jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
pour des algorithmes d'inversion à partir de vitesses de groupe (Every, 1990b). Note remise le 1er février 1993, acceptée le 18 février 1993. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES B. AUDOUIN et J. ROUX, Traitement du signal ultrasonore adapté à l'évaluation non destructive de matériaux dispersifs, Revue Phys. Appl., 25, 1990, p. 1011-1017. B. A. AULD, Acoustics fields and waves in solids, Wiley, New York, 1, 2nd éd., 1990, p. 221-236. J.-D. AUSSIEL et J.-P. MONCHALIN, Précision laser-ultrasonore velocity measurement and elastic constant determination, Ultrasonics, 27, 1989, p. 165-177. C. A. CALDER, E. C. DRANEY, et W. W. WILCOX, Noncontact measurement of the elastic constants of plutonium at elevated temperature, J. Nucl. Mater., 27, 1981, p. 126-136. B. CASTAGNEDE, W. SACHSE et M. O. THOMPSON, Détermination of the elastic constants of anisotropic materials via laser-generated ultrasound, Proceedings of Ultrasonics International' 89, p. 71-77. B. CASTAGNEDE, J. ROUX et B. HOSTEN, Correlation method for normal mode tracking in anisotropic media using an ultrasonic immersion system, Ultrasonics, 27, 1989, p. 280-287. B. CASTAGNEDE, J. T. JENKINS, W. SACHSE et S. BASTE, Optimal determination of the elastic constants of composite materials from wavespeed measurements, J. Appl. Phys., 67, 1990, p. 2753-2761. B. CASTAGNEDÉ, K. Y. KIM, W. SACHSE et M. O. THOMPSON, Determination of the elastic constants of anisotropic materials using laser-generated ultrasonic signals, J. Appl. Phys., 70, 1991, p. 150-157. B. CASTAGNEDÉ et A. MOURAD, Visualization of divergent acoustical wavefronts in an anisotropic plate, C. R. Acad. Sci. Paris, 314, série II, 1992, p. 1301-1306. B. CASTAGNEDÉ, A. G. EVERY et W. SACHSE, Numerical instabilities of inversion algorithms of the elastic constants from ultrasonic velocities in anisotropic solids, C. R. Acad. Sci. Paris, 314, série II, 1992, p. 865-870. A. G. EVERY, W. SACHSE, K. Y. KIM et M. O. THOMPSON, Phonon focusing in silicon at ultrasonic frequencies, Phys. Rev. Lett., 65, 1990, p. 1446-1449. A. G. EVERY et W. SACHSE, Determination of the elastic constants of anisotropic solids from acoustic wave group velocity measurements, Phys. Rev. B, 42, 1990, p. 8196-8205. A. G. EVERY, B. CASTAGNEDÉ et W. SACHSE, Numerical instabilities in inversion algorithms for
SACHSE et M. O. THOMPSON, Determination of the elastic constants of anisotropic materials using laser-generated ultrasonic signals, J. Appl. Phys., 70, 1991, p. 150-157. B. CASTAGNEDÉ et A. MOURAD, Visualization of divergent acoustical wavefronts in an anisotropic plate, C. R. Acad. Sci. Paris, 314, série II, 1992, p. 1301-1306. B. CASTAGNEDÉ, A. G. EVERY et W. SACHSE, Numerical instabilities of inversion algorithms of the elastic constants from ultrasonic velocities in anisotropic solids, C. R. Acad. Sci. Paris, 314, série II, 1992, p. 865-870. A. G. EVERY, W. SACHSE, K. Y. KIM et M. O. THOMPSON, Phonon focusing in silicon at ultrasonic frequencies, Phys. Rev. Lett., 65, 1990, p. 1446-1449. A. G. EVERY et W. SACHSE, Determination of the elastic