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Une petite réserve doit être faite sur le mode hélice de pas 2 qui n'est pas apparu à partir du bruit mais qui néanmoins paraît stable une fois établi, même en présence de l'excitation aléatoire. Des résultats semblables pour le mode 1 sont observés par Rivet [16] dans une simulation numérique 3 D par gaz sur réseau d'un écoulement à l'aval d'un cylindre circulaire de rapport d'aspect 25,6 à Re = 98 avec des conditions aux limites périodiques. 4. CONCLUSION. — En dépit de sa simplicité relative face aux équations de l'hydrodynamique, le modèle de Ginzburg-Landau est capable de rendre compte de l'instabilité de Bénard-von Karman bien au-dessus du seuil et de la morphologie des vortex créés à l'aval de cylindres droits ou de tores. Nous nous proposons dans l'étude à venir de déterminer l'importance du rapport d'aspect et de la courbure sur les propriétés de l'écoulement (seuil, amplitude) et surtout d'essayer de dégager les conditions qui favorisent l'établissement d'un mode, son domaine d'existence et par suite de le contrôler. Nous adressons nos remerciements à C. H. K. Williamson et P. Albarède pour de nombreuses discussions enrichissantes. Ce travail bénéficie du support financier de la CEE, contrat n° SC 1-02120C (TT). Note remise le 8 octobre 1992, acceptée après révision le 17 décembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A. SLAOUTI et J. H. GERRARD, J. Fluid Mech., 112, 1981, p. 297-314. [2] D. GERICH et H. ECKELMANN, J. Fluid Mech., 122, 1982, p. 108-121. [3] M. PROVANSAL, C. MATHIS et L. BOYER, J. Fluid Mech., 182, 1987, p. 1-22. [4] C. H. K. WILLIAMSON, J. Fluid Mech., 206, 1989, p. 579-627. [5] P. ALBARÈDE, Thèse, Université de Provence, 1991. [6] P. ALBARÈDE, M. PROVANSAL et L. BOYER, C. R. Acad. Sci. Paris, 310, série II, 1990, p. 459-464. [7] P. ALBARÈDE et P. A. MONKEWITZ, Phys. Fluids A, 4, 1992, p. 744-756. [8] D. S. PARK et L. G. REDEKOPP, Phys. Fluids A, 4, 1992, p. 1-10. [9] A. CHIFFAUDEL, Europhys. Lett., 18, 1992, p. 589-594. [10] D. R. MONSON, Trans. ASME, J. Fluids Engng., 105, 1983, p. 308-322. [11] M.
(TT). Note remise le 8 octobre 1992, acceptée après révision le 17 décembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A. SLAOUTI et J. H. GERRARD, J. Fluid Mech., 112, 1981, p. 297-314. [2] D. GERICH et H. ECKELMANN, J. Fluid Mech., 122, 1982, p. 108-121. [3] M. PROVANSAL, C. MATHIS et L. BOYER, J. Fluid Mech., 182, 1987, p. 1-22. [4] C. H. K. WILLIAMSON, J. Fluid Mech., 206, 1989, p. 579-627. [5] P. ALBARÈDE, Thèse, Université de Provence, 1991. [6] P. ALBARÈDE, M. PROVANSAL et L. BOYER, C. R. Acad. Sci. Paris, 310, série II, 1990, p. 459-464. [7] P. ALBARÈDE et P. A. MONKEWITZ, Phys. Fluids A, 4, 1992, p. 744-756. [8] D. S. PARK et L. G. REDEKOPP, Phys. Fluids A, 4, 1992, p. 1-10. [9] A. CHIFFAUDEL, Europhys. Lett., 18, 1992, p. 589-594. [10] D. R. MONSON, Trans. ASME, J. Fluids Engng., 105, 1983, p. 308-322. [11] M. TAKAMOTO et K. IZUMI, Phys. Fluids, 24, 1981, p. 1582-1583. [12] P. J. STRYKOWSKI, Ph. D. Thesis, Yale University, 1986. [13] M. SCHUMM, Dissertation, TU Berlin, 1991. [14] P. W. BEARMAN et M. TAKAMOTO, Fluid Dynamics Research, 3, 1988, p. 214-218. [15] G. EHRHARDT, Fortschrittsberichte der VDI-Zeitschriften, 49, Reihe 7, 1978. [16] J.-P. RIVET, C. R. Acad. Sci. Paris, 313, série II, 1991, p. 151-156. Laboratoire de Recherche en Combustion, UA n° D 1117 du CNRS, Université de Provence, Centre de Saint-Jérôme, Service 252, 13397 Marseille Cedex 20, France. Mécanique des fluides/Fluid Mechanics Formulation asymptotique de l'approximation de Boussinesq pour les mélanges de fluides. Application à l'air humide ou nuageux Pierre-Antoine Bois Résumé — Dans le cadre symétrique de l'approximation de Boussinesq, l'obtention directe de la valeur de la fréquence de Brunt-Vaisala dans les équations du mouvement d'un mélange de fluides non dissipatif est subordonnée à la forme des équations décrivant les interactions entre les diverses espèces qui constituent le milieu. Dans le cas du mélange air sec-vapeur d'eau-eau liquide (nuage atmosphérique) il est possible, grâce à la formule de Clausius-Clapeyron, d'écrire l'équation de l'énergie sous une forme « conservative » qui fait apparaître directement la fréquence de Brunt-Vaisala. Asymptotic
