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superposables des longueurs définies égales plus haut. Si dans un plan riemannien, on a placé l'apex au centre de la sphère, les longueurs riemaniiennes égales le sont aussi au sens euclidien avons-nous vu; il en est encore de même des angles. On pourra donc passer de la géométrie riemannienne à la géométrie sphérique ordinaire et vice versa par une véritable traduction dualistique (voir Science et Hypothèse, p. 57). Choix d'une géométrie – Les seules données que la constitution de notre esprit impose comme inéluctables aux géomètres sont que, dans une zone d'espace très étendue par rapport à nos dimensions propres,
zone d'espace très étendue par rapport à nos dimensions propres, deux droites n'ont jamais plus d'un point commun, et aussi qu'il existe des corps dits solides susceptibles d'être déplacés sans se déformer, c'est-à-dire sans que les rapports existant entre leurs éléments (relations de position et rapports métriques) soient modifiés. La géométrie euclidienne est conciliable avec ces données et a répondu jusqu'ici à tous nos besoins. Pourra-t-elle se trouver en défaut un jour, alors que nos moyens d'investigation perfectionnés permettront de plier aux mesures de nos instruments des longueurs jusqu'ici insoupçonnées? Des mesures de longueurs et d'angles faites « avec une
Des mesures de longueurs et d'angles faites « avec une exactitude suffisante, donneront-elles un jour le moyen de savoir si notre monde physique est riemannien ou lobatchewskyen, en calculant le signe de son paramètre, et même, dans le cas où ce paramètre serait assez petit, sa grandeur approchée? Telle est la question que posent les métagéomètres, mais qu'il y a lieu de préciser. Il est bien entendu que l'espace dans lequel nous vivons et sur lequel est modelé notre cerveau, existe indépendamment de nos conventions et de nos postulats. Il est en fait euclidien ou autre chose, mais non les
est en fait euclidien ou autre chose, mais non les deux; du moins il est tel relativement aux perceptions que nous en avons, c'est-à-dire dans la seule réalité qui ait vis-à-vis de nous un sens. Or, les géométries lobatchewskyenne et riemannienne, appliquées à un espace de paramètre très grand par rapport aux dimensions d'une zone d'étude, donnent dans celle-ci des résultats presque identiques à ceux d'Euclide et qui en diffèrent d'autant moins que le paramètre est plus grand. Serons-nous amenés un jour à déceler l'existence d'un paramètre, et à reconnaître que notre ancienne géométrie, bonne seulement pour notre horizon, n'avait
que notre ancienne géométrie, bonne seulement pour notre horizon, n'avait que le mérite d'y être « la plus commode », ainsi que le déclare Henri Poincaré? Pour le nier « géométriquement », il faudrait donner une démonstration logique du postulat d'Euclide, et c'est ce que personne ne tente plus. N'ont-nous pas vu qu'il était possible de construire des espaces euclidiens, mais dotés de propriétés physiques particulières, et dans lesquels des habitants pensant comme nous, quoique modelés sur ce monde différent, seraient des géomètres lobatchewskyens ou riemanniens ou bien plus compliqués encore? C'est dire qu'entre ces conceptions de l'espace et nos
encore? C'est dire qu'entre ces conceptions de l'espace et nos concepts géométriques obligés il n'y a pas contradiction. Certes, mais nous allons montrer que des êtres vivant dans un monde non euclidien ne sauraient penser comme nous, et que l'indécision des métagéomètres est interdite aux analystes. Caractère euclidien de l'espace. Si l'on excepte la géométrie pure et l'algèbre, toutes les sciences mathématiques (Astronomie, Mécanique, etc.) font un emploi permanent et essentiel de la géométrie analytique. Or, quel est le fondement de cette science? Son principe est de mettre en correspondance la série des nombres naturels avec les points d'une droite
