jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
de n et du produit NTn. Or de cette seule remarque, il résulte immédiatement que, si N est le terme général d'une série dont le module soit l'unité, les séries simples dont les termes généraux sont " et Tn seront toutes deux convergentes, ou toutes deux divergentes en même temps que la série multiple produite par la décomposition du terme général un en plusieurs parties. À l'aide de ce théorème, M. Chio prouve aisément que la règle de convergence donnée par Lagrange dans les Mémoires de 1768, fournit des résultats exacts, lorsque, dans le polynôme sont, ou tous négatifs, ou tous positifs, mais supérieurs à l'unité, leurs valeurs numériques étant rationnelles ou irrationnelles; ou tous entiers et positifs, l'un d'eux pouvant être nul. Sous ces conditions, et en supposant que les deux exposants a, h soient le plus petit et le plus grand, abstraction faite des signes, M. Chio démontre que la valeur numérique du rapport offre un minimum correspondant à une valeur de x comprise entre les dans le cas où a s'évanouit puis, en nommant R le minimum dont il s'agit, M. Chio fait voir que la règle donnée par Lagrange peut être réduite au théorème dont voici l'énoncé » La série de Lagrange sera convergente ou divergente, suivant que Von aura qui, comme le remarque M. Chio, et comme on peut aisément le démontrer, offre une seule racine réelle comprise entre les limites ci-dessus indiquées. M. Chio a pensé qu'il ne serait pas sans intérêt de comparer les résultats que nous venons de mentionner avec ceux que l'un de nous a consignés dans le Mémoire sur divers points d'analyse, présenté à l'Académie en 1827. Suivant les principes qui s'y trouvent exposés, et que l'auteur a reproduits ou même développés dans un autre Mémoire lu à l'Académie de Turin, le 11 octobre 1831, pour savoir si la série de Lagrange est convergente ou divergente, il suffit de calculer un certain module R du rapport savoir, celui qui a reçu le nom de module principal, et qui correspond à une certaine racine de l'équation (2); puis, de voir si
l'énoncé » La série de Lagrange sera convergente ou divergente, suivant que Von aura qui, comme le remarque M. Chio, et comme on peut aisément le démontrer, offre une seule racine réelle comprise entre les limites ci-dessus indiquées. M. Chio a pensé qu'il ne serait pas sans intérêt de comparer les résultats que nous venons de mentionner avec ceux que l'un de nous a consignés dans le Mémoire sur divers points d'analyse, présenté à l'Académie en 1827. Suivant les principes qui s'y trouvent exposés, et que l'auteur a reproduits ou même développés dans un autre Mémoire lu à l'Académie de Turin, le 11 octobre 1831, pour savoir si la série de Lagrange est convergente ou divergente, il suffit de calculer un certain module R du rapport savoir, celui qui a reçu le nom de module principal, et qui correspond à une certaine racine de l'équation (2); puis, de voir si ce module principal est inférieur ou supérieur à l'unité. D'ailleurs, lorsque, la variable x étant imaginaire et de la forme offre les caractères énoncés dans le Mémoire de 1831 [tome II des Exercices d'Analyse et de Physique mathématique]. En résumé, les Commissaires sont d'avis que le Mémoire soumis à leur examen fournit de nouvelles preuves de la sagacité avec laquelle M. Félix Chio sait traiter des questions importantes et délicates. Ils pensent que ce Mémoire mérite, comme le précédent, d'être approuvé par l'Académie, et inséré dans le Recueil des Savants étrangers. Si l'on nomme OB le coefficient de tn dans cette série, on aura, pour n> 0, dans la première hypothèse, 0I° D'ailleurs on ne diminue pas la généralité de l'équation (i) en réduisant le paramètre t à l'unité, et l'équation elle-même à la forme Alors la série de Lagrange est précisément celle qui a pour terme général vsn. En recherchant les conditions de convergence de cette série dans les Mémoires de Berlin de 1768, Lagrange a considéré spécialement le cas où la constante k étant réelle, la fonction f(z) est de la forme Dans ce cas, en développant la puissance de f (A), et en effectuant les différentiations indiquées
