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fournir, par les moyens connus, des milliers d'épreuves. Quant à la graphie du son propre. L'art de fixer les sons de la voix et de les traduire en écriture est un sujet qui a occupé pendant longtemps les inventeurs et les savants. M. Scott, membre correspondant de la Société d'encouragement, a obtenu de nombreuses épreuves présentant les sons de la voix comparés à ceux de divers instruments. Il a constaté que le son d'un instrument, d'une voix donne une suite de vibrations d'autant plus régulières, plus égales et par conséquent isochrones, qu'il est plus pur pour l'oreille, mieux nié dans
isochrones, qu'il est plus pur pour l'oreille, mieux nié dans le cri déchirant, dans les sons aigres des instruments, les ondes de condensation sont irrégulières, inégalles, non isochrones. On peut espérer que la facilité d'écartement presque indéfinie des motifs de la couche semi-fluide permettra d'étendre ces investigations et d'obtenir avec facilité le tracé des mouvements les plus subtils, les plus délicats, autres que le mouvement sonore. Tels sont ceux du pendule à fil, de l'aiguille aimantée, les mouvements dus à l'élasticité, à la torsion. Comme spécimen de ce genre d'études, M. Scott a montré le tracé d'un mouvement curieux en
M. Scott a montré le tracé d'un mouvement curieux en physique c'est celui d'un tonnerre d'acier qui descend lentement un plan incliné en se balançant sur son axe. Le nombre de ses tours et le mouvement de libration étaient nettement marqués. Les savants et le public ont suivi avec un vif intérêt ces essais d'un art nouveau, que l'on n'avait point encore soupçonné jusqu'à présent, et dont on ne peut encore qu'entrevoir les applications. Société Impériale et Centrale d'Agriculture. M. Elouet, membre correspondant pour le département du Finistère, s'est livré à des expériences qui ont fait l'objet d'un rapport qu'il
à des expériences qui ont fait l'objet d'un rapport qu'il vient d'adresser à la Société d'agriculture, et dont nous croyons devoir résumer les passages principaux. Dans les contrées où l'on cultive les betteraves, on est dans l'habitude de faire consommer les feuilles par les animaux de la race bovine. Dès la fin d'août ou dans les premiers jours de septembre, alors que les plants ont acquis un certain développement, on cueille les plus grandes feuilles et on les donne aux animaux, seules ou mélangées à d'autres aliments. Mathieu de Dombasle, dans son Cenlemoui bon enuement, condamne formellement cette pratique. Voulant
dans son Cenlemoui bon enuement, condamne formellement cette pratique. Voulant s'assurer par lui-même combien l'opinion du célèbre agronome est fondée, c'est-à-dire s'il y a avantage ou désavantage pour les cultivateurs à se servir des feuilles de betteraves pour la nourriture des animaux, M. Elouet, vers la fin du mois d'avril des années 1855-1856, a fait cueillir les plus grandes feuilles de betteraves, avec lesquelles il a nourri exclusivement toutes ses bêtes à grosses crues. Les effets produits au bout de douze jours ont été 1° de déterminer chez les animaux une diarrhée fétide 2° de leur faire perdre leur embonpoint,
une diarrhée fétide 2° de leur faire perdre leur embonpoint, et enfin de faire diminuer chez les vaches la sécrétion lactée. En présence de ces faits, on a dû supprimer sur-le-champ l'usage des feuilles de betteraves, qui ont été remplacées par des feuilles de chou cavalier, du trèfle, de la paille d'avoine. En même temps, tous les animaux ont été soumis à un traitement antiphlogistique. Au bout de quelques jours de ce nouveau régime, le mal disparut; les bêtes reprirent leur embonpoint qu'elles avaient perdu, et la sécrétion du lait chez les vaches redevint ce qu'elle était auparavant. Une remarque
chez les vaches redevint ce qu'elle était auparavant. Une remarque faite par M. Elouet et qui vient confirmer l'opinion de Mathieu de Dombasle, c'est que les plants qui avaient été privés de leurs grandes feuilles cessèrent de croître, tandis que tous ceux dont les feuilles n'avaient pas été enlevées continuèrent à se développer en longueur et en grosseur jusqu'au moment de la récolte. Une remarque non moins importante, c'est que toutes les parties des champs qui avaient été privées des feuilles de betteraves étaient moins grasses que toutes celles à la surface desquelles ces feuilles avaient été répandues sur le
