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n, approssima in E la funzione f(P), se in un insieme E', avendo la misura di E e contenuto in E, si ha limFn(P) := f(P), ed inoltre la differenza n = f(P) - Fn(P) mantiene in E', in valore assoluto, non superiore ad una funzione, indipendente da n, di quadrato sommabile. 9. CONDIZIONE ALLA QUALE DEVE SODDISFARE UN SISTEMA D'APPROSSIMAZIONE. SISTEMI COMPLETI DI FUNZIONI. Domandiamo ora: Ogni successione illimitata \(f(P)\) è forse suscettibile, mediante combinazioni lineari dei suoi termini e al divergere del numero di questi termini, di approssimare in ogni assegnata funzione di quadrato sommabile? A tale importante questione daremo una risposta negativa; stabiliremo anzi una condizione necessaria e sufficiente, che deve essere soddisfatta dalle funzioni del sistema \(f_k(P)\), affinché esse siano in grado, mediante loro combinazioni lineari, di approssimare in ogni funzione assegnata, di quadrato sommabile. Si dice che la successione illimitata \(f(P)\), \(j(P)\), \(\ldots\), \(fn(P)\), di funzioni di quadrato sommabile in \(E\), costituisce un sistema completo in un dato insieme misurabile \(E'\), di misura non nulla, contenuto in \(E\), se dalle due ipotesi: 1. La funzione \(g(P)\) è di quadrato sommabile in \(E'\); 2. Riescono simultaneamente soddisfatte le infinite equazioni: Si trae come necessaria conseguenza Si trae cioè l'equivalenza a zero in \(E'\) della funzione \(g(P)\). Osserviamo che: Se un sistema di funzioni è completo in un insieme \(E\), esso è altresì completo in ogni insieme misurabile \(E'\) contenuto in \(E\) di misura non nulla. Ed invero, se per una funzione \(g'(P)\), di quadrato sommabile in \(E'\), si avesse \(1_g = \) la funzione \(g(P)\) definita in \(E\) dalle equazioni: . sarebbe in \(E\) di quadrato sommabile e non equivalente a zero, mentre verificherebbe le (\(8\)). Ad esempio, si sa (cf. n° 22) che il sistema di funzioni ove l'indice \(k\) è una certa nota funzione degli esponenti \(k_1\), \(k_2\), \(\ldots\), \(kn\) è completo in ogni dominio limitato dello spazio \(S_r\), definito dalle limitazioni \(a \leq x \leq b\), \(a \leq y \leq b\), \(\ldots\), \(a \leq z \leq b\) (\(i = 1, 2, r\)), il sistema è pertanto completo anche in ogni insieme limitato e
trae cioè l'equivalenza a zero in \(E'\) della funzione \(g(P)\). Osserviamo che: Se un sistema di funzioni è completo in un insieme \(E\), esso è altresì completo in ogni insieme misurabile \(E'\) contenuto in \(E\) di misura non nulla. Ed invero, se per una funzione \(g'(P)\), di quadrato sommabile in \(E'\), si avesse \(1_g = \) la funzione \(g(P)\) definita in \(E\) dalle equazioni: . sarebbe in \(E\) di quadrato sommabile e non equivalente a zero, mentre verificherebbe le (\(8\)). Ad esempio, si sa (cf. n° 22) che il sistema di funzioni ove l'indice \(k\) è una certa nota funzione degli esponenti \(k_1\), \(k_2\), \(\ldots\), \(kn\) è completo in ogni dominio limitato dello spazio \(S_r\), definito dalle limitazioni \(a \leq x \leq b\), \(a \leq y \leq b\), \(\ldots\), \(a \leq z \leq b\) (\(i = 1, 2, r\)), il sistema è pertanto completo anche in ogni insieme limitato e misurabile di \(S_r\). Ciò posto, si dimostra facilmente il TEOREMA L — Condizione necessaria affinché con una combinazione lineare di funzioni della successione \(f_k\), si