jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
K,-dP. Ju* Cette quantité sera notée m(P) quand elle sera indépendante de ie 1, n. Soit L: xU-> R+ une fonction de perte qui soit telle que VQe^ 9, L(Q, .) soit convexe. Le risque associé à l'estimateur T, lorsque la loi des observations est Q, est noté R (Q, T). La proposition suivante résulte du théorème de Rao-Blackwell : PROPOSITION 8. Si Qe>0 et Q®n |(uT=P®" |(U»)C, alors R (Q, Ea,|n(T))^R(Q,T). V. RISQUE QUADRATIQUE DE L'ESTIMATEUR CONDITIONNÉ. — On suppose que Viel, n, K? est ^-intégrable et on pose L(Q, r)=(cp(Q)—r) 2. Nous noterons E l'espérance de l'estimateur conditionné lorsque la loi commune des observations est Q, V sa variance et R son risque quadratique. Les notations E0, V0 et R0 seront relatives à l'estimateur T. PROPOSITION 9 : PROPOSITION 10. — Comparaison des biais et des variances : et : COROLLAIRE 4 : On en déduit une minoration correspondante de (R0—R) et un sous-ensemble d'éléments de 0> pour lesquels on a diminution du risque et qui contient (en général strictement) l'ensemble des éléments pour lesquels la proposition 8 nous garantissait une telle diminution : COROLLAIRE 5. — Si, Viel, n, mi(Q)=mi(P), on a: VI. APPLICATION À L'ESTIMATION DE LA DENSITÉ PAR LA MÉTHODE DU NOYAU. — Les éléments Q de 0> sont supposés admettre une densité par rapport à X, mesure de Lebesgue sur U, dont une version /Q est bornée et continue. On cherche à estimer <p(Q)=/Q(x) où x est un réel fixé. Pour ueU et ie 1, n on pose KI(u) = K(u) = (n/i)" 1 H((w—x) /i1) où H est une fonction X,-intégrable. Le voisinage U du point x considéré est l'intervalle ]x — h, x + h[ (le réel strictement positif h est bien sûr fonction de ri). On commence par estimer globalement /Q par ff puis on estime /Q(x) à l'aide de T que l'on conditionne ensuite par S en ayant fixé P®" comme probabilité sur (R", $?n») ce qui permet, grâce aux résultats précédents, d'améliorer l'estimation de /Q(x) sur certaines classes de lois. Les aspects pratiques de la méthode seront présentés dans
LA DENSITÉ PAR LA MÉTHODE DU NOYAU. — Les éléments Q de 0> sont supposés admettre une densité par rapport à X, mesure de Lebesgue sur U, dont une version /Q est bornée et continue. On cherche à estimer <p(Q)=/Q(x) où x est un réel fixé. Pour ueU et ie 1, n on pose KI(u) = K(u) = (n/i)" 1 H((w—x) /i1) où H est une fonction X,-intégrable. Le voisinage U du point x considéré est l'intervalle ]x — h, x + h[ (le réel strictement positif h est bien sûr fonction de ri). On commence par estimer globalement /Q par ff puis on estime /Q(x) à l'aide de T que l'on conditionne ensuite par S en ayant fixé P®" comme probabilité sur (R", $?n») ce qui permet, grâce aux résultats précédents, d'améliorer l'estimation de /Q(x) sur certaines classes de lois. Les aspects pratiques de la méthode seront présentés dans un prochain travail. On pourra également utiliser cette méthode pour une estimation globale de /Q, lorsque l'on constate des irrégularités locales (bosses) pour la première estimation ff. Les comportements asymptotiques du biais et de la variance sont donnés ci-dessous; ils nous fourniront des indications sur le choix de H et h. On a posé A =] — 1, 1[. PROPOSITION 11. — Si Von suppose que lim h = 0, on a: Si, de plus, H2 est X-intégrable et si lim nh— +oo, on a lim V = 0 et par conséquent "-* + oo n-* + oo lim R=(lim E-fQ(x)) 2. Plus précisément V = (nh)~ 1 fQ(x) H2 dX + o((nh)1). On suppose que /Q admet une dérivée d'ordre 4 en x, que H est paire et que j'H et y H2 sont X-intégrables pour je 0,4. On pose pour ke0, 4 et le 1,2 : Cette méthode de conditionnement a été également appliquée à certains paramètres de régression (cf. [3] où le choix de H est également évoqué). RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] J. R. BARRA, Notions fondamentales de statistique mathématique, Dunod, Paris, 1971. [2] A. BERLINET, Localisation et homogénéité d'un paramètre, Pub. I.R.M.A., Lille, V, fasc. 1, 1983.