la série des nombres naturels avec les points d'une droite au moyen de la notion de longueur. Partant d'un point initial 0 noté zéro sur une droite L, tout point M est affecté d'un nombre et d'un signe qui caractérisent en grandeur et sens le vecteur OM. Jusqu'ici, rien que de facile sur une droite de tout système. Supposons que, par un procédé géométrique quelconque (si l'on veut par une projection), on ait réalisé entre les points de deux droites L et L' une correspondance biunivouque. Les abscisses x et x' de deux points correspondants A et A' devront être
x' de deux points correspondants A et A' devront être liées également par une relation biunivoque, c'est-à-dire de la forme axx' + yx' + 0 = 0 qui peut s'écrire ax + b a' x + b' Faisons croître c indéfiniment avec un signe puis avec l'autre. La valeur de x' tendra dans l'un et l'autre cas vers la limite unique et bien déterminée – Mais, faire croître x indéfiniment revient à éloigner le point A sur L de chaque côté jusqu'aux limites de la partie accessible de cette droite. On voit qu'algébriquement, la zone à l'infini d'une droite correspond
On voit qu'algébriquement, la zone à l'infini d'une droite correspond d'une manière univoque à une valeur unique du paramètre sur l'autre, c'est-à-dire que, géométriquement, elle a les propriétés d'un point. L'application de l'analyse à la géométrie, c'est-à-dire la mise en parallèle des propriétés des nombres et de celles de l'espace, exige qu'il soit attribué à chaque droite un point et non un segment « à l'infini ». Or, la nature « point » de la partie à l'infini d'une droite est précisément ce qu'exprime le postulat euclidien. Un géomètre non euclidien exigerait une solution de continuité entre la série des
euclidien exigerait une solution de continuité entre la série des nombres positifs et celle des nombres négatifs. Cette idée est analytiquement inconcevable. Elle nous heurte dans nos concepts les plus fondamentaux, dans une de ces notions qui ne sont que « la puissance de notre esprit qui s'affirme ». Ainsi donc, la notation ponctuelle du zéro n'est compatible qu'avec le caractère euclidien de l'espace. Dira-t-on qu'il ne s'agit que d'approximation ? Impossible, sans renoncer à toute rigueur dans l'analyse pour laquelle le zéro est, non une longueur très petite, mais strictement un point. Mais il n'y a pas un espace
strictement un point. Mais il n'y a pas un espace spécial pour les géomètres et un autre pour les analystes. Il n'y en a qu'un seul le nôtre. Il ne peut donc être qu'euclidien. Résumons-nous : un géomètre qui ne serait que géomètre ne pourrait trouver dans son art le moyen de décider logiquement entre plusieurs caractères d'espace, c'est-à-dire entre plusieurs définitions du plan également utilisables par lui, à la commodité près. « Il n'y a pas de géométries plus ou moins vraies, il y a seulement des géométries plus ou moins commodes. » (Poincaré, Revue générale des Sciences, 1891.)
ou moins commodes. » (Poincaré, Revue générale des Sciences, 1891.) Cependant, beaucoup de géomètres, qui croient à la réalité du caractère euclidien de l'espace, donnent à cette affirmation, ainsi qu'à l'interrogation plus haut citée de M. Barbarin une réponse de valeur pratique expérimentale « On peut évaluer avec toute la précision dont sont capables nos instruments d'observation les angles d'un triangle pour rechercher si leur somme est égale à deux droits. En opérant ainsi, on constate que l'égalité est bien vérifiée (ou du moins que l'écart est inférieur aux erreurs d'observation). « Nous sommes donc autorisés à dire que la
d'observation). « Nous sommes donc autorisés à dire que la géométrie qui représente le plus fidèlement la réalité est la géométrie euclidienne ou, du moins, en diffère très peu. « En un mot, non seulement nous avons théoriquement le droit d'adopter la géométrie euclidienne, mais encore cette géométrie est physiquement vraie. » Hadamard, Leçons de Géométrie élémentaire. Nous montrons ici qu'elle est mieux que cela mathématiquement vraie. Il y a donc contradiction dans le titre même d'un ouvrage comme Essai de géométrie analytique générale, où « général » signifie non tributaire du postulatum d'Euclide (de Tilly). Poincaré a présenté à
