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50 ?&amp;: 25 258 75 I OTTOMAN ««0.. 8," -o 50 87-50 MédOC 3 °/0... &amp;R5 2; 28L, » Romains 30/0. 370 50 370 25 Entar.P.L.M. 130 r 125 » bàb »TL 1861.. M 25 92 ^ Midia.0/0 390 »3¡H *«aragwse«)/0.343 75|343 75 — Tab. d'Italie 517 50 517 50 àl« t drid Saïagosse 482 50 4SE 7A i82 50 490 ^|. -■ 186S.. 4o I 88; 50 bia-nuwa O/O.235 -» Z,90 S Gu&gt;âadrid5OlO .510 4510 » — HirendeUes435 » 432 5Û BULLETIN FINANCIER 13 mai 1881 Les gens superstitieux viennent déprouver une heureuse déception. Le vendredi 13 a été marqué par un événement historique. Le bey de Tunis a signé un traité qui donne à la France toutes les garanties qu'elle avait le droit de demander et d'obtenir. Cette bonne nouvelle a été le signal d'une détente générale aussi bien sur les Rentes françaises que sur les Rentes et valeurs étrangères. Les baissiers n'ont plus eu dès lors qu'un seul souci: celui de reprendre en toute hâte les valeurs qu'ils avaient cru pouvoir vendre en prévision de complications heureusement écartées, on peut et on doit l'espérer. La maison de Rothschild a aussitôt profité de ces circonstances favorables pour mettre à exécution le traité de conversion dont elle est concessionnaire. La conversion porte sur une première série de nouveau Rente hongroise 4 0/0 au capital nominal de 400 millions de francs. Parmi les valeurs qui ont repris le plus vivement on remarque la Banque de France, l'Union générale, le Crédit foncier et la Banque des Pays Hongrois. INFORMATIONS. — Les RECETTES DES CHEMINS DE FER FRANÇAIS pendant la dix-neuvième semaine de l'exercice courant présentent une augmentation moyenne de 6 0/0 par rapport à la semaine correspondante de l'exercice 1880. — Les bénéfices de l'exploitation du TÉLÉGRAPHE DE PARIS À NEW-YORK se sont montés à 300,583 fr.; cette somme ne permettant pas de répartition a été reportée à l'exercice courant; D'après les explications fournies à l'assemblée générale par M. Pouyer-Quertier on doit compter que les recettes s'élèveront à 4 millions en 1881, chiffre qui permettrait la répartition d'un dividende convenable. Le
à exécution le traité de conversion dont elle est concessionnaire. La conversion porte sur une première série de nouveau Rente hongroise 4 0/0 au capital nominal de 400 millions de francs. Parmi les valeurs qui ont repris le plus vivement on remarque la Banque de France, l'Union générale, le Crédit foncier et la Banque des Pays Hongrois. INFORMATIONS. — Les RECETTES DES CHEMINS DE FER FRANÇAIS pendant la dix-neuvième semaine de l'exercice courant présentent une augmentation moyenne de 6 0/0 par rapport à la semaine correspondante de l'exercice 1880. — Les bénéfices de l'exploitation du TÉLÉGRAPHE DE PARIS À NEW-YORK se sont montés à 300,583 fr.; cette somme ne permettant pas de répartition a été reportée à l'exercice courant; D'après les explications fournies à l'assemblée générale par M. Pouyer-Quertier on doit compter que les recettes s'élèveront à 4 millions en 1881, chiffre qui permettrait la répartition d'un dividende convenable. Le conseil pense pouvoir distribuer au mois de septembre prochain un dividende de 12 50 fr. par action, le solde devant être réparti après la clôture de l'exercice et l'approbation des comptes. — Le bilan de la Banque d'Angleterre fait ressortir une proportion de 48 1/8 0/0 de la réserve aux engagements.
