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récépissé soit du receveur central de la Seine, soit d'un trésorier-payeur général ou d'un receveur particulier, constatant qu'il a payé le prix du trousseau ou du demitrousseau, suivant le cas. Il doit, en outre, remettre au général commandant l'école une promesse sous seing privé, dans la forme indiquée par l'article 1326 du code civil, par laquelle son père, sa mère ou son tuteur s'engage à verser dans la caisse du receveur central de la Seine, d'un trésorier-payeur général ou d'un receveur particulier, par trimestre et d'avance, le montant de la pension si l'élève est pensionnaire, ou de la demi-pension s'il a obtenu une demi-place gratuite. Cette promesse, qui doit être légalisée par le maire ou par le sous-préfet, sera faite par l'élève lui-même s'il est majeur ou s'il jouit de ses biens. Il est donc essentiel que, dans la prévision de leur admission à l'école, les candidats se mettent en mesure de payer la valeur du trousseau dès qu'ils auront reçu leur lettre de nomination, et qu'ils se munissent du récépissé constatant ce versement. Quant à la somme de 100 francs formant le fonds de masse individuelle, elle doit être versée directement à la caisse de l'école le jour même de l'entrée de l'élève. Les élèves dont les père, mère ou tuteur ne résident pas à proximité de Paris doivent, en outre, avoir un correspondant dûment accrédité auprès du général commandant l'école. Paris, le 3 janvier 1882. Le ministre de la guerre, Gal CAMPENON. PROGRAMME des Connaissances exigées pour l'admission à l'école polytechnique, adopté par le conseil de perfectionnement dans sa séance du 9 décembre 1881, I. — ARITHMÉTIQUE Propositions sur le produit de plusieurs nombres entiers. Division par un produit de plusieurs facteurs. Théorie du plus grand commun diviseur. Tout nombre qui divise un produit de deux facteurs et qui est premier avec l'un d'eux divise l'autre. — Théorie du plus petit commun multiple. Nombres premiers. — Décomposition d'un nombre en facteurs premiers ; la décomposition est unique. — Si deux nombres sont premiers entre eux, leurs puissances sont premières entre elles. — Tout nombre divisible séparément par plusieurs
de l'entrée de l'élève. Les élèves dont les père, mère ou tuteur ne résident pas à proximité de Paris doivent, en outre, avoir un correspondant dûment accrédité auprès du général commandant l'école. Paris, le 3 janvier 1882. Le ministre de la guerre, Gal CAMPENON. PROGRAMME des Connaissances exigées pour l'admission à l'école polytechnique, adopté par le conseil de perfectionnement dans sa séance du 9 décembre 1881, I. — ARITHMÉTIQUE Propositions sur le produit de plusieurs nombres entiers. Division par un produit de plusieurs facteurs. Théorie du plus grand commun diviseur. Tout nombre qui divise un produit de deux facteurs et qui est premier avec l'un d'eux divise l'autre. — Théorie du plus petit commun multiple. Nombres premiers. — Décomposition d'un nombre en facteurs premiers ; la décomposition est unique. — Si deux nombres sont premiers entre eux, leurs puissances sont premières entre elles. — Tout nombre divisible séparément par plusieurs autres premiers entre eux deux à deux est divisible par leur produit. — Application de la décomposition en facteurs premiers à la recherche des diviseurs d'un nombre, du plus grand commun diviseur et du plus petit commun multiple de plusieurs nombres. — Quand une fraction a ses termes premiers entre eux, les termes de toute fraction équivalente sont des équimultiples de ceux de la première. Mesure des grandeurs. — Mesure d'une grandeur incommensurable avec l'unité. — Définition des opérations sur les nombres incommensurables. — Conditions de proportionnalité de deux grandeurs variables. Quand une valeur varie proportionnellement à plusieurs autres, elle varie proportionnellement à leur produit. Extraction de la racine carrée et de la racine cubique d'un nombre entier ou fractionnaire ; 1° à moins d'une unité, 2° à moins de 1. — Définition de la racine quatrième d'un nombre qui n'est pas une puissance mienne exacte. Progressions arithmétiques et géométriques. — Recherche de la fraction ordinaire équivalente à une fraction décimale périodique. — Conditions pour qu'une fraction irréductible puisse être exactement convertie en décimales ou donne lieu à une fraction périodique simple ou mixte. II. — GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE Géométrie plane. Lignes proportionnelles. — Rapport des segments que la bissectrice d'un