la surface desquelles ces feuilles avaient été répandues sur le sol, puis enterrées en vert. La conséquence à tirer de ces observations, c'est d'abord que les feuilles de betteraves paraissent peu nutritives; que leur usage comme aliment fait maigrir les animaux qui en font leur principale nourriture, détermine chez eux une diarrhée fétide, et diminue la production lactée chez les vaches. Il y a plus; par l'enlèvement des grandes feuilles, on arrête la croissance des racines en longueur et en grosseur, ce qui occasionne un déficit énorme dans le rendement; en ne les répandant pas sur le sol et en
en ne les répandant pas sur le sol et en ne les enfouissant pas dans la terre, on prive celle-ci d'un engrais précieux. COUMENT FRIÈS. MÉMOIRES DE L'ACADÉMIE IMPÉRIALE DES SCIENCES, INSCRIPTIONS ET BELLES-LETTRES DE TOULOUSE. Tome V (classe des sciences). 2° article. Dans l'intention de donner à nos lecteurs une connaissance sommaire des travaux de la classe des sciences de l'Académie impériale de Toulouse, nous nous sommes proposé de leur présenter une analyse de la partie scientifique des Mémoires de cette Société savante, pour l'année 1856. Ce n'est pas que nous ayons choisi à dessein ces Mémoires, parmi tous
que nous ayons choisi à dessein ces Mémoires, parmi tous ceux que l'Académie de Toulouse publie chaque année, comme étant les plus importants et pouvant le mieux remplir notre but. Nous devons avouer que nous avons ouvert, pour ainsi dire au hasard, sans doute parce qu'il est le plus récent, le volume dont il s'agit. Le vif intérêt que nous y avons bientôt trouvé nous a inspiré la pensée d'en rendre compte, mais sans rien préjuger du mérite ou de la valeur comparative des Mémoires que contiennent les autres volumes que nous nous empresserons certainement de lire à leur tour.
que nous nous empresserons certainement de lire à leur tour. Le discours prononcé par l'honorable président, M. Fihlo, à l'ouverture de la séance publique de 1856, avait dû, dès l'abord, fixer notre attention, et il nous a fourni le texte presque exclusif d'un premier article. Ce rapport, si remarquable à tous les points de vues, était en effet bien digne d'une mention toute spéciale. En caractérisant le véritable esprit du pays et en nous montrant la situation exacte de l'industrie toulousaine, il a pu nous faire apprécier nettement l'influence que l'Académie des sciences de Toulouse a su exercer jusqu'ici, et
l'Académie des sciences de Toulouse a su exercer jusqu'ici, et celle plus grande encore qu'elle est destinée à avoir, à l'avenir, sur le développement de l'activité industrielle de cette riche contrée. L'analyse que nous allons faire maintenant des diverses communications relatives aux sciences et à leurs applications, que renferme le volume dont nous nous occupons, ne fera que compléter et confirmer l'opinion que nous avons exprimée à cet égard. Afin de procéder avec méthode, nous rangerons sous un même titre tout ce qui se rattache à un même ordre de sciences, en classant à part, sous le titre spécial d'applications
sciences, en classant à part, sous le titre spécial d'applications industrielles, ce qui aura pour objet l'amélioration des procédés industriels proprement dits. Mathématiques pures et appliquées. Les mathématiques pures sont généralement peu cultivées dans les Sociétés savantes de province. Dans l'Académie de Toulouse, elles sont toujours restées en honneur. Chaque année, des Mémoires intéressants sur quelque partie délicate de l'analyse ou quelque point important de la théorie des nombres, une étude ingénieuse de quelque théorème nouveau de géométrie ou de mécanique rationnelle, viennent y témoigner d'un culte fervent pour une science dont les richesses constituent une des plus belles manifestations
