jeanflop/post_ocr_correction2 huggingface dataset:
de X, on obtient cette relation très simple à = 2XOn que, si p = 0, on a R/R'=2 et y=0 ; l'ellipsoïde change en une sphère, et la courbe devient un grand cercle de cette sphère. Lorsque p=1/2, on a R/R'=4, et l'hypocycloïde, projection de la courbe sur le plan des xy, a pour équation x²/ 3 + y²/ 3 = R²/ 3, R étant alors égal à 4/3k. Quelle que soit la valeur de p, si elle est commensurable, celle du rapport R/R' l'est aussi, et l'hypocycloïde est une courbe algébrique qui revient à son point de départ après s'être reproduite un certain nombre de fois. La courbe elle-même qui répond à la question est une courbe algébrique; et comme sa projection sur le plan des xy ne change pas si p est remplacé par -p et X par -X, on voit que cette courbe se compose d'un nombre limité de courbes identiques, entièrement fermées et situées sur un même ellipsoïde de révolution. Ces courbes identiques se réunissent deux à deux par une série de points de rebroussement situés sur le plus grand parallèle de l'ellipsoïde; la longueur de chacune d'elles se trouve être indépendante de la valeur de p et égale à la circonférence de rayon k, car elle est visiblement égale à Soit, en second lieu, p> 1. On changera k en -k dans les formules (14) qui donnent x, y, z en fonction de X, ce qui est permis, puisque cela revient à changer le sens dans lequel on compte les coordonnées positives ; on aura SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES. Les expressions de x et y deviennent ce qui montre que la projection de la courbe sur le plan des xy est une épicycloïde engendrée par un point d'une circonférence de rayon R' qui roulerait extérieurement sur une circonférence fixe de rayon R. On trouvera d'ailleurs la courbe est encore algébrique si p est commensurable. De ce qui précède, il résulte que les équations (14) représentent une classe de courbes algébriques répondant à toutes les valeurs commensurables attribuées au paramètre p; mais on
de p et égale à la circonférence de rayon k, car elle est visiblement égale à Soit, en second lieu, p> 1. On changera k en -k dans les formules (14) qui donnent x, y, z en fonction de X, ce qui est permis, puisque cela revient à changer le sens dans lequel on compte les coordonnées positives ; on aura SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES. Les expressions de x et y deviennent ce qui montre que la projection de la courbe sur le plan des xy est une épicycloïde engendrée par un point d'une circonférence de rayon R' qui roulerait extérieurement sur une circonférence fixe de rayon R. On trouvera d'ailleurs la courbe est encore algébrique si p est commensurable. De ce qui précède, il résulte que les équations (14) représentent une classe de courbes algébriques répondant à toutes les valeurs commensurables attribuées au paramètre p; mais on peut arriver à ce résultat par une voie plus directe, comme nous allons le montrer. Soit p=m/n, m et n étant entiers ; il vient et, en faisant = X', Par suite, les équations (14) prennent la forme Posons on en déduit Or on sait que les sinus et cosinus des arcs (n—m)X', (n+m)X, nii' peuvent s'exprimer sous forme de polynômes entiers en sin X' et cos X'. Dès lors, au moyen des deux dernières formules, ils pourront s'exprimer aussi par des fonctions rationnelles de la seule variable u. Il en sera donc de même pour les coordonnées x,y, z, déterminées par les équations (15), en sorte que les courbes représentées par ces équations seront évidemment algébriques pour toutes les valeurs commensurables de p. Quant à l'arc d'une quelconque de ces courbes, il s'exprime par un arc de cercle, car on a s=k arc sin z/k, formule où il faudrait remplacer par sa valeur rationnelle en u. Considérons, par exemple, le cas où p est entier : n étant égal à 1, il vient On a d'ailleurs Si l'on remplace, dans les équations (15), les sinus et cosinus des arcs (1 — m) X, (1 + m)X par des polynômes
