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coefficients de l'équation (1) de la courbe \(C\) de genre \(o\) (supposés ici entiers), fait correspondre à \(C\) point par point une courbe d'équation à coefficients rationnels (et ici entiers si l'on veut), de façon que cette courbe soit une courbe unicursale indécomposable de degré \(n – 2\), au moins si la transformation (17) est convenablement choisie. Les points doubles rationnels de la courbe (1) annulent, comme tous les points doubles de cette courbe, les numérateurs et les dénominateurs des fractions (17); mais ils peuvent être obtenus directement par un nombre fini d'opérations. Il en est de même des points
nombre fini d'opérations. Il en est de même des points rationnels de \(C\) qui annuleraient \(P_1\), \(P_2\) ou \(P_3\) en même temps que \(f(x, y)\). Tout autre point rationnel de \(C\) donnera un point rationnel à distance finie de \(F = 0\). On pourra maintenant opérer sur cette dernière courbe comme on l'a fait sur la courbe (1); et ainsi de suite. Chaque point simple rationnel de \(C\) correspond à, un point double ou à l'infini d'une des transformées successives d'ordre \(n – 2\), \(n – 1\), ou à un point rationnel de la courbe finale d'ordre \(3\) ou \(2\).
point rationnel de la courbe finale d'ordre \(3\) ou \(2\). Quand \(n\) est impair, cette courbe finale est d'ordre \(3\), et, son point double étant nécessairement rationnel, on peut exprimer les coordonnées de cette courbe sous la forme (2 ter) en fonction rationnelle à coefficients rationnels d'un paramètre \(t\). Quand \(n\) est pair, cette courbe finale est d'ordre \(4\) et est une véritable conique; a-t-elle, ou non, un point rationnel à distance finie ? Soit la courbe indécomposable \(C\), quand cette courbe a au moins \(n+3\) points simples rationnels on a alors besoin d'une méthode pour reconnaître si cette circonstance
a alors besoin d'une méthode pour reconnaître si cette circonstance se présente; il en existe une, que nous allons rappeler sommairement d'après MM. Nöther, Hilbert et Hurwitz, H. Poincaré, E. Picard (1), en la simplifiant et la précisant en vue de la détermination des points entiers de la courbe \(C\). On sait (notations de M. E. PICARD, Traité d'Analyse, t. II, 1893, 1re édition, p. 500, sauf le changement de \(m\) en \(n\)) qu'une transformation birationnelle son équation, où les coefficients sont entiers; posant on a à reconnaître si l'équation indéterminée a une solution en nombres entiers avec \(z^2 =
indéterminée a une solution en nombres entiers avec \(z^2 = 0\), et à en trouver une c'est un problème qu'on sait résoudre (1) par un nombre fini d'opérations. S'il y a une pareille solution, la courbe (18) a un point rationnel à distance finie; alors les coordonnées \(x\), \(y\) s'expriment en fonctions rationnelles (2 ter) du deuxième degré, à coefficients rationnels d'un paramètre \(t_n\) et (18) a une infinité de points rationnels correspondant aux valeurs rationnelles de \(t\), (et à \(t = ± \infty\)), et n'en a pas d'autres. On en conclut tous les points rationnels de la courbe \(C\).
en conclut tous les points rationnels de la courbe \(C\). Si l'équation (19) n'a pas de solutions en entiers avec \(z_2 = 0\), les points rationnels de la courbe \(C\) sont en nombre fini et ont tous été obtenus. Bien entendu, d'après le n° V, l'emploi de cette méthode est superflu si la courbe \(C\) est donnée a priori par les équations (2 bis) ou (2 ter) cette méthode permet encore, si la chose est possible, de trouver \(n+3\) points simples rationnels et de former les équations (2 bis) dans ces cas, nous allons voir qu'on peut trouver les points
ces cas, nous allons voir qu'on peut trouver les points entiers par un nombre fini d'opérations. Si la chose est impossible, la méthode précédente fournit les points entiers, qui se trouvent parmi les points rationnels. XI. Cas où \(C\) a une infinité de points rationnels. Nous aurons à distinguer les mêmes cas qu'au n° VII, en cherchant les points entiers correspondant à une valeur rationnelle \(t = -1\); les autres (points doubles et points \(i = ± \infty\)) pouvant s'obtenir directement et simplement. Premier cas \(n = 0\). – \((t)\) se réduit à une constante \(K\) qu'on peut supposer positive.
