jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
maxn et ai vérifie (1), soit ∃ i=1,...,p, ai s= ail s= s= aij s= maxn et ai vérifie (2). Dans tous les cas, si an s> maxn-1, maxn vérifie l'hypothèse de récurrence. b) Si an s = maxn-1, an devient maxn, et l'hypothèse de récurrence est trivialement vérifiée pour maxn. Remarque. L'hypothèse que dans le théorème 3.4, la suite ai1, ..., aip puissent être ramenée à un élément est actuellement une conjecture. 4. APPLICATION À L'ALGORITHME DE GAUSS AVEC RECHERCHE DU PIVOT MAXIMAL PAR COLONNE. DÉFINITION 4.1. Soit X = (m, σ2) un élément de £f, on appelle valeur absolue de X, notée | X |, le nombre stochastique défini par : | X | = ( | m |, σ2) Le système à résoudre est A. X = B avec A = (aij) et B = (a1, a2, ... , 1). ALGORITHME 2. L'algorithme de Gauss se présente comme suit : • Pour i=1, n—1 faire e pmax < aji • Pour k = i + 1, ..., n faire a) Si pmax < | aki | alors e pmax < aki et l ← k b) Si pmax = 0 alors STOP a) Si l=i alors Pour j = i, ..., n + 1 faire échanger aij et alj Pour j=i, n + 1 faire échanger ajet aj b) suite classique de l'algorithme de Gauss En mathématiques, l'utilisation du test < plutôt que a peu d'importance. Mais, en arithmétique stochastique, le choix de l'un ou de l'autre test conduit à des résultats, totalement différents en raison de la non transitivité de l'inégalité stochastique au sens large. Pour le test pmax < | aki | (dans la recherche du pivot maximal par colonne), du fait du théorème 3.3, pmax vérifiera ∀ i=1,...,n, lakil s<= pmax ce qui est satisfaisant mais peut être amélioré. Par contre, si l'on utilise le test s<, la propriété que l'on peut énoncer est, d'après le théorème 3.4, : ∀ i=1,...,n, (3) aji s < pmax ou (4) 3 aj1, aj2, ..., ajp zéros stochastiques tels que aji s= aj, i s = ajpi
j = i, ..., n + 1 faire échanger aij et alj Pour j=i, n + 1 faire échanger ajet aj b) suite classique de l'algorithme de Gauss En mathématiques, l'utilisation du test < plutôt que a peu d'importance. Mais, en arithmétique stochastique, le choix de l'un ou de l'autre test conduit à des résultats, totalement différents en raison de la non transitivité de l'inégalité stochastique au sens large. Pour le test pmax < | aki | (dans la recherche du pivot maximal par colonne), du fait du théorème 3.3, pmax vérifiera ∀ i=1,...,n, lakil s<= pmax ce qui est satisfaisant mais peut être amélioré. Par contre, si l'on utilise le test s<, la propriété que l'on peut énoncer est, d'après le théorème 3.4, : ∀ i=1,...,n, (3) aji s < pmax ou (4) 3 aj1, aj2, ..., ajp zéros stochastiques tels que aji s= aj, i s = ajpi s= pmax ce qui peut conduire à la situation suivante : ∃ aki tel que aki s> pmax. On peut même arriver à une situation où le pivot retenu est un zéro stochastique alors que, dans les aji, existe une valeur non nulle stochastiquement strictement supérieure à pmax. Exemple. — Soient X1 = (4, 0), X2 = (1, 10) et X3 = (1, 1). ∀ i, | Xi | = Xi et on a les relations XI s = X2 et X2 s = X3. Si on initialise pmax à X1, le test pmax s< X2 est vérifié donc pmax devient X2. De même le test pmax X3 est vérifié et pmax devient X3. Finalement, l'utilisation du test s< pour le calcul du maximum aboutit à retenir X3 comme valeur maximale or, bien sûr, Xi s> X3 avec X3 zéro stochastique. La nécessité de la propriété de transitivité, dans ce cas précis, impose l'utilisation du test s< En mathématiques, le test Si pmax = 0 a un sens puisqu'il permet de détecter la singularité de la matrice. Il se traduit généralement dans les programmes de calcul par Si pmax < ε. Ceci n'a aucun sens car le choix de ε
