jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
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1986, p. 376-388. F. WHITE, The vegetation of Africa, Publ. UNESCO, Paris, 20, 1983, 356 p. I. S. Ugandan Geological Survey and Mines Department, PO Box 9, Entebbe, Ouganda; A. V. Géologie du Quaternaire, CNRS, Case 907, Luminy, 13288 Marseille Cedex 9, France. Thus, in this Note, we introduce a "minimal" liquid-gas model which we feel is simpler in both respects. This simplification is necessary for deriving the complete hydrodynamic equations and extending the model to three dimensions. Our starting point is a non-interacting lattice gas in D dimensions of space. This lattice gas will be of the FHP type in 2D or any of the proposed 3 and 4D extensions. In these models, particles exchange momentum only through a local collision operator Ct. We will systematically follow the notations of [10] or [11] when necessary. The configuration of a site is a boolean vector s = (n_i)-b≦i≦b' where b = 2b'+ 1 is the number of particles. For simplicity, we choose to have one particle at rest. For all i, the velocity vectors are labelled so that they obey ci = c_i. The model evolves in three steps: collisions, interactions, and propagation. The collision and propagation steps are well known. We will designate s' = C(s) the post-collisional state. In the interaction step, we attempt a non-local exchange of momentum between sites: For all pairs of sites separated by a distance r, two centrifugal particles (full lines on figure) are sent back towards each other (dashed lines). The corresponding boolean expression for sites x, x + rCi is equation (1). The microdynamical evolution equation is (2). It is easy to verify that the right-hand side of (2) is always 0 or 1. Notice also that unlike the maximal model of [4] interactions in directions C_i are independent of each other. The evolution operator of equation (2) conserves particle number and total momentum of the pair. Moreover, all homogeneous distributions that are factorized on states are left locally invariant by the interactions. This is true in particular for Fermi-Dirac distributions. However, correlations are created between interacting sites; they are decreased
known. We will designate s' = C(s) the post-collisional state. In the interaction step, we attempt a non-local exchange of momentum between sites: For all pairs of sites separated by a distance r, two centrifugal particles (full lines on figure) are sent back towards each other (dashed lines). The corresponding boolean expression for sites x, x + rCi is equation (1). The microdynamical evolution equation is (2). It is easy to verify that the right-hand side of (2) is always 0 or 1. Notice also that unlike the maximal model of [4] interactions in directions C_i are independent of each other. The evolution operator of equation (2) conserves particle number and total momentum of the pair. Moreover, all homogeneous distributions that are factorized on states are left locally invariant by the interactions. This is true in particular for Fermi-Dirac distributions. However, correlations are created between interacting sites; they are decreased by subsequent propagation and collision steps. This allows us to write the discrete Boltzmann equation (3), involving the interaction operators given in (4) where we have introduced an interaction probability 0 ≤ j ≤ 1. We perform a classical multiple-scale expansion, assuming that the densities of mass p and momentum pu vary slowly. Note présentée par Henri CABANNES. 0764-4450/93/03160569 $ 2.00 0 Académie des Sciences We use as a starting point the Fermi-Dirac distribution in equation (7). Symmetries impose on higher order terms the form (8). The first order equation can be written as (14). The usual solvability condition then yields in the long time limit the Euler and mass conservation equations (15)-(20). The galilean factor gz(ρ), the pressure pz(ρ, u2) and the speed of sound C'(p) are computed as functions of an "interaction strength" z = μ r. Once the solvability condition is satisfied, projection onto eigen vectors yield A,v|/ = D/ m and X c,b,m = - 1/jb2 as in the model without interactions. The Navier-Stokes equations and the viscosity coefficients are given in (21)-(25). The contributions of the interactions to the viscosity turn out to be independent of the local collision operator. We performed preliminary numerical simulations
