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COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES GAUTHIER-VILLARS IMPRIMEUR-LIBRAIRE DES COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES 5552-93 Imprimé en France COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES 1993 Tome 316 Série II : MÉCANIQUE PHYSIQUE CHIMIE SCIENCES DE LA TERRE ET DE L'UNIVERS Physique théorique/Theoretical Physics Sur un potentiel singulier intéressant Khosrow CHADAN et Micheline MUSETTE Résumé — Dans cette Note, nous présentons un potentiel singulier, (3), dans un intervalle fini [0, R], avec la condition de Dirichlet aux deux bords, pour lequel le Hamiltonien est auto-adjoint, et dont le spectre dans la constante de couplage g reproduit le terme dominant dans la formule de Riemann sur le nombre des zéros non triviaux de la fonction zêta, (28), et également dans la première règle de somme (31), moyennant des choix convenables des paramètres R, 1, a, et P, où g=(1/4)(1 + t2). Un choix possible est : 1= 1, α= -27/4, P= -3/2, R = e-4"/3. On an interesting singular potential Abstract In this Note, we show that the singular potential (1), considered in the finite interval [0, R], with Dirichlet boundary condition at both ends, leads to a self-adjoint Hamiltonian, and that the spectrum in g, which is real, discrete, with g > 1/4, coincides approximately with the non-trivial zeros of the Riemann zeta-function by reproducing the main terms in the Riemann formula for the number of these zeros (6), as well as the mean-value theorem, (7), provided that R, 1, a and P are conveniently chosen, and g=(1/4)+(t2/4). Abridged English Version We consider the potential and the Hamiltonian H = -(d2jdx2) + V(g; x), in the finite interval [0, R], with R < 1, and Dirichlet b.c. at both ends. We assume that 1=(1/2) + A > 1/2, and g, ex, 0 are all real. Since the most singular part of the potential near the origin is positive, it is a trivial matter to show that H is self-adjoint in L2(0, R). With appropriate choices of 1 (A), ex, and P, we show that the "spectrum" in g of the Schrödinger equation at zero energy (2) H (D (g; x)
g > 1/4, coincides approximately with the non-trivial zeros of the Riemann zeta-function by reproducing the main terms in the Riemann formula for the number of these zeros (6), as well as the mean-value theorem, (7), provided that R, 1, a and P are conveniently chosen, and g=(1/4)+(t2/4). Abridged English Version We consider the potential and the Hamiltonian H = -(d2jdx2) + V(g; x), in the finite interval [0, R], with R < 1, and Dirichlet b.c. at both ends. We assume that 1=(1/2) + A > 1/2, and g, ex, 0 are all real. Since the most singular part of the potential near the origin is positive, it is a trivial matter to show that H is self-adjoint in L2(0, R). With appropriate choices of 1 (A), ex, and P, we show that the "spectrum" in g of the Schrödinger equation at zero energy (2) H (D (g; x) = 0 has the following properties: 1) It is real, discrete, and g > 1/4, V n; 2) With the choice the function C an appropriate constant, where f is normalized according to Note présentée par André MARTIN. 0764-4450/93/03160001 $ 2.00 0 Académie des Sciences and can be shown to have the asymptotic property (5) r J'Vog |v|)"p/2,+1)| (5) ~(~R)= R 'x Kk] Xsm vi Log + + (1 +0(1/log Iv!>), g-> ce xsin |~jv| 1 Log (2/+l)<Log(1/R) 4 2 J 00 xsm L Log (2/+ l)eLog (tIR) 4 2 T is asymptotically close to the Riemann Zeta-function in the sense that it reproduces the main terms in the Riemann formula for the number of zeros in the critical strip [7] and in the first mean-value theorem Indeed, for C1, we obtain provided we choose the parameters R, 1, a, and p in an appropriate way. A possible choice is Nous considérons l'équation de Schrödinger à énergie nulle, dans un intervalle fini [0, R], avec la condition de Dirichlet à l'origine : (1) <P" (g, x) = V (g, x)<p (g, x), (2) x∈[0, R], ϕ (g, 0) = 0, où Logn a signifie (Log a)n. Afin d'éviter une singularité
