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deviennent de même, en écrivant encore que les vitesses des rayons elliptiques gauche et droit égales deviennent inégales, et pour se placer dans les mêmes conditions que le fit Airy supposant l'angle d'incidence assez petit pour que = 1 et q'= 1 sensiblement C'est notre théorie, et l'on voit qu'elle est aussi simple que celle de Fresnel, sous l'incidence normale, avec laquelle elle s'identifie dans les azimuths == 0 et i = 1. On voit de plus que nous sommes certain d'avoir tenu compte des deux propriétés du quartz la biréfringence et le pouvoir rotatoire. Nous pouvons maintenant apprécier la
biréfringence et le pouvoir rotatoire. Nous pouvons maintenant apprécier la théorie d'Airy. Faisons == 7~ '= '== ?'t, nous aurons Ce sont les équations d'Airy à la sortie du cristal. On voit par là qu'en partant, comme on est en droit de le faire, de deux rayons polarisés elliptiquement, substitués au rayon polarisé rectilignement, on ne peut retrouver les formules d'Airy qu'en admettant une chose absolument inexacte, à savoir que ? = ?'= ?'~ c'est-à-dire que dans (C) la vitesse de propagation d'un rayon ordinaire est égale à celle d'un rayon extraordinaire. Comme les expressions des coordonnées des ellipses d'Airy
rayon extraordinaire. Comme les expressions des coordonnées des ellipses d'Airy varient suivant les coordonnées adoptées par les auteurs, il est important de montrer que les précédentes sont bien celles auxquelles on arrive dans la théorie d'Airy, avec les coordonnées et les formules que nous avons adoptées. Celui-ci, en effet, remplace à l'entrée le mouvement incident X == sin o) dans un cristal dextrogyre par deux étapes droite (ordinaire) et gauche (extraordinaire), savoir, dans notre système de coordonnées sans spécifier encore si k A' = sin(Mi) et ~ = M sin(Mi) v) = (? cos (M - ~) + 7/ ==
v) = (? cos (M - ~) + 7/ == – t' cos (mi - ~). Étant perpendiculaire à la section principale et J/ parallèle à celle-ci, comme l'indique la figure de la page 767. Ces quatre mouvements devant reproduire le mouvement incident, désignant l'angle de avec ox, ou de t avec oP, on a dans notre système de coordonnées, d'après Airy x = (i + y) cos t + (r + y) sin t = 0 et à la sortie, on devra remplacer d'après Airy, dans les deux premières équations, wt t par M - y, dans les deux
équations, wt t par M - y, dans les deux dernières M y par M y. On retrouve donc bien ainsi les équations (D") auxquelles nous sommes arrivé précédemment et qu'on ne pouvait obtenir, comme nous l'avons montré, qu'en faisant une hypothèse absolument inexacte. Ainsi, l'ensemble des raisonnements faits par Airy et que nous venons de reproduire, admis jusqu'ici par tous les physiciens, reposait sur une hypothèse absolument fausse, qui consistait à n'admettre que deux rayons elliptiques à l'entrée, alors que ses propres formules en indiquaient quatre, les expressions v ne pouvant être considérées comme représentant des différences de phase
ne pouvant être considérées comme représentant des différences de phase avec le mouvement vibratoire incident, puisque celles-ci sont indépendantes du temps, comme le montrent les équations de condition résolues. Du reste, jamais, dans la lumière incidente polarisée rectilignement, de pareilles différences de phase n'ont été admises quand celle-ci est remplacée par deux rayons ordinaire et extraordinaire, comme nous l'avons déjà rappelé, et, du reste, les propres formules d'Airy le montrent nettement à l'entrée pour t = 0. Celles-ci donnent, en effet a', b' étant, d'après la figure ci-dessus, sur le plan primitif de polarisation PP', c'est-à-dire ne présentant, comme cela