examen fournit de nouvelles preuves de la sagacité avec laquelle M. Félix Chio sait traiter des questions importantes et délicates. Ils pensent que ce Mémoire mérite, comme le précédent, d'être approuvé par l'Académie, et inséré dans le Recueil des Savants étrangers. Si l'on nomme OB le coefficient de tn dans cette série, on aura, pour n> 0, dans la première hypothèse, 0I° D'ailleurs on ne diminue pas la généralité de l'équation (i) en réduisant le paramètre t à l'unité, et l'équation elle-même à la forme Alors la série de Lagrange est précisément celle qui a pour terme général vsn. En recherchant les conditions de convergence de cette série dans les Mémoires de Berlin de 1768, Lagrange a considéré spécialement le cas où la constante k étant réelle, la fonction f(z) est de la forme Dans ce cas, en développant la puissance de f (A), et en effectuant les différentiations indiquées dans le second membre de la formule (a) ou (3), on obtient pour OB, un certain polynôme. Nommons Tn celui des termes de ce polynôme qui offre la plus grande valeur numérique, ou, mieux encore le plus grand module; et soit A la limite vers laquelle converge, pour des valeurs croissantes du nombre entier n, le module de Tn. D'après la règle énoncée par Lagrange, dans les Mémoires de 1768, la série dont le terme général est Qn sera convergente quand on aura A < 1 divergente quand on aura A > 1. Cette règle serait exacte si on l'appliquait, non plus à la série de Lagrange, mais à celle dont le terme général est Tn. En conséquence, la règle de Lagrange pourra être admise, quand les séries dont les termes généraux sont an et Tn offriront le même module. Alors elles seront, généralement, toutes deux à la fois, ou convergentes ou divergentes. Concevons maintenant que, les modules des coefficients Le nombre ci-dessus désigné par a sera précisément le module qu'acquerra, le rapport pour une certaine valeur de z déterminée par l'équation D'autre part, en vertu du théorème général sur les développements ordonnés suivant les puissances ascendantes d'une variable, celle
croissantes du nombre entier n, le module de Tn. D'après la règle énoncée par Lagrange, dans les Mémoires de 1768, la série dont le terme général est Qn sera convergente quand on aura A < 1 divergente quand on aura A > 1. Cette règle serait exacte si on l'appliquait, non plus à la série de Lagrange, mais à celle dont le terme général est Tn. En conséquence, la règle de Lagrange pourra être admise, quand les séries dont les termes généraux sont an et Tn offriront le même module. Alors elles seront, généralement, toutes deux à la fois, ou convergentes ou divergentes. Concevons maintenant que, les modules des coefficients Le nombre ci-dessus désigné par a sera précisément le module qu'acquerra, le rapport pour une certaine valeur de z déterminée par l'équation D'autre part, en vertu du théorème général sur les développements ordonnés suivant les puissances ascendantes d'une variable, celle des racines de l'équation (i) qui se réduit à k pour t=0, sera, pour des valeurs croissantes du module de t, développable suivant les puissances ascendantes de t, jusqu'au moment où la racine dont il s'agit pourra devenir égale à une autre racine de la même équation. Il y a plus; si l'on nomme R le module principal qu'acquerra en ce moment le rapport la série dont le terme général est Oon, sera non-seulement convergente quand on aura R < 1 mais encore divergente quand on aura R > 1. Ajoutons que le module principal R sera en même temps un module de la fonction Comparons à présent l'une à l'autre les deux règles de convergence ci-dessus énoncées. On conclura immédiatement de leur comparaison que la première, c'est-à-dire la règle donnée par Lagrange dans les Mémoires de 1768, ne peut être exacte, si le module A du rapport – ne se réduit au module principal R du rapport – et la fonction φ(z) à la fonction f(z). Or cette réduction ne peut avoir lieu que dans le cas où les coefficients A, B, H offrent tous le même argument, et telle est aussi la première des conditions auxquelles M. Chio
plus; si l'on nomme R le module principal qu'acquerra en ce moment le rapport la série dont le terme général est Oon, sera non-seulement convergente quand on aura R < 1 mais encore divergente quand on aura R > 1. Ajoutons que le module principal R sera en même temps un module de la fonction Comparons à présent l'une à l'autre les deux règles de convergence ci-dessus énoncées. On conclura immédiatement de leur comparaison que la première, c'est-à-dire la règle donnée par Lagrange dans les Mémoires de 1768, ne peut être exacte, si le module A du rapport – ne se réduit au module principal R du rapport – et la fonction φ(z) à la fonction f(z). Or cette réduction ne peut avoir lieu que dans le cas où les coefficients