jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
l'ultramétrique associée sur l'espace E. L'ordre du module Ç est la dimension de Hausdorff de l'ensemble de Cantor régulier (E, 8). Les ensembles de Cantor construits à l'aide d'un arbre et d'un module servent de structure de référence, de modèle. Le couple arbre, module est appelé une présentation du Cantor (E, 8). Si (E, 8) est un modèle et (X, d) un espace métrique, nous appelons quasi-isométrie une surjection / : E -> X pour laquelle existent deux constantes A, B > 0 telles que pour tous x, y E E, A 8 (x, y) < d (fx, fy) <
E, A 8 (x, y) < d (fx, fy) < B 8 (x, y). L'étude des propriétés de l'espace (X, d), invariantes par quasi-isométrie se fait alors via l'arbre (E0, E1, ...) et le module. Par sa définition même, tout ensemble de Cantor régulier est quasi-isométrique à un modèle, et réciproquement. 2. ENSEMBLES ISOTYPIQUES. — Illustrons notre méthode d'étude des ensembles de Cantor réguliers par un exemple simple qui modélise les parfaits isotypiques [3]. Fixons un entier p>2, une suite (X0, ..., Xp-1) d'éléments de ]0, 1[ et posons I = {0, 1, ..., p-1}. L'arbre qui nous importe ici
= {0, 1, ..., p-1}. L'arbre qui nous importe ici est l'arbre p-aire (1°, I 1, I 2, ...). L'ensemble U lh est le monoïde libre sur I, usuellement noté I*. Le module Ç : I* -> R ngO est ainsi fait: à la suite finie a=(a0, ..., an-1) élément, il associe le scalaire Ça = Xa0 ... A. . Nous notons C(A, 0, ..., Xp-1) le modèle ainsi constitué: l'espace sous-jacent est IN. Si x et y sont différents — leur plus grand mot commun étant ael — l'ultramétrique est définie par 8(x, y) = Xa0 ... Xan-1. D'autre
est définie par 8(x, y) = Xa0 ... Xan-1. D'autre part, nous dirons que : DÉFINITION. — Un espace métrique compact K est un parfait isotypique de type (X0, ..., Xp-1) s'il existe une application o : K -> K et une partition K0, ...,Kp-1 telles que, pour chaque i = 0, ..., p - 1, d|K, : Kj -> K soit un homéomorphisme vérifiant : d(ax, ay) = Xa-1 d(x, y). On peut construire de tels espaces de la façon suivante. Soient (E, d) un espace métrique compact et des applications φ0, ..., (φp-1 : E -> E vérifiant
des applications φ0, ..., (φp-1 : E -> E vérifiant : (i) Pour chaque i = 0, ..., p-1, il existe Xk]0,1[ tel que d(φkx, φky) = Xk d(x, y). (ii) Im(φi) ∩ Im(φj) = 0 si i ≠ j. Un mot P = (p0, p1, ...) de IN étant donné, on envisage la suite décroissante de compacts qui suit : L'intersection des compacts de cette suite est réduite à un point noté /p. On réalise ainsi une application/: IN -> S et on montre facilement que Im /est un parfait isotypique, quasi-isométrique au modèle C(X0, ...,Xp-1). En adaptant cette
parfait isotypique, quasi-isométrique au modèle C(X0, ...,Xp-1). En adaptant cette méthode, on montre qu'à peu de choses près, la distance d'un parfait isotypique est en fait ultramétrique. Précisément : PROPOSITION. — Un parfait isotypique de type (X0, ..., Xp-1) est quasi-isométrique au modèle C(X0, ..., Xp-1). 3. ASPECT THERMODYNAMIQUE DE LA DIMENSION. — Un arbre et un module Ç : JE -> R^ étant donnés, considérons la fonction — Log Ç. Si aeE„ est un noeud de l'arbre, le scalaire — Log Ça est interprété comme une énergie (ou un coût). Ainsi, à un temps d'arrêt Te UE„ est associée
coût). Ainsi, à un temps d'arrêt Te UE„ est associée par restriction la fonction énergie —Log Ç : T->R. À partir de ces données, suivant le formalisme thermodynamique fini, nous introduisons les définitions suivantes : (i) Un état statistique sur le temps d'arrêt T est une probabilité p sur l'ensemble fini T. Remarquons que toute probabilité p sur E induit un état pT sur T, défini par uT (a) = u (nj a) si a e Ek. (ii) L'entropie de l'état p sur T est S(p)= — ∑ pa Log pa. a e T (iii) L'énergie de l'état p sur
