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que toute l'analyse néglige la déformation élastique du réseau. Par exemple, pour V < V1, on a une force f* exercée sur les premiers maillons, d'où des déplacements De induits dans le réseau. Dans une autre direction, on sait que le frottement d'un caoutchouc sur un solide induit souvent des déformations macroscopiques (ondes de surface). Ces effets devront être examinés séparément. 4) Le comportement analysé ici trouve peut-être d'autres applications physiques : en particulier dans l'adhésion caoutchouc/solide greffé, on rencontre un problème d'extraction de chaînes. Mais ici la force appliquée doit être au-dessus d'un certain seuil [10]. Note remise le 25 novembre 1992, acceptée après révision le 23 décembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] P.-G. de GENNES, C. R. Acad. Sci. Paris, 288, série B, p. 219, 1979. [2] F. BROCHARD, P.-G. de GENNES et P. PINCUS, C. R. Acad. Sci. Paris, 314, série II, 1992, p. 873-878. [3] F. BROCHARD et P.-G. de GENNES, Langmuir, 1992 (à paraître). [4] A. AJDARI, F. BROCHARD, L. LEIBLER, M. RUBINSTEIN et P.-G. de GENNES (à paraître). [5] P.-G. de GENNES, J. Physique, Paris, 36, 1975, p. 1179. [6] M. Doi et N. Y. Kuzuu, J. Polymer Sci., Polymer Lett., 18, 1980, p. 775. [7] D. S. PEARSON et E. HELFAND, Macromolecules, 17, 1984, p. 888. [8] M. RUBINSTEIN, Phys. Rev. Lett., 59, 1987, p. 1946. [9] P.-G. de GENNES, Physics, 3, 1967, p. 37. [10] E. RAPHAËL et P.-G. de GENNES, J. Phys. Chem., 96, 1992, p. 4002. M. R. Corporate Research Laboratories, Eastman Kodak Company, Rochester, NY 14650-2110, USA; A. A. et L. L. Physico-Chimie Théorique, ESPCI, 10, rue Vauquelin, 75231 Paris Cedex 05, France; F. B.-W. : PSI, Institut Pierre-et-Marie-Curie, 11, rue Pierre-et-Marie-Curie, 75005 Paris, France; P.-G. de G. : Physique de la Matière Condensée, Collège de France, 11, place Marcelin-Berthelot, 75231 Paris Cedex 05, France. Physique des surfaces et des interfaces/Surface and Interface Physics Mise en évidence de variations brutales et d'évolutions quasi discontinues dans les courbes contrainte-déformation d'un milieu granulaire bi-dimensionnel de rouleaux Pierre EVESQUE, Wahib MEFTAH et Jean BIAREZ Résumé — A l'aide d'un appareil triaxial classique, nous
[7] D. S. PEARSON et E. HELFAND, Macromolecules, 17, 1984, p. 888. [8] M. RUBINSTEIN, Phys. Rev. Lett., 59, 1987, p. 1946. [9] P.-G. de GENNES, Physics, 3, 1967, p. 37. [10] E. RAPHAËL et P.-G. de GENNES, J. Phys. Chem., 96, 1992, p. 4002. M. R. Corporate Research Laboratories, Eastman Kodak Company, Rochester, NY 14650-2110, USA; A. A. et L. L. Physico-Chimie Théorique, ESPCI, 10, rue Vauquelin, 75231 Paris Cedex 05, France; F. B.-W. : PSI, Institut Pierre-et-Marie-Curie, 11, rue Pierre-et-Marie-Curie, 75005 Paris, France; P.-G. de G. : Physique de la Matière Condensée, Collège de France, 11, place Marcelin-Berthelot, 75231 Paris Cedex 05, France. Physique des surfaces et des interfaces/Surface and Interface Physics Mise en évidence de variations brutales et d'évolutions quasi discontinues dans les courbes contrainte-déformation d'un milieu granulaire bi-dimensionnel de rouleaux Pierre EVESQUE, Wahib MEFTAH et Jean BIAREZ Résumé — A l'aide d'un appareil triaxial classique, nous avons étudié le comportement mécanique d'un ensemble de cylindres de duralumin de même longueur, rangés parallèlement les uns aux autres. Dans tous les cas l'empilement initial était aléatoire, mais différents types d'empilement, à un ou deux diamètres de disques, ont été réalisés. On obtient des courbes contrainte-déformation variant brusquement de façon quasi discontinue et non reproductible d'une expérience à l'autre, excepté en moyenne. Existence of large and sudden variations in the biaxial stress-strain curves of two-dimensional samples of cylinders Abstract We have performed different triaxial tests on two-dimensional random closed packings of cylinders of equal length; two kinds of mixing have been studied. The