jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
possible » dans le domaine symétrisé, avec h0 symétrisé (H0=H0 = h0). 2. IDÉE DES DÉMONSTRATIONS. — Nous montrons d'abord (1.7)t. A l'aide des techniques développées dans [7], nous montrons que le premier membre de (1.7)E, noté y, satisfait tandis que le deuxième membre de (1.7)E, noté Y, satisfait (2.1), obtenue à partir de (2.1) en remplaçant l'inégalité « SÏO » par « =0 ». Nous en déduisons y^Y, c'est-à-dire (1.7)E. Pour obtenir (1.7), nous intégrons (1.7)E sur (t1; t^ + 8), et divisons par 5. Le premier membre s'écrit alors où cp est comme dans (1.10). Les deux premiers
alors où cp est comme dans (1.10). Les deux premiers termes passent alors aisément à la limite lorsque e -► 0, et, pour le dernier terme, on utilise la semi-continuité inférieure 'fj+8 fs faible sur L1(q) de l'application /i-» h*dadt. Au contraire, pour le problème Jri Jo fti+S Çs T'i + 8 fs symétrisé HE!t. (t) dodt-> H# (t) do dt. On passe ensuite à la limite (8 0) dans l'inéquation obtenue [et le raisonnement précédent montre en même temps que l'expression (1.10) est indépendante du choix de cp]. En faisant s=0 dans (1.7), on obtient (1.8). En faisant s
faisant s=0 dans (1.7), on obtient (1.8). En faisant s = |co| dans (1.7), et en utilisant (1.11), on obtient (1.9). Ensuite (1.13) est une conséquence immédiate de (1.9). Pour montrer (1.14), nous prouvons d'abord que et (1.14) s'en déduit par un lemme de convexité (cf. [1], p. 174). Enfin (1.15) se déduit immédiatement de (2.2), et (1.16), (1.17) sont des conséquences faciles de (1.14). Les démonstrations détaillées, ainsi que des compléments seront développés dans [3]. Note reçue le 16 septembre 1987, acceptée le 21 septembre 1987. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] C. BANDLE, Isoperimetric Inequalities and Applications, Pitman, Boston, London, Melbourne,
C. BANDLE, Isoperimetric Inequalities and Applications, Pitman, Boston, London, Melbourne, 1980. [2] J. I. DIAZ, B. GUSTAFSSON et J. MOSSINO (en préparation). [3] A. FRIEDMAN, Variational Principles and Free Boundary Problems, Wiley, 1982, p. 82 et 684. [4] A. FRIEDMAN, The Stefan problem in several space variables, Trans. Amer. Math. Soc, 139, 1968, p. 51-87. [5] S. L. KAMENOMOSTSKAJA, On Stefan's problem, Mat. Sb., 53, (95), 1965. [6] J. MOSSINO, Inégalités Isopérimétriques et Applications en Physique, Hermann, 1984. [7] J. MOSSINO et J. M. RAKOTOSON, Isoperimetric inequalities in parabolic équations, Ann. della Scuola Norm. Sup. di Pisa, série IV, XIII,
Ann. della Scuola Norm. Sup. di Pisa, série IV, XIII, n° 1, 1986. [8] J. L. VASQUEZ, Symétrisation pour u, = A<p(u) et applications, C.R. Acad. Sci. Paris, 295, série I, 1982, p. 71-74, et 296, série I, 1983, p. 455-458. B. G. : Department of Mathematics, Kungl. Tekniska Hôgskolan, Royal Institute of Technology, S-100 44 Stockholm 70, Suède; J. M. : C.N.R.S. et Université Paris-Sud, Bât. 425, 91405 Orsay Cedex. Si K est borné et si dK gl, alors o(A)n{XX>-*} est vide. Introduisons la partie bornée B de l'opérateur de transport. Note présentée par Henri CABANNES. 0249-6291/87/03050673 $ 2.00
de transport. Note présentée par Henri CABANNES. 0249-6291/87/03050673 $ 2.00 © Académie des Sciences C. R., 1987, 2ème Semestre (T. 305) Série 1-56 674 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 673-676, 1987 Nous avons alors le THÉORÈME 2. — Si a(A) H {XX > — X*} n'est pas vide alors cr(B) H {XX > — X*} ne l'est pas. De plus, la plus grande valeur propre réelle de A est majorée par celle de B, laquelle est majorée par —X* + ra(K). Ce théorème admet deux corollaires immédiats : COROLLAIRE 1. — Si a(B) n {XX
corollaires immédiats : COROLLAIRE 1. — Si a(B) n {XX > — X*} est vide, alors a(A) H {XX > — X*} est vide quelle que soit la taille de D. COROLLAIRE 2. — Si le spectre de B est inclus dans le demi-plan {ReA.<0} il en est de même pour A quel que soit D. Remarque 1. — Le corollaire 2 sera amélioré dans le théorème 6 ci-dessous. THÉORÈME 3. — Si V est contenu dans un demi-espace dont l'intérieur ne contient pas zéro (par exemple si V est une demi-boule centrée en zéro), alors cr(A) O { A.
