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MM. E. JODART; V. RAPATEL; E. LEGRAND, Élève-raconteur (1er A.) à l'École normale primaire de Béarnais. MM. C. POUGNAULT; L. HUIN; J. BOBAY; J. PEINDARIES; DUCAMP; J. DEBRY. — MM. BONAIN; M. DAMIEN. 545. — Cosmographie. — Une tige de hauteur h est dirigée suivant la verticale d'un lieu dont la latitude est ; et exposée aux rayons du soleil. On demande de trouver les longueurs 1 et 1' de l'ombre portée par la tige à midi vrai aux jours des solstices d'été et d'hiver. On suppose connue l'obliquité de l'écliptique . (Baccalauréat en sciences de l'Enseignement classique, Paris, 10
l'écliptique . (Baccalauréat en sciences de l'Enseignement classique, Paris, 10 juillet 1891). Soient M (fig. 697) un lieu de la terre, MT l'intersection du méridien du lieu et du plan tangent en M à la terre, MA la tige verticale, MH1 et MLt les ombres portées par la tige quand le soleil passe au méridien le jour du solstice d'été et le jour du solstice d'hiver. Les angles MAL et MAL, sont respectivement égaux aux distances zénithales du soleil aux solstices d'été et d'hiver. En désignant ces distances par Z et Z', par h la hauteur de la tige, par
et Z', par h la hauteur de la tige, par l et 1' les ombres ML et ML' aux solstices d'été et d'hiver, on a — 157 — Soient ZEZ' (fig. 698), le méridien céleste d'un lieu situé dans l'hémisphère boréale, Z le zénith de ce lieu, KK' l'intersection du méridien et du plan de l'équateur. La latitude de ce lieu est l'arc ZE. Les parallèles SS' et S^'j sont les traces des tropiques du Cancer et du Capricorne sur le méridien. Les distances zénithales Z et Z' du soleil aux solstices d'été et d'hiver ont pour mesure les arcs
aux solstices d'été et d'hiver ont pour mesure les arcs SZ et StZ. La trace de l'écliptique sur le méridien est la droite SS'lt L'obliquité ta de l'écliptique a pour mesure l'un ou l'autre des arcs élevés SE ou S^. On a Fig. 697. Fig. 698. En vertu des valeurs de Z et de Z' données par les formules (2), les formules (1) deviennent J. BOUÏSSOU, Élève de Première (E. moderne) au Lycée de Tulle. Remarque. — Lorsqu'on connaît A, l, V, les quatre formules (1) et (2) donnent X et ". En effet, les formules (1) permettent de calculer
et ". En effet, les formules (1) permettent de calculer Z et Z', et des formules (2) on tire On appelle gnomon une tige verticale établie en un lieu de manière à être éclairée par le soleil. Sous le nom de méthode du gnomon, les anciens astronomes employaient les formules (l) et (3) pour déterminer la latitude d'un lieu et l'obliquité de l'écliptique. Ont résolu la question 545: MM. G. RIUS; FERRAND; J.-L. PRÉTOT; P. REBOUILLON P. REBOUILLON C. de Louhans ; J. ARMANET; C. ALACÈ (21), L. d'Evreux; A. ANXIONNAZ. PRÉPARATION AUX CONCOURS GÉNÉRAUX 521. — SOLUTION du Problème
ANXIONNAZ. PRÉPARATION AUX CONCOURS GÉNÉRAUX 521. — SOLUTION du Problème de Géométrie proposé au Concours général de la Classe de Troisième, E. classique, en juin 1891. (Voir l'énoncé, n° 1, 20 octobre 1891, p. 21.) — 159 — à deux droites AC et AR, se coupant en A, égale est formé de deux droites passant par A. Pour obtenir un second point de chacune de ces droites, on mène à AC les deux parallèles à la distance p, à AB les deux parallèles à la distance y; ces quatre parallèles déterminent un parallélogramme DKDG, de centre A : les diagonales
déterminent un parallélogramme DKDG, de centre A : les diagonales AD et AE de ce parallélogramme forment le lieu cherché. Le lieu des points tels que le rapport de leurs distances à deux droites BA et BG, se coupant en B, égale est formé par les deux diagonales BF et BG d'un parallélogramme, déterminé en prenant les deux parallèles déjà menées à BA à la distance y, et en menant à BG les deux parallèles à la distance a. Enfin, le lieu des points tels que le rapport de leurs distances aux deux droites CB et CA, se coupant en
