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media se: Si dice che la stessa successione (i) converge su E in media verso la funzione f(P) e scriveremo Evidentemente: se una successione converge su E in media, essa converge in media su ogni insieme misurabile contenuto in E; se una successione converge su E in media verso una funzione f, essa converge in media verso la stessa funzione su ogni insieme misurabile contenuto in E; se una successione converge su E in media verso una funzione f, ogni altra funzione verso la quale la stessa successione converge su E in media sarà equivalente alla f; condizione, necessaria affinché una successione converga su E in media verso una funzione f è che la successione converga su E in media; condizione sufficiente affinché una successione converga su E in media è che esista un insieme E', avente la misura di E e contenuto in E, nel quale la successione converge uniformemente. La convergenza in media per una serie (2) l1(P) + l2(P) + ... + Un(P) + ... di funzioni definite in E ed ivi di quadrato sommabile, si riporta a quella della successione (F1(P) = u0(P), F1(P) = a0(P) + u1(P), ..., Fn(P) = u0(P), A → 0 Se si scriverà f(P) = l0(P) + (P) + ... + (P) + ... Sussiste il TEOREMA FISCHER-WEYL. — Se una successione di funzioni converge su E in media, esiste una funzione, determinata quasi ovunque in E, verso la quale la successione converge su E in media. Questo fondamentale teorema è stato scoperto dal Fischer, e dimostrato, dal Fischer ed in seguito di nuovo dal Weyl, nel caso che l'insieme E si riduca ad un intervallo lineare. Alla denominazione del teorema da noi enunciato è giusto però aggiungere il nome di Weyl, poiché soltanto la dimostrazione di questo autore è suscettibile d'essere immediatamente estesa ad un qualsiasi insieme limitato e misurabile di uno spazio ad un numero qualunque di dimensioni. 2. ALCUNE PROPRIETÀ DELLA CONVERGENZA IN MEDIA. Esporremo ora alcune notevoli proprietà della convergenza in media, sostanzialmente già osservate. I. Sia A un insieme misurabile contenuto in E, se la successione
si scriverà f(P) = l0(P) + (P) + ... + (P) + ... Sussiste il TEOREMA FISCHER-WEYL. — Se una successione di funzioni converge su E in media, esiste una funzione, determinata quasi ovunque in E, verso la quale la successione converge su E in media. Questo fondamentale teorema è stato scoperto dal Fischer, e dimostrato, dal Fischer ed in seguito di nuovo dal Weyl, nel caso che l'insieme E si riduca ad un intervallo lineare. Alla denominazione del teorema da noi enunciato è giusto però aggiungere il nome di Weyl, poiché soltanto la dimostrazione di questo autore è suscettibile d'essere immediatamente estesa ad un qualsiasi insieme limitato e misurabile di uno spazio ad un numero qualunque di dimensioni. 2. ALCUNE PROPRIETÀ DELLA CONVERGENZA IN MEDIA. Esporremo ora alcune notevoli proprietà della convergenza in media, sostanzialmente già osservate. I. Sia A un insieme misurabile contenuto in E, se la successione (1) converge su E in media, esisterà un numero positivo K tale che, per ogni indice n, qualunque sia A, risulta Ed invero, dato un numero positivo e arbitrario, è possibile trovare un indice n, tale che, se n ≥ n, si ha Questo numero K, di cui abbiamo asserito l'esistenza, è il più grande fra i seguenti: II. Le successioni [Fn] e [Gl] convergono su E in media, rispettivamente, verso le funzioni f e g, dico che allora uniformemente per A variabile in E. III. — Sulla convergenza uniforme in generale. 5. DEFINIZIONE E TEOREMA DI WEYL. — Si deve al Weyl (loc. cit., p. 339) uno studio approfondito della convergenza in media con il quale si consegue una più adeguata conoscenza del modo di comportarsi della differenza(F(P) - F n(P)) nei punti dell'insieme. Per enunciare questo importante risultato occorre introdurre il concetto di convergenza uniforme in generale, dovuto anch'esso al Weyl. Nell'insieme E, limitato, misurabile e di misura non nulla, siano definite, nel modo più arbitrario, le funzioni costituenti una successione; si dirà, con Weyl, che tale successione converge uniformemente in generale su E se: oppure che la serie (2) f'(P) + (P) + l'(P) + ... +
