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3° appareil orthogonal. Mais dans le premier de ces appareils, les lignes d'assises forment, avec l'arc de tête, des angles aigus ; dans le second, il en est de même ; seulement les angles sont moins aigus que dans le premier. Et finalement, le troisième est le seul dans lequel les lignes d'assises forment des angles droits avec l'arc de tête. Dans les trois espèces d'appareil, d'ailleurs, les systèmes de lignes qui divisent une assise en voûtes, forment des angles droits avec les lignes d'assises. On le voit, le rapport de la solidité, les trois appareils prennent donc l'ordre inverse
de la solidité, les trois appareils prennent donc l'ordre inverse de celui qu'ils ont pour la facilité d'exécution. Il ne faut pas s'exagérer outre mesure l'inconvénient des angles aigus dans certaines limites, et l'essentiel est que les angles des lignes d'assises soient à peu près droits dans les parties de la voûte qui ont plus à souffrir, c'est-à-dire vers les joints de rupture. Au-dessus de ces joints, et surtout au-dessous, les mouvements sont peu à craindre, et dès lors, il devient moins important d'y avoir des angles parfaitement droits. On conçoit dès lors aussi que, dans ces limites, les diverses
conçoit dès lors aussi que, dans ces limites, les diverses espèces d'appareil doivent être choisies selon leur ordre de simplicité, puisque la solidité n'y perdra pas. Soit M (fig. 5, pl. V, t. XI) le point de l'arc de tête développé correspondant au joint de rupture, point qui peut toujours être déterminé approximativement (et cela suffira ici), en se rappelant que le joint de rupture dans le pli centre correspond à peu près à l'angle de 30 degrés, à partir des naissances pour l'anse de panier surbaissée au tiers, à peu près à l'angle de 45 degrés, et pour l'anse
peu près à l'angle de 45 degrés, et pour l'anse de panier surbaissée au quart, à peu près à l'angle de 55 degrés. L'angle au centre ô = MOM, correspondant au joint de rupture sur l'arc de tête ou sur l'arc de section droite, suivant que l'une ou l'autre de ces sections sera circulaire, aura donc une des trois valeurs ô = 30°; ô = 45°; (ø = 55°, dans ces trois cas, et déterminera le point M correspondant sur l'arc de tête développé. Dans l'appareil suivant les génératrices, la ligne d'assise passant par le point M serait sur le
ligne d'assise passant par le point M serait sur le développement, la ligne droite MN parallèle à la génératrice BC de la naissance. Dans l'appareil hélicoïdal, la ligne d'assise serait la ligne MP parallèle à la ligne KD, celle-ci étant déterminée de manière à être perpendiculaire à la ligne BE qui joint les extrémités de l'arc de tête développé. Dans l'appareil orthogonal, l'élément de la ligne d'assise au point M serait dirigé suivant la normale MQ à l'arc de tête, ou la perpendiculaire à la tangente MH à cet arc. Appelons α l'angle que la ligne BE forme avec la
Appelons α l'angle que la ligne BE forme avec la ligne CH, développement de l'arc de section droite, co désignant toujours l'angle que fait avec cette même ligne la tangente MH, au point M de l'arc de tête, et l'angle de la section droite et de la section de tête. Appelons d'ailleurs α l'angle que la génératrice MN fait avec la tangente MH, et X l'angle que fait avec cette même ligne la direction MP, ou l'angle des éléments de l'arc de tête et de l'hélice formant la ligne d'assise au point M du développement ; l'angle que fera la
au point M du développement ; l'angle que fera la ligne MQ avec la tangente MH, où l'angle des éléments de l'arc de tête et de la trajectoire au point M, est d'ailleurs un angle droit : S sera toujours plus petit qu'un angle droit, X sera plus grand qu'un angle droit du point B au point M', où la tangente MH devient parallèle à la ligne BE; il sera droit au point M1, aigu entre M' et M", droit en M" et obtus entre M" et E. Les relations de la figure donnent pour 6 et Α les expressions
