jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
69130 Ecully, France; A. C. P. B. : Université de Brasilia, Dpt. Mech. Eng., Brasilia, Brazil. In the gaussian case, if W is not positive definite, we introduce an auxiliary norm on C in order to define a norm on Z0 z. Such an auxiliary norm is not unique, but the associated topology on z is not ambiguous. When C is a Hilbert space of functions on ℝ, and Q a positive quadratic form on ℝ, the pair (C', C) makes a quadruplet with the Schwartz spaces S(ℝ) and Z0 (ℝ) which generalizes the Gel'fand triplet (S(ℝ) L2(ℝ) S(ℝ)). We prefer the quadruplet (7) to the triplet (8) because we need an operator D : C → Z0 more general than a map from C into itself: for instance, in quantum physics D is a differential operator. We prefer the pair (C', D) to the pair (S(ℝ), S(ℝ)) because the map G : S(ℝ) → (ℝ) does not have an inverse. However, we can use many results derived for Hida distributions on S(ℝ) because (9) rF(ϕ) exp (−π Q (cp))ϕ = ∫~(ℝ) F(X)dwQ(X) J(ℝ) where the Fourier transforms of the gaussians exp (−n Q_(cp)) and dWQ (X) evaluated at S(ℝ) coincide and F is a privileged extension from C to S'(ℝ) of a continuous functional F such that F e-ItQ belongs to Z0 z, analogous to the extension of a continuous function defined on the rationals to a continuous function defined on ℝ. In Quantum Field Theory, functional Z(J) is an experimental quantity in the following sense. Let generating experimental quantities the following sense. Let exp(−W0)/ZW and let T(J) be the Legendre transform of W ; = exp(−W0)/exp(−WJ) (12) T(J):=−W0) < • observable quantities. then T(JJ) is the effective action which can be used to compute observable quantities. Therefore Z (J) cannot be chosen which Whereas we can use (2) to identify -9Q explicitly, we cannot use (4) to identify e,z because they are chosen so as to make the following manipulations: namely the infinitesimal version of the invariance of under translation (10) and the fundamental property, then -q2 o,
coincide and F is a privileged extension from C to S'(ℝ) of a continuous functional F such that F e-ItQ belongs to Z0 z, analogous to the extension of a continuous function defined on the rationals to a continuous function defined on ℝ. In Quantum Field Theory, functional Z(J) is an experimental quantity in the following sense. Let generating experimental quantities the following sense. Let exp(−W0)/ZW and let T(J) be the Legendre transform of W ; = exp(−W0)/exp(−WJ) (12) T(J):=−W0) < • observable quantities. then T(JJ) is the effective action which can be used to compute observable quantities. Therefore Z (J) cannot be chosen which Whereas we can use (2) to identify -9Q explicitly, we cannot use (4) to identify e,z because they are chosen so as to make the following manipulations: namely the infinitesimal version of the invariance of under translation (10) and the fundamental property, then -q2 o, z * == det M -qo, z (P(14) if * == M (p, z must be compatible with equation The choice of functional Fe^e.z of the probability distribution formula (13). Equation (14) has been used in applications of the probability distribution formulation of functional integrals: in the case of gaussian integrals, set (15) exp (-1C Q( q))!1!0 L dwo (q) and set M Wo the image of Wo by M, then the Fourier transforms of M WQ and wQ satisfy the equation (M WQ) (16) M)«». where A is the transpose of M. Equation (16) has been used in many non-trivial problems. Equation (14) has also been used by Fujikawa to explain the so-called anomalies. In Quantum Field Theory, the effective action (12), T((p), is the "inverse" of W0) in the same sense that the quadratic form Q( q) is the inverse of W(U) in the gaussian case (12) (0) Therefore in the gaussian case the effective action is simply the one of a non-interacting system. Il s'agit de dégager, de travaux faits par les physiciens ces 50 dernières années, une axiomatique qui clarifie et simplifie l'intégration fonctionnelle. En retour, il s'agit d'une axiomatique qui offre aux physiciens des méthodes
