jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
sur cet arc que se comptaient les coords, tandis qu'ici, c'est sur la section droite qu'il faut les compter, puisque c'est celle-ci qui est la section circulaire, et que, d'après la définition même des angles w, ceux-ci ne peuvent être comptés que sur un cercle; ainsi les arcs s ou m se compteront sur la ligne droite 0,15 qui représente l'arc circulaire de section droite développé; chacune des divisions 0.1, 1.2, 2.3, etc. de cet arc de section droite correspondant à un angle au centre de 12°, aura une longueur de 0,768, la demi-circuference de la section droite de rayon
de 0,768, la demi-circuference de la section droite de rayon 3,666 ayant 11,517 de longueur. En menant par les points 1, 2, 3, 4, etc., des génératrices, leur rencontre avec l'arc de tête développé déterminera les divisions correspondantes a, b, c, d, etc., de cet arc en voussoirs. Les largeurs des voussoirs de tête, déterminées par ces divisions, ne seront pas parfaitement égales comme dans le cas de la section de tête circulaire, où la division en parties égales se faisait sur cet arc même : mais elles différeront très peu de l'être, et comme l'appareil elliptique de la tête
peu de l'être, et comme l'appareil elliptique de la tête offre déjà la sujétion de la forme même de l'ellipse, il est peu important de l'augmenter un peu par l'inégalité de largeur en douelle des voussoirs, inégalité qui ne sera d'ailleurs jamais assez grande d'un voussoir à l'autre, pour être sensible à l'œil. En faisant pour les points M, P, R, où les trois trajectoires calculées rencontreront l'arc de tête, les calculs de tâtonnement que nous avons indiqués pour les cas de la section de tête circulaire, on trouve que les valeurs de w correspondant à ces points sont pour
les valeurs de w correspondant à ces points sont pour la première trajectoire ou le point M : w = 27° 56'. Pour la deuxième ou le point P : w = 114° 01'. Pour la troisième ou le point R : W = 171° 10'. Introduisant ces valeurs de w dans les équations (18) et (19), on trouve pour les équations des paraboles correspondantes: x1 = 45,104 y parabole MT', x2 = 12,794 y parabole PL', xa = 48,283 y parabole RS', et pour les valeurs des sous-tangentes YX, DE, ZF correspondant aux tangentes des paraboles ou aux normales
DE, ZF correspondant aux tangentes des paraboles ou aux normales à l'arc de tête des points M, P, R, les valeurs: 2Y1 = 3,021 = YX, ïh = 3,252 = DE, 2Y1 = 0,348 = ZF. Les sommets T', L', S1 des paraboles sur l'arc de section droite développé s'obtiennent en divisant les longueurs de ces sous-tangentes, chacune en deux parties égales. Ici d'ailleurs, les écartements TT', LL' de la parabole et de la trajectoire, qu'il a fallu prendre à l'échelle dans le cas de la section droite elliptique, peuvent se déterminer par le calcul, cette section étant circulaire; en
se déterminer par le calcul, cette section étant circulaire; en effet, la distance TT peut se calculer, c'est l'arc soustendu, sur la section droite par l'angle 27° 56' — 12° ou 15° 56' qui a pour longueur 1,019; 1"Y est, d'ailleurs, égal à XY qui est qui a pour longueur 1,019; 2 qui est ici d'après la première des trois équations précédentes égal à = 1,511. Ainsi l'on aura: TT' = 1"11 — Ty = 1,511 — 1,019 = 0,492. On opérera donc dans ce cas avec plus d'exactitude encore que pour celui de la section de tête circulaire, puisque
que pour celui de la section de tête circulaire, puisque les écartements extrêmes se déterminent par le calcul. Du reste, tout ce que nous avons dit plus haut pour arriver aux paraboles ou lignes d'assises définitives s'appliquera ici sans aucune modification; nous n'insisterons donc plus sur ce point. On voit d'ailleurs, en comparant les paraboles aux trajectoires, que les écartements TT1, LL' des deux courbes sur l'arc de section droite développé vont en diminuant de l'origine au sommet de l'arc de tête comme pour le cas de la section de tête circulaire. Dans ce dernier cas, la parabole passait de
