jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
où f est une fonction convexe croissante, avec f(0)=0, f'(0)=0, lim f(s)/s = co et g est une fonction positive dans [0, 1]. On s'attache en particulier au cas de l'équation : —u"=up~1u + X, pour lequel on obtient une description complète et globale des solutions (infinité de points de bifurcation et de retournement). ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS. — On the Global Set of Solutions of a Nonlinear O.D.E. We study nonlinear O.D.E.'s of the type —u"=f(u)+Xg(x), with Dirichlet boundary conditions. Here f is a convex non-decreasing function with f(0) = 0, f'(0) =0, lim f(s)/s = ao and g is a positive function in (0,1). In particular, for the equation: — u" = | u | p~1 u + X, a complete and global description of the set of solutions is given (infinité number of bifurcation points and turning points). 1. INTRODUCTION ET RAPPELS. — On considère le problème : (H. 1) f est une fonction convexe croissante, Pour une fonction f satisfaisant (H. 3), Ehrmann [4] et Fucik et Lovicar [5], ont montré l'existence d'une infinité de solutions, dans un cadre plus général : —u" = f (x, u). Bahri et Berestycki [1] ont obtenu une infinité de solutions pour le problème : — Au=u"~1u+g(x), pourvu que p≥pN, pour un certain pN, vérifiant l<pN<(N + 2)/(N-2). On peut décrire toutes les solutions (voir [2]) de l'équation — u"=f(u). Il existe exactement une solution uk ∈ S*, k ∈ N, où : On s'intéresse ici au problème de perturbation globale de l'équation précédente lorsque l'on ajoute le terme Xg(x). En particulier pour f(«)= |u|p-1u, g=s, on obtient une description globale. 2. SOLUTIONS POSITIVES. — On montre tout d'abord qu'il existe une constante M, 0<M<oo, telle que l'équation (1) n'admette pas de solutions positives, lorsque A,>M. Cette borne sur X nous permet d'obtenir une borne sur les solutions positives. Rappelons le résultat de Crandall et Rabinowitz [3] pour commencer. On définit l'opérateur : de L2(0,1) à L2(0,1). Les dérivées de Fréchet sont données par : En utilisant le théorème des fonctions implicites, on obtient la branche de solutions positives minimales pour
pour le problème : — Au=u"~1u+g(x), pourvu que p≥pN, pour un certain pN, vérifiant l<pN<(N + 2)/(N-2). On peut décrire toutes les solutions (voir [2]) de l'équation — u"=f(u). Il existe exactement une solution uk ∈ S*, k ∈ N, où : On s'intéresse ici au problème de perturbation globale de l'équation précédente lorsque l'on ajoute le terme Xg(x). En particulier pour f(«)= |u|p-1u, g=s, on obtient une description globale. 2. SOLUTIONS POSITIVES. — On montre tout d'abord qu'il existe une constante M, 0<M<oo, telle que l'équation (1) n'admette pas de solutions positives, lorsque A,>M. Cette borne sur X nous permet d'obtenir une borne sur les solutions positives. Rappelons le résultat de Crandall et Rabinowitz [3] pour commencer. On définit l'opérateur : de L2(0,1) à L2(0,1). Les dérivées de Fréchet sont données par : En utilisant le théorème des fonctions implicites, on obtient la branche de solutions positives minimales pour 0<X<X*. En X*, G, est singulière et l'on montre que cette branche a un point de retournement en X* (voir [3]). Tous ces résultats sont encore valables dans le cas multidimensionnel, et déjà connus pour des problèmes voisins (voir [3] et [6]). Nous allons