de la figure donnent pour 6 et Α les expressions α = 90° + cp (2). Α = 90° + e cp (3). Or les angles cp et s se déterminent facilement au moyen de leurs tangentes. L'angle y se calcule en fonction de « par les expressions (1) et (2) données plus haut : lorsqu la section de tête est circulaire; tang. y = sin. w tang. a (2), lorsqu la section droite est circulaire. On aura aussi, d'après les relations de la figure 5, planche V, tome XI : Lorsque la section de tête est circulaire, on a,
: Lorsque la section de tête est circulaire, on a, si r est le rayon du cercle : BC = AB sin. a = 2r sin. a CE = 1; la valeur de l'étant celle de la demi-ellipse donnée par la formule m; d'où Lorsque la section droite est circulaire, on a, si r est le rayon du cercle : BC = AC tang. a = 2r tang. On pourra donc, pour le joint de rupture M, calculer les valeurs de 3 et de X; si Õ s'écarte peu d'un angle droit, on prendra de préférence l'appareil suivant les génératrices,
angle droit, on prendra de préférence l'appareil suivant les génératrices, puisqu'il est le plus simple; si cet angle s'écarte sensiblement de l'angle droit, mais que l'angle À s'en rapproche, on prendra le système hélicoïdal, puisqu'il est plus simple que le système orthogonal, et celui-ci ne sera employé que si la valeur de l'angle X diffère sensiblement de l'angle droit. Ces considérations nous ont guidé dans le choix des appareils pour les ponts en plein cintre, que nous avons eus à construire. Nous allons les appliquer à trois de ces ponts, dont nous avons donné le détail dans le cours de
dont nous avons donné le détail dans le cours de ce mémoire. 1° Pont de la Girafe donné par la planche III, tome XI, figure 2. Pour ce pont, l'on aura les données suivantes: a = 15° et w = 30° pour le joint de rupture. La section de tête étant d'ailleurs circulaire, on calculera l'angle ? par la formule qui donne ici cp = 7° 26'; d'où par la formule, Õ = 82° 34'. Nous nous étions donné, à priori, 80 degrés comme limite inférieure par rapport à l'angle droit: Õ étant plus grand que cette limite, nous devions
droit: Õ étant plus grand que cette limite, nous devions donc adopter ici, comme nous l'avons fait, le système d'appareil par les génératrices et les arcs de sections droites, comme étant le plus simple. 2° Pont de Holzplatz donné par la planche II, tome X, figure 3. Pour ce pont en plein cintre, dont la section de tête est circulaire, on a les données suivantes: rL = 30°; tù = 30° pour le joint de rupture. Pour calculer la longueur l de la demi-ellipse de la section droite, on a ici: a = 2,02; b = a cos. c =
ici: a = 2,02; b = a cos. c = 1. 75; e = 0, 499. D'où par la formule, l = 5, 92. D'où par les formules et , cp = 14° 29'; ê = 18° 50'. D'où par les formules et , S = 75° 31'; X = 94° 21'; 180° — X = 85° 39'. L'angle Õ étant ici moindre que notre limite inférieure de 80 degrés, il s'ensuit que l'appareil par les génératrices et les arcs de section droite doit être rejeté; et l'angle 180°—X = 85° 39' étant plus grand que cette limite, l'appareil hélicoïdal
85° 39' étant plus grand que cette limite, l'appareil hélicoïdal devait être admis comme nous l'avons fait. 3° Viaduc de la Wall donné par la planche III; tome XI, figure 12. Pour les arches en plein cintre de ce pont, l'on a: a = 35°; co = 30°; OC = 30,52; b = a cos. a = 2,50; e = 0, 574. D'où par les formules et , cp = 16° 40' ; ê = 21° 48'. D'où par les formules et , α = 73° 20' ; À = 95° 8'; 180° X = 84° 52'. L'angle Õ étant
