jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
is uncountable and the periodic sequences of Cl are dense in Cl — S1; S2[n£î is either empty or uncountable — In this last case [S1; SJ (~Cl contains a subset isomorphic to Cl as an ordered set. Cl is self-similar. I INTRODUCTION — Dans une Note précédente [15], C Tresser a étudié la famille à deux paramètres {fx(e1, e2)} d'applications d'un intervalle réel dans lui-même qui sont régulières et croissantes sauf en un point. Plus précisément, il décrit l'ensemble des paires de paramètres correspondant à la transition vers une entropie topologique positive. C'est dans ce contexte que se situe
entropie topologique positive. C'est dans ce contexte que se situe notre travail. Nous étudions la structure de bifurcations de familles à un paramètre À. (t^sCte, |L2 = A) de fonctions de [0, 1] dans lui-même possédant une discontinuité et croissantes par morceaux. II LE PROBLÈME — Soit ce]0,1[; considérons les familles de fonctions (gx[e0,i] et Wx[e0,u] définies respectivement sur [0, c] et [c, 1] à valeurs dans [0,1] et vérifiant les propriétés suivantes : (i) \(g, h\) croissantes et continues, (ii) \(A.-\rightarrow gx\) et \(X^-\) sont continues au sens de la norme infinie. Définissons à présent les deux familles \((0,
la norme infinie. Définissons à présent les deux familles \((0, xero, i]\) et \((f±, xero, i]\) de [0,1] dans lui-même par : Pour étudier le comportement dynamique des suites itératives engendrées par \(/.x\), nous utilisons la théorie des itinéraires de Milnor et Thurston [14] (voir Collet et Eckmann [2]). Celle-ci a aussi été utilisée par Derrida et coll. [6], Guckenheimer [7], Allouche et Cosnard [1] dans le cadre des fonctions unimodales et par Cosnard et Goles [5] dans un cas particulier de fonctions admettant une discontinuité. III. LA STRUCTURE DE BIFURCATIONS. — Nous utilisons la technique de codage suivante :
BIFURCATIONS. — Nous utilisons la technique de codage suivante : à tout x de [0,1], nous associons deux suites de \(\{0,1\}^N=S\), appelées itinéraires de x pour \(/.x, /.t\), où \(y_0\) et \(y_1\) sont respectivement \(/\). Nous remarquons que, si 0 n'est pas antécédent de c pour \(/.x\) et \(/.t\), alors \(\circ(x(0)) = \circ(x(0))\), sinon si \(s > n\) où \(m\) est leur début commun de longueur \(n\). Si \(a, x(x)\) est l'itinéraire de x pour \(/.x, /.t\), alors \(d(a, x(x))\) est celui de \(/.x, /.t(x)\), où \(d\) est l'application décalage définie sur \(S\) par \(\circ(S_1...S_n)\). Nous munissons \(X\) de la
définie sur \(S\) par \(\circ(S_1...S_n)\). Nous munissons \(X\) de la relation d'ordre \(<\) induite par l'ordre lexicographique \((0<1)\). Nous dirons que \(S\) est un itinéraire admissible pour \(/.x\) s'il existe \(i\) et \(x\) de [0,1] tels que \(S = \circ(x)\). THÉORÈME 1. — \(S\) est un itinéraire admissible si et seulement si, \(\forall n\in N\), \(\circ(x(0))\in d^n(S)\). Éléments de démonstration. — Posons \(A_0 = \circ(x(0)), A_1 = \circ(x(0))\). (a) Si \(S\) est une décalée de \(A_0\) ou de \(A_1\), le résultat est vérifié. (b) Si \(S = m_0m_1... m_q\circ(x)\), on construit \(x\) tel que \(\circ(x(x)) = S\) et pour cet
construit \(x\) tel que \(\circ(x(x)) = S\) et pour cet \(x\), nous avons \(\circ(x(x)) = m_1A_1\). (c) Si \(S = m_1A_1\), alors \(S' = m_0\circ(x)\) vérifie aussi \(A_0\in d^n(S') \forall n\in N\) Il existe \(x\) tel que \(\circ(x(x_n)) \rightarrow S\) en croissant strictement, \(\circ(x'(x_n)) \rightarrow S\) en décroissant strictement. On vérifie que \(\circ(x(x)) = S = \circ(x(x))\). L'ensemble \(Q\) des itinéraires admissibles de \(/.x\) ne dépend donc que de l'itinéraire de \(0\) appelé suite de tricotage de \(/.x\). Notons \(S_0\) l'ensemble des suites de tricotage de \(/.x\) lorsque \(A\) parcourt [0, 1]. THÉORÈME 2 : Éléments de démonstration. — Le