integrals, set (15) exp (-1C Q( q))!1!0 L dwo (q) and set M Wo the image of Wo by M, then the Fourier transforms of M WQ and wQ satisfy the equation (M WQ) (16) M)«». where A is the transpose of M. Equation (16) has been used in many non-trivial problems. Equation (14) has also been used by Fujikawa to explain the so-called anomalies. In Quantum Field Theory, the effective action (12), T((p), is the "inverse" of W0) in the same sense that the quadratic form Q( q) is the inverse of W(U) in the gaussian case (12) (0) Therefore in the gaussian case the effective action is simply the one of a non-interacting system. Il s'agit de dégager, de travaux faits par les physiciens ces 50 dernières années, une axiomatique qui clarifie et simplifie l'intégration fonctionnelle. En retour, il s'agit d'une axiomatique qui offre aux physiciens des méthodes de calcul robustes. Nous modifions, par exemple, l'intégrateur fonctionnel suivant (1) où S est l'action d'un système, intégrale de son langage lien, (P un et des physiciens et des mathématiciens vient et ~.p un intégrateur non que (C, dx, fut tout aussi, my XVIIe siècle, de la nature mythique de « dp » bien que « dx » fut tout aussi mythique au XVIIe siècle. On peut, de même, définir un intégrateur EtîQ (p sur un espace de Banach O au moyen d'une forme quadratique Q sur O par l'équation (2) exp (−K Q (cp) − 2 n i (J, cp)) S(J) cp = exp (−n W (J)) où J est un élément du dual C' de (D, et W une forme quadratique sur (D, "inverse" de Q, en ce sens : Plus généralement, étant données deux applications continues et bornées : O → C, et Z : O' → C, nous choisissons un intégrateur -9,9, z tel que (4) ∫~(C, J)^0,z cp = Z(J) J<D et un espace g; O. z de fonctionnelles sur O, intégrables par 5?LJ0. z. Par exemple, .? O. z peut être l'espace des fonctionnelles F sur O à valeurs complexes, telles que (5) F
« dp » bien que « dx » fut tout aussi mythique au XVIIe siècle. On peut, de même, définir un intégrateur EtîQ (p sur un espace de Banach O au moyen d'une forme quadratique Q sur O par l'équation (2) exp (−K Q (cp) − 2 n i (J, cp)) S(J) cp = exp (−n W (J)) où J est un élément du dual C' de (D, et W une forme quadratique sur (D, "inverse" de Q, en ce sens : Plus généralement, étant données deux applications continues et bornées : O → C, et Z : O' → C, nous choisissons un intégrateur -9,9, z tel que (4) ∫~(C, J)^0,z cp = Z(J) J<D et un espace g; O. z de fonctionnelles sur O, intégrables par 5?LJ0. z. Par exemple, .? O. z peut être l'espace des fonctionnelles F sur O à valeurs complexes, telles que (5) F (θ)= ∫~(O,cp,J)^0,(J) J<D' où (i est une mesure bornée, réelle ou complexe sur l'espace de Banach C. Ce choix Z0 z généralise le choix de Albeverio et Høegh-Krohn (Albeverio, 1976). Bien que li ne soit pas nécessairement définie par (5), on peut prouver que, dans de nombreux cas, JF(cp)^0 Z cp est défini. De plus, il n'est pas nécessaire d'identifier Il pour calculer J<\n Une norme du type A (au sens des séries de Fourier) peut être définie sur ff 8, Z par l'équation (6) || F || A := min j |Z(J)|d|n|(J). J<D' Dans le cas gaussien (2), si W n'est pas une forme quadratique définie positive, on introduit une forme quadratique auxiliaire sur (D afin de définir une norme sur Z0 z. Une telle norme n'est pas unique, mais la topologie associée de Z0. z n'est pas ambiguë. Quand D est un espace hilbertien de fonctions (ou de distributions) sur IR, et Q une forme quadratique positive sur D, la paire (D, Q') forme un quadruplet avec les espaces de Schwartz S(D(IR)) et S'(IR), qui généralise le triplet de Gel'fand, S'(IR) → L2(IR) → S(D(IR)). Nous préférons le quadruplet (7) au triplet (8) parce que nous avons d'opérateurs
