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passages de Vitruve qu'il cite, y trouve la description de l'astrolabe plan, de son usage principal qui est la détermination de l'heure, et enfin le nom de la pièce la plus importante de cet instrument qui est l'araignée. Il en conclut donc qu'il faut lire dans Vitruve : L'astrolabe plan fut inventé par Eudoxe, ou selon quelques-uns par Apollonius. Apollonius pouvait connaître la projection stéréographique et construire cet instrument, mais Eudoxe le pouvait-il? Il nous est impossible de l'affirmer d'après le peu qui nous reste de ses œuvres. M. Nau laisse cette question pendante et se borne à dire que
laisse cette question pendante et se borne à dire que l'astrolabe plan, inventé du moins par Apollonius de Perge, fut considéré par les astronomes grecs, à cause de ses imperfections, comme un simple instrument d'astrologie; les Arabes le reprirent, en firent grand usage et nous le transmirent, ce qui nous fit croire longtemps que les Arabes l'avaient inventé et que les Grecs n'avaient connu que l'astrolabe sphérique. En dehors des travaux sur les astrolabes plans des Arabes, nous ne connaissons qu'une publication d'un Traité grec, sur ce sujet. Ce Traité fut écrit à Alexandrie par Jean Philoponus, il est donc
fut écrit à Alexandrie par Jean Philoponus, il est donc contemporain du Traité syriaque dont nous nous occupons, et n'a du reste pas été traduit. (Voir RHÉMIS dans Museum fur Philologie, t. VI, Bonn, 1839). MÉMOIRES ET OBSERVATIONS. SUR LA LOI DE ROTATION DIURNE DU CHAMP OPTIQUE Fourni PAR LE SIDÉROSTAT ET L'HÉLIOSTAT; PAR M. A. CORNU. Les appareils bien connus sous le nom d'héliostats et de sidérostats permettent d'envoyer dans une direction fixe, à l'aide d'un miroir mobile, le faisceau de lumière émané d'un astre entraîné par le mouvement diurne. La théorie géométrique de ces appareils est très simple
diurne. La théorie géométrique de ces appareils est très simple : elle réduit l'astre à un point lumineux, le faisceau incident à un rayon rectiligne qui décrit en vingt-quatre heures un cône de révolution autour de l'axe polaire de l'appareil, parallèle lui-même à l'axe terrestre. Pour obtenir la fixité du faisceau réfléchi, il faut et il suffit que la normale au miroir soit constamment parallèle à la bissectrice de l'angle que fait le rayon venu de l'astre avec la direction fixe choisie : c'est la condition que réalisent d'une manière plus ou moins parfaite les mécanismes imaginés par Segravesande, Gambey,
plus ou moins parfaite les mécanismes imaginés par Segravesande, Gambey, Silbermann, Foucault, etc. Si l'on reçoit suivant l'axe principal d'une lunette le faisceau réfléchi par le miroir ainsi guidé, l'image focale de l'astre restera immobile au centre du champ de vision, malgré le déplacement angulaire de la voûte céleste. Mais cette condition de fixité, réalisée géométriquement pour l'astre visé, n'est plus remplie pour les directions voisines : on constate aisément que le champ de vision tourne autour de son centre de manière à effectuer en vingt-quatre heures une révolution complète. La vitesse de rotation n'est pas uniforme, de sorte que
La vitesse de rotation n'est pas uniforme, de sorte que le déplacement angulaire du champ varie avec le temps suivant une loi qu'il importe de déterminer. Représentons la voûte céleste par une sphère de rayon égal à 1 unité et chaque ligne de visée sur le ciel par la trace sur cette sphère d'une droite menée par le centre parallèlement à cette direction. Soit NESW le cercle d'horizon réel ou fictif (fig. Le pôle céleste; Z le zénith; PZS le méridien du lieu; PD le cercle horaire de l'astre D et D' le point de l'horizon réel ou fictif vers