eux, les termes de toute fraction équivalente sont des équimultiples de ceux de la première. Mesure des grandeurs. — Mesure d'une grandeur incommensurable avec l'unité. — Définition des opérations sur les nombres incommensurables. — Conditions de proportionnalité de deux grandeurs variables. Quand une valeur varie proportionnellement à plusieurs autres, elle varie proportionnellement à leur produit. Extraction de la racine carrée et de la racine cubique d'un nombre entier ou fractionnaire ; 1° à moins d'une unité, 2° à moins de 1. — Définition de la racine quatrième d'un nombre qui n'est pas une puissance mienne exacte. Progressions arithmétiques et géométriques. — Recherche de la fraction ordinaire équivalente à une fraction décimale périodique. — Conditions pour qu'une fraction irréductible puisse être exactement convertie en décimales ou donne lieu à une fraction périodique simple ou mixte. II. — GÉOMÉTRIE ÉLÉMENTAIRE Géométrie plane. Lignes proportionnelles. — Rapport des segments que la bissectrice d'un angle d'un triangle ou de son supplément intercepte sur le côté opposé. Lieu du point dont les distances à deux points fixes ont un rapport donné. — Droites antiparallèles par rapport à un angle invariabilité du produit des segments interceptés par un cercle sur une sécante qui tourne autour d'un point fixe. Figures homothétiques. Cas de similitude des triangles. — Décomposition de deux polygones semblables en triangles semblables ; rapport des droites homologues. — Proportionnalité des segments interceptés sur deux droites parallèles par des droites concourantes. — Centres et axes d'homothétie de trois figures homothétiques deux à deux et en parties l'une de trois cercles. Relations métriques entre les divers éléments d'un triangle rectangle ou quelconque. — Lieu du point dont la somme ou la différence des carrés des distances à deux points fixes est constante. — Cercle passant par deux points et tangent à une droite ou à un cercle. Définition des divisions et des faisceaux harmoniques. — Pour qu'un faisceau soit harmonique, il faut et il suffit qu'une parallèle à l'une des côtés soit divisée en deux parties égales par les trois autres. Construction d'expressions algébriques. Division d'une droite en moyenne et extrême raison. — Inscription des polygones
point fixe. Figures homothétiques. Cas de similitude des triangles. — Décomposition de deux polygones semblables en triangles semblables ; rapport des droites homologues. — Proportionnalité des segments interceptés sur deux droites parallèles par des droites concourantes. — Centres et axes d'homothétie de trois figures homothétiques deux à deux et en parties l'une de trois cercles. Relations métriques entre les divers éléments d'un triangle rectangle ou quelconque. — Lieu du point dont la somme ou la différence des carrés des distances à deux points fixes est constante. — Cercle passant par deux points et tangent à une droite ou à un cercle. Définition des divisions et des faisceaux harmoniques. — Pour qu'un faisceau soit harmonique, il faut et il suffit qu'une parallèle à l'une des côtés soit divisée en deux parties égales par les trois autres. Construction d'expressions algébriques. Division d'une droite en moyenne et extrême raison. — Inscription des polygones réguliers : carré, hexagone et triangle équilatéral, décagone et pentagone, pentadécagone. Calcul du rapport de la circonférence à diamètre par la méthode des isopérimètres. Mesure des aires. — Rapport des aires de deux figures semblables. Géométrie dans l'espace. Propriétés des angles polyèdres convexes et en particulier des trièdres. Trièdres supplémentaires. — Cas d'égalité des trièdres. Triangles symétriques. Conditions pour qu'on puisse former un triangle avec trois faces données ou trois angles donnés. Volume du parallélépipède, du prisme, de la pyramide, du tronc de pyramide à bases parallèles, du tronc de prisme triangulaire. Polyèdres symétriques — Symétrie par rapport à un centre ou à un plan ; comment on les ramène l'une à l'autre. — Équivalence des polyèdres symétriques. Figures homothétiques dans l'espace. Décomposition des polyèdres semblables. Rapport des volumes. Centres et axes d'homothétie de trois figures homothétiques ; plans d'homothétie de quatre figures homothétiques ; application aux systèmes de sphères. Sphère déterminée par quatre points. Sphères tangentes à quatre plans. — Figures tracées sur la sphère. — Pôles d'un cercle. — Angle de deux arcs de grand cercle. — Triangles sphériques polaires. — Cas d'égalité de triangles sphériques. — Triangles sphériques symétriques. — Plus court chemin entre deux points sur
