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recently showed that the one-dimensional Ginzburg-Landau model, in which the wake is considered as a diffusively coupled chain of oscillators, could account for the phenomena observed in this domain ([5]-[7]). Numerical simulations of this model with "zero" boundary conditions (i.e. no oscillation at the ends of the cylinder) reproduced most of the observed 3D structures. Recent numerical [8] and analytical [9] studies of two-dimensional Ginzburg-Landau models, including the downstream direction, have shown very similar results. In this paper we present results concerning a torus. For the model this means that the boundary conditions to be respected are periodic in the spanwise direction. Visualizations of the flow behind this type of body are compared to the predictions of the Ginzburg-Landau model. 1. EXPERIMENTAL SETUP. — The wake of the torus is studied in a wind tunnel with a 25 x 25 x 100 cm3 test section. Non-uniformity of the incoming flow is less than 1% and the turbulence level less than 0.5%. The brass torus of thickness d= 3 mm and outer diameter D = 57 mm (aspect ratio nDjd =60) is held by three metal wires (0.08 mm) in a plane perpendicular to the flow. The wake structure is visualized by a cylindrical smoke sheet, concentric with the torus, created by a circular smoke wire upstream of the body. The Reynolds number is Re =105 for all visualizations presented here. 2. STRUCTURE OF THE PERIODIC TORUS WAKE. — Figure 1 shows smoke visualizations of the torus wake. The smoke tube is distorted by the wake vortices and the bright lines show their structure (isophase lines). In figure 1 (a) the vortices are closed, i.e. the wake consists of counter-rotating vortex rings, parallel to the torus, which is the intuitively expected wake structure, already observed in previous studies ([10], [11]). Other structures can also be observed. In figure 1 (b) the vortices shed inside and outside the torus form helices, i.e. after one "round" along the body a vortex connects to its next neighbour (helix of step 1). This agrees with the results of Monson [10], who observed two modes of
by a cylindrical smoke sheet, concentric with the torus, created by a circular smoke wire upstream of the body. The Reynolds number is Re =105 for all visualizations presented here. 2. STRUCTURE OF THE PERIODIC TORUS WAKE. — Figure 1 shows smoke visualizations of the torus wake. The smoke tube is distorted by the wake vortices and the bright lines show their structure (isophase lines). In figure 1 (a) the vortices are closed, i.e. the wake consists of counter-rotating vortex rings, parallel to the torus, which is the intuitively expected wake structure, already observed in previous studies ([10], [11]). Other structures can also be observed. In figure 1 (b) the vortices shed inside and outside the torus form helices, i.e. after one "round" along the body a vortex connects to its next neighbour (helix of step 1). This agrees with the results of Monson [10], who observed two modes of vortex shedding (parallel rings and helices) for 20<πD/d<80. Figure 1 (c) finally shows a wake consisting of two interwoven helices of step 2, a structure not observed before. It has to be pointed out that each of the three helix modes (of step "0", 1, or 2) is obtained for the same set of parameters. The appearance of one mode rather than another depends only on initial conditions, which are not controlled and not yet well known in the present experiments. Another frequently observed wake configuration is the one consisting of vortex rings inclined with respect to the torus [fig. 1 (d)]. This inclination is due to a local defect of the velocity U in the bottom part of the body, caused here by the visualization setup. 3. ADEQUACY OF THE GINZBURG-LANDAU MODEL. — 3.1. The model. — We recall this model only briefly, presented in more detail elsewhere ([5], [6]). In the periodic wake regime (Re>Rec≈49), the fluctuating velocity is proportional to the real part of a complex amplitude A (z, t), depending on the spanwise position z and time t. A is solution of the Ginzburg-Landau equation (1), where the complex coefficients are given by equations (2)(7). For
