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chargée: le jeu n'est plus équitable. Nous laisserons de côté les questions relatives au chargement pour nous occuper uniquement de la détermination des primes pures en mettant en évidence l'intérêt qu'il y a à travailler sur de très grands nombres de cas. Pour résoudre le problème des primes pures, la compagnie doit d'abord déterminer la probabilité théorique d'arrivée de l'événement, ensuite se demander si elle peut admettre que la fréquence future des sinistres, parmi ses assurés, toutes choses égales d'ailleurs, se rapprochera de cette probabilité. En supposant ces accidents dus au hasard, nous les assimilerons à des tirages dans une
au hasard, nous les assimilerons à des tirages dans une urne de composition inconnue, contenant des boules marquées « accident » dans une certaine proportion. La compagnie devra d'abord faire une série de tirages qui déterminera une fréquence de sortie des boules « accident », donnant une valeur approchée de la composition vraie de l'urne. Cela correspond à l'étude des statistiques. Ensuite, la compagnie étudiera si, faisant dans cette urne de composition maintenant connue, une série de tirages de nombre égal à celui de ses assurés, elle a des chances que la fréquence de sortie des boules « accident »
que la fréquence de sortie des boules « accident » se rapproche de la probabilité théorique. Elle calculera, en somme, la précision de sa prévision brute. Cette précision sera d'autant meilleure que nous travaillerons sur de plus grandes séries de nombres. Considérons d'abord la fréquence théorique : nous nous sommes servis pour la calculer des statistiques des 10 dernières années portant sur 1.000 observations annuelles; les résultats oscillent entre 25 et 35, moyenne 30, qui pourra différer de la fréquence théorique, que nous cherchons d'une quantité de l'ordre de grandeur de l'écart-type, soit 2/1.000. Cette fréquence sera donc comprise entre
de l'écart-type, soit 2/1.000. Cette fréquence sera donc comprise entre 28 et 32. Par mesure de précaution, pour ne pas voir les années suivantes la moyenne des sinistres dépasser ses prévisions, la compagnie calculera ses primes pures sur la limite supérieure qui a très peu de chances d'être dépassée. Cela donnera une prime pure de 16 $. Si nous disposons de moyennes calculées sur 100.000 cas, l'écart-type sera 10 fois plus petit, soit 0,2 pour 1.000. Le maximum à craindre sera réduit à 30,2 pour 1.000 et la prime pure pourra être ramenée à 15 # 10. La précision de
pourra être ramenée à 15 # 10. La précision de la détermination des moyennes théoriques peut être particulièrement satisfaisante dans le cas des assurances sur la vie. Les compagnies disposent, en effet, de matériaux considérables pour élaborer leurs statistiques, l'événement contre lequel elles assurent étant bien le plus universel. Au contraire, une compagnie qui veut assurer contre des événements peu fréquents, ne dispose d'aucune base sûre et devra majorer ses primes en conséquence. Cette nécessité de travailler sur un grand nombre d'observations a conduit les compagnies françaises d'assurances sur la vie à mettre en commun leurs statistiques pour construire les
vie à mettre en commun leurs statistiques pour construire les « tables de survie » nécessaires à la détermination des primes pures. En second lieu, il y aura avantage, pour la compagnie, à posséder le plus grand nombre possible d'assurés, pour être sûre que, chez elle, la moyenne observée des événements se rapprochera de la moyenne théorique. La différence entre ces deux moyennes sera de l'ordre de l'écart-type, qui diminue quand le nombre d'épreuves augmente. Avec seulement un petit nombre d'assurés, la compagnie pourra craindre une série dépassant nettement la théorie, qui la mettrait en déficit dès le début de
théorie, qui la mettrait en déficit dès le début de son existence. Avec un grand nombre d'assurés, une telle éventualité ne sera plus à craindre. De là encore un des éléments de la supériorité des assurances sur la vie. On pourrait voir d'une façon analogue qu'une compagnie a plus d'intérêt à avoir un grand nombre de petites assurances qu'un petit nombre de grosses affaires, le chiffre d'affaire étant le même dans les deux cas : c'est le principe bien connu de la division des risques. Par exemple, une compagnie d'assurances maritimes refusera en général de prendre pour elle seule l'assurance