1978. [16] J.-P. RIVET, C. R. Acad. Sci. Paris, 313, série II, 1991, p. 151-156. Laboratoire de Recherche en Combustion, UA n° D 1117 du CNRS, Université de Provence, Centre de Saint-Jérôme, Service 252, 13397 Marseille Cedex 20, France. Mécanique des fluides/Fluid Mechanics Formulation asymptotique de l'approximation de Boussinesq pour les mélanges de fluides. Application à l'air humide ou nuageux Pierre-Antoine Bois Résumé — Dans le cadre symétrique de l'approximation de Boussinesq, l'obtention directe de la valeur de la fréquence de Brunt-Vaisala dans les équations du mouvement d'un mélange de fluides non dissipatif est subordonnée à la forme des équations décrivant les interactions entre les diverses espèces qui constituent le milieu. Dans le cas du mélange air sec-vapeur d'eau-eau liquide (nuage atmosphérique) il est possible, grâce à la formule de Clausius-Clapeyron, d'écrire l'équation de l'énergie sous une forme « conservative » qui fait apparaître directement la fréquence de Brunt-Vaisala. Asymptotic formulation of the Boussinesq approximation for the mixtures of fluids. Application to moist air and to clouds Abstract — Dans le cadre de l'approximation asymptotique Boussinesq, une expression directe de la valeur de la fréquence de Brunt-Vaisala dans les équations de mouvement dépend de la forme des équations qui décrivent les interactions entre les constituants du milieu. Dans le cas du mélange air sec-eau vapeur-eau liquide (atmosphère nuageuse), il est possible, via la formule de Clausius-Clapeyron, de écrire l'équation de l'énergie dans une forme conservatrice telle que la fréquence de Brunt-Vaisala apparaît de façon immédiate dans cette équation. Abridged English Version — The Boussinesq approximation is a well known tool for convection problems dealing with buoyant fluids. Usually this model assumes that the medium is a one-component fluid. Hence the equation of state of the medium reads p = p (p, T). For a non-dissipative fluid, as a consequence of the Boussinesq approximation, the energy equation takes the form: dp/dt = R0 (N2) (dw/dt = 0, for a quantity p representing the perturbed density. The Brunt-Vaisala frequency N directly appears in the equation. The previously given equation of state is not always accurate enough to describe some geophysical fluids such
les interactions entre les constituants du milieu. Dans le cas du mélange air sec-eau vapeur-eau liquide (atmosphère nuageuse), il est possible, via la formule de Clausius-Clapeyron, de écrire l'équation de l'énergie dans une forme conservatrice telle que la fréquence de Brunt-Vaisala apparaît de façon immédiate dans cette équation. Abridged English Version — The Boussinesq approximation is a well known tool for convection problems dealing with buoyant fluids. Usually this model assumes that the medium is a one-component fluid. Hence the equation of state of the medium reads p = p (p, T). For a non-dissipative fluid, as a consequence of the Boussinesq approximation, the energy equation takes the form: dp/dt = R0 (N2) (dw/dt = 0, for a quantity p representing the perturbed density. The Brunt-Vaisala frequency N directly appears in the equation. The previously given equation of state is not always accurate enough to describe some geophysical fluids such as moist air (atmosphere) or salt water (oceans). In the present paper we choose, for the medium, the equation of state of a mixture: p = p (p, T, q0, q1, ..., qN) where the qi (a = 0, 1, ..., N) are the massic concentrations of each constituent. We adopt, in what follows, the classical formulation of the equations of mixtures (see, for example, Bowen, [8]). For a non-dissipative mixture, the balance equations and thermodynamic equations read in the form (2), the energy equation being the only difference between a mixture and a one-component fluid. By introducing non-dimensional variables, the momentum equation reads in the form (4) and the energy equation in the form (6). As proved elsewhere (see, for example, [1]), the Boussinesq approximation appears as the leading approximation of an asymptotic process obtained by allowing E and F to be small and related by the formula F2 = E. Then one may show that there exists a static unperturbed state of rest: p = Po, p = p0, depending on ε = E Z only. Assuming then that the variables can be expanded in the form (9), the Boussinesq equations read in the form (10). Such a
