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nous reste à leur parler de l'une des plus importantes de ces études, celle que M. le colonel Hojel, de l'artillerie hollandaise, a entreprise en vue d'une nouvelle détermination de la loi de résistance de l'air et dont il vient de publier les résultats. Dans un des derniers fascicules de la Rivista di artiglieria e genio, M. le major Siacci, dont on sait la haute autorité en matière de balistique, a consacré un long et très important article à l'examen critique de ces travaux qui lui ont fourni, en outre, l'occasion d'exposer les résultats de quelques recherches personnelles sur le même objet. Nous ne croyons pouvoir mieux faire que reproduire ici, dans leurs traits principaux, la discussion et les appréciations de l'éminent professeur: « Les expériences de M. Hojel constituent la partie la plus originale et la plus importante de son œuvre, autant en raison de la large et très neuve contribution qu'elles apportent à la théorie de la résistance de l'air, principe de toute la balistique, que par la méthode et le soin vraiment exemplaires avec lesquels les résultats en ont été discutés et traduits en formules. « Investi durant plusieurs années de la présidence du Comité d'expériences en Hollande, le colonel Hojel a été à même de puiser largement dans les archives de cette commission: ses recherches ont porté sur 137 observations moyennes correspondant à des vitesses comprises entre 150 et 650 mètres, chacune de ces moyennes provenant d'une série de tirs (rarement moins de dix) exécutés le même jour dans des circonstances identiques. Il a tenu compte, en outre, des résultats publiés dans les nombreux rapports de la maison Krupp, rapports bien connus des balisticiens. Les projectiles étaient des calibres les plus divers (de 8e à 40e), mais tous d'un type récent et à peu près semblables entre eux (Rayon de l'ogive : de 1,99 à 2,03 calibres ; longueur de l'ogive : de 1,31 à 1,33 cal.; longueur totale : 2,8 cal. en général et, pour quelques-uns, 2,5, 3 et 4 calibres). Le calcul de la valeur numérique de la résistance s'est effectué par la formule
Hollande, le colonel Hojel a été à même de puiser largement dans les archives de cette commission: ses recherches ont porté sur 137 observations moyennes correspondant à des vitesses comprises entre 150 et 650 mètres, chacune de ces moyennes provenant d'une série de tirs (rarement moins de dix) exécutés le même jour dans des circonstances identiques. Il a tenu compte, en outre, des résultats publiés dans les nombreux rapports de la maison Krupp, rapports bien connus des balisticiens. Les projectiles étaient des calibres les plus divers (de 8e à 40e), mais tous d'un type récent et à peu près semblables entre eux (Rayon de l'ogive : de 1,99 à 2,03 calibres ; longueur de l'ogive : de 1,31 à 1,33 cal.; longueur totale : 2,8 cal. en général et, pour quelques-uns, 2,5, 3 et 4 calibres). Le calcul de la valeur numérique de la résistance s'est effectué par la formule habituelle : où v1 et v2 représentent les vitesses horizontales correspondant aux points extrêmes de la projection horizontale x de la portion de trajectoire considérée, P la masse du projectile, et p la résistance moyenne éprouvée par ce projectile, résistance que l'on convient d'attribuer à la vitesse moyenne Comme les erreurs commises dans l'évaluation des vitesses v1 et v2 ont d'autant moins d'influence sur la résistance p que la différence v1 - v22 est plus grande, c'est-à-dire que la distance x est elle-même plus considérable, l'auteur n'a voulu tenir compte que des expériences dans lesquelles cette distance était au moins de 250 ou 300 mètres. Pour les grandes vitesses, elle s'est élevée jusqu'à 2000 mètres, et parfois même jusqu'à 4000 mètres. Mais, lorsque la distance est aussi considérable, l'angle de projection atteint 5° et même 10°, et il devient indispensable de rechercher s'il n'y a pas lieu de tenir compte de la courbure de la trajectoire. Grâce à une substitution des plus ingénieuses, M. Hojel a pu montrer que, p étant calculé par la formule ci-dessus (1), on obtient une valeur plus exacte de la résistance au moyen de l'expression e dans laquelle e cos i représente l'inclinaison de la