et D' le point de l'horizon réel ou fictif vers lequel le faisceau réfléchi est constamment dirigé. La position de l'astre D est définie à chaque instant par sa distance polaire S = PD et son angle horaire A = SPD compté positivement dans le sens du mouvement diurne, de l'est E vers l'ouest W. De même, le point D' est déterminé par sa distance polaire p = PD' et par l'angle to = SPD' que fait le plan PD' avec le méridien. Nous appellerons plan de référence ce plan SPD' qui est par extension le cercle horaire du point
SPD' qui est par extension le cercle horaire du point D'. Si, au lieu de p et de w, on se donnait l'azimut a = SD' et l'arc PS, supplément de la latitude L, on calculerait p et w à l'aide des deux relations suivantes fournies par le triangle rectangle PSD'. Pour que le faisceau émané de l'astre D soit constamment réfléchi en D', il faut et il suffit, d'après les lois de la réflexion, que la trace M de la normale au miroir soit maintenue par le mécanisme au milieu de l'arc de grand cercle DD'. Connaissant à chaque
milieu de l'arc de grand cercle DD'. Connaissant à chaque instant la trace M de cette normale, on peut construire la trace de la direction suivant laquelle un rayon émané d'un point quelconque de la voûte céleste est réfléchi par le miroir : il suffit de joindre ce point au point M par un arc de grand cercle et de prolonger cet arc d'une longueur égale. Ainsi l'image P' du pôle P est sur l'arc PM prolongé jusqu'au point P' tel que MP' = MP. L'image sphérique réfléchie des divers points de la voûte céleste est donc à chaque instant
points de la voûte céleste est donc à chaque instant symétrique de leur position directe par rapport au point M. Il en résulte que l'orientation du champ de vision est entièrement déterminée par la connaissance de l'image réfléchie d'un point quelconque, en dehors de l'astre qui en occupe le centre. Le pôle P, par son immobilité sur la voûte céleste, est particulièrement désigné pour ce but et son image P' constitue le repère le plus simple et le plus commode. Nous allons donc calculer pour chaque appareil la distance et l'orientation de l'image P' du pôle, c'est-à-dire la longueur de
l'orientation de l'image P' du pôle, c'est-à-dire la longueur de l'arc D'P' et l'angle Y que fait cet arc avec le grand cercle PD'Po, trace du plan de référence. Sidérostat. — Sous ce nom, on désigne l'appareil spécialement construit pour diriger le faisceau réfléchi vers l'horizon sud. L'avantage de cette disposition, imaginée par Léon Foucault, est de réduire autant que possible l'angle d'incidence DM = D'M des rayons venant des astres qui, à leur passage supérieur, culminent au voisinage du zénith ou de l'équateur : les aberrations de l'image réfléchie causées par les imperfections du miroir sont ainsi notablement atténuées.
causées par les imperfections du miroir sont ainsi notablement atténuées. La figure 1 représente la disposition du faisceau issu de l'astre D et renvoyé par un sidérostat dans une direction horizontale faisant avec le méridien sud un angle a compté positivement vers l'ouest; a est généralement une petite fraction de l'angle droit. 1° Distance D'P' de l'image P' du pôle au centre D' du champ. — L'arc D'P' est le côté du triangle MD'P' symétrique du triangle MDP, puisque MD'=MD et MP'=MP. Ces deux triangles sont égaux comme ayant un angle égal en M compris entre deux côtés égaux. Les
angle égal en M compris entre deux côtés égaux. Les deux côtés D'P' et DP opposés à l'angle égal sont donc égaux : D'P'=DP = S. Donc : la distance D'P' de l'image du pôle à l'image de l'astre (centre du champ) est égale à la distance polaire de l'astre visé. D'où il résulte que l'image du pôle décrit autour du centre du champ un cercle ayant pour rayon la distance polaire de l'astre visé. 2° Orientation de l'arc D'P'. — Soit Y l'angle que l'arc D'P' fait avec D' Po, prolongation de la trace du plan de référence DP.
