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donc été rationnel et même nécessaire d'exprimer, en exécution, comme on l'a fait en réalité, l'entre-axe des colonnes et celui des triglyphes par les nombres entiers de 14n et 7n sans changer pour cela l'expression théorique de 2n 3~1 primitivement attribuée à la hauteur des chapiteaux. Quelle a été ensuite la longueur exacte du triglyphe ? Il aurait fallu, à la rigueur, la réduire, par voie de conséquence, au 5ème de -t4n, soit 2n 3~ OJ Toutefois cette expression étant encore fractionnaire a du être abandonnée, par les mêmes motifs, et le triglyphe réel s'est ainsi trouvé réduit à 2" 3*' = 44'f, tout en laissant au chapiteau, comme nous venons de le dire, sa valeur exacte de 2n 5~r~ J = 45~. La valeur réelle du triglyphe doit donc être exprimée, en unités françaises, de la manière suivante 2". = 2 fois 307mm. soit. 6d4mm. 2. 3~= 3 fois 76"" soit. 230"" Et ensemble 3n 3~, ou. O'844~m. 6. Telle est en effet sa valeur connue. Quant au diamètre de la colonne, il doit être rigoureusement égal, suivant la règle de Vitruve à deux triglyphes ou, en d'autres termes, à 5n. et demi, soit en mesures françaises 689. Mais, nous dira-t-on, sur quel point de la colonne trouve-t-on ce diamètre que personne ne connaît? La réponse n'est pas difficile, car il se trouve, au Parthénon, aussi bien qu'à Paestum, sur la hauteur moyenne des colonnes, et peut être calculé en prenant une moyenne arithmétique entre les expressions connues du diamètre supérieur et du diamètre inférieur. Il est facile de voir ensuite que le diamètre de la base des colonnes et celui du sommet se déduisent du diamètre moyen, ou pour parler plus exactement, du triglyphe, en prenant 2" pour la base, 2 triglyphes et 1/2, soit 6n 0~ 3J = 1' 900, et 2° Il est nécessaire de faire remarquer ici, afin d'éviter toute cause d'erreur ou de malentendu qu'on peut mêler de deux manières différentes les diamètres des colonnes quand leur fût est cannelé. On peut se contenter en effet de prendre le diamètre apparent, en le mesurant,
nous dira-t-on, sur quel point de la colonne trouve-t-on ce diamètre que personne ne connaît? La réponse n'est pas difficile, car il se trouve, au Parthénon, aussi bien qu'à Paestum, sur la hauteur moyenne des colonnes, et peut être calculé en prenant une moyenne arithmétique entre les expressions connues du diamètre supérieur et du diamètre inférieur. Il est facile de voir ensuite que le diamètre de la base des colonnes et celui du sommet se déduisent du diamètre moyen, ou pour parler plus exactement, du triglyphe, en prenant 2" pour la base, 2 triglyphes et 1/2, soit 6n 0~ 3J = 1' 900, et 2° Il est nécessaire de faire remarquer ici, afin d'éviter toute cause d'erreur ou de malentendu qu'on peut mêler de deux manières différentes les diamètres des colonnes quand leur fût est cannelé. On peut se contenter en effet de prendre le diamètre apparent, en le mesurant, sur une ligne qui joint, entre les deux cannelures extrêmes; mais alors la ligne qui joint ces cannelures, ne passant pas par le centre de la colonne, a une longueur inférieure à celle du diamètre réel, ou bien au contraire, on peut mesurer le diamètre réel lui-même sur le plan de la colonne en joignant les angles de deux cannelures opposées au moyen d'une ligne passant par le centre même. Lorsque le nombre des cannelures est connu, ces deux expressions se déduisent l'une de l'autre, et, par exemple, dans le cas particulier du Parthénon comme il existe 20 cannelures sur chaque colonne, chacune d'elles sous-tend un angle de 18° et sur chaque colonne, chacune d'elles sous-tend un angle de 18° et le diamètre réel est par conséquent égal au diamètre apparent divisé par le cosinus de 9" Il est muté d'ajouter que c'est toujours le diamètre réel que nous avons considéré dans le présent mémorandum. pour le sommet, 2 triglyphes moins soit, comme nous l'avons déjà vu, 4n3~ 1~ = 1" 478. Les diamètres des colonnes de l'ordre intérieur se déduisent aussi du même module, car le diamètre de la base de cet ordre est égal au diamètre moyen de
