jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
X (100/0,1) 2 = 240.000 tirages. Il faut se garder de dire que dans une longue série d'épreuves le nombre expérimental des événements favorables se rapproche du nombre théorique : au contraire, il s'en éloigne: l'écart-type absolu (cyn) croît comme la racine carrée de n ; c'est l'écart-type relatif, l'écart-type de fréquence qui diminue et tend vers 0. Dans les exemples ci-dessus nous avons : 1.000 tirages: écart-type relatif = 1,55 absolu 1,55 x 1.000 = 15,5 100.000 — — 0,155% — 0,155 x 100.000= 155 240.000 — — 0,1 — 0,1 X 240.000 = 240 Importance de la loi
— 0,1 X 240.000 = 240 Importance de la loi des grands nombres. Le résultat auquel nous arrivons peut paraître décevant : la loi des grands nombres ne fait qu'exprimer, en langage précis il est vrai, une proposition dont tout le monde a la notion plus ou moins nette. Cependant nous verrons que cette loi, surtout mise sous la forme du théorème de BERNOULLI, présente une extrême importance. Elle exprime, en somme, ce phénomène fondamental que, dans une suite de très nombreux événements dus au hasard, absolument indépendants les uns des autres, il y aura très probablement compensation entre les
des autres, il y aura très probablement compensation entre les effets divergents du hasard à chaque coup. Cette compensation sera d'autant meilleure que le nombre d'événements sera plus grand. Il se dégagera de la série, des régularités, des moyennes constantes, bien que chaque événement pris isolément ne puisse être prévu. La loi des grands nombres constitue un pont entre la théorie des probabilités et l'expérience: nous avons construit notre théorie en partant de la notion abstraite de « probabilité mathématique » ; la loi des grands nombres nous donne l'assurance que cette théorie n'est pas uniquement spéculative mais correspond à
que cette théorie n'est pas uniquement spéculative mais correspond à la réalité des choses puisque, pour un nombre assez grand d'épreuves, nos définitions théoriques correspondent aux résultats de l'expérience : ainsi, la fréquence de sortie des boules blanches (résultat expérimental) sera égale, à très peu près, à la probabilité mathématique de sortie (définition abstraite). On pourra ainsi déterminer expérimentalement la probabilité théorique inconnue d'un événement, en faisant un nombre d'épreuves suffisamment grand. De plus — résultat capital — la loi des grands nombres nous donnera, par la valeur de l'écart-type, une idée de la précision du résultat obtenu. Ce caractère
une idée de la précision du résultat obtenu. Ce caractère de pont entre la théorie et l'expérience est mis en évidence par le double point de vue duquel on peut envisager la loi des grands nombres : on peut d'abord la considérer comme un théorème de la théorie des probabilités: dans ce cas, c'est une proposition abstraite qui exprime des relations entre des probabilités d'événements définies elles-mêmes de façon abstraite. On peut également la considérer comme une loi purement expérimentale, comme la « loi de la stabilité des fréquences ». On la présente alors sous la forme suivante : «
On la présente alors sous la forme suivante : « Si on fait un grand nombre de tirages dans une urne contenant 40 de boules blanches, on constate que la proportion des boules blanches tirées se rapproche de plus en plus de 40 ». C'est d'ailleurs un peu de cette dernière façon qu'elle a été présentée ici, en raison de la complication de l'appareil mathématique qui eût été nécessaire à un exposé théorique complet. Nous allons maintenant aborder l'étude des applications de la loi des grands nombres. En un sens, on peut dire que toute application de la statistique a
on peut dire que toute application de la statistique a pour base les résultats du calcul des probabilités, résultats que l'on ne peut appliquer à la réalité que grâce à la loi des grands nombres. Nous nous limiterons à quelques exemples typiques choisis dans les domaines les plus divers. II. APPLICATIONS DE LA LOI DES GRANDS NOMBRES A. — Applications d'ordre général à la statistique. Notion de loi statistique La science statistique nous fournit un ensemble de méthodes pour traiter les séries de nombres, en général grandes, que nous fournit l'observation. Elle se propose trois buts principaux: 1°) classer et
