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L'AGRÉGATION DE L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE SPÉCIAL 517. — Algèbre et Trigonométrie. — On connaît la surface S d'un triangle ainsi que les rayons R et r des cercles circonscrit et inscrit. 1° Former l'équation qui donne les tangentes des demi-angles aux sommets de ce triangle. On trouvera, en désignant par x l'une de ces tangentes, SA 3 r (4 R + r) x^2 + Sx — r^2 = 0. 2° R et r étant donnés, entre quelles limites doit être compris S pour que le triangle soit possible ? 3° On donne R = 8 et r = 3, trouver les
donne R = 8 et r = 3, trouver les côtés du triangle de surface minimum et aussi ceux du triangle de surface maximum. (Concours d'Agrégation de l'Enseignement secondaire spécial, en 1891.) Si l'on considère l'angle B, ou l'angle C, on a encore l'égalité (1) et des égalités qui ne diffèrent des égalités (2) et (3) qu'en ce que B et b, ou C et c, y remplacent A et a; donc les deux nouveaux systèmes d'équations (1), (2), (3) conduiront à l'équation (4), en représentant B par 1/tg Ô- soit 1/tg -. Par suite, les trois racines de l'équation
soit 1/tg -. Par suite, les trois racines de l'équation (4) sont les valeurs des tangentes des demi-angles d'un triangle dont on connaît la surface S, le rayon R du cercle circonscrit et le rayon r du cercle inscrit. Pour que le triangle cherché soit possible, il faut et il suffit que l'équation (4) admette trois racines réelles et positives. Comme l'équation (4) présente trois variations, ses trois racines sont positives quand elles sont réelles. Il suffit donc d'exprimer que les trois racines de l'équation (4) sont réelles. On sait que, quand l'équation du troisième degré a la forme pour
que, quand l'équation du troisième degré a la forme pour que ses trois racines soient réelles, il faut et il suffit que l'on ait, entre les coefficients, la relation Considérons le trinôme du second degré en S8 représenté par le premier membre de la relation (fi); si ses racines (S2)' et (S2)"" sont réelles, la relation (fi) existera quand S2 sera compris entre (S2)' et (S2)", La quantité sous radical des valeurs des racines (S2)' et (S2)"" devient, après réductions, 4R^2 (R - 2r)^3; les racines (S2)' et (S2)"" seront réelles quand on aura : R^2 >r. En tenant compte
réelles quand on aura : R^2 >r. En tenant compte de la relation donnée D2 = R (R - 2 r), on a le premier membre de cette relation devient nul; donc l'équation (4) admet deux racines égales lorsque S a les valeurs Si et Sj. Par suite, le triangle de surface maxima et le triangle de surface minima sont des triangles isocèles. En tenant compte des valeurs numériques de R et de r, on trouve et l'équation (i) devient En annulant le plus grand commun diviseur entre le premier membre de l'équation (ibis) et la dérivée 3Soe 2 —
membre de l'équation (ibis) et la dérivée 3Soe 2 — 210a2 - S de ce premier membre, on trouve, pour la valeur de la racine double de l'équation (46''), Soient x et la valeur des deux côtés égaux du triangle de surface maxima et a2, la valeur des deux côtés égaux du triangle de surface minima. En remplaçant S, dans la formule précédente, d'abord par S1, puis par S2, on trouve En désignant par x et par x' les racines simples de l'équation (ibis) qui correspondent respectivement aux racines doubles xt et x2f on trouve En vertu de la valeur
xt et x2f on trouve En vertu de la valeur trouvée, en commençant la solution, pour sin A en fonction de x, l'égalité (2) devient Donc, dans le cas du triangle de surface maxima et dans le cas du triangle de surface minima, en remplaçant x, dans la formule (6), d'abord par x1 puis par x2, on obtient, pour les bases a1 et a2 de ces triangles, et, en y remplaçant x d'abord par a1, puis par x2, on obtient, pour les côtés a1 et b1 de ces triangles, CH. HUGON, Professeur agrégé au Lycée de Chaumont. Remarque I. Cherchons
