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la bibliographie. Langue Le français est la langue normalement utilisée dans les Comptes rendus. Toutefois, un quart du texte de la Note au plus peut être consacré à un long résumé en anglais. De plus, les auteurs étrangers non francophones peuvent présenter une Note de trois pages au plus dans une langue usant des caractères latins complétée par un long résumé — une page au moins — en français. (*) Pour plus de détails, voir le règlement complet des Comptes rendus de l'Académie des Sciences (référence...) qui paraîtra dans le premier numéro de chaque semaine. (**) La liste des rubriques est donnée dans le premier numéro de 1984. COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES Série I : Mathématiques Série II : Mécanique, Physique, Chimie, Sciences de l'Univers, Sciences de la Terre Série III : Sciences de la vie Tarif d'abonnements. France 1984 Vol. 298 + 299 40 numéros Une série 570 F Pour l'Étranger les tarifs postaux par voie normale sont inclus. Sur demande, Deux séries groupées 2 820 F l'envoi par avion sera facturé en sus. En 1984, le service de la Série générale « La Trois séries (I, II, III) 3 540 F Vie des Sciences » est assuré gracieusement à tous les abonnés. Adresser les commandes à : C.D.R., Centrale des Revues, 11, rue Gossin, 92543 Montrouge Cedex France Envoi de spécimen sur demande English text on inside back cover Série I : MATHEMATIQUE TOME 298 — SÉRIE I — N° 14 — 14 AVRIL 1984 "Reproduction in whole or in part without the permission of the author or his representative is prohibited (law of March 11, 1957, Article 40, Line 1). Such reproduction by whatever means, constitutes an infringement forbidden by Article 425 and those following it, of the Penal Code. The law of March 11, 1957, Articles 2 and 3 of Article 41, authorizes only those copies or reproductions made for the exclusive use of the copyist, and not intended for collective use, and such analyses and short quotations as are made for the purposes of an example or illustration." "Toute représentation ou reproduction, intégrale
assuré gracieusement à tous les abonnés. Adresser les commandes à : C.D.R., Centrale des Revues, 11, rue Gossin, 92543 Montrouge Cedex France Envoi de spécimen sur demande English text on inside back cover Série I : MATHEMATIQUE TOME 298 — SÉRIE I — N° 14 — 14 AVRIL 1984 "Reproduction in whole or in part without the permission of the author or his representative is prohibited (law of March 11, 1957, Article 40, Line 1). Such reproduction by whatever means, constitutes an infringement forbidden by Article 425 and those following it, of the Penal Code. The law of March 11, 1957, Articles 2 and 3 of Article 41, authorizes only those copies or reproductions made for the exclusive use of the copyist, and not intended for collective use, and such analyses and short quotations as are made for the purposes of an example or illustration." "Toute représentation ou reproduction, intégrale ou partielle, faite sans le consentement de l'auteur, ou de ses ayants-droits ou ayants-cause, est illicite (loi du 11 mars 1957, alinéa 1er de l'article 40). Cette représentation ou reproduction, par quelque procédé que ce soit, constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du code pénal. La loi du 11 mars 1957 n'autorise, aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 41, que les copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective d'une part et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'utilisation." © Académie des Sciences, Paris, 1984 CONTENTS 1984 — VOLUME 298 — SECTION I — N° 14 Group Theory Groups Acting Simply Transitively on a Homogeneous Tree and Embeddings in PGL2(k), Francis Choucroun. 313 We describe the groups which act simply transitively on a homogeneous tree. Our description provides embeddings of free products Z * ... * Z * Z/2 * ... * Z/2 in PGL2(k), where k is a y-adic field. Mathematical Analysis Quasi-analyticity and Weighted Polynomial Approximation, Guido I. Zapata 317 Some characterizations of quasi-analyticity are given with respect to closure properties of polynomials, and
