jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
generalizations of classical results are obtained. Étant donnée une suite \(M\) de nombres réels positifs, on note \(w_M\) la fonction sur \(\mathbb{R}\) définie par : \(w_M(x) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{M_n}{n!} x^n\) et on pose \(\zeta = w_M * M = (\zeta_1,\zeta_2,\ldots,\zeta_n,\ldots)\). On dit que \(M\) est une suite \((D)\) si : \(M_n \leq n\zeta_{n+1}\) pour tout \(n\). Soit \(C^{\infty}(\mathbb{R})\) l'algèbre des fonctions complexes de classe \(C^{\infty}\) sur \(\mathbb{R}\). On désigne par \(L(M)\) l'espace vectoriel des fonctions \(f \in C^{\infty}(\mathbb{R})\) qui vérifient la propriété suivante : il existe un nombre \(r > 0\) (dépendant de \(f\)) tel que chaque \(f^{(n)}\) est intégrable et la suite : \(\left(\frac{f^{(n)}(x)}{n!}\right)_{n=0}^{\infty}\) est bornée. Pour \(p \geq 1\) et \(r > 0\) on note \(C^{p,r}(M)\) l'espace vectoriel des fonctions \(f \in C^{\infty}(\mathbb{R})\) telles que \(f^{(n)} \in L^p(\mathbb{R})\) pour tout \(n\) et la suite : \(\left(\frac{f^{(n)}(x)}{n!}\right)_{n=0}^{\infty}\) est bornée. On pose \(C^{\infty,0}(M) = C(M)\). Il est clair que \(s \geq 1\), \(C^{p,r}(M)\) est un sous-espace strict de \(L(M)\) et que \(L(M)\) contient des fonctions non bornées. Nous rappelons qu'un sous-espace \(V\) de \(C^{\infty}(\mathbb{R})\) est quasi-analytique si pour toute \(f \in V\), \(f \neq 0\), il n'existe aucun point de \(\mathbb{R}\) où \(f\) s'annule avec toutes ses dérivées. Le rôle de \(C(M)\) pour l'étude des classes quasi-analytiques de fonctions ainsi que le théorème de Denjoy-Carleman est bien connu. On verra que la description de la quasi-analyticité est liée aussi à des questions sur l'approximation polynomiale. Soit \(B(M)\) l'ensemble des fonctions \(gp\) où \(g \in C^{\infty}(\mathbb{R})\) tend vers zéro à l'infini ainsi que toutes ses dérivées et \(p\) est un polynôme. On vérifie que \(B(M)\) est une sous-algèbre de \(C^{\infty}(\mathbb{R})\) qui contient l'ensemble \(P(\mathbb{R})\) des polynômes complexes sur \(\mathbb{R}\) et qui contient également toute fonction \(f \in C^{\infty}(\mathbb{R})\) telle que chaque \(f^{(n)}\) est borné. Une semi-norme \(y\) sur \(B(\mathbb{R})\) est fondamentale si \(P(\mathbb{R})\) est \(y\)-dense dans \(B(\mathbb{R})\). Toutes les questions connues comme problèmes de Bernstein pour l'approximation polynomiale des fonctions ou distributions sur \(\mathbb{R}\), sont réduites à chercher des conditions nécessaires et suffisantes pour que une semi-norme \(y\) sur \(B(\mathbb{R})\) soit fondamentale (voir [3]). Pour une fonction continue \(v\) sur \(\mathbb{R}\)