se réduit à une constante \(K\) qu'on peut supposer positive. On a, d'après (2 bis) et le n° VI, les degrés \(n\), \(n^3\) de \(f_2(t)\), \(f_3(t)\), étant \(> 0\), l'un d'eux étant de plus égal à \(n\). (1) Diaphént, Vorlesungen über Zahlentheorie, 3e édition, 1879, p. 131. Lagrange. Sur la solution des problèmes indéterminés du deuxième degré (Œuvres, t. Si, en 1868, Soit, par exemple, n1 = n2, n3 = n-1, avec i < n, et V"Æ. V ~l' ..Æ. Il q doit diviser bg et ch par suite leur plus grand commun diviseur (3, et ne peut avoir qu'un
plus grand commun diviseur (3, et ne peut avoir qu'un nombre fini de valeurs distinctes. Soit q1, avec i5y,5[3, un diviseur quelconque de 3 on envisagera alors les deux congruences simultanées on déterminera celles des solutions premières à q1, de la deuxième comprises entre 0 et Kq1 – 1 inclus, et l'on verra s'il y a parmi elles des solutions de la première; s'il n'y en a pas, le facteur q1 ne fournit aucun point entier de la courbe (i); s'il y en a, chacune d'elles fournit une infinité de points entiers correspondant à des valeurs de p qui sont
points entiers correspondant à des valeurs de p qui sont en progression arithmétique de raison K q1~l. Les facteurs y compris l'unité, étant en nombre fini il suffit d'un nombre fini d'opérations pour trouver tous les systèmes de valeurs p, q, qui rendent x, y entiers; s'il y en a, il y en a une infinité. Deuxième cas n1 étant > 0, f1(t) est irréductible. D'après le n° VI, p, q est une solution en entiers d'une équation de la forme (i3) ou tl n a qu'un nombre fini de valeurs distinctes. Lorsque n1 < n2, le n° VI (deuxième
valeurs distinctes. Lorsque n1 < n2, le n° VI (deuxième cas) montre que les solutions sont en nombre limité et s'obtiennent par un nombre fini d'opérations. Il en est de même quand n1 = n2 et que f1(t) n'a que des racines imaginaires on calculera une limite inférieure A de |f1(t)| pour les valeurs de t réelles; on a, par exemple et une inégalité analogue pour p Enfin, quand n1 = n2, et que (t) a une ou des racines réelles, on obtiendra une limite supérieure des valeurs absolues des solutions p, q en utilisant les théorèmes de Thue (complétés
solutions p, q en utilisant les théorèmes de Thue (complétés comme je l'ai indiqué ailleurs), et leur démonstration le nombre d'opérations à effectuer est encore limité. Troisième cas n1 étant > 0, f1(t) est réductible. – Lorsque n1<n2, d'après le n° VI (deuxième cas), les solutions, en nombre limité, s'obtiennent encore par un nombre fini d'opérations. Soit donc n1 = n2. p, q est solution en entiers d'une équation de la forme (i3) où B n'a qu'un nombre fini de valeurs distinctes, d'après le n° VI (premier cas). On décompose f1(p, q) en un produit de facteurs irréductibles à coefficients
f1(p, q) en un produit de facteurs irréductibles à coefficients entiers g1 (p, q), g2, gp, distincts ou non p, q sera à la fois solution en entiers des p équations avec B, Bp = B, où B1, Bp sont des entiers positifs; ces systèmes de p équations sont en nombre limité. Si ces polynomes ne coïncident pas tous à un facteur constant près, le plus simple sera pour chaque système de valeurs de B1, Bp de rechercher les points entiers communs aux courbes (i3 bis) en coordonnées cartésiennes p, q. S'ils coïncident à un facteur constant près, on peut
q. S'ils coïncident à un facteur constant près, on peut supposer ce dernier égal à 1 (ce qui ne peut que modifier les Bs) soit si alors gt(t) n'a que des racines imaginaires, soit X une limite inférieure de 1 |g1'(t)| pour les valeurs de t réelles on a ce qui donne une limite supérieure de q, et l'on a de même une limite supérieure de p; si g1(t) a au moins une racine réelle et est de degré > 2, les théorèmes de Thue et leur démonstration donnent des limites supérieures des valeurs absolues des solutions. Dans tous ces