des arcs (n—m)X', (n+m)X, nii' peuvent s'exprimer sous forme de polynômes entiers en sin X' et cos X'. Dès lors, au moyen des deux dernières formules, ils pourront s'exprimer aussi par des fonctions rationnelles de la seule variable u. Il en sera donc de même pour les coordonnées x,y, z, déterminées par les équations (15), en sorte que les courbes représentées par ces équations seront évidemment algébriques pour toutes les valeurs commensurables de p. Quant à l'arc d'une quelconque de ces courbes, il s'exprime par un arc de cercle, car on a s=k arc sin z/k, formule où il faudrait remplacer par sa valeur rationnelle en u. Considérons, par exemple, le cas où p est entier : n étant égal à 1, il vient On a d'ailleurs Si l'on remplace, dans les équations (15), les sinus et cosinus des arcs (1 — m) X, (1 + m)X par des polynômes entiers en sin X, cos X, puis ces deux dernières quantités par leurs valeurs en z, on voit que x et y deviendront des fonctions algébriques de la quantité z, laquelle servira de variable indépendante; de plus, l'arc s se trouvera exprimé en fonction de cette variable par l'arc de cercle k arc sin z/k. SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES. Il y a une remarque à faire, suggérée par la forme des équations (14). Comme, pour une même valeur de p, chacune des coordonnées x, y, z est proportionnelle à k, il en résulte qu'aux différentes valeurs de k répond un système de courbes homothétiques ayant pour centre d'homothétie l'origine des axes. Par suite, le rayon de courbure relatif aux courbes d'un même système est proportionnel à k, ce qui a lieu aussi pour le rayon de torsion. On remarquera encore une propriété géométrique résultant de l'équation z=k sin X, pour une quelconque des courbes considérées. Dans le plan projetant sur le plan des xy de la tangente en un point M de la courbe, on mène par ce point sur cette tangente une perpendiculaire qui rencontre le plan des xy en N. Or, la relation dont il s'agit
cercle k arc sin z/k. SUR UNE CLASSE DE COURBES ALGÉBRIQUES. Il y a une remarque à faire, suggérée par la forme des équations (14). Comme, pour une même valeur de p, chacune des coordonnées x, y, z est proportionnelle à k, il en résulte qu'aux différentes valeurs de k répond un système de courbes homothétiques ayant pour centre d'homothétie l'origine des axes. Par suite, le rayon de courbure relatif aux courbes d'un même système est proportionnel à k, ce qui a lieu aussi pour le rayon de torsion. On remarquera encore une propriété géométrique résultant de l'équation z=k sin X, pour une quelconque des courbes considérées. Dans le plan projetant sur le plan des xy de la tangente en un point M de la courbe, on mène par ce point sur cette tangente une perpendiculaire qui rencontre le plan des xy en N. Or, la relation dont il s'agit conduit à cette conséquence que la longueur de normale MN est constante et égale à k. Il suffît, pour le reconnaître, d'observer que l'angle α est égal à l'angle que fait cette normale avec sa projection sur le plan des xy. L'ANGE GARDIEN DE SOCRATE PAR M. A. DUMÉRIL. On sait que dans la religion des Perses telle qu'elle nous est présentée dans les livres sacrés de l'Orient, Ormuzd et Ahriman, le bon et le mauvais principe, étaient entourés d'un cortège de Génies, distribués dans un ordre hiérarchique. C'étaient des créatures, mais des créatures pourvues d'une intelligence et d'une force supérieures à celles de l'homme, puissantes les unes pour le bien, les autres pour le mal. Elles s'attachaient à l'homme et cherchaient à l'entraîner dans des directions diverses. Tandis qu'Ahriman le sollicitait au mal par ses émissaires, Ormuzd plaçait auprès de chaque individu un de ses Férouers qui veillait et lui prêtait assistance. Telle est historiquement l'origine de cette belle et poétique idée des Anges gardiens, que le judaïsme, après la captivité de Babylone, suivant l'opinion admise par plusieurs savants de notre temps, et le christianisme, après la religion juive, auraient empruntée au culte des mages. Le nom d'Anges, il
