jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
doit donc admettre qu'en général 1e1) est différent de zéro. Pour nous rendre compte de la variation de l'angle ex, considérons l'expression de 2yj'2, qui représente la somme des carrés des écarts mesurés perpendiculairement à la direction de l'axe G', incliné de l'angle ex sur la direction de l'axe des faisons y varier l'angle ex, nous aurons en différentiant d'où nous conclurons que 2yj'2, sans cesser de rester un minimum, comme nous l'avons vu plus haut, passe par un maximum ou un minimum pour les valeurs de a qui satisfont à l'équation sin 2a [sp - V] - 2 cos 2a Zfr = 0, ou Il y a donc deux angles 2a, ou quatre angles a, qui déterminent un système d'axes rectangulaires unique, tel que les sommes des carrés des écarts estimés parallèlement à ces axes sont les plus grandes ou les plus petites possible. Soit a0 un des angles pour lequel on a ce sera, par exemple, le plus petit des quatre, il en résultera: cos2 a = cos2 a. Il est évident que, dans le cas où l'on aurait A2 = B2, et seulement dans ce cas particulier, les sommes 2 et 2y2 pourront être regardées comme indépendantes, quel que soit le système d'axes rectangulaires auxquels les écarts sont rapportés. Les considérations, que nous venons de développer, sont importantes, parce qu'elles démontrent l'erreur de principe que l'on commet habituellement dans les applications à l'artillerie, en admettant comme indépendants les écarts parallèles aux axes quelconques, auxquels on a rapporté les positions des points observés. Cette indépendance n'existe que si les axes sont ceux pour lesquels les sommes des carrés des écarts sont A2 et B2. Les axes déterminés par l'angle a0, calculé plus haut, pourraient s'appeler axes de groupement des points observés; et il est à peine besoin de faire remarquer qu'ils coïncident avec les axes principaux d'inertie du système formé par ces points. Revenons à la formule, divisons tous les termes par n - 1, et posons a, b et hw seront les écarts moyens des observations mesurés parallèlement à l'axe Gl, à l'axe G2, et à la
quel que soit le système d'axes rectangulaires auxquels les écarts sont rapportés. Les considérations, que nous venons de développer, sont importantes, parce qu'elles démontrent l'erreur de principe que l'on commet habituellement dans les applications à l'artillerie, en admettant comme indépendants les écarts parallèles aux axes quelconques, auxquels on a rapporté les positions des points observés. Cette indépendance n'existe que si les axes sont ceux pour lesquels les sommes des carrés des écarts sont A2 et B2. Les axes déterminés par l'angle a0, calculé plus haut, pourraient s'appeler axes de groupement des points observés; et il est à peine besoin de faire remarquer qu'ils coïncident avec les axes principaux d'inertie du système formé par ces points. Revenons à la formule, divisons tous les termes par n - 1, et posons a, b et hw seront les écarts moyens des observations mesurés parallèlement à l'axe Gl, à l'axe G2, et à la direction définie par l'angle a0. Ces quantités seront liées par la relation. Divisons de même tous les termes de cette dernière équation par n, et posons A, b et v+ seront les écarts moyens de la position du point cherché, quand on le place au centre de gravité G des points observés. Ces écarts moyens sont mesurés parallèlement à l'axe G1, à l'axe G2, et à la direction définie par l'angle a0; et l'on aura entre eux la relation. Les valeurs des écarts moyens a, b, h, et celles des écarts moyens X, Y, Z ne peuvent être qu'approximatives et nous verrons plus loin quel parti l'on en peut tirer pour appliquer le calcul des probabilités à la question qui nous occupe. Mais il est essentiel d'insister sur cette remarque que a et b sont des quantités indépendantes entre elles, comme les quantités A et B dont elles dérivent, et qu'il en est de même des quantités X et Y. Les écarts moyens a et b, ainsi que les écarts moyens X et Y, sont les seuls qui jouissent de cette propriété d'être indépendants l'un de l'autre. Le problème de la détermination d'un point de l'espace, pour lequel des observations
