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O. *, inspecteur général des Ecoles vétérinaires, membre de l'Institut, avenue Jules-Janin, 10, Paris-Passy. 1872. M. ARLOING, *, directeur de l'École vétérinaire, à Lyon. 1875. M. FILHOL (Henri), *, docteur ès sciences et docteur en médecine, à Paris. 1876. M. WALLON (Edouard), docteur en droit, rue Villebourbon, 31, à Montauban. 1876. M. MILNE-EDWARDS (Alphonse), O. *, professeur-administrateur au Muséum d'histoire naturelle, rue Cuvier, 57, à Paris. 1876. M. VÉDRENES, C. *, inspecteur du service de santé en retraite, quai de la Guillotière, 12, à Lyon. 1880. M. BASTIÉ (Maurice), docteur en médecine, à Graulhet (Tarn). 1888. M. BEL (Jules), botaniste, à Saint-Sulpice-de-La-Pointe (Tarn). 1888. M. SICARD, docteur en médecine, avenue de la République, 1, à Béziers (Hérault). 1890. M. BOUILLET, docteur en médecine, place du Capus, 1, à Béziers (Hérault). 1891. M. WILLOTTE (Henri), ingénieur des ponts et chaussées, licencié ès sciences mathématiques, 18, rue du Château, à Brest. CLASSE DES INSCRIPTIONS ET BELLES-LETTRES. 1838. M. le comte DE MAS-LATRIE (L.), O. *, Chevalier de plusieurs Ordres étrangers, membre de l'Institut, boulevard Saint-Germain, 229, à Paris. 1845. M. RICARD (Adolphe), secrétaire général de la Société archéologique, rue Nationale, 4, à Montpellier. 1846. M. GARRIGOU (Adolphe), propriétaire, rue Valade, 38, à Toulouse. 1848. M. TEMPIER, avoué près le Tribunal civil, à Marseille. 1855. M. DE BARTHÉLÉMY, chevalier de plusieurs Ordres étrangers, ancien auditeur au Conseil d'État, rue de l'Université, 80, à Paris. 1863. M. ROSSIGNOL, homme de lettres, à Montans, par Gaillac (Tarn). 1863. M. BLADÉ, homme de lettres, à Agen. 1865. M. GUIBAL, $| I., doyen de la Faculté des lettres, à Aix. ÉTAT DES MEMBRES DE L'ACADÉMIE. XIII 1871. M. JOLIBOIS (Emile), ancien archiviste du département du Tarn, à Albi. 1872. M. DU BOURG (Antoine), rue du Vieux-Raisin, 31, à Toulouse. 1875. M. TAMIZEY DE LARROQUE, homme de lettres, correspondant de l'Institut, à Gontaud (Lot-et-Garonne). 1875. M. MAGEN, secrétaire perpétuel de la Société d'agriculture, sciences et arts, à Agen. 1875. M. l'abbé COUTURE, doyen de la Faculté libre des lettres, rue de la Fonderie, 31, à Toulouse. 1875. M. SERRET (Jules), avocat, homme de lettres, rue Jacquart, 1, à
Toulouse. 1848. M. TEMPIER, avoué près le Tribunal civil, à Marseille. 1855. M. DE BARTHÉLÉMY, chevalier de plusieurs Ordres étrangers, ancien auditeur au Conseil d'État, rue de l'Université, 80, à Paris. 1863. M. ROSSIGNOL, homme de lettres, à Montans, par Gaillac (Tarn). 1863. M. BLADÉ, homme de lettres, à Agen. 1865. M. GUIBAL, $| I., doyen de la Faculté des lettres, à Aix. ÉTAT DES MEMBRES DE L'ACADÉMIE. XIII 1871. M. JOLIBOIS (Emile), ancien archiviste du département du Tarn, à Albi. 1872. M. DU BOURG (Antoine), rue du Vieux-Raisin, 31, à Toulouse. 1875. M. TAMIZEY DE LARROQUE, homme de lettres, correspondant de l'Institut, à Gontaud (Lot-et-Garonne). 1875. M. MAGEN, secrétaire perpétuel de la Société d'agriculture, sciences et arts, à Agen. 1875. M. l'abbé COUTURE, doyen de la Faculté libre des lettres, rue de la Fonderie, 31, à Toulouse. 1875. M. SERRET (Jules), avocat, homme de lettres, rue Jacquart, 1, à Agen. 1876. M. LESPINASSE, O. *, président honoraire de la Cour d'appel de Pau. 1879. M. DE DUBOR (Georges), attaché à la Bibliothèque nationale, rue du Regard, 10, à Paris. 1881. M. CHEVALIER (Ulysse), *, O I., chanoine honoraire, à Romans (Drôme). 