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de la lettre et de sa clef où cette somme diminuée de 26, ce qui rend le système indéchiffrable. Des tableaux joints à la brochure rendent la technique extrêmement rapide. Annuaire pour l’an 1892, publié par le Bureau des Longitudes. Gauthier-Villars et fils, Éditeurs, Paris. Prix 1 fr. 50 c. Outre les renseignements pratiques qu’il contient chaque année, l'Annuaire renferme des articles dus à des savants sur les Monnaies, la Statistique, la Géographie, la Minéralogie, etc., et plusieurs Notices scientifiques. Le Gérant : E. LEHON. Sixième Année. — N° 5. 20 Février 1892. BULLETIN SCIENTIFIQUE QUESTIONS PROPOSÉES CLASSE DE QUATRIÈME,
20 Février 1892. BULLETIN SCIENTIFIQUE QUESTIONS PROPOSÉES CLASSE DE QUATRIÈME, E. MODERNE 558. — Étant données dans un plan deux figures symétriques par rapport à une droite de ce plan, démontrer que, si on les déplace séparément dans leur plan, d’une façon quelconque, les milieux des droites qui joignent les points correspondants sont en ligne droite. E. DORLET, Professeur agrégé au Lycée de Montluçon. CLASSE DE TROISIÈME, E. MODERNE 559. — Compléter un quadrilatère ABCD inscrit à un cercle, et trouver la valeur de sa troisième diagonale en fonction de ses côtés. — On désignera les côtés AB, BC, CD,
ses côtés. — On désignera les côtés AB, BC, CD, DA par a, b, c, d, les diagonales AC et BD par e et e’, la diagonale demandée EF par f. 560. — On fait passer dans l'éudiomètre 200 cm³ de protoxyde d'azote et 300 cm³ d’hydrogène. Après le passage de l’étincelle il reste 300 cm³ de gaz. On ajoute 100 cm³ d'oxygène, et on fait passer de nouveau l’étincelle ; on obtient un résidu de 250 cm³. — Déduire de ces données la composition en volume de protoxyde d'azote. (Concours d’admission à l’École centrale, en 1884.) CLASSE DE SECONDE,
(Concours d’admission à l’École centrale, en 1884.) CLASSE DE SECONDE, E. MODERNE 561. — Démontrer que dans un tétraèdre à faces égales, chacune des droites joignant les milieux de deux arêtes opposées est la perpendiculaire commune à ces deux arêtes, et que les trois droites en question sont trirectangulaires. En déduire l’expression du volume du tétraèdre en fonction des trois longueurs d'arêtes, supposées données. J. MONSALLUT, Professeur de Mathématiques (E. moderne) au Lycée de Tulle. 562. — On traite 120 g de carbonate de chaux par une quantité suffisante d’acide sulfurique. Le gaz sec qui s’en dégage est recueilli en
sulfurique. Le gaz sec qui s’en dégage est recueilli en entier dans un récipient de 5 litres, hermétiquement fermé, contenant 2 litres d’eau, et au-dessus un espace vide de 3 litres. Une partie du gaz se dissout, une autre partie se loge dans l’espace libre. On demande d’en déterminer la pression. On donne : densité de l’acide carbonique, 1,53; poids normal du litre d’air, 1, r3; poids atomique du calcium, 40, équivalent, 20; poids atomique de l’oxygène, 16, équivalent, 8; poids atomique du carbone, 12, équivalent, 6; coefficient de solubilité de l’acide carbonique, 1,25. (Baccalauréat de l’Enseignement spécial, Lyon, 9
de l’acide carbonique, 1,25. (Baccalauréat de l’Enseignement spécial, Lyon, 9 août 1891. VI. a) CLASSE DE PREMIÈRE, E. MODERNE 563. — Géométrie descriptive. — Un triangle équilatéral de 8 m de côté, tracé dans un plan horizontal de projection, sert de base à une pyramide dont les arêtes inclinées sur ce plan ont une même longueur, égale à 11 m. On circonscrit une sphère à cette pyramide et on coupe cette sphère par un plan passant par son centre et par l’un des côtés du triangle de base de la pyramide. Construire l'ellipse projection horizontale de la sphère ainsi obtenue.
pyramide. Construire l'ellipse projection horizontale de la sphère ainsi obtenue. — Construction de la tangente en un point de cette ellipse. Concours d'admission à l'Institut agronomique, 11 octobre 1801 ; — 3 h.) 564. — Un corps de poids 10 kg, à son centre de gravité à 10 mètres d'une enclume fixe de poids 20 kg. Il renferme à son intérieur 2 litres d'un gaz de densité 3 à la pression de 760 mm. On le laisse tomber sur l'enclume, en le lançant avec une vitesse initiale de 2 m. Le corps ne rebondit pas. L'opération est recommencée 100 fois.
