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publiées par l'Institut Smithsonien de Washington. Expression de la fonction de Legendre de seconde espèce. Revenons au cas ordinaire. L'équation que nous avons à résoudre pour obtenir une solution approchée contient la fonction de seconde espèce Qn, qui, SUR LES SURFACES DE POINCARÉ. Le premier membre est justement l'expression entre crochets dans l'intégrale figurant dans la formule (3), et par conséquent nous obtenons en intégrant, C'est là une expression très simple de Qn, et nous voyons que En utilisant la formule de récurrence que nous avons établie pour la fonction B, nous trouvons la formule de récurrence pour f Au
B, nous trouvons la formule de récurrence pour f Au moyen de cette formule, il sera possible de donner à f“ la forme suivante le déterminant contenant n lignes. En le simplifiant à l'aide de la formule de récurrence liant trois polynomes de Legendre consécutifs, nous obtiendrons f“ Le calcul des éléments approchés des Jacobiens critiques sera beaucoup simplifié par l'emploi de ces formules. Réduction de la fonction de Lamé de seconde espèce. Nous avons vu que, pour le calcul des éléments exacts, il faut calculer, entre autres termes, l'expression et par conséquent la fonction de Lamé de seconde espèce,
et par conséquent la fonction de Lamé de seconde espèce, d'ordre n, liée à Rn. La seconde de ces expressions nous a été communiquée par M. Whittaker, professeur à l'Université d'Edimbourg, à la suite d'un échange de vues sur la question. par la formule Les fonctions Rn0 que nous avons à considérer étant des polynomes en P, nous pouvons chercher à appliquer à la fonction Sn0 le procédé de réduction qui nous a réussi pour la fonction de Legendre de seconde espèce. D'une façon générale, considérons une fonction de Lamé du type Rn>4,, c'est-à-dire un polynome en p, et la
du type Rn>4,, c'est-à-dire un polynome en p, et la fonction de seconde espèce correspondante. Nous les désignerons par R et S, supprimant momentanément les indices pour simplifier l'écriture. Soient a1, a2, a3, les racines de R, o compris s'il y a lieu. Nous poserons L'application de cette formule nécessite donc le calcul de SM et S2. Or, dans le cas qui nous occupe, nous avons vu qu'avant de passer à la deuxième équation de Poincaré on avait dû considérer la première équation, et par conséquent calculer les fonctions S1 et S2. Ce qui serait utile actuellement, ce serait donc
et S2. Ce qui serait utile actuellement, ce serait donc une formule de réduction donnant Sn0 en fonction de S1,2 et S2 nous allons la rechercher tout à l'heure. La formule que nous venons d'établir n'est donc d'aucune utilité pratique pour nous; nous l'avons donnée néanmoins, d'abord à cause de sa simplicité; ensuite parce qu'elle est valable, que n soit pair ou impair, à l'inverse des formules que nous établirons ultérieurement enfin parce qu'elle sera peut-être utile dans d'autres théories. Avant d'abandonner cette expression, signalons l'élégante formule qu'on en tire en faisant n = 1 Afin de faire connaître quelque
en faisant n = 1 Afin de faire connaître quelque peu les méthodes de Darwin, nous allons transcrire cette formule avec ses notations, et la démontrer directement en utilisant les expressions qu'il a données pour les fonctions de Lamé. En nous reportant au Tableau de concordance de l'Introduction, et en nous souvenant que les fonctions de seconde espèce introduites par Darwin diffèrent des fonctions S par le facteur 2 n + 1, nous écrirons notre formule 211-F. PIERRE HUMBERT. Ajoutons, sans insister davantage, que l'on peut obtenir ainsi des formules de réduction pour les fonctions des divers autres types. La
de réduction pour les fonctions des divers autres types. La fonction S associée à, par exemple, se traitera de la même façon, en introduisant des fractions rationnelles ayant deux racines doubles au dénominateur. Passage aux notations de M. Liapounov. Nous avons supposé dans tout ce qui précède que la première équation de Poincaré avait été préalablement résolue par la méthode de M. Liapounov. Cette méthode donne le moyen de calculer la quantité A, étant posé, comme nous l'avons déjà signalé, A est par conséquent ce que nous avons appelé F, et R n'est autre chose que ce que nous avons