A, B, H offrent tous le même argument, et telle est aussi la première des conditions auxquelles M. Chio a cru devoir, pour que la règle de Lagrange puisse être admise, assujettir la fonction f (z). Nous ferons ici une observation qui n'est pas sans importance. Si l'on nomme r le module, et p l'argument de la variable z, en sorte qu'on ait correspondant à une valeur quelconque de z, dépendra des deux variables r, p, et le module principal R du même rapport pourra être ou un maximum relatif à p et un minimum relatif à r, ou un minimum relatif à p et un maximum relatif à r. De ces deux caractères, le premier sera celui qui conviendra effectivement au module R dans un cas très-étendu que nous allons rappeler. Concevons que, dans le rapport le module maximum maximorum du même rapport, considéré comme fonction de p. Supposons d'ailleurs que ce module, qui devient infini pour r = 0, et qui commence par décroître avec acquisition d'une valeur minimum pour une certaine valeur de r, et que, jusqu'à ce moment, la fonction f (k + z) reste, avec sa dérivée, fonction continue de z. Alors, en vertu des principes que j'ai posés dans le Mémoire sur divers points d'analyse, et qui se trouvent développés dans un autre
z, dépendra des deux variables r, p, et le module principal R du même rapport pourra être ou un maximum relatif à p et un minimum relatif à r, ou un minimum relatif à p et un maximum relatif à r. De ces deux caractères, le premier sera celui qui conviendra effectivement au module R dans un cas très-étendu que nous allons rappeler. Concevons que, dans le rapport le module maximum maximorum du même rapport, considéré comme fonction de p. Supposons d'ailleurs que ce module, qui devient infini pour r = 0, et qui commence par décroître avec acquisition d'une valeur minimum pour une certaine valeur de r, et que, jusqu'à ce moment, la fonction f (k + z) reste, avec sa dérivée, fonction continue de z. Alors, en vertu des principes que j'ai posés dans le Mémoire sur divers points d'analyse, et qui se trouvent développés dans un autre Mémoire lu à l'Académie de Turin, le 1er octobre 1831, la valeur minimum de l'expression décroîtra sans cesse avec tandis que r variera entre les limites 0,00. Dans cette dernière hypothèse, pour obtenir le module principal R, on devra commencer par déterminer, non plus le module maximum, mais le module minimum du rapport considéré comme fonction de p. Ce module minimum, qui se réduira, pour Donc alors le module principal du rapport (1 + z)2 sera un minimum relatif à p, et un maximum relatif à r. Passons maintenant du cas particulier où l'on a f(z) = z2 à la cas plus général où la fonction f(z) est déterminée par l'équation (5); et concevons que les coefficients A, B, H, offrant tous le même argument, aient pour modules respectifs les quantités positives A, B, H. Supposons d'ailleurs, pour fixer les idées, que la constante k soit positive; alors le module maximum maximorum du rapport et, pour une valeur de r inférieure à k, si chacun des exposants a, b, h sont ou tous positifs, l'un d'eux étant supérieur à l'unité, ou tous négatifs, le module principal R du rapport f(1 + z) est tout à la fois un maximum maximorum
minimum du rapport considéré comme fonction de p. Ce module minimum, qui se réduira, pour Donc alors le module principal du rapport (1 + z)2 sera un minimum relatif à p, et un maximum relatif à r. Passons maintenant du cas particulier où l'on a f(z) = z2 à la cas plus général où la fonction f(z) est déterminée par l'équation (5); et concevons que les coefficients A, B, H, offrant tous le même argument, aient pour modules respectifs les quantités positives A, B, H. Supposons d'ailleurs, pour fixer les idées, que la constante k soit positive; alors le module maximum maximorum du rapport et, pour une valeur de r inférieure à k, si chacun des exposants a, b, h sont ou tous positifs, l'un d'eux étant supérieur à l'unité, ou tous négatifs, le module principal R du rapport f(1 + z) est tout à la fois un maximum maximorum relatif à l'argument p de z, et un minimum relatif au module r de z. Alors, pour savoir si la série de Lagrange est convergente ou divergente, on peut se servir de la règle très-simple à laquelle M. Chio réduit celle que Lagrange a donnée dans les Mémoires de 1768. Telle est aussi la conclusion à laquelle M. Chio est parvenu, avec cette seule différence que les principes sur lesquels il s'est appuyé l'ont obligé de restreindre sa démonstration, dans la première hypothèse, au cas où les exposants a, b, h surpassent tous l'unité, ou sont tous entiers, l'un d'eux pouvant se réduire à zéro. Enfin, désignons par k une constante positive. Si les exposants a, b, h sont tous positifs, ou tous négatifs, l'un d'eux pouvant être nul, le module maximum du rapport considéré comme fonction de p, correspondra évidemment, dans la première hypothèse, à une valeur nulle de p, ou, ce qui revient au même, à la valeur r de z et, dans la seconde hypothèse, à la valeur n de p, ou, ce qui revient au même, à la valeur r de z. De plus, comme on l'a remarqué dans la Note précédente, ce module maximum, qui