HUGON, Professeur agrégé au Lycée de Chaumont. Remarque I. Cherchons les côtés d'un triangle isocèle, quand on connaît les rayons R et r du cercle circonscrit et du cercle inscrit à ce triangle. En désignant ses côtés égaux par a, sa base par a, sa hauteur par h, on trouve les trois équations Remarque II. On pourrait résoudre le problème en cherchant l'équation qui donne les côtés a, b, c d'un triangle en fonction de R, r et S. En effet, on a les équations que l'on discutera comme celle qui donne les tangentes des demi-angles. E. VITTONNY, Professeur au
qui donne les tangentes des demi-angles. E. VITTONNY, Professeur au Collège de France. Remarque III. F. KELLER a démontré que, dans un triangle, la distance des centres du cercle circonscrit et du cercle inscrit est moyenne proportionnelle entre le rayon du cercle circonscrit et la différence entre le rayon du cercle circonscrit et le diamètre du cercle inscrit, Cette propriété, qu'il est facile de démontrer élémentairement, est exprimée par la relation posée dans la troisième partie du problème. De cette proposition, il résulte que le diamètre du cercle circonscrit à un triangle ne peut pas être supérieur au rayon du
un triangle ne peut pas être supérieur au rayon du cercle inscrit à ce triangle. On peut démontrer directement ce corollaire en partant des relations connues. On reconnaît que le signe de la différence II - 2r est le même que le signe de la quantité. Or, quand le triangle est équilatéral, cette quantité est nulle; quand le triangle est isocèle, elle est positive, car elle égale à (rt - 6)s; quand le triangle est scalène, on trouve, en faisant sur a, b, c toutes les hypothèses de grandeur, que la quantité précédente est positive. Donc 2 r ne peut
la quantité précédente est positive. Donc 2 r ne peut être supérieur à H. Ont résolu la question 517 (ordre alphabétique): MM. J. UROCY; J. DAVY, Instituteur à Vitrenave-d'Ornon; J. DELMAIRE, Maître répétiteur au L. de Marseille, admis à l'agrégation; L. LANGEOT, Professeur au C. de Poitiers; J.-L. PETITOT, Instituteur au Crécy; E. YVIN, Écrivain. NOTE SUR LES AÉROSTATS 1. — Un aérostat prêt à partir est sollicité par une force verticale, dirigée de bas en haut, appelée sa force ascensionnelle, égale à l'excès du poids de l'air sur le poids total de l'aérostat, gaz et appareil compris. On a
poids total de l'aérostat, gaz et appareil compris. On a mesuré exactement la valeur, au moment du départ, au moyen d'un dynamomètre, et on règle la charge totale avec des sacs pleins de sable qui forment le lest de l'appareil, de manière que cette force ne dépasse pas quelques kilogrammes. Ce réglage a pour but d'empêcher un mouvement ascensionnel trop rapide du ballon. Si, à un moment donné, V est le volume du gaz contenu dans le ballon, D sa densité par rapport à l'eau, a la densité de l'air par rapport à l'eau aussi, v le volume des agrès,
par rapport à l'eau aussi, v le volume des agrès, j leur poids, qu'on appelle le poids mort du ballon (lest et aéronautes compris), la poussée de l'air est (V + v) a, le poids total de l'appareil V D - p. Et alors la force ascensionnelle A est donnée par la formule on, en appelant d la densité du gaz par rapport à l'air. — 57 — Supposons d'abord que le ballon ne soit pas complètement rempli au départ. Sa force ascensionnelle A0 au départ sera donnée par la formule suivante: Vo étant le volume du gaz au départ,
formule suivante: Vo étant le volume du gaz au départ, D0 sa densité, a0 la densité correspondante de l'air. Et, pour une couche d'air où le ballon n'est pas encore complètement gonflé, elle sera Mais Vo D0 = V, D0, puisque le poids du gaz qui remplit le ballon est resté le même. D'un autre côté, H0 désignant la pression atmosphérique au niveau du sol, H, la pression atmosphérique pour la couche d'air considérée, on a Par suite, la diminution de force ascensionnelle est donnée par la formule Or, la différence a0 - a{ est toujours un nombre très petit.
