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f diverge; mais, en dehors de cet intervalle, les formules du Mémoire cité sont utilisables. MESURE D'UN ARC DE MÉRIDIEN DU SPITZBERG, PAR UNE EXPÉDITION RUSSO-SUÉDOISE. La question soulevée par Sabine, dans la première moitié de ce siècle, d'une mesure du degré au Spitzberg pouvait seulement recevoir une solution après l'exploration géographique approfondie de cet Archipel par Nordenskjöld, Dunér. En partant des Cartes dessinées d'après leurs observations, le professeur Rosén étudia la question de plus près, il prépara un projet de triangulation et un plan général pour la mesure du degré. Lorsque, plus tard, de tels perfectionnements furent apportés à
degré. Lorsque, plus tard, de tels perfectionnements furent apportés à l'appareil de bases de Jäderin que la mesure d'une base d'une longueur suffisante put se faire, sans sacrifier les exigences de la précision moderne, la solution du problème devint possible. Pour s'en assurer et pour pouvoir entreprendre les reconnaissances définitives, Jäderin se mit à la tête d'une expédition, dans l'été de 1898, vers le Spitzberg; l'expédition avait été organisée par l'initiative privée. À l'expédition prit part aussi l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, représentée par le Lieutenant-Colonel Schultz. L'arc de méridien à mesurer devait être compris entre les parallèles passant
méridien à mesurer devait être compris entre les parallèles passant par le cap Sud et l'île de Ross, embrassant ainsi à peu près 45° 5, différence des latitudes 760 et 80°, 5. Les sommets des triangles devaient être représentés par des signaux sur les bords du Storfjord, du détroit d'Henlopen et des Sept-Îles. L'expédition put terminer la reconnaissance et installer les signaux depuis l'île de Ross jusqu'au Storfjord. Mais la question de savoir si l'on pouvait comprendre le Storfjord dans la mesure du degré resta ouverte. Dans l'intervalle arriva l'invitation officielle de la Suède à la Russie de prendre part
officielle de la Suède à la Russie de prendre part au travail définitif. Deux Commissions firent nommées : une russe par S. M. l'Empereur, dans l'Académie des Sciences de Saint-Pétersbourg; l'autre par S. M. le Roi de Suède, dans l'Académie de Stockholm. Ces deux Commissions préparèrent le plan pour la mesure du degré et décidèrent de le mettre à exécution dès l'été de 1899, pour terminer, si possible, en 1900. Pendant l'hiver 1899-1900 la portion principale des géodésiens hivernerait sur le Spitzberg, de manière à pouvoir reprendre le travail le plus tôt possible l'année suivante. Outre les travaux astronomiques et
plus tôt possible l'année suivante. Outre les travaux astronomiques et géodésiques, il y avait à poursuivre des observations météorologiques et physiques, et pour cela il fallait pourvoir, dans les stations d'hivernage, à la construction d'observatoires spéciaux. A la fin de juin, l'expédition russo-suédoise se rendit, sur cinq vapeurs, dont trois russes et deux suédois, de Tromsø au Spitzberg. À cause de difficultés non prévues, ni l'expédition russe, ni l'expédition suédoise ne purent atteindre les emplacements indiqués pour l'hivernage; les Russes restèrent donc à Hornsund, sur la côte sud-ouest du Spitzberg, par 77° de latitude nord, pendant que les Suédois s'établirent
par 77° de latitude nord, pendant que les Suédois s'établirent dans la baie de Freuchenberg, vers 80° de latitude nord. À cause des glaces et de la perte de temps occasionnée par le déchargement des matériaux pour la construction des cabanes, les travaux ne purent être entrepris que vers le milieu de juillet. L'expédition russe travailla exclusivement au Storfjord, et elle parvint à exécuter complètement la reconnaissance et à établir les signaux, travail qui offre des difficultés sérieuses, parce que les distances entre les deux bords, et par suite les longueurs des côtés des triangles sont considérables (quelques-uns dépassent même
