jeanflop/post-ocr-correction huggingface dataset:
ait lieu, chacun de ces points correspondra en général à une valeur rationnelle de t, et Ck aura aussi une infinité de points entiers correspondants, en sorte que les conditions du théorème du n° VII sont applicables à Ck. Cela permet déjà de spécifier que F(A a une forme très particulière. Mais il est possible d'arriver à une conclusion analogue pour le plus petit commun multiple F de F1, F2, Fk en envisageant les diverses courbes C,y (i = 1, 2, k, i = j) et utilisant le n° XIII (3°); une remarque de même nature pourrait être faite à
(3°); une remarque de même nature pourrait être faite à propos des recherches du n° XVIII. Géométriquement, tout point de C a, en général, une projection sur le plan des a; xk un point simple de C,k; et, inversement, tout point simple de Ck est la projection sur ce plan d'un point unique de C. En exceptant, le cas échéant, les valeurs rationnelles de t, en nombre fini, qui pourraient annuler un des polynomes F1, F2, Fk. Toutefois, comme nous avons aussi en vue la détermination systématique des points entiers par un nombre fini d'opérations, nous préférons développer les considérations
par un nombre fini d'opérations, nous préférons développer les considérations ci-après. Nous allons établir le lemme suivant, qui est vrai pour toutes les courbes C ayant, ou non, une infinité de points entiers. LEMME I. Si x1, x2, sont des entiers, et si l'on pose g, et G, étant des polynomes entiers en t à coefficients entiers, G, le plus petit commun multiple de F1, F2 on peut, grâce à un nombre fini d'opérations, déterminer les entiers u1, de façon que 1° g, et G, soient premiers entre eux; 2° La courbe C' d'équations en coordonnées cartésiennes X, xk, soit
La courbe C' d'équations en coordonnées cartésiennes X, xk, soit indécomposable (n° II), par suite aussi, au sens indiqué plus haut, dans l'espace X, x2, xk, la courbe C, d'équations en coordonnées cartésiennes X, xk, soit indécomposable. Le nombre des entiers f/.2 satisfaisant à cette condition, quand i prend toutes les valeurs des racines de F, 2, ne peut être illimité. En effet, on n'a pas à la fois car si (t – t)2 est la plus haute puissance de t – qui divise F,2(t), un des deux polynomes F1, F2 est divisible par (t – t)2, aucun ne l'étant
F2 est divisible par (t – t)2, aucun ne l'étant par une puissance supérieure; si c'est F1, par exemple, (f = Û'F est premier à t – t. Dès lors, à chaque valeur de r ne correspond qu'une valeur possible de [u2. Excluons ces valeurs de f/.2 la fraction A est irréductible. On peut en outre trouver p.2 tel qu'à deux points distincts de C,A en correspondent deux distincts de T'u, et inversement, au moins en général, de façon que T'ik soit indécomposable. En effet, soient t1, t2, deux points distincts (simples) de C,k, pour lesquels les coordonnées de C
distincts (simples) de C,k, pour lesquels les coordonnées de C sont Pour une valeur donnée de t1, le nombre des valeurs de t2 satisfaisant à cette égalité est limité et indépendant de [i.2, comme ces valeurs elles-mêmes. Soit £2 une de ces valeurs; l'égalité (29 bis) correspondante, où x=f^x, ne peut être satisfaite que pour une valeur de f^2, que nous exclurons encore, quelle que soit cette valeur. Ceci posé, envisageons le résultant (après réductions et suppression des facteurs t2 – t, ) des deux équations (29) en t., c'est une certaine fonction $(fou.2). D'après ce qui précède, on peut
une certaine fonction $(fou.2). D'après ce qui précède, on peut trouver, pour la valeur de t, considérée, une, et, même, une infinité de valeurs de [x2 telles que <É>(£4,p.2) soit =/= o, en prenant pour x2 une quelconque des valeurs non exclues. La fonction $(£, [x2) correspondante n'est pas identiquement nulle. Cette fonction ne peut donc s'annuler que pour un nombre limité de valeurs de t, quand x2 est donné comme on vient de le dire. En excluant ces valeurs de t, on voit que, si l'on prend pour t, une quelconque des autres, (29) n'a pas lieu, c'est-à-dire que
