jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
A x0. THÉORÈME 5.1 (théorème de coïncidence). — Soient X, Y deux convexes compacts non-vides dans des espaces localement convexes. Si A ∈ K (X, Y) et B ∈ K* (X, Y), alors il existe (x0, y0) ∈ X x Y tel que y0 ∈ A x0 ∩ B x0. Le théorème 5.1 découle du théorème de Fan-Glicksberg. Parmi les conséquences des théorèmes 4.2 et 5.1, citons les deux résultats suivants : THÉORÈME 5.2. — Soient X un convexe compact dans un espace localement convexe et k : X x X → U une fonction s.c.s. telle que x → k(x, y) est quasi-concave, ∀ y ∈ Y. Alors : THÉORÈME 5.3 (6). — Soient X, Y comme dans 5.1 et k, k* : X x Y → U deux fonctions numériques telles que : (i) k (x, y) ≥ k* (x, y), ∀ (x, y) ∈ X x Y; (ii) k est s.c.s. et x→k(x, y) est quasi-concave, ∀ y∈ Y; (iii) k* est s.c.i. et y→k* (x, y) est quasi-convexe, ∀ x∈ Y. Alors : (') Les applications de type K* ont été considérées pour la première fois par S. Kakutani dans sa généralisation bien connue du théorème de Brouwer. (2) Parmi des cas spéciaux des théorèmes principaux de la section 3 on retrouve des résultats de Browder [2], Ky Fan [3] et Ha [4]. (3) Rappelons que : x → U est quasi-concave (resp. s.c.i. = semi-continue inférieurement) si {x | f(x) > A.} est convexe (resp. ouvert) pour chaque x∈U, et que g : X→ R est quasi-convexe (resp. s.c.s. = semi-continue supérieurement) si −g est quasi-concave (resp. s.c.i). (4) Voir [1] (5) Dans le cas où la dimension de X et Y est finie et A ∈ K(X, Y) ∩ K*(X, Y), voir [6]. (6) Ce résultat est analogue au théorème principal dans [5]; voir aussi [7]. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] H. BEN-EL-MECHAIEKH, P. DEGUIRE et A. GRANAS, Comptes rendus, 295, série I, 1982, p. 381-384. [2] F. E. BROWDER, Math. Ann., 177, 1968, p. 283-301. [3] K. FAN, A Minimax Inequality and Applications, in Inequalities
de Brouwer. (2) Parmi des cas spéciaux des théorèmes principaux de la section 3 on retrouve des résultats de Browder [2], Ky Fan [3] et Ha [4]. (3) Rappelons que : x → U est quasi-concave (resp. s.c.i. = semi-continue inférieurement) si {x | f(x) > A.} est convexe (resp. ouvert) pour chaque x∈U, et que g : X→ R est quasi-convexe (resp. s.c.s. = semi-continue supérieurement) si −g est quasi-concave (resp. s.c.i). (4) Voir [1] (5) Dans le cas où la dimension de X et Y est finie et A ∈ K(X, Y) ∩ K*(X, Y), voir [6]. (6) Ce résultat est analogue au théorème principal dans [5]; voir aussi [7]. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] H. BEN-EL-MECHAIEKH, P. DEGUIRE et A. GRANAS, Comptes rendus, 295, série I, 1982, p. 381-384. [2] F. E. BROWDER, Math. Ann., 177, 1968, p. 283-301. [3] K. FAN, A Minimax Inequality and Applications, in Inequalities III, O. SHISHA éd., Acad. Press, New York and London, 1972, p. 103-113. [4] C. W. HA, Pacific J. Math., 97, 1981, p. 115-117. [5] F. C. LIU, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica, 6, n° 2, 1978, p. 517-522. [6] J. VON NEUMANN, Ergebn. eines Math. Kolloquium, 8, 1937, p. 73-83. Des conditions nécessaires d'optimalité aux jonctions où arcs singuliers et non singuliers se rencontrent ont été obtenues plus récemment. Une condition, établie par McDanell et Power [8], a été mise en question par Bell [1]. Plusieurs auteurs ont ensuite cerné ce problème en montrant la validité du théorème pour certaines valeurs de paramètres et la possibilité de l'existence d'un contre-exemple pour d'autres valeurs. Une nouvelle interprétation, par les séries de Vollersta, des conditions d'optimalité d'ordre supérieur [5] a permis de clarifier des expressions compliquées apparaissant dans l'analyse des jonctions et de construire a priori un contre-exemple. La présentation de celui-ci ne nécessitant pas cette analyse, nous l'exposerons dans le formalisme hamiltonien classique. 1. LA CONJECTURE DE MCDANELL. — Reprenons le problème (1). Un calcul simple montre que la commande u n'apparaît pas explicitement dans la dérivée totale de O par rapport à t, mais intervient, de façon linéaire, dans
