jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
(fig. 1 b) montre une augmentation du rapport des aimantations rémanente et induite à saturation Jrs/Js et de Js qui est due à la magnétite en grains fins néoformée : Js passe de 12,3 à 14,1 A m2/kg, Jrs/Js de 0,14 à 0,16 et Hcr (induction coercitive rémanente) de 9 à 16 mT. La figure 3b montre les résultats obtenus sur un échantillon de la mine de Salau. Lorsque le vide est maintenu, la susceptibilité reste constante et très faible jusqu'à 550°C et durant le retour à la température ordinaire. La pyrrhotite hexagonale ne subit pas d'évolution. Une deuxième chauffe jusqu'à 500°C suivie d'une oxydation pendant 2 mn sous un champ de 0,5 mT suffit, ici encore, à déclencher l'augmentation de la susceptibilité et l'apparition d'une l'ARC. Après un temps de pause en champ nul pour éliminer l'ARV, l'échantillon est alors refroidi en suivant l'évolution de sa susceptibilité et de sa rémanence à différentes températures. Comme précédemment, après une augmentation, la rémanence diminue vers 325°C pour s'inverser à T0. La susceptibilité passe par un pic d'Hopkinson à 300°C puis atteint la valeur de 25.10-6 m3/kg à T0. L'oxydation a donc produit, en plus de la formation de magnétite, la réorganisation du réseau cristallin de la pyrrhotite ou une distribution ordonnée des lacunes dans ce réseau avec comme résultat le changement de phase de l'hexagonale à la monoclinique. Ce changement produit par l'oxydation est un fait nouveau qui mérite d'être étudié plus en détail afin de recevoir une interprétation plus précise en termes de modification du réseau cristallin. Les figures 3 c et d montrent les courbes obtenues pour des durées d'oxydation différentes. Une oxydation de 1 mn ne produit pas suffisamment de magnétite pour que puisse se développer par la suite une ATRI importante. Une oxydation de 5 mn transforme une partie de la magnétite en hématite, ce qui entraîne une baisse de la susceptibilité et de l'ATRI. Le phénomène d'auto-inversion dans la pyrrhotite ne peut donc se développer que dans des conditions dont les limites semblent très étroites. Le cycle d'hystérésis après chauffe (fig. 2b) montre un développement du
du réseau cristallin de la pyrrhotite ou une distribution ordonnée des lacunes dans ce réseau avec comme résultat le changement de phase de l'hexagonale à la monoclinique. Ce changement produit par l'oxydation est un fait nouveau qui mérite d'être étudié plus en détail afin de recevoir une interprétation plus précise en termes de modification du réseau cristallin. Les figures 3 c et d montrent les courbes obtenues pour des durées d'oxydation différentes. Une oxydation de 1 mn ne produit pas suffisamment de magnétite pour que puisse se développer par la suite une ATRI importante. Une oxydation de 5 mn transforme une partie de la magnétite en hématite, ce qui entraîne une baisse de la susceptibilité et de l'ATRI. Le phénomène d'auto-inversion dans la pyrrhotite ne peut donc se développer que dans des conditions dont les limites semblent très étroites. Le cycle d'hystérésis après chauffe (fig. 2b) montre un développement du ferrimagnétisme dû aux grains fins de magnétite. Cependant, des solutions optimales doivent être recherchées en faisant varier la température, la durée d'oxydation et la pression d'oxygène. V. CONCLUSIONS. La pyrrhotite et plus généralement les sulfures de fer sont susceptibles, sous l'effet de la température et selon les conditions d'oxydation, de se transformer de différentes façons. On sait depuis longtemps que la pyrite se transforme en pyrrhotite par chauffage modéré en milieu non oxydant. A 500°C, il suffit d'une pression d'oxygène très faible (300 Pa) pour entraîner la transformation en magnétite. Dans les conditions naturelles, c'est-à-dire sous l'action