sait que dans la religion des Perses telle qu'elle nous est présentée dans les livres sacrés de l'Orient, Ormuzd et Ahriman, le bon et le mauvais principe, étaient entourés d'un cortège de Génies, distribués dans un ordre hiérarchique. C'étaient des créatures, mais des créatures pourvues d'une intelligence et d'une force supérieures à celles de l'homme, puissantes les unes pour le bien, les autres pour le mal. Elles s'attachaient à l'homme et cherchaient à l'entraîner dans des directions diverses. Tandis qu'Ahriman le sollicitait au mal par ses émissaires, Ormuzd plaçait auprès de chaque individu un de ses Férouers qui veillait et lui prêtait assistance. Telle est historiquement l'origine de cette belle et poétique idée des Anges gardiens, que le judaïsme, après la captivité de Babylone, suivant l'opinion admise par plusieurs savants de notre temps, et le christianisme, après la religion juive, auraient empruntée au culte des mages. Le nom d'Anges, il est vrai, se trouve dans la Genèse elle-même. Un Ange console Agar au désert (XVI, 7) ; des Anges anéantissent Sodome et sauvent Loth (ibid., XVIII); Jacob endormi voit des Anges monter et descendre par l'échelle mystérieuse (XXVIII, 12). Mais suivant les écrivains dont je parle, le mot d'ange, dans cette première partie de la Bible, signifie simplement messagers. C'est dans le même sens certainement que Jésus disait de saint Jean-Baptiste : « C'est de lui qu'il a été écrit : Voilà que j'envoie mon Ange devant ta face pour préparer ton chemin devant toi » (Matthieu, XI, 10). Il est vrai qu'il L'ANGE GARDIEN DE SOCRATE. L'expression de démons (en grec Δαιμόνων), qui correspondait à la fois à notre mot d'ange et à celui par lequel nous désignons les esprits malfaisants, trouve son application dans Hésiode et dans la religion égyptienne. Mais ces démons n'ont aucun rapport soit avec les Férouers d'Ormuzd, soit avec les esprits tentateurs déchaînés par Ahriman. Ce sont des âmes humaines dégagées par la mort de leurs liens corporels. Les démons d'Hésiode ont appareil dit (Genèse, III, 24) que Dieu ayant chassé Adam et Eve du Paradis terrestre, mit des Chérubins devant le jardin des
cette première partie de la Bible, signifie simplement messagers. C'est dans le même sens certainement que Jésus disait de saint Jean-Baptiste : « C'est de lui qu'il a été écrit : Voilà que j'envoie mon Ange devant ta face pour préparer ton chemin devant toi » (Matthieu, XI, 10). Il est vrai qu'il L'ANGE GARDIEN DE SOCRATE. L'expression de démons (en grec Δαιμόνων), qui correspondait à la fois à notre mot d'ange et à celui par lequel nous désignons les esprits malfaisants, trouve son application dans Hésiode et dans la religion égyptienne. Mais ces démons n'ont aucun rapport soit avec les Férouers d'Ormuzd, soit avec les esprits tentateurs déchaînés par Ahriman. Ce sont des âmes humaines dégagées par la mort de leurs liens corporels. Les démons d'Hésiode ont appareil dit (Genèse, III, 24) que Dieu ayant chassé Adam et Eve du Paradis terrestre, mit des Chérubins devant le jardin des délices, lesquels faisaient étinceler une épée de feu pour garder le chemin qui conduisait à l'arbre de vie. Ces Chérubins ne pouvaient évidemment appartenir à la race humaine, ce n'étaient pas non plus des Anges gardiens. Il y a d'ailleurs beaucoup