possa, al divergere del numero dei termini della combinazione, approssimare in \(E\) ogni assegnata funzione di quadrato sommabile è che la successione costituisca un sistema completo in \(E\). Siano invero \(g(P)\) una funzione di quadrato sommabile per la quale risultino verificate le (\(8\)) e \(F_n(P)\) quella combinazione lineare delle \(f_k\) che, al divergere di \(n\), approssima in \(E\) la funzione \(g\). In forza della (\(5\)), ove si ponga \(g\) in luogo di \(f\), e in forza delle (\(8\)), si avrà: e quindi, ciò che dimostra la completezza del sistema \([f_k]\) Il teorema è suscettibile della seguente seconda dimostrazione di maggiore significato. Nell'ipotesi del teorema potremo, per ogni valore dell'indice \(k\), trovare una combinazione lineare: tale che, al divergere di \(n\), approssimi in \(E\) il monomio \(H_k (P)\), introdotto in (\(9\)), tale cioè che, per ogni funzione \(g(P)\) definita in \(E\) ed ivi di quadrato sommabile, si avva: Se per una funzione \(g(P)\) di quadrato sommabile riescono soddisfatte le (\(8\)), si avrà: e quindi anche, per le (\(10\)), il che, per la nota completezza del sistema
completo in \(E\). Siano invero \(g(P)\) una funzione di quadrato sommabile per la quale risultino verificate le (\(8\)) e \(F_n(P)\) quella combinazione lineare delle \(f_k\) che, al divergere di \(n\), approssima in \(E\) la funzione \(g\). In forza della (\(5\)), ove si ponga \(g\) in luogo di \(f\), e in forza delle (\(8\)), si avrà: e quindi, ciò che dimostra la completezza del sistema \([f_k]\) Il teorema è suscettibile della seguente seconda dimostrazione di maggiore significato. Nell'ipotesi del teorema potremo, per ogni valore dell'indice \(k\), trovare una combinazione lineare: tale che, al divergere di \(n\), approssimi in \(E\) il monomio \(H_k (P)\), introdotto in (\(9\)), tale cioè che, per ogni funzione \(g(P)\) definita in \(E\) ed ivi di quadrato sommabile, si avva: Se per una funzione \(g(P)\) di quadrato sommabile riescono soddisfatte le (\(8\)), si avrà: e quindi anche, per le (\(10\)), il che, per la nota completezza del sistema \([H_k]\), ha di conseguenza l'equivalenza a zero della funzione \(g(P)\) in \(E\). Il sistema \([f_k]\) è dunque, come si voleva dimostrare, completo in \(E\). Se si osserva questa seconda dimostrazione si vede subito che si può altresì enunciare il TEOREMA II. — La completezza in \(E\) del sistema \([f_k]\) è anche necessaria se si vuole, mediante combinazioni lineari dei suoi termini, approssimare in \(E\) ogni funzione di una determinata classe di funzioni di quadrato sommabile, nella quale sia contenuto un sistema di funzioni completo. In particolare, L'indicata completezza è necessaria se, soltanto, si vuole approssimare in \(E\) ogni monomio. 10. ESEMPII. — L'insieme \(E\) sia ad una dimensione e costituito dall'intervallo \((a, b)\) dell'asse delle \(x\). Si sa bene, dalla più elementare teoria delle serie trigonometriche, che, posto \((JI) \: f_1(x) = \sin x\), \(f_2(x) = \cos x\), \(f_3(x) = \sin 2x\), \(f_4(x) = \cos 2x\), \(\ldots\), ogni potenza \(x^i\) (\(i = 0, 1, 2, \ldots\)) si può approssimare in \((a, b)\) in serie di funzioni \((II)\), anche da ciò dunque segue già la completezza del sistema \([f_k]\) nell'intervallo \((a, b)\) (cf. n° 22). Viceversa, dalla completezza del sistema \([f_k]\) si deduce quella del sistema \(x^i\). Ed invero, ogni funzione
