jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
2i1 par une condition d'incompressibilité faible. Dès lors, la formulation discrète du système variationnel (3.1)-(3.4) devient (4.6) csh (x, 0) = L2 projection de a(x, 0) sur 2,h. Remarque 4.1. — Si tp est differentiable, l'équation (4.5) peut s'écrire sous la forme variationnelle (de type Stokes) 700 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 697-700, 1987 5. RÉSULTATS DE CONVERGENCE. — Désignant par a et C diverses constantes positives, par nL la projection sur 2.h au sens L 2, nous allons supposer : (H 1) les coefficients du tenseur d'élasticité A et de son inverse A-1 sont
du tenseur d'élasticité A et de son inverse A-1 sont bornés sur Ω; (H 2) le potentiel de dissipation convexe cp est differentiable sur L2(Ω, ℝN), son gradient étant localement Lipschitz continu et vérifiant : (H 3) l'opérateur A envoie Eh sur lui-même et la quantité : AIIL e (wh). e (w,) définit Jn une norme sur Yh uniformément équivalente en h à la norme H 1; (H 4) les espaces Yh, £,h, et Vh vérifient : La première hypothèse est toujours vérifiée en pratique; la seconde est satisfaite pour les matériaux de Maxwell linéaires hétérogènes, pour les fluides de
les matériaux de Maxwell linéaires hétérogènes, pour les fluides de Carreau et pour les matériaux de Bingham généralisés; la troisième requiert la convergence de la règle d'intégration numérique qui utilise les points de Gauss de 2.h pour intégrer l'opérateur d'élasticité sur Yh; enfin l'hypothèse H 4 correspond à la condition inf-sup rencontrée de manière classique dans l'approximation mixte des problèmes de Stokes [3]. Sous ces 4 hypothèses, on peut démontrer [4] : THÉORÈME 5.1. — Sous les hypothèses H1 à H4, l'erreur entre la solution (v, a) du problème continu (3.1)-(3.4) et la solution (vh, ah) de son approximation par
(3.1)-(3.4) et la solution (vh, ah) de son approximation par éléments finis (4.3)-(4.6) est majorée par : où l'erreur d'interpolation eh (s) est donnée par : Note reçue le 10 août 1987, acceptée le 23 septembre 1987. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] D. BLANCHARD et P. LE TALLEC, Numerical analysis of the equations of small strains quasistatic elastoviscoplasticity, Numer. Math., 50, 1986, p. 147-169. [2] P. GERMAIN, Mécanique des milieux continus, Masson, Paris, 1973. [3] V. GIRAULT et P.-A. RAVIART, Finite element approximation of the Navier Stokes equations, Springer-Verlag, 1986. [4] P. LE TALLEC et M. RAVACHOL, Finite element approximation of progressively
LE TALLEC et M. RAVACHOL, Finite element approximation of progressively incompressible flows (à paraître). [5] J.-J. MOREAU, Fonctionnelles convexes, Cours au Collège de France, Paris, 1966. Service de Mathématiques, Laboratoire central des Ponts et Chaussées, 58, boulevard Lefebvre, 75732 Paris Cedex 15. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 701-704, 1987 701 Problèmes mathématiques de la mécanique/Mat/îematiques Problems in Mechanics Élargissement diphasique d'une nappe tourbillonnaire en dynamique du fluide parfait incompressible Jean DUCHON et Raoul ROBERT Résumé — On présente une version relaxée des équations d'Euler incompressibles autorisant des écoulements feuilletés à deux vitesses. Ces équations relaxées