maintenant préciser ces résultats, dans le cas de la dimension un, en donnant le nombre exact de solutions du problème (1). PROPOSITION. — L'équation (1) admet : (i) exactement deux solutions positives pour X>0; (ii) une seule solution positive pour X<0. La démonstration de ce résultat, qui repose sur un argument de degré topologique ainsi que sur la comparaison de deux solutions de (1) pour un même X, est détaillée dans [7]. D COMPORTEMENT GLOBAL. — On s'intéresse maintenant à l'équation : Introduisons : THÉORÈME. — Pour l'équation (2), V/? > 1, on a : (i) Sk est borné dans X, V k e N; (ii) Sx est connexe; chaque S2k+1, pour k > 1, a deux composantes connexes, S2k + 1 et S-k + u de classe 1; (iii) chaque S2k, k > 1 est une courbe fermée, de classe c 1; (iv) il existe une infinité de points de bifurcation que l'on notera (P2k,
cas de la dimension un, en donnant le nombre exact de solutions du problème (1). PROPOSITION. — L'équation (1) admet : (i) exactement deux solutions positives pour X>0; (ii) une seule solution positive pour X<0. La démonstration de ce résultat, qui repose sur un argument de degré topologique ainsi que sur la comparaison de deux solutions de (1) pour un même X, est détaillée dans [7]. D COMPORTEMENT GLOBAL. — On s'intéresse maintenant à l'équation : Introduisons : THÉORÈME. — Pour l'équation (2), V/? > 1, on a : (i) Sk est borné dans X, V k e N; (ii) Sx est connexe; chaque S2k+1, pour k > 1, a deux composantes connexes, S2k + 1 et S-k + u de classe 1; (iii) chaque S2k, k > 1 est une courbe fermée, de classe c 1; (iv) il existe une infinité de points de bifurcation que l'on notera (P2k, Q2k), k e N. De plus : (v) chaque branche Sk a au moins un point de retournement Rk, k e N. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 327 Remarque 1. — En fait, on obtient par une intégration, l'expression suivante pour P2k, Q2k Remarque — Les calculs numériques effectués pour le cas p = 3, donnent le diagramme qui illustre le théorème précédent. Principe des démonstrations. — On montre dans les étapes suivantes le comportement global des solutions de l'équation (2). Étape 1. — On peut prolonger par un argument de continuation, la branche positive, après le point de retournement X*; de même pour X, < 0. On montre l'existence d'une constante — M, telle qu'il n'y ait pas de solutions positives, lorsque X < — M < 0. Donc il existe un point X = — Xf, où G, est singulière. Étape 2. — Si H1(/'(M)) = 0 en —X*, on peut montrer que c'est un point de retournement. Il existe alors un Xe(—Xf, — X* + e), tel que l'on ait deux solutions positives pour ce X. Ceci contredit l'unicité des solutions positives pour A < 0 (voir proposition). Comme u
Remarque — Les calculs numériques effectués pour le cas p = 3, donnent le diagramme qui illustre le théorème précédent. Principe des démonstrations. — On montre dans les étapes suivantes le comportement global des solutions de l'équation (2). Étape 1. — On peut prolonger par un argument de continuation, la branche positive, après le point de retournement X*; de même pour X, < 0. On montre l'existence d'une constante — M, telle qu'il n'y ait pas de solutions positives, lorsque X < — M < 0. Donc il existe un point X = — Xf, où G, est singulière. Étape 2. — Si H1(/'(M)) = 0 en —X*, on peut montrer que c'est un point de retournement. Il existe alors un