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(p. 24), de Bouguer (p. 37), de Laplace (p. 47-73). La ) Sur le principe de Fermat, on peut consulter : Cartesii Epistolae, III, 5i, (1667); Leibniz, Acta Erud., 1682; Maupertuis, Mém. de l'Ac. de Prusse, 1746; Laplace, Mém. sur le mouvement de la lumière (Mém. de l'Institut, t. X, 18,0; Œuvres, t. XII); Kummer, Atmosph. Strahlenbrechung (Berl. Ber., 1860); Reimbold, Optique physiologique (1867); Radau, Recherches (1881). et Essai (1889); Ossian Bonnet, Théorie de la réfraction astr. (Nouv. Ann., 1888); Kirchhoff, Optik (1891, p. 64); Bruns, Zur Theorie der astr. Strahlenbrechung (Leipzig, 1891); Boussinesq (Comptes rendus, 4 décembre 1899). théorie
Strahlenbrechung (Leipzig, 1891); Boussinesq (Comptes rendus, 4 décembre 1899). théorie de Laplace est exposée en détail, parce qu'elle sert de base aux Tables de réfraction de la Connaissance des Temps. Un dernier Chapitre est consacré à l'influence de la réfraction sur le lever et le coucher des astres, et sur la mesure des diamètres apparents. Le livre de M. Coculesco pourra servir utilement de préparation à la lecture des Mémoires originaux où la question est traitée d'une manière plus approfondie. PUBLICATIONEN DER V. KUFFNER'SCHE STERNWARTE IN WIEN. Herausgegeben von Dr Leo de Bail. V Band, Wien, 1900. W. Frick, in-4.
Leo de Bail. V Band, Wien, 1900. W. Frick, in-4. Nous avons signalé successivement l'apparition du tome III et du tome IV des belles Publications de l'observatoire Kuffner, dirigé actuellement, avec tant d'énergie et de zèle, par M. L. de Bail. Le tome V, qui vient de paraître, contient, en premier lieu, la suite des zones observées par M. de Bail au cercle méridien, entre 5°50' et 10°10' de déclinaison australe. Ce sont, cette fois, les zones -245-357, observées dans le cours des années 1895-1896, avec les positions moyennes, pour 1900,0, de 4664 étoiles (p. A. 1-235). On y trouve
1900,0, de 4664 étoiles (p. A. 1-235). On y trouve ensuite deux Mémoires de M. K. Schwarzschild, sur la détermination de l'éclat des étoiles par des photographies extrafocales, et sur la photométrie photographique des astres, ce dernier suivi de Notes complémentaires par MM. Schwarzschild et de Bail. Ce Mémoire renferme d'importantes recherches théoriques et expérimentales sur les lois de la photométrie photographique, avec application aux Pléiades, à l'amas de Persée, à la Crèche, et à deux variables (Lyre et 7e Aigle), dont l'auteur a déterminé les courbes par la photographie. Le volume se termine par des Recherches de M. L.
Le volume se termine par des Recherches de M. L. de Bail sur les erreurs de division des échelles de l'héliomètre. Ce travail, déjà complété maintenant par des recherches sur les autres éléments de réduction, était la préparation nécessaire aux recherches que M. de Bail a commencées l'été dernier sur la détermination de la constante de la réfraction par des mesures héliométriques. On voit que l'activité déployée par les astronomes de l'observatoire Kuffner est de plus en plus féconde, et mérite d'être encouragée. R. Voir Bull., t. XII, p. 35, et t. XV, p. 425. MÉMOIRES ET OBSERVATIONS. SUR LES
et t. XV, p. 425. MÉMOIRES ET OBSERVATIONS. SUR LES POINTS SINGULIERS DES INÉGALITÉS SÉCULAIRES DES PETITES PLANÈTES; PAR C.-Y.-L. CHARLIER. Les singularités analytiques qui se présentent dans l'étude des perturbations séculaires des petites planètes se distinguent des singularités correspondantes pour les grandes planètes en ce qu'elles sont des singularités fixes, c'est-à-dire qu'elles se présentent seulement à des distances déterminées du Soleil. Quelles sont ces distances? Et quelle est la nature de ces singularités? Considérons, pour fixer les idées, les perturbations séculaires des nœuds et des inclinaisons que nous supposons par la suite être rapportés au plan invariable du système
