jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
aux plans osculateurs de (O). Cette développable A est visiblement circonscrite à une sphère concentrique à celle qui contient la courbe sphérique, la distance de l'un quelconque de ses plans tangents au centre G étant égale à a sin a - h, puisque tous ces plans coupent la sphère sous l'angle constant a. Soit, de plus, S l'arête de rebroussement de A. Appliquons sur un plan les deux développables D et A en conservant, ce qui est possible, le parallélisme des génératrices correspondantes. La développable D fournira une courbe (o) transformée de (O), avec le système de ses tangentes. La développable A fournira pareillement une courbe (c) transformée de 2, le système des tangentes de (a) parallèles aux tangentes de (o) aux points correspondants, et, enfin, une courbe (h) transformée de la courbe sphérique, laquelle courbe (h) coupera orthogonalement les tangentes de (a) et sera égale en arc à (o). Donc, si l'on fait tourner (k) d'un angle droit autour d'un point quelconque de son plan, la courbe transformée deviendra égale et homothétique à (o), puisque cette nouvelle courbe sera encore égale en arc à (o), et aura de plus, aux points correspondants, ses tangentes parallèles à celles de (o). Il résulte de là le mode de génération suivante de la courbe la plus générale de M. Bertrand relative aux constantes a et h : 1° Prenons une courbe sphérique arbitraire. Considérons la développable A, enveloppe des plans menés par les tangentes à cette courbe et coupant la sphère sous un angle constant a, le rayon de la sphère étant égal à a sin a. 2° Appliquons cette développable sur un plan et faisons tourner d'un angle droit, autour d'un point fixe de ce plan, la transformée de la courbe sphérique choisie. 3° La nouvelle position de cette transformée et le système de ses tangentes serviront à reconstituer à leur tour une nouvelle développable, ayant ses plans tangents parallèles à ceux de A. L'arête de rebroussement de cette développable sera la courbe de M. Bertrand demandée. Les courbes à courbure constante correspondant à la valeur a, il s'ensuit que, pour
Il résulte de là le mode de génération suivante de la courbe la plus générale de M. Bertrand relative aux constantes a et h : 1° Prenons une courbe sphérique arbitraire. Considérons la développable A, enveloppe des plans menés par les tangentes à cette courbe et coupant la sphère sous un angle constant a, le rayon de la sphère étant égal à a sin a. 2° Appliquons cette développable sur un plan et faisons tourner d'un angle droit, autour d'un point fixe de ce plan, la transformée de la courbe sphérique choisie. 3° La nouvelle position de cette transformée et le système de ses tangentes serviront à reconstituer à leur tour une nouvelle développable, ayant ses plans tangents parallèles à ceux de A. L'arête de rebroussement de cette développable sera la courbe de M. Bertrand demandée. Les courbes à courbure constante correspondant à la valeur a, il s'ensuit que, pour les engendrer, il faudra prendre pour développable A, le cône ayant pour sommet le centre de la sphère. Pour les courbes à torsion constante, on doit avoir <x /= 0, et, par suite, pour engendrer de pareilles courbes, il faudra prendre pour A la développable circonscrite à la sphère suivant la courbe choisie en premier lieu. 19. Nous allons faire maintenant l'application générale des formules à un cas particulier, qui montrera le rôle important de l'angle que nous avons désigné par µ. Proposons-nous de trouver les équations générales des courbes de M. Bertrand ayant pour indicatrice la développante sphérique d'un petit cercle ou, ce qui revient au même, l'épicycloïde sphérique engendrée par le roulement d'un grand cercle sur le petit cercle donné. Nous prendrons pour axes trois diamètres rectangulaires de la sphère de rayon a, de façon que l'axe des z passe par le pôle P du petit cercle et que le plan des xy contienne l'origine A des arcs comptés sur le petit cercle. Si B est le point de contact du grand cercle mobile et M le point de la développante ou de l'épicycloïde, on a en sorte que l'angle BOM sera justement l'angle désigné par µ, en