have the asymptotic property (5) r J'Vog |v|)"p/2,+1)| (5) ~(~R)= R 'x Kk] Xsm vi Log + + (1 +0(1/log Iv!>), g-> ce xsin |~jv| 1 Log (2/+l)<Log(1/R) 4 2 J 00 xsm L Log (2/+ l)eLog (tIR) 4 2 T is asymptotically close to the Riemann Zeta-function in the sense that it reproduces the main terms in the Riemann formula for the number of zeros in the critical strip [7] and in the first mean-value theorem Indeed, for C1, we obtain provided we choose the parameters R, 1, a, and p in an appropriate way. A possible choice is Nous considérons l'équation de Schrödinger à énergie nulle, dans un intervalle fini [0, R], avec la condition de Dirichlet à l'origine : (1) <P" (g, x) = V (g, x)<p (g, x), (2) x∈[0, R], ϕ (g, 0) = 0, où Logn a signifie (Log a)n. Afin d'éviter une singularité non intégrable à x = R dans le potentiel, nous supposons que R < 1. Les paramètres et a sont fixes et réels, et 1>(1/2). Nous ferons varier g dans le plan complexe C. Au point x = R, nous imposerons (4) (<p (g, R) + <q'(g, R) = 0, 1 réel fixe. Après le changement de variable et de fonction (6) WM=*-,B<П(*)|„.„W l'équation (1) se ramène à l'équation de Whittaker dans l'intervalle [(2/+ 1) Log (1/R), ∞), avec la condition W (∞) = 0. Posons Les deux solutions indépendantes de (7) sont généralement notées Mk v et Mk, „ [1], v un entier, et sont exponentiellement croissantes à l'infini. La solution régulière W k. y qui s'annule à l'infini, est une combinaison des deux : (10) WkrV(z) = zke-zl2+ z → ∞. Dans la variable x, la solution régulière (<p, données par (6), a le comportement suivant : Notons que la solution W est une fonction paire de v d'après sa définition (9). Une deuxième solution de (7), indépendante de W, et singulière à l'infini, est : Elle se comporte à l'infini comme (z) -k ez/2. A cette solution correspond la solution ~1 [ 1] -k (14) X(g,x)=(2/+1)LogX-l+, x
1 réel fixe. Après le changement de variable et de fonction (6) WM=*-,B<П(*)|„.„W l'équation (1) se ramène à l'équation de Whittaker dans l'intervalle [(2/+ 1) Log (1/R), ∞), avec la condition W (∞) = 0. Posons Les deux solutions indépendantes de (7) sont généralement notées Mk v et Mk, „ [1], v un entier, et sont exponentiellement croissantes à l'infini. La solution régulière W k. y qui s'annule à l'infini, est une combinaison des deux : (10) WkrV(z) = zke-zl2+ z → ∞. Dans la variable x, la solution régulière (<p, données par (6), a le comportement suivant : Notons que la solution W est une fonction paire de v d'après sa définition (9). Une deuxième solution de (7), indépendante de W, et singulière à l'infini, est : Elle se comporte à l'infini comme (z) -k ez/2. A cette solution correspond la solution ~1 [ 1] -k (14) X(g,x)=(2/+1)LogX-l+, x → ∞. (15) W(g, x) = cpx'-(p'X= Les fonctions Mk. v (z) et Wk v(z), pour α, /, z(∞) fixes et réels, sont des fonctions entières de la variable v, d'ordre 1 et de type infini [2]. Ceci se voit immédiatement, par exemple, de la définition [1] Lorsque g → ∞ (v = il vi, v | → ∞), les autres paramètres étant fixes, on a [3] Nous allons maintenant étudier le caractère du hamiltonien dans l'intervalle [0, R(< 1)], avec la condition de Dirichlet à l'origine, et (4) à x = R. On peut montrer facilement que pour 1>(1/2), quel que soit g fini, H est auto-adjoint quel que soit k réel fixe dans (4). En effet, on voit dans ces conditions que l'origine est un point limite ([4], [5]). Quant au point x = R < 1), le potentiel y est régulier et fini, et l'on a donc deux solutions indépendantes, toutes les deux L2 à x = R. Le point x = R correspond à un cercle limite. Le choix de X, réel, définit un point sur ce cercle, et un H = HX essentiellement auto-adjoint dans L2(lR+{ 0}). Il en résulte que le spectre de HI.
