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les formules (AIV) et (BIV) de la page 374 du tome II des Leçons de M Darboux. La surface de référence étant une sphère, il faut adjoindre les relations : qui expriment que l'équation des lignes de courbure est indéterminée. On pourra aussi écrire que les deux racines de l'équation aux rayons de courbure principaux sont égales à -1, et il vient : d'ailleurs, la relation Les formules (AIV) se réduisent alors aux suivantes : Les formules (BIV) s'appliquent, en remplaçant p, q, r, pt, qt, r, par les valeurs précédentes. Ceci posé, prenons maintenant comme trièdre instantané oxyz, le trièdre formé par les parallèles menées par le centre de la sphère aux arêtes du trièdre adjoint à la sphère; nous avons alors les formules suivantes qui déterminent les projections sur les axes ox, oy, oz du déplacement du point (x, y, z) correspondant aux accroissements du dv, : avec : Quant à la fonction X, elle satisfait à l'équation : Il nous est bien facile maintenant de retrouver les deux systèmes coordonnés des paragraphes précédents : 490 MÉMOIRES. 1° On sait (Darboux, Leçons, t. I, pp. 37 et 245) que les coordonnées c, c', c" d'un point d'une sphère de rayon 1 s'expriment par les formules : L'élément linéaire de la sphère est alors déterminé par Considérons le trièdre oxyz; il est défini par les conditions suivantes, si on le rapporte à trois axes fixes oX, oY, oZ : oz a pour cosinus directeurs c, c', c" ; ox est parallèle à la tangente à la courbe sphérique oy est parallèle à la tangente à la courbe sphérique D'ailleurs, la courbe M - uv zz const. est un cercle dont le plan a pour équation : La courbe u + v zz const. est un cercle dont le plan a pour équation : et l'on retombe sur les formules du § 2. 2° Définissons c, c', c" par les formules (Darboux, Leçons, 1.1, pp. 21 et 244) : l'élément linéaire de la sphère est défini par La courbe M - uzz const. est plane, et son plan a pour
de rayon 1 s'expriment par les formules : L'élément linéaire de la sphère est alors déterminé par Considérons le trièdre oxyz; il est défini par les conditions suivantes, si on le rapporte à trois axes fixes oX, oY, oZ : oz a pour cosinus directeurs c, c', c" ; ox est parallèle à la tangente à la courbe sphérique oy est parallèle à la tangente à la courbe sphérique D'ailleurs, la courbe M - uv zz const. est un cercle dont le plan a pour équation : La courbe u + v zz const. est un cercle dont le plan a pour équation : et l'on retombe sur les formules du § 2. 2° Définissons c, c', c" par les formules (Darboux, Leçons, 1.1, pp. 21 et 244) : l'élément linéaire de la sphère est défini par La courbe M - uzz const. est plane, et son plan a pour équation : La courbe u + v zz const. est plane, et son plan a pour équation : On retombe immédiatement sur les formules du § 3. Nous emploierons dans ce qui suit les formules du § 4; il suffira dans les applications de particulariser le X en recourant soit aux formules du § 2 soit à celles du § 3. 5. FORMULES GÉNÉRALES RELATIVES AUX CONGRUENCES DE DROITES. La congruence réglée la plus générale peut être définie de la façon suivante : on fera correspondre à chaque position du trièdre une droite D. En particulier, on pourra supposer D parallèle à oz et se donner les fonctions x, y de M et v, qui sont les coordonnées dans le plan des xy du pied de cette droite D. L'étude de la congruence de droites se fera d'après les principes exposés par M. Ribaucour et que nous allons reprendre dans le cas actuel. Si l'on établit entre M et N une relation, on détermine, par les droites correspondant aux valeurs de u, v qui satisfont à cette relation, une surface réglée de la congruence. Or, si l'on appelle 8 l'angle que fait avec le plan des xz le plan tangent