— Cas d'égalité des trièdres. Triangles symétriques. Conditions pour qu'on puisse former un triangle avec trois faces données ou trois angles donnés. Volume du parallélépipède, du prisme, de la pyramide, du tronc de pyramide à bases parallèles, du tronc de prisme triangulaire. Polyèdres symétriques — Symétrie par rapport à un centre ou à un plan ; comment on les ramène l'une à l'autre. — Équivalence des polyèdres symétriques. Figures homothétiques dans l'espace. Décomposition des polyèdres semblables. Rapport des volumes. Centres et axes d'homothétie de trois figures homothétiques ; plans d'homothétie de quatre figures homothétiques ; application aux systèmes de sphères. Sphère déterminée par quatre points. Sphères tangentes à quatre plans. — Figures tracées sur la sphère. — Pôles d'un cercle. — Angle de deux arcs de grand cercle. — Triangles sphériques polaires. — Cas d'égalité de triangles sphériques. — Triangles sphériques symétriques. — Plus court chemin entre deux points sur la sphère. — Tracé des cercles sur la sphère; construction des triangles sphériques ; grand cercle passant par un point donné et tangent à un petit cercle ; grand cercle tangent à deux petits cercles. Aires du cylindre, du cône, du tronc de cône, de la zone, de la sphère, du triangle sphérique. Volumes du cylindre, du cône, du tronc de cône ; du secteur sphérique, de la sphère, du segment sphérique. Définition de l'ellipse, de l'hyperbole et de la parabole par leur propriété focale. Sections planes du cône de révolution. Section antiparallèle du cône oblique à base circulaire. III ALGEBRE Division des polynômes entiers. Déterminants. — Théorème sur l'échange de deux lignes parallèles; développement suivant les éléments d'une même ligne; décomposition d'un déterminant dans lequel les éléments d'une même ligne sont des polynômes. Résolution des équations du premier degré à plusieurs inconnues. — Condition pour qu'il y ait une relation linéaire et homogène entre n fonctions linéaires et homogènes de n variables. — Calcul des radicaux. — Exposants fractionnaires. — Exposants négatifs. — Expressions imaginaires. — Résolution de l'équation du second degré et de l'équation bicarrée. — Trinômes du second degré. — Questions de maximum et de minimum. Arrangements
du triangle sphérique. Volumes du cylindre, du cône, du tronc de cône ; du secteur sphérique, de la sphère, du segment sphérique. Définition de l'ellipse, de l'hyperbole et de la parabole par leur propriété focale. Sections planes du cône de révolution. Section antiparallèle du cône oblique à base circulaire. III ALGEBRE Division des polynômes entiers. Déterminants. — Théorème sur l'échange de deux lignes parallèles; développement suivant les éléments d'une même ligne; décomposition d'un déterminant dans lequel les éléments d'une même ligne sont des polynômes. Résolution des équations du premier degré à plusieurs inconnues. — Condition pour qu'il y ait une relation linéaire et homogène entre n fonctions linéaires et homogènes de n variables. — Calcul des radicaux. — Exposants fractionnaires. — Exposants négatifs. — Expressions imaginaires. — Résolution de l'équation du second degré et de l'équation bicarrée. — Trinômes du second degré. — Questions de maximum et de minimum. Arrangements ; permutations ; combinaisons. — Binôme de Newton. — Puissances et racines d'un polynôme. — Somme des carrés et des cubes des n premiers nombres; piles de boulets. Fractions continues. — Loi de formation et propriétés des réduites. — Réduction d'un nombre en fraction continue. — Résolution en nombres entiers de l'équation ax + by = c. Étude de la fonction alog, a étant un nombre positif. — Limite de (1 + h)n, lorsque m croît indéfiniment. — Théorie des logarithmes considérés comme exposants. Dérivées. — Développement de l'accroissement d'un polynôme entier suivant les puissances des accroissements des variables. — Dérivée d'une fonction de fonction, d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une puissance quelconque. — Dérivée de la fonction logarithmique, de la fonction exponentielle, des fonctions circulaires. — Dérivée d'une fonction implicite algébrique. — Fonction croissante ou décroissante : 1° dans un intervalle donné; 2° pour une valeur donnée de la variable. Un polynôme homogène et du second degré a n variables est, en général, la somme des carrés de n fonctions linéaires et homogènes de ces variables ; conditions pour que le nombre des carrés soit inférieur à n — Conditions pour qu'un polynôme homogène et du second degré
