jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
mêmes variables. Cette définition étant admise, on déduira immédiatement des principes que nous venons d'établir la proposition suivante donnée pourra être présentée sous la forme du = Pudz, P étant une fonction qui, pour un très-petit module de z, acquerra une valeur finie, sensiblement égale à celle de la fonction dérivée du - En effet, remplaçant l'équation (a) par l'équation (b); et soit, s'il est possible, K=(z) une fonction de z qui, s'évanouissant avec z sans être constamment nulle, varie avec z par degrés insensibles et vérifie, au moins pour un très-petit module de z, l'équation (b). Si l'on nomme r le module z, et u le module de 6(z), u sera infiniment petit en même temps que r; et l'on pourra par suite attribuer au module r une valeur r assez petite pour que la valeur correspondante du module u surpasse celles qu'on obtiendrait en supposant r < r. Cela posé, si l'on applique une intégration rectiligne aux deux membres de l'équation (b), on en tirera non-seulement mais encore "|J étant la plus grande valeur que puisse acquérir le module de P, tandis que le module r de z varie entre 0, V. Donc, si U diffère de zéro, l'on aura. Mais, dans l'hypothèse admise, sera, pour de très-petites valeurs de z une quantité finie dis 2ric. Soient z une variable réelle ou imaginaire, et n fonctions de z assujetties à varier avec z par degrés insensibles, en vérifiant les n équations différentielles comprises dans la formule 7 7 i distincte de zéro, sensiblement égale au module qu'acquerra la fonction dérivée Du pour une valeur nulle de z. Donc, en assignant à r une valeur suffisamment petite, on reconnaîtra que la formule (c) doit être rejetée, en sorte qu'il est impossible d'attribuer à n et à ?(«) des valeurs distinctes de zéro. Au cas spécial que nous venons d'examiner, substituons maintenant le cas plus général où, le nombre n des variables u, v, w, étant quelconque, l'on aurait encore z0 = o, et où, la fonction monodrome et monogène conservant, pour des valeurs nulles de z, u, v, w,
l'on aura. Mais, dans l'hypothèse admise, sera, pour de très-petites valeurs de z une quantité finie dis 2ric. Soient z une variable réelle ou imaginaire, et n fonctions de z assujetties à varier avec z par degrés insensibles, en vérifiant les n équations différentielles comprises dans la formule 7 7 i distincte de zéro, sensiblement égale au module qu'acquerra la fonction dérivée Du pour une valeur nulle de z. Donc, en assignant à r une valeur suffisamment petite, on reconnaîtra que la formule (c) doit être rejetée, en sorte qu'il est impossible d'attribuer à n et à ?(«) des valeurs distinctes de zéro. Au cas spécial que nous venons d'examiner, substituons maintenant le cas plus général où, le nombre n des variables u, v, w, étant quelconque, l'on aurait encore z0 = o, et où, la fonction monodrome et monogène conservant, pour des valeurs nulles de z, u, v, w, une valeur finie, distincte de zéro, les fonctions monodromes et monogènes t), *?,'© s'évanouiraient toutes, quel que soit z, pour des valeurs nulles de u, v, w.Alors, par des raisonnements analogues à ceux qui précèdent, et en substituant au module de u la somme des modules de u, de v, de w,on prouverait encore qu'il n'est pas possible, dans l'hypothèse admise, de satisfaire aux équations différentielles par des valeurs de u, v, w, qui s'évanouissent avec z, sans être constamment nulles, et varient avec z par degrés insensibles dans le voisinage d'une valeur nulle de z. Considérons enfin le cas où, les valeurs particulières z0, u0, w0, de z, u, w, étant distinctes de zéro, ainsi que la valeur correspondante de I~, les fonctions 5b, O, ̃<?'©' seraient, au moins dans le voisinage de ces valeurs particulières, des fonctions monodromes, monogènes et finies; et soient alors les intégrales générales des équations (d) déduites de ces équations à l'aide de la méthode que renferme le Mémoire de 1835. On pourra encore affirmer qu'il n'existe point d'autre système d'intégrales générales, c'est-à-dire qu'on ne saurait trouver d'autres valeurs de u, v, w, qui, variant avec z par degrés insensibles, remplissent la double condition
