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associated with the Portevin-Le Chatelier (PLC) effect in a sample loaded at constant stress-rate is determined; it is shown that a non-local strain gradient model does not account for the observed experimental tendency. In fact, the computed velocity does not monotonically decrease with increasing stress-rate; on the contrary, a non-local cross-slip model does reproduce that trend. Approche non locale de type second gradient de la propagation des bandes de déformation Portevin-Le Châtelier Résumé — On détermine la vitesse de propagation des bandes de déformation plastique associées à l'effet Portevin-Le Châtelier (PLC) dans un matériau soumis à une traction simple à taux de contrainte imposé; on montre qu'un modèle non local de plasticité de type second gradient ne permet pas de rendre compte des observations expérimentales. En effet, la vitesse obtenue ne décroît pas de façon monotone lorsque la vitesse de chargement augmente; au contraire, un modèle d'interaction par glissement dévié est en accord avec cette tendance. Version française abrégée — L'identification des mécanismes d'interaction spatiale responsables de la propagation des bandes de déformation plastique localisée associées à l'effet PLC fait actuellement l'objet de controverses. Les modèles microscopiques locaux (Cottrell, 1953; Friedel, 1964) décrivant le vieillissement dynamique paraissent en tout état de cause incapables de rendre compte du phénomène de propagation de la déformation plastique. Intégrés dans une loi de comportement viscoplastique non linéaire du type (1) (Kubin-Estrin, 1985; Penning, 1972), ils permettent tout au plus une description qualitative correcte de la structure de déformation qui se substitue à la traction simple uniforme lorsque celle-ci est instable, c'est-à-dire dans la zone de sensibilité à la vitesse négative présentée par la fonction caractéristique F (fig. 1); en revanche, leur caractère local interdit la prévision quantitative de la vitesse de propagation. La Note (Jeanclaude-Fressengeas, 1992) a montré que l'interaction spatiale de pseudo-diffusion par double glissement dévié des dislocations vis pouvait être utilisée pour fournir une vitesse de bande en accord avec les données expérimentales (Chihab, 1986; Karimi, 1981). Une approche non locale concurrente, utilisée auparavant par (Zbib-Aifantis, 1988) dans le cadre d'une analyse linéarisée de type stabilité marginale (Dee-Langer, 1953), consiste à incorporer
de cause incapables de rendre compte du phénomène de propagation de la déformation plastique. Intégrés dans une loi de comportement viscoplastique non linéaire du type (1) (Kubin-Estrin, 1985; Penning, 1972), ils permettent tout au plus une description qualitative correcte de la structure de déformation qui se substitue à la traction simple uniforme lorsque celle-ci est instable, c'est-à-dire dans la zone de sensibilité à la vitesse négative présentée par la fonction caractéristique F (fig. 1); en revanche, leur caractère local interdit la prévision quantitative de la vitesse de propagation. La Note (Jeanclaude-Fressengeas, 1992) a montré que l'interaction spatiale de pseudo-diffusion par double glissement dévié des dislocations vis pouvait être utilisée pour fournir une vitesse de bande en accord avec les données expérimentales (Chihab, 1986; Karimi, 1981). Une approche non locale concurrente, utilisée auparavant par (Zbib-Aifantis, 1988) dans le cadre d'une analyse linéarisée de type stabilité marginale (Dee-Langer, 1953), consiste à incorporer un terme de second gradient de déformation dans la loi (1) sous la forme (2) (K est une constante), de manière à traduire un écrouissage non local faible, pour des interactions à courte distance (Aifantis, 1984; Kratochvil, 1988). Cette approche est reprise dans la présente Note à l'aide d'une analyse non linéaire, car la structure de déformation localisée est en général éloignée de l'état uniforme. La déformation plastique additionnelle est supposée faible et quasistatique, cependant que la perturbation de la vitesse de déformation plastique est en général finie. Tout effet de striction est négligé, et le modèle est entièrement exprimé par l'équation (3) où CJ0 est le taux de contraintes imposé, supposé constant. On montre (Zbib-Aifantis, 1988) que la traction uniforme (4) est instable dans la zone de sensibilité à la vitesse négative, et que la perturbation de la déformation (5) vérifie l'équation (6), ou encore (8) sous forme adimensionnelle. La recherche d'une onde de profil invariable (10) se propageant à la vitesse constante c conduit à l'équation ordinaire (11) ou, de manière équivalente, au système autonome (14) dans l'espace de phases (13) [la fonction f dépend implicitement de c d'après (12)]. Une condition nécessaire et suffisante pour que (14)