loi du 11 mars 1957 n'autorise, aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 41, que les copies ou reproductions strictement réservées à l'usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective d'une part et, d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'utilisation." © Académie des Sciences, Paris, 1984 CONTENTS 1984 — VOLUME 298 — SECTION I — N° 14 Group Theory Groups Acting Simply Transitively on a Homogeneous Tree and Embeddings in PGL2(k), Francis Choucroun. 313 We describe the groups which act simply transitively on a homogeneous tree. Our description provides embeddings of free products Z * ... * Z * Z/2 * ... * Z/2 in PGL2(k), where k is a y-adic field. Mathematical Analysis Quasi-analyticity and Weighted Polynomial Approximation, Guido I. Zapata 317 Some characterizations of quasi-analyticity are given with respect to closure properties of polynomials, and some generalizations of classical results are obtained. Ordinary Differential Equations Ordinary or Weak Points, Explicit Points of Quadratic Systems, Paul Cwtz 321 Continuing [1] and [2], a condition is established for there to be only ordinary points other than the origin. We begin with the study of the explicit coordinate cases for four real critical points, including weak points other than the origin. On the Global Set of Solutions of a Nonlinear O.D.E., Mythily Ramaswamy 325 We study nonlinear O.D.E.'s of the type — u" = f(u) + Xg(x), with Dirichlet boundary conditions. Here f is a convex non-decreasing function with f(0)=0, f'(0) = 0, lim f(s)/s = ∞ and g is a positive function in (0,1). In particular, for the equation: —u"= u^p + X, a complete and global description of the set of solutions is given (infinite number of bifurcation points and turning points). Functional Analysis Minimax Theorems, Andrzej Granas and Fon-Che-Liu 329 In this Note we announce certain new minimax theorems. The proofs of these results involve fixed point and coincidence theorems for set-valued maps. The results obtained have a number of useful consequences. Optimal Control A Counter-Example to a Conjecture in the Class of Singular Optimal
cases for four real critical points, including weak points other than the origin. On the Global Set of Solutions of a Nonlinear O.D.E., Mythily Ramaswamy 325 We study nonlinear O.D.E.'s of the type — u" = f(u) + Xg(x), with Dirichlet boundary conditions. Here f is a convex non-decreasing function with f(0)=0, f'(0) = 0, lim f(s)/s = ∞ and g is a positive function in (0,1). In particular, for the equation: —u"= u^p + X, a complete and global description of the set of solutions is given (infinite number of bifurcation points and turning points). Functional Analysis Minimax Theorems, Andrzej Granas and Fon-Che-Liu 329 In this Note we announce certain new minimax theorems. The proofs of these results involve fixed point and coincidence theorems for set-valued maps. The results obtained have a number of useful consequences. Optimal Control A Counter-Example to a Conjecture in the Class of Singular Optimal Control Problems, Françoise Lamnabhi-Lagarrigue 333 Some optimal trajectories include both non-singular and singular arcs. At points where these two types of arcs are joined, certain necessary conditions are known. However, one theorem in the literature is questionable for a certain range of parameter values. We propose here a counter-example showing its limitation. Algebraic Geometry Central Nullstellensatz, Christiane Saliba 337 In this Note, we prove the central Nullstellensatz of real algebraic geometry. Our proof is based on the theory of real spectrum and renders obsolete the first proof (unpublished) which used valuation rings [1]. In [2], p. 95, we prove a slightly more general result. Differential Geometry Totally Geodesic Foliations of Dimension 1, 2 or 3, Grant Cairns 341 Let S be a totally geodesic foliation on a compact connected manifold M. We have studied the global geometry of (M, S) in [2]. We give here certain consequences of this study and, by using the method employed by Molino in his classification of Riemannian foliations of small codimension (see [3]), we obtain precise indications concerning the geometry of (M, S) when S has dimension 1, 2 or 3. Statistics Local Properties of a Parameter. Application to Estimation, Alain Berlinet 345 We