longueurs des côtés des triangles sont considérables (quelques-uns dépassent même 10 km) et parce que les deux bords sont rarement à la fois dégagés de brumes. Outre la reconnaissance, on put encore exécuter les observations astronomiques et géodésiques pour deux des sommets les plus difficiles : savoir ceux du cap Lee et de la pointe de Whole. En ce dernier lieu on doit mesurer une base l'année prochaine. D'après l'expérience acquise au cours des travaux maintenant achevés, si l'état des glaces est aussi favorable en 1900 qu'en 1899, on peut être assuré que les travaux au Storfjord, c'est-à-dire pour la
être assuré que les travaux au Storfjord, c'est-à-dire pour la moitié sud de l'arc de méridien, seront achevés en 1900. Au nord, l'état des glaces était cette année très défavorable, On n'a pu atteindre les Sept-Îles. Par suite, la section suédoise de l'expédition a concentré ses efforts sur la mesure d'une base à Hekla Hook et sur la jonction de la base avec la triangulation. Elle a pu en outre exécuter les travaux astronomiques et géodésiques pour quelques sommets de triangles. Il paraît donc que la section nord de la mesure, à moins que l'état des glaces ne crée des
mesure, à moins que l'état des glaces ne crée des obstacles insurmontables, pourra être aussi terminée en 1900. Au commencement de septembre tous les navires revinrent. Dans la station russe hivernent quatre astronomes, géodésiens, un météorologue, un médecin, un mécanicien et douze matelots. La composition de la Section suédoise est à peu près la même. SUR LE MOUVEMENT DU PÉRIGÉE DE LA LUNE; PAR M. H. POINCARÉ, Les termes du mouvement de la Lune qui ne dépendent ni de l'inclinaison, ni de la parallaxe, ni de l'excentricité solaire, sont déterminés par les équations Ici, on a posé n étant le
par les équations Ici, on a posé n étant le moyen mouvement du Soleil et n celui de la Lune; et on a choisi l'unité de temps de telle façon que n — n' = 1. Quant à x, c'est la somme des masses de la Terre et de la Lune. Si l'on pose ces équations peuvent s'écrire et l'on en déduit l'intégrale de Jacobi M. Hill a déterminé une solution particulière de ces équations, cette solution que je désignerai spécialement par x, y, est une solution périodique et elle représente l'ensemble des termes de degré zéro par rapport aux
représente l'ensemble des termes de degré zéro par rapport aux deux excentricités, à l'inclinaison et à la parallaxe. Elle correspond à la valeur zéro de la constante d'intégration e qui joue le rôle de l'excentricité. Désignons par x + E, y + 'l, une solution infiniment voisine de la précédente, de telle sorte que nous puissions négliger les carrés des variations E et '/j. Alors x et y représenteront l'ensemble des termes qui seront du premier degré par rapport à e. Il est clair que x et y devront satisfaire aux équations aux variations (3) imr{ —. P| -H QT),
aux équations aux variations (3) imr{ —. P| -H QT), r/'+ im%=Q £ -h RY), où j'ai posé pour abréger, De plus, on déduit de l'intégrale de Jacobi Ces équations (3) et (4) permettent de calculer les termes du premier degré par rapport à e et la partie du mouvement du périgée, qui est indépendante des excentricités, de l'inclinaison et de la parallaxe et dépend seulement du rapport des moyens mouvements. Les équations (3) sont des équations différentielles linéaires à coefficients périodiques; le système est du quatrième ordre puisqu'il se compose de deux équations du deuxième ordre. M. Hill, pour
compose de deux équations du deuxième ordre. M. Hill, pour calculer le mouvement du périgée, commence par ramener le système au deuxième ordre et parvient à le remplacer par une équation unique w"-0 W = 0, Où 8 est une fonction périodique du temps. Je voudrais indiquer une méthode par laquelle on pourrait déterminer ce mouvement du périgée sans avoir recours à cette transformation. Pour cela cherchons à nous rendre compte de la forme de l'intégrale générale du système (3). J'ai dit que les équations (1) admettent une solution périodique; en réalité, elles en admettent une infinité (une pour chaque