science dont les richesses constituent une des plus belles manifestations de l'intelligence humaine. Trois communications de ce genre donnent un véritable intérêt aux Mémoires de l'année 1856. Les deux premières sont dues à M. Sornin, ancien professeur de mathématiques spéciales au lycée de Toulouse, aujourd'hui censeur des études au lycée de Versailles. Elles ont pour objet, l'une, la solution d'un problème relatif à la théorie des nombres, l'autre, des recherches sur les polygones sphériques réguliers. La troisième, de M. Molins, doyen de la Faculté des sciences de Toulouse, a pour but d'établir un nouveau théorème relatif aux moments des forces
but d'établir un nouveau théorème relatif aux moments des forces par rapport à un point. Chacune de ces trois communications présente des résultats curieux, offrant, à un haut degré, ce caractère de simplicité inattendue et d'harmonieuse régularité, qui charme l'esprit et constitue ce que les mathématiciens appellent, à si juste titre, de l'élégance, au grand scandale des littérateurs. Nos lecteurs nous sauront gré d'entrer dans quelques détails pour leur faire apprécier ces résultats. Le problème que M. Sornin s'est proposé de résoudre est le suivant: Parmi les diverses séries de poids qui permettent de peser tous les corps à une
poids qui permettent de peser tous les corps à une unité près, quelle est, au moins théoriquement, la plus avantageuse c'est-à-dire quelle est celle qui, pour un nombre déterminé de poids, conduit à la plus haute limite, et qui pour atteindre une limite déterminée, exige le moindre nombre de poids? Or, il y a deux manières de peser. Ou bien on s'astreint à ne jamais mettre les poids que dans un seul et même plateau de la balance, de sorte qu'ils ne puissent que s'ajouter entre eux pour faire équilibre au corps à peser ou bien on se réserve la
au corps à peser ou bien on se réserve la faculté de mettre à la fois des poids dans les deux plateaux, et alors l'équilibre peut résulter encore de certaines combinaisons de poids se retranchant les uns des autres. M. Sornin démontre d'une manière aussi simple qu'ingénieuse en partant de ce que tout nombre entier peut être représenté, soit par 2p-a, a étant égal à 0 ou 1, soit par 5p-a, a étant égal à 0, 1 ou -1, que les séries de poids qui satisfont aux conditions du problème qu'il s'est posé, sont Dans le 1er cas, celui où
qu'il s'est posé, sont Dans le 1er cas, celui où l'équilibre ne doit résulter que de l'addition des poids entre eux, 2. 3. 4. 5. 6. 7. ou les puissances successives du nombre 2 Dans le 2ème cas, celui où l'équilibre peut résulter à la fois et de l'addition et de la soustraction des poids entre eux, 1. 3. 3^2. 3^3. 3^4. ou les puissances successives du nombre 3. Chacune de ces deux séries, dans les conditions où elle doit être employée, donne, sans lacunes et sans répétitions, la suite naturelle des nombres entiers, et elles sont les seules qui
naturelle des nombres entiers, et elles sont les seules qui jouissent de cette propriété. Si l'on s'arrête à un terme, la 1ère conduit jusqu'à 2^n-1, la 2ème va plus loin encore et conduit jusqu'à 6. La 1ère peut, au reste, être employée dans les mêmes conditions que la 2ème, mais elle ne fera que reproduire des nombres déjà obtenus, sans avantage pour la limite supérieure qui restera la même. La 2ème, dans les conditions restreintes de la, ne donnerait plus la suite des nombres. Toute autre série, pour un même nombre de termes, fournira bien le même nombre de combinaisons
nombre de termes, fournira bien le même nombre de combinaisons mais, soit ces combinaisons présenteraient des lacunes, et la série ne pourrait être employée dans le but que nous nous proposons, soit elles n'offriraient la suite naturelle des nombres qu'avec des répétitions plus ou moins nombreuses, au préjudice de la limite supérieure qui serait toujours moins élevée que celle que les séries précédentes permettent d'atteindre. Ainsi, par exemple, la série de poids qui serait fournie par la suite des nombres entiers 1. 2. 3. 4. 5. 6. ne peut conduire, de quelque manière qu'elle soit employée, qu'à la limite 15.