Po, prolongation de la trace du plan de référence DP. Y = PD'P' = 2π - (PD'D + DD'P') = 2π(PD'D + PDD'), car DD'P'= PDD' en vertu de l'égalité des triangles MDP et MD'P'. L'angle cherché Y est donc le supplément des angles à la base du triangle PDD', dont le sommet est en P. De la formule de Neper on déduit, en substituant A = DPD' = 1, b = p, c = Q, expression qui donne l'orientation de l'arc D'P' et, par suite, la loi de la rotation du champ de vision, car A varies proportionnellement au
rotation du champ de vision, car A varies proportionnellement au temps. Si l'on prend pour origine du temps le moment où l'astre visé est dans le plan de référence, t = 0 pour A = w = 0, et pour unité de temps le jour sidéral ou solaire (suivant l'astre considéré), on a (A - w) = 27° et l'expression de Y prend la forme symétrique avec On en conclut aisément : a. La rotation du champ a la même période que le mouvement diurne. b. Elle est continue et toujours dans le même sens, direct ou inverse suivant le
toujours dans le même sens, direct ou inverse suivant le signe de K. c. Le plan de référence est un plan de symétrie, car l'angle Y prend des valeurs égales et de signe contraire à des époques équidistantes de part et d'autre de l'origine du temps. On pourrait représenter géométriquement cette loi de rotation par une courbe en prenant le temps comme abscisse et l'angle Y comme ordonnée. Mais on aura une figuration plus directe de la rotation du champ en considérant l'arc D'P' comme le rayon vecteur mobile du cercle décrit par l'image P' du pôle et en traçant
cercle décrit par l'image P' du pôle et en traçant les positions successives de ce rayon vecteur à des époques équidistantes, subdivisions aliquotes du jour. La fig. 2 offre une représentation de ce genre sur le plan sagittal à la sphère en D' : les vingt-quatre positions successives de D' P' se projettent suivant des rayons rectilignes; elles correspondent à la subdivision du jour en vingt-quatre heures. L'origine du temps t = 0 correspond à D'Po, trace du plan de référence et axe de symétrie. Expression de la vitesse angulaire. — La vitesse angulaire de rotation à l'époque t s'obtient
— La vitesse angulaire de rotation à l'époque t s'obtient en prenant la dérivée de l'expression de Y par rapport à t; toutes réductions faites, on obtient la formule Le dénominateur étant essentiellement positif, la vitesse a toujours le signe de K; elle varie périodiquement entre la valeur 2t:R, correspondant aux époques t = 0, 1, 2, ... et la valeur -1 correspondant aux époques intermédiaires t = -1, -2, ... en passant par la valeur 0, vitesse angulaire du mouvement diurne, aux époques données par la condition cos2zt + K! sin2ttl = K ou Comme les positions de l'astre
K! sin2ttl = K ou Comme les positions de l'astre les plus favorables à l'observation (passages supérieurs) sont voisines du plan de référence t = 0, la vitesse de rotation peut être considérée comme constante et égale à 27tK, car cette vitesse varie peu aux environs de t = 0 puisqu'elle répond à un maximum ou à un minimum. La vitesse n'est jamais observable avec le sidérostat, qui ne permet pas d'observer les passages inférieurs. L'unité de vitesse angulaire est évidemment celle de 27° ou d'une circonférence par jour; si l'on voulait prendre une autre unité, exprimer par exemple la
l'on voulait prendre une autre unité, exprimer par exemple la vitesse en minutes d'arc par minute de temps, ou plus généralement en unités de circonférence par unités de jour, il suffirait de remplacer 27t par En effet, ce changement d'unités revient à poser d'où Comme il y a 11 = 360 x 60 minutes d'arc dans la circonférence et m = 24 x 60 minutes de temps, la vitesse 2tK, devenue tK, est ici égale à 15K; on retrouve bien 15° d'angle par minute de temps pour la vitesse angulaire du mouvement diurne K = 1. Sens du mouvement de
du mouvement diurne K = 1. Sens du mouvement de rotation du champ de vision. — On doit supposer l'observateur recevant le faisceau lumineux; par conséquent, il dirige donc son regard vers le centre de la sphère suivant le rayon qui aboutit en D', d'où il résulte que le sens du mouvement de rotation sera celui qu'un observateur placé suivant la direction Dr en dehors de la sphère attribuera au mouvement de l'arc D' P'. D'après l'expression de Y, on voit que Y et JR = w seront de même signe si le coefficient K est positif. On connaît le