points observés. Ces écarts moyens sont mesurés parallèlement à l'axe G1, à l'axe G2, et à la direction définie par l'angle a0; et l'on aura entre eux la relation. Les valeurs des écarts moyens a, b, h, et celles des écarts moyens X, Y, Z ne peuvent être qu'approximatives et nous verrons plus loin quel parti l'on en peut tirer pour appliquer le calcul des probabilités à la question qui nous occupe. Mais il est essentiel d'insister sur cette remarque que a et b sont des quantités indépendantes entre elles, comme les quantités A et B dont elles dérivent, et qu'il en est de même des quantités X et Y. Les écarts moyens a et b, ainsi que les écarts moyens X et Y, sont les seuls qui jouissent de cette propriété d'être indépendants l'un de l'autre. Le problème de la détermination d'un point de l'espace, pour lequel des observations d'égale précision auraient fourni différentes positions, se traiterait d'une façon analogue à celui de la détermination d'un point dans un plan. Après avoir calculé les coordonnées du centre de gravité des points observés, il faudrait déterminer les trois axes de symétrie du système formé par ces points, ou, ce qui revient au même, ses trois axes principaux d'inertie, et enfin calculer comme plus haut, en les rapportant à ces trois derniers axes, les écarts moyens des observations, ainsi que les écarts moyens à craindre sur les positions du point cherché, quand on le suppose confondu avec le centre de gravité. La solution de cette question, qui ne diffère pas au fond de celle de la détermination des axes principaux d'inertie en mécanique, dépend comme cette dernière de la résolution d'une équation du troisième degré. Les écarts moyens parallèles aux trois axes principaux d'inertie seront les seuls indépendants des sommes des produits des écarts 2 £ irj, StjÇ, , et les seuls que, par suite, l'on sera en droit de considérer comme indépendants entre eux. Le mode de solution, que nous venons d'indiquer, trouvera son application en artillerie dans les questions relatives au tir fusant, lorsqu'on aura à déterminer la position
revient au même, ses trois axes principaux d'inertie, et enfin calculer comme plus haut, en les rapportant à ces trois derniers axes, les écarts moyens des observations, ainsi que les écarts moyens à craindre sur les positions du point cherché, quand on le suppose confondu avec le centre de gravité. La solution de cette question, qui ne diffère pas au fond de celle de la détermination des axes principaux d'inertie en mécanique, dépend comme cette dernière de la résolution d'une équation du troisième degré. Les écarts moyens parallèles aux trois axes principaux d'inertie seront les seuls indépendants des sommes des produits des écarts 2 £ irj, StjÇ, , et les seuls que, par suite, l'on sera en droit de considérer comme indépendants entre eux. Le mode de solution, que nous venons d'indiquer, trouvera son application en artillerie dans les questions relatives au tir fusant, lorsqu'on aura à déterminer la position d'un point d'éclatement en l'air d'après un certain nombre d'observations. On démontre, dans tous les traités de calcul des probabilités, que la probabilité de commettre une erreur, comprise entre les limites — x et + x, sur la mesure d'une grandeur X, est représentée par l'intégrale définie dans laquelle z est le rapport de la circonférence au diamètre, e la base des logarithmes népériens et h une constante caractéristique du degré d'exactitude des observations. Cette constante est, en effet, déterminée par la relation où a est l'écart moyen des observations, c'est-à-dire la quantité que nous avons désignée, au début de ce travail, par la lettre s. Il convient de remarquer que la valeur de P est l'aire de la courbe prise entre les limites — x et + x. On peut dire aussi que l'expression P de la probabilité d'un écart compris entre — x et + x est celle du poids de la portion de la ligne des abscisses comprise entre les mêmes limites, dans l'hypothèse où la densité 8, variable en chaque point de cette ligne, serait exprimée par la fonction on aurait, en effet, pour le poids d'un élément dx de la ligne, et pour le poids