distances aux deux droites CB et CA, se coupant en C, égale est fermé des deux diagonales CI et CJ d'un parallélogramme, déterminé par les deux parallèles menées à CB à la distance a, et par les deux parallèles menées à CA à la distance p. Le premier lieu, formé de AD et AE, est coupé par le second, formé de WG et BG, en quatre points M, M1, M2, M3. Menant de M les perpendiculaires MA', MB', MC sur les droites BC, CA, AB, on a donc le point M appartient au lieu des points tels que les rapports
M appartient au lieu des points tels que les rapports de leurs distances à CB et à CA égal, et, par suite, se trouve sur la droite CI. On démontrerait de même que le point M, se trouve sur la droite CI, et que les points M, et M, se trouvent sur la droite CJ. Par suite, il y a quatre points, M, M2, M3, et seulement quatre, qui satisfont aux conditions de l'énoncé. REMARQUE. — Soient R et S les points où les droites CM et CM3 forment le lieu passant par le sommet C, coupent le côté AB
lieu passant par le sommet C, coupent le côté AB opposé à ce sommet. Menons de R et de S les perpendiculaires RA" et SA" à CB, ainsi que les perpendiculaires RB" et SB" à CA. Les triangles semblables BRA" et BSA", d’une part, et les triangles semblables ARB" et ASB", d’autre part, donnent respectivement PAR SUITE, R et S sont conjugués harmoniques de A et B. On peut démontrer plus rapidement cette propriété comme il suit. Soit H le point où BM coupe AG; Menons de M et de M2 les distances de M et de M2 aux côtés
M2 les distances de M et de M2 aux côtés BG et AG. On a En divisant ces deux égalités membre à membre et en donnant à MB' son signe, qui est négatif, on obtient DONC les quatre points B, H, M, M2 forment une division harmonique. Par suite, le faisceau (C, BHM M2) est harmonique, et il détermine sur la transversale BA une division harmonique (BARS). PREMIER CAS PARTICULIER. — Lorsque l’on a a = b = c, les trois lieux que l’on vient d’obtenir sont formés des bissectrices intérieures et extérieures des trois angles A, B, C, et
intérieures et extérieures des trois angles A, B, C, et les quatre points M, M2, M3, M4 sont les centres du cercle inscrit et des trois cercles ex-inscrits au triangle ABC. SECOND CAS PARTICULIER. — Supposons que les nombres a, b, c sont inversement proportionnels aux longueurs des côtés correspondants a, b, c. En considérant le point R où CM coupe AB et les perpendiculaires RA" et RB" , on a cette égalité montre que les deux triangles CRA et CRB sont équivalents. Mais ils ont même sommet C, et leurs bases RA et RB en prolongement l’une de l’autre
leurs bases RA et RB en prolongement l’une de l’autre ; donc leurs hauteurs issues de C sont égales; par suite, leurs bases RA et RB sont égales. Il en résulte que la droite CR est une médiane du triangle ABC. Par suite, le point M est le point de concours des trois médianes du triangle ABC. Chacune de ces trois médianes passe par l’un des points M2, M3, M4. Le point M3 se trouve sur la droite issue de C et qui coupe AB au point S, conjugué harmonique de R ; comme R est au milieu de AB,
de R ; comme R est au milieu de AB, S est à l’infini ; par suite, la droite CMS est parallèle à AB. Donc les trois points M2, M3, M4 sont les intersections des parallèles menées par les sommets du triangle ABC aux côtés opposés. 2° Supposons que l’on donne les quatre points M, M2, M3, M4 ayant la propriété énoncée. D’après ce qui précède, les sommets du triangle cherché ABC sont les trois points, autres que les quatre points donnés, où se coupent les six droites obtenues en joignant deux à deux les quatre points donnés. 3° Supposons
joignant deux à deux les quatre points donnés. 3° Supposons que, dans le plan du triangle donné ABC, on donne un point M, et que l’on veuille trouver les points tels que leurs distances aux trois côtés du triangle soient proportionnelles aux distances du point M à ces mêmes côtés. Ce cas n’est autre que le premier dans lequel les trois nombres a, b, c sont les distances MA', MB', MC du point donné M aux trois côtés BC, CA, AB. On fera la construction en menant à chacun de ces côtés deux parallèles respectivement aux distances MA', MB', MC.