anche necessaria se si vuole, mediante combinazioni lineari dei suoi termini, approssimare in \(E\) ogni funzione di una determinata classe di funzioni di quadrato sommabile, nella quale sia contenuto un sistema di funzioni completo. In particolare, L'indicata completezza è necessaria se, soltanto, si vuole approssimare in \(E\) ogni monomio. 10. ESEMPII. — L'insieme \(E\) sia ad una dimensione e costituito dall'intervallo \((a, b)\) dell'asse delle \(x\). Si sa bene, dalla più elementare teoria delle serie trigonometriche, che, posto \((JI) \: f_1(x) = \sin x\), \(f_2(x) = \cos x\), \(f_3(x) = \sin 2x\), \(f_4(x) = \cos 2x\), \(\ldots\), ogni potenza \(x^i\) (\(i = 0, 1, 2, \ldots\)) si può approssimare in \((a, b)\) in serie di funzioni \((II)\), anche da ciò dunque segue già la completezza del sistema \([f_k]\) nell'intervallo \((a, b)\) (cf. n° 22). Viceversa, dalla completezza del sistema \([f_k]\) si deduce quella del sistema \(x^i\). Ed invero, ogni funzione del sistema \([f_k]\) si può approssimare per serie di potenze. Dalla completezza in un insieme \(E\), del sistema \([x^i]\) si deduce immediatamente la nota completezza ivi di ogni sistema \([P_k(x)]\) di polinomi, i cui gradi coincidono con i rispettivi indici. Le relazioni \(P_0 = a_0\), \(P_k = a_1x + a_2x^2 + \ldots + a_kx^k\) (\(k = 1, 2, \ldots\) avendo supposto \(a_k = 1 = a_0\), dànno invero ciascuna potenza \(x^k\) come combinazione lineare dei polinomi \(P_0\), \(P_1\), \(\ldots\), \(P_n\), Allo stesso modo, dalla completezza in un insieme \(E\) dei monomii \((9)\) si deduce la completezza ivi di ogni sistema di polinomi, nelle variabili \(x, y, \ldots, x_n\) tale che: 1° Per ogni numero intero e non negativo \(n\) vi sono \(n\) polinomi di grado \(n\); \(H_0\) è diverso da zero il determinante formato con i coefficienti dei monomii di grado \(n\) di questi polinomi (in ogni linea del determinante disponendo i coefficienti di uno stesso polinomio, ed in ogni colonna i coefficienti di uno stesso monomio). Esempio di sistema non completo ne hanno, assai facilmente, quanti se ne vuole. Il sistema \(f_k(x) = x^{2k}\) (\(k = 0, 1,2, \ldots\)) è incompleto in ogni intervallo \((a, b)\) dell'asse delle \(x\)
+ \ldots + a_kx^k\) (\(k = 1, 2, \ldots\) avendo supposto \(a_k = 1 = a_0\), dànno invero ciascuna potenza \(x^k\) come combinazione lineare dei polinomi \(P_0\), \(P_1\), \(\ldots\), \(P_n\), Allo stesso modo, dalla completezza in un insieme \(E\) dei monomii \((9)\) si deduce la completezza ivi di ogni sistema di polinomi, nelle variabili \(x, y, \ldots, x_n\) tale che: 1° Per ogni numero intero e non negativo \(n\) vi sono \(n\) polinomi di grado \(n\); \(H_0\) è diverso da zero il determinante formato con i coefficienti dei monomii di grado \(n\) di questi polinomi (in ogni linea del determinante disponendo i coefficienti di uno stesso polinomio, ed in ogni colonna i coefficienti di uno stesso monomio). Esempio di sistema non completo ne hanno, assai facilmente, quanti se ne vuole. Il sistema \(f_k(x) = x^{2k}\) (\(k = 0, 1,2, \ldots\)) è incompleto in ogni intervallo \((a, b)\) dell'asse delle \(x\) che contenga l'origine come punto interno (è invece completo in ogni intervallo al quale l'origine è esterna). IV. — Approssimazione per combinazioni lineari di funzioni