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association morale, comme un groupe de personnes unies dans un mutuel sentiment d'indulgence et d'assistance, de sacrifice et de perfectionnement. » On se gardera de condamner cette protection si l'on songe enfin à la solidarité naturelle qui lie entre eux les membres de l'humanité. Leur intérêt, vu l'infirmité de leur nature et les risques de toute sorte auxquels ils sont exposés, leur commande, dit M. de Molinari, « de s'assister les uns les autres, car cette assistance constitue à l'avantage commun une assurance contre les risques individuels ». Étant donnés 1° un carré géométrique divisé au moyen de parallèles horizontales et verticales en un nombre déterminé de petits carrés, et 2° une progression arithmétique, si on dispose les termes de la progression dans les carrés de telle manière que la somme des nombres inscrits dans chaque bande horizontale, verticale ou diagonale de cases soit égale à un nombre constant, on obtient un carré magique. Si la somme des nombres n'est égale que dans les rangées verticales et horizontales et qu'elle diffère dans l'une des rangées diagonales ou dans chacune d'elles, le carré n'est plus que semi-magique. Cette distinction se présente fréquemment dans les permutations dont les carrés sont susceptibles. Les carrés magiques sont pairs ou impairs. Sont impairs tous les carrés qui ont pour racine un nombre impair. Les carrés pairs se subdivisent en deux catégories : ils sont pairs pairement ou pairs impairement. Les carrés pairement pairs sont ceux dont le facteur 2 de la racine est multiplié par un nombre pair; les impairement pairs, ceux dont le même facteur 2 est multiplié par un nombre impair. Le carré dont la racine est 6 est impairement pair. Un carré magique quelconque peut subir diverses transformations au moyen desquelles on obtient des solutions différentes sans lui faire perdre ses propriétés. Il y a des transformations communes à tous les carrés. Tout carré est susceptible de recevoir huit positions différentes; tout carré est sujet à révolution, c'est-à-dire qu'on peut faire mouvoir, sur un plan donné, tous les nombres autour d'une axe, une diagonale par exemple. Il y a, en outre, des
carrés magiques sont pairs ou impairs. Sont impairs tous les carrés qui ont pour racine un nombre impair. Les carrés pairs se subdivisent en deux catégories : ils sont pairs pairement ou pairs impairement. Les carrés pairement pairs sont ceux dont le facteur 2 de la racine est multiplié par un nombre pair; les impairement pairs, ceux dont le même facteur 2 est multiplié par un nombre impair. Le carré dont la racine est 6 est impairement pair. Un carré magique quelconque peut subir diverses transformations au moyen desquelles on obtient des solutions différentes sans lui faire perdre ses propriétés. Il y a des transformations communes à tous les carrés. Tout carré est susceptible de recevoir huit positions différentes; tout carré est sujet à révolution, c'est-à-dire qu'on peut faire mouvoir, sur un plan donné, tous les nombres autour d'une axe, une diagonale par exemple. Il y a, en outre, des transformations particulières à certaines catégories de carrés. C'est à tort que l'on a considéré les opérations qui s'effectuent sur les croix, les châssis, les cubes, les cercles, les parallélogrammes, les parallélipipèdes comme des modes de transformation du carré magique. Les conditions du problème sont différentes; il est permis d'y voir seulement quelques analogies. Les transformations s'effectuent de deux manières : 1° par la rupture des carrés, et 2° par la permutation des rangées et des nombres. Les procédés de construction déterminent les catégories. Au-dessus des carrés de 9 et de 16 termes, nous remarquons deux catégories : les carrés simples et les carrés encadrés. Les carrés simples peuvent être diaboliques ou semi-diaboliques. Outre la propriété essentielle de produire une somme constante par chaque rangée de termes verticale, horizontale et diagonale, commune à tous les carrés magiques, le carré diabolique, ainsi qualifié par M. Lucas, professeur au lycée Saint-Louis, jouit de la propriété secondaire de subir la transposition de droite à gauche, de gauche à droite, de haut en bas et de bas en haut de n'importe quel nombre de ses bandes. Lorsqu'on ne peut faire permuter que les bandes horizontales seules ou les bandes verticales, le carré n'est plus que