ces côtés deux parallèles respectivement aux distances MA', MB', MC. On trouve le point M et les trois points M2, M3, M4; donc le problème admet en général trois solutions. Si M est donné sur un côté AB du triangle, le problème admet pour seule solution le conjugué harmonique de M par rapport à A et B. Voici une autre construction qui n’exige que l’emploi de la règle. On prend les points de rencontre H, S, T des couples de droites CA et MB, AB et MC, BC et MA. Alors, le point V étant l’intersection des droites BC et
Alors, le point V étant l’intersection des droites BC et ST, le point M est l’intersection de MB et AV. Comme vérification, HT et CM se coupent en R sur AB. Le point M2 est l’intersection de AV et de MC, et le point M3 est l’intersection de CR et de MA. Comme vérification, BM3 passe par M1. L’aire du triangle ABC est égale à la somme des aires des trois triangles MBC, MCA, MAB. En exprimant ces aires, on a Pour obtenir MB', on remplacera a par b dans le numérateur de la formule (2); pour obtenir MC, on
le numérateur de la formule (2); pour obtenir MC, on y remplacera a par c. L’aire du triangle ABC est égale à la somme des aires des deux triangles MAC et MAB, diminuée de l’aire du triangle MBC. En exprimant ces aires, on a En vertu des valeurs de AH, MB', et M3C' de l’égalité (3) on a Pour obtenir MB', on remplacera a par b dans le numérateur de la formule (4), puis on échangera a et b dans son dénominateur; pour obtenir M3C', on remplacera a par c dans le numérateur de la formule (4), puis on échangera
dans le numérateur de la formule (4), puis on échangera a et c dans son dénominateur. Convenons de compter comme positive ou négative l'aire du triangle formé en joignant l'un des points M aux extrémités de l'un des côtés BC, CA, AB, suivant que ce point M et le sommet opposé A, B, C sont ou non du même côté par rapport à BC, CA, AB; alors, la formule (2) est générale, et s'applique en donnant dans le dénominateur le signe + ou le signe — au produit proportionnel à l'aire positive ou négative. Dans le cas où a =
l'aire positive ou négative. Dans le cas où a = b = c, on obtient Cette première formule représente MB' et MC; et cette seconde formule représente M'B' et M/C' Dans le cas où a = b = c, on obtient Ces formules donnent MB' et M'B', en remplaçant a par b dans leurs dénominateurs, et elles donnent MC et M/C en remplaçant a par c dans leurs dénominateurs. Élève au Lycée Saint-Louis, à Paris. Ont résolu la question 521 (ordre alphabétique) : M. A. ANKRY; M. DONAIRE; MM. J. DAUNAURA; M. DUSSAUX; M. FILOCHET; L. HASCOET, Professeur au Cours
DAUNAURA; M. DUSSAUX; M. FILOCHET; L. HASCOET, Professeur au Cours professionnel, à Brest; L. HUIN; E. JODART; B. PELISSIER; J.-M. PHILIPPE: J.-L. PREOT. 546. — Dans une machine pneumatique ordinaire, le rapport de la capacité du corps de pompe à celle du récipient est 0,1. On constate qu'après le troisième coup de piston, la pression dans le récipient est devenue les 0,76 de ce qu'elle était au début. On demande de déduire de ce résultat la valeur du rapport du volume de l'espace nuisible au volume du corps de pompe, (Concours général en Mathématiques élémentaires, en 1886.) Si H désigne
(Concours général en Mathématiques élémentaires, en 1886.) Si H désigne la pression atmosphérique, qui est en même temps la pression initiale dans le récipient, V la capacité du récipient, v celle du corps de pompe, n celle de l'espace nuisible, et hn la pression après n coups de piston, on a, d'après une formule connue, On voit que le rapport cherché est donné par une équation du premier degré; on peut donc résoudre la question et effectuer le calcul numérique quel que soit le nombre des coups de piston. Si, en effet, on désigne par k le rapport donné, de