REVUE D'ARTILLERIE SANCV. Mr. B F. G V. REVUE D'ARTILLERIE Paraissant le 15 de chaque mois DOUZIÈME ANNÉE TOME XXIV (Avril-Septembre 1884.) BERGER-LEVRAULT ET CIE, LIBRAIRES-ÉDITEURS PARIS RUE DES BEAUX-ARTS, 5 NANCY RUE JEAN-LAMOUR, 11 1884 MÉMOIRE SUR L'APPLICATION DU CALCUL DES PROBABILITÉS À DES QUESTIONS D'ARTILLERIE AYANT-PROPOS Le but de ce mémoire est d'indiquer une marche à suivre certaine pour éviter, dans les applications du calcul des probabilités aux questions d'artillerie, une faute de principe, que l'on commet habituellement, et dont les conséquences erronées ont été signalées par M. le major Siacci, de l'armée italienne, dans un article publié par la Revue d'artillerie au mois de septembre dernier. Vu la nature du sujet, nous espérons que notre travail ne sera pas sans intérêt pour un grand nombre d'officiers d'artillerie, et qu'il pourra particulièrement être utile à ceux qui font partie des commissions d'expériences. Les conclusions auxquelles nous sommes arrivés, pourraient certainement se déduire assez facilement des formules obtenues par Bravais dans un très savant mémoire ayant pour titre : « Analyse mathématique sur les probabilités des erreurs de situation d'un point », qui est inséré dans le recueil des mémoires des savants étrangers publiés par l'Académie des sciences en 1846. Mais ce travail de haute analyse nous était inconnu, quand nous avons abordé la même question, et la marche que nous avons suivie est bien différente de celle de l'illustre professeur; nous sommes néanmoins parvenus, en ne nous appuyant que sur des considérations élémentaires, à des lois d'une simplicité aussi élégante qu'imprévue, et dont l'application sera toujours extrêmement facile. L'étude de l'influence du nombre des observations sur le degré d'approximation avec lequel sont obtenus les résultats qu'on en conclut, est une question importante au point de vue des applications; elle se présente comme le complément naturel de nos recherches, et pour cette raison il nous a paru utile de la traiter dans une note spéciale qu'on trouvera à la suite de ce mémoire. D'après une règle dictée par le seul bon sens, l'on a coutume de regarder comme un axiome que si la mesure d'une quantité L a été
1846. Mais ce travail de haute analyse nous était inconnu, quand nous avons abordé la même question, et la marche que nous avons suivie est bien différente de celle de l'illustre professeur; nous sommes néanmoins parvenus, en ne nous appuyant que sur des considérations élémentaires, à des lois d'une simplicité aussi élégante qu'imprévue, et dont l'application sera toujours extrêmement facile. L'étude de l'influence du nombre des observations sur le degré d'approximation avec lequel sont obtenus les résultats qu'on en conclut, est une question importante au point de vue des applications; elle se présente comme le complément naturel de nos recherches, et pour cette raison il nous a paru utile de la traiter dans une note spéciale qu'on trouvera à la suite de ce mémoire. D'après une règle dictée par le seul bon sens, l'on a coutume de regarder comme un axiome que si la mesure d'une quantité L a été obtenue par plusieurs observations immédiates, faites avec le même soin et dans des circonstances semblables, la moyenne arithmétique des mesures observées sera la valeur la plus probable de cette quantité, sinon en toute rigueur, du moins avec une très grande approximation, de sorte que le plus sûr sera toujours de s'y arrêter. Cette règle sert de base à l'appréciation des résultats de toutes les sciences d'observation. Supposons qu'il s'agisse d'abord de déterminer la position d'un point m sur une ligne. Cette question est traitée dans tous les ouvrages relatifs à la théorie des erreurs d'observations, mais il nous paraît opportun d'en reproduire la