jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
par exemple) dans le système. Dans le cas d'un mélange sans échange mutuel de masse (air sec-vapeur d'eau par exemple), les dqjdt sont nuls et la fréquence de Brunt-Väisälä se réduit à No (Ç). 5. EXEMPLE DE L'AIR NUAGEUX. — A titre d'application nous considérons l'air atmosphérique comme un mélange ternaire d'air sec, de vapeur d'eau saturée et d'eau condensée. Nous repérons par l'indice g l'air sec, par l'indice v la vapeur d'eau, par l'indice L l'eau liquide et par l'indice w le total eau liquide + vapeur d'eau. Suivant une approximation (classique en théorie de la condensation, voir par exemple [6] ou [7]) la pression PL est négligée, ce qui permet de traiter le condensat comme un gaz parfait de constante caractéristique RL = O. Les trois lois d'état restantes s'écrivent : (11) pg = R, q, p T, Pv = K&lt;lv PT, p = (Rg(-qw) + Rvqv)pT. L'échange de masse entre l'eau liquide et la vapeur d'eau dû à la vaporisation et à la condensation suit la loi de Clausius-Clapeyron qui, compte tenu des hypothèses, s'écrit : (12) dpv/dT = Lpv/(RvT2). La grandeur L dans (12) est la chaleur latente (normalisée par cpo 0O) de vaporisation de l'eau. On déduit ensuite de (12) et de la loi d'état du mélange la relation : Après insertion de (13) dans (6), l'équation (10) prend la forme (1) avec : (15) co2 = y PO/Ro, R=Rg(-qv-(h)+Rv&lt;lv' Il est possible de comparer l'expression (14) aux résultats figurant dans la littérature ([3], [5], [6], [7]). L'approximation de Dudis ne comporte pas le terme en QQw figurant dans P©(Q : cette observation avait déjà été faite par Durran et Klemp. Les résultats de Lalas et Einaudi ne sont valables que pour de faibles concentrations (qw 1), réserve faite que ces auteurs supposent que L2 q" = 0 (1). En outre ces auteurs ont supposé que L est constant. Enfin les résultats de Durran et Klemp sont équivalents à ceux que donne (14) (exprimés avec d'autres variables). La démarche de Durran et Klemp est néanmoins différente : calculant la grandeur N (0 à partir d'une
On déduit ensuite de (12) et de la loi d'état du mélange la relation : Après insertion de (13) dans (6), l'équation (10) prend la forme (1) avec : (15) co2 = y PO/Ro, R=Rg(-qv-(h)+Rv&lt;lv' Il est possible de comparer l'expression (14) aux résultats figurant dans la littérature ([3], [5], [6], [7]). L'approximation de Dudis ne comporte pas le terme en QQw figurant dans P©(Q : cette observation avait déjà été faite par Durran et Klemp. Les résultats de Lalas et Einaudi ne sont valables que pour de faibles concentrations (qw 1), réserve faite que ces auteurs supposent que L2 q" = 0 (1). En outre ces auteurs ont supposé que L est constant. Enfin les résultats de Durran et Klemp sont équivalents à ceux que donne (14) (exprimés avec d'autres variables). La démarche de Durran et Klemp est néanmoins différente : calculant la grandeur N (0 à partir d'une condition nécessaire de stabilité statique du milieu, ces auteurs ne font pas apparaître qu'il s'agit d'une fréquence critique. L'analyse effectuée ici justifie ainsi le formalisme utilisé par Durran et Klemp. 6. CONCLUSION. Le point capital de la présente analyse, dont l'objet est l'obtention de l'équation (1), est en fait l'écriture de l'équation (13). Cette équation est en effet essentielle pour démontrer l'existence, pour le présent problème, d'une variable 9 non seulement « conservative », c'est-à-dire telle que l'équation de l'énergie puisse se ramener à une forme dQ/dt = 0, mais également que cette variable 9 puisse s'exprimer en fonction de deux grandeurs thermodynamiques uniquement. Cette propriété, qui est immédiate dans le cas des fluides purs (9 est fonction uniquement de l'entropie du milieu) est également vraie dans le cas d'un mélange lorsque les dqJ/dt peuvent s'exprimer en fonction des deux variables thermodynamiques qui ne sont pas les concentrations définissant le mélange (une grandeur équivalente à 9 généralisant pour des gaz parfaits la notion de température potentielle a été obtenue par Durran et Klemp). La formule de Clausius-Clapeyron autorise cette écriture pour le mélange eau liquide-vapeur d'eau. L'écriture directe de N2 (Q dans l'équation de l'énergie apparaît ensuite lorsque l'on choisit