la courbe choisie en premier lieu. 19. Nous allons faire maintenant l'application générale des formules à un cas particulier, qui montrera le rôle important de l'angle que nous avons désigné par µ. Proposons-nous de trouver les équations générales des courbes de M. Bertrand ayant pour indicatrice la développante sphérique d'un petit cercle ou, ce qui revient au même, l'épicycloïde sphérique engendrée par le roulement d'un grand cercle sur le petit cercle donné. Nous prendrons pour axes trois diamètres rectangulaires de la sphère de rayon a, de façon que l'axe des z passe par le pôle P du petit cercle et que le plan des xy contienne l'origine A des arcs comptés sur le petit cercle. Si B est le point de contact du grand cercle mobile et M le point de la développante ou de l'épicycloïde, on a en sorte que l'angle BOM sera justement l'angle désigné par µ, en fonction duquel nous allons calculer toutes les quantités qui entrent dans les formules. Soit le rapport du rayon de la sphère au rayon du petit cercle. On trouve, sans grande difficulté, par la considération du triangle sphérique PBM, rectangle en B, les formules pour les coordonnées et l'élément d'arc de la développante (M) qui est l'indicatrice sphérique de la courbe cherchée. A cette indicatrice correspond une famille de courbes de M. Bertrand, caractérisées individuellement par la valeur de l'angle a et dont les équations générales déduites des formules sont, par suite, Lorsque k est un nombre commensurable, les valeurs des coordonnées x et y s'obtiennent sous forme finie et explicite. En particulier, si le nombre k est entier et impair, les valeurs de x et de y sont des fonctions entières de sin µ et cos µ, en sorte que la projection de la courbe sur le plan des xy est algébrique, et, par suite, la courbe elle-même appartient à un cylindre algébrique. Mais la valeur de z est transcendante, à moins que le coefficient de µ, savoir cos a, ne soit nul, ce qui exige que l'on ait a zz £, ou que la courbe ait sa courbure constante.
la développante (M) qui est l'indicatrice sphérique de la courbe cherchée. A cette indicatrice correspond une famille de courbes de M. Bertrand, caractérisées individuellement par la valeur de l'angle a et dont les équations générales déduites des formules sont, par suite, Lorsque k est un nombre commensurable, les valeurs des coordonnées x et y s'obtiennent sous forme finie et explicite. En particulier, si le nombre k est entier et impair, les valeurs de x et de y sont des fonctions entières de sin µ et cos µ, en sorte que la projection de la courbe sur le plan des xy est algébrique, et, par suite, la courbe elle-même appartient à un cylindre algébrique. Mais la valeur de z est transcendante, à moins que le coefficient de µ, savoir cos a, ne soit nul, ce qui exige que l'on ait a zz £, ou que la courbe ait sa courbure constante. Nous trouvons ainsi une infinité de courbes algébriques à courbure constante déduite des formules, en donnant à a la valeur -£ et à h des valeurs entières mais impaires, et une infinité de courbes de M. Bertrand appartenant à des cylindres algébriques dont les génératrices sont parallèles à l'axe oz. Si h est un nombre entier pair, les valeurs de x, y et z sont transcendantes comme celle de z et les courbes sont transcendantes, ainsi que leurs projections sur le plan de xy. Si le nombre h est fractionnaire et représenté par la fraction irréductible —, on pose ensuite, Alors, les polynômes qui entrent sous le signe f dans les expressions des coordonnées x et y seront homogènes et de degré 2q + 1 par rapport à sin µ' et cos µ'. Dès lors, si p est impair, les deux premières intégrales seront des polynômes entiers et homogènes de degré 2q + 1 - 1 par rapport à sin µ' et cos µ', en sorte que les courbes correspondantes appartiendront à des cylindres algébriques, et seront elles-mêmes algébriques dans le cas où leur courbure est constante. Si le nombre p est pair, l'intégration peut encore s'effectuer, mais comme elle
Si h est un nombre entier pair, les valeurs de x, y et z sont transcendantes comme celle de z et les courbes sont transcendantes, ainsi que leurs projections sur le plan de xy. Si le nombre h est fractionnaire et représenté par la fraction irréductible —, on pose ensuite, Alors, les polynômes qui entrent sous le signe f dans les expressions des coordonnées x et y seront homogènes et de degré 2q + 1 par rapport à sin µ' et cos µ'. Dès lors, si p est impair, les deux premières intégrales seront des polynômes entiers et homogènes de degré 2q + 1 - 1 par rapport à sin µ' et cos µ', en sorte que les courbes correspondantes appartiendront à des cylindres algébriques, et seront elles-mêmes algébriques dans le cas où leur courbure est constante. Si le nombre p est pair, l'intégration peut encore s'effectuer, mais comme elle amène des termes contenant la variable µ' les courbes sont transcendantes. Dans tous les cas, les rayons de courbure et de torsion seront