jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
Ouvrage se rapportent au sujet qui nous occupe ils présentent un bon résumé des points essentiels du Mémoire des Acta et sont d'une lecture plus facile. A la suite d'une remarque de Schwarzschild (2), faisant observer que le principe de l'échange des stabilités ne pouvait pas être appliqué sans modification au cas de la figure piriforme, Poincaré reprit la question de la stabilité dans un important Mémoire (3) publié dans les Philosophical Transactions, de Londres. Par une méthode remarquable, basée sur l'expression de l'énergie d'une double couche, il va jusqu'à la deuxième approximation pour la forme de la surface et
la deuxième approximation pour la forme de la surface et en déduit la condition nécessaire et suffisante pour que la stabilité ait lieu. Il s'agit de reconnaître quel est le signe d'une quantité se composant d'un nombre infini de termes, tous positifs, sauf deux. Si elle est négative, il y aura instabilité, et il suffira pour le constater de calculer un nombre fini de termes; s'il y a stabilité, il faudra calculer la somme des termes positifs ou une limite supérieure de cette somme. Poincaré n'aborde pas ce calcul, mais il en indique tous les éléments. Les travaux de Darwin
il en indique tous les éléments. Les travaux de Darwin et de M. Bénès. Les divers Mémoires de G.-H. Darwin sur la question, tous réunis au Tome III de ses Scientific Papers (4), ne sont, comme il le dit lui-même dans la Préface de ce Volume, que des traductions numériques des résultats théoriques de Poincaré. L'emploi de notations inaccoutumées, et d'une méthode assez différente, au moins pour la forme, de celle de Poincaré, rend la lecture de ces travaux un peu déconcertante. Un excellent sommaire, joint à chacun de ces Mémoires, facilite heureusement beaucoup la compréhension du texte. Darwin a
Mémoires, facilite heureusement beaucoup la compréhension du texte. Darwin a abordé la question en 1887, par un travail sur les ellipsoïdes de Jacobi (5), qui, quoique en dehors du problème dont nous parlons, est d'une lecture utile pour connaître la méthode de calcul que l'auteur reprendra plus tard dans le cas du Jacobien critique. Les trois Mémoires les plus importants sont de 1901-1902 et ont été écrits sur l'invitation de Poincaré, dans le but d'étudier la stabilité de la surface (6) Paris, C. Naud (Gauthier-Villars), 1902. (5) Die Poincaresche Theorie des Gleichgewichts (Annalen der K. Sternwarte, München, Bd III, 1898).
des Gleichgewichts (Annalen der K. Sternwarte, München, Bd III, 1898). (3) Sur la stabilité de l'équilibre des figures pyriformes affectées par une masse fluide en rotation (Phil. Trans. of the Royal Soc. of London, vol. 198, 1901). (*) Scienti fie Papers, by Sir George Howard Darwin. Cambridge University Press, 1910. (5) On Jacobi's figure of equilibrium for a rotating mass of liquid (Proc. Roy. Soc., t. XLI, 1887 Sc. Pap., t. III, n° 8). (1) Figures d'équilibre d'une masse fluide, par Henri Poincaré. Paris, C. Naud (Gauthier-Villars), 1902. (2) The figure of equilibrium for a rotating mass of liquid, by
figure of equilibrium for a rotating mass of liquid, by G.-H. Darwin (Philosophical Transactions, 1902). (3) The stability of the figure of equilibrium of a rotating mass of liquid, by G.-H. Darwin (Philosophical Transactions, 1903). (4) Instability of the figure of equilibrium of a rotating mass of liquid, by G.-H. Darwin (Philosophical Transactions, 1908). Au groupe de Poincaré se rattache le Mémoire déjà cité de Schwarzschild qui d'ailleurs, sauf le point que nous avons signalé et une intéressante discussion des propriétés des coefficients de stabilité, n'apporte rien de très nouveau sur les figures dont nous parlons, et s'étend plutôt sur
sur les figures dont nous parlons, et s'étend plutôt sur les problèmes d'Edouard Roche. Le travail de M. Globa-Mikhaïlenko, quoique en dehors de la question, est intimement lié par l'emploi qu'y fait l'auteur de la méthode de Poincaré. Son objet est la recherche des figures d'équilibre infiniment voisines d'un cylindre elliptique les résultats obtenus avaient déjà été établis, en suivant une autre voie, par M. J.-H. Jeans. Les travaux de M. Liapounov ont publié sur la question un grand nombre de Mémoires qui, malgré leur intérêt, sont encore peu connus en France. On nous excusera donc de nous y arrêter