h. On a posé A =] — 1, 1[. PROPOSITION 11. — Si Von suppose que lim h = 0, on a: Si, de plus, H2 est X-intégrable et si lim nh— +oo, on a lim V = 0 et par conséquent "-* + oo n-* + oo lim R=(lim E-fQ(x)) 2. Plus précisément V = (nh)~ 1 fQ(x) H2 dX + o((nh)1). On suppose que /Q admet une dérivée d'ordre 4 en x, que H est paire et que j'H et y H2 sont X-intégrables pour je 0,4. On pose pour ke0, 4 et le 1,2 : Cette méthode de conditionnement a été également appliquée à certains paramètres de régression (cf. [3] où le choix de H est également évoqué). RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] J. R. BARRA, Notions fondamentales de statistique mathématique, Dunod, Paris, 1971. [2] A. BERLINET, Localisation et homogénéité d'un paramètre, Pub. I.R.M.A., Lille, V, fasc. 1, 1983. [3] A. BERLINET, Exhaustivité locale d'une statistique. Application au conditionnement d'estimateurs, Pub. I.R.M.A., Lille, V, fasc. 5, 1983. [4] D. BOSQ, Contribution à la théorie de l'estimation fonctionnelle, Pub. de l'I.S.U.P., XLX, fasc. 2, 1970. 9, rue des Primevères, 62710 Courrier es. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 349 PROBLÈMES MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE. — Invariants et dégénérescence symplectique de l'équation d'Euler des fluides parfaits incompressibles. Note de Denis Serre, présentée par Paul Germain. Remise le 17 octobre 1983, acceptée après révision le 27 février 1984. L'équation d'Euler des fluides parfaits incompressibles possède une formulation hamiltonienne, due à P. J. Olver, en variables eulériennes. Cependant, la structure symplectique est dégénérée, et la connaissance de son noyau fournit une partie des lois de conservation de l'équation: F(rot u)dx = Cte si N = 2, et u. rot u dx = 0 si N = 3. Nous généralisons ces résultats au cas d'une dimension N impaire quelconque, ainsi qu'au cas axisymétrique pour N = 3. Le cas N pair, dû à L. Tartar, a motivé ce travail, et nous l'étudions également. MATHEMATICAL PROBLEMS IN MECHANICS. — Conservation Laws of Inviscid Perfect Fluids: Higher Dimensions and Axisymmetric
I, n° 14, 1984 349 PROBLÈMES MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE. — Invariants et dégénérescence symplectique de l'équation d'Euler des fluides parfaits incompressibles. Note de Denis Serre, présentée par Paul Germain. Remise le 17 octobre 1983, acceptée après révision le 27 février 1984. L'équation d'Euler des fluides parfaits incompressibles possède une formulation hamiltonienne, due à P. J. Olver, en variables eulériennes. Cependant, la structure symplectique est dégénérée, et la connaissance de son noyau fournit une partie des lois de conservation de l'équation: F(rot u)dx = Cte si N = 2, et u. rot u dx = 0 si N = 3. Nous généralisons ces résultats au cas d'une dimension N impaire quelconque, ainsi qu'au cas axisymétrique pour N = 3. Le cas N pair, dû à L. Tartar, a motivé ce travail, et nous l'étudions également. MATHEMATICAL PROBLEMS IN MECHANICS. — Conservation Laws of Inviscid Perfect Fluids: Higher Dimensions and Axisymmetric Case. The Euler equation for inviscid incompressible fluid flow has a hamiltonian structure in eulerian coordinates, due to P. J. Olver. The degeneracy of the symplectic structure provides a family of conservation laws: area integrals (2nd case) and total helicity (ind case). One generalizes these results for any odd dimension, and axisymmetrical three-dimensional case. The even dimensional case, due to L. Tartar, has motivated this work; it is also discussed. NOTATIONS. — Pour un champ de vecteurs w défini sur RN (i. e. une 1-forme différentielle), rot u est la 2-forme différentielle de composantes : On note D, = ∂/∂xj et on utilise la convention des indices répétés. Pour une forme différentielle fi et un entier p≥2, on note Apij = fiAjAj...Aj2 le produit extérieur de fi par lui-même comprenant p facteurs; Apij est nulle si p est supérieur au rang de fi. INTRODUCTION. — L'équation d'Euler des fluides parfaits incompressibles s'écrit : (∂uj/∂t) + uj Dij u; +D^ = 0, 1 ≤ i ≤ N dans (0, T) x RN, div u = 0, p, u = (uu, ..., uN) définis sur (0, T) x RN. Ce système s'accompagne généralement de la condition de Cauchy w(0, x) = u0(x)
