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plus général. 9e SÉRIE. — TOME IV. 38 498 MÉMOIRES. ### CORRECTION ### L'étude de la congruence de droites se fera d'après les principes exposés par M. Ribaucour et que nous allons reprendre dans le cas actuel. Si l'on établit entre M et N une relation, on détermine, par les droites correspondant aux valeurs de u, v qui satisfont à cette relation, une surface réglée de la congruence. Or, si l'on appelle 8 l'angle que fait avec le plan des xz le plan tangent à cette surface réglée au point (x, y, z), on a : Cette formule nous donne immédiatement tous les éléments de la surface réglée considérée, relatifs à la génératrice D. Elle est de la forme : 492 MÉMOIRES. en posant : en introduisant l'indéterminée 0o. Si l'on détermine 60 par la condition : Nous retrouvons la formule de Chasles et les quantités 60, z0, Pd ont l'interprétation suivante : 80 est l'angle du plan central de la génératrice D avec le plan des xz ; z0 est la cote du point central ; Pd est le paramètre de distribution. Si l'on veut maintenant les points focaux et les plans focaux, il suffit d'écrire que la valeur de tg 6 est indépendante du rapport —, et il vient : dv Si l'on élimine 8 entre ces équations, il vient pour déterminer les points focaux : SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 493 c'est-à-dire : Si l'on élimine z entre les mêmes équations, il vient pour déterminer les plans focaux : Exprimons maintenant que tg 9 est indépendant de z; il vient : /for Si l'on élimine —— entre ces équations, on retrouve l'équation en tg 0 qui définit les plans focaux. Si l'on élimine 8, on aura l'image sphérique de la congruence : 6. SYSTÈME DE COORDONNÉES TANGENTIELLES. On peut déduire de ce qui précède, avec M. Ribaucour, un système de coordonnées tangentielles employé sous une forme particulière par M. O. Bonnet, et qui donne, par la particularisation du Z de la sphère, les deux systèmes introduits par M. Darboux Soit le complexe défini par les équations
de tg 6 est indépendante du rapport —, et il vient : dv Si l'on élimine 8 entre ces équations, il vient pour déterminer les points focaux : SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 493 c'est-à-dire : Si l'on élimine z entre les mêmes équations, il vient pour déterminer les plans focaux : Exprimons maintenant que tg 9 est indépendant de z; il vient : /for Si l'on élimine —— entre ces équations, on retrouve l'équation en tg 0 qui définit les plans focaux. Si l'on élimine 8, on aura l'image sphérique de la congruence : 6. SYSTÈME DE COORDONNÉES TANGENTIELLES. On peut déduire de ce qui précède, avec M. Ribaucour, un système de coordonnées tangentielles employé sous une forme particulière par M. O. Bonnet, et qui donne, par la particularisation du Z de la sphère, les deux systèmes introduits par M. Darboux Soit le complexe défini par les équations : Si l'on prend pour w une fonction donnée de M et v, on isole une congruence du complexe; si l'on prend pour w et v des fonctions données de M, on isole une surface du complexe. Proposons-nous, dans les deux cas, de traiter, à l'égard du complexe, une question analogue à celle qui conduit aux points focaux dans le cas d'une congruence ; 1° Une droite D du complexe étant considérée, peut-il arriver que les surfaces focales des différentes congruences du complexe qui passent par cette droite soient tangentes en un même point de cette droite ? Les points focaux et plans focaux de la congruence du complexe définie par une fonction w de M, V sont donnés par les équations : Les trois équations : détermineront les inconnues z et tg 0 ; si l'on élimine z et tg 0 entre ces trois équations, on aura la relation entre M, V, W. Le problème n'a donc de solution que pour les droites D satisfaisant à cette relation. On les appelle les droites singulières du complexe. Elles forment une congruence qui est dite la congruence des droites singulières. Sur une droite singulière D, il y a un point F
