jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
d'un défaut à la surface d'un matériau [4]. Pour un matériau isotrope et homogène, la localisation d'une source d'émission acoustique se fait par simple triangulation [5], et peut être étendue à diverses géométries [6]. Pour des problèmes analogues, des analyses statistiques furent mises en œuvre pour prédire les erreurs dues à des incertitudes sur la position des senseurs récepteurs [7], à l'adjonction de bruit [8]. Aussi, l'influence de la dispersion fut étudiée [9]. Il est toutefois remarquable de constater que peu d'attention fut dévolue au problème de la localisation de sources d'émission acoustique dans des matériaux anisotropes. Pourtant des applications
sources d'émission acoustique dans des matériaux anisotropes. Pourtant des applications potentielles existent en contrôle nondestructif de matériaux composites par exemple. La difficulté de ce problème tient au fait que l'anisotropie vient compliquer l'analyse vu que les différences en temps de transit ne sont plus liées à des différences de longueurs géométriques comme c'est le cas en milieu isotrope, mais à des différences de chemins acoustiques faisant intervenir l'indice de réfraction acoustique qui est une fonction de l'orientation. MÉTHODE DE CALCUL. — La géométrie retenue, décrite sur la figure, consiste en un ensemble de n senseurs (n^3) distribués sur un cercle
un ensemble de n senseurs (n^3) distribués sur un cercle centré à l'origine du référentiel, et de rayon d. Chaque senseur est repéré par sa coordonnée angulaire θ(k = 1, . . ., n) avec l'axe principal 1 du matériau. La source S de coordonnées cartésiennes Xs, Ys se trouve sur la face opposée de la lame à faces parallèles considérée (Fig., b). Pour une paire de senseurs (k, m), l'écart des temps de transit sur les trajets acoustiques des ondes quasi longitudinales source/senseur k, source/senseur m est fourni par l'expression : avec : Il y a N = C^2
l'expression : avec : Il y a N = C^2 équations linéairement indépendantes du type (1). Cette équation est réarrangée, puis élevée successivement deux fois au carré pour aboutir au système d'équations quadratiques : La simulation numérique a été effectuée en C++, en utilisant un algorithme de Newton-Raphson modifié, pour lequel les coefficients A; (j=1, . . ., 6) du système sont des champs scalaires. À chaque itération, ces coefficients doivent être réévalués puisque reliés par l'intermédiaire des vitesses de propagation aux inconnues elles-mêmes. RÉSULTATS NUMÉRIQUES. — Pour éprouver l'algorithme brièvement décrit, ainsi que certaines de ces variantes, plusieurs résultats
brièvement décrit, ainsi que certaines de ces variantes, plusieurs résultats obtenus par simulation numérique sont présentés ici. Les paramètres numériques utilisés, masse volumique et constantes élastiques, furent choisis dans la littérature. Pour simuler les erreurs aléatoires sur les mesures de temps de parcours, nous avons utilisé une procédure numérique de perturbation mettant en œuvre une fonction de densité quasi gaussienne. Le tableau I regroupe des résultats caractéristiques en ce qui concerne l'influence de la position de la source. Intuitivement, on conçoit aisément que la convergence soit meilleure lorsque la source est voisine des senseurs ce qui est clairement confirmé par
est voisine des senseurs ce qui est clairement confirmé par la simulation. En effet, on observe une plus grande difficulté dans la convergence lorsque la source est éloignée des senseurs, ce qui est attesté par l'augmentation du nombre d'itérations. On peut aussi noter que la précision est excellente, même dans ce cas qui n'utilise que quatre senseurs, puisque les coefficients de variation pour les coordonnées de la source sont inférieurs à l'amplitude de la perturbation sur les temps de transit, en ce qui concerne tout du moins les résultats obtenus à l'intérieur du cercle des senseurs. Le tableau II présente