constants of anisotropic solids from acoustic wave group velocity measurements, Phys. Rev. B, 42, 1990, p. 8196-8205. A. G. EVERY, B. CASTAGNEDÉ et W. SACHSE, Numerical instabilities in inversion algorithms for recovering the elastic constants of anisotropic solids from wavespeed data, Proceedings of Ultrasonics International' 91, p. 459-462; Voir aussi A. G. EVERY et W. SACHSE, Ultrasonics, 30, 1992, p. 43-48. B. HOSTEN, M. DESCHAMPS et B. TILMANN, Inhomogeneous wave generation and propagation in lossy anisotropic solids. Application to the viscoelastic characterization of composite materials, J. Acoust. Soc. Am., 82, 1987, p. 1763-1770. B. HOSTEN, Reflection and transmission of acoustic plane waves on an immersed orthotropic and viscoelastic solid layer, J. Acoust. Soc. Am., 89, 1991, p. 2745-2752. D. A. HUTCHINS, Ultrasonic generation by pulsed lasers, in Physical Acoustics, 18, W. P. MASON et R. N. THURSTON, éd., Academic Press, New York, 1988, p. 21-123. J.-P. MONCHALIN, Optical detection of ultrasonic waves at a distance using a confocal Fabry-Perot interferometer, Appl. Phys. Lett., 47, 1985, p. 14-16. J.-P. MONCHALIN, Optical detection of ultrasound, IEEE Trans. Ultrason., Ferroelec. and Freq. Contr., UFFC-33, 1986, p. 485-499. J.-P. MONCHALIN, J.-D. AUSSEL, P. BOUCHART et R. HEON, Laser-Ultrasonics for industrial applications, in Review of Progress in QNDE, Plenum Press, New York, 7B, 1988, p. 1607-1614. L. PICHE, B. CHAMPAGNE et J.-P. MONCHALIN, Laser ultrasonic measurements of elastic constants of composites, Mater. Eval., 45, 1987, p.
characterization of composite materials, J. Acoust. Soc. Am., 82, 1987, p. 1763-1770. B. HOSTEN, Reflection and transmission of acoustic plane waves on an immersed orthotropic and viscoelastic solid layer, J. Acoust. Soc. Am., 89, 1991, p. 2745-2752. D. A. HUTCHINS, Ultrasonic generation by pulsed lasers, in Physical Acoustics, 18, W. P. MASON et R. N. THURSTON, éd., Academic Press, New York, 1988, p. 21-123. J.-P. MONCHALIN, Optical detection of ultrasonic waves at a distance using a confocal Fabry-Perot interferometer, Appl. Phys. Lett., 47, 1985, p. 14-16. J.-P. MONCHALIN, Optical detection of ultrasound, IEEE Trans. Ultrason., Ferroelec. and Freq. Contr., UFFC-33, 1986, p. 485-499. J.-P. MONCHALIN, J.-D. AUSSEL, P. BOUCHART et R. HEON, Laser-Ultrasonics for industrial applications, in Review of Progress in QNDE, Plenum Press, New York, 7B, 1988, p. 1607-1614. L. PICHE, B. CHAMPAGNE et J.-P. MONCHALIN, Laser ultrasonic measurements of elastic constants of composites, Mater. Eval., 45, 1987, p. 74-79. J. ROUX, B. HOSTEN, B. CASTAGNEDÉ et M. DESCHAMPS, Caractérisation mécanique des solides par spectrointerférométrie ultrasonore, Revue Phys. Appl., 20, 1985, p. 351-358. D. ROYER et E. DIEULESAINT, Optical detection of sub-Angstrom transient mechanical displacement, IEEE Ultrason. Symp. Proc., 1986, p. 527-530. C. B. SCRUBY, Some applications of laser ultrasound, Ultrasonics, 27, 1989, p. 195-209. C. B. SCRUBY et L. E. DRAIN, Laser Ultrasonics: Techniques and applications, Adam Hilger, Bristol, 1990. A. M. : Laboratoire de Mécanique Physique, URA-CNRS