de quelque manière qu'elle soit employée, qu'à la limite 15. Avec 7 termes, on ne va pas au-delà de 28, tandis que les puissances successives de 2 donneraient 27, et les puissances successives de 3 conduiraient à 1093. Pour atteindre ces limites, il faudrait, avec la série des nombres successifs, employer 16 ou 47 termes. Mais la comparaison la plus intéressante est celle que l'on peut faire avec la série des poids employés dans le commerce. Formée d'après le double principe que chaque unité décimale ait toujours son double et sa moitié (loi du 18 germinal an IV), et que
sa moitié (loi du 18 germinal an IV), et que la somme de tous les poids inférieurs à une unité décimale d'un ordre quelconque reproduise cette unité, la série des poids usuels est constituée de la manière suivante : grammes. décigrammes. hectogrammes. kilogrammes. 1. 2. 2. 5 1. 1. 2. 5 1. 1. 2. 5, etc. Les diverses combinaisons qu'on peut obtenir avec cette série, soit exclusivement par voie d'addition, soit simultanément par voie d'addition et par voie de soustraction, fourniront sans lacune, mais avec des répétitions plus ou moins nombreuses de chaque nombre, la suite des nombres entiers. Or,
nombreuses de chaque nombre, la suite des nombres entiers. Or, la limite supérieure qu'elle permet d'atteindre, avec un nombre déterminé de termes, sera de beaucoup inférieure à celles auxquelles conduiraient les deux premières séries. Ainsi elle exige l'emploi de 12 poids pour peser tous les corps, depuis 1 gramme jusqu'à 1 kilogramme, tandis que les douze premiers termes de la première série : 1; 2, 2½, 3, 2¾, conduisent jusqu'à plus de 4 kilogrammes. Avec le même nombre de termes de la série 1, 3, 3½, 3¾, on peut peser jusqu'à près de 266 kilogrammes. Pour peser jusqu'à 10 kilogrammes,
jusqu'à près de 266 kilogrammes. Pour peser jusqu'à 10 kilogrammes, il faut, avec la série des poids du commerce, employer 16 poids, tandis qu'avec la première série il n'en faudrait que 14, et on irait alors au-delà de 16 kilogrammes. Avec la deuxième série, il suffirait de 10 poids qui conduiraient d'ailleurs au-delà de 29 kilogrammes. Enfin, 7 poids de cette dernière série suffiraient pour peser tous les corps depuis 1 gramme jusqu'à 1 kilogramme, et 14 poids conduiraient à 2,391 kilogrammes. Les avantages, si réels, que présentent les deux séries dont nous nous occupons, ne seraient pas cependant un
séries dont nous nous occupons, ne seraient pas cependant un motif suffisant pour faire substituer l'une ou l'autre à celle qui est adoptée dans le commerce. En effet, la série des poids usuels est formée d'une suite de groupes successifs, correspondant chacun à chacune des unités décimales des divers ordres, et les nombres d'unité de chaque ordre décimal, que chaque groupe peut fournir, ne peuvent s'élever que de là. Cette série offre donc un système entièrement calqué sur le système de numération décimale; d'où il suit que la traduction définitive d'un poids mesuré avec les termes de cette série se
d'un poids mesuré avec les termes de cette série se déduit immédiatement, sans calcul préalable, de l'inspection seule des poids employés. Il ne saurait en être ainsi avec l'une ou l'autre des deux premières séries, ce qui apporterait nécessairement des lenteurs, des embarras, dans la pratique des opérations. Quoi qu'il en soit, cette communication de M. Sornin n'en est pas moins très importante au point de vue de la théorie des nombres. La seconde communication du même auteur est un Mémoire sur les propriétés des polygones sphériques réguliers, et sur les analogies que ces propriétés peuvent avoir avec celles des
les analogies que ces propriétés peuvent avoir avec celles des polygones plans réguliers. Ce genre d'étude, en grand honneur aujourd'hui chez les Allemands, a déjà été l'objet des recherches de plusieurs géomètres célèbres, au nombre desquels on compte Kepler, Legendre, Puissant, etc. Le Mémoire de M. Sornin renferme plus d'une proposition nouvelle, et vient se ranger honorablement parmi les divers travaux entrepris jusqu'à ce jour sur ce sujet, qu'il est loin toutefois d'avoir épuisé. Il n'embrasse encore que les polygones réguliers formés par des arcs de grands cercles, et il inspire le désir de voir l'auteur céder à l'invitation de