l'observation. Elle se propose trois buts principaux: 1°) classer et présenter ses observations; 2°) les réduire à quelques caractéristiques simples; 3°) mettre en évidence, décrire et expliquer les régularités statistiques. Dans la première partie, il s'agira d'une mise en ordre matérielle où le calcul des probabilités n'interviendra pas. Dans la deuxième, on aura recours aux notions de fréquence, écart, écart-type, etc. et aux méthodes de calcul dont nous nous sommes servis. Si les phénomènes observés semblent s'ordonner suivant une loi de GAUSS, il faudra préciser cette loi comme nous l'avons fait pour un cas théorique. Ce sera, par exemple, le
fait pour un cas théorique. Ce sera, par exemple, le cas de la mesure d'une longueur : on obtiendra en général une série de résultats qui s'ordonneront plus ou moins bien autour d'une moyenne suivant une loi de GAUSS ; il faudra déterminer cette moyenne et la précision de la mesure qui sera donnée par l'écart quadratique moyen. Dans la troisième partie, dans tous les cas où les événements semblent pouvoir être assimilés à des tirages dans une urne, le calcul des probabilités sera indispensable au statisticien qui voudra donner un sens aux régularités qui apparaîtront dans la suite de
un sens aux régularités qui apparaîtront dans la suite de ses observations. Il utilisera alors la notion de « loi statistique ». Notion de loi statistique La loi des grands nombres nous apprend que dans un ensemble d'événements dus au hasard, peuvent apparaître des régularités, des rapports constants entre certaines grandeurs. Si ces constantes ont pu être calculées théoriquement ou déterminées expérimentalement par une première série d'épreuves, nous aurons le droit d'extrapoler et d'appliquer au futur les résultats du passé. En statistique, en économie en particulier, nous étudierons des suites d'événements dont nous ignorons a priori s'ils sont dus ou
d'événements dont nous ignorons a priori s'ils sont dus ou non au hasard, mais qui ont ce caractère commun de ne pouvoir être prévus, soit qu'ils soient vraiment dus au hasard, soit que nous ignorions leurs multiples causes dont les effets très complexes s'enchevrent inextricablement. En tout état de cause, quand nous constaterons des régularités dans une grande série d'épreuves, nous en induirons une « loi statistique» basée sur un déterminisme « global » qui sera soit la résultante d'une série de déterminismes partiels inconnus, soit la résultante statistique de phénomènes individuellement dus au hasard. Un premier exemple de loi
phénomènes individuellement dus au hasard. Un premier exemple de loi statistique est donné par la loi des grands nombres elle-même : si nous faisons un grand nombre de tirages dans une urne, nous savons que la fréquence de sortie des boules blanches sera voisine de la probabilité théorique. Il y a une relation statistique entre deux grandeurs: la probabilité théorique et la fréquence de sortie, l'une étant donnée, on en déduira l'autre. Le degré de précision que l'on peut obtenir avec une loi statistique est excellent : nous pourrons être humainement certains que notre relation statistique se vérifiera à très
humainement certains que notre relation statistique se vérifiera à très peu près. Cependant, nous ne pourrons jamais avoir la certitude absolue que l'on donne les relations fonctionnelles des sciences exactes. Nous ne pourrons jamais parler que de « probabilité aussi voisine de 1 que l'on veut », et nous ne serons jamais à l'abri de l'événement extraordinaire, celui qui n'a qu'une chance sur 1.000.000 de se produire. Cependant, dans beaucoup de cas, la certitude obtenue sera aussi bonne — humainement — que la certitude mathématique. M. Emile BOREL donne un exemple amusant d'un fait « humainement certain » bien que