par la suite être rapportés au plan invariable du système planétaire comme plan de référence. En employant des désignations habituelles et en nous restreignant d'abord aux termes du premier degré, on a, pour les perturbations séculaires dans le nœud et l'inclinaison d'une petite planète, les équations différentielles suivantes où p = tangco sin6, q = tangcp cosQ, et ? = l'inclinaison, 0 = la longitude du nœud de l'orbite de la petite planète sur le plan invariable. Par la théorie des grandes planètes, les pi et qi sont connues en fonction du temps. Ces fonctions sont de la forme où
fonction du temps. Ces fonctions sont de la forme où s prend les valeurs 1,2, ..., 7. Ayant substitué les pi et qi dans (i), ces équations prennent la forme où Désignant par C et D deux constantes arbitraires, les intégrales de ces équations sont Les coefficients F, deviennent infinis pour les valeurs de la distance de la petite planète au Soleil pour lesquelles b = a-. On pourrait s'attendre à ce que ces coefficients s'agrandissent aussi infiniment, si Fs prend une valeur infinie. Cependant, il n'en est pas ainsi. En effet, on a pour le coefficient (o. i) l'expression
En effet, on a pour le coefficient (o. i) l'expression connue et cette intégrale a une valeur finie et positive pour toutes les valeurs de a avec la seule exception a = ai. Pour ces distances, les (o.i) et, par conséquent, aussi les F* deviennent infinis. Mais d'après la formule (4), il est évident que b devient aussi infini en même temps que F, et qu'à la limite on a À mesure que l'on s'approche de la même distance du Soleil où se trouve une des grandes masses planétaires, les expressions de p et de q (6) tendent asymptotiquement vers
expressions de p et de q (6) tendent asymptotiquement vers les valeurs lesquelles expressions selon (2) se confondent, au terme arbitraire près, avec les expressions qui sont valables pour cette même planète. Quoique les coefficients dans les expressions analytiques des inégalités séculaires des petites planètes soient ainsi tous finis pour les distances qui coïncident avec les distances des grandes planètes du Soleil, il n'en est pas ainsi, nous l'avons vu, de la grandeur b qui exprime dans la plupart des cas le mouvement moyen du nœud de la petite planète. C'est ainsi qu'on peut dire que les perturbations séculaires des
C'est ainsi qu'on peut dire que les perturbations séculaires des inclinaisons des orbites des petites planètes dans le voisinage d'une des grandes planètes sont finies, en même temps que le mouvement moyen du nœud croît au-dessus de toute limite. On est donc, bien entendu, ici en présence d'une position instable des petites planètes, quoique ce soit par le moyen des perturbations périodiques, et non pas par les perturbations séculaires, que s'opère la distinction de l'orbite. Revenons au cas où b = gsJe veux appeler distances critiques les distances du Soleil pour lesquelles est remplie cette égalité. Elles ne coïncident pas
pour lesquelles est remplie cette égalité. Elles ne coïncident pas nécessairement avec les points singuliers des intégrales séculaires des petites planètes. Les termes d'ordre troisième et supérieur dans les équations différentielles pour p et q, qui sont négligés dans l'équation (1), pourront changer plus ou moins essentiellement le résultat. Je veux chercher à déterminer l'influence des termes négligés du troisième ordre. Les expressions analytiques de ces termes sont données par Le Verrier dans les Additions à la Connaissance des Temps pour 1844 (et dans les Annales de l'Observatoire de Paris). Il serait assez difficile de les considérer tous et, d'ailleurs,
Il serait assez difficile de les considérer tous et, d'ailleurs, ce n'est pas nécessaire pour le but actuel. En effet, on peut négliger, en considérant les perturbations des inclinaisons et des nœuds, tous les termes qui sont multipliés par l'excentricité de l'orbite des planètes perturbatrices ou de celle de la petite planète. Il n'est pas nécessaire non plus de considérer, à la première approximation du moins, les termes du troisième ordre qui sont multipliés par les inclinaisons des grandes planètes sur le plan invariable, ces inclinaisons étant, dans le cas qui nous intéresse actuellement, très petites par rapport à l'inclinaison
