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puissances de \(a^2, e^2, y^2\) et \(e'^2.\) Il ne nous empêcherait donc de supposer par exemple \(A_1 = y/a,\) \(A_2 = A_3 = y'\) Nous savons que S', doit contenir e en facteur; d'autre part rfX0 et dXo (ni par conséquent la différentielle totale dS) ne dépendent pas de de. Cela ne peut arriver que si S, est nul. Nous avons donc (g) xidXo-X1dxo=o. Pour mettre cette équation (9) sous la forme d'équations différentielles, je remarque que l'on a En remplaçant x, y, c, et C2 par leurs développements, et égalant les termes de même ordre, je trouve .8' avec
égalant les termes de même ordre, je trouve .8' avec des formules analogues pour les Yi. avec des formules analogues pour les Yi. Ces formules sont simplifiées, si nous supposons comme je l'ai dit plus haut fo = Ci, /»=/■4 = = OJ'introduire la notation suivante; je poserai Dx représente alors ce qui serait la dérivée de x par rapport au temps t, si l'on y remplaçait t et l par fort + E,, c rot + E2 (alliell de c, t + El' C2t+ E2)' Dans ces conditions, on a On trouve ainsi les équations suivantes : Les équations
a On trouve ainsi les équations suivantes : Les équations (10) sont deux équations différentielles linéaires qui définissent les deux fonctions inconnues xt et y, en fonctions de t (en supposant que T et l aient été remplacés par f, t + e,, go t + E2). Ces deux équations sont du premier ordre, de sorte que le système est du second ordre. Elles sont identiques aux équations (10) de mon article antérieur (Bull. Astr. 1900, p. 99). Toutefois, comme cette identité pourrait être dissimulée par la différence des notations, quelques explications sont nécessaires. En premier lieu, dans les équations
quelques explications sont nécessaires. En premier lieu, dans les équations du mémoire cité, les inconnues étaient désignées par Ç et Y; il conviendrait donc pour les retrouver de remplacer Xf, y,, DXf, Dy, par £, tj, ;', "'1'. Ensuite x0 et y0 doivent être remplacés par x et y. Enfin nous employions dans le mémoire cité la variable ln définie Par l'égalité 1'0 = n' et nous avions choisi' une m définie par l'égalité et nous avions choisi une unité de temps telle que 't = t, ce qui nous permettait de faire (après la différence par rapport à f0
permettait de faire (après la différence par rapport à f0 ou à m ) f0 = i, n' = m. Dans ces conditions on doit remplacer par et on retrouvera les équations citées. Passons aux termes du second ordre; il vient dS2 = oc2 dX.§ —h oco dX •) "H orj dX f — ç-2 d~z — 7] 2 dl, ce qui, en posant S's = S2 Sa-0X2, s'écrit dS = Z (r2dX0— X-zdcco) + xldX12d,; '(,2dl. Je suppose que je regarde pour un instant 7 et 10 comme des constantes. Alors, dz = elXo = c!.ro = o et
constantes. Alors, dz = elXo = c!.ro = o et Cette équation détermine S',. En effet, r, et X, sont connus. est un polynome entier par rapport aux cosinus et aux sinus des multiples de /, et ce polynome ne doit pas contenir de terme indépendant de /, puisqu'il est la dérivée de S!> qui doit être un polynome de même forme. Nous disposerons donc de l'indéterminée ri2 de façon à faire disparaître ce terme indépendant de 1. Alors dS[, sera entièrement déterminée; il en sera encore de même de S' à une constante près indépendante de e et de
S' à une constante près indépendante de e et de l. Mais comme S', doit contenir e2 en facteur, celle constante devra être nulle et S, sera entièrement connue. Nous trouvons ensuite les équations Quelle est la forme des équations (1 '),)? Les premiers membres ne diffèrent de ceux des équations (10) que par la substitution des inconnues x., et Y2 aux inconnues xs et 7 ) • Dans les seconds membres, tout est connu, sauf la constante que nous déterminerons plus loin. Le calcul de x.,, et y., est donc ramené à l'intégration d'équations linéaires à second membre, dont