une demi-boule centrée en zéro), alors cr(A) O { A. j X. > — X*} est vide indépendamment de D, a( ) et K (., . ). Remarque 2. — Il est clair que la géométrie de V n'a pas d'impact sur le spectre de B. Si, par exemple, p = 2, a(v) = a et K(v, v') = K(v', v), alors —(CT+ ||K|| est une valeur propre de B quelle que soit la forme de V. Ainsi le théorème 3 montre que la réciproque du corollaire 1 est généralement fausse. Cependant si V est symétrique par rapport à zéro,
fausse. Cependant si V est symétrique par rapport à zéro, a(u) = a( — v), K(v, v') = K( — v, v') et K est positif dans L2 (au sens du produit scalaire) alors les réciproques des corollaires précédents sont vraies ([3], th. 1). On vérifie que cr(A) H { X>r} n'est pas vide si et seulement si Pour montrer l'existence effective d'une valeur propre il faudra donc estimer inférieurement la fonction continue / (X) = r a [(X—T) "-1 K] au voisinage de r. Soit <x(x, v, X)= e-ik+amsds où s(x, v) = mî{s>0x-sv£D}. Jo Soit K(x, X) l'opérateur
où s(x, v) = mî{s>0x-sv£D}. Jo Soit K(x, X) l'opérateur intégral dans LP(V) [dépendant du paramètre (x, X)] de noyau K (v, v') a (x, v', X). Introduisons alors l'ensemble non vide X(X)= {y^0|3cpeLp(V), cp^O, cp#0, K(x,A.)cp^ycppourtoutxeD}. Posons ensuite x (X)=sup { y | y e X (A.) }. Nous établissons alors le théorème 4. THÉORÈME 4. r(CTp-T)-1K] = ra[K(À-T)-1]^x(>,)(X.>Ti). L'intérêt de ce théorème réside dans le fait que x (A.) est facile à estimer. Nous allons illustrer cela dans le cas dégénéré Soient ht j (v') =gt (v') f (v') et m;} (X) — inf ht ô (v') a
(v') et m;} (X) — inf ht ô (v') a (x, v', X) dv'. xeD Jv Introduisons la matrice M (X) = { mu j (X)}. On a alors le COROLLAIRE 3. — Sous l'hypothèse (3), x (X) ^ r a [M (X)]. Remarque 3. — On a ainsi minoré le rayon spectral de (X—T)_1K par celui d'une matrice! Il est aisé de donner des conditions suffisantes pratiques pour que lim r rj [M (A,)] > 1 (on omet les détails). Remarque 4. — Si l'on recourt à des techniques de comparaison, on peut obtenir des résultats d'existence de valeurs
de comparaison, on peut obtenir des résultats d'existence de valeurs propres beaucoup plus précis [4]. III. UNE NOUVELLE APPROCHE DE L'IRRÉDUCTIBILITÉ DE éA. DÉFINITION 1. — Un opérateur positif sera dit strictement positif si l'image, par cet opérateur, d'une fonction positive et non nulle est strictement positive presque partout. L'intérêt de l'irrédutibilité de éA réside dans le fait qu'elle implique que la valeur propre principale (lorsqu'elle existe!) est algébriquement simple et le projecteur spectral associé strictement positif. On dispose du critère de J. Voigt ([5], th. 3.2) suivant : si V contient une couronne V0= {t>0|0<a<t<b< + oo } et
