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valeur cherchée du coefficient An ou A2. Le principe sur lequel je m'appuie pour développer en séries limitées les coefficients An et A2, ou An, de Z2 ou An, de Z2, me paraissant digne de quelque attention, je l'indiquerai ici brièvement. On sait que l'on détermine avec la plus grande facilité le reste qui complète une progression géométrique même divergente. D'ailleurs une intégration relative à une variable peut transformer une suite constamment croissante, et, par conséquent, divergente, en une suite qui, avant de croître, commence par décroître, et décroît même très-rapidement dans ses premiers termes. Cela posé, pour obtenir le reste propre à compléter une série divergente qui décroît très-rapidement dans ses premiers termes, il suffit evidememment de transformer ses divers termes, de manière à ce qu'ils soient produits par une intégration définie appliquée aux termes correspondants d'une progression géométrique. Or une semblable transformation est précisément celle qu'opèrent les formules auxquelles on est conduit par le calcul des résidus, et par la considération des moyennes isotropiques. Il était donc naturel de s'attendre à ce que l'emploi de ces formules permît, dans les applications de l'analyse mathématique, de tirer des séries limitées même divergentes, des déterminations sûres et rapides, que souvent les séries illimitées et convergentes ne pouvaient donner. Le principe général que je viens de rappeler est spécialement applicable à la solution de divers problèmes d'astronomie. On sait, en effet, que le calcul des perturbations des mouvements planétaires suppose le développement de la fonction nommée perturbatrice en une série ordonnée suivant les cosinus d'arguments représentés par des fonctions linéaires des multiples des anomalies moyennes. On sait aussi que la partie constante d'un argument quelconque, et le coefficient du cosinus de cet argument, sont très-difficiles à déterminer par les méthodes ordinaires, lorsque les multiples des anomalies moyennes deviennent très-considérables; et cette circonstance est précisément celle qui, jusqu'à ces derniers temps, rendait à peu près impraticable le calcul des perturbations d'un ordre très-élevé. Toutefois, depuis quelques années, on est parvenu à déterminer des perturbations de ce genre, soit comme l'a fait M. Le Verrier, dans son Mémoire sur la grande inégalité de
les séries illimitées et convergentes ne pouvaient donner. Le principe général que je viens de rappeler est spécialement applicable à la solution de divers problèmes d'astronomie. On sait, en effet, que le calcul des perturbations des mouvements planétaires suppose le développement de la fonction nommée perturbatrice en une série ordonnée suivant les cosinus d'arguments représentés par des fonctions linéaires des multiples des anomalies moyennes. On sait aussi que la partie constante d'un argument quelconque, et le coefficient du cosinus de cet argument, sont très-difficiles à déterminer par les méthodes ordinaires, lorsque les multiples des anomalies moyennes deviennent très-considérables; et cette circonstance est précisément celle qui, jusqu'à ces derniers temps, rendait à peu près impraticable le calcul des perturbations d'un ordre très-élevé. Toutefois, depuis quelques années, on est parvenu à déterminer des perturbations de ce genre, soit comme l'a fait M. Le Verrier, dans son Mémoire sur la grande inégalité de Pallas, en ayant recours à une double interpolation qui concerne le système de deux variables, soit, comme je l'ai fait moi-même, dans les Comptes rendus de 1845 [t. XX, p. 774 et suivantes] en recourant aux théorèmes généraux que j'avais établis à cette époque et à une interpolation simple. On peut même, comme je l'ai montré dans le Mémoire du juin 1845, déterminer directement, par de nouvelles formules, et sans interpolation d'aucune espèce, les perturbations à longues périodes avec une exactitude d'autant plus grande qu'elles sont d'un ordre plus élevé. Mais en soumettant à un nouvel examen mes formules de 1845, j'ai reconnu qu'elles peuvent être avantageusement remplacées par les formules plus simples que je donne aujourd'hui. ANALYSE. Soit A une fonction donnée du sinus et du cosinus de l'argument o. Soit encore Supposons enfin que Z, considérée comme fonction de z, reste monodrome et monogène dans le voisinage du module 1 attribué à la variable z. Alors Z sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de la variable z, et, en nommant A* le coefficient de zn dans cette série, on aura V. I." Soient maintenant les valeurs de z correspondantes aux modules
