jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
série A, 1971, p. 1279. D. GAMBY, Comptes rendus, 277, série A, 1973, p. 699. R. D. GLAUZ et E. H. LEE, J. Appl. Phys., 25, 1954, p. 947-953. P. GERMAIN, J. Méc., 12, n° 2, 1973, p. 236-274. H. W. LORD et Y. SHULMAN, J. Mech. Phys. Sol., 15, 1967, p. 229-309. Laboratoire de Mécanique des Solides, E. R. A. 218, 40, avenue du Recteur-Pineau, 86022 Poitiers. MÉCANIQUE DES FLUIDES. Mesures échantillonnées des coefficients de dissymétrie et d'aplatissement de la fluctuation longitudinale de vitesse dans la zone intermittente d'une couche limite perturbée. Note de MM. Georges Charnay, Jean-Noël Gence,
couche limite perturbée. Note de MM. Georges Charnay, Jean-Noël Gence, Mlle Geneviève Comte-Bellot et M. Jean Mathieu, transmise par M. Edmond Brun. Le coefficient d'aplatissement et le module du coefficient de dissymétrie de la fluctuation longitudinale de vitesse, mesurés dans la zone intermittente d'une couche limite, diminuent lorsque l'intensité de la turbulence extérieure augmente. Une estimation de ces coefficients suggère que l'évolution observée résulte en grande partie de l'affaiblissement de l'écart des intensités de fluctuations dans et hors les bouffées d'origine pariétale. Pour chacune de ces deux parties de l'écoulement, des mesures échantillonnées montrent que les lois de densités de
des mesures échantillonnées montrent que les lois de densités de probabilités des fluctuations de vitesses locales, se rapprochent d'une répartition gaussienne. La couche limite étudiée se développe le long d'une plaque plane peu chauffée, en présence d'un écoulement extérieur turbulent. La mesure échantillonnée du facteur de dissymétrie Sux = Uf/(ui)3/2, et du facteur d'aplatissement Tul = ux/(ul)2 est effectuée à l'aide de deux fils droits, l'un est relié à un anémomètre à température constante, l'autre peu chauffé par un courant d'intensité constante permet de distinguer l'écoulement turbulent marqué par la présence de la paroi et l'écoulement turbulent extérieur et aussi
présence de la paroi et l'écoulement turbulent extérieur et aussi d'apporter les corrections de température. Les signaux ainsi détectés subissent un traitement analogique. La courbe de réponse en vitesse de la sonde est linéarisée. D'une façon semblable aux résultats globaux déjà acquis dans les régions intermittentes d'écoulements à frontières libres, on vérifie, pour une intensité \(i/U^{\circ}\) de turbulence extérieure fixée, que \(S_{ux}\) et \(T_{ux}\) augmentent dans la zone externe de la couche limite. Toutefois, pour une valeur \(X^2/\delta\) donnée, \(S_{ux}\) et \(T_{ux}\) diminuent lorsque \(w^{\circ}/U^{\circ}\) croît. Ces observations peuvent être qualitativement rapprochées de celles faites dans la région d'établissement d'un
qualitativement rapprochées de celles faites dans la région d'établissement d'un canal bidimensionnel, lorsqu'on se déplace vers l'aval, le niveau des fluctuations aléatoires sur l'axe du conduit ne cesse en effet de croître. Le choix d'un schéma très simple applicable à l'écoulement intermittent associé à des résultats de mesures échantillonnées permet d'estimer les valeurs de \(S_{ux}\) et \(T_{ux}\). De même que Corrsin et Kistler, on admet pour la fluctuation longitudinale de vitesse, à \(X^2/\delta\) donnée, la décomposition suivante : \(I(t)\) est la fonction «intermittence», \(U_{lt}\) et \(U_{le}\) les vitesses moyennes locales déterminées respectivement dans l'écoulement de paroi et dans l'écoulement extérieur,
déterminées respectivement dans l'écoulement de paroi et dans l'écoulement extérieur, et \(u_{le}\), \(u_{uf}\) les fluctuations locales de vitesse comptées à partir de \(U_{le}\) et \(U_{lf}\). Supposons les grandeurs aléatoires \(I\), \(U_{le}\), \(u_{le}\), stationnaires et indépendantes, ainsi que \(u_{le}\) et \(u_{uf}\) gaussiennes, bien qu'entre autres cette dernière hypothèse ne soit pas assurée. En considérant \(u_{x}\) comme la somme de deux variables \(([1-I]U_{le}+[U_{lt}U_{le}]\) et \([U_{lf}+U_{lt}U_{le}]\)), on a la densité de probabilité : Le calcul des différents moments de \(ut\) à partir de \(p(U_{lt})\) et des valeurs de \(y\), \(U_{lg}\), \(U_{lf}\), \(u_{le}\), \(u_{lf}\) mesurées selon \(e)\) conduit à des coefficients \(S_{ut}\) et \(T_{ux}\)