plan primitif de polarisation PP', c'est-à-dire ne présentant, comme cela doit être, aucune différence de phase avec le rayon incident, aussi bien dans la théorie de Fresnel que dans la nôtre, comme on peut en juger par les figures ci-contre. Ne sachant comment justifier la présence des coefficients dans les expressions des deux ellipses d'Airy, certains auteurs pensent que ces coefficients ont été introduits pour permettre d'écrire que les ellipses se propagent sans altération dans le cristal. Or il est facile de voir que cette interprétation est inexacte, car les équations de condition à l'aide desquelles on détermine v, ne
équations de condition à l'aide desquelles on détermine v, ne se vérifient qu'à l'entrée. Aussi ces quantités sont-elles indépendantes du temps, et, par conséquent, les ellipses ne sont à aucun moment considérées dans leur propagation dans le cristal. La seule manière rationnelle qui resterait pour faire accepter l'introduction de ces différences de phase avec le mouvement vibratoire incident, alors que Fresnel ne les a pas introduites dans ses rayons circulaires sous l'incidence normale, consisterait à dire que Fresnel rapportait les équations de ses cercles au plan primitif de polarisation, tandis qu'ici les ellipses sont rapportées à d'autres axes; par suite,
qu'ici les ellipses sont rapportées à d'autres axes; par suite, qu'il y a lieu de prévoir dans le cas le plus général une modification dans la manière de traiter le problème par suite de ce changement d'axe. Mais alors aucune différence de phase ne saurait être admise pour les rayons incidents polarisés parallèlement ou perpendiculairement à la section principale. Ce fait posé, si l'on se reporte aux équations (E), auxquelles Airy arrive à l'entrée, on voit que celles-ci donnent Donc, d'après les propres équations de condition d'Airy, on peut dire qu'à l'entrée le mouvement vibratoire incident sin x revient encore
qu'à l'entrée le mouvement vibratoire incident sin x revient encore tout d'abord à deux mouvements vibratoires rectilignes parallèle et perpendiculaire à la section principale du cristal. Par suite, d'après la propre hypothèse d'Airy sur la manière dont se décompose tout mouvement vibratoire incident, chacun donnera une ellipse gauche et droite, c'est-à-dire en tout quatre ellipses, et l'hypothèse d'Airy de deux ellipses seulement ne sera exacte que si, à chaque instant, à l'entrée comme à la sortie du cristal, les quatre ellipses précédentes se réduisent toujours à deux ellipses seulement. Pour bien faire comprendre ce point, traitons le problème sous l'incidence
bien faire comprendre ce point, traitons le problème sous l'incidence normale d'après la manière de faire d'Airy. Les équations des deux ellipses de Fresnel, rapportées à des axes faisant un angle avec le plan primitif de polarisation, seraient Ces équations ne sont autre chose que les équations (E) dans lesquelles A = A' = 1 et k = CeLes-ci reviennent encore à Si nous considérons ces derniers mouvements vibratoires polarisés rectilignement, comme nous sommes en droit de le faire, chacun de ceux-ci sera remplacé, d'après l'hypothèse de Fresnel, par un cercle droit et gauche, savoir les quatre cercles suivants Par
cercle droit et gauche, savoir les quatre cercles suivants Par conséquent, l'hypothèse de Fresnel de deux seuls rayons circulaires droit et gauche seulement sera pleinement justifiée si, à sortie du cristal comme à l'entrée, les quatre rayons circulaires précédents peuvent toujours se ramener à deux seulement. À l'entrée, on reconnait immédiatement que 1, 2, 3, 4, donnent (E'), savoir: À la sortie, il est facile de voir qu'il en sera de même. En effet, les mouvements vibratoires cos f sin N~, sin sin s'exécutent dans un plan perpendiculaire à l'axe du cristal; donc les mouvements circulaires qui leur sont substitués