autorisant des écoulements feuilletés à deux vitesses. Ces équations relaxées permettent une évolution diphasique de certaines nappes de tourbillon comme alternative à des solutions discontinues des équations d'Euler. Two-phase widening of a vortex sheet in incompressible perfect fluid dynamics Abstract — We présent a relaxed version of incompressible Euler equations, that permit foliated flows involving two velocities. Thèse relaxed equations allow a two-phase evolution of some vortex sheets, as an alternative to discontinuous solutions of Euler equations. 1. INTRODUCTION. — Le problème de Cauchy pour les équations d'Euler régissant l'évolution d'un fluide parfait incompressible s'écrit : u(t, x) est le
d'un fluide parfait incompressible s'écrit : u(t, x) est le champ des vitesses du fluide, x∈ℝ 3. On s'intéresse plus particulièrement à la dynamique des nappes tourbillonnaires, c'est-à-dire au cas où la partie singulière de rot u0 est concentrée sur une surface régulière. Dans le cas particulier où la partie régulière de rot u0 est nulle, si l'on déduit de (E) le système d'équations donnant l'évolution de la nappe de tourbillon ([1], [2], [5], [6]), on s'aperçoit que le problème de Cauchy est mal posé au sens de Hadamard (linéairement et non linéairement, voir [6]), les termes de fréquence dans
et non linéairement, voir [6]), les termes de fréquence dans la donnée initiale se trouvant amplifiés par un facteur e1 c '. Le caractère mal posé du système est couramment relié à un phénomène physique bien connu sous le nom d'instabilité de Kelvin-Helmholtz. On peut bien sûr, en utilisant les techniques d'échelles de fonctions analytiques à la Ovsjannikov, montrer par des estimations ad hoc l'existence locale en temps d'une solution analytique ([1], [2]). Mais cette démarche conduit à notre avis à des solutions inacceptables, car « non entropiques », bien avant qu'il y ait apparition de singularité. Cette assertion se
avant qu'il y ait apparition de singularité. Cette assertion se trouve éclairée par l'étude d'un exemple voisin, techniquement plus simple. Si l'on considère l'évolution de l'interface de deux fluides non miscibles de densités différentes dans un milieu poreux, on s'aperçoit (et ce n'est pas surprenant!) que lorsque le liquide le plus pesant est situé au-dessus, le problème de Cauchy pour l'interface est mal posé (il peut également se résoudre en analytique ([3], [7]); on peut alors montrer que la solution particulière nulle, correspondant à l'interface initiale plane, est non entropique en un sens naturel [8]. Si l'on modélise de façon
en un sens naturel [8]. Si l'on modélise de façon raisonnable un phénomène physique, on s'attend à obtenir un système d'équations aux dérivées partielles bien posé. Dans le cas des nappes de tourbillon, il semble que la contrainte incorrecte soit l'assertion qu'il existe une surface régulière qui porte à chaque instant le tourbillon. Une manière d'enlever cette contrainte consiste à chercher la solution de (E) sous forme d'un champ u(t, x) irrégulier, par exemple de carré sommable, en écrivant le terme convectif (u.V)u sous la forme conservative 3t(utu). Malheureusement cette démarche naturelle n'a pas abouti. Note présentée par Jean LERAY.