solution pour avoir l'occasion de rappeler quelques définitions fondamentales dont nous aurons besoin dans la suite. En partant d'un point fixe 0, pris pour origine des mesures, l'on obtiendra différentes longueurs X0, X2, au nombre de M, et l'on considérera la longueur X0, telle qu'on a, comme la valeur la plus plausible de la longueur inconnue. Le point ainsi déterminé par l'abscisse X0 sera le centre de gravité des points dont les abscisses x, xv X2 ont été fournies par les observations. Mais X0 n'étant pas la valeur exacte de la longueur cherchée, il est nécessaire de
s'y arrêter. Cette règle sert de base à l'appréciation des résultats de toutes les sciences d'observation. Supposons qu'il s'agisse d'abord de déterminer la position d'un point m sur une ligne. Cette question est traitée dans tous les ouvrages relatifs à la théorie des erreurs d'observations, mais il nous paraît opportun d'en reproduire la solution pour avoir l'occasion de rappeler quelques définitions fondamentales dont nous aurons besoin dans la suite. En partant d'un point fixe 0, pris pour origine des mesures, l'on obtiendra différentes longueurs X0, X2, au nombre de M, et l'on considérera la longueur X0, telle qu'on a, comme la valeur la plus plausible de la longueur inconnue. Le point ainsi déterminé par l'abscisse X0 sera le centre de gravité des points dont les abscisses x, xv X2 ont été fournies par les observations. Mais X0 n'étant pas la valeur exacte de la longueur cherchée, il est nécessaire de se rendre compte de l'erreur qu'on peut commettre en prenant X0 pour la valeur exacte de la longueur inconnue X. Soient A, A2 les écarts de chaque observation, l'on aura X = x + A, X = x + A, X — x3 — Aj — Aj et par suite nx = 2a;24, d'où est la moyenne des écarts, et cette moyenne représentera la grandeur de l'écart commis, quand on adoptera X0 au lieu de X pour déterminer la position du point. De la relation nx = 2A = A + A + Aj, l'on conclut nas = sa2 + et par suite 1 est ce qu'on appelle l'écart moyen des observations; il est égal à la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts. 1, qui est l'écart moyen du résultat, quand on prend la moyenne X0 des longueurs observées pour la valeur de la quantité inconnue X, est égal à l'écart moyen des observations divisé par la racine carrée du nombre des observations. Mais les écarts A, à, à, dont la connaissance équivaudrait à celle de la quantité inconnue X, qu'il s'agit de déterminer, ne sont pas connus; ils ne peuvent donc pas servir à calculer l'écart
nx = 2a;24, d'où est la moyenne des écarts, et cette moyenne représentera la grandeur de l'écart commis, quand on adoptera X0 au lieu de X pour déterminer la position du point. De la relation nx = 2A = A + A + Aj, l'on conclut nas = sa2 + et par suite 1 est ce qu'on appelle l'écart moyen des observations; il est égal à la racine carrée de la moyenne des carrés des écarts. 1, qui est l'écart moyen du résultat, quand on prend la moyenne X0 des longueurs observées pour la valeur de la quantité inconnue X, est égal à l'écart moyen des observations divisé par la racine carrée du nombre des observations. Mais les écarts A, à, à, dont la connaissance équivaudrait à celle de la quantité inconnue X, qu'il s'agit de déterminer, ne sont pas connus; ils ne peuvent donc pas servir à calculer l'écart moyen s, et, pour l'évaluer au moins approximativement, nous devrons employer les différences 8, 8X, 8Z entre la moyenne X0 et les valeurs observées x, xv c'est-à-dire les écarts rapportés à la moyenne X0. On aura X0=x+dX0 == 8, d'où 8X0=x+8, et par conséquent 28 = 8. On aura aussi X — X0 = — X — X — 8 — 8 — 8 — 8 X — x — (— A, d'où l'on conclut A = > + 8 A, = X + 8, et par suite 2A2 = n1 + 2). Les valeurs de s et de X ainsi trouvées ne peuvent être qu'approximatives, et il faut avoir recours au calcul des probabilités pour apprécier le degré de confiance qu'on doit leur accorder. Nous nous occuperons plus loin de cette question. De la relation trouvée plus haut, 2s2 est un minimum, c'est-à-dire que la somme des carrés des écarts est plus petite que si ces écarts étaient comptés à partir d'un point autre que celui déterminé par la longueur moyenne X0; cela résulte de ce que l'on a Comme conséquence les écarts moyens e et X sont aussi des minima. Occupons-nous maintenant du cas où il s'agit de
