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une longueur totale de 65 km, et la puissance totale installée, tant pour l'éclairage que pour la force motrice, atteint 2 100 kW. Les travaux ont entraîné une dépense totale de 87 millions de livres, pour un volume de constructions de 700 000 m3. Le nombre des étudiants qui fréquentent la Cité est déjà de 12 000, et il augmente constamment. Ainsi que nous l'avons dit, la Cité a été édifiée sous la direction de M. Marcello Piacentini, architecte en chef ; les services techniques ont été dirigés par M. Francesco Guidi, ingénieur ; à ces deux techniciens et à leurs collaborateurs revient l'honneur d'avoir réalisé un ensemble de travaux aussi complexe dans un temps particulièrement réduit. Paul CALFAS, Ingénieur des Arts et Manufactures. La plus grande partie des renseignements donnés dans cet article ont été empruntés à un numéro spécial de la revue Architettura, de Milan. Les photographies reproduites nous ont été aimablement transmises par le recteur de l'Université, M. De Francisci, que nous remercions ici. RÉSISTANCE DES MATÉRIAUX ÉTUDE DE LA COMPRESSION OU DU CHOC D'UNE SPHÈRE DÉFORMABLE contre des plans indéformables. Depuis les théories de Hertz, on n'utilise guère (en dehors des résultats qu'il a indiqués) que des formules empiriques tirées des aide-mémoires, pour étudier le choc d'une sphère déformable contre un plan indéformable. Dans la note suivante, reprenant les idées déjà exposées dans une récente communication à l'Académie des Sciences (séance du 20 avril 1936), nous indiquons une solution simple des problèmes susénoncés; cette solution semble cadrer, d'une façon suffisante, avec les résultats expérimentaux que nous avons obtenus par ailleurs. Problème statique : Compression d'une sphère déformable entre deux plans indéformables. — Nous avons commencé par comprimer, entre deux plans indéformables, deux corps sphériques nettement différents : une balle de golf et une grosse bille en acier de roulement à billes (préalablement recuite à 850°). Les résultats obtenus sont donnés à la fin de cette première partie. Il semble que l'on ait ainsi constaté, en période élastique, les deux relations indépendantes ci-après : a) La force totale de compression, F, est proportionnelle à l'écrasement total, AD,
des formules empiriques tirées des aide-mémoires, pour étudier le choc d'une sphère déformable contre un plan indéformable. Dans la note suivante, reprenant les idées déjà exposées dans une récente communication à l'Académie des Sciences (séance du 20 avril 1936), nous indiquons une solution simple des problèmes susénoncés; cette solution semble cadrer, d'une façon suffisante, avec les résultats expérimentaux que nous avons obtenus par ailleurs. Problème statique : Compression d'une sphère déformable entre deux plans indéformables. — Nous avons commencé par comprimer, entre deux plans indéformables, deux corps sphériques nettement différents : une balle de golf et une grosse bille en acier de roulement à billes (préalablement recuite à 850°). Les résultats obtenus sont donnés à la fin de cette première partie. Il semble que l'on ait ainsi constaté, en période élastique, les deux relations indépendantes ci-après : a) La force totale de compression, F, est proportionnelle à l'écrasement total, AD, de la sphère ; b) Pour un écrasement AD donné, le rayon d'empreinte est tel que : r2 = D x —G est-à-dire que tout se passe comme si la sphère restait sphère et était coupée par les plans de compression (fig. 1). Utilisons ces deux résultats pour établir la loi qu'il importe, FIG. 1. z Ecrasement statique d'une sphère, comprimée entre deux plans. avant tout, de déterminer, savoir la relation qui lie F à la surface d'appui 1rr'. D'après ce qui précède, il est immédiatement visible que c'est une simple proportionnalité, et on doit F, poser : —r = E, E étant constant en la compression élastique. Ici, nous ferons une hypothèse que les expériences ultérieures vérifieront ou non : nous croyons actuellement que E est précisément la limite élastique de la sphère comprimée. Voici pourquoi : lorsque la sphère est posée sur un plan indéformable, elle ne peut reposer par un point, car alors la force unitaire serait infinie, et il y aurait nécessairement écroulement local. Or, cela ne paraît pas décelable. Donc, il est probable que le centre de gravité de la sphère s'abaissera de la quantité voulue, pour que le cercle de contact corresponde juste à