analogue à celle qui conduit aux points focaux dans le cas d'une congruence ; 1° Une droite D du complexe étant considérée, peut-il arriver que les surfaces focales des différentes congruences du complexe qui passent par cette droite soient tangentes en un même point de cette droite ? Les points focaux et plans focaux de la congruence du complexe définie par une fonction w de M, V sont donnés par les équations : Les trois équations : détermineront les inconnues z et tg 0 ; si l'on élimine z et tg 0 entre ces trois équations, on aura la relation entre M, V, W. Le problème n'a donc de solution que pour les droites D satisfaisant à cette relation. On les appelle les droites singulières du complexe. Elles forment une congruence qui est dite la congruence des droites singulières. Sur une droite singulière D, il y a un point F satisfaisant à la question posée et dont le z est défini par les équations (a). Toutes les congruences du complexe qui passent par la droite singulière D ont des surfaces focales passant par un même point F de D et admettant en ce point le même plan tangent P. En particulier, considérons la congruence du complexe formée par les droites singulières : si l'on donne le nom de surface de singularités à la surface lieu du point F, on voit que la surface de singularités est une des nappes de la surface focale de la congruence des droites singulières; au point F, la surface de singularités admet pour plan tangent le plan P. 2° Une droite D du complexe étant considérée, peut-on trouver un point sur cette droite tel qu'en ce point toutes les surfaces réglées du complexe passant par cette droite aient même plan tangent ? Si l'on remarque que les surfaces réglées du complexe sont des surfaces réglées des congruences du complexe, on voit que le problème proposé n'admet de solution que pour les droites singulières; toutes les surfaces réglées du complexe passant par une droite singulière D admettent au point F de cette droite le même plan
particulier, considérons la congruence du complexe formée par les droites singulières : si l'on donne le nom de surface de singularités à la surface lieu du point F, on voit que la surface de singularités est une des nappes de la surface focale de la congruence des droites singulières; au point F, la surface de singularités admet pour plan tangent le plan P. 2° Une droite D du complexe étant considérée, peut-on trouver un point sur cette droite tel qu'en ce point toutes les surfaces réglées du complexe passant par cette droite aient même plan tangent ? Si l'on remarque que les surfaces réglées du complexe sont des surfaces réglées des congruences du complexe, on voit que le problème proposé n'admet de solution que pour les droites singulières; toutes les surfaces réglées du complexe passant par une droite singulière D admettent au point F de cette droite le même plan tangent P. Au reste, il n'y a aucune difficulté à résoudre directement cette question. Considérant une droite D (M, V, W), le rapport : dw dv doit être indépendant de -— et de -—, ce qui donne : dM dM et on retombe sur les équations (a). On déduit de ce qui précède les propositions suivantes dont l'une nous sera utile : La surface de singularités d'un complexe est circonscrite à la surface focale de toute congruence de ce complexe. La surface de singularités d'un complexe touche en un nombre limité de points toute surface du complexe. Nous rappellerons, en terminant, comment on peut définir encore la surface de singularités du complexe. Les droites du complexe passant par un point de l'espace forment un cône qui est dit le cône du complexe relatif à ce point; les droites du complexe, situées dans un plan, enveloppent une courbe qui est dite la courbe du complexe relative à ce plan. Ceci posé, étant donnée une droite D, on peut se proposer de chercher si, pour un point de cette droite, le cône du complexe admet D comme droite double; la droite D doit être singulière et le point correspondant est le point
ce qui précède les propositions suivantes dont l'une nous sera utile : La surface de singularités d'un complexe est circonscrite à la surface focale de toute congruence de ce complexe. La surface de singularités d'un complexe touche en un nombre limité de points toute surface du complexe. Nous rappellerons, en terminant, comment on peut définir encore la surface de singularités du complexe. Les droites du complexe passant par un point de l'espace forment un cône qui est dit le cône du complexe relatif à ce point; les droites du complexe, situées dans un plan, enveloppent une courbe qui est dite la courbe du complexe relative à ce plan. Ceci posé, étant donnée une droite D, on peut se proposer de chercher si, pour un point de cette droite, le cône du complexe admet D comme droite double; la droite D doit être singulière et le point correspondant est le point F. De même, si l'on cherche une droite D qui soit tangente double de la courbe du complexe relative à un plan passant par cette droite, D doit être singulière et le plan correspondant est le plan P. RECHERCHE DES CONGRUENCES ISOTROPES QUI PEUVENT ÊTRE CONTENUES DANS UN COMPLEXE DE DROITES. Soient : les équations qui définissent un complexe de