en réalité, elles en admettent une infinité (une pour chaque valeur de m) qui peuvent s'écrire x = f(t, m), y = g(t, m), Où f et g sont des fonctions développées d'une part suivant les puissances de m, d'autre part suivant les cosinus et les sinus des multiplés impairs de t. Quant à t, c'est la différence des longitudes moyennes de la Lune et du Soleil t = (72 n')( £ + S). J'ai écrit les équations (1) en adoptant une unité de temps particulière, à savoir la période synodique divisée par 2π; je ne puis le faire si
synodique divisée par 2π; je ne puis le faire si je veux faire varier m, parce que cela fera varier précisément cette période synodique. Je rétablis donc l'homogénéité et j'écris les équations (1) sous la forme Mes solutions périodiques deviennent alors Contenant deux constantes d'intégration n et e. On obtient évidemment deux solutions particulières des équations aux variations en différentiant par rapport à ces deux constantes. Ces deux solutions particulières sont et. Après la différentiation, je puis supposer de nouveau n = 1, d'où x = t + 1, ce qui donne. Outre ces deux solutions particulières, la théorie des
qui donne. Outre ces deux solutions particulières, la théorie des équations linéaires à coefficients périodiques nous enseigne qu'il en existe une troisième de la forme suivante. Les a et les b sont des coefficients constants; j est un entier, c est l'exposant caractéristique dont dépend le mouvement du périgée; enfin Ç = cos x + i sin x. Si l'on change r en -1, l'en -1, 7j en -1, les quantités x, r et y se changeront en x, r et -y et les équations ne changeront pas. Nous aurons donc une quatrième solution it = j (cos s -+i
donc une quatrième solution it = j (cos s -+i sin s) y = V [ j, -2j-1-C. Nous en déduisons une cinquième. Quelles sont les conditions initiales correspondantes? On a d'abord F'(0) = (0) = 0. Reprenons maintenant l'équation (4); je dis que pour cette solution particulière la constante qui figure dans le second membre de (4) doit être nulle. Il suffit, en effet, de prouver qu'il en est ainsi pour les deux solutions particulières E3, r3 et E4, r4. Or la solution E3, r3, jouit de cette propriété de se reproduire multipliée par (COS CT + i SIN
de se reproduire multipliée par (COS CT + i SIN CT.) quand on change t en t + T. Le premier membre de (4) est donc multiplié par le même facteur, si après y ayant fait E = Z, t = r3, on change t en t + T. Comme ce facteur n'est pas égal à i et que le second membre est une constante, il faut que cette constante soit nulle; elle le sera encore, pour la même raison, si l'on fait ç = E4, t = r4, et, par conséquent, on aura. Pour t = 0, F' et
par conséquent, on aura. Pour t = 0, F' et Ft s'annulent, et il reste. Mais pour t = 0, on a x = r; d'où en appelant x0 et y0 les valeurs de x et y pour t = 0. Comme F et F' ne sont définis qu'à un facteur constant près, nous pourrons prendre pour les conditions initiales F(0) = F'(0) = 0, F ( 0) = Z j = y0, On aura alors. Ces équations vont nous fournir un moyen de calculer cosct; Il suffit pour cela de calculer par exemple F (-r). Observation que P, Q,
de calculer par exemple F (-r). Observation que P, Q, R sont des fonctions périodiques de t; la période étant 2π, les développements procéderont suivant les lignes trigonométriques des multiples de 2π. De plus, par raison de symétrie, les développements de P et R ne contiendront que des cosinus et celui de Q ne contiendra que des sinus; soit P = SPycosayT, Q = Qy sin ijT, R = Ry cos ijT. Posons maintenant ç = p cost + j sin r; rt = p sin t -t cos"; nos équations deviendront p" + ( m + 1)' -^ (
équations deviendront p" + ( m + 1)' -^ ( 2ml + 1) 2 = P' p + Q' t, cr"2( m + 1 )p' (2ml + 1) t = Q'p + R' t, en posant P' = P cos2t + 42Q cos. Si Il'-) Q'= Q( sin2 t - cos2t) + (P - R) cos r sin R' = P Si Il 22 Q cos i sin + R COS2., c'est-à-dire. Il est aisé de voir que (x+iy)-1, (x-iy), et par conséquent x cost + y sin r, x sin -+ y cost, et enfin P', Q', R' sont
