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permet des reproductions si fidèles et si parfaites, ces 20 planches obtiendront, nous en sommes sûrs, le plus vif et le plus mérité succès. PRIX DE SOUSCRIPTION : 20 planches de format 27x41 cm., tirées en héliogravure, dont 8 en deux tons, précédées d’une préface de Saint-Paul-Roux, réunies en un élégant portefeuille. En un seul versement au moment de la souscription 100 francs. Après la parution de l’ouvrage, en décembre 1926 125 francs. (contre remboursement) ÉDITION DE LUXE : Il sera tiré en outre de cet ouvrage, Cent Exemplaires sur pur vélin d’Arches à la forme, numérotés de 1 à 100 et signés par l’auteur avec une planche supplémentaire, à tirage strictement limité pour cette édition. En un seul versement au moment de la souscription 350 francs. Après la parution de l’ouvrage, en décembre 1926 400 francs. On souscrit : Aux Éditions HOROS, 39, rue du Général Fougeres, Paris-8e et aux Publications Photographiques P. MONTEL, 189, rue Saint-Jacques, Paris-5e. 70, RUE DE L’AQUEDUC PARIS -X Retouches de Clichés (48 heures) Agrandissements (Livraison 15 jours) LA PLAQUE GEVAERT SUPER-SENSIMA 700H.® & D. Est actuellement la plus sensible qui soit sur le marché Photographique ; elle est surtout indispensable au PROFESSIONNEL pour le travail à domicile et partout où la grande rapidité joue un rôle prépondérant : Groupes, Enfants, Sujets Sportifs, etc.. La plaque GEVAERT Super-Sensima Dans les Bons PHOTO-HALLS réalise le type de la Plaque parfaite. Société anonyme PHOTO PRODUITS GEVAERT H. BRUNET, Directeur 12, Boulevard de Strasbourg, PARIS REPARATIONS À ne pas attendre les beaux jours ! Faites, DÈS MAINTENANT, réparer vos appareils en toute sécurité à la Maison *j. en©TARD 57, Rue de Seine, PARIS-6e Elle dispose d’un atelier spécialisé, Elle remet en état les appareils, obturateurs, objectifs, jumelles, châssis-magasin, etc mm., DE TOUTES MARQUES, Elle est spécialisée dans la réparation des appareils à obturateur de plaque. Elle se charge de tous changements d'optique et d'obturateurs ; elle les fournit dans d'excellentes conditions. Un devis est toujours fourni avant l’exécution du travail demandé ou jugé nécessaire. MAISON SPÉCIALE D’AGRANDISSEMENTS avec et sans retouche VERNIEMONT LAURÉATS DES BEAUX-ARTS Prix d'Or
le travail à domicile et partout où la grande rapidité joue un rôle prépondérant : Groupes, Enfants, Sujets Sportifs, etc.. La plaque GEVAERT Super-Sensima Dans les Bons PHOTO-HALLS réalise le type de la Plaque parfaite. Société anonyme PHOTO PRODUITS GEVAERT H. BRUNET, Directeur 12, Boulevard de Strasbourg, PARIS REPARATIONS À ne pas attendre les beaux jours ! Faites, DÈS MAINTENANT, réparer vos appareils en toute sécurité à la Maison *j. en©TARD 57, Rue de Seine, PARIS-6e Elle dispose d’un atelier spécialisé, Elle remet en état les appareils, obturateurs, objectifs, jumelles, châssis-magasin, etc mm., DE TOUTES MARQUES, Elle est spécialisée dans la réparation des appareils à obturateur de plaque. Elle se charge de tous changements d'optique et d'obturateurs ; elle les fournit dans d'excellentes conditions. Un devis est toujours fourni avant l’exécution du travail demandé ou jugé nécessaire. MAISON SPÉCIALE D’AGRANDISSEMENTS avec et sans retouche VERNIEMONT LAURÉATS DES BEAUX-ARTS Prix d'Or aux principales expositions. 12, Rue des Frères-Chappe — SAINT-ETIENNE (Loire) Téléphone: 14-19. TRAVAILLANT UNIQUEMENT POUR LES PROFESSIONNELS Installation moderne et unique — fondée en 1879 Prix-courant francs sur demande R. G. 387 Compte enchéques-postaux : Lyon n° 230-40 DEMARIA-LA PIERRE La plus importante Manufacture Française d'appareils et accessoires Photographiques BUREAUX ET MAGASINS Téléphone: Roquette 38-23 133, Solfard Davout, à PARIS (20e) R. C. Seine n° 110.267 USINE : 21, rue Jeanne-d’Arc, LAGNY (S.