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dans cette région. TEST DU LOCHKOVIEN INFÉRIEUR (fig., d). — Les sites de Pologne (Wrona, 1980) et de Podolie (Grahn et Paris, 1992) ont été sélectionnés pour représenter la bordure marine sud de la plaque Baltica, largement occupée par le Continent des Vieux Grès Rouges. Pour l'Europe centrale et méridionale, le matériel provient respectivement de Bohême (Paris, 1981; Chlupac et al., 1985) et du Massif armoricain (Paris, 1981). Des forages dans le nord-ouest de l’Algérie (Boumendjel, 1987) fournissent les données pour la plateforme saharienne, le couple « Algérie-Massif armoricain » présente un coefficient de similarité très élevé (CS = 0,90) indiquant la persistance de relations paléogéographiques extrêmement étroites entre les deux régions, avec certainement des positions très proches en latitude. Ceci exclut tout développement d’un vaste espace océanique entre le nord de l’Afrique et le Massif armoricain durant le Dévonien inférieur. La Pologne et la Podolie montrent elles aussi des similitudes importantes au niveau de leurs assemblages de Chitinozoaires (CS = 0,74) indiquant, là encore, des positions proches en terme de paléolatitudes. Les combinaisons entre les sites de l’Europe du nord d’une part et des ensembles ibéro-armoricain et nord africain d’autre part (CS allant de 0,46 à 0,48) font ressortir une amélioration assez sensible des similitudes par rapport au Llandovery moyen. Ceci est interprété comme un début de rapprochement entre les deux marges de l’Océan Rheic, s’accompagnant d’un diminution du contraste climatique entre ces deux domaines paléogéographiques. La Bohême, avec un CS de 0,64 par rapport à la Podolie, paraît toujours occuper une position plus basse en latitude par rapport au reste de la marge nord gondwanienne. CONCLUSIONS. L’exploitation du degré de ressemblance entre différents assemblages de Chitinozoaires a permis de tester divers modèles d’évolution paléogéographique de l’Europe durant le Paléozoïque anté-Carbonifère. De la confrontation des coefficients de similarité obtenus pour chaque groupe de combinaisons, il ressort que le plateau continental nord africain et les régions ibéro-armoricaines, au cours de leur migration vers le nord durant le Paléozoïque, ont constamment évolué sous des latitudes similaires. La Bohême pour sa part, bien que présentant des caractéristiques fauniques typiquement gondwaniennes, voit ses
une amélioration assez sensible des similitudes par rapport au Llandovery moyen. Ceci est interprété comme un début de rapprochement entre les deux marges de l’Océan Rheic, s’accompagnant d’un diminution du contraste climatique entre ces deux domaines paléogéographiques. La Bohême, avec un CS de 0,64 par rapport à la Podolie, paraît toujours occuper une position plus basse en latitude par rapport au reste de la marge nord gondwanienne. CONCLUSIONS. L’exploitation du degré de ressemblance entre différents assemblages de Chitinozoaires a permis de tester divers modèles d’évolution paléogéographique de l’Europe durant le Paléozoïque anté-Carbonifère. De la confrontation des coefficients de similarité obtenus pour chaque groupe de combinaisons, il ressort que le plateau continental nord africain et les régions ibéro-armoricaines, au cours de leur migration vers le nord durant le Paléozoïque, ont constamment évolué sous des latitudes similaires. La Bohême pour sa part, bien que présentant des caractéristiques fauniques typiquement gondwaniennes, voit ses affinités avec Baltica s’accroître de façon sensible dès le Silurien inférieur. Ces relations privilégiées peuvent s’expliquer en