Telle est aussi la conclusion à laquelle M. Chio est parvenu, avec cette seule différence que les principes sur lesquels il s'est appuyé l'ont obligé de restreindre sa démonstration, dans la première hypothèse, au cas où les exposants a, b, h surpassent tous l'unité, ou sont tous entiers, l'un d'eux pouvant se réduire à zéro. Enfin, désignons par k une constante positive. Si les exposants a, b, h sont tous positifs, ou tous négatifs, l'un d'eux pouvant être nul, le module maximum du rapport considéré comme fonction de p, correspondra évidemment, dans la première hypothèse, à une valeur nulle de p, ou, ce qui revient au même, à la valeur r de z et, dans la seconde hypothèse, à la valeur n de p, ou, ce qui revient au même, à la valeur r de z. De plus, comme on l'a remarqué dans la Note précédente, ce module maximum, qui se réduit à une fonction de r, acquerra une valeur minimum dans la première hypothèse, pour une certaine valeur de r comprise entre les limites o, 1 si l'un au moins des exposants a, b, h surpasse l'unité; et, dans la seconde hypothèse, pour une valeur de r comprise entre les limites o, k. Enfin, il est clair que la valeur attribuée à r devra vérifier, dans le premier cas, la formule. Considérons, pour fixer les idées, le cas où, chacun des exposants a, b, h est nul ou positif, un ou plusieurs d'entre eux étant supérieurs à l'unité. Alors le module du rapport, rangés d'après leur ordre de grandeur. L'exposant h sera, dans l'hypothèse admise, supérieur à l'unité. De plus, eu égard à la formule, le premier membre de l'équation sera négatif, quand on prendra ou du moins quand on prendra. D'ailleurs le nombre g, supérieur à l'unité, sera ou ne sera pas inférieur à c. Dans la première hypothèse, c - 5 sera positif, et l'expression croîtra, en même temps que chacune des quantités, tandis que s, supposé très-voisin de c, décroîtra, en s'éloignant de c et se rapprochant de l'unité. Il en sera encore de même si
les limites o, k. Enfin, il est clair que la valeur attribuée à r devra vérifier, dans le premier cas, la formule. Considérons, pour fixer les idées, le cas où, chacun des exposants a, b, h est nul ou positif, un ou plusieurs d'entre eux étant supérieurs à l'unité. Alors le module du rapport, rangés d'après leur ordre de grandeur. L'exposant h sera, dans l'hypothèse admise, supérieur à l'unité. De plus, eu égard à la formule, le premier membre de l'équation sera négatif, quand on prendra ou du moins quand on prendra. D'ailleurs le nombre g, supérieur à l'unité, sera ou ne sera pas inférieur à c. Dans la première hypothèse, c - 5 sera positif, et l'expression croîtra, en même temps que chacune des quantités, tandis que s, supposé très-voisin de c, décroîtra, en s'éloignant de c et se rapprochant de l'unité. Il en sera encore de même si l'on a c = c. Enfin, si l'on a c > c, l'expression, devenue négative, croîtra pour des valeurs décroissantes de sa valeur numérique. Elle croîtra donc encore, ce terme, multiplié par le facteur susdit, deviendra, eu égard à la formule, Si, par le polynôme, on considère un terme quelconque, par exemple le suivant, une racine positive de l'équation, et multiplions le polynôme par le facteur, savoir, plusieurs si, s venant à décroître à partir de la limite supérieure h, le polynôme peut passer non-seulement du négatif au positif, mais encore du positif au négatif, et une seule dans le cas contraire. Or ce dernier cas est seul admissible. Soit, en effet, cela posé, soit s un nombre supérieur à l'unité, mais compris entre les limites a, h. L'équation offrira certainement une ou plusieurs racines positives de la forme, si s, supposé très-voisin de g, vient à décroître, en s'éloignant de c et se rapprochant de c, puisque alors les quantités décroîtront l'une et l'autre. Donc, si chacun des exposants a, b, h est nul ou positif, un ou plusieurs d'entre eux étant supérieurs à l'unité, le rapport croîtra pour des valeurs de s décroissantes et voisines de c. Donc
