jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
qualunque sia n, i primi membri delle prime n + 1 equazioni del sistema schmidtiano (9), siano linearmente indipendenti è che la seguente forma quadratica negli indicati parametri, sia definita positiva. Adunque, osservando che supposta l'indipendenza lineare delle funzioni ne segne l'indipendenza lineare, qualunque sia n, dei primi membri delle prime n + 1 equazioni del sistema schmidtiano (9), associato al sistema (3) di equazioni integrali, e viceversa. Poniamo ora e, per enunciare il criterio di completezza del n° 21, usiamo, in particolare, in luogo del sistema completo arbitrario [gv], il sistema ortogonale e completo del n° 29, allora, con le attuali notazioni, si ha precisamente il TEOREMA DI SCHMIDT. — Dato il sistema schmidtiano omogeneo (9), tale che, qualunque sia n, i primi membri delle prime n + 1 equazioni siano linearmente indipendenti, condizione necessaria e sufficiente affinché il sistema non possieda che la soluzione nulla, è che, per qualunque valore dell'indice v, si abbia : ove le quantità rj..ij sono date dalle (1 I). In ogni caso, il determinante al denominatore è sempre positivo, quello al numeratore non è mai negativo, ed il loro quoziente, per ogni fissato valore di v, non cresce mai al crescere di n. 52. UN'UTILE AGGIUNTA AL TEOREMA DI SCHMIDT. — Nelle applicazioni del teorema di Schmidt ora enunciato è utile un'osservazione, che vogliamo ora qui fare, la quale non si trova neppure nella citata esposizione del Riess (loc. cit., p. 3 76). Secondo questa osservazione, si ha : Il verificarsi della (12), per un particolare valore m del l'indice v, ha di conseguenza che, per ogni soluzione del sistema schmidtiano omogeneo (9), è xm = 0 (1 ). Sia invero verificata la (12) per il particolare valore m dell'indice v, dico che allora non potrà esistere una soluzione del sistema schmidtiano omogeneo (9) per la quale risulti Xm = 0. Ed infatti, in caso contrario, il seguente sistema schmidtiano possiederebbe una soluzione [.I., d. Per tale soluzione sia Comunque si scelgano gli n + 2 parametri u1, u0, U1, ... 9 L dalle prime n + 2 equazioni del sistema (13) deduciamo
52. UN'UTILE AGGIUNTA AL TEOREMA DI SCHMIDT. — Nelle applicazioni del teorema di Schmidt ora enunciato è utile un'osservazione, che vogliamo ora qui fare, la quale non si trova neppure nella citata esposizione del Riess (loc. cit., p. 3 76). Secondo questa osservazione, si ha : Il verificarsi della (12), per un particolare valore m del l'indice v, ha di conseguenza che, per ogni soluzione del sistema schmidtiano omogeneo (9), è xm = 0 (1 ). Sia invero verificata la (12) per il particolare valore m dell'indice v, dico che allora non potrà esistere una soluzione del sistema schmidtiano omogeneo (9) per la quale risulti Xm = 0. Ed infatti, in caso contrario, il seguente sistema schmidtiano possiederebbe una soluzione [.I., d. Per tale soluzione sia Comunque si scelgano gli n + 2 parametri u1, u0, U1, ... 9 L dalle prime n + 2 equazioni del sistema (13) deduciamo onde segne la diseguaglianza segne cioè che la forma quadratica nei parametri u1, u0, tx, u„, è definita o semidefinita positiva per ogni valore di n. Il suo discriminante sarà perciò non negativo, si Mentre, secondo il teorema di Schmidt, per dedurre che XIII = 0, parrebbe necessario verificare che la (12) ha luogo per ogni valore dell'indice v, e non semplicemente per il solo valore m. Memoire paraissant dans le premier fascicule du Journal, en 1923. Nous pouvons regarder l'investigation de celles propriétés qui toutes les fonctions (I) ont en commun, comme une extension de la théorie des invariants d'une forme algébrique binaire à la forme transcendante ou fonction. Nous noterons la variable indépendante par Z, et la fonction (2) ty, = f(Z) = ao + al(Z, z) + at(Z, z)2 + ... sa expansion dans le voisinage de Z = z. Ceux fonctions des coefficients aj, aj, a2, ... qui sont laissées invariantes par toutes transformations de groupe des trois paramètres sont appelées invariants. Car ces invariants peuvent être regardées comme fonctions de dw, d2w, ... et leurs valeurs changent avec z, nous les appelons plus spécialement différentielles invariants. Plusieurs systèmes complets de tels invariants sont obtenus en