exemple amusant d'un fait « humainement certain » bien que soumis aux lois du hasard : supposons qu'une tribu de singes, tapant au hasard sur les touches de 1 million de machines à écrire, essaie de reconstituer le texte de tous les volumes de la Bibliothèque nationale !.. L'échec d'une pareille tentative est bien « humainement certain ». Dans la plupart des cas, nos lois statistiques seront naturellement infiniment moins absolues. Remarquons enfin qu'elles ne nous donneront jamais que des valeurs probables de moyennes prises sur un grand nombre d'événements; et ne nous permettront pas de prévoir un événement précis
et ne nous permettront pas de prévoir un événement précis de la série, comme des lois fonctionnelles nous le permettraient : l'arrivée de 10 piles ne nous permet pas de prévoir l'arrivée de face au 11e coup, nous savons seulement que sur un grand nombre de coups, il y aura probablement autant de piles que de faces. Nous dirons : « Une loi statistique est une relation de probabilité entre des moyennes». Cette notion de loi statistique est très importante: appliquée aux sciences sociales et, en particulier, à l'économique, nous verrons qu'elle se concilie parfaitement avec la théorie du libre
verrons qu'elle se concilie parfaitement avec la théorie du libre arbitre de l'homme et ne nous oblige pas à admettre le déterminisme des actions humaines si nous voulons introduire la notion de loi dans ces disciplines. Signalons enfin que les notions de relations fonctionnelles et de relations statistiques sont quelquefois très près l'une de l'autre. Une relation statistique peut mettre sur la voie d'une théorie qui, confirmée par l'expérience, permettra d'énoncer des lois fonctionnelles. Inversement, on a vu récemment la notion de loi statistique étendre considérablement son champ d'application aux dépens de la notion de loi fonctionnelle : la plupart
dépens de la notion de loi fonctionnelle : la plupart des lois de la physique atomique sont maintenant considérées comme des lois statistiques dont la probabilité, en raison du nombre très élevé des atomes, est pratiquement, à notre échelle, égale à 1, mais qui, à l'échelle atomique, reprennent intégralement leur caractère incertain. B. — Applications à quelques problèmes particuliers 1°) Méthode générale Dans une série de nombreuses observations, nous pourrons, en général, mettre en évidence des grandeurs ou des rapports de grandeurs qui se groupent autour d'une moyenne. Nous étudierons tout à l'heure le rapport du nombre de naissances masculines
tout à l'heure le rapport du nombre de naissances masculines au nombre total des naissances et nous verrons que ce rapport est remarquablement constant. La valeur de tels rapports a reçu le nom de « probabilité statistique» par analogie avec la probabilité mathématique définie plus haut : ces deux notions diffèrent l'une de l'autre comme les objets réels diffèrent de leur représentation en géométrie pure. La méthode générale consistera à rechercher s'il n'est pas possible de reconstituer le tableau de nos observations en assimilant les événements étudiés à des tirages de boules de diverses couleurs dans des urnes. C'est le
de boules de diverses couleurs dans des urnes. C'est le problème du « schéma des urnes», évidemment toujours possible si nous prenons un nombre d'urnes suffisamment grand. Nous chercherons à réduire ce nombre au minimum, et si nous arrivons à constituer notre schéma avec une seule urne, la série d'observations sera appelée « série statistique normale » ; la probabilité statistique aura alors les mêmes propriétés que la probabilité mathématique. Nous verrons dans les exemples qui vont suivre que le seul fait pour une série d'être normale ou non, c'est-à-dire d'être ou non soumise à une loi de GAUSS, pourra