n° 867, Université de Bordeaux-I, 351, cours de la Libération, 33405 Talence Cedex, France; B. C. : Laboratoire d'Acoustique, URA-CNRS n° 1101, Université du Maine, avenue O. Messiaen, 72017 Le Mans Cedex, France. Chimie théorique / Theoretical Chemistry État cohérent linéairement couplé avec des oscillateurs initialement dans leur état fondamental. Étude dynamique Paul BLAISE, Michel GIRY et Olivier HENRI-ROUSSEAU Résumé — La dynamique de N oscillateurs harmoniques quantiques linéairement couplés est étudiée à l'aide de la méthode d'ordonnancement des opérateurs en considérant qu'au temps initial l'un des opérateurs est dans un état cohérent alors que les autres sont dans leur état fondamental. L'expression des opérateurs densités réduits de chacun des oscillateurs est obtenue de manière analytique en termes de propriétés
ultrasound, Ultrasonics, 27, 1989, p. 195-209. C. B. SCRUBY et L. E. DRAIN, Laser Ultrasonics: Techniques and applications, Adam Hilger, Bristol, 1990. A. M. : Laboratoire de Mécanique Physique, URA-CNRS n° 867, Université de Bordeaux-I, 351, cours de la Libération, 33405 Talence Cedex, France; B. C. : Laboratoire d'Acoustique, URA-CNRS n° 1101, Université du Maine, avenue O. Messiaen, 72017 Le Mans Cedex, France. Chimie théorique / Theoretical Chemistry État cohérent linéairement couplé avec des oscillateurs initialement dans leur état fondamental. Étude dynamique Paul BLAISE, Michel GIRY et Olivier HENRI-ROUSSEAU Résumé — La dynamique de N oscillateurs harmoniques quantiques linéairement couplés est étudiée à l'aide de la méthode d'ordonnancement des opérateurs en considérant qu'au temps initial l'un des opérateurs est dans un état cohérent alors que les autres sont dans leur état fondamental. L'expression des opérateurs densités réduits de chacun des oscillateurs est obtenue de manière analytique en termes de propriétés des modes normaux. Il apparaît que chacun des opérateurs devient, comme requis, un état cohérent. Les formules analytiques obtenues permettent de calculer rapidement avec un micro-ordinateur la dynamique d'un nombre élevé d'oscillateurs (104 par exemple). Coherent state linearly coupled with N oscillators initially in their ground states. Dynamical study Abstract — The dynamics of N quantum harmonic oscillators coupled linearly and subject to the boundary condition that only the kth oscillator is in an excited coherent state whereas the others are in the ground state, is studied using the normal ordering formalism. The time-dependent reduced density operators of the individual oscillators are derived and found to be those of coherent states. The solutions are expressed, as required, in terms of the normal modes. They allow easy calculation of the dynamics of a very large set of oscillators such as 104. Abridged English Version — In order to approach the dynamics of a system involving a high number of degrees of freedom, we study the dynamics of N quantum harmonic oscillators coupled linearly and subject to the boundary condition that only the k-th oscillator is in an excited coherent state at initial time, whereas the others are in their ground state.