-et-M.) PRESSE « PHÉNIX » Appareils à main : Caleb, Caleb-Film, Caleb, Pocket, Gapsa. Chambres portatives : Folder, Quadra. Lanternes de projections : Prima, Scola, Congrès, Gylor. Lanternes d’agrandissement : Dago, Néron, Centaure. Matériel pour Professionnels : Chambres, Pieds d’atelier, Accessoires : Châssis, Châssis-Presse, Cuvettes, Lanternes, etc... CATALOGUES SUR DEMANDE Photographes Français!... Favorisez l'Industrie Nationale GODEFROY FRÈRES SÈREY Métro : BELLE VILLE boulevard de la Villette Téléph. : Combat 15-89 — PARIS (19e) Cisaille photographique Brevetée S. G. D. G. Pour calibrer et marger les épreves. Construction entièrement métallique. Coupe très douce et précise. Fonctionnant à volonté : au levier, à main et au pied. — Livraison immédiate. Compte-pose automatique Breveté S. G. D. G. Produisant l’allumage et l’extinction de la lampe de la tireuse pour le tirage
ET MAGASINS Téléphone: Roquette 38-23 133, Solfard Davout, à PARIS (20e) R. C. Seine n° 110.267 USINE : 21, rue Jeanne-d’Arc, LAGNY (S.-et-M.) PRESSE « PHÉNIX » Appareils à main : Caleb, Caleb-Film, Caleb, Pocket, Gapsa. Chambres portatives : Folder, Quadra. Lanternes de projections : Prima, Scola, Congrès, Gylor. Lanternes d’agrandissement : Dago, Néron, Centaure. Matériel pour Professionnels : Chambres, Pieds d’atelier, Accessoires : Châssis, Châssis-Presse, Cuvettes, Lanternes, etc... CATALOGUES SUR DEMANDE Photographes Français!... Favorisez l'Industrie Nationale GODEFROY FRÈRES SÈREY Métro : BELLE VILLE boulevard de la Villette Téléph. : Combat 15-89 — PARIS (19e) Cisaille photographique Brevetée S. G. D. G. Pour calibrer et marger les épreves. Construction entièrement métallique. Coupe très douce et précise. Fonctionnant à volonté : au levier, à main et au pied. — Livraison immédiate. Compte-pose automatique Breveté S. G. D. G. Produisant l’allumage et l’extinction de la lampe de la tireuse pour le tirage des papiers bromures. Tireuse automatique industrielle emploie le papier en rouleau et le coupe à chaque épreuve tirée. Le déplacement du papier, l’éclairage de la tireuse, sont automatiques. La tireuse, actionnée au moteur, travaille seule. Tireuse spéciale automatique pour Cartes Postales Sécheuse pour Papier bromure Brevetée S. G. D. G. Peut sécher les plus grands formats. Par Ses dispositions, cette machine ne peut brûler les toiles, même arrêtée. Un système spécial empêche les toiles de se déplacer à droite ou à gauche. REMISE HABITUELLE Agent exclusif pour la Belgique, l’Allemagne et la Hollande : VHI. MARYNEN Frères, 29, avenue du Boulevard, BRUXELLES Vient de Paraître L'Indicateur de l’Industrie Photographique ANNUAIRE GÉNÉRAL, 1927 Editeur : Paul MONTEE, 189, rue Saint-Jacques, Paris (5e) La Loi du 4 avril dernier fait une obligation à tous les commerçants de tenir un livre de recettes et de dépenses pour y inscrire, au jour le jour, leurs recettes et dépenses. “L’Indicateur de l’Industrie Photographique” facilite ce travail aux photographes professionnels puisqu’il contient réunis en un seul volume : 1° UN REGISTRE D’INSCRIPTION DES COMMANDES spécialement établi sur véritable papier à registre, et permettant l’inscription de plus de 1.500 commandes; 2° UN AGENDA POUR 1927, sur lequel
Peut sécher les plus grands formats. Par Ses dispositions, cette machine ne peut brûler les toiles, même arrêtée. Un système spécial empêche les toiles de se déplacer à droite ou à gauche. REMISE HABITUELLE Agent exclusif pour la Belgique, l’Allemagne et la Hollande : VHI. MARYNEN Frères, 29, avenue du Boulevard, BRUXELLES Vient de Paraître L'Indicateur de l’Industrie Photographique ANNUAIRE GÉNÉRAL, 1927 Editeur : Paul MONTEE, 189, rue Saint-Jacques, Paris (5e) La Loi du 4 avril dernier fait une obligation à tous les commerçants de tenir un livre de recettes et de dépenses pour y inscrire, au jour le jour, leurs recettes et dépenses. “L’Indicateur de l’Industrie Photographique” facilite ce travail aux photographes professionnels puisqu’il contient réunis en un seul volume : 1° UN REGISTRE D’INSCRIPTION DES