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transmet l'ampliation d'un décret du Président de la République, qui approuve la nomination de M. de Senarmont à la place vacante, dans la Section de Minéralogie et de Géologie, par suite du décès de M. Beudant. Sur l'invitation de M. le Président, M. DE Senarmont prend place parmi ses confrères. STATISTIQUE. Statistique comparée des effets du choléra dans les années 1832 et 1849; par M. CHARLES DUPIN. « Dans une période de dix-sept ans, l'épidémie du choléra s'est manifestée deux fois en France par une grande invasion. » Il m'a semblé qu'il devait être d'un vif intérêt de faire connaître le rapport des effets produits par cette épidémie aux deux époques dont nous parlons. » En 1832, le nombre des naissances étant de 938,186 le nombre des décès s'élève à 933,733 alors l'accroissement annuel de la population descend à 4,453. » Passons à la seconde invasion du choléra. » En 1849, le nombre des naissances étant de 995,466 le nombre des décès s'élève à 982,008 alors l'accroissement annuel de la population descend à 13,458. » Dans les deux cas, on le voit, il s'en faut de bien peu que la population ait été rendue complètement stationnaire. » Pour apprécier les pertes relatives supportées aux deux époques mises en parallèle, il faut les comparer avec le total de la population française. Première époque, Décès annuels 933,733 1832. | Population totale. 32,547,109 » Le rapport de ces deux nombres donne 28,689 décès par million d'habitants. Seconde époque, | Décès annuels. 982,008 1849. Population totale. 35,727,730 » Le rapport de ces deux nombres donne 27,486 décès par million d'habitants. » Il résulte de là qu'en 1849 la mortalité par million d'habitants est de 1203 décès moindre qu'en 1832. » Je ne me suis pas contenté de ce premier aperçu. J'ai pris, pour chaque époque, les décès des cinq années précédentes. J'ai divisé leur valeur moyenne par la population existante au milieu de cette époque, afin d'avoir une expression suffisamment approchée de la mortalité dégagée de l'influence qu'exerce le choléra. Je vais donner les résultats de ce calcul. Première époque. AUGMENTATION DATES. DÉCÈS ANNUELS.
pertes relatives supportées aux deux époques mises en parallèle, il faut les comparer avec le total de la population française. Première époque, Décès annuels 933,733 1832. | Population totale. 32,547,109 » Le rapport de ces deux nombres donne 28,689 décès par million d'habitants. Seconde époque, | Décès annuels. 982,008 1849. Population totale. 35,727,730 » Le rapport de ces deux nombres donne 27,486 décès par million d'habitants. » Il résulte de là qu'en 1849 la mortalité par million d'habitants est de 1203 décès moindre qu'en 1832. » Je ne me suis pas contenté de ce premier aperçu. J'ai pris, pour chaque époque, les décès des cinq années précédentes. J'ai divisé leur valeur moyenne par la population existante au milieu de cette époque, afin d'avoir une expression suffisamment approchée de la mortalité dégagée de l'influence qu'exerce le choléra. Je vais donner les résultats de ce calcul. Première époque. AUGMENTATION DATES. DÉCÈS ANNUELS. de la population. 1827. 791,125 18g,037 1828. 837,145 139,402 1829. 803,453 16i,021 1830. 809,583 15,9G4 1831. 802,761 183,948 sommes. 4,149,713 831,4 total 808,863 415,745 Je cherche ensuite le diviseur de la moyenne annuelle des décès pour les cinq années 1832 à 1831 inclusivement. Population au milieu de 1832. 32,547,109 Moins demi-augmentation des cinq années précédentes. 4^ 74° Diviseur 32,331,364 par million d'habitants, valeur moyenne de 1832 à 1831 inclusivement. influence du choléra pour 1832. Par million d'habitants. 28,690 Par million d'habitants. 28,689 Par million d'habitants. 28,690 Décès pendant l'année de choléra 1832 28 9 Décès moyens des cinq années immédiatement antérieures, affranchies du choléra. 25,024 Mortalité qu'on peut attribuer au choléra de 1832, par million d'habitants 3,666 Seconde époque. AUGMENTATION DATES. DÉCÈS ANNUELS. de la population. 1844. 776,526 90.798 1845. 754,741 237,332 1846. 831,498 151,975 1847. 856,026 62,555 1848. 844,158 104,690 Sommes. 4,062,909 747,250 total 8,242,581 = 3,623,725 Détermination du diviseur du décès moyen annuel. Population au milieu de 1849 35 727 ,730 La moitié de l'augmentation des cinq années précédentes 373,625 Population moyenne de 1844 à 1848 35 ,354, 105 Par conséquent, pour les cinq années immédiatement antérieures à 1849, la mortalité moyenne est de 22,984 décès par million