X — X0 = — X — X — 8 — 8 — 8 — 8 X — x — (— A, d'où l'on conclut A = > + 8 A, = X + 8, et par suite 2A2 = n1 + 2). Les valeurs de s et de X ainsi trouvées ne peuvent être qu'approximatives, et il faut avoir recours au calcul des probabilités pour apprécier le degré de confiance qu'on doit leur accorder. Nous nous occuperons plus loin de cette question. De la relation trouvée plus haut, 2s2 est un minimum, c'est-à-dire que la somme des carrés des écarts est plus petite que si ces écarts étaient comptés à partir d'un point autre que celui déterminé par la longueur moyenne X0; cela résulte de ce que l'on a Comme conséquence les écarts moyens e et X sont aussi des minima. Occupons-nous maintenant du cas où il s'agit de déterminer dans un plan la position la plus plausible d'un point, pour lequel un certain nombre d'observations, également précises, ont fourni des positions différentes. Ce problème, qui se présente dans toutes les questions relatives au tir des bouches à feu, est particulièrement intéressant pour l'artillerie. Soit toujours n le nombre des observations. Supposons tracés dans le plan deux axes rectangulaires quelconques, auxquels sont rapportées les positions des points observés; désignons par x et y, xt et Y1, X2 et Y2 les coordonnées de ces points, par X et Y celles inconnues du point cherché, et par X0 et Y0 celles du point obtenu par la règle de la moyenne arithmétique : ce dernier point sera le centre de gravité du système des points observés. Remarquons ici que, si les coordonnées x et y d'un point peuvent être quelconques, elles ne doivent cependant pas être considérées comme indépendantes, puisqu'elles sont fournies par une même observation. On aura Les écarts des points observés, rapportés à un système d'axes parallèles aux premiers et ayant leur origine au point G, dont X0 et Y0 sont les coordonnées, auront pour expressions et il en résultera 2g = 0, Zjj = 0 ; d'où l'on doit
des observations. Supposons tracés dans le plan deux axes rectangulaires quelconques, auxquels sont rapportées les positions des points observés; désignons par x et y, xt et Y1, X2 et Y2 les coordonnées de ces points, par X et Y celles inconnues du point cherché, et par X0 et Y0 celles du point obtenu par la règle de la moyenne arithmétique : ce dernier point sera le centre de gravité du système des points observés. Remarquons ici que, si les coordonnées x et y d'un point peuvent être quelconques, elles ne doivent cependant pas être considérées comme indépendantes, puisqu'elles sont fournies par une même observation. On aura Les écarts des points observés, rapportés à un système d'axes parallèles aux premiers et ayant leur origine au point G, dont X0 et Y0 sont les coordonnées, auront pour expressions et il en résultera 2g = 0, Zjj = 0 ; d'où l'on doit conclure comme plus haut que 2g2 et 2yj2 seront des minima, c'est-à-dire que les sommes des carrés des écarts estimés parallèlement aux axes seront plus petites que si ces écarts étaient comptés à partir d'un point autre que le centre de gravité. La somme des carrés des écarts absolus sera aussi un minimum, puisqu'elle a pour valeur 2 (e2 + f2 + g2); Des deux relations = 0 et Syj = 0 l'on conclut que, si l'on avait rapporté les écarts à d'autres axes rectangulaires G' et G') de même origine, et tels que le nouvel axe des fût incliné sur l'ancien axe des d'un angle quelconque IX, l'on aurait eu aussi : lf = 0 et 2f = 0. Les deux systèmes d'axes sont, en effet, liés par les relations x = x cos a + y sin a, y' = — x sin a + y cos a; d'où l'on conclut L'on a également = X0' - x = (X0 - x) cos a + (Y0 - y) sin a, = Y0' - y = —(X0 - x) sin a + (Y0 - y) cos a, et par suite 2g' = cos2 a (e + sin a (f