mesurées selon \(e)\) conduit à des coefficients \(S_{ut}\) et \(T_{ux}\) rendant compte de l'évolution détectée expérimentalement (fig. 1 et 2). La sensibilité de \(S_{ut}\) et \(T_{ux}\) aux paramètres \(y\), \(U_{le}/U_{lf}\) et \(U_{le}-U_{lt}\) est du point de vue ordre de grandeur 1, 10, 35. La décroissance de \(S_{ut}\) et \(T_{ux}\) observée lorsque \(U^{\circ}/U^{\circ}\) augmente, paraît donc liée, dans une large proportion, à la diminution de l'écart \((U_{lt}-U_{le})/U_{0}\) des intensités des fluctuations de vitesses à l'intérieur et à l'extérieur des bouffées d'origine pariétale, tandis que le rôle du facteur d'intermittence semble le plus discret. Les facteurs de dissymétrie et d'aplatissement des fluctuations
plus discret. Les facteurs de dissymétrie et d'aplatissement des fluctuations longitudinales locales \(u_{le}\) et \(u_{uf}\) sont indiqués sur les figures 3 et 4. En l'absence de perturbations extérieures, les résultats obtenus diffèrent assez peu de ceux d'Antonia ; notons qu'ils ne peuvent pas être comparés à ceux de Thomas, cet auteur ayant effectué l'échantillonnage conditionnel en se référant à la vitesse moyenne \(U_{i}\). On remarque que dans la zone intermittente \((X^2/\delta > 0,4\) environ) les valeurs \(S_{ule}\), \(S_{uu}\), \(T_{ule}\), \(T_{ult}\) diffèrent assez sensiblement des valeurs relatives à une distribution gaussienne, et ceci peut expliquer les écarts constatés entre l'expérience et
et ceci peut expliquer les écarts constatés entre l'expérience et les valeurs données par la précédente formule qui suppose gaussiennes les distributions de vitesses locales \(u_{le}\) et \(u_{lt}\). Le caractère non gaussien de la fluctuation \(u_{le}\) à l'extérieur des bouffées est d'autant plus accentué que la turbulence extérieure a un niveau plus petit, ses propriétés statistiques initiales marquant alors moins le champ local. À l'intérieur des bouffées, l'influence de \(u^{\circ}/U^{\circ}\) sur l'écart à une loi gaussienne est moins importante, car le mouvement propre aux bouffées reste en grande partie sous la dépendance de la structure de l'écoulement dans la couche
la dépendance de la structure de l'écoulement dans la couche limite. École Centrale de Lyon, Laboratoire de Mécanique des Fluides, Équipe de Recherche associée au C.N.R.S., 36, route de Dardilly, 69130 Écully. MÉCANIQUE DES FLUIDES. Visualisation électrochimique des lignes de mouvement pariétal d'un fluide. Note de Mme Fatima Laghouiter, MM. Abderrahmane Laghouiter, Daniel Bodiot, Michel Daguenet, présentée par M. René Lucas. Les conditions expérimentales permettant de visualiser aisément les lignes de mouvement pariétal d'un fluide sont décrites. Une famille d'agents visualisateurs de formule générale A–(O–CH2–CH2)–OH est mise en évidence. Nous avons déjà exposé le principe d'une méthode électrochimique originale de
avons déjà exposé le principe d'une méthode électrochimique originale de visualisation des lignes de mouvement pariétal d'un fluide. Une méthode pratique consiste à effectuer, sur la paroi considérée, un dépôt cathodique de cuivre influencé par la diffusion. On part d'une solution aqueuse d'acide sulfurique et de sulfate de cuivre. 2) Lignes très fines, dépôt de couleur rose assez brillant. 3) Lignes fines, dépôt de couleur rose, rouille, mat. 4) Lignes fines, dépôt de couleur rose assez brillant. 5) Lignes fines, dépôt de couleur rose, marron mat. 6) Lignes fines : (a) dépôt de couleur rose peu brillant; (b) souvent rouille
