jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
the Stefan problem, Björn GUSTAFSSON and Jacqueline MOSSINO We compare the weak solution (h, k) of the Stefan problem in some annular domain to x (0, T), with the weak solution (0, H) of the "symmetrized" problem, in £x(0, T), where £1 is a symmetrical annulus having the same measure as £2. For the one-phase Stefan problem —8=h(−a, 0) when h=0 — we show, in particular, that the "volume of ice" (mes {h(t)= −a}) remains greatest in spherical symmetry (with initial data decreasing along the radii). The positivity in neutron transport theory, Mustapha MOKHTAR-KHAROUBI We give a course of spectral
transport theory, Mustapha MOKHTAR-KHAROUBI We give a course of spectral results related to the positiveness of the transport semigroup. Necessary conditions and sufficient ones for the existence of eigenvalues are given. We present a new approach to the irreducibility of the transport semigroup. We exploit a result by I. Marek [1] to obtain strict monotonicity properties of the principal eigenvalue with respect to the different parameters of the transport equation. Partial Differential Equations Boundary conditions for nonlinear 2x2 hyperbolic Systems of conservation laws, Assia BENABDALLAH and Denis SERRE We study two types of boundary conditions for hyperbolic Systems of conservation
two types of boundary conditions for hyperbolic Systems of conservation laws. The first one comes from the viscosity method, the second from the resolution of the Riemann problem. Functional Analysis Simultaneous numerical range of an operator family on a Hilbert space, Gilles CASSIER We establish some convexity properties of the numerical range for a family of operators on a Hilbert space lying in a uniform dual algebra. Differential Geometry Two linear connections on hypersurfaces in a Banach space, Heikki HAAHTI and Seppo KINNUNEN Two linear torsionless connections V and D are naturally given on certain differentiable hypersurfaces M of a
are naturally given on certain differentiable hypersurfaces M of a reflexive Banach space E. The definition of these connections is based on the existence of a field P : M → L(E; E) of "projections of minimal distance" as well as on the associated field N of unit normals of Birkhoff-James, with Ker P(x) = {XN(x)|A.€R} (xeM). Topology Applications of a theorem of Frostman to the dimension of regular Cantor sets, Gérard MICHON Frostman's theorem for trees and modulus [1] is applied to ultrametric Cantor sets and in general to regular Cantor sets. We get, for these sets, equality for
regular Cantor sets. We get, for these sets, equality for the different dimensions usually considered. In this context we introduce the notion of presentation of a Cantor set. It is given by a tree and a modulus. Two examples enlighten the usefulness of this notion. Probability Theory A reflection principle for the Levy Brownian motion depending of three parameters, André GOLDMAN Let B(x), xeR 3, be a three parameters Levy Brownian motion. Denote by L(H+) and L(H−) the closed subspaces of L 2 spanned respectively by We prove that conditional on L(H+)nL(H−) the processes B(x), XEH and B(y), yeH− are
on L(H+)nL(H−) the processes B(x), XEH and B(y), yeH− are independent and identical in law, moreover the associated covariance function coincides with the Green function of the second kind for the bi-laplacian A1 defined on Hn. Some consequences of this result are mentioned. Numerical Analysis Finite element approximation of progressively incompressible flows, Patrick LE TALLEC and Michel RAVACHOL To avoid any numerical locking in the finite element approximation of viscoelastic flow problems, we propose a three-field finite element approximation of this problem. This approximation, which involves velocities, stresses, and pressures, is proved to converge for all times. Mathematical Problems in