first one was a monodiameter packing, the second one a two-diameter mixing. The stress-strain curves exhibit sudden large fluctuations or discontinuities which are larger in the case of monosized packings. These results seem in contradiction with calculated behaviours from the Cundall algorithm. However, they present some agreement with recent calculation of Bashir and Goddard, and of Moreau and Jean. Abridged English Version — A commonly used technique to characterize the mechanical behaviours of granular materials is the so-called triaxial test method ([1]-[4]) which is sketched on Figure 1. However, in soil mechanics, the data are generally
façon quasi discontinue et non reproductible d'une expérience à l'autre, excepté en moyenne. Existence of large and sudden variations in the biaxial stress-strain curves of two-dimensional samples of cylinders Abstract We have performed different triaxial tests on two-dimensional random closed packings of cylinders of equal length; two kinds of mixing have been studied. The first one was a monodiameter packing, the second one a two-diameter mixing. The stress-strain curves exhibit sudden large fluctuations or discontinuities which are larger in the case of monosized packings. These results seem in contradiction with calculated behaviours from the Cundall algorithm. However, they present some agreement with recent calculation of Bashir and Goddard, and of Moreau and Jean. Abridged English Version — A commonly used technique to characterize the mechanical behaviours of granular materials is the so-called triaxial test method ([1]-[4]) which is sketched on Figure 1. However, in soil mechanics, the data are generally analysed in terms of a mean behaviour, without taking into account either the "noise" exhibited by each curve or the variations of the mean behaviour characteristics when repeating the same test twice. On the contrary, we focus here on these two kinds of fluctuations whose existence we demonstrate and which we will call respectively the "experimental uncertainty" and the "reproducibility". In order to do so, we have used a triaxial test device and different 2-D Schneebeli packings [5] of duralumin cylinders. The confining pressure p was kept constant during each test. Two different cylinders of 3 or 5 mm diameter have been used and different mixtures of them have been achieved. Thus we have measured the variations of the vertical overload q and of the void index e as functions of the height variation EPSI 1 = dh/dh0. (e is defined as the ratio e = Vp/Vs of the void (or pore) volume Vp to the solid volume Vs; = Vs + Vp is the total sample volume.) These q and e variations are reported in Figure 2 a and b respectively for four different initial weight proportions of the 3 mm diameter cylinder (0, 25, 50 and 100%). Each
we will call respectively the "experimental uncertainty" and the "reproducibility". In order to do so, we have used a triaxial test device and different 2-D Schneebeli packings [5] of duralumin cylinders. The confining pressure p was kept constant during each test. Two different cylinders of 3 or 5 mm diameter have been used and different mixtures of them have been achieved. Thus we have measured the variations of the vertical overload q and of the void index e as functions of the height variation EPSI 1 = dh/dh0. (e is defined as the ratio e = Vp/Vs of the void (or pore) volume Vp to the solid volume Vs; = Vs + Vp is the total sample volume.) These q and e variations are reported in Figure 2 a and b respectively for four different initial weight proportions of the 3 mm diameter cylinder (0, 25, 50 and 100%). Each sample contains from 800 to 2,000 cylinders. We have also computed from each set of data {q, e, EPSI 1 } the value of the mean pressure P = (P + q/2) and plotted the variations of e as a function of P. This is done in Figure 3. Figure 2 a demonstrates the existence of abrupt quasi-discontinuous variations of q so that one cannot easily define a mean behavior or