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[7] G. W. BRUMFIEL, Lecture Notes in Math., n° 959, p. 55-97, Springer-Verlag. [8] M. COSTE et M. F. ROY, Contemporary Math., 8, 1981, p. 27-59. Département de Mathématiques, Université de Niamey, B.P. n° 10662, Niamey, Niger. Comme ces traces sont les orbites du faisceau central de F, cette étude se ramène à l'examen au-dessus des ouverts trivialisants pour de F] des orbites d'une algèbre de Lie de dimension t de champs de Killing sur une variété riemannienne de dimension p. Pour p ≠ 3 il existe une solution complète de ce problème (voir [4]), ce qui nous permet dans ces cas de déterminer, pour chaque valeur de t, la structure des adhérences des nappes. L'étude des nappes se fait de la même façon. Il existe en effet un sous-faisceau de F, de fibre-type i (l'algèbre de Lie opposée à i), dont les orbites sont les traces sur F des nappes de (M, 3F, g). 1.2. Convenons d'appeler « feuilletage riemannien avec singularités » une variété riemannienne (M, g) munie d'un champ de plans en involution D, de dimension variable, pour lequel toute géodésique perpendiculaire à D en un point l'est partout. On a vu dans [2] que les nappes et les adhérences des nappes de (Ev, J* tg, g) définissent respectivement sur Ev deux feuilletages riemanniens dont la métrique relevée g est « bundle-like ». Il en résulte que les nappes et les adhérences des nappes de (M, 3F, g) définissent sur (M, g) deux feuilletages riemanniens avec singularités N et N respectivement (ce fait a été démontré différemment par Blumenthal et Hebda dans [1]). En particulier, on a : quels que soient le champ X tangent à N, et des champs Y et Z perpendiculaires à N. Par conséquent, l'espace M/N des adhérences des nappes, muni de la topologie quotient, est métrisable et donc compact. 1.3. Considérons la structure induite par (M, g, g) sur une adhérence de nappe. Soit T une adhérence de nappe de (M, 3F, g) et notons encore T et g respectivement le feuilletage et la métrique riemannienne induits sur T par (M, J*,
et les adhérences des nappes de (Ev, J* tg, g) définissent respectivement sur Ev deux feuilletages riemanniens dont la métrique relevée g est « bundle-like ». Il en résulte que les nappes et les adhérences des nappes de (M, 3F, g) définissent sur (M, g) deux feuilletages riemanniens avec singularités N et N respectivement (ce fait a été démontré différemment par Blumenthal et Hebda dans [1]). En particulier, on a : quels que soient le champ X tangent à N, et des champs Y et Z perpendiculaires à N. Par conséquent, l'espace M/N des adhérences des nappes, muni de la topologie quotient, est métrisable et donc compact. 1.3. Considérons la structure induite par (M, g, g) sur une adhérence de nappe. Soit T une adhérence de nappe de (M, 3F, g) et notons encore T et g respectivement le feuilletage et la métrique riemannienne induits sur T par (M, J*, g). (T, #", g) est un feuilletage totalement géodésique sur une variété compacte et connexe. Parce que les nappes de (M, J*, g) ayant même adhérence ont même dimension, les nappes de (T, 3F, g) définissent sur T un feuilletage riemannien à feuilles denses. Soit FT une feuille de (T, 3F, g). Au voisinage de chaque point de FT il existe une algèbre de Lie transitive, de germes de champs de Killing de (FT, g), isomorphe à tg-. Les feuilles de (T, 3F, g) sont alors des sous-variétés localement homogènes de (T, g). 1.4. Soit UN (respectivement UJQ) l'ensemble des points de M où les nappes (respectivement les adhérences des nappes) sont de dimension maximale k (respectivement £). UN et UN sont ouverts et denses dans M. Sur la sous-variété U^, les adhérences des nappes de (M, 3F, g) définissent un feuilletage riemannien à feuilles compactes. Il en résulte que l'image JI(UN), de U^ par la projection canonique n : M-&gt;M/N, est munie d'une structure de variété de Sataké de dimension (n —k) pour laquelle la restriction de n à U^ est un morphisme de variété de Sataké (voir [3]). Ufj sera appelé l'ouvert régulier de (M, 3F, g). On