de \(C(M)\) pour l'étude des classes quasi-analytiques de fonctions ainsi que le théorème de Denjoy-Carleman est bien connu. On verra que la description de la quasi-analyticité est liée aussi à des questions sur l'approximation polynomiale. Soit \(B(M)\) l'ensemble des fonctions \(gp\) où \(g \in C^{\infty}(\mathbb{R})\) tend vers zéro à l'infini ainsi que toutes ses dérivées et \(p\) est un polynôme. On vérifie que \(B(M)\) est une sous-algèbre de \(C^{\infty}(\mathbb{R})\) qui contient l'ensemble \(P(\mathbb{R})\) des polynômes complexes sur \(\mathbb{R}\) et qui contient également toute fonction \(f \in C^{\infty}(\mathbb{R})\) telle que chaque \(f^{(n)}\) est borné. Une semi-norme \(y\) sur \(B(\mathbb{R})\) est fondamentale si \(P(\mathbb{R})\) est \(y\)-dense dans \(B(\mathbb{R})\). Toutes les questions connues comme problèmes de Bernstein pour l'approximation polynomiale des fonctions ou distributions sur \(\mathbb{R}\), sont réduites à chercher des conditions nécessaires et suffisantes pour que une semi-norme \(y\) sur \(B(\mathbb{R})\) soit fondamentale (voir [3]). Pour une fonction continue \(v\) sur \(\mathbb{R}\) strictement positive et à croissance polynomiale, un nombre \(r > 0\), une application affine non constante \(u\) sur \(\mathbb{R}\) et un nombre \(p \geq 1\) ou \(p = \infty\), nous considérons la semi-norme sur \(B(\mathbb{R})\) donnée par : \(y(x) = \left(\sum_{n=0}^{\infty} v(n) |\sigma^n|^p\right)\) selon que \(p\) est fini ou infini respectivement. Alors on désigne par \(T(M)\) l'ensemble des semi-normes sur \(B(\mathbb{R})\) de la forme : \(y(x) = \left(\sum_{n=0}^{\infty} v_n |\sigma^n|^p\right)\) où chaque \(v_n\) est croissante [c'est-à-dire \(v_n (f) \geq v_n (g)\) dès que \(|f| \geq |g|\) pour tout \(n\), l'ensemble des \(n\) tels que \(v_n \neq 0\) est fini et il existe des semi-normes \(y'\) et \(y''\) du type (*) telles que \(y' \geq y''\). On note \(y_M\) la semi-norme dans \(T(M)\) donnée par : \(y_M(x) = \left(\sum_{n=0}^{\infty} M_n \zeta_n^p\right)\). Pour que \(y_M (L(M))\) soit une norme, il faut et il suffit que \(lim_{n \rightarrow \infty} M_n / n = 0\). Dans ce cas le complété de l'espace \((B(\mathbb{R}),y)\) admet souvent une représentation comme un espace de Banach de fonctions ou distributions sur \(\mathbb{R}\). THÉORÈME 1. — Pour \(y \in T(M)\) les conditions qui suivent sont équivalentes : (i) \(y\) est fondamentale. (ii) Il existe \(z_0 \in \mathbb{R}\) tel que
respectivement. Alors on désigne par \(T(M)\) l'ensemble des semi-normes sur \(B(\mathbb{R})\) de la forme : \(y(x) = \left(\sum_{n=0}^{\infty} v_n |\sigma^n|^p\right)\) où chaque \(v_n\) est croissante [c'est-à-dire \(v_n (f) \geq v_n (g)\) dès que \(|f| \geq |g|\) pour tout \(n\), l'ensemble des \(n\) tels que \(v_n \neq 0\) est fini et il existe des semi-normes \(y'\) et \(y''\) du type (*) telles que \(y' \geq y''\). On note \(y_M\) la semi-norme dans \(T(M)\) donnée par : \(y_M(x) = \left(\sum_{n=0}^{\infty} M_n \zeta_n^p\right)\). Pour que \(y_M (L(M))\) soit une norme, il faut et il suffit que \(lim_{n \rightarrow \infty} M_n / n = 0\). Dans ce cas le complété de l'espace \((B(\mathbb{R}),y)\) admet souvent une représentation comme un espace de Banach de fonctions ou distributions sur \(\mathbb{R}\). THÉORÈME 1. — Pour \(y \in T(M)\) les conditions qui suivent sont équivalentes : (i) \(y\) est fondamentale. (ii) Il existe \(z_0 \in \mathbb{R}\) tel que \(Y (P(z_0))\) est non borné dans \(C\), où \(PY(z_0) = \{ P(z_0) | P \in P(\mathbb{R}), y(P) > 0 \}\). (iii) \((y(x^n))\) est