its limitation. Algebraic Geometry Central Nullstellensatz, Christiane Saliba 337 In this Note, we prove the central Nullstellensatz of real algebraic geometry. Our proof is based on the theory of real spectrum and renders obsolete the first proof (unpublished) which used valuation rings [1]. In [2], p. 95, we prove a slightly more general result. Differential Geometry Totally Geodesic Foliations of Dimension 1, 2 or 3, Grant Cairns 341 Let S be a totally geodesic foliation on a compact connected manifold M. We have studied the global geometry of (M, S) in [2]. We give here certain consequences of this study and, by using the method employed by Molino in his classification of Riemannian foliations of small codimension (see [3]), we obtain precise indications concerning the geometry of (M, S) when S has dimension 1, 2 or 3. Statistics Local Properties of a Parameter. Application to Estimation, Alain Berlinet 345 We define and study the local properties of a parameter in the sample space and the effect of conditioning an estimator with respect to a locally sufficient statistic. An application to density estimation is given. Mathematical Problems in Mechanics Conservation Laws of Inviscid Perfect Fluids: Higher Dimensions and Axisymmetric Case, Denis Serre 349 The Euler equation for inviscid incompressible fluid flow have a Hamiltonian structure in eulerian coordinates, due to P. J. Olver. The degeneracy of the symplectic structure provides a family of conservation laws: area integrals (2nd case) and total helicity (3rd case). One generalizes these results for any odd dimension, and axisymmetric three-dimensional case. The even dimensional case, due to L. Tartar, has motivated this work; it is also discussed. Cela se fera à l'aide du lemme suivant : LEMME. — Soit L un sommet de A, on suppose que d(L, L0)=n. Alors il existe n éléments bu . . ., bn de B tels que L = b1 . . . bn L0 et ces éléments satisfont à b1 bi+1 # 1 pour i= 1, . . ., n— 1. Réciproquement, étant donnés n éléments bu . . ., bn de B satisfaisant à b1 bi+1 # 1
Serre 349 The Euler equation for inviscid incompressible fluid flow have a Hamiltonian structure in eulerian coordinates, due to P. J. Olver. The degeneracy of the symplectic structure provides a family of conservation laws: area integrals (2nd case) and total helicity (3rd case). One generalizes these results for any odd dimension, and axisymmetric three-dimensional case. The even dimensional case, due to L. Tartar, has motivated this work; it is also discussed. Cela se fera à l'aide du lemme suivant : LEMME. — Soit L un sommet de A, on suppose que d(L, L0)=n. Alors il existe n éléments bu . . ., bn de B tels que L = b1 . . . bn L0 et ces éléments satisfont à b1 bi+1 # 1 pour i= 1, . . ., n— 1. Réciproquement, étant donnés n éléments bu . . ., bn de B satisfaisant à b1 bi+1 # 1 pour i = 1, . . ., n— 1, on a d (L, L0) = n pour le sommet L = bl . . . bn L0 de A. Preuve du lemme. — Le premier point se démontre par récurrence sur n = d (L0, L). Ce résultat est évident pour n= 1 ; on le suppose acquis pour n— 1 et l'on considère L tel que d (L, L0) = n. Il existe bi dans B tel que [L0, L] = [L, bi L0] et on a d (L0, bi L)=d (bi L0, L)=n—1. Le sommet bi L s'écrit donc bi+1 . . . bn L0 avec des bi dans B. On obtient L sous la forme voulue, en translatant bi L par biv. Dans l'expression ci-dessus, on a b1, bi+1 # 1, pour i= 1, . . ., n— 1, c'est-à-dire que L est l'image d'un mot réduit de b1, . . ., bn de longueur n. Dans le cas contraire, on pourrait extraire de la suite des bi une sous-suite b1, . . ., b'm telle que b1 . . . bn = b'1 . . . b'm avec m<n. Ayant posé L1 = b1 . .