1882. M. l'abbé LARRIEU, ancien missionnaire apostolique en Chine, membre de plusieurs Sociétés savantes, curé à Montbardon, par Maubeuge (Gers). 1882. M. BOYER (A.), président du Tribunal de Lombez. 1882. M. TARDIEU (A.), Officier et Chevalier de plusieurs Ordres étrangers, de plusieurs Sociétés savantes, etc., à Herment (Puy-de-Dôme). 1883. M. MALINOWSKI (Jacques), O A., professeur en retraite, rue du Portail-Alban, 9, à Cahors. 1883. M. CABIÉ (E.), à Roqueserrière, par Montastruc (Haute-Garonne). 1885. M. ESPÉRANDIEU (E.-J.), *, O I., capitaine adjudant-major au 61e régiment d'infanterie, correspondant du Ministère de l'instruction publique, à Bastia (Corse). 1887. M. le marquis DE CROIZIER, O I., président de la Société académique indo-chinoise de France, grand-croix du Christ du Portugal et grand-officier de plusieurs ordres étrangers, boulevard de la Saussaie, 10, parc de Neuilly, à Paris. 1887. M. ANTONIN SOUCAILLE, président de la Société archéologique, scientifique et littéraire, avenue Saint-Pierre, 1, à Béziers (Hérault). 1888. M. Ed. FORESTIÉ, O A., archiviste de l'Académie
Chine, membre de plusieurs Sociétés savantes, curé à Montbardon, par Maubeuge (Gers). 1882. M. BOYER (A.), président du Tribunal de Lombez. 1882. M. TARDIEU (A.), Officier et Chevalier de plusieurs Ordres étrangers, de plusieurs Sociétés savantes, etc., à Herment (Puy-de-Dôme). 1883. M. MALINOWSKI (Jacques), O A., professeur en retraite, rue du Portail-Alban, 9, à Cahors. 1883. M. CABIÉ (E.), à Roqueserrière, par Montastruc (Haute-Garonne). 1885. M. ESPÉRANDIEU (E.-J.), *, O I., capitaine adjudant-major au 61e régiment d'infanterie, correspondant du Ministère de l'instruction publique, à Bastia (Corse). 1887. M. le marquis DE CROIZIER, O I., président de la Société académique indo-chinoise de France, grand-croix du Christ du Portugal et grand-officier de plusieurs ordres étrangers, boulevard de la Saussaie, 10, parc de Neuilly, à Paris. 1887. M. ANTONIN SOUCAILLE, président de la Société archéologique, scientifique et littéraire, avenue Saint-Pierre, 1, à Béziers (Hérault). 1888. M. Ed. FORESTIÉ, O A., archiviste de l'Académie des sciences, lettres et arts de Tarn-et-Garonne, rue de la République, 23, à Montauban. 1891 M. CAZAC (Henri), censeur au lycée de Tulle (Corrèze). XIV ÉTAT DES MEMBRES DE L'ACADÉMIE. CORRESPONDANTS ÉTRANGERS. CLASSE DES SCIENCES. 1856. M. PAQUE (A.), professeur de mathématiques à l'Athénée royal de Liège (Belgique), rue de Grétry, 65. 1856. M. CATALAN, professeur émérite à l'Université de Liège (Belgique), rue des Éburons, 21. 1860. M. BIERENS DE HAAN, professeur de mathématiques supérieures à l'Université de Leyde. 1871. M. BELLUCCI (Giuseppe), docteur en histoire naturelle, professeur de chimie à l'Université de Perugia (Italie). CLASSE DES INSCRIPTIONS ET BELLES-LETTRES. 1859. M. LEVY MARIA JORDAO, avocat général à la Cour de cassation du Portugal, à Lisbonne. NECROLOGIE. XV NÉCROLOGIE (AU 30 SEPTEMBRE 1892) ASSOCIES CORRESPONDANTS. 1840. M. DE QUATREFAGES, C. *, G. C. de Saint-Stanislas et C. de plusieurs ordres étrangers, membre de l'Institut, rue Geoffroy-Saint-Hilaire, 36, à Paris. 1880. M. ENDRÈS, O. *, inspecteur général honoraire des ponts et chaussées, rue du Val-de-Grâce, 9, à Paris. 1886. M. RIPOLL, ancien professeur à l'École de médecine de Toulouse, à Tarbes. 1866. M. DUBOIS (Edmond), O. *, examinateur hydrographe de la marine, rue Saint-Yves, 13, à Brest. 1850. M. BASCLE DE
