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Cedex 05, France. Mécanique des fluides Fluid Mechanics Effets des écroussages couplés de différentes parties d'un métal sur la réponse globale en traction-compression et sur les contraintes internes Denis MULLER, Jan KRATCHOVIL et Marcel BERVEILLER Résumé — La structure cellulaire de dislocations qui apparaît au cours de la déformation plastique confère au comportement plastique des métaux un aspect fortement non local tant du point de vue cinématique qu'isotrope. On propose une modélisation simplifiée de ces phénomènes dans le cas d'une structure cellulaire biphasée. Les résultats obtenus pour des essais de traction-compression révèlent des effets mécaniques importants, en particulier ceux concernant les contraintes internes intragranulaires. Effects due to coupling of hardening between different parts of a metal on the overall behaviour and internal stresses Abstract — Highly non-local isotropic as well as kinematic hardenings are expected in plastically deformed metals which exhibit a pronounced dislocation cell structure. A simplified modelling of these phenomena is developed in the case of a two-phase microstructure. Numerical results for tensile-compression tests show strong effects especially those related to intragranular internal stresses. Abridged English Version Deformed metal crystals often exhibit a dislocation cell structure including high density regions (cell walls) and low density regions (cell interiors). This spatial heterogeneity influences the whole intragranular behaviour and reflects strong non-local hardening: — Dislocation loops created near the walls propagate within cell interiors toward neighbouring walls where they are stored: plastic strain inside the cell interiors increases the dislocation density, and thus the yield stress, in the cell walls. This is the isotropic part of the non-local hardening. Due to this non-homogeneous dislocation distribution, third order stresses are induced, which can reach high values (Mughrabi [1]). This is the kinematic aspect of non-local hardening. The material with a cellular structure is considered here as a two-phase composite under a macroscopic load σ (fig. 1) where phase 1 indicates the cell interiors and phase 2 the cell walls. A yield criterion is introduced for each phase: Ft=(a-X_1|Y_1, Y_2 with i=1,2 where X_1 is the kinematic stress tensor in phase i and Y_1 the corresponding yield stress. In the case of
This spatial heterogeneity influences the whole intragranular behaviour and reflects strong non-local hardening: — Dislocation loops created near the walls propagate within cell interiors toward neighbouring walls where they are stored: plastic strain inside the cell interiors increases the dislocation density, and thus the yield stress, in the cell walls. This is the isotropic part of the non-local hardening. Due to this non-homogeneous dislocation distribution, third order stresses are induced, which can reach high values (Mughrabi [1]). This is the kinematic aspect of non-local hardening. The material with a cellular structure is considered here as a two-phase composite under a macroscopic load σ (fig. 1) where phase 1 indicates the cell interiors and phase 2 the cell walls. A yield criterion is introduced for each phase: Ft=(a-X_1|Y_1, Y_2 with i=1,2 where X_1 is the kinematic stress tensor in phase i and Y_1 the corresponding yield stress. In the case of non-locality, X_1 and Y_1 are expected to depend on the local as well as the non-local conjugated variables ε_1, ε_2 and not, as in classical local plasticity, on the local plastic strain s_1 only. The Eshelby [2]-Kröner [3] relation gives the state of stress in each phase: σ_1 = σ_1 xl σ_2 = σ_2 X_2 where the kinematic tensors X_1, which describe the internal stresses, are given through: A. 1 Note présentée par André ZAOUI. 0764-4450/93/03160435 $2.00 0 Académie des Sciences The non-local aspect of isotropic hardening is exhibited through the yield stress expressions in each phase of the composite: Y_1 = Y_1 (ε_1, ε_2) with i = 1, 2 where ε_1 is the effective plastic strain in phase i (equivalent plastic strain). After differentiation, we introduce the tangent plastic moduli with: dY_1 = K_11 dεP_1 + K_12 dεP_2 dY_1 = K_21 dεP_1 + K_22 dεP_2 In order to describe the macroscopic behaviour, the normality rule in each component: and the local consistency relations: dFi = 0 with i = 1, 2 are introduced (dX_1 are the plasticity multipliers). They lead to a scalar system in dX_1 which can be described, using a matrix M_1j, by: Inverting this relation, the