d'être ou non soumise à une loi de GAUSS, pourra entraîner des conséquences remarquables et suggérer des théories intéressantes. 2°) Application aux lois de l'hérédité — Théories de Mendel J. MENDEL a étudié vers le milieu du XIXe siècle les descendances des familles d'hybrides. Plus tard, ces études furent reprises et complétées par T. MORGAN. Nous étudierons seulement ici les résultats les plus simples, excellents exemples de l'aide que la loi des grands nombres peut apporter à une théorie biologique. On a fait croiser deux types de mouches de l'espèce dite « drosophile » : un type à ailes longues
dite « drosophile » : un type à ailes longues (A) et un type à ailes réduites à l'état de moignons (B). La première génération d'hybrides (F1) ne donne que des types à ailes longues. La deuxième génération obtenue par croisement de ces hybrides F1 entre eux donne environ 3/4 de A et 1/4 de B. Le problème est le suivant: peut-on assimiler cette deuxième génération F2 aux résultats de tirages dans une urne contenant 75 de boules « A» et 25 de boules « B » ? Sur une génération de 7.324 produits, on a trouvé 5.474 A et
génération de 7.324 produits, on a trouvé 5.474 A et 1.850 B; la proportion de A est de : 0,7474, celle de B : 0,2526. Peut-on assimiler ces rapports à 3/4 et 1/4? Dans un tirage dans une urne, une série de 7.324 épreuves aurait un écart-type relatif de 0,5 environ. La différence entre la proportion de A et 0,75 est 0,0026, soit 0,26 %, la moitié environ de l'écart-type relatif. Notre série est assimilable à une série de tirages dans une seule urne de composition 3/4 et 1/4. C'est une série normale. Nous avons donc réalisé notre schéma des
une série normale. Nous avons donc réalisé notre schéma des urnes avec une seule urne, et, ce qui est capital, avec une urne de composition très simple. Ces résultats ont suggéré à MENDEL la théorie suivante qu'il a appelée « loi de disjonction » : Un hybride est formé de cellules somatiques où chacun des parents a apporté une part égale. Un des caractères est dominant et apparaît seul quand il se retrouve lié à l'autre dans une cellule somatique. Au moment où l'hybride forme ses cellules sexuelles, les apports des parents se séparent. Soit A le caractère dominant ;
des parents se séparent. Soit A le caractère dominant ; une mouche A est croisée avec une mouche B. Les cellules sexuelles A et B donneront une génération F1, à cellules somatiques AB où seul le caractère A apparaîtra. Au moment de la formation des cellules sexuelles, les hybrides F1 de cellules somatiques AB donneront des cellules sexuelles A et B séparées. Au moment de la formation des cellules somatiques de la deuxième génération F2, nous aurons en présence les cellules sexuelles A et B de l'un des parents et les cellules A et B de l'autre. Elles se combineront
les cellules A et B de l'autre. Elles se combineront suivant les lois du hasard, d'où 4 combinaisons possibles : AA, AB, BA, BB. Comme toutes les fois que A se trouve dans une cellule somatique, son caractère apparaît seul, nous devrons avoir 3/4 des individus du type A et 1/4 du type B, ce qui correspond bien à nos observations initiales. Dans certains cas, il n'y a pas de caractère dominant : si nous croisons des belles de nuit à fleurs rouges avec des belles de nuit à fleurs blanches, les produits de 2e génération seront rouges pour 1/4
blanches, les produits de 2e génération seront rouges pour 1/4 (AA), blancs pour 1/4 (BB) et roses pour 1/2 (AB ou BA). Nous modifierons un peu notre schéma des urnes en remplaçant l'urne 75/25 par une urne 50/50 où nous ferons 2 tirages simultanés : la probabilité d'avoir 2B ou 2A sera 25 %, celle d'avoir au moins 1A = 75 %, celle d'avoir 1A et 1B = 50%. La théorie que vient de suggérer le schéma des urnes a été confirmée par d'autres expériences : Si on croise des hybrides AB avec des produits purs B, les combinaisons suivantes
hybrides AB avec des produits purs B, les combinaisons suivantes seront possibles : AB, AB, BB, BB On obtient effectivement 50 de A et 50 de B. Nous avons ainsi réalisé le schéma classique suivant des sciences d'observation : Observation — Rapport statistique constant — Schéma des urnes très simple — Théorie — Confirmation de la théorie par d'autres observations. 3°) Application à l'étude du taux de masculinité On peut rapprocher de l'étude précédente celle des taux des naissances masculines dans diverses conditions. Ces taux apparaissent remarquablement stables pour des régions, des races, des époques très diverses. Ils sont voisins