donc ramené à l'intégration d'équations linéaires à second membre, dont les premiers membres sont ceux des équations (10); c'est ce que j'avais annoncé dans le mémoire cité, p. (,)g, à la fin du n° 2. Prenons maintenant les termes du troisième ordre et S 3 = (x:¡dXo+ x q —H x 1 dX 2 x o r/X ). Nous poserons S3 = s:¡ Xo X:¡, dS'3 = S ( xs dX 0 — X;¡d.ro)+ X ( X dX 2 -jx> dX y ). Et si nous regardons pour un instant t et Jo comme des constantes (rI bis) dS =
t et Jo comme des constantes (rI bis) dS = (3", rfX,-+-*•,rfX,). Lette équation déterminera S., comme l'équation (11) a déterminé S'' ,, (Ici le terme indépendant de dans disparaît de lui-même. ) Nous formerions ensuite des équations analogues aux équations (1 9.) et dont la première serait et dont la seconde s'en déduirait par la substitution de (fo à ch. Mais pour que l'analogie soit complète, il convient de poser de telle façon que X'3 = Dx%—n!y%, y = D/3 -H n'x3. Nous obtenons ainsi les équations Les premiers membres sont ceux des équations (io). Dans les seconds membres
membres sont ceux des équations (io). Dans les seconds membres tout serait connu si nous connaissions les deux constantes g2 et 2; mais la première de ces constantes figure explicitement dans nos équations, la seconde y figure implicitément puisque X2, Y2 et par conséquent S' en dépendent. Il reste donc à déterminer ces deux constantes. Commençons par £ 2. Je me servirai pour cela de l'équation (8) qui, A3 étant nulle, se réduit ici à Comme G2, £ < et 7)2 sont homogènes d'ordre 2 par rapport à e, la dernière équation (15) entraîne la suivante — G2 = /o
dernière équation (15) entraîne la suivante — G2 = /o + £ otJ2En différentiant par rapport à Jo et retranchant la première équation Lion (15) je trouve Comme rl2 a été calculé antérieurement, cette équation nous donnera Ç2. Avant d'aller plus loin montrons comment le même procédé permettra d'obtenir E, quand on connaîtra v)4 et Nous aurons — dG4 =fod4+godr.4+ 92 CI-ti 2, d'où Comme G.,, 4 et "'14 sont homogènes d'ordre 4 et rl2 homogène d'ordre 2 par rapport à e, on aura Si l'on différencie par rapport à f0 et qu'on élimine : ? il viendra ce qui
f0 et qu'on élimine : ? il viendra ce qui donne et ainsi de suite. 7. ### CORRECTION ### Nous savons que S', doit contenir e en facteur; d'autre part rfX0 et dXo (ni par conséquent la différentielle totale dS) ne dépendent pas de de. Cela ne peut arriver que si S, est nul. Nous avons donc (g) xidXo-X1dxo=o. Pour mettre cette équation (9) sous la forme d'équations différentielles, je remarque que l'on a En remplaçant x, y, c, et C2 par leurs développements, et égalant les termes de même ordre, je trouve .8' avec des formules analogues pour les
ordre, je trouve .8' avec des formules analogues pour les Yi. avec des formules analogues pour les Yi. Ces formules sont simplifiées, si nous supposons comme je l'ai dit plus haut fo = Ci, /»=/■4 = = OJ'introduire la notation suivante; je poserai Dx représente alors ce qui serait la dérivée de x par rapport au temps t, si l'on y remplaçait t et l par fort + E,, c rot + E2 (alliell de c, t + El' C2t+ E2)' Dans ces conditions, on a On trouve ainsi les équations suivantes : Les équations (10) sont deux équations différentielles
équations suivantes : Les équations (10) sont deux équations différentielles linéaires qui définissent les deux fonctions inconnues xt et y, en fonctions de t (en supposant que T et l aient été remplacés par f, t + e,, go t + E2). Ces deux équations sont du premier ordre, de sorte que le système est du second ordre. Elles sont identiques aux équations (10) de mon article antérieur (Bull. Astr. 1900, p. 99). Toutefois, comme cette identité pourrait être dissimulée par la différence des notations, quelques explications sont nécessaires. En premier lieu, dans les équations du mémoire cité, les inconnues
premier lieu, dans les équations du mémoire cité, les inconnues étaient désignées par Ç et Y; il conviendrait donc pour les retrouver de remplacer Xf, y,, DXf, Dy, par £, tj, ;', "'1'. Ensuite x0 et y0 doivent être remplacés par x et y. Enfin nous employions dans le mémoire cité la variable ln définie Par l'égalité 1'0 = n' et nous avions choisi' une m définie par l'égalité et nous avions choisi une unité de temps telle que 't = t, ce qui nous permettait de faire (après la différence par rapport à f0 ou à m ) f0