aux formules du § 2 soit à celles du § 3. 5. FORMULES GÉNÉRALES RELATIVES AUX CONGRUENCES DE DROITES. La congruence réglée la plus générale peut être définie de la façon suivante : on fera correspondre à chaque position du trièdre une droite D. En particulier, on pourra supposer D parallèle à oz et se donner les fonctions x, y de M et v, qui sont les coordonnées dans le plan des xy du pied de cette droite D. L'étude de la congruence de droites se fera d'après les principes exposés par M. Ribaucour et que nous allons reprendre dans le cas actuel. Si l'on établit entre M et N une relation, on détermine, par les droites correspondant aux valeurs de u, v qui satisfont à cette relation, une surface réglée de la congruence. Or, si l'on appelle 8 l'angle que fait avec le plan des xz le plan tangent à cette surface réglée au point (x, y, z), on a : Cette formule nous donne immédiatement tous les éléments de la surface réglée considérée, relatifs à la génératrice D. Elle est de la forme : 492 MÉMOIRES. en posant : en introduisant l'indéterminée 0o. Si l'on détermine 60 par la condition : Nous retrouvons la formule de Chasles et les quantités 60, z0, Pd ont l'interprétation suivante : 80 est l'angle du plan central de la génératrice D avec le plan des xz ; z0 est la cote du point central ; Pd est le paramètre de distribution. Si l'on veut maintenant les points focaux et les plans focaux, il suffit d'écrire que la valeur de tg 6 est indépendante du rapport —, et il vient : dv Si l'on élimine 8 entre ces équations, il vient pour déterminer les points focaux : SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 493 c'est-à-dire : Si l'on élimine z entre les mêmes équations, il vient pour déterminer les plans focaux : Exprimons maintenant que tg 9 est indépendant de z; il vient : /for Si l'on élimine —— entre ces équations, on retrouve l'équation en tg 0 qui définit les plans focaux.
la condition : Nous retrouvons la formule de Chasles et les quantités 60, z0, Pd ont l'interprétation suivante : 80 est l'angle du plan central de la génératrice D avec le plan des xz ; z0 est la cote du point central ; Pd est le paramètre de distribution. Si l'on veut maintenant les points focaux et les plans focaux, il suffit d'écrire que la valeur de tg 6 est indépendante du rapport —, et il vient : dv Si l'on élimine 8 entre ces équations, il vient pour déterminer les points focaux : SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 493 c'est-à-dire : Si l'on élimine z entre les mêmes équations, il vient pour déterminer les plans focaux : Exprimons maintenant que tg 9 est indépendant de z; il vient : /for Si l'on élimine —— entre ces équations, on retrouve l'équation en tg 0 qui définit les plans focaux. Si l'on élimine 8, on aura l'image sphérique de la congruence : 6. SYSTÈME DE COORDONNÉES TANGENTIELLES. On peut déduire de ce qui précède, avec M. Ribaucour, un système de coordonnées tangentielles employé sous une forme particulière par M. O. Bonnet, et qui donne, par la particularisation du Z de la sphère, les deux systèmes introduits par M. Darboux au tome I de ses Leçons. Il suffit de définir une surface au moyen de la congruence formée par ses normales pour déduire des résultats du paragraphe précédent une méthode simple pour l'étude des surfaces. Considérons une congruence formée par les normales d'une surface, et appelons Ç la cote du point de la surface situé sur la normale (x, y) ; on aura, par suite, pour tous les systèmes de valeurs de du, dv, c'est-à-dire : 32Ç Si l'on égalait les deux valeurs de ——, déduites de ces équations, on aurait la relation à laquelle satisfont les fonctions x, y ; on en tire : L'équation définissant le plan tangent au point (x, y, z) de la normale déterminée par le déplacement dM, dv s'écrit : en posant : Cette équation permet l'étude de la surface rapportée au système de coordonnées