maritimes refusera en général de prendre pour elle seule l'assurance d'un très gros paquebot dont l'incendie fausserait complètement les résultats financiers de l'année où il se produirait : une telle assurance est le plus souvent répartie entre plusieurs compagnies. Applications aux problèmes économiques 1°) La continuité de la demande sociale en fonction du prix chez A. Cournot. Auguste COURNOT fut probablement le premier économiste qui essaya d'appliquer la loi des grands nombres à des problèmes sociaux. Avant d'aborder les études économiques, il avait acquis une forte culture mathématique : ancien élève de l'École normale supérieure, section des sciences, ses premières
élève de l'École normale supérieure, section des sciences, ses premières publications ont trait à la théorie mathématique des fonctions et à la théorie des chances. Il essaya ensuite d'introduire l'usage des mathématiques dans les études économiques. En 1838 paraissent ses « Recherches sur les principes mathématiques de la théorie des richesses ». Dans cet ouvrage, il utilise d'abord les mathématiques comme un langage, le langage par excellence de tout travail scientifique (sans grand succès auprès du public d'ailleurs). Il essaie ensuite d'introduire dans l'étude du mécanisme économique la notion de fonction dont les mathématiques font un si grand usage et
fonction dont les mathématiques font un si grand usage et qu'il a précédemment étudiée. Enfin, à propos du problème des prix, il signale une application de la théorie des chances et de la loi des grands nombres. C'est cette question que nous étudierons, nous arrêtant particulièrement aux critiques que l'argumentation de COURNOT a pu soulever. L'ARGUMENTATION DE COURNOT. La partie de son œuvre à laquelle COURNOT tenait le plus, est probablement sa théorie des prix. Elle constitue un notable progrès sur les théories du début du XIXe siècle, en particulier, en ce qui concerne les prix de monopole. Une première
en ce qui concerne les prix de monopole. Une première originalité de COURNOT réside dans l'introduction de la notion de fonction dans l'étude des rapports de la demande et des prix. La demande d'un produit est fonction de son prix: à un moment donné, à chaque prix correspond dans l'esprit de chaque individu une Fig. 6 certaine quantité du produit qu'il voudra et pourra acheter. En général, la demande croît quand le prix baisse. Cette fonction D = F (p) est représentée par la courbe de demande individuelle du produit à l'instant considéré. Elle variera d'un moment à l'autre pour
à l'instant considéré. Elle variera d'un moment à l'autre pour une multitude de raisons : c'est pourquoi il nous est impossible de la déterminer par l'observation et de lui donner une forme numérique. En effet, les résultats obtenus D1, D2, D3, correspondant à des prix p1, p2, p3, n'appartiennent pas à la même courbe, celle du temps t1, mais à différentes courbes, celles des temps t1, t2, t3. La représentation graphique de ces résultats dans un système d'axes ODpt donne une surface S (Dpt) = 0 sur laquelle se répartissent les points A de coordonnées Dpt. La courbe de demande
les points A de coordonnées Dpt. La courbe de demande à un moment t1 sera la section de la surface S par un plan parallèle à ODp et coupant l'axe des temps au point t1. Cela donnera la courbe D1 = F1 (p). On aurait de même aux temps t2 et t3 des courbes D2 et D3. Nos trois points A1, A2, A3, de coordonnées (D1, p1, t1) (D2, p2, t2) et (D3, p3, t3) seront : le premier sur la courbe t1, le deuxième sur la courbe t2 etc. Leur ensemble dessinera une courbe gauche d'équations : D =
Leur ensemble dessinera une courbe gauche d'équations : D = G1 (p) et S (Dpt) = 0. Nous pouvons déterminer par l'observation la projection de cette courbe gauche sur un des plans de référence, mais la projection sur le plan Dp (soit G1) ne donnera une courbe identique à D1 que si la surface S est un cylindre parallèle à l'axe des t, c'est-à-dire si l'on suppose que les courbes D1, D2, D3, ne se modifient pas dans le temps — ce que nous n'avons pas le droit de supposer. Nous ne pouvons pas déterminer une forme algébrique de D
