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tube à tournure de cuivre. Après son passage dans le tube, le gaz ne contient plus que de l'acide carbonique dont le poids est double de celui de l'acide qu'il contenait avant. Par suite, son volume est 33,400 x 2 ou 66,800 cm3. 4°. — La considération des équivalents en poids et des équivalents en volume montre qu'à volume égal, l'acide carbonique pèse 22 fois et l'oxyde de carbone 14 fois plus que l'hydrogène. Sachant que la densité de l'hydrogène est 0,0692, on trouve que les densités de l'acide carbonique et de l'oxyde de carbone sont respectivement 1,522 et 0,9088.
et de l'oxyde de carbone sont respectivement 1,522 et 0,9088. M. H. FLOQUET, Élève de Seconde (É. moderne) au Lycée de Nancy. On a résolu la question 584: MM. TILVENIN (2e); J.-M. COMMISSAIRE (3e); P. NAILLOD, Institutrice des Frères Marines, à Paris; G. FUSILLIER (1er); L. AUURIOT (2e); J. COULLIADES (1er); J. LAMON (1re); L. CHANLIAU. Institutrices : MM. FERRAND; J. ARMANET; VILLEFAILLOIS. — Élèves-maîtres d'Écoles normales primaires: MM. E. JODART; Y. HAPATEL, au Puy. M. G. FUSILLIER. CLASSE DE PREMIÈRE, É. MODERNE 585. — On donne un cône de révolution dont l'axe est vertical. On demande de le couper
révolution dont l'axe est vertical. On demande de le couper par un plan perpendiculaire au plan vertical de projection et choisi de telle façon que la projection horizontale de l'intersection soit une parabole de paramètre donné p. On déterminera : 1° les traces d'un pareil plan ; 2° les projections du sommet de la parabole d'intersection correspondante; 3° les projections d'un point quelconque de cette intersection et de la tangent en ce point. — On expliquera chacune des constructions. (Baccalauréat de l'Enseignement spécial, Grenoble, juillet 1891.) Rappelons d'abord que tout plan sécant parallèle à un plan tangent à un cône
plan sécant parallèle à un plan tangent à un cône de révolution coupe le cône selon une parabole, et que la projection de cette parabole sur un plan perpendiculaire à l'axe du cône est une parabole, qui a pour foyer la projection du sommet du cône sur le plan de projection, et pour directrice la projection de l'intersection du plan sécant et du plan perpendiculaire à l'axe mené par le sommet du cône. 1° et 2°. — Soit un cône de révolution à axe vertical s, s' (fig. 1) dont les génératrices de base sont sa, s'a, et sb, s'b.
les génératrices de base sont sa, s'a, et sb, s'b. Supposons que le plan sécant soit perpendiculaire au plan vertical, et parallèle à sa, s'a. La parabole d'intersection du cône par le plan se projette selon une parabole dont l'axe est selon la droite sa, dont le foyer est s, dont le sommet c s'obtient en prenant la distance se égale à la moitié de]]. Le point c étant la projection horizontale du sommet G de la parabole, la ligne de rappel ce' donne, sur la projection verticale s'b de l'autre génératrice de base, la projection verticale c' du sommet.