en effet, on désigne par k le rapport donné, de l'équation précédente on tire PRÉPARATION AU CERTIFICAT D'APTITUDE À L'ENSEIGNEMENT SPÉCIAL 536. — SOLUTION de la question d'Arithmétique proposée à l'Examen du Certificat d'aptitude à l'Enseignement secondaire spécial, en juillet 1891. (Voir l'énoncé, n° 2, 20 novembre 1891, page 42.) Première Partie. La Première Partie est la conséquence immédiate de théorèmes démontrés dans les Traités d'Arithmétique et dont il suffira de rappeler ici les énoncés. Soit une fraction ordinaire irréductible x, telle qu'en la conversant en fraction décimale avec une approximation indéfinie, on obtienne un quotient périodique. Deux cas seulement
approximation indéfinie, on obtienne un quotient périodique. Deux cas seulement peuvent se présenter: 1er cas: le dénominateur 13 est premier avec 10; 2° cas: le dénominateur B, non premier avec 10, contient d'autres facteurs premiers que 2 et 5. Dans le premier cas, on est conduit à une fraction décimale périodique simple: le nombre des chiffres de la période est égal à l'exposant de la plus petite puissance de 10 qui, divisée par 13, donne pour reste l'unité. Dans le deuxième cas, on est conduit à une fraction décimale périodique mixte; soit B = 2a 5b (B' étant premier avec
mixte; soit B = 2a 5b (B' étant premier avec 10); le nombre des chiffres irréguliers est égal au plus grand des deux exposants a ou b; le nombre des chiffres de la période est égal à l'exposant de la plus petite puissance de 10 qui, divisée par B', donne pour reste l'unité. Dans les deux cas, le nombre des chiffres de la période et le nombre des chiffres irréguliers, s'il y en a, ne dépendent que du dénominateur de la fraction ordinaire donnée et nullement de son numérateur: la première partie de la question est donc établie. Deuxième Partie.
première partie de la question est donc établie. Deuxième Partie. Soient x et y les deux fractions proposées: on donne A + A' = B. Appelons r le plus petit reste de la division qu'il faut effectuer pour convertir la fraction x en fraction décimale périodique, et q le nombre entier formé par les n chiffres décimaux alors écrits au quotient. On aura r représentant le plus petit reste de cette division et r/ le nombre entier formé par les n premiers chiffres décimaux du quotient. Additionnant membre à membre les égalités (1) et (2), on trouve — 163 —
les égalités (1) et (2), on trouve — 163 — L'égalité (3) peut, par suite, s'écrire ainsi: Mais 10n - 1 est un nombre entier exclusivement formé de chiffres 9; donc la somme de deux chiffres quelconques de même rang dans q et q' est égale à 9; comme, d'ailleurs, les égalités (4) et (5) ont lieu quel que soit le nombre n, la seconde partie du problème est démontrée. E. BROSSARD, Instituteur-adjoint à l'École primaire supérieure de Decize. Ont résolu la question 536 : MM. J.-L. PRÉTOT; E. RENOUVIN, Professeur au C. de Carenville; H. FILOCHE; DUSSAUX; V. HEDOULEZ,
Professeur au C. de Carenville; H. FILOCHE; DUSSAUX; V. HEDOULEZ, Préparateur de physique au L. d'Angers; E. BOURDON; E. LEVESQUE, Instituteur à Rennes; B. PELISSIER, à Vorcy-sur-Arzon; Mme BOXAIN; MM. J. LETELLIER, Instituteur-adjoint à l'École primaire supérieure de Montivilliers; A. ANXIONNAZ; M. DAMIEN. COURANTS DÉRIVÉS Les circuits ne sont pas toujours constitués par des conducteurs placés bout à bout entre les pôles d'une pile. Il arrive souvent qu'on ait besoin d'établir un ou plusieurs fils auxiliaires entre deux points d'un circuit; ces fils auxiliaires portent le nom de dérivations. Ainsi, le fil V (fig. 700), jeté entre les points A
le fil V (fig. 700), jeté entre les points A et B du circuit PACB de la pile P, constitue une dérivation. En A le courant se partage, et les intensités dans les deux branches F et C dépendent des résistances respectives de ces branches. Le savant allemand Kirchhoff a indiqué, pour résoudre les problèmes relatifs aux dérivations, des énoncés qui portent le nom de lois de Kirchhoff. Voici les deux règles fondamentales. 1° La somme algébrique des intensités des courants aboutissant en un même point est nulle. Cela signifie que toute l'électricité conduite en un point par un ou