Nous ne pouvons pas déterminer une forme algébrique de D = F (p) qui nous permettrait de faire des applications numériques, mais les mathématiques nous donnent de nombreux exemples de fonctions de ce genre, pour lesquelles nous devons nous contenter de déterminer un certain nombre de propriétés générales. Une des premières questions que l'on se pose est d'habitude de savoir si la courbe est continue. COURNOT va étudier le problème de la continuité de la courbe de la demande en fonction du prix; c'est là qu'il va faire intervenir la loi des grands nombres. La continuité de la courbe de
loi des grands nombres. La continuité de la courbe de la demande. Demandes individuelle et sociale. Jusqu'à présent, nous n'avons considéré que la courbe de demande individuelle. Rien ne nous autorise à affirmer que cette courbe est continue. Au contraire, l'analyse psychologique, seul moyen dont nous disposons pour nous faire une idée de sa forme, nous apprend qu'il y a de fortes chances pour qu'elle soit « en escalier », présentant une succession de paliers AA' BB' et des discontinuités A'B, B'C. Cela traduit le fait que nous ne réagissons pas à de très petites variations de prix : il
pas à de très petites variations de prix : il faut au moins que ces variations atteignent la plus petite division monétaire courante; en fait, il faut qu'elles soient beaucoup plus grandes et nous ne modifions la quantité que nous désirons acheter que lorsque les prix ont subi une variation suffisamment importante. La variation correspondante de la demande est alors brusque. Les causes de ces brusques modifications Fig. 7 sont très complexes ; elles agissent par l'intermédiaire de nos appréciations et leurs effets sont imprévisibles à l'échelle individuelle « microscopique ». Courbe de demande sociale. — La courbe de la
». Courbe de demande sociale. — La courbe de la demande sociale à un instant donné va résulter de la combinaison d'un très grand nombre de courbes individuelles. La représentation graphique à trois dimensions 6) est valable pour la courbe sociale comme pour la courbe individuelle car nous n'avons jamais fait intervenir dans notre exposé le caractère social ou individuel du phénomène étudié. La loi des grands nombres va nous permettre d'affirmer que la courbe représentant la demande sociale en fonction du prix est une courbe continue. Nous avons vu, en effet, que les courbes individuelles présentent des paliers et
en effet, que les courbes individuelles présentent des paliers et des discontinuités imprévisibles dont les causes, à l'échelle microscopique, sont impossibles à analyser. Nous pouvons alors admettre que les résultats à l'échelle macroscopique seront les mêmes que si la répartition des discontinuités le long de la courbe était due au hasard. Nous ne faisons là rien d'autre que le physicien qui applique la loi des grands nombres dans la théorie cinétique des gaz : chaque molécule est soumise à des forces mécaniques dont nous connaissons les principes mais dont nous ne pouvons prévoir les effets en raison de l'extrême complexité
ne pouvons prévoir les effets en raison de l'extrême complexité du problème. La loi des grands nombres nous permet de dire que les discontinuités des courbes individuelles se répartiront régulièrement le long de la courbe sociale et qu'il est extrêmement peu probable qu'un nombre suffisant d'entre elles coïncident en un point p pour que leur action combinée ait un effet non négligeable par rapport à celui de l'infinité des autres courbes qui ne présentent pas de discontinuités en ce point. Nous pouvons même aller plus loin. Les discontinuités seront réparties uniformément le long de la courbe, avons-nous dit. Cela signifie
uniformément le long de la courbe, avons-nous dit. Cela signifie que la courbe ne présentera pas de paliers : elle décroîtra régulièrement, si nous admettons qu'est infime le nombre de ceux qui recherchent un produit en raison même de sa rareté et dont, en conséquence, la courbe de demande croît avec le prix. Cette deuxième propriété de la courbe sociale est d'ailleurs indépendante de la question de la continuité ; elle peut trouver une confirmation expérimentale dans l'étude des variations des cours de bourses, qui sont les marchés se rapprochant le plus du type du marché idéal. Sur ces marchés,