non linéaire, car la structure de déformation localisée est en général éloignée de l'état uniforme. La déformation plastique additionnelle est supposée faible et quasistatique, cependant que la perturbation de la vitesse de déformation plastique est en général finie. Tout effet de striction est négligé, et le modèle est entièrement exprimé par l'équation (3) où CJ0 est le taux de contraintes imposé, supposé constant. On montre (Zbib-Aifantis, 1988) que la traction uniforme (4) est instable dans la zone de sensibilité à la vitesse négative, et que la perturbation de la déformation (5) vérifie l'équation (6), ou encore (8) sous forme adimensionnelle. La recherche d'une onde de profil invariable (10) se propageant à la vitesse constante c conduit à l'équation ordinaire (11) ou, de manière équivalente, au système autonome (14) dans l'espace de phases (13) [la fonction f dépend implicitement de c d'après (12)]. Une condition nécessaire et suffisante pour que (14) admette une orbite fermée, et (8) une solution propageante (10), est exprimée par la nullité de l'intégrale (17). Cette condition fournit une équation non linéaire implicite en c qui est résolue numériquement pour la fonction caractéristique F relative à l'alliage Al-5% Mg fournie par Kubin et al., (1988) et représentée figure 1. Un exemple des orbites fermées obtenues est représenté sur la figure 2 pour une valeur donnée du taux de chargement; l'ensemble des valeurs calculées pour la vitesse de propagation est tracé sur la figure 3 en fonction du taux de contrainte appliqué, que l'on fait varier dans l'intervalle de sensibilité à la vitesse négative. Les résultats (Jeanclaude-Fressengeas, 1992) relatifs au glissement dévié sont rappelés sur la figure, ainsi que ceux de l'analyse de stabilité marginale (Zbib-Aifantis, 1988). On observe que l'hypothèse de stabilité marginale fournit des résultats voisins de ceux de la présente Note, mais qu'après une décroissance initiale aux faibles taux CJ0, la vitesse de bande augmente avec le taux de contraintes appliqué. Cette évolution se trouve être en contradiction avec la décroissance monotone fournie par les données expérimentales (Chihab, 1986; Karimi, 1981). Il semble donc que, contrairement au modèle de pseudo-diffusion par glissement dévié, les interactions
figure 1. Un exemple des orbites fermées obtenues est représenté sur la figure 2 pour une valeur donnée du taux de chargement; l'ensemble des valeurs calculées pour la vitesse de propagation est tracé sur la figure 3 en fonction du taux de contrainte appliqué, que l'on fait varier dans l'intervalle de sensibilité à la vitesse négative. Les résultats (Jeanclaude-Fressengeas, 1992) relatifs au glissement dévié sont rappelés sur la figure, ainsi que ceux de l'analyse de stabilité marginale (Zbib-Aifantis, 1988). On observe que l'hypothèse de stabilité marginale fournit des résultats voisins de ceux de la présente Note, mais qu'après une décroissance initiale aux faibles taux CJ0, la vitesse de bande augmente avec le taux de contraintes appliqué. Cette évolution se trouve être en contradiction avec la décroissance monotone fournie par les données expérimentales (Chihab, 1986; Karimi, 1981). Il semble donc que, contrairement au modèle de pseudo-diffusion par glissement dévié, les interactions spatiales faibles (2), de type second gradient, ne permettent pas de rendre compte de la propagation des bandes de déformation localisée PLC. Macroscopically, the constitutive equation which integrates this situation is of the form (Kubin-Estrin, 1985; Penning, 1972) cy = hE; + F(E;) where a denotes the uniaxial stress in the cross-section x of the sample, E is the plastic strain and e the plastic strain-rate. h is a constant hardening rate and F a characteristic cubic-shaped non-linear viscoplastic function which is plotted in figure 1 for a Al-5% Mg alloy; the curves are obtained from the model Kubin et al., (1988) which we use in this Note for a series of loading rates. On the descending branch, the strain rate sensitivity (SRS) is negative and the uniform plastic deformation is unstable; thus it is not actually attained (Kubin-Estrin, 1985). A non-uniform mode organized in propagating bands of localized deformation occurs instead. Despite the deficiencies of the constitutive law (1), which remain admissible at the small strains involved when a band is passing, the model (Kubin-Estrin, 1985) offers an adequate qualitative description of the PLC effect; however, due to the lack of any spatial interaction mechanism accounting for the propagation
the cross-section x of the sample, E is the plastic strain and e the plastic strain-rate. h is a constant hardening rate and F a characteristic cubic-shaped non-linear viscoplastic function which is plotted in figure 1 for a Al-5% Mg alloy; the curves are obtained from the model Kubin et al., (1988) which we use in this Note for a series of loading rates. On the descending branch, the strain rate sensitivity (SRS) is negative and the uniform plastic deformation is unstable; thus it is not actually attained (Kubin-Estrin, 1985). A non-uniform mode organized in propagating bands of localized deformation occurs instead. Despite the deficiencies of the constitutive law (1), which remain admissible at the small strains involved when a band is passing, the model (Kubin-Estrin, 1985) offers an adequate qualitative description of the