jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
dilatation thermique dans l'état initial. Les ((∂Cijkls/∂T)p)0 et les (∂Cijklmm) sont fournis par la littérature, toutes les constantes figurant dans (8) et (5) sont donc déterminées [par (9), (10) et (6)] à l'exception des constantes élastiques du quatrième ordre ∂Cijklmmnn dans (8) et ∂Cijklmm dans (5), ces dernières étant des combinaisons linéaires des précédentes. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1493-1496, 1988 1495 TABLEAU Valeurs des constantes élastiques du quatrième ordre estimées à partir de l'équation (8) et de l'introduction d'une déformation moyenne dans le terme du quatrième ordre. Values of fourth-order elastic constants estimated from
du quatrième ordre. Values of fourth-order elastic constants estimated from équation (8) using a mean deformation in the fourth-order term. 3 Z Cyi,ij,k,l(10^12 Pa) i,j,k,l Cd Mg Zn 3 Z C1111mm,mn 18 90 78 m, n=1 3 Z C1122mm,mn 20 6,4 -12 m, n=1 3 Z C1133mm,mn -50 -6 -20 m, n=1 3 Z C3333 mm,mn 14 136 116 m, n=1 3 Z C2323mm,mn -18 16 70 m, n=1 3. DÉTERMINATION DE CERTAINES COMBINAISONS LINÉAIRES DE CONSTANTES ÉLASTIQUES DU QUATRIÈME ORDRE. APPLICATIONS NUMÉRIQUES. — De l'équation d'état (5), écrite à pression nulle (p=0), on peut déduire les valeurs de En(T),
pression nulle (p=0), on peut déduire les valeurs de En(T), E22(T), E33(T) au troisième ordre [i.e. en supposant les ∂Cijkjlmnm nuls]. À partir de (8), toujours avec m, n, q= 1 / 3 Y, ∂Cijklmmnn = 0, on obtient une courbe théorique ∂Cijkl(T) au troisième ordre. Pour obtenir une courbe théorique au quatrième ordre, on remplace dans (8) le terme 3 3 Z ( 1/2) ∂Cijklmmm Emm E2 où E est le scalaire défini par : m, n = 1 m, n=1 et on ajuste cette courbe à la courbe expérimentale ∂Cijkl(T) (fournie par la littérature) entre 20 et 100
expérimentale ∂Cijkl(T) (fournie par la littérature) entre 20 et 100 K. Par cette méthode, nous pouvons donner une estimation de la constante élastique du quatrième ordre ∂Cijklmmm. Les applications numériques concernent trois métaux de symétrie hexagonale : le cadmium, le magnésium et le zinc. Pour un tel solide, les modules élastiques effectifs indépendants correspondent aux indices ijkl = 1111, 1122, 1133, 3333, 2323 [notés classiquement C55, C44, C33, C(3)], Les valeurs expérimentales utilisées dans les équations (5), (6), (8), (9) et (10) sont tirées des références [4] à [12]. Les courbes expérimentales ∂Cijkl(T) sont tirées de [4], [5] et [7]
courbes expérimentales ∂Cijkl(T) sont tirées de [4], [5] et [7] pour Cd, [8] pour Mg, ([10], [11]) pour Zn. Les constantes élastiques du quatrième ordre, estimées par la méthode exposée ci-dessus, sont données dans le tableau. L'incertitude relative associée à la détermination des constantes du tableau se situe entre 10 et 20%. Pour illustrer l'intérêt de la prise en considération d'une constante élastique « moyenne » du quatrième ordre, la figure montre les variations du module C55 [noté C(11] du cadmium en fonction de la température (pour p = 0). Les variations théoriques au troisième ordre (calculées à partir de
Les variations théoriques au troisième ordre (calculées à partir de (8) avec ∂C1122mm,mn = 0) correspondent à la courbe en pointillés. 1496 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1493-1496, 1988 Celles au quatrième ordre calculées à partir de (8) avec X C12Z2mra„„ = 20.1012 Pa correspondent à la courbe en trait plein dont on constate qu'elle coïncide avec les valeurs expérimentales de Garland et Silverman [4] entre 0 et 300 K. Les seules valeurs expérimentales disponibles correspondent à des mesures à pression nulle, mais il est clair que, la constante £ Cijklmmnn ayant été déterminée par
clair que, la constante £ Cijklmmnn ayant été déterminée par la méthode ci-dessus, les équations (5) et (8) permettent de calculer les Cijkl)s(p, T) pour une pression et une température quelconques. CONCLUSION. — Pour pallier l'absence de données expérimentales concernant les constantes élastiques du quatrième ordre, nous proposons une méthode, basée sur l'étude des modules élastiques effectifs adiabatiques en fonction de la température, permettant de donner une estimation de certaines combinaisons de constantes élastiques du quatrième ordre pour des solides de symétrie au moins orthorhombique. Note reçue le 20 juin 1988, acceptée le 19 septembre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] G.
