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nombres dont la somme est égale à N; donc, si l'on imagine les nombres inférieurs à N et premiers avec lui écrits sur une ligne horizontale, par exemple dans l'ordre numérique croissant, puisqu'on les écrit au-dessous par ordre décroissant et qu'on additionne ces deux lignes, on aura Ce résultat est d'ailleurs bien d'accord avec celui qu'on déduit des formules (1) et (2). Dans la question proposée il était préférable, à cause de la troisième partie, de suivre la méthode que nous avons indiquée. LONGÉOT et P. KLOURY. Ont résolu la question 566. — MM. J. A. RAVINET, Institutrice à Lyon
question 566. — MM. J. A. RAVINET, Institutrice à Lyon : M. HUSSIER, instituteur au Puy; M. LEVESQUE, instituteur à Hennés; FERRAND, instituteur à Cognac, B. PERLISIER, à Yorey-sur-Avre. Cette solution a été composée avec celle de M. LONGÉOT, Professeur au Collège de Pont-de-Vaux, et de M. P. KOURNAY, Répétiteur au Collège de Sézanne. PRÉPARATION AU CERTIFICAT D'APTITUDE ET À L'AGRÉGATION DE L'ENSEIGNEMENT SPÉCIAL 579. — Circonscrire à un cercle donné, de rayon r, un triangle isocèle de périmètre donné 2p. Discussion. K. I. Soit le triangle isocèle HAG dans lequel AH = AG = l; M. = it. D'après
lequel AH = AG = l; M. = it. D'après l'énoncé, on a Prenant pour inconnue x la hauteur AI de du triangle HAG, on a Éliminant a entre les équations (1) et (2), puis h entre l'équation obtenue et l'équation (3), on trouve Cette équation du troisième degré admet toujours une racine négative qui ne convient pas à la question. Les deux autres racines, quand elles sont réelles, sont positives, car l'équation présente deux variations. On trouve immédiatement que la condition de réalité des racines est > 3v3 r. Si p < 3 /;j», le problème n'a pas de
Si p < 3 /;j», le problème n'a pas de solution. Si p = 3 /3 r, l'équation (4) admet la racine positive double x' = 3 r; alors h = 2 ^3 r et a = 2 >3 r; le problème admet pour solution double un triangle équilatéral de côté 2 j~ô r. Si p > 3 j^ r, l'équation (4) admet deux racines positives. Pour qu'une racine positive convienne, il faut qu'elle soit comprise entre 2r et p. Le premier membre de l'équation (4) pouvant être écrit ainsi: x» + p* (0,. _ X), on voit qu'il reste
x» + p* (0,. _ X), on voit qu'il reste positif quand a? varie de 0 à 2r; donc les deux racines positives de l'équation (4) ne sont pas inférieures à 2 r. D'autre part, comme le premier membre de l'équation [4) peut être écrit ainsi: x (x + p) (x p) + 2p*r, on voit qu'il reste positif quand x varie de p à + <»; donc les deux racines positives de l'équation (4) ne sont pas supérieures à]). Par conséquent, quand p > 3 v/3 r, les deux racines positives de l'équation (4) sont comprises entre 2r et
racines positives de l'équation (4) sont comprises entre 2r et p, et le problème admet pour solutions deux triangles isocèles différents. Remarques. 1. — Si le cercle de rayon r est inscrit au triangle BAC et opposé à l'angle A, l'équation (2) devient et on trouve Les racines de cette équation du second degré sont toujours réelles et de signes contraires. La racine positive est seule acceptable et convient toujours, car elle est toujours inférieure à p. 2. — Si le cercle de rayon r est inscrit au triangle BAC et opposé à l'angle B, l'équation (2) devient La racine
et opposé à l'angle B, l'équation (2) devient La racine x'" seule convient. III. — E. PERTOT, Institutrice aux Bruay. Ont résolu la question 579 : MM. J. BUOCA, Répétiteur au L. de Raymont; C. BERGMAN, L. Saint-Louis; L. BLANC, L. de Lyon; FERRAND, Instituteur à Cognac; M. FERRARY, G. de Sisteron. ÉQUATIONS GÉNÉRALES DES SYSTÈMES DIOPTRIQUES 1. — Un système dioptrique est constitué par une suite de surfaces réfringentes sphériques, ayant leurs centres sur un même axe, qui est l'axe du système. Un tel système produit des images par réfraction comme une surface réfringente unique. 2. — La relation
réfraction comme une surface réfringente unique. 2. — La relation générale entre les abscisses de deux points conjugués situés sur l'axe est x, x' étant les abscisses du point objet et de son image, comptées à partir d'une origine quelconque. Le terme tout connu D est égal à zéro, si l'on prend un système de points conjugués P0, P'0 (fig. 748) comme origines, P0 origine des x, P' origine des x' — 301 — On justifie cette relation en faisant voir qu'elle s'applique au cas d'une surface sphérique, et, qu'étant supposée vraie pour k surfaces, elle est vraie pour k-1.