donnés par les formules (22) qui sont générales. La construction du n° 28 permet de démontrer simplement un théorème que j'ai établi dans un travail antérieur, et que je me propose de développer ici plus complètement. Pour qu'une ligne asymptotique d'une surface minima soit une courbe de M. Bertrand, il faut et il suffit que la ligne correspondante de la surface adjointe soit une ligne de courbure sphérique de celle-ci. On sait, en effet, qu'une surface minima et son adjointe sont applicables l'une sur l'autre, que leurs points correspondants sont ceux où les plans tangentés sont parallèles et que les éléments correspondants sont orthogonaux. Il résulte de là qu'aux asymptotiques d'une surface minima correspondent les lignes de courbure de son adjointe. De plus, pour que deux courbes puissent se correspondre sur deux surfaces minima dont l'une serait l'adjointe de l'autre, il faut et il suffit que les points de ces deux courbes se correspondent deux à deux, de manière que les éléments d'arc correspondants soient égaux et orthogonaux. Si ces conditions sont remplies, les développables passant par
que je me propose de développer ici plus complètement. Pour qu'une ligne asymptotique d'une surface minima soit une courbe de M. Bertrand, il faut et il suffit que la ligne correspondante de la surface adjointe soit une ligne de courbure sphérique de celle-ci. On sait, en effet, qu'une surface minima et son adjointe sont applicables l'une sur l'autre, que leurs points correspondants sont ceux où les plans tangentés sont parallèles et que les éléments correspondants sont orthogonaux. Il résulte de là qu'aux asymptotiques d'une surface minima correspondent les lignes de courbure de son adjointe. De plus, pour que deux courbes puissent se correspondre sur deux surfaces minima dont l'une serait l'adjointe de l'autre, il faut et il suffit que les points de ces deux courbes se correspondent deux à deux, de manière que les éléments d'arc correspondants soient égaux et orthogonaux. Si ces conditions sont remplies, les développables passant par chacune de ces courbes et dont les plans tangentés sont parallèles à la fois aux tangentés aux deux courbes en leurs points correspondants, sont circonscrites aux surfaces minima, qu'elles déterminent d'ailleurs complètement. Ceci posé, d'après ce que nous avons dit au n° 18, une courbe (O) de M. Bertrand et la courbe sphérique K remplissent ces conditions. En outre, les développables dont nous venons de parler sont précisément D et A. Comme D est l'enveloppe des plans oscillateurs de (O), cette dernière courbe sera une asymptotique de la première surface minima, et, par suite, /K sera une ligne de courbure, d'ailleurs sphérique, de la seconde surface adjointe de la première. La proposition énoncée se trouve ainsi établie. On déduirait de là un nouveau procédé pour former les équations des courbes de M. Bertrand, en employant la méthode de M. Schwarz, qui permet de passer d'un contour tracé sur une surface minima au contour conjugué de la surface adjointe, quand on connaît, en outre, les plans tangentés à la surface le long du contour donné. L'application des formules de M. Schwarz au cas particulier dont il s'agit conduit immédiatement aux équations (21) et (21') qui définissent la courbe la plus générale
la courbe sphérique K remplissent ces conditions. En outre, les développables dont nous venons de parler sont précisément D et A. Comme D est l'enveloppe des plans oscillateurs de (O), cette dernière courbe sera une asymptotique de la première surface minima, et, par suite, /K sera une ligne de courbure, d'ailleurs sphérique, de la seconde surface adjointe de la première. La proposition énoncée se trouve ainsi établie. On déduirait de là un nouveau procédé pour former les équations des courbes de M. Bertrand, en employant la méthode de M. Schwarz, qui permet de passer d'un contour tracé sur une surface minima au contour conjugué de la surface adjointe, quand on connaît, en outre, les plans tangentés à la surface le long du contour donné. L'application des formules de M. Schwarz au cas particulier dont il s'agit conduit immédiatement aux équations (21) et (21') qui définissent la courbe la plus générale de l'espèce étudiée. Le théorème que je viens de rappeler conduit à se poser la question suivante : Construire la surface minima qui admet pour ligne asymptotique une courbe donnée de M. Bertrand. La considération de la surface minima adjointe permettra, lorsque ce problème aura été résolu, d'avoir la solution de celui-ci : Construire la surface minima