adopt, in what follows, the classical formulation of the equations of mixtures (see, for example, Bowen, [8]). For a non-dissipative mixture, the balance equations and thermodynamic equations read in the form (2), the energy equation being the only difference between a mixture and a one-component fluid. By introducing non-dimensional variables, the momentum equation reads in the form (4) and the energy equation in the form (6). As proved elsewhere (see, for example, [1]), the Boussinesq approximation appears as the leading approximation of an asymptotic process obtained by allowing E and F to be small and related by the formula F2 = E. Then one may show that there exists a static unperturbed state of rest: p = Po, p = p0, depending on ε = E Z only. Assuming then that the variables can be expanded in the form (9), the Boussinesq equations read in the form (10). Such a form is not directly in the framework of (1), but, provided that the dqj/dt are themselves expressed as functions of dp/dt and dpj/dt, (1) may be easily recovered. In the case of moist air with clouds, the medium can be described as a mixture of three media: dry air, water vapour and condensed water. In this case additional relations must be joined to the preceding ones. These relations allow simplifications of the energy equation: first, the pressure of the liquid phase is neglected; second, the derivatives dqj/dt and dqj/dt of the vapour and the liquid are opposite; third, in the case of saturated vapour, there exists in the phase change between the water vapour and the liquid water the additional formula (12) (Clausius-Clapeyron formula). As a consequence the rate of concentration dqj/dt can be expressed in the form (13). Finally the energy equation can be reduced to the form (1) with an expression of the Brunt-Vaisala frequency given by (14). The relation (14) provides a form of the Brunt-Vaisala frequency in a cloudy atmosphere, more precise than a previous estimation performed by Lalas and Einaudi [5]. The expression is equivalent to an expression obtained by Durran and Klemp [7] by
vapour and condensed water. In this case additional relations must be joined to the preceding ones. These relations allow simplifications of the energy equation: first, the pressure of the liquid phase is neglected; second, the derivatives dqj/dt and dqj/dt of the vapour and the liquid are opposite; third, in the case of saturated vapour, there exists in the phase change between the water vapour and the liquid water the additional formula (12) (Clausius-Clapeyron formula). As a consequence the rate of concentration dqj/dt can be expressed in the form (13). Finally the energy equation can be reduced to the form (1) with an expression of the Brunt-Vaisala frequency given by (14). The relation (14) provides a form of the Brunt-Vaisala frequency in a cloudy atmosphere, more precise than a previous estimation performed by Lalas and Einaudi [5]. The expression is equivalent to an expression obtained by Durran and Klemp [7] by another procedure. The formulation exhibits a conservative variable θ, equivalent to the classical potential temperature used in meteorology, depending only on two thermodynamic variables. The existence of this conservative variable is necessary in order to establish the equation (1), and justifies the formalism used by Durran and Klemp. 1. INTRODUCTION. — L'un des principaux domaines d'application de l'approximation de Boussinesq est l'étude de la convection dans les fluides géophysiques. La formulation thermodynamique des équations (voir [1] par exemple) utilise la loi d'état des fluides sous la forme p = p (p, T), c'est-à-dire que l'on part de l'hypothèse qu'il s'agit de fluides proprement dits. Il n'en est évidemment pas ainsi dans la pratique : l'air atmosphérique est humide ou nuageux, l'eau des océans est salée, etc. On peut donc envisager un schéma descriptif plus raffiné. De tels schémas ont été déjà proposés pour évaluer la fréquence de Brunt-Vaisala dans ces fluides, tant pour les milieux océaniques [2] que pour les milieux atmosphériques ([3] à [7]). Les résultats les plus fiables sont les résultats approchés de Lalas et Einaudi [5] (valables pour de faibles concentrations) et ceux de Durran et Klemp [6], dont l'utilisation pratique est également subordonnée à une approximation.
