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CHALINE, Annales scientifiques de l'Université de Franche-Comté-Besançon, Géologie, 4, (5), 1983, p. 31-45. J. CHALINE, Evolutionary Biology, 21, 1987, p. 237-310. Laboratoire de Préhistoire et Paléoécologie du Quaternaire de l'E.P.H.E., Centre des Sciences de la Terre, 6, boulevard Gabriel, 21000 Dijon. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1991-1996, 1988 Paléontologie/Paleontology Bedenomeryx un nouveau genre de Ruminant primitif de l'Oligocène supérieur et du Miocène inférieur d'Europe Yves JEHENNE Résumé — Un nouveau Ruminant primitif de l'Oligocène supérieur et de la base du Miocène inférieur est décrit sous le nom de Bedenomeryx n.g.. Ce genre, représenté par deux
le nom de Bedenomeryx n.g.. Ce genre, représenté par deux espèces: B. milloquensis n.g., nsp. et B. paulhiacensis n.g., n. sp. est classé au sein de la famille des Palaemerycidae. Bedenomeryx, a new genus of primitive Ruminant from the late Oligocene and early Miocene of Europe Abstract — Bedenomeryx n.g. a new primitive Ruminant from the European late Oligocene and early Miocene is described here. This genus, known by two species: B. milloquensis n. g. n. sp. and B. paulhiacensis n. g., n. sp., is included in the Palaeomerycidae. Abridged English Version — Revision of the non traguloïd primitive Ruminant
English Version — Revision of the non traguloïd primitive Ruminant (Pecora) from the Paleogene and the early Neogene of Europe leads us to propose a new genus with two new species of Pecora. Genus Bedenomeryx n.g. Diagnosis: Primitive Ruminant with inermous skull. There are two lacrymal foramina on the inner wall of the orbit. The upper canines are long and sabre-like. All the cheek-teeth are covered with shagreened enamel. The premolars are massive and dumpy, the molars have shallow anterior and posterior fossae. The Palaeomeryx fold is constant on the lower molars and the posterior entoconide's wing is developed and
lower molars and the posterior entoconide's wing is developed and complete. The anterior central groove of the metatarsus is distally closed and a diarthrodial facet is present at the proximal extremity. Bedenomeryx milloquensis n.sp. (Figs. 1-3) Diagnosis: Species of rather large size. The skull is characterized by an elongated postorbital region and a long and strong sagittal crest. The anterior rim of the orbit is situated straight above the anterior edge of M-1. Pr is reduced and variable. The cheek-teeth are massive and the upper premolars are relatively more molarized than the lower. Bedenomeryx paulhiacensis n.sp. (Fig. 4) Diagnosis: Larger
than the lower. Bedenomeryx paulhiacensis n.sp. (Fig. 4) Diagnosis: Larger species more recent than B. milloquensis. Relationships and conclusions. — All the hornless primitive Pecora known in the late oligocene and early miocene of Europe were classically attributed either to the genus Dremotherium Geoffroy, 1833, or to the genus Amphitragulus Pomel, 1846. We have shown [1] that these two genera are in fact synonyms and only the genus Dremotherium must be retained. The comparison of the skull of Bedenomeryx milloquensis n. g., n. sp. with that of Dremotherium feignouxi Geoffroy, 1833, from Saint-Gérand-le-Puy, described by Sigogneau [2], shows some important
1833, from Saint-Gérand-le-Puy, described by Sigogneau [2], shows some important differences. On the La Milloque's skull we note particularly: the greater extension of the post-orbital region compared with the anteorbital one; the less convex roof of the brain pan; the different outline of the fronto-nasal suture; the proportionally longer and stronger sagittal crest; the forward position of the anterior edge of the orbit and the presence of two lacrymal foramina on the inner wall of the orbit. In regard to the teeth, the genus Bedenomeryx n.g. differs from Dremotherium more particularly by the following characters: the teeth (especially the premolars)
