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machines renferme de plus saillant. Comme progrès industriel, tout se réduit, comme on le voit, à quelques perfectionnements dans les moteurs ou dans la fabrication. La galerie suivante est occupée par des métiers, en petit nombre, et une profusion de machines à coudre. Puis viennent les produits fabriqués d'industries diverses. Les expositions de tissus occupent naturellement une large place et plusieurs galeries. En résumé, l'exposition de Lyon est conçue sur un plan grandiose, et si l'on tient compte de l'absence de l'élément étranger et de plusieurs grandes industries, la navigation et les chemins de fer, on peut dire que le
et les chemins de fer, on peut dire que le résultat dépasse ce que l'on pouvait attendre dans les circonstances actuelles, et en raison des difficultés que les promoteurs ont eu à vaincre. Il a été beaucoup question, dans ces derniers temps, d'un fait sans précédent dans notre histoire industrielle, de fournitures de charbons faites à l'Angleterre par les bassins du Nord et du Pas-de-Calais. On commençait même à s'émouvoir de marchés considérables qui venaient, dit-on, d'être passés pour des quantités importantes. Le fait de l'expédition de charbons français en Angleterre est constant, mais celui de la commande des 250,000
Angleterre est constant, mais celui de la commande des 250,000 tonnes, dont on parlait, est démenti par la lettre suivante adressée au journal le Temps, et que nous nous empressons de reproduire. " Douai, le 23 septembre. » La presse française annonce que les houillères du Pas-de-Calais ont conclu, avec des maisons anglaises, des marchés pour la fourniture de 250,000 tonnes de charbon. » Le comité s'est ému de cette nouvelle qui, renseignements pris auprès de toutes les houillères, a été reconnue inexacte. » Il importe donc de la démentir au plus tôt, et de rassurer les industriels français qui
au plus tôt, et de rassurer les industriels français qui auraient pu la considérer comme véritable. » Je viens donc vous prier, monsieur le directeur, de vouloir bien démentir, dans un de vos prochains numéros, ces prétendus marchés faits avec l'Angleterre par les compagnies houillères du Pas-de-Calais. » Veuillez agréer, etc. » C. MATHIEU, » Secrétaire du Comité des houillères du Nord et du Pas-de-Calais. » RESISTANCE DES MATÉRIAUX SUR FACES RÉDUITES. MÉTHODE GRAPHIQUE APPLICABLE À LA RECHERCHE DES CENTRES DE GRAVITÉ, CENTRES D'INERTIE, RAYONS DE GIRATION, MOMENTS, MOMENTS D'INERTIE, MOMENTS FLÉCHISSANTS, ETC.; EN UN MOT, À TOUSÉS SOMMATION DE
MOMENTS FLÉCHISSANTS, ETC.; EN UN MOT, À TOUSÉS SOMMATION DE LA FORME Q = 2 (xmydx) (i). Planches 77 et 78. 1. — Toute expression de la forme Q = 2(a.™.-i/da.) (2), dans laquelle y et x sont des variables reliées l'une à l'autre par une loi quelconque, continue ou discontinue, m et n des exposants entiers arbitraires, peut être considérée comme représentant : 1. Les lecteurs des Annales Industrielles connaissent un instrument très ingénieux, l' Intégromètre (v. colonne 238), dû à M. Marcel Deprez, qui résout le même problème ou à peu près. Toutefois la méthode des surfaces réduites,
ou à peu près. Toutefois la méthode des surfaces réduites, déjà exposée d'ailleurs, bien que sous une autre forme, dans le Bulletin de la Société amicale des anciens élèves de l'École Centrale de Paris (v. mars 1872, mérite d'être connue, parce qu'elle porte en elle un principe qui peut être appliqué fructueusement en bien des circonstances. Pour la signification des symboles, voir au n° 20. QUATRIÈME ANNÉE. 29 SEPTEMBRE 1872. y et x peuvent d'ailleurs représenter une ligne, une surface, un volume, etc. Il n'y a pas d'intérêt à chercher de nouvelles méthodes pour évaluer c'est-à-dire des quantités représentables par
de nouvelles méthodes pour évaluer c'est-à-dire des quantités représentables par une ligne ou une surface. Les mesures directes par les moyens géométriques connus ou par le planimètre et la pesée y suffisent; et l'on devrait s'estimer heureux si l'on disposait de procédés aussi simples et aussi exacts pour trouver la somme des exposants m + n étant égale ou supérieure à 2. C'est le but qui est proposé par l'emploi de ce que j'appelle les surfaces réduites. Je considérerai la fonction en donnant d'abord à m les valeurs successives 1 et 2; et à n la valeur 1; en supposant,