l'esistenza, è il più grande fra i seguenti: II. Le successioni [Fn] e [Gl] convergono su E in media, rispettivamente, verso le funzioni f e g, dico che allora uniformemente per A variabile in E. III. — Sulla convergenza uniforme in generale. 5. DEFINIZIONE E TEOREMA DI WEYL. — Si deve al Weyl (loc. cit., p. 339) uno studio approfondito della convergenza in media con il quale si consegue una più adeguata conoscenza del modo di comportarsi della differenza(F(P) - F n(P)) nei punti dell'insieme. Per enunciare questo importante risultato occorre introdurre il concetto di convergenza uniforme in generale, dovuto anch'esso al Weyl. Nell'insieme E, limitato, misurabile e di misura non nulla, siano definite, nel modo più arbitrario, le funzioni costituenti una successione; si dirà, con Weyl, che tale successione converge uniformemente in generale su E se: oppure che la serie (2) f'(P) + (P) + l'(P) + ... + l'I(P) + ... converge su E uniformemente in generale, se, comunque; un numero positivo ≤ E(j), è possibile costruire un insieme contenuto in E e di misura wE − £, nel quale la serie, converge uniformemente. Evidentemente: se la successione (i) converge su E uniformemente e in generale, essa converge quasi ovunque in E, esisterà, in insieme E', avente la misura di E ed in questo contenuto, nel quale la successione (i), cioè la serie (2), converge. Ogni funzione f(P), definita in tutto E, che in E' coincide col limite della successione (I), cioè con la somma della serie (2), si dirà rappresentata dalla successione o da quella serie. Ciò posto, siamo in grado di enunciare l'accurato teorema di Weyl col seguente. TEOREMA DI WEYL. — Se la successione di funzioni definite in E, ivi ciascuna di quadrato sommabile, converge su E in media, è possibile costruire quante si vogliano successioni n1, n2, ..., ns, ... di indici crescenti, tali che la successione di funzioni (4) F1,(P), Fn,(P), ..., Fns,(P), ..., cioè la serie, converge su E uniformemente in generale. La successione (3) converge su E in media verso ogni funzione f(P) rappresentata dalla successione (4), cioè dalla serie (5).
quasi ovunque in E, esisterà, in insieme E', avente la misura di E ed in questo contenuto, nel quale la successione (i), cioè la serie (2), converge. Ogni funzione f(P), definita in tutto E, che in E' coincide col limite della successione (I), cioè con la somma della serie (2), si dirà rappresentata dalla successione o da quella serie. Ciò posto, siamo in grado di enunciare l'accurato teorema di Weyl col seguente. TEOREMA DI WEYL. — Se la successione di funzioni definite in E, ivi ciascuna di quadrato sommabile, converge su E in media, è possibile costruire quante si vogliano successioni n1, n2, ..., ns, ... di indici crescenti, tali che la successione di funzioni (4) F1,(P), Fn,(P), ..., Fns,(P), ..., cioè la serie, converge su E uniformemente in generale. La successione (3) converge su E in media verso ogni funzione f(P) rappresentata dalla successione (4), cioè dalla serie (5). Ecco poi come il Weyl costruisce le indicate successioni di indici n1, n2, ..., ns, ... Si Sia sn l'estremo superiore dell'insieme di numeri descritto da al variare di v da 0 a oc. Per la supposta convergenza in media della successione (3), si avrà lim En = 0. È possibile per ciò costruire quante si vogliano successioni crescenti di indici n1, n2, ..., ns, tali che la serie E1 + E2 + ... + ... converga; orbene, per ogni tale successione di indici la successione (4) converge su E uniformemente in generale. OSSERVAZIONE SULLA COSTRUZIONE DI WEYL. — La costruzione del Weyl, di dato esposta, appare in generale difficile per la ricerca, che essa richiede, per ogni valore dell'indice n, dell'estremo superiore (o di un numero a questo non inferiore) dell'insieme numerico descritto dall'integrale (6) al variare di v da 0 a ce. Vi è un caso però, molto importante per le nostre future applicazioni, in cui quella ricerca è immediatamente compiuta. È il caso in cui già si conosce una funzione f(P) verso la quale la successione (3) converge su E in media, e questa convergenza è tale che, posto la successione 0, 0"1, ... , 0n, ...