particularly by the following characters: the teeth (especially the premolars) have a more massive and robust aspect; the molars have a little more primitive appearance; the Palaeomeryx fold is always well developed and the enamel is always very shagreened. All these dental characters are similar to those observed on the genus Palaeomeryx v. Meyer, 1834 [3] from the early and middle Miocene of Eurasia. On the other hand, the total lack of frontal appendage on the La Milloque skull quite distinguishes this taxon from Palaeomeryx which is characterized by the presence of ossicones ([4], [5]). With regard to the number
presence of ossicones ([4], [5]). With regard to the number of lacrymal foramina, Qiu Zhanxiang et al. [5] described only one, rather large, on the skull of Palaeomeryx tricornis Qui Zhanxiang et al., 1985, from China, but the anterior edge of the orbit of the type-specimen is damaged. On the skull of Bedenomeryx milloquensis n. g., n. sp., two foramina (one above, the other below) open on the anterior rim of the orbit; the upper one having a very reduced size. According to Ginsburg and Feintz [4], one would expect the proximal extremity of the Palaeomeryx's metatarsus to be devoid
the proximal extremity of the Palaeomeryx's metatarsus to be devoid of a diarthrodial facet. Bedenomeryx n.g. differs from the genus Oriomeryx Ginsburg, 1985 [6], especially by a more triangular pattern of the posterior teeth relatively with a significant development of the antero-lingual cusp. Note présentée par Yves COPPENS. 0249-6305/88/03071991 S 2.00 © Académie des Sciences 1992 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1991-1996, 1988 Paléontologie/Paleontology Bedenomeryx un nouveau genre de Ruminant primitif de l'Oligocène supérieur et du Miocène inférieur d'Europe Yves JEHENNE Résumé — Un nouveau Ruminant primitif de l'Oligocène supérieur et de la base du
Ruminant primitif de l'Oligocène supérieur et de la base du Miocène inférieur est décrit sous le nom de Bedenomeryx n.g.. Ce genre, représenté par deux espèces: B. milloquensis n.g., nsp. et B. paulhiacensis n.g., n. sp. est classé au sein de la famille des Palaemerycidae. Bedenomeryx, a new genus of primitive Ruminant from the late Oligocene and early Miocene of Europe Abstract — Bedenomeryx n.g. a new primitive Ruminant from the European late Oligocene and early Miocene is described here. This genus, known by two species: B. milloquensis n. g. n. sp. and B. paulhiacensis n. g., n. sp., is
n. sp. and B. paulhiacensis n. g., n. sp., is included in the Palaeomerycidae. Abridged English Version — Revision of the non traguloïd primitive Ruminant (Pecora) from the Paleogene and the early Neogene of Europe leads us to propose a new genus with two new species of Pecora. Genus Bedenomeryx n.g. Diagnosis: Primitive Ruminant with inermous skull. There are two lacrymal foramina on the inner wall of the orbit. The upper canines are long and sabre-like. All the cheek-teeth are covered with shagreened enamel. The premolars are massive and dumpy, the molars have shallow anterior and posterior fossae. The Palaeomeryx
the molars have shallow anterior and posterior fossae. The Palaeomeryx fold is constant on the lower molars and the posterior entoconide's wing is developed and complete. The anterior central groove of the metatarsus is distally closed and a diarthrodial facet is present at the proximal extremity. Bedenomeryx milloquensis n.sp. (Figs. 1-3) Diagnosis: Species of rather large size. The skull is characterized by an elongated postorbital region and a long and strong sagittal crest. The anterior rim of the orbit is situated straight above the anterior edge of M-1. Pr is reduced and variable. The cheek-teeth are massive and the upper