qui nous intéresse actuellement, très petites par rapport à l'inclinaison de la petite planète. Ces restrictions faites, les équations pour déterminer l'inclinaison et le nœud de l'orbite d'une petite planète seront les suivantes : où b a le même sens qu'auparavant et, d'après Le Verrier, Les bs ont la signification usuelle, c'est-à-dire qu'on a Posons et observons que, d'après la définition que nous avons donnée auparavant des coefficients (o. i), on a les équations différentielles prennent donc la forme Peut-être que l'on pourrait intégrer ces équations exactement. Je ne le sais pas, mais il n'est cependant pas nécessaire de faire
sais pas, mais il n'est cependant pas nécessaire de faire ici une telle recherche. Notre but actuel est d'étudier la nature des intégrales dans le voisinage d'un point critique. Il suffit donc de considérer une intégrale particulière qui, pour c = 0, coïncide avec l'intégrale (6). Soit le coefficient du temps qui peut donner naissance à un terme critique dans l'intégrale, il suffit donc de considérer les équations qui ont évidemment l'intégrale particulière à laquelle nous imposerons la condition que la valeur du coefficient K, quand c s'évanouit, sans sauts finis, s'approchera de la valeur Par les deux équations (12)
finis, s'approchera de la valeur Par les deux équations (12) nous obtenons la même équation de condition pour la détermination de K Les b, c et F sont des fonctions continues de la distance a de la petite planète du Soleil. Si a a une valeur telle que — 7 + b = 0, c'est-à-dire dans un point que nous avons appelé critique, on obtient d'après (14) On voit que la valeur de K est toujours finie et bien déterminée dans un tel point. Ce n'est pas ici qu'il faut chercher le point véritablement singulier. On le trouvera en effet,
chercher le point véritablement singulier. On le trouvera en effet, si à a on substitue une valeur telle que l'équation (i4) ait une racine double. Possons On a donc (16) K^3-3xK -uA=0, laquelle équation aura une racine double, si À^2 = X^3. Appelons ce point ao. Si donc a > ao, on a x^3 > A^2 et les racines de l'équation (16) sont toutes réelles et différentes. Si, au contraire, a < ao, on a x^a < A^2, et l'équation (16) a une seule racine réelle. Je veux déterminer quelle est la racine qui, pour x^3 > A^2, se confond
est la racine qui, pour x^3 > A^2, se confond avec y quand c va s'évanouir. Les trois racines sont donc données par la formule connue où Si l'on désigne par 9 la plus petite valeur positive qui est déterminée par la dernière équation, les trois racines K1, K2, K3 ont donc ces valeurs Considérons donc ces racines pour des valeurs évanouissantes de c. D'après les valeurs de x et À en fonction de c, il suit que cosQ marche vers zéro, quand c décroît infiniment, qu'on a pour des valeurs petites de c 0 = 90° — f/c, où
valeurs petites de c 0 = 90° — f/c, où f désigne une grandeur finie. Il suit donc, d'après un calcul facile, que K1 et K2 marchent vers des valeurs infinies et que C'est donc cette dernière racine (K3) qui doit être choisie comme représentant le coefficient K pour a = ao. Quand a s'approche de ao, K3 est à la limite égal à — V, c'est-à-dire à — y/X. Si, au contraire, nous considérons la seule racine qui satisfait à l'équation (16) pour a < ao, son expression est Notamment pour a = ao (c'est-à-dire À^2 = x^3) on
Notamment pour a = ao (c'est-à-dire À^2 = x^3) on obtient K = 2 Dans le voisinage du point ao, que nous avons appelé singulier, le coefficient K jouit donc de cette propriété remarquable : Si a < ao la valeur de K est donnée par l'équation (18), qui Pour a = ao donne K 2 vi-3; pour peu que a dépasse cette valeur ao, la valeur de K est réduite à la moitié. Pour a = ao, K est donné par la formule où 0 désigne un angle plus petit que 90°, qui satisfait à l'équation Le point ao