différence a0 - a{ est toujours un nombre très petit. Le produit v (a0 - a{) est donc relativement très petit, ce qui signifie que la force ascensionnelle est sensiblement constante, tant que le ballon n'est pas entièrement gonflé. Celui-ci doit donc s'élever d'un mouvement uniformément accéléré, si on néglige la résistance de l'air. 2. — Supposons maintenant l'aérostat complètement gonflé. Soit, à cet instant, Y son volume, D la densité du gaz par rapport à l'eau, a la densité de l'air par rapport à l'eau, A sa force ascensionnelle qui diffère très peu de sa force initiale A0, en
qui diffère très peu de sa force initiale A0, en vertu de la formule (3). Désignons par A' la force ascensionnelle dans une couche plus élevée, par D' et a les densités du gaz et de l'air à la hauteur correspondant à cette couche. On a, d'après la formule (1), en remarquant que dans un aérostat l'air peut toujours sortir librement par la fuite du ballon, Comme V, le volume du ballon complètement gonflé, est toujours très grand par rapport à v, on voit que, lorsque l'aérostat est complètement gonflé, sa force ascensionnelle diminue avec rapidité, et que cette rapidité
sa force ascensionnelle diminue avec rapidité, et que cette rapidité est d'autant plus grande que le gaz employé est moins dense par rapport à l'air. 58 — Cette force ascensionnelle deviendra nulle lorsque le ballon sera arrivé dans une couche d'air de densité a", telle que l'on ait d'où Si l'on calcule la différence entre la densité a'' de la couche d'air où le ballon flotte, et la densité a de la couche où le ballon est complètement gonflé, on trouve différence excessivement faible, puisque le nombre A est toujours très petit par rapport aux volumes V et v du
très petit par rapport aux volumes V et v du ballon et du poids mort. Par suite, on peut affirmer que, lorsqu'un ballon est complètement gonflé, il s'arrête presque instantanément. Il est donc nécessaire, si l'on veut atteindre de grandes hauteurs, de ne pas gonfler complètement l'aérostat au départ. Mais il n'en est pas de même si l'on ne veut pas dépasser deux ou trois cents mètres, comme cela arrive dans le cas où le ballon n'est employé que comme un observatoire commode pour suivre les mouvements d'une armée. D'ailleurs, qu'un aérostat soit gonflé ou non au départ, il n'y
qu'un aérostat soit gonflé ou non au départ, il n'y a pas sérieusement à craindre que l'enveloppe puisse se déchirer par suite de l'excès de la pression intérieure sur la pression extérieure, puisque le gaz peut toujours s'échapper librement par la fuite du ballon. 3. Il est facile, puisque l'on connaît à l'avance la densité de la couche d'air où s'arrêtera un aérostat, de calculer la hauteur Z qu'il pourra atteindre. Si l'on appelle H" la pression de la couche d'air où flotte le ballon, la loi de Mariotte donne la relation de laquelle on tire H". Il n'y a
la relation de laquelle on tire H". Il n'y a plus alors, pour connaître Z, qu'à appliquer la formule de Halley, suffisante en pareil cas. Inversement, si l'on veut construire un aérostat capable d'atteindre une altitude donnée, la formule de Halley permettra de calculer H", la formule précédente donnera a", et la formule (4) donnera, entre a", V, v et p, une relation qui guidera l'aéronaute dans la construction de son appareil. 4. — Ces derniers calculs n'ont d'ailleurs qu'une importance secondaire. Car, en jetant du lest, l'aéronaute pourra toujours rendre au ballon sa force ascensionnelle, quelle que soit la
rendre au ballon sa force ascensionnelle, quelle que soit la cause qui en ait amené la diminution. Et, d'autre part, en ouvrant la soupape supérieure, il arrêtera le mouvement d'ascension et le changera même en un mouvement de chute, l'échappement du gaz ayant pour conséquence l'augmentation du poids du ballon, par suite de la rentrée de l'air à son intérieur. Toutes ces manoeuvres exigent évidemment que l'aéronaute ait à sa disposition une très grande quantité de lest, et c'est pour cette raison surtout que l'on s'arrange toujours de façon à donner à un aérostat, destiné à un long voyage, la
donner à un aérostat, destiné à un long voyage, la force ascensionnelle la plus faible possible. D'un autre côté, la nécessité d'avoir à sa disposition une très grande quantité de lest, si l'on veut rester longtemps au-dessus du sol, entraîne aussi à remplir complètement, au moment du départ, les ballons observatoires, dont nous avons déjà parlé plus haut, ballons destinés à séjourner longtemps à une faible hauteur. Il est évident, en effet, qu'un ballon gonflé ayant, au départ (voir la formule 2), une force ascensionnelle plus considérable que s'il est incomplètement rempli, on pourra alors augmenter la provision de lest.
