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sommet, subsiste sans modification pour le cas n = 5, et d'ailleurs pour n impair quelconque. CHAPITRE V. LES SURFACES DE POINCARÉ D'ORDRE 6. Afin de voir de quelle façon s'appliquent nos formules lorsque n est pair, nous allons examiner le cas n = 6 et chercher à calculer les éléments du Jacobien critique. Nous nous contenterons d'ailleurs d'une précision beaucoup moindre que dans le cas précédent. Comme au Chapitre IV, nous emploierons les notations de M. Liapounov. La première partie du calcul, c'est-à-dire la détermination des quantités q et A, ne présente rien de nouveau elle se fait en
A, ne présente rien de nouveau elle se fait en effet exactement de la même manière, que n soit pair ou impair. Passons à la deuxième partie, le calcul de J. Il faut commencer par former les polynomes E et B. Posons E(p) = (p + 1)(p + 2)(p + 3) = p^3 + sp^2 + hp + r. Cherchons à en exprimer les coefficients. Les équations de condition, déduites de l'équation de Lamé, s'écriront Revenant aux équations(I), et multipliant la première par h, (h, k)(k, - g), les deux autres par les quantités analogues et ajoutant, nous obtenons (2)
autres par les quantités analogues et ajoutant, nous obtenons (2) 18bt = 16s2 + id(q - 1)s + gq. Enfin, multipliant la première des équations par h, – g, la deuxième par h2 – q, la troisième par h3 – g et ajoutant, nous arrivons à l'équation (3) 2hirsch – 2ghrs – 2o rrs – 18h– zqrsr – q m s + w2 q + r o q + 2 qsr – 3gr = 0. En éliminant r et gr entre ces trois dernières équations, on obtiendrait une équation du sixième degré à laquelle doit satisfaire s; mais ce calcul
sixième degré à laquelle doit satisfaire s; mais ce calcul serait très complexe. Nous procéderons de la façon suivante, cherchons à développer s, xâs et r suivant les puissances croissantes de q. Comme q est certainement très petit, nous négligerons les termes en ya, et nous écrirons S = s1 + s2q, tn = TS1 T32 q, r= r1 + r2q. Remarquons alors que, si l'on fait q = 0, le polynôme de Lamé E se confond avec le polynôme de Legendre d'ordre 6. Avec les notations ordinaires, ce polynôme s'écrit Cette formule donne le moyen de calculer s connaissant
s'écrit Cette formule donne le moyen de calculer s connaissant q. On en déduira ensuite o par l'équation (2), où l'on continuera à négliger q2; puis on aura r par (1), qui s'écrira plus simplement 2t3 21 · Une fois le polynôme E formé, il ne reste plus qu'à former B. On y arrivera soit par les opérations du plus grand commun diviseur entre E et E', soit en écrivant l'identité fondamentale sous la forme (3p + a2) (p3 + b3 + r) + (pop2 + ?i ? + ?2~) (3p2 + 2sb Hcj) = i et égalant les coefficients
(3p2 + 2sb Hcj) = i et égalant les coefficients des mêmes puissances de p dans les deux membres. En éliminant les a, on obtiendra les équations Forme des surfaces d'ordre 6. Nous avons effectué le calcul ci-dessus; sans entrer dans les détails de l'opération, indiquons seulement les conclusions que nous en avons tirées p, certainement compris entre 0,01g et 0,0201) est extrêmement voisin de 0,020. C'est cette valeur que nous adopterons. Nous donnons, dessinées à la même échelle que dans les Chapitres précédents, les sections par le plan des xz des deux surfaces de Poincaré d'ordre 6, positive et
xz des deux surfaces de Poincaré d'ordre 6, positive et négative. CHAPITRE VI. LES SURFACES DE POINCARÉ AU POINT DE VUE GÉOMÉTRIQUE. Une théorie complète des surfaces de Poincaré considérées au point de vue géométrique serait très ardue, en raison de la complication des équations de ces surfaces. Comme nous l'avons vu, en effet, les coordonnées de la surface d'ordre 3, qui est la plus simple, ont, écrites en fonction des coordonnées elliptiques sur l'ellipsoïde, la forme suivante Il ne faut pas oublier que, dans ces formules, a, b et C ne sont pas arbitraires; ces trois quantités sont liées