en France. On nous excusera donc de nous y arrêter quelque peu. Ainsi que M. Liapounov le dit lui-même, c'est vers 1883 que, sur l'invitation de Tchebychev, il a commencé à étudier les figures ellipsoïdales d'équilibre d'un fluide en rotation. La question suivante avait été proposée par Tchebychev à divers savants russes « Étant donné qu'on peut passer, pour certaines valeurs de la vitesse angulaire, de la série des figures d'équilibre représentées par les ellipsoïdes de Maclaurin à la série représentée par les ellipsoïdes de Jacobi, existe-t-il d'autres séries de figures d'équilibre auxquelles on pourrait passer à partir des figures
figures d'équilibre auxquelles on pourrait passer à partir des figures ellipsoïdales ? » Les études que M. Liapounov entraprit sur la question le conduisirent à publier, en 1884, un important Mémoire, constituant ce que nous nommerions la thèse de l'auteur, et que les universités russes appellent dissertation. Il ne semble pas que ce travail, intitulé Sur la stabilité des figures ellipsoïdales d'un liquide animé d'un mouvement de rotation, et écrit en langue russe, ait été connu hors de Russie, autrement que par une courte Notice de Hadau dans le Bulletin astronomique, jusqu'à ce que M. Davaux en ait donné une
astronomique, jusqu'à ce que M. Davaux en ait donné une traduction française, parue en 1904, avec des notes et quelques corrections de l'auteur. Ni Poincaré ni Darwin n'en ont eu connaissance; et ce travail contient cependant quelques-unes des propositions du Mémoire des Acta, quelquefois même traitées d'une façon plus complète. À la fin de l'Œuvre l'auteur, suivant l'usage russe, énonce quelques résultats sans démonstration. Or l'un de ces résultats est formulé de la façon suivante « Étant donné un entier n quelconque, surpassant 2, on peut trouver des surfaces algébriques infiniment voisines de celles des figures ellipsoïdales d'équilibre, et vérifiant,
infiniment voisines de celles des figures ellipsoïdales d'équilibre, et vérifiant, à une première approximation, la condition d'équilibre. Parmi les figures délimitées par ces surfaces, une est infiniment voisine d'un ellipsoïde de Jacobi, et les autres sont infiniment voisines des ellipsoïdes de Maclaurin. » M. Liapounov a donc connu dès cette époque l'existence des figures infiniment voisines des ellipsoïdes d'équilibre mais il n'a pas cherché à tirer parti du résultat qu'il avait entrevu, et a même complètement abandonné le problème après avoir donné ce simple énoncé. Vingt ans plus tard, à la suite des travaux de Poincaré, il a repris la
la suite des travaux de Poincaré, il a repris la question, en cherchant à la résoudre sans s'arrêter à la première ou à la deuxième approximation; les résultats qu'il a obtenus sont exposés dans un grand travail, composé de quatre Parties publiées à des dates différentes, et que nous analyserons plus loin. Mais auparavant, l'auteur a publié un sommaire de ses recherches, qui est d'une importance capitale, en ce qu'il expose la méthode suivie et les notations employées, indique les principaux résultats et permet d'aborder avec plus de facilité la lecture un peu ardue du grand Mémoire. La méthode de
lecture un peu ardue du grand Mémoire. La méthode de M. Liapounov se présente de la façon suivante L'axe des z étant l'axe de rotation, l'équation du problème s'écrit U + U(xy) = const., U et V étant, à des facteurs constants près, le potentiel et le carré de la vitesse angulaire. L'ellipsoïde à partir duquel on veut chercher de nouvelles figures d'équilibre a pour équation où l'on suppose g "Si, le cas q = 1 correspondant aux ellipsoïdes de Maclaurin. ou Les coordonnées de la figure infiniment voisine sont mises sous la forme M. Liapounov développe alors la fonction