petit que 90°, qui satisfait à l'équation Le point ao est donc un point de discontinuité. Pour l'application de ces résultats au système planétaire, il faut apporter quelques données numériques. Si nous nous bornons aux petites planètes entre Mars et Jupiter, la valeur de b peut être considérée comme plus grande que 20", et elle va en augmentant, si l'on s'éloigne du Soleil. Ce sont donc seulement les valeurs des fs qui sont supérieures à 20" qui pourront donner naissance aux termes critiques. Voici, d'après M. Stockwell, les valeurs des fs qu'on obtient par la théorie des huit grandes planètes
fs qu'on obtient par la théorie des huit grandes planètes Il n'y a donc que 0,7 qui puisse amener la présence d'un petit diviseur dans les expressions pour l'inclinaison d'une petite planète. Pour le coefficient correspondant F dans la formule (14), on peut accepter sans erreur considérable la valeur F = 0,15. En me bornant aux perturbations de Jupiter et de Saturne sur la petite planète, j'ai obtenu pour b et c les valeurs suivantes dans le voisinage du point critique : fl. b. v. ha" 1,821 21,54 2 1,58 —4,39 1,873 22,80 23,61 —3,13 1,925 24,15 26,04 -1,78 1,977
—4,39 1,873 22,80 23,61 —3,13 1,925 24,15 26,04 -1,78 1,977 25,54 28,61 —0,39 2,029 27,00 31,30 -4-1,07 2,081 28,52 34,41 -2)59 2, dl 30,10 37,67 +4,17 2, 183 31,76 11,17 —5.83 Pour a = 1,99 on obtient b — <r, = 0. C'est cette distance du Soleil à laquelle fait allusion Le Verrier dans ce passage, souvent cité : « qu'il existe, entre Jupiter et le Soleil, une position telle que si l'on y plaçait une petite masse, dans une orbite d'abord peu inclinée à celle de Jupiter, cette petite masse pourrait sortir de son orbite primitive, et atteindre de
masse pourrait sortir de son orbite primitive, et atteindre de grandes inclinaisons sur le plan de l'orbite de Jupiter, par l'action de cette planète et de Saturne ». On obtient maintenant les valeurs suivantes pour x et À : a. X. A1 — XS. 1,821 —0,0678 +0,000348 +0,0003239 1,873 —0,0442 +0,00318 +0,0000964 1,925 —0,0228 +0,00288 +0,0000201 1,977 —0,0045 +0,00262 +0,0000070 2,029 +0,0114 +0,00239 +0,0000042 2,081 +0,0251 +0,00218 +0,0000042 2,131 +0,0367 +0,00199 +0,0000463 2,183 +0,0472 +0,00182 +0,0001019 La position du point singulier est immédiatement manifeste par les numéros dans la dernière colonne. La valeur de a correspondante est ao= 2,05. On
colonne. La valeur de a correspondante est ao= 2,05. On voit donc que ce point ne se confond pas avec le point critique, quoiqu'il ne s'en écarte pas beaucoup. Les valeurs de K qui correspondent à ce point (a0) sont K = 0,1326 (double), K = + 0,2652. La dernière valeur correspond à une inclinaison égale à 4°, 8, sans compter l'inclinaison initiale de la planète. Les valeurs de K dans le voisinage du point singulier, calculées d'après les formules (18) et (19), sont les suivantes : a. K. K,. Ks. 1,821 +0,0340 1,873 +0,0472 1,925 +0,0774 1,977 +0,1470 2,029
Ks. 1,821 +0,0340 1,873 +0,0472 1,925 +0,0774 1,977 +0,1470 2,029 +0,2334 2,081 +0,0610 +0,2997 +0,2388 2,131 +0,364 +0,3493 +0,3137 2,183 +0,0258 +0,3877 +0,3627 Ces valeurs des racines initiales (K1 et K2) sont données à droite dans le Tableau ci-dessus. J'ai donné, dans la figure ci-jointe, la courbe qui donne K en fonction de a. Cette représentation graphique donne une idée nette de la façon dont se présente l'intégrale dans le voisinage du point singulier. Y a-t-il des astéroïdes situés dans ce domaine? Il y en a. À la limite inférieure de ce domaine instable, on trouve la planète intéressante (434)
de ce domaine instable, on trouve la planète intéressante (434) Hungaria, dans la distance a = 1,946 du Soleil, et de l'autre côté du point singulier la planète 1893 C, pour laquelle on a cependant jusqu'ici seulement des éléments circulaires et qui n'est malheureusement plus réobservée après sa découverte. D'autres planètes se trouvent aussi dans le voisinage (pour a>a0) quoique aucune ne se trouve à une aussi petite distance du point instable que lesdits astéroïdes. Il est à observer qu'il est nécessaire de tenir compte, dans une application actuelle à quelqu'une des planètes ci-dessus nommées, aussi de l'influence de Mars