de w,on prouverait encore qu'il n'est pas possible, dans l'hypothèse admise, de satisfaire aux équations différentielles par des valeurs de u, v, w, qui s'évanouissent avec z, sans être constamment nulles, et varient avec z par degrés insensibles dans le voisinage d'une valeur nulle de z. Considérons enfin le cas où, les valeurs particulières z0, u0, w0, de z, u, w, étant distinctes de zéro, ainsi que la valeur correspondante de I~, les fonctions 5b, O, ̃<?'©' seraient, au moins dans le voisinage de ces valeurs particulières, des fonctions monodromes, monogènes et finies; et soient alors les intégrales générales des équations (d) déduites de ces équations à l'aide de la méthode que renferme le Mémoire de 1835. On pourra encore affirmer qu'il n'existe point d'autre système d'intégrales générales, c'est-à-dire qu'on ne saurait trouver d'autres valeurs de u, v, w, qui, variant avec z par degrés insensibles, remplissent la double condition de vérifier les équations (d), quel que soit z, et de se réduire à u0, v0, w0 pour z = z0; et, pour le démontrer, il suffira de raisonner comme dans le cas précédent, en substituant aux variables dont chacune pourra être, pour plus de commodité, représentée par une seule lettre. où ©, -ç, *!?, représentent des fonctions synectiques de z, il v, w, z0 à prendre les valeurs particulières et finies u0, v0, w0, pour une certaine valeur particulière et finie z0 de la variable z. On pourra satisfaire à ces deux conditions, au moins pour des modules peu considérables de la différence z – z0, par un système unique de valeurs de u, v, w, et ces valeurs, qui représenteront les intégrales générales, seront des fonctions monodromes, monogènes et finies de z, tant que le module p de la différence z - z0 n'atteindra pas une certaine limite X. D'ailleurs, cette limite X, que nous appellerons le module principal de la différence z – z0, sera le plus petit de ceux pour lesquels se vérifiera ou l'équation caractéristique Concevons maintenant que û désigne une fonction synectique des variables z, u, v, w, On conclura encore des principes ci-dessus
lettre. où ©, -ç, *!?, représentent des fonctions synectiques de z, il v, w, z0 à prendre les valeurs particulières et finies u0, v0, w0, pour une certaine valeur particulière et finie z0 de la variable z. On pourra satisfaire à ces deux conditions, au moins pour des modules peu considérables de la différence z – z0, par un système unique de valeurs de u, v, w, et ces valeurs, qui représenteront les intégrales générales, seront des fonctions monodromes, monogènes et finies de z, tant que le module p de la différence z - z0 n'atteindra pas une certaine limite X. D'ailleurs, cette limite X, que nous appellerons le module principal de la différence z – z0, sera le plus petit de ceux pour lesquels se vérifiera ou l'équation caractéristique Concevons maintenant que û désigne une fonction synectique des variables z, u, v, w, On conclura encore des principes ci-dessus exposés que, si l'on substitue dans Q. les valeurs de u, v, w, fournies par les intégrales générales, le résultat de cette substitution sera une fonction monodrome, monogène et finie de z, tant que le module p de z – z0 n'atteindra pas la limite ),, pour laquelle l'une des équations pourra être vérifiée. Alors aussi, en vertu du théorème général sur la convergence des développements ordonnés suivant les puissances ascendantes d'une variable, Q sera développable en une série convergente, ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la différence z - z0. Mais cette dernière série cessera généralement d'être convergente, à partir de l'instant où le module p atteindra la limite X. Pour le prouver, il suffit d'observer que, si la différence z - z acquiert, avec le module X, un argument tel, que la valeur correspondante de z vérifie ou l'équation on obtiendra, en général une valeur infinie, dans le premier cas, pour S2, Il et, dans le second cas, pour la dérivée de Q considérée comme fonction de z, c'est-à-dire pour la somme qui, eu égard à l'équation (i), peut être présentée sous la forme et devient généralement infinie avec En conséquence, on peut énoncer encore la
équations pourra être vérifiée. Alors aussi, en vertu du théorème général sur la convergence des développements ordonnés suivant les puissances ascendantes d'une variable, Q sera développable en une série convergente, ordonnée suivant les puissances ascendantes et entières de la différence z - z0. Mais cette dernière série cessera généralement d'être convergente, à partir de l'instant où le module p atteindra la limite X. Pour le prouver, il suffit d'observer que, si la différence z - z acquiert, avec le module X, un argument tel, que la valeur correspondante de z vérifie ou l'équation on obtiendra, en général une valeur infinie, dans le premier cas, pour S2, Il et, dans le second cas, pour la dérivée de Q considérée comme fonction de z, c'est-à-dire pour la somme qui, eu égard à l'équation (i), peut être présentée sous la forme et devient généralement infinie avec En conséquence, on peut énoncer encore la proposition suivante. 