et R n'est autre chose que ce que nous avons désigné par M. Nos résultats s'écrivent alors de la façon suivante 1° Cas de n pair. – Le coefficient de stabilité pourra être mis sous la forme T = -5.1 Pi [2 RA(p) Il'(P) + II(p)], La même expression que dans le cas n pair. Il est inutile de faire remarquer à quel point ces formules sont plus compliquées que celles que nous avons indiquées. Même pour le cas le plus simple, n = 4, M. Liapounov est conduit à de très longs calculs pour exprimer les sommes figurant dans
de très longs calculs pour exprimer les sommes figurant dans K et dans L, et il est obligé, pour les simplifier, de faire appel aux équations de condition tirées de l'équation de Lamé. Dans les formules que nous proposons, la seule difficulté réside dans la formation du polynôme B (ou |S), qui d'ailleurs se déduit de E et de E' par des opérations rationnelles, et sans que l'on ait besoin de connaître les racines de E. Étant donnée la profonde différence de forme qui existe entre les formules de M. Liapounov et les nôtres, il est nécessaire de prouver qu'elles
Liapounov et les nôtres, il est nécessaire de prouver qu'elles sont identiques. Nous allons partir des formules de M. Liapounov, et les simplifier par l'introduction du polynôme B associé à E et E'. Commençons par le cas de n pair. Cherchons à exprimer les sommes figurant dans K. Par décomposition en éléments simples, nous avons expression qui se prêterait un peu mieux au calcul que celle qu'a employée M. Liapounov. Nous verrons, dans les Chapitres suivants, deux exemples complets de l'application de la méthode de M. Liapounov, modifiée par l'emploi de nos formules, au calcul des éléments des Jacobiens critiques
de nos formules, au calcul des éléments des Jacobiens critiques correspondant aux surfaces de Poincaré d'ordres 5 et 6. CHAPITRE II. LA SURFACE DE POINCARÉ D'ORDRE 3. Après avoir recherché d'une façon générale les éléments des surfaces de Poincaré, nous allons en étudier quelques-unes en particulier. Aux valeurs n = 0, 1 et 2 du paramètre de l'équation de Lamé ne correspondent pas de surfaces de Poincaré; la première qu'on rencontre est donc la surface de Poincaré d'ordre 3; c'est celle à qui Darwin a donné le nom de pear-shaped figure, et qui est devenue classique sous le nom de
figure, et qui est devenue classique sous le nom de figure piriforme ou pyroïde. Nous allons présenter quelques observations sur la forme de cette surface. La figure qu'a donnée Poincaré dans les Acta est bien connue. Elle a été reproduite dans les Figures d'équilibre, ainsi que dans le Mémoire de Schwarzschild. Elle affecte, en effet, la forme d'une poire, avec des inflexions nettement accusées. Mais elle ne repose sur aucun calcul, et lorsque Darwin, après avoir calculé les axes du Jacobiën critique, fait à son tour le dessin des sections de la surface par ses plans de symétrie, il trouve
de la surface par ses plans de symétrie, il trouve une forme bien différente, beaucoup plus allongée, convexe et plutôt ovoïde que piriforme. Ces deux schémas, celui de Darwin comme celui de Poincaré, ne tiennent compte que de la première approximation. Ultérieurement, Darwin a donné une nouvelle figure, en poussant jusqu'à la deuxième approximation; et la forme de la surface s'écarte encore beaucoup plus de la forme proposée par Poincaré. Les résultats de Darwin relatifs à la première approximation appellent quelques remarques. Son dessin a été fait en donnant, à la quantité t qui figure dans la définition de la
la quantité t qui figure dans la définition de la surface, une valeur arbitraire. Nous sommes alors en droit de nous demander si, en donnant à t quelque autre valeur, on n'obtiendrait pas une surface dont la section par ses plans de symétrie présentât des inflexions, rappelant par conséquent le schéma de Poincaré. Nous allons démontrer de façon rigoureuse que c'est impossible et que la surface piriforme, définie au point de vue mécanique et considérée en première approximation, est toujours convexe. Nous disons qu'un point P d'une surface de Poincaré est le correspondant d'un point Q du Jacobien quand il
