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LA TERRE / MECHANICS, PHYSICS, CHEMISTRY, SPACE SCIENCES, EARTH SCIENCES 1 Mécanique analytique ANALYTICAL MECHANICS 2 Comportement qualitatif de systèmes dynamiques QUALITATIVE BEHAVIOR OF DYNAMICAL SYSTEMS 3 Dynamique des systèmes de corps rigides ou flexibles DYNAMICS OF RIGID OR FLEXIBLE BODIES 4 Machines et mécanismes MECHANISMS AND MACHINES 5 Mécanique des milieux continus MECHANICS OF CONTINUOUS MEDIA 6 Mécanique des solides SOLIDS MECHANICS 7 Mécanique des sols et milieux poreux SOIL AND POROUS MEDIA MECHANICS 8 Endommagement, fatigue, rupture DAMAGE, FATIGUE, FRACTURE 9 Frottement, adhésion, lubrification FRICTION, ADHESION, LUBRICATION 10 Mise en forme des matériaux MATERIALS PROCESSING 11 Mécanique des
Mise en forme des matériaux MATERIALS PROCESSING 11 Mécanique des fluides FLUID MECHANICS 12 Turbulence TURBULENCE 13 Ondes et vibrations WAVES AND VIBRATIONS 14 Méthodes numériques NUMERICAL METHODS 15 Biomécanique BIOMECHANICS 16 Relativité RELATIVITY 17 Physique théorique THEORETICAL PHYSICS 18 Théorie des champs FIELD THEORY 19 Physique statistique STATISTICAL PHYSICS 20 Particules élémentaires ELEMENTARY PARTICLES 21 Physique nucléaire NUCLEAR PHYSICS 22 Physique atomique ATOMIC PHYSICS 23 Physique moléculaire MOLECULAR PHYSICS 24 Physique des plasmas PLASMA PHYSICS 25 Physique des fluides FLUID PHYSICS 26 Physique de la matière condensée CONDENSED MATTER PHYSICS 27 Physique des surfaces et des interfaces SURFACES AND
PHYSICS 27 Physique des surfaces et des interfaces SURFACES AND INTERFACES PHYSICS 28 Physique des couches minces THIN LAYER PHYSICS 29 Cristallographie CRYSTALLOGRAPHY 30 Physique des métaux METAL PHYSICS 31 Physique des semi-conducteurs SEMICONDUCTOR PHYSICS 32 Physique des basses températures LOW TEMPERATURE PHYSICS 33 Phénomènes de transport TRANSPORT PHENOMENA 34 Électricité ELECTRICITY 35 Magnétisme MAGNETISM 36 Électromagnétisme ELECTROMAGNETISM 37 Spectroscopie SPECTROSCOPY 38 Résonance magnétique NUCLEAR MAGNETIC RESONANCE 39 Spectromètre de masses MASS SPECTROMETER 40 Neutronique NEUTRONICS 41 Phénomènes d'impact et collisions IMPACT AND COLLISION PHENOMENA 42 Électronique ELECTRONICS 43 Électronique quantique QUANTUM ELECTRONICS 44 Électrotechnique ELECTRICAL ENGINEERING 45 Signaux et
quantique QUANTUM ELECTRONICS 44 Électrotechnique ELECTRICAL ENGINEERING 45 Signaux et systèmes SIGNALS AND SYSTEMS 46 Télédétection REMOTE SENSING 47 Télécommunications TELECOMMUNICATIONS Atomic Physics Molecular Physics Plasma Physics Liquid Physics Condensed Matter Physics Surface and Interphase Physics Thin Layer Physics Crystallography Physics of Metals Physics of Semi-conductors Low Temperature Physics Transport Phenomena Electricity Magnetism Electromagnetism Spectroscopy Magnetic Resonance Mass Spectrometry Neutronics Impact and Collision Phenomena Electronics Quantum Electronics Electrical Techniques. Signal and Systems Telecommunication Automation Data Processing Optics Quantum Optics Electronic and Particle Optics Acoustics Thermodynamics Thermal Transfers Energy Transformations Aerothermochemistry Chemical Physics Solid State Physics General Physics Applied Physics Physics