d'obscurité sur les Anges. Que peut vouloir dire, par exemple, le chapitre de l'Epître aux Corinthiens, I, VI, 3 : « Ne savez-vous pas que nous jugerons les Anges? À plus forte raison pouvons-nous juger ce qui concerne la vie présente. » M. Renan, l'Église chrétienne, p. 68 de la 2e édit., prétend que le mot Ange de Dieu désigne parfois dans la Bible Dieu lui-même s'adressant aux mortels. On en faisait suivant lui un Etre distinct de Dieu, comme on fit du Logos; ou de la parole divine une personne spéciale distincte de Dieu le père avec lequel il partageait la toute-puissance. L'écrivain cite dans une note la Genèse, XVI, 7, 13; XXII, 11, 12; XXXI, 11, 16; l'Exode, III, 2, 4 et le Livre des Juges, VI. 14, 22 (dans ce dernier il s'agit d'un prophète) et XIII, 18, 22. L'Ange de Jéhovah désignerait, suivant lui, l'apparence divine qui se montre aux hommes quand Dieu d'ordinaire caché
exemple, le chapitre de l'Epître aux Corinthiens, I, VI, 3 : « Ne savez-vous pas que nous jugerons les Anges? À plus forte raison pouvons-nous juger ce qui concerne la vie présente. » M. Renan, l'Église chrétienne, p. 68 de la 2e édit., prétend que le mot Ange de Dieu désigne parfois dans la Bible Dieu lui-même s'adressant aux mortels. On en faisait suivant lui un Etre distinct de Dieu, comme on fit du Logos; ou de la parole divine une personne spéciale distincte de Dieu le père avec lequel il partageait la toute-puissance. L'écrivain cite dans une note la Genèse, XVI, 7, 13; XXII, 11, 12; XXXI, 11, 16; l'Exode, III, 2, 4 et le Livre des Juges, VI. 14, 22 (dans ce dernier il s'agit d'un prophète) et XIII, 18, 22. L'Ange de Jéhovah désignerait, suivant lui, l'apparence divine qui se montre aux hommes quand Dieu d'ordinaire caché se révèle aux yeux. Ce Maleak Jéhovah ne diffère en rien de Jéhovah lui-même et c'est une habitude chez les traducteurs d'une certaine époque de substituer ce mot à Jéhovah partout où Dieu est censé paraître sur la terre. Le Logos, ajoute M. Renan, arriva de même à jouer le rôle de Dieu anthropomorphisé. Nous laissons naturellement au savant érudit la responsabilité de son assertion qui n'est pas de notre compétence. Il parait d'après un autre passage de son livre sur l'Église chrétienne (p. 183 de la 2e édition) que suivant certaines corporations, chaque action avait son Ange. En la faisant, on devait invoquer cet esprit d'une nature étrangère à l'humanité. Il parait qu'il y eut aussi dans l'Empire un Génie des contributions indirectes. (Bulletin de l'Institut archéologique de Rome, 1868, pp. 8 et 9.) Quant au mot de Démons (δαίμονες), M. Hild, Études sur les Démons dans la littérature grecque, en indique fort bien l'origine lorsqu'il dit (p. 11) : « Comme la Grèce n'avait pour se faire entendre que le vocabulaire usuel, elle y choisit un terme à peu près délaissé, débris de vieilles croyances que n'avaient point embellies les lettres et qui n'étaient plus au temps d'Homère
rôle de Dieu anthropomorphisé. Nous laissons naturellement au savant érudit la responsabilité de son assertion qui n'est pas de notre compétence. Il parait d'après un autre passage de son livre sur l'Église chrétienne (p. 183 de la 2e édition) que suivant certaines corporations, chaque action avait son Ange. En la faisant, on devait invoquer cet esprit d'une nature étrangère à l'humanité. Il parait qu'il y eut aussi dans l'Empire un Génie des contributions indirectes. (Bulletin de l'Institut archéologique de Rome, 1868, pp. 8 et 9.) Quant au mot de Démons (δαίμονες), M. Hild, Études sur les Démons dans la littérature grecque, en indique fort bien l'origine lorsqu'il dit (p. 11) : « Comme la Grèce n'avait pour se faire entendre que le vocabulaire usuel, elle y choisit un terme à peu près délaissé, débris de vieilles croyances que