Xe(—Xf, — X* + e), tel que l'on ait deux solutions positives pour ce X. Ceci contredit l'unicité des solutions positives pour A < 0 (voir proposition). Comme u < 0 < u, et u < 0, on a M/'(w))=0. Étape 3. — Par un argument de comparaison de valeurs propres avec poids, on obtient les résultats suivants : (i) en X= — A.J, la deuxième fonction propre est u'(x); (ii) — X% est un point de bifurcation et il existe deux directions tangentes distinctes (du, dX) pour les branches de solutions en X%. Diagramme de bifurcation pour p = 3 (numérique). 328 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 En utilisant la technique de Crandall et Rabinowitz [3], on fait une étude locale pour obtenir les deux branches Sf U S3 et S^ U S^ qui se coupent en — X%. Étape 4. — Étudions ensuite la branche S2. Pour des raisons de symétrie, il suffit d'étudier les solutions uk, pour X < 0 et t4(0) > 0. On établit une correspondance entre la branche positive et S2, de la façon suivante : Prolongeons la solution positive u en X, jusqu'au premier zéro a(X), a(X) > 1, telle qu'elle satisfasse encore la même équation. Définissons : Alors (û(X), £) e S2. Dans cette partie de S2, s'il existe un point où Gu est
il existe deux directions tangentes distinctes (du, dX) pour les branches de solutions en X%. Diagramme de bifurcation pour p = 3 (numérique). 328 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 En utilisant la technique de Crandall et Rabinowitz [3], on fait une étude locale pour obtenir les deux branches Sf U S3 et S^ U S^ qui se coupent en — X%. Étape 4. — Étudions ensuite la branche S2. Pour des raisons de symétrie, il suffit d'étudier les solutions uk, pour X < 0 et t4(0) > 0. On établit une correspondance entre la branche positive et S2, de la façon suivante : Prolongeons la solution positive u en X, jusqu'au premier zéro a(X), a(X) > 1, telle qu'elle satisfasse encore la même équation. Définissons : Alors (û(X), £) e S2. Dans cette partie de S2, s'il existe un point où Gu est singulière, on montre que ce point est nécessairement un point de retournement. Ainsi on trouve que S2 est une courbe fermée avec deux points de bifurcation : — X.J et Xf, déjà obtenus. Étape 5. — Une transformation de Si à Sk comme dans l'étape 4 nous permet d'étudier les autres branches Sk. On obtient d'abord les constantes — X% < 0 et X% > 0 telles qu'il n'y ait pas de solution uk e Sk pour X < [ — Xk, A.J. En suivant le même raisonnement comme dans l'étape 3, on étudie les autres points de bifurcations où u2t (/' (u)) = 0. Les démonstrations détaillées ainsi que divers essais numériques sont indiqués dans [7] et [8]. D 1 Calculs effectués à l'I.N.R.I.A. sur un DPS 68 avec une méthode de continuation (voir [7] pour les détails). RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A. BAHRI et H. BERESTYCKI, A Perturbation Method in Critical Point Theory and Applications, Trans. Amer. Math. Soc, 207, n° 1, 1981, p. 1-32. [2] H. BERESTYCKI, Le nombre des solutions de certains problèmes semilinéaires elliptiques, J.F.A., 40, 1, 1981, p. 1-29. [3] M. G. CRANDALL et P. H. RABINOWITZ, Bifurcation, Perturbation of Simple Eigenvalues and Linearized Stability,