1988, acceptée le 19 septembre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] G. PERRIN et M. DELANNOY, J. Mech. Phys. Solids, 25, 1977, p. 41-67. [2] M. DELANNOY-COUTY et G. PERRIN, J. Phys., 46, 1985, p. 203-213. [3] M. DELANNOY et G. PERRIN, J. Phys. Chem. Solids, 41, 1980, p. 11-16. [4] C. W. GARLAND et J. SILVERMAN, Phys. Rev., 119, 1960, p. 1218-1222. [5] C. W. GARLAND et J. SILVERMAN, Phys. Rev., 127, 1962, p. 2287. [6] R. RAMJI-RAO et A. RAMANAND, Phys. Stat. sol., (a), 58, 1980, p. 11-36. [7] Y. A. CHANG et L. HIMMEL, J. Appl. Phys., 37, 1966,
A. CHANG et L. HIMMEL, J. Appl. Phys., 37, 1966, p. 3787-3790. [8] L. J. SLUTSKY et C. W. GARLAND, Phys. Rev., 107, 1957, p. 972-976. [9] E. R. NAIMON, Phys. Rev. B, 4, 1971, p. 4291-4296. [10] G. A. ALERS et J. R. NEIGHBOURS, J. Phys. Chem. Solids, 7, 1958, p. 58-64. [11] C. W. GARLAND et R. DALVEN, Phys. Rev., 111, 1958, p. 1232-1234. [12] K. D. SWARTZ et C. ELBAUM, Phys. Rev. B, 1, 1969, p. 1512-1517. Département de Mathématiques et Informatique, Centre scientifique et polytechnique, Université Paris-Nord, avenue J.-B.-Clément, 93430 Villetaneuse. Variation de C10'"* en fonction
Paris-Nord, avenue J.-B.-Clément, 93430 Villetaneuse. Variation de C10'"* en fonction de la température pour le cadmium, à pression nulle. Variation of Cl')"s with temperature, at zero pressure, for cadmium. Physique des surfaces et des interfaces/Surface and Interphase Physics Électrophorèse d'un objet fractal Françoise BROCHARD-WYART et Pierre-Gilles de GENNES Résumé — Nous discutons la mobilité électrique u de divers objets chargés, fractals, en solution diluée : agrégats colloïdaux, polyélectrolytes linéaires ou branchés, etc. Des comportements différents sont attendus, selon les conditions électriques à l'interface : (a) si le potentiel de surface Ç est le même que celui des grains individuels, la
Ç est le même que celui des grains individuels, la mobilité est qualitativement inchangée par l'agrégation; (b) si la charge par grain (ou par monomère) reste constante, la mobilité doit être proportionnelle à K1_Df/ où K~' est la longueur d'écran, et Df la dimension fractale de l'objet. Nous comparons les informations sur Df déduites de la mobilité avec celles qui peuvent être obtenues par d'autres méthodes : mesures de capacitance, ou adsorption négative des co-ions. Pour des polyélectrolytes branchés statistiquement (selon un certain protocole bien défini) nous sommes conduits à proposer Df = 2 en solution diluée. Electrophoretic mobility of
proposer Df = 2 en solution diluée. Electrophoretic mobility of a fractal object Abstract — We discuss the mobility u of dilute, charged, fractal objects: e.g. colloidal aggregates, or polyélectrolytes (linear or branched). The electrical boundary conditions play an essential rôle: (a) if the Ç potential of the aggregate coincides with the Ç potential of an isolated grain, u is not strongly modified by aggregation; (b) if the charge Qt per grain (or per monomer) is maintained during aggregation, we expect u~K1~Df, where K_I is the Debye screening length and Df the fractal dimension of the aggregate. We compare the
Df the fractal dimension of the aggregate. We compare the information on Df deduced in this case, to some other informations which can be obtained through experiments involving fractal double layers: (i) capacitance; (ii) negative adsorption of co-ions. For statistically branched polyélectrolytes (within a certain synthetic pathway) we are led to predict Df = 2 in dilute solution. I. INTRODUCTION. — Un grain chargé, en suspension dans l'eau, soumis à un champ électrique E, prend une vitesse V = u E avec où Ç est le potentiel de surface, s la constante diélectrique, et r la viscosité de l'eau [1].