is proved to converge for all times. Mathematical Problems in Mécaniques Two-phase widening of a vortex sheet in incompressible perfect fluid dynamics, Jean DUCHON and Raoul ROBERT We present a relaxed version of incompressible Euler equations, that permit foliated flows involving two velocities. These relaxed equations allow a two-phase evolution of some vortex sheets, as an alternative to discontinuous solutions of Euler equations. Nous montrons l'existence de fonctions f et g, de N dans l'ensemble des entiers premiers, qui sont (S, J)-définissables et telles que si, pour une seule fonction / ou g, et pour tout entier x, on sait
/ ou g, et pour tout entier x, on sait définir dans le langage (S, J) la somme x + (/x) ou le produit xg(x), alors on sait y définir toute l'arithmétique du premier ordre. Arithmetical definability from coprimeness and restrictions of addition or multiplication Abstract — We dénotons J_ le binary predicate of coprimeness (x±y signifie que x et y sont coprimaires), et S la successor function (S(x)=x+1). Nous montrons que il existe des fonctions f et g de N dans le set des premiers, qui sont (S, J)-définissables et telles que si, pour une seule fonction / ou
et telles que si, pour une seule fonction / ou g, et pour tout entier x, on sait définir dans le langage de (S, J) la somme x + (/x) ou le produit xg(x), alors on sait y définir toute l'arithmétique du premier ordre. INTRODUCTION. — Toute relation arithmétique est définissable par une formule du langage de l'addition et de la multiplication (K. Godel). Il est alors naturel de déterminer des familles de relations et fonctions arithmétiques à partir desquelles l'addition et la multiplication sont définissables au premier ordre. Une telle famille constituera un langage dit synonyme à celui de
telle famille constituera un langage dit synonyme à celui de l'arithmétique, ou synonyme au langage (+, •). La définissabilité a conduit M. Davis, H. Putnam, Y. Matiiassevitch et J. Robinson à la solution du 10ème problème de Hilbert (cf. [3]). Les premiers exemples de langages synonymes sont dus à A. Tarski (pour (S, •)) et J. Robinson (pour S, |), où | désigne le prédicat de divisibilité (cf. [14]). La recherche de tels langages est une préoccupation des théoriciens des modèles comme A. Ehrenfeucht et D. Jensen (cf. [6]). Les bons langages synonymes peuvent fournir de nouvelles axiomatisations de l'arithmétique
bons langages synonymes peuvent fournir de nouvelles axiomatisations de l'arithmétique du premier ordre : ainsi, on peut axiomatiser l'arithmétique comme théorie de deux ordres, < et | (cf. [2]). En [14], J. Robinson pose la question toujours ouverte de la définissabilité de l'arithmétique avec S et L. Par ailleurs A. Woods a montré (cf. [16]) que cette question est équivalente à la conjecture suivante (dite de Erdős-Woods) de théorie des nombres : il existe k_:2 tel que, pour tout x et tout y de N, l'égalité x=y est vraie si et seulement si x + 1 et y + 1
et seulement si x + 1 et y + 1 ont les mêmes diviseurs premiers pour tout i vérifiant Ggi^fe (cf. [16], [4], Problems B29 et B 35 de [5]). Cette double formulation d'une même question en logique et en théorie des nombres, permet de l'aborder avec les méthodes de chacune des disciplines : en [1], on trouvera des développements récents de la conjecture par R. Balasubramanian, T. N. Shorey et M. Waldschmidt ; en [7], M. Langevin fournit plusieurs méthodes d'approche du problème en théorie de nombres. L'investigation logique consiste à ajouter au langage constitué par S et L,
consiste à ajouter au langage constitué par S et L, les prédicats les plus faibles possibles tels que leur adjonction suffise à assurer la synonymie avec tout le langage de l'arithmétique. Actuellement, on sait déjà que cette définissabilité est obtenue en ajoutant l'un quelconque des symboles de fonction ou relation suivants : x<y (cf. [16]); C. R., 1987, 2e Semestre (T. 305) Série I 55 666 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 665-668, 1987 x+y=z (cf. [16] ou [13]); xy (cf. [14] ou [10]); y=mx, où m est un entier premier (cf. [11]); RES(x, p) qui