incomplètement rempli, on pourra alors augmenter la provision de lest. 5. — Quoi qu'il en soit, les aérostats, tels qu'on vient de les décrire, ne peuvent guère être employés que comme observatoires élevés, ou comme postes de télégraphie optique. En effet, l'aéronaute, avec les moyens dont il dispose, ne peut qu'agir sur la force ascensionnelle, de façon à ralentir ou à accélérer le mouvement du ballon dans le sens vertical; mais les mouvements de progression ou de recul dans le sens horizontal sont soustraits à sa volonté. L'aérostat, plongé entièrement dans un milieu homogène, est entraîné avec le fluide qui
dans un milieu homogène, est entraîné avec le fluide qui le baigne de toute part, et, par suite, est absolument soumis aux vents qui régnent dans la région où il se trouve, vents dont il est impossible, actuellement, de prévoir à l'avance la direction. Pour pousser horizontalement et dans tous les sens un aérostat, et le changer en aéronef, c'est-à-dire en faire un aérostat dirigeable, la seule et unique solution consiste évidemment à lui imprimer une certaine vitesse u, indépendante de la vitesse V du vent, au moyen d'un moteur convenablement choisi, et de le munir d'un gouvernail permettant de
convenablement choisi, et de le munir d'un gouvernail permettant de lui faire prendre toutes les directions possibles. Examinons quel sera, dans ce cas, la marche de l'aérostat. Soit P (fig. 661) le point de départ d'un ballon dirigeable, au sein d'une atmosphère immobile. Tous les points abordables au bout de l'unité de temps sont situés sur une circonférence ayant pour centre le point P, et pour rayon la vitesse propre v de l'aérostat. Mais, si le ballon se déplace par suite du vent, le point P se trouve en P' au bout de l'unité de temps, la distance PP' étant
au bout de l'unité de temps, la distance PP' étant égale à la vitesse V du vent. Par suite, tous les points abordables par le ballon, au bout de l'unité de temps, se trouvent sur la circonférence décrite de P' comme centre, avec un rayon égal à v. Supposons, par exemple, que le ballon, en partant de P, prenne la direction PQ, il sera doué de deux vitesses simultanées : sa vitesse propre, égale à PQ; et dirigée dans le sens de cette ligne, et la vitesse du vent PP' dirigée dans le sens de P à P'. La vitesse
dirigée dans le sens de P à P'. La vitesse résultante sera PR, et le ballon arrivera en R au bout de l'unité de temps. On voit, dès lors, que, si v est inférieur à V, le secteur de l'espace abordable par le ballon dirigeable est le secteur APB, limité par les deux tangentes menées du point de départ P à la circonférence des points abordables au bout de l'unité de temps. Le ballon ne peut atteindre aucun des points de l'espace situé en dehors de ce secteur. La construction montre que l'angle au sommet de ce secteur augmente, pour
montre que l'angle au sommet de ce secteur augmente, pour une valeur déterminée de V, en même temps que v. En particulier, si v = V, l'angle devient égal à 180°, et le ballon peut aborder tous les points de l'espace situé au-delà du plan mené par P, perpendiculairement à la direction du vent. Si, au contraire, v est supérieur à V, le point P (fig. 662) se trouve à l'intérieur de la circonférence des points abordables, le secteur abordable est de 360°, et, dès lors, l'aérostat peut se diriger vers un point quelconque de l'espace. En construisant le parallélogramme
vers un point quelconque de l'espace. En construisant le parallélogramme des vitesses, on voit que, pour aller dans la direction PU, l'aérostat doit s'orienter de P en Q; pour aller dans la direction PR', il doit s'orienter en . et s'il s'oriente dans la direction du vent, de P en K, sa vitesse résultante est égale à v - V; s'il s'oriente en sens inverse du vent, de P en K', sa vitesse résultante est égale à v + V. 6. — Grâce à l'emploi d'un moteur électrique actionné par des piles légères, MM. Renard et Krebs sont parvenus, en