peut même, comme je l'ai montré dans le Mémoire du juin 1845, déterminer directement, par de nouvelles formules, et sans interpolation d'aucune espèce, les perturbations à longues périodes avec une exactitude d'autant plus grande qu'elles sont d'un ordre plus élevé. Mais en soumettant à un nouvel examen mes formules de 1845, j'ai reconnu qu'elles peuvent être avantageusement remplacées par les formules plus simples que je donne aujourd'hui. ANALYSE. Soit A une fonction donnée du sinus et du cosinus de l'argument o. Soit encore Supposons enfin que Z, considérée comme fonction de z, reste monodrome et monogène dans le voisinage du module 1 attribué à la variable z. Alors Z sera développable en une série convergente ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de la variable z, et, en nommant A* le coefficient de zn dans cette série, on aura V. I." Soient maintenant les valeurs de z correspondantes aux modules a, a', et pour lesquelles la fonction Z cesse d'être monodrome et monogène. À ces valeurs de z correspondront ordinairement des valeurs nulles ou infinies de la fonction Z qui deviendra infiniment petite ou infiniment grande pour une valeur infiniment petite de la différence z-z, ou z-z'. C'est ce qui arrivera, par exemple, si a est de la forme P, Q, R désignant des fonctions entières de sinp, cos p, et s, t, des exposants positifs quelconques. Alors, pour obtenir z, et z', il suffira de résoudre par rapport à la variable z les équations et de chercher parmi leurs racines celles qui offriront les modules les plus voisins de l'unité. Si, pour fixer les idées, on suppose que z soit racine de l'équation est celle qui offre le module immédiatement inférieur au module a de z la fonction F(z) restera généralement monodrome et monogène entre les limites b et a' du module r de la variable z. Considérons maintenant, d'une manière spéciale, le cas où la fonction Z est de la forme indiquée par l'équation, la fonction F(z) étant monodrome et monogène entre les limites et cherchons dans ce cas la valeur de k_n. Si d'abord on suppose la
arrivera, par exemple, si a est de la forme P, Q, R désignant des fonctions entières de sinp, cos p, et s, t, des exposants positifs quelconques. Alors, pour obtenir z, et z', il suffira de résoudre par rapport à la variable z les équations et de chercher parmi leurs racines celles qui offriront les modules les plus voisins de l'unité. Si, pour fixer les idées, on suppose que z soit racine de l'équation est celle qui offre le module immédiatement inférieur au module a de z la fonction F(z) restera généralement monodrome et monogène entre les limites b et a' du module r de la variable z. Considérons maintenant, d'une manière spéciale, le cas où la fonction Z est de la forme indiquée par l'équation, la fonction F(z) étant monodrome et monogène entre les limites et cherchons dans ce cas la valeur de k_n. Si d'abord on suppose la fonction F(z) réduite à l'unité, on aura simplement la valeur [s]n étant Si au contraire F(z) diffère de l'unité, on aura Or un moyen très-simple de calculer, dans cette dernière hypothèse, la valeur de A_n et de la développer en une série dont les termes successifs décroissent très-rapidement pour de grandes valeurs de n, sera évidemment de développer, sous le signe 3^, la fonction F (z) en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de la différence z – z,. En supposant que le développement de cette fonction soit convergent, on trouvera et il est clair que, pour de très-grandes