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C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1051-1053, 1988 1051 Physique théorique/Theoretical Physics Sur l'entropie des surfaces aléatoires François DAVID Résumé — Nous prouvons, et généralisons à des surfaces de genre quelconque, une conjecture de Knizhnik, Polyakov et Zamolodchikov donnant la valeur de l'exposant y de la susceptibilité d'une surface aléatoire en fonction de la dimension d de l'espace de plongement. On the entropy of Random surfaces Abstract — We prove, and generalize to the case of surfaces with arbitrary genus, a conjecture by Knizhnik, Polyakov and Zamolodchikov for the value of the susceptibility exponent y of
Zamolodchikov for the value of the susceptibility exponent y of a random surface as a function of the dimensionality d of embedding space. Abridged English Version — Recently Knizhnik, Polyakov and Zamolodchikov proposed a formula (2) for the susceptibility exponent Y of a planar random surface, related to the number of configurations N(A) as a function of the area A by (1). We prove this formula by extending it to surfaces with arbitrary genus g. Starting from the partition function of the Polyakov string (3) and using the conformal gauge (4) one obtains the Liouville action (6), which depends on
(4) one obtains the Liouville action (6), which depends on a background metric g®b and on the renormalized surface tension Kr. The coupling constant X. and the field renormalization A in (6) are fixed by the absence of Weyl anomaly and given by (8) and (9). Taking for the background metric a constant curvature metric, the classical solution of the Liouville field equation is given by (10) and shifting the Liouville field <5 allows to extract immediately the Kr dependence of the partition function (11) and from (7) the value of the exponent y as a function of the dimension
of the exponent y as a function of the dimension of space d and of the Euler characteristic x of the surface is given by (13). For a planar surface (x = 2) one recovers (2). (13) agrees with exact results of random lattice models with arbitrary genus for d=0 and -2 [11], and with the semi-classical estimates from the Liouville theory ([6], [7]). Récemment Knizhnik, Polyakov et Zamolodchikov ont proposé une formule donnant la valeur de l'exposant y associé au nombre de configurations N(A) d'une surface aléatoire planaire (ayant la topologie de la sphère S2) d'aire A plongée dans
la topologie de la sphère S2) d'aire A plongée dans un espace de dimension d. Cette formule est [1] Dans cette Note nous prouvons cette formule en la généralisant au cas de surfaces de genre g quelconque. Partant de la fonction de partition d'une surface bosonique [2] Note présentée par Roger BALIAN. 0249-6305/88/03071051 $2.00 © Académie des Sciences C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 71 1052 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1051-1053, 1988 en fixant la jauge conforme où {SL} est un ensemble de métriques conformément inéquivalentes sur la surface qui paramètre
ensemble de métriques conformément inéquivalentes sur la surface qui paramètre l'espace des modules, et en intégrant sur XM on obtient la fonction de partition ([2], [3]) où SL est l'action de Liouville Kr = K - K0. Lorsque Kr = 0 l'aire de la surface diverge et d'après (1) Classiquement X = 26 - d et A = 1 ([2], [3]). Si on tient compte des fluctuations du champ de Liouville <5>, ils sont renormalisés. Leur valeur est fixée par la condition de consistence suivante : la physique décrite par (6) doit être invariante sous des transformations de Weyl de
(6) doit être invariante sous des transformations de Weyl de la métrique de référence g®b. On obtient ([4], [5]) Si la surface est compacte et sans bord on peut choisir pour les g®b des métriques de courbure constante R°(x,) = R°. L'extrême de l'action (6) est et changant <5> -> <5>0 + O, Z s'écrit où x est la caractéristique d'Euler Pour une surface planaire (x = 2) cette formule coïncide avec celle proposée dans [1]. Dans la limite de couplage faible (d--> - oo) elle redonne les résultats de ([6], [7]). Enfin elle redonne également les valeurs de y