de l'équation (13). Cette équation est en effet essentielle pour démontrer l'existence, pour le présent problème, d'une variable 9 non seulement « conservative », c'est-à-dire telle que l'équation de l'énergie puisse se ramener à une forme dQ/dt = 0, mais également que cette variable 9 puisse s'exprimer en fonction de deux grandeurs thermodynamiques uniquement. Cette propriété, qui est immédiate dans le cas des fluides purs (9 est fonction uniquement de l'entropie du milieu) est également vraie dans le cas d'un mélange lorsque les dqJ/dt peuvent s'exprimer en fonction des deux variables thermodynamiques qui ne sont pas les concentrations définissant le mélange (une grandeur équivalente à 9 généralisant pour des gaz parfaits la notion de température potentielle a été obtenue par Durran et Klemp). La formule de Clausius-Clapeyron autorise cette écriture pour le mélange eau liquide-vapeur d'eau. L'écriture directe de N2 (Q dans l'équation de l'énergie apparaît ensuite lorsque l'on choisit comme variables p et p. Note remise le 29 juin 1992, acceptée après révision le 18 décembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] P.-A. Bois, Geophys. Astr. FL. Dyn., 58, 1991, p. 45-55. [2] K. BRYAN et M. D. Cox, J. Phys. Oceanography, 2, 1972, p. 510-514. [3] J. J. DUDIS, J. Atm. Sc., 29, 1972, p. 774-778. [4] F. EINAUDI et D. P. LALAS, J. Atm. Sc., 30, 1973, p. 365-376. [5] D. P. LALAS et F. EINAUDI, J. Atm. Sc., 30, 1973, p. 795-800. [6] D. P. LALAS et F. EINAUDI, J. Appl. Met., 13, 1974, p. 318-324. [7] D. R. DURRAN et J. B. KLEMP, J. Atm. Sc., 39, 1982, p. 2152-2158. [8] R. M. BOWEN, Theory of mixtures, in Continuum Physics, III, A. C. ERINGEN éd., Academic Press, 1976, p. 1-127. Laboratoire de Mécanique de Lille, URA-CNRS n° 1441, UFR de Mathématiques, Bât. M 3, USTL, 59655 Villeneuve-d'Ascq, France. La métrique qui décrit cet espace-temps peut s'écrire à l'aide des coordonnées (t, r, θ, φ), avec t, re R, O^e^Tt, 0^4^271, -lgngl : S2 (t) (1) g=-N(t)dt®dt+R2(t)(dr®dr + r2dθ2 + r2 sin2(θ)dφ2 + du®du / du La fonction N (t) qui assure le changement de signature est choisie
Atm. Sc., 29, 1972, p. 774-778. [4] F. EINAUDI et D. P. LALAS, J. Atm. Sc., 30, 1973, p. 365-376. [5] D. P. LALAS et F. EINAUDI, J. Atm. Sc., 30, 1973, p. 795-800. [6] D. P. LALAS et F. EINAUDI, J. Appl. Met., 13, 1974, p. 318-324. [7] D. R. DURRAN et J. B. KLEMP, J. Atm. Sc., 39, 1982, p. 2152-2158. [8] R. M. BOWEN, Theory of mixtures, in Continuum Physics, III, A. C. ERINGEN éd., Academic Press, 1976, p. 1-127. Laboratoire de Mécanique de Lille, URA-CNRS n° 1441, UFR de Mathématiques, Bât. M 3, USTL, 59655 Villeneuve-d'Ascq, France. La métrique qui décrit cet espace-temps peut s'écrire à l'aide des coordonnées (t, r, θ, φ), avec t, re R, O^e^Tt, 0^4^271, -lgngl : S2 (t) (1) g=-N(t)dt®dt+R2(t)(dr®dr + r2dθ2 + r2 sin2(θ)dφ2 + du®du / du La fonction N (t) qui assure le changement de signature est choisie de façon la plus simple : (2) N (t) = t<to, si t^O tto, si t < 0. Dans la région 1 t < to la signature de g est donc euclidienne (+ + + + +) alors qu'elle est pseudo-euclidienne (+ + + +) ailleurs. La forme précise de N (t) est en fait peu importante; seules ses caractéristiques principales comptent assurant ainsi que N (t) soit négative pendant un bref instant et positive autrement. Le choix d'une fonction linéaire permet de mener jusqu'au bout des calculs analytiques. 