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C. Dans le cas de la viscoplasticité, nous supposerons que la force A dérive d'un potentiel p(da/dt), fonction convexe de la vitesse da/dt; en plasticité l'expression de la loi de normalité conduit à poser A = d<p>/dda/dt pour tout da/dt non nul. Note présentée par Paul GERMAIN. 0249-6305/88/03071997 S 2.00 © Académie des Sciences C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 1998 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1997-2000, 1988 Dans la suite on considérera la quantité : 2. ÉQUATIONS DE LAGRANGE. — En mécanique analytique, on introduit le lagrangien L du système comme
mécanique analytique, on introduit le lagrangien L du système comme étant la différence entre l'énergie cinétique K et le potentiel des efforts extérieurs. Il convient ici de tenir compte des forces intérieures d'interaction entre les particules du solide, le potentiel des forces extérieures est naturellement remplacé par l'énergie potentielle totale du système E(u, a, 9, X) : Le Lagrangien L est alors une fonctionnelle des champs représentant la position u, du/dt), de l'état thermodynamique du système (a, 9); cette fonctionnelle dépend explicitement du temps par l'intermédiaire du paramètre de chargement X. (a) Les équations d'équilibre dynamique du système peuvent être
X. (a) Les équations d'équilibre dynamique du système peuvent être exprimées sous deux formulations équivalentes : — les équations de Lagrange : pour tout champ Su cinématiquement admissible; c'est-à-dire vérifiant les conditions aux limites ôw = 0 sur dQ.u = {x e dQ/u (x, t) = ud (x, t) pour tout t} et les conditions initiales 8w = 0 aux instants successifs tl et t2 : — l'expression des équations locales et des conditions aux limites : où £ désigne une surface de discontinuité éventuelle et m = p0 c désigne le débit massique à travers cette surface. La preuve
désigne le débit massique à travers cette surface. La preuve de cette équivalence s'obtient en effectuant le calcul des variations : soit encore en intégrant par parties le premier terme C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1997-2000, 1988 1999 intégrons par parties le terme o s(5«), d'où en omettant l'intégration en temps dont on déduit les équations locales et les équations aux discontinuités. Soulignons toutefois que l'on peut introduire l'impulsion p = p0v comme variable au lieu de la vitesse v par la transformation de contact : les équations de la dynamique correspondantes se mettent alors
: les équations de la dynamique correspondantes se mettent alors sous la forme Remarquons que la fonctionnelle L* est la somme de l'énergie cinétique du système et de l'énergie récupérable à chaque instant. Cette énergie est différente de la fonctionnelle classique de Hamilton qui représente l'énergie totale du système. (b) Pour tenir compte du comportement anélastique, il convient de compléter les équations de Lagrange par les équations complémentaires : Ces expressions généralisent les résultats énoncés par Biot [2] pour les systèmes viscoélastiques. 3. FONCTION DE HAMILTON ET EXPRESSION DU PREMIER PRINCIPE. — En mécanique analytique la fonctionnelle de Hamilton est
PRINCIPE. — En mécanique analytique la fonctionnelle de Hamilton est l'énergie totale du système, le principe de Hamilton n'est autre que l'expression du premier principe appliqué aux systèmes conservatifs isolés thermiquement. La fonctionnelle de Hamilton s'exprime ici sous la forme : où Vext est le potentiel des efforts extérieurs et U l'énergie interne du système. Comme U = (cp + 0 s) p0 dta on peut exprimer H en fonction de E : Jn Le principe de Hamilton généralisé sous la forme du premier principe de la thermodynamique peut donc s'écrire dans le cas quelconque : C. R., 1988, 2e
s'écrire dans le cas quelconque : C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 136 2000 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1997-2000, 1988 où Pcal est la puissance calorifique échangée avec le milieu extérieur, exprimée sous sa forme habituelle par le flux de chaleur q à travers la paroi du solide. En effet, exprimons les quantités en fonction des grandeurs locales : soit en introduisant a la contrainte à l'équilibre : Le second membre Pcal = — q.nda devient après intégration Jan ces expressions étant vraies pour tout volume Q, on en déduit les
étant vraies pour tout volume Q, on en déduit les équations locales et aux discontinuités [3] : Nota. — Il est à noter que le second principe exprimant la positivité de la production intérieure d'entropie se met sous sa forme habituelle : ou en considérant les densités : Note remise le 21 octobre 1988, acceptée le 26 octobre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] E. T. WHITTAKER, Analytical dynamics of particles and rigid bodies, Cambridge University Press, 1965. [2] M. A. BIOT, New variationnal irreversible thermodynamics of physical-chemical continua, Pergamon Press, 1981; On variationnal methods in the mechanics of solids. [3] J.