73-83. Des conditions nécessaires d'optimalité aux jonctions où arcs singuliers et non singuliers se rencontrent ont été obtenues plus récemment. Une condition, établie par McDanell et Power [8], a été mise en question par Bell [1]. Plusieurs auteurs ont ensuite cerné ce problème en montrant la validité du théorème pour certaines valeurs de paramètres et la possibilité de l'existence d'un contre-exemple pour d'autres valeurs. Une nouvelle interprétation, par les séries de Vollersta, des conditions d'optimalité d'ordre supérieur [5] a permis de clarifier des expressions compliquées apparaissant dans l'analyse des jonctions et de construire a priori un contre-exemple. La présentation de celui-ci ne nécessitant pas cette analyse, nous l'exposerons dans le formalisme hamiltonien classique. 1. LA CONJECTURE DE MCDANELL. — Reprenons le problème (1). Un calcul simple montre que la commande u n'apparaît pas explicitement dans la dérivée totale de O par rapport à t, mais intervient, de façon linéaire, dans sa dérivée seconde. D'une façon générale, il est bien connu [6] que le plus petit ordre de la dérivée totale de O par rapport à t, où u apparaît explicitement est pair : Le problème de commande optimale est dit alors problème singulier d'ordre q. La conjecture de McDanell. — Soit tc un point où un arc singulier et un arc non singulier se rencontrent et soit q l'ordre de l'arc singulier. Soit r le plus petit ordre de la dérivée de u pour lequel w(r) est discontinue au point tc et soit m le plus petit ordre de la dérivée de p pour lequel p(m) est non nulle au point tc. Alors, (i) si m<r, q + r + m est un entier impair : Actuellement cette conjecture est prouvée pour certaines valeurs des paramètres N, q, m, r associés au problème de commande. Quand m = 2, Bell et Turpin [2] ont montré que la conjecture est vraie pour les problèmes de commande optimale avec N = 1 et q = 1 et pour une classe très particulière de problèmes avec N = 2 et q=1. Les paramètres du contre-exemple présenté ci-dessous ont pour valeur N = 2,
Soit tc un point où un arc singulier et un arc non singulier se rencontrent et soit q l'ordre de l'arc singulier. Soit r le plus petit ordre de la dérivée de u pour lequel w(r) est discontinue au point tc et soit m le plus petit ordre de la dérivée de p pour lequel p(m) est non nulle au point tc. Alors, (i) si m<r, q + r + m est un entier impair : Actuellement cette conjecture est prouvée pour certaines valeurs des paramètres N, q, m, r associés au problème de commande. Quand m = 2, Bell et Turpin [2] ont montré que la conjecture est vraie pour les problèmes de commande optimale avec N = 1 et q = 1 et pour une classe très particulière de problèmes avec N = 2 et q=1. Les paramètres du contre-exemple présenté ci-dessous ont pour valeur N = 2, q=1, m = 3 et r= 1. LE CONTRE-EXEMPLE. — Considérons le problème de commande N = 2 : où les fonctions f et g seront précisées plus loin. L'hamiltonien et la fonction de commutation s'écrivent : L'équation canonique