sin -+ y cost, et enfin P', Q', R' sont développables suivant les puissances de m, et m étant regardé comme du premier ordre. J'observe de plus que Qr est nul. Ne laissons dans le second membre que les quantités du second ordre; nos équations deviendront ( x"+2(m + 1)l'-(2ml + 1)2 -P2 = (P'-P'+Q', ) ( l + J) l' - ( ml + r) l 2 = (y2 - ( n' - Ry) 7. Il s'agit de déterminer F(T) et pour cela il faut chercher une solution particulière des équations (5), assujettie aux conditions initiales Cette solution particulière
des équations (5), assujettie aux conditions initiales Cette solution particulière dépendra évidemment des coefficients P', Q', R.. Un théorème général relatif aux équations linéaires nous apprend que notre solution peut se développer suivant les puissances des Pj, Qy, Rj; et que le développement ainsi obtenu converge, quelles que soient les valeurs attribuées à ces coefficients. En autres termes, notre solution est une fonction entière de ces coefficients. Je veux dire que c'est une fonction entière par rapport aux coefficients p, q, R, p, R, R, R, ... Re, R Pour cela je prendrai les équations (5) et j'attribuerai d'abord dans
cela je prendrai les équations (5) et j'attribuerai d'abord dans le second membre les valeurs 0 à p et à t; et je chercherai à satisfaire aux équations (5, 1) ainsi obtenues et aux conditions initiales (6); j'aurai ainsi une première approximation pour p et t. J'attribuerai ces valeurs approchées dans le second membre; J aurai ainsi des équations (5, 2) dont les premiers membres seront ceux des équations (5) et dont les seconds membres seront des fonctions connues; je chercherai à satisfaire à ces équations (5, 2) aux conditions initiales (6), ce qui me donnera une seconde approximation pour
initiales (6), ce qui me donnera une seconde approximation pour p et t, et ainsi de suite. La première approximation nous fera connaître exactement les termes des premiers ordres du développement suivant les puissances des P' Q', R'. D'ailleurs l'intégration des équations (5, 1), (5, 2), etc., ne présentera aucune difficulté, car ce sont des équations linéaires à second membre, et les premiers membres sont à coefficients constants. On aura ainsi le développement de p, de 7 et, par conséquent, ceux de F(-;) , F(n) et cosc suivant les puissances des Pj, Qj, Ry ; ces développements convergeront très rapidement,
des Pj, Qj, Ry ; ces développements convergeront très rapidement, car la convergence a lieu quelles que soient les valeurs attribuées à ces coefficients. Il pourra néanmoins être avantageux de procéder autrement. Soient des équations de même forme que les équations (5); mais où les coefficients Py, Qy, Ry, au lieu d'avoir les valeurs particulières qu'elles ont dans les équations (5), ont des valeurs quelconques arbitraires. Le système (5 bis) étant du quatrième ordre admettra quatre solutions linéairement indépendantes. Parmi ces quatre solutions, j'en distinguerai deux qui seront telles que p se change en p et 7 en — 7
p se change en p et 7 en — 7 quand z se change en — 7. D'après les propriétés générales des équations linéaires à coefficients périodiques, ces deux solutions seront de la forme suivante p = cajfT) = 2aycos(ay + q)y, 1 = 'M~) = sin(ay -h q p = ©2(x ) = 'f.'l.jcos('l.j + q' )x, t = 'h(,,:) = -3} sin ( •>.] -fq' )x, où q et q' sont des constantes. Quand les coefficients Pj, prenant des valeurs particulières, les équations (5 bis) se réduisent aux équations (5), q se réduit à c et q' à
équations (5), q se réduit à c et q' à zéro ; et l'on a o,(T) = F(T) COS-LKI (T) sin-RR, 'h(,,:) = F(,,:) sinx — F,(X) ces-; o2(~) = x'cos,,; + y' sin ";, th(,,:) = a?'sinx — Y, Co s Le procédé que nous avons développé plus haut consistait à chercher une solution des équations (5 bis) de la forme suivante A A à déterminer les coefficients constants A et B de façon à satisfaire aux conditions initiales (6) et à développer la solution ainsi définie suivant les puissances des Py, Nous pouvons aussi envisager la solution et
