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de sapèques. Les canons en fonte sont détruits. Les autres objets pris dans la place ont été chargés sur des radeaux avec un certain nombre de caisses à munitions d'artillerie et d'infanterie. Quelques malades prennent place sur ces radeaux, qui doivent descendre le Song-Cau sous les ordres d'un capitaine d'infanterie de marine et sous la conduite de M. le lieutenant Remusat, commandant le détachement des pontonniers. Ce dernier fait réparer les maisons flottantes en mauvais état qui sont sur les radeaux. Du 21 au 25 mars. — La colonne, ainsi allégée, reprend, à 5 heures et demie, la route de Bac-Ninh. Le convoi de radeaux part à 6 heures, monté par des tirailleurs annamites et le détachement de pontonniers. Il est arrêté à 7 heures par des bas-fonds et éprouve de grandes difficultés à les passer. Il est de nouveau arrêté à 3 heures du soir, sur un point où il passe la nuit. M. le commandant de Douvres, prévenu que le convoi de radeaux est en détresse, quitte la colonne et part en sampan avec quelques tirailleurs annamites à la rencontre du convoi. Il passe la nuit en plein fleuve et ne rejoint le convoi que le 22, à 11 heures du matin, avec six sampans qu'il a ramassés en route. Il fait transborder une partie du matériel et ne conserve que les huit radeaux les mieux confectionnés, qu'il allège en faisant enlever les lourdes toitures qui les recouvrent. Le convoi est remis en mouvement à midi et demi et commence une navigation lente, pénible et dangereuse. Aux endroits profonds, les radeaux n'avançaient pas, faute de rames, et tournaient dans les remous. Ils échouaient sur les bas-fonds qui barraient le fleuve sur toute sa largeur. Tout le monde se mettait alors à l'eau ; on soulevait les radeaux et on les faisait ainsi passer. Parfois, on rencontrait des rapides semés d'écueils, auxquels les radeaux venaient se heurter violemment et restaient accrochés. Dans des circonstances semblables, on ne pouvait naviguer de nuit. Il fallait, du reste, accorder un peu de repos aux quelques Annamites, très habiles bateliers, et aux pontonniers,
11 heures du matin, avec six sampans qu'il a ramassés en route. Il fait transborder une partie du matériel et ne conserve que les huit radeaux les mieux confectionnés, qu'il allège en faisant enlever les lourdes toitures qui les recouvrent. Le convoi est remis en mouvement à midi et demi et commence une navigation lente, pénible et dangereuse. Aux endroits profonds, les radeaux n'avançaient pas, faute de rames, et tournaient dans les remous. Ils échouaient sur les bas-fonds qui barraient le fleuve sur toute sa largeur. Tout le monde se mettait alors à l'eau ; on soulevait les radeaux et on les faisait ainsi passer. Parfois, on rencontrait des rapides semés d'écueils, auxquels les radeaux venaient se heurter violemment et restaient accrochés. Dans des circonstances semblables, on ne pouvait naviguer de nuit. Il fallait, du reste, accorder un peu de repos aux quelques Annamites, très habiles bateliers, et aux pontonniers, dévoués et énergiques, mais peu habitués à cette navigation, qui dirigeaient la flottille. Malgré la fatigue considérable que chacun ressentait chaque soir, on devait faire bonne garde toute la nuit, soit pour repousser les bandes chinoises qui rôdaient dans le pays, soit pour empêcher les embarcations trop chargées de couler. On fit plusieurs fois le coup de feu et un sampan coula ; mais le matériel qu'il portait fut sauvé et réparti sur les autres bateaux. Après cinq jours de navigation, pendant lesquels tout le monde dut vivre sur le pays, la flottille mouilla dans un arroyo, à 1 kilomètre de Bac-Ninh, où le personnel et le matériel furent remis au commandant supérieur le 25, à 2 heures. À 4 heures, M. le commandant de Douvres partait pour rejoindre, près des bords du Fleuve Rouge, la première brigade en marche sur Hanoï, et rentrait le 26 dans cette ville avec les deux batteries du 12e. Deuxième colonne. La deuxième colonne, sous les ordres de M. le général de Négrier, part le 15 mars pour poursuivre l'ennemi sur la route de Chine, par Lang-Son. Elle n'est approvisionnée qu'à six jours de vivres. Son artillerie, composée de la 12e batterie et d'une
