jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
entre le champ électrique (pour /=0) et l'induction normalisée par eg (pour /= 1). 2. PERMITTIVITÉ EFFECTIVE. Utilisant une méthode de moyennes successives sur le désordre, précédemment employée dans le contexte électromagnétique par Michels [4], on calcule le noyau de la permittivité effective eeff (k, ω) liant les moyennes statistiques < D > (k, ω) et < E > (k, ω). On obtient : (9) eeff(k, ω) = e,[l+(l-f)C,eff(k, ω)][l-/C,eff(k, ω)]-1 avec (10) ?/eff(k,ω)=Z f^3^. • .<3r„fi ε (r1)ε (r2-r1).ε (r3-r2-r1). n^O J x <Ç/(O)<Ç/(rl)' <Ç/(rn)T(rn. où interviennent les fonctions de corrélation ordonnées à (n + 1) points de Terwiel [5] définies par (11) < Ç, (r) Ç, (r,) Ç, (r„) >T = < Ç, (r) ( 1 ) <Ç, (r , ). ( 1 ) <Ç, (r„) avec ?J'= (. ), l'opérateur de moyenne statistique. Utilisant l'arbitraire du choix des constantes eg et I, on peut imposer < Ç, (r) > = 0; ce qui donne, pour un milieu à deux composants, métal et isolant en proportions f et (1 -f), une formule de Bruggeman [1] modifiée: Cette équation, qui fait naturellement apparaître un seuil de transition isolant-métal fc = I, est la relation classique de Bruggeman lorsque f = 1/3. On prendra pour deuxième relation déterminant le couple (e9, 1) la condition eeff (k, ω) = 0 dans la limite de fréquence nulle, ce qui revient à écrire eeff (k, ω) = e9I (cf. 9). Résolues simultanément, ces deux équations conduisent pour le milieu à deux composants à faire dépendre de la concentration f, entre autres, de telles sorte que l'on retrouve dans les limites des faibles et fortes concentrations la valeur 1 = 1/3 de Bruggeman, alors exacte. Par ailleurs, le seuil de transition est lui-même donné par 1(h) = fc. Dans la limite de fréquence nulle, il ne dépend pas, comme il se doit, des permittivités F, et e2. Sa valeur est déterminée par la statistique et les termes retenus dans l'évaluation de ç, eff(k, co). Supposant le milieu parfaitement désordonné (fonction de corrélation à deux points proportionnelle à la distribution de Dirac), on a effectué
= 1/3. On prendra pour deuxième relation déterminant le couple (e9, 1) la condition eeff (k, ω) = 0 dans la limite de fréquence nulle, ce qui revient à écrire eeff (k, ω) = e9I (cf. 9). Résolues simultanément, ces deux équations conduisent pour le milieu à deux composants à faire dépendre de la concentration f, entre autres, de telles sorte que l'on retrouve dans les limites des faibles et fortes concentrations la valeur 1 = 1/3 de Bruggeman, alors exacte. Par ailleurs, le seuil de transition est lui-même donné par 1(h) = fc. Dans la limite de fréquence nulle, il ne dépend pas, comme il se doit, des permittivités F, et e2. Sa valeur est déterminée par la statistique et les termes retenus dans l'évaluation de ç, eff(k, co). Supposant le milieu parfaitement désordonné (fonction de corrélation à deux points proportionnelle à la distribution de Dirac), on a effectué les calculs selon une méthode diagrammatique connue ([6], [7]). Une sommation de Borel de deux classes infinies de diagrammes (à 0 et 1 croisement), permet de calculer à cet ordre le propagateur de manière auto-cohérente. Les calculs s'étendent à des dimensions spatiales quelconques, on obtient finalement des seuils de transition (tableau), qu'il convient de comparer aux estimations disponibles [8] des seuils de percolation de liens sur réseau hypercubique considérés comme pertinents dans notre contexte [6] (car il reproduisent les résultats exacts en dimensions 1 et 2, et leur définition se prolonge aux dimensions supérieures). On constate un très bon accord entre les valeurs, qui se dégrade toutefois en dimensions élevées. On doit pourtant se garder pour l'instant d'attribuer trop de signification à des résultats numériques qui relèvent peut-être d'une coïncidence. L'exposition des calculs et des résultats, esquissée ici, sera complétée ailleurs de façon détaillée [9]. 3. RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX. On a cherché à comparer les prédictions de la relation de Bruggeman modifiée avec un certain nombre de résultats expérimentaux obtenus à partir de mesures en guide d'ondes. On en fournit un exemple ici. On se place dans le cas de sphères de fer "ex-carbonyle" de diamètre micronique (3 à 5 µm),