différence par rapport à f0 ou à m ) f0 = i, n' = m. Dans ces conditions on doit remplacer par et on retrouvera les équations citées. Passons aux termes du second ordre; il vient dS2 = oc2 dX.§ —h oco dX •) "H orj dX f — ç-2 d~z — 7] 2 dl, ce qui, en posant S's = S2 Sa-0X2, s'écrit dS = Z (r2dX0— X-zdcco) + xldX12d,; '(,2dl. Je suppose que je regarde pour un instant 7 et 10 comme des constantes. Alors, dz = elXo = c!.ro = o et Cette équation détermine S',. En
= c!.ro = o et Cette équation détermine S',. En effet, r, et X, sont connus. est un polynôme entier par rapport aux cosinus et aux sinus des multiples de /, et ce polynôme ne doit pas contenir de terme indépendant de /, puisqu'il est la dérivée de S!> qui doit être un polynôme de même forme. Nous disposerons donc de l'indéterminée ri2 de façon à faire disparaître ce terme indépendant de 1. Alors dS[, sera entièrement déterminée; il en sera encore de même de S' à une constante près indépendante de e et de l. Mais comme S', doit
indépendante de e et de l. Mais comme S', doit contenir e2 en facteur, celle constante devra être nulle et S, sera entièrement connue. Nous trouvons ensuite les équations Quelle est la forme des équations (1 '),)? Les premiers membres ne diffèrent de ceux des équations (10) que par la substitution des inconnues x., et Y2 aux inconnues xs et 7 ) • Dans les seconds membres, tout est connu, sauf la constante que nous déterminerons plus loin. Le calcul de x.,, et y., est donc ramené à l'intégration d'équations linéaires à second membre, dont les premiers membres sont ceux
linéaires à second membre, dont les premiers membres sont ceux des équations (10); c'est ce que j'avais annoncé dans le mémoire cité, p. (,)g, à la fin du n° 2. Prenons maintenant les termes du troisième ordre et S 3 = (x:¡dXo+ x q —H x 1 dX 2 x o r/X ). Nous poserons S3 = s:¡ Xo X:¡, dS'3 = S ( xs dX 0 — X;¡d.ro)+ X ( X dX 2 -jx> dX y ). Et si nous regardons pour un instant t et Jo comme des constantes (rI bis) dS = (3", rfX,-+-*•,rfX,). Lette équation déterminera
constantes (rI bis) dS = (3", rfX,-+-*•,rfX,). Lette équation déterminera S., comme l'équation (11) a déterminé S'' ,, (Ici le terme indépendant de dans disparaît de lui-même. ) Nous formerions ensuite des équations analogues aux équations (1 9.) et dont la première serait et dont la seconde s'en déduirait par la substitution de (fo à ch. Mais pour que l'analogie soit complète, il convient de poser de telle façon que X'3 = Dx%—n!y%, y = D/3 -H n'x3. Nous obtenons ainsi les équations Les premiers membres sont ceux des équations (io). Dans les seconds membres tout serait connu si nous
(io). Dans les seconds membres tout serait connu si nous connaissions les deux constantes g2 et 2; mais la première de ces constantes figure explicitement dans nos équations, la seconde y figure implicitément puisque X2, Y2 et par conséquent S' en dépendent. Il reste donc à déterminer ces deux constantes. Commençons par £ 2. Je me servirai pour cela de l'équation (8) qui, A3 étant nulle, se réduit ici à Comme G2, £ < et 7)2 sont homogènes d'ordre 2 par rapport à e, la dernière équation (15) entraîne la suivante — G2 = /o + £ otJ2En différentiant par
suivante — G2 = /o + £ otJ2En différentiant par rapport à Jo et retranchant la première équation Lion (15) je trouve Comme rl2 a été calculé antérieurement, cette équation nous donnera Ç2. Avant d'aller plus loin montrons comment le même procédé permettra d'obtenir E, quand on connaîtra v)4 et Nous aurons — dG4 =fod4+godr.4+ 92 CI-ti 2, d'où Comme G.,, 4 et "'14 sont homogènes d'ordre 4 et rl2 homogène d'ordre 2 par rapport à e, on aura Si l'on différencie par rapport à f0 et qu'on élimine : ? il viendra ce qui donne et ainsi de suite.