pa. a e T (iii) L'énergie de l'état p sur T est E(p)= — ∑ pa Log pa. a e T Ainsi, si une probabilité u est donnée sur l'ensemble de Cantor E, pour chaque temps d'arrêt T, le scalaire S(I_T)/E(U_T) mesure le taux d'information par unité d'énergie (ou de coût) que donne l'approximation finie T de l'arbre, dans l'état p. De tels quotients sont envisagés par H. Furstenberg [5]. Parmi les états p de T, celui qui maximise le quotient S(p)/E(p) est donné par la probabilité (C,a)T(a)eT), le scalaire sT étant tel que ∑ aTs = 1. En outre,
sT étant tel que ∑ aTs = 1. En outre, le quotient est alors précisément sT. Ces scalaires définissent une famille (sT|E_T) indexée par le filtre 9~ des temps d'arrêt. La proposition qui suit est un corollaire du théorème de Frostman. PROPOSITION. — hm sT est la dimension de Hausdorff de T ensemble de Cantor (E, S). TësEn TësEn si le module vient d'une mesure positive p sur E, les scalaires sT qui précèdent sont tous égaux à 1 si bien que la dimension de Hausdorff du modèle correspondant est 1. Il suit de cela un théorème qui généralise à
1. Il suit de cela un théorème qui généralise à notre contexte un résultat classique sur la dimension de Hausdorff : THÉORÈME. — Soit Ç un module sur un arbre (E0, Et, . . .) pour lequel existent a>0, une mesure positive p en E et des constantes A, B>0 telles que Ap <^ Bp. Alors : (i) La dimension de Hausdorff de (E, 8) est égale à a. (ii) lim(S(uT)/E(uT)|Te,r) = a. Un exemple de cette situation est donné par le modèle C(X0, . . ., Xp_1) défini plus haut. Soit a le scalaire strictement positif vérifiant X0 +
haut. Soit a le scalaire strictement positif vérifiant X0 + . . . + Xp_1 = 1. La suite C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 689-692, 1987 (Àℓ, . . ., Xp_1) est une probabilité sur I = {0, ..., p- 1} qui s'étend en une probabilité p sur IN. Dans ce cas, on a précisément p = Ça. Ceci prouve que oc est la dimension du modèle C(X0, . . ., Xp_1) et plus généralement, de tout parfait isotypique de type (X0, . . ., Xp_1). On retrouve ainsi un résultat de J. Marion[3]. 4.
Xp_1). On retrouve ainsi un résultat de J. Marion[3]. 4. DEUX CALCULS DE DIMENSION. — Appliquons le théorème précédent au calcul des dimensions de deux exemples. Chacun d'eux, dans sa manière, est nettement plus élaboré que les parfaits isotypiques. Exemple 1. — Soient deux suites de scalaires strictement positifs (Xn | n ³ 0) et (pn | n ³ 0), telles que Xn + pn < 1. On construit un sous-ensemble de Cantor du segment [0, 1] : À la première étape, on ne conserve du segment [0, 1] que [0, X0] et [1 - p0, 1]. À la seconde
[0, X0] et [1 - p0, 1]. À la seconde étape, on effectue sur chaque segment obtenu un découpage similaire, dans le rapport X1 pour les côtés gauches et p1 pour les côtés droits. En itérant cette construction, il ne reste finalement du segment [0, 1] qu'un ensemble de Cantor dont on sait calculer la dimension de Hausdorff dans le cas suivant. PROPOSITION. — On suppose que les suites (Xn|n ³ 0) et (pn|n ³ 0) convergent vers des scalaires X et u, tels que : (ii) Les séries Yn = Xn - X | et Yn = | pn
= Xn - X | et Yn = | pn - p | convergent. Alors l'ensemble de Cantor construit ci-dessus est quasi-isométrique à C(X, p). Sa dimension de Hausdorff est le scalaire oc, vérifiant X + p = 1. Exemple 2. — Soit une matrice pxp irréductible T = (tij), telle que 0 < tij < 1. Si s > 0, notons Ts la matrice dont l'entrée (i, j) est donnée par 0 si îj = 0, 1 sinon. Chaque matrice de la famille (Ts|s > 0) est irréductible et, de ce fait possède une plus grande valeur propre rs.