possibile per ciò costruire quante si vogliano successioni crescenti di indici n1, n2, ..., ns, tali che la serie E1 + E2 + ... + ... converga; orbene, per ogni tale successione di indici la successione (4) converge su E uniformemente in generale. OSSERVAZIONE SULLA COSTRUZIONE DI WEYL. — La costruzione del Weyl, di dato esposta, appare in generale difficile per la ricerca, che essa richiede, per ogni valore dell'indice n, dell'estremo superiore (o di un numero a questo non inferiore) dell'insieme numerico descritto dall'integrale (6) al variare di v da 0 a ce. Vi è un caso però, molto importante per le nostre future applicazioni, in cui quella ricerca è immediatamente compiuta. È il caso in cui già si conosce una funzione f(P) verso la quale la successione (3) converge su E in media, e questa convergenza è tale che, posto la successione 0, 0"1, ... , 0n, ... (che ha per limite zero) non è mai (1) cf, C. SEVERINI, Sulla teoria di chiusura dei sistemi di funzioni ortogonali (Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 2° semestre 1913). In questo lavoro già si trova (al n° 6) la critica del testo alla costruzione del Weyl, però anche nel caso contemplato dal Severini si verifica la circostanza semplificatrice osservata più oltre nel testo. crescente. In tale ipotesi risulta invero: Si ha pertanto: Se la successione (3) converge su E in media verso la funzione f(P), in maniera che l'integrale (7) non cresce al crescere di n, e se, ad esempio, per la successione di indici n1, n2, ..., ns, ... si ha: la successione (4) converge su E uniformemente in generale e vi rappresenta la funzione f(P). III. — Posizione del problema d'approssimazione. 1° CONSIDERAZIONI PRELIMINARI. — Nel limite limitato e misurabile E, di misura non nulla, di uno spazio lineare S, di un numero qualunque r di dimensioni, siano assegnate le funzioni ciascuna di quadrato sommabile, costituente una successione. Come ben si sa, un problema di capitale importanza nell'analisi è il seguente: Data, arbitrariamente, una funzione f(P) in E, ivi di quadrato sommabile, approssimare la funzione, in tutto
caso contemplato dal Severini si verifica la circostanza semplificatrice osservata più oltre nel testo. crescente. In tale ipotesi risulta invero: Si ha pertanto: Se la successione (3) converge su E in media verso la funzione f(P), in maniera che l'integrale (7) non cresce al crescere di n, e se, ad esempio, per la successione di indici n1, n2, ..., ns, ... si ha: la successione (4) converge su E uniformemente in generale e vi rappresenta la funzione f(P). III. — Posizione del problema d'approssimazione. 1° CONSIDERAZIONI PRELIMINARI. — Nel limite limitato e misurabile E, di misura non nulla, di uno spazio lineare S, di un numero qualunque r di dimensioni, siano assegnate le funzioni ciascuna di quadrato sommabile, costituente una successione. Come ben si sa, un problema di capitale importanza nell'analisi è il seguente: Data, arbitrariamente, una funzione f(P) in E, ivi di quadrato sommabile, approssimare la funzione, in tutto E, per mezzo di combinazioni lineari a coefficienti costanti, delle funzioni della successione (1). È nella natura stessa del problema il fare l'ipotesi che, per ogni valore di k, le funzioni fk, siano, in E, linearmente indipendenti, siano cioè tali che non esistano n + 1 costanti non tutte nulle, per le quali si abbia, quasi ovunque in E, Ponendo f(P) = f1(P) + f2(P) + ... + fk(P) = 0, l'ipotesi ora detta, che noi appunto facciamo, equivale ad ammettere, come è noto, che per ogni valore di k si ha: Diremo in tal caso, semplicemente, che il sistema [f1, f2, ..., fk] di funzioni è di funzioni linearmente indipendenti. Il generale problema d'approssimazione, così sommariamente indicato, contiene, evidentemente, come caso particolare, il classico problema dello sviluppo di una funzione, arbitrariamente data, in serie di assegnate altre funzioni. Supposto, in particolare, che in E sia: x1, x2, ..., xr, designano coordinate di un punto di E, si ha il problema dell'approssimazione di una funzione per mezzo di polinomi. 2° CASO IN CUI LE FUNZIONI D'APPROSSIMAZIONE SONO FINO AL NUMERO FINITO. — Rispondiamo, in primo luogo, al quesito seguente: Come si può approssimare in E una assegnata funzione f(P), di