terme de latitude, par une position légèrement plus basse de la Bohême par rapport aux autres régions nord gondwaniennes. Elles peuvent aussi traduire un rôle actif des courants tropicaux qui modifiaient le contour des isothermes et favorisaient le transport de certaines formes pélagiques vers les plus hautes latitudes, comme cela a été constaté pour l’Ordovicien moyen. Un vaste domaine océanique médio-européen, l’Océan Rheic, paraît bien avoir existé, avec une ouverture précoce dès l’Ordovicien inférieur, une expansion maximale au Silurien et l’amorce de sa fermeture dès le Dévonien inférieur. Pour le sud et la partie moyenne de la Grande-Bretagne, en l’absence de données suffisantes sur les Chitinozoaires de l’Ordovicien et du début du Silurien, aucun argument décisif ne peut être avancé concernant l’importance ou même l’existence de l’Océan de Tornquist imaginé par certains auteurs (Cocks et Fortey, 1982) entre Avalonia et Baltica sensu stricto. Le pouvoir de résolution du test utilisé est d’autre part insuffisant pour déceler le développement d’espaces océaniques étroits ou disposés sub-perpendiculairement aux latitudes. Il n’en demeure pas moins que les Chitinozoaires permettent de suivre l’évolution de l’Océan Rheic et conduisent
des isothermes et favorisaient le transport de certaines formes pélagiques vers les plus hautes latitudes, comme cela a été constaté pour l’Ordovicien moyen. Un vaste domaine océanique médio-européen, l’Océan Rheic, paraît bien avoir existé, avec une ouverture précoce dès l’Ordovicien inférieur, une expansion maximale au Silurien et l’amorce de sa fermeture dès le Dévonien inférieur. Pour le sud et la partie moyenne de la Grande-Bretagne, en l’absence de données suffisantes sur les Chitinozoaires de l’Ordovicien et du début du Silurien, aucun argument décisif ne peut être avancé concernant l’importance ou même l’existence de l’Océan de Tornquist imaginé par certains auteurs (Cocks et Fortey, 1982) entre Avalonia et Baltica sensu stricto. Le pouvoir de résolution du test utilisé est d’autre part insuffisant pour déceler le développement d’espaces océaniques étroits ou disposés sub-perpendiculairement aux latitudes. Il n’en demeure pas moins que les Chitinozoaires permettent de suivre l’évolution de l’Océan Rheic et conduisent à réfuter l’hypothèse du développement, à partir du Dévonien inférieur, d’un vaste océan sud-européen (Océan Prototethys) séparant l’Afrique de l’Europe du sud (voir références in Van der Voo, 1988). Note remise le 3 novembre 1992, acceptée après révision le 3 décembre 1992. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES S. M. BERGSTRÖM, Relations between conodont provincialism and the changing palaeogeography during the Early Palaeozoic, Geol. Soc. London, Mem., 12, 1990, p. 105-121. K. BOUMENDJEL, Les Chitinozoaires du Silurien supérieur et du Dévonien du Sahara algérien (cadre géologique, systématique, biostratigraphie), Thèse, Univ. Rennes-1, 1987, 181 p. I. CHLUPÁC, P. LUKES, F. PARIS et H. P. SCHÖNLAUB, The Lochkovian-Pragian boundary in the Lower Devonian of the Barrandian area, Czechoslovakia, Jb. Geol. B.-A., 128, 1, 1985, p. 9-41. D. L. CLARK et E. W. HARTEBERG, Paleoenvironmental factors and the distribution of conodonts in the Lower Triassic of Svalbard and Népal, Fossils and Strata, 15, 1983, p. 171-175. L. R. M. COCKS et R. A. FORTEY, Faunal evidence for oceanic separations in the Palaeozoic of Britain, J. Geol. Soc. London, 139, 1982, p. 465-478. F. H. CRAMER, Chitinozoans of a composite section of upper Llandoverian to basal Lower Gedinnian sediments in northern Léon, Spain, A preliminary report, Bull. Soc.
