jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
phenomenological slipping coefficient X can be written X = y(h/l)n/(mkyJkB), where y (h/l) is a function only of the ratio of the characteristics of the surface roughness. When this ratio is small compared to one, the function y (h/l) reduces to a simple form: y (h/l) = y^2 + 0((h/l)4). Note présentée par Pierre-Gilles de GENNES. 0764-4450/93/03160007 $ 2.00 6 Académie des Sciences Nevertheless when the height h becomes of the order of the periodicity l, assumption (iii) is no longer valid so that our model is correct only in the limit of small values of the ratio h/l. As pointed out by de Gennes [4], a boundary condition for the fluid velocity can be obtained in the case of a slip by expressing the continuity of the viscous stress present in the fluid cr v = μ (OV/Oz) (where μ is the shear viscosity) with a frictional stress crf = cr = A (V - U) localized at the solid boundary: where we have introduced a "slipping length" defined as In summary, we have shown that a simple mean free path argument may be used to calculate the momentum transfer between a fluid and a moving surface. Within the limits of the model, we obtain an explicit expression for the dependence of the phenomenological slip coefficient on the characteristics of the wall roughness. INTRODUCTION. Les écoulements hydrodynamiques sont régis par des équations aux dérivées partielles auxquelles il est nécessaire d'ajouter des conditions aux limites ad hoc. L'hypothèse usuelle est d'admettre que la vitesse tangentielle du fluide est égale à celle de la paroi à l'interface. Cependant à l'échelle microscopique, le comportement du fluide est moins systématique et un glissement peut être observé ([1], [2]). Maxwell [3] avait décrit ce phénomène en supposant qu'une fraction donnée f des particules subissant une collision avec la paroi est réfléchie spéculairement alors que la fraction complémentaire 1 - f est « absorbée » puis « réémise » de façon isotrope par la paroi. Le coefficient phénoménologique d'accomodation f permet ainsi de rendre compte du comportement du fluide à l'interface. Dans cette Note, nous
limits of the model, we obtain an explicit expression for the dependence of the phenomenological slip coefficient on the characteristics of the wall roughness. INTRODUCTION. Les écoulements hydrodynamiques sont régis par des équations aux dérivées partielles auxquelles il est nécessaire d'ajouter des conditions aux limites ad hoc. L'hypothèse usuelle est d'admettre que la vitesse tangentielle du fluide est égale à celle de la paroi à l'interface. Cependant à l'échelle microscopique, le comportement du fluide est moins systématique et un glissement peut être observé ([1], [2]). Maxwell [3] avait décrit ce phénomène en supposant qu'une fraction donnée f des particules subissant une collision avec la paroi est réfléchie spéculairement alors que la fraction complémentaire 1 - f est « absorbée » puis « réémise » de façon isotrope par la paroi. Le coefficient phénoménologique d'accomodation f permet ainsi de rendre compte du comportement du fluide à l'interface. Dans cette Note, nous nous intéressons plutôt au transfert de quantité de mouvement entre un fluide peu dense et une paroi rugueuse modèle et nous proposons dans le cadre d'un modèle extrêmement simplifié un calcul du coefficient phénoménologique A reliant la contrainte tangentielle de friction du fluide à la vitesse de glissement du fluide à la paroi, crf = A vg, en fonction des caractéristiques de rugosité de la surface (périodicité, hauteur,). MODÈLE ET HYPOTHÈSES. — On considère une paroi de rugosité modèle en « dents de scie » caractérisée par sa périodicité l et sa hauteur h [voir fig. (a) et (b)], placée en z = 0 et se déplaçant uniformément à la vitesse U = U ex. Un fluide modélisé par des sphères dures de masse m, de diamètre σf et de densité volumique nf occupe le demi-espace au-dessus de cette paroi et se déplace à la vitesse moyenne V = V ex. On fera les hypothèses suivantes: (i) la densité du fluide est suffisamment faible de sorte que la paroi ne modifie pas la fonction de distribution des vitesses des particules : le libre parcours moyen ç des particules est supposé très supérieur aux dimensions caractéristiques de la rugosité (ç »