supposée vraie pour k surfaces, elle est vraie pour k-1. 3. — On aura les foyers principaux en faisant tendre a; ou a/ vers l'infini. Premier foyer : Second foyer : Fig. 748. Si A = 0, les foyers sont rejetés à l'infini et la relation entre les abscisses devient linéaire. 4. — Le théorème de Lagrange s'exprime par la relation n, «», indices des milieux extrêmes; II, H' grandeurs de l'objet et de l'image comptées à partir de l'axe, positivement vers le haut; a, amplitude d'un rayon incident passant par le point axial de l'objet; a', amplitude du rayon
par le point axial de l'objet; a', amplitude du rayon émergent correspondant. L'amplitude d'un rayon est sa déviation purement par rapport au rayon axial, déviation comptée positivement à partir de ce dernier vers le haut. Ce théorème se démontre facilement pour 1, 2, 3,... surfaces réfringentes. 5. — Expression du grossissement linéaire. — Soient: P0, P'0, les deux points conjugués origines des abscisses; P, P', deux points conjugués quelconques; H, H', les grandeurs algébriques d'un objet en l'endroit de son image en P'; oc, l'abscisse de P par rapport à l'origine P0; o', l'abscisse de P' par rapport à l'origine
l'origine P0; o', l'abscisse de P' par rapport à l'origine P'0; a, l'amplitude algébrique d'un rayon incident PT; a', l'amplitude algébrique du rayon émergent P'T' correspondant. Les points T et T' sont conjugués ainsi que les droites P0 T, P'o'P. Le grossissement répondant aux origines conjuguées P0, P'0 est un supposant a, a' petit. D'autre part, le théorème de l'Évangeile («ail = n'a.' II) donne la relation entre les abscisses de deux points conjugués. Il vient dans cette relation G est différent de 0, car P0 n'est pas le premier foyer, puisqu'on suppose implicitement P'0 à distance finie en le
foyer, puisqu'on suppose implicitement P'0 à distance finie en le prenant comme origine. Quand x prend des valeurs de plus en plus petites, la formule est toujours vraie ; or, a priori, G tend vers G0, donc le second membre, qui est constamment égal au premier, et qui est continu pour x = 0, doit tendre aussi vers (ï„; en un moment, la formule est applicable pour x = 0, et l'on a comme condition relative aux origines: U est à remarquer que et dans le cas particulier où les plans principaux sont pris comme origines, on a c'est une
plans principaux sont pris comme origines, on a c'est une propriété connue. 6. — Conditions nécessaires pour déterminer un système dioptrique. — Un système dioptrique est déterminé quand on sait trouver en grandeur et en position l'image d'un objet. Les relations les plus générales d'un système dioptrique sont, en supposant qu'on prenne une paire de points conjugués comme origines, avec l'équation de condition et on voit que pour que le système soit déterminé, il faut que les données soient telles qu'elles fassent connaître le rapport de deux des coefficients A, B, G au troisième, et la valeur de G0. Si
B, G au troisième, et la valeur de G0. Si l'on ne tient d'abord pas compte de la condition (3), on voit qu'il faut ou trois paires de points conjugués et le grossissement de l'une d'elles; ou deux paires de points conjugués avec les deux grossissements correspondants. Avec ces données, la condition (3) permettra de calculer —; mais, l'inversement, la connaissance de —, peut remplacer celle de G0, à la condition cependant que l'on donne en plus le signe du grossissement qui ne peut être déduit de la relation (3). Dans le cas d'un système afocal A = 0, le
Dans le cas d'un système afocal A = 0, le grossissement est constant et les relations se réduisent à Pour qu'un tel système soit déterminé, il faut connaître deux paires de points conjugués, ce qui permettra de trouver k, et, ou la valeur constante du grossissement, ou le rapport —. Dans ce dernier cas, on obtient Le problème serait donc indéterminé si on ne donnait pas, en plus, le signe du grossissement. CHATELET, Agrégé de Physique, Professeur au Lycée Château-Rouleau. NOTE SUR LE PRINCIPE DE WATT Malgré le soin que l'on prend dans les cours d'indiquer aux élèves le sens