signe si le coefficient K est positif. On connaît le sens du mouvement diurne, c'est à-dire le sens de la variation positive de ; on voit sur la figure que, quand l'ascension droite de l'astre D grandit, l'arc PD, vu de l'extérieur de la sphère, tourne dans le sens du mouvement des aiguilles d'une montre; donc, pour K positif, Y varie dans le même sens. La condition pour que K soit positif est évidemment D'où l'on conclut Lorsque la distance polaire de l'astre visé est moindre que le supplément de la distance polaire de la direction réfléchie, le sens apparent
la distance polaire de la direction réfléchie, le sens apparent de la rotation du champ de vision du sidérostat est celui du mouvement des aiguilles d'une montre. Il est de sens contraire si la distance polaire de l'astre est moindre que ce supplément. L'observation avec une lunette astronomique ne change pas le sens de la rotation : le renversement des images se borne à tourner de 180° la direction originale D'P0. Distance polaire critique : champ de vision immobile. — La transition entre ces deux cas correspond à la condition K = 0, c'est-à-dire cos(p + 0, la valeur de
K = 0, c'est-à-dire cos(p + 0, la valeur de Y demeure constamment nulle, quelle que soit l'ascension droite de l'astre : donc Le champ de vision du sidérostat reste rigoureusement immobile lorsque la distance polaire de l'astre visé est égale au supplément de la distance polaire de la direction réfléchie. Ce cas d'immobilité absolue du champ correspond à une particularité géométrique qui rend le résultat évident : on démontre en effet aisément que, si p + ï = 7t, l'arc PM = la normale au miroir devient normale à la ligne des pôles : le miroir est donc parallèle
la ligne des pôles : le miroir est donc parallèle à l'axe terrestre. En outre, l'arc PM bissecte l'angle DPD'; par suite, le miroir tourne d'un angle égal à la moitié de la variation de l'angle horaire. Ce sont les deux conditions caractéristiques du Cœlostat de M. Lippmann, appareil très simple qui donne une image du ciel absolument fixe; il se compose, en effet, d'un miroir tournant autour d'un axe parallèle en son plan et à l'axe terrestre avec une vitesse angulaire égale à la moitié de celle du mouvement diurne et de même sens. Le sidérostat peut donc remplacer
diurne et de même sens. Le sidérostat peut donc remplacer le cœlostat pour une région du ciel située autour d'un astre de distance polaire 0 : il suffit de choisir pour direction du faisceau réfléchi l'une de celles qui satisfont à la condition p + S = 7t, c'est-à-dire l'une des génératrices du cône de révolution faisant avec l'axe terrestre l'angle 7t — S ou supplément de la distance polaire. Il est bon de connaître cette propriété du sidérostat, car on peut, dans certaines circonstances, l'utiliser sans grande complication expérimentale. Sidérostat orienté dans le méridien. — C'est le mode d'installation
Sidérostat orienté dans le méridien. — C'est le mode d'installation le plus ordinaire du sidérostat : le faisceau réfléchi horizontalement est dirigé exactement vers le sud. Il en résulte que w = o, p = 1t L, L étant la latitude. L'angle Y est l'angle que fait l'arc D' P avec le méridien devenu le plan de référence et de symétrie. L'expression de Y prend la forme avec Les énoncés précédents deviennent alors très simples. Avec le sidérostat orienté dans le méridien, le champ de vision est immobile lorsque la distance de l'astre visé est égale à la latitude du
distance de l'astre visé est égale à la latitude du lieu d'observation : la rotation du champ a lieu dans le sens des aiguilles d'une montre si cette distance polaire est moindre que la latitude ; en sens inverse, si elle est plus grande. Le coefficient K, qui définit la valeur pratiquement constante de la vitesse de rotation du champ en fonction de la rotation diurne, est toujours plus petit que l'unité. En voici les valeurs numériques pour la latitude de Paris L=48°50, en croissant de 100 en 10" (passage supérieur). 3 K O o (pôle) -4_! 5ooo 10. 0,677