reduced and variable. The cheek-teeth are massive and the upper premolars are relatively more molarized than the lower. Bedenomeryx paulhiacensis n.sp. (Fig. 4) Diagnosis: Larger species more recent than B. milloquensis. Relationships and conclusions. — All the hornless primitive Pecora known in the late oligocene and early miocene of Europe were classically attributed either to the genus Dremotherium Geoffroy, 1833, or to the genus Amphitragulus Pomel, 1846. We have shown [1] that these two genera are in fact synonyms and only the genus Dremotherium must be retained. The comparison of the skull of Bedenomeryx milloquensis n. g., n. sp. with
the skull of Bedenomeryx milloquensis n. g., n. sp. with that of Dremotherium feignouxi Geoffroy, 1833, from Saint-Gérand-le-Puy, described by Sigogneau [2], shows some important differences. On the La Milloque's skull we note particularly: the greater extension of the post-orbital region compared with the anteorbital one; the less convex roof of the brain pan; the different outline of the fronto-nasal suture; the proportionally longer and stronger sagittal crest; the forward position of the anterior edge of the orbit and the presence of two lacrymal foramina on the inner wall of the orbit. In regard to the teeth, the genus Bedenomeryx
the orbit. In regard to the teeth, the genus Bedenomeryx n.g. differs from Dremotherium more particularly by the following characters: the teeth (especially the premolars) have a more massive and robust aspect; the molars have a little more primitive appearance; the Palaeomeryx fold is always well developed and the enamel is always very shagreened. All these dental characters are similar to those observed on the genus Palaeomeryx v. Meyer, 1834 [3] from the early and middle Miocene of Eurasia. On the other hand, the total lack of frontal appendage on the La Milloque skull quite distinguishes this taxon from Palaeomeryx
the La Milloque skull quite distinguishes this taxon from Palaeomeryx which is characterized by the presence of ossicones ([4], [5]). With regard to the number of lacrymal foramina, Qiu Zhanxiang et al. [5] described only one, rather large, on the skull of Palaeomeryx tricornis Qui Zhanxiang et al., 1985, from China, but the anterior edge of the orbit of the type-specimen is damaged. On the skull of Bedenomeryx milloquensis n. g., n. sp., two foramina (one above, the other below) open on the anterior rim of the orbit; the upper one having a very reduced size. According to Ginsburg and
one having a very reduced size. According to Ginsburg and Feintz [4], one would expect the proximal extremity of the Palaeomeryx's metatarsus to be devoid of a diarthrodial facet. Bedenomeryx n.g. differs from the genus Oriomeryx Ginsburg, 1985 [6], especially by a more triangular pattern of the posterior teeth relatively with a significant development of the antero-lingual cusp. Note présentée par Yves COPPENS. 0249-6305/88/03071991 S 2.00 © Académie des Sciences 1992 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1991-1996, 1988 Ail these anatomical differences leads us to propose a new genus which differs (at least) from the
propose a new genus which differs (at least) from the genera Dremotherium, Oriomeryx and Palaeomeryx. The great likeness of the dental characters incites us to herd Bedenomeryx and Palaeomeryx in the same family Palaeomerycidae. From a biostratigraphic point of view, the genus Bedenomeryx has been known since the late Oligocene (level of La Milloque) with the species B. milloquensis until the early Miocene (level of Paulhiac) with the species B. paulhiacensis. La révision des Ruminants primitifs non traguloïdes (Pecora) du Paléogène et du Néogène inférieur de l'Ancien Monde nous conduit à proposer, entre autres, un genre nouveau auquel sont rapportées