n'avaient point embellies les lettres et qui n'étaient plus au temps d'Homère qu'un lointain souvenir. » 9e SÉRIE. — TOME IV. MÉMOIRES. tenu à l'âge d'or. Le mot de « chacun a son démon, » dans le langage de ceux qui appartiennent à l'école théologique égyptienne, veut dire simplement que chacun de nous avait une âme destinée à survivre à son corps. Les philosophes grecs adoptaient cette signification lorsqu'ils plaçaient les Démons parmi les héros des poèmes épiques ou que, comme Proclus, ils prétendaient que le démon était la partie intellectuelle de notre être. Dans les croyances persanes, au contraire, le démon de chaque homme était une créature distincte de lui, qui le protégeait et le conduisait au moment de sa mort à une nouvelle existence. Plusieurs des néoplatoniciens l'adoptèrent ainsi, en opposition avec la doctrine de Proclus. Les Pères de l'Église chrétienne se partageaient alors sur le même sujet, comme les philosophes alexandrins leurs rivaux. On trouve dans les uns cette assertion que les âmes des bons, après la mort, deviennent des Anges et celles des méchants des démons, tandis que les autres, fidèles en cela à la doctrine des Juifs, faisaient des Anges et des démons une catégorie d'êtres en dehors de notre espèce. L'Église, se fondant surtout sur un
Les philosophes grecs adoptaient cette signification lorsqu'ils plaçaient les Démons parmi les héros des poèmes épiques ou que, comme Proclus, ils prétendaient que le démon était la partie intellectuelle de notre être. Dans les croyances persanes, au contraire, le démon de chaque homme était une créature distincte de lui, qui le protégeait et le conduisait au moment de sa mort à une nouvelle existence. Plusieurs des néoplatoniciens l'adoptèrent ainsi, en opposition avec la doctrine de Proclus. Les Pères de l'Église chrétienne se partageaient alors sur le même sujet, comme les philosophes alexandrins leurs rivaux. On trouve dans les uns cette assertion que les âmes des bons, après la mort, deviennent des Anges et celles des méchants des démons, tandis que les autres, fidèles en cela à la doctrine des Juifs, faisaient des Anges et des démons une catégorie d'êtres en dehors de notre espèce. L'Église, se fondant surtout sur un passage de l'Évangile de saint Matthieu (XVIII, 10), s'est prononcée dans le second sens et, le premier a été rangé parmi les doctrines hétérodoxes. En 1215, le concile de Saint-Jean-de-Latran, assemblé sous le pontificat d'Innocent III, a achevé de faire prévaloir la doctrine que les Anges étaient des êtres spirituels créés sans tache. Néanmoins il est demeuré tout au moins dans le langage quelques traces de l'opinion que l'orthodoxie a condamnée. Quand un enfant en bas âge vient de rendre le dernier soupir, ceux que sa perte afflige cherchent une consolation dans l'espoir qu'il n'a cessé de vivre sur cette terre que pour prendre place parmi les Anges du ciel. Ida Pfeiffer, dans son Voyage autour du monde, raconte que, dans le Chili, à Valparaiso, lorsqu'un enfant en bas âge vient de mourir, ce triste événement est célébré par les parents comme une fête de joie, parce que, dans l'opinion des Chiliens, la petite créature décédée n'a quitté cette terre que pour prendre rang parmi les esprits célestes. Ils lui donnent le nom d'Angelito et le traitent de toutes les manières. « On ne lui ferme pas les yeux, dit la célèbre voyageuse, mais on les lui ouvre, au contraire,