seulement quelques analogies. Les transformations s'effectuent de deux manières : 1° par la rupture des carrés, et 2° par la permutation des rangées et des nombres. Les procédés de construction déterminent les catégories. Au-dessus des carrés de 9 et de 16 termes, nous remarquons deux catégories : les carrés simples et les carrés encadrés. Les carrés simples peuvent être diaboliques ou semi-diaboliques. Outre la propriété essentielle de produire une somme constante par chaque rangée de termes verticale, horizontale et diagonale, commune à tous les carrés magiques, le carré diabolique, ainsi qualifié par M. Lucas, professeur au lycée Saint-Louis, jouit de la propriété secondaire de subir la transposition de droite à gauche, de gauche à droite, de haut en bas et de bas en haut de n'importe quel nombre de ses bandes. Lorsqu'on ne peut faire permuter que les bandes horizontales seules ou les bandes verticales, le carré n'est plus que semi-diabolique. Cette distinction résulte des calculs mis au jour par un ingénieur russe, M. Frolow. Les carrés encadrés, aussi appelés carrés à enceinte ou à bordure, sont dus à un procédé spécial de construction. Le carré encadré est celui dont on peut détacher les deux bandes verticales et les deux bandes horizontales extérieures, c'est-à-dire une bordure, un cadre, ou successivement l'une après l'autre plusieurs bordures, jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un carré de 9 ou de 16 cases. Le cadre ou les cadres successivement détachés et le carré central, ou carreau magique, possèdent, indépendamment l'un de l'autre, les propriétés magiques et ils les conservent par conséquent lorsqu'on les sépare. Les carrés de 25 et de 36 termes peuvent donner un encadrement; ceux de 49 et de 64, deux; ceux de 81 et de 100, trois, et ainsi de suite. On peut construire, au moyen des encadrements, plus d'un millier de carrés magiques de 6. La rupture et les permutations des rangées et des nombres permettent d'effectuer des opérations plus ou moins ingénieuses et compliquées: 1° De transformer en carrés magiques des carrés semi-magiques; en carrés diaboliques des carrés semi-diaboliques; 2° De tirer d'un carré donné un nombre déterminé de
bandes horizontales extérieures, c'est-à-dire une bordure, un cadre, ou successivement l'une après l'autre plusieurs bordures, jusqu'à ce qu'il ne reste plus qu'un carré de 9 ou de 16 cases. Le cadre ou les cadres successivement détachés et le carré central, ou carreau magique, possèdent, indépendamment l'un de l'autre, les propriétés magiques et ils les conservent par conséquent lorsqu'on les sépare. Les carrés de 25 et de 36 termes peuvent donner un encadrement; ceux de 49 et de 64, deux; ceux de 81 et de 100, trois, et ainsi de suite. On peut construire, au moyen des encadrements, plus d'un millier de carrés magiques de 6. La rupture et les permutations des rangées et des nombres permettent d'effectuer des opérations plus ou moins ingénieuses et compliquées: 1° De transformer en carrés magiques des carrés semi-magiques; en carrés diaboliques des carrés semi-diaboliques; 2° De tirer d'un carré donné un nombre déterminé de nouveaux carrés; Et 3° de tomber dans le vague avec un carré indéterminé, sorte de carré innommé entre les diaboliques et les semi-diaboliques, et que l'on pourrait qualifier de satanique ou d'infernal pour ne pas s'écarter de la logique métaphorique. Si l'on considère les carrés au point de vue de l'intérêt qu'ils présentent, on remarque que les plus curieux sont les carrés de 4. Frénicle a démontré qu'il en existe 8801. On