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on peut choisir ici t de façon que, inversement, t soit une fonction rationnelle de x et y. La courbe est coupée en général en n points distincts par une droite ax + by + c = 0 quelconque; /2 sont des polynomes en t, de degré au plus égal à n, dont l'un au moins est de degré n, et qui n'ont pas de diviseur commun. II. Donnons-nous les équations d'une courbe C sous la forme (2), où nous savons seulement que f1, f3 sont des polynomes en t de degré au plus égal à n, qui n'ont pas
de degré au plus égal à n, qui n'ont pas de diviseur commun, et dont l'un au moins est de degré n. À chaque valeur de t correspond un point unique de C; mais il n'y a forcément réciprocité, c'est-à-dire à chaque point de C il ne correspond en général qu'une valeur unique de t, que si C est coupé en n points distincts par une droite convenable ax + by + c = 0. Car, quand on suppose que cette dernière propriété a lieu, on peut montrer que l'équation cartésienne f(x, y) = 0 de C est de degré
cartésienne f(x, y) = 0 de C est de degré n, indécomposable, et de genre 0, et que t est une fonction rationnelle de x et y. En effet, soit C, la perspective de C, prise d'un point de vue M (en dehors du plan de C), sur un plan P donné; C et C, sont simultanément indécomposables ou décomposables, ont le même nombre de points doubles, et sont de même degré; les coordonnées x, y, de C, dans son plan ont des expressions de la forme (2) avec le même degré maximum n. Soit D une droite coupant C
même degré maximum n. Soit D une droite coupant C en n points distincts, et P parallèle au plan de M et de D C, aura n asymptotes distinctes; si de plus l'origine des coordonnées pour C, correspond à t = 0, en ce qui concerne C, le polynôme est de degré n, les polynomes f1, f3 sont de degrés plus petits (1). Dans ces conditions, on peut vérifier i° Que C, est indécomposable; en effet, supposons que C, comprenne une partie au moins d'une courbe algébrique F, indécomposable, d'équation F2 = 0; cette dernière contient une infinité de points
F2 = 0; cette dernière contient une infinité de points de C, pour ceux-ci, cette dernière relation a donc lieu identiquement, d'après les propriétés des polynomes entiers, en sorte que F, contient C, et, par suite, étant indécomposable, coïncide avec C. r, ayant n asymptotes distinctes est de degré n; toute droite a, X, -fb, y, + c, = o, quelle qu'elle soit, coupe F, en n points, en général distincts, correspondant aux valeurs de t racines de o, /2 -f&<,+ c, = o. La courbe C, est donc indécomposable et de degré n. 2° Que C, a effectivement n
et de degré n. 2° Que C, a effectivement n points doubles (y compris les rebroussements). L'équation cartésienne F (x, y) = o de C, est donc de degré n, indécomposable et de genre o; t est de plus une fonction rationnelle de X, y, par suite de x, y, fonction que l'on calcule, d'après les expressions du type (2) de x, y, par les méthodes de l'élimination. La courbe C jouit évidemment des mêmes propriétés, car à chaque point de C correspond un point de C,, et réciproquement. Supposons au contraire que C ne soit coupée en n points
au contraire que C ne soit coupée en n points distincts par aucune droite ax + by + c = o une droite ayant cette équation coupe C en q points distincts, avec q < n; il nous suffira pour la suite de montrer que chaque branche de la courbe est multiple, et au moins double. On peut l'établir de plusieurs manières; en voici une l'équation aux paramètres des points d'intersection est de degré n et a en général n racines finies; deux au moins d'entre elles t, u devront donner le même point x, y; je dis que t,
donner le même point x, y; je dis que t, u sont en général distincts. Sinon, en effet, on aurait pour une infinité continue de valeurs de t, quels que soient corrélativement a, b, c, satisfaisant à (3), et en même temps que (3), (1) HUMBERT, Cours d'Analyse de l'École Polytechnique, Ire année. On voit aussitôt que, pour une quelconque de ces valeurs de t, tout système a, b, c satisfaisant à la première équation vérifie en général la deuxième; donc avec À, [jl constants, ce qui est absurde. Si alors on envisage l'équation algébrique È de degré minimum en