valeurs de n, les premiers termes de la série renfermée entre les parenthèses dans la formule décroîtront très-rapidement avec ceux de leurs facteurs qui dépendent de n, c'est-à-dire avec les termes de la suite Mais, le plus souvent, les séries que renferment les formules seront divergentes, et, par suite, ces formules devront être rejetées. Toutefois, dans ce cas-là même, pour obtenir encore avec une grande facilité la valeur de A_n, quand n sera un très-grand nombre, il suffira encore de développer F(z) en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de la différence z zf, mais en limitant la série
grandes valeurs de n, sera évidemment de développer, sous le signe 3^, la fonction F (z) en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de la différence z – z,. En supposant que le développement de cette fonction soit convergent, on trouvera et il est clair que, pour de très-grandes valeurs de n, les premiers termes de la série renfermée entre les parenthèses dans la formule décroîtront très-rapidement avec ceux de leurs facteurs qui dépendent de n, c'est-à-dire avec les termes de la suite Mais, le plus souvent, les séries que renferment les formules seront divergentes, et, par suite, ces formules devront être rejetées. Toutefois, dans ce cas-là même, pour obtenir encore avec une grande facilité la valeur de A_n, quand n sera un très-grand nombre, il suffira encore de développer F(z) en une série ordonnée suivant les puissances ascendantes de la différence z zf, mais en limitant la série et en opérant comme il suit. L'équation subsistera pour tout module de z, renfermé entre les limites a, a'. Si d'ailleurs F(z) conserve une valeur finie pour z = o, et si l'on nomme u une variable distincte de z, mais dont le module, supérieur à celui de z, soit encore renfermé entre les limites a, a', on aura la lettre m indiquant une moyenne isotropique relative à l'argument de la variable u. Enfin, en désignant par m un nombre entier quelconque, on aura Or, à l'aide des formules, on déterminera facilement, d'abord les valeurs de vm et de pn, puis la valeur de A_n. Ainsi la détermination du coefficient A_n résultera du calcul des divers termes de la série limitée, comprise entre parenthèses dans la formule, et de l'évaluation du reste pn. Ajoutons que, pour obtenir le développement de ce reste en une série convergente, il suffira de développer le rapport en progression géométrique à l'aide de la formule et que la méthode ici appliquée à la détermination du coefficient A_n s'appliquera encore avec la même facilité à la détermination du coefficient A_n. Il reste à dire comment les valeurs de vm et de pn se modifient, quand F
encore renfermé entre les limites a, a', on aura la lettre m indiquant une moyenne isotropique relative à l'argument de la variable u. Enfin, en désignant par m un nombre entier quelconque, on aura Or, à l'aide des formules, on déterminera facilement, d'abord les valeurs de vm et de pn, puis la valeur de A_n. Ainsi la détermination du coefficient A_n résultera du calcul des divers termes de la série limitée, comprise entre parenthèses dans la formule, et de l'évaluation du reste pn. Ajoutons que, pour obtenir le développement de ce reste en une série convergente, il suffira de développer le rapport en progression géométrique à l'aide de la formule et que la méthode ici appliquée à la détermination du coefficient A_n s'appliquera encore avec la même facilité à la détermination du coefficient A_n. Il reste à dire comment les valeurs de vm et de pn se modifient, quand F (z) devient infinie pour z = o. C'est ce que nous expliquerons dans un autre article. Nous montrerons aussi comment des principes exposés dans ce Mémoire on peut déduire le développement d'une fonction en une série double ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes de deux exponentielles trigonométriques. zoologie. – Note sur l'encéphale du Microcèbe, et sur une application nouvelle de la classification par séries parallèles par M. Is. GeoffroySaint-Hilaire. Lorsqu'il y a onze ans, je reconnus et