a cru en découvrir un plus grand nombre, mais on ne les a pas positivement démontrés. Ceux qui présentent, après eux, les propriétés les plus remarquables sont les carrés de 5. Les carrés magiques jouissent enfin d'une dernière propriété à peu près inconnue, le plus souvent négligée et très curieuse, celle de produire, par la direction des termes consécutifs de la progression, une figure géométrique souvent d'une parfaite harmonie. Ces développements, ces entrelacements linéaires, conduits dans le sens de la progression, constituent la description graphique du carré magique, description qui peut servir à déterminer, sans le secours des chiffres, la nature d'un carré donné ou à vérifier l'exactitude du procédé de construction. Enfin, une dernière singularité ressort des expériences que nous avons faites sur le terrain de la
l'intérêt qu'ils présentent, on remarque que les plus curieux sont les carrés de 4. Frénicle a démontré qu'il en existe 8801. On a cru en découvrir un plus grand nombre, mais on ne les a pas positivement démontrés. Ceux qui présentent, après eux, les propriétés les plus remarquables sont les carrés de 5. Les carrés magiques jouissent enfin d'une dernière propriété à peu près inconnue, le plus souvent négligée et très curieuse, celle de produire, par la direction des termes consécutifs de la progression, une figure géométrique souvent d'une parfaite harmonie. Ces développements, ces entrelacements linéaires, conduits dans le sens de la progression, constituent la description graphique du carré magique, description qui peut servir à déterminer, sans le secours des chiffres, la nature d'un carré donné ou à vérifier l'exactitude du procédé de construction. Enfin, une dernière singularité ressort des expériences que nous avons faites sur le terrain de la description graphique. Un carré magique étant donné, on peut toujours tirer de celui-ci un carré différent par la disposition des termes, mais présentant les mêmes propriétés magiques et se décrivant par une figure identique. Cette observation à établir que tout carré magique dont la racine est supérieure à 3 a son correspondant magique. Telle est la théorie très abrégée de cette opération. On trouvera ailleurs les applications variées des règles que nous avons essayé de formuler ; on ne trouvera pas les formules. Cette théorie présentée sous la forme d'un traité méthodique et complet n'existe pas. L'histoire des carrés magiques est aussi incomplète que la théorie de ce problème est imparfaite. Le premier traité connu est celui d'Emmanuel Moschopule, scoliaste né en Crète, en 1392, selon quelques biographes, et dont les œuvres furent imprimées à Bâle en 1540. Mais on n'est pas sûr que ce traité n'appartienne pas à un autre Emmanuel Moschopule, neveu du précédent. Celui-ci serait né à Byzance, d'où il émigra pour aller en Italie vers 1453. Ce qui est certain, c'est que La Hire traduisit en latin le traité de Moschopule et le présenta à l'Académie des sciences en 1691. En 1544, quatre ans après l'édition
son correspondant magique. Telle est la théorie très abrégée de cette opération. On trouvera ailleurs les applications variées des règles que nous avons essayé de formuler ; on ne trouvera pas les formules. Cette théorie présentée sous la forme d'un traité méthodique et complet n'existe pas. L'histoire des carrés magiques est aussi incomplète que la théorie de ce problème est imparfaite. Le premier traité connu est celui d'Emmanuel Moschopule, scoliaste né en Crète, en 1392, selon quelques biographes, et dont les œuvres furent imprimées à Bâle en 1540. Mais on n'est pas sûr que ce traité n'appartienne pas à un autre Emmanuel Moschopule, neveu du précédent. Celui-ci serait né à Byzance, d'où il émigra pour aller en Italie vers 1453. Ce qui est certain, c'est que La Hire traduisit en latin le traité de Moschopule et le présenta à l'Académie des sciences en 1691. En 1544, quatre ans après l'édition de Bâle, parut à Nuremberg l'Arithmetica intégra de Stifels. Ce