du cristal; donc les mouvements circulaires qui leur sont substitués sont dans un même plan. Par suite, 1 et 3 de même sens rotatoire auront même vitesse de propagation, de même 2 et 4; de sorte qu'à la sortie 1 et 3 donneront encore un rayon circulaire droit Donc l'hypothèse de Fresnel sous l'incidence normale est parfaitement justifiée, parce que les quatre circulaires 1, 2, 3, 4, établis conformément à cette hypothèse, peuvent toujours se ramener à deux à l'entrée comme à la sortie du cristal. Il n'en est plus de même sous l'incidence oblique avec l'hypothèse d'Airy. Lorsque l'on
de même sous l'incidence oblique avec l'hypothèse d'Airy. Lorsque l'on remplace les mouvements vibratoires déduits des propres formules d'Airy, cos i sin !.j/, sin i sin M<, chacun par une ellipse droite et gauche, conformément à l'hypothèse d'Airy, on a les ellipses 1,2, 3, 4, données par nos figures. À l'entrée, les ellipses 1 (0) et 3 (E) peuvent évidemment donner l'ellipse 0 d'Airy et les ellipses 2 (0) et 4 (E) l'ellipse E d'Airy. Mais il n'en est plus de même à la sortie. En effet, les ellipses 1 et 2 sont dans un plan perpendiculaire à la direction
et 2 sont dans un plan perpendiculaire à la direction du rayon ordinaire cos i sin "<", qui se propagerait si le cristal ne possédait pas le pouvoir rotatoire, les ellipses 3 et 4 dans un plan perpendiculaire à celle du rayon extraordinaire sin i sin ";". Donc les rayons elliptiques 1 (0) et 3 (E), quoique de même sens rotatoire, se propagent avec des vitesses inégales, parce qu'ils n'ont pas la même direction dans l'espace. De même, les rayons elliptiques 2 (0) et 4 (E). Par conséquent, à la sortie, les quatre rayons elliptiques déduits des propres hypothèses d'Airy
sortie, les quatre rayons elliptiques déduits des propres hypothèses d'Airy ne peuvent se ramener à deux rayons, comme à l'entrée. Donc l'hypothèse d'Airy de deux rayons elliptiques seulement était inexacte. Et l'on voit pourquoi il avait ajouté sans justification les coefficients j~, v dans ses formules initiales, ce qui était une façon détournée d'introduire quatre rayons elliptiques tout en déclarant n'en admettre que deux, et rendre malgré cela possible le problème. L'examen des figures va nous permettre de mettre encore en défaut la théorie d'Airy. Supposons qu'après un chemin infiniment court le cristal perde son pouvoir rotatoire. Il en résultera
court le cristal perde son pouvoir rotatoire. Il en résultera que, sous l'incidence normale et dans la théorie de Fresnel, les deux rayons circulaires a, b redonneront un rayon analogue à c. De même, dans la théorie d'Airy, la figure correspondante montre que a', b' redonnent un rayon analogue à c'. Au contraire, comme dans notre théorie on a dès l'entrée les rayons 1, 2, 3, 4; alors les rayons 1, 2 redonnent un rayon polarisé rectilignement analogue à c', et les rayons 3, 4, un rayon polarisé rectilignement analogue à c°; c'est-à-dire les rayons ordinaire et extraordinaire que l'on
à c°; c'est-à-dire les rayons ordinaire et extraordinaire que l'on doit toujours retrouver quand le cristal biréfringent perd son pouvoir rotatoire. Une dernière remarque. On voit par la figure qui convient à la théorie d'Airy, que le rayon incident est à l'origine du temps remplacé par deux mouvements vibratoires a', b' sur le même plan primitif de polarisation, comme dans la théorie de Fresnel pour les corps monoréfringents, que par suite on ne satisfait pas à la condition fondamentale des cristaux biréfringents d'après laquelle tout mouvement vibratoire incident est à l'origine remplacé par deux mouvements vibratoires dans deux plans rectangulaires;
l'origine remplacé par deux mouvements vibratoires dans deux plans rectangulaires; que dans notre théorie, au contraire, cette condition fondamentale est satisfaite, puisque nous avons 1, 3, rectangulaires entre eux, et 2, 4, de même. Nous avons un ensemble de mouvements qui nous conduisent à regarder comme inexacte la théorie d'Airy; et nous errons plus loin, à propos des cristaux comme le quartz d'itrande qui acquièrent le pouvoir rotatoire dans un champ magnétique, que cette théorie est directement en défaut. Il en résulte qu'elle doit être entièrement refaite, car ce n'est plus seulement une théorie parallèle à celle d'Airy et permettant
