jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
axes principaux d'inertie de ce système. Nous savons déjà qu'on n'a le droit de considérer comme indépendants que les seuls écarts moyens mesurés parallèlement à ces axes, dont nous désignerons les valeurs par a2, b2 et c2. On les obtient en faisant les calculs, dont nous avons esquissé la marche à la page 18. Ceci posé, la probabilité d'un écart, mesuré parallèlement à l'axe GX, sera exprimée par celle d'un écart Y, mesuré parallèlement à l'axe GY, sera et celle d'un écart Z, mesuré parallèlement à l'axe GZ, sera de même Ces trois probabilités étant indépendantes, l'on est en droit de dire que leur produit donnera la probabilité d'obtenir le point déterminé par les trois écarts simultanés X, Y, Z; celle-ci aura donc pour valeur et, par suite, l'intégrale définie représentera la probabilité qu'un écart, défini par les coordonnées X, Y, Z, soit compris dans l'espace limité par une surface, dont l'équation serait une fonction donnée, telle que Cp (X, Y, Z) = 0, les limites de l'intégrale étant prises comme si l'on avait à calculer le volume circonscrit par cette surface. L'application de cette formule générale pourra souvent, dans la pratique, présenter de très grandes difficultés; mais on les évitera en suivant une marche analogue à celle dont nous nous sommes déjà servi dans le cas de la recherche d'un point dans un plan. Pour se faire une idée exacte de la signification de l'intégrale triple que nous venons d'écrire, l'on peut se figurer, comme nous l'avons fait dans les cas précédents, qu'elle représente le poids d'un corps qui serait limité par la surface donnée, et dans lequel la densité 8 varierait en chaque point suivant la loi exprimée par Continuant cette comparaison, nous poserons Cette dernière équation, quand on considère f comme un paramètre pouvant varier de 0 à + ∞, représentera une série d'ellipsoïdes semblables et semblablement placés, ayant leurs axes principaux dirigés suivant les axes des coordonnées, et qui jouissent de cette propriété qu'en tous les points de la surface de chacun d'eux la densité 8 sera constante. La densité S ne variera qu'en passant d'un
évitera en suivant une marche analogue à celle dont nous nous sommes déjà servi dans le cas de la recherche d'un point dans un plan. Pour se faire une idée exacte de la signification de l'intégrale triple que nous venons d'écrire, l'on peut se figurer, comme nous l'avons fait dans les cas précédents, qu'elle représente le poids d'un corps qui serait limité par la surface donnée, et dans lequel la densité 8 varierait en chaque point suivant la loi exprimée par Continuant cette comparaison, nous poserons Cette dernière équation, quand on considère f comme un paramètre pouvant varier de 0 à + ∞, représentera une série d'ellipsoïdes semblables et semblablement placés, ayant leurs axes principaux dirigés suivant les axes des coordonnées, et qui jouissent de cette propriété qu'en tous les points de la surface de chacun d'eux la densité 8 sera constante. La densité S ne variera qu'en passant d'un ellipsoïde au suivant, et ne sera par conséquent fonction que du seul paramètre f. L'un quelconque des ellipsoïdes, correspondant à une valeur particulière de f2, aura pour axes principaux a2, b2, c2; son volume sera donc donné par l'expression et, en y faisant varier f, la différentielle 4 fF w abct* df représentera le volume infiniment petit compris entre les surfaces de deux ellipsoïdes consécutifs, où 3 a une valeur constante; nous en conclurons donc que le poids de ce volume sera Cette expression est celle de la probabilité d'avoir un écart pour lequel la condition sera satisfaite, c'est-à-dire celle de la probabilité d'obtenir un point situé sur la surface ellipsoïdale, dont la condition précédente est l'équation. Toutes les surfaces ellipsoïdales représentées par l'équation seront donc des surfaces d'égale probabilité, puisqu'en tous les points de chacune d'elles la probabilité est la même; et il est essentiel de remarquer que ce système de surfaces d'égale probabilité est unique, comme le système d'axes auxquels elles sont rapportées. La probabilité d'un écart compris dans la portion de l'espace limitée par un de nos ellipsoïdes d'égale probabilité, défini par une valeur particulière de f, sera donc exprimée par la formule En intégrant par parties,