de ce fait possède une plus grande valeur propre rs. On montre facilement qu'il existe un scalaire a > 0 unique tel que ra = 1. Nous construisons ci-dessous, par son arbre et son module, un modèle dont la dimension de Hausdorff est précisément oc. Arbre. Posons I = {0, . . ., p- 1} et E0 = {a = (a0, . . ., a_p_1) | a_i e R}. L'arbre (E0, E1, . . .) a pour limite le compact E donné par les suites x = (x0, x1, . . .) telles que x_i + 1 > 0 pour
. .) telles que x_i + 1 > 0 pour i = 0 (E est le sous-shift de type fini défini par la matrice d'incidence associée à T). Module. — Si aeE0, on pose Ç,a = t0a1t2 ... tan_2. Le module Ç ainsi construit est strictement positif. (On construit facilement et naturellement des sous-ensembles de Cantor de U quasi-isométriques à ces modèles.) Note reçue le 21 septembre 1987. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] G. MICHON, Le théorème de Frostman pour les ensembles de Cantor réguliers, C. R. Acad. Sci. Paris, 305, série I, 1987, p. 265-268. [2] J.-P. KAHANE et R. SALEM,
I, 1987, p. 265-268. [2] J.-P. KAHANE et R. SALEM, Ensembles parfaits et séries trigonométriques, Act. sci. ind., fasc. 1301, Hermann, Paris, 1963. [3] J. MARION, Le calcul de la dimension de Hausdorff des sous-ensembles parfaits isotypiques de Rn, C. R. Acad. Sci. Paris, 289, série A, 1979, p. 67-68. [4] G. MICHON, Les Cantors réguliers, C. R. Acad. Sci. Paris, 300, série I, 1985, p. 673-675. [5] H. FURSTENBERG, Intersection of Cantor sets and transversality of semigroups, in: Problems in Analysis R. C. GUNNING éd., Princeton University Press, Princeton, 1970. Laboratoire de Topologie, U.A. n° 755, Département de Mathématiques,
1970. Laboratoire de Topologie, U.A. n° 755, Département de Mathématiques, Université de Dijon, B.P. n° 138, 21004 Dijon Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 693-696, 1987 On démontre que conditionnellement à \(L(H^+)\cap L(H^-)\) les processus \(B(x), x\in H^2,\) et \(B(y), y\in H^2,\) sont indépendants et identiquement distribués avec pour fonction de covariance la fonction de Green de seconde espèce du bilaplacien \(A^2\) défini sur \(H^0.\) Des conséquences de ce résultat sont indiquées. A reflection principle for the Levy Brownian motion depending of three parameters Abstract — Let \(B(x), x\in \mathbb{R}^3,\) be a three parameters Levy
— Let \(B(x), x\in \mathbb{R}^3,\) be a three parameters Levy Brownian motion. Denote by \(L(H^+)\) and \(L(H^-)\) the closed subspaces of \(L^2\) spanned respectively by \((B(x); X\in H^0 = \mathbb{R}^2 \times ]0, +\infty[\) and \((B(X); X\in H^0 = \mathbb{R}^2 \times [-\infty, 0[\). We prove that conditional on \(L(H^+)\cap L(H^-)\) the processes \(B(x), X\in H^0\) and \(B(y), y\in H^0,\) are independent and identical in law, moreover the associated covariance function coincides with the Green function of the second kind for the bilaplacian \(A^2\) defined on \(H^0.\) Some consequences of this result are mentioned. 1. INTRODUCTION. — On peut voir facilement que
