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61, 1988, p. 169. [13] M. KASEVICH and S. CHU, Phys. Rev. Lett., 69, 1992, p. 1741. Laboratoire de Spectroscopie Hertzienne de l'École Normale Supérieure, 24, rue Lhomond, 75005 Paris, France. Physique de la matière condensée/Condensed Matter Physics Paramètre critique de transition microphase d'une solution de copolymères Mustapha BENMOUNA Résumé Le paramètre critique de transition microphase pour une solution de copolymères est obtenu à partir de l'équation de la spinodale généralisée déduite de la fonction de diffusion. Le cas d'un mélange de copolymères et d'homopolymères est aussi considéré. Critical parameter of microphase transition in copolymer solutions Abstract — The critical parameter above which a copolymer solution undergoes a microphase transition is calculated from the generalized spinodal equation which is obtained from the scattering function. The case of a mixture of copolymers and homopolymers is also considered. Abridged English Version The scattering intensity for a diblock copolymer AB in solution or in bulk shows a peak at a wave vector qm. For incompatible species A and B, when the interaction parameter X increases, the position of the peak is not modified but the maximum intensity increases dramatically and diverges at a value Xm indicating that a microphase separation transition (MST) takes place. In this Note, the quantity Xm is calculated for a system containing a diblock copolymer AB with or without the corresponding homopolymers in the presence of a low molecular weight solvent. The scattering intensity I (q) for this system is: where va and vb are the increments of refractive indices for light and the contrast factors for neutrons, Xas and Xbs are the Flory interaction parameters between the three species in the system and X = Xab. The structure factors Sa, Sg and SAb depend on the system under investigation. If this system is made of a diblock copolymer AB in solution, these structure factors are defined in terms of the copolymer composition u, its volume fraction vc, its degree of polymerization Nc and the internal chain form factors Pa, Pb and Pab as follows: (2a) Sa = u2 N P (2b) Sg = (1-u)2 N Pb (2c) Sab
place. In this Note, the quantity Xm is calculated for a system containing a diblock copolymer AB with or without the corresponding homopolymers in the presence of a low molecular weight solvent. The scattering intensity I (q) for this system is: where va and vb are the increments of refractive indices for light and the contrast factors for neutrons, Xas and Xbs are the Flory interaction parameters between the three species in the system and X = Xab. The structure factors Sa, Sg and SAb depend on the system under investigation. If this system is made of a diblock copolymer AB in solution, these structure factors are defined in terms of the copolymer composition u, its volume fraction vc, its degree of polymerization Nc and the internal chain form factors Pa, Pb and Pab as follows: (2a) Sa = u2 N P (2b) Sg = (1-u)2 N Pb (2c) Sab = u(1-u) N Pab The quantity ASO is defined by: If in addition to the copolymer AB, the system contains a mixture of homopolymers A and B with volume fractions va and vb, degrees of polymerization Na and Nb and form factors Pha and Phb, respectively, the scattered intensity is still given by equation (1) but the bare structure factors should be modified as follows: Note présentée par Pierre-Gilles de Gennes. 0764-4450/93/03160745 $ 2.00 Académie des Sciences Sab is still defined by equation (2c) and ΔSo by equation (3). In both systems, the denominator D (q) takes the form: The spinodal equation which gives the conditions under which a MST takes place is simply: (6) D(q=0)=0 This equation gives immediately the critical parameter for MST where the subscript m indicates that the quantity is evaluated at the wave vector q = qm. This result shows the competing effects of copolymers and homopolymers in terms of phase transitions. When more homopolymers are added to the system, qm tends to zero, the transition has a macrophase structure and Xm is the usual critical parameter. Addition of more copolymer to the mixture induces a compatibility enhancement with respect to a macrophase transition but,