à l'intérieur du cercle des senseurs. Le tableau II présente quelques résultats illustrant l'influence du nombre de senseurs sur la précision de l'optimisation. L'amélioration est nette et paraît meilleure que la traditionnelle relation en racine carrée du nombre de senseurs. Le tableau III discute l'influence d'erreurs systématiques, cette fois, sur les constantes élastiques. Il est à noter que cette influence apparaît modeste, et le plus souvent négligeable. Toutefois, Cx et surtout C22 font généralement exception, et cela est directement relié aux valeurs plus importantes de ces deux constantes élastiques, qui ont de façon évidente le plus de poids pour le
ont de façon évidente le plus de poids pour le calcul des vitesses de propagation. DISCUSSION ET CONCLUSION. — L'algorithme présenté résout de façon efficace le problème de localisation d'une source ponctuelle d'émission acoustique dans un solide anisotrope. Par permutations circulaires sur les constantes élastiques, la méthode se généralise aisément aux deux autres plans principaux de la symétrie orthorhombique, ainsi qu'à d'autres systèmes de symétrie. L'extension à des plans non principaux ne présente pas de difficulté insurmontable tant que numériquement les valeurs propres du tenseur de propagation peuvent être calculées. Cette procédure numérique supplémentaire est réalisée par une méthode de
Cette procédure numérique supplémentaire est réalisée par une méthode de Jacobi. Par ailleurs, le problème à trois dimensions peut être traité par une méthode numérique analogue. Certaines différences majeures existent. Par exemple, la nouvelle fonctionnelle compliquée par l'apparition de termes de degré huit possède des singularités pour certaines dispositions relatives des senseurs par rapport à la source. De plus, la convergence des données simulées en présence de bruit est généralement difficile. Pourtant, des améliorations sont possibles. L'ensemble de ces développements seront traités dans de futurs articles. PARAMÈTRES DE LA SIMULATION NUMÉRIQUE. Distance : Rayon du cercle sur lequel sont disposés
NUMÉRIQUE. Distance : Rayon du cercle sur lequel sont disposés les senseurs (d = 10,00 cm). Rayon : Rayon vecteur de la position, en coordonnées polaires, de la source (R = variable pour le tableau I, = 5,00 cm pour les tableaux II et III). Alpha : Angle avec la direction principale 1, en coordonnées polaires, de la source (oc = 45°). Épaisseur : Épaisseur de la lame à faces parallèles (e = 1.00 cm). Nombre : Nombre de senseurs (n = 4 pour le tableau I, variable pour le tableau II, = 5 pour le tableau III). Pert :
tableau II, = 5 pour le tableau III). Pert : Étendue de la perturbation apportée sur les différences en temps de transit (pert = 2% pour les tableaux I et II, 0% pour le tableau III). Rho : Masse volumique du matériau (p = 2,108 g/cm3). Cu : Constante élastique du matériau (Ct = 26,3 GPa). C22 : Constante élastique du matériau (C22 = 65,5 GPa). C12 : Constante élastique du matériau (C12 = 9,58 GPa). C66 : Constante élastique du matériau (C66 = 10,5 GPa). Note reçue le 27 juin 1988, acceptée le 26 août 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1]
juin 1988, acceptée le 26 août 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] K. AKI et P. G. RICHARDS, Quantitative Seismology, vol. 1, W. H. Freeman and Co., San Francisco, 1980, p. 383-477. [2] C. B. SCRUBY, R. J. DEWHURST, D. A. HUTCHINS et S. B. PALMER, Laser generation of ultrasound in metals, dans Research Techniques in Nondestructive Testing, vol. 5, R. S. SHARPE éd., Académie Press, New York, 1982, p. 281-327. [3] B. CASTAGNEDE et W. SACHSE, C.R. Acad. Sci. Paris (à paraître). [4] K. Y. KIM et W. SACHSE, Int. J. Fract., 31, 1986, p. 211-231. [5] A. TOBIAS, Nondestructive Testing
Fract., 31, 1986, p. 211-231. [5] A. TOBIAS, Nondestructive Testing Int., 10, 1976, p. 9-12. [6] M. ASTY, Nondestructive Testing Int., 12, 1978, p. 223-226. [7] G. C. CARTER, J. Acoust. Soc. Am., 65, (2), 1979, p. 528-531. [8] C. S. CLAY, M. J. HINICH et P. SHAMAN, J. Acoust. Soc. Am., 53, (4) 1973, p. 1161-1166. [9] C. S. CLAY et M. J. HINICH, J. Acoust. Soc. Am., 47, (2), 1970, p. 435-440. [10] B. A. AULD, Acoustic Fields and Waves in Solids, Vol. 1, Wiley and Sons, New York 1973. [11] B. HOSTEN et B. CASTAGNEDE, C.R. Acad.