le plus du type du marché idéal. Sur ces marchés, en effet, nous voyons une très légère différence de prix entraîner immédiatement des variations dans le volume des demandes. On peut objecter que ces variations ont lieu dans le temps et que le point représentatif que nous fournit l'observation décrit la courbe gauche G et non la courbe D1 (fig. 6). Cependant, comme les variations de p et de D ont lieu dans un très court espace de temps, les plans des courbes D. et D2 sont très voisins et on ne commettra qu'une erreur de l'ordre infinitésimal supérieur en
on ne commettra qu'une erreur de l'ordre infinitésimal supérieur en admettant que dans ce cas, la projection de la courbe G sur le plan ODp se confond avec la courbe D = F (p) à l'instant considéré. Nous voyons donc que l'application de la loi des grands nombres au problème de la combinaison des courbes individuelles en courbe de demande sociale nous permet de déterminer un certain nombre de propriétés de cette courbe et en particulier, nous permet d'affirmer qu'elle est continue. Remarquons d'ailleurs que le même raisonnement pourrait être fait pour n'importe quel phénomène social résultant d'un grand nombre
fait pour n'importe quel phénomène social résultant d'un grand nombre de phénomènes individuels. Nous pouvons admettre que nous traitons en ce moment le problème général de la continuité des phénomènes sociaux. b) LA CRITIQUE DE COURNOT Il est évident que le point faible de la théorie réside dans le fait d'admettre que la loi des grands nombres peut être appliquée aux phénomènes sociaux. Dans quelle mesure pouvons-nous assimiler les résultats de la combinaison entre elles des actions économiques des hommes aux résultats d'un jeu de hasard? Quelque complexe que soient les antécédents de ces actions, ne peut-on penser qu'il existe
les antécédents de ces actions, ne peut-on penser qu'il existe des cas particuliers où une cause simple exercera une action dominante, quasi mécanique, sur tous les individus à la fois, et entraînera ainsi, en un point, la coïncidence des discontinuités des courbes individuelles ? C'est une objection de ce genre que le professeur Gaëtan PIROU adresse à COURNOT. Sa critique se trouve dans son cours à l'École des Hautes Études, publié sous le titre « Les théories de l'équilibre économique ». L. WALRAS et V. PARÉTO. La cause simple et dominante susceptible d'entraîner une discontinuité dans la courbe de la
dominante susceptible d'entraîner une discontinuité dans la courbe de la demande sociale d'un certain produit, serait l'existence d'un succédané qui, à partir d'un prix p deviendrait plus avantageux à employer. Rien ne permet de supposer que tout le monde n'abandonnera pas au même moment le produit primitif. La courbe de la demande serait alors discontinue au point d'abcisse p. L'argument n'est pas convaincant. Un succédané n'a jamais exactement les mêmes qualités que le produit qu'il vise à remplacer. Il ne faut d'ailleurs pas perdre de vue que cette cause si simple et si forte soit-elle, n'agit sur le phénomène économique
simple et si forte soit-elle, n'agit sur le phénomène économique observable que par l'intermédiaire de l'homme, et non directement, mécaniquement. Les très légères différences de qualités des deux produits seront diversement appréciées par chacun, et les prix de substitution ne seront donc pas identiques dans toutes les courbes individuelles de demande. C'est l'infinie variété des réactions humaines devant les mêmes faits, dans des conditions identiques, qui nous permet d'appliquer ici la loi des grands nombres. Il n'est évidemment pas impossible que tous les hommes réagissent absolument de la même façon devant un certain événement, mais c'est un fait extrêmement peu
devant un certain événement, mais c'est un fait extrêmement peu probable, que, d'ailleurs, la loi des grands nombres prévoit. S'il en était ainsi la courbe de la demande sociale serait discontinue en un point, mais on pourrait dire que c'est un hasard extraordinaire. M. PIROU prend l'exemple de deux combustibles, bois et charbon, et il suppose que la substitution de l'un à l'autre devient avantageuse quand le prix de l'un passe de 13 f à 13, 50. Il se peut très bien que si le bois augmente de 13 f à 13, 50, il soit intégralement remplacé par le charbon.