V contient une couronne V0= {t>0|0<a<t<b< + oo } et si alors éA est strictement positif pour t>d/b (où d est le diamètre de D) et donc est irréductible. Voici une autre approche du problème : THÉORÈME 5. — On suppose que cr(A) f) {A->rl} n'est pas vide; s'il existe un entier q tel que [(A.—T) ~1 K]_q est strictement positive, alors éA est irréductible. Preuve. — éA est irréductible si (X—A)1 est strictement positif pour X>X0 (X0 étant la valeur propre principale de A) ([6], p. 306) (X-A)1 = [I-(X-T)^1(X-T)1 lorsque A^o-(A)etReA>r|. et donc (X A) "-1 est strictement
[I-(X-T)^1(X-T)1 lorsque A^o-(A)etReA>r|. et donc (X A) "-1 est strictement positif si [(X T) ~1 K]_q l'est. Remarque 5. — Si (4) est satisfaite alors q—2 répond aux conditions du théorème 5, car K(A.—T)_1K est alors strictement positif. On retrouve ainsi la condition pratique de J. Voigt par une approche différente. IV. APPLICATION D'UN RÉSULTAT DI. MAREK EN NEUTRONIQUE. — Nous allons utiliser un cas particulier d'un théorème de comparaison stricte de rayons spectraux d'opérateurs positifs dû à I. Marek ([1], th. 4.3) : soient Q1 et Q2 deux opérateurs positifs admettant une itération compacte et tels que : Q1
positifs admettant une itération compacte et tels que : Q1 < Q2 et Qj < Q2; si une itération de Q2 est strictement positive alors ro(Q1)<r(o(Q2). Ce résultat est à la base du théorème 6. THÉORÈME 6. — (a) Si une itération de K est strictement positive, alors la valeur propre principale de A est strictement plus petite que celle de B. (b) Soient K1<K2 et K1#K2 avec K2 vérifiant (4); alors la valeur propre principale de A1=T + K1 est strictement plus petite que celle de A2=T + K2. (c) Si o_1 (v) < o_2 (v) et a_1 (.)
(c) Si o_1 (v) < o_2 (v) et a_1 (.) < a_2 (. ### CORRECTION ### Si K est borné et si dK gl, alors o(A)n{XX>-*} est vide. Introduisons la partie bornée B de l'opérateur de transport. Note présentée par Henri CABANNES. 0249-6291/87/03050673 $ 2.00 © Académie des Sciences C. R., 1987, 2ème Semestre (T. 305) Série 1-56 674 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 673-676, 1987 Nous avons alors le THÉORÈME 2. — Si a(A) H {XX > — X*} n'est pas vide alors cr(B) H {XX > — X*} ne l'est pas. De plus,
H {XX > — X*} ne l'est pas. De plus, la plus grande valeur propre réelle de A est majorée par celle de B, laquelle est majorée par —X* + ra(K). Ce théorème admet deux corollaires immédiats : COROLLAIRE 1. — Si a(B) n {XX > — X*} est vide, alors a(A) H {XX > — X*} est vide quelle que soit la taille de D. COROLLAIRE 2. — Si le spectre de B est inclus dans le demi-plan {ReA.<0} il en est de même pour A quel que soit D. Remarque 1. — Le corollaire 2 sera amélioré dans
D. Remarque 1. — Le corollaire 2 sera amélioré dans le théorème 6 ci-dessous. THÉORÈME 3. — Si V est contenu dans un demi-espace dont l'intérieur ne contient pas zéro (par exemple si V est une demi-boule centrée en zéro), alors cr(A) O { A. j X. > — X*} est vide indépendamment de D, a( ) et K (., . ). Remarque 2. — Il est clair que la géométrie de V n'a pas d'impact sur le spectre de B. Si, par exemple, p = 2, a(v) = a et K(v, v') = K(v', v), alors —(CT+ ||K|| est
