jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
calculées. On en déduit Nous remarquerons ensuite que, fêtant nul, on doit avoir F = T —V, = G et, par conséquent, Fi= Gi; or on trouve P dépendant des fonctions antérieurement calculées. Si l'on observe que on conclura Le premier membre est connu, c'est une série trigonométrique en t; comme i est tldevra pas contenir de terme constant. Nous prendrons donc Gi+fo;i égal au terme constant du premier membre. De cette façon est déterminé en fonction de 0 et -1 en fonction de f, et t. Donc S' est déterminé à une constante près qui ne dépend que de
déterminé à une constante près qui ne dépend que de 0. L'équation (8) me donne ensuite ce qui peut s'écrire comme Gest déterminé, cette équation détermine ç/ et par conséquent G/. J'ai dit plus haut que S' était déterminé à une constante près, mais comme S doit être une fonction impaire de 7, on voit de suite que cette constante doit être nulle. Alors S, ç, et v étant connues, les équations (20) sont de même forme que les équations (12) et (22) et s'intègrent de la même manière. Nous allons enfin supposer e = a = y = 0
allons enfin supposer e = a = y = 0 et développer suivant les puissances de e'; nous n'avons plus alors L = 0, F = TV, mais nous aurons toujours z = Z = 0. Nous supposerons que l'on connaisse déjà x0, y0, xt, yt, jusqu'à Xi, yi_K et que l'on se propose de calculer Xi et Yi, à l'aide de la relation où II représente l'ensemble des termes d'ordre i de l'expansion et I2 représente l'ensemble des termes d'ordre i + 1. Nous retrouverons d'abord les équations (a5) avec cette différence que l'indice i s'applique aux termes d'ordre
avec cette différence que l'indice i s'applique aux termes d'ordre i par rapport à e' et non plus aux termes d'ordre i par rapport à Y. Il vient ensuite Or P ne dépendant que des fonctions déjà calculées. Si nous multiplions la première équation par 10 et (29) par Il', puis que nous ajoutions en tenant compte de la relation (26), nous aurons Le premier membre est connu et cette équation se traitera comme l'équation (27). Nous égalerons G/ + /0 £ , au terme constant du premier membre ; alors sera déterminé; donc S; sera déterminé à une constante
alors sera déterminé; donc S; sera déterminé à une constante près; comme S; doit être une fonction impaire, cette constante doit être nulle et S peut être regardé comme entièrement connu. On déterminera ensuite i par l'équation (29) qui reste vraie et l'on n'aura plus qu'à intégrer les équations (25), toujours par le même procédé. Chaque terme de nos développements contient, en facteur, un monôme de la forme fJ— a/fi e'^4. C'est ce monôme u. que M. Brown appelle la caractéristique du terme. Jusqu'ici nous ne nous sommes occupés que des termes dont la caractéristique est une puissance d'une seule
des termes dont la caractéristique est une puissance d'une seule des quantités a, e, Y, e'; mais il est aisé de concevoir que la combinaison de ces divers procédés permette de traiter le cas général. Nous désignerons dans la suite par '< J~~t X[j.; Y~, Sj,, Sja, IJJL, 7)p,, !.) Gjj,, l'ensemble des termes des développements de dont la caractéristique est pi. Nous désignerons par ~! ZfJ.' g¡¡.; Ajj, l'ensemble des termes des développements de z, Z, C2) C3 qui admettent respectivement pour caractéristiques De cette façon nous désignons par le même indice, non pas toujours les termes qui ont
le même indice, non pas toujours les termes qui ont la même caractéristique, mais ceux que l'on détermine dans la même approximation. Je suppose alors que l'on ait calculé les termes dont l'indice est un monôme diviseur de u., et que l'on se propose de calculer les termes dont l'indice est égal à u. Trois cas sont à distinguer; le premier est celui où tj. ne contient en facteur ni y, ni e. On trouve alors où u, v et P ne dépendent que des fonctions antérieurement déterminées. Ces équations se traiteront absolument comme celles du n° 15; il n'y