and axisymmetrical three-dimensional case. The even dimensional case, due to L. Tartar, has motivated this work; it is also discussed. NOTATIONS. — Pour un champ de vecteurs w défini sur RN (i. e. une 1-forme différentielle), rot u est la 2-forme différentielle de composantes : On note D, = ∂/∂xj et on utilise la convention des indices répétés. Pour une forme différentielle fi et un entier p≥2, on note Apij = fiAjAj...Aj2 le produit extérieur de fi par lui-même comprenant p facteurs; Apij est nulle si p est supérieur au rang de fi. INTRODUCTION. — L'équation d'Euler des fluides parfaits incompressibles s'écrit : (∂uj/∂t) + uj Dij u; +D^ = 0, 1 ≤ i ≤ N dans (0, T) x RN, div u = 0, p, u = (uu, ..., uN) définis sur (0, T) x RN. Ce système s'accompagne généralement de la condition de Cauchy w(0, x) = u0(x) et peut s'écrire en remplaçant RN par une variété riemannienne quelconque, en remplaçant (ujDjUi); par V,«, et avec u|aM. Il décrit les géodésiques du groupe de Lie Diff0(M), des difféomorphismes de M qui préservent la mesure [1]. L'existence locale et l'unicité de la solution u sont connues dans les espaces H1 (RN), N ≥ 1, ae]0,l[, et dans Ws' P(UN), s≥(N/p) + l ([2] à [5]). L'existence globale n'est connue que pour N = 2 (plus généralement si dim M = 2) ([6], [7] et [11]); dans ce cas on dispose de l'équation de transport ((∂/∂t) + u. grad) rot u = 0, dont il découle l'invariance de F (rot M) dx pour toute fonction continue F, et de Sup(co(m)). Le système JM m e M u i—> (rot M, div M, w. n | aM) étant elliptique, on en déduit une estimation des dérivées D, uj indépendante du temps. Lorsque M = RN (une variété M simplement connexe convient également, ainsi que toute variété de dimension 2) P. J. Olver [8] a montré que l'équation d'Euler est un système hamiltonien sous la forme : (E) 
 d(<o/dt = D(<o)E'(<ù). L'hamiltonien E(co) est l'énergie cinétique 1/2 w,u,dx, où rot u
H1 (RN), N ≥ 1, ae]0,l[, et dans Ws' P(UN), s≥(N/p) + l ([2] à [5]). L'existence globale n'est connue que pour N = 2 (plus généralement si dim M = 2) ([6], [7] et [11]); dans ce cas on dispose de l'équation de transport ((∂/∂t) + u. grad) rot u = 0, dont il découle l'invariance de F (rot M) dx pour toute fonction continue F, et de Sup(co(m)). Le système JM m e M u i—> (rot M, div M, w. n | aM) étant elliptique, on en déduit une estimation des dérivées D, uj indépendante du temps. Lorsque M = RN (une variété M simplement connexe convient également, ainsi que toute variété de dimension 2) P. J. Olver [8] a montré que l'équation d'Euler est un système hamiltonien sous la forme : (E) 
 d(<o/dt = D(<o)E'(<ù). L'hamiltonien E(co) est l'énergie cinétique 1/2 w,u,dx, où rot u = (u, div u = 0, u = 0 350 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 à l'infini. Son gradient est la 2-forme *F vérifiant : L'opérateur D(<co>, antisymétrique sur L2(RN), est défini par : (D(<co>)T)ij = Dj(<ùikvk)-T)i(<a>jkvk), où t; = D, T; , div u = 0, M = 0 à l'infini. La 2-forme différentielle, définie formellement par fi=(1/2)d<co> A (D_1d<co>) 1, est fermée et définit une structure symplectique sur les 2-formes fermées à coefficients dans Sf(UN). INVARIANTS ET DÉGÉNÉRÉSCENCE. — Le formalisme hamiltonien permet de dégager deux familles d'invariants du système. D'abord, l'énergie et les moments cinétique et angulaire, qu'on obtient au moyen du théorème de Noether en exprimant l'invariance du système par certains groupes de transformations. Ensuite les fonctionnelles I(<co> telles que SI/S<co>Ker D, [9], qui commutent à toute autre fonctionnelle; ces invariants découlent de la dégénérescence de la structure symplectique définie par fi. Pour N = 2, on obtient les invariants d'aire F(<co>)dx. On trouve JR 2 Fhélicité u. rot udx, pour N = 3, [8]. JR 3 En dimension impaire quelconque, on obtient les invariants suivants : THÉORÈME 1. — Si N = 2k+1, alors u A (Apai)dx est