3F, g). Au voisinage de chaque point de FT il existe une algèbre de Lie transitive, de germes de champs de Killing de (FT, g), isomorphe à tg-. Les feuilles de (T, 3F, g) sont alors des sous-variétés localement homogènes de (T, g). 1.4. Soit UN (respectivement UJQ) l'ensemble des points de M où les nappes (respectivement les adhérences des nappes) sont de dimension maximale k (respectivement £). UN et UN sont ouverts et denses dans M. Sur la sous-variété U^, les adhérences des nappes de (M, 3F, g) définissent un feuilletage riemannien à feuilles compactes. Il en résulte que l'image JI(UN), de U^ par la projection canonique n : M-&gt;M/N, est munie d'une structure de variété de Sataké de dimension (n —k) pour laquelle la restriction de n à U^ est un morphisme de variété de Sataké (voir [3]). Ufj sera appelé l'ouvert régulier de (M, 3F, g). On dit que (M, 3F, g) est régulier si U^ = M. Une adhérence de nappes de (M, 3F, g) sera dite singulière si elle appartient au complémentaire de U^. Lorsque 3F est de dimension 1, 2 ou 3, on trouve, après l'examen indiqué au paragraphe 1.1 ci-dessus, que dans tous les cas U^ est connexe et que, en rajoutant les adhérences singulières, l'espace M/N est toujours une variété Sataké. On parvient ainsi à une description complète des feuilletages (M, 3F, g) de dimension 1, 2 ou 3. 1.5. Un champ tangentiel (local) X dans M sera dit champ de Killing tangentiel s'il induit sur chaque feuille F de 3F un champ de Killing (local) de (F, g). Ceci étant, on note que lorsque i est contenu dans le centre de tg, il existe sur M un faisceau localement trivial #w de germes de champs de Killing tangentiels, tel que 3tg induit sur chaque feuille F de 3F le faisceau central ^(F) de F. 3tg a pour fibre-type l'algèbre de Lie tg-. On l'appellera faisceau central tangentiel de (M, 3F, g). 2. FEUILLETAGES TOTALEMENT GÉODÉSIQUES DE DIMENSION 1, 2 ou 3. 2.1. Feuilletages de dimension 1. — Si p=1, (M, 3F,
les cas U^ est connexe et que, en rajoutant les adhérences singulières, l'espace M/N est toujours une variété Sataké. On parvient ainsi à une description complète des feuilletages (M, 3F, g) de dimension 1, 2 ou 3. 1.5. Un champ tangentiel (local) X dans M sera dit champ de Killing tangentiel s'il induit sur chaque feuille F de 3F un champ de Killing (local) de (F, g). Ceci étant, on note que lorsque i est contenu dans le centre de tg, il existe sur M un faisceau localement trivial #w de germes de champs de Killing tangentiels, tel que 3tg induit sur chaque feuille F de 3F le faisceau central ^(F) de F. 3tg a pour fibre-type l'algèbre de Lie tg-. On l'appellera faisceau central tangentiel de (M, 3F, g). 2. FEUILLETAGES TOTALEMENT GÉODÉSIQUES DE DIMENSION 1, 2 ou 3. 2.1. Feuilletages de dimension 1. — Si p=1, (M, 3F, g) est régulier. L'étude des dimensions (t, s) du couple structural (tg, i) nous donne les possibilités suivantes : (t, s) =(1, 1) : il n'existe qu'une nappe qui coïncide donc avec M. (t, s) =(1, 0) : les nappes définissent sur M un feuilletage riemannien à feuilles denses de codimension 1. (t, s) = (0, 0) : le fibre horizontal est intégrable et toutes les nappes sont compactes : Suivant que 3F est, ou non, orientable, les nappes sont définies par une fibration localement triviale sur S1 ou un morphisme de variétés de Sataké sur [0, 1]. Notons que dans tous les cas, à un revêtement à deux feuillets près, (M, 3F, g) est orientable et donc un R-feuilletage tangentiel de Lie. Soit X un champ unitaire tangent à # X est un champ de Killing tangentiel de (M, g, g). (M, 3F, g) possède alors une structure de R-fibré principal où X serait un champ fondamental et H serait une connexion. Notant co la 1-forme g(X, .), on voit que la courbure dH de H est nulle si et seulement si H est intégrable. 2.2. Feuilletages de dimension 2. — Si p = 2, l'étude des divers cas