2e Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le troisième théorème, si l'on transforme une fonction synectique Q. des variables z, u, v, w, en une fonction de la seule variable z, par la substitution des valeurs de u, v, w, qui représentent les intégrales générales des équations différentielles comprises dans la formule (i), Q considérée comme fonction de z restera monodrome, monogène et finie jusqu'au moment où le module p de la différence z - z0 atteindra le plus petit de ceux pour lesquels pourra se vérifier l'une des équations Ajoutons que, jusqu'à ce moment, la fonction Q sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de z – z0, et que la série obtenue deviendra généralement divergente si le module p devient supérieur à la limite indiquée. Concevons à présent que u, v, w, soient assujetties à varier avec z par degrés insensibles, de manière à vérifier non plus le système de n équations différentielles, mais les n équations finies U, V, W, étant des fonctions synectiques des variables z, u, v, w, Supposons d'ailleurs que l'on connaisse les valeurs particulières u0, v0, w0, de u, v, w, correspondantes à une certaine
équations différentielles comprises dans la formule (i), Q considérée comme fonction de z restera monodrome, monogène et finie jusqu'au moment où le module p de la différence z - z0 atteindra le plus petit de ceux pour lesquels pourra se vérifier l'une des équations Ajoutons que, jusqu'à ce moment, la fonction Q sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de z – z0, et que la série obtenue deviendra généralement divergente si le module p devient supérieur à la limite indiquée. Concevons à présent que u, v, w, soient assujetties à varier avec z par degrés insensibles, de manière à vérifier non plus le système de n équations différentielles, mais les n équations finies U, V, W, étant des fonctions synectiques des variables z, u, v, w, Supposons d'ailleurs que l'on connaisse les valeurs particulières u0, v0, w0, de u, v, w, correspondantes à une certaine valeur particulière z0 de z. La résolution des équations (5) pourra être réduite à la recherche de valeurs de u, v, w, qui satisfassent à la double condition de vérifier les équations différentielles :AI 1 j l et de prendre pour z = z0 les valeurs particulières ua, v0, w0. On d'ailleurs, si l'on représente par la résultante formée avec les divers termes du tableau, on tirera des équations résolues par rapport à du, dv, dw, d'autres équations de la forme, O, ?, W, étant ainsi que 2 des fonctions monodromes, monogènes et finies de z, u, v, w, et il est clair que le système des équations pourra être remplacé par la formule. Cela posé, les théorèmes I et II entraîneront évidemment les propositions suivantes. 3e Théorème. Soient z une variable réelle ou imaginaire, et n fonctions de z assujetties à varier avec z par degrés insensibles, en vérifiant les n équations finies dans lesquelles U, F, FF, représentent des fonctions synectiques de z, u, v, w, Supposons d'ailleurs que l'on connaisse des valeurs particulières et finies u0, v0, w0, de u, v, w, correspondantes à une certaine valeur particulière et finie z0 de la variable z, et posons,
On d'ailleurs, si l'on représente par la résultante formée avec les divers termes du tableau, on tirera des équations résolues par rapport à du, dv, dw, d'autres équations de la forme, O, ?, W, étant ainsi que 2 des fonctions monodromes, monogènes et finies de z, u, v, w, et il est clair que le système des équations pourra être remplacé par la formule. Cela posé, les théorèmes I et II entraîneront évidemment les propositions suivantes. 3e Théorème. Soient z une variable réelle ou imaginaire, et n fonctions de z assujetties à varier avec z par degrés insensibles, en vérifiant les n équations finies dans lesquelles U, F, FF, représentent des fonctions synectiques de z, u, v, w, Supposons d'ailleurs que l'on connaisse des valeurs particulières et finies u0, v0, w0, de u, v, w, correspondantes à une certaine valeur particulière et finie z0 de la variable z, et posons, pour abréger, On satisfera aux équations par un système unique de valeurs u, v, w, qui seront des fonctions monodromes, monogènes et finies de z, jusqu'au moment où le module p de la différence z – z0 atteindra le plus petit de ceux pour lesquels pourra se vérifier ou l'équation ou l'une des équations. 4e Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, si l'on transforme une fonction synectique de des variables z, u, v, w, en une fonction de la seule variable z, par la substitution des valeurs trouvées de u, v, w, considérée comme fonction de z, restera monodrome, monogène et finie, jusqu'au moment où le module p de la différence z – z0 atteindra le plus petit de ceux pour lesquels pourra se vérifier l'une des équations. Ajoutons que, jusqu'à ce moment, la fonction S2 sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de z – z0, et que la série deviendra divergente, si le module p dépasse la limite indiquée. Nous appellerons équations synectiques, des équations finies ou des équations différentielles, dont les premiers membres ne renfermeront que des fonctions synectiques des variables et de leurs dérivées. Cela posé, les