cp est défini. De plus, il n'est pas nécessaire d'identifier Il pour calculer J<\n Une norme du type A (au sens des séries de Fourier) peut être définie sur ff 8, Z par l'équation (6) || F || A := min j |Z(J)|d|n|(J). J<D' Dans le cas gaussien (2), si W n'est pas une forme quadratique définie positive, on introduit une forme quadratique auxiliaire sur (D afin de définir une norme sur Z0 z. Une telle norme n'est pas unique, mais la topologie associée de Z0. z n'est pas ambiguë. Quand D est un espace hilbertien de fonctions (ou de distributions) sur IR, et Q une forme quadratique positive sur D, la paire (D, Q') forme un quadruplet avec les espaces de Schwartz S(D(IR)) et S'(IR), qui généralise le triplet de Gel'fand, S'(IR) → L2(IR) → S(D(IR)). Nous préférons le quadruplet (7) au triplet (8) parce que nous avons d'opérateurs D : C(D), plus généraux que les automorphes de nous avons Desun. Nous préférons la paire (D, Q) à la paire (S(IR), f(IR)) Parce que l fois, nous pouvons utiliser bien des résultats obtenus pour les distributions de Hida (Kuo, 1991) sur S(IR); en effet, S(IR) et S'(IR) coïncident, et si Y reste extension privilégiée de a < Q -" si les opérations Fourier des gaussiennes, exp ( "« continue telle que Ve e l' fonction continue définie sur les nombres rationnels a une fonction continue définie sur R. En Théorie Quantique des Champs, la collection de clans Fa — où ϕ est soit un champ avec ée de Legendre de W action; la fonctionnelle génératrice Z(J) est une quantité expérimentale. En effet, soit (11) r(<p): = W(J)-<J'(<p>' ^; (ϕ¯) est l'action effective qui peut être utilisée pour le calcul de grandeurs observables, Z(J) ne peut être expéditionnaire car les conditions ne peut pas être utilisé pour déterminer z pour imposer * 1 Champs; mais (4) peut être utilisée pour imposer à l'intégrateur !]e, z les conditions suivantes, choisies pour que l'intégration par parties et changement linéaire de variable d'intégration soient des opérations simples : à savoir, la version infinitésimale
si Y reste extension privilégiée de a < Q -" si les opérations Fourier des gaussiennes, exp ( "« continue telle que Ve e l' fonction continue définie sur les nombres rationnels a une fonction continue définie sur R. En Théorie Quantique des Champs, la collection de clans Fa — où ϕ est soit un champ avec ée de Legendre de W action; la fonctionnelle génératrice Z(J) est une quantité expérimentale. En effet, soit (11) r(<p): = W(J)-<J'(<p>' ^; (ϕ¯) est l'action effective qui peut être utilisée pour le calcul de grandeurs observables, Z(J) ne peut être expéditionnaire car les conditions ne peut pas être utilisé pour déterminer z pour imposer * 1 Champs; mais (4) peut être utilisée pour imposer à l'intégrateur !]e, z les conditions suivantes, choisies pour que l'intégration par parties et changement linéaire de variable d'intégration soient des opérations simples : à savoir, la version infinitésimale de l'invariance de z par translation et la propriété fondamentale j, = det M. -qe. z Q' (13) z q>. Le choix de fonctionnelles F es ?z intégrables par z doit alors être compatible avec (12). L'équation (13) a été utilisée dans les applications d'intégrales fonctionnelles dont les intégrateurs sont des prodistributions dans le cas gaussien, posons (14) dwQ (q»: =exp (Il Q (q»)!ilQ (P et M Wq l'image de wQ par M; les transformées de Fourier de M wQ et wQ satisfont (15) ff (M wQ) = ff wQ unc Cette dernière équation a permis de résoudre plusieurs problèmes non triviaux (De WittCette dernière équation a aussi utilisé (13) pour expliquer ce qui semblait être une "anomalie". Dans le cas gaussien (2) Q W est inverse de W (J) à sens précisé par (3); en Théorie Quantique des Champs, l'action effective r (iP) est de même l'inverse de W (J). Autrement dit, dans le cas gaussien, l'action effective obtenue par intégration coïncide avec l'action de la quantité sous le signe d'intégration : les champs n'interagissent pas. Les articles cités ci-dessous contiennent de nombreuses références utiles pour l'étude de l'intégration fonctionnelle. Note remise le 11 janvier 1993, acceptée le 8