codimension 1. (t, s) = (0, 0) : le fibre horizontal est intégrable et toutes les nappes sont compactes : Suivant que 3F est, ou non, orientable, les nappes sont définies par une fibration localement triviale sur S1 ou un morphisme de variétés de Sataké sur [0, 1]. Notons que dans tous les cas, à un revêtement à deux feuillets près, (M, 3F, g) est orientable et donc un R-feuilletage tangentiel de Lie. Soit X un champ unitaire tangent à # X est un champ de Killing tangentiel de (M, g, g). (M, 3F, g) possède alors une structure de R-fibré principal où X serait un champ fondamental et H serait une connexion. Notant co la 1-forme g(X, .), on voit que la courbure dH de H est nulle si et seulement si H est intégrable. 2.2. Feuilletages de dimension 2. — Si p = 2, l'étude des divers cas 0&lt;s&lt;t&lt;3 montre que, si les nappes ne définissent pas sur M un feuilletage riemannien, alors elles sont toutes compactes. L'étude des adhérences des nappes nous donne en particulier des conditions nécessaires (non exclusives) pour qu'un feuilletage de dimension 2 soit géodésible. On a : THÉORÈME 1. Si 3F est de dimension 2 alors : — ou bien les feuilles de (M, 3F, g) sont à courbure constante; — ou bien, à un revêtement à deux feuillets près, il existe une fibration localement triviale transverse à 3F de M sur S 1; — ou bien il existe une sous-variété compacte de M perpendiculaire et transverse à 3F, c'est-à-dire une transversale fermée au feuilletage. 2. 3. Feuilletages de dimension 3. — Si p = 3, les feuilletages (M, 3F, g) sont classifiés selon les dimensions (t, s) de (tg, i) où 0gsgt^6. Cette étude est facilitée par le fait que l'algèbre de Lie o(3, R) du groupe orthogonal n'a pas de sous-algèbre de dimension 2. En particulier, on a : THÉORÈME 2. — Si 3F est de dimension 3, alors : — ou bien les feuilles de (M, 3F, g) sont localement homogènes; — ou bien il existe sur M un feuilletage
dimension 2 alors : — ou bien les feuilles de (M, 3F, g) sont à courbure constante; — ou bien, à un revêtement à deux feuillets près, il existe une fibration localement triviale transverse à 3F de M sur S 1; — ou bien il existe une sous-variété compacte de M perpendiculaire et transverse à 3F, c'est-à-dire une transversale fermée au feuilletage. 2. 3. Feuilletages de dimension 3. — Si p = 3, les feuilletages (M, 3F, g) sont classifiés selon les dimensions (t, s) de (tg, i) où 0gsgt^6. Cette étude est facilitée par le fait que l'algèbre de Lie o(3, R) du groupe orthogonal n'a pas de sous-algèbre de dimension 2. En particulier, on a : THÉORÈME 2. — Si 3F est de dimension 3, alors : — ou bien les feuilles de (M, 3F, g) sont localement homogènes; — ou bien il existe sur M un feuilletage riemannien transverse à 3F à feuilles compactes de codimension 1 ou 2; — ou bien il existe une sous-variété compacte de M perpendiculaire et transverse à 3F; — ou bien l'espace M/N des adhérences des nappes est un intervalle fermé [0,1], et la restriction de la projection canonique n au-dessus de (0,1) est une submersion différentiable. REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] R. BLUMENTHAL et J. HEBDA, Complementary Distributions Which Preserve the Leaf Geometry and Applications to Totally Geodesic Foliations, Preprint, 1983. 344 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 [2] G. CAIRNS, Géométrie globale des feuilletages totalement géodésiques, Comptes Rendus, 297, série I, 1983, p. 525-527. [3] P. MOLINO, Proc. Kon. Nederl. Akad., série A, 85, (1), 1982, p. 45-76. [4] P. MOLINO, Cours de D.E.A., U.S.T.L., Montpellier, 1982-1983. Mathématiques, Université des Sciences et Techniques du Languedoc, place Eugène-Bataillon, 34060 Montpellier. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 345 STATISTIQUE. — Propriétés locales d'un paramètre. Application à l'estimation. Note de Alain Berlinet, présentée par Robert Fortet. Remise le 6 février 1984. On définit et on étudie des notions de localisation d'un paramètre dans l'espace des observations et les effets du conditionnement d'un