a mean asymptotic value from these data. These variations are not due to a lack of experimental technique. We observe also that the void index e is always larger than 0.103 = (2√3/π—1) for the monodispersed samples; this is normal since 0.103 is the void index of the triangular packing (which is the densest monodispersed packing). e is also in general continuously decreasing, except for the 5 mm diameter sample where we observe quasi-periodic variations of e and of q, whose quasi-period is about 4% and corresponds to a height variation of 8 mm, much larger than the grain size. These two q and e quasi-periodic evolutions are in quadrature since the e vs P = q + (q/2) curve is quasi-circular (Fig. 3 a). We observe also that
2 a demonstrates the existence of abrupt quasi-discontinuous variations of q so that one cannot easily define a mean behavior or a mean asymptotic value from these data. These variations are not due to a lack of experimental technique. We observe also that the void index e is always larger than 0.103 = (2√3/π—1) for the monodispersed samples; this is normal since 0.103 is the void index of the triangular packing (which is the densest monodispersed packing). e is also in general continuously decreasing, except for the 5 mm diameter sample where we observe quasi-periodic variations of e and of q, whose quasi-period is about 4% and corresponds to a height variation of 8 mm, much larger than the grain size. These two q and e quasi-periodic evolutions are in quadrature since the e vs P = q + (q/2) curve is quasi-circular (Fig. 3 a). We observe also that the material is contracting itself when q is 0 and begins to increase; this is imposed by a mechanical stability condition [4]. Other experimental results confirm the existence of such large fluctuations ([6]-[7]), even if these papers were not focusing on them. These fluctuations are perhaps related to the abrupt changes of stress distribution related by Dantu [10]. Such fluctuations have also been obtained in computer simulations ([8], [13]). Evesque and Sornette [14] and Evesque [14] have recently proposed a theoretical approach based on an analogy with spin glass and have predicted the existence of such fluctuations. We hope then that this short preliminary study will contribute to an extension of this rich and interesting topic. Les comportements mécaniques des milieux granulaires sont en général caractérisés à l'aide d'appareils bien définis ([1]-[3]), tels une boîte de cisaillement de Casagrande, un triaxial. Le mode de fonctionnement de ces appareils est tout d'abord de mettre en place le matériau suivant une ou plusieurs procédures bien définies, puis d'imposer au milieu granulaire ainsi formé une certaine déformation, variant le plus souvent lentement et continûment avec le temps, et enfin de mesurer l'évolution des grandeurs macroscopiques qui caractérisent le comportement mécanique de l'échantillon. Dans
changes of stress distribution related by Dantu [10]. Such fluctuations have also been obtained in computer simulations ([8], [13]). Evesque and Sornette [14] and Evesque [14] have recently proposed a theoretical approach based on an analogy with spin glass and have predicted the existence of such fluctuations. We hope then that this short preliminary study will contribute to an extension of this rich and interesting topic. Les comportements mécaniques des milieux granulaires sont en général caractérisés à l'aide d'appareils bien définis ([1]-[3]), tels une boîte de cisaillement de Casagrande, un triaxial. Le mode de fonctionnement de ces appareils est tout d'abord de mettre en place le matériau suivant une ou plusieurs procédures bien définies, puis d'imposer au milieu granulaire ainsi formé une certaine déformation, variant le plus souvent lentement et continûment avec le temps, et enfin de mesurer l'évolution des grandeurs macroscopiques qui caractérisent le comportement mécanique de l'échantillon. Dans le cas particulier de l'essai triaxial sous compression