démarche naturelle n'a pas abouti. Note présentée par Jean LERAY. 0249-6291/87/03050701 S 2.00 © Académie des Sciences 702 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 701-704, 1987 Nous présentons ici une autre approche du problème. Supposons qu'on ait à l'instant initial deux masses fluides séparées par une nappe de tourbillon. Si l'on supprime la contrainte cinématique que les deux masses fluides demeurent séparées par une interface régulière, on admet qu'elles peuvent s'interpénétrer intimement; on remplace en quelque sorte un modèle « interface » par un modèle « diphasique ». En d'autres termes, dans une démarche inspirée de
diphasique ». En d'autres termes, dans une démarche inspirée de l'homogénéisation, on va résumer les phénomènes haute fréquence qui font que le problème d'interface est mal posé par un modèle à deux phases qui est en fait une version relaxée canonique des équations d'Euler. Nous appellerons équations d'Euler feuilletées le système relaxé. Ce système est canonique à partir du moment où on admet que l'écoulement a une structure « microscopique » qui s'organise en des feuillets qui glissent les uns sur les autres de façon régulière. Notre but est d'une part d'introduire le système des équations feuilletées, d'autre part de
part d'introduire le système des équations feuilletées, d'autre part de montrer que ce système admet des solutions particulières remarquables. Nous exhiberons une solution stationnaire discontinue des équations d'Euler ordinaires telle qu'il existe une solution diphasique non triviale du système feuilleté, continue pour tout t > 0 et admettant cette solution stationnaire comme condition initiale. Nous conjecturons que la linéarisation du système feuilleté autour de cette solution diphasique conduit à un problème bien posé. Notre démarche est à rapprocher de la définition de solutions mesures pour les systèmes hyperboliques ([4], [11]); mais on travaille ici avec des solutions mesures particulièrement simples,
mais on travaille ici avec des solutions mesures particulièrement simples, ce qui permet d'expliciter les conditions découlant de la structure microscopique de l'écoulement. On notera que l'incompressibilité ne joue pas un rôle essentiel et qu'on peut établir un modèle diphasique analogue dans le cas des fluides compressibles. 2. LES ÉQUATIONS D'EULER FEUILLETÉES. — Nous introduisons dans ce paragraphe les équations régissant l'évolution d'un écoulement feuilleté incompressible de fluide parfait. On peut se représenter microscopiquement un tel écoulement comme un empilement de feuilles minces formées de deux sortes de fluides F+ et F- de même densité, feuilles qui glissent librement les
et F- de même densité, feuilles qui glissent librement les unes sur les autres de telle sorte que les particules de F+ et F- puissent avoir des vitesses différentes u+ et u-. fi désigne un ouvert de R3, T un réel strictement positif. Les fonctions et champs seront supposés définis et suffisamment réguliers sur [0, T] x fi. Outre u+ et u- on introduit les inconnues : n(t, x) champ de vecteurs unitaires donnant la direction normale aux feuilles, v(t, x) vitesse normale (scalaire) de déplacement des feuilles, e(t, x) concentration locale en fluide F+, p(t, x) pression du fluide.
concentration locale en fluide F+, p(t, x) pression du fluide. On montre [9] que ces inconnues doivent vérifier le système suivant : — (0) est la condition nécessaire et suffisante de Frobenius qui exprime que, pour tout r, n (t, x) est au voisinage de tout point x le champ des normales à une famille de surfaces (feuilles). — (1), (2), (3) sont des conditions cinématiques qui expriment que la vitesse normale des particules de F+ et F- est la même et est égale à la vitesse normale de déplacement des feuilles. On note P, la projection orthogonale sur le
des feuilles. On note P, la projection orthogonale sur le plan normal à n. (1), (2), (3) impliquent que si (0) est satisfaite à l'instant initial elle reste satisfaite à chaque instant. — (4) traduit la conservation du fluide F+ et (5) l'incompressibilité globale du mélange. — (6) est l'équation dynamique portant sur la vitesse moyenne u = eu++(1—e)u-, elle fait apparaître le tenseur de Reynolds e(1 — e)[u]t[u];, où [u] = u+ — u-. — Dans (7), y* désigne l'accélération des particules de F-, y±=wI±-(-(u*. V)u±. L'équation (7) exprime une condition de « feuilletage dynamique » qu'on peut se
une condition de « feuilletage dynamique » qu'on peut se représenter microscopiquement comme la continuité de la pression à la traversée des feuilles. En oubliant (0), qu'on suppose vérifiée à l'instant initial, et en tenant compte du fait que |n| = 1, on obtient avec (1)...(7) un système de 11 équations à 11 inconnues (scalaires), qu'on appellera système des équations d'Euler feuilletées. On peut vérifier que (S) implique la conservation de l'énergie cinétique totale au cours du mouvement, en prenant comme conditions aux limites des vitesses normales nulles pour F+ et F- sur le bord de fi. À l'interface entre
et F- sur le bord de fi. À l'interface entre une zone diphasique régie par (S) et une zone monophasique régie par les équations d'Euler on demandera que e, u, p soient continues (en remarquant que u s'étend de façon naturelle par u+ ou u- dans les zones monophasiques). 3. EXEMPLE. — Dans le plan de coordonnées (x, y) nous cherchons un écoulement dans une bande B* = {(x, y) | | y | <= p*}, formé d'une solution de (S) dans une bande diphasique B(r) = {(x, y) | |y| <= p(t)} Qui s'élargit progressivement [à partir de u(0)=0].