une quelconque des autres, (29) n'a pas lieu, c'est-à-dire que les deux points t1, t2 (supposés simples sur Ck) sont, quel que soit t2=£ t1, distincts sur T'llr, qui est alors une courbe indécomposable du plan des X1, xk (au sens du n° II); ces deux points sont aussi deux points distincts de Y' Nous avons ainsi établi une correspondance point par point entre les courbes C et Y', de façon qu'à chaque point entier de C corresponde un point entier de Y', et réciproquement. Mais la courbe Y' est telle que le dénominateur F12 de X', est le plus
telle que le dénominateur F12 de X', est le plus petit commun multiple de F1, F2. Nous pourrons continuer de la sorte. Nous prendrons la courbe Y2, de l'espace X*, x2, xh, p., étant un entier. En vertu du même raisonnement, nous pourrons opérer sur Y' et Y'1 comme nous l'avons fait sur C et Y', X* étant alors une fraction irréductible -¥où F,2S est le plus petit commun multiple F,~a de F, et F,, c'est-à-dire celui de F,, F2, F3; et ainsi de suite. L'énoncé du lemme ci-dessus se trouve ainsi complètement établi; C étant r*~a, et Ck étant
trouve ainsi complètement établi; C étant r*~a, et Ck étant F*7!. À deux points distincts de C1k et C correspond (à un nombre limité d'exceptions près), deux points distincts de C* et C; et inversement. c. Q. F. D. XVI. Si donc C a une infinité de points entiers, il en résulte de même de C' et C1k; le plus petit commun multiple F de F1, F2, Fk, ou de F, et Fk, doit se réduire à une constante ou être d'une des formes (i4) ou (15) du n° VII, n étant le plus grand des degrés de H, hk
n étant le plus grand des degrés de H, hk et F, si l'on met l'équation de la courbe C sous la forme On peut même alors préciser un peu plus quand F n'est pas une constante. Supposons d'abord que F, plus petit commun multiple de F1, F2, ne soit pas une constante. La courbe C,k étant indécomposable et ayant une infinité de points entiers, le degré de Fti est au moins égal à celui de <p', et celui de F, à celui de <p', donc à celui de <p. Le degré de F, est donc au moins égal à
Le degré de F, est donc au moins égal à celui de <p', et ainsi de suite. Soit maintenant F,*= const. Je dis que ce cas est impossible. En effet, F2, F3, FA_, n'étant pas tous constants, on peut, en opérant au besoin un changement de notations, supposer que F2 ne soit pas constant. Alors le degré commun de F, et F2 est au moins égal à celui de mais il n'y a qu'une valeur au plus de <p2 telle que le plus grand des degrés de <p', et <p'2 soit supérieur à celui de f donc, si nous l'excluons
soit supérieur à celui de f donc, si nous l'excluons (ce que nous pouvons faire, puisque <p.2 est susceptible d'une infinité de valeurs), le degré de F2 et F,2 est au moins égal à celui de <p'2 et <p'= <F(2; F, étant une constante, devrait aussi en être une, cas que nous devons laisser de côté car on aurait x, = const. Nous pouvons résumer dans l'énoncé suivant la plupart des résultats que nous avons obtenus au sujet de celles des courbes (27) (indécomposables au sens du n° XIV) qui ont une infinité de points entiers. Théorème. – Soit la
ont une infinité de points entiers. Théorème. – Soit la courbe C de l'espace à k dimensions où t est un paramètre variable, et où F1, h1, F sont des polynomes entiers à coefficients entiers, et Fi étant premiers entre eux, et F étant le plus petit commun multiple de F1, Fa. Supposons de plus que la courbe plane C,* du plan des xt, x/ où F,* est le plus petit commun multiple de F, et Fk, soit indécomposable au sens du n° II, autrement dit qu'elle soit coupée en n, points distincts par une droite convenable ax + bxk
n, points distincts par une droite convenable ax + bxk = o, les polynomes l1, lk, F,* étant de degré sn(, et l'un de degré n, (2° Les points rationnels (c'est-à-dire à coordonnées rationnelles) de C correspondent, sauf peut-être un nombre limité, aux valeurs rationnelles de t, et sont en nombre infini. Les points entiers (c'est-à-dire dont les coordonnées sont des entiers) {*) Ce théorème et le n° XVII subsistent quand C^. est une droite (avec ni = 1) ou une conique (avec n:= 2). F est d'une des formes (14) ou (15), n étant le degré de F, et
