jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
supérieure, que l'action exercée par ses propres molécules les unes sur les autres, au point d'attache, soit plus grande que celle de la terre sur toute la masse des molécules qui se trouvent placées entre elle et ce même point d'attache. Prenons pour exemple le cas qui se présente lorsque l'on suspend verticalement une verge de fer par une de ses extrémités. Le calcul indique alors que la cohésion du métal est égale à l'effort qui est exercé par une colonne de 6,000 mètres de longueur, et que, passé cette limite, le poids de la partie inférieure en déterminerait la rupture. Si donc on isole, par la pensée, une file de molécules dans le sens de la longueur de cette verge, ou qu'on la considère comme simplement composée d'une file de molécules à la suite les unes des autres, il faudra qu'au point où s'opérera la rupture, l'attraction des molécules appartenant respectivement à chacune des files qui se trouvent en deçà et au-delà de ce point, soit égale à celle que la terre exerce sur la totalité des molécules qui se trouvent placées entre la terre et ce même point de rupture. Pour déterminer cette action, j'examinerai de quelle manière l'attraction agit dans ce cas sur les molécules, en supposant d'abord que deux corps A et B, de forme sphérique, ayant chacun un volume égal à celui de la terre et de même densité, se trouvent en contact par un point de leur surface, et que la somme de leurs masses et la distance qui les sépare sont représentées par l'unité. Leur action réciproque sera alors évidemment exprimée par – = 1. Si l'on suppose actuellement ces corps divisés en sphères de mètre de diamètre et ayant la même densité, le diamètre de la terre étant, en nombres ronds, de 12 millions de mètres, le nombre de sphères composant chacune des deux masses sera de (12,000,000)^, et l'attraction de chacune de ces sphères, sur celle avec laquelle elle se trouve en contact, sera exprimée par 1 – 1/2,000,000 ou il suit, qu'en supposant la densité de chacune des sphères douze
l'attraction agit dans ce cas sur les molécules, en supposant d'abord que deux corps A et B, de forme sphérique, ayant chacun un volume égal à celui de la terre et de même densité, se trouvent en contact par un point de leur surface, et que la somme de leurs masses et la distance qui les sépare sont représentées par l'unité. Leur action réciproque sera alors évidemment exprimée par – = 1. Si l'on suppose actuellement ces corps divisés en sphères de mètre de diamètre et ayant la même densité, le diamètre de la terre étant, en nombres ronds, de 12 millions de mètres, le nombre de sphères composant chacune des deux masses sera de (12,000,000)^, et l'attraction de chacune de ces sphères, sur celle avec laquelle elle se trouve en contact, sera exprimée par 1 – 1/2,000,000 ou il suit, qu'en supposant la densité de chacune des sphères douze millions de fois plus grande, ou, en d'autres termes, que leur nombre soit douze millions de fois plus petit chacune d'elles jouira de la propriété d'exercer à sa surface une attraction égale à celle des deux grands corps l'un sur l'autre. Mais, comme l'attraction des sphères en contact doit être, ainsi que nous l'avons vu, assez puissante pour en soutenir une file de 6,000, il faudra que leur action à ce point soit 6,000 fois plus considérable, et c'est ce que nous obtiendrons si en augmentant leur densité dans ce rapport et en diminuant le nombre dans la même proportion, ce qui le réduira à (12,000,000)^3rd, à la même proportion, ce qui le réduira à 12,000,000 x 1000 4 A 10. Indépendamment de l'action que les deux sphères ou molécules en contact, qui font partie d'une file, exerceront individuellement l'une sur l'autre, chacune d'elles exercera, sur toutes celles de la même file, une action qui sera mesurée par leur masse divisée par le carré de la distance qui les sépare. En nommant a, b les petites sphères ou molécules appartenant respectivement aux files qui se trouvent en deçà et au-delà du point de contact, et ordonnant leurs distances à partir