— The dynamics of N quantum harmonic oscillators coupled linearly and subject to the boundary condition that only the kth oscillator is in an excited coherent state whereas the others are in the ground state, is studied using the normal ordering formalism. The time-dependent reduced density operators of the individual oscillators are derived and found to be those of coherent states. The solutions are expressed, as required, in terms of the normal modes. They allow easy calculation of the dynamics of a very large set of oscillators such as 104. Abridged English Version — In order to approach the dynamics of a system involving a high number of degrees of freedom, we study the dynamics of N quantum harmonic oscillators coupled linearly and subject to the boundary condition that only the k-th oscillator is in an excited coherent state at initial time, whereas the others are in their ground state. The Hamiltonian H of N quantum harmonic oscillators is: where h-fi-j are the energetic parameters, whereas the aj a1 are the raising and lowering operators. We suppose that at initial time t = 0, the set of oscillators is described by |j&gt;(0&gt;, where the kth oscillator is a coherent state |oc&gt; (Carruthers, 1968) whereas the others are in their ground state |o&gt;. We start from the Schrodinger equation. In order to solve it, we use the normal ordering formalism and, with the aid of the N1 operator (Louisell, 1973), we obtain Again, performing the variable change: where it must be kept in mind that G(0) = 0 in order to have U(0) = 1, we obtain: Note présentée par Raymond DAUDEL. Académie des Sciences Moreover, it is suitable to write G as: where Ars(t) are time-dependent parameters that must be zero at initial time in order to verify U(0) = 1, i.e. A_r(0) = 0. After some transformations, we obtain from equation (5) the set of equations: where the crs are the eigenvectors of the matrix h_m of the parameters h_rojl involved in equation (7) whereas the λ_r are the corresponding eigenvalues. Next, by aid of the N operator and
|oc&gt; (Carruthers, 1968) whereas the others are in their ground state |o&gt;. We start from the Schrodinger equation. In order to solve it, we use the normal ordering formalism and, with the aid of the N1 operator (Louisell, 1973), we obtain Again, performing the variable change: where it must be kept in mind that G(0) = 0 in order to have U(0) = 1, we obtain: Note présentée par Raymond DAUDEL. Académie des Sciences Moreover, it is suitable to write G as: where Ars(t) are time-dependent parameters that must be zero at initial time in order to verify U(0) = 1, i.e. A_r(0) = 0. After some transformations, we obtain from equation (5) the set of equations: where the crs are the eigenvectors of the matrix h_m of the parameters h_rojl involved in equation (7) whereas the λ_r are the corresponding eigenvalues. Next, by aid of the N operator and of equation (6) we obtain for the time evolution operator: Again, by action on the initial state (2) one finds, after some manipulation: where the α_kl(t) are given by: This result enables the full density operator of the set of oscillators to be obtained. Then, performing the partial trace on the full density operator, the reduced density operator characterizing the jth oscillator may be found, i.e. As it appears, the reduced density operator (12) characterizing any jth oscillator is that of a coherent state (Carter, 1968). That result is in agreement with a general theorem (Glauber, 1966) which states that quantum harmonic oscillators coupled to a coherent state must become coherent. The expressions (12) have allowed us to calculate easily with a microcomputer the energy of any oscillator at a given time for a very large set involving, for instance, 104 oscillators. INTRODUCTION. — L'étude de la dynamique des polymères à grand nombre de degrés de liberté a fait de très grands progrès ces dernières années (Cammay, 1987; Brooks, 1988). Les approches les plus typiques sont les expériences de simulation dynamique comme celles de Elber et Karplus (1987). Généralement les approches théoriques sont de type semi-classique avec résolution pas à