la constante diélectrique, et r la viscosité de l'eau [1]. L'équation (1) est strictement valable pour KA<1 (Où K1 est le rayon d'écran, et a le rayon du grain). Mais passer à KA>1 ne change que le coefficient numérique. Il en est de même si on change la forme, passant par exemple d'une sphère à un bâtonnet. Mais que se passe-t-il si l'on va vers des formes plus ramifiées ? En particulier, si par un processus de floculation, nous formons des agrégats fractals [2] de grains, comment se comparera la mobilité de l'agrégat à celle du grain individuel ? Dans
mobilité de l'agrégat à celle du grain individuel ? Dans le régime d'accrétion par diffusion [3] on attend une dimension fractale Df=2,5. Dans le régime d'agrégation amas [4], Df=1,75. Si KA>1, l'agrégation ne change rien aux écoulements et la formule (1) reste qualitativement inchangée. Dans la présente Note, nous étudions la mobilité u lorsque a<KA<1<R, où R désigne la taille totale de l'amas. II. RÔLE DES CONDITIONS ÉLECTRIQUES. — Lorsqu'on forme un agrégat avec des grains de rayon b, on doit savoir si l'on travaille à potentiel (Qt constant sur les grains, ou bien à charge constante (ou encore avec
les grains, ou bien à charge constante (ou encore avec des conditions mixtes plus compliquées). 1. Si le potentiel de surface Qt reste constant, on peut toujours utiliser (à un coefficient près) l'équation (1) u = (Cte) er ~1Ç Un exemple purement fictif, mais pédagogique, est Note présentée par Pierre-Gilles de GENNES. 0249-6305/88/03071497 $ 2.00 © Académie des Sciences L'action du champ E sur les contre-ions développe un champ de vitesses vz (xy) qui satisfait à où p(xy) est la charge locale des contre-ions, et |/ le potentiel électrostatique. Les conditions aux limites à la surface de l'objet sont uz
conditions aux limites à la surface de l'objet sont uz = V et |/ = Ç. À l'infini dans le plan xy, vz = 0 et |/=0. D'où une relation de Smoluchowski [1] Si Ç est indépendant de la force ionique (de K *), U est donc constant, et insensible à la dimensionalité fractale Df. Le cas opposé serait celui où la charge en chaque point du fractal reste fixe: ceci s'applique peut-être si la surface des grains est couverte de groupes fortement ionisés (sulfonate,...). Ici encore les écoulements de cisaillement induits prennent place sur une épaisseur K" 1, et
cisaillement induits prennent place sur une épaisseur K" 1, et la dissipation est Dans cette formule, E est la surface du fractal mesurée à l'échelle K l. Si R est la taille macroscopique de l'objet, on a La dissipation égale la puissance électrique QEV, où Q est la charge totale du fractal (Q! étant la charge du grain élémentaire, ou du monomère). On en tire Donc, dans ce cas, la mobilité dépend de la force ionique et est sensible à Df. Il est d'ailleurs intéressant de noter que les équations (3) et (7) sont compatibles : la capacité C de