COMMANDES spécialement établi sur véritable papier à registre, et permettant l’inscription de plus de 1.500 commandes; 2° UN AGENDA POUR 1927, sur lequel vous pourrez inscrire, jour par jour, vos notes et rendez-vous; 3° UN REGISTRE DE RECETTES ET DE DÉPENSES; 4° UN RÉPERTOIRE pour l’inscription de vos références et clichés. Ainsi que d’utiles renseignements techniques et commerciaux dont vous avez besoin journellement. En un mot, l'Indicateur de 1927 sera le « vade mecum » indispensable à tous les Industriels et Négociants de la Photographie. Son prix modique vous fait réaliser une sérieuse économie. Le Volume Broché 25.00 — Relié 32.50 Ces prix très réduits comprennent les frais de port pour la France. BULLETIN DE SOUSCRIPTION à retourner aux Publications Photographiques Paul MONTEL, 189, rue Saint-Jacques, PARIS (5e) Je déclare souscrire à un exemplaire de l'Indicateur de l’Industrie Photographique Edition 1927. Inclus le montant en mandat, chèque ou chèque postal. Veuillez me le faire parvenir contre remboursement. Nom : Profession : Adresse : Ville : (1) Souligner le mode de paiement adopté. (SIGNATURE) Chèques Postaux Paris 6.314 (2) Frais de recouvrement 2.50 en sus. — Connais-tu la bonne nouvelle ? — Laquelle donc ? — Il paraît que Bauchet a encore baissé ses prix. N. Bauchet & Cie Boulevard Léon-Louche à RUEIL (Seine-et-Oise)
mecum » indispensable à tous les Industriels et Négociants de la Photographie. Son prix modique vous fait réaliser une sérieuse économie. Le Volume Broché 25.00 — Relié 32.50 Ces prix très réduits comprennent les frais de port pour la France. BULLETIN DE SOUSCRIPTION à retourner aux Publications Photographiques Paul MONTEL, 189, rue Saint-Jacques, PARIS (5e) Je déclare souscrire à un exemplaire de l'Indicateur de l’Industrie Photographique Edition 1927. Inclus le montant en mandat, chèque ou chèque postal. Veuillez me le faire parvenir contre remboursement. Nom : Profession : Adresse : Ville : (1) Souligner le mode de paiement adopté. (SIGNATURE) Chèques Postaux Paris 6.314 (2) Frais de recouvrement 2.50 en sus. — Connais-tu la bonne nouvelle ? — Laquelle donc ? — Il paraît que Bauchet a encore baissé ses prix. N. Bauchet & Cie Boulevard Léon-Louche à RUEIL (Seine-et-Oise)
JOURNAL DE MATHÉMATIQUES PURS ET APPLIQUÉES DE 1836 À 1874 PAR JOSEPH LLOUVILLE PUBLIÉ de 1875 À 1881 PAR H. RESAL ET DE 1885 À 1921 PAR CAMILLE JORDAN NEUVIÈME SÉRIE L'ÉDITEUR Par HENRI VILLAT AVEC LA COLLABORATION DE R. DE MONTESSUS DE BALLOT et E. PICARD TOME PREMIER ANNÉE 1922 FASCICULE No 4 PARIS GAUTHIER-VILLARS ET CIE, ÉDITEURS LIBRAIRES DU BUREAU DES LONGITUDES, DE L'ÉCOLE POLYTECHNIQUE 55, Quai des Grands-Augustins, 55 1922 Librairie GAUTHIER-VILLARS Un volume in-8 (16x 25), de 460 pages ... 40 ^jPH^ O^positio^^^^^M a" ± bn en facteurs dans le cas où nab est un carré parfait avec une Table des décompositions numériques pour toutes les valeurs de a et b inférieures à *%k jflPVP^ V ^r Docteur en Sciences Physiques et Mathématiques, Ingénieur à la Société Financière des Transports et d'Entreprises Industrielles Une brochure de 16 pages dont 8 en photo-lithographie, Paris 1922 ... 8 fr.^^ **m éméKÊk^ÈKÊÊÊÊÊÊm ♦ ^ClMHHiHHiHI^^^H PRINCIPES ET PREMIERS l&gt;l VI I lll'l'l IVII M I S DE Géométrie Générale^^thétiq^^^B | MODERNEjJMHHHU|||^^H ♦ ^ par avec .................................... Un volume in-S ^5xi6V de 218 pages, Une notice détaillée sur tout ouvrage marqué d'une astérisque (*) sera envoyée sur demande. Nuove su alcuni metodi d'approssimazione dell'analisi; MAURO PICONE. PREFAZIONE. Considerando, per esempio, i problemi nel campo delle equazioni lineari alle derivate parziali del tipo ellittico, dei quali la fisica ha chiesto la soluzione all'analisi matematica, si può ben dire che, se le trattazioni fino ad oggi date di quei problemi possono essere, alla fine, ritenute del tutto esaurienti dal matematico, esse tuttavia non contengono metodi per l'effettivo calcolo approssimato della soluzione che riescano, in ogni caso, di facile e di utile applicazione al fisico. Il potente ausilio delle equazioni integrali ha permesso oggi di conseguire, con una grande generalità, i teoremi d'esistenza per molti e per i più importanti di quei problemi, ma si deve, pur troppo, convenire che, nelle successive approssimazioni della soluzione, date con le dimostrazioni di questi teoremi, non si può vedere un pratico metodo di calcolo. Mi sono proposto di indagare se non sia possibile, in alcuni casi, di