? il viendra ce qui donne et ainsi de suite. 7. ### CORRECTION ### Nous savons que S', doit contenir e en facteur; d'autre part rfX0 et dXo (ni par conséquent la différentielle totale dS) ne dépendent pas de de. Cela ne peut arriver que si S, est nul. Nous avons donc (g) xidXo-X1dxo=o. Pour mettre cette équation (9) sous la forme d'équations différentielles, je remarque que l'on a En remplaçant x, y, c, et C2 par leurs développements, et égalant les termes de même ordre, je trouve .8' avec des formules analogues pour les Yi. avec des formules analogues
des formules analogues pour les Yi. avec des formules analogues pour les Yi. Ces formules sont simplifiées, si nous supposons comme je l'ai dit plus haut fo = Ci, /»=/■4 = = OJ'introduire la notation suivante; je poserai Dx représente alors ce qui serait la dérivée de x par rapport au temps t, si l'on y remplaçait t et l par fort + E,, c rot + E2 (alliell de c, t + El' C2t+ E2)' Dans ces conditions, on a On trouve ainsi les équations suivantes : Les équations (10) sont deux équations différentielles linéaires qui définissent les deux
(10) sont deux équations différentielles linéaires qui définissent les deux fonctions inconnues xt et y, en fonctions de t (en supposant que T et l aient été remplacés par f, t + e,, go t + E2). Ces deux équations sont du premier ordre, de sorte que le système est du second ordre. Elles sont identiques aux équations (10) de mon article antérieur (Bull. Astr. 1900, p. 99). Toutefois, comme cette identité pourrait être dissimulée par la différence des notations, Avant de déterminer g2, voyons comment on pourra intégrer les équations à second membre (12) et (13) et les équations
équations à second membre (12) et (13) et les équations de même forme par la méthode de la variation des constantes. Soient x et y nos deux fonctions inconnues et écrivons nos équations sous la forme ou l'on a posé X' = Dx - n'y, Y' = Dy + n'x. Les secondes membres P et Q sont regardés comme connus. Posons Nous connaissons la solution générale des équations sans second membre, x = jt1, y=yt1. Il est clair que les équations étant linéaires, la solution subsistante quelle que soit la constante t1, sera encore une solution. Soit il est aisé
constante t1, sera encore une solution. Soit il est aisé de voir que k est une constante. Posons alors Il s'agit de déterminer I et 2; or nos équations deviennent d'où L'application de ce procédé ne présente pas de difficulté, parce que A ne s'annule pas. 8. Par ce procédé, ou par tout autre, on verrait que si P et Q sont des fonctions périodiques de t et de /, la solution des équations (12) est de la forme yo et YI étant des fonctions périodiques de et /, CI et C2 des coefficients constants. Si de plus P est
et C2 des coefficients constants. Si de plus P est une fonction paire de T et 1, et Q une fonction impaire, x devra être une fonction paire de t, et y une fonction impaire. Donc la constante G, devra être nulle. Si dans les premiers membres des équations (16) on substitue à la place de x et y, soit x, et rt, soit -l et -1, on trouve zéro; mais si l'on substitue mais si l'on substitue on trouve Cela posé, cherchons à déterminer g2 et pour cela écrivons les équations (14) sous la forme Comme la constante a
les équations (14) sous la forme Comme la constante a été déterminée plus haut, P et Q sont des fonctions entièrement connues. Ces fonctions sont périodiques, la première paire et la seconde impaire. Si g2 était nul, ces équations nous donneraient 90 et 91 étant périodiques. Si au contraire g2 n'est pas nul, ces mêmes équations donnent Comme x, et y, doivent être périodiques, on devra prendre g2 = C2, ce qui détermine C2. 9. Le calcul des termes d'ordre supérieur se ferait de la même manière. En égalant les termes du quatrième ordre, nous aurons l'expression de dS" et
termes du quatrième ordre, nous aurons l'expression de dS" et par conséquent celle de dS', où S' = Sx1X' + S1y1. Dans cette expression on regardera et y1 comme des constantes, on obtiendra une équation analogue à l'équation (11) qui déterminera S ; on choisira A3, de façon que S' soit périodique, c'est-à-dire de façon que le terme indépendant de 1 dans dS' disparaisse. Connaissant I et g2 on calculera I par le procédé du n° 6. On formera ensuite des équations analogues aux équations (12) qui détermineront X1, et y". On calculera ensuite S' à l'aide d'une équation analogue