admettant pour ligne de courbure une courbe sphérique donnée, connaissant, en outre, l'angle constant suivant lequel la surface cherchée doit couper, en tous les points de cette ligne, la sphère qui la contient. Ce second problème sera effectivement ramené au premier, après que l'on aura obtenu, au moyen des trois quadratures indiquées dans les équations (21) ou (21'), la courbe de M. Bertrand relative à la ligne sphérique et à l'angle donnés. Nous nous occuperons donc exclusivement du premier des deux problèmes ci-dessus énoncés. La solution que je vais exposer et qui terminera cette étude repose sur un résultat élégant, trouvé par M. Bioche, et qui consiste en ceci : Si l'on a une courbe de M. Bertrand, on obtient une surface applicable sur une surface gauche de révolution en menant par les différents points de cette courbe des parallèles aux bi-normales de
de celui-ci : Construire la surface minima admettant pour ligne de courbure une courbe sphérique donnée, connaissant, en outre, l'angle constant suivant lequel la surface cherchée doit couper, en tous les points de cette ligne, la sphère qui la contient. Ce second problème sera effectivement ramené au premier, après que l'on aura obtenu, au moyen des trois quadratures indiquées dans les équations (21) ou (21'), la courbe de M. Bertrand relative à la ligne sphérique et à l'angle donnés. Nous nous occuperons donc exclusivement du premier des deux problèmes ci-dessus énoncés. La solution que je vais exposer et qui terminera cette étude repose sur un résultat élégant, trouvé par M. Bioche, et qui consiste en ceci : Si l'on a une courbe de M. Bertrand, on obtient une surface applicable sur une surface gauche de révolution en menant par les différents points de cette courbe des parallèles aux bi-normales de la courbe conjuguée, de telle sorte que la courbe donnée correspond au cercle de gorge et que, dans les deux surfaces réglées, les génératrices sont également correspondantes. En conséquence, considérons une courbe (O) de M. Bertrand, relative aux constantes h et a de l'équation (6). Par chaque point O de (O) menons la parallèle OF à la bi-normale de la courbe conjuguée (O1). Cette droite, perpendiculaire au plan osculateur de (O1) qui fait avec celui de (O) l'angle constant a, sera située dans le plan rectifiant de (O) et fera, avec la tangente OX, l'angle a + π. D'après le théorème de M. Bioche, la surface réglée engendrée par la droite OF est applicable sur l'hyperboloïde de révolution ayant h pour rayon du cercle de gorge et dont les génératrices rectilignes font l'angle a avec l'axe. Portons maintenant notre attention sur les parallèles imaginaires de rayons nuls de cet hyperboloïde, lesquelles ont pour centres les sommets imaginaires situés sur l'axe de révolution et interceptent sur les génératrices, à partir du cercle de gorge, des segments égaux à rh, c'est-à-dire à la distance du centre aux foyers de la méridienne situés sur l'axe non transverse. À ces parallèles correspondent, sur la
(O) menons la parallèle OF à la bi-normale de la courbe conjuguée (O1). Cette droite, perpendiculaire au plan osculateur de (O1) qui fait avec celui de (O) l'angle constant a, sera située dans le plan rectifiant de (O) et fera, avec la tangente OX, l'angle a + π. D'après le théorème de M. Bioche, la surface réglée engendrée par la droite OF est applicable sur l'hyperboloïde de révolution ayant h pour rayon du cercle de gorge et dont les génératrices rectilignes font l'angle a avec l'axe. Portons maintenant notre attention sur les parallèles imaginaires de rayons nuls de cet hyperboloïde, lesquelles ont pour centres les sommets imaginaires situés sur l'axe de révolution et interceptent sur les génératrices, à partir du cercle de gorge, des segments égaux à rh, c'est-à-dire à la distance du centre aux foyers de la méridienne situés sur l'axe non transverse. À ces parallèles correspondent, sur la surface réglée construite par le procédé de M. Bioche, deux lignes de longueur nulle, interceptant pareillement sur les génératrices de cette surface hi réglée, à partir de (O), des segments égaux à ± — En outre, les tangentes à ces lignes isotropes aux points w et w' où elles coupent la droite OF sont parallèles au plan osculateur de (O) en O, puisqu'il en est ainsi sur la surface gauche de révolution elle-même. Voici, d'ailleurs, comment on peut vérifier ces résultats. Prenons sur OF, à partir de O, deux segments Ou et Ow' égaux, l'un à —, l'autre à :—. Si nous considérons l'une des extrémités, w par exemple, ses coordonnées instantanées sont de telle sorte que les formules (A) donneront, pour les déplacements du point o), en tenant compte de l'équation caractéristique (6). Par suite, le carré de l'élément linéaire de la courbe (w) est manifestement nul, ce qui prouve que cette ligne est isotrope, et, de plus, la tangente à cette courbe en u est parallèle au plan de xy du trièdre instantané, puisque la valeur de z est nulle. On peut donc énoncer la proposition suivante : Si, à partir des différents points d'une courbe (O) de