[0, 1]. THÉORÈME 2 : Éléments de démonstration. — Le théorème 1 implique que \(S_0 \subseteq Q(\circ(x))\). Soit \(S\) un élément de \(Q(\circ(x))\), \(S = S_0 S_1 ... S_n ... ,\) on construit une suite d'intervalle fermés emboîtés \((A_n)_{n\in N}\) où \(A_0 = [0,1]\). Par conséquent \(\bigcap_{n\in N} A_n = \{S_0\}\). Le théorème 2 implique que toutes les familles du type \(/.x\) vérifiant les propriétés (i), ... , (iv) admettent les mêmes suites de tricotage et donc, à toute suite \(A\) de \(S_0\) et à toute famille \(/.x\), on peut associer \(X(A, J)\) tel que \(A = a[X(A,J)(0)\). Ce résultat
associer \(X(A, J)\) tel que \(A = a[X(A,J)(0)\). Ce résultat et le théorème 1 montrent que l'ensemble des itinéraires admissibles ne dépend pas de la famille considérée mais seulement de \(A_0\). Il est alors clair que deux applications admettant la même suite de tricotage ont la même entropie topologique \(H\). Ce résultat est identique à celui obtenu par Gillot [7] dans le cadre des fonctions unimodales. Pour chaque famille à un paramètre, \(H\) est donc une application de l'espace du paramètre dans \(R_+\). COROLLAIRE. — 1. \(H\) est une surjection continue décroissante de [0, 1] dans [0, Log2]. 2 Soit
continue décroissante de [0, 1] dans [0, Log2]. 2 Soit \(/.x\) une famille vérifiant les propriétés (i), ..., (iv). Quel que soit \(u\), il existe \(X\) tel que \(/.x\) est semi-conjuguée topologiquement à \(Z, x\), correspondant à \(gx\) et \(hx\) linéaires. La figure 1 (resp. 2) illustre ce résultat dans le cas de familles linéaires (resp paraboliques) par morceaux. La structure de bifurcations des familles \(/.x\) est donc caractérisée par l'ensemble \(S_0\). IV ÉTUDE DE L'ENSEMBLE \(S_0\) — PROPRIÉTÉ O-l. — (i) \(S_0\) est non dénombrable (n) L'ensemble des suites périodiques de \(Q\) est dense dans \(S_0\) Démonstration — (i)
périodiques de \(Q\) est dense dans \(S_0\) Démonstration — (i) Le sous-ensemble de \(O\) où \(n_1...n_l \in N^n\) est croissante et telle que \(\forall i, n_i-n_{i-1} \ge 1\) est en bijection avec [0,1] par \(x = \frac{1}{2^n-1}\). (ii) Soient \(S_1, S_2\) deux suites distinctes de \(S_0\) (\(S_1 < S_2\)), \(S_1 = m_0S_1\) et \(S_2 = m_1S_2\) (m est le début commun aux deux suites); alors \(S = (m_1)0\) est une suite périodique de \(S_0\) telle que \(S^3S^2S_1\). PROPRIÉTÉ S-2 — \(S_1\) et \(S_2\) étant deux suites distinctes de \(S_0\) (\(S_1 < S_2\)), on a l'une des deux propriétés suivantes (a)
< S_2\)), on a l'une des deux propriétés suivantes (a) \([S_1, S_2]_Q = 0\) (b) \([S_1, S_2]_Q\) est non dénombrable. Dans le cas (b), on démontre un résultat plus fort : \([S_1, S_2]_Q\) contient un sous-ensemble en bijection croissante avec \(S_0\), ceci constitue le théorème suivant : THÉORÈME 3. — \(S_0\) est à homotélie interne. Éléments de démonstration — Les propriétés S-1 et S-2 assurent que, si \(S_1\) et \(S_2\) vérifient la propriété (b), il existe deux suites périodiques de \(S_0\) : \(C = (c_1... c_n)\) et \(D=(d_1...d_n)\) telles que : \(S_1 < C < D < S_2\). On peut