di un sistema ortogonale e completo. Il. SISTEMI ORTOGONALI DI FUNZIONI. ORTOGONALIZZAZIONE. — La completezza nell'insieme \(E\) del sistema \(f_k(P)\), che abbiamo trovato essere condizione necessaria, affinché, mediante combinazioni lineari dei suoi termini, si possa approssimare, in \(E\), ogni funzione di quadrato sommabile, è anche sufficiente. Per giungere a tale importante risultato faremo uso dei sistemi ortogonali di funzioni e ci appoggeremo sulla teoria dell'approssimazione per serie di funzioni di tali sistemi, sostanzialmente dovuta al Riesz e al Fischer, teoria che rapidamente esporremo, aggiungendo ad essa taluni risultati nuovi. Un sistema di funzioni <po(P), ?1 (P), •••, 9n(P), •••>, di quadrato sommabile in E, si dice ortogonale in E, se sono soddisfatte le relazioni. Per ogni valore di n, le funzioni ortogonali ?o, ?n sono certamente linearmente indipendenti in E, poiché, in forza delle (i), l'eguaglianza si scrive e] + C2 i + b ... + C2 = 0. Del resto, il determinante al primo membro della (a) del n° 0 ha, per queste funzioni, il valore uno. Dato il sistema [?k(P)] di funzioni di
necessaria, affinché, mediante combinazioni lineari dei suoi termini, si possa approssimare, in \(E\), ogni funzione di quadrato sommabile, è anche sufficiente. Per giungere a tale importante risultato faremo uso dei sistemi ortogonali di funzioni e ci appoggeremo sulla teoria dell'approssimazione per serie di funzioni di tali sistemi, sostanzialmente dovuta al Riesz e al Fischer, teoria che rapidamente esporremo, aggiungendo ad essa taluni risultati nuovi. Un sistema di funzioni <po(P), ?1 (P), •••, 9n(P), •••>, di quadrato sommabile in E, si dice ortogonale in E, se sono soddisfatte le relazioni. Per ogni valore di n, le funzioni ortogonali ?o, ?n sono certamente linearmente indipendenti in E, poiché, in forza delle (i), l'eguaglianza si scrive e] + C2 i + b ... + C2 = 0. Del resto, il determinante al primo membro della (a) del n° 0 ha, per queste funzioni, il valore uno. Dato il sistema [?k(P)] di funzioni di quadrato sommabile in E — per le quali si suppone solamente l'indipendenza lineare in E — esso si può sempre ivi ortogonalizzare: Si può (cf. E. Schmidt, Zur Theorie der linearen und nichtlinearen Integralgleichungen, I. Teil (Mathematische Annalen, Bd 63, 1907, p. 442). Se abbia il sistema infinito di quantità reali o complesse i cui elementi dipendono altresì dall'indice n che può prendere i valori 1, 2, ..., ce. Secondo Schmidt, si dice che il sistema (IO), al divergere di n, converge fortemente verso il sistema X09 Xl, ..., ce. Si dice che il sistema [aj.] converge fortemente verso il sistema [a], e viceversa, tale convergenza ha di conseguenza la (9). Pertanto potremo enunciare il nostro ultimo teorema al modo seguente: Condizione necessaria e sufficiente affinché la combinazione lineare P = rj:.j:l<k?k(P), del sistema r9Į,.], ortogonale e completo in E, possa, al divergere di n, approssimare in E la funzione (P) di quadrato sommabile, convergente su E in media, è che il sistema [a."j], per il quale si ha alinj = o se n < k, converga fortemente verso il sistema [IOCk] ove alj = ff(P)*, CP)clj «A: METODO D'APPROSSIMAZIONE Di FEJÉR. — Come caso particolare troviamo il metodo d'approssimazione
