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du certificat d'aptitude pour les candidats qui doivent entrer soit dans la classe de première, soit dans la classe de mathématiques élémentaires, et qui sont âgés de moins de quinze ans au 1er janvier. Art. 2. — Les épreuves orales des examens du certificat d'aptitude aux bourses de l'enseignement secondaire moderne sont déterminées ainsi qu'il suit : 1° série. — 3 épreuves. Lecture et explication d'un texte français; (coefficient double) ; Interrogations sur les sciences : Interrogations sur l'histoire et la géographie ; 2e et 3e séries. — 5 épreuves. Explication française ; Interrogations sur l'arithmétique ; Interrogations sur l'histoire
Explication française ; Interrogations sur l'arithmétique ; Interrogations sur l'histoire naturelle; Interrogations sur l'histoire et la géographie ; Langue allemande: Explication et interrogations. 4e série. — 6 épreuves. Explication française ; Interrogations sur l'arithmétique ; Interrogations sur la géométrie ; Interrogations sur l'histoire et la géographie ; Langue allemande : Explication et interrogations ; Langue et littérature anglaises, italiennes ou espagnoles : Explication et interrogations. 5e série. — 6 épreuves. Explication française ; Interrogations sur les mathématiques ; Interrogations sur la physique et la chimie ; Interrogations sur l'histoire et la géographie ; Langue et littérature allemandes : Explication et
la géographie ; Langue et littérature allemandes : Explication et interrogations ; Langue et littérature anglaises, italiennes ou espagnoles : Explication et interrogations. Art. 3. — Les dispositions de l'arrêté 12 janvier 1887 sont abrogées en ce qu'elles ont de contraire au présent arrêté. Léon BOURGEOIS. Extrait des Arrêtés fixant la date de divers examens et concours. Le Ministre de l'Instruction publique et des Beaux-Arts arrête : 18 janvier 1892. — Les sessions d'examen pour l'obtention du certificat d'aptitude aux bourses des lycées et des collèges s'ouvriront dans tous les départements : 1° pour les garçons, le jeudi 7 avril
départements : 1° pour les garçons, le jeudi 7 avril prochain ; 2° pour les jeunes filles; le lundi 11 avril. — Les inscriptions seront reçues au secrétariat de chaque préfecture du 1er au 25 mars. 2 février 1892. — Les épreuves écrites du concours de l'agrégation et des examens du certificat d'aptitude pour l'enseignement secondaire des jeunes filles s'ouvriront le 8 juillet prochain au chef-lieu de chaque académie. 6 février 1892. —Les épreuves écrites du concours de l'agrégation des lycées pour les ordres de la philosophie, des lettres, de l'histoire et de la géographie, de la grammaire, des langues
l'histoire et de la géographie, de la grammaire, des langues vivantes, des sciences mathématiques, des sciences physiques, des sciences naturelles, de l'enseignement secondaire spécial (section littéraire et économique et section des sciences), et les épreuves écrites des examens pour l'obtention du certificat d'aptitude à l'enseignement des langues vivantes, du certificat d'aptitude aux fonctions de professeur des classes élémentaires et du certificat d'aptitude à l'enseignement secondaire spécial (ordre des lettres et ordre des sciences), commencèrent le 1er juillet prochain, au chef-lieu de chaque académie. Léon BOURGEOIS. Avis. Un arrêté ministériel du 31 janvier 1892 détermine les programmes d'italien et d'espagnol dans
31 janvier 1892 détermine les programmes d'italien et d'espagnol dans l'enseignement secondaire moderne. — Voir le Bulletin administratif de l'Instruction publique du 13 février 1892. BIBLIOGRAPHIE Traité de Géométrie descriptive, par JULES DE LA GOURNAYE. — Première Partie, Troisième édition, revue et augmentée de la théorie de l'insémination de deux polyèdres, par M. ERNEST LEBOON. — 2 vol., texte et atlas, 1891. (Gauthier-Villars, éditeur, Paris). Prix. 10 fr. Le Rédacteur-Gérant : E. LEHON. Paris.— Imp. E. CAHOUTY et rue des Poitevins, Sixième Année. — N° 6. 20 Mars 1892. BULLETIN SCIENTIFIQUE QUESTIONS PROPOSÉES CLASSE DE QUATRIÈME, E. MODERNE 568. —