pour n= 1 ; on le suppose acquis pour n— 1 et l'on considère L tel que d (L, L0) = n. Il existe bi dans B tel que [L0, L] = [L, bi L0] et on a d (L0, bi L)=d (bi L0, L)=n—1. Le sommet bi L s'écrit donc bi+1 . . . bn L0 avec des bi dans B. On obtient L sous la forme voulue, en translatant bi L par biv. Dans l'expression ci-dessus, on a b1, bi+1 # 1, pour i= 1, . . ., n— 1, c'est-à-dire que L est l'image d'un mot réduit de b1, . . ., bn de longueur n. Dans le cas contraire, on pourrait extraire de la suite des bi une sous-suite b1, . . ., b'm telle que b1 . . . bn = b'1 . . . b'm avec m<n. Ayant posé L1 = b1 . . . b'1 L0, on vérifierait que d (L1, L0) < n, car ce qui entraînerait d (L, L0) < m. On peut reformuler le résultat précédent en disant que l'image de l'ensemble Rn des mots réduits de longueur n par l'application /==/ (. ) L0 contient Sn : or le cardinal de Rn est égal à celui de Sn car Rn est la sphère de rayon n dans Ar, arbre homogène de type q+l, comme A. Il s'ensuit que /=/ induit une bijection de Rn sur Sn, ce qui démontre le lemme. Au cours de la démonstration du lemme on a vu que, si d (L, L0) = n et si L s'écrit b1 . . . bn L0, on a d(L, L') = 1 pour L' = b1 . . . bn L0 avec d (L0, L') = n +1 si bnbn # 1 et d (L0, L')=n—1 si bnbn=1. On voit donc que l'image d'une arête de l'arbre Ar s'est une arête de l'arbre A. Ceci démontre la première partie du théorème. Réciproquement, soit F un sous-groupe de G qui opère simplement transitivement sur A, on choisit un sommet L0 et l'on note B la partie de G
cardinal de Rn est égal à celui de Sn car Rn est la sphère de rayon n dans Ar, arbre homogène de type q+l, comme A. Il s'ensuit que /=/ induit une bijection de Rn sur Sn, ce qui démontre le lemme. Au cours de la démonstration du lemme on a vu que, si d (L, L0) = n et si L s'écrit b1 . . . bn L0, on a d(L, L') = 1 pour L' = b1 . . . bn L0 avec d (L0, L') = n +1 si bnbn # 1 et d (L0, L')=n—1 si bnbn=1. On voit donc que l'image d'une arête de l'arbre Ar s'est une arête de l'arbre A. Ceci démontre la première partie du théorème. Réciproquement, soit F un sous-groupe de G qui opère simplement transitivement sur A, on choisit un sommet L0 et l'on note B la partie de G formée des b de G tels que d (bL0, L0) = 1. On a B = B_1, car d (bh0, h0)=d (L0, b_1L0). Le groupe F opérant simplement transitivement sur A, on a BL0 = S1 et Card(B) = Card(Sx). La partie B vérifiant les hypothèses du théorème, le groupe r qu'elle engendre est simplement transitif sur A. Le groupe F et son sous-groupe r étant simplement transitifs sur A, sont égaux. Remarque. — La réciproque dans le théorème figure en partie dans [2]. 3. On va appliquer les résultats précédents à la construction de sous-groupes de PGL2 (k), où k est un corps local non archimédien. On désigne par (9 l'anneau des entiers de k, p son idéal maximal, m une uniformisante, k~ le corps résiduel dont on note q le cardinal. L'arbre A associé à PGL2(k) est constitué des classes de réseaux dans k2 à homothétie prés, deux sommets constituant une arête s'ils correspondent à deux réseaux L et L' tels que L H L' soit d'indice q dans L et dans L'. L'arbre A est homogène de type q + l, et PGL2(k) y opère par des isométries. On note L0 le sommet associé à G x
r qu'elle engendre est simplement transitif sur A. Le groupe F et son sous-groupe r étant simplement transitifs sur A, sont égaux. Remarque. — La réciproque dans le théorème figure en partie dans [2]. 