autres branches Sk. On obtient d'abord les constantes — X% < 0 et X% > 0 telles qu'il n'y ait pas de solution uk e Sk pour X < [ — Xk, A.J. En suivant le même raisonnement comme dans l'étape 3, on étudie les autres points de bifurcations où u2t (/' (u)) = 0. Les démonstrations détaillées ainsi que divers essais numériques sont indiqués dans [7] et [8]. D 1 Calculs effectués à l'I.N.R.I.A. sur un DPS 68 avec une méthode de continuation (voir [7] pour les détails). RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A. BAHRI et H. BERESTYCKI, A Perturbation Method in Critical Point Theory and Applications, Trans. Amer. Math. Soc, 207, n° 1, 1981, p. 1-32. [2] H. BERESTYCKI, Le nombre des solutions de certains problèmes semilinéaires elliptiques, J.F.A., 40, 1, 1981, p. 1-29. [3] M. G. CRANDALL et P. H. RABINOWITZ, Bifurcation, Perturbation of Simple Eigenvalues and Linearized Stability, Arch. Rat. Mech. Anal, 52, 1973, p. 161-180. [4] H. EHRMANN, Über die Existenz der Lösungen von Randwertaufgaben bei gewöhnlichen nichtlinearen Differentialgleichungen zweiter Ordnung, Math. Ann., 134, 1957, p. 167-194. [5] S. FUCIK et LOVICAR, Periodic Solutions of the Equation x"(t) + g(x(t)), Casopis Pest. Mat., 100, 1975, p. 160-175. [6] P.-L. LIONS, On the Existence of Positive Solutions of Semilinear Elliptic Equations, S.I.A.M. Review, 24, 1982. [7] M. RAMASWAMY, Thèse de 3e cycle, Paris-VI, 1983. [8] M. RAMASWAMY (à paraître). M. R. : Institut National de Recherche en Informatique et en automatique, Service du Pr Glowinski, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, B.P. n° 105, 78153 Le Chesnay Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 329 ANALYSE FONCTIONNELLE. — Théorèmes du Minimax. Note de Andrzej Granas et Fon-Che-Liu, présentée par Jean Leray. Remise le 12 décembre 1983. Dans cette Note nous annonçons certains théorèmes nouveaux dans la théorie du minimax. La méthode de démonstration utilise des théorèmes de points fixes et coïncidences pour les applications multivoques; en particulier celles de type O et O* (traitées dans la Note précédente [1]) ainsi que celles de type de Kakutani. Les résultats obtenus ont plusieurs applications. FUNCTIONAL ANALYSIS.
[6] P.-L. LIONS, On the Existence of Positive Solutions of Semilinear Elliptic Equations, S.I.A.M. Review, 24, 1982. [7] M. RAMASWAMY, Thèse de 3e cycle, Paris-VI, 1983. [8] M. RAMASWAMY (à paraître). M. R. : Institut National de Recherche en Informatique et en automatique, Service du Pr Glowinski, Domaine de Voluceau, Rocquencourt, B.P. n° 105, 78153 Le Chesnay Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 329 ANALYSE FONCTIONNELLE. — Théorèmes du Minimax. Note de Andrzej Granas et Fon-Che-Liu, présentée par Jean Leray. Remise le 12 décembre 1983. Dans cette Note nous annonçons certains théorèmes nouveaux dans la théorie du minimax. La méthode de démonstration utilise des théorèmes de points fixes et coïncidences pour les applications multivoques; en particulier celles de type O et O* (traitées dans la Note précédente [1]) ainsi que celles de type de Kakutani. Les résultats obtenus ont plusieurs applications. FUNCTIONAL ANALYSIS. — Minimax Theorems. In this Note we announce certain new minimax theorems. The proofs of these results involve fixed point and co-incidence theorems for set-valued maps. The results obtained have a number of useful consequences. MULTI-VALUED APPLICATIONS. — Dans cette Note les applications multivoques (appelées simplement applications) seront désignées en lettres