jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
trouvent sur les rayons OA et OA'; d'ailleurs, le problème admet toujours deux solutions. Lorsque le mobile décrira l'ellipse, la projection du mobile sur X'X décrira deux fois la portion DD. De même, ménons à l'hyperbole des tangentes perpendiculaires à X'X. Pour cela, on prend les points de rencontre E et K' de O'A' parallèle à X'X avec le cercle directeur de l'hyperbole relatif au foyer O; les perpendiculaires élevées à O'E et O'E' en leurs milieux nous donnent les tangentes à l'hyperbole. Ici le problème admet 2 ou 0 solution selon que O'E' coupe le cercle directeur, lui est
solution selon que O'E' coupe le cercle directeur, lui est tangente ou ne le coupe pas. Comme on ne considère qu'une branche de l'hyperbole, nous ne construisons que la tangente FG relative à cette branche; le point de contact N est situé sur le rayon OE. Nous distinguerons 3 cas, suivant que l'angle α est inférieur, égal ou supérieur à l'angle OO'H', que fait la tangente menée par le foyer O' au cercle directeur avec l'axe OO'. Les asymptotes étant perpendiculaires aux tangentes O'tl et O'II' en leurs milieux, l'angle OOH' est égal à l'angle 2α des asymptotes. premier cas
OOH' est égal à l'angle 2α des asymptotes. premier cas : α < p. — Nous avons une tangente à la branche d'hyperbole, et lorsque le mobile parcourt cette branche d'hyperbole, le mobile projection décrit la demi-droite GX. Donc, dans ce cas, lorsque le mobile parcourt la ligne L, entière, le mobile projection décrira plus de deux fois la portion GD de X'X. Calculons GD, on a \(GD = \frac{b^2 + c^2}{2b}\). PRÉPARATION A L'AGRÉGATION DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE SPÉCIAL 526. — Géométrie descriptive. — Dans le plan vertical de projection est tracée une verticale D (fig. 680) qui occupe le
est tracée une verticale D (fig. 680) qui occupe le milieu de l'épure; autour de cette droite tourne un cercle C de rayon c, tangent au plan horizontal de projection, situé dans un plan parallèle au plan vertical de projection, à une distance b en avant de ce plan; de plus le centre de ce cercle est à droite du plan vertical de profil mené par D, et à une distance a de ce plan. 1° Mettre cette surface en projection; 2° Prouver que par chaque point M de cette surface il passe deux cercles C, C, (racés sur elle,
surface il passe deux cercles C, C, (racés sur elle, dont les plans sont verticaux. En conclure que toute sphère menée par un cercle générateur G est tangente en deux points à la surface; 3° Prouver que sur chaque cercle générateur G il existe un couple de points réels P, P' situés sur une même verticale, et qui sont tels que le plan tangent en chacun d'eux à la surface va passer au centre de la surface. En conclure que les plans tangents réels issus de ce centre à la surface enveloppent un cône de révolution; 4° On demande de
surface enveloppent un cône de révolution; 4° On demande de construire l'intersection de la surface avec un des plans tangents à ce cône, perpendiculaire au plan vertical de projection. Rabattre cette intersection sur un plan horizontal. Données en centimètres : a = 5, b = 6, c = 3. Une rédaction détaillée doit accompagner l'épure; toutes les méthodes sont admises. (Concours d'agrégation de l'Enseignement secondaire spécial, en 1891.) 1. — Nous ne représentons que le quart de la surface situé dans le premier dièdre, à droite du plan de profil de l'axe (fig. 678). Les points (a, a'), (b, b')
de l'axe (fig. 678). Les points (a, a'), (b, b') de la génératrice qui sont le plus rapproché et le plus éloigné de l'axe décrivent les parallèles de rayon minimum et maximum, et formant par suite le contour apparent horizontal. Les points le plus haut (c, c') et le plus bas (c, c") décrivent les parallèles supérieur et inférieur, qui font partie du contour apparent vertical. Ces quatre parallèles fournissent les points de la méridienne pour lesquels la tangente est parallèle ou perpendiculaire à l'axe : cette courbe n'offre pas d'autres points remarquables réels. Elle est symétrique par rapport à