the full density operator, the reduced density operator characterizing the jth oscillator may be found, i.e. As it appears, the reduced density operator (12) characterizing any jth oscillator is that of a coherent state (Carter, 1968). That result is in agreement with a general theorem (Glauber, 1966) which states that quantum harmonic oscillators coupled to a coherent state must become coherent. The expressions (12) have allowed us to calculate easily with a microcomputer the energy of any oscillator at a given time for a very large set involving, for instance, 104 oscillators. INTRODUCTION. — L'étude de la dynamique des polymères à grand nombre de degrés de liberté a fait de très grands progrès ces dernières années (Cammay, 1987; Brooks, 1988). Les approches les plus typiques sont les expériences de simulation dynamique comme celles de Elber et Karplus (1987). Généralement les approches théoriques sont de type semi-classique avec résolution pas à pas d'équations différentielles couplées. On peut cependant citer des approches de type semi-quantique (Durup, 1986) dans lesquelles une partie des degrés de liberté est traitée de manière quantique et l'autre de manière classique. Nous proposons ici une approche purement quantique qui intègre les aspects semi-classiques de ces problèmes en jouant sur les conditions initiales. LE MODÈLE ET LA MÉTHODE DE RÉSOLUTION. Nous étudions ici la dynamique de N oscillateurs harmoniques quantiques linéairement couplés, en partant d'une situation où l'un des oscillateurs est dans un état cohérent tandis que les autres sont dans leur état fondamental. Comme le système est quadratique, les solutions doivent être des fonctions des modes normaux de vibration du système. Par ailleurs, comme les oscillateurs sont forcés les uns par rapport aux autres et que, au temps initial, l'un des oscillateurs est dans un état cohérent alors que les autres sont dans leur état fondamental, on peut s'attendre à ce que progressivement tous les oscillateurs deviennent cohérents (Glauber, 1966). Plutôt que d'utiliser la méthode usuelle, faisant appel à l'opérateur d'évolution exprimé en terme d'exponentielle de l'hamiltonien, nous préférons ici nous servir de la méthode des opérateurs d'ordonnancement. Nous partons de l'hamiltonien des oscillateurs harmoniques couplés: où les
sur les conditions initiales. LE MODÈLE ET LA MÉTHODE DE RÉSOLUTION. Nous étudions ici la dynamique de N oscillateurs harmoniques quantiques linéairement couplés, en partant d'une situation où l'un des oscillateurs est dans un état cohérent tandis que les autres sont dans leur état fondamental. Comme le système est quadratique, les solutions doivent être des fonctions des modes normaux de vibration du système. Par ailleurs, comme les oscillateurs sont forcés les uns par rapport aux autres et que, au temps initial, l'un des oscillateurs est dans un état cohérent alors que les autres sont dans leur état fondamental, on peut s'attendre à ce que progressivement tous les oscillateurs deviennent cohérents (Glauber, 1966). Plutôt que d'utiliser la méthode usuelle, faisant appel à l'opérateur d'évolution exprimé en terme d'exponentielle de l'hamiltonien, nous préférons ici nous servir de la méthode des opérateurs d'ordonnancement. Nous partons de l'hamiltonien des oscillateurs harmoniques couplés: où les facteurs h_ijjl sont des facteurs énergétiques tandis que les opérateurs a_i† a_j sont les opérateurs usuels de création et d'annihilation. Nous considérons qu'à t = 0 l'ensemble des oscillateurs est décrit par l'état |v&gt;(0), où le k-ième oscillator est dans un état cohérent |afc) tandis que les autres oscillateurs sont dans leur état fondamental |0l&gt;, c'est-à-dire: Notons que par définition (2) un état cohérent est défini par: L'ÉQUATION DE SCHRÖDINGER EN TERMES D'OPÉRATEURS ORDONNÉS. — Nous partons de l'équation de Schrödinger: Nous résolvons cette équation en utilisant la méthode de l'ordonnancement normal (Louisell, 1973), ce qui conduit, à l'aide du théorème: Ensuite, à l'aide de l'opérateur N-1, qui autorise le passage des fonctions d'opérateurs ordonnés aux scalaires correspondants, nous obtenons: Maintenant nous effectuons le changement de variable suivant: Remarquons que pour vérifier la condition selon laquelle au temps initial l'opérateur d'évolution doit être: U(0)=1, il faut que l'on ait G(0) = 0. Par dériviation de l'équation (8) par rapport aux variables scalaires, nous obtenons: En outre, compte tenu de l'équation (8), la partie gauche de l'équation devient: Par ailleurs, grâce aux équations (9) et (10), l'équation (7) se transforme en: RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DE SCHRÖDINGER. Maintenant, dans le but de