des piles légères, MM. Renard et Krebs sont parvenus, en 1884, à construire un aéronef ayant une vitesse propre de 0,6 mètres par seconde. Mais comme, à Paris même, les vents, dont la vitesse est moindre que 0,6 mètres par seconde, régnent à peine pendant 108 jours de l'année, le problème de la navigabilité aérienne par les balcons, même à une faible hauteur, ne dépassant pas 200 ou 300 mètres, est encore loin d'être résolu. Il faudrait obtenir une vitesse propre de 12 mètres 50 pour pouvoir naviguer 3 jours sur 4, avec une vitesse résultante de 10 mètres 50
sur 4, avec une vitesse résultante de 10 mètres 50 dans la direction contraire à celle du vent (et toujours à une faible altitude au-dessus du sol). Quant à la navigation aérienne aux grandes altitudes, comme on ignore complètement la vitesse exacte du vent dans les régions supérieures de l'atmosphère, rien ne prouve que le problème de cette navigation puisse jamais être résolu dans toute son étendue, au moyen d'aérostats changés en aéronefs. Rappelons, pour mémoire, que l'aéronef employé par MM. Renard et Krebs avait 600 mètres de longueur et une capacité un peu supérieure à 1 800 mètres cubes.
une capacité un peu supérieure à 1 800 mètres cubes. Sa forme était celle d'un fuseau, la proue étant plus obtuse que l'arrière, qui s'allongeait en s'amincissant peu à peu ; cette forme est d'ailleurs celle des poissons à grande vitesse. L'appareil propulseur était une hélice à deux branches de 7 mètres de diamètre, placée à l'avant du ballon, tournant autour d'un arbre creux en tôle mis en mouvement par une machine dynamo-électrique pesant 100 kilogrammes, dont l'anneau exécutait 3 600 tours à la minute. Un gouvernail en soie, tendu à l'arrière, permettait de changer et d'assurer la direction du
à l'arrière, permettait de changer et d'assurer la direction du ballon, conformément aux règles que l'on vient d'énoncer. I RANET-RIVET, Professeur agrégé de Lettres au Lycée Saint-Louis. NOTIONS SUR L'HISTOIRE DE L'ASTRONOMIE L'histoire d'une science n'est pas celle de tous les auteurs qui en ont écrit, mais seulement de ceux qui ont contribué à leurs travaux à en reculer les bornes. Montucla, Histoire des Mathématiques, livres III, IV, VII. Époque de l'Astronomie pratique. 1. — Les premiers hommes, chez tous les peuples, eurent besoin, pour les travaux de l'agriculture, de distinguer les saisons et d'en déterminer le retour. Ils ne
distinguer les saisons et d'en déterminer le retour. Ils ne tardèrent pas à remarquer que la régularité des mouvements des corps célestes leur permettait de satisfaire à ces deux nécessités. Ils furent donc conduits à noter leurs observations relatives aux phénomènes célestes, et à en rechercher les causes. Ainsi se constitua, à l'origine de tous les peuples, la science nommée Astronomie. Mais, jusqu'à la fin du XVIIIe siècle, elle fut liée à l'Astrologie. 2. — Le premier monument astronomique est dû aux Chaldéens : c'est l'observation, en 719 et en 720 avant J.-C, de trois éclipses de lune, dont Ptolémée
720 avant J.-C, de trois éclipses de lune, dont Ptolémée fit usage dans sa théorie de la lune. Les Chaldéens connaissaient le gnomon. Ils avaient remarqué que le soleil et la lune se meuvent dans une zone du ciel que l'on a nommée écliptique, et divisée en douze constellations. Bérose est le seul astronome chaldéen dont parle l'histoire. 3. — Les Égyptiens observèrent un grand nombre d'éclipses de lune et de soleil, et en donnèrent les causes. Ils firent remarquer que Mercure et Vénus tournent autour du soleil. Ils firent observer avec soin la position des solstices dans les signes