m est un entier premier (cf. [11]); RES(x, p) qui signifie que (x est résidu quadratique modulo le premier/?), ou enfin PUIS (y, x) qui signifie que (y est puissance de x) (cf. [12]). Nous allons montrer que l'adjonction de restrictions très limitées de l'addition ou de la multiplication suffit à compléter (S, L) en un langage synonyme de (+, •). 1. RÉSULTATS UTILISÉS. — Soient N l'ensemble des entiers naturels et PR celui des entiers premiers. Les fonctions et les relations habituelles de l'arithmétique sont désignées par les symboles usuels. Les symboles (syntaxe) de prédicats sont confondus avec ceux
usuels. Les symboles (syntaxe) de prédicats sont confondus avec ceux des relations (sémantique de N) qu'ils représentent. Ainsi, nous utiliserons PR(x) pour (x est premier), px pour désigner le x-ième entier premier avec p0 = 2 et p1 = 3, la notation p' pour nommer le plus petit nombre premier strictement plus grand que p, la relation a = b (mod ri), etc. L'ensemble des diviseurs premiers de x est appelé support de x et noté SUPP(x). Nous dirons />eSUPP(x) pour (PR(p) A n (plx)). Le théorème 1.1, dû à C. Stckmer (th. 9 de [15]) est ici essentiel; nous
C. Stckmer (th. 9 de [15]) est ici essentiel; nous avons prouvé le théorème 1. 3 en [11] et son corollaire en [9] (preuves résumées en [8] et [9]). THÉORÈME 1.1.— Soit E un ensemble de n entiers premiers distincts. Le nombre des entiers x tels que SUPP(x(x+1)) <= E est au plus 2". Par suite, pour un entier a fixé, l'ensemble ST(a) des entiers b tels que SUPP(a) = SUPP(b) et SUPP(a+1) = Supp(b+1) est lui aussi fini. THÉORÈME 1.2.— Soit un entier p premier fixé. Soient ®p et Qp les fonctions définies sur pNxp" par les identités p"
Qp les fonctions définies sur pNxp" par les identités p" ®ppb=pa+b et p" Qppb=pab. Les modèles <N; ®p; Op> et <N; + ; •) de l'arithmétique sont isomorphes. COROLLAIRE 1.3. — Le langage (S, ±, x—>5x) est synonyme du langage (+, •). THÉORÈME 1.4. — La restriction de toute relation ou fonction arithmétique à l'ensemble des primaires est (S, l)-définissable. 2. COPRIMARITÉ ET ADDITION. — La question de la synonymie de (+, J.) et de ( + , •) posée par J. Robinson (cf. [14]) a été résolue par elle-même (non publié), par A. Woods à l'aide du théorème de
(non publié), par A. Woods à l'aide du théorème de Schnirelmann (cf. [16]) et par l'auteur (cf. [13]). Notre preuve, obtenue par codage, indique dans quelle direction chercher les restrictions de l'addition utilisées au paragraphe 3. THÉORÈME 2. — Les langages (+, •) et (+, J.) sont synonymes. Preuve. — Dans (+, i. on définit x → px, puis codons xy par un produit de y entiers premiers qui sont fonctions de px, p2x, ... On a. On code d'abord l'ensemble D des couples (p, x) formés d'un premier p et d'un entier x tel que < x < p.
et d'un entier x tel que < x < p. Pour cela, à tout (p, x) de D, on associe le plus petit entier premier noté cp (p, x) congruent à x modulo p et à 1 modulo tous les premiers q < p : un tel cp (p, x) existe en vertu du théorème des restes chinois et du théorème de Dirichlet sur les progressions u (ri) = an + b, avec a et b premiers entre eux. La fonction cp est à la fois injective et indéfinissable. b. On considère, pour x > 0, l'entier c(x) produit pour
On considère, pour x > 0, l'entier c(x) produit pour 0 < i < x + 1 des cp (pb i+1); l'entier c (x) est aussi le plus petit y divisible par cp (3, 2) et tel que, pour tout p premier et tout entier k < x + 1, si < cp (p, k) divise y alors cp (p, k + 1) divise aussi y. La relation y = c(x) est indéfinissable. Par suite, pour x > 0, la relation p = px est indéfinissable puisqu'équivalente à < p (p, x + 1) divise c(x). c. Pour définir finalement
(p, x + 1) divise c(x). c. Pour définir finalement le produit xy cherché, on introduit le produit d (x, y) des cp (px, i + 1) pour 0 < i < j + 1. Alors d(x, y) est le plus petit entier t tel que < cp (px, 2) divise t, et pour tout premier pj et tout k < y + 1, si cp (pj, k) divise t alors < cp (pj + 1, k + 1) divise aussi t). L'égalité xy = z équivaut, pour x > 0 et y > 0, à cp (pr, y +
0 et y > 0, à cp (pr, y + 1) divise d(x, y). On peut définir d (x, y) dans ( + , - ), et donc aussi la multiplication : la synonymie cherchée en résulte. D 3. COPRIMARITÉ, SUCCÈSSEUR ET UNE RESTRICTION DE L'ADDITION ou DE LA MULTIPLICATION. — Nous n'avons pas utilisé toute la relation d'addition au paragraphe 2, mais seulement sa restriction à PR × N et l'ordre naturel. Le théorème cité de C. Sčirmer permet de restreindre l'addition à S et à la relation ternaire A (x, p, y) qui signifie (p est premier et