de l'équation ax + by = c. Étude de la fonction alog, a étant un nombre positif. — Limite de (1 + h)n, lorsque m croît indéfiniment. — Théorie des logarithmes considérés comme exposants. Dérivées. — Développement de l'accroissement d'un polynôme entier suivant les puissances des accroissements des variables. — Dérivée d'une fonction de fonction, d'une somme, d'un produit, d'un quotient, d'une puissance quelconque. — Dérivée de la fonction logarithmique, de la fonction exponentielle, des fonctions circulaires. — Dérivée d'une fonction implicite algébrique. — Fonction croissante ou décroissante : 1° dans un intervalle donné; 2° pour une valeur donnée de la variable. Un polynôme homogène et du second degré a n variables est, en général, la somme des carrés de n fonctions linéaires et homogènes de ces variables ; conditions pour que le nombre des carrés soit inférieur à n — Conditions pour qu'un polynôme homogène et du second degré à trois variables soit un carré parfait. Propriétés générales des équations algébriques — Nombre des racines d'une équation ; relations entre les coefficients et les racines : toute fonction rationnelle et symétrique des puissances s'exprime rationnellement en fonction des coefficients. Propriétés spéciales des équations à coefficients réels. — Racines imaginaires conjuguées ; indications que fournissent les signes des résultats de la substitution de deux nombres réels. Conditions pour que deux polynômes homogènes à deux variables aient au moins un facteur linéaire commun. — Condition pour deux équations de degré m et n aient au moins une solution commune ; le résultant est homogène et du degré n par rapport aux coefficients de la première équation, homogène et du degré m par rapport aux coefficients de la seconde. Nombre le plus grand commun diviseur de deux polynômes. Condition pour qu'une équation ait des racines égales. — Réduction d'une équation qui a des racines égales. — Exprimer une équation à une racine double. Transformation des équations, lorsque chaque racine de l'équation cherchée est une fonction rationnelle d'une ou de deux racines de l'équation proposée. Équation aux carrés des différences. — Équations réciproques. Résolution des équations numériques. Limites des racines. — Recherche des
conjuguées ; indications que fournissent les signes des résultats de la substitution de deux nombres réels. Conditions pour que deux polynômes homogènes à deux variables aient au moins un facteur linéaire commun. — Condition pour deux équations de degré m et n aient au moins une solution commune ; le résultant est homogène et du degré n par rapport aux coefficients de la première équation, homogène et du degré m par rapport aux coefficients de la seconde. Nombre le plus grand commun diviseur de deux polynômes. Condition pour qu'une équation ait des racines égales. — Réduction d'une équation qui a des racines égales. — Exprimer une équation à une racine double. Transformation des équations, lorsque chaque racine de l'équation cherchée est une fonction rationnelle d'une ou de deux racines de l'équation proposée. Équation aux carrés des différences. — Équations réciproques. Résolution des équations numériques. Limites des racines. — Recherche des racines commensurables. — La dérivée logarithmique d'une fonction entière passe du négatif au positif lorsqu'elle devient infinie. — Théorèmes de Rolle, de Descartes, de Sturm. — Lorsque toutes les racines sont réelles, on peut substituer aux fonctions de Sturm les dérivées successives du premier membre de l'équation. — Méthode d'approximation de Newton et méthode des parties proportionnelles déduites de considérations géométriques. Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples. Résolution algébrique de l'équation du troisième degré. IV. — TRIGONOMÉTRIE Fonctions circulaires. — Arcs correspondants à une fonction circulaire donnée. Théorie des projections. Relations entre les fonctions circulaires d'un même arc. — Formules relatives à l'addition, à la soustraction, à la multiplication et à la division des arcs. — Manière de rendre les formules calculables par logarithmes. Usage des tables. Limite du rapport de l'arc au sinus ou à la tangente lorsque l'arc tend vers zéro. — La différence entre un arc compris entre 0 et Z et son sinus est moindre que le sixième du cube de l'arc. Formules relatives aux triangles rectangles ou quelconques. Résolution trigonométrique de l'équation du troisième degré et de l'équation binôme. Relation entre les trois côtés et un angle d'un triangle sphérique. V. — GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE.