abct* df représentera le volume infiniment petit compris entre les surfaces de deux ellipsoïdes consécutifs, où 3 a une valeur constante; nous en conclurons donc que le poids de ce volume sera Cette expression est celle de la probabilité d'avoir un écart pour lequel la condition sera satisfaite, c'est-à-dire celle de la probabilité d'obtenir un point situé sur la surface ellipsoïdale, dont la condition précédente est l'équation. Toutes les surfaces ellipsoïdales représentées par l'équation seront donc des surfaces d'égale probabilité, puisqu'en tous les points de chacune d'elles la probabilité est la même; et il est essentiel de remarquer que ce système de surfaces d'égale probabilité est unique, comme le système d'axes auxquels elles sont rapportées. La probabilité d'un écart compris dans la portion de l'espace limitée par un de nos ellipsoïdes d'égale probabilité, défini par une valeur particulière de f, sera donc exprimée par la formule En intégrant par parties, on peut mettre cette fonction sous la forme qui permet d'en calculer assez facilement des valeurs au moyen d'une table de la fonction Θ (f), que nous avons déjà rencontrée. Pour t = + ∞, on trouve P = Θ(t) = 1, comme on devait s'y attendre. L'ellipsoïde, pour lequel f2 a la valeur qui donne P = Θ(f) = , séparera dans l'espace deux parties bien distinctes, et telles que la moitié des points fournis par un nombre d'observations suffisamment grand sera contenue dans chacune d'elles. Il fixera donc la limite que ne dépasseront pas la moitié des écarts, et il y aura un à parier contre un que, dans une expérience nouvelle, le point obtenu se trouvera aussi bien dans son intérieur qu'en dehors de l'espace qu'il circonscrit. L'on pourrait donner à cet ellipsoïde remarquable le nom d'ellipsoïde des écarts probables et à ses axes celui d'axes des écarts probables. Il suffira donc d'avoir une table des valeurs correspondantes de P, Q, f, f2, 2f et J/Sf, pour que, dans chaque cas particulier, c'est-à-dire pour un système de points observés en nombre suffisant, l'on puisse déterminer : soit l'ellipsoïde par lequel seront limités les écarts qu'il y aura
f2 a la valeur qui donne P = Θ(f) = , séparera dans l'espace deux parties bien distinctes, et telles que la moitié des points fournis par un nombre d'observations suffisamment grand sera contenue dans chacune d'elles. Il fixera donc la limite que ne dépasseront pas la moitié des écarts, et il y aura un à parier contre un que, dans une expérience nouvelle, le point obtenu se trouvera aussi bien dans son intérieur qu'en dehors de l'espace qu'il circonscrit. L'on pourrait donner à cet ellipsoïde remarquable le nom d'ellipsoïde des écarts probables et à ses axes celui d'axes des écarts probables. Il suffira donc d'avoir une table des valeurs correspondantes de P, Q, f, f2, 2f et J/Sf, pour que, dans chaque cas particulier, c'est-à-dire pour un système de points observés en nombre suffisant, l'on puisse déterminer : soit l'ellipsoïde par lequel seront limités les écarts qu'il y aura une probabilité donnée de ne pas dépasser, soit la probabilité que les écarts ne franchiront pas les limites marquées par un ellipsoïde donné. Nous avons calculé une table des valeurs de la fonction