Grétry, 65. 1856. M. CATALAN, professeur émérite à l'Université de Liège (Belgique), rue des Éburons, 21. 1860. M. BIERENS DE HAAN, professeur de mathématiques supérieures à l'Université de Leyde. 1871. M. BELLUCCI (Giuseppe), docteur en histoire naturelle, professeur de chimie à l'Université de Perugia (Italie). CLASSE DES INSCRIPTIONS ET BELLES-LETTRES. 1859. M. LEVY MARIA JORDAO, avocat général à la Cour de cassation du Portugal, à Lisbonne. NECROLOGIE. XV NÉCROLOGIE (AU 30 SEPTEMBRE 1892) ASSOCIES CORRESPONDANTS. 1840. M. DE QUATREFAGES, C. *, G. C. de Saint-Stanislas et C. de plusieurs ordres étrangers, membre de l'Institut, rue Geoffroy-Saint-Hilaire, 36, à Paris. 1880. M. ENDRÈS, O. *, inspecteur général honoraire des ponts et chaussées, rue du Val-de-Grâce, 9, à Paris. 1886. M. RIPOLL, ancien professeur à l'École de médecine de Toulouse, à Tarbes. 1866. M. DUBOIS (Edmond), O. *, examinateur hydrographe de la marine, rue Saint-Yves, 13, à Brest. 1850. M. BASCLE DE LAGRÈZE, *, conseiller doyen honoraire à la Cour d'appel de Pau, à Pau (Basses-Pyrénées). 1878. M. DESDEVISES DU DEZERT, *, O I., professeur honoraire de géographie à la Faculté des lettres de Caen, à Lessay (Manche). MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES INSCRIPTIONS ET BELLES-LETTRES DE TOULOUSE SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES DONT LE RAYON DE COURBURE ET LE RAYON DE TORSION SONT LIÉS PAR UNE RELATION ALGÉBRIQUE DONNÉE PAR M. H. MOLINS 1. Dans un Mémoire inséré au Journal de Liouville (2e série, t. XIX, p. 425), nous avons montré qu'on peut toujours obtenir, sous forme intégrable, les équations des courbes dont les rayons de courbure et de torsion sont liés par une relation donnée quelconque. C'est cette méthode, présentée avec des modifications qui la simplifient notablement, que nous nous proposons d'appliquer à la question actuelle. On verra, en effet, que les formules obtenues, dans le cas général, conduisent à une relation algébrique fort simple entre les deux rayons, à laquelle correspond une classe de courbes algébriques dont les équations s'offrent sous forme finie explicite. Ces courbes sont situées sur des ellipsoïdes ou des hyperboloïdes de révolution, et leurs projections sur le plan du plus grand ou du plus
COURBES ALGÉBRIQUES DONT LE RAYON DE COURBURE ET LE RAYON DE TORSION SONT LIÉS PAR UNE RELATION ALGÉBRIQUE DONNÉE PAR M. H. MOLINS 1. Dans un Mémoire inséré au Journal de Liouville (2e série, t. XIX, p. 425), nous avons montré qu'on peut toujours obtenir, sous forme intégrable, les équations des courbes dont les rayons de courbure et de torsion sont liés par une relation donnée quelconque. C'est cette méthode, présentée avec des modifications qui la simplifient notablement, que nous nous proposons d'appliquer à la question actuelle. On verra, en effet, que les formules obtenues, dans le cas général, conduisent à une relation algébrique fort simple entre les deux rayons, à laquelle correspond une classe de courbes algébriques dont les équations s'offrent sous forme finie explicite. Ces courbes sont situées sur des ellipsoïdes ou des hyperboloïdes de révolution, et leurs projections sur le plan du plus grand ou du plus petit parallèle sont des hypocycloïdes ou des épicycloïdes dont le cercle générateur roule sans glisser sur le même parallèle. On trouve, en outre, que leur arc indéfini s'exprime exactement par un arc de cercle, particularité très rare dans les courbes algébriques. 1. Lu dans la séance du 18 juin 1891. 9e SÉRIE. — TOME IV. MÉMOIRES. 