95° 8'; 180° X = 84° 52'. L'angle Õ étant plus petit, et l'angle 180° — À plus grand que la limite inférieure de 80 degrés adoptée, à priori, pour l'acuité de l'angle, il s'ensuit que l'appareil par les génératrices devait être rejeté ici, mais qu'on aurait pu adopter l'appareil hélicoïdal. Si nous avons donné la préférence à l'appareil orthogonal, cela ne tient qu'à ce que cet appareil est plus gracieux, lorsqu'on est obligé, comme ici, d'établir des cornes de vache, et que d'ailleurs il réduit à son minimum la poussée au vide. Les considérations qui précèdent permettront toujours de
poussée au vide. Les considérations qui précèdent permettront toujours de déterminer les limites d'emploi des trois espèces d'appareil, et lorsque ce sera l'appareil orthogonal qu'on sera forcé d'employer, il ne s'agira plus que de déterminer la limite d'emploi de l'appareil orthogonal parallèle et de l'appareil orthogonal convergent. C'est donc cette limite qui reste à fixer. CE, CE' (fig. 6. pl. X, t. IX) représentant les traces sur le plan des naissances des plans de la voûte; CB, CB', celles des sections droites limites; C, C', les points de convergence; DE', D'E, les génératrices; MM', l'axe de la voûte; a et
D'E, les génératrices; MM', l'axe de la voûte; a et a', les angles que les sections de la voûte font avec la section droite. La longueur L du pont entre têtes mesurées suivant la direction des génératrices sera: L = MM' = MN + NV + VW. Or MN = cN tang. a = c tang. a'; LU'N' = c'N' tang. ?' = c' tang. a'; c et c' étant les distances des deux points de convergence à l'axe du cylindre; appelant d'ailleurs la longueur NV' de la partie droite de la voûte, on aura: L = ctang. a +
de la voûte, on aura: L = ctang. a + c' tang. (x'. On remarquera, d'ailleurs, que les angles a et α' sont en général égaux; ils ne différeront que pour le cas d'un souterrain, par exemple, et alors la longueur est trop grande pour que le choix de l'appareil soit douteux : c'est l'appareil convergent qui conviendra seul à la question. Nous n'aurons donc à examiner ici que le cas où a = α, ce qui donne L = 2c tang. a (VI). Pour que l'appareil convergent soit possible, il faut qu'il reste une partie droite d'une certaine longueur;
il faut qu'il reste une partie droite d'une certaine longueur; autrement l'appareil parallèle est le seul applicable. Ainsi la limite de possibilité de l'appareil convergent aura lieu lorsque = 0; d'où L = 2c tang. a (vu). D'après ce qu'on a vu à l'article de l'appareil convergent, M. Lefort conseille de prendre pour c un multiple exact de r. Il pense d'ailleurs que ce multiple doit être déterminé de manière que la plus petite génératrice DA de la partie basse ne soit pas moindre que le rayon de la section circulaire. Cette condition paraît nécessaire, en effet, pour que les
circulaire. Cette condition paraît nécessaire, en effet, pour que les courbes soient gracieuses. Si la section de tête est circulaire, r étant son rayon, on a: DA = CA tang. a = (c-r cos. a) tang. (x. Si la section droite est circulaire, r étant son rayon, on a : DA = (c r) tang (x. La règle indiquée par M. Lefort donne donc, dans le cas de la section de tête circulaire, DA = r, ou (e - r cos. a) tang. a - r. Faisant c = mr, puisque e doit toujours être multiple de r, on en
puisque e doit toujours être multiple de r, on en déduit r (m - cos. a) tang. a = r; Lorsque la section droite est circulaire, on aurait la condition (er) tang. a = r. D'où faisant e= mr, on a On prendrait d'ailleurs pour le coefficient m le nombre entier le plus rapproché, donné par les expressions (vin) et (ix). Quant à la limite d'emploi de l'appareil parallèle et de l'appareil convergent, M. Lefort pense que l'appareil convergent doit être substitué à l'appareil parallèle, quand la longueur du pont mesure suivant la génératrice devient plus grande que l'ouverture. M.
