jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
à celui exigé pour le calcul de l'opérateur W sans interactions. On peut donc envisager de réaliser le modèle à D = 3 sans difficultés particulières. Notons aussi que les principes des interactions ci-dessus peuvent être étendus à des modèles colorés. Dans ces modèles les tables de collisions à plusieurs couleurs sont difficiles à manipuler. Cette difficulté peut être évitée par des interactions du type de la figure. Enfin, le formalisme présenté ici pourrait sans doute s'appliquer à d'autres modèles avec des interactions à distance comme les vols de Levy introduits par Hayot [14]. Note remise le 10 septembre 1992, acceptée après révision le 8 janvier 1993. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] U. FRISCH, B. HASSLACHER et Y. POMEAU, Phys. Rev. Lett., 56, 1986, p. 1505-1508. [2] D. H. ROTHMAN et J. M. KELLER, J. Stat. Phys., 52, 1988, p. 1119-1127. [3] H. CHEN, S. CHEN, G. D. DOOLEN, Y. C. LEE et H. A. ROSE, Phys. Rev., A 40, 1989, p. 2850-2853. [4] C. APPERT et S. ZALESKI, Phys. Rev. Lett., 64, 1990, p. 1-4. [5] J. L. LEBOWITZ, E. ORLANDI et E. PRESUTTI, J. Stat. Phys., 63, 1991, p. 933-974. [6] D. H. ROTHMAN dans Discrete Kinetic Theory, Lattice-Gas Dynamics, and Foundations of Hydrodynamics, R. MONACO éd., World Scientific, Singapore, 1989, p. 286-299. [7] C. APPERT, V. POT et S. ZALESKI, Bull. Soc. Fr. Phys., 83, 1992, p. 8-11. [8] D. H. ROTHMAN et S. ZALESKI, J. de Physique, 50, 1989, p. 2161-2174. [9] C. APPERT, D. d'HUMIÈRES, V. POT et S. ZALESKI, Proceedings of Euromech n 287, Discrete Models in Fluid Dynamics, Theory and Experiment, Transport Theory and Statistical Physics (soumis). [10] D. d'HUMIÈRES et P. LALLEMAND, Complex Systems, 1, 1987, p. 599-632. [11] U. FRISCH, D. d'HUMIÈRES, B. HASSLACHER, P. LALLEMAND, Y. POMEAU et J.-P. RIVET, Complex Systems, 1, 1987, p. 649-707. [12] C. APPERT et S. ZALESKI, J. de Physique (à paraître). [13] A. CLOUQUEUR et D. d'HUMIÈRES, Complex Systems, 1, 1987, p. 585-597. [14] F. HAYOT, Phys. Rev. A 43, 1991, p. 806-810. Laboratoire de Physique Statistique, École Normale Supérieure, 24, rue Lhomond, 75231 Paris Cedex
and Foundations of Hydrodynamics, R. MONACO éd., World Scientific, Singapore, 1989, p. 286-299. [7] C. APPERT, V. POT et S. ZALESKI, Bull. Soc. Fr. Phys., 83, 1992, p. 8-11. [8] D. H. ROTHMAN et S. ZALESKI, J. de Physique, 50, 1989, p. 2161-2174. [9] C. APPERT, D. d'HUMIÈRES, V. POT et S. ZALESKI, Proceedings of Euromech n 287, Discrete Models in Fluid Dynamics, Theory and Experiment, Transport Theory and Statistical Physics (soumis). [10] D. d'HUMIÈRES et P. LALLEMAND, Complex Systems, 1, 1987, p. 599-632. [11] U. FRISCH, D. d'HUMIÈRES, B. HASSLACHER, P. LALLEMAND, Y. POMEAU et J.-P. RIVET, Complex Systems, 1, 1987, p. 649-707. [12] C. APPERT et S. ZALESKI, J. de Physique (à paraître). [13] A. CLOUQUEUR et D. d'HUMIÈRES, Complex Systems, 1, 1987, p. 585-597. [14] F. HAYOT, Phys. Rev. A 43, 1991, p. 806-810. Laboratoire de Physique Statistique, École Normale Supérieure, 24, rue Lhomond, 75231 Paris Cedex 05, France, Méthodes numériques appliquées à la mécanique/Computational Mechanics Un schéma conservatif à pas fractionnaires pour résoudre les équations d'Euler en maillage non structuré Thierry BUFFARD et Jean-Marc HÉRARD Résumé Pour résoudre les équations d'Euler non isentropiques, on définit une méthode conservatrice à pas fractionnaires utilisant des linéarisations de type Roe permettant d'éliminer la correction entropique au voisinage des points soniques. On montre que la précision spatiale est équivalente à celle obtenue par le schéma de Roe classique avec correction entropique. A conservative splitting scheme to solve Euler equations on unstructured meshes Abstract — In order to solve full Euler equations, we derive a conservative fractional step method which utilizes Roe's schemes and enables one to get rid of entropic corrections around sonic points. Spatial accuracy is shown to be the same as the one obtained using Roe's standard scheme with entropic correction. Abridged English Version — We consider Euler equations for a compressible fluid which are written: (Euler) ~Wf +-FX (W) + G , (W) = 0 in bounded open set Ω in ffl2 with initial data and boundary conditions such that (1) is a well posed initial boundary value problem (cf. [6]). We define: (i) &lt;W, &gt; =
