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(-) et (1) Voir Revue d'artillerie, t. XXII, mai 1883, p. 132; juin 1883, p. 185; août 1883, p. 411; t. XXIII, octobre 1883, p. 21; novembre 1883, p. 115; janvier 1884, p. 318; mars 1884, p. 498, et t. XXIV, mai 1884, p. 138. (ç), tout en étant incomparablement plus grandes que les variations de volume, sont cependant des fractions assez petites pour qu'on puisse négliger les termes qui contiennent les carrés de leurs valeurs, on a la relation suivante: Les dilatations relatives sont inversement proportionnelles aux carrés des rayons. Lorsque les déformations seront très grandes, cette relation n'aura plus d'exactitude; mais, en tout cas, les variations absolues Δr décroîtront de l'intérieur à l'extérieur, puisque l'épaisseur totale diminue, et par suite les variations relatives (-) décroîtront toujours très rapidement avec l'inverse du rayon, mais moins rapidement que l'inverse du carré. En effet, si R est < p, on aura AR > Δr, AR < Δr, et C'est de la relation approximative (1) qu'on a tiré la Loi de Barlow: « Les tensions développées sont inversement proportionnelles aux carrés des rayons: Δt = C », en supposant que les dilatations (-) sont des allongements uniquement produits par les tensions t, et en admettant la proportionnalité des efforts aux déformations. Nous savons que les dilatations résultent des actions simultanées de la tension normale au plan diamétral et de la pression dirigée suivant le rayon; aussi, pour les petites déformations élastiques, on a (t + p)2 = C et non pas t. p = C. Dans le cas des déformations permanentes, la loi de Barlow, comme tous les raisonnements dans lesquels on confond les dilatations avec de simples allongements provenant uniquement de la tension développée, conduit à des résultats absolument inexacts : à celui-ci, par exemple, que la tension est constamment maximum à la surface intérieure. Or, c'est le contraire qui a lieu dès que la déformation est un peu grande ; la tension maxima est à la surface extérieure et la couche intérieure est peu tendue ; souvent même elle est comprimée en tous sens, et sa dilatation si considérable tient
et en admettant la proportionnalité des efforts aux déformations. Nous savons que les dilatations résultent des actions simultanées de la tension normale au plan diamétral et de la pression dirigée suivant le rayon; aussi, pour les petites déformations élastiques, on a (t + p)2 = C et non pas t. p = C. Dans le cas des déformations permanentes, la loi de Barlow, comme tous les raisonnements dans lesquels on confond les dilatations avec de simples allongements provenant uniquement de la tension développée, conduit à des résultats absolument inexacts : à celui-ci, par exemple, que la tension est constamment maximum à la surface intérieure. Or, c'est le contraire qui a lieu dès que la déformation est un peu grande ; la tension maxima est à la surface extérieure et la couche intérieure est peu tendue ; souvent même elle est comprimée en tous sens, et sa dilatation si considérable tient uniquement à l'intensité de la pression qu'elle supporte dans la direction du rayon. Toute grande déformation peut être considérée comme résultant uniquement de glissements dans telle direction qu'on voudra [§ 18] la dilatation d'un cylindre, par exemple, peut être regardée comme résultant de glissements à 45° des plans diamétraux. Fig. 77. Considérons donc (fig. 77) une couche comprise entre deux surfaces cylindriques de rayon p et p + dp, et un élément de cette couche compris entre deux plans tels que AB parallèles à l'axe du cylindre et coupant les rayons sous un angle de 45°, ou bien encore la couche ABCD supposée développée. Les glissements à 45° des rayons transforment ABCD en ABC'D', le glissement relatif étant : Dans cette déformation, la circonférence AC devient AC' et sa dilatation relative est : D'après la relation (1), on tire de là la loi suivante : 7*a = C, les glissements à 45° sont inversement proportionnels aux carrés des rayons. (n est bien entendu qu'il est ici question de glissements et non de forces tangentielles ou forces de glissement.) Ces glissements seront, par suite, représentés, en fonction des rayons, par une hyperbole équilatère A'B' (fig. 78). Si les déformations sont très