se traiteront absolument comme celles du n° 15; il n'y a absolument rien à changer à l'analyse de ce numéro. Le second cas est celui où p. contient en facteur y, mais pas e. On a alors où e et v sont des fonctions préalablement déterminées; et Z, sont des termes de caractéristique y (comme au n° 11 ). Nous pourrions déterminer (L et Z,, par le procédé du n° 11, mais il est préférable d'avoir recours aux procédés ordinaires qui conduisent comme celui du n° 11 à une équation de la forme où P est une fonction connue, périodique
de la forme où P est une fonction connue, périodique et impaire. Cette équation est de même forme que celle que nous avons rencontrée au n° 13; elle permet de déterminer ;(L; on détermine en même temps Aujour, en choisissant cette constante de façon à faire disparaître les termes non périodiques dans Nous avons ensuite Mais S, Z,, Zp, v sont des fonctions homogènes en y dont l'ordre est respectivement k, i, k 1, k'; cet ordre est d'ailleurs connu. On en déduit ce qui détermine S. On a ensuite ce qui détermine et H{J.. L'équation (8) nous donne ensuite
ce qui détermine et H{J.. L'équation (8) nous donne ensuite — ^G|j. — fodt^-+hod{J.+ Se dz, où e et E' représentent divers termes déjà connus du développement de c3 et de A3. On tire de là par le procédé du n° 6 ce qui détermine e' où k et k' sont des degrés d'homogénéité de G,, (le même que pour çlJ. et çlJ.), et de e' par rapport à y. On tire de là ce qui détermine !l" Nous arrivons enfin aux équations dont le second membre est une fonction connue, et à une équation analogue dont le second membre
connue, et à une équation analogue dont le second membre est également une fonction connue. Observons maintenant que si l'on pose x= TfXu. - n'y a, Y= Dy-+1 Xn, on aura où e et w sont deux caractéristiques telles que eto = yy2. Comme tous les x,,, où to est un diviseur de a. sont connus, ainsi que tous les ho., où e est un diviseur de u, et que Au. lui-même, la différence X^,— X'^, est connu et il en est de même de la différence Yjx. — Y '¡Jo. Nos équations peuvent donc s'écrire où Q' et R'
'¡Jo. Nos équations peuvent donc s'écrire où Q' et R' sont deux fonctions connues. Elles sont tout à fait de même forme que les équations (24) et s'intègrent de la même manière. 19. Le troisième cas est celui où p contient e en facteur. On a alors (1) Les cas e = y2, w = p-, et s = 1-y2, w = 1 sont naturellement exclus; le premier parce que le terme ho figure dans Dx et que pour E = 2, ht n'est autre chose que ho; le second parce que pour w = 1, x. se réduit à
parce que pour w = 1, x. se réduit à x0 et que dx0 est nul. Il et v étant des fonctions antérieurement déterminées. On en tire d'où où k et k' désignent les degrés d'homogénéité de S,,, (le même que celui de Zu.) et de (J par rapport à e. La fonction S zi Z, est alors déterminée. Nous trouvons ensuite d'où l'on tire où l, p = i, p' et p sont les degrés d'homogénéité de ZI, Z!l., et S par rapport à y. La comparaison de ces deux équations nous donne Cette équation (32) va nous permettre
deux équations nous donne Cette équation (32) va nous permettre de déterminer 5^ et Z[L'. Nous aurons en effet Dans les termes g > s et ta représentent deux caractéristiques telles que soj = e [x. D'ailleurs e doit être divisible par e, sans quoi gw serait nul, puisque le développement de c2 ne doit pas contenir de puissance négative de e. De plus w doit être divisible par e, sans quoi dt serait nul. Donc z et ta sont des diviseurs de p.. Le cas e = e, ta = p. doit être exclu parce que gz se réduit
= p. doit être exclu parce que gz se réduit alors à g0 et que le terme go est compris dans DLe cas s = p., ta = e doit être exclu également parce que pour ta = c, z-M est nul. La conclusion est que les indices e et co étant des diviseurs de p. plus petits que p., tous les termes en question sont connus. Dans les termes ht dit, s et co représentent deux caractéristiques telles que EU) = y2 [JL. L'indice s doit être divisible par y2, sans quoi ho. serait nul, puisque le développement de