(tableau), qu'il convient de comparer aux estimations disponibles [8] des seuils de percolation de liens sur réseau hypercubique considérés comme pertinents dans notre contexte [6] (car il reproduisent les résultats exacts en dimensions 1 et 2, et leur définition se prolonge aux dimensions supérieures). On constate un très bon accord entre les valeurs, qui se dégrade toutefois en dimensions élevées. On doit pourtant se garder pour l'instant d'attribuer trop de signification à des résultats numériques qui relèvent peut-être d'une coïncidence. L'exposition des calculs et des résultats, esquissée ici, sera complétée ailleurs de façon détaillée [9]. 3. RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX. On a cherché à comparer les prédictions de la relation de Bruggeman modifiée avec un certain nombre de résultats expérimentaux obtenus à partir de mesures en guide d'ondes. On en fournit un exemple ici. On se place dans le cas de sphères de fer "ex-carbonyle" de diamètre micronique (3 à 5 µm), dites inclusions, dispersées dans une résine époxyde (fortement mouillante avant polymérisation), à une Fig. 1 Paramétrage de la permittivité complexe d'un mélange résine/fer ex-carbonyle à la fréquence de 4,25 GHz. La permittivité de la matrice est e. = 3,08 + i 0,14. Fig. 1. Complex permittivity of a resin-ex-carbonyl iron composite, at 4.25 GHz. The permittivity of the resin matrix is a. = 3.08 + i 0.14. Solid line is formula (12) (real and imaginary parts), with ID fitted by a least-squares method. Dots are experimental measurements. Fig. 2. Perméabilité magnétique complexe du composite étudié. Voir la légende de la figure 1. Fig. 2. — Complex magnetic permeability. Same sample as figure 1. Fig. 3. Variation en fonction de la fréquence de /D et /M pour le composite résine/fer ex-carbonyle des figures précédentes. Fig. 3. — Parameters /D and /M vs. Frequency. Same sample as figures 1 and 2. Initialement, la hauteur de la goutte, h, et l'angle de contact, θ, diminuent tandis que le rayon de contact, r, reste constant. Ceci continue jusqu'à une valeur limite de θ, apparemment inférieure à l'angle de reculé obtenu de manière directe. Si le solide est suffisamment lisse, la prochaine étape correspond à
composite, at 4.25 GHz. The permittivity of the resin matrix is a. = 3.08 + i 0.14. Solid line is formula (12) (real and imaginary parts), with ID fitted by a least-squares method. Dots are experimental measurements. Fig. 2. Perméabilité magnétique complexe du composite étudié. Voir la légende de la figure 1. Fig. 2. — Complex magnetic permeability. Same sample as figure 1. Fig. 3. Variation en fonction de la fréquence de /D et /M pour le composite résine/fer ex-carbonyle des figures précédentes. Fig. 3. — Parameters /D and /M vs. Frequency. Same sample as figures 1 and 2. Initialement, la hauteur de la goutte, h, et l'angle de contact, θ, diminuent tandis que le rayon de contact, r, reste constant. Ceci continue jusqu'à une valeur limite de θ, apparemment inférieure à l'angle de reculé obtenu de manière directe. Si le solide est suffisamment lisse, la prochaine étape correspond à une réduction de h et de r, à θ constant. Finalement, h, r et θ tendent vers zéro avec la disparition de la goutte. Cette étape est probablement influencée par l'état de surface du solide. Un modèle simple est proposé pour l'évaporation à r constant. Influence of evaporation on the contact angle of water drops Abstract — The contact angle of a sessile drop evolves significantly if the surrounding atmosphere is not saturated with the liquid vapour. Evaporation follows three stages. Initially, drop height h and contact angle θ diminish whilst contact radius r remains constant. This continues until a limiting value θ is reached, apparently less than the receding angle obtained by direct methods. If the solid is smooth enough, the next stage corresponds to a reduction of h and r, at constant θ. Finally, h, r and θ tend to zero with the drop disappearing. This stage is probably influenced by the surface state of the solid. A simple model is proposed for evaporation at constant r. Abridged English Version — Wetting hysteresis is related to several phenomena, but in particular to surface chemical heterogeneity and roughness [1]. Considerable differences between advancing contact angle θa and receding contact