the same set of parameters. The appearance of one mode rather than another depends only on initial conditions, which are not controlled and not yet well known in the present experiments. Another frequently observed wake configuration is the one consisting of vortex rings inclined with respect to the torus [fig. 1 (d)]. This inclination is due to a local defect of the velocity U in the bottom part of the body, caused here by the visualization setup. 3. ADEQUACY OF THE GINZBURG-LANDAU MODEL. — 3.1. The model. — We recall this model only briefly, presented in more detail elsewhere ([5], [6]). In the periodic wake regime (Re>Rec≈49), the fluctuating velocity is proportional to the real part of a complex amplitude A (z, t), depending on the spanwise position z and time t. A is solution of the Ginzburg-Landau equation (1), where the complex coefficients are given by equations (2)(7). For a body situated in the interval 0 < z < L the periodic boundary conditions are given by equation (8). When choosing this model to describe the wake of a torus, one neglects the effects of curvature of the body (and the vortices). However, previous studies ([14], [15]) have shown that these effects are small for the aspect ratio considered here, and that the wake of the curved body behaves locally as the one of a straight body. 3. Results. — Figure 2 represents the results of equation (1) with boundary condition (8) and a white noise with an r.m.s. = 0.09 | Amx as initial condition. The calculations are carried out with the same values for Re and aspect ratio as in the experiments, and one notices that the structures shown above appear in the model as well. The first three "wakes" [fig. 2 (a)(c)] are obtained under uniform flow conditions (Re independent of z), the one of fig. 2 (d) with a velocity defect of about 10% at z = L/4. A small reservation has to be mentioned, however, concerning the step 2 helix mode, which did not evolve out of the noise, but which nevertheless remains stable,
that these effects are small for the aspect ratio considered here, and that the wake of the curved body behaves locally as the one of a straight body. 3. Results. — Figure 2 represents the results of equation (1) with boundary condition (8) and a white noise with an r.m.s. = 0.09 | Amx as initial condition. The calculations are carried out with the same values for Re and aspect ratio as in the experiments, and one notices that the structures shown above appear in the model as well. The first three "wakes" [fig. 2 (a)(c)] are obtained under uniform flow conditions (Re independent of z), the one of fig. 2 (d) with a velocity defect of about 10% at z = L/4. A small reservation has to be mentioned, however, concerning the step 2 helix mode, which did not evolve out of the noise, but which nevertheless remains stable, once it is established, under the random perturbation. Similar results for the mode 1 are found by Rivet [16] in a 3D lattice gas simulation of a circular cylinder wake with an aspect ratio 25.6, Re = 98, and periodic boundary conditions. 4. CONCLUSIONS. — Despite its simplicity, the Ginzburg-Landau model can account for the Bénard-von Kármán instability well above the threshold and for the wake structures behind cylinders and tori. As a next step we will investigate the effects of aspect ratio and curvature on the flow properties and try to define the conditions leading to one particular mode, in order eventually to be able to control it. We are grateful to C. H. K. Williamson and P. Albarède for many fruitful discussions. This work was supported by the EC under contract No. SC1-0212-C(TT). INTRODUCTION. — La morphologie de l'allée de vortex en aval d'un cylindre droit dépend de différentes conditions comme le rapport d'aspect, le profil de l'écoulement, en particulier aux extrémités, et bien sûr le nombre de Reynolds. Pour des valeurs du nombre de Reynolds comprises entre 50 et 150 environ, on observe l'émission de vortex parallèles, obliques ou courbés, des cellules aux fréquences d'émission de vortex
model can account for the Bénard-von Kármán instability well above the threshold and for the wake structures behind cylinders and tori. As a next step we will investigate the effects of aspect ratio and curvature on the flow properties and try to define the conditions leading to one particular mode, in order eventually to be able to control it. We are grateful to C. H. K. Williamson and P. Albarède for many fruitful discussions. This work was supported by the EC under contract No. SC1-0212-C(TT). INTRODUCTION. — La morphologie de l'allée de vortex en aval d'un cylindre droit dépend de différentes conditions comme le rapport d'aspect, le profil de l'écoulement, en particulier aux extrémités, et bien sûr le nombre de Reynolds. Pour des valeurs du nombre de Reynolds comprises entre 50 et 150 environ, on