metodi d'approssimazione dell'analisi; MAURO PICONE. PREFAZIONE. Considerando, per esempio, i problemi nel campo delle equazioni lineari alle derivate parziali del tipo ellittico, dei quali la fisica ha chiesto la soluzione all'analisi matematica, si può ben dire che, se le trattazioni fino ad oggi date di quei problemi possono essere, alla fine, ritenute del tutto esaurienti dal matematico, esse tuttavia non contengono metodi per l'effettivo calcolo approssimato della soluzione che riescano, in ogni caso, di facile e di utile applicazione al fisico. Il potente ausilio delle equazioni integrali ha permesso oggi di conseguire, con una grande generalità, i teoremi d'esistenza per molti e per i più importanti di quei problemi, ma si deve, pur troppo, convenire che, nelle successive approssimazioni della soluzione, date con le dimostrazioni di questi teoremi, non si può vedere un pratico metodo di calcolo. Mi sono proposto di indagare se non sia possibile, in alcuni casi, di realizzare tali metodi di calcolo. L'indagine mi ha per intanto condotto ad un nuovo metodo di calcolo approssimato per la soluzione del problema di Dirichlet, metodo che, dal punto di vista accennato, mi sembra possedere i desiderati requisiti. L'esposizione di tale metodo sarà l'oggetto di una memoria che, in questo stesso giornale, seguirà la presente. Nella presente memoria sottopongo ad una diffusa trattazione il problema generale dell' approssimazione di una assegnata funzione per combinazione lineare di assegnate altre funzioni. Sui risultati di tale trattazione si fonda l'indicato metodo d'approssimazione per la soluzione del problema di Dirichlet, ma è sperabile che questi risultati forniranno le basi per ulteriori proficue applicazioni all'integrazione approssimata di equazioni alle derivate parziali, dei varii tipi, della fisico-matematica. I metodi classici prescrivono, quasi, lo sviluppo della soluzione in serie di note funzioni, senza domandare se, anche ottenuta una serie uniformemente ed assolutamente convergente, derivabile termine a termine quante volte si vuole, essa serie, arrestata ai primi n termini, fornisca poi, fra tutte le combinazioni lineari delle stesse n funzioni, la migliore approssimazione possibile della soluzione, in tutto il dominio r di sua esistenza nel quale deve essere considerata. Quasi sempre, invece, avviene che delle medesime funzioni che
stesso giornale, seguirà la presente. Nella presente memoria sottopongo ad una diffusa trattazione il problema generale dell' approssimazione di una assegnata funzione per combinazione lineare di assegnate altre funzioni. Sui risultati di tale trattazione si fonda l'indicato metodo d'approssimazione per la soluzione del problema di Dirichlet, ma è sperabile che questi risultati forniranno le basi per ulteriori proficue applicazioni all'integrazione approssimata di equazioni alle derivate parziali, dei varii tipi, della fisico-matematica. I metodi classici prescrivono, quasi, lo sviluppo della soluzione in serie di note funzioni, senza domandare se, anche ottenuta una serie uniformemente ed assolutamente convergente, derivabile termine a termine quante volte si vuole, essa serie, arrestata ai primi n termini, fornisca poi, fra tutte le combinazioni lineari delle stesse n funzioni, la migliore approssimazione possibile della soluzione, in tutto il dominio r di sua esistenza nel quale deve essere considerata. Quasi