Θ(f), donnant les probabilités variant de dixième en dixième, et les valeurs correspondantes des quantités f, f2, 2f et √f. On trouvera cette table C à la page 115. Cette table nous montre que l'ellipsoïde des écarts probables aura pour équation Ce résultat est évident, car pour t = + ∞, t2 = 0 (t) = 1 et t e = 0; l'on a en effet et le dénominateur de cette dernière expression devient infini pour t = ∞. et que ses axes, que nous avons appelés axes des écarts probables, ont pour expressions 1,53838a, 1,538386, 1,53838c; leurs valeurs seront par conséquent plus que deux fois plus grandes que les écarts probables calculés d'après la théorie en usage, en supposant tous les écarts rapportés au même système d'axes des coordonnées. L'explication de ces différences se présente d'elle-même, et il n'est pas nécessaire de s'y arrêter. Nous voyons donc, d'après cela, qu'après avoir calculé les écarts moyens a2, b2 et c2, rapportés aux axes principaux d'inertie du système
2f et √f. On trouvera cette table C à la page 115. Cette table nous montre que l'ellipsoïde des écarts probables aura pour équation Ce résultat est évident, car pour t = + ∞, t2 = 0 (t) = 1 et t e = 0; l'on a en effet et le dénominateur de cette dernière expression devient infini pour t = ∞. et que ses axes, que nous avons appelés axes des écarts probables, ont pour expressions 1,53838a, 1,538386, 1,53838c; leurs valeurs seront par conséquent plus que deux fois plus grandes que les écarts probables calculés d'après la théorie en usage, en supposant tous les écarts rapportés au même système d'axes des coordonnées. L'explication de ces différences se présente d'elle-même, et il n'est pas nécessaire de s'y arrêter. Nous voyons donc, d'après cela, qu'après avoir calculé les écarts moyens a2, b2 et c2, rapportés aux axes principaux d'inertie du système des points observés, nous pourrons dire qu'il y aura un à parier contre un qu'une expérience nouvelle donnera un point dont les coordonnées satisferont à la condition qu'il y aura quatre à parier contre six que ces coordonnées satisferont à la condition et qu'il y aura six à parier contre quatre qu'elles satisferont à la condition ,. etc. Les mêmes conséquences s'appliquent à la détermination du point cherché X, Y, Z, pour lequel on prend le point moyen Xo, Yo, Z0. Le degré de précision de cette solution approchée pourra s'apprécier au moyen d'une série d'ellipsoïdes semblables et semblablement placés, ayant tous leur centre au point Xo, Yo, Zo, et leurs axes principaux dirigés suivant les axes d'inertie des points observés. Nous saurons ainsi qu'il y a une probabilité , ou qu'il y a 1 à parier un contre un, qu'en plaçant le point cherché au point Xo, Y0, Zo, les écarts o, '1Jo, o, qu'on peut craindre sur sa vraie position, satisfont à la condition ou X, li et v étant les écarts moyens calculés comme nous l'avons vu précédemment. Il y aura donc une probabilité 1 que le point inconnu, dont on cherche à déterminer la position, est
quatre qu'elles satisferont à la condition ,. etc. Les mêmes conséquences s'appliquent à la détermination du point cherché X, Y, Z, pour lequel on prend le point moyen Xo, Yo, Z0. Le degré de précision de cette solution approchée pourra s'apprécier au moyen d'une série d'ellipsoïdes semblables et semblablement placés, ayant tous leur centre au point Xo, Yo, Zo, et leurs axes principaux dirigés suivant les axes d'inertie des points observés. Nous saurons ainsi qu'il y a une probabilité , ou qu'il y a 1 à parier un contre un, qu'en plaçant le point cherché au point Xo, Y0, Zo, les écarts o, '1Jo, o, qu'on peut craindre sur sa vraie position, satisfont à la condition ou X, li et v étant les écarts moyens calculés comme nous l'avons vu précédemment. Il y aura donc une probabilité 1 que le point inconnu, dont on