still given by equation (1) but the bare structure factors should be modified as follows: Note présentée par Pierre-Gilles de Gennes. 0764-4450/93/03160745 $ 2.00 Académie des Sciences Sab is still defined by equation (2c) and ΔSo by equation (3). In both systems, the denominator D (q) takes the form: The spinodal equation which gives the conditions under which a MST takes place is simply: (6) D(q=0)=0 This equation gives immediately the critical parameter for MST where the subscript m indicates that the quantity is evaluated at the wave vector q = qm. This result shows the competing effects of copolymers and homopolymers in terms of phase transitions. When more homopolymers are added to the system, qm tends to zero, the transition has a macrophase structure and Xm is the usual critical parameter. Addition of more copolymer to the mixture induces a compatibility enhancement with respect to a macrophase transition but, at the same time, generates a microphase structure. These aspects are known for a pure polymer system. Here, we show that similar observations can be made in the presence of a low molecular weight solvent which is good for both species A and B. The intensity scattered by a copolymer, a diblock AB for example, in the presence or absence of a solvent shows a peak at a value qm of the wave vector. When the interaction parameter X between the two blocks increases, for example by lowering the temperature, the position of this peak is not modified but its height increases and tends towards infinity when X tends towards a critical value Xm. This quantity called the critical parameter of microphase transition is calculated as a function of the parameters characterizing a solution of copolymers AB in a good solvent. Before addressing this calculation, it is necessary to make a brief recap on the scattered intensity I (q) which, in the case of a general system with several constituents, is written as: I(q) = vTS(q).v v is a column vector whose elements are either the increments of refractive index when light is used, or the contrasts with respect to
a diblock AB for example, in the presence or absence of a solvent shows a peak at a value qm of the wave vector. When the interaction parameter X between the two blocks increases, for example by lowering the temperature, the position of this peak is not modified but its height increases and tends towards infinity when X tends towards a critical value Xm. This quantity called the critical parameter of microphase transition is calculated as a function of the parameters characterizing a solution of copolymers AB in a good solvent. Before addressing this calculation, it is necessary to make a brief recap on the scattered intensity I (q) which, in the case of a general system with several constituents, is written as: I(q) = vTS(q).v v is a column vector whose elements are either the increments of refractive index when light is used, or the contrasts with respect to the solvent when neutrons are used. The matrix of the structure factors S (q) is given, within the framework of the generalization of the approximation of the phase random (RPA) to systems with several constituents, by the equation of Benoit: (5) So (q) is the matrix of the chain form factors and Sij are the matrix volumes excluded. These latter can be written as functions of the Flory interaction parameters Xij and of the volume fraction of solvent φc. (6), (7), (8) Sij = 1 - 2 Xi. φc - (ij = a, b, c, .) The stability condition of the mixture requires simply that the scattered intensity be positive and therefore that the determinant of S (q) be positive. If this determinant, evaluated at the wave vector q = qm, is zero: (4) det S-1 (q = qm) = 0 the system is the seat of a microphase transition and the interaction parameter for which this condition is verified is called Xm. The objective of this Note is to illustrate this general method by calculating Xm in two cases: (i) Diblock AB in a good solvent (ii) Diblock AB + Homopolymer A + Homopolymer B + solvent. 1. DIBLOCK
factors and Sij are the matrix volumes excluded. These latter can be written as functions of the Flory interaction parameters Xij and of the volume fraction of solvent φc. (6), (7), (8) Sij = 1 - 2 Xi. φc - (ij = a, b, c, .) The stability condition of the mixture requires simply that the scattered intensity be positive and therefore that the determinant of S (q) be positive. If this determinant, evaluated at the wave vector q = qm, is zero: (4) det S-1 (q = qm) = 0 the system is the seat of a microphase transition and the interaction parameter for which this condition is verified is called Xm. The objective of this Note is to illustrate this general method by calculating Xm in two cases: (i) Diblock AB in a good solvent (ii) Diblock AB + Homopolymer A + Homopolymer B + solvent. 