et 2; et à n la valeur 1; en supposant, pour fixer les idées, que y et x représentent des quantités simplement linéaires, reliées entre elles par une loi quelconque. SOIT AB (fig. 1) la courbe traduisant géométriquement la loi qui lie y à x. Le produit y dx est un élément ah de l'aire de la courbe; le produit x dy est le moment de cet élément par rapport à l'axe OY. La somme est donc le moment de l'aire tout entière; et l'on sait que si a représente la distance à l'axe OY du centre de gravité de
la distance à l'axe OY du centre de gravité de cette aire, on est en droit d'écrire c'est la définition même du centre de gravité. Soit maintenant v une longueur constante quelconque, il est permis de poser: Si à une distance v de O on trace une parallèle CB, à l'axe des y, qu'on mène ae, puis Oc, on a, par suite de la similitude des triangles Oah, OBC, et de l'égalité "C= ah: par conséquent La surface dai - a'hdx est ce que j'appelle la surface réduite de l'élément ah = ydx = dw. La même construction pouvant se
ah = ydx = dw. La même construction pouvant se faire pour tous les éléments de l'aire n de la courbe AB, on aura, en somme, une nouvelle courbe A'B, et une nouvelle aire r^ de cette courbe. L'expression établie plus haut, reviendra donc à: d'où l'on pourra conclure c'est-à-dire la distance à l'axe OY du centre de gravité de la surface fi; dès que l'on connaîtra la valeur de cette surface, et celle de sa surface réduite, dans un rapport qui dépend du choix de la quantité arbitraire v. On comprend, sans peine, que la construction qui vient d'être
On comprend, sans peine, que la construction qui vient d'être faite pour la recherche de la distance a, à l'axe des y, du centre de gravité de l'aire de la courbe AB, c'est-à-dire de la surface ABCD, pourrait se répéter identiquement, pour la recherche de la distance h, du centre de gravité de la même surface, à un autre axe quelconque, oblique par rapport au premier, par exemple par rapport à l'axe OX. On aurait ainsi deux coordonnées du centre de gravité cherché, ce qui déterminerait sa position. SOIT AB (fig. 1) la courbe traduisant géométriquement la loi qui lie
(fig. 1) la courbe traduisant géométriquement la loi qui lie y à x. Le produit y dx est un élément ah de l'aire de la courbe; le produit x dy est le moment de cet élément par rapport à l'axe OY. La somme est donc le moment de l'aire tout entière; et l'on sait que si a représente la distance à l'axe OY du centre de gravité de cette aire, on est en droit d'écrire c'est la définition même du centre de gravité. Soit maintenant v une longueur constante quelconque, il est permis de poser: Si à une distance v
il est permis de poser: Si à une distance v de O on trace une parallèle CB, à l'axe des y, qu'on mène ae, puis Oc, on a, par suite de la similitude des triangles Oah, OBC, et de l'égalité "C= ah: par conséquent La surface dai - a'hdx est ce que j'appelle la surface réduite de l'élément ah = ydx = dw. La même construction pouvant se faire pour tous les éléments de l'aire n de la courbe AB, on aura, en somme, une nouvelle courbe A'B, et une nouvelle aire r^ de cette courbe. L'expression établie plus haut,
nouvelle aire r^ de cette courbe. L'expression établie plus haut, reviendra donc à: d'où l'on pourra conclure c'est-à-dire la distance à l'axe OY du centre de gravité de la surface fi; dès que l'on connaîtra la valeur de cette surface, et celle de sa surface réduite, dans un rapport qui dépend du choix de la quantité arbitraire v. On comprend, sans peine, que la construction qui vient d'être faite pour la recherche de la distance a, à l'axe des y, du centre de gravité de l'aire de la courbe AB, c'est-à-dire de la surface ABCD, pourrait se répéter identiquement, pour
c'est-à-dire de la surface ABCD, pourrait se répéter identiquement, pour la recherche de la distance h, du centre de gravité de la même surface, à un autre axe quelconque, oblique par rapport au premier, par exemple par rapport à l'axe OX. On aurait ainsi deux coordonnées du centre de gravité cherché, ce qui déterminerait sa position. La relation permet d'écrire évidemment : Soit étant la surface réduite première de et par conséquent la surface réduite seconde de , comme l'expriment les indices; donc l'expression du moment d'inertie peut encore se mettre sous la forme On eût pu arriver directement à