Le corps ne rebondit pas. L'opération est recommencée 100 fois. La température initiale des corps du système étant 5° ; la chaleur spécifique du corps qui tombe 0,06 ; celle de l'enclume 0,07 ; celle du gaz 0,5 ; le poids du litre d'air 1,293 à 0° et à 760 mm. de pression ; on demande la température finale du système, en supposant qu'il n'y ait ni écrasement des corps, ni perte de chaleur. L'équivalent mécanique de la chaleur est 425 kilogramméètres. On demande en outre d'évaluer en grammes la pression finale par centimètre carré à l'intérieur de l'enveloppe, en
pression finale par centimètre carré à l'intérieur de l'enveloppe, en supposant qu'elle ne se soit point dilatée. Le coefficient de dilatation du gaz à volume constant est — ; la densité du mercure à 0° est 13,6. (Baccalauréat de l'Enseignement spécial, Nancy, 1890.) 565. — Un tube est disposé verticalement sur une cuve à mercure, et contient de l'air sur une longueur de 0,20 m. La hauteur du mercure dans le tube est de 0,30 m. On laisse ce tube immobile, et on y introduit un liquide volatil en excès, dont la tension maximale est de 0,152 m. On demande
dont la tension maximale est de 0,152 m. On demande quelle sera la hauteur du mercure au-dessus de la cuve, la pression extérieure étant de 0,76 m. de pression ; on néglige la variation du niveau du mercure dans la cuve, et le poids de l'excès du liquide volatil. (Concours académique de l'Enseignement spécial, Paris 1877.) PRÉPARATION À DIVERS EXAMENS ET CONCOURS 566. — Résoudre la question d'arithmétique proposée à l'Examen du Certificat d'aptitude à l'Enseignement secondaire spécial, en octobre 1891. (Voir l'énoncé, n°4, 20 janvier 1892, p. 138, I.) 567. — Le sommet A, la direction du côté AB
567. — Le sommet A, la direction du côté AB et le centre de gravité G d'un triangle ABC sont fixes. Démontrer que le lieu de l'orthocentre H et l'enveloppe de la hauteur BH sont des paraboles. Déterminer les éléments principaux (axe et sommet) de ces courbes. J. NEUBERG, Professeur à l'Université de Liège, Rédacteur de Mathesis. QUESTIONS RÉSOLUES CLASSE DE QUATRIÈME, E. MODERNE 538. — Une sécante coupe les côtés AB et AC d'un triangle en des points V et G' tels que BB' = CC. Démontrer que la perpendiculaire au milieu de la corde VG' passe par un
perpendiculaire au milieu de la corde VG' passe par un point fixe, quand la sécante se déplace. N. GOFFART, Agrégé de l'Université, Professeur à l'École Monge, Soit D le point de rencontre des perpendiculaires à HG et à B'C en leurs milieux K et I. Les deux triangles BDB' et CDC sont égaux comme ayant les trois côtés égaux chacun à chacun, savoir BB' = CC', ; BD = DC, DB' = DC' ; donc les angles DRU' et DCC sont égaux. Par suite, la somme des angles DBG et DCB, qui égale la somme des angles ABC et ACB,
DCB, qui égale la somme des angles ABC et ACB, égale 2A. Il résulte de là que le triangle isocèle BDG a sa base BC fixe et la somme de ses angles constante; par conséquent, son troisième sommet D est un point fixe. Prenons CC', = BB', soit D', le point de rencontre des perpendiculaires à BG et à B'C en leurs milieux E et I. On reconnaît, comme précédemment, que le point D' est fixe. Comme l'angle BDG égale l'angle A, et que l'angle BDIC est le supplément de l'angle A, on peut dire que les points fixes cherchés
l'angle A, on peut dire que les points fixes cherchés D et D', sont les intersections de la circonférence circonscrite au triangle ABC et de la perpendiculaire au côté BG en son milieu E. A. BESSON, Élève de Troisième (E. moderne) au Collège de Rouen. Ont résolu la question 538 : MM. J. BOUYSSOU (1°), D. COSSAC (2°), L. de Tulle; L. AUBRIOT (3°), L. de Chaumont; A. ROYAL (4°), L. Charlemagne (Institution Kalm) ; G. FUSILLIER (5°), L. de Saint-Omer; TISSIER (6°), L. Charlemagne; L. BRISSON. Instituteurs. — MM. J.-L. PHELIM, au Breuil; C. GALLOIS, à Bar-le-Duc; E. BROSSARD,