à proposer, entre autres, un genre nouveau auquel sont rapportées deux espèces nouvelles. Ordre: Artiodactyla Owen, 1848; Sous-ordre: Neoselenodontia Webb et Taylor, 1980; Infra-ordre: Pecora Linné, 1758; Super-famille: Cervoidea Gray, 1821; Famille: Palaeomerycidae Lydekker, 1883. Espèce type: Bedenomeryx milloquensis n. sp. Répartition stratigraphique: Oligocène supérieur-Miocène inférieur (niveaux de références: MP 29-MN 1). Derivatio nominis: En mémoire de notre regretté Collègue Michel Beden. Diagnose: Ruminant primitif dont le crâne est inerme. Deux orifices lacrymaux débouchent sur le bord antéro-interne de l'orbite. Les canines supérieures sont longues et développées en défense. Toutes les dents jugales sont recouvertes d'un émail chagriné. Les prémolaires
les dents jugales sont recouvertes d'un émail chagriné. Les prémolaires sont massives et trapues, les molaires ont des fosses antérieures et postérieures peu profondes. Aux molaires inférieures, le pli palaeomeryx est constant et l'aile postérieure de l'entoconide développée et complète. Sur les métatarses la gouttière médiane antérieure est fermée dans sa partie distale et une facette diarthrodiale est présente au niveau de l'extrémité proximale. Autre espèce du genre: B. paulhiacensis n. sp. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1991-1996, 1988 Fig. 1. — Bedenomeryx milloquensis n.g., n.sp. Crâne (L.M. 1967-MA-8, Coll. Univ. Poitiers) Holotype. a =
n.sp. Crâne (L.M. 1967-MA-8, Coll. Univ. Poitiers) Holotype. a = vue dorsale, b = vue centrale. Fig. 1. — Bedenomeryx milloquensis n. g., n.sp. Skull (L.M. 1967-MA-8, Coll. Univ. Poitiers). Holotype. a = dorsal view, b = ventral view. 1994 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1991-1996, 1988 Bedenomeryx milloquensis n. sp. Holotype: Crâne n° L.M. 1967-MA-8 (fig. 1) (Coll. Univ. Poitiers). Paratypes: Portions d'hémimandibules gauche (L.M. 1966-MA-1) portant P^ —Mj (fig. 2) et droite (L.M. 1966-MA-6) portant P^-Mj (fig. 3) (Coll. Univ. Poitiers). Localité type: La Milloque (Lot-et-Garonne). Niveau stratigraphique: Oligocène supérieur (MP 29-30). Derivatio
La Milloque (Lot-et-Garonne). Niveau stratigraphique: Oligocène supérieur (MP 29-30). Derivatio nominis: Du nom de la localité type. Autre gisement: Dieupentale (Tarn-et-Garonne). Fig. 2. — Bedenomeryx milloquensis n.g., n.sp. Mandibule gauche portant P^-Mj (L.M. 1966-MA-1, Coll. Univ. Poitiers). Paratype. Vue occlusale. Fig. 2. — Bedenomeryx milloquensis n. g., n. sp. Left lower jaw with PJ-M3 (L.M. 1966-MA-1, Coll. Univ. Poitiers). Paratype. Occlusal view. Fig. 3. — Bedenomeryx milloquensis n.g., n.sp. Mandibule droite portant Pj-Mj (L.M. 1966-MA-1, Coll. Univ. Poitiers). Paratype. Vue labiale. Fig. 3. Bedenomeryx milloquensis n.g., n.sp. Right lower jaw with PJ-MJ (L.M. 1966-MA-1, Coll. Univ. Poitiers). Paratype. Labial view.
with PJ-MJ (L.M. 1966-MA-1, Coll. Univ. Poitiers). Paratype. Labial view. Fig. 4. — Bedenomeryx paulhiacensis n. g., n. sp. Mandibule droite portant P^-Mj (Ph. 2021, Coll. Univ. Poitiers). Holotype. Vue occlusale. Fig. 4. Bedenomeryx paulhiacensis n.g., n.sp. Right lower jaw with P^-M^ (Ph. 2021, Coll. Univ. Poitiers). Holotype. Occlusal view. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1991-1996, 1988 1995 Diagnose: Espèce d'assez grande taille dont le crâne est caractérisé par l'allongement de la région post-orbitaire et par une crête sagittale longue et puissante. Le bord antérieur de l'orbite s'étend jusqu'à l'aplomb du bord antérieur de M-.
de l'orbite s'étend jusqu'à l'aplomb du bord antérieur de M-. La Pr est réduite et inconstante. Les dents jugales sont massives et les prémolaires supérieures sont relativement plus molarisées que les inférieures. Mensurations (tableaux I et II). Bedenomeryx paulhiacensis n. sp. Holotype: Mandibule droite portant la série PJ-MJ, conservée dans les collections du Laboratoire de Paléontologie des Vertébrés de l'Université de Poitiers sous le n° Ph. 2021 (fig4). Localité type: Paulhiac (arrondissement de Villeneuve-sur-Lot, Lot-et-Garonne). Niveau stratigraphique: Miocène inférieur, base de l'Agénien. Derivatio nominis: Du nom de la localité type. Diagnose: Espèce plus grande et plus récente que B. milloquensis.