York 1973. [11] B. HOSTEN et B. CASTAGNEDE, C.R. Acad. Sci. Paris, 296, série II, 1983, p. 297-300. [12] P. G. CIALLET, Introduction à l'analyse numérique matricielle et à l'optimisation, Masson, Paris, 1982, p. 167-207. [13] B. CASTAGNEDE, Mesures des constantes élastiques de solides anisotropes par une méthode ultrasonore, Thèse de spécialité, Univ. de Bordeaux-I, #2001, 1984. Department of Theoretical and Applied Mechanics, Thurston Hall, Cornell University, Ithaca, New York 14853 U.S.A. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1479-1486, 1988 1479 Mécanique des fluides/Mechanics of Fluids Transformée en ondelettes pour détecter et analyser les structures cohérentes
Transformée en ondelettes pour détecter et analyser les structures cohérentes dans les écoulements turbulents bidimensionnels Marie FARGE et Gabriel RABEAU Résumé — La transformée en ondelettes réalise une décomposition à la fois en espace et en échelle, ce qui permet de détecter et d'analyser les structures cohérentes émergeant au sein des écoulements turbulents. Nous effectuons l'analyse spectrale en ondelettes d'une coupe uni-dimensionnelle obtenue à partir d'un champ de vorticité bidimensionnel, ceci à deux instants différents de son évolution. Nous montrons ainsi que, dans les écoulements bidimensionnels non forcés, les plus petites échelles se trouvent concentrées dans les noyaux des tourbillons,
petites échelles se trouvent concentrées dans les noyaux des tourbillons, et non à leur périphérie comme on le pensait auparavant. Wavelet transform to detect and analyze coherent structures in two-dimensional turbulent flows Abstract — The wavelet transform, by performing a space-scale decomposition, can detect and analyze the coherent structures emerging out of turbulent flows. We perform the wavelet spectral analysis of a one-dimensional cut obtained from a two-dimensional vorticity field, considering two different instants of its evolution. We thus show that, in two-dimensional decaying flows, the smallest scales are concentrated inside the vortex cores, and not on their periphery as
inside the vortex cores, and not on their periphery as it was thought before. Abridged English Version — 1. COHERENT STRUCTURES IN TURBULENT FLOWS. — Coherent structures have been recognized as essential features of turbulent flows ([1], [2], [3]). Their presence results from the nonlinear dynamics of these flows, from which they emerge by a phase locking process and then last on time scales much longer than the eddy turnover time. After the early stage, where the flow is being condensed into coherent vortices, the nonlinear transfers are no more uniformly active in all space but are concentrated in the
uniformly active in all space but are concentrated in the shear layers formed at their periphery. The flow can then be separated into these coherent vortices, which are dynamically active through their mutual interactions, and a background flow, passively advected by them. Fourier analysis is not adapted to separate those structures from the rest of the flow, because it loses the information concerning the coherence present in physical space. We are looking for a space-scale decomposition able to detect and analyze the coherent structures present in two-dimensional flows. This is why we will consider here the wavelet transform, recently developed
why we will consider here the wavelet transform, recently developed by Morlet, Grossmann and Meyer ([4], [5], [6]). 2. SPACE-SCALE DECOMPOSITION USING WAVELET TRANSFORM. — Any transform realizes a correspondence between physical space x and spectral space k, by convoluting the signal f to be analyzed with a given analyzing function /. Figure 1 shows four examples of analyzing functions adapted, either to scale (1a), or to space (1b) decompositions, or to both (1c and 1d); looking at the space-scale diagram (|x|, |k|), we see how the wavelet transform achieves an optimal compromise between space resolution Ax and scale resolution