la sphère, les deux systèmes introduits par M. Darboux au tome I de ses Leçons. Il suffit de définir une surface au moyen de la congruence formée par ses normales pour déduire des résultats du paragraphe précédent une méthode simple pour l'étude des surfaces. Considérons une congruence formée par les normales d'une surface, et appelons Ç la cote du point de la surface situé sur la normale (x, y) ; on aura, par suite, pour tous les systèmes de valeurs de du, dv, c'est-à-dire : 32Ç Si l'on égalait les deux valeurs de ——, déduites de ces équations, on aurait la relation à laquelle satisfont les fonctions x, y ; on en tire : L'équation définissant le plan tangent au point (x, y, z) de la normale déterminée par le déplacement dM, dv s'écrit : en posant : Cette équation permet l'étude de la surface rapportée au système de coordonnées tangentielles M, V, Ç. SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 495 L'équation des lignes de courbure sera : et celle qui détermine les rayons de courbure principaux sera : Les surfaces minima seront, par suite, définies par l'équation aux dérivées partielles : c'est-à-dire par l' équation : U étant une fonction de M et V une fonction de v. Si l'on pose : on peut dire que l'équation générale d'une surface minima est en supposant que le plan tangent à cette surface soit défini, par rapport aux axes e-X, oY, oZ, par l'équation : Particularisons u et v en appliquant successivement les formules des §§ 2 et 3. En premier lieu, si l'on prend les formules du § 2, on a pour l'équation des surfaces minima : C'est l'équation (5) de la page 297 du tome I des Leçons de M. Darboux. 496 MÉMOIRES. En second lieu, si l'on emploie les coordonnées du § 3, on a pour l'équation des surfaces minima : c'est celle que l'on trouve à la page 356 du tome I des Leçons de M. Darboux. 7. LES CONGRUENCES ISOTROPES. Nous allons retrouver immédiatement les propriétés des congruences isotropes indiquées par M. Ribaucour (Étude des Élassoïdes,
fonction de M et V une fonction de v. Si l'on pose : on peut dire que l'équation générale d'une surface minima est en supposant que le plan tangent à cette surface soit défini, par rapport aux axes e-X, oY, oZ, par l'équation : Particularisons u et v en appliquant successivement les formules des §§ 2 et 3. En premier lieu, si l'on prend les formules du § 2, on a pour l'équation des surfaces minima : C'est l'équation (5) de la page 297 du tome I des Leçons de M. Darboux. 496 MÉMOIRES. En second lieu, si l'on emploie les coordonnées du § 3, on a pour l'équation des surfaces minima : c'est celle que l'on trouve à la page 356 du tome I des Leçons de M. Darboux. 7. LES CONGRUENCES ISOTROPES. Nous allons retrouver immédiatement les propriétés des congruences isotropes indiquées par M. Ribaucour (Étude des Élassoïdes, pp. 33 et suiv.). 1° Cherchons les congruences telles que le paramètre de distribution soit le même pour toutes les surfaces de la congruence contenant une droite D ; on a les conditions : et la valeur de Pd est alors : 2° Si l'on cherche les congruences telles que le point central soit le même pour toutes les surfaces de la congruence contenant une droite D, on trouve les mêmes conditions, et l'on a : 3° Si l'on cherche les congruences telles que les plans focaux soient isotropes, on parvient encore aux mêmes conditions. 4° Si l'on cherche les congruences dont la représentation sphérique est formée des génératrices de la sphère, on retrouve les mêmes conditions ; c'est d'ailleurs une conséquence de 3°. SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 497 Les congruences jouissant de l'une quelconque des propriétés précédentes ont reçu de M. Ribaucour le nom de congruences isotropes; leur surface focale est une développable isotrope. Elles sont définies par les conditions précédemment écrites qui prennent la forme : d'où l'on déduit : U et V étant respectivement des fonctions de M et de v. Les deux points focaux d'une pareille congruence ont pour cotes : La surface enveloppe