: \(S_1 < C < D < S_2\). On peut définir l'application \(r\) associée à \(C\) et \(D\) par \(x = \frac{1}{2^n-1}\), où \(x\) est un homéomorphisme croissant de \(S_0\) sur \(T(S_0)\), nous avons donc \(r(S_0)\) est en bijection croissante avec \(S_0\) par \(x_1\) croissante d'où le résultat. V CONCLUSION. — L'ensemble \(S_0\) caractérisant entièrement les suites de Tricotage associé à \(fmJ\), \(Xe[0,1]\), on peut affirmer que cette dynamique a une structure à homothétie interne. Ce résultat est à rapprocher de celui de Allouche et Cosnard [1] qui montrent que la structure de bifurcations d'une famille de fonctions unimodales de
la structure de bifurcations d'une famille de fonctions unimodales de \([0,1]\) dans \([0,1]\) caractérisée par l'ensemble \(\) est aussi à homothétie interne. Remise le 29 octobre 1984 RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] J.-P. Allouche et M. Cosnard, Comptes rendus, 296, série I, 1983, p. 159-162 [2] P. Collet et J. P. Eckmann, Iterated Maps on the Interval as Dynamical Systems, Birkhäuser Basel, 1980 [3] A. Chenciner, J.-M. Gambardo et C. Tresser, Comptes rendus, 299, série I, 1984, p. 145-148 [4] M. Cosnard, Thèse, Grenoble, 1983 [5] M. Cosnard et E. Goles, Comptes rendus, 299, série I, 1984, p. 459-461 [6] B. Derrida,
rendus, 299, série I, 1984, p. 459-461 [6] B. Derrida, A. Gervois et Y. Pomeau, Ann. Inst. Poincaré, 29, n° 3, 1978, p. 305-356 [7] C. Gillet, Thèse, Toulouse, 1984 [8] J. Guckenheimer, Comm. Math. Phys., 70, 1969, p. 133-160 [9] I. Gumowski et C. Mira, Dynamique chaotique, Cédédès, Toulouse, 1980 [10] B. Mandelbrot, Physica, 7D, 1983, p. 224-239 [11] B. Mandelbrot, Ann. New York Acad. Sci., 35, 1980 [12] R. May, Nature, 261, 1976, p. 459-467 [13] N. Metropolis, M. L. Stein et P. R. Stein, J. Comb. Theory, 15, 1973, p. 25-44 [14] J. Milnor et P. Thurston,
15, 1973, p. 25-44 [14] J. Milnor et P. Thurston, Preprint Princeton, 1977 [15] C. Tresser, Comptes rendus, 296, série I, 1983, p. 729-732 MAG, Laboratoire TIM 3, B. P. n° 68, 38402 Saint-Martin-d'Hères Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 PROBABILITÉS. — Quelques résultats de convergence des amarts multivoques dans les espaces de Banach. Note de Dinh Quan Luu, présentée par Laurent Schwartz. On présente dans cette Note quelques résultats de convergence des amarts multivoques à valeurs convexes fermées, bornées non vides dans les espaces de Banach. PROBABILITY THEORY — Some convergence results
les espaces de Banach. PROBABILITY THEORY — Some convergence results for multi-valued Amarts in Banach Spaces. Some convergence results for multi-valued amarts with nonempty convex closed bounded values in Banach spaces are presented. 1 NOTATIONS, DÉFINITIONS ET PRÉLIMINAIRES. — Soit \((\Omega, \mathcal{F}, P)\) un espace probabilisé, \(E\) un espace de Banach séparable, \(\mathcal{F}^b(E)\) l'ensemble des convexes fermés bornés non vides de \(E\) muni de la distance de Hausdorff \(h\), \((\mathcal{F}_n)\) une suite croissante de sous-algèbres de \(\mathcal{F}\) telle que \(\mathcal{F} = \bigcup_{n=1}^\infty \mathcal{F}_n\). Une suite d'applications \((X_n)\) définies sur \(\Omega\) à valeurs dans \(\mathcal{F}^b(E)\) est adaptée à \((\mathcal{F}_n)\) si chacune
à valeurs dans \(\mathcal{F}^b(E)\) est adaptée à \((\mathcal{F}_n)\) si chacune des \(X_n\) est \(\mathcal{F}\)-mesurable (i.e., pour tout ouvert \(O\) dans \(E\), l'ensemble \(X_n(O) = \{ \omega \in \Omega | X_n(\omega) \in O \} \) appartient à \(\mathcal{F}_n\)) et chacune des fonctions réelles \(|X_n| \circ h-\sup{|x| | x \in X_n(\omega)}\) est \(P\)-intégrable. Dans ce qui suit, \((X_n)\) est une suite adaptée à \((\mathcal{F}_n)\) et à valeurs dans \(\mathcal{F}^b(E)\). On note par \(T\) l'ensemble des temps d'arrêt bornés et pour tout \(x \in T\), \(E(X_n(x)) = \bigcap_{k=1}^\infty \sigma(X_k)\). Pour toute sous-algèbre \(\mathcal{G} \subseteq \mathcal{F}\) et toute application \(\mathcal{F}\)-mesurable \(X : \Omega \to