∞ (v = il vi, v | → ∞), les autres paramètres étant fixes, on a [3] Nous allons maintenant étudier le caractère du hamiltonien dans l'intervalle [0, R(< 1)], avec la condition de Dirichlet à l'origine, et (4) à x = R. On peut montrer facilement que pour 1>(1/2), quel que soit g fini, H est auto-adjoint quel que soit k réel fixe dans (4). En effet, on voit dans ces conditions que l'origine est un point limite ([4], [5]). Quant au point x = R < 1), le potentiel y est régulier et fini, et l'on a donc deux solutions indépendantes, toutes les deux L2 à x = R. Le point x = R correspond à un cercle limite. Le choix de X, réel, définit un point sur ce cercle, et un H = HX essentiellement auto-adjoint dans L2(lR+{ 0}). Il en résulte que le spectre de HI. est réel : il n'y a que des valeurs réelles de E pour lesquelles H, (<p = E (<p, avec (<p satisfaisant à la fois (2) et (4), et cpeL2(0, R). En fait, il est trivial de montrer, que le spectre est borné inférieurement, et discret : E = 1 El (À, g), E2 (k, g), En (À, g), .}, avec El > — ∞, et En → ∞ pour n → ∞ Ici, nous considérons E = 0, et nous regardons les valeurs de g pour lesquelles (2) et (4) sont satisfaites. Étant donné que ρ et ρ' sont des fonctions entières de g, on voit que (4) nous fournit un ensemble infini discret de valeurs {gl, g2, gn, .}, avec Ignl → ∞ lorsque n → ∞. En fait, on peut montrer que ce « spectre » en g est aussi réel, et que chaque gn est simple. Nous allons maintenant, pour ce qui concerne cette Note, nous restreindre à A = 0 : (21) cp(g; R) = 0. Dans ces conditions, nous allons montrer que gn > 1/4 pour tout n, si R est assez petit, et α pas trop négatif. Rappelons que nous supposons toujours 1
El (À, g), E2 (k, g), En (À, g), .}, avec El > — ∞, et En → ∞ pour n → ∞ Ici, nous considérons E = 0, et nous regardons les valeurs de g pour lesquelles (2) et (4) sont satisfaites. Étant donné que ρ et ρ' sont des fonctions entières de g, on voit que (4) nous fournit un ensemble infini discret de valeurs {gl, g2, gn, .}, avec Ignl → ∞ lorsque n → ∞. En fait, on peut montrer que ce « spectre » en g est aussi réel, et que chaque gn est simple. Nous allons maintenant, pour ce qui concerne cette Note, nous restreindre à A = 0 : (21) cp(g; R) = 0. Dans ces conditions, nous allons montrer que gn > 1/4 pour tout n, si R est assez petit, et α pas trop négatif. Rappelons que nous supposons toujours 1 > (1/2). Écrivons donc 1 = (1/2) + A. L'opérateur d2 1 dx2, avec la condition de Dirichlet aux deux bords, est strictement positif. Considérons donc le potentiel (3) : Pour g = 1/4, le premier terme est positif dans tout l'intervalle [0, R] si R < e Il en est donc de même si g < 1/4. Le deuxième terme, avec ce choix de R, est aussi positif si Sous ces conditions, qui sont simplement suffisantes, on voit que l'opérateur -d2/dx2 + W(g; x), avec les conditions de Dirichlet et g (1/4), est strictement positif. Il ne peut donc pas avoir de valeur propre E = 0. En conséquence, si nous fixons E = 0, tous les gn doivent être plus grands que 1/4. Revenons maintenant à la forme asymptotique de (21) pour g grand, et posons Les zéros ln sont donnés, asymptotiquement, par On en déduit que leur nombre, dans un intervalle (0, T), T très grand, est Considérons maintenant la fonction où ζ(0) est fonction zéta de Riemann. Nous savons que la conjecture de Riemann sur les zéros non triviaux de ζ revient à dire que les zéros de E (t) sont tous réels. Nous savons aussi