verticale q + p ([1]-[4]) (cf. fig. 1), l'échantillon est placé dans une capote en caoutchouc très élastique, fermée aux deux extrémités par deux pistons; le tout est immergé dans un liquide à une pression p; on s'intéresse plus précisément dans cette technique aux variations du volume et de la contrainte verticale en fonction de la déformation verticale. Les variations des grandeurs macroscopiques et les courbes que l'on en déduit ne présentent que peu de fluctuations à l'échelle des grandeurs mesurées, de telle sorte que les comportements semblent non fluctuants et reproductibles lorsque les conditions sont suffisamment précises. Le but de ce travail est de montrer et d'étudier au contraire les fluctuations des propriétés mécaniques. Nous avons pour cela choisi un matériau de type Schneebeli ([1], [5]), c'est-à-dire un empilement plus ou moins compact, aléatoire ou ordonné de cylindres de révolution, d'axe parallèle les uns aux autres et de longueur donnée; nous verrons en effet que le comportement mécanique d'un tel matériau bidimensionnel présente des fluctuations de comportement beaucoup plus importantes que son homologue tridimensionnel, tel le sable ou le sac de billes. Mais qu'appelle-t-on fluctuation à cette échelle macroscopique, car ce
technique aux variations du volume et de la contrainte verticale en fonction de la déformation verticale. Les variations des grandeurs macroscopiques et les courbes que l'on en déduit ne présentent que peu de fluctuations à l'échelle des grandeurs mesurées, de telle sorte que les comportements semblent non fluctuants et reproductibles lorsque les conditions sont suffisamment précises. Le but de ce travail est de montrer et d'étudier au contraire les fluctuations des propriétés mécaniques. Nous avons pour cela choisi un matériau de type Schneebeli ([1], [5]), c'est-à-dire un empilement plus ou moins compact, aléatoire ou ordonné de cylindres de révolution, d'axe parallèle les uns aux autres et de longueur donnée; nous verrons en effet que le comportement mécanique d'un tel matériau bidimensionnel présente des fluctuations de comportement beaucoup plus importantes que son homologue tridimensionnel, tel le sable ou le sac de billes. Mais qu'appelle-t-on fluctuation à cette échelle macroscopique, car ce n'est pas un bruit de mesure que l'on va observer dans notre cas, puisque les grandeurs sont macroscopiques ? En fait, nous classerons ces phénomènes suivant deux catégories principales liées à la façon dont on les mesure : on peut tout d'abord chercher à éprouver si les résultats expérimentaux sont reproductibles lors de deux expériences utilisant le même appareillage, le même matériau, la même méthode de mise en place de ce dernier et les mêmes conditions macroscopiques initiales (de contrainte, etc.), puis en imposant la même série de transformations; on peut simplifier la procédure en employant des échantillons différents que l'on considère équivalents. Nous appellerons ce test le test de reproductibilité. Le deuxième type de fluctuations concernent les variations aléatoires des différents paramètres macroscopiques mesurés tout au long d'un seul test, autour de valeurs moyennes glissant lentement au cours de la déformation. Nous appellerons ces deuxièmes types de fluctuations l'« incertitude expérimentale ». Nous voulons cependant faire remarquer que ces dernières fluctuations ne sont pas liées à une imprécision de la mesure, car elles font intervenir des valeurs macroscopiques; elles montrent l'existence de quantités d'énergie mécanique dissipées ou fournies importantes que ne laisse pas prévoir le calcul à partir des