erreurs commises dans l'évaluation des vitesses v1 et v2 ont d'autant moins d'influence sur la résistance p que la différence v1 - v22 est plus grande, c'est-à-dire que la distance x est elle-même plus considérable, l'auteur n'a voulu tenir compte que des expériences dans lesquelles cette distance était au moins de 250 ou 300 mètres. Pour les grandes vitesses, elle s'est élevée jusqu'à 2000 mètres, et parfois même jusqu'à 4000 mètres. Mais, lorsque la distance est aussi considérable, l'angle de projection atteint 5° et même 10°, et il devient indispensable de rechercher s'il n'y a pas lieu de tenir compte de la courbure de la trajectoire. Grâce à une substitution des plus ingénieuses, M. Hojel a pu montrer que, p étant calculé par la formule ci-dessus (1), on obtient une valeur plus exacte de la résistance au moyen de l'expression e dans laquelle e cos i représente l'inclinaison de la trajectoire au point où la vitesse horizontale est v1 : il établit ainsi que la différence entre cette valeur et p est tout à fait insignifiante et qu'il n'y a pas lieu d'en tenir compte dans la pratique où e est en général très petit. À notre tour, nous allons démontrer qu'il est toujours possible de négliger la courbure de la trajectoire; pour mieux dire, nous allons établir le théorème suivant : Si, dans un mouvement rectiligne horizontal, où la résistance croît indéfiniment avec la vitesse, la résistance correspondant à la vitesse v1 + v2 v = P (V12 + v2), cette même expression donnera encore la bonne résistance correspondant à une vitesse absolue v + v2 dans un mouvement curviligne, quelle que soit la courbure de la trajectoire, à condition de représenter par v1 et v2 les vitesses horizontales extrêmes. Pour démontrer ce théorème, le maître Siacci est conduit à résoudre une question qui, jusqu'ici, ne semble pas avoir été posée : Quelle forme faut-il attribuer à la fonction de résistance pour que, le mouvement étant supposé rectiligne et horizontal, la valeur de p, calculée par la formule (1), puisse être attribuée en toute rigueur à la moyenne arithmétique
démontrer qu'il est toujours possible de négliger la courbure de la trajectoire; pour mieux dire, nous allons établir le théorème suivant : Si, dans un mouvement rectiligne horizontal, où la résistance croît indéfiniment avec la vitesse, la résistance correspondant à la vitesse v1 + v2 v = P (V12 + v2), cette même expression donnera encore la bonne résistance correspondant à une vitesse absolue v + v2 dans un mouvement curviligne, quelle que soit la courbure de la trajectoire, à condition de représenter par v1 et v2 les vitesses horizontales extrêmes. Pour démontrer ce théorème, le maître Siacci est conduit à résoudre une question qui, jusqu'ici, ne semble pas avoir été posée : Quelle forme faut-il attribuer à la fonction de résistance pour que, le mouvement étant supposé rectiligne et horizontal, la valeur de p, calculée par la formule (1), puisse être attribuée en toute rigueur à la moyenne arithmétique des deux vitesses extrêmes ? Et le savant professeur arrive à établir que cette forme est la suivante Cx, dans laquelle u est la vitesse absolue et où C et C' sont des constantes indéterminées. Ce résultat, ajoute-t-il, me paraît important parce qu'il montre qu'en procédant comme on le fait habituellement, on ne s'expose pas à de grandes