quelqu'une des planètes ci-dessus nommées, aussi de l'influence de Mars et de la Terre, qui ne peut être négligée dans l'étude de ces astéroïdes. Cette influence aura pour effet essentiel d'augmenter la valeur de b, c'est-à-dire d'abaisser la valeur de a0. La planète (434) Hungaria sera donc encore plus voisine au point singulier du système planétaire. Dans un Mémoire important : Sur les mouvements séculaires des plans des orbites de trois planètes, Tisserand a considéré, dans un cas spécial, le mouvement d'une « très petite masse, d'abord presque couchée sur celle de Jupiter » et située à la distance 2,05
celle de Jupiter » et située à la distance 2,05 du Soleil. Ses conclusions, concernant ce cas, sont en accord parfait avec les résultats que j'ai obtenus ici. Tisserand finit par dire : « Il n'est pas douteux qu'on aura des phénomènes analogues, en supposant des conditions initiales un peu différentes de celles supposées plus haut. » L'analyse que nous avons donnée ici de ce problème a démontré la justesse de cette remarque. Les intégrales des inégalités séculaires du périhélie et de l'excentricité ont un point singulier semblable, situé cependant plus près de la planète Mars. On ne connaît jusqu'ici
plus près de la planète Mars. On ne connaît jusqu'ici aucun astéroïde dont la valeur de l'axe moyen soit assez près de cette distance. REVUE DES PUBLICATIONS ASTRONOMIQUES. S. HOUGH. — THE OSCILLATIONS OF A ROTATING ELLIPSOIDAL SHELL CONTAINING FLUID. (Philosophical Transactions, A, 1895.) TH. SLOUDSKY. — DE LA ROTATION DE LA TERRE SUPPOSÉE FLUIDE À SON INTÉRIEUR. (Bulletin de la Société impériale des Naturalistes de Moscou, 1895, n° 2 et 1896, n° 1.) S. HOUGH ET ISAAC NEWTON. — THE ROTATION OF AN ELASTIC SPHEROID. (Philosophical Transactions, A, 1896.) VITO VOLTERRA. — SUR LA THÉORIE DES VARIATIONS DES LATITUDES.
VITO VOLTERRA. — SUR LA THÉORIE DES VARIATIONS DES LATITUDES. (Acta mathematica, tome XXII, 1899.) Les deux premiers de ces Mémoires ont pour but de reprendre les recherches de W. Hopkins en tenant compte des progrès réalisés par l'Hydrodynamique. Les résultats, publiés à peu près simultanément par les deux auteurs, sont au fond identiques ; la différence existe seulement dans le mode d'exposition, et dans les points sur lesquels s'est attachée spécialement la discussion. Soit une couche parfaitement rigide, ayant à son intérieur une cavité ellipsoïdale, remplie d'un liquide homogène incompressible, dont le centre et les axes principaux coïncident avec
incompressible, dont le centre et les axes principaux coïncident avec le centre de gravité et les axes principaux d'inertie de l'ensemble. Admettons que le mouvement du fluide résulte à chaque instant d'une rotation dont les projections sur les axes principaux sont , , , et d'un mouvement additionnel, doué d'une vitesse potentielle, tel que la couche ait la vitesse absolue de rotation; + + + . Ce n'est pas néanmoins, comme le remarque Sloudsky, le mouvement le plus général compatible avec les conditions aux limites. La vitesse potentielle du mouvement additionnel sera alors (Greenhill, Proc. Cambridge, Phil. Soc., vol. IV)
additionnel sera alors (Greenhill, Proc. Cambridge, Phil. Soc., vol. IV) et, , désignent les longueurs des demi-axes de la cavité. Ceci posé, on peut calculer les moments des quantités de mouvement par rapport aux axes principaux, et écrire les équations de Lagrange-Liouville. On néglige les forces extérieures; on suppose que le mouvement est une faible perturbation d'une rotation d'ensemble autour de l'axe Os, de telle sorte que les quantités , , , sont assez petites pour qu'on puisse négliger leurs carrés. On obtient alors un système d'équations linéaires à coefficients constants qu'on intégrera par la méthode ordinaire, c'est-à-dire en posant