— L'un des principaux domaines d'application de l'approximation de Boussinesq est l'étude de la convection dans les fluides géophysiques. La formulation thermodynamique des équations (voir [1] par exemple) utilise la loi d'état des fluides sous la forme p = p (p, T), c'est-à-dire que l'on part de l'hypothèse qu'il s'agit de fluides proprement dits. Il n'en est évidemment pas ainsi dans la pratique : l'air atmosphérique est humide ou nuageux, l'eau des océans est salée, etc. On peut donc envisager un schéma descriptif plus raffiné. De tels schémas ont été déjà proposés pour évaluer la fréquence de Brunt-Vaisala dans ces fluides, tant pour les milieux océaniques [2] que pour les milieux atmosphériques ([3] à [7]). Les résultats les plus fiables sont les résultats approchés de Lalas et Einaudi [5] (valables pour de faibles concentrations) et ceux de Durran et Klemp [6], dont l'utilisation pratique est également subordonnée à une approximation. L'objet de la présente Note est de proposer, par une analyse systématique, une méthode d'évaluation directe de la fréquence de Brunt-Vaisala dans un milieu mélangé non dissipatif. Ce calcul doit normalement être effectué en considérant les ondes linéarisées (autour d'un état statique donné par exemple) associées aux équations relatives à tous les constituants. L'écriture des équations complètes des mouvements des mélanges introduit des inconnues propres à chaque constituant (voir [4] ou [8] par exemple), exprimant les flux de masse, de quantité de mouvement ou d'énergie dans les diverses interactions entre les constituants. Toutefois, utilisant les résultats de [1], il est possible de réduire les données concernant chacun des constituants si l'équation de l'énergie peut être ramenée, moyennant une formulation asymptotique à définir, à une équation scalaire de la forme: (1) dp/dt = R0 (N2) (dw/dt = 0. En effet les équations purement dynamiques pour le mélange lui-même (conservation de la masse et de la quantité de mouvement) sont inchangées par rapport à celles que l'on obtient pour un fluide pur, et l'équation (1) n'en diffère que par le coefficient de w qui y figure. En définitive l'écriture de l'équation de l'énergie sous la forme (1) définit directement la fréquence de
tous les constituants. L'écriture des équations complètes des mouvements des mélanges introduit des inconnues propres à chaque constituant (voir [4] ou [8] par exemple), exprimant les flux de masse, de quantité de mouvement ou d'énergie dans les diverses interactions entre les constituants. Toutefois, utilisant les résultats de [1], il est possible de réduire les données concernant chacun des constituants si l'équation de l'énergie peut être ramenée, moyennant une formulation asymptotique à définir, à une équation scalaire de la forme: (1) dp/dt = R0 (N2) (dw/dt = 0. En effet les équations purement dynamiques pour le mélange lui-même (conservation de la masse et de la quantité de mouvement) sont inchangées par rapport à celles que l'on obtient pour un fluide pur, et l'équation (1) n'en diffère que par le coefficient de w qui y figure. En définitive l'écriture de l'équation de l'énergie sous la forme (1) définit directement la fréquence de Brunt-Väisälä dans le milieu (c'est la grandeur désignée par N (Q dans (l)). On compare pour terminer, lorsque c'est possible, la valeur obtenue pour N (Q à celles qui sont déterminées dans [5] et [7]. 