SCIENTIFIQUE QUESTIONS PROPOSÉES CLASSE DE QUATRIÈME, E. MODERNE 568. — Étant donné un triangle ABC, mener une droite qui coupe AB en D, BG en G, CA en E, et telle que les segments DE et EG soient égaux à des longueurs données. CLASSE DE TROISIÈME, E. MODERNE 569. — Arithmétique. — Calculer le nombre des multiples du nombre entier B contenus dans la suite A et n sont des nombres entiers donnés. Appliquer au cas où (Concours général en Troisième, E. classique, 30 juin 1891.) 570. — Un récipient de volume invariable renferme, à la température de 0°, 10
de volume invariable renferme, à la température de 0°, 10 kilogrammes de gaz comprimé. On fait sortir du récipient 3 kilogrammes du gaz qu'il contient, et on chauffe pour rétablir dans l'appareil la même pression qu'au début. — A quelle température faut-il chauffer? — On donne a = 0,00367. (Concours d'admission à l'École centrale en 1890.) CLASSE DE SECONDE, E. MODERNE 571. — Par un point fixe pris sur une circonférence donnée, on mène deux cordes de directions quelconques. Par les deux extrémités de chaque corde, on mène une circonférence tangente à l'autre corde. Trouver le lieu du second point
tangente à l'autre corde. Trouver le lieu du second point d'intersection de ces deux circonférences. E. JABLONSki, Professeur du Cours préparatoire à l'École centrale au Lycée Charlemagne. 572. — Cosmographie. — Une tache qui existait au centre du disque solaire a mis 27,4°,25 pour revenir en ce même point. La terre effectue sa rotation autour du soleil en 365°,23. Calculer la durée de la rotation du soleil autour de son axe. (Baccalauréat de l'Enseignement spécial, Rennes, juillet 1891.) 573. — Quels sont les accords parfaits majeurs et parfaits mineurs qui peuvent être formés avec les sons de la gamme diatonique
peuvent être formés avec les sons de la gamme diatonique et leurs octaves? (Concours général, Seconde, en 1889.) CLASSE DE PREMIÈRE, E. MODERNE 574. — Mécanique. — Un corps de poids P est placé sur un plan faisant un angle α avec le plan horizontal. 1° Calculer la pression qu'il exerce sur le plan ; la force qui tend à le faire descendre le long du plan en tenant compte du frottement (le coefficient de frottement étant connu), ainsi que l'accélération du mouvement. 2° Ce corps étant lancé du point A le plus haut du plan avec une vitesse v
A le plus haut du plan avec une vitesse v dirigée de haut en bas, quelle est la nature du mouvement de ce corps? 3° Dans le cas où le corps s'arrête, à quelle distance du point A s'arrètera-t-il? Montrer qu'à ce moment la force vive initiale est égale au travail total des forces. (Baccalauréat de l'Enseignement spécial, Alger, juillet 1891.) 575. — Un tube gradué placé sur la cuvette à mercure contient un mélange d'air et d'acide carbonique occupant 75° celles de A en B (fig. 711). La colonne BC de mercure soulevée est de 5rm et le baromètre
BC de mercure soulevée est de 5rm et le baromètre marque 76cm. Le gaz carbonique ayant été absorbé, le mercure monte en D. Le volume AD est de 50cm et la colonne CD soulevée est de 25cm. On demande d'évaluer en centièmes la proportion du gaz carbonique contenue dans le mélange (la température et la pression extérieure n'ont pas varié pendant les observations). (Baccalauréat de l'Enseignement classique, Lille, avril 1889.) 576. — Sur un liquide lourd, de densité D, est une couche de hauteur h d'un liquide léger, dont la densité est d. Un corps pesant, dont la densité G
densité est d. Un corps pesant, dont la densité G est comprise entre d et D, est abandonné à lui-même à la surface du liquide supérieur ; dire quel mouvement il prend, et à quelle profondeur x il s'enfonce dans le liquide inférieur. On négligera la résistance due à la viscosité des liquides. PRÉPARATION A DIVERS EXAMENS ET CONCOURS 577. — Résoudre la question de Géométrie proposée au Concours général en Rhétorique, E. classique, le 22 juillet 1891. (Voir l'énoncé, n° 5, 20 février 1892, pages 177 et 178.) 578. — Résoudre la question 571 par la Géométrie analytique. E.