est : Nous proposons comme candidat à la commande optimale une solution comprenant un arc singulier sur [0, 1) et un arc non singulier sur (1, 2]. La commande apparaît explicitement avec un coefficient non trivial dans : C. R. Acad. Se Paris, t 298, Série I, n° 14, 1984 335 336 C. R. Acad. Se Paris, t 298, Série I, n° 14, 1984 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] D. J. BELL, Int. J. Contr., 33, 1981, p. 763-772. [2] D. J. BELL et K. TURPIN, Int. J. Contr., 34, 1981, p. 153-158. [3] R. GABASOV et F. M. KIRILLOVA, S.I.A.M. J. Contr., 10, 1972, p. 127-168. [4] H. W. KNOBLOCH, Lect. Notes Contr. and Inf. Sc., n° 34, Springer Verlag, Berlin, 1981. [5] F. LAMNABHI-LAGARRIGUE, Proc. 1983 M.T.N.S. Beer-Sheva, à paraître dans Lect. Notes Contr. and Inf. Sc., Springer Verlag, Berlin. [6] R. M. LEWIS, S.I.A.M. J. Contr., 18, 1980, p. 21-32. [7] C. MARCHALL et P. CONTENSOU, J. Guidance and Control,
solution comprenant un arc singulier sur [0, 1) et un arc non singulier sur (1, 2]. La commande apparaît explicitement avec un coefficient non trivial dans : C. R. Acad. Se Paris, t 298, Série I, n° 14, 1984 335 336 C. R. Acad. Se Paris, t 298, Série I, n° 14, 1984 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] D. J. BELL, Int. J. Contr., 33, 1981, p. 763-772. [2] D. J. BELL et K. TURPIN, Int. J. Contr., 34, 1981, p. 153-158. [3] R. GABASOV et F. M. KIRILLOVA, S.I.A.M. J. Contr., 10, 1972, p. 127-168. [4] H. W. KNOBLOCH, Lect. Notes Contr. and Inf. Sc., n° 34, Springer Verlag, Berlin, 1981. [5] F. LAMNABHI-LAGARRIGUE, Proc. 1983 M.T.N.S. Beer-Sheva, à paraître dans Lect. Notes Contr. and Inf. Sc., Springer Verlag, Berlin. [6] R. M. LEWIS, S.I.A.M. J. Contr., 18, 1980, p. 21-32. [7] C. MARCHALL et P. CONTENSOU, J. Guidance and Control, 4, 1980, p. 240-252. [8] J. P. MCDANELL et W. F. POWERS, S.I.A.M. J. Contr., 9, 1971, p. 161-173. L.S.S. E.S.E., plateau du Moulon, 91190 Gif-sur-Yvette. C. R. Acad. Se Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 337 GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE. — Le théorème des zéros centraux. Note de Christiane Saliba, présentée par René Thom. Remise le 7 novembre 1983, acceptée après révision le 13 février 1984. Dans cette Note, nous prouvons le théorème des zéros centraux de la géométrie algébrique réelle. Notre preuve repose sur la théorie du spectre réel et rend caduque la première preuve (non publiée) qui utilisait des anneaux de valuation [1]. Un résultat un peu plus général est montré dans [2], p. 95. ALGEBRAIC GEOMETRY. — Central Nullstellensatz. In this Note, we prove the central Nullstellensatz of real algebraic geometry. Our proof is based on the theory of real spectrum and renders obsolète the first proof (non published) which used valuation rings [1]. In [2], p. 95, we prove a slightly more general result. 1. NOTATIONS. — Soit V une variété algébrique affine définie sur un corps réel clos R. On note V(R) l'ensemble de ses points R-rationnels, R[V] son anneau de coordonnées et R(V)