C ne sont pas arbitraires; ces trois quantités sont liées par les équations de Poincaré. Quant à a, il ne dépend que de a et b c'est la plus petite racine de l'équation 5a2– 4a(a2+62)+3a262 = 0. E est une constante arbitraire; nous pouvons, en nous affranchissant un peu du strict point de vue mécanique, supposer qu'elle est quelconque et non plus seulement petite; nous définirons ainsi une infinité de piroïdes formant une famille. Ombilics des surfaces de Poincaré. La représentation de la figure piriforme au moyen des fonctions de Weierstrass est celle qui permet le mieux de rechercher les
Weierstrass est celle qui permet le mieux de rechercher les propriétés géométriques générales de cette surface. Malheureusement, même sous cette forme, l'expression des coordonnées est encore bien peu simple; et il ne faut pas espérer obtenir beaucoup de résultats intéressants. Les fonctions les plus élémentaires des coordonnées, par exemple les coefficients du plan tangent au point u, v, sont d'une grande complication. On peut néanmoins les former aisément pour les points où C = 0, c'est-à-dire le long des lignes d'intersection avec l'ellipsoïde, ce qui introduit une grande simplification dans les calculs. On constate alors que, ni le long de
les calculs. On constate alors que, ni le long de la petite ellipse principale, ni le long de la ligne v = ± y/a, le piroïde et l'ellipsoïde ne se coupent sous un angle constant. Ces lignes, qui sont des lignes de courbure pour l'ellipsoïde, n'en sont donc pas pour le piroïde. L'examen de l'expression des coordonnées nous conduit néanmoins à un résultat intéressant. Si nous formons les dérivées partielles, par rapport à u et v, de X, Y et Z, en nous souvenant que nous constaterons que chacune de ces six dérivées partielles contient en facteur soit a,0 u,
ces six dérivées partielles contient en facteur soit a,0 u, soit a1^ v. Elles s'annulent donc toutes ensemble pour rf^a = tf2(lv = 0, et les points ainsi définis sont dès lors des ombilics pour la surface piriforme. Or ces points, qui sont définis également, sur l'ellipsoïde, par f/.2 = v2 – b2, sont les ombilics de l'ellipsoïde. D'où le théorème Les points correspondant aux ombilics de l'ellipsoïde sont des ombilics pour le piroïde. Nous ferons remarquer que ce théorème est vrai pour toute surface de Poincaré, quel que soit son ordre. Une surface de Poincaré quelconque est en effet
son ordre. Une surface de Poincaré quelconque est en effet représentée au moyen des fonctions a1 par les formules Les six dérivées partielles contiennent encore en facteur soit c* u, soit -jî0 v, et les points correspondant aux ombilics de l'ellipsoïde sont donc encore des ombilics pour toutes ces surfaces. Si donc l'on considère la famille de piroïdes obtenue en donnant à E des valeurs quelconques, le lieu des ombilics de ces surfaces se compose des normales au Jacobien critique en ses ombilics. Ces droites ne sont pas normales à tous les piroïdes, ce qui prouve (en vertu d'un théorème
tous les piroïdes, ce qui prouve (en vertu d'un théorème de Maurice Levy) que ces surfaces ne font pas partie d'un système triple orthogonal. MÉMOIRES SUR LES ÉLÉMENTS ET LES NOTIONS GÉOMÉTRIQUES, PAR M. Henri MALET. La Géométrie, ou Science de l'espace, applique ses raisonnements à des objets appelés figures que l'esprit humain construit par abstraction en empruntant aux corps matériels certaines propriétés (qui ressortissent à la notion d' « étendue ». Pour les soumettre à leur étude, les géomètres considèrent les figures comme constituées par la juxtaposition ou la succession d'éléments se ramenant à un petit nombre de types
succession d'éléments se ramenant à un petit nombre de types abstraits fondamentaux. Elles reçoivent alors une définition qui exprime certaines relations entre leurs éléments constituants. La Géométrie en fait connaître de nouvelles, ainsi que les rapports de figures différentes entre elles. En sens inverse, une relation étant démontrée entre des éléments ou des figures définies, le géomètre en poursuit la réalisation pratique par l'emploi d'instruments qui matérialisent les éléments fondamentaux. Cette réalisation ou construction se présente comme le but dernier de toute spéculation géométrique. Nous allons, dans ce qui va suivre, étudier la genèse des notions fondamentales de la Géométrie;