l'autre génératrice de base, la projection verticale c' du sommet. 3°. — La parabole P'c' passe par un point médian de la base et par un point quelconque P de la génératrice. La perpendiculaire à P'c' mène à la trace verticale du plan sécant cherché; la perpendiculaire à P'c' a P est sa trace horizontale. 4°. — La projection verticale de la section du cône par le plan Pab est selon la trace al. On choisisse un point de la projection horizontale de la section par l'un des deux procédés suivants. 1° Un plan horizontal auxiliaire II' coupe le cône
suivants. 1° Un plan horizontal auxiliaire II' coupe le cône selon une circonférence de diamètre e'p, projetée horizontalement selon la circonférence de centre x, de rayon se; il coupe le plan Pab selon une droite de bout projetée verticalement en Q', horizontalement selon g' y; les points y, et y, où g' rencontre la circonférence se sont deux points cherchés. 2° Un plan auxiliaire s'yQ perpendiculaire au plan vertical et passant par le sommet du cône coupe le cône selon deux génératrices projetées horizontalement selon sk et si; il coupe le plan Pab selon une droite de bout projetée verticalement
le plan Pab selon une droite de bout projetée verticalement en m', horizontalement selon m'm; les points nu et wit où m'm rencontre sk et si sont deux points cherchés. La projection verticale de la tangente au point y',y' de la section est selon la trace aP'. Le plan tangent au cône selon la génératrice du point gf,Qi a pour trace horizontale la tangente nt à la trace horizontale du cône au point n où sy rencontre cette trace. La trace horizontale de l'intersection du plan sécant PaP' et du plan tangent au cône selon s'y'. sy4 est l'intersection de
plan tangent au cône selon s'y'. sy4 est l'intersection de les droites apeliff; donc la projection horizontale de la tangente à la section en son point g',gt est tgt. M. F. FAUCHIER, Élève de Première (É. moderne) au Lycée de Tulle. Ont résolu la question 587: M. V. COURBURES; (gro); G. HERGMAN; FERRAND; P. SOMET; E. JODART; A. HARDY et G. Rius; E. LEVESQUE; J. LAMON (1re); M. PELUSSIER; G. FUSILLIER(1er); A. RÉGNIER; E. LÉGRAND. 586. — Solution d'un Problème de Physique proposé à l'Examen du baccalauréat de l'enseignement spécial dans l'Académie de Poitiers, en août 1880. (Voir l'énoncé, n°
dans l'Académie de Poitiers, en août 1880. (Voir l'énoncé, n° 7, 20 avril 1892, page 218.) I. — La résistance du voltamètre est Cette résistance étant plus que dix fois supérieure à celle d'un des éléments de la pile, ceux-ci devront être associés en série pour donner un courant d'intensité maximum. Celle intensité sera dès lors II. — En m minutes, la pile fournira une quantité d'électricité égale à 0,309 X m coulombs, et déposera un poids de cuivre égal à Mme M. DUMENIL, Institutrice à Verdun. Ont résolu la question 586: MM. H. PELUSSIER; J. AUMONNET; FERRAND; DICAMP; E.
question 586: MM. H. PELUSSIER; J. AUMONNET; FERRAND; DICAMP; E. LÉGRAND; E. JODART; J. LAMON (1re). PRÉPARATION AUX CONCOURS GÉNÉRAUX 587. — Physique. À l'intérieur d'un vase cylindrique en forme de cloche, fixé à sa partie supérieure, flotte un cylindre semblable dont le bord inférieur est relevé en forme de gouttière. L'espace entre les deux cylindres est rempli partie par de l'air, partie par du mercure, et le système se trouve ainsi en équilibre pour une pression atmosphérique donnée. Quel sera l'effet produit par une variation de la pression extérieure, et comment pourrait-on faire de l'appareil un baromètre inscripteur ?