1. Une courbe gauche étant rapportée à trois axes rectangulaires, soient, en un point (x, y, z), p son rayon de courbure, r son rayon de torsion, Ç l'angle que fait sa tangente avec la partie positive de l'axe des z. C'est cet angle Ç qui va nous servir de variable indépendante ; p et r seront d'abord supposés liés par une relation donnée quelconque, et nous admettrons, de plus, que p est une fonction de Ç qu'on prendra à volonté. C'est au moyen de ces deux données qu'il s'agit de déterminer sous forme intégrable les équations de la courbe cherchée. 2. Représentons cette courbe par HK, et soit M un quelconque de ses points. Menons par ce point trois droites, savoir : la tangente MT, une droite MN normale à la courbe, et une droite MZ parallèle à la partie positive de l'axe
9e SÉRIE. — TOME IV. MÉMOIRES. 1. Une courbe gauche étant rapportée à trois axes rectangulaires, soient, en un point (x, y, z), p son rayon de courbure, r son rayon de torsion, Ç l'angle que fait sa tangente avec la partie positive de l'axe des z. C'est cet angle Ç qui va nous servir de variable indépendante ; p et r seront d'abord supposés liés par une relation donnée quelconque, et nous admettrons, de plus, que p est une fonction de Ç qu'on prendra à volonté. C'est au moyen de ces deux données qu'il s'agit de déterminer sous forme intégrable les équations de la courbe cherchée. 2. Représentons cette courbe par HK, et soit M un quelconque de ses points. Menons par ce point trois droites, savoir : la tangente MT, une droite MN normale à la courbe, et une droite MZ parallèle à la partie positive de l'axe des z. Imaginons un triangle sphérique ABC déterminé par ces trois droites et situé sur une sphère d'un rayon égal à l'unité, qui aurait M pour centre. Ce triangle donne et puisque la droite MN est supposée perpendiculaire à MT, on a c = ~/2, en sorte que la formule précédente devient, en remplaçant b par Ç, 3. Appliquons d'abord cette relation au cas où MN serait la normale principale, et où, par conséquent, a serait l'angle que fait le rayon de courbure avec l'axe des z; A serait l'angle formé par le plan osculateur NMT avec le plan TMZ mené par la tangente parallèlement au même axe. Désignons par s l'arc de la courbe compté à partir d'un point fixe et aboutissant au point (x, y, z) ; on sait qu'on a cette autre expression de cos a : SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES. 3 et, en l'égalant à celle donnée par la formule (1), il vient En second lieu, appliquons la formule (1) au cas où la droite MN serait la binormale. Il faudra y remplacer A par (1/2+A), puisque le plan passant par la tangente et la binormale est perpendiculaire au plan osculateur; a devra être
précédente devient, en remplaçant b par Ç, 3. Appliquons d'abord cette relation au cas où MN serait la normale principale, et où, par conséquent, a serait l'angle que fait le rayon de courbure avec l'axe des z; A serait l'angle formé par le plan osculateur NMT avec le plan TMZ mené par la tangente parallèlement au même axe. Désignons par s l'arc de la courbe compté à partir d'un point fixe et aboutissant au point (x, y, z) ; on sait qu'on a cette autre expression de cos a : SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES. 3 et, en l'égalant à celle donnée par la formule (1), il vient En second lieu, appliquons la formule (1) au cas où la droite MN serait la binormale. Il faudra y remplacer A par (1/2+A), puisque le plan passant par la tangente et la binormale est perpendiculaire