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reçoit le nom de gerbe. Celles passant par un point constituent une « gerbe ponctuelle ». Le point, devenu une figure, est la plus simple des « courbes enveloppes ». Le plan tangentiel se définit comme étant un ensemble continu de droites de deuxième grandeur, déterminé par deux droites qui se rencontrent et constitué par l'ensemble de celles qui s'appuient sur les deux droites données. Cette définition renferme implicitement que deux droites quelconques d'un plan sont sécantes; en effet, soient C et D deux droites d'un plan défini par A et B. Le plan unique défini par A et C
et B. Le plan unique défini par A et C est le même que le plan AB et il contient D qui, par suite, doit rencontrer A et C. La définition du plan tangentiel ne conduit pas directement à la considération d'éléments singuliers, mais, d'autre part, il est clair que le « plan ainsi défini est le même être géométrique que le plan ponctuel. Le point, dont la détermination unique résulte de la donnée de deux droites, est cette fois un colligeant binaire. Les points à l'infini sont pour le plan tangentiel une infinité simple de colligeants singuliers, et conduisent
plan tangentiel une infinité simple de colligeants singuliers, et conduisent indirectement à lui incorporer un élément singulier, qui est commun à toutes les gerbes qu'ils définissent la droite de l'infini. Un raisonnement analogue à celui employé plus haut conduirait à la proposition suivante Lorsqu'un ensemble de droites ou « gerbe » est tel que par aucun point du plan il n'en passe plus d'une, cet ensemble est constitué par des droites concourant en un même point, c'est-à-dire est une gerbe ponctuelle. Sauf introduction dans le plan tangentiel de colligeant autre que le point, les constructions géométriques y consisteront comme dans
que le point, les constructions géométriques y consisteront comme dans le plan ponctuel dans le tracé de droites et de points successifs. Il est manifeste que toute relation projective établie dans le plan ponctuel aura son pendant dans le plan tangentiel pour une figure composée avec des droites et des points comme la première avec des points et des droites. C'est ainsi que l'on sera conduit à la définition et à l'étude des coniques enveloppes de gerbe traçant sur deux droites des divisions homographiques, à l'introduction d'éléments-droites imaginaires, etc. C'est dans l'énoncé de ce parallélisme que consiste la loi de
dans l'énoncé de ce parallélisme que consiste la loi de dualité de Chasles. Mais il est tout aussi manifeste que ce parallélisme n'a lieu qu'autant qu'il s'agit de propriétés dans lesquelles le plan est considéré comme dépourvu de points singuliers, c'est-à-dire pour lesquelles ceux-ci ne sont pas différenciés. Il ne concerne que les propriétés que nous avons appelées projectives. Le plan tangentiel ou gerbe plane, en effet, n'a plus comme singularité qu'un élément isolé la droite de l'infini, au lieu d'une infinité formant un colligeant comme le plan ponctuel. Par contre, nous indiquerons plus loin que dans l'ordre métrique ses
contre, nous indiquerons plus loin que dans l'ordre métrique ses éléments complexes donnent deux droites singulières (isotropes) par point colligeant, tandis qu'il n'y a que deux points imaginaires singuliers dans le plan ponctuel les points cyliques. De là des différences entre ces deux ensembles plans pour toute relation non strictement projective. La division et la gerbe planes peuvent être mises en correspondance univoque (transformation corrélative), permettant ainsi de déduire directement de toute propriété du plan ponctuel la propriété tangentielle correspondante. Sphère avec apex. Plus généralement, renonçant au caractère plan de la surface supportant l'ensemble soumis à notre étude, nous pourrons
la surface supportant l'ensemble soumis à notre étude, nous pourrons établir un semblable parallélisme entre les propriétés projectives du plan ponctuel, et celles de tout ensemble de deuxième grandeur à colligeants binaires sans éléments singuliers différenciés. Un ensemble de cette nature sera toujours identique, au point de vue projectif, à un plan euclidien. Nous pouvons en envisager un par exemple sur une sphère, à la condition de singulariser par définition un des points de celle-ci et de l'exclure de l'ensemble. Pour la commodité du discours, nous appellerons apex un tel point, singulier dans le raisonnement bien que géométriquement quelconque. Soit
point, singulier dans le raisonnement bien que géométriquement quelconque. Soit en effet sur une sphère S un apex A. Considérons les circonférences, sections de la sphère par les plans passant par A. Ces courbes sont des ensembles continus de points de première grandeur, et leur détermination résulte d'une manière unique de la donnée de deux points quelconques de la sphère. Il s'en déduit que deux de ces circonférences, colligeants de notre nouvel ensemble, ont toujours un point commun et un seul, autre s'entend que l'apex A singulier par définition. Les propriétés de l'ensemble que nous venons de définir peuvent se