plus seulement une théorie parallèle à celle d'Airy et permettant comme celle-ci d'expliquer les phénomènes que l'on observe, que nous apportons aujourd'hui, c'est une théorie qu'il faut substituer à celle admise jusqu'à ce jour. Celle-ci, en effet, pèche par la base, en ne tenant pour ainsi dire pas compte des phénomènes de la double réfraction du quartz. Si l'on s'était donné un cristal monoréfringent doué du pouvoir rotatoire et que l'on eût assigné à ce cristal la propriété de donner normalement à la face d'incidence des rayons circulaires et obliquement à cette face des rayons elliptiques, dont les grands axes
à cette face des rayons elliptiques, dont les grands axes et petits axes seraient parallèles et perpendiculaires au plan d'incidence, on aurait eu la théorie d'Airy. Or, comme la direction des grands axes des ellipses peut être en rapport, sous l'incidence oblique, avec le plan de réflexion, c'est-à-dire avec le plan d'incidence, et comme, par simple réflexion, les rayons incidents polarisés rectilignement deviennent en général polarisés elliptiquement, par suite qu'il serait facile d'expliquer d'une manière analogue la transformation des rayons circulaires en elliptiques dans la réfraction, il en résulte bien que la théorie d'Airy ne convient qu'à un tel cristal
que la théorie d'Airy ne convient qu'à un tel cristal monoréfringent. Peut-on même admettre qu'elle s'applique aux cristaux biréfringents doués du pouvoir rotatoire comme le quartz? Première approximation consiste à supposer que les vitesses de propagation des rayons 1, 3, sont égales, ainsi que celles des rayons 2, 4, auquel cas analytiquement et géométriquement l'ellipse ordinaire d'Airy peut être substituée aux ellipses réelles 1, 3, et l'ellipse extraordinaire d'Airy aux ellipses 4, 2, aussi bien à l'entrée qu'à la sortie du cristal. La comparaison des deux figures le montre nettement. Dès que l'on est un peu écarté de l'axe, la
Dès que l'on est un peu écarté de l'axe, la première approximation, comme les formules le montrent, consiste à admettre que l'on a les seuls rayons elliptiques 1 et 4, et que les autres rayons 2, 3, sont sensiblement polarisés rectilignement. Ce n'est que pour les points très près de l'axe que l'approximation à laquelle conduit la théorie d'Airy peut être admise. En effet, pour ces points, les phénomènes d'interférence disparaissent sensiblement devant les phénomènes de la polarisation rotatoire. Or, pour retrouver les formules d'Airy, il faut supposer que 1 (0) et 3 (E) ont la même vitesse de propagation
(0) et 3 (E) ont la même vitesse de propagation et que 2 (0) et 4 (E) ont aussi la même vitesse, d'où l'on conclut que les deux ellipses d'Airy sont décrites dans le même plan (Airy avait négligé de démontrer, ce qui était fondamental, que ceci n'avait pas lieu). Donc l'inégalité des vitesses est du même ordre de grandeur que celle des rayons gauche et droit sous l'incidence normale. En vain Airy a-t-il décoré ses deux ellipses l'une d'ordinaire, l'autre d'extraordinaire. Aucune ne correspond à cette dénomination, mais chacune est exactement ce que sont les rayons gauche et droit
est exactement ce que sont les rayons gauche et droit sous l'incidence normale, c'est-à-dire ne présentent de différence de vitesse que par ce fait que l'une tourne à gauche et l'autre à droite. En effet, l'ellipse dite ordinaire d'Airy étant substituée aux ellipses 1 et 3, aura donc une vitesse moyenne qui tiendra de 0 et E. De même, l'ellipse dite extraordinaire d'Airy. Donc, la différence de vitesse des deux ellipses d'Airy ne peut être que du même ordre de grandeur que celles que l'on observe sous l'incidence normale et à laquelle sont dus les phénomènes de la polarisation rotatoire.