(14) ou (15), n étant le degré de F, et aucun des polynômes h,, hh n'est de degré > n; dans chacun de ces deux derniers cas, les valeurs rationnelles t = – qui fournissent des points entiers donnent, chacune une solution en entiers d'une des équations (14 bis) (n° VII). XVII. On peut maintenant montrer, en s'aidant des nos X à XII, comment on peut, par un nombre fini d'opérations, déterminer tous les points entiers, en nombre fini ou non, de la courbe (27) ces opérations seront en même temps indiquées avec précision. En effet, on saura reconnaître à
temps indiquées avec précision. En effet, on saura reconnaître à l'aide d'un nombre fini d'opérations, détaillées dans les nos X à XII, si la courbe C1A (n° XIV) n'a qu'un nombre fini de points entiers, et, s'il en est ainsi, les trouver. S'il n'en est pas ainsi, on opérera de même sur C1k (n° XV). Lorsque C1h ou C1u n'a qu'un nombre fini de points entiers, il suffit de chercher si les valeurs correspondantes de t donnent des points entiers de C. Quand C1k et C1A ont une infinité de points entiers, il nous suffit d'envisager ceux des points entiers
points entiers, il nous suffit d'envisager ceux des points entiers de C1k et C qui correspondent à une valeur rationnelle t = – les autres pouvant être (nos V, X et XI) déterminés par un nombre fini d'opérations connues pour C1k, par suite pour C. Posons [formules (27)], n étant alors le plus grand des degrés des polynômes H(f), hi(t), F(t), nous distinguerons deux cas 1° Y(t) = K = const. Les équations de C, où t = –, donnent On procède comme au n° XI, où k = 2, on a qu'il n'a qu'un nombre limité de valeurs possibles
on a qu'il n'a qu'un nombre limité de valeurs possibles divisant les coefficients de la plus haute puissance de p dans chacun des polynômes ht(p, q). À chacune de ces valeurs possibles q, de q correspondra un système de congruences simultanées analogues à (20), et dont on aura à chercher les solutions premières à q, et communes. Il n'y a pas de solutions, ou il y en a une infinité. 2° F(t) est d'une des formes (14) ou (15). On doit supposer (n° XVI) que H(t) et les hi(t) sont de degré n, degré de F(t). Les équations de C,
de degré n, degré de F(t). Les équations de C, pour t = – donnent équations analogues aux équations (21) du n° XII; F(p, q) est d'une des formes (14 ter) ou (15 ter) du même numéro; on aura de même où B est un entier > 0 qui n'a qu'un nombre limité de valeurs possibles; la considération de C1k permet de trouver ces valeurs. On envisagera chacune d'elles, et les relations analogues à (22) le raisonnement se continue à peu près comme au n° XII. Le résultat annoncé au début du n° XVII se trouve ainsi entièrement établi. Remarquons,
début du n° XVII se trouve ainsi entièrement établi. Remarquons, comme au n° IX, que le cas où le nombre des points entiers étant fini ou non, et le cas où F(t) = K = const. ne sont pas essentiellement distincts; on ramène l'un d'eux à l'autre par un changement linéaire de variables. De même, lorsque Observation encore, comme au n° VIII dans le cas où k = 2, que les divers cas considérés au théorème du n° XVI peuvent être effectivement réalisés. Des exemples étendus de courbes C ayant une infinité de points entiers se trouvent immédiatement pour chaque
une infinité de points entiers se trouvent immédiatement pour chaque degré en prenant successivement, comme au no VIII, F(t) égal à 1, (at– b)n, (f2– af. XVIII. Les résultats des nos XVI et XVII peuvent se retrouver, avec extension, par une autre voie, en généralisant directement les méthodes des nos VI à IX et l'observation 3° du n° XIII. Envisageons la courbe de l'espace x1, xk, où h1, hk, F sont des polynômes à coefficients entiers n'ayant aucun diviseur commun, sans nous poser d'autre condition, k pouvant même être égal à 1. Ajoutons que tous les polynômes considérés ci-après sont