On variationnal methods in the mechanics of solids. [3] J. MANDEL, Cours de mécanique des milieux continus, Gauthier-Villars, Paris, 1966. Laboratoire de Mécanique des Solides, École Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 2001-2004, 1988 2001 Physique des surfaces et des interfaces/Surface and Interphase Physics Conformation d'une goutte posée sur une surface faiblement hétérogène Martin E. R. SHANAHAN Résumé — Tandis qu'une goutte de liquide posée sur une surface solide idéale adopte la forme d'une calotte sphérique, la présence d'hétérogénéités sur le substrat peut rendre sa forme asymétrique. Nous considérons la classe des
peut rendre sa forme asymétrique. Nous considérons la classe des problèmes pour laquelle les variations des caractéristiques superficielles sont légères. La forme du ménisque et du contour de la ligne triple sont calculés pour la calotte sphérique de faible angle de contact qui est faiblement perturbée. Conformation of a sessile drop on a weakly heterogeneous surface Abstract — Whilst a sessile drop on an ideal solid surface adopts the form of a spherical cap, the presence of heterogeneities on the substrate can destroy the symmetry. We consider the class of problems for which surface characteristics vary slightly. The form of
problems for which surface characteristics vary slightly. The form of the meniscus and the contour of the triple line are calculated for the spherical drop of low contact angle which is weakly perturbed. I. INTRODUCTION. — A pure liquid drop, L, placed on an ideal solid surface, S (rigid, plane, smooth, homogeneous and isotropic), adopts the form of a spherical cap (if there is no spreading and the effects of penetration are negligible). This configuration of the liquid/vapour interface represents a simple solution of the capillarity equation of Laplace [1] but in general the form of the meniscus is not
but in general the form of the meniscus is not easy to elucidate. In particular, when the solid presents a heterogeneous surface, the axial symmetry is lost and the contour corresponding to the triple line L/S/V must be determined. The general problem of wetting of a heterogeneous solid is very complex and only a few analytical solutions exist [2]. However, by adopting certain simplifying hypotheses, it is possible to find an approximate solution describing the meniscus of a drop placed on a surface of weak heterogeneity. II. A DROP OF SLIGHT DEFORMATION. — We consider a drop placed of low
SLIGHT DEFORMATION. — We consider a drop placed of low contact angle intrinsèque, θ0, presenting an essentially spherical meniscus, but slightly deformed by an heterogeneity of the solid substrate. ### CORRECTION ### Il convient ici de tenir compte des forces intérieures d'interaction entre les particules du solide, le potentiel des forces extérieures est naturellement remplacé par l'énergie potentielle totale du système E(u, a, 9, X) : Le Lagrangien L est alors une fonctionnelle des champs représentant la position u, du/dt), de l'état thermodynamique du système (a, 9); cette fonctionnelle dépend explicitement du temps par l'intermédiaire du paramètre de chargement X.