contact angle of water drops Abstract — The contact angle of a sessile drop evolves significantly if the surrounding atmosphere is not saturated with the liquid vapour. Evaporation follows three stages. Initially, drop height h and contact angle θ diminish whilst contact radius r remains constant. This continues until a limiting value θ is reached, apparently less than the receding angle obtained by direct methods. If the solid is smooth enough, the next stage corresponds to a reduction of h and r, at constant θ. Finally, h, r and θ tend to zero with the drop disappearing. This stage is probably influenced by the surface state of the solid. A simple model is proposed for evaporation at constant r. Abridged English Version — Wetting hysteresis is related to several phenomena, but in particular to surface chemical heterogeneity and roughness [1]. Considerable differences between advancing contact angle θa and receding contact angle θr may be observed in the "static" condition, depending on wetting front history. If the atmosphere surrounding a sessile drop is unsaturated in the vapour of the liquid, evaporation may take place and reduce an initially advancing value of contact angle. In this study, drops of triply distilled water of volume 1 to 15 ul were placed on smooth polyethylene and both polished (rugosity ca. 0.1 μm) and rough (rugosity ca. 1.4 μm) surfaces of an epoxy resin. The samples were kept in a hermetic box with two parallel glass sides enabling the drop to be observed by projection during evolution. Initial saturation within the box was assured by including an open dish of water at 2 or 3°C above the ambient temperature (ca. 25°C). After following the evolution of a drop for 20 min. in the saturated atmosphere, the water vapour source was replaced by silica gel. During the saturated stage, drop height h and contact angle θ diminished slightly from the advancing condition whilst contact radius r remained constant (zone I). This effect, more marked with the epoxy resin, is attributed to slight imbibition (see fig. 1). After replacement of the water source by silica gel, r
of volume 1 to 15 ul were placed on smooth polyethylene and both polished (rugosity ca. 0.1 μm) and rough (rugosity ca. 1.4 μm) surfaces of an epoxy resin. The samples were kept in a hermetic box with two parallel glass sides enabling the drop to be observed by projection during evolution. Initial saturation within the box was assured by including an open dish of water at 2 or 3°C above the ambient temperature (ca. 25°C). After following the evolution of a drop for 20 min. in the saturated atmosphere, the water vapour source was replaced by silica gel. During the saturated stage, drop height h and contact angle θ diminished slightly from the advancing condition whilst contact radius r remained constant (zone I). This effect, more marked with the epoxy resin, is attributed to slight imbibition (see fig. 1). After replacement of the water source by silica gel, r remained constant whilst h and θ diminished more rapidly until a limiting value of θ, lower than the usual θr, was attained. Reduction of h was essentially linear (zone II). In zone III, which only occurred for smooth substrates, both h and r diminished at approximately constant θ. Zone IV corresponds to the final disappearance of the drop with h, r and θ tending towards zero. This regime was difficult to observe in detail but is probably influenced by anchoring effects on heterogeneities [5]. A simple model has been proposed to explain the linearity of h with time t in zone II. Assuming the drop to be a spherical segment, simple relations for liquid/vapour surface area A and volume V are known. Evaporation speed may be approximated by: D is dependent on drop size. Supposing that evaporation rate is proportional to the water vapour concentration gradient near the free liquid surface and due to prior evaporation, we define a "stagnation layer" of thickness over which the concentration drops from saturation, Co, to zero. Simple considerations lead to the estimation of an effective diffusion coefficient D: Use of equation (9) shows D to be satisfactorily independent of drop volume (fig. 2).