limites supérieures des valeurs absolues des solutions. Dans tous ces cas, la solution complète s'obtient par un nombre fini d'opérations. Il ne nous reste plus à envisager que les cas où (t) est d'une des formes (i4) ou (i5). XII. Troisième cas (suite). – Si (t) est de la forme (1/4), un changement de paramètre ramène, d'après le n° IX, le problème à celui qu'on a résolu au n° XI (premier cas) mais on peut aussi opérer directement. f1(t) étant d'une des formes (14) ou (i5), on aura à chercher les valeurs entières de où (p, q) est d'une des
les valeurs entières de où (p, q) est d'une des deux formes avec, dans le cas de la deuxième, M, N, P sans facteur commun, N2 – 4 MP non carré parfait, mais > 0, n pair. Ou alors f1(p, q) = ± B, où B>0 n'a qu'un nombre limité de valeurs qu'on sait déterminer (n° VI, premier cas). On mettra chacune d'elles sous la forme aCn pour (i3 ter), aC2 pour (15 ter) de toutes les façons possibles, C étant un entier positif > 1. On aura à satisfaire aux conditions simultanées Envisageons la deuxième condition donnons à q
aux conditions simultanées Envisageons la deuxième condition donnons à q une valeur entière Q, arbitraire (mod B), où Q1 est un des nombres 0, 1,2, B, en sorte que q = Q1 + B2, et résolvons la congruence correspondante on en tire un nombre limité de valeurs P, de p (mod B), P étant un des nombres 0, 1, 2, B – 1, et p=P,-B2,. On cherchera alors quels sont les systèmes de valeurs P, Q, qui satisfont à la troisième condition. S'il n'y en a pas, la courbe C n'a pas de points entiers (en dehors, éventuellement, des points
n'a pas de points entiers (en dehors, éventuellement, des points doubles et du point t = ∞). S'il y en a, soit P1, Q1 l'un d'eux il y aura à vérifier si satisfait à la première des conditions (22), pour certaines valeurs de z, et de z, est-à-dire, suivant les cas, à Ces équations donnent en z, et z des équations indéterminées connues que l'on sait résoudre par un nombre fini d'opérations. Le nombre des systèmes (23) à envisager est d'ailleurs limité; par conséquent, on pourra trouver toutes les valeurs entières x, y correspondant aux équations (21) par un nombre
entières x, y correspondant aux équations (21) par un nombre fini d'opérations. Le résultat annoncé à la fin du n° IX est ainsi complètement établi. Remarques. Dans le cas de l'équation (15 ter), conformément au n° IX, on peut au préalable, grâce à un changement de paramètre, remplacer cette équation par une équation réduite où M = 1, N = 0, P = – S. D'autre part, dans l'étude des conditions (22), on pourrait commencer par déterminer les solutions de f(p, q) = ± B, c'est-à-dire de l'équation (23 bis) correspondante, et chercher, parmi elles, celles qui peuvent satisfaire à
correspondante, et chercher, parmi elles, celles qui peuvent satisfaire à la fois aux deux dernières conditions (22); ou encore, P, Q, satisfaisant alors à il pourra aussi être avantageux d'envisager d'abord ces congruences avant les deux dernières congruences (22), en vue de réduire le nombre des opérations mais ce sont là des détails d'application, sur lesquels je n'insiste pas. En résumé, nous venons d'indiquer 1° Dans le n° X, une méthode, déjà connue dans sa marche générale, pour déterminer les solutions rationnelles d'une équation indéterminée (i) à coefficients entiers, indécomposable et de genre 0; on en conclut, corrélativement, les solutions
et de genre 0; on en conclut, corrélativement, les solutions en entiers, quand les solutions rationnelles sont en nombre fini. 2° Dans les n°s XI et XII, une méthode pour déterminer les solutions en entiers x, y d'un système indécomposable (2 bis) ou (2 ter) à coefficients rationnels, autrement dit les points entiers d'une courbe unicursale (2 bis) ou (2 ter) indécomposable et à coefficients rationnels. Ces méthodes, qui fournissent complètement la solution correspondante au bout d'un nombre fini d'opérations, donnent ainsi la solution complète en nombres entiers des équations indéterminées indécomposables de genre 0 à coefficients entiers. XIII. Observations.