— Résoudre la question 571 par la Géométrie analytique. E. J. 579. — Circonscrire à un cercle donné, de rayon r, un triangle isocèle de périmètre donné 2r. Discussion. E. L. — 187 — QUESTIONS RÉSOLUES CLASSE DE QUATRIÈME, E. MODERNE 549. — Construire un polygone (Un nombre impair de côtés, connaissant les milieux des côtés de ce polygone. Première solution. Supposons le problème résolu; soient ABCDEFG (fig. 712) un polygone d'un nombre impair de côtés et a, b, c, d, e, f, g les milieux de ses côtés. Considérant trois côtés consécutifs CD, DE, EF et la diagonale CF,
trois côtés consécutifs CD, DE, EF et la diagonale CF, on a un quadrilatère CDEF; les droites qui joignent les milieux c, d, e des côtés de ce quadrilatère déterminent un parallélogramme; comme on connaît les trois sommets c, d, e de ce parallélogramme, on peut le construire et déterminer le milieu N de la diagonale CF. Il reste alors un nombre pair de côtés du polygone. En prenant le quadrilatère formé par la diagonale CF, par les deux côtés CIS, FG, qui aboutissent à ses extrémités, et par la diagonale BG, qui joint les deux autres extrémités de ces
diagonale BG, qui joint les deux autres extrémités de ces côtés, on obtient un second quadrilatère CFGB; les droites qui joignent les milieux des côtés de ce quadrilatère déterminent un parallélogramme; comme on connaît les trois sommets b, M, f de ce parallélogramme, on peut le construire et déterminer le milieu M de la diagonale BG. Il reste alors encore un nombre pair de côtés du polygone. On peut continuer à faire un quadrilatère comme précédemment s'il reste plus de deux côtés; et ainsi de suite jusqu'à ce qu'il ne reste plus que deux côtés BA et FI A. Les
reste plus que deux côtés BA et FI A. Les droites Ma et My, qui joignent les milieux de ces deux derniers côtés au milieu M de la dernière diagonale menée, sont respectivement parallèles aux côtés AG et AB et égales à leurs moitiés. Or, on peut déterminer successivement les points N, M, etc., jusqu'à ce qu'il ne reste plus que deux des milieux donnés, les milieux a et g. Alors, on joint le dernier point obtenu M aux points a et g, et on achève le parallélogramme AMY, ce qui donne un premier sommet A du polygone cherché. Puis,
qui donne un premier sommet A du polygone cherché. Puis, prenant sur Aa le symétrique B de A par rapport à a, on a un second sommet B du polygone cherché; prenant sur B6 le symétrique C par rapport à 6, on a un troisième sommet C du polygone cherché; et en continuant ainsi on obtient tous les sommets du polygone cherché. Les diagonales BG, CF, etc., donnent des vérifications. Seconde solution. Supposons le problème résolu; soient ABCDEFG (fig. 713) un polygone d'un nombre impair de côtés, et a, b, c, d, e, f, g les milieux de ses côtés.