loi qu'il importe, FIG. 1. z Ecrasement statique d'une sphère, comprimée entre deux plans. avant tout, de déterminer, savoir la relation qui lie F à la surface d'appui 1rr'. D'après ce qui précède, il est immédiatement visible que c'est une simple proportionnalité, et on doit F, poser : —r = E, E étant constant en la compression élastique. Ici, nous ferons une hypothèse que les expériences ultérieures vérifieront ou non : nous croyons actuellement que E est précisément la limite élastique de la sphère comprimée. Voici pourquoi : lorsque la sphère est posée sur un plan indéformable, elle ne peut reposer par un point, car alors la force unitaire serait infinie, et il y aurait nécessairement écroulement local. Or, cela ne paraît pas décelable. Donc, il est probable que le centre de gravité de la sphère s'abaissera de la quantité voulue, pour que le cercle de contact corresponde juste à la force unitaire maximum, sans qu'il se produise de déformations permanentes. Ceci posé, la loi reliant la force totale F à la déformation AD, en compression statique, devra s'écrire, lorsque le régime sera purement élastique : Une question se pose maintenant : quelle est la force F qu'il faut atteindre, pour entrer dans le domaine des déformations permanentes ? Nous n'avons pas encore assez d'expérience pour nous prononcer avec certitude. Nous croyons qu'à cet égard (mais à cet égard seulement) la bille se comporte sensiblement comme le cylindre, c'est-à-dire que l'on atteint F lorsque : On retrouve ainsi une formule admise dans le Cours de l'Artillerie navale, pour la résistance élastique maximum de la bille comprimée entre deux plans. Mais il importe de remarquer que, pour toutes les charges F inférieures à F, nous considérons que le « taux de fatigue » est constant, et égal à E ; tandis que, suivant les conceptions habituelles, on admet que ce taux croît avec les charges F. COMPRESSION STATIQUE D'UNE BALLE DE GOLF. Une balle de golf a été comprimée statiquement à l'aide d'une machine Amsler (fig. 2) ; les mesures successives d'aplatissement ont donné les résultats suivants : Rayon Mesure (l'empreinte
pour entrer dans le domaine des déformations permanentes ? Nous n'avons pas encore assez d'expérience pour nous prononcer avec certitude. Nous croyons qu'à cet égard (mais à cet égard seulement) la bille se comporte sensiblement comme le cylindre, c'est-à-dire que l'on atteint F lorsque : On retrouve ainsi une formule admise dans le Cours de l'Artillerie navale, pour la résistance élastique maximum de la bille comprimée entre deux plans. Mais il importe de remarquer que, pour toutes les charges F inférieures à F, nous considérons que le « taux de fatigue » est constant, et égal à E ; tandis que, suivant les conceptions habituelles, on admet que ce taux croît avec les charges F. COMPRESSION STATIQUE D'UNE BALLE DE GOLF. Une balle de golf a été comprimée statiquement à l'aide d'une machine Amsler (fig. 2) ; les mesures successives d'aplatissement ont donné les résultats suivants : Rayon Mesure (l'empreinte du diamètre vertical) Aplatissement (après retour au repos) Charge totale (sous charge F) au repos F AD = AL = , le la force F). kg cm cm 29 0,1 0,45 0,10 58 0,2 0,60 0,10 90 0,3 0,75 0,10 131 0,4 0,80 4,06 178 0,5 1,05 4,05 240 0,6 1,20 4,05 315 0,7 1,25 4,02 0,10 0,8 1,35 4,01 Conclusions déduites des résultats expérimentaux. — 1° Tant qu'on reste en période élastique, F est sensiblement proportionnel à AD ; 2° Pendant cette même période, on a vérifié expérimentalement que l'on a sensiblement AD = D . 