provincialism and the changing palaeogeography during the Early Palaeozoic, Geol. Soc. London, Mem., 12, 1990, p. 105-121. K. BOUMENDJEL, Les Chitinozoaires du Silurien supérieur et du Dévonien du Sahara algérien (cadre géologique, systématique, biostratigraphie), Thèse, Univ. Rennes-1, 1987, 181 p. I. CHLUPÁC, P. LUKES, F. PARIS et H. P. SCHÖNLAUB, The Lochkovian-Pragian boundary in the Lower Devonian of the Barrandian area, Czechoslovakia, Jb. Geol. B.-A., 128, 1, 1985, p. 9-41. D. L. CLARK et E. W. HARTEBERG, Paleoenvironmental factors and the distribution of conodonts in the Lower Triassic of Svalbard and Népal, Fossils and Strata, 15, 1983, p. 171-175. L. R. M. COCKS et R. A. FORTEY, Faunal evidence for oceanic separations in the Palaeozoic of Britain, J. Geol. Soc. London, 139, 1982, p. 465-478. F. H. CRAMER, Chitinozoans of a composite section of upper Llandoverian to basal Lower Gedinnian sediments in northern Léon, Spain, A preliminary report, Bull. Soc. Belg. géol., 75, 1967, p. 69-129. P. DUFKA, Lower Silurian chitinozoans of the Prague Basin, Barrandian, Czechoslovakia, Preliminary results, Rev. Micropaléont., 35, 2, 1992, p. 117-126. Z. ELAOUAD-DEBBAJ, Acritarches et Chitinozoaires de l’Arenig-Llanvirn de l’Anti-Atlas, Maroc, Rev. Palaeobot. Palynol., 43, 1984, p. 67-88. Y. GRAHN, Palaeobiology and biostratigraphy of Ordovician Chitinozoa from Sweden, Acta Univ. Upsaliensis, 629, 1982, p. 1-16. Y. GRAHN et F. PARIS, The Silurian-Devonian boundary in Podolia, Résumé du Cong. Int. Palynol., Aix-en-Provence, 1992, p. 55. J. L. HENRY, M. MELOU, J. NION, F. PARIS, M. ROBARDET, D. SKEVINGTON et D. THADEU, L’apport de Graptolites de la zone à G. teretiusculus dans la datation des faunes benthiques lusitaDo-armoricaines, Am. Soc. géol. Nord, 96, 4, 1977, p. 275-281. W. A. S. JENKINS, Ordovician Chitinozoa from Shropshire, Palaeontology, 10, 1967, p. 436-488. W. S. MCKERROW et C. R. SCOTESE éd., Palaeozoic Palaeogeography and Biogeography, Geol. Soc. London, Mem., 12, 1990, 435 p. V. NESTOR, Silurian chitinozoans. in D. KAU and H. NESTOR éd., Field meeting Estonia, 1990, p. 80-83. J. NOVÁK et Y. GRAHN, Ordovician chitinozoan biozones from Baltoscandia, Rev. Palaeobot. Palynol. (sous presse). L. OULEBSIR, Chitinozoaires et Palynomorphes dans l’Ordovicien du Sahara algérien : biostratigraphie et approche des
Chitinozoa from Sweden, Acta Univ. Upsaliensis, 629, 1982, p. 1-16. Y. GRAHN et F. PARIS, The Silurian-Devonian boundary in Podolia, Résumé du Cong. Int. Palynol., Aix-en-Provence, 1992, p. 55. J. L. HENRY, M. MELOU, J. NION, F. PARIS, M. ROBARDET, D. SKEVINGTON et D. THADEU, L’apport de Graptolites de la zone à G. teretiusculus dans la datation des faunes benthiques lusitaDo-armoricaines, Am. Soc. géol. Nord, 96, 4, 1977, p. 275-281. W. A. S. JENKINS, Ordovician Chitinozoa from Shropshire, Palaeontology, 10, 1967, p. 436-488. W. S. MCKERROW et C. R. SCOTESE éd., Palaeozoic Palaeogeography and Biogeography, Geol. Soc. London, Mem., 12, 1990, 435 p. V. NESTOR, Silurian chitinozoans. in D. KAU and H. NESTOR éd., Field meeting Estonia, 1990, p. 80-83. J. NOVÁK et Y. GRAHN, Ordovician chitinozoan biozones from Baltoscandia, Rev. Palaeobot. Palynol. (sous presse). L. OULEBSIR, Chitinozoaires et Palynomorphes dans l’Ordovicien du Sahara algérien : biostratigraphie et approche des paléoenvironnements, Thèse, Univ. Rennes-1, 1992, 212 p. F. PARIS, Les Chitinozoaires dans le Paléozoïque du Sud-Ouest de l’Europe (Cadre géologique, Étude systématique, Biostratigraphie), Mém. Soc. géol. minéral. Bretagne, 24, 1981, 496 p. F. PARIS, Succession lithostratigraphique du Paléozoïque de l’Aquitaine Nord, Documents du BRGM, 144, 1987, p. 3-22. F. PARIS, Late Ordovician and Early Silurian chitinozoans from central and southern Cyrenaica, in A. El ARNAOUTI et al. éd., Garyounis Univ. Publ., 1988, p. 61-71. F. PARIS et M. MERGL, Arenigian chitinozoans from the Klabava