suivre, étudier la genèse des notions fondamentales de la Géométrie; nous prions le lecteur, pour éviter toute confusion, de vouloir bien oublier un moment tout son bagage analytique et de n'établir provisoirement à nos raisonnements aucune connexion avec les notions habituelles de longueur et de mesure. Éléments fondamentaux. – Le premier des êtres abstraits ou éléments fondamentaux de la Géométrie est le point abstraction d'un objet lumineux éloigné, de l'impression produite sur un objet matériel quelconque par une pointe (d'où son nom), de la notion de carrefour, etc. Le point n'a "pas d'étendue, Euclide dit qu'il est « ce qui
n'a "pas d'étendue, Euclide dit qu'il est « ce qui n'a pas de parties ». Un autre élément est la droite abstraction d'un fil tendu, d'un rayon lumineux isolé, etc. Une droite, et plus généralement une ligne (abstraction d'un fil ou trait de forme quelconque, de la séparation de deux plages différemment colorées) possède une étendue avec une seule dimension elle est « une longueur sans largeur ». Enfin, un autre élément est le plan abstraction de la surface d'un lac, etc. Le plan et plus généralement toute surface a « longueur et largeur sans épaisseur » (1). Le plan
« longueur et largeur sans épaisseur » (1). Le plan se matérialise de mille manières. L'étude des figures qui y sont contenues constitue la Géométrie plane. Dans le plan, un point se construit directement avec un style, une droite avec une règle et un outil à tracer. Ensembles. – Ceci posé, toute figure géométrique sera constituée par des points, droites et plans, ceux-ci pouvant être, soit en quantité « numérable » ou, comme l'on dit, « finie », soit en quantité supérieure à tout nombre donné à l'avance constituant des ensembles continus. Nous laisserons de côté toutes les questions relatives
ensembles continus. Nous laisserons de côté toutes les questions relatives à la définition ou à la précision du mot continu. Mais, point, droite et plan, quoique concepts primordiaux, ne sont pas entre eux irréductibles, et l'on peut considérer la droite ou le plan comme lieu de points, le plan comme lieu de droites, le point comme enveloppe de plans, etc. De là, la possibilité de considérer l'espace, ou une figure de l'espace comme composée exclusivement par des éléments de même nature. La Géométrie se présente alors comme l'étude d'ensembles continus homogènes et acquiert sous cette forme une portée autrement générale
homogènes et acquiert sous cette forme une portée autrement générale que les monographies de figures de la géométrie élémentaire. On lui donne plus spécialement sous cet aspect les noms de Géométrie supérieure ou Géométrie de position. Le dernier est fort peu convenable parce que restrictif comme nous le verrons plus loin. Le plus exact, nous semble-t-il, serait celui de Géométrie continue. Étant donné un ensemble quelconque d'éléments, pour que nous puissions établir entre ceux-ci une relation quelle qu'elle soit, il faut que nous puissions les relier et les différencier tour à tour par l'emploi d' « ensembles » moins étendus,
à tour par l'emploi d' « ensembles » moins étendus, généralement contenus dans le premier, susceptibles de les englober en même temps ou séparément, et dont nous puissions atteindre directement la réalisation. Ce rôle d'ensemble auxiliaire ou colligeant (2)peut être dévolu à la droite ou au plan si l'élément est le point, au point si l'élément est la droite ou le plan, etc., ou en général à tout ensemble dont il sera convenu que la réalisation rentre parmi les moyens du géomètre, c'est-à-dire compte parmi les « constructions géométriques ». Le système le plus habituel de conception de l'espace est