droites. Cherchons si, parmi les congruences du complexe, il y en a qui sont isotropes. Une congruence quelconque du complexe étant définie en prenant pour w une fonction de M et v, il nous faut chercher s'il existe des fonctions w définies par les deux équations aux dérivées partielles : Ces deux équations aux dérivées partielles auxquelles doit satisfaire une fonction w cherchée n'ont pas, en général, de solution commune. Car, s'il existe une fonction w satisfaisant à ces deux équations, les valeurs de -— (-—) et de -— (-) obtenues iviu ) iuiv ) en différentiant ces équations doivent être égales. Si l'on développe et si l'on remplace -—, -— par leurs valeurs, on trouve : 3M 3u 1° Supposons d'abord que cette condition ne soit pas vérifiée identiquement. Alors, elle fera connaître w et il faudra chercher si
DROITES. Soient : les équations qui définissent un complexe de droites. Cherchons si, parmi les congruences du complexe, il y en a qui sont isotropes. Une congruence quelconque du complexe étant définie en prenant pour w une fonction de M et v, il nous faut chercher s'il existe des fonctions w définies par les deux équations aux dérivées partielles : Ces deux équations aux dérivées partielles auxquelles doit satisfaire une fonction w cherchée n'ont pas, en général, de solution commune. Car, s'il existe une fonction w satisfaisant à ces deux équations, les valeurs de -— (-—) et de -— (-) obtenues iviu ) iuiv ) en différentiant ces équations doivent être égales. Si l'on développe et si l'on remplace -—, -— par leurs valeurs, on trouve : 3M 3u 1° Supposons d'abord que cette condition ne soit pas vérifiée identiquement. Alors, elle fera connaître w et il faudra chercher si les valeurs de w qu'elle détermine satisfont aux équations (2); en général, les valeurs de w définies par l'équation (3) ne sont pas des solutions communes des équations (2). Donc : Étant donné un complexe quelconque, l'équation (3) n'ayant pas lieu identiquement, parmi les congruences du complexe, il ne pourra y en avoir qu'un nombre limité qui seront isotropes et qui seront fournies par les valeurs de w qui satisfont à cette équation ; mais, si aucune de ces valeurs de w n'est solution commune des équations (2), il n'y aura aucune congruence du complexe qui sera isotrope. 2° Supposons maintenant que l'équation (3) soit identiquement vérifiée; les deux équations (2) admettront une solution commune qui contiendra une constante arbitraire. Ainsi : Il existe des complexes PARTICULIERS qui sont décomposables en une infinité de congruences isotropes ; par chaque droite du complexe passe une pareille congruence. Il nous est bien aisé de définir de pareils complexes, soit au point de vue géométrique, soit au point de vue analytique. Plaçons-nous d'abord au point de vue géométrique; par chaque droite du complexe passe une congruence isotrope ; la surface focale de cette congruence isotrope dépendra d'un paramètre, et, par suite : Les
y en avoir qu'un nombre limité qui seront isotropes et qui seront fournies par les valeurs de w qui satisfont à cette équation ; mais, si aucune de ces valeurs de w n'est solution commune des équations (2), il n'y aura aucune congruence du complexe qui sera isotrope. 2° Supposons maintenant que l'équation (3) soit identiquement vérifiée; les deux équations (2) admettront une solution commune qui contiendra une constante arbitraire. Ainsi : Il existe des complexes PARTICULIERS qui sont décomposables en une infinité de congruences isotropes ; par chaque droite du complexe passe une pareille congruence. Il nous est bien aisé de définir de pareils complexes, soit au point de vue géométrique, soit au point de vue analytique. Plaçons-nous d'abord au point de vue géométrique; par chaque droite du complexe passe une congruence isotrope ; la surface focale de cette congruence isotrope dépendra d'un paramètre, et, par suite : Les complexes considérés sont formés par les tangentes doubles d'une développable isotrope dépendant d'un paramètre variable. Réciproquement : Les tangentes doubles d'une développable isotrope dépendant d'un paramètre variable forment un complexe décomposable en une infinité de congruences isotropes. Nous pouvons ajouter à ceci une propriété géométrique des complexes considérés. Nous avons, en effet, démontré au § 8 que la surface de singularités d'un complexe est circonscrite à la surface focale de toute congruence de ce complexe. Donc : Si un complexe de droites est décomposable en une infinité de congruences isotropes, sa surface de singularités est une développable isotrope. Déterminons maintenant, d'une