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k est positive, et nommons R le module principal du rapport. Si l'on développe, en série ordonnée suivant les puissances ascendantes de t, celle des racines de l'équation qui se réduit à k, pour t = 0, la série obtenue sera convergente quand le module de t sera inférieur à 1. La même série deviendra divergente quand le module de t surpassera 1. Ajoutons que, dans cette série, le coefficient an de tn sera donné par la formule. Remarquons, au reste, que la règle de convergence relative au développement de la racine de l'équation peut se déduire non seulement du théorème général sur la convergence des séries, mais encore des formules que fournit le calcul des résidus, et qui servent à transformer les fonctions en intégrales définies. En transformant ainsi η, on trouvera, si l'on suppose a > 1, Or il suffira d'appliquer à la détermination approximative de ces valeurs de zn, dans le cas où le nombre n sera très-grand, les principes exposés dans le Mémoire sur divers points d'analyse, pour retrouver la règle de convergence précédemment énoncée. Lorsqu'on suppose a = 2, la formule se réduit à l'équation du second degré. Donc, si l'on développe suivant les puissances ascendantes de t celle des racines de l'équation qui se réduit à k pour t = 0, la série obtenue sera convergente jusqu'au moment où le module de t atteindra la limite supérieure. En d'autres termes, la condition nécessaire et suffisante pour la convergence sera Observations sur la série de Lagrange. Si, dans l'équation, on décompose le paramètre k en deux parties h, l, cette équation deviendra. Nommons zu celle de ses racines qui, développée en série par la formule de Lagrange, fournit un développement dont h est le premier terme. La racine zH se confondra, pour une valeur nulle, ou pour une valeur très-petite de l, avec la racine z, déterminée par la formule, et l'on aura jusqu'au moment où l'une des deux séries dont les sommes sont représentées par z z1, cessera d'être convergente. D'ailleurs, comme on l'a vu, la première de ces deux séries sera convergente, tant
ascendantes de t celle des racines de l'équation qui se réduit à k pour t = 0, la série obtenue sera convergente jusqu'au moment où le module de t atteindra la limite supérieure. En d'autres termes, la condition nécessaire et suffisante pour la convergence sera Observations sur la série de Lagrange. Si, dans l'équation, on décompose le paramètre k en deux parties h, l, cette équation deviendra. Nommons zu celle de ses racines qui, développée en série par la formule de Lagrange, fournit un développement dont h est le premier terme. La racine zH se confondra, pour une valeur nulle, ou pour une valeur très-petite de l, avec la racine z, déterminée par la formule, et l'on aura jusqu'au moment où l'une des deux séries dont les sommes sont représentées par z z1, cessera d'être convergente. D'ailleurs, comme on l'a vu, la première de ces deux séries sera convergente, tant que la condition sera vérifiée. Quant à la seconde série, il suffira évidemment, pour l'obtenir, de développer suivant les puissances ascendantes de a celle des racines de l'équation qui se réduit à la constante h, pour une valeur nulle de a, puis de poser ensuite a = 1. On aura en conséquence a devant être réduit à l'unité, quand on aura développé le radical suivant les puissances ascendantes de a. Il reste à trouver sous quelle condition le développement ainsi obtenu sera convergent. Or, pour y parvenir, il suffira de décomposer en facteurs simples la quantité renfermée sous le radical, c'est-à-dire le trinôme considéré comme fonction de a. En effectuant cette décomposition, l'on trouvera puis on conclura des formules que la condition de convergence du développement dont la somme est z1/t se réduit à la formule, la valeur de s étant fournie par l'équation et choisie de manière que le module de la somme ht + s surpassera, s'il ne l'égale pas, le module de la différence ht – s. Donc, en définitive, l'équation subsistera, tant que les valeurs attribuées aux paramètres h et seront renfermées entre les limites que leur assigne le système des conditions et. Ajoutons que cette