erreurs, lors même que les vitesses dont on prend la moyenne sont fort différentes. On conçoit facilement, en effet, qu'il puisse exister, et même qu'il doive exister, des valeurs de C et de C' qui rendent l'expression ci-dessus très voisine de la fonction de résistance entre deux vitesses quelconques V1, V2, toutes différentes qu'elles soient. Comme conséquence de cette remarque, on doit regarder comme rationnel d'effectuer le calcul des résistances par une expression de la forme f(u) = ————, plutôt que d'employer, comme le font certains auteurs, les formules : f(u) = u2 ou f(u) = cu3. Une autre correction des plus importantes introduite par M. Hojel est relative à l'influence du vent atmosphérique. Suivant que le vent souffle dans le sens du mouvement du projectile ou dans le sens contraire, la perte de vitesse est plus faible ou plus grande que
habituellement, on ne s'expose pas à de grandes erreurs, lors même que les vitesses dont on prend la moyenne sont fort différentes. On conçoit facilement, en effet, qu'il puisse exister, et même qu'il doive exister, des valeurs de C et de C' qui rendent l'expression ci-dessus très voisine de la fonction de résistance entre deux vitesses quelconques V1, V2, toutes différentes qu'elles soient. Comme conséquence de cette remarque, on doit regarder comme rationnel d'effectuer le calcul des résistances par une expression de la forme f(u) = ————, plutôt que d'employer, comme le font certains auteurs, les formules : f(u) = u2 ou f(u) = cu3. Une autre correction des plus importantes introduite par M. Hojel est relative à l'influence du vent atmosphérique. Suivant que le vent souffle dans le sens du mouvement du projectile ou dans le sens contraire, la perte de vitesse est plus faible ou plus grande que dans l'air en repos : par suite, la valeur donnée par la formule (1) se trouve moindre, ou plus considérable, que celle que l'on eût obtenue dans l'air calme ; ou, ce qui revient au même, elle doit être attribuée à une vitesse inférieure à v1 ou au contraire supérieure à cette moyenne. Quelle sera cette vitesse ? L'auteur trouve que si l'on représente par la projection sur le plan de tir de la composante horizontale de la vitesse du vent, la quantité p devra être attribuée à la vitesse suivant que le vent souffle dans un sens ou dans l'autre. À l'aide d'une élégante analyse, M. Siacci démontre, à son tour, que la valeur de la vitesse qu'il convient de faire correspondre à p a pour expression plus rigoureuse : puis il établit que cette expression diffère très peu de la précédente et qu'ainsi la règle adoptée par l'auteur hollandais se trouve pleinement justifiée. On peut, d'ailleurs, se faire une idée de l'importance de cette correction par l'exemple suivant : Le 29 avril 1883, on mesura, au polygone de Meppen, les vitesses obtenues à 20 mètres et à 589 mètres de la bouche (x = 569 mètres), avec le
à cette moyenne. Quelle sera cette vitesse ? L'auteur trouve que si l'on représente par la projection sur le plan de tir de la composante horizontale de la vitesse du vent, la quantité p devra être attribuée à la vitesse suivant que le vent souffle dans un sens ou dans l'autre. À l'aide d'une élégante analyse, M. Siacci démontre, à son tour, que la valeur de la vitesse qu'il convient de faire correspondre à p a pour expression plus rigoureuse : puis il établit que cette expression diffère très peu de la précédente et qu'ainsi la règle adoptée par l'auteur hollandais se trouve pleinement justifiée. On peut, d'ailleurs, se faire une idée de l'importance de cette correction par l'exemple suivant : Le 29 avril 1883, on mesura, au polygone de Meppen, les vitesses obtenues à 20 mètres et à 589 mètres de la bouche (x = 569 mètres), avec le mortier de 15cm (p = 315,5 kg ; calibre = 0m,1524), tiré