77. Considérons donc (fig. 77) une couche comprise entre deux surfaces cylindriques de rayon p et p + dp, et un élément de cette couche compris entre deux plans tels que AB parallèles à l'axe du cylindre et coupant les rayons sous un angle de 45°, ou bien encore la couche ABCD supposée développée. Les glissements à 45° des rayons transforment ABCD en ABC'D', le glissement relatif étant : Dans cette déformation, la circonférence AC devient AC' et sa dilatation relative est : D'après la relation (1), on tire de là la loi suivante : 7*a = C, les glissements à 45° sont inversement proportionnels aux carrés des rayons. (n est bien entendu qu'il est ici question de glissements et non de forces tangentielles ou forces de glissement.) Ces glissements seront, par suite, représentés, en fonction des rayons, par une hyperbole équilatère A'B' (fig. 78). Si les déformations sont très grandes, on aura pour p > RO: et y.P* > 7ûK04. En tout cas, les glissements seront représentés par une courbe de la forme de l'hyperbole A'B' (fig. 78) et plus ou moins rapprochée d'elle; ils diminueront très rapidement de l'intérieur à l'extérieur du cylindre. Il est, du reste, facile de calculer les glissements exacts, qu'ils soient plus ou moins grands, au moyen de l'équation : La courbe A'B' (fig. 78) représente les glissements, ainsi calculés, d'un cylindre OAB ayant primitivement un calibre d'épaisseur (AB = 2.0A), et ayant subi une dilatation de 45 p. 100, ou un glissement y = 0,90 (bA devient OA1B1). Malgré la grandeur de la déformation, la courbe A'B' se confond très sensiblement avec l'hyperbole r.2 = c. La courbe qui représente, en fonction des glissements (y), les forces tangentielles (g), se déduit de la courbe des angles de torsion en fonction des moments de torsion (1). La figure 79 représente une de ces courbes de glissement relative à un acier doux ayant pour limite d'élasticité g = 22k, pour résistance à la rupture G = 45k par millimètre carré et pour glissement extérieur y = 1,3 ou 130 p. 100. Si les glissements à
de calculer les glissements exacts, qu'ils soient plus ou moins grands, au moyen de l'équation : La courbe A'B' (fig. 78) représente les glissements, ainsi calculés, d'un cylindre OAB ayant primitivement un calibre d'épaisseur (AB = 2.0A), et ayant subi une dilatation de 45 p. 100, ou un glissement y = 0,90 (bA devient OA1B1). Malgré la grandeur de la déformation, la courbe A'B' se confond très sensiblement avec l'hyperbole r.2 = c. La courbe qui représente, en fonction des glissements (y), les forces tangentielles (g), se déduit de la courbe des angles de torsion en fonction des moments de torsion (1). La figure 79 représente une de ces courbes de glissement relative à un acier doux ayant pour limite d'élasticité g = 22k, pour résistance à la rupture G = 45k par millimètre carré et pour glissement extérieur y = 1,3 ou 130 p. 100. Si les glissements à 45° des forces principales étaient des glissements simples, nous pourrions construire immédiatement la courbe des forces tangentielles maxima, en portant en chaque point de AlBI (fig. 78) une ordonnée correspondant au glissement d'après la courbe (79); ainsi en Al et BI on porterait les longueurs A A', et BIB'I' égales aux forces tangentielles correspondant aux glissements AA' et BB' : soit, dans le cas particulier figuré, A1 A= 45k et BjB'j = 30k environ. Comme toutes les courbes de glissement des matières douces, les seules qui soient susceptibles des grandes déformations qui nous occupent dans ce paragraphe, ont une forme analogue à celle que nous représentons (fig. 79), comme les grands glissements croissent beaucoup plus rapidement que les efforts correspondants, à tel point que les glissements extrêmes, dans une notable partie de leur développement, se produisent sous une charge sensiblement constante, la courbe A' lB' 1 (fig. 78), contrairement à la courbe A'B', sera toujours très peu inclinée sur l'axe OAB. Mais les glissements simples ne correspondent pas au développement maximum des forces tangentielles; ils ne se produisent qu'aux points où il y a à la fois pression et tension et suivant les éléments dont l'inclinaison sur les forces principales