la (12) ha luogo per ogni valore dell'indice v, e non semplicemente per il solo valore m. Memoire paraissant dans le premier fascicule du Journal, en 1923. Nous pouvons regarder l'investigation de celles propriétés qui toutes les fonctions (I) ont en commun, comme une extension de la théorie des invariants d'une forme algébrique binaire à la forme transcendante ou fonction. Nous noterons la variable indépendante par Z, et la fonction (2) ty, = f(Z) = ao + al(Z, z) + at(Z, z)2 + ... sa expansion dans le voisinage de Z = z. Ceux fonctions des coefficients aj, aj, a2, ... qui sont laissées invariantes par toutes transformations de groupe des trois paramètres sont appelées invariants. Car ces invariants peuvent être regardées comme fonctions de dw, d2w, ... et leurs valeurs changent avec z, nous les appelons plus spécialement différentielles invariants. Plusieurs systèmes complets de tels invariants sont obtenus en Art. 1. En Art. 2 nous introduisons la notion d'invariant intégral. Le plus important invariant intégral est où est le Schwarzien dérivé de w par rapport à z. Le plus important invariant différentiel est Il se trouve que, à partir de notre point de vue, une fonction analytique est essentiellement déterminée lorsque la relation entre o et z est donnée. Nous l'appelons l'équation intrinsèque de la fonction H = f(z). La détermination effective d'une fonction dont l'équation intrinsèque est donnée, requiert l'intégration d'une équation différentielle du second ordre, et peut être réduite à la solution d'une équation intégrale avec un noyau skew-symétrique. En Art. 4 nous introduisons les fonctions rationnelles osculatrices de différentes orders, une notion très proche de certaines investigations dues à Frobenius et Fade. Les relations qui existent entre les pôles de ces fonctions, et aussi entre leurs zéros, sont très simples et élégantes et semblent apparaître ici pour la première fois. La fonction logarithmique osculatrice, introduite en Art. 5, sert à compléter cette théorie en une manière essentielle, et donne lieu à de nouveaux résultats simples et géométriques. La fonction logarithmique osculatrice joue un rôle essentiel parce que chaque fonction logarithmique a une équation intrinsèque de la
déterminée lorsque la relation entre o et z est donnée. Nous l'appelons l'équation intrinsèque de la fonction H = f(z). La détermination effective d'une fonction dont l'équation intrinsèque est donnée, requiert l'intégration d'une équation différentielle du second ordre, et peut être réduite à la solution d'une équation intégrale avec un noyau skew-symétrique. En Art. 4 nous introduisons les fonctions rationnelles osculatrices de différentes orders, une notion très proche de certaines investigations dues à Frobenius et Fade. Les relations qui existent entre les pôles de ces fonctions, et aussi entre leurs zéros, sont très simples et élégantes et semblent apparaître ici pour la première fois. La fonction logarithmique osculatrice, introduite en Art. 5, sert à compléter cette théorie en une manière essentielle, et donne lieu à de nouveaux résultats simples et géométriques. La fonction logarithmique osculatrice joue un rôle essentiel parce que chaque fonction logarithmique a une équation intrinsèque de la forme o = constant. Les pôles et zéros des fonctions rationnelles osculatrices et les singularités de la fonction logarithmique osculatrice sont des fonctions de la position du point z à lequel l'osculation se fait. Si z est soumis à une transformation linéaire, chacun de ces points est transformé par la même transformation linéaire, et nous le nous servons parler de ces points comme des cogré vitaux. Des classes spéciales de fonctions peuvent être définies par des relations prescrites entre certains des cogré vitaux. Nombreuses illustrations de cette méthode sont travaillées en détail en Arts. 9, 10 et 11. Un des résultats les plus intéressants obtenus de la sorte est une nouvelle propriété de certaines fonctions elliptiques. Soit la fonction rationnelle quadratique qui oscule w = F(Z) au point Z = z et let q1, q2 soient ses pôles. Soit T l'harmonique conjugué de z, le point de contact, par rapport à q1, q2. Nous appelons T le satellite quadratique de z. Nous posons la question; quelles fonctions sont celles pour lesquelles T est un point fixe? Il est évident que ce sera le cas lorsque F(Z) est une fonction quadratique avec des pôles coincidants. Mais il existe une autre cas