ou l'une des équations. 4e Théorème. Les mêmes choses étant posées que dans le théorème précédent, si l'on transforme une fonction synectique de des variables z, u, v, w, en une fonction de la seule variable z, par la substitution des valeurs trouvées de u, v, w, considérée comme fonction de z, restera monodrome, monogène et finie, jusqu'au moment où le module p de la différence z – z0 atteindra le plus petit de ceux pour lesquels pourra se vérifier l'une des équations. Ajoutons que, jusqu'à ce moment, la fonction S2 sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de z – z0, et que la série deviendra divergente, si le module p dépasse la limite indiquée. Nous appellerons équations synectiques, des équations finies ou des équations différentielles, dont les premiers membres ne renfermeront que des fonctions synectiques des variables et de leurs dérivées. Cela posé, les théorèmes que nous venons d'énoncer se trouveront tous compris dans le suivant. 5e Théorème. Si n désigne une fonction de z déterminée par un système d'équations synectiques, et acquiert la valeur finie n0 pour une certaine valeur particulière et finie z0 de la variable z, cette fonction restera monodrome, monogène et finie, jusqu'au moment où le module de la différence z – z0 atteindra le plus petit de ceux pour lesquels pourra se vérifier l'une des équations de condition et, jusqu'à ce moment, n pourra être représentée par la somme d'une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de la différence z – z0. La même série deviendra généralement divergente, quand le module de cette différence dépassera la limite indiquée. Lorsque la fonction D est simplement une fonction synectique de z, alors, en vertu du théorème 5, elle est toujours développable suivant les puissances ascendantes de z, et, par conséquent, on peut toujours considérer une fonction synectique comme une fonction entière de z, composée d'un nombre fini ou infini de termes. Telles sont, par exemple, les fonctions e", cos az, etc. On peut appliquer les théorèmes que nous venons d'énoncer, même à la détermination ou au développement d'une inconnue n
et finie, jusqu'au moment où le module de la différence z – z0 atteindra le plus petit de ceux pour lesquels pourra se vérifier l'une des équations de condition et, jusqu'à ce moment, n pourra être représentée par la somme d'une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes de la différence z – z0. La même série deviendra généralement divergente, quand le module de cette différence dépassera la limite indiquée. Lorsque la fonction D est simplement une fonction synectique de z, alors, en vertu du théorème 5, elle est toujours développable suivant les puissances ascendantes de z, et, par conséquent, on peut toujours considérer une fonction synectique comme une fonction entière de z, composée d'un nombre fini ou infini de termes. Telles sont, par exemple, les fonctions e", cos az, etc. On peut appliquer les théorèmes que nous venons d'énoncer, même à la détermination ou au développement d'une inconnue n déterminée, en fonction de z, par un système d'équations simultanées qui ne seraient pas synectiques. Pour y parvenir, il suffira de transformer les équations données en équations synectiques. Or, il est ordinairement facile d'atteindre ce but, à l'aide des procédés que fournit l'analyse algébrique, et en augmentant, s'il est nécessaire, le nombre des inconnues. Ainsi, par exemple, les équations non synectiques pourront être remplacées par les équations synectiques et l'équation non synectique où a, b, h sont des exposants quelconques, pourra être remplacée par le système des deux équations synectiques. MÉMOIRES LUS. économie rurale. – Recherches sur les eaux employées dans les irrigations; par MM. Ecg. Chevandier et Salvétat. (Extrait par les auteurs.) (Renvoi à l'examen de la Section d'Économie rurale.) Nous avons choisi, comme base de ce travail, sept sources très-voisines les unes des autres, placées, dans une vallée des Vosges, dans des conditions analogues d'exposition, de situation, de hauteur au-dessus du niveau de la mer, de température et de pureté apparente; le sol qu'elles arrosent présente de même la plus grande analogie, et les très-légères différences que l'analyse y accuse, sont dues évidemment à l'action prolongée des eaux mêmes dont nous voulions étudier l'influence. Nous nous bornerons dans