are mentioned. 1. INTRODUCTION. — On peut voir facilement que la propriété de Markov du mouvement brownien linéaire \(B(t), t\in \mathbb{R}^+, \) comme celle du pont brownien \(PA(t), t\in[0, A], A>0, \) \(PA(0) = PA(A) = 0,\) se déduit directement du fait que la fonction de covariance associée coincide avec une fonction de Green de l'opérateur différentiel \(d^2/dx^2\) (le laplacien sur \(\mathbb{R}\)). Ainsi par exemple la fonction de covariance du pont brownien \(PA(r), t\in[0, A],\) qui s'écrit : est la fonction de Green de l'opérateur \(d^2/dx^2,\) vérifiant la condition de Dirichlet \(KA(0, f) = KA(A, f) = 0.\) Fixons \(t\in]0,
Dirichlet \(KA(0, f) = KA(A, f) = 0.\) Fixons \(t\in]0, A[;\) la fonction est harmonique (sans singularité!), séparément en \(s, t\in[t0, A],\) On en déduit trivialement l'identité : Convenablement interprétées, ces formules traduisent la propriété de Markov du pont brownien. En dimension \(p \geq 2,\) la solution élémentaire du laplacien sur \(\mathbb{R}^p\) présente une singularité qui rend la construction d'un processus gaussien associé impossible. Cela étant, la distance Note présentée par Jean-Pierre KAHANE. 0249-6291/87/03050693 € 2.00 © Académie des Sciences 694 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 693-696, 1987 euclidienne \(||x-y, x, y\in\mathbb{R}^3,\) est, pour \(p\)
p. 693-696, 1987 euclidienne \(||x-y, x, y\in\mathbb{R}^3,\) est, pour \(p\) pair et impair, une solution fondamentale du laplacien itéré \((p+1)/2\)-fois (noté \(A(p+1)/2\)). Une extension au cadre des espaces euclidiens, \(p=3\) et impair, semble donc, a priori, possible; c'est l'objet de la présente Note. Pour simplifier, nous ne traitons que le cas \(p = 3;\) cependant la même méthode conduit vers des résultats semblables dans le cas général. 2. LES RÉSULTATS. — Désignons par \(G_{2}(x, y)\) la fonction de Green du bilaplacien \(A^2,\) pour le problème de Lauricella (voir [7]) sur le demi-espace \(H^+, = \mathbb{R}^2 \times ]t, + \infty[,\) \(t
le demi-espace \(H^+, = \mathbb{R}^2 \times ]t, + \infty[,\) \(t > 0,\) c'est-à-dire la solution fondamentale de \(A^2\) vérifiant l'identité le vecteur unitaire \(n\) désignant la normale (intérieure) de \(H^+\) au point \(x\in H^+\). L'écriture explicite de cette fonction est connue. Elle s'obtient aisément à partir de la fonction de Green pour la boule euclidienne (voir [7] pour cela). Ainsi on a : Une application de la formule de Green permet d'obtenir : LEMME. — Pour tout choix \(x_1, \ldots, x_n\in H^+,\) \(x_i \neq x_j\) pour \(i \neq j,\) la forme quadratique \(Y^X_i X_j G_2(x_i, x_j), X_i, \ldots, X_n\in H^0,\)
forme quadratique \(Y^X_i X_j G_2(x_i, x_j), X_i, \ldots, X_n\in H^0,\) est définie positive. Ainsi \(G_2(x, y), x, y\in H^+,\) est une fonction de covariance. Désignons par \(V(x), V(x)=0\) pour \(x\in H^+,\) le processus gaussien associé. De notre point de vue le processus \(V(x)\) est une extension plus naturelle du mouvement brownien \(B(s), s\in\mathbb{R}^+,\) que celle donnée par P. Lévy; on trouvera dans [5] et [6] un exposé exhaustif (par P. Lévy lui-même) concernant le mouvement brownien à plusieurs paramètres, on pourra consulter [1], [2], [3] et [8] pour un aperçu de résultats plus récents. En fait, nous allons montrer que
