jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
par Poinsot est exactement celui qui modifie la rotation 0. C'est ce que nous allons montrer. Rappelons-nous en effet que l'axe du couple g n'est autre que la vitesse qu'aurait l'extrémité G de OG si elle était soumise à la rotation 0. En rapportant les coordonnées aux axes principaux d'inertie, les moments principaux d'inertie étant A, B, C; les composantes de 0 suivant les axes étant p, q, r, les projections sur ces axes de la vitesse de G sont q Cr – r Bq – q r (C – B); rp (A – C); pq (B – A). Les
B); rp (A – C); pq (B – A). Les projections de la rotation y due à ce couple s'obtiennent en divisant ces expressions respectivement par A, B, C; de même que p, g, r s'obtiennent en divisant par A, B, C les projections Ap, Bq, Cr, de l'axe du couple d'impulsion correspondant. On trouve ainsi pour les projections de y sur les axes qr; i – r; – r i – n; pq. D'autre part, les projections de la vitesse absolue de l'extrémité du vecteur qui représente la rotation 6 sont -j -; -j-; car l'extrémité étant sur l'axe
6 sont -j -; -j-; car l'extrémité étant sur l'axe de rotation, sa vitesse d'entraînement est nulle, et la vitesse absolue de ce point est égale à sa vitesse relative par rapport au solide. Et les équations d'Euler établissent l'égalité entre -j -; -p, -j d'une part et, d'autre part, les projections de y dont nous avons trouvé les expressions. En suivant pas à pas les démarches de l'esprit de Poinsot à travers "les difficultés et les obscurités de ce problème", nous avons signalé ses découvertes et ses erreurs, et essayé de montrer comment il a pu, à travers tout,
essayé de montrer comment il a pu, à travers tout, arriver à cette solution qui donne du mouvement du solide "une idée claire que les géomètres n'ont pu tirer des formules de l'analyse". Mais quand il s'agit d'un géomètre si remarquable, il n'est pas indifférent de chercher comment il a été amené à perdre de vue la nature de la rotation instantanée, et, alors qu'elle ne peut donner que les vitesses, à lui demander les accélérations et ces forces centrifuges qui, effets de cette rotation, deviendraient immédiatement des causes. C'est ce que l'on arrive à discerner avec assez de vraisemblance
ce que l'on arrive à discerner avec assez de vraisemblance quand, par la lecture attentive de son Mémoire, on remarque avec soin l'ordre que suit le mouvement de sa pensée. Car avant d'attaquer la question du mouvement d'un solide autour d'un point fixe, il étudie la rotation d'un corps autour d'un axe fixe et, le corps étant mis en mouvement puis soustrait à toute force extérieure, il se propose de déterminer "la pression continuelle qu'il aura à supporter, dans le cours du mouvement, en vertu des forces centrifuges qui naissent de la rotation". C'est ici que, ses forces centrifuges se
de la rotation". C'est ici que, ses forces centrifuges se confondant avec les formes d'inertie réelles, il détermine exactement la force et le couple auxquels se réduisent les pressions que l'axe reçoit de l'inertie du corps tournant. Puis, le problème résolu, il écrit "Si tout à coup cet axe devenait libre." Bien que la phrase s'achève dans des considérations relatives à la conservation des quantités de mouvement, il me semble bien que c'est en ce point que l'on atteint le fond réel de sa pensée. Oui, si cet axe pouvait se mouvoir librement, il céderait aux sollicitations de l'inertie, c'est-à-dire
se mouvoir librement, il céderait aux sollicitations de l'inertie, c'est-à-dire à la force it et au couple X, et si, sans être tout à fait libre, il présentait seulement un point fixe, la fixité de ce point détruirait bien la force tc, mais sous l'effet du couple y^ l'axe s'inclinerait, et dès lors l'étude de ce déplacement se ramène à celle des effets de ce couple. Ainsi, l'axe de rotation considéré en quelque sorte comme matériel et se déplaçant sous l'effort des forces d'inertie, ces forces d'inertie se déterminant par leur action sur l'axe considéré comme fixe, voilà, il me
leur action sur l'axe considéré comme fixe, voilà, il me semble, les traits essentiels auxquels on peut ramener la pensée de Poinsot. Que cette conception ne l'ait pas égaré, c'est l'effet d'une rencontre heureuse que j'ai tâché d'expliquer dans l'étude qui précède, mais qui, s'il s'en était tenu là, ne l'aurait conduit tout au plus qu'à une démonstration rapide et défectueuse des formules d'Euler. Mais il a découvert l'ellipsoïde d'inertie! Il a eu l'idée de chercher une représentation géométrique de la relation qui lie le couple d'impulsion à la rotation, et il a rencontré cet ellipsoïde qui lui a donné
et il a rencontré cet ellipsoïde qui lui a donné par surcroît la distribution des moments d'inertie du corps et la grandeur de la rotation pour les diverses directions des axes. Dès lors, il lui suffisait, pour réussir, d'arriver, par n'importe quelle voie, à cette propriété que le déplacement infiniment petit du pôle de rotation se fait dans le plan tangent à l'ellipsoïde, tant il est vrai qu'il y a dans certaines questions, peut-être dans toutes, une conception centrale qui ramasse et relie les lois et relations essentielles, et, conduisant invinciblement l'esprit, peut même le ramener au but, s'il s'égare.