per le quali si abbia, quasi ovunque in E, Ponendo f(P) = f1(P) + f2(P) + ... + fk(P) = 0, l'ipotesi ora detta, che noi appunto facciamo, equivale ad ammettere, come è noto, che per ogni valore di k si ha: Diremo in tal caso, semplicemente, che il sistema [f1, f2, ..., fk] di funzioni è di funzioni linearmente indipendenti. Il generale problema d'approssimazione, così sommariamente indicato, contiene, evidentemente, come caso particolare, il classico problema dello sviluppo di una funzione, arbitrariamente data, in serie di assegnate altre funzioni. Supposto, in particolare, che in E sia: x1, x2, ..., xr, designano coordinate di un punto di E, si ha il problema dell'approssimazione di una funzione per mezzo di polinomi. 2° CASO IN CUI LE FUNZIONI D'APPROSSIMAZIONE SONO FINO AL NUMERO FINITO. — Rispondiamo, in primo luogo, al quesito seguente: Come si può approssimare in E una assegnata funzione f(P), di quadrato sommabile, mediante combinazioni lineari di funzioni della successione limitata f0, ..., fn? A tale questione si risponde subito al modo seguente: Si può determinare v + 1 costanti a0, ..., an per modo che, quasi ovunque in E, sia f = a0f0 + a1f1 + ... + anfn, oppure la richiesta approssimazione non può scendere al di sotto di un termine assegnabile ò, si può cioè determinare una quantità positiva ò, tale che, comunque si scelgano le costanti a0, a1, ..., an, quella porzione di E nei punti della quale risulta è di misura non nulla. Consideriamo invero l'integrale dipendente dai parametri a1, a2, ..., av. Esso ha un minimo determinato che raggiunge per i valori delle ai verificanti il sistema di equazioni lineari il determinante delle quali, in virtù della supposta indipendenza lineare delle funzioni fi, riesce positivo. Odesignamo con cr1 questo minimo. Se o= o, per il sistema delle ai verificanti le (3) si avrà, quasi ovunque in E, f = akf1; se (j'I> o, l'approssimazione della f, per a = o combinazioni lineari di funzioni della successione limitata fi, ..., fv, non può scendere al disotto del termine Adunque: Al problema dell'approssimazione in E di una
la richiesta approssimazione non può scendere al di sotto di un termine assegnabile ò, si può cioè determinare una quantità positiva ò, tale che, comunque si scelgano le costanti a0, a1, ..., an, quella porzione di E nei punti della quale risulta è di misura non nulla. Consideriamo invero l'integrale dipendente dai parametri a1, a2, ..., av. Esso ha un minimo determinato che raggiunge per i valori delle ai verificanti il sistema di equazioni lineari il determinante delle quali, in virtù della supposta indipendenza lineare delle funzioni fi, riesce positivo. Odesignamo con cr1 questo minimo. Se o= o, per il sistema delle ai verificanti le (3) si avrà, quasi ovunque in E, f = akf1; se (j'I> o, l'approssimazione della f, per a = o combinazioni lineari di funzioni della successione limitata fi, ..., fv, non può scendere al disotto del termine Adunque: Al problema dell'approssimazione in E di una funzione f, di quadrato sommabile, mediante combinazioni lineari di funzioni della successione limitata fi, f2, ..., fv, si risponde al modo seguente: Se l'è nullo, le equazioni (3) determinano v costanti tali che, quasi ovunque in E, risulta f= a1f1 + a2f2 + ... + cvfv; se lo stesso determinante è positivo, le