2 Sur la courbe précédente, on voit que, F en période élastique, le rapport est sensiblement constant, et égal à 0 kg 47 (par millimètre carré). Ce chiffre représenterait la limite élastique de la matière constituant la balle. COMPRESSION STATIQUE D'UNE BALLE D'ACIER. — La pièce soumise à l'expérience est une bille de roulement, recuite préalablement à 850°, ayant un diamètre initial de 39 mm. Les mesures ont été naturellement plus délicates à prendre (elles portent sur des millièmes de millimètre, et non sur des millimètres, comme pour la balle de golf). Les résultats ont été les suivants : Aplatissement Mesure du diamètre
1,20 4,05 315 0,7 1,25 4,02 0,10 0,8 1,35 4,01 Conclusions déduites des résultats expérimentaux. — 1° Tant qu'on reste en période élastique, F est sensiblement proportionnel à AD ; 2° Pendant cette même période, on a vérifié expérimentalement que l'on a sensiblement AD = D . 2 Sur la courbe précédente, on voit que, F en période élastique, le rapport est sensiblement constant, et égal à 0 kg 47 (par millimètre carré). Ce chiffre représenterait la limite élastique de la matière constituant la balle. COMPRESSION STATIQUE D'UNE BALLE D'ACIER. — La pièce soumise à l'expérience est une bille de roulement, recuite préalablement à 850°, ayant un diamètre initial de 39 mm. Les mesures ont été naturellement plus délicates à prendre (elles portent sur des millièmes de millimètre, et non sur des millimètres, comme pour la balle de golf). Les résultats ont été les suivants : Aplatissement Mesure du diamètre Charge totale (sous charge F) (au repos) F AD D kg mm mm 55 0,010 39 70 0,015 39 85 0,018 39 100 0,021 39 115 0,025 39 130 0,027 39 145 0,030 39 160 0,033 39 175 0,035 39 190 0,037 39 205 0,06 38,99 Conclusions déduites des résultats expérimentaux. 1° Tant qu'on reste en période élastique, on trouve que F est sensiblement proportionnel à AD; 2° Pour la balle en acier, étant donnée la petitesse des empreintes, aucune mesure ne peut être faite avec certitude. Après la charge F = 280 kg, on observe sur l'appui deux cercles concentriques. Le cercle extérieur, correspondant à la déformation sous charge, a un diamètre de l'ordre de 2 mm ; le cercle intérieur, correspondant à la déformation permanente seule, a un diamètre inférieur à 1 mm. Sur la courbe (fig. 4) on voit que, en période élastique, le rapport F AD (calculé en admettant que 1,1 = D) est sensiblement constant, et égal à : 80 kg environ (par millimètre carré) Problème dynamique : Rencontre d'une sphère et d'un plan. — Quatre hypothèses principales sont possibles dans ce cas, mais elles présentent un intérêt inégal. D'abord, la sphère et le plan
expérimentaux. 1° Tant qu'on reste en période élastique, on trouve que F est sensiblement proportionnel à AD; 2° Pour la balle en acier, étant donnée la petitesse des empreintes, aucune mesure ne peut être faite avec certitude. Après la charge F = 280 kg, on observe sur l'appui deux cercles concentriques. Le cercle extérieur, correspondant à la déformation sous charge, a un diamètre de l'ordre de 2 mm ; le cercle intérieur, correspondant à la déformation permanente seule, a un diamètre inférieur à 1 mm. Sur la courbe (fig. 4) on voit que, en période élastique, le rapport F AD (calculé en admettant que 1,1 = D) est sensiblement constant, et égal à : 80 kg environ (par millimètre carré) Problème dynamique : Rencontre d'une sphère et d'un plan. — Quatre hypothèses principales sont possibles dans ce cas, mais elles présentent un intérêt inégal. D'abord, la sphère et le plan sont, et restent, indéformables : il y a alors percussion, force de choc infinie, temps de choc infiniment court. La question ne présente aucun intérêt pratique. Ensuite, la sphère est