corresponds to the final disappearance of the drop with h, r and θ tending towards zero. This regime was difficult to observe in detail but is probably influenced by anchoring effects on heterogeneities [5]. A simple model has been proposed to explain the linearity of h with time t in zone II. Assuming the drop to be a spherical segment, simple relations for liquid/vapour surface area A and volume V are known. Evaporation speed may be approximated by: D is dependent on drop size. Supposing that evaporation rate is proportional to the water vapour concentration gradient near the free liquid surface and due to prior evaporation, we define a "stagnation layer" of thickness over which the concentration drops from saturation, Co, to zero. Simple considerations lead to the estimation of an effective diffusion coefficient D: Use of equation (9) shows D to be satisfactorily independent of drop volume (fig. 2). Differences in values of D for different substrates will be related to differences in the range of θ covered. I. INTRODUCTION. — La variabilité d'angle de contact, θ, d'une goutte de liquide sur une surface solide, ou hystérèse de mouillage, est liée à plusieurs phénomènes, notamment l'hétérogénéité chimique et la rugosité du substrat [1]. Des différences considérables entre l'angle d'avancée, θa, et l'angle de reculée, θr, peuvent souvent être observées avec des techniques de mesure telles que la goutte posée et la lame de Wilhelmy. Même dans les conditions dites « statiques », il y a un effet de « mémoire » qui traduit le sens du dernier mouvement du front de mouillage. Lorsqu'il y a transfert de masse par évaporation du liquide, l'on peut observer des effets analogues. Un angle de contact initialement imposé dans le mode avançant tend vers une valeur plus faible lorsque le liquide du ménisque commence à volatiliser [2]. A moins que l'atmosphère entourant le ménisque soit saturée en vapeur du liquide, ce transfert est inévitable et des expériences conduites dans des conditions de non-équilibre peuvent donner des mesures erronées de θ. Bien qu'assez évidente, cette complication des mesures de θ semble avoir été peu
rugosité du substrat [1]. Des différences considérables entre l'angle d'avancée, θa, et l'angle de reculée, θr, peuvent souvent être observées avec des techniques de mesure telles que la goutte posée et la lame de Wilhelmy. Même dans les conditions dites « statiques », il y a un effet de « mémoire » qui traduit le sens du dernier mouvement du front de mouillage. Lorsqu'il y a transfert de masse par évaporation du liquide, l'on peut observer des effets analogues. Un angle de contact initialement imposé dans le mode avançant tend vers une valeur plus faible lorsque le liquide du ménisque commence à volatiliser [2]. A moins que l'atmosphère entourant le ménisque soit saturée en vapeur du liquide, ce transfert est inévitable et des expériences conduites dans des conditions de non-équilibre peuvent donner des mesures erronées de θ. Bien qu'assez évidente, cette complication des mesures de θ semble avoir été peu étudiée ([2], [3]). Dans cette Note, nous examinerons le comportement d'une goutte posée avec et sans environnement saturé. Un modèle simple sera proposé afin d'expliquer la cinétique d'évolution du ménisque vers des faibles valeurs de l'angle de contact. II. EXPÉRIMENTAL. Des gouttes d'eau trois fois distillée de taille variant de 1 à 15 ul ont été posées avec une microseringue sur des surfaces de polyéthylène et de résine époxyde. La surface du polyéthylène était lisse tandis que deux états de surface de la résine époxyde ont été considérés : l'un étant poli (rugosité d'environ 0,1 μm) et l'autre présentant une rugosité d'environ 1,4 μm. Les substrats polymères étaient placés dans une boîte hermétique avec deux faces parallèles en verre afin d'observer les gouttes posées par projection et agrandissement (x 90) des images sur un écran. Initialement, des mesures de 0 ont été effectuées avec la boîte hermétique fermée et un récipient d'eau ouvert à 2 ou 3 °C au-dessus de la température ambiante (environ 25 °C) à l'intérieur. Ce dispositif assure la saturation en vapeur d'eau de l'atmosphère locale avant la pose des gouttes. L'évolution de l'angle de contact des gouttes (une goutte par expérience) a été suivie pendant 20
1 à 15 ul ont été posées avec une microseringue sur des surfaces de polyéthylène et de résine époxyde. La surface du polyéthylène était lisse tandis que deux états de surface de la résine époxyde ont été considérés : l'un étant poli (rugosité d'environ 0,1 μm) et l'autre présentant une rugosité d'environ 1,4 μm. Les substrats polymères étaient placés dans une boîte hermétique avec deux faces parallèles en verre afin d'observer les gouttes posées par projection et agrandissement (x 90) des images sur un écran. Initialement, des mesures de 0 ont été effectuées avec la boîte hermétique fermée et un récipient d'eau ouvert à 2 ou 3 °C au-dessus de la température ambiante (environ 25 °C) à l'intérieur. Ce dispositif assure la saturation en vapeur d'eau de l'atmosphère locale avant la pose des gouttes. L'évolution de l'angle de contact des gouttes (une goutte par expérience) a été suivie pendant 20 min et puis le couvercle de la boîte enlevé