du champ magnétique terrestre, l'aimantation rémanente produite est une ARC à laquelle peut se superposer une ARV de haute température. La transformation de la pyrrhotite hexagonale en sa variété ferrimagnétique monoclinique semble ne pouvoir s'effectuer qu'en milieu oxydant; c'est un fait nouveau mis en évidence par nos expériences. Si le temps d'oxydation ou la pression d'oxygène augmente, la transformation peut évoluer vers l'hématite. Lorsque la transformation de la pyrrhotite n'est que partielle, une ATRI peut se développer, sous l'action du champ local de l'ARC des petits grains de magnétite néoformés au sein des gros grains de Pyrrhotite. Dans certaines conditions, cette ATRI devient
se transformer de différentes façons. On sait depuis longtemps que la pyrite se transforme en pyrrhotite par chauffage modéré en milieu non oxydant. A 500°C, il suffit d'une pression d'oxygène très faible (300 Pa) pour entraîner la transformation en magnétite. Dans les conditions naturelles, c'est-à-dire sous l'action du champ magnétique terrestre, l'aimantation rémanente produite est une ARC à laquelle peut se superposer une ARV de haute température. La transformation de la pyrrhotite hexagonale en sa variété ferrimagnétique monoclinique semble ne pouvoir s'effectuer qu'en milieu oxydant; c'est un fait nouveau mis en évidence par nos expériences. Si le temps d'oxydation ou la pression d'oxygène augmente, la transformation peut évoluer vers l'hématite. Lorsque la transformation de la pyrrhotite n'est que partielle, une ATRI peut se développer, sous l'action du champ local de l'ARC des petits grains de magnétite néoformés au sein des gros grains de Pyrrhotite. Dans certaines conditions, cette ATRI devient dominante. Les conditions de ces différentes transformations et les mécanismes d'acquisition de l'ARC et de l'ATRI méritent d'être détaillés, car les implications géophysiques apparaissent nombreuses pour l'interprétation des anomalies magnétiques, l'intensification de l'aimantation induite par apparition de magnétite et la prise en compte de l'ARC et de l'ATRI dont l'une renforce et l'autre diminue ou même inverse l'effet de l'induite (à supposer que la transformation soit récente) ne peuvent plus être ignorés. De même, dans les différentes applications paléomagnétiques du magnétisme rémanent, il devra être tenu compte de ces aimantations secondaires qui peuvent avoir été acquises dans un passé géologique plus ou moins récent. Elles apparaissent, en particulier, comme d'éventuelles complications dans les études magnétostratigraphiques. Note remise le 20 novembre 1992, acceptée le 2 décembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A. BELLOT, J. CORPEL et R. MILLON, Geophysics, 56, n° 7, 1991, p. 963-991. [2] D. LEBOUTEILLER, Chronique de la Recherche Minière, 458, 1981, p. 33-49. [3] P. J. A. MENEYEH et W. O'REILLY, Geophys. J. Int., 104, 1991, p. 387-399. [4] K. H. C. SOFFEL, Phys. Earth Planer. Inter., 26, 1981, p. 98-106. [5] M. J. DEKKERS, Phys. Earth Planet. Inter., 57, 1989, p. 266-283. [6] J. C. WARD, Rev.
renforce et l'autre diminue ou même inverse l'effet de l'induite (à supposer que la transformation soit récente) ne peuvent plus être ignorés. De même, dans les différentes applications paléomagnétiques du magnétisme rémanent, il devra être tenu compte de ces aimantations secondaires qui peuvent avoir été acquises dans un passé géologique plus ou moins récent. Elles apparaissent, en particulier, comme d'éventuelles complications dans les études magnétostratigraphiques. Note remise le 20 novembre 1992, acceptée le 2 décembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A. BELLOT, J. CORPEL et R. MILLON, Geophysics, 56, n° 7, 1991, p. 963-991. [2] D. LEBOUTEILLER, Chronique de la Recherche Minière, 458, 1981, p. 33-49. [3] P. J. A. MENEYEH et W. O'REILLY, Geophys. J. Int., 104, 1991, p. 387-399. [4] K. H. C. SOFFEL, Phys. Earth Planer. Inter., 26, 1981, p. 98-106. [5] M. J. DEKKERS, Phys. Earth Planet. Inter., 57, 1989, p. 266-283. [6] J. C. WARD, Rev. Pure and Appl. Chem., 20, 1970, p. 175-206. [7] M. BINA, J. CORPEL, L. DALY et N. DEBEGLIA, C. R. Acad. Sci. Paris, 313, série II, 1991, p. 487-494. [8] M. BINA, L. DALY et H. ROUVIER, 17e EGS General Ass., Edinburgh, 1992, Paris (résumé dans Annales Geophysicae), Suppl. 