le point central soit le même pour toutes les surfaces de la congruence contenant une droite D, on trouve les mêmes conditions, et l'on a : 3° Si l'on cherche les congruences telles que les plans focaux soient isotropes, on parvient encore aux mêmes conditions. 4° Si l'on cherche les congruences dont la représentation sphérique est formée des génératrices de la sphère, on retrouve les mêmes conditions ; c'est d'ailleurs une conséquence de 3°. SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 497 Les congruences jouissant de l'une quelconque des propriétés précédentes ont reçu de M. Ribaucour le nom de congruences isotropes; leur surface focale est une développable isotrope. Elles sont définies par les conditions précédemment écrites qui prennent la forme : d'où l'on déduit : U et V étant respectivement des fonctions de M et de v. Les deux points focaux d'une pareille congruence ont pour cotes : La surface enveloppe des plans moyens sera définie par l'équation tangentielle : On retrouve ce théorème de M. Ribaucour que c'est la surface minima la plus générale. 8. GÉNÉRALITÉS SUR LES COMPLEXES DE DROITES. Considérons une droite parallèle à oz dont le pied sur le plan des xy ait des coordonnées x, y, fonctions de M, V et d'un paramètre w ; lorsqu'on fera varier u, v, w, la droite engendrera un complexe ; il est bien clair, d'ailleurs, qu'on pourra obtenir ainsi le complexe le plus général. 9e SÉRIE. — TOME IV. 38 498 MÉMOIRES. ### CORRECTION ### L'étude de la congruence de droites se fera d'après les principes exposés par M. Ribaucour et que nous allons reprendre dans le cas actuel. Si l'on établit entre M et N une relation, on détermine, par les droites correspondant aux valeurs de u, v qui satisfont à cette relation, une surface réglée de la congruence. Or, si l'on appelle 8 l'angle que fait avec le plan des xz le plan tangent à cette surface réglée au point (x, y, z), on a : Cette formule nous donne immédiatement tous les éléments de la surface réglée considérée, relatifs à la génératrice D. Elle est de
fonctions de M, V et d'un paramètre w ; lorsqu'on fera varier u, v, w, la droite engendrera un complexe ; il est bien clair, d'ailleurs, qu'on pourra obtenir ainsi le complexe le plus général. 9e SÉRIE. — TOME IV. 38 498 MÉMOIRES. ### CORRECTION ### L'étude de la congruence de droites se fera d'après les principes exposés par M. Ribaucour et que nous allons reprendre dans le cas actuel. Si l'on établit entre M et N une relation, on détermine, par les droites correspondant aux valeurs de u, v qui satisfont à cette relation, une surface réglée de la congruence. Or, si l'on appelle 8 l'angle que fait avec le plan des xz le plan tangent à cette surface réglée au point (x, y, z), on a : Cette formule nous donne immédiatement tous les éléments de la surface réglée considérée, relatifs à la génératrice D. Elle est de la forme : 492 MÉMOIRES. en posant : en introduisant l'indéterminée 0o. Si l'on détermine 60 par la condition : Nous retrouvons la formule de Chasles et les quantités 60, z0, Pd ont l'interprétation suivante : 80 est l'angle du plan central de la génératrice D avec le plan des xz ; z0 est la cote du point central ; Pd est le paramètre de distribution. Si l'on veut maintenant les points focaux et les plans focaux, il suffit d'écrire que la valeur de tg 6 est indépendante du rapport —, et il vient : dv Si l'on élimine 8 entre ces équations, il vient pour déterminer les points focaux : SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 493 c'est-à-dire : Si l'on élimine z entre les mêmes équations, il vient pour déterminer les plans focaux : Exprimons maintenant que tg 9 est indépendant de z; il vient : /for Si l'on élimine —— entre ces équations, on retrouve l'équation en tg 0 qui définit les plans focaux. Si l'on élimine 8, on aura l'image sphérique de la congruence : 6. SYSTÈME DE COORDONNÉES TANGENTIELLES. On peut déduire de ce qui précède, avec M. Ribaucour, un système de coordonnées tangentielles employé