mettre sous la forme On eût pu arriver directement à cette dernière expression; en effet il n'y a qu'à poser : car réduire l'élément de surface dydx, dans le rapport-, c'est le réduire, une première fois, dans le rapport-; puis une deuxième fois, dans le rapport -, c'est-à-dire prendre sa surface réduite seconde. Connaissant le moment d'inertie Iu, d'une figure plane, par rapport à un axe quelconque OY, il est très facile d'obtenir le moment d'inertie Ig, par rapport à un axe parallèle au premier, passant par son centre de gravité, dès que l'on connaît l'aire fi de la figure,
gravité, dès que l'on connaît l'aire fi de la figure, et la distance a, à l'axe OY, du centre de gravité de cette aire. En effet il y a entre les deux moments d'inertie la relation connue : laquelle, en vertu de et de , peut s'écrire Les formules et sont commodes, dans la flexion plane des solides, parce qu'elles permettent de faire la construction des surfaces réduites, pour la recherche du moment d'inertie, par rapport à un axe qui ne passe pas nécessairement par le centre de gravité, lequel n'est pas déterminé au début le plus souvent. 7. —
n'est pas déterminé au début le plus souvent. 7. — Dans la flexion plane d'une poutre prismatique, sous l'action de forces perpendiculaires à son axe, la théorie de la résistance des matériaux apprend qu'il y a entre le moment fléchissant M des forces extérieures, qui font ployer la poutre, et les dimensions de la section transversale dans laquelle on considère l'effet de la flexion, la relation : dans laquelle R est l'effort maximum par unité de surface auquel doit être soumis l'élément de la section le plus fatigué; v la distance de cet élément à l'axe d'inertie; I le moment
distance de cet élément à l'axe d'inertie; I le moment d'inertie de la section considérée. Dans la construction indiquée n° 3 la distance v est arbitraire ; rien n'empêche donc de la prendre égale à la distance à l'axe OY, de la fibre la plus fatiguée, dont il vient d'être parlé; d'autre part, R est une constante connue d'avance; et si l'on observe que, dans le cas dont s'agit, l'axe d'inertie OY, qui doit rencontrer la fibre neutre, passe justement par le centre de gravité de la section, on reconnaît qu'il la coupe en deux portions n et n' telles
qu'il la coupe en deux portions n et n' telles que la condition dont il a été parlé au n° 4 se trouve remplie, savoir : enfin le moment d'inertie de la section est la somme des moments d'inertie de chacune des portions o et a' de cette section, c'est-à-dire qu'on a dans : Il résulte de là que la formule peut s'écrire : III. — SOMMATION DES FONCTIONS DE LA FORME 8. — Ce qui précède suffit à la recherche des centres de gravité, centres d'inertie, rayons de circonférence, moments, moments d'inertie, moments fléchissants; mais on peut pousser plus
moments, moments d'inertie, moments fléchissants; mais on peut pousser plus loin l'application de la méthode des surfaces réduites, et lui donner un caractère de généralité. La marche à suivre est toujours la même. Si, par exemple : m = 3, n = 1, on pourra toujours poser : et réduire l'élément de surface ydx, c'est-à-dire l'ordonnée y de la courbe représentant la loi, continue ou discontinue, qui relie y à x, dans le rapport —, par la construction de la longueur réduite, répétée trois fois. On aura ainsi la surface réduite troisième de l'aire de la courbe donnée y =
réduite troisième de l'aire de la courbe donnée y = F (x). Et ainsi de suite tant que n = 1. Quelle que soit la valeur de l'exposant m pourvu qu'elle soit entière et positive, on aurait par le même procédé une surface réduite mième et par suite : 9. — Au lieu de prendre la surface réduite mième on pourrait encore prendre la surface réduite (m — 1)ième et poser : Il y aurait à chercher, cette fois, outre la surface réduite (m — 1)ième, la distance am-i de son centre de gravité à l'axe OY; ce que l'on
son centre de gravité à l'axe OY; ce que l'on peut faire. Si l'exposant m avait une valeur entière, mais négative, la méthode serait encore applicable, seulement la construction se ferait d'une manière un peu différente. Soit par exemple à trouver la sommation : on peut écrire, suivant la même marche que précédemment : Soit figure 2 comme plus haut, n° 2, AB la courbe traduisant géométriquement la loi qui lie y à x : il s'agit de réduire l'élément de surface ah, non plus dans le rapport déjà dans le rapport de —-, c'est-à-dire, dans le rapport de -.