reproductibles lors de deux expériences utilisant le même appareillage, le même matériau, la même méthode de mise en place de ce dernier et les mêmes conditions macroscopiques initiales (de contrainte, etc.), puis en imposant la même série de transformations; on peut simplifier la procédure en employant des échantillons différents que l'on considère équivalents. Nous appellerons ce test le test de reproductibilité. Le deuxième type de fluctuations concernent les variations aléatoires des différents paramètres macroscopiques mesurés tout au long d'un seul test, autour de valeurs moyennes glissant lentement au cours de la déformation. Nous appellerons ces deuxièmes types de fluctuations l'« incertitude expérimentale ». Nous voulons cependant faire remarquer que ces dernières fluctuations ne sont pas liées à une imprécision de la mesure, car elles font intervenir des valeurs macroscopiques; elles montrent l'existence de quantités d'énergie mécanique dissipées ou fournies importantes que ne laisse pas prévoir le calcul à partir des valeurs moyennes glissantes. On a donc affaire dans ce cas à des variations énergétiques notables, (c'est-à-dire macroscopiques et non infinitésimales), dont l'amplitude est incommensurable avec les variations infinitésimales calculées à partir des variations moyennes précédentes. Une des conclusions de cet article est de montrer qu'il faut dépasser une taille de déformation (qui varie en fonction de la taille des grains) pour pouvoir définir un comportement moyen. Les matériaux que nous avons étudiés sont donc du type Schneebeli [5] formés de cylindres en duralumin de deux diamètres possibles 3 et 5 mm dont nous avons fait varier les proportions relatives suivant les essais. Leur longueur est de 6 cm. Quatre essais ont été réalisés sur quatre matériaux différents contenant soit 100 de rouleaux de 5 mm, soit 75, 50, et 0. Ce pourcentage est calculé en poids. Les échantillons ont une vingtaine de centimètres de haut et 10 cm de large, soit un rapport d'aspect de 2; ils contiennent donc approximativement de 800 à 2000 rouleaux. Nous reportons le résultat de ces quatre tests mécaniques à l'essai triaxial sur les figures 2 et 3; ils ont été réalisés en gardant la pression latérale p constante (p = 50 kPa). On a
déformation (qui varie en fonction de la taille des grains) pour pouvoir définir un comportement moyen. Les matériaux que nous avons étudiés sont donc du type Schneebeli [5] formés de cylindres en duralumin de deux diamètres possibles 3 et 5 mm dont nous avons fait varier les proportions relatives suivant les essais. Leur longueur est de 6 cm. Quatre essais ont été réalisés sur quatre matériaux différents contenant soit 100 de rouleaux de 5 mm, soit 75, 50, et 0. Ce pourcentage est calculé en poids. Les échantillons ont une vingtaine de centimètres de haut et 10 cm de large, soit un rapport d'aspect de 2; ils contiennent donc approximativement de 800 à 2000 rouleaux. Nous reportons le résultat de ces quatre tests mécaniques à l'essai triaxial sur les figures 2 et 3; ils ont été réalisés en gardant la pression latérale p constante (p = 50 kPa). On a reporté donc les quatre variations du déviateur de contrainte q en fonction de la déformation verticale EPS 1 = ε1 = δh/h0, sur la figure 2 a. Sur la figure 2 b, nous donnons aussi les quatre variations de l'indice des vides e en fonction de EPS 1 = ε1 = δh/h0; (l'indice des vides e est par définition le rapport Vp/Vs du volume des pores Vp divisé par le volume réel Vs de la matière solide; le volume total est donc V = Vs + Vp; une variation de e indique donc une variation de volume de l'échantillon). De plus pour montrer qu'il n'y a pas de corrélation entre les variations de q et de e, nous donnons les courbes e = f (P = p + q/2) de variation de l'indice des vides e en fonction de la pression moyenne P = (q + 2p)/2 (qui varie linéairement avec q dans nos conditions expérimentales où p est constante). Toutes ces courbes montrent de grandes fluctuations avec des sauts brusques de q et de e. Ces variations ne sont pas dues à un manque de technique expérimentale. On constate entre autre que l'indice des vides e décroît en général