xz ; z0 est la cote du point central ; Pd est le paramètre de distribution. Si l'on veut maintenant les points focaux et les plans focaux, il suffit d'écrire que la valeur de tg 6 est indépendante du rapport —, et il vient : dv Si l'on élimine 8 entre ces équations, il vient pour déterminer les points focaux : SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 493 c'est-à-dire : Si l'on élimine z entre les mêmes équations, il vient pour déterminer les plans focaux : Exprimons maintenant que tg 9 est indépendant de z; il vient : /for Si l'on élimine —— entre ces équations, on retrouve l'équation en tg 0 qui définit les plans focaux. Si l'on élimine 8, on aura l'image sphérique de la congruence : 6. SYSTÈME DE COORDONNÉES TANGENTIELLES. On peut déduire de ce qui précède, avec M. Ribaucour, un système de coordonnées tangentielles employé sous une forme particulière par M. O. Bonnet, et qui donne, par la particularisation du Z de la sphère, les deux systèmes introduits par M. Darboux au tome I de ses Leçons. Il suffit de définir une surface au moyen de la congruence formée par ses normales pour déduire des résultats du paragraphe précédent une méthode simple pour l'étude des surfaces. Considérons une congruence formée par les normales d'une surface, et appelons Ç la cote du point de la surface situé sur la normale (x, y) ; on aura, par suite, pour tous les systèmes de valeurs de du, dv, c'est-à-dire : 32Ç Si l'on égalait les deux valeurs de ——, déduites de ces équations, on aurait la relation à laquelle satisfont les fonctions x, y ; on en tire : L'équation définissant le plan tangent au point (x, y, z) de la normale déterminée par le déplacement dM, dv s'écrit : en posant : Cette équation permet l'étude de la surface rapportée au système de coordonnées tangentielles M, V, Ç. SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 495 L'équation des lignes de courbure sera : et celle qui détermine les rayons de courbure principaux sera : Les surfaces minima seront,
résultats du paragraphe précédent une méthode simple pour l'étude des surfaces. Considérons une congruence formée par les normales d'une surface, et appelons Ç la cote du point de la surface situé sur la normale (x, y) ; on aura, par suite, pour tous les systèmes de valeurs de du, dv, c'est-à-dire : 32Ç Si l'on égalait les deux valeurs de ——, déduites de ces équations, on aurait la relation à laquelle satisfont les fonctions x, y ; on en tire : L'équation définissant le plan tangent au point (x, y, z) de la normale déterminée par le déplacement dM, dv s'écrit : en posant : Cette équation permet l'étude de la surface rapportée au système de coordonnées tangentielles M, V, Ç. SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 495 L'équation des lignes de courbure sera : et celle qui détermine les rayons de courbure principaux sera : Les surfaces minima seront, par suite, définies par l'équation aux dérivées partielles : c'est-à-dire par l' équation : U étant une fonction de M et V une fonction de v. Si l'on pose : on peut dire que l'équation générale d'une surface minima est en supposant que le plan tangent à cette surface soit défini, par rapport aux axes e-X, oY, oZ, par l'équation : Particularisons u et v en appliquant successivement les formules des §§ 2 et 3. En premier lieu, si l'on prend les formules du § 2, on a pour l'équation des surfaces minima : C'est l'équation (5) de la page 297 du tome I des Leçons de M. Darboux. 496 MÉMOIRES. En second lieu, si l'on emploie les coordonnées du § 3, on a pour l'équation des surfaces minima : c'est celle que l'on trouve à la page 356 du tome I des Leçons de M. Darboux. 7. LES CONGRUENCES ISOTROPES. Nous allons retrouver immédiatement les propriétés des congruences isotropes indiquées par M. Ribaucour (Étude des Élassoïdes, pp. 33 et suiv.). 1° Cherchons les congruences telles que le paramètre de distribution soit le même pour toutes les surfaces de la congruence contenant une droite D ; on a les conditions