aux forces tangentielles correspondant aux glissements AA' et BB' : soit, dans le cas particulier figuré, A1 A= 45k et BjB'j = 30k environ. Comme toutes les courbes de glissement des matières douces, les seules qui soient susceptibles des grandes déformations qui nous occupent dans ce paragraphe, ont une forme analogue à celle que nous représentons (fig. 79), comme les grands glissements croissent beaucoup plus rapidement que les efforts correspondants, à tel point que les glissements extrêmes, dans une notable partie de leur développement, se produisent sous une charge sensiblement constante, la courbe A' lB' 1 (fig. 78), contrairement à la courbe A'B', sera toujours très peu inclinée sur l'axe OAB. Mais les glissements simples ne correspondent pas au développement maximum des forces tangentielles; ils ne se produisent qu'aux points où il y a à la fois pression et tension et suivant les éléments dont l'inclinaison sur les forces principales a pour tangente V, inclinaison généralement différente de 45°, et d'autant plus que les quantités p et t diffèrent elles-mêmes davantage. Dans le cylindre déformé, les glissements à 45° seront donc, en général, accompagnés d'une force normale qui sera toujours une tension à l'extérieur et qui pourra être une pression ou une tension à l'intérieur. Dans le cas du cylindre OAlBl, représenté (fig. 78), la composante normale à l'intérieur est une compression, Po étant supérieur à t0, comme nous le verrons par la suite. Nous ne connaissons pas actuellement la courbe des glissements sous pression ou traction; mais il est permis de penser que la pression, à égalité de glissement, augmente la force tangentielle et qu'au contraire la traction la diminue. Sous des efforts très légèrement supérieurs aux limites d'élasticité de glissement (g), de traction (.c) et de compression (æ), se produisent des déformations d'un même ordre de grandeur. Dans une barre étirée longitudinalement, les éléments à 45° sont, à l'instant où se produisent les premières déformations permanentes, sollicités par une force tangentielle et une tension normale p G égales à dans le cas des métaux. Dans une barre comprimée, ils sont sollicités par une force tangentielle e q et
ou une tension à l'intérieur. Dans le cas du cylindre OAlBl, représenté (fig. 78), la composante normale à l'intérieur est une compression, Po étant supérieur à t0, comme nous le verrons par la suite. Nous ne connaissons pas actuellement la courbe des glissements sous pression ou traction; mais il est permis de penser que la pression, à égalité de glissement, augmente la force tangentielle et qu'au contraire la traction la diminue. Sous des efforts très légèrement supérieurs aux limites d'élasticité de glissement (g), de traction (.c) et de compression (æ), se produisent des déformations d'un même ordre de grandeur. Dans une barre étirée longitudinalement, les éléments à 45° sont, à l'instant où se produisent les premières déformations permanentes, sollicités par une force tangentielle et une tension normale p G égales à dans le cas des métaux. Dans une barre comprimée, ils sont sollicités par une force tangentielle e q et une force normale égales à tandis que, dans la torsion, ils ne sont soumis qu'à une force tangentielle g. Si donc on se rappelle que les déformations permanentes (allongements, raccourcissements, contractions, glissements, etc.) sont beaucoup plus grandes que les déformations élastiques, que ces déformations croissent beaucoup plus rapidement que les efforts, dès que la limite d'élasticité est dépassée, on comprendra qu'un petit glissement permanent, ayant telle valeur qu'on voudra (glissement petit, mais de l'ordre des glissements permanents, 1 p. 100 par exemple), correspondra, dans les trois cas de traction, compression, torsion, à des forces tangentielles différant très peu de = ~1£12' == ü£1s et G et à des forces normales très peu en de 2 1,2' 2 0,8 les différant très peu de A, on zéro. Ainsi, le même glissement, produit par une force tangentielle unique g, correspond à une force tangentielle plus petite t-x, lorsque celle-ci est accompagnée d'une traction normale, et à une force tangentielle plus grande t-'s' lorsque la composante normale est une compression. En supposant que, pour les grandes déformations, les forces tangentielles varient à peu près dans les mêmes proportions, la courbe A'lC'B't (ûg. 78) devra être remplacée par A2C'B2 un peu plus inclinée sur
efforts, dès que la limite d'élasticité est dépassée, on comprendra qu'un petit glissement permanent, ayant telle valeur qu'on voudra (glissement petit, mais de l'ordre des glissements permanents, 1 p. 100 par exemple), correspondra, dans les trois cas de traction, compression, torsion, à des forces tangentielles différant très peu de = ~1£12' == ü£1s et G et à des forces normales très peu en de 2 1,2' 2 0,8 les différant très peu de A, on zéro. Ainsi, le même glissement, produit par une force tangentielle unique g, correspond à une force tangentielle plus petite t-x, lorsque celle-ci est accompagnée d'une traction normale, et à une force tangentielle plus grande t-'s' lorsque la