est donc de même si g < 1/4. Le deuxième terme, avec ce choix de R, est aussi positif si Sous ces conditions, qui sont simplement suffisantes, on voit que l'opérateur -d2/dx2 + W(g; x), avec les conditions de Dirichlet et g (1/4), est strictement positif. Il ne peut donc pas avoir de valeur propre E = 0. En conséquence, si nous fixons E = 0, tous les gn doivent être plus grands que 1/4. Revenons maintenant à la forme asymptotique de (21) pour g grand, et posons Les zéros ln sont donnés, asymptotiquement, par On en déduit que leur nombre, dans un intervalle (0, T), T très grand, est Considérons maintenant la fonction où ζ(0) est fonction zéta de Riemann. Nous savons que la conjecture de Riemann sur les zéros non triviaux de ζ revient à dire que les zéros de E (t) sont tous réels. Nous savons aussi que E (t) est une fonction paire. Par ailleurs, pour t grand, le nombre des zéros dans la bande 1 lm r| < (1/2), 0.9 t < g T, est donné par Si A = 1, l'analogie entre (26) et (28) devient frappante. Ce choix nous donne Cette égalité, jointe à (23), nous donne alors a > 2 7t A, qui est simplement suffisante et qu'on peut améliorer. La conclusion, à ce stade, est que la fonction cp (g; R), avec des choix convenables des paramètres R, /, et T, est une bonne approximation de ζ (t) moyennant la véracité de l'hypothèse de Riemann, avec le choix de g = (1/4) (1 + t2) Les zéros de ρ dans la variable t sont réels, ± tn. On peut donc se demander si n'est pas une bonne approximation pour ζ (0/2) + i t). Cependant, nous devons regarder de plus près, et voir si au moins la première règle de somme [7] est vérifiée pour ç* défini par (30). En utilisant (18), nous obtenons, ce qui ne peut coïncider avec (31) avec aucun choix de k. Le plus près que nous puissions aller est de choisir k = (9/4), auquel cas
à (23), nous donne alors a > 2 7t A, qui est simplement suffisante et qu'on peut améliorer. La conclusion, à ce stade, est que la fonction cp (g; R), avec des choix convenables des paramètres R, /, et T, est une bonne approximation de ζ (t) moyennant la véracité de l'hypothèse de Riemann, avec le choix de g = (1/4) (1 + t2) Les zéros de ρ dans la variable t sont réels, ± tn. On peut donc se demander si n'est pas une bonne approximation pour ζ (0/2) + i t). Cependant, nous devons regarder de plus près, et voir si au moins la première règle de somme [7] est vérifiée pour ç* défini par (30). En utilisant (18), nous obtenons, ce qui ne peut coïncider avec (31) avec aucun choix de k. Le plus près que nous puissions aller est de choisir k = (9/4), auquel cas (32) donne seulement un comportement en T. Nous allons maintenant montrer qu'on peut remédier à cela en considérant le potentiel En utilisant la première partie du potentiel comme point de départ, nous pouvons traiter le dernier potentiel par la méthode de la phase variable [8]. On obtient alors, pour la solution régulière désignée C : A l'ordre le plus bas, le potentiel V2 ne contribue donc pas à la phase asymptotique dans (35). Par contre, il y a une contribution à l'amplitude, qui est (Log | v|)-p/(2i + 1), et c'est ce que nous souhaitons pour retrouver, avec un choix convenable de (3, le premier terme à droite de (31). Avec le choix de A = 1, et (36) P = -(2/ + 1)/2, k = a/(2 + 1) = 9/4 nous obtenons, pour T grand : L'addition du dernier potentiel dans (33) ne modifie évidemment pas le caractère autoadjoint du hamiltonien, étant donné qu'il est moins singulier que V (g; x). Par ailleurs, en procédant de la même manière que pour (22), on arrive encore à gn > 1/4, V n. En conclusion, la fonction où g = (1 + t2)/4 = -(1/4) (5 + (1/2)) (5 — (3/2)),
solution régulière désignée C : A l'ordre le plus bas, le potentiel V2 ne contribue donc pas à la phase asymptotique dans (35). Par contre, il y a une contribution à l'amplitude, qui est (Log | v|)-p/(2i + 1), et c'est ce que nous souhaitons pour retrouver, avec un choix convenable de (3, le premier terme à droite de (31). Avec le choix de A = 1, et (36) P = -(2/ + 1)/2, k = a/(2 + 1) = 9/4 nous obtenons, pour T grand : L'addition du dernier potentiel dans (33) ne modifie évidemment pas le caractère autoadjoint du hamiltonien, étant donné qu'il est moins singulier que V (g; x). Par ailleurs, en procédant de la même manière que pour (22), on arrive