de Newton et méthode des parties proportionnelles déduites de considérations géométriques. Décomposition d'une fraction rationnelle en éléments simples. Résolution algébrique de l'équation du troisième degré. IV. — TRIGONOMÉTRIE Fonctions circulaires. — Arcs correspondants à une fonction circulaire donnée. Théorie des projections. Relations entre les fonctions circulaires d'un même arc. — Formules relatives à l'addition, à la soustraction, à la multiplication et à la division des arcs. — Manière de rendre les formules calculables par logarithmes. Usage des tables. Limite du rapport de l'arc au sinus ou à la tangente lorsque l'arc tend vers zéro. — La différence entre un arc compris entre 0 et Z et son sinus est moindre que le sixième du cube de l'arc. Formules relatives aux triangles rectangles ou quelconques. Résolution trigonométrique de l'équation du troisième degré et de l'équation binôme. Relation entre les trois côtés et un angle d'un triangle sphérique. V. — GÉOMÉTRIE ANALYTIQUE. Géométrie plane. Coordonnées rectilignes; leur transformation. — Coordonnées du point qui divise un segment de droite dans un rapport donné; équation de la ligne droite. — Distance de deux points; équation du cercle. Théorie analytique de la ligne droite. Condition pour que l'équation générale du second degré représente un cercle ou un système de deux droites. Théories générales relatives aux courbes planes. — Équation de la tangente en un point donné d'une courbe ; tangente menée par un point quelconque du plan ou parallèlement à une droite donnée ; exprimer que deux courbes sont tangentes ; normale, sous-tangente, sousnormale. — Recherche des asymptotes ; application aux courbes algébriques ; disposition relative de la branche de courbe et de l'asymptote; exprimer qu'une droite est asymptote d'une courbe algébrique. — Centres. — Diamètres rectilignes et axes. — Équation d'une courbe semblable à une courbe donnée. Deux courbes générales l'une d'ordre m, l'autre d'ordre n, ont mn points communs. — Construction des courbes ; concavité et convexité; condition pour que l'origine soit un point multiple d'une courbe algébrique et détermination des tangentes en ce point. Application des propriétés des polynômes homogènes à la classification des courbes du second ordre et à la réduction
ou un système de deux droites. Théories générales relatives aux courbes planes. — Équation de la tangente en un point donné d'une courbe ; tangente menée par un point quelconque du plan ou parallèlement à une droite donnée ; exprimer que deux courbes sont tangentes ; normale, sous-tangente, sousnormale. — Recherche des asymptotes ; application aux courbes algébriques ; disposition relative de la branche de courbe et de l'asymptote; exprimer qu'une droite est asymptote d'une courbe algébrique. — Centres. — Diamètres rectilignes et axes. — Équation d'une courbe semblable à une courbe donnée. Deux courbes générales l'une d'ordre m, l'autre d'ordre n, ont mn points communs. — Construction des courbes ; concavité et convexité; condition pour que l'origine soit un point multiple d'une courbe algébrique et détermination des tangentes en ce point. Application des propriétés des polynômes homogènes à la classification des courbes du second ordre et à la réduction de l'équation générale du second degré. Application des diverses théories générales aux courbes du second degré. — Intersection de la courbe et d'une droite ; conditions de contact. — Polaire d'un point ; équation des tangentes menées par un point donné; condition pour qu'un point soit intérieur ou extérieur à la courbe. — Équation des asymptotes; condition pour qu'une hyperbole soit équilatère. — Discussion des équations du centre. Équation générale du diamètre ; relation entre les coefficients angulaires de deux diamètres conjugués, équation des axes ; équation aux carrés des longueurs des demi-axes. — Similitude de deux courbes du second ordre. Hexagones de Pascal et de Brianchon. Théorie des foyers et des directrices. Étude sommaire des courbes du second degré sur les équations réduites. — Questions communes aux trois courbes ; propriétés focales et tracés qui en résultent pour les tangentes et pour l'intersection de la courbe et d'une droite ; équations de la tangente et de la normale en fonction du coefficient angulaire; normales menées par un point du plan. Questions relatives à l'ellipse et à l'hyperbole : diamètres; cordes supplémentaires; diamètres conjugués ; théorèmes d'Apollonius ; construire les axes connaissant un système de diamètres conjugués. — Tracés spéciaux