composante normale est une compression. En supposant que, pour les grandes déformations, les forces tangentielles varient à peu près dans les mêmes proportions, la courbe A'lC'B't (ûg. 78) devra être remplacée par A2C'B2 un peu plus inclinée sur l'axe OAB. Quoi qu'il en soit, on peut être assuré que les forces tangentielles maxima T varient beaucoup moins rapidement que les glissements. Si l'on se rappelle que T = 1 et que, dans les petites déformations élastiques, (p + t) est inversement proportionnel au carré du rayon; que, par conséquent, suivant que les déformations sont très petites ou grandes, (p + t) est représenté par A'B' ou A2B2, on sera convaincu que cette somme (p + t) diminue beaucoup moins rapidement, de l'intérieur à l'extérieur, dans les grandes déformations que dans les petites. Et, comme la pression intérieure augmente avec les déformations, que la pression extérieure est constamment nulle et que par suite la pression décroît de plus en plus rapidement de l'intérieur à l'extérieur, il faut que la tension croisse beaucoup moins vite ou même décroisse de l'intérieur à l'extérieur. Pour nous rendre compte de ces variations, supposons que T ou (p + t) ne varie pas d'un point à l'autre ou que la courbe A2B2 soit parallèle à l'axe des abscisses, sauf à corriger ensuite les erreurs provenant de cette hypothèse. La condition Po + to = P + t = tt, jointe à l'équation différentielle (p
conséquent, suivant que les déformations sont très petites ou grandes, (p + t) est représenté par A'B' ou A2B2, on sera convaincu que cette somme (p + t) diminue beaucoup moins rapidement, de l'intérieur à l'extérieur, dans les grandes déformations que dans les petites. Et, comme la pression intérieure augmente avec les déformations, que la pression extérieure est constamment nulle et que par suite la pression décroît de plus en plus rapidement de l'intérieur à l'extérieur, il faut que la tension croisse beaucoup moins vite ou même décroisse de l'intérieur à l'extérieur. Pour nous rendre compte de ces variations, supposons que T ou (p + t) ne varie pas d'un point à l'autre ou que la courbe A2B2 soit parallèle à l'axe des abscisses, sauf à corriger ensuite les erreurs provenant de cette hypothèse. La condition Po + to = P + t = tt, jointe à l'équation différentielle (p + 0 dp + dp = dp établie (§ 28) sans le secours d'aucune supposition sur la construction du cylindre ou la grandeur des déformations, donne immédiatement : tt dp=P dp, ou et Pour P = 0, t = 00, j) = + °0) R et b restant constants : R, p décroissant, t décroît, p > t décroît; R, P croît, p < t, décroît; t < t croît, p < t décroît; p= e < 1 p = 0. p=Rn = 1, jp = 0. Les valeurs de p représentent les rayons d'une couche quelconque, soumise à une pression normale p, d'un cylindre ayant une couche extérieure de rayon R1 soumise à une tension tx quant au rayon intérieur Ro, il aura telle valeur qu'on voudra; les formules précédentes déterminent, en fonction de cette valeur arbitrairement choisie, la pression et la tension intérieures p0 et to. Les valeurs de p peuvent aussi être considérées comme représentant les rayons intérieurs (R. = p) des cylindres de rayon extérieur RI soumis à une pression intérieure po = p. Fig. 80. La courbe Bcad (fig. 80) est une logarithmique asymptote à l'axe Op et tangente en B à la ligne BO';
R, p décroissant, t décroît, p > t décroît; R, P croît, p < t, décroît; t < t croît, p < t décroît; p= e < 1 p = 0. p=Rn = 1, jp = 0. Les valeurs de p représentent les rayons d'une couche quelconque, soumise à une pression normale p, d'un cylindre ayant une couche extérieure de rayon R1 soumise à une tension tx quant au rayon intérieur Ro, il aura telle valeur qu'on voudra; les formules précédentes déterminent, en fonction de cette valeur arbitrairement choisie, la pression et la tension intérieures p0 et to. Les valeurs de p peuvent aussi être considérées comme représentant les rayons intérieurs (R. = p) des cylindres de rayon extérieur RI soumis à une pression intérieure po = p. Fig. 80. La courbe Bcad (fig. 80) est une logarithmique asymptote à l'axe Op et tangente en B à la ligne BO'; rapportée aux axes Op et Op, elle représente en abscisses les rayons intérieurs R., et en ordonnées les pressions p0 des cylindres, de rayon extérieur R1 = OB, ayant à l'extérieur une tension to=00'. Rapportée aux axes O'p et O't, elle représente les tensions intérieures to des mêmes cylindres. E, = OB, to = 0'0: p=OC>OA, p-Ce, t=C'o, p + 1 = CC' = t1. (p = OC représente, soit le rayon d'une couche du cylindre Ro = OA, R, = OB, soit le rayon intérieur du cylindre R,, = OC, R1 = OB.) Pour R0 = OD < OA, p0 = Dd > t1 t,, = D'd 0, P. + t. = Dd D'd Ainsi, pour une tension et un rayon extérieurs donnés, la couche intérieure est d'autant plus pressée suivant le rayon, et d'autant moins tendue ou d'autant plus comprimée normalement aux plans diamétraux, que l'épaisseur est plus grande. Dans le cas particulier où l'épaisseur R1 — Ro = 1,7 R0, il n'y a à l'intérieur qu'une seule force principale, une pression suivant le rayon égale à la tension de la couche extérieure. Examinons maintenant quelles sont les erreurs qui proviennent de la supposition que nous avons faite