l'on prend dans les cours d'indiquer aux élèves le sens précis du principe de Watt, ceux-ci le comprennent imparfaitement, et l'exposent souvent mal dans les compositions et les interrogations. Il n'est donc pas inutile d'y insister ici. Supposons qu'un liquide se vaporise dans une enceinte dont toutes les parties ne possèdent pas la même température, et admettons, pour fixer les idées, que le liquide contenu dans cette enceinte soit maintenu à une température constante T, tandis qu'une partie de la paroi est maintenue à une température également constante, mais plus basse t. Le liquide émet des vapeurs qui, si elles
basse t. Le liquide émet des vapeurs qui, si elles ne se condensaient pas, atteindraient presque immédiatement la tension maximale F, qui correspond à la température T. Mais ces vapeurs, au contact de la paroi froide, reprennent en partie l'état liquide, et la pression tend à baisser jusqu'à la valeur f de la tension maximale qui correspond à la température f. Dans ces circonstances, il ne saurait y avoir équilibre, et il s'établit dans l'enceinte une pression intermédiaire entre F et f, généralement plus voisine de f que de F, surtout si la surface de la paroi froide a une
surtout si la surface de la paroi froide a une assez grande étendue. Il peut alors se présenter deux cas. Ou bien la forme du vase est telle que le liquide, provenant de la condensation sur la paroi froide, retombe constamment dans la région éloignée : dans ce cas, l'équilibre ne s'établit jamais, et la pression reste indéfiniment comprise entre F et f. Ou bien le liquide provenant de la condensation reste, par suite de la forme du vase, dans la région froide : alors il arrive un moment où la distillation prend fin, la totalité de l'excès liquide étant
la distillation prend fin, la totalité de l'excès liquide étant venue se réunir dans cette région froide; à partir de ce moment, mais à partir de ce moment seulement, la pression qui s'établit dans toute l'enceinte est égale à f. De là le principe de Watt, ou de la paroi froide, qu'on peut énoncer dans les termes suivants: Quand les différentes parties d'une enceinte occupée par la vapeur en présence d'un excès de liquide sont à des températures différentes, la tension maximale qui finit par s'établir est celle qui correspond à la partie la plus froide, pourvu que tout l'excès
à la partie la plus froide, pourvu que tout l'excès de liquide puisse venir se condenser et demeurer en cette partie la plus froide. Les applications du principe ainsi compris sont nombreuses. 1° Dans l'appareil imaginé par Gay-Lussac, pour la détermination des forces élastiques maximales des vapeurs aux températures inférieures à zéro, on ne commence à mesurer la différence de niveau des deux colonnes de mercure qu'à partir du moment où tout l'excès de liquide est venu se condenser dans la portion refroidie du tube. Cette portion refroidie doit être recourbée de telle manière que le liquide provenant de la
recourbée de telle manière que le liquide provenant de la condensation ne puisse retomber vers le mercure. Si le liquide est de l'eau, la forme du tube peut être quelconque, car l'eau, au-dessous de zéro, se condense à l'état de glace, qui s'attache aux parois, et ne peut ruisseler. 2° Dans l'expérience de Franklin, destinée à montrer l'ébullition de l'eau dans le vide, il s'établit au-dessus du liquide une pression de vapeur F sensiblement égale à la tension maximale qui correspond à la température T de ce liquide: on est sur la limite de l'ébullition. Lorsqu'on vient à refroidir une
sur la limite de l'ébullition. Lorsqu'on vient à refroidir une portion de la paroi du ballon, jusqu'à une température f, il se produit une condensation qui abaisse la pression, non pas jusqu'à f, mais jusqu'à une valeur très notablement inférieure à F; l'ébullition devient possible et se produit aussitôt. Les phénomènes sont un peu plus complexes dans l'appareil imaginé par Regnault, pour la détermination des tensions maxima aux températures supérieures à 60 degrés. On sait que l'appareil, entièrement clos, est constitué par une petite chaudière qui contient le liquide, et un réfrigérant refroidi, disposé de telle manière que le liquide