est le rapport de la circonférence au diamètre, e la base des logarithmes népériens et h une constante caractéristique du degré d'exactitude des observations. Cette constante est, en effet, déterminée par la relation où a est l'écart moyen des observations, c'est-à-dire la quantité que nous avons désignée, au début de ce travail, par la lettre s. Il convient de remarquer que la valeur de P est l'aire de la courbe prise entre les limites — x et + x. On peut dire aussi que l'expression P de la probabilité d'un écart compris entre — x et + x est celle du poids de la portion de la ligne des abscisses comprise entre les mêmes limites, dans l'hypothèse où la densité 8, variable en chaque point de cette ligne, serait exprimée par la fonction on aurait, en effet, pour le poids d'un élément dx de la ligne, et pour le poids total entre les limites — x et + x c'est-à-dire la valeur de P. Mais si l'on pose l'on voit que la probabilité P est donnée par la formule dans laquelle t est un nombre, représentant le rapport de la limite de l'erreur ou de l'écart à craindre, c'est-à-dire de x, à l'écart moyen a multiplié par V2. Pour t = + co, l'on a 0 (t) = 1, ou P = 1, comme on devait le prévoir. La démonstration de ce théorème dû à Laplace, se trouve dans tous les traités de calcul intégral. On trouve dans les ouvrages spéciaux des tables de la fonction au moyen desquelles on obtient la valeur de la fonction, quand t est donné, ou la valeur de t, quand c'est la fonction qui est connue. Ces tables, dont on trouvera plus loin un extrait (table A), permettent donc de savoir quelle est la probabilité qu'un écart restera compris entre les limites données — x et + x, ou bien de trouver, au moyen de la relation x = l'écart limite, qui correspond à une probabilité donnée. Pour 0 (t) = , l'on a t = 0,4769363 = p ; on en conclut que
x, à l'écart moyen a multiplié par V2. Pour t = + co, l'on a 0 (t) = 1, ou P = 1, comme on devait le prévoir. La démonstration de ce théorème dû à Laplace, se trouve dans tous les traités de calcul intégral. On trouve dans les ouvrages spéciaux des tables de la fonction au moyen desquelles on obtient la valeur de la fonction, quand t est donné, ou la valeur de t, quand c'est la fonction qui est connue. Ces tables, dont on trouvera plus loin un extrait (table A), permettent donc de savoir quelle est la probabilité qu'un écart restera compris entre les limites données — x et + x, ou bien de trouver, au moyen de la relation x = l'écart limite, qui correspond à une probabilité donnée. Pour 0 (t) = , l'on a t = 0,4769363 = p ; on en conclut que l'écart probable r, c'est-à-dire celui qu'on a au tant de chance de dépasser que de ne pas dépasser, a pour expression : r = aV2 p = 0,6744897 a. En appliquant ces notions au problème dont nous nous sommes occupé d'abord, l'on voit que l'expression donne les limites entre lesquelles sont contenus la moitié des écarts observés, et qu'il y a un contre un à parier qu'on ne dépassera pas dans des observations nouvelles. L'on voit de même que l'expression est l'erreur probable à craindre sur la vraie position du point cherché, quand on le place au centre de gravité déterminé par l'abscisse Xo; ce qui signifie qu'il y a une probabilité que la grandeur X est comprise entre les limites Xo + r0, et qu'elle y restera maintenue, si l'on fait de nouvelles observations. D'une façon générale, si P est une certaine probabilité, et si t est la valeur correspondante pour laquelle on a P = 0(0, il en résultera x = ± a /21, ou en posant, comme Poisson dans son mémoire inséré au troisième volume du Mémorial d'artillerie, D'où l'on conclut que sont les limites qu'il y a une probabilité de ne pas dépasser. En remplaçant, dans