que toute l'électricité conduite en un point par un ou plusieurs fils doit s'en éloigner par d'autres fils ayant leur origine en ce point, ou, en d'autres termes, qu'il ne peut y avoir accumulation d'électricité en ce point. Pour appliquer la loi, on attribue un signe aux courants qui se dirigent vers le point considéré, et le signe contraire aux courants qui s'en éloignent. La loi se traduit alors par la formule où 2 signifie somme algébrique. Dans le cas de la figure 701, on écrirait On voit que si on mène une droite coupant tous les fils dans lesquels
on mène une droite coupant tous les fils dans lesquels le courant a le même sens par rapport à l'origine des dérivations (MN, M'N', sont deux de ces lignes) la somme des quantités d'électricité traversant cette ligne par les divers fils qu'elle coupe est une constante, quel que soit le nombre de ces fils; s'il n'y en a qu'un d'un côté de l'origine des dériva. tions, la valeur de la constante est justement la valeur de l'intensité dans ce fil. 2° Soit un polygone fermé ABCDE (fig. 702), concave ou convexe, dont les côtés sont parcourus par des courants i,
convexe, dont les côtés sont parcourus par des courants i, ii, iii, les résistances correspondantes étant r, n, r2... et ces divers côtés comprenant des forces électromotrices c, ci, e2)... On a Pour effectuer ces sommes algébriques, on fixe le sens dans lequel on parcourt le polygone, puis on prend avec le signe + toutes les forces électromotrices et toutes les intensités qui correspondent à des mouvements d'électricité s'effectuant dans ce sens, les autres forces électromotrices et les autres intensités étant affectées du signe -. Considérons le cas simple de la figure 700. Le circuit AKLB donne, en prenant comme
la figure 700. Le circuit AKLB donne, en prenant comme sens de parcours celui que définit l'ordre des lettres, Si on établit une dérivation entre deux points d'un circuit, les intensités partielles dans les deux branches sont en raison inverse des résistances de ces branches. D'ailleurs, on a, d'après la première loi, Les équations (1) et (2) définissent les intensités i et i', si on connaît les résistances et l'intensité I. Le circuit PAFB donnerait de même, en désignant par e la force électromotrice de la pile P, et par II la résistance totale comprise entre A et B, Cette
II la résistance totale comprise entre A et B, Cette équation n'est pas distincte des précédentes, car en retranchant membre à membre les équations (3) et (4), on retrouve On démontre qu'en général l'application des lois de Kirchhoff fournit toutes les équations nécessaires pour la détermination des intensités dans les diverses branches du circuit, et n'en fournit pas d'autres. Supposons maintenant que la dérivation F (fig. 703) contienne une pile P', dont le courant aille de B vers A par exemple. Ce courant s'ajoutera dans la branche C au celui qu'y envoie la pile P, mais il s'en retranchera dans
qu'y envoie la pile P, mais il s'en retranchera dans la branche F. Suivant les valeurs des forces électromotrices c et e', et des résistances des diverses parties du circuit, il pourra se faire qu'aucun courant ne circule dans F, ou que cette branche soit parcourue par un courant allant de A vers B, ou de B vers A. Les lois de Kirchhoff permettent de traiter complètement la question. Conservons les mêmes notations, désignant la résistance totale (pile comprise) entre A et B. Supposons que le courant soit dirigé de A vers B dans F. S'il était dirigé en sens
A vers B dans F. S'il était dirigé en sens contraire, on n'aurait qu'à changer dans les équations le signe de t. Les lois de Kirchhoff donnent En résolvant ce système de trois équations à trois inconnues i, i', I, on trouve On voit facilement que i' ne peut jamais s'annuler, et que, dans la branche C, le courant est toujours dirigé de A vers B; I ou i, au contraire, pourront s'annuler suivant que l'on aura c— e' < 0 ou e — e' > 0, ce qui signifie que pour des valeurs particulières convenables des forces électromotrices et