demi-augmentation des cinq années précédentes. 4^ 74° Diviseur 32,331,364 par million d'habitants, valeur moyenne de 1832 à 1831 inclusivement. influence du choléra pour 1832. Par million d'habitants. 28,690 Par million d'habitants. 28,689 Par million d'habitants. 28,690 Décès pendant l'année de choléra 1832 28 9 Décès moyens des cinq années immédiatement antérieures, affranchies du choléra. 25,024 Mortalité qu'on peut attribuer au choléra de 1832, par million d'habitants 3,666 Seconde époque. AUGMENTATION DATES. DÉCÈS ANNUELS. de la population. 1844. 776,526 90.798 1845. 754,741 237,332 1846. 831,498 151,975 1847. 856,026 62,555 1848. 844,158 104,690 Sommes. 4,062,909 747,250 total 8,242,581 = 3,623,725 Détermination du diviseur du décès moyen annuel. Population au milieu de 1849 35 727 ,730 La moitié de l'augmentation des cinq années précédentes 373,625 Population moyenne de 1844 à 1848 35 ,354, 105 Par conséquent, pour les cinq années immédiatement antérieures à 1849, la mortalité moyenne est de 22,984 décès par million d'habitants. Influence du choléra pour 1849. Décès pour 1849, année de choléra. 982,008 Décès moyens des cinq années immédiatement antérieures, affranchies du choléra. 0, Mortalité qu'on peut attribuer au choléra de 1849 982,008 En définitive, nous arrivons à ces résultats dignes d'attention « Le choléra de 1849, comparativement aux décès moyens des cinq années précédentes, présente un accroissement, par million d'habitants, égal à. 4,502 décès. « Le choléra de 1832, comparativement aux décès moyens des cinq années précédentes, présente un accroissement, par million d'habitants, égal à. 3,665 décès. La mortalité qu'on peut attribuer à l'invasion du choléra présente, d'après ces données, en 1847, un accroissement qui l'emporte de 18 milles sur la mortalité comparable de 1835. Il semble, d'après cela, que nous n'avons pas encore atteint la période décroissante du redoutable fléau. Je suis le premier à faire remarquer que la méthode d'induction que je viens d'employer ne porte pas avec elle une rigueur mathématique. Cinq années consécutives sont propres, sans doute, à faire disparaître les légères inégalités annuelles qu'on peut considérer comme purement fortuites. Mais il peut exister, et je crois qu'il existe, des épidémies périodiques dignes d'un sérieux examen, et qu'on n'a pas encore appréciées. Il peut régner,
moyens des cinq années précédentes, présente un accroissement, par million d'habitants, égal à. 4,502 décès. « Le choléra de 1832, comparativement aux décès moyens des cinq années précédentes, présente un accroissement, par million d'habitants, égal à. 3,665 décès. La mortalité qu'on peut attribuer à l'invasion du choléra présente, d'après ces données, en 1847, un accroissement qui l'emporte de 18 milles sur la mortalité comparable de 1835. Il semble, d'après cela, que nous n'avons pas encore atteint la période décroissante du redoutable fléau. Je suis le premier à faire remarquer que la méthode d'induction que je viens d'employer ne porte pas avec elle une rigueur mathématique. Cinq années consécutives sont propres, sans doute, à faire disparaître les légères inégalités annuelles qu'on peut considérer comme purement fortuites. Mais il peut exister, et je crois qu'il existe, des épidémies périodiques dignes d'un sérieux examen, et qu'on n'a pas encore appréciées. Il peut régner, à différentes époques, des maladies prédominantes qui ne soient pas les mêmes, et qui se trouvent, à des degrés fort inégaux, empirées par l'épidémie générale. Pour les hommes de l'art, matière aux recherches les plus importantes. La statistique a fait son devoir en constatant avec exactitude les rapports qui résultent des faits. C'est, ensuite, aux hommes éminents dans les sciences médicales, à découvrir les causes réelles des résultats constatés. On doit naturellement se demander comment il a pu se faire que l'épidémie de 1849, ayant accru les décès qui lui sont propres, de 18 pour mille comparativement à l'épidémie de 1832, elle n'ait pas semblé faire d'aussi grands ravages et causer une terreur aussi profonde? Nous trouverons la solution de cette question si nous considérons les pertes éprouvées par l'effet du choléra, dans le département de la Seine, celui de tous où l'intensité du mal est arrivée au plus haut degré, soit en 1832, soit en 1849. Première invasion du choléra (1832). En 1832, décès du département de la Seine. 53,382 En 1831, population du département de la Seine. 3,535,108 De ces deux nombres, nous concluons, par million d'habitants, une mortalité représentée par 57,087 décès. Seconde invasion du choléra (1849)