au plan osculateur; a devra être remplacé par l'angle a' que fait la binormale avec l'axe des z. Il viendra donc D'un autre côté, on a la formule connue ou bien, en y portant les valeurs de cos a et cos a' fournies par les équations (2) et (4), d'où résulte l'équation 4 MÉMOIRES. Or, p et r étant liés par une relation donnée, on peut considérer comme une fonction connue de p ; r/p sera donc aussi une fonction connue de p, et comme on prend pour p une fonction arbitraire de Ç, on voit que aura été exprimé en Ç. Il suit de là que l'équation (5) est une équation différentielle linéaire du premier ordre à deux variables Ç et sin A, dont l'intégrale générale déterminera sin A en fonction de Ç. On trouve, en désignant par C une constante arbitraire, 5. Les valeurs de p, cos A, tang A exprimées en Ç vont maintenant servir à déterminer celles de x, y, z. Représentons par 6 l'angle que fait le plan TMZ avec le plan des xz; les trois quantités quantités dy/ds, dz/ds s'expriment, comme on sait, au moyen des deux angles 6 et Ç par les formules suivantes : qui donnent SUR UNE
et r étant liés par une relation donnée, on peut considérer comme une fonction connue de p ; r/p sera donc aussi une fonction connue de p, et comme on prend pour p une fonction arbitraire de Ç, on voit que aura été exprimé en Ç. Il suit de là que l'équation (5) est une équation différentielle linéaire du premier ordre à deux variables Ç et sin A, dont l'intégrale générale déterminera sin A en fonction de Ç. On trouve, en désignant par C une constante arbitraire, 5. Les valeurs de p, cos A, tang A exprimées en Ç vont maintenant servir à déterminer celles de x, y, z. Représentons par 6 l'angle que fait le plan TMZ avec le plan des xz; les trois quantités quantités dy/ds, dz/ds s'expriment, comme on sait, au moyen des deux angles 6 et Ç par les formules suivantes : qui donnent SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES. 5 on en déduit On a, en outre, la formule qui devient, en ayant égard au résultat précédent, Remplaçant ds par l'expression —tirée de l'équation (3), COS A. on trouve Intégrant et désignant par 60 une constante arbitraire, il vient équation qui détermine 0 en fonction de Ç, puisque tang A a été obtenu en fonction de la même variable. 6. Maintenant, si dans les équations (7) on met pour ds sa valeur 6 MÉMOIRES. on est conduites aux équations Par de nouvelles intégrations on trouve enfin que la courbe cherchée est représentée par les équations xo, yo, zo étant des constantes arbitraires ; p sera d'ailleurs considéré, dans ces équations, comme une fonction de Z, qu'on se donnera à volonté. 7. Comme application de la méthode qui vient d'être exposée, P admettons que soit déterminé par la condition qu'on ait SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES. 7 p étant un nombre donné quelconque. La formule (8) devient On a, en outre, et, en substituant cette expression de sin A dans l'équation (6), on trouve d'où l'on tire par la différentiation 2 Telle est donc la valeur qu'il faut prendre pour —, afin qu'on r ait