xl σ_2 = σ_2 X_2 where the kinematic tensors X_1, which describe the internal stresses, are given through: A. 1 Note présentée par André ZAOUI. 0764-4450/93/03160435 $2.00 0 Académie des Sciences The non-local aspect of isotropic hardening is exhibited through the yield stress expressions in each phase of the composite: Y_1 = Y_1 (ε_1, ε_2) with i = 1, 2 where ε_1 is the effective plastic strain in phase i (equivalent plastic strain). After differentiation, we introduce the tangent plastic moduli with: dY_1 = K_11 dεP_1 + K_12 dεP_2 dY_1 = K_21 dεP_1 + K_22 dεP_2 In order to describe the macroscopic behaviour, the normality rule in each component: and the local consistency relations: dFi = 0 with i = 1, 2 are introduced (dX_1 are the plasticity multipliers). They lead to a scalar system in dX_1 which can be described, using a matrix M_1j, by: Inverting this relation, the macroscopic behaviour is given by: An application of this formulation using a Von Mises yield criterion gives realistic results upon stress and strain non-homogeneities within the dislocation cell structure. 1. INTRODUCTION. — Dans le cadre usuel de la mécanique des solides, une loi de comportement s'écrit, pour un milieu hétérogène classique : a (r) = L (r) ε (r). Dans le cas de la plasticité, cette loi locale et hétérogène peut être justifiée pour un élément de volume grand par rapport aux grandeurs caractéristiques des mécanismes physiques mis en jeu. mais n'est pas fondée à une échelle plus fine. Les méthodes de transition d'échelle (par exemple le schéma autocohérent) traitent habituellement les milieux microhétérogènes à comportement local. Ces formulations reposent sur l'hypothèse d'uniformité du comportement intracristallin; ainsi, en dépit de leur influence, les hétérogénéités de déformation intragranulaires induites ne sont pas prises en compte. Elles traduisent manifestement les effets d'un écroussage non local. On se place ici dans le cadre d'une modélisation semi-phénoménologique dans laquelle la structure polycristalline est ignorée. Un élément de volume soumis à une déformation plastique présente une répartition hétérogène des dislocations sous la forme d'une structure cellulaire (par exemple Schmitt [4], Mughrabi [1]) avec des régions
classique : a (r) = L (r) ε (r). Dans le cas de la plasticité, cette loi locale et hétérogène peut être justifiée pour un élément de volume grand par rapport aux grandeurs caractéristiques des mécanismes physiques mis en jeu. mais n'est pas fondée à une échelle plus fine. Les méthodes de transition d'échelle (par exemple le schéma autocohérent) traitent habituellement les milieux microhétérogènes à comportement local. Ces formulations reposent sur l'hypothèse d'uniformité du comportement intracristallin; ainsi, en dépit de leur influence, les hétérogénéités de déformation intragranulaires induites ne sont pas prises en compte. Elles traduisent manifestement les effets d'un écroussage non local. On se place ici dans le cadre d'une modélisation semi-phénoménologique dans laquelle la structure polycristalline est ignorée. Un élément de volume soumis à une déformation plastique présente une répartition hétérogène des dislocations sous la forme d'une structure cellulaire (par exemple Schmitt [4], Mughrabi [1]) avec des régions à faible densité de dislocation (l'intérieur des cellules) et des régions à forte densité de dislocation (les parois des cellules). Cette hétérogénéité a des conséquences sur l'écroussage du matériau : — Au cours de la déformation plastique, des boucles de dislocations naissent aux bords des parois et se propagent vers l'intérieur des cellules (Mughrabi [1], Tabata [5]). Ces zones, pauvres en dislocations et offrant ainsi peu de possibilités d'accumulation, sont traversées par les boucles créées. Celles-ci, tout en participant à la déformation plastique de l'intérieur des cellules, vont s'accumuler dans les parois voisines et augmenter la densité locale de dislocations. En d'autres termes, la déformation plastique à l'intérieur des cellules participe au durcissement des parois. De ce fait, un écroussage non local du type isotrope est observé. D'autre part, l'hétérogénéité dans la répartition des dislocations induit des contraintes internes du troisième ordre qui peuvent se révéler très élevées (Mughrabi [1]) et contribue à créer un écroulement du type cinématique. On propose un modèle prenant en compte, dans le cas d'un matériau à structure cellulaire biphasée induite, les aspects non locaux de l'écroulement. Les deux phases sont respectivement les régions à fortes et à faibles densités de dislocations. On traite ici