Saliba, présentée par René Thom. Remise le 7 novembre 1983, acceptée après révision le 13 février 1984. Dans cette Note, nous prouvons le théorème des zéros centraux de la géométrie algébrique réelle. Notre preuve repose sur la théorie du spectre réel et rend caduque la première preuve (non publiée) qui utilisait des anneaux de valuation [1]. Un résultat un peu plus général est montré dans [2], p. 95. ALGEBRAIC GEOMETRY. — Central Nullstellensatz. In this Note, we prove the central Nullstellensatz of real algebraic geometry. Our proof is based on the theory of real spectrum and renders obsolète the first proof (non published) which used valuation rings [1]. In [2], p. 95, we prove a slightly more general result. 1. NOTATIONS. — Soit V une variété algébrique affine définie sur un corps réel clos R. On note V(R) l'ensemble de ses points R-rationnels, R[V] son anneau de coordonnées et R(V) son corps des fractions rationnelles lorsque V est une variété intègre. Si I est un idéal de R[V], V_(R) sera l'ensemble des zéros R-rationnels de I. Si V est une variété intègre, on note Cent(V) l'adhérence (pour la topologie euclidienne de V(R)) de l'ensemble, noté Reg(V), des points réguliers de V(R). 2. THÉORÈME DES ZÉROS CENTRAUX. — Le théorème des zéros réels [3] désormais classique est le résultat suivant : P est nul en tous points de V_(R) si et seulement si il existe un entier m 2:0 et un polynôme Q de R[V] de la forme Q=P^2 + ... + P^j où P;eR[V] tels que P^2m + QeL. Nous montrons ici un nouveau théorème des zéros en géométrie algébrique réelle qui fait intervenir les points centraux de V et les polynômes qui sont des sommes de carrés dans le corps des fractions rationnelles : THÉORÈME DES ZÉROS CENTRAUX. — Soit V une variété intègre, soit I un idéal de R[V] et soit P un polynôme de R[V]. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : (1) P est nul en tous points de V_(R) \ Cent(V). (2) Il existe un entier m2î0 et un polynôme Q de R[V] de la
V(R). 2. THÉORÈME DES ZÉROS CENTRAUX. — Le théorème des zéros réels [3] désormais classique est le résultat suivant : P est nul en tous points de V_(R) si et seulement si il existe un entier m 2:0 et un polynôme Q de R[V] de la forme Q=P^2 + ... + P^j où P;eR[V] tels que P^2m + QeL. Nous montrons ici un nouveau théorème des zéros en géométrie algébrique réelle qui fait intervenir les points centraux de V et les polynômes qui sont des sommes de carrés dans le corps des fractions rationnelles : THÉORÈME DES ZÉROS CENTRAUX. — Soit V une variété intègre, soit I un idéal de R[V] et soit P un polynôme de R[V]. Alors les propriétés suivantes sont équivalentes : (1) P est nul en tous points de V_(R) \ Cent(V). (2) Il existe un entier m2î0 et un polynôme Q de R[V] de la forme Q=U^2 + ... + U^2 où U;eR(V) tels que P^2m + QeL. Montrons que (2) entraîne (1): Si P vérifie la formule P^m + Q^1, alors P^m + Q=0 en tous points de V(R). Or si Q n'a aucune raison d'être partout positif, prendre V définie par : il l'est en tous cas sur les points centraux (cf. [4], p. 288; [5], p. 8 et [2], p. 89). Donc sur V(R) \ Cent (V) on a P^m = 0 et aussi P=0. L'implication inverse est moins aisée et nécessite l'introduction des définitions et des résultats ci-après. NOTATION. — Soit A un anneau commutatif unitaire. £A 2 désigne les sommes de carrés d'éléments de A. DÉFINITION 1. — Un précône est une partie p de A vérifiant £A^2=p, p + p=p, p.p.p. Un précône p est dit propre si -1 £ p et impropre si -1 e p. DÉFINITION 2 (cf. Stengle [6]). — Soit p un précône de A et soit I un idéal de A. I est dit idéal p-radical si I = r_p(I) où : Cas particulier. — Si A est un anneau intègre de corps de fractions k et si p = A \ \(fc 2,