reali o complesse i cui elementi dipendono altresì dall'indice n che può prendere i valori 1, 2, ..., ce. Secondo Schmidt, si dice che il sistema (IO), al divergere di n, converge fortemente verso il sistema X09 Xl, ..., ce. Si dice che il sistema [aj.] converge fortemente verso il sistema [a], e viceversa, tale convergenza ha di conseguenza la (9). Pertanto potremo enunciare il nostro ultimo teorema al modo seguente: Condizione necessaria e sufficiente affinché la combinazione lineare P = rj:.j:l<k?k(P), del sistema r9Į,.], ortogonale e completo in E, possa, al divergere di n, approssimare in E la funzione (P) di quadrato sommabile, convergente su E in media, è che il sistema [a."j], per il quale si ha alinj = o se n < k, converga fortemente verso il sistema [IOCk] ove alj = ff(P)*, CP)clj «A: METODO D'APPROSSIMAZIONE Di FEJÉR. — Come caso particolare troviamo il metodo d'approssimazione di Fejér. Ponendo infatti si ha ed è subito visto che ALCUNE NOTEVOLI RELAZIONI. — Siano /(P) e f2(P) due funzioni arbitrarie definite in E, ivi di quadrato sommabile, e si ponga Siano poi [a^j e [a^'j due arbitrarii sistemi che, verificando la condizione = o per k > n, al divergere dell'indice n, convergono in modo forte rispettivamente verso i sistemi [a,j] e [2,à]. Si ponga data, sempre, la completezza del sistema ortogonale [©*], si avrà: e quindi (cf. n° 2) ne segne In particolare, per rx;k 'n) = 1 ki OC (n) = OC-IK, si ha la nota relazione Siano ora A1, A2 due arbitrarii insiemi misurabili contenuti in E e siano g1, g2 due funzioni arbitrarie definite, rispettivamente, in A1 e in A2, ciascuna di quadrato sommabile. Si ponga Per queste funzioni f1, f2 sussistono le (11) e (12), mentre, indicando con A1, A2 l'insieme comune ai due insiemi A1, e A2, si ha ne segne: Se il sistema [?k] è in E ortogonale e completo, per due arbitrarii insiemi misurabili A1, A2, contenuti in E, e per due arbitrarie funzioni f1 e f2, definite in E ed ivi di quadrato sommabile, sussiste la relazione ove [a[^j
al divergere dell'indice n, convergono in modo forte rispettivamente verso i sistemi [a,j] e [2,à]. Si ponga data, sempre, la completezza del sistema ortogonale [©*], si avrà: e quindi (cf. n° 2) ne segne In particolare, per rx;k 'n) = 1 ki OC (n) = OC-IK, si ha la nota relazione Siano ora A1, A2 due arbitrarii insiemi misurabili contenuti in E e siano g1, g2 due funzioni arbitrarie definite, rispettivamente, in A1 e in A2, ciascuna di quadrato sommabile. Si ponga Per queste funzioni f1, f2 sussistono le (11) e (12), mentre, indicando con A1, A2 l'insieme comune ai due insiemi A1, e A2, si ha ne segne: Se il sistema [?k] è in E ortogonale e completo, per due arbitrarii insiemi misurabili A1, A2, contenuti in E, e per due arbitrarie funzioni f1 e f2, definite in E ed ivi di quadrato sommabile, sussiste la relazione ove [a[^j e [a{"}j sono due arbitrarii sistemi che, verificando la condizione = a^j = o se k > n, convergono in modo forte, rispettivamente, verso i sistemi in particolare, si ha (') Si osservino le curiose conseguenze di questa proposizione. Per due arbitrarii insiemi misurabili A1, A2, contenuti in E, si ha Per due arbitrarii insiemi misurabili A1, A2 contenuti in E, i cui punti comuni costituiscono, al più, un insieme di misura nulla e per due arbitrarie funzioni f1, f2 definite in E e ivi di quadrato sommabile, sussiste la relazione Se ne ricava un modo assai semplice di dedurre da un