encore à gn > 1/4, V n. En conclusion, la fonction où g = (1 + t2)/4 = -(1/4) (5 + (1/2)) (5 — (3/2)), O'^ViO, <D(0) = ρ(R) = 0, Φ étant normalisée en accord avec (34), est une bonne approximation pour la fonction ζ de Riemann, et elle satisfait l'hypothèse de Riemann, moyennant des choix appropriés de R, 1, ∝ et P. En utilisant (29) et (36), et en choisissant /= 1, nous obtenons bien les valeurs indiquées dans le résumé. Note remise le 31 août 1992, acceptée le 25 novembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A. ERDELYI éd., Higher Transcendental Functions, 1, 1953, p. 264-265, 274 ff. [2] R. P. BOAS, Entire Functions, Academic Press, New York, 1954. [3] Voir [1], p. 278-282. [4] E. C. TITCHMARSH, Eigen-Function Expansions, Part 1, Oxford, 1969. [5] G. HELLWIG, Differential Operators of Mathematical Physics, Addison-Wesley, Reading, 1967. [5] G. HELLWIG, Dif [6] K. MEETZ, J. Math. Phys., 8, 1962, p. 690-699. [7] E. C. TITCHMARSH, The Theory of the Riemann Zeta-Function, 2e éd., Oxford, 1986. [8] F. CALOGERO, Variable Phase Approach to Potential Scattering, Academic Press, 1967. K. C. Laboratoire de Physique Théorique et Hautes Énergies, Laboratoire associé au Centre National de la Recherche Scientifique, Université Paris-XI, Bât. 211, 91405 Orsay Cedex, France; M. M. Bevoegdverklaard Navorser NFWO, Theoretische Natuurkunde, Vrije Universiteit Brussel, Pleinlaan 2, 1050
obtenons bien les valeurs indiquées dans le résumé. Note remise le 31 août 1992, acceptée le 25 novembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A. ERDELYI éd., Higher Transcendental Functions, 1, 1953, p. 264-265, 274 ff. [2] R. P. BOAS, Entire Functions, Academic Press, New York, 1954. [3] Voir [1], p. 278-282. [4] E. C. TITCHMARSH, Eigen-Function Expansions, Part 1, Oxford, 1969. [5] G. HELLWIG, Differential Operators of Mathematical Physics, Addison-Wesley, Reading, 1967. [5] G. HELLWIG, Dif [6] K. MEETZ, J. Math. Phys., 8, 1962, p. 690-699. [7] E. C. TITCHMARSH, The Theory of the Riemann Zeta-Function, 2e éd., Oxford, 1986. [8] F. CALOGERO, Variable Phase Approach to Potential Scattering, Academic Press, 1967. K. C. Laboratoire de Physique Théorique et Hautes Énergies, Laboratoire associé au Centre National de la Recherche Scientifique, Université Paris-XI, Bât. 211, 91405 Orsay Cedex, France; M. M. Bevoegdverklaard Navorser NFWO, Theoretische Natuurkunde, Vrije Universiteit Brussel, Pleinlaan 2, 1050 Bruxelles, Belgique. Physique des surfaces et des interfaces/Surface and Interface Physics Glissement d’un fluide sur une surface de rugosité modèle Lydéric BOCQUET Résumé Dans cette Note, nous montrons qu’il est possible de calculer le transfert de quantité de mouvement entre un fluide en écoulement et une surface de rugosité modèle par un raisonnement de type « libre parcours moyen ». On en déduit le coefficient phénoménologique de glissement fonction des caractéristiques de rugosité de la surface. Slipping of a fluid on a surface of controlled roughness Abstract We show how the momentum transfer between a fluid and a moving surface of controlled roughness may be estimated from a simple mean-free-path argument. The phenomenological slip coefficient is derived from this calculation as a function of the characteristics of the surface roughness. Abridged English Version — Hydrodynamic flows are usually described by a set of differential equations supplemented by ad hoc boundary conditions (BC). The usual assumption is to assume that the tangential velocity of the fluid vanishes at a fluid/solid interface. However, this BC has no microscopic justification and a slip can be observed at the interface. Maxwell justified the slip condition assuming that a fraction f of the particles is