explicitement du temps par l'intermédiaire du paramètre de chargement X. (a) Les équations d'équilibre dynamique du système peuvent être exprimées sous deux formulations équivalentes : — les équations de Lagrange : pour tout champ Su cinématiquement admissible; c'est-à-dire vérifiant les conditions aux limites ôw = 0 sur dQ.u = {x e dQ/u (x, t) = ud (x, t) pour tout t} et les conditions initiales 8w = 0 aux instants successifs tl et t2 : — l'expression des équations locales et des conditions aux limites : où £ désigne une surface de discontinuité éventuelle et m = p0 c désigne
surface de discontinuité éventuelle et m = p0 c désigne le débit massique à travers cette surface. La preuve de cette équivalence s'obtient en effectuant le calcul des variations : soit encore en intégrant par parties le premier terme C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1997-2000, 1988 1999 intégrons par parties le terme o s(5«), d'où en omettant l'intégration en temps dont on déduit les équations locales et les équations aux discontinuités. Soulignons toutefois que l'on peut introduire l'impulsion p = p0v comme variable au lieu de la vitesse v par la transformation de contact :
de la vitesse v par la transformation de contact : les équations de la dynamique correspondantes se mettent alors sous la forme Remarquons que la fonctionnelle L* est la somme de l'énergie cinétique du système et de l'énergie récupérable à chaque instant. Cette énergie est différente de la fonctionnelle classique de Hamilton qui représente l'énergie totale du système. (b) Pour tenir compte du comportement anélastique, il convient de compléter les équations de Lagrange par les équations complémentaires : Ces expressions généralisent les résultats énoncés par Biot [2] pour les systèmes viscoélastiques. 3. FONCTION DE HAMILTON ET EXPRESSION DU PREMIER PRINCIPE.
viscoélastiques. 3. FONCTION DE HAMILTON ET EXPRESSION DU PREMIER PRINCIPE. — En mécanique analytique la fonctionnelle de Hamilton est l'énergie totale du système, le principe de Hamilton n'est autre que l'expression du premier principe appliqué aux systèmes conservatifs isolés thermiquement. La fonctionnelle de Hamilton s'exprime ici sous la forme : où Vext est le potentiel des efforts extérieurs et U l'énergie interne du système. Comme U = (cp + 0 s) p0 dta on peut exprimer H en fonction de E : Jn Le principe de Hamilton généralisé sous la forme du premier principe de la thermodynamique peut donc s'écrire
forme du premier principe de la thermodynamique peut donc s'écrire dans le cas quelconque : C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 136 2000 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1997-2000, 1988 où Pcal est la puissance calorifique échangée avec le milieu extérieur, exprimée sous sa forme habituelle par le flux de chaleur q à travers la paroi du solide. En effet, exprimons les quantités en fonction des grandeurs locales : soit en introduisant a la contrainte à l'équilibre : Le second membre Pcal = — q.nda devient après intégration Jan ces expressions étant
= — q.nda devient après intégration Jan ces expressions étant vraies pour tout volume Q, on en déduit les équations locales et aux discontinuités [3] : Nota. — Il est à noter que le second principe exprimant la positivité de la production intérieure d'entropie se met sous sa forme habituelle : ou en considérant les densités : Note remise le 21 octobre 1988, acceptée le 26 octobre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] E. T. WHITTAKER, Analytical dynamics of particles and rigid bodies, Cambridge University Press, 1965. [2] M. A. BIOT, New variationnal irreversible thermodynamics of physical-chemical continua, Pergamon Press, 1981; On