Roe permettant d'éliminer la correction entropique au voisinage des points soniques. On montre que la précision spatiale est équivalente à celle obtenue par le schéma de Roe classique avec correction entropique. A conservative splitting scheme to solve Euler equations on unstructured meshes Abstract — In order to solve full Euler equations, we derive a conservative fractional step method which utilizes Roe's schemes and enables one to get rid of entropic corrections around sonic points. Spatial accuracy is shown to be the same as the one obtained using Roe's standard scheme with entropic correction. Abridged English Version — We consider Euler equations for a compressible fluid which are written: (Euler) ~Wf +-FX (W) + G , (W) = 0 in bounded open set Ω in ffl2 with initial data and boundary conditions such that (1) is a well posed initial boundary value problem (cf. [6]). We define: (i) &lt;W, &gt; = &lt;F (W) + &lt;G (W); (ii) &lt;/ (W, &gt;) = &lt;Fw (W)+ &lt; Gw (W), whatever F and G stand for, and where &lt; = (&lt;1 &lt;2)T designates a non-zero vector of ℝ2. We aim here to compare two different algorithms: Roe's standard scheme which constitutes a convenient procedure provided that an entropic correction is included, and a two-step splitting technique (including no correction around sonic points) as defined below. In the first step, we solve the generalized convection problem in conservative form: (E1) W. + F^W + G^CVlO-yO ~where: f 1 (W) T = (p u, ρu2, ρuv, uE) and Y 1 CW) T = (p v, puv, ρv2, vE) In the second step, we solve : (E2) + where: ~f 2 (W) T = (0, p, 0, up) and G2 (W) T = (0, 0, p, vp). Note that the first system is degenerated whereas the second one is not. For both of these, Roe's average schemes do exist. In order to derive both schemes, we define an unstructured finite-volume approach based on a regular triangulation of the domain and colocated average values are chosen to be cell-centred values; subscripts or j refer to discrete values on either
that an entropic correction is included, and a two-step splitting technique (including no correction around sonic points) as defined below. In the first step, we solve the generalized convection problem in conservative form: (E1) W. + F^W + G^CVlO-yO ~where: f 1 (W) T = (p u, ρu2, ρuv, uE) and Y 1 CW) T = (p v, puv, ρv2, vE) In the second step, we solve : (E2) + where: ~f 2 (W) T = (0, p, 0, up) and G2 (W) T = (0, 0, p, vp). Note that the first system is degenerated whereas the second one is not. For both of these, Roe's average schemes do exist. In order to derive both schemes, we define an unstructured finite-volume approach based on a regular triangulation of the domain and colocated average values are chosen to be cell-centred values; subscripts or j refer to discrete values on either side of the interface. Explicit Euler integration is achieved in both steps to give: Step 1: Note présentée par Paul GERMAIN. 0764-4450/93/03160575 $ 2.00 e Académie des Sciences The first one deals with the supersonic shock tube problem (T1 non-stationary case); the second one (T2 stationary case) has been defined in [13] and represents supersonic shock reflection on a wall. Density profiles and iso-pressure levels are plotted in figure 1 and figure 3 (for T1 and T2 respectively); comparison of spatial convergence is displayed on figures 2a (T1) and 2b (T2). As expected, no numerical disturbance arises around the sonic point (see T1) and a similar rate of convergence is obtained. It should also be noted that implementation of the second step requires no conditional test; moreover, only one square root function is needed per time step, since prediction of the density function is done only in the first step. Hence, this method implies no increase of computational time and represents an interesting alternative for solving the Euler system. INTRODUCTION. — Dans le cas d'un système hyperbolique du premier ordre (Saint-Venant, Euler.), la technique des pas fractionnaires est généralement utilisée dans le but de relaxer la contrainte de type CFL