cherche à déterminer la position, est situé dans l'intérieur de l'ellipsoïde ayant pour équation et qu'il ne cessera pas d'y être placé si l'on fait de nouvelles expériences. Cet ellipsoïde des écarts probables doit donc, à juste titre, être considéré comme donnant en quelque sorte la mesure de la précision du résultat. CONCLUSIONS. Nous sommes donc arrivé finalement à des conclusions fort simples, qu'on peut résumer comme il suit : 1° Dans le cas de la recherche d'un point sur une ligne, la formule fera connaître la probabilité que, dans une nouvelle observation, l'ecart ne dépassera pas la limite £ , pour laquelle on aura 2° Dans le cas de la recherche d'un point sur un plan, la formule P = cJI (t) = 1 _e t fera connaître la probabilité que le point fourni par une nouvelle observation (point pour lequel les coordonnées £ et 7) représentent les écarts), tombera dans l'intérieur de l'ellipse qui a pour équation 3° Dans le cas de la recherche d'un point dans l'espace, la formule fera connaître la probabilité que le point fourni par une nouvelle observation (point pour lequel les coordonnées £ , y] et Z représentent les écarts) tombera dans l'intérieur de l'ellipsoïde, qui a pour équation
arrivé finalement à des conclusions fort simples, qu'on peut résumer comme il suit : 1° Dans le cas de la recherche d'un point sur une ligne, la formule fera connaître la probabilité que, dans une nouvelle observation, l'ecart ne dépassera pas la limite £ , pour laquelle on aura 2° Dans le cas de la recherche d'un point sur un plan, la formule P = cJI (t) = 1 _e t fera connaître la probabilité que le point fourni par une nouvelle observation (point pour lequel les coordonnées £ et 7) représentent les écarts), tombera dans l'intérieur de l'ellipse qui a pour équation 3° Dans le cas de la recherche d'un point dans l'espace, la formule fera connaître la probabilité que le point fourni par une nouvelle observation (point pour lequel les coordonnées £ , y] et Z représentent les écarts) tombera dans l'intérieur de l'ellipsoïde, qui a pour équation Mais il ne faudra pas perdre de vue que les écarts moyens, aussi bien que les écarts tj, Ç, doivent toujours être mesurés parallèlement aux axes principaux d'inertie du système des points observés. Il est donc indispensable, avant tout, de déterminer ces axes, parce que leur emploi, comme axes des coordonnées, est absolument obligatoire, et que ce serait commettre une faute de principe que d'en employer d'autres. Il serait, croyons-nous, difficile de trouver une solution à la fois plus claire et plus complète du problème délicat de l'application du calcul des probabilités aux sciences d'observation et en particulier aux expériences d'artillerie. Nos conclusions ne diffèrent pas au fond de celles auxquelles M. le major Siacci est arrivé par une autre voie dans l'article de la Revue d'artillerie déjà cité dans ce mémoire; mais nous avons suivi une marche qui nous semble à la fois plus directeet plus naturelle, et les conséquences nouvelles auxquelles elle nous a conduit, nous paraissent avoir un caractère de précision et de simplicité si évident, qu'elles ne peuvent manquer de s'imposer dans la pratique. TABLE A. Table des valeurs correspondantes de P, Q, t, t2P et /21, pour le cas de la recherche d'un point sur