([6], [7]). Enfin elle redonne également les valeurs de y qui peuvent être obtenues dans les modèles de réseaux aléatoires pour les valeurs particulières de la dimension d=0 et d=-2 pour g=0 ([8]-[10]) et pour g>0 [11]. L'intégration sur les paramètres modulaires ne devrait pas changer ce résultat. En effet, seul le bord de l'espace des modules peut conduire à C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1051-1053, 1988 1053 des singularités supplémentaires. Elles sont donc associées à des surfaces de genre plus petit, donc à des valeurs plus petites de y et à des singularités sous-dominantes
valeurs plus petites de y et à des singularités sous-dominantes de Z. Note reçue le 16 juin 1988, acceptée le 6 juillet 1988. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] G. KNIZHNIK, A. M. POLYAKOV et A. B. ZAMOLODCHIKOV, Fractal Structure of 2-d Quantum Gravity, prépublication Institut Landau, mai 1988. [2] A. M. POLYAKOV, Phys. Lett., 103B, 1981, p. 207. [3] O. ALVAREZ, Nucl. Phys., B216, 1983, p. 125. [4] J. L. GERVAIS et A. NEVEU, Nucl. Phys., B238, 1984, p. 125-141 et 396-406. [5] F. DAVID et E. GUITTER, Europhys. Lett., 3, 1987, p. 1169 et Nucl. Phys., B293, 1988, p. 332. [6]
p. 1169 et Nucl. Phys., B293, 1988, p. 332. [6] A. B. ZAMOLODCHIKOV, Phys. Lett., 117B, 1982, p. 87. [7] I. K. KOSTOV et A. KRZYWICKI, Phys. Lett., 187B, 1987, p. 149. [8] V. A. KAZAKOV, I. K. KOSTOV et A. A. MIGDAL, Phys. Lett., 157B, 1985, p. 295. [9] J. AMBJORN, B. DURHUUS et J. FROHLICH, Nucl. Phys., B257, 1985, p. 433. [10] F. DAVID, Nucl. Phys., B257, 1985, p. 543. [11] I. K. KOSTOV et M. L. MEHTA, Phys. Lett., 189B, 1987, p. 118. Laboratoire de l'Institut de Recherche fondamentale du C.E.A. et Physique théorique C.N.R.S., Service de
Recherche fondamentale du C.E.A. et Physique théorique C.N.R.S., Service de Physique théorique de Saclay, 91191 Gif-sur-Yvette Cedex. Nous montrons de plus, que même en croissance lente, la forme du cristal diffère notablement de la forme d'équilibre et établissons la taille des facettes en fonction du potentiel thermodynamique moyen agissant sur celles-ci. Faceted crystals in equilibrium and in slow growth: a theory Abstract — We explicit here the Wulff construction in 3 dimensions which gives the geometry of a facetted crystal in thermodynamical equilibrium, without any obvious symmetry. Moreover, we show that, even in case of slow growth conditions, the shape
that, even in case of slow growth conditions, the shape of the crystal differs significantly from the one at equilibrium and we establish the facet size in term of the averaged chemical potential acting on it. Dans cette Note, nous expliquons ce qui détermine la forme des facettes d'un cristal à l'équilibre; nous étendons ensuite nos résultats au cas d'un cristal en croissance lente, donc en quasi-équilibre, ceci constituant une extension au cas tridimensionnel (la situation réelle la plus courante) de résultats précédemment obtenus pour le cas bidimensionnel, et qui seront rappelés plus loin. Comme on le sait [1], la
seront rappelés plus loin. Comme on le sait [1], la forme d'équilibre d'un cristal provient de la minimisation de son énergie de surface, à volume imposé. Cette minimisation conduit à une construction géométrique, dite construction de Wulff. Soit n le vecteur unité courant normal à la surface du cristal (que l'on supposera d'équilibre pour l'instant) et y(n) l'énergie superficielle par unité d'aire pour cette orientation de la surface. Soit Z(n) la surface d'équation polaire p = y(n). À l'équilibre, la surface du cristal est l'enveloppe convexe de la surface obtenue à partir de Z par la construction de Wulff :
à partir de Z par la construction de Wulff : on mène en chaque point de Z le plan normal au rayon vecteur issu de l'origine et le cristal est limité par l'enveloppe convexe de la famille à 2 paramètres de plans ainsi définie. Le cristal sera facetté si Z a des points coniques rentrants, en effet cette construction conduit alors à des facettes planes dont la normale est suivant la direction no joignant le point conique au centre de Z. Naturellement toute cette construction définit la forme du cristal à une dilatation près, dont le rapport sera donné plus
à une dilatation près, dont le rapport sera donné plus loin, ce qui définit le volume physique du cristal. Nous allons maintenant nous intéresser à la courbe plane qui limite une facette et montrer comment elle se déduit du voisinage du point conique de Z. Bien que le lien entre les 2 propriétés soit relativement simple, nous ne l'avons trouvé nulle part dans la littérature, d'où la présente Note. Soit donc no le vecteur unité suivant l'axe Oz et z0 = y(n0). La surface Z ayant un point conique en C(0, 0, z0), on peut la décrire localement en coordonnées