ainsi que nous l'avons vu, assez puissante pour en soutenir une file de 6,000, il faudra que leur action à ce point soit 6,000 fois plus considérable, et c'est ce que nous obtiendrons si en augmentant leur densité dans ce rapport et en diminuant le nombre dans la même proportion, ce qui le réduira à (12,000,000)^3rd, à la même proportion, ce qui le réduira à 12,000,000 x 1000 4 A 10. Indépendamment de l'action que les deux sphères ou molécules en contact, qui font partie d'une file, exerceront individuellement l'une sur l'autre, chacune d'elles exercera, sur toutes celles de la même file, une action qui sera mesurée par leur masse divisée par le carré de la distance qui les sépare. En nommant a, b les petites sphères ou molécules appartenant respectivement aux files qui se trouvent en deçà et au-delà du point de contact, et ordonnant leurs distances à partir de ce point, on trouvera que la somme de l'attraction des deux files l'une sur l'autre se compose 1°. De l'attraction de a sur b = = 1; 2°. De l'attraction de a sur b' = 1– W rr = -r Total. =1 de a sur o = rr; = 2 de a' (2)' 4 1 :2 3°. De l'attraction de a sur b" = 1^tt = (3)2 9 Total. =1 de a' sur b' = = 1 Total =1 de a" sur =^ = 1 et ainsi de suite, en suivant la loi qui se manifeste dès les premiers termes d'une manière évidente. La question se réduit donc à trouver, entre des limites déterminées, la somme des termes de la suite 1, -2, -3, etc. En ajoutant ensemble les 9 premiers termes, on trouve 2,83. Si l'on prend les 50 termes suivants et que l'on en cherche la somme, on arrivera à la même valeur puisqu'on aura dix fois plus de termes ayant chacun une valeur moyenne dix fois moindre, et en divisant tous les autres termes en séries dont le nombre des termes soit successivement dix fois plus grand, c'est-à-dire de 600 à 6,000, de 9,000 à 90,000,
2 de a' (2)' 4 1 :2 3°. De l'attraction de a sur b" = 1^tt = (3)2 9 Total. =1 de a' sur b' = = 1 Total =1 de a" sur =^ = 1 et ainsi de suite, en suivant la loi qui se manifeste dès les premiers termes d'une manière évidente. La question se réduit donc à trouver, entre des limites déterminées, la somme des termes de la suite 1, -2, -3, etc. En ajoutant ensemble les 9 premiers termes, on trouve 2,83. Si l'on prend les 50 termes suivants et que l'on en cherche la somme, on arrivera à la même valeur puisqu'on aura dix fois plus de termes ayant chacun une valeur moyenne dix fois moindre, et en divisant tous les autres termes en séries dont le nombre des termes soit successivement dix fois plus grand, c'est-à-dire de 600 à 6,000, de 9,000 à 90,000, etc., il en sera de même pour chacune d'elles, en sorte que la somme des termes de la suite pourra être exprimée par le logarithme de leur nombre multiplié par la somme de l'une des séries; soit dans le cas qui nous occupe 2,83 x log 6,000 = 2,83 x 3,778 = 10,76, soit 10 pour simplifier les calculs. On pourra donc, par suite de cet autre effet de l'attraction ajouté au premier, supposer les molécules dix fois moins denses, et leur quantité dix fois plus considérable, c'est-à-dire de 24 x 10^2, ou 240,000 millions. On voit que l'action exercée ici par les sphères ou molécules les unes sur les autres, est due à deux causes distinctes qu'il importe de considérer chacune en particulier. La première est dépendante de l'état de division et de densité sous lequel on considère la matière cette action de molécule à molécule n'a pour effet ni d'augmenter ni de diminuer la longueur totale que formeraient les molécules si on les supposait toutes placées à la suite les unes des autres, et le mécanisme du calcul indique qu'il en doit être ainsi. On voit en effet que, dans le cas qui nous occupe, nous avons pour
3,778 = 10,76, soit 10 pour simplifier les calculs. On pourra donc, par suite de cet autre effet de l'attraction ajouté au premier, supposer les molécules dix fois moins denses, et leur quantité dix fois plus considérable, c'est-à-dire de 24 x 10^2, ou 240,000 millions. On voit que l'action exercée ici par les sphères ou molécules les unes sur les autres, est due à deux causes distinctes qu'il importe de considérer chacune en particulier. La première est dépendante de l'état de division et de densité sous lequel on considère la matière cette action de molécule à molécule n'a pour effet ni d'augmenter ni de diminuer la longueur totale que formeraient les molécules si on les supposait toutes placées à la suite les unes des autres, et le mécanisme du calcul indique qu'il en doit être ainsi. On voit en effet que, dans le cas qui nous occupe, nous avons pour 1 (12,000,000)² x 1 = 144 millions de mètres, puisque cette longueur – = 24,000 millions de mètres, puisque 0 12,000,000 x 0,000 r = 0,12. On voit que la seule cause d'erreur du calcul que j'ai établi, ne pourrait provenir que de l'influence qu'exerceraient les différences de valeur des différences, entre les divers termes des séries. Or ces différences, qui sont considérables entre les termes de la première série, deviennent si excessivement petites dans les suivants, qu'elles atteignent dès le troisième terme le millième de sa valeur; on peut donc regarder la valeur intermédiaire entre deux termes comme l'expression exacte de la moitié de leur somme, et, par conséquent, le premier terme de la série qui contient dix fois plus de termes ayant une valeur dix fois moindre, puisqu'on peut diviser cette série en 10 parties qui auront chacune respectivement une valeur sinon égale du moins très-approximative de celle des deux termes consécutifs de la première auxquels ils correspondent. Chaque sphère a 1 mètre de diamètre, et que pour toute autre quantité et (les sphères de 1 millimètre de diamètre par exemple, on aurait également (12,000,000)² = 144 millions de sphères ayant un diamètre mille fois plus petit, ce