\subseteq \mathcal{F}\) et toute application \(\mathcal{F}\)-mesurable \(X : \Omega \to \mathcal{F}^b(E)\), on pose \(E(X | \mathcal{G})\) la fermeture dans \(L^1(\Omega, \mathcal{F}, P)\) de l'ensemble \(E(X | \mathcal{G})\). Rappelons [4] que l'espérance conditionnelle d'une application \(X : \Omega \to \mathcal{F}^b(E)\), \(\mathcal{F}\)-mesurable et \(P\)-intégrable (i.e., \(|X| \in L^1(\Omega, \mathcal{F}, P)\)) par rapport à une sous-algèbre \(\mathcal{G}\) est une application \(E^1(E)\) : \(\Omega \to \mathcal{F}^b(E)\), \(\mathcal{F}\)-mesurable et telle que : \(E(X | \mathcal{G}) = E(E(X | \mathcal{F}_\omega) | \mathcal{G})\). Une suite adaptée \((X_n, \mathcal{F}_n)\) est une martingale si \(X_n = E(\mathcal{F}_n)(X_m) (n \leq m)\). Il résulte de [5] que la suite généralisée \((X_T)\)
m)\). Il résulte de [5] que la suite généralisée \((X_T)\) est adaptée à \((\mathcal{F}_T)\) et l'on a \(X_T = E(\mathcal{F}_T)(X(J) (a \leq T)\). Une suite adaptée \((X_n, \mathcal{F}_n)\) est un amart à valeurs dans \(\mathcal{F}^b(E)\) si la suite généralisée \((X_T)\) et \(X_T\) d\(P\) est la fermeture de l'ensemble \(X_T\) d\(P\) dans \(E\), converge pour la distance de Hausdorff \(h\) dans \(\mathcal{F}^b(E)\). Un tel amart \((X_n, \mathcal{F}_n)\) satisfait à la condition de Uhl ([7], [6]) si, pour tout \(s > 0\), il existe un convexe compact équilibré \(K\), tel que, pour tout \(\epsilon > 0\), il existe \(n(s, \epsilon) \in \mathbb{N}\)
tout \(\epsilon > 0\), il existe \(n(s, \epsilon) \in \mathbb{N}\) et \(A(s, \epsilon) \in \mathcal{F}_n(s)\) avec \(P(A(s, \epsilon)) \geq 1 - s\) et tel que, pour tout \(\omega \in A(s, \epsilon)\) et tout \(A \in \mathcal{F}\) avec \(A \subseteq A(s, \epsilon)\), on ait : \(h(E(X_n(\omega) | \mathcal{F}_n), M(\omega)) \leq \epsilon\). Une application \(M : \mathcal{F} \to \mathcal{F}^b(E)\) est finiment additive si \(M(\emptyset) = \{ 0 \}\) et si pour toute suite finie disjointe \((A_k)\) dans \(\mathcal{F}\), où le second membre désigne la fermeture dans \(E\) de l'ensemble \(M(A_1) + M(A_2) + \ldots + M(A_n)\). Une telle application est (a) \(\alpha\)-additive
+ \ldots + M(A_n)\). Une telle application est (a) \(\alpha\)-additive si l'on a pour toute suite disjointe \((A_k)\) dans \(\mathcal{F}\), (b) à variation bornée si \(\|M\|_{var} = sup \{ \sum_{k=1}^n \|M(A_k)\| | A_k \in \mathcal{F}, A_1 \cap \ldots \cap A_n = \emptyset, \ n \in \mathbb{N} \} < \infty\). Enfin, pour tout \(L \subseteq E\) et tout \(x^* \in E'\), on note \(8^*(x^*, L) = sup \{ < x^*, x > | x \in L \}\) la fonction d'appui de \(L\). 2 RÉSULTATS PRÉLIMINAIRES. PROPOSITION 2.1 — Une suite \((X_n, \mathcal{F}_n)\) est un amart si et seulement si il existe
\mathcal{F}_n)\) est un amart si et seulement si il existe une mesure finiment additive \(F_{\omega} : \mathcal{F}_n \to \mathcal{F}^b(E)\) telle que chacune des \(F_{\omega}^b(E)\) soit absolument continue, finiment additive et telle que \(E(X_n | \mathcal{F}_n) = F_{\omega} (X_n) (n \leq m)\). La démonstration de ce résultat est élémentaire et résulte des techniques habituellement utilisées pour les amarts à valeurs vectorielles [1]. PROPOSITION 2.2 — Soit \(F : \mathcal{F} \to \mathcal{F}^b(E)\) une application finiment additive. Alors \(F\) admet une densité de Radon-Nikodym \(X : \Omega \to \mathcal{F}^b(E)\) à valeurs convexes fortement compactes si et seulement si \(F\) vérifie les conditions suivantes