observer avec soin la position des solstices dans les signes du zodiaque. Comme les faces des Pyramides d'Egypte correspondent exactement aux quatre points cardinaux, on est porté à penser que les Égyptiens savaient déterminer la méridienne avec précision. Ils avaient divisé leur année civile en 365 jours; chaque année était formée de 12 mois ayant chacun 30 jours et de 5 jours complémentaires. 4. — On croit que ce sont les Phéniciens qui ont signalé les constellations de la grande Ourse d'abord, et de la petite Ourse ensuite, comme étant propres à désigner le nord aux navigateurs. 5. — Les
propres à désigner le nord aux navigateurs. 5. — Les Grecs allèrent étudier l'Astronomie chez les Chaldéens et surtout chez les Égyptiens. Selon Hérodote, les Chaldéens leur enseignèrent l'usage du gnomon. Mais l'Astronomie grecque ne fit de notables progrès qu'après la fondation, en Égypte, de l'École d'Alexandrie : c'est à partir de cette époque que sont notées un grand nombre d'observations astronomiques et que les phénomènes célestes sont comparés entre eux. 6. — Le premier astronome de la Grèce fut Thales de Milet (vers 640 av. J.-C), fondateur de l'École ionienne. En revenant de son voyage en Égypte, il enseigna
ionienne. En revenant de son voyage en Égypte, il enseigna à ses compatriotes ce que les prêtres de ce pays lui avaient appris : la sphéricité de la terre, l'obliquité de l'écliptique sur l'équateur, la cause des éclipses. Il prédit aux Grecs une éclipse de soleil, qui eut lieu à l'époque qu'il avait fixée, en 585 avant J.-C. Il a aussi étudié la marche du soleil entre les tropiques, mesuré le diamètre apparent du soleil, divisé le ciel en constellations, et indiqué, d'après les Phéniciens, l'usage de la petite Ourse. Le successeur de Thales à la tête de l'École ionienne,
Le successeur de Thales à la tête de l'École ionienne, son disciple Anaximandre de Milet (vers 610 av. J.-C), éleva, à Sparte, un gnomon pour observer aux solstices la hauteur maximale et la hauteur minimale du soleil au-dessus de l'horizon. 7. — Un autre disciple de Thales, Pythagore de Samos (vers 569 av. J.-C), alla étudier en Égypte, d'après le conseil de son maître. Après avoir été initié par les prêtres égyptiens à leurs mystères, il revint dans sa patrie; mais il fut obligé de s'exiler et alla fonder l'École pythagoricienne où, selon l'heureuse expression de Montucla, « toutes les
pythagoricienne où, selon l'heureuse expression de Montucla, « toutes les connaissances qui peuvent contribuer à perfectionner l'esprit et le coeur furent cultivées avec zèle. » Ce philosophe enseignait la sphéricité de la terre et du soleil, l'obliquité de l'écliptique, la cause des éclipses. Il eut le premier l'idée de supposer que la terre tourne autour de son axe et autour du soleil; mais cette idée fut attribuée à Philolaüs de Crotone (vers 450 av. J.-C), l'un de ses disciples, parce qu'il fit connaître publiquement cette opinion, tenue jusque-là cachée dans l'École. Les pythagoriciens expliquaient que la terre et le soleil
l'École. Les pythagoriciens expliquaient que la terre et le soleil sont sphériques, que les planètes et les comètes tournent autour du soleil, que la lune est un corps semblable à notre terre, que les étoiles sont des soleils qui éclairent des astres habités; l'un d'eux, Démocrite (vers 470 av. J.-C), a émis l'idée que la voie lactée est formée d'un amas d'étoiles très éloignées. Mais, de Platon à Copernic, les astronomes, en exceptant Aristarque de Samos, s'en tinrent aux apparences, et ne cherchèrent pas à expliquer les phénomènes célestes en s'appuyant sur ces justes notions du système du monde. Parmi
s'appuyant sur ces justes notions du système du monde. Parmi les astronomes de cette époque, signalons Ménon (vers 400 av. J.-C.) et Nicomaque. Ils se rendirent célèbres en proposant, pour rétablir un ordre convenable dans les fêtes de la Grèce, un cycle, qui porte le nom de cycle de Ménon, conciliant les mouvements de la lune et du soleil; ce cycle est fondé sur ce que, au bout de dix-neuf ans, le soleil et la lune se retrouvent, à peu près, au même point du ciel. Ces fêtes étaient réglées d'après le premier jour de l'année, et ce jour était