coordonnées, est absolument obligatoire, et que ce serait commettre une faute de principe que d'en employer d'autres. Il serait, croyons-nous, difficile de trouver une solution à la fois plus claire et plus complète du problème délicat de l'application du calcul des probabilités aux sciences d'observation et en particulier aux expériences d'artillerie. Nos conclusions ne diffèrent pas au fond de celles auxquelles M. le major Siacci est arrivé par une autre voie dans l'article de la Revue d'artillerie déjà cité dans ce mémoire; mais nous avons suivi une marche qui nous semble à la fois plus directeet plus naturelle, et les conséquences nouvelles auxquelles elle nous a conduit, nous paraissent avoir un caractère de précision et de simplicité si évident, qu'elles ne peuvent manquer de s'imposer dans la pratique. TABLE A. Table des valeurs correspondantes de P, Q, t, t2P et /21, pour le cas de la recherche d'un point sur une ligne, par application de la formule jointe à la relation P 0 (t). Q — i — p. t. t1. 2t. V; t. o 1 o o o o 0,1 0,9 0,08839 0,007812 0,015624 0,125002 0,2 0,8 0,17917 0,032102 0,064201 0,253385 0,3 0,7 0,27248 0,0742453 0,1481906 0,3853396 0,4 0,6 0,37081 0,137493 0,274986 0,52439 0,5 0,5 0,4694 0,220336 0,440672 0,66383 0,6 0,4 0,59512 0,354168 0,708336 0,841627 0,7 0,3 0,73287 0,537098 1,074196 1,036130 0,8 0,2 0,90619 0,82118 1,74236 1,281645 0,9 0,1 1,16309 1,35275 2,70550 1,61486 1 0 00 co co co TABLE B. Table des valeurs correspondantes de P, Q, t, t, 2t, et l/21, pour le cas de la recherche d'un point dans un plan, par application de la formule t p = b (t) = 1 e , jointe à la relation p — *(«)• Q = 1 — P. t. 2 t2, 1 0 1 0 0 0 0 0,1 0,9 0,3245f&gt;5 0,10536 0,21072 0,45904 0,2 0,8 0,472351 0,22314 0,41629 0,66805 0,3 0,7 0,597222 0,35667 0,71335 0,84460 0,4 0,6 0,71480 0,51094 1,02189 1,01088 o's 0,5 0,834174 0,69315 1,38629 1,17741 0,6 0,4 0,957232 0,91629 1,83258 1,35373 o!63212 0,36798 1 1 2 1,41421 0 7 0,3 1,097255 1,20397 2,40794 1,55175
0,37081 0,137493 0,274986 0,52439 0,5 0,5 0,4694 0,220336 0,440672 0,66383 0,6 0,4 0,59512 0,354168 0,708336 0,841627 0,7 0,3 0,73287 0,537098 1,074196 1,036130 0,8 0,2 0,90619 0,82118 1,74236 1,281645 0,9 0,1 1,16309 1,35275 2,70550 1,61486 1 0 00 co co co TABLE B. Table des valeurs correspondantes de P, Q, t, t, 2t, et l/21, pour le cas de la recherche d'un point dans un plan, par application de la formule t p = b (t) = 1 e , jointe à la relation p — *(«)• Q = 1 — P. t. 2 t2, 1 0 1 0 0 0 0 0,1 0,9 0,3245f&gt;5 0,10536 0,21072 0,45904 0,2 0,8 0,472351 0,22314 0,41629 0,66805 0,3 0,7 0,597222 0,35667 0,71335 0,84460 0,4 0,6 0,71480 0,51094 1,02189 1,01088 o's 0,5 0,834174 0,69315 1,38629 1,17741 0,6 0,4 0,957232 0,91629 1,83258 1,35373 o!63212 0,36798 1 1 2 1,41421 0 7 0,3 1,097255 1,20397 2,40794 1,55175 0,8 0 2 1,258243 1,60966 3,21932 1,79425 0,9 0,1 1,517422 2,30285 4,60570 2,14596 1 0 00 00 00 00 Table des valeurs correspondantes de P, Q, t, t', 2t1 et 2t2, pour le cas de la recherche d'un point dans l'espace, par application de la formule jointe à la relation P = (Y<), Q = 1 — P, t. th 2t2. V2 t 0 1 0 0 0 0 0,1 0,9 0,5406 0,29225 0,58450 0,76452 0,2 0,8 0,7038 0,50240 1,00480 1,02390 0,3 0,7 0,8437 0,71183 1,42366 1,19327 0,4 0 1 0,9667 0,93451 1,86902 1,36712 0,4275 0,5725 1 1,41421 0,5 0,5 1,0878 1,18331 2,36662 1,53838 0,6 0,4 1,2137 1,47307 2,94614 1,71643 0,7 0,3 1,3540 1,83332 3,66664 1,91044 0,8 0,2 1,5281 2,33509 4,67018 2,16106 0,9 0,1 1,7683 3,12688 6,25376 2,50075 1 0 00 00 00 00 NOTE SUR L'INFLUENCE DU NOMBRE DES OBSERVATIONS. Dans l'article publié en 1830, au troisième numéro du Mémorial de l'artillerie, Poisson fait remarquer que les formules du calcul des probabilités sont d'autant plus exactes que le nombre des observations est plus grand; puis il ajoute « qu'on peut encore employer ces formules avec utilité dans l'artillerie, lorsqu'on aura seulement dix ou douze mesures d'une même chose A,