le rapport de —-, c'est-à-dire, dans le rapport de -. Cela est bien facile. En effet, si, à une distance v de O, on trace une parallèle CB, à l'axe des y; que l'on mène Oa prolongé jusqu'en e; puis a' en e; on a, par suite de la similitude des triangles O e C, Oah; et de l'égalité e C = a'h: la surface da-i est ce que l'on peut appeler la surface réduite inverse de l'élément ah = da. On obtient ainsi la courbe A' B, etc. Tout ce qui vient d'être dit concernant les valeurs entières et
ce qui vient d'être dit concernant les valeurs entières et positives de l'exposant m s'applique donc également à des valeurs entières et négatives. Si, au lieu d'avoir la valeur 1, l'exposant de y avait une valeur entière quelconque positive ou négative; c'est-à-dire, si l'on avait réellement à faire une sommation de la forme : on pourrait toujours poser : On commencerait alors par réduire l'élément de surface ydx, c'est-à-dire, tout simplement l'ordonnée y, dans le rapport —, par la construction de la surface réduite mentionnée figures 1 et 2, suivant que m est positif ou négatif; puis on réduirait de
que m est positif ou négatif; puis on réduirait de nouveau cette ordonnée réduite même, dans le rapport ~. Par une construction très-analogue indiquée dans la figure 3. Soit amh l'ordonnée réduite même, d'une courbe AB, yn-1 qu'il s'agit de réduire encore dans le rapport '——. Si n est positif, on prendra a1 h = ah puis axC = v; on mènera amen = i, puis en i a2; an-h sera l'ordonnée a2,h, réduite dans le rapport -. En effet, par suite de la similitude des triangles axan = h, axen = C; et des égalités en = C =
axen = C; et des égalités en = C = amh, axh = ah, on peut écrire : Si n est négatif, on prendra encore aLh = ah, fftG = D; on mènera alam prolongé jusqu'en e'n-; puis e'n-i a'n-i, et l'on aura : Une deuxième construction semblable donnerait amh, réduite dans le rapport —;, et une (n — 1)ème construction la valeur cherchée. On peut donc dire, d'une manière générale, que toute sommation de la forme : dans laquelle les deux variables x et y sont affectées d'exposants entiers, positifs ou négatifs, et reliées par une loi quelconque, continue
positifs ou négatifs, et reliées par une loi quelconque, continue ou discontinue, peut, dès que cette loi est traduite par une courbe, s'effectuer par la méthode ici présentée, sous le nom de surfaces réduites directes ou inverses, suivant le signe des exposants — ce qui s'exprime par la notation : l'expression (h) découle de (a) en vertu de la relation 12]. Elle exige une construction de surface réduite de moins que (a); mais elle exige, en plus, la recherche d'un centre de gravité. IV. — PROCÉDÉS POUR LA CONSTRUCTION ET L'ÉVALUATION DES SURFACES RÉDUITES. 12. — La conclusion formulée au
L'ÉVALUATION DES SURFACES RÉDUITES. 12. — La conclusion formulée au n° 11 est assez importante pour qu'il semble intéressant de trouver un appareil qui trace automatiquement le contour de la surface réduite d'une figure quelconque. Voici comment on pourrait le construire. Soient OX, O Y (fig. L) les deux axes rectangulaires auxquels est rapportée la courbe a, m, n, dont il s'agit de réduire une ordonnée quelconque ah, dans le rapport -. Une équerre gacc' a ses deux points ce' reliés par l'intermédiaire d'un double parallélogramme cc'dd', cld'ff, à deux points fixes ff tombant sur une parallèle OY; de manière
points fixes ff tombant sur une parallèle OY; de manière que cette équerre ne peut se déplacer qu'en restant parallèle à elle-même et aux axes OX, OY. Les deux branches de l'équerre gacc' présentent chacune une rainure, dans laquelle peuvent glisser, à frottement doux, deux pivots a' et p qui glissent pareillement dans la règle à rainures op, articulée en O. Le pivot v glisse, de plus, dans une rainure pratiquée dans la règle ff. a porte une pointe sèche, a porte une pointe marquante. Les deux pointes peuvent d'ailleurs se substituer l'une à l'autre. Si la pointe a décrit