une suite \((D)\). (iv) \(M\) est une suite \((D)\), où \(M_n = y_M (x^n)\). THÉORÈME 2. — Pour que \(L(M)\) soit quasi-analytique, il suffit qu'il existe \(y \in T(M)\) fondamentale. Réciproquement, si \(C(M)\) est quasi-analytique, alors chaque \(y \in T(M)\) est fondamentale. Soit \(V\) un espace vectoriel tel que \(C(M) \subset V \subset L(M)\). COROLLAIRE 1. — \(V\) est quasi-analytique s'il existe \(y \in T(M)\) telle que \((y(x^n))\) est une suite \((D)\). Réciproquement, si \(V\) est quasi-analytique, alors \((y (x^n))\) est une suite \((D)\) pour chaque \(y \in T(M)\). COROLLAIRE 2. — Pour que \(V\) soit quasi-analytique, il faut et il suffit que \(M\) soit une suite \((D)\). En particulier, \(V\) est quasi-analytique si \(M\) est une suite \((D)\). COROLLAIRE 3. — \(V\) est quasi-analytique s'il existe une paire \((y, z) \in T(M) \times \mathbb{R}\) telle que \(PY(z)\) soit non borné. Réciproquement, si V est quasi-analytique, alors Py(z) est non borné pour chaque (y, z) ∈ F(M) × C R. COROLLAIRE 4. — Pour que V soit quasi-analytique, il suffit qu'il existe y ∈ (M) telle que
\in T(M)\) fondamentale. Réciproquement, si \(C(M)\) est quasi-analytique, alors chaque \(y \in T(M)\) est fondamentale. Soit \(V\) un espace vectoriel tel que \(C(M) \subset V \subset L(M)\). COROLLAIRE 1. — \(V\) est quasi-analytique s'il existe \(y \in T(M)\) telle que \((y(x^n))\) est une suite \((D)\). Réciproquement, si \(V\) est quasi-analytique, alors \((y (x^n))\) est une suite \((D)\) pour chaque \(y \in T(M)\). COROLLAIRE 2. — Pour que \(V\) soit quasi-analytique, il faut et il suffit que \(M\) soit une suite \((D)\). En particulier, \(V\) est quasi-analytique si \(M\) est une suite \((D)\). COROLLAIRE 3. — \(V\) est quasi-analytique s'il existe une paire \((y, z) \in T(M) \times \mathbb{R}\) telle que \(PY(z)\) soit non borné. Réciproquement, si V est quasi-analytique, alors Py(z) est non borné pour chaque (y, z) ∈ F(M) × C R. COROLLAIRE 4. — Pour que V soit quasi-analytique, il suffit qu'il existe y ∈ (M) telle que P(R) soit y-adhérente à C(M) dans B(R). Remarquons que si f est une fonction dans C(M) et m est un nombre entier positif, d'après le théorème de Carleman-Whitney il existe une fonction analytique g sur R telle que : Cependant, si C(M) est quasi-analytique on peut supposer que g soit un polynôme, et réciproquement. C. R. Acad. Se. Paris, t 298, Série I, n° 14, 1984 319 Soient E un espace de Banach complexe et f une fonction de classe C°° sur R à valeurs dans E. COROLLAIRE 5. — Pour que f soit nulle il suffit qu'il existe a ∈ U, r > 0 et p ∈ [1, +∞] tels que : (i) f(a) = 0 et f'(a) ∈ Lp(R; E) pour tout n, (ii) (|| f(n) ||p) est une suite (D). Pour obtenir les théorèmes ci-dessus on emploie des idées et résultats dans [1], [2] et [3]. On n'utilise pas le théorème de Denjoy-Carleman qui, en particulier, en est une conséquence (voir corollaire 2). RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] J.-P. FERRIER, Bull. Soc. Math. Fr., 96, 1968, p. 289-335. [2] G. I. ZAPATA, Ark. for Mat., 13, 1975, p. 255-262. [3] G. I. ZAPATA, Approx. Th. and Func. An., J.