différences, entre les divers termes des séries. Or ces différences, qui sont considérables entre les termes de la première série, deviennent si excessivement petites dans les suivants, qu'elles atteignent dès le troisième terme le millième de sa valeur; on peut donc regarder la valeur intermédiaire entre deux termes comme l'expression exacte de la moitié de leur somme, et, par conséquent, le premier terme de la série qui contient dix fois plus de termes ayant une valeur dix fois moindre, puisqu'on peut diviser cette série en 10 parties qui auront chacune respectivement une valeur sinon égale du moins très-approximative de celle des deux termes consécutifs de la première auxquels ils correspondent. Chaque sphère a 1 mètre de diamètre, et que pour toute autre quantité et (les sphères de 1 millimètre de diamètre par exemple, on aurait également (12,000,000)² = 144 millions de sphères ayant un diamètre mille fois plus petit, ce qui formerait la même longueur de 24,000 millions. La seconde cause qui influence sur le nombre des sphères ou molécules d'un système dont les diverses parties doivent jouir de la propriété de cohésion dans des limites déterminées, est due à l'état de division et de densité sous lequel on considère ces mêmes molécules, et l'on voit, d'après ce que nous venons de voir, que ce nombre croît suivant une loi qui est fonction du logarithme du nombre de ces mêmes molécules. Il suffirait donc, pour résoudre la question et donner une explication satisfaisante des phénomènes de la cohésion, sans avoir recours à d'autres causes que celle de l'attraction newtonienne, de supposer que les molécules qui constituent les corps se groupent en affectant de se placer en files d'autant plus longues que cette propriété de cohésion est plus marquée chez eux, et que leur dimension est portée à un degré de ténuité si avancé, qu'elle dépasse toutes les notions que nous pouvons nous faire des quantités infiniment petites opinion du reste qui, comme on sait, a été admise par la presque généralité des physiciens qui ont fait de cet objet le sujet de leurs méditations car la conséquence de cette excessive
ces mêmes molécules, et l'on voit, d'après ce que nous venons de voir, que ce nombre croît suivant une loi qui est fonction du logarithme du nombre de ces mêmes molécules. Il suffirait donc, pour résoudre la question et donner une explication satisfaisante des phénomènes de la cohésion, sans avoir recours à d'autres causes que celle de l'attraction newtonienne, de supposer que les molécules qui constituent les corps se groupent en affectant de se placer en files d'autant plus longues que cette propriété de cohésion est plus marquée chez eux, et que leur dimension est portée à un degré de ténuité si avancé, qu'elle dépasse toutes les notions que nous pouvons nous faire des quantités infiniment petites opinion du reste qui, comme on sait, a été admise par la presque généralité des physiciens qui ont fait de cet objet le sujet de leurs méditations car la conséquence de cette excessive ténuité sera de les augmenter dans une énorme proportion, et l'on comprend qu'alors le logarithme du nombre qui exprime la quantité de molécules contenues dans une file d'une longueur finie, aussi petite qu'on voudra, pourra être lui-même assez grand pour augmenter indéfiniment la force attractive qui lie entre elles les diverses parties du système, et permettre de supposer que la densité de chaque molécule, et par conséquent l'attraction qu'elle exerce individuellement sur sa voisine, est d'autant moindre, que le logarithme du nombre qui exprime la quantité de molécules qui constituent la file est plus grand. On sera donc maître d'assigner au nombre de ces molécules les valeurs que l'on jugera susceptibles de s'accorder avec les divers phénomènes qui sont une suite des propriétés de la matière; et c'est ce que je me propose d'examiner et de soumettre à l'Académie dans un nouveau Mémoire, en faisant voir que des molécules soumises à leur attraction réciproque et abandonnées à elles-mêmes dans un espace indéfini, tendront nécessairement à se réunir en files rectilignes, groupées symétriquement, et rayonnant autour d'un centre commun. M. Arago, à l'occasion de la nouvelle donnée par divers journaux d'un événement qui aurait pu interrompre les communications électriques entre la
