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parallèle unique, mais un secteur parallèle, limité par les droites 01 et OJ. Le plan possédra à l'infini, non plus une droite, mais une aire c'est la géométrie de Lobatchewsky. La complexité de l'hypothèse (toujours la commodité) s'oppose seule évidemment à la pensée de faire retrouver aux droites des intersections matérielles dans une ou plusieurs parties de IOJ, c'est-à-dire à supposer à la droite des tronçons successifs accessibles et à l'infini, à attribuer à l'aire à l'infini d'un plan un ordre quelconque et non plus la nature d'une section conique. Plan lobatchewskyen. Examinons la géométrie du plan avec cette nouvelle
Plan lobatchewskyen. Examinons la géométrie du plan avec cette nouvelle définition ensemble de points de deuxième grandeur, complété à l'infini par une aire qui découpe sur toute droite un segment unique. Il est facile de constituer dans l'espace euclidien des ensembles répondant à la même définition et que nous appellerons, malgré l'apparente contradiction des termes, des plans lobatchewskyens. Faire de la géométrie non euclidienne sera identiquement la même chose qu'étudier au sens ordinaire ces ensembles nouveaux. Les éléments en colligeants binaires d'un tel ensemble conduiront à des rapports et propositions identiques à celles qu'établiraient dans un espace lobatchewskyen des êtres
identiques à celles qu'établiraient dans un espace lobatchewskyen des êtres appropriés, ou plutôt des êtres qui, vivant dans cet espace, auraient un esprit fait comme le nôtre hypothèse au moins étrange sur laquelle nous reviendrons. Cherchons à définir sur une sphère (euclidienne) un « plan lobatchewskyen ». Nous serons amenés à choisir un apex cette fois à l'extérieur de la sphère. Les colligeants binaires ou « droites lobatchewskyennes », définies par deux points quelconques B et C de la sphère, sont des circonférences, sections par les plans ABC. Voici ce qui se produit alors: Les circonférences définies par deux points
qui se produit alors: Les circonférences définies par deux points B et C (plus l'apex A) et par deux autres points 1) et E peuvent être sécantes ou non, suivant que l'intersection des plans qui les définissent, qui est une droite passant par A, coupe ou ne coupe pas la sphère ou encore suivant que les traces bc et xy sur le plan polaire de A se coupent à l'intérieur ou à l'extérieur du cercle S de contact du cône circonscrit. Si BC tourne autour de B et par suite sa trace autour de b, on voit qu'il n'y a
sa trace autour de b, on voit qu'il n'y a sécance que dans le secteur xby. Les droites lobatchewskyennes B, y et By sont les deux parallèles limites à DE. Si BC et DE sont sécantes, les deux points de rencontre sont toujours l'un sur une des calottes sphériques délimitées par le cercle S, l'autre sur l'autre face. Là. calotte. Toute aire dont la courbe de délimitation ne rencontre pas le cercle S est donc une région normale; chacune des calottes sphériques peut être appelée « un plan lobatchewskyen », l'autre représentant l'aire « à l'infini de cette face ».