défini, par rapport aux axes e-X, oY, oZ, par l'équation : Particularisons u et v en appliquant successivement les formules des §§ 2 et 3. En premier lieu, si l'on prend les formules du § 2, on a pour l'équation des surfaces minima : C'est l'équation (5) de la page 297 du tome I des Leçons de M. Darboux. 496 MÉMOIRES. En second lieu, si l'on emploie les coordonnées du § 3, on a pour l'équation des surfaces minima : c'est celle que l'on trouve à la page 356 du tome I des Leçons de M. Darboux. 7. LES CONGRUENCES ISOTROPES. Nous allons retrouver immédiatement les propriétés des congruences isotropes indiquées par M. Ribaucour (Étude des Élassoïdes, pp. 33 et suiv.). 1° Cherchons les congruences telles que le paramètre de distribution soit le même pour toutes les surfaces de la congruence contenant une droite D ; on a les conditions : et la valeur de Pd est alors : 2° Si l'on cherche les congruences telles que le point central soit le même pour toutes les surfaces de la congruence contenant une droite D, on trouve les mêmes conditions, et l'on a : 3° Si l'on cherche les congruences telles que les plans focaux soient isotropes, on parvient encore aux mêmes conditions. 4° Si l'on cherche les congruences dont la représentation sphérique est formée des génératrices de la sphère, on retrouve les mêmes conditions ; c'est d'ailleurs une conséquence de 3°. SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 497 Les congruences jouissant de l'une quelconque des propriétés précédentes ont reçu de M. Ribaucour le nom de congruences isotropes; leur surface focale est une développable isotrope. Elles sont définies par les conditions précédemment écrites qui prennent la forme : d'où l'on déduit : U et V étant respectivement des fonctions de M et de v. Les deux points focaux d'une pareille congruence ont pour cotes : La surface enveloppe des plans moyens sera définie par l'équation tangentielle : On retrouve ce théorème de M. Ribaucour que c'est la surface minima la plus générale. 8. GÉNÉRALITÉS SUR LES COMPLEXES DE DROITES. Considérons une
que les plans focaux soient isotropes, on parvient encore aux mêmes conditions. 4° Si l'on cherche les congruences dont la représentation sphérique est formée des génératrices de la sphère, on retrouve les mêmes conditions ; c'est d'ailleurs une conséquence de 3°. SUR UNE CLASSE DE COMPLEXES DROITES. 497 Les congruences jouissant de l'une quelconque des propriétés précédentes ont reçu de M. Ribaucour le nom de congruences isotropes; leur surface focale est une développable isotrope. Elles sont définies par les conditions précédemment écrites qui prennent la forme : d'où l'on déduit : U et V étant respectivement des fonctions de M et de v. Les deux points focaux d'une pareille congruence ont pour cotes : La surface enveloppe des plans moyens sera définie par l'équation tangentielle : On retrouve ce théorème de M. Ribaucour que c'est la surface minima la plus générale. 8. GÉNÉRALITÉS SUR LES COMPLEXES DE DROITES. Considérons une droite parallèle à oz dont le pied sur le plan des xy ait des coordonnées x, y, fonctions de M, V et d'un paramètre w ; lorsqu'on fera varier u, v, w, la droite engendrera un complexe ; il est bien clair, d'ailleurs, qu'on pourra obtenir ainsi le complexe le plus général. 9e SÉRIE. — TOME IV. 38 498 MÉMOIRES. ### CORRECTION ### L'étude de la congruence de droites se fera d'après les principes exposés par M. Ribaucour et que nous allons reprendre dans le cas actuel. Si l'on établit entre M et N une relation, on détermine, par les droites correspondant aux valeurs de u, v qui satisfont à cette relation, une surface réglée de la congruence. Or, si l'on appelle 8 l'angle que fait avec le plan des xz le plan tangent à cette surface réglée au point (x, y, z), on a : Cette formule nous donne immédiatement tous les éléments de la surface réglée considérée, relatifs à la génératrice D. Elle est de la forme : 492 MÉMOIRES. en posant : en introduisant l'indéterminée 0o. Si l'on détermine 60 par la condition : Nous retrouvons la formule de Chasles et les quantités 60, z0, Pd ont