puissances des Py, Nous pouvons aussi envisager la solution et déterminer le coefficient A de telle façon que (6 bis) A es i ( o ) — y'0, la condition unique (6 bis) remplaçant les conditions (6). Les deux solutions (7) et (7 bis) sont identiques quand, les coefficients Py, ., prenant des valeurs particulières, les équations (5 bis) se réduisent aux équations (5); mais l'identité ne subsiste plus pour les autres valeurs des Pj, Nous pouvons alors nous proposer de développer suivant les puissances des Pj, ., non plus la solution (7), mais la solution (7 bis); ce développement
la solution (7), mais la solution (7 bis); ce développement représentera encore y cos CT:, quand on y fera 7 = T: et qu'on donnera aux Pi, ., les valeurs particulières qui correspondent aux équations (5). Cherchons à nous rendre compte de la forme du développement; Supposons qu'on ait développé les Aay et q suivant les puissances des Pj, .; soient q0 et q les valeurs des nombres q et q' pour P'1 = P'= Q'1 = Q =. = 1 2 o. On voit que le développement de cos(aj + q)-; pourra s'écrire de sorte que le développement de
+ q)-; pourra s'écrire de sorte que le développement de A:pt (z) devra contenir seulement des termes de l'une des deux formes 72kcos(aj + qo);, ,,21.:+1 sin(').} + qo)'" -:"~cos ( 9. y y o ) -:, ~sin ( -h o ) T:. Voici alors comment nous devons opérer pour former effectivement le développement en question. Remplaçons d'abord p et rj par zéro dans les seconds membres des équations (5 bis) ou (5), nous obtiendrons les équations (5, 1) dont la solution générale est p = A cosq0z -F-Aisin<7ot-+-.A2 COS<70T + A3 sin q'0 z. Nous prendrons A1 = A2=A3
+ A3 sin q'0 z. Nous prendrons A1 = A2=A3 = o et nous choisirons A de façon à satisfaire à la condition (6 bis). Nous aurons ainsi une première approximation pour p et nous en déduirons a*. Nous substituerons ces valeurs approchées de p et de 7 dans les seconds membres des équations (5) et nous obtiendrons ainsi les équations (5, 2), dont la solution générale est p = II + A cosqo't -+AI sinqo't -+A2 cos q,,T -+Aa sin q'0T, où H est un ensemble de termes de la forme (8) et les A des constantes arbitraires. Nous
la forme (8) et les A des constantes arbitraires. Nous prendrons A1)=A2= A3 = o et nous choisirons A de façon à satisfaire à (6 bis). Nous aurons ainsi une seconde approximation pour p et nous en déduirons 7; et ainsi de suite. On voit qu'à chaque approximation, on choisit les constantes arbitraires de façon à satisfaire à la condition (6 bis) et à éviter l'introduction dans l'expression de p de termes de la forme sinqo-', cos q'n -. ou sing0T. Le développement obtenu par ce nouveau procédé n'est pas identique à celui que nous avons d'abord envisagé; il n'y
identique à celui que nous avons d'abord envisagé; il n'y a donc pas de raison pour qu'il reste convergent quelles que soient les valeurs attribuées aux Py, Mais la convergence n'en est pas moins suffisamment rapide, à cause de la petitesse de ces quantités Pj, et la forme de chaque terme est notablement plus simple. Les procédés de calcul que nous venons d'exposer ne seront sans doute jamais employés pour le calcul numérique; sous ce rapport ils ne présentent que peu d'avantages sur la méthode de M. Hill, et ce savant a d'ailleurs poussé le calcul à un tel degré
savant a d'ailleurs poussé le calcul à un tel degré de précision qu'il n'est pas probable que personne songe jamais à le reprendre par un procédé nouveau. Mais ces procédés n'en sont pas moins utiles à connaître, car ils peuvent servir à mettre en évidence certaines propriétés du nombre c considéré comme fonction de m. 2. Reprenons les équations (1) du § 1 et observons qu'on peut les écrire en posant Les équations (1) prennent ainsi la forme canonique des équations de la Dynamique. Les équations (3) du § 1 sont les équations aux variations des équations (r); elles jouissent