J.-L. PHELIM, au Breuil; C. GALLOIS, à Bar-le-Duc; E. BROSSARD, à Decize; H. BAURY, à Monteiguet ; A. ANXIONNAZ, à Celliers-de-Savoie; FERRAND, à Cognac; E. CHARGÉ, à Marigny; A. ANFROY, à Brienne; E. BOURDON, à Saint-Omer; H. ELPAIN, à Quimperlé; VILLALLOT, au Lille; VUILLERMOZ, à Chapelle-Vualon ; — MM. Y. JUSSSERAND et V. HARPEL, Élèves-maîtres(1° A.) à l'École normale primaire du Puy; E. JODAULT, Élève-nain(1° A.) à l'École normale primaire de Beauvais. MM. C. BERGMAN, L. Saint-Louis, à Paris ; C. ROUGSALT, à Parthenay ; J. HORAY, Maître interne à l'École nationale professionnelle d'Arles; J. PELINDANIES, à la Bouzaréah (Alger);
l'École nationale professionnelle d'Arles; J. PELINDANIES, à la Bouzaréah (Alger); L. HUIN, Maître interne à l'École nationale professionnelle de Vienne; J. DEBRY, à Vannes; DUCAMP, Soldat au 84e de Ligne, à Landrecies. — MM. BONAIN, Professeur aux Cours secondaires, à Montpellier; M. DAMIEN, Institutrice à Verdun. CLASSE DE TROISIÈME, E. MODERNE 539. — Une sécante coupe les côtés AB et AC d'un triangle en des points B' et C tels que BB' = CC. Déterminer le lieu des points milieux de la corde VC. On prouvera que ce lieu est une droite; et que, si l'on considère simultanément les deux
une droite; et que, si l'on considère simultanément les deux cas où BB' et GC sont comptés dans le même sens ou en sens opposés par rapport au point A, le double lieu consiste en deux droites perpendiculaires passant par le milieu de BC. N. GOFFART. Après avoir fait les constructions (fig. 693) comme dans le problème précédent, de l'égalité des triangles BDB' et CDC on conclut l'égalité des angles BDB' et CDC ; donc l'angle B'DC' égale l'angle BDC ou égale l'angle A. Par suite, la circonférence circonscrite au triangle AB'C' passe par le point D. Alors soient b
triangle AB'C' passe par le point D. Alors soient b et c les milieux des droites telles que BC correspondant aux cas où BB' = CC devient égal à AG et à AB; les droites DO et DE sont alors des perpendiculaires à AB et à AC. Par suite, les deux droites CE et CI sont les droites de Simpson relatives au point D des circonférences circonscrites aux triangles Figt ABC et ABC'; comme ces droites ont deux points communs b et c, elles coïncident selon une seule droite. Par conséquent, le point I se trouve sur la droite de
conséquent, le point I se trouve sur la droite de Simpson relative au point D de la circonférence circonscrite au triangle ABC. Réciproquement, tout point I de la droite de Simpson CE, relative au point D de la circonférence circonscrite au triangle ABC, est le milieu d'une droite qui détermine sur AB et AC des segments égaux à partir de B et C. En effet, menons à la droite Dr, par le point I, la perpendiculaire B'C, qui coupe AB et AC en B' et en C. La droite CI est la droite de Simpson relative au triangle AB'C; donc
est la droite de Simpson relative au triangle AB'C; donc le point D appartient à la circonférence circonscrite au triangle AB'C; par suite, les angles B'DC et A sont égaux. Mais les angles BDC et A étant aussi égaux, les angles BDC et B'DC sont égaux. Alors, les triangles BDB' et CDC sont égaux comme ayant un côté égal adjacent à deux angles égaux, savoir : les côtés BD et CD sont égaux, les angles DBB' et DCC sont égaux, les angles BDB' et CDC sont égaux, comme restes obtenus en retranchant un même angle BDC des deux angles égaux
en retranchant un même angle BDC des deux angles égaux BDC et B'DC. Donc DB' et DC sont égaux et I est le milieu de B'C; de plus BB' et CC sont égaux. Des deux parties de ce raisonnement, il résulte que la droite de Simpson CE, relative au point D de la circonférence circonscrite au triangle ABC, est le lieu cherché. Après avoir obtenu les points bi et ct, analogues aux points b et c, on reconnaît, d'une manière analogue à la précédente, que le lieu du point Ij est la droite de Simpson tiEci relative au point D|.
