jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
h, les formules (A) du n° 2 donnent : Le déplacement sera normal à OY si AY = 0, c'est-à-dire si la longueur h est constante. Ce résultat pouvait être prévu. On sait, en effet, que deux trajectoires orthogonales d'une famille de géodésiques (des lignes droites dans l'espèce) interceptent sur ces géodésiques des segments de même longueur. En supposant maintenant que la valeur de h soit égale à une constante, d'ailleurs arbitraire, la tangente à la courbe (O1) en O1 est perpendiculaire à OY et fait, avec OX, un angle α tel que Le plan normal à (d) en O1 aura donc pour équation Le plan normal à (O1) au point O'1 qui correspond au point O' de (0) aura pareillement pour équation, dans le second trièdre, Concevons que X' et Z' soient remplacées par leurs valeurs déduites des formules (C). Alors la droite polaire de (01) en 01 sera représentée par l'équation (2) jointe à celle-ci : THÉORIE DES COURBES GAUCHES. 243 qui, par la substitution indiquée, devient en négligeant les infiniment petits d'ordre supérieur au premier. Il reste à exprimer que la droite OY est contenue dans le plan osculateur à (Ox) en 0,, plan qui est perpendiculaire à la droite polaire représentée par les équations (2) et (4). Ceci exige que l'équation (4) ne contienne que Y, et, par suite, que l'on ait ou (5) Tg a = constante. Remplaçant Tg a par sa valeur (1), il vient la condition où a désigne un angle arbitraire mais constant. On peut donc dire avec M. Bertrand : 1° Si une courbe (O) est telle que ses normales principales soient les normales principales d'une autre courbe (01), il existe entre ses courbures une relation linéaire de la forme A, B, C désignant des constantes. 1 1 2° Réciproquement, s'il existe entre les courbures d'une çt courbe (0) une relation linéaire telle que (7), cette courbe est telle que ses normales principales sont aussi normales principales d'une seconde courbe (O1), dite conjuguée de la première, et qui s'obtient en portant sur les normales principales de (0), à partir de leurs
à la droite polaire représentée par les équations (2) et (4). Ceci exige que l'équation (4) ne contienne que Y, et, par suite, que l'on ait ou (5) Tg a = constante. Remplaçant Tg a par sa valeur (1), il vient la condition où a désigne un angle arbitraire mais constant. On peut donc dire avec M. Bertrand : 1° Si une courbe (O) est telle que ses normales principales soient les normales principales d'une autre courbe (01), il existe entre ses courbures une relation linéaire de la forme A, B, C désignant des constantes. 1 1 2° Réciproquement, s'il existe entre les courbures d'une çt courbe (0) une relation linéaire telle que (7), cette courbe est telle que ses normales principales sont aussi normales principales d'une seconde courbe (O1), dite conjuguée de la première, et qui s'obtient en portant sur les normales principales de (0), à partir de leurs pieds 0, des longueurs h données par la formule 244 MÉMOIRES. De plus, comme l'a démontré M. Bonnet, les plans osculateurs des deux courbes conjuguées (0) et (0()) aux points correspondants (0 et O1) font entre eux un angle constant a donné par la relation Ces conclusions se déduisent de l'identification des équations (6) et (7). 13. La recherche des courbes de M. Bertrand est donc ramenée à celle des courbes dont les courbures vérifient la relation (7). On sait d'avance (voir première partie, n° 8) que le problème est possible et admet une infinité de solutions dépendant d'une fonction arbitraire. Avant de chercher les équations de ces courbes dans un système d'axes fixes, nous allons étudier quelques-unes de leurs propriétés, et, pour commencer, celles qui résultent de la comparaison des courbes conjuguées (0) et (0()). 14. Proposons-nous de calculer l'élément d'arc ds1 de (O1), ainsi que les rayons de courbure et de torsion ç, et cl de cette courbe. L'élément d'arc ds1 est parallèle au plan des oz du trièdre instantané et fait avec OX l'angle a. Donc AZ désignant la projection, déjà calculée (n° 12), du déplacement de O1 sur l'axe Oz. Concevons qu'un second trièdre instantané soit