d'autres points remarquables réels. Elle est symétrique par rapport à la droite o'p, trace verticale du plan horizontal mené par le centre du cercle générateur; le point de rencontre de ce plan avec l'axe est le centre (o, o') de la surface. On obtient un point quelconque M' de la méridienne en amenant, par une rotation autour de l'axe, un point quelconque (m, m') de la circonférence génératrice dans le plan vertical de projection. Pour obtenir la tangente en ce point, nous remarquons que le plan de bout m' f est le plan normal en (m, m') à la génératrice,
est le plan normal en (m, m') à la génératrice, et par suite que son point de rencontre (o, z) avec l'axe est le sommet du cône des normales relatif au parallèle du point (M, m'), z M' est donc la normale à la méridienne; on en déduit la tangente M'. Le point (r, r'') du cercle qui est diamétralement opposé à (m, m') fournit le point H" en lequel la normale passe aussi par r. On voit, d'après cela, que la circonférence génératrice en projection verticale et la demi-méridienne de la surface se correspondent, point par point, de manière
de la surface se correspondent, point par point, de manière que deux points homologues m' et M' sont sur une même perpendiculaire à l'axe et que les normales en ces points se coupent sur l'axe. En d'autres termes, les deux courbes ont même sous-normale relativement à l'axe. Cette remarque s'applique à toute surface de révolution engendrée par une courbe située dans un plan parallèle à l'axe, et fournit le moyen de mener d'un point z de l'axe une normale à la méridienne. 2. — Le plan mené par l'axe perpendiculairement au plan vertical ab du cercle générateur, coupe ce dernier
au plan vertical ab du cercle générateur, coupe ce dernier suivant la verticale oz) : le symétrique du cercle générateur par rapport à cette verticale est situé sur la surface. Lorsque le cercle (c, c) décrit la surface, son plan enveloppe un cylindre vertical s ayant pour directrice, dans le plan horizontal, le cercle de centre o et de rayon ot = b. Donc tout plan tangent à ce cylindre coupe la surface suivant deux cercles, et est par suite bitangent aux points de rencontre de ces cercles : les points de contact sont réels ou imaginaires suivant que la
points de contact sont réels ou imaginaires suivant que la projection verticale du cercle générateur rencontre ou ne rencontre pas l'axe. On en conclut que le cylindre s est doublement circonscrit à la surface; les parallèles de contact sont de part et d'autre du plan horizontal de symétrie o' à la distance commune s. Par un point quelconque M de la surface on peut mener au cylindre s deux plans tangents; chacun d'eux coupe la surface suivant deux cercles verticaux; deux de ces quatre cercles passent par le point M. Considérons maintenant une sphère passant par un cercle générateur C
Considérons maintenant une sphère passant par un cercle générateur C : le symétrique Ci du cercle C, par rapport au plan méridien du centre de la sphère, est situé à la fois sur la surface et sur la sphère. Donc celle-ci coupe la surface suivant un deuxième cercle vertical et est tangente à la surface aux points de rencontre des deux cercles ; les points de contact, situés sur une même verticale, sont réels ou imaginaires selon que la distance du centre de la sphère au centre du cercle C est inférieure ou supérieure à a. 3. — La trace
est inférieure ou supérieure à a. 3. — La trace du plan tangent à la surface au point (m, m') du cercle générateur, sur le plan horizontal de symétrie o', est la perpendiculaire w abaissée de la trace n de la tangente au cercle sur le rayon om. Le plan tangent au point (m, m") a aussi pour trace n o. Il faut chercher la position de la courbe verticale (m, m' m") pour laquelle w passe par le point o. A cet effet, il suffit de remarquer que, les quatre points M, n, a, b formant une division harmonique,
quatre points M, n, a, b formant une division harmonique, le faisceau des quatre droites w m, w n, u a, u b est harmonique, et comme les deux rayons o M, w n sont rectangulaires, ils sont les bissectrices des angles supplémentaires formés par les deux autres. Nous obtiendrons donc la corde cherchée, en menant la bissectrice op de l'angle aob, ce qui fournit le couple de points toujours réel (p, p'), (p, p''), en chacun desquels le plan tangent passe par le centre (o, o') de la surface. Ces points fournissent les joints P' et P'' de la