tributaire du postulatum d'Euclide (de Tilly). Poincaré a présenté à l'Académie des Sciences, dans sa séance du 19 mai 1834, une « analyse rapide » de sa solution du mouvement d'un solide autour d'un point fixe, qu'il a ensuite développée dans un Mémoire sur une Théorie nouvelle de la rotation des corps, qui a été publié dans le Journal de Liouville, et qui a paru plus tard comme Addition dans la Connaissance des Temps de 1854. On peut résumer sa méthode en quelques lignes. 1° Il introduit la notion d'ellipsoïde d'inertie par rapport au point fixe, et montre que l'axe
d'inertie par rapport au point fixe, et montre que l'axe instantané de rotation est le diamètre conjugué du plan qui contient le couple obtenu en réduisant à ce point fixe le système de vecteurs formé par les quantités de mouvement nées de la rotation. 2° Il détermine le système des forces centrifuges dues à cette rotation. Il naît de ces forces une rotation élémentaire qui se détermine par le paragraphe 1° au moyen de l'ellipsoïde d'inertie, et qui, se composant avec la rotation instantanée actuelle, produit la rotation à l'instant suivant. 3° Il remarque que cette rotation composante est parallèle
suivant. 3° Il remarque que cette rotation composante est parallèle au plan du couple des quantités de mouvement, et en déduit sans effort ses conclusions relatives à la représentation du mouvement par le roulement de l'ellipsoïde d'inertie sur un plan fixe. Les forces centrifuges dont la considération a conduit Poinsot à sa célèbre solution, sont évidemment dans son esprit les forces d'inertie nées du mouvement du solide. Or il est remarquable que la manière dont il les conçoit et les évalue procède d'une idée qui était peut-être admise au temps de Poinsot, mais qui serait aujourd'hui universellement rejetée. Tandis que
de Poinsot, mais qui serait aujourd'hui universellement rejetée. Tandis que la notion de l'axe instantané de rotation ne doit servir qu'à figurer la distribution à un instant donné des vitesses dans le solide, Poinsot raisonne comme s'il y avait une rotation effective qui ferait décrire des cercles aux molécules, et même comme si cette rotation était uniforme. Dès lors il voit naître, de la rotation instantanée un système de forces centrifuges rencontrant cet axe auquel elles sont normales et proportionnelles à la distance à l'axe ainsi qu'au carré de la rotation; et c'est en étudiant la modification que ce système,
rotation; et c'est en étudiant la modification que ce système, si singulièrement conçu, introduit dans le mouvement, que Poinsot est conduit à cette solution célèbre à laquelle son nom est resté attaché. Ainsi d'illustres géomètres avaient appliqué à ce problème du mouvement d'un solide autour d'un point fixe une analyse rigoureuse, et en avaient donné une solution complète en développant toutes les conséquences des formules élégantes et symétriques auxquelles ils l'avaient ramené; mais ils n'avaient pas aperçu cette représentation du mouvement si simple, si claire, figurée aux yeux d'une façon si saisissante, à laquelle Poinsot est conduit par une erreur
si saisissante, à laquelle Poinsot est conduit par une erreur de Mécanique. Il vaut la peine d'étudier de près ce fait singulier qui n'est pas isolé dans l'histoire des découvertes et dont il y a même, avant Poinsot, d'autres illustres exemples. C'est ce qui est l'objet de l'étude qui va suivre. Considérons un solide animé d'une rotation instantanée 0 autour d'un axe OZ. En prenant pour centre de réduction un point quelconque O de l'axe, le système de vecteurs formé par les quantités de mouvement de toutes les molécules donne une résultante générale P perpendiculaire à l'axe, et un couple
une résultante générale P perpendiculaire à l'axe, et un couple résultant dont l'axe G se décompose en un vecteur N porté par l'axe OZ, et un vecteur K qui lui est perpendiculaire. Poinsot admet que cette rotation 0, même si elle est instantanée, c'est-à-dire si la direction de cet axe varie d'un instant à l'autre, même si la grandeur de 0 varie aussi, naissent des forces centrifuges qui agissent suivant les rayons r des cercles décrits. Réduisant au même point O le système de ces forces centrifuges, il obtient une résultante = 0P, et un couple d'axe y = OK,