à la paroi, crf = A vg, en fonction des caractéristiques de rugosité de la surface (périodicité, hauteur,). MODÈLE ET HYPOTHÈSES. — On considère une paroi de rugosité modèle en « dents de scie » caractérisée par sa périodicité l et sa hauteur h [voir fig. (a) et (b)], placée en z = 0 et se déplaçant uniformément à la vitesse U = U ex. Un fluide modélisé par des sphères dures de masse m, de diamètre σf et de densité volumique nf occupe le demi-espace au-dessus de cette paroi et se déplace à la vitesse moyenne V = V ex. On fera les hypothèses suivantes: (i) la densité du fluide est suffisamment faible de sorte que la paroi ne modifie pas la fonction de distribution des vitesses des particules : le libre parcours moyen ç des particules est supposé très supérieur aux dimensions caractéristiques de la rugosité (ç » h, l). Les particules heurtent la paroi de façon élastique. Collision d'un flux de particules de vitesse incidente v avec les différentes faces de la paroi. Les particules qui vont heurter les faces 1 et 2 pendant le temps At sont contenues dans des parallélépipèdes de bases constituées par chacune des faces et d'arête principale de longueur 1 v U lal. Les zones hachurées représentent les projections dans le plan (xz) de ces volumes. Collision of a flux of particles of velocity v with different faces of the wall. The particles incident on faces 1 and 2 during the time At are contained within two parallelepipeds with bases given by these two surfaces and of height 1 v V 1 At. The hatched regions of the figure are the projections in the (xz) plane of these volumes. As figure (a) except that the particles are incident on one of the two faces only, that is, there are no collisions with the symmetric face. On négligera les corrélations entre les collisions successives sur plusieurs surfaces d'une même particule de fluide. Nous préciserons plus loin cette dernière hypothèse. CALCUL DE LA CONTRAINTE TANGENTIELLE. — La force tangentielle par unité de surface a
des faces et d'arête principale de longueur 1 v U lal. Les zones hachurées représentent les projections dans le plan (xz) de ces volumes. Collision of a flux of particles of velocity v with different faces of the wall. The particles incident on faces 1 and 2 during the time At are contained within two parallelepipeds with bases given by these two surfaces and of height 1 v V 1 At. The hatched regions of the figure are the projections in the (xz) plane of these volumes. As figure (a) except that the particles are incident on one of the two faces only, that is, there are no collisions with the symmetric face. On négligera les corrélations entre les collisions successives sur plusieurs surfaces d'une même particule de fluide. Nous préciserons plus loin cette dernière hypothèse. CALCUL DE LA CONTRAINTE TANGENTIELLE. — La force tangentielle par unité de surface a subie par le fluide vérifie où ΔPx est la variation suivant x de la quantité de mouvement des molécules de fluide qui subissent une collision avec une surface S de la paroi pendant le temps Δt. La paroi est invariante par des translations de vecteur lex et on peut ainsi limiter la surface S à la base d'un des dièdres de la paroi, comme le montre la figure 1 a. On obtient donc où d N_i est le nombre de particules de vitesse initiale v à d3v près qui vont percuter la surface d'indice i (i= 1, 2) pendant le temps Δt et (ΔpX)_i est la variation de quantité de mouvement d'une particule lors d'un choc avec la surface de même indice i. Ces particules sont contenues dans un parallélépipède de volume (3. a) V = 1 g 1 At Si, où Si est l'aire de la surface d'indice i « vue » par les particules de fluide de vitesse initiale v, comme l'indiquent les figures (a) et (b) et g est la projection dans le plan (xz) du vecteur g=vU. Finalement, on obtient (3. b) dN_i= I g lAtS_i f (v) d3 V avec f (v) = fo (v
limiter la surface S à la base d'un des dièdres de la paroi, comme le montre la figure 1 a. On obtient donc où d N_i est le nombre de particules de vitesse initiale v à d3v près qui vont percuter la surface d'indice i (i= 1, 2) pendant le temps Δt et (ΔpX)_i est la variation de quantité de mouvement d'une particule lors d'un choc avec la surface de même indice i. Ces particules sont contenues dans un parallélépipède de volume (3. a) V = 1 g 1 At Si, où Si est l'aire de la surface d'indice i « vue » par les particules de fluide de vitesse initiale v, comme l'indiquent les figures (a) et (b) et g est la projection dans le plan (xz) du vecteur g=vU. Finalement, on obtient (3. b) dN_i= I g lAtS_i f (v) d3 V avec f (v) = fo (v V) la fonction de distribution des particules de fluide, fo étant la distribution maxwellienne. Selon