3. On va appliquer les résultats précédents à la construction de sous-groupes de PGL2 (k), où k est un corps local non archimédien. On désigne par (9 l'anneau des entiers de k, p son idéal maximal, m une uniformisante, k~ le corps résiduel dont on note q le cardinal. L'arbre A associé à PGL2(k) est constitué des classes de réseaux dans k2 à homothétie prés, deux sommets constituant une arête s'ils correspondent à deux réseaux L et L' tels que L H L' soit d'indice q dans L et dans L'. L'arbre A est homogène de type q + l, et PGL2(k) y opère par des isométries. On note L0 le sommet associé à G x (9, L+ (resp L_) celui associé à p x & (resp (9 x p). Le sous-groupe PGL2(9) est le stabilisateur de L0, et opère sur la sphère unité S^ On peut munir St d'une structure de droite projective sur k~, l'action de PGL2(3) restreinte à St devenant celle de PGL2(£) agissant par homographies sur Pi(£) et l'homomorphisme de restriction n'est que l'homomorphe canode PGL2(C) sur PGL2(£) déduit de celui de 0 sur k~,=0/p. En conséquence la restriction de l'action de PGL2(C) à St est triplement transitive, d'après les propriétés des homographies. On désigne enfin par h (resp. w) l'élément de PGL2(£) représenté par la matrice Pour appliquer le théorème, et pour r et s deux entiers tels que 2r + s = q+, on choisit une expression de Sx sous la forme St = { L1 L[, . . ., Lr, L'r, ~L, . . ., ~S } ; d'après les propriétés ci-dessus, on sait qu'il existe dans PGL2 (0) des éléments gf et kj satisfaisant à g,-L+ = L; et g,L_ =L pour i= 1, . . . , r et kjL+ =L' pour j= 1, . . ., s. Il ne reste plus qu'à considérer les éléments /j.—gjJigf
agissant par homographies sur Pi(£) et l'homomorphisme de restriction n'est que l'homomorphe canode PGL2(C) sur PGL2(£) déduit de celui de 0 sur k~,=0/p. En conséquence la restriction de l'action de PGL2(C) à St est triplement transitive, d'après les propriétés des homographies. On désigne enfin par h (resp. w) l'élément de PGL2(£) représenté par la matrice Pour appliquer le théorème, et pour r et s deux entiers tels que 2r + s = q+, on choisit une expression de Sx sous la forme St = { L1 L[, . . ., Lr, L'r, ~L, . . ., ~S } ; d'après les propriétés ci-dessus, on sait qu'il existe dans PGL2 (0) des éléments gf et kj satisfaisant à g,-L+ = L; et g,L_ =L pour i= 1, . . . , r et kjL+ =L' pour j= 1, . . ., s. Il ne reste plus qu'à considérer les éléments /j.—gjJigf 1 et wj = kjwk]' 1, la partie B= {fj, . . ., hr, h'1, . . ., h'1, wj . . ., ws} et le sous-groupe de PGL2(£) engendré par B, et on a démontré : PROPOSITION. — Soit k un corps local non archimédien dont le corps résiduel a q éléments. Étant donnés deux entiers r et s satisfaisant à 2r + s = q+l, il existe un sous-groupe F tel que PGL2(£) =PGL2(0)r avec PGL2(£) HT= {1}, et un isomorphisme de Fr s sur F induisant un isomorphisme de Ar s sur l'arbre de PGL2(£), compatible avec les actions de ces groupes. Remarque. — La proposition ci-dessus précise et généralise un résultat de Ihara [3]. Les auteurs de [4] m'ont communiqué une Note où ils décrivent un plongement de \(0.p+1\) dans \(PGL_2(Q,)\). Le rapport explicite ci-dessus entre les groupes \(PGL_2 (k)\) et \(PSL_2 (k)\) avec conservation des arbres, permet de comparer les représentations qui s'expriment à l'aide des arbres, à savoir les séries principales non ramifiées de \(PGL_2 (k)\) et les restrictions à \(PSL_2 (k)\) des représentations définies dans [1] : on voit que les restrictions des premières sont égales aux secondes. En appliquant [2] et [4]
a q éléments. Étant donnés deux entiers r et s satisfaisant à 2r + s = q+l, il existe un sous-groupe F tel que PGL2(£) =PGL2(0)r avec PGL2(£) HT= {1}, et un isomorphisme de Fr s sur F induisant un isomorphisme de Ar s sur l'arbre de PGL2(£), compatible avec les actions de ces groupes. Remarque. — La proposition ci-dessus précise et généralise un résultat de Ihara [3]. Les auteurs de [4] m'ont communiqué une Note où ils décrivent un plongement de \(0.p+1\) dans \(PGL_2(Q,)\). Le rapport explicite ci-dessus entre les groupes \(PGL_2 (k)\) et \(PSL_2 (k)\) avec conservation des arbres, permet de comparer les représentations qui s'expriment à l'aide des arbres, à savoir les séries principales non ramifiées de \(PGL_2 (k)\) et les restrictions à \(PSL_2 (k)\) des représentations définies dans [1] : on voit que les restrictions des premières sont égales