On fit plusieurs fois le coup de feu et un sampan coula ; mais le matériel qu'il portait fut sauvé et réparti sur les autres bateaux. Après cinq jours de navigation, pendant lesquels tout le monde dut vivre sur le pays, la flottille mouilla dans un arroyo, à 1 kilomètre de Bac-Ninh, où le personnel et le matériel furent remis au commandant supérieur le 25, à 2 heures. À 4 heures, M. le commandant de Douvres partait pour rejoindre, près des bords du Fleuve Rouge, la première brigade en marche sur Hanoï, et rentrait le 26 dans cette ville avec les deux batteries du 12e. Deuxième colonne. La deuxième colonne, sous les ordres de M. le général de Négrier, part le 15 mars pour poursuivre l'ennemi sur la route de Chine, par Lang-Son. Elle n'est approvisionnée qu'à six jours de vivres. Son artillerie, composée de la 12e batterie et d'une batterie de 4 de montagne de l'artillerie de marine, est commandée par un chef d'escadron d'artillerie de marine. La seconde moitié du détachement des pontonniers marche avec cette colonne. 15 mars. — La colonne part de Bac-Ninh à 6 heures du matin, et passe le Song-Cau à Dap-Cau, sur le pont de radeaux réparé par les pontonniers. Un peu avant d'arriver au Thuang-Gian (croquis n° 7, p. 513), l'avant-garde s'engage contre l'ennemi qui défend le passage. La batterie de Saxcé marche avec le gros de l'avant-garde. Pour se porter en avant, elle a à parcourir environ 300 mètres d'une route sur laquelle on a accumulé, afin d'exhausser la digue, une masse de boue argileuse qui rend la traction des pièces excessivement difficile. La première pièce, sous les ordres du maréchal des logis Duval, arrive, après des efforts inouïs, à 2 heures et demie, sur la berge du Thuang-Gian et est mise en batterie sur la digue qui longe le fleuve. Elle tire 8 coups sur les troupes ennemies qui sont sur l'autre rive. Les autres pièces arrivent un peu après et contribuent à mettre l'ennemi en déroute. Pendant ce tir, des tirailleurs annamites se sont jetés à la nage et
pont de radeaux réparé par les pontonniers. Un peu avant d'arriver au Thuang-Gian (croquis n° 7, p. 513), l'avant-garde s'engage contre l'ennemi qui défend le passage. La batterie de Saxcé marche avec le gros de l'avant-garde. Pour se porter en avant, elle a à parcourir environ 300 mètres d'une route sur laquelle on a accumulé, afin d'exhausser la digue, une masse de boue argileuse qui rend la traction des pièces excessivement difficile. La première pièce, sous les ordres du maréchal des logis Duval, arrive, après des efforts inouïs, à 2 heures et demie, sur la berge du Thuang-Gian et est mise en batterie sur la digue qui longe le fleuve. Elle tire 8 coups sur les troupes ennemies qui sont sur l'autre rive. Les autres pièces arrivent un peu après et contribuent à mettre l'ennemi en déroute. Pendant ce tir, des tirailleurs annamites se sont jetés à la nage et sont allés prendre des jonques, à la rive opposée, sous le feu de l'ennemi. La batterie passe le fleuve sur des jonques et des sampans et, à 7 heures du soir, après 13 heures de marche, elle cantonne en avant de Phu-Lang-Gian. 16 mars. — Départ du cantonnement à 6 heures du matin. La batterie de Saxcé se porte en avant avec l'avant-garde sur la route de Lang-Son. À 9 heures, elle se met en batterie, à côté d'un village et près d'une pagode, à 200 mètres des tirailleurs ennemis qui ont attaqué la tête de colonne. Elle tire 31 coups, à 800 mètres, contre la seconde ligne chinoise. Les troupes ennemies battent en retraite et la colonne continue sa marche en avant. À 2 heures, deux pièces sont mises en batterie sur une hauteur et tirent, l'une 5 coups, l'autre 4. Enfin, à 4 heures, la batterie prend position sur une hauteur voisine du fort de Lang-Kep, tire 4 coups au nord-ouest de ce fort et bivouaque sur sa position. Elle avait tiré 44 coups dans la journée. 17 mars. — La 12e batterie marche avec le gros. Une section de cette batterie est détachée dans un village, à