l'autre représentant l'aire « à l'infini de cette face ». Si nous envisageons le plan polaire de A, il y a correspondance entre chaque point b de ce plan et le couple de points de la sphère situé sur la droite bk. Ce couple est celui de points conjugués dans une involution sur la sphère. Une telle correspondance constitue une transformation simplement rationnelle de genre 1. Elle peut être étendue à tout l'espace en remplaçant chaque plan par la sphère qui lui correspond dans une inversion, la sphère S de points doubles de celle-ci étant le lieu des cercles frontières
points doubles de celle-ci étant le lieu des cercles frontières de l'infini (). Il est à remarquer que dans cette correspondance établie entre un espace euclidien et un espace lobatchewskyen la totalité du dernier est obtenue (pour sa partie réelle du moins) en partant d'une fraction seulement du premier l'intérieur de la sphère H. Plan r letnannien. – Envisageons encore une sphère, mais munie cette fois d'un apex à l'intérieur. Deux sections planes menées par l'apex, réalisant encore des colligeants binaires, se coupent en deux points opposés par rapport à A. Si l'on sépare la sphère en deux par un
A. Si l'on sépare la sphère en deux par un plan arbitraire P passant par l'apex, les deux intersections sont toujours l'une sur une calotte, l'autre sur la deuxième. Toute aire contenue dans une de ces calottes constitue une région normale et peut être appelée un plan c'est la géométrie de Riemann. Cette fois, la limitation du plan a un caractère absolument arbitraire; le plan Riemannien ne comporte plus d'éléments inaccessibles de fait; son aire à l'infini est irréelle, ou pour dire exactement, « imaginaire » au sens des euclidiens. Comme tout à l'heure, il y a correspondance entre un
Comme tout à l'heure, il y a correspondance entre un point M d'un plan, par exemple du plan polaire de A par rapport à la sphère, et le couple de points où celle-ci coupe la droite AM. Cette transformation peut encore être étendue à tout l'espace en transformant tous les plans par une inversion dont la sphère de points doubles est cette fois imaginaire. Tandis que nous obtenions la totalité des éléments réels d'un espace lobatchewskyen en transformant seulement l'intérieur de la sphère définissant l'inversion, il faut cette fois pour le plan riemannien transformer l'espace euclidien entier. De semblables représentations
le plan riemannien transformer l'espace euclidien entier. De semblables représentations des plans lobatchewskyens et riemanniens pourraient être faites sans difficulté sur une infinité d'autres surfaces, au moyen de Cayley a donné une représentation du plan lobatchewskyen qui consiste à envisager comme tel, non la sphère comme nous le faisons ici, mais l'intérieur du cercle S dans le plan polaire de A, ce qui en est en quelque sorte la projection doublée. Il nomme le cercle S l'absolu. Les droites lobatchewskyennes sont alors les segments de droites limités par le cercle S ce sont, si l'on veut, nos circonférences droites vues
S ce sont, si l'on veut, nos circonférences droites vues de profil. Nous indiquerons plus loin comment Cayley définit la mesure des longueurs. Les surfaces utilisables pourraient être 1° Des surfaces euclidiennes simplement connexes (genre o avec emploi d'apex extérieurs. 2° Des surfaces de connexion double (genre 1) avec apex leur appartenant. En effet, les espaces de Lobatchewsky et de Riemann dont les colligants binaires définissent un couple variable et non plus un seul point, doivent être considérés par rapport à l'espace euclidien de genre o, comme des espaces de genre 1. Longueurs non euclidiennes. Que peut devenir la notion
genre 1. Longueurs non euclidiennes. Que peut devenir la notion de longueur dans un plan non euclidien? Beaucoup d'auteurs la posent comme une donnée a priori par l'idée de superposition, et cela paraît vraiment bien illégitime en raison des multiples postulats accessoires qui sont nécessaires pour une pareille définition et de leur caractère relatif par rapport à des impressions sensorielles très diverses. La définition de l'égalité par le moyen de la superposition après déplacement, la seule adoptée par les géomètres jusqu'à ce jour, est si complexe que M. Poincaré déclare même qu'elle ne définit rien du tout et ceci ne