sont les équations aux variations des équations (r); elles jouissent donc des propriétés des équations aux variations des équations de la Dynamique. Rappelons ces propriétés. Soient XI, X2, * • • ? n ? Yh Y2, •••> Yn les deux séries de variables conjuguées ; soient les équations canoniques. Soit (xi, Yi) une solution particulière de ces équations; (#/4yi-h 71/) une solution infiniment voisine. Les £ et les rt satisferont aux équations aux variations. Soient çY, -r,y et £ !, rj deux solutions particulières de ces équations aux variations. On aura 2(S? Ï],1 — -r¡f) = const. Appliquons ce principe
aura 2(S? Ï],1 — -r¡f) = const. Appliquons ce principe à nos équations; nous verrons que nous devons avoir 1:' îiU'ï — m -*12) — la (Il — mra ) -+rn (r/2 4mç2) — rj2(r/i 4/« £ ,) = const., Ou bien (9) (.tÇ2I2I1) -H (711^2— *iîTQ|)-+2»l(7ll$2— = const. La même relation devra subsister si l'on remplace un des indices 1 ou 2 ou ces deux indices par l'indice 3 ou par l'indice 4. Désignons, pour abréger, par (1, 2) le premier membre de la relation (g) et, le plus généralement, par (i, k) une expression analogue où les indices
généralement, par (i, k) une expression analogue où les indices 1 et 2 ont été remplacés par i et k. On aura alors Cela peut s'écrire aussi, en changeant les signes, et nous retrouverons ainsi l'équation (4) du § 1. Si l'on fait k = i, le premier membre est identiquement nul; je dis que pour k = 3 ou 4 la constante du second membre doit être nulle. Il est clair en effet que (i, 3) est multiplié par cos CT.: i si n cr. et (i, 4) par — cosctc -+i sincTi quand on change t en t
— cosctc -+i sincTi quand on change t en t + 7t. Et comme ce facteur n'est pas égal à i, il faut bien que la constante soit nulle. Au contraire, (l, 2) est égal à une constante qui ne peut être nulle. Car si les quatre expressions (1, 1), (1, 2), (1, 3) (1, 4) étaient nulles à la fois, on aurait quatre équations d'où l'on tirerait 1 = 711 = £ '1 = Vi = o. Considérons maintenant les expressions (2, 1), (2, 3), (2, 4). Nous avons évidemment Nous n'avons pas à nous inquiéter de (2, 2)
évidemment Nous n'avons pas à nous inquiéter de (2, 2) qui est identiquement nul; et si nous nous rappelons que (1, 1), (1, 3), (1, 4) sont nuls, nous pourrons écrire On verrait alors que (2, 1), (2, 3), (2, 4) se reproduisent multipliés respectivement par 1, — cos 7tC i si n 7tC, — costZC + Isin-rrc quand on change z en t + tc, et on en conclurait, comme plus haut, que (2, 3) et (2, 4) sont nuls. Nous savons d'ailleurs que (2, 1) = (J, 2) n'est pas nul. Il reste à envisager l'expression (3, 4)
n'est pas nul. Il reste à envisager l'expression (3, 4) = — (4, 3), qui doit être égale à une constante. Je dis que cette constante n'est pas nulle. En effet, (3, 3) est identiquement nulle. Nous venons de voir que (1, 3) et (2, 3) sont nulles. Or les quatre expressions (1, 3), (a, 3), (3, 3), (4, 3) ne peuvent être nulles à la fois, sans quoi l'on aurait quatre équations d'où l'on tirerait ~3 = 'l 3 = 3 = 7/3 = o. Donc (3, 4) = — (4, 3) n'est pas nulle. c. Q. F. D.
— (4, 3) n'est pas nulle. c. Q. F. D. Il résulte de là que E,, r13 et Ç.s, "fl satisfont aux équations Ces équations forment un système du second ordre d'équations linéaires à coefficients périodiques. On pourrait s'en servir pour déterminer le mouvement du périgée; car le calcul des séries .— et dnt peut se faire avec la même facilité que celui des séries x et y. Je me propose de montrer dans un autre article comment on pourrait imaginer une méthode d'approximations successives où le calcul des termes d'ordre supérieur, par rapport aux excentricités et à l'inclinaison, serait
d'ordre supérieur, par rapport aux excentricités et à l'inclinaison, serait ramené à l'intégration d'équations linéaires à second membre, dont le premier membre serait la différence des deux membres des équations (10). On aurait ainsi affaire à un système de deux équations linéaires à second membre du premier ordre, qui pourrait remplacer le système (r) considéré plus bas au § 3, lequel est un système de deux équations linéaires à second membre du second ordre. 3. Les relations, mises en évidence dans le §2, peuvent fournir d'intéressants procédés de vérification, mais elles sont susceptibles aussi d'une autre application sur laquelle je