PLC effect; however, due to the lack of any spatial interaction mechanism accounting for the propagation of the plastic deformation, the band velocity remains uncovered by the analysis. It has been shown (Jeanclaude and Fressengeas, 1992) that the double cross-slip of mobile screw dislocations may provide the interaction mechanism between adjacent elements which is needed in order to predict quantitatively the band velocity. An alternative attempt was made earlier by Zbib-Aifantis (1988); these authors incorporated higher order strain gradients in the constitutive law in the form where K is a constant. The gradient term is meant to represent the non-local hardening which stems from the non-uniform distribution of the dislocation structures (Aifantis, 1984; Kratochvil, 1988); it reflects short-distance interactions. In Zbib-Aifantis (1988), the bands velocity under constant stress-rate was derived on the basis of the linear marginal stability hypothesis (Dee-Langer, 1953). The predicted velocity first decreases, then increases as the imposed stress-rate is increased through the range of negative SRS, which is at odds with the experimental evidence, i.e.: the bands velocity decreases monotonically (Chihab, 1986; Karimi, 1981). Such a flawed prediction may stem either from the linearity of the marginal stability analysis (the perturbations are generally not small with respect to the uniform solution) or from the assumed non-local form (2) of the constitutive equation.
was made earlier by Zbib-Aifantis (1988); these authors incorporated higher order strain gradients in the constitutive law in the form where K is a constant. The gradient term is meant to represent the non-local hardening which stems from the non-uniform distribution of the dislocation structures (Aifantis, 1984; Kratochvil, 1988); it reflects short-distance interactions. In Zbib-Aifantis (1988), the bands velocity under constant stress-rate was derived on the basis of the linear marginal stability hypothesis (Dee-Langer, 1953). The predicted velocity first decreases, then increases as the imposed stress-rate is increased through the range of negative SRS, which is at odds with the experimental evidence, i.e.: the bands velocity decreases monotonically (Chihab, 1986; Karimi, 1981). Such a flawed prediction may stem either from the linearity of the marginal stability analysis (the perturbations are generally not small with respect to the uniform solution) or from the assumed non-local form (2) of the constitutive equation. A non-linear analysis is carried out in this Note to gain a better understanding of the issue. 2. MECHANICAL MODEL. — The plastic deformation is assumed to be small and quasistatic; any cross-section reduction due to necking is neglected. Under a constant stress-rate loading, the model is expressed by the single partial differential equation where CT0 denotes the constant stress-rate. The equation (3) admits the uniform solution which is the uniaxial simple tension. A linearized stability analysis (Zbib-Aifantis, 1988) shows that it is unstable in the range of negative SRS, which is the situation we assume in the rest of this Note. Using non-linear perturbation u in the plastic deformation one may rewrite equation (3) as In order to obtain a dimensionless equation, we define the non-dimensional quantities where L and AF denote respectively the length of the specimen and the stress difference between the extrema of the characteristic function F. The governing equation (6) is now with the non-dimensional quantities K characterizes the "non-locality" of the constitutive law; it can be thought of as being a small parameter in the context of elastic interactions between dislocations, but this is not mandatory in what follows. Equation (8) is usually referred
single partial differential equation where CT0 denotes the constant stress-rate. The equation (3) admits the uniform solution which is the uniaxial simple tension. A linearized stability analysis (Zbib-Aifantis, 1988) shows that it is unstable in the range of negative SRS, which is the situation we assume in the rest of this Note. Using non-linear perturbation u in the plastic deformation one may rewrite equation (3) as In order to obtain a dimensionless equation, we define the non-dimensional quantities where L and AF denote respectively the length of the specimen and the stress difference between the extrema of the characteristic function F. The governing equation (6) is now with the non-dimensional quantities K characterizes the "non-locality" of the constitutive law; it can be thought of as being a small parameter in the context of elastic interactions between dislocations, but this is not mandatory in what follows. Equation (8) is usually referred to as a Rayleigh equation; differentiating (8) with respect to time and placing v = u leads equivalently to a Lienard equation in v. Since we look for propagative solutions to (8), periodicity conditions at infinity will be substituted to boundary conditions. 