est la droite de Simpson tiEci relative au point D|. Les côtés AB et AC du triangle ABC sont égaux, d'après la construction des points b et c ; donc ce triangle est isocèle, et la droite de Simpson cbE est parallèle à la bissectrice de l'angle A. Le triangle b,Ac étant isocèle, parce que b,Ac et b,Ac sont égaux, d'après la construction des points b| et c| la droite de Simpson b,Ec est parallèle à la bissectrice de l'angle supplémentaire de l'angle A. Par conséquent, les deux droites de Simpson, étant parallèles aux deux bissectrices de deux angles supplémentaires,
Simpson, étant parallèles aux deux bissectrices de deux angles supplémentaires, sont rectangulaires. J.-L. PRÉTOT, Instituteur au Brèsieu. Ont résolu la question 539 : MM. A. BESNON; C. BERGMAN; H. BAURY; C. POUGNAULT; J. BOUYSSOU; D. COISSAC; L. HUIN; E. BOURDON; E. BROSSARD; E. JODART; FERRAND; E. DUCAMP; A. ANFREY; VUILLERMOZ; E. NEST, à Saubusse. 540. — Dans un tube de porcelaine chauffé au rouge, on fait passer un mélange de 2 litres de gaz ammoniac et 2 litres de bioxyde d'azote. Dire la composition et le volume (mesuré à 0° et sous la pression de 760 mm) du mélange résultant.
et sous la pression de 760 mm) du mélange résultant. À la température du rouge, l'ammoniaque et le bioxyde d'azote réagissent l'un sur l'autre pour donner de l'azote, de la vapeur d'eau, et un excès d'hydrogène. Les équivalents en volume des deux gaz étant les mêmes, et les volumes mis en présence étant égaux, la réaction est symbolisée par l'équation La vapeur d'eau se condense. Le gaz restant est constitué par un volume d'azote égal à celui de chacun des gaz primitifs (2 litres) et un volume d'hydrogène deux fois moindre (1 litre). L. GELLY, Élève de Troisième (E. moderne)
moindre (1 litre). L. GELLY, Élève de Troisième (E. moderne) au collège de Libourne. Ont résolu la question 540: MM. A. BESNON (3e) ; P. SEMET; E. BILLARD, Pensionnat Sainte-Marie, à Chagny, — Seconde: MM. L. AUBRIOT; DROGOZ, C. de Bourgoin; G. THÉVENIN, C. de Pont-de-Vaux ; C. LABERT, L. d'Orléans; L. BRISSET, L. de Chaumont. — Première: MM. DÉSIGAUD, C. de Bourgoin; J. BOUYSSOU. Instituteurs. — MM. A. ANXIONNAZ; J. ARMANT; VUILLERMOZ; E. BOURDON; E. CELEARGÉ; E. DUSSAUX; VENET; C. GALLOIS; FERRAND. — MM. E. JODART; E. LEGRAND. MM. J. PEINDARIES; L. HUIN; C. POUGNAULT; DUCAMP; A. LEVILLAIN, Élève
J. PEINDARIES; L. HUIN; C. POUGNAULT; DUCAMP; A. LEVILLAIN, Élève ingénieur à l'Institut industriel de Lille; J. BOBAY; B. DUFÏ, Employé des Ponts et Chaussées, à Vire. — Mlle M. DAMIEN. CLASSE DE SECONDE, E. MODERNE 541. — Comment faut-il mener un plan sécant parallèle à deux arêtes opposées d'un tétraèdre pour que l'aire de la section obtenue soit maximale? E. CHENU, Maître répétiteur au Collège de Saumur. 1° Soit le tétraèdre SABG (fig. 696). D'un point quelconque M de l'arête SC on mène les droites MX et MP, respectivement parallèles aux arêtes BG et SA : le plan XMP
parallèles aux arêtes BG et SA : le plan XMP est parallèle aux deux arêtes opposées BG et SA. Ce plan coupe la face BGA selon la parallèle PQ à MX, et la face ABS selon la parallèle NQ à MP, car tout plan passant par une droite parallèle à un autre plan coupe celui-ci selon une parallèle à la droite. Donc la section MXQP du tétraèdre par le plan NMP est un parallélogramme. Par la Géométrie. L'aire du parallélogramme MXQP est le double de l'aire du triangle MNQ, dont l'angle MXQ est constant, car cet angle est le supplément