C(0, 0, z0), on peut la décrire localement en coordonnées cartésiennes paramétriques réelles (t, s) par les équations : z=z0(1 + t), x = tX(s), y = tY(s), où t est petit et positif, X (. ) et Y (. ) sont deux fonctions continues de période 2 n (par exemple). La courbe plane T d'équation paramétrique x=X(s), y = Y(s) est, à une dilatation arbitraire (et grande) près, la section de la surface Z près du point conique par un plan parallèle au plan de la facette. On supposera donc T homéomorphe à un cercle. La facette se trouve
donc T homéomorphe à un cercle. La facette se trouve dans le plan horizontal de cote z0 et elle est bordée par l'enveloppe des plans normaux en M au vecteur courant OM=(x(t, s), y(t, s), z(t)) dans la limite t→0+. Soit P(x, y, z) le point courant de ce plan, plan dont l'équation cartésienne peut s'écrire OM.MP = 0, soit : Cette famille de plans indexés par s et t coupe le plan z = z0, c'est-à-dire le plan de la facette, suivant la famille de droites d'équation : La courbe cherchée, c'est-à-dire le bord de la facette est l'enveloppe,
courbe cherchée, c'est-à-dire le bord de la facette est l'enveloppe, dans le plan de cette facette, de la famille de droites limite de la famille précédente lorsque t tend vers zéro par valeurs positives. C'est donc la famille de droites A à un paramètre d'équation générale : Cette dernière équation a une interprétation géométrique et une interprétation physique assez simples. En effet soit Hx(X(s), Y (s)) le point courant de la courbe T. Suivant l'équation (2), A est perpendiculaire à CH1 au point H tel que CH. CT = z0. Autrement dit, la courbe cherchée, V est l'enveloppe « de
Autrement dit, la courbe cherchée, V est l'enveloppe « de Wulff » des normales au rayon vecteur de la courbe T", obtenue à partir de T par inversion de centre C et de rapport z0. L'interprétation physique de ce résultat pourrait être que cette nouvelle construction est comme la construction de Wulff habituelle, sauf que l'on ne considère plus l'énergie de surface en fonction de l'orientation mais plutôt l'énergie par unité de longueur d'une marche (« step » dans la terminologie de Burton et coll. [2]) ayant une certaine orientation moyenne sur la facette. Cette interprétation provient de ce que
moyenne sur la facette. Cette interprétation provient de ce que la structure locale du point conique de Z dépend justement de cette énergie de marche comme fonction de son orientation. Ces remarques conduisent à une détermination du bord de la facette complètement différente de celle considérée par Herring [3]. En effet celui-ci considère le cas où la facette est limitée par une courbe le long de laquelle le plan tangent est discontinu, alors que nous avons supposé, jusqu'ici implicitement que Z satisfait partout la condition d'Herring [4] qui assure que toutes les orientations possibles sont représentées par les normales à
toutes les orientations possibles sont représentées par les normales à la surface du cristal, donc que son plan tangent est continu. En fonction de ce qui a été dit plus haut, on pourrait spéculer quant à l'existence d'une transition rugueuse du bord de facette, transition qui correspondrait à l'apparition d'une énergie libre de décrochement (kink) sur une marche, comme la transition rugueuse habituelle correspond à l'apparition (ou la disparition) de l'énergie libre de marche. En fait, l’absence bien connue de transition de phase à température non nulle dans les systèmes unidimensionnels à interaction à courte portée semble exclure la possibilité
unidimensionnels à interaction à courte portée semble exclure la possibilité d’avoir à température finie un « facettage » de la courbe limitant une facette plane : cette transition correspondrait à l’existence de parties rectilignes sur cette courbe. Ceci entraîne aussi le fait que les fluctuations thermiques délocalisent le bord de la facette, sans doute comme la ligne de contact entre un liquide et un solide dans le cas du mouillage parfait. Ici le rôle du rayon du ménisque de la théorie de la référence [5] serait joué par une dimension caractéristique de la facette. Peut-être ces fluctuations quasi statiques (ou