= OB, to = 0'0: p=OC>OA, p-Ce, t=C'o, p + 1 = CC' = t1. (p = OC représente, soit le rayon d'une couche du cylindre Ro = OA, R, = OB, soit le rayon intérieur du cylindre R,, = OC, R1 = OB.) Pour R0 = OD < OA, p0 = Dd > t1 t,, = D'd 0, P. + t. = Dd D'd Ainsi, pour une tension et un rayon extérieurs donnés, la couche intérieure est d'autant plus pressée suivant le rayon, et d'autant moins tendue ou d'autant plus comprimée normalement aux plans diamétraux, que l'épaisseur est plus grande. Dans le cas particulier où l'épaisseur R1 — Ro = 1,7 R0, il n'y a à l'intérieur qu'une seule force principale, une pression suivant le rayon égale à la tension de la couche extérieure. Examinons maintenant quelles sont les erreurs qui proviennent de la supposition que nous avons faite de la constance de p + t. En réalité, cette somme p + t diminue de l'intérieur à l'extérieur où elle est égale à tt; elle est représentée par la courbe A2B2 (fig. 78). Il résulte de là que la courbe Bm (fig. 80), qui représente les vraies valeurs de p en fonction de p, est plus inclinée sur l'axe Op que la logarithmique Bcad, car l'inclinaison de la tangente en un point quelconque est pour l'une, Bm: et pour l'autre, Bead: Connaissant les valeurs de p + t, ordonnées de la courbe A2 B2 (fig. 78), il est facile de construire, avec telle approximation qu'on voudra, la courbe Bm tangente en B à la courbe Ba ou à la droite BO', et d'en déduire la courbe Bn qui représente les valeurs correspondantes de t. Pour R0 = OA, Po = Aa, to = (p + 1) - Act = a3, les pressions étant toujours rapportées aux axes Op et Op, et les tensions aux axes O'p et O't. Les courbes Bm et Bn, représentées par la figure 80, sont relatives à l'acier doux caractérisé par la courbe de glissement de la figure 79. Elles montrent que, dans un cylindre
p en fonction de p, est plus inclinée sur l'axe Op que la logarithmique Bcad, car l'inclinaison de la tangente en un point quelconque est pour l'une, Bm: et pour l'autre, Bead: Connaissant les valeurs de p + t, ordonnées de la courbe A2 B2 (fig. 78), il est facile de construire, avec telle approximation qu'on voudra, la courbe Bm tangente en B à la courbe Ba ou à la droite BO', et d'en déduire la courbe Bn qui représente les valeurs correspondantes de t. Pour R0 = OA, Po = Aa, to = (p + 1) - Act = a3, les pressions étant toujours rapportées aux axes Op et Op, et les tensions aux axes O'p et O't. Les courbes Bm et Bn, représentées par la figure 80, sont relatives à l'acier doux caractérisé par la courbe de glissement de la figure 79. Elles montrent que, dans un cylindre de rayon intérieur R = OD, ayant, après sa déformation, environ un calibre et demi d'épaisseur (Rt = OB), et une tension extérieure tl = B6, 60 kil. environ par millimètre carré, la couche intérieure n'éprouverait aucune tension et serait soumise normalement à une pression d'environ 130 kil. par millimètre carré. L'acier en question serait incapable de supporter une telle pression, sa résistance à la compression étant seulement de 110 kil.; mais on conçoit très bien que, dans un cylindre construit avec un métal d'une qualité différente, il puisse arriver que la couche intérieure n'éprouve aucune tension, ou même soit comprimée normalement aux plans diamétraux et, dans ce cas, elle pourrait supporter une pression beaucoup plus forte. Nous ferons remarquer en terminant qu'il doit y avoir égalité de superficie entre les surfaces aa2Bb et OAaO' (p0 R0 = J* ltd^j, lorsqu'il y a tension en tous les points. Mais, lorsqu'il existera des couches comprimées normalement aux plans diamétraux, comme cela arriverait pour des cylindres OMB, le rectangle OMm sera seulement équivalent à la différence des surfaces D'Bb et D'nri. § 36. — Résistance élastique d'un tube primitivement déformé. Lorsqu'un tube a été suffisamment déformé par une pression intérieure p0, la