indéformable et le plan déformable; le problème statique est celui de la balle Brinell ; le problème dynamique principal est celui de la perforation d'une plaque par un projectile sphérique. Ce problème peut être traité d'une manière analogue à celle que nous avons exposée pour les projectiles cylindro-coniques. Signalons seulement une différence : il est impossible d'admettre que le plan ne prenne que des déformations purement élastiques. La sphère est déformable et le plan indéformable : le problème sera traité ci-après, en le limitant, toutefois, au cas des déformations purement élastiques de la sphère. Le problème des déformations permanentes serait à traiter d'une manière analogue à celle des projectiles cylindriques. Enfin, les deux corps sont déformables, la sphère prenant, ou non, des déformations permanentes. Ce cas ne sera pas traité ici. MOUVEMENT RELATIF UNIFORME. — CHOC D'UNE SPHÈRE DÉFORMABLE CONTRE UN PLAN INDEFORMABLE ET INDÉFIXE. Nous poserons le problème comme suit. Les données sont : vitesse de la sphère, supposée mobile (le plan reste immobile) ; 1) : diamètre de
celui de la perforation d'une plaque par un projectile sphérique. Ce problème peut être traité d'une manière analogue à celle que nous avons exposée pour les projectiles cylindro-coniques. Signalons seulement une différence : il est impossible d'admettre que le plan ne prenne que des déformations purement élastiques. La sphère est déformable et le plan indéformable : le problème sera traité ci-après, en le limitant, toutefois, au cas des déformations purement élastiques de la sphère. Le problème des déformations permanentes serait à traiter d'une manière analogue à celle des projectiles cylindriques. Enfin, les deux corps sont déformables, la sphère prenant, ou non, des déformations permanentes. Ce cas ne sera pas traité ici. MOUVEMENT RELATIF UNIFORME. — CHOC D'UNE SPHÈRE DÉFORMABLE CONTRE UN PLAN INDEFORMABLE ET INDÉFIXE. Nous poserons le problème comme suit. Les données sont : vitesse de la sphère, supposée mobile (le plan reste immobile) ; 1) : diamètre de la sphère ; m : masse de la sphère ; E : limite élastique de la sphère. Les inconnues sont : (1) : force appliquée au centre de gravité de la sphère, pendant la durée du choc ; aplatissement maximum de la sphère, mesuré au bout du demi-temps de choc ; 0 demi-temps de choc, c'est-à-dire temps écoulé entre le moment de l'impact et le moment d'aplatissement maximum. Pour résoudre le problème, il faut trois équations. Nous les établirons ainsi : 1° Loi de déformation. Nous admettrons qu'à force égale, la déformation dynamique est moitié de la déformation statique. Par suite, en nous reportant aux résultats trouvés pour la compression statique, nous écrirons : \(4\eta = E x TTD x \eta ; [1]\) Loi de conservation de l'énergie — Le plan est indéformable et immobile; le centre de gravité de la sphère se déplace \(2\) pendant le demi-temps de choc. Donc : c'est-à-dire : \(mv^3 = <\eta> \); [2] Loi de constance de la force de choc. — Nous admettrons que pendant le choc, la force \(O\) peut être considérée comme constante. Ceci peut s'écrire : c'est-à-dire : \(mv = (DO. [3]\) Résolvant le système des équations [1], [2], [3],
; 0 demi-temps de choc, c'est-à-dire temps écoulé entre le moment de l'impact et le moment d'aplatissement maximum. Pour résoudre le problème, il faut trois équations. Nous les établirons ainsi : 1° Loi de déformation. Nous admettrons qu'à force égale, la déformation dynamique est moitié de la déformation statique. Par suite, en nous reportant aux résultats trouvés pour la compression statique, nous écrirons : \(4\eta = E x TTD x \eta ; [1]\) Loi de conservation de l'énergie — Le plan est indéformable et immobile; le centre de gravité de la sphère se déplace \(2\) pendant le demi-temps de choc. Donc : c'est-à-dire : \(mv^3 = <\eta> \); [2] Loi de constance de la force de choc. — Nous admettrons que pendant