1, 10, C 18. [9] D. J. DUNLOP et O. OZDEMIR, Phys. Earth Planet. Inter., 65, 1990, p. 188-196. [10] M. BINA et B. HENRY, Phys. Earth. Planet. Inter., 65, 1990, p. 88-103. [11] L. NÉEL, Ann. Géophys. 5, 1949, p. 99-136. [12] R. J. ENKIN et D. J. DUNLOP, Geophys. Res. Letters, 15, n° 5, 1988, p. 514-517. [13] V. L. S. BHIMASANKARAM et M. LEWIS, Geophys. J. R. astr. Soc., 11, 1966, p. 485-497. [14] E. J. SCHWARZ et D. C. HARRIS, J. Geomag. and Geoelec., 22, n° 4, 1970, p. 463-470. Laboratoire de Géomagnétisme, 4, avenue de Neptune, 94107 Saint-Maur-des-Fossés Cedex, France, CNRS, Université de Paris-VI et IPGP. Informatique / Computer Science L'algorithme de Gauss en arithmétique stochastique Jean-Marie CHESNEAUX et Jean VIGNES Résumé Le but de cette Note est de montrer que l'utilisation de l'arithmétique stochastique permet, lors de l'exécution d'un algorithme sur ordinateur, de le valider
10, C 18. [9] D. J. DUNLOP et O. OZDEMIR, Phys. Earth Planet. Inter., 65, 1990, p. 188-196. [10] M. BINA et B. HENRY, Phys. Earth. Planet. Inter., 65, 1990, p. 88-103. [11] L. NÉEL, Ann. Géophys. 5, 1949, p. 99-136. [12] R. J. ENKIN et D. J. DUNLOP, Geophys. Res. Letters, 15, n° 5, 1988, p. 514-517. [13] V. L. S. BHIMASANKARAM et M. LEWIS, Geophys. J. R. astr. Soc., 11, 1966, p. 485-497. [14] E. J. SCHWARZ et D. C. HARRIS, J. Geomag. and Geoelec., 22, n° 4, 1970, p. 463-470. Laboratoire de Géomagnétisme, 4, avenue de Neptune, 94107 Saint-Maur-des-Fossés Cedex, France, CNRS, Université de Paris-VI et IPGP. Informatique / Computer Science L'algorithme de Gauss en arithmétique stochastique Jean-Marie CHESNEAUX et Jean VIGNES Résumé Le but de cette Note est de montrer que l'utilisation de l'arithmétique stochastique permet, lors de l'exécution d'un algorithme sur ordinateur, de le valider et d'éliminer les risques d'erreur sur les résultats. The Gaussian algorithm using stochastic arithmetic Abstract It is shown in this paper that, using stochastic arithmetic, it is possible to validate a scientific code during the run. Abridged English Version 1. INTRODUCTION. The stochastic arithmetic is a modeling of the synchronous implementation of the CESTAC method. The behavior of the Gaussian elimination algorithm performed with the stochastic arithmetic is studied in this paper. It is shown that, using this arithmetic, the algorithm and the provided results may be validated. 2. REMINDER OF THE CONCEPT OF STOCHASTIC NUMBERS. The set of stochastic numbers denoted Y is the set of gaussian random variables. X e Sf is defined by X = (m, σ2), m being the mean value of X and σ being its standard deviation. There exists a such as P (X ∈ [m - x, m + x, σ]) = 1. If | m | << σ then X is a stochastic zero denoted 0. Furthermore, X = (m, σ2). The definitions and properties of the stochastic operators denoted (s+, s-, s*, s/, s =, s<, s>, s^, s>, s^) are presented in [2], [5]. 3. SEEKING THE MAXIMUM VALUE OF