Diagnose: Espèce plus grande et plus récente que B. milloquensis. Mensuration (tableau III). AFFINITÉS-CONCLUSIONS. — Classiquement, tous les Pecora primitifs inermes connus dans l'Oligocène supérieur et le Miocène inférieur étaient rapportés soit au genre Dremotherium Geoffroy, 1833, soit au genre Amphitragulus Pomel, 1846. Nous avons montré [1] que ces deux genres sont en réalité synonymes et que seul le genre Dremotherium doit être conservé. La comparaison du crâne de Bedenomeryx milloquensis n.g., n.sp. avec celui de Dremotherium feignouxi Geoffroy, 1833 de Saint-Gérand-Le-Puy décrit par Sigogneau [2] met en évidence un certain nombre de différences importantes. On remarquera notamment sur le
certain nombre de différences importantes. On remarquera notamment sur le crâne de La Milloque, l'allongement plus grand de la région postorbitaire par rapport à la région anté-orbitaire, le toit moins convexe de la boîte crânienne, le tracé différent de la suture fronto-nasale, la crête sagittale proportionnellement plus longue et plus forte, le bord antérieur de l'orbite situé plus antérieurement et enfin la présence de deux orifices lacrymaux. En ce qui concerne la denture, le genre Bedenomeryx n.g. se distingue de Dremotherium par: l'allure plus massive et plus robuste des dents (surtout des prémolaires), un cachet un peu plus primitif des
(surtout des prémolaires), un cachet un peu plus primitif des molaires (fosses moins profondes), un pli palaeomeryx toujours très développé, un émail toujours très chagriné. Ces caractères dentaires rappellent singulièrement ceux que l'on observe chez le genre Palaeomeryx V. Meyer, 1834 [3] connu dans le Miocène inférieur et moyen d'Eurasie. En revanche, l'absence de toute trace d'appendices frontaux sur le crâne de La Milloque distingue tout à fait cette forme du genre Palaeomeryx qui est caractérisé par la présence d'« ossicônes » ([4], [5]). En ce qui concerne le nombre d'orifices lacrymaux, Qiu Zhanxiang et coll. [5] n'en décrivent qu'un
d'orifices lacrymaux, Qiu Zhanxiang et coll. [5] n'en décrivent qu'un seul, de taille plutôt grande, sur le crâne du Palaeomeryx tricornis de Chine; ils remarquent cependant que le bord antérieur de l'orbite du spécimen servant à la description est endommagé. Rappelons que sur le crâne de Bedenomeryx milloquensis n.g., n. sp., deux orifices lacrymaux débouchent l'un au-dessus de l'autre sur le bord antéro-interne de l'orbite, le foramen supérieur étant de dimensions très réduites. Enfin, d'après Ginsburg et Heintz [4], l'extrémité proximale du métatarse de Palaeomeryx serait dépourvue de facette diarthrodiale. Du genre Oriomeryx Ginsburg, 1985 [6], Bedenomeryx n.g. se distingue
Du genre Oriomeryx Ginsburg, 1985 [6], Bedenomeryx n.g. se distingue notamment par le contour plus triangulaire des dents et par un développement plus important du tubercule antéro-lingual. TABLEAU I Mensurations des dents et segments dentaires supérieurs de l'holotype de Bedenomeryx milloquensis n.g., n.sp. Measurement of the upper teeth and dental segments of Bedenomeryx milloquensis n.g., n.sp. (Holotype). P PFMi Mi Mi (mm) Pi-PP^-Mi Mi-Mi LILILILILILI L.M. 1967-MA-8 : G 29,8 61,5 33,5 10,4 8,6 10,3 10,4 8,5 11,8 10,9 12,4 12,2 15,0 11,8 13,6 D 29,3 19,3 33,4 10,4 8,9 10,4 10,8 8,6 11,7 10,8 12,2 12,4 14,9 11,7 13,7
10,4 10,8 8,6 11,7 10,8 12,2 12,4 14,9 11,7 13,7 TABLEAU II Mensuration des dents et segments dentaires inférieurs des paratypes de Bedenomeryx milloquensis n.g., n.sp. Measurement of the lower teeth and dental segments of Bedenomeryx milloquensis n.g., n.sp. (Paratypes). Pj PS Pi MT Mj M, (mm) Pj-Pi Pi-Mj M7-M3 L/L/L/L/L/L/ L.M. 1966-MA-1 42,3 73,5 75,3 73,5 70,5 M 12,2 19,2 9,2 TABLEAU III Mensurations des dents et segments dentaires inférieurs de l'holotype de Bedenomeryx paulhiacensis n.g., n.sp. Measurement of the lower teeth and dental segments of Bedenomeryx paulhiacensis n.g., n.sp. (Holotype). Pi Pj Pj Mj MT (mm) PJ-PJ PJ-M3