indéterminées indécomposables de genre 0 à coefficients entiers. XIII. Observations. – 1° Nous avons donné incidemment les éléments pour résoudre la question suivante: trouver les points entiers du conoïde x = f(y, z), où f(y, z) sont des polynomes homogènes en x, y de même degré effectif n et premiers entre eux. En effet, on remarque que toute solution x, y, z est de la forme A kx, y, z, où A, p, q, z sont des entiers, et q, p, z une solution telle que p, q sont premiers entre eux. On a donc à chercher les valeurs des
entre eux. On a donc à chercher les valeurs des entiers p, q premiers entre eux qui rendent entier les deux polynomes Il est clair que f(y, z) sont premiers entre eux, et l'un d'eux est de degré n. Dans les formules (n) et (12), R2(0, Ra(p, q, ?) sont des constantes, 7/i2 = 2n – 1; prenant R2(p, q) = D, f(p, q) divise q2'1'1 D et f2(p, q). Le raisonnement se continue comme aux premiers et deuxième cas du n° VI, A q" étant remplacé par Dc2""1. Les méthodes des nos VII à XII (n° X exclu), simplifiées
méthodes des nos VII à XII (n° X exclu), simplifiées le cas échéant (/:i n'intervenant pas ici), s'appliquent ensuite, même si n= 1, pour obtenir la solution par un nombre fini d'opérations. Le nombre des solutions p, q (p, q premiers entre eux) est en général fini, c'est-à-dire que les points entiers de z = f(x, y) se trouvent sur un nombre fini de droites du conoïde. Il n'en peut être autrement que si f(y) a une des formes particulières indiquées au n° VII [/, = const., ou (14), ou (11)]; car si f(y) est de degré 0 et <
(11)]; car si f(y) est de degré 0 et < n, f2(z) est de degré n, et le nombre des solutions est alors limité (n° VI, deuxième cas). Rien n'empêche d'appliquer la même méthode aux conoïdes x = f(y, z), où f(z) est un polynome entier en z à coefficients entiers. On cherche d'abord en coordonnées x, y, Z, les points entiers de Z = f(x, y); s'ils sont sur un nombre fini de droites (cas général), la solution s'achève après un nombre limité d'opérations, en cherchant les entiers z satisfaisant à une équation Z = f(z), où Z n'a
satisfaisant à une équation Z = f(z), où Z n'a qu'un nombre fini de valeurs. Il ne peut y avoir de points entiers sur un nombre infini de droites du conoïde que pour les formes très particulières de (y) déjà mentionnées. Voici encore une application à des courbes planes de genre 0. Soit une courbe algébrique x = f(y), où f(y) est un polynome irréductible à coefficients entiers, et t = y(x, y), où t est une fonction rationnelle de x et y à coefficients entiers; à tout point rationnel x, y de (1), correspond une valeur rationnelle t =
x, y de (1), correspond une valeur rationnelle t = – à un nombre limité d'exceptions près, en supposant que ni le numérateur ni le dénominateur de cp ne sont divisibles par f(x, y) et que f(x, y) ne se réduit pas à une constante pour les points de (1). Envisageons alors les points entiers de (1), et supposons que l'on puisse trouver un polynome V(x, y) à coefficients entiers, non divisible par et tel que ( ) Dès lors, les points de (1) qui correspondent à une valeur rationnelle donnée de t sont en nombre fini. où sont des
donnée de t sont en nombre fini. où sont des polynomes en t, premiers entre eux et à coefficients entiers. À un nombre limité d'exceptions près, que l'on sait déterminer par un nombre fini d'opérations, tout point entier de (1) donne, pour une valeur rationnelle de t, une valeur entière de F. Les valeurs de t qui correspondent à un point entier de (1) sont donc comprises parmi les valeurs rationnelles de t qui rendent entier (à quelques exceptions près). Soit n le plus grand des degrés des polynomes f. On est conduit à chercher les systèmes de valeurs des