se substituer l'une à l'autre. Si la pointe a décrit la courbe amn, il est clair que a' décrit une autre courbe, dont les ordonnées sont à celles de la première dans le rapport si l'on a eu soin de choisir of = v. A cet effet, l'articulation O peut être fixée en un point quelconque de la règle of. Réciproquement, on reconnaît que si a' devient la pointe sèche et a la pointe marquante, les ordonnées de la courbe tracée par a sont à celles de la courbe suivie par a' dans le rapport : c'est-à-dire que, dans le
par a' dans le rapport : c'est-à-dire que, dans le premier cas, on a la construction de la surface réduite directe, applicable aux exposants positifs; et, dans le second, celle de la surface réduite inverse, applicable aux exposants négatifs (n° 11). Il est à remarquer que chaque point de la droite ce' décrit une courbe identique à celle décrite par le point a; par conséquent, la pointe a, sèche ou marquante, peut être placée en un point quelconque de la règle c'; ce qui permettra à a' de passer au-dessus des. Quand la courbe-limite de la surface réduite est tracée,
des. Quand la courbe-limite de la surface réduite est tracée, divers moyens se présentent, soit pour l'évaluation de cette surface, soit pour la recherche de son centre de gravité. L'un des premiers moyens et le plus rapide, quand le contour est sinueux, consiste à se servir de l'un des instruments connus sous le nom de planimètres. S. RICHAULT. (La fin à la prochaine livraison.) MACHINES-OUTILS PERCEUSE UNIVERSELLE. Planche 79. 1. — On connaît le rôle important joué par les machines à percer dans la construction des machines; aussi les divers types de perceuses employés sont-ils très-nombreux. Tous ces types peuvent
types de perceuses employés sont-ils très-nombreux. Tous ces types peuvent cependant se ranger en deux classes bien distinctes : 1° Les perceuses dans lesquelles l'outil reste fixe et la pièce se déplace; 2° Les perceuses dans lesquelles l'outil se déplace et la pièce reste fixe. Les premières sont les plus simples. L'outil n'y reçoit qu'un mouvement de rotation, et un mouvement de progression suivant son axe. Elles servent à travailler les pièces légères, dont le maniement est facile. À mesure que les pièces deviennent plus lourdes ou plus volumineuses, on abandonne les premières pour employer les secondes, et alors l'outil,
abandonne les premières pour employer les secondes, et alors l'outil, outre les deux mouvements indiqués plus haut, doit encore recevoir un mouvement de déplacement, soit en coordonnées rectangulaires, soit en coordonnées polaires, pour aller chercher le point où le trou doit être foré. Tant que les trous ont leurs axes parallèles, la solution s'obtient d'une manière encore assez simple, surtout si les points à atteindre ne sont pas trop éloignés les uns des autres, c'est-à-dire si le champ d'action de l'outil reste d'une faible étendue. Au contraire, dès que les axes des trous à forer doivent avoir des directions obliques,
axes des trous à forer doivent avoir des directions obliques, et quand les pièces à travailler sont de grande dimension, le problème se complique, la solution s'obtient de plus en plus difficilement. C'est une solution de ce dernier problème qui est représentée planche 79, figures 1, 2 et 3. La perceuse dont il s'agit a été construite par la Société J. Cockerill, à Seraing (Belgique), pour l'usage de ses propres ateliers. Pour fixer les idées sur les dimensions et le poids des pièces qui sont journellement travaillées par cette machine, citons seulement les colonnes des machines soufflantes — type Cockerill