diverses parties du système, et permettre de supposer que la densité de chaque molécule, et par conséquent l'attraction qu'elle exerce individuellement sur sa voisine, est d'autant moindre, que le logarithme du nombre qui exprime la quantité de molécules qui constituent la file est plus grand. On sera donc maître d'assigner au nombre de ces molécules les valeurs que l'on jugera susceptibles de s'accorder avec les divers phénomènes qui sont une suite des propriétés de la matière; et c'est ce que je me propose d'examiner et de soumettre à l'Académie dans un nouveau Mémoire, en faisant voir que des molécules soumises à leur attraction réciproque et abandonnées à elles-mêmes dans un espace indéfini, tendront nécessairement à se réunir en files rectilignes, groupées symétriquement, et rayonnant autour d'un centre commun. M. Arago, à l'occasion de la nouvelle donnée par divers journaux d'un événement qui aurait pu interrompre les communications électriques entre la France et l'Angleterre, met sous les yeux de l'Académie un spécimen du câble sous-marin au moyen duquel se fait la transmission. M. Payen fait hommage à l'Académie d'un exemplaire du Compte rendu de la séance publique de la Société centrale d'Agriculture. [Voir au Bulletin bibliographique.] Flourens présente, au nom de l'auteur, M. de Humboldt, un nouveau volume du Cosmos, édition allemande. {Voir au Bulletin bibliographique.) M. LE Président annonce que le XIIIe volume du Recueil des Mémoires des Savants étrangers est en distribution au secrétariat. RAPPORTS. CALCUL DES PROBABILITÉS. -Rapport sur un Mémoire de M. JULES Bienaymé, Inspecteur général des finances, concernant la probabilité des erreurs d'après la méthode des moindres carrés. (Commissaires, MM. Lamé, Chasles, Liouville rapporteur.) « L'Académie nous a chargés, M. Lamé, M. Chasles et moi, de lui rendre compte d'un Mémoire de M. Bienaymé, inspecteur général des finances, sur la probabilité des erreurs d'après la méthode des moindres carrés. Cette méthode célèbre, et aujourd'hui d'un très-fréquent usage, a été donnée d'abord par Legendre dans ses Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes publiées en 1805, et, depuis, elle a été l'objet des travaux d'un grand nombre de géomètres, parmi lesquels nous citerons Laplace et
l'auteur, M. de Humboldt, un nouveau volume du Cosmos, édition allemande. {Voir au Bulletin bibliographique.) M. LE Président annonce que le XIIIe volume du Recueil des Mémoires des Savants étrangers est en distribution au secrétariat. RAPPORTS. CALCUL DES PROBABILITÉS. -Rapport sur un Mémoire de M. JULES Bienaymé, Inspecteur général des finances, concernant la probabilité des erreurs d'après la méthode des moindres carrés. (Commissaires, MM. Lamé, Chasles, Liouville rapporteur.) « L'Académie nous a chargés, M. Lamé, M. Chasles et moi, de lui rendre compte d'un Mémoire de M. Bienaymé, inspecteur général des finances, sur la probabilité des erreurs d'après la méthode des moindres carrés. Cette méthode célèbre, et aujourd'hui d'un très-fréquent usage, a été donnée d'abord par Legendre dans ses Nouvelles méthodes pour la détermination des orbites des comètes publiées en 1805, et, depuis, elle a été l'objet des travaux d'un grand nombre de géomètres, parmi lesquels nous citerons Laplace et M. Gauss. Elle donne aux astronomes en particulier un moyen régulier et uniforme de résoudre les équations de condition du premier degré, en plus grand nombre que les inconnues, qui se présentent à eux quand ils veulent rectifier les éléments des orbites et les masses des corps célestes. La règle est de multiplier chacune des équations de condition par le coefficient de chacune des inconnues successivement; d'ajouter les produits donnés par les coefficients de la même inconnue, ce qui fournit autant de nouvelles équations que d'inconnues; enfin de résoudre ces équations de la manière ordinaire. Les solutions, ainsi obtenues, jouissent de la propriété de ne renfermer que les moindres erreurs possibles pour une probabilité donnée. Ce n'est pas, bien entendu, un minimum absolu; c'est un minimum relatif au choix des multiplicateurs qu'on peut appliquer aux équations de condition, pour former ensuite, en les ajoutant, de nouvelles équations qui les remplacent et qui ne soient plus qu'en nombre égal à celui des inconnues. Les multiplicateurs que nous venons d'indiquer sont les plus avantageux que l'on puisse choisir. » M. Bienaymé, dans le Mémoire dont nous rendons compte, admet ou plutôt démontre de nouveau ce beau théorème. Quand il n'y a dans