le nombre des inconnues. Ainsi, par exemple, les équations non synectiques pourront être remplacées par les équations synectiques et l'équation non synectique où a, b, h sont des exposants quelconques, pourra être remplacée par le système des deux équations synectiques. MÉMOIRES LUS. économie rurale. – Recherches sur les eaux employées dans les irrigations; par MM. Ecg. Chevandier et Salvétat. (Extrait par les auteurs.) (Renvoi à l'examen de la Section d'Économie rurale.) Nous avons choisi, comme base de ce travail, sept sources très-voisines les unes des autres, placées, dans une vallée des Vosges, dans des conditions analogues d'exposition, de situation, de hauteur au-dessus du niveau de la mer, de température et de pureté apparente; le sol qu'elles arrosent présente de même la plus grande analogie, et les très-légères différences que l'analyse y accuse, sont dues évidemment à l'action prolongée des eaux mêmes dont nous voulions étudier l'influence. Nous nous bornerons dans cet extrait à présenter, d'une manière sommaire, les résultats relatifs à deux de ces sources, de manière à mieux en préciser la discussion. Nous avons donc dû tenir compte des quantités d'eau employées à l'irrigation, de la nature et de la quantité des matières qu'elles tenaient en dissolution, de la quantité des matières récoltées et de la composition de ces dernières. Nos expériences sur le terrain ont été faites en 1847 et en 1848. La première année, nous avons réglé l'irrigation d'après les habitudes locales. Le pré arrosé par la mauvaise source a reçu 255 744 mètres cubes d'eau par hectare, et le pré arrosé par la bonne source 164 328 mètres cubes le poids des récoltes a été, pour le premier de ces prés, de 32312 kilogrammes par hectare et, pour le second, de 7896 kilogrammes. La seconde année, au contraire, nous nous sommes placés dans des conditions identiques relativement aux quantités d'eau, qui ont été de 126,273 mètres cubes par hectare pour la mauvaise source, et de 130,303 mètres cubes pour la bonne source. Le poids des récoltes a été de 2,749 kilogrammes par hectare pour la prairie arrosée par la mauvaise source, et de 10,469 kilogrammes pour
quantité des matières récoltées et de la composition de ces dernières. Nos expériences sur le terrain ont été faites en 1847 et en 1848. La première année, nous avons réglé l'irrigation d'après les habitudes locales. Le pré arrosé par la mauvaise source a reçu 255 744 mètres cubes d'eau par hectare, et le pré arrosé par la bonne source 164 328 mètres cubes le poids des récoltes a été, pour le premier de ces prés, de 32312 kilogrammes par hectare et, pour le second, de 7896 kilogrammes. La seconde année, au contraire, nous nous sommes placés dans des conditions identiques relativement aux quantités d'eau, qui ont été de 126,273 mètres cubes par hectare pour la mauvaise source, et de 130,303 mètres cubes pour la bonne source. Le poids des récoltes a été de 2,749 kilogrammes par hectare pour la prairie arrosée par la mauvaise source, et de 10,469 kilogrammes pour celle qui a reçu les eaux de la bonne. Ces récoltes ont toujours été coupées à la faux, le même jour et par le même homme, afin de rester, autant que possible, dans des conditions comparables. En admettant, comme matière parfaitement sèche, celle qui, réduite en fragments aussi menus que possible, n'accuse plus de perte à la balance après plusieurs dessiccations successives à +140 degrés dans le vide sec, nous avons trouvé que nos foins contenaient, au moment de la récolte, des quantités d'humidité variant de 21 à 27 pour 100, nos regains des quantités variant de 24 à 34 pour 100, et que, après environ un an de magasin, ces quantités d'humidité étaient réduites à 12 ou 14 pour 100 pour les foins, et à 14 ou 15 pour 100 pour les regains. La composition élémentaire des divers foins et regains ne nous a présenté que de légères variations, l'azote excepté. Les quantités de matières minérales contenues dans ces récoltes ont varié de 5 à 6 pour 100 pour les foins, et de 9 à 10 pour 100 pour les regains. En résumé, on voit que, avec des quantités égales d'eau et dans des conditions, du reste, tout à