2. DESCRIPTION DE LA MATIÈRE. Pour source de matière, nous prenons un champ scalaire φ (t). Dans la région où la signature est euclidienne, nous imposons au champ d'être nul; en effet dans ce cas le temps n'est plus défini et les équations décrivant la matière (par exemple l'équation dynamique sur φ) n'ont pas de sens. Le tenseur impulsion-énergie du champ peut s'écrire comme un tenseur impulsion-énergie d'un fluide parfait : (3) Tafc = (p + p)uaub+pgab avec 1 (4) „ = p.-!-*» 3. ÉQUATIONS DU CHAMP. Les équations d'Einstein se réduisent dans ce cas au système suivant : L'équation de conservation du tenseur impulsion-énergie est : Comme toujours, cette équation
N (t) est en fait peu importante; seules ses caractéristiques principales comptent assurant ainsi que N (t) soit négative pendant un bref instant et positive autrement. Le choix d'une fonction linéaire permet de mener jusqu'au bout des calculs analytiques. 2. DESCRIPTION DE LA MATIÈRE. Pour source de matière, nous prenons un champ scalaire φ (t). Dans la région où la signature est euclidienne, nous imposons au champ d'être nul; en effet dans ce cas le temps n'est plus défini et les équations décrivant la matière (par exemple l'équation dynamique sur φ) n'ont pas de sens. Le tenseur impulsion-énergie du champ peut s'écrire comme un tenseur impulsion-énergie d'un fluide parfait : (3) Tafc = (p + p)uaub+pgab avec 1 (4) „ = p.-!-*» 3. ÉQUATIONS DU CHAMP. Les équations d'Einstein se réduisent dans ce cas au système suivant : L'équation de conservation du tenseur impulsion-énergie est : Comme toujours, cette équation n'est pas indépendante des trois équations d'Einstein. Posons En éliminant (5 a) au profit de (6), les équations caractérisant le modèle s'écrivent : (8 a) p + (3 H + qi) (p + p) = 0 4 SOLUTIONS. On trouve les solutions en résolvant le système (8) dans chaque région de signature différente. On accorde ces solutions en leur imposant d'être continues. Nous trouvons alors : to : (9) S (to = 0 où Ro et po sont des constantes, tB est le point où R (t,) = 0 et lim oo. -~0: (12) S(to = So(fo + 0 1 (13) R (t) R, (14) φ(to = 0 O~r~~: (15) S (to = S0 (2 ÎQ2 — (t0 — t)3'2) (16) R (t) R, (17) φ(to = 0 S0 est une constante d'intégration. Ces diverses fonctions sont représentées sur la figure 1. Fig. 1. Évolution de R (t), S (t) et φ(t) pour t<to. Fig. 1. Evolution of R (t), S(t) and φ(t) when t<to. t ~2~ to : Dans cette région qui correspond à l'univers actuel, nous redéfinissons le temps t par Ainsi la métrique (1) s'écrit sous la forme habituelle suivante : (19) g= -dt + g{3) où
de signature différente. On accorde ces solutions en leur imposant d'être continues. Nous trouvons alors : to : (9) S (to = 0 où Ro et po sont des constantes, tB est le point où R (t,) = 0 et lim oo. -~0: (12) S(to = So(fo + 0 1 (13) R (t) R, (14) φ(to = 0 O~r~~: (15) S (to = S0 (2 ÎQ2 — (t0 — t)3'2) (16) R (t) R, (17) φ(to = 0 S0 est une constante d'intégration. Ces diverses fonctions sont représentées sur la figure 1. Fig. 1. Évolution de R (t), S (t) et φ(t) pour t<to. Fig. 1. Evolution of R (t), S(t) and φ(t) when t<to. t ~2~ to : Dans cette région qui correspond à l'univers actuel, nous redéfinissons le temps t par Ainsi la métrique (1) s'écrit sous la forme habituelle suivante : (19) g= -dt + g{3) où 7 est le temps cosmique standard. Les solutions des équations d'Einstein sont dans ce cas : (20) S (?) = 2 S0 il12 (21) R (i) = ((3&lt;cp0)"2?+RS)1'3 où Po est une constante. Les fonctions sei), R (7) et &lt;{&gt; (?) sont représentées sur la figure 2. Fig. 2. Évolution de R, S et &lt;)&gt; en fonction du temps cosmique T. Fig. 2. Evolution of R, S and + with the cosmic standard time 1. 