même qu'elle ne définit rien du tout et ceci ne laisse pas que de rendre un peu sceptique sur l'intérêt de spéculations qui la mettent à leur base pour faire la critique de notions premières; nous verrons tout à l'heure qu'il y a là une véritable tautologie. En réalité, l'idée de longueur doit toujours être liée, quelle que soit la nature de l'espace, à celle de « fonction de deux points ». Cette fonction étant d'ailleurs telle qu'étant donnés un point origine et une longueur (avec son sens), il en résulte une extrémité et une seule, origine et extrémité d'une
résulte une extrémité et une seule, origine et extrémité d'une longueur constante seront toujours les homologues d'une certaine homographie. Définir la fonction, c'est-à-dire le moyen de reporter une longueur, revient à donner les points doubles (évidemment communs) de toutes ces homographies. Ces points doubles sont inaccessibles pour Euclide, ils sont confondus. Une droite non euclidienne possède à l'infini, non plus un point, mais un segment limité par deux points i et j. Ceux-ci sont les points doubles, distincts cette fois, des homographies définies par le rapport de longueurs égales. Deux segments ab et cd sont égaux lorsque les rapports harmoniques
segments ab et cd sont égaux lorsque les rapports harmoniques (ijab) et (ijcd) sont égaux. La construction dans une représentation euclidienne sur une sphère sera la même que ci-dessus, la droite des intersections, polaire de l'apex dans la circonférence droite, ne la coupant pas réellement (Riemann) ou la coupant en deux points (Lobatchewsky). Dans le dernier cas, une même longueur, répétée indéfiniment, donne des extrémités de segments successifs qui s'approchent sans cesse d'un point double sans l'atteindre jamais. Le plan (et par suite l'espace) lobatchewskyen est, comme l'euclidien, « infini » pour ses habitants. Dans l'espace riemannien, un cas particulier
» pour ses habitants. Dans l'espace riemannien, un cas particulier intéressant et connu depuis longtemps est celui où l'apex est placé au centre de la sphère; les longueurs égales du plan riemannien le sont aussi au sens euclidien. Mais il existe parmi les homographies ayant deux points doubles donnés une correspondance toute particulière l'involution, pour laquelle il est d'usage de l'poser K = 1. Sur chaque droite euclidienne, il existe donc une longueur qui se définit par elle-même, d'une manière en quelque sorte absolue celle qui correspond à l'involution et qui est délimitée par les extrémités des cordes passant par
qui est délimitée par les extrémités des cordes passant par A. Les droites non euclidiennes comportent donc un étalon absolu de longueur ou « paramètre » réel et chiffrable pour l'espace riemannien par de Cayley a donné une représentation du plan lobatchewskyen qui consiste à envisager comme tel, non la sphère comme nous le faisons ici, mais l'intérieur du cercle S dans le plan polaire de A, ce qui en est en quelque sorte la projection doublée. Il nomme le cercle S l'absolu. Les droites lobatchewskyennes sont alors les segments de droites limités par le cercle S ce sont, si
de droites limités par le cercle S ce sont, si l'on veut, nos circonférences droites vues de profil. Nous indiquerons plus loin comment Cayley définit la mesure des longueurs. Les surfaces utilisables pourraient être 1° Des surfaces euclidiennes simplement connexes (genre o avec emploi d'apex extérieurs. 2° Des surfaces de connexion double (genre 1) avec apex leur appartenant. En effet, les espaces de Lobatchewsky et de Riemann dont les colligants binaires définissent un couple variable et non plus un seul point, doivent être considérés par rapport à l'espace euclidien de genre o, comme des espaces de genre 1. Longueurs non
genre o, comme des espaces de genre 1. Longueurs non euclidiennes. Que peut devenir la notion de longueur dans un plan non euclidien? Beaucoup d'auteurs la posent comme une donnée a priori par l'idée de superposition, et cela paraît vraiment bien illégitime en raison des multiples postulats accessoires qui sont nécessaires pour une pareille définition et de leur caractère relatif par rapport à des impressions sensorielles très diverses. La définition de l'égalité par le moyen de la superposition après déplacement, la seule adoptée par les géomètres jusqu'à ce jour, est si complexe que M. Poincaré déclare même qu'elle ne définit