(3) et (7) sont compatibles : la capacité C de la surface est et le potentiel en surface est III. DISCUSSION. — 1. Trois expériences parallèles. — Il existe plusieurs expériences qui sont sensibles au caractère fractal d'une double couche : (à) si les grains sont conducteurs, et si les amas sont empilés (sans interpénétration excessive) pour former une électrode macroscopique, on peut déterminer la capacitance C (par amas). Elle est donnée par l'équation (8) et fournit une détermination directe de la surface mesurée à l'échelle K1 : S. (a) l'adsorption négative des co-ions ([5], [6]) détermine un volume exclu
l'adsorption négative des co-ions ([5], [6]) détermine un volume exclu par amas (c) la mobilité électrophorétique u ne nous fournit une information intéressante que dans le cas où c'est la charge Qx par grain qui est fixée. Elle est régie alors par l'équation (7) et est sensible à la dimensionalité fractale Df. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1497-1500, 1988 1499 Les méthodes (a, b, c) sont à rapprocher d'autres déterminations (sans double couche) de Df par des méthodes physicochimiques avec une longueur d'échelle variable : adsorption ou dépletion [8] de polymères flexibles; adsorption d'un mélange
adsorption ou dépletion [8] de polymères flexibles; adsorption d'un mélange binaire critique [9]; condensation capillaire [10]. Mais beaucoup de ces méthodes sont compliquées par des effets d'écart à l'équilibre : les méthodes électriques discutées ici paraissent meilleures de ce point de vue. 2. Extension aux polyélectrolytes. — (a) une chaîne linéaire, portant des groupes fortement ionisés, est localement rigide, avec une longueur de persistance [11] /pSK~2a_ 1 ( où a est la taille du monomère). Nous sommes ici dans un cas où K/P> 1 et le caractère fractal à grande échelle (r> lp) n'intervient pas sur la mobilité u, qui
échelle (r> lp) n'intervient pas sur la mobilité u, qui n'est pas donnée par l'équation (7) mais par (b) considérons maintenant un polymère branché statistique, engendré juste en dessous d'une transition sol-gel. Supposons que la synthèse est faite en milieu concentré, et en force ionique élevée (pour éliminer les effets des charges sur la statistique du branchement). On attend alors des molécules de dimensionalité fractale Df= 2,5 conforme au modèle de percolation ([12], [13]). Ensuite on dilue (pour amener à des molécules bien séparées). Chaque polymère gonfle, et Df tombe à 2 [14]. Si par la suite, on fait apparaître
à 2 [14]. Si par la suite, on fait apparaître les effets coulombiens (par élimination du sel, ou par changement de pH,...), on pourrait naïvement croire que Df passe en dessous de 2. Mais nous pensons que Df reste égal à 2. En effet, une molécule branchée de N monomères est en gros formée de chaînes linéaires de N1/ 2 monomères — d'où un rayon idéal R0~N1/4a ([15], [16]). La propriété Df=2 en l'absence d'effets de charges exprime que ces chaînes linéaires sont déjà fortement étirées. Si on fait ensuite apparaître les charges, on peut augmenter l'étirement par un coefficient
apparaître les charges, on peut augmenter l'étirement par un coefficient numérique, mais pas changer la loi d'échelle. Avec Df = 2, l'équation (7) prévoit Noter la différence considérable entre les chaînes linéaires (U~K°) et les chaînes branchées (U-K"1). Note reçue le 12 septembre 1988, acceptée le 16 septembre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] M. SCHMOLUCHOWSKI, Handbuch der Elektrizität und des Magnetismus, L. Graetz éd., Leipzig, 1921. [2] B. MANDELBROT, The fractal geometry of nature, Freeman, San Francisco, 1982. [3] T. WITTEN et L. SANDER, Phys. Rev. Letters, 47, 1981, p. 1400. [4] M. KOLB, R. BOTET et R. JULLIEN, Phys. Rev.