sont contenus la moitié des écarts observés, et qu'il y a un contre un à parier qu'on ne dépassera pas dans des observations nouvelles. L'on voit de même que l'expression est l'erreur probable à craindre sur la vraie position du point cherché, quand on le place au centre de gravité déterminé par l'abscisse Xo; ce qui signifie qu'il y a une probabilité que la grandeur X est comprise entre les limites Xo + r0, et qu'elle y restera maintenue, si l'on fait de nouvelles observations. D'une façon générale, si P est une certaine probabilité, et si t est la valeur correspondante pour laquelle on a P = 0(0, il en résultera x = ± a /21, ou en posant, comme Poisson dans son mémoire inséré au troisième volume du Mémorial d'artillerie, D'où l'on conclut que sont les limites qu'il y a une probabilité de ne pas dépasser. En remplaçant, dans les expressions précédentes, l'écart moyen a par sa valeur en fonction de l'écart probable r, on trouve que t x = dfc rP sont les limites qu'il y a une probabilité de ne pas dépasser. Le cours d'astronomie de M. Faye contient une table très complète des valeurs de P, dans laquelle le rapport est pris pour argument. Passons au problème de la détermination d'un point dans le plan, qui intéresse particulièrement l'artillerie. Les écarts étant rapportés à un système d'axes rectangulaires quelconques, l'on a coutume de considérer comme indépendantes la probabilité d'un écart £, parallèle à l'axe des x, et celle d'un écart tj, parallèle à l'axe des y; puis l'on en conclut que le produit de ces deux probabilités donne la probabilité des deux écarts simultanés £, tj, qui déterminent le point du plan. Mais cette manière de raisonner est fautive, puisqu'elle conduit aux conséquences absurdes, signalées par M. le major Siacci de l'artillerie italienne, dans un article publié par la Revue d'artillerie au mois de septembre 1883. L'erreur provient de ce qu'il y a entre les coordonnées d'un même point, qui sont fournies par une même observation, une dépendance dont on ne tient pas compte, et de
dans laquelle le rapport est pris pour argument. Passons au problème de la détermination d'un point dans le plan, qui intéresse particulièrement l'artillerie. Les écarts étant rapportés à un système d'axes rectangulaires quelconques, l'on a coutume de considérer comme indépendantes la probabilité d'un écart £, parallèle à l'axe des x, et celle d'un écart tj, parallèle à l'axe des y; puis l'on en conclut que le produit de ces deux probabilités donne la probabilité des deux écarts simultanés £, tj, qui déterminent le point du plan. Mais cette manière de raisonner est fautive, puisqu'elle conduit aux conséquences absurdes, signalées par M. le major Siacci de l'artillerie italienne, dans un article publié par la Revue d'artillerie au mois de septembre 1883. L'erreur provient de ce qu'il y a entre les coordonnées d'un même point, qui sont fournies par une même observation, une dépendance dont on ne tient pas compte, et de ce qu'on néglige d'exprimer que les coordonnées de tous les points, qui peuvent être obtenus dans le plan, doivent satisfaire à la condition équivalente à 2 (cos^ CiCo + sin^ CiCo) Zt + rj 2 sin CiCo cos a0 (s IS) = 0, ou à 2 [2 (cos^ CiCo - sin^ &lt;x0) + 2 sin CiCo cos a0 (s -S)] = 0, ou à 2 [(cos^ oco + sin sin CiCo + cos CiCo vj)] = 0, ou enfin à 2 (Çi il) = 0, en posant, comme précédemment, Ç, = g cos oc,, + YI sin CiCo, 1 = -1; sin CiCo + 7i cos a0. Mais nous avons déjà vu que cette condition n'est satisfaite que dans le système unique des axes rectangulaires Gl et Gt, défini par l'angle a0 ; il est donc démontré par là que l'emploi de ce système d'axes est le seul légitime, et qu'il est obligatoire pour que toutes les conditions du problème soient remplies. Cette condition 2 (Ç, vj) = 0 revient, au fond, à exprimer que, dans des expériences nouvelles en nombre suffisamment grand, les points trouvés devront être symétriquement répartis par rapport aux axes d'inertie, comme le sont les points