l'identification des équations (6) et (7). 13. La recherche des courbes de M. Bertrand est donc ramenée à celle des courbes dont les courbures vérifient la relation (7). On sait d'avance (voir première partie, n° 8) que le problème est possible et admet une infinité de solutions dépendant d'une fonction arbitraire. Avant de chercher les équations de ces courbes dans un système d'axes fixes, nous allons étudier quelques-unes de leurs propriétés, et, pour commencer, celles qui résultent de la comparaison des courbes conjuguées (0) et (0()). 14. Proposons-nous de calculer l'élément d'arc ds1 de (O1), ainsi que les rayons de courbure et de torsion ç, et cl de cette courbe. L'élément d'arc ds1 est parallèle au plan des oz du trièdre instantané et fait avec OX l'angle a. Donc AZ désignant la projection, déjà calculée (n° 12), du déplacement de O1 sur l'axe Oz. Concevons qu'un second trièdre instantané soit lié à la courbe (O1) comme le premier l'est à (O). Les axes OY seront communs à ces deux trièdres et nous supposerons que leurs parties positives soient dirigées dans le même sens. Les plans des XZ sont parallèles et les parties positives OX et O1X1 font entre elles l'angle constant a. De plus, les deux courbes étant réciproques, on passera évidemment de la seconde à la première en changeant h en — h et a en — a. Dès lors, d'après (10) En comparant, on a la relation Donc : Le produit des rayons de torsion de deux courbes conjuguées de M. Bertrand, en deux points correspondants, est constant. L'équation (11) détermine t,. Pour obtenir ç,, il suffit d'appliquer de nouveau la remarque ci-dessus en remplaçant dans (6) h par — h et a par — a, ce qui donne d'abord et ensuite, par l'élimination facile de x et -, entre (6), (11) et (12), Telles sont les relations que nous voulions obtenir. 15. Avant d'aller plus loin, il faut examiner les cas particuliers dans lesquels quelques-uns des coefficients A, B, C de la relation (7) sont nuls. 1° Si l'on suppose d'abord que C = 0, auquel cas
constant a. De plus, les deux courbes étant réciproques, on passera évidemment de la seconde à la première en changeant h en — h et a en — a. Dès lors, d'après (10) En comparant, on a la relation Donc : Le produit des rayons de torsion de deux courbes conjuguées de M. Bertrand, en deux points correspondants, est constant. L'équation (11) détermine t,. Pour obtenir ç,, il suffit d'appliquer de nouveau la remarque ci-dessus en remplaçant dans (6) h par — h et a par — a, ce qui donne d'abord et ensuite, par l'élimination facile de x et -, entre (6), (11) et (12), Telles sont les relations que nous voulions obtenir. 15. Avant d'aller plus loin, il faut examiner les cas particuliers dans lesquels quelques-uns des coefficients A, B, C de la relation (7) sont nuls. 1° Si l'on suppose d'abord que C = 0, auquel cas la relation (7) devient le problème est celui de la recherche des courbes pour lesquelles le rapport des courbures est constant. La considération de la développable de Lancret (première partie, n° 7) fournit immédiatement la définition géométrique de ces courbes, si l'on observe que la constance de l'angle µ signifie que cette développable est un cylindre, et, par suite, que la courbe (0), géodésique de cette surface cylindrique, est une hélice. Donc, les courbes pour lesquelles les courbures présentent un rapport constant sont des hélices tracées sur un cylindre quelconque. Nous mettrons dorénavant de côté le cas où C = 0. 2° Supposons, en second lieu, que B = 0. La relation (7) devient Cette hypothèse correspond donc aux courbes à courbure constante. Pour ces courbes, on a : Donc, lorsque la courbure d'une courbe est constante : 1° La courbe conjuguée a aussi sa courbure constante et chacune des deux courbes est le lieu des centres de courbure de l'autre ; 2° Les plans osculateurs de ces deux courbes en leurs points correspondants sont rectangulaires ; 3° Le troisième cas à examiner est celui dans lequel A = 0, auquel cas la relation (7) donne Ce cas se rapporte