l'est en tous cas sur les points centraux (cf. [4], p. 288; [5], p. 8 et [2], p. 89). Donc sur V(R) \ Cent (V) on a P^m = 0 et aussi P=0. L'implication inverse est moins aisée et nécessite l'introduction des définitions et des résultats ci-après. NOTATION. — Soit A un anneau commutatif unitaire. £A 2 désigne les sommes de carrés d'éléments de A. DÉFINITION 1. — Un précône est une partie p de A vérifiant £A^2=p, p + p=p, p.p.p. Un précône p est dit propre si -1 £ p et impropre si -1 e p. DÉFINITION 2 (cf. Stengle [6]). — Soit p un précône de A et soit I un idéal de A. I est dit idéal p-radical si I = r_p(I) où : Cas particulier. — Si A est un anneau intègre de corps de fractions k et si p = A \ \(fc 2, alors un idéal I de A ne peut être à la fois premier et p-radical [car -1 e p entraîne r_p(I) = A]. REMARQUE. — Lorsque p est un précône impropre de A, un idéal I de A ne peut être à la fois premier et p-radical [car -1 e p entraîne r_p(I) = A]. LEMME 0 (cf. [6] prop. 2). — r_p(I) est l'intersection de tous les idéaux premiers p-radicaux contenant I. Par le lemme 0, la propriété (2) du théorème des zéros centraux est équivalente à la propriété : (2') pour tout idéal premier central J contenant I on a PeJ. DÉFINITION 3. — On rappelle que les points du spectre réel de A, Spec_A, sont les précônes premiers (les précônes a tels que abea et a£a= -bea). On appelle support de a l'idéal premier I_a = a n — a. La démonstration de (1) entraîne (2') repose alors sur les deux lemmes suivants : le premier étant purement algébrique et le deuxième étant géométrique. LEMME 1. — Si J est un idéal premier central, il existe un ordre total p de R(V) et un point a de Spec_R R [V] de support J tels que R [V]
p entraîne r_p(I) = A]. LEMME 0 (cf. [6] prop. 2). — r_p(I) est l'intersection de tous les idéaux premiers p-radicaux contenant I. Par le lemme 0, la propriété (2) du théorème des zéros centraux est équivalente à la propriété : (2') pour tout idéal premier central J contenant I on a PeJ. DÉFINITION 3. — On rappelle que les points du spectre réel de A, Spec_A, sont les précônes premiers (les précônes a tels que abea et a£a= -bea). On appelle support de a l'idéal premier I_a = a n — a. La démonstration de (1) entraîne (2') repose alors sur les deux lemmes suivants : le premier étant purement algébrique et le deuxième étant géométrique. LEMME 1. — Si J est un idéal premier central, il existe un ordre total p de R(V) et un point a de Spec_R R [V] de support J tels que R [V] H p c a. Preuve. — L'existence d'un ordre total P de R(V) tel que J soit un idéal R [V] H P-radical résulte de [7], 05, p. 62. Montrons maintenant l'existence d'un précône premier a de R [V] de support J contenant R [V] H P et tel que J soit a-radical : Soit a un précône maximal parmi les précônes propres p de R [V] contenant R [V] H P et tels que J soit un idéal p-radical. (a) J = a H -a. — Il est clair que oc n - ad puisque J est a-radical. — Inversement, soit x e J et soit a[x]= {p+xq; p, q e a.}. Alors J est a[x]-radical (en effet si 3m>0, 3p, q e a. tels que a^2m+p+xq e J, alors a^2m+p e J (car x e J) soit a^e(J)=J (car J est a-radical)). Ainsi par la remarque ci-dessus, a[x] est une précône propre et par maximalité de a, on a a [x] = a soit x e a. SixeJona — x e J donc -x e a. (b) a est un précône premier. Soient x, y e R [V] tels que xy e a et x $ a. Alors