implementation of the CESTAC method. The behavior of the Gaussian elimination algorithm performed with the stochastic arithmetic is studied in this paper. It is shown that, using this arithmetic, the algorithm and the provided results may be validated. 2. REMINDER OF THE CONCEPT OF STOCHASTIC NUMBERS. The set of stochastic numbers denoted Y is the set of gaussian random variables. X e Sf is defined by X = (m, σ2), m being the mean value of X and σ being its standard deviation. There exists a such as P (X ∈ [m - x, m + x, σ]) = 1. If | m | << σ then X is a stochastic zero denoted 0. Furthermore, X = (m, σ2). The definitions and properties of the stochastic operators denoted (s+, s-, s*, s/, s =, s<, s>, s^, s>, s^) are presented in [2], [5]. 3. SEEKING THE MAXIMUM VALUE OF A SET OF STOCHASTIC NUMBERS. Let a1, a2, ..., an be a set of stochastic numbers, the usual algorithm (but not the best) is: max = a1; for i=2, ..., n do: if at > max then max = at; end if, end do With the exact arithmetic the > operator may be replaced by the operator. The result obtained is identical. Using stochastic arithmetic, it is different because, s > is a transitive relation but not s>= Consequently, as proved in the french section, it is necessary to use the s> operator. 4. APPLICATION TO THE GAUSSIAN ELIMINATION ALGORITHM WITH PIVOTING. Let us consider the linear system AX=B with A = (ai, j) and B = (b1, n + The usual algorithm contains the following statement: Op max < ra, ..., on if laki > pmax then, if pmax = 0 then stop This algorithm is theoretically able to solve any linear system or to detect the matrix singularity. On the contrary, when it is performed using floating-point arithmetic, on one hand the solution of the linear system may be erroneous, on the other hand the matrix singularity may not be detected. The algorithm for stochastic arithmetic contains the
operator may be replaced by the operator. The result obtained is identical. Using stochastic arithmetic, it is different because, s > is a transitive relation but not s>= Consequently, as proved in the french section, it is necessary to use the s> operator. 4. APPLICATION TO THE GAUSSIAN ELIMINATION ALGORITHM WITH PIVOTING. Let us consider the linear system AX=B with A = (ai, j) and B = (b1, n + The usual algorithm contains the following statement: Op max < ra, ..., on if laki > pmax then, if pmax = 0 then stop This algorithm is theoretically able to solve any linear system or to detect the matrix singularity. On the contrary, when it is performed using floating-point arithmetic, on one hand the solution of the linear system may be erroneous, on the other hand the matrix singularity may not be detected. The algorithm for stochastic arithmetic contains the following statements: pmax < 0, ..., m if | aki | s > pmax then, ..., 0 if pmax s = 0 then stop It has the same syntaxic form as the theoretical algorithm. Thus, it is able to detect the matrix singularity and the solution is obtained with its accuracy. Note présentée par Jacques ARSAC. 0764-4450/93/03160171$2.00 Académie des Sciences 5. NUMERICAL APPLICATION. -In the french section, a linear system is proposed. Solved on computer with floating-point arithmetic, the results provided by gaussian elimination with pivoting are erroneous. Using stochastic arithmetic, the results are satisfactory. 6. CONCLUSION. The stochastic arithmetic is able to validate algorithms and to provide the accuracy of the results. 1. INTRODUCTION. L'arithmétique stochastique est une modélisation de l'implémentation synchrone de la méthode CESTAC ([1], [6], [8]). L'étude des propriétés de l'arithmétique stochastique [2], [5] a montré que cette arithmétique retrouve un grand nombre des propriétés de l'arithmétique exacte. L'algorithme de Gauss avec recherche du pivot maximal par colonne, exécuté avec l'arithmétique virgule flottante, peut fournir des résultats erronés. Nous montrons qu'en utilisant l'arithmétique stochastique, le déroulement de l'algorithme de Gauss est contrôlé et les résultats fournis avec leur précision associée. 2. RAPPEL DE LA NOTION DE