que cette développable est un cylindre, et, par suite, que la courbe (0), géodésique de cette surface cylindrique, est une hélice. Donc, les courbes pour lesquelles les courbures présentent un rapport constant sont des hélices tracées sur un cylindre quelconque. Nous mettrons dorénavant de côté le cas où C = 0. 2° Supposons, en second lieu, que B = 0. La relation (7) devient Cette hypothèse correspond donc aux courbes à courbure constante. Pour ces courbes, on a : Donc, lorsque la courbure d'une courbe est constante : 1° La courbe conjuguée a aussi sa courbure constante et chacune des deux courbes est le lieu des centres de courbure de l'autre ; 2° Les plans osculateurs de ces deux courbes en leurs points correspondants sont rectangulaires ; 3° Le troisième cas à examiner est celui dans lequel A = 0, auquel cas la relation (7) donne Ce cas se rapporte aux courbes à torsion constante. On a alors Donc, lorsque la torsion d'une courbe est constante, cette courbe se confond avec sa conjuguée. En résumé, si l'on fait abstraction des hélices cylindriques, les cas particuliers qui viennent d'être signalés pour les courbes de M. Bertrand sont ceux des courbes à courbure constante ou à torsion constante. Dans le cas encore plus particulier où les deux courbures seraient simultanément constantes, la courbe coïnciderait avec une hélice tracée sur un cylindre de révolution et elle aurait une infinité de courbes conjuguées. Ce cas est visiblement le seul dans lequel cette circonstance se présente. 16. Le meilleur moyen pour former les équations des courbes de M. Bertrand, dans un système d'axes rectangulaires fixes, se déduit de la considération de leurs indicatrices sphériques. Nous allons maintenant étudier ces indicatrices qui mettront en évidence certaines propriétés caractéristiques des courbes qui font l'objet des recherches actuelles. Soient \(O, rO, zO\) les coordonnées instantanées du centre \(G\) de la sphère de rayon \(a\) sur laquelle on fait l'image de \((O)\), supposée d'abord quelconque. Ces coordonnées vérifient d'abord les équations \(B\) auxquelles satisfont les coordonnées de tous les points fixes de l'espace, savoir : Le point \(K\) de
courbure constante ou à torsion constante. Dans le cas encore plus particulier où les deux courbures seraient simultanément constantes, la courbe coïnciderait avec une hélice tracée sur un cylindre de révolution et elle aurait une infinité de courbes conjuguées. Ce cas est visiblement le seul dans lequel cette circonstance se présente. 16. Le meilleur moyen pour former les équations des courbes de M. Bertrand, dans un système d'axes rectangulaires fixes, se déduit de la considération de leurs indicatrices sphériques. Nous allons maintenant étudier ces indicatrices qui mettront en évidence certaines propriétés caractéristiques des courbes qui font l'objet des recherches actuelles. Soient \(O, rO, zO\) les coordonnées instantanées du centre \(G\) de la sphère de rayon \(a\) sur laquelle on fait l'image de \((O)\), supposée d'abord quelconque. Ces coordonnées vérifient d'abord les équations \(B\) auxquelles satisfont les coordonnées de tous les points fixes de l'espace, savoir : Le point \(K\) de l'indicatrice sphérique qui correspond à \(O\) est tel que \(GK\) est parallèle à la tangente \(OX\) de \((O)\), de telle sorte que les coordonnées instantanées de ce point sont Il en résulte, pour le déplacement du point \(K\), \(A\) en tenant compte des équations \(14\). Donc, la tangente en un point \(K\) de l'indicatrice sphérique d'une courbe quelconque \((O)\) est parallèle à