compactes si et seulement si \(F\) vérifie les conditions suivantes (1) \(F\) est absolument continue, (2) \(F\) est à variation bornée, (3) \(F\) satisfait à la condition de Uhl ([7], [6]), i.e. pour tout \(s > 0\), il existe un convexe compact équilibré \(K\), tel que, pour tout \(\epsilon > 0\), il existe \(n(s, \epsilon) \in \mathbb{N}\) et \(A(s, \epsilon) \in \mathcal{F}_n(s)\) avec \(P(A(s, \epsilon)) \geq 1 - s\) et tel que, pour tout \(\omega \in A(s, \epsilon)\) et tout \(A \in \mathcal{F}\) avec \(A \subseteq A(s, \epsilon)\), on ait : \(h(E(X_n(\omega) | \mathcal{F}_n), M(\omega)) \leq \epsilon\). Ce résultat a
: \(h(E(X_n(\omega) | \mathcal{F}_n), M(\omega)) \leq \epsilon\). Ce résultat a été obtenu par l'auteur dans [6] et intervient dans la convergence des amarts. PROPOSITION 2.3 3. — Avec les notations de la proposition 2.1, un amart (Xn, 3Fn) satisfait à la condition de Uhl si et seulement si la mesure de la fonction 3Fn -» g?cfb (E), associée à (Xn, 3Fn) satisfait la condition de Uhl de la proposition 2.2 sur U 3Fn. Le résultat suivant a un intérêt propre dans l'étude des martingales multivoques. PROPOSITION 2.4 — Soient X et Y deux applications 3F-mesurables de fi dans 3Pcfh(P) et
et Y deux applications 3F-mesurables de fi dans 3Pcfh(P) et P-intégrables. Alors C. R. Acad. Sci. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 Par suite, si (Xn, 3Fn) et (Yn, 3Fn) sont deux martingales, alors la suite (h (Xn, Yn), 3Fn) est une sous-martingale réelle. RÉSULTATS DE CONVERGENCE. THÉORÈME 3.1. — On suppose que E a la propriété de Radon-Nikodym et que E' est fortement séparable. Soit (Xn, #"n) un amart. (1) Si lim inf | Xn | dP + ∞, alors il existe une martingale unique (Mn, 3Fn) telle que (2) Si de plus, sup |XT|^P + ∞,
telle que (2) Si de plus, sup |XT|^P + ∞, alors il existe une application Xoe 3F-mesurable de TST Jn fi dans 3PCfh (E) et P-intégrable telle que (Xn) converge faiblement presque sûrement vers Xoe, c'est-à-dire, il existe un fi0 dans 3F tel que P(fi0) = 1 et pour tout (oo, x*) e fi0 x E'. Principe de la démonstration — (1) L'existence de la martingale (Mn, 3Fn) résulte de la proposition 2.1 et de l'hypothèse (1) et d'un théorème de Radon-Nikodym pour chacune des applications a-additives, absolument continues et à variation bornée Fn. J%-*^c/t(E)[3] (2) La condition sup |
à variation bornée Fn. J%-*^c/t(E)[3] (2) La condition sup | XT | dP implique que la martingale (Mn) converge faiblement TST Jn presque sûrement vers l'élément XOT de l'énoncé, en vertu d'un résultat de Coste [2] On termine la démonstration en utilisant le lemme maximal pour les amarts réels et le fait que tout amart réel borné converge presque sûrement. THÉORÈME 3.2 — On suppose E' fortement séparable (1) Soit (Xn, 3Fn) une martingale telle que sup |Xn|dP +∞ et vérifiant la condition de Uhl. Alors il existe une application unique mesurable XB à valeurs convexes fortement compactes de E