variationnal irreversible thermodynamics of physical-chemical continua, Pergamon Press, 1981; On variationnal methods in the mechanics of solids. [3] J. MANDEL, Cours de mécanique des milieux continus, Gauthier-Villars, Paris, 1966. Laboratoire de Mécanique des Solides, École Polytechnique, 91128 Palaiseau Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 2001-2004, 1988 2001 Physique des surfaces et des interfaces/Surface and Interphase Physics Conformation d'une goutte posée sur une surface faiblement hétérogène Martin E. R. SHANAHAN Résumé — Tandis qu'une goutte de liquide posée sur une surface solide idéale adopte la forme d'une calotte sphérique, la présence d'hétérogénéités sur le substrat peut
d'une calotte sphérique, la présence d'hétérogénéités sur le substrat peut rendre sa forme asymétrique. Nous considérons la classe des problèmes pour laquelle les variations des caractéristiques superficielles sont légères. La forme du ménisque et du contour de la ligne triple sont calculés pour la calotte sphérique de faible angle de contact qui est faiblement perturbée. Conformation of a sessile drop on a weakly heterogeneous surface Abstract — Whilst a sessile drop on an ideal solid surface adopts the form of a spherical cap, the presence of heterogeneities on the substrate can destroy the symmetry. We consider the class of problems
can destroy the symmetry. We consider the class of problems for which surface characteristics vary slightly. The form of the meniscus and the contour of the triple line are calculated for the spherical drop of low contact angle which is weakly perturbed. I. INTRODUCTION. — A pure liquid drop, L, placed on an ideal solid surface, S (rigid, plane, smooth, homogeneous and isotropic), adopts the form of a spherical cap (if there is no spreading and the effects of penetration are negligible). This configuration of the liquid/vapour interface represents a simple solution of the capillarity equation of Laplace [1] but
simple solution of the capillarity equation of Laplace [1] but in general the form of the meniscus is not easy to elucidate. In particular, when the solid presents a heterogeneous surface, the axial symmetry is lost and the contour corresponding to the triple line L/S/V must be determined. The general problem of wetting of a heterogeneous solid is very complex and only a few analytical solutions exist [2]. However, by adopting certain simplifying hypotheses, it is possible to find an approximate solution describing the meniscus of a drop placed on a surface of weak heterogeneity. II. A DROP OF SLIGHT
a surface of weak heterogeneity. II. A DROP OF SLIGHT DEFORMATION. — We consider a drop placed of low contact angle intrinsèque, θ0, presenting an essentially spherical meniscus, but slightly deformed by an heterogeneity of the solid substrate. En coordonnées polaires suivant le plan de la surface solide (r, θ), l'énergie libre du système E, avec la contrainte de volume du liquide constant, V, peut s'écrire : où y( = yLV), YSL et YSV représentent les énergies libres des trois interfaces, e = e(r, θ) est une perturbation énergétique du substrat qui s'ajoute localement à YSV, p(θ) le rayon de
substrat qui s'ajoute localement à YSV, p(θ) le rayon de contact local de la goutte et Ap la pression de Laplace à travers l'interface L/V. La hauteur du ménisque, z est constituée d'un arc de cercle de rayon R modifié d'une perturbation, r : Le rayon de contact r0 correspond au cas où e=0. Les conditions de l'équation (2) impliquent que |_|/y < 1; la valeur moyenne de e sur une « grande » aire est proche de zéro (autrement, il faudrait simplement réévaluer ySL—ysv) Note présentée par Pierre-Gilles de GENNES. 0249-6305/88/03072001 S 2.00 © Académie des Sciences 2002 C.