Formation, Bohemia, Rev. Palaeobot., Palynol., 43, 1984, p. 33-65. F. PARIS et J. VERNIERS, Palaeogeographic affinities of early Silurian chitinozoans from Saudi Arabia, Résumé du Cong. Int. Palynol., Aix-en-Provence, 1992, p. 112. P. TAUGOURDEAU, Chitinozoaires du Silurien d’Aquitaine, Rev. Micropaléont., 4, 3, 1961, p. 135-154. C. TAUGOURDEAU, Associations de Chitinozoaires dans quelques sondages de la région d'Edjé, Sahara, Rev. Micropaléont., 4,4,1962, p. 229-236. R. VAN DER VOO, Paleozoic paleogeography of North America, Gondwana and intervening displaced terranes: comparisons of paleomagnetism with paleoclimatology and biogeographic patterns, Geol. Soc. Am. Bull., 100,1988, p. 311-324. G. VAN GROOTEL, Litho- et biostratigraphie study met Chitinozoa in het westelijk deel van het Massief van Brabant - deel 1, Thèse, Univ. Gent.,
Late Ordovician and Early Silurian chitinozoans from central and southern Cyrenaica, in A. El ARNAOUTI et al. éd., Garyounis Univ. Publ., 1988, p. 61-71. F. PARIS et M. MERGL, Arenigian chitinozoans from the Klabava Formation, Bohemia, Rev. Palaeobot., Palynol., 43, 1984, p. 33-65. F. PARIS et J. VERNIERS, Palaeogeographic affinities of early Silurian chitinozoans from Saudi Arabia, Résumé du Cong. Int. Palynol., Aix-en-Provence, 1992, p. 112. P. TAUGOURDEAU, Chitinozoaires du Silurien d’Aquitaine, Rev. Micropaléont., 4, 3, 1961, p. 135-154. C. TAUGOURDEAU, Associations de Chitinozoaires dans quelques sondages de la région d'Edjé, Sahara, Rev. Micropaléont., 4,4,1962, p. 229-236. R. VAN DER VOO, Paleozoic paleogeography of North America, Gondwana and intervening displaced terranes: comparisons of paleomagnetism with paleoclimatology and biogeographic patterns, Geol. Soc. Am. Bull., 100,1988, p. 311-324. G. VAN GROOTEL, Litho- et biostratigraphie study met Chitinozoa in het westelijk deel van het Massief van Brabant - deel 1, Thèse, Univ. Gent., 1 et II, 1990,191 p. R. WRONA, Upper Silurian-Lower Devonian Chitinozoa from the subsurface of southwestern Poland, Palaeont. Polonica, 41, 1980, p. 103-165. Laboratoire de Paléontologie et Stratigraphie, URA n 1364 du CNRS, Institut de Géologie, Université de Rennes-l, 35042 Rennes Cedex, France. Mécanique des solides/ Mechanics of Solids Similarity properties of discrete contact between a fractal punch and an elastic medium Feodor M. BORODICH Abstract The problem of the indentation of a rigid punch, whose shape is described by a positive fractal function (Weierstrass-Mandelbrot function is an example of such function), into an elastic half-space is under consideration. It is assumed that the contact region is the union of discrete points and that the elastic medium is non-linear. General expressions for changes of all functions, giving the solution of the problem with increasing load, are derived exactly. The derivation is fulfilled using similarity method, without solving the field equations. Propriétés de similitude de contact discret entre poinçon fractal et milieu élastique Résumé — On considère le problème du poinçonnage d'un demi-espace par le poinçon rigide, dont la forme est décrite par une fonction fractale positive (telle que la fonction de Weierstrass-Mandelbrot). On suppose, que la région de contact est
properties of discrete contact between a fractal punch and an elastic medium Feodor M. BORODICH Abstract The problem of the indentation of a rigid punch, whose shape is described by a positive fractal function (Weierstrass-Mandelbrot function is an example of such function), into an elastic half-space is under consideration. It is assumed that the contact region is the union of discrete points and that the elastic medium is non-linear. General expressions for changes of all functions, giving the solution of the problem with increasing load, are derived exactly. The derivation is fulfilled using similarity method, without solving the field equations. Propriétés de similitude