Chemical Physics Solid State Physics General Physics Applied Physics Physics Instruments Metrology Theoretical Chemistry Physical Chemistry Reaction Kinetics Chemical Thermodynamics Catalysis Electrochemistry Photochemistry Nuclear Chemistry Radiation Chemistry Spectrochemistry Plasma Chemistry Surface Chemistry Inorganic Chemistry Coordination Chemistry Solid State Chemistry Metallurgical Chemistry Metallurgy Heteroorganic Chemistry Organic Synthesis Physical Organic Chemistry Bioorganic Chemistry Biological Chemistry Macromolecular Chemistry Analytical Chemistry Crystal Chemistry Applied Chemistry Medicinal Chemistry Celestial Mechanics Astronomical Techniques Astrometry Solar System Earth-Moon System Planets and Satellites Meteors and Meteorites Interplanetary Medium Comets Sun Stars Star Clusters and Associations Interstellar Medium Galaxy Extra-galactic Systems Cosmology Cosmic Rays Physical Processes in Astronomy Atmosphere
Extra-galactic Systems Cosmology Cosmic Rays Physical Processes in Astronomy Atmosphere Physics Meteorology Aeronomy Ionosphere Magnétosphere Space Physics Geophysics Gravimetry Geomagnetism Paleomagnetism Geoelectricity Seismology State of the Earth's Interior Geodesy Applied Geophysics Geothermics Marine Geophysics Physical Oceanography Dynamical Oceanography Hydrology Glaciology Limnology Meratology Geochemistry Isotopic Geochemistry and Geochronology Petrology Metallogenesis Sedimentology Stratigraphy Structural Geology Marine Geology Geology Applied Geology Tectonics Geodynamics Volcanology Hydrogeology Pedology Physical Geography Paleoclimatology Paleoecology Prehistory Human Paleontology Paleontology Paleobotany Micropaleontology Palynology SERIES m : SCIENCES DE LA VIE / LIFE SCIENCES Paleobiology Theoretical Biology Biophysics Biophysical Molecular Biophysics Photosynthesis Radiobiology Molecular Biology Biochemistry General Biochemistry Cellular Biochemistry
Biophysics Photosynthesis Radiobiology Molecular Biology Biochemistry General Biochemistry Cellular Biochemistry Applied Biochemistry Genetics Human Physiology Immunology Virology Bacteriology Toxicology Pharmacology Epidemiology and Hygiene Hematology Cancerology Medicine and Therapeutics Surgery General Biology Marine Biology Biological Oceanography Biogeography Evolution General Ecology Populations Morphology General Embryology Anthropology Zoology Animal Systematics Parasitology animale Anatomy animale Histology animale Cytology animale Morphogenesis animal Physiology animale Physiology cellular animale Endocrinology Reproduction animale Nutrition animale Neurobiology Neurophysiology Psychophysiology Animal Psychology Animal Pathology Animal Teratology Applied Zoology Veterinary Medicine Botany Plant Systematics Plant Parasitology Plant Morphology Plant Anatomy Plant Histology Plant Cytology Plant Embryology Plant Pathology Plant Teratology Plant
Histology Plant Cytology Plant Embryology Plant Pathology Plant Teratology Plant Physiology Plant Cell Physiology Plant Nutrition Applied Botany Ecophysiology Agronomy Biotechnologies Animal Parasitology Animal Anatomy Animal Histology Animal Cytology Animal Morphogenesis Animal Physiology Animal Cellular Physiology Endocrinology Animal Reproduction Animal Nutrition Neurobiology Neurophysiology Psychophysiology Animal Psychology Animal Pathology Animal Teratology Applied Zoology Veterinary Medicine Botany Plant Systematics Plant Parasitology Plant Morphology Plant Anatomy Plant Histology Plant Cytology Plant Embryology Plant Pathology Plant Teratology Plant Physiology Plant Cell Physiology Plant Nutrition Applied Botany Ecophysiology Agronomy Biotechnologies Imprimerie GAUTHIER-VILLEARS Imprime en France COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES GAUTHIER-VILLEARS IMPRIMÉUR-LIBRAIRE DES COMPTES
COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES GAUTHIER-VILLEARS IMPRIMÉUR-LIBRAIRE DES COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES 1985-85 Imprime en France COMPTES RENDUS DE L'ACADÉMIE DES SCIENCES 1985 — Tome 300 Série I : MATHÉMATIQUES gauthier-villars Série I : MATHÉMATIQUES TOME 300 — SÉRIE I — N° 1 — 7 JANVIER 1985 « Reproduction in whole or in part without the permission of the author or his representative is prohibited (law of March 11, 1957, Article 40 line 1) Such reproduction by whatever means constitutes an infringement forbidden by Article 425 and those following it, of the Penal Code The law of
those following it, of the Penal Code The law of March 11 1957 lines 2 and 3 of Article 41, authorizes only those copies or reproductions made for the exclusive use of the copyist and not intended for collective use and such analyses and short quotations as are made for the purposes of an example or illustration » « Toute représentation ou reproduction intégrale ou partielle faite sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droits ou ayants cause est illégale (loi du 11 mars 1957 alinéa 1er de l'article 40) Cette représentation ou reproduction par quelque procédé que
l'article 40) Cette représentation ou reproduction par quelque procédé que ce soit constituerait une contrefaçon sanctionnée par les articles 425 et suivants du Code. pénal. La loi du 11 mars 1957 n'autorise aux termes des alinéas 2 et 3 de l'article 41 que les copies ou reproductions strictement réservées au usage privé du copiste et non destinées à une utilisation collective d'une part et d'autre part que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'utilisation. L'apparition de la mention "Copyright" à la fin de la première page d'un article dans ce journal indique le consentement de
page d'un article dans ce journal indique le consentement de l'éditeur que des copies de l'article puissent être faites pour usage personnel ou interne, ou pour le usage personnel ou interne spécifié de certains clients. Ce consentement est donné à la condition, cependant, que le copiste paye la somme notifiée pour chaque copie, à travers la Société de Gestion des Droits d'Auteur, 21 Congress Street, Salem, Massachusetts 01970 (USA), pour toute reproduction en dépôt qui excède celui permis par les Articles 107 ou 108 du Copyright de l'USA. Ce consentement ne s'étend pas à d'autres formes de copie, telles que
ne s'étend pas à d'autres formes de copie, telles que la copie pour diffusion générale, pour des fins de publicité ou de promotion, pour la création de nouveaux ouvrages collectifs ou pour la revente. © Académie des Sciences, Paris, 1985. CONTENTS 1985 — VOLUME 300 — SECTION 1 — N° 1 Partial Differential Equations Analytic Diffraction on a Manifold with Cone-Like Singularity, Michel Rouleux. Nous étudions la régularité analytique du noyau K de la solution fondamentale de l'équation des ondes sur un manifold avec singularité conique C(N) = IR+ x N, avec condition de Dinetl. Ici N dénote une variété
N, avec condition de Dinetl. Ici N dénote une variété analytique compacte avec bord. On analyse la monodromie de K autour du sommet. Nous prouvons en outre des estimations sur la croissance dans le domaine complexe des fonctions propres pour le problème de Dinetl sur L2(N). Algèbre. Sums of Squares and Reduced Witt Rings, Louis Mahe. Nous montrons que le niveau d'une variété affine de dimension n, définie sur un corps clos réel R et sans point réel, est borné par une fonction de n. Utilisant les résultats de L. Blichfeldt sur la description des ensembles semi-algébriques, nous sommes alors