propriétés de l'ensemble que nous venons de définir peuvent se déduire de celles du plan soit directement par traduction des énoncés (dualité), soit en utilisant la mise en correspondance univoque de cet ensemble et d'un plan c'est la transformation stéréographique ou inversion lorsque le plan est convenablement placé. Inversement toute propriété relative des points et des cercles colligeants a son pendant pour les points et droites du plan, à la condition, bien entendu, d'écarter tout ce qui peut être relatif à l'apex A, qui représente (à titre de circonférence évanouissante) la zone inaccessible que nous avons dite dans le plan
la zone inaccessible que nous avons dite dans le plan « à l'infini ». Plus généralement enfin, un parallélisme analogue pourrait être établi entre les propriétés projectives du plan ponctuel et celles d'un ensemble supporté par une surface S autre qu'une sphère, en définissant sur elle des colligeants binaires au moyen d'un nombre convenable d'apex. La condition de possibilité est que l'on puisse définir de pareils colligeants tels que leur intersection deux à deux soit toujours un point variable unique ceci exige que la surface S soit à connexion simple, c'est-à-dire unicursale. POINTS SINGULIERS DU PLAN. Notions de longueur et
c'est-à-dire unicursale. POINTS SINGULIERS DU PLAN. Notions de longueur et d'angle. L'étude des propriétés projectives du plan conduit à la définition et à la connaissance d'une foule de propriétés des transformations homographiques, corrélatives, quadratiques et en général de toutes les transformations birationnelles de là résulte la définition et l'étude des courbes coniques, cubiques, etc. Toutes les relations qui leur ressortissent et qui tendent à la construction d'un point unique inconnu, sont réalisables avec la règle seulement. Nous laisserons de côté ici cette question. Mais dans tout cet ensemble de propositions, les points à l'infini sont traités à l'égal de tous
les points à l'infini sont traités à l'égal de tous les autres; l'emploi dans les constructions géométriques planes de la règle comme unique instrument, ce qui revient à n'utiliser que le seul colligeant « droite », ne permet de différencier aucun point singulier de la droite ni du plan. L'introduction d'un instrument nouveau: l'équerre, permet de franchir un pas et de « construire » les points « à l'infini ». Quel que soit d'ailleurs l'angle fixe qu'elle matérialise, elle permet en effet de mener par un point donné la parallèle à une droite donnée. Nous avons établi tout à l'heure
à une droite donnée. Nous avons établi tout à l'heure qu'une relation projective lie au minimum quatre points d'une droite (ou cinq points d'un plan); sachant différencier sur la droite le point à l'infini, il nous suffira de le faire intervenir comme élément singulier permanent dans une relation pour amener celle-ci à ne plus lier que trois points quelconques. Mais allons plus loin étant donnés sur une droite deux points A et B, leur ensemble constitue une figure et définit une grandeur que l'on désigne sous le nom de « longueur du segment AB ». Cette figure est susceptible d'être
longueur du segment AB ». Cette figure est susceptible d'être considérée dans deux « sens » différents, AB ou BA suivant le point énoncé le premier, appelé origine. Une convention convenable permettra de définir l'égalité et l'addition de deux longueurs, et, par le choix d'une longueur-unité, d'attacher à chaque segment un nombre positif ou négatif suivant le sens. Cette convention sera la base de la Géométrie analytique. Soient donc deux points A et B d'une droite, et son point à l'infini; le choix de quatre points arbitraires A', B', C', D' permet de déduire de AB un troisième point variable
D' permet de déduire de AB un troisième point variable C tel que (ABC) = (AMB + VC'). Mais on sait qu'il est possible de choisir la construction que représente cette formule de manière que (ABCD) = (BACD), autrement dit de manière que le point C résulte de A et B indépendamment du sens dans lequel ils sont considérés, et cette fois sans qu'il soit besoin de convention auxiliaire. Ce point, qui est le conjugué harmonique du point à l'infini, est dit le milieu de AB et partage ce segment par moitié. Cette convention introduit en Géométrie la notion de
par moitié. Cette convention introduit en Géométrie la notion de longueurs égales sur une droite, et par suite toutes les relations métriques entre ses éléments. On dit dans le cas ci-dessus que AC = CB et AB = 2AG. Sachant construire le milieu d'un segment et aussi, par l'opération inverse, la longueur double (dans un sens ou dans l'autre suivant l'origine choisie), nous pouvons reporter à partir d'un point quelconque une longueur égale à une longueur donnée. En effet, si AB est le segment proposé, C un nouveau point, il suffit de construire le milieu de BC, puis D tel