sous l'angle de 5°48', à la charge de 1 kilogramme : on trouva comme valeurs moyennes V20 = 155m,4 et Vm = 149m,52. En négligeant l'influence du vent, la valeur de la résistance, déduite de ces nombres, aurait dû être attribuée à la vitesse moyenne 152m,81 ; tandis qu'en tenant compte du vent arrière qui soufflait au moment de l'expérience (o = 6), on s'est trouvé conduit à la faire correspondre seulement à la vitesse 146m,3. Ayant ramené tous les résultats d'expérience, non seulement à la même densité de l'air, mais à un air calme, et les ayant compensés par des méthodes aussi ingénieuses que précises, M. Hojel s'est préoccupé d'en chercher une représentation graphique. La résistance p peut être mise sous la forme : où R représente le demi-calibre, et A le poids du mètre cube d'air au moment de l'expérience. Après avoir essayé de substituer à la courbe des valeurs expérimentales de F (v) deux arcs de paraboles réunis par une droite, puis une ligne polygonale formée de quatre éléments de droites, M. Hojel s'est finalement arrêté à des expressions exponentielles analogues à celles proposées par
dû être attribuée à la vitesse moyenne 152m,81 ; tandis qu'en tenant compte du vent arrière qui soufflait au moment de l'expérience (o = 6), on s'est trouvé conduit à la faire correspondre seulement à la vitesse 146m,3. Ayant ramené tous les résultats d'expérience, non seulement à la même densité de l'air, mais à un air calme, et les ayant compensés par des méthodes aussi ingénieuses que précises, M. Hojel s'est préoccupé d'en chercher une représentation graphique. La résistance p peut être mise sous la forme : où R représente le demi-calibre, et A le poids du mètre cube d'air au moment de l'expérience. Après avoir essayé de substituer à la courbe des valeurs expérimentales de F (v) deux arcs de paraboles réunis par une droite, puis une ligne polygonale formée de quatre éléments de droites, M. Hojel s'est finalement arrêté à des expressions exponentielles analogues à celles proposées par M. le général Mayewski, savoir : F (v) = 2,1868. v0,91 de v = 700 m à, v = 500 m, F (v) = 0,29932. VI,23 de v = 500 m à v = 400 m, F (v) = 0,04205524. v2,83 de v = 400 m à v = 350 m, F (v) = 0,0721692. v4 de v = 350 m à v = 300 m, F (v) = 0,033814. V6,5 de v = 300 m à v = 140 m. La première de ces expressions, qui donne pour la fonction de résistance, au-delà de 500 mètres, p = K. v1,9', montre qu'à partir de cette vitesse la résistance croît moins rapidement que le carré de la vitesse, résultat en parfait accord avec ceux obtenus au polygone de Meppen, où l'on a réussi à atteindre, à dépasser même la vitesse de 1 kilomètre à la seconde. « C'est là, dit M. Siacci, un résultat qui, s'il était bien confirmé, aurait une importance capitale, non seulement au point de vue de la balistique des bouches à feu, mais surtout pour la théorie de la résistance de l'air, théorie dont il semble intéressant de rappeler brièvement l'histoire. « Les premières idées sur
m, F (v) = 0,0721692. v4 de v = 350 m à v = 300 m, F (v) = 0,033814. V6,5 de v = 300 m à v = 140 m. La première de ces expressions, qui donne pour la fonction de résistance, au-delà de 500 mètres, p = K. v1,9', montre qu'à partir de cette vitesse la résistance croît moins rapidement que le carré de la vitesse, résultat en parfait accord avec ceux obtenus au polygone de Meppen, où l'on a réussi à atteindre, à dépasser même la vitesse de 1 kilomètre à la seconde. « C'est là, dit M. Siacci, un résultat qui, s'il était bien confirmé, aurait une importance capitale, non seulement au point de vue de la balistique des bouches à feu, mais surtout pour la théorie de la résistance de l'air, théorie dont il semble intéressant de rappeler brièvement l'histoire. « Les premières idées sur ce sujet sont