1. DIBLOCK AB IN A GOOD SOLVENT. In this case, the equations (1) and (2) permit the calculation of the scattered intensity I (q) which can be put under the following form: If the total volume fraction of copolymers is vc, its degree of polymerization is Nc, the fraction of monomers A per chain is u, the form factors of the chain are Pa(q), Pb (q) and Pab (q), then the intramolecular structure factors are: The denominator D (q) which is proportional to the determinant of S (q) can be put under the form: where the equation (3) has been used to express the excluded volumes as functions of the Xij. The equation of the spinodal generalized which defines the conditions under which the intensity I (q = qm) diverges, is given simply by: (8) D (q = qm) = 0 which permits to obtain the following expression of xm: The index m represents the value of the quantity concerned at the wave vector q = qm and: (10) ΔPm = Pam Pbm P2abm It is interesting to examine the limit of Xm when the volume fraction of solvent φc is small, i.e. in the concentrated polymer regime. On peut vérifier que
per chain is u, the form factors of the chain are Pa(q), Pb (q) and Pab (q), then the intramolecular structure factors are: The denominator D (q) which is proportional to the determinant of S (q) can be put under the form: where the equation (3) has been used to express the excluded volumes as functions of the Xij. The equation of the spinodal generalized which defines the conditions under which the intensity I (q = qm) diverges, is given simply by: (8) D (q = qm) = 0 which permits to obtain the following expression of xm: The index m represents the value of the quantity concerned at the wave vector q = qm and: (10) ΔPm = Pam Pbm P2abm It is interesting to examine the limit of Xm when the volume fraction of solvent φc is small, i.e. in the concentrated polymer regime. On peut vérifier que Xm se met sous la forme simplifiée : où Pcm est le facteur de forme total de la chaîne calculé à q= qm : Pcm = 2Pfm + (1-2)Pfm + 2(1-2)Pfm L'incompressibilité du système est exprimée par la condition Le même résultat est obtenu en l'absence de solvant ([2], [3]) avec = 1 et 
0. Nous remarquons que la présence de solvant permet d'augmenter sensiblement Xm et donc d'améliorer la stabilité du système en rendant les deux blocs du copolymère plus compatibles. Si le dibloc est symétrique u = 1/2, Pam = Pbm = P1/2m, ΔPm = 4Pcm (P1/2m-Pcm) et l'équation (11) devient : À la limite du bulk 
c= 1 et un résultat connu [2] en est déduit. On peut se poser maintenant la question de savoir quelle valeur de qm faut-il prendre pour calculer Pam, Pbm et Pabm. Ceci dépend des conditions expérimentales. Si le contraste du bloc B avec le solvant est nul (Vb = 0), c'est la quantité Saa(q) qui est mesurée et il faudra prendre qm qui coïncide avec la position de son maximum. Considérons pour une raison de simplicité un dibloc symétrique avec Xas = xbs=- Saa (q) se met sous la forme [4]
avec = 1 et 
0. Nous remarquons que la présence de solvant permet d'augmenter sensiblement Xm et donc d'améliorer la stabilité du système en rendant les deux blocs du copolymère plus compatibles. Si le dibloc est symétrique u = 1/2, Pam = Pbm = P1/2m, ΔPm = 4Pcm (P1/2m-Pcm) et l'équation (11) devient : À la limite du bulk 
c= 1 et un résultat connu [2] en est déduit. On peut se poser maintenant la question de savoir quelle valeur de qm faut-il prendre pour calculer Pam, Pbm et Pabm. Ceci dépend des conditions expérimentales. Si le contraste du bloc B avec le solvant est nul (Vb = 0), c'est la quantité Saa(q) qui est mesurée et il faudra prendre qm qui coïncide avec la position de son maximum. Considérons pour une raison de simplicité un dibloc symétrique avec Xas = xbs=- Saa (q) se met sous la forme [4] : Le premier terme représente les fluctuations de composition puisqu'il est égal, à un facteur numérique près, à la fonction de corrélation : SI (q) = < 1 PI (q) 12 > (16 b) Pl (q) = [Pa (q) Pb (q)] Le facteur numérique 2 est dû à la symétrie du dibloc (u = 1/2). S, (q) est directement accessible par diffusion si Va = — vb. Il donne un pic prononcé situé à qm≈2Rg, Rg étant le rayon de giration total. Le deuxième terme dans l'équation (15) élargit la courbe Saa (q) et joue un rôle prépondérant dans le domaine des faibles valeurs de q puisque P 1/2 Pc tend vers zéro lorsque q → 0. La valeur de qm n'est cependant pas modifiée et la transition microphase est déterminée par le premier terme. Il est à noter que le deuxième terme de l'équation (15) représente les fluctuations de concentration totale en polymère. Il est égal à : ST (q) = Saa (q) + Sbb + 2 Sab (q) = < 1 PT (q) 12 > avec PT (q) = Pa (q) + Pb (q) Le symbole < > représente la moyenne à l'équilibre thermique. Ce résultat montre que