par un raisonnement de type « libre parcours moyen ». On en déduit le coefficient phénoménologique de glissement fonction des caractéristiques de rugosité de la surface. Slipping of a fluid on a surface of controlled roughness Abstract We show how the momentum transfer between a fluid and a moving surface of controlled roughness may be estimated from a simple mean-free-path argument. The phenomenological slip coefficient is derived from this calculation as a function of the characteristics of the surface roughness. Abridged English Version — Hydrodynamic flows are usually described by a set of differential equations supplemented by ad hoc boundary conditions (BC). The usual assumption is to assume that the tangential velocity of the fluid vanishes at a fluid/solid interface. However, this BC has no microscopic justification and a slip can be observed at the interface. Maxwell justified the slip condition assuming that a fraction f of the particles is reflected in a specular fashion from the surface, while the fraction 1 - f is re-emitted diffusely. In this Note, we are interested in the momentum transferred to a wall of controlled roughness by the molecules of the fluid. Using a very simplified model we can estimate the phenomenological slip coefficient λ, which relates linearly the tangential frictional stress of the fluid to the slipping velocity of the fluid at the interface, crf = λvg. To achieve this, we consider at z= 0 a "serrated" wall, whose roughness is characterized by its periodicity and its height h [see Fig. (a) and (b)], moving with velocity U = U ex. A fluid of hard spheres (mass m, diameter σf, density nf) fills the z > 0 half space and has a mean velocity V = Vex. We assume that (i) the mean free path of the particles is much larger than the characteristics of the roughness (ξ, > h, l), (ii) the particles collide with the wall in a specular fashion, (iii) we neglect correlations between recollisions of a particle with several faces of the wall. The fluid undergoes a frictional stress cr defined by where ΔP* is the momentum variation
coefficient λ, which relates linearly the tangential frictional stress of the fluid to the slipping velocity of the fluid at the interface, crf = λvg. To achieve this, we consider at z= 0 a "serrated" wall, whose roughness is characterized by its periodicity and its height h [see Fig. (a) and (b)], moving with velocity U = U ex. A fluid of hard spheres (mass m, diameter σf, density nf) fills the z > 0 half space and has a mean velocity V = Vex. We assume that (i) the mean free path of the particles is much larger than the characteristics of the roughness (ξ, > h, l), (ii) the particles collide with the wall in a specular fashion, (iii) we neglect correlations between recollisions of a particle with several faces of the wall. The fluid undergoes a frictional stress cr defined by where ΔP* is the momentum variation in the x direction of the fluid particles which collide with the wall during the time At. Within the previous assumptions, we can estimate this quantity and find that it is related linearly to the slipping velocity of the fluid at the interface cr = A (V - V). The phenomenological slipping coefficient X can be written X = y(h/l)n/(mkyJkB), where y (h/l) is a function only of the ratio of the characteristics of the surface roughness. When this ratio is small compared to one, the function y (h/l) reduces to a simple form: y (h/l) = y^2 + 0((h/l)4). Note présentée par Pierre-Gilles de GENNES. 0764-4450/93/03160007 $ 2.00 6 Académie des Sciences Nevertheless when the height h becomes of the order of the periodicity l, assumption (iii) is no longer valid so that our model is correct only in the limit of small values of the ratio h/l. As pointed out by de Gennes [4], a boundary condition for the fluid velocity can be obtained in the case of a slip by expressing the continuity of the viscous stress present in the fluid cr v = μ (OV/Oz) (where μ is the shear viscosity) with a frictional stress crf