inspire le désir de voir l'auteur céder à l'invitation de ses collègues, en se livrant à l'étude des polygones sphériques construits au moyen des petits cercles de la sphère. Nous n'entreprendrons pas d'entrer ici dans des détails qui ne pourraient être que la reproduction d'un Mémoire, d'ailleurs assez court, et qui mérite d'être lu dans son entier. Nous nous bornerons à donner l'ensemble des résultats, en signalant surtout ceux qui présentent cette simplicité si pleine de charmes pour les esprits curieux des vérités géométriques. La définition des polygones réguliers sphériques est la même que celle des polygones plans réguliers. Ils
est la même que celle des polygones plans réguliers. Ils sont, comme ces derniers, inscriptibles et circonscriptibles à un cercle. De là pour eux des propriétés qui sont identiquement les mêmes que celles des polygones réguliers plans. Les relations entre les côtés, ou les aires, et les rayons des cercles inscrits et circonscrits, présentent, sinon une complète identité, du moins une telle analogie avec celles qui ont été établies pour les polygones plans, qu'elles y conduisent nécessairement lorsque le rayon de la sphère croît indéfiniment. Du reste, le rappel du côté au rayon du cercle circonscrit est toujours plus petit,
côté au rayon du cercle circonscrit est toujours plus petit, pour le polygone sphérique, que pour le polygone plan correspondant même nombre de côtés. (Il ne faut pas perdre de vue que, lorsqu'il est question de polygones sphériques, le rayon du cercle circonscrit, c'est la distance du pôle de ce cercle aux sommets du polygone, mesurée par un arc de grand cercle c'est ce qu'on peut appeler le rapport sphérique du polygone ! La distance du pôle de ce cercle aux côtés du polygone, comptée de la même manière.) L'angle d'un polygone sphérique régulier n'est pas déterminé, comme celui d'un
d'un polygone sphérique régulier n'est pas déterminé, comme celui d'un polygone plan, par le nombre seul des côtés. Cet angle est toujours plus grand que l'angle du polygone plan correspondant, et tend à la limite vers l'infini il tend à mesure que le rayon de la sphère augmente. Pour déterminer un polygone sphérique régulier, il ne suffit donc pas d'exprimer le nombre de ses côtés, il faut y joindre une autre donnée comme par exemple le rapport du côté au rayon du cercle circonscrit. Ce rapport étant donné, on peut d'ailleurs se proposer de chercher les divers polygones réguliers qui
d'ailleurs se proposer de chercher les divers polygones réguliers qui satisfont à la condition qu'il fournit. Une question intéressante se présente alors à résoudre : existe-t-il un ou plusieurs polygones réguliers sphériques, dont le côté soit égal au rayon du cercle circonscrit, et qui correspondent sous ce rapport à l'hexagone plan régulier ? Ce problème est résolu avec une extrême simplicité par M. Sornin, qui trouve deux polygones réguliers sphériques jouissant de la propriété ci-dessus énoncée, savoir : 1° Parmi les polygones réguliers dont l'aire est plus petite que celle de la demi-sphère, le pentagone dont l'angle est égal à
de la demi-sphère, le pentagone dont l'angle est égal à celui du dodecaèdre pyramidaire ; 2° Parmi les polygones réguliers dont l'aire est plus grande que celle de la demi-sphère, le triangle équilatéral dont l'angle est égal à celui de l'hexagone plan régulier. L'aire du premier de ces deux polygones réguliers sphériques est égale au quart de l'aire de la sphère, celle du second aux trois quarts de l'aire de la sphère; de sorte que la somme des aires de ces deux polygones est égale à l'aire de la sphère, et que chacun d'eux divise la surface de la sphère