même transformation linéaire, et nous le nous servons parler de ces points comme des cogré vitaux. Des classes spéciales de fonctions peuvent être définies par des relations prescrites entre certains des cogré vitaux. Nombreuses illustrations de cette méthode sont travaillées en détail en Arts. 9, 10 et 11. Un des résultats les plus intéressants obtenus de la sorte est une nouvelle propriété de certaines fonctions elliptiques. Soit la fonction rationnelle quadratique qui oscule w = F(Z) au point Z = z et let q1, q2 soient ses pôles. Soit T l'harmonique conjugué de z, le point de contact, par rapport à q1, q2. Nous appelons T le satellite quadratique de z. Nous posons la question; quelles fonctions sont celles pour lesquelles T est un point fixe? Il est évident que ce sera le cas lorsque F(Z) est une fonction quadratique avec des pôles coincidants. Mais il existe une autre cas lorsque T est un point fixe; namely, lorsque w = F(Z) peut être obtenu par une transformation linéaire d'une fonction Weierstrass -fonction pour laquelle l'invariant g2 a la valeur zéro, de sorte que le rapport croissant des points de branchement de la surface de Riemann soit équivalent-harmonique. Les expressions générales des cogré vitaux permettent d'écrire down plusieurs nouvelles formules qui sont valides pour toute fonction analytique. Chacune de ces formules donne une expression pour w = f(z) dans la forme d'un integral dont l'intégrand dépend de un ou plusieurs des cogré vitaux. Ces formules admettent l'itération et sont très utiles dans un grand nombre d'investigations. Des expressions similaires ont également été trouvées pour l'invariant intégral g2, le plus important parmi ceux qui dépendent des singularités de la fonction logarithmique osculatrice. Ces formules pour g2 sont développées en Art. 7. Mais nous donnons, en Art. 7, une définition indépendante de g2 qui est de plus grande importance, parce qu'elle est formulée entièrement en termes de notions qui restent invariables sous les transformations linéaires, et par le moyen d'un processus de limite qui est l'analogon multiplicatif du processus utilisé pour définir un integral défini. En Art. 8 nous introduisons l'invariant intégral ρ
des cogré vitaux permettent d'écrire down plusieurs nouvelles formules qui sont valides pour toute fonction analytique. Chacune de ces formules donne une expression pour w = f(z) dans la forme d'un integral dont l'intégrand dépend de un ou plusieurs des cogré vitaux. Ces formules admettent l'itération et sont très utiles dans un grand nombre d'investigations. Des expressions similaires ont également été trouvées pour l'invariant intégral g2, le plus important parmi ceux qui dépendent des singularités de la fonction logarithmique osculatrice. Ces formules pour g2 sont développées en Art. 7. Mais nous donnons, en Art. 7, une définition indépendante de g2 qui est de plus grande importance, parce qu'elle est formulée entièrement en termes de notions qui restent invariables sous les transformations linéaires, et par le moyen d'un processus de limite qui est l'analogon multiplicatif du processus utilisé pour définir un integral défini. En Art. 8 nous introduisons l'invariant intégral ρ comme une nouvelle variable indépendante. Ainsi de w = f(z), nous avons Si nous introduisons comme variable indépendante, w devient une fonction de zn et nous pouvons mettre Nous pouvons maintenant introduire zn comme variable indépendante et continuer de la sorte. Les relations qui existent entre les dérivés Schwarziani w, z, ..., HJ, Zk( prennent la forme de fractions continues de très simple et remarquable forme. Un certain nombre de nouveaux problèmes se présentent à partir de ce fait; en quels cas les fractions continues se termineront? lorsque elles seront périodiques? si elles ne terminent pas, et k est autorisé à grandir au delà des limites; converge-ront-elles? Nous avons actuellement résolu quelques-uns des plus simples de ces problèmes; mais ici, comme ailleurs dans ce mémoire, les nouveaux problèmes sont trop nombreux et trop à longues portées pour qu'une solution immédiate à tous, ou même à beaucoup d'entre eux, soit une entreprise possible. En Art. 12 nous élargonnons notre groupe en considérant des transformations linéaires indépendantes des variables dépendantes et indépendantes. Les correspondants combinaisons invariables sont appelées hyper invariants. L'invariant intégral ρ conserve sa propriété invariante même sous le groupe élargi. La plus simple différence hyperinvariante, dénotée par I, est de