résultante = 0P, et un couple d'axe y = OK, perpendiculaires tous deux à l'axe OZ. Les directions de 0 et de y forment respectivement, avec celles de P et de K, en arrière du mouvement des angles droits. On peut aussi écrire y = 0Gsin, en désignant par i l'angle de l'axe G et de l'axe de rotation OZ. Or, pour comprendre dans la suite comment cette analyse de Poinsot l'a conduit tout de même au résultat, il est capital d'observer dès à présent que ce vecteur Z est égal et opposé à la vitesse qu'aurait l'extrémité du vecteur
égal et opposé à la vitesse qu'aurait l'extrémité du vecteur G s'il était soumis à la rotation autour de OZ, et il est bon de montrer comment on pouvait le prévoir. Considérons pour cela un solide assujetti à tourner autour d'un axe fixe OZ, et qui n'est soumis à aucune force, si ce n'est aux réactions de l'axe, qui sont perpendiculaires à cet axe. Ce solide sera évidemment animé d'une rotation constante 0 autour OZ, et les forces d'inertie ne seront autres, dans ce cas, que les forces centrifuges considérées par Poinsot, qui donnent 0 et y comme éléments de
par Poinsot, qui donnent 0 et y comme éléments de réduction au point O. Mais, d'après le théorème de d'Alembert, le système de vecteurs formé par les réactions de l'axe d'une part, d'autre part par les forces d'inertie, est équivalent à zéro. Donc, par rapport au point O, le couple résultant du système formé par les réactions de l'axe et le couple résultant du système formé par les forces d'inertie (qui sont ici les forces centrifuges de Poinsot) sont égaux et opposés. On sait aussi par le théorème de Hélas que la vitesse de l'extrémité G du vecteur OG qui
que la vitesse de l'extrémité G du vecteur OG qui représente le couple résultant du système des quantités de mouvement est équipollent au couple résultant du système des forces agissant sur le solide, c'est-à-dire, dans le cas actuel, des réactions de l'axe. Nous arrivons ainsi à ce résultat que la vitesse du point G due à la rotation est égale et opposée au moment des forces centrifuges telles que les conçoit Poinsot. Mais alors, si au bout de l'élément de temps dt on composait le vecteur G dans la nouvelle position que lui aurait fait prendre la rotation avec le
position que lui aurait fait prendre la rotation avec le vecteur y du provenant des forces centrifuges, on retrouverait la position primitive de G. Cette observation a conduit Poinsot à penser que la considération des forces centrifuges, telles qu'il les entendait, devait donner une démonstration nouvelle (qui serait la confirmation de sa conception) de l'invariabilité de la résultante R et du couple résultant G du système des quantités de mouvement dans le cas où il n'y a pas de forces extérieures; et voici comment il s'exprime : « Il n'est pas inutile de montrer comment cette force 0dl et ce
pas inutile de montrer comment cette force 0dl et ce couple y dl, nés des forces centrifuges, ne peuvent jamais troubler ni la grandeur ni la position dans l'espace de la résultante R et du couple résultant G. Et cela même alors nous paraît d'autant plus curieux à examiner que, non seulement ces forces centrifuges ne troublent ni R ni G, mais qu'elles sont même nécessaires à leur conservation; de sorte que si, à chaque instant, on venait à détruire la force Tid/dl et le couple ydl, R et G ne se conserveraient plus de position dans l'espace absolu. Ce
ne se conserveraient plus de position dans l'espace absolu. Ce qui est curieux, il me semble, c'est la démonstration qui suit cette remarque. Poinsot prend un solide libre et qui n'est soumis à aucune force extérieure; il choisit pour centre de réduction des quantités de mouvement la projection O du centre de gravité g sur l'axe spontané glissant, c'est-à-dire sur l'axe du mouvement hélicoïdal instantané; il admet qu'après l'élément de temps dl, les éléments de réduction ont été entraînés comme le corps dans ce mouvement hélicoïdal, et il les remet dans leur place primitive grâce aux forces centrifuges qui naissent