l'intérieur des cellules (Mughrabi [1], Tabata [5]). Ces zones, pauvres en dislocations et offrant ainsi peu de possibilités d'accumulation, sont traversées par les boucles créées. Celles-ci, tout en participant à la déformation plastique de l'intérieur des cellules, vont s'accumuler dans les parois voisines et augmenter la densité locale de dislocations. En d'autres termes, la déformation plastique à l'intérieur des cellules participe au durcissement des parois. De ce fait, un écroussage non local du type isotrope est observé. D'autre part, l'hétérogénéité dans la répartition des dislocations induit des contraintes internes du troisième ordre qui peuvent se révéler très élevées (Mughrabi [1]) et contribue à créer un écroulement du type cinématique. On propose un modèle prenant en compte, dans le cas d'un matériau à structure cellulaire biphasée induite, les aspects non locaux de l'écroulement. Les deux phases sont respectivement les régions à fortes et à faibles densités de dislocations. On traite ici le problème de manière simplifiée en affectant à chaque phase sa déformation plastique moyenne, comme il est d'usage dans les modèles micromécaniques classiques. Dans l'approche non locale, les interactions entre phases sont doubles : La hétérogénéité de la déformation plastique induit des contraintes internes qui sont également évaluées en moyenne dans chaque phase à partir de modèles classiques d'inclusion. L'écroulement « isotrope » non local résultant du processus d'hétérogénéisation de la structure de dislocations est aussi décrit par l'intermédiaire de contraintes d'écoulement, uniformes dans chaque phase, mais dépendant simultanément de la déformation plastique moyenne de chaque phase. Par contre, comme il est facilement vérifiable dans le cas de la plasticité cristalline, la règle de normalité est conservée. Une application au cas d'un essai de traction-compression utilisant un critère de Von Mises montre l'importance des effets non locaux. 2. THÉORIE SEMI-PHÉNOMÉNOLOGIQUE. — 2. 1. Présentation du problème. — Très rapidement au cours d'un trajet de déformation plastique, un élément de volume soumis à un chargement macroscopique a présente une structure cellulaire de dislocations (fig. 1) que l'on peut traiter en partie comme un matériau biphasé. Fig. 1. Structure cellulaire de dislocations. Fig. 1. Cellular structure of dislocations. On notera f1 (resp.
dans chaque phase à partir de modèles classiques d'inclusion. L'écroulement « isotrope » non local résultant du processus d'hétérogénéisation de la structure de dislocations est aussi décrit par l'intermédiaire de contraintes d'écoulement, uniformes dans chaque phase, mais dépendant simultanément de la déformation plastique moyenne de chaque phase. Par contre, comme il est facilement vérifiable dans le cas de la plasticité cristalline, la règle de normalité est conservée. Une application au cas d'un essai de traction-compression utilisant un critère de Von Mises montre l'importance des effets non locaux. 2. THÉORIE SEMI-PHÉNOMÉNOLOGIQUE. — 2. 1. Présentation du problème. — Très rapidement au cours d'un trajet de déformation plastique, un élément de volume soumis à un chargement macroscopique a présente une structure cellulaire de dislocations (fig. 1) que l'on peut traiter en partie comme un matériau biphasé. Fig. 1. Structure cellulaire de dislocations. Fig. 1. Cellular structure of dislocations. On notera f1 (resp. f2) la fraction volumique de l'intérieur (resp. des parois) des cellules de dislocations. De même, a1 et εp1 (resp. a2 et εp2) désignent les tenseurs des contraintes et des déformations plastiques moyennes à l'intérieur (resp. dans les parois) des cellules. Un critère de plasticité est donné dans chaque zone : F1 (σ1, Y1)-= 0 pour l'intérieur des cellules, F2 (σ2, Y2)-= 0 pour les parois, où X1 et Y1 (resp. X2 et Y2) décrivent le tenseur d'écroulement cinématique et la contrainte d'écoulement pour l'intérieur (resp. les parois) des cellules. Dans un milieu à comportement local, Xi (r) et Yi (r) ne dépendent que de la variable duale locale FP (r). Dans l'approche non locale, c'est la valeur du champ εP en tout point de l'élément de volume considéré qui modifie l'écroulement cinématique et isotrope en r. On a pour l'élément de volume, lorsque l'élasticité est supposée uniforme : (1) εp = εp1 + εp2. La morphologie des cellules dépend du trajet de déformation (Schmitt [4]); ainsi, par exemple pour un chargement monotone, elle reste constante sur un large domaine de déformation plastique. 2.2. Évaluation des contraintes résiduelles. — Le calcul des contraintes internes dans les parois et l'intérieur des cellules