l'angle d'incidence de la particule heurtant la paroi [voir fig. (a) et (b)], l'aire de la surface Si « vue » par les particules est obtenue par l'une ou l'autre des formules suivantes : si { n1' u> 0; n2 u> 0 } Dans ce cas, les particules « voient » les deux surfaces du dièdre, comme le montre la figure a : si { n1'U<0; n2'U>0; (u),>0} [resp. { n1 u>0; n2.u<0; (u),>0}] Dans ce cas, les particules ne « voient » qu'une des deux surfaces du dièdre, comme le montre la figure (b) (effet d'« ombre »). Dans ces égalités, on a introduit les vecteurs unitaires u= g/g et n_i, le vecteur unitaire normal caractérisant la surface « d'indice i » de la paroi, ainsi que les angles a, défini par tana = 2 h/l, et θ, l'angle entre l'axe x et le vecteur u. D'autre part, la variation de quantité de mouvement des particules qui vont percuter la paroi avec une vitesse initiale v s'écrit (6) (ΔpX)_i = m (Δv)_i = 2m n_i (n_i . (v U)). Finalement, la composante tangentielle de
{ n1' u> 0; n2 u> 0 } Dans ce cas, les particules « voient » les deux surfaces du dièdre, comme le montre la figure a : si { n1'U<0; n2'U>0; (u),>0} [resp. { n1 u>0; n2.u<0; (u),>0}] Dans ce cas, les particules ne « voient » qu'une des deux surfaces du dièdre, comme le montre la figure (b) (effet d'« ombre »). Dans ces égalités, on a introduit les vecteurs unitaires u= g/g et n_i, le vecteur unitaire normal caractérisant la surface « d'indice i » de la paroi, ainsi que les angles a, défini par tana = 2 h/l, et θ, l'angle entre l'axe x et le vecteur u. D'autre part, la variation de quantité de mouvement des particules qui vont percuter la paroi avec une vitesse initiale v s'écrit (6) (ΔpX)_i = m (Δv)_i = 2m n_i (n_i . (v U)). Finalement, la composante tangentielle de la contrainte s'écrit où Dx = D2 = { n1. u>0; n2. u>0 } et D' = {n1.u<0; n2.u<0; (u),>0} D1 = {D1' u>0; n2.u<0; (u),>0}, D2 (u),>0}. L'intégration de l'équation (7) sur vy est immédiate et après quelques réarrangements on obtient (8) σ = 4msin2a g, g.1 (v) d2 V où Dj est la fonction de distribution à deux dimensions Le glissement VU étant supposé petit, on peut écrire Le premier terme donne une contribution nulle à a et il reste après calcul La contrainte de friction exercée par le fluide sur la paroi est l'opposé de cr et on obtient ainsi une expression pour le coefficient phénoménologique de glissement (11) X = y (∝) nf /mkB T homogène à une viscosité divisée par une longueur. La fonction y (a) s'annule en a = 0 et la contrainte tangentielle est dans ce cas nulle aux parois. Physiquement, on retrouve ainsi qu'il ne peut y avoir de transfert de quantité de mouvement tangentiel entre un fluide et une surface parfaitement lisse. Pour des valeurs faibles de a, le second terme de l'équation (12) devient négligeable et la fonction y (a) se réduit à Le coefficient de glissement est donc proportionnel
V où Dj est la fonction de distribution à deux dimensions Le glissement VU étant supposé petit, on peut écrire Le premier terme donne une contribution nulle à a et il reste après calcul La contrainte de friction exercée par le fluide sur la paroi est l'opposé de cr et on obtient ainsi une expression pour le coefficient phénoménologique de glissement (11) X = y (∝) nf /mkB T homogène à une viscosité divisée par une longueur. La fonction y (a) s'annule en a = 0 et la contrainte tangentielle est dans ce cas nulle aux parois. Physiquement, on retrouve ainsi qu'il ne peut y avoir de transfert de quantité de mouvement tangentiel entre un fluide et une surface parfaitement lisse. Pour des valeurs faibles de a, le second terme de l'équation (12) devient négligeable et la fonction y (a) se réduit à Le coefficient de glissement est donc proportionnel au carré du rapport de la hauteur de la rugosité à sa périodicité. On peut penser que ce comportement est indépendant du modèle de rugosité choisi puisque si l'on considère un modèle différent dans lequel la rugosité est due à la présence sur le mur d'« hémisphères » de diamètres am et de densité surfacique nm, on obtient à un coefficient numérique près (14) À. Cf:. nm a;"fnf JmkBT [avec CTjII/ = (l/2)(CT/ + CTJ] qui est donc aussi proportionnel au carré du rapport de la hauteur de la rugosité à sa périodicité. Cependant lorsque ∝ devient important, la solution obtenue avec le modèle précédent n'est plus valable. En effet, pour des angles ♦ de l'ordre de r/4, l'hypothèse (iii) (collisions « multiples » négligeables) va cesser d'être valide puisque dans ce cas une particule heurtant une face de la paroi aura une probabilité non négligeable de subir une autre collision avec la surface symétrique. La dépendance en M du coefficient de glissement A [équations (11) et (12)] n'est donc valide que dans la limite des petits a [voir équation (13)]. Comme l'a indiqué de Gennes [3], la condition aux limites à considérer dans le cas d'un glissement peut s'obtenir
