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montrent encore plus clairement les avantages offerts par notre méthode par rapport à l'approximation classique. Ainsi, pour une précision fixée, la méthode dipolaire utilise avec l'approximation classique 8 fois plus d'éléments qu'il n'est réellement nécessaire. L'augmentation du nombre de dipôles, c'est-à-dire la diminution de leur taille d'un facteur 2 ne sert qu'à atténuer les rugosités de surface, rugosités dont nous diminuons l'amplitude à l'aide d'éléments parallélépipédiques, au prix de la détermination de leur polarisabilité moléculaire. L'utilisation de parallélépipèdes constitue une tentative simple qui s'avère très efficace; de meilleures approximations pourront être obtenues en les remplaçant par des volumes plus complexes aux faces trapézoïdales. En attendant, notre étude confirme que l'état de surface d'une particule solide affecte de façon évidente son interaction avec une onde électromagnétique, même si l'amplitude des rugosités est faible devant la longueur d'onde. La méthode proposée pour valider la taille des éléments est compatible avec les méthodes numériques récemment proposées ([14], [15]) pour augmenter le nombre de dipôles utilisables. Enfin, notre étude montre que, pour une précision donnée, on peut désormais augmenter la taille des poussières étudiées, sans augmenter le nombre de dipôles : ceci permettra d'étudier à l'aide de l'approximation dipolaire, sans faire appel à des moyens de calcul prohibitifs, la diffusion de la lumière solaire par des grains dont la taille est très grande devant la longueur d'onde ou la diffusion du rayonnement stellaire ultraviolet lointain par des poussières interstellaires. Note remise le 10 août 1992, acceptée après révision le 20 novembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] G. MIE, Beiträge zur Optik trüber Medien speziell kolloidaler Metallösungen, Ann. Phys., 25, 1908, p. 377-445. [2] R. H. GIESE, K. WEISS, R. H. ZERULL, T. ONO, Large fluffy particles: a possible explanation of the optical properties of interplanetary dust, Astron. Astrophys., 65, 1978, p. 265-272. [3] K. WEISS-WRANA, Optical properties of interplanetary dust: comparison with light scattering by larger meteoritic and terrestrial grains, Astron. Astrophys., 126, 1983, p. 240-250. [4] Light Scattering by Irregularly Shaped Particles, D. W. SCHUERMAN éd., Plenum Press, New York and London, 1980. [5] J.-M. PERRIN et P. L. LAMY, Light Scattering by Large
moyens de calcul prohibitifs, la diffusion de la lumière solaire par des grains dont la taille est très grande devant la longueur d'onde ou la diffusion du rayonnement stellaire ultraviolet lointain par des poussières interstellaires. Note remise le 10 août 1992, acceptée après révision le 20 novembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] G. MIE, Beiträge zur Optik trüber Medien speziell kolloidaler Metallösungen, Ann. Phys., 25, 1908, p. 377-445. [2] R. H. GIESE, K. WEISS, R. H. ZERULL, T. ONO, Large fluffy particles: a possible explanation of the optical properties of interplanetary dust, Astron. Astrophys., 65, 1978, p. 265-272. [3] K. WEISS-WRANA, Optical properties of interplanetary dust: comparison with light scattering by larger meteoritic and terrestrial grains, Astron. Astrophys., 126, 1983, p. 240-250. [4] Light Scattering by Irregularly Shaped Particles, D. W. SCHUERMAN éd., Plenum Press, New York and London, 1980. [5] J.-M. PERRIN et P. L. LAMY, Light Scattering by Large Particles, II. A vectorial description in the eikonal picture, Optica Acta, 33, 1986, p. 1001-1022. [6] C. BOURRELY, T. LEMAIRE et P. CHIAPPETTA, A vectorial description of electromagnetic scattering by large bodies of spherical shape, J. Mod. Optics, 38, 1991, p. 305-315. [7] J.-M. PERRIN et J.-P. SIVAN, Porosity and impurities within interstellar grains. Is the ultraviolet bump still explained by carbonaceous material?, Astron. Astrophys., 228, 1990, p. 238-245. [8] E. M. PURCELL et C. R. PENNYPACKER, Scattering and absorption of light by non-spherical dielectric grains, Astrophys. J., 186, 1973, p. 705-714. [9] D. KELLER et C. BUSTAMANTE, Theory of the interaction of light with large inhomogeneous molecular aggregates, 1. Absorption, J. Chem. Phys., 84, 1986, p. 2961-2971. [10] J.-M. PERRIN et P. L. LAMY, On the validity of effective-medium theories in the case of light extinction by inhomogeneous dust particles, Astrophys. J., 364, 1990, p. 146-151. [11] J.-M. PERRIN et J.-P. SIVAN, Scattering and polarisation of light by rough and porous interstellar grains, Astron. Astrophys., 247, 1991, p. 497-504. [12] Classical electrodynamics, J. D. JACKSON éd., John Wiley et Sons, New York, London and Sydney, 1962. [13] O. EDOH, Thèse, The University of Arizona, 1983, 100 p. [14] B.