2. ÉQUATIONS DE BASE. — Le milieu considéré est supposé constitué de N + 1 constituants fluides, repérés par les indices a = 0, 1, ..., N. Ces constituants mélangés forment un milieu de masse volumique p avec les concentrations qa. Nous supposons le mélange idéal, c'est-à-dire que la pression partielle de chaque constituant suit une loi d'état de fluide pur. Chaque fluide est supposé non dissipatif, le mélange également, ce qui implique en vertu de la loi de Fick que les vitesses de diffusion sont nulles. Ainsi le mouvement du fluide est caractérisé par la seule vitesse barycentrique. Avec des notations classiques les équations de bilan et les lois d'état s'écrivent : Dans (2) les grandeurs ha. représentent les enthalpies de chacun des constituants, cp la chaleur spécifique du mélange à pression et à concentrations constantes, À le coefficient d'expansivité à concentrations constantes, définis par : N (3) C, 1 q. c,,, À= Ijp (op/oT)p, qcz' o = 0 Les équations (2) ne sont
constituants fluides, repérés par les indices a = 0, 1, ..., N. Ces constituants mélangés forment un milieu de masse volumique p avec les concentrations qa. Nous supposons le mélange idéal, c'est-à-dire que la pression partielle de chaque constituant suit une loi d'état de fluide pur. Chaque fluide est supposé non dissipatif, le mélange également, ce qui implique en vertu de la loi de Fick que les vitesses de diffusion sont nulles. Ainsi le mouvement du fluide est caractérisé par la seule vitesse barycentrique. Avec des notations classiques les équations de bilan et les lois d'état s'écrivent : Dans (2) les grandeurs ha. représentent les enthalpies de chacun des constituants, cp la chaleur spécifique du mélange à pression et à concentrations constantes, À le coefficient d'expansivité à concentrations constantes, définis par : N (3) C, 1 q. c,,, À= Ijp (op/oT)p, qcz' o = 0 Les équations (2) ne sont pas les seules équations définissant le mouvement du milieu, mais ce sont les seules que nous utiliserons par la suite. 3. NON-DIMENSIONNALISATION. — Pour écrire les hypothèses de Boussinesq sous forme asymptotique, il est nécessaire ensuite de non dimensionnaliser les équations. Nous utilisons pour cela (voir [1]) des grandeurs de référence U, L, 0O, p0, cpo, où cpo est une chaleur spécifique de référence. La pression de référence vaut alors Po = Po cpo 80, Nous supposons que pour chacun des constituants du milieu les mêmes grandeurs de référence sont significatives et que les échanges de masse mutuels peuvent être normalisés par la même quantité p0 U/L. L'équation de la quantité de mouvement prend la forme : (4) pdu/dt + e~2 grad p + F'2 pk = 0, l'écriture formelle des équations de conservation de la masse et de l'énergie restant inchangée, à cela près que les variables concernées : p, u, cp, T, p et les opérateurs %t. sont maintenant sans dimension. Il apparaît dans (4) les nombres caractéristiques e et F : (5) s = U/(cpo0o)1'2, F = U/(Lg)"2). Le nombre 8 est lié à la compressibilité thermique, le nombre F est le nombre de Froude. L'équation de