dans leur place primitive grâce aux forces centrifuges qui naissent de ce mouvement. Or ces forces centrifuges, qui sont évidement dans son esprit les forces d'inertie, il les détermine comme s'il s'agissait d'un mouvement de rotation uniforme autour d'un axe invariable et d'un mouvement de translation uniforme le long du même axe. La démonstration réussit parce qu'en effet des forces d'inertie ainsi conçues doivent donner des éléments de réduction qui ne sont autres que des vecteurs égaux et opposés aux vitesses des extrémités des vecteurs résultants du système de quantités de mouvement dues à la rotation et au glissement. C'est
de mouvement dues à la rotation et au glissement. C'est de quoi il est facile de se rendre compte en étudiant le cas où cette manière d'évaluer les forces d'inertie est légitime. Ce cas n'est autre que celui d'un solide assujetti à tourner autour et à glisser le long d'un axe fixe, sans frottement et sans forces extérieures. Le solide n'étant soumis qu'aux réactions de l'axe qui sont normales à l'axe, le mouvement de translation et le mouvement de rotation sont uniformes, et les forces d'inertie sont bien ici les forces centrifuges sur lesquelles raisonne Poinsot. En appliquant ici, comme
forces centrifuges sur lesquelles raisonne Poinsot. En appliquant ici, comme dans le paragraphe I, le théorème de d'Alembert et le théorème de Résal, on voit que l'extrémité de la résultante R et celle du résultant G qui ont leur origine en un point fixe O de l'axe, ont des vitesses respectivement égales et opposées aux vecteurs t : et y. C'est pourquoi Poinsot, dans sa démonstration, par les déplacements élémentaires ndl et ydl, peut remettre R et G à la place qu'ils occupaient au début de l'intervalle élémentaire dl. La véritable découverte de Poinsot, à laquelle il doit, malgré sa
véritable découverte de Poinsot, à laquelle il doit, malgré sa conception "inexacte" des forces d'inertie, d'être arrivé à sa célèbre solution, c'est celle de l'ellipsoïde d'inertie, qu'il appelle l'ellipsoïde central. Il explique lui-même, dans le Chapitre I de la deuxième Partie de son Mémoire, qu'il a été conduit à cette originale et féconde conception en cherchant à donner une interprétation géométrique, une représentation sensible de la correspondance qui existe entre l'axe de la rotation instantanée et l'axe du couple résultant des quantités de mouvement ou, comme il dit aussi, l'axe du couple d'impulsion. Et quand il énonce que « si
du couple d'impulsion. Et quand il énonce que « si un corps est frappé par un couple dirigé dans un plan quelconque tangent à l'ellipsoïde central, le pôle instantané de la rotation à laquelle ce couple donne naissance est précisément le point de contact », et que réciproquement « si un corps tourne, on peut dire que le couple actuel qui l'anime est dans le plan tangent au pôle », il a bien raison d'ajouter que « c'est là un des théorèmes les plus simples et les plus élégants qu'on puisse offrir en Dynamique sur la théorie si difficile et
puisse offrir en Dynamique sur la théorie si difficile et si obscure de la rotation des corps ». Mais continuons et montrons comment il se sert de ce beau théorème et de la considération de ses forces centrifuges pour avancer dans cette théorie difficile et obscure. L'ellipsoïde d'inertie relatif au point fixe O a permis de déterminer l'axe instantané de rotation O1 correspondant au couple d'impulsion actuel; mais, dit Poinsot, cet axe va changer par l'effet des forces centrifuges nées de la rotation elle-même. En réduisant au point O ce système de forces centrifuges, on obtient une résultante II qui
système de forces centrifuges, on obtient une résultante II qui est détruite par la fixité de ce point, et un couple y (Poinsot l'appelle ici g) dont « l'effort gdl pour un instant dt imprime au corps une rotation infiniment petite ydt, laquelle se compose avec la rotation actuelle θ et fait varier l'axe et la grandeur de cette rotation ». Nous avons vu et expliqué que l'axe de ce couple g est égal et opposé à la vitesse, qu'aurait l'extrémité du vecteur OG si cette extrémité OG était soumise à la rotation θ autour de O1, ce qui revient