pu vary slowly. Note présentée par Henri CABANNES. 0764-4450/93/03160569 $ 2.00 0 Académie des Sciences We use as a starting point the Fermi-Dirac distribution in equation (7). Symmetries impose on higher order terms the form (8). The first order equation can be written as (14). The usual solvability condition then yields in the long time limit the Euler and mass conservation equations (15)-(20). The galilean factor gz(ρ), the pressure pz(ρ, u2) and the speed of sound C'(p) are computed as functions of an "interaction strength" z = μ r. Once the solvability condition is satisfied, projection onto eigen vectors yield A,v|/ = D/ m and X c,b,m = - 1/jb2 as in the model without interactions. The Navier-Stokes equations and the viscosity coefficients are given in (21)-(25). The contributions of the interactions to the viscosity turn out to be independent of the local collision operator. We performed preliminary numerical simulations of the model in 2D. We restricted ourselves to a 2D collision-saturated model [10]. The model can be coded with communication restricted to nearest neighbours only, then implemented on special purpose machines like RAP1 [13]. We introduce massless messenger particles, or photons, which propagate in r "micro-time steps" of duration δt = 1/(r+1). The photons are emitted with the condition Pi(x, t) = ni'(x, t)n'_i(x, t) where t is integer. Then they propagate: pt (x + Ci, t' + δt) = pi(x, t') where t' is fractional. After r micro-time steps, photons are absorbed and momentum is exchanged if condition (26) is realized. The propagation of particles takes one additional micro-time step. Thus, we need r+ 1 micro-time steps for evolution. The coding requires 12 bits for photons and particles and one bit for the determination of the outcome of multiple output collisions in FHP. This leaves three bits which allows counting of the micro-time steps from zero to 7. From equation (20), we find that the model has a phase transition for r = 7. We have indeed observed the expected spinodal decomposition. Finally, we note that on general purpose computers, the boolean operations (2) may be coded directly
δt = 1/(r+1). The photons are emitted with the condition Pi(x, t) = ni'(x, t)n'_i(x, t) where t is integer. Then they propagate: pt (x + Ci, t' + δt) = pi(x, t') where t' is fractional. After r micro-time steps, photons are absorbed and momentum is exchanged if condition (26) is realized. The propagation of particles takes one additional micro-time step. Thus, we need r+ 1 micro-time steps for evolution. The coding requires 12 bits for photons and particles and one bit for the determination of the outcome of multiple output collisions in FHP. This leaves three bits which allows counting of the micro-time steps from zero to 7. From equation (20), we find that the model has a phase transition for r = 7. We have indeed observed the expected spinodal decomposition. Finally, we note that on general purpose computers, the boolean operations (2) may be coded directly with little cost in any dimension. This may be useful for binary fluid models using coloured particles, or for models which have other kinds of interactions such as the model of [14]. La possibilité de réaliser des transitions de phase dans les modèles de gaz sur réseau du type FHP [1] a été reconnue récemment ([2], [3], [4]). Outre son intérêt propre pour la mécanique statistique [5], elle permet de nombreuses applications aux écoulements interfaciaux ([6], [7]). Cependant, en général, aussi bien la théorie [8] que la réalisation sur des calculateurs électroniques est rendue difficile par la complexité des modèles. Interaction dans la direction i. L'étape de collision est classique et fait intervenir des échanges d'impulsion locaux entre particules définis par un opérateur ϵ. L'état post-collisionnel est s' = C(s). Dans l'étape d'interaction, nous cherchons à réaliser des échanges d'impulsion non locaux. Nous recherchons toutes les paires de particules à une certaine distance fixée r qui comportent deux particules « centrifuges », en trait continu sur la figure, et nous les ramenons sur les directions en traits pointillés. La condition y, de réalisation de cette interaction sur la paire de sites s(x), y(x + rci) s écrit en variables booléennes