si complexe que M. Poincaré déclare même qu'elle ne définit rien du tout et ceci ne laisse pas que de rendre un peu sceptique sur l'intérêt de spéculations qui la mettent à leur base pour faire la critique de notions premières; nous verrons tout à l'heure qu'il y a là une véritable tautologie. En réalité, l'idée de longueur doit toujours être liée, quelle que soit la nature de l'espace, à celle de « fonction de deux points ». Cette fonction étant d'ailleurs telle qu'étant donnés un point origine et une longueur (avec son sens), il en résulte une extrémité et
longueur (avec son sens), il en résulte une extrémité et une seule, origine et extrémité d'une longueur constante seront toujours les homologues d'une certaine homographie. Définir la fonction, c'est-à-dire le moyen de reporter une longueur, revient à donner les points doubles (évidemment communs) de toutes ces homographies. Ces points doubles sont inaccessibles pour Euclide, ils sont confondus. Une droite non euclidienne possède à l'infini, non plus un point, mais un segment limité par deux points i et j. Ceux-ci sont les points doubles, distincts cette fois, des homographies définies par le rapport de longueurs égales. Deux segments ab et cd
le rapport de longueurs égales. Deux segments ab et cd sont égaux lorsque les rapports harmoniques (ijab) et (ijcd) sont égaux. La construction dans une représentation euclidienne sur une sphère sera la même que ci-dessus, la droite des intersections, polaire de l'apex dans la circonférence droite, ne la coupant pas réellement (Riemann) ou la coupant en deux points (Lobatchewsky). Dans le dernier cas, une même longueur, répétée indéfiniment, donne des extrémités de segments successifs qui s'approchent sans cesse d'un point double sans l'atteindre jamais. Le plan (et par suite l'espace) lobatchewskyen est, comme l'euclidien, « infini » pour ses habitants.
lobatchewskyen est, comme l'euclidien, « infini » pour ses habitants. Dans l'espace riemannien, un cas particulier intéressant et connu depuis longtemps est celui où l'apex est placé au centre de la sphère; les longueurs égales du plan riemannien le sont aussi au sens euclidien. Mais il existe parmi les homographies ayant deux points doubles donnés une correspondance toute particulière l'involution, pour laquelle il est d'usage de l'poser K = 1. Sur chaque droite euclidienne, il existe donc une longueur qui se définit par elle-même, d'une manière en quelque sorte absolue celle qui correspond à l'involution et qui est délimitée par
celle qui correspond à l'involution et qui est délimitée par les extrémités des cordes passant par A. Les droites non euclidiennes comportent donc un étalon absolu de longueur ou « paramètre » réel et chiffrable pour l'espace riemannien par de Cayley a donné une représentation du plan lobatchewskyen qui consiste à envisager comme tel, non la sphère comme nous le faisons ici, mais l'intérieur du cercle S dans le plan polaire de A, ce qui en est en quelque sorte la projection doublée. Il nomme le cercle S l'absolu. Les droites lobatchewskyennes sont alors les segments de droites limités par
droites lobatchewskyennes sont alors les segments de droites limités par le cercle S ce sont, si l'on veut, nos circonférences droites vues de profil. Nous indiquerons plus loin comment Cayley définit la mesure des longueurs. Les surfaces utilisables pourraient être 1° Des surfaces euclidiennes simplement connexes (genre o avec emploi d'apex extérieurs. 2° Des surfaces de connexion double (genre 1) avec apex leur appartenant. En effet, les espaces de Lobatchewsky et de Riemann dont les colligants binaires définissent un couple variable et non plus un seul point, doivent être considérés par rapport à l'espace euclidien de genre o, comme des
par rapport à l'espace euclidien de genre o, comme des espaces de genre 1. Longueurs non euclidiennes. Que peut devenir la notion de longueur dans un plan non euclidien? Beaucoup d'auteurs la posent comme une donnée a priori par l'idée de superposition, et cela paraît vraiment bien illégitime en raison des multiples postulats accessoires qui sont nécessaires pour une pareille définition et de leur caractère relatif par rapport à des impressions sensorielles très diverses. La définition de l'égalité par le moyen de la superposition après déplacement, la seule adoptée par les géomètres jusqu'à ce jour, est si complexe que M.