moine saxon, qui devint pasteur luthérien, fut un des grands mathématiciens de son temps. « On fabrique tous les jours, écrit-il, des traités d'arithmétique, mais ils sont tous incomplets, imparfaits: Quotidie plures novi gignuntur. Nullum vidi qui integram artem traderet, » et il composa ex professo un traité complet, et rempli, selon le mot du président de Thou, « de ce qu'il y a de plus beau dans la science des nombres. » On ignore aujourd'hui qu'il y a dans ce livre, alors si estimé, une théorie des carrés magiques, suite naturelle des progressions arithmétiques ; une méthode pour la construction des carrés impairs, comme dans le Moschopoulos, et une méthode pour la construction des carrés pairs comme il n'en existait pas ailleurs. Les savants de tous pays firent au traité de Stifels un accueil digne de ses mérites. Ce traité, en effet, était plein de germes féconds. L'Écossais Napier en cueillit les premiers fruits au chapitre Tractatio regularum Cossoe quas Algébroe vocant; il y trouva toute la Rhabdologie, et tandis que chacun appliquait la Rhabdologie, selon l'étendue de ses connaissances, à quelque invention numérale, Fermat l'appliquait au jeu des
» et il composa ex professo un traité complet, et rempli, selon le mot du président de Thou, « de ce qu'il y a de plus beau dans la science des nombres. » On ignore aujourd'hui qu'il y a dans ce livre, alors si estimé, une théorie des carrés magiques, suite naturelle des progressions arithmétiques ; une méthode pour la construction des carrés impairs, comme dans le Moschopoulos, et une méthode pour la construction des carrés pairs comme il n'en existait pas ailleurs. Les savants de tous pays firent au traité de Stifels un accueil digne de ses mérites. Ce traité, en effet, était plein de germes féconds. L'Écossais Napier en cueillit les premiers fruits au chapitre Tractatio regularum Cossoe quas Algébroe vocant; il y trouva toute la Rhabdologie, et tandis que chacun appliquait la Rhabdologie, selon l'étendue de ses connaissances, à quelque invention numérale, Fermat l'appliquait au jeu des carrés magiques et des nombres planétaires dont le mystère hantait sa sagesse, la ravissait et la troublait. Mais il y avait, dans cet art, un mathématicien qui n'était pas moins habile, Frénicle qui consacra quarante ans à le perfectionner. Les travaux de M. de Frénicle sont connus ; on les trouvera dans les Mémoires de l'Académie des sciences. Ils furent très appréciés à l'étranger ; nous en voyons la preuve dans les Acta eruditorum, du mois de mars 1675. Assurément, Frénicle est un des hommes qui ont le mieux connu les propriétés abstruses et transcendantes des nombres, mais il ne convient pas de lui attribuer l'invention des carrés à bordure. Il est, à cet égard, un des nombreux héritiers de Stifels qui, le premier, a imaginé le procédé du sectionnement des carrés en enceintes, per ambitum. On voit dans Stifels, écrit Mollweide, les carrés qu'on appelle en France carrés à bordure. Mais nous avons la preuve que Mollweide, le seul mathématicien qui ait signalé ce fait, n'est pas mieux connu que Stifels ; la réputation de Frénicle s'en est accrue. Il ne convient pas non plus de déprécier Frénicle, comme l'a fait Saverien dans son dictionnaire des mathématiques, parce que
trouvera dans les Mémoires de l'Académie des sciences. Ils furent très appréciés à l'étranger ; nous en voyons la preuve dans les Acta eruditorum, du mois de mars 1675. Assurément, Frénicle est un des hommes qui ont le mieux connu les propriétés abstruses et transcendantes des nombres, mais il ne convient pas de lui attribuer l'invention des carrés à bordure. Il est, à cet égard, un des nombreux héritiers de Stifels qui, le premier, a imaginé le procédé du sectionnement des carrés en enceintes, per ambitum. On voit dans Stifels, écrit Mollweide, les carrés qu'on appelle en France carrés à bordure. Mais nous avons la preuve que Mollweide, le seul mathématicien qui ait signalé ce fait, n'est pas mieux connu que Stifels ; la réputation de Frénicle s'en est accrue. Il ne convient pas non plus de déprécier Frénicle, comme l'a fait Saverien dans son dictionnaire des mathématiques, parce que Frénicle a fait pendant quarante ans de l'arithmétique per longum et latum et diagonaliter, c'est-à-dire des carrés magiques. C'est ne pas comprendre la portée arithmétique de cette opération. Saverien la dédaignait parce qu'il n'en saisissait pas bien le mécanisme, malgré tout le soin qu'il apporte, dans un long article, à vouloir paraître aussi exercé que compétent. Il était excusable ; tout le monde jugeait ainsi le problème au dix-huitième siècle. Mais il ne nous persuadera pas, parce qu'il ne forme les constructions de M. Frénicle « qu'en tâtonnant », que ces constructions « ne sont point démontrées. » Nous savons aujourd'hui, après les travaux de M. de Vielle, de M. Lucas et de M. Frolow, que les 880 carrés de 16 termes sont parfaitement démontrables et démontrés. La réputation de Frénicle, de ce chef, reste intacte. Un autre mathématicien aussi distingué que Frénicle a joui, au point de vue qui nous occupe, d'une réputation plus étendue, plus durable et moins légitime. Bachet de Méziriac n'a pas poussé aussi loin l'étude des carrés magiques; mais c'était un aimable savant, un peu poète, et qui trouva l'opération « plaisante et délectable. » C'est sous ce titre : « Problèmes plaisants et délectables
vouloir paraître aussi exercé que compétent. Il était excusable ; tout le monde jugeait ainsi le problème au dix-huitième siècle. Mais il ne nous persuadera pas, parce qu'il ne forme les constructions de M. Frénicle « qu'en tâtonnant », que ces constructions « ne sont point démontrées. » Nous savons aujourd'hui, après les travaux de M. de Vielle, de M. Lucas et de M. Frolow, que les 880 carrés de 16 termes sont parfaitement démontrables et démontrés. La réputation de Frénicle, de ce chef, reste intacte. Un autre mathématicien aussi distingué que Frénicle a joui, au point de vue qui nous occupe, d'une réputation plus étendue, plus durable et moins légitime. Bachet de Méziriac n'a pas poussé aussi loin l'étude des carrés magiques; mais c'était un aimable savant, un peu poète, et qui trouva l'opération « plaisante et délectable. » C'est sous ce titre : « Problèmes plaisants et délectables » qu'il la rendit accessible à tous, qu'il la vulgarisa en 1612. L'ouvrage eut beaucoup de succès ; une deuxième édition parut en 1624. L'auteur en fut surpris : « C'est chose de si peu de conséquence, dit-il, et de si peu d'utilité. » Si peu d'utilité ! Stifels avait dit : Mirabilis transpositio terminorum progressionum arithmeticarum, admirable transposition des nombres, immense champ d'induction, ou travaillaient les mathématiciens les plus graves ; travail inutile ! Selon Bachet, le problème est simplement amusant, très récréatif si on le fait rapidement et tout à fait divertissant en société. Bachet a une excuse : il avait appris les carrés magiques dans le livre d'un rêveur, d'un alchimiste magicien, de Corneille Agrippa. Il a une excuse meilleure : celle d'avoir inventé, en se jouant, le procédé graphique dont nous avons parlé et qui fait ressortir d'une si surprenante manière l'harmonie du nombre et de l'étendue. A partir de ce moment se forme un double courant, le courant récréatif et le courant scientifique. Ceux qui suivent le premier, dans le sillage de Fermat, de Frénicle, de Viète, de Descartes, ne sont pas nombreux. L'abbé Poignard, de Bruxelles, appliqua, d'après Stifels, les progressions géométriques à la