en conséquence a devant être réduit à l'unité, quand on aura développé le radical suivant les puissances ascendantes de a. Il reste à trouver sous quelle condition le développement ainsi obtenu sera convergent. Or, pour y parvenir, il suffira de décomposer en facteurs simples la quantité renfermée sous le radical, c'est-à-dire le trinôme considéré comme fonction de a. En effectuant cette décomposition, l'on trouvera puis on conclura des formules que la condition de convergence du développement dont la somme est z1/t se réduit à la formule, la valeur de s étant fournie par l'équation et choisie de manière que le module de la somme ht + s surpassera, s'il ne l'égale pas, le module de la différence ht – s. Donc, en définitive, l'équation subsistera, tant que les valeurs attribuées aux paramètres h et seront renfermées entre les limites que leur assigne le système des conditions et. Ajoutons que cette solution fait disparaître les difficultés et les objections auxquelles diverses applications de ces théorèmes semblaient donner lieu. MÉMOIRES PRÉSENTÉS. astronomie. – Troisième Mémoire sur les étoiles doubles; par M. Yvon Villarceau (Extrait par l'auteur.) (Commissaires, MM. Mathieu, Liouville, Le Verrier.) Méthode pour le calcul des orbites des étoiles doubles déduite de considérations géométriques. Dès le 6 décembre 1847, pour prendre date, j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie un exposé succinct des formules dont j'ai fait usage pour calculer les orbites des étoiles doubles de la Couronne et de la Vierge. Ce premier travail, ayant été simplement déposé et non publié, n'avait pu être connu de sir John Herschel, lorsqu'il a présenté, plus tard, une solution du même problème. Dans la séance du 26 mars 1849, M. Le Verrier a communiqué une Lettre de l'illustre astronome anglais, de laquelle j'extrais ces lignes « Comme il n'est pas tout à fait impossible que M. Villarceau et moi soyons tombés sur la même idée, je pense qu'il sera bon, pendant que je n'ai point encore connaissance de son travail, de mentionner succinctement le principe de ma nouvelle méthode. » La lecture de la fin de cette communication m'a appris qu'effectivement la méthode
de considérations géométriques. Dès le 6 décembre 1847, pour prendre date, j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie un exposé succinct des formules dont j'ai fait usage pour calculer les orbites des étoiles doubles de la Couronne et de la Vierge. Ce premier travail, ayant été simplement déposé et non publié, n'avait pu être connu de sir John Herschel, lorsqu'il a présenté, plus tard, une solution du même problème. Dans la séance du 26 mars 1849, M. Le Verrier a communiqué une Lettre de l'illustre astronome anglais, de laquelle j'extrais ces lignes « Comme il n'est pas tout à fait impossible que M. Villarceau et moi soyons tombés sur la même idée, je pense qu'il sera bon, pendant que je n'ai point encore connaissance de son travail, de mentionner succinctement le principe de ma nouvelle méthode. » La lecture de la fin de cette communication m'a appris qu'effectivement la méthode de sir John Herschel et la mienne reposent sur la même idée. Cette idée consiste à faire usage des coordonnées rectangulaires apparentes de l'étoile satellite, abstraction faite du temps, pour déterminer les cinq coefficients de l'équation de la trajectoire apparente. Je me suis empressé de faire connaître à sir John Herschel l'ensemble de mes formules et quelques-uns des résultats qu'elles m'avaient permis d'obtenir. A cette occasion, je reçus de sir John Herschel une Lettre dont l'Académie voudra bien me permettre de lui communiquer le passage suivant « Quoiqu'il y ait ressemblance, quant au principe général, entre votre méthode et celle que j'indiquai à M. Le Verrier, et dont les détails et formules sont expliqués dans un Mémoire lu à la Société astronomique, le même soir (13 avril 1849), il y a néanmoins assez de diversité dans les procédés recommandés, pour faire regarder les deux méthodes comme essentiellement différentes. Plusieurs circonstances ont retardé jusqu'ici la présentation du Mémoire destiné à faire connaître avec plus de détails la méthode que j'ai imaginée d'abord pour le calcul des orbites des étoiles doubles; je suis heureux de pouvoir la livrer aujourd'hui au jugement de l'Académie. Malgré la grande précision des mesures micrométriques obtenues depuis
Herschel l'ensemble de mes formules et quelques-uns des résultats qu'elles m'avaient permis d'obtenir. A cette occasion, je reçus de sir John Herschel une Lettre dont l'Académie voudra bien me permettre de lui communiquer le passage suivant « Quoiqu'il y ait ressemblance, quant au principe général, entre votre méthode et celle que j'indiquai à M. Le Verrier, et dont les détails et formules sont expliqués dans un Mémoire lu à la Société astronomique, le même soir (13 avril 1849), il y a néanmoins assez de diversité dans les procédés recommandés, pour faire regarder les deux méthodes comme essentiellement différentes. Plusieurs circonstances ont retardé jusqu'ici la présentation du Mémoire destiné à faire connaître avec plus de détails la méthode que j'ai imaginée d'abord pour le calcul des orbites des étoiles doubles; je suis heureux de pouvoir la livrer aujourd'hui au jugement de l'Académie. Malgré la grande précision des mesures micrométriques obtenues depuis l'installation des grands instruments parallactiques, il n'est pas encore possible cependant d'appliquer utilement aux observations les méthodes proposées par Savary d'abord et par M. Encke ensuite. Quoique les observations modernes embrassent