A (x, p, y) qui signifie (p est premier et x + p = y) : Fait 3.1. — Le langage L = (S, ±, A) est synonyme de (S, •). Preuve. — On définit dans L et à partir de ST(x), la réunion F des supports des y-z, pour tous les y, z distincts de ST(x). Pour y et p, les égalités SUPP(x + t + p + 1) = SUPP(y + p + 1 - t) avec z = 1 et i = 2 entraînent les inclusions SUPP(x + p + 1 + i) = Supp(y + p
+ p + 1 + i) = Supp(y + p + 1 - i) c F pour les mêmes i. Comme ST(x) est borné d'après le théorème 1.1, alors F l'est aussi et x est le seul y de ST(x) tel que SUPP(y + p + 1 + i) = SUPP(x + p + 1 + i) pour i = 1 et i = 2, et pour p premier assez grand. Par suite, 5X est l'unique u de 5N tel que, pour tout p premier, SUPP(x + p + 1) = SUPP(u + p + 1 + log5M), pour i
= SUPP(u + p + 1 + log5M), pour i = 1 et i = 2. Le théorème 1.4 montre que la relation (u e 5N et p est premier et ge SUPP(u + p + 1 + log5M) est indéfinissable par une formule Qt(u, p, q). On peut dès lors conclure en utilisant le théorème 1.3 et la L-définition de la fonction x → y = 5x donnée par la formule : Le théorème 2 est corollaire de 3.1, mais la preuve donnée au paragraphe 2 n'utilise pas les théorèmes 1.1 et 1.3, et la dernière définition obtenue n'est
théorèmes 1.1 et 1.3, et la dernière définition obtenue n'est pas récursive comme au paragraphe 2. Le prédicat PUIS est une restriction suffisante de la multiplication assurant la synonymie cherchée (cf. [12]). La restriction du produit à PR × N, notée PMULT(x, y), constituée par (p est premier et px = y) complète elle aussi le langage ( + , •): Fait 3.2. — Le langage (S, ±, PMULT) est synonyme de celui de l'arithmétique. L'analyse de 3.1 et 3.2 et le théorème 1.2 conduisent finalement au THÉORÈME 3.3. — Il existe des fonctions f et g de N dans
Il existe des fonctions f et g de N dans PR, qui sont (S, ±)-définissables, et telles que si R(y, x) est la relation (y = x + f(x)) ou la relation (y = xg(x)), alors le langage (S, ±, R) est synonyme de ( + , •). Preuve. — Soit x fixé; considérons dans le modèle interne <5N; ®5; ©5> défini au théorème 1.2, son ordre naturel interne © et l'ensemble 5ST {x), qui sont (S, ±)-définissables d'après le théorème 1.4. Soit encore F l'ensemble défini dans la preuve de 3.1. On peut (S, ±)-définir les ensembles 5F, 5PA
de 3.1. On peut (S, ±)-définir les ensembles 5F, 5PA (x) et 5PM (x) les deux derniers étant constitués des 5S où s est premier et vérifie y + STM Q 5F d'une part, et, d'autre part, des 5r où t est premier et vérifie 5r ST (x) © 5F. En vertu du théorème 1.4, les ensembles PA (x) et PM (x) sont (S, ±)-définissables. Les fonctions f et g définies par f(x) = Min(PA)(x) et g(x) = Min(PM(x)) conviennent. On conclut par des arguments similaires à ceux développés en 3.1. CONCLUSION. — Il suffit donc d'ajouter « très peu
3.1. CONCLUSION. — Il suffit donc d'ajouter « très peu » d'addition ou « très peu » de multiplication à (S, _L) pour y définir toute l'arithmétique puisque pour chaque x, il suffit de connaître la somme x + p ou le produit px pour l'un des entiers p appartenant à un ensemble de premiers (S, _L)-définissable. Il suffit même de moins encore car dans les preuves proposées, seuls sont utiles les supports de cette somme ou de ce produit. Il suffit finalement de savoir si un entier premier donné divise ou non la somme x + p ou le
divise ou non la somme x + p ou le produit px mentionnés. Au lieu du p premier précédent, on peut montrer que, pour tout premier q, il existe des entiers primaires qa qui sont (S, _L)-définissables à partir de x et conviennent aussi pour a assez grand. Note reçue le 11 mai 1987, acceptée le 21 septembre 1987. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [I] R. BALASUBRAMANIAN, T. N. SHOREY et M. WALDSCHMIDT, On the maximal length of two sequences of consecutive integers with the same prime divisors, Preprint. [2] P. CEGIELSKI, Axiomatisation de l'arithmétique avec l'ordre naturel et la divisibilité, Communication personnelle.