|y| <= p(t)} Qui s'élargit progressivement [à partir de u(0)=0]. Cette solution se prolongeant de façon continue pour u (t) <= |y| <= p* par un champ de vitesses u0 (y) parallèle à ox. La vitesse u0 qui est la condition initiale de cet écoulement est une solution stationnaire des équations d'Euler ordinaires. Pour ce faire, on particularise le système (S) (on remarquera qu'en dimension deux la condition (0) est toujours vérifiée) au cas d'une solution invariante en x et dont les lignes de croisement (courbes normales à n) sont des droites. Du fait de l'invariance en x toutes les
des droites. Du fait de l'invariance en x toutes les lignes de croisement se déduisent par translation suivant ox de celle qui passe par l'origine, que nous supposerons donnée par la représentation paramétrique : où u(r) > 0, a est la concentration en fluide F+, i.e. 0 < a < 1 et e(t, y(t, a)) = a. On montre qu'alors (S) se ramène au système différentiel ordinaire du second ordre : où m = X/u. En introduisant l'angle cp (t) tel que m (t) = cotg cp (t), on montre qu'il existe une solution du système (I) telle que :
qu'il existe une solution du système (I) telle que : (*) cp(t) ~ t et p(f) ~ t2 lorsque t -> 0, (**) cp(r), p(î) sont des fonctions strictement croissantes et La vitesse initiale u0 (y) est déterminée par la relation U0(M-(0) = U+(A H(0)> pour tout t. Dans cet exemple u+ (t, p(r)) est parallèle à ox et u0 (y) étendue en une fonction impaire pour y < 0 est discontinue en y=0. 4. COMMENTAIRES. — Une question naturelle soulevée par cet exemple est : « en quoi la solution diphasique est-elle préférable à la solution stationnaire qui lui
solution diphasique est-elle préférable à la solution stationnaire qui lui sert de condition initiale ? ». On peut avancer deux arguments. Le premier est que cette solution est continue pour t > 0. Le second est la conjecture que si on linéarise le système (S) autour de cette solution diphasique on aboutit à un problème linéaire bien posé. Il est naturel également de débattre de la condition d'entropie à rajouter au système pour sélectionner « la bonne » solution. Ici la discontinuité initiale engendre du « désordre diphasique » qui peut se quantifier en faisant intervenir une entropie de mélange
peut se quantifier en faisant intervenir une entropie de mélange de densité -eLog(e)-(1-e)Log(1-e). — Les équations feuilletées constituent un modèle décrivant une situation turbulente très particulière dans les équations d'Euler (sans doute la situation la plus simple où l'on peut décrire complètement l'effet d'une structure microscopique particulière sur les équations macroscopiques). En examinant l'équation donnant l'évolution de la vitesse moyenne, on s'aperçoit que le tenseur de Reynolds (terme supplémentaire induit par la turbulence) dépend globalement de l'écoulement et ne peut pas s'exprimer en fonction de quantités moyennées. Autrement dit, ce cas particulier souligne le caractère problématique des relations de fermeture
cas particulier souligne le caractère problématique des relations de fermeture turbulentes (pour une vision homogénéisée de ces relations voir [10]). — On renvoie à [9] pour une présentation détaillée des faits résumés dans cette Note. Résumé d'un texte qui sera conservé 5 ans par les Archives de l'Académie et dont copie peut être obtenue. Note reçue le 15 septembre 1987, acceptée le 21 septembre 1987. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] C. BARDOS, U. FRISCH, C. SULEM et P. L. SULEM, Comm. Math. Phys., 80, 1981, p. 485-516. [2] R. CAFLISCH et O. ORELLANA, Long time existence for slightly perturbed vortex sheets, Preprint,
ORELLANA, Long time existence for slightly perturbed vortex sheets, Preprint, Courant Institute, New York, 1986. [3] J. R. CHAN-HONG, Thèse, Lyon, 1987. [4] R. Di PERNA, Arch. Rat. Mech. Anal, 88, 1985, p. 223-270. [5] J. DUCHON et R. ROBERT, C.R. Acad. Sci. Paris, 302, série I, 1986, p. 183-186. [6] J. DUCHON et R. ROBERT, Global vortex sheet solutions of Euler equations in the plane, J. Diff. Eq. (à paraître). [7] J. DUCHON et R. ROBERT, Annales de l'Institut Fourier, XXXVI, fasc. I, 1986. [8] J. DUCHON et R. ROBERT, Article (à paraître). [9] J. DUCHON et R. ROBERT,