référence U, L, 0O, p0, cpo, où cpo est une chaleur spécifique de référence. La pression de référence vaut alors Po = Po cpo 80, Nous supposons que pour chacun des constituants du milieu les mêmes grandeurs de référence sont significatives et que les échanges de masse mutuels peuvent être normalisés par la même quantité p0 U/L. L'équation de la quantité de mouvement prend la forme : (4) pdu/dt + e~2 grad p + F'2 pk = 0, l'écriture formelle des équations de conservation de la masse et de l'énergie restant inchangée, à cela près que les variables concernées : p, u, cp, T, p et les opérateurs %t. sont maintenant sans dimension. Il apparaît dans (4) les nombres caractéristiques e et F : (5) s = U/(cpo0o)1'2, F = U/(Lg)"2). Le nombre 8 est lié à la compressibilité thermique, le nombre F est le nombre de Froude. L'équation de l'énergie peut être réécrite en variables p, p, qa. Si nous désignons par y le rapport des chaleurs spécifiques cp/cv, cette équation, compte tenu de l'égalité L qa. = 1, prend la forme : N (6) dp/dt-l/y(dp/dp)Tdqadp/dt + Xp £ Aadqjdt = 0, a.=1 (7) Aa. = 1 /cp[ha-h0 + cp (&lt;dT/ôqa)p&gt; T&gt; J. 4. ÉQUATIONS DE BOUSSINESQ. — L'écriture asymptotique de l'approximation de Boussinesq postule qu'il existe dans le milieu un état statique pour lequel on a : (8) p = Po (Ç), P = Ro (Ç), T = T 0 (Ç), C = 8Z. Les paramètres e et F sont supposés petits et vérifient l'égalité F2 = e (voir [1]) de sorte que ç est une variable lente. L'écriture de (8) n'est possible que si les concentrations qa. sont également de cette forme, soit qa Qoo (Ç). Les Qoa. (Ç) ne sont pas arbitraires : la donnée des Qoa. revient à celle des masses volumiques d'équilibre Roa. de chaque constituant, puis, à travers les lois d'état, à celles des pressions partielles P0a. Nous supposons ensuite que les diverses grandeurs admettent des développements : La première dégénérescence des équations s'écrit (w désignant la composante verticale de u) : Le
cp (&lt;dT/ôqa)p&gt; T&gt; J. 4. ÉQUATIONS DE BOUSSINESQ. — L'écriture asymptotique de l'approximation de Boussinesq postule qu'il existe dans le milieu un état statique pour lequel on a : (8) p = Po (Ç), P = Ro (Ç), T = T 0 (Ç), C = 8Z. Les paramètres e et F sont supposés petits et vérifient l'égalité F2 = e (voir [1]) de sorte que ç est une variable lente. L'écriture de (8) n'est possible que si les concentrations qa. sont également de cette forme, soit qa Qoo (Ç). Les Qoa. (Ç) ne sont pas arbitraires : la donnée des Qoa. revient à celle des masses volumiques d'équilibre Roa. de chaque constituant, puis, à travers les lois d'état, à celles des pressions partielles P0a. Nous supposons ensuite que les diverses grandeurs admettent des développements : La première dégénérescence des équations s'écrit (w désignant la composante verticale de u) : Le système (10) représente la première approximation des équations de Boussinesq dans le mélange. L'obtention directe de la fréquence de Brunt-Väisälä dans ces équations est subordonnée à la possibilité d'écrire la troisième équation sous la forme (1). Il est nécessaire pour cela de disposer de renseignements sur les échanges (de masse par exemple) dans le système. Dans le cas d'un mélange sans échange mutuel de masse (air sec-vapeur d'eau par exemple), les dqjdt sont nuls et la fréquence de Brunt-Väisälä se réduit à No (Ç). 5. EXEMPLE DE L'AIR NUAGEUX. — A titre d'application nous considérons l'air atmosphérique comme un mélange ternaire d'air sec, de vapeur d'eau saturée et d'eau condensée. Nous repérons par l'indice g l'air sec, par l'indice v la vapeur d'eau, par l'indice L l'eau liquide et par l'indice w le total eau liquide + vapeur d'eau. Suivant une approximation (classique en théorie de la condensation, voir par exemple [6] ou [7]) la pression PL est négligée, ce qui permet de traiter le condensat comme un gaz parfait de constante caractéristique RL = O. Les trois lois d'état restantes s'écrivent : (11) pg = R, q, p T, Pv = K&lt;lv PT, p = (Rg(-qw) + Rvqv)pT. L'échange