majuscules et les fonctions univoques en lettres minuscules. Si A : X → Y est une application, l'inverse A-1 : Y → X est défini par : désigne le graphe de A. Notons que A : X → Y est surjective si et seulement si A-1 y # 0 pour chaque y e Y. Si A, B : X → Y, on dit que B est une sélection de A si TB ⊆ A; on écrit dans ce cas B<A. On dit que A, B : X → Y ont une coïncidence si FA ∩ FB = 0. DÉFINITION 1. — Soient X, Y deux espaces topologiques et A : X → Y. (i) A est une β-application si elle satisfait aux conditions suivantes : (a) X est convexe; (b) A_1(y) est convexe, pour chaque ye Y; (c) il existe une sélection Â : X → Y de A
lettres majuscules et les fonctions univoques en lettres minuscules. Si A : X → Y est une application, l'inverse A-1 : Y → X est défini par : désigne le graphe de A. Notons que A : X → Y est surjective si et seulement si A-1 y # 0 pour chaque y e Y. Si A, B : X → Y, on dit que B est une sélection de A si TB ⊆ A; on écrit dans ce cas B<A. On dit que A, B : X → Y ont une coïncidence si FA ∩ FB = 0. DÉFINITION 1. — Soient X, Y deux espaces topologiques et A : X → Y. (i) A est une β-application si elle satisfait aux conditions suivantes : (a) X est convexe; (b) A_1(y) est convexe, pour chaque ye Y; (c) il existe une sélection Â : X → Y de A telle que : Â est surjective et A(x) est ouvert dans Y, pour chaque xeX. (ii) A est une β*-application si A_1 eO(Y, X). L'ensemble des β-applications (resp. β*-applications) de X dans Y est noté β(X, Y) [resp. β*(X, Y)]. DÉFINITION 2. — Soient X, Y deux convexes dans les espaces linéaires topologiques. (i) On dit que A : X → Y est une K-application si le graphe FA de A est fermé dans X x Y et A ~ * a des valeurs convexes. (ii) On dit que A : X → Y est une K*-application si son inverse A_1 : Y → X est une K-application. L'ensemble de K-applications (resp. K*-applications) de X dans Y est noté K(X, Y) [resp. K*(X, Y)] et on pose : 2. DEUX RÉSULTATS GÉOMÉTRIQUES. THÉORÈME 2.1. — Soient Y un espace topologique, X un convexe dans un espace vectoriel avec topologie finie et G, S : X → Y deux applications telles que : (i) G eO(X, Y); (ii) S est compacte et pour chaque convexe C c X de la forme C = conv{x1, ..., xk} la restriction S | C est s. c. s. et acyclique. THÉORÈME 2.2. — Soient
espaces linéaires topologiques. (i) On dit que A : X → Y est une K-application si le graphe FA de A est fermé dans X x Y et A ~ * a des valeurs convexes. (ii) On dit que A : X → Y est une K*-application si son inverse A_1 : Y → X est une K-application. L'ensemble de K-applications (resp. K*-applications) de X dans Y est noté K(X, Y) [resp. K*(X, Y)] et on pose : 2. DEUX RÉSULTATS GÉOMÉTRIQUES. THÉORÈME 2.1. — Soient Y un espace topologique, X un convexe dans un espace vectoriel avec topologie finie et G, S : X → Y deux applications telles que : (i) G eO(X, Y); (ii) S est compacte et pour chaque convexe C c X de la forme C = conv{x1, ..., xk} la restriction S | C est s. c. s. et acyclique. THÉORÈME 2.2. — Soient Y un convexe compact non-vide dans un e. v. t., X un convexe dans un e. v. et F, G, S : X → Y trois applications telles que : (i) G_1(y) est convexe, ∀ y e Y; (ii) F c G et F x est ouvert, ∀ xe X; (iii) S x est convexe, ∀ x e X et F s (C x Y) est fermé dans C x Y pour chaque C = conv{x1, x2, ..., xk} c X. Alors au moins l'un des énoncés suivants est