régions, des races, des époques très diverses. Ils sont voisins de 0,520. On peut assimiler leur détermination à des séries de tirages dans une urne contenant 520 boules marquées « garçon » et 480 marquées « fille ». Nous avons ainsi parcouru une partie du chemin qui va des observations à la théorie : une série d'observations a fait apparaître un rapport statistique constant, et nous avons pu bâtir un schéma des urnes. Mais nous nous arrêtons là !.. Notre schéma ne comprend qu'une seule urne mais elle n'a pas une composition simple qui puisse suggérer une théorie. Il eût
une composition simple qui puisse suggérer une théorie. Il eût été très séduisant de pouvoir assimiler les naissances à des tirages dans une urne de composition 1/2 — 1/2, malheureusement cela ne correspond pas à la réalité. L'écart-type relatif de tels tirages est très faible et il est absolument improbable d'obtenir des moyennes groupées autour de 52 avec le grand nombre d'observations dont nous disposons. Jusqu'ici, aucune théorie n'a expliqué d'une façon satisfaisante cette légère supériorité du pourcentage des garçons sur le pourcentage des filles. Il n'empêche qu'il y a là une régularité statistique très bien établie, dont nous continuerons
là une régularité statistique très bien établie, dont nous continuerons à nous servir pour prévoir le nombre de garçons à naître dans le proche avenir. Mais nous ne ferons plus alors de la prévision rationnelle, basée sur une théorie confirmée, mais seulement de la prévision brute, basée sur une simple extrapolation d'une constance statistique non expliquée théoriquement. Les résultats de la prévision n'en seront d'ailleurs pas forcément moins bons pour cela. Nous pourrons même parler de « pourcentage théorique », étant entendu qu'il s'agit là d'une simple abstraction, centre autour duquel se rassemblent les moyennes effectives, seules réalités statistiques. 4°)
duquel se rassemblent les moyennes effectives, seules réalités statistiques. 4°) Application à la biométrie La biométrie étudie les séries de mesures d'un même caractère faites sur les sujets d'une certaine famille. Par exemple, on mesurera la taille de tous les conscrits d'une région une certaine année, ou le poids de tous les grains de blé d'un certain lot. Prenons l'exemple de la mesure de la taille d'une certaine population d'hommes adultes. Nous allons étudier la répartition statistique de cette population en fonction de la taille de ses membres. Représentons graphiquement le résultat en portant en abscisse les tailles et en
le résultat en portant en abscisse les tailles et en ordonnée le nombre d'individus ayant chacune des tailles successives. Il est évident que nous obtiendrons une courbe en cloche : très peu d'individus ont une taille inférieure à 1 m 40 et très peu une taille supérieure à 1 m 90. La forme de la courbe rappelle celle de la courbe de GAUSS. On constate, en effet, que si on fait un assez grand nombre d'expériences, le graphique obtenu est une courbe de GAUSS. Nous dirons dans ce cas que les tailles de la population étudiée constituent une « série
les tailles de la population étudiée constituent une « série statistique normale » et que la population est homogène par rapport à la taille de ses membres (fig. 4-a). « Au point de vue biométrique, l'homogénéité d'une population est caractérisée par l'obtention de séries normales pour les divers « caractères fluctuants » observés sur les individus de cette population » (DARMOIS). Il est des cas où notre répartition statistique ne sera visiblement pas conforme à une loi de GAUSS. Mesurons par exemple les tailles de tous les hommes adultes de Hanoi. Nous obtiendrons vraisemblablement une courbe présentant 2 sommets (fig.