dit : Mirabilis transpositio terminorum progressionum arithmeticarum, admirable transposition des nombres, immense champ d'induction, ou travaillaient les mathématiciens les plus graves ; travail inutile ! Selon Bachet, le problème est simplement amusant, très récréatif si on le fait rapidement et tout à fait divertissant en société. Bachet a une excuse : il avait appris les carrés magiques dans le livre d'un rêveur, d'un alchimiste magicien, de Corneille Agrippa. Il a une excuse meilleure : celle d'avoir inventé, en se jouant, le procédé graphique dont nous avons parlé et qui fait ressortir d'une si surprenante manière l'harmonie du nombre et de l'étendue. A partir de ce moment se forme un double courant, le courant récréatif et le courant scientifique. Ceux qui suivent le premier, dans le sillage de Fermat, de Frénicle, de Viète, de Descartes, ne sont pas nombreux. L'abbé Poignard, de Bruxelles, appliqua, d'après Stifels, les progressions géométriques à la construction des carrés magiques; La Hire cultiva le vieux domaine délaissé de Maschopule; Mersenne écrivit De combinationibus et earum utilitate; Sauveur étudia les carrés sous tous leurs aspects et en développa les applications sur les croix, les cercles et les cubes; le P. Kochanski effectua des opérations semblables et aussi étendues, pour l'instruction du roi de Pologne, son élève; Malezieu s'exerça sur les théories de Frénicle; Pajot d'Onsen-Bray inventa une méthode pour construire tel carré magique qu'il plairait; des Ours a mis à profit toutes les recherches de ses devanciers; et Charles-Brandon Mollweide, professeur à l'Université de Leipzig, a écrit : De quādrātis magicis commentatiō, le traité le plus savant, le plus obscur, le plus complet et le plus inconnu que nous ayons trouvé sur cette question; il fut publié à Leipzig en 1816. Dans le courant récréatif où l'on n'inventa rien, il y eut aussi des mathématiciens distingués et des philosophes; Leibniz, par exemple, et son ami Jacques Bernoulli, qui a cependant si clairement exposé la théorie des combinaisons dans l'Ars conjectandi; Euler, qui s'est rapproché bien souvent par ses ingénieuses trouvailles du courant opposé, comme Sauveur se rapprocha de celui-ci par ses découragements et ses regrets de n'avoir
étendues, pour l'instruction du roi de Pologne, son élève; Malezieu s'exerça sur les théories de Frénicle; Pajot d'Onsen-Bray inventa une méthode pour construire tel carré magique qu'il plairait; des Ours a mis à profit toutes les recherches de ses devanciers; et Charles-Brandon Mollweide, professeur à l'Université de Leipzig, a écrit : De quādrātis magicis commentatiō, le traité le plus savant, le plus obscur, le plus complet et le plus inconnu que nous ayons trouvé sur cette question; il fut publié à Leipzig en 1816. Dans le courant récréatif où l'on n'inventa rien, il y eut aussi des mathématiciens distingués et des philosophes; Leibniz, par exemple, et son ami Jacques Bernoulli, qui a cependant si clairement exposé la théorie des combinaisons dans l'Ars conjectandi; Euler, qui s'est rapproché bien souvent par ses ingénieuses trouvailles du courant opposé, comme Sauveur se rapprocha de celui-ci par ses découragements et ses regrets de n'avoir rien trouvé; Ozanam, qui s'égaya sur cette matière, suivant l'expression de Saverien, et Saverien lui-même, pour qui le sujet est tellement usé et si frivole qu'il ne s'y arrête pas; enfin, les Encyclopédistes, malgré la collaboration de Rallier des Oursmes et la foule. De nos jours l'enseigne n'a pas changé; mais, sous la même enseigne, on pratique l'éclectisme; il y a profit et distraction. Au fond, les travaux de M. Violle, de M. Labosne, de M. Lucas, de M. Frolow, malgré les doutes qu'ils laissent subsister encore sur l'utilité pratique de ce problème, ont rajeuni l'idée qui hantait les cerveaux géométriques du seizième siècle. C'est que sous ce calcul germe peut-être quelque utile découverte; ne serait-ce pas là cette magie à laquelle il doit son nom et dont le secret a disparu? III. Pourquoi dit-on le carré magique? Frustra magicum appellant, répond le P. Mersenne. Il est vrai; nous en avons étudié la théorie, nous en avons suivi le développement historique et nous n'avons trouvé, sur ce sentier battu, aucun indice magique. C'est qu'il faut aller plus loin, beaucoup plus loin. Les Encyclopédies, les dictionnaires spéciaux disent que l'origine du carré magique remonte à la plus lointaine antiquité et que