de résultats plus récents. En fait, nous allons montrer que ces deux processus sont très proches l'un de l'autre. Rappelons auparavant que le mouvement brownien de P. Lévy \(B_p(x), x\in\mathbb{R}^p,\) \(p \geq 2,\) est défini par : On voit en particulier que la solution élémentaire \(H(x, y) = ||x-y||\) de l'opérateur \(A(p+1)/2\) intervient explicitement dans l'écriture de la covariance. Cette propriété (remarquée par H. P. McKean [4]) n'a jamais été, jusqu'à présent, véritablement exploitée. La liaison entre ces deux processus est décrite par l'énoncé suivant : THÉORÈME 1. (Principe de réflexion). — Considérons quatre processus gaussiens indépendants : \(B_3(x), X\in
réflexion). — Considérons quatre processus gaussiens indépendants : \(B_3(x), X\in H^0;\) \(Z(X), V(X), V'(X), X\in H^0,\) définis par : (a) \(B_3 (x), x \in H^0,\) est la restriction au plan \(H^0\) d'un mouvement brownien indexé sur \(\mathbb{R}^3;\) (b) \(V(x), V'(x), X\in H^0,\) sont deux processus identiquement distribués de covariance \(G_0(x, y), x, y\in H^0;\) (c) \(Z(x), x\in H^0,\) a pour fonction de covariance : C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 693-696, 1987 695 où est le noyau de Cauchy du demi-espace \(H^0.\) Notons finalement : et posons : Alors le processus \(B_3(x), x\in\mathbb{R}^3,\) est un mouvement
posons : Alors le processus \(B_3(x), x\in\mathbb{R}^3,\) est un mouvement brownien de P. Lévy indexé sur \(\mathbb{R}^3.\) Indiquons quelques conséquences intéressantes de ce théorème. À cet effet, désignons par \(L(H^+), L(H^-),\) les sous-espaces vectoriels fermés de \(L^2\) engendrés respectivement par les familles de variables aléatoires \((B_3 (x); x\in H^0),\) et On obtient : THÉORÈME 2. — (a) Les trajectoires du processus \(Z(x), x\in H^0,\) sont presque sûrement des fonctions harmoniques, celles du processus \(Y (x), x\in H^0,\) sont biharmoniques. (b) Le point \(x = (u, x_1)\in H^0\) étant fixé, la variable aléatoire \(Y (x) - x_1 Z(u, x_1)\) appartient à
variable aléatoire \(Y (x) - x_1 Z(u, x_1)\) appartient à \(L(H^+)\cap L(H^-)\) et coïncide avec la projection de \(B_3'(x)\) sur le sous-espace \(L(H^-).\) Symétriquement, \(Y (u, - x_1) + x_1 Z(u, - x_1)\in L(H^+)\cap L(H^-)\) est la projection de \(B_3(x), x=(u, x_1)\in H^0,\) sur \(L(H^+).\) (c) Conditionnellement à \(L(H^+)\cap L(H^-),\) les processus \(B_3(x), X\in H^0,\) et \(B_3'(y), y\in H^0,\) sont indépendants. (d) La distance du vecteur \(B_3(x), x\in H^0,\) au sous-espace \(L(H^-)\) vaut exactement : \(d(B_3(x), L(H^-)) = \int G_0(x, x) = \int x.\) Remarque. On pourra comparer l'évaluation du point (d) aux estimations obtenues en [1]. Terminons en signalant
point (d) aux estimations obtenues en [1]. Terminons en signalant que de nombreuses questions restent ouvertes. Des formules analogues à (M) peuvent être facilement obtenues; il serait intéressant de savoir si elles permettent d'accéder aux probabilités de visites du processus \(V(x). On pourrait également envisager de faire appel au principe de réflexion pour établir plus « naturellement » le résultat suivant (démontré par une technique très élaborée en [2]) : THÉORÈME 3. — Pour tout p^2, il existe deux constantes a(p)>0, b(p)>0, telles que Vnn nit • pour tout 8, 0<8<1. Note reçue le 21 septembre 1987. 696 C. R.