alors on envisage l'équation algébrique È de degré minimum en t qu'on peut déduire de (2) par les méthodes de l'élimination, et qui donne les valeurs de t correspondant à un même point x, y, cette équation est de degré v > 1, et ses racines sont en général distinctes; par conséquent, à chaque point de la courbe C correspondent plusieurs valeurs distinctes de t chaque branche de la courbe est donc multiple. On sait (1) que, dans ce cas, on peut introduire un nouveau paramètre 0 fonction rationnelle de t de degré v, à chaque valeur duquel correspondent v
t de degré v, à chaque valeur duquel correspondent v valeurs de t, et tel que x et y s'expriment en fonction rationnelle de 6, et réciproquement. Supposons que C comprenne une partie au moins d'une courbe algébrique F indécomposable, et d'équation F, = o; on a encore pour les points correspondants et cette relation a, dès lors, lieu identiquement; c'est-à-dire que C coïncide avec F, en ce sens que tout point de C est sur F, et réciproquement. Soit n' le degré de l; la droite ax by + c = o coupant cette courbe en n' points en
c = o coupant cette courbe en n' points en général distincts, et correspondant par suite à des valeurs de t distinctes, on a n' < n (2). Exemple (1) LUROTH, Math. Ann., t. IX, p. 16. (2) On a même n = vn, car à tout point de r correspond en général v valeurs distinctes de t. On en conclut qu'une courbe algébrique C indécomposable de degré d ne peut avoir plus de d2 points rationnels (dans un certain domaine de rationalité) sans avoir tous ses coefficients rationnels (dans le même domaine) à un facteur constant près. En effet,
le même domaine) à un facteur constant près. En effet, si C a d2 points rationnels, on peut faire passer par ces points, d'après le même raisonnement que tout à l'heure, une courbe ou une famille de courbes de degré d; il n'y a pas deux courbes de degré d, dont C, passant par ces points, puisque C est indécomposable car elles auraient plus de d? points d'intersection, sans coïncider ou avoir une branche commune; on aura donc k = 0, et l'équation de C est par suite a ses coefficients rationnels. Supposons d = n – 2, et que
coefficients rationnels. Supposons d = n – 2, et que Crt_2 soit la plus générale passant par les points doubles de la courbe unicursale indécomposable (i). On a ce nombre est exactement n – 1, en sorte que k = 1 en effet, C,2 a, en dehors des points doubles de (i), n (n – 2) – (n – 1) (n – 1) = n – 2 points d'intersection communs avec (1); si l'on avait k<^l, on pourrait faire passer Cn_2 par n 1 points de (i) autres que les points doubles, ce qui est impossible. Mais alors, puisque k
points doubles, ce qui est impossible. Mais alors, puisque k = 1, les coefficients des cp, sont des fonctions symétriques des coordonnées des points doubles, c'est-à-dire des fonctions rationnelles des coefficients de (i). Soit l'équation d'une courbe algébrique de degré n à coefficients rationnels (dans un certain domaine de rationalité) et dont on veut chercher les points rationnels, c'est-à-dire les points tels que x et y soient rationnels. On peut toujours supposer F (x, y) irréductible, c'est-à-dire que F n'est pas le produit de deux polynomes analogues de degré < n, coefficients rationnels, sans quoi on décomposerait F en un
n, coefficients rationnels, sans quoi on décomposerait F en un produit de facteurs irréductibles dont on étudierait les points rationnels. F étant irréductible, la courbe (7) peut néanmoins être décomposable, c'est-à-dire que F peut être le produit de q polynomes indécomposables, chacun de degré plus petit, et dont les coefficients ne sont pas tous rationnels (même après multiplication du polynome par un facteur constant) exemple dans le domaine des nombres naturels. Cette circonstance ne peut se présenter que quand la courbe (7) a moins de n2 points rationnels. En effet, si elle a lieu, soit Fi un des q polynomes