ROBERT, Article (à paraître). [9] J. DUCHON et R. ROBERT, Article (à paraître). [10] D. W. Mc LAUGHLIN, G. C PAPANICOLAOU et O. R. PIRONNEAU, S.I.A.M. J. Appl. Math., 45, n° 5, 1985, p. 780-797. [11] D. SERRE, Large oscillations in hyperbolic Systems of conservation laws, Prépublication, Université de Saint-Étienne, 1987. J. D. : La-plaine-Saint-Sauveur, 38160 Saint-Marcellin; R. R. : 21, avenue Plaine-Fleurie, 38240 Meylan. COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES (New Rules as of June 1,1987) INSTRUCTIONS TO AUTHORS (*) In order to be published in the Comptes rendus, a "Note" must represent the first publication of an important
a "Note" must represent the first publication of an important discovery or significant new result. It must be communicated by a Member, Foreign Associate or Corresponding Member of the Academy. Contents of the Note Each Note should include the following information in the order given below: 1. the heading in French and English, denoting the scientific field, under which it is to be published (**) (where applicable, a second heading under which it could be cross-referenced in the tables of contents may be given); 2. the title in French; 3. the complete names (surnames and first names) of the authors;
the complete names (surnames and first names) of the authors; 4. a short Abstract in French ("Résumé"); 5. the title in English; 6. a short Abstract in English; 7. the text of the Note (see "Languages Used" below); 8. where applicable, table and figure captions in both French and English; 9. a numbered list of references as quoted in the text of the "Note". Each reference should include the authors' initials and surnames, title of the journal, volume, year, first and last page numbers, and the complete title of the article (this last item is essential for Notes in Série
article (this last item is essential for Notes in Série I, highly desirable for the other Série); 10. the full address and telephone number of the author or institution; 11. the name, address and telephone number of the person to whom the proofs are to be sent. Languages used and length Notes for the Comptes rendus are usually published in French and must not exceed four printed pages in length, including tables and figures. If, however, an Abridged English Version of at least one, but no more than two pages, is included, the entire length (including figures and tables) may
is included, the entire length (including figures and tables) may be up to six pages. The Abridged English Version should also refer to the figures, tables and bibliographical entries. Authors from other countries may present a "Note" written in another language, preferably English, which uses latin characters, on condition that it be accompanied by an Abridged French Version of about one printed page (referring to the figures, tables and bibliographical entries). Hère again, the entire Note may be up to 6 pages in length, including figures and tables. In some specific cases, and with the authorization of one of the
specific cases, and with the authorization of one of the Permanent Secretaries, one or two additional plates of figures may be added to the Note. These additional plates must be submitted in camera-ready copy and are published at the authors' expense. Technical requirements All parts of the Note must be typed, double-spaced and submitted in duplicate. A printed page for the Comptes rendus consists of 47 lines of 83 normal-sized or 95 small-sized characters, symbols or spaces. Titles, abstracts, tables, figures and the bibliography are to be included when calculating the total number of printed pages. Other requirements include: —
the total number of printed pages. Other requirements include: — Use of internationally accepted units. — Clear presentation of mathematical equations, especially sub- and superscripts (typed where possible). — Specification, in the margin or on a separate list, of the meaning of uncommon symbols. — Highlighting of uncommon symbols, such as Greek letters, italics, capitals, and so on. — No sentence may begin with a mathematical formula. — Any instructions to the printer must be included on a separate sheet attached to the document. Where possible, use should be made of conventional printing symbols. — Footnotes are to be avoided.