vrai : (a) G et S ont une coïncidence; (b) F_1(y) = 0 pour un certain ye Y; (c) S(x) = 0 pour un certain xe X. 3. THÉORÈMES DU MINIMAX. — Nous énonçons maintenant les principales conséquences du théorème 2.2: THÉORÈME 3.1. — Soient Y un convexe compact dans un e.v.t. (espace vectoriel topologique), X un convexe dans un e.v. et f, g, k : X x Y → R trois fonctions numériques vérifiant : (i) f(x, y) ≤ g(x, y) ≤ k (x, y), ∀ (x, y), X x Y; (ii) x → g(x, y) est quasi-concave, ∀ ye Y, et y → f(x, y) est s. c. i.,
(iii) S x est convexe, ∀ x e X et F s (C x Y) est fermé dans C x Y pour chaque C = conv{x1, x2, ..., xk} c X. Alors au moins l'un des énoncés suivants est vrai : (a) G et S ont une coïncidence; (b) F_1(y) = 0 pour un certain ye Y; (c) S(x) = 0 pour un certain xe X. 3. THÉORÈMES DU MINIMAX. — Nous énonçons maintenant les principales conséquences du théorème 2.2: THÉORÈME 3.1. — Soient Y un convexe compact dans un e.v.t. (espace vectoriel topologique), X un convexe dans un e.v. et f, g, k : X x Y → R trois fonctions numériques vérifiant : (i) f(x, y) ≤ g(x, y) ≤ k (x, y), ∀ (x, y), X x Y; (ii) x → g(x, y) est quasi-concave, ∀ ye Y, et y → f(x, y) est s. c. i., ∀ xe X; (iii) y → k (x, y) est quasi-convexe, ∀ xe X; la restriction k | C x Y est s.c. i. pour chaque convexe C = conv{x1, ..., xk} c X. Alors on a l'inégalité suivante : Préuve. — Raisonnons par l'absurde et supposons que pour un certain XeU nous avons B < A, < a. Définissons F, G, S : X → Y en posant pour chaque xe X : On vérifie aisément que les hypothèses du théorème 2.2 sont satisfaites. En appliquant le théorème 2.2 il est clair que le cas (a) ne peut arriver (parce que TG H TS = 0). Nous avons donc pour un certain ye Y, F_1(y) = 0, i. e., ou bien pour un certain xe X, Sx = 0, i. e., De (*) on obtient c = inf sup f(x, y) ^ X ce qui est absurde. De la même façon, de y x (**) on déduit p = sup inf k(x, y) 2: X ce qui donne la contradiction. On a donc a rg (f x y et la preuve est complète. THÉORÈME 3.2. — Soient Y un convexe compact non-vide dans un e. v. t., X un
certain XeU nous avons B < A, < a. Définissons F, G, S : X → Y en posant pour chaque xe X : On vérifie aisément que les hypothèses du théorème 2.2 sont satisfaites. En appliquant le théorème 2.2 il est clair que le cas (a) ne peut arriver (parce que TG H TS = 0). Nous avons donc pour un certain ye Y, F_1(y) = 0, i. e., ou bien pour un certain xe X, Sx = 0, i. e., De (*) on obtient c = inf sup f(x, y) ^ X ce qui est absurde. De la même façon, de y x (**) on déduit p = sup inf k(x, y) 2: X ce qui donne la contradiction. On a donc a rg (f x y et la preuve est complète. THÉORÈME 3.2. — Soient Y un convexe compact non-vide dans un e. v. t., X un convexe dans un e.v. et f, g : X x Y → U deux fonctions numériques vérifiant : (iii) x → g(x, y) est quasi-concave, ∀ ye Y. Soit S : X → Y une application telle que : (iv) Sx est convexe non-vide, ∀ xe X; (v) TS H (C x Y) est fermée dans C x Y pour chaque C = conv (x1, ..., xk) c X. Alors : THÉORÈME 3.3. — Soient Y un compact convexe non-vide dans un espace linéaire topologique et X un convexe dans un espace vectoriel avec topologie finie. Soit h : X x Y → R une fonction numérique vérifiant : (i) h | C x Y est continue pour chaque C = conv { x1, ..., xk} c X; (ii) y → h (x, y) est quasi-convexe, ∀ xe X. Alors, pour chaque Ae O*(Y, X), il existe (x0, y0) e X x Y tel que : THÉORÈME 3.4. — Soient X, Y et h: X x Y → IR comme dans 3.3. Soient f, g: X x Y → R deux fonctions numériques telles que : (i) g(x, y) ≤ f(x, y); (ii) x → f(x, y) est quasi-concave, ∀