si elle a lieu, soit Fi un des q polynomes F1, Fq, de degré n; F étant irréductible, Fi n'a pas plus de n points rationnels (III, a); F n'en a pas plus de n. En particulier, quand on veut étudier si la courbe (7) a une infinité de points rationnels, on peut toujours supposer que cette courbe est indécomposable, et, a fortiori, irréductible. V. Envisageons alors la courbe (i) ou C du n° I, qu'on admet être indécomposable et de genre 0, en supposant rationnels les coefficients, et n > 2. D'après (III, b), l'équation générale des adjoints C
> 2. D'après (III, b), l'équation générale des adjoints C de degré n – 2 de C2 est de la forme où les α sont des polynomes en x, y de degré n – 2 à coefficients rationnels, linéairement indépendants. Si la courbe C a n 3 points simples rationnels (c'est-à-dire à coordonnées rationnelles), et si nous assujettissons la courbe Cn_2 à passer par eux, les points d'intersection de C et Cn_2 autres que les pivots, c'est-à-dire que ces n 3 points simples et les points doubles sont au nombre de La courbe Cn_2 ne devra plus renfermer, d'une manière
de La courbe Cn_2 ne devra plus renfermer, d'une manière homogène et linéaire, que deux paramètres; par suite la condition que la courbe (8) passe par les n 3 points simples rationnels précités détermine n 3 des coefficients a, an_, en fonction linéaire homogène à coefficients rationnels des deux autres, et l'équation de Cn_2 devient où Ao, X2 sont des paramètres, α, β des polynomes en x, y, de degré n – 2, à coefficients rationnels. Posant les coordonnées x et y d'un point quelconque de (i) s'expriment en fonction rationnelle de t sous la forme ces équations sont du
rationnelle de t sous la forme ces équations sont du type des équations (2), mais les polynomes f, f3, qui n'ont pas de diviseur commun, ont leurs coefficients rationnels; on va de plus vérifier que ces polynomes sont de degré n, l'un au moins étant de degré n. En effet, la droite ax + by + c = 0 coupe en général la courbe indécomposable (i) en n points distincts; les valeurs de t correspondant aux points d'intersection sont données par l'équation un des trois polynomes f, f3 au moins est donc de degré > n. Si l'un d'eux était
est donc de degré > n. Si l'un d'eux était de degré n' > n, la courbe (2 bis), qui coïncide alors avec C, se trouverait dans le second des cas examinés au n° II il y aurait, sur C une infinité continue de points x, y à chacun desquels correspondraient deux valeurs distinctes de t, contrairement à la formule (10); par suite aucun des polynomes f2, n'est de degré > n, et l'un au moins est de degré n. D'après les relations (10) et (2 bis), à tout point simple rationnel de la courbe (1) (à distance finie) correspond
simple rationnel de la courbe (1) (à distance finie) correspond une valeur rationnelle de t (ou t = ± ao ), et, inversement, à toute valeur rationnelle de t autre que celles qui annulent f2(t) correspond un point rationnel de la courbe (1) (à distance finie). Par conséquent, dans le cas ici traité RÈGLE. A un nombre limité d'exceptions près dues, le cas échéant, aux points doubles, on obtient tous les points rationnels, à distance finie, de la courbe (1) en donnant à t dans les équations (2 bis) toutes les valeurs rationnelles possibles, et, éventuellement, la valeur t =
les valeurs rationnelles possibles, et, éventuellement, la valeur t = ±∞. Nous avons supposé a priori que la courbe (i) avait n-3 points simples rationnels mais cette hypothèse est, comme on sait, toujours vérifiée quand n est impair (x) les formules (2 bis) s'appliquent donc toujours dans ce cas. Dès lors, la courbe C du n° V, ou bien a une infinité de points rationnels, ou bien, ce qui exige n pair, en a au plus n – 4 en dehors des points doubles. Il peut arriver que la courbe unicursale C soit donnée directement par des équations, que nous