tête circulaire. Dans ce dernier cas, la parabole passait de gauche à droite de la trajectoire entre l'origine et le sommet de l'arc de tête; ici, elle reste constamment à gauche et ne passe à droite qu'entre le sommet de l'arc de tête et le point 14; les paraboles se rapprocheront donc un peu moins ici des trajectoires que pour le cas de la section de tête circulaire, mais cela ne modifie en rien le principe de la méthode donnée plus haut, qui ne fait servir ces paraboles que comme intermédiaires pour arriver aux paraboles définitives, paraboles qui sont, à
intermédiaires pour arriver aux paraboles définitives, paraboles qui sont, à la fois, plus près des trajectoires et forment des lignes d'assises continues entre les têtes et les sections droites, limites des parties biaises de la voûte. En résumé, la méthode que nous avons indiquée dans le cas de la planche VII, tome X, figure 1, pour déterminer les paraboles définitives qui doivent former les lignes d'assises des parties biaises de la voûte, est très simple en pratique, puisqu'elle n'exige que le calcul de deux trajectoires et celui des sous-tangentes des paraboles normales aux arcs de tête et de section de
paraboles normales aux arcs de tête et de section de droite développés, et que tout le reste se fait au moyen d'opérations graphiques. Ces paraboles définitives satisfont d'ailleurs à la fois à la condition de s'éloigner de la forme réelle des trajectoires aussi peu que le permet la division en voussoirs de la partie droite de la voûte, et de donner des lignes d'assises régulières sans jarrets ni crossettes normales à la fois aux arcs de tête et de section droite développés. Elles remplissent donc, aussi exactement qu'on peut le désirer en pratique, toutes les conditions d'un bon appareil. La
désirer en pratique, toutes les conditions d'un bon appareil. La méthode s'applique, d'ailleurs, à tous les cas, que la section droite soit circulaire ou elliptique, que la forme de la voûte soit le plein cintre, l'arc de cercle surbaissé ou l'anse de panier. APPAREIL SUIVANT LES GÉNÉRATRICES ET LES ARCS DE SECTION DROITE. Lorsque les ponts sont peu biais, il est inutile d'employer les systèmes d'appareils décrits dans ce qui précède; on peut se contenter alors du système d'appareil ordinaire, en ayant soin, toutefois, de terminer les voussoirs en douelle par des plans parallèles à la section droite. On aura
par des plans parallèles à la section droite. On aura ainsi, pour lignes d'assises, les génératrices du cylindre ou des lignes droites, et, pour lignes divisant les assises en voussoirs, des arcs de cercle perpendiculaires à ces lignes directes. Les surfaces des joints seront d'ailleurs, pour ces deux séries de lignes, des plans normaux aux cylindres. La figure 2, planche III, tome XI, donne le détail d'un pont que nous avons construit d'après ce système, qui a parfaitement réussi. TAILLE DES VOUSSOIRS DANS LES DIVERS SYSTÈMES D'APPAREIL. Considérations générales. Avant d'entrer dans les détails pratiques de la taille des voussoirs,
d'entrer dans les détails pratiques de la taille des voussoirs, il est nécessaire de donner quelques développements sur la nature et le mode de génération des surfaces qui forment les différentes faces de ces voussoirs dans les trois espèces d'appareil qui ont été décrites précédemment. 1° Appareil orthogonal parallèle. Soit ABCDEFGH un voussoir vu en perspective (pl. III, t. XI, fig. 3). Les lignes qui limitent la face de la douelle CDEF sont, d'un côté, des arcs CD, EF de cercle ou d'ellipse parallèles, suivant que la section de tête est un cercle ou une ellipse; de l'autre, deux arcs