de la colonne en joignant les angles de deux cannelures opposées au moyen d'une ligne passant par le centre même. Lorsque le nombre des cannelures est connu, ces deux expressions se déduisent l'une de l'autre, et, par exemple, dans le cas particulier du Parthénon comme il existe 20 cannelures sur chaque colonne, chacune d'elles sous-tend un angle de 18° et sur chaque colonne, chacune d'elles sous-tend un angle de 18° et le diamètre réel est par conséquent égal au diamètre apparent divisé par le cosinus de 9" Il est muté d'ajouter que c'est toujours le diamètre réel que nous avons considéré dans le présent mémorandum. pour le sommet, 2 triglyphes moins soit, comme nous l'avons déjà vu, 4n3~ 1~ = 1" 478. Les diamètres des colonnes de l'ordre intérieur se déduisent aussi du même module, car le diamètre de la base de cet ordre est égal au diamètre moyen de l'ordre intérieur c'est-à-dire à 5u 2"' = 1" 689, et son diamètre moyen est égal, à son tour, au diamètre pris au sommet de l'ordre extérieur, c'est-à-dire 4n. 3~.1~ = 1' 478. Enfin, et par voie de conséquence, son diamètre supérieur lui-même, dont nous avons déjà donné la valeur au commencement de ce travail, est égal à 1 triglyphe et demi c'est-à-dire à 4n 1" = 1' 267. Et il résulte de là que le fruit des colonnes est rigoureusement le même pour les deux ordres, et qu'il est égal à 1 triglyphe de chaque côté des colonnes, soit 2n 3~ = 10. 2'H,2. Mais 2" 3~ égalent 11 et le fruit des colonnes du grand ordre contient, dans sa hauteur, 11 chapiteaux. Le fruit de ces colonnes a donc été calculé à raison de 1* par chapiteau, et c'est ainsi qu'on peut tracer aisément sur nos épures l'inclinaison de la génératrice des colonnes. La 1/5e indication de ce concept sur la feuille de calcul. Le tracé de l'échine des chapiteaux mérite d'appeler maintenant toute notre attention. Il a été réglé à l'aide du triangle rectangle OEC dont nous connaissons déjà la base et la hauteur. Pour l'ordre intérieur, la
commencement de ce travail, est égal à 1 triglyphe et demi c'est-à-dire à 4n 1" = 1' 267. Et il résulte de là que le fruit des colonnes est rigoureusement le même pour les deux ordres, et qu'il est égal à 1 triglyphe de chaque côté des colonnes, soit 2n 3~ = 10. 2'H,2. Mais 2" 3~ égalent 11 et le fruit des colonnes du grand ordre contient, dans sa hauteur, 11 chapiteaux. Le fruit de ces colonnes a donc été calculé à raison de 1* par chapiteau, et c'est ainsi qu'on peut tracer aisément sur nos épures l'inclinaison de la génératrice des colonnes. La 1/5e indication de ce concept sur la feuille de calcul. Le tracé de l'échine des chapiteaux mérite d'appeler maintenant toute notre attention. Il a été réglé à l'aide du triangle rectangle OEC dont nous connaissons déjà la base et la hauteur. Pour l'ordre intérieur, la hauteur est égale à 10 et la base est égale à 7, par conséquent la fruit en terme de maçonnerie est la diminution que l'on donne à un mur ou une colonne à mesure qu'on l'élève. Ces deux lignes sont entre elles comme 4 est à 3 puisque 10 = 4 × 2 et 7 = 3 × 2, donc l'hypoténuse CO est proportionnelle à 5 et égale en longueur à 5 × 2 = 12. Donc aussi la longueur CI est égale à 2 × 3, c'est-à-dire à 6, ou, en d'autres termes, égale à la longueur AC, d'où il résulte que si, du sommet C comme centre, on décrit une circonférence avec un rayon égal à CI, cette circonférence passe nécessairement par le sommet A du tailloir. Il résulte encore de ce qui précède que le triangle rectangle OEC a ses trois côtés proportionnels aux nombres 3, 4 et 5, et tous les géomètres savent combien un semblable triangle est remarquable. Il se distingue, entre tous les autres dont un des côtés au moins est ordinairement incommensurable, non seulement parce qu'il a ses trois côtés proportionnels à des nombres entiers et premiers entre eux, mais encore aussi parce