dues, croyons-nous, à Newton qui regarda la résistance comme proportionnelle au carré de la vitesse. On trouva plus tard que cette loi, satisfaisante pour les vitesses moyennes, ne convenait ni à de très grandes, ni à de très petites vitesses ; la résistance, pour ces dernières, croissait moins rapidement que le carré, et à peu près comme la simple vitesse : elle croissait plus rapidement au contraire pour les grandes (Robins, Hutton) et semblait varier à peu près comme le cube de la vitesse (Welter, Hélie, Bashforth). On ne tarda pas à reconnaître que, dans le voisinage de la vitesse du son, la résistance croît beaucoup plus rapidement (Mayewski) pour redevenir, peu au-delà, proportionnelle au cube, puis, un peu plus loin encore, au carré de la vitesse. « D'après les récentes études de Krupp et du colonel Hojel, il semblerait qu'au-delà de 600 mètres ce degré s'abaisse encore. Continue-t-il à s'abaisser ensuite? L'espèce de symétrie observée dans l'exposant de la fonction de résistance, en-dessous et au-delà de la vitesse du son, tendrait à le faire supposer et nous ne serions guère surpris si l'on découvrait un jour que, pour les vitesses planétaires, telles que celles dont sont
moins rapidement que le carré, et à peu près comme la simple vitesse : elle croissait plus rapidement au contraire pour les grandes (Robins, Hutton) et semblait varier à peu près comme le cube de la vitesse (Welter, Hélie, Bashforth). On ne tarda pas à reconnaître que, dans le voisinage de la vitesse du son, la résistance croît beaucoup plus rapidement (Mayewski) pour redevenir, peu au-delà, proportionnelle au cube, puis, un peu plus loin encore, au carré de la vitesse. « D'après les récentes études de Krupp et du colonel Hojel, il semblerait qu'au-delà de 600 mètres ce degré s'abaisse encore. Continue-t-il à s'abaisser ensuite? L'espèce de symétrie observée dans l'exposant de la fonction de résistance, en-dessous et au-delà de la vitesse du son, tendrait à le faire supposer et nous ne serions guère surpris si l'on découvrait un jour que, pour les vitesses planétaires, telles que celles dont sont animés les bolides (de 12 à 71 kilomètres à la seconde), la résistance est constante ; résultat qui serait absolument en contradiction avec l'idée généralement acceptée que la résistance tend vers l'infini lorsque la vitesse croît elle-même à l'infini. Mais sera-t-il jamais possible de vérifier une pareille hypothèse ? Abordant l'examen de la variation p, ou plutôt de la fonction 9 (v) = Ç F v ), qu'on trouve intérêt à lui substituer dans l'étude de la loi de résistance, M. Siacci rappelle que cette dernière fonction, qui a un point d'inflexion bien caractérisé; entre 300 mètres et 350 mètres, c'est-à-dire dans le voisinage de la vitesse du son, a inspiré aux balisticiens des formules très diverses. M. Hélie a tenté de la représenter à l'aide de l'équation : qui se rapporte aux expériences exécutées par la marine française au polygone de Gâvre (1). (') Mémoire sur la résistance de l'air au mouvement des projectiles. (Mémoires de l'Académie de marine, t. III.) Le général Mayewski a indiqué l'expression suivante : Elle s'applique aux projectiles en fonte dure de la maison Krupp (2). A son tour, M. Siacci propose l'expression nouvelle : où ¯ (v) est une fonction qui croît avec