in [13] and represents supersonic shock reflection on a wall. Density profiles and iso-pressure levels are plotted in figure 1 and figure 3 (for T1 and T2 respectively); comparison of spatial convergence is displayed on figures 2a (T1) and 2b (T2). As expected, no numerical disturbance arises around the sonic point (see T1) and a similar rate of convergence is obtained. It should also be noted that implementation of the second step requires no conditional test; moreover, only one square root function is needed per time step, since prediction of the density function is done only in the first step. Hence, this method implies no increase of computational time and represents an interesting alternative for solving the Euler system. INTRODUCTION. — Dans le cas d'un système hyperbolique du premier ordre (Saint-Venant, Euler.), la technique des pas fractionnaires est généralement utilisée dans le but de relaxer la contrainte de type CFL sur le pas de temps ou de se ramener à la résolution de sous-systèmes physiques plus simples (cf. [1], [2]). Dans cette étude, l'introduction de cette technique se justifie d'une part par le choix du schéma, d'autre part par les propriétés de certains systèmes continus. En effet, on sait que l'utilisation d'un solveur de Riemann approché de type Roe reste, à l'heure actuelle, une alternative intéressante pour des systèmes admettant une forme conservative. Ces schémas présentent le principal avantage de résoudre exactement les discontinuités stationnaires pour des coûts relativement faibles. Cependant, dans le cadre des écoulements monophasiques par exemple, ils permettent l'apparition de chocs de détente stationnaires; il est alors nécessaire d'introduire localement au schéma une correction entropique généralement paramétrique (cf. [3]) ou non triviale (cf. [4]). De plus, la méthode de splitting apparaît également intéressante pour traiter certains modèles diphasiques eulériens pour lesquels l'hyperbolicité du système continu est conditionnelle (cf. [5]). L'application à de tels systèmes d'un schéma de type Roe pose alors des problèmes numériques importants. On se propose ici de comparer une technique à pas fractionnaires conservative et une résolution globale du système dans le cas des équations d'Euler 2D sur deux tests numériques pour une formulation
l'utilisation d'un solveur de Riemann approché de type Roe reste, à l'heure actuelle, une alternative intéressante pour des systèmes admettant une forme conservative. Ces schémas présentent le principal avantage de résoudre exactement les discontinuités stationnaires pour des coûts relativement faibles. Cependant, dans le cadre des écoulements monophasiques par exemple, ils permettent l'apparition de chocs de détente stationnaires; il est alors nécessaire d'introduire localement au schéma une correction entropique généralement paramétrique (cf. [3]) ou non triviale (cf. [4]). De plus, la méthode de splitting apparaît également intéressante pour traiter certains modèles diphasiques eulériens pour lesquels l'hyperbolicité du système continu est conditionnelle (cf. [5]). L'application à de tels systèmes d'un schéma de type Roe pose alors des problèmes numériques importants. On se propose ici de comparer une technique à pas fractionnaires conservative et une résolution globale du système dans le cas des équations d'Euler 2D sur deux tests numériques pour une formulation volumes finis en maillage non structuré utilisant des linéarisées de Roe. 2. PROBLÈME CONTINU. On considère le système des équations d'Euler bidimensionnel écrit sous forme conservative : (1) WT + F(W)x + G(W)y = 0 dans un ouvert borné de R2 avec une condition initiale et des conditions aux limites telles que le problème (1) soit bien posé (cf. [6]). On a : WT = (ρ, pu, pv, E), F(W)T = (ρw, ρu2+p, ρv, u(E+p)), G(W)T = (ρv, ρ uv, ρ v2+p, v(E+p)) auquel on ajoute une loi d'état p = (γ-1)(E - (p/2) (w2 + v2)). On désigne par γ l'indice adiabatique du gaz, ρ la densité, u et v les composantes du vecteur vitesse, p la pression et E l'énergie totale volumique. On note pour tout n = (nx, n2)T dans R2 de norme L2 non nulle I!JI : (i) ^(W,n) = niF(W) + n2G(W); (ii) jf(W,ç) = „i Fw(W) + n2 Gw(W). Les valeurs propres de la matrice jacobienne A(W, n) sont : λ1(W, n)=J.n-cn, λ2 (W, n) = λ3 (W, n) = U .n, λ4(W, n)= J.n + cn où c est la célérité du son (c2 = (γ p/ρ), et la matrice est diagonalisable. 3.