Le système le plus habituel de conception de l'espace est celui qui l'envisage comme ensemble continu de points, c'est le « système ponctuel ». Système ponctuel. – Dans ce système, toute figure est un ensemble de points. La droite est la plus simple des figures; il est possible de définir sur elle (par exemple avec un style) plus de points que tout nombre donné à l'avance. On dit qu'elle en renferme une infinité continue qui, par définition, sera qualifiée de première grandeur. Lorsqu'on veut considérer l' « ensemble des points de la droite en le distinguant de cette figure directement
de la droite en le distinguant de cette figure directement conçue, on lui donne le nom de division droite. La droite comme figure possède alors une définition elle est un ensemble continu de points tel que deux points quelconques sont toujours sur une droite et sur une seule. On dit que ces deux points « déterminent » la droite et qu'elle les « joint ». Le plan est aussi un ensemble continu de points constituant la division plane. Il est une figure telle que toute droite y ayant deux de ses points y est contenue tout entière. À cette définition
ses points y est contenue tout entière. À cette définition nous adjoindrons (3) comme axiome que deux droites quelconques d'un plan ont toujours un point commun (en réservant pour le moment le cas des parallèles) et d'ailleurs un seul sous peine de coïncider. Cela dit, soit O un point et D une droite d'un plan P. Joignons O successivement à tous les points de la droite D; on voit sans difficulté que tout point du plan devra se trouver sur une de ces droites. Nous dirons qu'elles « balayent » le plan lorsque leur point de rencontre décrit la droite.
le plan lorsque leur point de rencontre décrit la droite. Il s'ensuit que le plan est composé avec les droites émanées de O, qui sont chacune une infinité de points, comme la droite D l'est elle-même avec ses points on dit que le plan renferme une « infinité double » de points ou infinité de deuxième grandeur. Les figures du plan pourront comprendre, soit des points et des droites distincts ne formant pas un ensemble continu, soit une infinité simple de points constituant une « courbe », soit une infinité double, portion du plan ou « aire » limitée par
double, portion du plan ou « aire » limitée par une courbe. Laissant de côté la définition des courbes comme ensembles continus, bornons-nous à cette seule proposition « Une courbe qui ne coupe aucune droite du plan en plus d'un point est une droite. » En effet, soient A et B deux points d'une telle courbe. La droite AB la coupe en deux points au moins, ce qui exige qu'elle soit confondue avec elle pour ne pas déroger à notre hypothèse. Cela posé, toute opération géométrique dans un plan consistera essentiellement, étant connus certains points, à en construire d'autres répondant
essentiellement, étant connus certains points, à en construire d'autres répondant à un but proposé, en déterminant successivement des droites comme joignant deux points et des points comme intersection de deux droites. Les points donnés sont marqués sur le plan avec un style, les droites au moyen d'une règle et d'un outil à tracer. Le tracé de droites successives permet ainsi d'opérer des constructions dites « avec la règle seulement » et de réaliser un certain nombre de relations que nous grouperons plus loin sous le nom de relations projectives. Pour élargir le champ des relations accessibles aux constructions géométriques, il
élargir le champ des relations accessibles aux constructions géométriques, il faudra adopter des instruments nouveaux dont l'usage pourra l'étendre de deux manières : 1° Par la différenciation de points singuliers; 2° Par l'emploi de nouveaux colligeants. Voyons auparavant quelle est la nature des constructions que permet la règle. Projection et homographie. Deux points quelconques (éléments) définissant une droite (colligeant) unique, la relation la plus simple qui puisse être établie est l'obligation pour trois points d'être en ligne droite. Considérons deux droites D et D' d'un plan P; soit en outre O un point fixe du plan. Joignons O à un