à laquelle sont dus les phénomènes de la polarisation rotatoire. Airy a fait une tout autre hypothèse sur la différence de marche qui est exacte en elle-même, mais qui ne pouvait convenir à ses deux ellipses, puisque celles-ci, étant dans un même plan, comme nous venons de le démontrer, ont une différence de marche de l'ordre de grandeur des rayons gauche et droit sous l'incidence normale. Or, comme les phénomènes que l'on observe sont des phénomènes d'interférence dus à l'inégalité de vitesses de rayons ordinaires et extraordinaires superposés dans les cristaux perpendiculaires à l'axe, comme ils le seraient dans les
cristaux perpendiculaires à l'axe, comme ils le seraient dans les cristaux parallèles à l'axe; il en résulte que la théorie d'Airy ne saurait être admise même comme une théorie limite de la véritable théorie que nous donnons. Elle doit donc être complètement rejetée. Dans la première partie de notre mémoire, nous n'avons fait aucune hypothèse sur la nature du cristal biréfringent doué du pouvoir rotatoire. Nous avons simplement invoqué les expériences de Jamin, pour en conclure que l'on avait k k'= 1, mais nous n'avons apporté aucune restriction aux valeurs de k. Nous avons, en particulier, admis pour k des
de k. Nous avons, en particulier, admis pour k des valeurs comprises entre 1 et 0, et, dans ces conditions, nous avons eu les figures de la page 1294 pour un cristal lévogyre. On voit, dans ces conditions, que l'ellipse ordinaire parcourue dans le sens de la rotation du cristal a son grand axe perpendiculaire à la section principale du cristal. Les formules 6) et 7), que nous avons données, et les figures de la page 1294, dans lesquelles k resterait compris entre 1 et 0 conviendraient donc à un tel cristal biréfringent doué du pouvoir rotatoire. Il convient maintenant
tel cristal biréfringent doué du pouvoir rotatoire. Il convient maintenant de supposer que k est compris entre 1 et 0, savoir A' entre 1 et 0. Les formules 6) et 7), dans ces conditions, deviendront, en remplaçant /f par – formules dans lesquelles k' sera compris entre 1 et 0, et R = si le cristal est lévogyre, et R = –.– s'il est dextrogyre, les coordonnées étant représentées, dans l'un et l'autre cas, par les figures des pages 1289 et 1290. Les figures correspondantes aux valeurs de A* comprises entre 1 et 0 seront, pour un cristal dextrogyre, celles
entre 1 et 0 seront, pour un cristal dextrogyre, celles que nous avons déjà données pour un cristal lévogyre page 1294, la condition de permuter les lettres a, a' et les chiffres 1,2, pour les ellipses ordinaires, et les lettres A~ et les chiffres 3, 4, pour les ellipses extraordinaires; c'est-à-dire que l'ellipse ordinaire parcourue dans le sens de la rotation du cristal a son grand axe parallèle à la section principale du cristal. Or, pour le quartz, Airy avait admis qu'il en était ainsi, et les expériences de Jamin ont vérifié cette hypothèse. Il en résultera donc que les
ont vérifié cette hypothèse. Il en résultera donc que les formules 8) et 9) et pour i = 45° la figure de la page 713 conviendront au quartz en particulier, et les formules 6) et 7) à un autre cristal biréfringent doué du pouvoir rotatoire dans lequel l'expérience montrerait que le grand axe de l'ellipse ordinaire parcourue dans le sens de la rotation, est perpendiculaire à la section principale du cristal. Rappelons en outre que les formules (C'), dans lesquelles on remplace par S, sont celles qui conviennent à un cristal dextrogyre à la sortie et que l'on a toujours
cristal dextrogyre à la sortie et que l'on a toujours Nous arrivons maintenant à la seconde partie de notre mémoire. Les formules 8) et 9), si compliquées, des images ordinaire et extraordinaire, peuvent se ramener à deux formes très commodes pour la discussion du phénomène sur la plage centrale et à la périphérie, si l'on remarque que l'on a identiquement série convergente si k' voisin de l'unité. Dans ces conditions, l'expression de l'intensité lumineuse pour chaque image s'exprimera sous deux formes distinctes. À la périphérie (k' voisin de 0). Cette dernière valeur a été obtenue en changeant s en s
dernière valeur a été obtenue en changeant s en s -, ce qui permet de passer de la première à la seconde. Telles sont les formules donnant, dans notre théorie, l'intensité lumineuse à la périphérie, lorsque A' est assez petit. En remplaçant cos 2 (R -A) par 1 -sin 2 (R -A), les formules précédentes peuvent encore s'écrire 0 = cos' t -sin 2 sin 2 (t -sin (R -)A.) + y, f, E = sin' < -)sin 2 < sin 2 (< -s) sin (R -)(A.) + 1'. Ces formules ne seront autre chose que celles de la polarisation
formules ne seront autre chose que celles de la polarisation chromatique quand on fera /= 0, c'est-à-dire à une certaine distance de l'axe. La différence de marche est exprimée par R + A. Enfin les formules à la périphérie pourraient encore s'écrire, comme il est facile de le trouver, en remplaçant sin 2 i sin 2 (t-s) par cos' s-cos' (2 i-s) dans les formules ci-dessus 0 = cos' s cos' (R-(A.) + cos' (2 i <) sin' (R + A.) +1' E = sin' cos' (R + A.) + sin' (2 i -s) sin' (R + A.) + y..