et comment pourrait-on faire de l'appareil un baromètre inscripteur ? (Concours général en Mathématiques spéciales, en 1891.) Désignons par P le poids total de la partie mobile de l'appareil (mercure et réservoir), par i le volume occupé par l'air intérieur à l'origine, par s la section du fond de la gouttière, par o la section de la partie supérieure du vase mobile, par a, la section de la partie supérieure du cylindre fixe, par a la hauteur du mercure soulevé entre les deux cylindres, et partiellement la densité du mercure. Écrivons d'abord que, pour une pression extérieure donnée H, le
Écrivons d'abord que, pour une pression extérieure donnée H, le cylindre mobile se tient en équilibre sous l'influence des diverses forces qui agissent sur lui. Ces forces sont constituées par : 1° le poids P; 2° la pression due au gaz intérieur, dirigée de haut en bas, a (H - a) d; 3° la pression atmosphérique sur la surface libre extérieure du mercure, dirigée de haut en bas, (s - a) (H - d); 4° la pression exercée de bas en haut par l'atmosphère sur la base s et sur la base a, (s + a) 1d. On a donc
la base a, (s + a) 1d. On a donc l'égalité, qui se réduit à la suivante : a est constant, et ne dépend pas de la pression extérieure, ni de sa variation. Cette hauteur du mercure soulevé ne dépend que de a, c'est-à-dire de la forme de l'appareil, et de P, c'est-à-dire du poids de la partie mobile. Nous pouvons dès lors appliquer aisément la loi de Mariotte à la masse gazeuse enfermée dans l'appareil. Si la pression atmosphérique éprouve une variation h, la partie mobile monte ou descend, de façon que a reste constant, et la distance des
de façon que a reste constant, et la distance des bases supérieures des deux cylindres varie d'une quantité e. On a dès lors, d'après la loi de Mariotte, l'équation, d'où on tire. On voit que les déplacements du cylindre inférieur, dans le sens vertical, ne sont pas exactement proportionnels à h, c'est-à-dire aux variations de la pression extérieure. Cependant, si la partie mobile est assez légère pour que a soit petit, la quantité h est petite par rapport à H - a, et on a sensiblement. La sensibilité de l'instrument est proportionnelle à i, et inversement proportionnelle à a. Pour
est proportionnelle à i, et inversement proportionnelle à a. Pour faire de l'appareil un baromètre enregistrateur, il suffirait de relier la gouttière mobile à un levier coudé qui amplifierait ses mouvements; la grande branche du levier se terminerait par un crayon qui inscrirait, sur un cylindre tournant, les déplacements amplifiés de la gouttière. L'échelle de la courbe serait donnée une fois pour toutes par comparaison avec un baromètre ordinaire. Les indications de l'appareil ne seraient exactes qu'à température constante. U. PELLISSIER, à Vorcy-sur-Marne, Ont résolu la question 587 : MM. E. JORDAN; E. LEGIUND; G. FUSILLIER (1er); J. CHAMAIT. PRÉPARATION
E. JORDAN; E. LEGIUND; G. FUSILLIER (1er); J. CHAMAIT. PRÉPARATION AU CERTIFICAT D'APLITUDE À L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE SPÉCIAL 566. — Établir les formules permettant de calculer 1° le nombre; 2° la somme; et 3° la somme des nombres des nombres entiers inférieurs à un nombre entier donné, N, et premiers avec lui, (Certificat d'aptitude à l'enseignement secondaire spécial, session, Octobre 1891). Première Partie : Soit un nombre entier N décomposé en ses facteurs premiers : Écrivons la suite des nombres entiers jusqu'à N. Effaçons dans cette suite tous les nombres non premiers avec a, c'est-à-dire tous les multiples de a; nous
premiers avec a, c'est-à-dire tous les multiples de a; nous aurons une deuxième suite de nombres dans laquelle nous effacerons tous les multiples de b qu'elle contient ; ce qui donnera une troisième suite de nombres de laquelle nous supprimerons tous les multiples de c qu'elle contient, et ainsi de suite jusqu'au facteur final. Les nombres qui resteront seront les nombres inférieurs à N et premiers avec lui; pour avoir leur nombre, il suffira de retrancher du nombre N des termes de la première suite le nombre des multiples de a, de b, de c,..., de finalité successivement effacés. Dans