y2, sans quoi ho. serait nul, puisque le développement de c3 ne doit pas contenir de puissance négative de y. De plus w doit être divisible par y2, sans quoi ddz,w A serait nul. Donc e et w sont des diviseurs de p.. Le cas e = y2, co = p. est exclu parce que ho. se réduit alors à ho et que le terme ho t est compris dans DLe cas s = p., co = y2 n'est pas exclu. Alors w se réduit à 1, z. ayant même signification qu'au n, 11. La conclusion est que tous ces
signification qu'au n, 11. La conclusion est que tous ces termes sont connus à l'exception du terme L'équation (32) prend donc la forme où P est une fonction entièrement connue. La fonction dépend donc ici d'une équation linéaire du premier ordre et non plus du second. Cette même équation (33) déterminerait en même temps la constante ht par la condition que z,, soit périodique. On trouve ensuite car ro et X, ne dépendent pas de A, et l'; ni Z, de l et l'. En tenant compte de (30) ces équations deviennent ce qui détermine Çjj,, r1(Ji et H!J.' On
équations deviennent ce qui détermine Çjj,, r1(Ji et H!J.' On détermine ensuite !J. par le procédé du n° 6. L'équation (8) nous donne rfGjj, = Jo d;!J. + go d'f¡!J. + ho d!J. + 'f. g dr¡w +1 hzdÇM. Dans les termes go.d-f¡Ct)', on doit avoir Ew = eii. D'ailleurs e doit être divisible par e et il en est de même de (0, puisque A2 est divisible par e2. Donc e et co divisent [x. On ne peut avoir 10 = p., d'où z = e, gs = g0, puisque le terme g0drÏVi figure déjà explicitement. On ne peut
puisque le terme g0drÏVi figure déjà explicitement. On ne peut avoir s = p., d'où 10 = c, car alors rlw serait nul, puisque A2 est divisible par e2Tous ces termes sont donc connus. Dans les termes kEd, on doit avoir ZOi = y2 JJL. L'indice E doit être divisible par y2, et il en est de même de w, puisque A3 est divisible par y2. Donc e et w divisent y. On ne peut avoir w = y, d'où e = y2, ho. = ho, puisque le terme h0d^^ figure déjà explicitement. On pourrait avoir ê = p., W
figure déjà explicitement. On pourrait avoir ê = p., W = y2, mais ~[j,. a déjà été calculé. Tous ces termes sont donc connus. On tire de là ou k et kl étant le degré d'homogénéité de G, et de riM en e. On en tire enfin Cette équation détermine !l" car .'w et !L sont connus. On trouverait ensuite, toujours par le même procédé, des équations de la forme où Q et R sont connus, et l'on en déduirait, toujours de la même manière, d'autres équations de la forme Ces équations, intégrées toujours par le même procédé, nous donneraient
Ces équations, intégrées toujours par le même procédé, nous donneraient x,, et }'(L et elles nous feraient en même temps connaître g(L que l'on déterminerait par la condition que x[J. et Y[J. soient périodiques. 20. Malheureusement l'équation du premier ordre (33) n'est pas aussi facile à manier qu'on pourrait le croire. Elle donne en effet en appelant Pt le second membre et la présence de z2 au dénominateur est gênante parce que z, est susceptible de s'annuler. On pourrait songer à réserver l'équation (33) comme un moyen de vérification et à revenir pour le calcul de z-y à l'équation ordinairement
à revenir pour le calcul de z-y à l'équation ordinairement employée. Voici comment cette équation pourrait se déduire de (33) : Differentions deux fois cette équation (33), il viendra (en nous souvenant que Z, = Ds,) Or D2z1—Pzi = 0; il reste donc , + '.PZI = O' On doit se souvenir que Alors on doit pouvoir choisir la constante h,, de telle façon que soit divisible par ZILa possibilité d'un pareil choix est un moyen de vérification. Il doit arriver ensuite que Au. étant ainsi choisi, on trouve pour z!J. une fonction périodique. C'est une seconde vérification. Mais il
z!J. une fonction périodique. C'est une seconde vérification. Mais il y a mieux à faire. Rapprochons l'équation (32) de la première équation (34). Ces deux équations peuvent s'écrire Q et R étant connus. On tirera zl et Zp sans intégration de ces deux équations du premier degré. Comme, ainsi que nous venons de le voir, Je déterminant de ces équations se réduit à une constante, on pourra achever cette opération sans avoir à faire une division dans laquelle on pourrait craindre que le diviseur ne devienne nul. On devra pouvoir choisir h2, de telle façon que les valeurs de zl