mesure suivant la génératrice devient plus grande que l'ouverture. M. Lefort, en donnant cette règle, n'a pas assez tenu compte du biais. Il est facile de voir en effet, qu'en substituant c = mr dans l'équation (vu), celle-ci donne L = 2mr tang. ex. L sera donc plus grand que 2r chaque fois que m tang. a sera plus grand que l'unité, la valeur de m étant, pour le cas de la section de tête circulaire, L devient, dans ce cas, L = 2r (1 + sin. a) (x). Lorsque la section droite est circulaire, on a : d'où L
la section droite est circulaire, on a : d'où L = 2r (1 + tang. ex) (xi). Dans ces deux expressions, L ne peut devenir égal à 2r que si a = 0, c'est-à-dire si le pont est droit. On voit donc que les deux conditions données par M. Lefort pour la détermination de la quantité C et de la limite d'emploi de l'appareil orthogonal parallèle ne sont pas d'accord. Pour fixer exactement la limite d'emploi de l'appareil orthogonal parallèle et de l'appareil orthogonal convergent, il suffit de remarquer d'abord, que la plus petite valeur de L est donnée par
que la plus petite valeur de L est donnée par les formules (x) et (xi), suivant que la section de tête est circulaire ou elliptique. Tant que la longueur de la génératrice du sommet sera plus petite que les valeurs de L tirées de ces formules, l'appareil parallèle sera le seul applicable, et l'on ne pourra commencer à appliquer l'appareil convergent qu'au-delà de cette limite, car, pour que l'appareil convergent soit possible, il faut encore que L dans la formule (v) ait une valeur appréciable. Nous pensons que cette valeur doit être au moins égale à la plus petite génératrice
doit être au moins égale à la plus petite génératrice AD de la partie biais; on aura donc l'équation suivante : L = 2c tang a + AD. Faisons remarquer maintenant, que si l'on suppose, comme nous l'avons admis avec M. Lefort, que la plus petite valeur de AD soit égale à r, cette équation devient L = 2c tang. a + r (XII). Et il en résulte, ainsi qu'on l'a vu plus haut, les deux équations de condition suivantes : (c - r cos. a) tang. a - r pour le cas de la section de tête circulaire; (c
pour le cas de la section de tête circulaire; (c - r) tang a = r pour le cas de la section droite circulaire; ces deux équations de condition donnent Substituant ces valeurs de c dans l'équation (XII), celle-ci devient L = 3r + 2r sin. a (XIII) lorsque la section de tête est circulaire; et L = 3r + 2r tang. a (xiv) quand c'est la section droite qui est circulaire. Les équations (XIII) et (xiv) donnent donc, dans les deux cas de la section de tête ou de la section droite circulaire, la limite pratique entre l'appareil orthogonal
la section droite circulaire, la limite pratique entre l'appareil orthogonal parallèle et l'appareil orthogonal convergent. Quand la longueur réelle de la génératrice du sommet du pont que l'on aura à construire sera moindre que les valeurs de L données par ces deux formules, il faudra prendre l'appareil parallèle; quand elle sera plus grande, l'appareil convergent. Un exemple fera ressortir clairement ces règles. Prenons celui des arches en plein cintre du viaduc de la Walk (pl. III, t. XI, fig. 12) : pour ce pont c'est la section de tête qui est circulaire, on a r = 3,052 ; a =
est circulaire, on a r = 3,052 ; a = 35°. La largeur entre les arcs intérieurs des cornes de vache mesurée perpendiculairement est 7m30, ce qui donne, pour longueur correspondante mesurée sur la génératrice, 8m90. Or la condition limite de possibilité de l'appareil convergent, formule (x), applicable ici donnerait : L = 2r (1 + sin. a) = 9m608, quantité qui est plus grande que l'ouverture 2r = 6m10, limite que donnerait la règle de M. Lefort. Cette longueur de 9m608 ainsi calculée étant plus grande que la longueur réelle 8m90 de la génératrice du sommet, l'appareil parallèle est
réelle 8m90 de la génératrice du sommet, l'appareil parallèle est le seul applicable, tandis que, d'après M. Lefort, il faudrait le rejeter. Ce qui précède montre comment on déterminera les limites d'emploi de chaque espèce d'appareil pour les pleins cintres et les anses de panier; quant à l'arc de cercle surbaissé, ce sera toujours l'appareil hélicoïdal qu'il faudra employer, cet appareil ne s'éloignant pas sensiblement, dans ce cas, de l'appareil orthogonal. De ce que les angles des voussoirs soient droits en douelle, dans l'appareil orthogonal, il ne s'ensuit pas que les angles du plan de tête avec la douelle de