observe l'émission de vortex parallèles, obliques ou courbés, des cellules aux fréquences d'émission de vortex différentes et des dislocations ([1]-[4]). Nous avons montré récemment que le modèle de Ginzburg-Landau à une dimension, dans lequel le sillage périodique est considéré comme une chaîne continue d'oscillateurs non linéaires avec un couplage diffusif, selon l'axe de l'obstacle, pouvait rendre compte des phénomènes observés dans le domaine considéré ([5]-[7]). En imposant des conditions aux limites nulles (pas d'oscillation aux extrémités du cylindre qui est également la condition de vitesse nulle à la paroi), les simulations numériques effectuées à partir de ce modèle permettent de retrouver la plupart des structures 3 D observées dans les expériences. Des résultats similaires ont été trouvés dans d'autres études numérique [8] et analytique [9] de modèles de Ginzburg-Landau à deux dimensions. L'objet de cette Note est de présenter les résultats obtenus dans le cas d'un tore : cette situation implique donc des conditions aux limites périodiques qui doivent être respectées dans toute simulation. Les visualisations de l'écoulement derrière ce type d'obstacle sont comparées aux prévisions du modèle Ginzburg-Landau. 1. DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL. — Le sillage en aval du tore est étudié dans une soufflerie à air avec une veine d'essai de section carrée (25 x 25) cm2 et de longueur 100 cm. L'écoulement à l'entrée
En imposant des conditions aux limites nulles (pas d'oscillation aux extrémités du cylindre qui est également la condition de vitesse nulle à la paroi), les simulations numériques effectuées à partir de ce modèle permettent de retrouver la plupart des structures 3 D observées dans les expériences. Des résultats similaires ont été trouvés dans d'autres études numérique [8] et analytique [9] de modèles de Ginzburg-Landau à deux dimensions. L'objet de cette Note est de présenter les résultats obtenus dans le cas d'un tore : cette situation implique donc des conditions aux limites périodiques qui doivent être respectées dans toute simulation. Les visualisations de l'écoulement derrière ce type d'obstacle sont comparées aux prévisions du modèle Ginzburg-Landau. 1. DISPOSITIF EXPÉRIMENTAL. — Le sillage en aval du tore est étudié dans une soufflerie à air avec une veine d'essai de section carrée (25 x 25) cm2 et de longueur 100 cm. L'écoulement à l'entrée de la veine est uniforme à 1 près et le taux de turbulence résiduel est inférieur à 0,5 Le tore en étain, d'épaisseur d = 3 mm et de diamètre D = 57 mm (rapport d'aspect π D/d= 60), est suspendu par trois fils métalliques de diamètre 0,08 mm dans un plan perpendiculaire à l'écoulement, à 10 cm en aval de l'entrée de la veine. La structure du sillage est visualisée à l'aide d'une nappe de fumée cylindrique de diamètre 37 mm, coaxiale au tore. Elle est créée en amont par vaporisation d'huile sur un fil métallique chauffé électriquement. Le nombre de Reynolds Re = U d/v (U : vitesse en amont, v : viscosité) est Re= 105 pour toutes les visualisations présentées. 2. STRUCTURE DU SILLAGE PÉRIODIQUE DU TORE. La figure 1 montre le sillage du tore visualisé par la fumée. La nappe cylindrique est déformée par les tourbillons et les lignes claires indiquent leur forme (lignes isophases). Sur la figure 1 (a) les tourbillons sont fermés sur eux-mêmes, le sillage est formé d'anneaux de vortex contrarotatifs, parallèles et de même axe de révolution que le tore. C'est la structure attendue en premier, elle a déjà été observée dans
un plan perpendiculaire à l'écoulement, à 10 cm en aval de l'entrée de la veine. La structure du sillage est visualisée à l'aide d'une nappe de fumée cylindrique de diamètre 37 mm, coaxiale au tore. Elle est créée en amont par vaporisation d'huile sur un fil métallique chauffé électriquement. Le nombre de Reynolds Re = U d/v (U : vitesse en amont, v : viscosité) est Re= 105 pour toutes les visualisations présentées. 