Ces points fournissent les joints P' et P'' de la méridienne pour lesquels les tangentes passent par le centre. Ces tangentes o'V,o'P", forment la méridienne d'un cône de révolution doublement circonscrit à la surface le long des parallèles décrites par (ptp') et (p, p"). Ce cône est l'enveloppe des plans tangents réels issus du centre. Nous allons montrer maintenant que la surface admet un parallèle double à l'infini. Pour que deux points A. et H. de la génératrice décrivent le même parallèle, il faut et il suffit que ces deux points soient, dans un même plan horizontal, à égales distances
points soient, dans un même plan horizontal, à égales distances de l'axe ; autrement, que le pied de la perpendiculaire commune à l'axe et à la droite AU tombe au milieu de la corde AH. Or, le lieu des milieux des cordes horizontales du cercle générateur est le diamètre vertical de ce cercle, et le lieu des pieds des perpendiculaires communes à l'axe et à ces cordes est la verticale du point. Ces deux droites parallèles se rencontrent en un point qui décrit un parallèle double imaginaire de la surface. Le cône qui a pour base ce parallèle et pour
Le cône qui a pour base ce parallèle et pour sommet le centre (o, o') de la surface est un cône asymptote double. Ainsi les plans tangents à la surface issus du centre enveloppent deux cônes : un cône simple réel K et un cône asymptote double imaginaire. Tout plan tangent au cône réel K est bilangent à la surface aux points où la génératrice de contact rencontre les parallèles de contact du cône et de la surface : ces points sont des points doubles de la section. Celle-ci admet en outre deux points doubles à l'infini, qui sont les
en outre deux points doubles à l'infini, qui sont les points de rencontre du plan sécant avec le parallèle double. Or, toute surface de révolution engendrée par une conique est du 4e ordre, à moins que l'intersection du plan sécant et du plan méridien qui lui est perpendiculaire, ne soit un axe de cette conique, ce qui n'a pas lieu ici. La section est donc du 4e ordre, et comme elle présente quatre points doubles, elle se décompose en deux coniques, lesquelles passant par les points cycliques sont des cercles. Ainsi la section demandée se compose de deux cercles, évidemment
Ainsi la section demandée se compose de deux cercles, évidemment égaux. En prenant comme plan sécant le plan de bout o' 1" et en désignant par u et v les longueurs oa et ob, on reconnaît très aisément que les centres (o, o') (o, o') de ces cercles sont à égales distances du centre de la surface, sur la perpendiculaire menée de ce centre au plan méridien perpendiculaire au plan sécant, savoir oi = oj + v, et que la longueur commune des diamètres est v + u. En projection horizontale, on a deux ellipses dont on obtient facilement les
horizontale, on a deux ellipses dont on obtient facilement les axes; nous avons construit un point quelconque c de l'une d'elles et la tangente te en ce point. Le pied o de l'axe n'est pas un foyer commun de ces ellipses, car c'est là une propriété caractéristique du tore à méridienne circulaire. Avec les données numériques de la question, tous les points de la surface sont extérieurs au cylindre S et au cône K, doublement circonscrits. On en conclut que par chaque point M de la surface, il passe cinq cercles réels, savoir : deux des quatre cercles verticaux donnés
cercles réels, savoir : deux des quatre cercles verticaux donnés par les deux plans tangents au cylindre S menés par M, deux des quatre cercles inclinés donnés par les plans tangents au cône K menés par M, et enfin le parallèle. Formons l'équation de la surface en la rapportant à son axe (o, o' z) et à son plan de symétrie horizontal o' z, pris comme plan des xy. On a, pour le cercle générateur, y = f(z); (z - o)2 + y2 = c4 = 0 et S2 = x2 + y2 + z2 = (x + z)2. On