(a) dépôt de couleur rose peu brillant; (b) souvent rouille mat. 7) Lignes fines, dépôt de couleur rose, marron neuf brillant. 8) Lignes fines, dépôt de couleur rose mat. 9) Lignes très fines, dépôt de couleur rose assez brillant. Les agents visualisateurs utilisés sont pour la plupart biodégradables. La nature de la cathode utilisée (la paroi considérée) importe peu, car il suffit que le cuivre puisse s'y déposer. On peut utiliser du cuivre, des laitons ou des matières plastiques isolantes recouvertes de laques conductrices (laque d'argent par exemple). L'anode peut être en métal insoluble (platine) en graphite ou en cuivre
être en métal insoluble (platine) en graphite ou en cuivre pur, mais pour éviter sa polarisation, sa surface doit être nettement supérieure à celle de la cathode. La durée de l'électrolyse dépend de la concentration en sulfate et de la densité de courant i. Il est recommandé de prendre it > 0,1 A.mn.cm-2. Les solutions proposées sont stables dans le temps. La visualisation est reproductible à 100 Laboratoire de Cinétique et Électrochimie, Centre Universitaire, avenue de Villeneuve, 66000 Perpignan. MÉCANIQUE DES FLUIDES. Comportement des tubes de pression totale dans les solutions diluées d'un polyoxyéthylène. Note de M. Jean-Michel Piau, transmise
solutions diluées d'un polyoxyéthylène. Note de M. Jean-Michel Piau, transmise par M. Léopold Escande. On indique le rôle de différents paramètres dans la réponse des sondes, et on met en évidence un temps caractéristique de la solution de polymère. On montre que le fluide pénètre dans la sonde, lorsque la réponse de cette dernière ne correspond plus aux lois classiques. Cette Note fait suite à une précédente qui portait sur les orifices en mince paroi. Ici nous avons étudié le phénomène bien connu suivant lequel une sonde de pression totale peut donner une indication trop faible, lorsqu'on veut l'utiliser dans
peut donner une indication trop faible, lorsqu'on veut l'utiliser dans une solution diluée de polymère. Nous avons cherché quelle était l'influence des différents paramètres géométriques d'une sonde à bout plat sur sa réponse, et nous en avons tiré un procédé de mesure des propriétés mécaniques des solutions. Par visualisation de l'écoulement nous avons trouvé quelle modification du champ des vitesses était liée à l'apparition du défaut de pression totale. 1. INTRODUCTION. Soit une sonde de pression totale de diamètre extérieur 0e, placée dans un fluide dont la vitesse relative V est uniforme. La pression dans le conduit intérieur à la
est uniforme. La pression dans le conduit intérieur à la sonde est P, alors qu'elle est P0o dans le fluide loin de la sonde. On introduit un coefficient de pression : où p est la masse volumique du fluide. Pour un fluide newtonien de viscosité μ, il vaut 1 lorsque la sonde est parallèle à la direction de la vitesse V, et que le nombre de Reynolds Re = ρ V 0d est grand. Quand ces conditions ne sont pas remplies il est légèrement inférieur à 1. Pour une solution diluée de polymère il peut être très inférieur à 1
diluée de polymère il peut être très inférieur à 1 et tomber jusqu'à des valeurs de l'ordre de 0,5. Nous avons donc étudié les variations du coefficient de pression avec des sondes du type représenté sur la figure 1. Deux de ces sondes étaient translatées à vitesse constante par un chariot mobile dans deux bacs horizontaux et parallèles de 11 m de long chacun. Pour chaque essai l'un des bacs était rempli d'eau, l'autre de la solution à étudier, et un capteur différentiel monté sur le chariot donnait la différence de pression totale entre les sondes des deux bacs. Ainsi
de pression totale entre les sondes des deux bacs. Ainsi pour chaque fluide et type de sonde on a pu mesurer indépendamment la vitesse V du chariot, et pour cette vitesse, l'écart de la pression P entre le cas de l'eau et celui de la solution soit AP = P0eau - Psolution. On en a déduit ACp l'écart entre les valeurs de Cp pour l'eau et pour la solution. Dans les conditions d'essai Cp vaut pratiquement 1 pour l'eau. 2. INFLUENCE DE LA GÉOMÉTRIE DES SONDES SUR LE COEFFICIENT DE PRESSION POUR UNE SOLUTION DONNÉE. a. Rôle du diamètre extérieur