un réfrigérant refroidi, disposé de telle manière que le liquide provenant de la condensation des vapeurs retombe constamment dans la chaudière chauffée. D'après cette disposition, il ne saurait jamais y avoir équilibre dans l'enceinte. La pression de la vapeur y est toujours notablement supérieure à la tension maxima F correspondant à la température T du réfrigérant. Mais comme la surface du réfrigérant est considérable, cette pression est de beaucoup inférieure à la tension maxima F correspondant à la température T de la chaudière. Si donc la température s'élève progressivement dans la chaudière, il arrivera un moment où la tension maxima
la chaudière, il arrivera un moment où la tension maxima F, qui croît en même temps que la température, égalera à la somme des pressions exercées par l'air et la vapeur non condensée, et l'ébullition se produira. NOTIONS SUR L'HISTOIRE DE L'ASTRONOMIE (Suite) 42. — La découverte de la loi de l'attraction universelle par Newton a été le point de départ d'un nouveau et difficile problème astronomique : la détermination mathématique des mouvements des astres du système planétaire. Plusieurs grands géomètres, 50 ans après Newton, s'occupèrent de ce problème qui est le principal en Astronomie théorique. Voici sur ce problème
est le principal en Astronomie théorique. Voici sur ce problème quelques explications qui nous permettront de parler plus clairement des travaux de ces géomètres, et de donner une idée, bien faible cependant, des difficultés qu'ils ont eu à surmonter. D'après les lois de Kepler, on calcule à l'avance la position d'une planète au moyen des 6 quantités suivantes, appelées éléments elliptiques de la planète : l'intersection du plan de l'orbite elliptique de la planète avec un plan fixe, l'angle de ces deux plans, la direction du grand axe de l'orbite, l'excentricité de l'orbite, la longueur du grand axe, l'époque où
l'excentricité de l'orbite, la longueur du grand axe, l'époque où la planète est en un point de son orbite. Quand Newton eut donné la loi de la gravitation universelle, on remarqua que les lois de Kepler existaient seulement dans le cas du problème des deux corps, qui consiste à déterminer, d'après la loi de l'attraction universelle, le mouvement d'une planète, ou d'une comète, soumise seulement à l'action du soleil. Newton a complètement résolu ce problème, et a trouvé que le mouvement de la planète est elliptique. Mais il résulte de cette loi qu'une planète est soumise à l'action simultanée du
cette loi qu'une planète est soumise à l'action simultanée du soleil et des autres planètes, de sorte que son mouvement est très compliqué. En ne considérant que le soleil et les 8 planètes principales, le problème général à résoudre est le suivant : étant données les masses de 9 points matériels, leurs positions et leurs vitesses, en grandeur et en direction, à un moment déterminé, trouver les positions que ces points occuperont à un autre moment donné, en les supposant soumis à la loi de l'attraction universelle. Comme l'attraction du soleil sur une planète P est beaucoup plus considérable que
soleil sur une planète P est beaucoup plus considérable que celle de toutes les autres planètes, on est conduit à prendre pour première approximation du mouvement de la planète P, l'ellipse que donne la solution du problème des deux corps. Les forces dues aux attractions mutuelles entre la planète P et les autres planètes sont dites forces perturbatrices; elles font éprouver au mouvement précédent de la planète P des variations appelées perturbations. La théorie des perturbations des planètes, de leurs satellites, des comètes, constitue la partie principale de la Mécanique céleste. On a cherché à résoudre le problème du mouvement