suffit de construire le milieu de BC, puis D tel que AD = aAD. On en déduit CD = AB. On peut aussi plus simplement observer que les origines et les extrémités de segments de longueur égale et de même sens ou vecteurs décrivent deux divisions homographiques dont les points doubles sont confondus à l'infini. La construction qui s'en déduit s'interprète aussitôt en Géométrie élémentaire. Mais l'emploi de l'équerre comme seul instrument (avec la règle), c'est-à-dire la seule différenciation sur chaque droite du point à l'infini, ne permet pas d'aller plus loin que la comparaison de longueurs portées par une
plus loin que la comparaison de longueurs portées par une même droite. On ne peut opérer avec ces seuls moyens la comparaison de longueurs portées par deux droites différentes du plan. De nouvelles conventions sont nécessaires. Soient L et L' deux droites se coupant en O, OA et OA' sur chacune un vecteur unité défini arbitrairement. Si M est un nouveau point de L, nous construirons OM'=OM en grandeur et sens, en composant bien entendu OM' par rapport à O A' comme OM l'est par rapport à OA; les points M et M' décrivent deux divisions homographiques et par suite
M et M' décrivent deux divisions homographiques et par suite projectives où les points à l'infini se correspondent. Le point de projection est donc sur la droite de l'infini, ce qui conduit à cette proposition bien connue des parallèles déterminent sur deux droites des segments proportionnels. Une première convention consiste à déclarer égaux sur deux droites parallèles deux segments compris entre deux autres parallèles. Cette convention est légitimée par le résultat précédent. Grâce à elle, étant donné sur une droite L un étalon de longueur, nous pourrons mesurer tous les segments portés par L et par ses parallèles. Pour pouvoir
segments portés par L et par ses parallèles. Pour pouvoir comparer toutes les longueurs du plan, il suffira maintenant de connaître un vecteur unité sur une droite de chaque direction, par exemple, sur chacune des droites passant par un point O. Le lieu des extrémités de ce vecteur d'origine O est une courbe pour laquelle O est manifestement un centre de symétrie et le pôle de la droite de l'infini. Elle coupe toute droite passant par O en deux points. A cela près, elle est arbitraire jusqu'à nouvelle convention. On la nomme circonférence de centre O. On voit que la
la nomme circonférence de centre O. On voit que la connaissance d'une seule circonférence type permet d'établir et, dans des limites que nous ne recherchons pas ici, de construire toutes les relations métriques dans le plan. En particulier, l'emploi de parallèles permet d'en déduire des circonférences de tous rayons et de centre quelconque. La convention ci-dessus ainsi que la nature de la circonférence se déduisent dans la pratique d'un principe nouveau, celui de l'existence de corps solides, et cela en utilisant une notion nouvelle, la notion d'angle, qui s'introduit par le plan tangentiel et dont nous allons d'abord parler. Notion
le plan tangentiel et dont nous allons d'abord parler. Notion d'angle. De même en effet que deux points sont la plus simple figure ponctuelle, deux droites du plan sont une figure appelée angle. Cette fois encore, toute relation projective lie au minimum quatre droites d'une gerbe ponctuelle. La mesure d'un angle exigera le secours d'éléments singuliers. Or, le plan tangentiel renferme un seul élément singulier, la droite de l'infini; mais celle-ci peut être considérée aussi comme une infinité de points, collectivement singuliers définissant des gerbes particulières qui englobent toutes les droites du plan. Ceci conduit à un premier groupement des
droites du plan. Ceci conduit à un premier groupement des droites par la notion de direction. Toutes les droites passant par le même point à l'infini (c'est-à-dire parallèles) ont même direction l'équerre avec la règle donne la réalisation directe d'une gerbe de direction donnée. Cela posé, on convient que l'angle de deux droites est fonction seulement de leurs deux directions c'est la proposition sur les angles de deux parallèles et d'une sécante. L'angle de deux directions est une fonction à détermination unique (mais susceptible de deux sens différents suivant l'origine choisie) de leurs points à l'infini. Les origines et les
choisie) de leurs points à l'infini. Les origines et les extrémités d'angles égaux et de même sens décrivent sur la droite de l'infini une homographie. Celle-ci peut être définie en particulier par ses points doubles, qui apparaissent ainsi comme des points singuliers d'un ordre plus élevé que les autres points à l'infini on les nomme les points cycliques. La « valeur » de l'angle est liée à la constante de l'homographie. Une valeur d'angle remarquable est celle qui correspond à l'involution. On l'appelle un angle droit et ses côtés sont « rectangulaires ». Soient Ox une direction, Oy la perpendiculaire.