est un cercle ou une ellipse; de l'autre, deux arcs de trajectoires orthogonales CE, DF interceptés par ces deux arcs parallèles. Soit ABGU la face supérieure du voussoir opposé à la face de douelle. Les surfaces des joints, qui doivent être normales au cylindre, seraient des surfaces gauche engendrées par la normale au cylindre qui s'appuierait constamment, d'une part, sur les arcs de trajectoires CE, DF, de l'autre, sur les arcs CD, EF de sections parallèles aux têtes; mais comme la section parallèle aux têtes s'éloigne d'autant plus de la section droite que le pont est plus biais, et que
section droite que le pont est plus biais, et que la normale, en un point quelconque du cylindre, est plus perpendiculaire à la génératrice et à l'élément de l'arc de section droite passant par ce point; il s'ensuit que les surfaces gauche, ayant les arcs de trajectoires pour bases, couperaient le plan de la tête suivant des courbes. La détermination de ces courbes donne, en général, lieu à des constructions graphiques laborieuses et peu commodes à réaliser en pratique, et ne produit pas, d'ailleur, un bel effet sur les faces du pont. Il parait donc convenable de substituer aux surfaces
du pont. Il parait donc convenable de substituer aux surfaces indiquées ci-dessus des surfaces dont les intersections avec le plan de la tête soient des lignes droites, et de plus des lignes droites normales à l'arc de tête. Cet effet est surtout demandé par les conditions de régularité que comporte l'appareil de la tête, puisque cette partie du pont est celle qui se présente la première à la vue et qui fixe surtout l'attention. Or, on satisfait à cette condition en supposant que les surfaces gauche (les joints, au lieu d'être engendrées par la normale au cylindre s'appuyant sur la
d'être engendrées par la normale au cylindre s'appuyant sur la trajectoire orthogonale, le soient par la normale aux sections parallèles à la tête s'appuyant sur la même ligne. Cette seconde surface gauche s'éloigne assez peu de la première pour qu'on puisse la lui substituer, surtout si l'on considère que l'imperfection des instruments du tailleur de pierres ne lui permet pas d'exécuter des surfaces rigoureusement exactes; que, d'ailleurs, le joint entre deux voussoirs contigus a toujours une épaisseur de 0,005 à 0,01, vide rempli par le mortier, et que, dès lors, il est moins important que la surface du joint soit
il est moins important que la surface du joint soit mathématiquement normale au cylindre; on simplifie complètement l'exécution de cette surface, dans la pratique, en adoptant le procédé suivant, qui nous a réussi dans tous les ponts biais que nous avons eu à construire. Supposons les lignes CE et AG (fig. 3, pl. III, t. XI) déterminées sur le voussoir; on divisera les deux lignes en un même nombre de parties égales, et l'on joindra les parties 1, 2, 3, correspondant sur ces deux courbes, par des lignes droites qui seront autant de génératrices de la surface gauche du joint.
seront autant de génératrices de la surface gauche du joint. Cela suppose, il est vrai, que les lignes CE et AG peuvent être considérées comme à peu près droites; mais cette hypothèse est très-près de la vérité, si l'on considère le peu de longueur d'un voussoir. Quant aux surfaces gauche de joint, qui ont pour bases les arcs CD, EF, elles s'exécuteraient de même; mais on peut presque toujours les remplacer, sans erreur sensible, par des plans verticaux parallèles aux têtes. 2° Appareil hélicoïdal. Dans l'appareil hélicoïdal, les lignes d'assises en douelle CE, DF (pl. III, t. XI, fig. 3),
en douelle CE, DF (pl. III, t. XI, fig. 3), sont des arcs d'hélice parallèles, la ligne CD est l'arc de tête, et la ligne EF un arc d'hélice perpendiculaire aux arcs d'hélice CE et DF. Les surfaces de joint s'engendrent comme il a été dit pour l'appareil orthogonal parallèle. Quand les voussoirs ont peu de largeur, ce qui arrive toujours pour les moellons piquées de l'intérieur de la voûte, les surfaces de joint ayant pour bases les lignes CD, EF de division des assises en voussoirs, peuvent, sans erreur sensible, se remplacer par des plans; mais cela n'arrive pas,