est de multiplier chacune des équations de condition par le coefficient de chacune des inconnues successivement; d'ajouter les produits donnés par les coefficients de la même inconnue, ce qui fournit autant de nouvelles équations que d'inconnues; enfin de résoudre ces équations de la manière ordinaire. Les solutions, ainsi obtenues, jouissent de la propriété de ne renfermer que les moindres erreurs possibles pour une probabilité donnée. Ce n'est pas, bien entendu, un minimum absolu; c'est un minimum relatif au choix des multiplicateurs qu'on peut appliquer aux équations de condition, pour former ensuite, en les ajoutant, de nouvelles équations qui les remplacent et qui ne soient plus qu'en nombre égal à celui des inconnues. Les multiplicateurs que nous venons d'indiquer sont les plus avantageux que l'on puisse choisir. » M. Bienaymé, dans le Mémoire dont nous rendons compte, admet ou plutôt démontre de nouveau ce beau théorème. Quand il n'y a dans les équations de condition qu'une seule inconnue, M. Bienaymé s'accorde aussi, avec les géomètres qui l'ont précédé, sur le calcul de l'erreur subsistante et de la probabilité qu'elle peut avoir. Mais, quand il y a plusieurs inconnues, la formule qu'on donne pour calculer l'erreur et la probabilité de chacune d'elles lui semble défectueuse, comme ne fournissant que l'erreur et la probabilité que l'inconnue dont on s'occupe pourrait avoir si elle était seule, et quelque grandes que fussent les erreurs des autres inconnues. « Or, dit M. Bienaymé, un des premiers principes de la théorie des probabilités, c'est que, quand plusieurs événements arrivent simultanément, la probabilité du concours de ces événements est le produit des probabilités de chacun de sorte que la probabilité de ce concours est inférieure à la probabilité de chaque événement pris à part, et elle est d'autant plus petite qu'il y a plus d'événements. Évidemment, il en est de même des erreurs de plusieurs inconnues la probabilité que ces erreurs restent toutes à la fois dans certaines limites, ne peut être que le produit des probabilités séparées que chacune ne s'écarte pas de ses limites propres; et, par conséquent, cette probabilité du concours des erreurs de grandeur
lui semble défectueuse, comme ne fournissant que l'erreur et la probabilité que l'inconnue dont on s'occupe pourrait avoir si elle était seule, et quelque grandes que fussent les erreurs des autres inconnues. « Or, dit M. Bienaymé, un des premiers principes de la théorie des probabilités, c'est que, quand plusieurs événements arrivent simultanément, la probabilité du concours de ces événements est le produit des probabilités de chacun de sorte que la probabilité de ce concours est inférieure à la probabilité de chaque événement pris à part, et elle est d'autant plus petite qu'il y a plus d'événements. Évidemment, il en est de même des erreurs de plusieurs inconnues la probabilité que ces erreurs restent toutes à la fois dans certaines limites, ne peut être que le produit des probabilités séparées que chacune ne s'écarte pas de ses limites propres; et, par conséquent, cette probabilité du concours des erreurs de grandeur limitée doit être notablement inférieure à la probabilité des limites de chaque erreur considérée isolément, quelles que puissent être les autres. C'est donc une défectuosité que d'assigner comme probabilité de l'erreur d'une inconnue faisant partie d'un système à déterminer, celle qu'elle aurait si elle était seule, au lieu de donner des règles pour calculer la probabilité de l'ensemble des erreurs du système, qui ne peuvent, en réalité, être isolées les unes des autres. » Le point de vue nouveau où s'est placé M. Bienaymé a dû naturellement le conduire à des calculs nouveaux aussi et plus compliqués. L'auteur s'en est tiré avec beaucoup d'adresse et de talent; on voit qu'il est au courant de tous les progrès, même de détail, que les sciences mathématiques ont pu faire dans ces derniers temps. Indépendamment même de toute idée d'application aux grandes questions de philosophie naturelle, les géomètres liraient encore son Mémoire avec intérêt. Mais le calcul des probabilités, auquel se rattachent les noms imposants de Pascal, de Fermat, de Huyghens, de Jacques Bernoulli, de Laplace, de Fourier, de Poisson, etc., n'est pas une pure spéculation abstraite. Restreint à de justes limites, il est pratiquement utile. On en a souvent abusé, il est