a, de b, de c,..., de finalité successivement effacés. Dans la suite : 1, 2, 3, 4,..., N, qui renferme N nombres, les multiples de a sont : a, 2a, 3a, 4a,..., Na; ils sont au nombre de N, et après leur suppression il restera un nombre de termes égal à N - (N - 1) = 1. Donc, dans la suite 1, 2, 3,..., N, il y a N (1 - 1/2) nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a. Dans cette seconde suite de N (N - 1) termes, il faut supprimer les multiples de b. Voyons
1) termes, il faut supprimer les multiples de b. Voyons combien il y en a. Dans la suite primitive, les multiples de b étaient: b, 2b, 3b, 4b,..., Nb; mais, dans ces n multiples de b, ceux qui sont multiples de a ont déjà été supprimés tout à l'heure; il ne faut donc supprimer cette seconde fois que les multiples de b qui sont premiers avec a, c'est-à-dire ceux dont le coefficient de b est premier avec a; or, les coefficients de b forment la suite : 1, 2, 3,..., N; le nombre des termes de cette suite premiers avec
N; le nombre des termes de cette suite premiers avec a est donné par la formule, dans laquelle il suffit de remplacer N par N. Il est donc de N (1 - 1/2). Par conséquent, après avoir supprimé dans la suite des nombres inférieurs à N et premiers avec a les dix multiples de b qui y figuraient, il restera un nombre de termes égal à N - 2 (N - 1). Cette formule représente le nombre des entiers inférieurs à N et premiers à la fois avec a et avec b. CORRECTION ### À l'intérieur d'un vase cylindrique en
avec b. CORRECTION ### À l'intérieur d'un vase cylindrique en forme de cloche, fixé à sa partie supérieure, flotte un cylindre semblable dont le bord inférieur est relevé en forme de gouttière. L'espace entre les deux cylindres est rempli partie par de l'air, partie par du mercure, et le système se trouve ainsi en équilibre pour une pression atmosphérique donnée. Quel sera l'effet produit par une variation de la pression extérieure, et comment pourrait-on faire de l'appareil un baromètre inscripteur ? (Concours général en Mathématiques spéciales, en 1891.) Désignons par P le poids total de la partie mobile de l'appareil
P le poids total de la partie mobile de l'appareil (mercure et réservoir), par i le volume occupé par l'air intérieur à l'origine, par s la section du fond de la gouttière, par o la section de la partie supérieure du vase mobile, par a, la section de la partie supérieure du cylindre fixe, par a la hauteur du mercure soulevé entre les deux cylindres, et partiellement la densité du mercure. Écrivons d'abord que, pour une pression extérieure donnée H, le cylindre mobile se tient en équilibre sous l'influence des diverses forces qui agissent sur lui. Ces forces sont constituées
diverses forces qui agissent sur lui. Ces forces sont constituées par : 1° le poids P; 2° la pression due au gaz intérieur, dirigée de haut en bas, a (H - a) d; 3° la pression atmosphérique sur la surface libre extérieure du mercure, dirigée de haut en bas, (s - a) (H - d); 4° la pression exercée de bas en haut par l'atmosphère sur la base s et sur la base a, (s + a) 1d. On a donc l'égalité, qui se réduit à la suivante : a est constant, et ne dépend pas de la pression extérieure,
est constant, et ne dépend pas de la pression extérieure, ni de sa variation. Cette hauteur du mercure soulevé ne dépend que de a, c'est-à-dire de la forme de l'appareil, et de P, c'est-à-dire du poids de la partie mobile. Nous pouvons dès lors appliquer aisément la loi de Mariotte à la masse gazeuse enfermée dans l'appareil. Si la pression atmosphérique éprouve une variation h, la partie mobile monte ou descend, de façon que a reste constant, et la distance des bases supérieures des deux cylindres varie d'une quantité e. On a dès lors, d'après la loi de Mariotte, l'équation,
On a dès lors, d'après la loi de Mariotte, l'équation, d'où on tire. On voit que les déplacements du cylindre inférieur, dans le sens vertical, ne sont pas exactement proportionnels à h, c'est-à-dire aux variations de la pression extérieure. Cependant, si la partie mobile est assez légère pour que a soit petit, la quantité h est petite par rapport à H - a, et on a sensiblement. La sensibilité de l'instrument est proportionnelle à i, et inversement proportionnelle à a. Pour faire de l'appareil un baromètre enregistrateur, il suffirait de relier la gouttière mobile à un levier coudé qui amplifierait