sistema di funzioni [CPk], ortogonale e completo in E, un'infinità numerabile di sistemi schmidttiani di quantità [X)j] (i = 0, 1, 2, ...) a due a due ortogonali, di sistemi cioè (cf. Schmidt, loc. cit., p. 359. § 1) per i quali le serie (X^j)2 convergono e si ha /—e/ Generalizzazioni. — Per il sistema [cxįnj] togliamo la condizione kIn, = o se n > 1. Nella definizione di convergenza forte del sistema [fnj] verso il sistema [ak], è insita la convergenza della serie arbitraria, aventi a due a due in comune, al più, insiemi di misura nulla,
ha Per due arbitrarii insiemi misurabili A1, A2 contenuti in E, i cui punti comuni costituiscono, al più, un insieme di misura nulla e per due arbitrarie funzioni f1, f2 definite in E e ivi di quadrato sommabile, sussiste la relazione Se ne ricava un modo assai semplice di dedurre da un sistema di funzioni [CPk], ortogonale e completo in E, un'infinità numerabile di sistemi schmidttiani di quantità [X)j] (i = 0, 1, 2, ...) a due a due ortogonali, di sistemi cioè (cf. Schmidt, loc. cit., p. 359. § 1) per i quali le serie (X^j)2 convergono e si ha /—e/ Generalizzazioni. — Per il sistema [cxįnj] togliamo la condizione kIn, = o se n > 1. Nella definizione di convergenza forte del sistema [fnj] verso il sistema [ak], è insita la convergenza della serie arbitraria, aventi a due a due in comune, al più, insiemi di misura nulla, e porre Le relazioni trovate possono essere utilizzate per ottenere degli sviluppi notevoli. Sia, ad esempio, E l'intervallo (0, 2π) dell'asse delle x, e si ponga Si osserva che, per a'==o, a' = b' = 2π, dalla (a), facendo coincidere A1 e A2 rispettivamente con gli intervalli (0, 2π) e (0, 2π), si trova il noto sviluppo Prendendo, ad esempio, per A1, l'intervallo ( , 2π-1 ) dell'asse delle x, per l'attuale sistema ortogonale, le (b) danno Si osservi, infine, che, convergendo le serie [ ak ] e [ ajk ], la serie "N k=0 A = 0 al secondo membro della (il), converge assolutamente. Il quadrato della somma della serie dei valori assoluti non supera la quantità [ f dP f dP. f(P)?,(P)dP è una funzione arbitraria definità in E, ivi di quadrato sommabile, A, e A2 due arbitrarî insiemi misurabili contenuti in E. Allora, per ogni arbitrario sistema [af;] e [a^'J che, al divergere di n, convergono fortemente verso i sistemi .[0: ] /r = J li zk dV I e L j aak i f2 ©h dPj, si ha 18. CRITERI DI COMPLETEZZA PER I SISTEMI ORTOGONALI. — Poniamo, nella (14), A,==E, il risultare verificata, per due
(0, 2π), si trova il noto sviluppo Prendendo, ad esempio, per A1, l'intervallo ( , 2π-1 ) dell'asse delle x, per l'attuale sistema ortogonale, le (b) danno Si osservi, infine, che, convergendo le serie [ ak ] e [ ajk ], la serie "N k=0 A = 0 al secondo membro della (il), converge assolutamente. Il quadrato della somma della serie dei valori assoluti non supera la quantità [ f dP f dP. f(P)?,(P)dP è una funzione arbitraria definità in E, ivi di quadrato sommabile, A, e A2 due arbitrarî insiemi misurabili contenuti in E. Allora, per ogni arbitrario sistema [af;] e [a^'J che, al divergere di n, convergono fortemente verso i sistemi .