P = (Y<), Q = 1 — P, t. th 2t2. V2 t 0 1 0 0 0 0 0,1 0,9 0,5406 0,29225 0,58450 0,76452 0,2 0,8 0,7038 0,50240 1,00480 1,02390 0,3 0,7 0,8437 0,71183 1,42366 1,19327 0,4 0 1 0,9667 0,93451 1,86902 1,36712 0,4275 0,5725 1 1,41421 0,5 0,5 1,0878 1,18331 2,36662 1,53838 0,6 0,4 1,2137 1,47307 2,94614 1,71643 0,7 0,3 1,3540 1,83332 3,66664 1,91044 0,8 0,2 1,5281 2,33509 4,67018 2,16106 0,9 0,1 1,7683 3,12688 6,25376 2,50075 1 0 00 00 00 00 NOTE SUR L'INFLUENCE DU NOMBRE DES OBSERVATIONS. Dans l'article publié en 1830, au troisième numéro du Mémorial de l'artillerie, Poisson fait remarquer que les formules du calcul des probabilités sont d'autant plus exactes que le nombre des observations est plus grand; puis il ajoute « qu'on peut encore employer ces formules avec utilité dans l'artillerie, lorsqu'on aura seulement dix ou douze mesures d'une même chose A, mais que, pour de moindres nombres d'observations, le calcul des probabilités ne fournit plus aucun moyen d'évaluer l'erreur à craindre en prenant le résultat moyen pour la valeur de A. » Ce paragraphe aurait eu besoin d'être complété par une explication que l'illustre savant n'a point donnée; néanmoins on l'invoque toujours pour justifier la règle, très fréquemment suivie par les commissions d'expériences, en vertu de laquelle on considère dix ou douze observations comme suffisantes pour obtenir un résultat, et pour calculer l'écart probable par lequel on en apprécie la valeur. Nous avons donc pensé faire une chose utile en cherchant quel est le degré de confiance qu'il est permis d'accorder aux résultats fournis par cette manière d'opérer. Tel est l'objet de cette note. Les applications du calcul des probabilités aux sciences d'observations reposent sur l'emploi de la formule, qui fait connaître la probabilité P que, sur la mesure d'une certaine quantité X, l'erreur ou l'écart à craindre restera compris entre les limites — x et + x. L'on sait que le paramètre h définit le degré de précision des expériences; le problème consiste donc à chercher comment le nombre des observations influe sur sa détermination. Tous les écarts possibles étant
toujours pour justifier la règle, très fréquemment suivie par les commissions d'expériences, en vertu de laquelle on considère dix ou douze observations comme suffisantes pour obtenir un résultat, et pour calculer l'écart probable par lequel on en apprécie la valeur. Nous avons donc pensé faire une chose utile en cherchant quel est le degré de confiance qu'il est permis d'accorder aux résultats fournis par cette manière d'opérer. Tel est l'objet de cette note. Les applications du calcul des probabilités aux sciences d'observations reposent sur l'emploi de la formule, qui fait connaître la probabilité P que, sur la mesure d'une certaine quantité X, l'erreur ou l'écart à craindre restera compris entre les limites — x et + x. L'on sait que le paramètre h définit le degré de précision des expériences; le problème consiste donc à chercher comment le nombre des observations influe sur sa détermination. Tous les écarts possibles étant compris entre — x et + x, la probabilité P devient une certitude, quand on fait x = ∞ dans la formule précédente, et l'on a, par conséquent, Pour trouver la relation par laquelle le paramètre h est lié aux écarts, il suffit de différentier cette dernière équation par rapport à h; ce qui donne : d'où l'on tire ou en posant e2 est la moyenne de la somme des carrés x2 de tous les écarts possibles, à laquelle on substitue, dans les applications, la valeur a2 du carré de l'écart moyen des observations. Ainsi qu'on l'a vu au commencement de ce mémoire, on calcule a2 par la formule où 2na est la somme des carrés des écarts observés et n le nombre des observations. Gauss a démontré que la valeur de h, ainsi obtenue, est la plus probable, et il a fait voir en outre que l'erreur probable sur cette valeur a pour expression, d'où il résulte qu'il y a une probabilité 1/2, ou un à parier 1 contre 1, que la vraie valeur de h restera comprise entre les limites données par la formulaire d'après cela, en conservant les mêmes notations que dans le mémoire, nous pourrons dire