stesse equazioni (3) determinano v costanti tali che, detto crv l'1 valore dell'integrale I(a1, a2, ..., av) che ad esse corrisponde, la richiesta approssimazione, non scende al disotto del termine, 1/fj-v: m E. 7. POSIZIONI PRECISHE DEL PROBLEMA GENERALE D'APPROSSIMAZIONE. — Consideriamo ora il generale problema, di vero interesse, dell'approssimazione dell'assegnata funzione f, di quadrato sommabile, mediante combinazioni lineari di funzioni della successione illimitata (i). Il problema deve ancora essere precisato. Cominciamo a far ciò dicendo: Si richiede la determinazione delle costanti, in infinità numerabile, del seguente quadro per modo che la combinazione lineare Fn(P) = fi(P) + a2f2(P) + ... + anfn(P), al divergere di n, approssimi in E l'assegnata funzione f(P) di quadrato sommabile. Occorre ancora precisare il significato della frase: « La combinazione lineare Fn(P), al divergere di n, approssimi in E la funzione f(P). » Per far ciò, prendendo una proprietà comune a
è positivo, le stesse equazioni (3) determinano v costanti tali che, detto crv l'1 valore dell'integrale I(a1, a2, ..., av) che ad esse corrisponde, la richiesta approssimazione, non scende al disotto del termine, 1/fj-v: m E. 7. POSIZIONI PRECISHE DEL PROBLEMA GENERALE D'APPROSSIMAZIONE. — Consideriamo ora il generale problema, di vero interesse, dell'approssimazione dell'assegnata funzione f, di quadrato sommabile, mediante combinazioni lineari di funzioni della successione illimitata (i). Il problema deve ancora essere precisato. Cominciamo a far ciò dicendo: Si richiede la determinazione delle costanti, in infinità numerabile, del seguente quadro per modo che la combinazione lineare Fn(P) = fi(P) + a2f2(P) + ... + anfn(P), al divergere di n, approssimi in E l'assegnata funzione f(P) di quadrato sommabile. Occorre ancora precisare il significato della frase: « La combinazione lineare Fn(P), al divergere di n, approssimi in E la funzione f(P). » Per far ciò, prendendo una proprietà comune a tutti gli sviluppi in serie e a tutte le approssimazioni, fin ad oggi conosciuti, porremo la seguente. DEFINIZIONE: Diremo che la combinazione lineare Fn(P), al divergere di n, approssimi in E la funzione f(P) di quadrato sommabile, se, comunque si definisca in E la funzione g(P), di quadrato sommabile, si ha: Evidentemente: Se la combinazione lineare Fn(P) approssimi in E la funzione f(P), l'approssima anche in qualunque insieme misurabile contenuto in E; se la combinazione lineare Fn(P) approssimi in E due funzioni, queste dovranno ivi essere equivalenti; se le due combinazioni lineari Fn,(P) e Fn(P) approssimano in E, rispettivamente, le due funzioni f e f indicando con a1 e a2 due costanti arbitrarie, la combinazione lineare a1Fn1 + a2Fn2 approssimi in E la funzione a1f + a2f2 (6). Se, valendo la (5), le quantità akj del quadro (4) risultano, per ogni valore dell'indice 1, indipendenti dal secondo indice k, diremo che la funzione f(P) è approssimabile in E per serie delle funzioni fi Il, Posto a. = at, si avrà Fn= a1f1 + a2f2 + ... + anv; si dirà perciò anche che la serie a1fn1 + a2f2n + ... approssimi in E la funzione f. In tal caso dunque
ha: Evidentemente: Se la combinazione lineare Fn(P) approssimi in E la funzione f(P), l'approssima anche in qualunque insieme misurabile contenuto in E; se la combinazione lineare Fn(P) approssimi in E due funzioni, queste dovranno ivi essere equivalenti; se le due combinazioni lineari Fn,(P) e Fn(P) approssimano in E, rispettivamente, le due funzioni f e f indicando con a1 e a2 due costanti arbitrarie, la combinazione lineare a1Fn1 + a2Fn2 approssimi in E la funzione a1f + a2f2 (6). Se, valendo la (5), le quantità akj del quadro (4) risultano, per ogni valore dell'indice 1, indipendenti dal secondo indice k, diremo che