Blichfeldt sur la description des ensembles semi-algébriques, nous sommes alors capables de donner des bornes pour la torsion du noyau de la "global signature" map A W (R [V]) → Cont (V (R), Z), dépendant seulement de n. Géométrie différentielle. Nijenhuis-Richardson Bracket and Cohomology of the Poisson Algebra, Marc De Wilde et Pierre B. A. Lecomte. La cohomologie associée à la représentation adjointe de l'algèbre de Lie poisson d'une variété symplectique est une algèbre graduée de Lie, lorsque dotée du bracket induite par le Nijenhuis-Richardson bracket. Nous prouvons que les classes des cocycles de degré exactement un en chaque argument
classes des cocycles de degré exactement un en chaque argument appartiennent au centre de cette algèbre graduée de Lie. Atiyah Séquences and Transversally Complete Foliations, Rui Almeida et Pierre Molino. Nous considérons des séquences abstractes d'Atiyah (ou algèbres de Lie transitoires) telles séquences sont associées non seulement à un fibré principal, mais aussi à une feuille complète transversalement (de plus généralement à un fibré avec une feuille de Lie comme fibre typique). Dans ce cas, la feuille est développable si et seulement si sa séquence d'Atiyah peut être réalisée comme la séquence d'Atiyah d'un fibré principal. Dynamique des systèmes. Bifurcations
la séquence d'Atiyah d'un fibré principal. Dynamique des systèmes. Bifurcations structurelles pour familles de cartes incréassantes et avec une seule discontinuité, Marie-Hélène Acquier, Michel Cosnard et Christophe Masse. Probabilités. Some convergence results for multi-valued amarts in Banach Spaces, Dinh Quang Luu. On présente quelques résultats de convergence pour des suites multivalentes amarts avec valeurs convexes, fermées, bornées dans des espaces de Banach. Mécanique. Influence de l'anisotropie sur l'apparition de singularités dans les problèmes de valeurs de bord pour les matériaux composés, Enrique Sanchez-Palencia. Nous considérons le problème de Neumann pour une équation élliptique dans les variables x1, x2 avec coefficients
une équation élliptique dans les variables x1, x2 avec coefficients aij (x) qui sont piècewise constants. Prendant l'origine à un point de la frontière et r, θ les coordonnées correspondantes, il est connu que la solution y sera singulière généralement si il existe des solutions non nulles de la forme V(x1, x2) = rθ (θ) avec 0 < Re a < 1 (alors le gradient y tendra à l'infini comme r"a"). Lorsque x2 = 0 est la frontière de la domain, nous prouvons que si x1 et x2 sont deux régions avec différents coefficients, il existe des valeurs de ces
régions avec différents coefficients, il existe des valeurs de ces coefficients (avec a12 discontinue sur x1 = 0) telles que l'on ait une singularité à l'origine. Nous énonçons une conjecture (sans preuve) donnant l'existence (ou non-existence) de singularités dans le cas général. Une application à l'élasticité est donnée. C. R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 ÉQUATIONS AUX DÉRIVÉES PARTIELLES — Diffraction analytique sur une variété à singularité conique. Note de Michel Rouleux, présentée par Laurent Schwartz. On étudie la régularité analytique du noyau K de la solution fondamentale de l'équation des ondes sur une variété