de (0,1) est une submersion différentiable. REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] R. BLUMENTHAL et J. HEBDA, Complementary Distributions Which Preserve the Leaf Geometry and Applications to Totally Geodesic Foliations, Preprint, 1983. 344 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 [2] G. CAIRNS, Géométrie globale des feuilletages totalement géodésiques, Comptes Rendus, 297, série I, 1983, p. 525-527. [3] P. MOLINO, Proc. Kon. Nederl. Akad., série A, 85, (1), 1982, p. 45-76. [4] P. MOLINO, Cours de D.E.A., U.S.T.L., Montpellier, 1982-1983. Mathématiques, Université des Sciences et Techniques du Languedoc, place Eugène-Bataillon, 34060 Montpellier. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 345 STATISTIQUE. — Propriétés locales d'un paramètre. Application à l'estimation. Note de Alain Berlinet, présentée par Robert Fortet. Remise le 6 février 1984. On définit et on étudie des notions de localisation d'un paramètre dans l'espace des observations et les effets du conditionnement d'un estimateur par rapport à une statistique localement exhaustive. On donne une application à l'estimation de la densité. STATISTICS. — Local Properties of a Parameter. Application to Estimation. We define and study the local properties of a parameter in the sample space and the effect of conditioning an estimator with respect to a locally sufficient statistic. An application to density estimation is given. I. LOCALISATION ET HOMOGÉNÉITÉ. — Soit (E, Σ, SF) un modèle statistique où E est un espace topologique métrisable, Σ sa tribu borélienne et soit q un paramètre défini sur Σ et à valeurs dans un espace vectoriel réel ®. Soit B un borélien fixé non vide de E, Bc son complémentaire et $(B) l'ensemble des ouverts contenant B. Pour chaque ouvert U de (B) on note t?v l'ensemble des éléments de Σ qui chargent U. Pour each C subset of B and PeΣP on note P|c la restriction de P à C et, si P(C) > 0, Pc la probabilité induite par P sur C; enfin, on note ^(P, C) l'ensemble des éléments Q de ΣP ayant même restriction que P à l'ensemble C. Les premières idées sur la localisation dans E ont été avancées par J.
to a locally sufficient statistic. An application to density estimation is given. I. LOCALISATION ET HOMOGÉNÉITÉ. — Soit (E, Σ, SF) un modèle statistique où E est un espace topologique métrisable, Σ sa tribu borélienne et soit q un paramètre défini sur Σ et à valeurs dans un espace vectoriel réel ®. Soit B un borélien fixé non vide de E, Bc son complémentaire et $(B) l'ensemble des ouverts contenant B. Pour chaque ouvert U de (B) on note t?v l'ensemble des éléments de Σ qui chargent U. Pour each C subset of B and PeΣP on note P|c la restriction de P à C et, si P(C) > 0, Pc la probabilité induite par P sur C; enfin, on note ^(P, C) l'ensemble des éléments Q de ΣP ayant même restriction que P à l'ensemble C. Les premières idées sur la localisation dans E ont été avancées par J. Geffroy et D. Bosq mais n'ont pas fait l'objet, à notre connaissance, d'autre publication que [4]. On trouvera les démonstrations des résultats de cette Note, ses motivations et des exemples dans [2] et [3]. Les concepts utilisés sont définis dans [1]. DÉFINITION 1. — Soit m un entier; on dit que q est un paramètre homogène de degré m sur B si pour tout U e C (B) on a : DÉFINITION 2. — On dit que q est localisé par B si pour tout U e (B) on a : (a) V(P,Q) e^ 2 (P|u = Q|u^cp(P) = (p(Q); (b) VP^U(P(P)=0. On notera JVm (B) [resp. £F (B)] l'espace vectoriel des paramètres homogènes de degré m sur B (resp. localisés par B) et à valeurs dans ® fixé. PROPOSITION 1. — J^m (B) est inclus (en général strictement) dans £F(B). II. CAS D'UN PARAMÈTRE LINÉAIRE. — Il paraît évident, qu'en général, un paramètre linéaire ne peut être homogène sur un borélien propre de E que si son degré d'homogénéité est 1 : PROPOSITION 2. — Soit q e^fm(B) (m^1) un paramètre linéaire sur B convexe. On suppose en outre que : (Cx) 3 VeC(B), 3 Q e^" tels que