c, d, e, f, g les milieux de ses côtés. Prenant un point P, menant la droite PA, et prenant le symétrique Q de P par rapport à a, la droite HQ est parallèle et égale à la droite AP; et ces deux droites sont dirigées en sens opposés. Faisant les constructions analogues aux précédentes après avoir mené la droite qui joint le point Q au milieu suivant b, en tournant dans un certain sens (abcd,...), on obtient la droite CQ égale et parallèle à HQ; et ces droites sont dirigées en sens opposés; par suite la droite CQ a
dirigées en sens opposés; par suite la droite CQ a le même sens que la droite AP. Si l'on continue ainsi en tournant dans le sens abcd..., on remarque que l'on obtient des droites DS, ET, etc., qui sont égales et parallèles à la droite AP; ces droites sont dirigées en sens contraire de AP, quand le sommet d'où elles partent a un nombre impair de points milieux avant lui, et seulement dans ce cas. Donc, quand le nombre des points milieux donnés est impair, on arrive, après avoir pris un symétrique par rapport au dernier milieu donné, à obtenir
un symétrique par rapport au dernier milieu donné, à obtenir une droite AX égale et parallèle à AP et dirigée en sens opposé, de sorte que le milieu de PX est un sommet A du polygone cherché. D'où il suit la construction suivante : on mène une droite VA qui joint un point quelconque P à un milieu a, on prend le symétrique Q de P par rapport à a, puis on mène la droite Qb, qui joint le point Q au milieu suivant b, en tournant dans un certain sens, on prend le symétrique R de Q par rapport
sens, on prend le symétrique R de Q par rapport à ab; et ainsi de suite, en tournant toujours dans le même sens. Lorsque tous les milieux ont été employés, on a un point X, et le milieu de PX est un premier sommet A du polygone cherché. Alors, menant Aa, le symétrique B de A par rapport à a est un second sommet du polygone cherché; menant Ab, le symétrique C de B par rapport à b est un troisième sommet du polygone cherché; en continuant ainsi on obtient tous les sommets du polygone cherché. ANTONIN COMBES, Élève de
tous les sommets du polygone cherché. ANTONIN COMBES, Élève de Troisième (E. moderne) au Lycée de Tulle. Ont résolu la question 549 : MM. GORSSE (3e), L. de Tulle; J. CHARBONNIER; L. CHANLIAU, C. MERCIER; J.-B. GUÉGO; CRUCIANT (4e) et DULAC (4e), L. Charlemagne; A. BRACHET; E. BILLARD; M. GALLAND, École supérieure de Crève-Cœur-le-Grand. — Seconde : MM. H. FLOQUE, L. de Laval; L. BRISSET, L. de Chaumont. — Première : MM. A. MADELMON, L. de Tulle; L. TARDIER, C. PITTIER; COURRIADES, L. de Pau; J. HOUYSSOU, L. de Tulle; HARCRE, G. BUIFARD et J. FOUIS, L. de Riom; M.
HARCRE, G. BUIFARD et J. FOUIS, L. de Riom; M. G. LONGART, Institution Saint-Cyr, à Nancy. Instituteurs. — MM. J. ARMANT; A. ANXIONNAZ, à Celles-en-Savoie; LEVESQUE, à Rennes; J.-L. PRÉTOT, aux Arcs; H. KEMAIN, École primaire supérieure de Quimperlé; A. ANGRY, à Brionne; K. DUSSAUX, à Rouen; C. CRENNIER, à Bourgival; VILLAROMO, à Chapelle-Yovigné. — MM. V. RAPATEL et V. JOUSSERAND, Élèves, maîtres (prépa. A.) à l'École normale primaire du Puy; K. JOOART, MM. H. BROTELEAU, Maître répétiteur au C. de Lille; C. HERGMAN, L. Saint-Louis; E. CHENNU, Maître suppléant au C. de Saigon; L. FABIN, J. HOUAY, Maître interne
au C. de Saigon; L. FABIN, J. HOUAY, Maître interne à l'École nationale des arts et métiers; C. POUGNAULT, à l'archienay; L. CARMILLE, Professeur au C. de Grenoble.—M. J. LÉONARD, Élève à l'École nationale professionnelle de Vierzon. — Mme M. DVMIEN, Institutrice à Verdun. CLASSE DE TROISIÈME, E. MODERNE 550. — SOLUTION du Problème de Géométrie proposé au Concours d'admission à l'École normale supérieure de l'Enseignement secondaire des Jeunes Filles, à Sèvres, en 1891. (Voir l'énoncé, n° 1, 20 janvier 1892, page 113.) Menons le rayon CA, et la droite PC (fig. 714) coupant la circonférence D en K et