sin^ &lt;x0) + 2 sin CiCo cos a0 (s -S)] = 0, ou à 2 [(cos^ oco + sin sin CiCo + cos CiCo vj)] = 0, ou enfin à 2 (Çi il) = 0, en posant, comme précédemment, Ç, = g cos oc,, + YI sin CiCo, 1 = -1; sin CiCo + 7i cos a0. Mais nous avons déjà vu que cette condition n'est satisfaite que dans le système unique des axes rectangulaires Gl et Gt, défini par l'angle a0 ; il est donc démontré par là que l'emploi de ce système d'axes est le seul légitime, et qu'il est obligatoire pour que toutes les conditions du problème soient remplies. Cette condition 2 (Ç, vj) = 0 revient, au fond, à exprimer que, dans des expériences nouvelles en nombre suffisamment grand, les points trouvés devront être symétriquement répartis par rapport aux axes d'inertie, comme le sont les points donnés par les expériences primitives, au moyen desquels ces axes ont été déterminés. Nous supposerons donc, dans la suite, que les écarts sont mesurés parallèlement aux axes G x t et G-y, et, en nous reportant aux valeurs des écarts moyens trouvés page 17, nous pourrons écrire, en supprimant les indices, que la probabilité d'un écart £, parallèle à l'axe des, sera exprimée par et que, de même, la probabilité d'un écart tj, parallèle à l'axe des -, le sera par Ces deux probabilités étant indépendantes entre elles, puisque les écarts moyens a et b sont eux-mêmes indépendants, nous sommes en droit d'en conclure que la probabilité d'obtenir dans le plan un point défini par les coordonnées £ et tj aura pour valeur, en vertu du principe des probabilités composées, le produit d'où il résulte que l'intégrale représentera la probabilité que le point sera compris dans l'espace circonscrit par une courbe quelconque, définie par une'équation donnée entre les coordonnées et tj ; les limites de l'intégrale étant prises comme s'il s'agissait de calculer l'aire embrassée par la courbe. Si, par exemple, la courbe donnée est une circonférence représentée par l'équation + tj = RS, la probabilité que le point résultant
indices, que la probabilité d'un écart £, parallèle à l'axe des, sera exprimée par et que, de même, la probabilité d'un écart tj, parallèle à l'axe des -, le sera par Ces deux probabilités étant indépendantes entre elles, puisque les écarts moyens a et b sont eux-mêmes indépendants, nous sommes en droit d'en conclure que la probabilité d'obtenir dans le plan un point défini par les coordonnées £ et tj aura pour valeur, en vertu du principe des probabilités composées, le produit d'où il résulte que l'intégrale représentera la probabilité que le point sera compris dans l'espace circonscrit par une courbe quelconque, définie par une'équation donnée entre les coordonnées et tj ; les limites de l'intégrale étant prises comme s'il s'agissait de calculer l'aire embrassée par la courbe. Si, par exemple, la courbe donnée est une circonférence représentée par l'équation + tj = RS, la probabilité que le point résultant d'une observation nouvelle sera situé dans le cercle qu'elle circonscrit, aura pour expression En artillerie, pour connaître la probabilité d'atteindre un but donné, l'on devra appliquer la formule générale en prenant les limites des intégrales comme si l'on avait à faire le calcul de l'aire totale de la cible. Le plus souvent, le calcul de P par cette formule générale présentera de très grandes difficultés. Mais, de même que dans le cas de la recherche d'un point sur une ligne, nous avons trouvé que la probabilité d'avoir un écart ne dépassant pas des limites données rt x, est exprimée par une portion de l'aire totale de la courbe ayant pour équation de même, dans le cas présent, nous voyons que la probabilité d'avoir un écart, ne sortant pas d'un espace circonscrit par un contour donné, est représentée par une portion du volume total compris entre le plan tj et la surface ayant pour équation cette portion étant limitée latéralement par un cylindre, dont les génératrices sont parallèles à l'axe des Ç, c'est-à-dire perpendiculaires au plan, et dont la directrice est la courbe donnée dans le même plan. Nous pouvons aussi, comme précédemment, comparer la probabilité P à un poids, qui