2. STRUCTURE DU SILLAGE PÉRIODIQUE DU TORE. La figure 1 montre le sillage du tore visualisé par la fumée. La nappe cylindrique est déformée par les tourbillons et les lignes claires indiquent leur forme (lignes isophases). Sur la figure 1 (a) les tourbillons sont fermés sur eux-mêmes, le sillage est formé d'anneaux de vortex contrarotatifs, parallèles et de même axe de révolution que le tore. C'est la structure attendue en premier, elle a déjà été observée dans d'autres études ([10], [11]). D'autres configurations peuvent être également observées. Sur la figure 1 (b) les tourbillons émis à l'intérieur et à l'extérieur du tore ont une forme d'hélice : après un « tour » le long du tore le vortex se reboucle avec son premier voisin (hélice de pas 1). Cette structure est en accord avec les résultats de Monson [10], qui observe l'existence de deux modes d'émission de vortex (anneaux parallèles et hélices) dans l'intervalle du rapport d'aspect 20<πD/d<80. La figure 1 (c) enfin montre le sillage sous forme de deux hélices interlacées de pas 2, structure qui n'avait pas été observée jusqu'à présent. Il est à souligner que chacun de ces trois modes, que l'on peut regrouper sous la désignation « hélice de pas 0, 1 ou 2 », est obtenu pour le même jeu de paramètres. L'installation d'un mode plutôt que d'un autre dépend uniquement des conditions initiales, non contrôlées et méconnues pour l'instant dans les présentes expériences. Une autre configuration fréquemment observée est celle d'anneaux de vortex inclinés par rapport au tore [fig. 1 (d)]. Cette inclinaison est due à un défaut local de la vitesse U en bas du tore, créé ici par le
1). Cette structure est en accord avec les résultats de Monson [10], qui observe l'existence de deux modes d'émission de vortex (anneaux parallèles et hélices) dans l'intervalle du rapport d'aspect 20<πD/d<80. La figure 1 (c) enfin montre le sillage sous forme de deux hélices interlacées de pas 2, structure qui n'avait pas été observée jusqu'à présent. Il est à souligner que chacun de ces trois modes, que l'on peut regrouper sous la désignation « hélice de pas 0, 1 ou 2 », est obtenu pour le même jeu de paramètres. L'installation d'un mode plutôt que d'un autre dépend uniquement des conditions initiales, non contrôlées et méconnues pour l'instant dans les présentes expériences. Une autre configuration fréquemment observée est celle d'anneaux de vortex inclinés par rapport au tore [fig. 1 (d)]. Cette inclinaison est due à un défaut local de la vitesse U en bas du tore, créé ici par le dispositif de visualisation. ({[ ) (b) (c) (d) Fig. 1. Sillage derrière un tore de rapport d'aspect π D/d= 60 à Re= 105. (a) Anneaux de vortex parallèles. (b) Hélices de vortex de pas 1. (c) Hélices de vortex de pas 2. (d) Anneaux de vortex inclinés. Fig. 1. Wake behind a torus of aspect ratio π D/d = 60 at Re= 105. (a) Parallel vortex rings. (b) Helical vortices of step 1. (c) Helical vortices of Step 2. (d) Inclined vortex rings. 3. ADÉQUATION DU MODÈLE DE GINZBURG-LANDAU. — 3.1. Le modèle. — Ce modèle a déjà été présenté ([5], [6]), il est ici rappelé brièvement. Dans le régime d'oscillations périodiques du sillage, pour Re>Rec=49, la vitesse est proportionnelle à la partie réelle d'une amplitude complexe A (z, t) qui dépend de la coordonnée z le long de l'obstacle et du temps t, solution de l'équation de Ginzburg-Landau : (1) dA/dt = iCTA - |A|2A + |i<32 A/dz2. Les coefficients complexes c1, c2 et c3 sont donnés par (2) c2 = k (Re Re,) vid avec k = 0, 2 d'après les résultats de Provansal et al. [3]; (3) G, = H,or/lr = [a + b Re] vid2 avec
behind a torus of aspect ratio π D/d = 60 at Re= 105. (a) Parallel vortex rings. (b) Helical vortices of step 1. (c) Helical vortices of Step 2. (d) Inclined vortex rings. 3. ADÉQUATION DU MODÈLE DE GINZBURG-LANDAU. — 3.1. Le modèle. — Ce modèle a déjà été présenté ([5], [6]), il est ici rappelé brièvement. Dans le régime d'oscillations périodiques du sillage, pour Re>Rec=49, la vitesse est proportionnelle à la partie réelle d'une amplitude complexe A (z, t) qui dépend de la coordonnée z le long de l'obstacle et du temps t, solution de l'équation de Ginzburg-Landau : (1) dA/dt = iCTA - |A|2A + |i<32 A/dz2. Les coefficients complexes c1, c2 et c3 sont donnés par (2) c2 = k (Re Re,) vid avec k = 0, 2 d'après les résultats de Provansal et al. [3]; (3) G, = H,or/lr = [a + b Re] vid2 avec a/2 n= 5,1064 et b/2 n = 0,217 5 (cf Williamson [4]); (4) H/l, = 3,0 (cf. Strykowski [12] et Schumm [13]); et (5) Hr = 25/v (en x/d= 5, dépend de la position aval), (6) HJ Hr = 0,65, (7) Hr = 32v d'après les résultats d'Albarède [5]. Pour un obstacle situé dans l'intervalle 0:9 z:g L les conditions aux limites périodiques s'écrivent : (8) A(z=O, t)=A(z=L, t). Fig. 2. Simulation des structures à partir de la résolution numérique de l'équation de Ginzburg-Landau. On a représenté la partie réelle de A en échelle de gris dans le plan (z, t). Les lignes d'égal noircissement sont des isophases. Cette représentation est identique à l'image du sillage que l'on peut observer à l'instant t= 1,5 s = 2,5 d2/v, date d'émission du dernier vortex : dans ce cas le tore est à l'extrémité droite de la figure, les lignes sont les vortex entraînés par le fluide qui s'écoule de droite à gauche, (a) Anneaux de vortex. (b) Hélices de vortex de pas 1. (c) Hélices de vortex de pas 2. (d) Anneaux de vortex inclinés. Fig. 2. — Simulation of the wake structures by numerical resolution of the Ginzburg-Landau equation. The