[0: ] /r = J li zk dV I e L j aak i f2 ©h dPj, si ha 18. CRITERI DI COMPLETEZZA PER I SISTEMI ORTOGONALI. — Poniamo, nella (14), A,==E, il risultare verificata, per due quali si vogliano funzioni f, di quadrato sommabile in E, e per ogni insieme misurabile A contenuto in E, In relazione alla quale si riduce la (ili), è come abbiam'o visto, condizione necessaria per la completezza in E del sistema ivi ortogonale [SOkJ, ma questa condizione, evidentemente, è altresi sufficiente. Poniamo nella (i5), una prima volta, f, = i, 11==/'. ed una seconda volta, /,=/,=/, A = E; si deduce : I. Condizione necessaria e (evidentemente) sufficiente per la completezza in E del sistema ivi ortogonale [©*], è che, per ogni insieme misurabile A contenuto in E e per ogni funzione ivi di quadrato sommabile, si abbia II. Condizione necessaria e (evìdentemente) sufficiente per la completezza in E del sistema ivi ortogonale [&lt;p*] è che, per ogni funzione di quadrato sommabile in E, si abbia Stekloff, Lauricella e Severini hanno in definitiva stabilito che l'equazione (17) oppure (Severini) la (16) sarà verificata per ogni funzione f di quadrato sommabile in E, se, solamente, essa è verificata per tutte le funzioni di un particolare sistema completo in E. Questo risultato si ottiene immediatamente dalla nostra analisi. Dimostriamo che : Condizione necessaria e sufficiente per la completezza in E del sistema ivi
Poniamo nella (i5), una prima volta, f, = i, 11==/'. ed una seconda volta, /,=/,=/, A = E; si deduce : I. Condizione necessaria e (evidentemente) sufficiente per la completezza in E del sistema ivi ortogonale [©*], è che, per ogni insieme misurabile A contenuto in E e per ogni funzione ivi di quadrato sommabile, si abbia II. Condizione necessaria e (evìdentemente) sufficiente per la completezza in E del sistema ivi ortogonale [&lt;p*] è che, per ogni funzione di quadrato sommabile in E, si abbia Stekloff, Lauricella e Severini hanno in definitiva stabilito che l'equazione (17) oppure (Severini) la (16) sarà verificata per ogni funzione f di quadrato sommabile in E, se, solamente, essa è verificata per tutte le funzioni di un particolare sistema completo in E. Questo risultato si ottiene immediatamente dalla nostra analisi. Dimostriamo che : Condizione necessaria e sufficiente per la completezza in E del sistema ivi ortogonale [gJk] è che, per ogni funzione g v( P) di un particolare sistema [gv], completo in E, si abbia La necessità di tale condizione è stata dimostrata. La sufficienza deriva da quanto si è stabilito col teorema II del n° 9, poichè, il verificarsi della (18), esprime che ogni funzione g" del sistema [g,,], completo in E, è approssimabile per serie di funzioni del sistema ortogonale [q-;k], precisamente, dalla serie anzi la (18) esprime che questa serie converge su E in media verso la g V' Quest'ultimo teorema (in modo speciale) si suole considerare come un criterio di completezza per il sistema ortogonale [?k] Si osserva che (cf. n° 2) la serie nel secondo membro della (i5) converge unanimemente (in ogni caso) al variare in E dell' insieme A. Essa converge anche assolutamente [c/. nota ('), p. 362]. jormementelente (in ogni caso) al variare in E dell' insieme A. Essa converge anche assolutamente [c/. nota ('), p. 362]. Approssimazione per combinazioni lineari di funzioni del più generale sistema completo. 19. PRIMA SOLUZIONE DEL PROBLEMA GENERALE D'APPROSSIMAZIONE. — Ritorniamo ora al problema generale dell' approssimazione in E di una funzione ivi assegnata, di quadrato sommabile, mediante combinazioni lineari di funzioni