n.sp. (Holotype). Pi Pj Pj Mj MT (mm) PJ-PJ PJ-M3 M7-M3 L/L/L/L/L/L/ Ph. 2021 29,8 77,5 41,5 10,9 5,3 12,2 6,9 11,6 7,6 11,0 8,9 12,1 10,4 17,8 10,5 L'ensemble de ces différences anatomiques justifie la création d'un taxon nouveau qui se distingue à la fois des genres Dremotherium, Oriomeryx et Palaeomeryx. Les fortes ressemblances que nous avons signalées plus haut entre les caractères dentaires de Bedenomeryx et Palaeomeryx nous incitent à rapprocher ces deux genres et donc à classer notre nouveau taxon au sein de la famille des Palaeomerycidae. D'un point de vue biostratigraphique, le genre Bedenomeryx est connu
D'un point de vue biostratigraphique, le genre Bedenomeryx est connu depuis l'Oligocène supérieur (niveau de La Milloque) avec l'espèce B. milloquensis et se poursuit à la base du Miocène inférieur (niveau de Paulhiac) avec l'espèce B. paulhiacensis. Note remise le 19 septembre 1988, acceptée le 2 novembre 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] Y. JEHENNE, Thèse Doctorat d'État, Univ. Poitiers, 1985, p. 1-288. [2] D. SIGOGNEAU, Ann. Pal. Vert., Paris, 1968, p. 37-113. [3] H. V. MEYER, Muséum Senckenbergianum, 1 (suppl.), 1834, p. 1-122. [4] L. GINSBURG et E. HEINTZ, C.R. Acad. Sci. Paris, 262, série B, 1966, p. 979-982. [5] Qiu
Sci. Paris, 262, série B, 1966, p. 979-982. [5] Qiu ZHANXIANG, YAN DEFA, JIA HANG et SUN Bo, Verlebrata Palasiatica, 23, (3), 1985, p. 173-195. [6] L. GINSBURG, C.R. Acad. Sci. Paris, 301, série II, 1985, p. 1075-1078. [7] Y. JEHENNE, Münchner Geowiss. Abh., (A), 10, 1987, p. 131-140. Laboratoire de Paléontologie des Vertébrés et Paléontologie humaine de l'Université de Poitiers, 40, avenue du Recteur Pineau, 86022 Poitiers Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1997-2000, 1988 1997 Mécanique des solides/Mechanics of Solids Sur les équations générales de la dynamique des milieux continus élastiques Claude STOLZ
générales de la dynamique des milieux continus élastiques Claude STOLZ Résumé — On généralise les équations de Lagrange et le principe de Hamilton au cas du milieu continu élastique. On exprime ensuite les principes de la thermodynamique en prenant en compte des discontinuités mobiles éventuelles. On generalizes the equations of dynamics in continuum mechanics with elasticity Abstract — In classical mechanics of rigid solids or systems with finite number of degrees of freedom, the Lagrange equations and the Hamilton principle for conservative systems have been introduced. The purpose of this Note is to generalize these notions in continuum mechanics for
Note is to generalize these notions in continuum mechanics for elastic systems. In the expressions obtained we take into account moving discontinuities inside the continuum. INTRODUCTION. — En mécanique analytique des mouvements des solides rigides, ou des systèmes ayant un nombre fini de degrés de liberté, on sait décrire les équations du mouvement à l'aide des équations de Lagrange et dans le cas des systèmes conservatifs le principe de Hamilton [1]. On présente dans cette Note ces notions dans le cadre de la mécanique des milieux continus. On introduit alors un ensemble de fonctionnelles dont le lagrangien et l'hamiltonien du
un ensemble de fonctionnelles dont le lagrangien et l'hamiltonien du système, on exprime ensuite les principes de la thermodynamique à l'aide de ces fonctionnelles, en tenant compte de discontinuités mobiles éventuelles au sein du milieu continu. 1. DESCRIPTION DE L'ÉTAT DU SYSTÈME. — On suppose qu'en chaque point du système mécanique il existe une densité d'énergie interne e (e, a, s) (fonction de la déformation s, de paramètres internes a et de l'entropie s) ou d'énergie libre p(e, a, s), dans laquelle 0 désigne la température absolue, permettant d'écrire les équations du comportement sous la forme des équations d'état :
équations du comportement sous la forme des équations d'état : où p0 est la masse volumique, cr la contrainte réversible, A la force thermodynamique associée à a et s l'entropie spécifique. En présence de viscosité, la contrainte à l'équilibre CT est c = ar + air, où la contrainte irréversible crir dérive d'un potentiel de dissipation Q fonction convexe de Nous considérons que les paramètres internes ont une évolution standard c'est-à-dire qu'il existe un convexe C de A tel que da/dt appartienne au cône des normales extérieures en A à C. Dans le cas de la viscoplasticité, nous supposerons que