GENNES. 0249-6305/88/03072001 S 2.00 © Académie des Sciences 2002 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 2001-2004, 1988 Contour de la ligne triple d'une goutte posée et perturbée par une hétérogénéité en forme de fonction en escalier à (r0, 0) (ligne continue) et contour sur surface homogène (pointillé). Contour of the triple line of a sessile drop perturbed by a step function heterogeneity at (r0, 0) (continuous line) and contour on homogeneous surface (dotted). A l'équilibre (stable ou métastable), J doit être un minimum. Une condition nécessaire est que la fonction à intégrer de l'équation (1) satisfasse
est que la fonction à intégrer de l'équation (1) satisfasse l'équation différentielle d'Ostrogradskii [3]. En utilisant le fait que A>p = 2y/R, il en découle l'équation différentielle suivante : (3) r2(r) + rnr + n, r = 0. Cette expression est l'équation différentielle de Laplace en coordonnées polaires et correspond au problème de Dirichlet pour le cercle [4]. La solution requise avec périodicité angulaire et qui est finie à r = 0 est : (4) où les a et p sont des constantes dépendant des conditions limites du problème spécifique. Étant donné les conditions imposées sur la forme de E,
Étant donné les conditions imposées sur la forme de E, et le fait que r est une série de Fourier, nous pouvons exprimer la contribution à l'énergie libre du système, I, provenant des perturbations dans la forme : où 8(0) est défini par : Les constantes A et B dépendent de la forme de la perturbation e près de la circonférence de la goutte. L'évaluation de l'équation (1) à partir de (2), (4), (5) et (6) donne : C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 2001-2004, 1988 2003 Un minimum de J est obtenu lorsque ses dérivées
2003 Un minimum de J est obtenu lorsque ses dérivées par rapport aux a et p sont zéro. En constatant que ceci implique que a1 = p=0, et en évaluant les autres a et P en fonction des A et B, nous obtenons la fonction générale décrivant le ménisque : L'angle de contact local, θ(r) = θ0—A0(θ), et la modification locale est donnée par : III. CAS D'UNE SIMPLE ET UNIQUE HÉTÉROGÉNÉITÉ. — Les équations (8)-( 10) nous permettent d'étudier le ménisque d'une goutte posée sur une surface faiblement hétérogène dans le cas général, mais à titre d'exemple, nous examinerons
dans le cas général, mais à titre d'exemple, nous examinerons l'influence d'une perturbation unique près de la ligne triple. En adoptant une fonction en escalier telle que : e(r0, θ)=E0(-X<-X) et e(r0, θ)=0 ailleurs, nous obtenons : et par conséquent, l'expression (9) devient : Même si la fonction (11) est discontinue par endroit, le fait que le terme général de la série de l'équation (12) est O (n-2) montre que le contour de la ligne triple reste continue; une constatation attendue par des considérations physiques du problème. Le ménisque doit être à la fois continu et lisse. La figure montre
être à la fois continu et lisse. La figure montre le contour correspondant à l'équation (12) ainsi que le cercle de contact de rayon r0 d'une goutte sur une surface homogène. L'effet de la perturbation est exagéré en prenant E0/7y0o = 2. Cette valeur est strictement trop élevée pour que l'approximation O (r) soit valable, mais sert à démontrer les effets d'une hétérogénéité énergétique près de la ligne triple. En l'occurrence, X = 102 radian, mais pour les faibles gammes angulaires, la valeur exacte a peu d'influence. On voit que E « tire » la ligne triple de son contour
E « tire » la ligne triple de son contour circulaire de sorte que le rayon de contact local dépasse r0, tandis qu'éloigné de la zone hétérogène, le rayon devient réduit — une conséquence de la conservation du volume de la goutte. Vers la région correspondant à θ ~ + n, l'effet de s est quasi totalement amorti. Bien que le contour de la goutte reste continu, l'équation (10) prédit que le changement de l'angle de contact sera discontinu lorsque E adopte la forme d'une fonction en escalier. Ceci n'est pas raisonnable physiquement et la cause de ce problème réside