la funzione f(P) è approssimabile in E per serie delle funzioni fi Il, Posto a. = at, si avrà Fn= a1f1 + a2f2 + ... + anv; si dirà perciò anche che la serie a1fn1 + a2f2n + ... approssimi in E la funzione f. In tal caso dunque la serie, qualunque sia la funzione g(P), di quadrato sommabile, è convergente ed ha pari somma (fg)dP. 8. E SEMPI NOTEVOLI D'APPROSSIMAZIONE. — Vediamo ora dei casi notevoli d'approssimazione nei quali è soddisfatta la condizione (5). I. Nelle scienze sperimentali, come misura dell'errore d'approssimazione commesso sostituendo, in tutto E, alla funzione f(P), la combinazione lineare Fn(P), si prende l'integrale e, fissatoci numero n, si ritiene anzi che, quella combinazione lineare Fn(P), i cui coefficienti danno all'integrale (6) il suo minimo valore, fornisca, in tutto E, la migliore approssimazione relativa alle combinazioni lineari di quel prefissato numero n di funzioni del sistema [fi,d. Uniformandoci a questo concetto, vogliamo vedere se, risultando: si possa dire, nel senso precisato al numero precedente, che la combinazione lineare Fn(P), al divergere di n, approssimi in E la funzione f. Ciò si può effettivamente dire, poiché, nell'ipotesi (7), la successione [Fn] converge su E in media verso la funzione f, e la proprietà II della convergenza in media, osservata al n° 2, dà allora che, qualunque sia la funzione g(P), di quadrato sommabile, riesce verificata la (5). Adunque: La combinazione lineare Fn(P), al divergere di n, approssimi in E la funzione f(P), se in particolare, e
funzione f(P), la combinazione lineare Fn(P), si prende l'integrale e, fissatoci numero n, si ritiene anzi che, quella combinazione lineare Fn(P), i cui coefficienti danno all'integrale (6) il suo minimo valore, fornisca, in tutto E, la migliore approssimazione relativa alle combinazioni lineari di quel prefissato numero n di funzioni del sistema [fi,d. Uniformandoci a questo concetto, vogliamo vedere se, risultando: si possa dire, nel senso precisato al numero precedente, che la combinazione lineare Fn(P), al divergere di n, approssimi in E la funzione f. Ciò si può effettivamente dire, poiché, nell'ipotesi (7), la successione [Fn] converge su E in media verso la funzione f, e la proprietà II della convergenza in media, osservata al n° 2, dà allora che, qualunque sia la funzione g(P), di quadrato sommabile, riesce verificata la (5). Adunque: La combinazione lineare Fn(P), al divergere di n, approssimi in E la funzione f(P), se in particolare, e ovviamente, se in un insieme E', avente la misura di E e contenuto in E, la successione [Fn] converge uniformemente verso la funzione f. II. In virtù del noto teorema di Lebesgue del passaggio al limite sotto il segno integrale, si ha anche: La combinazione lineare Fn(P), al divergere di n, approssima in E la funzione f(P), se in un insieme E', avendo la misura di E e contenuto in E, si ha limFn(P) := f(P), ed inoltre la differenza n = f(P) - Fn(P) mantiene in E', in valore assoluto, non superiore ad una funzione, indipendente da n, di quadrato sommabile. 9. CONDIZIONE ALLA QUALE DEVE SODDISFARE UN SISTEMA D'APPROSSIMAZIONE. SISTEMI COMPLETI DI FUNZIONI. Domandiamo ora: Ogni successione illimitata \(f(P)\) è forse suscettibile, mediante combinazioni lineari dei suoi termini e al divergere del numero di questi termini, di approssimare in ogni assegnata funzione di quadrato sommabile? A tale importante questione daremo una risposta negativa; stabiliremo anzi una condizione necessaria e sufficiente, che deve essere soddisfatta dalle funzioni del sistema \(f_k(P)\), affinché esse siano in grado, mediante loro combinazioni lineari, di approssimare in ogni funzione assegnata, di quadrato sommabile. Si dice che la successione illimitata \(f(P)\), \(j(P)\), \(\ldots\), \(fn(P)\), di