et K(v, v') = K(v', v), alors —(CT+ ||K|| est une valeur propre de B quelle que soit la forme de V. Ainsi le théorème 3 montre que la réciproque du corollaire 1 est généralement fausse. Cependant si V est symétrique par rapport à zéro, a(u) = a( — v), K(v, v') = K( — v, v') et K est positif dans L2 (au sens du produit scalaire) alors les réciproques des corollaires précédents sont vraies ([3], th. 1). On vérifie que cr(A) H { X>r} n'est pas vide si et seulement si Pour montrer l'existence effective d'une valeur propre
et seulement si Pour montrer l'existence effective d'une valeur propre il faudra donc estimer inférieurement la fonction continue / (X) = r a [(X—T) "-1 K] au voisinage de r. Soit <x(x, v, X)= e-ik+amsds où s(x, v) = mî{s>0x-sv£D}. Jo Soit K(x, X) l'opérateur intégral dans LP(V) [dépendant du paramètre (x, X)] de noyau K (v, v') a (x, v', X). Introduisons alors l'ensemble non vide X(X)= {y^0|3cpeLp(V), cp^O, cp#0, K(x,A.)cp^ycppourtoutxeD}. Posons ensuite x (X)=sup { y | y e X (A.) }. Nous établissons alors le théorème 4. THÉORÈME 4. r(CTp-T)-1K] = ra[K(À-T)-1]^x(>,)(X.>Ti). L'intérêt de ce théorème réside
THÉORÈME 4. r(CTp-T)-1K] = ra[K(À-T)-1]^x(>,)(X.>Ti). L'intérêt de ce théorème réside dans le fait que x (A.) est facile à estimer. Nous allons illustrer cela dans le cas dégénéré Soient ht j (v') =gt (v') f (v') et m;} (X) — inf ht ô (v') a (x, v', X) dv'. xeD Jv Introduisons la matrice M (X) = { mu j (X)}. On a alors le COROLLAIRE 3. — Sous l'hypothèse (3), x (X) ^ r a [M (X)]. Remarque 3. — On a ainsi minoré le rayon spectral de (X—T)_1K par celui d'une matrice! Il est aisé de donner des
par celui d'une matrice! Il est aisé de donner des conditions suffisantes pratiques pour que lim r rj [M (A,)] > 1 (on omet les détails). Remarque 4. — Si l'on recourt à des techniques de comparaison, on peut obtenir des résultats d'existence de valeurs propres beaucoup plus précis [4]. III. UNE NOUVELLE APPROCHE DE L'IRRÉDUCTIBILITÉ DE éA. DÉFINITION 1. — Un opérateur positif sera dit strictement positif si l'image, par cet opérateur, d'une fonction positive et non nulle est strictement positive presque partout. L'intérêt de l'irrédutibilité de éA réside dans le fait qu'elle implique que la valeur propre principale
dans le fait qu'elle implique que la valeur propre principale (lorsqu'elle existe!) est algébriquement simple et le projecteur spectral associé strictement positif. On dispose du critère de J. Voigt ([5], th. 3.2) suivant : si V contient une couronne V0= {t>0|0<a<t<b< + oo } et si alors éA est strictement positif pour t>d/b (où d est le diamètre de D) et donc est irréductible. Voici une autre approche du problème : THÉORÈME 5. — On suppose que cr(A) f) {A->rl} n'est pas vide; s'il existe un entier q tel que [(A.—T) ~1 K]_q est strictement positive, alors éA est irréductible.