de l'arithmétique avec l'ordre naturel et la divisibilité, Communication personnelle. [3] M. DAVIS, Hilbert's tenth problem is unsolvable, Amer. Math. Monthly, 80, 1973, p. 233-269. [4] P. ERDŐS, How many pairs of products of consecutive integers have the same prime factors?, Amer. Math. Monthly, 87, 1982, p. 391-392. [5] R. K. GUY, Unsolved problems in number theory, Problem books in mathematics, 1, Springer-Verlag, 1981, p. 25-28. [6] D. JENSEN et A. EHRENFEUCHT, Some problems in elementary arithmetics, Fundamenta Mathematicae, XCII, 1976, p. 223-245. [7] M. LANGEVIN, Autour d'un problème d'Erdős et Woods, Preprint. [8] D. RICHARD, La théorie du successeur
et Woods, Preprint. [8] D. RICHARD, La théorie du successeur et de la coprimarité de N est indécidable, C.R. Acad. Sci. Paris, 294, série I, 1982, p. 143-145. [9] D. RICHARD, Les relations arithmétiques sur les primaires sont définissables par successeur et coprimarité, C.R. Acad. Sci. Paris, 299, série I, 1984, p. 795-798. [10] D. RICHARD, Answer to a problem raised by J. Robinson, The Journal of Symbolic Logic, 50, n° 4, décembre 1985, p. 135-143. [11] D. RICHARD, All arithmetical sets of powers of primes are first order definable in terms of the successor function and the coprimeness predicate,
in terms of the successor function and the coprimeness predicate, Journal of Discrète Mathematics, 53, 1985, p. 221-247. [12] D. RICHARD, Définissabilité de l'arithmétique par successeur, coprimarité et puissance, C.R. Acad. Sci. Paris, 300, série I, 1985, p. 415-418. [13] D. RICHARD, L'intuition-machine en codage logique, Actes du PRC Mathématiques et Informatique, 12-13 mars 1987 (Deuxièmes journées sur la logique et l'informatique, Bordeaux-1, U.E.R. de Math, et Info, et U.A. C.N.R.S. n° 226), B. Courcelles. [14] J. ROBINSON, Definability and decision problems in arithmetic, The Journal of Symbolic Logic, 14, n° 2, jun 1949, p. 98-114. [15] C. STORMER, Quelques
n° 2, jun 1949, p. 98-114. [15] C. STORMER, Quelques théorèmes sur l'équation de Pell x^2 - dy^2 = + 1, Skrifter Videnskabs-selskabet (Christiana), I, Mat.-Naturv. Kl., 1887, n° 2, p. 3-48. [16] A. WOODS, Some problems in logic and number theory and their connections, Thesis, University of Manchester, 1981, p. 51-70 et 121-122. Institut de Mathématiques et Informatique, Bâtiment Doyen Jean-Braconnier, Université Claude-Bernard Lyon-I, 43, boulevard du 11-Novembre-1918, 69622 Villeurbanne Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 669-672, 1987 669 Analyse mathématique/Mat/iemattca/ Analysis Quelques inégalités isopérimétriques pour le problème de Stefan Björn GUSTAFSSON et Jacqueline
isopérimétriques pour le problème de Stefan Björn GUSTAFSSON et Jacqueline MOSSINO Résumé — Nous comparons la solution faible (8, h) du problème de Stefan dans un domaine a x (0, T) (où m est une couronne) avec celle du problème « symétrisé » (©, H) dans n x (0, T), où £î est une couronne symétrique de même mesure que co. Pour le problème de Stefan à une phase —8^0, he(—ex, 0) là où 8 = 0— nous montrons en particulier que le « volume de glace » (mes {h(t)= —a}) est maximal en symétrie de révolution (avec donnée initiale
—a}) est maximal en symétrie de révolution (avec donnée initiale décroissante le long . du rayon). Some isoperimetric inequalities for the Stefan problem Abstract — We compare the weak solution (8, h) of the Stefan problem in some annular domain CD x (0, T), with the weak solution (©, H) of the "symmetrized" problem, in il x (0, T), where Q is a symmetrical annulus having the same measure as to. For the one-phase Stefan problem —82:0, he(—a, 0) when 8=0 — we show, in particular, that the "volume of ice" (mes {h(t)=— a}) remains greatest in spherical symmetry (with