à la rotation θ autour de O1, ce qui revient à énoncer avec Poinsot que « si l'on prend deux lignes dont l'une représente l'axe et la grandeur du couple d'impulsion et l'autre l'axe et la grandeur de la rotation instantanée, le couple accélérateur dû aux forces centrifuges est toujours représenté, et pour son plan, et pour sa quantité, par la surface du parallélogramme construit sur deux lignes que l'on considère ». Mais alors pour avoir la rotation à l'instant suivant, il faut composer la rotation θ dont l'axe est O1 avec la rotation ydt produite par le couple gdt
O1 avec la rotation ydt produite par le couple gdt et qui, d'après la règle de Poinsot, a son axe dirigé suivant le diamètre conjugué du plan qui contient le couple g, c'est-à-dire du plan GOI qui contient l'axe de rotation O1 et l'axe du couple d'impulsion OG. Ce diamètre est donc, en particulier, « conjugué à l'axe O1, et de cela seul il résulte que le diamètre qu'apporte ydt est situé dans le plan même du couple d'impulsion G, car ce plan étant conjugué à l'axe instantané O1; il est le lieu de toutes les droites qui peuvent être
est le lieu de toutes les droites qui peuvent être conjuguées à O1 ». Donc l'axe de la rotation due au couple accélérateur g qui provient des forces centrifuges, est toujours situé dans le plan même du couple d'impulsion G dont le corps est actuellement animé. Par conséquent, si l'on compose la rotation 0 avec cette rotation élémentaire y dt dont l'axe est parallèle au couple d'impulsion, l'extrémité de l'axe de la nouvelle rotation se trouve à la même distance du plan du couple G mené par 0 que l'extrémité de l'axe de la rotation primitive, et, puisque nous avons
de l'axe de la rotation primitive, et, puisque nous avons appelé i l'angle de 0l avec l'axe de G, on peut écrire 0 cos i = const. Dès lors la solution de Poinsot est trouvée, car le principe des forces vives montre immédiatement que le rayon 0l = u de l'ellipsoïde central est proportionnel à la rotation 0. Donc, comme on a trouvé que 9 cos i est constante, on peut conclure que u cos i est aussi constante et que, par conséquent, la hauteur h = u cos i du pôle 1 au-dessus du plan diamétral du couple G
du pôle 1 au-dessus du plan diamétral du couple G est constante dans tout le cours de la rotation; ou bien, si l'on prend, comme il est permis, pour plan du couple G, le plan parallèle tangent au pôle, on peut dire que le plan du couple d'impulsion reste toujours à la même distance h du centre O de l'ellipsoïde. Mais ce centre est immobile dans l'espace absolu, et le plan du couple reste toujours parallèle à lui-même donc ce plan, qui touche sans cesse l'ellipsoïde central au pôle instantané de rotation, est toujours un seul et même plan fixe
de rotation, est toujours un seul et même plan fixe dans l'espace absolu. Ainsi Poinsot est parvenu à sa belle solution parce qu'il a été conduit à prendre, pour le déplacement élémentaire du pôle de rotation, une direction conjuguée du plan formé par OG et 0l; il a été amené à envisager cette direction parce qu'il pensait que ce qui faisait changer la rotation, c'était l'action du couple des forces centrifuges, et nous avons vu comment sa conception de ces forces devait le conduire à trouver que le plan de ce couple n'était autre que ce plan QG, 0l. Et
ce couple n'était autre que ce plan QG, 0l. Et il est à remarquer que, quand même cette rotation élémentaire y dt, due à ce couple, n'aurait pas été du tout l'élément de rotation qui modifie effectivement la rotation 0 (ce qui, avec un peu moins de bonheur, aurait bien pu arriver), il aurait suffi que y dt fût parallèle, comme elle l'est, au plan du couple des quantités de mouvement pour que Poinsot arrivât à sa solution. Mais il se trouve justement que le vecteur élémentaire y dt trouvé par Poinsot est exactement celui qui modifie la rotation 0.