[(A.—T) ~1 K]_q est strictement positive, alors éA est irréductible. Preuve. — éA est irréductible si (X—A)1 est strictement positif pour X>X0 (X0 étant la valeur propre principale de A) ([6], p. 306) (X-A)1 = [I-(X-T)^1(X-T)1 lorsque A^o-(A)etReA>r|. et donc (X A) "-1 est strictement positif si [(X T) ~1 K]_q l'est. Remarque 5. — Si (4) est satisfaite alors q—2 répond aux conditions du théorème 5, car K(A.—T)_1K est alors strictement positif. On retrouve ainsi la condition pratique de J. Voigt par une approche différente. IV. APPLICATION D'UN RÉSULTAT DI. MAREK EN NEUTRONIQUE. — Nous allons utiliser un cas
DI. MAREK EN NEUTRONIQUE. — Nous allons utiliser un cas particulier d'un théorème de comparaison stricte de rayons spectraux d'opérateurs positifs dû à I. Marek ([1], th. 4.3) : soient Q1 et Q2 deux opérateurs positifs admettant une itération compacte et tels que : Q1 < Q2 et Qj < Q2; si une itération de Q2 est strictement positive alors ro(Q1)<r(o(Q2). Ce résultat est à la base du théorème 6. THÉORÈME 6. — (a) Si une itération de K est strictement positive, alors la valeur propre principale de A est strictement plus petite que celle de B. (b) Soient K1<K2
strictement plus petite que celle de B. (b) Soient K1<K2 et K1#K2 avec K2 vérifiant (4); alors la valeur propre principale de A1=T + K1 est strictement plus petite que celle de A2=T + K2. (c) Si o_1 (v) < o_2 (v) et a_1 (.) < a_2 (. avec K vérifiant (4), alors la valeur propre principale de A2 = T2 + K est strictement plus petite que celle de A = T + K dans LP(D x V). ■ Remarque 6. — On notera que (a) améliore le théorème 2. Ainsi si la valeur propre principale de B est
2. Ainsi si la valeur propre principale de B est nulle, alors A1 existe pour tout D borné. Ceci permet de résoudre de manière immédiate un problème (linéaire) de la cinétique des gaz qui a déjà été résolu à l'aide de techniques différentes (voir, par exemple, [7]). ■ Remarque 7. — Quoique strictement plus petite que la valeur propre principale de B, celle de A peut s'en approcher indéfiniment quand la taille de D augmente ([3], th. 1). ■ Remarque 8. — Lorsque a (A) n {ReA,>co} est fini pour tout co>r|, la valeur propre principale est strictement dominante [i.e.
tout co>r|, la valeur propre principale est strictement dominante [i.e. ReX< X0 pour tout A ea(A), X^=X0] en raison du caractère cyclique du spectre périphérique ([6], cor. 2.1, p. 304). Il est possible de montrer, à l'aide du résultat d'I. Marek [1], que X0 est strictement dominante sous (seulement) l'hypothèse (2) ([8], th. 5). ■ Remarque finale. — La convexité de D ainsi que le caractère homogène de l'opérateur de transport ne sont pas des hypothèses essentielles. Les démonstrations des résultats annoncés dans cette Note se trouvent dans [4] et [8]. Note reçue le 15 juin 1987, acceptée le 21
[8]. Note reçue le 15 juin 1987, acceptée le 21 septembre 1987. On voudrait pouvoir imposer \(U_1 = U_2\) mais le problème serait alors mal posé. En fait, Dubois et Le Floch se ramènent au problème de Riemann avec comme données de Cauchy \(U_0\), en x positif, et \(U_2\), en x négatif, qui possède fréquemment une solution unique. Ils montrent alors que la condition aux limites obtenue s'écrit : "(1.5) \(J_1\) est tel qu'il existe une solution au problème de Riemann dans le quadrant \(\{x<0, t>0\}\) dont les données sont \(U(0,0) = U_1\); \(U(x,0) = U_2\)". THÉORÈME 1. — Si
\(U(0,0) = U_1\); \(U(x,0) = U_2\)". THÉORÈME 1. — Si \(J_1\) vérifie (1.5), alors \(J_2\) vérifie (1.4). Démonstration. — Si \(U_1\) est relié à \(U_2\) par une solution auto-semblable, pour laquelle on a l'intégralité d'entropie : \(\int_{-\infty}^{+\infty}X(u) du = 0\), où \(X(u)\) est l'entropie du système. On intègre l'inégalité entre \(-L\) et \(0\), et on en déduit, \(r\) étant minimale en \(U_2\), \(r(J_2) \leq \int_{-\infty}^{+\infty}X(u) du \leq r(J_1)\). En fait, Dubois et Le Floch conjecturent l'équivalence des deux conditions aux limites, et la démontrent dans les cas scalaire, linéaire, et pour certains systèmes. Nous allons montrer cette équivalence sous une