x2 + y2 + z2 = (x + z)2. On obtient donc l'équation de la méridienne en remplaçant dans celle du cercle générateur ce par y2 + z2; cette équation est (A1 + s1 + a2 - b2 - c2)1 = 4 a (x2 + y2 - A1). Enfin l'équation de la surface se déduit de cette dernière en y remplaçant z2 par y/(x2 + z2); cette équation est (.r2 + y2 + z2 + a2 - c2)1 = 4 a (x2 + y2 + z2 - A1). On peut tirer de cette équation de la surface, qui est comme
tirer de cette équation de la surface, qui est comme on voit du 4e degré, toutes les propriétés que nous avons établies géométriquement. Proposons-nous seulement de former la section par le plan bitangente de bout 0' P'. Désignons par a, l'inclinaison de ce plan, c'est-à-dire l'angle P' 0' b', et par X, Z les coordonnées du point P'. On sait que le point P' se déduit du point p situé sur la bissectrice de l'angle aob; on a donc cette équation représente l'ensemble de deux cercles ayant pour rayon commun ———, et dont les coordonnées des centres sont Le petit
———, et dont les coordonnées des centres sont Le petit axe des ellipses projections horizontales des cercles est égal à w-j-D cos a, et par suite la demi-distance focale est égale à (u + v) sin a ou 2 c. Ainsi la distance focale des ellipses est égale au diamètre du cercle générateur. On peut vérifier, d'après ce résultat, que le pied de l'axe n'est pas un foyer commun de ces ellipses. Le nombre de ces réfractions peut être réduit à trois, produites par la cornée, le cristallin et l'humeur vitrée, car la cornée ayant ses deux faces parallèles et
vitrée, car la cornée ayant ses deux faces parallèles et possédant le même indice de réfraction que l'humeur aqueuse, peut, au point de vue optique, être confondue avec elle. D'ailleurs, la surface de la cornée, quoique n'étant pas la plus courbe des surfaces de l'œil, est cependant celle qui leur fait subir la plus forte déviation, à cause de la grande différence des indices des milieux qu'elle sépare. Le système optique de l'œil n'est donc pas très simple : c'est une sorte de lentille composée, formée de trois milieux convergents, dont les deux extrêmes, l'humeur aqueuse et le corps vitré,
dont les deux extrêmes, l'humeur aqueuse et le corps vitré, ont le même indice, tandis que celui du milieu, le cristallin, est plus réfringent. Les dimensions et les indices de ces trois milieux ont été mesurés avec soin après la mort et aussi sur l'œil vivant. Voici leurs valeurs moyennes : Rayon de courbure de la cornée 7,5 mm Distance des surfaces antérieures de la cornée et du cristallin 3,0 mm Rayon de courbure de la face antérieure du cristallin... 10 mm Rayon de courbure de la face postérieure du cristallin.. 6 mm Épaisseur du cristallin 3,0 mm Indice de
cristallin.. 6 mm Épaisseur du cristallin 3,0 mm Indice de réfraction de la cornée, de l'humeur aqueuse et du corps vitré 1,3305 Indice moyen du cristallin 1,4371 L'ensemble des données précédentes constitue ce qu'on appelle œil schématique; elles permettent de calculer tous les éléments optiques du système et de déterminer la position des foyers, des centres optiques, des plans principaux : la théorie de l'œil se trouve ainsi ramenée à la considération d'une lentille unique. On peut même aller plus loin : les deux points nodaux de cette lentille se trouvant à une très petite distance l'un de l'autre (0,3
trouvant à une très petite distance l'un de l'autre (0,3 mm), on peut assimiler l'œil à un milieu réfringent unique, d'indice convenablement choisi, terminé à la partie antérieure par une seule surface sphérique, et limité en arrière par la rétine. Le système optique très simple ainsi obtenu est ce qu'on appelle œil réduit; il a été imaginé par Listing, qui en a calculé les données d'après l'œil schématique, puis simplifié par Donders : Rayon de la surface sphérique 5 mm Première distance focale 15 mm Seconde distance focale 20 mm Il faut supposer cet œil réduit rempli par un milieu