une période d'environ trente ans, on n'en peut pas choisir quatre complètes, assez distinctes pour se prêter à l'application de ces méthodes. Pour remédier à cet inconvénient et atténuer l'effet des erreurs des observations, j'ai dû chercher d'autres méthodes qui permettent d'employer un grand nombre d'observations, et aussi de tirer parti des anciennes mesures faites par W. Herschel, de 1780 à 1804. (Deux de ces méthodes ont été publiées dans les additions à la Connaissance des Temps pour 1850.) La principale difficulté que l'on rencontre en recherchant un système de formules propres à la détermination des orbites, est dans les relations compliquées qui lient les coordonnées au temps. Dans le cas des étoiles doubles, on peut éviter cette difficulté en employant des données en nombre plus que suffisant, ou même se contenter de la réduire notablement, si l'on ne veut employer que quatre observations complètes. Remarquons, en effet, que l'orbite vraie étant supposée être une courbe du deuxième degré, sa projection sur un plan perpendiculaire au rayon visuel est
de ces méthodes. Pour remédier à cet inconvénient et atténuer l'effet des erreurs des observations, j'ai dû chercher d'autres méthodes qui permettent d'employer un grand nombre d'observations, et aussi de tirer parti des anciennes mesures faites par W. Herschel, de 1780 à 1804. (Deux de ces méthodes ont été publiées dans les additions à la Connaissance des Temps pour 1850.) La principale difficulté que l'on rencontre en recherchant un système de formules propres à la détermination des orbites, est dans les relations compliquées qui lient les coordonnées au temps. Dans le cas des étoiles doubles, on peut éviter cette difficulté en employant des données en nombre plus que suffisant, ou même se contenter de la réduire notablement, si l'on ne veut employer que quatre observations complètes. Remarquons, en effet, que l'orbite vraie étant supposée être une courbe du deuxième degré, sa projection sur un plan perpendiculaire au rayon visuel est aussi une section conique. Les coordonnées observées doivent dès lors satisfaire à l'équation générale des courbes du deuxième degré. Le temps n'entre pas dans cette équation ni explicitement, ni implicitement. Si donc on pouvait employer les coordonnées de cinq points au moins de l'orbite apparente, on aurait aisément les cinq coefficients de l'équation de cette orbite. Il serait facile ensuite de remonter aux éléments de la trajectoire vraie. En effet, il vient d'être dit que la première est la projection de la seconde; et, comme on suppose que le mouvement dans l'orbite vraie est dû à une force qui agit en raison inverse du carré de la distance, l'étoile centrale doit occuper un des foyers de l'orbite vraie. Or il est encore aisé de déterminer la situation d'un plan passant par l'étoile centrale et qui coupe la surface cylindrique élevée perpendiculairement sur l'orbite apparente, de manière que le foyer de la courbe d'intersection coïncide avec l'étoile centrale elle-même. Ce problème étant résolu, cinq des éléments de l'orbite vraie se trouvent déterminés; ce sont le demi-grand axe, l'excentricité, la longitude du nœud, l'inclinaison et la distance du périhélie au nœud. Il ne reste plus que deux éléments à calculer l'anomalie moyenne
coefficients de l'équation de cette orbite. Il serait facile ensuite de remonter aux éléments de la trajectoire vraie. En effet, il vient d'être dit que la première est la projection de la seconde; et, comme on suppose que le mouvement dans l'orbite vraie est dû à une force qui agit en raison inverse du carré de la distance, l'étoile centrale doit occuper un des foyers de l'orbite vraie. Or il est encore aisé de déterminer la situation d'un plan passant par l'étoile centrale et qui coupe la surface cylindrique élevée perpendiculairement sur l'orbite apparente, de manière que le foyer de la courbe d'intersection coïncide avec l'étoile centrale elle-même. Ce problème étant résolu, cinq des éléments de l'orbite vraie se trouvent déterminés; ce sont le demi-grand axe, l'excentricité, la longitude du nœud, l'inclinaison et la distance du périhélie au nœud. Il ne reste plus que deux éléments à calculer l'anomalie moyenne de l'époque et le moyen mouvement; deux angles de position et les temps correspondants suffisent, à la rigueur, pour fixer ces éléments. Le problème, envisagé sous le point de vue théorique, est, comme on le voit, d'une très-grande simplicité. Avant d'aborder le problème de la détermination des orbites des étoiles doubles, tel qu'il se présente en réalité aux astronomes, il est indispensable de dire quelques mots d'un autre problème théorique, qui consiste à obtenir les éléments, en employant quatre observations complètes. Faisons observer que les éléments étant au nombre de sept, tandis qu'on a huit données, on doit s'attendre à rencontrer une équation de condition entre les données. Les quatre couples de coordonnées fournissent quatre équations seulement entre les cinq coefficients de l'équation de l'orbite apparente; l'un de ces coefficients reste indéterminé, et les quatre autres s'obtiennent en fonctions de celui-ci. Voici maintenant comment le principe de la proportionnalité des aires aux temps permet de fixer la valeur du coefficient indéterminé, par voie de tâtonnements. En partant d'une valeur arbitraire attribuée à cette inconnue dont nous fixons d'ailleurs les limites, on calculerait, au moyen de formules qui sont données dans ce Mémoire, les aires des trois secteurs compris entre les