= δh/h0; (l'indice des vides e est par définition le rapport Vp/Vs du volume des pores Vp divisé par le volume réel Vs de la matière solide; le volume total est donc V = Vs + Vp; une variation de e indique donc une variation de volume de l'échantillon). De plus pour montrer qu'il n'y a pas de corrélation entre les variations de q et de e, nous donnons les courbes e = f (P = p + q/2) de variation de l'indice des vides e en fonction de la pression moyenne P = (q + 2p)/2 (qui varie linéairement avec q dans nos conditions expérimentales où p est constante). Toutes ces courbes montrent de grandes fluctuations avec des sauts brusques de q et de e. Ces variations ne sont pas dues à un manque de technique expérimentale. On constate entre autre que l'indice des vides e décroît en général plus ou moins continûment, sauf dans le cas de l'échantillon formé uniquement de cylindres de 5 mm de diamètre où e oscille. On constate aussi que l'indice des vides est plus grand pour les empilements contenant une seule taille de grains que pour les autres; c'est-à-dire que les milieux les plus denses sont constitués de mélange de cylindres. C'est un résultat bien connu. Si l'on se rappelle que l'indice des vides d'un empilement triangulaire régulier de disques identiques vaut e = (2 √3/Tt— 1) = 0,103 et que e est une borne inférieure pour l'indice des vides d'un empilement monodisperse, puisque c'est l'état de compacité maximum, cela implique que les empilements monodisperses sont relativement peu dense (e = 0,15 à 0,16) et sont donc désordonnés. On constate aussi que les échantillons composés de mélange de disques sont nettement plus denses et surtout qu'ils atteignent en phase finale une compacité plus importante que celle d'un empilement ordonné. D'autres expériences, effectuées sous une contrainte latérale p = 500 kPa nettement plus élevée, ont montré que les variations de l'indice des vides à ces pressions sont notoirement plus faibles, ce qui est lié au fait que le matériau est en général beaucoup plus
plus denses sont constitués de mélange de cylindres. C'est un résultat bien connu. Si l'on se rappelle que l'indice des vides d'un empilement triangulaire régulier de disques identiques vaut e = (2 √3/Tt— 1) = 0,103 et que e est une borne inférieure pour l'indice des vides d'un empilement monodisperse, puisque c'est l'état de compacité maximum, cela implique que les empilements monodisperses sont relativement peu dense (e = 0,15 à 0,16) et sont donc désordonnés. On constate aussi que les échantillons composés de mélange de disques sont nettement plus denses et surtout qu'ils atteignent en phase finale une compacité plus importante que celle d'un empilement ordonné. D'autres expériences, effectuées sous une contrainte latérale p = 500 kPa nettement plus élevée, ont montré que les variations de l'indice des vides à ces pressions sont notoirement plus faibles, ce qui est lié au fait que le matériau est en général beaucoup plus dense dès l'origine. De ce fait, les fluctuations observées sur e ne pouvaient être que nettement plus faibles. Ces expériences ont cependant confirmées l'évolution erratique de la surcharge q et l'importance des fluctuations sur cette grandeur qui sont restées qualitativement comparables à celles de la figure 2 a. D'autres résultats expérimentaux ([6]-[7]) présentent aussi de telles fluctuations, même si les auteurs ne les ont pas mentionnées explicitement. On remarque aussi sur la figure 2 un comportement particulier, presque périodique dans le cas de l'échantillon de cylindres de 5 mm. Nous allons discuter un peu plus ce phénomène. Sa période est de l'ordre de δh/h0 = EPS 1 = 4 %, ce qui correspond à des variations de hauteur de 8 mm, soit à peu près deux fois la taille d'un grain. Nous noterons que des oscillations d'amplitude comparable ont été obtenues par simulation par Bashir et Goddard [8]. Comme explication, on pourrait penser à l'effet d'une localisation des déformations le long d'un plan rugueux de périodicité le diamètre d'un grain. Cependant, ce mécanisme simple basé sur un frottement sans glissement et sans rotation semble à exclure, car il conduirait à des périodicités δh inférieures à 5 mm en contradiction avec