la droite OF sont parallèles au plan osculateur de (O) en O, puisqu'il en est ainsi sur la surface gauche de révolution elle-même. Voici, d'ailleurs, comment on peut vérifier ces résultats. Prenons sur OF, à partir de O, deux segments Ou et Ow' égaux, l'un à —, l'autre à :—. Si nous considérons l'une des extrémités, w par exemple, ses coordonnées instantanées sont de telle sorte que les formules (A) donneront, pour les déplacements du point o), en tenant compte de l'équation caractéristique (6). Par suite, le carré de l'élément linéaire de la courbe (w) est manifestement nul, ce qui prouve que cette ligne est isotrope, et, de plus, la tangente à cette courbe en u est parallèle au plan de xy du trièdre instantané, puisque la valeur de z est nulle. On peut donc énoncer la proposition suivante : Si, à partir des différents points d'une courbe (O) de M. Bertrand, on porte sur les parallèles aux bi-normales de la courbe conjuguée des segments égaux à ± —, les extrémités w et w' de ces segments décrivent deux lignes de longueur nulle, dont les tangentes sont parallèles aux directions isotropes du plan osculateur correspondant. Ceci posé, concevons la surface minima S, lieu des milieux des droites qui joignent les points de (o)> à ceux de (w'). Je dis que 2 est la surface demandée. D'abord la courbe (O) est fait évidemment partie puisqu'elle est le lieu des milieux des segments ww'. En outre, d'après une propriété connue, le plan tangent à S en un point O de (O) est parallèle aux tangentes menées en u et u' aux lignes (u) et (w); il est donc confondu avec le plan osculateur de (O) qui est parallèle à ces deux tangentes, de directions différentes d'ailleurs. La courbe (O) est donc une asymptotique de S, puisqu'en tous ses points son plan osculateur est tangent à la surface. Enfin, il n'y a pas d'autre surface minima répondant à la question, car, d'après le célèbre théorème de Bjorling, il existe une surface minima et une seule admettant pour asymptotique une ligne donnée. En résumé
minima S, lieu des milieux des droites qui joignent les points de (o)> à ceux de (w'). Je dis que 2 est la surface demandée. D'abord la courbe (O) est fait évidemment partie puisqu'elle est le lieu des milieux des segments ww'. En outre, d'après une propriété connue, le plan tangent à S en un point O de (O) est parallèle aux tangentes menées en u et u' aux lignes (u) et (w); il est donc confondu avec le plan osculateur de (O) qui est parallèle à ces deux tangentes, de directions différentes d'ailleurs. La courbe (O) est donc une asymptotique de S, puisqu'en tous ses points son plan osculateur est tangent à la surface. Enfin, il n'y a pas d'autre surface minima répondant à la question, car, d'après le célèbre théorème de Bjorling, il existe une surface minima et une seule admettant pour asymptotique une ligne donnée. En résumé : La surface minima admettant pour asymptotique une ligne donnée de M. Bertrand est le lieu des milieux des droites joignant les points des lignes de longueur nulle obtenues en prenant, à partir de la courbe, sur les parallèles aux bi-normales de la courbe conjuguée, des segments égaux Il résulte évidemment de cette construction purement géométrique que la surface minima ayant pour asymptotique une ligne de M. Bertrand est algébrique, si cette ligne est elle-même algébrique. Lorsque la courbe donnée est à courbure constante, l'angle a est droit et la construction générale s'applique, sans difficulté, en remarquant que la longueur constante égale, dans ce cas, à ±hi doit être portée sur les tangentes de (O). Il n'en est pas de même lorsque la courbe donnée (O) est à torsion constante, auquel cas l'angle a est nul et les lignes (a>) et (a>') sont rejetées à l'infini. La construction indiquée devient alors illusoire. Nous allons montrer qu'on peut donner du problème proposé une nouvelle solution qui convient à tous les cas. C'est la théorie des congruences isotropes, instituée par M. Ribaucour, qui va nous fournir cette solution générale. Par les différents points de la courbe (O1) conjuguée de (O), menons des