sensible, se remplacer par des plans; mais cela n'arrive pas, en général, pour les voussoirs de tête. 3° Appareil orthogonal convergent ou parabolique. Pour cet appareil, les deux lignes d'assises CE, DF (fig. 3) du voussoir en douelle, sont deux portions de parabole; la ligne CD est l'arc de tête, et la ligne EF un arc d'ellipse perpendiculaire aux lignes CE, DF. Dans cet appareil donc, comme dans l'appareil hélicoïdal, la face postérieure GEFH du voussoir est une surface gauche, de même que les surfaces ACEG, et BDFH des joints d'assise. 4° Appareil suivant les génératrices et les arcs de
d'assise. 4° Appareil suivant les génératrices et les arcs de section droite. Dans cet appareil, les lignes d'assises CE, DF (fig. 3) du voussoir en douelle, sont des génératrices du cylindre, et par conséquent les lignes de plus petite courbure; la ligne CD est l'arc de tête et la ligne EF est l'arc de section droite ou de plus grande courbure. Les surfaces de joints sont donc ici des plans normaux au cylindre, passant par les lignes de courbure de la surface. 5° Cas où l'on est obligé de couper les angles aigus de la voûte par des voussoirs ou
les angles aigus de la voûte par des voussoirs ou cornes de vache. Quand les ponts sont très biais, on ne peut conserver les angles aigus des pieds-droits sans risquer de les voir briser par le moindre choc ; on les supprime alors au moyen de pans coupés qui doivent être prolongés dans la voûte par des voussures ou cornes de vache. Ces voussures peuvent se disposer de diverses manières; elles sont toujours comprises entre deux plans verticaux, dont l'un est le plan de tête du pont, l'autre un plan parallèle à ce plan de tête, ou un plan qui
parallèle à ce plan de tête, ou un plan qui le rencontre au sommet de la voûte. Dans les deux cas, la génération de la surface de la voussure se conçoit au moyen d'une ligne droite qui reste horizontale en s'appuyant sur la courbe de tête de la voussure d'une part, et de l'autre, sur la courbe résultant de l'intersection du cylindre de la voûte par le plan vertical limitant la voussure du côté de cette voûte. En pratique, on opère plus simplement en prenant isolément chaque voussoir; on divise les arcs extrêmes de la voussure en un même nombre
les arcs extrêmes de la voussure en un même nombre de parties égales, et on joint les points par des lignes droites, qui sont autant de génératrices de la surface de la voussure. Ce procédé très simple a, d'ailleurs, le grand avantage de donner pour lignes de joints dans la voussure des lignes droites. Quant aux surfaces de joint de la voussure, elles se déterminent d'une manière analogue à ce qui a été expliqué plus haut pour les surfaces de joint de la voûte. Nous allons donner ici quelques détails sur une voussure exécutée dans des circonstances très difficiles de
sur une voussure exécutée dans des circonstances très difficiles de construction : il s'agit d'une arche biaisée à 46 degrés surbaissée sur le canal de la Marne au Rhin. Cette arche fait partie du viaduc de la Walk, sur lequel le chemin de fer de Paris à Strasbourg traverse le canal de la Marne au Rhin, la rivière de la Zorn et deux chemins. Les cinq autres arches du viaduc sont en plein cintre et biaisées à 55 degrés, appareillées au système orthogonal parallèle. Le détail de l'arche dont il sera plus spécialement question ici est donné par la planche
sera plus spécialement question ici est donné par la planche III, tome XI. Cette arche est appareillée au système hélicoïdal. L'angle aigu ADC (fig. 5) du pied-droit a été coupé par un plan vertical dont la trace horizontale est AC, de manière que l'angle C fût droit. Cette disposition a été prolongée dans la voûte par une voussure comprise entre le plan vertical de la tête CF et un plan vertical AB parallèle à ce plan. La distance entre ces deux plans est de 0,47. Cette voussure, correspondant à l'angle aigu, expire sur la génératrice du sommet de la voûte.