4 × 2 et 7 = 3 × 2, donc l'hypoténuse CO est proportionnelle à 5 et égale en longueur à 5 × 2 = 12. Donc aussi la longueur CI est égale à 2 × 3, c'est-à-dire à 6, ou, en d'autres termes, égale à la longueur AC, d'où il résulte que si, du sommet C comme centre, on décrit une circonférence avec un rayon égal à CI, cette circonférence passe nécessairement par le sommet A du tailloir. Il résulte encore de ce qui précède que le triangle rectangle OEC a ses trois côtés proportionnels aux nombres 3, 4 et 5, et tous les géomètres savent combien un semblable triangle est remarquable. Il se distingue, entre tous les autres dont un des côtés au moins est ordinairement incommensurable, non seulement parce qu'il a ses trois côtés proportionnels à des nombres entiers et premiers entre eux, mais encore aussi parce que le côté moyen, proportionnel à 4, est une moyenne arithmétique exacte entre le plus petit côté proportionnel à 3 et le plus grand proportionnel à 5. On sait d'ailleurs combien il est facile de tracer exactement ce triangle, sans faire aucun usage de l'équerre. Il est évident que les propriétés remarquables de ce triangle étaient parfaitement connues des architectes grecs et nous en fournirons surabondamment une preuve incontestable en montrant, dans la troisième partie de ce mémoire, que l'inclinaison de l'échine du chapiteau de Paestum a été réglée aussi à l'aide du même triangle. Mais, dans l'ordre extérieur du Parthénon, le triangle régulateur OEC n'est pas semblable au précédent, puisque sa hauteur égale à 12 et sa base égale à 10 ne sont pas entre elles dans le rapport de 4 à 3, ou ce qui est la même chose de 8 à 6, et sont au contraire dans le rapport exact de 8 à 7. Néanmoins, si on calcule l'hypoténuse OC de ce nouveau triangle, on ne sera pas médiocrement étonné de la trouver égale, avec une précision plus que suffisante dans la pratique à une longueur exacte de 16, ou in., c'est-à-dire précisément égale à la hauteur
propriétés remarquables de ce triangle étaient parfaitement connues des architectes grecs et nous en fournirons surabondamment une preuve incontestable en montrant, dans la troisième partie de ce mémoire, que l'inclinaison de l'échine du chapiteau de Paestum a été réglée aussi à l'aide du même triangle. Mais, dans l'ordre extérieur du Parthénon, le triangle régulateur OEC n'est pas semblable au précédent, puisque sa hauteur égale à 12 et sa base égale à 10 ne sont pas entre elles dans le rapport de 4 à 3, ou ce qui est la même chose de 8 à 6, et sont au contraire dans le rapport exact de 8 à 7. Néanmoins, si on calcule l'hypoténuse OC de ce nouveau triangle, on ne sera pas médiocrement étonné de la trouver égale, avec une précision plus que suffisante dans la pratique à une longueur exacte de 16, ou in., c'est-à-dire précisément égale à la hauteur CF, et nous retrouvons ainsi, encore une fois, un triangle régulateur qui, bien que rectangle, a pourtant ses trois côtés proportionnels aux nombres entiers et premiers entre eux, mais encore aussi parce que le côté moyen, proportionnel à 4, est une moyenne arithmétique exacte entre le plus petit côté proportionnel à 3 et le plus grand proportionnel à 5. On sait d'ailleurs combien il est facile de tracer exactement ce triangle, sans faire aucun usage de l'équerre. Il est évident que les propriétés remarquables de ce triangle étaient parfaitement connues des architectes grecs et nous en fournirons surabondamment une preuve incontestable en montrant, dans la troisième partie de ce mémoire, que l'inclinaison de l'échine du chapiteau de Paestum a été réglée aussi à l'aide du même triangle. Mais, dans l'ordre extérieur du Parthénon, le triangle régulateur OEC n'est pas semblable au précédent, puisque sa hauteur égale à 12 et sa base égale à 10 ne sont pas entre elles dans le rapport de 4 à 3, ou ce qui est la même chose de 8 à 6, et sont au contraire dans le rapport exact de 8 à 7. Néanmoins, si on calcule l'hypoténuse OC de ce nouveau triangle, on