impurities within interstellar grains. Is the ultraviolet bump still explained by carbonaceous material?, Astron. Astrophys., 228, 1990, p. 238-245. [8] E. M. PURCELL et C. R. PENNYPACKER, Scattering and absorption of light by non-spherical dielectric grains, Astrophys. J., 186, 1973, p. 705-714. [9] D. KELLER et C. BUSTAMANTE, Theory of the interaction of light with large inhomogeneous molecular aggregates, 1. Absorption, J. Chem. Phys., 84, 1986, p. 2961-2971. [10] J.-M. PERRIN et P. L. LAMY, On the validity of effective-medium theories in the case of light extinction by inhomogeneous dust particles, Astrophys. J., 364, 1990, p. 146-151. [11] J.-M. PERRIN et J.-P. SIVAN, Scattering and polarisation of light by rough and porous interstellar grains, Astron. Astrophys., 247, 1991, p. 497-504. [12] Classical electrodynamics, J. D. JACKSON éd., John Wiley et Sons, New York, London and Sydney, 1962. [13] O. EDOH, Thèse, The University of Arizona, 1983, 100 p. [14] B. T. DRAINE, The discrete-dipole approximation and its application to interstellar graphite grains, Astrophys. J., 333, 1988, p. 848-872. [15] J. J. GOODMAN, B. T. DRAINE et P. J. FLATAU, Application of FFT techniques to the discrete dipole approximation, Optics Letters, 16, 1991, p. 1198-1200. Laboratoire d'Astronomie spatiale, B. P. n° 8, traverse du Siphon, 13376 Marseille Cedex 12. EXPLICATIONS DE LA PLANCHE Fig. 2. Écart relatif entre les diagrammes de diffusion et les taux de polarisation linéaire obtenus d'une part par la théorie de Mie et d'autre part par « l'approximation dipolaire » (pour des valeurs du nombre de dipoles qui minimisent l'écart à la sphéricité). Écart relatif d'intensité obtenu à l'aide de l'approximation classique (a) et de l'approximation proposée (c). Écart relatif du taux de polarisation linéaire obtenu à l'aide de l'approximation classique (b) et de l'approximation proposée (d). Évolution de l'écart relatif d'intensité (e) et du taux de polarisation linéaire (f), en fonction du nombre de dipôles, pour les valeurs de l'angle de diffusion où l'écart est maximum. Les calculs ont été effectués pour un grain tel que π D/λ = 2, D étant la taille du grain et λ la longueur d'onde de la lumière incidente. Fig.
8, traverse du Siphon, 13376 Marseille Cedex 12. EXPLICATIONS DE LA PLANCHE Fig. 2. Écart relatif entre les diagrammes de diffusion et les taux de polarisation linéaire obtenus d'une part par la théorie de Mie et d'autre part par « l'approximation dipolaire » (pour des valeurs du nombre de dipoles qui minimisent l'écart à la sphéricité). Écart relatif d'intensité obtenu à l'aide de l'approximation classique (a) et de l'approximation proposée (c). Écart relatif du taux de polarisation linéaire obtenu à l'aide de l'approximation classique (b) et de l'approximation proposée (d). Évolution de l'écart relatif d'intensité (e) et du taux de polarisation linéaire (f), en fonction du nombre de dipôles, pour les valeurs de l'angle de diffusion où l'écart est maximum. Les calculs ont été effectués pour un grain tel que π D/λ = 2, D étant la taille du grain et λ la longueur d'onde de la lumière incidente. Fig. 2. Relative difference between the results given by the Mie theory and the discrete dipole approximation (DDA) (for numbers of dipoles that minimize the departure from sphericity), concerning scattering diagrams and the degree of linear polarization. Relative difference in intensity using the classical DDA (a) and the proposed method (c). Relative difference in the degree of linear polarization using the classical DDA (b) and the proposed method (d). The relative difference in intensity (e) and in the degree of linear polarization (f) as a function of the number of dipoles for the scattering angles for which the difference is maximum. Calculations were performed for a grain of size parameter x D/λ = 2, D being the size of the grain and λ the incident wavelength. PLANCHE PLATE JEAN-MARIE PERRIN Cosmologie/Cosmology (Relativité/Relativity) Sur le problème de compactification dans la supergravité en sept dimensions Julio C. FABRIS Résumé — Dans cette Note, nous cherchons des solutions dynamiques dans la théorie de Supergravité en sept dimensions, qui conduisent à la compactification des trois dimensions supplémentaires, et qui fournissent un espace-temps à quatre dimensions. Nous montrons que, pour une certaine configuration de champs présents dans cette théorie, il est possible de trouver des solutions