les géomètres jusqu'à ce jour, est si complexe que M. Poincaré déclare même qu'elle ne définit rien du tout et ceci ne laisse pas que de rendre un peu sceptique sur l'intérêt de spéculations qui la mettent à leur base pour faire la critique de notions premières; nous verrons tout à l'heure qu'il y a là une véritable tautologie. En réalité, l'idée de longueur doit toujours être liée, quelle que soit la nature de l'espace, à celle de « fonction de deux points ». Cette fonction étant d'ailleurs telle qu'étant donnés un point origine et une longueur (avec son sens),
donnés un point origine et une longueur (avec son sens), il en résulte une extrémité et une seule, origine et extrémité d'une longueur constante seront toujours les homologues d'une certaine homographie. Définir la fonction, c'est-à-dire le moyen de reporter une longueur, revient à donner les points doubles (évidemment communs) de toutes ces homographies. Ces points doubles sont inaccessibles pour Euclide, ils sont confondus. Une droite non euclidienne possède à l'infini, non plus un point, mais un segment limité par deux points i et j. Ceux-ci sont les points doubles, distincts cette fois, des homographies définies par le rapport de longueurs
cette fois, des homographies définies par le rapport de longueurs égales. Deux segments ab et cd sont égaux lorsque les rapports harmoniques (ijab) et (ijcd) sont égaux. La construction dans une représentation euclidienne sur une sphère sera la même que ci-dessus, la droite des intersections, polaire de l'apex dans la circonférence droite, ne la coupant pas réellement (Riemann) ou la coupant en deux points (Lobatchewsky). Dans le dernier cas, une même longueur, répétée indéfiniment, donne des extrémités de segments successifs qui s'approchent sans cesse d'un point double sans l'atteindre jamais. Le plan (et par suite l'espace) lobatchewskyen est, comme l'euclidien,
Le plan (et par suite l'espace) lobatchewskyen est, comme l'euclidien, « infini » pour ses habitants. Dans l'espace riemannien, un cas particulier intéressant et connu depuis longtemps est celui où l'apex est placé au centre de la sphère; les longueurs égales du plan riemannien le sont aussi au sens euclidien. Mais il existe parmi les homographies ayant deux points doubles donnés une correspondance toute particulière l'involution, pour laquelle il est d'usage de l'poser K = 1. Sur chaque droite euclidienne, il existe donc une longueur qui se définit par elle-même, d'une manière en quelque sorte absolue celle qui correspond à
d'une manière en quelque sorte absolue celle qui correspond à l'involution et qui est délimitée par les extrémités des cordes passant par A. Les droites non euclidiennes comportent donc un étalon absolu de longueur ou « paramètre » réel et chiffrable pour l'espace riemannien par de Cayley a donné une représentation du plan lobatchewskyen qui consiste à envisager comme tel, non la sphère comme nous le faisons ici, mais l'intérieur du cercle S dans le plan polaire de A, ce qui en est en quelque sorte la projection doublée. Il nomme le cercle S l'absolu. Les droites lobatchewskyennes sont alors
nomme le cercle S l'absolu. Les droites lobatchewskyennes sont alors les segments de droites limités par le cercle S ce sont, si l'on veut, nos circonférences droites vues de profil. Nous indiquerons plus loin comment Cayley définit la mesure des longueurs. Les surfaces utilisables pourraient être 1° Des surfaces euclidiennes simplement connexes (genre o avec emploi d'apex extérieurs. 2° Des surfaces de connexion double (genre 1) avec apex leur appartenant. En effet, les espaces de Lobatchewsky et de Riemann dont les colligants binaires définissent un couple variable et non plus un seul point, doivent être considérés par rapport à l'espace