aux secondes. En appliquant [2] et [4] on voit que les restrictions aux sous-groupes \(F\) construits ci-dessus des représentations de la série principale unitaire non ramifiée et de la série complémentaire de \(PGL_2 (k)\) sont irréductibles. Inversement l'étude des représentations de \(PGL_2 (k)\) permet de déduire des résultats sur les représentations des groupes \(PSL_2\) du moins quand \(2r+s— 1\) est une puissance d'un nombre premier : on peut voir avec les notations de [1] que \(T_{IS}\) est uniformément borné pour \(Re(s)\) dans \([0,1]\) d'après [5]. On pourrait lever la restriction sur \(2r + s\) en généralisant les résultats de [5] au groupe \(G\). RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] F. CHOUCROUN, Comptes rendus, 296, série I, 1983, p. 585-588. [2] W. BETORI et M. PAGLIACCI, Boll. Un. Mat. It. (à paraître). [3] Y. IHARA, J. Math. Soc. Japon, 18, 1966, p. 219-235. [4] A. FIGA-TALAMANCA et M. PICARDELLO, J. Funct. Anal, 47, 1982, p. 281-304. [5] P. J. SALLY Jr, Amer. J. Math., 90, 1968, p. 406-443. Mathématique, Bât. 425, Université Paris-Sud, 91405 Orsay Cedex. C. R. Acad. Se. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 317 ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les classes quasi-analytiques et l'approximation polynomiale pondérée. Note de Guido I. Zapata, présentée par Paul Malliavin. Remise le
\(2r+s— 1\) est une puissance d'un nombre premier : on peut voir avec les notations de [1] que \(T_{IS}\) est uniformément borné pour \(Re(s)\) dans \([0,1]\) d'après [5]. On pourrait lever la restriction sur \(2r + s\) en généralisant les résultats de [5] au groupe \(G\). RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] F. CHOUCROUN, Comptes rendus, 296, série I, 1983, p. 585-588. [2] W. BETORI et M. PAGLIACCI, Boll. Un. Mat. It. (à paraître). [3] Y. IHARA, J. Math. Soc. Japon, 18, 1966, p. 219-235. [4] A. FIGA-TALAMANCA et M. PICARDELLO, J. Funct. Anal, 47, 1982, p. 281-304. [5] P. J. SALLY Jr, Amer. J. Math., 90, 1968, p. 406-443. Mathématique, Bât. 425, Université Paris-Sud, 91405 Orsay Cedex. C. R. Acad. Se. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 317 ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les classes quasi-analytiques et l'approximation polynomiale pondérée. Note de Guido I. Zapata, présentée par Paul Malliavin. Remise le 12 décembre 1983. On donne des caractérisations de la quasi-analyticité par rapport à des propriétés de fermeture de polynômes et on obtient des généralisations de résultats classiques. MATHEMATICAL ANALYSIS. — Quasi-analyticity and Weighted Polynomial Approximation. Some characterizations of quasi-analyticity are given with respect to closure properties of polynomials, and some generalizations of classical results are obtained. Étant donnée une suite \(M\) de nombres réels positifs, on note \(w_M\) la fonction sur \(\mathbb{R}\) définie par : \(w_M(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{M_n}{n!} x^n\) et on pose \(\zeta = w_M * M = (\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_n,\ldots)\). On dit que \(M\) est une suite \((D)\) si : \(M_n \leq n\zeta_{n+1}\) pour tout \(n\). Soit \(C^{\infty}(\mathbb{R})\) l'algèbre des fonctions complexes de classe \(C^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\). On désigne par \(L(M)\) l'espace vectoriel des fonctions \(f \in C^{\infty}(\mathbb{R})\) qui vérifient la propriété suivante : il existe un nombre \(r > 0\) (dépendant de \(f\)) tel que chaque \(f^{(n)}\) est intégrable et la suite : \(\left(\frac{f^{(n)}(x)}{n!}\right)_{n=0}^{\infty}\) est bornée. Pour \(p \geq 1\) et \(r > 0\) on note \(C^{p,r}(M)\) l'espace vectoriel des fonctions \(f \in C^{\infty}(\mathbb{R})\) telles que \(f^{(n)} \in L^p(\mathbb{R})\) pour tout \(n\) et la suite : \(\left(\frac{f^{(n)}(x)}{n!}\right)_{n=0}^{\infty}\) est bornée. On pose \(C^{\infty,0}(M) = C(M)\). Il est clair que \(s