la solution fondamentale de l'équation des ondes sur une variété à singularité conique C(N) = R+ x N, avec condition de Dinetl. Ici N est une variété analytique compacte avec bord. On donne notamment une propriété de ramification de K autour du sommet. On démontre comme résultat auxiliaire des estimations sur la croissance dans le domaine complexe des fonctions propres pour le problème de Dinetl sur L2(N). MÉCANIQUE DIFFÉRENTIELLE — Analytic Diffraction on a Manifold with Cone-Like Singularity. Nous étudions la régularité analytique du noyau K de la solution fondamentale de l'équation des ondes sur un manifold avec singularité conique
de l'équation des ondes sur un manifold avec singularité conique C(N) = IR+ x N, avec condition de Dinetl. Ici N dénote une variété analytique compacte avec bord. On analyse la monodromie de K autour du sommet. Nous prouvons en outre des estimations sur la croissance dans le domaine complexe des fonctions propres pour le problème de Dinetl sur L2(N). PRÉLIMINAIRES. — Dans ce paragraphe et le suivant nous préciserons la construction de la solution fondamentale de Cheeger et Taylor [3]. Soit N une variété riemannienne compacte, analytique, à bord analytique, de dimension m. On note g le tenseur métrique
analytique, de dimension m. On note g le tenseur métrique et g son déterminant. Par définition, le cône C(N) est l'espace IR+ x N muni de la métrique dr2 + r2 g (x). Soit S le laplacien (positif) sur N, le laplacien sur C(N). l'espace des classes de fonctions de carré sommable sur C(N) pour la mesure et Hj(C(N)) l'adhérence de qf(C(N)) dans H1(C(N)). On pose enfin $C= {weH1(C(N))] AueL2(C(N))}. A admet alors une extension auto-adjointe (aussi notée A) de domaine @(A)=Jf nHj(C(N)) On considère également l'extension auto-adjointe de S, de domaine ®(Â) = H2(N) PlHj(N). Soient cpl5 cp2, les
de domaine ®(Â) = H2(N) PlHj(N). Soient cpl5 cp2, les fonctions propres de Â, et 0<u1<u2< ... les valeurs propres associées comptées avec leur multiplicité On considère enfin l'opérateur symétrique • l'espace de Sobolev et Hj>(Xj(R+) l'adhérence de Co°(IR+) dans H^(IR+) Soit aussi ^= {ueL2(R+, rmdr)u€L2(R+, rmdr)} et AMj l'extension auto-adjointe de A^ de domaine ^(A(lj) = Hjj (lj(R+) O^. Une méthode de séparation des variables montre que • 0249-6321/85/3000001 $ 2 00 © Académie des Sciences C R, 1985, 1er Semestre (T 300) Série I — 1 2 C. R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1,
R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 L'analyse spectrale de A se ramène alors à celle de A^ Soit vJ=(uJ + a2)1/2>0, où oc=(l — m)/2 On rappelle ([6]) que la transformation de Hankel définie par pour/eC0°(IR+), où Jv désigne la fonction de Bessel de première espèce et d'ordre vj; se prolonge en un opérateur unitaire de L2(R+, rdr) dans lui-même. On a alors la. PROPOSITION 1.1. — L'application U:u->(HV (s+auJ))jSll est une représentation spectrale de L2(C(N); rm fgdrdx) sur © L2(R+, XàX) relativement à l'opérateur A. L'opérateur auto-adjoint U°A°U1 est l'opérateur de multiplication A (u,)Jèi-K^2fj)jèi
A. L'opérateur auto-adjoint U°A°U1 est l'opérateur de multiplication A (u,)Jèi-K^2fj)jèi de domaine Si F est une fonction boréeenne définie sur U+ on sait alors définir F(A) = U~1 ° F (A) ° U, où F (A) est la multiplication par F (À. 2) 2. LA SOLUTION FONDAMENTALE DE L'OPERATEUR DES ONDES SUR C (N) — Considérons en particulier F,(X2)=(sinA,t)A La proposition 1.1 montre que si ueS>(A112), alors le système : admet une solution unique dans : donnée par v (t) — Ft (A) u. Il est clair aussi que v(t) vérifie l'équation des ondes au sens des distributions On a