y". On calculera ensuite S' à l'aide d'une équation analogue à (11), ou plutôt à (11 bis); le terme constant de dS' disparaîtra de lui-même. On formera ensuite des équations analogues à (13) dont l'intégration déterminera xi et y3; on choisira g3, par le procédé du n° 8 de telle façon que Xi et y3 soient périodiques. Et ainsi de suite. 10. J'attirerai l'attention sur une circonstance bien digne de remarque et qui semble d'abord tout à fait paradoxale. Mon but était d'intégrer les équations (2) et, dans tout le cours de cette analyse, je ne me suis pas servi
cours de cette analyse, je ne me suis pas servi une seule fois de ces équations. Il faut donc que je les aie introduites implicitement; mais où et comment l'ai-je fait? J'ai supposé d'abord que les équations étaient de forme canonique. Je me suis servi ensuite des conditions X = x - n'y, Y = y + n'x. Cela revenait à supposer que la fonction F était de la forme suivante Comme e' est supposé nul, nous pouvons supposer L = 0 et F se réduit à T - VI; la fonction T(x, y) n'est autre chose que -VI. Mais
la fonction T(x, y) n'est autre chose que -VI. Mais il semble que nous n'avons fait aucune hypothèse sur la fonction cp (x, y). Bien entendu, ce n'est là qu'une apparence. Nous avons au début regardé x0 et y0 comme des fonctions connues de et de yo. Or il se trouve que si l'on se donne x0 et y0 en fonctions de T et de lo, cela suffit pour déterminer la fonction T(x, y). Si nous connaissons en effet x0 et y0 en fonctions de t et de lo, nous connaîtrons également et par conséquent D'après l'équation des forces vives,
connaîtrons également et par conséquent D'après l'équation des forces vives, F = T + cp(x0, y0) devra se réduire à une constante qui ne pourra dépendre que de lo. Je puis donc écrire On voit ensuite que 'est une constante, dépendant seulement de lo, soit (lo)' Cette fonction cp(lo) peut être regardée comme connue puisque x0 et y0 le sont. Nous trouvons ensuite d'où v v ° =yMlo, ce qui détermine 9 (à une constante près qui ne joue aucun rôle). Comme T et cp sont maintenant des fonctions connues, co sera une fonction connue de T et de lo;
co sera une fonction connue de T et de lo; comme x0 et y0 sont aussi des fonctions connues de T et de lo, on peut regarder T comme une fonction connue de x0 et y0 et le paradoxe se trouve expliqué. 11. Supposons maintenant e = a = e' = 0 et cherchons à développer suivant les puissances de y. Comme e' est nul, nous pouvons encore supposer l = 0, F = T - VI, Soient T = E, Y = Y, X = X, y = Y, Z = Z, S = S, F = F, A1
Z = Z, S = S, F = F, A1 = A1, A2 = A2, A3 = A3, G = G; C1 = C1, C2 = C2, ca = 1, nos développements procédant suivant les puissances des Y. Observons : i° Que x, y, X, Y, S, F, A1, A2, ne contiennent dans leurs développements que des termes d'ordre pair, tandis que Z ne contient que des termes d'ordre impair. 2° Que A2 = 0. 3° Que le développement de A:, commence par le terme 1. Nous poserons S = Si - X,-. La considération de àS0 ne nous apprend
Si - X,-. La considération de àS0 ne nous apprend rien; nous trouvons ensuite (X2 dXo + -r0 t/2) -t-i CLL'I — ç-2 c/T 2 r/À = dS, DX« — X,rf.r0) -+r/Z, — t, dÇ, r/X = dS. Faisons varier d'abord y, les autres variables demeurant constantes; comme dXo = dxo = ch = d). = o, il vient Comme S' 1 est homogène d'ordre 2 et ZI (ordre 1 par rapport à y, on en conclut En tenant compte de cette relation et en égalant les deux valeurs de ainsi que celles de ?, on trouve (A Considérons ensuite
ainsi que celles de ?, on trouve (A Considérons ensuite le développement de F suivant les puissances de ; et de Z; le premier terme indépendant de =. et de Z, c'est FI); le second terme (d'ordre 2 en r et Z) sera de la forme II) étant une fonction de x et de y. On trouve alors D'autre part, cr étant nul, S ne doit pas dépendre de , donc riS rlX > * * • sont nuls. Donc (Il cil T-V, = G, et comme nous avons déjà F = T — VI, il vient F = G,