Soient X1 = (4, 0), X2 = (1, 10) et X3 = (1, 1). ∀ i, | Xi | = Xi et on a les relations XI s = X2 et X2 s = X3. Si on initialise pmax à X1, le test pmax s< X2 est vérifié donc pmax devient X2. De même le test pmax X3 est vérifié et pmax devient X3. Finalement, l'utilisation du test s< pour le calcul du maximum aboutit à retenir X3 comme valeur maximale or, bien sûr, Xi s> X3 avec X3 zéro stochastique. La nécessité de la propriété de transitivité, dans ce cas précis, impose l'utilisation du test s< En mathématiques, le test Si pmax = 0 a un sens puisqu'il permet de détecter la singularité de la matrice. Il se traduit généralement dans les programmes de calcul par Si pmax < ε. Ceci n'a aucun sens car le choix de ε est totalement arbitraire. L'arithmétique virgule flottante ne peut résoudre ce problème. Par contre, il est résolu en arithmétique stochastique. Il suffit d'écrire Si pmax s = 0. En effet, si tel est le cas, la matrice est informatiquement singulière [8]. En outre, l'écriture du programme est identique à la formulation mathématique éliminant ainsi les artifices infondés de programmation. Il est encore possible d'améliorer l'algorithme du point de vue de l'arithmétique stochastique, en recherchant pmax parmi les éléments de la colonne qui ne sont pas des zéros stochastiques. Ceci se fait très simplement en initialisant pmax à 0 et en faisant varier le compteur de la boucle suivante de i à n. ALGORITHME 3. La version de l'algorithme initiale en arithmétique stochastique est donc * Pour i= 1, ..., n – 1 faire e pmax +0 .l+-i * Pour k=i, ..., n faire * Si aki > pmax alors e pmax « aki | et 1, k * Si pmax < 0 alors STOP * Si l= ≤ i alors * Pour j = i, n + 1 faire échanger aij et aij suite classique de l'algorithme de Gauss 5. APPLICATION AU CALCUL SUR ORDINATEUR. En appliquant la méthode CESTAC M.
mathématique éliminant ainsi les artifices infondés de programmation. Il est encore possible d'améliorer l'algorithme du point de vue de l'arithmétique stochastique, en recherchant pmax parmi les éléments de la colonne qui ne sont pas des zéros stochastiques. Ceci se fait très simplement en initialisant pmax à 0 et en faisant varier le compteur de la boucle suivante de i à n. ALGORITHME 3. La version de l'algorithme initiale en arithmétique stochastique est donc * Pour i= 1, ..., n – 1 faire e pmax +0 .l+-i * Pour k=i, ..., n faire * Si aki > pmax alors e pmax « aki | et 1, k * Si pmax < 0 alors STOP * Si l= ≤ i alors * Pour j = i, n + 1 faire échanger aij et aij suite classique de l'algorithme de Gauss 5. APPLICATION AU CALCUL SUR ORDINATEUR. En appliquant la méthode CESTAC M. [8]), on obtient, pour chaque résultat intermédiaire R, N représentant Ri, i= 1.. N. Le test de Student fournit comme intervalle de confiance pour l'espérance r de R (r est le résultat mathématique exact) et pour une probabilité 1 p : tβ étant le seuil de confiance à (1 β) pour la distribution de Student. En pratique, P = 0.05, N=2 ou 3. Le résultat informatique fournit est R et son nombre de chiffres significatifs exacts (i. e. le nombre de chiffres en commun avec r) est donné par la formule : Ri=Log10 I~N.R/(tβ.s) 1. En définissant, sur ordinateur, le zéro informatique [7] par CR^O et en identifiant les notions de zéro informatique et de zéro stochastique, on peut donc utiliser concrètement les définitions d'égalité et d'inégalité stochastiques ainsi que les propriétés de l'arithmétique stochastique. Soit le système linéaire suivant : Sa solution exacte est Xt = (1, 1, 10-8, 1). Résolu avec l'algorithme 2 en simple précision IEEE sur une sun 4/40, les résultats sont : x_sol=(6.261990E + 01, -8.95398 E+ 00, 0.00000E + 00, 1.000 00 E + 00). Ces résultats sont faux car, lors de la réduction de la troisième colonne, a (3, 3) qui est mathématiquement