[4] M. KOLB, R. BOTET et R. JULLIEN, Phys. Rev. Letters, 51, 1983, p. 1123. [5] R. K. SCHOFIELD et H. R. SAMSON, Discuss. Faraday Soc, 18, p. 1954, p. 135. [6] H. J. VAN DER HUL et J. LYKLEMA, J. Colloid Interface Sci., 23, p. 500-000; J. Amer. Chem. Soc, 90, 1968, p. 3010. [7] P. G. de GENNES, C. R. Acad. Sci. Paris, 299, série II, p. 913-915. [8] F. BROCHARD et M. MARTIN, Journal de Chimie Physique (Paris) (à paraître) [9] F. BROCHARD, J. Physique (Paris), 46, 1985, p. 2117. [10] P.-G. de GENNES, Physics of disordered
1985, p. 2117. [10] P.-G. de GENNES, Physics of disordered materials, D. ADLER, H. FRITZSCHE et S. R. OVSHINSKY éd., Plenum publishing corporation, 1985; F. BROCHARD, C. R. Acad. Sci. Paris, 304, série II, 1987, p. 785-787. [11] T. ODIJK, J. Polymer Sci. (Phys.), 15, 1977, p. 477-500. [12] D. STAUFFER, Introduction to percolation theory, Taylor et Francis, 1985. [13] D. STAUFFER, A. CONIGLIO et M. ADAM, Adv. Polymer Sci., 44, 1982, p. 105-158. 1500 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1497-1500, 1988 [14] E. BOUCHAUD, M. DELSANTI, M. ADAM, M. DAOUD et D. DURAND, J.
M. DELSANTI, M. ADAM, M. DAOUD et D. DURAND, J. Physique, 47, 1986, p. 1273-1277. [15] B. ZIMM et W. STOCKMAYER, J. Chem. Phys., 17, 1949, p. 301-320. [16] P.-G. de GENNES, Biopolymers, 6, 1968, p. 715-723. F. B.-W. : Laboratoire « Structure et Réactivité des Interfaces », Université Paris-VI, 75005 Paris Cedex, P.-G. de G. Laboratoire de Physique de la Matière considérée, Collège de France, 11, place Marcellin-Berthelot, 75231 Paris Cedex 05. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1501-1504, 1988 1501 Électromagnétisme/Magnétisme Sur l'étude numérique de réseaux de diffraction constitués de matériaux anisotropes Gérard TAYEB
de réseaux de diffraction constitués de matériaux anisotropes Gérard TAYEB Résumé — Une précédente Note [1] a été consacrée à l'analyse théorique du problème de la diffraction par un réseau tracé sur support anisotrope. On a ramené le problème à la résolution d'un système d'équations intégrales. Nous présentons ici quelques détails sur l'étude numérique et des résultats que l'on compare à ceux obtenus au moyen d'une autre méthode dans laquelle le problème est ramené à l'intégration d'un système différentiel ([2], [3]). On the numerical study of diffraction gratings made with anisotropic media Abstract — A previous paper [1] has been
anisotropic media Abstract — A previous paper [1] has been devoted to the theoretical analysis of the diffraction by a grating ruled on an anisotropic substrate. The problem has been solved using integral equations. We present here some explanations on the numerical study and some results which are compared to those given by another method in which the problem is solved through the integration of a differential system ([2], [3]). Les notations sont les mêmes que dans notre première Note [1] à laquelle il faut donc se reporter, notamment pour connaître les définitions de l'inconnue F, des opérateurs S1 et