PC (fig. 714) coupant la circonférence D en K et en K. On peut avoir deux circonférences remplissant les conditions de l'énoncé : l'une tangente en K et l'autre en F au cercle C. Soit A' le point où le cercle D, qui est tangent en E au cercle C, est tangent à la droite PA. On a Donc l'égalité (1) devient successivement En appelant x le rayon du cercle Dt, qui est tangent en F au cercle C, on trouverait, par un calcul analogue au précédent, E. EYBOULET, Élève de Troisième (E. moderne) au Lycée de Tulle Construction de
de Troisième (E. moderne) au Lycée de Tulle Construction de x. Voici plusieurs constructions de x; on trouvera facilement les constructions analogues (héraldique) 1° — On écrit. L. ADDÉ, Élève de Troisième (E. moderne) au Lycée Charlemagne, 2° — Comme L. SEMET, Élève au Pensionnat des Frères, à Marcillac. 3° — On mène à PC, par le point P', la perpendiculaire IL, qui coupe PA et PB en I et Hj puis, on mène la bissectrice HK de l'angle PIL, jusqu'à sa rencontre en H avec PC; on détermine ainsi DE = x. F. GRATRAUD, Élève de Troisième (K. moderne)
DE = x. F. GRATRAUD, Élève de Troisième (K. moderne) au Lycée d'Angoulême, 4° — Menant le diamètre AAt et les droites EAt, EA', on forme les deux triangles EOAt et EOA', qui sont semblables comme ayant un angle égal compris entre côtés proportionnels. Donc les angles OEAj et DEA' sont égaux, et les droites EA, et EA' sont en prolongement l'une de l'autre. Par suite, les points E et A' étant connus, la droite A'IE détermine PA' = x. L. TARDIF, Élève de Première (E. moderne) à l'Institution Livet, à Nantes. La valeur de x peut s'écrire immédiatement ;
à Nantes. La valeur de x peut s'écrire immédiatement ; en effet, remarquant que, dans le second cas, la figure n'est autre que la précédente dans laquelle le cercle D remplace le cercle donné G et le cercle C devient le cercle cherché L, dans la formule qui donne x, il suffît de remplacer x par R et R par x, et de tirer la valeur de x ; et on obtient après avoir multiplié les deux termes de la première valeur de x par 3+2v^2. — 191 — 5° — La droite PC coupe la circonférence G en E
— La droite PC coupe la circonférence G en E et en F. Les deux triangles ACF et A'DE sont semblables comme ayant un angle égal l'ompris entre côtés proportionnels. Donc les angles CFA et DEA' sont égaux et les droites FA et EA' sont parallèles. Par suite, les points E et A étant connus, la parallèle EA' à FA détermine PA' = a On a aussi la construction précédente lorsque l'on prend H pour unité, et que l'on construit x comme quatrième proportionnelle aux trois nombres 1, 2, et 3, représentés par CA, PE, PF. P. FLOURY, Maître répétiteur
3, représentés par CA, PE, PF. P. FLOURY, Maître répétiteur au Collège de Sébastopol. Ont résolu la question 550 : MM. A. BESSON (3e), C. de Riom : G. COUTURIER (3e); A. BRACHET, École Vaucanson, à Grenoble; ULLAULT (3e) et ROBINE (3e), L. Charlemagne; K. BOURDET, C. de Fiers; A. ROMAIN (3e), L. Charlemagne; J.-B. GUÉGO, Pensionnat Sainte-Marie, à Chagny; L. TISSIER (3e), L. Charlemagne; C. MERCIER, École primaire supérieure de Mézières; J. CHARBONNIER et J.-B. PERRICAUDET, Pensionnat Sainte-Marie, à Chagny; M. PELLETIER (3e), L. Charlemagne; D. BARBEAU (3e), C. de Beaufort-en-Vallée; L. CHANLIAU, E. BILLARD et P. POTIER, Pensionnat
de Beaufort-en-Vallée; L. CHANLIAU, E. BILLARD et P. POTIER, Pensionnat des Frères, à Chagny. — Seconde: MM. G. GARCIN, L. de Montpellier; MOUZIN, L. d'Alger; L. BRISSET; E. GALIBERT, L. de Montpellier; E. BERNARD et L. AUBRIOT, L. de Chaumont; H. FLOCHE; THÉVENIN, C. de Pont-de-Vaux. — Première: MM. G. FUSILLIER, L. de Saint-Omer; P. YANCKLE; J. BOUYSSE; G. CHEVALIER, Pensionnat des Frères, à Reims; FANET et C. POTTIER, C. de Melun; J. FROIS; G. NICOLAS, C. de Morlaix; A. MADELMONT; BARRÈRE; COURRIADES; J. LAMON, L. de Tarbes; A. CAZAMIAN; F. BENQUET, L. de Rayonné; G. BUFFARD. — Math. élém.