un obstacle situé dans l'intervalle 0:9 z:g L les conditions aux limites périodiques s'écrivent : (8) A(z=O, t)=A(z=L, t). Fig. 2. Simulation des structures à partir de la résolution numérique de l'équation de Ginzburg-Landau. On a représenté la partie réelle de A en échelle de gris dans le plan (z, t). Les lignes d'égal noircissement sont des isophases. Cette représentation est identique à l'image du sillage que l'on peut observer à l'instant t= 1,5 s = 2,5 d2/v, date d'émission du dernier vortex : dans ce cas le tore est à l'extrémité droite de la figure, les lignes sont les vortex entraînés par le fluide qui s'écoule de droite à gauche, (a) Anneaux de vortex. (b) Hélices de vortex de pas 1. (c) Hélices de vortex de pas 2. (d) Anneaux de vortex inclinés. Fig. 2. — Simulation of the wake structures by numerical resolution of the Ginzburg-Landau equation. The real part of A is plotted in the (z, t)-plane using a grey-scale. This representation corresponds to a visualization of the wake at t= 1.5 s = 2.5 d2/v, time of shedding of the last vortex; in this case the body is on the right-hand side and the lines are vortices convected by the flow which is from right to left. (a) Parallel vortex rings. (b) Helical vortices of step 1. (c) Helical vortices of step 2. (d) Inclined vortex rings. En choisissant ce modèle pour décrire le sillage d'un tore, on néglige les effets de courbure de l'obstacle (et des vortex), présents dans le système réel. Cependant, des études précédentes ([14], [15]) ont montré que ces effets sont faibles pour le rapport d'aspect considéré ici et que, dans ce cas, le sillage d'un obstacle courbé se comporte localement comme celui d'un obstacle rectiligne. 3.2. Résultats. — La figure 2 représente les résultats de (1) avec les conditions aux limites périodiques (8) et un bruit initial sur l'écoulement à partir duquel les structures se développent. Il s'agit d'un bruit blanc d'écart type L = 0,091 Amax. Les calculs sont effectués avec les mêmes valeurs du rapport d'aspect et du nombre
vortices convected by the flow which is from right to left. (a) Parallel vortex rings. (b) Helical vortices of step 1. (c) Helical vortices of step 2. (d) Inclined vortex rings. En choisissant ce modèle pour décrire le sillage d'un tore, on néglige les effets de courbure de l'obstacle (et des vortex), présents dans le système réel. Cependant, des études précédentes ([14], [15]) ont montré que ces effets sont faibles pour le rapport d'aspect considéré ici et que, dans ce cas, le sillage d'un obstacle courbé se comporte localement comme celui d'un obstacle rectiligne. 3.2. Résultats. — La figure 2 représente les résultats de (1) avec les conditions aux limites périodiques (8) et un bruit initial sur l'écoulement à partir duquel les structures se développent. Il s'agit d'un bruit blanc d'écart type L = 0,091 Amax. Les calculs sont effectués avec les mêmes valeurs du rapport d'aspect et du nombre de Reynolds que dans l'expérience. On peut constater que les structures décrites ci-dessus apparaissent également dans le modèle. Les trois premiers « sillages » sont obtenus avec des conditions d'écoulement uniforme (Re indépendant de z), le quatrième avec un défaut de vitesse à z = L/4 de l'ordre de 10%. Une petite réserve doit être faite sur le mode hélice de pas 2 qui n'est pas apparu à partir du bruit mais qui néanmoins paraît stable une fois établi, même en présence de l'excitation aléatoire. Des résultats semblables pour le mode 1 sont observés par Rivet [16] dans une simulation numérique 3 D par gaz sur réseau d'un écoulement à l'aval d'un cylindre circulaire de rapport d'aspect 25,6 à Re = 98 avec des conditions aux limites périodiques. 4. CONCLUSION. — En dépit de sa simplicité relative face aux équations de l'hydrodynamique, le modèle de Ginzburg-Landau est capable de rendre compte de l'instabilité de Bénard-von Karman bien au-dessus du seuil et de la morphologie des vortex créés à l'aval de cylindres droits ou de tores. Nous nous proposons dans l'étude à venir de déterminer l'importance du rapport d'aspect et de la courbure sur les propriétés de l'écoulement (seuil, amplitude) et