(C x Y) est fermée dans C x Y pour chaque C = conv (x1, ..., xk) c X. Alors : THÉORÈME 3.3. — Soient Y un compact convexe non-vide dans un espace linéaire topologique et X un convexe dans un espace vectoriel avec topologie finie. Soit h : X x Y → R une fonction numérique vérifiant : (i) h | C x Y est continue pour chaque C = conv { x1, ..., xk} c X; (ii) y → h (x, y) est quasi-convexe, ∀ xe X. Alors, pour chaque Ae O*(Y, X), il existe (x0, y0) e X x Y tel que : THÉORÈME 3.4. — Soient X, Y et h: X x Y → IR comme dans 3.3. Soient f, g: X x Y → R deux fonctions numériques telles que : (i) g(x, y) ≤ f(x, y); (ii) x → f(x, y) est quasi-concave, ∀ y e Y; (iii) y → g(x, y) est s. c. i., ∀ xe X. Alors il existe ye Y tel que : où : 4. COÏNCIDENCES POUR LES APPLICATIONS RENTRANTES ET SORTANTES. — Soit X un sousensemble convexe compact non-vide d'un espace localement convexe E. Étant donné un xe X, posons : Nx (x) = {(p e E' | (p (x) = max { y }) = cône normal à X en x, y e X Tx(x) = { p e E | (p (j) ≥ 0 pour tout p e Nx(x)} = cône tangent à X en x. Rappelons qu'une application A : X → E est dite rentrante (resp. sortante au sens de Ky Fan, si A x H (x + Tx(x)) ≠ 0, ∀ x ∈ X [resp. Ax π (x - Tx(x)) ≠ 0, ∀ x ∈ X]. En utilisant le théorème 2.2 et le théorème de Banach-Steinhaus on peut déduire de façon directe et simple le résultat bien connu suivant : COROLLAIRE 4.1 (Ky Fan). — Soient X un sous-ensemble convexe compact non-vide d'un espace localement convexe E, et F, G : X → E deux applications s.c.s. à valeurs convexes telles que F
X, posons : Nx (x) = {(p e E' | (p (x) = max { y }) = cône normal à X en x, y e X Tx(x) = { p e E | (p (j) ≥ 0 pour tout p e Nx(x)} = cône tangent à X en x. Rappelons qu'une application A : X → E est dite rentrante (resp. sortante au sens de Ky Fan, si A x H (x + Tx(x)) ≠ 0, ∀ x ∈ X [resp. Ax π (x - Tx(x)) ≠ 0, ∀ x ∈ X]. En utilisant le théorème 2.2 et le théorème de Banach-Steinhaus on peut déduire de façon directe et simple le résultat bien connu suivant : COROLLAIRE 4.1 (Ky Fan). — Soient X un sous-ensemble convexe compact non-vide d'un espace localement convexe E, et F, G : X → E deux applications s.c.s. à valeurs convexes telles que F soit rentrante et G soit sortante. Alors F et G ont une coïncidence. COROLLAIRE 4.2 (Ky Fan-Glicksberg). — Soit X compact convexe non-vide dans un espace localement convexe. Si A ∈ K (X, X) [ou A ∈ K* (X, X)], alors il existe x0 ∈ X tel que x0 ∈ A x0. THÉORÈME 5.1 (théorème de coïncidence). — Soient X, Y deux convexes compacts non-vides dans des espaces localement convexes. Si A ∈ K (X, Y) et B ∈ K* (X, Y), alors il existe (x0, y0) ∈ X x Y tel que y0 ∈ A x0 ∩ B x0. Le théorème 5.1 découle du théorème de Fan-Glicksberg. Parmi les conséquences des théorèmes 4.2 et 5.1, citons les deux résultats suivants : THÉORÈME 5.2. — Soient X un convexe compact dans un espace localement convexe et k : X x X → U une fonction s.c.s. telle que x → k(x, y) est quasi-concave, ∀ y ∈ Y. Alors : THÉORÈME 5.3 (6). — Soient X, Y comme dans 5.1 et k, k* : X x Y → U deux fonctions numériques telles que : (i) k (x, y) ≥ k* (x, y), ∀ (x, y) ∈ X x Y;