le choc, la force \(O\) peut être considérée comme constante. Ceci peut s'écrire : c'est-à-dire : \(mv = (DO. [3]\) Résolvant le système des équations [1], [2], [3], il vient : Il est quelquefois utile de remplacer \(m\) par : \(\frac{3}{4} C^3 X \rho\) (\(p =\) masse spécifique); on écrit alors : Vérification. — On voit que, pour justifier le bien fondé de nos hypothèses, il est indispensable de mesurer \(O\), de comparer le résultat exprimé à ce calculé par la formule : \(O = \frac{m}{4}\), et de vérifier notamment que \(O\) est sensiblement indépendant de \(v\) (pour des vitesses assez faibles, telles que \(E\) puisse être regardé comme constant). Cette vérification a été tentée par M. l'Ingénieur d'Artillerie navale Bernard, à Sevran-Livry, au moyen d'un dispositif piézoélectrique. Mais ce système ayant des déformations propres, et l'enclume sur laquelle il reposait n'étant pas absolument rigide, il en est résulté que les valeurs des chiffres expérimentaux, trouvées pour les temps \(t\), étaient plus ou moins supérieures aux temps calculés. Voici l'ordre de ces différences : dans la première série d'expériences, pour les balles de golf, on avait les résultats suivants : Hauteur de chute successives : \(0.25\); \(0.5\) m; \(2.5\) mètres. Temps mesurés : \(26\), varié entre \(10000\) et \(11000\) une même hauteur de chute ayant donné, par exemple : La différence entre le calcul et les résultats est
calculé par la formule : \(O = \frac{m}{4}\), et de vérifier notamment que \(O\) est sensiblement indépendant de \(v\) (pour des vitesses assez faibles, telles que \(E\) puisse être regardé comme constant). Cette vérification a été tentée par M. l'Ingénieur d'Artillerie navale Bernard, à Sevran-Livry, au moyen d'un dispositif piézoélectrique. Mais ce système ayant des déformations propres, et l'enclume sur laquelle il reposait n'étant pas absolument rigide, il en est résulté que les valeurs des chiffres expérimentaux, trouvées pour les temps \(t\), étaient plus ou moins supérieures aux temps calculés. Voici l'ordre de ces différences : dans la première série d'expériences, pour les balles de golf, on avait les résultats suivants : Hauteur de chute successives : \(0.25\); \(0.5\) m; \(2.5\) mètres. Temps mesurés : \(26\), varié entre \(10000\) et \(11000\) une même hauteur de chute ayant donné, par exemple : La différence entre le calcul et les résultats est de \(23\) à \(35\). Dans la deuxième série d'expériences pour les billes d'acier (\(A = 680\) à \(D = 720\)), on a : \(D = \frac{cm}{6}\), et \(D = 2,ra5\). La dispersion dans les résultats expérimentaux est plus forte; les billes laissent leur empreinte sur le piston de l'enregistreur; il est donc impossible de considérer le plan comme réellement indéformable; ces temps de choc se trouvent donc notablement accrus (\(30\) à \(170\) %). Quoi qu'il en soit, il semble acquis que pour des vitesses FIG. 5. allant jusqu'à \(10\) m/s, le temps de choc est pratiquement indépendant de la vitesse, et d'un ordre de grandeur calculable par les formules établies : ceci en régime purement élastique, bien entendu. On verra plus loin que l'influence de la pesanteur ne doit pas modifier le temps de choc. MOUVEMENT RELATIF UNIFORME. — CHOC D'UNE SPHÈRE CONTRE UN PLAN INDÉFORMABLE, MAIS DE MASSE FINIE. Les données sont : \(v\): vitesse initiale de la sphère, au moment de l'impact; \(D\): diamètre de la sphère; \(m_1\): masse de la sphère; \(m_2\): masse du plan; \(E\): limite élastique de la sphère. Les inconnues sont : \(F\): force appliquée au centre de gravité de la sphère, pendant la