caractéristique de la facette. Peut-être ces fluctuations quasi statiques (ou évoluant probablement sur des échelles de temps très longues, sauf peut-être pour l’Hélium solide) seraient-elles détectables par une méthode optique analogue à celle évoquée dans la référence [5] ? Pour terminer cette partie consacrée au cas d’équilibre, indiquons comment déterminer zo. Si c’est le volume du cristal qui est imposé, cette quantité est un multiplicateur de Lagrange. Par contre, dans le cas de croissance limitée par diffusion on doit relier ce zo C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1055-1059, 1988 1057 aux paramètres thermodynamiques. La thermodynamique
II, p. 1055-1059, 1988 1057 aux paramètres thermodynamiques. La thermodynamique montre que zo est égal à Q0/(u—Ho), où Q0 est le volume moléculaire dans le solide, u le potentiel chimique par molécule — soit une grandeur qui a la même valeur dans les 2 phases en présence — alors que u0 est la valeur qu’aurait ce potentiel si le cristal avait une taille infinie. Ce potentiel chimique pratique dépend de la température et de la concentration en impuretés, dans les 2 cas sa dynamique est donc régie par une équation de diffusion. Cette Note, comme on l'a déjà exposé, était
de diffusion. Cette Note, comme on l'a déjà exposé, était motivée par le désir d'étendre au cas tridimensionnel les résultats de [6] qui montraient comment déterminer la longueur d’une facette dans une situation de quasi équilibre, mais avec des conditions thermodynamiques non uniformes dans l’espace. On avait montré que cette longueur dépendait du potentiel chimique moyen sur cette facette. Le problème équivalent ici est celui de la détermination de la forme du bord extérieur d’une facette placée dans un champ thermodynamique non uniforme. Naturellement, comme on l’a déjà vu, celle-ci suit d’une façon élémentaire de la construction de Wulff lorsque
suit d’une façon élémentaire de la construction de Wulff lorsque l’on est exactement à l’équilibre. Par contre pour une situation même très proche de l’équilibre, la détermination de la forme des facettes devient une question tout à fait non triviale. Imaginons donc un cristal en quasi équilibre dans un champ de température imposé et cherchons à trouver sa forme. On sait bien que cette détermination est une des étapes qui permet de trouver l'équation intégrale de Nash et Glicksman [7] qui définit la forme des cristaux croissants, en l’absence de facettage. Le problème que nous nous posons avait déjà été
facettage. Le problème que nous nous posons avait déjà été examiné par Herring [3] dans le cas où la normale à la surface du cristal subit une discontinuité à l'équilibre sur le bord des facettes, alors qu’ici nous nous restreignons précisément au cas où cette normale est continue. On peut malgré tout utiliser une extension simple de la formule d’Herring dans le cas qui nous intéresse en raisonnant comme suit. Cette formule d’Herring relie la différence entre le potentiel chimique moyen sur la facette, soit < u > et le potentiel chimique d’équilibre pour un cristal de taille infinie, soit
potentiel chimique d’équilibre pour un cristal de taille infinie, soit u0, à la valeur d’une intégrale curviligne sur le bord de la facette. Elle s’écrit : Dans (3), l’intégrale est prise le long du bord de la facette, A1 et Q. sont respectivement l’aire de la facette et le volume moléculaire dans le solide, θ est la discontinuité de l'angle de la normale à la surface le long de ce bord, y représente la constante capillaire sur la partie rugueuse de la surface, extrapolée jusqu’à ce bord et y0 la même constante sur la facette. Dans cette dernière formule, l'intégrateur
même constante sur la facette. Dans cette dernière formule, l'intégrateur à droite a une limite bien définie lorsque la normale devient continue sur le bord de la facette. En effet, l'angle θ tend alors vers zéro, ainsi que la différence entre y et y0. Par un argument de continuité, on peut transformer comme suit la formule remplaçant (3) dans le cas où la normale à la surface du cristal est continue : où les différentes grandeurs ont la même signification que dans (3), et où maintenant dj(s)/dQ est l'angle d’une génératrice du point conique de la surface Z dans la
génératrice du point conique de la surface Z dans la direction θ (cet angle se confond avec le paramètre s introduit plus haut si l’on impose au paramétrage de T la relation tang(s)=Y(s)/X(s)). C. R., 1988, 2e Semestre (T. 307) Série II 72 1058 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1055-1059, 1988 En appliquant la formule ci-dessus ainsi d’ailleurs que la formule d’Herring donnée plus haut, on peut déterminer la forme d’un cristal en croissance lente, lorsqu’il présente des facettes, répondant ainsi à une question qui nous avait été posée par Philippe Nozières. En effet, une