F1 (σ1, Y1)-= 0 pour l'intérieur des cellules, F2 (σ2, Y2)-= 0 pour les parois, où X1 et Y1 (resp. X2 et Y2) décrivent le tenseur d'écroulement cinématique et la contrainte d'écoulement pour l'intérieur (resp. les parois) des cellules. Dans un milieu à comportement local, Xi (r) et Yi (r) ne dépendent que de la variable duale locale FP (r). Dans l'approche non locale, c'est la valeur du champ εP en tout point de l'élément de volume considéré qui modifie l'écroulement cinématique et isotrope en r. On a pour l'élément de volume, lorsque l'élasticité est supposée uniforme : (1) εp = εp1 + εp2. La morphologie des cellules dépend du trajet de déformation (Schmitt [4]); ainsi, par exemple pour un chargement monotone, elle reste constante sur un large domaine de déformation plastique. 2.2. Évaluation des contraintes résiduelles. — Le calcul des contraintes internes dans les parois et l'intérieur des cellules peut se ramener au problème de l'inclusion plastique. L'état des contraintes dans la structure cellulaire est donné par la relation d'Eshelby [2], Kröner [3], dans le cas d'inclusions ellipsoïdales : a1 = σ + f2 A : (εp2 - εp1) et σ2 = σ—f1 A : (EP2 - EP1) où A est un tenseur dépendant de la forme des cellules et des constantes élastiques. A ce stade, on introduit de manière usuelle l'écroulement cinématique reliés aux contraintes internes : X1 = -f2 A : (εp2 - εp1) X2=f1 A: (ep2-epl) La différentiation de ces équations, en prenant en compte de manière simplifiée l'évolution de la microstructure, se traduit par : (2) dX1 = -f2 A : (d εp2 - depl) (3) dX2 = f1 A : (dEP2 dEP1) où α représente le facteur d'accommodation plastique introduit par Zaoui [6], Zaoui et Berveiller [7]. 2.3. Évaluation de l'écroulement isotrope. — Compte tenu de la non-localité de l'écroulement isotrope au niveau des cellules de dislocations, on peut exprimer la contrainte d'écoulement, paramètre scalaire de mesure, pour chaque zone sous la forme : Y1 = Y1 (εp1, ep2) pour l'intérieur des cellules, Y2 = Y2 (EP1, εp2) pour les parois, où ε~ (i=
A est un tenseur dépendant de la forme des cellules et des constantes élastiques. A ce stade, on introduit de manière usuelle l'écroulement cinématique reliés aux contraintes internes : X1 = -f2 A : (εp2 - εp1) X2=f1 A: (ep2-epl) La différentiation de ces équations, en prenant en compte de manière simplifiée l'évolution de la microstructure, se traduit par : (2) dX1 = -f2 A : (d εp2 - depl) (3) dX2 = f1 A : (dEP2 dEP1) où α représente le facteur d'accommodation plastique introduit par Zaoui [6], Zaoui et Berveiller [7]. 2.3. Évaluation de l'écroulement isotrope. — Compte tenu de la non-localité de l'écroulement isotrope au niveau des cellules de dislocations, on peut exprimer la contrainte d'écoulement, paramètre scalaire de mesure, pour chaque zone sous la forme : Y1 = Y1 (εp1, ep2) pour l'intérieur des cellules, Y2 = Y2 (EP1, εp2) pour les parois, où ε~ (i= 1, 2) désigne la déformation plastique équivalente de la zone i. La différentiation de ces relations permet d'introduire les modules plastiques tangents Kij tels que : (4) dY1 = K11 d~p1 + K12 d~p2 (5) dY2 = K21 d~p1 + K22 d~p2 où dzpi = )(2/3) dEPi : dEPi désigne l'incrément de déformation équivalente pour la zone i dans le cas d'un matériau vérifiant l'incompressibilité plastique. 2.4. Comportement macroscopique. — Chaque zone peut s'activer séparément. Dans le cas où les deux phases sont en cours de plastification, l'écriture des diverses régles de plasticité permet d'obtenir le comportement du matériau : — L'hypothèse de normalité donne : où les dAi (i= 1, 2) sont les multiplicateurs de plasticité dans chaque phase. Les relations de cohérence locales : (9) dFi =0 (10) dF2 = 0 permettent d'accéder au système d'équations suivant : Après introduction des équations (2), (4), (6), (7) [resp. (3), (5), (6), (8)] dans (11) [resp. (12)], on obtient le système d'inconnues Ai : ce qui donne, sous forme matricielle, les Ai et le comportement macroscopique s'écrit : 4. APPLICATION. — 4. 1. Mise en œuvre. Le modèle semi-phénoménologique traité précédemment est appliqué au cas d'un matériau obéissant à une