doubles, tel qu'il se présente en réalité aux astronomes, il est indispensable de dire quelques mots d'un autre problème théorique, qui consiste à obtenir les éléments, en employant quatre observations complètes. Faisons observer que les éléments étant au nombre de sept, tandis qu'on a huit données, on doit s'attendre à rencontrer une équation de condition entre les données. Les quatre couples de coordonnées fournissent quatre équations seulement entre les cinq coefficients de l'équation de l'orbite apparente; l'un de ces coefficients reste indéterminé, et les quatre autres s'obtiennent en fonctions de celui-ci. Voici maintenant comment le principe de la proportionnalité des aires aux temps permet de fixer la valeur du coefficient indéterminé, par voie de tâtonnements. En partant d'une valeur arbitraire attribuée à cette inconnue dont nous fixons d'ailleurs les limites, on calculerait, au moyen de formules qui sont données dans ce Mémoire, les aires des trois secteurs compris entre les quatre rayons vecteurs projetés les rapports de ces aires aux temps correspondants, donneraient trois valeurs généralement différentes de la constante des aires. En faisant varier l'indéterminée jusqu'à ce que les valeurs de la constante des aires fournies par deux seulement des trois secteurs deviennent égales, on obtiendrait la valeur de cette constante. Mais les données doivent, en outre, satisfaire à la condition que la constante des aires fournisse par le troisième secteur s'accorde avec la valeur commune déduite des deux autres. En d'autres termes, les équations qui expriment la proportionnalité des aires aux temps entre les trois secteurs étant au nombre de deux, si l'on élimine de ces équations l'indéterminée qu'elles renferment, on aura, entre les données, l'équation de condition dont il a été parlé tout à l'heure. Dans le cas où elle serait satisfaite, on aurait une preuve que l'hypothèse admise sur la loi du mouvement est conforme au résultat fourni par les observations. Les coefficients de l'équation de l'ellipse apparente étant alors connus, on pourrait achever les calculs comme il a été dit plus haut; mais le moyen mouvement s'obtiendra directement en appliquant le principe de la proportionnalité des aires à la surface entière de l'ellipse projetée. Un
cette constante. Mais les données doivent, en outre, satisfaire à la condition que la constante des aires fournisse par le troisième secteur s'accorde avec la valeur commune déduite des deux autres. En d'autres termes, les équations qui expriment la proportionnalité des aires aux temps entre les trois secteurs étant au nombre de deux, si l'on élimine de ces équations l'indéterminée qu'elles renferment, on aura, entre les données, l'équation de condition dont il a été parlé tout à l'heure. Dans le cas où elle serait satisfaite, on aurait une preuve que l'hypothèse admise sur la loi du mouvement est conforme au résultat fourni par les observations. Les coefficients de l'équation de l'ellipse apparente étant alors connus, on pourrait achever les calculs comme il a été dit plus haut; mais le moyen mouvement s'obtiendra directement en appliquant le principe de la proportionnalité des aires à la surface entière de l'ellipse projetée. Un angle unique de position, en remontant à la position réelle, donnerait ensuite la longitude moyenne de l'époque. En attendant que les observations modernes soient devenues assez nombreuses et distinctes pour équivaloir à cinq positions complètes, nous sommes obligés de rattacher aux considérations théoriques qui viennent d'être exposées, la solution du problème pratique que nous nous sommes proposé. Nous employons toutes les observations complètes qui nous paraissent jouir d'une suffisante précision. (Ces observations ne remontent pas au-delà de l'époque de l'installation de la lunette de Dorpat. Le nombre des équations qui en résulte étant de beaucoup supérieur à cinq, nous indiquons divers procédés pour en tirer les inconnues, et entre autres, un mode de combinaison des équations qui satisfait à la condition que la somme des carrés des distances normales entre les points observés et la courbe cherchée soit un minimum. Or, quelque procédé de résolution des équations que l'on emploie aujourd'hui, il restera au moins une indéterminée, et nous supposons ici qu'il n'en reste qu'une seule. Nous rentrons ainsi dans le problème théorique qui vient d'être examiné. Seulement, il arrive que les observations modernes étant généralement rapprochées, les secteurs qu'elles déterminent varient extrêmement peu, lorsque l'on attribue des valeurs variables