constants qu'on intégrera par la méthode ordinaire, c'est-à-dire en posant = e , = e , Supprimant les accents, ces équations s'écrivent , , , sont les moments principaux de la croûte solide, , , , ceux du liquide, M la masse du liquide, et l'on a posé, en outre, Les équations de l'Hydrodynamique donnent, d'autre part, ce qui, sous la même hypothèse, devient Entre les équations (f) et (2), on peut éliminer , , , et l'on a l'équation aux périodes. Cette équation se simplifie un peu quand on suppose = et s'écrit Quand on fait = et, par
suppose = et s'écrit Quand on fait = et, par conséquent, = 0, cette équation a pour racines positives = et = wC A, Quand l'excentricité du noyau liquide est très petite, on peut développer et X2 suivant les puissances de l'excentricité e. On trouve aisément, après avoir posé, ce qu'est sensiblement le rapport des deux moments d'inertie du noyau et de l'écorce par rapport à un axe équatorial; q est donc une quantité positive, très petite quand le noyau fluide est très petit, et qui grandit avec l'épaisseur de ce noyau. Lorsqu'on applique ces formules à la rotation terrestre,
ce noyau. Lorsqu'on applique ces formules à la rotation terrestre, on voit qu'à la racine x1 correspond une période un peu plus courte que le jour sidéral, et à la racine x2 une période analogue à la période eulérienne. Si l'on désigne par N le nombre de jours sidéraux qui mesure cette dernière période, on a Sloudsky a considéré comme presque inutile la discussion de cette formule, car, dit-il, « nous avons soumis notre problème à des restrictions considérables relativement à la forme, à la position et à la structure du noyau terrestre ». M. Hough, au contraire, tenant compte
du noyau terrestre ». M. Hough, au contraire, tenant compte de ce que la théorie de la précession donne 305 pour valeur du rapport C et A étant les moments d'inertie principaux de la Terre entière, conclut que N est un nombre inférieur à 305 et que les observations, qui donnent N = 427, montrent que l'hypothèse de la fluidité interne du globe doit être rejetée. Mais la constante de la précession dont il s'agit a été calculée en supposant la Terre complètement rigide. Cette constante doit être modifiée, comme cela résulte du Mémoire de Sloudsky, dans l'hypothèse actuelle. Il
cela résulte du Mémoire de Sloudsky, dans l'hypothèse actuelle. Il est facile de reprendre la discussion en tenant compte de ce fait : supposant toujours qu'on peut négliger les puissances de e d'ordre supérieur à la seconde, on trouve, d'après Sloudsky, On a d'ailleurs d'où Nous avons donc à voir si les deux équations sont compatibles, q étant une quantité positive et e une quantité très petite. L'élimination du rapport donne aisément Ai La valeur de e2 sera positive si q est plus grand que -4-r; elle ne peut s'annuler, c'est-à-dire que le noyau interne ne peut être sphérique; pour
c'est-à-dire que le noyau interne ne peut être sphérique; pour qu'elle soit inférieure à l'unité, il faut qu'on ait q > 1,13, et, pour qu'elle soit très petite, il faut que q soit très grand. On voit donc que l'existence de la période de M. Chandler s'oppose à l'hypothèse d'un noyau fluide peu considérable et d'une excentricité très petite. Si, par exemple, l'excentricité du noyau était égale à celle de la couche solide, l'épaisseur de cette dernière serait moins de 20kfn, résultat évidemment inadmissible (voir Procès-verbaux des Séances de la Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 31 mars
Société des Sciences physiques et naturelles de Bordeaux, 31 mars 1898). Mais on ne peut rien conclure des recherches précédentes quand le noyau est supposé notablement aplati. Ajoutons que Sloudsky, dans son second Mémoire, a toutefois montré que la non-coïncidence du centre de gravité et du centre de la cavité ne change pas la solution, pourvu que les axes principaux du noyau restent parallèles aux axes d'inertie de l'ensemble; puis qu'une inclinaison très faible de l'axe de la cavité sur l'axe d'inertie principal n'a pas non plus d'effet sensible; en dernier lieu, il a examiné approximativement l'effet de l'Océan, en