PRESSION POUR UNE SOLUTION DONNÉE. a. Rôle du diamètre extérieur 0e. Lorsqu'on augmente la valeur de la vitesse V, pour une sonde donnée, ACp qui est d'abord nul ou petit, croît soudainement Fig.2 Fig. 3 Fig. 2. Polymère (concentration massique 50.10-6). 0i = 0,5mm; 1 = 12 mm. 0e = 1 mm; 0e = 1,5mm; 0e = 2 mm; A0e = 2,5 mm; 0e=3mm. Fig. 3. Polymère (concentration massique 50.10-6). 0e = 2mm; 0i = 0,5 mm. 0i = 12 mm; A1 = 5 mm; +1 = 2 mm. à partir d'une valeur que nous dirons correspondre à un seuil,
partir d'une valeur que nous dirons correspondre à un seuil, puis passe par un maximum avant de redécroître. Les valeurs de V0e au seuil dépendent assez peu de 0e, tous les autres paramètres restant fixés, pourvu que 0e reste assez grand devant le diamètre intérieur 0f, comme on le voit sur la figure 2. b. Influence de la longueur intérieure 1. Lorsqu'on augmente la longueur du conduit intérieur /, on constate un net accroissement de ACp comme sur la figure 3, le seuil restant inchangé. c. Influence du diamètre intérieur 0i. Lorsque 0i est petit devant 0e, la pente de
0i. Lorsque 0i est petit devant 0e, la pente de la partie croissante de la courbe ACP (V/0e) augmente avec 0h le seuil d'apparition du phénomène restant inchangé, comme sur la figure 4. On voit sur la figure 5 que l'amplitude maximale de ACp atteinte décroît lorsque 0i continue à augmenter, puis que le seuil est déplacé lorsque 0t devient voisin de 0e. On peut donc grâce à ces sondes de pression totale creuses définir un temps caractéristique de la solution de polymère utilisée grâce à la valeur de 0e/V au seuil. 3. VISUALISATION DE L'ÉCOULEMENT. Nous avons visualisé l'écoulement
au seuil. 3. VISUALISATION DE L'ÉCOULEMENT. Nous avons visualisé l'écoulement d'une solution de polymère au nez d'un tube de verre étiré de 2,2 mm de diamètre extérieur, placé dans la région d'entrée d'un autre tube de verre, hors des zones de paroi. On voit sur la planche 1 que les lignes de courant peuvent pénétrer dans le conduit intérieur des sondes sur plusieurs diamètres. En augmentant progressivement V on a constaté que cette pénétration commence exactement pour les conditions du seuil du paragraphe précédent. Pour les deux clichés à fond noir, on a envoyé un filet de solution additionnée de
noir, on a envoyé un filet de solution additionnée de particules d'aluminium, sur l'axe du tube. On voit un tourbillon de forme torique avec pénétration du fluide sur l'axe. Sur le troisième cliché, toute la solution en écoulement a été additionnée de solution colorée. On voit sur fond clair que le colorant est emporté sur toute la longueur de pénétration des particules. Le phénomène étudié dans cette Note paraît donc lié à l'existence d'un conduit intérieur des sondes. D'ailleurs, lorsque 0i est petit ACp reste très faible; d'autre part, en utilisant des sondes où le conduit était remplacé par un
utilisant des sondes où le conduit était remplacé par un capteur solide de diamètre 2,2 mm nous n'avons pas décelé l'existence d'un défaut de pression. Séance du 26 novembre 1973. J.-M. PIAU, Comptes rendus, 278, série A, 1974, p. 373 et Rapport final de la convention n° 71-611 entre le Laboratoire d'Aérodynamique et la Direction des Recherches et Moyens d'Essais. Polyoxyéthylène (CH2–CH2–O) n (produit commercialisé sous la dénomination polyox WSR 301). Laboratoire de Mécanique expérimentale des Fluides et Laboratoire d'Aérodynamique, Centre Universitaire, Bât. 502, 91405 Orsay. AUTOMATIQUE. Coordination des systèmes hiérarchiques à deux niveaux par coordination des hamiltoniens du niveau
hiérarchiques à deux niveaux par coordination des hamiltoniens du niveau inférieur. Note de M. Guy Jumarie, transmise par M. Léopold Escande. La théorie classique de l'optimisation dégage une identité profonde entre la fonctionnelle de coût et l'hamiltonien en ce sens qu'on les optimise tous les deux simultanément. Nous avons approfondi cette similitude dans les problèmes d'optimisation de l'estimation d'état pour commande optimale où nous avons montré que le meilleur estimateur (filtre stochastique ou extrapolateur déterministe) est celui qui donne la meilleure estimation de l'hamiltonien du système. Ici nous poussons l'analogie plus loin et l'utilisons pour résoudre le problème de la