relier la gouttière mobile à un levier coudé qui amplifierait ses mouvements; la grande branche du levier se terminerait par un crayon qui inscrirait, sur un cylindre tournant, les déplacements amplifiés de la gouttière. L'échelle de la courbe serait donnée une fois pour toutes par comparaison avec un baromètre ordinaire. Les indications de l'appareil ne seraient exactes qu'à température constante. U. PELLISSIER, à Vorcy-sur-Marne, Ont résolu la question 587 : MM. E. JORDAN; E. LEGIUND; G. FUSILLIER (1er); J. CHAMAIT. PRÉPARATION AU CERTIFICAT D'APLITUDE À L'ENSEIGNEMENT SECONDAIRE SPÉCIAL 566. — Établir les formules permettant de calculer 1° le nombre; 2°
Établir les formules permettant de calculer 1° le nombre; 2° la somme; et 3° la somme des nombres des nombres entiers inférieurs à un nombre entier donné, N, et premiers avec lui, (Certificat d'aptitude à l'enseignement secondaire spécial, session, Octobre 1891). Première Partie : Soit un nombre entier N décomposé en ses facteurs premiers : Écrivons la suite des nombres entiers jusqu'à N. Effaçons dans cette suite tous les nombres non premiers avec a, c'est-à-dire tous les multiples de a; nous aurons une deuxième suite de nombres dans laquelle nous effacerons tous les multiples de b qu'elle contient ; ce
effacerons tous les multiples de b qu'elle contient ; ce qui donnera une troisième suite de nombres de laquelle nous supprimerons tous les multiples de c qu'elle contient, et ainsi de suite jusqu'au facteur final. Les nombres qui resteront seront les nombres inférieurs à N et premiers avec lui; pour avoir leur nombre, il suffira de retrancher du nombre N des termes de la première suite le nombre des multiples de a, de b, de c,..., de finalité successivement effacés. Dans la suite : 1, 2, 3, 4,..., N, qui renferme N nombres, les multiples de a sont : a,
renferme N nombres, les multiples de a sont : a, 2a, 3a, 4a,..., Na; ils sont au nombre de N, et après leur suppression il restera un nombre de termes égal à N - (N - 1) = 1. Donc, dans la suite 1, 2, 3,..., N, il y a N (1 - 1/2) nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a. Dans cette seconde suite de N (N - 1) termes, il faut supprimer les multiples de b. Voyons combien il y en a. Dans la suite primitive, les multiples de b étaient: b, 2b, 3b, 4b,..., Nb;
les multiples de b étaient: b, 2b, 3b, 4b,..., Nb; mais, dans ces n multiples de b, ceux qui sont multiples de a ont déjà été supprimés tout à l'heure; il ne faut donc supprimer cette seconde fois que les multiples de b qui sont premiers avec a, c'est-à-dire ceux dont le coefficient de b est premier avec a; or, les coefficients de b forment la suite : 1, 2, 3,..., N; le nombre des termes de cette suite premiers avec a est donné par la formule, dans laquelle il suffit de remplacer N par N. Il est donc de
suffit de remplacer N par N. Il est donc de N (1 - 1/2). Par conséquent, après avoir supprimé dans la suite des nombres inférieurs à N et premiers avec a les dix multiples de b qui y figuraient, il restera un nombre de termes égal à N - 2 (N - 1). Cette formule représente le nombre des entiers inférieurs à N et premiers à la fois avec a et avec b. Supposons écrits ces deux premiers suites de nombres. Il faut y supprimer tous les multiples de chacune d'elles ; or, les multiples de a depuis 1 jusqu'à
d'elles ; or, les multiples de a depuis 1 jusqu'à N sont : a, 2a, 3a, 4a,.., N-a. Il faut supprimer seulement ceux qui sont premiers avec a, c'est-à-dire ceux dont les coefficients de a sont premiers avec a ; mais ces coefficients forment la suite : 1, 2, 3, 4,.., ; le nombre des multiples de a à supprimer est donc égal au nombre des entiers de la suite précédente inférieurs à a et premiers avec a ; ce nombre est donné par la formule (1), dans laquelle il suffit de remplacer N par a ; il est par
suffit de remplacer N par a ; il est par conséquent égal à (1) (1 - y). Cette suppression faite, il restera un nombre de termes égal à N-a. Cette formule représente le nombre des entiers inférieurs à N et premiers à la fois avec a, avec b et avec c. Le raisonnement précédent est général ; par suite, le nombre des entiers inférieurs à N et premiers avec lui, que l'on représente généralement par ?(N), ou par X est donné par la formule. Deuxième Partie. La méthode à suivre est la même ; seulement, au lieu de considérer le