supérieur). 3 K O o (pôle) -4_! 5ooo 10. 0,677 20 0, 440 30 o,258 40. +0,050 48.50=L. 0,000 50. -0,013 — o, 1'10 O. K. O 70. -0,213 80. -0,298 90. —0,376 100 —0,448 110. —0,518 120 —0,585 130. —0,65i Héliostat. — C'est l'appareil qui renvoie le faisceau réfléchi dans une direction voisine de l'horizon nord, rarement au-delà du NE ou du NW. La figure 3 représente le faisceau issu de l'astre D et renvoyé Fig. 3. dans la direction horizontale D" faisant avec le méridien nord un angle NPD" == a! compté positivement vers l'Est. Le pôle est
NPD" == a! compté positivement vers l'Est. Le pôle est en P, SPD est l'angle horaire et Ó la distance polaire de l'astre visé D. Nous désignerons par co' = NPD" et p'= PD" l'angle horaire et la distance polaire de la direction réfléchie D", qu'on déduit comme précédemment de l'azimut rJ.' , et de la latitude L au moyen du triangle rectangle NPD". La normale M au miroir est au milieu de l'arc DD" et l'image P" du pôle sur l'arc PM prolongé de telle sorte que MP"— PF. L'angle de rotation du champ sera déterminé par l'angle que
L'angle de rotation du champ sera déterminé par l'angle que fait l'arc D" P" avec la trace du plan de référence PD". Soit Y'= PD" P" cet angle ; on le déduirait aisément de l'expression de Y relative au sidérostat, dont la définition est analogue : mais il est plus simple de le calculer directement. Les triangles PDM et pfr D"M sont égaux comme ayant un angle égal en M compris entre deux côtés égaux DM = D"M, PM = P"M. Donc D"P"= DP = 8. Ainsi, comme avec le sidérostat, l'image du pôle réfléchie par l'héliostat décrit autour du
sidérostat, l'image du pôle réfléchie par l'héliostat décrit autour du centre du champ un cercle ayant pour rayon la distance polaire de l'astre visé. D'autre part, Y'= P D"P = P D"D + DD"P"= PD"D + D"DP', * en vertu de l'égalité des deux triangles PMD et P"MD". L'angle Y est donc la somme des deux angles à la base du triangle PDD", dont le sommet est en P. De la formule de Napier citée plus haut on déduit, en substituant b = p' c = ï et A = 7T M + w', Y est compté positivement dans le
7T M + w', Y est compté positivement dans le sens des aiguilles d'une montre. On met également cette expression sous la forme en posant On retrouve les trois conclusions (a), (b), (c) démontrées ci-dessus pour le sidérostat (p. 52). Nous ne répéterons pas la discussion, qui serait toute semblable; mais nous insisterons sur la différence qui existe au point de vue pratique entre les deux appareils : avec l'héliostat, le coefficient K' est toujours plus grand que 1 unité et conserve le signe positif dans les conditions où l'on utilise d'ordinaire l'héliostat, c'est-à-dire dans l'observation du passage supérieur des
utilise d'ordinaire l'héliostat, c'est-à-dire dans l'observation du passage supérieur des astres au voisinage du zénith ou de l'équateur, réfléchis dans une direction qui ne s'écarte pas beaucoup de l'horizon nord. En effet, on peut, en développant la valeur des cosinus, écrire K' sous la forme Le signe + du coefficient K' correspond ici, comme on le voit sur la figure, à une variation de Y' de sens contraire à celle de l'angle horaire iR. Donc on en conclut : Le champ de vision de l'héliostat, dans les conditions où il est utilisable, tourne avec une vitesse angulaire toujours plus grande
est utilisable, tourne avec une vitesse angulaire toujours plus grande que celle du mouvement diurne; le sens de la rotation est celui des aiguilles d'une montre. Cette conclusion met en évidence une nouvelle cause d'infériorité de l'héliostat sur le sidérostat : à l'inconvénient provenant de la réflexion sous de grandes incidences sur le miroir de l'héliostat, se joint celui d'une grande vitesse de rotation du champ de vision. Ces deux conditions sont défavorables pour les observations qui exigent, dans les images, une grande perfection en même temps qu'une complète stabilité : c'est ce qui fait préférer le sidérostat à l'Astronomie