an optimal compromise between space resolution Ax and scale resolution Ak in terms of the uncertainty principle, corresponding to Nyquist relation Àx. A = Const. The wavelet transform uses functions φ, called wavelets (Fig. 1 d), presenting only a few oscillations in a gaussian envelope, that are translated (parameter b) and dilated (parameter a), such as [1] and [2]. The wavelet transform also verifies Parseval's relation, i.e. conserves energy, such as [3]. Note présentée par Paul GERMAIN. 0249-6305/88/03071479 $ 2.00 © Académie des Sciences 1480 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1479-1486, 1988 The wavelet transform
t. 307, Série II, p. 1479-1486, 1988 The wavelet transform is particularly adapted to the analysis of non-periodic signals, especially if they present complex transient behaviors, and even singularities, the only requirement being that the signal should have a finite energy; indeed, it locally measures the Hölder regularity of the signal, or even gives the order of an eventual singularity, which is important in the context of turbulent flow analysis. We can choose different wavelets, or continuous, or discrete, under the conditions that they have a zero mean value, a finite energy and that their Fourier transform exists. We will
finite energy and that their Fourier transform exists. We will consider here the Morlet wavelet (Fig. 2) [6], which is continuous and complex valued, giving thus a modulus and a phase in spectral space. The isophases lines have the property of converging on the most irregular parts of the signal, while the modulus gives the scale analysis of the energy density. 3. APPLICATION. — The wavelet decomposition of a one-dimensional signal gives a two-dimensional spectral space, with space (parameter b) in abscissa and the logarithm of the scale (parameter a) in ordinate. If ultimately we are interested in analyzing two-dimensional
in ordinate. If ultimately we are interested in analyzing two-dimensional turbulent fields, to which corresponds a four-dimensional wavelet spectral space, as a first step to demonstrate the techniques, we will here analyze a one-dimensional section of a two-dimensional vorticity field, obtained by numerically integrating Saint-Venant's equations with an initial "balance" condition [7]. The field here being vorticity, the corresponding meansquare measure is enstrophy (meansquare of the vorticity field) instead of energy. We will study two different states of the flow: the first, close to the initial instant, i.e. before the formation of coherent structures, and the second at a later
formation of coherent structures, and the second at a later stage, where the vorticity field has been condensated into few coherent vortices. Figure 3 a gives the wavelet analysis of the flow after one eddy turnover time: enstrophy is distributed between all scales and this quite uniformly in space, with a maximum at wavenumber k = 3, which corresponds to the initial excitation of the flow; the isophase lines show the emergence of a coherent vortex near x = 300. Figure 3 b corresponds to the flow after 100 eddy turnover times: enstrophy is now condensed into one large scale
turnover times: enstrophy is now condensed into one large scale coherent vortex surrounded by a smooth background; the isophase lines point at the core of the vortex located near x = 250. In conclusion, the wavelet analysis has shown that the cores of the vortices are the most irregular features in the vorticity field where most of the enstrophy is concentrated, while the background flow in between vortices is much more regular and less excited. This tends to contradict the classical interpretation of two-dimensional turbulent flows [2]: the smallest scales of the vorticity field are not the filamentary structures, which