[1] a été reconnue récemment ([2], [3], [4]). Outre son intérêt propre pour la mécanique statistique [5], elle permet de nombreuses applications aux écoulements interfaciaux ([6], [7]). Cependant, en général, aussi bien la théorie [8] que la réalisation sur des calculateurs électroniques est rendue difficile par la complexité des modèles. Interaction dans la direction i. L'étape de collision est classique et fait intervenir des échanges d'impulsion locaux entre particules définis par un opérateur ϵ. L'état post-collisionnel est s' = C(s). Dans l'étape d'interaction, nous cherchons à réaliser des échanges d'impulsion non locaux. Nous recherchons toutes les paires de particules à une certaine distance fixée r qui comportent deux particules « centrifuges », en trait continu sur la figure, et nous les ramenons sur les directions en traits pointillés. La condition y, de réalisation de cette interaction sur la paire de sites s(x), y(x + rci) s écrit en variables booléennes : La nouvelle configuration après propagation est donnée par : On vérifie aisément que le membre de droite de l'équation ci-dessus est toujours 0 ou 1. Contrairement au modèle de [4], les interactions dans la direction des vecteurs Cti sont indépendantes des autres directions du réseau. Ce modèle constitue un modèle minimal par rapport aux modèles plus riches en interactions définis dans [4] ou [12]. Une propriété importante des interactions de l'équation (2) est que le nombre de particules et l'impulsion totale de la paire en interaction restent inchangées. De plus ces interactions laissent localement invariantes toutes les distributions homogènes et factorisées sur les états c'est-à-dire celles pour lesquelles les probabilités d'occupation des états sont statistiquement indépendantes en un site donné. Cela est vrai a fortiori pour les distributions de Fermi-Dirac homogènes [11], Des corrélations sont cependant créées entre les sites qui interagissent, mais elles diminuent ensuite lors des étapes de propagation et de collision. Cette propriété d'invariance des distributions n'était pas satisfaite par les modèles des références [2] ou [4]. Elle nous permet d'écrire une équation de Boltzmann discrète, pendant de l'équation (2) : (3) Ni (x + ci, t + 1) = Ni (x, t) + ∆i.[N] +
modèle minimal par rapport aux modèles plus riches en interactions définis dans [4] ou [12]. Une propriété importante des interactions de l'équation (2) est que le nombre de particules et l'impulsion totale de la paire en interaction restent inchangées. De plus ces interactions laissent localement invariantes toutes les distributions homogènes et factorisées sur les états c'est-à-dire celles pour lesquelles les probabilités d'occupation des états sont statistiquement indépendantes en un site donné. Cela est vrai a fortiori pour les distributions de Fermi-Dirac homogènes [11], Des corrélations sont cependant créées entre les sites qui interagissent, mais elles diminuent ensuite lors des étapes de propagation et de collision. Cette propriété d'invariance des distributions n'était pas satisfaite par les modèles des références [2] ou [4]. Elle nous permet d'écrire une équation de Boltzmann discrète, pendant de l'équation (2) : (3) Ni (x + ci, t + 1) = Ni (x, t) + ∆i.[N] + Γi[N']-Γ,[N'] où ri est une fonction non locale de la distribution N' après collision, qui correspond à l'opérateur microdynamique γi : (4) R,. [N'] = 11 (1 N; (x)) N'_(x) ( 1 N'_ ,(x + R C,.)) N; (X + R C,.), (5) N' = N + ∆ [N], où 0; < 1; < 1 est la probabilité d'effectuer l'interaction (2). 2. DÉRIVATION DES ÉQUATIONS HYDRODYNAMIQUES. Nous recherchons des solutions de l'équation (3) sous forme d'un développement de Chapman-Enskog. Ces solutions s'écrivent : (6) N = N(0) + N(1) + N(2)+. où N(n) = O((∂α)n) et la solution d'équilibre de Fermi-Dirac s'écrit avec des notations classiques [10] Comme dans le modèle sans interaction [10] les symétries et lois de conservation imposent aux termes du premier ordre la forme : où et seront déterminés plus bas. L'opérateur de collision A linéarisé au voisinage de l'équilibre est : Soit la valeur propre de A associée au vecteur propre Qiαβ. De (8) et (9) il vient : Le développement de Chapman-Enskog, ou en puissance du gradient, pour les interactions ûi= rîr -î peut être obtenu par un développement multi-échelle classique où chaque terme est d'ordre (S ((∂α)x). En effet pour des distributions spatialement