heures du matin. La batterie de Saxcé se porte en avant avec l'avant-garde sur la route de Lang-Son. À 9 heures, elle se met en batterie, à côté d'un village et près d'une pagode, à 200 mètres des tirailleurs ennemis qui ont attaqué la tête de colonne. Elle tire 31 coups, à 800 mètres, contre la seconde ligne chinoise. Les troupes ennemies battent en retraite et la colonne continue sa marche en avant. À 2 heures, deux pièces sont mises en batterie sur une hauteur et tirent, l'une 5 coups, l'autre 4. Enfin, à 4 heures, la batterie prend position sur une hauteur voisine du fort de Lang-Kep, tire 4 coups au nord-ouest de ce fort et bivouaque sur sa position. Elle avait tiré 44 coups dans la journée. 17 mars. — La 12e batterie marche avec le gros. Une section de cette batterie est détachée dans un village, à gauche de la route, d'où elle tire 3 coups dans la direction de Viliet; elle ramène 4 canons de montagne, système Krupp, et 3 fusils de rempart abandonnés par l'armée chinoise dans sa déroute. Le reste de la batterie pousse dans la montagne, avec le gros de la colonne, jusqu'à 15 kilomètres en avant de Kep et rentre, le soir, à 6 heures, à son campement de la veille. 18 mars. — La batterie conserve son campement. Une section marche avec une reconnaissance sur la route de Yen-Thé et rentre à 6 heures du soir. Il résulte des reconnaissances faites que la route de Chine traverse, entre Lang-Kep et Lang-Son, une première chaîne de montagnes, très élevées, inhabitées et couvertes de jungles et de forêts impraticables. La position de Kep suffit pour barrer complètement la route de Chine. 19 mars. — La colonne part pour revenir sur ses pas; elle traverse le Thuang-Gian et campe 3 kilomètres plus loin. 20 mars. — Elle franchit le Song-Gau et rentre à Bac-Ninh. Elle a laissé, à Phu-Lang-Gian sur le Thuang-Gian, à la garde du point de passage, un bataillon et une batterie de 4 de montagne de l'artillerie de marine. Retour à
15 kilomètres en avant de Kep et rentre, le soir, à 6 heures, à son campement de la veille. 18 mars. — La batterie conserve son campement. Une section marche avec une reconnaissance sur la route de Yen-Thé et rentre à 6 heures du soir. Il résulte des reconnaissances faites que la route de Chine traverse, entre Lang-Kep et Lang-Son, une première chaîne de montagnes, très élevées, inhabitées et couvertes de jungles et de forêts impraticables. La position de Kep suffit pour barrer complètement la route de Chine. 19 mars. — La colonne part pour revenir sur ses pas; elle traverse le Thuang-Gian et campe 3 kilomètres plus loin. 20 mars. — Elle franchit le Song-Gau et rentre à Bac-Ninh. Elle a laissé, à Phu-Lang-Gian sur le Thuang-Gian, à la garde du point de passage, un bataillon et une batterie de 4 de montagne de l'artillerie de marine. Retour à Hanoi. Le général en chef a quitté Bac-Ninh le 18 mars pour rentrer à Hanoï. Les deux batteries du 12e partent le 25, à 5 heures et demie du matin, avec une colonne composée de six bataillons et de quatre batteries, qui est sous les ordres de M. le général Brière de l'Isle. Cette colonne arrive à midi au canal des Rapides, qu'elle traverse sur un pont de sampans construit par les habitants et consolidé sur un point par les pontonniers. Vers 3 heures, les deux batteries cantonnent, à droite de la route, dans les villages de Thuy-Thong et de Gia-Coï. M. le commandant de Douvres rejoint la colonne et arrive chez le général, à Gia-Coï, à 8 heures et demie du soir. Le lendemain 26 mars, la colonne se porte au Fleuve Rouge, en face d'Hanoï, en deux fractions, l'une par la route de Bac-Ninh, l'autre par la grande digue. Les batteries sont conduites en face de la douane d'Hanoï; elles s'embarquent avec les plus grandes difficultés sur cinq jonques énormes dont les bordages dépassent le sol de 3 mètres. Les jonques, une fois chargées, s'enfoncent dans le sable et il faut mettre tout le monde à l'eau, canonniers