of the vorticity field are not the filamentary structures, which get developed at the vortex periphery under the action of the enstrophy cascade, but are concentrated inside the vortex cores. Dissipation, which is proportional to the vorticity laplacian, and therefore sensitive to the small scales, would thus act not only on the vorticity filaments, but also on the internal structure of vortices. This conclusion may be very general, or restricted only to the case of decaying compressible two-dimensional turbulent flows studied here. We should now generalize this approach by using a two-dimensional wavelet transform, which will in addition give us
a two-dimensional wavelet transform, which will in addition give us information on the local polarization of the flow and enable us to separate the coherent vortices, which are non polarized, from the background flow, formed of vorticity filaments which are highly polarized. Then, after choosing an appropriate filter and using the invertability property of the wavelet transform, we should be able to reconstruct two vorticity fields, one corresponding to the background flow and the other to the coherent vortices alone, in order to study their dynamics separately. This decomposition technique may be more appropriate than the present thresholding used to
may be more appropriate than the present thresholding used to filter the coherent vortices out of the turbulent flows. STRUCTURES COHERENTES DANS LES ÉCOULEMENTS TURBULENTS. — On pense aujourd'hui que les structures cohérentes jouent un rôle essentiel dans la dynamique non linéaire des écoulements turbulents ([1], [2], [3]). Elles se forment spontanément au sein de ceux-ci, par un processus de blocage de phase, et survivent sur des échelles de temps bien supérieures au temps de retournement des tourbillons. Après une phase initiale où l'écoulement se condense en tourbillons cohérents, les transferts non linéaires ne sont plus actifs uniformément dans l'espace
transferts non linéaires ne sont plus actifs uniformément dans l'espace mais restent concentrés dans les couches limites qui se développent autour des tourbillons. L'écoulement peut alors être séparé entre ces structures cohérentes, qui de par leurs interactions mutuelles constituent sa partie dynamiquement active, et un écoulement résiduel passivement advecté par celles-ci. L'analyse de Fourier n'est pas adaptée pour extraire ces structures du reste de l'écoulement, car elle ne tient pas compte de la cohérence présente dans l'espace physique. Nous recherchons une technique de décomposition, à la fois en espace et en échelle, capable de détecter et d'analyser les structures cohérentes
en échelle, capable de détecter et d'analyser les structures cohérentes présentes dans les écoulements turbulents. Fig. L — Quatre exemples de fonctions analysatrices et comment elles se comportent vis-à-vis du principe d'incertitude (cf. cellules d'information de Gabor Ax.Afc = Cte). (a) Analyse spectrale à l'aide de la transformée de Fourier. À gauche : fonctions analysatrices trigonométriques. À droite : pas de résolution spatiale Ax, mais résolution optimale en échelle Ak. (b) Analyse spatiale à l'aide de l'échantillonnage de Shannon. À gauche : impulsions de Dirac comme fonctions analysatrices. À droite : résolution spatiale optimale, mais pas de résolution en échelle,
: résolution spatiale optimale, mais pas de résolution en échelle, (c) Analyse espace-échelle à l'aide de la transformée de Gabor (Fourier à fenêtre glissante). À gauche : fonctions analysatrices ayant une enveloppe gaussienne constante. À droite : mêmes résolutions en espace et en échelle quel que soit le nombre d'onde, (d) Analyse espace-échelle à l'aide de la transformée en ondelettes. À gauche : ondelettes analysatrices de forme constante. À droite : résolutions en espace et en échelle optimales, adaptées pour chaque nombre d'onde i. Fig. 1. — Four examples of analyzing functions and how they behave in terms of the
analyzing functions and how they behave in terms of the uncertainty principle (cf. Gabor's information cells Ax. Ak = Const.). (a) Scale analysis using Fourier transform. Left: trigonometric analyzing functions. Right: no space resolution Ax, but optimal scale resolution Ak. (b) Space analysis using Shannon sampling. Left: Dirac pulses as analyzing functions. Right: optimal space resolution, but no scale resolution, (c) Space-scale analysis using Gabor (windowed Fourier) transform. Left: trigonometric analyzing functions with a constant gaussian envelope. Right: same space and scale resolutions irrespectivement of the wave number. (d) Space-scale analysis using wavelet transform. Left: wavelet analyzing functions of constant