5. DISCUSSION. On remarque une singularité de type « big-bang » en t = tB pour le facteur d'échelle de l'espace externe et pour le champ scalaire. D'autre part il y a discontinuité des dérivées du champ. Cependant, le facteur d'échelle de l'espace externe, qui est relié à la quantité physique que l'on observe (c'est-à-dire la constante de Hubble), a une dérivée première continue. Une autre caractéristique importante à souligner est le comportement du modèle pour to tendant vers zéro, c'est-à-dire pour le cas où le passage dans le régime euclidien n'a pas lieu. On constate alors qu'il n'y a plus création de l'espace interne dont le rayon tend vers zéro. Note remise le 9 novembre 1992, acceptée le 17 novembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1]
de R, S et &lt;)&gt; en fonction du temps cosmique T. Fig. 2. Evolution of R, S and + with the cosmic standard time 1. 5. DISCUSSION. On remarque une singularité de type « big-bang » en t = tB pour le facteur d'échelle de l'espace externe et pour le champ scalaire. D'autre part il y a discontinuité des dérivées du champ. Cependant, le facteur d'échelle de l'espace externe, qui est relié à la quantité physique que l'on observe (c'est-à-dire la constante de Hubble), a une dérivée première continue. Une autre caractéristique importante à souligner est le comportement du modèle pour to tendant vers zéro, c'est-à-dire pour le cas où le passage dans le régime euclidien n'a pas lieu. On constate alors qu'il n'y a plus création de l'espace interne dont le rayon tend vers zéro. Note remise le 9 novembre 1992, acceptée le 17 novembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] J. WHEELER, Ann. Phys., NY 2 604, 1957; Relativity, Groups, and Topology, B. DE WITT éd., 1964, New York, Gordon and Breach. [2] S. HAWKING, Phys. Lett., 195B337, 1987. [3] G. T. HOROWITZ, Class. Quantum Grav, 8, 1991, p. 587-601. [4] G. W. GIBBONS et J. B. HARTLE, Phys. Rev., D, 42, 1990, p. 2458-2468. [5] G. ELLIS, A. SUMERUK D. COULE et C. HELLABY, Class. Quantum Grav., 9, 1992, p. 1535-1554. Laboratoire de Gravitation et Cosmologie relativistes, Université Pierre-et-Marie-Curie, C.N.R.S./UR.A. n° 769, Tour n° 22/12, Boîte Courrier 142, 4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05. Abstrait en Version English — The time-harmonic electric field in a source-free random medium with permittivity σ(r) obeys equation (1). Using a classical approach ([2], [3]), we introduce a dummy permittivity εg and recast (1) under the integral form (2). Eg (r) is the solution of the homogeneous equation (4) with constant coefficients. In some way, σ renormalizes ε (r). A further step is to renormalize also the local part of the propagator (3), thus using a new propagator ƒg (r) defined by (5). The field equation (2) transforms then into (6), with a new field E,g (r) (the so-called local field) and a
D, 42, 1990, p. 2458-2468. [5] G. ELLIS, A. SUMERUK D. COULE et C. HELLABY, Class. Quantum Grav., 9, 1992, p. 1535-1554. Laboratoire de Gravitation et Cosmologie relativistes, Université Pierre-et-Marie-Curie, C.N.R.S./UR.A. n° 769, Tour n° 22/12, Boîte Courrier 142, 4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05. Abstrait en Version English — The time-harmonic electric field in a source-free random medium with permittivity σ(r) obeys equation (1). Using a classical approach ([2], [3]), we introduce a dummy permittivity εg and recast (1) under the integral form (2). Eg (r) is the solution of the homogeneous equation (4) with constant coefficients. In some way, σ renormalizes ε (r). A further step is to renormalize also the local part of the propagator (3), thus using a new propagator ƒg (r) defined by (5). The field equation (2) transforms