« rectangulaires ». Soient Ox une direction, Oy la perpendiculaire. Sur la droite de l'infini, x et y sont conjugués harmoniques par rapport aux points cycliques. L'angle droit d'origine Oy a donc pour extrémité Ox; deux angles droits représentent l'angle que fait une droite avec elle-même (ou plutôt son prolongement). Nature de la circonférence. – Il est facile de rétablir les propositions usuelles de la Géométrie. Pour cela, on remarque que, lorsque deux droites OA et OB sont conjuguées harmoniques par rapport à deux droites rectangulaires Ox et Oy, les angles xOA et yOB sont égaux (définition ci-dessus). Par suite,
angles xOA et yOB sont égaux (définition ci-dessus). Par suite, si AB est parallèle à Oy, son point de rencontre C avec Ox est le milieu du segment AB. Or, l'expérience nous apprend qu'il existe dans la nature des corps dits « solides » susceptibles de se déplacer sans déformation, c'est-à-dire sans que les rapports de leurs éléments constituants soient modifiés. Que veut dire cela? Cela veut dire que, si trois points d'un corps solide coïncidant avec trois points A, B, C de l'espace viennent après déplacement coïncider avec A', B', C' et si nos conventions métriques sont convenablement choisies,
B', C' et si nos conventions métriques sont convenablement choisies, on doit avoir AB = A'B', AC = A'C, BC=B'C', angle BAC = angle B'A'C, ceci quel que soit le corps solide utilisé. Définissons précisément comme longueures égales sur deux droites celles qui peuvent coïncider successivement avec un même élément de corps solide. Les relations AB = AB', AC = A'C', BC=B'C' seront satisfaites ipso facto. Mais les relations telles que angle BAC = angle B'A'C n'en résulteront pas, et nous serons conduits au résultat suivant « Deux triangles ayant les trois côtés égaux doivent aussi avoir les angles égaux
les trois côtés égaux doivent aussi avoir les angles égaux chacun à chacun. » Tel est l'énoncé mathématique du principe de l'existence des corps solides, qui se réduirait à une tautologie, comme on voit, si l'on ne supposait pas préalablement acquises les notions de longueur et d'angle. On parvient aussitôt, cela est clair, aux énoncés des deux autres cas usuels d'égalité des triangles. Cela posé, revenons à nos triangles AOC et BOC; ils ont un angle égal (l'angle en C qui est droit) compris entre deux côtés égaux. Ils sont égaux et OB = OA ce qui conduit à la
égaux et OB = OA ce qui conduit à la génération de la circonférence. Soit en effet A' le point tel que OA' = OA en sens inverse; et joignons A'B cette droite est perpendiculaire à AB ce qui montre que AB et A'B se déterminent l'un l'autre d'une manière unique. Laissant fixes A et A.' et faisant varier B, il décrira la circonférence qui est obtenue comme intersection de deux faisceaux homographiques. La circonférence est donc une conique et elle coupe la droite de l'infini aux points cycliques. Plan euclidien. En résumé, les notions de longueur et d'angle, sur
euclidien. En résumé, les notions de longueur et d'angle, sur lesquelles repose en totalité la Géométrie métrique, s'introduisent 1° La notion de longueur sur une droite par la différenciation sur celle-ci du point à l'infini. 2° La comparaison de longueurs quelconques du plan, unie à la notion d'angle, par la différenciation de la droite de l'infini et des points cycliques. Ce mode d'exposition est très général et montre clairement l'insuffisance de la définition usuelle de l'égalité des longueurs et angles par superposition après déplacement « à la manière d'un solide invariable » Nous montrerons plus loin que ce dernier énoncé,
invariable » Nous montrerons plus loin que ce dernier énoncé, pour avoir un sens, nécessite un grand nombre de postulats implicites, comme l'homogénéité et l'isotropie de l'espace matériel, non seulement au point de vue étendue, mais à tous les points de vue physique, chimique, magnétique, etc. Cet exposé montre en outre clairement que la Géométrie métrique aussi bien que projective est l'étude du plan « ensemble continu de points de deuxième grandeur à colligeants binaires » ayant pour singularités cette fois (c'est sa définition euclidienne) une droite et deux points remarquables à l'infini. Toutefois, pour passer d'une droite à l'autre