accuracy. Note présentée par Jacques ARSAC. 0764-4450/93/03160171$2.00 Académie des Sciences 5. NUMERICAL APPLICATION. -In the french section, a linear system is proposed. Solved on computer with floating-point arithmetic, the results provided by gaussian elimination with pivoting are erroneous. Using stochastic arithmetic, the results are satisfactory. 6. CONCLUSION. The stochastic arithmetic is able to validate algorithms and to provide the accuracy of the results. 1. INTRODUCTION. L'arithmétique stochastique est une modélisation de l'implémentation synchrone de la méthode CESTAC ([1], [6], [8]). L'étude des propriétés de l'arithmétique stochastique [2], [5] a montré que cette arithmétique retrouve un grand nombre des propriétés de l'arithmétique exacte. L'algorithme de Gauss avec recherche du pivot maximal par colonne, exécuté avec l'arithmétique virgule flottante, peut fournir des résultats erronés. Nous montrons qu'en utilisant l'arithmétique stochastique, le déroulement de l'algorithme de Gauss est contrôlé et les résultats fournis avec leur précision associée. 2. RAPPEL DE LA NOTION DE NOMBRE STOCHASTIQUE. On appelle ensemble des nombres stochastiques, noté Y, l'ensemble des variables aléatoires gaussiennes. Un élément X cY est noté X = (m, σ2) où m est l'espérance de X et σ son écart type. Il existe alors a such as P(X∈[m - α, m + α, σ])= 1 - p. Si m << σ alors X est un zéro stochastique noté 0. Les définitions et les propriétés des opérateurs stochastiques (s+, s-, s*, s/, s =, s<, s>, s^, s>) sont données dans [2], [5]. 3. LE CALCUL DU MAXIMUM EN ARITHMÉTIQUE STOCHASTIQUE. La recherche du pivot maximal nécessite la détermination du maximum en valeur absolue d'une famille de nombres stochastiques. Soit a1, a2, ..., an, cette famille, l'algorithme usuel (mais non le meilleur) est : ALGORITHME. 1 : max=a1; Pour i=2, ..., n faire: si max < ai alors max = ai. Cet algorithme est basé sur les propriétés des relations d'ordre dans R. Or certaines de ces propriétés ne sont plus vérifiées en arithmétiques stochastiques. En effet, rappelons que la relation s >= est reflexive et anti-symétrique mais non transitive alors que la relation s < est transitive. Dans le cas de l'arithmétique exacte, utiliser, dans
- p. Si m << σ alors X est un zéro stochastique noté 0. Les définitions et les propriétés des opérateurs stochastiques (s+, s-, s*, s/, s =, s<, s>, s^, s>) sont données dans [2], [5]. 3. LE CALCUL DU MAXIMUM EN ARITHMÉTIQUE STOCHASTIQUE. La recherche du pivot maximal nécessite la détermination du maximum en valeur absolue d'une famille de nombres stochastiques. Soit a1, a2, ..., an, cette famille, l'algorithme usuel (mais non le meilleur) est : ALGORITHME. 1 : max=a1; Pour i=2, ..., n faire: si max < ai alors max = ai. Cet algorithme est basé sur les propriétés des relations d'ordre dans R. Or certaines de ces propriétés ne sont plus vérifiées en arithmétiques stochastiques. En effet, rappelons que la relation s >= est reflexive et anti-symétrique mais non transitive alors que la relation s < est transitive. Dans le cas de l'arithmétique exacte, utiliser, dans le test, l'opérateur ou < ne change pas la valeur de max à la fin de la recherche. Ce n'est pas le cas en arithmétique stochastique. Rappelons les résultats suivants : PROPOSITION 3.1. Soient a, b, c trois nombres stochastiques : a s= b et b s< c => a s<= c. PROPOSITION 3.2. Soient a, b, c trois nombres stochastiques : a s<= b et b s< c => a s<= c. Remarque 3.3. On peut cependant ne pas avoir a s< c. La proposition 3.2 est très importante car elle explique la réussite de l'algorithme 1 en arithmétique stochastique alors que la non transitivité de la relation conduit à un échec si on utilise cette relation dans l'algorithme 1 comme dans l'exemple ci-dessous. Exemple. Soient a=(2, 0), b = (1, 10) et c = (1, 0). On a les relations : a s = b et b s= c. Si on initialise max à a, le test max s≦ b est vérifié donc max devient b. De même le test max c est vérifié et max devient c. Finalement, l'utilisation du test s S pour le calcul du maximum aboutit à retenir c comme valeur maximale or, bien