les angles du plan de tête avec la douelle de chaque voussoir soient droits, et nous avons donné la manière de déterminer, pour chaque voussoir, ces angles qui se prononcent d'autant plus que l'angle du biais du pont devient plus aigu. Il est donc donc qu'au-delà d'une certaine limite du biais, l'appareil orthogonal lui-même ne peut plus être employé sans danger, et dès lors il faut renoncer à faire des voûtes biaises en maçonnerie. Nous pensons que les limites du biais raisonnables à adopter en pratique sont l'angle de 40 degrés pour le plein cintre et l'anse de panier, et
degrés pour le plein cintre et l'anse de panier, et celui de 45 degrés pour l'arc de cercle surbaissé; pour des angles plus aigus, si l'on voulait encore construire des ponts en maçonnerie, il serait prudent de les partager en plusieurs voûtes droites que l'on relierait entre elles. Ce système a déjà été employé par plusieurs ingénieurs, et M. Bouclier a donné dans les Annales des ponts et chaussées 1848, mars et avril, une note qui en explique les détails. Il ne doit être employé, selon nous, que lorsque l'angle du biais dépasse les limites que nous venons d'indiquer, auquel
du biais dépasse les limites que nous venons d'indiquer, auquel il nécessite beaucoup plus de pierres de taille, et entraîne par conséquent à plus de dépense que les voûtes biaises; mais nous pensons avec M. Boucher, qu'il doit en général être préféré aux arcs en fonte. BULLETIN. CHEMINS VICINAUX. Drainage, Notice sur l'application du drainage aux voies de communication en général, et sur la suppression des fossés. Si le drainage, appliqué aux terres en culture, aux prés, aux marais desséchés, aux maisons, à des villages entiers, même à des bois, doit procurer d'immenses avantages au pays, ce merveilleux système d'assainissement
doit procurer d'immenses avantages au pays, ce merveilleux système d'assainissement offre encore une bien grande importance, au point de vue de la construction et de l'entretien des nombreuses voies de communication, qui sillonnent le pays, en desservant, en même temps, les intérêts de l'agriculture et ceux du commerce intérieur. Chargé, en 1832, de représenter l'association agricole de drainage de l'Oise, au congrès de Valenciennes, et de visiter les points de la Belgique, des départements du Nord, du Pas-de-Calais où des essais de drainage avaient été faits, où alors même on en faisait encore, où l'on fabriquait des tuyaux enfin, je
en faisait encore, où l'on fabriquait des tuyaux enfin, je fus frappé à la vue des poteaux placés de distance en distance, sur la plupart des routes, pour l'établissement de barrières de dégel. Cette mesure extrêmement fâcheuse, sous tous les rapports, indique vraiment trop peu de confiance de la part des hommes dans les ressources immenses que la Providence a mises à leur disposition, pour vaincre les difficultés qu'ils rencontrent dans l'accomplissement de la haute mission qu'ils sont appelés à remplir dans le monde. Comment, me disais-je, l'homme affronte les dangers que présente la navigation dans les mers polaires, il
dangers que présente la navigation dans les mers polaires, il s'élève à plus de 8,000 mètres dans les airs, il dirige la vapeur à son gré, il la soumet, cet agent si énergique, à sa volonté, à ses moindres caprices; il jette audacieusement un pont-tube en tôle sur un détroit de près de 2 kilomètres de longueur, il communique sa pensée instantanément, à travers les mers, au moyen d'un simple fil de fer, et il serait fatalement réduit, dans un hiver, à des alternatives fréquentes de gelée et de dégel, à voir la circulation interrompue sur un nombre considérable de
à voir la circulation interrompue sur un nombre considérable de ses voies de communication? Je ne pouvais croire à son impuissance à aplanir une difficulté tielle à la seule cause. Après avoir sérieusement réfléchi, je pensai avoir trouvé un moyen simple, peu coûteux, de triompher de l'obstacle que l'on semblait considérer comme insurmontable. J'eus, toutefois, de la peine à me décider à parler de ma découverte, tant la chose me paraissait simple, et tant, par cela même, je devais concevoir de défiance sur l'efficacité du moyen que je désirais indiquer. Heureusement, je pouvais compter sur la bienveillance de deux hommes