annonçai l'absence, chez quelques Singes, des circonvolutions cérébrales, jusqu'alors admises chez tous les Mammifères supérieurs, les résultats de mes observations, après m'avoir beaucoup étonné moi-même, excitèrent une grande incrédulité. En 1843, un savant médecin et physiologiste, que la science a eu le malheur de perdre depuis, M. Leuret, les contestait encore devant l'Académie. Et cependant, à cette époque, ce n'était plus chez une espèce seulement, le Marikina, mais chez les Ouistitis, que j'avais constaté l'existence d'un cerveau lisse. De plus, M. Owen avait observé, de son côté, des faits analogues qu'il a même publiés le premier; et, par ses observations et les miennes, il était devenu manifeste que l'absence des circonvolutions et anfractuosités cérébrales est le caractère, non de quelques espèces exceptionnelles,
Note sur l'encéphale du Microcèbe, et sur une application nouvelle de la classification par séries parallèles par M. Is. GeoffroySaint-Hilaire. Lorsqu'il y a onze ans, je reconnus et annonçai l'absence, chez quelques Singes, des circonvolutions cérébrales, jusqu'alors admises chez tous les Mammifères supérieurs, les résultats de mes observations, après m'avoir beaucoup étonné moi-même, excitèrent une grande incrédulité. En 1843, un savant médecin et physiologiste, que la science a eu le malheur de perdre depuis, M. Leuret, les contestait encore devant l'Académie. Et cependant, à cette époque, ce n'était plus chez une espèce seulement, le Marikina, mais chez les Ouistitis, que j'avais constaté l'existence d'un cerveau lisse. De plus, M. Owen avait observé, de son côté, des faits analogues qu'il a même publiés le premier; et, par ses observations et les miennes, il était devenu manifeste que l'absence des circonvolutions et anfractuosités cérébrales est le caractère, non de quelques espèces exceptionnelles, mais de la dernière des quatre tribus qui composent la grande famille des Singes. Je puis maintenant affirmer que les Hapaliens ne sont même pas, parmi les Mammifères de l'ordre des Primates, les seuls dont le cerveau s'écarte, sous ce point de vue si important, des conditions humaines; conditions regardées si longtemps comme constituant l'un des caractères essentiels du premier ordre des Mammifères. Le sujet de mes nouvelles observations est le singulier Primate que Buffon a fait connaître sous le nom de. Voyez les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, tome XVI, p. 1372. Petit Mongous et sous celui de Rat de Madagascar, que mon père a, le premier, en 1796, ramené définitivement, sous le nom de Maki nain, à la famille des Makis, ou, comme nous disons aujourd'hui, des Lémuridés) et qu'il a, depuis, érigé en un genre distinct, sous le nom, aujourd'hui généralement admis, de Microcèbe, Microcebus; nom qui rappelle la trèpikette taille de ce Primate. Aucun individu de ce genre, fort rare dans les collections, n'avait encore été vu vivant en Europe, à ma connaissance du moins, lorsque j'ai saisi, en 1850, l'occasion d'en acquérir un pour la Ménagerie du Muséum. Sa mort, tout récemment
si longtemps comme constituant l'un des caractères essentiels du premier ordre des Mammifères. Le sujet de mes nouvelles observations est le singulier Primate que Buffon a fait connaître sous le nom de. Voyez les Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, tome XVI, p. 1372. Petit Mongous et sous celui de Rat de Madagascar, que mon père a, le premier, en 1796, ramené définitivement, sous le nom de Maki nain, à la famille des Makis, ou, comme nous disons aujourd'hui, des Lémuridés) et qu'il a, depuis, érigé en un genre distinct, sous le nom, aujourd'hui généralement admis, de Microcèbe, Microcebus; nom qui rappelle la trèpikette taille de ce Primate. Aucun individu de ce genre, fort rare dans les collections, n'avait encore été vu vivant en Europe, à ma connaissance du moins, lorsque j'ai saisi, en 1850, l'occasion d'en acquérir un pour la Ménagerie du Muséum. Sa mort, tout récemment survenue, m'a permis de constater le fait intéressant qui fait le sujet de cette Note. Le