est le correspondant d'un point Q du Jacobien quand il est situé sur la normale en Q à l'ellipsoïde, à la distance z. Remarquons que, le point P étant fixe, la longueur AN est indépendante de yj; la distance AM au contraire dépend de yj, étant égale à Br,(62 – oc)(62 – G2). Lorsque yj augmente, le point M tend par conséquent à se rapprocher de N; des valeurs convenables de yj auraient même pour effet de faire passer M entre N et 0; la surface aurait alors un rentrant sur l'axe des z, ce qui, au point de vue
sur l'axe des z, ce qui, au point de vue mécanique, ne peut évidemment pas se concevoir. Cette idée avait déjà été esquissée par Darwin, lorsque, construisant la section du piroïde pour une valeur particulière de e, il regrettait de ne pouvoir exagérer cette valeur, ce qui aurait pu être intéressant pour donner une idée de l'évolution de la surface. Cela va nous conduire à une limite pour yj. Si nous traduisons en effet en nombres l'inégalité AM < AN, nous trouvons yj < 0,2228. Il est d'ailleurs inutile de faire remarquer que c'est une limite très supérieure. Nous ferons
faire remarquer que c'est une limite très supérieure. Nous ferons remarquer aussi qu'il suffit de faire varier ip de 0 on n'obtient ainsi qu'un quart de la section; mais d'une part cette section est symétrique par rapport à l'axe des z; et d'autre part, on peut considérer le second quart comme correspondant à 0 < yj < -1 avec yj négatif. Nous donnerons donc à yj des valeurs tant positives que négatives. Formons à présent l'équation des points d'inflexion, c'est-à-dire Y''Z" – Z''Y". Nous trouvons Cette expression se compose donc de trois termes 1° Le terme constant BC, dont la
de trois termes 1° Le terme constant BC, dont la valeur est 1,53^ 2° Un terme contenant Yj2 en facteur; il serait facile de voir qu'il est toujours petit et positif; nous le négligerons; 3° Un terme contenant yj en facteur. Si nous posons sin2cp = t, nous écrirons le coefficient de yj sous la forme suivante Remarquons que la constante yj n'a pas la même valeur que dans le paragraphe précédent. Pour simplifier les énoncés, nous appellerons • Sommets de la figure, les deux points situés sur l'axe des z, définis par 2' • Pseudo-sommets, les deux points situés
z, définis par 2' • Pseudo-sommets, les deux points situés sur l'axe des x, qui coïncident avec les sommets du petit axe de l'ellipse principale; ils correspondent à p = 0 et p = z; • Points fondamentaux, les points de rencontre, autres que les pseudosommets, avec l'ellipse principale. Ils sont définis par sin2cp – • Considérons deux points fondamentaux symétriques par rapport au petit axe de l'ellipse, et définis par les arguments p0 et p0. Les coefficients angulaires des tangentes à la section en ces deux points seront ils Si l'on calcule alors l'angle V que font entre elles
Si l'on calcule alors l'angle V que font entre elles ces deux tangentes, on constate que les termes contenant yj se trouvent être en facteurs communs au numérateur et au dénominateur, et l'on obtient d'où la première de nos remarques • Quelle que soit la valeur que l'on donne à E, les tangentes en deux points fondamentaux symétriques par rapport à l'axe des x font entre elles un angle constant, et égal, ce qui est évident, à l'angle que font entre elles les tangentes v à l'ellipse en ces deux points (cas correspondant à t = 0). Signalons également la
points (cas correspondant à t = 0). Signalons également la propriété suivante, dont la démonstration est aisée La perpendiculaire abaissée d'un sommet sur la tangente en l'un des pseudo-sommets passe par un point fixe. Il y a quatre points de cette espèce, dont les coordonnées sont On pourrait en donner une construction géométrique assez simple. Quelques remarques peuvent être faites aussi sur le centre de courbure en un pseudo-sommet. Les coordonnées du centre de courbure K au pseudosommet p = 0 sont ils o u u.) Le lieu de K est donc une cubique unicursale. Si l'on transporte l'origine au