l'incrément de déformation équivalente pour la zone i dans le cas d'un matériau vérifiant l'incompressibilité plastique. 2.4. Comportement macroscopique. — Chaque zone peut s'activer séparément. Dans le cas où les deux phases sont en cours de plastification, l'écriture des diverses régles de plasticité permet d'obtenir le comportement du matériau : — L'hypothèse de normalité donne : où les dAi (i= 1, 2) sont les multiplicateurs de plasticité dans chaque phase. Les relations de cohérence locales : (9) dFi =0 (10) dF2 = 0 permettent d'accéder au système d'équations suivant : Après introduction des équations (2), (4), (6), (7) [resp. (3), (5), (6), (8)] dans (11) [resp. (12)], on obtient le système d'inconnues Ai : ce qui donne, sous forme matricielle, les Ai et le comportement macroscopique s'écrit : 4. APPLICATION. — 4. 1. Mise en œuvre. Le modèle semi-phénoménologique traité précédemment est appliqué au cas d'un matériau obéissant à une loi de type Von Mises : et s représente le déviateur des contraintes. Les cellules sont supposées sphériques; dans ce cas le facteur tensoriel de forme A est scalaire (A = I, où I est le tenseur unité d'ordre 4 et p, le module de cisaillement du matériau). Pour un cristal C.C., diverses considérations sur le mouvement et le stockage des dislocations (Mughrabi [1], Kratochvil [8]) permettent d'exprimer les fonctions dYi sous la forme : où L1, L2, L3 sont des paramètres dépendant uniquement du matériau (module du vecteur de Burgers, distance d'annihilation, facteur de Taylor, module de cisaillement et libre parcours moyen des dislocations). Pour les applications numériques correspondant à un acier, on choisit les valeurs numériques suivantes : D'une part, L1 = 50 MPa, n = 0,3 et ici K12 = 10 MPa : ceci traduit le faible écroulement de cette zone en raison du faible nombre de blocages pour les dislocations. D'autre part, L2 = 2.106 (MPa)2, L3 = 4,3. La limite élastique du matériau est Y0 = 200 MPa, le module de cisaillement vaut μ = 80 GPa et on choisit α = 1/10. 4.2. Résultats. Discussion. — La figure 2 montre les courbes contraintes-déformations locales
cristal C.C., diverses considérations sur le mouvement et le stockage des dislocations (Mughrabi [1], Kratochvil [8]) permettent d'exprimer les fonctions dYi sous la forme : où L1, L2, L3 sont des paramètres dépendant uniquement du matériau (module du vecteur de Burgers, distance d'annihilation, facteur de Taylor, module de cisaillement et libre parcours moyen des dislocations). Pour les applications numériques correspondant à un acier, on choisit les valeurs numériques suivantes : D'une part, L1 = 50 MPa, n = 0,3 et ici K12 = 10 MPa : ceci traduit le faible écroulement de cette zone en raison du faible nombre de blocages pour les dislocations. D'autre part, L2 = 2.106 (MPa)2, L3 = 4,3. La limite élastique du matériau est Y0 = 200 MPa, le module de cisaillement vaut μ = 80 GPa et on choisit α = 1/10. 4.2. Résultats. Discussion. — La figure 2 montre les courbes contraintes-déformations locales et macroscopiques simulées pour un essai de traction-compression. Sur cette figure, les courbes dites locales relient la contrainte axiale dans une zone à la déformation correspondante. Ainsi, pour la phase dure (les parois des cellules), on constate une augmentation du seuil sans déformation plastique correspondante. On constate que l'écroulement non local autorise des hétérogénéités plastiques induites (écart AFPz 3 %) nettement plus importantes que dans les matériaux microhétérogènes locaux. En conséquence, les contraintes internes résiduelles atteignent des valeurs considérables. Dans la présente simulation numérique, les contraintes équivalentes dans les parois sont proches du double de la limite d'écoulement macroscopique, en bon accord avec les mesures de Mughrabi [1] : Fig. 2. Essai de traction-compression. Fig. 2. Tension-compression test. Note remise le 29 mai 1992, acceptée après révision le 6 janvier 1993. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] H. MUGHRABI, Revue Phys. Appl., 23, 1988, p. 367-379. [2] J. D. ESHELBY, Prog. Sol. Mechanics II, 87, 1961. [3] E. KRÖNER, Acta Metall., 9, 1961, p. 155-165. [4] J. H. SCHMITT, Thèse de doctorat d'État, Grenoble, 1986. [5] T. TABATA et al., Phil. Mag. A, 46, 1982, p. 801-816. [6] A. ZAOUI, Thèse, Paris, 1970. [7] M. BERVEILLER et A. ZAOUI, J. Mech. Phys. Solids,