aigu, expire sur la génératrice du sommet de la voûte. Afin d'établir une symétrie complète dans les dispositions du pont, une voussure analogue a été établie du côté de l'angle obtus, quoiqu'elle fût inutile de ce côté, en ce qui concerne la construction elle-même. On a établi cette seconde voussure de manière que EF fût égal à CD, c'est-à-dire que les distances des génératrices des naissances aux angles C et F de la tête fussent les mêmes. Les deux voussures forment donc une voussure continue projetée horizontalement sur la figure, CABF (fig. 5). La division en voussoirs égaux se fait
CABF (fig. 5). La division en voussoirs égaux se fait d'abord sur l'arc de cercle projeté horizontalement sur AB, qui sépare la voûte principale de la voussure ; il en résulte que les points a, t, v, p (pl. 111, t. XI, fig. 4) de division, correspondant sur l'arc de tête de la voussure, ne seront plus également distants ; mais les différences seront très petites; et l'on pourra d'ailleurs, une fois ces points déterminés, les déplacer de quantités très petites pour arriver à une division égale. Cette opération ne modifie en rien la nature des surfaces, à cause de
modifie en rien la nature des surfaces, à cause de la petitesse des déplacements; reste à voir maintenant comment on obtient les projections verticales et horizontales mt et hl de la ligne d'assise dans l'étendue de la voussure. Il faut ici recourir au développement, et supposer le cylindre de la voûte prolongé jusqu'au plan de tête du pont. On prolongera la ligne fe (pl. III, t. XI, fig. 6) jusqu'en el sur le développement de la courbe d'intersection du cylindre avec le plan de tête. Si c'est l'appareil hélicoïdal qu'on emploie, comme dans le cas particulier qui nous occupe ici,
emploie, comme dans le cas particulier qui nous occupe ici, c'est une ligne droite à prolonger; si l'on employait l'appareil orthogonal, ce serait une trajectoire ou une parabole, dont le tracé sera toujours facile au moyen des procédés qui ont été développés dans les chapitres précédents. Le point d se ramène dans la projection horizontale en K, et ce dernier point se vérifie de la manière suivante: Par le point du développement, on mène la génératrice dit, et en prenant sur l'arc de section droite rabattu (fig. 5) ab égal à a6, pris sur la section droite développée (fig. 6),
à a6, pris sur la section droite développée (fig. 6), le point a correspondant sur la section droite développée à une division de l'arc RM en voussoirs. Par le point b (fig. 5) ainsi déterminé, on mène une génératrice en projection horizontale ; cette ligne bK devra passer par le point K. Le point K étant déterminé en projection horizontale, se ramène en n dans la projection verticale; le point t se détermine en projection verticale par la rencontre avec l'arc de l'arc du rayon 0"11, et ce point t se ramène en l sur la projection horizontale; les projections
se ramène en l sur la projection horizontale; les projections horizontale et verticale de la ligne d'assise dans la voussure seront donc les lignes hl et mt (fig. 5 et 4). Au lieu de limiter en plan la voussure entre des lignes parallèles AB et CF, comme nous l'avons fait, on peut la disposer suivant les lignes CX et AX, allant aboutir au sommet de la voûte. Le plan vertical, dont la trace horizontale est AX, coupe alors le cylindre suivant un arc d'ellipse, qui serait représenté en développement par ACN, et dont la projection verticale serait facile à déterminer.
ACN, et dont la projection verticale serait facile à déterminer. Les opérations graphiques n'offrent pas plus de difficultés dans un cas que dans l'autre. Les développements, dans lesquels nous venons d'entrer, donnant l'idée générale des surfaces de joint et de leur génération, nous pouvons maintenant entrer plus avant dans la question toute pratique de la taille des voussoirs; et comme aux petites échelles, dont on peut disposer pour les figures, les opérations sont plus faciles à suivre pour le système hélicoïdal, c'est par ce système que nous commencerons. APPAREIL HÉLICOÏDAL. Tailler des voussoirs de tête. Méthode par équarrissement. Prenons pour