nous avait été posée par Philippe Nozières. En effet, une application élémentaire des relations de conservation montre que la taille de ce cristal croît aux temps longs comme la racine du temps si la croissance est limitée par la diffusion. En substituant cette loi dans les membres de gauche et de droite des équations (3) et (4) ci-dessus, on trouve que le membre de gauche croît formellement comme une aire, soit linéairement avec le temps, alors que le membre de droite croît comme une longueur, soit comme la racine du temps. Ce qui entraîne que ce membre de droite devient
temps. Ce qui entraîne que ce membre de droite devient formellement négligeable devant le membre de gauche aux temps longs, ce qui entraîne que la différence <u> — u0 doit tendre vers zéro. Plaçons nous tout d’abord en l’absence de partie rugueuse, cas où la relation d’Herring s’applique telle quelle. La condition d'annulation de la différence de potentiel chimique est suffisante pour déterminer complètement la forme de croissance, si l'on admet de plus que ce potentiel chimique est solution dans le liquide de l'équation de Laplace avec une valeur uniforme et imposée à grande distance et que le gradient normal
et imposée à grande distance et que le gradient normal de ce potentiel chimique est uniforme sur chaque facette (condition de Stéfan) dans un rapport entre les différentes orientations des facettes tel qu'il préserve la similitude de forme du cristal en croissance. Ceci pourrait invalider l'argument « expérimental » souvent invoqué suivant lequel une forme cristalline est d'équilibre si elle possède cette propriété de similitude. En effet, la forme de croissance ainsi définie n'a a priori rien à voir avec une forme d'équilibre. Herring, dans la référence [3] considère un problème un peu analogue, mais où la croissance se fait
problème un peu analogue, mais où la croissance se fait par diffusion à l'intérieur du cristal. Comme nous, il conclut qu'en ajoutant (3) aux conditions habituelles, on a juste le bon nombre de conditions pour l'équation de Laplace. Remarquons aussi que l'on utilise l'équation de Laplace à la place de l'équation réelle de diffusion, ce qui ne se justifie que dans la limite où la différence de potentiel chimique imposée, soit Ai, est faible. Dans le cas thermique, ceci revient à imposer un faible sous-refroidissement adimensionné, hypothèse réaliste pour la plupart des situations expérimentales. Signalons malgré tout que cette limite
plupart des situations expérimentales. Signalons malgré tout que cette limite ne peut pas être prise aussi simplement dans le cas bidimensionnel, à cause de la divergence logarithmique du noyau de Poisson à grande distance. Le cas où les facettes sont jointes par des parties rugueuses, là où (4) s'applique est plus délicat. En effet, il faut alors déterminer aussi la forme des parties rugueuses. On peut tout d'abord raisonner comme suit : supposons que les facettes se joignent à bord franc et que l'on ait résolu le problème de la forme de croissance du polyèdre correspondant, comme esquissé ci-dessus. Ceci
forme de croissance du polyèdre correspondant, comme esquissé ci-dessus. Ceci détermine un champ de potentiel chimique u, le long des arêtes qui est de l'ordre de grandeur de 10 et ne dépend du temps qu'à travers un facteur géométrique global définissant la croissance du cristal. Supposant que ce potentiel chimique local est relié à la courbure de la partie rugueuse par la formule d'Herring [3] qui généralise au cas anisotrope la relation de Gibbs-Thomson, on en déduit que ces parties rugueuses ont une échelle de longueur constante, indépendante du temps, d'ordre 1/1 M à M-1/2. Ceci conforte l'hypothèse suivant laquelle
d'ordre 1/1 M à M-1/2. Ceci conforte l'hypothèse suivant laquelle les parties rugueuses ont aux temps longs une extension négligeable par rapport aux facettes qui croissent quant à elles comme la racine du temps. Une extension simple de cet argument montre qu'à l'exception du voisinage des sommets, les arêtes ainsi arrondies sont localement des surfaces cylindriques de courbure d'ordre 1, - 1/2. Ces considérations appellent plusieurs remarques. Tout d'abord, ceci laisse entière la question de la détermination de la forme des arrondis près des sommets. Il semble que C. R. Acad. Sci. Paris, t. 307, Série II, p. 1055-1059, 1988