0; < 1; < 1 est la probabilité d'effectuer l'interaction (2). 2. DÉRIVATION DES ÉQUATIONS HYDRODYNAMIQUES. Nous recherchons des solutions de l'équation (3) sous forme d'un développement de Chapman-Enskog. Ces solutions s'écrivent : (6) N = N(0) + N(1) + N(2)+. où N(n) = O((∂α)n) et la solution d'équilibre de Fermi-Dirac s'écrit avec des notations classiques [10] Comme dans le modèle sans interaction [10] les symétries et lois de conservation imposent aux termes du premier ordre la forme : où et seront déterminés plus bas. L'opérateur de collision A linéarisé au voisinage de l'équilibre est : Soit la valeur propre de A associée au vecteur propre Qiαβ. De (8) et (9) il vient : Le développement de Chapman-Enskog, ou en puissance du gradient, pour les interactions ûi= rîr -î peut être obtenu par un développement multi-échelle classique où chaque terme est d'ordre (S ((∂α)x). En effet pour des distributions spatialement homogènes la valeur de Γ est obtenue en fixant r à zéro. On a alors : (11) Γ(M)r=0 = 0 pour une distribution M quelconque. Il est équivalent de développer f en puissance du gradient ou dans un développement de Taylor-Maclaurin par rapport à r : où précisément (rn/n !) (∂n Γ ∂rn) = O ((∂α)n). A l'ordre 1, en utilisant (11) il vient : Suite à la symétrie des termes en T, et en r-i, l'équation du premier ordre s'écrit : Une condition de solubilité est obtenue en multipliant l'équation (14) par les vecteurs propres de masse (1, ., 1) et d'impulsion Ciα. Pour la masse on obtient à la limite des temps longs l'équation habituelle : (15) ∂1ρua + ∂β [ρuα wp] = 0. Pour l'impulsion : De (7) et (16) il vient l'équation d'Euler : (17) ∂1ρua + ∂β [gμρ (ρ) p ua wp] = 0. Les grandeurs d'équilibre s'expriment en fonction du paramètre d'interaction z = μ r La vitesse du son est bien c2z = αp/αp. Pour r = 0 on retrouve les valeurs obtenues pour le gaz sans interaction. On discutera plus bas le comportement du modèle pour r> 0. Lorsque l'équation d'Euler est
(∂n Γ ∂rn) = O ((∂α)n). A l'ordre 1, en utilisant (11) il vient : Suite à la symétrie des termes en T, et en r-i, l'équation du premier ordre s'écrit : Une condition de solubilité est obtenue en multipliant l'équation (14) par les vecteurs propres de masse (1, ., 1) et d'impulsion Ciα. Pour la masse on obtient à la limite des temps longs l'équation habituelle : (15) ∂1ρua + ∂β [ρuα wp] = 0. Pour l'impulsion : De (7) et (16) il vient l'équation d'Euler : (17) ∂1ρua + ∂β [gμρ (ρ) p ua wp] = 0. Les grandeurs d'équilibre s'expriment en fonction du paramètre d'interaction z = μ r La vitesse du son est bien c2z = αp/αp. Pour r = 0 on retrouve les valeurs obtenues pour le gaz sans interaction. On discutera plus bas le comportement du modèle pour r> 0. Lorsque l'équation d'Euler est satisfaite on peut inverser (14). Après quelques calculs il vient λψ = D/bm et X cmbm = 1/(bm + 1)2 comme dans le modèle sans interactions. Les termes d'interaction à l'ordre 2 sont Appliquant la condition de solubilité à l'ordre 2 on trouve : Dans ces expressions v0 et Ç0 sont les viscosités des modèles sans interactions. D'autre part les corrections apportées par les interactions ne dépendent pas de l'opérateur de collision W choisi. La dépendance en r2 de ces corrections suggère une croissance rapide des effets visqueux aux grandes valeurs de r. Cette dépendance a été observée [12] dans des simulations des modèles plus complexes définis dans [4]. 3. MISE EN ŒUVRE. — Nous avons effectué des simulations numériques préliminaires d'un modèle avec interaction simplifiée à 2 D. Nous nous sommes restreints à un modèle à six vitesses saturé en collisions [10]. Pour coder ce modèle sur des machines spécialisées dans le traitement des réseaux d'automates telles que RAPI [13], nous avons introduit des particules transportant l'impulsion mais non la masse que nous appellerons des photons. Pour cela on divise le pas de temps ordinaire en « micro-pas » Ô/=l/(r+l). Après chaque étape de collision décrite par l'opérateur rc,