de contact discret entre poinçon fractal et milieu élastique Résumé — On considère le problème du poinçonnage d'un demi-espace par le poinçon rigide, dont la forme est décrite par une fonction fractale positive (telle que la fonction de Weierstrass-Mandelbrot). On suppose, que la région de contact est union des points discrets et que le milieu élastique est nonlinéaire. On trouve la forme exacte des expressions générales pour les changements de toutes les fonctions donnant la solution du problème avec l'augmentation du chargement. On utilise la méthode de similitude sans résoudre les équations de champ. Version française abrégée — INTRODUCTION. — Nous analysons une classe des problèmes aux limites de l'élasticité infinitésimale tridimensionnelle fournie par le processus du poinçonnage d'un demi-espace en matériel non linéaire. Le poinçon est suppose rigide avec surface rugueuse dont nous décrivons la forme par une fonction fractale. Nous supposons qu'un poinçon rigide rugueux a un contact discret avec un demi-espace en matériel élastique non-linéaire et que la forme du poinçon est décrite par une fonction fractale généralement homogène de degré d, où d > 0. À titre d'exemple de tel poinçon on peut considérer un poinçon de révolution, dont la génératrice est décrite par la fonction de Weierstrass-Mandelbrot. Dans la Note présentée les expressions générales pour les changements de tous les fonctions donnant les solutions des problèmes de contact pour le poinçon fractal sont obtenues en forme exacte à l'aide de la méthode de similitude ([9]-[12]). FORMULATION MATHÉMATIQUE. — On suppose qu'un poinçon
— INTRODUCTION. — Nous analysons une classe des problèmes aux limites de l'élasticité infinitésimale tridimensionnelle fournie par le processus du poinçonnage d'un demi-espace en matériel non linéaire. Le poinçon est suppose rigide avec surface rugueuse dont nous décrivons la forme par une fonction fractale. Nous supposons qu'un poinçon rigide rugueux a un contact discret avec un demi-espace en matériel élastique non-linéaire et que la forme du poinçon est décrite par une fonction fractale généralement homogène de degré d, où d > 0. À titre d'exemple de tel poinçon on peut considérer un poinçon de révolution, dont la génératrice est décrite par la fonction de Weierstrass-Mandelbrot. Dans la Note présentée les expressions générales pour les changements de tous les fonctions donnant les solutions des problèmes de contact pour le poinçon fractal sont obtenues en forme exacte à l'aide de la méthode de similitude ([9]-[12]). FORMULATION MATHÉMATIQUE. — On suppose qu'un poinçon rigide, dont l'équation de la surface est donnée par la fonction fractale f [voir (1)] est pressé par la force P contre le demi-espace positif X3 > 0. Les axes xi sont présentés en figure 1. On dénote uij les déplacements, σij les contraintes, a le rapprochement relatif entre le poinçon et le demi-espace. La valeur de la force compressive P étant donnée, il reste à trouver la région finie G sur le plan frontière du demi-espace (composée des points en contact du poinçon et du demi-espace), la valeur ∝, les uit et les σij. La force P étant le paramètre du problème, nous l'écrivons parmi les arguments des fonctions à trouver. Ces fonctions doivent vérifier les équations d'équilibre, les relations constitutives, la condition à l'infini et les conditions aux limites sur le plan frontière (2). LES POINÇONS FRACTALS GÉNÉRALEMENT HOMOGÈNES. — Nous dirons qu'une fonction des coordonnées x1, x2 et de paramètre positif y est une fonction positive généralement homogène de degré d, si les conditions (3) sont vérifiées pour toute valeur fixée de y. Si de plus son graphe a la dimension fractale D, nous l'appellerons une fonction fractale généralement homogène. Nous considérons les poinçons dont la forme