pour la distribution de Student. En pratique, P = 0.05, N=2 ou 3. Le résultat informatique fournit est R et son nombre de chiffres significatifs exacts (i. e. le nombre de chiffres en commun avec r) est donné par la formule : Ri=Log10 I~N.R/(tβ.s) 1. En définissant, sur ordinateur, le zéro informatique [7] par CR^O et en identifiant les notions de zéro informatique et de zéro stochastique, on peut donc utiliser concrètement les définitions d'égalité et d'inégalité stochastiques ainsi que les propriétés de l'arithmétique stochastique. Soit le système linéaire suivant : Sa solution exacte est Xt = (1, 1, 10-8, 1). Résolu avec l'algorithme 2 en simple précision IEEE sur une sun 4/40, les résultats sont : x_sol=(6.261990E + 01, -8.95398 E+ 00, 0.00000E + 00, 1.000 00 E + 00). Ces résultats sont faux car, lors de la réduction de la troisième colonne, a (3, 3) qui est mathématiquement nul, est trouvé égal à 4 864, qui est un zéro stochastique non détecté, et pris comme pivot, faussant complètement la suite du calcul. Par contre, résolu avec l'algorithme 3 et le logiciel CADNA ([3], [4]) qui simule l'arithmétique stochastique, c'est a (4, 3) = 1,7 qui est pris comme pivot. Les résultats, exprimés avec leur nombre de chiffres significatifs associés, sont : x_sol=(1.00E + 00, 1.000 E + 00, 1.000 00 E08, 1.00000E + 00). 6. CONCLUSION. L'utilisation de l'arithmétique stochastique à la place de l'arithmétique à virgule flottante permet la validation dynamique (en cours d'exécution du programme de calcul) des algorithmes mis en œuvre et l'estimation de la précision des résultats fournis par l'ordinateur. Note remise le 19 octobre 1992, acceptée le 4 novembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] J.-M. CHESNEAUX, Study of the Computing accuracy by using probabilistic approach. Contribution to computer arithmetic and Self-Validating Numerical Methods, C. ULRICH éd., IMACS, 1990, p. 19-30. [2] J.-M. CHESNEAUX, Stochastic arithmetic properties. Computational and Applied Mathematics I-Algorithms and Theory, C. BREZINSKI éd., North Holland, 1992, p. 81-91. [3] J.-M. CHESNEAUX, Descriptif d'utilisation du logiciel CADNA-F, Rapport MASI, n° 92.32, mai 1992. [4] J.-M. CHESNEAUX, C.A.D.N.A. : Contrôle des Arrondis et
pivot. Les résultats, exprimés avec leur nombre de chiffres significatifs associés, sont : x_sol=(1.00E + 00, 1.000 E + 00, 1.000 00 E08, 1.00000E + 00). 6. CONCLUSION. L'utilisation de l'arithmétique stochastique à la place de l'arithmétique à virgule flottante permet la validation dynamique (en cours d'exécution du programme de calcul) des algorithmes mis en œuvre et l'estimation de la précision des résultats fournis par l'ordinateur. Note remise le 19 octobre 1992, acceptée le 4 novembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] J.-M. CHESNEAUX, Study of the Computing accuracy by using probabilistic approach. Contribution to computer arithmetic and Self-Validating Numerical Methods, C. ULRICH éd., IMACS, 1990, p. 19-30. [2] J.-M. CHESNEAUX, Stochastic arithmetic properties. Computational and Applied Mathematics I-Algorithms and Theory, C. BREZINSKI éd., North Holland, 1992, p. 81-91. [3] J.-M. CHESNEAUX, Descriptif d'utilisation du logiciel CADNA-F, Rapport MASI, n° 92.32, mai 1992. [4] J.-M. CHESNEAUX, C.A.D.N.A. : Contrôle des Arrondis et Débogage Numérique en ADA, Rapport MASI, n° 92.31, mai 1992. [5] J.-M. CHESNEAUX et J. VIGNES, Les fondements de l'arithmétique stochastique, C. R. Acad. Sci. Paris, 315, série I, 1992, p. 1435-1436. [6] J. VIGNES, New methods for evaluating the validity of the results of mathematical computation, Math. Comput. Simulation, 20, n° 4, 1978. [7] J. VIGNES, Zéro mathématique et zéro informatique, C. R. Acad. Sci. Paris, 303, série I, 1986, p. 1-13. [8] J. VIGNES, Estimation de la précision des résultats de logiciels numériques. La Vie des Sciences, CRAS, Série générale, 7, 1990, n° 2, p. 93-115. Laboratoire M.A.S.I., Université Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05. Aérothermochimie| Aerothermochemistry (Mécanique des Fluides/Fluid Mechanics) Non-unicité de la relation entre la courbure et la célérité du front de choc de l'onde de détonation Pierre VIDAL, Michel COWPERTHWAITE, Henri-Noël PRESLES et Didier FONTAINE Résumé Nous présentons une analyse numérique de notre modèle théorique d'interaction d'une onde de détonation bidimensionnelle avec le confinement d'une substance explosive condensée. Nous montrons, qu'au point d'interaction, la courbure du front de choc de l'onde dépend non seulement de la célérité de détonation mais aussi des propriétés du confinement. Nous indiquons quelques problèmes suggérés par ce résultat