mises sous la forme M. Liapounov développe alors la fonction inconnue en série procédant suivant les puissances entières de Y) ou de v^y], YJ étant la différence entre les valeurs de û, correspondant à l'ellipsoïde et à la figure infiniment voisine. Il annonce avoir prouvé la convergence de ces séries et avoir obtenu, relativement à la question de la stabilité de la figure piriforme, un résultat en contradiction avec celui de Darwin. Les hypothèses faites sur la fonction sont au nombre de deux : a. reste inférieur à un nombre fixe suffisamment petit, S b. Si C est la valeur
fixe suffisamment petit, S b. Si C est la valeur de la fonction au point 6', 'h'} et si l'on pose cos9 cos6'-(sin9 sinô'cosd' – ty) = cosœ, la valeur absolue du rapport reste inférieure à un nombre fixe suffisamment petit S. Voici à présent, brièvement analysé, le contenu du Mémoire fondamental (' ) La première Partie, portant le sous-titre Élude générale du problème, n'est que le développement des principes dont le Problème de Tchebychev est le résumé, avec cependant de notables améliorations. L'auteur y expose en particulier la théorie des fonctions de Lamé. Nous ne nous occuperons pas de
des fonctions de Lamé. Nous ne nous occuperons pas de la deuxième Partie (Figures dérivées des ellipsoïdes de Maclaurin), puisque complètement en dehors de notre sujet. Disons seulement que le problème y est résolu dans toute sa généralité, y compris la question de la stabilité pour toute figure de ce type, quel que soit son ordre. La troisième Partie (Figures dérivées des ellipsoïdes de Jacobi) est d'un (') Sur les figures d'équilibre peu différentes des ellipsoïdes d'une masse liquide homogène douée d'un mouvement de rotation (Saint-Pétersbourg, imprimerie de l'Académie impériale des Sciences) 1e Partie, 1906; 2e Partie, 1909; 3e Partie,
des Sciences) 1e Partie, 1906; 2e Partie, 1909; 3e Partie, 1912; 4° Partie, 1914. grand intérêt, bien que l'auteur s'excuse de n'y apporter de conclusions générales. Elle débute par une étude des équations qui définissent les ellipsoïdes de bifurcation, avec une méthode de résolution numérique de ces équations, sur laquelle nous insisterons particulièrement dans le cours de ce travail. L'existence et la stabilité des figures sont ensuite discutées, mais la complication des formules est telle que l'auteur a dû se borner à l'examen des cas particuliers les plus simples, les figures définies par n = 3 et n = 4,
figures définies par n = 3 et n = 4, ainsi que les surfaces très allongées à trois plans de symétrie, pour lesquelles les fonctions de Lamé peuvent être remplacées par des fonctions de Bessel. Les calculs de M. Liapounov, comme nous l'avons déjà dit, concluent à l'instabilité de la figure piriforme, mais à la stabilité de l'une des deux figures correspondant à n = 4. Dans la quatrième Partie (Nouvelles formules pour la recherche des figures d'équilibre), l'auteur reprend sa théorie dès le début, en adoptant pour les coordonnées de la surface la forme ce qui lui permet de
de la surface la forme ce qui lui permet de parfaire certains résultats de la deuxième Partie. En même temps qu'il publiait cet Ouvrage, M. Liapounov donnait divers travaux connexes en 1908, un Mémoire (1) dans lequel il reprend, avec de nouvelles méthodes, quelques points de sa thèse, et obtient des résultats déjà donnés par Poincaré dans les Philosophical Transactions; en 1909, une Note (2) où, revenant aux hypothèses que nous avons indiquées ci-dessus, il démontre qu'il n'existe pas de figures d'équilibre vérifiant l'hypothèse a, mais non l'hypothèse b, et que par conséquent les conclusions de ses premiers travaux sont
que par conséquent les conclusions de ses premiers travaux sont valables sans aucune réserve. Enfin une Note (3), parue en 1916 et où les équations de la surface sont présentées sous diverses formes, contenant toujours une série, prouve que M. Liapounov n'a pas cessé de s'intéresser à la question. On voit par cet exposé l'importance des travaux du géomètre russe sur le sujet; toute étude nouvelle sur les figures d'équilibre des fluides ne peut que Problème de minimum dans une question de stabilité des figures d'équilibre d'une masse fluide en rotation (Mémoires de l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, vol.