J soit a-radical : Soit a un précône maximal parmi les précônes propres p de R [V] contenant R [V] H P et tels que J soit un idéal p-radical. (a) J = a H -a. — Il est clair que oc n - ad puisque J est a-radical. — Inversement, soit x e J et soit a[x]= {p+xq; p, q e a.}. Alors J est a[x]-radical (en effet si 3m>0, 3p, q e a. tels que a^2m+p+xq e J, alors a^2m+p e J (car x e J) soit a^e(J)=J (car J est a-radical)). Ainsi par la remarque ci-dessus, a[x] est une précône propre et par maximalité de a, on a a [x] = a soit x e a. SixeJona — x e J donc -x e a. (b) a est un précône premier. Soient x, y e R [V] tels que xy e a et x $ a. Alors J n'est pas a [x]-radical (évident par la remarque lorsque a[x] est impropre; par maximalité de a lorsque a[x] est propre car a[x] contient strictement a). Soient a, b e R[V], m, n e N, p, q, p', q' e a tels que a^2m+p + xq e J et a e J et b^2+n+p'-yq e J. On va montrer que b e autrement dit que J est un idéal a[-y]-radical : on a : 3r e tels que (ab)^n + r^3 (car x e a) soit ab e J (puisque J est a-radical). Or a e J donc b e J (puisque J est un idéal premier). Ainsi par la remarque ci-dessus, a[-y] est un précône propre et par maximalité de a, on a a[-y] = a. soit -y e a. NOTATIONS. — Soit fc(a) la clôture réelle de fc(IJ pour l'ordre induit par a et a (a) l'image d'un élément a de A par l'application canonique A -> k (a). Les ouverts élémentaires de Spec_R A sont les ensembles : DÉFINITION 4. Soit le semi-algébrique S(R)= {x e V(R); P(x) < 0} où P e R[V]. L'opération tilde consiste à associer à S (R) le constructible, noté S, de
e J et b^2+n+p'-yq e J. On va montrer que b e autrement dit que J est un idéal a[-y]-radical : on a : 3r e tels que (ab)^n + r^3 (car x e a) soit ab e J (puisque J est a-radical). Or a e J donc b e J (puisque J est un idéal premier). Ainsi par la remarque ci-dessus, a[-y] est un précône propre et par maximalité de a, on a a[-y] = a. soit -y e a. NOTATIONS. — Soit fc(a) la clôture réelle de fc(IJ pour l'ordre induit par a et a (a) l'image d'un élément a de A par l'application canonique A -> k (a). Les ouverts élémentaires de Spec_R A sont les ensembles : DÉFINITION 4. Soit le semi-algébrique S(R)= {x e V(R); P(x) < 0} où P e R[V]. L'opération tilde consiste à associer à S (R) le constructible, noté S, de Spec_R R [V] défini par la formule : Cette définition s'étend à un semi-algébrique quelconque par induction sur la longueur de sa formule de construction. Ensuite, en utilisant le principe de Tarski-Seidenberg (cf. par exemple [2], p. 45) on montre (cf. [8], p. 40 ou [2], p. 52) que l'opération tilde est une bijection qui préserve les unions et les intersections finies, les passages au complémentaire et les inclusions. LEMME 2. Spec_RR(V) c Cent(V). Preuve. — Puisqu'aucun ordre total de R (V) ne vérifie les équations du lieu singulier de V, on a Spec_RR(V) c Reg(V) c Cent(V). Or Cent(V) qui est un ensemble semi-algébrique fermé pour la topologie euclidienne est d'après le théorème de finitude de la géométrie semi-algébrique (cf. par exemple [8], th. 3. 3, p. 37) une union finie de fermés définis par une liste finie d'inégalités polynômiales larges. Cent(V) est alors fermé dans Spec_RR(R). Donc Spec_RR(V) c= Cent(V). Revenons à la preuve du théorème des zéros centraux et montrons que (1) entraîne (2'): P nul sur V, (R) D Cent (V) est équivalent, par la bijection tilde, à P nul sur V^R) H C^nT(V). Soit J un idéal premier central contenant I. Alors, par le lemme