est la même ; seulement, au lieu de considérer le nombre des termes dans les diverses suites dont il a été question précédemment, il faut considérer leur somme. — 294 — La somme des termes de la première suite : 1,2,3,.., N est ———• On a supprimé les termes a, 2a, 3a,.., a dont la somme est égale à La somme des nombres qui restent est donc égale à Telle est la somme des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a. De cette suite de nombres entiers, on supprime, non pas 6, 26, 36,.., 6, mais seulement ceux
supprime, non pas 6, 26, 36,.., 6, mais seulement ceux des multiples de 6 dont le coefficient de 6 est premier avec a ; la somme de ces multiples de 6 supprimés est donc égale au produit de 6 par la somme des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, laquelle est donnée par la formule (2) en y remplaçant N par a ; la somme des multiples supprimés est donc égale à La somme des nombres qui restent, est par suite égale à Telle est la somme des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a
des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a et avec 6. De cette suite de nombres entiers, on supprime, non pas c, 2c, 3c, 4c,.., c, mais seulement ceux des multiples de c dont le coefficient de c est premier avec a et 6 ; la somme des multiples de c ainsi supprimés est donc égale au produit de c par la somme des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a et avec 6, laquelle est donnée par la formule (2) en y remplaçant N par a. La somme des multiples de c supprimés est donc
a. La somme des multiples de c supprimés est donc égale à La somme des nombres qui restent est donc égale à Telle est la somme des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, avec b et avec c. En continuant ainsi on trouvera la formule générale. Troisième Partie. La marche à suivre est absolument la même que dans la deuxième partie, seulement au lieu de considérer la somme des termes des suites précédentes il faut considérer la somme des carrés de ces termés. Rappelons d'abord la formule Il suffira de donner sommairement la suite des calculs. La
Il suffira de donner sommairement la suite des calculs. La somme des carrés des termes de la suite: 1, 2, 3,.., N est On a supprimé les termes a, 2a, 3a,.., a, dont la somme des carrés est La somme des carrés des nombres qui restent est donc égale à Telle est la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a. De cette suite de nombres on a supprimé les multiples de b dont le coefficient de b est premier avec a ; la somme des carrés des multiples de b supprimés est donc égale
des carrés des multiples de b supprimés est donc égale au produit de b² par la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, laquelle est donnée par la formule (1) en y remplaçant N par a ; les sommes des carrés des nombres qui restent est donc égale à Telle est la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a et avec b. Un raisonnement analogue conduira à la formule pour la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, avec b et avec
à N et premiers avec a, avec b et avec c. On voit la loi de formation de la formule cherchée. Démontrons que cette formule est générale. Pour cela, supposons-la établie pour les facteurs premiers a, b, c, d,.., k d'un nombre entier N ; je dis qu'elle est vraie pour le cas où l'on prendrait un facteur premier de plus, par exemple. En effet. On a pour la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, b, c, k. De ces nombres il faut supprimer les multiples de k dont le coefficient de k
supprimer les multiples de k dont le coefficient de k est premier avec a, b, c,.., k ; ces coefficients particuliers sont les nombres de la suite : 1, 2, 3, 4,.., qui sont premiers avec a, b, c,.., k ; donc la somme des carrés des multiples de k supprimés sera égale au produit de k² par la somme des carrés des nombres entiers inférieurs à N et premiers avec a, b, c,.., k, laquelle est donnée par la formule (1) en y remplaçant N par a ; par conséquent, la somme des carrés des multiples de k supprimés
conséquent, la somme des carrés des multiples de k supprimés est la formule obtenue est donc générale. Remarque. On peut trouver très rapidement, de la manière suivante. Supposons N > 2. Soit n un nombre inférieur à N et premier avec lui; N - n sera aussi un nombre inférieur à N et premier avec lui; la somme de ces deux nombres est n + (N - n) = N; on voit, donc, que les nombres inférieurs à N et premiers avec lui peuvent se placer par groupes de deux nombres dont la somme est égale à N; donc, si