cerveau est lisse, comme chez les Hapaliens, ainsi que chacun peut le voir sur le dessin que j'ai l'honneur de mettre sous les yeux de l'Académie. Comme chez les Hapaliens aussi, il existe latéralement un sillon qui sépare le lobe antérieur du lobe moyen. Là s'arrêtent d'ailleurs les ressemblances le cerveau du Microcèbe est établi sur le type général de la famille des Lémuridés, celui des Hapaliens sur le type général de la famille des Singes. C'est ainsi, pour citer la différence la plus remarquable, que, chez le Microcèbe, le cervelet reste complètement à découvert en arrière des hémisphères cérébraux chez les Ouistitis et les autres Hapaliens, au contraire, les hémisphères recouvrent entièrement le cervelet, et même le dépassent un peu leur développement, à part l'existence des circonvolutions, étant aussi riche, ou même, les Saïmiris et quelques autres exceptés, plus riche que dans tout le reste de la famille des Singes. Ainsi la seconde famille des Mammifères a, comme la première, ses espèces à cerveau lisse, double et très-grave objection, soit contre des vues physiologiques souvent développées par les phrénologistes, soit surtout, et ici
un sillon qui sépare le lobe antérieur du lobe moyen. Là s'arrêtent d'ailleurs les ressemblances le cerveau du Microcèbe est établi sur le type général de la famille des Lémuridés, celui des Hapaliens sur le type général de la famille des Singes. C'est ainsi, pour citer la différence la plus remarquable, que, chez le Microcèbe, le cervelet reste complètement à découvert en arrière des hémisphères cérébraux chez les Ouistitis et les autres Hapaliens, au contraire, les hémisphères recouvrent entièrement le cervelet, et même le dépassent un peu leur développement, à part l'existence des circonvolutions, étant aussi riche, ou même, les Saïmiris et quelques autres exceptés, plus riche que dans tout le reste de la famille des Singes. Ainsi la seconde famille des Mammifères a, comme la première, ses espèces à cerveau lisse, double et très-grave objection, soit contre des vues physiologiques souvent développées par les phrénologistes, soit surtout, et ici sans résolution possible, contre les tentatives faites, dans ces dernières années, pour fonder la classification des Mammifères sur le nombre des lobes cérébraux et sur la présence ou l'absence des circonvolutions. Le fait que je viens d'annoncer, offre ainsi, à plusieurs titres, un véritable intérêt pour la zoologie et l'anatomie comparée. Je n'aurais pas cru, néanmoins, devoir le détacher d'un travail que je poursuis depuis quatre années, en commun avec M. le Dr Auzias-Turenne, sur l'encéphale des Mammifères, et particulièrement des Primates, si ce fait ne m'avait fourni une occasion, très-précieuse et très-désirée, de vérifier une induction qu'on eût pu prendre, jusqu'à ce jour, pour une conjecture fort hasardée. Quand M. Leuret, en 1833, se refusait à admettre l'absence des circonvolutions cérébrales chez les Ouistitis, c'était surtout par des raisons toutes théoriques, déduites de l'idée générale que, fidèle disciple de M. de Blainville, il se faisait de la série zoologique, selon lui essentiellement linéaire et uniformément décroissante. C'est d'après des vues théoriques, déduites de l'idée que je me fais de la série zoologique, comme essentiellement multiple et parallélique, que j'ai pu annoncer à l'avance que, les Lémuridés jusqu'à présent connus, ayant tous des circonvolutions cérébrales, le Microcèbe, qui pourtant est