l'angle MXQ est constant, car cet angle est le supplément de l'angle XMP ou de l'angle constant des deux arêtes opposées BG et SA. Si l'on considère un second parallélogramme M'N'Q'P' analogue au parallélogramme MXQP, on a deux triangles MNQ et M'N'Q' qui ont un angle égal ; donc on peut écrire, en désignant leurs aires par s et s', par conséquent, le rapport de s à MN.MP est constant; en désignant par k la valeur de ce rapport, on a $ — k. MN.MP. Par suite, A étant constant, le maximum de s a lieu quand le produit MN.MP
le maximum de s a lieu quand le produit MN.MP est maximum. Cherchons une autre valeur de ce produit. Les triangles SCB et SMN étant semblables, ainsi que les triangles CSA et CMP, on a BC SA Comme la quantité 13 est constante, le maximum du produit ou MN. MP a lieu en même temps que le maximum du produit SM.MC. Comme la somme SC des deux facteurs de ce dernier produit est constante, le produit SM.MC est maximum quand SM = MC. Donc le plan parallèle aux arêtes opposées BC et SA détermine dans le tétraèdre une aire maxima
BC et SA détermine dans le tétraèdre une aire maxima quand il passe par le milieu de l'arête SC, et, par suite, par les milieux des trois autres arêtes qu'il coupe. H. BIARD, Élève de Seconde (E. moderne) au Lycée de Dijon. Par la Trigonométrie. L'aire S du parallélogramme MNQP est le double de l'aire du triangle MNP. En désignant par a l'angle MNP, on a Or l'angle a est constant, car il est le supplément de l'angle NMP ou de l'angle constant des deux arêtes opposées BC et SA ; donc le maximum S a lieu en même temps
; donc le maximum S a lieu en même temps que le maximum de MN.MP. En considérant les triangles semblables SCB et SMN, puis CSA et CMP, on achèverait la solution comme précédemment. La section maxima égale SA.BC.sin a. J. LEFÈVRE, Élève de Seconde (E. moderne) au Lycée de Laon. Ont résolu la question 541 : MM. CAZAMIAN (1°), L. de Pau; M. GRAMELLE (1°), L. de Roanne; COURRIADES (1°), L. de Pau; P. SEMET, Élève au Pensionnat des Frères Maristes, à Marcigny; L. AUBRIOT; J. BOUYSSOU; MADELMONT, L. de Tulle; G. FUSILLIER. — Math, élém. : MM. 0. BÜNGARD,
Tulle; G. FUSILLIER. — Math, élém. : MM. 0. BÜNGARD, Institution Saint-Cyr, à Nevers; G. RUS, C. de Soissons. Instituteurs. — MM. E. DUSSAUX, à Reuil ; J.-L. PRÉTOT ; C. GALLOIS; H. EMPAIN; Z. RUSSIER, au Puy ; A. QUELET, à Geuilly ; J. ARMANET, à Lyon; A. ANXIONNAZ; FERRAND. —M. E. JODART. MM. C. POUGNAULT, L. de Bourg ; DUCAMP, Soldat au 15e de ligne, à Landrecies; J. BOBAY ; J. DEBRY. 542. — Deux sphères métalliques sont chargées d'électricité positive ; l'une de la quantité -fM, l'autre de la quantité -f ni ; la distance de leurs
de la quantité -f ni ; la distance de leurs centres est de afm. Une petite balle en sureau suspendue par un fil de soie dans la ligne des centres est placée de telle sorte qu'elle ne s'approche ni de l'une ni de l'autre des deux sphères. À quelle place se trouve-t-elle ? ROBERT WEBER (Problèmes sur l'Électricité). Supposons M inférieure à m; soit a? la distance de la balle de sureau à la sphère M, au moment de l'équilibre. La loi de Coulomb fournit l'équation Après avoir extrait la racine carrée des deux membres de cette équation, ce qui