unicursale C soit donnée directement par des équations, que nous appellerons (2 ter), pour abréger, de la forme (2), avec les conditions du début du n° II, C étant supposée coupée en n points distincts par une droite convenable ax + by + c = 0, et les coefficients des fi étant rationnels à tout point simple de C correspond une valeur unique de t que les équations (2 ter) permettent de calculer en fonction rationnelle de x et y (2). Les points rationnels de C s'obtiennent alors par la même règle que ci-dessus, où les équations (2 bis) sont
même règle que ci-dessus, où les équations (2 bis) sont remplacées par les équations (2 ter) ils sont nécessairement en nombre infini. VI. Tout étant posé comme au n° V, et le domaine de rationalité étant à l'avenir celui des nombres ordinaires ou naturels, nous allons examiner maintenant comment on pourrait trouver les points entiers de C, c'est-à-dire résoudre en nombres entiers x, y l'équation (1) de C, les formules (2 bis) ou (2 ter) étant supposées applicables (3). D'après la règle précédente, chacun des points entiers de (1) autres que les points doubles, et, éventuellement, les points t =
que les points doubles, et, éventuellement, les points t = ±∞, correspondra à une valeur rationnelle de t, t_1-, où p et q sont des nombres entiers premiers entre eux, avec q > 0. On aura, pour une pareille valeur de t, où /,(/), q est une fonction homogène et de degré n de p et q; une des fonctions /;(p, q) au moins est effectivement de degré n en p, et une aussi de degré n en q; car un des polynomes f,(t) est effectivement de degré n, et un aussi a un terme indépendant de t, puisque les
un aussi a un terme indépendant de t, puisque les /,(t) n'ont pas de facteur commun. Formons les plus grands communs diviseurs algébriques H(a(f)) de f2(t), /3(t), l.(t) de f1(t), f2(t), en supposant entiers, ce qui est permis, les coefficients. Picard, Traité d'Analyse, t. II, 1893, p. 000. – Hilbert et Hunyuku, Journal für Mathematik (Crelle), loc. cit. Poincaré, Journal de Mathématiques (Jordan), loc. cit. Voir aussi plus loin, n° X. Les paramètres de (2 bis) et (2 ter) sont liés par une relation homographique. On pourra vérifier au fur et à mesure que les considérations des nos I à
et à mesure que les considérations des nos I à XI sont valables, avec des simplifications, quand le degré de C est n = 2, les formules (2 bis), (2 ter) et leurs conséquences s'appliquant si la conique correspondant à ce cas a un point rationnel. On pourra écrire, où A1(t), A2(t), B1(t), B2(t) sont des polynômes à coefficients entiers de degré ni au plus (n). Si on suppose R1(p, q) homogène en p, q et de même degré que R2(f), avec R2(0) et R3(f) sont premiers entre eux, en sorte que l'un d'eux a un terme A indépendant de
sorte que l'un d'eux a un terme A indépendant de t. On a, d'après (2 bis) ou (2 ter), ces valeurs de x, y sont rationnelles; pour qu'elles soient entières, il faudra et il suffira que l1(p, q) divise les f1(p, q), f2(p, q) (i = 1, 2, 3) donc aussi il faudra que f1(p, q) divise les seconds membres des équations (12) et leur pgcd. Soit alors D le pgcd des nombres R2(p, q) et R3(p, q) f1(p, q) divise D, où m1 est le plus grand des nombres m2, m3. Ceci posé, on peut déterminer deux polynômes C1(t),
m2, m3. Ceci posé, on peut déterminer deux polynômes C1(t), C2(f) à coefficients entiers et de degrés respectifs au plus égaux à d1, d2, d3 tels que 1 j (1) Les raisonnements restent identiquement les mêmes, que le degré de ces polynômes soit exactement n – 1, ou que les coefficients de t1n dans certains d'entre eux soient nuls. Les calculs se simplifient quand f1(t) est premier à un des polynômes f2(t), f3(t). A est un entier, fonction rationnelle des coefficients entiers des Ci et Ri, c'est-à-dire des coefficients des D divise par suite Agn, et f1(p, q) divise A
D divise par suite Agn, et f1(p, q) divise A qn, où Nous distinguerons deux cas. Premier cas a0 n'est pas nul. Le plus grand commun diviseur des nombres f1(p, q) et q divise a0, donc ao, car p est premier à q; soit a0 ce diviseur, q = aoq1, a0 = aon. q1 et q2 sont premiers entre eux; on a 0 = ao et ce nombre divise – – =Agn a; l' par suite A agn f1(p,q) divise a0 et A agn, où m3 = n – 3. Finalement, p, q est une solution en entiers d'une équation