20, n° 4, 1978. [7] J. VIGNES, Zéro mathématique et zéro informatique, C. R. Acad. Sci. Paris, 303, série I, 1986, p. 1-13. [8] J. VIGNES, Estimation de la précision des résultats de logiciels numériques. La Vie des Sciences, CRAS, Série générale, 7, 1990, n° 2, p. 93-115. Laboratoire M.A.S.I., Université Pierre-et-Marie-Curie, 4, place Jussieu, 75252 Paris Cedex 05. Aérothermochimie| Aerothermochemistry (Mécanique des Fluides/Fluid Mechanics) Non-unicité de la relation entre la courbure et la célérité du front de choc de l'onde de détonation Pierre VIDAL, Michel COWPERTHWAITE, Henri-Noël PRESLES et Didier FONTAINE Résumé Nous présentons une analyse numérique de notre modèle théorique d'interaction d'une onde de détonation bidimensionnelle avec le confinement d'une substance explosive condensée. Nous montrons, qu'au point d'interaction, la courbure du front de choc de l'onde dépend non seulement de la célérité de détonation mais aussi des propriétés du confinement. Nous indiquons quelques problèmes suggérés par ce résultat nouveau. Non-uniqueness of the relationship between the curvature and the velocity of the shock front of the detonation wave Abstract We present a numerical analysis of our theoretical model of interaction of a two-dimensional detonation wave with the confinement of a condensed explosive substance. We show that, at the interaction point, the curvature of the detonation shock front not only depends upon the wave velocity but also upon the properties of the confinement. We indicate some problems suggested by this new result. I. INTRODUCTION. — Une des approches actuelles à l'étude théorique de la dynamique et de la structure cellulaire tridimensionnelle de l'onde de détonation consiste à rechercher une équation devolution générale pour la surface du front de choc de l'onde. Le modèle habituellement retenu est celui dit de Zeldovich, Von Neumann et Döring (ZND) généralisé: un écoulement tridimensionnel instationnaire (3D-INST) d'un fluide réactif où les effets de transports moléculaires sont négligés soutient un front de choc courbe regardé comme une discontinuité hydrodynamique non réactive induisant les réactions chimiques ([1], [2]). La méthode repose sur l'intégration des équations de bilan 3D-INST entre le front de choc et la frontière arrière de son domaine d'influence. Les hypothèses essentielles sont que l'écoulement
point, the curvature of the detonation shock front not only depends upon the wave velocity but also upon the properties of the confinement. We indicate some problems suggested by this new result. I. INTRODUCTION. — Une des approches actuelles à l'étude théorique de la dynamique et de la structure cellulaire tridimensionnelle de l'onde de détonation consiste à rechercher une équation devolution générale pour la surface du front de choc de l'onde. Le modèle habituellement retenu est celui dit de Zeldovich, Von Neumann et Döring (ZND) généralisé: un écoulement tridimensionnel instationnaire (3D-INST) d'un fluide réactif où les effets de transports moléculaires sont négligés soutient un front de choc courbe regardé comme une discontinuité hydrodynamique non réactive induisant les réactions chimiques ([1], [2]). La méthode repose sur l'intégration des équations de bilan 3D-INST entre le front de choc et la frontière arrière de son domaine d'influence. Les hypothèses essentielles sont que l'écoulement derrière le front est quasi monodimensionnel et que