ice" (mes {h(t)=— a}) remains greatest in spherical symmetry (with initial data decreasing along the radii). 1. INTRODUCTION ET PRINCIPAUX RÉSULTATS. — Le problème de Stefan considéré ici consiste à trouver un couple (8, h) de fonctions définies sur q = co x (0, T), qui vérifient (dans un sens faible) où: CO=CO0CD1; co0, CÛJ ouverts connexes, bornés, réguliers de RN, «^ccoo, y0 = 3co0, où al5 oc2, a sont des constantes positives, Xe[0, 1] [X=0 (ou 1) pour le problème de Stefan à une phase, 0<>,<1 pour le problème à deux phases]; h0ea(Q0) pour une fonction 0O de <£°
à deux phases]; h0ea(Q0) pour une fonction 0O de <£° (co) n H1 (co), Ce problème modélise la fonte d'un solide : 9 représente la température, l'ensemble {/i^0} représente la région occupée par le liquide, et l'ensemble {h^—a} représente la région occupée par le solide ({ — <x <h<0} correspond à un « nuage » séparant les états solide et liquide). L'existence et l'unicité de la solution faible (pour N^l) a été prouvée par A. Friedman ([3], [4]), qui généralisait un résultat de S. L. Kamenomostskaja [5] : (0, h) est la solution faible de (1.1) si et seulement si
est la solution faible de (1.1) si et seulement si Note présentée par Jacques-Louis LIONS. 0249-6291/87/03050669 S 2.00 © Académie des Sciences 670 C. R. Acad. Sci. Paris, t. 305, Série I, p. 669-672, 1987 pour toute « fonction test » cp telle que cp, <px., cp^., cp, sont continues dans q, et cp=0 sur { T} x co U o La solution faible est obtenue comme limite (e->0) des solutions (0e, he), hs=as(Q^), de où htQ est « régulier », hZQ -+ h0 dans L1 (co) quand 8 -* 0, et où ae est univoque, continue, et strictement croissante,
0, et où ae est univoque, continue, et strictement croissante, bE=a~ 1 converge uniformément vers b=a~1, b'£^c, constante indépendante de s. Dans cette Note, nous donnons des inégalités isopérimétriques pour la solution faible (0, h) de (1.1). Elles se déduisent toutes d'une inégalité isopérimétrique [(1.7)e ci-dessous] satisfaite par (0£, he) solution de (1.1)£. Pour l'équation des milieux poreux, qui est similaire à (1.1)„ avec y connexe, 0 constante sur y, une inégalité isopérimétrique du même type a été obtenue par J. L. Vazquez [8], au moyen d'une approche elliptique. Notre démonstration est fondée sur les techniques paraboliques développées dans [7].
démonstration est fondée sur les techniques paraboliques développées dans [7]. Plus précisément, considérons les problèmes « symétrisés » (1.1), (1-1)E, qui sont obtenus à partir de (1.1), (1.1)E en remplaçant q par Q=Qx(0, T), co est remplacé par Q=n0Ql5 où Qj (/ = 0,1) sont des boules de RN centrées à l'origine, de mêmes mesures que (ÙJ, rj=dQ. j, h0 est remplacée par son réarrangement h0 défini sur Q, qui décroît selon les longues des rayons (pN est la mesure de la boule unité de RN, | E| la mesure de E), Soit (0, H) la solution (faible) de (1.1),
de E), Soit (0, H) la solution (faible) de (1.1), et soit (0E, HE) la solution de (1.1)E. Nous montrons d'abord l'inégalité isopérimétrique (pour tous (s, t) dans q^ = co,,. x [0, T] = [0, | co | ] x [0, T]). Nous en déduisons (pour tous s e co^, et presque tout t dans (0, T)), Dans (1.7) à (1.9), si par exemple dQ/dn'est pas dans L1(a1), (dQ/dy)dydi est défini comme où cp est une fonction quelconque de H1(co) satisfaisant cp=g sur y [on montre que l'expression (1.10) est indépendante du choix de cp], et Dans le cas
est indépendante du choix de cp], et Dans le cas particulier du problème à une phase [avec A2=0 dans (1.2)], définissons l'instant où « la phase liquide atteint y0 (resp. ro) » par Nous montrons que pour toute fonction O concave, croissante. Ceci implique pour tout réel |3, et tout p dans [1, co], Remarque. — Les inégalités (1.13) à (1.17) confirment l'idée intuitive que, parmi toutes les couronnes co=co0co1, avec co0, cot de mesures données, et toutes les données initiales h0 équimétriques, « la glace fond le moins vite possible » dans le domaine symétrisé, avec h0 symétrisé (H0=H0