vérifie l'équation des ondes au sens des distributions On a la : PROPOSITION 2.1. — Le noyau de distribution de l'opérateur F,(A) est donné par où la série converge faiblement dans ®'(C(N)xC(N)) et où k}(r1, r2, t) eSi'(U+x U+) est défini comme intégrale oscillante. D'après [3] les représentations intégrales de k} ont la forme suivante C. R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 3 Pour t>r2, nous voyons ainsi que C(N) est divisée en trois zones Une onde diffusée par le sommet, issue de (r2, x2) (masse de Dirac en £ = 0) s'est propagée dans
(masse de Dirac en £ = 0) s'est propagée dans la région 0<rt<t — r2 où nous nous proposons d'étudier l'analyticité du noyau. Notre argument repose essentiellement sur la convergence de K comme série de fonctions holomorphes 3 PROLONGEMENT DES FONCTIONS PROPRES cp, DANS LE DOMAINE COMPLEXE. — On pourra comparer les résultats de ce paragraphe avec ceux de Baouendi-Goulaouic [1] et Boutet de Monvel [2]. Nous établirons tout d'abord des estimations locales. L'estimation globale résultera d'une partition de l'unité et de la compacité de la variété N On pose THÉORÈME 3.1. — Soit P(x,T)x) un opérateur différentiel elliptique d'ordre
THÉORÈME 3.1. — Soit P(x,T)x) un opérateur différentiel elliptique d'ordre 2, à coefficients réels et analytiques sur un voisinage Q de M"+ de 0. Alors il existe un voisinage complexe W de C"" 1 de 0 avec W f R"" 1 ccûf] K"1 et deux constantes C± et C2 tels que si ueL2(Q) vérifie uXn=o = 0 et (E— X2)u = 0 dans Q, alors du/dx„(x', 0) admet un prolongement analytique dans W, et pour X^l On démontre ce théorème en construisant, grâce au calcul pseudo-différentiel analytique développé dans [5] une solution oscillante d'un problème aux limites adjoint. On précise
une solution oscillante d'un problème aux limites adjoint. On précise ensuite ce résultat en donnant des estimations uniformes des traces de u sur une famille d'hypersurfaces de C{x„ = s} pour 0^s^so Par une application de la méthode d'Ovcyanmkov on montre alors le THÉORÈME 3 2 — Sous les hypothèses du théorème 3.1, il existe un voisinage V de 0 tel que où l'on a noté, pour t réel, t+ =sup(0, i). On en déduit facilement le COROLLAIRE 3.3. — Soit N une variété compacte analytique, à bord analytique, et P un opérateur différentiel elliptique du second ordre, à coefficients
P un opérateur différentiel elliptique du second ordre, à coefficients réels analytiques, défini sur N. Alors il existe un système fini de cartes locales analytiques ( Jtf, Q.^) et des constantes Cx et C2 tels que pour tout J^, il existe un voisinage W^ dans C de Qx = 'f'(Qx) c c ^+. vérifiant. si MSL2(N) est tel que udti = 0 et (P—A.2)U = 0, alors u° 3^ _1 admet un prolongement analytique dans W*, et pour 'k^l on a C. R. Acad. Se. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985 4 APPLICATION A L'ÉTUDE DE LA DIFFRACTION
n° 1, 1985 4 APPLICATION A L'ÉTUDE DE LA DIFFRACTION PAR LE SOMMET DU CÔNE C(N) — Une analyse de la série (*) montre que K est analytique « derrière le front d'onde diffusé », î. e dans la région 0<r1<t—r2, xl5 x2eN On a en fait le THÉORÈME 4 1. — Si Q c C est un ouvert on note par RU(Q) le revêtement universel de Q Soient t>r2>0, x2eN, I = [t — r2, t + r2] Alors la fonction (rl5 x1)-^-K(r1, xl, r2, x2, t) définie pour 0<r1<t — r2, admet un prolongement holomorphe à un voisinage