connaître les définitions de l'inconnue F, des opérateurs S1 et S2, et de certains espaces fonctionnels (tels que fj"). Le réseau est décrit par une interface y=f(x) et on s'intéresse au cas particulier où la matrice de permittivité relative [E2] du substrat (éventuellement complexe), est diagonale dans le repère Oxyz utilisé pour décrire le réseau. Le champ incident est une onde plane se propageant dans le superstrat isotrope et telle que son vecteur d'onde n'ait pas de composante selon l'axe Oz parallèle aux sillons. Notant que Finc qui représente le champ incident appartient à Y"[, on tire des propriétés (8)
champ incident appartient à Y"[, on tire des propriétés (8) et (9) de [1]: [S1F = F-2Finc et S2F=-F]. Ceci représente 8 équations intégrales couplées, parmi lesquelles, comme nous l'avons expliqué [1], il suffit d'en retenir 4 qui se trouvent être celles qui ont les noyaux les moins singuliers. 1. CONSÉQUENCES DE LA FORME PARTICULIÈRE ADOPTÉE POUR LA PERMITTIVITÉ DU SUBSTRAT. — Compte tenu de la forme diagonale de [E2], une nouvelle simplification apparaît : les 4 équations intégrales retenues se scindent en 2 systèmes de 2 équations indépendants. Avec les notations de [1], on peut dire que l'un (soit
les notations de [1], on peut dire que l'un (soit S1) ne fait intervenir que les composantes 1 et 4 de F et Finc. L'autre (S2) ne fait intervenir que leurs composantes 2 et 3. Ceci résulte d'ailleurs de considérations élémentaires : si on explicite dans un tel milieu anisotrope les deux équations de Maxwell rotE = i'cou0H et rot H = — i (u£0 [E2] E, on constate que les 6 équations obtenues se scindent en 2 systèmes de 3 équations aux dérivées partielles. Chacun de ces systèmes ne contient que 3 composantes de champ : (Ez, Hx, Hy)
contient que 3 composantes de champ : (Ez, Hx, Hy) ou (Hz, Ex, Hj). On peut évidemment scinder le champ incident en 2 parties : l'une (dite de polarisation E//) à ses composantes Hzinc, Exinc, E3inc nulles et l'autre (polarisation H//) à ses composantes Ezinc, H1inc, H2inc nulles. Les problèmes associés à une onde incidente E// et à une onde incidente H// sont donc indépendants. En d'autres termes, si l'onde incidente est polarisée E// (resp. H//), le champ total sera partout polarisé E// (resp. H//). Ces deux cas sont respectivement attachés aux systèmes S1 et S2. Il faut aussi noter
attachés aux systèmes S1 et S2. Il faut aussi noter que dans le cas de polarisation E//, le réseau se comporte exactement comme si le substrat était isotrope, de permittivité e3. En H//, mais cette fois uniquement si les permittivités e1 et e2 ont une valeur commune s, le problème est identique à celui d'un réseau isotrope de permittivité s. On retiendra donc que le cas d'un milieu uniaxe disposé Note présentée par André LICHNEROWICZ. 0249-6305/88/03071501 S 2.00 © Académie des Sciences 1502 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1501-1504, 1988 TABLEAU I Profil sinusoïdal (sinusoidal
Série II, p. 1501-1504, 1988 TABLEAU I Profil sinusoïdal (sinusoidal profile); h = 0,2 um (h/d = 0,4). NF = 3, ND=15, NF = 5, ND = 25, NF=12, ND = 45, NSOM = 10 NSOM = 20 NSOM = 30 Efficacités Efficacités Efficacités Efficacités Efficacités Efficacités Ordre réfléchies transmises réfléchies transmises réfléchies transmises -2 0,008 2 0,007 8 0,007 8 -1 0,0914 0,2608 0,0923 0,2530 0,0923 0,2530 0 0,0003 0,2185 0,0003 0,2230 0,0003 0,2231 1 0,4275 0,4238 0,4235 Somme des efficacités : Somme des efficacités : Somme des efficacités : 1,0067 1,0002 1,0000 T=15 T = 35 T=15S TABLEAU