sin' (2 i -s) sin' (R + A.) + y.. Ces formules sont donc identiques et pourront être substituées aux formules générales à la périphérie. Voyons maintenant comment celles-ci peuvent être représentées sur la plage centrale. Plage centrale (k' voisin de 1). En remplaçant 2 i' k' k" 1 < /1 i' +. on aura rq~(jT~) +. on aura 0= cos' A. cos(s R) + sin A, cos (2 i + R) + sin A, sin (2 i - s -)R), E = cos A, sin (s – R) + sin A, sin (2 i - s -)R) – I
sin A, sin (2 i - s -)R) – I ~J3 g. Et sous l'incidence rigoureusement normale f' = 1, t = c indéterminé, en désignant par Ro la valeur de la rotation sous cette incidence, on aurait 0 = cos A, cos (s R,) + sin A, cos (2 c – f + R.). Par conséquent, l'expression de l'intensité lumineuse serait indéterminée comme c, à moins que A soit nul sous l'incidence normale. Donc, sous cette incidence, on a: <i+T=s'+-r'. et comme s--r=B' d'après les recherches de Jamin, il en résulte que sous l'incidence rigoureusement normale 3=3', -r=-r'. Par
en résulte que sous l'incidence rigoureusement normale 3=3', -r=-r'. Par suite 0==eos'(s–R.), E=sin'(<–B.). C'est l'expression ordinaire de Fresnel. Comme Ao est nul sous l'incidence rigoureusement normale, on peut admettre que cette quantité est petite pour les rayons obliques, mais voisins de la normale; par suite, pour ceux-ci on a sensiblement, en négligeant les termes d–A'* très petits quand k voisin del: 0 = cos' (~ – R) + A,' cos' (2 < – < + R), E=sin'(s–R)+A,sin'(a<–{-R). Dans la théorie d'Airy, on a dans les mêmes conditions 0=cos'(s–R), E=sin'(<–R). De sorte qu'Airy ne peut, dans sa théorie, faire de distinction
sorte qu'Airy ne peut, dans sa théorie, faire de distinction entre l'intensité lumineuse dans la lumière parallèle et celle que l'on observe dans la lumière peu convergente, qui est celle de la plage centrale. Nous faisons, au contraire, nettement cette distinction, comme nous venons de le voir, tout en retrouvant les formules au centre et à la périphérie. Avant d'examiner les autres cas, en prenant toujours pour la discussion nos formules limites à la périphérie et sur la plage centrale, il convient de montrer que la théorie d'Airy ne permet pas de retrouver en général les formules de la polarisation
pas de retrouver en général les formules de la polarisation chromatique, mais seulement à la distance très particulière de l'axe pour laquelle k'= o. Or si le cristal perd son pouvoir rotatoire, c'est aussi bien suivant l'axe (k'= 1), que près ou loin de l'axe qu'on doit retrouver les formules connues. Pour exprimer que le corps perd son pouvoir rotatoire, la seule façon rationnelle de le faire est d'écrire que sous l'incidence normale les vitesses de propagation des rayons circulaires gauche et droit redeviennent égales, savoir (D') == (D), et sous l'incidence oblique que les vitesses de propagation des rayons
sous l'incidence oblique que les vitesses de propagation des rayons elliptiques gauche et droit redeviennent aussi égales = <p', <p = < savoir (C') = (C). L'expression de l'intensité lumineuse à laquelle nous sommes arrivé pour le quartz devient, si le cristal perd son pouvoir rotatoire y = s, y 5', d'où R = o, et 0 = cos' A, cos' s + sin A cos (21 i s) quelle est l'une des formes de la polarisation chromatique. A la distance particulière pour laquelle <a='o, on arrive encore à une expression analogue, comme nous l'avons vu plus haut, savoir 0