0<8<1. Note reçue le 21 septembre 1987. 696 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 693-696, 1987 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] A. GOLDMAN, C.R. Acad. Sci. Paris, 300, série I, 1985, p. 643-645. [2] A. GOLDMAN, The distribution of the absolute maximum for a Levy's p-parameters Brownian motion restricted to a small cylinder, proposé pour publication. [3] J.-P. KAHANE, Récent progress in Fourier analysis, I. PERAL et J. L. RUBIN DE FRANCIA éd., North Holland, 1985, p. 65-121. [4] H. P. MCKEAN, Th. Prob. Appl. VIII, 4, 1963, p. 335-354. [5] P. LEVY, Rendiconti di Mat., 22, 1962,
p. 335-354. [5] P. LEVY, Rendiconti di Mat., 22, 1962, p. 24-101. [6] P. LEVY, Festschrift for J. Neymann, London, Wiley and Sons, 1966, p. 189-223. [7] M. NICOLESCO, Les fonctions polyharmoniques, 1936, Hermann. [8] F. TESTARD, Publ. Lab. Stat. Prob. Univ. P.-Sabatier, Toulouse, 01, 1986, p. 1-45. Laboratoire d'Analyse fonctionnelle et Probabilités, Université Claude-Bernard Lyon-I, Institut de Mathématiques et d'informatique, 43, boulevard du 11-Novembre-1918, 69622 Villeurbanne Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 697-700, 1987 697 Analyse numérique/A/wmerica/ Analysis Approximation par éléments finis d’écoulements progressivement incompressibles Patrick LE TALLEC et Michel RAVACHOL Résumé — Pour
incompressibles Patrick LE TALLEC et Michel RAVACHOL Résumé — Pour éviter tout blocage numérique dans l'approximation des problèmes d’écoulements viscoélastiques de type Maxwell, nous en introduisons une approximation par éléments finis mixtes à trois champs. Cette approximation qui fait intervenir vitesses, contraintes et pressions converge pour tout l’intervalle de temps [0, oo]. Finite element approximation of progressively incompressible flows Abstract — To avoid any numerical locking in the finite element approximation of viscoelastic flow problems, we propose a three-field finite element approximation of this problem. This approximation, which involves velocities, stresses, and pressures is proved to converge for all times.
stresses, and pressures is proved to converge for all times. 1. INTRODUCTION. — En viscoélasticité, de type Maxwell linéaire par exemple, de nombreux écoulements sont initialement compressibles et instationnaires et deviennent progressivement stationnaires et incompressibles. De plus, contrairement à la mécanique des fluides classique, les termes d'évolution ne portent pas sur les vitesses mais sur les contraintes. De tels problèmes sont bien posés (cf. [1]) mais leur approximation par éléments finis dégénère au bout d'un certain temps : il y a blocage numérique. La stratégie que nous proposons pour éviter un tel blocage approche séparément vitesses, contraintes, et pressions par
un tel blocage approche séparément vitesses, contraintes, et pressions par des éléments finis mixtes. On montre alors que l’approximation ainsi obtenue reste précise sur tout l'intervalle de temps et ne dégénère pas à la limite incompressible. 2. LOIS DE COMPORTEMENT. — Dans notre étude, nous considérons des matériaux viscoélastiques de Maxwell, éventuellement non linéaires. Pour une température donnée, la théorie des matériaux standard généralisés [2] écrit les lois de comportement des matériaux de Maxwell sous la forme : (2.1) A-1σ + σσ=0, (2.2) σσ=σσ, le potentiel de dissipation mécanique S étant donné par (2.3) S = S(P) si TrP= 0,
étant donné par (2.3) S = S(P) si TrP= 0, ( +∞ sinon. Ci-dessus, σ désigne le tenseur des déformations linéarisé, σp le tenseur des déformations plastiques, A le tenseur d'élasticité linéaire, qui est supposé symétrique et défini positif, et φ une fonction convexe positive donnée. Rappelons que, par construction, le sous-gradient de S est donné par [5] : ∂S/∂σp = {aeΣ3×M3,3pσpΣ avec (G+pl)σp(φ(σp)} si Tr(σp)=0, = 0 sinon. 3. LE PROBLÈME CONTINU. — Nous considérons maintenant un milieu continu, constitué d'un des matériaux viscoélastiques décrits au paragraphe 2, qui occupe un domaine S(x, t) = (N = 2 ou