Hanoi. Nous obtiendrons vraisemblablement une courbe présentant 2 sommets (fig. 4). L'explication vient tout de suite à l'esprit: le premier sommet correspond à la population annamite, et le deuxième à la population française, de taille plus élevée (abcisse plus grande) mais moins nombreuse (ordonnée plus petite). La courbe est la résultante de deux courbes normales (fig. 4-b). La population de la ville de Hanoi n'est pas homogène par rapport à la taille de ses habitants. D'autres cas analogues se sont présentés, où l'explication était moins immédiate : BERTILLON a étudié les tailles des conscrits du département du Doubs de 1851
les tailles des conscrits du département du Doubs de 1851 à 1860. Au lieu de trouver une série statistique normale comme il pouvait s'y attendre, il trouva une répartition à deux sommets, le premier correspondant à la taille de 5 pieds 1/2 pouce, le deuxième à la taille de 5 pieds 3 pouces. Il émit alors l'hypothèse que ce phénomène était dû au mélange dans la population franc-comtoise des deux races, celte et burgonde, qui ont occupé le pays dans les premiers siècles de l'ère chrétienne. Dans de très nombreux cas, qui ne se limitent pas à la biométrie, les
cas, qui ne se limitent pas à la biométrie, les courbes traduisant les séries d'observations sont extrêmement voisines de la courbe de GAUSS, si bien que des discordances de détail sont considérées comme révélatrices de certains phénomènes ; signalons un cas bien Fig. connu des statisticiens, l'attirance des cotes rondes : en face de l'abscisse 10 par exemple, la courbe présentera une espèce de renflement dû au fait qu'un certain nombre d'unités qui correspondent en réalité à la mesure 9 ou 11, ont été affectées à la cote 10 (fig. 5). Notons enfin que ces études sont loin d'avoir un
5). Notons enfin que ces études sont loin d'avoir un caractère strictement théorique : la théorie de l'homogénéité mise en évidence par l'étude des séries biométriques, appliquée à la sélection des produits agricoles a donné de remarquables résultats. 5°) Application aux assurances. Notions sommaires Les compagnies d'assurances sont des sociétés qui ont pour but de remédier aux effets d'événements désastreux en répartissant les charges entre un ensemble de personnes. Par exemple, 1.000 assurés paient chacun une « prime » de 10 $ par an, et en échange chacun a droit, s'il est atteint par l'événement prévu au contrat, au remboursement
s'il est atteint par l'événement prévu au contrat, au remboursement du prix des dégâts, 500 par exemple. Avec une prime de 10 $, la compagnie peut faire face dans l'année à 20 sinistres de 500 $. Les primes sont calculées de façon à ce que le total des recettes annuelles suffise pour couvrir le montant des sinistres probables de l'année. Si les statistiques montrent qu'il y a en moyenne 30 sinistres d'une valeur moyenne de 500 par an pour 1.000 personnes susceptibles d'être frappées, la prime devra se monter à: Chaque assuré devra payer sa prime régulièrement tous les ans,
Chaque assuré devra payer sa prime régulièrement tous les ans, même s'il ne lui arrive aucun accident : il paie ainsi la tranquillité d'esprit que lui procure l'assurance d'être remboursé de ses pertes en cas de sinistre. Nous sommes dans un cas tout à fait assimilable à un jeu de hasard où la mise serait de 15# et où chaque joueur aurait 30 chances sur 1.000 de gagner 500 $. La valeur de la mise est égale à la valeur du gain multipliée par sa probabilité : 15 = 500 X 30/1.000. On dit d'une façon générale dans ce cas,
X 30/1.000. On dit d'une façon générale dans ce cas, que le jeu est équitable. Mais les compagnies d'assurances ont des frais généraux à couvrir ; de plus, ce ne sont pas en général des sociétés philanthropiques, mais bien des sociétés commerciales qui veulent faire des bénéfices: si 15 $ est la prime qui permettrait de couvrir exactement le total des sinistres (jeu équitable) les compagnies feront payer 15 + c = 17 par exemple. c = 2 $ est le chargement; 15 est la prime pure, 17 la prime chargée: le jeu n'est plus équitable. Nous laisserons de côté