unique mesurable XB à valeurs convexes fortement compactes de E et P-intégrable telle que (2) Si (Xn, J^J est un amart avec sup |XT|dP+∞ et vérifiant la condition de Uhl, alors il existe une application unique mesurable Xoe à valeurs convexes fortement compactes et P-intégrable telle que (Xn) converge faiblement presque sûrement vers Xoe. Principe de la démonstration — (1) En appliquant le théorème de décomposition de Lebesgue pour Foe dont l'existence est assurée par la proposition 2.1, on démontre que la partie absolument continue de Foe admet une densité unique Xoe (proposition 2.2) et que la suite (Yn=E^»(Xa,)) converge
unique Xoe (proposition 2.2) et que la suite (Yn=E^»(Xa,)) converge presque sûrement pour la distance de Hausdorff h vers Xoe [4] La propriété 2.4 et l'hypothèse (1) impliquent que la sous-martingale (h(Xn, Yn), 3Fn) converge presque sûrement. On termine la démonstration en vérifiant que (h(Xn, Yn)) converge vers 0 en probabilité. (2) se démontre en combinant la démonstration du point (1) du théorème 3.2 et du point (2) du théorème 3.1. Remarques. — (1) Les théorèmes 3.1 et 3.2 ne résultent pas directement des résultats connus pour les amarts vectoriels (2) Dans le point (1) du théorème 3.2, on ne
(2) Dans le point (1) du théorème 3.2, on ne peut pas supprimer la condition de Uhl, même dans le cas E = l2. Ceci explique la différence entre les martingales multivoques et celles à valeurs vectorielles. (3) Dans les points (2) des théorèmes 3.1 et 3.2, on ne peut remplacer le mot « faiblement » par « fortement », même pour les amarts vectoriels dans l2. Les démonstrations détaillées figurent dans l'exposé n° 5 du Séminaire d'Analyse Convexe, Montpellier, 1984 L'auteur a bénéficié de suggestions utiles de C Castaing pour ce travail. Remise le 19 novembre 1984. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES
pour ce travail. Remise le 19 novembre 1984. RÉFÉRENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] R V CHACON et L SUCHESTON, Z Wahrsch Verw, 33, 1975, p 55-59 [2] A COSTE, Comptes rendus, 290, série A, 1980, p 953-956 [3] F HIAI, J Multiv Anal, 8, 1978, p 96-118 [4] F HIAI et H UMEGAKI, J Multiv Anal, 7, 1977, p 149-182 [5] D Q Luu, Acta Math Vietnam, 6, n° 2, 1981, p 29-41 [6] D Q Luu, Math Scand, 54, 1984, p 101-113 [7] J J UHL, Trans AMS, 175, 1969, p 271-285. Département de Mathématiques, Université des Sciences et Techniques du
271-285. Département de Mathématiques, Université des Sciences et Techniques du Languedoc, place Eugène-Bataillon, 34060 Montpellier Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 PROBLÈMES MATHÉMATIQUES DE LA MÉCANIQUE — Influence de l'anisotropie sur l'apparition de singularités de bord dans les problèmes aux limites relatifs aux matériaux composites. Note de Enrique Sanchez-Palencia, présentée par Maurice Roseau. On considère le problème du type Neumann pour une équation elliptique en les variables xl, x2 avec coefficients a (x) constants par morceaux. En prenant l'origine de coordonnées dans un point du bord et r, θ les coordonnées polaires correspondantes,
point du bord et r, θ les coordonnées polaires correspondantes, on sait que la solution sera singulière en général s'il existe des solutions non nulles de la forme V(x±, x2)=r^u(θ) avec 0<Re a<1 (le gradient tendra vers l'infini comme r"^1). Soit x2=0 le bord, nous démontrons que si x1 > 0 sont deux régions à coefficients différents, il existe des valeurs de ces coefficients (avec a12 discontinu sur X1=0) pour lesquelles, il y a une singularité à l'origine. Nous énonçons une conjecture (non démontrée) donnant l'existence ou la non-existence de singularité dans le cas général. Nous donnons une application à