est donc impossible de considérer le plan comme réellement indéformable; ces temps de choc se trouvent donc notablement accrus (\(30\) à \(170\) %). Quoi qu'il en soit, il semble acquis que pour des vitesses FIG. 5. allant jusqu'à \(10\) m/s, le temps de choc est pratiquement indépendant de la vitesse, et d'un ordre de grandeur calculable par les formules établies : ceci en régime purement élastique, bien entendu. On verra plus loin que l'influence de la pesanteur ne doit pas modifier le temps de choc. MOUVEMENT RELATIF UNIFORME. — CHOC D'UNE SPHÈRE CONTRE UN PLAN INDÉFORMABLE, MAIS DE MASSE FINIE. Les données sont : \(v\): vitesse initiale de la sphère, au moment de l'impact; \(D\): diamètre de la sphère; \(m_1\): masse de la sphère; \(m_2\): masse du plan; \(E\): limite élastique de la sphère. Les inconnues sont : \(F\): force appliquée au centre de gravité de la sphère, pendant la durée du choc; \(C\): aplatissement maximum de la sphère, mesuré au bout du demi-temps de choc; \(a\) demi-temps de choc, c'est-à-dire temps écoulé entre le moment de l'impact et le moment d'aplatissement maximum. La première équation n'est pas modifiée : \(F = E. 7zD. [11\) La seconde, relative à la conservation de l'énergie, est à corriger comme suit : Si \(u\) est la vitesse du centre de gravité de \(m_1\), et \(m_2\), La première partie du second membre représente seul le travail des forces internes du système pendant le choc. Donc : La 3e équation est à modifier d'une manière semblable (c'est-à-dire en remplaçant \(m\) par \(m_1\)). On voit, en effet, sur le graphique ci-dessus, que, de toutes façons, soit de l'équation : La résolution du système est donc immédiate. On trouve : Si l'on suppose \(m_2\) fixe et \(m_1\) variable, \(O\) croît avec \(m_1\); la représentation hyperbolique correspondante est aisée à tracer. Tout ceci suppose toujours le plan absolument indéformable; nous ne traiterons pas le cas de déformations simultanées de la sphère et du plan, qui nous entraînerait trop loin. Rappelons seulement (ainsi qu'on l'a vu plus haut) qu'avec un plan infini et déformable, la durée totale du choc
conservation de l'énergie, est à corriger comme suit : Si \(u\) est la vitesse du centre de gravité de \(m_1\), et \(m_2\), La première partie du second membre représente seul le travail des forces internes du système pendant le choc. Donc : La 3e équation est à modifier d'une manière semblable (c'est-à-dire en remplaçant \(m\) par \(m_1\)). On voit, en effet, sur le graphique ci-dessus, que, de toutes façons, soit de l'équation : La résolution du système est donc immédiate. On trouve : Si l'on suppose \(m_2\) fixe et \(m_1\) variable, \(O\) croît avec \(m_1\); la représentation hyperbolique correspondante est aisée à tracer. Tout ceci suppose toujours le plan absolument indéformable; nous ne traiterons pas le cas de déformations simultanées de la sphère et du plan, qui nous entraînerait trop loin. Rappelons seulement (ainsi qu'on l'a vu plus haut) qu'avec un plan infini et déformable, la durée totale du choc peut être considérablement accrue. MOUVEMENT RELATIF NON UNIFORME. — CHOC D'UNE SPHÈRE DÉFORMABLE CONTRE UN PLAN INDÉFORMABLE, DE MASSE FINIE Les temps de choc étant toujours très courts, nous admettrons que l'on peut supposer que le mouvement relatif était — et reste — uniformément varié. Traitons le cas du mouvement accéléré, qui est souvent le plus intéressant. Les données sont : \(v\): vitesse de la sphère au temps \(zéro\) (\(la\) vitesse étant \(zéro\) au temps \(t\)); \(D\): diamètre de la sphère; \(m_1\): masse de la sphère; \(m_2\): masse du plan; \(E\): limite élastique de la sphère; \(2K\): rapport entre la vitesse finale du plan, et la vitesse \(v\) de la sphère au début du choc (\(*\)). Les inconnues sont : \(F\): force appliquée au centre de gravité de la sphère, pendant le choc; \(F_4\) force appliquée au centre de gravité du plan; \(C\): déformation maximum (au bout du temps \(\theta\)); \(F\): force extérieure qui doit mouvoir la sphère; \(\theta\): demi temps de choc. FIG. 6. Le système des cinq équations est le suivant : \(F_1 = E7zD; [11\) Nous n'insisterons pas sur la façon dont elles ont été établies. La solution est : (1) Nous nous donnons ce rapport, car