pour certains systèmes. Nous allons montrer cette équivalence sous une hypothèse restrictive, et l'infirmer dans le cas général par un contre-exemple. 4. CAS DES SYSTÈMES où LES COURBES D'ONDES SONT DES DROITES. — On considère uniquement les systèmes 2x2, et on fait les hypothèses suivantes : (H1) Il existe un domaine convexe, positivement invariant, borné : \(A\). (H2) \(MU > 0\), \(\forall U \in A\), \(i=1, 2\). (H3) Les courbes de détente sont des droites. On sait que, dans ce cas, les courbes de détentes et de chocs coïncident [Serre [6]]. Outre le cas linéaire, on connaît des exemples vraiment
[6]]. Outre le cas linéaire, on connaît des exemples vraiment non linéaires de tels systèmes, en chromatographie. Le prototype de ce cas est le système de Leroux : Sous l'hypothèse (H3), on sait (Serre [6]), que les fonctions \(X(u)\) sont des entropies convexes du système lorsque la droite \(\{ U; n. U = a \}\) est une courbe de détente. Les flux associés sont : \(g_+(U)=n.(U)-(3 \sin.U-oc>0\), \(q_-(U) = 0 \sin.U-oc>0\), \(\beta n. F (U) sinon, et on a \(n. U-a=0=n. F (U)\). On vérifie alors que \(g_+(U) = A(U).~T|_+(U)\) où \(\inf_{A} X^*(U), U \in A\) et \(\sup_{A} X^*(U), U
où \(\inf_{A} X^*(U), U \in A\) et \(\sup_{A} X^*(U), U \in A\) de sorte qu'en appliquant l'inégalité sur les flux, on obtient, si \(r_+ (U_2)\) est nul : \(\int_{-\infty}^{+\infty} X^*(U) du \leq \inf_{A} X^*(U)\) et \(\sup_{A} X^*(U) \leq \int_{-\infty}^{+\infty} X^*(U) du\). Sous l'hypothèse (H2), \(A (U)\) est de signe constant sur \(A\). L'inégalité (1.6) est triviale pour les champs caractéristiques à vitesse négative, et donne \(r_+ (U_1) = 0\) pour les autres. On traduit donc la condition sur les flux par : « Pour chaque courbe de onde \(r_+(U_2)\), issue de \(U_2\), de vitesse \(X_+(U)\) positive, on a \(\int_{-\infty}^{+\infty} r_+(U_2)\)
de \(U_2\), de vitesse \(X_+(U)\) positive, on a \(\int_{-\infty}^{+\infty} r_+(U_2)\) », ce qui est strictement équivalent au fait que \(U_2\) est lié à \(U_1\) par la résolution d'un demi-problème de Riemann dans le quadrant de gauche \(\{x<0, t>0\}\). Remarque. — Il semble que la condition (H2) ne soit pas nécessaire, bien qu'elle simplifie grandement la démonstration. Pour le système de Leroux, elle peut être fausse pour certains choix de \(A\). En revanche, même dans ce cas, on a pu prouver l'équivalence de (1.4) et de (1.5). 5. LE « \(7-SYSTÈME ». — Nous considérons maintenant le système bien connu Les
». — Nous considérons maintenant le système bien connu Les relations (1.4) et (1.5) seraient équivalentes dans ce cas si l'inégalité sur les flux impliquait : THÉORÈME 2. — On suppose que \(p'(u)>0, \forall u \in R\). Si \((v_1, u_1)\) vérifie les inégalités (1.4), alors \(u_2 = u_1\) et \(p(v_2) \geq p(v_1)\). Démonstration. — On utilise les entropies introduites par Lax [4] : \(X(a, b) = \begin{cases} \frac{p(v)-p(v_1)}{p'(v_1)} & \text{si } v \geq v_1 \\ \frac{p(v_2)-p(v)}{p'(v_2)} & \text{si } v \leq v_2, \end{cases}\) où \(cp (v, u)\) est un invariant de Riemann. Pour que \(X\) soit convexe, il suffit que
de Riemann. Pour que \(X\) soit convexe, il suffit que \(k > 0\) soit assez grand. Selon ces hypothèses et en faisant tendre \(k\) vers \(+\infty\), on déduit de (1.4) : En supposant l'inégalité ci-dessus stricte, et en faisant de nouveau un passage à la limite sur \(k\), on obtient : \(u_2 = u_1 + (p(v_2) - p(v_1))\). 6. UN CONTRE-EXEMPLE. — Soit le système : On se place dans le domaine invariant \(A = \{(a, b); a > 0\}\). Les entropies sont de la forme \(X(a, b) = g(r) + rh(b)\) [5]. Une telle fonction est convexe si et