pas raisonnable physiquement et la cause de ce problème réside dans le fait que la relation (10) donne une expression pour Aθ correcte à 0(r-1). L'influence de r0 n'intervient qu'à 0(r2) (les termes de cet ordre sont peu maniables mathématiquement). En fait les variations de A0 aux alentours de + π seront assez abruptes, mais continues. Une simple application de l'équation de Young pour l'équilibre à la ligne triple montre, pour θ0 faible, que A0 ~ £/y0o. Cette valeur provient d'une évaluation ponctuelle à partir des énergies libres interfaciales locales. Toutefois, l'expression (10) indique que la partie principale, c'est-à-dire s/y0o,
Toutefois, l'expression (10) indique que la partie principale, c'est-à-dire s/y0o, est modulée par le(s) terme(s) en B1 (A0). L'influence est faible mais démontre que l'équation de Young n'est pas toujours strictement exacte. L'angle de contact en un point peut être différent de celui prédit si une hétérogénéité de surface est présente. Ceci est assez évident dans le cas présenté : la perturbation du substrat prend la forme d'une fonction en escalier, mais le ménisque ne peut le faire. Forcément, il existe une zone près de la transition où le ménisque ne suit pas exactement les tendances du solide. Le modèle
ne suit pas exactement les tendances du solide. Le modèle proposé est capable de tenir compte des discontinuités angulaires de la surface solide, mais sa formulation nécessite une dépendance radiale continue. Par conséquent, des effets d'ancrage par une tache isolée seraient difficiles à analyser. Les conséquences d'hystérèse dans une telle situation sont mieux comprises par le traitement de Joanny et de Gennes. L'analyse présentée correspond plutôt à une élucidation des modifications (semi) macroscopiques provoquées par une faible hétérogénéité du substrat. IV. CONCLUSIONS. — Une goutte de liquide placée sur un substrat idéal adopte la forme d'une calotte sphérique, mais dès
substrat idéal adopte la forme d'une calotte sphérique, mais dès que le solide présente une hétérogénéité de surface, l'équation de Laplace décrivant l'interface liquide/vapeur est modifiée (en général). Nous traitons la classe de problèmes où une goutte de faible angle de contact est légèrement perturbée de sa forme sphérique par des petites variations énergétiques de solide. La solution permet de calculer la forme du ménisque et du contour de la ligne triple. Une (faible) modification de l'équation de Young peut exister, notamment lorsque les caractéristiques superficielles du solide varient abruptement. Note remise le 14 novembre 1988, acceptée le 16 novembre
Note remise le 14 novembre 1988, acceptée le 16 novembre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] P. S. LAPLACE, Mécanique Céleste, Supplément au X livre, Coureleur, Paris, 1805. [2] L. BORUVKA et A. W. NEUMANN, J. Colloid Interf. Sci., 65, 1978, p. 315-330. [3] V. I. SMIRNOV, A Course of Higher Mathematics (trad. D. E. Brown), IV, Pergamon, 1964, chap. 2, p. 201. [4] R. COURANT et D. HILBERT, Methods of Mathematical Physics, I, Wiley, 1953, chap. IV, p. 179. [5] J. F. JOANNY et P.-G. DE GENNES, J. Chem. Phys., 81, 1984, p. 552-562. Centre national de la Recherche scientifique, École
1984, p. 552-562. Centre national de la Recherche scientifique, École nationale supérieure des Mines de Paris, Centre des Matériaux P. M. Fourt, B.P. n° 87, 91003 Évry Cedex. C.R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série H, p. 2005-2010, 1988 Physique des surfaces et des interfaces / Surface and Interphase Physics Rayonnement de freinage émis dans le domaine optique par des électrons de faible énergie pénétrant dans une cible métallique : résultats expérimentaux nouveaux obtenus avec des couches minces d'argent Francis MISEREY Résumé — Le Bremsstrahlung optique qui est produit dans les couches minces d'argent par des électrons de 4 à
les couches minces d'argent par des électrons de 4 à 24 keV est étudié expérimentalement et séparé sans ambiguité des différents autres rayonnements (rayonnement de Transition, Plasmons de Surface) produits simultanément. Son rendement est mesuré. On étudie l'effet de l'épaisseur d'argent d sur la puissance rayonnée (12,5<_<125nm). Optical Bremsstrahlung radiated by low energy electrons impinging on a metallic target: experimental new results obtained with silver thin films Abstract — The optical Bremsstrahlung which is radiated by 4 to 24 keV electrons in silver thin films is experimentally studied and unambiguously separated from simultaneous others emissions (Transition Radiation, Surface Plasmons). Its