invinciblement l'esprit, peut même le ramener au but, s'il s'égare. Dans un de ces aperçus d'un beau style scientifique qu'il aime à placer dans ses Mémoires comme des repos sur les divers sommets où sa pensée s'arrête un moment dans sa marche; Poinsot remarque que « la plupart des idées différentes ne sont que des transformations les plus heureuses et les plus fécondes sont pour nous celles qui font le mieux image ». On ne saurait mieux caractériser la belle découverte de son ellipsoïde, et, du même coup, définir le rôle et attester les droits et les titres de la
rôle et attester les droits et les titres de la doctrine qui excelle à donner aux idées ces formes sensibles « lumineuses et fécondes », c'est-à-dire de la Géométrie. DÉTERMINATION DES POINTS ENTIERES DES COURBES ALGÉBRIQUES UNICURSALES A COEFFICIENTS ENTIERS DANS L'ESPACE A k DIMENSIONS, PAR 31. Edmond MAILLET Introduction. Les équations indéterminées (A) /(.r,y)=0 (où est un polynôme entier à coefficients entiers en x, y de degré n) que l'on sait résoudre en nombres entiers par un nombre fini d'opérations, autrement dit les courbes (A) dont on sait trouver tous les points entiers, c'est-à-dire les points à coordonnées entières,
tous les points entiers, c'est-à-dire les points à coordonnées entières, forment actuellement des catégories assez générales, et peuvent être classées, sauf d'assez rares exceptions, comme il suit : 1° Les équations (A) de degré < 2; 2° Les équations (A), de degré n pair, ayant toutes leurs asymptotes imaginaires et, par suite, tous leurs points réels à distance finie ces équations n'ont qu'un nombre fini de points entiers, et l'on peut trouver une limite supérieure des valeurs absolues des solutions; 3° Il en est de même des équations (A) ayant k asymptotes réelles, à distance finie, et de coefficients angulaires
k asymptotes réelles, à distance finie, et de coefficients angulaires distincts et rationnels, et n – A: asymptotes imaginaires; pour les équations plus générales du type étudié par M. Runge, celui-ci a bien montré qu'elles n'ont qu'un nombre fini de solutions en nombres entiers; mais cet auteur n'a pas indiqué explicitement de limite supérieure des valeurs absolues des solutions; Voir mon Mémoire du Journal de Mathématiques (Jordan), 5e série, t. VI, 1900, p. 261, et Nouvelles Annales de Mathématiques, 4e série, t. XVIII, août 1918. Le résultat subsiste s'il y a une asymptote parallèle à un des axes ou à
a une asymptote parallèle à un des axes ou à chacun des axes. 3° Journal für Mathematik (Crelle), t. 100, p. 434. 4° Les équations (A) du type très étendu que j'ai signalé récemment en généralisant un résultat établi d'une manière incomplète par M. Thue, des limites supérieures des modules des solutions, qui sont en nombre fini, peuvent se déterminer grâce au théorème fondamental de M. Thue complété comme je l'ai montré; 5° Les équations (A) indécomposables, de degré n pair > 2, et de genre zéro, qui n'ont qu'un nombre fini de points rationnels (voir ci-dessous). A ces cinq
nombre fini de points rationnels (voir ci-dessous). A ces cinq catégories nous allons en ajouter une sixième englobant la cinquième, en faisant voir que l'on peut, grâce à un nombre fini d'opérations, résoudre en nombres entiers les équations (A), indécomposables, de degré n^> 2, et de genre zéro, c'est-à-dire trouver les points entiers des courbes unicursales qu'elles représentent. On savait trouver les points rationnels de ces courbes, d'après MM. Hilbert, Hurwitz et H. Poincaré, mais sans pouvoir distinguer en général parmi eux les points entiers, ni distinguer si ceux-ci sont en nombre fini quand les points rationnels sont en nombre