des faits. C'est, ensuite, aux hommes éminents dans les sciences médicales, à découvrir les causes réelles des résultats constatés. On doit naturellement se demander comment il a pu se faire que l'épidémie de 1849, ayant accru les décès qui lui sont propres, de 18 pour mille comparativement à l'épidémie de 1832, elle n'ait pas semblé faire d'aussi grands ravages et causer une terreur aussi profonde? Nous trouverons la solution de cette question si nous considérons les pertes éprouvées par l'effet du choléra, dans le département de la Seine, celui de tous où l'intensité du mal est arrivée au plus haut degré, soit en 1832, soit en 1849. Première invasion du choléra (1832). En 1832, décès du département de la Seine. 53,382 En 1831, population du département de la Seine. 3,535,108 De ces deux nombres, nous concluons, par million d'habitants, une mortalité représentée par 57,087 décès. Seconde invasion du choléra (1849) En 1849, décès du département de la Seine. 60,284 En 1851, population du département de la Seine. 1,422,865 En admettant seulement 1,400,000 pour la population de 1849, on trouve, pour la mortalité de cette année, par million d'habitants. 42,915 décès. C'est-à-dire une diminution de 41,672 décès. Le département de la Seine n'a donc éprouvé, en 1849, que les trois quarts de la mortalité qui l'avait frappé en 1832. En définitive, la différence caractéristique entre les deux invasions consiste dans ce fait très remarquable. Tandis que la mortalité due au choléra surpasse, pour 1849, de 23 pour 100 la mortalité de 1832, le maximum des décès totaux dans le département le plus frappé de tous est, au contraire, de 31+ pour 100 moindre en 1849 qu'en 1832. Ce maximum étant moindre à l'époque la plus récente, quoique la perte totale ait été plus considérable, elle a fait moins d'impression. Je terminerai ces observations par un rapprochement analogue à celui que j'ai déjà présenté plus d'une fois sur l'allongement de la vie moyenne des Français depuis quatre-vingts ans. De 1771 à 1780 inclusivement, la mortalité moyenne des Français, par million d'habitants, sans épidémies extraordinaires, s'élève à 33,000. En 1832, première époque d'invasion
Seine n'a donc éprouvé, en 1849, que les trois quarts de la mortalité qui l'avait frappé en 1832. En définitive, la différence caractéristique entre les deux invasions consiste dans ce fait très remarquable. Tandis que la mortalité due au choléra surpasse, pour 1849, de 23 pour 100 la mortalité de 1832, le maximum des décès totaux dans le département le plus frappé de tous est, au contraire, de 31+ pour 100 moindre en 1849 qu'en 1832. Ce maximum étant moindre à l'époque la plus récente, quoique la perte totale ait été plus considérable, elle a fait moins d'impression. Je terminerai ces observations par un rapprochement analogue à celui que j'ai déjà présenté plus d'une fois sur l'allongement de la vie moyenne des Français depuis quatre-vingts ans. De 1771 à 1780 inclusivement, la mortalité moyenne des Français, par million d'habitants, sans épidémies extraordinaires, s'élève à 33,000. En 1832, première époque d'invasion du choléra, la mortalité s'élève à 28,689. En 1849, seconde époque d'invasion du choléra, la mortalité s'étève à 27,486. Par conséquent, si l'on avait doublé la mortalité due au choléra en 1832, la totalité des décès par million d'hommes n'auraient pas égalé la mortalité telle qu'elle existait de 1770 à 1780, sans épidémies extraordinaires. Si l'on avait doublé la mortalité due au choléra dans l'année 1849, la totalité des décès par million d'hommes serait encore restée plus loin de la mortalité telle qu'elle existait de 1770 à 1780, sans épidémies extraordinaires. Je m'abstiens de présenter aucun commentaire sur ces simples rapprochements ils parlent d'eux-mêmes. Analyse mathématique. – Mémoire sur le développement des quantités en séries limitées; par M. AUGUSTIN CAUCHY. Lorsqu'une quantité ne peut être calculée directement, on peut recourir, pour la déterminer, à un développement en série. Mais les séries que l'on suppose illimitées et prolongées indéfiniment, ne peuvent être admises dans le calcul qu'autant qu'elles sont convergentes. D'ailleurs la détermination d'une quantité à l'aide d'une série convergente devient laborieuse et même impraticable, lorsque les termes de cette série décroissent très lentement; or c'est là précisément ce qui arrive dans un grand nombre de cas, et surtout quand il