Brière de l'Isle. Cette colonne arrive à midi au canal des Rapides, qu'elle traverse sur un pont de sampans construit par les habitants et consolidé sur un point par les pontonniers. Vers 3 heures, les deux batteries cantonnent, à droite de la route, dans les villages de Thuy-Thong et de Gia-Coï. M. le commandant de Douvres rejoint la colonne et arrive chez le général, à Gia-Coï, à 8 heures et demie du soir. Le lendemain 26 mars, la colonne se porte au Fleuve Rouge, en face d'Hanoï, en deux fractions, l'une par la route de Bac-Ninh, l'autre par la grande digue. Les batteries sont conduites en face de la douane d'Hanoï; elles s'embarquent avec les plus grandes difficultés sur cinq jonques énormes dont les bordages dépassent le sol de 3 mètres. Les jonques, une fois chargées, s'enfoncent dans le sable et il faut mettre tout le monde à l'eau, canonniers et coolies, pour les démarrer. À 2 heures et demie seulement, l'artillerie reçoit un remorqueur qui aide la dernière jonque à traverser le fleuve et à se placer pour le débarquement. Toutes les autres ont traversé en se laissant aller à la dérive. Les batteries cantonnent à la citadelle d'Hanoï. Pendant les opérations contre Bac-Ninh et pendant les marches qui ont suivi la prise de cette ville, tout le personnel des deux batteries a fait preuve d'un zèle, d'un entrain et d'un dévouement au-dessus de tout éloge. Aucune défaillance n'a été signalée, malgré les fatigues inouïes que ce personnel a eu à supporter. À la date du 8 mai, M. le commandant de Douvres et M. le capitaine de Saxcé ont été mis à l'ordre de l'armée : le premier pour avoir montré beaucoup de coup d'œil et d'activité, s'être offert spontanément pour aller chercher un convoi de munitions et de matériel en détresse dans des parages sillonnés par l'ennemi et l'avoir ramené après une navigation de cinq jours faite dans les conditions les plus difficiles; le second pour s'être porté, à la tête de sa batterie, avec un remarquable entrain, sur une position dont l'ennemi s'était rapproché à 200
Pendant les opérations contre Bac-Ninh et pendant les marches qui ont suivi la prise de cette ville, tout le personnel des deux batteries a fait preuve d'un zèle, d'un entrain et d'un dévouement au-dessus de tout éloge. Aucune défaillance n'a été signalée, malgré les fatigues inouïes que ce personnel a eu à supporter. À la date du 8 mai, M. le commandant de Douvres et M. le capitaine de Saxcé ont été mis à l'ordre de l'armée : le premier pour avoir montré beaucoup de coup d'œil et d'activité, s'être offert spontanément pour aller chercher un convoi de munitions et de matériel en détresse dans des parages sillonnés par l'ennemi et l'avoir ramené après une navigation de cinq jours faite dans les conditions les plus difficiles; le second pour s'être porté, à la tête de sa batterie, avec un remarquable entrain, sur une position dont l'ennemi s'était rapproché à 200 mètres, et ayant puissamment contribué à repousser son attaque. Colonel BUGÈRE, Commandant le 12e régiment d'artillerie. (À suivre.) DE LA RÉSISTANCE DES CORPS SOLIDES, [Suite (').] § 38. Équilibre et résistance élastiques de la sphère creuse. Avant d'aborder la question du fond d'un cylindre, il est nécessaire d'étudier les conditions d'équilibre d'une sphère creuse. En chaque point, le diamètre est un axe de symétrie et, par suite, l'ellipsoïde d'élasticité est de révolution. Sous l'action d'une pression intérieure, il y a donc en chaque point pression suivant le rayon et tension normale dans toute direction perpendiculaire au diamètre. C'est le rapport de l'une de ces tensions à la pression correspondante qu'il s'agit de déterminer en fonction de la pression intérieure, des dimensions de la sphère et de la distance du point considéré au centre. Les conditions d'équilibre d'une couche hémisphérique infiniment mince, comprise entre deux sphères et dp, soumises aux pressions p et p + dp et d'un anneau élémentaire situé dans un plan diamétral et sollicité par une tension t, donnent une première équation, complètement indépendante de la grandeur des déformations : p. Trp* — (p + dp)2 7r (p + dp)2 = t2 Trp dp, ou (1) —p dp