plus loin et l'utilisons pour résoudre le problème de la coordination dans les systèmes hiérarchiques à deux niveaux. 1. SYSTÈME A DEUX NIVEAUX. Le « système global » (S) est composé de deux soussystèmes (SS 1) et (SS 2) gouvernés par les équations vectorielles respectives (x, y) est le vecteur état de (S) et (u, a) est la commande globale déterminée par un contrôleur P de façon à Les hypothèses mathématiques continuité et dérivabilité sont suffisantes pour permettre l'utilisation du calcul des variations, ce qui nous suffit ici. Le « système à deux niveaux » est défini comme suit. (i)
système à deux niveaux » est défini comme suit. (i) P ne contrôle pas directement u et a, mais seulement a qui est la « variable de coordination ». (ii) u est décomposé en deux vecteurs Ul et U2 : U = (Ul u2). Ul est déterminé par Pl qui contrôle (SS 1) de façon à { min Gi (Uh a) M1 e f t } où Gl est De façon analogue, U2 est déterminé par P2 qui contrôle (SS 2) pour où G2 a une définition semblable à celle de Gl, l'indice 1 étant remplacé par 2, avec =
de Gl, l'indice 1 étant remplacé par 2, avec = t1·x·f2. Le problème de la coordination est le suivant : si on suppose que l'optimisation globale a une solution optimale, comment P doit-il sélectionner a (t ) pour que le coût optimal G (Ul, U2, a) résultant des commandes de Pl et P2 soit aussi voisin que possible de cette solution optimale de référence? 2. DÉFINITIONS ET HYPOTHÈSES. On note ao la coordination de référence qui définit le contexte normal du point de vue de P : a prend normalement la valeur ao lorsque Pl et P2 n'interviennent pas. Par
la valeur ao lorsque Pl et P2 n'interviennent pas. Par exemple, ao peut être le a optimal de . (i) Dans ces conditions on notera u* (ao), x* (ao), f* (ao), g* (ao) et G* (ao) les quantités optimales du problème global, valeurs qui seraient atteintes si P contrôlait directement u. Ces données induisent sur le problème à deux niveaux des quantités que nous désignerons par f* (ao), G* (ao) (i = 1, 2). (ii) Soit ux (a) et u2 (a) les commandes optimales de Pl et P2 pour un a E d arbitraire. Les quantités optimales associées seront respectivement
a E d arbitraire. Les quantités optimales associées seront respectivement désignées par fi (a), gt (a), Gi (a) (i = 1,2). Les grandeurs correspondantes du problème global sont f(a), g(a) et O(a). On suppose que : (H 1) M*(a0) existe et est unique. (H 2) Le diagramme suivant est exact. (H 3) Pi et P2 utilisent leurs commandes optimales Ûi(a) et u2(a) pour tout a E d. (H 4) Pour a donné, la paire (Û1, u2) est unique, et on a 3. COORDINATION. Le but de la coordination est de choisir a de façon que les deux diagrammes (H 2)
choisir a de façon que les deux diagrammes (H 2) et (H 4) ci-dessus soient superposés autant que possible. Comme ces diagrammes sont commutatifs, il suffit de rendre à (a0) voisin de u*(a); par exemple en faisant où N(.) est une norme donnée. L'inconvénient d'une telle coordination est que celle-ci ne dépend explicitement ni des commandes choisies par les niveaux inférieurs, ni de l'état du système, ce qui est bien utile en présence de perturbation. Cette difficulté peut être contournée en remarquant que l'on peut superposer les diagrammes (H 2) et (H 4) en superposant leurs sommets (f1, f2) et
et (H 4) en superposant leurs sommets (f1, f2) et (Ch, f2) d'une part, (#i, S*) et (gl, g2) d'autre part. La coïncidence simultanée de ces deux sommets étant généralement impossible, un compromis est nécessaire. À cette fin, nous introduisons les quantités K*(lh a0) et H*(li, a) (i = 1, 2), définies par où les Xi sont les vecteurs adjoints optimaux associés aux optimisations du niveau inférieur. Nous définissons aussi : où À* est le vecteur adjoint optimal associé à l'optimisation globale ou supérieure conduite par P. Soient (H 2') et (H 4') les diagrammes PROPOSITION. On a les équivalences