1780, sans épidémies extraordinaires. Si l'on avait doublé la mortalité due au choléra dans l'année 1849, la totalité des décès par million d'hommes serait encore restée plus loin de la mortalité telle qu'elle existait de 1770 à 1780, sans épidémies extraordinaires. Je m'abstiens de présenter aucun commentaire sur ces simples rapprochements ils parlent d'eux-mêmes. Analyse mathématique. – Mémoire sur le développement des quantités en séries limitées; par M. AUGUSTIN CAUCHY. Lorsqu'une quantité ne peut être calculée directement, on peut recourir, pour la déterminer, à un développement en série. Mais les séries que l'on suppose illimitées et prolongées indéfiniment, ne peuvent être admises dans le calcul qu'autant qu'elles sont convergentes. D'ailleurs la détermination d'une quantité à l'aide d'une série convergente devient laborieuse et même impraticable, lorsque les termes de cette série décroissent très lentement; or c'est là précisément ce qui arrive dans un grand nombre de cas, et surtout quand il s'agit de calculs dans lesquels entrent des fonctions périodiques, ainsi que nous allons l'expliquer. Souvent, dans les applications de l'analyse mathématique, particulièrement en astronomie, on rencontre une ou plusieurs fonctions du sinus et du cosinus d'un angle p, et la solution des problèmes exige le développement d'une telle fonction en une série ordonnée suivant les sinus et les cosinus des multiples de l'angle p, ou, ce qui revient au même, en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de l'exponentielle trigonométrique dont l'angle p est l'argument. Or le coefficient de la nème puissance est représenté par une intégrale définie, ou mieux encore par une moyenne isotropique relative à l'argument p; et, quoique cette moyenne isotropique puisse, en général, être développée par des procédés divers en série convergente, toutefois, lorsque l'exposant a une valeur considérable, il arrive fréquemment que les séries convergentes obtenues offrent des sommes dont la détermination, même approximative, exigerait le calcul de plusieurs milliers de termes. J'ai cherché les moyens de parer à un si grave inconvénient, et j'y suis parvenu en remplaçant les séries illimitées par des séries limitées convergentes ou même divergentes. Entrons à ce sujet dans quelques détails. Pour qu'une fonction donnée Z
une série ordonnée suivant les sinus et les cosinus des multiples de l'angle p, ou, ce qui revient au même, en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de l'exponentielle trigonométrique dont l'angle p est l'argument. Or le coefficient de la nème puissance est représenté par une intégrale définie, ou mieux encore par une moyenne isotropique relative à l'argument p; et, quoique cette moyenne isotropique puisse, en général, être développée par des procédés divers en série convergente, toutefois, lorsque l'exposant a une valeur considérable, il arrive fréquemment que les séries convergentes obtenues offrent des sommes dont la détermination, même approximative, exigerait le calcul de plusieurs milliers de termes. J'ai cherché les moyens de parer à un si grave inconvénient, et j'y suis parvenu en remplaçant les séries illimitées par des séries limitées convergentes ou même divergentes. Entrons à ce sujet dans quelques détails. Pour qu'une fonction donnée Z de l'exponentielle trigonométrique z soit développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de z, il suffit que cette fonction Z reste monodrome et monogène dans le voisinage de la valeur 1 attribuée au module de z. Sous cette condition, le coefficient An de z dans le développement sera la moyenne isotropique entre les diverses valeurs du produit z Z, et cette moyenne isotropique ne variera pas si, après avoir remplacé le module z de z par un autre module r, on fait varier celui-ci entre deux limites, l'une inférieure, l'autre supérieure à l'unité, mais tellement choisies que la fonction Z ne cesse pas d'être monodrome et monogène. Ces deux limites du module r sont inverses l'une de l'autre, c'est-à-dire de la forme 1 / a et a / lorsque Z est une fonction réelle de l'angle p; et je prouve que leur considération fournit précisément le moyen de développer le coefficient A_n, quand n est un très-grand nombre, en une série convergente ou divergente, mais qui décroît très-rapidement dans ses premiers termes. Je montre, de plus, comment, après avoir prolongé cette série jusqu'à un terme numériquement insensible, ou, si elle est divergente, jusqu'à son plus