3. PROPAGATIVE SOLUTIONS. A solution to equation (8) is looked for in the form of a wave travelling at a constant velocity c with a constant profile The sign ('') denotes the differentiation with respect to ç. Equation (8) then reduces to the ordinary differential equation where the function f depends implicitly on the velocity c since Note that (11) can be interpreted as the equation of motion for a sliding solid of mass K whose "position" u is a function of "time" ç. The solid undergoes the action of a linear spring with a unit elastic constant and of a non-linear friction force f (u ). Our problem consists in finding c and f such that a periodic motion for the solid exists. Using the phase variables (Ul' u2) the equation (11) is equivalent to the autonomous set Combining (14-1) and (14-2) it follows that Integrating (15) along a path (y) between two points A, B of
is looked for in the form of a wave travelling at a constant velocity c with a constant profile The sign ('') denotes the differentiation with respect to ç. Equation (8) then reduces to the ordinary differential equation where the function f depends implicitly on the velocity c since Note that (11) can be interpreted as the equation of motion for a sliding solid of mass K whose "position" u is a function of "time" ç. The solid undergoes the action of a linear spring with a unit elastic constant and of a non-linear friction force f (u ). Our problem consists in finding c and f such that a periodic motion for the solid exists. Using the phase variables (Ul' u2) the equation (11) is equivalent to the autonomous set Combining (14-1) and (14-2) it follows that Integrating (15) along a path (y) between two points A, B of the phase plane, one obtains A necessary and sufficient condition that (y) be a closed path is therefore (Lasalle, 1949) Whenever (17) is fulfilled, equation (11) has a periodic solution and equation (8) a propagative one. The velocity c is determined from (14) and (17) as follows: for a given value c, a path (y) is obtained from the numerical integration of (14). Equation (17) is then checked and c is modified in (14) if necessary, until the desired accuracy is obtained. Since a periodic orbit of (11) is globally stable (Lasalle, 1949), the procedure converges rapidly. An example of such a periodic cycle in the phase space is given in figure 2. 4. RESULTS AND DISCUSSION. — The results obtained from the second gradient model when use is made of the characteristic function F already employed in Jeanclaude and Fressengeas (1992) are plotted in figure 3, together with those from the marginal stability approach (Zbib-Aifantis, 1988) and from the cross-slip analysis (Jeanclaude and Fressengeas, 1992). It can be seen that, despite strong non-linearities, the marginal stability hypothesis applies quite successfully to this problem; actually, the tendencies it predicts are fairly close to those emerging from the present non-linear "exact"
value c, a path (y) is obtained from the numerical integration of (14). Equation (17) is then checked and c is modified in (14) if necessary, until the desired accuracy is obtained. Since a periodic orbit of (11) is globally stable (Lasalle, 1949), the procedure converges rapidly. An example of such a periodic cycle in the phase space is given in figure 2. 4. RESULTS AND DISCUSSION. — The results obtained from the second gradient model when use is made of the characteristic function F already employed in Jeanclaude and Fressengeas (1992) are plotted in figure 3, together with those from the marginal stability approach (Zbib-Aifantis, 1988) and from the cross-slip analysis (Jeanclaude and Fressengeas, 1992). It can be seen that, despite strong non-linearities, the marginal stability hypothesis applies quite successfully to this problem; actually, the tendencies it predicts are fairly close to those emerging from the present non-linear "exact" analysis. However, as already emphasized above, experimental data indicate that the band velocity decreases monotonically as the stress rate increases throughout the range of negative SRS (Chihab, 1986; Karimi, 1981). Clearly, this is not what is obtained from the second gradient model; thus it seems that the cross-slip mechanism should be favoured over the second gradient form in interpreting the PLC phenomenon. Note remise le 7 janvier 1993, acceptée le 12 février 1993. REFERENCES E. C. AIFANTIS, On the microstructural origin of certain inelastic models, Trans. ASME, J. Eng. Mat. Tech., 106, 1984, pp. 326-330. K. CHIHAB, Thesis, Poitiers, 1986. A. H. COTTRELL, Dislocations and plastic flow in crystals, Clarendon Press, Oxford, 1953. G. DEE and J. S. LANGER, Propagating pattern selection, Phys. Rev. Lett., 50, 1983, pp. 383-386. J. FRIEDEL, Dislocations, Pergamon Press, Oxford, 1964. V. JEANCLAUDE and C. FRESSENGEAS, Propagation des bandes de déformation Portevin-Le Châtelier, C. R. Acad. Sci. Paris, 315, Series II, 1992, pp. 7-13. A. KARIMI, Thesis, ENS des Mines, Paris, 1981. J. KRATOCHVIL, Dislocation pattern formation in metals, Rev. Phys. Appl., 23, 1988, pp. 419-429. L. P. KUBIN, K. CHIHAB and Y. ESTRIN, The rate-dependence of the Portevin-Le Chatelier effect, Acta Metall., 36, 1988,