façon analytique, les complexes considérés. Si les équations représentent un pareil complexe, on peut trouver une fonction w dépendant d'une constante arbitraire telle que les équations représentent une congruence isotrope lorsqu'on fixe la valeur de la constante arbitraire. Effectuons le changement de variable qui consiste à introduire au lieu de w cette constante arbitraire, nous voyons que nous pouvons supposer les équations du complexe mises sous une forme telle que les congruences isotropes correspondent aux valeurs constantes de w. Les équations générales qui définissent les complexes considérés sont donc : SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. et si l'on
en effet, démontré au § 8 que la surface de singularités d'un complexe est circonscrite à la surface focale de toute congruence de ce complexe. Donc : Si un complexe de droites est décomposable en une infinité de congruences isotropes, sa surface de singularités est une développable isotrope. Déterminons maintenant, d'une façon analytique, les complexes considérés. Si les équations représentent un pareil complexe, on peut trouver une fonction w dépendant d'une constante arbitraire telle que les équations représentent une congruence isotrope lorsqu'on fixe la valeur de la constante arbitraire. Effectuons le changement de variable qui consiste à introduire au lieu de w cette constante arbitraire, nous voyons que nous pouvons supposer les équations du complexe mises sous une forme telle que les congruences isotropes correspondent aux valeurs constantes de w. Les équations générales qui définissent les complexes considérés sont donc : SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. et si l'on rapporte aux trois axes coordonnés oX, oY, oZ, en adoptant, soit les formules du § 2, soit celles du § 3, on a pour les équations d'une droite du complexe : d'où l'on déduira aisément les six coordonnées P, Q, R, P', Q', R', coefficients dans les équations de la droite : De ce qui précède, il résulte qu'étant donné un complexe de droites, on saura reconnaître par de simples opérations s'il est ou non décomposable en une infinité de congruences isotropes. Dans le cas affirmatif, la décomposition du complexe en congruences isotropes est ramenée, au point de vue analytique, à l'intégration du système d'équations aux dérivées partielles, c'est-à-dire, en définitive, à l'intégration d'une équation différentielle du premier ordre. Nous pouvons faire la remarque suivante : Considérons une congruence de courbes et supposons que les courbes qui la composent soient définies par des équations différentielles mises sous la forme : u, v, w désignant les coordonnées cartésiennes par rapport à trois axes rectangulaires. Le problème de la recherche des surfaces trajectoires orthogonales des courbes considérées est identique à celui de la recherche des congruences isotropes contenues dans le complexe (1). 10. RECHERCHE DES COMPLEXES LINÉAIRES DÉCOMPOSÉS EN UNE INFINITÉ DE
droite : De ce qui précède, il résulte qu'étant donné un complexe de droites, on saura reconnaître par de simples opérations s'il est ou non décomposable en une infinité de congruences isotropes. Dans le cas affirmatif, la décomposition du complexe en congruences isotropes est ramenée, au point de vue analytique, à l'intégration du système d'équations aux dérivées partielles, c'est-à-dire, en définitive, à l'intégration d'une équation différentielle du premier ordre. Nous pouvons faire la remarque suivante : Considérons une congruence de courbes et supposons que les courbes qui la composent soient définies par des équations différentielles mises sous la forme : u, v, w désignant les coordonnées cartésiennes par rapport à trois axes rectangulaires. Le problème de la recherche des surfaces trajectoires orthogonales des courbes considérées est identique à celui de la recherche des congruences isotropes contenues dans le complexe (1). 10. RECHERCHE DES COMPLEXES LINÉAIRES DÉCOMPOSÉS EN UNE INFINITÉ DE CONGRUENCES ISOTROPES. On peut se proposer de trouver parmi les complexes jouissant de propriétés déterminées ceux qui sont décomposables en une infinité de congruences isotropes. Par exemple, on pourra chercher parmi les complexes algébriques d'un ordre donné quels sont ceux qui sont décomposables en une infinité de congruences isotropes. Il ne sera pas inutile de donner une idée des calculs en prenant comme exemple le complexe linéaire. Supposons que l'axe oZ soit l'axe central d'un complexe linéaire défini par l'équation : en prenant les équations de la droite sous la forme : Cherchons l'équation du plan formé par les droites parallèles à oz. Il suffit de poser : SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. et le plan cherché sera défini par les équations : L'équation du plan considéré est donc : il est parallèle à oZ et oz. Son équation dans le système oxyz sera : Supposons que l'on particularise le X de la sphère en appliquant les formules du § 1 ; cette équation s'écrit : Ainsi, les droites du complexe linéaire parallèles à oz rencontrent le plan xoy en tous les points de la droite représentée par rapport au système OXYZ par les équations : Par rapport à