z, ..., HJ, Zk( prennent la forme de fractions continues de très simple et remarquable forme. Un certain nombre de nouveaux problèmes se présentent à partir de ce fait; en quels cas les fractions continues se termineront? lorsque elles seront périodiques? si elles ne terminent pas, et k est autorisé à grandir au delà des limites; converge-ront-elles? Nous avons actuellement résolu quelques-uns des plus simples de ces problèmes; mais ici, comme ailleurs dans ce mémoire, les nouveaux problèmes sont trop nombreux et trop à longues portées pour qu'une solution immédiate à tous, ou même à beaucoup d'entre eux, soit une entreprise possible. En Art. 12 nous élargonnons notre groupe en considérant des transformations linéaires indépendantes des variables dépendantes et indépendantes. Les correspondants combinaisons invariables sont appelées hyper invariants. L'invariant intégral ρ conserve sa propriété invariante même sous le groupe élargi. La plus simple différence hyperinvariante, dénotée par I, est de l'ordre du cinquième. La relation entre I et ρ, appelée l'équation hyperintrinsèque, définit une fonction w = f (z) excepté pour les transformations linéaires des deux variables. The simplest hyperintrinsic equation, namely I = const., defines the power functions where a, b, c, d, e, f, g, h, x, y, z, and r are constants. The problem immediately presents itself to determine a power function of this form which shall have the closest possible contact with a given analytic function at a given point. This problem is solved completely in Art. 13, and leads again to interesting geometric relations between the singularities of the osculating power function and the singularities of other osculants which have been introduced before. We have presented in this introduction only a few of the most striking features of this new theory, just enough to indicate the general point of view. And even in the body of the paper we have purposely refrained at many points from developing the theory more in detail, because it was our desire to obtain merely a first general outlook over this new territory. There remains much to be done. 1. — The differential invariants of a function of a complex
z, and r are constants. The problem immediately presents itself to determine a power function of this form which shall have the closest possible contact with a given analytic function at a given point. This problem is solved completely in Art. 13, and leads again to interesting geometric relations between the singularities of the osculating power function and the singularities of other osculants which have been introduced before. We have presented in this introduction only a few of the most striking features of this new theory, just enough to indicate the general point of view. And even in the body of the paper we have purposely refrained at many points from developing the theory more in detail, because it was our desire to obtain merely a first general outlook over this new territory. There remains much to be done. 1. — The differential invariants of a function of a complex variable. Let w = f(z) be a function of the complex variable z defined, in the neighborhood of the Origin, by means of its Taylor expansion (I) w = f (z) = a0 + a1 z + a2 z2 + ... + a_k zk + ... If we transform the independent variable by putting where a, b, c, d are arbitrary constants, w becomes a function f(z) of z and to properties of the function f(z) in the neighborhood of z = 0 will correspond properties of the transformed function f(z) in the neighborhood of z = Let us assume d = 0 and put z = K. We may then write (2) in the form If d = 0, the transformation (2) may also be reduced to the same form (3) provided that z in that case be interpreted to mean As a result of the substitution (3) the series (I) will become a power series in Z, where Z is either equal to z - K or We proceed to determine the coefficients of this new expansion. We find from (3) If we substitute these values for z in (I) and denote by a_k the coefficient of s^1
independent variable by putting where a, b, c, d are arbitrary constants, w becomes a function f(z) of z and to properties of the function f(z) in the neighborhood of z = 0 will correspond properties of the transformed function f(z) in the neighborhood of z = Let us assume d = 0 and put z = K. We may then write (2) in the form If d = 0, the transformation (2) may also be reduced to the same form (3) provided that z in that case be interpreted to mean As a result of the substitution (3) the series (I) will become a power series in Z, where Z is either equal to z - K or We proceed to determine the coefficients of this new expansion. We find from (3) If we substitute these values for z in (I) and denote by a_k the coefficient of s^1 we find The following special cases of (5) are especially important By an absolute invariant of the function f(z) under the transformations of the group (2) or (3) we mean a function of the coefficients a0, a1, a2, ... which, as a result of the relations (5), is identically