du dibloc (u = 1/2). S, (q) est directement accessible par diffusion si Va = — vb. Il donne un pic prononcé situé à qm≈2Rg, Rg étant le rayon de giration total. Le deuxième terme dans l'équation (15) élargit la courbe Saa (q) et joue un rôle prépondérant dans le domaine des faibles valeurs de q puisque P 1/2 Pc tend vers zéro lorsque q → 0. La valeur de qm n'est cependant pas modifiée et la transition microphase est déterminée par le premier terme. Il est à noter que le deuxième terme de l'équation (15) représente les fluctuations de concentration totale en polymère. Il est égal à : ST (q) = Saa (q) + Sbb + 2 Sab (q) = < 1 PT (q) 12 > avec PT (q) = Pa (q) + Pb (q) Le symbole < > représente la moyenne à l'équilibre thermique. Ce résultat montre que les fluctuations de composition et de concentration sont découplées. En général, pour un système non symétrique, ce découplage n'a pas lieu [9] et qm n'est pas le même pour Saa (q) et SI (q), sauf lorsque la concentration est élevée et les fluctuations locales de concentration sont fortement réduites. 2. MÉLANGES D'UN COPOLYMÈRE AB ET D'HOMOPOLYMÈRES A ET B. La généralisation de l'étude précédente au cas où, en plus du copolymère AB, il y a deux homopolymères A et B, est immédiate. Les équations (7) et (8) donnant l'intensité diffusée restent valables, ainsi que l'équation de la spinodale généralisée (8). Il suffit de redéfinir la matrice des facteurs de structures intramoléculaires dont les éléments deviennent : <f>a, <k> sont les fractions volumiques des deux homopolymères Na, Nb leurs degrés de polymérisation et Pha (q), Phb (q) leurs facteurs de forme; l'indice h désigne l'homopolymère. L'expression du paramètre critique de transition microphase est modifiée par la présence des homopolymères. Elle peut être déduite facilement des équations (1) et (8) Il est clair que l'effet des homopolymères est de déplacer qm vers zéro ce qui revient à transformer xm en paramètre critique de transition de phase ordinaire et donc de détruire la
MÉLANGES D'UN COPOLYMÈRE AB ET D'HOMOPOLYMÈRES A ET B. La généralisation de l'étude précédente au cas où, en plus du copolymère AB, il y a deux homopolymères A et B, est immédiate. Les équations (7) et (8) donnant l'intensité diffusée restent valables, ainsi que l'équation de la spinodale généralisée (8). Il suffit de redéfinir la matrice des facteurs de structures intramoléculaires dont les éléments deviennent : <f>a, <k> sont les fractions volumiques des deux homopolymères Na, Nb leurs degrés de polymérisation et Pha (q), Phb (q) leurs facteurs de forme; l'indice h désigne l'homopolymère. L'expression du paramètre critique de transition microphase est modifiée par la présence des homopolymères. Elle peut être déduite facilement des équations (1) et (8) Il est clair que l'effet des homopolymères est de déplacer qm vers zéro ce qui revient à transformer xm en paramètre critique de transition de phase ordinaire et donc de détruire la structure microphase. Il y a une compétition entre des effets homopolymères, qui favorisent une transition macrophase et les effets copolymères, favorisant la transition microphase. Ajouter un copolymère au mélange d'homopolymères permet de les rendre plus compatibles vis-à-vis d'une transition ordinaire. De même, ajouter un ou deux homopolymères au copolymère produit un effet compatibilisant sur le copolymère vis-à-vis d'une transition microphase. Ces effets sont illustrés plus clairement à travers la limite de l'expression (21) quand la concentration de solvant <Ps tend vers zéro. On trouve, dans ce cas : Cette équation est aussi valable pour un mélange pur Polymère A/Polymère B/Copolymère AB en l'absence de solvant en prenant le soin de poser o/a + o/b + o/c = 1. Nous verrons dans un autre article comment ce modèle peut être généralisé à l'étude des conditions de transition microphase dans une solution de polyélectrolytes faiblement chargés. Je remercie M. le professeur E. W. Fischer pour son invitation à l'Institut Max-Planck de Mayence où ce travail a été initié. Je remercie également la fondation scientifique de Lyon et du Sud-Est de m'avoir accordé une bourse et Mme M. Rinaudo de m'avoir accueilli au CERMAV. Note remise le 4 août 1992, acceptée après révision