comparée. Je n'aurais pas cru, néanmoins, devoir le détacher d'un travail que je poursuis depuis quatre années, en commun avec M. le Dr Auzias-Turenne, sur l'encéphale des Mammifères, et particulièrement des Primates, si ce fait ne m'avait fourni une occasion, très-précieuse et très-désirée, de vérifier une induction qu'on eût pu prendre, jusqu'à ce jour, pour une conjecture fort hasardée. Quand M. Leuret, en 1833, se refusait à admettre l'absence des circonvolutions cérébrales chez les Ouistitis, c'était surtout par des raisons toutes théoriques, déduites de l'idée générale que, fidèle disciple de M. de Blainville, il se faisait de la série zoologique, selon lui essentiellement linéaire et uniformément décroissante. C'est d'après des vues théoriques, déduites de l'idée que je me fais de la série zoologique, comme essentiellement multiple et parallélique, que j'ai pu annoncer à l'avance que, les Lémuridés jusqu'à présent connus, ayant tous des circonvolutions cérébrales, le Microcèbe, qui pourtant est incontestablement un véritable Lémuridé, devait, à contaire, contre toutes les analogies apparentes, manquer de ces mêmes circonvolutions. Lorsque j'ai proposé, en 1832, la substitution, à la classification en série unique et linéaire, jusqu'alors adoptée, de la classification par séries parallèles, j'avais pour but d'arriver à une expression plus complète des rapports naturels des êtres. On avait toujours donné une grande attention aux affinités qui unissent les différents types compris dans un même groupe; on avait, au contraire, négligé les affinités qui relient les types homologues que l'observation montre si souvent dans des groupes différents, et qui, de l'un à l'autre, se répètent comme autant de termes correspondants. Ces suites de termes correspondants sont ce que j'appelle séries parallèles; séries dont l'emploi, grâce aux travaux de plusieurs de mes anciens élèves, est devenu aujourd'hui très-général en zoologie, et a même été étendu, par quelques-uns, à plusieurs parties de la botanique, et, par l'un de mes illustres maîtres, à l'anthropologie. J'ai reconnu que les faits étaient en opposition avec les données de ces théories. Depuis, les mêmes vues ont été reprises, et développées avec talent, et non sans un véritable profit pour la science; elles comptent aujourd'hui d'illustres partisans. Mais le nombre
rapports naturels des êtres. On avait toujours donné une grande attention aux affinités qui unissent les différents types compris dans un même groupe; on avait, au contraire, négligé les affinités qui relient les types homologues que l'observation montre si souvent dans des groupes différents, et qui, de l'un à l'autre, se répètent comme autant de termes correspondants. Ces suites de termes correspondants sont ce que j'appelle séries parallèles; séries dont l'emploi, grâce aux travaux de plusieurs de mes anciens élèves, est devenu aujourd'hui très-général en zoologie, et a même été étendu, par quelques-uns, à plusieurs parties de la botanique, et, par l'un de mes illustres maîtres, à l'anthropologie. J'ai reconnu que les faits étaient en opposition avec les données de ces théories. Depuis, les mêmes vues ont été reprises, et développées avec talent, et non sans un véritable profit pour la science; elles comptent aujourd'hui d'illustres partisans. Mais le nombre des faits qui les contredisent, s'accroît de jour en jour, et elles ne sauraient prévaloir dans la science. L'application de ces vues à l'ordre des Primates date déjà de plusieurs années. Sans parler des parallélismes secondaires, aujourd'hui si manifestes, qui existent entre les Singes de l'ancien et du nouveau continent, le parallélisme des deux grandes familles des Primates, les Singes et les Lémuridés, ne saurait plus aujourd'hui être contesté. L'une et l'autre de ces familles commencent par des genres de grande taille, frugivores, à cinq molaires comme chez l'homme; toutes deux se continuent par des genres plus petits, souvent même très-petits, d'abord frugivores encore, puis insectivores, et qui ont ordinairement six molaires, et en tout trente-six dents; d'où, entre des animaux caractérisés essentiellement par la disposition très-différente de leurs dents, la reproduction exacte des mêmes nombres dentaires, et l'application possible d'une formule commune, qui est la suivante T1, T2. Malgré quelques difficultés relatives à une modification particulière du système dentaire chez les Hapaliens, il est facile de voir que, dans la comparaison des deux séries parallèles des Singes et des Lémuridés, les Ouistitis et les Microcèbes se trouvent représenter des termes de même ordre, en tant que réalisant, de part