am et de densité surfacique nm, on obtient à un coefficient numérique près (14) À. Cf:. nm a;"fnf JmkBT [avec CTjII/ = (l/2)(CT/ + CTJ] qui est donc aussi proportionnel au carré du rapport de la hauteur de la rugosité à sa périodicité. Cependant lorsque ∝ devient important, la solution obtenue avec le modèle précédent n'est plus valable. En effet, pour des angles ♦ de l'ordre de r/4, l'hypothèse (iii) (collisions « multiples » négligeables) va cesser d'être valide puisque dans ce cas une particule heurtant une face de la paroi aura une probabilité non négligeable de subir une autre collision avec la surface symétrique. La dépendance en M du coefficient de glissement A [équations (11) et (12)] n'est donc valide que dans la limite des petits a [voir équation (13)]. Comme l'a indiqué de Gennes [3], la condition aux limites à considérer dans le cas d'un glissement peut s'obtenir simplement en écrivant la continuité de la contrainte visqueuse présente dans le volume, où k est la viscosité de cisaillement, avec la contrainte de friction cr f localisée à l'interface fluide/solide : On introduit ainsi une longueur de glissement x définie par Par exemple dans le cas de l'écoulement de Couette entre deux plaques identiques situées en z = + L et z = L, se déplaçant aux vitesses U = U ex et U = U ex, on trouve pour le champ des vitesses l'expression Pour un gaz d'argon (a=3,4 Å) à une pression de 10 atmosphères et une température de 300 K, x est de l'ordre d'une centaine de diamètres et de quelques libres parcours moyens (100 Å). Le glissement est donc complètement négligeable pour des écoulements macroscopiques (x « L) et l'écoulement prend sa forme hydrodynamique usuelle (dans laquelle on suppose une condition de non-glissement aux parois). Cependant, les propriétés des gaz confinés peuvent être sensiblement modifiées par la présence de ce glissement aux parois. CONCLUSION. En sommant les collisions binaires sur une surface de rugosité modèle, nous avons obtenu une expression pour le coefficient phénoménologique de glissement. Ce coefficient dépend explicitement des caractéristiques de la surface.
Couette entre deux plaques identiques situées en z = + L et z = L, se déplaçant aux vitesses U = U ex et U = U ex, on trouve pour le champ des vitesses l'expression Pour un gaz d'argon (a=3,4 Å) à une pression de 10 atmosphères et une température de 300 K, x est de l'ordre d'une centaine de diamètres et de quelques libres parcours moyens (100 Å). Le glissement est donc complètement négligeable pour des écoulements macroscopiques (x « L) et l'écoulement prend sa forme hydrodynamique usuelle (dans laquelle on suppose une condition de non-glissement aux parois). Cependant, les propriétés des gaz confinés peuvent être sensiblement modifiées par la présence de ce glissement aux parois. CONCLUSION. En sommant les collisions binaires sur une surface de rugosité modèle, nous avons obtenu une expression pour le coefficient phénoménologique de glissement. Ce coefficient dépend explicitement des caractéristiques de la surface. Il s'agit ici d'un cas limite du problème du transport des fluides aux interfaces, dont le traitement pour les fluides denses est beaucoup plus complexe. Note remise le 11 avril 1992, acceptée après révision le 22 octobre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] M. K. KOGAN, Rarefied Gas Dynamics, Plenum, New York, 1969. [2] P. A. THOMPSON et M. O. ROBBINS, Phys. Rev. A, 41, 1990, p. 6830. [3] J. C. MAXWELL, Philos. Trans. R. Soc. Lond. A, 170, 1879, p. 213. [4] P. G. DE GENNES, C. R. Acad. Sci. Paris, 288, B, 1979, p. 219-220. École normale supérieure de Lyon, Laboratoire de Physique, 46, allée d'Italie, 69364 Lyon Cedex 07. A study of the state of stress is carried out from analysing (222) and (444) Bragg's diffraction peaks (see Fig. I and 2). The films' thickness were precisely determined from the interference fringes in IR reflection, using a TFIR Brucker IFS 113. The range 0.05-2.5 μm was investigated. For very thin samples, a dissymmetry of the peak is indicated and attributed to the existence of stress in the epitaxial layers. An experimental value of the angular deviation can be measured and a value of the stress calculated. This approach is