s<= c. PROPOSITION 3.2. Soient a, b, c trois nombres stochastiques : a s<= b et b s< c => a s<= c. Remarque 3.3. On peut cependant ne pas avoir a s< c. La proposition 3.2 est très importante car elle explique la réussite de l'algorithme 1 en arithmétique stochastique alors que la non transitivité de la relation conduit à un échec si on utilise cette relation dans l'algorithme 1 comme dans l'exemple ci-dessous. Exemple. Soient a=(2, 0), b = (1, 10) et c = (1, 0). On a les relations : a s = b et b s= c. Si on initialise max à a, le test max s≦ b est vérifié donc max devient b. De même le test max c est vérifié et max devient c. Finalement, l'utilisation du test s S pour le calcul du maximum aboutit à retenir c comme valeur maximale or, bien sûr, a s> c. THÉORÈME 3.3. — L'algorithme 1, appliqué à une famille de nombres stochastiques ai, fournit une valeur max vérifiant : ∀ i=1,...,n, ai s -< max. Démonstration. Par récurrence sur n en utilisant la proposition 3.2. Alors que : THÉORÈME 3.4. L'utilisation de la relation s S dans l'algorithme 1 appliqué à une famille de nombres stochastiques ai, fournit une valeur max vérifiant : ∀ i=1,...,n, (1) ai s< max ou (2) ∃ ai1, aip zéros stochastiques tels que ai s= ai1 s= s = aip s= max ce qui peut conduire à la situation suivante : 3 ak tel que aks> max (voir exemple précédent). Démonstration. — Par récurrence sur n. Si n=1, le résultat est immédiat. Notons maxk le résultat de l'algorithme appliqué à al', ak. Supposons le résultat vrai pour n— 1, c'est-à-dire maxn -1 vérifie l'hypothèse de récurrence. a) Si an s < maxn, maxn -1 devient maxn et la propriété reste vérifiée au rang n. b) Si an s> maxn, alors an devient maxn a) pour les valeurs de ai vérifiant le (1), la transitivité de s < assure ai s < maxn. b) pour les valeurs de ai vérifiant (2), on
dans l'algorithme 1 appliqué à une famille de nombres stochastiques ai, fournit une valeur max vérifiant : ∀ i=1,...,n, (1) ai s< max ou (2) ∃ ai1, aip zéros stochastiques tels que ai s= ai1 s= s = aip s= max ce qui peut conduire à la situation suivante : 3 ak tel que aks> max (voir exemple précédent). Démonstration. — Par récurrence sur n. Si n=1, le résultat est immédiat. Notons maxk le résultat de l'algorithme appliqué à al', ak. Supposons le résultat vrai pour n— 1, c'est-à-dire maxn -1 vérifie l'hypothèse de récurrence. a) Si an s < maxn, maxn -1 devient maxn et la propriété reste vérifiée au rang n. b) Si an s> maxn, alors an devient maxn a) pour les valeurs de ai vérifiant le (1), la transitivité de s < assure ai s < maxn. b) pour les valeurs de ai vérifiant (2), on a aip-1 s = aip s= maxn-1 < maxn d'où aip-1 s= aip s= maxn donc soit aip-1 s = aip s < maxn et on peut réitérer, soit aip-1 s = aip s = maxn et (2) est vérifiée pour ai et maxn. Donc soit ∀ i=1,...,p, ai s# maxn et ai vérifie (1), soit ∃ i=1,...,p, ai s= ail s= s= aij s= maxn et ai vérifie (2). Dans tous les cas, si an s> maxn-1, maxn vérifie l'hypothèse de récurrence. b) Si an s = maxn-1, an devient maxn, et l'hypothèse de récurrence est trivialement vérifiée pour maxn. Remarque. L'hypothèse que dans le théorème 3.4, la suite ai1, ..., aip puissent être ramenée à un élément est actuellement une conjecture. 4. APPLICATION À L'ALGORITHME DE GAUSS AVEC RECHERCHE DU PIVOT MAXIMAL PAR COLONNE. DÉFINITION 4.1. Soit X = (m, σ2) un élément de £f, on appelle valeur absolue de X, notée | X |, le nombre stochastique défini par : | X | = ( | m |, σ2) Le système à résoudre est A. X = B avec A = (aij) et B = (a1, a2, ... , 1). ALGORITHME 2. L'algorithme de Gauss se présente