que pour des valeurs particulières convenables des forces électromotrices et des résistances, la branche contenant la pile la plus faible ne sera traversée par aucun courant. Supposons, pour fixer les idées, que l'on ait e' > 0. Le signe du numérateur de i fait connaître le sens du courant dans la branche F, en supposant que l'on connaisse les valeurs de c', c — c', r' et II. Le cas le plus intéressant à considérer est celui où Alors, aucun courant ne passe dans la branche F, et on a Si on connaît r et R, ou simplement leur rapport,
Si on connaît r et R, ou simplement leur rapport, et e, l'équation (5) fournit e'. On applique cette formule pour mesurer la force électromotrice d'une pile, au moyen de la disposition connue sous le nom de méthode d'opposition de Poggendorf. La pile à étudier P' est placée en dérivation sur le circuit d'une pile plus puissante V et en opposition avec elle (fig. 703). On intercale un galvanomètre sur la dérivation, entre A et B ; la résistance r' est variable, et on la règle de manière à maintenir au zéro l'aiguille du galvanomètre. Le courant est alors nul
au zéro l'aiguille du galvanomètre. Le courant est alors nul dans la branche F, et on n'a qu'à appliquer la formule (b) un peu modifiée. On en déduit en effet la relation qui donne directement le rapport des deux forces électromotrices. Voici une des meilleures manières d'appliquer la méthode. On compare la pile P' à une pile P" de force électromotrice connue, en les mettant successivement en opposition avec la pile plus puissante P. Soient R1 et R2 les nouvelles valeurs des résistances qui annulent le courant dans la branche F quand on a remplacé la pile P' par la
F quand on a remplacé la pile P' par la pile P"; on aura, en désignant par e0,11 la force électromotrice de la pile de comparaison P", Oit dispose l'expérience de manière que R1 + R2 = R + r" el on a alors en divisant membre à membre On emploie un appareil nommé rhéostat à cordes (fig. 704), el dont la partie essentielle est un fil de maillechort (ou de platine) bien calibré, tendu entre deux bornes A et G. D est une petite boite en ébonite que traverse le fil, et contenant une petite tige métallique horizontale, maintenue
le fil, et contenant une petite tige métallique horizontale, maintenue constamment pressée contre le fil par un petit ressort; cette tige communique avec une borne fixée à la boite. Un curseur fixé à la boite peut courir le long d'une graduation en millimètres mm' parallèle au fil; un trait placé sur le curseur et tracé juste en face de la petite tige métallique indique la position de cette dernière sur le fil; le déplacement de la boite le long du fil permet de faire varier le rapport des longueurs AB et BG du fil; la graduation permet de connaître ce
et BG du fil; la graduation permet de connaître ce rapport. Le tout est fixé sur une planchette. La pile I" est attachée d'une part à A, d'autre part à une des bornes du galvanomètre G, dont la seconde borne est reliée à B; la pile P est attachée en A et C. On reconnaît la disposition de la figure 703; la partie AB du fil est la branche ACB (résistance R1) de cette figure; AP'GB est la branche F; BCPA est la branche de résistance R. On commencera par déplacer la boite B le long du fil de manière
déplacer la boite B le long du fil de manière à ramener au zéro l'aiguille du galvanomètre G; on lira la longueur AB sur la graduation, soit l cette longueur; on remplacera alors la pile P' par la pile de comparaison P"; le galvanomètre va dévier; on ramènera l'aiguille au zéro en faisant varier la résistance r', c'est-à-dire en déplaçant B le long du fil; soit /0 la longueur comprise entre A et la boîte quand le courant est de nouveau annulé dans la branche F. La résistance que nous avons appelée R + r", étant celle des rhéostats de
avons appelée R + r", étant celle des rhéostats de la pile P et de cette pile elle-même, augmentée de la résistance du fil AC, reste constante dans les deux cas; le fil étant bien calibré, le rapport des longueurs AB /0 est le même que celui des résistances r' et r offertes par ces longueurs; on a donc Il n'y a d'autre limite à l'exactitude de la méthode que la perfection du contact établi en B entre le fil AG et la languette métallique, l'appréciation exacte de la position de la languette et de la valeur du rapport AB