de Ç, puisque tang A a été obtenu en fonction de la même variable. 6. Maintenant, si dans les équations (7) on met pour ds sa valeur 6 MÉMOIRES. on est conduites aux équations Par de nouvelles intégrations on trouve enfin que la courbe cherchée est représentée par les équations xo, yo, zo étant des constantes arbitraires ; p sera d'ailleurs considéré, dans ces équations, comme une fonction de Z, qu'on se donnera à volonté. 7. Comme application de la méthode qui vient d'être exposée, P admettons que soit déterminé par la condition qu'on ait SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES. 7 p étant un nombre donné quelconque. La formule (8) devient On a, en outre, et, en substituant cette expression de sin A dans l'équation (6), on trouve d'où l'on tire par la différentiation 2 Telle est donc la valeur qu'il faut prendre pour —, afin qu'on r ait tang A = p sin 'Ç. Mais on remarquera que, par la substitution de cette expression, la formule (6) donne et qu'il faut y faire C = 0 pour qu'on ait 8 MÉMOIRES. d'où Maintenant les équations (9) deviennent, en y remplaçant 0 par 0o — pX, et le radical par sin Ç cos A zz , yi +p2sin2Ç 8. Cela posé, la quantité p restant une fonction indéterminée de Ç, il est permis de la déterminer par la formule k étant une longueur constante qu'on se donnera à volonté. On en déduit et l'expression trouvée pour — devient On obtient donc une relation algébrique qui lie p et r. k On remarquera que p est compris entre k et —==, comme yi + p2 le montre la formule (11); en outre, r ne devenant infini que SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES. 9 k pour la valeur p = 1, on en conclut que la courbe, dont YTTP 2 les rayons de courbure et de torsion satisfont à la relation (12), est nécessairement à double courbure. En mettant pour p sa valeur en fonction de t, dans les équations (10), on trouve et, en effectuant les intégrations, On voit
par sin Ç cos A zz , yi +p2sin2Ç 8. Cela posé, la quantité p restant une fonction indéterminée de Ç, il est permis de la déterminer par la formule k étant une longueur constante qu'on se donnera à volonté. On en déduit et l'expression trouvée pour — devient On obtient donc une relation algébrique qui lie p et r. k On remarquera que p est compris entre k et —==, comme yi + p2 le montre la formule (11); en outre, r ne devenant infini que SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES. 9 k pour la valeur p = 1, on en conclut que la courbe, dont YTTP 2 les rayons de courbure et de torsion satisfont à la relation (12), est nécessairement à double courbure. En mettant pour p sa valeur en fonction de t, dans les équations (10), on trouve et, en effectuant les intégrations, On voit d'abord que les valeurs de x = x0 et y = y0 ne changent pas quand on change p en —p, pourvu qu'on change en même temps X, en — X, ce qui est permis, puisque X, sert d'indéterminée ; mais z = z0 change de signe sans changer de valeur numérique. Donc la courbe répondant à une même valeur de p, prise avec le double signe ±, est symétrique par rapport au plan mené par le point (x0, y0, z0) parallèlement au plan des xy. Des équations (13) on déduit ou bien, en remplaçant cos 2X par 1 — 2 sin 2 X = 1 (z—z0) 2, ce qui montre que la courbe qui répond à la question est située 10 MÉMOIRES. sur un ellipsoïde de révolution ou sur un hyperboloïde de révolution à une nappe, suivant que p est moindre ou plus grand que l'unité. Cette surface a d'ailleurs pour centre le point (x0, y0, z0), et son axe est parallèle à l'axe des z. Quant à l'arc s de la courbe, d'après ce qu'on a vu au n° 3, il est déterminé par la formule qui donne, en le supposant compté à partir du point répondant à