et (H 4') les diagrammes PROPOSITION. On a les équivalences (H2) o (H2') (H 4) o (H 4'). En effet, l'implication (H 2), (H 4) => (H 2'), (H 4') est évidente. Par ailleurs, en vertu de l'unicité des commandes optimales u* et (u1, u2), les chaînes H* => u* => (f*, g*) et (H1, H2) => (u1, u2) => (f, g) assurent la réciprocité du résultat. C. R., 1974, 1er Semestre. (T. 278, N° 11) Série B 36 4. PRINCIPE DE COORDINATION. On est ainsi conduit au mode suivant de coordination. (i) Résoudre le problème d'optimisation global, ce qui
de coordination. (i) Résoudre le problème d'optimisation global, ce qui donne f*(a0) et g*(a0) (i = 1, 2). (ii) Résoudre les problèmes d'optimisation du niveau inférieur, pour obtenir A li (a) (i = 1, 2). (iii) Définir les quantités (iv) Choisir une norme N(K* Kl, K* 2 K2) définissant l'approximation de la coordination. (v) La meilleure coordination en boucle ouverte a (u, x, t) est donnée par l'opération (*) Séance du 21 janvier 1974. (1) L. S. PONTRJAGIN, BOLTJANSKI, GAMKREIDLZE et MISHENKO, The mathematical theory of optimal processes, John Wiley, 1962 (Moscou, 1959). (2) G. JUMARIE, Comptes rendus, 272, série
1962 (Moscou, 1959). (2) G. JUMARIE, Comptes rendus, 272, série A, 1971, p. 927. (3) G. JUMARIE, Intern. J. Game Theory, 2, n° 1, 1973, p. 39-52. (4) G. JUMARIE, A new approach to optimum state estimation in optimum systems control (J. optimization theory and application, à paraître). Département de Mathématiques, Université du Québec à Montréal, P. O. Box 8888, Montréal, P. Q., H 3 C-3 P 8, Canada. PHYSIQUE THÉORIQUE. Le théorème de Bertrand à cent ans de sa formulation. Note (*) de MM. Manuel Berrondo, Jorge Flores et Octavio Novaro, présentée par M. Louis de Broglie. Malgré le
Octavio Novaro, présentée par M. Louis de Broglie. Malgré le fait que la Physique ait tellement changé pendant ce dernier siècle, il est toujours vrai que le théorème de M. Bertrand n'a rien perdu de son intérêt actuel. Son importance est surtout due à sa liaison profonde avec les problèmes de symétrie et de dégénérescence (2). Bertrand montra que le potentiel coulombien et l'oscillateur harmonique ont des orbites qui "gardent toujours leur commensurabilité, pour des conditions initiales arbitraires. Il démontra, en fait, que ce sont les deux seuls potentiels centraux avec cette propriété. Dans ces deux cas nous pouvons reconnaître
avec cette propriété. Dans ces deux cas nous pouvons reconnaître la loi d'attraction simplement par la position relative des points de rebroussement. Toutes les orbites du potentiel harmonique sont des ellipses avec deux axes de symétrie; elles présentent leurs points d'éloignement maximal opposés par rapport au centre d'attraction. Toutes les orbites bornées du potentiel coulombien sont elliptiques, avec le maximum radial opposé au minimum; or, dans ce cas-ci il y a un seul axe de symétrie. La circonférence, par contre, a un nombre infini d'axes de symétrie. L'orbite circulaire, peut donc être perturbée pour devenir une courbe fermée de n'importe
donc être perturbée pour devenir une courbe fermée de n'importe quelle commensurabilité vr/vr = n. Dans le voisinage du cercle r = ro, nous évaluons le potentiel effectif par une parabole. La coordonnée r oscille avec une fréquence vr donnée par D'autre part, la fréquence angulaire est La condition de commensurabilité vr/vr = n, mène à la solution La famille (4) fut obtenue par Bertrand (1) à l'aide du développement de V (1/r) en série de Taylor, et de la condition pour que l'orbite soit fermée : Nous pouvons pousser le développement de V (p) et V (u) autour de
le développement de V (p) et V (u) autour de V (ot) à un ordre supérieur, pour obtenir la condition La prime sur V indique dérivée par rapport à u = l/r. Il est remarquable que pour tous les potentiels (4) le coefficient de 5 dans (6) soit nul. Il faut, donc, aller jusqu'au deuxième ordre en ô pour trouver un résultat différent. En effet, le terme en 02 n'est zéro que pour n = 1 et 2. De fait, dans ces deux cas, la condition (5) est satisfaite pour toutes les valeurs de a et P qui permettent des