le rayon de courbure locale PIl du front est très supérieur à une longueur chimique caractéristique l. La technique utilisée est celle des développements asymptotiques, basée sur le petit paramètre l/M ou sur d'autres, construits avec des quantités caractéristiques plus élaborées. Le résultat est une relation de compatibilité entre la célérité et la courbure du front de choc de la détonation, intrinsèque à la substance explosive étudiée et assimilable à l'équation d'évolution pour la surface du front ([3] par ex.). Le propos de ce compte rendu est de présenter des éléments qui conduisent à mettre en doute la généralité du caractère intrinsèque de cette dernière relation: nous étudions numériquement notre modèle théorique d'interaction du front de choc d'une détonation de structure ZND bidimensionnelle stationnaire (2D-ST), à symétrie plane ou axiale, avec le confinement de la substance explosive [2] et montrons qu'au point d'interaction, la courbure du front de choc dépend non seulement de la célérité de détonation mais aussi des propriétés du confinement. Nous soulignons préalablement que le modèle ZND 2D-ST ne peut évidemment pas être utilisé pour étudier les phénomènes de détonation 3D-INST mais rappellons que sa relative simplicité permet néanmoins
résultat est une relation de compatibilité entre la célérité et la courbure du front de choc de la détonation, intrinsèque à la substance explosive étudiée et assimilable à l'équation d'évolution pour la surface du front ([3] par ex.). Le propos de ce compte rendu est de présenter des éléments qui conduisent à mettre en doute la généralité du caractère intrinsèque de cette dernière relation: nous étudions numériquement notre modèle théorique d'interaction du front de choc d'une détonation de structure ZND bidimensionnelle stationnaire (2D-ST), à symétrie plane ou axiale, avec le confinement de la substance explosive [2] et montrons qu'au point d'interaction, la courbure du front de choc dépend non seulement de la célérité de détonation mais aussi des propriétés du confinement. Nous soulignons préalablement que le modèle ZND 2D-ST ne peut évidemment pas être utilisé pour étudier les phénomènes de détonation 3D-INST mais rappellons que sa relative simplicité permet néanmoins d'obtenir des informations exactes sur la courbure du front de choc (cf. § II et III). Nous sommes Note présentée par Michel COMBARNOUS. 0764-4450/93/03160177 $ 2.00 © Académie des Sciences alors en mesure de comparer ces informations à celles, approximatives, issues de la réduction des analyses asymptotiques 3D-INST au cas 2D-ST et donc de suggérer des réflexions visant à élargir les domaines de validité de ces analyses (cf. § IV). II. RAPPELS. Notre étude théorique [2] traite le cas des configurations expérimentales habituelles où les matériaux explosif (x) et confinant (c) sont initialement au repos et où un choc réfracté existe dans le confinement. Cependant, et ceci est l'hypothèse fondamentale, elle est restreinte au cas particulier de matériaux dont les propriétés permettent l'adaptation du choc (01) dans (x) et du choc (0') dans (c) (fig. 1) par réfraction pure, c'est-à-dire sans choc ou détente réfléchis issus du point d'interaction I. Cet état de réfraction pure est réalisé quand les polaires de choc oblique [Pression P-Angle de p : masse spécifique q : vitesse particulaire relative P : pression λ : degré de décomposition chimique e : énergie interne spécifique c : célérité "figée" du son [3], [4] σ : (p.c2)-1