remarquables à l'infini. Toutefois, pour passer d'une droite à l'autre dans le plan en comparant des longueurs, il faut définir en plus la « nature de la circonférence » et nous avons vu qu'elle découle de la possibilité des déplacements sans déformation. Nous avons indiqué aussi qu'il est suffisant pour déterminer la métrique de toutes les droites du plan, de donner une circonférence étalon, ou encore, puisque celle-ci est une conique dont deux points sont connus, deux segments égaux sur deux droites non parallèles. Nous ne parlerons pas ici de l'utilisation comme nouveau colligeant de la circonférence la plus générale
l'utilisation comme nouveau colligeant de la circonférence la plus générale (tracée au compas). Enfin nous voyons aussitôt comment les théories géométriques sont indépendantes de la forme « absolue » des ensembles étudiés. Pour le faire sentir mieux encore, revenons à notre représentation du plan sur la sphère au moyen d'un apex A. Des vecteurs « égaux » sur une « droite » quelconque sont tels que l'origine et l'extrémité décrivent une homographie dont les points doubles sont confondus en A. Dans le plan de la circonférence-droite, ceci signifie que, vues de deux points convenables O, et O2, les extrémités et
de deux points convenables O, et O2, les extrémités et les origines de segments MN et PQ de longueur égale doivent se projeter en un même point de la tangente en A à la circonférence. A notre sens à nous, ces segments décroissent tout en se déplaçant vers A, de sorte que, répétant sans cesse la même longueur, on se rapproche indéfiniment de ce point sans jamais l'atteindre. Mais toutes les apparences que nous rencontrons dans notre monde propre se retrouveraient pour des êtres vivants sur cette sphère avec des conditions de température et de coefficient de dilatation telles que
conditions de température et de coefficient de dilatation telles que les deux longueurs que nous venons de définir « égales » soient effectivement superposables pour eux après transport de l'une d'elles. Nous n'insisterons pas sur la nature de tels êtres, pour lesquels le point A aurait toutes les propriétés de l'infini. Ils sont les parents euclidiens d'autres que nous rencontrerons bientôt et que l'on reconnaîtra aussitôt : ils font partie de la faune de M. Henri Poincaré. Les « directions » des circonférences-droites sont définies par leur point infiniment voisin de A, c'est-à-dire par leur tangente en ce point, et
de A, c'est-à-dire par leur tangente en ce point, et l'« angle » de deux directions est lié à l'angle de ces tangentes. S'ils sont pris égaux, la correspondance univoque, qu'il est toujours possible d'établir entre l'ensemble des plansphériques et un plan ordinaire, peut être encore, avec un choix convenable du dernier, une inversion. Cette transformation, dont on sait en effet qu'elle conserve les angles, s'étend sans difficulté à l'espace entier. Nous avons dû tout à l'heure, pour asseoir les bases de la théorie de l'homographie, et par elle, de la géométrie entière du plan entendu comme « ensemble de
la géométrie entière du plan entendu comme « ensemble de points », compléter la définition du plan par cet axiome que deux droites quelconques y ont un point commun et d'ailleurs un seul. Telle quelle, cette proposition n'est pas vérifiable. Tout ce que nous savons, ce qui est vraiment nécessaire, et qu'il n'est venu à l'idée de personne de nier, c'est que dans l'espace où nous vivons, accessible à nos perceptions, deux droites quelconques n'ont jamais plus d'un point commun, et cette circonstance est celle même qui nous a permis de définir la droite comme colligeant binaire. Le passage de
de définir la droite comme colligeant binaire. Le passage de cette donnée à l'axiome que nous avons énoncé exige qu'il soit adjoint au plan accessible, pour les besoins du raisonnement, des éléments qui ne peuvent résulter, bien entendu, d'une abstraction, mais d'une définition a priori qui les crée. Le système euclidien alloue à toute droite un point et un seul hors l'espace accessible, à toute plan une droite et une seule « à l'infini ». Rien n'empêcherait au point de vue logique de compléter autrement notre espace, à la condition que la zone accessible soit renfermée dans ce que l'on
que la zone accessible soit renfermée dans ce que l'on nomme une région normale c'est-à-dire n'en voie pas ses propriétés altérées. « Question de définition, de commodité », disent certains géomètres. Rejeter le postulat d'Euclide, ce sera attribuer à chaque droite à l'infini, non plus un point seul, mais une infinité. Les limites 1 et J de tout à l'heure ne viendront plus se confondre, et le complément de la droite sera devenu un segment. En langage élémentaire, d'un point extérieur pourra être mené à une droite, non plus une parallèle unique, mais un secteur parallèle, limité par les droites