céleste. On a cherché à résoudre le problème du mouvement d'une planète en considérant seulement le soleil et deux planètes. On a ainsi le problème des trois corps qui consiste à déterminer à chaque instant les distances mutuelles de trois corps soumis à la loi de l'attraction universelle; l'un, dit corps central, est supposé fixe; un autre, dit corps troublé, est en mouvement autour du corps central; le troisième, dit corps troublant, est la cause des perturbations du corps troublé: par exemple, pour le mouvement de la lune, celle-ci est le corps troublé, la terre est le corps central et
le corps troublé, la terre est le corps central et le soleil est le corps troublant. Newton n'a abordé le problème des trois corps que par des considérations géométriques. Grâce aux progrès que l'analyse mathématique fit après lui, les géomètres ont pu soumettre ce problème au calcul et faire dépendre la détermination du mouvement d'une planète d'un système d'équations différentielles simultanées. Comme on ne sait pas intégrer ces équations, on est obligé de développer en séries les formules du mouvement et d'en calculer les termes les plus importants par des méthodes d'approximation. Certains termes du développement constituent les inégalités séculaires
méthodes d'approximation. Certains termes du développement constituent les inégalités séculaires et d'autres les inégalités périodiques. À cause des perturbations déterminées par une planète sur la planète P, les 6 éléments elliptiques de celle-ci sont égaux aux valeurs résultant de la seule action du soleil, augmentées ou diminuées des inégalités. Cette modification que l'on fait subir aux éléments de la première approximation du mouvement d'une planète, constitue une seconde approximation donnant des résultats plus voisins de la réalité que la première. Les inégalités séculaires croissent très lentement, et n'amènent entre deux états du système solaire une différence sensible que si ces
états du système solaire une différence sensible que si ces deux états sont séparés par plusieurs siècles. Les inégalités périodiques, qui dépendent de la configuration et de la position variable des corps troublants, font passer le système par des suites d'états identiques. On appelle moyen mouvement d'une planète le mouvement uniforme d'une planète fictive circulant sur une certaine ellipse autour du même centre que la planète réelle, de telle sorte que, dans le même temps, ces deux planètes reviennent au point commun de départ. Pour le problème des trois corps, Clairaut, D'Alembert et Euler ont fait de nombreux travaux analytiques
Clairaut, D'Alembert et Euler ont fait de nombreux travaux analytiques ; Lagrange et Laplace ont imaginé des approximations qui, complétées par les calculs de Le Verrier, suffiront plusieurs siècles encore aux besoins de l'Astronomie. Claude Clairaut, né à Paris le 7 mai 1713, montra dès son enfance une aptitude très grande pour les mathématiques, qu'il étudia sous la direction de son père, professeur distingué. À l'âge de dix ans, il comprenait les ouvrages du marquis de l'Hôpital sur les sections coniques et les infiniment petits. Dès l'âge de 12 ans et 8 mois, il composa un mémoire sur quatre courbes
et 8 mois, il composa un mémoire sur quatre courbes nouvelles; ce travail, présenté à l'Académie des Sciences, attira tellement son attention qu'elle soumit le jeune auteur à un sévère examen dont il sortit à son honneur, comme le constate un certificat élogieux signé par Fontenelle. Les Recherches sur les Courbes à double courbure qu'il écrivit à l'âge de 16 ans lui valurent la faveur d'être nommé par le roi Louis XV membre de l'Académie des Sciences, 2 ans avant l'âge réglementaire de 20 ans. En 1736, il fit partie de l'expédition en Laponie pour la mesure d'un degré du