F = T — VI, il vient F = G, F2 = G2. Si nous tenons compte des équations nous pouvons donc écrire Nous poserons, par une notation analogue à celle des numéros précédents de telle façon que Dx est la dérivée de x par rapport à t, si l'on suppose que t, /, A et l' y ont été remplacés par J0t + E t0 2 1 Ao< -}sg, 11,1 E,, (au lieu de ci si, ). Comme ici e et e' sont supposés nuls, nos fonctions ne dépendent ni de /, ni de t, de sorte que nous
ni de /, ni de t, de sorte que nous avons simplement dx d.r D,r =fo 7k + ho -l' Nous aurons donc Nous aurons d'ailleurs évidemment Multiplions donc les deux équations (17) par lu et ho et ajoutons les entre elles et à l'équation (18), il viendra Mais l'équation (8) devient ici d'où, en égalant les termes d'ordre ':>,' et Comme Go, £ 2 et 7j2 sont homogènes d'ordre 2 par rapport à y, on en déduit — — foK v2, de sorte que le second membre de l'équation (20) est nul. Le premier membre se réduit si l'on
(20) est nul. Le premier membre se réduit si l'on tient compte des relations (19), de sorte que l'équation (20) ainsi réduite s'écrit (3,^.5,-+*5?) =0 ou (21) D2 z, z, = o. On retombe ainsi sur l'équation linéaire du second ordre bien connue, à laquelle satisfait la fonction z, et que l'on peut obtenir par des procédés beaucoup plus simples. 12. Les fonctions c, et Z, étant ainsi connues, on calculera 2 par la seconde équation (17). On calculera £ 2 par un procédé tout à fait pareil à celui du n° 6, qui conduira à l'équation Nous trouvons ensuite
du n° 6, qui conduira à l'équation Nous trouvons ensuite La première de ces équations n'est autre chose que la première des équations (17) et la seconde s'obtiendrait de la même manière. Les seconds membres des équations (22) sont entièrement connus. On a d'ailleurs X2 = DX2 n'y2, Y2 = D^2-tn' Les équations (22) sont donc de même forme que les équations (12) et elles s'intégreraient de la même manière. 13. Nous trouvons ensuite ^^0 — -^4 0 ) ~2 oc2 6?X.2 *~H 23$Li H— z 1 dZ*à% — ;" el," It d), = dS, d'où Comme Z,, X2, Z3
el," It d), = dS, d'où Comme Z,, X2, Z3 et S' sont homogènes en v d'ordre 1, 2, 3 et 4, j'en déduis .1 (23) 4S=Z3Z1+3zlZ3+2X2X2. Nous pourrions former l'équation différentielle à laquelle z, satisfait par le procédé du n° 11. Mais il est plus simple de la former directement, ainsi que je l'ai déjà fait remarquer; elle est de la forme où P est une fonction connue, périodique et impaire de t et de X. On en déduira z3, après avoir choisi la constante h2 de telle sorte que la valeur de s3 soit périodique. Nous pouvons donc
que la valeur de s3 soit périodique. Nous pouvons donc regarder désormais z3 et Z3 comme connus; il en sera de même de S en vertu de la relation (23). 2° De Ç, en vertu de la relation 3° De ç, par le procédé du n° 6. Nous pouvons alors poser P et Q étant des fonctions connues. Si nous posons X'= Drt — n Y' = Dy..+ n'x.., nous aurons et nous trouvons les équations dont les seconds membres sont connus et qui s'intègrent comme les équations (12) et (aa ) En résumé, je m'en tiens aux procédés usuels
(aa ) En résumé, je m'en tiens aux procédés usuels en ce qui concerne la latitude, tandis que pour les termes de la longitude qui dépendent de l'inclinaison, j'ai recours à un procédé analogue à celui des 11"' -1 à 9. 14. Supposons maintenant e = e' = y = 0 et développons suivant les puissances de x. Nous emploierons toujours nos mêmes notations pour nos développements, bien qu'ils procèdent suivant les puissances d'une autre variable; nous définirons S de la même manière; enfin nous pourrons toujours supposer L=o, F = T — Yj. Nous aurons z = Z =
= T — Yj. Nous aurons z = Z = 0, parce que y est nul. Supposons que l'on ait calculé x1, x2, x3, ..., xn, ce qu'on se propose de calculer xi en regardant que nos xi ne dépendent que d'un seul argument, à savoir de t. On a donc .r dXi DI DI X/ = f0~ — n'yx = xi-nyj, Y< = »'*'■ Nous pourrons écrire, en considérant les termes d'ordre 1, N-(xi(IXOXidxc,) -jEit dv — ç¡d," = cIS', les il et les v étant des fonctions antérieurement calculées. On en déduit Nous remarquerons ensuite que, fêtant nul,