F. BENQUET, L. de Rayonné; G. BUFFARD. — Math. élém. : MM. 0. BONGARD; C. PAQUETTE, Instituteurs. — MM. A. ALIPHAT, École primaire supérieure de Saint-Just-en-Luxembourg; C. CREMIER; J.-L. PRÉTOT; J. PEINDARIES, à Alger; FERRAND, à Cognac; A. FARUEL, à Plérin: E. DUSSAUX; H. BAURY, à Montpellier; J. ARMANET; J. LETELLIER, École primaire supérieure de Montivilliers; VILLEFAILLOT, aux Lilas; LEVESQUE; FONDER, à Longwy-Bas; A. ANXIONNAZ; C. GALLOIS, à Bar-le-Duc; DEGUDE, à Bellac; Z. RUSSIER; A. ANFREY; H. EMPAIN; YUILLERMOZ; A. LEKIEFFRE, à Bachy; VENET, à Vaux-sous-Laon; R. FIGAROL, à Prades. — MM. E. JODART, K. LEGRAND et C. PETITHORY, Élèves
— MM. E. JODART, K. LEGRAND et C. PETITHORY, Élèves maîtres (1er.) à l'École normale primaire de Beauvais; V. RAPATEL; V. JOUSSERAND. MM. DUCAMP, Soldat au 81e de Ligne, à Avesnes; L. LE BAGOUSSE, Professeur à l'École d'agriculture du Grand-Réto; G. HODIN, à Reims; J. BOBAY; L. CAMILLER; A. RÉGNIER, à Beauvais; E. CHENUT; L. HUIN; GUÉRIN, Cannonnier au 5e d'Artillerie à Saint-Mihiel; C. POUGNAULT; H. BROTELANDE; C. BERGMAN; E. N'EST, à Saubisc. — MM. J. LENA, L. DELAMARE, Élève en Pharmacie, à Caen. — Mmes M. DAMIEN; BONAIN, Professeurs aux Cours secondaires, à Morlaix. 581. — Un aréomètre dont
aux Cours secondaires, à Morlaix. 581. — Un aréomètre dont la tige est divisée en parties d'égal volumeaffleure à la division 0 dans l'eau pure, et à la division 50 dans un liquide de densité 0,8. — On demande la densité du liquide dans lequel l'aréomètre affleure à la division 20. (Première question du concours d'admission à l'Institut agronomique, en 1890.) Prenons pour unité le volume d'une division de la tige, et désignons par N le volume de l'appareil jusqu'à la division 0. Écrivons que, dans chacun des affleurements, le poids du liquide déplacé est égal au poids de l'appareil.