Relative difference in the degree of linear polarization using the classical DDA (b) and the proposed method (d). The relative difference in intensity (e) and in the degree of linear polarization (f) as a function of the number of dipoles for the scattering angles for which the difference is maximum. Calculations were performed for a grain of size parameter x D/λ = 2, D being the size of the grain and λ the incident wavelength. PLANCHE PLATE JEAN-MARIE PERRIN Cosmologie/Cosmology (Relativité/Relativity) Sur le problème de compactification dans la supergravité en sept dimensions Julio C. FABRIS Résumé — Dans cette Note, nous cherchons des solutions dynamiques dans la théorie de Supergravité en sept dimensions, qui conduisent à la compactification des trois dimensions supplémentaires, et qui fournissent un espace-temps à quatre dimensions. Nous montrons que, pour une certaine configuration de champs présents dans cette théorie, il est possible de trouver des solutions avec les caractéristiques recherchées. L'analyse de l'évolution des petites perturbations est effectuée pour les champs scalaires. The compactification problem in seven-dimensional supergravity Abstract — In this Note we look for dynamic solutions of the seven dimensional Supergravity theory that lead to the compactification of the three extra dimensions, leaving a four-dimensional spacetime. We show that for a certain configuration of the fields present in this theory, we could find solutions with the desired features. The time evolution of small perturbations of the scalar fields is analysed. Abridged English Version — In multidimensional theories, a dynamical compactification mechanism may be found through the inclusion of non-geometric fields, which are commonly denoted as "external fields". Eventually, these fields may still be considered as geometric in more complex structures, as happens in the supersymmetric case. In the seven-dimensional supergravity there are three kinds of such fields: a scalar field CT, a multiplet of Maxwellian fields F^b, and a three-form GABC. In this Note, we will look for solutions for the field equations of the bosonic sector of this theory by retaining just the scalar field. After dimensional reduction, we have the Einstein's equations coupled to two scalar fields, the above-mentioned CT field, and
four-dimensional spacetime. We show that for a certain configuration of the fields present in this theory, we could find solutions with the desired features. The time evolution of small perturbations of the scalar fields is analysed. Abridged English Version — In multidimensional theories, a dynamical compactification mechanism may be found through the inclusion of non-geometric fields, which are commonly denoted as "external fields". Eventually, these fields may still be considered as geometric in more complex structures, as happens in the supersymmetric case. In the seven-dimensional supergravity there are three kinds of such fields: a scalar field CT, a multiplet of Maxwellian fields F^b, and a three-form GABC. In this Note, we will look for solutions for the field equations of the bosonic sector of this theory by retaining just the scalar field. After dimensional reduction, we have the Einstein's equations coupled to two scalar fields, the above-mentioned CT field, and the field that represents the scale factor of the internal dimension. When we consider a Friedman-Robertson-Walker metric for the four-dimensional spacetime, we can find essentially three kinds of solution: a) The scale factor of the "external" space expands, while the scale factor of the "internal" space contracts. b) The scale factor of the "external" space remains constant, while the scale factor of the "internal" space contracts. c) Both scale factors expand, but with different velocity, constituting a kind of six-dimensional anisotropic space. Evidemment, just the first two cases present a clear physical interest. In particular, the second one represents a Minkowski spacetime, with an internal compactified space. We analyze the perturbations around these solutions. This perturbation study is made through standard techniques, considering small fluctuations around the exact solutions found before. Only the scalar modes are considered in this perturbative study. Moreover, we consider two special cases for the classes of solution which we have retained our attention. These special cases lead to a set of equations that we can work out; at the same time, these considerations do not exclude a possibility of extension of the results. Note présentée par Yvonne CHOQUET-BRUHAT. 0764-4450/93/03160055 $ 2.00 e Académie des Sciences