à 1. Ajoutons que tous les polynômes considérés ci-après sont supposés avoir aussi leurs coefficients entiers. Soit n le plus grand des degrés de ces polynômes h, hk, F, et, t étant égal à – (p, q premiers entre eux, positifs ou négatifs), On désignera par A2(t) le plus grand commun diviseur algébrique de hi et F, et par n, le plus grand des degrés de ces polynômes A2(n, t). Soit si l'on suppose les xi entiers, le nombre F(p, q) divise les nombres hi(p, q), par suite les premiers membres de (34). On opérera sur les k polynômes kt
membres de (34). On opérera sur les k polynômes kt comme on l'a fait sur les k + 1 polynômes hi et F. On considérera le plus grand commun diviseur de h1 et hk soit n., le plus grand des degrés des h2(n,). On aura encore des identités analogues à (33), les A2, B; étant de degré n, – 1, et, corrélativement, avec une signification évidente d'après ce qui précède, les égalités, analogues à (34), F(p, q) divise les premiers membres de ces équations multipliés par q3, d'après (34), c'est-à-dire On considérera de même le plus grand commun diviseur de
On considérera de même le plus grand commun diviseur de h1 et h2l, etc. Les degrés maxima des suites c'est-à-dire n, n2, n3, ne vont pas en augmentant. Le nombre des hi est plus faible d'une unité que celui des hf1. En continuant de la sorte, on finira par n'avoir qu'une pareille quantité, savoir hi, et F(p, q) divise qlh(p,q), où hi = = hk(p, q) (nk degré de h), et où X est limité supérieurement en fonction de k et n. D'autre part, hi(t) divise algébriquement A2(t) et hk1(t), les h2(t), enfin les hi(t) et F(t); par conséquent, d'après
les h2(t), enfin les hi(t) et F(t); par conséquent, d'après l'hypothèse, hi(t) se réduit à une constante A, et F(p,q) divise Aq1. On arrive donc ainsi à déterminer tous les points entiers de (32) qui correspondent à une valeur rationnelle de t, et ceci par un nombre fini d'opérations, pour toute valeur de k. Dans le cas où la courbe du plan des xt, xk est indécomposable (au sens du n° II), on retrouve le théorème du n° XVI et l'énoncé du début du n° XVII. XIX. Dans les applications de ce qui précède à l'Analyse indéterminée, autrement dit aux
de ce qui précède à l'Analyse indéterminée, autrement dit aux propriétés arithmétiques des courbes algébriques dont les équations ne renferment que des polynômes à coefficients entiers, la question de la recherche des points entiers, ou encore des points rationnels se posera en général sous une forme différente, comme aux n° X et XIII. On aura à trouver les points entiers ou rationnels d'une courbe algébrique gauche donnée, dans l'espace à k dimensions X1, Xk par les équations où les h( sont des polynômes à coefficients entiers. Nous allons indiquer des cas étendus où le problème peut être plus ou moins
cas étendus où le problème peut être plus ou moins complètement résolu d'après les nos XIV à XVIII. 1° Soit la courbe G' d'équations où h., /tA2, sont des fractions rationnelles et /t, est un polynôme à coefficients entiers. Observons que la courbe (36) comprendra des points, réels et à distance finie de deux espèces. On a ht = où ç, Ç/() sont des polynômes entiers en x1, x2 premiers entre eux et à coefficients entiers; soit x1, x2 un point de la courbe C12 ou h2(x1, x2) = 0 du plan des x1, x2, si ce point annule en
du plan des x1, x2, si ce point annule en même temps z, et cp1, pour une valeur de i, on pourra considérer, pour cette valeur, xi+i comme indéterminé; donc, à un pareil point x1, x2 de C12 correspondent une infinité de points de C, lesquels seront les points de première espèce. On les obtiendra par un nombre fini d'opérations connues en cherchant pour chaque valeur de i les solutions communes, en nombre fini, à h1 = 0, h2=0, h3 = 0; les seuls rationnels sont ceux pour lesquels x1, x2, sont rationnels et l'on donnera des valeurs rationnelles arbitraires
x2, sont rationnels et l'on donnera des valeurs rationnelles arbitraires à ceux des xi+i()i, i) dont la valeur a été considérée comme indéterminée; on en conclura facilement ceux qui sont entiers s'il y en a, ils sont en nombre infini. Les points de deuxième espèce de (36), c'est-à-dire les points de C pour lesquels h1, h2, h3 ne s'annulent pas à la fois, de quelque manière qu'on choisisse i > 1 (h3() étant aussi 0, car nous n'envisageons que les points à distance finie), correspondent chacun à un point unique de C', et réciproquement mais à un pareil point entier