valeur numérique. Donc la courbe répondant à une même valeur de p, prise avec le double signe ±, est symétrique par rapport au plan mené par le point (x0, y0, z0) parallèlement au plan des xy. Des équations (13) on déduit ou bien, en remplaçant cos 2X par 1 — 2 sin 2 X = 1 (z—z0) 2, ce qui montre que la courbe qui répond à la question est située 10 MÉMOIRES. sur un ellipsoïde de révolution ou sur un hyperboloïde de révolution à une nappe, suivant que p est moindre ou plus grand que l'unité. Cette surface a d'ailleurs pour centre le point (x0, y0, z0), et son axe est parallèle à l'axe des z. Quant à l'arc s de la courbe, d'après ce qu'on a vu au n° 3, il est déterminé par la formule qui donne, en le supposant compté à partir du point répondant à X =0, ou à z =z0. On reconnaît donc que l'arc indéfini s s'exprime exactement au moyen d'un arc de cercle. 9. Transportons l'origine des coordonnées au point (x0, y0, z0), et, pour ne point changer les notations, continuons à désigner par x, y, z les coordonnées d'un point quelconque de la courbe; si nous prenons, en outre, pour nouveau plan des xz le plan passant par l'axe des z et faisant avec l'ancien un angle égal à 0o, ce qui revient à faire 0o = 0, les équations (13) deviennent (14) Admettons que p soit positif, et soit d'abord p < 1. Posons d'où l'on déduit SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES. Les expressions de x et y s'offrent sous cette forme et l'on reconnaît que la projection de la courbe sur le plan des xy ou sur le plan du plus grand parallèle de l'ellipsoïde de révolution qui la contient est une hypocycloïde engendrée par un point d'une circonférence mobile de rayon R' qui roulerait intérieurement sur une circonférence fixe de rayon R. Le cercle fixe n'est autre chose que le plus grand parallèle, en vertu de la formule R=k/(1-p²), et l'angle α est l'angle que fait la
de la courbe; si nous prenons, en outre, pour nouveau plan des xz le plan passant par l'axe des z et faisant avec l'ancien un angle égal à 0o, ce qui revient à faire 0o = 0, les équations (13) deviennent (14) Admettons que p soit positif, et soit d'abord p < 1. Posons d'où l'on déduit SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES. Les expressions de x et y s'offrent sous cette forme et l'on reconnaît que la projection de la courbe sur le plan des xy ou sur le plan du plus grand parallèle de l'ellipsoïde de révolution qui la contient est une hypocycloïde engendrée par un point d'une circonférence mobile de rayon R' qui roulerait intérieurement sur une circonférence fixe de rayon R. Le cercle fixe n'est autre chose que le plus grand parallèle, en vertu de la formule R=k/(1-p²), et l'angle α est l'angle que fait la ligne des centres des deux cercles avec l'axe des x. Appelons à l'angle que fait la même ligne des centres avec le rayon du cercle mobile aboutissant au point générateur de l'hypocycloïde : on a évidemment y=R/R' = 2'f 1-p ; et, en mettant pour cp sa valeur en fonction de X, on obtient cette relation très simple à = 2XOn que, si p = 0, on a R/R'=2 et y=0 ; l'ellipsoïde change en une sphère, et la courbe devient un grand cercle de cette sphère. Lorsque p=1/2, on a R/R'=4, et l'hypocycloïde, projection de la courbe sur le plan des xy, a pour équation x²/ 3 + y²/ 3 = R²/ 3, R étant alors égal à 4/3k. Quelle que soit la valeur de p, si elle est commensurable, celle du rapport R/R' l'est aussi, et l'hypocycloïde est une courbe algébrique qui revient à son point de départ après s'être reproduite un certain nombre de fois. La courbe elle-même qui répond à la question est une courbe algébrique; et comme sa projection sur le plan des xy ne change pas si p est remplacé par -p et X par -X, on voit que cette courbe se compose d'un