Condizione necessaria affinché la funzione f, di quadrato sommabile in E, sia ivi approssimabile per serie di funzioni, pure di quadrato sommabile, del sistema [fA],
[sen kx, cos kx]. approssimi in E la funzione f(x), ivi di quadrato sommabile, arbitrariamente data; in modo cioè che, comunque si scelga una funzione g(x) di quadrato sommabile in E, risulti sempre : Ponendo nella (4), in luogo di g, successivamente, le funzioni della successione (r), troviamo allora che le costanti (2) dovranno simultaneamente soddisfare alla seguente infinità numerabile di equazioni lineari : Adunque : Il problema della approssimazione di una funzione f, di quadrato sommabile, per serie di funzioni pur esse di quadrato sommabile, di un sistema [fA], si riconnette al problema della risoluzione del sistema di un’infinità numerabile di equazioni lineari e ad un’infinità numerabile di quantità incognite (a). PRIME CONDIZIONI D’APPROSSIMAZIONE PER SERIE. — Per quanto precede, si ha intanto : Condizione necessaria affinché la funzione f, di quadrato sommabile in E, sia ivi approssimabile per serie di funzioni, pure di quadrato sommabile, del sistema [fA], è che, il sistema (5) di infinite equazioni lineari, nelle infinite quantità incognite ai sia risolubile, sia cioè possibile determinare le costanti Una trattazione a fondo di tali sistemi ha fatto F. Hiesz, nel suo ammirevole libro : Les systèmes équations linéaires à une infinité d'incertitudes (Collection Borel, Paris, Gauthier-Villars, 1913). Qui sono esposti in forma brillante e spesso nuova i fondamentali risultati sull’argomento conseguiti da Poincaré, da von Koch, da Hilbert e dai suoi scolari e dal Hiesz medesimo. Vi si trovano criteri di risolubilità degli indicati sistemi, interessanti casi di risolubilità, metodi di risoluzione, nonché utilissime indicazioni per gli ulteriori sviluppi di cui è suscettibile la bella teoria trattata. della successione (2) al modo che: 1° le infinite serie nei primi membri delle (5) siano convergenti; 2° esse abbiano per somma i secondi membri. Dimostriamo facilmente il TEOREMA. — Condizione sufficiente affinché la funzione f, di quadrato sommabile in E, sia ivi approssimabile per serie di funzioni del sistema [fk], supposto completo in E, è che il sistema di equazioni (5) ammetta una tale soluzione che la corrispondente serie (3) approssimi in E una funzione ivi di quadrato sommabile; in particolare, sia tale che la serie converga su