en nombre fini quand les points rationnels sont en nombre infini si ces derniers sont en nombre fini (ce qui exige n pair), il en est de même des premiers, qui en font partie; dans le cas contraire, voici comment nous opérons pour arriver à la connaissance des points entiers. On peut alors exprimer x et y en fonctions rationnelles à coefficients rationnels d'un paramètre t, où les polynomes f3 sont de degré < n, et sans facteur commun, l'un de ces polynomes étant effectivement de degré n. Les points rationnels correspondent en général aux valeurs rationnelles de t=(p, q
rationnels correspondent en général aux valeurs rationnelles de t=(p, q entiers premiers entre eux). Le cas où les points entiers sont en nombre infini est exceptionnel, et ne peut se présenter que si F(t) est une constante, une puissance nème d'un polynôme du premier degré, ou une puissance (n pair) d'un polynôme du deuxième degré à racines réelles et non rationnelles. Nous indiquons dans ces équations on peut adjoindre les équations en xu yt qu'on en déduit par une substitution linéaire à coefficients entiers x–Xxx-yx-{-y, = a,r1H-|317i-Hy1 avec «|3, – (3«, = ±i. (*) Hilbert et Hurwitz, Acta Math., t.
(3«, = ±i. (*) Hilbert et Hurwitz, Acta Math., t. XIV, p. 217-224. H. Poincaré, Journal de Mathématiques (Jordan), 5e série, t. VII, 1901, p. 166. tous les cas assez nombreux à examiner le moyen de déterminer tous les points entiers le nombre d'opérations à effectuer est limité, que les points rationnels soient en nombre fini ou infini; certains de ces cas n'ont pu être entièrement traités sans l'aide d'un théorème de Thue susmentionné. Au début de notre Mémoire nous rappelons diverses propriétés des courbes unicursales que l'on trouve, un peu éparses peut-être, dans les Traités ou Mémoires classiques, en
peu éparses peut-être, dans les Traités ou Mémoires classiques, en les complétant ou les précisant au besoin en vue de ce qui suit cette exposition résumée nous a paru indispensable à la clarté et à l'exactitude. Comme nous le montrons dans une deuxième Partie, les résultats obtenus s'étendent aux courbes de l'espace à k dimensions où les Fi sont des polynomes en t à coefficients entiers, en permettant de trouver, par un nombre fini d'opérations, même si k = 1, les systèmes d'entiers x1, xk qui correspondent aux valeurs rationnelles de t, et corrélativement, dans des cas assez généraux, les
de t, et corrélativement, dans des cas assez généraux, les points entiers des courbes de l'espace à k dimensions x1, xk définies par des relations algébriques à coefficients entiers entre x1, xk. Les mêmes méthodes nous donnent en outre la solution en entiers, de quelques autres équations. Elles permettent notamment de trouver 1° Les points entiers des conoïdes z = cp (x, y), où cp est une fonction rationnelle à coefficients entiers de (cas où l'on a ci-dessus k = 1); x 2° En général, les points entiers de où cpA, rn sont des polynomes entiers homogènes à coefficients entiers
cpA, rn sont des polynomes entiers homogènes à coefficients entiers de degrés k, ri respectivement. 3° Dans des cas assez étendus, les valeurs rationnelles de t, u qui rendent entières les quantités où les fi sont des fonctions rationnelles de t, u à coefficients entiers (ces multiplicités Xi = fi comprennent les surfaces unicursales quand k = 3). On trouvera sous une forme différente un résumé de mon Mémoire dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences du 27 janvier 1918 peut-être le lecteur aura-t-il intérêt à s'y reporter. PREMIÈRE PARTIE. COURBES PLANCHE. 1. Soit l'équation d'une courbe algébrique de
PARTIE. COURBES PLANCHE. 1. Soit l'équation d'une courbe algébrique de degré n > 2 indécomposable, c'est-à-dire que le polynôme ne peut être décomposé en un produit de deux facteurs de degré inférieur à n. Supposons en outre que la courbe (1) soit de genre 0 elle a alors – – ') n 2) points doubles (ou de rebroussement), dont certains peuvent être confondus en un point multiple. La courbe (i) rentre dans la catégorie des courbes dont les coordonnées x, y peuvent s'exprimer en fonctions rationnelles d'un paramètre t; mais on peut choisir ici t de façon que, inversement, t