tilde est une bijection qui préserve les unions et les intersections finies, les passages au complémentaire et les inclusions. LEMME 2. Spec_RR(V) c Cent(V). Preuve. — Puisqu'aucun ordre total de R (V) ne vérifie les équations du lieu singulier de V, on a Spec_RR(V) c Reg(V) c Cent(V). Or Cent(V) qui est un ensemble semi-algébrique fermé pour la topologie euclidienne est d'après le théorème de finitude de la géométrie semi-algébrique (cf. par exemple [8], th. 3. 3, p. 37) une union finie de fermés définis par une liste finie d'inégalités polynômiales larges. Cent(V) est alors fermé dans Spec_RR(R). Donc Spec_RR(V) c= Cent(V). Revenons à la preuve du théorème des zéros centraux et montrons que (1) entraîne (2'): P nul sur V, (R) D Cent (V) est équivalent, par la bijection tilde, à P nul sur V^R) H C^nT(V). Soit J un idéal premier central contenant I. Alors, par le lemme 1, il existe a de support J tel que a e Spec_R R (V) et par le lemme 2, a e Cent(V). Donc P(a)=0, soit PeJ. 3. APPLICATION GÉOMÉTRIQUE. En notant J(X) l'idéal d'annulation du semialgébrique X, on peut encore énoncer le théorème des zéros centraux sous forme de : Caractérisation géométrique des idéaux centraux. — Soit V une variété intègre et soit I un idéal de R[V]. Alors I est un idéal central si et seulement si I = J(V, (R) (~ Cent(V)). Cette caractérisation permet de voir « sur le dessin » si un idéal est central ou pas. Par exemple, considérons les idéaux de définition (Mc) et (Mj) des manches des surfaces ci-après. L'intersection des zéros de (Mc) avec les points centraux de C (c'est la toile) est réduite au point (0, 0, 0). Or le polynôme Z est nul sur MCHTC mais Z € (MC), donc l'idéal (Mc) n'est pas central. Par contre, l'intersection des zéros de (Ms) avec les points centraux de S (c'est la toile) est une demi-droite contenue dans le manche Ms, donc l'idéal (Ms) est central. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] M. COSTE, Exposé au colloque de géométrie algébrique réelle et formes quadratiques, Rennes,
Caractérisation géométrique des idéaux centraux. — Soit V une variété intègre et soit I un idéal de R[V]. Alors I est un idéal central si et seulement si I = J(V, (R) (~ Cent(V)). Cette caractérisation permet de voir « sur le dessin » si un idéal est central ou pas. Par exemple, considérons les idéaux de définition (Mc) et (Mj) des manches des surfaces ci-après. L'intersection des zéros de (Mc) avec les points centraux de C (c'est la toile) est réduite au point (0, 0, 0). Or le polynôme Z est nul sur MCHTC mais Z € (MC), donc l'idéal (Mc) n'est pas central. Par contre, l'intersection des zéros de (Ms) avec les points centraux de S (c'est la toile) est une demi-droite contenue dans le manche Ms, donc l'idéal (Ms) est central. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] M. COSTE, Exposé au colloque de géométrie algébrique réelle et formes quadratiques, Rennes, mai 1981. [2] C. SALIBA, Thèse de 5e cycle, Université de Rennes-I, septembre 1983. [3] J.-J. RISLER, Bull. S.M.F., 104, fasc. 2, 1976, p. 113-127. [4] E. ARTIN, Œuvres complètes. [5] E. BECKER, Lecture Notes in Math., n° 959, p. 1-40, Springer-Verlag. [6] G. STENGLE, Math. Ann., 1974, p. 87-97. [7] G. W. BRUMFIEL, Lecture Notes in Math., n° 959, p. 55-97, Springer-Verlag. [8] M. COSTE et M. F. ROY, Contemporary Math., 8, 1981, p. 27-59. Département de Mathématiques, Université de Niamey, B.P. n° 10662, Niamey, Niger. Comme ces traces sont les orbites du faisceau central de F, cette étude se ramène à l'examen au-dessus des ouverts trivialisants pour de F] des orbites d'une algèbre de Lie de dimension t de champs de Killing sur une variété riemannienne de dimension p. Pour p ≠ 3 il existe une solution complète de ce problème (voir [4]), ce qui nous permet dans ces cas de déterminer, pour chaque valeur de t, la structure des adhérences des nappes. L'étude des nappes se fait de la même façon. Il existe en effet un sous-faisceau de F, de fibre-type i (l'algèbre de Lie opposée à i), dont les orbites sont les traces sur F des