0<r1<t — r2, admet un prolongement holomorphe à un voisinage V de RU(C( — IlJIU{0})) xN dans RU(C( -IUIU { 0 })) x Nc, où Nc désigne un complexifié de N. De plus, si 8>0 et D(£ —r2 —e) est le disque ouvert pointé de rayon t — r2—e, alors il existe un voisinage UdeN dans Nc tel que la fonction (rl5 xj ->K(r1, x1, r2, x2, t) se prolonge à RU(D(£ — r2 — e)) x U. Pour cette dernière extension nous avons De là, et du théorème de propagation des singularités analytiques, on montre facilement que le front
propagation des singularités analytiques, on montre facilement que le front d'onde analytique WF6a (c/ [4]) de la distribution K( , .,r2,x2,t) est contenu dans la réunion des extrémités au temps t de tous les rayons analytiques qui partent de (r2, x2) à l'instant 0 et évitent le sommet, et du fibre conormal à l'hypersurface \(t = r^+ + r^2\). On vérifie aussi que, si \(y \in T^*(R \times C(N))\) est un rayon analytique paramétré par la longueur d'arc et passant par \((r_0, p_0, x_0, \xi_0) \in T^*(C(N))\) en \(t = 0\), avec \(\xi_0 = \xi_0\), alors le long de \(y\),
0\), avec \(\xi_0 = \xi_0\), alors le long de \(y\), pour tous \(t, t' \in \mathbb{R}\), on a \(\xi(t) = \xi(0)\) et \(t^{-1} (\xi(t) + \xi(t'))\). On obtient aussi le résultat suivant sur la régularité analytique de la solution du système \((S)\). Pour \(e > 0\), on note \(C_0 > S(N)\) le cône tronqué \((r^5 \times 1) \in C(N)\), \(0 < r < e\). THEORÈME 4.2 — Soient \(R_1 > 0\) et \(R_2 > R_1\). Alors si \(u \in L^2(C(N))\) est à support dans \(C_0 < R_1(N)\), la fonction \(v(r^+, x^1) = F_A(u(r^1, x^1))\), est analytique dans \(C_0 R_1(N)\). Plus
x^1) = F_A(u(r^1, x^1))\), est analytique dans \(C_0 R_1(N)\). Plus généralement, soit \(I = [R_1; 2r_2 - R_1]\). Alors la fonction \(v\) se prolonge holomorphiquement à un voisinage complexe de \(RU(C(-I) \setminus {0}) \times N\) dans \(RU(C(-I) \setminus {0}) \times N\). De plus, pour tout \(e > 0\), il existe un voisinage complexe \(U\) de \(N\) tel que \(v\) se prolonge holomorphiquement à \(RU(D(R_1 - e)) \times U\) et vérifie \(|v(ru, x^1)| \leq r^1 0\). Remise le 19 novembre 1984. REFERENCES BIBLIOGRAPHIQUES [1] M. S. BAOUENDI et C. GOULAOUIC, Intères d'opérateurs elliptiques et prolongements de fonctions propres, Revue Roumaine de
d'opérateurs elliptiques et prolongements de fonctions propres, Revue Roumaine de Mathématiques pures et appliquées, XVIII, n° 10, Bucarest, 1973, p. 1495-1501. [2] L. BOUTET DE MONVEL, Convergence dans le domaine complexe des séries de fonctions propres, Comptes rendus, 287, année A, 1978, p. 855-856. [3] J. CHEEGER et M. TAYLOR, Diffraction by Convex Singularities, Part I, CPAM, XXXV, 1982, p. 275-331. [4] J. RAUCH et J. SJOSTRAND, Propagation of Analytic Singularities Along Diffraction Rays, Indiana University Math. J., 30, n° 3, 1981, p. 389-401. [5] J. SJOSTRAND, Singularités analytiques microlocales, Astérisque, n° 95. [6] E. C. TITSCHMARSCHE, Hankel Transform, Proc.
Astérisque, n° 95. [6] E. C. TITSCHMARSCHE, Hankel Transform, Proc. Camb. Phil. Soc., 21, 1923, p. 463-473. Université de Paris-Sud, Département de Mathématiques, Bâtiment n° 425, 91405 Orsay Cedex. C. R. Acad. Sci. Paris, t. 300, Série I, n° 1, 1985. GÉOMÉTRIE ALGÉBRIQUE. — Sommes de carrés et anneaux de Witt réduits. Note de Louis Mahés présentée par Jean-Pierre Serre. On démontre que le niveau d'une variété affine \(V\) de dimension \(n\) définie sur un corps réel clos, sans point réel, est borné en fonction de \(n\). Utilisant les résultats de L. Brocker sur la présentation des semi-algèbres, on sait