Finalement, p, q est une solution en entiers d'une équation indéterminée où B divise Ao2, c'est-à-dire est limité supérieurement en fonction de n et des coefficients des Les nombres B et les équations (13) sont en nombre fini pour la courbe C; en particulier, celle-ci ne pourra avoir une infinité de points entiers que si l'une au moins de ces équations (13) a une infinité de solutions en entiers c'est là un résultat essentiel. Deuxième cas a0 est nul. f2(t) ou f3(t) est effectivement de degré n; soit par exemple e0 = 0. On a q divise (p, q), par
e0 = 0. On a q divise (p, q), par suite f2 (p, q), b0p et b0; q n'a qu'un nombre limité de valeurs possibles et (p, q) divise A qn et A bn p, q est encore solution en entiers d'une équation indéterminée de la forme (13), où B = B'q divise A bn les équations sont en nombre limité; mais ici, pour chacune d'elles, q n'a qu'un nombre limité de valeurs possibles, et il en est de même de p lorsque a1, an, ne sont pas tous nuls, c'est-à-dire quand n1 > 0, n2 étant le degré de
c'est-à-dire quand n1 > 0, n2 étant le degré de (t). On voit en particulier que, lorsque 0 < n1 < n2, c'est-à-dire quand les points t = ±1 sont à l'infini et que n2 > 0, la courbe C n'a qu'un nombre fini de points entiers. Remarque. En posant on peut encore distinguer les deux cas où an=0 et où an=0. Si an=0, p n'a qu'un nombre limité de valeurs, car il divise bn et cn. Dès lors, quand a0 = an=0, c'est-à-dire quand f1(t) est de degré n et contient t en facteur, on peut trouver simplement, même
et contient t en facteur, on peut trouver simplement, même sans intervention de l'équation f1(p, q) =±B, des limites supérieures de |p| et q la détermination des points entiers se fait rapidement. Nous distinguerons maintenant trois cas. Premier cas n1 = 0. f1(t) se réduit à une constante; dans ce cas il peut arriver que C ait une infinité de points entiers (voir plus loin nos VIII et XI). Deuxième cas n1 étant > 0, f1(t) est irréductible. L'équation (13) n'a, pour chaque valeur de B, qu'un nombre fini de solutions acceptables en entiers, soit pour n1 < n d'après
solutions acceptables en entiers, soit pour n1 < n d'après ce qui précède, soit pour n2 = n3=1, comme on le voit de suite, si les racines de f1(t) sont imaginaires, ou d'après un théorème connu, si l'une d'elles est réelle et n1 = n32. Troisième cas n1 étant > 0, (t) est réductible. – f1(x, y) est un produit de facteurs irréductibles, distincts ou non, à coefficients entiers, chacune des équations (13) peut être remplacée par un nombre limité de systèmes où Bp, Bq sont des entiers positifs assujettis à la seule condition que leur produit soit égal à
à la seule condition que leur produit soit égal à B. Nous allons voir qu'en général le nombre des solutions acceptables p, q en nombres entiers des équations (13 bis) est fini. En effet, on sait que, si \(n, < n\), les équations (13) et (13 bis) n'ont qu'un nombre limité de solutions acceptables en entiers. Quand \(n, = n\), il en sera de même, d'après le théorème précité (Thue), sauf peut-être si \(g_1, g_2\) sont de degrés 1 ou 2 encore dans ce cas ne peut-il y avoir une infinité de points entiers sur \(C\) que si \(g_1, g_2\)
infinité de points entiers sur \(C\) que si \(g_1, g_2\) coïncident à un facteur rationnel près, comme on va le montrer. Soit en effet si ces deux droites ont une infinité de points entiers communs, elles coïncident, et De même, si \(g_1 = M_1 x + N_2 xy + P_3 y^2\), où \(N^2 - 4 M P\) n'est pas carré parfait, puisque \(g_1\) est irréductible, et si \(g_2\) est de même forme, \(g_1\) et \(g_2\) ne diffèrent que par un facteur constant rationnel quand les deux coniques \(g_1 = \pm B_1\), \(g_2 = \pm B_2\) ont une infinité de points