choisir h2, de telle façon que les valeurs de zl et Zp ainsi trouvées satisfassent à la condition trouvée plus haut C'est une vérification et cela détermine en même temps la constante h2. On remarquera que la constante h1 est restée arbitraire. Cette nouvelle constante arbitraire remplace la constante d'intégration de l'équation (33). Nous n'avons rien à changer d'ailleurs au calcul de x11. H2, x12 et x2n 21. Dans les calculs qui précèdent, nous avons souvent différentié par rapport à la constante que nous appelons f0. Si l'on veut pouvoir comparer avec les formules usuelles, il faut poser d'où Mais
comparer avec les formules usuelles, il faut poser d'où Mais pour que la comparaison soit possible avec les formules données par Delaunay et d'autres auteurs, il faut faire plusieurs remarques. En premier lieu, ce que j'appelle ici m, c'est ce que Delaunay appelle 1 ln M. Brown appelle cette même quantité m; mais il y a d'autres différences; j'ai supposé mes coordonnées, x par exemple, exprimées en fonctions de n', a, lu et en outre de e, y, t, l, 1, e', l'. La quantité K, d'où dépendent les termes parallactiques, était égale à a étant une longueur constante et
parallactiques, était égale à a étant une longueur constante et a' le demi-grand axe de l'orbite solaire. M. Brown exprime tout en fonction de a, cxl et m et en outre de e, y, t, l, À, e', U. La longueur a est le coefficient du terme principal du développement de xo+ vI}'o; c'est une fonction de n' et de m, c'est-à-dire de n'et de Jo. Quant à ':J.', (qu'il appelle a) c'est le rapport La longueur a reste constante dans le mouvement de la Lune, mais ce n'est pas une constante absolue au point de vue qui nous occupe,
une constante absolue au point de vue qui nous occupe, puisqu'elle dépend de Jo. À la fin du calcul, toutefois, et après toutes les différentiations, on pourra supposer a = a0, d'où a = a'. À cause de l'homogénéité spéciale des équations, les coordonnées x,y, z, sont de la forme suivante x = a o(a', ln), et l'on aura d'ailleurs 2 a = n' a ( m ) ; la fonction 0 (a', m) dépendant en outre de e, y, T, l, À, e', l'. On trouve alors Or d'où Cette formule rend les comparaisons possibles. Observons maintenant que l'analyse
Cette formule rend les comparaisons possibles. Observons maintenant que l'analyse précédente, exigeant des différentiations par rapport à m, conviendrait plus particulièrement aux cas où l'on veut obtenir le développement littéral des coordonnées, comme le faisait Delaunay. Ce n'est pas qu'elle ne puisse être appliquée à la recherche d'un développement numérique analogue à celui de Brown. Il faudrait alors calculer d'avance, non seulement xo et mais un certain nombre de leurs dérivées successives par rapport à m, ce qui d'ailleurs se ferait sans difficulté. 22. Cherchons ce que devient, dans les nouvelles approximations, le paradoxe signalé au n° 10. Voyons donc
nouvelles approximations, le paradoxe signalé au n° 10. Voyons donc dans quelle mesure nous avons eu affaire aux équations différentielles qu'il s'agissait d'intégrer. Nous verrons que nous nous sommes servis de ces équations aux n° 11, 14, 15, 17; que nous n'y avons fait seulement appel aux n° 12, 19, et 20; et qu'enfin aux n° 13 et 18 nous nous sommes servis de ces équations pour le calcul de z, mais que nous n'en avons plus eu besoin pour le calcul de x et de y. En résumé, après avoir déterminé, à l'aide des équations qu'il s'agit d'intégrer, les
avoir déterminé, à l'aide des équations qu'il s'agit d'intégrer, les termes de x et de y qui sont indépendants de e et de j, et ceux de z qui sont indépendants de e, nous pourrons, sans faire intervenir de nouveau ces équations, calculer les termes de x et de y qui dépendent de y ou de e, ceux de z qui dépendent de e. Le résultat conserve son apparence paradoxale, mais le paradoxe s'explique comme au n° 10. REVUE DES PUBLICATIONS ASTRONOMIQUES. MEDDELANDEN FUR LUNDS ASTRONOMISKA OBSERVATORIUM (Extraits de L'Ofversigt af k. sv. vet.-akad. Forhandl. i 1899). N° 8. Schultz-Steinheil