singularité dans le cas général. Nous donnons une application à un problème d'élasticité. MATHEMATICAL PROBLEMS IN MECHANICS — Influence of Anisotropy on the Appearance of Singularities in the Boundary Value Problems for Composite Materials. We consider the Neumann problem for an elliptic equation in the variables xl, x2 with coefficients a,j(x) which are piecewise constant. Taking the origin at a point of the boundary and r, θ the corresponding polar coordinates, it is known that the solution will be singular in general if there exist non zero solutions of the form U(x1, x2)=r^u(θ) with 0<Re a<1. 1 (then the gradient
form U(x1, x2)=r^u(θ) with 0<Re a<1. 1 (then the gradient would tend to infinity as r→1) Let x2 = 0 be the boundary of the domain, we prove that if x1, x2 are two regions with different coefficients, there exist values of these coefficients (with a12 discontinuous on x1 = 0) such that there is a singularity at the origin. We state a conjecture (without proof) giving the existence (or non-existence) of singularities in the general case. An application to elasticity is given. INTRODUCTION — Considérons l'équation elliptique du second ordre à coefficients réels symétriques (ajj=a_{j}) dans un domaine du
ordre à coefficients réels symétriques (ajj=a_{j}) dans un domaine du plan (x, y) Dans le cas de coefficients constants, il est connu [1] que l'apparition de singularités au bord du domaine est liée à la convexité ou concavité des points anguleux de la frontière du domaine Une situation différente apparaît lorsque les coefficients sont constants par morceaux, même si la frontière est régulière, il peut apparaître des singularités. Nous étudions ici les conditions aux limites du type Neumann, qui correspondent en élasticité à des « bords libres »; on peut voir [2] pour le cas de Dirichlet. Considérons dans le
voir [2] pour le cas de Dirichlet. Considérons dans le plan des coordonnées cartésiennes x, y ou polaires r, θ des solutions de (1) dans le demi-plan y>0 lorsque les coefficients a_{j} sont des fonctions de θ, en particulier des fonctions constantes par morceaux prenant des valeurs constantes dans les régions x>0 et x<0. Les conditions aux limites sont de Neumann. On cherche des solutions appartenant localement à l'espace H1 de Sobolev, l'équation (1) étant interprétée au sens des distributions, ce qui implique, si les a_{j} sont constants dans x±>0 et x<0, les conditions de transmission : [a_{j}] désigne le
et x<0, les conditions de transmission : [a_{j}] désigne le saut à travers x1=0. En accord avec la théorie générale [1], nous cherchons des solutions de la forme : avec Rea>0 (dû à l'appartenance à H1) et Rea<1 (qui implique que le gradient, en r^{-1}, tend vers l'infini à l'origine). Si de telles solutions existent, on est assuré de l'existence en général d'une singularité à l'origine. Pour obtenir la forme sesquilinéaire associée à l'opérateur correspondant à (1), (2), (3) par le changement (4), il suffit de noter que est la forme associée au problème de Neumann dans le domaine fi,
forme associée au problème de Neumann dans le domaine fi, en prenant pour fi le demi-plan supérieur et : avec M, uEH1(0, 2π) et cpe^(-π, π) dans (5), il vient pour u, v : si bien que, en désignant par a (a; u, v) le second membre de (6), qui est une forme sesquilinéaire sur H1(0, 2π), le problème revient à la recherche des valeurs de a pour lesquelles le problème aux valeurs propres possède la valeur propre X = 0. UN RÉSULTAT ASYMPTOTIQUE. — Considérons les coefficients : où s est une constante qui sera prise comme paramètre. PROPOSITION