la normale principale de \((O)\) au point \(O\) qui correspond à \(K\). De plus, l'élément \(da\) d'arc de cette indicatrice est lié à l'élément correspondant \(ds\) de la courbe par la relation Considérons maintenant les courbes de la sphère qui sont parallèles à l'indicatrice sphérique \((K)\) de \((O)\). On sait que deux courbes sphériques parallèles ont, en leurs points correspondants, même plan normal ; d'où il résulte que les rayons aboutissant en ces points correspondants sont dans le plan normal commun et font entre eux un angle constant. Envisageons ici la courbe \((KP)\) parallèle à l'indicatrice sphérique \((K)\) et relative à l'angle constant \(3\) que fait son rayon avec celui de \((K)\). Les coordonnées instantanées du point \(KP\) qui correspondent à \(K\) sont : en sorte qu'en tenant compte, comme précédemment, des équations \(14\), on aura pour le
point \(K\) de l'indicatrice sphérique d'une courbe quelconque \((O)\) est parallèle à la normale principale de \((O)\) au point \(O\) qui correspond à \(K\). De plus, l'élément \(da\) d'arc de cette indicatrice est lié à l'élément correspondant \(ds\) de la courbe par la relation Considérons maintenant les courbes de la sphère qui sont parallèles à l'indicatrice sphérique \((K)\) de \((O)\). On sait que deux courbes sphériques parallèles ont, en leurs points correspondants, même plan normal ; d'où il résulte que les rayons aboutissant en ces points correspondants sont dans le plan normal commun et font entre eux un angle constant. Envisageons ici la courbe \((KP)\) parallèle à l'indicatrice sphérique \((K)\) et relative à l'angle constant \(3\) que fait son rayon avec celui de \((K)\). Les coordonnées instantanées du point \(KP\) qui correspondent à \(K\) sont : en sorte qu'en tenant compte, comme précédemment, des équations \(14\), on aura pour le déplacement de \(KP\) : On vérifie ainsi que le plan normal à \((KP)\) au point \(Kp\) est le même que le plan normal à \((K)\) en \(K\), et, de plus, que l'élément d'arc \(daP\) de cette courbe parallèle est Ce plan normal commun aux courbes \((K)\) et \((KP)\) est parallèle au plan rectifiant de \((O)\) en \(O\). Sa caractéristique, qui est la droite polaire de \((K)\) et \((KP)\) est donc parallèle à la droite de la développable de Lancret relative à \((O)\) en \(O\), de telle sorte que si l'on désigne par \(\mu\) l'angle formé par \(GK\) avec la droite polaire \(GL\), laquelle passe d'ailleurs par le centre \(G\) de la sphère, cet angle est celui que nous avons considéré au n° \(6\) sous le nom de \(\mu\); d'où Les rayons de courbure \(r\) et \(rP\) des courbes sphériques \((K)\) et \((KP)\) étant les distances des points \(K\) et \(Kp\) à la droite polaire \(GL\), on a, entre ces rayons et les éléments d'arc de \(dsp\), les relations Les formules \(15\), \(16\), \(17\) et \(18\) conviennent à des courbes quelconques. Cherchons maintenant la condition pour que parmi les courbes parallèles à l'indicatrice sphérique d'une courbe \((O)\) l'une d'elles soit égale
au plan rectifiant de \((O)\) en \(O\). Sa caractéristique, qui est la droite polaire de \((K)\) et \((KP)\) est donc parallèle à la droite de la développable de Lancret relative à \((O)\) en \(O\), de telle sorte que si l'on désigne par \(\mu\) l'angle formé par \(GK\) avec la droite polaire \(GL\), laquelle passe d'ailleurs par le centre \(G\) de la sphère, cet angle est celui que nous avons considéré au n° \(6\) sous le nom de \(\mu\); d'où Les rayons de courbure \(r\) et \(rP\) des courbes sphériques \((K)\) et \((KP)\) étant les distances des points \(K\) et \(Kp\) à la droite polaire \(GL\), on a, entre ces rayons et les éléments d'arc de \(dsp\), les relations Les formules \(15\), \(16\), \(17\) et \(18\) conviennent à des courbes quelconques. Cherchons maintenant la condition pour que parmi les courbes parallèles à l'indicatrice sphérique d'une courbe \((O)\) l'une d'elles soit égale en arc à la courbe proposée. Il faut et il suffit pour cela que l'on puisse déterminer la constante \(g\) de façon que l'égalité ait lieu pour tous les points de la courbe \((O)\), c'est-à-dire que celle-ci soit une courbe de M. Bertrand. Inversement, si l'on donne une pareille courbe définie par la relation \(6\), cette courbe sera égale en arc à la courbe parallèle à son indicatrice sphérique, celle-ci étant tracée sur une sphère dont le rayon est la courbe parallèle, étant définie par l'angle constant de telle sorte que cette courbe \(KP_2\) est la courbe sphérique (v —; supplémentaire de l'indicatrice sphérique \(KP_1\) de la courbe \((O)\), conjuguée de \((O)\). De là résultent les conséquences suivantes : 1° La courbe de M. Bertrand la plus générale définie par la relation s'obtient en prenant une courbe \((K)\) arbitraire tracée sur une h sphère dont le rayon \(a\) est égal à —, et en cherchant la courbe qui satisfait à la double condition d'admettre \((K)\) pour indicatrice sphérique et d'avoir son arc égal à celui de la courbe \((KP)\) parallèle à la première. 2° Si l'on désigne, dans un système d'axes rectangulaires quelconques, par \(x_0\), \(y_0\), \(z_0\) les coordonnées d'un
définie par la relation \(6\), cette courbe sera égale en arc à la courbe parallèle à son indicatrice sphérique, celle-ci étant tracée sur une sphère dont le rayon est la courbe parallèle, étant définie par l'angle constant de telle sorte que cette courbe \(KP_2\) est la courbe sphérique (v —; supplémentaire de l'indicatrice sphérique \(KP_1\) de la courbe \((O)\), conjuguée de \((O)\). De là résultent les conséquences suivantes : 1° La courbe de M. Bertrand la plus générale définie par la relation s'obtient en prenant une courbe \((K)\) arbitraire tracée sur une h sphère dont le rayon \(a\) est égal à —, et en cherchant la courbe qui satisfait à la double condition d'admettre \((K)\) pour indicatrice sphérique et d'avoir son arc égal à celui de la courbe \((KP)\) parallèle à la première. 2° Si l'on désigne, dans un système d'axes rectangulaires quelconques, par \(x_0\), \(y_0\), \(z_0\) les coordonnées d'un point quelconque de \((K)\), lesquelles dépendent d'une seule fonction arbitraire d'une variable et sont liées par la relation les coordonnées \(x\), \(y\), \(z\) du point correspondant \(O\) de \((O)\) seront données visiblement par les formules que fournit immédiatement le théorème des projections, ou par celles-ci qu'on en déduit, en remarquant, d'après les formules du numéro précédent, que Dans ces formules, il n'intervient, en dehors des constantes \(a\) et \(h\), que les éléments de l'indicatrice sphérique \((K)\), puisque \(da\) est l'élément d'arc de cette indicatrice sphérique et \(\mu\) l'angle du rayon \(GK\) avec la caractéristique \(GL\) du plan normal de cette courbe. De plus, les équations \(6\) et \(17\) fourniront les valeurs des rayons de courbure et de torsion de la courbe cherchée. On trouve aisément les formules suivantes : pour exprimer \(ç\) et \(T\) en fonction des données de la question. Examinons maintenant les cas particuliers. Si la courbe est à courbure constante, \(ar^2\), et réciproquement. Donc, pour qu'une courbe soit à courbure constante, il faut et il suffit qu'elle soit égale en arc à son indicatrice sphérique. Dans ce cas, on a ; pour déterminer les éléments de cette courbe en fonction de ceux de son image sphérique. Si