factor of the "external" space remains constant, while the scale factor of the "internal" space contracts. c) Both scale factors expand, but with different velocity, constituting a kind of six-dimensional anisotropic space. Evidemment, just the first two cases present a clear physical interest. In particular, the second one represents a Minkowski spacetime, with an internal compactified space. We analyze the perturbations around these solutions. This perturbation study is made through standard techniques, considering small fluctuations around the exact solutions found before. Only the scalar modes are considered in this perturbative study. Moreover, we consider two special cases for the classes of solution which we have retained our attention. These special cases lead to a set of equations that we can work out; at the same time, these considerations do not exclude a possibility of extension of the results. Note présentée par Yvonne CHOQUET-BRUHAT. 0764-4450/93/03160055 $ 2.00 e Académie des Sciences Essentially, we take into account the spatial dependence of the perturbation functions by performing an expansion of these quantities in plane waves. Consequently, there is a kind of dispersion relation function. Using the Frobenius series method, we can find solutions of our equations for the perturbation functions. The evolution of the perturbations have a very clear dependence on their wavelengths: the smaller the wavelength, the faster the growth of perturbation. Finally, we observe that the equations for the bosonic sector of the seven-dimensional supergravity do suggest some possible applications for an inflationary scenario, since there is a natural potential term, which comes directly from the higher dimensional theory. This feature will be the object of future analysis. I. INTRODUCTION. — L'étude d'une théorie supersymétrique locale à sept dimensions a été objet de plusieurs travaux ([1], [2], [3]). L'intérêt pour cette théorie est dû aux mêmes motivations qui ont conduit à la recherche des théories à plus de quatre dimensions, c'est-à-dire, des modèles géométriques simples pouvant fournir, après la compactification des dimensions supplémentaires, des modèles réalistes à quatre dimensions. Par des « modèles réalistes », nous entendons la classe des modèles qui ressemblent à l'observation, du moins en grosses lignes. Une
the perturbations have a very clear dependence on their wavelengths: the smaller the wavelength, the faster the growth of perturbation. Finally, we observe that the equations for the bosonic sector of the seven-dimensional supergravity do suggest some possible applications for an inflationary scenario, since there is a natural potential term, which comes directly from the higher dimensional theory. This feature will be the object of future analysis. I. INTRODUCTION. — L'étude d'une théorie supersymétrique locale à sept dimensions a été objet de plusieurs travaux ([1], [2], [3]). L'intérêt pour cette théorie est dû aux mêmes motivations qui ont conduit à la recherche des théories à plus de quatre dimensions, c'est-à-dire, des modèles géométriques simples pouvant fournir, après la compactification des dimensions supplémentaires, des modèles réalistes à quatre dimensions. Par des « modèles réalistes », nous entendons la classe des modèles qui ressemblent à l'observation, du moins en grosses lignes. Une des formulations de la théorie de Supergravité à sept dimensions [3], contenant deux champs de Rarita-Schwinger et deux champs de jauge couplés à des champs de matière, conduit à un résultat particulièrement intéressant : on peut obtenir la compactification des dimensions supplémentaires en une trois-sphère, avec un espace-temps de Minkowski, tout en gardant une supersymétrie résiduelle; Cela contraste avec les résultats habituels, où l'espace-temps est, en général, celui de anti-deSitter. Notre but est de chercher des solutions dynamiques dans le contexte de cette théorie. On ne considérera que le secteur bosonique, qui couple les équations d'Einstein à sept dimensions à d'autres champs, soit scalaires, soit du type maxwellien. Nous partons de l'hypothèse selon laquelle l'espace-temps total se scinde en deux espaces tridimensionnels chacun, en plus de la dimension temporelle, qui joue le rôle de paramètre dynamique pour l'évolution des facteurs d'échelle de ces espaces. Pour des raisons de consistance avec la configuration de l'espace-temps, certains champs seront absents. Les résultats montrent trois classes de solutions avec la compactification de trois des dimensions spatiales. Nous trouvons également une solution où telle compactification n'a pas lieu. Pour certains de ces cas, nous faisons une étude perturbative, cherchant à établir la dépendance de