telles que le problème (1) soit bien posé (cf. [6]). On a : WT = (ρ, pu, pv, E), F(W)T = (ρw, ρu2+p, ρv, u(E+p)), G(W)T = (ρv, ρ uv, ρ v2+p, v(E+p)) auquel on ajoute une loi d'état p = (γ-1)(E - (p/2) (w2 + v2)). On désigne par γ l'indice adiabatique du gaz, ρ la densité, u et v les composantes du vecteur vitesse, p la pression et E l'énergie totale volumique. On note pour tout n = (nx, n2)T dans R2 de norme L2 non nulle I!JI : (i) ^(W,n) = niF(W) + n2G(W); (ii) jf(W,ç) = „i Fw(W) + n2 Gw(W). Les valeurs propres de la matrice jacobienne A(W, n) sont : λ1(W, n)=J.n-cn, λ2 (W, n) = λ3 (W, n) = U .n, λ4(W, n)= J.n + cn où c est la célérité du son (c2 = (γ p/ρ), et la matrice est diagonalisable. 3. DISCRÉTISATION DE (1) EN VOLUMES FINIS. — Le système (1) est discrétisé par une formulation volumes finis colocalisées pour laquelle on peut considérer différents recouvrements non structurés du domaine Ω. Ainsi, dans [7], deux constructions possibles de cellules d'intégration basées sur une triangulation préalable de R2 sont comparées. Pour la première, le point ai de colocation est le nœud sommet et la cellule associée est construite en joignant les barycentres et les milieux des arêtes des triangles ayant ai pour sommet (cf. [8]). La seconde dite barycentrique a ses points de colocation situés au barycentre des triangles qui constituent alors les cellules d'intégration. Les simulations numériques ont alors montré qu'à nombre de degrés de liberté équivalent, on obtient la même précision dans les deux cas pour une simplicité et surtout un coût en faveur de la formulation barycentrique qui est retenue. Le schéma en temps considéré est de type Euler explicite et le schéma en espace de type solveur approché de Roe (cf. [9]). Sur chaque portion d'arête ôKij entre deux nœuds ai et aj, on doit approcher le flux à l'interface permettant la résolution d'un problème de Riemann entre les états Wi et Wj. On note Yij la normale
première, le point ai de colocation est le nœud sommet et la cellule associée est construite en joignant les barycentres et les milieux des arêtes des triangles ayant ai pour sommet (cf. [8]). La seconde dite barycentrique a ses points de colocation situés au barycentre des triangles qui constituent alors les cellules d'intégration. Les simulations numériques ont alors montré qu'à nombre de degrés de liberté équivalent, on obtient la même précision dans les deux cas pour une simplicité et surtout un coût en faveur de la formulation barycentrique qui est retenue. Le schéma en temps considéré est de type Euler explicite et le schéma en espace de type solveur approché de Roe (cf. [9]). Sur chaque portion d'arête ôKij entre deux nœuds ai et aj, on doit approcher le flux à l'interface permettant la résolution d'un problème de Riemann entre les états Wi et Wj. On note Yij la normale extérieure unitaire à ôKij et (iii) J/(Wh W -) a ses valeurs propres réelles et les vecteurs propres associés engendrent RPN si p est la dimension du système (1). Pour certains systèmes, cette matrice peut être recherchée comme la matrice jacobienne continue ~(W, n) appliquée à ~W, un état moyen entre Wi et Wi à déterminer. Dans le cas Euler, la moyenne de Roe s'écrit : où h est l'enthalpie spécifique donnée par h = ((E+p)/ρ). Le flux de Roe (2) peut s'écrire sous les deux formes équivalentes suivantes : Fig. 1. — Profil de densité pour le schéma de Roe corrigé et pour le schéma à pas fractionnaires. Fig. 1. — Density profiles using Roe's corrected scheme and fractional step method. (a) (b) Fig. 2. a, b : Erreur spatiale en norme L1 pour les deux schémas à nombre de CFL constant (CFL = 0,9). Fig. 2. — a, b: L1 spatial error norm for both schemes with fixed CFL number (CFL = 0.9). On remarque ainsi que le schéma de Roe s'identifie à un décentrement total amont du flux lorsque toutes les valeurs propres sont de même signe : Cependant, afin d'éviter l'apparition de chocs stationnaires non admissibles