créés sans tache. Néanmoins il est demeuré tout au moins dans le langage quelques traces de l'opinion que l'orthodoxie a condamnée. Quand un enfant en bas âge vient de rendre le dernier soupir, ceux que sa perte afflige cherchent une consolation dans l'espoir qu'il n'a cessé de vivre sur cette terre que pour prendre place parmi les Anges du ciel. Ida Pfeiffer, dans son Voyage autour du monde, raconte que, dans le Chili, à Valparaiso, lorsqu'un enfant en bas âge vient de mourir, ce triste événement est célébré par les parents comme une fête de joie, parce que, dans l'opinion des Chiliens, la petite créature décédée n'a quitté cette terre que pour prendre rang parmi les esprits célestes. Ils lui donnent le nom d'Angelito et le traitent de toutes les manières. « On ne lui ferme pas les yeux, dit la célèbre voyageuse, mais on les lui ouvre, au contraire, le plus possible; on lui teint les joues en rouge; on le revêt de ses plus beaux habits, en le couvrant de fleurs, et on le place sur un petit siège, dans une espèce de niche également ornée de fleurs. Les autres parents et voisins viennent féliciter le père et la mère d'avoir un petit ange. La première nuit les parents et les amis exécutent les danses les plus désordonnées devant l'angelito, et on se livre aux festins les plus joyeux. » J'aime à croire que ces festins sont plus rares qu'Ida Pfeiffer ne le prétend. Mais l'opinion que l'enfant qui n'est plus n'a quitté cette terre que pour prendre place parmi les anges du ciel n'est pas rare ailleurs que dans le Chili. Et la pauvre mère, dont le chagrin est allégé par cette pensée, est loin de se douter qu'elle prend parti pour une théorie transmise à quelques-uns des Pères par la religion égyptienne et que l'Église a finalement déclarée hérétique. Les orthodoxes les plus farouches respectent sa douleur, et, près du cercueil où repose l'objet sitôt ravi de tant d'amour, il se fait une transaction entre deux systèmes qui se sont combattus pendant des siècles. En Grèce,
la mère d'avoir un petit ange. La première nuit les parents et les amis exécutent les danses les plus désordonnées devant l'angelito, et on se livre aux festins les plus joyeux. » J'aime à croire que ces festins sont plus rares qu'Ida Pfeiffer ne le prétend. Mais l'opinion que l'enfant qui n'est plus n'a quitté cette terre que pour prendre place parmi les anges du ciel n'est pas rare ailleurs que dans le Chili. Et la pauvre mère, dont le chagrin est allégé par cette pensée, est loin de se douter qu'elle prend parti pour une théorie transmise à quelques-uns des Pères par la religion égyptienne et que l'Église a finalement déclarée hérétique. Les orthodoxes les plus farouches respectent sa douleur, et, près du cercueil où repose l'objet sitôt ravi de tant d'amour, il se fait une transaction entre deux systèmes qui se sont combattus pendant des siècles. En Grèce, si je ne me trompe, le premier ange gardien d'une origine non humaine, intermédiaire par son essence entre l'homme et Dieu, et chargé par ce dernier de prêter appui et conseil au premier, le premier ange gardien semblable à celui que nous trouvons dans les livres sacrés des Perses qui ait paru dans l'histoire est le démon de Socrate, et, pour mon compte, je suis porté à penser que le grand philosophe, sans s'en rendre compte peut-être lui-même, l'avait emprunté à la doctrine persane. Depuis le commencement des temps historiques deux mouvements contraires s'étaient accomplis dans cette contrée. Originaires de l'Orient, les Grecs en avaient de plus en plus répudié les traditions politiques. Aux gouvernements monarchiques avaient succédé chez eux des républiques et même la démocratie s'était implantée dans certaines cités, parmi lesquelles Athènes joua un rôle prépondérant à partir du jour où elle secoua le joug des Pisistratides. La vieille religion des Pélasges y fut aussi transformée et remplacée par l'anthropomorphisme. Mais, sous ce dernier rapport, une série de réactions commença ensuite à s'opérer et les cultes orientaux vinrent se mêler à celui des divinités homériques. De la naquirent, comme on sait, les orphiques et les mystères. Les mêmes