dans leur état fondamental |0l&gt;, c'est-à-dire: Notons que par définition (2) un état cohérent est défini par: L'ÉQUATION DE SCHRÖDINGER EN TERMES D'OPÉRATEURS ORDONNÉS. — Nous partons de l'équation de Schrödinger: Nous résolvons cette équation en utilisant la méthode de l'ordonnancement normal (Louisell, 1973), ce qui conduit, à l'aide du théorème: Ensuite, à l'aide de l'opérateur N-1, qui autorise le passage des fonctions d'opérateurs ordonnés aux scalaires correspondants, nous obtenons: Maintenant nous effectuons le changement de variable suivant: Remarquons que pour vérifier la condition selon laquelle au temps initial l'opérateur d'évolution doit être: U(0)=1, il faut que l'on ait G(0) = 0. Par dériviation de l'équation (8) par rapport aux variables scalaires, nous obtenons: En outre, compte tenu de l'équation (8), la partie gauche de l'équation devient: Par ailleurs, grâce aux équations (9) et (10), l'équation (7) se transforme en: RÉSOLUTION DE L'ÉQUATION DE SCHRÖDINGER. Maintenant, dans le but de résoudre cette dernière équation il est bon d'écrire la fonction G(t) sous la forme: où les paramètres Ars(t) dépendent du temps. Il faut remarquer que pour vérifier la condition U(0, ∞, t) = 1 au temps t = 0, il est nécessaire que Ars(0) = 0. Dérivons l'équation (12) par rapport au scalaire a* Ce dernier résultat permet d'écrire l'équation (11) sous la forme: D'un autre côté, par dériviation de l'équation (12) par rapport au temps on trouve: Dans ces conditions, en combinant les équations (14) et (15) on obtient le système suivant d'équations linéaires couplées Les solutions de ces systèmes d'équations sont de la forme: où les crs sont les vecteurs propres de la matrice h_ m formée par les paramètres h_i^j_ intervenant dans l'équation (1) et où les λ_r sont les valeurs propres correspondantes. L'OPÉRATEUR D'ÉVOLUTION. Grâce à l'utilisation de l'opérateur N, autorisant à passer des scalaires aux opérateurs, l'opérateur d'évolution s'écrit: Cherchons maintenant l'action de l'opérateur d'évolution sur l'état initial défini par l'équation (2): Supposons que, sauf le premier, tous les paramètres r_i caractérisant les états cohérents tendent vers zéro. À t = 0 on obtient l'état (2), tandis que l'équation (19) devient: Souvenons-nous qu'un état cohérent
rapport au scalaire a* Ce dernier résultat permet d'écrire l'équation (11) sous la forme: D'un autre côté, par dériviation de l'équation (12) par rapport au temps on trouve: Dans ces conditions, en combinant les équations (14) et (15) on obtient le système suivant d'équations linéaires couplées Les solutions de ces systèmes d'équations sont de la forme: où les crs sont les vecteurs propres de la matrice h_ m formée par les paramètres h_i^j_ intervenant dans l'équation (1) et où les λ_r sont les valeurs propres correspondantes. L'OPÉRATEUR D'ÉVOLUTION. Grâce à l'utilisation de l'opérateur N, autorisant à passer des scalaires aux opérateurs, l'opérateur d'évolution s'écrit: Cherchons maintenant l'action de l'opérateur d'évolution sur l'état initial défini par l'équation (2): Supposons que, sauf le premier, tous les paramètres r_i caractérisant les états cohérents tendent vers zéro. À t = 0 on obtient l'état (2), tandis que l'équation (19) devient: Souvenons-nous qu'un état cohérent |ak&gt; peut être écrit en fonction de l'état fondamental |0k&gt; d'un oscillateur harmonique sous la forme: Compte tenu de cette équation l'expression (20) devient: ce qui peut s'écrire sous la forme condensée: LES OPÉRATEURS DENSITÉS. On peut remarquer que l'évolution temporelle de l'opérateur densité p(t), peut être exprimée en fonction de ce même opérateur p(0) au temps t = 0 à l'aide de : En utilisant les équations (23) et (24), on obtient pour l'opérateur densité (25) : A présent, considérons l'opérateur densité réduit caractérisant le j-ième oscillateur, qui est obtenu en effectuant la trace partielle sur tous les sous-espaces correspondant aux divers oscillateurs à l'exception du j-ième. Alors, en utilisant l'équation (26) et les propriétés d'orthogonalité de la base on obtient, à partir de l'équation (27), le résultat : Par ailleurs, compte tenu de ce que l'opérateur densité réduit doit être normalisé, on a : de sorte que le terme Kj(t) doit être donné par : Il en résulte que l'opérateur densité réduit (28) peut s'écrire : Il apparaît alors que cet opérateur a la même structure que celui d'un état cohérent. Pour terminer, nous donnons l'expression de l'opérateur d'évolution pour un oscillateur j quelconque. Cette expression peut être