sempre, invece, avviene che delle medesime funzioni che compaiono in quei primi n termini della serie si può trovare una diversa combinazione lineare che assai meglio approssima la soluzione in tutto l'indicato dominio r. Nelle scienze sperimentali si constata che tanto meglio si approssima quanto più piccolo è l'errore quadratico medio che si commette e che la migliore approssimazione è quella che rende minimo tale errore. A questo concetto si informa il metodo dei minimi quadrati di Gauss che ha dato e dà così cospicui frutti nella scienza della misura. Orbene, concependo anche in analisi l'errore d'approssimazione al modo delle scienze sperimentali, io riprendo il metodo dei minimi quadrati e oso pensarne l'applicazione sistematica all'integrazione approssimata di intiere classi di equazioni alle derivate parziali. L'idea di introdurre tale metodo nell'analisi, non è nuova. Essa già si trova in Tchebychef (1) e fu anche, nello stesso indirizzo, successivamente elaborata da Heine (2), da Gram (3) e da altri. L'ultimo, assai (1) Journal de Mathématiques pures et appliquées (Journal de Liouville), 2° série, t. I, p. 31. (2) HEINE, Grundbuch Kugelfunktion, Bd I, Kap. V. (3) GRAM, Ueber die Entwickelung reeller Function in Reihen mittels der Methode der kleinsten Quadrate (Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd 94., 1883,
approssimazione è quella che rende minimo tale errore. A questo concetto si informa il metodo dei minimi quadrati di Gauss che ha dato e dà così cospicui frutti nella scienza della misura. Orbene, concependo anche in analisi l'errore d'approssimazione al modo delle scienze sperimentali, io riprendo il metodo dei minimi quadrati e oso pensarne l'applicazione sistematica all'integrazione approssimata di intiere classi di equazioni alle derivate parziali. L'idea di introdurre tale metodo nell'analisi, non è nuova. Essa già si trova in Tchebychef (1) e fu anche, nello stesso indirizzo, successivamente elaborata da Heine (2), da Gram (3) e da altri. L'ultimo, assai (1) Journal de Mathématiques pures et appliquées (Journal de Liouville), 2° série, t. I, p. 31. (2) HEINE, Grundbuch Kugelfunktion, Bd I, Kap. V. (3) GRAM, Ueber die Entwickelung reeller Function in Reihen mittels der Methode der kleinsten Quadrate (Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd 94., 1883, p. 41). più recentemente, l'applicazione del metodo a determinati problemi di fisica, dipendenti appunto dall'integrazione dell'equazione AgM = 0, è stata anche effettuata o proposta da Somigliana e Vercelli (1) e poi da Brillouin (2), non ostante che del metodo non si possedesse alcuna nozione sulla sua convergenza. Oggi però, dopo la scoperta di Lebesgue delle funzioni sommabili, dopo l'introduzione, dovuta al Fischer, della convergenza in media, il metodo dei minimi quadrati acquista una nuova, inattesa potenza, anche nel campo della pura analisi matematica, e là dove esso non arrivava che per una congettura, vi arriva, come qui ho dimostrato (al n° 20, § V), con matematica certezza. Ai metodi classici di integrazione per serie rimane il grave compito, di interesse prevalentemente teorico, di provare l'esistenza e di trovare il numero delle soluzioni dei problemi sull'integrazione delle equazioni alle derivate parziali; ed io sarei pago se questo mio lavoro ed i successivi nei quali applicherò i risultati di questo, riuscissero, almeno, a stabilire che al metodo dei minimi quadrati spetta, invece, il compito di calcolare la soluzione. Nell'esposizione del presente lavoro, per comodità del lettore e allo scopo di fare un tutto organico, non ho trascurato di trattare rapidamente alcuni