1969. [2] P. A. THOMPSON et M. O. ROBBINS, Phys. Rev. A, 41, 1990, p. 6830. [3] J. C. MAXWELL, Philos. Trans. R. Soc. Lond. A, 170, 1879, p. 213. [4] P. G. DE GENNES, C. R. Acad. Sci. Paris, 288, B, 1979, p. 219-220. École normale supérieure de Lyon, Laboratoire de Physique, 46, allée d'Italie, 69364 Lyon Cedex 07. A study of the state of stress is carried out from analysing (222) and (444) Bragg's diffraction peaks (see Fig. I and 2). The films' thickness were precisely determined from the interference fringes in IR reflection, using a TFIR Brucker IFS 113. The range 0.05-2.5 μm was investigated. For very thin samples, a dissymmetry of the peak is indicated and attributed to the existence of stress in the epitaxial layers. An experimental value of the angular deviation can be measured and a value of the stress calculated. This approach is repeated for several samples and a time-course of the stress as a function of the film thickness found. A critical value of 0.22 μm corresponding to the complete relaxation of the stress throughout the film is determined. Les semi-conducteurs IV-VI (PbSe ou PbTe) ainsi que leurs alliages ternaires ou quaternaires sont des matériaux intéressants pour leurs applications dans l'infrarouge du fait d'une largeur de bande interdite voisine de 300 meV dans les deux cas. Comme pour les autres semi-conducteurs utilisables en optoélectronique, il est intéressant d'étudier les méthodes de dépôt par épitaxie en phase vapeur en vue de la réalisation de systèmes multicouches. Un certain nombre de travaux d'élaboration de semi-conducteurs IV-VI ont été conduits par la technique MBE et ont produit des résultats intéressants [1]. A la suite des travaux de Bauer [2], nous nous sommes intéressés ([3], [4]) à la technique HWE (Hot Wall Epitaxy), qui peut être considérée comme une méthode alternative de moindre coût et néanmoins intéressante de par ses résultats. Cependant, les applications possibles de ces matériaux nécessitent que les dépôts soient effectués sur des substrats transparents en infrarouge comme BaF2 ou CaF2. Comme il s'agit d'une épitaxie, il se pose le problème, pour deux
sont des matériaux intéressants pour leurs applications dans l'infrarouge du fait d'une largeur de bande interdite voisine de 300 meV dans les deux cas. Comme pour les autres semi-conducteurs utilisables en optoélectronique, il est intéressant d'étudier les méthodes de dépôt par épitaxie en phase vapeur en vue de la réalisation de systèmes multicouches. Un certain nombre de travaux d'élaboration de semi-conducteurs IV-VI ont été conduits par la technique MBE et ont produit des résultats intéressants [1]. A la suite des travaux de Bauer [2], nous nous sommes intéressés ([3], [4]) à la technique HWE (Hot Wall Epitaxy), qui peut être considérée comme une méthode alternative de moindre coût et néanmoins intéressante de par ses résultats. Cependant, les applications possibles de ces matériaux nécessitent que les dépôts soient effectués sur des substrats transparents en infrarouge comme BaF2 ou CaF2. Comme il s'agit d'une épitaxie, il se pose le problème, pour deux systèmes cristallins identiques mais présentant des paramètres de mailles différents (PbX et BaF2), de l'accord de maille. Nous avons étudié, à partir d'un travail sur les profils des pics de diffraction de Bragg, le problème de la mesure de l'état de contrainte des couches épitaxiées ainsi que leur relaxation en fonction de l'épaisseur du dépôt. MÉTHODE EXPÉRIMENTALE. — La méthode expérimentale retenue dérive des travaux effectués par Fontaine [5] et prend en compte les résultats de Dalven [6] et de Hornstra et Bartels [7]. Nous étudions l'hétéroépitaxie des chalcogénures de plomb sur substrat de fluorure de baryum orienté selon la direction (111). Les matériaux considérés sont de structure NaCl (cubique F m 3 m) et, dans ce cas, l'expression de la loi de Hooke généralisée [équation (1)] conduit à l'écriture d'un tenseur de rigidité élastique à trois coefficients CIl, C12, C44. (1) cyij = Cijkl F-kl La détermination des trois coefficients du tenseur permet de calculer l'état de contrainte induit par les déformations géométriques imposées par le désaccord de maille entre substrat et dépôt. Pour un même plan cristallographique (hkl) du substrat et de la couche, la dépendance de la contrainte (de tension ou de compression) avec les paramètres de