ne sera pas inutile de donner une idée des calculs en prenant comme exemple le complexe linéaire. Supposons que l'axe oZ soit l'axe central d'un complexe linéaire défini par l'équation : en prenant les équations de la droite sous la forme : Cherchons l'équation du plan formé par les droites parallèles à oz. Il suffit de poser : SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. et le plan cherché sera défini par les équations : L'équation du plan considéré est donc : il est parallèle à oZ et oz. Son équation dans le système oxyz sera : Supposons que l'on particularise le X de la sphère en appliquant les formules du § 1 ; cette équation s'écrit : Ainsi, les droites du complexe linéaire parallèles à oz rencontrent le plan xoy en tous les points de la droite représentée par rapport au système OXYZ par les équations : Par rapport à oxyz, cette droite sera représentée par les équations : Elle passe par les deux points : 506 MÉMOIRES. On peut écrire son équation dans le plan des xy : ou la définir par : Si l'on prend pour w une fonction donnée de M et v, ces formules définiront une congruence de droites faisant partie du complexe linéaire. Cherchons si la fonction w peut être déterminée de façon que la congruence soit isotrope. On a : Il faut donc examiner s'il est possible de déterminer une fonction w de M et v satisfaisant aux deux équations aux dérivées partielles : Exprimons que : SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. il vient, en différentiant : et, par conséquent, on doit avoir : 508 MÉMOIRES, ou : Si k est ≠ 0, il n'y aura aucune congruence isotrope contenue dans le complexe linéaire. Dans le cas où k=0, c'est-à-dire dans le cas où le complexe linéaire est spécial, la fonction w est définie par : h étant une constante. Les congruences isotropes sont définies par les équations On peut arriver au résultat précédent par un calcul un peu plus rapide. Une congruence isotrope peut être définie par les équations il faut donc
congruence de droites faisant partie du complexe linéaire. Cherchons si la fonction w peut être déterminée de façon que la congruence soit isotrope. On a : Il faut donc examiner s'il est possible de déterminer une fonction w de M et v satisfaisant aux deux équations aux dérivées partielles : Exprimons que : SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. il vient, en différentiant : et, par conséquent, on doit avoir : 508 MÉMOIRES, ou : Si k est ≠ 0, il n'y aura aucune congruence isotrope contenue dans le complexe linéaire. Dans le cas où k=0, c'est-à-dire dans le cas où le complexe linéaire est spécial, la fonction w est définie par : h étant une constante. Les congruences isotropes sont définies par les équations On peut arriver au résultat précédent par un calcul un peu plus rapide. Une congruence isotrope peut être définie par les équations il faut donc chercher si l'identité : peut avoir lieu, c'est-à-dire en remplaçant X, a", b", c" par leurs valeurs, si l'on peut avoir : ou encore : SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. Donnons à u une valeur constante, puis à v une valeur constante; on voit que, si les fonctions U et V existent, elles doivent être de la forme : où a, p, f sont des constantes. L'identité est impossible, à moins que kzz = 0, c'est-à-dire à moins que le complexe linéaire ne soit spécial. Supposons kzz = 0. Alors : La surface minima correspondante est définie par : c'est-à-dire : C'est une sphère de rayon nul; les coordonnées X, Y, Z. Z, du centre sont : Si l'on donne à h une valeur particulière, on a la congruence isotrope correspondante : Rapportons à oXYZ ; les équations d'une droite de la congruence par rapport aux axes fixes oX, oY, oZ sont : C'est une droite passant par le point fixe : SEANCE PUBLIQUE TENUE AU CAPITULE, SALLE DE L'ACADÉMIE LE DIMANCHE 12 JUIN 1892 ELOGE DE M. DE PLANET Par M. LEGOUX PRÉSIDENT. MESDAMES, MESSIEURS, Chaque année, à pareil jour, l'Académie des sciences, inscriptions et belles-lettres vous invite