à 3 et le plus grand proportionnel à 5. On sait d'ailleurs combien il est facile de tracer exactement ce triangle, sans faire aucun usage de l'équerre. Il est évident que les propriétés remarquables de ce triangle étaient parfaitement connues des architectes grecs et nous en fournirons surabondamment une preuve incontestable en montrant, dans la troisième partie de ce mémoire, que l'inclinaison de l'échine du chapiteau de Paestum a été réglée aussi à l'aide du même triangle. Mais, dans l'ordre extérieur du Parthénon, le triangle régulateur OEC n'est pas semblable au précédent, puisque sa hauteur égale à 12 et sa base égale à 10 ne sont pas entre elles dans le rapport de 4 à 3, ou ce qui est la même chose de 8 à 6, et sont au contraire dans le rapport exact de 8 à 7. Néanmoins, si on calcule l'hypoténuse OC de ce nouveau triangle, on ne sera pas médiocrement étonné de la trouver égale, avec une précision plus que suffisante dans la pratique à une longueur exacte de 16, ou in., c'est-à-dire précisément égale à la hauteur CF, et nous retrouvons ainsi, encore une fois, un triangle régulateur qui, bien que rectangle, a pourtant ses trois côtés proportionnels aux nombres entiers et premiers entre eux, mais encore aussi parce que le côté moyen, proportionnel à 4, est une moyenne arithmétique exacte entre le plus petit côté proportionnel à 3 et le plus grand proportionnel à 5. On sait d'ailleurs combien il est facile de tracer exactement ce triangle, sans faire aucun usage de l'équerre. Il est évident que les propriétés remarquables de ce triangle étaient parfaitement connues des architectes grecs et nous en fournirons surabondamment une preuve incontestable en montrant, dans la troisième partie de ce mémoire, que l'inclinaison de l'échine du chapiteau de Paestum a été réglée aussi à l'aide du même triangle. Mais, dans l'ordre extérieur du Parthénon, le triangle régulateur OEC n'est pas semblable au précédent, puisque sa hauteur égale à 12 et sa base égale à 10 ne sont pas entre elles dans le rapport de 4 à 3, ou ce
trois côtés proportionnels aux nombres entiers et premiers entre eux, mais encore aussi parce que le côté moyen, proportionnel à 4, est une moyenne arithmétique exacte entre le plus petit côté proportionnel à 3 et le plus grand proportionnel à 5. On sait d'ailleurs combien il est facile de tracer exactement ce triangle, sans faire aucun usage de l'équerre. Il est évident que les propriétés remarquables de ce triangle étaient parfaitement connues des architectes grecs et nous en fournirons surabondamment une preuve incontestable en montrant, dans la troisième partie de ce mémoire, que l'inclinaison de l'échine du chapiteau de Paestum a été réglée aussi à l'aide du même triangle. Mais, dans l'ordre extérieur du Parthénon, le triangle régulateur OEC n'est pas semblable au précédent, puisque sa hauteur égale à 12 et sa base égale à 10 ne sont pas entre elles dans le rapport de 4 à 3, ou ce qui est la même chose de 8 à 6, et sont au contraire dans le rapport exact de 8 à 7. Néanmoins, si on calcule l'hypoténuse OC de ce nouveau triangle, on ne sera pas médiocrement étonné de la trouver égale, avec une précision plus que suffisante dans la pratique à une longueur exacte de 16, ou in., c'est-à-dire précisément égale à la hauteur CF, et nous retrouvons ainsi, encore une fois, un triangle régulateur qui, bien que rectangle, a pourtant ses trois côtés proportionnels aux nombres entiers et premiers entre eux, mais encore aussi parce que le côté moyen, proportionnel à 4, est une moyenne arithmétique exacte entre le plus petit côté proportionnel à 3 et le plus grand proportionnel à 5. On sait d'ailleurs combien il est facile de tracer exactement ce triangle, sans faire aucun usage de l'équerre. Il est évident que les propriétés remarquables de ce triangle étaient parfaitement connues des architectes grecs et nous en fournirons surabondamment une preuve incontestable en montrant, dans la troisième partie de ce mémoire, que l'inclinaison de l'échine du chapiteau de Paestum a été réglée aussi à l'aide du même triangle. Reste à savoir maintenant comment ont été déterminées, en