de C', et réciproquement mais à un pareil point entier de C' peut ne correspondre qu'un point rationnel de C'. On peut toujours supposer C12 irréductible, sans quoi la courbe (36) se décomposerait en deux ou plusieurs autres analogues que l'on étudierait séparément. Dans cette hypothèse, si la courbe C18 est décomposable, elle n'a qu'un nombre limité de points x1, x2 rationnels (n° IV), à chacun desquels correspondra au plus un point rationnel de deuxième espèce, ou une infinité de points rationnels de première espèce de C, parmi lesquels on trouvera les points entiers par un nombre fini d'opérations. Admettons
trouvera les points entiers par un nombre fini d'opérations. Admettons alors dans la suite que C12 est indécomposable si l'on sait trouver ses points rationnels, on saura trouver ceux de C'. En particulier, soit C15 unicursale dans ce cas, si les points rationnels de C' sont en nombre fini, on a immédiatement tous les points rationnels de C', et aussi les points entiers de deuxième ou de première espèce; si les points rationnels de C' sont en nombre infini, x1, xk s'expriment en fonction rationnelle à coefficients entiers d'un paramètre t, lui-même fonction rationnelle à coefficients entiers de x1, x2;
t, lui-même fonction rationnelle à coefficients entiers de x1, x2; en mettant à part les points entiers de C' qui pourraient correspondre aux points doubles entiers de C15, et les points entiers de première espèce, que l'on sait trouver, les autres points entiers se détermineront par les méthodes des nos XIV à XVIII. La solution complète du problème de la détermination des points entiers de C' ne dépendra que d'un nombre fini d'opérations, lorsque C15 est de genre 0 (comme d'ailleurs C'). 2° Soit la courbe y de l'espace x1, xk, les |i, étant des polynômes entiers en x1, xk
xk, les |i, étant des polynômes entiers en x1, xk à coefficients entiers, à tout point entier de (37) correspond un point entier de la courbe y' de l'espace xt, x2, x3, XA, La détermination des points entiers de y', qu'on sait effectuer dans un certain nombre de cas d'après ce qu'on vient de voir, donnera des indications sur les points entiers de y dont chacun correspond à un point entier de y' (c'est là une extension déjà méthode du n° XIII, 20). Exemple. Si |Jl1 = x1i (X, entier positif), et, si le nombre des points entiers de deuxième
positif), et, si le nombre des points entiers de deuxième espèce de y' est limité, il en est de même a fortiori pour les points correspondants de y; l'application au cas où y' est de genre 0 est immédiate. Quant aux points de première espèce de y', soit xi, x2 le système de valeurs, en nombre fini, qui leur correspond, hit, hit, celles des quantités lit que ce système ne rend pas indéterminées il suffira de vérifier si hit, hit, sont bien arithmétiquement des puissances (i')ème, (i'me, etc. exactes, c'est-à-dire s'il en est ainsi de X1+1, X2+1, s'il en est
s'il en est ainsi de X1+1, X2+1, s'il en est ainsi, les valeurs des quantités xt correspondant aux autres hi seront des entiers arbitraires. La solution complète ne dépend donc, quand y' n'a qu'un nombre limité de points de deuxième espèce, que d'un nombre fini d'opérations, soit si l'on connaît ces points, soit si h1 = 0 est de genre 0. 3° Dans le même ordre d'idées, on peut chercher les valeurs rationnelles de t, u qui rendent entiers où fk sont des fonctions rationnelles de t, u à coefficients entiers (quand k = 3, ces équations sont celles d'une
entiers (quand k = 3, ces équations sont celles d'une surface unicursale, si t, u sont alors fonctions rationnelles de xt, x, x). a. Si (t, u) = cp, (t) ne dépend pas de u, on sait trouver (n° XIII, 1°) les valeurs t = –(p, q) entiers premiers entre eux qui rendent x, entier. Si elles sont en nombre fini, ce qui est le cas général, on a à trouver pour chaque valeur de t les valeurs rationnelles de u qui rendent x, xh entiers (n°s VI à XIII pour k = 2 ou 3, nos XIV à XVIII