On est conduit à chercher les systèmes de valeurs des entiers p, q, premiers entre eux et tels que soit entier. D'après ce qu'on a dit tout à l'heure [équation (24)], ces systèmes se déterminent par un nombre fini d'opérations. La courbe (1) ne pourra avoir une infinité de points entiers que si (y) a des formes particulières connues. Ce procédé réussira notamment quand i = 1, l'équation x de la courbe étant de la forme 1 La même méthode s'applique à la recherche des points x, y de (1), tel que Y soit entier et on a en effet
tel que Y soit entier et on a en effet où A est un entier et F, un polynome en x, y à coefficients entiers. Nous allons, à titre d'exemple, utiliser ces remarques pour la courbe z=k, z= sont des polynômes homogènes de degrés k et n respectivement, sans diviseur commun. Posant y = tx, on a, pour les valeurs de x différentes de 0, les polynômes pA(i, t), on(i, t) étant premiers entre eux. En posant, on peut utiliser la méthode indiquée ci-dessus (XIII, 1° et 2°) pour l'équation (i,) à la recherche des points entiers x, y. Soit
(i,) à la recherche des points entiers x, y. Soit v le plus grand des degrés de et f.2, qui sont premiers entre eux si v < n, Il est de degré n; si v est > n et est le degré de /v, <zn(x,y) a x en facteur, /2 est de degré k^v<n. Les valeurs de t sont en général en nombre fini, par suite aussi celles de x et de y; il n'en peut être autrement que si cp(k t) a une des formes particulières qui résultent du n° VII = const., ou = a (Mf + N)1,
n° VII = const., ou = a (Mf + N)1, ou, v étant pair, on verra même plus loin (4°) que, dans ces deux derniers cas, il faut = n. Une fois trouvées les valeurs rationnelles de t qui rendent x-k entier, il y aura à déterminer parmi elles celles qui donnent pour x et y des entiers. Lorsque k = n – 1, on retrouve des courbes unicursales dont on sait obtenir les points entiers (nos VI à XII). Nous allons étudier en détail, à titre d'exemple, le cas où n = 3, k = 1. Alors f., étant
où n = 3, k = 1. Alors f., étant du premier degré, et du troisième au plus si les points entiers sont en nombre infini, Il est d'une des formes connues Dans les deux premiers cas, on trouve facilement des exemples où il y a une infinité de points entiers (sauf quand i = 1 ou 2). a. = 1. La courbe a pour équation z3 + ay + bx = 0; elle est unicursale; il peut y avoir (n° VIII et XI) une infinité de points entiers. b. Soit z = a (Mf + N)1, t = –,
Soit z = a (Mf + N)1, t = –, où p, q sont premiers entre eux; on aura q (comme au n° VII), M, N étant premiers entre eux, où (3 est un entier positif ou négatif qui n'a qu'un nombre limité de valeurs possibles. Alors cette égalité n'est possible que pour un nombre limité de valeurs de q. et par suite de | X car elle fournit de suite une limite supérieure de q, supposé positif, par suite de | X | x et y n'ont qu'un nombre fini de valeurs. Enfin, quand i = 2, égalité de
fini de valeurs. Enfin, quand i = 2, égalité de la forme a est 0, puisque la courbe étudiée est du troisième degré q divise a et est limité ainsi que |X|, par suite p = x = q, y = Xp n'ont qu'un nombre fini de valeurs, et il n'y a qu'un nombre limité de points entiers. c. Soit M, N étant des entiers, dont l'un peut être nul. Dans ces cas, on peut trouver des exemples où il y a une infinité de points entiers. Les points entiers de cette courbe peuvent toujours s'obtenir par un nombre fini
de cette courbe peuvent toujours s'obtenir par un nombre fini d'opérations. Exemple soit où A, A2, B, B2 sont entiers, avec A et A2 ≠ 0; cette courbe n'a qu'un nombre fini de points entiers. 3° On peut se proposer de chercher les points entiers de la courbe correspondant à des valeurs rationnelles de t (/ /2, étant des polynômes entiers en t à coefficients entiers sans diviseur commun, dont n est le plus grand des degrés). On est conduit aux mêmes calculs et aux mêmes conclusions que dans les nos VI à IX et XI à XII, sans qu'on
nos VI à IX et XI à XII, sans qu'on ait à se préoccuper si la courbe (26) est ou non décomposable au sens du n° Il. C'est là une remarque très importante. Mais on voit de suite que, si cette courbe est décomposable, elle peut avoir des points entiers réels correspondant à des valeurs irrationnelles ou imaginaires de t. 4° On peut dès lors abréger les raisonnements de l'observation 2° ci-dessus par la remarque suivante applicable à toutes les équations où t est rationnel. On a d'abord à trouver les valeurs rationnelles de t qui rendent X et Y