rotation (Mémoires de l'Académie impériale des Sciences de Saint-Pétersbourg, vol. XXII, n° 5, 1908). (2) Sur une classe de figures d'équilibre d'un liquide en rotation (Annales de l'École Normale supérieure, 3e série, t. XXVI, 1909). (3) Sur les équations qui appartiennent aux surfaces des figures d'équilibre dérivées des ellipsoïdes d'un liquide homogène en rotation (Bulletin de l'Académie impériale des Sciences de Petrograd, 1916). É. P., 2e S. (C. n° 20.) s'inspirer de ses méthodes; malheureusement, beaucoup de questions intéressantes ont été laissées de côté par lui, et la plupart de ses formules semblent susceptibles de grandes simplifications. Notations. Fonctions de
ses formules semblent susceptibles de grandes simplifications. Notations. Fonctions de Lamé. L'usage de notations très différentes rend difficiles la lecture de ces divers travaux et la comparaison de ces résultats. Nous allons indiquer très brièvement les principales notations des différents auteurs, puis celles que nous comptons employer dans la suite de ce Mémoire, en insistant particulièrement sur la question, capitale dans la théorie qui nous occupe, des fonctions de Lamé 1° Poincaré rapporte les coordonnées elliptiques p, p., v à un ellipsoïde de référence dont les axes sont o, b et c; le Jacobien critique est défini par le paramètre
et c; le Jacobien critique est défini par le paramètre p la surface infiniment voisine, par l'épaisseur Ç, positive ou négative, de la couche distribuée sur la surface du Jacobien critique. La fonction de Laplace est mise sous la forme d'un produit de Lamé, R(p) M([x) N(v); à côté de R on considère la fonction de Lamé de seconde espèce S. La fonction R(p) satisfait à l'équation différentielle 'Pour distinguer entre elles les fonctions de Lamé des différents types, Poincaré a recours à trois indices; une fonction s'écrira R*, avec la signification suivante des indices n est le degré de
la signification suivante des indices n est le degré de R; K a la valeur i si R est un polynome entier en p, Enfin i est choisi de telle sorte que Rn>, devienne, pour b = c, égal à un facteur constant près à en vertu de la relation qui lie les fonctions de Lamé aux fonctions sphériques générales. Ce mode de définition des fonctions de Lamé par trois indices (1) est théorique; pratiquement, il est un peu compliqué; et Poincaré l'abandonne aussitôt après l'avoir posé en principe; il désigne simplement les fonctions de Lamé par R,, R2, le
désigne simplement les fonctions de Lamé par R,, R2, le choix des indices étant laissé au hasard. Il en résulte une grande complication; et un même symbole désigne parfois, dans les Acta, dans les Philosophical Transactions et dans les Figures d'équilibre, trois fonctions de Lamé différentes. A part cet inconvénient, les notations de Poincaré sont dans leur ensemble remarquablement simples et claires; elles sont d'une symétrie parfaite (1) et conformes à l'usage général. On peut leur adresser le reproche d'être un peu compliquées pour le calcul. 2° M. Liapounov, comme nous l'avons vu, met l'équation du Jacobien critique sous la
nous l'avons vu, met l'équation du Jacobien critique sous la forme avec q < i. Nous avons vu également de quelle façon il présente les équations de la surface de Poincaré. Les deux notations suivantes sont d'un usage courant dans tous ses Mémoires La fonction de Lamé est désignée par le symbole Em>(p); m en est l'ordre, et l'équation de Lamé s'écrit s, qui est inférieur à im, est défini comme il suit; on pose p = x1 Si E(x) est de la forme Polynôme en x, on aura 2 m – s = 0 (mod 4); T) Surtout dans
m – s = 0 (mod 4); T) Surtout dans le Mémoire des Philosophical Transactions, où les axes de l'ellipsoïde de référence sont désignés par a, b, c au lieu de o, b et c. PIERRE HUMBERT. Lorsque m est grand, il peut y avoir ambiguïté; mais on n'a guère alors à considérer qu'une seule fonction de Lamé de chaque ordre. Les fonctions de seconde espèce s'écrivent Fm,(p). Les coefficients de stabilité, qui sont sont désignés par le symbole Tmi. La fonction Em qui y figure est de la forme Les notations de M. Liapounov ont l'avantage de se prêter