dopo la scoperta di Lebesgue delle funzioni sommabili, dopo l'introduzione, dovuta al Fischer, della convergenza in media, il metodo dei minimi quadrati acquista una nuova, inattesa potenza, anche nel campo della pura analisi matematica, e là dove esso non arrivava che per una congettura, vi arriva, come qui ho dimostrato (al n° 20, § V), con matematica certezza. Ai metodi classici di integrazione per serie rimane il grave compito, di interesse prevalentemente teorico, di provare l'esistenza e di trovare il numero delle soluzioni dei problemi sull'integrazione delle equazioni alle derivate parziali; ed io sarei pago se questo mio lavoro ed i successivi nei quali applicherò i risultati di questo, riuscissero, almeno, a stabilire che al metodo dei minimi quadrati spetta, invece, il compito di calcolare la soluzione. Nell'esposizione del presente lavoro, per comodità del lettore e allo scopo di fare un tutto organico, non ho trascurato di trattare rapidamente alcuni risultati noti fondamentali. Degna di rilievo mi pare che sia la nuova semplicissima trattazione che qui ricevono (ai §§ VI e VII) i sistemi di infinite equazioni lineari in infinite quantità incognite, la cui soluzione si riconnette appunto alle nostre ricerche d'approssimazione. Al § VII si ritrovano i bei risultati di E. Schmidt su tali sistemi. SOMIGLIANA e VERCELLI, Sulla provisione matematica della temperatura, nei grandi trafori alpini (Memorie della R. Accademia delle Scienze di Torino, t. LXIII, 1913, p. 327). BRILLOUIN, La méthode des moindres carrés et les équations aux dérivées partielles de la Physique mathématique (Annales de Physique, t. V, 1916, p. 137). I. — Sulla convergenza in media. 1. DEFINIZIONI E TEOREMA FISCHER-YVEYL. — Indicheremo sempre con la lettera E un insieme di punti, limitato, misurabile (al senso di Lebesgue) e di misura non nulla, di uno spazio ad un numero qualunque di dimensioni. Sia P un punto variabile in E e I(P) una funzione di P definita in E, ivi di quadrato sommabile (al senso di Lebesgue), la funzione I(P) risulterà sommabile in E. Se g(P) è un'altra funzione definita in E, ivi pur essa di quadrato sommabile, le funzioni Ig(P), (f - g)(P) e (f
di E. Schmidt su tali sistemi. SOMIGLIANA e VERCELLI, Sulla provisione matematica della temperatura, nei grandi trafori alpini (Memorie della R. Accademia delle Scienze di Torino, t. LXIII, 1913, p. 327). BRILLOUIN, La méthode des moindres carrés et les équations aux dérivées partielles de la Physique mathématique (Annales de Physique, t. V, 1916, p. 137). I. — Sulla convergenza in media. 1. DEFINIZIONI E TEOREMA FISCHER-YVEYL. — Indicheremo sempre con la lettera E un insieme di punti, limitato, misurabile (al senso di Lebesgue) e di misura non nulla, di uno spazio ad un numero qualunque di dimensioni. Sia P un punto variabile in E e I(P) una funzione di P definita in E, ivi di quadrato sommabile (al senso di Lebesgue), la funzione I(P) risulterà sommabile in E. Se g(P) è un'altra funzione definita in E, ivi pur essa di quadrato sommabile, le funzioni Ig(P), (f - g)(P) e (f + g)(P) risulteranno sommabili in E. Ciò posto, consideriamo il secondo concetto di convergenza in media introdotto da E. Fischer. La successione di funzioni (F1(P), F2(P), F3(P), F4(P), ... sia costituita di funzioni definite in E ed ivi di quadrato sommabile, si dice che la successione converge su E in media se: Si dice che la stessa successione (i) converge su E in media verso la funzione f(P) e scriveremo Evidentemente: se una successione converge su E in media, essa converge in media su ogni insieme misurabile contenuto in E; se una successione converge su E in media verso una funzione f, essa converge in media verso la stessa funzione su ogni insieme misurabile contenuto in E; se una successione converge su E in media verso una funzione f, ogni altra funzione verso la quale la stessa successione converge su E in media sarà equivalente alla f; condizione, necessaria affinché una successione converga su E in media verso una funzione f è che la successione converga su E in media; condizione sufficiente affinché una successione converga su E in media è che esista un insieme E', avente la misura di E e contenuto in E, nel quale la successione converge