div u = 0, M = 0 à l'infini. La 2-forme différentielle, définie formellement par fi=(1/2)d<co> A (D_1d<co>) 1, est fermée et définit une structure symplectique sur les 2-formes fermées à coefficients dans Sf(UN). INVARIANTS ET DÉGÉNÉRÉSCENCE. — Le formalisme hamiltonien permet de dégager deux familles d'invariants du système. D'abord, l'énergie et les moments cinétique et angulaire, qu'on obtient au moyen du théorème de Noether en exprimant l'invariance du système par certains groupes de transformations. Ensuite les fonctionnelles I(<co> telles que SI/S<co>Ker D, [9], qui commutent à toute autre fonctionnelle; ces invariants découlent de la dégénérescence de la structure symplectique définie par fi. Pour N = 2, on obtient les invariants d'aire F(<co>)dx. On trouve JR 2 Fhélicité u. rot udx, pour N = 3, [8]. JR 3 En dimension impaire quelconque, on obtient les invariants suivants : THÉORÈME 1. — Si N = 2k+1, alors u A (Apai)dx est un invariant de l'équation d'Euler. D Si N = 2k, L. Tartar [10] obtient l'équation de transport ((d/dt) + u.grad)(Ap<co>) = 0 et en déduit l'invariance des intégrales F (Ap eu) dx; remarquons que Ap <co> est le pfaffien JR N de la matrice antisymétrique A = (<ø>y). Dans les deux cas, les invariants cités sont dus à la dégénérescence symplectique : Si N = 2k + 1 : Soit T=UA (Ap-1 <co>), qui est le gradient de la fonctionnelle : On a (∂ik vk = 0, donc D (<co>) T = 0, et Hp est un invariant du système. Si N = 2k : Soit T=g'(Apff>)Ap-1<co>, qui est le gradient de la fonctionnelle : K = g (Ap <co>) dx, alors v = D, T , = g" (A" <co>) u, u = grad (Ap <co>) A (AP -1 u). JR N On a (%uk = Dj(G(Ap<co>)) où G'(x) = xg'(-z), donc D(<co>)T=-rot grad G(Ap<co>) = 0 et Kp est un invariant du système. LE CAS AXISYMÉTRIQUE (N = 3). En utilisant les coordonnées cylindriques (r, θ, z), l'équation d'Euler s'écrit en dimension 3 : Lorsque les composantes w0r, u0z, M0y de la condition de Cauchy sont indépendantes de
deux cas, les invariants cités sont dus à la dégénérescence symplectique : Si N = 2k + 1 : Soit T=UA (Ap-1 <co>), qui est le gradient de la fonctionnelle : On a (∂ik vk = 0, donc D (<co>) T = 0, et Hp est un invariant du système. Si N = 2k : Soit T=g'(Apff>)Ap-1<co>, qui est le gradient de la fonctionnelle : K = g (Ap <co>) dx, alors v = D, T , = g" (A" <co>) u, u = grad (Ap <co>) A (AP -1 u). JR N On a (%uk = Dj(G(Ap<co>)) où G'(x) = xg'(-z), donc D(<co>)T=-rot grad G(Ap<co>) = 0 et Kp est un invariant du système. LE CAS AXISYMÉTRIQUE (N = 3). En utilisant les coordonnées cylindriques (r, θ, z), l'équation d'Euler s'écrit en dimension 3 : Lorsque les composantes w0r, u0z, M0y de la condition de Cauchy sont indépendantes de l'angle θ, il en est de même de la solution (ur, wz, ue) tant qu'elle reste régulière, et on obtient le système suivant : On sait que ce système est un système hamiltonien puisque le système initial (E) en est un. THÉORÈME 2. — Le système (Eas) est équivalent au système hamiltonien dX/dt = <£(X)E'(X) où X = (co, ue), co = Druz-Dzur et : Démonstration. — Le gradient de l'hamiltonien E est ici (x¥, rue) où Dr^P=— ruz, Dru^ru,. L'équation dX/dt = <#(X)E'(X) s'écrit donc : C'est la formulation de (Eas) en variables (co, ue), obtenue par élimination de la pression p. L'opérateur ^(X) est clairement antisymétrique sur L2 x L2. Il reste à vérifier la fermeture de fi = (l/2)dXT A (£(X)-1dX, ou plus simplement [9], à vérifier d%Ù~0, Sï=(l/2)dXT A ^(X)dX. Or : Calculons maintenant Ker ^(X). LEMME. — Si Y∈Ker^(X), Y = (a, b), alors a = f(rue), b = r(of'(ru0) + r2g(rue) où f et g sont des fonctions numériques arbitraires, suffisamment régulières. Démonstration. — On a d (a, ru6)/ô(r, z) = 0, donc a = f(ruB). Puis : Donc : COROLLAIRE. — Les invariants de l'équation (Eas) qui sont liés à la dégénérescence symplectique
système hamiltonien dX/dt = <£(X)E'(X) où X = (co, ue), co = Druz-Dzur et : Démonstration. — Le gradient de l'hamiltonien E est ici (x¥, rue) où Dr^P=— ruz, Dru^ru,. L'équation dX/dt = <#(X)E'(X) s'écrit donc : C'est la formulation de (Eas) en variables (co, ue), obtenue par élimination de la pression p. L'opérateur ^(X) est clairement antisymétrique sur L2 x L2. Il reste à vérifier la fermeture de fi = (l/2)dXT A (£(X)-1dX, ou plus simplement [9], à vérifier d%Ù~0, Sï=(l/2)dXT A ^(X)dX. Or : Calculons maintenant Ker ^(X). LEMME. — Si Y∈Ker^(X), Y = (a, b), alors a = f(rue), b = r(of'(ru0) + r2g(rue) où f et g sont des fonctions numériques arbitraires, suffisamment régulières. Démonstration. — On a d (a, ru6)/ô(r, z) = 0, donc a = f(ruB). Puis : Donc : COROLLAIRE. — Les invariants de l'équation (Eas) qui sont liés à la dégénérescence symplectique sont les suivants : En effet, la différentielle d'une telle fonctionnelle par rapport à (co, u0) est : qui appartient à Ker^co, ue). Remarques. — 1° Lorsque fi est un domaine strictement inclus dans R2p+ 1, la fonctionnelle : n'est pas un invariant : dHp/dt est une intégrale sur le bord de Cl. 2° Il en est de même pour : On peut d'ailleurs construire un exemple pour lequel : tant que u(t, r, z) est continue. Ceci empêche toute estimation uniforme des dérivées D; Uj pour N = 3, contrairement à N = 2. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] V. I. ARNOLD, Méthodes mathématiques de la mécanique classique, MIR, Moscou. [2] T. KATO, J. Funct. Anal, 9, 1972, p. 296-305. [3] D. EBIN et J. MARSDEN, Ann. Math., 92, 1970, p. 102-163. [4] J.-P. BOURGUIGNON et H. BRÉZIS, J. Funct. Anal, 15, 1974, p. 341-363. [5] R. TEMAM, J. Funct. Anal, 19, 1975, p. 1-12. [6] T. KATO, Arch. Rat. Mech. Anal, 25, 1967, p. 188-200. [7] W. WÖLBER, Math. Z., 37, 1933, p. 698-726. [8] P.-J. OLVER, J. Math. Anal. Appl, 89, 1982, p. 233-250. [9] P.-J. OLVER, Math. Proc. Camb. Phil. Soc, 88, 1980, p. 71-88. [10] L. TARTAR,
bord de Cl. 2° Il en est de même pour : On peut d'ailleurs construire un exemple pour lequel : tant que u(t, r, z) est continue. Ceci empêche toute estimation uniforme des dérivées D; Uj pour N = 3, contrairement à N = 2. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] V. I. ARNOLD, Méthodes mathématiques de la mécanique classique, MIR, Moscou. [2] T. KATO, J. Funct. Anal, 9, 1972, p. 296-305. [3] D. EBIN et J. MARSDEN, Ann. Math., 92, 1970, p. 102-163. [4] J.-P. BOURGUIGNON et H. BRÉZIS, J. Funct. Anal, 15, 1974, p. 341-363. [5] R. TEMAM, J. Funct. Anal, 19, 1975, p. 1-12. [6] T. KATO, Arch. Rat. Mech. Anal, 25, 1967, p. 188-200. [7] W. WÖLBER, Math. Z., 37, 1933, p. 698-726. [8] P.-J. OLVER, J. Math. Anal. Appl, 89, 1982, p. 233-250. [9] P.