O un point fixe du plan. Joignons O à un point A de D; la droite OA coupe D' en un point A' et un seul dont on dit qu'il est la projection de A. Nous savons construire A' connaissant A, et inversement OA' nous ferait retrouver ce point. Donc nous avons établi ainsi entre A et A' une correspondance univoque. Soit H le point de rencontre de D et D' qui évidemment se correspond à lui-même. Déplaçons le point mobile A au départ de H sur D d'une façon continue vers la droite par exemple; A' se déplacera sur
continue vers la droite par exemple; A' se déplacera sur D' d'une manière également continue à partir de H. Éloignons A jusqu'à la limite accessible; A' viendra en une position I sur D'. Déplaçons maintenant A sur D à partir de H vers la gauche A' partant également de H dans le sens inverse du précédent, viendra, A s'éloignant, dans une position limite J. L'expérience nous apprend que les points I et J se rapprochent sans cesse lorsque le point descripteur s'éloigne indéfiniment, tendant à devenir confondus. La droite 01 correspondant à leur position limite commune, bien que située dans
correspondant à leur position limite commune, bien que située dans le plan P, ne rencontre pas la droite D en un point accessible; elle lui est parallèle et déroge à l'axiome que nous avons adjoint (p. 85) à la définition du plan. Pour l'y faire rentrer, nous devons par convention dire qu'elle rencontre la droite D en un point situé « à l'infini », c'est-à-dire hors du plan accessible. La droite complétée par son point à l'infini devient susceptible d'une description entièrement continue; elle constitue un cycle fermé. Le lieu de ces points singuliers, auxquels nous créons ainsi par définition
de ces points singuliers, auxquels nous créons ainsi par définition une existence subjective, est une courbe qui coupe toute droite du plan en un point et un seul. Comme de plus, une droite qui aurait deux de ses points à l'infini ne saurait être une droite accessible, nous sommes amenés à dire qu'elle est tout entière à l'infini, et qu'elle se confond avec le lieu précédent ce lieu jouit des propriétés de la droite et nous l'appellerons la droite à l'infini du plan. Nous sommes donc conduits à adopter sans restriction l'axiome plus haut énoncé que deux droites quelconques d'un
restriction l'axiome plus haut énoncé que deux droites quelconques d'un plan ont toujours un point commun, à la condition d'adjoindre au plan « à l'infini », c'est-à-dire hors de la zone accessible à notre expérience, une droite (et non une aire) donnant sur chaque droite réelle un point (et non un segment). Cette proposition, qui est le postulatum d'Euclide, nous apparaît sous cette forme comme un complément de la définition du plan. Nous discuterons plus loin son caractère de nécessité. Ce postulat admis comme résultat d'expérience, revenons à la correspondance projective établie plus haut, devenue univoque pour la totalité des
projective établie plus haut, devenue univoque pour la totalité des points de deux droites. Il est facile de montrer que, par réciproque, toute correspondance univoque entre les points de deux divisions de droites dont les points géométriquement confondus se correspondent, est projective, et que la réalisation d'une correspondance univoque ou homographie entre les points de deux droites quelconques équivaut à la succession de deux projections. La projection et par suite l'homographie font correspondre au point à l'infini d'une droite un point absolument quelconque d'une autre droite. Une relation entre des points d'une droite parmi lesquels le point à l'infini est
points d'une droite parmi lesquels le point à l'infini est transformée en une relation semblable entre des points tous quelconques. Une opération projective ne différencie pas le point à l'infini d'une droite des autres points de celle-ci; l'emploi de la règle ne permet pas de le construire. La caractéristique des constructions effectuées avec la règle est donc de ne pas différencier les points à l'infini. La partie de la Géométrie qui sera limitée à l'usage de ce seul instrument sera donc l'étude du plan ou de l'espace en tant qu'ensemble continu de points singuliers. Cette démonstration repose sur un théorème