Heureusement, je pouvais compter sur la bienveillance de deux hommes honorables qui avaient, tout d'abord, à examiner la question. L'un était M. Handouin, préfet de l'Oise: l'autre, M. Le Père, ingénieur en chef de ce département. Ma proposition leur parut assez sérieuse pour être adressée à LL. Exc. MM. les ministres de l'intérieur et des travaux publics. Quelle suite y a-t-on donnée? Je ne saurais le dire. J'ai pensé que des essais avaient été tentés sans résultats satisfaisants, et que, dès lors, on n'avait pas cru devoir s'arrêter à mon projet. Cette idée m'a déterminé à chercher à m'assurer, par
projet. Cette idée m'a déterminé à chercher à m'assurer, par moi-même, jusqu'à quel point il m'était permis de compter sur l'efficacité du moyen que j'avais indiqué. Eh bien! je suis heureux de dire que j'ai réussi au-delà de mes espérances. Un de mes amis, M. Lefèvre, agent voyageur de première classe, à Noyon, guidé par le seul amour du bien public, a obtenu, comme moi, des résultats tellement concluants qu'il ne m'est plus permis de douter de l'effet que produirait le drainage, non seulement de toutes les chaussées sur lesquelles existent ordinairement des barrières de dégel, mais encore sur toutes
existent ordinairement des barrières de dégel, mais encore sur toutes les voies de communication en déblai, ouvertes ou à ouvrir dans des terres humides, froides, fortes, grasses, compactes. Voici la note que mon collaborateur et ami, m'a adressée, à ce sujet, tout récemment : "Noyon, le 9 mai 1835. Vous me demandez mon avis relativement aux effets que peut produire la gelée sur les chaussées d'empierrerement établies dans des terrains froids, gras, compactes. Voici les remarques que j'ai faites à cet égard. Si la gelée n'a pas été forte, si elle n'a pénétré que de quelques centimètres, les matériaux qui
elle n'a pénétré que de quelques centimètres, les matériaux qui se trouvent à la surface de l'empierrement, et dont l'adhérence n'est due en grande partie qu'aux matières terreuses interposées dans les vides des matériaux se dégrèlent lorsque le dégel arrive, parce que ces matières terreuses, qui leur servent de ciment, se changent en boue plus ou moins épaisse alors, les matériaux s'attachent aux roues des voitures, d'autant plus aisément que la terre est d'une nature plus onctueuse, et ainsi se produisent en quelques instants, par le passage d'un petit nombre de voitures, même légères, même vides, des dégâts assez considérables.
de voitures, même légères, même vides, des dégâts assez considérables. Cet effet du dégel, qui est à peine sensible dans les terrains sableux, et n'est que superficiel dans les terrains ordinaires, peut se produire sur une profondeur de 5 à 10 centimètres, quelquefois plus, dans les terrains glaiseux. Lorsque la gelée est assez forte pour pénétrer jusque sous la chaussée, l'effet produit est bien autrement fâcheux. Le sol sur lequel est établi l'empierrement, se convertit, au moment du dégel, en une boue extrêmement molle, parce que, d'une part, il est constamment saturé d'humidité, et, de l'autre, à cause de sa
constamment saturé d'humidité, et, de l'autre, à cause de sa nature alumineuse, il fait facilement pâte avec l'eau. Alors la chaussée, qui repose sur une base si peu solide, fléchit sous des charges très-ordinaires, elle se sillonne d'ornières profondes, les pierres se mélangent avec la terre, et le bouleversement est tel que, souvent, on est obligé de relever l'empierrement et de le refaire complètement. Ces dégradations ne se produisent pas, ou du moins elles ne sont pas à beaucoup près, aussi considérables dans les terrains ordinaires, parce que ces terrains font moins pâte avec l'eau, et qu'en outre ils sont
font moins pâte avec l'eau, et qu'en outre ils sont peu humides, sauf le cas où la gelée arrive immédiatement après une pluie très-prolongée. Il n'est peut-être pas inutile de vous faire observer que c'est dans mon ancienne circonscription, que j'ai remarqué ces dégradations ou destructions d'empierrement, produites par la congélation du sol inférieur. J'ai dit que l'effet du dégel sur le fond des encaissements est dû principalement à l'eau souterraine dont les terres grasses sont constamment imbibées. Si cela est vrai, le drainage doit être un puissant préservatif. C'est ce qui a lieu effectivement; en voici la preuve. Sur