pour k = 2 ou 3, nos XIV à XVIII pour k > 3); un nombre fini d'opérations donne la solution complète; dans le cas général, le nombre des points entiers sera limité. b. Si fk(t,u) est une fonction de u, on est ramené au cas précédent par le changement de variables t = ut, u et t, étant les nouveaux paramètres. 4° Soit le système on posera Xk=fj(k) ; l'étude des points entiers du système quand les fj sont des polynomes entiers en xk, xk à coefficients entiers et que les t, u ne prennent que des valeurs rationnelles,
que les t, u ne prennent que des valeurs rationnelles, donnera des indications sur les points entiers du système correspondant aux valeurs rationnelles de t, u (comparer avec 2° ci-dessus). TABLE DES MATIÈRES. Pages. SUR LES SURFACES DE POINCARÉ; par Pierre Humbert 1 MÉMOIRE SUR LES ÉLÉMENTS ET LES NOTIONS GÉOMÉTRIQUES; par Henri Malet 83 EXAMEN CRITIQUE DU MÉMOIRE DE POINSOT SUR LA « THÉORIE NOUVELLE DE LA ROTATION DES CORPS »; par J. Liégeville. 107 DÉTERMINATION DES POINTS ENTIERS DES COURBES ALGÉBRIQUES UNICURSALES A COEFFICIENTS ENTIERS DANS L'ESPACE A k DIMENSIONS; par Edouard Maillet 155 PARIS. IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS ET
k DIMENSIONS; par Edouard Maillet 155 PARIS. IMPRIMERIE GAUTHIER-VILLARS ET CIE, 55, quai DES Grands-Augustins, PARIS 55oa6-20 Librairie GAUTHIER-VILLARS ET CIE, 55, quai DES Grands-Augustins, PARIS. Envoi franco dans toute l'Union postale contre mandat-poste ou valeur sur Paris. Majoration temporaire 50 HUMBERT, Membre de l'Institut, Professeur à l'École Polytechnique. Cours d'Analyse professé à l'École Polytechnique, 2 volumes in-8 (23-16), se vendant séparément. Tome 1 Calcul différentiel. Principes du calcul intégral. Applications géométriques, avec 111 figures; 1902 16 fr. Tome 2 Complément du calcul des intégrales. Fonctions analytiques. Équations différentielles avec 91 figures 1904 16 fr. POINCARÉ (Henri), membre de l'Institut.
91 figures 1904 16 fr. POINCARÉ (Henri), membre de l'Institut. Calcul des Probabilités. (COURS DE PHYSIQUE MATHÉMATIQUE DE LA FACULTÉ DES SCIENCES DE Paris). Rédaction de A. Quiquet, ancien élève de l'École normale supérieure. 2e édition revue et augmentée par l'auteur. Volume in-8 (23-16) de iv-336 pages avec 19 figures; 1911 12 fr. POINCARÉ (H.), Membre de l'Institut. I. Cours de Physique mathématique, professé à la Faculté des Sciences de Paris. 1° Théorie mathématique de la lumière. I. Leçons professées pendant le premier semestre 1887-1888 Épuisé. 2° Théorie mathématique de la lumière. II. Nouvelles études sur la diffraction. Théorie de
la lumière. II. Nouvelles études sur la diffraction. Théorie de la dispersion de Henhlioltz. Leçons professées pendant le premier semestre 1891-1892, rédigées par M. Lamotte et D. Humbert, Licenciésès Sciences. In-8 (23-16) de vi-312 pages, avec 53 figures 1892 10 fr. Électricité et optique. La lumière et les théories électrodynamiques. Leçons professées à la Sorbonne en 1888, 1890 et 1899. 2e édition revue et complétée par J. Blonihan, Agrégé de l'Université, et Eugène Néel, Licenciéès Sciences. In-8 (23-16) de x-612 pages, avec 62 figures 1903 23 fr. Thermodynamique. Leçons professées pendant le premier semestre 1888-1889, rédigées par J. Blochdion, agrégé
pendant le premier semestre 1888-1889, rédigées par J. Blochdion, agrégé de l'Université. 2e édition revue et corrigée. In-8 (23-16) de xix-432 pages, avec 41 figures; 1908 16 fr. Théorie des tourbillons. Leçons professées pendant le deuxième semestre 1891-1892, rédigées par M. Lamotte, Licenciéès Sciences. In-8 (25-16) de 212 pages, avec 42 figures 1893 6 fr. Oscillations électriques. Leçons professées pendant le premier semestre 1892-1893, rédigées par Cl. Humbert, ancien Élève de l'École Normale supérieure, Agrégé de l'Université. In-8 (25–16) de 343 pages, avec 81 figures 1893 12 fr. Capillarité. Leçons professées pendant le deuxième semestre 1888-1889, rédigée par J. Blochdion,