d'équilibre d'une sphère creuse. En chaque point, le diamètre est un axe de symétrie et, par suite, l'ellipsoïde d'élasticité est de révolution. Sous l'action d'une pression intérieure, il y a donc en chaque point pression suivant le rayon et tension normale dans toute direction perpendiculaire au diamètre. C'est le rapport de l'une de ces tensions à la pression correspondante qu'il s'agit de déterminer en fonction de la pression intérieure, des dimensions de la sphère et de la distance du point considéré au centre. Les conditions d'équilibre d'une couche hémisphérique infiniment mince, comprise entre deux sphères et dp, soumises aux pressions p et p + dp et d'un anneau élémentaire situé dans un plan diamétral et sollicité par une tension t, donnent une première équation, complètement indépendante de la grandeur des déformations : p. Trp* — (p + dp)2 7r (p + dp)2 = t2 Trp dp, ou (1) —p dp — 2 (t + p) dp. Nous obtiendrons une seconde équation en écrivant que la variation d'épaisseur dp est égale à la différence des variations des rayons p et p + dp, condition de continuité : On a, d'un autre côté : En égalant les deux valeurs dp et dp, et en tenant compte de la relation (1), on arrive à : ou 2t + p = A. On peut maintenant éliminer t de l'équation (1) et obtenir la relation : p dp = (3p + A) dp, qui peut s'écrire : et qui conduit à : Z(A + 3p) = = p et comme et comme A + 3p = 2 (t + p), on a enfin Toute question relative à l'équilibre de la sphère creuse est implicitement comprise dans les deux équations suivantes, analogues à celles du cylindre : (2) (t + p) p' = B, 2p — F = A. La variation de volume ΔV est la même en tous les points; en effet, Si nous supposons la sphère, de rayons Ro-Ro soumise à deux pressions, l'une intérieure p0 plus grande que la pression extérieure Pl, les relations entre ces pressions et les tensions t0 et t.
et en tenant compte de la relation (1), on arrive à : ou 2t + p = A. On peut maintenant éliminer t de l'équation (1) et obtenir la relation : p dp = (3p + A) dp, qui peut s'écrire : et qui conduit à : Z(A + 3p) = = p et comme et comme A + 3p = 2 (t + p), on a enfin Toute question relative à l'équilibre de la sphère creuse est implicitement comprise dans les deux équations suivantes, analogues à celles du cylindre : (2) (t + p) p' = B, 2p — F = A. La variation de volume ΔV est la même en tous les points; en effet, Si nous supposons la sphère, de rayons Ro-Ro soumise à deux pressions, l'une intérieure p0 plus grande que la pression extérieure Pl, les relations entre ces pressions et les tensions t0 et t. seront : (m+Ro)3 = (l + 2p.) R13, 2t0 — p0 — 2l—.p,. La tension de la couche intérieure aura pour valeur : t0 sera une tension ou une compression suivant la valeur que présentera le rapport des pressions relativement aux dimensions : t0 > 0 correspond à l'inégalité L > ; si Pl = Pol ta = —Po, On trouve que la tension développée dans une sphère est toujours inférieure à la moitié de celle que développe la même pression dans un cylindre ayant mêmes rayons et qui est donnée par la relation La résistance élastique œ0 d'une sphère, libre à l'extérieur, s'obtient par la condition : Pour RI = 2Ro, œ0 = 2 100 atm., et pour le cylindre de mêmes rayons œP0 = 1 400 atm. ; Pour RI = 3Ro, œP0 = 2400 atm., et pour le cylindre de mêmes rayons œ0 = 1 600 atm. Ces valeurs sont bien inférieures à celles qu'on obtient en remplaçant, suivant l'usage ordinaire, to par la limite de simple traction £, et qui sont, pour les valeurs h = 2 et h = 3, et pour £ = 30 kil. correspondant à c = 18 kil. : Le volume