racine carrée des deux membres de cette équation, ce qui est possible, puisque m et M sont deux quantités positives, on trouve Cette valeur de x est comprise entre 5 et a, ce qu'on devait prévoir. L. HAMEL, Élève de Seconde (E. moderne) au Collège de Vire. Ont résolu la question 542 : MM. G. THÉVENIN (2°); L. BRISSET(2°); P. SEMET ; L. AUBRIOT (2°); E. BERNARD(2°); L. CHANLIAU; J. CHARBONNIER; H. BIARD (2e); C. MACÉ(2°); E. BILLARD; DROGOZ (2°). — Première: MM. M. HAUTIER, L. d'Angoulême ; CAZAMIAN ; COULLIARES ; G. CHEVALIER et L. THONIN, Pensionnat des Frères,
COULLIARES ; G. CHEVALIER et L. THONIN, Pensionnat des Frères, à Reims ; G. FUSILLIER; VERGNON; M. GRAMELLE; BARRÈRE, L. de Bayonne; L. TARDIF, Institution Livet, à Nantes; DÉSIGAUD ; J. LAMON, L. de Brest; H. TORCHET, Pensionnat des Frères, à Reims; J. BOUYSSOU. — Math. élém. : MM. 0. BONGARD ; T. CHOLLET. Instituteurs. — C. GALLOIS ; E. BROSSARD ; A. ANXIONNAZ ; DUSSAUX ; J. ARMANET; H. BAURY; H. EMPAIN; E. CHARGÉ; VENET; VUILLERMOZ; FERRAND ; E. BOURDON. — MM. E. LEGRAND ; E. JODART. MM. L. HUIN; J. PEINDERIES;E. NEST; J. DEBRY; DUCAMP. — M. DAUVIN;
HUIN; J. PEINDERIES;E. NEST; J. DEBRY; DUCAMP. — M. DAUVIN; M. DAIMEN. 543. — Dans un excès d'acide azotique on fait dissoudre une pièce de 5 francs neuve, pesant exactement 20 grammes. Dans la dissolution on verse du chlorure de sodium ; il se forme un précipité blanc caillebotis de chlorure d'argent qui, recueilli et séché, pèse 266,574. On demande combien il manquait d'argent à la pièce, et quel était son titre ? FRÉD. BLANCO GARIN, Maître répétiteur à l'École Rocroy, Paris. L'acide azotique fait passer l'argent à l'état d'azotate d'argent, et le cuivre à l'état d'azotate de cuivre. Puis,
d'argent, et le cuivre à l'état d'azotate de cuivre. Puis, le chlorure de sodium précipite l'argent à l'état de chlorure d'argent, tandis que le cuivre reste dans la dissolution. Or, le poids d'argent contenu dans 26,574g de chlorure d'argent ,26,574x108g , .. , ,. est -266,574g ou -20 grammes. La pièce de 5 francs contenait donc 20 grammes d'argent ; son titre était = ou 0,8. C. GALLOIS, Instituteur-adjoint à Bar-le-Duc. Ont résolu la question 543 : MM. CHARBONNIER; L. BRISSET (2e); G. THÉVENIN (2°) ; VERDIER, L. d'Als; E. BILLARD; A. BESSON(3°); E. BERNARD (2°); L. CHANLIAU; C. MACÉ(2°);
BILLARD; A. BESSON(3°); E. BERNARD (2°); L. CHANLIAU; C. MACÉ(2°); H. BIARD(2°); H. GAUCHER, L. d'Orléans; P. SEMET; G. HABERT, L. de Orléans; DROGOZ(2°); L. AUBRIOT(2°). —Première : MM.G. FUSILLIER; P. REBOUILLAT; J. BOUYSSOU; H. HENRY, M. TAILLIEET et J. JOUANNEAU, Pensionnat des Frères, à Reims; J. LAMON; BARRÈRE; VERGNON; L. TARDIF; DÉSIGAUD. — Math. élém.: MM. T. CHOLLET; H. NAFRAICHEUR, C. de Saint-Maurice. Instituteurs. —MM. H. EMPAIN; E. DUSSAUX; A. ANXIONNAZ; E. BOURDON; VUILLERMOZ; Z. RUSSIER; E. BROSSARD; VERNET; H. BAURY; FILMAILLOT; 0. FROMENT, à Veniss; J. ARMANET; E. CHARGÉ ; FERRAND. — MM. E. LEGRAND; E. JODART; V.