citons seulement les colonnes des machines soufflantes — type Cockerill — qui ont 8m,500 de longueur, un diamètre de 0m,500 à la base, de 0m,350 au sommet, et un poids de 2,700 et 3,000 kilogrammes. Ces colonnes, obliques par rapport à la verticale, portent un certain nombre d'appendices, munis de trous forés dans des directions diverses. On comprend qu'il y a intérêt à travailler de pareilles pièces le plus près possible du point où elles doivent être montées ; c'est, en effet, dans l'atelier, dit du grand montage, que la perceuse en question est établie; de là, les conditions particulières
perceuse en question est établie; de là, les conditions particulières de son installation. Le dessin, planche 79, montre que l'axe de cette machine coïncide avec celui de l'une des colonnes qui portent la charpente de l'atelier, ou, à parler plus exactement, que cette colonne est remplacée par l'âme même de la perceuse. Le principe géométrique sur lequel on s'est fondé pour permettre à l'outil d'atteindre tous les points de l'espace, dans un rayon donné et suivant une direction voulue, est celui des coordonnées polaires. L'axe principal est vertical et fixe. Il est formé d'un cylindre en fonte, boulonné sur une
Il est formé d'un cylindre en fonte, boulonné sur une pierre de fondation, et réuni à la charpente par un pivot en acier fixe comme lui. Autour de ce cylindre s'en trouve un deuxième. C'est un fourreau vertical qui repose, à sa partie inférieure, sur des sphères en acier, et peut recevoir un mouvement de rotation autour du premier, au moyen de la vis tangente qui prend point d'appui sur un engrenage fixe. Le fourreau vertical porte une espèce de potence, qui peut se déplacer verticalement au moyen d'une vis, par rapport au fourreau qui lui sert d'appui et participe
par rapport au fourreau qui lui sert d'appui et participe forcément au mouvement de rotation de ce dernier, avec lequel elle est en connexion par une large nervure verticale en acier. La potence constitue donc un axe horizontal pouvant tourner autour d'un axe vertical, à une hauteur variable de 1m,500 à 3m,750 au-dessus du sol. Un cylindre creux, ou fourreau horizontal, est monté sur la potence absolument comme le fourreau est monté sur l'axe vertical; ce fourreau ne peut prendre qu'un mouvement de rotation autour de son axe, mouvement qui lui est transmis, à la main, au moyen de la
lui est transmis, à la main, au moyen de la vis tangente montée à demeure sur la potence, et engrenant avec une roue dentée portée par le fourreau. Ce même fourreau horizontal sert d'appui aux supports, fixés sur lui, et à un anneau, qui peut prendre un mouvement de translation horizontal, au moyen de la vis, maintenue par les supports de l'écrou, du pignon, et du volant portés par l'anneau. L'anneau sert d'appui à un support, qui porte lui-même l'arbre et sa mèche destinée à percer les trous. Ce support peut recevoir, autour d'un axe, un mouvement de rotation à
peut recevoir, autour d'un axe, un mouvement de rotation à la main, au moyen de la vis tangente et de son volant, monté sur l'anneau, engrenant avec une roue dentée portée par le support. L'arbre, outre un mouvement de rotation qui lui est communiqué comme il sera indiqué plus loin, peut prendre un mouvement de progression, suivant son axe, au moyen de la vis et de l'écrou-engrenage. Par ce qui vient d'être dit, on reconnaît donc que les mouvements que peut prendre l'outil, outre celui de rotation, sont : 1° Un mouvement de progression suivant son axe ; 2° Un