then into (6), with a new field E,g (r) (the so-called local field) and a modified local polarizability (8). The arbitrary constant I drives the contribution of the infinitesimal Lorentz cavity centered on each point. Now the effective permittivity kernel is derived, following Michels [4], by successive statistical projections, and assumes the form (9), with notations explicited by (10) and (11). The last expression is Terwiel's n-points ordered correlation function [5], with <Ç (r)> the average operator over disorder. Next we use the arbitrariness of σ, and I in demanding that both <Eg (r)> and εeff (k, ω) be zero when k, ω tend to zero. For a binary insulator/metal random medium mixed in proportions (1 -f) and f, the first condition leads to the modified Bruggeman condition [1], (12) with an insulator-metal percolation transition threshold fe = I instead of the usual 1/3, while the second one explicits a dependence of I in f Such that I goes to 1/3 when σ goes to 0 or 1. The transition threshold is the physical solution of 1 (/.)=*/., and its value is determined by the terms retained in the evaluation of the kernel Z1.ff (k, ω). For a binary perfect disordered medium (with a two-point correlation function proportional to a Dirac distribution), an expansion of
Terwiel's n-points ordered correlation function [5], with <Ç (r)> the average operator over disorder. Next we use the arbitrariness of σ, and I in demanding that both <Eg (r)> and εeff (k, ω) be zero when k, ω tend to zero. For a binary insulator/metal random medium mixed in proportions (1 -f) and f, the first condition leads to the modified Bruggeman condition [1], (12) with an insulator-metal percolation transition threshold fe = I instead of the usual 1/3, while the second one explicits a dependence of I in f Such that I goes to 1/3 when σ goes to 0 or 1. The transition threshold is the physical solution of 1 (/.)=*/., and its value is determined by the terms retained in the evaluation of the kernel Z1.ff (k, ω). For a binary perfect disordered medium (with a two-point correlation function proportional to a Dirac distribution), an expansion of (10) using a known diagrammatic technique ([6], [7]), followed by the Borel resummation of two infinite sets of diagrams (those with 0 and one crossings) allows one to compute the propagator self-consistently for arbitrary space dimensions, leading to the transition thresholds reported in table (1); these have to be compared [6] to available bond-percolation thresholds on a cubic lattice [8]. The experimental results supplied concern ex-carbonyl iron spheroids embedded in epoxide resin. Note présentée par Roger BALIAN. 0764-4450/93/03160305 $ 2.00 e Académie des Sciences Les mesures de la permittivité du guide à micro-ondes sont analysées à l'aide de la formule (12), en supposant I constant (comme une sorte de moyenne sur f). Les propriétés magnétiques sont alors formellement équivalentes aux propriétés diélectriques, avec Is noté 1M et lD. À partir des données expérimentales sur le matériau résineux, on fait un ajustement de /D (resp. 1M) et de la permittivité ef de l'inclusion (resp. de la perméabilité μ) à partir des valeurs mesurées sur le composite. Les courbes correspondantes sont représentées ensemble avec les valeurs expérimentales en figures 1, 2. On a remarqué qu'il est de crucial importance de tenir compte de la dépendance en fréquence du matériau dans l'ordre de