des prodistributions dans le cas gaussien, posons (14) dwQ (q»: =exp (Il Q (q»)!ilQ (P et M Wq l'image de wQ par M; les transformées de Fourier de M wQ et wQ satisfont (15) ff (M wQ) = ff wQ unc Cette dernière équation a permis de résoudre plusieurs problèmes non triviaux (De WittCette dernière équation a aussi utilisé (13) pour expliquer ce qui semblait être une "anomalie". Dans le cas gaussien (2) Q W est inverse de W (J) à sens précisé par (3); en Théorie Quantique des Champs, l'action effective r (iP) est de même l'inverse de W (J). Autrement dit, dans le cas gaussien, l'action effective obtenue par intégration coïncide avec l'action de la quantité sous le signe d'intégration : les champs n'interagissent pas. Les articles cités ci-dessous contiennent de nombreuses références utiles pour l'étude de l'intégration fonctionnelle. Note remise le 11 janvier 1993, acceptée le 8 février 1993. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES S. A. ALBEVERIO et R. J. HÖEGH-KROHN, Mathematical Theory of Feynman Path Integrals, Lecture Notes in Mathematics, #523, Springer-Verlag, Berlin, 1976. C. DEWITT-MORETTE, Functional Integration, a multipurpose tool, Prépublication IHES (35, route de Chartres, 91440 Bures-sur-Yvette), Proceedings of the International Colloquium in honour of Yvonne Choquet-Bruhat, M. FLATO, R. KERNER et A. LICHNEROWICZ éd., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1993 (à paraître). H. H. KUO, Lectures on White Noise Analysis, dans Proceedings of Preseminar for International Conference on Gaussian Random Fields, T. HIDA et K. SATO éd., Université de Nagoya, 1991. P. C. : École Normale Supérieure, 75230 Paris Cedex 05, France et Institut des Hautes Études Scientifiques, 91440 Bures-sur-Yvette, France; C. de W-M : Department of Physics, Center for Relativity, University of Texas, Austin TX 78712, USA. Physique atomique/Atomic Physics (Metrologie/Metrology) Laser cooling of atoms in micro-gravity Brahim LOUNIS, Jakob REICHEL and Christophe SALOMON Abstract Laser cooling and trapping of cesium atoms has been performed in reduced gravity produced by parabolic flights of an aeroplane. The set-up uses three diode lasers and a magnetooptical trap in a low pressure vapour cell. Of the 3 x 108 atoms released in free flight at 20 mK (vrms=3 cm/s),
M. FLATO, R. KERNER et A. LICHNEROWICZ éd., Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 1993 (à paraître). H. H. KUO, Lectures on White Noise Analysis, dans Proceedings of Preseminar for International Conference on Gaussian Random Fields, T. HIDA et K. SATO éd., Université de Nagoya, 1991. P. C. : École Normale Supérieure, 75230 Paris Cedex 05, France et Institut des Hautes Études Scientifiques, 91440 Bures-sur-Yvette, France; C. de W-M : Department of Physics, Center for Relativity, University of Texas, Austin TX 78712, USA. Physique atomique/Atomic Physics (Metrologie/Metrology) Laser cooling of atoms in micro-gravity Brahim LOUNIS, Jakob REICHEL and Christophe SALOMON Abstract Laser cooling and trapping of cesium atoms has been performed in reduced gravity produced by parabolic flights of an aeroplane. The set-up uses three diode lasers and a magnetooptical trap in a low pressure vapour cell. Of the 3 x 108 atoms released in free flight at 20 mK (vrms=3 cm/s), about 10% remain in a 1 cm3 volume after 0.2 sec. This time is 6,000 times