que q est un paramètre homogène de degré m sur B si pour tout U e C (B) on a : DÉFINITION 2. — On dit que q est localisé par B si pour tout U e (B) on a : (a) V(P,Q) e^ 2 (P|u = Q|u^cp(P) = (p(Q); (b) VP^U(P(P)=0. On notera JVm (B) [resp. £F (B)] l'espace vectoriel des paramètres homogènes de degré m sur B (resp. localisés par B) et à valeurs dans ® fixé. PROPOSITION 1. — J^m (B) est inclus (en général strictement) dans £F(B). II. CAS D'UN PARAMÈTRE LINÉAIRE. — Il paraît évident, qu'en général, un paramètre linéaire ne peut être homogène sur un borélien propre de E que si son degré d'homogénéité est 1 : PROPOSITION 2. — Soit q e^fm(B) (m^1) un paramètre linéaire sur B convexe. On suppose en outre que : (Cx) 3 VeC(B), 3 Q e^" tels que Q(V) =0. Alors cp est identiquement nul. PROPOSITION 3. — On suppose que B est convexe et que la condition (Cx) est vérifiée. Un paramètre linéaire q appartient à £F(B) si et seulement si il est localisé par B. III. LIEN AVEC L'ESTIMABILITÉ SANS BIAIS. — On suppose que ® est un espace de Banach séparable, que B est un fermé de E et que la condition suivante est vérifiée : (C2) VU e (B) (Pe^u =&gt; Prje^u); on dit que q est estimable sans biais (ESB) d'ordre leN* s'il existe un noyau T, (non unique en général) : E' -&gt; ® qui soit %x fortement intégrable 346 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 et tel que : PROPOSITION 4. — Un paramètre (p ESB d'ordre 1, de noyau T;, appartient à £F(B) si et seulement si V P e £F, T, &lt;/P®' = 0. (Autrement dit T,. lFi est un noyau pour cp.) COROLLAIRE 1. — Un paramètre ESB non constant de £Fm(B), où B est ^-négligeable, est de degré (Testimabilité strictement supérieur à m (le degré d'estimabilité d'un paramètre q ESB est le plus petit entier n pour lequel cp admet un
est un espace de Banach séparable, que B est un fermé de E et que la condition suivante est vérifiée : (C2) VU e (B) (Pe^u =&gt; Prje^u); on dit que q est estimable sans biais (ESB) d'ordre leN* s'il existe un noyau T, (non unique en général) : E' -&gt; ® qui soit %x fortement intégrable 346 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 298, Série I, n° 14, 1984 et tel que : PROPOSITION 4. — Un paramètre (p ESB d'ordre 1, de noyau T;, appartient à £F(B) si et seulement si V P e £F, T, &lt;/P®' = 0. (Autrement dit T,. lFi est un noyau pour cp.) COROLLAIRE 1. — Un paramètre ESB non constant de £Fm(B), où B est ^-négligeable, est de degré (Testimabilité strictement supérieur à m (le degré d'estimabilité d'un paramètre q ESB est le plus petit entier n pour lequel cp admet un estimateur sans biais d'ordre n). Grâce au théorème de Bickel-Lehmann on a : COROLLAIRE 2. — Si q e £Fm(B), si B est ^-négligeable, si (p n'est pas constant, si B est convexe et si (p(a P+(1— a) Q) est un polynôme en a de degré inférieur ou égal à m, cp n'est pas ESB. Le corollaire 2 pourra s'appliquer par exemple à la densité et à ses dérivées. On suppose maintenant que 3P est dominé par une mesure positive finie sur E. PROPOSITION 5. — Soit (p un paramètre étendu à l'ordre m, de noyau Tm, localisé par B. On suppose que pour tout élément UeB(B) et tout élément P de 3P tels que 0 < P(U) < 1 la famille [0>(P, U)]m est i®m-complète (autrement dit : <peJtfm(B). COROLLAIRE 3. — Soit cp un paramètre non constant de -S?(B) avec u(B)=0. On suppose qu'il existe m>1 tel que VUe0(B), VPe>0 tels que 0<P(U)<1, [^(P,U)]m soit i®m-complète. Alors, si (p est étendu, il est de degré strictement supérieur à m. IV. CONDITIONNEMENT PAR RAPPORT À UNE STATISTIQUE LOCALEMENT EXAUSTIVE. — Soit S une statistique définie sur (E, âg) et à valeurs dans un espace mesurable (F, <€). DÉFINITION 3.