et que chacun d'eux divise la surface de la sphère dans le rapport de 1 à 3. Ces résultats ne font-ils pas désirer vivement que M. Sornin poursuive des recherches si bien dirigées, et dont il sait tirer un aussi heureux parti ? Le Mémoire de M. Molins, dont nous allons rendre compte, ne saurait manquer d'inspirer à un haut degré les sentiments que nous venons d'exprimer. On sait que, pour un point quelconque du plan de deux forces concourantes, le moment de la résultante est égal à la différence ou à la somme des moments des deux forces, suivant
ou à la somme des moments des deux forces, suivant que le point est pris dans l'angle même, ou en dehors de l'angle des deux forces. On sait aussi que le lieu géométrique des points pour lesquels les moments des forces sont égaux, est formé des deux lignes droites indéfinies, menées par le point de concours des forces, l'une suivant la direction de la résultante, l'autre suivant la direction de la résultante qu'on obtiendrait en prenant l'une des forces en sens contraire de celui où elle agit. M. Molins s'est demandé quels sont les points de l'espace où le carré
demandé quels sont les points de l'espace où le carré du moment de la résultante est égal, soit à la somme, soit à la différence des carrés des moments de deux forces concurrentes; quels sont les points, non plus seulement du plan des forces, mais de l'espace, pour lesquels les moments des deux forces sont égaux ? Pour résoudre ces diverses questions, dont les solutions découlent d'ailleurs, comme nous allons le voir, l'une de l'autre, il lui a suffi de s'appuyer sur les principes les plus élémentaires de la composition de deux forces, sans employer d'autres relations que celle qui
de deux forces, sans employer d'autres relations que celle qui lie le moment de la résultante aux moments des composantes, et celle qui lie le carré de la résultante à la somme des carrés des composantes. Il est arrivé aux résultats suivants, aussi remarquables par leur simplicité que par leur élegance. Le lieu géométrique des points pour lesquels le carré du moment de la résultante est égal à la somme des carrés des moments des composantes, est la surface d'un cône du second ordre, construit sur l'angle aigu des deux droites indéfinies menées suivant les directions des forces, passant par
droites indéfinies menées suivant les directions des forces, passant par conséquent par ces lignes, ayant pour sommet le point de concours des deux forces dont le plan forme un plan diamétral principal, ayant enfin deux systèmes de sections circulaires dont les plans sont respectivement perpendiculaires aux deux forces. Ainsi, si dans l'angle aigu des deux droites indéfinies menées suivant les directions des forces, on mettez-peu à peu, en un même plan, les directions d'elles une série de croissantes et si l'on met à chacune de ces croissantes comme diamètre, on décrit une circonférence dans un plan perpendiculaire à celui des
décrit une circonférence dans un plan perpendiculaire à celui des forces, la surface conique, engendrée par toutes ces circonférences, sera le lieu géométrique cherché. Ce lieu géométrique ne dépend nullement du rapport de l'intensité des forces, il ne dépend que de leur angle. Il sera identiquement le même pour tous les systèmes de forces qui feront entre elles un même angle, ou le supplément de cet angle. Seulement, si l'angle des deux forces est aigu, le cône comprendra la résultante dans son intérieur, tandis que la résultante sera en dehors du cône, si l'angle des deux forces est obtus. Si
du cône, si l'angle des deux forces est obtus. Si l'angle des forces est droit, le cône se transforme en un système de deux plans menés, chacun par chacune des deux forces, perpendiculairement à l'autre. De ce que la surface conique, qui constitue le lieu géométrique cherché, est la même pour deux systèmes de forces dont les angles sont supplémentaires l'un de l'autre, on conclut facilement que cette surface conique est telle, que, par rapport à un quelconque de ses points, le moment de la résultante des deux forces pour laquelle elle a été construite et celui de la résultante