longer than the average transit time of a room temperature atomic beam through a 1 cm long observation region. This represents an important step towards the developments of ultra-stable cesium clocks in micro-gravity. Atomes refroidis par laser en micro-gravité Résumé Nous avons refroidi et piégé des atomes de cesium en gravité réduite, lors de vols paraboliques d'avion. Le montage utilise trois diodes lasers et un piège magneto-optique en cellule. Sur les 3.108 atomes lâchés en vol libre à 20 mK (vrms = 3 cm/s), environ 10% d'entre eux se trouvent encore après 0,2 s dans le volume d'observation initial d'environ 1 cm3. Ce temps de séjour est 6,000 fois plus long que le temps moyen que mettent les atomes d'un jet atomique à traverser une zone d'observation de 1 em. Ces résultats constituent une étape importante pour le développement d'une Version française abrégée Le refroidissement d'atomes par laser au niveau du micro-évin a ouvert de considérables perspectives d'applications. Parmi celles-ci, l'une des plus importantes concerne la métrologie du temps et des fréquences. En effet la très faible vitesse des atomes (~1 cm/s), qui est
refroidis par laser en micro-gravité Résumé Nous avons refroidi et piégé des atomes de cesium en gravité réduite, lors de vols paraboliques d'avion. Le montage utilise trois diodes lasers et un piège magneto-optique en cellule. Sur les 3.108 atomes lâchés en vol libre à 20 mK (vrms = 3 cm/s), environ 10% d'entre eux se trouvent encore après 0,2 s dans le volume d'observation initial d'environ 1 cm3. Ce temps de séjour est 6,000 fois plus long que le temps moyen que mettent les atomes d'un jet atomique à traverser une zone d'observation de 1 em. Ces résultats constituent une étape importante pour le développement d'une Version française abrégée Le refroidissement d'atomes par laser au niveau du micro-évin a ouvert de considérables perspectives d'applications. Parmi celles-ci, l'une des plus importantes concerne la métrologie du temps et des fréquences. En effet la très faible vitesse des atomes (~1 cm/s), qui est à comparer au 1 km/s pour un jet atomique à température ambiante, permet d'obtenir un temps d'observation pour ces atomes considérablement plus long. Ce temps est alors limité seulement par la gravité terrestre. Une solution élégante fut alors d'utiliser une géométrie de fontaine atomique dans laquelle les atomes lancés vers le haut interagissent deux fois avec un champ électromagnétique, l'une à la montée, l'autre à la descente. Le temps effectif d'observation est alors la durée séparant les deux interactions soit environ 0,25 s pour les expériences réalisées à ce jour ([4], [5]). Une approche plus radicale est simplement de supprimer l'effet de la gravité. Nous rapportons dans cette Note les premiers résultats obtenus dans cette direction. Nous avons refroidi et piégé des atomes de césium en vols paraboliques d'avion qui produisent un niveau d'accélération résiduel de l'ordre de 2. 10-2 g durant environ 20 s. Ces atomes sont capturés dans un piège magnéto-optique au centre d'une cellule en verre de volume 0,5 l contenant un gaz d'atomes de césium à très basse pression (fig. 1). Ce piège fonctionne avec trois diodes lasers convenablement stabilisées en fréquence et un montage optique très simple. L'influence de la gravité réduite est évidente lorsque