CHARGÉ ; FERRAND. — MM. E. LEGRAND; E. JODART; V. RAPATEL; Y. JOUSSERAND. MM. L. HUIN; E. NEST; J. BOBAY; B. DUFY; DUCAMP; A. LEVILLAIN; E. CHÉRIEU, Maître répétiteur au C. de Saint-Denis; L. DELAMARE, Élève en pharmacie, à Caen. — MM. M. DAIMEN; BONAIN. CLASSE DE PREMIÈRE, E. MODERNE 544. — Arithmétique. — Démontrer que le produit ab (a^ -fb^) (a^ - b 2) est divisible par 30, a et b désignant deux nombres entiers. Désignons le produit par P. Comme 30 est le produit des nombres 2, 3 et 5, qui sont premiers entre eux deux à deux,
et 5, qui sont premiers entre eux deux à deux, il suffit de démontrer que P est divisible par 2, par 3 et par 5. Si les nombres 2, 3 et 5 divisent a ou b, ou le produit ab, P est divisible par 30. Examinons le cas contraire. 1° Si a ou b est pair, le produit P est divisible par 2 ; si a et b sont impairs, le somme a^ + b^ est paire. Donc P est toujours divisible par 2. 2° Si a ou b est divisible par 3, P est divisible par 3. Si a
divisible par 3, P est divisible par 3. Si a et b ne sont pas divisibles par 3, ils ont les formes multiples de 3 = ± 1 ; comme le facteur (a^ - b^) égale (a - b) (a + b), il est divisible par 3, car, pour chacune de ces formes, a - b est un multiple de 3. Donc P est toujours divisible par 3. 3° Si a ou b est divisible par 5, P est divisible par 5. Si a et b ne sont pas divisibles par 5, ils ont les formes multiples de 5 ±
par 5, ils ont les formes multiples de 5 ± 1 ou multiples de 5 ± 2. Or, le produit des facteurs (a + b^) (a - b) égale (a^ + b^). Lorsque a et b ont les formes précédentes, leurs carrés ont les formes multiples de 5 ·+ 1 et multiples de 5 - 4, et leurs quatrièmes puissances ont la forme multiples de 11 + 1. Par suite, a^ - b^ est un multiple de 5. Donc P est toujours divisible par 5. Par conséquent, le produit ab [(a + b)(a - b)] est divisible par 30. T.
[(a + b)(a - b)] est divisible par 30. T. COOLLET, Élève de Mathématiques élémentaires au Collège de Clairay. Ont résolu la question 544 : MM. J. LEFÈVRE (2e) ; M. CHAMELLE (1er) ; J. ROUYSSOU (1er) ; CAZAMIAN (1er) ; J. CHARBONNIER, École libre de Chalons ; A. BESSON (3e) ; L. CLANUALU, École libre de Chalons; VERGNON (ité), L. d'Angoulême. Instituteurs,— MM. J.-L. PRÉTOT; H. EMPAIN ; E. BROSSARD; J. ARMANET; Z. RUSSEIL; A. QUÊLET; E. DUSSAUX; VENET, à Vaux-sous-Laon; E. BOURDON ; VUILLERMOZ; C. GALLOIS; YILFAILLOT. — MM. E. JODART; V. RAPATEL; E. LEGRAND, Élève-raconteur (1er A.)