un effet compatibilisant sur le copolymère vis-à-vis d'une transition microphase. Ces effets sont illustrés plus clairement à travers la limite de l'expression (21) quand la concentration de solvant <Ps tend vers zéro. On trouve, dans ce cas : Cette équation est aussi valable pour un mélange pur Polymère A/Polymère B/Copolymère AB en l'absence de solvant en prenant le soin de poser o/a + o/b + o/c = 1. Nous verrons dans un autre article comment ce modèle peut être généralisé à l'étude des conditions de transition microphase dans une solution de polyélectrolytes faiblement chargés. Je remercie M. le professeur E. W. Fischer pour son invitation à l'Institut Max-Planck de Mayence où ce travail a été initié. Je remercie également la fondation scientifique de Lyon et du Sud-Est de m'avoir accordé une bourse et Mme M. Rinaudo de m'avoir accueilli au CERMAV. Note remise le 4 août 1992, acceptée après révision le 27 janvier 1993. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] P.-G. de GENNES, Scaling Concepts in Polymer Physics, Cornell University Press, Ithaca, NY, 1979. [2] L. LEIBLER, Macromolecules, 15, 1982, p. 1282-1290. [3] L. LEIBLER et H. BENOIT, Polymer, 22, 1981, p. 195-200. [4] M. DUVAL, C. PICOT, M. BENMOUNA et H. BENOIT, J. Phys. France, 49, 1988, p. 1963-1968. [5] H. BENOIT, M. BENMOUNA et W. WU. Macromolecules, 23, 1990, p. 1511-1517. [6] P. J. FLORY, Principles of Polymer Chemistry, Cornell University Press, Ithaca, 1953. [7] H. TOMPA, Polymer Solutions, Butterworths, London, 1956. [8] G. JANNINK et J. des OUBLINS, Polymers in Solution, Oxford University Press, 1990. [9] F. ROBY et J. F. JOANNY, Macromolécules (à paraître). CERMAV, CNRS, domaine Universitaire, BP n° 53 X, 38041 Grenoble Cedex, France. Adresse permanente : Université de Tlemcen, Institut des Sciences, Département de Physique, Tlemcen, BP n° 119, Algérie. Physique de la matière condensée / Condensed Matter Physics (Biologie moléculaire / molecular Biology) Dynamics of entangled DNA molecules in the presence of topoisomerases Jean-Louis SIKORAV and Gérard JANNINK Abstract DNA topoisomerases catalyze the transient breakage and reunion of the strands of DNA molecules, enabling DNA segments to pass through one another. We discuss the dynamic
J. Phys. France, 49, 1988, p. 1963-1968. [5] H. BENOIT, M. BENMOUNA et W. WU. Macromolecules, 23, 1990, p. 1511-1517. [6] P. J. FLORY, Principles of Polymer Chemistry, Cornell University Press, Ithaca, 1953. [7] H. TOMPA, Polymer Solutions, Butterworths, London, 1956. [8] G. JANNINK et J. des OUBLINS, Polymers in Solution, Oxford University Press, 1990. [9] F. ROBY et J. F. JOANNY, Macromolécules (à paraître). CERMAV, CNRS, domaine Universitaire, BP n° 53 X, 38041 Grenoble Cedex, France. Adresse permanente : Université de Tlemcen, Institut des Sciences, Département de Physique, Tlemcen, BP n° 119, Algérie. Physique de la matière condensée / Condensed Matter Physics (Biologie moléculaire / molecular Biology) Dynamics of entangled DNA molecules in the presence of topoisomerases Jean-Louis SIKORAV and Gérard JANNINK Abstract DNA topoisomerases catalyze the transient breakage and reunion of the strands of DNA molecules, enabling DNA segments to pass through one another. We discuss the dynamic behavior of linear DNA molecules in a semidilute solution in the presence of type II topoisomerases. Using the concepts of reptation and constraint release, we calculate the minimal length of DNA chains which allows the catalytic reaction of the topoisomerases to significantly affect the dynamics of the solution. The number of base pairs must be around a million. Dynamique de chaînes d'ADN enchevêtrées en présence de topoisomérases Résumé — Le comportement dynamique d'une solution semi-diluée de molécules linéaires d'ADN en présence de topoisomérases de type II, est discuté en utilisant les concepts de reptation et de relaxation des contraintes. Le taux de réaction des topoïsomérases étant connu, nous calculons la longueur minimale des chaînes d'ADN pour que la réaction catalysée par les topoisomérases modifie de manière sensible le comportement dynamique de la solution. Nous trouvons que le nombre de paires de base doit être d'environ un million. Version française abrégée Les ADN topoisomérases catalysent le franchissement d'obstacles topologiques dans les chaînes d'ADN, permettant à un segment d'ADN de passer au travers d'un autre segment. L'enzyme introduit une cassure transitoire dans l'une des chaînes, après le franchissement de l'obstacle, les segments cassés se recombinent pour redonner la chaîne initiale (Kornberg et