le haut interagissent deux fois avec un champ électromagnétique, l'une à la montée, l'autre à la descente. Le temps effectif d'observation est alors la durée séparant les deux interactions soit environ 0,25 s pour les expériences réalisées à ce jour ([4], [5]). Une approche plus radicale est simplement de supprimer l'effet de la gravité. Nous rapportons dans cette Note les premiers résultats obtenus dans cette direction. Nous avons refroidi et piégé des atomes de césium en vols paraboliques d'avion qui produisent un niveau d'accélération résiduel de l'ordre de 2. 10-2 g durant environ 20 s. Ces atomes sont capturés dans un piège magnéto-optique au centre d'une cellule en verre de volume 0,5 l contenant un gaz d'atomes de césium à très basse pression (fig. 1). Ce piège fonctionne avec trois diodes lasers convenablement stabilisées en fréquence et un montage optique très simple. L'influence de la gravité réduite est évidente lorsque l'on pratique la méthode Relâche et Recapture pour mesurer la température des atomes (fig. 2). Pour ceci, l'on mesure la fluorescence émise par les atomes qui est proportionnelle au nombre d'atomes dans le volume d'observation (~1 cm3). La procédure consiste à lâcher les atomes froids en vol libre en coupant les faisceaux lasers de refroidissement. Après une durée Toff ajustable, ces faisceaux sont rebranchés et par la fluorescence qu'ils induisent, nous avons accès au nombre d'atomes qui n'ont pas quitté le volume d'observation durant Toff. La figure 3 illustre clairement l'apport de la gravité réduite : alors qu'au sol tous les atomes ont quitté le volume d'observation au bout de 50 ms, à 0 g environ 10% d'entre eux (soit ~3. 107 atomes) sont encore présents au bout d'une durée de 0,2 s. La température des atomes est alors simplement déduite des données de la figure 3 en comparant la décroissance du signal en fonction de Toff à un modèle simple de gaz en expansion isotrope à une température T. Elle vaut ici 18 µK(±10) et correspond à une vitesse quadratique moyenne de 3 cm/s. Ces résultats ouvrent la voie à la réalisation d'horloges à césium ultra-stables et compactes qui
les faisceaux lasers de refroidissement. Après une durée Toff ajustable, ces faisceaux sont rebranchés et par la fluorescence qu'ils induisent, nous avons accès au nombre d'atomes qui n'ont pas quitté le volume d'observation durant Toff. La figure 3 illustre clairement l'apport de la gravité réduite : alors qu'au sol tous les atomes ont quitté le volume d'observation au bout de 50 ms, à 0 g environ 10% d'entre eux (soit ~3. 107 atomes) sont encore présents au bout d'une durée de 0,2 s. La température des atomes est alors simplement déduite des données de la figure 3 en comparant la décroissance du signal en fonction de Toff à un modèle simple de gaz en expansion isotrope à une température T. Elle vaut ici 18 µK(±10) et correspond à une vitesse quadratique moyenne de 3 cm/s. Ces résultats ouvrent la voie à la réalisation d'horloges à césium ultra-stables et compactes qui tireraient parti à la fois des très faibles vitesses produites par refroidissement laser et de la gravité réduite régnant à bord d'un satellite. Un gain d'un facteur 10 sur le temps d'observation et donc sur la largeur de la résonance atomique semble réaliste. Un refroidissement supplémentaire démontré très récemment devrait produire pour l'atome de césium des vitesses dans la gamme du µm/s et améliorer encore les performances de telles horloges. La possibilité d'obtenir des atomes refroidis par laser avec des températures dans la microkelvin range a stimulé une large variété d'applications allant de la métrologie et de la spectroscopie à haute résolution jusqu'à l'optique non linéaire, ou à l'interférométrie atomique [1]. Dans de nombreux cas, on tire parti de la longue durée d'observation des atomes rendue possible par leurs faibles vitesses (~cm/s), beaucoup plus petites que les temperatures ambiante (1 km/s). Pour des particules libres, la gravité de la Terre impose une limite sévère à cette durée d'observation et à l'utilité des plus basses températures atteintes. Considérons par exemple des atomes de césium laser refroidis à 2,5 µK avec une vitesse moyenne de 12 mm/s [2]. Après un second de libre chute, ces atomes ont descendu 5 m et leur