à 13, 50, il soit intégralement remplacé par le charbon. Cela nous oblige à dire que de p = 13 à p = 13,50 la courbe de la demande de bois a une pente descendante très forte ; mais en aucun cas nous ne pouvons en déduire que la courbe sera discontinue pour p = 13, ce qui signifierait, au sens mathématique du terme, que, pour cette valeur de p, la demande présente deux valeurs distinctes d1 et d2 et que pour une très petite variation de p de 13 à 13 + e, la valeur de d passe de
à 13 + e, la valeur de d passe de d1 à d2, s étant une quantité très petite également. Entre 13 et 13,50 la complexité des réactions humaines continuera à jouer et fera que les changements de combustible se feront, pour les divers utilisateurs, à des prix intermédiaires, également répartis entre 13 et 13,50. Il nous est interdit de penser qu'une modification importante d'un phénomène social peut résulter d'une variation très petite d'une des causes: ce qui est possible entre 13 et 13,50 ne le sera plus entre 13 et 13,05. Nous en arrivons à mettre à la base
et 13,05. Nous en arrivons à mettre à la base de la continuité des phénomènes sociaux la diversité des individus ou, suivant l'expression de M. DAURE, « l'incohérence des sociétés humaines ». Cette base n'est-elle pas ébranlée par l'évolution moderne ? Le point de vue de M. DAURE. M. P. DAURE a étudié ce problème dans un article paru dans les « Annales de droit et de Science sociale » sous le titre : « Réflexions sur l'évolution monétaire et l'application de la loi des grands nombres aux phénomènes sociaux ». L'incohérence des phénomènes élémentaires est la condition de l'existence
». L'incohérence des phénomènes élémentaires est la condition de l'existence d'un phénomène de superposition, d'une « régularité statistique ». Cette incohérence peut être due au fait que les actes élémentaires sont indéterminés ou au fait qu'ils sont déterminés par des séries de causes indépendantes. Nous pourrions alors appliquer la loi des grands nombres aux phénomènes sociaux soit que nous admettions le libre arbitre de l'homme, soit que nous admettions la détermination des actes humains par des facteurs externes très compliqués. Mais M. DAURE se demande si cette application est encore admissible dans les sociétés modernes qui semblent évoluer de l'incohérence
admissible dans les sociétés modernes qui semblent évoluer de l'incohérence à la cohérence. Cette évolution est due à deux facteurs principaux : — le développement des moyens d'information et de propagande qui tendent à « solidariser le milieu » en uniformisant les réactions humaines devant des événements similaires. — l'influence grandissante des groupes dans le domaine économique (syndicat, trusts, etc.). Le premier de ces facteurs nous interdit d'appliquer la loi des grands nombres parce que les événements élémentaires ne sont plus indépendants les uns des autres ; le second nous l'interdit parce que les événements élémentaires, indépendants les uns des
l'interdit parce que les événements élémentaires, indépendants les uns des autres, ne sont pas assez nombreux pour que la « compensation des effets du hasard » s'accomplisse avec assez de précision. La théorie de COURNOT s'appliquera donc dans une économie libérale, individualiste, où l'action de chacun des très nombreux individus pourra être considérée comme indépendante de celle des autres et d'influence négligeable par rapport à l'ensemble. Elle ne vaudra peut-être plus dans le cas d'une économie fortement cartellisée, comprenant de nombreux monopoles et dont les acteurs subissent aveuglément l'influence de quelques « directeurs de pensée ». COURNOT lui-même avait d'ailleurs