tout en gardant une supersymétrie résiduelle; Cela contraste avec les résultats habituels, où l'espace-temps est, en général, celui de anti-deSitter. Notre but est de chercher des solutions dynamiques dans le contexte de cette théorie. On ne considérera que le secteur bosonique, qui couple les équations d'Einstein à sept dimensions à d'autres champs, soit scalaires, soit du type maxwellien. Nous partons de l'hypothèse selon laquelle l'espace-temps total se scinde en deux espaces tridimensionnels chacun, en plus de la dimension temporelle, qui joue le rôle de paramètre dynamique pour l'évolution des facteurs d'échelle de ces espaces. Pour des raisons de consistance avec la configuration de l'espace-temps, certains champs seront absents. Les résultats montrent trois classes de solutions avec la compactification de trois des dimensions spatiales. Nous trouvons également une solution où telle compactification n'a pas lieu. Pour certains de ces cas, nous faisons une étude perturbative, cherchant à établir la dépendance de l'évolution temporelle des petites fluctuations autour des solutions de base en fonction de la longueur d'onde de la perturbation. Nous terminerons par quelques remarques sur des applications possibles de ce modèle en cosmologie primordiale inflationniste. II. LE MODÈLE. La supergravité pure N = 2, D = 7 contient, à part le repère mobile à sept dimensions V, et les deux champs de Rarita-Schwinger IFA (i = 1, 2), un triplet de champs vectoriels AB7, une deux-forme BAB, un champ scalaire ϕ, et un spineur pseudo-Majorana J. Dans l'absence des champs spinoriels, les équations du champ suivantes pour le secteur bosonique sont : (1) RAB = (1/2) e2ϕ GACD GBCD + (5/4) ϕ, A ϕ, B (1/2) g AB □ ϕ, (2) □ ϕ = (2/15) e2ϕ GABC GABC, (3) (e2a GAN,A = 0. Dans le secteur bosonique, nous avons considéré uniquement la métrique gAB, la trois-forme GABC et le champ scalaire ϕ. Puisque nous cherchons des solutions compactifiées sous la forme R1 x R3 x S3, nous supposons que tous les autres champs s'annulent. Compte tenu de la compactification choisie, la métrique à sept dimensions aura la forme (4) ds2=gMidxi dxj-g12Vdx'xdxv -<S>2dxidxi, où M, N=1, 7j, v=1, .,4 et i=1,2,3.
le repère mobile à sept dimensions V, et les deux champs de Rarita-Schwinger IFA (i = 1, 2), un triplet de champs vectoriels AB7, une deux-forme BAB, un champ scalaire ϕ, et un spineur pseudo-Majorana J. Dans l'absence des champs spinoriels, les équations du champ suivantes pour le secteur bosonique sont : (1) RAB = (1/2) e2ϕ GACD GBCD + (5/4) ϕ, A ϕ, B (1/2) g AB □ ϕ, (2) □ ϕ = (2/15) e2ϕ GABC GABC, (3) (e2a GAN,A = 0. Dans le secteur bosonique, nous avons considéré uniquement la métrique gAB, la trois-forme GABC et le champ scalaire ϕ. Puisque nous cherchons des solutions compactifiées sous la forme R1 x R3 x S3, nous supposons que tous les autres champs s'annulent. Compte tenu de la compactification choisie, la métrique à sept dimensions aura la forme (4) ds2=gMidxi dxj-g12Vdx'xdxv -<S>2dxidxi, où M, N=1, 7j, v=1, .,4 et i=1,2,3. Ainsi, l'espace-temps total se scinde dans un espace-temps en quatre dimensions et un espace tridimensionnel compact. En mettant GABC sous la forme Gijk =f EU", (les autres composantes étant nulles), ayant défini +=1/2', 'l'=e2a et M=03, les équations [(1), (2), (3)] se réduisent alors à l'ensemble suivant : (5) Ruv=(1/4) M>(I, v (2/3 u2) u M, v + (5/4) e2 u M, v + (2/5) <ϕ>, (6) D u = (9/5) Ou, (7) □ *F + (1/M)WiP*F,p —(1/*F)*F p*F,p=(8/5)<ϕ>*F. Le champ ϕ reste, en principe, indéterminé, puisque son équation dynamique correspondante [équation (3)] est trivialement satisfaite. Néanmoins, si nous appliquons les identités de Bianchi à l'équation (5), on obtient l'équation dynamique pour le champ ϕ : (8) ^-((1)/«)«tl + 2((|&gt;/T)T, = 0. Nous analyserons maintenant ces équations dans le cas d'un Univers à 4 dimensions du type Friedmann-Robertson-Walker. III. SOLUTIONS COSMOLOGIQUES. — Nous admettons maintenant que la métrique quadridimensionnelle s'écrit comme il suit : (9) ds2 = dt2 -a(t)2(dx2 + dy2 + dz2). Dans ce cas, les équations (5) à (8) se réduisent au système d'équations différentielles non-linéaires couplées suivant : (10) 3 (ä/a) = — (üfu) + (2/3) (ù/u)2 — (5/4) (Ψ/Ψ)2 (2/ 5) <ϕ>, (11) (a/a) + 2