un polynôme, et réciproquement. C. R. Acad. Se. Paris, t 298, Série I, n° 14, 1984 319 Soient E un espace de Banach complexe et f une fonction de classe C°° sur R à valeurs dans E. COROLLAIRE 5. — Pour que f soit nulle il suffit qu'il existe a ∈ U, r > 0 et p ∈ [1, +∞] tels que : (i) f(a) = 0 et f'(a) ∈ Lp(R; E) pour tout n, (ii) (|| f(n) ||p) est une suite (D). Pour obtenir les théorèmes ci-dessus on emploie des idées et résultats dans [1], [2] et [3]. On n'utilise pas le théorème de Denjoy-Carleman qui, en particulier, en est une conséquence (voir corollaire 2). RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] J.-P. FERRIER, Bull. Soc. Math. Fr., 96, 1968, p. 289-335. [2] G. I. ZAPATA, Ark. for Mat., 13, 1975, p. 255-262. [3] G. I. ZAPATA, Approx. Th. and Func. An., J. B. PROLLA éd., North-Holland, 1979, p. 429-443. Instituto de Matemática, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Caixa Postal 68530, 21.944, Rio de Janeiro, RJ, Brasil. ÉQUATIONS DIFFÉRÉNTIELLES. — Points ordinaires ou faibles, points explicites des systèmes quadratiques. Note de Paul Curtz, présentée par Maurice Roseau. Remise le 19 décembre 1983, acceptée le 30 janvier 1984. Continuant [1] et [2] on établit la condition pour n'avoir que des points ordinaires hors de l'origine. On débute l'étude des cas à coordonnées explicites pour quatre points singuliers réels dont celui des points faibles hors de l'origine. ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS. — Ordinary or Weak Points, Explicit Points of Quadratic Systems. Continuing [1] and [2], a condition is established for there to be only ordinary points other than the origin. We begin with the study of the explicit coordinate cases for four real critical points, including weak points other than the origin. I. POINTS ORDINAIRES HORS DE L'ORIGINE. — Lorsque ux et v, de (93) sont différents de zéro, on n'a que des points ordinaires. Quand : (301) u=0, on a soit un ou des cols faibles (ôt<0), soit des foyers faibles (û>0). Physiquement ces derniers sont des foyers pour les ordres un, deux et
acceptée le 30 janvier 1984. Continuant [1] et [2] on établit la condition pour n'avoir que des points ordinaires hors de l'origine. On débute l'étude des cas à coordonnées explicites pour quatre points singuliers réels dont celui des points faibles hors de l'origine. ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS. — Ordinary or Weak Points, Explicit Points of Quadratic Systems. Continuing [1] and [2], a condition is established for there to be only ordinary points other than the origin. We begin with the study of the explicit coordinate cases for four real critical points, including weak points other than the origin. I. POINTS ORDINAIRES HORS DE L'ORIGINE. — Lorsque ux et v, de (93) sont différents de zéro, on n'a que des points ordinaires. Quand : (301) u=0, on a soit un ou des cols faibles (ôt<0), soit des foyers faibles (û>0). Physiquement ces derniers sont des foyers pour les ordres un, deux et trois, des centres pour l'ordre quatre ([3], p. 160). Rappelons que deux points faibles coexistants excluent tout cycle limite [4], deux foyers faibles, centres exceptés, ne pouvant alors être que d'ordre un ([3], p. 162). 