> ; si Pl = Pol ta = —Po, On trouve que la tension développée dans une sphère est toujours inférieure à la moitié de celle que développe la même pression dans un cylindre ayant mêmes rayons et qui est donnée par la relation La résistance élastique œ0 d'une sphère, libre à l'extérieur, s'obtient par la condition : Pour RI = 2Ro, œ0 = 2 100 atm., et pour le cylindre de mêmes rayons œP0 = 1 400 atm. ; Pour RI = 3Ro, œP0 = 2400 atm., et pour le cylindre de mêmes rayons œ0 = 1 600 atm. Ces valeurs sont bien inférieures à celles qu'on obtient en remplaçant, suivant l'usage ordinaire, to par la limite de simple traction £, et qui sont, pour les valeurs h = 2 et h = 3, et pour £ = 30 kil. correspondant à c = 18 kil. : Le volume restant sensiblement constant dans les grandes déformations, on obtiendra une relation entre les dilatations et les rayons, en écrivant l'égalité des valeurs de la couche (Ro p) avant et après la dilatation : p3 — Ro3 == (p + Ap)3 — (Ro + ARo)3, ce qui conduit à la relation approchée : ΔV / ΔV = Ro3 ARo, ou Les dilatations sont à peu près inversement proportionnelles aux cubes des distances au centre. § 39. — Fonds sphériques des chaudières. Formules relatives aux enveloppes de faible épaisseur. Tout ce qui a été dit sur les cylindres creux s'applique au cas idéal d'un tube de longueur infinie. Dans la pratique, les cylindres sont forcément limités, quoiqu'ils puissent être très longs, comme les tuyaux de conduite. En général, leur longueur est très comparable aux dimensions transversales : tels sont les cas des chaudières, des presses hydrauliques, des frettes, des canons et des corps de pompe. Les cylindres, qu'ils soient destinés à des expériences ou à un emploi industriel, sont fermés aux deux bouts (chaudières), ouverts aux deux bouts (frettes) ou bien fermés à l'une des extrémités et ouverts à l'autre (canons). La pression est exercée soit par un solide, comme dans les
approchée : ΔV / ΔV = Ro3 ARo, ou Les dilatations sont à peu près inversement proportionnelles aux cubes des distances au centre. § 39. — Fonds sphériques des chaudières. Formules relatives aux enveloppes de faible épaisseur. Tout ce qui a été dit sur les cylindres creux s'applique au cas idéal d'un tube de longueur infinie. Dans la pratique, les cylindres sont forcément limités, quoiqu'ils puissent être très longs, comme les tuyaux de conduite. En général, leur longueur est très comparable aux dimensions transversales : tels sont les cas des chaudières, des presses hydrauliques, des frettes, des canons et des corps de pompe. Les cylindres, qu'ils soient destinés à des expériences ou à un emploi industriel, sont fermés aux deux bouts (chaudières), ouverts aux deux bouts (frettes) ou bien fermés à l'une des extrémités et ouverts à l'autre (canons). La pression est exercée soit par un solide, comme dans les opérations du frettage et du mandrinage, soit par un fluide (liquide, vapeur ou gaz), comme dans l'emploi des presses hydrauliques, les chaudières et les canons. Nous étudierons dans ce paragraphe les fonds de chaudières et, en général, les conditions d'équilibre des enveloppes sphérique et cylindrique de faible épaisseur. La figure 83 représente un cylindre avec un fond ayant la forme d'une calotte sphérique. Les formules que nous avons établies, tant sur l'équilibre élastique du cylindre que sur celui de la sphère, sont pleinement suffisantes pour permettre de calculer le rapport des rayons de la sphère et du cylindre, de telle façon que la circonférence AA, commune au fond et au corps, éprouve une même dilatation, soit qu'elle appartienne à la sphère, soit qu'on la considère comme faisant partie du cylindre. Mais cette étude sera bien simplifiée, si on la limite au cas des enveloppes en tôle, telles que les chaudières, dont l'épaisseur est très petite relativement aux autres dimensions. Fig. 83. Ces enveloppes minces sont nécessairement destinées à supporter des pressions incomparablement plus faibles que les tensions qui seront développées dans la paroi. Par exemple, pour construire une chaudière dans laquelle la vapeur atteindra tout au plus 10 atmosphères, c'est-à-dire