l'examen de la variation p, ou plutôt de la fonction 9 (v) = Ç F v ), qu'on trouve intérêt à lui substituer dans l'étude de la loi de résistance, M. Siacci rappelle que cette dernière fonction, qui a un point d'inflexion bien caractérisé; entre 300 mètres et 350 mètres, c'est-à-dire dans le voisinage de la vitesse du son, a inspiré aux balisticiens des formules très diverses. M. Hélie a tenté de la représenter à l'aide de l'équation : qui se rapporte aux expériences exécutées par la marine française au polygone de Gâvre (1). (') Mémoire sur la résistance de l'air au mouvement des projectiles. (Mémoires de l'Académie de marine, t. III.) Le général Mayewski a indiqué l'expression suivante : Elle s'applique aux projectiles en fonte dure de la maison Krupp (2). A son tour, M. Siacci propose l'expression nouvelle : où ¯ (v) est une fonction qui croît avec la vitesse. « Cette formule représente bien la marche de la courbe et se prête facilement à la recherche de la fonction ¯ (v) par la méthode des moindres carrés, une fois que les quantités a, P et, si l'on veut même, v0 sont déterminées. » Passant à une application et prenant pour ¯(v) une fonction du 2e degré, M. Siacci arrive, pour représenter les expériences hollandaises, à l'équation suivante : « Nous avons essayé, ajoute-t-il, de donner une autre forme à la fonction comprise sous le signe arc tg, la précédente ayant l'inconvénient de donner plusieurs points d'inflexion distincts de celui dont il a été déjà question précédemment. « L'équation ci-après, où u est égal à 1, ne présente pas le même défaut : (') Mayewski, Sur les résultats des expériences concernant la résistance de l'air et leur application à la résolution des problèmes du tir. Saint-Pétersbourg, 1830. (J) Nous avions proposé, nous-même, à M. Hojel l'équation : comme susceptible de représenter, avec une approximation suffisante, les résultats de ses expériences, entre 200 mètres et 500 mètres, c'est-à-dire dans l'intervalle des vitesses balistiques usuelles. (N. du trad.) Supposons que l'on ait trouvé une fonction F1(v) qui, dans le voisinage
et prenant pour ¯(v) une fonction du 2e degré, M. Siacci arrive, pour représenter les expériences hollandaises, à l'équation suivante : « Nous avons essayé, ajoute-t-il, de donner une autre forme à la fonction comprise sous le signe arc tg, la précédente ayant l'inconvénient de donner plusieurs points d'inflexion distincts de celui dont il a été déjà question précédemment. « L'équation ci-après, où u est égal à 1, ne présente pas le même défaut : (') Mayewski, Sur les résultats des expériences concernant la résistance de l'air et leur application à la résolution des problèmes du tir. Saint-Pétersbourg, 1830. (J) Nous avions proposé, nous-même, à M. Hojel l'équation : comme susceptible de représenter, avec une approximation suffisante, les résultats de ses expériences, entre 200 mètres et 500 mètres, c'est-à-dire dans l'intervalle des vitesses balistiques usuelles. (N. du trad.) Supposons que l'on ait trouvé une fonction F1(v) qui, dans le voisinage de la vitesse v = 330 m, reproduise très exactement les valeurs expérimentales de F(v), la formule donnera une courbe qui aura les caractères généraux de celle indiquée par l'expérience et qui aura, en outre, un double contact avec la F, M v. Appliquant aux expériences de M. Hojel, le savant professeur arrive à l'équation : "On pourrait, ajoute-t-il en terminant, augmenter, pour ainsi dire à volonté, l'approximation déjà très grande de cette équation en ajoutant sous le signe arc tg un terme de la forme (v — v0)3 9 (v). "Quant à l'intégrabilité des formules qui doivent dériver de l'introduction d'une pareille fonction, l'adoption de la Nouvelle méthode C) dispense de s'en trop préoccuper. "C'est, du reste, un sujet sur lequel nous nous proposons de revenir". (Traduit par le capitaine CHAPEL.) NOTE SUR UN PROCÉDÉ D'OBSERVATION DES HAUTEURS D'ÉCLATEMENT Dans un article publié par la Revue, en juillet 1883, sous le titre « Observation des coups dans le tir de campagne », j'ai indiqué un procédé d'observation des hauteurs d'éclatement basé sur la mesure de la hauteur d'un repère au moyen de la manivelle de pointage. Peut-être n'est-il pas inutile, au moment des écoles à feu, de rappeler ce