est donc une cubique unicursale. Si l'on transporte l'origine au pseudo-sommet, l'axe des x étant pris pour axe polaire, on voit que cette cubique se déduit, par la combinaison qui sont, la première une ellipse passant par le pseudo-sommet, et la seconde une droite tangente à cette ellipse. Le centre de courbure K se déduit d'ailleurs du centre de courbure de l'ellipse par la construction simple suivante, dont la démonstration est évidente Menons en A la tangente AT et la normale AN à la section, la tangente AO à l'ellipse, et par w la parallèle à AO; AT coupe cette
et par w la parallèle à AO; AT coupe cette droite en D menons DE perpendiculaire à AD, jusqu'à sa rencontre E avec AO. La droite Ew coupe AN au point cherché K. Nous énoncerons enfin la remarque suivante Le lieu des points de la section où la tangente est parallèle à la tangente au point correspondant de l'ellipse se compose des normales à l'ellipse aux points définis par sincs == ± – /3C2 – CyôC-Sa, 1 2a v et du grand axe de l'ellipse, solution évidente. Dimensions des sections. Pour compléter ce Chapitre, qui est en quelque sorte une
Pour compléter ce Chapitre, qui est en quelque sorte une monographie de la surface piriforme, nous donnons les valeurs des axes et les coordonnées des figures. Surface de Poincaré, d'ordre 3. Points fondamentaux des sections par les deux plans de symétrie. Nous partons cette fois des résultats exacts de M. Liapounov; il y aura donc une très légère différence avec les nombres donnés par Darwin. Axes du Jacobien critique, d'où et Section par le plan des xz. – Coordonnées des points fondamentaux x = 0,42438; Section par le plan des yz. – Coordonnées des points fondamentaux y = 0,50066; et,
yz. – Coordonnées des points fondamentaux y = 0,50066; et, dans chaque section, les symétriques par rapport aux axes. Nous donnons en outre, dans la figure 3, les sections, par les trois plans de coordonnées, du Jacobien critique et de la surface de Poincaré. Cette figure est, à très peu près, la reproduction de celle qu'a donnée Darwin. CHAPITRE III. Les éléments du Jacobien critique correspondant à n = 4 ont été calculés par M. Liapounov, qui a donné les nombres suivants A = 0,65067; B = 0,81503; C = 1,8856; a2 = 3,13213; b = 2,89123, a = 1,79983
1,8856; a2 = 3,13213; b = 2,89123, a = 1,79983 z = 1,42935. z = 1,47786, 0,0709 < p < 0,0710, 0,02355 < g < 0,02362. On voit de suite qu'il y a deux surfaces de Poincaré d'ordre 4, la première, que nous appellerons surface positive, correspond à des valeurs positives de e; la seconde, surface négative, est définie par les valeurs négatives de e. On trouve dans Les Surfaces d'équilibre un schéma de la surface positive, ne reposant sur aucun calcul; M. Liapounov, quoique ayant calculé les éléments de ces surfaces, ne parle pas de leur forme et ne
ces surfaces, ne parle pas de leur forme et ne donne aucune figure. Nous nous proposons d'étudier la forme des surfaces de Poincaré d'ordre 4, considérées en première approximation. Notons que les six sommets de la surface positive (c'est-à-dire les points situés sur les axes de symétrie) sont tous extérieurs au Jacobien critique, tandis que ceux de la surface négative sont tous intérieurs à cet ellipsoïde. Citons enfin les résultats de M. Liapounov sur la stabilité de ces figures d'après cet auteur, la surface négative est stable, la surface positive instable. Équations des surfaces. Points fondamentaux. Les deux surfaces coupent
instable. Équations des surfaces. Points fondamentaux. Les deux surfaces coupent l'ellipsoïde critique suivant quatre lignes de courbure de cet ellipsoïde, définies par Considérons la section des surfaces par les plans des xz et des yz. Il sera facile de calculer les coordonnées des points de rencontre communs des deux sections avec l'ellipse principale. Ce sont les points que nous avons appelés fondamentaux. On trouve ainsi Section par le plan des xz. – Premier point fondamental et les symétriques de chacun de ces points par rapport aux axes des x et des z. Une positive, l'autre négative. Au contraire, pour une