Les notations de M. Liapounov ont l'avantage de se prêter aux calculs numériques avec une grande souplesse; elles ont l'inconvénient de détruire complètement la symétrie et, ce qui est plus grave, l'homogénéité des formules. 3° La symétrie est également abandonnée de parti pris par Darwin, qui considère même la forme habituelle des produits de Lamé comme impropre au calcul. Le cas d'un ellipsoïde de révolution conduisant à une fonction de Laplace de la forme les P étant les fonctions sphériques générales, de degré i et d'ordre s, Darwin cherche à mettre le produit de Laplace pour l'ellipsoïde à trois axes
mettre le produit de Laplace pour l'ellipsoïde à trois axes inégaux sous une forme analogue. Partant d'un ellipsoïde de référence dont il désigne les axes par k, l – 1, k, 0, il introduit trois coordonnées v, p, ç et considère les fonctions suivantes a. Des fonctions de p. et v, désignées soit par || soit par P*, suivant que ce sont des polynomes en (3, ou de tels polynomes multipliés par le radical ou le même radical en jj. Les coefficients de ces polynomes sont des fonctions sphériques ordinaires de f/. ou v. Ainsi la fonction |ll3, qui définit
de f/. ou v. Ainsi la fonction |ll3, qui définit la surface parabolique, s'écrira b. Des fonctions de ç désignées par <é; ou S; si i et s sont de même parité, et exprimées par des polynomes en (3 où le coefficient de (3* est cos(s + ik) <p ou sin(s + 2/ir)cp. Si i et s sont de parités différentes, on est conduit à des polynomes analogues, mais multipliés par 1 – (i cos2<ç, et les fonctions résultantes sont désignées par Qi ou S/. La fonction de Laplace sera le produit de deux fonctions semblables de jjl et v,
le produit de deux fonctions semblables de jjl et v, et de l'une quelconque des fonctions de <ç donc en tout huit solutions. De plus, à côté des fonctions |J et P s'introduisent des fonctions de seconde espèce, <i* et Q/, que l'on met sous la forme de séries infinies en (3, dont les coefficients sont les fonctions sphériques de seconde espèce. On a peine à reconnaître sous cette forme les fonctions de Lamé, et il est bien difficile de s'assimiler cette méthode, malgré les avantages qu'elle présente peut-être pour les calculs ultérieurs. Remarquons qu'elle conduit à l'introduction des intégrales
les calculs ultérieurs. Remarquons qu'elle conduit à l'introduction des intégrales elliptiques de Legendre. Dans ses deux derniers Mémoires, Darwin change un peu ses notations initiales il désigne les axes de l'ellipsoïde de référence par cosy, k sin6 et k, et les coordonnées u, et v par ; – – et sinç. Avec ces notations, on a r Arsinq; q étant une fonction de k, d'ailleurs très compliquée. Ajoutons que les coefficients de stabilité sont désignés par M", ou K, Enfin Darwin, dans ses calculs numériques, fait toujours le volume des Jacobiens égal à 4 ?• Les axes A, B, C
Jacobiens égal à 4 ?• Les axes A, B, C d'un Jacobien sont alors donnés, en fonction des éléments p et q de M. Liapounov, par les formules 4° Nous emploierons, dans ce Mémoire, les notations de Poincaré, en les modifiant légèrement. a. L'axe de rotation sera pris pour axe des x. b. Les axes de l'ellipsoïde de référence seront a, b, o. c. Le Jacobien critique sera défini par le paramètre p; ses axes seront Ajoutons que nous traiterons certaines questions avec les notations de M. Liapounov, sans les modifier. Afin d'illustrer ce que nous venons de dire sur
modifier. Afin d'illustrer ce que nous venons de dire sur les fonctions de Lamé, nous donnons un Tableau indiquant les diverses notations pour les fonctions des ordres 0, 1, 2 et pour les plus importantes des ordres 3 et 4. La première colonne donne la valeur de ces fonctions; les trois suivantes, les symboles employés par Poincaré dans les Acta, les Figures d'équilibre et les Philosophical Transactions; enfin les trois dernières indiquent les notations de Darwin, de M. Liapounov, et celles dont il sera fait usage dans ce travail. Présenté Valeur des fonctions. Acta. Fig. équil. Ph. Tr. Darwin. Liapounov.