le développement sera la moyenne isotropique entre les diverses valeurs du produit z Z, et cette moyenne isotropique ne variera pas si, après avoir remplacé le module z de z par un autre module r, on fait varier celui-ci entre deux limites, l'une inférieure, l'autre supérieure à l'unité, mais tellement choisies que la fonction Z ne cesse pas d'être monodrome et monogène. Ces deux limites du module r sont inverses l'une de l'autre, c'est-à-dire de la forme 1 / a et a / lorsque Z est une fonction réelle de l'angle p; et je prouve que leur considération fournit précisément le moyen de développer le coefficient A_n, quand n est un très-grand nombre, en une série convergente ou divergente, mais qui décroît très-rapidement dans ses premiers termes. Je montre, de plus, comment, après avoir prolongé cette série jusqu'à un terme numériquement insensible, ou, si elle est divergente, jusqu'à son plus petit terme qu'il est facile de reconnaître, on peut la compléter par un reste qui est généralement de l'ordre du dernier des termes conservés, et que j'apprends à développer en une série nouvelle, toujours convergente; enfin, je montre comment on peut fixer à l'avance le terme auquel on doit s'arrêter ou dans la première série, ou du moins dans la seconde, pour obtenir, avec une approximation donnée, la valeur cherchée du coefficient An. Jusqu'à présent, nous avons supposé qu'il s'agissait de développer une fonction périodique suivant les puissances ascendantes d'une seule exponentielle trigonométrique z. Si, la fonction proposée renfermant deux exponentielles de ce genre, par exemple z et z2, on était forcé de la développer suivant leurs puissances ascendantes; alors, après avoir trouvé le coefficient An de z2, il resterait encore à développer An suivant les puissances ascendantes de z2, et à déterminer, par exemple, dans ce développement le coefficient A2, de z4 ou le coefficient An, de z2. Or ce dernier problème est lui-même du nombre de ceux dont la solution, quand n est un très-grand nombre, semble exiger un travail immense. Je fais voir qu'on peut encore le résoudre, à l'aide de séries limitées, convergentes ou même divergentes,
ou dans la première série, ou du moins dans la seconde, pour obtenir, avec une approximation donnée, la valeur cherchée du coefficient An. Jusqu'à présent, nous avons supposé qu'il s'agissait de développer une fonction périodique suivant les puissances ascendantes d'une seule exponentielle trigonométrique z. Si, la fonction proposée renfermant deux exponentielles de ce genre, par exemple z et z2, on était forcé de la développer suivant leurs puissances ascendantes; alors, après avoir trouvé le coefficient An de z2, il resterait encore à développer An suivant les puissances ascendantes de z2, et à déterminer, par exemple, dans ce développement le coefficient A2, de z4 ou le coefficient An, de z2. Or ce dernier problème est lui-même du nombre de ceux dont la solution, quand n est un très-grand nombre, semble exiger un travail immense. Je fais voir qu'on peut encore le résoudre, à l'aide de séries limitées, convergentes ou même divergentes, mais rapidement décroissantes dans leurs premiers termes, et complétées par des restes qui se développent en séries convergentes. Je montre aussi qu'on peut fixer à l'avance le terme auquel on doit s'arrêter, soit dans la série limitée, soit dans le développement du reste, pour obtenir, avec une approximation donnée, la valeur cherchée du coefficient An ou A2. Le principe sur lequel je m'appuie pour développer en séries limitées les coefficients An et A2, ou An, de Z2 ou An, de Z2, me paraissant digne de quelque attention, je l'indiquerai ici brièvement. On sait que l'on détermine avec la plus grande facilité le reste qui complète une progression géométrique même divergente. D'ailleurs une intégration relative à une variable peut transformer une suite constamment croissante, et, par conséquent, divergente, en une suite qui, avant de croître, commence par décroître, et décroît même très-rapidement dans ses premiers termes. Cela posé, pour obtenir le reste propre à compléter une série divergente qui décroît très-rapidement dans ses premiers termes, il suffit evidememment de transformer ses divers termes, de manière à ce qu'ils soient produits par une intégration définie appliquée aux termes correspondants d'une progression géométrique. Or une semblable transformation est précisément celle qu'opèrent les formules