à une longueur exacte de 16, ou in., c'est-à-dire précisément égale à la hauteur CF, et nous retrouvons ainsi, encore une fois, un triangle régulateur qui, bien que rectangle, a pourtant ses trois côtés proportionnels aux nombres entiers et premiers entre eux, mais encore aussi parce que le côté moyen, proportionnel à 4, est une moyenne arithmétique exacte entre le plus petit côté proportionnel à 3 et le plus grand proportionnel à 5. On sait d'ailleurs combien il est facile de tracer exactement ce triangle, sans faire aucun usage de l'équerre. Il est évident que les propriétés remarquables de ce triangle étaient parfaitement connues des architectes grecs et nous en fournirons surabondamment une preuve incontestable en montrant, dans la troisième partie de ce mémoire, que l'inclinaison de l'échine du chapiteau de Paestum a été réglée aussi à l'aide du même triangle. Reste à savoir maintenant comment ont été déterminées, en fait, les saillies des chapiteaux dans les deux ordres. Nous avons déjà été conduit à admettre, on se le rappelle sans doute, que les hauteurs de ces chapiteaux ont été arrêtées les premières, et par conséquent il est naturel d'en conclure que les saillies ont été réglées ensuite en fonction des hauteurs. La question se réduit donc à trouver les relations établies entre les hauteurs et les saillies. Si l'on considère d'abord l'ordre intérieur, il est facile de voir sur notre feuille, enjoignant les points 1 et G, que le nouveau triangle rectangle ainsi formé, F1G, est non seulement semblable au grand triangle CFI, mais encore rigoureusement égal au triangle régulateur COE, et que, par conséquent, la saillie totale IF est une moyenne géométrique entre la hauteur GF = HI de la partie droite et la hauteur CI de la partie inclinée, en d'autres termes, que la ligne CI est perpendiculaire sur l'hypoténuse CI et en d'autres termes encore, qu'une circonférence tracée sur la ligne CG, prise pour diamètre, passe nécessairement par le point I. On peut constater aussi à priori que la saillie totale IF est égale au tiers de la distance AF comprise entre le point F et
des hauteurs. La question se réduit donc à trouver les relations établies entre les hauteurs et les saillies. Si l'on considère d'abord l'ordre intérieur, il est facile de voir sur notre feuille, enjoignant les points 1 et G, que le nouveau triangle rectangle ainsi formé, F1G, est non seulement semblable au grand triangle CFI, mais encore rigoureusement égal au triangle régulateur COE, et que, par conséquent, la saillie totale IF est une moyenne géométrique entre la hauteur GF = HI de la partie droite et la hauteur CI de la partie inclinée, en d'autres termes, que la ligne CI est perpendiculaire sur l'hypoténuse CI et en d'autres termes encore, qu'une circonférence tracée sur la ligne CG, prise pour diamètre, passe nécessairement par le point I. On peut constater aussi à priori que la saillie totale IF est égale au tiers de la distance AF comprise entre le point F et le dessus A du tailloir et que la saillie OE est égale à la hauteur HI. De pareilles combinaisons, on en conviendra, sont trop remarquables pour être considérées comme purement fortuites, et il est d'autant plus certain qu'elles résultent de la volonté même des architectes que nous trouverons, dans la suite de ce mémoire, les saillies des autres chapiteaux déterminées d'une manière parfaitement analogue. Cependant la même règle n'a pas été observée pour le grand ordre, où l'on ne remarque même aucun rapport simple entre la saillie IF et les diverses hauteurs du chapiteau, et où il faudrait, pour conserver les proportions de l'ordre intérieur, réduire à 12 la saillie totale effectivement égale à 14. Dès lors n'est-il pas permis de croire que les mêmes proportions auraient été observées, en effet, pour l'ordre extérieur, aussi exactement que pour l'ordre intérieur, et que la saillie des chapiteaux aurait été réglée, comme nous venons de le dire, à 12% au lieu de 14%, si les architectes du Parthénon n'avaient pas été influencés par leurs idées particulières sur la valeur mystérieuse du nombre 7, et ne doit-on pas admettre comme démontré qu'ils ont été séduits par la possibilité d'exprimer toutes les dimensions horizontales