sont les viscosités des modèles sans interactions. D'autre part les corrections apportées par les interactions ne dépendent pas de l'opérateur de collision W choisi. La dépendance en r2 de ces corrections suggère une croissance rapide des effets visqueux aux grandes valeurs de r. Cette dépendance a été observée [12] dans des simulations des modèles plus complexes définis dans [4]. 3. MISE EN ŒUVRE. — Nous avons effectué des simulations numériques préliminaires d'un modèle avec interaction simplifiée à 2 D. Nous nous sommes restreints à un modèle à six vitesses saturé en collisions [10]. Pour coder ce modèle sur des machines spécialisées dans le traitement des réseaux d'automates telles que RAPI [13], nous avons introduit des particules transportant l'impulsion mais non la masse que nous appellerons des photons. Pour cela on divise le pas de temps ordinaire en « micro-pas » Ô/=l/(r+l). Après chaque étape de collision décrite par l'opérateur rc, on se trouve au temps t. La condition d'émission d'un photon dans la direction i est : pi (x, t) = n; (x, t) n'-i(x, 1) pour un temps entier t. Les photons sont ensuite propagés : Pi (x + ci, t' + δt)= pi (x, t') où est un temps fractionnaire. Après r micro-pas, les photons peuvent être absorbés si la condition d'interaction ci-dessous est vérifiée : Il faut encore un micro-pas de temps pour propager les particules. L'algorithme nécessite sur chaque site 12 variables booléennes pour les particules et les photons, et une pour la détermination du choix entre les états de sortie multiples apparaissant dans les modèles du type FHP. Comme nous sommes limités à 16 bits par site sur un RAP1, cela laisse trois variables booléennes disponibles pour "compter" les micro-pas de temps jusqu'à r+1. La distance maximale d'interaction du modèle est donc r = 7. A cette distance le graphe de la fonction d'état p7μ(ρ) présente une pente négative ce qui permet de prédire une transition de phase. On observe une telle transition, caractérisée par une décomposition spinodale semblable à celle observée pour les modèles de la référence [4]. La propagation explicite des photons utilisée
temps fractionnaire. Après r micro-pas, les photons peuvent être absorbés si la condition d'interaction ci-dessous est vérifiée : Il faut encore un micro-pas de temps pour propager les particules. L'algorithme nécessite sur chaque site 12 variables booléennes pour les particules et les photons, et une pour la détermination du choix entre les états de sortie multiples apparaissant dans les modèles du type FHP. Comme nous sommes limités à 16 bits par site sur un RAP1, cela laisse trois variables booléennes disponibles pour "compter" les micro-pas de temps jusqu'à r+1. La distance maximale d'interaction du modèle est donc r = 7. A cette distance le graphe de la fonction d'état p7μ(ρ) présente une pente négative ce qui permet de prédire une transition de phase. On observe une telle transition, caractérisée par une décomposition spinodale semblable à celle observée pour les modèles de la référence [4]. La propagation explicite des photons utilisée sur la machine RAP1 n'est pas nécessaire sur les calculateurs électroniques classiques, qui peuvent effectuer l'évaluation directe (c'est-à-dire sans tables) du membre de droite de (2) en un seul pas de temps. Cette évaluation ne requiert qu'un petit nombre d'opérations élémentaires par direction, et nécessite un effort de calcul inférieur à celui exigé pour le calcul de l'opérateur W sans interactions. On peut donc envisager de réaliser le modèle à D = 3 sans difficultés particulières. Notons aussi que les principes des interactions ci-dessus peuvent être étendus à des modèles colorés. Dans ces modèles les tables de collisions à plusieurs couleurs sont difficiles à manipuler. Cette difficulté peut être évitée par des interactions du type de la figure. Enfin, le formalisme présenté ici pourrait sans doute s'appliquer à d'autres modèles avec des interactions à distance comme les vols de Levy introduits par Hayot [14]. Note remise le 10 septembre 1992, acceptée après révision le 8 janvier 1993. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] U. FRISCH, B. HASSLACHER et Y. POMEAU, Phys. Rev. Lett., 56, 1986, p. 1505-1508. [2] D. H. ROTHMAN et J. M. KELLER, J. Stat. Phys., 52, 1988, p. 1119-1127. [3] H. CHEN, S. CHEN, G. D. DOOLEN, Y. C. LEE