par exemple le suivant, une racine positive de l'équation, et multiplions le polynôme par le facteur, savoir, plusieurs si, s venant à décroître à partir de la limite supérieure h, le polynôme peut passer non-seulement du négatif au positif, mais encore du positif au négatif, et une seule dans le cas contraire. Or ce dernier cas est seul admissible. Soit, en effet, cela posé, soit s un nombre supérieur à l'unité, mais compris entre les limites a, h. L'équation offrira certainement une ou plusieurs racines positives de la forme, si s, supposé très-voisin de g, vient à décroître, en s'éloignant de c et se rapprochant de c, puisque alors les quantités décroîtront l'une et l'autre. Donc, si chacun des exposants a, b, h est nul ou positif, un ou plusieurs d'entre eux étant supérieurs à l'unité, le rapport croîtra pour des valeurs de s décroissantes et voisines de c. Donc alors, s venant à décroître, ce rapport et le polynôme lui-même ne pourront passer du positif au négatif; d'où il suit que l'équation, résolue par rapport à r, offrira une seule racine positive comprise entre les limites. En raisonnant comme on vient de le faire, on prouvera encore que, si les exposants a, b, h sont tous négatifs, l'équation, résolue par rapport à r, offrira une seule racine positive comprise entre les limites et l'on reconnaîtra ainsi, dans tous les cas, l'exactitude de la proposition énoncée par M. Chio, et rappelée dans le Rapport. MÉMOIRES LUS. économie rurale. – Observations sur l'emploi de la race bovine de Durham pour l'amélioration des races françaises par M. Yvaut. (Extrait par l'auteur.) (Renvoyé à l'examen de la Section d'Économie rurale.) « Depuis plusieurs années, des cultivateurs sont préoccupés de l'idée d'améliorer leurs races bovines par des croisements avec des animaux anglais, et spécialement avec des animaux de Durham. Le premier, peut-être, j'ai contribué à appeler leur attention sur ce point, en important chez nous cette race, la plus réputée chez nos voisins, à cause de sa précocité. » Je me propose d'examiner les lois physiologiques et économiques qui dominent la question, et de
les exposants a, b, h sont tous négatifs, l'équation, résolue par rapport à r, offrira une seule racine positive comprise entre les limites et l'on reconnaîtra ainsi, dans tous les cas, l'exactitude de la proposition énoncée par M. Chio, et rappelée dans le Rapport. MÉMOIRES LUS. économie rurale. – Observations sur l'emploi de la race bovine de Durham pour l'amélioration des races françaises par M. Yvaut. (Extrait par l'auteur.) (Renvoyé à l'examen de la Section d'Économie rurale.) « Depuis plusieurs années, des cultivateurs sont préoccupés de l'idée d'améliorer leurs races bovines par des croisements avec des animaux anglais, et spécialement avec des animaux de Durham. Le premier, peut-être, j'ai contribué à appeler leur attention sur ce point, en important chez nous cette race, la plus réputée chez nos voisins, à cause de sa précocité. » Je me propose d'examiner les lois physiologiques et économiques qui dominent la question, et de déterminer, autant que possible, les limites dans lesquelles il est prudent et profitable d'avoir recours à cette race, comme moyen d'amélioration. « Pour résoudre ce problème complexe, je compare d'abord sommairement l'économie rurale de l'Angleterre à celle de la France, puis les destinations diverses que reçoivent les animaux de l'espèce bovine dans l'un et dans l'autre pays. « Je précise, en peu de mots, les confusions principales auxquelles conduit mon Mémoire. « L'espèce du bœuf sert, en Angleterre, à la production d'une quantité considérable de viande qui s'obtient, en majeure partie, de jeunes animaux conduits sur les marchés d'approvisionnement, avant même que leur accroissement soit complet. « Ce fait se lie à l'état de l'agriculture anglaise et a ses causes dans le climat du pays, dans le petit nombre d'ouvriers ruraux et le grand nombre d'ouvriers occupés par les manufactures et le commerce. En France, au contraire, sous l'influence de causes opposées, la plus grande partie des animaux doit suffire aux travaux aratoires et à la production du lait avant d'être livrés à la boucherie. Ce n'est que depuis peu de temps que l'accroissement de la population et sa concentration dans les villes, nous conduisent à produire exceptionnellement des animaux