entre Wi et Wi à déterminer. Dans le cas Euler, la moyenne de Roe s'écrit : où h est l'enthalpie spécifique donnée par h = ((E+p)/ρ). Le flux de Roe (2) peut s'écrire sous les deux formes équivalentes suivantes : Fig. 1. — Profil de densité pour le schéma de Roe corrigé et pour le schéma à pas fractionnaires. Fig. 1. — Density profiles using Roe's corrected scheme and fractional step method. (a) (b) Fig. 2. a, b : Erreur spatiale en norme L1 pour les deux schémas à nombre de CFL constant (CFL = 0,9). Fig. 2. — a, b: L1 spatial error norm for both schemes with fixed CFL number (CFL = 0.9). On remarque ainsi que le schéma de Roe s'identifie à un décentrement total amont du flux lorsque toutes les valeurs propres sont de même signe : Cependant, afin d'éviter l'apparition de chocs stationnaires non admissibles physiquement, il faut modifier le calcul des flux au voisinage des points où une valeur propre A(W, n) est proche de 0. La correction testée ici est celle proposée par Roe (cf. [3]). Il apparaît numériquement qu'elle n'est en fait nécessaire que pour les valeurs propres 1.1 (W, n) et 1.4 (W, n). 4. PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE A PAS FRACTIONNAIRES. Les deux pas fractionnaires pour résoudre (1) correspondent respectivement à : (7) Wt + El, x (W) + F1, Y (W) = 0 avec : F1 (W)T = (ρu, ρu2, puv, uE) et G1 (W)T = (ρv, ρuv, ρv2, vE) (8) Wt + F2,x(W) + G2, y(W) = 0 avec : F2 (W)T = (0, p, 0, up) et G2 (W)T = (0, 0, p, vp). Le système de convection (7) est dégénéré : la vitesse U. n est valeur propre d'ordre 4 et la matrice jacobienne du flux n'est pas diagonalisable. On a utilisé dans ce cas un schéma basé sur l'expression (6) du schéma de Roe (cf. [2] et [10] pour une approche différente). L'existence d'une moyenne de Roe, dont on donne l'expression ci-dessous, détermine alors complètement le schéma. Le système de propagation (8) est hyperbolique avec
1.4 (W, n). 4. PRÉSENTATION DE LA MÉTHODE A PAS FRACTIONNAIRES. Les deux pas fractionnaires pour résoudre (1) correspondent respectivement à : (7) Wt + El, x (W) + F1, Y (W) = 0 avec : F1 (W)T = (ρu, ρu2, puv, uE) et G1 (W)T = (ρv, ρuv, ρv2, vE) (8) Wt + F2,x(W) + G2, y(W) = 0 avec : F2 (W)T = (0, p, 0, up) et G2 (W)T = (0, 0, p, vp). Le système de convection (7) est dégénéré : la vitesse U. n est valeur propre d'ordre 4 et la matrice jacobienne du flux n'est pas diagonalisable. On a utilisé dans ce cas un schéma basé sur l'expression (6) du schéma de Roe (cf. [2] et [10] pour une approche différente). L'existence d'une moyenne de Roe, dont on donne l'expression ci-dessous, détermine alors complètement le schéma. Le système de propagation (8) est hyperbolique avec comme valeurs propres : Il admet également une moyenne de Roe : Le schéma à pas fractionnaires se résume donc ainsi : Soit Δt le pas de temps et soit V (i) l'ensemble des nœuds voisins de αi. Soit ~W" l'approximation de la solution dans le triangle Ki à l'instant n At. Étape de convection. — On suppose ~W" connu; on calcule une approximation numérique du système (7) par : Le traitement des conditions aux limites est effectué en entrée par un décentrement extérieur, en sortie par un décentrement intérieur, et aux parois par un flux nul. Étape de propagation. — À partir des champs à l'instant * donnés par (11), on calcule une approximation numérique du système (8) par : avec ϕ2(~Wf, ~Wf, -nt.j .) défini par (4) ou (5) et çî2 (W?-, «0) calculée à partir de (10). Le traitement des conditions aux limites est effectué en entrée et en sortie par un flux de Steger et Warming, et aux parois par la définition d'un état miroir (cf. [7], [11]). Remarque. — Ce splitting n'est a priori pas admissible ou consistant avec la condition d'entropie de (1) au sens défini dans [12]. 5. RÉSULTATS NUMÉRIQUES. — La comparaison