2D-ST et donc de suggérer des réflexions visant à élargir les domaines de validité de ces analyses (cf. § IV). II. RAPPELS. Notre étude théorique [2] traite le cas des configurations expérimentales habituelles où les matériaux explosif (x) et confinant (c) sont initialement au repos et où un choc réfracté existe dans le confinement. Cependant, et ceci est l'hypothèse fondamentale, elle est restreinte au cas particulier de matériaux dont les propriétés permettent l'adaptation du choc (01) dans (x) et du choc (0') dans (c) (fig. 1) par réfraction pure, c'est-à-dire sans choc ou détente réfléchis issus du point d'interaction I. Cet état de réfraction pure est réalisé quand les polaires de choc oblique [Pression P-Angle de p : masse spécifique q : vitesse particulaire relative P : pression λ : degré de décomposition chimique e : énergie interne spécifique c : célérité "figée" du son [3], [4] σ : (p.c2)-1 (dP/dλ)e, p coefficient de thermicité t: temps d ( )/dt : dérivée particulaire ( = q. d( )/dτ en stat.) K : d λ/dt loi de cinétique chimique Fig. 1. Détonation bidimensionnelle confinée. Fig. 1. Confined two-dimensional detonation. TABLEAU Notations. Notations. deviation relative Ө] (fig. 1) de (x) et (c) ont un point d'intersection unique localisé sur la branche subsonique de la polaire de (x). Dans ces conditions, l'adaptation des pressions et angles de déviation, en tout point de l'interface IM (fig. 1), conduit à des expressions exactes pour chacune des valeurs en I des courbures des méridiennes des fronts de choc (01) et (0') en fonction de la célérité de translation D de la détonation, des paramètres représentatifs des propriétés physico-chimiques sous choc des deux matériaux et, dans le cas d'une symétrie axiale, du rayon de la charge explosive. III. HYPOTHÈSES DE CALCUL ET ANALYSE DES RÉSULTATS. Nous désignons les grandeurs associées aux matériaux (x) et (c) par les indices x et c et celles associées à l'état initial de (x) ou (c) par l'indice 0. Les autres notations sont définies dans le tableau. Nous avons restreint notre analyse au cas d'une charge explosive bidimensionnelle à symétrie plane contenue
ont un point d'intersection unique localisé sur la branche subsonique de la polaire de (x). Dans ces conditions, l'adaptation des pressions et angles de déviation, en tout point de l'interface IM (fig. 1), conduit à des expressions exactes pour chacune des valeurs en I des courbures des méridiennes des fronts de choc (01) et (0') en fonction de la célérité de translation D de la détonation, des paramètres représentatifs des propriétés physico-chimiques sous choc des deux matériaux et, dans le cas d'une symétrie axiale, du rayon de la charge explosive. III. HYPOTHÈSES DE CALCUL ET ANALYSE DES RÉSULTATS. Nous désignons les grandeurs associées aux matériaux (x) et (c) par les indices x et c et celles associées à l'état initial de (x) ou (c) par l'indice 0. Les autres notations sont définies dans le tableau. Nous avons restreint notre analyse au cas d'une charge explosive bidimensionnelle à symétrie plane contenue dans un confinement non réactif (i.e. λc=0, ac = 0, Kc = 0). Nous avons considéré que la pression initiale est négligeable devant la pression de choc, ce qui est permis pour les substances explosives condensées auxquelles notre modèle stationnaire est destiné (P0/Px, c"', [1]), et que le phénomène de combustion dans la zone de réaction de l'explosif peut être modélisé par une réaction globale irréversible: (1) Explosif -> Produit Cette réaction est donc décrite par une seule variable scalaire Xx représentant la fraction massique d'explosif brûlé (degré de décomposition), nulle au front de choc (modèle ZND) et égale à 1 en fin de réaction (irréversibilité). En conséquence, le coefficient de thermicité ox et la vitesse de réaction Kx sont aussi des scalaires alors que, dans [2], Xx, ox, c et Kx, c peuvent être considérés comme des grandeurs vectorielles tout à fait générales. Nous avons ensuite évalué les valeurs aux fronts de choc (01) et (0') des quantités nécessaires au calcul de la valeur au point d'interaction I, Cx, de la courbure df/dm (fig. 1) de la méridienne du front de choc (01) dans l'explosif, [2], en utilisant pour les équations d'état ex et ec de (x) et (c)