d'après les formules du numéro précédent, que Dans ces formules, il n'intervient, en dehors des constantes \(a\) et \(h\), que les éléments de l'indicatrice sphérique \((K)\), puisque \(da\) est l'élément d'arc de cette indicatrice sphérique et \(\mu\) l'angle du rayon \(GK\) avec la caractéristique \(GL\) du plan normal de cette courbe. De plus, les équations \(6\) et \(17\) fourniront les valeurs des rayons de courbure et de torsion de la courbe cherchée. On trouve aisément les formules suivantes : pour exprimer \(ç\) et \(T\) en fonction des données de la question. Examinons maintenant les cas particuliers. Si la courbe est à courbure constante, \(ar^2\), et réciproquement. Donc, pour qu'une courbe soit à courbure constante, il faut et il suffit qu'elle soit égale en arc à son indicatrice sphérique. Dans ce cas, on a ; pour déterminer les éléments de cette courbe en fonction de ceux de son image sphérique. Si la courbe est à torsion constante, \(a=0\), et réciproquement. Donc, pour qu'une courbe soit à torsion constante, il faut et il suffit qu'elle soit égale en arc à la courbe supplémentaire de son indicatrice sphérique. Les formules générales donnent, dans ce cas, en supposant que le rayon \(a\) de la sphère soit égal à la valeur constante de \(T\), Il importe de remarquer que les constantes introduites par les intégrations étant évidemment sans influence sur la forme et l'orientation de la courbe qu'on en déduit, à une courbe sphérique donnée choisie comme indicatrice correspondent une infinité de courbes de M. Bertrand, caractérisées par la valeur de la constante \(a\). La comparaison des formules avec celles qui sont relatives aux deux courbes, l'une à courbure constante, THÉORIE DES COURBES GAUCHES. 253 l'autre à torsion constante ayant pour indicatrice la courbe sphérique proposée, montre que Ces relations permettent, comme l'a établi M. Bioche, de construire très simplement la courbe la plus générale de M. Bertrand, ayant une indicatrice donnée, quand on connaît les courbes à courbure et à torsion constante qui font partie de la même famille. La démonstration de la réciproque n'offrirait pas plus de difficulté. 18. Reprenons la courbe (O)
sphère soit égal à la valeur constante de \(T\), Il importe de remarquer que les constantes introduites par les intégrations étant évidemment sans influence sur la forme et l'orientation de la courbe qu'on en déduit, à une courbe sphérique donnée choisie comme indicatrice correspondent une infinité de courbes de M. Bertrand, caractérisées par la valeur de la constante \(a\). La comparaison des formules avec celles qui sont relatives aux deux courbes, l'une à courbure constante, THÉORIE DES COURBES GAUCHES. 253 l'autre à torsion constante ayant pour indicatrice la courbe sphérique proposée, montre que Ces relations permettent, comme l'a établi M. Bioche, de construire très simplement la courbe la plus générale de M. Bertrand, ayant une indicatrice donnée, quand on connaît les courbes à courbure et à torsion constante qui font partie de la même famille. La démonstration de la réciproque n'offrirait pas plus de difficulté. 18. Reprenons la courbe (O) et la courbe sphérique K, parallèle à son image sphérique, dont l'élément d'arc est égal à l'élément d'arc de (O) et perpendiculaire à celui-ci. Considérons la développable (D), dont (O) est l'arête de rebroussement, et la développable A enveloppe des plans menés par les tangentes de la courbe /K parallèlement aux plans osculateurs de (O). Cette développable A est visiblement circonscrite à une sphère concentrique à celle qui contient la courbe sphérique, la distance de l'un quelconque de ses plans tangents au centre G étant égale à a sin a - h, puisque tous ces plans coupent la sphère sous l'angle constant a. Soit, de plus, S l'arête de rebroussement de A. Appliquons sur un plan les deux développables D et A en conservant, ce qui est possible, le parallélisme des génératrices correspondantes. La développable D fournira une courbe (o) transformée de (O), avec le système de ses tangentes. La développable A fournira pareillement une courbe (c) transformée de 2, le système des tangentes de (a) parallèles aux tangentes de (o) aux points correspondants, et, enfin, une courbe (h) transformée de la courbe sphérique, laquelle courbe (h) coupera orthogonalement les tangentes de (a) et sera égale en arc à (o).