de l'expédition en Laponie pour la mesure d'un degré du méridien terrestre. Les résultats de ses études particulières dans ce pays sont exposés dans l'ouvrage qu'il publia en 1740 sous le titre de Figure de la Terre tirée des lois de l'hydrostatique, et où, en supposant que la terre tourne autour de son axe et que ses particules sont soumises à la loi de l'attraction universelle, il parvient à trouver sa forme et une valeur numérique de son aplatissement. Cet ouvrage, où il emploie, comme Newton, la méthode synthétique, est un chef-d'œuvre de précision, égalé par M. Joseph Bertrand aux
un chef-d'œuvre de précision, égalé par M. Joseph Bertrand aux plus beaux chapitres du livre des Principes. Vers le milieu de 1747, Clairaut présenta à l'Académie des Sciences un mémoire sur le problème des trois corps, où le mouvement de la lune autour de la terre est étudié, en tenant compte de l'attraction du Soleil. Parmi les résultats qu'il obtint, citons l'explication de l'évection. Ce même jour, D'Alembert lui présentait aussi un mémoire sur le même sujet, et cette même année, Euler écrivait aussi sur ce problème : il convient de remarquer que ces trois grands géomètres se sont rencontrés
de remarquer que ces trois grands géomètres se sont rencontrés sur le même terrain sans s'être concertés à l'avance. En novembre 1747, Clairaut lut à l'Académie des Sciences un mémoire sur la Théorie de la Lune dans lequel il déclare que la loi de Newton est insuffisante, attendu qu'elle l'a conduit à trouver, pour le mouvement de l'apogée de la lune, une vitesse qui n'est que la moitié de celle que donnent les observations. Mais Buffon s'étant montré contraire à l'idée d'abandonner la belle théorie de Newton sans avoir fait des recherches plus approfondies, Clairaut calcula plus de termes de
des recherches plus approfondies, Clairaut calcula plus de termes de la série relative au mouvement de la lune, et trouva un résultat convenable. Clairaut, en avouant publiquement son erreur, mit fin à la joie que les adversaires de Newton s'étaient trop vite empressés de manifester. Ce mémoire, augmenté de tables de la lune, fut couronné en 1752 par l'Académie de Saint-Pétersbourg. En 1765, Clairaut en publia une édition définitive, plus complète sous le rapport théorique, avec des tables lunaires plus exactes. En appliquant les méthodes qu'il avait employées pour la théorie de la lune, il a écrit, en 1757, un
théorie de la lune, il a écrit, en 1757, un mémoire sur l'orbite apparente du soleil, en tenant compte des perturbations produites par la lune et par les principales planètes. Clairaut commença à la fin de 1757 les longs calculs relatifs à la comète de 1782, dont Halley avait prédit le retour en 1758 à 1/5e; il tint compte, non seulement de l'attraction de Jupiter, avec Halley, mais encore de celle de Saturne. Grâce à l'aide de plusieurs calculateurs, il fut en mesure d'annoncer, dans la séance de l'Académie des Sciences du 14 novembre 1758, que la comète de Halley
Sciences du 14 novembre 1758, que la comète de Halley paraîtrait au commencement de janvier 1759 et passerait à son périhélie vers le 13 avril de la même année. Comme ces deux prédictions furent en conformité parfaite avec les phénomènes annoncés, Clairaut fut grandement loué et admiré dans toute l'Europe. De 1759 à 1761, une polémique au sujet de la théorie du mouvement des comètes s'engagea entre Clairaut et D'Alembert dans le Journal des Savants : le public se rangea du côté du premier et les géomètres, sur plusieurs points, furent d'accord avec le second. Désirant une célébrité étendue, Clairaut
furent d'accord avec le second. Désirant une célébrité étendue, Clairaut tourna ses travaux plutôt du côté des applications que des théories abstraites. Il apportait le plus grand soin à la rédaction de ses écrits. Ses Éléments de géométrie et d'algèbre sont des chefs-d'œuvre de simplicité et de clarté. Clairaut, fatigué par ses travaux, mourut à Paris le 17 mai 1765. (À suivre.) E. L. EXAMENS ET CONCOURS Problèmes proposés à l'examen écrit du Baccalauréat de l'Enseignement secondaire spécial. 249. — Un employé, entré à l'âge de 20 ans au service d'une société, lui abandonne à la fin de chaque année