aussi un minimum, puisqu'elle a pour valeur 2 (e2 + f2 + g2); Des deux relations = 0 et Syj = 0 l'on conclut que, si l'on avait rapporté les écarts à d'autres axes rectangulaires G' et G') de même origine, et tels que le nouvel axe des fût incliné sur l'ancien axe des d'un angle quelconque IX, l'on aurait eu aussi : lf = 0 et 2f = 0. Les deux systèmes d'axes sont, en effet, liés par les relations x = x cos a + y sin a, y' = — x sin a + y cos a; d'où l'on conclut L'on a également = X0' - x = (X0 - x) cos a + (Y0 - y) sin a, = Y0' - y = —(X0 - x) sin a + (Y0 - y) cos a, et par suite 2g' = cos2 a (e + sin a (f + g sin a + n cos a), yi' = g sin a + n cos a; et par suite 2g'2 = cos2 a (e2 + 2 sin a f + g sin2 a) + sin2 a (f + g sin a)2, 2yj'2 = sin4 a + 2 sin2 a cos2 a (e2 + f2 + g2); ce qui prouve que 2g'2 et 2yj'2 seront aussi des minima comme 2g2 et 2yj2, c'est-à-dire des quantités plus petites que si l'on mesurait les écarts à partir d'une origine autre que le point G, centre de gravité des points observés. Mais il faut remarquer que les sommes des carrés des écarts 2g'2 et 2yj'2 dépendent de la somme des produits des écarts mesurés 1e, 1f, et que, tout en restant des minima, elles varient avec l'angle ex. On a, en effet : 2g'2 = cos2 a (e2 + 2 sin a f + g sin2 a) + sin2 a (f + g sin a)2, 2yj'2 = sin4 a + 2 sin2 a cos2 a (e2 + f2 + g2); Dans ces formules, la somme 1e1) n'est pas nulle nécessairement; elle ne le serait que si les points observés étaient symétriquement distribués par
cos2 a (e2 + f2 + g2); ce qui prouve que 2g'2 et 2yj'2 seront aussi des minima comme 2g2 et 2yj2, c'est-à-dire des quantités plus petites que si l'on mesurait les écarts à partir d'une origine autre que le point G, centre de gravité des points observés. Mais il faut remarquer que les sommes des carrés des écarts 2g'2 et 2yj'2 dépendent de la somme des produits des écarts mesurés 1e, 1f, et que, tout en restant des minima, elles varient avec l'angle ex. On a, en effet : 2g'2 = cos2 a (e2 + 2 sin a f + g sin2 a) + sin2 a (f + g sin a)2, 2yj'2 = sin4 a + 2 sin2 a cos2 a (e2 + f2 + g2); Dans ces formules, la somme 1e1) n'est pas nulle nécessairement; elle ne le serait que si les points observés étaient symétriquement distribués par rapport aux deux axes des coordonnées, et il ne faut pas perdre de vue que, d'après les conditions exprimées par 2g = 0 et 2yj = 0, ils ne sont assujettis qu'à être à peu près symétriquement répartis par rapport au centre de gravité, pris pour origine des axes. On doit donc admettre qu'en général 1e1) est différent de zéro. Pour nous rendre compte de la variation de l'angle ex, considérons l'expression de 2yj'2, qui représente la somme des carrés des écarts mesurés perpendiculairement à la direction de l'axe G', incliné de l'angle ex sur la direction de l'axe des faisons y varier l'angle ex, nous aurons en différentiant d'où nous conclurons que 2yj'2, sans cesser de rester un minimum, comme nous l'avons vu plus haut, passe par un maximum ou un minimum pour les valeurs de a qui satisfont à l'équation sin 2a [sp - V] - 2 cos 2a Zfr = 0, ou Il y a donc deux angles 2a, ou quatre angles a, qui déterminent un système d'axes rectangulaires unique, tel que les sommes des carrés des écarts estimés parallèlement à ces axes sont les plus grandes ou les plus petites possible. Soit a0 un des angles