: 1,0067 1,0002 1,0000 T=15 T = 35 T=15S TABLEAU II Profil sinusoïdal (sinusoidal profile); h = 0,1 um (h/d = 0,2). Méthode intégrale NF = 3, ND = 15, Méthode différentielle NSOM = 20 NF = 7, 90 pas d'intégration Efficacités Efficacités Efficacités Efficacités Ordre réfléchies transmises réfléchies transmises -2 0,0019 0,0015 -1 0,0695 0,0571 0,0695 0,0573 0 0,0736 0,6288 0,0730 0,6357 1 0,1691 0,1630 Somme des efficacités : Somme des efficacités : 1,0000 1,0000 de telle sorte que son axe optique soit parallèle aux sillons du réseau peut se traiter au moyen de programmes conçus pour des milieux
se traiter au moyen de programmes conçus pour des milieux isotropes. Dans la suite, supposant sx#sJ, nous ne nous intéresserons donc qu'au cas de polarisation H//, pour lequel un nouveau programme a été réalisé. 2. RÉSOLUTION DES ÉQUATIONS INTÉGRALES OBTENUES. — Dans le cas H//, le système à résoudre peut s'écrire : où l'indice i est relatif au milieu (N3? fait intervenir la permittivité Sj et N3? les permittivités de [E2]; ces noyaux sont explicités en appendice), et où Xt = 1, X2= -1, ux = -2, u2 = 0. Si nous écrivons ces relations sous la forme : nous
Si nous écrivons ces relations sous la forme : nous faisons apparaître entre accolades des fonctions (ou distributions) périodiques par rapport à x et x'. Nous pouvons les représenter par leurs séries de Fourier (une double série pour les distributions des 2 variables x et x'). Nous calculons les coefficients de Fourier des accolades contenant \(F'\) et \(N'\) par transformée de Fourier discrète. En fait, les noyaux \(N'\) sont singuliers et il faut préalablement leur retrancher un noyau adéquat présentant le même type de singularité et dont les coefficients de Fourier s'obtiennent analytiquement. Nous obtenons alors un système linéaire dont
Fourier s'obtiennent analytiquement. Nous obtenons alors un système linéaire dont la résolution donne les coefficients de Fourier relatifs au champ total sur le profil. On s'intéresse généralement aux efficacités dans les différents ordres réfléchis et transmis. Elles peuvent être calculées aisément au moyen des formules de Kirchhoff-Helmholtz généralisées (équations (5, 5') de la note [1]) par intégration sur le profil d'une expression liée au champ total. Remarque. — Nous avons supposé que le profil du réseau est de classe \(C^2\), et de fait l'écriture du programme nécessite la connaissance de \(f(x)\). Si cette condition n'est pas satisfaite (réseau échelette par
\(f(x)\). Si cette condition n'est pas satisfaite (réseau échelette par exemple), nous remplaçons \(f\) par la fonction obtenue en sommant les \(N\) premiers termes de sa série de Fourier. Les tests numériques effectués montrent une rapide convergence de la solution lorsque \(N\) croît (tableau III). 3. RÉSULTATS NUMÉRIQUES. CRITÈRES DE VALIDITÉ. — Nous avons traité le cas d'un substrat ayant la propriété d'avoir 3 permittivités nettement distinctes : \(e_1 = 6,31, e_2 = 6,81, e_3 = 7,34\), qui d'après [4] correspondent à la litharge; il s'agit donc d'un exemple très académique... Le superstrat est vide (\(e_1 = 1\)). Le réseau