Il faut supposer cet œil réduit rempli par un milieu ayant même indice de réfraction que l'eau, soit 1,3333. Les deux distances focales sont inégales, puisqu'elles sont comptées dans deux milieux inégalement réfringents. La rétine se trouve au second foyer principal. L'œil peut être assimilé, d'après ce qui précède, soit à une lentille composée, soit plus simplement à une surface réfringente unique; il doit donc donner sur la rétine une image réelle et renversée de tout objet lumineux placé devant lui, à une distance que nous supposerons d'abord à peu près infinie; cette image doit être très petite, puisqu'elle se
près infinie; cette image doit être très petite, puisqu'elle se trouve au foyer du système optique. Cette image se forme réellement. On peut le constater sur un œil de boeuf qu'on vient d'extirper de l'animal vivant. On amincit la sclérotique à la partie postérieure pour la rendre translucide; on place l'œil au centre d'un écran opaque, dans une chambre obscure, la cornée dirigée vers une lampe, et l'on voit se peindre au fond l'image renversée de la flamme. On peut encore faire la même expérience, sans aucune préparation, avec l'œil d'un lapin albinos, dont la choroïde est, comme on sait,
d'un lapin albinos, dont la choroïde est, comme on sait, exempte de pigment. C'est ainsi qu'elle a été faite pour la première fois par Magendie. Il est donc certain qu'il se forme sur le fond de l'œil une image réelle et renversée des objets extérieurs. Comment se fait ensuite la vision, comment l'impression produite sur la rétine se transforme en une sensation particulière, c'est ce qu'il n'appartient pas à la physique d'expliquer. Bien que les images rétiniennes soient renversées, les objets nous apparaissent toujours dans leur véritable position, car nous ne regardons pas cette image comme si elle se peignait
ne regardons pas cette image comme si elle se peignait sur un écran. Nous sommes seulement avertis, par les sensations que transmettent au cerveau les diverses ramifications du nerf optique, que tels ou tels points de la rétine sont impressionnés et par suite qu'il existe des points lumineux dans telles ou telles directions. Nous avons dit que l'œil est assimilable à une lentille composée. Il est facile de voir que cette composition assez complexe a pour effet de corriger, au moins d'une manière suffisante, les aberrations de sphéricité et de réfrangibilité. Lorsqu'une lentille simple et homogène reçoit des rayons parallèles
réfrangibilité. Lorsqu'une lentille simple et homogène reçoit des rayons parallèles à l'axe principal, ceux d'entre ces rayons qui sont voisins de l'axe vont seuls concourir au foyer principal; les rayons marginaux, qui tombent sur les bords de la lentille, sont plus déviés et vont concourir en dessous du foyer. C'est le défaut connu sous le nom d'aberration de sphéricité. Cet inconvénient est évité dans l'œil par la composition du cristallin, formé comme on sait de couches concentriques 1, 2, 3... etc. (fig. 679), dont la densité et l'indice de réfraction vont en croissant de la périphérie au centre. Les rayons
vont en croissant de la périphérie au centre. Les rayons éloignés de l'axe, tels que c et c/, traversant les couches les moins réfringentes, sont moins déviés qu'ils le seraient si le cristallin était homogène et si ces couches avaient le même indice que celles du centre. On conçoit que ces rayons puissent ainsi arriver à rencontrer l'axe au même foyer f, que les rayons centraux b. Une correction analogue se produit pour les rayons non parallèles à l'axe. Il n'est pas impossible que la pupille, en se contractant, concoure aussi, au moins dans certains cas, au même résultat, en
aussi, au moins dans certains cas, au même résultat, en interceptant les rayons marginaux et en diminuant le diamètre du faisceau qui pénètre dans le cristallin. Les lentilles simples possèdent encore un autre défaut, l'aberration de réfrangibilité; les rayons de couleurs différentes ont des foyers différents, de sorte que les images sont toujours irisées sur les bords. Ce défaut est aussi évité dans l'œil, grâce à la présence de trois milieux d'indices différents. L'achromatisme ne peut cependant pas être complet, parce que ces milieux sont tous trois convergents. Une lentille convergente achromatique doit renfermer toujours au moins un verre divergent.