1. THÉORÈME DES POINTS ORDINAIRES. — Il vient, en posant : THÉORÈME. — Pour le système (50)-(51), si G, défini notamment par (307), est différent de zéro, les cols et les foyers hors de l'origine ne peuvent être qu'ordinaires. Dans l'exemple de [2], R1=260 et G =−576; pour quatre points singuliers réels, Berlinski [5] a établi, dans son troisième théorème, la non-coexistence d'un foyer et d'un centre; on a donc deux foyers ordinaires. 2. RELATION ENTRE LES U et LES v (i = 2, 3, 4). — Pour approfondir la structure des systèmes quadratiques, on établit la relation entre les u; et les v. De (96) et (101) on tire, en posant : La relation cherchée est particulièrement simple pour : Comme : on n'a plus qu'à remplacer le premier xt et le premier yt par les valeurs que fournissent (314) et (315). On pose d'abord : Nous excluons le cas : 3. CAS EXPLICITES. — Pour quatre points singuliers réels on appelle cas explicite
système (50)-(51), si G, défini notamment par (307), est différent de zéro, les cols et les foyers hors de l'origine ne peuvent être qu'ordinaires. Dans l'exemple de [2], R1=260 et G =−576; pour quatre points singuliers réels, Berlinski [5] a établi, dans son troisième théorème, la non-coexistence d'un foyer et d'un centre; on a donc deux foyers ordinaires. 2. RELATION ENTRE LES U et LES v (i = 2, 3, 4). — Pour approfondir la structure des systèmes quadratiques, on établit la relation entre les u; et les v. De (96) et (101) on tire, en posant : La relation cherchée est particulièrement simple pour : Comme : on n'a plus qu'à remplacer le premier xt et le premier yt par les valeurs que fournissent (314) et (315). On pose d'abord : Nous excluons le cas : 3. CAS EXPLICITES. — Pour quatre points singuliers réels on appelle cas explicite celui qui permet de calculer les coordonnées x2, yt (i = 2, 3, 4) sans résoudre d'équation du troisième degré. Ainsi pour b= 0 a-t-on x2 = 0, by2 = − c, les deux autres coordonnées étant racines d'une équation du deuxième degré. Parmi ces cas figurent notamment ceux des u, v, w multiples et ceux qui vérifient simplement les équations aux x, y, z. Aujourd'hui nous nous intéressons aux v multiples. De façon générale on a un v double quand A3, discriminant de l'équation (120), est nul sans que D le soit. Comme on peut écrire : Nx et N2 interviendront dans des formules ultérieures, on a un v double pour : Alors v = Vj, vk = vj, d'après (101) xt et xj = xt sont, en général, irrationnels conjugués ainsi que yt et yy Seul le cas unique de v, triple hors de l'origine : qui, d'après (101), implique : n'est pas explicite. Parmi les cas simples, en remarquant pour les deux premiers que c, racine de (120) nécessite : mentionnons : (a) Les racines de (120) différentes de c sont égales. On obtient : et la racine double : Les coordonnées correspondant à v3=c sont aisées
u, v, w multiples et ceux qui vérifient simplement les équations aux x, y, z. Aujourd'hui nous nous intéressons aux v multiples. De façon générale on a un v double quand A3, discriminant de l'équation (120), est nul sans que D le soit. Comme on peut écrire : Nx et N2 interviendront dans des formules ultérieures, on a un v double pour : Alors v = Vj, vk = vj, d'après (101) xt et xj = xt sont, en général, irrationnels conjugués ainsi que yt et yy Seul le cas unique de v, triple hors de l'origine : qui, d'après (101), implique : n'est pas explicite. Parmi les cas simples, en remarquant pour les deux premiers que c, racine de (120) nécessite : mentionnons : (a) Les racines de (120) différentes de c sont égales. On obtient : et la racine double : Les coordonnées correspondant à v3=c sont aisées à calculer : L'exemple traité en [2] correspond à ce cas; (323) a alors la forme particulière (ûj+9) ûj = 28 (ûj + 9), i=2, 3, 4 et ne fournit que M3 = -9. (b) c est racine double de (120). On obtient : La racine simple de (120) est : (c) v2= − c est racine de (120). D'où : et soit pour quatre points réels deux cols et deux anticols. II. POINTS FAIBLES HORS DE L'ORIGINE. — 1. On a respectivement un et deux points faibles hors de l'origine pour : Dans le premier cas si xj, yj sont les coordonnées de ce point : Par (72) ou par (81) on obtient une équation du deuxième degré avec une racine parasite. (72) donne : Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 Là encore nous avons un cas explicite, les valeurs de xj, yj et ce qui suit restant à écrire. Notons que temporairement on peut pour déterminer Vj se servir de ce que devient (323) pour (342) : l'exception étant : Exemple numérique : (− 2x + 3y − x2 + 2y2) dy = (9x−10y + 5x2 − 2xy − 4y2) dx, c=-1, D=-32, S = 28,
: (c) v2= − c est racine de (120). D'où : et soit pour quatre points réels deux cols et deux anticols. II. POINTS FAIBLES HORS DE L'ORIGINE. — 1. On a respectivement un et deux points faibles hors de l'origine pour : Dans le premier cas si xj, yj sont les coordonnées de ce point : Par (72) ou par (81) on obtient une équation du deuxième degré avec une racine parasite. (72) donne : Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 Là encore nous avons un cas explicite, les valeurs de xj, yj et ce qui suit restant à écrire. Notons que temporairement on peut pour déterminer Vj se servir de ce que devient (323) pour (342) : l'exception étant : Exemple numérique : (− 2x + 3y − x2 + 2y2) dy = (9x−10y + 5x2 − 2xy − 4y2) dx, c=-1, D=-32, S = 28, H2=-4, (D^=-18, O2=-4), U'3 = 2134 assurent quatre points réels sans x, y, v, double : deux cols, dont un à l'origine, et deux anticols. 49P=-836, 7Q=-384, 49ft = 20992 établissent d'après (245) l'absence de noeuds. G = 0, F=-128 et V=-W=-1048, soit v2 = 1, garantissent un foyer faible et un foyer ordinaire. Tout ceci peut être établi par x2 = y2 + 1. On notera l'analogie de cet exemple avec celui de Frommer [6], p. 407, (− y + 2xy − y2) dy = [x + (1 + e) x2 + 2xy − y2] dx pour lequel nous avons constaté que le cycle limite se maintient jusqu'à e0=0,2795. Dans le second, xj, yj et xk, yk étant les coordonnées des deux points faibles, xj et xk sont solution de (343). C'est toujours un cas explicite. 2. Pour plus de deux points faibles : soit : qui n'est pas un cas explicite. Les quatre u, sont nuls. De façon générale considérons (− y + 2rAxy + r5y2)dy = (x−x2 + s5y2)dx avec 2r4> 1. Les foyers faibles en (0, 0) et (1, 0) ont chacun un Dt de Frommer nul ([6], p. 415, lire 3 et non 6) pour