quelques « directeurs de pensée ». COURNOT lui-même avait d'ailleurs expressément écarté l'application de sa théorie dans le cas où le nombre des consommateurs serait par trop réduit. CONCLUSION. Il semble, en définitive, que les facteurs de cohérence qui existent dans les sociétés humaines modernes auront des répercussions diverses sur la validité de l'application de la loi des grands nombres aux phénomènes sociaux. La tendance au monopole nous conduira à écarter franchement la théorie de COURNOT comme il l'a lui-même admis. La tendance à la « solidarisation du milieu » par le développement des moyens de communication aura, à notre
par le développement des moyens de communication aura, à notre avis, une action beaucoup plus nuancée. Elle ne nous permettra en aucun cas d'admettre l'existence dans la courbe de demande sociale de discontinuités au sens mathématique du mot, mais elle tendra à favoriser de plus en plus l'existence de fortes modifications des phénomènes sociaux pour de très faibles variations du facteur causal. La valeur de la demande sociale représentée par une courbe toujours continue sera sujette à d'amples et rapides modifications pour de très légères augmentations ou diminutions du prix du produit. C'est là le point important. Il est parfaitement
du produit. C'est là le point important. Il est parfaitement oiseux de discuter du point de vue économique si la courbe pourra comprendre des parties rigoureusement verticales ou seulement « très inclinées ». Il doit suffire d'avoir mis en évidence que l'existence de mouvements de psychologie collective peut remplacer par de rapides bouleversements les lentes évolutions des équilibres qui peuvent théoriquement exister dans une économie où les individus agissent indépendamment les uns des autres, suivant ce qu'ils croient être leur intérêt personnel et sans être soumis à aucune contrainte extérieure d'ordre social. Nous voilà peut-être bien loin de la théorie
d'ordre social. Nous voilà peut-être bien loin de la théorie de COURNOT: après lui avoir accordé une approbation de principe, ne venons-nous pas de lui ôter toute valeur économique ? Il ne semble pas. Comme toute théorie d'économie pure, elle nous fournit un schéma très simplifié pour guider nos raisonnements, et, dans son imperfection même, elle sert encore la science en nous incitant à étudier plus à fond l'écart qui la sépare de la réalité. Applications dans le domaine monétaire et financier Les questions monétaires et financières soulèvent de multiples problèmes dans la solution desquels la loi des grands nombres
problèmes dans la solution desquels la loi des grands nombres intervient. Nous nous bornerons à énumérer les principaux : — émission de billets gagés sur l'or au-delà de la valeur du stock de garantie ; — amplification du stock monétaire par la création de monnaie scripturale ; — répartition des fonds des banques entre les emplois à court terme et les investissements à long terme ; — en particulier, emploi par l'État à des fins budgétaires (couverture du déficit), des sommes empruntées à court terme par des moyens dits « de trésorerie ». Schéma général Toutes ces questions peuvent se
de trésorerie ». Schéma général Toutes ces questions peuvent se ramener à un schéma général qui est basé sur la théorie des ensembles renouvelables et la loi des grands nombres. Soit un stock S alimenté par un flux d'entrée d'intensité e et alimentant un flux de sortie d'intensité s. Les molécules qui composent e entrent dans le stock, y restent un temps t, puis en sortent pour former le flux de sortie s. Soit t0 le temps moyen de séjour des molécules dans le stock ; du temps o au temps t0 le flux de sortie sera nul ; le