m, cp n'est pas ESB. Le corollaire 2 pourra s'appliquer par exemple à la densité et à ses dérivées. On suppose maintenant que 3P est dominé par une mesure positive finie sur E. PROPOSITION 5. — Soit (p un paramètre étendu à l'ordre m, de noyau Tm, localisé par B. On suppose que pour tout élément UeB(B) et tout élément P de 3P tels que 0 < P(U) < 1 la famille [0>(P, U)]m est i®m-complète (autrement dit : <peJtfm(B). COROLLAIRE 3. — Soit cp un paramètre non constant de -S?(B) avec u(B)=0. On suppose qu'il existe m>1 tel que VUe0(B), VPe>0 tels que 0<P(U)<1, [^(P,U)]m soit i®m-complète. Alors, si (p est étendu, il est de degré strictement supérieur à m. IV. CONDITIONNEMENT PAR RAPPORT À UNE STATISTIQUE LOCALEMENT EXAUSTIVE. — Soit S une statistique définie sur (E, âg) et à valeurs dans un espace mesurable (F, <€). DÉFINITION 3. — On dit que S est B-exhaustive si pour tout Pe^, S est exhaustive dans le modèle (E, M, 9>(P, Bc)). PROPOSITION 6. — Le modèle considéré est (E, Se, <g)®tt où 3P est dominé par une mesure positive finie. Soit B un borélien propre de E et x0eBc. La statistique S = (SU, ..., S„) à valeurs dans (E, ^)®n définie par S;=X; si XteBet S,=x0 sinon (on censure les observations tombées dans Bc) est B"-exhaustive. On note 3SS la tribu engendrée par S. Les variables aléatoires indépendantes X1; ..., Xn sont supposées de même loi Q inconnue appartenant à un ensemble 0* de probabilités sur (U, ^JJ) et cp : 3P -y R est un paramètre localisé par un fermé F# U. On se fixe un ouvert propre U appartenant à &g(F) et une probabilité Pe^ 9 telle que P(Uc)>0. Dans les applications cette probabilité proviendra en général d'une pré-estimation ou d'une information a priori. On se donne un estimateur d'ordre n de la forme T (X 1; ..., Xn) = £ K; (Xt) i=l du paramètre cp(Q), où les (K,)^,-^,, (qui dépendent de n) sont des fonctions de IR dans IR -intégrables. PROPOSITION 7. — La statistique
statistique S = (SU, ..., S„) à valeurs dans (E, ^)®n définie par S;=X; si XteBet S,=x0 sinon (on censure les observations tombées dans Bc) est B"-exhaustive. On note 3SS la tribu engendrée par S. Les variables aléatoires indépendantes X1; ..., Xn sont supposées de même loi Q inconnue appartenant à un ensemble 0* de probabilités sur (U, ^JJ) et cp : 3P -y R est un paramètre localisé par un fermé F# U. On se fixe un ouvert propre U appartenant à &g(F) et une probabilité Pe^ 9 telle que P(Uc)>0. Dans les applications cette probabilité proviendra en général d'une pré-estimation ou d'une information a priori. On se donne un estimateur d'ordre n de la forme T (X 1; ..., Xn) = £ K; (Xt) i=l du paramètre cp(Q), où les (K,)^,-^,, (qui dépendent de n) sont des fonctions de IR dans IR -intégrables. PROPOSITION 7. — La statistique S est J"-exhaustive dans le modèle (R", 3ê^, 3?®") et n £ (K,(X,) lXjeu + m i (P) Ix,^) est une version (dont on fera choix dans la suite) de Ea|B(T(X1, ..., Xn)). m,(P) désigne la valeur moyenne de K, sur Uc pour la probabilité P: /n;(P) = [P(Uc)]_ 1 K,-dP. Ju* Cette quantité sera notée m(P) quand elle sera indépendante de ie 1, n. Soit L: xU-> R+ une fonction de perte qui soit telle que VQe^ 9, L(Q, .) soit convexe. Le risque associé à l'estimateur T, lorsque la loi des observations est Q, est noté R (Q, T). La proposition suivante résulte du théorème de Rao-Blackwell : PROPOSITION 8. Si Qe>0 et Q®n |(uT=P®" |(U»)C, alors R (Q, Ea,|n(T))^R(Q,T). V. RISQUE QUADRATIQUE DE L'ESTIMATEUR CONDITIONNÉ. — On suppose que Viel, n, K? est ^-intégrable et on pose L(Q, r)=(cp(Q)—r) 2. Nous noterons E l'espérance de l'estimateur conditionné lorsque la loi commune des observations est Q, V sa variance et R son risque quadratique. Les notations E0, V0 et R0 seront relatives à l'estimateur T. PROPOSITION 9 : PROPOSITION 10. — Comparaison des biais et des variances : et : COROLLAIRE 4 : On en déduit une minoration