Tailler des voussoirs de tête. Méthode par équarrissement. Prenons pour exemple le pont indiqué par la planche 11, tome X, figure 3. La planche Y, tome XI, donne, à une grande échelle, les parties de ce pont nécessaires à l'intelligibilité des développements dans lesquels nous allons entrer. Supposons d'abord qu'il s'agisse du voussoir C, I, II, XI, (fig. 6), La projection verticale de la tête du voussoir, les projections verticale et horizontale de la douelle, ainsi que le développement de cette dernière, étant connus par les figures 6, 7, 10, on commencera par déterminer les projections verticales de la face
on commencera par déterminer les projections verticales de la face postérieure du voussoir, et des surfaces gauches des joints; pour cela on supposera que, suivant ce qui a été dit dans la section précédente, la surface gauche de chaque joint est engendrée par une ligne droite, qui glisse le long de la ligne d'assise dans la douelle, en se dirigeant toujours suivant les rayons des cercles situés dans des plans parallèles à la tête du pont; si donc nous menons par les points r et 9' (fig. 7) les traces horizontales des plans parallèles à la tête, ces traces rencontreront
horizontales des plans parallèles à la tête, ces traces rencontreront l'axe du cylindre aux points o' et o", qui seront les projections horizontales des centres des cercles situés dans ces plans : en menant par les projections verticales de ces mêmes centres (fig. 6) les rayons o't' et o"g' prolongés jusqu'en k' et h' sur les lignes horizontales a'k', et ("h' passant par les points a' et c', et en menant ensuite du point h' la ligne h'i' parallèle à cW, nous aurons déterminé par les projections verticales des surfaces gauches //e'fk' et a'c'd'g'h'i' des joints du voussoir et de
gauches //e'fk' et a'c'd'g'h'i' des joints du voussoir et de la face postérieure i'h'g'l'k' qui sera aussi une surface gauche, puisque les points g' et f' ne sont pas situés dans un même plan parallèle à la tête du pont. Connaissant les projections verticales des faces du voussoir, ainsi que la projection horizontale et le développement de sa douelle (fig. 6, 7 et 10), nous possédons tous les éléments nécessaires pour tailler ce voussoir. Taille du voussoir. On commencera d'abord par faire débiter à la carrière une pierre en forme de prisme qui aura pour base la figure a'c'd'g'k' dans
de prisme qui aura pour base la figure a'c'd'g'k' dans la projection verticale (fig. 6), et dont la longueur sera égale à la ligne g'y' prise dans la projection horizontale (fig. 7). La figure 14 représente cette pierre en perspective par les lettres a'c'd'q'p'l'm'n'o'q'v'. On fixera sur la face a'cd'q'p' le panneau de tête a'c'd'e'b' pris dans la projection verticale (fig. 6) en le faisant coïncider sur les arêtes a'c', a'c' et c'd', et l'on tracera les lignes b'e' et d'e'; on fera la distance x'(' sur l'arête p'x' égale à la ligne x'{' prise dans la projection horizontale (fig.
à la ligne x'{' prise dans la projection horizontale (fig. 7), et on menera par le point f sur la face l'p' x' v' la ligne j'k' parallèle à l'arête x'v', et par le même point f la ligne {'g' sur la face q'p'x'g', On fera de même m'i' égale à a'i' prise dans la projection verticale (fig. 6), et on menera ¡'h' sur la face m'n'o'g'x'v' parallèle et égale à l'arête m;n; on tracera ensuite sur la même face la ligne h'g', sur la face a'tv'm' les lignes b'k' et a'i', et enfin sur la face d'q'g'o' la ligne
et a'i', et enfin sur la face d'q'g'o' la ligne d'g'; ces opérations faites, le tracé du voussoir sera terminé : pour tailler la pierre, on commencera d'abord par ébaucher la rouelle en laissant passer une surface par les lignes cid', d'g' et yi/" et on enlève la partie de la pierre d'c'fg'q'p', puis par les lignes ïk', k'f' et t'g', on taillera la face ï k'f g' h'; par les lignes a'e', a'i' et i'h' on taillera le plan a'i'h'c'; et finalement par les lignes c'd d'g', g'h', h'e' et b'e', e'f, {'ii'. k'b', on taillera les surfaces gauches
et b'e', e'f, {'ii'. k'b', on taillera les surfaces gauches des joints c'd'g'h' et b'e'fk'. On vérifiera leur exécution en divisant, par exemple, les arêtes b'k' et e'f en un même nombre de parties égales aux points 1 et 2, et en appliquant successivement une règle droite ut, sur les points de division correspondants, comme le montre la figure 14; tous les points de cette règle devront se trouver dans chacune de ses positions sur la surface gauche b'e'f'k', qui sera, dès lors, exécutée suivant le mode de génération que nous avons indiqué plus haut. On terminera la douelle d'e't'ri'