Valeur des fonctions. Acta. Fig. équil. Ph. Tr. Darwin. Liapounov. travail. Ro Ri Vo EOiO R0)0 R, R, P; E,,o RM r2 »j e, rm R3 », Ell5 RM R7 R4 n E^ R2,> R8 R3 î>2 E2,o R2i0 R6 Pr E, R2,3 Ri l>î E, R, Rô Pi E2%2 Rj.î R9 Pi R3,3 R»,3 Rs », R3,o R0,4 Vl, R4,0 avec, comme troisième condition, la valeur donnée du volume. Darwin a résolu ces équations pour n = 3; M. Liapounov a donné une méthode générale pour leur résolution et l'a appliquée à la surface de Poincaré d'ordre 4. C'est
l'a appliquée à la surface de Poincaré d'ordre 4. C'est cette méthode que nous nous proposons de reprendre, de compléter et de simplifier. Traduite avec nos notations, voici de quelle façon elle se présente 1. a. On commence par s'affranchir de la condition de volume, en fixant a, par exemple en faisant a = 1 on reviendra ensuite par une simple proportion aux axes du Jacobien ayant le volume. b. À toute valeur approchée p0 de p correspond une valeur approchée b0 de b qu'on peut calculer au moyen de l'équation (r). On cherche alors, par des essais successifs, quel
l'équation (r). On cherche alors, par des essais successifs, quel doit être p0 pour que l'équation (2) soit satisfaite par p0 et b0. Si deux valeurs p1 et p2 donnent à l'expression des signes différents, la vraie valeur p sera comprise entre p1 et p2, et b entre b1 et b2. L'application de la méthode comporte donc trois stades : 1° La recherche d'une solution approchée pour p. Sur ce point, que nous étudierons tout à l'heure, M. Liapounov n'a donné aucun renseignement. 2° Le calcul de b par l'équation (i), p étant donné. Ici la méthode de M. Liapounov
(i), p étant donné. Ici la méthode de M. Liapounov est remarquablement pratique nous ne la modifierons pas et n'en parlerons même pas dans ce Chapitre; nous l'exposerons plus tard, en l'appliquant à la recherche des éléments de la surface de Poincaré d'ordre 5. 3° Le calcul de l'expression (3). Observons que la deuxième partie du calcul a déjà donné la valeur de -7 ̃J R)2S, 2 il suffit donc de calculer 2/2. – |– I Rn0S,,0. La formule de réduction qu'a donnée M. Liapounov est d'une grande complication et conduit à des calculs très ardus. Nous allons donner une
conduit à des calculs très ardus. Nous allons donner une formule de réduction beaucoup plus simple, et nous la traduirons ensuite avec les notations de M. Liapounov. Recherche d'une solution approchée. À mesure qu'on avance dans la série des valeurs de n, le Jacobien tend de plus en plus à s'approcher de la forme de révolution; si l'on consulte le Tableau, dressé par Darwin, donnant les axes de divers Jacobiens, on constate qu'à partir de C = 3, les axes A et B sont égaux à 0, à une précision de l'ordre de 1, ce qui est équivalent à faire
de l'ordre de 1, ce qui est équivalent à faire A et B, ou a et b égaux, c'est-à-dire en assimilant le Jacobien à un ellipsoïde de révolution. Cela revient, avec les notations de M. Liapounov, à faire q = 0. Des deux équations de Poincaré il ne subsiste que la seconde; voyons ce qu'elle devient. À la fonction de Lamé Rn, se substitue la fonction adjointe de Legendre, PJ = v/r2– 1; à la fonction de seconde espèce se substitue la fonction adjointe de deuxième espèce Cas où n est très grand. Lorsque n est très grand, le calcul
est très grand. Lorsque n est très grand, le calcul devient très compliqué, par suite de la forme de moins en moins simple que prennent Pn et Qn. Comme il ne s'agit toujours que de rechercher une solution approchée, on simplifiera beaucoup le calcul en remplaçant Pn et Qn par des expressions approchées pour n grand. On connaît la valeur approchée de Pn, lorsque n est très grand, donnée par Laplace, La résolution de cette équation ne sera plus bien compliquée; on se servira utilement des Tables de fonctions hyperboliques publiées par l'Institut Smithsonien de Washington. Expression de la fonction