un seul point, doivent être considérés par rapport à l'espace euclidien de genre o, comme des espaces de genre 1. Longueurs non euclidiennes. Que peut devenir la notion de longueur dans un plan non euclidien? Beaucoup d'auteurs la posent comme une donnée a priori par l'idée de superposition, et cela paraît vraiment bien illégitime en raison des multiples postulats accessoires qui sont nécessaires pour une pareille définition et de leur caractère relatif par rapport à des impressions sensorielles très diverses. La définition de l'égalité par le moyen de la superposition après déplacement, la seule adoptée par les géomètres jusqu'à ce
après déplacement, la seule adoptée par les géomètres jusqu'à ce jour, est si complexe que M. Poincaré déclare même qu'elle ne définit rien du tout et ceci ne laisse pas que de rendre un peu sceptique sur l'intérêt de spéculations qui la mettent à leur base pour faire la critique de notions premières; nous verrons tout à l'heure qu'il y a là une véritable tautologie. En réalité, l'idée de longueur doit toujours être liée, quelle que soit la nature de l'espace, à celle de « fonction de deux points ». Cette fonction étant d'ailleurs telle qu'étant donnés un point origine
Cette fonction étant d'ailleurs telle qu'étant donnés un point origine et une longueur (avec son sens), il en résulte une extrémité et une Elle est représentée dans notre plan sphérique de tout à l'heure par une courbe gauche. Pour en découvrir la nature, envisageons les différents plans de section passant par un point M et son adjoint M', leur trace sur le plan polaire de A tourne autour du point m fixe. Soit uv la position qui correspond à une circonférence droite MN; joignons M'N qui coupe uv en p. Nous avons; en projetant de M', qui est fixe, (hdMN)
Nous avons; en projetant de M', qui est fixe, (hdMN) = (uv)1/2, Ce rapport représente la longueur MN. S'il reste constant, p décrit dans le plan polaire une conique déduite du cercle S et N a pour lieu l'intersection de la sphère avec un cône du second degré; cette courbe gauche représente un horicycle. Notion d'angle. – Faisons une remarque intéressante dans le plan euclidien, la détermination de la circonférence est résultée pour nous à la fois de la notion de longueur et de la notion d'angle. Dans les plans de Riemann et de Lobatchewsky, nous l'avons définie par l'égalité
de Riemann et de Lobatchewsky, nous l'avons définie par l'égalité des étalons de longueur propres à chaque droite. Qu'advient-il de la notion d'angle? Il faut convenir en chaque point d'une définition. Soient BC et BC' deux circonférences droites nous mesurerons l'angle BC, BC' par la longueur de la corde de l'arc qu'il découpe sur un horicycle, rapportée au rayon de celui-ci. Si l'on veut figurer le plan lobatchewskien par l'intérieur du cercle S, comme Cayley, on est amené à mesurer la longueur d'un segment mercé par une fonction de (hcMN), Or, projetant successivement de M', puis de N', on a
Or, projetant successivement de M', puis de N', on a (McMN) = (uvmp) = (ucpn) = (uvmn), car (uvvmn), compte avec la formule métrique usuelle, est le produit des deux rapports précédents. On peut donc prendre plus commodément longueur mn = (uv?nn). Si l'on ajoute deux segments mn et nq, on a (uvmq) = (uvmn) x (uvnq); comme la mesure choisie doit être telle que celle d'une somme de segments soit la somme des mesures des segments, il faut que soit un logarithme. C'est la théorie de Cayley. et lorsque ce rayon tend vers zéro), un cycle de rayon très
ce rayon tend vers zéro), un cycle de rayon très très petit se confond avec la circonférence indicatrice en B et ceci revient à prendre l'angle BC, BC' égal à l'angle euclidien des tangentes. Grâce à cette définition, la géométrie que nous ferions serait celle-là même que construiraient des êtres vivant dans l'espace non euclidien utilisant la notion de superposition pour définir l'égalité, à la condition seulement que dans cet espace, la répartition des températures et les coefficients de dilatation (des corps et des êtres eux-mêmes) soient tels qu'il rendent superposables des longueurs définies égales plus haut. Si dans un