et un foyer ordinaire. Tout ceci peut être établi par x2 = y2 + 1. On notera l'analogie de cet exemple avec celui de Frommer [6], p. 407, (− y + 2xy − y2) dy = [x + (1 + e) x2 + 2xy − y2] dx pour lequel nous avons constaté que le cycle limite se maintient jusqu'à e0=0,2795. Dans le second, xj, yj et xk, yk étant les coordonnées des deux points faibles, xj et xk sont solution de (343). C'est toujours un cas explicite. 2. Pour plus de deux points faibles : soit : qui n'est pas un cas explicite. Les quatre u, sont nuls. De façon générale considérons (− y + 2rAxy + r5y2)dy = (x−x2 + s5y2)dx avec 2r4> 1. Les foyers faibles en (0, 0) et (1, 0) ont chacun un Dt de Frommer nul ([6], p. 415, lire 3 et non 6) pour r5(r4 + s5) = 0. r5 = 0 ou r4 + s5 = 0 impliquent un centre. Ainsi que l'annonce [3], à l'exclusion des centres, deux foyers faibles ne peuvent donc être que d'ordre un. Dans le cas de (347) on a deux centres. Si 2r4< 1, (0, 0) est un centre, (1, 0) un col faible. D'où pour (347), en tenant compte du troisième théorème de Berlinski, dont on s'est servi dans l'exemple numérique à un foyer faible, la répartition : (348) S>0 : deux cols faibles et deux centres, (349) S<0 : trois cols faibles et un centre. (*) Erratum : pour (212) lire x2 = -2p^ + y^. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] P. CURTZ, Ann. Scient. École Norm. Sup., 1980, p. 293-302. [2] P. CURTZ, Comptes rendus, 293, série I, 1981, p. 521-524. [3] Y. YE, J. Diff. Eq., 46, 1982, p. 153-164. [4] L. A. CHERKAS et L. I. ZHILEVICH, Diff. Urav., 8, 1972, p. 2271-2273. [5] A. N. BERLINSKI, ISZ. Vyss. Uc. Zav. Mat., 15, 1960, p. 3-18. [6] M. FROMMER, Math. Annalen, 109, 1934, p. 395-324. 30, rue Saint-Antoine, 75004 Paris. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 325 ÉQUATIONS
un centre, (1, 0) un col faible. D'où pour (347), en tenant compte du troisième théorème de Berlinski, dont on s'est servi dans l'exemple numérique à un foyer faible, la répartition : (348) S>0 : deux cols faibles et deux centres, (349) S<0 : trois cols faibles et un centre. (*) Erratum : pour (212) lire x2 = -2p^ + y^. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] P. CURTZ, Ann. Scient. École Norm. Sup., 1980, p. 293-302. [2] P. CURTZ, Comptes rendus, 293, série I, 1981, p. 521-524. [3] Y. YE, J. Diff. Eq., 46, 1982, p. 153-164. [4] L. A. CHERKAS et L. I. ZHILEVICH, Diff. Urav., 8, 1972, p. 2271-2273. [5] A. N. BERLINSKI, ISZ. Vyss. Uc. Zav. Mat., 15, 1960, p. 3-18. [6] M. FROMMER, Math. Annalen, 109, 1934, p. 395-324. 30, rue Saint-Antoine, 75004 Paris. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 325 ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES. — Comportement global des solutions d'une équation non linéaire. Note de Mythily Ramaswamy, présentée par Jacques-Louis Lions. Remise le 23 janvier 1984. On étudie dans cette Note le problème aux limites non linéaire de la forme : — u"=f(u) + Xg(x) dans [0,1] avec u(0) = u(1) = 0 où f est une fonction convexe croissante, avec f(0)=0, f'(0)=0, lim f(s)/s = co et g est une fonction positive dans [0, 1]. On s'attache en particulier au cas de l'équation : —u"=up~1u + X, pour lequel on obtient une description complète et globale des solutions (infinité de points de bifurcation et de retournement). ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS. — On the Global Set of Solutions of a Nonlinear O.D.E. We study nonlinear O.D.E.'s of the type —u"=f(u)+Xg(x), with Dirichlet boundary conditions. Here f is a convex non-decreasing function with f(0) = 0, f'(0) =0, lim f(s)/s = ao and g is a positive function in (0,1). In particular, for the equation: — u" = | u | p~1 u + X, a complete and global description of the set of solutions is given (infinité number of bifurcation points and turning points). 1. INTRODUCTION ET RAPPELS. — On considère le problème :