afin de remplacer le récipient d'eau par du gel de silice. Dans certains cas, le couvercle était remis en place, dans d'autres la boîte restait ouverte par la suite. III. RÉSULTATS ET DISCUSSION. Un exemple de l'évolution avec le temps, t, de l'angle de contact, 0, de la hauteur, h, et du diamètre, d, d'une goutte de volume initial 4 µl sur un substrat de résine époxyde polie est présenté sur la figure 1. L'angle de contact initial correspond à 61°. Quatre domaines sont apparents. Zone 1 correspond à l'atmosphère saturée où l'on voit une légère diminution de la hauteur, h, de la goutte et, par conséquent, de l'angle de contact, 0, tandis que le diamètre de contact, d, reste constant. Cet effet, quoique faible, est peut-être attribuable à une imbibition de la surface polymère par de l'eau de la goutte. (Nous ne pourrions que partiellement attribuer ce phénomène à une éventuelle réorientation moléculaire du polymère par affinité de groupements polaires, étant donné que la constance de d indique la disparition d'une partie de la goutte.) Après la zone I l'atmosphère n'est plus saturée, le récipient d'eau étant remplacé par du
de l'angle de contact, 0, de la hauteur, h, et du diamètre, d, d'une goutte de volume initial 4 µl sur un substrat de résine époxyde polie est présenté sur la figure 1. L'angle de contact initial correspond à 61°. Quatre domaines sont apparents. Zone 1 correspond à l'atmosphère saturée où l'on voit une légère diminution de la hauteur, h, de la goutte et, par conséquent, de l'angle de contact, 0, tandis que le diamètre de contact, d, reste constant. Cet effet, quoique faible, est peut-être attribuable à une imbibition de la surface polymère par de l'eau de la goutte. (Nous ne pourrions que partiellement attribuer ce phénomène à une éventuelle réorientation moléculaire du polymère par affinité de groupements polaires, étant donné que la constance de d indique la disparition d'une partie de la goutte.) Après la zone I l'atmosphère n'est plus saturée, le récipient d'eau étant remplacé par du gel de silice. La hauteur, h, et l'angle de contact, 0, diminuent plus rapidement que dans la zone I tandis que le diamètre, d, reste constant. Dans l'exemple donné, le couvercle de la boîte était remis immédiatement après l'échange eau/gel de silice et l'on voit une transition de pente avant que l'évolution de la hauteur ne devienne linéaire. Nous attribuons cet effet à un « temps de séchage » de l'atmosphère contrôlé par la cinétique d'absorption de vapeur par le gel de silice. Lorsque la boîte reste ouverte, le changement de pente après l'enlèvement de la source d'eau est net: la réduction de h est linéaire et celle de 0 l'est presque. L'angle de contact descend jusqu'à environ 20° (pour la résine époxyde) avant que la zone III n'apparaisse. Ce chiffre est plus faible que la valeur de 68 obtenu par la méthode directe de rétraction de la ligne triple (68~30°). La raison pour cette différence n'est pas claire mais est peut-être liée au fait que la méthode directe implique un mouvement (quoique lent) du liquide près de la ligne triple et, par conséquent, une résistance en cisaillement. Cette résistance favoriserait un léger déplacement de la ligne triple plutôt qu'une
que l'évolution de la hauteur ne devienne linéaire. Nous attribuons cet effet à un « temps de séchage » de l'atmosphère contrôlé par la cinétique d'absorption de vapeur par le gel de silice. Lorsque la boîte reste ouverte, le changement de pente après l'enlèvement de la source d'eau est net: la réduction de h est linéaire et celle de 0 l'est presque. L'angle de contact descend jusqu'à environ 20° (pour la résine époxyde) avant que la zone III n'apparaisse. Ce chiffre est plus faible que la valeur de 68 obtenu par la méthode directe de rétraction de la ligne triple (68~30°). La raison pour cette différence n'est pas claire mais est peut-être liée au fait que la méthode directe implique un mouvement (quoique lent) du liquide près de la ligne triple et, par conséquent, une résistance en cisaillement. Cette résistance favoriserait un léger déplacement de la ligne triple plutôt qu'une réduction de 0. Dans le cas de l'évaporation, le cisaillement sera absent. Dans la zone III, h et d diminuent ensemble de sorte que 0 reste à peu près constant et doit correspondre en effet à un angle de contact reculent. La zone III était totalement absente dans le cas de la résine époxyde rugueuse. La zone IV était présente pour tous les substrats étudiés et correspond à la disparition finale de la goutte. Elle est très difficile à suivre parce que la taille de la goutte devient très petite et l'angle faible — vers la fin, 0 tend vers zéro et par conséquent se trouve nettement en deçà de la valeur de 68 classique. La zone IV est mal comprise mais probablement influencée par des effets d'ancrage de la ligne triple par des hétérogénéités de surface. IV. MODÈLE DE LA ZONE II. La zone II montre une diminution linéaire de h en fonction du temps, t. Ceci peut être expliqué par la suite. En considérant une goutte posée comme une calotte sphérique (même les plus grosses gouttes étudiées n'étaient pas très loin de la sphéricité), nous avons deux expressions simples reliant l'aire de l'interface liquide/vapeur, A, et le volume,