plus souvent, le calcul de P par cette formule générale présentera de très grandes difficultés. Mais, de même que dans le cas de la recherche d'un point sur une ligne, nous avons trouvé que la probabilité d'avoir un écart ne dépassant pas des limites données rt x, est exprimée par une portion de l'aire totale de la courbe ayant pour équation de même, dans le cas présent, nous voyons que la probabilité d'avoir un écart, ne sortant pas d'un espace circonscrit par un contour donné, est représentée par une portion du volume total compris entre le plan tj et la surface ayant pour équation cette portion étant limitée latéralement par un cylindre, dont les génératrices sont parallèles à l'axe des Ç, c'est-à-dire perpendiculaires au plan, et dont la directrice est la courbe donnée dans le même plan. Nous pouvons aussi, comme précédemment, comparer la probabilité P à un poids, qui serait celui de la surface limitée par la courbe donnée, en supposant que la densité 8, variable d'un point à un autre du plan, est représentée par l'expression qui définit la loi de sa variation. Ces considérations vont nous permettre de nous faire une idée très précise de la loi, suivant laquelle les probabilités varient avec les grandeurs des écarts à craindre dans toutes les directions. La surface, ayant pour équation est du genre de celles qu'on appelle topographiques; les sections, qui y sont faites parallèlement au plan £ tj, sont des ellipses semblables et semblablement placées, qui se projettent en vraie grandeur sur le plan £ ?), et dont les axes principaux sont dirigés suivant les axes des coordonnées. Elles sont toutes représentées par l'équation unique dans laquelle t2 est un paramètre pouvant varier de 0 à + oo. L'une quelconque de ces ellipses, correspondant à une valeur particulière de z2, aura pour axes principaux a/2t et b V2 t, et son aire sera, par conséquent, exprimée par 27r abt2 ; l'on voit donc qu'en faisant varier t, la différentiale 27r abt dt représentera l'aire infiniment petite comprise sur le plan ct) entre deux ellipses consécutives. Comme, d'autre part,
suivant laquelle les probabilités varient avec les grandeurs des écarts à craindre dans toutes les directions. La surface, ayant pour équation est du genre de celles qu'on appelle topographiques; les sections, qui y sont faites parallèlement au plan £ tj, sont des ellipses semblables et semblablement placées, qui se projettent en vraie grandeur sur le plan £ ?), et dont les axes principaux sont dirigés suivant les axes des coordonnées. Elles sont toutes représentées par l'équation unique dans laquelle t2 est un paramètre pouvant varier de 0 à + oo. L'une quelconque de ces ellipses, correspondant à une valeur particulière de z2, aura pour axes principaux a/2t et b V2 t, et son aire sera, par conséquent, exprimée par 27r abt2 ; l'on voit donc qu'en faisant varier t, la différentiale 27r abt dt représentera l'aire infiniment petite comprise sur le plan ct) entre deux ellipses consécutives. Comme, d'autre part, pour tous les points de cette bande elliptique, l'ordonnée de la surface a la valeur constante l'on en conclura que le volume infiniment petit sera celui du cylindre annulaire, ayant pour base la surface annulaire infiniment étroite comprise entre deux ellipses consécutives et pour hauteur l'ordonnée Ç. Par conséquent, l'expression de ce volume, c'est-à-dire 2e t tdt représentera la probabilité d'avoir un écart, pour lequel la condition sera satisfaite, ou la probabilité d'obtenir un point situé sur l'ellipse, dont elle est l'équation. Il est bien évident qu'en raisonnant sur des poids, au lieu de considérer des volumes, nous serons arrivé à des conclusions identiques. Toutes les ellipses définies par l'équation quand on y fait varier z2, sont donc des courbes d'égale probabilité, puisque pour tous les points du périmètre de chacune d'elles la probabilité est la même. L'on voit de plus que ce système de courbes d'égale probabilité est unique, comme le système d'axes auquel elles sont rapportées, et que notre solution échappe aux critiques fondées de M. le major Siacci sur la théorie généralement admise. La probabilité P d'un écart compris dans la portion du plan limitée par une de nos ellipses d'égale probabilité, pour laquelle ? a une