poids du liquide déplacé est égal au poids de l'appareil. On a ainsi les deux équations d'où l'on tire L. CHANLIAU, Élève au Pensionnat des Frères, à Chagny. Ont résolu la question 551 : MM. D. BARBEAU (3e); E. FRANC (3e); A. BESSON (3e); J.-B. PERRICAUDET; L. GELLY(3e); J. CHARBONNIER; E. BILLARD; G. COUTURIER (3e); P. POTIER; A. PÉRÉ; F. GRATRAUD (3e); A. BRACHET; H. TROLLÉ, L. d'Oran; L. ADDE (3e); ROBINE (3e); P. SEIET; M. GALLAND OR FÉHET, École supérieure de Crèvecoeur-le-grand. Crèvecoeur-le-grand : MM. THÉVENIN; L. BAISSET; H. FLOCHE; MOUZIN; G. GARCIN. — Première: MM. L. THONIN, Pensionnat
FLOCHE; MOUZIN; G. GARCIN. — Première: MM. L. THONIN, Pensionnat des Frères, à Reims; G. CHEVALIER; A. CAZAMIAN; J. BOUYSSOU; A. MADELMONT; P. YANELLE; G. FUSILLIER; COURRIADES; FANET; 0. POTTIER; H. TORCHET; J. LAMON; J. FROIS; F. BENQUET; BARRÈRE; G. BUFFARD; G. NICOLAS; L. TARDIF. — Math. élém. : MM. 0. BONGARD; C. PAQUETTE. Instituteurs. — C. GALLOIS; R. FIGAROL; A. ANXIONNAZ; A. ALIPHAT; VENET; J. PEINDARIES; C. CREMIER; H. EMPAIN; VUILLERMOZ; MARCESCHE; J. ARMANET; VILLEFAILLOT; A. FARUEL; Z. RUSSIER; LEVESQUE; FERRAND; E. DUSSAUX; H. BAURY. — MM. E. JODART; Y. RAPATEL; V. JOUSSERAND; E. LEGRAND; C. PETITHORY. MM. L.
Y. RAPATEL; V. JOUSSERAND; E. LEGRAND; C. PETITHORY. MM. L. HUIN; DUCAMP; A. RÉGNIER; L. LE BAGOUSSE; J. BOBAY; GUÉRIN; L. CAMILLER; P. FLOURY; E. CHENU; C. POUGNAULT; E. NEST. — Mme L. DELAMARE. — Mmes M. DAMIEN; BONAIN. CLASSE DE SECONDE, E. MODERNE 552 — SOLUTION de la question de Géométrie (3°) proposée à l'Examen du Certificat d'aptitude au Professorat des Écoles normales primaires, en 1891. (Voir l'énoncé, n° I, octobre 1891, page 28.) D'après l'énoncé, on doit avoir (fig. 71b) — 193 — Pour qu'une racine de l'équation du second degré en x soit acceptable, il faut qu'elle
du second degré en x soit acceptable, il faut qu'elle soit réelle et positive. La condition de réalité des racines de cette équation est ou, comme a et h sont positifs, I. — Supposons que l'on ait k2 = 2 ah. L'équation (2) donne x2 = a2 + h2 ; par suite, il faut alors que a > h. De plus, le triangle AMB est alors rectangle en M, car le produit des côtés MA et MB est égal au produit de AB par la hauteur relative à AB. Alors, on obtient pour x deux valeurs égales et de signes
on obtient pour x deux valeurs égales et de signes contraires, et le problème admet pour solutions deux triangles rectangles symétriques par rapport à la perpendiculaire OY en 0 à AB. II. — Supposons que l'on ait k2 > 2 ah. 1° Si l'on a en outre le produit des racines de l'équation du second degré en x est négatif ; cette équation n'admet qu'une racine positive, quel que soit le signe de a2 + h2. Alors, on obtient pour x seulement deux valeurs réelles égales et de signes contraires, et le problème admet pour solutions deux triangles symétriques par
et le problème admet pour solutions deux triangles symétriques par rapport à OY. 2° Si l'on a en outre le produit des racines de l'équation du second degré en x est positif ; pour que x1 soit réelle et positive, il faut de plus que l'on ait Alors, on obtient pour x quatre valeurs réelles deux à deux égales et de signes contraires, et le problème admet pour solutions quatre triangles symétriques par rapport à OY. Si k2 = a2 + h2, deux racines x sont nulles, et le problème admet d'abord pour solution double un triangle isocèle ; si
admet d'abord pour solution double un triangle isocèle ; si a > h, il admet en outre pour solutions deux autres triangles symétriques par rapport à OY. L'angle M du triangle AMB est droit, aigu ou obtus, selon que l'on a D'après la relation de la condition (3), le signe de (a2 - h2) est nul ou négatif. Lorsqu'il est nul, l'angle M est droit. Considérons le cas où il est négatif. Si l'équation du second degré en x admet deux racines positives, la quantité a3 - (h2) est comprise entre ces deux racines ; donc, à la plus grande,