[6] to available bond-percolation thresholds on a cubic lattice [8]. The experimental results supplied concern ex-carbonyl iron spheroids embedded in epoxide resin. Note présentée par Roger BALIAN. 0764-4450/93/03160305 $ 2.00 e Académie des Sciences Les mesures de la permittivité du guide à micro-ondes sont analysées à l'aide de la formule (12), en supposant I constant (comme une sorte de moyenne sur f). Les propriétés magnétiques sont alors formellement équivalentes aux propriétés diélectriques, avec Is noté 1M et lD. À partir des données expérimentales sur le matériau résineux, on fait un ajustement de /D (resp. 1M) et de la permittivité ef de l'inclusion (resp. de la perméabilité μ) à partir des valeurs mesurées sur le composite. Les courbes correspondantes sont représentées ensemble avec les valeurs expérimentales en figures 1, 2. On a remarqué qu'il est de crucial importance de tenir compte de la dépendance en fréquence du matériau dans l'ordre de obtenir une permittivité effective fréquence indépendante, ID (fig. 3), qui est en bon accord avec le seuil obtenu à partir de la seule mesure du seuil de conductibilité statique sur les échantillons. 1. DÉFINITION DES CHAMPS. — Au régime temporel harmonique, l'équation du champ électrique qui règne dans un milieu de permittivité aléatoire ε(r) s'écrit (1) V x V x E (r) - ça2 ne (r) R (r) = 0 Dans une première étape, classique ([2], [3]), on introduit une permittivité arbitraire constante eg et on récrit (1) sous forme intégrale : où la représentation dans l'espace réciproque du noyau tensoriel C1, (r) est, avec k = ça2HEr, ~g' et où E2, (r) est la solution, assujettie aux conditions aux limites adéquates, de l'équation de propagation à coefficients constants : (4) V x V x Etf(r) - k2Etf(r)=0 D'une certaine façon eg renormalise a (r). On peut aller plus loin et, en deuxième étape, renormaliser aussi la partie locale du propagateur ug (r), définissant un nouveau propagateur fi g l(r) par : (5) (r) = k« (r)+Iyô(r) où 1 est une constante complexe quelconque et où 8 est la distribution de Dirac. L'équation (2) prend alors la forme : (6)
de permittivité aléatoire ε(r) s'écrit (1) V x V x E (r) - ça2 ne (r) R (r) = 0 Dans une première étape, classique ([2], [3]), on introduit une permittivité arbitraire constante eg et on récrit (1) sous forme intégrale : où la représentation dans l'espace réciproque du noyau tensoriel C1, (r) est, avec k = ça2HEr, ~g' et où E2, (r) est la solution, assujettie aux conditions aux limites adéquates, de l'équation de propagation à coefficients constants : (4) V x V x Etf(r) - k2Etf(r)=0 D'une certaine façon eg renormalise a (r). On peut aller plus loin et, en deuxième étape, renormaliser aussi la partie locale du propagateur ug (r), définissant un nouveau propagateur fi g l(r) par : (5) (r) = k« (r)+Iyô(r) où 1 est une constante complexe quelconque et où 8 est la distribution de Dirac. L'équation (2) prend alors la forme : (6) E,(r) = E,(r) + [dVfli(r-r')[Ç,(r)E,(O] où l'on a défini un nouveau champ E, (r) par et où l'on a étendu la notion de polarisabilité à la quantité Le coefficient I pilote le contenu de la cavité de Lorentz infinitésimale centrée en chaque point, et définit E1 (r) comme une interpolation entre le champ électrique (pour /=0) et l'induction normalisée par eg (pour /= 1). 2. PERMITTIVITÉ EFFECTIVE. Utilisant une méthode de moyennes successives sur le désordre, précédemment employée dans le contexte électromagnétique par Michels [4], on calcule le noyau de la permittivité effective eeff (k, ω) liant les moyennes statistiques < D > (k, ω) et < E > (k, ω). On obtient : (9) eeff(k, ω) = e,[l+(l-f)C,eff(k, ω)][l-/C,eff(k, ω)]-1 avec (10) ?/eff(k,ω)=Z f^3^. • .<3r„fi ε (r1)ε (r2-r1).ε (r3-r2-r1). n^O J x <Ç/(O)<Ç/(rl)' <Ç/(rn)T(rn. où interviennent les fonctions de corrélation ordonnées à (n + 1) points de Terwiel [5] définies par (11) < Ç, (r) Ç, (r,) Ç, (r„) >T = < Ç, (r) ( 1 ) <Ç, (r , ). ( 1 ) <Ç, (r„) avec ?J'= (. ), l'opérateur de moyenne statistique. Utilisant l'arbitraire du choix des constantes eg et I, on peut imposer < Ç,