+ rh(b)\) [5]. Une telle fonction est convexe si et seulement si : \(g'^+(0, g'^C, h + h"^ -C (où \(C\) est une constante de \(R\)). Le flux associé est : \(q (a, b) = G(r) + r cp(r) h(b)\), où \(G'(r) = (rf)' g'(r)\). On suppose : \(cp < 0\), avec \((cp)' > 0\); la condition de flux devient : pour des fonctions \(g\) et \(h\) vérifiant \(g'^0, g'^0, h + h"^0. Cette condition se découple en deux conditions qui font intervenir l'une \(g\), l'autre \(h\) : On trouve finalement que (1.7) \(\Leftrightarrow\) \((r_1 = r_2\) et \(r_2 cp(r_2)
finalement que (1.7) \(\Leftrightarrow\) \((r_1 = r_2\) et \(r_2 cp(r_2) = cp(r_1) u_1 u_2)\). Compte tenu des conditions sur \(cp\), ce domaine n'est pas réduit à \(\{r_1=r_2\}\). Par ailleurs, l'inégalité (1.8) est triviale. Finalement l'inégalité sur les flux équivaut à (1.7), c'est-à-dire que l'ensemble des \(U_1\) admissibles par la relation (1.4) est plus grand que l'arc de cercle \(\{ r=r_2 \}\), auquel on est conduit par l'autre relation (1.5). Remarque. — Dans ce cas, la région obtenue par l'inégalité (1.4) en utilisant toutes les entropies convexes coïncide avec celle que l'on obtient en n'utilisant que les entropies de Lax (la
l'on obtient en n'utilisant que les entropies de Lax (la convexité de ces entropies est assurée par la positivité de \(cp'\)). SERRE, La compacité par compensation pour les systèmes hyperboliques non linéaires de deux équations à une dimension d'espace, J. Math. pures et appl., 65, 1986, p. 423-468. [6] D. SERRE, Domaines invariants pour les systèmes hyperboliques de lois de conservations, J.D.E., 68, 1987 (à paraître). [7] B. TEMPLE, Systems of conservation laws with invariant submanifolds, Trans A.M.S., 280, n° 2, 1983, p. 781-795. A. B. : C.M.A., E.N.S., 45, rue d'Ulm, 75005 Paris; D. S. : Université de Saint-Etienne,
rue d'Ulm, 75005 Paris; D. S. : Université de Saint-Etienne, 42023, Saint-Etienne Cedex 2. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 681-684, 1987 681 Analyse fonctionnelle/Function Analysis Image numérique simultanée d'une famille d'opérateurs sur l'espace de Hilbert Gilles CASSIER Résumé — On établit des propriétés de convexité de l'image numérique d'une famille d'opérateurs sur l'espace de Hilbert se trouvant dans une algèbre duale uniforme. Simultaneous numerical range of an operator family on a Hilbert space Abstract — We establish some convexity properties of the numerical range for a family of operators on a Hilbert space lying in
a family of operators on a Hilbert space lying in an uniform dual algebra. L'image numérique simultanée d'une famille infinie (R;)isI d'opérateurs sur l'espace de Hilbert est l'ensemble I (R1)ieI={«RIx|x»ieI; ||x|| = l}. Elle fut introduite au cours des premières études de l'espace de Hilbert. Toeplitz (1918) prouva que la frontière dl (R) de l'image numérique d'un opérateur R est une courbe convexe puis Hausdorff donna en 1919 son théorème devenu classique sur la convexité de I (R). Malheureusement pour une famille finie {R1; . . ., Rp} d'opérateurs, I (R1; .. ., Rp) n'est pas convexe en général même
(R1; .. ., Rp) n'est pas convexe en général même si les p opérateurs R1; . . ., Rp sont hermitiens et agissent sur un espace de dimension deux. Pour obtenir plus de détails on pourra consulter [1]. Néanmoins lorsque les opérateurs sont choisis dans une sous-algèbre ultrafaiblement fermée de L(H) sur laquelle la transformée de Gelfand est une isométrie, c'est-à-dire une algèbre duale uniforme, on obtient les résultats suivants : THÉORÈME 1. — Si (Rk)k>0 est une famille d'opérateurs appartenant à une algèbre duale uniforme, le sous-ensemble I (R*)k>0 de Cm est convexe. Si F est une partie de