of conventional printing symbols. — Footnotes are to be avoided. If they must be used, however, they should be numbered differently from the references and will appear at the end of the text, just before the bibliography. For further details, see the complete Rules governing the Comptes rendus de l'Académie des Sciences which appear in the first issue of each Volume. The list of headings (called "Rubriques") appears in the first issue of each Volume. COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES Séries I: Mathematics Séries II: Mechanics, Physics, Chemistry, Earth Sciences, Space Sciences Séries III: Life Sciences Subscription Rates. Foreign
Sciences, Space Sciences Séries III: Life Sciences Subscription Rates. Foreign Countries 1987 Vol. 304+305-40 issues One série 3 450 FF For foreign countries, subscription rates include surface mail charges. For faster delivery, please mark your order "Air Mail charges invoiced in addition". For 1987, all subscribers receive free service of Série générale "La Vie des Sciences". La Vie des Sciences: Institution 490 FF/Individual 294 FF Subscriptions should be sent to: C.D.R., Centrale des Revues, 11, rue Gossin, 92543 Montrouge Cedex France Specimen copy on request Version française p. 2 de couverture COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES MATHEMATIQUES. 1987 —
couverture COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES MATHEMATIQUES. 1987 — Tome 305 — Série I — n° 15 Logique Définissabilité de l'arithmétique par coprimarité et restrictions de l'addition ou de la multiplication. Denis RICHARD 665 Analyse mathématique Quelques inégalités isopérimétriques pour le problème de Stefan. Björn GUSTAFSSON et Jacqueline MOSSINO 669 La positivité dans la théorie du transport des neutrons. Mustapha MOKHTAR-KHARROUBI 673 Équations aux dérivées partielles Problèmes aux limites pour des systèmes hyperboliques non linéaires de deux équations à une dimension d'espace. Assia BENABDALLAH et Dénis SERRE 677 Analyse fonctionnelle Image numérique simultanée d'une famille d'opérateurs sur l'espace de
fonctionnelle Image numérique simultanée d'une famille d'opérateurs sur l'espace de Hilbert. Gilles CASSIER 681 Contents with English abstracts I, II Géométrie différentielle Deux connexions linéaires sur les hypersurfaces d'un espace de Banach ou de Minkowski. Heikki HAAHTI et Seppo KINNUNEN 685 Topologie Applications du théorème de Frostman à la dimension des ensembles de Cantor réguliers. Gérard MICHON 689 Probabilités Un principe de réflexion pour le mouvement brownien de Paul Lévy à trois paramètres. André GOLDMAN 693 Analyse numérique Approximation par éléments finis d'écoulements progressivement incompressibles. Patrick LE TALLEC et Michel RAVACHOL 697 Problèmes mathématiques de la mécanique Élargissement diphasique d'une
RAVACHOL 697 Problèmes mathématiques de la mécanique Élargissement diphasique d'une nappe tourbillonnaire en dynamique du fluide parfait incompressible. Jean DUCHON et Raoul ROBERT 701 Les "Comptes Rendus de l'Académie des Sciences" figurent dans "Current Contents" et "Pascal" 3642-87 — Dépôt légal novembre 1987: Imprimeur 3078 —CPPP 60383 — Imprimé en France
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