problème pratique que nous nous sommes proposé. Nous employons toutes les observations complètes qui nous paraissent jouir d'une suffisante précision. (Ces observations ne remontent pas au-delà de l'époque de l'installation de la lunette de Dorpat. Le nombre des équations qui en résulte étant de beaucoup supérieur à cinq, nous indiquons divers procédés pour en tirer les inconnues, et entre autres, un mode de combinaison des équations qui satisfait à la condition que la somme des carrés des distances normales entre les points observés et la courbe cherchée soit un minimum. Or, quelque procédé de résolution des équations que l'on emploie aujourd'hui, il restera au moins une indéterminée, et nous supposons ici qu'il n'en reste qu'une seule. Nous rentrons ainsi dans le problème théorique qui vient d'être examiné. Seulement, il arrive que les observations modernes étant généralement rapprochées, les secteurs qu'elles déterminent varient extrêmement peu, lorsque l'on attribue des valeurs variables à l'indéterminée. Ces observations suffisent ainsi pour donner la valeur de la constante des aires avec assez d'approximation. Les aires des secteurs limités par les observations isolées de W. Herschel, varieront, au contraire, avec l'indéterminée, et un seul angle de position mesuré par cet astronome suffira pour fixer la valeur de l'inconnue, par la condition que la constante des aires que l'on tire de cette observation, comparée à une position connue, s'identifie avec la constante que donnent les observations modernes. Nous ne pouvons entrer ici dans tous les détails indispensables au succès des applications de notre méthode; nous nous sommes bornés à en exposer le principe. Le Mémoire est accompagné d'une Note dans laquelle sont données les corrections qu'il faut ajouter aux positions calculées sans avoir égard au mouvement propre des étoiles doubles, pour tenir compte de l'effet de ce mouvement. Les termes correctifs peuvent acquérir des valeurs très sensibles au bout d'un petit nombre de siècles dans les systèmes animés de mouvements propres considérables, et nous fournir un moyen de distinguer, entre les deux positions symétriques du plan de l'orbite, celle qui est la véritable. Dans certaines hypothèses très acceptables, la question serait résolue d'ici à trois siècles environ
de l'inconnue, par la condition que la constante des aires que l'on tire de cette observation, comparée à une position connue, s'identifie avec la constante que donnent les observations modernes. Nous ne pouvons entrer ici dans tous les détails indispensables au succès des applications de notre méthode; nous nous sommes bornés à en exposer le principe. Le Mémoire est accompagné d'une Note dans laquelle sont données les corrections qu'il faut ajouter aux positions calculées sans avoir égard au mouvement propre des étoiles doubles, pour tenir compte de l'effet de ce mouvement. Les termes correctifs peuvent acquérir des valeurs très sensibles au bout d'un petit nombre de siècles dans les systèmes animés de mouvements propres considérables, et nous fournir un moyen de distinguer, entre les deux positions symétriques du plan de l'orbite, celle qui est la véritable. Dans certaines hypothèses très acceptables, la question serait résolue d'ici à trois siècles environ pour la 61e du Cygne. astronomie. – Théorie analytique de l'inégalité de lumière des étoiles doubles; par M. YVON VILLARCEAU. (Commissaires, MM. Mathieu, Liouville, Le Verrier.) « Dans son beau Mémoire sur les étoiles doubles, Savary, envisageant la différence des temps que met la lumière à nous arriver des deux étoiles composantes, à raison de leur inégale distance à notre système solaire, conclut à l'existence d'une inégalité dans le mouvement relatif apparent des étoiles doubles, et indique la possibilité d'en déduire une limite inférieure de leur parallaxe. « En effet, dit-il, si la lumière employait à traverser l'orbite d'une étoile double un temps égal à celui que l'étoile met à se déplacer d'un angle mesurable, on verrait cette étoile d'autant plus en arrière de sa position réelle relativement à l'étoile considérée comme centre des mouvements, qu'elle serait, dans une partie de son orbite, plus éloignée de nous » M. Arago a développé l'idée de Savary dans une des intéressantes Notices dont il enrichit l'Annuaire du Bureau des Longitudes, et attiré ainsi l'attention des astronomes sur ce point délicat de la physique céleste. Quelques années plus tard, M. Struve, dans son grand ouvrage sur les étoiles doubles, s'est occupé de rechercher