-J. OLVER, Math. Proc. Camb. Phil. Soc, 88, 1980, p. 71-88. [10] L. TARTAR, Communication personnelle, décembre 1982. [11] C. SULEM, Thèse de 3e cycle, Villetaneuse, 1978. Département de Mathématiques, U.E.R. des Sciences, 23, rue du Docteur Paul-Michelon, 42023 Saint-Étienne Cedex. COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES Série I : Mathematics Série II : Mechanics, Physics, Chemistry, Earth Sciences, Space Sciences Série III : Life Sciences Subscription Rates. Foreign Countries 1984 Vol. 298 + 299 - 40 issues One série 2 840 FF For foreign countries, subscription rates including surface mail charges, for faster delivery, please mark your order "Air Mail charges invoiced in addition". For 1984, all subscribers receive free service of Série générale "La Vie des Sciences". Subscriptions should be sent to : C.D.R., Centrale des Revues, 11, rue Gossin, 92543 Montrouge Cedex France Specimen copy on request Version française p. 2 de couverture COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES MATHEMATIQUES A 1984 — Tome 298 — Série I — n° 14 1er juin des groupes Groupes opérant simplement transitivement sur un arbre homogène et plongements dans PGL(2, k). Francis Choucroun 313 Analyse mathématique Sur les classes quasi-analytiques et l'approximation polynomiale pondérée. Guido I. Zapata 317 Équations différentielles Points ordinaires ou faibles, points explicites des systèmes quadratiques. Paul Curtz 321 Comportement global
Life Sciences Subscription Rates. Foreign Countries 1984 Vol. 298 + 299 - 40 issues One série 2 840 FF For foreign countries, subscription rates including surface mail charges, for faster delivery, please mark your order "Air Mail charges invoiced in addition". For 1984, all subscribers receive free service of Série générale "La Vie des Sciences". Subscriptions should be sent to : C.D.R., Centrale des Revues, 11, rue Gossin, 92543 Montrouge Cedex France Specimen copy on request Version française p. 2 de couverture COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES MATHEMATIQUES A 1984 — Tome 298 — Série I — n° 14 1er juin des groupes Groupes opérant simplement transitivement sur un arbre homogène et plongements dans PGL(2, k). Francis Choucroun 313 Analyse mathématique Sur les classes quasi-analytiques et l'approximation polynomiale pondérée. Guido I. Zapata 317 Équations différentielles Points ordinaires ou faibles, points explicites des systèmes quadratiques. Paul Curtz 321 Comportement global des solutions d'une équation non linéaire. Mythily Ramaswamy 325 Analyse fonctionnelle Théorèmes du Minimax. Andrzej Granas et Fon-Che-Liu 329 Contrôle optimal Un contre-exemple à une conjecture dans la classe des problèmes de commande optimale singulière. Françoise Lamnabhi-Lagarrigue 333 Géométrie algébrique Le théorème des zéros centraux. Christiane Saliba 337 Géométrie différentielle Feuilletages totalement géodésiques de dimension 1, 2 ou 3. Grant Cairns 341 Statistique Propriétés locales d'un paramètre. Application à l'estimation. Alain Berlinet 345 Problèmes mathématiques de la mécanique Invariants et dégénérescence symplectique de l'équation d'Euler des fluides parfaits incompressibles. Denis Serre 349 See contents p. I. Les « Comptes Rendus de l'Académie des Sciences » figurent dans « Current Contents » 199361-84 — Dépôt légal 1984 : Imprimeur : 2646 — CPPP 60383 Imprimé en France IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS Le Directeur de la publication : MM. les Secrétaires perpétuels P. GERMAIN et R. COURRIER
Feuilletages totalement géodésiques de dimension 1, 2 ou 3. Grant Cairns 341 Statistique Propriétés locales d'un paramètre. Application à l'estimation. Alain Berlinet 345 Problèmes mathématiques de la mécanique Invariants et dégénérescence symplectique de l'équation d'Euler des fluides parfaits incompressibles. Denis Serre 349 See contents p. I. Les « Comptes Rendus de l'Académie des Sciences » figurent dans « Current Contents » 199361-84 — Dépôt légal 1984 : Imprimeur : 2646 — CPPP 60383 Imprimé en France IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS Le Directeur de la publication : MM. les Secrétaires perpétuels P. GERMAIN et R. COURRIER