: c'est ce qui fait préférer le sidérostat à l'Astronomie de précision. Mais cette rapidité de rotation du champ n'est pas toujours un inconvénient; pour certaines observations astrophysiques, elle est au contraire avantageuse, en ce sens qu'elle dispense de l'emploi de dispositifs optiques complexes et délicats ; en voici un exemple. Imaginons qu'on projette, à l'aide d'un objectif convenable, l'image solaire réfléchie par un héliostat sur la fente d'un spectroscope à grande dispersion pour étudier le déplacement des raies, dus aux mouvements de la surface du Soleil. La condition la plus favorable se présente quand l'équateur solaire est normal à
plus favorable se présente quand l'équateur solaire est normal à la fente; si l'on balance cette image de manière à amener successivement les bords opposés du disque tangentiellement à cette fente, on obtient le double du déplacement maximum provenant de la différence des vitesses radiales sur le pourtour de l'équateur (méthode du balancement des raies). À moins de circonstances exceptionnelles, l'image du disque solaire ne se présentera pas dans cet azimut favorable et aura peu de chance de l'atteindre si l'on emploie un sidérostat puisque, avec cet appareil, la vitesse de rotation du champ de vision est nulle ou très
de rotation du champ de vision est nulle ou très petite. Pour amener l'équateur dans l'azimut demandé, on est obligé d'avoir recours à un appareil auxiliaire composé, par exemple, d'un prisme isocèle à réflexion totale, mobile autour d'un axe parallèle à sa base; la rotation de ce prisme entraîne d'un angle double l'azimut du disque solaire, ce qui permet d'amener successivement l'équateur perpendiculairement à la fente dans les deux positions à 180° qui reproduisent le double déplacement maximum en ordre inverse. Mais le prisme doit être très parfait comme matière et planéité des surfaces : de plus, la monture rotative
et planéité des surfaces : de plus, la monture rotative qui l'entraîne est assez difficile à construire et à régler. Avec l'héliostat, la rotation spontanée du champ de vision dispense de cet appareil auxiliaire; il suffit d'attendre l'effet de cette rotation et l'on voit l'équateur solaire se placer de lui-même perpendiculairement à la fente. À certaines époques de l'année, par certaines orientations de la fente et du faisceau réfléchi par l'héliostat, cette condition de perpendicularité se présente deux fois dans la même journée à quelques heures d'intervalle, l'image de l'équateur solaire tournant de 180°. Ce résultat, que j'ai découvert par
solaire tournant de 180°. Ce résultat, que j'ai découvert par expérience et observé plusieurs fois, m'a beaucoup surpris au premier abord; je pensais qu'il fallait environ douze heures pour que l'image réfléchie du disque solaire pût tourner de 180° autour de son centre. Aussi est-ce la recherche de l'explication de ce phénomène qui est l'origine du présent Travail. La discussion complète exigerait des développements assez longs. Je me bornerai ici à indiquer le principe des démonstrations. L'explication repose sur la grandeur relative de la vitesse de rotation du champ de l'héliostat lorsque l'astre visé est voisin de l'équateur (S =
l'héliostat lorsque l'astre visé est voisin de l'équateur (S = 90°). Le coefficient K', qui la mesure en fonction de la rotation diurne, est, en effet, pour le Soleil entre les deux solstices, compris entre 2 et 5. Voici la Table des valeurs de K' dans le cas usuel où l'héliostat est orienté dans le méridien, le faisceau réfléchi dirigé horizontalement vers le Nord; on substitue dans la formule w' = 0, ? = L = 48°50', on croît de 10" en 10" (passages supérieurs) : ;,> t3. K". o (pôle). 1,000 IO 1,083 *° 1,174 5° ','77 i ,3q6
(pôle). 1,000 IO 1,083 *° 1,174 5° ','77 i ,3q6 50 ,,537 Go. 1, 7 1 0 ; (solstice d'hiver). 1,849 ô, K'. 70. 1,932 80. 2,231 90 (équinoxe). 2,663 100, 3,358 n3.37 (solstice d'été).. 5,489 110. 4,687 120 8,359 La valeur de K' tend vers l'infini, qu'elle atteint lorsque l'astre est à l'horizon Sud : c'est, en effet, une distance polaire critique p' + Õ = TI: qui correspond d'ailleurs à l'incidence rasante sur le miroir. La connaissance de la valeur K' permet de calculer la durée qui s'écoule entre les époques t1 et t2, entre lesquelles l'image du