af k. sv. vet.-akad. Forhandl. i 1899). N° 8. Schultz-Steinheil (C.-A.). — Introduction de l'argument Xm dans le problème des perturbations. L'auteur revient sur un procédé dû à Gyldén et consistant à développer les perturbations suivant deux arguments, dont l'un reste constant pendant chaque demi-révolution de la planète troublée. Plusieurs astronomes ont utilisé avec avantage ce procédé pour le calcul des perturbations relatives des petites planètes. M. Charlier en fit l'essai pour le calcul des perturbations absolues de Thétis (Bulletin, IV, 207) dans un travail approfondi; mais il était intéressant de reprendre la question traitée par M. Charlier, l'argument Xm,
de reprendre la question traitée par M. Charlier, l'argument Xm, qui varie par sauts ayant été introduit par celui-ci après l'intégration, tandis qu'il était tout indiqué de le faire intervenir avant l'intégration. M. Schultz-Steinheil est en train de faire les calculs pour 2(53 Dresde. Il n'y a pas là, on doit l'observer, une tentative pour faire disparaître les petits diviseurs qui se manifestent sous la forme de forts coefficients lorsqu'on détermine les constantes arbitraires. Le gain principal est une simplification dans la mise en tables, réduites à un seul argument, l'autre (ou les autres) restant constant pendant un intervalle plus
l'autre (ou les autres) restant constant pendant un intervalle plus ou moins étendu. Le Verrier s'est placé à un point de vue analogue dans le Ch. XII de ses Recherches astronomiques (Annales de l'Observatoire de Paris, t. III). N° 9. Charlier (C.V.-L.). — Sur les systèmes de lentilles achromatiques. L'auteur revient sur une communication antérieure (Bull. XVI, p. 251) pour la compléter. Il s'agit de combinaisons optiques de lentilles formées, soit avec le même verre, soit avec les verres d'indices très variés de la fabrique d'Iéna. M. Charlier examine les combinaisons achromatiques possibles et aussi celles qu'il nomme demi-achromatiques. Psilander
combinaisons achromatiques possibles et aussi celles qu'il nomme demi-achromatiques. Psilander (A.-A .). Tables pour le calcul du second terme de la précession. Ces Tables font partie de la collection des Mémoires (2e série in-4, n° 1). Leur objet est de fournir le second terme de la précession, en ascension droite et en déclinaison, au moyen d'une simple interpolation, au moins quand la déclinaison n'excède pas 60°, en valeur absolue. On connaissait déjà les Tables de M. Folie et celles récemment parues de M. Downing. L'auteur a réussi à abréger le calcul. Whittaker (E.-T.). — Rapport sur les progrès de la
calcul. Whittaker (E.-T.). — Rapport sur les progrès de la solution du problème des trois corps (Extrait du British Association Report, 1899, 38 pages). Ce rapport a pour objet, dans la pensée de l'auteur, de retracer l'histoire du problème des trois corps, envisagé sous la forme générale, abstraction faite des applications à la Lune et aux planètes, en laissant de côté aussi les différentes classes d'équations différentielles auxquelles beaucoup de travaux ont été consacrés. La période étudiée comprend une trentaine d'années; les deux termes sont représentés par le second volume de la Théorie de la Lune de Delaunay et l'achèvement
de la Théorie de la Lune de Delaunay et l'achèvement de l'ouvrage de M. Poincaré : Les nouvelles méthodes de la Mécanique céleste. Les titres ci-dessous des sept Chapitres montrent le mode de groupement adopté par l'auteur. I. Les équations différentielles du problème. II. Solutions particulières de Lagrange. III. Mémoires, de 1868 à 1889, sur les solutions générales et particulières des équations différentielles et leurs expressions au moyen de séries infinies (la théorie de Gyldén mise à part). IV. — Mémoires, de 1868 à 1889, sur l'absence de termes d'une certaine classe dans les séries infinies qui représentent la solution.