poinçon et le demi-espace. La valeur de la force compressive P étant donnée, il reste à trouver la région finie G sur le plan frontière du demi-espace (composée des points en contact du poinçon et du demi-espace), la valeur ∝, les uit et les σij. La force P étant le paramètre du problème, nous l'écrivons parmi les arguments des fonctions à trouver. Ces fonctions doivent vérifier les équations d'équilibre, les relations constitutives, la condition à l'infini et les conditions aux limites sur le plan frontière (2). LES POINÇONS FRACTALS GÉNÉRALEMENT HOMOGÈNES. — Nous dirons qu'une fonction des coordonnées x1, x2 et de paramètre positif y est une fonction positive généralement homogène de degré d, si les conditions (3) sont vérifiées pour toute valeur fixée de y. Si de plus son graphe a la dimension fractale D, nous l'appellerons une fonction fractale généralement homogène. Nous considérons les poinçons dont la forme peut se décrire par telles fonctions puisqu'elles possèdent des propriétés convenables pour utiliser la méthode de similitude ([8]-[11]). Soit fo la fonction de forme du poinçon vérifiant (4) en coordonnées polaires, ou W est la fonction de Weierstrass-Mandelbrot (5). Alors, (3) est vérifié. Le graphique de fo est une courbe de box-dimension D>1 ([1], [2], [6], [13]). Donc, c'est une fonction fractale. Compte tenu de (5) on peut montrer aisément, que W obéit à la règle d'homogénéité généralisée (6) ([1], [13]). La comparaison de (6) avec (3) et (4) entraîne la conclusion que fo est une fonction fractale généralement homogène de degré d = (2 D) et 0 < d < 1. La figure 2 montre le poinçon fractal de Weierstrass-Mandelbrot fo dans le cas y = 1,5, D = 1,5. Nous supposons que la région de contact G(P) entre le poinçon fractal et demi-espace est discrète, que G (P" { 0 }) n'est pas vide et G(P) peut être décrite par (7), où gn (P) est un point ou [dans le cas de A(θ) régulière] une ligne fermée en R2. ÉTUDE PAR LA MÉTHODE DE SIMILITUDE. — Nous considérons le problème de contact pour le milieu élastique avec le
de box-dimension D>1 ([1], [2], [6], [13]). Donc, c'est une fonction fractale. Compte tenu de (5) on peut montrer aisément, que W obéit à la règle d'homogénéité généralisée (6) ([1], [13]). La comparaison de (6) avec (3) et (4) entraîne la conclusion que fo est une fonction fractale généralement homogène de degré d = (2 D) et 0 < d < 1. La figure 2 montre le poinçon fractal de Weierstrass-Mandelbrot fo dans le cas y = 1,5, D = 1,5. Nous supposons que la région de contact G(P) entre le poinçon fractal et demi-espace est discrète, que G (P" { 0 }) n'est pas vide et G(P) peut être décrite par (7), où gn (P) est un point ou [dans le cas de A(θ) régulière] une ligne fermée en R2. ÉTUDE PAR LA MÉTHODE DE SIMILITUDE. — Nous considérons le problème de contact pour le milieu élastique avec le potentiel des contraintes U étant une fonction homogène de degré II + 1 par rapport aux composantes du tenseur de déformation infinitésimale εki, c'est-à-dire qui vérifie (8). PROPOSITION. — Soit la forme du poinçon décrite par une fonction fractale positive généralement homogène f vérifiant (3), où d > 0, continue partout et partout non différentiable. Admettons aussi que le potentiel des contraintes U vérifie (8). Supposons de plus que pour toute valeur fixe de la force compressive Po la solution du problème (2) est donnée par les fonctions σij (x; Po), et j(x; Po), w, (x; Po), ∝ (Po), G(Po). Alors, pour toute force Pk = Yk[2 + μ(d-1)]P0, (k = 0, ± 1, ± 2, Le problème aux limites (2) est vérifié par (9) et la région de contact G(Po) change conformément à la transformation d'homothétie (10). Soit Gn(P) l'enveloppe convexe de la région discrète de contact G(P) décrite par (7). Alors, la région Gn(P) peut être regardée comme la région effective de contact. En vertu de la proposition on peut tirer les conclusions qualitatives suivantes (sous les hypothèses faites plus haut). (i) Le diamètre 1 de la région effective de contact varie proportionnellement à la force à la