des z. Une positive, l'autre négative. Au contraire, pour une valeur impaire de n, il n'y a qu'une surface de Poincaré, un changement de signe pour e se traduisant simplement par une symétrie par rapport au plan des xy. Étant égal à s à un facteur constant près. On donnera à YJ une valeur arbitraire, petite, et l'on construira la courbe par points. Or si l'on fait cette construction, on s'aperçoit que, même pour de très petites valeurs de yj, par exemple YJ = 0,02, la section semble présenter des inflexions, alors que, même pour des valeurs beaucoup plus grandes
inflexions, alors que, même pour des valeurs beaucoup plus grandes de YJ, la surface piriforme n'en présentait pas comme nous l'avons fait pour la surface d'ordre 3, et chercher son signe mais ce serait un calcul très compliqué. Nous nous contenterons de prouver que, pour certaines valeurs de yj, certains points de la section sont des points d'inflexion. Quelles remarques peut-on faire sur la grandeur de yj ? Dans le cas où yj est positif, nous ne pouvons rien dire, sinon que yj doit être petit; mais nous ne pouvons pas fixer de limite supérieure à YJ en nous fondant
pas fixer de limite supérieure à YJ en nous fondant sur des considérations mécaniques. Dans le cas où YJ est négatif, au contraire, en faisant un raisonnement identique à celui que nous avons fait pour la surface d'ordre 3, nous pouvons assigner comme limite inférieure à yj la valeur 0,028. Section par le plan des yz. – Premier point fondamental Deuxième point fondamentel et les symétriques de chacun de ces points par rapport aux axes des y et des z. Existence de points d'inflexion. Il sera facile, avec ces données, de construire la section de chacune de ces deux surfaces
de construire la section de chacune de ces deux surfaces par un de leurs plans de symétrie. Dans le plan des xz, par exemple, on a On pourrait former la quantité X = Acos<p + CHcos©, Z = C sin<p + AH sin©, H = Y)(a2 sin2© – x, ) (a2 sin2© – a2) (C2 – a2 sin2©)-1 sin©', = 0,8652 y; = 0,3508; z = 2,035. sin©'2 = 0,3416; y; = 0,6396; z'.2 = 0,8047, X'Z"– X"Z' Cette expression s'annule pour YJ = 0,028. Donc, même pour cette très faible valeur de YJ, nous pouvons affirmer qu'il y a
faible valeur de YJ, nous pouvons affirmer qu'il y a des inflexions. De même, pour la surface négative, le point fondamental sin<p = -1 est un point d'inflexion pour a2 yj = – 0,028. Nous pouvons donc conclure en disant que les sections des surfaces de Poincaré d'ordre 4 sont susceptibles d'avoir des inflexions, et nous tracerons ces sections en conséquence. Les figures que nous donnons sont à la même échelle que celle de la surface d'ordre 3. La comparaison du profil exact de la surface positive avec le schéma de Poincaré montre que le Jacobien critique est beaucoup plus
de Poincaré montre que le Jacobien critique est beaucoup plus allongé qu'il ne le supposait, et que les points fondamentaux ne sont pas disposés de la même façon. Néanmoins l'allure générale de la section n'est pas trop inexacte, et en tout cas ce schéma se rapproche beaucoup plus de la réalité que celui de la surface d'ordre 3. CHAPITRE IV. LA SURFACE DE POINCARÉ D'ORDRE 5, M. Liapounov n'a appliqué sa méthode générale de calcul des éléments du Jacobien critique qu'aux deux cas n = 3 et n = 4. Nous allons dans ce chapitre calculer les éléments du Jacobien
Nous allons dans ce chapitre calculer les éléments du Jacobien critique correspondant à la surface de Poincaré d'ordre 5. Ainsi que nous l'avons dit ailleurs, nous emploierons, pour la première partie du calcul (celle qui est relative à la première équation de Poincaré), le procédé de M. Liapounov, sans modification. Nous allons donc commencer par exposer brièvement cette méthode, dans ses parties essentielles. Le deuxième stade du calcul, relatif à la deuxième équation de Poincaré, sera traité avec les nouvelles formules que nous avons établies au Chapitre 1 de ce travail. Tout ce qui va suivre sera donc écrit avec