continu de points singuliers. Cette démonstration repose sur un théorème que nous énonçons plus loin au sujet du plan tangentiel. On peut trouver étrange a priori cette proposition, car il semble que l'on obtienne une correspondance univoque en projetant sur deux droites quelconques un point mobile d'une courbe telle qu'à aucun moment sa tangente ne soit parallèle à l'une ou l'autre des deux droites. La proposition signifie précisément l'impossibilité de définir une telle courbe géométriquement à moins qu'elle ne soit une droite. Il faut avoir recours en effet, soit à une courbe incomplète (branche unique d'hyperbole, etc.), soit à une
une courbe incomplète (branche unique d'hyperbole, etc.), soit à une courbe qui cesse de satisfaire à cette condition à l'infini (parabole cubique y = x + x³, courbe du sinus hyperbolique v = z r e^x - e^-x, etc.). Dans les suivants, non différenciés et par l'emploi du seul colligeant « droite ». On donne aux relations qu'elle permet d'atteindre le nom de relations projectives. Nous ne ferons que rappeler ici comment l'étude de la correspondance homographique des divisions droites et des faisceaux ponctuels de droites conduit à la définition des courbes coniques (intersection des rayons de deux faisceaux homographiques),
des courbes coniques (intersection des rayons de deux faisceaux homographiques), à la détermination dans une homographie avec base commune de deux points doubles (non construisibles simultanément à la règle) et à la théorie de l'involution. La considération des points doubles amène à l'introduction sur une droite d'éléments nouveaux dits imaginaires ou complexes qui reçoivent par définition, comme les points à l'infini tout à l'heure, une existence géométrique. Mais arrêtons-nous un instant à la proposition suivante une correspondance homographique entre deux droites est définie par la donnée de trois couples homologues quelconques AA', BB', CC'. Étant donné un nouveau point M
quelconques AA', BB', CC'. Étant donné un nouveau point M de la première, nous savons alors construire un point unique M' de la seconde. Si nous convenons d'écrire pour exprimer cette liaison (AJ'M) = (A'B'C'.M'), cette relation signifiera que, connaissant sept des huit points qui y figurent, nous saurons construire géométriquement le huitième d'une façon unique et sans ambiguïté. Si l'on fixe sur une droite type la position de trois points A', B', C', la position du quatrième M' à laquelle peut être attachée par exemple une quantité numérique, constitue ce que l'on nomme un paramètre. La position d'un point
ce que l'on nomme un paramètre. La position d'un point sur une droite peut donc être définie par la connaissance de trois points donnés et d'une valeur paramétrique (rapport anharmonique). Cette relation est évidemment la plus simple des relations projectives sur une droite, et l'on voit qu'une pareille relation lie quatre points. Plan tangentiel. Tout le corps de doctrine basé dans le plan ponctuel sur l'étude de l'homographie et conduisant aux relations projectives est déduit, nous l'avons indiqué déjà, des propriétés du plan défini comme ensemble continu de points de deuxième grandeur, avec l'emploi de colligeants « droites » tels
deuxième grandeur, avec l'emploi de colligeants « droites » tels que leur détermination unique résulte de la donnée de deux éléments et que l'on peut appeler colligeants binaires. Il est clair que des raisonnements tout à fait parallèles pourraient être faits avec l'emploi de colligeants de même définition dans tout ensemble pareillement constitué. En particulier le plan lui-même peut être regardé comme un ensemble continu de droites de deuxième grandeur. Dans ce système, ou système tangentiel, la droite devenue élément se réalise directement avec la règle. Un ensemble de droites reçoit le nom de gerbe. Celles passant par un point