equal to the corresponding function of a0, a1, a2, ... Evidently a0 is such an invariant. In order to find the others we might use the method of infinitesimal transformations. Thus (3) represents an infinitesimal transformation if we put e^z = J + Aot. j - [J - oft. where O't is an infinitesimal. The corresponding infinitesimal transformations of the coefficients are given by (7) da0 = o, da_k = [k a_k] + (k-1) a_{k-1} ot, k > 0. Therefore every absolute invariant must be a solution of the two differential equations The first of these two equations is easy to interpret. Let us attribute to a_k the weight k, and let us agree that the weight of a product shall be the sum of the weights of its factors. Then, the first equation (8) merely asserts that every absolute invariant is isobaric of weight zero. We may therefore find the
to the corresponding function of a0, a1, a2, ... Evidently a0 is such an invariant. In order to find the others we might use the method of infinitesimal transformations. Thus (3) represents an infinitesimal transformation if we put e^z = J + Aot. j - [J - oft. where O't is an infinitesimal. The corresponding infinitesimal transformations of the coefficients are given by (7) da0 = o, da_k = [k a_k] + (k-1) a_{k-1} ot, k > 0. Therefore every absolute invariant must be a solution of the two differential equations The first of these two equations is easy to interpret. Let us attribute to a_k the weight k, and let us agree that the weight of a product shall be the sum of the weights of its factors. Then, the first equation (8) merely asserts that every absolute invariant is isobaric of weight zero. We may therefore find the invariants by constructing isobaric functions of a given weight p, in such a way as to also satisfy the second equation of (8), and then divide by a. Isobaric functions of weight different from zero, which also satisfy the second equation of (8), shall be called relative invariants. But it is easier to obtain a complete set of invariants by a different process. Let us assume A0 = 0. We may then according to (6) determine a and [3 in a unique fashion so as to make a1 = 1, a2 = 0, namely by putting We obtain in this way the canonical expansion (of the first kind) (I0) W = f (z) = A0 + Z1 + A3 z3 + A4 z4 + ... where, on account of (5), (6), and (9), Another canonical form (the second kind) is obtained by putting The resulting expansion is characterized by the relations This form is very useful. We shall discuss the convergence of (10) later. At present we only wish to emphasize the fact that this canonical expansion (TO) is unique. That is, to every series of the form (I), in which a1 is not equal to zero, there corresponds a
is easier to obtain a complete set of invariants by a different process. Let us assume A0 = 0. We may then according to (6) determine a and [3 in a unique fashion so as to make a1 = 1, a2 = 0, namely by putting We obtain in this way the canonical expansion (of the first kind) (I0) W = f (z) = A0 + Z1 + A3 z3 + A4 z4 + ... where, on account of (5), (6), and (9), Another canonical form (the second kind) is obtained by putting The resulting expansion is characterized by the relations This form is very useful. We shall discuss the convergence of (10) later. At present we only wish to emphasize the fact that this canonical expansion (TO) is unique. That is, to every series of the form (I), in which a1 is not equal to zero, there corresponds a uniquely defined canonical expansion of form (10). From this it follows that the coefficients of the canonical expansion are absolute invariants of f(z). In fact, suppose we consider any function obtainable from f(z) by a transformation of form (2). By means of the transformation would be transformed into its canonical form where B0, B3, etc., are related to b0, b1, b2, ... in the same way as are A0, A1, A2, ... to a0, a1, a2, ... But the expansions (10) and (14) must be identical on account of the uniqueness of the canonical form, so that = A_s, showing that A0, A3, A4, ... are actually absolute invariants. It is not difficult, moreover, to verify this fact by applying the infinitesimal transformations (7) to the expression (II) for A_k. For we find dA_s = 0, which again proves that A_s is an invariant. The invariants A0, A3, A4, ..., A_s, ... are independent functions of the coefficients a0, a1, a2, ... For, taken in this order, each of the invariants involves a coefficient as which does not appear in any of the earlier invariants. Every absolute invariant is a function of A0, A3, A4, ... For, let I(a0, a1,