n At. Étape de convection. — On suppose ~W" connu; on calcule une approximation numérique du système (7) par : Le traitement des conditions aux limites est effectué en entrée par un décentrement extérieur, en sortie par un décentrement intérieur, et aux parois par un flux nul. Étape de propagation. — À partir des champs à l'instant * donnés par (11), on calcule une approximation numérique du système (8) par : avec ϕ2(~Wf, ~Wf, -nt.j .) défini par (4) ou (5) et çî2 (W?-, «0) calculée à partir de (10). Le traitement des conditions aux limites est effectué en entrée et en sortie par un flux de Steger et Warming, et aux parois par la définition d'un état miroir (cf. [7], [11]). Remarque. — Ce splitting n'est a priori pas admissible ou consistant avec la condition d'entropie de (1) au sens défini dans [12]. 5. RÉSULTATS NUMÉRIQUES. — La comparaison du schéma de Roe, associé à la formulation volumes finis bidimensionnelle définie au paragraphe 3, entre cette technique des pas fractionnaires et le traitement du système complet d'Euler (avec correction entropique) est présentée sur deux tests analytiques : l'un est 1D instationnaire (cas T1), l'autre 2D stationnaire (cas T2). On présente dans un premier temps le cas du tube à choc pour des rapports de détente conduisant à un régime supersonique : avant rupture de la membrane, les deux états du fluide dans le canal sont : à gauche de la membrane : uG = 0, pG = 5, ρG = 5; à droite de la membrane : uD = 0, pD = 0,1, ρD = 0,125. L'étude est menée dans un intervalle de temps tel que l'onde de choc n'a pas atteint la frontière. La figure 1 qui compare la variable densité à T = 9 s pour un pas d'espace Δx de 0,2 et un pas de temps de 0,04 s entre les deux approches montre que la qualité des résultats est comparable. Ceci est confirmé par le calcul d'erreurs en norme L1 de la densité à T = 9 s dont on montre (fig. 2 a) l'ordre
présente dans un premier temps le cas du tube à choc pour des rapports de détente conduisant à un régime supersonique : avant rupture de la membrane, les deux états du fluide dans le canal sont : à gauche de la membrane : uG = 0, pG = 5, ρG = 5; à droite de la membrane : uD = 0, pD = 0,1, ρD = 0,125. L'étude est menée dans un intervalle de temps tel que l'onde de choc n'a pas atteint la frontière. La figure 1 qui compare la variable densité à T = 9 s pour un pas d'espace Δx de 0,2 et un pas de temps de 0,04 s entre les deux approches montre que la qualité des résultats est comparable. Ceci est confirmé par le calcul d'erreurs en norme L1 de la densité à T = 9 s dont on montre (fig. 2 a) l'ordre réel de convergence à CFL constante (CFL = 0,9). On remarque de plus que le fait de scinder le système ne modifie pas la vitesse de convergence du schéma (l'erreur est en 0 (ho. 7) pour un schéma d'ordre 1). Le cas de la réflexion simple d'un choc sur une paroi (cf. [13]) a pour conditions aux limites : en entrée 1 (x = 0) : ρ = 1, u = 2,9, v = 0, p = 5/7; en entrée 2 (y= 1): ρ = 1,699966, u = 2,619 342, v= -0,506 32, p = 1,528 194; en sortie (x = 4) : ρ = 2,687 225, u = 2,401 487, v = 0, p = 2,933 961. Fig. 3. Iso-pressions pour le schéma de Roe corrigé et pour le schéma à pas fractionnaires. Fig. 3. Pressure contours using Roe's corrected scheme or full-staggered step method. (a) (b) Fig. 4. a, b Résidu temporel en norme L2 pour le schéma à pas fractionnaires (cas T1 et T2). Fig. 4. a, b: L2 temporal residual norm (cases T1 and T2). L'état initial du calcul est constant dans tout le domaine et égal aux conditions de l'entrée 1. La CFL utilisée est