certaine classe dans les séries infinies qui représentent la solution. V. — Théories des orbites absolues de Gyldén. VI. — Progrès des théories comprises dans les §§ III et IV de 1890 à 1898. VII. — Impossibilité de certaines espèces d'intégrales. O. C. BRÉDIKHINE (Th.). — SUR LES RADIANTS COMPOSÉS, DITS STATIONNAIRES. DES ÉTOILES FILANTES (Extrait du Bulletin de l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, t. XII, n° 1, 25 pages). M. Brédikhine fait d'abord un examen critique des motifs qui ont conduit M. Denning à admettre l'existence d'une activité prolongée pour certains points radiants. Il n'y a pas de
prolongée pour certains points radiants. Il n'y a pas de doute pour lui que les radiants de longue durée ne soient formés par plusieurs radiants individuels. Pour lui, la différence des éléments des orbites répondant à un même radiant écarte toute idée d'une dépendance mutuelle ou de famille. À cela M. Denning a répondu avec insistance que, comme observateur, il se préoccupait uniquement de constater les faits et qu'il ne lui paraissait pas possible de nier l'activité prolongée de certains points radiants. Quoi qu'il en soit, divers auteurs, MM. Turner et Herschel en particulier (voir aussi les Comptes rendus du
et Herschel en particulier (voir aussi les Comptes rendus du 6 mars 1899), ont essayé de donner des explications théoriques de ces points radiants stationnaires en leur supposant une existence réelle. Le Professeur A.-S. Herschel en donne une explication tirée de certaines hypothèses cosmogoniques qui peuvent, provisoirement tout au moins, être admises de la même manière que la réalité de l'interprétation de M. Denning demande encore à être critiquée et vérifiée. M. Brédikhine s'attache surtout à la théorie proposée par le Professeur Turner, où se trouve un essai d'explication mathématique des radiants stationnaires d'après les actions perturbatrices de la Terre
des radiants stationnaires d'après les actions perturbatrices de la Terre sur les météores, qui, dans leurs passages près d'elle, coupent l'orbite tantôt en avant, tantôt en arrière. M. Brédikhine, en calculant ces actions perturbatrices à l'aide des formules des perturbations spéciales, montre que les conclusions du Professeur Turner sont inadmissibles, sauf dans l'hypothèse inacceptable d'un mouvement rectiligne et uniforme de la Terre. Là où la fixité du point radiant ne peut être mise en douté, M. Brédikhine est disposé à admettre que la dispersion des orbites est plutôt le fait des perturbations planétaires, comme dans le cas des Orionides. En
des perturbations planétaires, comme dans le cas des Orionides. En somme, l'Astronomie météorique en est à ses débuts. C'est faire une œuvre des plus utiles que d'assurer et de soumettre à un examen critique les matériaux d'observation et les théories sommaires que nous possédons jusqu'ici. Il serait fort désirable que des observateurs exercés imitassent l'exemple de M. Denning. HERSCHEL (A.-S.). — ESSAIS CONTEMPORAINS DES LÉONIDES ET DES BIÉLIDES (Nature, numéros des 4 et 18 janvier 1899). Documents concernant les observations de ces deux essaims, accompagnés de remarques nombreuses. O. G. COCULESCO (N.). — TEORIA REFRACTIEI ASTRONOMICE. Bucuresci, 1899, 1 vol.
COCULESCO (N.). — TEORIA REFRACTIEI ASTRONOMICE. Bucuresci, 1899, 1 vol. in-8, 82 pages. Le Volume que vient de publier M. Coculesco sur la Théorie de la réfraction astronomique contient les leçons qu'il a professées sur cette matière dans son cours d'Astronomie à la Faculté des Sciences de Bucarest. L'Auteur commence par établir les lois fondamentales de la réfraction atmosphérique en partant du principe de Fermat (I). Il expose ensuite la théorie de la réfraction dans quelques-unes des hypothèses les plus connues sur la constitution de l'atmosphère : hypothèse de Newton (p. 24), de Bouguer (p. 37), de Laplace (p. 47-73).