analysis using wavelet transform. Left: wavelet analyzing functions of constant shape. Right: optimal space and scale resolutions, adapted for each wave number i. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1479-1486, 1988 Bidimensionnels. Nous avons ainsi été conduits à utiliser la transformée en ondelettes, récemment développée par Morlet, Grossmann et Meyer ([4], [5], [6]). 2. DÉCOMPOSITION ESPACE-ÉCHELLE À L'AIDE DE LA TRANSFORMÉE EN ONDELETTES. — Toute transformée réalise une correspondance entre l'espace physique x et l'espace spectral k, en convoluant le signal à analyser / avec une fonction analysatrice donnée v|/. La figure 1 montre quatre exemples
fonction analysatrice donnée v|/. La figure 1 montre quatre exemples de fonctions analysatrices différentes, adaptées soit à une décomposition en échelle (1a), soit à une décomposition spatiale (1b), soit aux deux (1c et 1d); le diagramme espace-échelle (| x |, | k |) nous montre que la transformée en ondelettes réalise un compromis optimal entre une résolution spatiale Ax et une résolution en échelle Ak, conformément au principe d'incertitude donné par la relation de Nyquist Ax. Ak = Cte. La transformée en ondelettes utilise des fonctions (fig. 1d) ne présentant que quelques oscillations à l'intérieur d'une enveloppe gaussienne, que l'on
que quelques oscillations à l'intérieur d'une enveloppe gaussienne, que l'on translate (paramètre b) et dilate (paramètre a), ce qui donne la décomposition suivante : EXPLICATIONS DES PLANCHES I ET II Fig. 3. — Décomposition en ondelettes (2, module; 3, phase) d'une coupe unidimensionnelle (1) obtenue à partir d'un champ de vorticité bidimensionnel. Le paramètre de translation b (donné sur 512 points) est porté en abscisse et le logarithme du paramètre de dilatation a (donné sur 8 octaves avec 5 points par octave) est porté en ordonnée, (a) État de l'écoulement proche de l'instant initial, après un temps de retournement des
proche de l'instant initial, après un temps de retournement des tourbillons : les structures cohérentes ne se sont pas encore formées, (b) État tardif de l'écoulement, après 100 temps de retournement des tourbillons : condensation du champ de vorticité en une structure cohérente isolée, les plus petites échelles se trouvant concentrées dans le noyau de ce tourbillon. Fig. 3. — Wavelet decomposition (2, modulus; 3, phase) of a one-dimensional section (1) from a two-dimensional vorticity field. The translation parameter b (given on 512 points) is shown in abscissa and the logarithm of the dilation parameter a (given on 8 octaves
logarithm of the dilation parameter a (given on 8 octaves with 5 points by octave) is shown in ordinate, (a) Early stage of the flow, after one eddy turn-over time: the coherent structures are not yet formed. (b) Later stage of the flow, after 100 eddy turn-over times: condensation of the vorticity field into one isolated coherent structure, the smallest scales being concentrated inside the vortex core. Fig. 2. — (a) Ondelette complexe de Morlet : partie réelle et partie imaginaire ( ). (b) Transformée de Fourier de l'ondelette de Morlet (module). Fig. 2. — (a) Morlet complex wavelet: real
Morlet (module). Fig. 2. — (a) Morlet complex wavelet: real part and imaginary part . (b) Fourier transform of the Morlet wavelet (modulus). PLANCHE 1/PLATE I MARIE FARGE C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II PLANCHE II/PLATE II C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1479-1486, 1988 |/*, le conjugué complexe de v|/, avec C (|/) = 2 7t | / (x) |2 dx et |/ la transformée de Fourier de v|/. Jjc = — co La transformée en ondelettes vérifie également la relation de Parseval, c'est-à-dire la conservation de l'énergie, telle que : La