travail. Tout ce qui va suivre sera donc écrit avec les notations de M. Liapounov. La première équation de Poincaré. On calculera donc, p étant donné, les ae et b, jusqu'à un certain rang, puis on en déduira c et les li; on formera ensuite l'équation dont il s'agit de trouver la racine. Comme f(X) est une fonction croissante de X, si x0 est un nombre arbitraire inférieur à 1, la racine sera toujours comprise entre x0 et 1. On pourra ainsi resserrer les limites de la racine cherchée autant qu'on le voudra. Ce procédé simple donne de très bons
qu'on le voudra. Ce procédé simple donne de très bons résultats. Une fois connu, on en déduira q et A – Le problème sera entièrement résolu, et il n'y aura plus qu'à passer au calcul de la seconde équation. Conduite générale du calcul. Ceci posé, examinons la marche du calcul avec son application au cas qui nous occupe. Comme nous l'avons dit au Chapitre I, nous commençons par chercher une solution approximative, devant nous servir de point de départ pour les calculs de précision. Nous avons donc recours aux fonctions de Legendre. Pour n = 5, le polynôme de Legendre
de Legendre. Pour n = 5, le polynôme de Legendre est Une fois ce calcul fait, on partira d'une nouvelle valeur de p convenablement choisie, de façon à trouver deux limites, aussi voisines que possible, entre lesquelles se trouve la valeur exacte. Indiquons à présent les résultats que cette méthode nous a donnés. Le calcul approché nous a montré que p devait être voisin de 0,02899. Nous avons été conduit ensuite à essayer la valeur 0,02900. Nous avons trouvé alors, pour p = 0,02900 ao= 0,47816; bo = 0,44709; Équations et forme de la surface. Nous passerons alors à nos
et forme de la surface. Nous passerons alors à nos notations ordinaires, par les formules que nous avons indiquées dans l'Introduction, et nous aurons En remarquant que p ne doit pas différer beaucoup de 0,02899, valeur obtenue par interpolation, nous adopterons pour les axes du Jacobien critique les valeurs A = 1.8016; qui peuvent être considérées comme exactes à une unité près de l'ordre du dernier chiffre écrit. Nous en déduisons Pour achever de déterminer la surface, calculons les coordonnées des points fondamentaux de ses sections par les deux plans de symétrie, comme nous l'avons fait pour la surface d'ordre
de symétrie, comme nous l'avons fait pour la surface d'ordre 4. Nous trouvons Section par le plan des xz. – Premier point fondamental Deuxième point fondamental Section par le plan des yz. – Premier point fondamental Deuxième point fondamental Il faut y ajouter, outre les symétriques de chacun de ces points par rapport aux axes du Jacobien, les sommets du petit axe de l'ellipse principale. L'intersection de la surface avec le Jacobien critique se compose en effet de la petite ellipse principale, z = 0, et des quatre lignes de courbure définies par v = ± y/ô1, La section par
courbure définies par v = ± y/ô1, La section par le plan des yz est donc fort peu différente de la section par le plan des zx, ce qui n'est pas étonnant, puisque, à mesure que n grandit, on obtient des surfaces qui se rapprochent de plus en plus de la forme de révolution. Ces sections sont représentées (fig. 6), avec la même échelle que pour les surfaces d'ordres 3 et 4. On voit que le Jacobien critique est très allongé; et il semble probable qu'il y ait des inflexions, même pour de très petites valeurs de E. Signalons les
même pour de très petites valeurs de E. Signalons les propriétés géométriques suivantes, extensions de celles que nous avons données pour la surface de Poincaré d'ordre 3 1° En deux points fondamentaux symétriques par rapport au petit axe de l'ellipse, les tangentes à la section font entre elles, quel que soit e, un angle constant, égal à l'angle des tangentes à l'ellipse en ces points. Ce résultat s'étend d'ailleurs à toute surface de Poincaré d'ordre impair; 2° La construction, donnée pour n = 3, du centre de courbure en un sommet, subsiste sans modification pour le cas n = 5,