les valeurs rationnelles de t qui rendent X et Y entiers. Soit v, le degré de qui est > n; si v < n, il faut que le degré de f2 soit k, puisque cpA et on sont premiers entre eux le degré de tnkf., est alors n^vt; étant de plus irréductible, on peut, quel que soit t>1, appliquer l'observation 3° ci-dessus. En particulier, il ne peut y avoir une infinité de valeurs rationnelles de t rendant X et Y entiers que si v = 0, ou si Il (t) est d'une des formes (14) ou (15) (n° VII), v,
est d'une des formes (14) ou (15) (n° VII), v, étant alors égal à n. Le résultat final de l'observation 2° n'est qu'un cas particulier de ce résultat. Si le nombre de ces valeurs de t est fini, on obtient la solution complète par un nombre limité d'opérations. 5° Les procédés ci-dessus (XIII, 2°, à XIII, 4°) permettent encore d'aborder l'étude des points entiers des cubiques de genre 1 dans quelques autres cas relativement particuliers. Dans ces conditions, à tout point P(x1, xk) de Ck correspond en général une valeur unique de t, rationnelle si le point P, k est
unique de t, rationnelle si le point P, k est rationnel, et un point unique P de C, rationnel avec P, k; réciproquement, à tout point P(t, xk) de C correspond un point unique P|A de C*, et, en général, une seule valeur de t, P |* et, en général, t étant rationnels si P l'est. Certains de ces polynomes peuvent se réduire à une constante, mais il n'en est pas ainsi à la fois pour F1, F2, ou k, en sorte que x1, x2, xk sont de véritables fonctions de t. On peut vérifier au fur et à mesure
de t. On peut vérifier au fur et à mesure que les raisonnements et les résultats des nos XIV à XVII subsistent, avec des simplifications le cas échéant, quand C,k est, dans l'espace xt, x2, une droite (avec n1/n2 = 1) ou une conique (avec n1/n2 = 2). Les exceptions visées par l'expression «en général», ne peuvent provenir que des points doubles de C ou des points à l'infini de C et C, et des valeurs de t infinies; elles ne correspondent qu'à un nombre fini de valeurs de t, donc à un nombre fini de points de C, et
donc à un nombre fini de points de C, et C. La courbe C est, en un certain sens, indécomposable. En effet, supposons que C comprenne au moins une partie d'une courbe algébrique F, d'équations où h1, hk–1 sont des polynomes entiers en a; xk. Les points communs à C et F correspondent, par hypothèse à une infinité de valeurs de t, et satisfont à ces k équations, qui ont dès lors lieu identiquement quel que soit t, quand on y remplace xt, xk par leurs valeurs. Donc F contient C; c'est-à-dire que si la courbe G a une partie
C; c'est-à-dire que si la courbe G a une partie commune avec une courbe F quelconque dont les équations sont de la forme, elle lui appartient entièrement. D'après ce qui précède, tout point rationnel de C à distance finie, s'il n'est point tel que (x1, xk) soit point double de C, k, correspond à une valeur rationnelle de t (ou à t = ±ac), puisque t est fonction rationnelle de xt, xk à coefficients rationnels; réciproquement, toute valeur rationnelle de t donne un point rationnel de C; ces derniers points sont donc en nombre infini. A ceux des points doubles
sont donc en nombre infini. A ceux des points doubles de Ck qui sont rationnels correspond un nombre fini de valeurs de t et de points de C; mais il subsiste un doute sur la question de savoir si ces valeurs de t et ces points de C sont rationnels; on peut toutefois le décider par un nombre fini d'opérations. Nous allons examiner maintenant dans quelles conditions la courbe F peut avoir une infinité de points entiers, c'est-à-dire de points dont les coordonnées sont des nombres entiers. Supposant que cela ait lieu, chacun de ces points correspondra en général à