occupe un domaine S(x, t) = (N = 2 ou 3) en configuration de référence, qui est fixé sur une partie r de la frontière T de S, et qui est soumis à des forces de volume f et à des forces de traction g s'exerçant sur r2 = r — r1. Le problème consiste à déterminer l'histoire v(. , t) et σ(. , t) des vitesses et des contraintes de Cauchy dans le corps. Négligeant les effets d'inertie qui sont en général très faibles dans ce type de problème, supposant que déformations et déplacements restent petits au cours du
supposant que déformations et déplacements restent petits au cours du temps et que le champ de températures est connu, les équations qui gouvernent ce problème sont les équations d'équilibre et les lois de comportement (2.1)-(2.2). Écrites sous forme faible, ces équations sont (3.4) CT(X, t) donné. Ci-dessus, s(v), V et E sont définis respectivement par : Il est facile d'observer [1] que ces équations se réduisent à un problème parabolique en contraintes, bien posé et du premier ordre par rapport au temps. Le champ de contraintes convergera donc en général vers un état stationnaire (CT = 0) OÙ, d'après la
vers un état stationnaire (CT = 0) OÙ, d'après la loi de comportement (2.2), nous aurons: div t; = Tr σ = 0. Autrement dit, le champ de vitesses tend vers un champ stationnaire incompressible. 4. APPROXIMATION SPATIALE. —4.1 Position du problème. — L'approximation naturelle du système variationnel (3.1)-(3.4) consiste à remplacer les espaces E et V par des espaces d'éléments finis T,h et Vh,. Malheureusement, pour h donné, une telle approximation n'est précise que sur un intervalle de temps [0, t (h)], avec t (h) éventuellement très petit. En effet, nous avons vu que quand t est grand, les
effet, nous avons vu que quand t est grand, les solutions v et vh tendent vers des états stationnaires à divergence nulle. En fait, ces états stationnaires sont les solutions continue et discrète d'un problème de Stokes non linéaire. Or, il est très souvent impossible d'approcher un champ à divergence nulle de l'espace V, en l'occipant v (∞), par un champ à divergence nulle appartenant à l'espace d'éléments finis Vh. En conséquence, l'erreur v — vh croît sans contrôle avec le temps : il y a blocage numérique. Pour contrôler l'erreur v — vh sur tout l'intervalle de temps, il
l'erreur v — vh sur tout l'intervalle de temps, il faut changer de technique d'approximation. Ici, nous allons employer les techniques utilisées pour l'approximation du problème de Stokes. 4.2. Approximation par éléments finis mixtes à 3 champs. — En plus des approximations par éléments finis Yh et Hh de V et X, nous allons introduire un espace de pressions « discret » Ph=L2(Ω). Par exemple, dans le cadre d'une triangulation régulière Ω = UQ, de Q, on peut prendre : C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 697-700, 1987 699 * DEGRÉS de LIBERTÉ VITESSES de DEGRÉS
697-700, 1987 699 * DEGRÉS de LIBERTÉ VITESSES de DEGRÉS de LIBERTÉ CONTRAINTES n DEGRÉS DE LIBERTÉ PRESSIONS Exemple d'éléments finis à trois champs. Example of three field finite elements. où les Qj sont les 4 triangles (respectivement 8 tétraèdres si N = 3) inclus dans Ω, qui sont obtenus en joignant entre eux les milieux des arêtes de φ. Définissons maintenant (4.1) et remplaçons le potentiel de dissipation 3i1 par la fonction 2h définie par Autrement dit, nous remplaçons la condition d'incompressibilité plastique qui apparaît dans la définition de 2i1 par une condition d'incompressibilité faible. Dès lors, la formulation