B_1\), \(g_2 = \pm B_2\) ont une infinité de points entiers communs. Enfin il ne peut arriver que l'un des facteurs \(g_1\) soit du premier degré, et un autre \(g_2\) du deuxième et irréductible, car la droite \(g_1 = \pm B_1\) ferait partie de la conique \(g_2 = \pm B_2\), et \(g_2\) ne serait pas irréductible. En particulier, on voit que, lorsque \(C\) a une infinité de points entiers, \((x, y)\) est ou bien une constante, ou bien, à un facteur entier constant près, une puissance \(n^{ème}\) d'un polynôme du premier degré à coefficients entiers, On peut le vérifier de
premier degré à coefficients entiers, On peut le vérifier de façon à réduire l'usage du théorème de Thue. Supposons que deux des polynômes \(g_1, g_2\), par exemple \(g_1, g_2\) soient distincts, même après multiplication de l'un d'eux par un facteur constant. Le plus grand commun diviseur de \(g_1\) et \(g_2\) a ses coefficients rationnels, et se réduit dès lors à une constante; les deux courbes \(g_1 = \pm B_1\), \(g_2 = \pm B_2\) n'ont donc qu'un nombre limité de points communs. Par suite, le nombre des solutions communes aux équations (13 bis), et, a fortiori, le nombre des solutions en
(13 bis), et, a fortiori, le nombre des solutions en entiers \(p, q\) de celles-ci et de (13), est fini lorsque \(\psi(x, y)\) n'est pas à un facteur constant près la puissance \(n^{ème}\) (\(p > 1\)) d'un polynôme irréductible à coefficients entiers, c'est-à-dire quand on n'a pas même dans ce cas, \(g_1 = \pm B_1\) a encore un nombre fini de solutions si cette courbe n'a que des asymptotes imaginaires, ou si une asymptote est réelle, d'après le théorème précité de Thue, et que le degré de \(g_1\) n'est pas 1 ou 2. Enfin, d'après le deuxième cas du n°
1 ou 2. Enfin, d'après le deuxième cas du n° VI, le nombre des solutions acceptables en entiers \(p, q\) de \(A' g_1^2 = \pm B_1\) est encore fini quand \(n < n\). Dans chaque cas particulier, la combinaison de toutes ces remarques permettra souvent d'abréger les opérations nécessaires pour trouver la solution complète de l'équation (1). les équations (2 bis) et (2 ter), avec la première forme de \(f(t)\), deviennent où \(J_2(m)\), \(J_3(u)\) sont des polynômes en \(u\) à coefficients entiers de degré \(n\) au plus, l'un étant de degré \(n\); ces équations sont du type de celles qui
degré \(n\); ces équations sont du type de celles qui correspondent à la deuxième forme de \(t\). Inversement, avec cette deuxième forme, où l'on remplace \(t\) par \(u\), le même changement de variables ramène à la première forme d'ailleurs, à toute valeur rationnelle de \(t\) correspond une valeur rationnelle de \(u\), et réciproquement. On voit de même facilement, quand \(f(t)\) est de la forme (15), que les équations (2 bis) et (2 ter) deviennent On conclut ainsi, en particulier, que, si l'on choisit convenablement le paramètre \(t\), les équations (2 bis) des courbes unicursales indécomposables de degré \(n\) à coefficients
bis) des courbes unicursales indécomposables de degré \(n\) à coefficients entiers ayant une infinité de points entiers peuvent se mettre sous une forme telle que l'on ait ou bien le second cas, où l'entier \(n\) n'est pas carré parfait, n'étant possible que pour les valeurs paires de \(n\). Quand on se trouvera en présence d'une courbe unicursale (2 bis) ou (2 ter) remplissant les conditions du théorème précédent, une discussion complémentaire restera nécessaire pour savoir si cette courbe a ou non une infinité de points entiers \(x\), \(y\). Dans un certain nombre de cas la réponse sera probablement assez facile,
certain nombre de cas la réponse sera probablement assez facile, comme dans les exemples précités (n° VIII). Nous allons montrer ci-après comment on peut, par un nombre fini d'opérations, trouver les points entiers d'une courbe unicursale indécomposable \(C\) donnée, soit par son équation (1), soit par ses équations (2 bis) ou (2 ter), lorsque ces dernières sont applicables. X. D'après ce qu'on a vu au n° V, l'utilisation des formules (2 bis), à coefficients rationnels, est permise, pour la recherche des points entiers de à coefficients rationnels par rapport aux coefficients de l'équation (1) de la courbe \(C\) de genre