convergente achromatique doit renfermer toujours au moins un verre divergent. Cependant l'achromatisme de l'œil est suffisant pour la pratique, du moins lorsqu'il est accommodé pour la distance de l'objet regardé. Nous avons supposé jusqu'à présent l'œil dirigé sur un objet placé à une distance infinie : la rétine, pour recevoir une image nette, doit se trouver alors au second foyer principal. C'est cet état de l'œil qu'on prend comme type normal, et qu'on désigne sous le nom d'œil emmétrope. Un œil emmétrope est donc celui dont la rétine se trouve au second foyer principal, ou celui qui fait concourir sur
au second foyer principal, ou celui qui fait concourir sur sa rétine les rayons parallèles, ou encore celui qui, au repos, est adapté pour l'infini. Remarquons en outre que, d'après le principe du refouir inverse des rayons, si l'on éclaire vivement la rétine d'un œil emmétrope, elle émettra des rayons lumineux qui, à la sortie de l'œil, deviendront parallèles. L'œil emmétrope, étant adapté à l'infini, voit nettement les objets situés à une très grande distance; mais il est évident que les objets plus rapprochés devraient former leur image en arrière de la rétine, et par suite ne seraient pas vus
de la rétine, et par suite ne seraient pas vus réellement. On sait que la rétine est formée d'une foule de petits éléments, ayant environ 0,1 mm de diamètre, et qui ne peuvent transmettre chacun qu'une seule impression. Tant que l'objet se trouve à une distance assez grande, par exemple au-delà de 15 mètres, le faisceau conique réfracté, provenant d'un point quelconque de l'objet, peut être coupé par la rétine suivant un cercle (cercle de diffusion) ayant un diamètre inférieur à 0,1 mm ; chaque élément rétinien ne transmet au cerveau qu'une impression unique, et l'image est encore suffisamment nette.
cerveau qu'une impression unique, et l'image est encore suffisamment nette. Si la distance est trop faible, chaque cercle de diffusion recouvre plusieurs éléments de la rétine, les impressions se confondent et la vision cesse d'être nette. Pour remédier à ce grave inconvénient, il faut donc, ou bien que la rétine puisse s'éloigner pour rester toujours au foyer conjugué de l'objet visé, ou que la convergence de l'appareil dioptrique de l'œil puisse augmenter à mesure que cet objet se rapproche, afin de maintenir toujours l'image au même point. La première hypothèse supposerait l'œil capable de s'allonger d'environ 1 mm. Celle hypothèse
supposerait l'œil capable de s'allonger d'environ 1 mm. Celle hypothèse est inadmissible, car l'œil ne possède aucun appareil pouvant produire cet allongement. Il faut donc nous rejeter sur la seconde explication qui a, du reste, été vérifiée par l'expérience. Ch. Young apporta, en 1804, les premières preuves directes à l'appui de cette opinion. Langenbeck, Cramer puis Helmholtz, à l'aide des images découvertes par Purkinje, en 1823, en donnèrent une démonstration complète. La face antérieure de la cornée et les deux faces du cristallin forment trois surfaces polies, capables de réfléchir la lumière ; les deux premières sont convexes et la
la lumière ; les deux premières sont convexes et la dernière concave. Si l'on place une bougie allumée devant l'œil d'un sujet, on verra, dans l'œil de cette personne, trois images de la flamme. Les deux images extrêmes, la plus rapprochée et la plus éloignée, sont virtuelles et droites ; elles sont dures, la première à la cornée, la seconde à la face antérieure du cristallin. Quant à la face postérieure du cristallin, elle donne une image réelle et renversée, qui, se formant en avant de cette surface, vient se placer entre les deux premières. L'image a est la plus