suite de ce mémoire, les saillies des autres chapiteaux déterminées d'une manière parfaitement analogue. Cependant la même règle n'a pas été observée pour le grand ordre, où l'on ne remarque même aucun rapport simple entre la saillie IF et les diverses hauteurs du chapiteau, et où il faudrait, pour conserver les proportions de l'ordre intérieur, réduire à 12 la saillie totale effectivement égale à 14. Dès lors n'est-il pas permis de croire que les mêmes proportions auraient été observées, en effet, pour l'ordre extérieur, aussi exactement que pour l'ordre intérieur, et que la saillie des chapiteaux aurait été réglée, comme nous venons de le dire, à 12% au lieu de 14%, si les architectes du Parthénon n'avaient pas été influencés par leurs idées particulières sur la valeur mystérieuse du nombre 7, et ne doit-on pas admettre comme démontré qu'ils ont été séduits par la possibilité d'exprimer toutes les dimensions horizontales de la façade de leur temple par des multiples exacts de 7, lorsqu'ils ont vu qu'en réduisant par les raisons déjà indiquées, l'entre-axe total des colonnes de 225 à 224 et le triglyphe lui-même de 45 à 44 ils se trouvaient conduits à donner 77 au diamètre supérieur des colonnes du grand ordre. Dans notre intime conviction, c'est pour ce motif, et nous ne craignons pas d'ajouter pour ce seul motif, qu'ils se sont décidés à modifier un peu la règle, en donnant finalement à la saillie des chapiteaux du grand ordre 14% au lieu de 12. Le moment semble venu maintenant d'étudier en détail le tracé des courbes de l'échiné et comme le refouillement BB', qui est rigoureusement le même dans les deux ordres a une longueur exacte de 1* = 19 mm 2j comme la verticale S'C', tangente au sommet de la courbe de l'échiné en S', divise aussi dans les deux ordres la longueur BB' en deux parties égales (Voyez ce détail sur les figures 1 et 2 de notre 3e feuille), il résulte de cette double circonstance que les deux courbes ne peuvent pas correspondre à des figures semblables géométriquement parlant. Toutefois il n'en est pas
du grand ordre. Dans notre intime conviction, c'est pour ce motif, et nous ne craignons pas d'ajouter pour ce seul motif, qu'ils se sont décidés à modifier un peu la règle, en donnant finalement à la saillie des chapiteaux du grand ordre 14% au lieu de 12. Le moment semble venu maintenant d'étudier en détail le tracé des courbes de l'échiné et comme le refouillement BB', qui est rigoureusement le même dans les deux ordres a une longueur exacte de 1* = 19 mm 2j comme la verticale S'C', tangente au sommet de la courbe de l'échiné en S', divise aussi dans les deux ordres la longueur BB' en deux parties égales (Voyez ce détail sur les figures 1 et 2 de notre 3e feuille), il résulte de cette double circonstance que les deux courbes ne peuvent pas correspondre à des figures semblables géométriquement parlant. Toutefois il n'en est pas moins certain qu'on a dû les tracer en employant des procédés analogues. Si, en continuant à considérer, en premier lieu, le chapiteau de l'ordre intérieur, nous décrivons par le point.B' comme centre, et d'un rayon égal à 1J, une circonférence BS'il (Voyez la figure 2 de notre 3e feuille) cette circonférence coupera la verticale S'C' en un point S' situé à une distance du tailloir égale à 8/6 de dactyle, et comme la ligne BC a une longueur de 1J s/s ou, ce qui est la même chose, de 'j*™. de dactyle il en résulte qu'une ligne horizontale menée par le point S passe précisément au milieu de BC, de sorte qu'en décrivant une nouvelle circonférence avec un rayon égal à 1 et du point O. pris comme centre, cette circonférence vient passer par les points B' et S' et se trouve tangente en S' à la verticale S'C'. Si, en second lieu, on prolonge l'axe SS'fi jusqu'au point il à pris 1 palme de distance du point S' et si, de ce point comme centre, on décrit une autre circonférence S'B" en la prolongeant jusqu'à sa rencontre en B" avec la verticale passant par le point B', et si